Bases da Mecnica e da Termodinmica dos Meios Contnuos-blog-conhecimentovaleouro.blogspot.com by@vini by Fonseca Dos Santos

Adalberto B. M. S. Bassi ______________________________________

Bases da Mecânica e da Termodinâmica dos Meios Contínuos

Universidade Estadual de Campinas Instituto de Química Campinas 2011

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA UNICAMP Sistemas de Bibliotecas da UNICAMP / Diretoria de Tratamento da Informação Bibliotecário: Maria Lúcia Nery D. de Castro – CRB-8ª / 1724

B294b

Bassi, Adalberto Bono Maurizio Sacchi Bases da mecânica e da termodinâmica dos meios contínuos / Adalberto B. M. S. Bassi. -- Campinas, SP: UNICAMP/Instituto de Química, 2011. “Disponível no site ChemKeys (http://www.chemkeys.com) sob licença Creative Commons (http://www.creativecommons.org.br)” 1. Termodinâmica. 2. Química. 3. Físico-química. I. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Química. II. Título. CDD – 541.369 – 540 – 541.3

ISBN 978-85-268-0948-2 (Suporte: Papel) ISBN 978-85-268-0949-9 (Suporte: Internet)

Palavras Chave: Mecânica; Termodinâmica; Meios Contínuos; Álgebra Tensorial; Análise Tensorial; Termomecânica; Não Linearidade; Materiais; Matemática Aplicada; Físico-Química Keywords: Mechanics; Thermodynamics; Continuous Media; Tensor Algebra; Tensor Analysis; Thermomechanics; Non Linearity; Materials; Applied Mathematics; Physical Chemistry Equipe: Capa: Giancarlo M. Stein dos Santos Editor: João Carlos de Andrade Universidade Estadual de Campinas Instituto de Química Caixa Postal 6154 13084-970 Campinas (SP) 2011© Adalberto B. M. S. Bassi Disponível no site ChemKeys (http://www.chemkeys.com) sob licença Creative Commons (http://www.creativecommons.org.br)

Sobre o Autor Adalberto B. M. S. Bassi nasceu em 1945, em Niterói, RJ e formou-se Qu´ımico Industrial em 1966, pela antiga Escola Nacional de Qu´ımica da Universidade do Brasil, hoje Escola de Qu´ımica da UFRJ. Fez pós-gradua¸cão no Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas e ingressou no corpo docente do Instituto de Qu´ımica da UNICAMP em 1970, onde permanece até o presente momento. Doutorou-se pelo Instituto de Qu´ımica da UNICAMP em 1976, com uma tese na área de interpreta¸cão, por meios mecânico-quânticos, de intensidades roto-vibracionais de moléculas em estado gasoso. Em 1977, fez pósdoutorado junto ao Quantum Theory Project da University of Florida e, posteriormente, nesta mesma área foram defendidos, sob sua orienta¸cão, trabalhos de mestrado e doutorado. Dedicou-se, então, a diversas atividades acadêmico-administrativas, entre as quais destacam-se a de Diretor do Instituto de Qu´ımica da UNICAMP e a de Pró-Reitor de Ensino de Gradua¸cão da mesma Universidade. Ultimamente, restringe suas atividades acadêmico-administrativas apenas a fun¸cões eletivas de representa¸cão, junto aos órgãos colegiados superiores do Instituto e da Universidade, porque prioriza a pesquisa, a orienta¸cão e o ensino em Mecânica e Termodinâmica dos Meios Cont´ınuos, bem como em Termodinâmica dos Processos Homogêneos.

Preˆ ambulo A mecânica dos meios cont´ınuos é um desenvolvimento da antiga mecânica dos fluidos, a qual não considerava a segunda lei da termodinâmica. Ambas são ciências para o mundo macroscópico, ou seja, como também faz qualquer outra ciência clássica, por causa da utiliza¸cão do cálculo diferencial e integral, elas extrapolam o comportamento macroscópico para regiões microscópicas, onde na verdade tal comportamento não ocorre. Aliás, a confirma¸cão experimental da corre¸cão dos resultados obtidos mediante esta extrapola¸cão, em todas as ciências clássicas, foi o principal motivo porque tantos excelentes cientistas do passado defenderam ardorosamente a continuidade da matéria. Hoje, sabe-se que esta extrapola¸cão é correta desde que sejam considerados exclusivamente os seus resultados no mundo macroscópico. A mecânica dos meios cont´ınuos, porém, não é só um aperfei¸coamento da mecânica dos fluidos. Ao incorporar a segunda lei e, em consequência, propriedades como a energia de Gibbs, ela mostra suas profundas ra´ızes na termodinâmica clássica. Porém, ao contrário desta mas como faz a mecânica newtoniana, a mecânica dos meios cont´ınuos considera que os valores das grandezas materiais variam no tempo e no espa¸co. Por isto, os seus processos não são homogêneos e atemporais, como os da termodinâmica clássica. Também por isto, ela não está restrita a processos limites, nem a apenas interligar estados de equil´ıbrio. Ela pretende que o seu modelo represente o mundo macroscópico real de modo muito mais próximo e detalhado do que o faz o modelo da termodinâmica clássica. Por outro lado, o uso intenso de funcionais constitutivos evidencia a absor¸cão, por parte da mecânica dos meios cont´ınuios, dos conceitos básicos da termodinâmica dos processos irrevers´ıveis. Estas duas ra´ızes são tão fundamentais quanto aquela na mecânica dos fluidos. A elas é adicionado o arsenal matemático que a análise tensorial disponibiliza, facilitando um enfoque pragmático e computacional extremamente u ´til para a engenharia dos materiais. A união de teorias que se sintetizou na mecânica dos meios cont´ınuos apresenta um enorme potencial, inclusive porque a análise tensorial é uma poderosa ferramenta matemática moderna, absolutamente não dispon´ıvel na época em que a termodinâmica clássica foi desenvolvida. De acordo com a mecânica dos meios cont´ınuos, o que se conserva é a energia total, não é a energia interna. A conserva¸cão da energia é colocada como um dos pilares desta ciência, junto com as conserva¸cões da massa e dos momentos linear e angular. Por outro lado, frequentemente a segunda lei da termodinâmica é tratada como uma mera condi¸cão limitante, a ser inclu´ıda na constru¸cão dos funcionais constitutivos. Por isto, embora a existência das mencionadas ra´ızes termodinâmicas, este nome nem sempre é associado à mecânica dos meios cont´ınuos. Aliás, os t´ıtulos das sete referências básicas listadas na bibliografia evidencia a diversidade de nomes usados para designar esta ciência. Este autor prefere manter associadas as palavras mecânica e termodinâmica, como fazem os

t´ıtulos da primeira e quarta referências. Isto parece correto porque come¸ca-se a perceber uma baixa utiliza¸cão do potencial antes mencionado, não sob o enfoque da engenharia ou do desenvolvimento de “softwares”, mas sim sob o aspecto conceitual f´ısico-qu´ımico. De fato, feita exce¸cão a numerosos trabalhos puramente matemáticos, parece haver pouco interesse em tentar melhorar o entendimento dos conceitos fundamentais em que se baseia a mecânica dos meios cont´ınuos. Pelo contrário, percebe-se a tendência de apenas aplicá-los, de modo cada vez mais eficiente e produtivo, naquilo que já se sabe conduz a resultados experimentalmente corretos. Logo, estreitar a associa¸cão entre a mecânica e a termodinâmica, a primeira fortemente matemática e a segunda intensamente conceital, parece proveitoso para esta ciência. Talvez, um dos maiores motivos deste aparente desinteresse esteja nos conhecimentos matemáticos necessários para uma precisa compreensão conceitual do que as equa¸cões refletem. De fato, trata-se de uma base matemática incomum entre qu´ımicos e até mesmo entre f´ısicos, a não ser nos seus aspectos puramente operacionais. O objetivo deste texto é ajudar na aquisi¸cão desta base matemática conceitual, sem a qual é realmente imposs´ıvel entender o significado f´ısico das equa¸cões utilizadas pela mecânica dos meios cont´ınuos. Este texto não se destina a matemáticos, mas sim a leitores que possuam conhecimentos apenas operacionais, ou rudimentares, de cálculo diferencial e integral. Ele inicia-se com um longo cap´ıtulo de álgebra e cálculo tensorial, seguido por um cap´ıtulo de cinemática onde alguns conceitos f´ısicos come¸cam a aparecer. A parte fundamental do segundo cap´ıtulo é a sua se¸cão sobre movimento, mas a compreensão deste conceito exige a leitura das se¸cões anteriores, principalmente da primeira. A u ´ltima se¸cão deste cap´ıtulo é um pouco mais complexa, mas não pode deixar de ser entendida, porque será usada em cap´ıtulos posteriores. O terceiro cap´ıtulo, sobre balanceamento, engloba a conceitua¸cão f´ısica principal. No u ´ltimo cap´ıtulo são colocadas algumas no¸cões básicas sobre os funcionais constitutivos. Este texto segue, em suas linhas gerais, o apêndice e os primeiros três cap´ıtulos da segunda referência citada procurando, porém, ser mais acess´ıvel para o leitor não matemático. Devido à forte admira¸cão do autor pela pen´ ultima referência, este texto é inevitavelmente influenciado por ela. Sofre, também, as consequências de ser o autor muito interessado na termodinâmica dos processos homogêneos, que é uma visão temporal da termodinâmica clássica, muito u ´til no estudo de estados da matéria homogêneos, mas não estáveis, tais como vidros, l´ıquidos superresfriados etc. A primeira referência é extremante atual e abrangente. A u ´ltima, por causa da proposi¸cão da desigualdade de Clausius-Duhem, é geralmente considerada o marco inicial da mecânica e termodinâmica dos meios cont´ınuos. Sem demérito para dezenas de outras excelentes referências, o autor considera as sete selecionadas como os marcos principais desta teoria. Campinas, janeiro de 2011.

iii

Sum´ ario 1 An´ alise Tensorial Elementar 1.1 S´ımbolos, Fun¸cão e Funcional, Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.2 Algebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Espa¸co Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Produto Interno de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Base Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Produto Tensorial de Vetores e Tensor de Segunda Ordem . . . . 1.2.5 Transposi¸cão de Tensor Simples, de Segunda Ordem e Troca entre Índice e Super´ındice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Composi¸cão de Tensores de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Tensor de ordem k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 Regras para Transforma¸cão de Componentes de Vetor e de Tensor de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.9 Determinante e Tra¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.10 Produto Interno, Inversão, Ortogonalidade e Grupo de Tensores de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.11 Elemento de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.12 Produto Externo e Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.13 Teoremas para a Mecânica dos Meios Cont´ınuos . . . . . . . . . . 1.2.14 Espa¸co Euclideano de Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Cálculo Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Diferencia¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Aplica¸cões da Diferencia¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Derivadas Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Operadores para a Mecânica dos Meios Cont´ınuos . . . . . . . . .

33 36 41 45 50 51 51 58 66 70 75

2 Cinem´ atica 2.1 Configura¸cão e Deforma¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Gradiente de Deforma¸cão . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Diferenciais Definidos pelo Gradiente de Deforma¸cão 2.1.3 Mudan¸ca de Configura¸cão Referencial . . . . . . . . . 2.2 Tra¸cão e Rota¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Tra¸cão e Rota¸cão Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Conceito Básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Descri¸cões Material e Espacial . . . . . . . . . . . . . 2.5 Deforma¸cão Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 82 82 84 87 87 89 94 94 95 99

. . . . . . . . . .

1 1 8 8 9 10 12 17 20 21 22 25

2.6

2.5.1 Conceito e Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Velocidade de Altera¸cão da Tendência de Deforma¸cão . Mudan¸ca de Estrutura Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Transforma¸cão Euclideana . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Transforma¸cões Galileiana e R´ıgida Independente de t . 2.6.3 Aplica¸cões para Grandezas Cinemáticas . . . . . . . . . 2.6.4 Derivada Temporal Corotacional . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

3 Balanceamento 3.1 Equa¸cões de Balanceamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Equa¸cões de Balanceamento na Configura¸cão Corrente . 3.1.2 Equa¸cões de Balanceamento na Configura¸cão Referencial 3.1.3 Compatibilidade Cinemática da Superf´ıcie Singular . . . 3.2 Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Momentos Linear Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 For¸ca e Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Tensor de Tra¸cão de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Balanceamento de Momentos Linear e Angular . . . . . . 3.3.5 Balanceamento de Energia Cinética . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Balanceamento de Energias Total e Interna . . . . . . . . 3.4 Equa¸cões Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Equa¸cões de Campo e de Rankine-Hugoniot na Descri¸cão 3.4.2 Condi¸cões de Fronteira do Corpo . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Equa¸cões de Campo em Estrutura Referencial Arbitrária 4 Princ´ıpios B´ asicos das Teorias Constitutivas 4.1 Campos Básicos, Fun¸cões e Funcionais Constitutivos 4.2 Princ´ıpio de Objetividade Material . . . . . . . . . . 4.2.1 Conceito Fundamental . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Aplica¸cão à Configura¸cão Referencial . . . . . 4.2.3 Aplica¸cão a Classes Particulares de Materiais 4.3 Material Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

99 101 104 104 107 108 111

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Material . . . . . . . . . .

112 112 112 118 122 123 126 126 128 129 131 133 135 139 139 141 142

. . . . . .

145 145 147 147 148 150 151

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. . . . . . .

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Cap´ıtulo 1 An´ alise Tensorial Elementar 1.1

S´ımbolos, Fun¸c˜ ao e Funcional, Matriz

Nota¸c˜ ao 1.1.1 (S´ımbolos) O campo dos n´ umeros reais é representado por <. A não ser no caso de s´ımbolos convencionais, como por exemplo o tensor elemento de volume e, de um modo geral escalares (tensores de ordem zero) serão representados por letras min´ usculas em itálico (a, α,. . . ), vetores (tensores de primeira ordem) por letras min´ usculas romanas em negrito (u, v,. . . ) e tensores (de qualquer ordem salvo nula e primeira) por letras mai´ usculas itálicas (T , F ,. . . ). O tensor identidade será representado 1 , enquanto que a matriz identidade será representada por [1]. Entretanto, letras itálicas min´ usculas e mai´ usculas poderão ter outros significados, desde que estes sejam explicitamente informados. Trechos em negrito correspondem a chamadas no ´ındice e, quando deseja-se ressaltar uma palavra, ela é sublinhada por tra¸co duplo. S´ımbolos matem´ aticos: ∈ pertence a ou pertencente a; ⊂ subconjunto de; ∀ para todo; ∃ existe; {·} conjunto constitu´ıdo pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ; (·) conjunto ordenado constitu´ıdo pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ; [·] matriz constitu´ıda pelo(s) elemento(s) representado(s) por · ; ·[·] aplica¸cão do tensor representado pelo primeiro · ao tensor representado pelo segundo; | onde; 2 término de demonstra¸cão. Defini¸c˜ ao 1.1.1 (Fun¸c˜ ao e Funcional) Sejam dois conjuntos, A e B, de escalares, vetores, tensores, ou de n-uplas (por exemplo, se n = 2 são duplas, o que significa o mesmo que pares ordenados) constitu´ıdas por escalares, vetores, ou tensores. Por

defini¸cão, uma regra que relaciona cada elemento de A a, no máximo, um u ńico elemento de B, é uma fun¸c˜ ao g representada por g : A → B. A expressão g : a 7→ b | a ∈ A, b ∈ B indica que, quando a fun¸cão for aplicada ao espec´ıfico elemento a, que será chamado o argumento da fun¸cão, este elemento será relacionado ao espec´ıfico elemento b, chamado imagem da fun¸cão, formando o par ordenado (a, b). Por exemplo, cos : π/3 7→ 0, 5 | π/3, 0, 5 ∈ <, formando o par ordenado (π/3, 0, 5). O conjunto de todos os pares ordenados criados pela fun¸cão g é a própria fun¸cão g, porque tal conjunto explicita a regra que relaciona cada elemento de A a, no máximo, um elemento de B. O par ordenado (a, b), portanto, é o elemento da fun¸c˜ ao correspondente ao argumento a (não à imagem b, porque vários argumentos podem corresponder à mesma ´ muito frequente o uso da representa¸c˜ imagem, mas não o vice-versa). E ao g(a) para indicar b, ou seja, define-se b ≡ g(a) e costuma-se afirmar que “b é fun¸cão de a” para indicar que b é a imagem correspondente ao argumento a, através da fun¸cão g. Se o conjunto B for constitu´ıdo exclusivamente por escalares (ou vetores, ou tensores etc.), costuma-se afirmar que g é uma “fun¸cão escalar” (ou vetorial, ou tensorial etc.), para indicar que a imagem da fun¸cão g é necessariamente escalar (ou vetorial, ou tensorial etc.). Por outro lado, a representa¸c˜ ao g(·) é utilizada para indicar a própria fun¸cão g, portanto g ≡ g(·). Se, para um espec´ıfico conjunto D de argumentos a da fun¸cão g : a 7→ b, a toda imagem b de a ∈ D corresponder um u ńico argumento a, g será dita fun¸cão de um −1 para um em D e g : b 7→ a|a ∈ D será a inversa em D da fun¸cão g. Neste caso poder-se-á, também, afirmar que a fun¸cão g é invert´ıvel em D. Evidentemente, existe a possibilidade de que D abranja todos os poss´ıveis argumentos da fun¸cão, situa¸cão esta em que a expressão “em D” é omitida. Sejam, agora, dois conjuntos, C e D, de escalares, vetores, tensores, fun¸cões h : A → B ou de n-uplas constitu´ıdas por escalares, vetores, tensores ou fun¸cões h : A → B. Por ńico elemento defini¸cão, uma regra que relaciona cada elemento de C a, no máximo, um u de D, é um funcional F representado por F : C → D. Um tipo extremamente simples de funcional é a fun¸cão, já discutida, porque a defini¸cão de funcional é uma amplia¸cão da defini¸cão de fun¸cão, logo não exclui esta u ´ltima. Por isto, tudo o que se seguiu à seten¸ca de defini¸cão de fun¸cão, até ao fim do parágrafo anterior, pode ser analogamente colocado para funcional. Porém, usa-se o nome funcional apenas quando pelo menos um, entre os argumentos e imagens de F considerados, for uma fun¸cão, ou uma n-upla contendo pelo menos uma fun¸cão, porque, quando isto não ocorrer, seria uma in´ util complica¸cão usar o nome funcional, ao invés de fun¸cão, já que esta é uma denomina¸cão muito mais conhecida. Considerando esta restri¸cão, o exemplo mais simples de funcional é a composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes, que pode ser grafada g3 = g2 ◦ g1 , onde g1 é a fun¸cão argumento, F = g2 ◦ é o funcional e g3 é a fun¸cão imagem, logo g3 = g2 ◦ g1 é um caso espec´ıfico da expressão mais geral g3 = F(g1 ) . Impor F = g2 ◦ é igual a impor que, se g1 : x 7→ y e g3 : x 7→ z, exista g2 : y 7→ z. Conforme será exemplificado a seguir, a existência de g2 : y 7→ z corresponde a uma simplifica¸cão tão radical, em rela¸cão à expressão g3 = F(g1 ) , sendo g1 : x 7→ y e g3 : x 7→ z, que o próprio conceito de funcional é desnecessário para explicar a composi¸cão de fun¸cões, assim como é desnecessário para explicar a fun¸cão. Por isto, não se usa o nome funcional no caso de composi¸cão de fun¸cões, a qual é também chamada fun¸c˜ ao de fun¸c˜ ao. Como a imagem z é a mesma, é usual escrever g(x) = g(y), ao invés 2

da representa¸cão mais rigorosa g3 (x) = g2 (y). Para exemplificar uma composi¸cão de fun¸cões, seja y = g1 (x) = sen x e z = g2 (y) = cos y, logo z = g3 (x) = cos sen x, onde a fun¸cão sen é o argumento que o funcional cos ◦ relaciona à fun¸cão imagem cos sen. Note que, para que o funcional cos ◦ defina o elemento (x, z) da sua fun¸cão imagem cos sen, basta que seja conhecido o elemento (x, y) da sua fun¸cão argumento sen. Isto ocorre porque existe a fun¸cão g2 : y 7→ z, neste exemplo dada por cos : y 7→ z. Em geral, porém, o conhecimento da fun¸cão imagem de um funcional, ou mesmo de apenas um elemento dela, exige o conhecimento de mais do que um u ńico elemento de pelo menos uma entre as fun¸cões presentes no seu argumento. Coerentemente com o afirmado no parágrafo anterior, usar-se-á o nome funcional somente quando houver esta exigência, que não existe no caso da composi¸cão de fun¸cões. Os tipos mais conhecidos de funcionais são a deriva¸cão e a integra¸cão, que são regras que relacionam fun¸cões entre si e que exigem o conhecimento de mais do que um u ńico elemento das fun¸cões argumento. A deriva¸cão e a integra¸cão são exemplos de funcionais universais, no sentido que são regras que não dependem de caracter´ısticas espec´ıficas do problema a ser resolvido. Por isto, mais uma vez, a deriva¸cão e a integra¸cão costumam ser apresentadas sem que o conceito de funcional seja previamente colocado. Mas existem funcionais não universais, cuja compreensão exige que o conceito de funcional seja previamente apresentado. Eles aparecem em várias ciências f´ısicas. Por exemplo, na mecânica e termodinâmica dos meios cont´ınuos são utilizados funcionais constitutivos, cujas formas dependem de especificidades do material considerado. Nota¸c˜ ao 1.1.2 (Einstein) Um super´ındice, geralmente, é escrito entre parêntesis, para não ser confundido com um expoente. Por exemplo, pode-se ter ai ou a(i) , de acordo com a preferência quanto a numerar a por meio de ´ındices ou super´ındices i = 1, 2, 3, . . . (considere que a não necessariamente seja um escalar). Porém, de acordo com a nota¸cão de Einstein, os parêntesis são omitidos do super´ındice. Outra caracter´ıstica desta nota¸cão é que, num produto, quando um mesmo indicador aparecer uma vez como ´ındice e outra como super´ındice, subentende-se o somatório do produto para todos os valores poss´ıveis do indicador. Por exemplo, ai bi , sendo i = 1, 2 ou 3, implica em a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 , enquanto que ai bi representa o somatório a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . Mas, se o indicador aparecer duas vezes como ´ındice, ou como super´ındice, o somatório ńico entre os não estará subentendido. Portanto tanto ai bi como ai bi se referem a um u 1 1 poss´ıveis valores permitidos para i. Para indicar a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 , ou a b + a2 b2 + a3 b3 , P P deve-se respectivamente escrever 3i=1 ai bi , ou 3i=1 ai bi . O indicador somativo pode ser um ´ındice e um super´ındice que apresentem a mesma base. Por exemplo, sendo i = 1, 2 ou 3, tem-se T i i = T 1 1 + T 2 2 + T 3 3 . Podem, também, ocorrer dois ou mais indicadores somativos. Por exemplo, gi j T i j indica a aplica¸cão sequencial dos somatórios em i e em j, sendo indiferente qual dos dois somatórios é o primeiro a ser efetuado. Após efetuado o primeiro somatório (se i = 1, 2 ou 3, aplicando inicialmente o somatório em i a gi j T i j ter-se-á g1 j T 1 j + g2 j T 2 j + g3 j T 3 j ), aparecem termos formados por fatores com ´ındice e super´ındice alfanuméricos iguais, o que exige a aplica¸cão dos somatórios correspondentes à parte alfabética dos ´ındices e super´ındices, para cada um destes termos. A nota¸cão de Einstein será subentendida a partir deste ponto do texto. 3

Defini¸c˜ ao 1.1.2 (Matriz) Seja um conjunto A, cujos elementos não necessariamente são escalares e seja o conjunto I, formado pelos m primeiros n´ umeros naturais (os n´ umeros naturais são os inteiros positivos). Suponha que exista uma fun¸cão ordenadora φ : I → A tal que, ∀i ∈ I, φ : i 7→ ai | ai ∈ A, ou φ : i 7→ ai | ai ∈ A, de acordo com o s´ımbolo escolhido para a imagem de φ ser, respectivamente, ai ou ai . Logo, a fun¸cão φ cria, respectivamente, o conjunto ordenado (a1 , a2 , . . . , am−1 , am ) ≡ (ai )m i=1 , ou 1 2 m−1 m i m (a , a , . . . , a , a ) ≡ (a )i=1 , usando elementos do conjunto A e representando por i ai , ou a , o elemento que ela associa a cada n´ umero natural i. Neste texto, tal conjunto ordenado será geometricamente representado, respectivamente, pela matriz coluna [ai ] ou [ai ], onde a1 ou a1 é colocado na linha superior, a2 ou a2 na linha logo abaixo da linha superior e assim sucessivamente, até am−1 ou am−1 na linha logo superior à linha inferior e am ou am na linha inferior. Note que, embora neste texto o s´ımbolo [ai ], ou [ai ], sempre indique a mencionada matriz coluna, outras representa¸cões geométricas são poss´ıveis para o conjunto ordenado considerado. Por exemplo, poderia ser imaginada uma representa¸cão sob a forma de uma matriz linha, ou mesmo uma matriz circular, onde fosse colocado a1 ou a1 na posi¸cão em que se encontra o n´ umero doze no mostrador de um relógio analógico, seguido no sentido horário pelos demais elementos a2 ou a2 etc., espa¸cados entre si por arcos de igual comprimento. O que é significativo, portanto, é o conjunto ordenado, não a representa¸cão geométrica por matriz coluna que foi para ele convencionada. Seja, agora, o mesmo conjunto A e sejam os conjuntos I e J, respectivamente formados pelos m e pelos n primeiros n´ umeros naturais. Suponha que exista uma fun¸cão ordenadora φ : I × J → A tal que, ∀i ∈ I e ∀j ∈ J, tenha-se ou φ : (i, j) 7→ ai j | ai j ∈ A, ou φ : (i, j) 7→ ai j | ai j ∈ A, ou φ : (i, j) 7→ ai j | ai j ∈ A, ou φ : (i, j) 7→ ai j | ai j ∈ A, de acordo com o s´ımbolo escolhido para a imagem de φ ser, respectivamente, ai j , ai j , ai j ou ai j . Logo, a fun¸cão φ cria, respectivamente, o conjunto ordenado (ai j )m,n i=1, j=1 , i m,n i j m,n ou (ai j )m,n i=1, j=1 , ou (a j )i=1, j=1 , ou (a )i=1, j=1 , usando elementos do conjunto A e re-

presentando por ai j , ou ai j , ou ai j , ou ai j , o elemento que ela associa a cada par ordenado de n´ umeros naturais (i, j). Note a conven¸cão adotada, no sentido de que a ordem esquerda/direita dos indicadores (sejam eles ´ındices ou super´ındices), no elemento de A associado ao par ordenado, sempre é a ordem esquerda/direita conforme a qual, no par considerado, aparecem os n´ umeros naturais. j m,n i m,n Neste texto, o conjunto ordenado (ai j )m,n i=1, j=1 , ou (ai )i=1, j=1 , ou (a j )i=1, j=1 , ou (ai j )m,n a geometricamente representado, respectivamente, pela matriz retangular i=1, j=1 , ser´ [ai j ], ou [ai j ], ou [ai j ], ou [ai j ], onde o indicador à esquerda sinaliza a linha enquanto que o indicador à direita mostra a coluna, independentemente deles aparecerem como ´ındices ou super´ındices. Novamente, o que é significativo é o conjunto ordenado, não a representa¸cão geométrica por matriz retangular que foi para ele convencionada. Por exemplo, seja A o infinito conjunto contável dos quocientes das divisões de todos os n´ umeros naturais por todos os n´ umeros naturais e seja a fun¸cão φ tal que a imagem do par ordenado (i, j) seja o quociente i/j, logo a imagem do par ordenado (j, i) seja o quociente j/i. No caso do par ordenado (i, j), tal imagem pode ser representada por ai j , ou ai j , ou ai j , ou ai j . Por outro lado, se o par ordenado for (j, i), a representa¸cão 4

podererá ser aj i , ou aj i , ou aj i , ou aj i . Note que a fun¸cão φ foi definida de modo tal que, nestas oito poss´ıveis representa¸cões da sua imagem, o indicador à esquerda sempre seja o numerador do quociente, independentemente dele ser ´ındice ou super´ındice e, também, independentemente da letra usada neste indicador ser i ou j (analogamente para o indicador à direita). Escolhamos, arbitrariamente, o s´ımbolo ai j , ou seja, consideremos ai j = i/j. Neste j caso, a fun¸cão φ criou o conjunto ordenado (ai j )m,n = i/j, geometricamente i=1, j=1 | ai representado pela matriz retangular [ai j ]. Como foram inclu´ıdos, como numeradores, os n´ umeros naturais desde i = 1 até i = m, a matriz apresenta m linhas. Por outro lado, foram considerados os denominadores desde j = 1 até j = n, logo a matriz tem n colunas. Mas, se de modo igualmente arbitrário escolhermos o s´ımbolo aj i , logo considerarmos i aj i = j/i, a fun¸cão φ criará o conjunto ordenado (aj i )n,m j=1, i=1 | aj = j/i, geometricamente representado pela matriz retangular [aj i ]. Esta, evidentemente, apresenta n linhas e m colunas. Note que as matrizes [ai j ] e [aj i ] são iguais nas suas respectivas partes quadradas, as quais contêm um n´ umero l de linhas e colunas igual ao menor entre m e n, j i i=l, j=l ou seja, ai = aj | i=1, j=1 . Mas, nas suas respectivas partes restantes, todos os elementos de cada uma das duas matrizes são diferentes daqueles apresentados pela outra. Isto mostra que, se m = n, então [ai j ] = [aj i ], o que pode confundir quem está acostumado à simbologia usada nos livros didáticos elementares de álgebra matricial. Aliás, as representa¸cões [A] e [A]i j , respectivamente para uma matriz e para os elementos que a formam, embora muito encontradas em tais livros, não são usadas neste texto. De fato, conforme a nota¸cão para aplica¸cão de tensor a tensor 1.2.6, que será posteriormente apresentada, M [N ] indicará a aplica¸cão do tensor representado por M ao tensor representado N , logo não indicará que [N ] seja uma matriz (para evidenciar o contraste, o s´ımbolo ·[·] foi inclu´ıdo imediatamente após àquele de matriz, [·], na nota¸cão para s´ımbolos 1.1.1). A diferen¸ca entre a simbologia usada neste texto e aquela que aparece nos livros didáticos elementares de álgebra matricial deve-se ao fato de que os mencionados livros usam s´ımbolos adequados a um conceito de matriz semelhante ao de uma tabela, enquanto que o conceito de matriz apresentado no presente texto ressalta a a¸cão da fun¸cão ordenadora φ e, por isto, utiliza uma simbologia mais coerente com este enfoque. Cabe, ainda, lembrar que, ao se representar um conjunto ordenado, não é exigido que se informe o valor final assumido por cada um dos indicadores. Logo, são absolutamente corretas, j por exemplo, as representa¸cões simplificadas (ai ), ao invés de (ai )m es i=1 e (ai ), ao inv´ j m,n de (ai )i=1, j=1 . Conforme já afirmado, o indicador à esquerda (ou à direita), na representa¸cão escolhida para o elemento do conjunto A, em geral tem algum outro significado especial além de, na forma matricial, fornecer a linha (ou a coluna) a que o elemento pertence. No exemplo anterior, o significado especial era ser o valor do numerador do quociente, independentemente de qual fosse a letra usada para simbolizar tal valor e, também, independentemente deste indicador ser um ´ındice ou um super´ındice. Porém, o significado especial pode, também, determinar se o indicador é ´ındice ou super´ındice, conforme, por exemplo, será mostrado na defini¸cão de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15.

No exemplo anterior, se i fosse o numerador e j o denominador do quociente, i seria a letra usada no indicador à esquerda e j naquele da direita, logo o par ordenado seria (i, j). Ao se trocar (i, j) por (j, i), se troca análoga não fosse efetuada no quociT

ente a fun¸cão ordenadora, φ, seria transformada na fun¸cão ordenadora φ, a qual será apresentada na defini¸cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Esta troca de fun¸cões T i

j=l ordenadoras produziria aj = ai j | m,n es de aj i = ai j | i=l, i=1, j=1 , ao inv´ i=1, j=1 . De um modo geral, as letras usadas nos dois indicadores aparecem em diversas expressões envolvidas no desenvolvimento matemático ao qual a matriz se relaciona e, ao se trocar (i, j) por j=l (j, i), para se obter aj i = ai j | i=l, aloga deve ser efetuada em tais expressões. i=1, j=1 troca an´ Se for esquecida a necessária troca em alguma das expressões envolvidas, provavelmente um erro grave será cometido. Aconselha-se, então, muita cautela no uso de igualdades, para m = n, do tipo [ai j ] = [aj i ].

Defini¸c˜ ao 1.1.3 (Delta de Kronecker) O delta de Kronecker, representado por j i δ j , δi , δi j ou δ i j , é um real nulo sempre que i 6= j, mas igual à unidade se i = j. Entretanto, pressupõe-se que as possibilidades de igualdade e desigualdade entre os indicadores i e j se refiram às grandezas que estes indicadores representam, o que cria a exigência de que as mencionadas grandezas sejam comparáveis, na teoria considerada. Em geral, a satisfa¸cão desta exigência é subentendida, mas em alguns casos pode ser conveniente explicitá-la, como por exemplo na defini¸cão de matrizes transposta e inversa ´ evidente que o fato dos indicadores serem ´ındices ou super´ındices, ou mesmo 1.1.4. E estarem à esquerda ou à direita, não afeta o valor do delta de Kronecker, ao contrário do que, por exemplo, será mostrado na defini¸cão de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15. Defini¸c˜ ao 1.1.4 (Matrizes Transposta e Inversa) Seja um conjunto A e sejam os conjuntos I e J, respectivamente formados pelos m e pelos n primeiros inteiros positivos. Suponha que exista uma fun¸cão φ : I × J → A tal que, ∀i ∈ I e ∀j ∈ J, tenha-se T

φ : (i, j) 7→ ai j | ai j ∈ A. Suponha, tamb´em, que exista uma outra fun¸c˜ao φ: J × I → A T

tal que, ∀j ∈ J e ∀i ∈ I, tenha-se φ: (j, i) 7→aj cria o conjunto ordenado

(ai j )m,n i=1, j=1

| aj = ai j . Enquanto a fun¸c˜ao φ

, a fun¸c˜ao φ cria o conjunto ordenado aj

i n,m

sendo o primeiro conjunto geometricamente representado pela matriz retangular

segundo pela matriz retangular aj

que a matriz aj

, j=1, i=1 [ai j ] e o

. A matriz [ai j ] tem m linhas e n colunas, enquanto

apresenta n linhas e m colunas. Define-se [ai j ]T ≡ aj

, sendo [ai j ]T

denominada a transposta da matriz [ai j ]. Note que, embora tanto [ai j ]T quanto [aj i ] apresentem n linhas e m colunas, [ai j ]T 6= [aj i ]. De fato, conforme colocado na defini¸cão 1.1.2, [ai j ] e [aj i ] são iguais nas suas respectivas partes quadradas, mas nas suas respectivas partes restantes todos os elementos de cada uma das duas matrizes são diferentes daqueles apresentados pela outra. Ao contrário, [ai j ] e [ai j ]T não são iguais nas suas respectivas partes quadradas, mas todos os elementos de [ai j ] estão presentes em [ai j ]T e v.v. Note, ainda, que esta não é a defini¸cão de transforma¸cão linear transposta, que será apresentada posteriormente 6

(defini¸cão 1.2.17). A partir deste ponto do texto e até ao final desta defini¸cão 1.1.4, imponha m = n. Assim sendo, se [ai j ] = [ai j ]T a matriz é dita sim´ etrica, enquanto que, se [ai j ] = −[ai j ]T , a matriz é chamada antissim´ etrica. j j −1 A matriz inversa de [ai ], grafada [ai ] e definida de modo a que [ai j ]−1 [ai j ] = [ai j ][ai j ]−1 = [1], onde [1] é a matriz unidade, corresponde a um ordenamento de ele−1

mentos do conjunto A produzido pela fun¸c˜ao φ : J × I → A tal que, ∀j ∈ J e ∀i ∈ I, −1

−1 i

tenha-se φ : (j, i) 7→ a j

−1 i

| a j ai k = δj k , ak j a j = δk i , portanto [ai j ]−1 ≡

−1 i aj

Esta coloca¸c˜ao explicita a exigˆencia de que o conjunto A contenha tanto os elementos −1 i

ai j , quanto os elementos a j . Note que, como aj = ai j , os elementos de [ai j ] e [ai j ]T são os mesmos, logo é suficiente que [ai j ] exista para que [ai j ]T exista. Por outro lado, não é suficiente que [ai j ] exista para que [ai j ]−1 exista, porque não há garantia alguma −1 i

de que existam os elementos a j , logo, de que exista algum conjunto A que contenha −1 i

tanto os elementos ai j , quanto os elementos a j . A matriz [ai j ] é dita singular quando [ai j ]−1 não existir e é dita ortogonal quando [ai j ]T = [ai j ]−1 . A escolha da matriz [ai j ] foi totalmente arbitrária. Semelhantemente ao que foi apresentado para transposi¸cão, simetria, antissimetria, inversão, singularidade e ortogonalidade da matriz [ai j ], definem-se transposi¸cões, simetrias, antissimetrias, inversões, singularidades e ortogonalidades das matrizes [ai j ], [ai j ] e [ai j ]. De acordo com a defini¸cão de matriz 1.1.2, o indicador à esquerda (ou à direita) na representa¸cão escolhida para o elemento do conjunto A, independentemente deste indicador ser um ´ındice ou um super´ındice e, também, independentemente de qual seja a letra usada para simbolizar o seu valor, em geral tal indicador tem algum outro significado especial além de, na representa¸cão matricial, indicar a linha (ou a coluna) a que pertence o elemento. De fato, no exemplo fornecido pela defini¸cão 1.1.2, o significado especial do indicador à esquerda era referir-se ao numerador do quociente. Deve-se ressaltar que as defini¸cões apresentadas para matriz transposta e para matriz T

inversa, respectivamente aj = ai j e

−1 i aj

−1 i

ai k = δj k , ak j a j = δk i , indicam que, ao

se efetuar a transposi¸cão ou a inversão, os mencionados significados especiais dos dois indicadores são trocados entre si. No caso da primeira igualdade, para matriz transposta, a troca é evidente. No caso das u ´ltimas duas igualdades, para evidenciar a troca faz-se necessário informar que a defini¸cão de matriz inversa subentende que sejam considerados comparáveis, em termos de δj k e δk i (veja a defini¸cão de delta de Kronecker 1.1.3), somente indicadores que apresentem o mesmo significado especial. Define-se, ainda, a j −T

matriz inversa transposta [ai ]

≡

−T

T −1 i aj

= aj

i −1

, cujos significa-

dos especiais dos dois indicadores são os mesmos da matriz original. Evidentemente, defini¸cões análogas existem para as matrizes [ai j ], [ai j ] e [ai j ].

1.2

´ Algebra Linear

1.2.1

Espa¸ co Vetorial

Defini¸c˜ ao 1.2.1 (Espa¸co Vetorial Real) Um espa¸co vetorial real V é um conjunto que dispõe de duas opera¸cões: I. v + u ∈ V se v ∈ V e u ∈ V (adi¸cão) e II. αv ∈ V se v ∈ V e α ∈ < (multiplica¸cão escalar), as quais satisfazem as seguintes regras: ∀(u, v, w) ∈ V e ∀(α, β) ∈ <, 1. v + u = u + v (comutatividade da adi¸cão). 2. v + (u + w) = (u + v) + w (associatividade da adi¸cão). 3. ∃0 ∈ V tal que v + 0 = v, chamado vetor nulo e representado do mesmo modo que o escalar nulo, este u ´ltimo denominado zero (defini¸cão do vetor nulo). 4. ∀v ∈ V ∃ − v ∈ V tal que v + (−v) = 0 (operacionalidade da adi¸cão). 5. α(βv) = (αβ)v (associatividade escalar da multiplica¸cão escalar). 6. (α + β)v = αv + βv (distributividade escalar da multiplica¸cão escalar). 7. α(v + u) = αv + αu (distributividade vetorial da multiplica¸cão escalar). 8. 1v = v, onde 1 é o escalar um (operacionalidade da multiplica¸cão escalar). Usando o conceito de diferen¸ca entre n´ umeros reais, é estabelecido o conceito de continuidade em <. Logo, a opera¸cão multiplica¸cão escalar implica em que qualquer espa¸co vetorial real contenha infinitos vetores, sendo cont´ınua a varia¸cão entre eles. Estabelecese, assim, o conceito de continuidade em espa¸co vetorial. Note ainda que, de acordo com a presente defini¸cão, < é um espa¸co vetorial. Defini¸c˜ ao 1.2.2 (Base) Um conjunto de vetores (ci )ni=1 é denominado uma base do espa¸co vetorial real V se e somente se ∀a1 , . . . , an ∈ <, se a1 c1 + . . . + an cn = 0 então a1 = . . . = an = 0, logo, (1) há independˆ encia linear entre os elementos de (ci )ni=1

∀u ∈ V tem-se u1 c1 + . . . + un cn = u, onde u1 , . . . , un ∈ <, logo, (2) o conjunto ordenado (ci )ni=1 abrange o espa¸co V . Neste texto, os vetores de base serão representados por ci ∈ (ci )ni=1 ou di ∈ (di )ni=1 . Perceba que, ao contrário do que ocorre com o indicador i = 1, . . . , n, o uso subentendido da nota¸cão de Einstein 1.1.2 não implica em que un cn seja um somatório, porque n apresenta um u ńico valor.

Defini¸c˜ ao 1.2.3 (Componente) De acordo com a defini¸cão de base 1.2.2, se (ci )ni=1 for uma base de V e u ∈ V , então u = ui ci . Cada elemento ui ∈ (ui )ni=1 , denominado componente de u, é bem definido em rela¸cão à base (ci )ni=1 . Defini¸c˜ ao 1.2.4 (Dimens˜ ao de Espa¸co Vetorial Real) Um espa¸co vetorial real pode ter muitas bases, mas todas elas contém o mesmo n´ umero de elementos. Tal n´ umero é chamado dimens˜ ao, cuja representa¸c˜ ao é dim. Note que, mesmo que não se trate da dimensão de um espa¸co vetorial real, mas sim da dimensão de alguma outra grandeza, o s´ımbolo é este. Por exemplo, se (ci )ni=1 for uma base de V , então dim V = n. Neste texto somente serão considerados espa¸cos vetoriais reais de dimens˜ ao finita.

1.2.2

Produto Interno de Vetores

Defini¸c˜ ao 1.2.5 (Produto Interno de Vetores) O produto interno é uma fun¸cão g : V × V → < com as seguintes propriedades: ∀u, v, w ∈ V e ∀α ∈ <, 1. g(u, v) = g(v, u) (simetria), 2. g(u + αv, w) = g(u, w) + αg(v, w) (por causa da simetria, bilinearidade, ao invés de apenas linearidade, de acordo com a defini¸cão 1.2.10, adiante), 3. g(u, u) > 0 se u 6= 0 (defini¸c˜ ao positiva). Coment´ ario 1.2.1 (Espa¸co Vetorial Real com Produto Interno) Um espa¸co vetorial para o qual exista uma fun¸cão g : V × V → < bilinear, simétrica e de defini¸cão positiva é denominado espa¸co vetorial com produto interno. Neste texto serão considerados apenas espa¸cos vetoriais reais com produtos internos. Defini¸c˜ ao 1.2.6 (Espa¸co Vetorial Euclideano) De acordo com a defini¸cão de produto interno 1.2.5, o produto interno é qualquer fun¸cão g : V × V → < bilinear, simétrica e de defini¸cão positiva. Se existir uma u ńica e bem determinada, entre tais fun¸cões, por meio da qual ∀u ∈ V , sendo V um espa¸ √co vetorial real de dimensão finita e com produto interno, se defina a norma |u| = u · u, a imagem de tal fun¸cão espec´ıfica será representada por u · v, ao invés de g(u, v), conforme já mostra a própria defini¸cão de norma. Neste caso, V será um espa¸co vetorial euclideano. Num espa¸co vetorial euclideano pode-se considerar qualquer vetor como um objeto de comprimento bem definido, comprimento este dado pela norma do vetor considerado. Note que, como não há restri¸cão quanto ao n´ umero finito de dimensões, a palavra comprimento tem, aqui, um significado generalizado em rela¸cão ao usual. Se |u| = 1, u é chamado vetor unidade, o qual é representado por e. Coment´ ario 1.2.2 (Imposi¸c˜ ao aos Espa¸cos Vetoriais) A partir deste ponto do texto, será subentendida a imposi¸cão de que todo espa¸co vetorial ´ e euclideano. Defini¸c˜ ao 1.2.7 (Vetor Proje¸c˜ ao) Sendo u, v ∈ V ambos não nulos, para a espec´ıfica fun¸cão produto interno que, de acordo com a defini¸cão de espa¸co euclideano 1.2.6, define a norma, define-se também o ˆ angulo θ(u, v), entre u e v, por meio de f (θ) = u·v/(|u||v|), onde exige-se obediência à desigualdade de Schwarz |u · v| ≤ |u||v|, o que garante ser 9

|f (θ)| ≤ 1. Note que esta defini¸cão da fun¸cão f não precisa coincidir com a defini¸cão da fun¸cão cos. Mas, sempre que esta coincidência ocorrer, para que exista a fun¸cão arccos impõe-se, adicionalmente, que 0 ≤ θ ≤ π. Será subentendido, a partir deste ponto do texto, que f = cos e que 0 ≤ θ ≤ π, o que corresponde à defini¸cão comum do ângulo plano θ. Os vetores u e v são ortogonais se u · v = 0, logo cos θ = 0 e θ = π/2. Todo vetor apresenta um bem definido ângulo em rela¸cão a cada um dos vetores c1 , . . . , cn de qualquer base (defini¸cão de base 1.2.2) bem determinada do espa¸co considerado. O conjunto destes ângulos define a dire¸c˜ ao do vetor, em rela¸cão à base considerada. Note que, como θ(u, v) ∈ [0, π], neste texto a dire¸cão, em rela¸cão a determinada base, inclui também o sentido (para um lado, ou para o lado oposto ao primeiro). Entretanto, a dire¸cão é considerada uma caracter´ıstica do vetor, assim como a sua norma. Em outras palavras, dado um vetor e duas poss´ıveis bases do espa¸co considerado, os dois correspondentes conjuntos de ângulos indicam a mesma dire¸cão do vetor. Note ainda que, como não há restri¸cão quanto ao n´ umero finito de dimensões, a palavra dire¸cão apresenta, aqui, um significado generalizado em rela¸cão ao usual. A proje¸c˜ ao do vetor v sobre o vetor u é dada por v · u/|u| = |v| cos θ(u, v). Considera-se que e = u/|u| é o vetor unidade na dire¸c˜ ao de u e que (v · e)e = |v| cos θ(u, v)e é o vetor proje¸c˜ ao de v na dire¸cão de u. Coment´ ario 1.2.3 (Igualdade Entre Vetores) As defini¸cões de espa¸co vetorial euclideano 1.2.6 e de vetor proje¸cão 1.2.7 indicam que todo vetor é completamente caracterizado por sua norma e sua dire¸cão. Logo, dois vetores iguais apresentam iguais normas e iguais dire¸cões. Nota¸c˜ ao 1.2.1 (Produto Interno de Vetores de Base gi j ) Será usada a representa¸cão gi j = ci · cj , onde (ci , cj ) ∈ (ck )nk=1 , sendo (ck )nk=1 uma base de V , de acordo com a defini¸cão de base 1.2.2. Usando a defini¸cão de produto interno 1.2.5, tem-se gi j = gj i . Coment´ ario 1.2.4 (Decomposi¸c˜ ao do Produto Interno de Vetores) De acordo com a defini¸cão de componente 1.2.3 e com a nota¸cão para produto interno de vetores de base 1.2.1, se (ci )ni=1 for uma base de V (defini¸cão de base 1.2.2) e u, w ∈ V , então u = ui ci , w = wj cj e u·w = gi j ui wj , que é a decomposi¸c˜ ao do produto interno de vetores (de acordo com a nota¸cão de Einstein 1.1.2, a primeira igualdade subentende um somatório em i, logo subentende n termos no segundo membro, a segunda um somatório em j, logo também subentende n termos no segundo membro, enquanto que a terceira igualdade subentende um somatório em i e um em j, logo n2 termos no segundo membro).

1.2.3

Base Dual

Coment´ ario 1.2.5 (Obten¸c˜ ao de Componente) Seja (ci )ni=1 uma base de V . Necessariamente existe um vetor c1 não nulo e ortogonal a todos os vetores ci ∈ (cj )nj=2 . Se a proje¸cão (defini¸cão de vetor proje¸cão 1.2.7) de c1 sobre o vetor c1 for bem determinada, então c1 será bem determinado. Pode-se, portanto, construir um conjunto de vetores (ci )ni=1 tal que ci · cj = δ i j (ou ci · cj = δj i , porque a comutatividade do produto interno torna indiferente usar δ i j ou δj i ). Note que esta u ´ltima igualdade indica que o ângulo θ i entre c e ci satisfaz à desigualdade 0 ≤ θ < π/2 e, também, que a proje¸cão de cada um 10

destes dois vetores, sobre o outro, é o inverso da norma deste outro. De acordo com a defini¸cão de base 1.2.2, ∀u ∈ V tem-se uj cj = u, logo ci · u = δ i j uj = ui . Portanto, de acordo com a defini¸cão de componente 1.2.3, obt´ em-se o in ´ esimo componente de u na base (ci )i=1 efetuando o produto interno dos vetores u e ci . Convém ressaltar a diferen¸ca entre este procedimento para obten¸cão de componente, válido para uma base qualquer, em rela¸cão ao procedimento mais conhecido, porém válido exclusivamente para base ortonormal. O comentário 1.2.7, adiante, esclarecerá a coerência entre os dois procedimentos. Defini¸c˜ ao 1.2.8 (Base Dual) Seja: 1. A combina¸cão linear ai ci = 0, logo (ai ci ) · cj = 0, ou ai δ i j = 0, portanto aj = 0. Então, ai ci = 0 se e somente se ai = 0 para i = 1, . . . , n, logo os vetores (ci )ni=1 são linearmente independentes. 2. As decomposi¸cões (u = ui ci , w = wj cj ) ∈ V . Então, de acordo com a nota¸cão gi j para produto interno de vetores de base 1.2.1, u · w = gi j ui wj = gi j ui cj · w, o que indica que u = gi j ui cj . Portanto, u é uma combina¸cão linear dos vetores presentes no conjunto (ci )ni=1 . De acordo com os anteriores itens 1 e 2 e com a defini¸cão de base 1.2.2, se (ci )ni=1 for uma base de V , então (ci )ni=1 também será uma base de V . Se (ci )ni=1 e (ci )ni=1 forem duas bases de V relacionadas entre si pela expressão ci · cj = δ i j , elas formam um par de bases duais, ou uma é a base dual da outra. Portanto, se u ∈ V , então u = ui ci = ui ci , onde ui = gi j uj , de acordo com o item 2 e lembrando que gi j = gj i (nota¸cão 1.2.1). O componente ui de u (defini¸cão de componente 1.2.3) passa a ser chamado componente contravariante de u, enquanto que o componente ui será chamado componente covariante de u. Evidentemente, é arbitrária a escolha de qual componente é covariante e qual é contravariante. Coment´ ario 1.2.6 (Fun¸c˜ oes gi j e g i j ) Toda base apresenta sua base dual, cada uma delas bem determinada a partir da outra. Assim como, ∀u ∈ V , é arbitrária a escolha de qual base corresponde aos componentes covariantes e qual aos componentes contravariantes de u, as expressões matemáticas referentes a cada uma, de um par de bases duais, são análogas às expressões referentes à outra. Tem-se, então, utilizando o comentário sobre obten¸cão de componente 1.2.5 na primeira linha, a defini¸cão de base dual 1.2.8 na segunda e a nota¸cão gi j para produto interno de vetores de base 1.2.1 na terceira: ui = ci · u ui = gi j uj gi j = ci · cj

ui = ci · u, ui = g i j uj , g i j = ci · cj .

e e e

onde sendo

Note que, de acordo com a segunda linha de equa¸c˜oes, as duas fun¸c˜oes gi j : uj 7→ ui e g i j : uj 7→ ui permitem, respectivamente, abaixar e levantar o ´ındice dos componentes de u. Usando esta segunda linha, pode-se escrever u = ui ci = g i j uj ci = uj cj , u = ui ci = gi j uj ci = uj cj ,

logo logo 11

cj = g i j ci cj = gi j ci ,

o que mostra que estas fun¸cões também permitem transformar qualquer base na sua base dual. Usando estas u ´ltimas equa¸cões tem-se ci = g i j cj = g i j gj k ck = δ i k ck ,

g i j gj k = δ i k .

Nota¸c˜ ao 1.2.2 (Base Dual) Representando por β uma base, sua base dual será representada β ∗ . Defini¸c˜ ao 1.2.9 (Base Ortonormal) Uma base é dita ortogonal se ci ·cj = 0 quando i 6= j. Uma base é dita ortonormal se, além disto, | ci | = 1 ∀i. Neste u ´ltimo caso, de acordo com a defini¸cão de espa¸co vetorial euclideano 1.2.6, os vetores da base serão representados ei , para i = 1, . . . , n. Coment´ ario 1.2.7 (Base Ortonormal Dual) De acordo com a nota¸cão gi j para produto interno de vetores de base 1.2.1 e com as defini¸cões de delta de Kronecker 1.1.3 e de base ortonormal 1.2.9, numa base ortonormal gi j = δi j . Usando esta igualdade e a tranforma¸cão entre bases duais apresentada no comentário 1.2.6, sobre fun¸cões gi j e g i j , tem-se ej = gi j ei = δi j ei = ej , ∀j. Portanto, uma base ortonormal é idêntica à sua base dual. Logo, numa base ortonormal não existe distin¸cão entre componentes contravariantes e covariantes, todos os ´ındices podem ser escritos no mesmo n´ıvel e obtém-se o i-ésimo componente de u efetuando o produto interno dos vetores ei e u.

1.2.4

Produto Tensorial de Vetores e Tensor de Segunda Ordem

Defini¸c˜ ao 1.2.10 (Transforma¸c˜ ao n-Linear) A fun¸cão T : U → V é chamada de transforma¸cão linear do espa¸co vetorial U para o espa¸co vetorial V se, ∀(u, w) ∈ U e ∀α ∈ <, T (u + αw) = T (u) + αT (w). A fun¸cão T : U × U → V é chamada de transforma¸cão bilinear do espa¸co vetorial U para o espa¸co vetorial V se, ∀(u1 , u2 , w) ∈ U e ∀α ∈ <, T (u1 + αw, u2 ) = T (u1 , u2 ) + αT (w, u2 ) e T (u1 , u2 + αw) = T (u1 , u2 ) + αT (u1 , w). Se, entre estas duas igualdades, apenas uma for válida, a transforma¸cão somente será linear em rela¸cão à espec´ıfica variável que sofre combina¸cão linear na expressão válida. Por isto, toda transforma¸cão bilinear é uma transforma¸cão linear T : U × U → V , mas o vice-versa não é verdade. Analogamente, uma transforma¸c˜ ao n-linear T : U n → V , do espa¸co vetorial U para o espa¸co vetorial V , ocorre quando, ∀(u1 , u2 , . . . , un , w) ∈ U e ∀α ∈ <, tem-se T (u1 , . . . , ui + αw, . . . , un ) = T (u1 , . . . , ui , . . . , un ) + αT (u1 , . . . , w, . . . , un ), para i = 1, . . . , n. Para n ≥ 2, toda transforma¸cão n-linear é uma transforma¸cão (n − 1)-linear T : U n → V , mas o vice-versa não é verdade. A transforma¸cão linear aqui apresentada é uma fun¸cão (de imagem) vetorial. Lembrando que, de acordo com a defini¸cão de espa¸co vetorial 1.1.1, < é um espa¸co vetorial, a presente defini¸cão engloba, como caso particular, a transforma¸cão n-linear escalar T : U n → <. Nota¸c˜ ao 1.2.3 (Espa¸co de Transforma¸c˜ ao Linear) O conjunto formado por todas as transforma¸cões lineares do espa¸co vetorial U para o espa¸co vetorial V é um espa¸co de transforma¸c˜ ao linear representado por L(U, V ) = {T : U → V | T é linear}.

Defini¸c˜ ao 1.2.11 (Espa¸co Vetorial de Transforma¸c˜ ao Linear) A defini¸cão de espa¸co vetorial real 1.2.1 e a nota¸cão de espa¸co de tranforma¸cão linear 1.2.3 mostram que L(U, V ) será um espa¸co vetorial de transforma¸c˜ ao linear se e somente se, neste conjunto, forem definidas as opera¸cões adi¸cão e multiplica¸cão escalar e tais opera¸cões satisfizerem as regras enumeradas de 1 a 8 na defini¸cão 1.2.1. Para que isto ocorra é suficiente que, para (T, S) ∈ L(U, V ) e α ∈ < , ∀w ∈ U : 1. (T + S)(w) = T (w) + S(w) (defini¸cão de adi¸cão de transforma¸cões lineares) e 2. (αT )(w) = αT (w) (defini¸cão de multiplica¸cão de transforma¸cão linear por um escalar). Defini¸c˜ ao 1.2.12 (Produto Tensorial de Vetores ou Tensor Simples) ∀v ∈ V e ∀u ∈ U , o produto tensorial de v por u, representado por v ⊗ u é, por defini¸cão, uma transforma¸cão linear de U para V tal que, ∀w ∈ U , (v ⊗ u)(w) = (u · w)v. A transforma¸cão linear produto tensorial de dois vetores, representada v ⊗ u, é também denominada tensor simples. Portanto, um tensor simples é uma espec´ıfica transforma¸cão linear de um espa¸co vetorial para outro. Teorema 1.2.1 (Base de Espa¸co Vetorial de Transforma¸c˜ ao Linear) Se (ci )ni=1 n m e (dα )m a uma α=1 forem bases de V e U respectivamente, o conjunto (ci ⊗ dα )i=1 α=1 ser´ base do espa¸co vetorial de transforma¸cão linear L(U, V ) apresentado na defini¸cão 1.2.11. m Demonstra¸cão: Seja (ci )ni=1 a base dual de (ci )ni=1 , (dα )m α=1 a base dual de (dα )α=1 e ai α ∈ < um escalar. Sejam, também, as opera¸cões adi¸cão e multiplica¸cão por escalar apresentadas na defini¸cão de espa¸co vetorial de transforma¸cão linear 1.2.11. Se ai α ci ⊗ dα = 0 então, usando as defini¸cões de produto tensorial 1.2.12 e de base dual 1.2.8, tem-se ai α (ci ⊗ dα )(dβ ) = ai α (dα · dβ )ci = ai α δαβ ci = ai β ci = 0, o que implica em ai α = 0, para i = 1, . . . , n e α = 1, . . . , m, porque (ci )ni=1 é uma base (defini¸cão de base m 1.2.2). Portanto, (ci ⊗ dα )ni=1 α=1 é um conjunto de elementos linearmente independentes entre si. Além disto, seja ci · T (dα ) = T i α , ∀T ∈ L(U, V ). Então, ∀v ∈ V e ∀u ∈ U , v·T (u) = vi ci ·T (uα dα ) = vi uα ci ·T (dα ) = T i α vi uα . Por outro lado, v·(ci ⊗dα )(u) = vj cj · (ci ⊗ dα )(uβ dβ ) = vj uβ (cj · ci )(dβ · dα ) = vj uβ δ ji δ βα = vi uα . Substituindo este resultado na igualdade anterior tem-se v · T (u) = T i α v · (ci ⊗ dα )(u), logo T (u) = T i α (ci ⊗ dα )(u). m Portanto, (ci ⊗ dα )ni=1 α=1 abrange o espa¸co L(U, V ). Logo, de acordo com a defini¸cão de m base 1.2.2, (ci ⊗ dα )ni=1 α=1 é uma base de L(U, V ). 2

Coment´ ario 1.2.8 (Decomposi¸c˜ ao de Transforma¸c˜ ao Linear) O teorema 1.2.1 (base de espa¸co vetorial de transforma¸cão linear) mostra que, embora nem toda transforma¸cão linear entre espa¸cos vetoriais seja um tensor simples (defini¸cão de produto tensorial 1.2.12), toda transforma¸cão linear entre espa¸cos vetoriais é uma combina¸cão linear de tensores simples. Coment´ ario 1.2.9 (Dimens˜ ao de Espa¸co de Transforma¸c˜ ao Linear) De acordo com o teorema 1.2.1 (base de espa¸co vetorial de transforma¸cão linear) e a defini¸cão de dim mensão 1.2.4, dim(ci ⊗dα )ni=1 α=1 = (dim V )(dim U ), logo dim L(U, V ) = (dim V )(dim U ).

Defini¸c˜ ao 1.2.13 (Espa¸co de Produto Tensorial) Sempre que o espa¸co de transforma¸cão linear representado, de acordo com a nota¸cão 1.2.3, por L(U, V ) = {T : U → V | T é linear} for, de acordo com a defini¸cão 1.2.11, um espa¸co vetorial de transforma¸cão linear, L(U, V ) poderá optativamente ser denominado espa¸co de produto tensorial de V por U e ser representado por V ⊗ U , ou seja, ter-se-á L(U, V ) = V ⊗ U . Sua m base (ci ⊗ dα )ni=1 α=1 , onde (ci )ni=1 e (d)m ao bases de V e U respectivamente, será α=1 s˜ m m chamada uma base produto de V ⊗U . Evidentemente, (ci ⊗dα )ni=1 α=1 , (ci ⊗dα )ni=1 α=1 m e (ci ⊗ dα )ni=1 α=1 também são bases produto de V ⊗ U .

Defini¸c˜ ao 1.2.14 (Tensor de Segunda Ordem) Toda transforma¸cão linear T no espa¸co de produto tensorial V ⊗V (defini¸cão 1.2.13) é denominada um tensor de segunda ordem. Defini¸c˜ ao 1.2.15 (Componente Assoc. de Tensor de Segunda Ordem) Sejam (ci ) e (ci ) um par de bases duais de V . Então, um tensor de segunda ordem T no espa¸co de produto tensorial V ⊗ V pode ser representado em termos de qualquer uma entre as quatro bases produto (ci ⊗cj ), (ci ⊗cj ), (ci ⊗cj ) e (ci ⊗cj ), de V ⊗V . Geralmente, os componentes de T associados a uma destas bases diferirão dos componentes associados às outras, usando-se a simbologia T = T i j ci ⊗ cj = T ij ci ⊗ cj = Ti j ci ⊗ cj = Ti j ci ⊗ cj , onde os escalares T i j , T ij , Ti j e Ti j são os componentes associados de T . O componente associado contravariante é T i j , o componente associado covariante é Ti j , ´ importante distinguir enquanto que T ij e Ti j são componentes associados mistos. E não apenas o n´ıvel (em cima ou em baixo) mas também a posi¸cão relativa (à direita ou à esquerda) dos ´ındices e super´ındices dos componentes de T . De fato, em geral T ij 6= Tj i . Note que, no teorema 1.2.1 (base de espa¸co vetorial de transforma¸cão linear), para T ∈ L(U, V ), L(U, V ) = V ⊗ U (defini¸cão de espa¸co de produto tensorial 1.2.13), u ∈ U , (ci ) uma base de V e (dα ) uma base de U , considerou-se T (u) = T i α (ci ⊗ dα )(u).Houve, portanto, coerência com a simbologia aqui adotada para componente associado de tensor de segunda ordem. Entretanto, tomou-se o cuidado de substituir a letra c, com ´ındice em letra romana, pela letra d, com ´ındice em letra grega, para sublinhar que tratava-se de bases de espa¸cos vetoriais diferentes, ao contrário do que ocorre com o tensor de segunda ordem (defini¸cão de tensor de segunda ordem 1.2.14). Coment´ ario 1.2.10 (C´ alculo de Componente Assoc. de Tensor) Sejam (ci ) e (ci ) um par de bases duais de V e seja T um tensor de segunda ordem no espa¸co de produto tensorial V ⊗ V . Então, T i j = ci · T (cj ), T ij = ci · T (cj ), Ti j = ci · T (cj ) e Ti j = ci · T (cj ). De fato, cm · T (cn ) = cm · (T i j ci ⊗ cj )(cn ) = T i j (ci · cm )(cj · cn ) = T i j δi m δj n = T m n , onde usaram-se seguidamente as defini¸cões de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15 (primeira igualdade), produto tensorial 1.2.12 (segunda igualdade) e base dual 1.2.8 (terceira igualdade). Analogamente para T ij , Ti j e ´ importante notar que o indicador à direita, em T i j , T ij , Ti j e Ti j , é sempre o Ti j . E vetor da direita no tensor simples pertencente ao conjunto de base, que também é o vetor ao qual é aplicada a transforma¸cão T , na expressão para o cálculo do componente de T associado à base considerada.

Note que, no teorema 1.2.1 (base de espa¸co vetorial de transforma¸cão linear), para T ∈ L(U, V ), L(U, V ) = V ⊗ U (defini¸cão de espa¸co de produto tensorial 1.2.13), u ∈ U , (ci ) uma base de V e (dα ) uma base de U , mostrou-se que ci · T (dα ) = T i α implica em T (u) = T i α (ci ⊗ dα )(u). Isto é coerente com o cálculo de componente associado de tensor de segunda ordem aqui apresentado e com o segundo parágrafo da defini¸cão de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15. Nota¸c˜ ao 1.2.4 (Tensor de Segunda Ordem como uma Matriz) De acordo com a defini¸cão de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, as matrizes [T i j ], [T ij ], [Ti j ] e [Ti j ] são as representa¸c˜ oes matriciais do tensor T em rela¸cão às correspondentes bases produto. Portanto, um tensor de segunda ordem pertencente ao espa¸co V ⊗ V pode ser representado por matrizes quadradas de dimensão dim V . Coerentemente com a defini¸cão de matriz 1.1.2, nestas representa¸cões o indicador mais à esquerda se refere à linha e o mais à direita fornece a coluna, independentemente de se tratar de ´ındice ou super´ındice. Além disto, o indicador à esquerda tem o significado especial de apontar o vetor também à esquerda, na base produto à qual o componente se associa, enquanto que o indicador à direita se relaciona ao vetor também à direita. De acordo com o comentário 1.2.10 (cálculo de componente associado de tensor de segunda ordem), pode-se também afirmar que o indicador à direita mostra qual é o vetor ao qual é aplicada a transforma¸cão T , na expressão para o cálculo do componente de T associado à base escolhida. Por outro lado, o fato de cada indicador ser um ´ındice ou um super´ındice informa quanto ao componente considerado ser contravariante, covariante ou mixto. Logo, se A for o conjunto de todos os poss´ıveis componentes do tensor de segunda ordem T , associados a bases do espa¸co V ⊗ V , enquanto que I e J forem dois conjuntos, cada um deles formado pelos primeiros m n´ umeros naturais, então a fun¸cão ordenadora φ : I ×J → A fornece os significados (esquerda-direita) e (em cima-em baixo) de ambos os dois indicadores, significados estes que não dependem da letra utilizada para simbolizar o valor de cada indicador. Igualdades, como a exemplificada por [T i j ] = [T j i ], são portanto corretas e correspondem, na base produto associada ao componente em foco, à mesma troca de indicadores. De fato, para o componente misto usado como exemplo, no caso do primeiro membro da igualdade a base produto deve ser escrita (ci ⊗ cj ), enquanto que, para o segundo membro, ela deve ser anotada (cj ⊗ ci ). Note que as duas grafias representam exatamente a mesma base produto, o que garante a igualdade. Em outras palavras, o elemento de matriz T 3 5 , por exemplo, é exatamente o mesmo, independentemente de 3 ser o valor tomado por i ∈ I e 5 ser atribu´ıdo a j ∈ J, ou v.v. Mesmo assim, aconselha-se muita cautela no uso da igualdade [T i j ] = [T j i ], por causa das razões já apontadas na defini¸cão de matriz 1.1.2. Note também que, de acordo com a defini¸cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4, geralmente as representa¸cões matriciais de um tensor de segunda ordem não são nem simétricas, nem antissimétricas (por exemplo, T 3 5 6= T 5 3 e T 3 5 6= −T 5 3 ). Coment´ ario 1.2.11 (Componente Associado de Tensor Simples) Considerando o comentário 1.2.10 (cálculo de componente associado de tensor de segunda ordem), para (v, u) ∈ V e T = u ⊗ v tem-se (u ⊗ v)i j = ci · (u ⊗ v)(cj ). Mas, usando a defini¸cão de tensor simples 1.2.12 tem-se ci · (u ⊗ v)(cj ) = ci · (v · cj )u. Decom-

pondo antes o vetor v e, depois, também o vetor u em suas respectivas componentes contravariantes, de acordo com a defini¸cão de base dual 1.2.8, tem-se ci · (v · cj )u = ci · (v k ck · cj )u = ci · (v k δk j )u = v j ci · u = uk ck · v j ci = uk v j δk i = ui v j . Portanto, (u ⊗ v)i j = ui v j e, de acordo com a defini¸cão 1.2.15 de componente associado contravariante T i j de tensor de segunda ordem, u ⊗ v = (u ⊗ v)i j ci ⊗ cj = ui v j ci ⊗ cj . As seguintes igualdades, portanto, definem os componentes associados dos tensores simples u ⊗ v = ui v j ci ⊗ cj = ui v j ci ⊗ cj = ui vj ci ⊗ cj = ui vj ci ⊗ cj e v ⊗ u = v i uj ci ⊗ cj = vi uj ci ⊗ cj = v i uj ci ⊗ cj = vi uj ci ⊗ cj . Logo, de acordo com a nota¸cão matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, no caso covariante a representa¸c˜ ao matricial de um tensor simples pode ser escrita 

[(v ⊗ u)i j ] =

        

[(u ⊗ v)i j ] =

       



v1 u1 v1 u2 v1 u3 . . . v1 un  v2 u1 v2 u2 v2 u3 . . . v2 un   v3 u1 v3 u2 v3 u3 . . . v3 un   e  ..  .  vn u1 vn u2 vn u3 . . . vn un



u1 v1 u1 v2 u1 v3 . . . u1 vn  u2 v1 u2 v2 u2 v3 . . . u2 vn   u3 v1 u3 v2 u3 v3 . . . u3 vn   ,  ..  .  un v1 un v2 un v3 . . . un vn

portanto [(u ⊗ v)i j ] = [(v ⊗ u)i j ]T , onde utilizou-se a representa¸cão para matriz transposta colocada na defini¸cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Isto evidencia que, geralmente, v ⊗ u 6= u ⊗ v. Mesmo para base ortonormal esta desigualdade em geral persiste mas, de acordo com o comentário 1.2.7 (base ortonormal dual), neste caso ci ⊗ cj = ci ⊗ cj = ci ⊗ cj = ci ⊗ cj . Por isto, para os componentes associados dos tensores simples em base ortonormal, tem-se ui v j = ui v j = ui vj = ui vj e v i uj = v i uj = vi uj = vi uj (embora ui v j 6= v i uj , basta escrever um entre estes dois u ´ltimos conjuntos de igualdades, porque a permuta¸cão entre i e j transforma um conjunto no outro). Coment´ ario 1.2.12 (Transforma¸c˜ ao Escalar Bilinear e Tensor) Seja (u, v) ∈ V e seja o tensor de segunda ordem T ∈ V ⊗ V . Seja (ci ) uma base de V . De acordo com a defini¸cão de base dual 1.2.8, tem-se u = ui ci = ui ci e v = v i ci = vi ci . Usando o comentário 1.2.10, para o cálculo de componentes associados de tensor de segunda ordem, tem-se então u · T (v) = ui v j Ti j = ui vj Ti j = ui v j T ij = ui vj T i j ∈ < . Seja, também representada por T , a transforma¸cão escalar bilinear (defini¸cão de transforma¸cão n-linear 1.2.10) T : (u, v) 7→ u · T (v), a qual, sempre que seu argumento for um par ordenado de vetores pertencentes a alguma poss´ıvel base do espa¸co vetorial V , produz como imagem o correspondente componente associado do tensor de segunda ordem T ∈ V ⊗ V . Logo, de acordo com a defini¸cão de tensor de segunda ordem 1.2.14, a toda transforma¸cão linear T no espa¸co de produto tensorial V ⊗V , a qual é uma transforma¸cão linear 16

T : V → V , corresponde uma transforma¸c˜ ao escalar bilinear T : V × V → < que define os componentes associados de T em qualquer base de V , porque T (u, v) = u · T (v) e vice-versa. Para (u, v, u0 , v0 ) ∈ V e considerando T = u0 ⊗ v0 , pode-se então escrever (u0 ⊗ v0 )(u, v) = u · (u0 ⊗ v0 )(v) logo, usando a defini¸cão de produto tensorial 1.2.12, (u0 ⊗v0 )(u, v) = (u·u0 )(v·v0 ) ∈ < , o que mostra que u0 ⊗v0 é uma transforma¸cão escalar bilinear T : V × V → <. Além disto, se (u, v) for um par ordenado de vetores pertencentes a alguma poss´ıvel base do espa¸co vetorial V , (u · u0 )(v · v0 ) será o correspondente componente associado de u0 ⊗ v0 , conforme mostrado no comentário 1.2.11 (componente associado de tensor simples). Defini¸c˜ ao 1.2.16 (Transforma¸c˜ ao Tensorial Identidade) A transforma¸c˜ ao tensorial identidade é um tensor de segunda ordem, conforme a defini¸cão 1.2.14, representado por 1 e tal que 1 (v) = v. Note que, enquanto o tensor identidade 1 ∈ V ⊗ V , o escalar unidade 1 ∈ <. Coment´ ario 1.2.13 (Componente Associado do Tensor Identidade) De acordo com a defini¸cão de transforma¸cão tensorial identidade 1.2.16 e o comentário 1.2.10 (cálculo de componente associado de tensor de segunda ordem), tem-se 1 i j = ci · 1 (cj ) = ci · cj . Mas o comentário 1.2.6 (fun¸cões gi j e g i j ) mostra que ci · cj = g i j . Logo, 1 i j = g i j , onde 1 i j é, conforme a defini¸cão de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, o componente associado contravariante do tensor 1 . Portanto, g i j é o componente associado contravariante da transforma¸cão tensorial identidade. Por outro lado, 1 i j = ci · 1 (cj ) = ci · cj . Mas a defini¸cão de base dual 1.2.8 mostra que ci · cj = δ i j . Portanto, tem-se 1 i j = δ i j para este componente associado misto da transforma¸cão tensorial identidade. Analogamente, para o outro componente associado misto tem-se 1i j = δi j e, para o componente associado covariante, 1i j = gi j . Pode-se então escrever 1 = 1 i j ci ⊗ cj = 1 i j ci ⊗ cj = 1i j ci ⊗ cj = 1i j ci ⊗ cj , ou 1 = g i j ci ⊗ cj = δ i j ci ⊗ cj = δi j ci ⊗ cj = gi j ci ⊗ cj . Note, portanto, que apenas a representa¸cão matricial dos conjuntos de componentes associados mistos do tensor identidade, respectivamente representados por 1 i j e por 1i j , coincide com a matriz unidade, simbolizada [1]. Logo, [1 i j ] = [1] e [1i j ] = [1], mas [1 i j ] = [g i j ] 6= [1] e [1i j ] = [gi j ] 6= [1]. Note, também, que as matrizes [1 i j ] = [g i j ] e [1i j ] = [gi j ] são simétricas, de acordo com a defini¸cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Logo, nas quatro representa¸cões matriciais do tensor identidade não apenas se pode trocar os indicadores i e j, conforme colocado na nota¸cão matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, como também cada representa¸cão é igual à sua transposta, ao contrário do que geralmente ocorre.

1.2.5

Transposi¸ c˜ ao de Tensor Simples, de Segunda Ordem e Troca entre ´Indice e Super´ındice

Defini¸c˜ ao 1.2.17 (Transforma¸c˜ ao Linear Transposta) Para toda transforma¸cão linear A ∈ V ⊗ U , define-se a correspondente transforma¸cão linear AT ∈ U ⊗ V , denominada transforma¸c˜ ao linear transposta de A, tal que, ∀v ∈ V e ∀u ∈ U , ocorra T v · A(u) = u · A (v) (veja a defini¸cão de espa¸co de produto tensorial 1.2.13 para notar 17

que, por defini¸cão, A age sobre u e AT sobre v). Sublinhe-se que esta é a defini¸cão da transposi¸cão de uma transforma¸cão linear, cujo efeito não é, necessariamente, o de transpor a matriz que represente um conjunto de componentes associados à mencionada transforma¸cão linear (a defini¸cão 1.1.4 se refere à transposi¸cão e à inversão de matrizes). Coment´ ario 1.2.14 (gi j ou g i j Aplicado a Componente de Tensor) Conforme o comentário 1.2.6 (fun¸cões gi j e g i j ), a fun¸cão g i j levanta o ´ındice de um componente de um vetor, enquanto que a fun¸cão gi j abaixa o ´ındice de um componente de um vetor. Sem mudar a posi¸cão relativa, à direita ou à esquerda, dos ´ındices e super´ındices, estas fun¸cões apresentam efeito análogo sobre os componentes associados de um tensor de qualquer ordem T . Portanto, T ij = gk j T i k = g i k Tk j , Ti j = gi k T k j = g k j Ti k , T i j = g k j T i k = g i k Tk j e Ti j = gi k T k j = gk j Ti k . De fato, de acordo com o comentário 1.2.10 (cálculo de componentes associados de tensor de segunda ordem), tem-se gk j T i k = gk j ci ·T (ck ) = gk j ck ·T T (ci ) = cj ·T T (ci ) = ci ·T (cj ) = T ij , onde foi usada a defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17 na segunda e quarta igualdades. Demonstra¸cões análogas podem ser feitas nos demais casos. Usando a nota¸cão matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4 tanto para o tensor T como, de acordo com o comentário 1.2.13 (componente associado do tensor identidade), também para o tensor identidade, tem-se então a seguinte tabela, na qual cada linha contém uma expressão tensorial e uma expressão matricial com o mesmo significado, porque o indicador k representa o mesmo somatório, tanto de acordo com a nota¸cão de Einstein 1.1.2, como em rela¸cão às regras elementares de multiplica¸cão matricial: T ij = gk j T i k = g i k Tk j

[T ij ] = [T i k ][gk j ] = [g i k ][Tk j ] ,

Ti j = gi k T k j = g k j Ti k T i j = g k j T i k = g i k Tk j Ti j = gi k T k j = gk j Ti k

ou ou ou

[Ti j ] = [gi k ][T k j ] = [Ti k ][g k j ] , [T i j ] = [T i k ][g k j ] = [g i k ][Tk j ] e [Ti j ] = [gi k ][T k j ] = [Ti k ][gk j ] .

Coment´ ario 1.2.15 (Transposi¸c˜ ao de Tensor Simples) Para (u, w1 ) ∈ U e (v, w2 ) ∈ V , de acordo com a defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17 tem-se w1 ·(v⊗ u)T (w2 ) = w2 ·(v⊗u)(w1 ) = (w2 ·v)(u·w1 ) = w1 ·(u⊗v)(w2 ), onde foi usada a defini¸cão de produto tensorial 1.2.12. Logo, para o tensor simples u⊗v tem-se que (v⊗u)T = u⊗v ou, de acordo com a nota¸cão matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, em termos das respectivas representa¸cões matriciais dos conjuntos de componentes associados, por exemplo escolhidos covariantes, [(v⊗u)Tij ] = [(u⊗v)i j ]. Mas, de acordo com o comentário 1.2.11 (componente associado de tensor simples), tem-se [(u ⊗ v)i j ] = [(v ⊗ u)i j ]T . A compara¸cão entre as duas u ´ltimas igualdades mostra que [(v ⊗ u)Tij ] = [(v ⊗ u)i j ]T , ou seja, para um tensor simples, transpor a transforma¸cão linear implica em transpor a matriz que a representa. No comentário 1.2.16 ver-se-á que, na transposi¸cão de tensor de segunda ordem, em geral isto não ocorre. Coment´ ario 1.2.16 (Transposi¸c˜ ao de Tensor de Segunda Ordem) Se A for um tensor de segunda ordem em V ⊗ V , demonstra-se a existência das seguintes rela¸cões entre os componentes de A, grafados A i j , A i j , Ai j e Ai j , respectivamente associados às

quatro bases produto de V ⊗ V simbolizadas por (ci ⊗ cj ), (ci ⊗ cj ), (ci ⊗ cj ) e (ci ⊗ cj ): T ji

A =A

T ji

= c · A(c ) = c · A (c ) = (A )

T ji

A i= A i

T j

A j = A i = ci · A(c ) = c · A (ci ) = (A ) T

= [(AT )j i ] , #

T j

= c · A(cj ) = cj · A (c ) = (A )j , logo A "

, logo A "

T j

= [(AT )j i ] ,

i i

, logo A j

= [(AT )j i ] e

T A j i = A i j = ci · A(cj ) = cj · A (ci ) = (A )j i , logo A j i = [(A )j i ] , T

onde, em cada linha, usou-se a defini¸cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4 na primeira igualdade, o comentário 1.2.10 (cálculo de componente associado de tensor de segunda ordem) na segunda e na quarta igualdades, a defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17 na terceira igualdade e a transforma¸cão em matriz do conjunto inicial de componentes, antes da primeira igualdade, ocorrendo o mesmo com o conjunto final de componentes, após a quarta igualdade. Na igualdade matricial que ocorre em cada linha, a defini¸cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4 pode ser aplicada à matriz no primeiro membro, enquanto que, de acordo com a nota¸cão matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, a troca dos ´ındices i e j pode ser aplicada à matriz no segundo membro. Obtém-se assim, respectivamente para cada linha: [A i j ]T = [(AT )i j ] , [A i j ]T = [(AT )i j ] , [A i j ]T = [(AT )i j ] e [A i j ]T = [(AT )i j ] . Portanto, as representa¸cões matriciais dos componentes associados contravariantes de A e AT são matrizes transpostas uma da outra, o mesmo acontecendo com as representa¸cões matriciais dos componentes covariantes. Entretanto, as representa¸cões matriciais de qualquer um entre os dois componentes associados mistos de A e AT não são matrizes transpostas uma da outra. Defini¸c˜ ao 1.2.18 (Tensores Sim´ etrico e Antissim´ etrico) O tensor de segunda orT dem S ∈ V ⊗ V é dito sim´ etrico se S = S e antissim´ etrico se S T = −S. Para (u, v) ∈ V e usando a defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17 tem-se, então, que u · S(v) = v · S(u) se S for simétrico e u · S(v) = −v · S(u) se S for antissimétrico. Nota¸c˜ ao 1.2.5 (Subespa¸cos Sim´ etrico e Antissim´ etrico) Definem-se os subespa¸cos de V ⊗ V Sym(V ) = {S ∈ V ⊗ V |S T = S}

Skw (V ) = {S ∈ V ⊗ V |S T = −S}

(Sym de “symmetric” e Skw de “skew-symmetric”). 19

Coment´ ario 1.2.17 (Transposi¸c˜ ao de Tensores Sim´ etrico e Antissim´ etrico) O comentário 1.2.16 (transposi¸cão de tensor de segunda ordem) mostra que: 1. Para S ∈ Sym(V ) tem-se [S i j ]T = [S i j ] , [S ij ]T = [S i j ] , [S i j ]T = [S ij ] e [ Si j ]T = [ Si j ] . Portanto, embora o tensor de segunda ordem S seja simétrico, somente suas representa¸cões matriciais contravariante e covariante são matrizes simétricas. 2. Para S ∈ Skw (V ) tem-se [S i j ]T = −[S i j ] , [S ij ]T = −[S i j ] , [S i j ]T = −[S ij ] e [Si j ]T = −[Si j ] . Portanto, embora o tensor de segunda ordem S seja antissimétrico, somente suas representa¸cões matriciais contravariante e covariante são matrizes antissimétricas.

1.2.6

Composi¸ c˜ ao de Tensores de Segunda Ordem

Defini¸c˜ ao 1.2.19 (Composi¸c˜ ao de Tensores de Segunda Ordem) A composi¸c˜ ao de tensores de segunda ordem A ◦ B é tal que (A ◦ B)(v) = A(B(v)), ∀v ∈ V . Esta igualdade deixa evidente que a composi¸cão de tensores de segunda ordem é apenas um caso particular da composi¸cão de fun¸cões, apresentada na defini¸cão de fun¸cão e funcional 1.1.1. Se (A, B) ∈ V ⊗V , tanto A como B transformam vetores percencentes a V em outros vetores também pertencentes a V . Neste caso, A(B(v)) é um vetor pertencente a V , portanto A ◦ B ∈ V ⊗ V . Seja A = Ai j ci ⊗ cj , B = B mn cm ⊗ cn e v = v k ck . De acordo com a defini¸cão de produto tensorial de vetores 1.2.12 tem-se (cm ⊗cn )(v) = v n cm , logo B(v) = B mn v n cm e dim V (ci ⊗ cj )(B(v)) = B j n v n ci , portanto A(B(v)) = Ai j B j n v n ci . Então, (Akj B j n v n )k=1 é o conjunto dos componentes do vetor (A◦B)(v) associados à base (ck ), podendo o vetor (A◦B)(v) ser representado pela matriz coluna [Akj B j n v n ], onde o super´ındice k indica a linha a que se refere o elemento considerado. Por outro lado, as representa¸cões matriciais de A na base (ci ⊗ cj ), B na base (cm ⊗ cn ) e v na base (ck ) são, respectivamente, [Ai j ], [B mn ] e [v k ]. A expressão tensorial (A ◦ B)(v) = Ai j B j n v n ci corresponde, portanto, à expressão matricial [Ai j B j n v n ] = [Ai j ][B j n ][v n ], porque o indicador n representa o mesmo somatório, tanto de acordo com a nota¸cão de Einstein 1.1.2, como em rela¸cão às regras elementares de multiplica¸cão matricial, analogamente acontecendo com o indicador j. A propriedade associativa da multiplica¸cão matricial permite escrever [Ai j B j n v n ] = [Ai j ][B j n ][v n ] = ([Ai j ][B j n ]) [v n ] = [(AB)i n ][v n ]. Como [Akj B j n v n ] e [v n ] são, respectivamente, as representa¸cões matriciais dos vetores (A ◦ B)(v) e v, necessariamente [(AB)i n ] é a representa¸cão matricial do tensor de segunda ordem A ◦ B. Logo, a composi¸cão de tensores de segunda ordem produz um tensor de segunda ordem cuja representa¸cão matricial é a multiplica¸cão matricial elementar das matrizes que representam os tensores que se compõem, devendo a ordem da composi¸cão ser a ordem da multiplica¸cão. Evidentemente, a conclusão seria a mesma, caso a base produto usada fosse outra. Note, também, que [Ai j ][B j i ] não é a representa¸cão de uma composi¸cão, porque [Ai j ][B j i ] = [(AB)i i ] = (AB)i i , ou seja, a ocorrência de duplo somatório (veja a nota¸cão de Einstein 1.1.2) reduz a matriz a um u ńico escalar. Por simplicidade, a não ser quando 20

conste informa¸cão em contrário, a partir deste ponto do texto a composi¸cão de tensores de segunda ordem não mais será escrita A ◦ B, mas sim AB. Coment´ ario 1.2.18 (Composi¸c˜ ao com Tensor Simples) Usando as defini¸cões de produto tensorial 1.2.12, de transforma¸cão linear transposta 1.2.17 e de composi¸cão de tensores de segunda ordem 1.2.19, para u ∈ U , v ∈ V e A ∈ V ⊗ U tem-se: 1. Se w ∈ V , então (A(u ⊗ v))(w) = A((u ⊗ v)(w)) = A(u(v · w)) = A(u)(v · w) = (A(u) ⊗ v)(w), logo A(u ⊗ v) = A(u) ⊗ v. 2. Se w ∈ U , então ((u ⊗ v)A)(w) = (u ⊗ v)(A(w)) = u(v · A(w)) = u(w · AT (v)) = (u ⊗ AT (v))(w), logo (u ⊗ v)A = u ⊗ AT (v). Coment´ ario 1.2.19 (Transposi¸c˜ ao de Composi¸c˜ ao) Usando a defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17 e a defini¸cão de composi¸cão de tensores de segunda ordem 1.2.19, se (v, u) ∈ V e, além disto, (A, B) ∈ V ⊗ V , tem-se u · (AB)(v) = u · A(B(v)) = B(v) · AT (u) = AT (u) · B(v) = v · B T (AT (u)) = v · (B T AT )(u). Porém u · (AB)(v) = v · (AB)T (u), logo (AB)T = B T AT .

1.2.7

Tensor de ordem k

Defini¸c˜ ao 1.2.20 (Tensor de Ordem k) Conforme colocado na defini¸c˜ao de tensor de 2

segunda ordem 1.2.14, tal tensor existe no espa¸co de produto tensorial V ⊗ V ≡ ⊗ V , o qual foi apresentado na defini¸c˜ao 1.2.13. Analogamente, um tensor de ordem k existe k

no espa¸co de produto tensorial ⊗ V . De acordo com a defini¸c˜ao de base dual 1.2.8, sendo 2

(ci ) e (ci ) um par de bases duais de V , as quatro bases produto de ⊗ V s˜ao ci ⊗cj , ci ⊗cj , 2

ci ⊗ cj e ci ⊗ cj , o que mostra que dim ⊗ V = (dim V )2 , conforme o comentário 1.2.9 (dimensão de espa¸co de transforma¸cão linear). Semelhantemente, as 2k bases produtos k vetores

k vetores k

{

de ⊗ V são (ci ⊗ . . . ⊗ cj ), . . . , (c ⊗ . . . ⊗ cj ), logo dim ⊗ V = (dim V )k . Portanto, em concordância com a defini¸cão de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, tem-se T = T i j ci ⊗ cj = T ij ci ⊗ cj = Ti j ci ⊗ cj = Ti j ci ⊗ cj , enquanto que z

k vetores

{

para o tensor de ordem k tem-se T = T ci ⊗ . . . ⊗ cj = . . . = Ti...j c ⊗ . . . ⊗ cj . De acordo com o coment´ario 1.2.12 (transforma¸c˜ao escalar bilinear e tensor de segunda i...j

ordem), a cada tensor de segunda ordem T ∈⊗ V corresponde uma transforma¸c˜ao escalar bilinear T : V × V → <, onde V × V ≡ V 2 , tal que, para (u, v) ∈ V , tenha-se T (u, v) = u·T (v), o que produz T (ci , cj ) = T i j , T (ci , cj ) = Ti j , T (ci , cj ) = T ij e T (ci , cj ) = T i j , sendo verdadeira a afirma¸c˜ao rec´ıproca. Analogamente, a cada tensor de ordem k, grafado k

T ∈⊗ V , corresponde uma transforma¸c˜ ao escalar k-linear T : V k → < tal que k vetores

k vetores

{

T (ci , . . . , cj ) = T i...j , . . . , T (ci , . . . , cj ) = T i...j e vice versa. Como caso especial de tensor de ordem k define-se, em analogia a (u0 ⊗ v0 )(u, v) = (u · u0 )(v · v0 ) (coment´ario 1.2.12), o produto tensorial de k vetores k vetores

k produtos internos

k vetores 0

{

(u ⊗ . . . ⊗ v ) (u, . . . , v) = (u · u ) . . . (v · v ), 21

onde (u0 , . . . , v0 , u, . . . , v) ∈ V . Conforme a nota¸c˜ao matricial de tensor de segunda ordem 1.2.4, um tensor de segunda 2

ordem, pertencente ao espa¸co ⊗ V , ´e representado por uma matriz quadrada (matriz de ordem 2) de dimens˜ao dim V . Coerentemente, um tensor de ordem k, pertencente ao k

espa¸co ⊗ V , é representado por uma matriz de ordem k (por exemplo, matriz c´ ubica para k = 3) de dimensão dim V . Note que esta defini¸cão mostra que um tensor de primeira ordem é um vetor.

1.2.8

Regras para Transforma¸c˜ ao de Componentes de Vetor e de Tensor de Segunda Ordem

Defini¸c˜ ao 1.2.21 (Matrizes de Transforma¸c˜ ao) Seja duas bases β = (ci ) e β¯ = (¯ci ), ¯ j cj . De acordo com a defini¸cão de base dual do mesmo espa¸co vetorial V e seja c¯k = M k ¯ j cj ·ci = M ¯ k i . Seja, também, as bases β ∗ = (ci ) 1.2.8, cj ·ci = δj i . Portanto, c¯k ·ci = M k ¯ de acordo com a nota¸cão para base e β¯∗ = (¯ci ), respectivamente bases duais de β e β, ¯ j cj implica em c¯k · ci = M ¯k i , dual 1.2.2. Seja, ainda, ci = T¯j i c¯j . Assim como c¯k = M k ¯ k i e ci = M ¯ j i c¯j , ou tem-se que ci = T¯j i c¯j implica em c¯k · ci = T¯k i . Logo, T¯k i = M ¯ j c¯k . Portanto, se c¯k = M ¯ j cj , então cj = M ¯ j c¯k e v.v. Note que, em M ¯ j, cj = M k k k k ∗ ¯ ¯ o indicador à esquerda se refere a qualquer uma entre as bases β e β , enquanto que o indicador à direita corresponde a qualquer uma entre as bases β e β ∗ , independentemente de cada indicador ser ´ındice ou super´ındice. Seja M um tensor de segunda ordem no espa¸co de produto tensorial V ⊗V . Então, de acordo com o comentário 1.2.10 (cálculo de componente associado de tensor de segunda ¯ j = c¯k · M (¯cj ). Como M ¯ j = c¯k · cj , conclui-se que cj = M (¯cj ). Logo, ordem), tem-se M k k j k ¯ ¯ Mk é o componente, associado à base c ⊗ c¯j , do tensor M : c¯j 7→ cj |(¯cj , cj ) ∈ V, M ∈ V ⊗ V . Pode-se, então, escrever ci · cj = ci · M (¯cj ). Mas, de acordo com a defini¸cão de base dual 1.2.8, ci · cj = δi j = c¯i · c¯j , logo c¯j · c¯i = ci · M (¯cj ). Usando a defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17 tem-se, então, c¯j · c¯i = c¯j · M T (ci ), o que implica em c¯i = M T (ci ). Em resumo, seja duas bases β = (ci ) e β¯ = (¯ci ), bem como suas bases duais, respectivamente β ∗ = (ci ) e β¯∗ = (¯ci ), pertencentes a um espa¸co vetorial V . Seja, também, o tensor de segunda ordem 1. M ∈ V ⊗ V tal que ci = M (¯ci ) e c¯i = M T (ci ). Então: ¯ j , associado à base c¯k ⊗¯cj , é tal que M ¯ j = c¯k ·cj , c¯k = M ¯ j cj Seu componente M k k k ¯ j c¯k . e cj = M k ¯ k j , associado à base c¯k ⊗¯cj , é tal que M ¯ k j = c¯k ·cj , c¯k = M ¯ k j cj Seu componente M ¯ k j c¯k . e cj = M 2. N ∈ V ⊗ V tal que ci = N (¯ci ) e c¯i = N T (ci ). Então: ¯ kj , associado à base c¯k ⊗¯cj , é tal que N ¯ kj = c¯k ·cj , c¯k = N ¯ kj cj Seu componente N ¯ kj c¯k . e cj = N

¯k j , associado à base c¯k ⊗¯cj , é tal que N ¯k j = c¯k ·cj , c¯k = N ¯k j cj Seu componente N ¯k j c¯k . e cj = N Evidentemente, o tensor M do item 1 não é o tensor N do item 2. Aliás, o uso do comentário 1.2.32, sobre propriedades do tensor inverso (a ser posteriormente apresentado), mostra que que o tensor N é o tensor inverso transposto do tensor M e v.v., ou seja, N = M −T . De acordo com a defini¸cão de matriz 1.1.2, as bases β = (ci ), β¯ = (¯ci ), β ∗ = (ci ) e β¯∗ = (¯ci ) podem ser respectivamente representadas pelas matrizes coluna, formadas por elementos vetoriais, [ci ], [¯ci ], [ci ] e [¯ci ]. Por outro lado, considerando a nota¸cão matricial para tensor de segunda ordem 1.2.3, o tensor M definido no item 1 pode ser representado ¯ j ] e [M ¯ k j ], dependendo da base por qualquer uma entre as duas matrizes quadradas [M k escolhida para representá-lo ser, respectivamente, c¯k ⊗ c¯j ou c¯k ⊗ c¯j . Analogamente, o tensor N definido no item 2 pode ser representado por qualquer uma entre as duas ¯ kj ] e [N ¯k j ], dependendo da base escolhida para representá-lo ser, matrizes quadradas [N respectivamente, c¯k ⊗ c¯j ou c¯k ⊗ c¯j . Como será notado a seguir, a possibilidade de transposi¸cão e inversão de matrizes torna desnecessário utilizar ambos os itens 1 e 2. Coerentemente com as coloca¸cões iniciais será, portanto, considerado apenas o item 1. Além disto, as combina¸cões lineares entre vetores de base fornecidas pelas representa¸cões mistas do tensor costumam ser mais u ´teis do que aquelas produzidas pelas representa¸cões covariante e contravariante. Por este motivo, a partir deste ponto somente a representa¸cão mista do item 1 será usada. ¯ j cj pode ser diretamente escrita em termos matriciais, porque, A igualdade c¯k = M k em [cj ], o ordenamento da base β se reflete na sequência de linhas, enquanto que, em ¯ j ], o indicador à direita se refere a qualquer uma entre as bases β = (ci ) e β ∗ = (ci ) [M k ¯ j cj corresponde a [¯ck ] = [M ¯ j ][cj ], porque o e representa a coluna. Logo, c¯k = M k k indicador j representa o mesmo somatório, tanto de acordo com a nota¸cão de Einstein 1.1.2, como em rela¸cão às regras elementares de multiplica¸cão matricial. ¯ j c¯k , o ordenamento da base β¯∗ se reflete na sequência de Já na expressão cj = M k k ¯ j ], o indicador à esquerda se refere a qualquer linhas de [¯c ], enquanto que, em [M k ∗ ¯ ¯ uma entre as bases β = (¯ci ) e β = (¯ci ) e representa a linha. No que se refere a [¯ck ], é impossivel que o ordenamento da base β¯∗ deixe de indicar a linha. Mas, no que se refere a   T

¯ j ], pode-se alterar a fun¸cão ordenadora, usando [M ¯ j ]T ≡ M ¯ j  ao invés de [M ¯ j ], [M k k k em conformidade com o colocado na defini¸cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4. Em   k

¯ M

,

o indicador `a direita se refere a qualquer uma entre as bases β¯ = (¯ci ) e β¯∗ = (¯ci )

¯ j c¯k corresponde a [cj ] = [M ¯ j ]T [¯ck ], com o e representa a coluna. Portanto, cj = M k k j ¯ indicador k representando o mesmo somatório. Note que [Mk ] não costuma ser uma ¯ j 6= M ¯ j k = c¯j · ck , logo [M ¯ j ] 6= [M ¯ j ]T . matriz simétrica porque, geralmente, c¯k · cj = M k k k Como uma base não pode ser previlegiada em rela¸cão a qualquer outra, a trans¯ j ] não é singular. Portanto, forma¸cão inversa deve existir, o que garante que a matriz [M k

a existˆencia das igualdades ¯ j ][cj ] [¯ck ] = [M k

¯ j ]T [¯ck ] [cj ] = [M k

¯ j ]−T [cj ] . [¯ck ] = [M k

garante a existˆencia das igualdades ¯ j ]−1 [¯ck ] [cj ] = [M k

¯ j ]−1 ≡ De acordo com a defini¸c˜ao de matrizes transposta e inversa 1.1.4, tem-se [M k 

−1

¯ M

 .



−1



¯ j , o indicador `a direita se refere a qualquer uma entre as bases Em M

β¯ = (¯ci ) e β¯∗ = (¯ci ) e indica a coluna, o que evidencia ser correta a primeira entre as −1

¯ j c¯k , u ´ltimas duas equa¸cões destacadas. Tal equa¸cão pode, também, ser escrita cj =M onde o indicador k representa o mesmo somatório que ocorre na multiplica¸cão matricial. 

−T





−1

 k T



−T



¯ j ]−T ≡ M ¯ k  = M ¯ j  . Em M ¯ k  o indicador à direita Por outro lado, [M k se refere a qualquer uma entre as bases β = (ci ) e β ∗ = (ci ) e indica a coluna, o que evidencia ser correta também a segunda entre as u ´ltimas duas equa¸cões destacadas, a −1

¯ j cj , onde o indicador j representa o mesmo qual também pode ser escrita c¯ =M somatório que ocorre na multiplica¸cão matricial. O comentário 1.2.7 (base ortonormal dual) mostra que, se β e β¯ forem ambas ortonormais, ter-se-á cj = cj e c¯j = c¯j . Considerando as quatro equa¸cões matriciais ¯ j ]T = [M ¯ j ]−1 e [M ¯ j ] = [M ¯ j ]−T , logo exigirá que a destacadas, isto exigirá que [M k k k k ¯ j ] seja ortogonal. Após o terceiro parágrafo, foi referido exclusivamente o matriz [M k ¯ j de um tensor de segunda ordem M , associado à base c¯k ⊗ c¯j , tal que componente M k j j ¯ ¯ j cj e cj = M ¯ j c¯k . Coloca¸cões semelhantes podem ser feitas para Mk = c¯k ·c , c¯k = M k k as outras três representa¸cões matriciais do tensor de M , citadas no terceiro parágrafo. k

Coment´ ario 1.2.20 (Transforma¸c˜ ao de Componentes de Vetor) Seja as bases β ∗ i ∗ ¯ ¯ = (ci ) e β = (¯ci ) (logo, β = (c ) e β = (¯ci )), do mesmo espa¸co vetorial V e seja v ∈ V . Então, v = v j cj = v¯k c¯k = vj cj = v¯k c¯k . Considerando a defini¸cão das matrizes de ¯ j cj e cj = M ¯ j c¯k , logo v j cj = v¯k c¯k = v¯k M ¯ j cj e transforma¸cão 1.2.21, tem-se c¯k = M k k k ¯ j c¯k , ou v j = M ¯ j v¯k e v¯k = M ¯ j vj . Utilizando o colocado na mesma v¯k c¯k = vj cj = vj M k k k defini¸cão citada, em termos matriciais pode-se, então, escrever ¯ j ]T [¯ [v j ] = [M vk ] k

¯ j ][vj ] . [¯ v k ] = [M k

Lembrando que ¯ j ][cj ] [¯ck ] = [M k

¯ j ]T [¯ck ] , [cj ] = [M k

conclui-se que a matriz que transforma os componentes contravariantes v¯k (covariantes vj ) do vetor v, representado na base β¯ = (¯ci ) (β ∗ = (ci )), nos componentes contravariantes v j (covariantes v¯k ) do vetor v, representado na base β = (ci ) (β¯∗ = (¯ci )), ´e a transposta da matriz que transforma as bases no sentido oposto. 24

O comentário 1.2.7 (base ortonormal dual) mostra que, se β e β¯ forem ambas ortonormais, ter-se-á cj = cj e c¯j = c¯j , logo vj = v j e v¯j = v¯j . Neste caso, a u ´ltima senten¸ca do parágrafo anterior precisa ser simplificada, devendo-se, em substitui¸cão àquela senten¸ca, afirmar que a matriz que transforma os componentes v¯k do vetor v, representado na base β¯ = (¯ci ), nos componentes v j do vetor v, representado na base β = (ci ), é a transposta da matriz que transforma as bases no sentido oposto. Coment´ ario 1.2.21 (Transforma¸c˜ ao de Componentes de Tensor) Seja duas ba∗ ses β = {ci } e β¯ = {¯ci } (logo, β = (ci ) e β¯∗ = (¯ci )) do mesmo espa¸co vetorial V e seja A um tensor de segunda ordem em V ⊗ V . De acordo com a defini¸cão de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, A = Ai j ci ⊗ cj = A¯i j c¯i ⊗ c¯j = Ai j ci ⊗ cj = A¯i j c¯i ⊗ c¯j = Ai j ci ⊗ cj = A¯i j c¯i ⊗ c¯j = Ai j ci ⊗ cj = A¯i j c¯i ⊗ c¯j . Nos quatro casos apresentados a seguir, além destes resultados será também utilizado o comentário 1.2.10 (cálculo de componente associado de tensor de segunda ordem), a defini¸cão das matrizes de transforma¸cão 1.2.21 e a defini¸cão de matriz 1.1.2: ¯ i m cm e Tem-se que A¯i j = c¯i · A(¯cj ) e Am n = cm · A(cn ). Considerando c¯i = M ¯ j n cn , obtém-se A¯i j = M ¯ i mM ¯ j n Am n , ou [A¯i j ] = [M ¯ i m ][Am n ][M ¯ j n ]T . c¯j = M ¯ i m cm e Tem-se que A¯i j = c¯i · A(¯cj ) e Amn = cm · A(cn ). Considerando c¯i = M −1

¯ n cn , obt´em-se A¯i j = M ¯i c¯j =M

−1

¯ n Amn , ou [A¯i j ] = [M ¯ i m ][Amn ][M ¯ j n ]−1 . M −1

¯ m cm e Tem-se que A¯i j = c¯i · A(¯cj ) e Amn = cm · A(cn ). Considerando c¯i =M −1

¯ j n cn , obt´em-se A¯i j =M ¯m M ¯ j n Amn , ou [A¯i j ] = [M ¯ i m ]−T [Amn ][M ¯ j n ]T . c¯j = M −1

¯ m cm e Tem-se que A¯i j = c¯i · A(¯cj ) e Am n = cm · A(cn ). Considerando c¯i =M −1

−1

i −1

¯ n cn , obt´em-se A¯i j =M ¯m M ¯ n Am n , ou [A¯i j ] = [M ¯ i m ]−T [Am n ][M ¯ j n ]−1 . c¯j =M

1.2.9

Determinante e Tra¸co

Defini¸c˜ ao 1.2.22 (Permuta¸c˜ ao) Seja o conjunto I, formado pelos n ≥ 2 primeiros n´ umeros naturais. Chama-se permuta¸c˜ ao a uma fun¸cão σ : I → I tal que σ : (i)i=n i=1 7→ i=n (σ(i))i=1 | σ(i) 6= σ(j)∀i 6= j, (i, j) ∈ I. Uma permuta¸cão que envolva exclusivamente a inversão do ordenamento de dois elementos adjacentes é chamada transposi¸c˜ ao . Toda permuta¸cão é uma sequência de transposi¸cões, mas diversas sequências de transposi¸cões podem corresponder à mesma permuta¸cão. Todas as sequências de transposi¸cões que correspondem a uma mesma permuta¸cão envolvem um n´ umero de transposi¸cões com a mesma paridade, embora tal n´ umero possa variar de uma sequência para outra. Por isto, as permuta¸cões são classificadas em pares ou ´ımpares. O sinal da permuta¸c˜ ao, representado (sinal σ), será +1 quando a permuta¸cão for par e será −1 quando a permuta¸cão for ´ımpar. Entre as n! poss´ıveis permuta¸cões de (i)i=n ao permuta¸cões i=1 , metade s˜ pares (como n ≥ 2, o valor de n! é sempre um inteiro par).

Defini¸c˜ ao 1.2.23 (Fun¸c˜ ao n-linear Alternante) Seja V um espa¸co vetorial e seja, de acordo com a defini¸cão de dimensão de espa¸co vetorial 1.2.4, dim V = n. Seja, em conformidade com a defini¸cão de transforma¸cão n-linear 1.2.10, a fun¸cão n-linear w : V n → <. Esta fun¸cão será uma fun¸c˜ ao n-linear alternante sempre que, ∀(v1 , . . . , vn ) ∈ V , w(vσ(1) , . . . , vσ(n) ) = (sinal σ)w(v1 , . . . , vn ) . Uma fun¸cão n-linear alternante será n˜ ao trivial quando existir um conjunto (vi )i=n i=1 ∈ V tal que w(v1 , . . . , vn ) 6= 0. Coment´ ario 1.2.22 (Redu¸c˜ ao no N´ umero de Permuta¸c˜ oes Distingu´ıveis) De acordo com a defini¸cão de permuta¸cão 1.2.22, são permuta¸cões pares metade das n! poss´ıveis permuta¸cões do conjunto ordenado (vi )i=n i=1 ∈ V . Se dois entre os vetores que formam este conjunto forem iguais, a cada permuta¸cão par corresponderá uma permuta¸cão ´ımpar dela indistingu´ıvel, o que reduzirá o n´ umero de permuta¸c˜ oes distingu´ıveis para n!/2. Se m vetores forem iguais, o n´ umero de permuta¸cões distingu´ıveis será n!/m!. Coment´ ario 1.2.23 (Fun. n-lin. Altern. e Base de Esp. Vet. - Parte I) Conforme o comentário 1.2.22, sobre redu¸cão no n´ umero de permuta¸cões distingu´ıveis, se uma fun¸cão qualquer f : V n → < tiver como argumento um conjunto ordenado (vi )i=n i=1 ∈ V que contenha dois vetores iguais, para cada permuta¸cão par do argumento existirá uma permuta¸cão ´ımpar do mesmo argumento tal que as duas imagens, produzidas por f , sejam iguais. Portanto, se w for uma fun¸cão n-linear alternante, conforme sua defini¸cão 1.2.23, mesmo que w seja não trivial ter-se-á w(. . . , u, . . . , v, . . .) = 0 quando u = v. Como consequência deste fato, se (vi )i=n cão i=1 ∈ V for, de acordo com o item 1 da defini¸ de base 1.2.2, linearmente dependente e w for uma fun¸cão n-linear alternante, então w(v1 , . . . , vn ) = 0, mesmo que w seja não trivial. Logo, se w for uma fun¸cão n-linear alternante e w(v1 , . . . , vn ) 6= 0, então o conjunto (vi )i=n a linearmente independente. Como, de acordo com a defini¸cão 1.2.23, i=1 ∈ V ser´ dim V = n, considerando o item 2 da defini¸cão 1.2.2 tem-se que o conjunto (vi )ni=1 abrangerá V . Portanto, pode-se afirmar que, se w for uma fun¸cão n-linear alternante a uma não trivial, existirá um conjunto (vi )i=n i=1 ∈ V tal que w(v1 , . . . , vn ) 6= 0, o qual ser´ i=n base (ci )i=1 de V . Teorema 1.2.2 (Unicidade da Propor¸c˜ ao entre Fun. n-lin. Altern.) Sejam w e 0 w duas fun¸cões n-lineares alternantes e seja w não trivial. Existe apenas um valor λ ∈ < tal que, ∀(v1 , . . . , vn ) ∈ V , tenha-se w0 (v1 , . . . , vn ) = λw(v1 , . . . , vn ). Demonstra¸cão: Como w é não trivial, existe o conjunto de vetores (ci )ni=1 tal que w(c1 , . . . , cn ) 6= 0 e tal conjunto é uma base de V (comentário 1.2.23, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte I). Suponha que (v1 , . . . , vn ) ∈ V e que va = vai ci para a = 1, . . . , n, logo w(v1 , . . . , vn ) = w(v1i1 ci1 , . . . , vnin cin ) = Pn Pn i1 in ´ltima igualdade provém da n-linearidade i1 =1 . . . in =1 v1 . . . vn w(ci1 , . . . , cin ), onde a u de w(v1 , . . . , vn ), conforme a defini¸cão 1.2.10 desta propriedade. No somatório m´ ultiplo, todos os termos que contenham vetores de base repetidos são nulos. Portanto, o somatório m´ ultiplo simplifica-se num somatório sobre todas as n! permuta¸cões de c1 , . . . , cn , ou seja, P σ(1) w(v1 , . . . , vn ) = σ v1 . . . vnσ(n) w(cσ(1) , . . . , cσ(n) ). Considerando que, de acordo com a defini¸cão de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23, w(cσ(1) , . . . , cσ(n) ) = (sinal σ) w(c1 , . . . , cn ), tem-se w(v1 , . . . , vn ) = αw(c1 , . . . , cn ), 26

σ(1)

onde α = σ (sinal σ) v1 . . . vnσ(n) . Em analogia, w0 (v1 , . . . , vn ) = αw0 (c1 , . . . , cn ). v1 ,...,vn ) , logo w0 (v , . . . , v ) = w0 (c1 ,...,cn ) Como w(c1 , . . . , cn ) 6= 0, tem-se α = w( 1 n w(c1 ,...,cn ) w(c1 ,...,cn ) P

w(v1 , . . . , vn ) = λw(v1 , . . . , vn ). Note que, como os reais w0 (v1 , . . . , vn ) e w(v1 , . . . , vn ) independem de qual for a base escolhida para o espa¸co V em que se encontram os vetores v1 , . . . , vn , esta u ´ltima expressão indica que o real λ = w0 (c1 , . . . , cn )/w(c1 , . . . , cn ) não depende de qual for a base escolhida. 2 Coment´ ario 1.2.24 (Fun. n-lin. Altern. e Base de Esp. Vet. - Parte II) Se n 0 n n w : V → < e w : V → < forem duas fun¸cões n-lineares alternantes e w : V → < for não trivial (defini¸cão de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23), existe uma base de V , grafada (ci )ni=1 , tal que w(c1 , . . . , cn ) 6= 0 (comentário 1.2.23, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte I). Tem-se, então, w0 (c1 , . . . , cn ) = λw(c1 , . . . , cn ), onde λ = 0 se w0 : V n → < for trivial. Por outro lado, como λ não depende do conjunto de vetores utilizado na expressão w0 (v1 , . . . , vn ) = λw(v1 , . . . , vn ) (teorema da unicidade da propor¸cão entre fun¸cões n-lineares alternantes 1.2.2), w0 : V n → < será trivial se λ = 0. Portanto, w0 : V n → < será não trivial se e somente se λ 6= 0. Isto indica que, se (ci )ni=1 for uma base de V tal que w(c1 , . . . , cn ) 6= 0 e se w0 : V n → < for qualquer fun¸cão n-linear alternante não trivial, então (ci )ni=1 será, também, tal que w0 (c1 , . . . , cn ) 6= 0. Teorema 1.2.3 (Dependˆ encia da Propor¸c˜ ao entre Fun. n-lin. Altern.) Seja w : V n → < uma fun¸cão n-linear alternante não trivial e seja a fun¸cão Tw : V n → < tal que Tw (v1 , . . . , vn ) = w(T (v1 ), . . . , T (vn )), onde (v1 , . . . , vn ) ∈ V e T ∈ V ⊗ V é uma transforma¸cão linear. O valor λ ∈ <, tal que Tw (v1 , . . . , vn ) = λw(v1 , . . . , vn ), é determinado apenas por T . Demonstra¸cão: Seja T ∈ V ⊗ V uma transforma¸cão linear T : v 7→ u, onde (v, u) ∈ V , sejam w : V n → < e w0 : V n → < duas fun¸cões n-lineares alternantes não triviais (defini¸cão de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23) e seja uma fun¸cão Tw : V n → < tal que Tw (v1 , . . . , vn ) = w(u1 , . . . , un ) = w(T (v1 ), . . . , T (vn )) [eq.1]. Evidentemente, Tw também é uma fun¸cão n-linear alternante logo, por causa do teorema da unicidade da propor¸cão entre fun¸cões n-lineares alternantes 1.2.2, existe um u ńico λ ∈ < tal que Tw (v1 , . . . , vn ) = λw(v1 , . . . , vn ) [eq.2]. Analogamente, Tw0 (v1 , . . . , vn ) = w0 (T (v1 ), . . . , T (vn )) [eq.3], sendo Tw0 (v1 , . . . , vn ) = λ0 w0 (v1 , . . . , vn ) [eq.4]. Porém, devido ao mesmo teorema 1.2.2, existe um u ńico µ ∈ < tal que w0 (v1 , . . . , vn ) = µw(v1 , . . . , vn ) [eq.5]. Subtituindo a eq.5 na eq.4 obtém-se Tw0 (v1 , . . . , vn ) = λ0 µw(v1 , . . . , vn ) [eq.6]. Como, de acordo com o teorema 1.2.2, a eq.5 é válida tanto para o argumento v1 , . . . , vn como para o argumento u1 , . . . , un , substituindo a eq.5 na eq.3 obtém-se Tw0 (v1 , . . . , vn ) = µw(T (v1 ), . . . , T (vn )). Substituindo antes a eq.1 e depois a eq.2 nesta u ´ltima expressão obtém-se Tw0 (v1 , . . . , vn ) = µλw(v1 , . . . , vn ), que comparada com a eq.6 produz λ0 = λ, desde que µ 6= 0. Mas, de acordo com o comentário 1.2.24, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte II, por causa da eq.5 o fato de que tanto w como w0 são não triviais implica em µ 6= 0. Portanto λ0 = λ e as eqs.2 e 4 mostram que λ não depende de qual é a fun¸cão n-linear alternante não trivial considerada, ou seja, λ depende apenas de T . 2 Defini¸c˜ ao 1.2.24 (Determinante de Transforma¸c˜ ao Linear) Seja a transforma¸cão linear T ∈ V ⊗ V . O determinante desta transforma¸c˜ ao, det T ∈ <, é definido pela igualdade (det T )w(v1 , . . . , vn ) = w(T (v1 ), . . . , T (vn )), ∀(v1 , . . . , vn ) ∈ V e 27

∀w : V n → <|w é n-linear alternante não trivial. Note que det é uma fun¸cão que, aplicada ao argumento T , produz como imagem o real λ apresentado no teorema 1.2.3, sobre a dependência da propor¸cão entre fun¸cões n-lineares alternantes, real este que depende apenas de T . A defini¸cão desta fun¸cão, portanto, é poss´ıvel por causa do que foi demonstrado no teorema citado. O dom´ınio da fun¸cão det é V ⊗ V , porque T ∈ V ⊗ V , enquanto que o seu contradom´ınio é <, porque λ ∈ <. Pode-se, então, escrever det : V ⊗ V → <. Note, também, que na defini¸cão 1.2.25 será apresentado o conceito de determinante de uma matriz, enquanto que agora está sendo apresentado o conceito de determinante de uma transforma¸cão linear. Coment´ ario 1.2.25 (Fun. n-lin. Altern. e Base de Esp. Vet. - Parte III) Seja uma fun¸cão n-linear alternante não trivial w : V n → <. Há um conjunto (ci )ni=1 tal que w(c1 , . . . , cn ) 6= 0 e este conjunto é uma base de V , conforme o comentário 1.2.23, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte I. De acordo com a defini¸cão de determinante de transforma¸cão linear 1.2.24 e o teorema 1.2.3, sobre a dependência da propor¸cão entre fun¸cões n-lineares alternantes, (det T )w(c1 , . . . , cn ) = w(T (c1 ), . . . , T (cn )) = Tw (c1 , . . . , cn ) = w(d1 , . . . , dn ), onde di = T ci , para i = 1, . . . , n. Esta expressão mostra que, quando (ci )ni=1 for uma base de V tal que w(c1 , . . . , cn ) 6= 0 e di = T ci para i = 1, . . . , n, se det T 6= 0 então (di )ni=1 será uma base de V tal que w(d1 , . . . , dn ) 6= 0. Mas, além de suficiente (uso do “se”), a condi¸cão det T 6= 0 também é necessária (uso do “somente se”) para que (di )ni=1 seja uma base de V tal que w(d1 , . . . , dn ) 6= 0. De fato, aplicando à igualdade Tw (c1 , . . . , cn ) = (det T )w(c1 , . . . , cn ) o teorema 1.2.2, referente à unicidade da propor¸cão entre fun¸cões n-lineares alternantes, percebe-se que det T = 0 implica em Tw trivial, logo implica em Tw (c1 , . . . , cn ) = w(d1 , . . . , dn ) = 0. Portanto, a seten¸ca completa diz que, se (ci )ni=1 for uma base de V tal que w(c1 , . . . , cn ) 6= 0 e se di = T ci para i = 1, . . . , n, então (di )ni=1 será uma base de V tal que w(d1 , . . . , dn ) 6= 0 se e somente se det T 6= 0. Defini¸c˜ ao 1.2.25 (Determinante de Matriz) Seja [Mi j ] uma matriz (defini¸cão de matriz 1.1.2) quadrada com n linhas e n colunas (tanto i como j poderiam ser super´ındices). O determinante desta matriz, det[Mi j ] é, por defini¸cão, det[Mi j ] =

(sinal σ) Mσ(1) 1 . . . Mσ(n) n ,

onde o somatório ocorre sobre todas as n! permuta¸cões do conjunto ordenado de n´ umeros naturais (1, 2, 3, . . . , n) referente às linhas da matriz. Note que na defini¸cão 1.2.24 foi apresentado o conceito de determinante de uma transforma¸cão linear, enquanto que agora está sendo apresentado o conceito de determinante de uma matriz. A partir da presente defini¸cão demostram-se os conhecidos resultados da álgebra matricial elementar det([Ai j ][Bj k ]) = det[Ai j ] det[Bj k ] , por causa das regras de multiplica¸cão matricial e det([Ai j ]T ) = det[Ai j ] , por causa da comutatividade da multiplica¸cão escalar, a qual P P produz σ (sinal σ) Mσ(1) 1 . . . Mσ(n) n = σ (sinal σ) M1 σ(1) . . . Mn σ(n) . Nesta defini¸cão de determinante de matriz, ambos os dois indicadores da matriz foram, arbitrariamente, considerados ´ındices. Evidentemente, cada um deles, independentemente do outro, poderia ser um ´ındice ou um super´ındice. 28

Coment´ ario 1.2.26 (Rela¸c˜ ao entre Determ. de Transf. Lin. e de Matriz) O determinante de uma transforma¸cão linear pode ser calculado em termos dos seus componentes associados às bases produto (ci ⊗ cj ) e (ci ⊗ cj ), sendo (ci )ni=1 uma base de V . De fato, a defini¸cão de determinante de transforma¸cão linear 1.2.24 mostra que (det T )w(c1 , . . . , cn ) = w(T (c1 ), . . . , T (cn )) = w((T i1j1 ci1 ⊗ cj1 )(c1 ), . . . , (T injn cin ⊗ cjn )(cn )) = w((cj1 · c1 )T i1j1 ci1 , . . . , (cjn · cn )T injn cin ) = w(δ j11 T i1j1 ci1 , . . . , δ jnn T injn cin ) = w(T i11 ci1 , . . . , T inn cin ), onde foi usada a defini¸cão de produto tensorial de vetores 1.2.12. P P Tem-se w(T i11 ci1 , . . . , T inn cin ) = ni1 =1 . . . nin =1 T i11 . . . T inn w(ci1 , . . . , cin ), por causa da n-linearidade de w(v1 , . . . , vn ), conforme a defini¸cão 1.2.10 desta propriedade. Neste m´ ultiplo somatório, todos os termos que contenham vetores de base repetidos são nulos. Portanto, o somatório m´ ultiplo simplifica-se num somatório sobre todas as n! permuta¸cões P σ(1) de c1 , . . . , cn , ou seja, w(T i11 ci1 , . . . , T inn cin ) = σ T 1 . . . T σ(n)n w(cσ(1) , . . . , cσ(n) ). Como, nesta u ´ltima igualdade, o primeiro membro é igual a (det T )w(c1 , . . . , cn ), enquanto que, de acordo com a defini¸cão de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23, w(cσ(1) , . . . , cσ(n) ) = (sinal σ) w(c1 , . . . , cn ), tem-se (det T )w(c1 , . . . , cn ) =

σ (sinal

σ) T

σ(1) 1

...

σ(1) 1

T σ(n)n w(c1 , . . . , cn ), logo det T = σ (sinal σ) T . . . T σ(n)n = det[T ij ], de acordo com a defini¸cão de determinante de matriz 1.2.25, sendo [T ij ] a matriz formada pelos componentes de T associados à base considerada, {ci ⊗ cj }. Analogamente, obtém-se det T = det[Ti j ]. De acordo com o comentário 1.2.14, sobre gi j ou g i j aplicado a componente de tensor, tem-se T ij = gk j T i k = g i k Tk j e Ti j = gk i T k j = g j k Ti k , logo P

det T = det[T ij ] = det[Ti j ] = det[gk j T i k ] = det[gk i T k j ] = det[g i k Tk j ] = det[g j k Ti k ] . Conforme o comentário 1.2.13, sobre componente associado do tensor identidade, tem-se para os componentes contravariantes e covariantes respectivamente 1 i j = g i j e 1i j = gi j , enquanto que para os componentes mistos tem-se 1 i j = δ i j e 1i j = δi j . Mas o comentário 1.2.6, sobre fun¸cões gi j e g i j , mostra que g i k gk j = δ i j . Então, de acordo com a expressão destacada, det 1 = det 1 i j = det[δ i j ] = det[g i k gk j ]. Como o indicador k representa o mesmo somatório, tanto usando a nota¸cão de Einstein 1.1.2, como em rela¸cão às regras elementares de multiplica¸cão matricial, tem-se det[g i k gk j ] = det([g i k ][gk j ]). Considerando a defini¸cão de determinante de matriz 1.2.25, conclui-se que det[g i k gk j ] = det([g i k ][gk j ]) = det[g i k ] det[gk j ] e det[δ i j ] = 1, logo det[g i k ] det[gk j ] = 1. Em resumo, enquanto os determinantes dos componentes mistos do tensor identidade são iguais a 1, o mesmo acontecendo, evidentemente, também com o produto destes determinantes, para os determinantes dos componentes contravariante e covariante somente se garante que o produto deles é igual a 1. Além disto, de acordo com o comentário 1.2.7, sobre base ortonormal dual, numa base ortonormal gk j = δk j e g i k = δ k j , portanto det[gk j ] = det[δk j ] = det[g k j ] = det[δ k j ] = 1, o que simplifica a equa¸cão destacada para det T = det[T ij ] = det[Ti j ] = det[T i j ] = det[Ti j ] . Coment´ ario 1.2.27 (Propriedades de Determinantes - Parte I) A fun¸cão det : V ⊗ V → <, apresentada na defini¸cão de determinante de transforma¸cão linear 1.2.24, tem as seguintes propriedades: 29

1. det(u ⊗ v) = 0, ∀(u, v) ∈ V . De fato, det(u ⊗ v)w(t1 , . . . , tn ) = w((u ⊗ v)(t1 ), . . . , (u⊗v)(tn )) = w((v·t1 )u, . . . , (v·tn )u), por causa da defini¸cão de produto tensorial de dois vetores, ou tensor simples, 1.2.12. Mas w((v · t1 )u, . . . , (v · tn )u) = 0 por causa da dependência linear entre os vetores presentes no argumento de w (comentário 1.2.23, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial parte I). 2. det(α1 ) = αn , onde α ∈ < e 1 é, de acordo com a defini¸cão 1.2.16, a transforma¸cão tensorial identidade para o espa¸co vetorial V de dimensão n. De fato, det(α1 )w(v1 , . . . , vn ) = w(α1 (v1 ), . . . , α1 (vn )) = w(αv1 , . . . , αvn ). Mas, por causa da n-linearidade de w, tem-se det(α1 )w(v1 , . . . , vn ) = αn w(v1 , . . . , vn ), ou det(α1 ) = αn . 3. det(ST ) = (det S)(det T ), porque det(ST )w(v1 , . . . , vn ) = w(ST (v1 ), . . . , ST (vn )) = w(S(T (v1 )), . . . , S(T (vn ))) = det(S)w(T (v1 ), . . . , T (vn )) = det(S) det(T )w(v1 , . . . , vn ), ou det(ST ) = det(S) det(T ) = det(T S). 4. det S T = det S. De fato, de acordo com o comentário 1.2.26, sobre determinante de transforma¸cão linear e de matriz, tem-se det S T = det[(S T ) i j ]. Mas, de acordo com o comentário 1.2.16, sobre transposi¸cão de tensor de segunda ordem, [(S T ) i j ] = [Si j ]T , logo det S T = det([Si j ]T ). Conforme a defini¸cão de determinante de matriz 1.2.25, det([Si j ]T ) = det[Si j ]. Portanto, det S T = det[Si j ] = det S, a u ´ltima igualdade sendo novamente devida ao comentário 1.2.26. Defini¸c˜ ao 1.2.26 (Tra¸co de Transforma¸c˜ ao Linear) Semelhantemente à defini¸cão da fun¸cão determinante de transforma¸cão linear 1.2.24, de acordo com a qual det : V ⊗ V → <, um outro escalar pode ser a imagem da mesma transforma¸cão linear, por meio de uma outra fun¸cão. Para definir esta outra fun¸cão, suponha que w : V n → < seja uma fun¸cão n-linear alternante não trivial e que a fun¸cão Tew : V n → < seja tal que P Tew (v1 , . . . , vn ) = ni=1 w(v1 , . . . , T (vi ), . . . , vn ), onde (v1 , . . . , vn ) ∈ V e T ∈ V ⊗ V é uma transforma¸cão linear. Demonstra-se que Tew também é uma fun¸cão n-linear alternante. Logo, por causa do teorema 1.2.2, sobre a unicidade da propor¸cão entre fun¸cões nlineares alternantes, existe um u ńico µ ∈ < tal que Tew (v1 , . . . , vn ) = µw(v1 , . . . , vn ). O teorema 1.2.3, sobre dependência na propor¸cão entre fun¸cões n-lineares alternantes, foi demonstrado por meio da fun¸cão Tw : V n → < tal que Tw (v1 , . . . , vn ) = w(T (v1 ), . . . , T (vn )). Ele podia, porém, ser também demonstrado usando-se, ao invés P de Tw , a fun¸cão Tew : V n → < tal que Tew (v1 , . . . , vn ) = ni=1 w(v1 , . . . , T (vi ), . . . , vn ). Portanto, demostra-se que µ não depende da escolha da fun¸cão w, ou seja, µ depende apenas de T . Seja a transforma¸cão linear T ∈ V ⊗ V . O tra¸co desta transforma¸c˜ ao, trT ∈ <, Pn é definido pela igualdade (trT )w(v1 , . . . , vn ) = i=1 w(v1 , . . . , T (vi ), . . . , vn ), ∀(v1 , . . . , vn ) ∈ V e ∀w : V n → <|w é n-linear alternante não trivial. Note que trT é o valor µ apresentado no parágrafo anterior, o qual depende apenas de T . O dom´ınio da fun¸cão tr é V ⊗ V , porque T ∈ V ⊗ V , enquanto que o seu contradom´ınio é <, porque trT ∈ <. Pode-se, então, escrever tr : V ⊗ V → <, analogamente a det : V ⊗ V → <. 30

Coment´ ario 1.2.28 (Rela¸c˜ ao entre Tra¸co de Transf. Lin. e de Matriz) O tra¸co de uma transforma¸cão linear pode ser calculado em termos dos seus componentes associados às bases (ci ⊗ cj ) e (ci ⊗ cj ), sendo (ci )ni=1 uma base de V . De fato, a defini¸cão P de tra¸co de transforma¸cão linear 1.2.26 mostra que (trT )w(c1 , . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , P P T (ci ), . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , (T k j ck ⊗ cj )(ci ), . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , (cj · ci )T k j ck , . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , δ ji T k j ck , . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , T k i ck , . . . , cn ), onde usouse a defini¸cão de produto tensorial de vetores 1.2.12. Neste m´ ultiplo somatório, todos os termos que contenham vetores de base repetidos são nulos. Por isto, para i = 1 existe apenas o termo w(T 1 1 c1 , c2 , . . . , cn ) = T 1 1 w(c1 , c2 , . . . , cn ), onde a igualdade é causada pela n-linearidade da fun¸cão w (defini¸cão de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23), para i = 2 existe apenas o termo w(c1 , T 2 2 c2 , . . . , cn ) = T 2 2 w(c1 , c2 , . . . , cn ) etc.. Portanto, (trT )w(c1 , . . . , cn ) = T i i w(c1 , . . . cn ), ou trT = T i i onde, de acordo com a nota¸cão de Einstein 1.1.2, T i i é soma dos elementos diagonais da matriz [T i j ], chamada tra¸co da matriz [T i j ], logo tr[T i j ] = [T i i ] = T i i . Analogamente para os componentes associados à base (ci ⊗ cj ). Tem-se, portanto, P

trT = T i i = tr[T i j ] = Ti i = tr[Ti j ] . De acordo com o comentário 1.2.14, sobre gi j ou g i j aplicado a componente de tensor, tem-se T i i = Ti i = gi j T i j = g i j Ti j . Mas, em termos matriciais, tr[T i j ] = tr[gk j T i k ] = tr([T i k ][gk j ]) = tr[g i k Tk j ] = tr([g i k ][Tk j ]), havendo expressões análogas para tr[Ti j ] (notar que [gi j T i j ] = gi j T i j é um u ńico escalar, logo não representa uma composi¸cão de tensores de segunda ordem, de acordo com sua defini¸cão 1.2.19). Portanto, embora trT = tr[T i j ] = tr[T i j ], os tra¸cos das matrizes T i j e Ti j não precisam ser iguais a trT . Mas, de acordo com o comentário 1.2.7, sobre base ortonormal dual, numa base ortonormal gk j = δk j e g i k = δ i k , logo [gk j ] = [g i k ] = [1]. Então, numa base ortonormal os tra¸cos das matrizes T i j e Ti j são iguais a trT . Coment´ ario 1.2.29 (Propriedades de Tra¸cos) A fun¸cão tr : V ⊗ V → <, apresentada na defini¸cão de tra¸co de uma transforma¸cão linear 1.2.26, tem as seguintes propriedades: 1. tr(αS + T ) = αtrS + trT . De fato, tr(αS + T )w(c1 , . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , (αS + P P T )(ci ), . . . , cn ) = ni=1 αw(c1 , . . . , S(ci ), . . . , cn ) + ni=1 w(c1 , . . . , T (ci ), . . . , cn ) = (αtrS + trT )w(c1 , . . . , cn ), por causa da n-linearidade da fun¸cão w (defini¸cão de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23). Portanto o tra¸co é uma fun¸cão linear do espa¸co V ⊗ V (o qual é o espa¸co das transforma¸cões lineares do espa¸co vetorial V para o próprio espa¸co vetorial V ) para o espa¸co <. Note que o determinante é uma fun¸cão não linear do espa¸co V ⊗ V para o espa¸co <. P

2. tr1 = n. De fato, tr1 w(c1 , . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , 1 (ci ), . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , cn ) = nw(c1 , . . . , cn ), por causa da defini¸c˜ao de transforma¸c˜ao tensorial identidade 1.2.16. P

3. tr(v ⊗ u) = v · u. De fato, sendo (ci ) uma base do espa¸co vetorial V , para P (v, u) ∈ V tem-se tr(v ⊗ u)w(c1 , . . . , cn ) = ni=1 w(c1 , . . . , (v ⊗ u)(ci ), . . . , cn ) = Pn Pn j i=1 w(c1 , . . . , (u · ci )v, . . . , cn ) = i=1 w(c1 , . . . , (u · ci )v cj , . . . , cn ), onde usou-se a defini¸cão de produto tensorial de vetores 1.2.12. Neste m´ ultiplo somatório, todos os termos que contenham vetores de base repetidos são nulos. Por isto, para i = 1 existe apenas o termo w((u · c1 )v 1 c1 , c2 , . . . , cn ) = (u · c1 )v 1 w(c1 , c2 , . . . , cn ), onde a igualdade é causada pela n-linearidade da fun¸cão w (defini¸cão de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23), para i = 2 existe apenas o termo w(c1 , (u · c2 )v 2 c2 , . . . , cn ) = P (u·c2 )v 2 w(c1 , c2 , . . . , cn ) etc.. Portanto, tr(v⊗u)w(c1 , . . . , cn ) = ( ni=1 u·ci v i )w(c1 , . . . , cn ) = (u · v)w(c1 , . . . , cn ). 4. tr(S T ) = trS. De fato, de acordo com o comentário 1.2.28, sobre rela¸cão entre tra¸co de transforma¸cão linear e de matriz, tem-se tr(S T ) = (S T )i i = (S T )i i . Mas, de acordo com o comentário 1.2.16, sobre transposi¸cão de tensor de segunda ordem, [(S T )i j ] = [Si j ]T , logo (S T )i i = tr[(S T )i j ] = tr([Si j ]T ) = tr[Si j ] = Si i = trS onde o comentário 1.2.28 foi novamente usado. 5. tr(ST ) = tr(T S). De fato, novamente de acordo com o comentário 1.2.28, temse tr(ST ) = (ST )i i = (ST )i i . Mas (ST )i i = tr[(ST )i j ] = tr([S i k ][T k j ]), onde a segunda igualdade provém da defini¸cão de composi¸cão de tensores de segunda ordem 1.2.19. Analogamente, tem-se (T S)i i = tr[(T S)i j ] = tr([T i k ][S kj ]). Como tanto i, como k e j podem assumir valores inteiros desde 1 até n, de acordo com a álgebra matricial elementar a soma dos elementos diagonais da matriz produto [S i k ][T k j ] é igual à soma dos elementos diagonais da matriz produto [T i k ][S kj ], logo tr(ST ) = (ST )i i = (ST )i i = (T S)i i = (T S)i i = tr(T S). Note que o terceiro item do comentário 1.2.27, sobre propriedades de determinantes - parte I, mostra que det(ST ) = det(T S), semelhantemente a tr(ST ) = tr(T S). Porém, enquanto det(ST ) = (det S)(det T ), geralmente tem-se tr(ST ) 6= (trS)(trT ). Coment´ ario 1.2.30 (Propriedades de Determinantes - Parte II) det(1 + u ⊗ v) = 1+u·v. De fato, det(1 +u⊗v)w(c1 , . . . , cn ) = w((1 +u⊗v)(c1 ), . . . , (1 +u⊗v)(cn )) = w((c1 + (v · c1 )u), . . . , (cn + (v · cn )u)), onde foram usadas as defini¸cões de determinante de transforma¸cão linear 1.2.24 e de produto tensorial de vetores 1.2.12. Como, de acordo com a defini¸cão de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23, w é uma fun¸cão n-linear, tem-se P w((c1 +(v·c1 )u), . . . , (cn +(v·cn )u)) = w(c1 , . . . , cn )+ ni=1 w(c1 , . . . , (v·ci )u, . . . , cn )+ termos envolvendo mais do que um u ´ nico vetor u no argumento de w . Mas, de acordo com o comentário sobre redu¸cão no n´ umero de permuta¸cões distingu´ıveis 1.2.22, tais termos são nulos, porque v · ci ∈ <. Portanto, usando novamente a defini¸cão 1.2.12 tem-se det(1 + u ⊗ v)w(c1 , . . . , cn ) = P w(c1 , . . . , cn ) + ni=1 w(c1 , . . . , (u ⊗ v)(ci ), . . . , cn ) = (1 + tr(u ⊗ v))w(c1 , . . . , cn ), onde au ´ltima igualdade provém do uso da defini¸cão de tra¸co de transforma¸cão linear 1.2.26. A utiliza¸cão do terceiro item do comentário 1.2.29, referente a propriedades de tra¸cos, mostra que det(1 + u ⊗ v)w(c1 , . . . , cn ) = (1 + u · v)w(c1 , . . . , cn ).

1.2.10

Produto Interno, Invers˜ ao, Ortogonalidade e Grupo de Tensores de Segunda Ordem

Defini¸c˜ ao 1.2.27 (Produto Interno de Tens. de Segunda Ordem) O produto interno de dois tensores de segunda ordem (A, B) ∈ V ⊗ V é, por defini¸cão, A · B = tr(AB T ). A fun¸cão · : (V ⊗ V )2 → < é bilinear, simétrica e de defini¸cão positiva, qualidades estas mostradas, para fun¸cões, na defini¸cão de produto interno de vetores 1.2.5. Coment´ ario 1.2.31 (Propriedades do Produto Interno Tensorial) Pode-se facilmente mostrar que: 1. 1 · A = trA, 2. A · B = B · A, 3. para (A, B, C) ∈ V ⊗ V tem-se (AB) · C = B · (AT C) = A · (CB T ), 4. (v ⊗ u) · A = v · A(u) e 5. se (ci )ni=1 for uma base de V , então (ci ⊗ cj ) · (ci ⊗ cj ) = (ci ⊗ cj ) · (ci ⊗ cj ) = n2 . Defini¸c˜ ao 1.2.28 (Norma de Tensor de Segunda Ordem) A norma de um ten√ √ sor de segunda ordem A ∈ V ⊗V é, por defini¸cão, |A| = A · A = trAAT . Mostra-se facilmente que, numa base ortonormal, |A| =

(A1 1 )2 + (A1 2 )2 + . . . + (An n )2 , enquanto

que, em qualquer base, |A| = (A1 1 )2 + (A1 2 )2 + . . . + (Ann )2 (analogamente para a representa¸cão contravariante e para a outra representa¸cão mista). Nota¸c˜ ao 1.2.6 (Aplica¸c˜ ao de Tensor a Tensor) Sejam M e N dois tensores de ordem k = 0, 1, 2, 3 . . .. O conceito de aplica¸cão do tensor M ao tensor N é grafado M [N ] e difere do conceito de composi¸cão de tensores de segunda ordem apresentado na defini¸cão 1.2.19. Por exemplo, para h ∈ < (escalar, ou tensor de ordem zero), (v, u, w) ∈ V 2

(vetores, ou tensores de primeira ordem), (A, B) ∈ V ⊗ V ≡⊗ V (tensores de segunda k≥2

ordem), T ∈ ⊗ V (tensor de ordem k ≥ 2), tem-se: 1. M [h] = hM , ou seja, a aplica¸cão de um tensor de ordem k = 0, 1, 2, 3 . . . a um escalar é o produto deste escalar pelo tensor considerado; 2. v[u] = v · u, conforme a defini¸cão de produto interno de vetores 1.2.5; 3. T [u] = T (u), conforme mostrado a seguir; 4. (v ⊗ u)[w] = (v ⊗ u)(w) = (u · w)v, conforme a defini¸cão de tensor simples 1.2.12; 5. A[B] = A · B = tr(AB T ), conforme a defini¸cão de produto interno de tensores de segunda ordem 1.2.27 e 6. (v ⊗ u)[B] = (v ⊗ u) · B = v · Bu, conforme o quarto item do comentário sobre propriedades do produto interno tensorial 1.2.31.

O item 4 é um caso especial do item 3, válido quando a transforma¸cão linear for um tensor simples, ou seja, quando T = v ⊗ u. Além disto, o item 6 é um caso especial do item 5, válido quando A = v ⊗ u. Para explicar o item 3, considere os componentes de T e de u associados às suas respectivas bases. Supondo que i seja o indicador (´ındice ou super´ındice) mais à direita nos componentes de T e que j seja o indicador de u, cada componente de T (u) terá todos os indicadores dos componentes de T , salvo o u ´ltimo à direita e será a soma dos produtos dos componentes de T e u que apresentam i = j. Logo, como a ordem de T é k ≥ 2, a ordem de T (u) é k − 1. Coerentemente com o exposto na defini¸cão de transforma¸cão n-linear 1.2.10, isto indica que a aplica¸cão de T a um argumento formado por k − 1 vetores produz como imagem um vetor. Por isto, a representa¸cão matricial de A(u) é a matriz coluna resultante do produto matricial elementar entre a matriz quadrada que representa A e a matriz coluna que representa u. Por outro lado, embora a representa¸cão matricial da composi¸cão de tensores de segunda ordem, simbolizada A ◦ B ou AB conforme sua defini¸cão 1.2.19, também seja o resultado de um produto matricial elementar, ela não é simbolizada A(B) e, conforme mostra a pen´ ultima linha, A[B] tem outro significado. Ou seja, a composi¸cão A ◦ B não é a aplica¸cão de A a B, mas sim a aplica¸cão de B a u, seguida da aplica¸cão de A ao vetor disto resultante, logo (A ◦ B)(u) = A(B(u)) = (AB)(u). O anterior item 1 mostra que a aplica¸cão de um tensor a um escalar (tensor de ordem 0) não reduz a ordem do tensor. Os itens 2, 3 e 4 mostram que a aplica¸cão de um tensor a um vetor (tensor de ordem 1) reduz em uma unidade a ordem do tensor. Os itens 5 e 6 indicam que a aplica¸cão de um tensor a um tensor de ordem 2 reduz em duas unidades a ordem do tensor. Esta é a regra geral envolvida no conceito de aplica¸cão de tensor a tensor. Evidentemente, não se pode aplicar um tensor a outro cuja ordem seja superior àquela do primeiro. Defini¸c˜ ao 1.2.29 (Tensor Inverso de Segunda Ordem) Seja o tensor de segunda ordem A ∈ V ⊗V e seja A−1 ∈ V ⊗V |AA−1 = A−1 A = 1 , sendo A−1 u ńico e denominado −1 inverso de A. Quando A existir, A será denominado invert´ıvel ou n˜ ao singular e, no caso contrário, A será chamado singular. De acordo com os itens 2 e 3 do comentário 1.2.27, AA−1 = A−1 A = 1 implica em det(A−1 ) = (det A)−1 , logo A é invert´ıvel somente se det A 6= 0. Demonstra-se, porém, que A é invert´ıvel se e somente se det A 6= 0. Coment´ ario 1.2.32 (Propriedades do Tensor Inverso) Se, de acordo com a defini¸cão de tensor inverso 1.2.29, A e B forem invert´ıveis, demonstra-se que: 1. (AB)−1 = B −1 A−1 e 2. (A−1 )T = (AT )−1 = A−T , onde A−T é o tensor inverso transposto do tensor A. Nota¸c˜ ao 1.2.7 (Subespa¸co Invert´ıvel) Define-se, em V ⊗ V , o subespa¸co Inv (V ) = {F ∈ V ⊗ V |F é invert´ıvel}. Defini¸c˜ ao 1.2.30 (Tensor Ortogonal de Segunda Ordem) O tensor de segunda ordem Q ∈ V ⊗ V é denominado uma transforma¸cão linear ortogonal se ele preservar

o produto interno em V , isto é, se, ∀(u, v) ∈ V , ocorrer Q(u) · Q(v) = u · v. De acordo com a defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17, Q(u) · Q(v) = v · QT Q(u), o que indica, por causa da simetria do produto interno de vetores apresentada na sua defini¸cão 1.2.5, que QT Q = 1 ou, considerando a defini¸cão de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29, que QT = Q−1 . Coment´ ario 1.2.33 (Propriedades de Tensor Ortogonal) Demonstra-se que: 1. | det Q| = 1, sendo a transforma¸cão ortogonal pr´ opria se det Q = 1 e impr´ opria se det Q = −1, 2. |Q(v)| = |v|, logo a transforma¸cão ortogonal preserva a norma do vetor, de acordo sua defini¸cão 1.2.6 e 3. θ(Q(v), Q(u)) = θ(v, u), logo a transforma¸cão ortogonal preserva o ângulo entre os vetores, de acordo com sua defini¸cão 1.2.7. 4. Se B = QAQT (ou se A = QT BQ), de acordo com o item: (a) 3 do comentário 1.2.27, sobre propriedades de determinantes - parte I, tem-se det B = det(QAQT ) = det(QT QA) = det(1 A) = det A. Considerando o comentário 1.2.26, sobre a rela¸cão entre determinante de transforma¸cão linear e de matriz, igualdade análoga a det B = det A pode ser escrita para qualquer uma das quatro poss´ıveis representa¸cões matriciais de A e B, desde que, evidentemente, as representa¸cões de A e B sejam do mesmo tipo. (b) 5 do comentário 1.2.29, sobre propriedades de tra¸cos, tem-se trB = tr(QAQT ) = tr(QT QA) = tr(1 A) = trA. Considerando o comentário 1.2.28, sobre a rela¸cão entre tra¸co de transforma¸cão linear e de matriz, igualdade análoga a trB = trA pode ser escrita para qualquer uma das quatro poss´ıveis representa¸cões matriciais de A e B, desde que, evidentemente, as representa¸cões de A e B sejam do mesmo tipo. Defini¸c˜ ao 1.2.31 (Grupo de Tensores de Segunda Ordem) O conjunto G de tensores de segunda ordem será denominado um grupo quando ele apresentar as seguintes propriedades, onde o produto AB não necessariamente indica a composi¸cão, conforme sua defini¸cão 1.2.19: 1. se (A, B) ∈ G então AB ∈ G, 2. se (A, B, C) ∈ G então A(BC) = (AB)C, 3. ∃ 1 ∈ G tal que, ∀A ∈ G, tenha-se 1 A = A1 = A, onde 1 é o tensor identidade, conforme sua defini¸cão 1.2.16 e 4. ∀A ∈ G ∃ A−1 tal que AA−1 = A−1 A = 1 . Nota¸c˜ ao 1.2.8 (Grupos Especiais) Os grupos abaixo citados possuem representa¸cões espec´ıficas:

1. Considerando o caso espec´ıfico em que, na defini¸cão de grupo de tensores de segunda ordem 1.2.31, AB indique a composi¸cão A ◦ B, percebe-se que, usando a nota¸cão para subespa¸co invert´ıvel 1.2.7, Inv (V ) é um grupo. Por isto, Inv (V ) é também denominado grupo linear geral de V , ou GL(V ). 2. Considerando a defini¸cão de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30, o conjunto O (V ) = {Q ∈ V ⊗ V | Q é ortogonal} forma um grupo denominado grupo ortogonal de V . 3. O+ (V ) = {Q ∈ O (V )| det Q = 1}, onde o conjunto O+ (V ) forma um grupo porque o elemento identidade do conjunto O (V ) pertence a este seu subconjunto. O subconjunto de O (V ) cujos elementos apresentam o valor −1 como determinante não formam um grupo, porque não há elemento identidade neste subconjunto. O subgrupo O+ (V ) do grupo O (V ) é denominado grupo ortogonal pr´ oprio, ou grupo rotacional de V , porque seus elementos são rota¸cões. 4. U (V ) = {T ∈ V ⊗ V | | det T | = 1}, denominado grupo unimodular de V , porque seus elementos são chamados tensores de segunda ordem unimodulares. 5. SL(V ) = {T ∈ V ⊗ V | det T = 1}, denominado grupo linear especial de V . Evidentemente, tem-se ( +

O (V ) ⊂

1.2.11

SL(V ) O (V )

)

⊂ U (V ) ⊂ GL(V ) .

Elemento de Volume

Defini¸c˜ ao 1.2.32 (Classe e Base de Orienta¸c˜ ao Positiva) Duas fun¸cões alternann tes n-lineares não triviais w1 : V → < e w2 : V n → < (defini¸cão de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23) são ditas equivalentes se w1 (c1 , . . . , cn ) = λw2 (c1 , . . . , cn )|λ ∈ <, λ > 0 e, conforme o comentário 1.2.23, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte I, (ci )ni=1 é uma base de V tal que w2 (c1 , . . . , cn ) 6= 0. De acordo com o comentário 1.2.24, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte II, a u ńica outra possibilidade existente, além de λ > 0, é λ < 0. A rela¸c˜ ao de equivalˆ encia w1 (c1 , . . . , cn ) = λw2 (c1 , . . . , cn )|λ ∈ < e λ > 0 separa o conjunto das fun¸cões alternantes n-lineares não triviais w em duas classes. De acordo com a teoria de conjuntos, toda rela¸cão de equivalência produz uma parti¸cão, do conjunto a que ela se aplica, em subconjuntos chamados classes. Classes não se interceptam, a união delas coincide com o conjunto que as contém e os elementos que formam cada classe são ditos equivalentes entre si. No presente caso, os elementos são as fun¸cões w, as classes são duas e são denominadas: classe com orienta¸c˜ ao positiva de fun¸cões w de V , grafada ∆, que contém fun¸cões alternantes n-lineares não triviais w cujos valores w(c1 , . . . , cn ) apresentam todos eles o mesmo sinal (positivo ou negativo, de acordo com qual for a espec´ıfica base (ci )ni=1 utilizada) e classe com orienta¸c˜ ao oposta de fun¸cões w de V , grafada ∆oposta , que contém fun¸cões alternantes n-lineares não triviais w cujos valores w(c1 , . . . , cn ) também apresentam, todos eles, o mesmo sinal, o qual é: 36

negativo no caso de, para a mesma base (ci )ni=1 , a classe ∆ apresentar sinal positivo, ou positivo no caso de, para a mesma base (ci )ni=1 , a classe ∆ apresentar sinal negativo. Note que metade das fun¸cões w encontra-se em cada uma das duas classes. Se (ci )ni=1 for uma base de V tal que, ∀w ∈ ∆, tenha-se w(c1 , . . . , cn ) > 0, esta será uma base orientada positivamente. Portanto, se (ci )ni=1 não for orientada positivamente, ∀w ∈ ∆ ter-se-á w(c1 , . . . , cn ) < 0. Além disto, se (ci )ni=1 for orientada positivamente, ∀w ∈ ∆oposta ter-se-á w(c1 , . . . , cn ) < 0. Logo, se esta base não for orientada positivamente, ∀w ∈ ∆oposta ter-se-á w(c1 , . . . , cn ) > 0. Evidentemente, se forem trocados entre si os conjuntos de fun¸cões arbitrariamente rotulados ∆ e ∆oposta , as bases de orienta¸cão positiva passarão a ser as bases não orientadas positivamente e vice-versa. Defini¸c˜ ao 1.2.33 (Transforma¸c˜ ao Linear Orienta¸c˜ ao Preservante) Seja a transforma¸cão linear, no caso tensor de segunda ordem, A ∈ V ⊗ V e seja (v1 , . . . , vn ) ∈ V . A transforma¸cão A será orienta¸c˜ ao preservante se, ∀w ∈ ∆, ocorrer que Aw ∈ ∆|Aw (v1 , . . . , vn ) = w(A(v1 ), . . . , A(vn )), onde ∆ é a classe das fun¸cões alternantes n-lineares não triviais com orienta¸cão positiva, conforme a defini¸cão de classe e base de orienta¸cão positiva 1.2.32. Evidentemente, se A for orienta¸cão preservante, então ∀w ∈ ∆oposta ter-se-á que Aw ∈ ∆oposta |Aw (v1 , . . . , vn ) = w(A(v1 ), . . . , A(vn )). De acordo com a defini¸cão de determinante de transforma¸cão linear 1.2.24, Aw (v1 , . . . , vn ) = (det A)w(v1 , . . . , vn ). Logo, a transforma¸cão A será orienta¸cão preservante se e somente se det A > 0. Por exemplo, sejam (ci )ni=1 e (¯ci )ni=1 duas bases do espa¸co V e seja a transforma¸cão linear, no caso tensor de segunda ordem A, tal que c¯i = A(ci ), para i = 1, . . . , n, logo (A(c1 ), . . . , A(cn )) = (¯c1 , . . . , c¯n ). Se det A > 0 ou det A < 0, as bases (ci )ni=1 e (¯ci )ni=1 terão respectivamente orienta¸c˜ ao igual ou oposta. Defini¸c˜ ao 1.2.34 (Fun¸c˜ ao e Tensor Elemento de Volume) Seja V um espa¸co vetorial tridimensional, seja (ei )3i=1 uma base ortonormal de V orientada positivamente e seja uma fun¸cão alternante trilinear não trivial com orienta¸cão positiva w : V 3 → <, logo w ∈ ∆, de acordo com a defini¸cão de classe e base de orienta¸cão positiva 1.2.32. Impondo w : (e1 , e2 , e3 ) 7→ 1, a fun¸cão será bem definida, representada por e e denominada elemento de volume. De fato, devido à defini¸cão de fun¸cão n-linear alternante 1.2.23, a imposi¸cão e : (e1 , e2 , e3 ) 7→ 1 implica em e(e1 , e2 , e3 ) = 1, e(e2 , e3 , e1 ) = 1, e(e3 , e1 , e2 ) = 1, e(e3 , e2 , e1 ) = −1, e(e1 , e3 , e2 ) = −1 e e(e2 , e1 , e3 ) = −1, onde todas as permuta¸cões pares (defini¸cão de permuta¸cão 1.2.22) são positivas porque e ∈ ∆. A mesma defini¸cão 1.2.23 indica, também, que o valor da imagem da fun¸cão e será nulo sempre que, no seu argumento, estiver repetido um dos três vetores da base (ei )3i=1 . Por outro lado, a defini¸cão de transforma¸cão n-linear 1.2.10 mostra que, dadas as informa¸cões anteriores, a imagem de e(u, v, w) é bem definida ∀(u, v, w) ∈ V . Logo, para definir completamente uma fun¸cão n-linear alternante não trivial basta informar um u ńico elemento da fun¸cão,

tal como faz a imposiÂ¸cË&#x153;ao e : (e1 , e2 , e3 ) 7â&#x2020;&#x2019; 1. Conforme colocado na definiÂ¸cË&#x153;ao de tensor de ordem k, numerada 1.2.20, a funÂ¸cË&#x153;ao elemento de volume, e, Â´e a transformaÂ¸cË&#x153;ao escalar correspondente ao tensor elemento de volume, e, de terceira ordem, o qual pertence ao espaÂ¸co de produto tensorial V â&#x160;&#x2014; V â&#x160;&#x2014; V , 3

ou seja, e â&#x2C6;&#x2C6;â&#x160;&#x2014; V . Um tensor de terceira ordem pode ser representado em termos dos componentes associados a qualquer uma de suas 23 = 8 bases. Mas, de acordo com o comentÂário 1.2.7, sobre base ortonormal dual, as oito bases sË&#x153;ao iguais entre si, porque P P P a base considerada Âé ortonormal. Tem-se, entË&#x153;ao, e = 3i=1 3j=1 3i=k i j k ei â&#x160;&#x2014; ej â&#x160;&#x2014; ek , onde i j k = e(ei , ej , ek ) Âé um dos 33 = 27 componentes do tensor de terceira ordem 3 3 3 e, associados à base (ei â&#x160;&#x2014; ej â&#x160;&#x2014; ek )i=1 ca do j=1 k=1 . De acordo com a primeira sentenÂ¸ parÂágrafo anterior, 1. 1 2 3 = 2 3 1 = 3 1 2 = 1 [permutaÂ¸cË&#x153;oes pares de (1,2,3)], 2. 3 2 1 = 1 3 2 = 2 1 3 = â&#x2C6;&#x2019;1 [permutaÂ¸cË&#x153;oes Â´Äąmpares de (1,2,3)] e 3. sË&#x153;ao nulos os demais 21 componentes (algarismo 1, 2 ou 3 repetido no Â´Äąndice de ). Por causa destes valores assumidos, i j k Âé denominado sÂ´Äąmbolo de permutaÂ¸cË&#x153; ao. Ainda de acordo com a definiÂ¸cË&#x153;ao 1.2.20, os 27 valores do sÂ´Äąmbolo de permutaÂ¸cË&#x153;ao podem ser ordenados de modo a formar uma matriz cÂ´ ubica com um valor no centro do cubo, um valor no centro de cada uma das seis faces, um valor no meio de cada uma das doze arestas e um valor em cada um dos oito vÂértices. Entre todos estes valores, apenas nË&#x153;ao sË&#x153;ao nulos aqueles localizados no meio de seis arestas. Os seis pontos correspondentes formam um hexÂágono regular num plano perpendicular à diagonal do cubo que passa pelos vÂértices onde se localizam 1 1 1 e 3 3 3 . Se o hexÂágono for substituÂ´Äądo por dois triË&#x2020;angulos equilÂáteros cujos centros coincidam com o centro do hexÂágono, formando assim uma figura com forma de estrela de seis pontas, o triË&#x2020;angulo que contiver 1 2 3 corresponderÂá às permutaÂ¸cË&#x153;oes pares. ComentÂ´ ario 1.2.34 (Propriedades do SÂ´Äąmbolo de PermutaÂ¸cË&#x153; ao) Sejam a, b e c trË&#x2020;es pares ordenados bem determinados, sendo cada elemento do par escolhido entre os trË&#x2020;es algarismos 1, 2 e 3. Evidentemente, existem 3! = 6 possÂ´Äąveis ordenamentos do conjunto {a, b, c}, constituÂ´Äądo por estes trË&#x2020;es pares. Sejam, tambÂém, os trË&#x2020;es pares ordenados (i, l), (j, m), (k, n), onde i, j, k, l, m e n sË&#x153;ao Â´Äąndices do sÂ´Äąmbolo de permutaÂ¸cË&#x153;ao. Para estes pares de Â´Äąndices, sÂó Âé permitido o ordenamento dado por ((i, l), (j, m), (k, n)). O conjunto ordenado ((i, l), (j, m), (k, n)) poderÂá ser igualado a qualquer uma das seis possÂ´Äąveis permutaÂ¸cË&#x153;oes do ordenamento do conjunto {a, b, c}. Analogamente, suponha que sÂó existam os pares a e b, considere que os dois pares ordenados de Â´Äąndices (j, m) e (k, n) sejam sempre mantidos na ordem ((j, m), (k, n)) e que este conjunto ordenado possa ser igualado a qualquer uma das duas possÂ´Äąveis permutaÂ¸cË&#x153;oes do ordenamento de {a, b}. Ainda, considere apenas o par a e que (k, n) possa ser igualado a a. De acordo com a definiÂ¸cË&#x153;ao de funÂ¸cË&#x153;ao e tensor elemento de volume 1.2.34, para os 33 = 27 componentes i j k do tensor e demonstra-se que: 1. Existem 33 Ă&#x2014;33 = 36 = 729 possÂ´Äąveis produtos i j k l m n , entre os quais 6Ă&#x2014;6/2 = 18 iguais a 1, outros 18 iguais a â&#x2C6;&#x2019;1 e os restantes 693 nulos. Os 18 produtos iguais a 1 sË&#x153;ao obtidos igualando ((i, l), (j, m), (k, n)) às 6 permutaÂ¸cË&#x153;oes de cada um dos 38

trË&#x2020;es conjuntos distintos {a, b, c}1 , {a, b, c}2 e {a, b, c}3 , os quais sË&#x153;ao os u Âńicos que nË&#x153;ao anulam o produto nem produzem resultado negativo. Por exemplo, podese considerar {a, b, c}1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, {a, b, c}2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} e {a, b, c}3 = {(1, 3), (2, 1), (3, 2)}. Os 18 produtos iguais a â&#x2C6;&#x2019;1 sË&#x153;ao obtidos igualando ((i, l), (j, m), (k, n)) às 6 permutaÂ¸cË&#x153;oes de cada um dos trË&#x2020;es conjuntos distintos {a, b, c}4 , {a, b, c}5 e {a, b, c}6 , os quais sË&#x153;ao os u Âńicos que nË&#x153;ao anulam o produto nem produzem resultado positivo. Por exemplo, pode-se considerar {a, b, c}4 = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}, {a, b, c}5 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)} e {a, b, c}6 = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}. 2. Existem 32 Ă&#x2014; 32 = 34 = 81 somatÂórios de produtos 3i=1 i j k i m n = Î´j m Î´k n â&#x2C6;&#x2019; Î´j n Î´k m , entre os quais 6 iguais a 1, outros 6 iguais a â&#x2C6;&#x2019;1 e os restantes 69 nulos. Os 6 somatÂórios de produtos iguais a 1 sË&#x153;ao obtidos igualando ((j, m), (k, n)) às 2 permutaÂ¸cË&#x153;oes de cada um dos trË&#x2020;es conjuntos distintos {a, b}1 , {a, b}2 e {a, b}3 , os quais sË&#x153;ao os u Âńicos que nË&#x153;ao anulam o somatÂório de produtos nem produzem resultado negativo. Por exemplo, pode-se considerar {a, b}1 = {(1, 1), (2, 2)}, {a, b}2 = {(1, 1), (3, 3)} e {a, b}3 = {(2, 2), (3, 3)}. Os 6 somatÂórios de produtos iguais a â&#x2C6;&#x2019;1 sË&#x153;ao obtidos igualando ((j, m), (k, n)) às 2 permutaÂ¸cË&#x153;oes de cada um dos trË&#x2020;es conjuntos distintos {a, b}4 , {a, b}5 e {a, b}6 , os quais sË&#x153;ao os u Âńicos que nË&#x153;ao anulam o somatÂório de produtos nem produzem resultado positivo. Por exemplo, pode-se considerar {a, b}4 = {(1, 2), (2, 1)}, {a, b}5 = {(1, 3), (3, 1)} e {a, b}6 = {(2, 3), (3, 2)}. P

3. Existem 32 = 9 duplos somatÂórios de produtos 3i=1 3j=1 i j k i j n = 2Î´k n , entre os quais 3 iguais a 2 e os restantes 6 nulos. Os 3 duplos somatÂórios de produtos iguais a 2 sË&#x153;ao obtidos igualando (k, n) a cada um dos trË&#x2020;es pares ordenados distintos a1 , a2 e a3 , os quais sË&#x153;ao os u Âńicos que nË&#x153;ao anulam o duplo somatÂório de produtos (resutado negativo Âé impossÂ´Äąvel). Por exemplo, pode-se considerar a1 = (1, 1), a2 = (2, 2) e a3 = (3, 3). P

4. Existe 1 trÂ´Äąplice somatÂ´orio de produtos

i=1

j=1

k=1 i j k i j k

= 6.

Note que resultado anÂálogo ao apresentado no item 2 seria obtido se o Â´Äąndice repetido fosse o segundo ou o terceiro. AlÂém disto, resultado anÂálogo ao apresentado no item 3 seria obtido se os Â´Äąndices repetidos fossem o primeiro e o terceiro, ou o segundo e o terceiro. ComentÂ´ ario 1.2.35 (Propriedades dos Componentes do Tensor e) Seja V um espaÂ¸co vetorial tridimensional, seja (ei )3i=1 uma base ortonormal de V orientada positivamente, conforme a definiÂ¸cË&#x153;ao de classe e base de orientaÂ¸cË&#x153;ao positiva 1.2.32 e seja (ci )3i=1 outra base do mesmo espaÂ¸co. Seja A â&#x2C6;&#x2C6; V â&#x160;&#x2014; V tal que ci = A(ei ), para i = 1, 2, 3, logo (c1 , c2 , c3 ) = (A(e1 ), A(e2 ), A(e3 )), portanto seja A uma transformaÂ¸cË&#x153;ao linear da base (ei )3i=1 para a base (ci )3i=1 , o que indica que A Âé um tensor de segunda ordem. De acordo com o comentÂário 1.2.25, sobre funÂ¸cË&#x153;ao n-linear alternante e base de espaÂ¸co vetorial Parte III, se e somente se det A 6= 0 tem-se que, se (ei )3i=1 for uma base de V tal que w(e1 , e2 , e3 ) 6= 0, entË&#x153;ao (ci )3i=1 serÂá uma base de V tal que w(c1 , c2 , c3 ) 6= 0. Em termos dos seus componentes covariantes associados à base produto (ci â&#x160;&#x2014; cj â&#x160;&#x2014; 3 3 ck )3i=1 j=1 alogo ao que se encontra na definiÂ¸cË&#x153;ao de componente associk=1 (conceito anÂ´ ado de tensor de segunda ordem 1.2.15), o tensor tridimensional de terceira ordem e, 39

apresentado na definiÂ¸cË&#x153;ao de funÂ¸cË&#x153;ao e tensor elemento de volume 1.2.34, pode ser escrito e = ei j k ci â&#x160;&#x2014; cj â&#x160;&#x2014; ck . Por outro lado, em termos da funÂ¸cË&#x153;ao alternante trilinear nË&#x153;ao trivial com orientaÂ¸cË&#x153;ao positiva e : V 3 â&#x2020;&#x2019; < correspondente a este tensor, denominada funÂ¸cË&#x153;ao elemento de volume e tambÂém apresentada na definiÂ¸cË&#x153;ao 1.2.34, tem-se ei j k = e(ci , cj , ck ) = e(A(ei ), A(ej ), A(ek )) = (det A)e(ei , ej , ek ) = (det A) i j k , onde a penÂ´ ultima igualdade Âé devida à definiÂ¸cË&#x153;ao de determinante de transformaÂ¸cË&#x153;ao linear 1.2.24 eau Â´ltima novamente utiliza a definiÂ¸cË&#x153;ao 1.2.34. De acordo com o comentÂário 1.2.6, sobre as funÂ¸cË&#x153;oes gi j e g i j , tem-se gi j = ci Âˇ cj = A(ei ) Âˇ A(ej ) = ej Âˇ AT A(ei ) = (AT A)j i = (AT A)i j , onde usou-se as definiÂ¸cË&#x153;oes de transformaÂ¸cË&#x153;ao linear transposta 1.2.17 e de composiÂ¸cË&#x153;ao de tensores de segunda ordem 1.2.19 na terceira igualdade, o comentÂário 1.2.10 sobre cÂálculo de componente associado de tensor de segunda ordem na penÂ´ ultima igualdade e o fato de que o tensor de segunda T ordem (A A) Âé simÂétrico, conforme a definiÂ¸cË&#x153;ao de tensores simÂétrico e antissimÂétrico 1.2.18, na u Â´ltima igualdade. Tem-se, entË&#x153;ao, det[gi j ] = det[(AT A)i j ] = (det[A]i j )2 = (det A)2 , onde a penÂ´ ultima igualdade Âé devida ao terceiro e ao quarto item do comentÂário 1.2.27, sobre propriedades de determinantes - parte I, enquanto que a u Â´ltima deve-se ao comentÂário 1.2.26, sobre determinante de transformaÂ¸cË&#x153;ao linear e de matriz. â&#x2C6;&#x161; Definindo g = det[gi j ], tem-se det A = Âą g. Para os componentes covariantes do elemento de volume obtÂém-se, entË&#x153;ao, â&#x2C6;&#x161; ei j k = Âą g i j k , onde, de acordo com a definiÂ¸cË&#x153;ao de transformaÂ¸cË&#x153;ao linear orientaÂ¸cË&#x153;ao preservante 1.2.33, o sinal positivo ocorrerÂá quando A for orientaÂ¸cË&#x153;ao preservante. Para os componentes contravariantes do elemento de volume obtÂém-se â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; ei j k = Âą( g)â&#x2C6;&#x2019;1 i j k = Âą( g)â&#x2C6;&#x2019;1 i j k , â&#x2C6;&#x161; onde a primeira igualdade deve-se a que i j k = Âą g ei j k , porque, de acordo com a definiÂ¸cË&#x153;ao de matrizes de transformaÂ¸cË&#x153;ao 1.2.21, se ck = A(ek ), entË&#x153;ao ek = AT (ck ) e v.v.. JÂá a segunda igualdade resulta da consideraÂ¸cË&#x153;ao de que i j k = i j k , de acordo com a jÂá mencionada definiÂ¸cË&#x153;ao 1.2.34. As duas u Â´ltimas expressË&#x153;oes destacadas mostram que os quatro itens do comentÂário 1.2.34, sobre propriedades do sÂ´Äąmbolo de permutaÂ¸cË&#x153;ao, podem ser escritos em termos dos componentes covariantes e contravariantes do tensor elemento de volume. Em especial, 1. no primeiro item usa-se ei j k el m n no lugar de i j k l m n , 2. no segundo item usa-se = Î´j m Î´k n â&#x2C6;&#x2019; Î´j n Î´k m , 3. no terceiro item usa-se 2Î´k n e 4. no quarto item usa-se i j k = 6.

i=1

ei j k ei m n = Î´ jm Î´ kn â&#x2C6;&#x2019; Î´ jn Î´ km no lugar de

j=1

ei j k ei j n = 2Î´ kn no lugar de

k=1

ei j k ei j k = 6 no lugar de

i=1

i=1 i j k i m n

i=1

j=1 i j k i j n

j=1

k=1 i j k

Defini¸c˜ ao 1.2.35 (Rela¸c˜ ao entre Tensor e e Determinante) Se T ∈ V ⊗ V e T = T ij ci ⊗ cj então, de acordo com o comentário 1.2.26, sobre rela¸cão entre determinante de transforma¸cão linear e de matriz, tem-se det T = det[T ij ]. Usando o primeiro item ao final do comentário 1.2.35, sobre propriedades dos componentes do tensor elemento de volume e, demonstra-se então que, para os componentes contravariantes el m n e covariantes ei j k deste tensor, tem-se det T =

1 lmn e ei j k T i l T j m T k n . 6

Já os seis tipos de componentes mistos do tensor e, respectivamente referentes a cada uma das 23 − 2 bases mistas, não apresentam rela¸cões simples com det T .

1.2.12

Produto Externo e Produto Vetorial

Defini¸c˜ ao 1.2.36 (Produto Externo de Vetores) ∀(v, u) ∈ V , o produto externo de v por u, notado v∧u, é definido por v∧u = v⊗u−u⊗v. Esta defini¸cão mostra que o argumento da fun¸cão produto externo são dois vetores, logo seu dom´ınio é V 2 , enquanto que a imagem desta fun¸cão é uma transforma¸cão linear, resultante da subtra¸cão de dois produtos tensoriais (defini¸cão 1.2.12 de produto tensorial de vetores ou tensor simples), a qual pertence a V ⊗ V . Por isto, ∧ : V 2 → V ⊗ V . A partir desta defini¸cão pode-se facilmente demonstrar que a imagem de ∧ é um tensor de segunda ordem (defini¸cão de tensor de segunda ordem 1.2.14) bilinear (defini¸cão de transforma¸cão n-linear 1.2.10) e antissimétrico (defini¸cão de tensores simétrico e antissimétrico 1.2.18). Coment´ ario 1.2.36 (Produto Externo como Base para Skw (V )) Seja a base pron n duto (ci ⊗ cj )i=1 cão de espa¸co de produto tensorial 1.2.13) de V ⊗ V . Neste j=1 (defini¸ n−1 n caso, (ci ∧ cj )i=1 j=2 |i < j será uma base para Skw (V ), onde usou-se a nota¸cão para subespa¸cos simétrico e antissimétrico 1.2.5. Foi imposto i < j porque os demais elementos n n de (ci ∧ cj )i=1 ao nulos, ou têm mesmo módulo mas sinal oposto a elementos j=1 ou s˜ n−1 n inclu´ıdos em (ci ∧ cj )i=1 j=2 |i < j. Como consequência, tem-se que, de acordo com o comentário 1.2.9 (dimensão de espa¸co de transforma¸cão linear), se dim V = n, então n−1 n dim V ⊗V = n2 e dim Skw (V ) = n(n−1)/2, porque dim(ci ∧cj )i=1 j=2 |i < j = n(n−1)/2. De fato, o n´ umero de elementos desta base é igual à soma dos elementos da progressão linear 1, 2, 3, . . . , (n − 1), cujo valor é n(n − 1)/2. Em particular, para dim V = 3 tem-se dim Skw (V ) = 3. n Para mostrar que (ci ∧cj )n−1 e uma base de Skw (V ) considere a decomposi¸cão i=1 j=2 |i < j ´ W = W i j ci ⊗ cj = W j i cj ⊗ ci , onde, de acordo com a defini¸cão de componente associado de tensor de segunda ordem 1.2.15, a primeira igualdade é válida para qualquer tensor desta ordem, enquanto que a segunda igualdade provém da troca entre os indicadores i e j. De acordo com o comentário 1.2.17, sobre transposi¸cão de tensores simétrico e antissimétrico, para W antissimétrico tem-se W i j = −W j i , portanto W = (W i j ci ⊗ cj + W j i cj ⊗ ci )/2 = (W i j ci ⊗ cj − W i j cj ⊗ ci )/2 = W i j ci ∧ cj / 2 = W i j ci ∧ cj |i < j, onde a pen´ ultima igualdade provém da defini¸cão de produto externo de vetores 1.2.36 e a u ´ltima ij ji ii do fato de que W ci ∧ cj = W cj ∧ ci e W ci ∧ ci = 0. Note que o duplo somatório é sobre todos os i e j em W i j ci ∧ cj / 2, mas apenas sobre i < j em W i j ci ∧ cj |i < j. 41

Defini¸c˜ ao 1.2.37 (Fun¸c˜ ao Linear Dualidade) Seja tridimensional o espa¸co vetorial V . Como, de acordo com o comentário 1.2.36, sobre produto externo como base para Skw (V ), o espa¸co Skw (V ) também é tridimensional, ∀(u, v, w) ∈ V define-se a fun¸c˜ ao linear dualidade τ : Skw (V ) → V |τ (u ∧ v) · w = e(u, v, w). Em palavras, se a fun¸cão τ for aplicada à transforma¸cão bilinear u ∧ v, denominada produto externo de vetores de acordo com a sua defini¸cão 1.2.36 e pertencente ao espa¸co Skw (V ), produzirá como imagem um vetor pertencente ao espa¸co V . Este vetor será tal que seu produto interno, com qualquer outro vetor w ∈ V , produzirá um escalar igual ao escalar obtido quando a fun¸cão elemento de volume do espa¸co V , grafada e de acordo com a sua defini¸cão 1.2.34, for aplicada ao conjunto ordenado dos três vetores (u, v, w) ∈ V . A fun¸cão τ tem inversa, ou seja, a cada tensor antissimétrico corresponde um e apenas um vetor, vetor este ao qual corresponde um e apenas um tensor antissimétrico. Note que, como e é uma fun¸cão trilinear alternante não trivial, de acordo com o comentário 1.2.23, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte I, se os vetores u, v e w não forem linearmente independentes entre si, então e(u, v, w) = 0. Isto ocorrerá sempre que w for uma combina¸cão linear de u e v. Mas ocorrerá, também, sempre que u e v forem colineares. Aliás, neste caso ter-se-á e(u, v, w) = 0 qualquer que seja o vetor w, logo τ (u ∧ v) · w = 0 qualquer que seja o vetor w, o que exige τ (u ∧ v) = 0 (note que, de acordo com a defini¸cão de espa¸co vetorial real 1.2.1, o primeiro 0 é o escalar zero, enquanto que o segundo simboliza vetor nulo). Por outro lado, sempre que os vetores u, v e w forem linearmente independentes entre si, eles formarão uma base (ci , cj , ck ) do espa¸co vetorial tridimensional V . Neste caso, o tensor e, também apresentado na defini¸cão 1.2.34, apresentará componentes associados às bases produto do espa¸co V ⊗ V ⊗ V provenientes desta base de V . Aos componentes covariantes e contravariantes poderá ser aplicado o conte´ udo do comentário 1.2.35, sobre propriedades dos componentes do tensor e. Nota¸c˜ ao 1.2.9 (Vetor Associado a Tensor Antissim´ etrico) Seja o tensor antissimétrico W ∈ Skw (V ), de acordo com sua defini¸cão 1.2.18 e com a nota¸cão para subespa¸cos simétrico e antissimétrico 1.2.5. Seja, também, a fun¸cão linear dualidade τ , conforme sua defini¸cão 1.2.37. Aplicando esta fun¸cão a W obtém-se o vetor associado ao tensor antissim´ etrico W , representado por < W > ≡ τ (W ) e denominado vetor axial. Para entender a razão desta denomina¸cão, considere (u, v, w) ∈ V e Q ∈ V ⊗ V . Usando novamente a defini¸cão 1.2.37, < Q(u) ∧ Q(v) > · Q(w) = e(Q(u), Q(v), Q(w)) = (det Q) e(u, v, w) = (det Q) · w, onde na segunda igualdade utilizou-se a defini¸cão de determinante de transforma¸cão linear 1.2.24. Porém, se Q for ortogonal (defini¸cão de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30) o produto interno vetorial será invariante, ou seja, Q() · Q(w) = · w. Substituindo esta u ´ltima igualdade na anterior tem-se < Q(u) ∧ Q(v) > · Q(w) = (det Q)Q() · Q(w), ou < Q(u) ∧ Q(v) > = (det Q) Q(). Lembrando que, de acordo com o comentário 1.2.33, sobre propriedades de tensor ortogonal, se Q for um tensor ortogonal então det Q = ±1, obtém-se < Q(u) ∧ Q(v) > = ±Q(). Portanto, ainda conforme o comentário 1.2.33, um tensor de segunda ordem ortogonal transforma os vetores u, v e respectivamente em Q(u), Q(v) e Q(), preservando os módulos e os ângulos entre os vetores. Mas < Q(u) ∧ Q(v) > , embora tendo o mesmo módulo de Q(), tanto pode coincidir com este vetor como pode apontar no sentido oposto a ele, dependendo da transforma¸cão ortogonal ser própria ou 42

imprÂópria. Como, de acordo com o comentÂário 1.2.36, sobre produto externo como base para Skw (V ), tem-se W = W i j ci â&#x2C6;§ cj |i < j se W â&#x2C6;&#x2C6; Skw (V ) e, como o que foi afirmado para u, v e tambÂém Âé vÂálido para cada um dos conjuntos {ci , cj , ci â&#x2C6;§ cj } com i < j, todo vetor < W > associado a um tensor antissimÂétrico W Âé denominado vetor axial. ComentÂ´ ario 1.2.37 (Propriedades do Vetor Axial) Seja (ci , cj , ck ) uma base de V . De acordo com a definiÂ¸cË&#x153;ao de funÂ¸cË&#x153;ao linear dualidade 1.2.37 tem-se Ď&#x201E; (ci â&#x2C6;§ cj ) Âˇ ck = e(ci , cj , ck ) = ei j k , onde a u Â´ltima igualdade provÂém do comentÂário 1.2.35, sobre propriedades dos componentes do tensor e. Mas ei j k = ei j l c l Âˇ ck , logo Ď&#x201E; (ci â&#x2C6;§ cj ) = ei j k ck e, usando a notaÂ¸cË&#x153;ao para vetor associado a tensor antissimÂétrico 1.2.9, < ci â&#x2C6;§ cj >= ei j k ck . ObtÂém-se, de forma anÂáloga, as quatro expressË&#x153;oes 1. < ci â&#x2C6;§ cj >= Ď&#x201E; (ci â&#x2C6;§ cj ) = ei j k ck = ei j k ck , 2. < ci â&#x2C6;§ cj >= Ď&#x201E; (ci â&#x2C6;§ cj ) = ei j k ck = ei j k ck , 3. < ci â&#x2C6;§ cj >= Ď&#x201E; (ci â&#x2C6;§ cj ) = ei j k ck = ei j k ck

4. < ci â&#x2C6;§ cj >= Ď&#x201E; (ci â&#x2C6;§ cj ) = ei jk ck = ei j k ck , para os 23 = 8 tipos de componentes do tensor de terceira ordem e. Como, de acordo com o comentÂário 1.2.36, sobre produto externo como base para Skw (V ), tem-se W = W i j ci â&#x2C6;§ cj / 2 se W â&#x2C6;&#x2C6; Skw (V ), usando a primeira equaÂ¸cË&#x153;ao destacada mostra-se que < W > = ei j k W i j ck / 2. Para uma base ortonormal (conforme a sua definiÂ¸cË&#x153;ao 1.2.9) de V , orientada positivamente (de acordo com a definiÂ¸cË&#x153;ao de classe e base de orientaÂ¸cË&#x153;ao positiva 1.2.32), a definiÂ¸cË&#x153;ao de funÂ¸cË&#x153;ao e tensor elemento de volume 1.2.34, junto com as expressË&#x153;oes destacadas, mostram que Ď&#x201E; : e1 â&#x2C6;§e2 7â&#x2020;&#x2019; e3 , Ď&#x201E; : e2 â&#x2C6;§e3 7â&#x2020;&#x2019; e1 e Ď&#x201E; : e3 â&#x2C6;§e1 7â&#x2020;&#x2019; e2 . AlÂém disto, para tal base simplifica-se a expressË&#x153;ao < W > = ei j k W i j ck / 2. Por exemplo, para o componente do vetor < W > com k = 1 tem-se < W >1 = i j 1 W i j /2 = (W 2 3 â&#x2C6;&#x2019; W 3 2 )/2 = W 2 3 = W2 3 , onde, para a segunda igualdade, usou-se novamente a definiÂ¸cË&#x153;ao 1.2.34 . Analogamente, obtÂém-se < W >2 = W3 1 e < W >3 = W1 2 . Para esta base especial a forma matricial do tensor antissimÂétrico W , em termos dos componentes do vetor a ele associado, Âé portanto escrita ďŁŽ

ďŁš

0 < W >3 â&#x2C6;&#x2019; < W >2 â&#x2C6;&#x2019; < W > 0 < W >1 ďŁş [Wi j ] = ďŁŻ ďŁ° ďŁť. 3 < W >2 â&#x2C6;&#x2019; < W >1 0 DefiniÂ¸cË&#x153; ao 1.2.38 (Produto Vetorial) O produto vetorial de u por v, grafado uĂ&#x2014;v, Âé definido por u Ă&#x2014; v â&#x2030;Ą, â&#x2C6;&#x20AC;(u, v) â&#x2C6;&#x2C6; V . Portanto, o vetor produto vetorial de dois vetores Âé o vetor associado ao produto externo destes vetores. Logo, considerando a notaÂ¸cË&#x153;ao para vetor associado a tensor antissimÂétrico 1.2.9, o vetor produto vetorial Âé um tipo especial de vetor axial, tipo este que, para o caso de u e v serem vetores de base, jÂá foi utilizando no comentÂário 1.2.37, sobre propriedades do vetor axial. Considerando a definiÂ¸cË&#x153;ao de produto externo de vetores 1.2.36, percebe-se que a funÂ¸cË&#x153;ao

× : V 2 → V é bilinear e antissimétrica (o vetor produto vetorial passa a apontar no sentido oposto quando u e v trocam de posi¸cão). De acordo com o mesmo comentário 1.2.37, tem-se = ei j k (u ∧ v)i j ck / 2 onde, usando de novo a defini¸cão 1.2.36, (u ∧ v)i j = (u ⊗ v)i j − (v ⊗ u)i j . Mas, de acordo com o comentário 1.2.10, para o cálculo de componentes associados de tensor de segunda ordem, (u ⊗ v)i j = ci · (u ⊗ v)cj . Logo, considerando a defini¸cão de produto tensorial de vetores 1.2.12, (u ⊗ v)i j = (ci · u)(v · cj ). Como u = uk ck e v = v k ck tem-se, então, (u⊗v)i j = ui v j , portanto (u∧v)i j = ui v j −uj v i , ou < u∧v > = ei j k (ui v j −uj v i )ck / 2 = (ei j k ui v j + ej i k uj v i )ck / 2 = ei j k ui v j ck , onde na pen´ ultima igualdade utilizou-se o fato de que ej i k = −ei j k , conforme a defini¸cão de fun¸cão e tensor elemento de volume 1.2.34 e, na u ´ltima igualdade, o fato de que i e j são dois indicadores que podem ser trocados. Como u × v ≡, conclui-se que u × v = ei j k ui v j ck . Usando novamente a defini¸cão 1.2.34, agora para o caso especial de uma base ortonormal de V orientada positivamente, obtém-se u × v = (u2 v3 − u3 v2 )e1 + (u3 v − u1 v3 )e2 + (u1 v2 − u2 v1 )e3 , que é a defini¸cão elementar de produto vetorial. Coment´ ario 1.2.38 (Propriedades do Produto Vetorial) Demonstra-se que: 1. < W > × v = −W (v), onde W é um tensor antissimétrico. 2. (u × v) × w = (u · w)v − (v · w)u. 3. |u × v|2 = |u|2 |v|2 − |u · v|2 . 4. |u × v| = |u||v|senθ(u, v). Defini¸c˜ ao 1.2.39 (Produto Triplo) ∀(u, v, w) ∈ V , o produto triplo de u por v e w, grafado [u, v, w], é definido por [u, v, w] ≡ (u × v) · w = ·w = e(u, v, w), onde usou-se a defini¸cão de produto vetorial 1.2.38 na pen´ ultima igualdade e, na u ´ltima igualdade, a defini¸cão de fun¸cão linear dualidade 1.2.37, junto com a nota¸cão 1.2.9 para vetor associado a tensor antissimétrico. Como, usando novamente a defini¸cão 1.2.38, u × v = ei j k ui v j ck , considerando w = wl cl tem-se [u, v, w] = ei j k ui v j wk . Logo, e(u, v, w) = ei j k ui v j wk , resultado este que pode ser obtido diretamente da defini¸cão de fun¸cão e tensor elemento de volume 1.2.34. De fato, e(u, v, w) = e(ui ci , v j cj , wk ck ) = P3 P3 P3 i j k i j k ultima igualdade provém da i=1 j=1 k=1 u v w e(ci , cj , ck ) = ei j k u v w , onde a pen´ trilinearidade de e, conforme a defini¸cão 1.2.10 desta propriedade. P P P No somatório m´ ultiplo 3i=1 3j=1 3k=1 ui v j wk e(ci , cj , ck ), são nulos todos os termos que contenham vetores de base repetidos. Portanto, o somatório m´ ultiplo simplifica-se num somatório sobre todas as 3! = 6 permuta¸cões de c1 , c2 , c3 , ou seja, e(u, v, w) = P σ(1) σ(2) σ(3) v w e(cσ(1) , cσ(2) , cσ(3) ). Considerando que, de acordo com a defini¸cão de σu fun¸cão n-linear alternante 1.2.23, e(cσ(1) , cσ(2) , cσ(3) ) = (sinal σ)e(c1 , c2 , c3 ), tem-se então P que e(u, v, w) = λe(c1 , c2 , c3 ), onde λ = σ (sinal σ)uσ(1) v σ(2) wσ(3) (note que esta demonstra¸cão é semelhante àquela do teorema 1.2.2, sobre unicidade da propor¸cão entre fun¸cões n-lineares alternantes). Usando novamente a defini¸cão 1.2.34, agora para uma base ortonormal de V orientada positivamente, tanto esta u ´ltima expressão, como a i j k 1 2 3 igualdade e(u, v, w) = ei j k u v w produzem e(u, v, w) = u v w + u2 v 3 w1 + u3 v 1 w2 − u3 v 2 w 1 − u1 v 3 w 2 − u2 v 1 w 3 . 44

Coment´ ario 1.2.39 (Determinante, Tra¸co e Produto Triplo) Usando a defini¸c˜ao de determinante de matriz 1.2.25 e n = 3, tem-se det[Mi j ] = M3

σ(3)

σ (sinal

σ) M1

σ(1)

σ(2)

, onde [Mi j ] é uma matriz quadrada de três linhas e três colunas. Consideσ(i)

σ(i)

rando M1 = uσ(i) , M2 = v σ(i) e M3 = wσ(i) , i = 1, 2, 3, tem-se det[Mi j ] = P σ(1) σ(2) σ(3) v w = e(u, v, w)/e(c1 , c2 , c3 ), onde a u ´ltima igualdade se deve ao σ (sinal σ)u uso da defini¸cão de produto triplo 1.2.39. Mas, de acordo com o comentário 1.2.26, sobre a rela¸cão entre determinante de transforma¸cão linear e de matriz, det M = det[Mi j ], logo det M = e(u, v, w)/e(c1 , c2 , c3 ). Por outro lado, conforme a defini¸cão de determinante de transforma¸cão linear 1.2.24, (det M )e(c1 , c2 , c3 ) = e(M (c1 ), M (c2 ), M (c3 )) o que indica que u = M (c1 ), v = M (c2 ) e w = M (c3 ). Portanto, a defini¸cão 1.2.39 ainda mostra que e(M (c1 ), M (c2 ), M (c3 )) [M (c1 ), M (c2 ), M (c3 )] det M = = . e(c1 , c2 , c3 ) [c1 , c2 , c3 ] Analogamente, demonstra-se que tr M =

1.2.13

[M (c1 ), c2 , c3 ] + [c1 , M (c2 ), c3 ] + [c1 , c2 , M (c3 )] . [c1 , c2 , c3 ]

Teoremas para a Mecˆ anica dos Meios Cont´ınuos

Defini¸c˜ ao 1.2.40 (Autovalor e Autovetor) Seja A ∈ V ⊗ V . O escalar λ ∈ < será um autovalor de A se ∃v ∈ V |v 6= 0, chamado autovetor de A associado ao autovalor λ, tal que A(v) = λv. Note que λ = 0 se e somente se A = 0. Teorema 1.2.4 (Condi¸c˜ ao Nec. e Suf. de Autovalor) Tem-se A(v) = λv, para A ∈ V ⊗ V , v ∈ V |v 6= 0 e λ ∈ <, se e somente se det(A − λ1 ) = 0. Demonstra¸cão: A igualdade A(v) = λv pode ser escrita (A − λ1 )(v) = 0. Seja (ci )ni=1 P uma base de V , logo v = ni=1 v i ci e v i (A − λ1 )(ci ) = 0. Portanto, o conjunto de vetores ((A − λ1 )(ci ))ni=1 é linearmente dependente, de acordo com o item 1 da defini¸cão de base 1.2.2. Como ((A − λ1 )(ci ))ni=1 é linearmente dependente, o comentário 1.2.23, sobre fun¸cão n-linear alternante e base de espa¸co vetorial - parte I, afirma que, se w for uma fun¸cão alternante n-linear não trivial, então w((A − λ1 )(c1 ), . . . , (A − λ1 )(cn )) = 0. Logo, de acordo com a defini¸cão de determinante de transforma¸cão linear 1.2.24, tem-se det(A − λ1 ) = w((A − λ1 )(c1 ), . . . , (A − λ1 )(cn )) / w(c1 , . . . , cn ) = 0. Por outro lado, seguindo o mesmo racioc´ınio, mas na sequência oposta, tem-se que, se det(A − λ1 ) = 0, então A(v) = λv. 2 Defini¸c˜ ao 1.2.41 (Equa¸c˜ ao Caracter´ıstica) Observando a defini¸cão de determinante de matriz 1.2.25 e o comentário 1.2.26, sobre a rela¸cão entre determinante de transforma¸cão linear e de matriz, percebe-se que a igualdade det(A − λ1 ) = 0, apresentada no teorema da condi¸cão necessária e suficiente de autovalor 1.2.4, pode ser escrita (−λ)n + I1 (−λ)n−1 + . . . + In−1 (−λ) + In = 0. O membro esquerdo desta u ´ltima expressão é um polinômio de grau n em λ, onde n é a dimensão do espa¸co vetorial V . Os coeficientes I1 , . . . , In são fun¸cões escalares de A denominadas invariantes principais de A. A u ´ltima igualdade é chamada equa¸c˜ ao caracter´ıstica da transforma¸cão linear 45

A ∈ V ⊗ V . Em geral, a equa¸cão caracter´ıstica de A pode não apresentar ra´ızes reais. ´ltimas serão os autovalores de A. Porém , se ela apresentar ra´ızes reais, estas u Teorema 1.2.5 (Cayley-Hamilton: tensor satisfaz sua eq. caract.) O teorema de Cayley-Hamilton, cuja demonstra¸cão é omitida, mostra que A satisfaz a sua própria equa¸cão caracter´ıstica, ou seja, (−A)n + I1 (−A)n−1 + . . . + In−1 (−A) + In 1 = 0, sendo A2 = A ◦ A, A3 = A ◦ (A ◦ A), A4 = A ◦ (A ◦ (A ◦ A)). . . , onde usou-se a defini¸cão de composi¸cão de tensores de segunda ordem 1.2.19. Coment´ ario 1.2.40 (Eqs. Caract. de Tensores de Dimens˜ ao 2 e 3) Prova-se que, para dim V = 2 (conforme a defini¸cão de dimensão de espa¸co vetorial real 1.2.4) e A ∈ V ⊗ V , a equa¸cão caracter´ıstica de A, de acordo com a sua defini¸cão 1.2.41, é λ2 −(trA)λ+det A = 0. Para dim V = 3 e A ∈ Inv (V ) (nota¸cão para subespa¸co invert´ıvel 1.2.7), a equa¸cão caracter´ıstica de A é −λ3 + (trA)λ2 − (tr(A−1 ) det A)λ + det A = 0, sendo costumeiro o uso dos s´ımbolos IA = trA, II A = tr(A−1 ) det A e III A = det A. Coment´ ario 1.2.41 (Rela¸c˜ ao entre A e 1 + A) Para dim V = 3, A ∈ V ⊗ V e B = 1 + A, demonstra-se que IB = 3 + IA , II B = 3 + 2IA + II A e III B = 1 + IA + II A + III A , onde foram utilizados os s´ımbolos apresentados no fim do comentário 1.2.40, sobre equa¸cões caracter´ısticas de tensores de dimensão 2 e 3. Isto indica que: 1. trB = 3 + trA , 2. tr(B −1 ) det B = 3 + 2trA + tr(A−1 ) det A e 3. det B = 1 + trA + (1 + tr(A−1 )) det A . Se A ≈ 0 então det A << trA, logo tr(B −1 ) det B ≈ 3 + 2trA e det B ≈ 1 + trA . Teorema 1.2.6 (Espectral: autovalores de tensor sim´ etrico) O teorema espectral, cuja demonstra¸cão é omitida, mostra que, se S ∈ Sym(V ) (nota¸cão para subespa¸cos simétrico e antissimétrico 1.2.5), existirá uma espec´ıfica base ortonormal (ej )nj=1 , do P espa¸co vetorial n-dimensional V , tal que S possa ser escrito sob a forma S = nj=1 λj ej ⊗ ej | ∀j ∈ (j)nj=1 ∃ λj ∈ < . Esta igualdade mostra que são nulos todos os componentes Si j associados aos elementos com i 6= j da base (ei ⊗ ej ), enquanto que Sj j = λj . Tal base especial (ej )nj=1 de V é u ńica, sendo denominada base principal de S. Tem-se Pn P S(ei ) = j=1 λj (ej ⊗ ej )(ei ) = nj=1 δi j λj ej = λi ei . Logo, considerando a defini¸cão de autovalor e autovetor 1.2.40, os reais λj são n autovalores de S, nenhum deles nulo se S 6= 0, cada um deles associado a um dos n autovetores ej (cada autovalor se associa ao aotovetor de mesmo ´ındice). Como existem n autovalores λj , todas as ra´ızes da equa¸cão caracter´ıstica de um tensor simétrico S, de acordo com defini¸cão 1.2.41 desta equa¸cão, são reais. Mas tais ra´ızes podem ser, ou não, distintas entre si. Portanto, considera-se que ´ındices de λ numericamente distintos tanto possam corresponder ao mesmo autovalor, como a autovalores diferentes entre si. Coment´ ario 1.2.42 (Diagonaliza¸c˜ ao) De acordo com o teorema espectral 1.2.6, referente aos autovalores do tensor S ∈ Sym(V ), a matriz dos componentes de S associados à base (ei ⊗ ej ) é uma matriz diagonal [λj ] , cujos elementos λj (o ´ındice j indica a 46

linha e a coluna) são n = dimV autovalores de S, o que indica que todas as ra´ızes da equa¸cão caracter´ıstica são reais. Pode-se, ainda, construir uma matriz quadrada [ei j ] , também com n linhas e colunas, justapondo os autovetores associados aos autovalores mencionados. Nesta constru¸cão, o autovetor ej corresponde à j-ésima coluna de [ei j ] , enquanto que a linha i desta matriz contém os componentes, associados ao i-ésimo vetor de uma base arbitrariamente considerada de V , (ci )ni=1 , de todos os n autovetores. A representa¸cão matricial do tensor S, na base (ck ⊗ ci ), é a matriz [S k i ]. A igualdade S(ei ) = λi ei pode, então, ser escrita em termos matriciais, por meio da expressão [S k i ] [ei j ] = [ei j ][λj ]. Como (ej )nj=1 é uma base ortonormal de V , temse [ei j ] [ei j ]T = [1], ou [ei j ]−1 = [ei j ]T , logo, de acordo com a defini¸cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4, a matriz [ei j ] é ortogonal. De acordo com o comentário 1.2.33, sobre propriedades de tensor ortogonal, tem-se det[S k i ] = det[λj ] e tr[S k i ] = tr[λj ]. Defini¸c˜ ao 1.2.42 (Espa¸co Caracter´ıstico) Seja λ um autovalor de T ∈ V ⊗ V . Denomina-se espa¸co caracter´ıstico de T associado a λ ao conjunto de autovetores Vλ = {v ∈ V | T v = λv}. Coment´ ario 1.2.43 (Componente Vetorial em Rela¸c˜ ao a Tensor Sim´ etr.) De acordo com o teorema espectral 1.2.6, referente aos autovalores do tensor S ∈ Sym(V ), a espec´ıfica base ortonormal (ej )nj=1 do espa¸co vetorial n-dimensional V , tal que S = Pn e, também, o conjunto dos n autovetores de S. Ao invés de continuar j=1 λj ej ⊗ ej ´ considerando que distintos ´ındices de λ tanto possam corresponder ao mesmo autovalor, como a autovalores diferentes entre si, a partir deste ponto do texto passa-se a utilizar λ, µ, . . . para indicar autovalores numericamente diferentes, enquanto que ´ındices em λ, µ, . . . distinguem diferentes autovetores correspondentes ao mesmo autovalor. Então, de λ é uma base de Vλ , onde acordo com a defini¸cão de espa¸co caracter´ıstico 1.2.42, (eλi )di=1 dλ = dimVλ é denominado degenera¸c˜ ao do autovalor λ. Sejam λ e µ dois autovalores distintos de S. Sejam v ∈ Vλ e u ∈ Vµ . Demonstra-se facilmente que v · u = 0, ou seja, que v e u são mutuamente ortogonais. De acordo com P o mesmo teorema 1.2.6, se v ∈ V então v = λ vλ , onde vλ ∈ Vλ , estendendo-se a soma sobre todos os espa¸cos caracter´ısticos de S e, em cada espa¸co caracter´ıstico, envolvendo um u ńico vetor vλ . Evidentemente, cada vetor vλ pode ser expresso em termos dos seus λ . Portanto, todo vetor v ∈ V é componentes, associados à correspondente base (eλi )di=1 formado por componentes ortogonais entre si, cada componente correspondendo a um dos autovalores distintos de um arbitrário S ∈ Sym(V ). Teorema 1.2.7 (Comuta¸c˜ ao de Composi¸c˜ ao de Tensores) Seja T ∈ V ⊗ V e, de acordo com a nota¸cão para subespa¸cos simétrico e antissimétrico 1.2.5, S ∈ Sym(V ). Ter-se-á ST = T S se e somente se T preservar os espa¸cos caracter´ısticos de S, ou seja, se a aplica¸cão de T a todos os vetores pertencentes a cada espa¸co caracter´ıstico de S reproduzir respectivamente o mesmo espa¸co caracter´ıstico de S. Demonstra¸cão: Suponha que S e T comutem e que Svλ = λvλ . Neste caso, S(T vλ ) = T (Svλ ) = λ(T vλ ). Portanto, de acordo com a defini¸cão de espa¸co caracter´ıstico 1.2.42, (vλ , T vλ ) ∈ Vλ , ou seja, se S e T comutam o espa¸co caracter´ıstico é preservado. Por outro lado, se (vλ , T vλ ) ∈ Vλ , então S(T vλ ) = λ(T vλ ) = T (λvλ ) = T (Svλ ) , logo P P cão de composi¸cão de tensores de segunda ordem λ S(T vλ ) = λ T (Svλ ) . Mas a defini¸ 47

1.2.19 mostra que λ S(T vλ ) = S(T λ vλ ) e λ T (Svλ ) = T (S λ vλ ). Como, de acordo com o comentário 1.2.43, sobre componente vetorial em rela¸cão a tensor simétrico, P tem-se v = λ vλ , pode-se escrever S(T v) = T (Sv). Logo, se o espa¸co caracter´ıstico é preservado, então S e T comutam. 2 Coment´ ario 1.2.44 (Comuta¸c˜ ao de Tensores Sim´ etrico e Ortogonal) Prova-se que, de acordo com a defini¸cão de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30, existe apenas um subespa¸co de V que é preservado por toda e qualquer transforma¸cão ortogonal, sendo tal subespa¸co o próprio espa¸co V . Portanto, considerando o teorema sobre comuta¸cão de composi¸cão de tensores 1.2.7 e utilizando as nota¸cões para subespa¸cos simétrico e antissimétrico e para grupos especiais, respectivamente 1.2.5 e 1.2.8, tem-se que S ∈ Sym(V ) comutará com toda e qualquer transforma¸cão ortogonal Q ∈ O (V ) se e somente se S apresentar um u ńico espa¸co caracter´ıstico, o qual será próprio espa¸co n-dimensional V , ou seja, se e somente se todos os n autovalores de S forem iguais entre si. Utilizando o comentário 1.2.42, sobre diagonaliza¸cão, percebe-se que, para que todos os n autovalores sejam iguais entre si, é necessário e suficiente que S = λ1 , onde λ ∈ <. Mas a defini¸cão da transforma¸cão tensorial identidade 1.2.16 mostra que 1 comuta com qualquer tensor de segunda ordem. Defini¸c˜ ao 1.2.43 (Tensor de Defini¸c˜ ao Positiva, Negativa e Semi-Defini¸c˜ ao) Até ao momento foram mencionadas apenas fun¸cões de defini¸cão positiva, conforme mostrado na defini¸cão de produto interno de vetores 1.2.5. Um tensor de segunda ordem T ∈ V ⊗V será de defini¸c˜ ao positiva, ou de semi-defini¸c˜ ao positiva, respectivamente se, ∀v ∈ V |v 6= 0, ocorrer que v · T v > 0 ou v · T v ≥ 0. Analogamente, T será de defini¸c˜ ao negativa, ou de semi-defini¸c˜ ao negativa, respectivamente se, ∀v ∈ V |v 6= 0, ocorrer que v · T v < 0 ou v · T v ≤ 0. Teorema 1.2.8 (Tensor Sim´ etrico de Defini¸c˜ ao Positiva ou Negativa) Um tensor simétrico será de defini¸cão positiva ou negativa, de acordo com a defini¸cão 1.2.43 destas caracter´ısticas tensoriais, se e somente se todos os seus autovalores forem, respectivamente, positivos ou negativos. Demonstra¸cão: O teorema espectral 1.2.6, sobre autovalores de tensor simétrico, mostra que ∀v ∈ V |v 6= 0, tem-se v · Sv = v i v j ei · Sej = v i v j λj ei · ej = v i v j λj δi j = (v i )2 λi . 2 Coment´ ario 1.2.45 (Determinante de Tens. Sim. de Def. Pos. ou Neg.) Seja, de acordo com sua defini¸cão 1.2.43, um tensor simétrico de defini¸cão positiva ou negativa S e seja [Si j ] a representa¸cão matricial deste tensor. De acordo com o comentário sobre diagonaliza¸cão 1.2.42, det[Si j ] = det[λj ]. Mas, de acordo com o teorema sobre tensor simétrico de defini¸cão positiva ou negativa 1.2.8 e com a defini¸cão de determinante de matriz 1.2.25, tem-se respectivamente det[Si j ] > 0 ou det[Si j ] < 0 logo, considerando a defini¸cão de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29, S é não singular. Entretanto, o fato de S ser não singular não exige que S seja de defini¸cão positiva ou negativa. Teorema 1.2.9 (Quadrado de Tens. Sim. de Def. Pos. ou Neg.) Para todo tensor simétrico de defini¸cão positiva S, existe um u ńico tensor simétrico de defini¸cão positiva S + e um u ńico tensor simétrico de defini¸cão negativa S − tais que (S + )2 = (S − )2 = S. Os autovalores de S + são, respectivamente, as ra´ızes quadradas positivas dos autovalores de S associados aos mesmos autovetores. Os autovalores de S − são, respectivamente, 48

as ra´ızes quadradas negativas dos autovalores de S associados aos mesmos autovetores. Como, de acordo com o teorema espectral 1.2.6, sobre autovalores de tensor simétrico, √ √ P P P S = ni=1 λi ei ⊗ ei , tem-se S + = ni=1 λi ei ⊗ ei e S − = ni=1 − λi ei ⊗ ei . Demonstra¸cão: De acordo com o teorema sobre tensor simétrico de defini¸cão positiva ou negativa 1.2.8, Sej = λj ej | ∀j, λj > 0. Impondo (S 0 )2 = S, tem-se (S 0 )2 ej = λj ej . q

Se e somente se S 0 ej = ± λj ej ter-se-á S 0 (S 0 ej ) = ± λj S 0 ej , ou (S 0 )2 ej = λj ej . Evidentemente, de acordo com o mesmo teorema 1.2.8, existe um u ńico S 0 de defini¸cão positiva, S + e um u ńico S 0 de defini¸cão negativa, S − . 2 Nota¸c˜ ao 1.2.10 (Tensor Raiz Quadrada) O tensor simétrico de defini¸cão positiva + S apresentado no teorema 1.2.9, sobre quadrado simétrico de defini¸cão posi√ de tensor + tiva ou negativa, costuma ser representado por S = S e denominado tensor raiz quadrada de S. Teorema 1.2.10 (Decomposi¸c˜ ao Polar) ∀F ∈ Inv (V ) (ver nota¸cão para subespa¸co invert´ıvel 1.2.7): 1. ∃ (V, U ) ∈ Sym(V ) (ver nota¸cão para subespa¸cos simétrico e antissimétrico 1.2.5), sendo ambos V e U de defini¸cão positiva (conforme a defini¸cão de tensor de defini¸cão positiva, negativa e semi-defini¸cão 1.2.43) e 2. ∃ Q ∈ O(V ) (ver nota¸cão para grupos especiais 1.2.8), tais que F = QV = U Q. Além disto, as transforma¸cões V , Q e U são unicamente √ √ determinadas, respectivamente por V = F T F , Q = F V −1 e U = QV QT = F F T (ou as transforma¸cões U , Q e V são unicamente determinadas, respectivamente por √ √ U = F F T , Q = U −1 F e V = QT U Q = F T F ). Demonstra¸cão: De acordo com a defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17, ∀(v, u) ∈ V , v · F T F u = F u · F v = F v · F u = u · F T F v. Porém, v · F T F u = u · (F T F )T v, logo (F T F )T = F T F , portanto F T F ∈ Sym(V ). Além disto, para v 6= 0 tem-se v·F T F v = F v·F v > 0, porque é imposs´ıvel ter F v = 0, uma vez que F ∈ Inv (V ). Logo, de acordo com a defini¸cão 1.2.43, F T F é uma transforma¸cão linear de defini¸cão positiva. Analogamente, F F T ∈ Sym(V ) e F F T é uma transforma¸cão linear de defini¸cão √ positiva. Defina-se V = F T F . De acordo com a nota¸cão para tensor raiz quadrada 1.2.10, V será simétrica de defini¸cão positiva e, de acordo com o comentário 1.2.45, sobre determinante de tensor simétrico de defini¸cão positiva ou negativa, V será não singular. Pode-se, então, definir Q = F V −1 e U = QV QT . De acordo com o comentário 1.2.19, sobre transposi¸cão de composi¸cão, tem-se QQT = F V −1 (F V −1 )T = F V −1 V −T F T . Como V = V T implica em V −1 = V −T quando V for não singular, tem-se então QQT = F V −2 F T = F (F T F )−1 F T = F F −1 F −T F T , tendo sido, na u ´ltima igualdade, usado o primeiro item do comentário 1.2.32. Portanto QQT = 1 , logo Q ∈ O(V ). Tem-se, também, U 2 = QV QT (QV QT ) = QV (V QT ). Porém, V QT = (QV T )T = (QV )T e F = QV , logo U 2 = QV (QV )T = F F T . Como F F T é um tensor simétrico de defini¸cão positiva, de acordo com o teorema 1.2.9, sobre quadrado de tensor simétrico de defini¸cão positiva ou negativa, existe um tensor ((F F T )0 )2 = F F T . Mas, embora impor U = QV QT seja suficiente para garantir que U 2 = F F T , impor U 2 = F F T não é suficiente para garantir que U = QV QT , ou seja, esta u ´ltima igualdade é 49

mais restritiva. De fato, de acordo com o comentário 1.2.33, sobre propriedades de tensor ortogonal, a u ´ltima igualdade exige que det U = det V e trU = trV . Esta exigência √ implica na restri¸cão (F F T )0 = F F T , ou seja, como V é simétrico de defini¸cão positiva, √ necessariamente U também é simétrico de defini¸cão positiva, logo U = F F T . 2 Coment´ ario 1.2.46 (Decomposi¸c˜ ao Cartesiana) ∀T ∈ V ⊗ V , ∃ A ∈ Sym(V ) e ∃ B ∈ Skw (V ) (nota¸cão para subsepa¸cos simétrico e antissimétrico 1.2.5) tais que T = A + B, sendo as transforma¸cões A e B unicamente determinadas, respectivamente por A = (T + T T )/2 e B = (T − T T )/2. Note que, de acordo com a defini¸cão de tensores simétrico e antissimétrico 1.2.18, estas duas u ´ltimas igualdades tornam evidente que A ∈ Sym(V ) e B ∈ Skw (V ).

1.2.14

Espa¸ co Euclideano de Pontos

Defini¸c˜ ao 1.2.44 (Espa¸co Euclideano de Pontos) Seja E 0 um conjunto de pontos no espa¸co <n e seja V um espa¸co vetorial euclideano, de acordo com sua defini¸cão 1.2.6. Considerando a defini¸cão de dimensão 1.2.4, seja n a dimensão de V . Se, ∀(x, y) ∈ E 0 ∃ v ∈ V tal que 1. v seja u ńico, grafado v = y − x e chamado vetor diferen¸ca entre y e x, 2. ∀x ∈ E 0 , x − x = 0 ∈ V , 3. ∀x ∈ E 0 e ∀v ∈ V , ∃ y ∈ E 0 , u ńico e tal que v = y − x, ou y = x + v e 4. ∀(x, y, z) ∈ E 0 , (x − y) + (y − z) = (x − z), então E 0 será grafado E e denominado espa¸co euclideano de pontos de dimens˜ ao n, enquanto que V será chamado espa¸co de transla¸c˜ ao de E. Define-se a fun¸c˜ ao distˆ anq

cia entre dois pontos (x, y) ∈ E por d(x, y) = |v| = (x − y) · (x − y). A defini¸cão de espa¸co vetorial real 1.2.1 indica que tal espa¸co contém infinitos vetores e é cont´ınuo. Por causa da condi¸cão 3 da presente defini¸cão, isto por sua vez implica em continuidade em espa¸co euclideano de pontos, ou seja, implica em que o espa¸co euclideano de pontos seja o espa¸co <n , provido das anteriores quatro condi¸cões e da defini¸cão de distância entre dois pontos. A mesma condi¸cão 3 mostra, também, que dados um ponto x e um vetor v, o ponto y está bem definido, mas o mesmo ponto y pode corresponder a diversos pares (x, v). De modo análogo, dados os pontos x e y, o vetor v está bem definido, mas o mesmo vetor v pode corresponder a diversos pares (x, y). Note que, quando n = 1, ter-se-á E = V = < e a fun¸cão distância será o módulo da diferen¸ca entre dois reais, d(x, y) = |x − y|. Defini¸c˜ ao 1.2.45 (Espa¸co Tangente) Seja Ex0 = {vx = (x, v)| v = y − x, ∀y ∈ E}, logo seja vx o vetor diferen¸ca entre um ponto fixo x ∈ E e um ponto qualquer y ∈ E e seja Ex0 o conjunto de todos os vetores diferen¸ca entre y e x, ∀y ∈ E. Considerando o item 2 da defini¸cão de espa¸co euclideano de pontos 1.2.44 percebe-se que Ex0 contém exatamente os mesmos vetores que V , mas: 1. com a restri¸cão de serem considerados vetores diferen¸ca para um ponto fixo x;

2. sem que tenham sido definidas as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar, as quais, de acordo com a defini¸cão de espa¸co vetorial real 1.2.1, caracterizam tais espa¸cos. Entretanto, tais opera¸cões estão definidas em V . Por isto, para defini-las em Ex0 basta impor que vx + ux = (v + u)x e αvx = (αv)x . Efetuando esta imposi¸cão Ex0 será grafado Ex e denominado espa¸co tangente de E em x. Os espa¸cos Ex e V são ditos isom´ orficos, o que é representado por Ex ∼ = V e significa que um é a cópia do outro. A fun¸cão ix : V → Ex , chamada fun¸c˜ ao paralelismo euclideano , estabelece uma correspondência de um para um, conforme apresentado na defini¸cão de fun¸cão e funcional 1.1.1, entre V e Ex . A composi¸cão de fun¸cões, também apresentada na mencionada defini¸cão 1.1.1, τx, y = iy ◦ i−1 x : Ex → Ey , que transforma vx = (x, v) 7→ vy = (y, v), é denominada fun¸c˜ ao transla¸c˜ ao paralela dos vetores em Ex para os vetores em Ey . Portanto, vx = (x, v) ∈ Ex e uy = (y, u) ∈ Ey são o mesmo vetor se e somente se v = u. Desta forma, vetores em diferentes espa¸cos tangentes podem ser somados como se estivessem no mesmo espa¸co vetorial.

1.3 1.3.1

C´ alculo Tensorial Diferencia¸ c˜ ao

Defini¸c˜ ao 1.3.1 (Subconjunto Aberto) Um subconjunto será aberto quando os elementos que o constitu´ırem, embora possam situar-se tão próximo quanto o desejado de elementos não pertencentes ao subconjunto considerado, jamais alcan¸carem tais elementos estranhos ao subconjunto. Um intervalo aberto é um subconjunto escalar, ordenado, cont´ınuo e aberto, representado por (a, b) ⊂ < (lembre que < é cont´ınuo, conforme afirmado na defini¸cão de espa¸co vetorial real 1.2.1, além de ser escalar e ordenado), o que indica que a e b são respectivamente cotas inferior máxima e superior m´ınima não pertencentes ao subconjunto. Se a cota a, b, ou ambas, pertencerem ao subconjunto, usar-se-á respectivamente a representa¸cão [a, b) ⊂ <, (a, b] ⊂ <, ou [a, b] ⊂ <, que respectivamente correspondem a um intervalo fechado abaixo, fechado acima, ou fechado abaixo e acima. Defini¸c˜ ao 1.3.2 (Derivada Escalar em Escalar) Considerando a defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1, seja f : (a, b) → < uma fun¸cão aplicável a qualquer escalar t ∈ (a, b) ⊂ <, cuja imagem também seja um escalar. Se, ∀(t + h) ∈ (a, b) ⊂ <, existir o limite indicado na expressão a seguir, a derivada de f no valor t do seu argumento será, por defini¸cão, df 1 f˙(t) = = lim (f (t + h) − f (t)), dt h→0 h

1 (f (t + h) − f (t) − hf˙(t)) = 0, h→0 h lim

onde f˙(t) ∈ <, logo f˙ : (a, b) → <. De acordo com a segunda entre as duas equa¸c˜oes conjuntamente destacadas, definindo a corre¸c˜ ao o(h) de modo a que o(h) = f (t + h) − f (t) − hf˙(t),

tem-se

lim

h→0

1 o(h) = 0, h

logo

lim

|h|→0

1 |o(h)| = 0, |h|

conforme será mostrado na defini¸cão 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar. Tradicionalmente, df = f˙(t)dt é o diferencial de f . Se dt for um acréscimo arbitrário em t, restrito apenas pela condi¸cão de que (t, t + dt) ∈ (a, b) ⊂ < ou seja, se dt não necessariamente for um acréscimo infinitesimal (conforme, por exemplo, a defini¸cão de diferencial fornecida por Tom M. Apostol, Calculus, Vol. I, Wiley, 2a. ed., New York, 1967), então hf˙(t) será o diferencial de f . Porém, diversos livros didáticos de cálculo exigem que diferenciais sejam infinitesimais. Por isto, evitam-se equ´ıvocos não chamando hf˙(t) (onde a não exigência de que h seja infinitesimal é colocada já como hipótese) de diferencial. Pelo contrário, hf˙(t) é denominado derivada direcional de f no escalar t, para o escalar h. Defini¸c˜ ao 1.3.3 (Derivada Vetorial, Tensorial ou de Pontos, em Escalar) A defini¸cão de derivada escalar de escalar 1.3.2 pode ser estendida para fun¸cões cujos argumentos continuem pertencendo a (a, b) ⊂ < (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1), mas cujas imagens sejam tensores de ordem superior a zero. Para isto, seja W um espa¸co normatizado, o que significa que o espa¸co W dispõe ou de uma norma, ou de uma fun¸cão distância (os conceitos de limite e convergência só fazem sentido num espa¸co para o qual seja definida uma norma, ou uma fun¸cão distância) e seja f : (a, b) → W uma fun¸cão aplicável a um escalar, que varie dentro de (a, b) ⊂ <, fun¸cão esta cuja imagem perten¸ca a W . Neste texto, são considerados somente os seguintes espa¸cos W : (a) W = <, que é um caso especial de W = V e de W = E, cuja norma e fun¸cão distância é |u| = d(x, y) = |x − y| (derivada escalar de escalar, já apresentada em sua defini¸cão 1.3.2), ou (b) W = V , cuja norma, de acordo com a defini¸cão de espa¸co vetorial euclideano 1.2.6, √ é |u| = u · u (derivada vetorial de escalar), ou (c) W = V ⊗ V , sendo V ⊗ V um espa¸co de produto tensorial, de acordo com a sua defini¸cão 1.2.13, cuja norma, considerando a defini¸cão de norma de tensor de segunda √ ordem 1.2.28, é |A| = trAAT (derivada tensorial de escalar), ou (d) W = E, cuja fun¸cão distância, de acordo com a defini¸cão de espa¸co euclideano de pontos 1.2.44, é d(x, y) =

(x − y) · (x − y) (derivada de pontos, de escalar).

Se, ∀(t + h) ∈ (a, b) ⊂ <, existir o limite indicado na expressão a seguir, a derivada de f no valor t do seu argumento será, por defini¸cão, 1 df f˙ (t) = = lim (f(t + h) − f(t)) , dt h→0 h onde f˙ (t) ∈ W1 , sendo W1 = V (V é o espa¸co de transla¸cão de E) quando W = E (item (d)) e W1 = W nos três primeiros casos. A u ´ltima equa¸cão destacada pode ser escrita lim

h→0

1 (f(t + h) − f(t) − hf˙ (t)) = 0 , h

logo

porque:

lim

|h|→0

1 |f(t + h) − f(t) − hf˙ (t)| = 0 , |h|

(a) quando W = <, f(t + h) − f(t) − hf˙ (t) = x = 0 exige |x| = 0 e v.v. (portanto, na mencionada defini¸cão 1.3.2, a condi¸cão limh→0 h1 (f (t + h) − f (t) − hf˙(t)) = 0 é satisfeita se e somente se lim|h|→0 1 |f (t + h) − f (t) − hf˙(t)| = 0), |h|

(b) quando W = V , f(t + h) − f(t) − hf˙ (t) = u = 0 exige |u| = 0 e v.v., (c) quando W = V ⊗ V , f(t + h) − f(t) − hf˙ (t) = A = 0 exige |A| = 0 e v.v., (d) quando W = E, sendo f(t + h) − f(t) = u e hf˙ (t) = v, f(t + h) − f(t) − hf˙ (t) = u − v = w = 0 exige |w| = 0 e v.v.. Pode-se definir a transforma¸cão linear Df(t) : < → W (defini¸cão 1.2.6 de transforma¸cão n-linear), cuja forma depende de t ∈ (a, b), por meio da igualdade Df(t)[h] = hf˙ (t) , onde o produto hf˙ (t) deixa evidente a linearidade da transforma¸cão aplicada a h. Logo, de acordo com a nota¸cão para aplica¸cão de tensor a tensor 1.2.6, Df(t) é um tensor que, se for aplicado ao tensor h, produzirá como resultado o mencionado produto. Como h é um escalar, considerando o item 1 da mencionada nota¸cão 1.2.6 conclui-se que Df(t)[h] = hDf(t), logo Df(t) = f˙ (t). Porém, embora Df(t) e f˙ (t) sejam o mesmo tensor, enquanto que hf˙ (t) representa o escalar h multiplicando um tensor que é a imagem do argumento t através da fun¸cão f˙ , Df(t)[h] representa a fun¸cão (transforma¸cão) Df(t), cuja forma ´ltima depende de t, aplicada ao argumento h. Portanto, o principal significado da u igualdade destacada é alterar o argumento ao qual a fun¸cão é aplicada (evidentemente, no caso da citada defini¸cão 1.3.2 pode-se definir Df (t)[h] = hf˙(t)). Tem-se, então, 1 |f(t + h) − f(t) − Df(t)[h]| = 0 . lim |h|→0 |h| A equa¸cão destacada no in´ıcio desta defini¸cão tem exatamente a mesma abrangência desta u ´ltima igualdade, sendo uma consequência da outra. Mas, ao contrário da expressão inicial, esta u ´ltima está escrita de modo tal que a defini¸cão de derivada, adequada para fun¸cões f : (a, b) → W , possa ser facilmente estendida para fun¸cões f : D → W , onde D é um subconjunto aberto, de acordo com a já mencionada defini¸cão 1.3.1, conjunto este que não se restringe exclusivamente ao intervalo (a, b) ⊂ < . Logo, assim como a igualdade apresentada na defini¸cão de derivada escalar de escalar 1.3.2 é uma particulariza¸cão daquela destacada no in´ıcio da presente defini¸cão, a u ´ltima equa¸cão destacada é uma particulariza¸cão de expressões mais gerais, que serão apresentadas nas defini¸cões de gradiente de campo real, vetorial, tensorial ou de pontos 1.3.5 e gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor 1.3.6. Note que, enquanto f : (a, b) → W , como h ∈ < tem-se Df(t) : < → W1 , onde W1 = W se W 6= E e W1 = V se W = E. Logo, de acordo com a defini¸cão de espa¸co de transforma¸cão linear 1.2.4 e considerando uma extensão da defini¸cão de espa¸co de produto tensorial 1.2.13, Df(t) ∈ L(<, W1 ) = W1 ⊗ <. Semelhantemente ao colocado na mencionada defini¸cão 1.3.2, Df(t)[h] = hf˙ (t) é a derivada direcional de f no escalar t, para o escalar h. Ainda em analogia ao apresentado na defini¸cão 1.3.2, mas agora de acordo com a u ´ltima equa¸cão aqui destacada, definindo a corre¸c˜ ao o(h) de modo a que 53

f(t + h) − f(t) = Df(t)[h] + o(h), tem-se lim|h|→0

1 |h|

| o(h)| = 0.

Defini¸c˜ ao 1.3.4 (Campo) Seja D ⊂ E| D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1) e seja f : D → W . Tais fun¸cões f são denominadas campos. Se, conforme afirmado na defini¸cão de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, de escalar 1.3.3 e utilizando a defini¸cão 1.2.45 de espa¸co tangente Ex , 1. W = <, então a fun¸cão f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ < é um campo escalar aplicado a D; 2. W = Ex ∼ = V , então a fun¸cão f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ Ex é um campo vetorial aplicado a D; 3. W = Ex ⊗ Ex ∼ = V ⊗ V , então a fun¸cão f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ Ex ⊗ Ex é um campo tensorial de segunda ordem aplicado a D; 4. W = E, então a fun¸cão f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ E é um campo de pontos aplicado a D, ou uma deforma¸c˜ ao de D. Defini¸c˜ ao 1.3.5 (Gradiente de Campo Esc., Vet., Tens. ou de Pontos) Seja o campo f : D → W , de acordo com sua defini¸cão 1.3.4. A fun¸cão f : D → W é dita diferenciável em x ∈ D ⊂ E| D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1), se existir uma transforma¸cão linear Df(x) : V → W1 , logo, de acordo com a defini¸cão de espa¸co de transforma¸cão linear 1.2.4 e considerando uma extensão da defini¸cão de espa¸co de produto tensorial 1.2.13, Df(x) ∈ L(V, W1 ) = W1 ⊗ V , onde V é o espa¸co de transla¸cão do espa¸co euclideano de pontos E, W = <, ou W = Ex ∼ = V , ou W = Ex ⊗ Ex ∼ = V ⊗ V , ou W = E e W1 = W se W 6= E e W1 = V se W = E, tal que, ∀v = y − x|(x, y) ∈ D, logo v ∈ V , 1 lim | f(x + v) − f(x) − Df(x)[v]| = 0 . |v|→0 |v| Esta igualdade pode ser obtida substituindo t por x e h por v na u ´ltima equa¸cão destacada na defini¸cão 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, de escalar. A tranforma¸cão linear Df(x) ∈ L(V, W1 ) = W1 ⊗ V , definida de modo u ńico pela u ´ltima expressão destacada, transforma v num elemento do espa¸co W1 . Ela é chamada gradiente de f em x e é grafada grad f (x), ou ∇f (x), ou ∇x f (esta é a simbologia utilizada neste texto). A transforma¸cão linear ∇x f é: Um tensor de primeira ordem u quando W = < (a fun¸cão f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ < é um campo escalar), portanto neste caso ∇x f[v] = u[v] = u · v (item 2 da nota¸cão 1.2.6, para aplica¸cão de tensor a tensor). Um tensor de segunda ordem A quando W = Ex (a fun¸cão f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ Ex é um campo vetorial), portanto neste caso ∇x f[v] = A[v] = A(v) (item 3 da nota¸cão 1.2.6, para aplica¸cão de tensor a tensor, com k = 2).

Um tensor de terceira ordem T quando W = Ex ⊗ Ex (a fun¸cão f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ Ex ⊗ Ex é um campo tensorial de segunda ordem), portanto neste caso ∇x f[v] = T [v] = T (v) (item 3 da nota¸cão 1.2.6, para aplica¸cão de tensor a tensor, com k = 3). Um tensor de segunda ordem A quando W = E (a fun¸cão f : x ∈ D 7→ f(x) ∈ E é uma deforma¸cão), portanto neste caso ∇x f[v] = A[v] = A(v) (item 3 da nota¸cão 1.2.6, para aplica¸cão de tensor a tensor, com k = 2). Em analogia ao apresentado na mencionada defini¸cão 1.3.3, mas agora de acordo com a equa¸cão aqui destacada, definindo a corre¸c˜ ao o(v) de modo a que f(x + v) − f(x) = 1 ∇x f [v] + o(v), tem-se lim|v|→0 |v| | o(v)| = 0. Sendo h ∈ <, fazendo hv0 = v, grafando v por v0 e substituindo v por hv na primeira equa¸cão destacada, tem-se 1 lim | f(x + hv) − f(x) − ∇x f [hv]| = 0. |hv|→0 |hv| Supondo v fixo e não nulo, o real h será a u ńica variável desta equa¸cão, uma vez que x é um parâmetro. Considerando a linearidade da transforma¸cão ∇x f, esta equa¸cão pode, então, ser escrita 1 lim | f(x + hv) − f(x) − h∇x f [v]| = 0. |h|→0 |h| Esta, conforme colocado na defini¸cão 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, de escalar, será satisfeita se e somente se limh→0 h1 (f(x + hv) − f(x) − h∇x f [v]) = 0, logo 1 (f(x + hv) − f(x)). h→0 h

∇x f [v] = lim

Sendo t ∈ <, fazendo x0 + tv = x, grafando x por x0 e substituindo x por x + tv na equa¸c˜ao anterior, tem-se ∇x+tv f [v] = limh→0 h1 (f(x + (t + h)v) − f(x + tv)), ou

1 (f(x + (t + h)v) − f(x + tv))

. h→0 h t=0

∇x f [v] = lim

A diferen¸ca entre as duas u ´ltimas equa¸cões destacadas reside no fato de que, na primeira, antes foi imposto t = 0 e, em seguida, foi efetuado o limite, enquanto que a grafia da segunda indica que antes foi efetuado o limite e, posteriormente, foi imposto t = 0. Como a ordem conforme a qual estas duas opera¸cões são efetuadas não afeta o resultado final, o primeiro membro de ambas é o mesmo. A forma da u ´ltima expressão destacada é decorrente do fato de v e x terem sido supostos parâmetros, logo esta condi¸cão não pode ser alterada. Mas nada impede que t seja considerada a variável do seu membro direito, ao invés de h. Aliás, isto é equivalente a procedimento adotado na mencionada defini¸cão 1.3.3, mas em sentido oposto. Neste caso, f(x + tv) é uma fun¸cão do argumento t, f(x + (t + h)v) é a mesma fun¸cão, agora aplicada ao argumento t acrescido de h e, de acordo com a primeira igualdade destacada na citada defini¸cão 1.3.3, lim h→0 h1 (f(x + (t + h)v) − f(x + tv)) = dtd f(x + tv), ou

. ∇x f [v] = f(x + tv)

dt t=0 55

Logo, a aplica¸cão da transforma¸cão linear gradiente de f em x, ∇x f, ao vetor v, representada por ∇x f [v], produz o valor da derivada dtd f : (a, b) → W , para t = 0, da fun¸cão f de argumento escalar x + tv, onde x e v são constantes (se x e v não fossem constantes, o argumento seria um ponto do espa¸co euclideano de pontos, ao invés de um escalar). Tal valor é a derivada direcional de f no ponto x, para o vetor v. Note que, neste caso, a denomina¸cão derivada direcional é, sob aspecto geométrico, especialmente apropriada. Para casos análogos, como os que foram e serão apresentados, esta denomina¸cão é, por extensão, mantida. Defini¸c˜ ao 1.3.6 (Grad. Esc., Vet., Ten. ou de Pontos, em Vet. ou Ten.) A u ´ltima equa¸cão destacada na defini¸cão 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, de escalar, permite outras generaliza¸cões além daquela referente à defini¸cão de campo 1.3.4, onde f : D → W , sendo D ⊂ E| D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1), o que conduz ao conceito de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, apresentado na sua defini¸cão 1.3.5. De fato, sejam W1 e W2 dois espa¸cos normatizados, escolhidos entre aqueles listados de (a) a (d) no come¸co da citada defini¸cão 1.3.3, mas excluindo-se as possibilidades W1 = < e W1 = E, porque já consideradas. A fun¸cão F : D → W2 é dita diferenciável em X ∈ D ⊂ W1 | D é aberto, se existir uma transforma¸cão linear DF(X) : W1 → W3 , logo, de acordo com a defini¸cão de espa¸co de transforma¸cão linear 1.2.4 e considerando uma extensão da defini¸cão de espa¸co de produto tensorial 1.2.13, DF(X) ∈ L(W1 , W3 ) = W3 ⊗ W1 , onde W3 = W2 se W2 6= E e W3 = V se W2 = E, tal que, ∀(X + Y ) ∈ D, logo Y ∈ W1 lim

|Y |→0

1 | F(X + Y ) − F(X) − DF(X)[Y ]| = 0 . |Y |

Note que: 1. A equa¸cão anterior é a u ´ltima equa¸cão destacada na citada defini¸cão 1.3.3, após as substitui¸cões de t ∈ (a, b) ⊂ < por X ∈ D ⊂ W1 | D é aberto e h por Y . 2. A transforma¸cão linear DF(X) é determinada de modo u ńico pela expressão destacada, é denominada gradiente de F em X e é grafada ∂F(X) ou ∂X F (esta é a simbologia utilizada neste texto). 3. Em analogia ao apresentado na mencionada defini¸cão 1.3.5, mas agora de acordo com a equa¸cão aqui destacada, definindo a corre¸c˜ ao o(Y ) de modo a que F(X + 1 Y ) − F(X) = ∂X F [Y ] + o(Y ), tem-se lim|Y |→0 |Y | | o(Y )| = 0. 4. De modo análogo ao efetuado na citada defini¸cão 1.3.5, demonstra-se que

∂X F[Y ] = , F(X + tY )

dt t=0

onde (F, ∂X F) : D → W2 , sendo D ⊂ W1 | D ´e aberto e dtd F : (a, b) → W2 . Denomina-se derivada direcional de F no vetor ou tensor X, para o vetor ou tensor Y , a ∂X F[Y ]. 56

5. Considerando os tipos de espa¸co listados no in´ıcio da mencionada defini¸cão 1.3.3, as possibilidades W1 = < e W1 = E já foram discutidas. Restam W1 = V e W1 = V ⊗ V . No quadro a seguir, para o cálculo de ∂X F [Y ] ∈ W2 é utilizada a nota¸cão para aplica¸cão de tensor a tensor 1.2.6. Por simplicidade, W1 = V é combinado só com W2 = < e W2 = V , enquanto que W1 = V ⊗ V apenas com W2 = <. Por analogia, outras possibilidades podem ser calculadas. W1 V V V V ⊗V V ⊗V

W2 L(W1 , W2 ) ∂X F ∈ L(W1 , W2 ) ∂X F [Y ] ∈ W2 < V v v[u] = v · u V V ⊗V A A[u] = A(u) V V ⊗V v⊗u (v ⊗ u)[w] = (u · w)v < V ⊗V A A[B] = A · B = tr(AB T ) < V ⊗V v⊗u (v ⊗ u)[B] = v · B(u)

Nota¸c˜ ao 1.3.1 (Derivada e Gradiente Generalizados) Se a transforma¸cão linear considerada indicar a tendência de varia¸cão de uma fun¸cão num determinado escalar, ela será chamada derivada, como nas defini¸cões de derivada escalar em escalar (s´ımbolo Df (t) = f˙(t)) e de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar (s´ımbolo Df(t) = f˙ (t)), respectivamente 1.3.2 e 1.3.3. Se a transforma¸cão linear considerada indicar a tendência de varia¸cão de uma fun¸cão num determinado ponto, vetor ou tensor, ela será chamada gradiente, como nas defini¸cões de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos (s´ımbolo Df(x) = ∇x f) e de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor (s´ımbolo DF(X) = ∂X F), respectivamente 1.3.4 e 1.3.5. Como s´ımbolo genérico desta transforma¸cão linear, abarcando todos estes casos, neste texto é utilizado D · (·), onde o primeiro · representa o s´ımbolo escolhido para a fun¸cão, enquanto que o segundo representa a variável que define a forma da transforma¸cão linear. O s´ımbolo genérico da aplica¸cão desta transforma¸cão linear a uma determinada variável, ou seja, o s´ımbolo genérico de derivada direcional, neste texto é D · (·)[·]. Conforme colocado na mencionada defini¸cão 1.3.2, pode-se entender D·(·)[·] como uma generaliza¸cão do conceito de diferencial, portanto D · (·) como uma opera¸cão que gera um diferencial, ou seja, uma opera¸cão de diferencia¸cão, o que justifica o t´ıtulo da presente subse¸cão. Estes s´ımbolos genéricos podem ser usados em qualquer circunstância, mas são obrigatórios sempre que não se tratar de algum caso espec´ıfico, entre aqueles neste texto citados, para os quais outros s´ımbolos também são aceitos e, inclusive, costumam ser mais usados. Portanto, se W e W1 forem quaisquer dois espa¸cos normatizados (defini¸cão 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar) e lembrando que normas se anulam quando os respectivos elementos se anulam e v.v., bem como distâncias se anulam quando as correspondentes diferen¸cas entre elementos se anulam e v.v.: 1. A fun¸cão F : D → W1 é dita diferenciável em X ∈ D ⊂ W | D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1), se existir uma transforma¸cão linear DF(X) : W2 → W3 tal que, ∀(X + Y ) ∈ D , sendo Y ∈ W2 , lim

|Y |→0

1 | F(X + Y ) − F(X) − DF(X)[Y ]| = 0 . |Y |

Quando W for provido de norma ter-se-´a W2 = W , mas quando W for provido de 57

fun¸cão distância isto não ocorrerá (por exemplo, para W = E ter-se-á W2 = V ). Por outro lado, quando W1 for provido de norma ter-se-á W3 = W1 , mas quando W1 for provido de fun¸cão distância isto não ocorrerá (por exemplo, para W1 = E ter-se-á W3 = V ). De acordo com a defini¸cão de espa¸co de transforma¸cão linear 1.2.4, DF(X) ∈ L(W2 , W3 ) = W3 ⊗ W2 , correspondendo esta u ´ltima igualdade a uma extensão do conceito de espa¸co de produto tensorial, conforme a sua defini¸cão 1.2.13. 2. Define-se a corre¸c˜ ao o(Y ) de modo a que F(X + Y ) − F(X) = DF(X)[Y ] + o(Y ), logo a expressão destacada no item 1 implica em lim|Y |→0 |Y1 | | o(Y )| = 0. 3. Demonstra-se que a derivada direcional

, DF(X)[Y ] = F(X + tY )

dt t=0

1.3.2

d F : (a, b) → W3 . dt

onde

Aplica¸ c˜ oes da Diferencia¸c˜ ao

Coment´ ario 1.3.1 (Gradientes de φ , sendo φ(A, v) = v · A(v)) Seja a fun¸cão real bilinear φ : V ⊗V ×V → <, definida por φ(A, v) = v·A(v), onde A ∈ V ⊗V e (u, v) ∈ V . Lembrando do comentário 1.2.12, sobre transforma¸cão escalar bilinear e tensor, onde é discutido que todo tensor A, além de ser uma fun¸cão vetorial linear A : V → V , corresponde a uma fun¸cão escalar bilinear A : V × V → < tal que A(u, v) = u · A(v), onde o primeiro A representa a fun¸cão escalar biliner a ser aplicada ao argumento (u, v), enquanto que o segundo representa o tensor A a ser aplicado ao vetor v, percebe-se que φ(A, v) = A(v, v) = v · A(v). Porém, são interessantes as expressões dos gradientes ∂v φ e ∂A φ da fun¸cão φ(A, v). Além disto, o cálculo de tais gradientes ilustra, para o caso de fun¸cão de m´ ultiplas variáveis, o uso do item 4 da defini¸cão 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor e a obediência ao item 3 da mesma defini¸cão. De fato, de acordo com o mencionado item 4 tem-se

∂v φ[u] = dtd φ(A, v + tu)

= dtd ((v + tu) · A(v + tu))

, onde ∂v φ é o gradiente t=0 t=0 de φ em v e ∂v φ[u] é a derivada direcional de φ em v, na dire¸cão de u (note que A é ignorado nestas nota¸cões e denomina¸cões, porque é suposto constante). Como (v + tu) · A(v + tu) = v · A(v) + t v · A(u) + t u · A(v) + t 2 u · A(u), então ∂v φ[u] = v·A(u)+u·A(v). Mas, de acordo com a defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17, v · A(u) = u · AT (v), logo v · A(u) + u · A(v) = (A + AT )(v) · u = (A + AT )(v)[u] , provindo a u ´ltima igualdade da segunda linha da tabela presente no item 5 da citada defini¸cão 1.3.6. Tem-se, portanto, ∂v φ = (A + AT )(v). Note que φ(A, v+u) = (v+u)·A(v+u) = v·A(v)+v·A(u)+u·A(v)+u·A(u) = φ(A, v) + ∂v φ[u] + u · A(u). Comparando esta igualdade com a imposi¸cão efetuada no item 3 da mencionada defini¸cão 1.3.6, tem-se o(u) = u · A(u). Se e = u/| u| , lim|u|→0 (|u · A(u)|/| u|) = lim|u|→0 (|u| |e · A(e)|) = 0, resultado este de acordo com a exigência de que lim|Y |→0 |Y1 | | o(Y )| = 0. 58

∂A φ[B] =

d dt

φ(A + tB, v)

t=0

d dt

(v · (A + tB)(v))

t=0

, onde ∂A φ ´e o gradiente de φ

em A e ∂A φ[B] é a derivada direcional de φ em A, na dire¸cão de B (note que v é ignorado nestas nota¸cões e denomina¸cões, porque é suposto constante). Como v·(A+tB)(v) = v·A(v)+t v·B(v), tem-se ∂A φ[B] = v·B(v). Mas, de acordo com au ´ltima linha da tabela no item 5 da citada defini¸cão 1.3.6, v · B(v) = (v ⊗ v)[B], logo ∂A φ = v ⊗ v . Note que φ(A + B, v) = v · (A + B)(v) = v · A(v) + v · B(v) = φ(A, v) + ∂A φ[B]. Portanto, comparando esta igualdade com a imposi¸cão efetuada no item 3 da mencionada defini¸cão 1.3.6, obtém-se o(A) = 0, ficando satisfeita a exigência de que lim|Y |→0 |Y1 | | o(Y )| = 0. Coment´ ario 1.3.2 (Gradiente de φ , sendo φ(A) = u · A(v)) Sejam (u, v) ∈ V vetores constantes e seja a fun¸cão real linear φ : V ⊗ V → <, definida por φ(A) = u · A(v) (convém sublinhar que, conforme colocado no in´ıcio do comentário 1.3.1, sobre gradientes de φ, sendo φ(A, v) = v · A(v), esta u ´ltima, a fun¸cão escalar bilinear A : V × V → < e a fun¸cão vetorial linear A : U → V já foram definidas, não podendo ser confundidas entre si, ou com a quarta fun¸cão agora apresentada). De acordo com o item 4 da defini¸cão 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se, para a derivada direcional de φ em A, para B,

d d = = u · B(v) . ∂A φ[B] = φ(A + tB)

(u · (A + tB)(v))

dt dt t=0 t=0

Como, considerando a u ´ltima linha da tabela existente no item 5 da mencionada defini¸cão 1.3.6, u · B(v) = (u ⊗ v)[B], então ∂A φ = u ⊗ v. Note que φ(A + B) = u · (A + B)(v) = u · A(v) + u · B(v) = φ(A) + ∂A φ[B]. Portanto, comparando esta igualdade com a imposi¸cão efetuada no item 3 da citada defini¸cão 1.3.6, obtém-se o(A) = 0, ficando satisfeita a exigência de que lim|Y |→0 |Y1 | | o(Y )| = 0. Considerando o comentário 1.2.46, sobre decomposi¸cão cartesiana de tensor, bem como o comentário 1.2.15, sobre transposi¸cão de tensor simples, as parcelas aditivas simétrica e antissimétrica de ∂A φ são, respectivamente, (u⊗v+v⊗u)/2 e (u⊗v−v⊗u)/2. Por outro lado, o item 4 da mencionada defini¸cão 1.3.6 mostra que A ∈ Sym(V ) implica em ∂A φ ∈ Sym(V ) e v.v., enquanto que A ∈ Skw(V ) implica em ∂A φ ∈ Skw(V ) e v.v.. Portanto, se A ∈ Sym(V ) tem-se ∂A φ = (u ⊗ v + v ⊗ u)/2 , mas se A ∈ Skw(V ) tem-se ∂A φ = (u ⊗ v − v ⊗ u)/2 . Coment´ ario 1.3.3 (Gradiente de Tra¸co) Tem-se

d d

∂A tr[B] = = = trB = 1 · B = 1 [B], ou tr(A + tB)

(trA + t trB)

dt dt t=0 t=0

∂A tr = 1 , onde utilizou-se 59

o item 4 da defini¸cão 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, para a primeira igualdade, o primeiro item do comentário sobre propriedades de tra¸cos 1.2.29 para a segunda, o primeiro item do comentário sobre propriedades do produto interno tensorial 1.2.31 para a quarta e a pen´ ultima linha da tabela presente no item 5 da mencionada defini¸cão 1.3.6, para a quinta igualdade. Note que tr(A+B) = trA+trB = trA+∂A (trA)[B]. Portanto, comparando esta igualdade com a imposi¸cão efetuada no item 3 da citada defini¸cão 1.3.6, obtém-se o(A) = 0, ficando satisfeita a exigência de que lim|Y |→0 |Y1 | | o(Y )| = 0. Coment´ ario 1.3.4 (Gradiente de Determinante) De acordo com o item 4 da defini¸cão 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se

d d w((A + tB)(v1 ), . . . , (A + tB)(vn ))

∂A det[B] = , = det(A + tB)

dt dt w(v1 , . . . , vn ) t=0 t=0

onde, para a segunda igualdade, utilizou-se a defini¸cão de determinante de transforma¸cão linear 1.2.24. A fun¸cão n-linear alternante w((A + tB)(v1 ), . . . , (A + tB)(vn )) pode ser decomposta nas seguintes parcelas aditivas: 1. um termo independente de t, w(A(v1 ), . . . , A(vn )) = w(v1 , . . . , vn ) det A ; 2. a soma de n termos de ordem 1 em t, t

i=1

w(A(v1 ), . . . , B(vi ), . . . , A(vn )) ;

3. termos cuja ordem, em t, ´e superior a 1. Por isto, ∂A det[B] = Pn

i=1

w(A(v1 ), . . . , B(vi ), . . . , A(vn )) = w(v1 , . . . , vn ) Pn

ou ∂A det[B] = det A

i=1

w(A(v1 ), . . . , AA−1 B(vi ), . . . , A(vn )) , w(v1 , . . . , vn )

w(v1 , . . . , A−1 B(vi ), . . . , vn ) = det A tr(A−1 B) w(v1 , . . . , vn )

onde, na u ´ltima igualdade, foi utilizada a defini¸cão de tra¸co de transforma¸cão linear 1.2.26. Mas, usando a pen´ ultima linha da tabela apresentada no item 5 da mencionada defini¸cão 1.3.6, tem-se tr(A−1 B) = A−T · B = A−T [B], logo ∂A det = (det A)A−T . Note que, de acordo com a imposi¸cão apresentada no item 3 da citada defini¸cão 1.3.6, o(B) corresponde à soma das parcelas com mais de um B em que se decompõe a fun¸cão n-linear alternante w((A + B)(v1 ), . . . , (A + B)(vn )) / w(v1 , . . . , vn ). Isto garante que 1 lim|B|→0 |B| | o(B)| = 0, porque w é linear e porque, conforme a sua defini¸cão 1.2.28, a norma |B| de um tensor de segunda ordem B é um real tal que B/|B| seja um tensor de norma igual à unidade. 60

Coment´ ario 1.3.5 (Diferencia¸c˜ ao em Cadeia) Sejam W1 , W2 e W3 espa¸cos normatizados, como aqueles apresentados na defini¸cão 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar. Sejam, também, D1 ⊂ W1 |D1 é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1) e D2 ⊂ W2 |D2 é aberto. Sejam, ainda, φ : D1 → W2 , ψ : D2 → W3 e φ(D1 ) ⊂ D2 . Seja φ diferenciável em X ∈ D1 e seja ψ diferenciável em φ(X) ∈ D2 . Como este comentário não se restringe a algum caso espec´ıfico, entre aqueles citados neste texto, os s´ımbolos são utilizados em concordância com a nota¸cão de derivada e gradiente generalizados 1.3.1. De acordo estas considera¸cões e com a defini¸cão de fun¸cão e funcional 1.1.1, a composi¸cão de fun¸cões ψ ◦ φ, tal que (ψ ◦ φ)(D1 ) = ψ(φ(D1 )), é diferenciável em X, obtendo-se, ∀Y |(X + Y ) ∈ D1 , que D(ψ ◦ φ)(X)[Y ] = D(ψ(φ(X)))[Y ] = Dψ(φ(X))[Dφ(X)[Y ] ]. Nesta expressão destacada: A derivada de ψ ◦φ se refere aos mesmos X e Y aos quais também se refere a derivada de φ, enquanto que a derivada de ψ respectivamente se refere a φ(X) e a Dφ(X)[Y ]. A expressão mostra que, impondo isto, a derivada de ψ ◦ φ se iguala à derivada de ψ. A esta igualdade costuma-se chamar regra de diferencia¸c˜ ao em cadeia Dφ(X)[Y ] representa, em rela¸cão a φ(X), o mesmo que Y representa, em rela¸cão a X. De fato, Y é uma varia¸cão no valor X que, quando |Y | → 0, define a derivada da fun¸cão que tem X como variável. Analogamente, Dφ(X)[Y ] é uma varia¸cão no valor φ(X) que, quando |Dφ(X)[Y ]| → 0, define a derivada da fun¸cão que tem φ(X) como variável. Além disto, de acordo com a expressão destacada no item 1 da referida nota¸cão 1.3.1, |Y | → 0 implica em |Dφ(X)[Y ]| → 0 e v.v.. D(ψ(φ(X))) 6= Dψ(φ(X)), porque no primeiro termo a deriva¸cão da fun¸cão ψ ◦ φ ocorre em X, como em D(ψ ◦ φ)(X), enquanto que no segundo termo a deriva¸cão da fun¸cão ψ ocorre em φ(X). Esta desigualdade indica a necessidade de não se usar o mesmo s´ımbolo nos dois u ´ltimos termos da igualdade destacada (p.e., não utilizar Dψ(φ(X)) em ambos os termos). Coment´ ario 1.3.6 (Gradientes Escalar e Vetorial em Campo Vetorial) Seja a fun¸cão escalar de vetor ϕ : Dϕ ⊂ V → <|Dϕ é aberto, (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1) a fun¸cão vetorial de vetor h : Dh ⊂ V → V |Dh é aberto e, de acordo com a defini¸cão de campo 1.3.4, o campo vetorial g : Dg ⊂ E → V |Dg é aberto. (ϕ ◦ g)(x) = ϕ(g(x)) : De acordo com o comentário sobre diferencia¸cão em cadeia 1.3.5, se g for derivável em x ∈ Dg , se g(x) ∈ Dϕ e se ϕ for derivável em g(x), para a composi¸cão ϕ ◦ g : Dg → < existe a derivada direcional ∇x (ϕ ◦ g)[v] = ∇x ϕ(g(·))[v] = ∂u ϕ|u=g(x) [∇x g[v]], onde (v + x) ∈ Dg , u ∈ Dϕ assume o valor g(x) e, em ∇x ϕ(g(·))[v], o ´ındice x em ∇ é fundamental para indicar que se trata do gradiente em x da composi¸cão, não do gradiente de ϕ em g(x), cujo s´ımbolo não seria ∇. Por outro lado, grafar apenas ∇x ϕ(g)[v] não esclareceria que x é o argumento de g. Note que a composi¸cão ϕ ◦ g nao poderia ser grafada ϕg porque, conforme a defini¸cão de composi¸cão de tensores 61

de segunda ordem 1.2.20, o s´ımbolo ϕg, para indicar composi¸cão, seria espec´ıfico para tais tensores. Tanto o s´ımbolo ∂u ϕ|u=g(x) , quanto o s´ımbolo ∂g(x) ϕ são corretos, mas utilizou-se o primeiro para sublinhar o fato de que a expressão do gradiente, num genérico vetor u, deve ser utilizada no espec´ıfico vetor g(x). A defini¸cão de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos 1.3.5 mostra que ∇x g é um tensor de segunda ordem. Como ϕ é uma fun¸cão escalar de um vetor, ∂u ϕ|u=g(x) é um vetor. De acordo com as linhas 2 e 3 da tabela do item 5 da defini¸cão 1.3.6, de gradientes escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, temse então ∂u ϕ|u=g(x) [∇x g[v]] = ∂u ϕ|u=g(x) · ∇x g(v) = (∇x g)T (∂u ϕ|u=g(x) ) · v, onde a u ´ltima igualdade decorre do uso da defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17. Logo, usando novamente a linha 2 da mencionada tabela, tem-se ∇x ϕ(g(·))[v] = (∇x g)T (∂u ϕ|u=g(x) )[v], ou o vetor ∇x ϕ(g(·)) = (∇x g)T (∂u ϕ|u=g(x) ). (h ◦ g)(x) = h(g(x)) : De acordo com o mencionado comentário 1.3.5, se g for derivável em x ∈ Dg , se g(x) ∈ Dh e se h for derivável em g(x), para a composi¸cão h ◦ g : Dg → V existe a derivada direcional ∇x (h ◦ g)[v] = ∇x h(g(·))[v] = ∂u h|u=g(x) [∇x g[v]], onde (v+x) ∈ Dg e u ∈ Dh assume o valor g(x). Como no item anterior, ∇x g é um tensor de segunda ordem. Como h é uma fun¸cão vetorial de um vetor, ∂u h|u=g(x) também é um tensor de segunda ordem. Logo, de acordo com a linha 3 da citada tabela, ∂u h|u=g(x) [∇x g[v]] = ∂u h|u=g(x) (∇x g(v)) = (∂u h|u=g(x) ◦ ∇x g)(v) = (∂u h|u=g(x) ◦ ∇x g)[v] = ∂u h|u=g(x) ∇x g[v], onde a u ´ltima igualdade deve-se à defini¸cão de composi¸cão de tensores de segunda ordem 1.2.19. Tem-se, portanto, ∇x h(g(·))[v] = ∂u h|u=g(x) ∇x g[v], ou o tensor de segunda ordem ∇x h(g(·)) = ∂u h|u=g(x) ∇x g. Note que este comentário apresenta as u ´teis expressões dos gradientes escalar e vetorial em campo vetorial, ilustra o uso da regra de diferencia¸cão em cadeia mostrada no comentário 1.3.5, aprofunda a compreensão do uso dos s´ımbolos utilizados na diferencia¸cão e, ainda, sublinha a necessidade de se trabalhar com derivadas direcionais e, só após obtida a expressão final, escrever esta expressão em termos de gradientes. De fato, se este não tivesse sido o procedimento, percebe-se facilmente os absurdos que poderiam ter sido obtidos. Coment´ ario 1.3.7 (Diferencia¸c˜ ao de Produto) A álgebra linear contém diversos tipos de produtos, mas todos eles têm uma propriedade em comum, a saber, a bilinearidade. Seja, então, a opera¸cão bilinear π : W1 × W2 → W3 , a qual atribui, ∀φ(X) ∈ W1 e ∀ψ(X) ∈ W2 , o produto π(φ(X), ψ(X)) ∈ W3 , onde φ : X ∈ D 7→ φ(X) ∈ W1 e ψ : X ∈ D 7→ ψ(X) ∈ W2 , sendo D ⊂ W |D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1) e W é normatizado (defini¸cão 1.3.3, de derivada vetorial, tensorial ou de pontos, 62

em escalar). Define-se f(X) = π(φ(X), ψ(X)), ∀X ∈ D, logo f : D → W3 . Sejam φ e ψ diferenciáveis em X ∈ D ⊂ W . A bilinearidade de π(φ(X), ψ(X)) garante, então, que f é diferenciável em X, sendo, ∀(X + Y ) ∈ D, Df(X)[Y ] = π(Dφ(X)[Y ], ψ(X)) + π(φ(X), Dψ(X)[Y ]) . Coment´ ario 1.3.8 (Diferencia¸c˜ ao de Tensor ao Quadrado) Se A ∈ V ⊗ V , então 2 ∂A A [B] = BA + AB. De fato, usando o item 3 da defini¸cão 1.3.6 de gradiente escalar, d (A dt

vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se ∂A A2 [B] = Mas

d ((A + tB)(A + tB)) dt

= B(A + tB) + (A + tB)B, logo

d 2

(A + tB)

t=0

+ tB)2

t=0

= BA + AB.

Coment´ ario 1.3.9 (Diferencia¸c˜ ao de Tensor Inverso) Se, de acordo com a defini¸cão de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29, A ∈ V ⊗ V for invert´ıvel, então ∂A A−1 [B] = −A−1 BA−1 . De fato, usando o item 3 da defini¸cão 1.3.6 de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se ∂A A−1 [B] =

d (A dt

+ tB)−1

t=0

(como A é invert´ıvel e t é arbitrário, existe t não nulo tal que (A+tB)−1 exista, além disto ocorrer em t = 0). Como (A + tB)−1 (A + tB) = 1 , então dtd ((A + tB)−1 (A + tB)) = 0, ou ( dtd (A + tB)−1 )(A + tB) + (A + tB)−1 dtd (A + tB) = 0, ou ( dtd (A + tB)−1 )(A + tB) = −(A + tB)−1 B, ou −A−1 BA−1 .

d (A dt

+ tB)−1 = −(A + tB)−1 B(A + tB)−1 , logo

d (A dt

+ tB)−1

t=0

Coment´ ario 1.3.10 (Diferencia¸c˜ ao de Tra¸co de Tensor Inverso) Se, conforme a defini¸cão de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29, A ∈ V ⊗ V for invert´ıvel, então ∂A tr(A−1 ) = −(A−2 )T . De fato, usando a regra de diferencia¸cão em cadeia apresentada no comentário 1.3.5 e, em seguida, o afirmado no comentário sobre diferencia¸cão de tensor inverso 1.3.9, obtém-se ∂A tr(A−1 )[B] = ∂tr(A−1 )[∂A A−1 [B]] = −∂tr(A−1 )[A−1 BA−1 ], onde o ´ındice A−1 foi omitido no s´ımbolo ∂, para evitar redundância. Note, porém, que embora redundâncias sejam deselegantes e denotem inexperiência ou desaten¸cão, elas não são erradas. Por isto, na d´ uvida, corra o risco de ser redundante, antes de correr aquele de errar. Usando o item 4 da defini¸cão 1.3.6 de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, seguido dos itens 1 e 5 do comentário sobre propriedades de tra¸cos

= tr(A−1 BA−1 ) = 1.2.29, tem-se que ∂tr(A−1 )[A−1 BA−1 ] = dtd tr[A−1 + tA−1 BA−1 ]

t=0

tr(A−2 B), logo ∂A tr(A−1 )[B] = −tr(A−2 B). Considerando a pen´ ultima linha da tabela do item 5 da citada defini¸cão 1.3.6, novamente o comentário 1.2.29 e também o comentário 1.2.19, sobre transposi¸cão de composi¸cão, tem-se ∂A tr(A−1 )[B] = −(A−2 )T [B], logo ∂A tr(A−1 ) = −(A−2 )T . Coment´ ario 1.3.11 (F´ ormulas para Diferencia¸c˜ ao de Produtos) Seja a fun¸cão escalar f e as fun¸cões vetoriais h e q, sendo o argumento delas uma variável pertencente a D ⊂ W |D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1). De acordo com o comentário 1.3.7, sobre difernecia¸cão de produtos, tem-se que: 1. para W = < z}|{ ˙

f h = f˙ h + f h˙ z }| ˙ { q · h = q˙ · h + q · h˙ 63

2. para W = E ∇(f h) = h ⊗ ∇f + f ∇h ∇(q · h) = (∇q)T (h) + (∇h)T (q) 3. para W = V ∂(f h) = h ⊗ ∂f + f ∂h ∂(q · h) = (∂q)T (h) + (∂h)T (q) Note que, coerentemente com a simbologia adotada, os parêntesis após os s´ımbolos ∇ e ∂ indicam que a fun¸cão, à qual o gradiente é aplicado, é o produto de duas fun¸cões. Portanto, tais parêntesis não indicam qual é o valor da variável que define a forma da opera¸cão gradiente, porque tal valor apareceria como ´ındice dos s´ımbolos ∇ e ∂. Coment´ ario 1.3.12 (Derivada e Gradiente de Ordem Superior) Seja F : D ⊂ W → W1 diferenciável em X ∈ D|D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1). Então, conforme a nota¸cão de derivada e gradiente generalizados 1.3.1, DF(X) : W2 → W3 e DF(X) ∈ W3 ⊗ W2 , logo DF : X ∈ D ⊂ W 7→ DF(X) ∈ DF(D) ⊂ W3 ⊗ W2 . Seja DF : D ⊂ W → W3 ⊗ W2 diferenciável em X. Então D2 F(X) : W2 → W3 ⊗ W2 e D2 F(X) ∈ W3 ⊗ W2 ⊗ W2 , logo D2 F : X ∈ D ⊂ W 7→ D2 F(X) ∈ D2 F(D) ⊂ W3 ⊗ W2 ⊗ W2 , onde D2 F(X) é uma fun¸cão derivada ou gradiente de segunda ordem. Procedendo sucessivamente desta forma, pode-se atingir derivadas ou gradientes de ordem cada vez maior, enquanto as fun¸cões forem diferenciáveis. Evidentemente, as correspondentes derivadas direcionais são DF(X)[Y ], D2 F(X)[Y ] etc., para (X + Y ) ∈ D, logo Y ∈ W2 . Evidentemente também, não se trata de composi¸cão de fun¸cões, ao contrário do que ocorre no comentário 1.3.5, sobre diferencia¸cão em cadeia. Defini¸c˜ ao 1.3.7 (Classe C k ) Se F : D ⊂ W → W1 for diferenciável em X ∈ D|D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1) e, conforme o comentário 1.3.12, sobre derivada e gradiente de ordem superior, DF : D ⊂ W → W3 ⊗ W2 for cont´ınua em D, afirmar-se-á que F pertence à classe C 1 . Se DF : D ⊂ W → W3 ⊗W2 for diferenciável em X e D2 F : D ⊂ W → W3 ⊗ W2 ⊗ W2 for cont´ınua em D, afirmar-se-á que DF pertence à classe C 1 e F pertence à classe C 2 . Procedendo sucessivamente desta forma, pode-se concluir que F pertence à classe C k , onde, necessariamente, k é um inteiro maior ou igual à unidade. Uma fun¸cão é dita suave (“smooth”) quando ela pertencer a alguma classe C k . Seja E é um espa¸co euclideano de pontos, de acordo com a sua defini¸cão 1.2.44. O ponto x ∈ E será regular se todos os campos tensoriais para este fim considerados forem suaves neste ponto mas, se isto não ocorrer, ele será singular. Uma superf´ıcie em E será seccionalmente suave quando ela for constitu´ıda por pontos regulares salvo, no máximo, sobre um n´ umero finito de curvas. Um subconjunto de E será uma região regular quando for totalmente envolvido por uma superf´ıcie a ele pertencente, que o separe do restante de E e, além disto, a superf´ıcie envolvente for seccionalmente suave.

Coment´ ario 1.3.13 (Gradiente de Gradiente de Campo Escalar) Seja D ⊂ E|D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1) e seja φ : D → <|φ pertence à classe C 2 . Considerando o comentário 1.3.12, sobre derivada e gradiente de ordem superior e de acordo com a defini¸cão de classe C k 1.3.7, tem-se então que, sendo V o espa¸co de transla¸cão de E, ∃∇x φ : V → < tal que ∇φ : x ∈ D ⊂ E 7→ ∇x φ ∈ ∇D φ ⊂ V seja cont´ınua em D e, além disto, ∃∇x ∇φ : V → V tal que ∇∇φ : x ∈ D ⊂ E 7→ ∇x ∇φ ∈ ∇D ∇φ ⊂ V ⊗ V seja cont´ınua em D. Aten¸cão: não usar o s´ımbolo ∇2 , o qual, conforme a defini¸cão de laplaciano de campo escalar ou vetorial 1.3.14, representa uma transforma¸cão completamente diferente daquela aqui proposta. Seja v ∈ V . Na expressão f(x+v)−f(x) = ∇x f [v]+o(v), apresentada na defini¸cão de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos 1.3.5, pode-se, então, impor que f = ∇φ, o que resulta na igualdade ∇x+v φ − ∇x φ = (∇x ∇φ)[v] + o(v), na qual cada um dos termos é um vetor e, de acordo com a terceira linha da tabela no item 5 da defini¸cão 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, em vetor ou tensor, (∇x ∇φ)[v] = (∇x ∇φ)(v), porque ∇x ∇φ é um tensor de segunda ordem. Deve-se sublinhar que esta igualdade não representa uma composi¸cão de fun¸cões (∇φ é aplicável a um ponto de E, não a um vetor). A aplica¸cão de ∇x a ∇φ antecede qualquer opera¸cão sobre v, o que é o oposto do que acontece na composi¸cão. Impondo u ∈ V , pode-se efetuar o produto interno da igualdade destacada por u, ∇x+v φ[u] − ∇x φ[u] = u · (∇x ∇φ)(v) + o(v), porque o(v) indica alguma corre¸cão, a qual é fun¸cão de v. Mas, porque f(x + u) − f(x) = ∇x f [u] + o(u), tem-se ∇x+v φ[u] = φ(x + v + u) − φ(x + v) + o(u) e ∇x φ[u] = φ(x + u) − φ(x) + o(u). Substituindo estas duas igualdades na u ´ltima expressão destacada tem-se u · (∇x ∇φ)(v) = φ(x + v + u) − φ(x + v) − φ(x + u) + φ(x) + o(u) + o(v) , cujo segundo membro não se altera com a troca entre u e v, logo u · (∇x ∇φ)(v) = v · (∇x ∇φ)(u) . Considerando a defini¸cão de tensores simétrico e antissimétrico 1.2.18, percebe-se que, se o gradiente do gradiente de um campo escalar pertencer à classe C 2 , ele será um tensor simétrico. Este comentário, além de exemplificar o uso do conceito de derivada e gradiente de ordem superior, apresentado no comentário 1.3.12, produz um resultado muito u ´til para a mecânica dos meios cont´ınuos. 65

Teorema 1.3.1 (Fun¸c˜ ao Inversa) O teorema da fun¸cão inversa, cuja demonstra¸cão é omitida, mostra que, para D ⊂ W |D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1), se a fun¸cão F : D → W pertencer à classe C k e for de um para um em D, respectivamente de acordo com as defini¸cões de classe C k 1.3.7 e de fun¸cão e funcional 1.1.1, então a transforma¸cão linear DF(X) será invert´ıvel ∀X ∈ D e, além disto, também pertencerá à classe C k a fun¸cão inversa de F em D, grafada F−1 conforme a mesma defini¸cão 1.1.1. Como exemplo de transforma¸cão linear invert´ıvel pode-se considerar o caso em que DF(X) ∈ V ⊗ V , o qual obedece à defini¸cão de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29.

1.3.3

Sistemas de Coordenadas

Defini¸c˜ ao 1.3.8 (Sistema de Coordenadas) Seja D ⊂ E|D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1). Um sistema de coordenadas é uma fun¸cão de um para um que pertence à classe C 2 , respectivamente de acordo com as defini¸cões de fun¸cão e funcional 1.1.1 e de classe C k 1.3.7, grafada ψ : D → <n . De acordo com o teorema 1.3.1, sobre fun¸cão inversa, isto garante que ψ −1 existe e pertence à classe C 2 . Se x ∈ D, então ψ : x 7→ (x1 , . . . , xn ) é um sistema de coordenadas, sendo (x1 , . . . , xn ) = ψ(x) as coordenadas de x. Cada fun¸cão χi : D → <, tal que χi : x 7→ xi para i = 1, . . . , n, é uma i-´ esima fun¸c˜ ao coordenada do sistema de coordenadas ψ, também ela pertencente à 2 classe C . Seja χ = ψ −1 , portanto seja x = χ(x1 , . . . , xn ) = χ(χ1 (x), . . . , χn (x)). Seja, ainda, a fun¸cão λi : < → D, a qual define a curva da i-´ esima coordenada 1 passando por x quando t = 0, curva esta grafada λi (t) = χ(x , . . . , xi + t, . . . , xn ), onde x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn são mantidos fixos. Como λi (t) ∈ D, a tangente a esta curva no ponto x é um vetor ci (x) ∈ Ex , onde Ex é o espa¸co tangente de E em x, isomórfico ao espa¸co de transla¸cão V de E, conforme a defini¸cão de espa¸co tangente 1.2.45. Tem-se

d ˙ ci (x) = λi (t)

= dt χ(X + tY ) , onde X = ψ(x) e Y = (0, . . . , 0, xi = 1, 0, . . . , 0). t=0

t=0

Mas, de acordo com o item 4 da defini¸c˜ao 1.3.6, de gradiente

escalar, vetorial, tensorial d ou de pontos, em vetor ou tensor, tem-se que dt χ(X + tY )

= ∂X χ[Y ]. Portanto, t=0

ci (x) = λ˙ i (t)

t=0

= ∂X χ[Y ] =

∂χ 1 (x , . . . , xn ) , i ∂x

onde a u ´ltima igualdade indica que o cálculo de ∂X χ[Y ] pode ser efetuado pelo método ∂χ tradicional, porque x = χ(x1 , . . . , xn ) mostra que o argumento de χ (e de ∂x e um i) ´ conjunto de escalares independentes entre si. Teorema 1.3.2 (Base de Espa¸co Tangente) O conjunto ordenado (ci (x))ni=1 é uma base do espa¸co tangente Ex . Demonstra¸cão: ∀v ∈ Ex pode-se definir uma curva passando por x quando t = 0, a saber λ(t) = x+tv ∈ E, onde t ∈ <. Mas, de acordo com a defini¸cão de sistema de coordenadas 1.3.8, λ(t) = x+tv = χ(χ1 (x+tv), . . . , χn (x+tv)), sendo χ i (x+tv) = (x+tv) i . Portanto, para x e v fixos, λ˙ = v =

n X

dχ i ∂χ dχ i 1 n ((x + tv) , . . . , (x + tv) ) = ci (x + tv) , i dt i=1 dt ∂χ 66

onde, na terceira igualdade da u ´ltima expressão destacada, foi novamente usada a defini¸cão 1.3.8. A expressão destacada independe de t. Para t = 0 ela pode ser escrita

dχ i

λ˙ = v = ci (x) .

dt t=0 Esta u ´ltima expressão indica que o conjunto ordenado (ci (x))ni=1 abrange todo o espa¸co Ex . Como, além disto, os vetores ci (x) são derivadas parciais em rela¸cão a variáveis independentes, eles são linearmente independentes entre si. Logo, de acordo com a defini¸cão de base 1.2.2, eles formam uma base para Ex . 2 Defini¸c˜ ao 1.3.9 (Campo de Bases) De acordo com o item 2 da defini¸cão de campo 1.3.4, ci (x) ∈ Ex é um campo vetorial aplicado a D ⊂ E, motivo porque o conjunto ordenado (ci (x))ni=1 é dito um campo de bases (uma base para cada ponto x, de acordo com o teorema sobre base de espa¸co tangente 1.3.2). Cada campo de bases é chamado base natural, no espa¸co V de transla¸cão de E, das correspondentes coordenadas (xi )ni=1 que o originam, por meio das fun¸cões λi (t) apresentadas na defini¸cão de sistema de coordenadas 1.3.8. Coment´ ario 1.3.14 (Tensor M´ etrico e Base Natural Dual) A base natural vista na defini¸cão de campo de bases 1.3.9, (ci (x))ni=1 , é contravariante. Sua base dual covariante é (ci (x))ni=1 . Os produtos internos gi j (x) = ci (x) · cj (x) e g i j (x) = ci (x) · cj (x) são, respectivamente, componentes covariantes (obtidos a partir da base contravariante) e contravariantes (obtidos a partir da base covariante) do tensor m´ etrico do sistema de coordenadas para o ponto x. Note que, conforme o comentário 1.2.13, sobre componente associado do tensor identidade, o tensor métrico do sistema de coordenadas é a forma assumida pelo tensor identidade em cada ponto x, em termos das bases naturais contravariante e covariante referentes a determinado sistema de coordenadas. Considerando, de acordo com a defini¸cão de sistema de coordenadas 1.3.8, xi = χi (x) e x = χ(x1 , . . . , xn ), tem-se xi = χi (χ(x1 , . . . , xn )). Logo, usando a regra de diferencia¸cão em cadeia apresentada no comentário 1.3.5, a saber Df(X)[Z] = Dψ(φ(X))[Dφ(X)[Z] ], tem-se ∂xi 1 (x , . . . , xn ) = δ i j = ∂xj " # ∂χ 1 n i ∂χ ∇x χ (x , . . . , x ) = ∇x χi · j (x1 , . . . , xn ) = j ∂x ∂x ∇x χi · cj (x) , onde: todos os membros foram divididos pelo acréscimo escalar [Y ], a primeira igualdade provém do fato das coordenadas serem independentes entre si, tanto ∇x χi quanto

∂χ (x1 , . . . , ∂xj

xn ) s˜ao vetores,

a terceira igualdade prov´em do uso da linha 2 da tabela no item 5 da defini¸c˜ao 1.3.6, de gradiente escalar, vetorial ou de pontos, em vetor ou tensor e

a quarta igualdade considera a expressão destacada na defini¸cão de sistema de coordenadas 1.3.8. Como, de acordo com a defini¸cão de base dual 1.2.8, ci (x) · cj (x) = δ i j , a expressão destacada mostra que ci (x) = ∇x χi . Portanto, ∀x as duas bases naturais duais das coordenadas (x1 , . . . , xn ), no espa¸co V de transla¸cão de E, são, para i = 1, . . . , n, ci (x) =

∂χ 1 (x , . . . , xn ) ∂xi

ci (x) = ∇x χi ,

respectivamente a base contravariante e a covariante das mesmas coordenadas. Coment´ ario 1.3.15 (Transforma¸c˜ ao de Sistema de Coordenadas) Considerando a defini¸cão de sistema de coordenadas 1.3.8, sejam os dois sistemas ψ : D → <n e ψ¯ : D → <n , onde D ⊂ E|D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1) e ¯ sejam (x1 , . . . , xn ) = ψ(x) e (¯ x1 , . . . , x¯n ) = ψ(x) as correspondentes coordenadas de x. Suponha que a transforma¸cão de coordenadas seja dada por xi = xi (¯ x1 , . . . , x¯n ) e x¯i = x¯i (x1 , . . . , xn ) . Impondo xi = χi (x) e x¯i = χ¯i (x), para i = 1, . . . , n e aplicando o gradiente em x, para P i a equa¸cão destacada à esquerda tem-se ∇x χi = nj=1 ∂∂xx¯j (¯ x1 , . . . , x¯n )∇x χ¯j , enquanto que i

∂x ¯ 1 n j ´ltimas para aquela à direita tem-se ∇x χ¯i = nj=1 ∂x j (x , . . . , x )∇x χ . Note que estas u duas igualdades podem ser obtidas pelos métodos tradicionais de deriva¸cão, porque xi e x¯i são fun¸cões escalares de escalares e, conforme indica a defini¸cão de campo 1.3.4, χi e χ¯i são campos escalares. Como, de acordo com o comentário 1.3.14, sobre tensor métrico e base natural dual, i c (x) = ∇x χi e c¯i (x) = ∇x χ¯i , tem-se

ci (x) =

n X

∂xi 1 (¯ x , . . . , x¯n ) c¯j (x) j ∂ x ¯ j=1

c¯i (x) =

n X

∂ x¯i 1 (x , . . . , xn ) cj (x) . j ∂x j=1

∂χ (x1 , . . . , xn ) e c¯i (x) = ∂∂x¯χ¯i (¯ x1 , . . . , x¯n ), onde x = χ(x1 , . . . , xn ) ∂xi Pn j ∂χ ∂χ ¯ 1 n logo ci (x) = ∂x (¯ x1 , . . . , x¯n ) ∂∂xx¯ i (x1 , . . . , xn ) i (x , . . . , x ) = j=1 ∂ x ¯j

Al´em disto, ci (x) = χ(¯ ¯ x1 , . . . , x¯n ),

= =

∂x ¯j

(x1 , . . . , xn )¯cj (x). As primeiras duas igualdades provém do mesmo comentário 1.3.14, enquanto que a seguinte espressão para x utiliza a já citada defini¸cão 1.3.8. A expressão que liga ci (x) a c¯j (x) pode ser obtida pelos métodos tradicionais de deriva¸cão e uma expressão análoga existe para c¯i (x). Tem-se, portanto, ∂xi

ci (x) =

∂ x¯j 1 (x , . . . , xn ) c¯j (x) ∂xi

c¯i (x) =

∂xj 1 (¯ x , . . . , x¯n ) cj (x) . ∂ x¯i

As quatro igualdades destacadas podem ser escritas, em analogia ao exposto na defini¸c˜ao de matrizes de transforma¸c˜ao 1.2.21, ¯ j i c¯j (x) ci (x) = M −1

¯i ci (x) =M

−1

¯ j cj (x) , c¯i (x) =M

¯ i j cj (x) , c¯i (x) = M

c¯j (x)

o que permite a associa¸c˜ao i ¯ j i = ∂x , M ∂ x¯j

i −1 ¯ j = ∂ x¯ , M ∂xj

j −1 ¯ i = ∂ x¯ M ∂xi

j ¯ i j = ∂x . e M ∂ x¯i

Feita esta associa¸cão, as regras de transforma¸cão de componentes de vetor e de tensor, respectivamente apresentadas nos comentários 1.2.20 e 1.2.21, são diretamente aplicáveis. Coment´ ario 1.3.16 (Deforma¸c˜ ao em Termos de Coordenadas) Seja uma deforma¸cão, conforme o item 4 da defini¸cão de campo 1.3.4, κ : D → E, sendo D ⊂ E|D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1), logo xe = κ(x), onde x ∈ D e xe ∈ κ(D). Sejam, também, as correspondentes coordenadas, de acordo com a defini¸cão de e x e) e as fun¸ sistema de coordenadas 1.3.8, (x1 , . . . , xn ) = ψ(x) e (xe1 , . . . , xen ) = ψ( cões ine A deforma¸ versas dos sistemas de coordenadas, respectivamente χ e χ. cão, que ocorre de um ponto x para um ponto xe, também pode ser entendida como a altera¸cão das coordenadas associadas a x para aquelas referentes a xe, por meio da expressão xeα = κα (x1 , . . . , xn ), e x e1 , . . . , x en ), usando a express˜ para α = 1, . . . , n. Como xe = κ(x) = χ( ao da deforma¸cão i i em termos de coordenadas e a igualdade x = χ (x), mostrada na citada defini¸cão 1.3.8, pode-se escrever n X n X ∂ χe ∂κα ∇x κ = ∇x χi . α ∂xi e ∂ x α=1 i=1 onde utilizou-se deriva¸cão tradicional. De acordo com o comentário 1.3.14, sobre tensor métrico e base natural dual, a expressão destacada inclui os vetores ∂ χe 1 (xe , . . . , xen ) = ceα (xe) = ceα (κ(x)) e ∇x χi = ci (x) . ∂ xeα α

(x1 , . . . , xn ) e, considerando a defini¸cão de Além disto, ela também inclui o escalar ∂κ ∂xi gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos 1.3.5, o tensor de segunda ordem ∇x κ. Isto indica que os dois vetores no segundo membro formam um tensor simples. Tal tensor deve ser ceα (κ(x)) ⊗ ci (x), não ci (x) ⊗ ceα (κ(x)), porque ∇x κ é aplicado a um vetor diferen¸ca entre pontos pertencentes, ambos, a D, produzindo um vetor diferen¸ca entre pontos pertencentes, ambos, a κ(D). Obtém-se, então, ∇x κ =

n X

∂κα 1 (x , . . . , xn ) ceα (κ(x)) ⊗ ci (x) , i ∂x i=1

onde o somatório sobre α obedece à nota¸cão de Einstein 1.1.2. A u ´ltima expressão destacada mostra componentes mixtos do tensor gradiente de deforma¸c˜ ao, associados à base produto correspondente às bases naturais contravariante e covariante de quaisquer dois sistemas de coordenadas, referindo-se cada sistema de coordenadas a um ponto distinto do espa¸co euclideano de pontos. De fato, de acordo com a defini¸cão de tensor de segunda ordem 1.2.14, a expressão destacada indica que ∂κα 1 (∇x κ)α i = (x , . . . , xn ) . ∂xi 69

Portanto, utilizando a base produto mencionada, os componentes do gradiente da deforma¸cão são as derivadas parciais das fun¸cões escalares de escalares κα : (x1 , . . . , xn ) 7→ xeα , para α = 1, . . . , n, que fornecem a deforma¸cão em termos das rela¸cões entre as coordenadas destes dois pontos. Mas, usando o comentário 1.2.15, sobre transposi¸cão de tensor simples, tem-se que (∇x κ)T =

n X

∂κα 1 (x , . . . , xn ) ci (x) ⊗ ceα (κ(x)) , i ∂x i=1

logo ((∇x κ)T )i α =

∂κα 1 (x , . . . , xn ) . ∂xi

De fato, de acordo com o comentário 1.2.16, sobre transposi¸cão de tensor de segunda ordem, A i j = (AT )j i . O conceito de tensor gradiente de deforma¸cão é de extrema importância para a termodinâmica dos meios cont´ınuos, usando-se, geralmente, os componentes associados agora mostrados.

1.3.4

Derivadas Covariantes

Defini¸c˜ ao 1.3.10 (Componente de Gradiente de Campo) O gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos foi apresentado na defini¸cão 1.3.5. No comentário 1.3.16, sobre deforma¸cão em termos de coordenadas, foram indicados os componentes do gradiente de campo de pontos, associados à base produto correspondente às bases naturais contravariante e covariante de quaisquer dois sistemas de coordenadas, referindo-se cada sistema de coordenadas a um ponto distinto do espa¸co euclideano de pontos. Será, agora, considerado um u ńico sistema de coordenadas, aplicável a todos os pontos do espa¸co euclideano e os dois campos de bases naturais, um contravariante e o outro covariante, referentes a este sistema de coordenadas (defini¸cão de campo de bases 1.3.9 e comentário 1.3.14, sobre tensor métrico e base natural dual). De fato, os componentes dos gradientes dos campos escalar, de bases naturais, vetorial e tensorial de segunda ordem, associados aos dois campos de bases mencionados, apresentam especial interesse para a mecânica dos meios cont´ınuos. Portanto, seja ψ o sistema de coordenadas, de acordo com sua defini¸cão 1.3.8 e sejam (x1 , . . . , xn ) = ψ(x) as correspondentes coordenadas, ou x = χ(x1 , . . . , xn ), onde x ∈ D ⊂ E|D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1). De acordo com o já citado comentário 1.3.14, sejam, ∀x, (ci (x))ni=1 e (ci (x))ni=1 as bases naturais, respectivamente contravariante e covariante, referentes a estas coordenadas. 1. Campo escalar f : D → <: o gradiente de f é um vetor, portanto seus componentes são produtos internos do vetor gradiente pelos vetores de base. Logo, de acordo com a defini¸cão de base dual 1.2.8, os componentes covariantes do gradiente de f são dados por 1 ∇x f · ci (x) = ∇x f [ci (x)] = lim (f (x + tci (x)) − f (x)) , t→0 t onde na u ´ltima igualdade usou-se sequencialmente a expressão para derivada direcional da citada defini¸cão 1.3.5, seguida da defini¸cão de derivada escalar em es-

∂χ 1 1 i n 1 n calar 1.3.2. Como ci (x) = ∂x i (x , . . . , x ) = limt→0 t (χ(x , . . . , x + t, . . . , x ) − χ(x1 , . . . , xn )), onde na primeira igualdade usou-se o mencionado comentário 1.3.14 e na segunda a citada defini¸cão 1.3.2, tem-se limt→0 1t (χ(x1 , . . . , xi + t, . . . , xn ) − χ(x1 , . . . , xn )−tci (x)) = 0. Portanto, limt→0 1t χ(x1 , . . . , xi +t, . . . , xn ) = limt→0 1t (x +tci ). Usando o conceito de composi¸cão de fun¸cões apresentado na defini¸cão de fun¸cão e funcional 1.1.1 tem-se, então, ∇x f · ci (x) = limt→0 1t (f ◦ χ(x1 , . . . , xi + t, . . . , xn ) − f ◦ χ(x1 , . . . , xn )), ou

∇x f · ci (x) =

∂(f ◦χ) (x1 , . . . , xn ) cj (x), ∂xj Pn ∂(f ◦χ) j ∂(f ◦χ) j=1 ∂xj δ i = ∂xi , logo

Se ∇x f = ci (x) =

∂(f ◦ χ) 1 (x , . . . , xn ) . i ∂x

j=1

∇x f =

ent˜ao ∇x f · ci (x) =

j=1

∂(f ◦χ) ∂xj

cj (x) ·

n X

∂(f ◦ χ) 1 (x , . . . , xn ) cj (x) . j ∂x j=1

Portanto, os componentes covariantes do vetor gradiente de um campo escalar, evidentemente associados à correspondente base natural covariante de um sistema de coordenadas de um espa¸co euclideano de pontos, são as derivadas parciais de f ◦χ em rela¸cão às mencionadas coordenadas. Tais escalares costumam ser grafados ∂(f ◦ χ) 1 (x , . . . , xn ) = f, j (x) , ∂xj sendo denominados derivadas covariantes de campo escalar. Tem-se, então, ∇x f = f, j (x) cj (x) , que claramente mostra ser o nome derivada covariante proveniente do fato de que trata-se dos componentes, do gradiente campo escalar f (x), associados à base natural covariante referente ao ponto x (derivadas contravariantes não serão tratadas neste texto). Como deseja-se utilizar a nota¸cão de Einstein 1.1.2, esta é a razão porque o indicador referente à coordenada de deriva¸cão (no caso, j) aparece como ´ındice, não como super´ındice do s´ımbolo do campo (no caso, f ). 2. Campo de bases naturais: as bases naturais são (ci (x))ni=1 (contravariante) e (ci (x))ni=1 (covariante). Para cada i fixo tem-se ci : x ∈ D 7→ ci (x) ∈ Ex , sendo o gradiente de ci um tensor de segunda ordem grafado Γi (x) = ∇x ci ∈ Ex ⊗ Ex . Analogamente, ci : x ∈ D 7→ ci (x) e Γi (x) = ∇x ci ∈ Ex ⊗ Ex . Os componentes de Γi e Γi associados às bases produto naturais são os s´ımbolos de Christoffel, a seguir relacionados (nas expressões abaixo, todas as grandezas dependem de x, motivo porque esta dependência será omitida até ao final deste item): Γi = Γi j k cj ⊗ ck = Γi

j k

cj ⊗ ck = Γi j k cj ⊗ ck = Γi j k cj ⊗ ck

Γi = Γi j k cj ⊗ ck = Γi j k cj ⊗ ck = Γi j k cj ⊗ ck = Γi 71

j k

cj ⊗ ck .

Note que os s´ımbolos de Christoffel não representam componentes associados de algum tensor de terceira ordem, porque o indicador i não se refere à base associada, mas sim ao fato de se tratar de um componente do gradiente de ci (primeira entre as u ´ltimas duas linhas destacadas) ou de ci (segunda entre as u ´ltimas duas linhas destacadas). De acordo com a segunda igualdade do item 2 do comentário 1.3.11, sobre fórmulas para diferencia¸cão de produtos, tem-se que 0 = ∇(ci ·cj ) = (∇ci )T (cj )+(∇cj )T (ci ) = (Γi )T (cj ) + (Γj )T (ci ). Seja Γi = Γi m k cm ⊗ ck , logo, (Γi )T = Γi m k ck ⊗ cm . Analogamente, seja Γj = Γj m k cm ⊗ ck , logo (Γj )T = Γj m k ck ⊗ cm . Substituindo (Γi )T e (Γj )T na expressão de ∇(ci · cj ) obtém-se ∇(ci · cj ) = Γi j k ck + Γj i k ck = 0 , ou Γi j k = −Γj i k . Usando sempre o mesmo produto (ci · cj ), mas cm ⊗ ck ao invés de cm ⊗ ck e ´ cm ⊗ ck ao invés de cm ⊗ ck , obtém-se Γi j k = −Γj i k ao invés de Γi j k = −Γj i k . E fácil perceber que não são obten´ıveis mais outras igualdades análogas a estas duas. De fato, usando (cj · ci ), ao invés de (ci · cj ), apenas se intercambiam i e j nos dois s´ımbolos de ambas as duas u ´ltimas igualdades, cabendo, ainda, lembrar que o produto interno é comutativo. Porém, considerando o comentário 1.3.14, Γi (x) = ∇x ci = ∇x ∇χi , onde xi = χi (x). Então, de acordo com o comentário 1.3.13, sobre gradiente de gradiente de campo escalar, ∇x ∇χi é simétrico, porque a defini¸cão 1.3.8 afirma que χi pertence à classe C 2 . Portanto, cm · Γi cn = cn · Γi cm , ou cm · Γi j k (cj ⊗ ck )cn = cn · Γi j k (cj ⊗ ck )cm , ´ fácil perceber que, embora Γi = Γi j k cj ⊗ ck = Γi j k cj ⊗ ck , ou Γi m n = Γi n m . E não existe uma rela¸cão análoga para Γi j k . Como a simetria é uma propriedade que muito facilita os cálculos, apenas a igualdade destacada costuma ser utilizada. Esta, pode então ser re-escrita Γi k j = Γi j

= −Γj

i k

= −Γk i j .

Por causa da existência desta u ´ltima expressão destacada, usa-se um u ńico s´ımbolo i de Christoffel. Geralmente, escolhe-se o componente Γj k , freq¨ uentemente chamado o s´ımbolo de Chistoffel de segunda esp´ ecie. 3. Campo vetorial v : D → V : de acordo com a primeira igualdade do item 2 do comentário 1.3.11, sobre fórmulas para diferencia¸cão de produtos, tem-se (todas as grandezas dependem de x, motivo porque esta dependência será omitida até ao final deste item) ∇v = ∇(v i ci ) = ci ⊗ ∇v i + v i ∇ci . Mas, usando o primeiro item da presente defini¸cão, ∇v i =

j=1

∂(v i ◦χ) (x1 , . . . , ∂xj

xn ) cj = v i , j cj . Por outro lado,

usando o segundo item da presente defini¸cão tem-se ∇ci = Γi = Γi j k cj ⊗ ck . Portanto, ∇v = v i , j ci ⊗ cj + v i Γi j k cj ⊗ ck . Considerando que, no primeiro termo do segundo membro da u ´ltima equa¸cão destacada, tanto i quanto j são indicadores mudos, eles poder ser respectivamente

substitu´ıdos por j e k, disto resultando a express˜ao de ∇v em termos da derivada covariante do componente contravariante do vetor v, ∇v = v j , k cj ⊗ ck ,

sendo v j , k = v j, k + v i Γi j k .

Alternativamente, pode-se considerar ∇v = ∇(vi ci ) = ci ⊗ ∇vi + vi ∇ci , sendo P ∇vi = nj=1 ∂(v∂xi ◦χ) (x1 , . . . , xn ) cj = vi, j cj e ∇ci = Γi = Γi j k cj ⊗ ck . Portanto, j a express˜ao de ∇v em termos da derivada covariante do componente covariante do vetor v ´e ∇v = vi, j ci ⊗ cj + vi Γi j k cj ⊗ ck , ou ∇v = v j, k cj ⊗ ck ,

sendo v j, k = vj, k − vi Γj i

onde foi utilizado Γi j k = −Γj i k . Os escalares v j , k e v j, k representam, respectivamente, componentes associados a bases produto mista e covariante do tensor ∇x v . Estes escalares são denominados derivadas covariantes de campo vetorial. Note que, semelhantemente ao colocado no final do item 1, o indicador referente à coordenada de deriva¸cão (no caso, k) aparece como ´ındice porque a correspondente base natural no ponto x (no caso, (ck (x))nk=1 ) é covariante, justificando o nome derivada covariante. 4. Campo tensorial de segunda ordem. A aplica¸cão, a um tensor de segunda ordem, da opera¸cão gradiente e dos s´ımbolos de Chistoffel selecionados no item 2 desta defini¸cão produz um tensor de terceira ordem. Os componentes de tal tensor, a seguir apresentados sem demonstra¸cão, são escalares denominados derivadas covariantes de campo tensorial de segunda ordem. Informa-se, portanto, que: (a) Para a representa¸cão mista do campo tensorial de segunda ordem A(x) = Ai j (x) ci (x) ⊗ cj (x) tem-se ∇A = A¯i j, k ci ⊗ cj ⊗ ck , onde Ai j, k =

∂(Ai j ◦χ) (x1 , . . . , ∂xk

sendo A¯i j, k = Ai j, k + Al j Γl i k − Ai l Γj l

xn ).

(b) Para a representa¸c˜ao mista do campo tensorial de segunda ordem A(x) = Ai j (x) ci (x) ⊗ cj (x) tem-se ∇A = A¯i j, k ci ⊗ cj ⊗ ck , onde Ai j, k =

∂(Ai j ◦χ) (x1 , . . . , ∂xk

sendo A¯i j, k = Ai j, k + Ai l Γl j k − Al j Γi l k , xn ).

(c) Para a representa¸c˜ao contravariante do campo tensorial de segunda ordem A(x) = Ai j (x)ci (x) ⊗ cj (x) tem-se ∇A = A¯i j, k ci ⊗ cj ⊗ ck , onde Ai j, k =

∂(Ai j ◦χ) (x1 , . . . , ∂xk

sendo A¯i j, k = Ai j, k + Al j Γl i k + Ai l Γl j k , xn ).

(d) Para a representa¸c˜ao covariante do campo tensorial de segunda ordem A(x) = Ai j (x)ci (x) ⊗ cj (x) tem-se ∇A = A¯i j, k ci ⊗ cj ⊗ ck , onde Ai j, k =

∂(Ai j ◦χ) (x1 , . . . , ∂xk

sendo A¯i j, k = Ai j, k − Al j Γi l

− Ai l Γj l k ,

xn ).

Note que o nome derivada covariante pode ser justificado do mesmo modo já apresentado no final do item 3. Nota¸c˜ ao 1.3.2 (Derivada Covariante) A aplica¸cão do gradiente transforma um tensor de ordem 0, 1 ou 2 respectivamente num tensor de ordem 1, 2 ou 3. Mas, nos três casos, ao se aumentar em uma unidade a ordem do tensor, na defini¸cão de componente de gradiente de campo 1.3.10 foi adicionado um ´ındice, não um super´ındice, aos componentes associados do tensor. Isto ocorreu porque, conforme então explicado, a deriva¸cão efetuada foi covariante. A v´ırgula presente nos s´ımbolos das derivadas covariantes indica que tais grandezas resultam da aplica¸cão de uma ou mais deriva¸cões covariantes e, ao mesmo tempo, separa dos outros ´ındices aqueles que foram adicionados em decorrência da realiza¸cão de tais opera¸cões. Na citada defini¸cão 1.3.10, sempre apenas um ´ındice é separado à direita da v´ırgula, porque uma u ńica deriva¸cão covariante é realizada. Mas, a cada nova deriva¸cão covariante porventura executada, um ´ındice é adicionado à direita dos ´ındices anteriormente posicionados após a v´ırgula, os quais se referem a deriva¸cões anteriormente efetuadas (existe, sempre, uma u ńica v´ırgula). Coment´ ario 1.3.17 (Derivada Covariante de 1 e de e) De acordo com a defini¸cão de transforma¸cão tensorial identidade 1.2.16, 1 v = v mas, considerando o comentário 1.3.7, sobre diferencia¸cão de produto, Df(X)[Y ] = π(Dφ(X)[Y ], ψ(X))+π(φ(X), Dψ(X) [Y ]). Como consequência, a derivada covariante de 1 é necessariamente nula, independentemente da representa¸cão (uma das duas mistas, contravariante ou covariante) escolhida para 1 . De acordo com o comentário 1.2.13, sobre componente associado do tensor identidade, 1 = g i j ci ⊗ cj = δ i j ci ⊗ cj = δi j ci ⊗ cj = gi j ci ⊗ cj . Mas, de acordo com o comentário 1.3.14, sobre tensor métrico e base natural dual, gi j (x) = ci (x) · cj (x) e g i j (x) = ci (x) · cj (x), ou seja, os componentes gi j e g i j , do tensor métrico de um sistema de coordenadas de um espa¸co euclideano de pontos, são fun¸cões do ponto considerado. Portanto, embora os campos escalares gi j e g i j não sejam fun¸cões constantes de x, suas ´ltima expressão derivadas covariantes são nulas, logo gi j , k = 0 e g i j, k = 0. De fato, a u destacada, no item 1 da defini¸cão de componente de gradiente de campo 1.3.10, deixa evidente que o valor da derivada covariante depende não só do campo escalar considerado, como também, por meio da fun¸cão χ = ψ −1 , do sistema de coordenadas utilizado. Considerando a defini¸cão de campo de bases 1.3.9 e o comentário 1.3.14, sobre tensor métrico e base natural dual, isto é análogo a dizer que o valor da derivada covariante depende não só do campo escalar considerado, como também dos campos de bases duais definidos pelo sistema de coordenadas. No caso dos componentes g i j e gi j do tensor métrico, a dependência em x destes componentes é compensada pela dependência em x 74

das correspondentes bases (ci â&#x160;&#x2014;cj ) e (ci â&#x160;&#x2014;cj ), de modo a que 1 = g i j ci â&#x160;&#x2014;cj = gi j ci â&#x160;&#x2014;cj , ou seja, de modo a que gi j , k = 0 e g i j, k = 0. O comentÂário 1.2.35, sobre propriedades dos componentes do tensor e, indica que, â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; sendo g = det[gi j ], tem-se ei j k = Âą g i j k e ei j k = Âą( g)â&#x2C6;&#x2019;1 i j k , onde o sÂ´Äąmbolo de permutaÂ¸cË&#x153;ao i j k independe de x. Como a derivada covariante de gi j Âé nula, por causa do comentÂário 1.3.5, sobre diferenciaÂ¸cË&#x153;ao em cadeia, o mesmo ocorre com a derivada covariante de det[gi j ] (o comentÂário 1.3.4, sobre gradiente de determinante, fornece tal gradiente, no tensor gi j ). Logo, a derivada covariante de e Âé nula, independentemente da representaÂ¸cË&#x153;ao ser qualquer uma entre as 23 = 8 possÂ´Äąveis. Por exemplo, para as derivadas covariantes das representaÂ¸cË&#x153;oes covariante e contravariante tem-se respectivamente ei j k , l = 0 e ei j k, l = 0. Conclui-se, portanto, que os componentes do tensor mÂétrico e do tensor elemento de volume apresentam derivadas covariantes nulas embora, em geral, tais componentes sejam funÂ¸cË&#x153;oes de x. ComentÂ´ ario 1.3.18 (Propriedades do SÂ´Äąmbolo de Christoffel Î&#x201C;i j k ) Utilizando a expressË&#x153;ao apresentada no item 4d da definiÂ¸cË&#x153;ao de componente de gradiente de campo 1.3.10 e a igualdade gi j , k = 0, apresentada no comentÂário 1.3.17, sobre derivada covariante de 1 e de e, obtÂém-se uma expressË&#x153;ao que relaciona o sÂ´Äąmbolo de Christoffel de segunda espÂécie aos componentes covariantes dos tensores mÂétricos, para um dado sistema de coordenadas, a saber Î&#x201C;i

j k

1 â&#x2C6;&#x201A;gl i â&#x2C6;&#x201A;gl k â&#x2C6;&#x201A;gi k = gj l + â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x201A;xk â&#x2C6;&#x201A;xi â&#x2C6;&#x201A;xl

Outra propriedade importante Â´e a regra de transformaÂ¸cË&#x153;ao entre sÂ´Äąmbolos de Christoffel de segunda espÂ´ecie relativos a dois diferentes sistemas de coordenadas de um espaÂ¸co euclideano de pontos, dada por ÂŻ j = Î&#x201C;r s Î&#x201C; i k

1.3.5

â&#x2C6;&#x201A; 2 xr â&#x2C6;&#x201A; xÂŻj â&#x2C6;&#x201A;xr â&#x2C6;&#x201A; xÂŻj â&#x2C6;&#x201A;xt + . â&#x2C6;&#x201A; xÂŻi â&#x2C6;&#x201A;xs â&#x2C6;&#x201A; xÂŻk â&#x2C6;&#x201A; xÂŻi â&#x2C6;&#x201A; xÂŻk â&#x2C6;&#x201A;xr

Operadores para a MecË&#x2020; anica dos Meios ContÂ´Äąnuos

DefiniÂ¸cË&#x153; ao 1.3.11 (DivergË&#x2020; encia de Campo Vetorial) De acordo com a definiÂ¸cË&#x153;ao de campo 1.3.4, seja o campo vetorial u(x). A divergË&#x2020; encia deste campo vetorial Âé um campo escalar definido por div u(x) = tr(â&#x2C6;&#x2021;x u). De fato, para â&#x2C6;&#x2021;x u fornecido em termos da derivada covariante do componente contravariante do vetor u, conforme o item 3 da definiÂ¸cË&#x153;ao de componente de gradiente de campo 1.3.10, tem-se tr(â&#x2C6;&#x2021;x u) = tr(ÂŻ uj , k cj â&#x160;&#x2014;ck ) . Mas, de acordo com os itens 1 e 3 do comentÂário 1.2.29, sobre propriedades de traÂ¸cos, tr(ÂŻ uj , k cj â&#x160;&#x2014; ck ) = uÂŻj , k tr(cj â&#x160;&#x2014; ck ) = uÂŻj , k cj Âˇ ck = uÂŻj , k Î´ kj = uÂŻk, k . Por outro lado, para â&#x2C6;&#x2021;x u fornecido em termos da derivada covariante do componente covariante do vetor u, tem-se tr(â&#x2C6;&#x2021;x u) = tr(ÂŻ uj, k cj â&#x160;&#x2014; ck ) = uÂŻj, k tr(cj â&#x160;&#x2014; ck ) = uÂŻj, k cj Âˇ ck = uÂŻj, k g j k = uÂŻk, k , onde a penÂ´ ultima igualdade Âé devida ao comentÂário 1.2.6, sobre funÂ¸cË&#x153;oes gi j e g i j , enquanto que a u Â´ltima provÂém do comentÂário 1.2.14, sobre gi j ou g i j aplicado a componente de tensor. Portanto, div u(x) = tr(â&#x2C6;&#x2021;x u) = uÂŻj, k (x) g j k (x) = uÂŻk, k (x). 75

Defini¸c˜ ao 1.3.12 (Rotacional de Campo Vetorial) De acordo com a defini¸cão de campo 1.3.4, seja o campo vetorial u(x). O rotacional de u(x) é um campo vetorial definido por rot u(x) =< (∇x u)T − ∇x u >, onde foi utilizada a nota¸cão 1.2.9, para vetor associado a tensor antissimétrico, o que indica que rot u(x) é um campo vetorial axial. De acordo com o comentário 1.2.46, sobre decomposi¸cão cartesiana, (∇x u)T − ∇x u é o dobro da parte antissimétrica do tensor ∇x u, mas com sinal oposto. Portanto, rot u é o vetor axial correspondente à parte antissimétrica do gradiente do vetor (−2u). De acordo com o item 3 da defini¸cão de componente de gradiente de campo 1.3.10, tem-se ∇u = u¯k, j ck ⊗ cj = u¯k, j ck ⊗ cj . Portanto: 1. Para ∇x u fornecido em termos da derivada covariante do componente covariante do vetor u tem-se, de acordo com o comentário 1.2.15, sobre transposi¸cão de tensor simples, (∇u)T − ∇u = u¯k, j (cj ⊗ ck − ck ⊗ cj ) = u¯k, j cj ∧ ck , onde a u ´ltima igualdade deve-se à defini¸cão de produto externo de vetores 1.2.36. De acordo com a mencionada nota¸cão 1.2.9, < (∇x u)T − ∇x u >= τ ((∇x u)T − ∇x u), logo rot u(x) = u¯k, j τ (cj ∧ ck ). De acordo com o comentário 1.2.37, sobre propriedades do tensor axial, τ (cj ∧ ck ) = ej k i ci = ej ki ci , onde ej k i = e(cj , ck , ci ) e ej ki = e(cj , ck , ci ). Mas, conforme a defini¸cão de fun¸cão e tensor elemento de volume 1.2.34, e : V 3 → < é uma fun¸cão alternante trilinear não trivial de orienta¸cão positiva, logo e(cj , ck , ci ) = e(ci , cj , ck ) e e(cj , ck , ci ) = e(ci , cj , ck ), portanto ej k i = eij k e ej ki = ei j k , ou seja, rot u(x) = eij k u¯k, j (x)ci (x) = ei j k u¯k, j (x)ci (x) , onde, de acordo com o comentário 1.3.17, sobre derivada covariante de 1 e de e, as u ńicas grandezas independentes de x são eij k e ei j k . 2. Analogamente, para ∇x u dado em termos da derivada covariante do componente contravariante do vetor u, obtém-se rot u(x) = ei jk u¯k, j (x)ci (x) = ei jk u¯k, j (x)ci (x) . Coment´ ario 1.3.19 (Rotacional e Divergˆ encia de Campo Vetorial) De acordo com a defini¸cão de campo 1.3.4, sejam os campos vetoriais u(x) e v(x)|cte , sendo v(x)|cte = vl cl (x) um campo tal que seus componentes (vl )nl=1 , no campo de bases (cl (x))nl=1 , independam de x. Portanto, v(x)|cte é um campo vetorial constante, ou independente de x, em rela¸cão ao campo de base, logo em rela¸cão ao sistema de coordenadas escolhido, mas não em rela¸cão ao espa¸co euclideano de pontos. Conforme a defini¸cão de rotacional de campo vetorial 1.3.12, tem-se v · rot u = vl cl · eij k u¯k, j ci = vl eij k u¯k, j δ l i = vi eij k u¯k, j , ou v(x)|cte · rot u(x) = vi eij k u¯k, j (x), porque vj independe de x por hipótese e, de acordo com o comentário 1.3.17, sobre derivada covariante de 1 e de e, também eij k independe de x. Por outro lado, de acordo com a defini¸cão de produto vetorial 1.2.38, tem-se u×v =<

u ∧ v >= eij k ui v j ck = eij k ui vj ck = wk ck , logo, considerando a defini¸cão de divergência ¯ k, k (x). de campo vetorial 1.3.11, tem-se div (u(x) × v(x)|cte ) = div (wk (x)ck (x)) = w Porém wk (x) = eij k vj ui (x), portanto w¯ k, k (x) = eij k vj u¯i, k (x) e div (u(x) × v(x)|cte ) = vj eij k u¯i, k (x) = vi ek i j u¯k, j (x) . Como, conforme a defini¸cão de fun¸cão e tensor elemento de volume 1.2.34, e : V 3 → < é uma fun¸cão alternante trilinear não trivial de orienta¸cão positiva, tem-se ek i j = eij k , logo div(u(x) × v(x)|cte ) = vi eij k u¯k, j (x) . A expressão v(x)|cte · rot u(x) = div(u(x) × v(x)|cte ) é uma defini¸cão alternativa do campo vetorial rotacional de u(x). Sugere-se comparar o conceito agora apresentado para v(x)|cte = vl cl (x) com o conceito de 1 = g i j ci ⊗ cj = gi j ci ⊗ cj , conforme discutido no mencionado comentário 1.3.17. Defini¸c˜ ao 1.3.13 (Divergˆ encia de Campo Tensorial) De acordo com a defini¸cão de campo 1.3.4, seja o campo tensorial de segunda ordem A(x). A divergˆ encia deste campo tensorial, div A(x), é um campo vetorial definido por v(x)|cte · div A(x) = div (AT (x)(v(x)|cte )), onde v(x)|cte foi definido no comentário 1.3.19, sobre rotacional e divergência de campo vetorial. Informa-se, sem demonstra¸cão, que a partir desta defini¸cão se obtém: 1. div A(x) = A¯i j, j (x)ci (x), onde o componente A¯i j, j (x) do tensor de terceira ordem, que é a derivada covariante da representa¸cão contravariante A(x) = Ai j (x)ci (x) ⊗ cj (x) do tensor de segunda ordem, é fornecida na letra (c) do quarto item da defini¸cão de componente de gradiente de campo 1.3.10. 2. div A(x) = g j k A¯i j, k (x)ci (x), onde o componente A¯i j, k (x) do tensor de terceira ordem, que é a derivada covariante da representa¸cão mista A(x) = Ai j (x)ci (x) ⊗ cj (x) do tensor de segunda ordem, é fornecida na letra (a) do quarto item da citada defini¸cão 1.3.10. Porém, considerando o comentário 1.2.14, sobre gi j ou g i j aplicado a componente de tensor, tem-se g j k A¯i j, k = A¯i k, k = A¯i j, j , a u ´ltima igualdade sendo devida ao fato de k ser um ´ındice mudo somativo. O resultado, portanto, é o mesmo do item 1. 3. div A(x) = A¯i j , j (x)ci (x), onde o componente A¯i j , j (x) do tensor de terceira ordem, que é a derivada covariante da representa¸cão mista A(x) = Ai j (x)ci (x) ⊗ cj (x) do tensor de segunda ordem, é fornecida na letra (b) do quarto item da defini¸cão 1.3.10. 4. div A(x) = g j k A¯i j, k (x)ci (x), onde o componente A¯i j, k (x) do tensor de terceira ordem, que é a derivada covariante da representa¸cão covariante A(x) = Ai j (x)ci (x) ⊗ cj (x) do tensor de segunda ordem, é fornecida na letra (d) do quarto item da mencionada defini¸cão 1.3.10. Analogamente ao afirmado no item 2, tem-se g j k A¯i j, k = A¯i k, k = A¯i j , j , portanto o resultado é o mesmo do item 3.

Defini¸c˜ ao 1.3.14 (Laplaciano de Campo Escalar ou Vetorial) De acordo com a defini¸cão de campo 1.3.4, sejam os campos escalar φ(x) e vetorial h(x). Os laplacianos destes campos são respectivamente o campo escalar definido por ∇2x φ = div(∇x φ) e o campo vetorial definido por ∇2x h = div(∇x h). 1. Considerando o item 1 da defini¸cão de componente de gradiente de campo 1.3.10, para φ(x) tem-se ∇x φ = φ, j (x)cj (x). Logo, usando-se defini¸cão de divergência de campo vetorial 1.3.11 tem-se ∇2x φ = div(φ, j (x)cj (x)) = (φ¯, j ), k g j k = g j k φ¯, j k (x) , onde a u ´ltima igualdade provém do uso da nota¸cão de derivada covariante 1.3.2. ¯ i ci ⊗ 2. Considerando o item 3 da citada defini¸cão 1.3.10, para h(x) tem-se ∇x h = h ,j ¯ i, j ci ⊗ cj . Usando o item 2 da defini¸cão de divergência de campo tensorial cj = h 1.3.13 obtém-se, para a representa¸cão mista de ∇x h, i

¯ ∇2x h = g j k h

, j k (x)ci (x) .

Por outro lado, usando o item 4 da defini¸cão 1.3.13 obtém-se, para a representa¸cão covariante de ∇x h, ¯ (x)ci (x) . ∇2x h = g j k h i, j k Note que, nas u ´ltimas duas expressões destacadas, foi usada a já mencionada nota¸cão 1.3.2. Coment´ ario 1.3.20 (Express˜ oes para Divergˆ encia e Laplaciano) De acordo com a defini¸cão de campo 1.3.4, seja um campo escalar f (x), dois campos vetoriais u(x) e v(x) e um campo tensorial de segunda ordem A(x). Serão utilizados os comentários 1.2.6, sobre fun¸cões gi j e g i j , 1.2.10, sobre cálculo de componente associado de tensor de segunda ordem, 1.2.14, sobre gi j ou g i j aplicado a componente de tensor, 1.2.18, sobre composi¸cão com tensor simples, 1.2.29, sobre propriedades de tra¸cos, 1.2.31, sobre propriedades do produto interno tensorial, 1.3.17, sobre derivada covariante de 1 e de e e as defini¸cões 1.1.2, de matriz, 1.2.34, de fun¸cão e tensor elemento de volume, 1.2.38, de produto vetorial, 1.3.10, de componente de gradiente de campo, 78

1.3.11, de divergência de campo vetorial, 1.3.12, de rotacional de campo vetorial, 1.3.13, de divergência de campo tensorial, 1.3.14, de laplaciano de campo escalar ou vetorial, para demonstrar as quatro expressões (a dependência em x é omitida): 1. div(f u) = u · ∇f + f div u (a) div(f u) = ( f u )i , i = ( f ui ), i , usando a defini¸cão 1.3.11 em termos do componente contravariante do vetor f u e, em seguida, o fato de que se trata da multiplica¸cão de um escalar por um vetor. (b) u · ∇f = uj cj · f, i ci = uj f, i δj i = f, i ui , usando item 1 da defini¸cão 1.3.10. (c) f div u = f u¯i, i , usando a defini¸cão 1.3.11 em termos do componente contravariante do vetor u. Logo, ( f ui ), i = f, i ui + f u¯i, i . Como as regras comuns para deriva¸cão de escalares foram obedecidas, pode-se considerar demonstrada a expressão. Lembrar que a barra indica que um termo, espec´ıfico para cada um dos dois casos, deve ser adicionado às derivadas covariantes dos campos escalares f (x)ui (x) e ui (x), para se obter as correspondentes derivadas covariantes dos respectivos campos vetoriais. 2. div(A(u)) = u · div AT + tr(A∇u) (a) div(A(u)) = ( A(u) )i , i usando a defini¸cão 1.3.11 em termos do componente contravariante do vetor A(u). Mas A(u) = Ai j uk (ci ⊗ cj )ck = Ai j uk (cj · ck )ci = Ai j uk δj k ci = Ai j uj ci , logo (A(u))i = Ai j uj , ou div(A(u)) = ( Ai j uj ), i . (b) u · div AT = uk ck · ( AT )i j, j ci = uk ( AT )i j, j δ ki = ( AT )i j, j ui = A¯j i, j ui = A¯i j, i uj , usando na primeira igualdade o item 1 da defini¸cão 1.3.13 e, na quarta igualdade, a defini¸cão 1.1.2. (c) tr(A∇u) = tr(A(¯ uj, i cj ⊗ci )) = tr(¯ uj, i A(cj ⊗ci )) = u¯j, i tr(A(cj ⊗ci )), usando o item 3 da defini¸cão 1.3.10, para a componente covariante do vetor, na primeira igualdade e, na terceira igualdade, o primeiro item do comentário 1.2.29. Mas, utilizando o primeiro item do comentário 1.2.18, tem-se A(cj ⊗ci ) = A(cj )⊗ci , logo tr(A(cj ⊗ ci )) = tr(A(cj ) ⊗ ci ) = A(cj ) · ci = Ai j , onde na segunda igualdade foi usado o terceiro item do comentário 1.2.29 e, na terceira, o comentário 1.2.10. Portanto, tr(A∇u) = Ai j u¯j, i . Logo, ( Ai j uj ), i = A¯i j, i uj + Ai j u¯j, i , podendo-se considerar demonstrada a expressão. 3. div(u × v) = v · rot u − u · rot v

(a) div(u×v) = (u × v)l, i g i l usando a defini¸cão 1.3.11 em termos do componente covariante do vetor u × v e lembrando que, de acordo com o comentário 1.2.6, g i l = g l i . Mas, de acordo com a defini¸cão 1.2.38, u × v = ei j k ui v j ck , ou u × v = ej k l uj v k cl = el j k uj v k cl , sendo a u ´ltima igualdade devida à defini¸cão j k 1.2.34, logo (u × v)l = el j k u v , portanto (u × v)l, i g i l = (el j k uj v k ), i g i l = (g i l el j k uj v k ), i , sendo a u ´ltima igualdade devida a que, de acordo com o il comentário 1.3.17, g , i = 0. Tem-se, então, div(u × v) = (g i l el j k uj v k ), i . (b) v · rot u = v l cl · ei jk u¯k, j ci , usando os componentes contravariantes do vetor u, de acordo com o item 2 da defini¸cão 1.3.12. Considerando que cl · ci = δl i , tem-se então v · rot u = ei jk u¯k, j v i = eki j u¯j , i v k = g i l ek l j u¯j , i v k , onde a u ´ltima igualdade é devida ao comentário 1.2.14. Como, de acordo com a defini¸cão 1.2.34, e(ck , cl , cj ) = e(cl , cj , ck ), tem-se v · rotu = g i l el j k u¯j , i v k . (c) u · rot v = ei jk v¯k, j ui , obtido permutando u com v na expressão v · rot u = ei jk u¯k, j v i , calculada no anterior item (b). Porém, em analogia mas diferentemente do efetuado no item (b), pode-se fazer ei jk v¯k, j ui = ej i k v¯k, i uj = g i l ej l k v¯k, i uj . Como, conforme a defini¸cão 1.2.34, e(cj , cl , ck ) = −e(cl , cj , ck ), tem-se −u · rot v = g i l el j k v¯k, i uj . Portanto, (g i l el j k uj v k ), i = g i l el j k u¯j , i v k + g i l el j k uj v¯k, i . Como as regras comuns para deriva¸cão de escalares foram obedecidas, a expressão pode ser considerada demonstrada. 4. ∇2 (u · v) = ∇2 u · v + 2∇u · ∇v + u · ∇2 v (a) ∇2 (u · v) = g j k (u · v), j k = g j k (ui ci · vl cl ), j k = g j k (ui vl δi l ), j k = g j k (ui vi ), j k , onde a primeira igualdade provém do item 1 da defini¸cão 1.3.14. ¯ i , j k ci · vl cl = g j k u ¯ i , j k vl δi l = g j k u ¯ i , j k vi , onde a primeira (b) ∇2 u · v = g j k u igualdade provém do item 2 da defini¸cão 1.3.14, para representa¸cão mista. (c) ∇u · ∇v = (¯ ui , k ci ⊗ ck ) · (¯ vi, j ci ⊗ cj ), de acordo com o item 3 da defini¸cão 1.3.10, para a componente contravariante de u e covariante de v. Porém, v¯i, j ci ⊗ cj = g j k v¯i, j ci ⊗ ck , por causa do comentário 1.2.14. Logo, ∇u · ∇v = g j k u¯i , k v¯i, j (ci ⊗ ck ) · (ci ⊗ ck ) = g j k u¯i , k v¯i, j , onde a u ´ltima igualdade é devida ao item 4 do comentário 1.2.31. (d) u · ∇2 v = ul cl · g j k v¯i, j k ci = ul g j k v¯i, j k δl i = g j k ui v¯i, j k , onde a primeira igualdade é proveniente do item 2 da defini¸cão 1.3.14, para representa¸cão covariante. ¯ i , j k vi +2g j k u¯i , k v¯i, j +g j k ui v¯i, j k . Como as regras comuns Logo, g j k (ui vi ), j k = g j k u para deriva¸cão de escalares foram obedecidas, a expressão pode ser considerada demonstrada. Este comentário, além de apresentar quatro expressões de grande utilidade para a mecânica dos meios cont´ınuos, exemplifica o uso de derivadas covariantes no cálculo tensorial. 80

Tal uso pode ser muito conveniente porque, conforme mostrado, as expressões se reduzem a fun¸cões escalares, para as quais as regras comuns de deriva¸cão são aplicáveis. Teorema 1.3.3 (Divergˆ encia) Seja E um espa¸co euclideano de pontos, conforme a sua defini¸cão 1.2.44 e seja R ⊂ E|R é regular, de acordo com a defini¸cão de classe C k , 1.3.7. Se ∂R indicar a superf´ıcie de R, enquanto que da indicar o diferencial da área de ∂R e dv o diferencial do volume de R , n(x) indicar um campo vetorial (conforme a sua defini¸cão 1.3.4), de módulo unitário, normal a ∂R, dirigido para fora de R e φ : R → < , h : R → V e A : R → V ⊗ V forem campos, respectivamente escalar, vetorial e tensorial de segunda ordem, que apresentem dependência em x suave (de acordo com a já citada defini¸cão 1.3.7), então 1.

∇x φ dv ,

∂R

φ(x) n(x) da =

h(x) · n(x) da =

∂R

A(x)(n(x)) da =

∂R ∂R

h(x) ⊗ n(x) da =

R R

div h(x) dv , divA(x) dv

∇x h dv.

A demonstra¸cão do teorema da divergência é omitida. Teorema 1.3.4 (Fun¸c˜ ao Identicamente Nula em E) Seja E um espa¸co euclideano de pontos, conforme a sua defini¸cão 1.2.44 e seja D ⊂ E|D é aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1). Seja, também, φ : D → W uma fun¸cão cont´ınua, onde W é um espa¸co normatizado, de acordo com o colocado na defini¸cão 1.3.3, de derivada vetorial, R tensorial ou de pontos, em escalar. Se, ∀N ⊂ D, ocorrer N φ(x) dv = 0, então, ∀x ∈ D, ter-se-á φ(x) = 0, ou seja, então φ será identicamente nulo em D. Demonstra¸cão: Se φ(x◦ ) 6= 0 para algum x◦ ∈ D, como φ é cont´ınua ∃N ⊂ D tal que φ(x) 6= 0 ∀x ∈ N . Logo, usando-se o teorema do valor médio do cálculo integral tem-se R x), onde K é o volume de N e o valor médio x¯ ∈ N , logo φ(¯ x) 6= 0, N φ(x) dv = Kφ(¯ R portanto N φ(x) dv 6= 0, o que contraria a hipótese inicial. 2

Cap´ıtulo 2 Cinem´ atica 2.1 2.1.1

Configura¸c˜ ao e Deforma¸ c˜ ao Gradiente de Deforma¸c˜ ao

As ciências naturais utilizam fun¸cões, chamadas estruturas referenciais ou observadores, aplicáveis aos corpos e aos instantes pertencentes a algum espa¸co-tempo, o qual é uma abstra¸cão mental do universo material real que se supõe contenha estes corpos e instantes. Tal aplica¸cão produz imagens, destes conjuntos corpo-instante, as quais pertencem a algum espa¸co capaz de descrever matematicamente a abstra¸cão mental considerada. Uma estrutura referencial, ou observador, de Newton, φ, é aplicável a conjuntos corpoinstante pertencentes ao espa¸co-tempo de Newton, W, que é a abstra¸cão mental correspondente à suposi¸cão de que o universo material real seja governado pelas leis da mecânica clássica. A aplica¸cão de uma estrutura referencial, ou observador, de Newton a conjuntos corpoinstante pertencentes ao espa¸co-tempo de Newton produz imagens no espa¸co produto do espa¸co euclideano de pontos tridimensional, E, pelo espa¸co unidimensional dos n´ umeros reais, <, ou seja, φ : W → E × <. Isto permite que qualquer ponto pertencente a E seja associado a qualquer instante pertencente a < e v.v., o que indica que o tempo e o ponto são considerados independentes. Deve ser notado que diferentes observadores de Newton registrarão de modo diferente os fatos que ocorram em W. Na subse¸cão 2.6.1 será discutida a rela¸cão entre estes diferentes registros mas, ao longo de todo o presente texto, apenas estruturas referenciais de Newton serão consideradas. Seja B o s´ımbolo utilizado para representar um corpo pertencente a W. Como φ é uma fun¸cão de um para um em B (veja a defini¸cão 1.1.1 de fun¸cão e funcional), não só em E × < o tempo é uma variável independente do conjunto de pontos que forma a imagem de B, como também em W o tempo e B são independentes. Por isto, nada impede a existência de uma fun¸cão de B para E, de um para um em B, válida em qualquer instante. Tal fun¸cão é chamada uma configura¸c˜ ao de B. Uma espec´ıfica configura¸cão de B, grafada κ, será considerada a configura¸c˜ ao referencial de B. Se X for o ponto material pertencente a B que corresponde ao ponto matemático X ∈ E, tem-se então κ:B→E

e 82

κ(X) = X.

(2.1)

A imagem do corpo B na configura¸cão κ é grafada Bκ , logo X ∈ Bκ ⊂ E. As coordenadas (ver a defini¸cão 1.3.8 de sistema de coordenadas) de X, (X α , α = 1, 2, 3) são as coordenadas referenciais, também chamadas coordenadas materiais, porque o ponto material X é matematicamente identificado pelo ponto X. Seja χ uma configura¸cão arbitrária, também chamada configura¸c˜ ao corrente, de B. Tem-se, então χ : B → E e χ(X) = x , portanto χκ = χ ◦ κ−1 : Bκ → Bχ ,

logo x = χκ (X) = χ(κ−1 (X)),

(2.2)

onde x ∈ Bχ ⊂ E, as coordenadas de x são as coordenadas correntes, grafadas (xi , i = 1, 2, 3) e Bχ é a imagem do corpo B na configura¸cão χ. A fun¸cão χκ é denominada deforma¸c˜ ao de B desde κ até χ. Em termos das coordenadas (X α , α = 1, 2, 3) e (xi , i = 1, 2, 3), a deforma¸cão χκ pode ser escrita xi = χiκ (X 1 , X 2 , X 3 ),

(2.3)

onde o argumento (X 1 , X 2 , X 3 ) das fun¸c˜ oes de deforma¸c˜ ao χiκ pode ser abreviadamente escrito (X α ). Define-se, tamb´em, o tensor de segunda ordem gradiente de deforma¸c˜ ao, de χ em rela¸c˜ao a κ no ponto X, Fκ (X) = ∇ χκ . X

(2.4)

Quando não houver d´ uvidas sobre qual é a configura¸cão referencial, o ´ındice pode ser i omitido tanto em χκ como em Fκ (não pode ser omitido em χκ porque a fun¸cão χ tem outro significado, já apresentado). Isto será suposto a partir deste ponto do texto. Como a fun¸cão φ é de um para um em B, χκ é de um para um em Bκ , o que implica em ser F não singular, ou seja, implica em que J = det F 6= 0,

(2.5)

de acordo com a defini¸cão de tensor inverso de segunda ordem 1.2.29. Em rela¸cão às coordenadas (xi , i = 1, 2, 3) e (X α , α = 1, 2, 3), respectivamente referentes à configura¸cão deformada e referencial, F pode ser representado em termos α=3 dos seus componentes associados à base (ci (x) ⊗ cα (X))i=3 i=1 α=1 , ou seja, ∂χi , ∂X α (2.6) de acordo com o comentário 1.3.16 (deforma¸cão em termos de coordenadas). Note que a fun¸cão deforma¸cão apresentada pela eq. 2.3 não precisa ser fornecida em coordenadas cartesianas, sendo utilizado um componente de caráter contravariante (defini¸cão de base dual 1.2.8) em x, referente à base natural (defini¸cão de campo de bases 1.3.9) (ci (x))3i=1 e um componente de caráter covariante em X, referente à base natural (cα (X))3α=1 . São também poss´ıveis outras representa¸cões do tensor gradiente de deforma¸cão, em rela¸cão a pontos do espa¸co euclideano. Mas a representa¸cão fornecida pelas eqs. 2.6 é particularmente simples, porque envolve apenas as derivadas parciais escalares ∂χi /∂X α . F = F i α ci (x) ⊗ cα (X) e F T = (F T )α i cα (X) ⊗ ci (x) , onde F i α = (F T )α i =

2.1.2

Diferenciais Definidos pelo Gradiente de DeformaÂ¸cË&#x153; ao

De acordo com a definiÂ¸cË&#x153;ao 1.3.5 de gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, o gradiente de deformaÂ¸cË&#x153;ao, F , Â´e uma transformaÂ¸cË&#x153;ao linear F : V â&#x2020;&#x2019; V , no espaÂ¸co de translaÂ¸cË&#x153;ao V de E (definiÂ¸cË&#x153;ao de espaÂ¸co euclideano de pontos 1.2.44). Tal transformaÂ¸cË&#x153;ao satisfaz `a expressË&#x153;ao Ď&#x2021;Îş (X) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021;Îş (X0 ) = F (X0 )[ X â&#x2C6;&#x2019; X0 ] + o(X â&#x2C6;&#x2019; X0 ), onde

|o(X â&#x2C6;&#x2019; X0 )| = 0, (2.7) â&#x2020;&#x2019;0

lim

sendo = | X â&#x2C6;&#x2019; X0 | a norma (definiÂ¸cË&#x153;ao de espaÂ¸co vetorial euclideano 1.2.6) do vetor X â&#x2C6;&#x2019; X0 â&#x2C6;&#x2C6; V | (X, X0 ) â&#x2C6;&#x2C6; BÎş . A eq. 2.7 mostra, portanto, que o valor F (X0 ) determina o valor de Ď&#x2021;Îş (X) em relaÂ¸cË&#x153;ao ao valor Ď&#x2021;Îş (X0 ), a menos de um erro de segunda ordem em = | X â&#x2C6;&#x2019; X0 | . Em outras palavras, numa aproximaÂ¸cË&#x153;ao de primeira ordem o vetor imagem do vetor X â&#x2C6;&#x2019; X0 , apÂós a aplicaÂ¸cË&#x153;ao da transformaÂ¸cË&#x153;ao F (X0 ) a este vetor, Âé o vetor Ď&#x2021;Îş (X) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021;Îş (X0 )| (Ď&#x2021;Îş (X), Ď&#x2021;Îş (X0 )) â&#x2C6;&#x2C6; BĎ&#x2021; . O verdadeiro vetor imagem do vetor X â&#x2C6;&#x2019; X0 , apÂós a aplicaÂ¸cË&#x153;ao da transformaÂ¸cË&#x153;ao F (X0 ) a este vetor, Âé F (X0 )[ X â&#x2C6;&#x2019; X0 ] â&#x2C6;&#x2C6; V . Logo, definindo dX = X â&#x2C6;&#x2019; X0

dx = F (X0 )[ X â&#x2C6;&#x2019; X0 ] ,

tem-se

dx = F (X0 )dX ,

(2.8)

sendo dx uma aproximaÂ¸cË&#x153;ao de primeira ordem ao vetor Ď&#x2021;Îş (X) â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2021;Îş (X0 ) e (X, X0 ) â&#x2C6;&#x2C6; BÎş . A eq. 2.8, chamada equaÂ¸cË&#x153; ao definidora dos diferenciais dX e dx, mostra que a definiÂ¸cË&#x153;ao de diferencial independe dos valores das normas dos vetores dX e dx, embora tal independË&#x2020;encia esteja limitada pela obediË&#x2020;encia à condiÂ¸cË&#x153;ao (X, X0 ) â&#x2C6;&#x2C6; BÎş . PorÂém: 1. Devido à continuidade do espaÂ¸co euclideano de pontos, se for imposto que a norma de dX seja infinitesimal, isto implicarÂá em que, se X0 â&#x2C6;&#x2C6; BÎş , entË&#x153;ao X â&#x2C6;&#x2C6; BÎş , logo (Ď&#x2021;Îş (X), Ď&#x2021;Îş (X0 )) â&#x2C6;&#x2C6; BĎ&#x2021; . Portanto, se X0 â&#x2C6;&#x2C6; BÎş , a imposiÂ¸cË&#x153;ao de que a norma de dX seja infinitesimal serÂá suficiente para garantir que seja satisfeita a exigË&#x2020;encia da eq. 2.7 de que (Ď&#x2021;Îş (X), Ď&#x2021;Îş (X0 )) â&#x2C6;&#x2C6; BĎ&#x2021; , embora nË&#x153;ao seja necessÂária para que esta satisfaÂ¸cË&#x153;ao ocorra. 2. Como a definiÂ¸cË&#x153;ao de gradiente exige que lim â&#x2020;&#x2019;0 (|o(X â&#x2C6;&#x2019; X0 )|/ ) = 0 (eq. 2.7), a imposiÂ¸cË&#x153;ao de que a norma de dX, grafada conforme jÂá colocado, seja infinitesimal, corresponde à imposiÂ¸cË&#x153;ao de que |o(Xâ&#x2C6;&#x2019;X0 )| = 0 , logo, por causa da eq. 2.7, tambÂém de que Ď&#x2021;Îş (X)â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2021;Îş (X0 ) = dx e, considerando a eq. 2.8, de que a norma deste u Â´ltimo vetor tambÂém seja infinitesimal. Estas trË&#x2020;es imposiÂ¸cË&#x153;oes, porÂém, sË&#x153;ao desnecessÂárias à satisfaÂ¸cË&#x153;ao de qualquer uma entre as eqs. 2.7 e 2.8. Fatos absolutamente anÂálogos a estes correspondem à definiÂ¸cË&#x153;ao costumeira de diferencial de escalar. A correta definiÂ¸cË&#x153;ao de diferencial de escalar pode, por exemplo, ser encontrada em Tom M. Apostol, Calculus: Volume I e II, Wiley, segunda ediÂ¸cË&#x153;ao, New York, 1969, onde Âé utilizada uma equaÂ¸cË&#x153;ao escalar anÂáloga à eq. 2.8. Muitos livros de matemÂática, porÂém, no conceito de diferencial destacam a opcional imposiÂ¸cË&#x153;ao de infinitÂésimo, ao invÂés da equaÂ¸cË&#x153;ao definidora dos diferenciais (ao invÂés da eq. 2.8, ou 84

de uma equa¸cão análoga a ela). Tal enfoque é replicado por in´ umeros livros de f´ısica, f´ısico-qu´ımica e engenharia, mas sem consequências prejudiciais ao desenvolvimento da correspondente teoria, porque a equa¸cão definidora, embora algumas vezes seja apenas subentendida ou mesmo ignorada, não obstante isto ela sempre existe. Mas a atemporalidade da termodinâmica tradicional, ao exclu´ı-la de qualquer espa¸co-tempo quadridimensional, tem como consequência a poss´ıvel inexistência da equa¸cão definidora, quando então o conceito de diferencial passa a ser unicamente o de infinitésimo. Isto leva a termodinâmica tradicional a diversos ilogismos matemáticos, conforme mostrado por Clifford A. Truesdell, Rational Thermodynamics, Springer, New York, 1984. Evidentemente, porém, a imposi¸cão de que a norma de dX seja infinitesimal não é errada, uma vez que a defini¸cão de diferencial permite qualquer norma tal que (X, X0 ) ∈ Bκ . A imposi¸cão de que a norma de dX seja infinitesimal pode, inclusive, ser muito u ´til para simplificar a compreensão de diversos conceitos matemáticos. Por exemplo, de acordo com o anterior item 2, tal imposi¸cão corresponde à obrigatoriedade de que ocorra |o(X − X0 )| = 0 e χκ (X) − χκ (X0 ) = dx = F (X0 )dX, sendo também infinitesimal a norma de dx, o que pode ajudar na compreensão do significado da transforma¸cão linear F (X0 ). De fato, este é o modo costumeiramente utilizado pelos livros de texto para apresentar, ao leitor iniciante, o conceito de derivada de escalar. Mas um infinitésimo não precisa ser um diferencial, assim como um diferencial não precisa ser um infinitésimo. Por exemplo, seja o vetor A, que representa uma área plana de dimensão finita. Tal vetor é perpendicular ao plano que contém a área e tem como norma o valor da área. Neste caso, certamente a norma de A não é infinitesimal, mas A pode ser um diferencial, ou seja, pode-se ter dX = A, obedecendo dX a alguma equa¸cão definidora do tipo da eq. 2.8. Mas, se a área considerada não for plana, haverá um vetor para cada sub-área plana que ela contenha, sendo poss´ıvel que cada sub-área plana se reduza a apenas um ponto (imagine, por exemplo, a área de uma superf´ıcie esférica). Neste caso, cada área plana será infinitesimal, o mesmo ocorrendo com a norma do vetor A que a representa, logo, se A for um diferencial, com a norma de dX = A. Porém, o simples fato de que seja infinitesimal o valor de |A|, sem que exista uma equa¸cão definidora de diferenciais, não permite que se escreva dX = A, ou seja, não permite que se afirme que A é um diferencial, já que para um diferencial a equa¸cão definidora por hipótese existe. Seja ou não infinitesimal o valor de | A| , o vetor unidade na dire¸cão de A (defini¸cão de vetor proje¸cão 1.2.7) é o vetor A/| A| = (v1 × v2 )/| v1 × v2 | , onde v1 e v2 são vetores linearmente independentes que tangenciam a superf´ıcie plana considerada (seja ou não infinitesimal área de tal superf´ıcie). Conforme colocado na eq. 2.2, sejam Bκ e Bχ respectivamente a imagem do corpo B na configura¸cão referencial e numa configura¸cão arbitrária, contendo Bκ a área (infinitesimal ou não) tangenciada pelos vetores v1 e v2 . Imponha-se que cada um dos vetores v1 e v2 possa ser definido por dois pontos do espa¸co euclideano, sendo ambos os pontos pertencentes a Bκ . Portanto, seja v1 = X1 − X10 e v2 = X2 − X20 , onde (X1 , X10 , X2 , X20 ) ∈ Bκ . Se a citada área for infinitesimal, isto exigirá que as normas de v1 e v2 sejam infinitesimais. Se a citada área não for infinitesimal, esta exigência não mais existirá, mas nada impedirá que normas infinitesimais sejam consideradas. Evidentemente, normas infinitesimais de v1 e v2 não implicam em área infinitesimal. 85

Sejam as normas dos vetores X1 − X10 e X2 − X20 infinitesimais ou não, por meio da eq. 2.8 obtém-se os correspondentes vetores imagens, após a aplica¸cão da transforma¸cão F (X10 ) e F (X20 ) respectivamente, bem como definem-se os diferenciais dX1 = X1 − X10 e dX2 = X2 − X20 , com seus correspondentes diferenciais imagens, dx1 = F (X10 )dX1 e dx2 = F (X20 )dX2 . Porém, se for imposto que as normas dos vetores X1 − X10 e X2 − X20 sejam infinitesimais, de acordo com o anterior item 2 os diferenciais imagens, respectivamente F (X10 )dX1 e F (X20 )dX2 , serão iguais aos correspondentes vetores χκ (X1 ) − χκ (X10 ) e χκ (X2 ) − χκ (X20 ). Por isto, tal imposi¸cão em muito simplifica as expressões dos vetores unidade perpendiculares à superf´ıcie, numa configura¸cão arbitrária. De fato tem-se, então, os vetores unidade perpendiculares ` a superf´ıcie eκ =

dX1 × dX2 | dX1 × dX2 |

F dX1 × F dX2 , | F dX1 × F dX2 |

respectivamente referentes à configura¸cão referencial e arbitrária. Note que, nestas u ´ltimas equa¸cões destacadas, foram omitidos os pontos que definem as formas dos operadores gradiente. Isto ocorreu porque, além de ter sido imposto que que as normas dos vetores X1 − X10 e X2 − X20 fossem infinitesimais, foi adicionalmente imposto que fosse também infinitesimal a área que eles tangenciam, o que implica na coincidência dos pontos X10 e X20 . Implica, também, em que seja infinitesimal a área tangenciada pelos vetores dx1 e dx2 . Portanto, a mencionada imposi¸cão adicional não apenas permite a omissão dos pontos que definem as formas dos operadores gradiente, como também implica em que |dX1 × dX2 | = daκ

| F dX1 × F dX2 | = da

sejam as equa¸cões definidoras dos diferenciais correspondentes às áreas planas, os quais são infinitesimais. Seja um vetor v do espa¸co de transla¸cão V de E. Considerando infinitesimal o diferencial daκ , tem-se que v · e da = v · (F dX1 × F dX2 ) = F (F −1 v) · (F dX1 × F dX2 ). De acordo com a defini¸cão de produto triplo 1.2.39, F (F −1 v) · (F dX1 × F dX2 ) = [F dX1 , F dX2 , F (F −1 v)]. Mas, [F dX1 , F dX2 , F (F −1 v)] = det F [dX1 , dX2 , (F −1 v)], de acordo com o comentário 1.2.39, sobre determinante, tra¸co e produto triplo. Considerando a eq. 2.5 e usando novamente a defini¸cão 1.2.39 tem-se, então, v · e da = J(F −1 v)·(dX1 ×dX2 ) = J(F −1 v)·eκ daκ = v·JF −T eκ daκ , sendo a u ´ltima igualdade devida à defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17. Portanto, e da = JF −T eκ daκ . Analogamente, seja v3 = X3 − X30 , onde (X3 , X30 ) ∈ Bκ , um vetor não pertencente ao plano dos vetores v1 e v2 . Defina-se o diferencial dX3 = X3 − X30 , bem como o seu diferencial imagem dx3 = F (X30 )dX3 , correspondentes à equa¸cão definidora 2.8 e imponha-se que | X3 − X30 | e daκ sejam infinitesimais. De acordo com o anterior item 2, neste caso dx3 = χκ (X3 ) − χκ (X30 ). Tem-se, então, o volume infinitesimal dv = | dx3 · dx1 × dx2 | = | F dX3 · F dX1 × F dX2 |. Usando novamente a defini¸cão 1.2.39 e o comentário 1.2.39, tem-se que | F dX3 · F dX1 × F dX2 | = | det F || dX3 · dX1 × dX2 | = | J| dvκ , logo dv = | J| dvκ . Isto indica que, se | J| = 1, a deforma¸cão preserva o volume. A rela¸c˜ ao entre os diferenciais infinitesimais de ´ area referencial e arbitr´ aria, 86

bem como a rela¸c˜ ao entre os diferenciais infinitesimais de volume referencial e arbitr´ ario, respectivamente e da = JF −T eκ daκ

dv = | J| dvκ ,

(2.9)

muito u ´teis para a mecˆanica dos meios cont´ınuos, foram facilmente obtidas por causa da grande simplifica¸c˜ao proveniente de terem sido consideradas infinitesimais as normas dos diferenciais daκ e dX3 .

2.1.3

Mudan¸ ca de Configura¸c˜ ao Referencial

b uma outra configura¸ Seja κ cão referencial de B, definida de modo análogo à configura¸cão referencial κ (eq. 2.1), pertencendo as imagens de ambas as duas configura¸cões ao espa¸co euclideano de pontos E, correspondente à estrutura referencial de Newton φ. A composi¸cão c = λ(X) = κ b ◦ κ−1 : E → E , tal que X b (κ−1 (X)) , λ=κ b . Seja χb é chamada uma mudan¸ca de configura¸c˜ ao referencial de κ para κ κ definida de modo análogo a χκ (eq. 2.2). As deforma¸cões desde cada uma das duas configura¸cões b , at´ referenciais κ e κ e a configura¸cão arbitrária χ , respectivamente χκ e χbκ , são relacionadas entre si por meio da composi¸cão

χκ = χbκ ◦ λ : Bκ → Bχ ,

c . tal que x = χκ (X) = χbκ (λ(X)) = χbκ (X)

Se dX = X − X0 , de acordo com a u ´ltima equa¸c˜ao destacada ∇ λ) dX = ∇

χ dX = ∇ (χbκ ◦ X0 κ X0 λ dX], onde a u ´ltima igualdade ´e devida ao coment´ario 1.3.5, sobre

χκ [∇ c b X0 X 0 diferencia¸c˜ao em cadeia. Por´em ∇ a eq. 2.4,

c X 0

Fκ (X) = ∇ χκ = ∇c χbκ ◦ ∇ λ X X X Fκ = Fbκ P ,

2.2

χbκ [∇

λ dX] = (∇

e, sendo onde

c X 0

χbκ ◦ ∇ λ) dX ou, usando X0

b ◦ κ−1 ), P (X) = ∇ λ = ∇ (κ X X

c) = ∇ χ . Fbκ ( X κ c b X

(2.10)

Tra¸c˜ ao e Rota¸c˜ ao

O gradiente da deforma¸cão (eq. 2.4) é uma medida da deforma¸cão no ponto X ∈ Bκ ⊂ E. Mas outras medidas existem, cujos significados f´ısicos são, até, mais evidentes. Como o gradiente da deforma¸cão F é não singular (eq. 2.5), de acordo com o teorema da decomposi¸cão polar 1.2.10 há dois tensores simétricos (defini¸cão de tensores simétrico e antissimétrico 1.2.18) de defini¸cão positiva (defini¸cão de tensor de defini¸cão positiva, negativa e semi-defini¸cão 1.2.43), U e V e um tensor ortogonal (defini¸cão de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30), R, determinados de modo u ńico a partir de F , tais que √ √ F = RU = V R , U = F T F , V = RU RT = F F T e R = F U −1 . (2.11) Denomina-se tensor de rota¸c˜ ao a R, tensor direito de estiramento a U e tensor esquerdo de estiramento a V , onde direito e esquerdo referem-se à posi¸cão do tensor, 87

em rela¸cão a R, na composi¸cão F = R ◦ U = V ◦ R (note que é esta composi¸cão que dá origem ao nome decomposi¸cão polar). Estas denomina¸cões provêm da interpreta¸cão f´ısica destes tensores. De fato, de acordo com o teorema espectral 1.2.6, sobre autovalores de tensor simétrico, como os tensores U e V são simétricos, para cada um deles existe uma base ortonormal, do espa¸co vetorial tridimensional, tal que o tensor possa ser representado como uma matriz diagonal de autovalores. Além disto, de acordo com o teorema 1.2.8 (tensor simétrico de defini¸cão positiva ou negativa), como U e V são de defini¸cão positiva, todos os seus autovalores são positivos. Por isto, U e V representam estiramentos puros, ao longo de três eixos ortogonais entre si. Mas, como a aplica¸cão de tensor ortogonal a dois vetores preserva o produto interno entre eles, R representa uma rota¸cão pura. Logo, o gradiente de deforma¸cão resulta de um estiramento puro U seguido de uma rota¸cão R, ou da mesma rota¸cão R seguida de um estiramento V 6= U . Enquanto que ambos os tensores de estiramento medem a tra¸cão, ou mudan¸ca de forma, o tensor de rota¸cão mede a mudan¸ca de orienta¸cão, ou rota¸cão. Como U 2 = F T F e V 2 = F F T , o uso dos itens 3 e 4 do comentário 1.2.27, sobre propriedades de determinantes - parte I, mostra que (det U )2 = (det F )2 = (det V )2 . Mas, de acordo com o comentário 1.2.45, sobre determinante de tensor simétrico de defini¸cão positiva ou negativa, como U e V são simétricos de defini¸cão positiva, seus correspondentes determinantes são positivos. Pode-se, portanto, escrever det U = det V = | det F | .

(2.12)

Sejam os autovalores e autovetores de U respectivamente vi e ei , para i = 1, 2, 3, logo seja U ei = vi ei (de acordo com a nota¸cão de Einstein 1.1.2, não ocorre somatório sobre o ´ındice i). Como V = RU RT , tem-se V (Rei ) = RU RT (Rei ) = RU (ei ) = vi (Rei ). Portanto U e V têm os mesmos autovalores e seus autovetores diferem apenas pela rota¸cão R. Os autovalores vi , todos eles positivos, são chamados estiramentos principais e os correspondentes autovetores, mutuamente ortonormais, são chamados dire¸c˜ oes principais. Utilizando as eqs. 2.12, U e V podem ser obtidos a partir de F , calculando-se a raiz quadrada dos tensores simétricos de defini¸cão positiva F T F e F F T , respectivamente. Para isto, basta considerar o teorema 1.2.9, sobre quadrado de tensor simétrico de defini¸cão positiva ou negativa e a nota¸cão 1.2.10, para tensor raiz quadrada. Mas, para efeito de cálculo, é mais conveniente introduzir os tensores de tra¸c˜ ao de Cauchy Green direito e esquerdo, respectivamente definidos por C = U2 = F T F

e B = V 2 = FFT .

(2.13)

Usando a representa¸cão F = F jβ cj ⊗ cβ do gradiente de deforma¸cão (eqs. 2.6), bem como o comentário 1.2.15, sobre transposi¸cão de tensor simples e a defini¸cão de matrizes transposta e inversa 1.1.4, tem-se F T F = F i α F jβ (cα ⊗ ci )(cj ⊗ cβ ) e F F T = F i α F jβ (cj ⊗cβ )(cα ⊗ci ) . Por meio do item 1 do comentário 1.2.18, sobre composi¸cão com tensor simples, obtém-se (cα ⊗ci )(cj ⊗cβ ) = ((cα ⊗ci )(cj ))⊗cβ . Considerando a defini¸cão de produto tensorial de vetores ou tensor simples 1.2.12 e, em seguida, o comentário 1.2.6, sobre fun¸cões gi j e g i j , tem-se ((cα ⊗ ci )(cj )) ⊗ cβ = (ci · cj )cα ⊗ cβ = gi j cα ⊗ cβ , logo 88

(cα ⊗ ci )(cj ⊗ cβ ) = gi j cα ⊗ cβ . Analogamente, (cj ⊗ cβ )(cα ⊗ ci ) = g α β cj ⊗ ci . Logo, F T F = gi j F i α F jβ cα ⊗ cβ e F F T = g α β F i α F jβ cj ⊗ ci = g α β F i α F jβ ci ⊗ cj , porque F F T ´e sim´etrico. Tem-se, portanto, Cα β = gi j F i α F jβ

B i j = g α β F i α F jβ ,

[B i j ] = [F i α ][g α β ][F jβ ]T .

ou, na forma matricial, [Cα β ] = [F i α ]T [gi j ][F jβ ]

Convém lembrar que gi j e g α β são, de acordo com a eq. 2.6 e com o comentário 1.3.14, sobre tensor métrico e base natural dual, respectivamente um componente covariante do tensor métrico referente ao sistema de coordenadas no ponto x da configura¸cão deformada e um componente contravariante do tensor métrico referente ao sistema de coordenadas no correspondente ponto X da configura¸cão referencial. Como exemplo, considere a deforma¸cão x = χκ (X), dada em coordenadas cartesianas tanto na configura¸cão referencial como na deformada e definida por meio das expressões x = X + κY ,

y=Y

z=Z .

(2.14)

Esta deforma¸cão é chamada cisalhamento simples e κ > 0 é chamado quantidade de cisalhamento. Usando as eqs. 2.3 e 2.6, conforme as quais Fi α = ∂χi /∂X α , tem-se a forma matricial   1 κ 0  [Fi α ] =  0 1 0  (2.15)  . 0 0 1 Note que, como det F = 1, de acordo com a eq. 2.9 o cisalhamento simples preserva o volume. Sugere-se acompanhar pelo livro (p. 6 e 7) o tratamento restante deste exemplo.

2.3

Tra¸c˜ ao e Rota¸c˜ ao Lineares

Os tensores de tra¸cão e rota¸cão mostrados na se¸cão 2.2 podem representar quaisquer deforma¸cões. Mas, nesta se¸cão, somente serão consideradas deforma¸cões suficientemente pequenas para que a imposi¸cão da linearidade, nos tensores que que as representam, cause erros desprez´ıveis. De acordo com a eq. 2.8, tem-se dx1 · dx2 = F dX1 · F dX2 = dX2 · (F T F ) dX1 = dX2 · CdX1 , onde a segunda igualdade provém da defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17 e a terceira igualdade provém da eq. 2.13. A expressão destacada mostra que dx1 · dx2 − dX1 · dX2 = dX2 · (C − 1 ) dX1 = 2 dX2 · E dX1 , onde

(2.16)

C −1 (2.17) 2 é chamado tensor de tra¸c˜ ao de Green - St. Venant, ou tensor de tra¸c˜ ao referencial (de acordo com a defini¸cão de transforma¸cão tensorial identidade 1.2.16, o s´ımbolo 1 representa o tensor identidade). Analogamente, tem-se E=

dX1 · dX2 = F −1 dx1 · F −1 dx2 = dx2 · (F −T F −1 ) dx1 = dx2 · B −1 dx1 , logo 89

dx1 · dx2 − dX1 · dX2 = dx2 · (1 − B −1 ) dx1 = 2 dx2 · e dx1 , onde

(2.18)

1 − B −1 (2.19) 2 é chamado tensor de tra¸c˜ ao de Almansi - Hamel, ou tensor de tra¸c˜ ao corrente. Se não houver deforma¸cão (ou para deforma¸cão infinitesimal), χκ (X) − χκ (X0 ) = X − X0 ∀(X, X0 ) ∈ Bκ , logo a eq. 2.7 indicará que o(X − X0 ) = 0 e F = 1 . Portanto, a eq. 2.13 mostrará que C = B = 1 e as eqs. 2.17 e 2.19 respectivamente produzirão E = 0 e e = 0. Por isto, e=

para deforma¸cões pequenas os tensores E e e não diferem muito de tensores nulos. Para tratar adequadamente deforma¸cões pequenas, utiliza-se o vetor deslocamento u = x − X. Em rela¸cão à configura¸cão referencial, κ, o vetor deslocamento pode ser escrito u(X) = χκ (X) − X (sendo χκ definido pela eq. 2.2), o que permite obter o tensor gradiente referencial de deslocamento H(X) = ∇ u = F (X) − 1 , X onde foi usada a eq. 2.4. Mas o vetor deslocamento também pode ser escrito em rela¸cão à configura¸cão corrente, χ, tendo-se então u(x) = x − χ−1 κ (x) , o que produz o tensor gradiente espacial de deslocamento h(x) = ∇x u = 1 − F −1 (x) , −1 porque, do acordo com a eq. 2.4, ∇x χ−1 (x). Evidentemente, κ = F

para deforma¸cões pequenas os tensores H e h também não diferem muito de tensores nulos. Utilizando as equa¸cões acima destacadas para H(X) e h(x), bem como as eqs. 2.13, 2.17 e 2.19, tem-se E=

C−1 2

F T F −1 2

1 −B −1 2

1 −(F F T )−1 2

(H+1 )T (H+1 )−1 2

H + HT + HT H 2

1 −(1 −h)T (1 −h) 2

h + hT − hT h . 2

e (2.20)

Sublinhe-se que, ao contrário do conceito de infinitesimal apresentado na subse¸cão 2.1.2, o conceito de deforma¸cão pequena independe do módulo do vetor X−X0 , enquanto que, ∀X ∈ Bκ , implica em módulo pequeno para o vetor χκ (X) − X. Usando a primeira das duas eqs. 2.20 e simbolizando qualquer conjunto de termos de ordem igual ou superior a dois em |H| por meio de o(2), obtém-se E = Ee + o(2), onde Ee =

H + HT 2 90

(2.21)

é o tensor de tra¸c˜ ao infinitesimal introduzido por Cauchy na teoria clássica da elasticidade. Numa aproxima¸cão de primeira ordem em rela¸cão a H considera-se o(2) = 0, e portanto imp˜ logo E = E, oe-se a linearidade da defini¸cão de E a partir de H. Evidentemente, tal aproxima¸cão se justifica somente se H for suficientemente próximo de um tensor nulo, ou seja, somente se a deforma¸cão for suficientemente pequena para que o erro causado seja desprez´ıvel. Evidentemente, para tra¸cão infinitesimal E = Ee = 0. √ A segunda das eqs. 2.11 indica que U = F T F logo, usando a defini¸cão de H antes q √ destacada, tem-se U = (H + 1 )T (H + 1 ) = 1 + H + H T + H T H. A quarta das eqs. √ 2.11 mostra que R = F U −1 = (H + 1 )/ 1 + H + H T + H T H. Considere, agora, o desenvolvimento em série de MacLaurin (1 + x)n = 1 + nx + n(n − 1)x2 /2! + . . ., o qual contém um n´ umero finito de termos se n for um inteiro positivo e, caso contrário, converge √ 2 para x < 1. Fazendo n = 1/2 e x = H + H T + H T H tem-se 1 + H + H T + H T H = 1 + (H + H T )/2 + o(2). Fazendo n = −1/2 e x = H + H T + H T H tem-se (H + √ 1 )/ 1 + H + H T + H T H = (H + 1 )(1 − (H + H T )/2 + o(2)) = 1 + (H − H T )/2 + o(2). Portanto, √ T U= F T F = 1 + H+H + o(2) = 1 + Ee + o(2) e 2 R=

F U −1 = 1 +

H−H T 2

+ o(2) =

e + o(2), 1 +R

(2.22)

onde

H − HT = (2.23) 2 é chamado tensor de rota¸c˜ ao infinitesimal, em analogia ao tensor de tra¸cão infinitee Note que, de acordo com o coment´ simal, E. ario sobre decomposi¸cão cartesiana 1.2.46, e e E e R são, respectivamente, a parte simétrica e a parte antissimétrica do tensor H. Pode-se obter interpreta¸cões geométricas para os componentes do tensor infinitesimal e em rela¸ de tra¸cão E, cão a um sistema de coordenadas cartesianas. Para isto: e R

1. Seja dX1 = dX2 = s0 e1 . Neste caso, eq. 2.16 indica que dx1 · dx2 − s20 e1 · e1 = 2s20 e1 · Ee1 , ou dx1 · dx2 − s20 = 2s20 E1 1 . De acordo com a subse¸cão 2.1.2, a eq. 2.8 define os diferenciais dx1 = F (X10 )dX1 e dx2 = F (X20 )dX2 , respectivamente em rela¸cão aos diferenciais dX1 = X1 − X10 e dX2 = X2 − X20 . Estes u ´ltimos são arbitrários, sujeitos apenas à restri¸cão de que (X1 , X10 , X2 , X20 ) ∈ Bκ . Mas, porque só faz sentido comparar diferenciais correspondentes à mesma equa¸cão definidora, a igualdade dX1 = dX2 implica não apenas em vetores respectivamente com igual norma e dire¸cão (dire¸cão inclui sentido), conforme colocado no comentário 1.2.3, sobre igualdade entre vetores, mas também com igual ponto de aplica¸cão no espa¸co euclideano de pontos tridimensional. Logo, dx1 = dx2 e dx1 · dx2 = s2 , onde o comprimento s é o comprimento s0 após deforma¸cão. Note que a dire¸cão de dx1 = dx2 não precisa ser a mesma de dX1 = dX2 . Tem-se, portanto, E1 1 =

s2 − s20 (s − s0 )(s + s0 ) = 2 2s0 2s20 91

e analogamente para E2 2 e E3 3 . Numa deforma¸c˜ao suficientemente pequena para e tamb´ que se possa considerar E = E, em pode-se impor s + s0 = 2s0 , portanto Ee1 1 =

s − s0 . s0

e em Au ´ltima igualdade destacada mostra que os componentes diagonais do tensor E, rela¸cão a um sistema de coordenadas cartesianas, são as altera¸cões de comprimento sofridas, por unidade de comprimento original.

2. Seja dX1 = s0 e1 e dX2 = s0 e2 . Neste caso, eq. 2.16 indica que dx1 · dx2 − s20 e1 · e2 = 2s20 e2 · Ee1 , ou dx1 · dx2 − s20 cos(π/2) = 2s20 E2 1 . A eq. 2.8 mostra que dx1 · dx2 = F dX1 · F dX2 = s20 F e1 · F e2 = s20 | F e1 || F e2 | cos θ, onde θ ∈ [0, π] é o ângulo formado entre os dois vetores após a deforma¸cão. Logo,| F e1 || F e2 | cos θ = 2E2 1 = 2E1 2 (para confirmar que E é simétrico veja as eqs. 2.13 e 2.17). Se γ = π/2 − θ , ter-se-á E1 2 E2 1 senγ = = , 2 | F e1 | | F e2 | | F e1 | | F e2 | onde γ é o simétrico da altera¸cão sofrida no ângulo entre os dois vetores, como consequência da deforma¸cão. Numa deforma¸cão suficientemente pequena para que e tamb´ se possa considerar E = E, em pode-se impor | F e1 | = | F e2 | = 1 e senγ = γ, obtendo-se γ Ee1 2 = Ee2 1 = . 2 e fora da diagonal, tˆ Os outros componentes de E, em interpreta¸cões análogas a esta.

3. Como F = 1 + H, de acordo com o comentário 1.2.41, sobre a rela¸cão entre A e 1 +A, para H ≈ 0, tem-se det F ≈ 1+trH. Por outro lado, de acordo com a segunda das eqs. 2.9, para diferenciais de volume infinitesimais tem-se dv = | det F | dvκ , que neste caso pode ser escrito dv = det F dvκ , porque det F ≈ 1. Numa deforma¸cão suficientemente pequena para que se possa considerar E = Ee tem-se H ≈ 0 logo, se adicionalmente forem impostos diferenciais de volume infinitesimais, 3 X dv − dvκ det F dvκ − dvκ = = det F − 1 = trH = Eei i , dvκ dvκ i=1

onde a u ´ltima igualdade é devida à eq. 2.21. Portanto, a soma dos elementos diagonais de Ee é a altera¸cão de volume sofrida, em rela¸cão a um volume infinitesimal original. e em Pode-se, também, interpretar os componentes do tensor infinitesimal de rota¸cão, R, rela¸cão a um sistema de coordenadas cartesianas. Para isto, considere dX = s0 (cos θ e1 + sen θ e2 ), logo considere que dX forme um ângulo θ com e1 . De acordo com a eq. e dX, onde a segunda igualdade 2.8, tem-se dx = F dX = (1 + H) dX = (1 + Ee + R) deve-se à defini¸cão do gradiente referencial de deslocamento, H, enquanto que a terceira provém das eqs. 2.21 e 2.23. Seja dxh o vetor proje¸cão de dx sobre o plano definido por e1 e e2 , sendo s a norma deste vetor proje¸cão. Considere que e3 seja perpendicular

ao mencionado plano. Como o outro vetor componente de dx é paralelo a e3 , tem-se dX × dx · e3 = dX × dxh · e3 = s0 s senw, onde w é o ângulo de rota¸cão desde dX até dxh . Tem-se, portanto, e dX · e = dX × (E e + R) e dX · e . s0 s senw = dX × dx · e3 = dX × (1 + Ee + R) 3 3

Substituindo dX = s0 (cos θ e1 + sen θ e2 ) na igualdade destacada e efetuando-se as opera¸cões indicadas, entre os vetores de base ortonormais ei , obtém-se e + cos 2θ E e − 1 sen 2θ(E e −E e )) . s0 s senw = s20 (R 21 12 11 22 2 e tamb´ Numa deforma¸cão suficientemente pequena para que se possa considerar E = E, em pode-se impor s = s0 e senw = w. Neste caso, a u ´ltima igualdade destacada toma a forma e −E e ). e + cos 2θ E e − 1 sen 2θ(E w=R 11 22 21 12 2 Esta igualdade mostra que w depende de θ, ou seja, o ângulo de rota¸cão desde dX até dxh depende do ângulo entre os vetores dX e e1 . Mas convém lembrar que, por causa da eq. 2.8, que define dx em fun¸cão de dX, o vetor dX = X − X0 necessariamente apresenta norma e dire¸cão (dire¸cão inclui sentido) completamente arbitrárias, sendo bem estabelecido apenas o seu ponto de aplica¸cão, X0 . Logo, o ângulo θ é necessariamente arbitrário e a u ´ltima equa¸cão destacada define w em fun¸cão de θ, assim como a eq. 2.8 define dx em fun¸cão de dX. e n˜ Evidentemente, os tensores Ee e R ao dependem de θ. De fato, eles respectivamente são a parte simétrica e antissimétrica do tensor gradiente referencial de deslocamento H = F − 1 (texto logo após a eq. 2.23), o qual, assim como o gradiente de deforma¸cão F , depende apenas do ponto de aplica¸cão do vetor dX (veja a eq. 2.4). Seja

< w >=

1 Z 2π w(θ) dθ 2π 0

o ângulo médio de rota¸cão desde dX até dxh , quando o ângulo θ, entre dX e e1 , variar desde 0 até 2π rd. Integrando, para θ variando entre desde 0 até 2π rd, a pen´ ultima igualdade destacada, percebe-se que e . < w >= R 21 e e Interpreta¸cões análogas valem para R ao os outros dois componentes não 1 3 e R3 2 , que s˜ nulos do tensor antissimétrico, correspondentes ao mesmo vetor axial. Foi efetuado um estudo das interpreta¸cões geométricas dos tensores de tra¸cão infie que respectivamente s˜ nitesimal, Ee e de rota¸cão infinitesimal, R, ao as partes simétrica e antissimétrica do gradiente referencial de deslocamento, H. Tratamento semelhante pode ser feito usando-se o gradiente espacial de deslocamento, h. Porém, h = 1 − F −1 e H = F −1 diferem apenas em o(2), conforme pode ser mostrado efetuando-se o desenvolvimento em série de F −1 , em termos de F . Portanto, numa deforma¸cão suficientemente e tem-se h = H. Tem-se, ainda, as express˜ pequena para que se possa considerar E = E, oes para componentes dos tensores de tra¸c˜ ao e de rota¸c˜ ao infinitesimais, em termos de derivadas do vetor deslocamento em coordenadas cartesianas da configura¸cão corrente,

Eei j

1 = 2

∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi

e R ij

1 = 2

∂ui ∂uj − ∂xj ∂xi

(2.24)

2.4 2.4.1

Movimento Conceito B´ asico

Desde o in´ıcio do presente cap´ıtulo, a variável tempo foi utilizada apenas para explicar, nos primeiros parágrafos da subse¸cão 2.1.1, o conceito de estrutura referencial, ou observador. Isto ocorreu porque, devido ao fato de serem espa¸cos produtos ambos os espa¸cos entre si relacionados por meio do observador de Newton, φ, existe uma fun¸cão que, ao ser aplicada ao corpo material B, produz uma imagem de B no espa¸co euclideano de pontos tridimensional E. Tal fun¸cão, de um para um em B e válida em qualquer instante, foi chamada configura¸cão. A teoria desenvolvida até a este ponto do texto é consequência da existência da fun¸cão configura¸cão e, por isto, independe da variável tempo, logo é atemporal. A perda conceitual envolvida em toda teoria atemporal é devida ao fato de que, evidentemente, numa teoria atemporal perdem a separa¸cão temporal eventos que, numa teoria temporal, ocorrem em instantes distintos. Por exemplo, para a teoria atemporal até agora desenvolvida, as configura¸cões arbitrárias de B poderiam ser distinguidas entre si por meio da aplica¸cão, ao s´ımbolo χ, de um ´ındice identificador. Neste caso, o valor do ´ındice não seria o valor da variável tempo, mas sim uma identifica¸cão da configura¸cão considerada. Mas, na teoria temporal, a cada instante t, pertencente a determinado intervalo temporal, corresponde uma u ńica configura¸cão. Logo, para o mencionado intervalo, o valor t indica qual é a configura¸cão considerada, por isto mesmo chamada configura¸cão corrente. O s´ımbolo χ(·, t) (defini¸cão de fun¸cão e funcional 1.1.1) é mais apropriado do que o uso de t como um ´ındice, uma vez que t é uma variável que se altera de modo cont´ınuo. Além disto, o uso de t como ´ındice terá um outro significado, que será apresentado na subse¸cão 2.5.1. Na teoria temporal a fun¸cão espacial χ(·, t) é uma configura¸cão, assim como, na teoria atemporal, a fun¸cão espacial χ, que pode ser grafada χ(·), é uma configura¸cão. Constitui-se a u ńica diferen¸ca na determina¸cão, por meio do valor t, de qual é a configura¸cão, ou seja, desaparece a fun¸cão χ(·), considerada válida em qualquer instante, sendo substitu´ıda pela fun¸cão χ(·, t), espec´ıfica para o instante t. Uma sequência temporal cont´ınua de configura¸cões χ(·, t) : B → E é, por defini¸cão, um movimento de B, simbolizado por

χ = χ(·, t) : B → E| χ(·, t) varia continuamente para t# < t < t# , t ∈ < . Note que o s´ımbolo χ passa a ter, a partir deste ponto do texto, significado distinto do anterior, apresentado na primeira subse¸cão. Altera¸cões análogas ocorrerão com outros s´ımbolos, mas a mudan¸ca de significado não mais será destacada. Evidentemente, como a fun¸cão espacial configura¸cão χ(·, t) varia continuamente para t# < t < t# , o mesmo acontece com a imagem do corpo B em E. O conjunto χ de fun¸cões, chamado movimento, é uma fun¸cão espacial-temporal χ : B × < → E,

tal que

x = χ(X, t).

(2.25)

Enquanto o s´ımbolo χ(X, t) indica que tanto o valor X como o valor t são fornecidos, sendo a fun¸cão espacial-temporal movimento χ = χ(·, ·) a eles aplicada e disto resultando como imagem o ponto χ(X, t) = x, o s´ımbolo χ(·, t) indica que apenas o valor t é fornecido, sendo a fun¸cão espacial-temporal movimento χ = χ(·, ·) a ele aplicada e disto resultando 94

como imagem a fun¸cão χ(·, t), que aplicada ao corpo B produz a imagem dele em E, no instante t (tal imagem é o conjunto dos pontos x). Isto confirma que χ(·, t) é a fun¸cão espacial configura¸cão, que produzirá x se for aplicada a X. Tem-se, também, a representa¸c˜ ao do movimento de B por meio da sequência temporal cont´ınua de deforma¸cões, em rela¸cão à configura¸cão referencial κ, a qual, assim como acontece com o corpo material B, permanece independente do tempo e válida em qualquer instante,

χκ = χκ (·, t) : Bκ → B t | χκ (·, t) = χ(·, t) ◦ κ−1 varia cont. para t# < t < t# , t ∈ < , onde B t é a imagem do corpo B na configura¸cão χ(·, t). Assim como acontece com o conjunto χ de fun¸cões (que é o movimento), também o conjunto χκ de fun¸cões (que é a representa¸cão do movimento) é uma fun¸cão espacial-temporal χκ : Bκ × < → E,

x = χκ (X, t) = χ(κ−1 (X), t).

tal que

(2.26)

Note que, para um ponto fixo X da imagem da configura¸cão referencial, o conjunto das imagens x = χκ (X, t) da fun¸cão temporal χκ (X, ·) : < → E forma uma curva no espa¸co euclideano de pontos. Tal curva, chamada caminho ou trajet´ oria do ponto X ∈ Bκ , ou do ponto X do corpo B, é, respectivamente, a imagem da fun¸cão temporal χκ (X, ·), ou da fun¸cão temporal χ(X, ·). Os vetores velocidade, v e acelera¸c˜ ao , a do ponto X são, por defini¸cão, respectivamente a primeira e a segunda derivada temporal da posi¸cão deste ponto, quando esta se altera ao longo do caminho percorrido pelo ponto X ∈ Bκ , ou seja, v : Bκ × < → V

tal que

v(X, t) =

∂χκ (X, t) ∂t

a : Bκ × < → V

tal que

a(X, t) =

∂ 2 χκ (X, t) , ∂t2

(2.27) (2.28)

onde V é o espa¸co de transla¸cão de E e χκ (X, t) é derivável em rela¸cão a t, o mesmo ocorrendo com a sua derivada temporal. Por outro lado, χκ (X, t) é derivável em rela¸cão a X, produzindo a expressão do gradiente de deforma¸c˜ ao da configura¸cão corrente no instante t, configura¸cão esta grafada χ(·, t), em rela¸cão à configura¸cão referencial κ, no ponto material X da imagem desta u ´ltima, Fκ (X, t) = ∇ χκ (·, t) . X

(2.29)

Na atemporalidade, a eq. 2.29 se reduz à eq. 2.4. A partir deste ponto do texto, será implicitamente considerado que as fun¸cões satisfazem as condi¸cões necessárias para que as opera¸cões indicadas possam ser efetuadas, sem que isto precise ser de cada vez afirmado.

2.4.2

Descri¸ c˜ oes Material e Espacial

Os vetores velocidade (eq. 2.27) e acelera¸cão (eq. 2.28), bem como o tensor de segunda ordem gradiente de deforma¸cão (eq. 2.29), são exemplos de quantidades f´ısicas atribu´ıdas 95

a cada ponto de um corpo material, quantidades estas cujos valores variam de ponto para ponto do citado corpo e, dado um ponto fixo X (logo, dado um ponto fixo X), variam com a altera¸cão exclusivamente temporal de x = χκ (X, t) (eq. 2.26), ou seja, variam a medida que o ponto X prossegue no seu caminho, definido pela fun¸cão temporal χκ (X, ·). Embora a modifica¸cão temporal destes dois vetores e tensor dependa apenas da altera¸cão temporal de x = χκ (X, t), existem outras quantidades f´ısicas cujas modifica¸cões temporais, além de dependerem da altera¸cão temporal de x = χκ (X, t), também dependem diretamente do instante considerado. O estudo de tais quantidades pode basear-se em dois enfoques alternativos, os quais levam às mesmas conclusões: • enfocando-se inicialmente como evolui o valor da quantidade considerada, ao longo do caminho percorrido pelo ponto X ∈ Bκ , como efetuado no final da subse¸cão anterior para os vetores velocidade e acelera¸cão e conforme poderia ser efetuado para o tensor gradiente da deforma¸cão (obtendo-se a correspondente derivada parcial temporal), ou • enfocando-se inicialmente como se altera o valor da quantidade considerada, de ponto para ponto da imagem da configura¸cão corrente do corpo. O primeiro enfoque corresponde à descri¸cão material, ou referencial, ou lagrangeana da quantidade, enquanto que o segundo é chamado descri¸cão espacial, ou euleriana. Para melhor apresentar estas duas descri¸cões, considere uma configura¸cão referencial κ e uma quantidade f´ısica cujos valores Q perten¸cam a um espa¸co W . Na descri¸cão material, os valores Q são definidos, em rela¸cão ao movimento χ do corpo material B, por meio da fun¸cão temporal f (X, ·) : < → W . Seja f = {f (X, ·)} o conjunto espacial cont´ınuo de tais fun¸cões temporais, que engloba todos os pontos de Bκ e somente estes pontos. Tem-se, então, f : Bκ × < → W,

tal que Q = f (X, t).

A segunda entre as equa¸cões acima destacadas, análoga às eqs. 2.27, 2.28 e 2.29, é a descri¸cão material da quantidade f´ısica cujo valor é Q ∈ W . Já a descri¸cão espacial da mesma quantidade é dada pela fun¸cão espacial fe(·, t) : Bt → W . Considerando a

sequˆencia temporal cont´ınua de tais fun¸c˜oes, grafada fe = fe(·, t) , tem-se fe : Bt × < → W,

tal que Q = fe(x, t) .

Evidentemente, Q = fe(x, t) = fe(χκ (X, t), t) = f (X, t).

(2.30)

Na mecânica dos meios cont´ınuos, a eq. 2.30 é escrita por meio da simbologia (análoga à utilizada na termodinâmica tradicional) f = f (X, t) = f (x, t), onde Q foi substitu´ıdo por f e fe(x, t) foi substitu´ıdo por f (x, t). Esta simbologia simplificada pode causar equ´ıvocos, especialmente quando forem envolvidas diferencia¸cões. Tais equ´ıvocos podem ser evitados escrevendo-se explicitamente as variáveis envolvidas, como por exemplo em ∂f (X, t)/∂t, para a derivada temporal na descri¸cão material e 96

∂f (x, t)/∂t, para a derivada temporal na descri¸cão espacial. Como as duas descri¸cões são igualmente diferenciáveis, tanto em rela¸cão ao tempo quanto em rela¸cão ao ponto (X ou x conforme o caso), a diferen¸ca entre elas se reduz a uma simples troca entre X e x. Porém, abandonando a simbologia matemática rigorosa, para evitar os mencionados equ´ıvocos a mecânica dos meios cont´ınuos introduz s´ımbolos espec´ıficos, a seguir apresentados (as quais, na verdade, não precisariam existir). Tem-se, assim, os s´ımbolos: 1. Para derivada parcial temporal de f (X, t), df ∂f (X, t) f˙ = = , dt ∂t onde, em df /dt, evidentemente f representa a fun¸cão temporal f (X, ·), a qual é uma fun¸cão local. Note que o adjetivo “local” indica “num determinado ponto fixo do corpo B”, logo num determinado ponto fixo da imagem de alguma configura¸cão referencial do corpo. Portanto, fixado um ponto do corpo, df /dt é a derivada u ńica de uma fun¸cão temporal. 2. Para o gradiente, no ponto X, de f (X, t), Gradf = ∇ f (·, t), X e analogamente Div para a divergência e Rot para o rotacional. 3. Para derivada parcial temporal de f (x, t), ∂f ∂f (x, t) = . ∂t ∂t 4. Para o gradiente, no ponto x, de f (x, t), gradf = ∇x f (·, t), e analogamente div para a divergência e rot para o rotacional. As rela¸cões entre estas nota¸cões são de grande importância. Sendo v dado pela eq. 2.27 tem-se, respectivamente para f = ψ, onde ψ é um escalar e para f = u, onde u é um vetor: ∂ψ ∂u u˙ = ψ˙ = + (gradψ) · v, + (gradu)v e (2.31) ∂t ∂t Gradψ = F T gradψ, Gradu = (gradu)F. (2.32) Nas eqs. 2.31, a derivada parcial ∂f /∂t informa a tendência de varia¸cão temporal de f no ponto x, considerando nula a tendência de altera¸cão temporal na localiza¸cão deste ponto. Esta é, portanto, a derivada a que se refere o item 3. Logo, ∂f /∂t 6= 0 indica que f apresenta a dependência temporal direta citada no primeiro parágrafo desta subse¸cão. Por outro lado, a derivada u ńica f˙ informa a tendência de varia¸cão temporal de f no ponto x, levando porém em considera¸cão a tendência de altera¸cão temporal na localiza¸cão

deste ponto, dada pelos segundos termos dos segundos membros das eqs. 2.31. Por esta razão, f˙ é a derivada a que se refere o item 1, que engloba a tendência total de varia¸cão de f com t, neste instante, para um determinado ponto fixo do corpo B. O tensor de segunda ordem Fκ (X, t) = ∇ χκ (·, t) (eq. 2.29), ao ser aplicado a um X vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸cão referencial, produz um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸cão corrente (eq. 2.7 e 2.8). Por outro lado, o tensor de segunda ordem Fκ−1 (x, t) = ∇x χ−1 κ (·, t), ao ser aplicado a um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸cão corrente, produz um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸cão referencial. O tensor FκT (X, t), embora ainda relacionado a ∇ χκ (·, t) assim X como Fκ (X, t), por causa da transposi¸cão é aplicado a um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸cão corrente e produz um vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos da imagem da configura¸cão referencial (ao contrário de Fκ−1 (x, t), o tensor FκT (X, t) não se relaciona a ∇x χ−1 κ (·, t)). Por isto, enquanto que F pode ser aplicado a um vetor diferen¸ca cujos componentes contravariantes se refiram à base natural (cα (X))3α=1 (eq. 2.6), F T pode ser aplicado a um vetor cujos componentes covariantes se refiram à base natural (ci (x))3i=1 , com é o caso do vetor gradψ = ∇x ψ(·, t), o que esclarece alguns aspectos fundamentais da primeira entre as eqs. 2.32. Quanto à segunda equa¸cão, se o tensor de segunda ordem gradu for fornecido j=3 k=3 k=3 j k na base mista (cj (x) ⊗ ck (x))j=3 j=1 k=1 , ou na base covariante (c (x) ⊗ c (x))j=1 k=1 , a composi¸cão (gradu)F fornecerá o resultado indicado. Para o caso espec´ıfico em que u = v tem-se, usando a eq. 2.27, o gradiente material da velocidade, ∂ ∂ ∂ Gradv = ∇ v(·, t) = ∇ χκ (·, t) = ∇ χκ (·, t) = F (X, t) = F˙ , X X ∂t ∂t X ∂t onde foi usada a eq. 2.29 na pen´ ultima igualdade. Logo, Gradv = F˙

(2.33)

e, usando a segunda eq. 2.32, tem-se (gradv)F = F˙ , ou, para o gradiente espacial da velocidade , gradv = F˙ F −1 . (2.34) Re-escrevendo a eq. 2.26, x = χκ (X, t), sob a forma x = x(X, t) (em analogia a f = ˙ f (X, t)) e usando a simbologia apresentada no item 1, eq. 2.27 mostra que v = x. ¨ . Portanto, usando a segunda entre as eqs. 2.31 Analogamente, obtém-se a = v˙ = x chega-se à expressão da acelera¸c˜ ao em fun¸c˜ ao da velocidade, a=

∂v + (gradv)v. ∂t

(2.35)

Serão a seguir apresentadas, sem demonstra¸cão, duas u ´teis equa¸cões complementares: GradJ = J div(F T ) Div(JF −T ) = 0

div(J −1 F T ) = 0;

gradJ = −J Div(F −T ).

e 98

(2.36) (2.37)

Um tipo importante de movimento, definido por meio da eq. 2.26, ´e dado por χκ (X, t) = x◦ (t) + Q(t)(X − X◦ ),

(2.38)

onde Q(t) é um tensor ortogonal dependente do tempo. Para este movimento demonstrase que ¨◦ + w ˙ 0 × (x − x◦ ) + w0 × (w0 × (x − x◦ )), v = x˙ ◦ + w0 × (x − x◦ ) e a = x onde a velocidade angular w0 é definida como o vetor axial do tensor antissimétrico QQ˙ T , ou seja, w0 =< QQ˙ T >. Demonstra-se, também, que neste movimento a forma (comprimento e ângulo) de qualquer elemento material não se altera. Por isto, ele é chamado movimento r´ıgido. Outro tipo importante é o movimento harmˆ onico, descrito pelo campo de acelera¸cão, na descri¸cão espacial, a(x, t) = k 2 xex + k 2 yey ,

(2.39)

onde (ex , ey ) ´e a base natural do sistema de coordenadas cartesianas bidimensional.

2.5 2.5.1

Deforma¸c˜ ao Relativa Conceito e Exemplo

A eq. 2.25 definiu o movimento por meio da fun¸cão espacial-temporal χ : B × < → E, tal que x = χ(X, t), ou x0 = χ(X, τ ), (2.40) onde a variável x foi substitu´ıda por x0 e a variável t foi substitu´ıda τ . Esta substitui¸cão foi feita para permitir que a fun¸cão espacial χ(·, τ ) , que é configura¸cão no instante τ , seja comparada com a configura¸cão correspondente a um instante referencial t, χ(·, t), embora κ : B → E, tal que X = κ(X), continue sendo uma configura¸cão referencial atemporal. Deseja-se, portanto, comparar configura¸cões em momentos τ anteriores e posteriores ao instante t (o qual pode, por exemplo, ser o instante corrente). Assim como as eqs. 2.26 representam o movimento por meio da fun¸cão χκ : Bκ × < → E, que é uma sequência temporal cont´ınua de deforma¸cões em rela¸cão à configura¸cão referencial atemporal κ, pode-se representar o movimento por meio da sequência temporal cont´ınua de deforma¸c˜ oes relativas χt : Bt × < → E,

tal que x0 = χt (x, τ ) = χ(χ−1 (x, t), τ ) = χκ (χ−1 κ (x, t), τ ),

(2.41)

onde a fun¸cão espacial χt (·, τ ) = χ(·, τ ) ◦ χ−1 (·, t) = χκ (·, τ ) ◦ χ−1 e a κ (·, t) : Bt → Bτ ´ deforma¸cão relativa no instante τ . Em analogia ao gradiente de deforma¸cão apresentado pela eq. 2.29, define-se o tensor de segunda ordem gradiente de deforma¸c˜ ao relativa, Ft (x, τ ) = ∇x χt (·, τ ) ,

(2.42)

que é o gradiente de deforma¸cão da configura¸cão χ(·, τ ), referente ao instante τ , em rela¸cão à configura¸cão χ(·, t), relativa ao momento t, no ponto x da imagem desta u ´ltima configura¸cão. Evidentemente, Ft (x, t) = 1 . (2.43) 99

Por outro lado, de acordo com a eq. 2.29 tem-se Fκ (X, t) = ∇ χκ (X, t) e Fκ (X, τ ) = X ∇ χκ (X, τ ). Usando estas duas express˜oes e a eq. 2.42 obt´em-se X Fκ (X, τ ) = Ft (x, τ )Fκ (X, t) .

(2.44)

Por exemplo, seja um movimento no plano x-y, dado em rela¸cão à configura¸cão referencial κ (eqs. 2.26) e considerando-se, para todas as configura¸cões, o sistema de coordenadas cartesianas. Considere o movimento espec´ıfico dado por x = χκ (X, Y, t) = (X et , Y (t + 1)) , onde X = (X, Y ).

(2.45)

Em termos de fun¸cões de deforma¸cão análogas à eq. 2.3, tem-se x = χxκ (X, Y, t) = X et e y = χyκ (X, Y, t) = Y (t + 1), logo X = x e−t e Y = y/(t + 1), ou −t X = χ−1 κ (x, y, t) = (x e ,

y ). t+1

Usando a eq. 2.41, calcula-se a deforma¸c˜ao relativa −t x0 = χκ (χ−1 κ (x, y, t), τ ) = χκ (x e ,

y τ +1 , τ ) = (x eτ −t , y) . t+1 t+1

Aplicando as eqs. 2.6 a este caso especial tem-se F = F xX ex ⊗ ex + F xY ex ⊗ ey + F yX ey ⊗ ex + F yY ey ⊗ ey , onde (ex , ey ) ´e a base natural do sistema de coordenadas cartesianas e F xX = ∂χxκ /∂X = et , F xY = ∂χxκ /∂Y = 0, F yX = ∂χyκ /∂X = 0 e F yY = ∂χyκ /∂Y = t+1. Portanto, Fκ (t) = et ex ⊗ ex + (t + 1) ey ⊗ ey . Por outro lado, aplicando a eq. 2.42 a este caso especial tem-se, considerando a pen´ ultima equa¸c˜ao destacada, Ft (τ ) =

∂( τ +1 y) ∂( τ +1 y) ∂(x eτ −t ) ∂(x eτ −t ) ex ⊗ ex + ex ⊗ ey + t+1 ey ⊗ ex + t+1 ey ⊗ ey , ∂x ∂y ∂x ∂y

τ +1 ey ⊗ ey . t+1 Evidentemente, a expressão de Fκ (τ ) é obtida substituindo-se t por τ na expressão de Fκ (t). Fazendo τ = t na expressão de Ft (τ ), percebe-se que a eq. 2.43 é satisfeita. Sustituindo-se as expressões de Fκ (τ ), Ft (τ ) e Fκ (t) na eq. 2.44, percebe-se que ela, também, é satisfeita. Na subse¸cão 2.4.1 foi informado que o caminho ou trajetória é o conjunto das imagens x = χκ (X, t) da fun¸cão temporal χκ (X, ·) : < → E. Logo, para este caso espec´ıfico o caminho é dado pela eq. 2.45, considerando-se fixo o ponto X. Mas, para X 6= 0, o tempo pode ser eliminado nas fun¸cões de deforma¸cão x = X et e y = Y (t + 1), obtendo-se ´ltima equa¸cão fornece y = Y (ln Xx + 1). Logo, para o ponto fixo X com X 6= 0, a u a coordenada y referente a cada coordenada x e v.v., evidentemente correspondendo x = (x, y) a algum instante t não diretamente explicitado pela equa¸cão. Mas, se X = 0, então x = 0 e y = Y (t + 1), sendo portanto imposs´ıvel eliminar a variável t. As fun¸cões de deforma¸cão ainda mostram que, neste caso especial, a configura¸cão referencial é a Ft (τ ) = eτ −t ex ⊗ ex +

100

configura¸c˜ao corrente no instante t = 0. Como outro exemplo, demonstra-se que o campo de velocidades v(x, t) = u(y) ex , (2.46) denominado escoamento newtoniano, apresenta o gradiente de deforma¸c˜ao relativa Ft (τ ) = 1 + (τ − t)

2.5.2

du ex ⊗ ey . dy

(2.47)

Velocidade de Altera¸c˜ ao da Tendˆ encia de Deforma¸c˜ ao

A eq. 2.29 define o gradiente de deforma¸cão, o qual mede a tendência de deforma¸cão da configura¸cão corrente no instante t, em rela¸cão à configura¸cão referencial, no ponto X da imagem desta u ´ltima. Uma medida da velocidade de altera¸cão desta tendência de deforma¸cão é o valor da derivada temporal material F˙ κ (X, t), no instante t (item 1 da subse¸cão 2.4.2). Mas, de acordo com a eq. 2.33, F˙ κ (X, t) = Gradv, onde Gradv é o gradiente material (item 2 da subse¸cão 2.4.2) da velocidade v, sendo esta u ´ltima definida pela eq. 2.27. Esta equa¸cão mostra que v é a velocidade de altera¸cão, no instante t, da posi¸cão x ocupada pelo ponto material X naquele momento t. Logo, Gradv mede a tendência de modifica¸cão desta velocidade, dentro da imagem da configura¸cão corrente referente ao instante t, em rela¸cão à configura¸cão referencial, no ponto X da imagem desta u ´ltima. A igualdade entre estes dois conceitos, expressa pela eq. 2.33, é matematicamente ∂ ∂ explicada pela troca de ordem de deriva¸cão, ou seja ∂t ∇ χκ (·, t) = ∇ ∂t χκ (·, t). X X Uma análoga igualdade conceitual provém da eq. 2.34, gradv = F˙ κ (X, t)Fκ−1 (X, t). De acordo com o item 4 da subse¸cão 2.4.2, gradv mede a tendência de modifica¸cão espacial da velocidade num ponto x da imagem da configura¸cão corrente, no instante t que corresponde à configura¸cão corrente. Faz-se, portanto, necessário mostrar qual é o significado da composi¸cão de F˙ κ (X, t) com Fκ−1 (X, t). Para isto, considerando o gradiente de deforma¸cão relativa apresentado pela eq. 2.42, pode-se definir L(x, t) =

∂ Ft (x, τ )|τ =t = F˙ t (x, τ )|τ =t = F˙ t (x, t) , ∂τ

(2.48)

onde a segunda igualdade será justificada no próximo parágrafo e ∂ Ft (x, τ )/∂ τ é uma medida da velocidade de altera¸cão, no instante τ , da tendência de deforma¸cão da configura¸cão referente ao instante τ em rela¸cão à configura¸cão corrente no momento t, no ponto x da imagem desta u ´ltima. Portanto, L(x, t) é uma medida da velocidade de altera¸cão, no instante t, da tendência de deforma¸cão da configura¸cão corrente no momento t, em rela¸cão a ela mesma, no ponto x da imagem desta configura¸cão. No in´ıcio da subse¸cão 2.4.2 foi colocado que Fκ (X, t) varia com t apenas devido à

101

altera¸cão temporal de x = χκ (X, t) (eq. 2.25) e, no item 1 daquela subse¸cão, foi mostrado que este fato pode ser simbolizado por F˙ κ (X, t) = ∂Fκ (X, t)/∂t. Analogamente, Ft (x, τ ) varia com τ apenas devido à altera¸cão temporal de x0 = χt (x, τ ) (eq. 2.41). Logo, pela mesma razão que F˙ κ (X, t) = ∂Fκ (X, t)/∂t, tem-se que F˙ t (x, τ ) = ∂ Ft (x, τ )/∂ τ , ou seja, o gradiente local da deforma¸cão relativa é uma fun¸cão u ńica do tempo, o que justifica a segunda igualdade na eq. 2.48. De acordo com a eq. 2.44, Fκ (X, τ ) = Ft (x, τ )Fκ (X, t). Derivando em rela¸cão a τ tem-se, então, F˙ t (τ ) = F˙ (τ )F −1 (t). Mas, de acordo com a eq. 2.34, F˙ (τ ) = (gradv(τ ))F (τ ), logo F˙ t (τ ) = (gradv(τ ))F (τ )F −1 (t). Usando novamente a eq. 2.44, obtém-se F˙ t (τ ) = (gradv(τ ))Ft (τ ). Como Ft (t) = 1 (eq. 2.43), tem-se F˙ t (t) = gradv(t) ou, de acordo com a eq. 2.48, L = gradv .

(2.49)

A eq. 2.49, proveniente da eq. 2.34, indica a igualdade entre as interpreta¸cões conceituais de gradv e de L, ambas apresentadas no parágrafo anterior. Como, de acordo com a subse¸cão 2.1.1, as estruturas referenciais, ou observadores, são de um para um no corpo material β, não apenas o gradiente de deforma¸cão F tem inversa (eq. 2.5), como também existe a transforma¸cão linear inversa do gradiente de deforma¸cão relativa Ft (x, τ ), definido pela eq. 2.42. Portanto, de acordo com o teorema da decomposi¸cão polar 1.2.10, há dois tensores simétricos (defini¸cão de tensores simétrico e antissimétrico 1.2.18) de defini¸cão positiva (defini¸cão de tensor de defini¸cão positiva, negativa e semi-defini¸cão 1.2.43), Ut e Vt e um tensor ortogonal (defini¸cão de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30), Rt , determinados de modo u ńico a partir de Ft , tais que Ft = Rt Ut = Vt Rt ,

Ut =

FtT Ft

Vt =

Rt Ut RtT

Ft FtT

e Rt = Ft Ut−1 , (2.50)

analogamente ao definido para a decomposi¸cão polar do tensor de deforma¸cão F (eqs. 2.11). Continuando a analogia, Ut é o tensor direito de estiramento relativo, Vt é o tensor esquerdo de estiramento relativo e Rt é o tensor de rota¸c˜ ao relativa. As interpreta¸cões f´ısicas destes tensores também são análogas às então efetuadas, valendo comentários e equa¸cões análogas, inclusive no que se refere à defini¸cão dos tensores de tra¸c˜ ao relativa de Cauchy-Green direito e esquerdo, respectivamente grafados Ct e Bt . Para τ = t, de acordo com a eq. 2.43 tem-se Ft = FtT = 1 . Logo, considerando as eqs. 2.50, Ut (t) = Vt (t) = Rt (t) = 1 . Mantendo x e t constantes e derivando em rela¸cão a τ a primeira entre as eqs. 2.50, obtém-se F˙ t (τ ) = Rt (τ )U˙ t (τ ) + R˙ t (τ )Ut (τ ). Impondo τ = t nesta expressão e usando a u ´ltima expressão destacada, bem como a eq. 2.48, tem-se L(t) = U˙ t (t) + R˙ t (t) .

(2.51)

Como Ut é simétrico tem-se a · Ut (τ )b = b · Ut (τ )a. Como os vetores a e b são arbitrários, eles podem independer de τ , logo o fato de Ut ser simétrico implica em a · U˙ t (τ )b = b · U˙ t (τ )a, o que indica que U˙ t (τ ) é um tensor simétrico. Analogamente, R˙ t (τ ) é um tensor antissimétrico. Portanto, de acordo com o comentário 1.2.46, sobre decomposi¸cão cartesiana, a eq. 2.51 mostra a decomposi¸cão de L(t) em suas partes 102

sim´etrica e antissim´etrica. Logo, definindo o tensor estirante D(t) = U˙ t (t) = DT (t)

(2.52)

W (t) = R˙ t (t) = −W T (t) ,

(2.53)

e o tensor rotativo as eqs. 2.49, 2.51, 2.52 e 2.53 mostram que 1 D = (gradv + gradvT ) 2

1 W = (gradv − gradvT ) . 2

(2.54)

De acordo com a nota¸cão para vetor associado a tensor antissimétrico 1.2.9 e o comentário 1.2.37, sobre propriedades do vetor axial, o vetor axial associado ao tensor antissimétrico W é grafado < W >. Define-se o vetor axial w, chamado vorticidade, tal que w =< −2W >= rotv,

(2.55)

onde a u ´ltima igualdade é devida à defini¸cão de rotacional de campo vetorial 1.3.12. O tensor direito de tra¸cão relativa de Cauchy-Green é dado por Ct (τ ) = FtT (τ )Ft (τ ) ,

(2.56)

em analogia à primeira entre as eq. 2.13. Os tensores de Rivlin-Ericksen, grafados An (x, t), são as n-ésimas derivadas temporais de Ct (τ ) aplicadas ao instante τ = t, An (x, t) =

(n) Ct (x, t)

∂n = n Ct (x, τ )|τ = t , ∂τ

n = 1, 2, 3, . . . .

(2.57)

Para n = 1 tem-se A1 (x, t) = C˙ t (x, t) = F˙ tT (x, t) + F˙ t (x, t) = LT + L , onde a primeira igualdade é justificada da mesma forma que a segunda igualdade na eq. 2.48, a segunda igualdade é obtida usando as eqs. 2.56 e 2.43 e a u ´ltima é devida à eq. 2.48. Usando a eq. 2.49 e a primeira entre as eqs. 2.54, a equa¸cão antes destacada produz A1 = 2D .

(2.58)

Demonstra-se, ainda, que v˙ =

∂v 1 ∂v 1 + grad(v · v) + 2 W v = + grad(v · v) + w × v ∂t 2 ∂t 2

(2.59)

e que, para o campo de velocidades dado pela eq. 2.46 (escoamento newtoniano), tem-se du A1 = (ex ⊗ ey + ey ⊗ ex ) , dy

du A2 = 2 dy

103

(ey ⊗ ex )(ex ⊗ ey )

e A3 = 0. (2.60)

2.6 2.6.1

Mudan¸ca de Estrutura Referencial Transforma¸ c˜ ao Euclideana

Conforme apresentado na subse¸cão 2.1.1, uma estrutura referencial de Newton, φ, é uma fun¸cão que, ao ser aplicada a um conjunto corpo-instante pertencente a W, produz uma imagem em E × <, logo φ : W → E × <. Como φ é uma fun¸cão de um para um em B, o tempo é uma variável independente tanto em W quanto em E × <. Porém, diferentes estruturas referenciais de Newton produzem imagens diferentes do mesmo conjunto corpoinstante, seja em E como em <. Mas, se as unidades de medida de espa¸co e de tempo forem respectivamente as mesmas para todos os observadores de Newton, 1. as distâncias e os ângulos das imagens do corpo em E, referentes a um mesmo instante em W, serão os mesmos e 2. para todo intervalo temporal em W, a sua imagem em < independerá da estrutura referencial escolhida. Estas duas condi¸cões serão impostas, ao se mudar de uma estrutura referencial de Newton para outra. Sejam φ e φ∗ duas estruturas referenciais de Newton e seja ∗ = φ∗ ◦ φ−1 : E × < → E × < ,

tal que

∗ : (x, t) 7→ (x∗ , t∗ ),

uma mudan¸ca de φ para φ∗ . A mudan¸ca de estrutura referencial de Newton mais geral poss´ıvel, mas que obedece à imposi¸cão colocada no parágrafo anterior, é uma transforma¸cão r´ıgida dependente do tempo chamada transforma¸c˜ ao euclideana, definida por x∗ = Q(t)(x − x◦ ) + c(t) e t∗ = t + a , (2.61) onde a ∈ <, (x◦ , c(t)) ∈ E e Q(t) ∈ O(V ), sendo, conforme a nota¸cão para grupos especiais 1.2.8, O(V ) o s´ımbolo do grupo ortogonal do espa¸co vetorial V , o que indica que Q(t) é um tensor ortogonal de segunda ordem. Note que x◦ é um ponto referencial para x, enquanto que c(t) é um ponto referencial para x∗ e perceba que a eq. 2.61 define x∗ como uma fun¸cão de x e t, enquanto que t∗ é definido como fun¸cão apenas de t. As eqs. 2.61 indicam que, se em determinado momento t forem registrados os pontos x1 e x2 pelo observador φ, logo for registrado o vetor u = x2 − x1 , no correspondente momento t∗ será registrado o vetor u∗ = x∗2 − x∗1 pelo observador φ∗ , sendo u∗ = Q(t)u .

(2.62)

De modo análogo, pode-se definir os vetores v = x4 − x3 e v∗ = x∗4 − x∗3 . De acordo com a defini¸cão de tensor ortogonal de segunda ordem 1.2.30, Q(t)u · Q(t)v = u · v. Por outro lado, considerando o segundo item comentário 1.2.33, sobre propriedades de tensor ortogonal, |Q(t)u| = |u| e |Q(t)v| = |v|. Estas três u ´ltimas igualdades mostram que a primeira entre as eqs. 2.61 garante que os dois observadores registram os mesmos comprimentos e ângulos, enquanto que a segunda garante os mesmos intervalos temporais. Se a configura¸cão referencial, κ, coincidir com a configura¸cão corrente de B registrada pela estrutura referencial φ no instante t, ter-se-á X = x e X◦ = x◦ . Neste caso, a diferen¸ca χκ (X, t) − x◦ (t), na eq. 2.38, coincidirá com a diferen¸ca x∗ − c(t), na primeira entre as eqs. 2.61. Portanto, na transforma¸cão euclideana o registro feito pela estrutura 104

referencial φ∗ , no momento t∗ = t + a, é o resultado da aplica¸cão de um movimento r´ıgido ao registro efetuado pela estrutura referencial φ, no instante t, movimento este que depende de t. Ou seja, coerentemente com o que foi colocado no primeiro parágrafo, os dois observadores registram exatamente os mesmos comprimentos e ângulos, mas os percebem em locais do espa¸co e em instantes diferentes, sendo fixa a diferen¸ca temporal, enquanto que a diferen¸ca espacial depende do instante (t ou t∗ de acordo com o observador) em que a observa¸cão é efetuada. De acordo com a defini¸cão de tensor de ordem k 1.2.20, existe o espa¸co de produto n tensorial ⊗ V , no qual se encontram os tensores de ordem n. Define-se a transforma¸cão linear Q∗ , a qual é denominada fun¸c˜ ao linear induzida, no espa¸co de produto tensorial n ⊗ V , pela rota¸cão Q(t) da transforma¸cão euclideana entre as estruturas referenciais (prin n meira entre as eqs. 2.61). A fun¸cão linear induzida Q∗ : ⊗ V →⊗ V é uma transforma¸cão n linear que, ao ser aplicada a um tensor de ordem n do espa¸co de produto tensorial ⊗ V , transforma-o em outro tensor de ordem n pertencente ao mesmo espa¸co, sendo os dois tensores respectivamente os registros que as estruturas referenciais φ e φ∗ , onde a segunda é uma transforma¸cão euclideana da primeira, efetuam para um tensor de ordem n definido pelos mesmos pontos de B. Por exemplo, para n = 1 tem-se Q∗ : V → V , ou seja, a fun¸cão linear induzida, ao ser aplicada a um vetor do espa¸co vetorial V , transforma-o em outro vetor pertencente ao mesmo espa¸co. A eq. 2.62 mostra então que, neste caso, Q∗ [u] = Qu .

(2.63)

Assim como, por causa da eq. 2.62, à transforma¸cão linear Q∗ : V → V corresponde a eq. n n 2.63, por causa da mesma eq. 2.62 à transforma¸cão linear Q∗ : ⊗ V →⊗ V corresponde Q∗ [u1 ⊗ u2 ⊗ . . . ⊗ un−1 ⊗ un ] = Qu1 ⊗ Qu2 ⊗ . . . ⊗ Qun−1 ⊗ Qun ,

(2.64)

sendo a eq. 2.63 uma forma particular da eq. 2.64 para n = 1, ou seja, para Q∗ : V → V . Para n = 2, tem-se Q∗ : V ⊗ V → V ⊗ V tal que, de acordo com a eq. 2.64, Q∗ [u1 ⊗ u2 ] = Qu1 ⊗ Qu2 = Q(u1 ⊗ u2 )QT , devendo-se a u ´ltima igualdade aos dois itens do comentário 2.18, sobre composi¸cão com tensor simples. De acordo com o comentário 2.8, sobre decomposi¸cão de transforma¸cão linear, toda transforma¸cão linear entre espa¸cos vetoriais é uma combina¸cão linear de tensores simples. Portanto, o tensor de segunda ordem T ∈ V ⊗ V é uma combina¸cão linear de tensores simples u1 ⊗ u2 , o que implica em T ∗ = Q∗ [T ] = QT QT

ou Ti∗1 i2 = Qi1j1 Tj1 j2 (QT )j2 i2 = Qi1j1 Qi2j2 Tj1 j2 ,

(2.65)

onde a segunda equa¸cão está escrita em termos dos componentes covariantes de T ∗ e T , logo i1 , i2 , j1 , j2 = 1, . . . , d, sendo d a dimensão de V . Note que a u ´ltima igualdade da segunda equa¸cão é devida ao uso do comentário 1.2.16, sobre transposi¸cão de tensor de segunda ordem. n De um modo geral, para n > 0 e M ∈ ⊗ V tem-se M ∗ = Q∗ [M ]

Mi∗1 ... in = Qi1j1 . . . Qinjn Mj1 ... jn , 105

(2.66)

onde a segunda equa¸cão, em termos de componentes, é uma generaliza¸cão da eq. 2.65. A segunda, entre as eqs. 2.66, evidentemente indica que, para um espa¸co vetorial V de dimensão três, pode-se efetuar inicialmente a soma Qin1 Mj1 ... jn−1 1 + Qin2 Mj1 ... jn−1 2 + Qin3 Mj1 ... jn−1 3 = (QM )j1 ... jn−1 in , seguida da soma 1 2 3 Qin−1 (QM )j1 ... jn−2 1 in + Qin−1 (QM )j1 ... jn−2 2 in + Qin−1 (QM )j1 ... jn−2 3 in =

(Q2 M )j1 ... jn−2 in−1 in e assim sucessivamente até à soma Qi11 (Qn−1 M )1 i2 ,... in + Qi12 (Qn−1 M )2 i2 ,... in + Qi13 (Qn−1 M )3 i2 ,... in = (Qn M )i1 ... in = Mi∗1 ... in , porque cada um dos ´ındices i1 . . . in e j1 . . . jn assume os valores 1, 2 e 3, podendo o tensor tridimensional de segunda ordem Q(t) ser representado por uma matriz quadrada de dimensão três. Por outro lado, para n = 0 a eq. 2.61 mostra que, se um escalar for aplicado ao ponto x, o mesmo escalar será aplicado a x∗ . Logo, para n = 0 tem-se Q∗ : < → < e Q∗ = 1. (2.67) As eqs. 2.66 (n > 0) e 2.67 (n = 0) compõem a defini¸cão matemática completa da fun¸cão linear induzida Q∗ . Se Φ for o conjunto de todas as estruturas referenciais, pode-se definir a fun¸cão n

f : Φ →⊗ V , denominada observ´ avel, cujo argumento, φ ∈ Φ, é alguma estrutura referencial e cuja n imagem, f (φ) ∈ ⊗ V , é o valor do observável f registrado pela estrutura φ. Note que esta defini¸cão de observável considera que todas as imagens f (φ) perten¸cam ao mesmo espa¸co tensorial de ordem n, qualquer que seja a estrutura referencial escolhida. Isto é uma generaliza¸cão do fato de que, para uma transforma¸cão euclideana, tanto o argumento como a imagem de Q∗ pertencem, sempre, ao mesmo espa¸co de ordem n. O conjunto de todas as transforma¸cões euclideanas é chamado classe euclideana, representada por Σ. Seja Ψ uma sub-classe pertencente a Σ. O observável f é dito indiferente à estrutura referencial em Ψ, ou invariante à altera¸cão de estrutura referencial em Ψ, se f (φ∗ ) = Q∗ f (φ) (2.68) sempre que a mudan¸ca entre estruturas referenciais pertencer a Ψ. Em palavras, o n observável f é dito indiferente à estrutura referencial em Ψ se suas imagens em ⊗ V se transformarem uma na outra de modo coerente com a eq. 2.61. Se Ψ = Σ diz-se que f é indiferente à estrutura referencial, ou invariante à mudan¸ca de estrutura referencial, ou objetivo, sob transforma¸cão euclideana. Especificamente, um escalar s, um vetor u e um tensor de segunda ordem T são objetivos quando s∗ (t∗ ) = s(t) ,

u∗ (t∗ ) = Q(t)u(t)

T ∗ (t∗ ) = Q(t)T (t)QT (t).

(2.69)

Como exemplo de grandezas objetivas temos escalares, vetores e tensores associados a pontos do corpo B, conforme considerado para a dedu¸cão da defini¸cão matemática completa da fun¸cão linear induzida Q∗ . Como exemplo de grandezas não objetivas, pode-se citar grandezas relacionadas ao movimento, conforme será mostrado na próxima subse¸cão. Pode-se, também, mostrar que não são objetivos os vetores axiais associados a tensores antissimétricos objetivos. 106

2.6.2

Transforma¸ c˜ oes Galileiana e R´ıgida Independente de t

De acordo com a subse¸cão 2.4.1, o movimento é dado pela fun¸cão χ(·, ·), a qual é uma sequência temporal de configura¸cões do corpo B tal que x = χ(X, t), onde t ∈ < , X ∈ B e x ∈ E. De acordo com a subse¸cão 2.6.1, seja ∗ uma mudan¸ca de estrutura referencial de φ para φ∗ . Na nova estrutura referencial o movimento é representado por χ∗ (·, ·), tal que x∗ = χ∗ (X, t∗ ), onde t∗ ∈ < , X ∈ B e x∗ ∈ E. A eq. 2.61 mostra, então, que χ∗ (X, t∗ ) = Q(t)(χ(X, t) − x◦ ) + c(t)

t∗ = t + a .

(2.70)

Note que a eq. 2.70 pressupõe que o tempo, em W, seja definido a menos de uma constante aditiva. De fato, os argumentos de χ e χ∗ são conjuntos ponto corporal-instante que diferem entre si apenas pela constante aditiva temporal permitida pela transforma¸cão euclideana. Em outras palavras, cada estrutura referencial pressupõe que seus registros temporais coincidam com os correspondentes valores do tempo em W e todas as estruturas referenciais consideradas são interligáveis por meio de transforma¸cão euclideana. As eqs. 2.27 e 2.28 respectivamente definiram os vetores velocidade e acelera¸cão como derivadas parciais temporais referentes a um ponto fixo da imagem da configura¸cão referencial, porque esta era considerada u ńica. Porém, na próxima subse¸cão será considerada a altera¸cão da configura¸cão referencial causada por uma altera¸cão de estrutura referencial. Não sendo u ńica a configura¸cão referencial, convém propor defini¸cões mais fundamentais para os vetores velocidade e acelera¸cão, ou seja, convém considerar um ponto fixo do corpo B, ao invés de um ponto fixo da imagem da configura¸cão referencial. Por outro lado, de acordo com a subse¸cão 2.4.2, na descri¸cão material esta derivada parcial pode ˙ o que também será feito quando o ponto fixo pertencer ao corpo B. ser anotada x, Calculando a derivada parcial da eq. 2.70 tem-se, então, x˙ ∗ =

∂χ∗ (X, t∗ ) ˙ − x◦ ) + Qx˙ + c˙ = Q(x ∂t∗

x˙ ∗ − Qx˙ = Ω (x∗ − c) + c˙ ,

(2.71)

˙ − x◦ ) = QQ ˙ T Q(x − x◦ ) = QQ ˙ T (x∗ − c) = Ω (x∗ − c), sendo a primeira porque Q(x igualdade devida ao fato de Q ser ortogonal, a segunda devido à aplica¸cão da eq. 2.70 e a terceira à defini¸cão T ˙ Ω (t) = Q(t)Q (t), (2.72) onde Ω (t) é denominado o tensor velocidade angular de φ∗ em rela¸cão a φ. Derivando T T T ˙ ˙ ˙ Q(t)QT (t) = 1 obtém-se Q(t)Q (t) + Q(t)Q˙ T (t) = 0 ou Q(t)Q (t) + (Q(t)Q (t))T = 0 ou, usando a eq. 2.72, Ω T = −Ω , (2.73) logo Ω é antissimétrico. Derivando a segunda entre as duas eqs. 2.71 obtém-se ¨ ∗ − Q¨ ˙ + Ω˙ (x∗ − c) + c¨ . x x = Q˙ x˙ + Ω (x˙ ∗ − c) ˙ T Qx˙ = Ω (x˙ ∗ − Ω (x∗ − c) − c), ˙ onde a primeira igualdade é devida à Tem-se Q˙ x˙ = QQ ortogonalidade de Q e a segunda é devida, conjuntamente, à eq. 2.72 e à segunda entre ˙ − Ω 2 (x∗ − c) na u as eqs. 2.71. Substituindo Q˙ x˙ = Ω (x˙ ∗ − c) ´ltima equa¸cão destacada obtém-se ¨ ∗ − Q¨ ˙ + (Ω˙ − Ω 2 )(x∗ − c) . x x = c¨ + 2Ω (x˙ ∗ − c) (2.74) 107

Note que, de acordo com a segunda entre as eqs. 2.69, tanto a segunda entre as eqs. 2.71, quanto a eq. 2.74, deveriam apresentar o segundo membro nulo caso, respectivamente, a velocidade e a acelera¸cão fossem vetores objetivos. Mas a eq. 2.72 mostra que, se Q(t) for uma fun¸cão constante do tempo, Ω = 0. Se, além disto, c(t) for uma fun¸cão linear no tempo, a eq. 2.74 mostra que a acelera¸cão será um tensor objetivo. Tal mudan¸ca de estrutura referencial é chamada transforma¸c˜ ao galileiana, dada por x∗ = Q(x − x◦ ) + Vt + c◦

t∗ = t + a ,

(2.75)

onde a ∈ <, (x◦ , c◦ ) ∈ E, Q ∈ O(V ) e V ∈ V . Além disto, a, x◦ , c◦ , Q e V são, todas elas, fun¸cões constantes do tempo. Porém, embora a acelera¸cão seja indiferente à mudan¸ca galileiana de estrutura referencial, a segunda entre as eqs. 2.71 mostra que a velocidade não é objetiva nem em rela¸cão à transforma¸cão galileiana. De fato, a velocidade apenas é indiferente à transforma¸c˜ ao r´ıgida independente do tempo entre estruturas referenciais, definida por x∗ = Q(x − x◦ ) + c◦

t∗ = t + a ,

(2.76)

onde valem para a, x◦ , c◦ e Q os mesmos coment´arios feitos para o caso da transforma¸c˜ao galileiana.

2.6.3

Aplica¸ c˜ oes para Grandezas Cinem´ aticas

A configura¸cão referencial, κ, correspondente à estrutura referencial φ é grafada κφ e coincide com a configura¸cão corrente de B registrada pela estrutura referencial φ no instante t◦ . Tem-se, então, X = κφ (X) = χ(X, t◦ )

X∗ = κφ∗ (X) = χ∗ (X, t∗◦ ).

(2.77)

Mas, de acordo com a primeira entre as eqs. 2.70, χ∗ (X, t∗◦ ) = Q(t◦ )(χ(X, t◦ ) − x◦ ) + c(t◦ ) ,

logo X∗ = Q(t◦ )(X − x◦ ) + c(t◦ ).

Fazendo K = Q(t◦ ) um tensor ortogonal de segunda ordem e c◦ = c(t◦ ) um ponto, ambos independentes de t, obtém-se a expressão, para a transforma¸cão euclideana de um ponto da imagem da configura¸cão referencial, X∗ = κφ∗ (κ−1 φ (X)) = K(X − x◦ ) + c◦ .

(2.78)

Note que a eq. 2.78 implica em que, definida a configura¸cão referencial κφ , estão definidas as configura¸cões referenciais correspondente a todas as estruturas referenciais obtidas por transforma¸cão euclideana de φ. De acordo com as eqs. 2.26, em termos de deforma¸cões o movimento, nas duas estruturas referenciais, pode ser respectivamente representado por χκ (·, ·), logo x = χκ (X, t) e χ∗κ (·, ·), logo x∗ = χ∗κ (X∗ , t∗ ). Portanto, usando-se a primeira entre as duas eqs. 2.61 tem-se χ∗κ (X∗ , t∗ ) = Q(t)(χκ (X, t) − x◦ ) + c(t) .

108

Definindo Fκ∗ (X∗ , t∗ ) = ∇

χ∗ (·, t∗ ) em analogia a Fκ (X, t) = ∇ χκ (·, t) (eq. 2.29), conX X∗ κ −1 siderando que ∇ (κφ∗ (κφ (·))) = K de acordo com a eq. 2.78 e lembrando que K T = X K −1 , a aplica¸cão de ∇ à u ´ltima equa¸cão destacada produz, por meio do uso em seu priX −1 ∗ ∗ ∗ meiro membro da expressão χ∗κ (X∗ , t∗ ) = χ∗κ (κφ∗ (κ−1 φ (X)), t ), logo ∇ χκ (κφ∗ (κφ (·)), t ) X = ∇ ∗ χ∗κ (·, t∗ )∇ (κφ∗ (κ−1 ario 1.3.5, sobre diferenφ (·))), deduzida a partir do coment´ X X cia¸cão em cadeia, Fκ∗ (X∗ , t∗ ) = Q(t)Fκ (X, t)K T , ou, simplificadamente, F ∗ = QF K T .

(2.79)

Comparando a eq. 2.79 com a terceira entre as eqs. 2.69 percebe-se que o gradiente de deforma¸cão não é um tensor de segunda ordem objetivo, em rela¸cão à transforma¸cão euclideana. De acordo com o teorema 1.2.10 (decomposi¸cão polar), F = RU = V R e F ∗ = R∗ U ∗ = V ∗ R∗ , sendo V , U , V ∗ e U ∗ bem determinados, simétricos e de defini¸cão positiva, enquanto que R e R∗ são bem determinados e ortogonais (veja as eqs. 2.11). A eq. 2.79 mostra, então, que R∗ U ∗ = F ∗ = QRU K T = QRK T KU K T

e V ∗ R∗ = F ∗ = QV RK T = QV QT QRK T ,

logo R∗ = QRK T ,

U ∗ = KU K T

V ∗ = QV QT .

(2.80)

Porque as eqs. 2.13 mostram que C = U 2 e B = V 2 , tem-se tamb´em que C ∗ = KCK T

B ∗ = QBQT .

(2.81)

Comparando as eqs. 2.80 e 2.81 com a terceira entre as eqs. 2.69 percebe-se que o tensor de rota¸cão R, o tensor de estiramento direito U e o tensor direito de Cauchy-Green C não são tensores de segunda ordem objetivos, em rela¸cão à transforma¸cão euclideana, enquanto que o tensor de estiramento esquerdo V e tensor esquerdo de Cauchy-Green B são objetivos em rela¸cão a esta transforma¸cão. Derivando a eq. 2.79 em rela¸cão ao tempo obtém-se ˙ KT . F˙ ∗ = QF˙ K T + QF Considerando as eqs. 2.34 e 2.49 tem-se F˙ = LF , que substitu´ıdo na u ´ltima equa¸cão destacada produz ˙ K T = QLQT QF K T + QQ ˙ T QF K T = QLQT F ∗ + QQ ˙ T F ∗, L∗ F ∗ = QLF K T + QF devendo-se a u ´ltima igualdade à eq. 2.79. Pós-multiplicando a u ´ltima equa¸cão destacada ∗ −1 por (F ) e usando a eq. 2.72 obtém-se, então, L∗ = QLQT + Ω .

(2.82)

Considerando a decomposi¸cão de L em sua parte simétrica D (tensor estirante, eq. 2.52) e antissimétrica W (tensor rotativo, eq. 2.53), tem-se L = D + W (eq. 2.51), portanto a eq. 2.82 pode ser escrita D∗ + W ∗ = Q(D + W )QT + Ω 109

de onde, separando os termos simétricos e antissimétricos (a eq. 2.73 mostra que Ω é antissimétrico), obtém-se D∗ = QDQT

W ∗ = QW QT + Ω .

(2.83)

Portanto, a terceira entre as eqs. 2.69 mostra que, enquanto que os tensores gradiente espacial da velocidade L e rotativo W não são objetivos em rela¸cão a uma transforma¸cão euclideana, o tensor estirante D é objetivo em rela¸cão a esta transforma¸cão. Seja u(x, t) um campo vetorial objetivo, em rela¸cão à transforma¸cão euclideana. De acordo com a segunda entre as eqs. 2.69 tem-se, então, u∗ (x∗ , t∗ ) = Q(t)u(x, t).

(2.84)

Lembrando que, de acordo com o in´ıcio da subse¸cão 2.6.1, ∗ : (x, t) 7→ (x∗ , t∗ ), tem-se u∗ (x∗ , t∗ ) = u∗ (∗(x, t)), logo ∇x u∗ (∗(·, t)) = ∇x∗ u∗ (·, t∗ )∇x ∗ (·, t) = ∇x∗ u∗ (·, t∗ )Q(t) onde, para a pen´ ultima igualdade, foi utilizado o comentário 1.3.5, sobre diferencia¸cão em cadeia, enquanto que para a u ´ltima foi usada a primeira entre as eqs. 2.61. Logo, ∇x u∗ (∗(·, t)) = ∇x∗ u∗ (·, t∗ )Q(t). Por outro lado, aplicando ∇x à eq. 2.84 tem-se ∇x u∗ (∗(·, t)) = Q(t)∇x u(·, t) e, igualando os segundos membros das duas u ´ltimas equa¸cões destacadas, obtém-se ∇x∗ u∗ (·, t∗ ) = Q(t)∇x u(·, t)QT (t),

ou (gradu)∗ = Q(gradu)QT .

(2.85)

Portanto, se u(x, t) for um campo vetorial objetivo, gradu será um campo tensorial de segunda ordem objetivo. Analogamente, demonstra-se que, se f for um campo tensorial objetivo de grau n, então gradf será um campo tensorial objetivo de grau n + 1. Mas a eq. 2.84 mostra que a derivada ∂∂tu não é objetiva. Por outro lado, reescrevendo a eq. 2.84 na configura¸cão referencial, u∗ (X∗ , t∗ ) = Q(t)u(X, t) e calculando tanto a derivada temporal, quanto o gradiente em rela¸cão a X, obtém-se ˙ u˙ ∗ = Qu˙ + Qu e (Gradu)∗ = Q(Gradu)K T , (2.86) onde ∇ (κφ∗ (κ−1 φ (·))) = K, de acordo com a eq. 2.78. Portanto, embora u(X, t) seja X um vetor objetivo em rela¸cão à transforma¸cão euclideana, tanto a sua derivada temporal ˙ quanto o tensor de segunda ordem Gradu, não são objetivos material, que é o vetor u, em rela¸cão a esta transforma¸cão. Seja, agora, um campo escalar objetivo ψ, logo ψ ∗ = ψ, de acordo com a primeira entre as eqs. 2.69. Obtém-se, de modo análogo ao efetuado para o campo vetorial u, que ψ˙ ∗ = ψ˙ ,

(gradψ)∗ = Q(gradψ)

(Gradψ)∗ = K(Gradψ),

(2.87)

portanto ψ˙ e gradψ são objetivos em rela¸cão à transforma¸cão euclideana, enquanto que Gradψ não é objetivo em rela¸cão a esta transforma¸cão. 110

2.6.4

Derivada Temporal Corotacional

A derivada temporal corotacional de um campo vetorial pode ser definida por 1 ◦ u= lim (u(t + h) − P (t + h)u(t)), h→0 h

(2.88)

onde a transforma¸cão linear P : V → V é o tensor de rota¸cão relativa Rt apresentado na se¸cão 2.5.2, ou seja, onde impõe-se P (τ ) = Rt (x, τ ). Portanto, P (t + h) aplica ao vetor u(t) a tendência de rota¸cão existente no ponto x0 = χ(t) (x, t + h) (eq. 2.41) que corresponde ao instante t + h, relativa ao ponto x no instante t. O vetor resultante é subtra´ıdo do vetor u(t + h). Mas, ao se fazer h → 0, tende-se ao mesmo instante e ponto, ◦ indicando u a velocidade de altera¸cão do vetor u em rela¸cão à sua velocidade de rota¸cão devida ao movimento do corpo. Como Rt (x, t + h) = Rt (x, t) + hR˙ t (x, t) + o(2) (defini¸cão de derivada), Rt (t) = 1 (subse¸cão 2.5.2) e R˙ t (t) = W (t) (eq. 2.53), a eq. 2.88 pode ser escrita 1 ◦ u= lim (u(t + h) − u(t) − hW (t)u(t)) , ou h→0 h ◦

u= u˙ − W u

(2.89)

A eq. 2.89 indica, portanto, que a derivada temporal corotacional de um campo vetorial é a diferen¸ca entre a derivada temporal do campo e o resultado da aplica¸cão do tensor rotativo ao campo vetorial (nesta equa¸cão, evidentemente todos os termos se referem ao mesmo instante e ao mesmo ponto). Se o campo vetorial u for objetivo em rela¸cão à transforma¸cão euclideana, então, de acordo com a segunda entre as eqs. 2.69, ˙ + Qu. ˙ Usando estas duas expressões e a segunda entre u∗ (t∗ ) = Q(t)u(t) e u˙ ∗ = Qu ◦∗ ∗ ∗ ∗ ˙ + Qu˙ − (QW QT + Ω )Qu. De acordo com as eqs. 2.83 obtém-se u = u˙ − W u = Qu ˙ T , logo Ω Qu = QQ ˙ T Qu = Qu, ˙ porque Q é ortogonal. Substituindo a eq. 2.72, Ω = QQ ◦∗ ◦∗ este resultado na expressão de u obtém-se u = Q(u˙ − W u) ou, usando a eq. 2.89, ◦∗

◦

u =Qu . Au ´ltima equa¸cão destacada mostra que, se o campo vetorial u for objetivo em rela¸cão a` transforma¸cão euclideana, sua derivada temporal corotacional também será um campo vetorial objetivo. Define-se, também, a derivada temporal corotacional de um campo tensorial de segunda ordem, S, por meio da equa¸cão ◦ 1 T S (t) = lim (S(t + h) − P (t + h)S(t)P (t + h)) h→0 h

(2.90)

e prova-se que impor P (τ ) = Rt (x, τ ), na eq. 2.90, implica em que ◦

S = S˙ − W S + SW . ◦

A partir da u ´ltima equa¸c˜ao destacada demonstra-se que, se S for objetivo, S ser´a objetivo.

111

Cap´ıtulo 3 Balanceamento 3.1 3.1.1

Equa¸co ˜es de Balanceamento Equa¸ c˜ oes de Balanceamento na Configura¸c˜ ao Corrente

A forma integral para balanceamento cl´ assico na configura¸c˜ ao corrente, de qualquer grandeza material ψ, ´e Z Z d Z ψ dv = Φψ [n] da + σψ dv . dt Pt ∂Pt Pt

(3.1)

Na eq. 3.1: 1. P ⊂ B, sendo Pt a imagem da configura¸cão corrente de P no instante t e impondose que Pt seja regular (o significado de regular é apresentado na defini¸cão de classe C k 1.3.7). O s´ımbolo ∂Pt representa a superf´ıcie que separa Pt do restante de Bt . Note que, embora a região Pt varie com o tempo, ela sempre corresponde aos mesmos pontos materiais X ∈ B, qualquer que seja o instante t, analogamente ocorrendo com ∂Pt . Por isto, Pt e ∂Pt são respectivamente denominadas imagens da configura¸cão corrente de uma regi˜ ao material e de uma superf´ıcie material, d R enquanto que dt Pt ψ dv é a derivada u ńica de uma fun¸cão temporal. 2. v representa volume, a simboliza área e n(x, t) é um campo vetorial de norma igual à unidade, perpendicular a ∂Pt e que aponta para fora da região Pt . 3. A descri¸cão espacial (subse¸cão 2.4.2) ψ(x, t) e o seu suprimento mecˆ anicocl´ assico dentro de Pt , simbolizado σψ (x, t), são campos tensoriais de ordem m, enquanto que o fluxo mecˆ anico-cl´ assico de ψ(x, t) através de ∂Pt , representado por Φψ (x, t), é um campo tensorial de ordem m + 1. Como indicam seus nomes, suprimentos e fluxos mecânico-clássicos são explicados por meio de modelos clássicos do comportamento da matéria. 4. A aplica¸cão de Φψ a n é descrita na nota¸cão para aplica¸cão de tensor a tensor 1.2.6. 5. Existem fluxos e suprimentos mecˆ anico-estat´ısticos, os quais são explicados por meio de modelos estat´ısticos do comportamento da matéria, mas eles não aparecem na eq. 3.1. Eles apareceriam, como parcelas aditivas, no segundo membro dela, o 112

que a tornaria mais abrangente. Mas este texto limita-se ao enfoque clássico da matéria. Como exemplos de fluxos e suprimentos mecânico-clássicos pode-se citar o fluxo de massa (por defini¸cão, inexiste suprimento mecânico-clássico de massa), bem como fluxos e suprimentos de momento linear, momento angular, energia cinética, energia interna e energia total. Como exemplo de fluxo mecânico-estat´ıstico podese mencionar o fluxo difusivo, para o caso de solu¸cões com ou sem rea¸cão qu´ımica e, como exemplo de suprimento mecânico-estat´ıstico, pode-se lembrar suprimentos de massa de espécies qu´ımicas distintas, decorrentes de rea¸cões qu´ımicas. A eq. 3.1 mostra que, no instante t e em Pt , a velocidade de altera¸cão da grandeza d R e o resultado da adi¸cão de duas parcelas: Pt ψ dv, dada por dt Pt ψ dv , ´

a velocidade de ingresso ou egresso de ψ em Pt no instante t, através de ∂Pt , dada por R Φ nda e ∂Pt ψ a velocidade de cria¸cão ou aniquila¸cão de ψ em Pt no instante t, dada por Pt σψ dv, onde o suprimento σψ pode ser devido a fontes externas e também internas, estas u ´ltimas causadas pelo movimento do corpo. R

São chamadas conservativas as grandezas para as quais os correspondentes suprimentos são devidos exclusivamente a fontes externas. Esta denomina¸cão provém do fato de que, quando isto acontecer, para qualquer região material isolada P (separada do restante do corpo B por meio de uma superf´ıcie material ∂P impermeável à mat´ eria e à R R energia) ocorrerá a conserva¸cão de Pt ψ dv . A lei cl´ assica de conserva¸c˜ ao de Pt ψ dv é um conjunto de condi¸cões suficiente para que ∀x ∈ ∂P, ∀x ∈ P,

Φψ (x, t) = 0 e σψ (x, t) = 0.

Entretanto, poderiam ser criados v´ınculos entre parcelas de Φψ e σψ que garantissem a R conserva¸cão temporal de Pt ψ dv sem que se tivesse Φψ = σψ = 0 na eq. 3.1, ou seja, a lei clássica de conserva¸cão poderia não ser necessária para que ocorresse a conserva¸cão R de Pt ψ dv . Por outro lado, se existirem fluxos ou suprimentos mecânico-estat´ısticos, impor Φψ = R σψ = 0 na eq. 3.1 pode ser insuficiente para que ocorra a conserva¸cão de Pt ψ dv. Neste caso, a lei clássica de conserva¸cão deverá ser substitu´ıda por outra lei, não apenas clássica, que seja suficiente para garantir a mencionada conserva¸cão. Porém, só quando a grandeza φ for conservativa existirá alguma lei de conserva¸cão (apenas clássica ou não), ou seja, só quando não existirem fontes internas de suprimento para φ. O teorema de transporte coloca que Z Z ∂ψ d Z ψ dv = dv + ψ un da , dt V V ∂t ∂V

onde

(3.2)

V (t) ⊂ E|V (t) é regular, ∂V (t) é a superf´ıcie que separa V (t) do restante de E e x não mais simboliza a representa¸cão corrente do ponto X do corpo B, mas apenas um ponto pertencente ao subconjunto V (t) do espa¸co euclideano de pontos. 113

v representa volume, a simboliza área e o escalar un (x, t) é a norma do componente, perpendicular à superf´ıcie ∂V (t), do vetor velocidade de um ponto x ∈ ∂V (t). Tal norma será afetada por sinal positivo quando o componente for dirigido para fora de V (t) e por sinal negativo em caso contrário. ψ(x, t) é um campo tensorial suave (o significado de suave é apresentado na defini¸cão de classe C k 1.3.7) para todo ponto interior a V (t) (logo, ψ(x, t) não precisa ser suave para todo ponto em ∂V (t)). Deve-se notar que o teorema de transporte é uma versão tridimensional da conhecida f´ ormula de Laplace do cálculo, Z f (t) ∂ψ d Z f (t) ψ(x, t)dx = dx + ψ(f (t), t)f˙(t) − ψ(g(t), t)g(t) ˙ , dt g(t) g(t) ∂t

(3.3)

onde ψ(x, t) precisa ser suave no intervalo aberto (defini¸cão de subconjunto aberto 1.3.1) (g(t), f (t)), não se exigindo suavidade nos pontos terminais do intervalo, g(t) e f (t). No caso particular de V (t) ser uma imagem Pt de uma região material, como a superf´ıcie ˙ ∂V (t) será imagem de uma superf´ıcie material ter-se-á un (x, t) = x(x, t) · n(x, t), onde x voltou a simbolizar a representa¸cão corrente do ponto X do corpo B e x˙ é o vetor velocidade definido pela eq. 2.27. Neste caso, a eq. 3.2 pode ser escrita, utilizando a descri¸cão espacial (subse¸cão 2.4.2) da grandeza ψ, o que exige o uso das imagens das configura¸cões correntes da região e da superf´ıcie material, respectivamente Pt e ∂Pt , Z Z d Z ∂ψ ψ dv = dv + ψ (x˙ · n) da . dt Pt Pt ∂t ∂Pt

(3.4)

Como um exemplo de aplica¸c˜ao da eq. 3.4 suponha ψ = 1, o que reduz esta equa¸c˜ao a

Z d Z dv = x˙ · n da . dt Pt ∂Pt R Definindo V (t) = Pt dv e lembrando o item 2 do teorema 1.3.3 (teorema da divergência) tem-se, então, Z dV = div x˙ dv . (3.5) dt Pt Se o movimento for incompress´ıvel, ou seja, se o volume de qualquer parte de P se mantiver constante durante o movimento, então, como o integrando é cont´ınuo (supõese que o vetor acelera¸cão possa ser definido), de acordo com o teorema 1.3.4 (fun¸cão identicamente nula em E) a divergência da velocidade deverá ser nula, ou seja,

div x˙ = 0.

(3.6)

Note que, ao contrário do que ocorre para a eq. 3.1, a satisfa¸cão da eq. 3.2 exige que ψ(x, t) seja um campo tensorial suave para todo ponto interior à região de integra¸cão V (t). Esta exigência, evidentemente, persiste para a eq. 3.4, no que se refere à região de integra¸cão Pt , embora o s´ımbolo Pt represente qualquer região regular que seja imagem de uma região material, ou seja, embora este s´ımbolo não informe sobre esta exigência adicional. Suponha agora que, ao invés de ψ(x, t) ser um campo tensorial suave para todo ponto interior a Pt , ele sofresse uma descontinuidade finita nos pontos de uma superf´ıcie 114

orientada S, interior a Pt , a qual, de acordo com a defini¸c˜ao de classe C k 1.3.7, seria portanto uma superf´ıcie singular em rela¸c˜ao ao campo tensorial ψ(x, t). Neste caso, em S o campo sofreria a descontinuidade finita kψk = ψ + − ψ −

(3.7)

sendo, em cada ponto x ∈ S, ψ + (x) e ψ − (x) os valores limites do campo, dos dois lados de S. Seja V uma especial região Pt com, no máximo, uma descontinuidade finita de campos tensoriais sobre uma u ńica superf´ıcie interna S. Imponha-se, portanto, que todos os campos tensoriais considerados sejam suaves em V − S. Embora V seja uma região Pt especial, V ainda não é suficientemente espec´ıfica para garantir que a eq. 3.4 seja aplicável. Porém, assim como a eq. 3.4 foi escrita usando-se Pt e admitindo-se uma restri¸cão adicional não explicitada neste s´ımbolo, nada impede que ela seja grafada usando-se V e admitindo-se uma análoga restri¸cão adicional. Considere que o limite ψ + aconte¸ca na subregião V + e que o limite ψ − esteja na subregião V − . Não se impõe que a superf´ıcie S seja material. Portanto, os pontos do corpo correspondentes à descontinuidade finita de ψ(x, t) não precisam ser os mesmos em cada momento, ao contrário do que ocorre com os pontos de ∂V. Logo, o escalar velocidade ˙ A superf´ıcie S é orientada un (x, t), com que cada ponto de S se move, não precisa ser x·n. de modo a que un (x, t) seja positivo quando o correspondente vetor velocidade for dirigido para V + . Nestas condi¸cões, o teorema de transporte pode ser aplicado separadamente às duas subregiões V + e V − , obtendo-se respectivamente Z d Z ψ dv = dt V + V+ Z Z d ψ dv = dt V − V−

Z Z ∂ψ dv + ψ (x˙ · n) da + ψ + (−un )da, ∂t (∂V)+ S Z Z ∂ψ dv + ψ (x˙ · n) da + ψ − un da . ∂t (∂V)− S

Somando estas duas igualdades e usando a eq. 3.7 obt´em-se Z Z Z d Z ∂ψ ψ dv = dv + ψ (x˙ · n) da − kψk un da . dt V V ∂t ∂V S

(3.8)

Evidentemente, a eq. 3.4 pode ser considerada um caso particular da eq. 3.8, espec´ıfico para kψk = 0. Igualando os segundos membros das eqs. 3.1 e 3.8, para uma regi˜ao V contendo uma superf´ıcie singular S tem-se Z V

Z Z Z Z ∂ψ Φψ [n] da + σψ dv . ψ (x˙ · n) da − kψk un da = dv + ∂t ∂V V ∂V S

(3.9)

Restrinja-se, a partir de agora e até à eq. 3.11 inclusive, a defini¸cão de ψ de modo a que ˙ · n e Φψ [n] = Φψ · n, logo ψ x˙ ou ψ e σψ sejam escalares, portanto ψ (x˙ · n) = (ψ x) e Φψ sejam vetores que, na eq. 3.9, fazem produto interno com o vetor n, ˙ ou ψ e σψ sejam vetores, portanto ψ (x˙ · n) = (ψ ⊗ x)(n) (defini¸cão de produto tensorial de vetores ou tensor simples 1.2.12) e Φψ [n] = Φψ (n), logo ψ ⊗ x˙ e Φψ sejam tensores de segunda ordem que, na eq. 3.9, são aplicados ao vetor n. 115

No primeiro caso, é aplicável o item 2 do teorema 1.3.3 (teorema da divergência) às duas integrais sobre ∂V da eq. 3.9, enquanto que, no segundo caso, é aplicável o item 3 do mesmo teorema, às mesmas integrais. Obtém-se então, respectivamente, Z " V

Z " V

Z ∂ψ + div(ψ x˙ − Φψ ) − σψ dv = kψk un da e ∂t S #

Z ∂ψ + div(ψ ⊗ x˙ − Φψ ) − σψ dv = kψk un da . ∂t S

Lembrando que todo ponto regular é um ponto interno de uma região constitu´ıda apenas por pontos regulares, seja VR ⊂ V uma região formada exclusivamente por pontos regulares e seja x ∈ VR qualquer um dos pontos regulares pertencentes a V. Então, para VR as duas u ´ltimas equa¸cões destacadas respectivamente indicam que Z

∂ψ + div(ψ x˙ − Φψ ) − σψ dv = 0 e ∂t

∂ψ + div(ψ ⊗ x˙ − Φψ ) − σψ dv = 0. ∂t

Z VR

(3.10)

A partir de agora apenas a eq. 3.10 será utilizada, porque convenciona-se que ˙ quando ψ for escalar, o s´ımbolo ψ ⊗ x˙ deve ser entendido como ψ x, sendo ψ ⊗ x˙ denominado fluxo convectivo de ψ. Como o integrando é cont´ınuo, de acordo com o teorema 1.3.4 (fun¸cão identicamente nula em E) obtém-se, então, a equa¸cão de balanceamento em um ponto regular, também chamada equa¸c˜ ao de campo, ∂ψ + div(ψ ⊗ x˙ − Φψ ) − σψ = 0. ∂t

(3.11) R

Conforme a subse¸cão 3.1.1, a lei clássica de conserva¸cão de Pt ψ dv é um conjunto de condi¸cões suficiente para que Φψ = σψ = 0, na eq. 3.1. Evidentemente, em termos da eq. 3.11 esta lei pode ser descrita como um conjunto de condi¸cões suficiente para que, ∀x ∈ Pt , tenha-se divΦψ (x, t) = σψ (x, t) = 0. Volte, a partir de agora, a considerar que ψ(x, t) seja um campo tensorial de ordem arbitrária m e suponha um ponto singular qualquer x ∈ V. Logo, impõe-se apenas que x ∈ S, sendo S uma superf´ıcie interna em V na qual ψ, Φψ e σψ podem apresentar descontinuidades finitas. Seja VS ⊂ V uma região que contém o ponto singular x e seja s = VS ∩ S. Mantenha a área s inalterada enquanto que o volume de VS tende para zero, ou seja, fa¸ca (∂VS )+ e (∂VS )− tenderem para s. Deseja-se encontrar a forma para a qual tenderá a eq. 3.9, quando VS tender para este limite. Para isto, deve-se lembrar que o escalar un é positivo quando o correspondente vetor velocidade for dirigido para V + e deve-se impor que, no limite considerado, n também seja dirigido para V + (ao contrário de ser sempre dirigido para fora de VS , o que seria coerente com o segundo esclarecimento após a eq. 3.1 mas, no limite considerado, deixaria indeterminado o sentido de n). Para encontrar a desejada forma da eq. 3.9, ela deve ser discutida termo a termo: 116

1. Considerando que ∂ψ/∂t e σψ s˜ao finitos em VS , obt´em-se que Z

lim

VS →0 VS

Z ∂ψ σψ dv = 0 . dv = lim VS →0 VS ∂t

2. Lembrando que χκ (X, t) não precisa ser suave, embora precise ser cont´ınua, considere a possibilidade de que a descontinuidade finita do campo tensorial ψ, na área s, por motivo f´ısico cause uma descontinuidade finita da velocidade x˙ nesta mesma ˙ = x˙ + − x˙ − (por exemplo, suponha que a área s perten¸ca a uma área, dada por kxk frente de onda ac´ ustica que se propague num l´ıquido em movimento). Definindo + kψ (x˙ · n)k = ψ (x˙ + · n) − ψ − (x˙ − · n) tem-se, então, lim

VS →0 ∂VS

ψ (x˙ · n) da =

−

[ψ (x˙ · n) − ψ (x˙ · n)] da =

kψ (x˙ · n)k da .

3. Considerando que a descontinuidade finita do campo tensorial ψ, na ´area s, cause uma descontinuidade finita do campo tensorial fluxo de ψ, nesta mesma ´area, grafada kΦψ k = Φψ+ − Φψ− , tem-se lim

VS →0 ∂VS

Φψ [n] da =

Z s

(Φψ+

−

Φψ− ) [n] da

Z s

kΦψ k [n] da .

Lembrando que kψk = ψ + − ψ − e definindo kψ(x˙ · n − un )k = ((x˙ + · n) − ψ + un ) − (ψ − (x˙ − · n) − ψ − un ) , a forma limite da eq. 3.9 pode ent˜ao ser escrita Z s

{kψ(x˙ · n − un )k − kΦψ k[n]} da = 0.

(3.12)

Como o integrando é cont´ınuo, de acordo com o teorema 1.3.4 (fun¸cão identicamente nula em E) obtém-se, então, a equa¸cão de balanceamento em um ponto singular, também chamada equa¸c˜ ao de Rankine-Hugoniot kψ(x˙ · n − un )k − kΦψ k[n] = 0 .

(3.13)

Definindo os dois escalares velocidades locais de propaga¸c˜ ao, de S em rela¸c˜ao ao corpo em movimento U ± = un − x˙ ± · n , (3.14) logo kψ U k = (ψ + un − ψ + (x˙ + · n)) − (ψ − un − ψ − (x˙ − · n)) = −kψ(x˙ · n − un )k , a eq. 3.13 pode ser escrita kψ U k + kΦψ k[n] = 0 .

(3.15) R

Conforme a subse¸cão 3.1.1, a lei clássica de conserva¸cão de Pt ψ dv é um conjunto de condi¸cões suficiente para que Φψ = σψ = 0, na eq. 3.1. Evidentemente, em termos das eqs. 3.13 e 3.15 esta lei pode ser descrita de igual modo. Se S for uma superf´ıcie material ˙ Além disto, conforme já afirmado logo após a eq. 3.3, neste caso ter-se-á x˙ ± = x. un = x˙ · n. Portanto, de acordo com a eq. 3.14, neste caso U ± = 0 e, considerando a eq. 3.15, kΦψ k[n] = 0 (no caso de Φψ ser um tensor, ele não pode ser descont´ınuo e, no caso de Φψ ser um vetor, ou ele é cont´ınuo, ou a sua descontinuidade é perpendicular a n). 117

3.1.2

Equa¸ c˜ oes de Balanceamento na Configura¸c˜ ao Referencial

Para qualquer grandeza material ψ, sua forma integral para balanceamento cl´ assico na configura¸c˜ ao referencial deve ser uma expressão com o mesmo formato matemático da equa¸cão 3.1, porque tal formato reflete um significado f´ısico que não pode ser alterado ao se passar de uma configura¸cão corrente para a configura¸cão referencial. Tem-se, portanto, Z Z d Z ψ ψκ dvκ = Φκ [nκ ] daκ + σκψ dvκ , (3.16) dt Pκ ∂Pκ Pκ onde Pκ é a imagem da configura¸cão referencial de P ⊂ B, sendo Pκ regular (o significado de regular é apresentado na defini¸cão de classe C k 1.3.7). Evidentemente, a imagem da configura¸cão referencial, Pκ , de uma região material, é uma fun¸cão constante de t, o mesmo ocorrendo com a imagem da configura¸cão referencial, ∂Pκ , de uma superf´ıcie material, ao contrário do que acontece com as correspondentes imagens das configura¸cões correntes, respectivamente Pt e ∂Pt (subse¸cão 3.1.1). Note que, até este ponto do texto, o ´ındice κ apareceu em B, χ, F , nas descri¸cões material e espacial (subse¸cão 2.4.2) da derivada temporal de F e, somente na subse¸cão b, 2.1.2, também em e, da e dv. Exclusivamente na subse¸cão 2.1.3 encontra-se o ´ındice κ b , foi claramente em F e χ. Em todos estes casos, o significado do uso do ´ındice κ, ou κ explicitado. Para que isto também ocorra em rela¸cão à eq. 3.16, deve-se inicialmente lembrar que, de acordo com o colocado na subse¸cão 2.4.2, a eq. 2.30, a saber Q = fe(x, t) = fe(χκ (X, t), t) = f (X, t), em mecânica dos meios cont´ınuos é escrita f = f (X, t) = f (x, t), embora a eq. 2.30 explicite que fe 6= f . Assim como Pκ e ∂Pκ respectivamente diferem de Pt e ∂Pt , as eqs. 2.9 mostram que dvκ e daκ respectivamente diferem de dv e da. Por isto, de acordo com a conven¸cão lembrada no parágrafo anterior e com a exigência de que as eqs. 3.1 e 3.16 sejam ambas satisfeitas, tem-se ψκ (X, t) = 6 ψ(X, t) = ψ(x, t) , ψ Φκ (X, t) = 6 Φψ (X, t) = Φψ (x, t) e ψ σκ (X, t) = 6 σψ (X, t) = σψ (x, t) .

(3.17)

Como a imagem da configura¸cão referencial, Pκ , de uma região material, matematicamente identifica tal região, a eq. 3.16 matematicamente identifica o que ocorre na região material. Por isto, ψκ (X, t) = ψ(X, t) , Φκψ (X, t) = Φψ (X, t) e σκψ (X, t) = σψ (X, t) ,

(3.18)

o que indica que é a descri¸cão material das fun¸cões indexadas por κ, não a descri¸cão material das fun¸cões não indexadas, que pode ser igualada às correspondentes grandezas materiais. Para prosseguir, deve-se utilizar as eqs. 2.9, a saber n da = JF −T nκ daκ e dv = | J| dvκ . Considere que: 1. Como da é um escalar, aplicar um tensor ou um vetor a n e, depois, multiplicar o resultado por da é o mesmo que aplicar um tensor ou um vetor a nda. Analogamente em rela¸cão a daκ e nκ . 118

2. Para impor que nκ aponte sempre para fora da região Pκ , analogamente ao que foi imposto para n, ao invés de, em termos da igualdade n da = JF −T nκ daκ , o vetor nκ corresponder ao vetor n, deve-se substituir, nesta igualdade, J por |J|. De fato, enquanto que o vetor axial nκ daκ transforma-se em concordância com esta u ´ltima igualdade, o vetor diferen¸ca infinitesimal entre dois pontos do espa¸co euclideano de pontos, dX, transforma-se de acordo com a expressão dx = F dX (eq. 2.8). Conforme a subse¸cão 2.1.2, a transforma¸cão de nκ daκ pode ser escrita F dX1 × F dX2 = (det F )F −T (dX1 × dX2 ). Se, ao invés de F , tivéssemos um tensor ortogonal Q, como Q = Q−T e det Q = ±1 ter´ıamos QdX1 × QdX2 = ±Q(dX1 × dX2 ), expressão esta coerente com a utiliza¸cão da defini¸cão de produto vetorial 1.2.38 na nota¸cão para vetor associado a tensor antissimétrico 1.2.9. De acordo com o comentário 1.2.33, sobre propriedades do tensor ortogonal, a transforma¸cão ortogonal preserva as normas dos vetores e os ângulos entre eles. Adicionalmente, a transforma¸cão ortogonal própria (det Q > 0) preserva também o sentido de rota¸cão (p.e., de 1 para 2 nos dois casos), enquanto que a imprópria (det Q < 0) reverte o sentido de rota¸cão (de 1 para 2 em um caso e de 2 para 1 no outro). Analogamente, embora a aplica¸cão do gradiente de deforma¸cão F não preserve as normas dos vetores e os ângulos entre eles, se o sentido de rota¸cão for de dX1 para dX2 e de F dX1 para F dX2 (ou de dX2 para dX1 e de F dX2 para F dX1 ), ter-se-á det F > 0 e os vetores axiais n e nκ apontarão, ambos, ou para fora, ou para dentro das respectivas regiões materiais (de acordo com as defini¸cões de nκ e n, ambos apontarão para fora). Caso contrário, ter-se-á det F < 0 e, enquanto um vetor apontará para dentro, o outro apontará para fora (ou a defini¸cão de nκ , ou a defini¸cão de n será violada). Por isto, deve-se impor que n da = |J|F −T nκ daκ . 3. No caso espec´ıfico de Φψ ser um vetor, para o primeiro termo do segundo membro da equa¸cão 3.1 tem-se Z ∂Pt

Φψ [n]da = Z ∂Pκ

Z ∂Pt

Φψ · n da =

|J|F −1 Φψ · nκ daκ =

Z ∂Pκ

Φψ · |J|F −T nκ daκ =

|J|F −1 Φψ [nκ ]daκ .

Usando os trˆes itens anteriores, a compara¸c˜ao entre as eqs. 3.16 e 3.1 indica que ψκ Φκψ Φκψ σκψ

= = = =

| J| ψ | J| Φψ F −T | J| F −1 Φψ | J| σψ

onde ψκ ´e um tensor de ordem m, se Φκψ for um tensor de ordem m + 1 > 1, se Φκψ for um vetor e onde σκψ ´e um tensor de ordem m.

(3.19)

Como o teorema de transporte se refere a qualquer região regular, V (t), pertencente a um espa¸co euclideano de pontos e a qualquer campo tensorial suave em todo ponto interior a V (t), este teorema é válido tanto para a descri¸cão espacial, quanto para a descri¸cão material do campo tensorial. Portanto, usando na eq. 3.2 o tensor ψκ (X, t), ao invés do tensor ψ(x, t), pode-se escrever Z Z d Z ˙ ψκ dvκ + ψκ Uκ daκ , ψκ dvκ = dt V V ∂V

119

onde X não mais simboliza a representa¸cão referencial do ponto X do corpo B, mas apenas um ponto pertencente ao subconjunto V (t) do espa¸co euclideano de pontos, enquanto que o escalar Uκ (X, t) é a norma do componente, perpendicular à superf´ıcie ∂V (t), do vetor velocidade de um ponto X ∈ ∂V (t). Tal norma será afetada por sinal positivo quando o componente for dirigido para fora de V (t) e por sinal negativo em caso contrário. Analogamente ao que foi feito após a eq. 3.2 pode-se, agora, impor que V (t) seja a imagem Pκ de uma região material ou, desde já, impor que V (t) seja a imagem Vκ de uma região material. Isto implica em que X volte a simbolizar a imagem, na configura¸cão referencial, do ponto X do corpo B. Neste caso, como Vκ e ∂Vκ são fun¸cões constantes de t, tem-se ˙ ˙ = 0. Logo, a u Uκ = X·n = 0, já que X ´ltima equa¸cão destacada produzirá, analogamente à eq. 3.4 mas para a descri¸cão material (subse¸cão 2.4.2) da grandeza ψ, o que exige o uso da imagem Vκ da configura¸cão referencial da região material, imagem esta na qual o campo ψκ seja suave, a igualdade Z d Z ψκ dvκ = ψ˙ κ dvκ . dt Vκ Vκ

(3.20)

Se existir uma superf´ıcie singular Sκ (t) movendo-se dentro da região Vκ , analogamente à eq. 3.8 obtém-se Z Z d Z ˙ ψκ dvκ = ψκ dvκ − kψκ k Uκ daκ , dt Vκ Vκ Sκ (t)

(3.21)

onde kψκ k = ψκ+ − ψκ− . O escalar Uκ terá sinal positivo quando o correspondente vetor velocidade for dirigido para a região que apresentar ψκ+ como valor limite de ψκ , quando X se aproximar de Sκ (t) e, caso contrário, terá sinal negativo. Igualando o segundo membro da eq. 3.21 ao segundo membro da eq. 3.16, mas para Pκ = Vκ e ∂Pκ = ∂Vκ nesta u ´ltima equa¸cão, tem-se Z Vκ

ψ˙ κ dvκ −

Z Sκ (t)

kψκ k Uκ daκ =

Z ∂Vκ

Φκψ [nκ ] daκ +

Z Vκ

σκψ dvκ ,

(3.22)

que é a igualdade análoga à eq. 3.9. Restrinja-se, apenas neste parágrafo, a ordem m de ψκ , impondo-se m ≤ 1. Aplicando o item 2 ou o item 3 do teorema 1.3.3 (teorema da divergência),respectivamente quando Φκψ é um vetor (ψκ e σκψ são escalares) ou Φκψ é um tensor de segunda ordem (ψκ e σκψ são vetores), obtém-se Z Vκ

(ψ˙ κ − DivΦκψ − σκψ ) dvκ =

Z Sκ (t)

kψκ k Uκ daκ .

Lembrando que todo ponto regular é um ponto interno de uma região constitu´ıda apenas por pontos regulares, seja VκR ⊂ Vκ uma região formada exclusivamente por pontos regulares e seja X ∈ VκR qualquer um dos pontos regulares pertencentes a Vκ . Então, para VκR a u ´ltima equa¸cão destacada indica, analogamente à eq. 3.10, que Z VκR

(ψ˙ κ − DivΦκψ − σκψ ) dvκ = 0 . 120

(3.23)

Como o integrando é cont´ınuo, usando o teorema 1.3.4 (fun¸cão identicamente nula em E) obtém-se ψ˙ κ − DivΦκψ − σκψ = 0 , (3.24) que é análoga à equa¸cão de campo 3.11. Duas igualdades u ´teis são ∂ψ ˙ ψ˙ κ = J( + div(ψ ⊗ x)) ∂t

DivΦκψ = JdivΦψ .

(3.25)

Multiplicando a eq. 3.11 por J e usando as eqs. 3.25, a eq. 3.24 pode ser obtida diretamente da eq. 3.11. Retire a restri¸cão imposta, no parágrafo anterior, ao valor da ordem m de ψκ e considere que, no instante t, ψκ , Φκψ e σκψ possam apresentar descontinuidades finitas num ponto XS ∈ Sκ (t). Seja, no instante t, XS ∈ VκS ⊂ Vκ e seja sκ (t) = VκS ∩ Sκ (t). Mantenha a área sκ (t) inalterada enquanto que o volume de VκS tende para zero, ou seja, fa¸ca (∂VκS )+ e (∂VκS )− tenderem para sκ (t). Deseja-se encontrar a forma para a qual tenderá a eq. 3.22, quando VκS tender para este limite. Para isto, deve-se lembrar que o escalar Uκ é positivo quando o correspondente vetor velocidade for dirigido para (∂VκS )+ e deve-se impor que, no limite considerado, nκ também seja dirigido para (∂VκS )+ (ao contrário de ser sempre dirigido para fora de VκS , o que seria coerente com a segunda considera¸cão após a eq. 3.16 mas, no limite considerado, deixaria indeterminado o sentido de nκ ). Para encontrar a desejada forma da eq. 3.22, ela deve ser discutida termo a termo: 1. Lembrando que ψ˙ κ e σκψ são finitos em VκS , tem-se lim

VκS →0 VκS

ψ˙ κ dvκ = lim S

Vκ →0 VκS

σκψ dvκ = 0.

2. Por outro lado, lim S

Vκ →0

Z ∂VκS

Φκψ

[nκ ] daκ =

Z sκ

kΦκψ k[nκ ] daκ ,

onde kΦκψ k = (Φκψ )+ − (Φκψ )− .

Portanto, neste limite a eq. 3.22 pode ser escrita Z sκ

( kψκ k Uκ + kΦκψ k[nκ ] ) daκ = 0.

Como o integrando é cont´ınuo, usando o teorema 1.3.4 (fun¸cão identicamente nula em E) chega-se a (3.26) kψκ k Uκ + kΦκψ k[nκ ] = 0. A eq. 3.26 é análoga à eq. 3.15. Note que, tanto na descri¸cão espacial como na descri¸cão material, a descontinuidade finita no campo, respectivamente kψk e kψκ k, gera desconti˙ também nuidade finita no respectivo fluxo, mas a descontinuidade finita na velocidade x, gerada na descri¸cão espacial, não é gerada na descri¸cão material.

121

3.1.3

Compatibilidade Cinem´ atica da Superf´ıcie Singular

˙ tem-se que Usando a eq. 2.33 e o fato, comentado logo após a eq. 2.34, de que v = x, ˙ F˙ = Grad x. (3.27) A eq. 3.27 é uma condi¸cão de integrabilidade, ou seja, é a condi¸cão de existência de uma fun¸cão χκ tal que x = χκ (X, t), conforme colocado pela eq. 2.26. De fato, a eq. 3.27 iguala as derivadas segundas mistas, com ordem reversa de deriva¸cão, da fun¸cão χκ , porque F = Gradχκ (X, t) e x˙ = ∂χκ (X, t)/∂t (respectivamente eqs. 2.29 e 2.27, mas trocando s´ımbolos por aqueles apresentados na subse¸cão 2.4.2). A eq. 3.27 evidencia uma necessária ˙ Como consequência desta rela¸cão, efetuando uma manipula¸cão rela¸cão entre F e x. matemática da eq. 3.27 obtém-se uma necessária rela¸cão entre as descontinuidades finitas ˙ sobre a superf´ıcie singular. de F e x, Para isto, deve-se inicialmente considerar a quarta expressão do teorema da divergência 1.3.3, a seguir transcrita, Z

h ⊗ n da =

∇h dv .

(3.28)

∂R

Lembrando que Vκ é a imagem de uma configura¸cão referencial de P ⊂ B, imagem esta por hipótese regular e que contém, no máximo, uma descontinuidade finita de campos tensoriais sobre uma u ńica superf´ıcie singular móvel, Sκ (t), usa-se a eq. 3.28 para integrar a eq. 3.27 sobre Vκ , obtendo-se Z Vκ

F˙ dvκ =

Z ∂Vκ

x˙ ⊗ nκ daκ .

(3.29)

Entretanto, como a eq. 3.28 exige que o campo v seja suave, a eq. 3.29 exige que F não apresente descontinuidade em Vκ . Nestas condi¸cões, é válida a eq. 3.20, o que permite que a eq. 3.29 seja escrita Z d Z F dvκ = x˙ ⊗ nκ daκ . (3.30) dt Vκ ∂Vκ Considere a eq. 3.30 como um caso particular da eq. 3.16 (a qual é válida para tensor ψκ de qualquer ordem m), para

ψκ = F , o que implica em m = 2, Φκψ [nκ ] = x˙ ⊗ nκ e σκψ = 0. Supondo, agora, que F apresente descontinuidade finita na superf´ıcie singular móvel, Sκ (t), por compara¸cão com a eq. 3.26 obtém-se ˙ ⊗ nκ = 0 , Uκ kF k + kxk

(3.31)

chamada condi¸c˜ ao de compatibilidade cinem´ atica da superf´ıcie singular. A ˙ ⊗ nκ )(nκ ) = −(Uκ kF k)(nκ ), ou kxk ˙ = −Uκ ~a, onde o vetor eq. 3.31 mostra que (kxk ~a = kF nκ k é a descontinuidade finita de F , na dire¸cão normal a Sκ (t) (note que ~a não precisa ser normal a Sκ (t)). Usando novamente a eq. 3.31 tem-se, então, que Uκ kF k = ˙ ⊗ nκ = Uκ~a ⊗ nκ , logo kF k = ~a ⊗ nκ . Portanto, a eq. 3.31 é equivalente a qualquer −kxk uma das duas igualdades ˙ = −Uκ~a kxk

e 122

kF k = ~a ⊗ nκ .

(3.32)

Tanto a eq. 3.31 como a primeira entre as eqs. 3.32 mostram que as descontinuidades ˙ estão relacionadas entre si. Isto é de se esperar, porque a deforma¸cão finitas kF k e kxk χκ (X, t) evidentemente não é descont´ınua na superf´ıcie Sκ (t), mas nela apresenta um ângulo que se reflete em descontinuidades finitas em suas derivadas, descontinuidades estas cuja interrela¸cão depende de nκ e de Uκ (ou seja, depende da dire¸cão perpendicular à superf´ıcie Sκ (t) e da velocidade de deslocamento da superf´ıcie nesta dire¸cão, no ponto de Sκ (t) e no instante considerados). Tal ângulo aparece porque a superf´ıcie singular móvel afeta, de modo diferenciado, a deforma¸cão à sua frente, em rela¸cão à deforma¸cão atrás dela. Demonstra-se que, para uma superf´ıcie singular móvel que seja caracterizada pela condi¸cão f (X, t) = 0, usando tanto a descri¸cão espacial da grandeza e a configura¸cão corrente da parte P do corpo, quanto a descri¸cão material da grandeza e a configura¸cão referencial da mesma parte do corpo, tem-se as igualdades Grad f , |Grad f | f˙ Uκ = − , |Grad f | (F T )± n nκ = |(F T )± n| nκ =

grad f , |grad f |

∂f /∂t , |grad f | U± Uκ = . |(F T )± n| un = −

(3.33) (3.34)

As quatro eqs. 3.33 fornecem vetores e escalares previamente definidos, usando-se na coluna da esquerda a descri¸cão material da grandeza e a configura¸cão referencial de P, enquanto que na coluna da direita tem-se respectivamente o mesmo vetor e escalar, mas na descri¸cão espacial da grandeza e na configura¸cão corrente de P. Já as duas eqs. 3.34, envolvendo os valores limites do gradiente de deforma¸cão transposto (F T )± , relacionam entre si escalares e vetores referentes às descri¸cões referencial (Uκ e nκ ) e corrente [as velocidades locais de propaga¸cão de S em rela¸cão ao corpo em movimento, U ± (eq. 3.14) e o vetor n].

3.2

Massa

Seja representada por β : B → E toda configura¸cão do corpo B e seja β : B 7→ Bβ . Imponha a existência de uma fun¸cão integrável (toda fun¸cão cont´ınua é integrável, mas o oposto não é verdade) e positiva ρβ : Bβ → <+ , chamada densidade volum´ etrica de massa correspondente à configura¸cão β, tal que, para toda região material (subse¸cão 3.1.1) P ⊂ B, tenha-se Z M (P) =

Pβ

ρβ dvβ ,

(3.35)

onde β : P 7→ Pβ ⊂ Bβ , enquanto que M é a distribui¸c˜ ao de massa de B, que ao ser aplicada a cada uma de suas regiões materiais P produz o correspondente escalar massa M (P) daquela região material. Logo, a eq. 3.35 mostra que o escalar massa associado às imagens de todas todas as configura¸cões de determinada região material P ⊂ B é o mesmo, ou seja, alterar este escalar implica em alterar a própria região material P (não, apenas, em alterar a configura¸cão de P). Porisso, a massa é uma medida da regi˜ ao material P. 123

Tem-se a segunda entre as eqs. 2.9, a saber dv = | J| dvκ , onde J = det Fκ (eq. 2.5), sendo, de acordo com a eq. 2.29, Fκ (X, t) = ∇ χκ (·, t). Logo, de modo mais expl´ıcito a X segunda entre as eqs. 2.9 pode ser escrita dv = | det ∇ χκ (·, t)| dvκ . X Definindo β1 : B → Bβ1 , β2 : B → Bβ2 e λ = β2 ◦ β1−1 : Bβ1 → Bβ2 , analogamente `a u ´ltima equa¸c˜ao destacada pode-se escrever, se β1 : X 7→ xβ1 , dvβ2 = | det ∇xβ1 λ| dvβ1 , a qual, junto com a eq. 3.35, mostra que M (P) =

Z P β1

ρβ1 dvβ1 =

Z P β2

ρβ2 dvβ2 =

ρβ2 | det ∇λ| dvβ1 ,

P β1

( ρβ1 − ρβ2 | det ∇λ| ) dvβ1 = 0 , ρβ 2 =

portanto

ρβ 1 , | det ∇xβ1 λ|

(3.36)

porque o integrando é cont´ınuo, logo pode ser aplicado o teorema 1.3.4 (fun¸cão identicamente nula em E). Como β1 e β2 são duas configura¸cões quaisquer, eq. 3.36 indica que a densidade volumétrica de massa de uma configura¸cão determina as densidades volumétricas de massa de todas as outras poss´ıveis configura¸cões do corpo. Quando β1 = κ, logo xβ1 = X, a eq. 3.36 poderá ser escrita ρ=

ρκ , | det Fκ (X, t)|

(3.37)

onde ρκ (X, t) na verdade deve ser escrito ρκ (X), conforme será mostrado pela primeira entre as eqs. 3.94 e ρ(x, t) = ρ(X, t), de acordo com a simbologia apresentada imediatamente após a eq. 2.30. Para cada configura¸cão corrente χ(·, t) ∈ χ(·, ·), onde χ(·, ·) é o movimento do corpo B (subse¸cão 2.4.1), seja a descri¸cão espacial ρ(x, t) da densidade volumétrica de massa, onde x ∈ Pt e Pt ⊂ Bt , sendo Bt a imagem de B por meio da configura¸cão corrente considerada. Qualquer que seja o movimento χ, tem-se d Z ρ dv = 0 , dt Pt

(3.38)

porque a eq. 3.35 indica que a altera¸cão temporal da configura¸cão corrente de uma mesma região material P não modifica a massa da configura¸cão corrente. A garantia de que a eq. 3.38 seja satisfeita para qualquer movimento χ só pode ser obtida mediante a imposi¸cão de que, na eq. 3.1 (descri¸cão espacial), se ψ = ρ,

ent˜ao

Φψ = 0

σψ = 0 .

Logo, a satisfa¸cão da eq. 3.38 é suficiente para a satisfa¸cão das u ´ltimas duas igualdades R destacadas. Lembrando que a lei clássica de conserva¸cão de Pt ψ dv é o conjunto de condi¸cões suficientes para que Φψ = σψ = 0 na eq. 3.1 (subse¸cão 3.1.1), percebe-se que a eq. 3.38 é a lei cl´ assica de conserva¸c˜ ao da massa. 124

Logo, para que o movimento provoque uma altera¸cão temporal da configura¸cão corrente de uma mesma região material P, mas esta altera¸cão não modifique a massa da configura¸cão corrente, ou seja, para garantir que, no enfoque clássico, a eq. 3.38 seja obedecida, o conceito f´ısico de região material de um corpo deve ser imaginado de modo tal que, obrigatoriamente, Φψ e σψ sejam nulos na eq. 3.1. Mas suponha, por exemplo, que por causa de difusão ocorresse uma altera¸cão nas concentra¸cões das espécies qu´ımicas presentes em P, mesmo sem que houvesse rea¸cão qu´ımica em P. Neste caso, o movimento incluiria as mudan¸cas produzidas pela difusão (talvez devesse, então, ser chamado de processo) e um conceito f´ısico de P, imaginado de modo a garantir que Φψ = σψ = 0 na eq. 3.1, em geral permitiria que a difusão modificasse o escalar M (P). Logo, para tal conceito de P a eq. 3.38 não seria obedecida, embora a lei clássica de conserva¸cão da massa continuasse satisfeita. Isto seria inaceitável, porque a obediência à eq. 3.38 é, conforme já afirmado, uma consequência da eq. 3.35, sendo esta u ´ltima um postulado básico da presente teoria. Logo, em tal situa¸cão obrigatoriamente o conceito f´ısico de P teria que ser alterado, o que exigiria que a eq. 3.1 fosse modificada. De fato, se a eq. 3.1 inclu´ısse fluxos ou suprimentos estat´ısticos, a obediência à eq. 3.38 exigiria anula¸cão de outras grandezas, além de Φψ e σψ , logo eq. 3.38 não seria apenas a lei clássica de conserva¸cão da massa. Como a difusão não é explicada por meio de algum modelo clássico do comportamento da matéria, ela não é englobada pela eq. 3.1. Entretanto, se ao segundo membro da eq. 3.1 fossem adicionadas parcelas referentes ao efeito da difusão, a defini¸cão dada pela eq. 3.38 seria a lei clássica e difusiva de conserva¸cão da massa. Neste caso, o conceito f´ısico de P seria imaginado de modo a que, adicionalmente a Φψ e σψ , fossem também anuladas as parcelas do segundo membro da eq. 3.1 referentes ao efeito de difusão. Em resumo, na teoria apresentada impõe-se que a massa de toda parte material de qualquer corpo não se altere durante o movimento (ou processo), o que pode ser representado pela eq. 3.38. De acordo com o que aconte¸ca ao corpo, a obediência à eq. 3.38 pode corresponder apenas à lei clássica de conserva¸cão da massa, ou exigir leis de converva¸cão mais restritivas, como no exemplo dado, onde a lei de conserva¸cão é clássica e difusiva. Leis de conserva¸cão mais restritivas exigem a adi¸cão de termos ao segundo membro da eq. 3.1 e, também, exigem a reformula¸cão do conceito f´ısico de P e a amplia¸cão do conceito de movimento. Cabe, ainda, ressaltar que: 1. Neste texto, apenas o enfoque clássico é considerado (difusão, rea¸cão qu´ımica etc. não são consideradas). 2. A massa é um conceito primitivo. Por isto, impõe-se que a distribui¸cão de massa, logo também a densidade volumétrica de massa, sejam objetivas sob transforma¸cão euclideana (subse¸cão 2.6.1). 3. Toda teoria na qual exista a fun¸cão ρβ : Bβ → <+ , sendo β qualquer configura¸cão, é uma teoria para meio cont´ınuo em B. Por exemplo, a fun¸cão ρβ não existiria numa teoria que supusesse pontos mássicos (locais com volume nulo e massa não nula) imersos num ambiente de massa nula, ou seja, que admitisse uma distribui¸cão discreta de massas. Logo, tal teoria não poderia ser classificada como uma teoria para meios cont´ınuos. Para obter um conceito f´ısico realista 125

da parte P ⊂ B, que seja coerente com as parcelas inclu´ıdas no membro direito da eq. 3.1 (generalizada, ou não, por meio da inclusão de fluxos ou suprimentos estat´ısticos), pode ser mais conveniente visualizar uma distribui¸cão discreta de massas do que uma distribui¸cão cont´ınua. Mas, embora tal visualiza¸cão discreta possa ser u ´til à compreensão do problema, é necessário lembrar que ela é absolutamente inconsistente com qualquer teoria de meio cont´ınuo. Considerando (descri¸cão espacial) ψ = ρ e σψ = 0 , além de divΦψ = 0 na eq. 3.11 e Φψ = 0 na eq. 3.13, as eqs. 3.11 e 3.13 indicam respectivamente que ∂ρ ˙ =0 + div(ρx) e kρ(x˙ · n − un )k = 0 . (3.39) ∂t As eqs. 3.39 estão na descri¸cão espacial. A segunda, entre elas, indica que só existirá descontinuidade em x˙ se houver descontinuidade em ρ e vice-versa. Mas, como o valor ρ é necessariamente real, apenas descontinuidades finitas podem ocorrer. Pode ser mais conveniente escrever esta igualdade em termos das velocidades locais de propaga¸cão definidas pela eq. 3.14, obtendo-se imediatamente kρ U k = 0 .

(3.40)

Por outro lado, para a primeira entre as eqs. 3.39 pode ser mais u ´til utilizar a descri¸cão material da derivada temporal da densidade volumétrica de massa. Para efetuar esta transforma¸cão pode-se lembrar que, de acordo com o primeiro item do comentário 1.3.20 ˙ = x˙ · gradρ + ρ divx, ˙ enquanto (expressões para divergência e laplaciano), tem-se div(ρx) que, de acordo com a primeira entre as eqs. 2.31, tem-se ρ˙ = (∂ρ/∂t) + x˙ · gradρ. Portanto, a primeira entre as eqs. 3.39 pode ser escrita ρ˙ + ρ divx˙ = 0,

(3.41)

ainda na descri¸cão espacial (lembrar a equa¸cão f = f (X, t) = f (x, t) da subse¸cão 2.4.2). A eq. 3.41 costuma ser chamada equa¸c˜ ao da continuidade. A eq. 3.6 indica que divx˙ = 0 quando um fluido for incompress´ıvel. Substituindo esta indica¸cão na eq. 3.41 tem-se, então, que ρ˙ = 0 (3.42) quando um fluido for incompress´ıvel, resultado este que é esperado. A partir da eq. 3.41 obtém-se duas expressões muito u ´teis, que serão apresentadas sem demonstra¸cão. Tem-se que, para qualquer quantidade tensorial ψ, ∂(ρψ) ρψ˙ = + div(ρψ ⊗ v) ∂t

(3.43)

mas, se ψ(x, t) for uma fun¸cão arbitrária, para a imagem Pt de qualquer região material ter-se-á Z d Z ˙ dv . ψρ dv = ψρ (3.44) dt Pt Pt

3.3 3.3.1

Dinˆ amica Momentos Linear Angular

Seja χ(·, t) uma configura¸cão corrente pertencente ao movimento χ(·, ·) do corpo B (subse¸cão 2.4.1) e seja uma região material P ⊂ B. Define-se o vetor momento li126

near de P, em χ(·, t), pela express˜ao P(P, t) =

ρ x˙ dv ,

(3.45)

sendo Pt ⊂ Bt a imagem da configura¸cão corrente, no instante t, da região material (subse¸cão 3.1.1) P ⊂ B. Define-se, também, o tensor antissimétrico momento angular de P em rela¸cão a x◦ ∈ E, em χ(·, t), pela expressão Hx◦ (P, t) =

Z Pt

ρ (x − x◦ ) ∧ x˙ dv .

(3.46)

Os primeiros membros das defini¸cões dadas pelas eqs. 3.45 e 3.46 claramente indicam que, ao contrário da massa, os momentos linear e angular não são medidas da região material P (se¸cão 3.2), uma vez que dependem de P mas, também, de t. Como Hx◦ (P, t) é um tensor antissimétrico (defini¸cão de tensores simétrico e antissimétrico 1.2.18), de acordo com a nota¸cão 1.2.9 (vetor associado a tensor antissimétrico) ele geralmente é representado como um vetor axial. Portanto, na eq. 3.46 o s´ımbolo ∧ pode ser interpretado tanto com indicando um produto externo (defini¸cão de produto externo de vetores 1.2.36) como um produto vetorial (defini¸cão de produto vetorial 1.2.38). Como a velocidade não é objetiva sob transforma¸cão euclideana (subse¸cão 2.6.2), as eqs. 3.45 e 3.46 mostram que P e H também não são objetivos. As leis da dinâmica serão a seguir postuladas, em conformidade com o enfoque clássico de Newton e Euler, de acordo com o qual os movimentos são produzidos pela a¸cão de for¸cas e torques sobre o corpo considerado. Seja f(P, t) o vetor for¸ca total agindo sobre P ⊂ B no instante t e seja mx◦ (P, t) o tensor antissimétrico, ou vetor axial, torque total agindo sobre P ⊂ B no instante t, em rela¸cão a x◦ ∈ E. Na mecânica, for¸cas e torques são conceitos primitivos e, por isto, impõe-se que f(P, t) e mx◦ (P, t) sejam objetivos sob transforma¸cão euclideana. Dados estes conceitos, pode-se agora enunciar as duas leis fundamentais da dinˆ amica: 1. Existe uma estrutura referencial φ, chamada inercial, em rela¸cão à qual, se f(P, t) ˙ = 0, então P(P, t) = 0, para qualquer movimento χ de qualquer região material P ⊂ B. De fato, como a primeira igualdade é indiferente à transforma¸cão euclideana, mas a segunda não é, ocorrendo esta rela¸cão causa-efeito em determinada estrutura referencial, ela não pode ocorrer em todas as outras estruturas referenciais obten´ıveis, a partir da primeira, por transforma¸cão euclideana. Postula-se, portanto, a existência de alguma estrutura referencial em que tal rela¸cão de causaefeito ocorra. 2. Para qualquer movimento em rela¸cão à estrutura inercial, são válidas a primeira e a segunda lei de Euler, respectivamente fornecidas pelas duas equa¸cões a seguir apresentadas: ˙ P(P, t) = f(P, t) e ˙ x◦ (P, t) = mx◦ (P, t) . H

(3.47) (3.48)

Evidentemente, as duas leis de Euler não são objetivas sob transforma¸cão euclideana.

127

Utilizando as eqs. 3.45 e 3.46, com rela¸c˜ao a esta u ´ltima lembrando que as defini¸c˜oes de produto externo e de produto vetorial implicam em que sejam nulos tais produtos para dois vetores iguais e usando a eq. 3.44, tem-se ˙ P(P, t) =

¨ dv ρx

˙ x◦ (P, t) = H

Z Pt

¨ dv . ρ (x − x◦ ) ∧ x

(3.49)

Como a acelera¸cão é indiferente à transforma¸cão galileiana, quando as eqs. 3.49 forem obe˙ eH ˙ também serão indiferentes a tal transforma¸cão. Como f(P, t) e mx◦ (P, t) decidas P são objetivos sob transforma¸cão euclideana, as leis de Euler são objetivas sob transforma¸cão galileiana, ou seja, se φ for uma estrutura de referência inercial, φ∗ também será uma estrutura de referência inercial se e somente se tais estruturas estiverem entre si relacionadas por meio de uma transforma¸cão galileiana. Logo, as leis da dinâmica se apresentarão conforme as mesmas expressões matemáticas, em todas as estruturas de referência entre si relacionadas por meio de transforma¸cões galileianas.

3.3.2

For¸ ca e Torque

No enfoque clássico, a for¸ca total f(P, t), que age sobre P ⊂ B no instante t, pode ser decomposta em duas parcelas aditivas: a for¸ca corporal f b (P, t) que, embora seja produzida por fonte externa a B, age diretamente no interior de P, portanto não é transmitida a P pela superf´ıcie desta parte do corpo (p.e., for¸ca da gravidade), f b (P, t) =

ρ b dv ,

onde

(3.50)

b ´e o vetor densidade m´assica de suprimento de for¸ca corporal e a for¸ca de contato f c (P, t), transmitida a P por meio da mencionada superf´ıcie, c

f (P, t) =

t da ,

onde

(3.51)

∂Pt

t é o vetor densidade de tra¸c˜ ao superficial por unidade de área. Portanto, foi considerado que a intera¸cão entre as diferentes partes do corpo se manifesta somente por meio das for¸cas de contato, logo b = b(x, t), ou seja, a densidade mássica de suprimento de for¸ca corporal não depende do que ocorra em outros pontos do corpo. Por outro lado, para x ∈ ∂Pt tem-se t = t(x, t, ∂Pt ), porque f c (P, t) é a for¸ca exercida, pelo restante do corpo B, sobre sua parte P no instante t, por meio da superf´ıcie ∂Pt , sendo t a densidade desta for¸ca, por unidade de área, no ponto x ∈ ∂Pt . Tem-se, então, a decomposi¸cão da for¸ca total que age sobre P ⊂ B no instante t, Z

f(P, t) =

ρ b(x, t) dv +

Z ∂Pt

t(x, t, ∂Pt ) da .

(3.52)

Analogamente, tem-se a decomposi¸c˜ao do torque total mx◦ (P, t), que age sobre P ⊂ B no instante t, em rela¸c˜ao a x◦ ∈ E, mx◦ (P, t) =

Z Pt

(x − x◦ ) ∧ ρ b dv + 128

Z ∂Pt

(x − x◦ ) ∧ t da .

(3.53)

Convém novamente destacar que o enfoque clássico não permite que uma parte material ou ponto do corpo exer¸ca qualquer influência sobre outra parte material ou ponto do mesmo corpo, a não ser que tal influência seja transmitida por meio da superf´ıcie que delimita cada parte material considerada. Por exemplo, não são considerados os efeitos produzidos por estruturas moleculares polarizadas.

3.3.3

Tensor de Tra¸ c˜ ao de Cauchy

Seja n um vetor de norma unitária, dirigido para fora de Pt e perpendicular a ∂Pt ¯ um vetor de norma unitária, dirigido para fora de P¯t e no ponto x ∈ ∂Pt . Seja n ¯ ∈ ∂ P¯t . O postulado de Cauchy impõe que, se ∂Pt e ∂ P¯t perpendicular a ∂ P¯t no ponto x ¯ , então t(x, t, ∂Pt ) = apresentarem, num ponto x ∈ ∂Pt ∩ ∂ P¯t , um mesmo vetor n = n ¯ t(x, t, ∂ Pt ) . Portanto, o postulado de Cauchy impõe que t(x, t, ∂Pt ) = t(x, t, n) .

(3.54)

Tomando a eq. 3.54 como base, impondo que t(·, t, n) seja uma fun¸cão integrável (conforme já colocado na se¸cão 3.2, toda fun¸cão cont´ınua é integrável, mas o oposto não é ¨ quanto b sejam finitos em Bt , demonstra-se que a primeira verdade) de x e que tanto x lei de Euler (eq. 3.47) implica em t(x, t, −n) = −t(x, t, n) ,

(3.55)

t(x, t, n) = T (x, t)n(x, t) .

(3.56)

que por sua vez implica em

A eq. 3.55 reflete o princ´ıpio de Cauchy, enquanto que a eq. 3.56 representa o teorema de Cauchy. A eq. 3.56 define o tensor de tra¸c˜ ao de Cauchy, T (x, t), que é um campo tensorial de segunda ordem que, aplicado ao campo vetorial n(x, t), produz o vetor tra¸cão superficial t(x, t, n). A tra¸cão superficial t pode ser decomposta num componente perpendicular à superf´ıcie, a tra¸c˜ ao normal (n · t)n = (n · T n)n = (n ⊗ n)T n ,

(3.57)

onde usou-se a eq. 3.56 e a defini¸c˜ao de produto tensorial de vetores ou tensor simples 1.2.12 e uma tra¸c˜ ao de cisalhamento t − (n · t)n = (1 − n ⊗ n)T n ,

(3.58)

onde usou-se a eq. 3.57. Se Ti j forem os componentes de T , em rela¸cão ao sistema cartesiano de coordenadas, então e eq. 3.56 mostra que Ti j é o componente, na dire¸cão do i-ésimo eixo coordenado, do vetor tra¸cão superficial t referente a uma superf´ıcie perpendicular à dire¸cão do j-ésimo eixo coordenado. Por este motivo, os componentes T1 1 , T2 2 e T3 3 são, respectivamente, os componentes normais às superf´ıcies perpendiculares às dire¸cões 1, 2 e 3, enquanto que T2 1 e T3 1 são os componentes de cisalhamento da superf´ıcie perpendicular à dire¸cão 1, 129

T1 2 = T2 1 e T3 2 são os componentes de cisalhamento da superf´ıcie perpendicular à dire¸cão 2, T1 3 = T3 1 e T2 3 = T3 2 são os componentes de cisalhamento da superf´ıcie perpendicular à dire¸cão 3 (a razão da simetria será explicada posteriormente). De um modo geral, os componentes diagonais são chamados componentes normais e os componentes fora da diagonal são chamados componentes de cisalhamento. Alguns espec´ıficos tensores de tra¸cão serão a seguir apresentados: Tensor de Press˜ ao Hidrost´ atica T = −p1 : A eq. 3.56 mostra que, para este tensor, a tra¸cão t sobre qualquer superf´ıcie é o vetor tra¸cão normal −p n, onde o escalar −p recebe o nome press˜ ao hidrost´ atica. Tensor de Tens˜ ao ou Compress˜ ao Pura, ou Uniaxial T = σ(e ⊗ e): Para uma superf´ıcie perpendicular ao vetor e, cuja norma é igual à unidade, a eq. 3.56 mostra, usando a defini¸cão de produto tensorial de vetores ou tensor simples 1.2.12, que t = σ(e ⊗ e)e = σ e, ou seja, mostra que a tra¸cão sobre esta espec´ıfica superf´ıcie é o vetor tra¸cão normal σ e, onde σ é um escalar positivo no caso de tensão e negativo no caso de pressão. Tensor de Cisalhamento Puro T = τ (c ⊗ d + d ⊗ c), não sendo colineares c e d: Se (c∗ , d∗ ) for a base dual de (c, d) (defini¸cão de base dual 1.2.4), usando a eq. 3.56 tem-se τ c∗ τ d∗ e t2 = T ∗ = ∗ d , t1 = T ∗ = ∗ c |d | |d | |c | |c | onde t1 é um vetor tra¸cão de cisalhamento em rela¸cão à superf´ıcie normal ao vetor de norma unitária d∗ /|d∗ |, enquanto que t2 é um vetor tra¸cão de cisalhamento em rela¸cão à superf´ıcie normal ao vetor de norma unitária c∗ /|c∗ |. Por constru¸cão geométrica planar constata-se que o ângulo entre os vetores d e d∗ é igual ao ângulo entre os vetores c e c∗ , porque os dois ângulos apresentam dire¸cões perpendiculares entre si, sendo ambos agudos. Isto causa a igualdade c · c∗ d · d∗ = , |c||c∗ | |d||d∗ | onde c · c∗ = d · d∗ = 1, logo |c| / |d∗ | = |d| / |c∗ | = a . Substituindo, nas primeiras duas expressões destacadas, respectivamente c = |c| (c/|c|) e d = |d| (d/|d|) tem-se, então, t1 = aτ

c |c|

t2 = aτ

d , |d|

logo

|t1 | = |t2 | = aτ .

Tensor de Tra¸c˜ ao Planar: Se, para um determinado j fixo, acontecer que T1 j = Tj 1 = 0, T2 j = Tj 2 = 0 e T3 j = Tj 3 = 0, ter-se-á um tensor de tra¸cão planar, porque o vetor t pertencerá ao plano dos outros dois vetores de base. Tensores de tensão ou compressão pura, bem como tensores de cisalhamento puro, são casos especiais de tensores de tra¸cão planar.

130

3.3.4

Balanceamento de Momentos Linear e Angular

Usando as eqs. 3.45 (defini¸cão de momento linear) e 3.52 (decomposi¸cão da for¸ca total), numa estrutura inercial (subse¸cão 3.3.1) a eq. 3.47 (primeira lei de Euler) pode ser escrita Z Z d Z ρ x˙ dv = ρ b dv + t da . dt Pt Pt ∂Pt

(3.59)

A eq. 3.59, usando a eq. 3.56 (defini¸cão do tensor de tra¸cão de Cauchy), por sua vez pode ser escrita Z Z d Z ρ x˙ dv = ρ b dv + T n da , (3.60) dt Pt Pt ∂Pt chamada primeira lei de Cauchy. Comparando a eq. 3.60 com a eq. 3.1 tem-se que, no enfoque clássico, na configura¸cão corrente e utilizando a descri¸cão espacial, ψ = ρ x˙ ,

Φψ = T

σψ = ρ b .

Portanto, T = b = 0 é uma condi¸cão suficiente para que Φψ = σψ = 0 na eq. 3.1, logo T = b = 0 é a lei de cl´ assica conserva¸c˜ ao do momento linear (subse¸cão 3.1.1). Porém, para o momento linear, também poderia ser deduzida uma lei de conserva¸cão não apenas clássica, analogamente ao que foi indicado para o caso da massa. De fato, se a eq. 3.1 fosse generalizada por meio da adi¸cão, ao seu segundo membro, de parcelas referentes a fluxos ou suprimentos estat´ısticos, a compara¸cão dela com a eq. 3.60 mostraria que a conserva¸cão do momento linear ocorreria se T = b = 0 e se, além disto, na eq. 3.1 fossem anuladas todas as parcelas referentes a fluxos ou suprimentos estat´ısticos. Deve-se adicionalmente lembrar que, conforme ressaltado na subse¸cão 3.3.2, o enfoque clássico não permite que uma parte material ou ponto do corpo exer¸ca qualquer influência sobre outra parte material ou ponto do mesmo corpo, a não ser que tal influência seja transmitida por meio da superf´ıcie que delimita cada parte material considerada. Para incluir tais influências, a eq. 3.60 deveria ser alterada. ˙ Φψ = T e σψ = ρ b, as eqs. Retornando ao enfoque clássico e considerando ψ = ρ x, 3.11 e 3.13 indicam respectivamente que ∂ ˙ + div(ρ x˙ ⊗ x˙ − T ) − ρ b = 0 (ρ x) ∂t

˙ x˙ · n − un )k − kT kn = 0 . (3.61) kρ x(

A primeira entre as eqs. 3.61, que é a forma local da primeira lei de Cauchy para pontos regulares, costuma ser chamada equa¸c˜ ao do movimento. Assim como ocorre com a primeira entre as eqs. 3.39, ela contém a descri¸cão espacial da derivada temporal, mas pode ser mais u ´til a descri¸cão material desta derivada. Para se efetuar esta transforma¸cão, ˙ / ∂t + div(ρ x˙ ⊗ x) ˙ = ρ¨ basta perceber que a eq. 3.43 indica que ∂(ρ x) x . Por isto, uma expressão mais usual da equa¸cão de movimento é ρ¨ x − div T = ρ b ,

(3.62)

a qual mostra que a conserva¸cão do momento linear, para um ponto regular, implica em ¨ = 0. Por outro lado, assim como ocorre com a segunda entre as eqs. 3.39, às vezes é x mais conveniente escrever a segunda entre as eqs. 3.61 em termos das velocidades locais de propaga¸cão definidas pela eq. 3.14, obtendo-se imediatamente ˙ + kT kn = 0 . kρ U xk 131

(3.63)

Usando as eqs. 3.46 (defini¸c˜ao do momento angular) e 3.53 (decomposi¸c˜ao do torque total em materiais apolares), numa estrutura inercial a eq. 3.48 (segunda lei de Euler) pode ser escrita Z Z d Z ρ (x − x◦ ) ∧ x˙ dv = (x − x◦ ) ∧ ρ b dv + (x − x◦ ) ∧ t da . dt Pt Pt ∂Pt

(3.64)

A eq. 3.64, usando a eq. 3.56 (defini¸cão do tensor de tra¸cão de Cauchy), por sua vez pode ser escrita Z Z d Z ρ (x − x◦ ) ∧ x˙ dv = (x − x◦ ) ∧ ρ b dv + (x − x◦ ) ∧ T n da , (3.65) dt Pt Pt ∂Pt denominada segunda lei de Cauchy. Comparando a eq. 3.65 com a eq. 3.1 tem-se que, no enfoque clássico, na configura¸cão corrente e utilizando a descri¸cão espacial, ψ = (x − x◦ ) ∧ ρ x˙ ,

Φψ = (x − x◦ ) ∧ T

σψ = (x − x◦ ) ∧ ρ b .

Como o ponto x◦ é completamente arbitrário, T = b = 0 é uma condi¸cão suficiente para que Φψ = σψ = 0 na eq. 3.1, logo T = b = 0 é a lei cl´ assica de conserva¸c˜ ao do momento angular. Note que os momentos linear e angular apresentam a mesma lei clássica de conserva¸cão, cabendo considera¸cões análogas sobre a sua generaliza¸cão. Logo, impor T = b = 0 na eq. 3.1 é suficiente para que ambos os dois momentos se conservem, embora, sem a imposi¸cão desta condi¸cão, cada um deles ainda possa ser individualmente conservado, mediante a cria¸cão de v´ınculos espec´ıficos não permitidos pelas leis de conserva¸cão (subse¸cão 3.1.1). A substitui¸cão de ψ = (x − x◦ ) ∧ ρ x˙ , Φψ = (x − x◦ ) ∧ T e σψ = (x − x◦ ) ∧ ρ b na eq. 3.13 leva, novamente, à segunda entre as eqs. 3.61. Por outro lado, efetuando esta mesma substitui¸cão na eq. 3.11, após várias transforma¸cões algébricas obtém-se, por meio do uso da eq. 3.62, T = TT, (3.66) que é a forma local da segunda lei de Cauchy para pontos regulares. O fato de T ser simétrico apresenta importante consequência. De fato, de acordo com o teorema 1.2.6 (espectral: autovalores de tensor simétrico), a simetria de T garante que existam três campos vetoriais ortonormais n(x, t) tais que, para cada um deles, T (x, t)n(x, t) = σ(x, t)n(x, t) ,

(3.67)

onde o escalar real σ(x, t) (autovalor) é chamado tra¸c˜ ao principal, enquanto que o vetor n(x, t) (autovetor) é denominado dire¸c˜ ao principal. de T (x, t). Embora hajam três dire¸cões principais, existem no máximo três diferentes tra¸cões principais a elas correspondentes. Por exemplo, para o tensor de pressão hidrostática T = −p1 (subse¸cão 3.3.3), toda dire¸cão é uma dire¸cão principal e o escalar −p é a tra¸cão principal. Aliás, uma situa¸cão comum é a de um escoamento com pressão hidrostática T = −p1 e densidade mássica suprimento de for¸ca corporal b = −grad φ. Para esta situa¸cão, o teorema de Bernouilli demonstra que se ∂v/∂t = 0 , então

v2 1 + φ) + v · grad p = 0 e (3.68) 2 ρ 2 v 1 grad( + φ) + grad p = 0 . (3.69) 2 ρ

v · grad(

se ∂v/∂t = 0 e rot v = 0 , ent˜ao 132

3.3.5

Balanceamento de Energia Cin´ etica

˙ ConPode-se efetuar o produto interno dos termos da eq. 3.62 pelo vetor velocidade x. siderando que ˙ , x˙ · ρ¨ x = ρ dtd ( 12 x˙ · x) ˙ − tr(T T ∇x) ˙ , de acordo com o item 2 do comentário 1.3.20 (exx˙ · div T = div(T T x) pressões para divergência e laplaciano), ˙ = div(T x) ˙ , de acordo com a eq. 3.66 e div(T T x) ˙ = T · grad x˙ , de acordo com a defini¸cão de produto interno tensorial 1.2.27, tr(T T ∇x) obtém-se d 1 ˙ = div(T x) ˙ + ρx˙ · b − T · grad x˙ . ( x˙ · x) (3.70) dt 2 Tanto a primeira entre as eqs. 3.61, quanto a equa¸cão de movimento 3.62, são equa¸cões vetoriais que expressam a forma local, para pontos regulares, da primeira lei de Cauchy, a qual é o balanceamento clássico de momento linear, na configura¸cão corrente e utilizando a descri¸cão espacial, referente a uma estrutura inercial. Já a eq. 3.70 é escalar, porque interrelaciona as proje¸cões dos vetores, presentes na eq. 3.62, sobre a dire¸cão do vetor ˙ enquanto velocidade x˙ (nesta igualdade, todas as proje¸cões aparecem multiplicadas |x|), que a eq. 3.66, também envolvida na dedu¸cão da eq. 3.70, é tensorial e se refere à segunda lei de Cauchy, que é o balanceamento clássico de momento angular. Porém, no mais as eqs. 3.61, 3.62, 3.66 e 3.70 têm exatamente as mesmas caracter´ısticas. Seja χ(·, t) uma configura¸cão corrente pertencente ao movimento χ(·, ·) do corpo B (subse¸cão 2.4.1) e seja uma região material (subse¸cão 3.1.1) P ⊂ B. Define-se a energia cin´ etica da região material P, em χ(·, t), pela expressão ρ

K(P, t) =

1Z ρ x˙ · x˙ dv , 2 Pt

(3.71)

sendo Pt ⊂ Bt a imagem da região material P ⊂ B, por meio da configura¸cão corrente χ(·, t). Se já tivessem sido definidas as grandezas Φψ e σψ referentes à energia cinética, ˙ considerando ψ = ρ x˙ · x/2 na eq. 3.11 ter-se-ia a forma local, para pontos regulares, do balanceamento clássico de energia cinética, na configura¸cão corrente e utilizando a ∂ ρ ˙ ( 2 x˙ · x). Como a descri¸cão espacial. Tal forma local, portanto, envolve a derivada ∂t eq. 3.70, que resulta da aplica¸cão da eq. 3.11 aos momentos linear e angular, envolve a ˙ convém relacionar entre si estas duas derivadas. Tem-se, então, derivada ρ dtd ( 12 x˙ · x), ∂ ρ ˙ = ( x˙ · x) ∂t 2 d ρ ρ ˙ − x˙ · grad( x˙ · x) ˙ = ( x˙ · x) (primeira entre as eqs. 2.31) dt 2 2 d 1 dρ 1 ρ ˙ + ( x˙ · x) ˙ − x˙ · grad( x˙ · x) ˙ = ρ ( x˙ · x) dt 2 dt 2 2 d 1 ρ ρ ˙ − [( x˙ · x) ˙ divx˙ + x˙ · grad( x˙ · x)] ˙ = ρ ( x˙ · x) (eq. 3.41) dt 2 2 2 d 1 ρ ˙ − div[( x˙ · x) ˙ x] ˙ (item 1 do comentário 1.3.20). = ρ ( x˙ · x) dt 2 2 133

(3.72)

Como x˙ é completamente arbitrário, a eq. 3.72 mostra que os balanceamentos de momentos linear e angular implicam no balanceamento de energia cinética. ˙ x/2] ˙ De fato, subtra´ındo div[(ρx˙ · x) aos dois membros da eq. 3.70 tem-se ∂ ρ ρ ˙ = div[T x˙ − ( x˙ · x) ˙ x] ˙ + ρx˙ · b − T · grad x˙ , ( x˙ · x) ∂t 2 2

(3.73)

que é a forma local do balanceamento clássico de energia cinética em ponto regular. Comparando a eq. 3.73 com a eq. 3.11 percebe-se que ρ ψ = x˙ · x˙ , 2

Φψ = T x˙

σψ = ρx˙ · b − T · grad x˙ .

Aplicando as u ´ltimas três equa¸cões destacadas à eq. 3.1 obtém-se a forma integral de balanceamento clássico da energia cinética, na configura¸cão corrente e utilizando a descri¸cão espacial, referente a uma estrutura inercial, Z Z d Z ρ ˙ dv , x˙ · x˙ dv = T x˙ · n da + (ρx˙ · b − T · grad x) dt Pt 2 ∂Pt Pt

onde

(3.74)

T x˙ · n = n · T T x˙ = x˙ · T n = x˙ · t, sendo a primeira igualdade devida à eq. 3.66, a segunda à defini¸cão de transforma¸cão linear transposta 1.2.17 e a terceira à eq. 3.56 (defini¸cão de R ˙ tensor de tra¸cão de Cauchy). Como a potˆ encia cin´ etica K(P, t) = dtd Pt ρ2 x˙ · x˙ dv, a eq. 3.74 pode, então, ser escrita ˙ K(P, t) =

x˙ · t da +

ρx˙ · b dv −

∂Pt

T · grad x˙ dv ,

(3.75)

onde os termos ∂Pt x˙ · t da e Pt ρ x˙ · b dv são absolutamente coerentes com os termos R que definem as respectivas for¸cas mecânicas f c (P, t) = ∂Pt t da (eq. 3.51) e f b (P, t) = R encia mecˆ anica transmitida à região material Pt ρ b dv (eq. 3.50), constituindo a potˆ P, em χ(·, t), Z Z P (P, t) = x˙ · t da + ρx˙ · b dv . (3.76) R

∂Pt

Quanto à eq. 3.13, a descontinuidade de x˙ sobre a superf´ıcie singular faz grad x˙ divergir sobre tal superf´ıcie. Portanto, não existe, para a energia cinética, uma expressão ˙ porém, com a forma da eq. 3.13. O aparecimento do produto interno tensorial T · grad x, produz mais consequências, cujas caracter´ısticas até a este ponto do texto ainda não tinham ocorrido, do que somente impedir a existência de uma equa¸cão de RankineHugoniot para a energia cinética. De fato, trata-se de um suprimento produzido por fonte necessariamente interna à região material P, o que indica que a energia cinética não é uma grandeza conservativa, portanto indica que não existe uma lei de conserva¸cão da energia cinética, fosse ela clássica ou não (subse¸cão 3.1.1), embora o balanceamento de energia cinética tenha sido obtido a partir dos balanceamentos de momentos linear e angular, os quais apresentam uma mesma lei de conserva¸cão. Como a lei clássica de conserva¸cão dos momentos linear e angular é T = b = 0 na eq. 3.1, ou seja, é T (x, t) = t(x, t) = 0 | x ∈ ∂P e b(x, t) = 0 | x ∈ P, sempre que for imposta esta lei as eqs. 3.76 e 3.75 tornar-se-ão, respectivamente, P (P, t) = 0 e K˙ P =0 (P, t) = −

Z Pt

134

T · grad x˙ dv ,

(3.77)

onde KË&#x2122; P =0 (P, t) Â´e a potË&#x2020; encia cinÂ´ etica sem potË&#x2020; encia mecË&#x2020; anica. Substituindo as eqs. 3.76 e 3.77 na eq. 3.75 obtÂ´em-se Ë&#x2122; K(P, t) = P (P, t) + KË&#x2122; P =0 (P, t) .

(3.78)

Deve-se, porÂém, lembrar que vÂ´Äąnculos especiais podem permitir a conservaÂ¸cË&#x153;ao dos momentos linear e angular sem que seja imposta a lei clÂássica de conservaÂ¸cË&#x153;ao de tais momentos. Em outras palavras, Âé possÂ´Äąvel conservar estes momentos tendo-se, simultaneamente, R Ë&#x2122; P (P, t) 6= 0, logo K(P, t) 6= â&#x2C6;&#x2019; Pt T Âˇ grad xË&#x2122; dv . Qualifica-se como homogË&#x2020; eneo ao processo durante o qual, para todo t, qualquer propriedade intensiva (por exemplo densidade, pressË&#x153;ao, temperatura, concentraÂ¸cË&#x153;ao etc.) apresente o mesmo valor em todos os pontos de Pt , embora tal valor possa variar com t. Impondo que, num processo homogË&#x2020;eneo, a velocidade tambÂém apresente igual valor em todos os pontos, entË&#x153;ao, por definiÂ¸cË&#x153;ao, a homogeneidade exige que grad xË&#x2122; = 0 (nË&#x153;ao confundir com o conceito de material homogË&#x2020;eneo, a ser apresentado no final da seÂ¸cË&#x153;ao 4.3). Portanto, num processo homogË&#x2020;eneo: 1. KË&#x2122; P =0 (P, t) = 0, de acordo com a eq. 3.77. Ë&#x2122; 2. K(P, t) = P (P, t), de acordo com as eqs. 3.78 e com o primeiro item. 3. Existe a lei clÂássica de conservaÂ¸cË&#x153;ao da energia cinÂética e esta coincide com a lei clÂássica de conservaÂ¸cË&#x153;ao dos momentos linear e angular.

3.3.6

Balanceamento de Energias Total e Interna

Conforme um dos conceitos centrais da mecË&#x2020;anica, a energia Âé conservativa. Isto gera a idÂéia de existË&#x2020;encia de uma conservativa energia total, divisÂ´Äąvel em parcelas aditivas, as quais nË&#x153;ao precisariam ser conservativas. Uma parcela nË&#x153;ao conservativa seria a energia cinÂética, jÂá definida pela eq. 3.71. A energia cinÂética Âé um conceito fundamental da dinË&#x2020;amica, intimamente relacionado aos conceitos de momento linear e angular, conforme mostrado na subseÂ¸cË&#x153;ao 3.3.5. Por diferenÂ¸ca, a parte restante da energia total Âé denominada energia interna. Evidentemente, a energia interna deve ser nË&#x153;ao conservativa, sua alteraÂ¸cË&#x153;ao compensando a alteraÂ¸cË&#x153;ao de energia cinÂética, ou seja, numa regiË&#x153;ao material isolada (subseÂ¸cË&#x153;ao 3.1.1) a potË&#x2020;encia que altera a energia cinÂética deve ser, a cada instante, igual e de sinal contrÂário à potË&#x2020;encia que modifica a energia interna. Em outras palavras, tal potË&#x2020;encia deve, apenas, transformar energia cinÂética em interna e vice-versa. Seja Ď&#x2021;(Âˇ, t) uma configuraÂ¸cË&#x153;ao corrente pertencente ao movimento (subseÂ¸cË&#x153;ao 2.4.1) Ď&#x2021;(Âˇ, Âˇ) do corpo B e seja uma regiË&#x153;ao material (subseÂ¸cË&#x153;ao 3.1.1) P â&#x160;&#x201A; B. Define-se a energia interna de P, em Ď&#x2021;(Âˇ, t), pela expressË&#x153;ao E(P, t) =

Ď dv ,

(3.79)

sendo Pt â&#x160;&#x201A; Bt a imagem de P na configuraÂ¸cË&#x153;ao corrente e (x, t) a densidade mÂ´ assica de energia interna. Define-se, tambÂ´em, a potË&#x2020; encia total trocada por Pt â&#x160;&#x201A; Bt , Z â&#x2C6;&#x201A;Pt

xË&#x2122; Âˇ t da +

Z â&#x2C6;&#x201A;Pt

h da +

Z Pt

135

Ď xË&#x2122; Âˇ b dv +

Z Pt

Ď r dv ,

(3.80)

onde os termos â&#x2C6;&#x201A;Pt xË&#x2122; Âˇ t da e Pt Ď xË&#x2122; Âˇ b dv jÂá foram comentados logo apÂós a eq. 3.75. O escalar densidade mÂássica de suprimento de calor r = r(x, t), assim como ocorre com o vetor b, Âé produzido por fonte externa a B (por exemplo, Âé uma radiaÂ¸cË&#x153;ao proveniente de fonte externa ao corpo). Este escalar Âé o anÂálogo, para a energia interna, do que Âé o escalar xË&#x2122; Âˇ b, para a energia cinÂética. O escalar densidade de calor condutivo superficial, h = h(x, t, â&#x2C6;&#x201A;Pt ), Âé o anÂálogo, para a energia interna, do que Âé o escalar xË&#x2122; Âˇ t para a energia cinÂética. ImpË&#x153;oe-se que tanto quanto r e h sejam objetivos sob transformaÂ¸cË&#x153;ao euclideana, porque trata-se de conceitos primitivos. Semelhantemente ao postulado (eq. 3.54), princÂ´Äąpio (eq. 3.55) e teorema de Cauchy (eq. 3.56), o princÂ´Äąpio de fluxo tÂ´ ermico de Fourier-Stokes afirma que R

h(x, t, â&#x2C6;&#x201A;Pt ) = h(x, t, n) = â&#x2C6;&#x2019;q(x, t) Âˇ n(x, t) ,

(3.81)

onde q(x, t) Âé o vetor fluxo tÂ´ ermico. A eq. 3.81 Âé a definiÂ¸cË&#x153;ao de q(x, t). Usando as eqs. 3.71 (definiÂ¸cË&#x153;ao de energia cinÂética), 3.79 (definiÂ¸cË&#x153;ao de energia interna), 3.80 (definiÂ¸cË&#x153;ao de potË&#x2020;encia total trocada, nela fazendo a substituiÂ¸cË&#x153;ao xË&#x2122; Âˇ t = T xË&#x2122; Âˇ n, de acordo com a subseÂ¸cË&#x153;ao 3.3.5, imediatamente apÂós a eq. 3.74) e 3.81 (definiÂ¸cË&#x153;ao do vetor de fluxo tÂérmico q), para uma estrutura inercial obtÂém-se a expressË&#x153;ao para o balanceamento clÂássico de energia total, na configuraÂ¸cË&#x153;ao corrente e utilizando a descriÂ¸cË&#x153;ao espacial, Z Z d Z Ď ( xË&#x2122; Âˇ xË&#x2122; + Ď ) dv = (T xË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; q) Âˇ nda + Ď (xË&#x2122; Âˇ b + r) dv . dt Pt 2 â&#x2C6;&#x201A;Pt Pt

(3.82)

Ao se comparar a eq. 3.82 com a eq. 3.1 obtÂ´em-se Ď&#x2C6;=

Ď xË&#x2122; Âˇ xË&#x2122; + Ď , 2

ÎŚĎ&#x2C6; = T xË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; q

Ď&#x192;Ď&#x2C6; = Ď (xË&#x2122; Âˇ b + r) .

Portanto, a lei clÂ´ assica de conservaÂ¸cË&#x153; ao da energia total (subseÂ¸cË&#x153;ao 3.1.1) Âé obedecida se e somente se T = q = b = r = 0 na eq. 3.82, ou seja, T e q sË&#x153;ao nulos na superfÂ´Äącie, enquanto que b e r sË&#x153;ao nulos em todo ponto da regiË&#x153;ao material. ConvÂém, ainda, lembrar que, desde a subseÂ¸cË&#x153;ao 3.3.2, considera-se que densidades mÂássicas de suprimento nË&#x153;ao dependam do que ocorra em outros pontos do corpo, ou seja, que a interaÂ¸cË&#x153;ao entre as diversas partes do corpo se manifeste somente por meio de contato superficial. AtÂé ao fim da subseÂ¸cË&#x153;ao anterior, isto se referia apenas ao suprimento de forÂ¸ca corporal b e à traÂ¸cË&#x153;ao superficial t = T n. Mas, a partir da presente subseÂ¸cË&#x153;ao, este conceito envolve tambÂém o suprimento de calor r e o calor condutivo superficial h = q Âˇ n. As eqs. 3.11 e 3.13 indicam respectivamente que â&#x2C6;&#x201A; Ď Ď ( xË&#x2122; Âˇ xË&#x2122; + Ď ) + div(( xË&#x2122; Âˇ xË&#x2122; + Ď )xË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; T xË&#x2122; + q) â&#x2C6;&#x2019; Ď (xË&#x2122; Âˇ b + r) = 0 e (3.83) â&#x2C6;&#x201A;t 2 2 Ď Ë&#x2122; Âˇ n = 0. k( xË&#x2122; Âˇ xË&#x2122; + Ď )(xË&#x2122; Âˇ n â&#x2C6;&#x2019; un )k + kq â&#x2C6;&#x2019; T xk (3.84) 2 A eq. 3.83 (equaÂ¸cË&#x153;ao de campo) Âé a forma local, em pontos regulares, da eq. 3.82, enquanto que a eq. 3.84 (equaÂ¸cË&#x153;ao de Rankine-Hugoniot) Âé a forma local da mesma equaÂ¸cË&#x153;ao, mas para pontos sobre uma superfÂ´Äącie singular. Pode ser mais u Â´til escrever a eq. 3.84 em termos das velocidades locais de propagaÂ¸cË&#x153;ao definidas pela eq. 3.14, obtendo-se imediatamente 1 Ë&#x2122; + kT xË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; qk Âˇ n = 0 . (3.85) kĎ U ( + xË&#x2122; Âˇ x)k 2 136

A partir da eq. 3.85 demonstra-se que, supondo que a componente tangencial da velocidade seja contÂ´Äąnua na superfÂ´Äącie singular, tem-se 1 1 kqk Âˇ n = (Ď U )â&#x2C6;&#x2019; k â&#x2C6;&#x2019; (n Âˇ T n) + U 2 k . Ď 2

(3.86)

Subtraindo a eq. 3.73 da eq. 3.83 obtÂ´em-se â&#x2C6;&#x201A;(Ď ) + div(Ď xË&#x2122; + q) â&#x2C6;&#x2019; T Âˇ grad xË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; Ď r = 0. â&#x2C6;&#x201A;t

(3.87)

Como foi subtraÂ´Äąda a equaÂ¸cË&#x153;ao de campo para a energia cinÂética da equaÂ¸cË&#x153;ao de campo da energia total, a eq. 3.87 Âé a equaÂ¸cË&#x153;ao de campo para a energia interna. Comparando as eqs. 3.87 e 3.11 obtÂém-se que Ď&#x2C6; = Ď ,

ÎŚĎ&#x2C6; = â&#x2C6;&#x2019;q

Ď&#x192;Ď&#x2C6; = T Âˇ grad xË&#x2122; + Ď r ,

resultado este absolutamente coerente com os resultados anÂálogos, obtidos para a energia cinÂética e para a energia total. Portanto, assim como a energia cinÂética, a energia interna tambÂém nË&#x153;ao Âé conservativa. A eq. 3.87 contÂém a descriÂ¸cË&#x153;ao espacial da derivada temporal, mas pode ser mais u Â´til a descriÂ¸cË&#x153;ao material desta derivada. Para se efetuar esta transformaÂ¸cË&#x153;ao, nota-se que â&#x2C6;&#x201A;Ď â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A;(Ď ) Ë&#x2122; + Ď Ë&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; Ď (grad ) Âˇ xË&#x2122; = Ď Ë&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; div(Ď x) Ë&#x2122; , = + Ď = â&#x2C6;&#x2019; div(Ď x) â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;t onde foram usadas a primeira entre as eqs. 3.39, a primeira entre as eqs. 2.31 e o item 1 do comentÂário 1.3.20 (expressË&#x153;oes para divergË&#x2020;encia e laplaciano). Substituindo a u Â´ltima expressË&#x153;ao destacada na eq. 3.87, obtÂém-se Ď Ë&#x2122; + div q = T Âˇ grad xË&#x2122; + Ď r .

(3.88)

TambÂém em analogia ao que acontece para a energia cinÂética, nË&#x153;ao existe uma equaÂ¸cË&#x153;ao de Rankine-Hugoniot para a energia interna. Ou seja, ao contrÂário do que ocorre para pontos regulares, nË&#x153;ao Âé possÂ´Äąvel decompor a eq. 3.84 numa expressË&#x153;ao para energia cinÂética e outra para energia interna. A medida que o ponto regular se aproximar da superfÂ´Äącie singular, as divergË&#x2020;encias das energias cinÂética e interna se anularË&#x153;ao entre si, de modo a tender para uma descontinuidade finita para a energia total (eq. 3.84). Conforme destacado logo apÂós a eq. 3.87, para a energia interna deve-se considerar Ď&#x2C6; = Ď , ÎŚĎ&#x2C6; = â&#x2C6;&#x2019;q e Ď&#x192;Ď&#x2C6; = T Âˇ grad xË&#x2122; + Ď r . EntË&#x153;ao, para a energia interna a eq. 3.1 deve ser escrita Z Z Z d Z T Âˇ grad xË&#x2122; dv + Ď r dv , Ď dv = â&#x2C6;&#x2019; q Âˇ n da + dt Pt Pt Pt â&#x2C6;&#x201A;Pt

(3.89)

que Âé o balanceamento clÂássico de energia interna, na configuraÂ¸cË&#x153;ao corrente e utilizando a descriÂ¸cË&#x153;ao espacial, para uma estrutura inercial. Note que, conforme esperado, somando as eqs. 3.74 (balanceamento clÂássico de energia cinÂética) e 3.89 obtÂém-se a eq. 3.82 (balanceamento clÂássico de energia total). Em analogia à definiÂ¸cË&#x153;ao de potË&#x2020;encia mecË&#x2020;anica dada pela eq. 3.76, define-se a potË&#x2020; encia tÂ´ ermica Z Z Q(P, t) = â&#x2C6;&#x2019; q Âˇ n da + Ď r dv . (3.90) Pt

â&#x2C6;&#x201A;Pt

137

Usando as eqs. 3.77 e 3.90, a eq. 3.89 pode ser re-escrita sob a forma ˙ E(P, t) = Q(P, t) − K˙ P =0 (P, t) ,

(3.91)

que é análoga à eq. 3.78. Somando a eq. 3.78 à eq. 3.91 tem-se ˙ ˙ E(P, t) + K(P, t) = Q(P, t) + P (P, t) ,

(3.92)

conforme esperado. De acordo com o primeiro item do u ´ltimo parágrafo da subse¸cão 3.3.5, ˙ para um processo homogêneo tem-se KP =0 (P, t) = 0. Isto indica que, neste processo: 1. As energias cinética e interna não se transformam diretamente uma na outra, porque é anulada a potência transfer´ıvel, K˙ P =0 (P, t). Por isto, tanto a energia cinética como a energia interna são conservativas, apresentado respecticamente as leis clássicas de conserva¸cão {T (x, t) = 0 | x ∈ ∂P , b(x, t) = 0 | x ∈ P} e {q(x, t) = 0 | x ∈ ∂P , r(x, t) = 0 | x ∈ P}. O fato de ser poss´ıvel conservar, separadamente, cada uma das duas energias, confirma que elas não se transformam, diretamente, uma na outra. ˙ 2. Para a energia interna tem-se E(P, t) = Q(P, t), de acordo com a eq. 3.91, enquanto ˙ que, considerando a eq. 3.78, para a energia cinética tem-se K(P, t) = P (P, t). Não se altera, portanto, a eq. 3.92, válida para qualquer processo em meio cont´ınuo. Grafando P 0 (P, t) à potência mecânica correspondente à conserva¸cão dos momentos linear e angular sem que seja imposta a lei clássica de conserva¸cão de tais momentos (ver texto imediatamente após a eq. 3.78), nos processos homogêneos costuma-se subtrair ˙ P 0 (P, t) de ambos os membros da igualdade K(P, t) = P (P, t), que passa a ser escrita 0 0 0 ˙ K (P, t) = P (P, t) − P (P, t), sendo P (P, t) − P (P, t) a potência mecânica correspondente ao movimento de corpo r´ıgido, logo K˙ 0 (P, t) é a potência cinética do movimento de corpo r´ıgido. Por outro lado, nos processos homogêneos costuma-se adicionar P 0 (P, t) a ambos ˙ os membros da igualdade E(P, t) = Q(P, t), obtendo-se E˙ 0 (P, t) = Q(P, t) + P 0 (P, t), chamada primeira lei da termodinˆ amica dos processos homogˆ eneos. Logo, a 0 potência interna E˙ (P, t), a que se refere a primeira lei da termodinâmica dos processos homogêneos, não é a mesma à que se refere a eq. 3.91. De fato, a diferen¸ca entre E˙ 0 (P, t) e a potência total é a potência cinética de corpo r´ıgido K˙ 0 (P, t), não é a potência cinética total definida pela eq. 3.75. Convém, ainda, lembrar que, a rigor, é irrealizável um processo em meio cont´ınuo que mantenha, ao longo de todo o seu tempo de existência, a homogeneidade de todas as suas propriedades intensivas, inclusive da velocidade pontual, mesmo supondo-se que os valores de tais grandezas possam variar no tempo. Porém, quando as velocidades de homogeneiza¸cão das propriedades intensivas e da velocidade pontual forem suficientemente maiores do que a velocidade de avan¸co do processo, dentro da precisão desejada o processo pode ser considerado homogêneo. Mas, para processos em meio cont´ınuo de um modo geral, a primeira lei da termodinâmica deve ser fornecida em termos da energia total, ou seja, por meio das eqs. desde 3.82 até 3.86, ou de expressões obtidas a partir destas igualdades.

138

3.4 3.4.1

Equa¸co ˜es Complementares Equa¸ c˜ oes de Campo e de Rankine-Hugoniot na Descri¸c˜ ao Material

Serão apresentadas as equa¸cões de campo e de Rankine-Hugoniot, na descri¸cão material, para a massa, os momentos linear e angular, a energia interna, a energia total e a energia cinética, quando existirem tais equa¸cões. Massa Como, para a massa, ψ = ρ , Φψ = 0 e σψ = 0 (se¸cão 3.2), de acordo com as eqs. 3.19 tem-se ψκ = |J| ρ = ρκ , Φψκ = 0 e σκψ = 0. (3.93) Logo, usando as eqs. 3.24 e 3.26 tem-se, respectivamente, ρ˙ κ = 0

kρκ k Uκ = 0.

(3.94)

Como considerar Uκ = 0 seria uma particulariza¸cão que, conforme a condi¸cão de compatibilidade cinemática na superf´ıcie singular expressa pela primeira entre as eqs. 3.32, ˙ = 0, a segunda entre as eqs. 3.94 pode ser escrita implicaria em impor kxk kρκ k = 0.

(3.95)

Note que a primeira entre as eqs. 3.93 é a eq. 3.37. Momento Linear Como, para o momento linear, ψ = ρx˙ , Φψ = T e σψ = ρb (subse¸cão 3.3.4, logo após a eq. 3.60), de acordo com as eqs. 3.19 tem-se ψκ = |J| ρx˙ = ρκ x˙ ,

Φψκ = |J| T F −T = Tκ

σκψ = |J| ρb = ρκ b ,

(3.96)

onde na primeira e terceira equa¸c˜ao foi utilizada a primeira entre as eqs. 3.93 e o tensor Tκ ´e denominado tensor de tra¸c˜ ao de Piola-Kirchoff . Logo, usando as eqs. 3.24 e 3.26 tem-se, respectivamente, ¨ − DivTκ − ρκ b = 0 ρκ x

˙ κ + kTκ knκ = 0, kρκ xkU

(3.97)

onde na primeira equa¸c˜ao foi usada a primeira entre as eqs. 3.94. Por meio da primeira entre as eqs. 3.32 e da eq. 3.95, a segunda entre as eqs. 3.97 pode ser escrita kTκ nκ k = ρκ Uκ2 kF nκ k .

(3.98)

Usando a primeira entre as eqs. 2.9, que relaciona eκ daκ com eda e, também, o que foi colocado na subse¸cão 3.1.2, sobre a substitui¸cão de J por |J|, mostra-se que Z ∂Pt

T n da =

Z ∂Pκ

139

Tκ nκ daκ .

(3.99)

Momento Angular De acordo com a subseÂ¸cË&#x153;ao 3.3.4, a equaÂ¸cË&#x153;ao de Rankine-Hugoniot para os momentos linear e angular Âé a mesma na descriÂ¸cË&#x153;ao espacial, logo tambÂém Âé a mesma na descriÂ¸cË&#x153;ao material. Quanto à equaÂ¸cË&#x153;ao de campo, ela Âé, na descriÂ¸cË&#x153;ao espacial, a eq. 3.66, a saber, T = T T . Considerando esta igualdade e a segunda entre as eqs. 3.96, tem-se que TÎşT = |J| F â&#x2C6;&#x2019;1 T ,

(3.100)

logo TÎşT = F â&#x2C6;&#x2019;1 |J|T F â&#x2C6;&#x2019;T F T = F â&#x2C6;&#x2019;1 TÎş F T , onde, na u Â´ltima igualdade, usou-se novamente a segunda entre as eqs. 3.96. Tem-se, portanto, F TÎşT = TÎş F T , que indica que, embora tenha sido usada a igualdade T = T T , nË&#x153;ao foi obtida igualdade anÂáloga para o tensor TÎş . Logo, o tensor de traÂ¸cË&#x153;ao de Piola-Kirchoff nË&#x153;ao Âé simÂétrico. Energia Interna Como, para a energia interna, Ď&#x2C6; = Ď , ÎŚĎ&#x2C6; = â&#x2C6;&#x2019;q e Ď&#x192;Ď&#x2C6; = T Âˇ gradxË&#x2122; + Ď r (subseÂ¸cË&#x153;ao 3.3.6, logo apÂós a eq. 3.87), de acordo com as eqs. 3.19 tem-se Ď&#x2C6;Îş = |J| Ď = Ď Îş ,

ÎŚĎ&#x2C6;Îş = â&#x2C6;&#x2019;|J|F â&#x2C6;&#x2019;1 q = â&#x2C6;&#x2019;q Îş

Ď&#x192;ÎşĎ&#x2C6; = TÎş Âˇ FË&#x2122; + Ď Îş r , (3.101)

onde na primeira equaÂ¸cË&#x153;ao foi utilizada a primeira entre as eqs. 3.93 e o vetor q Îş Â´e denominado vetor fluxo tÂ´ ermico material. A aplicaÂ¸cË&#x153;ao da terceira entre as eqs. 3.19 a Ď&#x192;Ď&#x2C6; = T Âˇ gradxË&#x2122; + Ď r inicialmente produz Ď&#x192;ÎşĎ&#x2C6; = |J|(T Âˇ gradxË&#x2122; + Ď r). Mas tem-se que Ë&#x2122; T ) = tr(|J| T (FË&#x2122; F â&#x2C6;&#x2019;1 )T ) = tr(|J|T F â&#x2C6;&#x2019;T FË&#x2122; T ) = tr(TÎş FË&#x2122; T ) = |J| T Âˇ gradxË&#x2122; = |J| tr(T (gradx) TÎş Âˇ FË&#x2122; , onde para a primeira e u Â´ltima igualdades utilizou-se a definiÂ¸cË&#x153;ao de produto interno de tensores de segunda ordem 1.2.27, na segunda igualdade usou-se a eq. 2.34 e, na quarta, a segunda entre as eqs. 3.96. Usando, ainda, a primeira entre as eqs. 3.93 no termo |J| Ď r , chega-se ao resultado apresentado na terceira entre as eqs 3.101. Logo, usando a eq. 3.24 (lembrar que a energia interna diverge numa superfÂ´Äącie singular), tem-se Ď Îş Ë&#x2122; + Div q Îş â&#x2C6;&#x2019; TÎş Âˇ FË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; Ď Îş r = 0,

(3.102)

onde foi utilizada a primeira entre as eqs. 3.94. Usando a primeira entre as eqs. 2.9, que relaciona eÎş daÎş com eda e, tambÂ´em, o que foi colocado na subseÂ¸cË&#x153;ao 3.1.2, sobre a substituiÂ¸cË&#x153;ao de J por |J|, mostra-se que Z â&#x2C6;&#x201A;Pt

q Âˇ n da =

Z â&#x2C6;&#x201A;PÎş

qÎş Âˇ nÎş daÎş .

(3.103)

Energia Total Como, para a energia total, Ď&#x2C6; = Ď 2 xË&#x2122; Âˇ xË&#x2122; + Ď , ÎŚĎ&#x2C6; = T xË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; q e Ď&#x192;Ď&#x2C6; = Ď (xË&#x2122; Âˇ b + r) (subseÂ¸cË&#x153;ao 3.3.6 logo apÂ´os a eq. 3.82), de acordo com as eqs. 3.19 tem-se Ď Ď Îş xË&#x2122; Âˇ xË&#x2122; + Ď Îş Ď&#x2C6;Îş = |J| ( xË&#x2122; Âˇ xË&#x2122; + Ď ) = 2 2 ÎŚĎ&#x2C6;Îş = |J| F â&#x2C6;&#x2019;1 (T xË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; q) = TÎşT xË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; q Îş Ď&#x192;ÎşĎ&#x2C6; = |J| Ď (xË&#x2122; Âˇ b + r) = Ď Îş (xË&#x2122; Âˇ b + r) ,

140

(3.104)

onde, na primeira e na terceira equaÂ¸cË&#x153;ao, foi utilizada a primeira entre as eqs. 3.93. Usando a eq. 3.100 conjuntamente com a segunda entre as eqs. 3.101, confirma-se a u Â´ltima igualdade da segunda equaÂ¸cË&#x153;ao. Logo, utilizando as eqs. 3.24 e 3.26 tem-se, respectivamente, Â¨ + ) Ë&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; Ď Îş (xË&#x2122; Âˇ b + r) = 0 Ď Îş (xË&#x2122; Âˇ x Ë&#x2122; + Div(q Îş â&#x2C6;&#x2019; TÎşT x) 1 e kĎ Îş ( xË&#x2122; Âˇ xË&#x2122; + )kUÎş + kTÎşT xË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; q Îş k Âˇ nÎş = 0, 2

(3.105)

onde, na primeira equaÂ¸cË&#x153;ao, foi usada a primeira entre as eqs. 3.94. Por meio da condiÂ¸cË&#x153;ao de compatibilidade cinemÂ´atica na superfÂ´Äącie singular expressa pelas eqs. 3.32, a segunda entre as eqs. 3.105 pode ser escrita kqÎş k Âˇ nÎş = UÎş ( kĎ Îş k â&#x2C6;&#x2019; < TÎş nÎş > Âˇ kF nÎş k) ,

(3.106)

onde usa-se o sÂ´Äąmbolo < A >= (A+ + Aâ&#x2C6;&#x2019; )/2 para o valor mÂ´edio de A sobre a superfÂ´Äącie singular. Energia CinÂ´ etica SubtraÂ´Äąndo a eq. 3.102 da primeira entre as eqs. 3.105 (veja a seÂ¸cË&#x153;ao 3.3.6), obtÂ´em-se Â¨ â&#x2C6;&#x2019; Div(TÎşT x) Ë&#x2122; + TÎş Âˇ FË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; Ď Îş xË&#x2122; Âˇ b = 0, Ď Îş xË&#x2122; Âˇ x

(3.107)

que corresponde ao uso da eq. 3.24 para a energia cinÂ´etica (lembrar que a energia cinÂ´etica diverge numa superfÂ´Äącie singular).

3.4.2

CondiÂ¸ cË&#x153; oes de Fronteira do Corpo

A fronteira do corpo, em determinado instante t, sË&#x153;ao os pontos da imagem â&#x2C6;&#x201A;Bt de sua superfÂ´Äącie material (subseÂ¸cË&#x153;ao 3.1.1), sendo nulas as velocidades locais de propagaÂ¸cË&#x153;ao U Âą = un â&#x2C6;&#x2019; xË&#x2122; Âą Âˇn (eq. 3.14). Por isto, na fronteira a descriÂ¸cË&#x153;ao espacial dos balanceamentos locais em pontos singulares, para momento linear e angular (eq. 3.63) e energia total (eq. 3.85), sË&#x153;ao respectivamente kT k n = 0

kqk Âˇ n = kxË&#x2122; Âˇ T nk ,

onde, para a segunda equaÂ¸cË&#x153;ao, considerou-se T Âą xË&#x2122; Âą Âˇn = xË&#x2122; Âą ÂˇT Âą n, por causa da definiÂ¸cË&#x153;ao de transformaÂ¸cË&#x153;ao linear transposta 1.2.17 e da equaÂ¸cË&#x153;ao de campo para momento angular (eq. 3.66) T = T T . Mas, como a primeira entre as u Â´ltimas duas expressË&#x153;oes destacadas mostra que T Âé bem determinado na fronteira, tem-se T Âą = T , logo a segunda, entre tais expressË&#x153;oes, pode ser escrita Ë&#x2122; Âˇ T n. kqk Âˇ n = kxk (3.108) A eq. 3.108 mostra que, se a fronteira for fixa (xË&#x2122; = 0) ou livre (T n = 0), para todas as configuraÂ¸cË&#x153;oes correntes e para a configuraÂ¸cË&#x153;ao referencial, entË&#x153;ao a componente normal do vetor fluxo tÂérmico serÂá, sempre, bem definida na fronteira. Se a componente normal do vetor fluxo tÂérmico for, sempre, bem definida na fronteira, como, por exemplo, acontece nos dois casos citados no parÂágrafo anterior, entË&#x153;ao o corpo poderÂá apresentar uma fronteira adiabÂ´ atica, ou seja, termicamente isolante, o que

141

indica que a componente normal do vetor fluxo tÂ´ermico serÂ´a sempre nula na fronteira. Optativamente, pode-se usar, para a fronteira, a descriÂ¸cË&#x153;ao material dos balanceamentos locais em pontos singulares, para momento linear (segunda entre as eqs. 3.97) e energia total (segunda entre as eqs. 3.105). Lembrando que UÎş = 0 sobre a fronteira do corpo, tem-se entË&#x153;ao, respectivamente, kTÎş k nÎş = 0

kTÎşT xË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; qÎş k Âˇ nÎş = 0 .

A primeira equaÂ¸cË&#x153;ao mostra que TÎş Âé bem determinado na fronteira e, para a segunda equaÂ¸cË&#x153;ao, considera-se (TÎşT )Âą xË&#x2122; Âą Âˇ nÎş = xË&#x2122; Âą Âˇ TÎşÂą nÎş . Mas, como TÎş Âé bem determinado na fronteira, tem-se TÎşÂą = TÎş , logo a segunda, entre as u Â´ltimas duas equaÂ¸cË&#x153;oes destacadas, pode ser escrita Ë&#x2122; Âˇ TÎş nÎş = kqÎş k Âˇ nÎş . kxk (3.109) A eq. 3.109 confirma que, se a fronteira for fixa ou livre, entË&#x153;ao a componente normal do vetor de fluxo tÂérmico material serÂá bem definida na fronteira. Evidentemente, sempre a componente normal do vetor fluxo tÂérmico material for bem definida na fronteira, ela poderÂá ser nula, o que ocorre no caso de fronteira adiabÂática.

3.4.3

EquaÂ¸ cË&#x153; oes de Campo em Estrutura Referencial ArbitrÂ´ aria

Grandezas Objetivas nas EquaÂ¸cË&#x153; oes de Campo Ao longo deste capÂ´Äątulo, foram definidas vÂárias grandezas objetivas, em relaÂ¸cË&#x153;ao à transformaÂ¸cË&#x153;ao euclideana (subseÂ¸cË&#x153;ao 2.6.1). Entre elas, podem ser destacadas: 1. O escalar massa M (P), logo o escalar densidade volumÂétrica de massa Ď (seÂ¸cË&#x153;ao 3.2). Portanto (primeira entre as eqs. 2.69), Ď â&#x2C6;&#x2014; (xâ&#x2C6;&#x2014; , tâ&#x2C6;&#x2014; ) = Ď (x, t). 2. Os vetores forÂ¸ca f(P, t) e torque mxâ&#x2014;Ś (P, t) (subseÂ¸cË&#x153;ao 3.3.1), logo os vetores densidade mÂássica de suprimento de forÂ¸ca corporal b (eq. 3.50) e traÂ¸cË&#x153;ao superficial t (eq. 3.51), assim como o tensor de traÂ¸cË&#x153;ao de Cauchy T (eq. 3.56). Portanto (respectivamente segunda e terceira entre as eqs. 2.69), bâ&#x2C6;&#x2014; (xâ&#x2C6;&#x2014; , tâ&#x2C6;&#x2014; ) = Q(t)b(x, t)

T â&#x2C6;&#x2014; (xâ&#x2C6;&#x2014; , tâ&#x2C6;&#x2014; ) = Q(t)T (x, t)QT (t)

3. Os escalares densidade mÂássica de energia interna , densidade mÂássica de suprimento de calor r e densidade de calor condutivo superficial h (seÂ¸cË&#x153;ao 3.3.6), logo o vetor de fluxo tÂérmico q (eq. 3.81). Portanto, â&#x2C6;&#x2014; (xâ&#x2C6;&#x2014; , tâ&#x2C6;&#x2014; ) = (x, t) ,

râ&#x2C6;&#x2014; (xâ&#x2C6;&#x2014; , tâ&#x2C6;&#x2014; ) = r(x, t)

qâ&#x2C6;&#x2014; (xâ&#x2C6;&#x2014; , tâ&#x2C6;&#x2014; ) = Q(t)q(x, t) .

Na subseÂ¸cË&#x153;ao 2.6.3 foi indicado que o gradiente da velocidade L = grad xË&#x2122; satisfaz `a eq. 2.82, a qual pode ser re-escrita sob a forma Ë&#x2122; â&#x2C6;&#x2014; = Q (grad x) Ë&#x2122; QT + â&#x201E;Ś , (grad x)

(3.110)

onde â&#x201E;Ś = QË&#x2122; QT Â´e um tensor antissimÂ´etrico denominado tensor de velocidade angular de Ď&#x2020;â&#x2C6;&#x2014; em relaÂ¸cË&#x153;ao a Ď&#x2020; (eq. 2.72). Tem-se, entË&#x153;ao, que: 142

A. Considerando que, de acordo com a definiÂ¸cË&#x153;ao de divergË&#x2020;encia de campo vetorial 1.3.11, tem-se divu(x) = tr(â&#x2C6;&#x2021;x u) e que trâ&#x201E;Ś = 0, porque â&#x201E;Ś Âé antissimÂétrico, Ë&#x2122; â&#x2C6;&#x2014; = tr(Q (grad x) Ë&#x2122; QT ). Mas, de acordo com o a eq. 3.110 mostra que tr(grad x) Ë&#x2122; QT ) = item 5 do comentÂário 1.2.29 (propriedades dos traÂ¸cos), tem-se tr(Q (grad x) Ë&#x2122; QT Q) = tr(grad x), Ë&#x2122; porque Q Âé ortogonal (subseÂ¸cË&#x153;ao 2.6.1). Logo, tr((grad x) Ë&#x2122; â&#x2C6;&#x2014; = div xË&#x2122; . (div x) B. Considerando que, de acordo com a definiÂ¸cË&#x153;ao de produto interno de tensores de segunda ordem 1.2.27, tem-se A Âˇ B = tr(AB T ), a eq. 3.110 mostra que, lembrando Ë&#x2122; â&#x2C6;&#x2014; ) = tr(Q T QT Q (grad x) Ë&#x2122; QT ) + tr(T â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;Ś) = que T Âé objetivo (item 2), tr(T â&#x2C6;&#x2014; (grad x) Ë&#x2122; tr(T (grad x)), por causa do item 5 do comentÂário 1.2.29, porque Q Âé ortogonal e â&#x2C6;&#x2014; porque T Âé simÂétrico (eq. 3.66) e â&#x201E;Ś Âé antissimÂétrico, o que causa tr(T â&#x2C6;&#x2014; â&#x201E;Ś) = 0. Logo, Ë&#x2122; â&#x2C6;&#x2014; = T Âˇ grad xË&#x2122; . (T Âˇ grad x) Tem-se, ainda, que: I. A eq. 2.85 mostra que o gradiente de um campo vetorial objetivo Âé objetivo. Como q Âé objetivo (item 3), â&#x2C6;&#x2021;x q Âé objetivo e, de acordo com a definiÂ¸cË&#x153;ao de divergË&#x2020;encia de campo vetorial 1.3.11, div q = tr(â&#x2C6;&#x2021;x q), logo div q Âé um escalar objetivo, ou seja, (div q)â&#x2C6;&#x2014; = div q . II. De acordo com a definiÂ¸cË&#x153;ao 1.3.13 de divergË&#x2020;encia de campo tensorial S, tem-se v Âˇ divS = div(S T v) = tr(â&#x2C6;&#x2021;x (S T v)), onde a u Â´ltima igualdade se deve à definiÂ¸cË&#x153;ao de divergË&#x2020;encia de campo vetorial 1.3.11. Como v Âé um campo vetorial constante qualquer, v Âé objetivo. EntË&#x153;ao, o vetor S T v serÂá objetivo se S for objetivo, porque, neste caso, (S T v)â&#x2C6;&#x2014; = (S T )â&#x2C6;&#x2014; vâ&#x2C6;&#x2014; = QS T QT Qv = QS T v. Logo, de acordo com a eq. 2.85, se S for objetivo serÂá objetivo o escalar v Âˇ divS = div(S T v) = tr(â&#x2C6;&#x2021;x (S T v)). Mas (v Âˇ divS)â&#x2C6;&#x2014; = vâ&#x2C6;&#x2014; Âˇ (divS)â&#x2C6;&#x2014; = v Âˇ divS, sendo vâ&#x2C6;&#x2014; = Qv, implica em (divS)â&#x2C6;&#x2014; = Q divS, porque Qv Âˇ Qu = u Âˇ QT Qv = u Âˇ v (definiÂ¸cË&#x153;ao de transformaÂ¸cË&#x153;ao linear transposta 1.2.17). Logo, se S for objetivo entË&#x153;ao o vetor divS Âé objetivo. Como T Âé objetivo sob transformaÂ¸cË&#x153;ao euclideana (item 2), entË&#x153;ao (div T )â&#x2C6;&#x2014; = Q div T . Â´ objetiva a derivada temporal material de um campo escalar objetivo, conforme III. E indica a primeira entre as trË&#x2020;es eqs. 2.87. Portanto, como Ď e sË&#x153;ao objetivos, respectivamente de acordo com os itens 1 e 3, (Ď ) Ë&#x2122; â&#x2C6;&#x2014; = Ď Ë&#x2122;

( ) Ë&#x2122; â&#x2C6;&#x2014; = Ë&#x2122; .

EquaÂ¸cË&#x153; oes de Campo As observaÂ¸cË&#x153;oes apresentadas na primeira parte desta subseÂ¸cË&#x153;ao mostram que as equaÂ¸cË&#x153;oes de campo para massa (eq. 3.41), Ď Ë&#x2122; + Ď divxË&#x2122; = 0 143

e para energia interna (eq. 3.88), Ď Ë&#x2122; + div q = T Âˇ grad xË&#x2122; + Ď r , sË&#x153;ao objetivas sob transformaÂ¸cË&#x153;ao euclideana. Mas na subseÂ¸cË&#x153;ao 2.6.2 mostrou-se que a velocidade e a aceleraÂ¸cË&#x153;ao nË&#x153;ao sË&#x153;ao vetores objetivos, em relaÂ¸cË&#x153;ao à transformaÂ¸cË&#x153;ao euclideana, porque elas respectivamente satisfazem à segunda entre as eqs. 2.71 e à equaÂ¸cË&#x153;ao 2.74. Logo, a equaÂ¸cË&#x153;ao de campo para o momento linear (eq. 3.62), Ď Â¨ x â&#x2C6;&#x2019; div T = Ď b , Â¨ , embora, em nË&#x153;ao Âé objetiva sob transformaÂ¸cË&#x153;ao euclideana, porque contÂém a aceleraÂ¸cË&#x153;ao x relaÂ¸cË&#x153;ao à tranformaÂ¸cË&#x153;ao galileiana, seja indiferente à estrutura de referË&#x2020;encia. De acordo com a eq. 2.74, tem-se Â¨ â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; iâ&#x2C6;&#x2014; , QÂ¨ x=x

onde

Ë&#x2122; + (â&#x201E;ŚË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; â&#x201E;Ś 2 )(xâ&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; c) . iâ&#x2C6;&#x2014; = cÂ¨ + 2â&#x201E;Ś (xË&#x2122; â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; c)

Portanto, ao se aplicar a transformaÂ¸cË&#x153;ao Q aos vetores da equaÂ¸cË&#x153;ao de campo para o Â¨ â&#x2C6;&#x2019; Q div T = Ď Q b , ou, como Ď , div T e b sË&#x153;ao objetivos, momento linear obtÂ´em-se Ď Q x Ď â&#x2C6;&#x2014; (Â¨ xâ&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; iâ&#x2C6;&#x2014; ) â&#x2C6;&#x2019; (div T )â&#x2C6;&#x2014; = Ď â&#x2C6;&#x2014; bâ&#x2C6;&#x2014; . Â¨ â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; iâ&#x2C6;&#x2014; Â´e objetivo sob transformaÂ¸cË&#x153;ao euclideana. Portanto, Demonstra-se que o vetor x as equaÂ¸cË&#x153;oes de campo objetivas sob transformaÂ¸cË&#x153;ao euclideana sË&#x153;ao, respectivamente para massa, momento linear e energia interna, Ď Ë&#x2122; + Ď divxË&#x2122; = 0 ,

Ď Â¨ x â&#x2C6;&#x2019; div T = Ď (b + i)

Ď Ë&#x2122; + div q â&#x2C6;&#x2019; T Âˇ grad xË&#x2122; = Ď r , (3.111)

onde o vetor i Âé nulo se Ď&#x2020;â&#x2C6;&#x2014; for uma estrutura de referË&#x2020;encia inercial, porque neste caso Â¨ â&#x2C6;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; (div T )â&#x2C6;&#x2014; = Ď â&#x2C6;&#x2014; bâ&#x2C6;&#x2014; , logo â&#x201E;Ś = cÂ¨ = 0 numa estrutura de referË&#x2020;encia inercial. Por isto, Ď â&#x2C6;&#x2014; x i Âé denominado vetor densidade mÂássica de suprimento de forÂ¸ca inercial, enquanto que b + i Âé o vetor densidade mÂássica de suprimento de forÂ¸ca corporal aparente. Note que: â&#x20AC;˘ A partir das trË&#x2020;es eqs. 3.111 e da equaÂ¸cË&#x153;ao de campo para o momento angular (simetria do tensor T ) tem-se equaÂ¸cË&#x153;oes de campo objetivas para as energias cinÂética e total. â&#x20AC;˘ A partir das equaÂ¸cË&#x153;oes de campo objetivas para massa, momentos e energias, temse as correspondentes equaÂ¸cË&#x153;oes integrais objetivas de balanceamento, bem como as correspondentes equaÂ¸cË&#x153;oes objetivas de Rankine-Hugoniot. Â´ usual se escrever b significando b + i, em qualquer estrutura de referË&#x2020;encia, com â&#x20AC;˘ E a particularidade de se considerar i = 0 se a estrutura for inercial. â&#x20AC;˘ A densidade mÂássica de forÂ¸ca inercial i Âé formada pelas parcelas de Coriolis 2â&#x201E;Ś (xË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; Ë&#x2122; centrÂ´Äąfuga â&#x2C6;&#x2019;â&#x201E;Ś 2 (x â&#x2C6;&#x2019; c), de Euler â&#x201E;ŚË&#x2122; (Â¨ c), x â&#x2C6;&#x2019; i) e inercial referente à translaÂ¸cË&#x153;ao, cÂ¨. â&#x20AC;˘ As trË&#x2020;es eqs. 3.111 apresentam as descriÂ¸cË&#x153;oes materiais das correspondentes derivadas temporais. Evidentemente, elas podem ser escritas em termos das descriÂ¸cË&#x153;oes espaciais destas derivadas.

144

CapÂ´Äątulo 4 PrincÂ´Äąpios BÂ´ asicos das Teorias Constitutivas 4.1

Campos BÂ´ asicos, FunÂ¸ co Ë&#x153;es e Funcionais Constitutivos

De acordo com o capÂ´Äątulo anterior, as equaÂ¸cË&#x153;oes de balanceamento locais, para pontos regulares e singulares, dependem da: 1. funÂ¸cË&#x153;ao pontual movimento Ď&#x2021; : BĂ&#x2014;< â&#x2020;&#x2019; E, fornecida pela eq. 2.25 e de todas as grandezas cinemÂáticas dela decorrentes (posiÂ¸cË&#x153;ao, velocidade, gradiente de deformaÂ¸cË&#x153;ao etc.); 2. funÂ¸cË&#x153;ao escalar densidade volumÂétrica de massa Ď : B Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; <+ , cuja descriÂ¸cË&#x153;ao espacial, que pode ser escrita Ď : Bt Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; <+ , Âé definida pela eq. 3.35 (sendo Î˛ a configuraÂ¸cË&#x153;ao corrente, ou seja, retirando-se os Â´Äąndices Î˛ do integrando e, no Â´Äąndice do sinal de integraÂ¸cË&#x153;ao, substituindo Î˛ por t); 3. funÂ¸cË&#x153;ao vetorial densidade mÂássica de suprimento de forÂ¸ca corporal b : B Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; V , cuja descriÂ¸cË&#x153;ao espacial, que pode ser escrita b : Bt Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; V , Âé definida pela eq. 3.50; 4. funÂ¸cË&#x153;ao escalar densidade mÂássica de suprimento de calor r : B Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; <, cuja descriÂ¸cË&#x153;ao espacial, que pode ser escrita r : Bt Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; <, Âé definida pela eq. 3.80; 5. funÂ¸cË&#x153;ao tensorial de Cauchy T : B Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; V â&#x160;&#x2014; V , cuja descriÂ¸cË&#x153;ao espacial, que pode ser escrita T : Bt Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; V â&#x160;&#x2014; V , Âé fornecida pela eq. 3.56; 6. funÂ¸cË&#x153;ao escalar densidade mÂássica de energia interna : B Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; <, cuja descriÂ¸cË&#x153;ao espacial, que pode ser escrita : Bt Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; <, Âé definida pela eq. 3.79 e 7. funÂ¸cË&#x153;ao vetorial de fluxo tÂérmico q : B Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; V , cuja descriÂ¸cË&#x153;ao espacial, que pode ser escrita q : Bt Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; V , Âé definida pela eq. 3.81. AlÂém destas sete funÂ¸cË&#x153;oes, deve-se agora introduzir a funÂ¸cË&#x153;ao escalar temperatura, por definiÂ¸cË&#x153;ao positiva, grafada Î¸ : B Ă&#x2014; < â&#x2020;&#x2019; <+ . A temperatura Âé suposta ser um primitivo, logo Âé suposta ser objetiva sob transformaÂ¸cË&#x153;ao euclideana (subseÂ¸cË&#x153;ao 2.6.1). Considera-se que: 145

A. cada um entre Ď (X, t), Ď&#x2021;(X, t) e Î¸(X, t) seja um campo bÂ´ asico e que o conjunto dos trË&#x2020;es campos bÂásicos caracterize as propriedades do material, enquanto que B. T (X, t), q(X, t) e (X, t) sejam grandezas constitutivas, as quais dependem dos trË&#x2020;es campos bÂásicos e, alÂém disto, tambÂém dependem do tipo de material que constitui o corpo B ao qual pertence o ponto X (este Âé o significado do adjetivo constitutivo). Note que, enquanto os campos bÂásicos sË&#x153;ao exatamente os trË&#x2020;es indicados, existem infinitas outras grandezas constitutivas, alÂém das trË&#x2020;es mencionadas, que nË&#x153;ao aparecem nas ante-citadas equaÂ¸cË&#x153;oes de balanceamento. C. b(X, t) e r(X, t) influenciem Ď (X, t), Ď&#x2021;(X, t) e Î¸(X, t), portanto indiretamente influenciem as grandezas constitutivas, mas que nË&#x153;ao influenciem diretamente tais grandezas. Note que nos anteriores itens de A a C escreveu-se, por exemplo, Ď (X, t), embora a ausË&#x2020;encia de Â´Äąndice em Ď seja costumeiramente associada a Ď (x, t). Logo, para evitar confusË&#x153;oes, quando a funÂ¸cË&#x153;ao sem Â´Äąndice se referir a (X, t) este fato dever ser explicitado. Para o estudo de como as grandezas constitutivas dependem dos campos bÂásicos, fazse inicialmente necessÂário definir o conceito de histÂ´ oria de uma funÂ¸cË&#x153;ao temporal Ď&#x2C6;(Âˇ), dado por Ď&#x2C6; t (s) = Ď&#x2C6;(t â&#x2C6;&#x2019; s) , sendo s â&#x2C6;&#x2C6; [0, â&#x2C6;&#x17E;), (4.1) onde o intervalo fechado abaixo [0, â&#x2C6;&#x17E;) (definiÂ¸cË&#x153;ao 1.3.1 de subconjunto aberto) mostra que s Âé uma coordenada temporal apontada para o passado, a partir do instante presente t. Como s = 0 corresponde ao momento presente, tem-se Ď&#x2C6; t (0) = Ď&#x2C6;(t). Sendo C(X, t) o valor, no ponto X â&#x2C6;&#x2C6; B e no instante t, de uma grandeza constitutiva qualquer, postula-se, entË&#x153;ao, o princÂ´Äąpio de determinismo C(X, t) = F(Ď t (Y, s), Ď&#x2021;t (Y, s), Î¸t (Y, s), X, t) ,

â&#x2C6;&#x20AC;Y â&#x2C6;&#x2C6; B

e â&#x2C6;&#x20AC;s â&#x2C6;&#x2C6; [0, â&#x2C6;&#x17E;),

(4.2)

onde F Âé um funcional constitutivo (definiÂ¸cË&#x153;ao de funÂ¸cË&#x153;ao e funcional 1.1.1). Logo, o princÂ´Äąpio de determinismo impË&#x153;oe que as histÂórias completas da densidade, do movimento e da temperatura, em todos os pontos Y do corpo B, determinam os valores das grandezas constitutivas, para todo instante t e ponto X pertencente a B. Portanto, o valor C(X, t) serÂá anotado F(Ď t (Y, s), Ď&#x2021;t (Y, s), Î¸t (Y, s), X, t) sempre que se desejar ressaltar o seu carÂáter constitutivo. Por outro lado, C(Âˇ, Âˇ) = F(Ď t (Y, s), Ď&#x2021;t (Y, s), Î¸t (Y, s), Âˇ, Âˇ) Âé uma funÂ¸cË&#x153;ao constitutiva espacial e temporal. Evidentemente, a forma correta do funcional F, que depende do tipo de material que constitui o corpo B, deve ser confirmada experimentalmente. Por outro lado, experimentos podem sugerir formas matemÂáticas para os funcionais. Mas, provavelmente, nË&#x153;ao Âé possÂ´Äąvel determinar F usando apenas experimentos. Existem, porÂém, algumas exigË&#x2020;encias universais que devem ser satisfeitas por qualquer funcional constitutivo, como condiÂ¸cË&#x153;ao necessÂária para a sua confirmaÂ¸cË&#x153;ao experimental. As mais importantes exigË&#x2020;encias deste tipo sË&#x153;ao: I. o princÂ´Äącio de objetividade material, II. o princÂ´Äąpio de simetria material e III. consideraÂ¸cË&#x153;oes termodinË&#x2020;amicas. 146

4.2

Princ´ıpio de Objetividade Material

4.2.1

Conceito Fundamental

Na eq. 4.2, evidentemente C(X, t) é o valor de uma grandeza constitutiva observável, logo a igualdade corresponde a alguma estrutura referencial. Isto pode ser explicitado escrevendo-se, ao invés da eq. 4.2, C(X, t; φ) = Fφ (ρt (Y, s), χt (Y, s), θt (Y, s), X, t) ,

∀Y ∈ B

e ∀s ∈ [0, ∞),

(4.3)

onde C(X, t; φ) indica que (X, t) é argumento da estrutura referencial φ, estrutura esta por meio da qual o valor C é determinado (ver o colocado imediatamente após a eq. 2.70). Na eq. 4.3 o ´ındice φ de F indica que a forma do funcional depende desta estrutura referencial e subentende-se que (Y, s) é argumento da estrutura referencial φ, estrutura esta por meio da qual as fun¸cões ρt , χt e θt são determinadas. Mas, se C for uma grandeza constitutiva objetiva em rela¸cão à transforma¸cão euclideana, postula-se que a forma do funcional não dependa da estrutura referencial, embora o seu argumento se altere de acordo com a estrutura referencial considerada. Sendo C(X, t) o valor de uma grandeza constitutiva objetiva em rela¸cão à transforma¸cão euclideana, postula-se, portanto, o princ´ıpio de objetividade material Fφ = Fφ∗ , (4.4) para quaisquer estruturas referenciais φ e φ∗ . De acordo com a eq. 2.68, supondo que C seja o valor de uma grandeza constitutiva objetiva e que C ∈ Sn (n = 0, 1, 2 respectivamente para espa¸co escalar, vetorial e tensorial de segunda ordem), tem-se C(X, t∗ ; φ∗ ) = Q∗ C(X, t; φ) , onde Q∗ é a transforma¸cão linear induzida no espa¸co tensorial Sn pela transforma¸cão euclideana. Substituindo a eq. 4.3 na u ´ltima igualdade destacada e impondo F = Fφ = Fφ∗ (eq. 4.4), tem-se F(ρ∗ (Y, t∗ − s), χ∗ (Y, t∗ − s), θ∗ (Y, t∗ − s), X, t∗ ) = Q∗ F(ρ(Y, t − s), χ(Y, t − s), θ(Y, t − s), X, t) , ∀Y ∈ B

e ∀s ∈ [0, ∞).

Lembrando que as grandezas ρ (se¸cão 3.2) e θ (se¸cão 4.1) são objetivas sob transforma¸cão euclideana, a qual é fornecida pela eq. 2.61, a saber x∗ = Q(τ )(x − x◦ ) + c(τ ) e τ ∗ = τ + a e considerando x∗ = χ∗ (Y, τ ∗ ) e x = χ(Y, τ ), sendo τ ∗ = t∗ − s e τ = t − s, tem-se F(ρ(Y, t − s), χ∗ (Y, t∗ − s), θ(Y, t − s), X, t∗ ) = Q∗ F(ρ(Y, t − s), χ(Y, t − s), θ(Y, t − s), X, t) , onde ∗ ∗ χ (Y, t − s) = Q(t − s)(χ(Y, t − s) − x◦ ) + c(t − s) , sendo t∗ = t + a , ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0, ∞). (4.5)

147

A eq. 4.5 é a restri¸cão imposta, pelo princ´ıpio de objetividade material, ao funcional constitutivo correspondente a uma grandeza objetiva. Sublinhe-se que, se a grandeza a que se refere o funcional não for objetiva, esta restri¸cão geralmente não será válida. Entretanto, a restri¸cão imposta ao funcional é bem maior do que explicitamente mostra a eq. 4.5. De fato, convém lembrar que a transforma¸cão euclideana é uma transforma¸cão r´ıgida dependente do tempo (eq. 2.61), a transforma¸cão galileiana é uma transforma¸cão euclideana espec´ıfica, em que Q independe de t e c é uma fun¸cão linear de t (eq. 2.75), mas ainda existe uma transforma¸cão galileiana especial, que é a transforma¸cão r´ıgida independente do tempo (eq. 2.76). Uma espec´ıfica transforma¸cão r´ıgida independente do tempo considera Q(t) = 1 e c◦ = x◦ , o que reduz a transforma¸cão euclideana a x∗ = x e t∗ = t + a , logo Q∗ = 1 . Como a eq. 4.5 é válida para qualquer transforma¸cão euclideana, ela necessariamente é válida para esta especial transforma¸cão r´ıgida independente do tempo. Mas, para o caso desta especial transforma¸cão, tem-se, simplificando a simbologia da eq. 4.5, F(ρt , χt , θt , X, t + a) = F(ρt , χt , θt , X, t) , o que implica em F não depender explicitamente de t, porque o valor a é totalmente arbitrário. Portanto, enquanto que para o valor de uma grandeza constitutiva qualquer devese usar a eq. 4.3, para o valor de uma grandeza constitutiva objetiva o princ´ıpio de objetividade material implica em C(X, t; φ) = F(ρt (Y, s), χt (Y, s), θt (Y, s), X) ,

∀Y ∈ B

e ∀s ∈ [0, ∞),

(4.6)

onde subentende-se que (Y, s) é argumento da estrutura referencial φ, estrutura esta por meio da qual as fun¸cões ρt , χt e θt são determinadas. Por outro lado, a forma correta da eq. 4.5 é dada pela igualdade F(ρt (Y, s), (χt )∗ (Y, s), θt (Y, s), X) = Q∗ F(ρt (Y, s), χt (Y, s), θt (Y, s), X) , (χt )∗ (Y, s) = Qt (s)(χt (Y, s) − x◦ ) + ct (s) , t∗ = t + a, ∀Y ∈ B e ∀s ∈ [0, ∞).(4.7) Em resumo, para uma grandeza constitutiva objetiva devem ser usadas as eqs. 4.6 e 4.7, as quais provém da aplica¸cão do principio de objetividade material à eq. 4.3. A eq. 4.5 deve ser considerada uma etapa intermediária da dedu¸cão feita, porque ela não revela, explicitamente, uma importante restri¸cão imposta, pelo princ´ıpio de objetividade material, ao funcional constitutivo correspondente a uma grandeza objetiva.

4.2.2

Aplica¸ c˜ ao ` a Configura¸c˜ ao Referencial

Tem-se χκ (X, t) = χ(X, t) , ρκ (X, t) = ρ(X, t) , θκ (X, t) = θ(X, t) e Cκ (X, t) = C(X, t) , (4.8) onde a primeira igualdade é devida às eqs. 2.25 e 2.26 e as u ´ltimas três podem ser obtidas a partir da primeira entre as eqs. 3.18. Logo, de acordo com a eq. 4.6, para o valor de

148

uma grandeza constitutiva objetiva C(X, t) tem-se C(X, t) = F(ρt (Y, s), χt (Y, s), θt (Y, s), X) , F(ρt (Y, s), χt (Y, s), θt (Y, s), X) = F(ρtκ (Y, s), χtκ (Y, s), θκt (Y, s), κ−1 (X)) e Cκ (X, t) = F(ρtκ (Y, s), χtκ (Y, s), θκt (Y, s), κ−1 (X)), onde na segunda linha foram utilizadas as primeiras trˆes entre as eqs. 4.8 e a eq. 2.1 e, na terceira linha, foi usada a u ´ltima das eqs. 4.8. Definindo Fκ (ρtκ (Y, s), χtκ (Y, s), θκt (Y, s), X) = F(ρtκ (Y, s), χtκ (Y, s), θκt (Y, s), κ−1 (X)) ,

(4.9)

tem-se, ent˜ao, Cκ (X, t) = Fκ (ρtκ (Y, s), χtκ (Y, s), θκt (Y, s), X) ,

∀Y ∈ Bκ

e ∀s ∈ [0, ∞).

(4.10)

A eq. 2.1 pode ser escrita X = κ(X), na estrutura de referˆencia φ e X∗ = κ∗ (X), na estrutura de referˆencia φ∗ . Logo, de acordo com a u ´ltima entre as eqs. 4.8 e com a eq. 2.68, supondo que C seja uma grandeza constitutiva objetiva tem-se Cκ∗∗ (X∗ , t∗ ) = C(X, t∗ ; φ∗ ) = Q∗ C(X, t; φ) = Q∗ Cκ (X, t) . Usando a eq. 4.10 pode-se, portanto, escrever Fκ∗ (ρ∗κ∗ (Y∗ , t∗ − s), χ∗κ∗ (Y∗ , t∗ − s), θκ∗∗ (Y∗ , t∗ − s), X∗ ) = Q∗ Fκ (ρκ (Y, t − s), χκ (Y, t − s), θκ (Y, t − s), X) .

(4.11)

Mas, usando a eq. 4.9, tem-se tamb´em que Fκ∗ (ρ∗κ∗ (Y∗ , t∗ − s), χ∗κ∗ (Y∗ , t∗ − s), θκ∗∗ (Y∗ , t∗ − s), X∗ ) = F(ρ∗κ∗ (Y∗ , t∗ − s), χ∗κ∗ (Y∗ , t∗ − s), θκ∗∗ (Y∗ , t∗ − s), (κ∗ )−1 (X∗ )) = F(ρκ (Y, t − s), χ∗κ∗ (Y∗ , t∗ − s), θκ (Y, t − s), (κ∗ )−1 (X∗ )) ,

(4.12)

sendo a u ´ltima igualdade devida ao fato de que as grandezas ρ (se¸cão 3.2) e θ (se¸cão 4.1) são objetivas sob transforma¸cão euclideana. A expressão que mostra como se altera um ponto da configura¸cão referencial, quando ocorre uma transforma¸cão euclideana da estrutura de referência φ para a estrutura de referência φ∗ , é dada pela eq. 2.78, a seguir transcrita, X∗ = γ(X) = K(X − x◦ ) + c◦ ,

sendo

γ = κ∗ ◦ κ−1 : Bκ → Bκ∗ ,

(4.13)

onde K é um tensor ortogonal de segunda ordem e c◦ é um ponto, ambos fixos (independentes de t). Para o funcional na terceira linha da eq. 4.12 pode-se, então, escrever F(ρκ (Y, t − s), χ∗κ∗ (Y∗ , t∗ − s), θκ (Y, t − s), (κ∗ )−1 (X∗ )) = F(ρκ (Y, t − s), χ∗κ∗ (γ(Y), t∗ − s), θκ (Y, t − s), (κ∗ )−1 (γ(X))) = F(ρκ (Y, t − s), χ∗κ∗ (γ(Y), t∗ − s), θκ (Y, t − s), (κ)−1 (X)) = Fκ (ρκ (Y, t − s), χ∗κ∗ (γ(Y), t∗ − s), θκ (Y, t − s), X) ,

149

(4.14)

onde a segunda linha é devida ao uso da primeira entre ae eqs. 4.13, a terceira linha à u ´ltima entre as eqs. 4.13 e a quarta linha, à eq. 4.9. Substituindo a eq. 4.14 na eq. 4.12 tem-se Fκ∗ (ρ∗κ∗ (Y∗ , t∗ − s), χ∗κ∗ (Y∗ , t∗ − s), θκ∗∗ (Y∗ , t∗ − s), X∗ ) = Fκ (ρκ (Y, t − s), χ∗κ∗ (γ(Y), t∗ − s), θκ (Y, t − s), X)

(4.15)

e, substituindo a eq. 4.15 na eq. 4.11 obt´em-se Fκ (ρκ (Y, t − s), χ∗κ∗ (γ(Y), t∗ − s), θκ (Y, t − s), X) = Q∗ Fκ (ρκ (Y, t − s), χκ (Y, t − s), θκ (Y, t − s), X) , sendo χ∗κ∗ (γ(Y), t∗ − s) = Q(t − s)(χκ (Y, t − s) − x◦ ) + c(t − s) , t∗ = t + a , ∀Y ∈ Bκ e ∀s ∈ [0, ∞) ,

(4.16)

de acordo com a defini¸cão de transforma¸cão euclideana, dada pela eq. 2.61, a saber x∗ = Q(t)(x − x◦ ) + c(t) e t∗ = t + a. Note que, usando a igualdade que aparece na sua terceira linha, a eq. 4.16 envolve apenas a configura¸cão referencial κ da estrutura de referência φ. Utilizando a simbologia usual χ∗κ∗ (γ(Y), t∗ − s) = (χtκ )∗ (γ(Y), s) = (χtκ )∗ ◦ γ(Y, s) , a eq. 4.16 pode ser escrita Fκ (ρtκ (Y, s), (χtκ )∗ ◦ γ(Y, s), θκt (Y, s), X) = Q∗ Fκ (ρtκ (Y, s), χtκ (Y, s), θκt (Y, s), X) , sendo (χtκ )∗ ◦ γ(Y, s) = Qt (s)(χtκ (Y, s) − x◦ ) + ct (s) , t∗ = t + a , ∀Y ∈ Bκ e ∀s ∈ [0, ∞) .

(4.17)

Note que tanto na eq. 4.7 como na eq. 4.17 a forma do funcional não se altera e o seu argumento altera-se no que se refere à história do movimento ou da deforma¸cão respectivamente, mas não se modifica em rela¸cão às histórias da densidade e da temperatura do corpo. Note também que, de acordo com a eq. 4.10, tem-se Cκ (X, t) = Fκ (ρκ (Y), χtκ (Y, s), θκt (Y, s), X) ,

∀Y ∈ Bκ

e ∀s ∈ [0, ∞) ,

(4.18)

porque ρtκ (Y, s) deve ser substitu´ıdo por ρκ (Y), conforme mostra a primeira igualdade das eqs. 3.94. Esta mesma substitui¸c˜ao deve, evidentemente, ser tamb´em aplicada aos dois termos das respectivas primeiras igualdades das eqs. 4.16 e 4.17.

4.2.3

Aplica¸ c˜ ao a Classes Particulares de Materiais

O princ´ıpio de objetividade material apresenta importantes aspectos gerais. Além disto, ele causa efeitos espec´ıficos em funcionais constitutivos referentes a classes particulares de materiais. Isto será exemplificado usando a fun¸cão constitutiva (de acordo com a defini¸cão de fun¸cão e funcional 1.1.1, uma fun¸cão constitutiva também é um funcional constitutivo), para o tensor de tra¸cão de Cauchy, T = T (ρ, v, L) , 150

(4.19)

onde v é o vetor velocidade definido pela eq. 2.27 e L = gradv = F˙ F −1 , apresentado usando-se as eqs. 2.34 e 2.49, é o tensor gradiente espacial do vetor velocidade. Como T é uma grandeza constitutiva (se¸cão 4.1) objetiva (item 2 da se¸cão 3.4.3) tensorial (eq. 3.56), de acordo com a eq. 2.65 tem-se T (ρ∗ , v∗ , L∗ ) = QT (ρ, v, L)QT ,

(4.20)

onde foi imposto que Tφ∗ = Tφ , por causa da eq. 4.4 (princ´ıpio de objetividade material). De acordo com a defini¸cão de transforma¸cão euclideana dada pela eq. 2.61, Q(t) é qualquer tensor ortogonal e c(t) é qualquer vetor. Como 1. ρ∗ = ρ, de acordo com o item 1 da se¸cão 3.4.3, ˙ − x◦ ) + c, ˙ de acordo com a eq. 2.71 e 2. v∗ = Qv + Q(x ˙ T , de acordo com as eqs. 2.82 e 2.72, 3. L∗ = QLQT + QQ tem-se ˙ − x◦ ) + c, ˙ T ) = QT (ρ, v, L)QT . ˙ QLQT + QQ T (ρ, Qv + Q(x Evidentemente, a u ´ltima igualdade destacada deve ser válida para Q(t) = 1 , situa¸cão ˙ L) = T (ρ, v, L). Como c(t) é um esta na qual ela admite a forma especial T (ρ, v + c, vetor arbitrário, esta forma especial indica que T não pode depender de v. Portanto, T = T (ρ, L). Além disto, de acordo com as eqs. 2.51, 2.52 e 2.53, tem-se L(t) = D(t) + W (t), sendo simétrico o tensor estirante, D(t) e antissimétrico o tensor rotativo, W (t). Demonstra-se que, para todo tensor antissimétrico W , existe um tensor ortogonal Q(t) tal que, ˙ ◦ ) = −W . para t = t◦ , tenha-se Q(t◦ ) = 1 e Q(t Certamente, a u ´ltima igualdade destacada deve também ser válida para este espec´ıfico ˙ T = QDQT +QW QT +QQ ˙ T = tensor Q = Q(t◦ ), situa¸cão esta u ´ltima na qual QLQT +QQ D, logo T (ρ, L) = T (ρ, D), o que exige que T não dependa de W . Portanto, a aplica¸cão do princ´ıpio de objetividade material exige que a eq. 4.19 se reduza a T = T (ρ, D) .

(4.21)

Ent˜ao, usando a primeira entre as duas eqs. 2.83 a eq. 4.20 se reduz a T (ρ, QDQT ) = QT (ρ, D)QT ,

(4.22)

v´alida para qualquer tensor ortogonal Q(t), quando for v´alida a eq. 4.19.

4.3

Material Simples

De acordo com o funcional existente na eq. 4.18, as histórias térmica e deformativa de qualquer parte do corpo podem afetar o comportamento presente de qualquer ponto do corpo. Entretanto, geralmente apenas as histórias de uma vizinhan¸ca, com dimensões variáveis, do ponto considerado afeta de modo significativo o comportamento presente de tal ponto. Neste caso, considera-se que tais histórias possam ser representadas por desenvolvimentos convergentes em série de Taylor, em torno do ponto considerado, ocorrendo 151

o truncamento da série numa ordem tal a manter a precisão desejada. Note que este procedimento mantém completas as histórias de todas as partes do corpo, mas limita geometricamente a região considerada significativa. Se apenas os termos de primeira ordem forem mantidos nas séries, ter-se-á ρκ (Y) = ρκ (X) + Grad ρκ (X)(Y − X) + o(2), χκ (Y, t) = χκ (X, t) + Grad χκ (X, t)(Y − X) + o(2), θκ (Y, t) = θκ (X, t) + Grad θκ (X, t)(Y − X) + o(2). Note que: 1. Serão considerados desprez´ıveis os termos de ordem igual ou superior a dois, grafados o(2). 2. Y − X é o vetor posi¸cão de cada um dos pontos pertencentes a Bκ , em rela¸cão ao ponto X considerado, também pertencente a Bκ . Em cada uma das três equa¸cões do conjunto destacado, as transforma¸cões lineares Grad ρκ (X), Grad χκ (X, t) e Grad θκ (X, t) são respectivamente aplicadas ao vetor posi¸cão de cada ponto de Bκ , em rela¸cão a X. Como a forma destas transforma¸cões lineares não depende de Y e como a informa¸cão sobre a geometria do corpo considerado pode ser inclu´ıda na defini¸cão do funcional presente na eq. 4.18, Y pode ser omitido do argumento do funcional. 3. De acordo com a eq. 2.29, tem-se Fκ (X, t) = ∇ χκ (·, t) = Grad χκ (X, t). X 4. Define-se gκ (X, t) = ∇ θκ (X, t) = Grad θκ (X, t). X 5. Como ρκ (X) e Grad ρκ (X) são fun¸cões exclusivamente de X, a presen¸ca delas no argumento do funcional que aparece na eq. 4.18 pode ser absorvida pela expl´ıcita presen¸ca de X no citado argumento. 6. De acordo com a eq. 4.1, tem-se χtκ (Y, s) = χκ (Y, t−s) = χκ (X, t−s)+Grad χκ (X, t − s)(Y − X) + o(2), onde a u ´ltima igualdade é devida à segunda entre as três equa¸cões do conjunto destacado. Usando a mesma eq. 4.1 tem-se, então, χtκ (Y, s) = χtκ (X, s) + Fκt (X, s), onde Fκt (X, s) = Fκ (X, t − s) = Grad χκ (X, t − s), sendo a u ´ltima igualdade devida ao anterior item 3. Analogamente, θκt (Y, s) = θκt (X, s) + gtκ (X, s), onde gtκ (X, s) = gκ (X, t − s) = Grad θκ (X, t − s), sendo a segunda igualdade devida ao anterior item 4. Portanto, a aproxima¸cão de primeira ordem à eq. 4.18 pode ser escrita Cκ (X, t) = Fκ (χtκ (X, s), Fκt (X, s), θκt (X, s), gtκ (X, s), X) ,

∀s ∈ [0, ∞) .

(4.23)

De modo análogo, após substitui¸cão de ρtκ (Y, s) por ρκ (Y) (conforme colocado imediatamente depois da eq. 4.18), a eq. 4.16 pode ser escrita Fκ (χ∗κ∗ (γ(X), t∗ − s), ∇ χ∗κ∗ (γ(·), t∗ − s), θκ (X, t − s), ∇ θκ (·, t − s), X) = X X Q∗ Fκ (χκ (X, t − s), ∇ χκ (·, t − s), θκ (X, t − s), ∇ θκ (·, t − s), X) , (4.24) X X 152

onde foi usado o fato da temperatura (se¸cão 4.1), logo também o seu gradiente na descri¸cão material, serem objetivos. De acordo com a eq. 2.26 e sendo a fun¸cão γ definida pela segunda entre as eqs. 4.13, tem-se x = χκ (X, t − s) e x∗ = χ∗κ∗ (γ(X), t∗ − s) = χ∗κ∗ (X∗ , t∗ − s) . De acordo com a transforma¸cão euclideana, a qual é fornecida pela eq. 2.61, a saber x∗ = Q(t)(x − x◦ ) + c(t) e t∗ = t + a, tem-se então χ∗κ∗ (γ(X), t∗ − s) = Q(t − s)(χκ (X, t − s) − x◦ ) + c(t − s) , ∇ χ∗κ∗ (γ(·), t∗ − s) = Q(t − s)∇ χκ (·, t − s) , ou X X ∇ χ∗κ∗ (γ(·), t∗ − s) = Q(t − s)Fκ (X, t − s) X

logo

(4.25) (4.26)

χ∗ ∗ (·, t∗ − s) = Fκ∗∗ (X∗ , t∗ − s) 6= ∇ χ∗κ∗ (γ(·), t∗ − s)]. Substituindo, na X X∗ κ eq. 4.24, a eq. 4.26, bem como ∇ χκ (·, t − s) = Fκ (X, t − s), tem-se X

[note que ∇

Fκ (χ∗κ∗ (γ(X), t∗ − s), Q(t − s)Fκ (X, t − s), θκ (X, t − s), ∇ θκ (·, t − s), X) = X ∗ Q Fκ (χκ (X, t − s), Fκ (X, t − s), θκ (X, t − s), ∇ θκ (·, t − s), X) . (4.27) X Por outro lado, considerando Q(t − s) = 1 , logo Q∗ = 1 , a eq. 4.25 será escrita χ∗κ∗ (γ(X), t∗ − s) = χκ (X, t − s) − x◦ + c(t − s) , que, substitu´ıda na eq. 4.27, produz Fκ (χκ (X, t − s) − x◦ + c(t − s), Fκ (X, t − s), θκ (X, t − s), ∇ θκ (·, t − s), X) = X Fκ (χκ (X, t − s), Fκ (X, t − s), θκ (X, t − s), ∇ θκ (·, t − s), X) . X Como a eq. 4.27 deve ser válida para qualquer transforma¸cão euclideana e como x◦ é arbitrário, a u ´ltima igualdade destacada mostra que o funcional Fκ não depende do ponto x = χκ (X, t − s). Logo, a eq. 4.23, na verdade, deve ser escrita Cκ (X, t) = Fκ (Fκt (X, s), θκt (X, s), gtκ (X, s), X) ,

∀s ∈ [0, ∞),

(4.28)

enquanto que a equa¸c˜ao 4.27 deve ser escrita Fκ (Q(t − s)Fκ (X, t − s), θκ (X, t − s), ∇ θκ (·, t − s), X) = X Q∗ Fκ (Fκ (X, t − s), θκ (X, t − s), ∇ θκ (·, t − s), X) . X Usando a eq. 4.1 e o anterior item 4, a u ´ltima igualdade destacada pode ser escrita Fκ (Qt (s)Fκt (X, s), θκt (X, s), gtκ (X, s), X) = Q∗ Fκ (Fκt (X, s), θκt (X, s), gtκ (X, s), X) ,

∀s ∈ [0, ∞).

(4.29)

Note que o princ´ıpio da objetividade material não impôs restri¸cão alguma às histórias térmicas, θκt (X, s) e gtκ (X, s), mas relacionou as histórias dos gradientes de deforma¸cão 153

nas duas estruturas de referência. Este fato é coerente com o comentado no in´ıcio do parágrafo logo após a eq. 4.17. Um material cujas expressões constitutivas dos valores das suas grandezas objetivas apresentem a forma fornecida pela eq. 4.28 é denominado um material simples. Um material simples é chamado homogˆ eneo quando existir uma espec´ıfica configura¸cão de referência κh , chamada configura¸c˜ ao homogˆ enea, para a qual o funcional Fκ , nas eqs. 4.28 e 4.29, não dependa explicitamente de X, ou seja, Cκh (X, t) = Fκh (Fκth (X, s), θκt h (X, s), gtκh (X, s)) ,

∀s ∈ [0, ∞).

(4.30)

Um material pode ser simples sem ser homogêneo e um material pode ser homogêneo sem ser simples. Evidentemente, um material pode ser nem simples, nem homogêneo e o conceito de material homogêneo é totalmente distinto do conceito de processo homogêneo, este u ´ltimo apresentado no parágrafo final da subse¸cão 3.3.5, sobre balanceamento de energia cinética.

154

Bibliografia The Mechanics and Thermodynamics of Continua, de Morton E. Gurtin, Eliot Fried e Lallit Anand, Cambridge, Cambridge, 2010. Continuum Mechanics, de I-Shih Liu, Springer, Berlim, 2002. Rational Extended Thermodynamics, de Ingo Muller e Tommaso Ruggeri, Springer, Berlim,1998. ˇ The Mechanics and Thermodynamics of Continuous Media, de Miroslav Silhav´ y, Springer, Berlim, 1997. The Non-Linear Field Theories of Mechanics, de Clifford Ambrose Truesdell e Walter Noll, Springer, Berlim, 1992. Rational Thermodynamics, de Clifford Ambrose Truesdell, Springer, Berlim, 1984. The Classical Field Theories, de Clifford A. Truesdell e R. Toupin, “Handbuch der Physik” v. III, parte 1, p. 226 – 793, Springer, Berlim, 1960.

155

Índice Remissivo aberto, intervalo, 51 aberto, subconjunto, 51 abrangência, 8 acelera¸cão a(X, t) defini¸cão, 95 em fun¸cão da velocidade, 98 área, rela¸cão entre daκ e da, 86, 87 autovalor defini¸cão, 45 degenera¸cão, 47 autovetor, 45 balanceamento clássico forma integral configura¸cão corrente, 112 configura¸cão referencial, 118 base campo de, 67 com orienta¸cão igual, 37 com orienta¸cão oposta, 37 de espa¸co vetorial de trans. linear, 13 defini¸cão, 8 dual defini¸cão, 11 fun¸cões gi j e g i j , 11 representa¸cão, 12 matriz de transforma¸cão de, 22 natural defini¸cão, 67 dual, 68 orientada positivamente, 37 ortogonal, 12 ortonormal defini¸cão, 12 dual, 12 representa¸cão para vetor de, 12 principal, 46 produto, 14 produto interno gi j de vet. de, 10, 11 produto interno g i j de vetores de, 11

representa¸cão para vetor de, 8 Bernouilli, teorema de, 132 calor condutivo superficial h, 136 suprimento de, r, 136 caminho, 95 campo básico, 146 de bases, 67 de pontos, 54 defini¸cão, 54 escalar, 54 gradiente de, 54 tensorial de segunda ordem, 54 vetorial, 54 Cauchy primeira lei de, 131 princ´ıpio de, 129 segunda lei de, 132 tensor de tra¸cão de componentes de cisalhamento do, 129 componentes normais do, 129 defini¸cão, 129 dire¸cão principal do, 132 tra¸cão principal do, 132 teorema de, 129 Christoffel s´ımbolo de segunda espécie de, 72 s´ımbolos de, 71 cisalhamento quantidade de, 89 simples, 89 classe C k , 64 conceito, 36 de orienta¸cão oposta, 36 de orienta¸cão positiva, 36 euclideana, 106 comentário 156

1.2.1 (espa¸co vetorial real com produto interno), 9 1.2.2 (imposi¸cão aos esp. vetoriais), 9 1.2.3 (igualdade entre vetores), 10 1.2.4 (decomposi¸cão do produto interno de vetores), 10 1.2.5 (obten¸cão de componente), 10 1.2.6 (fun¸cões gi j e g i j ), 11 1.2.7 (base ortonormal dual), 12 1.2.8 (decomposi¸cão de transforma¸cão linear), 13 1.2.9 (dimensão de espa¸co de transforma¸cão linear), 13 1.2.10 (cálculo de componente assoc. de tensor de segunda ordem), 14 1.2.11 (componente associado de tensor simples), 15 1.2.12 (transforma¸cão escalar bilinear e tensor de segunda ordem), 16 1.2.13 (componente assoc. do tensor identidade), 17 1.2.14 (gi j ou g i j aplicado a componente de tensor), 18 1.2.15 (transpos. de tensor simples), 18 1.2.16 (transpos. de tensor de segunda ordem), 18 1.2.17 (transpos. de tensores simétrico e antissimétrico), 20 1.2.18 (compos. com tens. simples), 21 1.2.19 (transposi¸cão de composi¸cão), 21 1.2.20 (transforma¸cão de componentes de vetor), 24 1.2.21 (transforma¸cão de componentes de tensor), 25 1.2.22 (redu¸cão no n´ umero de permuta¸cões distingu´ıveis), 26 1.2.23 (fun¸cão n-linear alternante e base de esp. vet. - parte I), 26 1.2.24 (fun¸cão n-linear alternante e base de esp. vet. - parte II), 27 1.2.25 (fun¸cão n-linear alternante e base de esp. vet. - parte III), 28 1.2.26 (rela¸cão entre determinante de transf. linear e de matriz), 29 1.2.27 (propriedades de determinantes parte I), 29 1.2.28 (rela¸cão entre tra¸co de transforma¸cão linear e de matriz), 31 157

1.2.29 (propriedades de tra¸cos), 31 1.2.30 (propriedades de determinantes parte II), 32 1.2.31 (propriedades do produto interno tensorial), 33 1.2.32 (propried. do tensor inverso), 34 1.2.33 (propriedades de tensor ortogonal), 35 1.2.34 (propriedades do s´ımbolo de permuta¸cão), 38 1.2.35 (propriedades dos componentes do tensor e), 39 1.2.36 (produto externo como base para Skw (V )), 41 1.2.37 (propriedades do vetor axial), 43 1.2.38 (propriedades do produto vetorial), 44 1.2.39 (determinante, tra¸co e produto triplo), 45 1.2.40 (equa¸cões caracter´ısticas de tensores de dimensão 2 e 3), 46 1.2.41 (rela¸cão entre A e 1 + A), 46 1.2.42 (diagonaliza¸cão), 46 1.2.43 (componente vetorial em rela¸cão a tensor simétrico), 47 1.2.44 (comuta¸cão de tensores simétrico e ortogonal), 48 1.2.45 (determinante de tensor sim. de defini¸cão positiva ou negativa), 48 1.2.46 (decomposi¸cão cartesiana), 50 1.3.1 (gradientes de φ, sendo φ(A, v) = v · A(v)), 58 1.3.2 (gradiente de φ, sendo φ(A) = u · A(v)), 59 1.3.3 (gradiente de tra¸co), 59 1.3.4 (gradiente de determinante), 60 1.3.5 (diferencia¸cão em cadeia), 61 1.3.6 (gradientes escalar e vetorial em campo vetorial), 61 1.3.7 (diferencia¸cão de produto), 62 1.3.8 (diferencia¸cão de tensor ao quadrado), 63 1.3.9 (diferenc. de tensor inverso ), 63 1.3.10 (diferencia¸cão de tra¸co de tensor inverso ), 63 1.3.11 (fórmulas para diferencia¸cão de produtos), 63

1.3.12 (derivada e gradiente de ordem corpo B do espa¸co-tempo de Newton, 82 corre¸caõ de argumento superior), 64 escalar, 51, 53 1.3.13 (gradiente de gradiente de campo genérico, 58 escalar), 65 vetorial ou tensorial, 56 1.3.14 (tensor métrico e base natural vetorial para ponto, 55 dual), 67 1.3.15 (transforma¸cão de sistema de codefini¸cão ordenadas), 68 1.1.1 (fun¸cão e funcional), 1 1.3.16 (deforma¸cão em termos de coor1.1.2 (matriz), 4 denadas), 69 1.1.3 (delta de Kronecker), 6 1.3.17 (derivada covar. de 1 e de e), 74 1.1.4 (matrizes transposta e inversa), 6 1.3.18 (propriedades do s. de Christoffel j 1.2.1 (espa¸co vetorial real), 8 Γi k ), 75 1.2.2 (base), 8 1.3.19 (rotacional e divergência de cam1.2.3 (componente), 9 po vetorial), 76 1.2.4 (dimensão de esp. vetorial real), 9 1.3.20 (expressões para divergência e la1.2.5 (produto interno de vetores), 9 placiano), 78 1.2.6 (espa¸co vetorial euclideano), 9 compatibilidade cinemática da superf´ıcie 1.2.7 (vetor proje¸cão), 9 singular, condi¸cão de, 122 1.2.8 (base dual), 11 composi¸cão 1.2.9 (base ortonormal), 12 de fun¸cões, 2 1.2.10 (transforma¸cão n-linear), 12 de tensores de segunda ordem 1.2.11 (espa¸co vetorial de transformacom tensor simples, 21 ¸cão linear), 13 defini¸cão, 20 1.2.12 (produto tensorial de vetores ou transposi¸cão de, 21 tensor simples), 13 configura¸cão 1.2.13 (espa¸co de produto tensorial), 14 corrente, 83 1.2.14 (tensor de segunda ordem), 14 defini¸cão, 82 1.2.15 (componente associado de tensor homogênea, 154 de segunda ordem), 14 referencial 1.2.16 (transforma¸cão tensorial identidefini¸cão, 82 dade), 17 mudan¸ca de, 87 1.2.17 (transforma¸cão linear transposconservativa, grandeza, 113 ta), 17 constitutiva, grandeza, 146 1.2.18 (tensores simétrico e antissiméconstitutivo, funcional, 3, 146 trico), 19 continuidade 1.2.19 (composi¸cão de tensores de seem <, 8 gunda ordem), 20 em espa¸co 1.2.20 (tensor de ordem k), 21 euclideano de pontos, 50 1.2.21 (matrizes de transforma¸cão), 22 vetorial, 8 1.2.22 (permuta¸cão), 25 coordenada 1.2.23 (fun¸cão n-linear alternante), 26 i-ésima fun¸cão, 66 1.2.24 (determinante de transforma¸cão corrente, 83 linear), 27 curva da i-ésima, 66 1.2.25 (determinante de matriz), 28 defini¸cão, 66 1.2.26 (tra¸co de transform. linear), 30 material, 83 1.2.27 (produto interno de tensores de referencial, 83 segunda ordem), 33 sistema de, 66 158

1.2.28 (norma de tensor de segunda ordem), 33 1.2.29 (tensor inverso de segunda ordem), 34 1.2.30 (tensor ortogonal de segunda ordem), 34 1.2.31 (grupo de tensores de segunda ordem), 35 1.2.32 (classe e base de orientaÂ¸cË&#x153;ao positiva), 36 1.2.33 (transformaÂ¸cË&#x153;ao linear orientaÂ¸cË&#x153;ao preservante), 37 1.2.34 (funÂ¸cË&#x153;ao e tensor elemento de volume), 37 1.2.35 (relaÂ¸cË&#x153;ao entre tensor e e determinante), 41 1.2.36 (produto externo de vetores), 41 1.2.37 (funÂ¸cË&#x153;ao linear dualidade), 42 1.2.38 (produto vetorial), 43 1.2.39 (produto triplo), 44 1.2.40 (autovalor e autovetor), 45 1.2.41 (equaÂ¸cË&#x153;ao caracterÂ´Äąstica), 45 1.2.42 (espaÂ¸co caracterÂ´Äąstico), 47 1.2.43 (tensor de definiÂ¸cË&#x153;ao positiva, negativa e semi-definiÂ¸cË&#x153;ao), 48 1.2.44 (espaÂ¸co euclideano de pontos), 50 1.2.45 (espaÂ¸co tangente), 50 1.3.1 (subconjunto aberto), 51 1.3.2 (derivada escalar em escalar), 51 1.3.3 (derivada vetorial, tensorial ou de pontos, em escalar), 52 1.3.4 (campo), 54 1.3.5 (gradiente de campo escalar, vetorial, tensorial ou de pontos), 54 1.3.6 (gradiente esc., vet., tens. ou de pontos, em vetor ou tensor), 56 1.3.7 (classe C k ), 64 1.3.8 (sistema de coordenadas), 66 1.3.9 (campo de bases), 67 1.3.10 (componen. de gradiente de campo), 70 1.3.11 (divergË&#x2020;encia de campo vet.), 75 1.3.12 (rotacional de campo vet.), 76 1.3.13 (divergË&#x2020;encia de campo tens.), 77 1.3.14 (laplaciano de campo escalar ou vetorial), 78 deformaÂ¸cË&#x153;ao definiÂ¸cË&#x153;ao, 54, 83

funÂ¸cË&#x153;ao de, 83 gradiente de, 69 gradiente, F , de, 83, 95 relativa definiÂ¸cË&#x153;ao, 99 gradiente, Ft , de, 99 degeneraÂ¸cË&#x153;ao, 47 delta de Kronecker, 6 derivada covariante de campo escalar, 71 de campo tensorial de seg. ordem, 73 de campo vetorial, 73 direcional em escalar, 52, 53 em ponto, 56 em vetor ou tensor, 56 genÂérica, 58 escalar em escalar, 51 vetorial, tensorial ou pontual em escalar, 52 descriÂ¸cË&#x153;ao espacial ou euleriana, 96 material, referencial ou lagrangeana, 96 determinismo, princÂ´Äąpio de, 146 diferenciaÂ¸cË&#x153;ao em cadeia, regra de, 61 diferenciais, equaÂ¸cË&#x153;ao definidora, 84 dimensË&#x153;ao de espaÂ¸co de transformaÂ¸cË&#x153;ao linear, 13 de Skw (V ), 41 de espaÂ¸co vetorial real, 9 representaÂ¸cË&#x153;ao, 9 direÂ¸cË&#x153;oes principais, 88 divergË&#x2020;encia de campo tensorial, 77 de campo vetorial, 75 Einstein, notaÂ¸cË&#x153;ao de, 3 energia cinÂética K, 133 interna E, definiÂ¸cË&#x153;ao, 135 densidade mÂássica , 135 total, 135 equaÂ¸cË&#x153;ao 2.1, 82 equaÂ¸cË&#x153;ao 2.2, 83 equaÂ¸cË&#x153;ao 2.3, 83 equaÂ¸cË&#x153;ao 2.4, 83

159

equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão equa¸cão

2.5, 83 2.6, 83 2.7, 84 2.8, 84 2.9, 87 2.10, 87 2.11, 87 2.12, 88 2.13, 88 2.14, 89 2.15, 89 2.16, 89 2.17, 89 2.18, 90 2.19, 90 2.20, 90 2.21, 90 2.22, 91 2.23, 91 2.24, 93 2.25, 94 2.26, 95 2.27, 95 2.28, 95 2.29, 95 2.30, 96 2.31, 97 2.32, 97 2.33, 98 2.34, 98 2.35, 98 2.36, 98 2.37, 98 2.38, 99 2.39, 99 2.40, 99 2.41, 99 2.42, 99 2.43, 99 2.44, 100 2.45, 100 2.46, 101 2.47, 101 2.48, 101 2.49, 102 2.50, 102 2.51, 102 2.52, 103

2.53, 103 2.54, 103 2.55, 103 2.56, 103 2.57, 103 2.58, 103 2.59, 103 2.60, 103 2.61, 104 2.62, 104 2.63, 105 2.64, 105 2.65, 105 2.66, 105 2.67, 106 2.68, 106 2.69, 106 2.70, 107 2.71, 107 2.72, 107 2.73, 107 2.74, 107 2.75, 108 2.76, 108 2.77, 108 2.78, 108 2.79, 109 2.80, 109 2.81, 109 2.82, 109 2.83, 110 2.84, 110 2.85, 110 2.86, 110 2.87, 110 2.88, 111 2.89, 111 2.90, 111 3.1, 112 3.2, 113 3.3, 114 3.4, 114 3.5, 114 3.6, 114 3.7, 115 3.8, 115 3.9, 115 3.10, 116

3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15, 3.16, 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 3.22, 3.23, 3.24, 3.25, 3.26, 3.27, 3.28, 3.29, 3.30, 3.31, 3.32, 3.33, 3.34, 3.35, 3.36, 3.37, 3.38, 3.39, 3.40, 3.41, 3.42, 3.43, 3.44, 3.45, 3.46, 3.47, 3.48, 3.49, 3.50, 3.51, 3.52, 3.53, 3.54, 3.55, 3.56, 3.57, 3.58,

116 117 117 117 117 118 118 118 119 120 120 120 120 121 121 121 122 122 122 122 122 122 123 123 123 124 124 124 126 126 126 126 126 126 127 127 127 127 128 128 128 128 128 129 129 129 129 129

3.59, 131 3.60, 131 3.61, 131 3.62, 131 3.63, 131 3.64, 132 3.65, 132 3.66, 132 3.67, 132 3.68, 132 3.69, 132 3.70, 133 3.71, 133 3.72, 133 3.73, 134 3.74, 134 3.75, 134 3.76, 134 3.77, 134 3.78, 135 3.79, 135 3.80, 135 3.81, 136 3.82, 136 3.83, 136 3.84, 136 3.85, 136 3.86, 137 3.87, 137 3.88, 137 3.89, 137 3.90, 137 3.91, 138 3.92, 138 3.93, 139 3.94, 139 3.95, 139 3.96, 139 3.97, 139 3.98, 139 3.99, 139 3.100, 140 3.101, 140 3.102, 140 3.103, 140 3.104, 140 3.105, 141 3.106, 141

equa¸cão 3.107, 141 equa¸cão 3.108, 141 equa¸cão 3.109, 142 equa¸cão 3.110, 142 equa¸cão 3.111, 144 equa¸cão 4.1, 146 equa¸cão 4.2, 146 equa¸cão 4.3, 147 equa¸cão 4.4, 147 equa¸cão 4.5, 147 equa¸cão 4.6, 148 equa¸cão 4.7, 148 equa¸cão 4.8, 148 equa¸cão 4.9, 149 equa¸cão 4.10, 149 equa¸cão 4.11, 149 equa¸cão 4.12, 149 equa¸cão 4.13, 149 equa¸cão 4.14, 149 equa¸cão 4.15, 150 equa¸cão 4.16, 150 equa¸cão 4.17, 150 equa¸cão 4.18, 150 equa¸cão 4.19, 150 equa¸cão 4.20, 151 equa¸cão 4.21, 151 equa¸cão 4.22, 151 equa¸cão 4.23, 152 equa¸cão 4.24, 152 equa¸cão 4.25, 153 equa¸cão 4.26, 153 equa¸cão 4.27, 153 equa¸cão 4.28, 153 equa¸cão 4.29, 153 equa¸cão 4.30, 154 equa¸cão caracter´ıstica, 45 da continuidade, 126 de campo, 116 de Rankine-Hugoniot, 117 definidora de diferenciais, 84 do movimento, 131 escoamento newtoniano, 101 espa¸co-tempo de Newton W, 82 espacial, descri¸cão, 96 espa¸co de transla¸cão, 50 euclideano de pontos de dimensão n

defini¸cão, 50 ponto regular, 64 ponto singular, 64 região regular, 64 superf´ıcie seccionalmente suave, 64 isomórfico, 51 normatizado, 52 tangente, 51 vetorial real caracter´ıstico, 47 com produto interno, 9 de dimensão finita, 9 defini¸cão, 8 euclideano, defini¸cão, 9 euclideano, impos. subentend., 9 estiramentos principais, 88 estrutura referencial de Newton φ, 82 indiferen¸ca à, ou invariância à mudan¸ca de, 106 inercial, 127 Euler, leis de, 127 euleriana, descri¸cão, 96 fluxo convectivo, 116 mecânico-clássico Φψ , 112 mecânico-estat´ıstico, 112 térmico q, 136 térmico material q κ , 140 for¸ca corporal f b , 128 corporal aparente, suprimento b+i, 144 corporal, suprimento b, 128 de contato f c , 128 defini¸cão, 127 inercial, suprimento i, 144 Fourier-Stokes, princ. de fluxo térmico, 136 fronteira adiabática, 141 defini¸cão, 141 fixa, 141 livre, 141 fun¸cão argumento, 2 bilinear, 9 composi¸cão de, 2 coordenada, i-ésima, 66 162

de fun¸cão, 2 de defini¸cão positiva, 9 de deforma¸cão, 83 de um para um em D, 2 defini¸cão, 2 distância, 50 elemento de, 2 imagem defini¸cão, 2 representa¸cão, 2 inversa em D, 2 invert´ıvel em D, 2 linear dualidade, 42 induzida, 105 n-linear alternante defini¸cão, 26 elemento de volume, defini¸cão, 37 elemento de volume, rela¸cão com determinante, 41 não trivial, defini¸cão, 26 não trivial, equivalente, 36 paralelismo euclideano, 51 representa¸cão, 2 simétrica, 9 suave, 64 temporal, história de, 146 transla¸cão paralela, 51 funcional constitutivo, 3, 146 defini¸cão, 2 universal, 3

independência linear, 8 intervalo aberto, 51 fechado abaixo, 51 abaixo e acima, 51 acima, 51 invariantes principais, 45 lagrangeana, descri¸cão, 96 Laplace, fórmula de, 114 laplaciano de campo escalar, 78 de campo vetorial, 78 lei(s) clássica de conserva¸cão da energia total, 136 da massa, 124 defini¸cão, 113 do momento angular, 132 do momento linear, 131 de Cauchy primeira, 131 segunda, 132 de Euler, 127 fundamentais da dinâmica, 127 local, 97

massa densidade volumétrica de, 123 distribui¸cão de, 123 escalar, 123 material descri¸cão, 96 gradiente região de campo escalar, vetorial, tensorial ou defini¸cão, 112 de pontos, 54 isolada, 113 de deforma¸cão F , 83, 95 medida de, 123 de deforma¸cão relativa Ft , 99 simples escalar, vetorial, tensorial ou de pontos, defini¸cão, 154 em vetor ou tensor, 56 homogêneo, 154 espacial de velocidade, 98 superf´ ıcie, 112 material de velocidade, 98 matriz grandeza antissimétrica, 7 conservativa, 113 de transforma¸cão de base, 22 constitutiva, 146 defini¸cão, 4 determinante de, 28 história de fun¸cão temporal, 146 inversa, 7 incompress´ıvel, movimento, 114 163

observador de Newton φ, 82

inversa transposta, 7 ortogonal, 7 simétrica, 7 singular, 7 tra¸co de, 31 transposta, 6 meio cont´ınuo, teoria para, 125 momento angular, 127 linear, 127 movimento defini¸cão, 94 harmônico, 99 incompress´ıvel, 114 r´ıgido, 99 representa¸cão por deforma¸cão, 95 n-upla, 1 Newton escoamento de, 101 espa¸co-tempo, W, de corpo, B, pertencente ao, 82 defini¸cão, 82 estrut. refer., ou observador, φ, de, 82 nota¸cão 1.1.1 (s´ımbolos), 1 1.1.2 (Einstein), 3 1.2.1 (produto interno de vetores de base gi j ), 10 1.2.2 (base dual), 12 1.2.3 (espa¸co de transform. linear), 12 1.2.4 (tensor de segunda ordem como uma matriz), 15 1.2.5 (subespa¸cos simétrico e antissimétrico), 19 1.2.6 (aplica¸cão de tensor a tensor), 33 1.2.7 (subespa¸co invert´ıvel), 34 1.2.8 (grupos especiais), 35 1.2.9 (vetor associado a tensor antissimétrico), 42 1.2.10 (tensor raiz quadrada), 49 1.3.1 (derivada e gradiente generalizados), 57 1.3.2 (derivada covariante), 74

permuta¸cão defini¸cão, 25 distingu´ıvel, 26 ´ımpar, 25 par, 25 s´ımbolo de, 38 sinal de, 25 Piola-Kirchoff, tensor de tra¸cão de, 139 ponto regular, 64 singular, 64 potência cinética ˙ defini¸cão, 134 K, sem potência mecânica K˙ P =0 , 135 mecânica P , 134 térmica, 137 total, 135 pressão hidrostática, 130 processo homogêneo defini¸cão, 135 primeira lei da termodinâmica, 138 produto externo de vetores como base para Skw (V ), 41 defini¸cão, 41 vetor associado a, 43 interno de tens. de segunda ordem, 33 interno de vetores de base em esp. vet. eucl., gi j , 10, 11 de base em esp. vet. eucl., g i j , 11 decomposi¸cão em esp. vet. eucl., 10 defini¸cão, 9 representa¸cão em esp. vet. eucl., 9 ordinário de tensores de segunda ordem, veja composi¸cão tensorial de vetores defini¸cão, 13 espa¸co de, 14 triplo, 44 vetorial, 43

referencial, descri¸cão, 96 objetividade material, princ´ıp. de, 146, 147 região material defini¸cão, 112 objetivo, 106 isolada, 113 observável, 106 164

regular ponto, 64 região, 64 rela¸cão de equivalência, 36 representa¸cão de campo dos n´ umeros reais, 1 escalar, 1 matriz identidade, 1 tensor, 1 tensor identidade, 1 vetor, 1 rotacional de campo vetorial, 76, 77 s´ımbolo de Christoffel de seg. espécie, 72 s´ımbolos de Christoffel, 71 matemáticos da mecânica dos meios cont´ınuos, 97 gerais, 1 simetria material, princ´ıpio de, 146 suave fun¸cão, 64 superf´ıcie seccionalmente, 64 subconjunto aberto, 51 superf´ıcie material, 112 singular, condi¸cão de compatibilidade cinemática da, 122 suprimento de calor r, 136 de for¸ca corporal b, 128 de for¸ca corporal aparente b + i, 144 de for¸ca inercial i, 144 mecânico-clássico σψ , 112 mecânico-estat´ıstico, 112 temperatura, 145 tensor de cisalhamento puro, 130 de ordem k defini¸cão, 21 e transforma¸cão escalar k-linear, 21 de pressão hidrostática, 130 de Rivlin-Ericksen, 103 de rota¸cão R, 87 e componentes, 93 infinitesimal R, e defini¸ infinitesimal R, cão, 91 165

relativa Rt , 102 de segunda ordem antissim., representa¸cão espa¸co de, 19 antissimétrico, vetor associado a, 42 antissimétrico, defini¸cão, 19 antissimétrico, transposi¸cão de, 20 aplica¸cão gi j ou g i j a componente, 18 autovalor de, 45 autovetor de, 45 cálculo de componente associado, 14 componente assoc. contravariante, 14 componente assoc. covariante, 14 componente assoc. misto, 14 componente, transforma¸cão de, 25 composi¸cão, 20 de defini¸cão negativa, 48 de defini¸cão positiva, 48 de semi-defini¸cão negativa, 48 de semi-defini¸cão positiva, 48 defini¸cão, 14 defini¸cão de componente assoc., 14 e transforma¸cão escalar bilinear, 17 equa¸cão caracter´ıstica de, 45 espa¸co caracter´ıstico de, 47 grupo linear especial SL(V ), 36 grupo linear geral GL(V ), 36 grupo ortogonal O, 36 grupo ortogonal próprio O+ , 36 grupo rotacional O+ , 36 grupo unimodular U, 36 grupo, defini¸cão, 35 invariantes principais de, 45 inverso, 34 inverso transposto, 34 invert´ıvel ou não singular, 34 norma, 33 orienta¸cão preservante, 37 ortogonal impróprio, 35 ortogonal próprio, 35 ortogonal, defini¸cão, 34 produto interno de, 33 raiz quadrada, 49 representa¸cão matricial, 15 simétrico, defini¸cão, 19 simétrico, representa¸cão espa¸co de, 19 simétrico, transposi¸cão de, 20 singular, 34 transposi¸cão, 18

unimodular, 36 de tensão ou compressão pura, ou uniaxial, 130 de tra¸cão corrente e, 90 de Almansi - Hamel e, 90 de Cauchy - Green direito C, 88 de Cauchy - Green esquerdo B, 88 de Cauchy, compon. normais do, 129 de Cauchy, componentes de cisalhamento do, 129 de Cauchy, defini¸cão, 129 de Cauchy, dire¸cão principal do, 132 de Cauchy, tra¸cão principal do, 132 de Green - St. Venant E, 89 de Piola-Kirchoff, 139 e componentes, 93 infinitesimal E, e defini¸ infinitesimal E, cão, 90 planar, 130 referencial E, 89 relativa Cauchy - Green direi. Ct , 102 relativa Cauchy - Green esqu. Bt , 102 direito de estiramento U , 87 estiramento relativo Ut , 102 elemento de volume defini¸cão, 38 rela¸cão com determinante, 41 esquerdo de estiramento V , 87 estiramento relativo Vt , 102 estirante, 103 gradiente de deforma¸cão F , 83, 95 de deforma¸cão relativa Ft , 99 espacial de deslocamento h, 90 espacial de velocidade, 98 material de velocidade, 98 referencial de deslocamento H, 90 identidade componente associado, 17 defini¸cão, 17 métrico, 67 momento angular, 127 rotativo, 103 simples componentes associados, 16

componentes associados em base ortonormal, 16 composi¸cão, 21 defini¸cão, 13 representa¸cão matricial, 16 transposi¸cão, 18 torque, 127 velocidade angular Ω , 107 teorema 1.2.1 (base de espa¸co vetorial de transforma¸cão linear), 13 1.2.2 (unicidade da propor¸cão entre fun¸cões n-lineares alternantes), 26 1.2.3 (dependência da propor¸cão entre fun¸cões n-lineares alternantes), 27 1.2.4 (condi¸cão necessária e suficiente de autovalor), 45 1.2.5 (Cayley-Hamilton: tensor satisfaz sua equa¸cão caracter´ıstica), 46 1.2.6 (espectral: autovalores de tensor simétrico), 46 1.2.7 (comuta¸cão de composi¸cão de tensores), 47 1.2.8 (tensor simétrico de defini¸cão positiva ou negativa), 48 1.2.9 (quadrado de tensor simétrico de defini¸cão positiva ou negativa), 48 1.2.10 (decomposi¸cão polar), 49 1.3.1 (fun¸cão inversa), 66 1.3.2 (base de espa¸co tangente), 66 1.3.3 (divergência), 81 1.3.4 (fun¸cão identicam. nula em E), 81 torque, 127 tra¸cão de cisalhamento, 129 normal, 129 superficial t, 128 trajetória, 95 transforma¸cão n-linear base de espa¸co vetorial de, 13 decomposi¸cão, 13 defini¸cão, 12 determinante de, 27 dimensão de espa¸co de, 13 escalar e tensor de ordem k, 21 escalar e tensor de segunda ordem, 17 espa¸co vetorial de, 13

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ortogonal, 10 produto vetorial, 43 proje¸cão, 10 torque, 127 tra¸cão de cisalhamento, 129 normal, 129 superficial t, 128 unidade defini¸cão, 9 velocidade v(X, t) numa dire¸cão, 10 defini¸cão, 95 ⊥ superf´ıcie, eκ e e, 86 gradiente espacial de, 98 representa¸cão, 9 gradiente material de, 98 velocidade v(X, t), 95 velocidade angular Ω , 107 velocidade local de propaga¸cão U ± , 117 ± velocidade local de propaga¸cão U , 117 vorticidade, 103 vetor volume acelera¸cão a(X, t) elemento de defini¸cão, 95 defini¸cão, 37 em fun¸cão da velocidade, 98 rela¸cão com determinante, 41 ângulo, 9 rela¸cão entre dvκ e dv, 87 assoc. a produto externo de vetores, 43 vorticidade, 103 associado a tensor antissimétrico, 42 axial, 42 componente contravariante, 11 covariante, 11 defini¸cão, 9 obten¸cão, 11 transforma¸cão de, 24 comprimento, 9 deslocamento u, 90 diferen¸ca, 50 dire¸cão, 10 fluxo térmico q, 136 fluxo térmico material q κ , 140 for¸ca corporal f b , 128 corporal aparente, suprim. b + i, 144 corporal, suprimento b, 128 de contato f c , 128 defini¸cão, 127 inercial, suprimento i, 144 igualdade de, 10 momento angular, 127 linear, 127 norma, 9 orienta¸cão preservante, 37 representa¸cão para espa¸co de, 12 tra¸co de, 30 transposta, 17 euclideana, 104 galileiana, 108 r´ıgida independente do tempo, 108 transporte, teorema de, 113 transposi¸cão, 25

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