1300 math formulas by golden art by fouad bouhdifi

http://fribok.blogspot.com/

1300 Math Formulas

fp_k VVQVNMTTQN `çéóêáÖÜí « OMMQ ^KpîáêáåK ^ää oáÖÜíë oÉëÉêîÉÇK

http://fribok.blogspot.com/

Preface

qÜáë Ü~åÇÄççâ áë ~ ÅçãéäÉíÉ ÇÉëâíçé êÉÑÉêÉåÅÉ Ñçê ëíìÇÉåíë ~åÇ ÉåÖáåÉÉêëK fí Ü~ë ÉîÉêóíÜáåÖ Ñêçã ÜáÖÜ ëÅÜççä ã~íÜ íç ã~íÜ Ñçê ~Çî~åÅÉÇ ìåÇÉêÖê~Çì~íÉë áå ÉåÖáåÉÉêáåÖI ÉÅçåçãáÅëI éÜóëáÅ~ä ëÅáÉåÅÉëI ~åÇ ã~íÜÉã~íáÅëK qÜÉ ÉÄççâ Åçåí~áåë ÜìåÇêÉÇë çÑ Ñçêãìä~ëI í~ÄäÉëI ~åÇ ÑáÖìêÉë Ñêçã kìãÄÉê pÉíëI ^äÖÉÄê~I dÉçãÉíêóI qêáÖçåçãÉíêóI j~íêáÅÉë ~åÇ aÉíÉêãáå~åíëI sÉÅíçêëI ^å~äóíáÅ dÉçãÉíêóI `~äÅìäìëI aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåëI pÉêáÉëI ~åÇ mêçÄ~Äáäáíó qÜÉçêóK qÜÉ ëíêìÅíìêÉÇ í~ÄäÉ çÑ ÅçåíÉåíëI äáåâëI ~åÇ ä~óçìí ã~âÉ ÑáåÇáåÖ íÜÉ êÉäÉî~åí áåÑçêã~íáçå èìáÅâ ~åÇ é~áåäÉëëI ëç áí Å~å ÄÉ ìëÉÇ ~ë ~å ÉîÉêóÇ~ó çåäáåÉ êÉÑÉêÉåÅÉ ÖìáÇÉK

ii http://fribok.blogspot.com/

Contents

1 krj_bo pbqp NKN pÉí fÇÉåíáíáÉë 1 NKO pÉíë çÑ kìãÄÉêë 5 NKP _~ëáÅ fÇÉåíáíáÉë 7 NKQ `çãéäÉñ kìãÄÉêë 8 2 ^idb_o^ OKN c~ÅíçêáåÖ cçêãìä~ë 12 OKO mêçÇìÅí cçêãìä~ë 13 OKP mçïÉêë 14 OKQ oççíë 15 OKR içÖ~êáíÜãë 16 OKS bèì~íáçåë 18 OKT fåÉèì~äáíáÉë 19 OKU `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~ë 22 3 dbljbqov PKN oáÖÜí qêá~åÖäÉ 24 PKO fëçëÅÉäÉë qêá~åÖäÉ 27 PKP bèìáä~íÉê~ä qêá~åÖäÉ 28 PKQ pÅ~äÉåÉ qêá~åÖäÉ 29 PKR pèì~êÉ 33 PKS oÉÅí~åÖäÉ 34 PKT m~ê~ääÉäçÖê~ã 35 PKU oÜçãÄìë 36 PKV qê~éÉòçáÇ 37 PKNM fëçëÅÉäÉë qê~éÉòçáÇ 38 PKNN fëçëÅÉäÉë qê~éÉòçáÇ ïáíÜ fåëÅêáÄÉÇ `áêÅäÉ 40 PKNO qê~éÉòçáÇ ïáíÜ fåëÅêáÄÉÇ `áêÅäÉ 41

iii http://fribok.blogspot.com/

PKNP PKNQ PKNR PKNS PKNT PKNU PKNV PKOM PKON PKOO PKOP PKOQ PKOR PKOS PKOT PKOU PKOV PKPM PKPN PKPO PKPP PKPQ PKPR PKPS PKPT PKPU PKPV PKQM

háíÉ 42 `óÅäáÅ nì~Çêáä~íÉê~ä 43 q~åÖÉåíá~ä nì~Çêáä~íÉê~ä 45 dÉåÉê~ä nì~Çêáä~íÉê~ä 46 oÉÖìä~ê eÉñ~Öçå 47 oÉÖìä~ê mçäóÖçå 48 `áêÅäÉ 50 pÉÅíçê çÑ ~ `áêÅäÉ 53 pÉÖãÉåí çÑ ~ `áêÅäÉ 54 `ìÄÉ 55 oÉÅí~åÖìä~ê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ 56 mêáëã 57 oÉÖìä~ê qÉíê~ÜÉÇêçå 58 oÉÖìä~ê móê~ãáÇ 59 cêìëíìã çÑ ~ oÉÖìä~ê móê~ãáÇ 61 oÉÅí~åÖìä~ê oáÖÜí tÉÇÖÉ 62 mä~íçåáÅ pçäáÇë 63 oáÖÜí `áêÅìä~ê `óäáåÇÉê 66 oáÖÜí `áêÅìä~ê `óäáåÇÉê ïáíÜ ~å lÄäáèìÉ mä~åÉ c~ÅÉ 68 oáÖÜí `áêÅìä~ê `çåÉ 69 cêìëíìã çÑ ~ oáÖÜí `áêÅìä~ê `çåÉ 70 péÜÉêÉ 72 péÜÉêáÅ~ä `~é 72 péÜÉêáÅ~ä pÉÅíçê 73 péÜÉêáÅ~ä pÉÖãÉåí 74 péÜÉêáÅ~ä tÉÇÖÉ 75 bääáéëçáÇ 76 `áêÅìä~ê qçêìë 78

4 qofdlkljbqov QKN o~Çá~å ~åÇ aÉÖêÉÉ jÉ~ëìêÉë çÑ ^åÖäÉë 80 QKO aÉÑáåáíáçåë ~åÇ dê~éÜë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 81 QKP páÖåë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 86 QKQ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë çÑ `çããçå ^åÖäÉë 87 QKR jçëí fãéçêí~åí cçêãìä~ë 88

iv http://fribok.blogspot.com/

QKS QKT QKU QKV QKNM QKNN QKNO QKNP QKNQ QKNR QKNS QKNT QKNU QKNV QKOM QKON

oÉÇìÅíáçå cçêãìä~ë 89 mÉêáçÇáÅáíó çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 90 oÉä~íáçåë ÄÉíïÉÉå qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 90 ^ÇÇáíáçå ~åÇ pìÄíê~Åíáçå cçêãìä~ë 91 açìÄäÉ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 92 jìäíáéäÉ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 93 e~äÑ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 94 e~äÑ ^åÖäÉ q~åÖÉåí fÇÉåíáíáÉë 94 qê~åëÑçêãáåÖ çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ bñéêÉëëáçåë íç mêçÇìÅí 95 qê~åëÑçêãáåÖ çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ bñéêÉëëáçåë íç pìã 97 mçïÉêë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 98 dê~éÜë çÑ fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 99 mêáåÅáé~ä s~äìÉë çÑ fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 102 oÉä~íáçåë ÄÉíïÉÉå fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 103 qêáÖçåçãÉíêáÅ bèì~íáçåë 106 oÉä~íáçåë íç eóéÉêÄçäáÅ cìåÅíáçåë 106

5 j^qof`bp ^ka abqbojfk^kqp RKN aÉíÉêãáå~åíë 107 RKO mêçéÉêíáÉë çÑ aÉíÉêãáå~åíë 109 RKP j~íêáÅÉë 110 RKQ léÉê~íáçåë ïáíÜ j~íêáÅÉë 111 RKR póëíÉãë çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë 114 6 sb`qlop SKN sÉÅíçê `ççêÇáå~íÉë 118 SKO sÉÅíçê ^ÇÇáíáçå 120 SKP sÉÅíçê pìÄíê~Åíáçå 122 SKQ pÅ~äáåÖ sÉÅíçêë 122 SKR pÅ~ä~ê mêçÇìÅí 123 SKS sÉÅíçê mêçÇìÅí 125 SKT qêáéäÉ mêçÇìÅí 127 7 ^k^ivqf` dbljbqov TKN låÉ -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 130

v http://fribok.blogspot.com/

TKO TKP TKQ TKR TKS TKT TKU TKV TKNM TKNN TKNO

qïç -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 131 píê~áÖÜí iáåÉ áå mä~åÉ 139 `áêÅäÉ 149 bääáéëÉ 152 eóéÉêÄçä~ 154 m~ê~Äçä~ 158 qÜêÉÉ -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 161 mä~åÉ 165 píê~áÖÜí iáåÉ áå pé~ÅÉ 175 nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë 180 péÜÉêÉ 189

8 afccbobkqfî `î`rirp UKN cìåÅíáçåë ~åÇ qÜÉáê dê~éÜë 191 UKO iáãáíë çÑ cìåÅíáçåë 208 UKP aÉÑáåáíáçå ~åÇ mêçéÉêíáÉë çÑ íÜÉ aÉêáî~íáîÉ 209 UKQ q~ÄäÉ çÑ aÉêáî~íáîÉë 211 UKR eáÖÜÉê lêÇÉê aÉêáî~íáîÉë 215 UKS ^ééäáÅ~íáçåë çÑ aÉêáî~íáîÉ 217 UKT aáÑÑÉêÉåíá~ä 221 UKU jìäíáî~êá~ÄäÉ cìåÅíáçåë 222 UKV aáÑÑÉêÉåíá~ä léÉê~íçêë 225 9 fkqbdoî `î`rirp VKN fåÇÉÑáåáíÉ fåíÉÖê~ä 227 VKO fåíÉÖê~äë çÑ o~íáçå~ä cìåÅíáçåë 228 VKP fåíÉÖê~äë çÑ fêê~íáçå~ä cìåÅíáçåë 231 VKQ fåíÉÖê~äë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 237 VKR fåíÉÖê~äë çÑ eóéÉêÄçäáÅ cìåÅíáçåë 241 VKS fåíÉÖê~äë çÑ bñéçåÉåíá~ä ~åÇ içÖ~êáíÜãáÅ cìåÅíáçåë 242 VKT oÉÇìÅíáçå cçêãìä~ë 243 VKU aÉÑáåáíÉ fåíÉÖê~ä 247 VKV fãéêçéÉê fåíÉÖê~ä 253 VKNM açìÄäÉ fåíÉÖê~ä 257 VKNN qêáéäÉ fåíÉÖê~ä 269

vi http://fribok.blogspot.com/

VKNO VKNP

iáåÉ fåíÉÖê~ä 275 pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä 285

10 afccbobkqf^i bnr^qflkp NMKN cáêëí lêÇÉê lêÇáå~êó aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 295 NMKO pÉÅçåÇ lêÇÉê lêÇáå~êó aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 298 NMKP pçãÉ m~êíá~ä aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 302 11 pbofbp NNKN ^êáíÜãÉíáÅ pÉêáÉë 304 NNKO dÉçãÉíêáÅ pÉêáÉë 305 NNKP pçãÉ cáåáíÉ pÉêáÉë 305 NNKQ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë 307 NNKR mêçéÉêíáÉë çÑ `çåîÉêÖÉåí pÉêáÉë 307 NNKS `çåîÉêÖÉåÅÉ qÉëíë 308 NNKT ^äíÉêå~íáåÖ pÉêáÉë 310 NNKU mçïÉê pÉêáÉë 311 NNKV aáÑÑÉêÉåíá~íáçå ~åÇ fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë 312 NNKNM q~óäçê ~åÇ j~Åä~ìêáå pÉêáÉë 313 NNKNN mçïÉê pÉêáÉë bñé~åëáçåë Ñçê pçãÉ cìåÅíáçåë 314 NNKNO _áåçãá~ä pÉêáÉë 316 NNKNP cçìêáÉê pÉêáÉë 316 12 mol_^_fifqv NOKN mÉêãìí~íáçåë ~åÇ `çãÄáå~íáçåë 318 NOKO mêçÄ~Äáäáíó cçêãìä~ë 319

vii http://fribok.blogspot.com/

Chapter 1

Number Sets

1.1 Set Identities pÉíëW ^I _I ` råáîÉêë~ä ëÉíW f `çãéäÉãÉåí W ^′ mêçéÉê ëìÄëÉíW ^ ⊂ _ bãéíó ëÉíW ∅ råáçå çÑ ëÉíëW ^ ∪ _ fåíÉêëÉÅíáçå çÑ ëÉíëW ^ ∩ _ aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ ëÉíëW ^ y _

^⊂f

^⊂^

^ = _ áÑ ^ ⊂ _ ~åÇ _ ⊂ ^ .

bãéíó pÉí ∅⊂^

råáçå çÑ pÉíë ` = ^ ∪ _ = {ñ ö ñ ∈ ^ çê ñ ∈ _}

1 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 1. NUMBER SETS

Figure 1.

`çããìí~íáîáíó ^∪_ = _∪^

^ëëçÅá~íáîáíó ^ ∪ (_ ∪ ` ) = (^ ∪ _ ) ∪ `

fåíÉêëÉÅíáçå çÑ pÉíë ` = ^ ∪ _ = {ñ ö ñ ∈ ^ ~åÇ ñ ∈ _}

Figure 2.

`çããìí~íáîáíó ^∩_ = _∩^

10.

^ëëçÅá~íáîáíó ^ ∩ (_ ∩ ` ) = (^ ∩ _ ) ∩ `

2 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 1. NUMBER SETS

11.

aáëíêáÄìíáîáíó ^ ∪ (_ ∩ ` ) = (^ ∪ _ ) ∩ (^ ∪ ` ) I ^ ∩ (_ ∪ ` ) = (^ ∩ _ ) ∪ (^ ∩ ` ) K

12.

fÇÉãéçíÉåÅó ^∩^ = ^I ^∪^= ^

13.

açãáå~íáçå ^∩∅ = ∅I ^∪f= f

14.

fÇÉåíáíó ^ ∪∅ = ^ I ^∩f= ^

15.

`çãéäÉãÉåí ^′ = {ñ ∈ f ö ñ ∉ ^}

16.

`çãéäÉãÉåí çÑ fåíÉêëÉÅíáçå ~åÇ råáçå ^ ∪ ^′ = f I ^ ∩ ^′ = ∅

17.

aÉ jçêÖ~å∞ë i~ïë (^ ∪ _ )′ = ^′ ∩ _′ I (^ ∩ _ )′ = ^′ ∪ _′

18.

aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ pÉíë ` = _ y ^ = {ñ ö ñ ∈ _ ~åÇ ñ ∉ ^}

3 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 1. NUMBER SETS

Figure 3.

19.

_ y ^ = _ y (^ ∩ _ )

20.

_ y ^ = _ ∩ ^′

21.

^y^=∅

22.

^ y _ = ^ áÑ ^ ∩ _ = ∅ .

Figure 4.

23.

(^ y _) ∩ ` = (^ ∩ `) y (_ ∩ `)

24.

^′ = f y ^

25.

`~êíÉëá~å mêçÇìÅí ` = ^ × _ = {(ñ I ó ) ö ñ ∈ ^ ~åÇ ó ∈ _}

4 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 1. NUMBER SETS

1.2 Sets of Numbers k~íìê~ä åìãÄÉêëW k tÜçäÉ åìãÄÉêëW kM fåíÉÖÉêëW w mçëáíáîÉ áåíÉÖÉêëW w + kÉÖ~íáîÉ áåíÉÖÉêëW w − o~íáçå~ä åìãÄÉêëW n oÉ~ä åìãÄÉêëW o `çãéäÉñ åìãÄÉêëW `

26.

k~íìê~ä kìãÄÉêë `çìåíáåÖ åìãÄÉêëW k = {NI OI PI K} K

27.

tÜçäÉ kìãÄÉêë `çìåíáåÖ åìãÄÉêë ~åÇ òÉêçW k M = {MI NI OI PI K} K

28.

fåíÉÖÉêë tÜçäÉ åìãÄÉêë ~åÇ íÜÉáê çééçëáíÉë ~åÇ òÉêçW w + = k = {NI OI PI K}I w − = {KI − PI − OI − N} I w = w − ∪ {M} ∪ w + = {KI − PI − OI − NI MI NI OI PI K} K

29.

o~íáçå~ä kìãÄÉêë oÉéÉ~íáåÖ çê íÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëW ~   n = ñ ö ñ = ~åÇ ~ ∈ w ~åÇ Ä ∈ w ~åÇ Ä ≠ M K Ä  

30.

fêê~íáçå~ä kìãÄÉêë kçåêÉéÉ~íáåÖ ~åÇ åçåíÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëK

5 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 1. NUMBER SETS

31.

oÉ~ä kìãÄÉêë råáçå çÑ ê~íáçå~ä ~åÇ áêê~íáçå~ä åìãÄÉêëW oK

32.

`çãéäÉñ kìãÄÉêë ` = {ñ + áó ö ñ ∈ o ~åÇ ó ∈ o}I ïÜÉêÉ á áë íÜÉ áã~Öáå~êó ìåáíK

33.

k⊂w⊂n⊂o⊂`

Figure 5.

6 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 1. NUMBER SETS

1.3 Basic Identities oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Å

34.

^ÇÇáíáîÉ fÇÉåíáíó ~+M=~

35.

^ÇÇáíáîÉ fåîÉêëÉ ~ + (− ~ ) = M

36.

`çããìí~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå ~ +Ä= Ä+~

37.

^ëëçÅá~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå (~ + Ä) + Å = ~ + (Ä + Å )

38.

aÉÑáåáíáçå çÑ pìÄíê~Åíáçå ~ − Ä = ~ + (− Ä)

39.

jìäíáéäáÅ~íáîÉ fÇÉåíáíó ~ ⋅N = ~

40.

jìäíáéäáÅ~íáîÉ fåîÉêëÉ N ~ ⋅ =NI ~ ≠ M ~

41.

jìäíáéäáÅ~íáçå qáãÉë M ~ ⋅M = M

42.

`çããìí~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå ~ ⋅Ä = Ä⋅~

7 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 1. NUMBER SETS

43.

^ëëçÅá~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå (~ ⋅ Ä)⋅ Å = ~ ⋅ (Ä ⋅ Å )

44.

aáëíêáÄìíáîÉ i~ï ~ (Ä + Å ) = ~Ä + ~Å

45.

aÉÑáåáíáçå çÑ aáîáëáçå ~ N = ~⋅ Ä Ä

1.4 Complex Numbers k~íìê~ä åìãÄÉêW å fã~Öáå~êó ìåáíW á `çãéäÉñ åìãÄÉêW ò oÉ~ä é~êíW ~I Å fã~Öáå~êó é~êíW ÄáI Çá jçÇìäìë çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW êI êN I êO ^êÖìãÉåí çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW ϕ I ϕN I ϕO

46.

áN = á á O = −N á P = −á áQ = N

áR = á á S = −N á T = −á áU = N

47.

ò = ~ + Äá

48.

`çãéäÉñ mä~åÉ

á Q å +N = á á Q å+ O = −N á Q å + P = −á á Qå = N

8 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 1. NUMBER SETS

Figure 6.

49.

(~ + Äá ) + (Å + Çá ) = (~ + Å ) + (Ä + Ç )á

50.

(~ + Äá ) − (Å + Çá ) = (~ − Å ) + (Ä − Ç)á

51.

(~ + Äá )(Å + Çá ) = (~Å − ÄÇ ) + (~Ç + ÄÅ )á

52.

~ + Äá ~Å + ÄÇ ÄÅ − ~Ç = + ⋅á Å + Çá Å O + Ç O Å O + Ç O

53.

`çåàìÖ~íÉ `çãéäÉñ kìãÄÉêë |||||||

~ + Äá = ~ − Äá 54.

~ = ê Åçë ϕ I Ä = ê ëáå ϕ

9 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 1. NUMBER SETS

Figure 7.

55.

mçä~ê mêÉëÉåí~íáçå çÑ `çãéäÉñ kìãÄÉêë ~ + Äá = ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ)

56.

jçÇìäìë ~åÇ ^êÖìãÉåí çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê fÑ ~ + Äá áë ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêI íÜÉå ê = ~ O + ÄO EãçÇìäìëFI Ä ϕ = ~êÅí~å E~êÖìãÉåíFK ~

57.

mêçÇìÅí áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå ò N ⋅ ò O = êN (Åçë ϕN + á ëáå ϕN ) ⋅ êO (Åçë ϕO + á ëáå ϕO ) = êNêO [Åçë(ϕN + ϕO ) + á ëáå(ϕN + ϕO )]

58.

`çåàìÖ~íÉ kìãÄÉêë áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå |||||||||||||||||||||

ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = ê[Åçë(− ϕ) + á ëáå(− ϕ)]

59.

fåîÉêëÉ çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå N N = [Åçë(− ϕ) + á ëáå(− ϕ)] ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) ê

10 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 1. NUMBER SETS

60.

nìçíáÉåí áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå ò N êN (Åçë ϕN + á ëáå ϕN ) êN = = [Åçë(ϕN − ϕO ) + á ëáå(ϕN − ϕO )] ò O êO (Åçë ϕO + á ëáå ϕO ) êO

61.

mçïÉê çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê å ò å = [ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ)] = ê å [Åçë(åϕ) + á ëáå(åϕ)]

62.

cçêãìä~ ±aÉ jçáîêÉ≤ (Åçë ϕ + á ëáå ϕ)å = Åçë(åϕ) + á ëáå(åϕ)

63.

kíÜ oççí çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê ϕ + Oπâ ϕ + Oπâ   å ò = å ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = å ê  Åçë + á ëáå I å å   ïÜÉêÉ â = MI NI OI KI å − N K

64.

bìäÉê∞ë cçêãìä~ É áñ = Åçë ñ + á ëáå ñ

11 http://fribok.blogspot.com/

Chapter 2

Algebra

2.1 Factoring Formulas oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Å k~íìê~ä åìãÄÉêW å

65.

~ O − ÄO = (~ + Ä)(~ − Ä)

66.

~ P − ÄP = (~ − Ä)(~ O + ~Ä + ÄO )

67.

~ P + ÄP = (~ + Ä)(~ O − ~Ä + ÄO )

68.

~ Q − ÄQ = (~ O − ÄO )(~ O + ÄO ) = (~ − Ä)(~ + Ä)(~ O + ÄO )

69.

~ R − ÄR = (~ − Ä)(~ Q + ~ P Ä + ~ O ÄO + ~ÄP + ÄQ )

70.

~ R + ÄR = (~ + Ä)(~ Q − ~ P Ä + ~ O ÄO − ~ÄP + ÄQ )

71.

fÑ å áë çÇÇI íÜÉå ~ å + Äå = (~ + Ä)(~ å−N − ~ å −O Ä + ~ å −P ÄO − K − ~Äå −O + Äå −N ) K

72.

fÑ å áë ÉîÉåI íÜÉå ~ å − Äå = (~ − Ä)(~ å −N + ~ å −O Ä + ~ å −P ÄO + K + ~Äå−O + Äå −N ) I

12 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 2. ALGEBRA

~ å + Äå = (~ + Ä)(~ å−N − ~ å −O Ä + ~ å −P ÄO − K + ~Äå−O − Äå −N ) K

2.2 Product Formulas oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Å tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI â

73.

(~ − Ä)O = ~ O − O~Ä + ÄO

74.

(~ + Ä)O = ~ O + O~Ä + ÄO

75.

(~ − Ä)P = ~ P − P~ O Ä + P~ÄO − ÄP

76.

(~ + Ä)P = ~ P + P~ OÄ + P~ÄO + ÄP

77.

(~ − Ä)Q = ~ Q − Q~ P Ä + S~ O ÄO − Q~ÄP + ÄQ

78.

(~ + Ä)Q = ~ Q + Q~ P Ä + S~ OÄO + Q~ÄP + ÄQ

79.

80. 81.

_áåçãá~ä cçêãìä~ (~ + Ä)å = å` M~ å + å`N~ å−NÄ + å` O~ å−OÄO + K + å` å−N~Äå−N + å` å Äå I å> ~êÉ íÜÉ Äáåçãá~ä ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK ïÜÉêÉ å ` â = â> (å − â )>

(~ + Ä + Å )O = ~ O + ÄO + Å O + O~Ä + O~Å + OÄÅ (~ + Ä + Å + K + ì + î )O = ~ O + ÄO + Å O + K + ì O + î O + + O(~Ä + ~Å + K + ~ì + ~î + ÄÅ + K + Äì + Äî + K + ìî )

13 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.3 Powers _~ëÉë EéçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëFW ~I Ä mçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã

82.

~ ã ~ å = ~ ã+å

83.

~ã = ~ ã −å å ~

84.

(~Ä)ã = ~ ã Äã

85.

~ã ~   = ã Ä  Ä

86.

(~ )

87.

~M = N I ~ ≠ M

88.

~N = N

89.

~ −ã =

90.

ã å

= ~ ãå

N ~ã

ã å

~ = å ~ã

14 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.4 Roots _~ëÉëW ~I Ä mçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã ~ I Ä ≥ M Ñçê ÉîÉå êççíë E å = Oâ I â ∈ k F

91.

~Ä = å ~ å Ä

92.

~ ã Ä = åã ~ ã Äå

93.

~ å~ = I Ä≠M Ä åÄ

94.

~ åã ~ ã åã ~ ã = = I Ä≠MK ã Äå Ä åã Äå å

95.

(~ )

96.

( ~)

= å ~ ãé

=~ åé

97.

~ã =

98.

~ =~

99.

ã å

100.

ã å

~ = ãå ~

( ~) å

~ ãé

= å ~ã

15 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 2. ALGEBRA

101.

N å ~ å −N = I ~ ≠ MK å ~ ~ ~ + ~O − Ä ~ − ~O − Ä ± O O

102.

~± Ä =

103.

N ~m Ä = ~−Ä ~± Ä

2.5 Logarithms mçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ñI óI ~I ÅI â k~íìê~ä åìãÄÉêW å 104. aÉÑáåáíáçå çÑ içÖ~êáíÜã ó = äçÖ ~ ñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ñ = ~ ó I ~ > M I ~ ≠ N K 105. äçÖ ~ N = M 106. äçÖ ~ ~ = N

− ∞ áÑ ~ > N 107. äçÖ ~ M =  + ∞ áÑ ~ < N 108. äçÖ ~ (ñó ) = äçÖ ~ ñ + äçÖ ~ ó 109. äçÖ ~

ñ = äçÖ ~ ñ − äçÖ ~ ó ó

16 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 2. ALGEBRA

110. äçÖ ~ (ñ å ) = å äçÖ ~ ñ 111. äçÖ ~ å ñ =

N äçÖ ~ ñ å

112. äçÖ ~ ñ =

äçÖ Å ñ = äçÖ Å ñ ⋅ äçÖ ~ Å I Å > M I Å ≠ N K äçÖ Å ~

113. äçÖ ~ Å =

N äçÖ Å ~

114. ñ = ~ äçÖ ~ ñ 115. içÖ~êáíÜã íç _~ëÉ NM äçÖ NM ñ = äçÖ ñ 116. k~íìê~ä içÖ~êáíÜã äçÖ É ñ = äå ñ I â

 N ïÜÉêÉ É = äáã N +  = OKTNUOUNUOUK â →∞  â 117. äçÖ ñ =

118. äå ñ =

N äå ñ = MKQPQOVQ äå ñ äå NM

N äçÖ ñ = OKPMORUR äçÖ ñ äçÖ É

17 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.6 Equations oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI éI èI ìI î pçäìíáçåëW ñ N I ñ O I ó N I ó O I ó P

119. iáåÉ~ê bèì~íáçå áå låÉ s~êá~ÄäÉ Ä ~ñ + Ä = M I ñ = − K ~ 120. nì~Çê~íáÅ bèì~íáçå − Ä ± ÄO − Q~Å ~ñ + Äñ + Å = M I ñ NI O = K O~ O

121. aáëÅêáãáå~åí a = ÄO − Q~Å 122. sáÉíÉ∞ë cçêãìä~ë fÑ ñ O + éñ + è = M I íÜÉå ñ N + ñ O = −é K  ñ ñ = è N O 

Ä 123. ~ñ O + Äñ = M I ñ N = M I ñ O = − K ~ 124. ~ñ O + Å = M I ñ NI O = ± −

Å K ~

125. `ìÄáÅ bèì~íáçåK `~êÇ~åç∞ë cçêãìä~K ó P + éó + è = M I

18 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 2. ALGEBRA

ó N = ì + î I ó OI P = −

N (ì + î ) ± P (ì + î ) á I O O

ïÜÉêÉ O

ì=P −

è è è  é  è  é +   +  I î =P − −   +  K O O  O P  O P

2.7 Inequalities s~êá~ÄäÉëW ñI óI ò ~ I ÄI ÅI Ç I ãI å oÉ~ä åìãÄÉêëW  ~N I ~ O I ~ P I KI ~ å aÉíÉêãáå~åíëW aI añ I aó I aò

126. fåÉèì~äáíáÉëI fåíÉêî~ä kçí~íáçåë ~åÇ dê~éÜë

fåÉèì~äáíó ~≤ñ≤Ä

fåíÉêî~ä kçí~íáçå [~I Ä]

~<ñ≤Ä

(~I Ä]

~≤ñ<Ä

[~I Ä)

~<ñ<Ä

(~I Ä)

−∞< ñ ≤ÄI ñ≤Ä −∞< ñ <ÄI ñ<Ä ~≤ñ<∞I ñ≥~ ~<ñ<∞I ñ >~

(− ∞I Ä] (− ∞I Ä)

[~I ∞ ) (~I ∞ )

19 http://fribok.blogspot.com/

dê~éÜ

CHAPTER 2. ALGEBRA

127. fÑ ~ > Ä I íÜÉå Ä < ~ K 128. fÑ ~ > Ä I íÜÉå ~ − Ä > M çê Ä − ~ < M K 129. fÑ ~ > Ä I íÜÉå ~ + Å > Ä + Å K 130. fÑ ~ > Ä I íÜÉå ~ − Å > Ä − Å K 131. fÑ ~ > Ä ~åÇ Å > Ç I íÜÉå ~ + Å > Ä + Ç K 132. fÑ ~ > Ä ~åÇ Å > Ç I íÜÉå ~ − Ç > Ä − Å K 133. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã > M I íÜÉå ã~ > ãÄ K 134. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã > M I íÜÉå

~ Ä > K ã ã

135. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã < M I íÜÉå ã~ < ãÄ K 136. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã < M I íÜÉå

~ Ä < K ã ã

137. fÑ M < ~ < Ä ~åÇ å > M I íÜÉå ~ å < Äå K 138. fÑ M < ~ < Ä ~åÇ å < M I íÜÉå ~ å > Äå K 139. fÑ M < ~ < Ä I íÜÉå 140.

~ <å ÄK

~+Ä I O ïÜÉêÉ ~ > M I Ä > M X ~å Éèì~äáíó áë î~äáÇ çåäó áÑ ~ = Ä K ~Ä ≤

N 141. ~ + ≥ O I ïÜÉêÉ ~ > M X ~å Éèì~äáíó í~âÉë éä~ÅÉ çåäó ~í ~ = N K ~

20 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 2. ALGEBRA

142.

~N~ O K~ å ≤

~N + ~ O + K + ~ å I ïÜÉêÉ ~N I ~ O I KI ~ å > M K å

Ä 143. fÑ ~ñ + Ä > M ~åÇ ~ > M I íÜÉå ñ > − K ~ Ä 144. fÑ ~ñ + Ä > M ~åÇ ~ < M I íÜÉå ñ < − K ~ 145. ~ñ O + Äñ + Å > M

~>M

~<M

ñ < ñN I ñ > ñ O

ñN < ñ < ñ O

ñN < ñ I ñ > ñN

ñ ∈∅

−∞< ñ <∞

ñ ∈∅

a>M

a=M

a<M

21 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 2. ALGEBRA

146.

~+Ä ≤ ~ + Ä

147. fÑ ñ < ~ I íÜÉå − ~ < ñ < ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K 148. fÑ ñ > ~ I íÜÉå ñ < −~ ~åÇ ñ > ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K 149. fÑ ñ O < ~ I íÜÉå ñ < ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K 150. fÑ ñ O > ~ I íÜÉå ñ > ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K 151. fÑ

152.

Ñ (ñ ) > M I íÜÉå Ö (ñ )

Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ ) > M K  Ö (ñ ) ≠ M

Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ ) < M Ñ (ñ ) K < M I íÜÉå  Ö (ñ ) Ö (ñ ) ≠ M

2.8 Compound Interest Formulas cìíìêÉ î~äìÉW ^ fåáíá~ä ÇÉéçëáíW ` ^ååì~ä ê~íÉ çÑ áåíÉêÉëíW ê kìãÄÉê çÑ óÉ~êë áåîÉëíÉÇW í kìãÄÉê çÑ íáãÉë ÅçãéçìåÇÉÇ éÉê óÉ~êW å 153. dÉåÉê~ä `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~ åí  ê ^ = ` N +   å

22 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 2. ALGEBRA

154. páãéäáÑáÉÇ `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~ fÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ çåÅÉ éÉê óÉ~êI íÜÉå íÜÉ éêÉîáçìë Ñçêãìä~ ëáãéäáÑáÉë íçW í ^ = `(N + ê ) K 155. `çåíáåìçìë `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí fÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ Åçåíáåì~ääó E å → ∞ FI íÜÉå ^ = `É êí K

23 http://fribok.blogspot.com/

Chapter 3

Geometry

3.1 Right Triangle iÉÖë çÑ ~ êáÖÜí íêá~åÖäÉW ~I Ä eóéçíÉåìëÉW Å ^äíáíìÇÉW Ü jÉÇá~åëW ã ~ I ã Ä I ã Å ^åÖäÉëW α I β o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê ^êÉ~W p

Figure 8.

156. α + β = VM°

24 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

157. ëáå α =

~ = Åçë β Å

158. Åçë α =

Ä = ëáå β Å

159. í~å α =

~ = Åçí β Ä

160. Åçí α =

Ä = í~å β ~

161. ëÉÅ α =

Å = Åçë ÉÅ β Ä

162. Åçë ÉÅ α =

Å = ëÉÅ β ~

163. móíÜ~ÖçêÉ~å qÜÉçêÉã ~ O + ÄO = Å O 164. ~ O = ÑÅ I ÄO = ÖÅ I ïÜÉêÉ Ñ ~åÇ Å ~êÉ éêçàÉÅíáçåë çÑ íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄI êÉëéÉÅíáîÉäóI çåíç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK

Figure 9.

25 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

165. Ü O = ÑÖ I ïÜÉêÉ Ü áë íÜÉ ~äíáíìÇÉ Ñêçã íÜÉ êáÖÜí ~åÖäÉK

~O ÄO I ã OÄ = ~ O − I Q Q ïÜÉêÉ ã ~ ~åÇ ã Ä ~êÉ íÜÉ ãÉÇá~åë íç íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄK

166. ã O~ = ÄO −

Figure 10.

Å 167. ã Å = I O ïÜÉêÉ ã Å áë íÜÉ ãÉÇá~å íç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK 168. o =

Å = ãÅ O

169. ê =

~ +Ä−Å ~Ä = O ~ + Ä+Å

170. ~Ä = ÅÜ

26 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

171. p =

~Ä ÅÜ = O O

3.2 Isosceles Triangle _~ëÉW ~ iÉÖëW Ä _~ëÉ ~åÖäÉW β sÉêíÉñ ~åÖäÉW α ^äíáíìÇÉ íç íÜÉ Ä~ëÉW Ü mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

Figure 11.

172. β = VM° −

α O

~O 173. Ü = Ä − Q O

27 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

174. i = ~ + OÄ 175. p =

~Ü ÄO = ëáå α O O

3.3 Equilateral Triangle páÇÉ çÑ ~ Éèìáä~íÉê~ä íêá~åÖäÉW ~ ^äíáíìÇÉW Ü o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

Figure 12.

176. Ü =

~ P O

28 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

~ P O 177. o = Ü = P P ~ P o N 178. ê = Ü = = S O P 179. i = P~ 180. p =

~Ü ~ O P = O Q

3.4 Scalene Triangle E^ íêá~åÖäÉ ïáíÜ åç íïç ëáÇÉë Éèì~äF páÇÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW ~I ÄI Å ~ +Ä+Å pÉãáéÉêáãÉíÉêW é = O ^åÖäÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW αI βI γ ^äíáíìÇÉë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW Ü ~ I Ü Ä I Ü Å jÉÇá~åë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW ã ~ I ã Ä I ã Å _áëÉÅíçêë çÑ íÜÉ ~åÖäÉë αI βI γ W í ~ I í Ä I í Å o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê ^êÉ~W p

29 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 13.

181. α + β + γ = NUM° 182. ~ + Ä > Å I Ä+Å >~ I ~+Å>ÄK 183.

~−Ä <ÅI Ä−Å <~ I ~−Å <ÄK

184. jáÇäáåÉ ~ è = I è öö ~ K O

Figure 14.

30 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

185. i~ï çÑ `çëáåÉë ~ O = ÄO + Å O − OÄÅ Åçë α I

ÄO = ~ O + Å O − O~Å Åçë β I Å O = ~ O + ÄO − O~Ä Åçë γ K 186. i~ï çÑ páåÉë ~ Ä Å = = = Oo I ëáå α ëáå β ëáå γ ïÜÉêÉ o áë íÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉK 187. o =

~ Ä Å ÄÅ ~Å ~Ä ~ÄÅ = = = = = = O ëáå α O ëáå β O ëáå γ OÜ ~ OÜ Ä OÜ Å Qp

188. ê O =

(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I é

N N N N = + + K ê Ü~ ÜÄ ÜÅ α = O

(é − Ä)(é − Å ) I

Åçë

é(é − ~ ) α I = O ÄÅ

í~å

α = O

(é − Ä)(é − Å ) K é(é − ~ )

189. ëáå

ÄÅ

O é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I ~ O é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) I ÜÄ = Ä O é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) K ÜÅ = Å

190. Ü ~ =

31 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

191. Ü ~ = Ä ëáå γ = Å ëáå β I Ü Ä = ~ ëáå γ = Å ëáå α I Ü Å = ~ ëáå β = Ä ëáå α K

ÄO + Å O ~ O − I O Q O O ~ + Å ÄO − I ã OÄ = O Q O O ~ + Ä ÅO O − K ãÅ = O Q

192. ã O~ =

Figure 15.

O O O 193. ^j = ã ~ I _j = ã Ä I `j = ã Å EcáÖKNRFK P P P QÄÅé(é − ~ ) I (Ä + Å )O Q~Åé(é − Ä) í OÄ = I (~ + Å )O Q~Äé(é − Å ) í OÅ = K (~ + Ä)O

194. í O~ =

32 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

~Ü ~ ÄÜ Ä ÅÜ Å = = I O O O ~Ä ëáå γ ~Å ëáå β ÄÅ ëáå α I = = p= O O O p = é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) EeÉêçå∞ë cçêãìä~FI p = éê I ~ÄÅ p= I Qo p = Oo O ëáå α ëáå β ëáå γ I α β γ p = éO í~å í~å í~å K O O O

195. p =

3.5 Square páÇÉ çÑ ~ ëèì~êÉW ~ aá~Öçå~äW Ç o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

Figure 16.

33 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

196. Ç = ~ O 197. o =

Ç ~ O = O O

198. ê =

~ O

199. i = Q~ 200. p = ~ O

3.6 Rectangle páÇÉë çÑ ~ êÉÅí~åÖäÉW ~I Ä aá~Öçå~äW Ç o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

Figure 17.

201. Ç = ~ O + ÄO

34 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

202. o =

Ç O

203. i = O(~ + Ä) 204. p = ~Ä

3.7 Parallelogram páÇÉë çÑ ~ é~ê~ääÉäçÖê~ãW ~I Ä aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O `çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW αI β ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ ^äíáíìÇÉW Ü mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

Figure 18.

205. α + β = NUM° 206. ÇNO + Ç OO = O(~ O + ÄO )

35 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

207. Ü = Ä ëáå α = Ä ëáå β 208. i = O(~ + Ä) 209. p = ~Ü = ~Ä ëáå α I N p = ÇNÇ O ëáå ϕ K O

3.8 Rhombus páÇÉ çÑ ~ êÜçãÄìëW ~ aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O `çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW αI β ^äíáíìÇÉW e o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

Figure 19.

36 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

210. α + β = NUM° 211. ÇNO + Ç OO = Q~ O 212. Ü = ~ ëáå α = 213. ê =

ÇNÇ O O~

Ü ÇNÇ O ~ ëáå α = = O Q~ O

214. i = Q~ 215. p = ~Ü = ~ O ëáå α I N p = ÇNÇ O K O

3.9 Trapezoid _~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä jáÇäáåÉW è ^äíáíìÇÉW Ü ^êÉ~W p

37 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 20.

216. è =

~+Ä O

217. p =

~+Ä ⋅ Ü = èÜ O

3.10 Isosceles Trapezoid _~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä iÉÖW Å jáÇäáåÉW è ^äíáíìÇÉW Ü aá~Öçå~äW Ç o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o ^êÉ~W p

38 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 21.

218. è =

~+Ä O

219. Ç = ~Ä + Å O 220. Ü = Å O −

221. o =

222. p =

N (Ä − ~ )O Q

Å ~Ä + Å O (OÅ − ~ + Ä)(OÅ + ~ − Ä) ~+Ä ⋅ Ü = èÜ O

39 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.11 Isosceles Trapezoid with Inscribed Circle _~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä iÉÖW Å jáÇäáåÉW è ^äíáíìÇÉW Ü aá~Öçå~äW Ç o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

Figure 22.

223. ~ + Ä = OÅ 224. è =

~+Ä =Å O

225. Ç O = Ü O + Å O

40 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

226. ê =

Ü ~Ä = O O

227. o =

Ä ~+Ä ~ ÅO Å ÅÇ ÅÇ Å = = = +S+ ÜO + Å O = N+ ~ U Ä ~Ä OÜ OÜ Qê O

228. i = O(~ + Ä) = QÅ 229. p =

(~ + Ä) ~Ä = èÜ = ÅÜ = iê ~+Ä ⋅Ü = O O O

3.12 Trapezoid with Inscribed Circle _~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä i~íÉê~ä ëáÇÉëW ÅI Ç jáÇäáåÉW è ^äíáíìÇÉW Ü aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

41 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 23.

230. ~ + Ä = Å + Ç 231. è =

~+Ä Å+Ç = O O

232. i = O(~ + Ä) = O(Å + Ç )

Å+Ç ~+Ä ⋅Ü = ⋅ Ü = èÜ I O O N p = ÇNÇ O ëáå ϕ K O

233. p =

3.13 Kite páÇÉë çÑ ~ âáíÉW ~I Ä aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O ^åÖäÉëW αI βI γ mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

42 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 24.

234. α + β + Oγ = PSM° 235. i = O(~ + Ä) 236. p =

ÇNÇ O O

3.14 Cyclic Quadrilateral páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Ç aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ fåíÉêå~ä ~åÖäÉëW αI βI γ I δ o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o mÉêáãÉíÉêW i pÉãáéÉêáãÉíÉêW é ^êÉ~W p

43 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 25.

237. α + γ = β + δ = NUM° 238. míçäÉãó∞ë qÜÉçêÉã ~Å + ÄÇ = ÇNÇ O 239. i = ~ + Ä + Å + Ç 240. o =

N Q

(~Å + ÄÇ )(~Ç + ÄÅ )(~Ä + ÅÇ ) I (é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç )

ïÜÉêÉ é =

i K O

N 241. p = ÇNÇ O ëáå ϕ I O p = (é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç ) I i ïÜÉêÉ é = K O

44 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.15 Tangential Quadrilateral páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Ç aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê mÉêáãÉíÉêW i pÉãáéÉêáãÉíÉêW é ^êÉ~W p

Figure 26.

242. ~ + Å = Ä + Ç 243. i = ~ + Ä + Å + Ç = O(~ + Å ) = O(Ä + Ç )

ÇNOÇ OO − (~ − Ä) (~ + Ä − é ) I Oé i ïÜÉêÉ é = K O O

244. ê =

45 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

N 245. p = éê = ÇNÇ O ëáå ϕ O

3.16 General Quadrilateral páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Ç aá~Öçå~äëW ÇN I Ç O ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ fåíÉêå~ä ~åÖäÉëW αI βI γ I δ mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

Figure 27.

246. α + β + γ + δ = PSM° 247. i = ~ + Ä + Å + Ç

46 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

N 248. p = ÇNÇ O ëáå ϕ O

3.17 Regular Hexagon páÇÉW ~ fåíÉêå~ä ~åÖäÉW α pä~åí ÜÉáÖÜíW ã o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o mÉêáãÉíÉêW i pÉãáéÉêáãÉíÉêW é ^êÉ~W p

Figure 28.

249. α = NOM° 250. ê = ã =

~ P O

47 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

251. o = ~ 252. i = S~

~OP P I O i ïÜÉêÉ é = K O

253. p = éê =

3.18 Regular Polygon páÇÉW ~ kìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW å fåíÉêå~ä ~åÖäÉW α pä~åí ÜÉáÖÜíW ã o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o mÉêáãÉíÉêW i pÉãáéÉêáãÉíÉêW é ^êÉ~W p

48 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 29.

254. α =

å−O ⋅ NUM° O

255. α =

å−O ⋅ NUM° O ~

256. o =

O ëáå

257. ê = ã =

π å ~

O í~å

π å

= oO −

~O Q

258. i = å~ 259. p =

Oπ åo O ëáå I å O

p = éê = é o O −

~O I Q

49 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

ïÜÉêÉ é =

i K O

3.19 Circle o~ÇáìëW o aá~ãÉíÉêW Ç `ÜçêÇW ~ pÉÅ~åí ëÉÖãÉåíëW ÉI Ñ q~åÖÉåí ëÉÖãÉåíW Ö `Éåíê~ä ~åÖäÉW α fåëÅêáÄÉÇ ~åÖäÉW β mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

260. ~ = Oo ëáå

α O

Figure 30.

50 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

261. ~N~ O = ÄNÄO

Figure 31.

262. ÉÉN = ÑÑN

Figure 32.

263. Ö O = ÑÑN

51 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 33.

264. β =

α O

Figure 34.

265. i = Oπo = πÇ 266. p = πo O =

πÇ O io = Q O

52 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.20 Sector of a Circle o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o ^êÅ äÉåÖíÜW ë `Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ `Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW α mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

Figure 35.

267. ë = oñ 268. ë =

πoα NUM°

269. i = ë + Oo

oë o O ñ πo Oα 270. p = = = O O PSM°

53 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.21 Segment of a Circle o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o ^êÅ äÉåÖíÜW ë `ÜçêÇW ~ `Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ `Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW α eÉáÖÜí çÑ íÜÉ ëÉÖãÉåíW Ü mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p

Figure 36.

271. ~ = O OÜo − Ü O 272. Ü = o −

N Qo O − ~ O I Ü < o O

273. i = ë + ~

54 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

O O N [ëo − ~(o − Ü )] = o  απ − ëáå α  = o (ñ − ëáå ñ ) I O O  NUM°  O O p ≈ Ü~ K P

274. p =

3.22 Cube bÇÖÉW ~ aá~Öçå~äW Ç o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW ê o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW ê pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

Figure 37.

275. Ç = ~ P 276. ê =

~ O

55 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

277. o =

~ P O

278. p = S~ O 279. s = ~ P

3.23 Rectangular Parallelepiped bÇÖÉëW ~I ÄI Å aá~Öçå~äW Ç pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

Figure 38.

280. Ç = ~ O + ÄO + Å O 281. p = O(~Ä + ~Å + ÄÅ ) 282. s = ~ÄÅ

56 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.24 Prism i~íÉê~ä ÉÇÖÉW ä eÉáÖÜíW Ü i~íÉê~ä ~êÉ~W p i ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_ qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

Figure 39.

283. p = p i + Op_ K 284. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~ oáÖÜí mêáëã p i = (~ N + ~ O + ~ P + K + ~ å )ä 285. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~å lÄäáèìÉ mêáëã p i = éä I ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêáãÉíÉê çÑ íÜÉ Åêçëë ëÉÅíáçåK

57 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

286. s = p_ Ü 287. `~î~äáÉêáDë mêáåÅáéäÉ dáîÉå íïç ëçäáÇë áåÅäìÇÉÇ ÄÉíïÉÉå é~ê~ääÉä éä~åÉëK fÑ ÉîÉêó éä~åÉ Åêçëë ëÉÅíáçå é~ê~ääÉä íç íÜÉ ÖáîÉå éä~åÉë Ü~ë íÜÉ ë~ãÉ ~êÉ~ áå ÄçíÜ ëçäáÇëI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉë çÑ íÜÉ ëçäáÇë ~êÉ Éèì~äK

3.25 Regular Tetrahedron qêá~åÖäÉ ëáÇÉ äÉåÖíÜW ~ eÉáÖÜíW Ü ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_ pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

Figure 40.

288. Ü =

O ~ P

58 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

289. p_ =

P~ O Q

290. p = P~ O

~P N 291. s = p_ Ü = K P S O

3.26 Regular Pyramid páÇÉ çÑ Ä~ëÉW ~ i~íÉê~ä ÉÇÖÉW Ä eÉáÖÜíW Ü pä~åí ÜÉáÖÜíW ã kìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW å pÉãáéÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW é o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉ çÑ Ä~ëÉW ê ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_ i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W pi qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

59 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 41.

292. ã = ÄO −

293. Ü =

~O Q

π O −~ å π O ëáå å

QÄO ëáå O

N N 294. p i = å~ã = å~ QÄO − ~ O = éã Q O 295. p_ = éê 296. p = p_ + p i

N N 297. s = p_ Ü = éêÜ P P

60 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.27 Frustum of a Regular Pyramid ~N I ~ O I ~ P IKI ~ å _~ëÉ ~åÇ íçé ëáÇÉ äÉåÖíÜëW  ÄN I ÄO I ÄP IKI Äå eÉáÖÜíW Ü pä~åí ÜÉáÖÜíW ã ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉëW pN I pO i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i mÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉëW mN I mO pÅ~äÉ Ñ~ÅíçêW â qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

Figure 42.

298.

ÄN ÄO ÄP Ä Ä = = =K= å = = â ~N ~ O ~ P ~å ~

61 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

299.

pO = âO pN

300. p i =

ã(mN + mO ) O

301. p = p i + pN + pO

(

)

302. s =

Ü pN + pNpO + pO P

303. s =

O ÜpN  Ä  Ä   ÜpN N+ â + âO N + +   =  P  ~ ~  P

[

]

3.28 Rectangular Right Wedge páÇÉë çÑ Ä~ëÉW ~I Ä qçé ÉÇÖÉW Å eÉáÖÜíW Ü i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_ qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

62 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 43.

304. p i =

N (~ + Å ) QÜO + ÄO + Ä ÜO + (~ − Å )O O

305. p_ = ~Ä 306. p = p_ + p i 307. s =

ÄÜ (O~ + Å ) S

3.29 Platonic Solids bÇÖÉW ~ o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

63 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

308. cáîÉ mä~íçåáÅ pçäáÇë qÜÉ éä~íçåáÅ ëçäáÇë ~êÉ ÅçåîÉñ éçäóÜÉÇê~ ïáíÜ Éèìáî~äÉåí Ñ~ÅÉë ÅçãéçëÉÇ çÑ ÅçåÖêìÉåí ÅçåîÉñ êÉÖìä~ê éçäóÖçåëK

pçäáÇ

kìãÄÉê çÑ sÉêíáÅÉë qÉíê~ÜÉÇêçå Q `ìÄÉ U lÅí~ÜÉÇêçå S fÅçë~ÜÉÇêçå NO açÇÉÅ~ÜÉÇêçå OM

kìãÄÉê çÑ bÇÖÉë S NO NO PM PM

kìãÄÉê çÑ c~ÅÉë Q S U OM NO

Octahedron

Figure 44.

309. ê =

~ S S

310. o =

~ O O

64 http://fribok.blogspot.com/

pÉÅíáçå PKOR PKOO PKOT PKOT PKOT

CHAPTER 3. GEOMETRY

311. p = O~ O P 312. s =

~P O P

Icosahedron

Figure 45.

(

)

313. Ãª =

~ P P+ R NO

314. o =

~ O R+ R Q

(

)

315. p = R~ O P

(

R~ P P + R 316. s = NO

)

65 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Dodecahedron

Figure 46.

(

317. ê =

~ NM OR + NN R O

318. o =

~ P N+ R Q

(

)

(

319. p = P~ O R R + O R 320. s =

(

)

~ P NR + T R Q

)

3.30 Right Circular Cylinder o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW o aá~ãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW Ç

66 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

eÉáÖÜíW e i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_ qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

Figure 47.

321. p i = Oπoe

Ç  322. p = p i + Op_ = Oπo(e + o ) = πÇ e +  O  323. s = p_ e = πo O e

67 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.31 Right Circular Cylinder with an Oblique Plane Face o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW o qÜÉ ÖêÉ~íÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW ÜN qÜÉ ëÜçêíÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW Ü O i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i ^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW p_ qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

Figure 48.

324. p i = πo(ÜN + Ü O )

 Ü − ÜO  325. p_ = πo + πo o +  N   O  O

68 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

O  ÜN − Ü O    O 326. p = p i + p_ = πo ÜN + Ü O + o + o +     O   

327. s =

πo O (ÜN + ÜO ) O

3.32 Right Circular Cone o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW o aá~ãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW Ç eÉáÖÜíW e pä~åí ÜÉáÖÜíW ã i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W pi ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_ qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

Figure 49.

69 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

328. e = ã O − o O 329. p i = πoã =

πãÇ O

330. p_ = πo O

Ç N  331. p = p i + p_ = πo (ã + o ) = πÇ ã +  O O  N N 332. s = p_ e = πo O e P P

3.33 Frustum of a Right Circular Cone o~Çáìë çÑ Ä~ëÉëW oI ê eÉáÖÜíW e pä~åí ÜÉáÖÜíW ã pÅ~äÉ Ñ~ÅíçêW â ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉëW pN I pO i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

70 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 50.

333. e = ã O − (o − ê )

334.

o =â ê

335.

pO o O = O = âO pN ê

336. p i = πã(o + ê )

[

]

337. p = pN + pO + p i = π o O + ê O + ã(o + ê ) 338. s =

(

Ü pN + pNpO + pO P

)

O ÜpN  o  o   ÜpN 339. s = N+ â + âO N + +    = P  ê ê  P

[

]

71 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.34 Sphere o~ÇáìëW o aá~ãÉíÉêW Ç pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

Figure 51.

340. p = Qπo O

Q N N 341. s = πo P e = πÇ P = po P S P

3.35 Spherical Cap o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW o o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW ê eÉáÖÜíW Ü ^êÉ~ çÑ éä~åÉ Ñ~ÅÉW p_ ^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW p` qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

72 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 52.

ê O + ÜO 342. o = OÜ 343. p_ = πê O 344. p` = π(Ü O + ê O ) 345. p = p_ + p` = π(Ü O + Oê O ) = π(OoÜ + ê O ) 346. s =

π O π Ü (Po − Ü ) = Ü(Pê O + Ü O ) S S

3.36 Spherical Sector o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW o o~Çáìë çÑ Ä~ëÉ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW ê eÉáÖÜíW Ü qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

73 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 53.

347. p = πo(OÜ + ê )

O 348. s = πo O Ü P kçíÉW qÜÉ ÖáîÉå Ñçêãìä~ë ~êÉ ÅçêêÉÅí ÄçíÜ Ñçê ±çéÉå≤ ~åÇ ±ÅäçëÉÇ≤ ëéÜÉêáÅ~ä ëÉÅíçêK

3.37 Spherical Segment o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW o o~Çáìë çÑ Ä~ëÉëW êN I êO eÉáÖÜíW Ü ^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä ëìêÑ~ÅÉW pp ^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW pN I pO qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

74 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 54.

349. pp = OπoÜ 350. p = pp + pN + pO = π(OoÜ + êNO + êOO )

N 351. s = πÜ(PêNO + PêOO + Ü O ) S

3.38 Spherical Wedge o~ÇáìëW o aáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ÇÉÖêÉÉëW ñ aáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ê~Çá~åëW α ^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä äìåÉW p i qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

75 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 55.

352. p i =

πo O α = Oo O ñ VM

353. p = πo O +

354. s =

πo O α = πo O + Oo O ñ VM

πoP O α = oP ñ OTM P

3.39 Ellipsoid pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Å sçäìãÉW s

76 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 56.

Q 355. s = π~ÄÅ P

Prolate Spheroid pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E ~ > Ä F pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s ~ ~êÅëáå É   356. p = OπÄ Ä + I É   ïÜÉêÉ É =

~ O − ÄO K ~

Q 357. s = πÄO~ P

77 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Oblate Spheroid pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E ~ < Ä F pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s   ÄÉ   ~ ~êÅëáåÜ      ~ I 358. p = OπÄ Ä +   ÄÉ L ~    

ïÜÉêÉ É =

ÄO − ~ O K Ä

Q 359. s = πÄO~ P

3.40 Circular Torus j~àçê ê~ÇáìëW o jáåçê ê~ÇáìëW ê pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s

78 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 3. GEOMETRY

Picture 57.

360. p = QπOoê 361. s = OπOoê O

79 http://fribok.blogspot.com/

Chapter 4

Trigonometry

^åÖäÉëW α I β oÉ~ä åìãÄÉêë EÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ éçáåíFW ñI ó tÜçäÉ åìãÄÉêW â

4.1 Radian and Degree Measures of Angles 362. N ê~Ç =

NUM° ≈ RT°NT DQR? π

363. N° =

π ê~Ç ≈ MKMNTQRP ê~Ç NUM

364. N D =

π ê~Ç ≈ MKMMMOVN ê~Ç NUM ⋅ SM

365. N ? =

π ê~Ç ≈ MKMMMMMR ê~Ç NUM ⋅ PSMM

366.

^åÖäÉ EÇÉÖêÉÉëF ^åÖäÉ Eê~Çá~åëF

NUM

OTM

PSM

π S

π Q

π P

π O

Pπ O

Oπ

80 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.2 Definitions and Graphs of Trigonometric Functions

Figure 58.

367. ëáå α =

ó ê

368. Åçë α =

ñ ê

369. í~å α =

ó ñ

370. Åçí α =

ñ ó

81 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

371. ëÉÅ α =

ê ñ

372. ÅçëÉÅ α =

ê ó

373. páåÉ cìåÅíáçå ó = ëáå ñ I − N ≤ ëáå ñ ≤ N K

Figure 59.

374. `çëáåÉ cìåÅíáçå ó = Åçë ñ I − N ≤ Åçë ñ ≤ N K

82 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

Figure 60.

375. q~åÖÉåí cìåÅíáçå

π ó = í~å ñ I ñ ≠ (Oâ + N) I − ∞ ≤ í~å ñ ≤ ∞K O

Figure 61.

83 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

376. `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå ó = Åçí ñ I ñ ≠ âπ I − ∞ ≤ Åçí ñ ≤ ∞ K

Figure 62.

377. pÉÅ~åí cìåÅíáçå

π ó = ëÉÅ ñ I ñ ≠ (Oâ + N) K O

84 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

Figure 63.

378. `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå ó = Åçë ÉÅ ñ I ñ ≠ âπ K

Figure 64.

85 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.3. Signs of Trigonometric Functions 379.

nì~Çê~åí f ff fff fs

páå α H H

`çë α H

q~å α H

`çí α H

380.

Figure 65.

86 http://fribok.blogspot.com/

pÉÅ α H

`çëÉÅ α H H

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.4 Trigonometric Functions of Common Angles 381. α° α ê~Ç M M π PM S π QR Q π SM P π VM O Oπ NOM P NUM π Pπ OTM O PSM Oπ

í~å α M N P

Åçí α

O O P O

Åçë α N P O O O N O

N P

O P

∞

ëáå α M N O

P O M

N O −N

−

∞ P

ëÉÅ α N O P O

ÅçëÉÅ α

∞ O O

N P ∞

−N

O P ∞

− P

−

−O

−N

∞

−N

∞

87 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

382. α ê~Ç α° π NR NO

ëáå α

Åçë α

í~å α

Åçí α

S− O Q

S+ O Q

O− P

O+ P R+O R

π NM

R −N Q

NM + O R Q

R−O R R

π R

NM − O R Q

R +N Q

NM − O R R +N

NM − O R

Pπ NM

R +N Q

NM − O R Q

R +N

NM − O R R +N

Oπ R

NM + O R Q

R −N Q

R+O R

R−O R R

Rπ NO

S+ O Q

S− O Q

O+ P

O− P

NM − O R

4.5 Most Important Formulas 383. ëáå O α + Åçë O α = N 384. ëÉÅ O α − í~å O α = N 385. ÅëÅ O α − Åçí O α = N 386. í~å α =

ëáå α Åçë α

88 http://fribok.blogspot.com/

R +N

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

387. Åçí α =

Åçë α ëáå α

388. í~å α ⋅ Åçí α = N 389. ëÉÅ α =

N Åçë α

390. ÅçëÉÅ α =

N ëáå α

4.6 Reduction Formulas 391.

β −α VM° − α VM° + α NUM° − α NUM° + α OTM° − α OTM° + α PSM° − α PSM° + α

ëáå β − ëáå α + Åçë α + Åçë α + ëáå α − ëáå α − Åçë α − Åçë α − ëáå α + ëáå α

Åçë β + Åçë α + ëáå α − ëáå α − Åçë α − Åçë α − ëáå α + ëáå α + Åçë α + Åçë α

í~å β − í~å α + Åçí α − Åçí α − í~å α + í~å α + Åçí α − Åçí α − í~å α + í~å α

89 http://fribok.blogspot.com/

Åçí β − Åçí α + í~å α − í~å α − Åçí α + Åçí α + í~å α − í~å α − Åçí α + Åçí α

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.7 Periodicity of Trigonometric Functions 392. ëáå(α ± Oπå ) = ëáå α I éÉêáçÇ Oπ çê PSM° K 393. Åçë(α ± Oπå ) = Åçë α I éÉêáçÇ Oπ çê PSM° K 394. í~å(α ± πå ) = í~å α I éÉêáçÇ π çê NUM° K 395. Åçí(α ± πå ) = Åçí α I éÉêáçÇ π çê NUM° K

4.8 Relations between Trigonometric Functions 396. ëáå α = ± N − Åçë O α = ±

α O = α N + í~å O O

N (N − Åçë Oα ) = O Åçë O  α − π  − N O  O Q

O í~å

397. Åçë α = ± N − ëáå O α = ±

α O = α N + í~å O O

N (N + Åçë Oα ) = O Åçë O α − N O O

N − í~å O

398. í~å α =

ëáå α ëáå Oα N − Åçë Oα = ± ëÉÅ O α − N = = Åçë α N + Åçë Oα ëáå Oα

90 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

α N − Åçë Oα O =± = N + Åçë Oα O α N + í~å O O í~å

399. Åçí α =

Åçë α N + Åçë Oα ëáå Oα = ± ÅëÅ O α − N = = ëáå α ëáå Oα N − Åçë Oα α N − í~å O N + Åçë Oα O =± = α N − Åçë Oα O í~å O

α N O 400. ëÉÅ α = = ± N + í~å O α = α Åçë α N − í~å O O N + í~å O

N 401. ÅëÅ α = = ± N + Åçí O α = ëáå α

α O α O í~å O

N + í~å O

4.9 Addition and Subtraction Formulas 402. ëáå(α + β) = ëáå α Åçë β + ëáå β Åçë α 403. ëáå(α − ó ) = ëáå α Åçë β − ëáå β Åçë α 404. Åçë(α + β ) = Åçë α Åçë β − ëáå α ëáå β 405. Åçë(α − β ) = Åçë α Åçë β + ëáå α ëáå β

91 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

406. í~å(α + β ) =

í~å α + í~å β N − í~å α í~å β

407. í~å(α − β ) =

í~å α − í~å β N + í~å α í~å β

408. Åçí(α + β) =

N − í~å α í~å β í~å α + í~å β

409. Åçí(α − β) =

N + í~å α í~å β í~å α − í~å β

4.10 Double Angle Formulas 410. ëáå Oα = O ëáå α ⋅ Åçë α 411. Åçë Oα = Åçë O α − ëáå O α = N − O ëáå O α = O Åçë O α − N 412. í~å Oα =

O í~å α O = O N − í~å α Åçí α − í~å α

Åçí O α − N Åçí α − í~å α 413. Åçí Oα = = O Åçí α O

92 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.11 Multiple Angle Formulas 414. ëáå Pα = P ëáå α − Q ëáå P α = P Åçë O α ⋅ ëáå α − ëáåP α 415. ëáå Qα = Q ëáå α ⋅ Åçë α − U ëáå P α ⋅ Åçë α 416. ëáå Rα = R ëáå α − OM ëáå P α + NS ëáå R α 417. Åçë Pα = Q ÅçëP α − P Åçë α = Åçë P α − P Åçë α ⋅ ëáå O α 418. Åçë Qα = U Åçë Q α − U Åçë O α + N 419. Åçë Rα = NS Åçë R α − OM Åçë P α + R Åçë α 420. í~å Pα =

P í~å α − í~å P α N − P í~å O α

Q í~å α − Q í~å P α 421. í~å Qα = N − S í~å O α + í~å Q α 422. í~å Rα =

í~å R α − NM í~å P α + R í~å α N − NM í~å O α + R í~å Q α

423. Åçí Pα =

Åçí P α − P Åçí α P Åçí O α − N

424. Åçí Qα =

N − S í~å O α + í~å Q α Q í~å α − Q í~å P α

93 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

425. Åçí Rα =

N − NM í~å O α + R í~å Q α í~å R α − NM í~å P α + R í~å α

4.12 Half Angle Formulas 426. ëáå

α N − Åçë α =± O O

427. Åçë

α N + Åçë α =± O O

428. í~å

α N − Åçë α ëáå α N − Åçë α =± = = = ÅëÅ α − Åçí α O N + Åçë α N + Åçë α ëáå α

429. Åçí

α N + Åçë α ëáå α N + Åçë α =± = = = ÅëÅ α + Åçí α O N − Åçë α N − Åçë α ëáå α

4.13 Half Angle Tangent Identities α O 430. ëáå α = α N + í~å O O O í~å

94 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

α O 431. Åçë α = O α N + í~å O N − í~å O

α O 432. í~å α = α N − í~å O O O í~å

α O 433. Åçí α = α O í~å O N − í~å O

4.14 Transforming of Trigonometric Expressions to Product 434. ëáå α + ëáå β = O ëáå

α+β α −β Åçë O O

435. ëáå α − ëáå β = O Åçë

α +β α −β ëáå O O

436. Åçë α + Åçë β = O Åçë

α+β α −β Åçë O O

437. Åçë α − Åçë β = −O ëáå

α +β α −β ëáå O O

95 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

438. í~å α + í~å β =

ëáå(α + β ) Åçë α ⋅ Åçë β

439. í~å α − í~å β =

ëáå(α − β ) Åçë α ⋅ Åçë β

440. Åçí α + Åçí β =

ëáå(β + α ) ëáå α ⋅ ëáå β

441. Åçí α − Åçí β =

ëáå(β − α ) ëáå α ⋅ ëáå β

π  π  442. Åçë α + ëáå α = O Åçë − α  = O ëáå + α  Q  Q  π  π  443. Åçë α − ëáå α = O ëáå − α  = O Åçë + α  Q  Q  444. í~å α + Åçí β =

Åçë(α − β) Åçë α ⋅ ëáå β

445. í~å α − Åçí β = −

Åçë(α + β ) Åçë α ⋅ ëáå β

446. N + Åçë α = O Åçë O

α O

447. N − Åçë α = O ëáå O

α O

96 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

π α 448. N + ëáå α = O Åçë O  −  Q O π α 449. N − ëáå α = O ëáå O  −  Q O

4.15 Transforming of Trigonometric Expressions to Sum 450. ëáå α ⋅ ëáå β =

Åçë(α − β) − Åçë(α + β ) O

451. Åçë α ⋅ Åçë β =

Åçë(α − β ) + Åçë(α + β ) O

452. ëáå α ⋅ Åçë β =

ëáå(α − β ) + ëáå(α + β ) O

453. í~å α ⋅ í~å β =

í~å α + í~å β Åçí α + Åçí β

454. Åçí α ⋅ Åçí β =

Åçí α + Åçí β í~å α + í~å β

455. í~å α ⋅ Åçí β =

í~å α + Åçí β Åçí α + í~å β

97 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.16 Powers of Trigonometric Functions 456. ëáå O α =

N − Åçë Oα O

457. ëáå P α =

P ëáå α − ëáå Pα Q

458. ëáå Q α =

Åçë Qα − Q Åçë Oα + P U

459. ëáå R α =

NM ëáå α − R ëáå Pα + ëáå Rα NS

460. ëáå S α =

NM − NR Åçë Oα + S Åçë Qα − Åçë Sα PO

461. Åçë O α =

N + Åçë Oα O

462. Åçë P α =

P Åçë α + Åçë Pα Q

463. Åçë Q α =

Åçë Qα + Q Åçë Oα + P U

464. Åçë R α =

NM Åçë α + R ëáå Pα + Åçë Rα NS

465. Åçë S α =

NM + NR Åçë Oα + S Åçë Qα + Åçë Sα PO

98 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.17 Graphs of Inverse Trigonometric Functions 466. fåîÉêëÉ páåÉ cìåÅíáçå

ó = ~êÅëáå ñ I − N ≤ ñ ≤ N I −

π π ≤ ~êÅëáå ñ ≤ K O O

Figure 66.

467. fåîÉêëÉ `çëáåÉ cìåÅíáçå ó = ~êÅÅçë ñ I − N ≤ ñ ≤ N I M ≤ ~êÅÅçë ñ ≤ π K

99 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

Figure 67.

468. fåîÉêëÉ q~åÖÉåí cìåÅíáçå ó = ~êÅí~å ñ I − ∞ ≤ ñ ≤ ∞ I −

π π < ~êÅí~å ñ < K O O

Figure 68.

100 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

469. fåîÉêëÉ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå ó = ~êÅ Åçí ñ I − ∞ ≤ ñ ≤ ∞ I M < ~êÅ Åçí ñ < π K

Figure 69.

470. fåîÉêëÉ pÉÅ~åí cìåÅíáçå

 π  π  ó = ~êÅëÉÅ ñ I ñ ∈ (− ∞I − N] ∪ [NI ∞ )I ~êÅ ëÉÅ ñ ∈ MI  ∪  I πK  O  O 

Figure 70.

101 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

471. fåîÉêëÉ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå

 π   π ó = ~êÅÅëÅ ñ I ñ ∈ (− ∞I − N] ∪ [NI ∞ )I ~êÅ ÅëÅ ñ ∈ − I M  ∪  MI K  O   O

Figure 71.

4.18 Principal Values of Inverse Trigonometric Functions 472.

ñ ~êÅëáå ñ ~êÅÅçë ñ

M M° VM° N − O − PM° NOM°

N O PM° SM° O − O

O O QR° QR° P − O

− QR°

− SM°

NPR°

NRM°

P O SM° PM° −N − VM° NUM°

102 http://fribok.blogspot.com/

N VM° M°

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

473.

P P

~êÅí~å ñ

M°

PM°

QR°

SM°

− PM°

~êÅ Åçí ñ

VM°

SM°

QR°

PM°

NOM°

−

P P

4.19 Relations between Inverse Trigonometric Functions 474. ~êÅëáå(− ñ ) = − ~êÅëáå ñ 475. ~êÅëáå ñ =

π − ~êÅÅçë ñ O

476. ~êÅëáå ñ = ~êÅÅçë N − ñ O I M ≤ ñ ≤ N K 477. ~êÅëáå ñ = − ~êÅÅçë N − ñ O I − N ≤ ñ ≤ M K 478. ~êÅëáå ñ = ~êÅí~å

ñ N− ñ

O I ñ < NK

479. ~êÅëáå ñ = ~êÅ Åçí

N− ñO I M < ñ ≤ NK ñ

480. ~êÅëáå ñ = ~êÅ Åçí

N− ñO − π I −N≤ ñ < M K ñ

481. ~êÅÅçë(− ñ ) = π − ~êÅÅçë ñ

103 http://fribok.blogspot.com/

−N − QR° NPR°

− P − SM° NRM°

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

482. ~êÅÅçë ñ =

π − ~êÅëáå ñ O

483. ~êÅÅçë ñ = ~êÅëáå N − ñ O I M ≤ ñ ≤ N K 484. ~êÅÅçë ñ = π − ~êÅëáå N − ñ O I − N ≤ ñ ≤ M K 485. ~êÅÅçë ñ = ~êÅí~å

N− ñO I M < ñ ≤ NK ñ N− ñO I −N≤ ñ < M K ñ

486. ~êÅÅçë ñ = π + ~êÅí~å 487. ~êÅÅçë ñ = ~êÅ Åçí

ñ N− ñO

I −N≤ ñ ≤ NK

488. ~êÅí~å(− ñ ) = − ~êÅí~å ñ 489. ~êÅí~å ñ =

π − ~êÅ Åçí ñ O

490. ~êÅí~å ñ = ~êÅëáå

491. ~êÅí~å ñ = ~êÅÅçë

492. ~êÅí~å ñ = − ~êÅÅçë

ñ N+ ñO N N+ ñO

I ñ ≥MK

N N+ ñO

I ñ ≤MK

104 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

493. ~êÅí~å ñ =

π N − ~êÅí~å I ñ > M K ñ O

π N 494. ~êÅí~å ñ = − − ~êÅí~å I ñ < M K ñ O 495. ~êÅí~å ñ = ~êÅ Åçí

N I ñ >MK ñ

N 496. ~êÅí~å ñ = ~êÅ Åçí − π I ñ < M K ñ 497. ~êÅ Åçí(− ñ ) = π − ~êÅ Åçí ñ 498. ~êÅ Åçí ñ =

π − ~êÅí~å ñ O

499. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅëáå

N N+ ñO N

500. ~êÅ Åçí ñ = π − ~êÅëáå

501. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅÅçë

502. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅí~å

I ñ >MK

N+ ñO

I ñ <MK

ñ N+ ñO N I ñ > MK ñ

503. ~êÅ Åçí ñ = π + ~êÅí~å

N I ñ <MK ñ

105 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.20 Trigonometric Equations tÜçäÉ åìãÄÉêW å 504. ëáå ñ = ~ I ñ = (− N) ~êÅëáå ~ + πå å

505. Åçë ñ = ~ I ñ = ± ~êÅÅçë ~ + Oπå 506. í~å ñ = ~ I ñ = ~êÅí~å ~ + πå 507. Åçí ñ = ~ I ñ = ~êÅ Åçí ~ + πå

4.21 Relations to Hyperbolic Functions fã~Öáå~êó ìåáíW á 508. ëáå(áñ ) = á ëáåÜ ñ 509. í~å(áñ ) = á í~åÜ ñ 510. Åçí(áñ ) = −á ÅçíÜ ñ 511. ëÉÅ(áñ ) = ëÉÅÜ ñ 512. ÅëÅ(áñ ) = −á ÅëÅÜ ñ

106 http://fribok.blogspot.com/

Chapter 5

Matrices and Determinants

j~íêáÅÉëW ^I _I ` bäÉãÉåíë çÑ ~ ã~íêáñW ~ á I Äá I ~ áà I Äáà I Å áà aÉíÉêãáå~åí çÑ ~ ã~íêáñW ÇÉí ^ jáåçê çÑ ~å ÉäÉãÉåí ~ áà W j áà `çÑ~Åíçê çÑ ~å ÉäÉãÉåí ~ áà W ` áà ú qê~åëéçëÉ çÑ ~ ã~íêáñW ^ q I ^ ^Çàçáåí çÑ ~ ã~íêáñW ~Çà ^ qê~ÅÉ çÑ ~ ã~íêáñW íê ^ fåîÉêëÉ çÑ ~ ã~íêáñW ^ −N oÉ~ä åìãÄÉêW â oÉ~ä î~êá~ÄäÉëW ñ á k~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI å

5.1 Determinants 513. pÉÅçåÇ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí ~ ÄN ÇÉí ^ = N = ~ N Ä O − ~ O ÄN ~ O ÄO

107 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

514. qÜáêÇ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí ~NN ~NO ~NP ÇÉí ^ = ~ ON ~ OO ~ OP = ~NN~ OO~ PP + ~NO~ OP~ PN + ~ NP~ ON~ PO − ~ PN ~ PO ~ PP − ~NN~ OP~ PO − ~NO~ ON~ PP − ~ NP~ OO~ PN 515. p~êêìë oìäÉ E^êêçï oìäÉF

Figure 72.

516. k-íÜ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí ~NN ~NO K ~Nà K ~Nå ~ ON ~ OO K ~ O à K ~ Oå K K K K K K ÇÉí ^ = ~ áN ~ á O K ~ áà K ~ áå K K K K K K ~ åN ~ å O K ~ åà K ~ åå

517. jáåçê qÜÉ ãáåçê j áà ~ëëçÅá~íÉÇ ïáíÜ íÜÉ ÉäÉãÉåí ~ áà çÑ å-íÜ çêÇÉê

ã~íêáñ ^ áë íÜÉ (å − N) -íÜ çêÇÉê ÇÉíÉêãáå~åí ÇÉêáîÉÇ Ñêçã íÜÉ ã~íêáñ ^ Äó ÇÉäÉíáçå çÑ áíë á-íÜ êçï ~åÇ à-íÜ ÅçäìãåK

108 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

518. `çÑ~Åíçê á +à ` áà = (− N) j áà 519. i~éä~ÅÉ bñé~åëáçå çÑ å-íÜ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí i~éä~ÅÉ Éñé~åëáçå Äó ÉäÉãÉåíë çÑ íÜÉ á-íÜ êçï å

ÇÉí ^ = ∑ ~ áà` áà I á = NI OI KI å K à=N

i~éä~ÅÉ Éñé~åëáçå Äó ÉäÉãÉåíë çÑ íÜÉ à-íÜ Åçäìãå å

ÇÉí ^ = ∑ ~ áà` áà I à = NI OI KI å K á =N

5.2 Properties of Determinants 520. qÜÉ î~äìÉ çÑ ~ ÇÉíÉêãáå~åí êÉã~áåë ìåÅÜ~åÖÉÇ áÑ êçïë ~êÉ ÅÜ~åÖÉÇ íç Åçäìãåë ~åÇ Åçäìãåë íç êçïëK ~N ~ O ~N ÄN = ÄN ÄO ~ O ÄO 521. fÑ íïç êçïë Eçê íïç ÅçäìãåëF ~êÉ áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI íÜÉ ëáÖå çÑ íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ÅÜ~åÖÉÇK ~N ÄN ~ ÄO =− O ~ O ÄO ~N ÄN 522. fÑ íïç êçïë Eçê íïç ÅçäìãåëF ~êÉ áÇÉåíáÅ~äI íÜÉ î~äìÉ çÑ íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë òÉêçK ~N ~N =M ~O ~O

109 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

523. fÑ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó êçï Eçê ÅçäìãåF ~êÉ ãìäíáéäáÉÇ Äó ~ Åçããçå Ñ~ÅíçêI íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ãìäíáéäáÉÇ Äó íÜ~í Ñ~ÅíçêK â~ N âÄN ~ ÄN =â N ~ O ÄO ~ O ÄO 524. fÑ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó êçï Eçê ÅçäìãåF ~êÉ áåÅêÉ~ëÉÇ Eçê ÇÉÅêÉ~ëÉÇFÄó Éèì~ä ãìäíáéäÉë çÑ íÜÉ ÅçêêÉëéçåÇáåÖ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó çíÜÉê êçï Eçê ÅçäìãåFI íÜÉ î~äìÉ çÑ íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ìåÅÜ~åÖÉÇK ~N + âÄN ÄN ~N ÄN = ~ O + âÄO ÄO ~ O ÄO

5.3 Matrices 525. aÉÑáåáíáçå ^å ã × å ã~íêáñ ^ áë ~ êÉÅí~åÖìä~ê ~êê~ó çÑ ÉäÉãÉåíë EåìãÄÉêë çê ÑìåÅíáçåëF ïáíÜ ã êçïë ~åÇ å ÅçäìãåëK  ~ NN ~ NO K ~ Nå  ~ ~ OO K ~ Oå  ON   ^ = ~ áà =  M M M    ~ ãN ~ ã O K ~ ãå 

[ ]

526. pèì~êÉ ã~íêáñ áë ~ ã~íêáñ çÑ çêÇÉê å × å K

[ ]

527. ^ ëèì~êÉ ã~íêáñ ~ áà áë ëóããÉíêáÅ áÑ ~ áà = ~ àá I áKÉK áí áë

ëóããÉíêáÅ ~Äçìí íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äK

[ ]

528. ^ ëèì~êÉ ã~íêáñ ~ áà áë ëâÉï-ëóããÉíêáÅ áÑ ~ áà = −~ àá K

110 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

529. aá~Öçå~ä ã~íêáñ áë ~ ëèì~êÉ ã~íêáñ ïáíÜ ~ää ÉäÉãÉåíë òÉêç ÉñÅÉéí íÜçëÉ çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äK 530. råáí ã~íêáñ áë ~ Çá~Öçå~ä ã~íêáñ áå ïÜáÅÜ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~ä ~êÉ ~ää ìåáíóK qÜÉ ìåáí ã~íêáñ áë ÇÉåçíÉÇ Äó fK 531. ^ åìää ã~íêáñ áë çåÉ ïÜçëÉ ÉäÉãÉåíë ~êÉ ~ää òÉêçK

5.4 Operations with Matrices 532. qïç ã~íêáÅÉë ^ ~åÇ _ ~êÉ Éèì~ä áÑI ~åÇ çåäó áÑI íÜÉó ~êÉ ÄçíÜ çÑ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ ã × å ~åÇ ÅçêêÉëéçåÇáåÖ ÉäÉãÉåíë ~êÉ Éèì~äK 533. qïç ã~íêáÅÉë ^ ~åÇ _ Å~å ÄÉ ~ÇÇÉÇ Eçê ëìÄíê~ÅíÉÇF çÑI ~åÇ çåäó áÑI íÜÉó Ü~îÉ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ ã × å K fÑ  ~NN ~NO K ~Nå  ~ ~ OO K ~ Oå  I ^ = ~ áà =  ON  M M M    ~ ãN ~ ã O K ~ ãå   ÄNN ÄNO K ÄNå  Ä ÄOO K ÄOå  I _ = Äáà =  ON  M M M    ÄãN Äã O K Äãå 

[ ]

111 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

íÜÉå

~NO + ÄNO K ~ Nå + ÄNå   ~NN + ÄNN ~ +Ä ~ OO + ÄOO K ~ Oå + ÄOå  ON ON  K ^+_=   M M M   ~ ãN + ÄãN ~ ã O + Äã O K ~ ãå + Äãå 

[ ]

534. fÑ â áë ~ ëÅ~ä~êI ~åÇ ^ = ~ áà áë ~ ã~íêáñI íÜÉå

 â~NN â~NO K â~Nå   â~ â~ OO K â~ Oå  ON  K â^ = â~ áà =  M M M    â~ ãN â~ ã O K â~ ãå 

[ ]

535. jìäíáéäáÅ~íáçå çÑ qïç j~íêáÅÉë qïç ã~íêáÅÉë Å~å ÄÉ ãìäíáéäáÉÇ íçÖÉíÜÉê çåäó ïÜÉå íÜÉ åìãÄÉê çÑ Åçäìãåë áå íÜÉ Ñáêëí áë Éèì~ä íç íÜÉ åìãÄÉê çÑ êçïë áå íÜÉ ëÉÅçåÇK

fÑ  ~NN ~ ^ = ~ áà =  ON  M  ~ ãN  ÄNN Ä _ = Äáà =  ON  M   Ä åN

[ ]

~NO ~ OO M ~ãO ÄNO ÄOO M Äå O

K ~Nå  K ~ Oå  I M   K ~ ãå  K ÄNâ  K ÄO â  I M   K Äåâ 

112 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

íÜÉå  ÅNN ÅNO K ÅNâ  Å Å OO K Å O â  ON  I ^_ = ` =  M M M    Ä ãN Å ã O K Å ãâ  ïÜÉêÉ å

Å áà = ~ áNÄNà + ~ á O ÄO à + K + ~ áå Äåà = ∑ ~ á λ Äλ à E á = NI OI KI ã X à = NI OI KI â FK

λ =N

qÜìë áÑ

[ ]

~ NN ^ = ~ áà =  ~ ON

~ NO ~ OO

 ÄN  ~ NP  I _ = [Ä á ] = Ä O  I   ~ OP  ÄP 

íÜÉå ~ NO ~ ^_ =  NN ~ ON ~ OO

Ä  ~ NP   N  ~ NNÄN ⋅ Ä = ~ OP   O  ~ ONÄN ÄP 

~ NO Ä O ~ OO Ä O

~ NP ÄP  K ~ OP ÄP 

536. qê~åëéçëÉ çÑ ~ j~íêáñ fÑ íÜÉ êçïë ~åÇ Åçäìãåë çÑ ~ ã~íêáñ ~êÉ áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI íÜÉå íÜÉ åÉï ã~íêáñ áë Å~ääÉÇ íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ çêáÖáå~ä ã~íêáñK fÑ ^ áë íÜÉ çêáÖáå~ä ã~íêáñI áíë íê~åëéçëÉ áë ÇÉåçíÉÇ ^ q çê ú ^K 537. qÜÉ ã~íêáñ ^ áë çêíÜçÖçå~ä áÑ ^^ q = f K 538. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå (^_ )q = _ q ^ q K

113 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

539. ^Çàçáåí çÑ j~íêáñ fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ã~íêáñI áíë ~ÇàçáåíI ÇÉåçíÉÇ Äó ~Çà ^ I áë íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ ã~íêáñ çÑ ÅçÑ~Åíçêë ` áà çÑ ^W

[ ]

~Çà ^ = ` áà K q

540. qê~ÅÉ çÑ ~ j~íêáñ fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ã~íêáñI áíë íê~ÅÉI ÇÉåçíÉÇ Äó íê ^ I áë ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ íÜÉ ëìã çÑ íÜÉ íÉêãë çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äW íê ^ = ~NN + ~ OO + K + ~ åå K 541. fåîÉêëÉ çÑ ~ j~íêáñ fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ã~íêáñ ïáíÜ ~ åçåëáåÖìä~ê ÇÉíÉêãáå~åí ÇÉí ^ I íÜÉå áíë áåîÉêëÉ ^ −N áë ÖáîÉå Äó ~Çà ^ K ^ −N = ÇÉí ^ 542. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå (^_)−N = _ −N^ −N K 543. fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ã~íêáñI íÜÉ ÉáÖÉåîÉÅíçêë u ë~íáëÑó íÜÉ Éèì~íáçå ^u = λu I ïÜáäÉ íÜÉ ÉáÖÉåî~äìÉë λ ë~íáëÑó íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå ^ − λf = M K

5.5 Systems of Linear Equations s~êá~ÄäÉëW ñI óI òI ñ N I ñ O I K oÉ~ä åìãÄÉêëW ~ N I ~ O I ~ P I ÄN I ~ NN I ~ NO I K

114 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

aÉíÉêãáå~åíëW aI añ I aó I aò j~íêáÅÉëW ^I _I u ~ ñ + ÄNó = ÇN I 544.  N ~ O ñ + ÄO ó = Ç O aó a E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI ñ= ñ I ó= a a ïÜÉêÉ ~ ÄN a= N = ~NÄO − ~ O ÄN I ~ O ÄO Ç ÄN añ = N = ÇNÄO − Ç O ÄN I Ç O ÄO ~ ÇN aó = N = ~NÇ O − ~ OÇN K ~ O ÇO 545. fÑ a ≠ M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW aó a K ñ= ñ I ó= a a fÑ a = M ~åÇ añ ≠ M Eçê aó ≠ M FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë åç

ëçäìíáçåK fÑ a = añ = aó = M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó ã~åó ëçäìíáçåëK ~Nñ + ÄNó + ÅNò = ÇN  546. ~ O ñ + ÄO ó + Å Oò = Ç O I ~ ñ + Ä ó + Å ò = Ç P P P  P

ñ=

aó añ a I ó= I ò = ò E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI a a a

115 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

ïÜÉêÉ ~N a = ~O ~P

ÄN

ÅN

ÇN

ÄN

ÅN

ÄO

Å O I añ = Ç O

ÄO

ÅO I

ÄP

ÅP

ÄP

ÅP

ÇP

ÇN

ÅN

ÄN

ÇN

aó = ~ O ~P

ÇO ÇP

Å O I aò = ~ O ÅP ~P

ÄO ÄP

ÇO K ÇP

547. fÑ a ≠ M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW aó a a I ò= ò K ñ= ñ I ó= a a a fÑ a = M ~åÇ añ ≠ M Eçê aó ≠ M çê aò ≠ M FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã

Ü~ë åç ëçäìíáçåK fÑ a = añ = aó = aò = M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó ã~åó ëçäìíáçåëK 548. j~íêáñ cçêã çÑ ~ póëíÉã çÑ å iáåÉ~ê bèì~íáçåë áå å råâåçïåë qÜÉ ëÉí çÑ äáåÉ~ê Éèì~íáçåë ~NNñ N + ~ NO ñ O + K + ~Nå ñ å = ÄN ~ ñ + ~ ñ + K + ~ ñ = Ä  ON N OO O Oå å O  K K K K K K K K K K K K  ~ åNñ N + ~ å O ñ O + K + ~ åå ñ å = Äå Å~å ÄÉ ïêáííÉå áå ã~íêáñ Ñçêã  ~ NN ~ NO K ~ Nå   ñ N   ÄN         ~ ON ~ OO K ~ Oå   ñ O   Ä O  ⋅ = I  M M M   M   M        ~       åN ~ å O K ~ åå   ñ å   Ä å  áKÉK ^⋅u = _I

116 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS

ïÜÉêÉ  ~ NN  ~ ^ =  ON M  ~  åN

~ NO K ~ Nå   ñN   ÄN       ~ OO K ~ Oå   ñO   ÄO  = = u _ I I  M   M K M M       ñ  Ä  ~ å O K ~ åå   å  å

549. pçäìíáçå çÑ ~ pÉí çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë å × å u = ^ −N ⋅ _ I ïÜÉêÉ ^ −N áë íÜÉ áåîÉêëÉ çÑ ^K

117 http://fribok.blogspot.com/

Chapter 6

Vectors

r r r r → sÉÅíçêëW ì I î I ï I ê I ^_ I £ r r sÉÅíçê äÉåÖíÜW ì I î I £ r r r råáí îÉÅíçêëW á I à I â r kìää îÉÅíçêW M r `ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê ì W uN I vN I wN r `ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê î W u O I vO I wO pÅ~ä~êëW λ I µ aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW Åçë α I Åçë β I Åçë γ ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç îÉÅíçêëW θ

6.1 Vector Coordinates 550. råáí sÉÅíçêë r á = (NI MI M) I r à = (MI NI M) I r â = (MI MI N) I r r r á = à = â = NK r r r r → 551. ê = ^_ = (ñ N − ñ M ) á + (ó N − ó M ) à + (ò N − ò M ) â

118 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 73.

552.

→ r ê = ^_ =

(ñ N − ñ M )O + (óN − ó M )O + (òN − ò M )O

→ → r r 553. fÑ ^_ = ê I íÜÉå _^ = − ê K

Figure 74.

r 554. u = ê Åçë α I r v = ê Åçë β I r w = ê Åçë γ K

119 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 75.

r r 555. fÑ ê (uI v I w ) = êN (uN I vN I wN ) I íÜÉå

u = uN I v = vN I w = wN K

6.2 Vector Addition r r r 556. ï = ì + î

Figure 76.

120 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 77.

r r r r r 557. ï = ìN + ì O + ìP + K + ì å

Figure 78.

558. `çããìí~íáîÉ i~ï r r r r ì+ î =î+ì 559. ^ëëçÅá~íáîÉ i~ï (ìr + îr ) + ïr = ìr + (îr + ïr )

r r 560. ì + î = (uN + u O I vN + vO I wN + wO )

121 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 6. VECTORS

6.3 Vector Subtraction r r r r r r 561. ï = ì − î áÑ î + ï = ì K

Figure 79.

Figure 80.

r r r r 562. ì − î = ì + (− î ) r r r 563. ì − ì = M = (MI MI M ) 564.

r M =M

r r 565. ì − î = (uN − u O I vN − vO I wN − w O ) I

6.4 Scaling Vectors r r 566. ï = λì

122 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 81.

567.

r r ï = λ⋅ì

r 568. λì = (λuI λv I λw ) r r 569. λì = ìλ

570.

(λ + µ ) ìr = λìr + µìr

r r r 571. λ(µì ) = µ(λì ) = (λµ )ì r r r r 572. λ(ì + î ) = λì + λî

6.5 Scalar Product r r 573. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ì ~åÇ î r r r r ì ⋅ î = ì ⋅ î ⋅ Åçë θ I r r ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå îÉÅíçêë ì ~åÇ î K

123 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 82.

574. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêã r r fÑ ì = (uN I vN I wN ) I î = (u O I vO I w O ) I íÜÉå r r ì ⋅ î = uNu O + vNvO + wNwO K 575. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêë r r fÑ ì = (uN I vN I wN ) I î = (u O I vO I w O ) I íÜÉå uNu O + vNvO + wNw O K Åçë θ = O O O O O O uN + vN + wN u O + vO + w O 576. `çããìí~íáîÉ mêçéÉêíó r r r r ì⋅î = î ⋅ì 577. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó (λìr ) ⋅ (µîr ) = λµìr ⋅ îr 578. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó r r r r r r r ì ⋅ (î + ï ) = ì ⋅ î + ì ⋅ ï

π r r r r 579. ì ⋅ î = M áÑ ì I î ~êÉ çêíÜçÖçå~ä E θ = FK O π r r 580. ì ⋅ î > M áÑ M < θ < K O

124 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 6. VECTORS

π r r 581. ì ⋅ î < M áÑ < θ < π K O

r r r r 582. ì ⋅ î ≤ ì ⋅ î r r r r r r 583. ì ⋅ î = ì ⋅ î áÑ ì I î ~êÉ é~ê~ääÉä E θ = M FK r 584. fÑ ì = (uN I vN I wN ) I íÜÉå r r r rO O O O ì ⋅ ì = ì O = ì = uN + vN + wN K r r r r r r 585. á ⋅ á = à ⋅ à = â ⋅ â = N r r r r r r 586. á ⋅ à = à ⋅ â = â ⋅ á = M

6.6 Vector Product r r 587. sÉÅíçê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ì ~åÇ î r r r ì × î = ï I ïÜÉêÉ π r r r • ï = ì ⋅ î ⋅ ëáå θ I ïÜÉêÉ M ≤ θ ≤ X O r r r r • ï ⊥ì ~åÇ ï ⊥ î X r r r • sÉÅíçêë ì I î I ï Ñçêã ~ êáÖÜí-Ü~åÇÉÇ ëÅêÉïK

125 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 83.

r â wN wO

r á r r r 588. ï = ì × î = u N uO

r à vN vO

r r r v 589. ï = ì × î =  N  vO

wN u I− N wO uO

wN uN I wO uO

vN vO

r r r r 590. p = ì × î = ì ⋅ î ⋅ ëáå θ EcáÖKUPF 591. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêë EcáÖKUPF r r ì× î ëáå θ = r r ì⋅î 592. kçåÅçããìí~íáîÉ mêçéÉêíó r r r r ì × î = − (î × ì ) 593. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó (λìr )× (µîr ) = λµìr × îr

126 http://fribok.blogspot.com/

   

CHAPTER 6. VECTORS

594. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó r r r r r r r ì × (î + ï ) = ì × î + ì × ï

r r r r r 595. ì × î = M áÑ ì ~åÇ î ~êÉ é~ê~ääÉä E θ = M FK r r r r r r r 596. á × á = à × à = â × â = M r r r r r r r r r 597. á × à = â I à × â = á I â × á = à

6.7 Triple Product 598. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí [ìr îrïr ] = ìr ⋅ (îr × ïr ) = îr ⋅ (ïr × ìr ) = ïr ⋅ (ìr × îr ) 599.

[ìr îrïr ] = [ïr ìr îr ] = [îrïr ìr ] = −[îrìr ïr ] = −[ïr îrìr ] = −[ìr ïr îr ]

r r r rr r 600. âì ⋅ (î × ï ) = â[ìîï ] 601. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêã uN vN wN r r r ì ⋅ (î × ï ) = u O vO w O I uP vP wP

ïÜÉêÉ r r r ì = (uN I vN I wN ) I î = (u O I vO I w O ) I ï = (uP I vP I wP ) K 602. sçäìãÉ çÑ m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ r r r s = ì ⋅ (î × ï )

127 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 84.

603. sçäìãÉ çÑ móê~ãáÇ Nr r r s = ì ⋅ (î × ï ) S

Figure 85.

r r r r r r 604. fÑ ì ⋅ (î × ï ) = M I íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ì I î I ~åÇ ï ~êÉ äáåÉ~êäó r r r ÇÉéÉåÇÉåí I ëç ï = λì + µî Ñçê ëçãÉ ëÅ~ä~êë λ ~åÇ µ K r r r r r r 605. fÑ ì ⋅ (î × ï ) ≠ M I íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ì I î I ~åÇ ï ~êÉ äáåÉ~êäó áåÇÉéÉåÇÉåíK

128 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 6. VECTORS

606. sÉÅíçê qêáéäÉ mêçÇìÅí r r r r r r r r r ì × (î × ï ) = (ì ⋅ ï )î − (ì ⋅ î )ï

129 http://fribok.blogspot.com/

Chapter 7

Analytic Geometry

7.1 One-Dimensional Coordinate System mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñ M I ñ N I ñ O I ó M I ó N I ó O oÉ~ä åìãÄÉêW λ aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç 607. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë Ç = ^_ = ñ O − ñ N = ñ N − ñ O

Figure 86.

608. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ ñ + λñ O ^` I λ= ñM = N I λ ≠ −N K N+ λ `_

Figure 87.

130 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

609. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí ñ + ñO I λ =NK ñM = N O

7.2 Two-Dimensional Coordinate System mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñ M I ñ N I ñ O I ó M I ó N I ó O mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW êI ϕ oÉ~ä åìãÄÉêW λ mçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç ^êÉ~W p 610. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë

Ç = ^_ =

(ñ O − ñ N )O + (ó O − óN )O

Figure 88.

131 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

611. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ ñ + λñ O ó + λó O ñM = N I óM = N I N+ λ N+ λ ^` λ= I λ ≠ −N K `_

Figure 89.

132 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 90.

612. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí ñ + ñO ó + óO I óM = N I λ =NK ñM = N O O 613. `ÉåíêçáÇ EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ jÉÇá~åëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ ñ + ñ O + ñP ó + óO + óP ñM = N I óM = N I P P ïÜÉêÉ ^(ñ N I ó N ) I _(ñ O I ó O ) I ~åÇ `(ñ P I ó P ) ~êÉ îÉêíáÅÉë çÑ íÜÉ íêá~åÖäÉ ^_` K

133 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 91.

614. fåÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ ^åÖäÉ _áëÉÅíçêëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ ~ñ + Äñ O + Åñ P ~ó + Äó O + Åó P ñM = N I óM = N I ~ +Ä+Å ~ +Ä+Å ïÜÉêÉ ~ = _` I Ä = `^ I Å = ^_ K

Figure 92.

134 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

615. `áêÅìãÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ íÜÉ páÇÉ mÉêéÉåÇáÅìä~ê _áëÉÅíçêëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ ñ NO + ó NO ó N N ñ N ñ NO + ó NO N

ñM =

ñ OO + ó OO ñ PO + ó PO ñN O ñO ñP

óO N óP N óN N óO N óP N

I óM =

ñO ñP

ñ OO + ó OO N ñ PO + ó PO N

ñN O ñO ñP

óN N óO N óP N

Figure 93.

135 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

616. lêíÜçÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ ^äíáíìÇÉëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ ó N ñ O ñ P + ó NO N ñ NO + ó O ó P ñ N N

ñM =

óO óP

ñ P ñ N + ó OO N ñ Nñ O + ó PO N ñN ñO ñP

óN N óO N óP N

I óM =

ñ OO + ó P ó N ñ PO + ó Nó O ñN ñO ñP

ñO N ñP N

óN N óO N óP N

Figure 94.

617. ^êÉ~ çÑ ~ qêá~åÖäÉ ñ N óN N N N ñ O − ñN p = (± ) ñ O ó O N = (± ) O O ñ P − ñN ñP óP N

ó O − óN ó P − óN

136 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

618. ^êÉ~ çÑ ~ nì~Çêáä~íÉê~ä N p = (± ) [(ñ N − ñ O )(ó N + ó O ) + (ñ O − ñ P )(ó O + ó P ) + O + (ñ P − ñ Q )(ó P + ó Q ) + (ñ Q − ñ N )(ó Q + ó N )]

Figure 95.

kçíÉW få Ñçêãìä~ë SNTI SNU ïÉ ÅÜççëÉ íÜÉ ëáÖå EHF çê E¥F ëç íÜ~í íç ÖÉí ~ éçëáíáîÉ ~åëïÉê Ñçê ~êÉ~K 619. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë

Ç = ^_ = êNO + êOO − OêNêO Åçë(ϕ O − ϕN )

137 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 96.

620. `çåîÉêíáåÖ oÉÅí~åÖìä~ê `ççêÇáå~íÉë íç mçä~ê `ççêÇáå~íÉë ñ = ê Åçë ϕ I ó = ê ëáå ϕ K

Figure 97.

621. `çåîÉêíáåÖ mçä~ê `ççêÇáå~íÉë íç oÉÅí~åÖìä~ê `ççêÇáå~íÉë ó ê = ñ O + ó O I í~å ϕ = K ñ

138 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

7.3 Straight Line in Plane mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW uI vI ñI ñ M I ñ N I ó M I ó N I ~N I ~ O I £ oÉ~ä åìãÄÉêëW âI ~I ÄI éI íI Î _I Ì ^N I ^ O I £ ^åÖäÉëW α I β ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç äáåÉëW ϕ r kçêã~ä îÉÅíçêW å r r r mçëáíáçå îÉÅíçêëW ê I ~ I Ä 622. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ ^ñ + _ó + ` = M 623. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ píê~áÖÜí iáåÉ r qÜÉ îÉÅíçê å(Î _ ) áë åçêã~ä íç íÜÉ äáåÉ ^ñ + _ó + ` = M K

Figure 98.

624. bñéäáÅáí bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ EpäçéÉ-fåíÉêÅÉéí cçêãF ó = âñ + Ä K

139 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

qÜÉ Öê~ÇáÉåí çÑ íÜÉ äáåÉ áë â = í~å α K

Figure 99.

625. dê~ÇáÉåí çÑ ~ iáåÉ ó − óN â = í~å α = O ñ O − ñN

Figure 100.

140 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

626. bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ dáîÉå ~ mçáåí ~åÇ íÜÉ dê~ÇáÉåí ó = ó M + â (ñ − ñ M ) I ïÜÉêÉ â áë íÜÉ Öê~ÇáÉåíI m(ñ M I ó M ) áë ~ éçáåí çå íÜÉ äáåÉK

Figure 101.

627. bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ qÜ~í m~ëëÉë qÜêçìÖÜ qïç mçáåíë ó − óN ñ − ñN = ó O − óN ñ O − ñN çê ñ ó N ñN óN N = M K ñO óO N

141 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 102.

628. fåíÉêÅÉéí cçêã ñ ó + =N ~ Ä

Figure 103.

142 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

629. kçêã~ä cçêã ñ Åçë β + ó ëáå β − é = M

Figure 104.

630. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã ñ − ñ N ó − óN = I u v ïÜÉêÉ (uI v ) áë íÜÉ ÇáêÉÅíáçå çÑ íÜÉ äáåÉ ~åÇ mN (ñ N I ó N ) äáÉë çå íÜÉ äáåÉK

143 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 105.

631. sÉêíáÅ~ä iáåÉ ñ =~ 632. eçêáòçåí~ä iáåÉ ó=Ä 633. sÉÅíçê bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ r r r ê = ~ + íÄ I ïÜÉêÉ l áë íÜÉ çêáÖáå çÑ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉëI u áë ~åó î~êá~ÄäÉ éçáåí çå íÜÉ äáåÉI r ~ áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~ âåçïå éçáåí ^ çå íÜÉ äáåÉ I r Ä áë ~ âåçïå îÉÅíçê çÑ ÇáêÉÅíáçåI é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉI í áë ~ é~ê~ãÉíÉêI r → ê = lu áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~åó éçáåí u çå íÜÉ äáåÉK

144 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 106.

634. píê~áÖÜí iáåÉ áå m~ê~ãÉíêáÅ cçêã ñ = ~N + íÄN I  ó = ~ O + íÄO ïÜÉêÉ (ñ I ó ) ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~åó ìåâåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI (~N I ~ O ) ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ âåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI (ÄN I ÄO ) ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ îÉÅíçê é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉI í áë ~ é~ê~ãÉíÉêK

145 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 107.

635. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ iáåÉ qÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí m(~ I Ä) íç íÜÉ äáåÉ ^ñ + _ó + ` = M áë ^~ + _Ä + ` Ç= K ^O + _O

Figure 108.

146 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

636. m~ê~ääÉä iáåÉë qïç äáåÉë ó = â Nñ + ÄN ~åÇ ó = â O ñ + ÄO ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ âN = â O K qïç äáåÉë ^Nñ + _Nó + `N = M ~åÇ ^ O ñ + _O ó + ` O = M ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ ^N _N = K ^ O _O

Figure 109.

637. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉë qïç äáåÉë ó = â Nñ + ÄN ~åÇ ó = â O ñ + ÄO ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ N âO = − çêI Éèìáî~äÉåíäóI â Nâ O = −N K âN qïç äáåÉë ^Nñ + _Nó + `N = M ~åÇ ^ O ñ + _ O ó + ` O = M ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ ^N^ O + _N_ O = M K

147 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 110.

638. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç iáåÉë â − âN í~å ϕ = O I N + â Nâ O ^N^ O + _N_ O K Åçë ϕ = ^NO + _NO ⋅ ^ OO + _ OO

148 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 111.

639. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉë fÑ íïç äáåÉë ^Nñ + _Nó + `N = M ~åÇ ^ O ñ + _ O ó + ` O = M áåíÉêëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå éçáåí Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë − ^N` O + ^ O`N − `N_ O + ` O_N K ñM = I óM = ^N_ O − ^ O_N ^N_ O − ^ O_N

7.4 Circle o~ÇáìëW o `ÉåíÉê çÑ ÅáêÅäÉW (~ I Ä) mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI ñ N I ó N I £ oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI í

149 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

640. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇ cçêãF ñ O + ó O = oO

Figure 112.

641. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí (~I Ä)

(ñ − ~ )O + (ó − Ä)O = o O

Figure 113.

150 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

642. qÜêÉÉ mçáåí cçêã ñO + óO ñ ó N ñ NO + ó NO

ñN

óN N

ñ +ó ñ +ó

ñO ñP

óO N óP N

O O O P

Figure 114.

643. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã ñ = o Åçë í I M ≤ í ≤ Oπ K  ó = o ëáå í 644. dÉåÉê~ä cçêã ^ñ O + ^ó O + añ + bó + c = M E^ åçåòÉêçI aO + b O > Q ^c FK qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë (~ I Ä) I ïÜÉêÉ a b ~=− I Ä=− K O^ O^ qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ áë

151 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

aO + b O − Q ^c K O^

7.5 Ellipse pÉãáã~àçê ~ñáëW ~ pÉãáãáåçê ~ñáëW Ä cçÅáW cN (− ÅI M) I cO (ÅI M) aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ ÑçÅáW OÅ bÅÅÉåíêáÅáíóW É oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI í mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p 645. bèì~íáçå çÑ ~å bääáéëÉ Epí~åÇ~êÇ cçêãF ñO óO + =N ~ O ÄO

Figure 115.

152 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

646. êN + êO = O~ I ïÜÉêÉ êN I êO ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí m(ñ I ó ) çå íÜÉ ÉääáéëÉ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK

Figure 116.

647. ~ O = ÄO + Å O 648. bÅÅÉåíêáÅáíó Å É = <N ~ 649. bèì~íáçåë çÑ aáêÉÅíêáÅÉë ~ ~O ñ=± =± É Å 650. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã ñ = ~ Åçë í I M ≤ í ≤ Oπ K  ó = Ä ëáå í

153 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

651. dÉåÉê~ä cçêã ^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I ïÜÉêÉ _ O − Q ^` < M K 652. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë ^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I ïÜÉêÉ ^` > M K 653. `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ i = Q~b(É ) I ïÜÉêÉ íÜÉ ÑìåÅíáçå b áë íÜÉ ÅçãéäÉíÉ ÉääáéíáÅ áåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ ëÉÅçåÇ âáåÇK 654. ^ééêçñáã~íÉ cçêãìä~ë çÑ íÜÉ `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ i = π NKR(~ + Ä) − ~Ä I

(

i = π O(~ O + ÄO ) K

)

655. p = π~Ä

7.6 Hyperbola qê~åëîÉêëÉ ~ñáëW ~ `çåàìÖ~íÉ ~ñáëW Ä cçÅáW cN (− ÅI M) I cO (ÅI M) aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ ÑçÅáW OÅ bÅÅÉåíêáÅáíóW É ^ëóãéíçíÉëW ëI í oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI íI â

154 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

656. bèì~íáçå çÑ ~ eóéÉêÄçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF ñO óO − =N ~ O ÄO

Figure 117.

657.

êN − êO = O~ I ïÜÉêÉ êN I êO ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí m(ñ I ó ) çå íÜÉ ÜóéÉêÄçä~ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK

155 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 118.

658. bèì~íáçåë çÑ ^ëóãéíçíÉë Ä ó=± ñ ~ 659. Å O = ~ O + ÄO 660. bÅÅÉåíêáÅáíó Å É = >N ~ 661. bèì~íáçåë çÑ aáêÉÅíêáÅÉë ~ ~O ñ=± =± É Å

156 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

662. m~ê~ãÉíêáÅ bèì~íáçåë çÑ íÜÉ oáÖÜí _ê~åÅÜ çÑ ~ eóéÉêÄçä~ ñ = ~ ÅçëÜ í I M ≤ í ≤ Oπ K  ó = Ä ëáåÜ í 663. dÉåÉê~ä cçêã ^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I ïÜÉêÉ _ O − Q ^` > M K 664. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë ^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I ïÜÉêÉ ^` < M K 665. ^ëóãéíçíáÅ cçêã ÉO ñó = I Q çê ÉO â ó = I ïÜÉêÉ â = K ñ Q få íÜáë Å~ëÉ I íÜÉ ~ëóãéíçíÉë Ü~îÉ Éèì~íáçåë ñ = M ~åÇ ó =MK

157 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 119.

7.7 Parabola cçÅ~ä é~ê~ãÉíÉêW é cçÅìëW c sÉêíÉñW j(ñ M I ó M ) oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI éI ~I ÄI Å 666. bèì~íáçå çÑ ~ m~ê~Äçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF ó O = Oéñ

158 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 120.

bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ é ñ=− I O `ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë é  c I M  I O  `ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ j(MI M) K 667. dÉåÉê~ä cçêã ^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I ïÜÉêÉ _ O − Q ^` = M K

N K O~ bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ

668. ó = ~ñ O I é =

159 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

é ó=− I O `ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë  é c MI  I  O `ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ j(MI M) K

Figure 121.

669. dÉåÉê~ä cçêãI ^ñáë m~ê~ääÉä íç íÜÉ ó-~ñáë ^ñ O + añ + bó + c = M E^I b åçåòÉêçFI N ó = ~ñ O + Äñ + Å I é = K O~ bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ é ó = óM − I O `ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë

160 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

é  c ñ M I ó M +  I O  `ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ Ä Q~Å − ÄO ñ M = − I ó M = ~ñ OM + Äñ M + Å = K O~ Q~

Figure 122.

7.8 Three-Dimensional Coordinate System mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñ M I ó M I ò M I ñ N I ó N I ò N I £ oÉ~ä åìãÄÉêW λ aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç ^êÉ~W p sçäìãÉW s

161 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

670. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë

Ç = ^_ =

(ñ O − ñ N )O + (ó O − óN )O + (ò O − òN )O

Figure 123.

671. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ ñ + λñ O ó + λó O ò + λò O I óM = N I òM = N I ñM = N N+ λ N+ λ N+ λ ïÜÉêÉ ^` λ= I λ ≠ −N K `_

162 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 124.

Figure 125.

163 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

672. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí ñ + ñO ó + óO ò +ò I òM = N O I λ = N K ñM = N I óM = N O O O 673. ^êÉ~ çÑ ~ qêá~åÖäÉ qÜÉ ~êÉ~ çÑ ~ íêá~åÖäÉ ïáíÜ îÉêíáÅÉë mN (ñ N I ó N I ò N ) I mO (ñ O I ó O I ò O ) I ~åÇ mP (ñ P I ó P I ò P ) áë ÖáîÉå Äó p=

N O

ñN N

óO

òO N + òO

ñO N + ñO

óO N K

óP

òP

ñP

óP

òP

ñN ñP

óN N

òN N N

òN

óN

674. sçäìãÉ çÑ ~ qÉíê~ÜÉÇêçå qÜÉ îçäìãÉ çÑ ~ íÉíê~ÜÉÇêçå ïáíÜ îÉêíáÅÉë mN (ñ N I ó N I ò N ) I mO (ñ O I ó O I ò O ) I mP (ñ P I ó P I ò P ) I ~åÇ mQ (ñ Q I ó Q I ò Q ) áë ÖáîÉå Äó ñ N óN òN N

óO óP óQ

òO N I òP N òQ N

ñN − ñ Q N s = ± ñO − ñQ S ñP − ñ Q

óN − ó Q

òN − ò Q

óO − óQ óP − ó Q

òO − òQ K òP − òQ

s=±

N ñO S ñP ñQ

çê

kçíÉW tÉ ÅÜççëÉ íÜÉ ëáÖå EHF çê E¥F ëç íÜ~í íç ÖÉí ~ éçëáíáîÉ ~åëïÉê Ñçê îçäìãÉK

164 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 126.

7.9 Plane mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI ñ M I ó M I ò M I ñ N I ó N I ò N I £ oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI ^N I ^ O I ~I ÄI ÅI ~N I ~ O I λ I éI íI £ r r r kçêã~ä îÉÅíçêëW å I åN I å O aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW Åçë α I Åçë β I Åçë γ aáëí~åÅÉ Ñêçã éçáåí íç éä~åÉW Ç 675. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ ^ñ + _ó + `ò + a = M

165 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

676. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ mä~åÉ r qÜÉ îÉÅíçê å (^I _I ` ) áë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉ ^ñ + _ó + `ò + a = M K

Figure 127.

677. m~êíáÅìä~ê `~ëÉë çÑ íÜÉ bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ ^ñ + _ó + `ò + a = M

fÑ fÑ fÑ fÑ

^ = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñ-~ñáëK _ = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ó-~ñáëK ` = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ò-~ñáëK a = M I íÜÉ éä~åÉ äáÉë çå íÜÉ çêáÖáåK

fÑ ^ = _ = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñó-éä~åÉK fÑ _ = ` = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ óò-éä~åÉK fÑ ^ = ` = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñò-éä~åÉK

166 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

678. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã ^(ñ − ñ M ) + _(ó − ó M ) + `(ò − ò M ) = M I ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí m(ñ M I ó M I ò M ) äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI ~åÇ íÜÉ îÉÅíçê (^I _I ` ) áë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK

Figure 128.

679. fåíÉêÅÉéí cçêã ñ ó ò + + =N ~ Ä Å

167 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 129.

680. qÜêÉÉ mçáåí cçêã ñ − ñP ó − óP ò − òP ñ N − ñ P óN − ó P òN − ò P = M I ñ O − ñ P ó O − óP ò O − òP çê ñ ó ò N ñN óN òN N =MK ñO óO òO N ñP óP òP N

168 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 130.

681. kçêã~ä cçêã ñ Åçë α + ó Åçë β + ò Åçë γ − é = M I ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ çêáÖáå íç íÜÉ éä~åÉ I ~åÇ Åçë α I Åçë β I Åçë γ ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉë çÑ ~åó äáåÉ åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK

169 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 131.

682. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã ñ = ñ N + ~Në + ~ O í  ó = ó N + ÄNë + ÄO í I ò = ò + Å ë + Å í N N O  ïÜÉêÉ (ñ I ó I ò ) ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~åó ìåâåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉ I íÜÉ éçáåí m(ñ N I ó N I ò N ) äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI íÜÉ îÉÅíçêë (~N I ÄN I ÅN ) ~åÇ (~ O I ÄO I Å O ) ~êÉ é~ê~ääÉä íç íÜÉ éä~åÉK

170 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 132.

683. aáÜÉÇê~ä ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç mä~åÉë fÑ íÜÉ éä~åÉë ~êÉ ÖáîÉå Äó ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M I ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M I íÜÉå íÜÉ ÇáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉã áë r r åN ⋅ å O ^N^ O + _N_ O + `N` O Åçë ϕ = r r = K åN ⋅ å O ^NO + _NO + `NO ⋅ ^ OO + _ OO + ` OO

171 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 133.

684. m~ê~ääÉä mä~åÉë qïç éä~åÉë ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M ~åÇ ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ ^N _N `N = = K ^O _O `O 685. mÉêéÉåÇáÅìä~ê mä~åÉë qïç éä~åÉë ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M ~åÇ ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ ^N^ O + _N_ O + `N` O = M K 686. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ m(ñ N I ó N I ò N ) ~åÇ m~ê~ääÉä qç íÜÉ sÉÅíçêë (~N I ÄN I ÅN ) ~åÇ (~ O I ÄO I Å O ) EcáÖKNPOF

172 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

ñ − ñN ~N ~O

ó − óN ò − òN ÄN ÅN = M ÄO ÅO

687. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ mN (ñ N I ó N I ò N ) ~åÇ mO (ñ O I ó O I ò O ) I ~åÇ m~ê~ääÉä qç íÜÉ sÉÅíçê (~ I ÄI Å ) ñ − ñ N ó − óN ò − òN

ñ O − ñN ~

ó O − óN ò O − òN = M Ä Å

Figure 134.

688. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ mä~åÉ qÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí mN (ñ N I ó N I ò N ) íç íÜÉ éä~åÉ ^ñ + _ó + `ò + a = M áë

173 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Ç=

^ñ N + _ó N + `òN + a ^O + _O + `O

Figure 135.

689. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç mä~åÉë fÑ íïç éä~åÉë ^Nñ + _Nó + `Nò + aN = M ~åÇ ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M áåíÉêëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå ëíê~áÖÜí äáåÉ áë ÖáîÉå Äó ñ = ñ N + ~í  ó = ó N + Äí I ò = ò + Åí N  çê ñ − ñ N ó − óN ò − òN = = I Ä Å ~ ïÜÉêÉ

174 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

_N _O Ä

aN aO

ñN =

óN =

òN =

`N ` I Ä= N `O `O

^N ^ I Å= N ^O ^O

_N I _O

`N a _N −Å N `O aO _ O I O O ~ + Ä + ÅO ^N a `N −~ N ^O aO ` O I O O ~ + Ä + ÅO _N a ^N −Ä N _O aO ^ O K O O ~ + Ä + ÅO

7.10 Straight Line in Space mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI ñ N I ó N I ò N I £ aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW Åçë α I Åçë β I Åçë γ oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI ~I ÄI ÅI ~N I ~ O I íI £ r r r aáêÉÅíáçå îÉÅíçêë çÑ ~ äáåÉW ë I ëN I ëO r kçêã~ä îÉÅíçê íç ~ éä~åÉW å ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç äáåÉëW ϕ 690. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã çÑ íÜÉ bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ ñ − ñ N ó − óN ò − òN = = I Ä Å ~ ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí mN (ñ N I ó N I ò N ) äáÉë çå íÜÉ äáåÉI ~åÇ (~ I ÄI Å ) áë íÜÉ ÇáêÉÅíáçå îÉÅíçê çÑ íÜÉ äáåÉK

175 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 136.

691. qïç mçáåí cçêã ñ − ñN ó − óN ò − òN = = ñ O − ñ N ó O − óN ò O − òN

Figure 137.

176 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

692. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã ñ = ñ N + í Åçë α  ó = ó N + í Åçë β I ò = ò + í Åçë γ N  ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí mN (ñ N I ó N I ò N ) äáÉë çå íÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉI Åçë α I Åçë β I Åçë γ ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉë çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå îÉÅíçê çÑ íÜÉ äáåÉI íÜÉ é~ê~ãÉíÉê í áë ~åó êÉ~ä åìãÄÉêK

Figure 138.

693. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç píê~áÖÜí iáåÉë r r ë ⋅ë ~N~ O + ÄNÄO + ÅNÅ O Åçë ϕ = r N rO = O ëN ⋅ ëO ~N + ÄNO + ÅNO ⋅ ~ OO + ÄOO + Å OO

177 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 139.

694. m~ê~ääÉä iáåÉë qïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ r r ëN öö ëO I çê ~N ÄN ÅN = = K ~ O ÄO Å O 695. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉë qïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ r r ëN ⋅ ëO = M I çê ~N~ O + ÄNÄO + ÅNÅ O = M K 696. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉë ñ − ñ N ó − óN ò − òN qïç äáåÉë = = ~åÇ ~N ÄN ÅN

178 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

ñ − ñO ó − óO ò − òO = = áåíÉêëÉÅí áÑ ~O ÄO ÅO ñ O − ñ N ó O − óN ò O − òN ~N ÄN ÅN = M K ~O ÄO ÅO 697. m~ê~ääÉä iáåÉ ~åÇ mä~åÉ ñ − ñ N ó − óN ò − òN qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉ = = ~åÇ íÜÉ éä~åÉ Ä Å ~ ^ñ + _ó + `ò + a = M ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ r r å⋅ ë = M I çê ^~ + _Ä + `Å = M K

Figure 140.

179 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

698. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉ ~åÇ mä~åÉ ñ − ñ N ó − óN ò − òN qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉ = = ~åÇ íÜÉ éä~åÉ Ä Å ~ ^ñ + _ó + `ò + a = M ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ r r å öö ë I çê ^ _ ` = = K ~ Ä Å

Figure 141.

7.11 Quadric Surfaces mçáåí ÅççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ èì~ÇêáÅ ëìêÑ~ÅÉëW ñI óI ò oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I ~I ÄI ÅI â N I â O I â P I £

180 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

699. dÉåÉê~ä nì~Çê~íáÅ bèì~íáçå ^ñ O + _ó O + `ò O + Ocóò + Odòñ + Oeñó + Omñ + Onó + Ooò + a = M 700. `ä~ëëáÑáÅ~íáçå çÑ nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë `~ëÉ N O P Q R S T U V NM NN NO NP NQ NR NS NT

o~åâEÉF P P P P P P O O O O O O O N N N N

o~åâEbF Q Q Q Q P P Q Q P P P O O P O O N

∆ <M >M >M <M <M >M

â ëáÖåë p~ãÉ p~ãÉ aáÑÑÉêÉåí aáÑÑÉêÉåí aáÑÑÉêÉåí p~ãÉ p~ãÉ aáÑÑÉêÉåí p~ãÉ p~ãÉ aáÑÑÉêÉåí aáÑÑÉêÉåí p~ãÉ

qóéÉ çÑ pìêÑ~ÅÉ oÉ~ä bääáéëçáÇ fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉ fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉ bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ oÉ~ä bääáéíáÅ `óäáåÇÉê fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉê eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉê oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉê oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉë fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉë `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë

eÉêÉ ^ e n m    ^ e d    e _ c n I ∆ = ÇÉí(b ) I É = e _ c I b =  d c ` o  d c `      m n o a   â N I â O I â P ~êÉ íÜÉ êççíë çÑ íÜÉ Éèì~íáçåI ^−ñ e d e _−ñ c =MK d c `−ñ

181 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

701. oÉ~ä bääáéëçáÇ E`~ëÉ NF ñO óO òO + + =N ~ O ÄO Å O

Figure 142.

702. fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ E`~ëÉ OF ñO óO òO + + = −N ~ O ÄO Å O 703. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí E`~ëÉ PF ñO óO òO + − =N ~ O ÄO Å O

182 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 143.

704. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë E`~ëÉ QF ñO óO òO + − = −N ~ O ÄO Å O

Figure 144.

183 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

705. oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ RF ñO óO òO + − =M ~ O ÄO Å O

Figure 145.

706. fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ SF ñO óO òO + + =M ~ O ÄO Å O 707. bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ TF ñO óO + −ò = M ~ O ÄO

184 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 146.

708. eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ UF ñO óO − −ò = M ~ O ÄO

Figure 147.

185 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

709. oÉ~ä bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ VF ñO óO + =N ~ O ÄO

Figure 148.

710. fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NMF ñO óO + = −N ~ O ÄO 711. eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NNF ñO óO − =N ~ O ÄO

186 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 149.

712. oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NOF ñO óO − =M ~ O ÄO 713. fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NPF ñO óO + =M ~ O ÄO 714. m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NQF ñO −ó=M ~O

187 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

Figure 150.

715. oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NRF ñO =N ~O 716. fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NSF ñO = −N ~O 717. `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë E`~ëÉ NTF ñO = M

188 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

7.12 Sphere o~Çáìë çÑ ~ ëéÜÉêÉW o mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI ñ N I ó N I ò N I £ `ÉåíÉê çÑ ~ ëéÜÉêÉW (~ I ÄI Å ) oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I aI bI cI j 718. bèì~íáçå çÑ ~ péÜÉêÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇ cçêãF ñ O + ó O + ò O = oO

Figure 151.

719. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí (~ I ÄI Å )

(ñ − ~ )O + (ó − Ä)O + (ò − Å )O = o O 720. aá~ãÉíÉê cçêã (ñ − ñ N )(ñ − ñ O ) + (ó − ó N )(ó − ó O ) + (ò − òN )(ò − ò O ) = M I

189 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

ïÜÉêÉ mN (ñ N I ó N I ò N ) I mO (ñ O I ó O I ò O ) ~êÉ íÜÉ ÉåÇë çÑ ~ Çá~ãÉíÉêK 721. cçìê mçáåí cçêã ñO + óO + òO ñ ñ NO + ó NO + ñ NO ñ N ñ OO + ó OO + ñ OO ñ O ñ PO + ó PO + ñ PO ñ P ñ OQ + ó OQ + ñ OQ ñ Q

óN óO

òN N òO N = M

óP óQ

òP N òQ N

722. dÉåÉê~ä cçêã ^ñ O + ^ó O + ^ò O + añ + bó + cò + j = M E^ áë åçåòÉêçFK qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë (~ I ÄI Å ) I ïÜÉêÉ a b c ~=− I Ä=− I Å=− K O^ O^ O^ qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ áë aO + b O + c O − Q ^ O j o= K O^

190 http://fribok.blogspot.com/

Chapter 8

Differential Calculus

cìåÅíáçåëW ÑI ÖI óI ìI î ^êÖìãÉåí EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉFW ñ oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI Ç k~íìê~ä åìãÄÉêW å ^åÖäÉW α fåîÉêëÉ ÑìåÅíáçåW Ñ −N

8.1 Functions and Their Graphs 723. bîÉå cìåÅíáçå Ñ (− ñ ) = Ñ (ñ ) 724. lÇÇ cìåÅíáçå Ñ (− ñ ) = −Ñ (ñ ) 725. mÉêáçÇáÅ cìåÅíáçå Ñ (ñ + åq ) = Ñ (ñ ) 726. fåîÉêëÉ cìåÅíáçå ó = Ñ (ñ ) áë ~åó ÑìåÅíáçåI ñ = Ö (ó ) çê ó = Ñ −N (ñ ) áë áíë áåîÉêëÉ ÑìåÅíáçåK

191 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 152.

727. `çãéçëáíÉ cìåÅíáçå ó = Ñ (ì ) I ì = Ö (ñ ) I ó = Ñ (Ö (ñ )) áë ~ ÅçãéçëáíÉ ÑìåÅíáçåK 728. iáåÉ~ê cìåÅíáçå ó = ~ñ + Ä I ñ ∈ o I ~ = í~å α áë íÜÉ ëäçéÉ çÑ íÜÉ äáåÉI Ä áë íÜÉ ó-áåíÉêÅÉéíK

192 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 153.

729. nì~Çê~íáÅ cìåÅíáçå ó = ñO I ñ ∈o K

Figure 154.

193 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

730. ó = ~ñ O + Äñ + Å I ñ ∈ o K

Figure 155.

731. `ìÄáÅ cìåÅíáçå ó = ñP I ñ ∈o K

194 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 156.

732. ó = ~ñ P + Äñ O + Åñ + Ç I ñ ∈ o K

195 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 157.

733. mçïÉê cìåÅíáçå ó = ñ å I å∈ k K

196 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 158.

Figure 159.

197 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

734. pèì~êÉ oççí cìåÅíáçå ó = ñ I ñ ∈ [MI ∞ ) K

Figure 160.

735. bñéçåÉåíá~ä cìåÅíáçåë ó = ~ñ I ~ > M I ~ ≠ NI ó = É ñ áÑ ~ = É I É = OKTNUOUNUOUQSK

Figure 161.

198 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

736. içÖ~êáíÜãáÅ cìåÅíáçåë ó = äçÖ ~ ñ I ñ ∈ (MI ∞ ) I ~ > M I ~ ≠ N I ó = äå ñ áÑ ~ = É I ñ > M K

Figure 162.

737. eóéÉêÄçäáÅ páåÉ cìåÅíáçå Éñ − É−ñ I ñ ∈o K ó = ëáåÜ ñ I ëáåÜ ñ = O

199 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 163.

738. eóéÉêÄçäáÅ `çëáåÉ cìåÅíáçå Éñ + É−ñ I ñ ∈o K ó = Åçë Ü ñ I Åçë Ü ñ = O

Figure 164.

200 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

739. eóéÉêÄçäáÅ q~åÖÉåí cìåÅíáçå ëáåÜ ñ É ñ − É − ñ = I ñ ∈o K ó = í~åÜ ñ I ó = í~åÜ ñ = ÅçëÜ ñ É ñ + É − ñ

Figure 165.

740. eóéÉêÄçäáÅ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå ÅçëÜ ñ É ñ + É − ñ = I ñ ∈o I ñ ≠ M K ó = Åçí Ü ñ I ó = Åçí Ü ñ = ëáåÜ ñ É ñ − É − ñ

201 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 166.

741. eóéÉêÄçäáÅ pÉÅ~åí cìåÅíáçå N O ó = ëÉÅ Ü ñ I ó = ëÉÅ Ü ñ = = ñ −ñ I ñ ∈ o K ÅçëÜ ñ É + É

Figure 167.

202 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

742. eóéÉêÄçäáÅ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå N O = ñ −ñ I ñ ∈ o I ñ ≠ M K ó = ÅëÅÜ ñ I ó = ÅëÅÜ ñ = ëáåÜ ñ É − É

Figure 168.

743. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ páåÉ cìåÅíáçå ó = ~êÅëáåÜ ñ I ñ ∈ o K

203 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 169.

744. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çëáåÉ cìåÅíáçå ó = ~êÅÅçëÜ ñ I ñ ∈ [NI ∞ ) K

Figure 170.

745. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ q~åÖÉåí cìåÅíáçå ó = ~êÅí~åÜ ñ I ñ ∈ (− NI N) K

204 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 171.

746. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå ó = ~êÅÅçíÜ ñ I ñ ∈ (− ∞I − N) ∪ (NI ∞ ) K

205 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 172.

747. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ pÉÅ~åí cìåÅíáçå ó = ~êÅëÉÅÜ ñ I ñ ∈ (MI N] K

206 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 173.

748. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå ó = ~êÅÅëÅÜ ñ I ñ ∈ o I ñ ≠ M K

Figure 174.

207 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

8.2 Limits of Functions cìåÅíáçåëW Ñ (ñ ) I Ö(ñ ) ^êÖìãÉåíW ñ oÉ~ä Åçåëí~åíëW ~I â 749. äáã[Ñ (ñ ) + Ö(ñ )] = äáã Ñ (ñ ) + äáã Ö (ñ ) ñ →~

ñ →~

750. äáã[Ñ (ñ ) − Ö (ñ )] = äáã Ñ (ñ ) − äáã Ö (ñ ) ñ →~

ñ →~

751. äáã[Ñ (ñ ) ⋅ Ö (ñ )] = äáã Ñ (ñ ) ⋅ äáã Ö (ñ ) ñ →~

ñ →~

Ñ (ñ ) Ñ (ñ ) äáã = ñ →~ I áÑ äáã Ö (ñ ) ≠ M K ñ → ~ Ö (ñ ) ñ →~ äáã Ö (ñ )

752. äáã

ñ →~

753. äáã[âÑ (ñ )] = â äáã Ñ (ñ ) ñ →~

ñ →~

(

)

754. äáã Ñ (Ö (ñ )) = Ñ äáã Ö (ñ ) ñ →~

ñ →~

755. äáã Ñ (ñ ) = Ñ (~ ) I áÑ íÜÉ ÑìåÅíáçå Ñ (ñ ) áë Åçåíáåìçìë ~í ñ = ~ K ñ →~

ëáå ñ =N ñ →M ñ

756. äáã

757. äáã ñ →M

í~å ñ =N ñ

ëáå −N ñ =N ñ →M ñ

758. äáã

208 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

í~å −N ñ =N ñ →M ñ

759. äáã

äå(N + ñ ) =N ñ →M ñ

760. äáã

 N 761. äáã N +  = É ñ →∞  ñ ñ

 â 762. äáã N +  = É â ñ →∞  ñ 763. äáã ~ ñ = N ñ →M

8.3 Definition and Properties of the Derivative cìåÅíáçåëW ÑI ÖI óI ìI î fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñ oÉ~ä Åçåëí~åíW â ^åÖäÉW α Ñ (ñ + ∆ñ ) − Ñ (ñ ) ∆ó Çó = äáã = ∆ñ → M ∆ñ →M ∆ñ Çñ ∆ñ

764. ó′(ñ ) = äáã

209 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 175.

765.

Çó = í~å α Çñ

766.

Ç(ì + î ) Çì Çî = + Çñ Çñ Çñ

767.

Ç(ì − î ) Çì Çî = − Çñ Çñ Çñ

768.

Ç(âì ) Çì =â Çñ Çñ

769. mêçÇìÅí oìäÉ Ç(ì ⋅ î ) Çì Çî = ⋅î + ì⋅ Çñ Çñ Çñ

210 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

770. nìçíáÉåí oìäÉ Çì Çî ⋅î −ì⋅ Ç  ì  Çñ Çñ  = O Çñ  î  î 771. `Ü~áå oìäÉ ó = Ñ (Ö(ñ )) I ì = Ö(ñ ) I Çó Çó Çì = ⋅ K Çñ Çì Çñ 772. aÉêáî~íáîÉ çÑ fåîÉêëÉ cìåÅíáçå Çó N = I Çñ Çñ Çó ïÜÉêÉ ñ (ó ) áë íÜÉ áåîÉêëÉ ÑìåÅíáçå çÑ ó (ñ ) K 773. oÉÅáéêçÅ~ä oìäÉ Çó Ç  N   = − ÇñO Çñ  ó  ó 774. içÖ~êáíÜãáÅ aáÑÑÉêÉåíá~íáçå ó = Ñ (ñ ) I äå ó = äå Ñ (ñ ) I Çó Ç = Ñ (ñ ) ⋅ [äå Ñ (ñ )] K Çñ Çñ

8.4 Table of Derivatives fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñ oÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI Å k~íìê~ä åìãÄÉêW å

211 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

775.

Ç (` ) = M Çñ

776.

Ç (ñ ) = N Çñ

777.

Ç (~ñ + Ä) = ~ Çñ

778.

Ç (~ñ O + Äñ + Å ) = ~ñ + Ä Çñ

779.

Ç å ( ñ ) = åñ å −N Çñ

780.

Ç −å å ( ñ ) = − å +N ñ Çñ

781.

Ç N N  =− O Çñ  ñ  ñ

782.

Ç Çñ

( ñ ) = O Nñ

783.

Ç Çñ

( ñ )=

784.

Ç (äå ñ ) = N ñ Çñ

785.

Ç (äçÖ ~ ñ ) = N I ~ > M I ~ ≠ N K ñ äå ~ Çñ

å å ñ å −N

212 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

786.

Ç ñ ( ~ ) = ~ ñ äå ~ I ~ > M I ~ ≠ N K Çñ

787.

Ç ñ ( É ) = Éñ Çñ

788.

Ç (ëáå ñ ) = Åçë ñ Çñ

789.

Ç (Åçë ñ ) = − ëáå ñ Çñ

790.

Ç (í~å ñ ) = NO = ëÉÅ O ñ Åçë ñ Çñ

791.

Ç (Åçí ñ ) = − NO = − ÅëÅ O ñ ëáå ñ Çñ

792.

Ç (ëÉÅ ñ ) = í~å ñ ⋅ ëÉÅ ñ Çñ

793.

Ç (ÅëÅ ñ ) = − Åçí ñ ⋅ ÅëÅ ñ Çñ

794.

Ç (~êÅëáå ñ ) = N O Çñ N− ñ

795.

Ç (~êÅÅçë ñ ) = − N O Çñ N− ñ

796.

Ç (~êÅí~å ñ ) = N O N+ ñ Çñ

213 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

797.

Ç (~êÅ Åçí ñ ) = − N O N+ ñ Çñ

798.

Ç (~êÅ ëÉÅ ñ ) = NO Çñ ñ ñ −N

799.

Ç (~êÅ ÅëÅ ñ ) = − NO Çñ ñ ñ −N

800.

Ç (ëáåÜ ñ ) = ÅçëÜ ñ Çñ

801.

Ç (ÅçëÜ ñ ) = ëáåÜ ñ Çñ

802.

Ç (í~åÜ ñ ) = N O = ëÉÅÜ O ñ ÅçëÜ ñ Çñ

803.

Ç (ÅçíÜ ñ ) = − N O = −ÅëÅÜ O ñ ëáåÜ ñ Çñ

804.

Ç (ëÉÅÜ ñ ) = −ëÉÅÜ ñ ⋅ í~åÜ ñ Çñ

805.

Ç (ÅëÅÜ ñ ) = −ÅëÅÜ ñ ⋅ ÅçíÜ ñ Çñ

806.

Ç (~êÅëáåÜ ñ ) = NO Çñ ñ +N

807.

Ç (~êÅÅçëÜ ñ ) = ON Çñ ñ −N

214 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

808.

Ç (~êÅí~åÜ ñ ) = N O I ñ < N K Çñ N− ñ

809.

Ç (~êÅÅçíÜ ñ ) = − ON I ñ > N K Çñ ñ −N

810.

Ç î Çì Çî ( + ì î äå ì ⋅ ì ) = îì î −N ⋅ Çñ Çñ Çñ

8.5 Higher Order Derivatives cìåÅíáçåëW ÑI óI ìI î fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñ k~íìê~ä åìãÄÉêW å 811. pÉÅçåÇ ÇÉêáî~íáîÉ O  Çó  ′ Ç  Çó  Ç ó ′ Ñ ′′ = (Ñ ′) =   =  = O  Çñ  Çñ  Çñ  Çñ 812. eáÖÜÉê-lêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉ Çå ó (å ) Ñ = å = ó (å ) = (Ñ (å −N) ) ′ Çñ 813.

(ì + î )(å ) = ì (å ) + î (å )

814.

(ì − î )(å ) = ì(å ) − î (å )

815. iÉáÄåáíò∞ë cçêãìä~ë (ìî )′′ = ì′′î + Oì′î′ + ìî′′

215 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

(ìî )′′′ = ì′′′î + Pì′′î′ + Pì′î′′ + ìî′′′ (ìî )(å ) = ì (å ) î + åì (å−N) î ′ + å(å − N) ì (å−O) î ′′ + K + ìî (å ) N⋅ O

816.

(ñ )( ) = (ãã−>å)> ñ

817.

(ñ )( ) = å>

818.

å −N ( − N) (å − N)> (äçÖ ~ ñ ) = å

819.

å −N (äå ñ )(å ) = (− N) (åå − N)>

820.

(~ )( ) = ~ å

821.

(É )( ) = É

822.

(~ )( ) = ã ~

823.

(ëáå ñ )(å ) = ëáå ñ + åπ 

824.

(Åçë ñ )(å ) = Åçë ñ + åπ 

ã −å

(å )

ñ äå ~

ãñ

äå å ~

å ãñ



äå å ~

O 

216 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

8.6 Applications of Derivative cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ó mçëáíáçå çÑ ~å çÄàÉÅíW ë sÉäçÅáíóW î ^ÅÅÉäÉê~íáçåW ï fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñ qáãÉW í k~íìê~ä åìãÄÉêW å 825. sÉäçÅáíó ~åÇ ^ÅÅÉäÉê~íáçå ë = Ñ (í ) áë íÜÉ éçëáíáçå çÑ ~å çÄàÉÅí êÉä~íáîÉ íç ~ ÑáñÉÇ ÅççêÇáå~íÉ ëóëíÉã ~í ~ íáãÉ íI î = ë′ = Ñ ′(í ) áë íÜÉ áåëí~åí~åÉçìë îÉäçÅáíó çÑ íÜÉ çÄàÉÅíI ï = î′ = ë′′ = Ñ ′′(í ) áë íÜÉ áåëí~åí~åÉçìë ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ íÜÉ çÄàÉÅíK 826. q~åÖÉåí iáåÉ ó − ó M = Ñ ′(ñ M )(ñ − ñ M )

217 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 176.

827. kçêã~ä iáåÉ N (ñ − ñ M ) EcáÖ NTSF ó − óM = − Ñ ′(ñ M ) 828. fåÅêÉ~ëáåÖ ~åÇ aÉÅêÉ~ëáåÖ cìåÅíáçåëK fÑ Ñ ′(ñ M ) > M I íÜÉå ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ ~í ñ M K EcáÖ NTTI ñ < ñ N I ñ O < ñ FI fÑ Ñ ′(ñ M ) < M I íÜÉå ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í ñ M K EcáÖ NTTI ñ N < ñ < ñ O FI fÑ Ñ ′ (ñ M ) ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK

218 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 177.

829. içÅ~ä ÉñíêÉã~ ^ ÑìåÅíáçå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í ñ N áÑ ~åÇ çåäó áÑ íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ áåíÉêî~ä Åçåí~áåáåÖ ñ N ëìÅÜ íÜ~í Ñ (ñ N ) ≥ Ñ (ñ ) Ñçê ~ää ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä EcáÖKNTTFK

^ ÑìåÅíáçå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í ñ O áÑ ~åÇ çåäó áÑ íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ áåíÉêî~ä Åçåí~áåáåÖ ñ O ëìÅÜ íÜ~í Ñ (ñ O ) ≤ Ñ (ñ ) Ñçê ~ää ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä EcáÖKNTTFK 830. `êáíáÅ~ä mçáåíë ^ ÅêáíáÅ~ä éçáåí çå ÑEñF çÅÅìêë ~í ñ M áÑ ~åÇ çåäó áÑ ÉáíÜÉê Ñ ′ (ñ M ) áë òÉêç çê íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ ÇçÉëå∞í ÉñáëíK 831. cáêëí aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~K fÑ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E Ñ ′ (ñ ) > M F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä (~I ñ N ] ~åÇ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E Ñ ′ (ñ ) < M F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä [ñ N I Ä) I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í ñ N EcáÖKNTTFK

219 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

832. fÑ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E Ñ ′ (ñ ) < M F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä (~I ñ O ] ~åÇ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E Ñ ′ (ñ ) > M F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä [ñ O I Ä) I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í ñ O K EcáÖKNTTFK 833. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~K fÑ Ñ ′ (ñ N ) = M ~åÇ Ñ ′′(ñ N ) < M I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í ñ N K fÑ Ñ ′ (ñ O ) = M ~åÇ Ñ ′′(ñ O ) > M I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í ñ O K EcáÖKNTTF 834. `çåÅ~îáíóK ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í ñ M áÑ ~åÇ çåäó áÑ Ñ ′ (ñ ) áë áåÅêÉ~ëáåÖ ~í ñ M EcáÖKNTTI ñ P < ñ FK ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í ñ M áÑ ~åÇ çåäó áÑ Ñ ′ (ñ ) áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í ñ M K EcáÖKNTTI ñ < ñ P FK 835. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê `çåÅ~îáíóK fÑ Ñ ′′(ñ M ) > M I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í ñ M K fÑ Ñ ′′(ñ M ) < M I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í ñ M K fÑ Ñ ′′(ñ ) ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK 836. fåÑäÉÅíáçå mçáåíë fÑ Ñ ′ (ñ P ) Éñáëíë ~åÇ Ñ ′′(ñ ) ÅÜ~åÖÉë ëáÖå ~í ñ = ñ P I íÜÉå íÜÉ éçáåí (ñ P I Ñ (ñ P )) áë ~å áåÑäÉÅíáçå éçáåí çÑ íÜÉ Öê~éÜ çÑ Ñ (ñ ) K fÑ Ñ ′′(ñ P ) Éñáëíë ~í íÜÉ áåÑäÉÅíáçå éçáåíI íÜÉå Ñ ′′(ñ P ) = M EcáÖKNTTFK 837. i∞eçéáí~ä∞ë oìäÉ M Ñ ′(ñ ) Ñ (ñ ) = äáã áÑ äáã Ñ (ñ ) = äáã Ö (ñ ) =  K äáã ñ → Å Ö (ñ ) ñ →Å Ö ′(ñ ) ñ →Å ñ →Å ∞

220 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

8.7 Differential cìåÅíáçåëW ÑI ìI î fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñ aÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ó ′(ñ ) I Ñ ′(ñ ) oÉ~ä Åçåëí~åíW ` aáÑÑÉêÉåíá~ä çÑ ÑìåÅíáçå ó = Ñ (ñ ) W Çó aáÑÑÉêÉåíá~ä çÑ ñW Çñ pã~ää ÅÜ~åÖÉ áå ñW ∆ñ pã~ää ÅÜ~åÖÉ áå óW ∆ó 838. Çó = ó ′Çñ 839. Ñ (ñ + ∆ñ ) = Ñ (ñ ) + Ñ ′(ñ )∆ñ

Figure 178.

221 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

840. pã~ää `Ü~åÖÉ áå ó ∆ó = Ñ (ñ + ∆ñ ) − Ñ (ñ ) 841. Ç(ì + î ) = Çì + Çî 842. Ç(ì − î ) = Çì − Çî 843. Ç(`ì ) = `Çì 844. Ç(ìî ) = îÇì + ìÇî

 ì  îÇì − ìÇî 845. Ç  = îO î

8.8 Multivariable Functions cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ò (ñ I ó ) I Ñ (ñ I ó ) I Ö (ñ I ó ) I Ü(ñ I ó ) ^êÖìãÉåíëW ñI óI í pã~ää ÅÜ~åÖÉë áå ñI óI òI êÉëéÉÅíáîÉäóW ∆ñ I ∆ó I ∆ò K

846. cáêëí lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉë qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ñ ∂Ñ ∂ò = Ñ ñ E~äëç = ò ñ FI ∂ñ ∂ñ qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ó ∂Ñ ∂ò = Ñ ó E~äëç = ò ó FK ∂ó ∂ó

222 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

847. pÉÅçåÇ lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉë ∂  ∂Ñ  ∂ OÑ = Ñ ññ I  = ∂ñ  ∂ñ  ∂ñ O ∂  ∂Ñ  ∂ OÑ  = = Ñ óó I ∂ó  ∂ó  ∂ó O

∂  ∂Ñ  ∂ OÑ = Ñ ñó I  = ∂ó  ∂ñ  ∂ó∂ñ ∂  ∂Ñ  ∂ OÑ  = = Ñ óñ K ∂ñ  ∂ó  ∂ñ∂ó fÑ íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉë ~êÉ ÅçåíáåìçìëI íÜÉå ∂ OÑ ∂ OÑ = K ∂ó∂ñ ∂ñ∂ó

848. `Ü~áå oìäÉë fÑ Ñ (ñ I ó ) = Ö(Ü(ñ I ó )) EÖ áë ~ ÑìåÅíáçå çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉ ÜFI íÜÉå ∂Ü ∂Ñ ∂Ü ∂Ñ = Ö′(Ü(ñ I ó )) I = Ö′(Ü(ñ I ó )) K ∂ñ ∂ó ∂ñ ∂ó

fÑ Ü(í ) = Ñ (ñ (í )I ó (í )) I íÜÉå Ü′(í ) =

∂Ñ Çñ ∂Ñ Çó + K ∂ñ Çí ∂ó Çí

fÑ ò = Ñ (ñ (ìI î )I ó (ìI î )) I íÜÉå ∂ò ∂Ñ ∂ñ ∂Ñ ∂ó ∂ò ∂Ñ ∂ñ ∂Ñ ∂ó = + K + = I ∂ì ∂ñ ∂ì ∂ó ∂ì ∂î ∂ñ ∂î ∂ó ∂î 849. pã~ää `Ü~åÖÉë ∂Ñ ∂Ñ ∆ò ≈ ∆ñ + ∆ó ∂ó ∂ñ

223 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

850. içÅ~ä j~ñáã~ ~åÇ jáåáã~ Ñ (ñ I ó ) Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í (ñ M I ó M ) áÑ Ñ (ñ I ó ) ≤ Ñ (ñ M I ó M ) Ñçê ~ää (ñ I ó ) ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç (ñ M I ó M ) K

Ñ (ñ I ó ) Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í (ñ M I ó M ) áÑ Ñ (ñ I ó ) ≥ Ñ (ñ M I ó M ) Ñçê ~ää (ñ I ó ) ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç (ñ M I ó M ) K 851. pí~íáçå~êó mçáåíë ∂Ñ ∂Ñ =MK = ∂ñ ∂ó içÅ~ä ã~ñáã~ ~åÇ äçÅ~ä ãáåáã~ çÅÅìê ~í ëí~íáçå~êó éçáåíëK 852. p~ÇÇäÉ mçáåí ^ ëí~íáçå~êó éçáåí ïÜáÅÜ áë åÉáíÜÉê ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã åçê ~ äçÅ~ä ãáåáãìã 853. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê pí~íáçå~êó mçáåíë ∂Ñ ∂Ñ iÉí (ñ M I ó M ) ÄÉ ~ ëí~íáçå~êó éçáåí E = = M FK ∂ñ ∂ó Ñ ññ (ñ M I ó M ) Ñ ñó (ñ M I ó M ) K a= Ñ óñ (ñ M I ó M ) Ñ óó (ñ M I ó M )

fÑ fÑ fÑ fÑ

a > M I Ñ ññ (ñ M I ó M ) > M I (ñ M I ó M ) áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ãáåáã~K a > M I Ñ ññ (ñ M I ó M ) < M I (ñ M I ó M ) áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ã~ñáã~K a < M I (ñ M I ó M ) áë ~ ë~ÇÇäÉ éçáåíK a = M I íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK

854. q~åÖÉåí mä~åÉ qÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ í~åÖÉåí éä~åÉ íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ò = Ñ (ñ I ó ) ~í (ñ M I ó M I ò M ) áë ò − ò M = Ñ ñ (ñ M I ó M )(ñ − ñ M ) + Ñ ó (ñ M I ó M )(ó − ó M ) K

224 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

855. kçêã~ä íç pìêÑ~ÅÉ qÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ åçêã~ä íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ò = Ñ (ñ I ó ) ~í (ñ M I ó M I ò M ) áë ñ − ñM ó − óM ò − òM = = K Ñ ñ ( ñ M I ó M ) Ñ ó (ñ M I ó M ) −N

8.9 Differential Operators r r r råáí îÉÅíçêë ~äçåÖ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ ~ñÉëW á I à I â pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåë EëÅ~ä~ê ÑáÉäÇëFW Ñ (ñ I ó I ò ) I ì(ñ N I ñ O I KI ñ å ) dê~ÇáÉåí çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑáÉäÇW Öê~Ç ì I ∇ì ∂Ñ aáêÉÅíáçå~ä ÇÉêáî~íáîÉW ∂ä r sÉÅíçê ÑìåÅíáçå EîÉÅíçê ÑáÉäÇFW c (mI nI o ) r r aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Çáî c I ∇ ⋅ c r r `ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Åìêä c I ∇ × c i~éä~Åá~å çéÉê~íçêW ∇ O 856. dê~ÇáÉåí çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå  ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ  Öê~Ç Ñ = ∇Ñ =  I I  I  ∂ñ ∂ó ∂ò   ∂ì ∂ì ∂ì  K Öê~Ç ì = ∇ì =  I IKI ∂ñ å   ∂ñ N ∂ñ O

857. aáêÉÅíáçå~ä aÉêáî~íáîÉ ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ = Åçë α + Åçë β + Åçë γ I ∂ó ∂ò ∂ä ∂ñ

225 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

ïÜÉêÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå áë ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê r ä (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) I Åçë O α + Åçë O β + Åçë O γ = N K 858. aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ r r ∂m ∂n ∂o + + Çáî c = ∇ ⋅ c = ∂ñ ∂ó ∂ò 859. `ìêä çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ r r á à r r ∂ ∂ Åìêä c = ∇ × c = ∂ñ ∂ñ m n

r â ∂ ∂ñ o

 ∂o ∂n  r  ∂m ∂o  r  ∂n ∂m  r  á +  − =  − − â  à +   ∂ó ∂ò   ∂ò ∂ñ   ∂ñ ∂ó 

860. i~éä~Åá~å léÉê~íçê ∂ OÑ ∂ OÑ ∂ OÑ ∇ OÑ = O + O + O ∂ò ∂ó ∂ñ

(

)

(

)

r r 861. Çáî Åìêä c = ∇ ⋅ ∇ × c ≡ M 862. Åìêä(Öê~Ç Ñ ) = ∇ × (∇Ñ ) ≡ M 863. Çáî (Öê~Ç Ñ ) = ∇ ⋅ (∇Ñ ) = ∇ OÑ

(

)

(

)

( )

r r r r r 864. Åìêä Åìêä c = Öê~Ç Çáî c − ∇ Oc = ∇ ∇ ⋅ c − ∇ Oc

226 http://fribok.blogspot.com/

Chapter 9

Integral Calculus

cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ìI î fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëW ñI íI ξ fåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ∫ Ñ (ñ )Çñ I ∫ Ö (ñ )Çñ I £

aÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ó ′(ñ ) I Ñ ′(ñ ) I c′(ñ ) I £ oÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI ÅI ÇI â k~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI åI áI à

9.1 Indefinite Integral 865.

∫ Ñ (ñ )Çñ = c(ñ ) + ` áÑ c′(ñ ) = Ñ (ñ ) K

866.

(∫ Ñ (ñ )Çñ ) ′= Ñ (ñ )

867.

∫ âÑ (ñ )Çñ = â ∫ Ñ (ñ )Çñ

868.

∫ [Ñ (ñ ) + Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ö(ñ )Çñ

869.

∫ [Ñ (ñ ) − Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ − ∫ Ö(ñ )Çñ

870.

∫ Ñ (~ñ )Çñ = ~ c(~ñ ) + `

227 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

871.

∫ Ñ (~ñ + Ä)Çñ = ~ c(~ñ + Ä) + `

872.

N ∫ Ñ (ñ )Ñ ′(ñ )Çñ = O Ñ (ñ ) + `

873.

∫ Ñ (ñ ) Çñ = äå Ñ (ñ ) + `

Ñ ′(ñ )

874. jÉíÜçÇ çÑ pìÄëíáíìíáçå ∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (ì(í ))ì′(í )Çí áÑ ñ = ì(í ) K 875. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë ∫ ìÇî = ìî − ∫ îÇì I

ïÜÉêÉ ì(ñ ) I î (ñ ) ~êÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåëK

9.2 Integrals of Rational Functions 876.

∫ ~Çñ = ~ñ + `

877.

∫ ñÇñ =

878.

O ∫ ñ Çñ =

ñP +` P

879.

é ∫ ñ Çñ =

ñ é +N + ` I é ≠ −N K é+N

ñO +` O

228 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

880.

å +N ( ~ñ + Ä) ∫ (~ñ + Ä) Çñ = ~(å + N) + ` I å ≠ −N K

881.

∫

882.

∫ ~ñ + Ä = ~ äå ~ñ + Ä + `

883.

∫ Åñ + Ç Çñ = Å ñ +

884.

∫ (ñ + ~ )(ñ + Ä) = ~ − Ä äå ñ + ~ + ` I ~ ≠ Ä K

885.

N ñÇñ ∫ ~ + Äñ = Ä (~ + Äñ − ~ äå ~ + Äñ ) + `

886.

ñ OÇñ N N  O O ∫ ~ + Äñ = ÄP  O (~ + Äñ ) − O~(~ + Äñ ) + ~ äå ~ + Äñ  + `

887.

∫ ñ (~ + Äñ ) = ~ äå

888.

∫ ñ (~ + Äñ ) = − ~ñ + ~

889.

∫ (~ + Äñ )

Çñ = äå ñ + ` ñ Çñ

~ñ + Ä

Çñ

ÄÅ − ~Ç äå Åñ + Ç + ` ÅO ñ+Ä

Çñ

~ + Äñ +` ñ

ñÇñ

Ä O

äå

~ + Äñ +` ñ

N ~  äå ~ + Äñ + +` O  Ä  ~ + Äñ 

229 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

890.

~O  ñ OÇñ N  +` = + − + − ~ Äñ O ~ äå ~ Äñ ∫ (~ + Äñ )O ÄP  ~ + Äñ 

891.

∫ ñ (~ + Äñ )

892.

∫ñ

893.

∫ N− ñ

894.

∫~

895.

∫ñ

896.

∫ N+ ñ

897.

∫~

898.

∫ñ

899.

∫ ~ + Äñ

Çñ

N N ~ + Äñ + O äå +` ~ (~ + Äñ ) ~ ñ

Çñ N ñ −N +` = äå −N O ñ +N

Çñ

N N+ ñ = äå +` O N− ñ

Çñ N ~+ñ +` = äå O O~ ~ − ñ −ñ ñ−~ Çñ N +` = äå O O~ ñ + ~ −~

Çñ

= í~å −N ñ + `

Çñ ñ N = í~å −N + ` O ~ ~ +ñ

ñÇñ N = äå(ñ O + ~ O ) + ` O +~ O Çñ

 Ä N  + ` I ~Ä > M K ~êÅí~å ñ  ~ ~Ä  

230 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ñÇñ

~ N äå ñ O + + ` Ä OÄ

900.

∫ ~ + Äñ

901.

ñO Çñ N = äå ∫ ñ (~ + Äñ O ) O~ ~ + Äñ O + `

902.

∫~

Çñ N ~ + Äñ = äå +` O O −Ä ñ O~Ä ~ − Äñ

O~ñ + Ä − ÄO − Q~Å Çñ N 903. ∫ O = +`I äå ~ñ + Äñ + Å ÄO − Q~Å O~ñ + Ä + ÄO − Q~Å

ÄO − Q~Å > M K 904.

O~ñ + Ä Çñ O = +` I ~êÅí~å + Äñ + Å Q~Å − ÄO Q~Å − ÄO ÄO − Q~Å < M K

∫ ~ñ

9.3 Integrals of Irrational Functions 905.

∫

Çñ O ~ñ + Ä + ` = ~ñ + Ä ~

906.

∫

~ñ + Ä Çñ =

907.

∫

ñÇñ O(~ñ − OÄ) = ~ñ + Ä + ` P~ O ~ñ + Ä

P O (~ñ + Ä) O + ` P~

231 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

908.

909.

910.

∫ñ

~ñ + Ä Çñ =

P O(P~ñ − OÄ) (~ñ + Ä) O + ` O NR~

~ñ + Ä − Ä − ~Å Çñ N äå = +`I ~ñ + Ä + Ä − ~Å ~ñ + Ä Ä − ~Å Ä − ~Å > M K

∫ (ñ + Å )

~ñ + Ä Çñ N ~êÅí~å = +`I ~Å − Ä ~ñ + Ä ~Å − Ä Ä − ~Å < M K

∫ (ñ + Å )

911.

∫

~ñ + Ä N (~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) − Çñ = Åñ + Ç Å ~Ç − ÄÅ äå ~ (Åñ + Ç ) + Å(~ñ + Ä) + ` I ~ > M K − Å ~Å

912.

∫

~ñ + Ä N Çñ = Åñ + Ç Å

−

913.

~ (Åñ + Ç ) ~Ç − ÄÅ ~êÅí~å + ` I E ~ < M I Å > M FK Å(~ñ + Ä) Å ~Å

O ∫ ñ ~ + Äñ Çñ =

914.

∫

915.

∫ñ

(~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) −

O(U~ O − NO~Äñ + NRÄO ñ O ) NMRÄP

(~ + Äñ )P + `

ñ OÇñ O(U~ O − Q~Äñ + PÄO ñ O ) = ~ + Äñ + ` NRÄP ~ + Äñ

Çñ N ~ + Äñ − ~ = äå +`I ~ >MK ~ + Äñ ~ ~ + Äñ + ~

232 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Çñ O ~ + Äñ = ~êÅí~å +`I ~ <MK −~ ~ + Äñ −~

916.

∫ñ

917.

∫

~−ñ Çñ = Ä+ ñ

918.

∫

~+ñ Ä−ñ Çñ = − (~ + ñ )(Ä − ñ ) − (~ + Ä)~êÅëáå +` Ä−ñ ~+Ä

919.

∫

N+ ñ Çñ = − N − ñ O + ~êÅëáå ñ + ` N− ñ

920.

∫ (ñ − ~ )(Ä − ~ ) = O ~êÅëáå

921.

∫

922.

∫

(~ − ñ )(Ä + ñ ) + (~ + Ä)~êÅëáå

Çñ

∫

924.

∫

ñ −~ +` Ä−~

OÅñ − Ä ~ + Äñ − Åñ O + QÅ ÄO − Q~Å OÅñ − Ä + ~êÅëáå +` U ÅP ÄO + Q~Å

~ + Äñ − Åñ O Çñ =

Çñ

~ñ O + Äñ + Å ~ > MK

923.

ñ+Ä +` ~+Ä

Çñ ~ñ + Äñ + Å O

ñ O + ~ O Çñ =

N äå O~ñ + Ä + O ~ (~ñ O + Äñ + Å ) + ` I ~

=−

N O~ñ + Ä O ~êÅëáå Ä − Q~Å + ` I ~ < M K Q~ ~

ñ O O ~O ñ + ~ + äå ñ + ñ O + ~ O + ` O O

233 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

925.

∫ñ

926.

∫ñ

ñ O + ~ O Çñ =

−

927.

∫

928.

∫

929.

∫

930.

∫

931.

∫

932.

∫ñ

933.

∫

934.

∫ñ

N O O PO (ñ + ~ ) + ` P ñ ( Oñ O + ~ O ) ñ O + ~ O − U

~Q äå ñ + ñ O + ~ O + ` U

ñ O + ~O ñ O + ~O Çñ = − + äå ñ + ñ O + ~ O + ` ñO ñ Çñ ñ +~ O

= äå ñ + ñ O + ~ O + `

ñ O + ~O ñ Çñ = ñ O + ~ O + ~ äå +` ñ ~ + ñ O + ~O ñÇñ ñ +~ O

ñ OÇñ ñ O + ~O

= ñ O + ~O + `

ñ O O ~O ñ + ~ − äå ñ + ñ O + ~ O + ` O O

Çñ

N ñ = äå +` ñ O + ~O ~ ~ + ñ O + ~O

ñ O − ~ O Çñ =

ñ O O ~O ñ − ~ − äå ñ + ñ O − ~ O + ` O O

ñ O − ~ O Çñ =

N O O PO (ñ − ~ ) + ` P

234 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫

ñO − ~O ~ Çñ = ñ O − ~ O + ~ ~êÅëáå + ` ñ ñ

936.

∫

ñO − ~O ñ O − ~O Çñ =− + äå ñ + ñ O − ~ O + ` O ñ ñ

937.

∫

938.

∫

935.

Çñ ñ −~ O

= äå ñ + ñ O − ~ O + `

ñÇñ ñ −~ O

= ñO − ~O + `

ñ OÇñ

ñ O O ~O = ñ − ~ + äå ñ + ñ O − ~ O + ` O O O O ñ −~

939.

∫

940.

∫ñ

941.

∫ (ñ + ~ )

942.

∫ (ñ − ~ )

Çñ

N ~ = − ~êÅëáå + ` ~ ñ ñ −~ O

Çñ ñ O − ~O

Çñ ñ −~ O

Çñ

943.

∫ñ

944.

∫ (ñ

ñ O − ~O

Çñ

− ~O ) O P

=−

N ñ −~ +` ~ ñ+~

=−

N ñ+~ +` ~ ñ −~

ñ O − ~O +` ~Oñ

ñ ~O ñ O − ~O

235 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

945.

∫ (ñ

− ~ O ) O Çñ = − P

ñ ( Oñ O − R~ O ) ñ O − ~ O + U

P~ Q + äå ñ + ñ O − ~ O + ` U ñ O ~O ñ ~ − ñ O + ~êÅëáå + ` O ~ O

946.

∫

947.

O O ∫ ñ ~ − ñ Çñ = −

948.

O O O ∫ ñ ~ − ñ Çñ =

~ O − ñ O Çñ =

P N O ( ~ − ñO ) O + ` P

ñ ~Q ñ ( Oñ O − ~ O ) ~ O − ñ O + ~êÅëáå + ` U U ~

∫

~O − ñ O ñ Çñ = ~ O − ñ O + ~ äå +` ñ ~ + ~O − ñ O

950.

∫

~O − ñO ~O − ñO ñ Çñ = − − ~êÅëáå + ` O ñ ñ ~

951.

∫

952.

∫

953.

∫

949.

954.

∫

Çñ

= ~êÅëáå ñ + `

N− ñO Çñ

~O − ñO

ñÇñ ~ −ñ O

ñ OÇñ ~O − ñ O

= ëáå

ñ +` ~

= − ~O − ñ O + `

=−

ñ O ~O ñ ~ − ñ O + ~êÅëáå + ` O O ~

236 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Çñ

955.

∫ (ñ + ~ )

956.

∫ (ñ − ~ )

~O − ñ O

Çñ ~O − ñ O

Çñ

957.

∫ (ñ + Ä )

958.

∫ (ñ + Ä )

~O − ñ O

Çñ ~ −ñ O

=−

N ~−ñ +` O ~+ñ

=−

N ~+ñ +` O ~−ñ N

ÄO − ~ O

~ −Ä O

~êÅëáå

äå

Äñ + ~ O +`I Ä>~ K ~ (ñ + Ä )

ñ+Ä ~ −Ä O

~ O − ñ O + ~ O + Äñ

Ä<~ K

Çñ

959.

∫ñ

960.

∫ (~

961.

∫ (~

~O − ñO

− ñ O ) O Çñ = P

Çñ O

=−

−ñ

)

= O

~O − ñO +` ~Oñ

ñ O P~ Q ñ ( R~ − Oñ O ) ~ O − ñ O + ~êÅëáå + ` U U ~ ñ

~O ~O − ñ O

9.4 Integrals of Trigonometric Functions 962.

∫ ëáå ñÇñ = − Åçë ñ + `

963.

∫ Åçë ñÇñ = ëáå ñ + ` 237 http://fribok.blogspot.com/

+ `I

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ñ Çñ =

ñ N − ëáå Oñ + ` O Q

ñ Çñ =

ñ N + ëáå Oñ + ` O Q

964.

∫ ëáå

965.

∫ Åçë

966.

∫ ëáå

967.

∫ Åçë

968.

∫ ëáå ñ = ∫ ÅëÅ ñ Çñ = äå í~å O + `

969.

∫ Åçë ñ = ∫ ëÉÅ ñ Çñ = äå í~å O + Q  + `

970.

∫ ëáå

971.

∫ Åçë

972.

∫ ëáå

973.

∫ Åçë

974.

∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = − Q Åçë Oñ + `

N N P ñ Çñ = ÅçëP ñ − Åçë ñ + ` = Åçë Pñ − Åçë ñ + ` NO Q P

N N P ñ Çñ = ëáå ñ − ëáå P ñ + ` = ëáå Pñ + ëáå ñ + ` P NO Q

Çñ

ñ

Çñ O

= ∫ ÅëÅ O ñ Çñ = − Åçí ñ + `

= ∫ ëÉÅ O ñ Çñ = í~å ñ + `

= ∫ ÅëÅ P ñ Çñ = −

= ∫ ëÉÅ P ñ Çñ =

Çñ O

Çñ P

π

Åçë ñ N ñ + äå í~å + ` O O ëáå ñ O O

ëáå ñ N  ñ π + äå í~å + +` O O Åçë ñ O O Q

238 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

N ñ Åçë ñ Çñ = ëáå P ñ + ` P

975.

∫ ëáå

976.

∫ ëáå ñ Åçë

977.

∫ ëáå

978.

∫ í~å ñÇñ = − äå Åçë ñ + `

979.

∫ Åçë

980.

ëáå O ñ  ñ π ∫ Åçë ñ Çñ = äå í~å O + Q  − ëáå ñ + `

981.

∫ í~å

982.

∫ Åçí ñÇñ = äå ëáå ñ + `

983.

∫ ëáå

N ñ Çñ = − ÅçëP ñ + ` P

ñ Åçë O ñ Çñ =

ñ N − ëáå Q ñ + ` U PO

ëáå ñ N + ` = ëÉÅ ñ + ` Çñ = O ñ Åçë ñ

ñ Çñ = í~å ñ − ñ + `

Åçë ñ N + ` = − ÅëÅ ñ + ` Çñ = − O ñ ëáå ñ

Åçë O ñ ñ Çñ = äå í~å + Åçë ñ + ` 984. ∫ ëáå ñ O

985.

∫ Åçí

986.

∫ Åçë ñ ëáå ñ = äå í~å ñ + `

ñ Çñ = − Åçí ñ − ñ + `

Çñ

239 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Çñ N  ñ π =− + äå í~å +  + ` ñ Åçë ñ ëáå ñ O Q

987.

∫ ëáå

988.

∫ ëáå ñ Åçë

989.

∫ ëáå

990.

∫ ëáå ãñ ëáå åñ Çñ = − O(ã + å)

Çñ

N ñ + äå í~å + ` Åçë ñ O

Çñ = í~å ñ − Åçí ñ + ` ñ Åçë O ñ ëáå(ã + å )ñ

ëáå(ã − å )ñ +`I O(ã − å )

−

Åçë(ã − å )ñ +`I O(ã − å )

ãO ≠ åO K 991.

Åçë(ã + å )ñ

∫ ëáå ãñ Åçë åñ Çñ = − O(ã + å) ãO ≠ åO K

992.

ëáå(ã + å )ñ

∫ Åçë ãñ Åçë åñ Çñ = O(ã + å)

ëáå(ã − å )ñ +`I O(ã − å )

ãO ≠ åO K 993.

∫ ëÉÅ ñ í~å ñÇñ = ëÉÅ ñ + `

994.

∫ ÅëÅ ñ Åçí ñÇñ = − ÅëÅ ñ + `

995.

å ∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = −

Åçë å+N ñ +` å +N

ëáå å +N ñ 996. ∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = +` å +N å

240 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

997.

∫ ~êÅëáå ñ Çñ = ñ ~êÅëáå ñ +

N− ñO + `

998.

∫ ~êÅÅçë ñ Çñ = ñ ~êÅÅçë ñ −

N− ñO + `

999.

∫ ~êÅí~å ñ Çñ = ñ ~êÅí~å ñ − O äå(ñ N

+ N) + `

N 1000. ∫ ~êÅ Åçí ñ Çñ = ñ ~êÅ Åçí ñ + äå(ñ O + N) + ` O

9.5 Integrals of Hyperbolic Functions 1001. ∫ ëáåÜ ñÇñ = ÅçëÜ ñ + ` 1002. ∫ ÅçëÜ ñÇñ = ëáåÜ ñ + ` 1003. ∫ í~åÜ ñ Çñ = äå ÅçëÜ ñ + ` 1004. ∫ ÅçíÜ ñ Çñ = äå ëáåÜ ñ + ` 1005. ∫ ëÉÅÜ O ñÇñ = í~åÜ ñ + ` 1006. ∫ ÅëÅÜ O ñÇñ = − ÅçíÜ ñ + ` 1007. ∫ ëÉÅÜñ í~åÜ ñÇñ = −ëÉÅÜñ + `

241 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1008. ∫ ÅëÅÜñ ÅçíÜ ñÇñ = −ÅëÅÜñ + `

9.6 Integrals of Exponential and Logarithmic Functions 1009. ∫ É ñ Çñ = É ñ + `

~ñ 1010. ∫ ~ Çñ = +` äå ~ ñ

1011. ∫ É ~ñ Çñ =

É ~ñ +` ~

1012. ∫ ñÉ ~ñ Çñ =

É ~ñ (~ñ − N) + ` ~O

1013. ∫ äå ñ Çñ = ñ äå ñ − ñ + ` 1014.

Çñ

∫ ñ äå ñ = äå äå ñ + `

 äå ñ N  1015. ∫ ñ å äå ñ Çñ = ñ å +N  − +` O  å + N (å + N) 

1016. ∫ É ~ñ ëáå Äñ Çñ =

~ ëáå Äñ − Ä Åçë Äñ ~ñ É +` ~ O + ÄO

242 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1017. ∫ É ~ñ Åçë Äñ Çñ =

~ Åçë Äñ + Ä ëáå Äñ ~ñ É +` ~ O + ÄO

9.7 Reduction Formulas 1018. ∫ ñ å É ãñ Çñ = 1019.

N å ãñ å ñ É − ∫ ñ å −NÉ ãñ Çñ ã ã

É ãñ É ãñ ã É ãñ Çñ = − + Çñ I å ≠ N K ∫ ñå (å − N)ñ å−N å − N ∫ ñ å−N

1020. ∫ ëáåÜ å ñÇñ = 1021.

Çñ

∫ ëáåÜ

=−

1022. ∫ ÅçëÜ å ñÇñ = 1023.

Çñ

∫ ÅçëÜ

=−

N å −N ëáåÜ å −N ñ ÅçëÜ ñ − ëáåÜ å −O ñÇñ ∫ å å ÅçëÜ ñ å−O Çñ − I å ≠NK å −N ∫ (å − N) ëáåÜ ñ å − N ëáåÜ å−O ñ N å −N ëáåÜ ñ ÅçëÜ å −N ñ ÅçëÜ ñ + ÅçëÜ å −O ñÇñ ∫ å å ëáåÜ ñ å−O Çñ + I å ≠NK å −N ∫ (å − N) ÅçëÜ ñ å − N ÅçëÜ å−O ñ

ëáåÜ å +N ñ ÅçëÜ ã −N ñ 1024. ∫ ëáåÜ ñ ÅçëÜ ñÇñ = å+ã ã −N + ëáåÜ å ñ ÅçëÜ ã −O ñÇñ ∫ å+ã å

1025. ∫ ëáåÜ å ñ ÅçëÜ ã ñÇñ =

ëáåÜ å −N ñ ÅçëÜ ã +N ñ å+ã

243 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

å −N ëáåÜ å −O ñ ÅçëÜ ã ñÇñ ∫ å+ã

−

1026. ∫ í~åÜ å ñÇñ = −

N í~åÜ å −N ñ + ∫ í~åÜ å −O ñÇñ I å ≠ N K å −N

1027. ∫ ÅçíÜ å ñÇñ = −

N ÅçíÜ å −N ñ + ∫ ÅçíÜ å − O ñÇñ I å ≠ N K å −N

ëÉÅÜ å −O ñ í~åÜ ñ å − O 1028. ∫ ëÉÅÜ ñÇñ = + ëÉÅÜ å −O ñÇñ I å ≠ N K ∫ å −N å −N å

N å −N 1029. ∫ ëáå å ñÇñ = − ëáå å −N ñ Åçë ñ + ëáå å −O ñÇñ ∫ å å 1030.

Çñ

∫ ëáå

=−

1031. ∫ Åçë å ñÇñ = 1032.

Çñ

∫ Åçë

Åçë ñ å−O Çñ + I å ≠NK å −N ∫ (å − N) ëáå ñ å − N ëáå å−O ñ å −N N ëáå ñ Åçë å −N ñ + Åçë å −O ñÇñ ∫ å å

ëáå ñ å−O Çñ + I å ≠NK å −N ∫ (å − N) Åçë ñ å − N Åçë å−O ñ

1033. ∫ ëáå å ñ Åçë ã ñÇñ =

ëáå å+N ñ Åçë ã −N ñ å+ã

ã −N ëáå å ñ Åçë ã −O ñÇñ å+ã∫

1034. ∫ ëáå å ñ Åçë ã ñÇñ = −

ëáå å −N ñ Åçë ã +N ñ å+ã

244 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

å −N ëáå å −O ñ Åçë ã ñÇñ ∫ å+ã

1035. ∫ í~å å ñÇñ =

N í~å å −N ñ − ∫ í~å å −O ñÇñ I å ≠ N K å −N

1036. ∫ Åçí å ñÇñ = −

N Åçí å −N ñ − ∫ Åçí å−O ñÇñ I å ≠ N K å −N

ëÉÅ å −O ñ í~å ñ å − O 1037. ∫ ëÉÅ ñÇñ = + ëÉÅ å −O ñÇñ I å ≠ N K ∫ å −N å −N å

1038. ∫ ÅëÅ å ñÇñ = −

ÅëÅ å −O ñ Åçí ñ å − O + ÅëÅ å −O ñÇñ I å ≠ N K ∫ å −N å −N

1039. ∫ ñ å äå ã ñÇñ = 1040.

ñ å +N äå ã ñ ã − ñ å äå ã −N ñÇñ å +N å +N ∫

äå ã ñ äå ã ñ ã äå ã −N ñ Çñ = − + Çñ I å ≠ N K ∫ ñå (å − N)ñ å−N å − N ∫ ñ å

1041. ∫ äå å ñÇñ = ñ äå å ñ − å ∫ äå å −N ñÇñ 1042. ∫ ñ å ëáåÜ ñÇñ = ñ å ÅçëÜ ñ − å ∫ ñ å −N ÅçëÜ ñÇñ 1043. ∫ ñ å ÅçëÜ ñÇñ = ñ å ëáåÜ ñ − å ∫ ñ å −N ëáåÜ ñÇñ 1044. ∫ ñ å ëáå ñÇñ = − ñ å Åçë ñ + å ∫ ñ å −N Åçë ñÇñ 1045. ∫ ñ å Åçë ñÇñ = ñ å ëáå ñ − å ∫ ñ å −N ëáå ñÇñ

245 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1046. ∫ ñ å ëáå −N ñÇñ =

ñ å +N N ñ å +N ëáå −N ñ − Çñ å +N å + N ∫ N− ñO

1047. ∫ ñ å Åçë −N ñÇñ =

ñ å +N N ñ å +N Åçë −N ñ + Çñ å +N å + N ∫ N− ñO

1048. ∫ ñ å í~å −N ñÇñ =

N ñ å +N ñ å +N Çñ í~å −N ñ − å +N å + N ∫ N+ ñO

ñ å Çñ ñ Ä Çñ 1049. ∫ å = − ∫ å ~ñ + Ä ~ ~ ~ñ + Ä 1050.

∫ (~ñ

1051.

∫ (ñ

1052.

Çñ

+~ å ≠NK

∫ (ñ

Çñ

− O~ñ − Ä

(å − N)(Ä − Q~Å )(~ñ O + Äñ + Å ) + Äñ + Å ) O(Oå − P)~ Çñ − I å ≠NK O ∫ O (å − N)(Ä − Q~Å ) (~ñ + Äñ + Å )å−N å

)

=−

O å

å −N

O(å − N)~ O (ñ O + ~

)

O å −N

Oå − P O(å − N)~ O

O(å − N)~ O (ñ O − ~ O ) Oå − P Çñ − I å ≠NK O ∫ O(å − N)~ (ñ O − ~ O )å−N −~

O å

å −N

246 http://fribok.blogspot.com/

∫ (ñ

Çñ

+ ~O )

å −N

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

9.8 Definite Integral Ä

aÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ∫ Ñ (ñ )Çñ I ∫ Ö (ñ )Çñ I £ å

oáÉã~åå ëìãW

∑ Ñ (ξ )∆ñ á

á =N

pã~ää ÅÜ~åÖÉëW ∆ñ á ^åíáÇÉêáî~íáîÉëW c(ñ ) I d(ñ ) iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI ÅI Ç Ä

1053. ∫ Ñ (ñ )Çñ = ~

äáã

∑ Ñ (ξ )∆ñ

å→∞ ã~ñ ∆ñ á →M á =N

ïÜÉêÉ ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I ñ á −N ≤ ξ á ≤ ñ á K

Figure 179.

247 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1054. ∫ NÇñ = Ä − ~ ~

1055. ∫ âÑ (ñ )Çñ = â ∫ Ñ (ñ )Çñ

1056.

1057.

∫ [Ñ (ñ ) + Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ö(ñ )Çñ ∫ [Ñ (ñ ) − Ö(ñ )]Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ − ∫ Ö(ñ )Çñ ~

1058. ∫ Ñ (ñ )Çñ = M ~

1059. ∫ Ñ (ñ )Çñ = − ∫ Ñ (ñ )Çñ Ä

1060. ∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ñ (ñ )Çñ Ñçê ~ < Å < Ä K Ä

1061. ∫ Ñ (ñ )Çñ ≥ M áÑ Ñ (ñ ) ≥ M çå [~ I Ä] K ~

1062. ∫ Ñ (ñ )Çñ ≤ M áÑ Ñ (ñ ) ≤ M çå [~ I Ä] K ~

248 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1063. cìåÇ~ãÉåí~ä qÜÉçêÉã çÑ `~äÅìäìë Ä

∫ Ñ (ñ )Çñ = c(ñ )

Ä ~

= c(Ä) − c(~ ) áÑ c′(ñ ) = Ñ (ñ ) K

1064. jÉíÜçÇ çÑ pìÄëíáíìíáçå fÑ ñ = Ö (í ) I íÜÉå Ä

∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (Ö(í ))Ö′(í )Çí I ïÜÉêÉ Å = Ö −N (~ ) I Ç = Ö −N (Ä) K 1065. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë Ä

∫ ìÇî = (ìî ) ~ − ∫ îÇì ~

1066. qê~éÉòçáÇ~ä oìäÉ Ä å −N Ä−~   ( ) ( ) Ñ ñ Çñ Ñ ( ñ ) Ñ ñ O Ñ (ñ á ) = + + ∑ M å  ∫~ Oå  á =N 

249 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Figure 180.

1067. páãéëçå∞ë oìäÉ Ä Ä−~ ∫~ Ñ (ñ )Çñ = På [Ñ (ñ M ) + QÑ (ñ N ) + OÑ (ñ O ) + QÑ (ñ P ) + + OÑ (ñ Q ) + K + QÑ (ñ å −N ) + Ñ (ñ å )] I ïÜÉêÉ Ä−~ ñá = ~ + á I á = MI NI OI KI å K å

250 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Figure 181.

1068. ^êÉ~ råÇÉê ~ `ìêîÉ Ä

p = ∫ Ñ (ñ )Çñ = c(Ä) − c(~ ) I ~

ïÜÉêÉ c′(ñ ) = Ñ (ñ ) K

251 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Figure 182.

1069. ^êÉ~ _ÉíïÉÉå qïç `ìêîÉë Ä

p = ∫ [Ñ (ñ ) − Ö (ñ )]Çñ = c(Ä) − d(Ä) − c(~ ) + d(~ ) I ~

ïÜÉêÉ c′(ñ ) = Ñ (ñ ) I d′(ñ ) = Ö (ñ ) K

252 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Figure 183.

9.9 Improper Integral Ä

1070. qÜÉ ÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä

∫ Ñ (ñ )Çñ áë Å~ääÉÇ ~å áãéêçéÉê áåíÉÖê~ä ~

áÑ • •

~ çê Ä áë áåÑáåáíÉI Ñ (ñ ) Ü~ë çåÉ çê ãçêÉ éçáåíë çÑ ÇáëÅçåíáåìáíó áå íÜÉ áåíÉêî~ä [~ I Ä] K

1071. fÑ Ñ (ñ ) áë ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå çå [~ I ∞ ) I íÜÉå ∞

∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K ~

å →∞

253 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Figure 184.

1072. fÑ Ñ (ñ ) áë ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå çå (− ∞I Ä] I íÜÉå Ä

∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K

−∞

å→ −∞

Figure 185.

254 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

kçíÉ W qÜÉ áãéêçéÉê áåíÉÖê~äë áå NMTNI NMTO ~êÉ ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ äáãáíë Éñáëí ~åÇ ~êÉ ÑáåáíÉX çíÜÉêïáëÉ íÜÉ áåíÉÖê~äë ~êÉ ÇáîÉêÖÉåíK 1073.

∞

−∞

∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ Ñ (ñ )Çñ + ∫ Ñ (ñ )Çñ

Figure 186.

fÑ Ñçê ëçãÉ êÉ~ä åìãÄÉê ÅI ÄçíÜ çÑ íÜÉ áåíÉÖê~äë áå íÜÉ êáÖÜí ∞

ëáÇÉ ~êÉ ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå íÜÉ áåíÉÖê~ä

∫ Ñ (ñ )Çñ

áë ~äëç

−∞

ÅçåîÉêÖÉåíX çíÜÉêïáëÉ áí áë ÇáîÉêÖÉåíK 1074. `çãé~êáëçå qÜÉçêÉãë iÉí Ñ (ñ ) ~åÇ Ö(ñ ) ÄÉ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçåë çå íÜÉ ÅäçëÉÇ áåíÉêî~ä [~ I ∞ ) K pìééçëÉ íÜ~í M ≤ Ö (ñ ) ≤ Ñ (ñ ) Ñçê ~ää ñ áå [~I ∞ ) K

255 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

•

∞

fÑ ∫ Ñ (ñ )Çñ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå ∫ Ö (ñ )Çñ áë ~äëç ÅçåîÉêÖÉåíI ∞

•

fÑ ∫ Ö (ñ )Çñ ~

∞

áë ÇáîÉêÖÉåíI íÜÉå ∫ Ñ (ñ )Çñ áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK ~

1075. ^ÄëçäìíÉ `çåîÉêÖÉåÅÉ

fÑ

∞

∫ Ñ (ñ ) Çñ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå íÜÉ áåíÉÖê~ä ∫ Ñ (ñ )Çñ áë ~Äëç-

äìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåíK 1076. aáëÅçåíáåìçìë fåíÉÖê~åÇ iÉí Ñ (ñ ) ÄÉ ~ ÑìåÅíáçå ïÜáÅÜ áë Åçåíáåìçìë çå íÜÉ áåíÉêî~ä [~I Ä) Äìí áë ÇáëÅçåíáåìçìë ~í ñ = Ä K qÜÉå Ä

∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ~

ε →M +

Ä−ε

∫ Ñ (ñ )Çñ ~

Figure 187.

256 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1077. iÉí Ñ (ñ ) ÄÉ ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå Ñçê ~ää êÉ~ä åìãÄÉêë ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä [~ I Ä] ÉñÅÉéí Ñçê ëçãÉ éçáåí Å áå (~ I Ä) K qÜÉå Å −ε

∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ + äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K ~

ε →M +

δ →M +

Å +δ

Figure 188.

9.10 Double Integral cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW Ñ (ñ I ó ) I Ñ (ìI î ) I £ açìÄäÉ áåíÉÖê~äëW

∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó I ∫∫ Ö(ñ I ó )ÇñÇó I £ o

oáÉã~åå ëìãW

∑∑ Ñ (ì I î )∆ñ ∆ó ã

á =N à=N

pã~ää ÅÜ~åÖÉëW ∆ñ á I ∆ó à oÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW oI p mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ

257 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

^êÉ~W ^ pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s j~ëë çÑ ~ ä~ãáå~W ã aÉåëáíóW ρ(ñ I ó ) cáêëí ãçãÉåíëW j ñ I j ó jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W f ñ I f ó I fM `Ü~êÖÉ çÑ ~ éä~íÉW n `Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW σ(ñ I ó ) `ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó ^îÉê~ÖÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW µ 1078. aÉÑáåáíáçå çÑ açìÄäÉ fåíÉÖê~ä qÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ êÉÅí~åÖäÉ [~I Ä]× [ÅI Ç] áë ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ

∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = äáã

[~ I Ä ]×[Å I Ç ]

(

)

∑∑ Ñ (ì I î )∆ñ ∆ó ã

ã~ñ ∆ñ á →M ã~ñ ∆ó à → M á =N à=N

ïÜÉêÉ ì á I î à áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ êÉÅí~åÖäÉ (ñ á −N I ñ á )× ó à−N I ó à I ~åÇ ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I ∆ó à = ó à − ó à−N K

(

)

Figure 189.

258 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

qÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ ÖÉåÉê~ä êÉÖáçå o áë ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^ I o

[~ I Ä ]×[Å I Ç ]

ïÜÉêÉ êÉÅí~åÖäÉ [~I Ä]× [ÅI Ç] Åçåí~áåë oI Ö(ñ I ó ) = Ñ (ñ I ó ) áÑ Ñ (ñ I ó ) áë áå o ~åÇ Ö(ñ I ó ) = M çíÜÉêïáëÉK

Figure 190.

1079.

∫∫ [Ñ (ñ I ó ) + Ö(ñ I ó )]Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ + ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^ o

1080.

∫∫ [Ñ (ñ I ó ) − Ö(ñ I ó )]Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ − ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^ o

1081.

∫∫ âÑ (ñ I ó )Ç^ = â ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I o

ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK 1082. fÑ Ñ (ñ I ó ) ≤ Ö(ñ I ó ) çå oI íÜÉå

∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ ≤ ∫∫ Ö(ñ I ó )Ç^ K o

1083. fÑ Ñ (ñ I ó ) ≥ M çå o ~åÇ p ⊂ o I íÜÉå

259 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ ≤ ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K p

Figure 191.

1084. fÑ Ñ (ñ I ó ) ≥ M çå o ~åÇ o ~åÇ p ~êÉ åçå-çîÉêä~ééáåÖ

êÉÖáçåëI íÜÉå

∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ + ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K

o ∪p

eÉêÉ o ∪ p áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë o ~åÇ pK

Figure 192.

260 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1085. fíÉê~íÉÇ fåíÉÖê~äë ~åÇ cìÄáåá∞ë qÜÉçêÉã Ä è(ñ )

∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫( Ñ) (ñ I ó )ÇóÇñ o

~é ñ

Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ fI o = {(ñ I ó ) ö ~ ≤ ñ ≤ ÄI é(ñ ) ≤ ó ≤ è(ñ )} K

Figure 193. Ç î (ó )

∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó o

Å ì(ó )

Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ ffI o = {(ñ I ó ) ö ì(ó ) ≤ ñ ≤ î (ó )I Å ≤ ó ≤ Ç} K

261 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Figure 194.

1086. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê oÉÅí~åÖìä~ê oÉÖáçåë

fÑ o áë íÜÉ êÉÅí~åÖìä~ê êÉÖáçå [~I Ä]× [ÅI Ç] I íÜÉå Ä Ç Ç Ä       ∫ Ñ (ñ I ó )Çñ Çó K  ( ) ( ) Ñ ñ I ó ÇñÇó Ñ ñ I ó Çó Çñ = = ∫∫o ∫~  ∫Å ∫    Å~  

få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ Ñ (ñ I ó ) Å~å ÄÉ ïêáííÉå ~ë Ö (ñ )Ü(ó ) ïÉ Ü~îÉ  Ç Ä K    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ñ ñ I ó ÇñÇó Ö ñ Ü ó ÇñÇó Ö ñ Çñ Ü ó Çó = = ∫∫o ∫∫o  ∫ ∫  Å ~ 1087. `Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë

∂ (ñ I ó )

∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫∫ Ñ [ñ (ìI î )I ó(ìI î )] ∂(ìI î ) ÇìÇî I o

∂ñ ∂ñ ∂ (ñ I ó ) ∂ì ∂î ïÜÉêÉ = ≠ M áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ íÜÉ íê~åë∂ (ìI î ) ∂ó ∂ó ∂ì ∂î Ñçêã~íáçåë (ñ I ó ) → (ìI î ) I ~åÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ o ïÜáÅÜ

262 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ñ = ñ (ìI î ) I ó = ó (ìI î ) áåíç íÜÉ ÇÉÑáåáíáçå çÑ oK 1088. mçä~ê `ççêÇáå~íÉë ñ = ê Åçë θ I ó = ê ëáå θ K

Figure 195.

1089. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë

qÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇó Ñçê mçä~ê `ççêÇáå~íÉë áë ∂ (ñ I ó ) ÇñÇó = ÇêÇθ = êÇêÇθ K ∂ (êI θ) iÉí íÜÉ êÉÖáçå o áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW M ≤ Ö (θ) ≤ ê ≤ Ü(θ) I α ≤ θ ≤ β I ïÜÉêÉ β − α ≤ Oπ K qÜÉå β Ü (θ )

∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θ)êÇêÇθ K o

α Ö (θ )

263 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Figure 196.

fÑ íÜÉ êÉÖáçå o áë íÜÉ éçä~ê êÉÅí~åÖäÉ ÖáîÉå Äó M ≤ ~ ≤ ê ≤ Ä I α ≤ θ ≤ β I ïÜÉêÉ β − α ≤ Oπ I íÜÉå β Ä

∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θ)êÇêÇθ K o

α ~

Figure 197.

264 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1090. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå Ä Ñ (ñ )

^ = ∫ ∫ ÇóÇñ EÑçê ~ íóéÉ f êÉÖáçåFK ~ Ö (ñ )

Figure 198. Ç è(ó )

^ = ∫ ∫ ÇñÇó EÑçê ~ íóéÉ ff êÉÖáçåFK Å é( ó )

Figure 199.

265 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1091. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K o

Figure 200.

fÑ o áë ~ íóéÉ f êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó ñ = ~ I ñ = Ä I ó = Ü(ñ ) I ó = Ö (ñ ) I íÜÉå Ä Ö(ñ )

s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇóÇñ K o

~ Ü(ñ )

fÑ o áë ~ íóéÉ ff êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó ó = Å I ó = Ç I ñ = è(ó ) I ñ = é(ó ) I íÜÉå Ç è(ó )

s = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó K o

Å é( ó )

266 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

fÑ Ñ (ñ I ó ) ≥ Ö (ñ I ó ) çîÉê ~ êÉÖáçå oI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉ çÑ íÜÉ ëçäáÇ ÄÉíïÉÉå òN = Ñ (ñ I ó ) ~åÇ ò O = Ö(ñ I ó ) çîÉê o áë ÖáîÉå Äó s = ∫∫ [Ñ (ñ I ó ) − Ö (ñ I ó )]Ç^ K o

1092. ^êÉ~ ~åÇ sçäìãÉ áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë fÑ p áë ~ êÉÖáçå áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ÄçìåÇÉÇ Äó θ = α I θ = β I ê = Ü(θ) I ê = Ö (θ) I íÜÉå β Ö (θ )

^ = ∫∫ Ç^ = ∫ ∫ êÇêÇθ I p

α Ü(θ )

s = ∫∫ Ñ (êI θ)êÇêÇθ K p

Figure 201.

1093. pìêÑ~ÅÉ ^êÉ~ p = ∫∫ o

 ∂ò   ∂ò  N +   +   ÇñÇó  ∂ñ   ∂ó  O

267 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1094. j~ëë çÑ ~ i~ãáå~ ã = ∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^ I o

ïÜÉêÉ íÜÉ ä~ãáå~ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í ~ éçáåí EñIóF áë ρ(ñ I ó ) K 1095. jçãÉåíë qÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáë áë ÖáîÉå Äó Ñçêãìä~ j ñ = ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ K o

qÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ó-~ñáë áë j ó = ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ K o

qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáë áë f ñ = ∫∫ ó Oρ(ñ I ó )Ç^ K o

qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ó-~ñáë áë f ó = ∫∫ ñ Oρ(ñ I ó )Ç^ K o

qÜÉ éçä~ê ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ áë fM = ∫∫ (ñ O + ó O )ρ(ñ I ó )Ç^ K o

1096. `ÉåíÉê çÑ j~ëë

jó

N = ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ = ñ= ã ã o

∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ o

∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^ o

268 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^

j N ó = ñ = ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ = ã ã o

∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^

1097. `Ü~êÖÉ çÑ ~ mä~íÉ n = ∫∫ σ(ñ I ó )Ç^ I o

ïÜÉêÉ ÉäÉÅíêáÅ~ä ÅÜ~êÖÉ áë ÇáëíêáÄìíÉÇ çîÉê ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíë ÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíó ~í ~ éçáåí EñIóF áë σ(ñ I ó ) K 1098. ^îÉê~ÖÉ çÑ ~ cìåÅíáçå N µ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I po

ïÜÉêÉ p = ∫∫ Ç^ K o

9.11 Triple Integral cìåÅíáçåë çÑ íÜêÉÉ î~êá~ÄäÉëW Ñ (ñ I ó I ò ) I Ö (ñ I ó I ò ) I £ qêáéäÉ áåíÉÖê~äëW

∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs I ∫∫∫ Ö(ñ I ó I ò )Çs I £ d

oáÉã~åå ëìãW

∑∑∑ Ñ (ì I î I ï )∆ñ ∆ó ∆ò ã

á =N à=N â =N

pã~ää ÅÜ~åÖÉëW ∆ñ á I ∆ó à I ∆ò â iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåW ~I ÄI ÅI ÇI êI ë oÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW dI qI p `óäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I ò péÜÉêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I ϕ sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s

269 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

j~ëë çÑ ~ ëçäáÇW ã aÉåëáíóW µ(ñ I ó I ò ) `ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó I ò cáêëí ãçãÉåíëW j ñó I j óò I j ñò jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W f ñó I f óò I f ñò I f ñ I f ó I fò I fM

1099. aÉÑáåáíáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~ä qÜÉ íêáéäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [~I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë] áë ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ

∫∫∫

Ñ (ñ I ó I ò )Çs =

[~ I Ä ]×[Å I Ç ]×[ê I ë ]

(

) )

∑∑∑ Ñ (ì I î I ï )∆ñ ∆ó ∆ò ã

äáã

ã~ñ ∆ñ á →M ã~ñ ∆ó à →M á =N à=N â =N ã~ñ ∆ò â →M

ïÜÉêÉ ì á I î à I ï â áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ (ñ á −N I ñ á )× ó à−N I ó à × (ò â −N I ò â ) I ~åÇ ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I ∆ó à = ó à − ó à−N I ∆ò â = ò â − ò â −N K 1100.

(

∫∫∫ [Ñ (ñ I óI ò ) + Ö(ñ I óI ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs + ∫∫∫ Ö(ñ I óI ò )Çs d

1101.

∫∫∫ [Ñ (ñ I ó I ò ) − Ö(ñ I óI ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs − ∫∫∫ Ö(ñ I óI ò )Çs d

1102.

∫∫∫ âÑ (ñ I óI ò )Çs = â ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs I d

ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK 1103. fÑ Ñ (ñ I ó I ò ) ≥ M ~åÇ d ~åÇ q ~êÉ åçåçîÉêä~ééáåÖ Ä~ëáÅ êÉÖáçåëI íÜÉå ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs + ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )Çs K d∪q

eÉêÉ d ∪ q áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë d ~åÇ qK

270 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1104. bî~äì~íáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~äë Äó oÉéÉ~íÉÇ fåíÉÖê~äë fÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë (ñ I ó I ò ) ëìÅÜ íÜ~í (ñ I ó )∈ oI χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I íÜÉå

 χ O ( ñ I ó ) ( ) ( ) Ñ ñ I ó I ò ÇñÇóÇò Ñ ñ I ó I ò Çò =  ÇñÇó I  ∫∫∫ ∫∫o  χ (∫ñ Ió )  d N ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó-éä~åÉK fÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë (ñ I ó I ò ) ëìÅÜ íÜ~í ~ ≤ ñ ≤ ÄI ϕN (ñ ) ≤ ó ≤ ϕO (ñ )I χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I íÜÉå

∫∫∫ d

 ϕO ( ñ )  χ O ( ñ I ó )   Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫  ∫  ∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çò Çó Çñ    ~     ϕN ( ñ )  χN ( ñ I ó ) Ä

1105. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ fÑ d áë ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [~ I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë] I íÜÉå Ä Ç ë      Çó Çñ K ( ) ( ) = Ñ ñ I ó I ò ÇñÇóÇò Ñ ñ I ó I ò Çò  ∫∫∫ ∫ ∫ ∫   d ~ Å  ê  

få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ Ñ (ñ I ó I ò ) Å~å ÄÉ ïêáííÉå ~ë Ö (ñ ) Ü(ó ) â (ò ) ïÉ Ü~îÉ Ä  Ç  ë      ∫ â (ò )Çò  K ( ) ( ) ( ) Ñ ñ I ó I ò ÇñÇóÇò Ö ñ Çñ Ü ó Çó = ∫∫∫  ∫  ∫  d  ~  Å  ê 1106. `Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = d

= ∫∫∫ Ñ [ñ (ìI î I ï )I ó (ìI î I ï )I ò (ìI î I ï )] p

∂ (ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇòI ∂(ìI î I ï )

271 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∂ñ ∂ñ ∂ñ ∂ì ∂î ∂ï ∂(ñ I ó I ò ) ∂ó ∂ó ∂ó ïÜÉêÉ = ≠ M áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ ∂(ìI î I ï ) ∂ì ∂î ∂ï ∂ò ∂ò ∂ò ∂ì ∂î ∂ï íÜÉ íê~åëÑçêã~íáçåë (ñ I ó I ò ) → (ìI î I ï ) I ~åÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d ïÜáÅÜ Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ñ = ñ (ìI î I ï ) I ó = ó (ìI î I ï ) ò = ò (ìI î I ï ) áåíç íÜÉ ÇÉÑáåáíáçå çÑ dK 1107. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë qÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉë áë ∂ (ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇò = ÇêÇθÇò = êÇêÇθÇò K ∂(êI θI ò )

iÉí íÜÉ ëçäáÇ d áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW (ñ I ó ) ∈ o I χ N (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O ( ñ I ó ) I ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó-éä~åÉK qÜÉå ∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = ∫∫∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θI ò )êÇêÇθÇò d

χ O ( ê Åçë θ Iê ëáå θ )

  ( ) Ñ ê Åçë I ê ëáå I ò Çò θ θ  êÇêÇθ K  ∫∫  χ (ê Åçë∫θIê ëáå θ ) o ( ê Iθ )  N  eÉêÉ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëK =

1108. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë qÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë áë ∂ (ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇò = ÇêÇθÇϕ = ê O ëáå θÇêÇθÇϕ ∂ (êI θI ϕ)

∫∫∫ Ñ (ñ I óI ò )ÇñÇóÇò = d

272 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

= ∫∫∫ Ñ (ê ëáå θ Åçë ϕI ê ëáå θ ëáå ϕI ê Åçë θ) ê O ëáå θÇêÇθÇϕ I p

ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ëéÜÉêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëK qÜÉ ~åÖäÉ θ ê~åÖÉë Ñêçã M íç Oπ I íÜÉ ~åÖäÉ ϕ ê~åÖÉë Ñêçã M íç π K

Figure 202.

1109. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ s = ∫∫∫ ÇñÇóÇò d

1110. sçäìãÉ áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë s = ∫∫∫ êÇêÇθÇò p ( ê I θ Iò )

1111. sçäìãÉ áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë s = ∫∫∫ ê O ëáå θÇêÇθÇϕ p ( ê I θ Iϕ )

273 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1112. j~ëë çÑ ~ pçäáÇ ã = ∫∫∫ µ(ñ I ó I ò )Çs I d

ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå d ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í ~ éçáåí (ñ I ó I ò ) áë µ(ñ I ó I ò ) K 1113. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pçäáÇ j óò j ñó j I ó = ñò I ò = I ñ= ã ã ã ïÜÉêÉ j óò = ∫∫∫ ñµ(ñ I ó I ò ) Çs I d

j ñò = ∫∫∫ óµ(ñ I ó I ò ) Çs I d

j ñó = ∫∫∫ òµ(ñ I ó I ò ) Çs d

~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë ñ = M I ó = M I ò = M I êÉëéÉÅíáîÉäóI µ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK 1114. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó-éä~åÉ Eçê ò = M FI óò-éä~åÉ E ñ = M FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E ó = M F

f ñó = ∫∫∫ ò Oµ(ñ I ó I ò ) Çs I d

f óò = ∫∫∫ ñ Oµ(ñ I ó I ò ) Çs I d

f ñò = ∫∫∫ ó Oµ(ñ I ó I ò ) Çs K d

1115. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë f ñ = f ñó + f ñò = ∫∫∫ (ò O + ó O )µ(ñ I ó I ò ) Çs I d

f ó = f ñó + f óò = ∫∫∫ (ò O + ñ O )µ(ñ I ó I ò ) Çs I d

274 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

fò = f ñò + f óò = ∫∫∫ (ó O + ñ O )µ(ñ I ó I ò ) Çs K d

1116. mçä~ê jçãÉåí çÑ fåÉêíá~ fM = f ñó + f óò + f ñò = ∫∫∫ (ñ O + ó O + ò O )µ(ñ I ó I ò ) Çs d

9.12 Line Integral pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW c(ñ I ó I ò ) I c(ñ I ó ) I Ñ (ñ ) pÅ~ä~ê éçíÉåíá~äW ì(ñ I ó I ò ) `ìêîÉëW `I `N I ` O iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI α I β m~ê~ãÉíÉêëW íI ë mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ r sÉÅíçê ÑáÉäÇW c (mI nI o ) r mçëáíáçå îÉÅíçêW ê (ë ) r r r r råáí îÉÅíçêëW á I à I â I τ ^êÉ~ çÑ êÉÖáçåW p iÉåÖíÜ çÑ ~ ÅìêîÉW i j~ëë çÑ ~ ïáêÉW ã aÉåëáíóW ρ(ñ I ó I ò ) I ρ(ñ I ó ) `ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó I ò cáêëí ãçãÉåíëW j ñó I j óò I j ñò jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W f ñ I f ó I fò sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s tçêâW t r j~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇW _ `ìêêÉåíW f bäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉW ε j~ÖåÉíáÅ ÑäìñW ψ

275 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1117. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå r r iÉí ~ ÅìêîÉ ` ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ê = ê (ë ) I M ≤ ë ≤ p I ~åÇ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå c áë ÇÉÑáåÉÇ çîÉê íÜÉ ÅìêîÉ `K qÜÉå p r ∫ c(ê (ë ))Çë = ∫ c(ñ I óI ò )Çë = ∫ cÇë I M

ïÜÉêÉ Çë áë íÜÉ ~êÅ äÉåÖíÜ ÇáÑÑÉêÉåíá~äK

∫ c Çë = ∫ c Çë + ∫ c Çë

1118.

`N ∪` O

Figure 203.

r r 1119. fÑ íÜÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíêáòÉÇ Äó ê = ê (í ) I α ≤ í ≤ β I íÜÉå β

∫ c(ñ I óI ò )Çë = ∫ c(ñ (í )I ó(í )I ò(í )) (ñ ′(í )) + (ó′(í )) + (ò′(í )) Çí K O

1120. fÑ ` áë ~ ëãççíÜ ÅìêîÉ áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ó = Ñ (ñ ) I ~ ≤ ñ ≤ Ä I íÜÉå Ä

∫ c(ñ I ó )Çë = ∫ c(ñ I Ñ (ñ )) N + (Ñ ′(ñ )) Çñ K O

1121. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë

276 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

 Çê  ∫` c(ñ I ó )Çë = ∫α c(ê Åçë θI ê ëáå θ) ê +  Çθ  Çθ I ïÜÉêÉ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ éçä~ê ÑìåÅíáçå êEθF K O

1122. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ sÉÅíçê cáÉäÇ r r iÉí ~ ÅìêîÉ ` ÄÉ ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ê = ê (ë ) I M ≤ ë ≤ p K qÜÉå r Çê r = τ = (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) Çë áë íÜÉ ìåáí îÉÅíçê çÑ íÜÉ í~åÖÉåí äáåÉ íç íÜáë ÅìêîÉK

Figure 204.

r iÉí ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c (mI nI o ) áë ÇÉÑáåÉÇ çîÉê íÜÉ ÅìêîÉ `K r qÜÉå íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c ~äçåÖ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë p

∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çë K `

277 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1123. mêçéÉêíáÉë çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë çÑ sÉÅíçê cáÉäÇë r r r r c ⋅ Ç ê = − c ∫ ∫ ⋅ Çê I

(

−`

)

(

)

ïÜÉêÉ -` ÇÉåçíÉ íÜÉ ÅìêîÉ ïáíÜ íÜÉ çééçëáíÉ çêáÉåí~íáçåK

r r r r ∫ (c ⋅ Çê ) = ∫ (c ⋅ Çê ) = ∫ (c ⋅ Çê ) + ∫ (c ⋅ Çê ) I r

`N ∪ ` O

ïÜÉêÉ ` áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ ÅìêîÉë `N ~åÇ ` O K

r 1124. fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò (í ) I α ≤ í ≤ β I íÜÉå

∫ mÇñ + nÇó + oÇò = `

Çó Çñ Çò   = ∫  m(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + n(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + o(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) Çí Çí Çí Çí  α

1125. fÑ ` äáÉë áå íÜÉ ñó-éä~åÉ ~åÇ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ó = Ñ (ñ ) I íÜÉå Ä ÇÑ   mÇñ nÇó + = ∫` ∫~  m(ñ I Ñ (ñ )) + n(ñ I Ñ (ñ )) Çñ Çñ K 1126. dêÉÉå∞ë qÜÉçêÉã  ∂n ∂m  ∫∫o  ∂ñ − ∂ó ÇñÇó = ∫` mÇñ + nÇó I r r r ïÜÉêÉ c = m(ñ I ó ) á + n(ñ I ó ) à áë ~ Åçåíáåìçìë îÉÅíçê ÑìåÅ∂m ∂n íáçå ïáíÜ Åçåíáåìçìë Ñáêëí é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉë I áå ~ ∂ó ∂ñ ëçãÉ Ççã~áå oI ïÜáÅÜ áë ÄçìåÇÉÇ Äó ~ ÅäçëÉÇI éáÉÅÉïáëÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ `K

278 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1127. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå o _çìåÇÉÇ Äó íÜÉ `ìêîÉ ` N p = ∫∫ ÇñÇó = ∫ ñÇó − óÇñ O` o 1128. m~íÜ fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë r r r r qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå c = m á + n à + oâ áë ë~áÇ íç ÄÉ é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåíI áÑ ~åÇ çåäó áÑ mI nI ~åÇ o ~êÉ Åçåíáåìçìë áå ~ Ççã~áå aI ~åÇ áÑ íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå ì = ì(ñ I ó I ò ) E~ ëÅ~ä~ê éçíÉåíá~äF áå a ëìÅÜ íÜ~í r ∂ì ∂ì ∂ì =nI c = Öê~Ç ì I çê =oK =mI ∂ò ∂ó ∂ñ qÜÉå rr r ∫ c(ê ) ⋅ Çê = ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ì(_) − ì(^ ) K `

1129. qÉëí Ñçê ~ `çåëÉêî~íáîÉ cáÉäÇ r ^ îÉÅíçê ÑáÉäÇ çÑ íÜÉ Ñçêã c = Öê~Ç ì áë Å~ääÉÇ ~ ÅçåëÉêî~íáîÉ r r r r ÑáÉäÇK qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå c = m á + n à + oâ áë é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåí áÑ ~åÇ çåäó áÑ r r r á à â r ∂ ∂ ∂ r Åìêä c = =MK ∂ñ ∂ó ∂ò m n o

fÑ íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå áå ñó-éä~åÉ ëç íÜ~í ∫ mÇñ + nÇó = ì(_) − ì(^ ) I `

íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñçê ÇÉíÉêãáåáåÖ áÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ áë ÅçåëÉêî~íáîÉ Å~å ÄÉ ïêáííÉå áå íÜÉ Ñçêã ∂m ∂n = K ∂ó ∂ñ

279 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1130. iÉåÖíÜ çÑ ~ `ìêîÉ r O O O β β Çó Çê i = ∫ Çë = ∫ (í ) Çí = ∫  Çñ  +   +  Çò  Çí I Çí Çí   Çí   Çí  ` α α  ïÜÉêÉ ` á~ ~ éáÉÅÉïáëÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ ÇÉëÅêáÄÉÇ Äó íÜÉ éçëár íáçå îÉÅíçê ê (í ) I α ≤ í ≤ β K

fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë íïç-ÇáãÉåëáçå~äI íÜÉå r O O β β Çê  Çñ   Çó  (í ) Çí = ∫   +   Çí K i = ∫ Çë = ∫ Çí Çí   Çí  α α  ` fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë íÜÉ Öê~éÜ çÑ ~ ÑìåÅíáçå ó = Ñ (ñ ) áå íÜÉ ñóéä~åÉ (~ ≤ ñ ≤ Ä) I íÜÉå Ä

i=∫ ~

 Çó  N +   Çñ K  Çñ 

1131. iÉåÖíÜ çÑ ~ `ìêîÉ áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë β

 Çê  i = ∫   + ê O Çθ I Çθ  α  ïÜÉêÉ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ê = ê(θ) I α ≤ θ ≤ β áå éçä~ê ÅççêÇáå~íÉëK

1132. j~ëë çÑ ~ táêÉ ã = ∫ ρ(ñ I ó I ò )Çë I `

ïÜÉêÉ ρ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ã~ëë éÉê ìåáí äÉåÖíÜ çÑ íÜÉ ïáêÉK fÑ ` áë ~ ÅìêîÉ é~ê~ãÉíêáòÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå r ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò (í ) I íÜÉå íÜÉ ã~ëë Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó íÜÉ Ñçêãìä~

280 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ã = ∫ ρ(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) α

 Çñ   Çó   Çò    +   +   Çí K  Çí   Çí   Çí 

fÑ ` áë ~ ÅìêîÉ áå ñó-éä~åÉI íÜÉå íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ ïáêÉ áë ÖáîÉå Äó ã = ∫ ρ(ñ I ó )Çë I `

çê β

ã = ∫ ρ(ñ (í )I ó (í )) α

 Çñ   Çó    +   Çí Eáå é~ê~ãÉíêáÅ ÑçêãFK  Çí   Çí 

1133. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ táêÉ j óò j ñó j I ó = ñò I ò = I ñ= ã ã ã ïÜÉêÉ j óò = ∫ ñρ(ñ I ó I ò )Çë I `

j ñò = ∫ óρ(ñ I ó I ò )Çë I `

j ñó = ∫ òρ(ñ I ó I ò )Çë K `

1134. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ qÜÉ ãçãÉåíë çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë ~êÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ Ñçêãìä~ë f ñ = ∫ (ó O + ò O )ρ(ñ I ó I ò )Çë I `

f ó = ∫ (ñ O + ò O )ρ(ñ I ó I ò )Çë I `

f ò = ∫ (ñ O + ó O )ρ(ñ I ó I ò )Çë K `

281 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1135. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå _çìåÇÉÇ Äó ~ `äçëÉÇ `ìêîÉ N p = ∫ ñÇó = − ∫ óÇñ = ∫ ñÇó − óÇñ K O` ` `

Figure 205.

fÑ íÜÉ ÅäçëÉÇ ÅìêîÉ ` áë ÖáîÉå áå é~ê~ãÉíêáÅ Ñçêã r ê (í ) = ñ (í )I ó (í ) I íÜÉå íÜÉ ~êÉ~ Å~å ÄÉ Å~äÅìä~íÉÇ Äó íÜÉ Ñçêãìä~ β β β Çó Çó Çñ N  Çñ  p = ∫ ñ (í ) Çí = − ∫ ó (í ) Çí = ∫  ñ (í ) − ó (í ) Çí K Çí Çí O α Çí Çí  α α 1136. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ cçêãÉÇ Äó oçí~íáåÖ ~ `äçëÉÇ `ìêîÉ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáë π s = − π ∫ ó OÇñ = −Oπ ∫ ñóÇó = − ∫ OñóÇó + ó OÇñ O` ` `

282 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Figure 206.

1137. tçêâ r tçêâ ÇçåÉ Äó ~ ÑçêÅÉ c çå ~å çÄàÉÅí ãçîáåÖ ~äçåÖ ~ ÅìêîÉ ` áë ÖáîÉå Äó íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä r r t = ∫ c ⋅ Çê I `

r r ïÜÉêÉ c áë íÜÉ îÉÅíçê ÑçêÅÉ ÑáÉäÇ ~ÅíáåÖ çå íÜÉ çÄàÉÅíI Ç ê áë íÜÉ ìåáí í~åÖÉåí îÉÅíçêK

Figure 207.

283 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

fÑ íÜÉ çÄàÉÅí áë ãçîÉÇ ~äçåÖ ~ ÅìêîÉ ` áå íÜÉ ñó-éä~åÉI íÜÉå r r t = ∫ c ⋅ Ç ê = ∫ mÇñ + nÇó I `

fÑ ~ é~íÜ ` áë ëéÉÅáÑáÉÇ Äó ~ é~ê~ãÉíÉê í Eí çÑíÉå ãÉ~åë íáãÉFI íÜÉ Ñçêãìä~ Ñçê Å~äÅìä~íáåÖ ïçêâ ÄÉÅçãÉë β

Çñ Çó Çò   t = ∫ m(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + n(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + o(ñ (í )I ó (í )I ò (í ))  ÇíI Çí Çí Çí  α

ïÜÉêÉ í ÖçÉë Ñêçã α íç β K

r fÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c áë ÅçåëÉêî~íáîÉ ~åÇ ì(ñ I ó I ò ) áë ~ ëÅ~ä~ê éçíÉåíá~ä çÑ íÜÉ ÑáÉäÇI íÜÉå íÜÉ ïçêâ çå ~å çÄàÉÅí ãçîáåÖ Ñêçã ^ íç _ Å~å ÄÉ ÑçìåÇ Äó íÜÉ Ñçêãìä~ t = ì(_ ) − ì(^ ) K 1138. ^ãéÉêÉ∞ë i~ï r r _ ∫ ⋅ Çê = µMf K `

r qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ã~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇ _ ~êçìåÇ ~ ÅäçëÉÇ é~íÜ ` áë Éèì~ä íç íÜÉ íçí~ä ÅìêêÉåí f ÑäçïáåÖ íÜêçìÖÜ íÜÉ ~êÉ~ ÄçìåÇÉÇ Äó íÜÉ é~íÜK

Figure 208.

284 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1139. c~ê~Ç~ó∞ë i~ï r r Çψ ε = ∫ b ⋅ Çê = − Çí `

qÜÉ ÉäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉ EÉãÑF ε áåÇìÅÉÇ ~êçìåÇ ~ ÅäçëÉÇ äççé ` áë Éèì~ä íç íÜÉ ê~íÉ çÑ íÜÉ ÅÜ~åÖÉ çÑ ã~ÖåÉíáÅ Ñäìñ ψ é~ëëáåÖ íÜêçìÖÜ íÜÉ äççéK

Figure 209.

9.13 Surface Integral pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW Ñ (ñ I ó I ò ) I ò (ñ I ó ) r r mçëáíáçå îÉÅíçêëW ê (ìI î ) I ê (ñ I ó I ò ) r r r råáí îÉÅíçêëW á I à I â pìêÑ~ÅÉW p r sÉÅíçê ÑáÉäÇW c (mI nI o ) r r aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Çáî c = ∇ ⋅ c

285 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

r r `ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Åìêä c = ∇ × c r sÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW Çp r kçêã~ä íç ëìêÑ~ÅÉW å pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ^ j~ëë çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW ã aÉåëáíóW µ(ñ I ó I ò ) `ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ñ I ó I ò cáêëí ãçãÉåíëW j ñó I j óò I j ñò jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W f ñó I f óò I f ñò I f ñ I f ó I fò sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s r cçêÅÉW c dê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíW d rr cäìáÇ îÉäçÅáíóW î (ê ) cäìáÇ ÇÉåëáíóW ρ r mêÉëëìêÉW é(ê ) j~ëë ÑäìñI ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñW Φ pìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉW n `Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW σ(ñ I ó ) r j~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇW b 1140. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå iÉí ~ ëìêÑ~ÅÉ p ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê r r r r ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I ïÜÉêÉ (ìI î ) ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå a(ìI î ) çÑ íÜÉ ìîéä~åÉK qÜÉ ëìêÑ~ÅÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå Ñ (ñ I ó I ò ) çîÉê íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÇÉÑáåÉÇ ~ë r r ∂ê ∂ê ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) = × Ñ ñ I ó I ò Çp Ñ ñ ì I î I ó ì I î I ò ì I î ÇìÇî I ∫∫p ∫∫ ∂ ∂ ì î a(ì I î ) r r ∂ê ∂ê ~åÇ ~êÉ ÖáîÉå Äó ïÜÉêÉ íÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉë ∂ì ∂î

286 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

r r r ∂ó r ∂ò ∂ê ∂ñ = (ìI î ) á + (ìI î ) à + (ìI î )â I ∂ì ∂ì ∂ì ∂ì r r r ∂ó r ∂ò ∂ ê ∂ñ = (ìI î ) á + (ìI î ) à + (ìI î )â ∂î ∂î ∂î ∂î r r ∂ê ∂ê ~åÇ áë íÜÉ Åêçëë éêçÇìÅíK × ∂ì ∂î 1141. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ò = ò(ñ I ó ) ïÜÉêÉ ò (ñ I ó ) áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå a(ñ I ó ) I íÜÉå

∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çp = (∫∫ ) Ñ (ñ I ó I ò(ñ I ó )) p

a ñ Ió

 ∂ò   ∂ò  N +   +   ÇñÇó K  ∂ñ   ∂ó  O

r 1142. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ sÉÅíçê cáÉäÇ c çîÉê íÜÉ pìêÑ~ÅÉ p • fÑ p áë çêáÉåíÉÇ çìíï~êÇI íÜÉå r r r r ( ) c ñ I ó I ò ⋅ Ç p = c ∫∫ ∫∫ (ñ I óI ò ) ⋅ åÇp p

•

r r r  ∂ê ∂ê  = ∫∫ c(ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅  ×  ÇìÇî K  ∂ì ∂î  a( ì I î )

fÑ p áë çêáÉåíÉÇ áåï~êÇI íÜÉå r r r r ∫∫ c(ñ I óI ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I óI ò ) ⋅ åÇp p

r r r  ∂ê ∂ê  = ∫∫ c(ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅  ×  ÇìÇî K  ∂î ∂ì  a( ì I î )

r r Çp = åÇp áë Å~ääÉÇ íÜÉ îÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉK açí ãÉ~åë íÜÉ ëÅ~ä~ê éêçÇìÅí çÑ íÜÉ ~ééêçéêá~íÉ îÉÅíçêëK r r ∂ê ∂ê ~åÇ ~êÉ ÖáîÉå Äó qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉë ∂ì ∂î

287 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

r r r ∂ó r ∂ò ∂ê ∂ñ = (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î ) ⋅ â I ∂ì ∂ì ∂ì ∂ì r r r ∂ó r ∂ò ∂ ê ∂ñ = (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î ) ⋅ â K ∂î ∂î ∂î ∂î 1143. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ò = ò (ñ I ó ) I ïÜÉêÉ ò (ñ I ó ) áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå a(ñ I ó ) I íÜÉå • fÑ p áë çêáÉåíÉÇ ìéï~êÇI áKÉK íÜÉ â-íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉ åçêã~ä îÉÅíçê áë éçëáíáîÉI íÜÉå r r r r ( ) c ñ I ó I ò ⋅ Ç p = c ∫∫ ∫∫ (ñ I óI ò ) ⋅ åÇp p

r  ∂ò r ∂ò r r   − ( ) c ñ I ó I ò á− à + â ÇñÇó I ⋅ ∫∫ ∂ó  ∂ñ  a( ñ I ó )

fÑ p áë çêáÉåíÉÇ Ççïåï~êÇI áKÉK íÜÉ â-íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉ åçêã~ä îÉÅíçê áë åÉÖ~íáîÉI íÜÉå r r r r ∫∫ c(ñ I óI ò ) ⋅ Çp = ∫∫ c(ñ I óI ò ) ⋅ åÇp

•

r  ∂ò r ∂ò r r  à − â ÇñÇó K = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅  á + ∂ó  ∂ñ  a( ñ I ó ) 1144.

∫∫ (c ⋅ å)Çp = ∫∫ mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó r r

= ∫∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çp I p

ïÜÉêÉ m(ñ I ó I ò ) I n(ñ I ó I ò ) I o(ñ I ó I ò ) ~êÉ íÜÉ ÅçãéçåÉåíë çÑ r íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c K Åçë α I Åçë β I Åçë γ ~êÉ íÜÉ ~åÖäÉë ÄÉíïÉÉå íÜÉ çìíÉê ìåáí r åçêã~ä îÉÅíçê å ~åÇ íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáëI êÉëéÉÅíáîÉäóK

288 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1145. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå áå é~ê~ãÉíêáÅ Ñçêã Äó íÜÉ îÉÅíçê r ê (ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) I íÜÉå íÜÉ ä~ííÉê Ñçêãìä~ Å~å ÄÉ ïêáííÉå ~ë

m n ∂ñ ∂ó ∫∫p ∫∫ ∂ì ∂ì p a(ì I î ) ∂ñ ∂ó ∂î ∂î ïÜÉêÉ (ìI î ) ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå a(ìI î ) çÑ íÜÉ éä~åÉK

( )

r r c ⋅ å Çp = ∫∫ mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó =

o ∂ò ÇìÇî I ∂ì ∂ò ∂î ìî-

1146. aáîÉêÖÉåÅÉ qÜÉçêÉã r r r c ⋅ Ç p = ∇ ⋅ c Çs I ∫∫ ∫∫∫

(

)

ïÜÉêÉ r c(ñ I ó I ò ) = m(ñ I ó I ò )I n(ñ I ó I ò )I o(ñ I ó I ò ) áë ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ïÜçëÉ ÅçãéçåÉåíë mI nI ~åÇ o Ü~îÉ Åçåíáåìçìë é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëI r ∂m ∂n ∂o ∇⋅c = + + ∂ñ ∂ó ∂ò r r áë íÜÉ ÇáîÉêÖÉåÅÉ çÑ c I ~äëç ÇÉåçíÉÇ Çáîc K qÜÉ ëóãÄçä ∫∫ áåÇáÅ~íÉë íÜ~í íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå çîÉê ~ ÅäçëÉÇ ëìêÑ~ÅÉK 1147. aáîÉêÖÉåÅÉ qÜÉçêÉã áå `ççêÇáå~íÉ cçêã  ∂m ∂n ∂o   ÇñÇóÇò K + + = + mÇóÇò nÇñÇò oÇñÇó + ∫∫p ∫∫∫ ∂ ∂ ñ ó ò ∂  d  1148. píçâÉ∞ë qÜÉçêÉã r r r r c ⋅ Ç ê = ∇ × c ⋅ Çp I ∫ ∫∫

(

)

289 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ïÜÉêÉ r c(ñ I ó I ò ) = m(ñ I ó I ò )I n(ñ I ó I ò )I o(ñ I ó I ò ) áë ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ïÜçëÉ ÅçãéçåÉåíë mI nI ~åÇ o Ü~îÉ Åçåíáåìçìë é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëI r r r á à â r ∂ ∂ ∂  ∂o ∂n  r  ∂m ∂o  r  ∂n ∂m  r á +  ∇×c= = − − − â à + ∂ñ ∂ñ ∂ñ  ∂ó ∂ò   ∂ò ∂ñ   ∂ñ ∂ó  m n o r r áë íÜÉ Åìêä çÑ c I ~äëç ÇÉåçíÉÇ Åìêä c K qÜÉ ëóãÄçä

∫

áåÇáÅ~íÉë íÜ~í íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå çîÉê

~ ÅäçëÉÇ ÅìêîÉK 1149. píçâÉ∞ë qÜÉçêÉã áå `ççêÇáå~íÉ cçêã ∫ mÇñ + nÇó + oÇò `

 ∂o ∂n   ∂n ∂m  ∂m ∂o  ÇóÇò +  − = ∫∫  − − ÇñÇó ÇòÇñ +  ∂ó ∂ò   ∂ò ∂ñ   ∂ñ ∂ó  p 

1150. pìêÑ~ÅÉ ^êÉ~ ^ = ∫∫ Çp p

1151. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê r r r r ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I íÜÉå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~ áë r r ∂ê ∂ê × ÇìÇî I ^ = ∫∫ ∂ì ∂î a( ì I î )

r ïÜÉêÉ a(ìI î ) áë íÜÉ Ççã~áå ïÜÉêÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ê (ìI î ) áë ÇÉÑáåÉÇK

290 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1152. fÑ p áë ÖáîÉå ÉñéäáÅáíäó Äó íÜÉ ÑìåÅíáçå ò (ñ I ó ) I íÜÉå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~ áë O

 ∂ò   ∂ò  ^ = ∫∫ N +   +   ÇñÇó I  ∂ñ   ∂ó  a( ñ I ó ) ïÜÉêÉ a(ñ I ó ) áë íÜÉ éêçàÉÅíáçå çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p çåíç íÜÉ ñóéä~åÉK O

1153. j~ëë çÑ ~ pìêÑ~ÅÉ ã = ∫∫ µ(ñ I ó I ò )Çp I p

ïÜÉêÉ µ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ã~ëë éÉê ìåáí ~êÉ~ EÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåFK 1154. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pÜÉää j óò j ñó j I ó = ñò I ò = I ñ= ã ã ã ïÜÉêÉ j óò = ∫∫ ñµ(ñ I ó I ò )Çp I p

j ñò = ∫∫ óµ(ñ I ó I ò )Çp I p

j ñó = ∫∫ òµ(ñ I ó I ò )Çp p

~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë ñ = M I ó = M I ò = M I êÉëéÉÅíáîÉäóK µ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK 1155. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó-éä~åÉ Eçê ò = M FI óò-éä~åÉ E ñ = M FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E ó = M F

f ñó = ∫∫ ò Oµ(ñ I ó I ò )Çp I p

f óò = ∫∫ ñ Oµ(ñ I ó I ò )Çp I p

291 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

f ñò = ∫∫ ó Oµ(ñ I ó I ò )Çp K p

1156. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ-~ñáëI ó-~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë f ñ = ∫∫ (ó O + ò O )µ(ñ I ó I ò )Çp I p

f ó = ∫∫ (ñ O + ò O )µ(ñ I ó I ò )Çp I p

fò = ∫∫ (ñ O + ó O )µ(ñ I ó I ò )Çp K p

1157. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ _çìåÇÉÇ Äó ~ `äçëÉÇ pìêÑ~ÅÉ

N ñÇóÇò + óÇñÇò + òÇñÇó P ∫∫ p

1158. dê~îáí~íáçå~ä cçêÅÉ r r ê c = dã ∫∫ µ(ñ I ó I ò ) P Çp I ê p

ïÜÉêÉ ã áë ~ ã~ëë ~í ~ éçáåí ñ M I ó M I ò M çìíëáÇÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉI r ê = ñ − ñ M I ó − ó M Iò − òM I

µ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåI ~åÇ d áë Öê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíK 1159. mêÉëëìêÉ cçêÅÉ r r r c = ∫∫ é(ê )Çp I p

r ïÜÉêÉ íÜÉ éêÉëëìêÉ é(ê ) ~Åíë çå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p ÖáîÉå Äó r íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê ê K 1160. cäìáÇ cäìñ E~Åêçëë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ pF r r r Φ = ∫∫ î (ê ) ⋅ Çp I p

292 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

r r ïÜÉêÉ î (ê ) áë íÜÉ ÑäìáÇ îÉäçÅáíóK 1161. j~ëë cäìñ E~Åêçëë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ pF r r r Φ = ∫∫ ρî (ê ) ⋅ Çp I p

r r ïÜÉêÉ c = ρî áë íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇI ρ áë íÜÉ ÑäìáÇ ÇÉåëáíóK 1162. pìêÑ~ÅÉ `Ü~êÖÉ n = ∫∫ σ(ñ I ó )Çp I p

ïÜÉêÉ σ(ñ I ó ) áë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíóK 1163. d~ìëë∞ i~ï qÜÉ ÉäÉÅíêáÅ Ñäìñ íÜêçìÖÜ ~åó ÅäçëÉÇ ëìêÑ~ÅÉ áë éêçéçêíáçå~ä íç íÜÉ ÅÜ~êÖÉ n ÉåÅäçëÉÇ Äó íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ r r n Φ = ∫∫ b ⋅ Çp = I εM p ïÜÉêÉ Φ áë íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñI r b áë íÜÉ ã~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇ ëíêÉåÖíÜI c ε M = UIUR × NM −NO áë éÉêãáííáîáíó çÑ ÑêÉÉ ëé~ÅÉK ã

293 http://fribok.blogspot.com/

Chapter 10

Differential Equations

cìåÅíáçåë çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉW óI éI èI ìI ÖI ÜI dI eI êI ò ^êÖìãÉåíë EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëFW ñI ó cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW Ñ (ñ I ó ) I j(ñ I ó ) I k(ñ I ó ) Çó cáêëí çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉW ó ′ I ì′ I ó& I I£ Çí Ç Of pÉÅçåÇ çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉëW ó′′ I &ó& I O I £ Çí O ∂ì ∂ ì m~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëW I I£ ∂í ∂ñ O k~íìê~ä åìãÄÉêW å m~êíáÅìä~ê ëçäìíáçåëW ó N I ó é oÉ~ä åìãÄÉêëW âI íI `I `N I ` O I éI èI α I β oççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåëW λN I λ O qáãÉW í qÉãéÉê~íìêÉW qI p mçéìä~íáçå ÑìåÅíáçåW m(í ) j~ëë çÑ ~å çÄàÉÅíW ã píáÑÑåÉëë çÑ ~ ëéêáåÖW â aáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãW ó ^ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW ^ cêÉèìÉåÅóW ω a~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíW γ mÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW δ ^åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíW θ mÉåÇìäìã äÉåÖíÜW i

294 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

^ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóW Ö `ìêêÉåíW f oÉëáëí~åÅÉW o fåÇìÅí~åÅÉW i `~é~Åáí~åÅÉW `

10.1 First Order Ordinary Differential Equations 1164. iáåÉ~ê bèì~íáçåë Çó + é(ñ )ó = è(ñ ) K Çñ

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ∫ ì(ñ )è(ñ )Çñ + ` I ó= ì (ñ ) ïÜÉêÉ ì(ñ ) = Éñé ∫ é(ñ )Çñ K

(

)

1165. pÉé~ê~ÄäÉ bèì~íáçåë Çó = Ñ (ñ I ó ) = Ö (ñ )Ü(ó ) Çñ

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå Äó Çó ∫ Ü(ó ) = ∫ Ö(ñ )Çñ + ` I çê e(ó ) = d(ñ ) + ` K

295 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

1166. eçãçÖÉåÉçìë bèì~íáçåë

Çó = Ñ (ñ I ó ) áë ÜçãçÖÉåÉçìëI áÑ Çñ íÜÉ ÑìåÅíáçå Ñ (ñ I ó ) áë ÜçãçÖÉåÉçìëI íÜ~í áë Ñ (íñ I íó ) = Ñ (ñ I ó ) K qÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå

qÜÉ ëìÄëíáíìíáçå ò =

ó EíÜÉå ó = òñ F äÉ~Çë íç íÜÉ ëÉé~ê~ÄäÉ ñ

Éèì~íáçå Çò ñ + ò = Ñ (NI ò ) K Çñ 1167. _Éêåçìääá bèì~íáçå Çó + é(ñ )ó = è(ñ )ó å K Çñ

qÜÉ ëìÄëíáíìíáçå ò = ó N−å äÉ~Çë íç íÜÉ äáåÉ~ê Éèì~íáçå Çò + (N − å )é(ñ ) ò = (N − å )è(ñ ) K Çñ 1168. oáÅÅ~íá bèì~íáçå Çó = é(ñ ) + è(ñ ) ó + ê(ñ ) ó O Çñ

fÑ ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå ó N áë âåçïåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå Å~å ÄÉ çÄí~áåÉÇ ïáíÜ íÜÉ ÜÉäé çÑ ëìÄëíáíìíáçå N ò= I ïÜáÅÜ äÉ~Çë íç íÜÉ Ñáêëí çêÇÉê äáåÉ~ê Éèì~íáçå ó − óN Çò = −[è(ñ ) + Oó Nê(ñ )] ò − ê(ñ ) K Çñ

296 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

1169. bñ~Åí ~åÇ kçåÉñ~Åí bèì~íáçåë qÜÉ Éèì~íáçå j(ñ I ó )Çñ + k(ñ I ó )Çó = M áë Å~ääÉÇ Éñ~Åí áÑ ∂j ∂k = I ∂ó ∂ñ ~åÇ åçåÉñ~Åí çíÜÉêïáëÉK

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ∫ j(ñ I ó )Çñ + ∫ k(ñ I ó )Çó = ` K 1170. o~Çáç~ÅíáîÉ aÉÅ~ó Çó = − âó I Çí ïÜÉêÉ ó (í ) áë íÜÉ ~ãçìåí çÑ ê~Çáç~ÅíáîÉ ÉäÉãÉåí ~í íáãÉ íI â áë íÜÉ ê~íÉ çÑ ÇÉÅ~óK

qÜÉ ëçäìíáçå áë ó (í ) = ó M É − âí I ïÜÉêÉ ó M = ó (M) áë íÜÉ áåáíá~ä ~ãçìåíK 1171. kÉïíçå∞ë i~ï çÑ `ççäáåÖ Çq = −â (q − p ) I Çí ïÜÉêÉ q(í ) áë íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ çÑ ~å çÄàÉÅí ~í íáãÉ íI p áë íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ ëìêêçìåÇáåÖ ÉåîáêçåãÉåíI â áë ~ éçëáíáîÉ Åçåëí~åíK

qÜÉ ëçäìíáçå áë q(í ) = p + (qM − p) É −âí I ïÜÉêÉ qM = q(M) áë íÜÉ áåáíá~ä íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ çÄàÉÅí ~í íáãÉ í = M K

297 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

1172. mçéìä~íáçå aóå~ãáÅë EiçÖáëíáÅ jçÇÉäF Çm m  = âm N −  I Çí  j ïÜÉêÉ m(í ) áë éçéìä~íáçå ~í íáãÉ íI â áë ~ éçëáíáîÉ Åçåëí~åíI j áë ~ äáãáíáåÖ ëáòÉ Ñçê íÜÉ éçéìä~íáçåK

qÜÉ ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå áë jmM m(í ) = I ïÜÉêÉ mM = m(M) áë íÜÉ áåáíá~ä éçéìmM + (j − mM )É − âí ä~íáçå ~í íáãÉ í = M K

10.2 Second Order Ordinary Differential Equations 1173. eçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí `çÉÑÑáÅáÉåíë ó′′ + éó′ + èó = M K qÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå áë λO + éλ + è = M K

fÑ λN ~åÇ λ O ~êÉ ÇáëíáåÅí êÉ~ä êççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ó = `NÉ λNñ + ` OÉ λ O ñ I ïÜÉêÉ `N ~åÇ ` O ~êÉ áåíÉÖê~íáçå Åçåëí~åíëK é fÑ λN = λ O = − I íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë O ó = (`N + ` O ñ )É

é − ñ O

fÑ λN ~åÇ λ O ~êÉ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêëW

298 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

λN = α + β á I λ O = α − β á I ïÜÉêÉ Qè − é O é α=− I β= I O O íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ó = É αñ (`N Åçë β ñ + ` O ëáå β ñ ) K 1174. fåÜçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí `çÉÑÑáÅáÉåíë ó′′ + éó′ + èó = Ñ (ñ ) K

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå Äó ó = ó é + ó Ü I ïÜÉêÉ ó é áë ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå çÑ íÜÉ áåÜçãçÖÉåÉçìë Éèì~íáçå ~åÇ ó Ü áë íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ~ëëçÅá~íÉÇ ÜçãçÖÉåÉçìë Éèì~íáçå EëÉÉ íÜÉ éêÉîáçìë íçéáÅ NNTPFK fÑ íÜÉ êáÖÜí ëáÇÉ Ü~ë íÜÉ Ñçêã Ñ (ñ ) = É αñ (mN (ñ )Åçë β ñ + mN (ñ )ëáå βñ ) I íÜÉå íÜÉ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå ó é áë ÖáîÉå Äó ó é = ñ â É αñ (oN (ñ )Åçë βñ + o O (ñ )ëáå β ñ ) I

ïÜÉêÉ íÜÉ éçäóåçãá~äë oN (ñ ) ~åÇ o O (ñ ) Ü~îÉ íç ÄÉ ÑçìåÇ Äó ìëáåÖ íÜÉ ãÉíÜçÇ çÑ ìåÇÉíÉêãáåÉÇ ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK • fÑ α + β á áë åçí ~ êççí çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåI íÜÉå íÜÉ éçïÉê â = M I • fÑ α + β á áë ~ ëáãéäÉ êççíI íÜÉå â = N I • fÑ α + β á áë ~ ÇçìÄäÉ êççíI íÜÉå â = O K 1175. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ó jáëëáåÖ ó′′ = Ñ (ñ I ó′) K pÉí ì = ó ′ K qÜÉå íÜÉ åÉï Éèì~íáçå ë~íáëÑáÉÇ Äó î áë ì′ = Ñ (ñ I ì ) I ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK

299 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

1176. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ñ jáëëáåÖ ó′′ = Ñ (ó I ó′) K pÉí ì = ó ′ K páåÅÉ Çì Çì Çó Çì ó′′ = = =ì I Çñ Çó Çñ Çó ïÉ Ü~îÉ Çì ì = Ñ (ó I ì ) I Çó ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK 1177. cêÉÉ råÇ~ãéÉÇ sáÄê~íáçåë qÜÉ ãçíáçå çÑ ~ j~ëë çå ~ péêáåÖ áë ÇÉëÅêáÄÉÇ Äó íÜÉ Éèì~íáçå ã&ó& + âó = M I ïÜÉêÉ ã áë íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ çÄàÉÅíI â áë íÜÉ ëíáÑÑåÉëë çÑ íÜÉ ëéêáåÖI ó áë Çáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãK

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ó = ^ Åçë(ωM í − δ ) I ïÜÉêÉ ^ áë íÜÉ ~ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíI ωM áë íÜÉ ÑìåÇ~ãÉåí~ä ÑêÉèìÉåÅóI íÜÉ éÉêáçÇ áë q = δ áë éÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíK qÜáë áë ~å Éñ~ãéäÉ çÑ ëáãéäÉ Ü~êãçåáÅ ãçíáçåK

1178. cêÉÉ a~ãéÉÇ sáÄê~íáçåë ã&ó& + γó& + âó = M I ïÜÉêÉ γ áë íÜÉ Ç~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíK qÜÉêÉ ~êÉ P Å~ëÉë Ñçê íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçåW

300 http://fribok.blogspot.com/

Oπ I ωM

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

`~ëÉ NK γ O > Qâã EçîÉêÇ~ãéÉÇF ó (í ) = ^É λNí + _É λ Oí I ïÜÉêÉ λN =

− γ − γ O − Q âã − γ + γ O − Q âã I λO = K Oã Oã

`~ëÉ OK γ O = Qâã EÅêáíáÅ~ääó Ç~ãéÉÇF ó (í ) = (^ + _í )É λí I ïÜÉêÉ γ λ=− K Oã `~ëÉ PK γ O < Qâã EìåÇÉêÇ~ãéÉÇF ó (í ) = É

−

γ í Oã

^ Åçë(ωí − δ ) I ïÜÉêÉ

ω = Qâã − γ O K 1179. páãéäÉ mÉåÇìäìã Ç Oθ Ö + θ=MI Çí O i ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíI i áë íÜÉ éÉåÇìäìã äÉåÖíÜI Ö áë íÜÉ ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóK

qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå Ñçê ëã~ää ~åÖäÉë θ áë i Ö θ(í ) = θã~ñ ëáå í I íÜÉ éÉêáçÇ áë q = Oπ K Ö i 1180. oi` `áêÅìáí Ç Of Çf N i O + o + f = s′(í ) = ωb M Åçë(ωí ) I Çí Çí `

301 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

ïÜÉêÉ f áë íÜÉ ÅìêêÉåí áå ~å oi` ÅáêÅìáí ïáíÜ ~å ~Å îçäí~ÖÉ ëçìêÅÉ s(í ) = b M ëáå(ωí ) K qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë f(í ) = `NÉ êNí + ` OÉ êOí + ^ ëáå(ωí − ϕ) I ïÜÉêÉ Qi − o ± oO − ` I ê NI O = Oi ωb M ^= I O N  O  O O  iω −  + o ω `   N   iω ϕ = ~êÅí~å − I  o o`ω  `N I ` O ~êÉ Åçåëí~åíë ÇÉéÉåÇáåÖ çå áåáíá~ä ÅçåÇáíáçåëK

10.3. Some Partial Differential Equations 1181. qÜÉ i~éä~ÅÉ bèì~íáçå ∂ Oì ∂ Oì + =M ∂ñ O ∂ó O ~ééäáÉë íç éçíÉåíá~ä ÉåÉêÖó ÑìåÅíáçå ì(ñ I ó ) Ñçê ~ ÅçåëÉêî~íáîÉ ÑçêÅÉ ÑáÉäÇ áå íÜÉ ñó-éä~åÉK m~êíá~ä ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ ÉääáéíáÅK 1182. qÜÉ eÉ~í bèì~íáçå ∂ O ì ∂ O ì ∂ì + = ∂ñ O ∂ó O ∂í

302 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

~ééäáÉë íç íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ ÇáëíêáÄìíáçå ì(ñ I ó ) áå íÜÉ ñóéä~åÉ ïÜÉå ÜÉ~í áë ~ääçïÉÇ íç Ñäçï Ñêçã ï~êã ~êÉ~ë íç Åççä çåÉëK qÜÉ Éèì~íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ é~ê~ÄçäáÅK 1183. qÜÉ t~îÉ bèì~íáçå ∂ Oì ∂ Oì ∂ Oì + = ∂ñ O ∂ó O ∂í O ~ééäáÉë íç íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåí ì(ñ I ó ) çÑ îáÄê~íáåÖ ãÉãÄê~åÉë ~åÇ çíÜÉê ï~îÉ ÑìåÅíáçåëK qÜÉ Éèì~íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ ÜóéÉêÄçäáÅK

303 http://fribok.blogspot.com/

Chapter 11

Series

11.1 Arithmetic Series fåáíá~ä íÉêãW ~N kíÜ íÉêãW ~ å aáÑÑÉêÉåÅÉ ÄÉíïÉÉå ëìÅÅÉëëáîÉ íÉêãëW Ç kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å pìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW på 1184. ~ å = ~ å −N + Ç = ~ å −O + OÇ = K = ~N + (å − N)Ç 1185. ~N + ~ å = ~ O + ~ å−N = K = ~ á + ~ å +N−á 1186. ~ á =

~ á −N + ~ á +N O

1187. på =

~N + ~ å O~ + (å − N)Ç ⋅å = N ⋅å O O

304 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

11.2 Geometric Series fåáíá~ä íÉêãW ~N kíÜ íÉêãW ~ å `çããçå ê~íáçW è kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å pìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW på pìã íç áåÑáåáíóW p 1188. ~ å = è~ å −N = ~Nè å −N 1189. ~N ⋅ ~ å = ~ O ⋅ ~ å −N = K = ~ á ⋅ ~ å +N−á 1190. ~ á = ~ á −N ⋅ ~ á +N ~ å è − ~N ~N (è å − N) = 1191. på = è −N è −N

~N å →∞ N− è cçê è < N I íÜÉ ëìã p ÅçåîÉêÖÉë ~ë å → ∞ K

1192. p = äáã på =

11.3 Some Finite Series kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å

305 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

1193. N + O + P + K + å =

å(å + N) O

1194. O + Q + S + K + Oå = å(å + N) 1195. N + P + R + K + (Oå − N) = å O 1196. â + (â + N) + (â + O) + K + (â + å − N) = 1197. NO + OO + PO + K + å O =

å(Oâ + å − N) O

å(å + N)(Oå + N) S

 å(å + N)  1198. NP + OP + PP + K + åP =   O 

å(Qå O − N) 1199. N + P + R + K + (Oå − N) = P O

1200. NP + PP + RP + K + (Oå − N) = å O (Oå O − N) P

N N N N 1201. N + + + + K + å + K = O O Q U O 1202.

N N N N + + +K+ +K = N N⋅ O O ⋅ P P ⋅ Q å(å + N)

1203. N +

N N N N + + +K+ +K = É (å − N)> N> O> P>

306 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

11.4 Infinite Series pÉèìÉåÅÉW {~ å } cáêëí íÉêãW ~N kíÜ íÉêãW ~ å 1204. fåÑáåáíÉ pÉêáÉë ∞

∑~ å =N

= ~N + ~ O + K + ~ å + K

1205. kíÜ m~êíá~ä pìã å

på = ∑ ~ å = ~N + ~ O + K + ~ å å =N

1206. `çåîÉêÖÉåÅÉ çÑ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë ∞

∑~ å =N

= i I áÑ äáã på = i å →∞

1207. kíÜ qÉêã qÉëí ∞

•

fÑ íÜÉ ëÉêáÉë

∑~ å =N

•

áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå äáã ~ å = M K å→∞

fÑ äáã ~ å ≠ M I íÜÉå íÜÉ ëÉêáÉë áë ÇáîÉêÖÉåíK å→∞

11.5 Properties of Convergent Series ∞

`çåîÉêÖÉåí pÉêáÉëW

∑ ~å = ^ I å =N

∞

∑Ä å =N

oÉ~ä åìãÄÉêW Å

307 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

∞

å =N

1208. ∑ (~ å + Ä å ) = ∑ ~ å + ∑ Ä å = ^ + _

1209.

∞

∑ Å~ å =N

∞

= Å∑ ~ å = Å^ K å =N

11.6 Convergence Tests 1210. qÜÉ `çãé~êáëçå qÉëí ∞

iÉí

∑ ~ å ~åÇ å =N ∞

•

fÑ

∑Ä å =N ∞

•

fÑ

∞

∑Ä å =N

ÄÉ ëÉêáÉë ëìÅÜ íÜ~í M < ~ å ≤ Äå Ñçê ~ää åK ∞

áë ÅçåîÉêÖÉåí íÜÉå

∑~ å =N

∑ ~ å áë ÇáîÉêÖÉåí íÜÉå å =N

áë ~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK

∞

∑Ä å =N

áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK

1211. qÜÉ iáãáí `çãé~êáëçå qÉëí ∞

iÉí

∑ ~ å ~åÇ å =N

∞

∑Ä å =N

ÄÉ ëÉêáÉë ëìÅÜ íÜ~í ~ å ~åÇ Äå ~êÉ éçëá-

íáîÉ Ñçê ~ää åK •

•

∞ ∞ ~å < ∞ íÜÉå ∑ ~ å ~åÇ ∑ Äå ~êÉ ÉáíÜÉê ÄçíÜ å →∞ Ä å =N å =N å ÅçåîÉêÖÉåí çê ÄçíÜ ÇáîÉêÖÉåíK ∞ ∞ ~ fÑ äáã å = M íÜÉå ∑ Äå ÅçåîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í ∑ ~ å áë å →∞ Ä å =N å =N å ~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK

fÑ M < äáã

308 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

~å = ∞ íÜÉå å →∞ Ä å ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK fÑ äáã

•

∞

∑ Äå ÇáîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í å =N

∞

∑~ å =N

áë

1212. é-ëÉêáÉë ∞

é-ëÉêáÉë

∑å å =N

ÅçåîÉêÖÉë Ñçê é > N ~åÇ ÇáîÉêÖÉë Ñçê

M < é ≤NK

1213. qÜÉ fåíÉÖê~ä qÉëí iÉí Ñ (ñ ) ÄÉ ~ ÑìåÅíáçå ïÜáÅÜ áë ÅçåíáåìçìëI éçëáíáîÉI ~åÇ ÇÉÅêÉ~ëáåÖ Ñçê ~ää ñ ≥ N K qÜÉ ëÉêáÉë ∞

∑ Ñ (å) = Ñ (N) + Ñ (O) + Ñ (P) + K + Ñ (å) + K å =N

∞

ÅçåîÉêÖÉë áÑ ∫ Ñ (ñ )Çñ ÅçåîÉêÖÉëI ~åÇ ÇáîÉêÖÉë áÑ N

∫ Ñ (ñ )Çñ → ∞ ~ë å → ∞ K N

1214. qÜÉ o~íáç qÉëí ∞

iÉí

∑~ å =N

•

ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK

~ å +N < N íÜÉå å →∞ ~ å

fÑ äáã

∞

∑~ å =N

áë ÅçåîÉêÖÉåíK

∞ ~ å +N > N íÜÉå ∑ ~ å áë ÇáîÉêÖÉåíK å →∞ ~ å =N å ∞ ~ fÑ äáã å +N = N íÜÉå ∑ ~ å ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉ ~åÇ å →∞ ~ å =N å íÜÉ ê~íáç íÉëí áë áåÅçåÅäìëáîÉX ëçãÉ çíÜÉê íÉëíë ãìëí ÄÉ ìëÉÇK

fÑ äáã

309 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

1215. qÜÉ oççí qÉëí ∞

∑~

iÉí

å =N

•

ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK ∞

fÑ äáã å ~ å < N íÜÉå

∑~

áë ÅçåîÉêÖÉåíK

fÑ äáã å ~ å > N íÜÉå

∑~

áë ÇáîÉêÖÉåíK

fÑ äáã å ~ å = N íÜÉå

∑~

å →∞

å =N ∞ å =N ∞

å =N

ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉI Äìí

åç ÅçåÅäìëáçå Å~å ÄÉ Çê~ïå Ñêçã íÜáë íÉëíK

11.7 Alternating Series 1216. qÜÉ ^äíÉêå~íáåÖ pÉêáÉë qÉëí EiÉáÄåáò∞ë qÜÉçêÉãF

iÉí {~ å } ÄÉ ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ éçëáíáîÉ åìãÄÉêë ëìÅÜ íÜ~í ~ å+N < ~ å Ñçê ~ää åK äáã ~ å = M K å→∞

∞

qÜÉå íÜÉ ~äíÉêå~íáåÖ ëÉêáÉë

∑ (− N) ~ å =N

∞

~åÇ

∑ (− N) å =N

å −N

~å

ÄçíÜ ÅçåîÉêÖÉK 1217. ^ÄëçäìíÉ `çåîÉêÖÉåÅÉ ∞

•

^ ëÉêáÉë

∑~ å =N

áë ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë

∞

∑~ å =N

áë ÅçåîÉêÖÉåíK

310 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

∞

fÑ íÜÉ ëÉêáÉë

•

∑~ å =N

áë ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåí íÜÉå áí áë Åçå-

îÉêÖÉåíK 1218. `çåÇáíáçå~ä `çåîÉêÖÉåÅÉ ∞

^ ëÉêáÉë

∑~ å =N

áë ÅçåÇáíáçå~ääó ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë áë

ÅçåîÉêÖÉåí Äìí áë åçí ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåíK

11.8 Power Series oÉ~ä åìãÄÉêëW ñI ñ M ∞

∑~

mçïÉê ëÉêáÉëW

å=M

ñå I

∞

∑ ~ (ñ − ñ ) å =M

tÜçäÉ åìãÄÉêW å o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o 1219. mçïÉê pÉêáÉë áå ñ ∞

∑~ å=M

ñ å = ~ M + ~Nñ + ~ O ñ O + K + ~ å ñ å + K

1220. mçïÉê pÉêáÉë áå (ñ − ñ M ) ∞

∑ ~ (ñ − ñ ) å=M

= ~ M + ~ N (ñ − ñ M ) + ~ O ( ñ − ñ M ) + K + ~ å ( ñ − ñ M ) + K O

1221. fåíÉêî~ä çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉ qÜÉ ëÉí çÑ íÜçëÉ î~äìÉë çÑ ñ Ñçê ïÜáÅÜ íÜÉ ÑìåÅíáçå ∞

Ñ (ñ ) = ∑ ~ å (ñ − ñ M ) áë ÅçåîÉêÖÉåí áë Å~ääÉÇ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ å

å =M

ÅçåîÉêÖÉåÅÉK

311 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

1222. o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉ fÑ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉ áë (ñ M − oI ñ M + o ) Ñçê ëçãÉ o ≥ M I íÜÉ o áë Å~ääÉÇ íÜÉ ê~Çáìë çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉK fí áë ÖáîÉå ~ë ~ N çê o = äáã å K o = äáã å →∞ ~ å →∞ å ~ å +N å

11.9 Differentiation and Integration of Power Series `çåíáåìçìë ÑìåÅíáçåW Ñ (ñ ) ∞

mçïÉê ëÉêáÉëW

∑~ å=M

ñå

tÜçäÉ åìãÄÉêW å o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o 1223. aáÑÑÉêÉåíá~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë ∞

iÉí Ñ (ñ ) = ∑ ~ å ñ å = ~ M + ~ Nñ + ~ O ñ O + K Ñçê ñ < o K å =M

qÜÉåI Ñçê ñ < o I Ñ (ñ ) áë ÅçåíáåìçìëI íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ Ñ ′(ñ ) Éñáëíë ~åÇ Ç Ç Ç Ñ ′(ñ ) = ~ M + ~ Nñ + ~ O ñ O + K Çñ Çñ Çñ ∞

= ~N + O~ O ñ + P~ P ñ O + K = ∑ å~ å ñ å −N K å =N

312 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

1224. fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë ∞

iÉí Ñ (ñ ) = ∑ ~ å ñ å = ~ M + ~ Nñ + ~ O ñ O + K Ñçê ñ < o K å =M

qÜÉåI Ñçê ñ < o I íÜÉ áåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä ∫ Ñ (ñ )Çñ Éñáëíë ~åÇ

∫ Ñ (ñ )Çñ = ∫ ~ Çñ + ∫ ~ ñÇñ + ∫ ~ ñ Çñ + K O

= ~ M ñ + ~N

∞ ñO ñP ñ å +N + ~O + K = ∑ ~å +`K O P å +N å =M

11.10 Taylor and Maclaurin Series tÜçäÉ åìãÄÉêW å aáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW Ñ (ñ ) oÉã~áåÇÉê íÉêãW o å 1225. q~óäçê pÉêáÉë ∞

Ñ (ñ ) = ∑ Ñ (å ) (~ ) å=M

(å )

(ñ − ~ )å å>

= Ñ (~ ) + Ñ ′(~ )(ñ − ~ ) +

(~ )(ñ − ~ )å + o å>

Ñ ′′(~ )(ñ − ~ ) +K O>

1226. qÜÉ oÉã~áåÇÉê ^ÑíÉê åHN qÉêãë áë ÖáîÉå Äó å +N Ñ (å +N) (ξ )(ñ − ~ ) oå = I ~<ξ<ñ K (å + N)> 1227. j~Åä~ìêáå pÉêáÉë

313 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

∞

Ñ (ñ ) = ∑ Ñ (å ) (M ) å =M

Ñ ′′(M )ñ O Ñ (å ) (M )ñ å ñå = Ñ (M ) + Ñ ′(M )ñ + +K+ + oå å> O> å>

11.11 Power Series Expansions for Some Functions tÜçäÉ åìãÄÉêW å oÉ~ä åìãÄÉêW ñ

1228. É ñ = N + ñ +

1229. ~ ñ = N +

ñO ñP ñå + +K+ +K O> P> å>

(ñ äå ~ ) + K ñ äå ~ (ñ äå ~ ) (ñ äå ~ ) + + +K+ N> O> P> å> O

(− N) ñ å+N ± K I − N < ñ ≤ N K ñ O ñP ñ Q 1230. äå(N + ñ ) = ñ − + − + K + O P Q å +N å

1231. äå

  N+ ñ ñP ñR ñT = O ñ + + + + K I ñ < N K N− ñ P R T  

 ñ − N N  ñ − N P N  ñ − N  R  +  1232. äå ñ = O  +   K I ñ > M K + + + ñ N P ñ N R ñ N       1233. Åçë ñ = N −

(− N) ñ Oå ± K ñO ñQ ñS + − +K+ (Oå )> O> Q> S> å

314 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

(− N) ñ Oå+N ± K ñP ñR ñT 1234. ëáå ñ = ñ − + − + K + (Oå + N)> P> R> T> å

1235. í~å ñ = ñ +

1236. Åçí ñ =

π ñ P Oñ R NT ñ T SOñ V + + + +KI ñ < K O P NR PNR OUPR

 N  ñ ñ P Oñ R Oñ T − + + + + K I ñ < π K ñ  P QR VQR QTOR 

1237. ~êÅëáå ñ = ñ +

ñ <NK 1238. ~êÅÅçë ñ =

ñ P N ⋅ Pñ R N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N)ñ Oå +N + +K+ +KI O⋅P O⋅ Q ⋅R O ⋅ Q ⋅ SK (Oå )(Oå + N)

 π  ñ P N ⋅ Pñ R N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N)ñ Oå +N −ñ + + +K+ + K I O  O⋅P O⋅Q ⋅R O ⋅ Q ⋅ SK (Oå )(Oå + N) 

ñ <NK 1239. ~êÅí~å ñ = ñ −

(− N) ñ Oå+N ± K I ñ ≤ N K ñP ñR ñT + − +K+ P R T Oå + N å

1240. ÅçëÜ ñ = N +

ñO ñQ ñS ñ Oå + + +K+ +K (Oå )> O> Q> S>

1241. ëáåÜ ñ = ñ +

ñP ñR ñT ñ O å +N + + +K+ +K (Oå + N)> P> R> T>

315 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

11.12 Binomial Series tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ã oÉ~ä åìãÄÉêW ñ `çãÄáå~íáçåëW å ` ã 1242. (N + ñ ) = N + å`Nñ + å` O ñ O + K + ã ` å ñ ã + K + ñ å å

1243. å ` ã =

å(å − N)K[å − (ã − N)] I ñ <NK ã>

1244.

N = N− ñ + ñO − ñP + K I ñ < N K N+ ñ

1245.

N = N+ ñ + ñO + ñP + KI ñ < N K N− ñ

1246. N + ñ = N +

ñ ñ O N ⋅ Pñ P N ⋅ P ⋅ Rñ Q − + − +KI ñ ≤ NK O O⋅Q O⋅Q ⋅S O⋅Q ⋅S⋅U

1247. P N + ñ = N +

ñ N ⋅ Oñ O N ⋅ O ⋅ Rñ P N ⋅ O ⋅ R ⋅ Uñ Q − + − +KI ñ ≤ NK P P⋅S P⋅S⋅V P ⋅ S ⋅ V ⋅ NO

11.13 Fourier Series fåíÉÖê~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW Ñ (ñ ) cçìêáÉê ÅçÉÑÑáÅáÉåíëW ~ M I ~ å I Äå tÜçäÉ åìãÄÉêW å

316 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 11. SERIES

∞

~ 1248. Ñ (ñ ) = M + ∑ (~ å Åçë åñ + Äå ëáå åñ ) O

å =N

N 1249. ~ å = ∫ Ñ (ñ )Åçë åñ Çñ π −π π

1250. Äå =

N Ñ (ñ )ëáå åñ Çñ π −∫π

317 http://fribok.blogspot.com/

Chapter 12

Probability

12.1 Permutations and Combinations mÉêãìí~íáçåëW å mã `çãÄáå~íáçåëW å ` ã tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ã 1251. c~Åíçêá~ä å> = N ⋅ O ⋅ PK(å − O)(å − N)å M> = N 1252. å må = å> 1253. å mã =

å> (å − ã )>

1254. _áåçãá~ä `çÉÑÑáÅáÉåí å å> å `ã =   =  ã  ã> (å − ã )> 1255. å ` ã = å ` å −ã 1256. å ` ã + å ` ã +N = å +N ` ã +N

318 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 12. PROBABILITY

1257. å ` M + å `N + å ` O + K + å ` å = Oå 1258. m~ëÅ~ä∞ë qêá~åÖäÉ

oçï M oçï N oçï O oçï P oçï Q oçï R oçï S

N N N N N N N

O P

Q R

N N P S

NM NR

N Q

NM OM

12.2 Probability Formulas bîÉåíëW ^I _ mêçÄ~ÄáäáíóW m o~åÇçã î~êá~ÄäÉëW uI vI w s~äìÉë çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëW ñI óI ò bñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ uW µ ^åó éçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêW ε pí~åÇ~êÇ ÇÉîá~íáçåW σ s~êá~åÅÉW σ O aÉåëáíó ÑìåÅíáçåëW Ñ (ñ ) I Ñ (í ) 1259. mêçÄ~Äáäáíó çÑ ~å bîÉåí ã m( ^ ) = I å ïÜÉêÉ ã áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëI å áë íÜÉ íçí~ä åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK

319 http://fribok.blogspot.com/

N R

N S

CHAPTER 12. PROBABILITY

1260. o~åÖÉ çÑ mêçÄ~Äáäáíó s~äìÉë M ≤ m(^ ) ≤ N 1261. `Éêí~áå bîÉåí m( ^ ) = N 1262. fãéçëëáÄäÉ bîÉåí m( ^ ) = M 1263. `çãéäÉãÉåí m(^ ) = N − m(^ ) 1264. fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë m(^ L _ ) = m(^ ) I m(_ L ^ ) = m(_ ) 1265. ^ÇÇáíáçå oìäÉ Ñçê fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë m(^ ∪ _ ) = m(^ ) + m(_ ) 1266. jìäíáéäáÅ~íáçå oìäÉ Ñçê fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë m(^ ∩ _ ) = m(^ ) ⋅ m(_ ) 1267. dÉåÉê~ä ^ÇÇáíáçå oìäÉ m(^ ∪ _ ) = m(^ ) + m(_ ) − m(^ ∩ _ ) I ïÜÉêÉ ^ ∪ _ áë íÜÉ ìåáçå çÑ ÉîÉåíë ^ ~åÇ _I ^ ∩ _ áë íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå çÑ ÉîÉåíë ^ ~åÇ _K 1268. `çåÇáíáçå~ä mêçÄ~Äáäáíó m(^ ∩ _ ) m( ^ L _ ) = m(_ ) 1269. m(^ ∩ _ ) = m(_ ) ⋅ m(^ L _ ) = m(^ ) ⋅ m(_ L ^ )

320 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 12. PROBABILITY

1270. i~ï çÑ qçí~ä mêçÄ~Äáäáíó ã

m(^ ) = ∑ m(_ á )m(^ L _ á ) I á =N

ïÜÉêÉ _ á áë ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíëK 1271. _~óÉë∞ qÜÉçêÉã m(^ L _ ) ⋅ m(_ ) m(_ L ^ ) = m(^ ) 1272. _~óÉë∞ cçêãìä~ m(_ ) ⋅ m(^ L _ á ) m(_ á L ^ ) = ã á I ∑ m(_ á ) ⋅ m(^ L _ á ) â =N

ïÜÉêÉ _ á áë ~ ëÉí çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíë EÜóéçíÜÉëÉëFI ^ áë íÜÉ Ñáå~ä ÉîÉåíI m(_ á ) ~êÉ íÜÉ éêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëI m(_ á L ^ ) ~êÉ íÜÉ éçëíÉêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëK 1273. i~ï çÑ i~êÖÉ kìãÄÉêë p  m å − µ ≥ ε  → M ~ë å → ∞ I  å 

p  m å − µ < ε  → N ~ë å → ∞ I  å  ïÜÉêÉ på áë íÜÉ ëìã çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëI å áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK 1274. `ÜÉÄóëÜÉî fåÉèì~äáíó s(u ) m( u − µ ≥ ε ) ≤ O I ε ïÜÉêÉ s(u ) áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uK

321 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 12. PROBABILITY

1275. kçêã~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå ( ñ −µ ) O

− N O ϕ(ñ ) = É Oσ I σ Oπ ïÜÉêÉ ñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉK

1276. pí~åÇ~êÇ kçêã~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå O

N − òO ϕ(ò ) = É Oπ ^îÉê~ÖÉ î~äìÉ µ = M I ÇÉîá~íáçå σ = N K

Figure 210.

1277. pí~åÇ~êÇ w s~äìÉ u−µ w= σ 1278. `ìãìä~íáîÉ kçêã~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå ñ

− N c(ñ ) = É ∫ σ Oπ −∞

( í −µ ) O OσO

Çí I

322 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 12. PROBABILITY

ïÜÉêÉ ñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI í áë ~ î~êá~ÄäÉ çÑ áåíÉÖê~íáçåK  α −µ β−µ 1279. m(α < u < β ) = c  − c I  σ   σ  ïÜÉêÉ u áë åçêã~ääó ÇáëíêáÄìíÉÇ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉI c áë Åìãìä~íáîÉ åçêã~ä ÇáëíêáÄìíáçå ÑìåÅíáçåI m(α < u < β ) áë áåíÉêî~ä éêçÄ~ÄáäáíóK ε 1280. m( u − µ < ε ) = Oc  I σ ïÜÉêÉ u áë åçêã~ääó ÇáëíêáÄìíÉÇ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉI c áë Åìãìä~íáîÉ åçêã~ä ÇáëíêáÄìíáçå ÑìåÅíáçåK 1281. `ìãìä~íáîÉ aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå ñ

c(ñ ) = m(u < ñ ) = ∫ Ñ (í )Çí I −∞

ïÜÉêÉ í áë ~ î~êá~ÄäÉ çÑ áåíÉÖê~íáçåK 1282. _Éêåçìääá qêá~äë mêçÅÉëë µ = åé I σ O = åéè I ïÜÉêÉ å áë ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ÉñéÉêáãÉåíëI é áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëë çÑ É~ÅÜ ÉñéÉêáãÉåíëI è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI è = N − é K 1283. _áåçãá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå  å Ä(åI éI è ) =   é â è å − â I â

323 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 12. PROBABILITY

µ = åé I σ O = åéè I

Ñ (ñ ) = (è + éÉ ñ ) I ïÜÉêÉ å áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ íêá~äë çÑ ëÉäÉÅíáçåëI é áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëëI è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI è = N − é K å

1284. dÉçãÉíêáÅ aáëíêáÄìíáçå m(q = à) = è à−Né I N è µ = I σO = O I é é ïÜÉêÉ q áë íÜÉ Ñáêëí ëìÅÅÉëëÑìä ÉîÉåí áë íÜÉ ëÉêáÉëI à áë íÜÉ ÉîÉåí åìãÄÉêI é áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó íÜ~í ~åó çåÉ ÉîÉåí áë ëìÅÅÉëëÑìäI è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI è = N − é K 1285. mçáëëçå aáëíêáÄìíáçå λâ −λ m(u = â ) ≈ É I λ = åé I â> O µ =λI σ =λ I ïÜÉêÉ λ áë íÜÉ ê~íÉ çÑ çÅÅìêêÉåÅÉI â áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëK 1286. aÉåëáíó cìåÅíáçå Ä

m(~ ≤ u ≤ Ä) = ∫ Ñ (ñ )Çñ ~

1287. `çåíáåìçìë råáÑçêã aÉåëáíó ~+Ä N I µ= I Ñ= Ä−~ O

324 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 12. PROBABILITY

ïÜÉêÉ Ñ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK 1288. bñéçåÉåíá~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå Ñ (í ) = λÉ −λí I µ = λ I σ O = λO ïÜÉêÉ í áë íáãÉI λ áë íÜÉ Ñ~áäìêÉ ê~íÉK 1289. bñéçåÉåíá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå c(í ) = N − É −λí I ïÜÉêÉ í áë íáãÉI λ áë íÜÉ Ñ~áäìêÉ ê~íÉK 1290. bñéÉÅíÉÇ s~äìÉ çÑ aáëÅêÉíÉ o~åÇçã s~êá~ÄäÉë å

µ = b(u ) = ∑ ñ á éá I á =N

ïÜÉêÉ ñ á áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI é á áë áíë éêçÄ~ÄáäáíóK 1291. bñéÉÅíÉÇ s~äìÉ çÑ `çåíáåìçìë o~åÇçã s~êá~ÄäÉë ∞

µ = b(u ) = ∫ ñÑ (ñ )Çñ −∞

1292. mêçéÉêíáÉë çÑ bñéÉÅí~íáçåë b(u + v ) = b(u ) + b(v ) I b(u − v ) = b(u ) − b(v ) I b(Åu ) = Åb(u ) I b(uv ) = b(u ) ⋅ b(v ) I ïÜÉêÉ Å áë ~ Åçåëí~åíK 1293. b(u O ) = s(u ) + µ O I ïÜÉêÉ µ = b(u ) áë íÜÉ ÉñéÉÅíÉÇ î~äìÉI s(u ) áë íÜÉ î~êá~åÅÉK

325 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 12. PROBABILITY

1294. j~êâçî fåÉèì~äáíó b(u ) m(u > â ) ≤ I â ïÜÉêÉ â áë ëçãÉ Åçåëí~åíK 1295. s~êá~åÅÉ çÑ aáëÅêÉíÉ o~åÇçã s~êá~ÄäÉë

[

]

σ O = s(u ) = b (u − µ ) = ∑ (ñ á − µ ) éá I O

á =N

ïÜÉêÉ ñ á áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI é á áë áíë éêçÄ~ÄáäáíóK 1296. s~êá~åÅÉ çÑ `çåíáåìçìë o~åÇçã s~êá~ÄäÉë

[

] ∫ (ñ − µ) Ñ (ñ )Çñ

σ = s(u ) = b (u − µ ) = O

∞

−∞

1297. mêçéÉêíáÉë çÑ s~êá~åÅÉ s(u + v ) = s(u ) + s(v ) I s(u − v ) = s(u ) + s(v ) I s(u + Å ) = s(u ) I s(Åu ) = Å O s(u ) I ïÜÉêÉ Å áë ~ Åçåëí~åíK 1298. pí~åÇ~êÇ aÉîá~íáçå

[

a(u ) = s(u ) = b (u − µ )

]

1299. `çî~êá~åÅÉ Åçî (uI v ) = b[(u − µ(u ))(v − µ(v ))] = b(uv ) − µ(u )µ(v ) I ïÜÉêÉ u áë ê~åÇçã î~êá~ÄäÉI s(u ) áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uI µ áë íÜÉ ÉñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ u çê vK

326 http://fribok.blogspot.com/

CHAPTER 12. PROBABILITY

1300. `çêêÉä~íáçå Åçî (uI v ) I ρ(uI v ) = s(u )s(v ) ïÜÉêÉ s(u ) áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uI s(v ) áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ vK

327 http://fribok.blogspot.com/