CIME - Revista Correo Pedagógico 16 by FrontFace

Correo Pedag贸gico 16

índice Editorial

La evaluación en el aprendizaje constructivista

Ing. Gustavo Saldaña

¿Qué son las matemáticas?

Extracto del boletín: “Matemáticas para todos”

Las matemáticas: algo más que números

Publicación semestral del

Extracto del boletín: “Matemáticas para todos”

Programa de Matemáticas de la SEP

El juego dentro del aula

Profr. José Chimal

Lic. Julia Raquel García Valdez

Asesoría: Productos

Áreas: secuencia por grados

Profra. Ma. de los Angeles Rojas

Profra. Lucía Gabriela Tapia

Diferentes formas de representación en la resolución de problemas

CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS

M. en C. César Octavio Pérez

Problemas de Olimpiada

M. en C. César Octavio Pérez

Alexei Tenorio, alumno de la Unidad Pedagógica J. Jacobo Rousseau, participa en Torneo Internacional Ing. Leticia Cerda Garrido de Robótica 37 Juegos con la decena

Profra. Ma. de los Angeles Rojas

Juego: “Alto numérico”

Profra. Vania Yelenia Díaz

Curso de acuarela

Disfraces

Director: Profr. Francisco J. Gutiérrez Espinosa

Consejo Editorial Colima Mónica Brambila Cortés Yolanda Brambila Cortés Alicia Pérez J. Chihuahua Guadalupe Martínez González Guillermo Zárate Distrito Federal José Chimal Rodríguez Gustavo Saldaña Jattar Luz del Carmen Fentanes Ricardo Chimal Espinoza Jalisco César O. Pérez Carrizales Lucía Gabriela Tapia Trillo Julia Raquel García Valdés Jorge Otaqui Martínez Ma. Elena Aedo Sordo Michoacán Brígido Morales Braz Nuevo León Gustavo Granados Pérez Carmen Casasús Delgado Yolanda Heredia Querétaro Flor Zaldumbide Ceceña

Correo Pedagógico 16

Editorial

preciables maestras, maestros: Con gusto presentamos nuestra revista 16. Nadie duda que vivimos “tiempos de evaluación”. Si bien en el CIME hemos propugnado que lo más importante en el proceso educativo es el aprendizaje, la evaluación desprende su importancia de ello. No podemos negar que la prueba ENLACE ha hecho salir del “amodorramiento académico” a muchas escuelas, lo que ha servido para tomar conciencia de la importancia de su labor. Sin embargo, creemos que estamos viviendo “el aprendizaje supeditado a la evaluación”, y no “la evaluación supeditada al aprendizaje”, desvirtuando la esencia misma del proceso educativo. ¿Cuál es el criterio de su escuela? En este número ponemos a su disposición los programas de matemáticas de la SEP de cada año escolar. Esperamos le sirvan. Recuerde que ya están considerados en nuestros cuadernos de planeación de clases, que Ud. recibió al inicio del curso. El juego es elemento y ambiente de vital importancia en nuestra propuesta. Le proponemos 2 temas básicos: productos y las decenas. Asesorías: Aunque han sido tratadas anteriormente, siempre tendremos ideas nuevas que nos apasionan: “Los productos y las áreas”. Además de 2 interesantes artículos para nivel secundaria. Felicitamos al alumno Alexei Tenorio, de la Unidad Pedagógica Juan Jacobo Rousseau por su triunfo en robótica, y agradecemos los comentarios muy elocuentes de la Ing. Leticia Cerda. Enhorabuena, Francisco Gutiérrez, Director.

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En esta edición mostramos algunos ejemplos de patrones geométricos del arte islámico.

La evaluación en el aprendizaje constructivista Ing. Gustavo Saldaña Jattar Investigador del CIME

EVALUACIÓN COMPULSIVA En la educación estamos viviendo una etapa con exceso de evaluaciones: la prueba Enlace, las evaluaciones internacionales, las de cada escuela, las de la inspección escolar, las del CIME, etc. Muchas de ellas sólo las utilizamos para ver la calificación, no las aprovechamos como retroalimentación para mejorar la calidad de la educación.

EL SENTIDO DE LA EVALUACIÓN La evaluación es una etapa de todo proceso que pretende verificar si lo que se hace es lo adecuado para lo que se quiere obtener. En los procesos de aprendizaje la evaluación es una etapa que sirve para verificar si verdaderamen te se están obteniendo los aprendizajes que se buscan.

Tantas evaluaciones nos ocupan demasiado y limitan el tiempo dedicado a la construcción de los aprendizajes. Las autoridades y los padres de familia presionan a las escuelas, los directores presionan a los maestros, los maestros presionan a los alumnos y esto genera un exceso de stress y de angustia. Los profesores pierden la autonomía en su trabajo para atender interrupciones frecuentes, los alumnos pierden la tranquilidad y el ritmo que requieren los verdaderos aprendizajes.

Una evaluación por sí misma no produce mejoras, necesita estar articulada en el proceso de que se trata y reflejar sus resultados en el conjunto de elementos que influyen, como por ejemplo: el ambiente escolar, los recursos con los que se cuenta, la formación de los profesores, la motivación por el aprendizaje tanto de los alumnos como de sus profesores, etc.

Hay una distorsión en buscar una supuesta eficacia (contestar bien las evaluaciones) a costa de la eficiencia (lograr verdaderos aprendizajes); se descuidan los demás aspectos de la formación (emocional, social, físico, lúdico, motivacional), a costa de lo intelectual (en el supuesto de que éste se logre). Se corre el riesgo de sujetar la educación a mecanismos de mercado, que si bien aportan información que puede ser útil, depende del sentido que se le dé para alimentar la relación maestro-alumno, y no únicamente para clasificar escuelas, maestros y alumnos.

La evaluación no es el fin ni la meta de ningún proceso, tampoco de los procesos de aprendizaje. Es decir, no hacemos las cosas para salir bien en la evaluación, sino que la evaluación es un instrumento o etapa para indicarnos si estamos logrando lo que deseamos. Cuando uno aprende algo o quiere que los demás lo aprendan, la evaluación nos deberá ayudar a ver si vamos por el camino correcto, para continuarlo, o si hay fallas o desviaciones, para corregirlo. Aprender significa adquirir un conocimiento por medio del ejercicio, el estudio o la experiencia, o modificar la conducta adaptándose

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a nuevas situaciones. Una evaluación del aprendizaje nos mostrará que podemos poner en práctica lo que hemos aprendido o que nos hemos enriquecido con dicho aprendizaje. Se llama evaluación formativa a la que tiene como propósito orientar al maestro en la planeación y ayudar a los estudiantes a identificar las áreas en las que necesitan trabajar. Esta evaluación ayuda a la formación a través del aprendizaje. Cuando las calificaciones se convierten en la norma, el mensaje que reciben los estudiantes es que sólo importan las respuestas correctas y no el pensamiento que las sustenta. En contraste la evaluación sumativa, es la que principalmente busca determinar el aprovechamiento, y por consecuencia asignar una calificación al estudiante. La diferencia entre ambas evaluaciones depende del uso que se hace de los resultados. Una misma evaluación puede emplearse para cualquier propósito. La intención del CIME es proporcionar fundamentalmente instrumentos formativos. LA EVALUACIÓN COMO HERRAMIENTA PERSONAL El mejor uso que podemos dar a la evaluación es a nivel personal, cuando uno tiene comprensión clara de lo que está haciendo y se siente de capaz de hacerlo bien, entonces procura verificarlo. Esto es parte de una evaluación personal. En la matemática constructiva tenemos la posibilidad de comprender claramente lo que estamos haciendo y de sabernos capaces de llegar al resultado con éxito. Una manera de encaminar a nuestros alumnos hacia esta evaluación personal, la tenemos en la posibilidad de comprobar todas las operaciones que hacemos en matemáticas, por medio de “la prueba” correspondiente, ya sea la operación inversa o la prueba en cruz, que consiste en una operación logarítmica simplificada en la multiplicación y la división. Es muy convenien-

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te favorecer el uso de estas pruebas para llegar a la certeza de los resultados. Llevar a cabo esta evaluación personal favorece varias habilidades, en primer lugar el “criterio de razonabilidad”, que consiste en esa intuición de que algo es razonablemente aceptable. Muy relacionado con esto también tenemos la estimación y la aproximación, habilidades muy útiles que nos permiten saber si el resultado está dentro de cierto rango de aceptación o no. Podemos identificar rápidamente si hemos cometido un error de detalle o uno de concepto, para revisar simplemente las operaciones o el planteamiento completo. De este modo se transforma en un aprendizaje integrador y con sentido, al permitir el desarrollo de múltiples habilidades que van desde la discriminación y el análisis comparativo hasta la capacidad de organizar los datos con que contamos y generar más información si es necesario. La capacidad de poder evaluar nuestras propias decisiones nos da mayor “poder sobre nuestras acciones” (empowerment), con verdadera “habilidad para responder” (responsabilidad). Los seres humanos tenemos una tendencia natural a hacer bien las cosas, o a mejorarlas siempre que sea posible. LA EVALUACIÓN COMO RETROALIMENTACIÓN La obtención de aprendizajes a través de procesos de construcción, nos ha demostrado que es más útil descubrir uno mismo los conocimientos en lugar de que el profesor nos los “enseñe”. Este criterio también se aplica para la evaluación: se aprende mejor cuando uno mismo descubre dónde está el error, para identificar la causa y corregirlo, en lugar de que otro nos diga en dónde nos equivocamos e incluso,

que resuelva los problemas como mago, sacando fórmulas y propiedades que la mayoría no recordamos ni entendemos. La retroalimentación oportuna y completa de las evaluaciones permite desarrollar las propias estrategias y evitar cometer los errores de manera repetida, al mismo tiempo que nos permite adquirir confianza en nuestras propias capacidades y seguridad en los resultados. Es útil hacer comentarios concretos sobre los errores o las estrategias fallidas, pero sobre todo pedir a los mismos estudiantes sugerencias de cómo mejorar y animarlos para que exploren y desarrollen sus propias estrategias, con preguntas como: “¿comprenden claramente lo que se pregunta?”, “si lo manejamos con datos más sencillos, ¿cuál será la respuesta?”, “¿en qué rango debe estar la respuesta?”, “¿qué cosas están bien hechas?” LAS EVALUACIONES DEL CIME En el CIME ofrecemos a las escuelas primarias que llevan nuestro método de matemática constructiva, dos tipos de evaluaciones. Una sobre los aprendizajes de los temas correspondientes al programa mediante el uso del geoplano y las regletas. Otra sobre los mismos temas o de aspectos relacionados con ellos, pero a partir de preguntas o problemas con varias opciones de respuesta, similares a las de la prueba Enlace Junto con ambas evaluaciones ofrecemos los cuadros de concentración, a fin de obtener información no sólo por alumno, sino por pregunta. Así es posible identificar qué temas son los que ya domina el grupo y cuáles necesita retomar, para no dejar lagunas de conocimientos. Un porcentaje inferior al 80% nos está mandando

una señal de alerta, para revisar por orden de prioridad los temas que más bajo porcentaje presenten. Estas evaluaciones constituyen un instrumento que puede ser muy útil, en primer lugar para las maestras de grupo, pues les da información sobre lo que están aprendiendo sus alumnos y los temas que ellas dominan. Los temas con respuestas superiores al 80% se pueden considerar con buen dominio, los que estén por debajo de ese nivel habrá que repasarlos. En segundo lugar son de gran utilidad para los coordinadores y directores de las escuelas, pues les da información puntual sobre los niveles de aprendizaje de los grupos, los resultados del uso del método constructivista y les permite identificar los focos rojos. Los principios que fundamentan estas evaluaciones son: El constructivismo pretende que los estudiantes construyan sus propios conocimientos, logren aprendizajes permanentes y útiles, sean capaces de aplicarlos en diferentes contextos y adquieran autonomía intelectual y emocional en su manejo. 1

La evaluación es una etapa del proceso de aprendizaje que sirve para detectar lo que va bien (para continuarlo) y lo que se puede mejorar (para corregirlo). 2

La evaluación debe ser congruente con los propósitos del constructivismo: • Formar para la autogestión • Favorecer la motivación • Saber aprovechar los diversos apoyos para la comprensión de las cosas: uso de materiales concretos, de gráficas, de simuladores, de procedimientos matemáticos, de lenguaje simbólico. 3

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PROPÓSITOS DE LAS EVALUACIONES EN UN PROCESO CONSTRUCTIVISTA: El propósito de estas evaluaciones es fundamentalmente formativo, tanto para los alumnos como para los profesores, con un enfoque de apoyo y servicio para estos últimos y las escuelas. Es posible también usarlas para dar calificaciones individuales, pero la condición indispensable para obtener provecho de la evaluación es la honestidad, tanto en la aplicación como en la calificación. 1

Nuestro enfoque de evaluación pretende detectar el nivel de aprendizaje y obtener una muestra palpable de los resultados obtenidos en el proceso y su aplicación en cada grupo. 2

Lograr que los reactivos sean más indicativos que exhaustivos. Se trata de tener una muestra de lo más representativo del temario, no de todos los temas vistos. 3

Buscar una imagen de los aspectos fundamentales, como son: • La capacidad de construir los conocimientos matemáticos. • El desarrollo de las habilidades del pensamiento. • Un apoyo a las habilidades emocionales. 4

Apoyar a los maestros de manera concreta y constructiva: • Con una muestra de cómo realizar sus evaluaciones sin quitarles responsabilidad de lo que a ellos corresponde. • Lograr la apropiación de esta metodología. • Como una herramienta para autoevaluarse en su propio proceso constructivista. 5

Complementar las funciones de asesoría y seguimiento del CIME en las escuelas. 6

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EVALUACIÓN CONTINUA Consiste en la aplicación de “sondeos” permanentes, de pruebas de destreza y conocimientos concretos que permitan tener una imagen continua del desempeño. Más que un método es un conjunto de métodos para vincular la evaluación con el aprendizaje y transformarla en un proceso formativo. Proporciona información sistemática tanto del desempeño de los alumnos como de los métodos de enseñanza empleados por el maestro, a través del avance en el dominio del conocimiento, y permite ver si el nivel de dificultad y el ritmo de aprendizaje son adecuados. Los resultados de algunas investigaciones demuestran que las evaluaciones frecuentes fomentan el aprendizaje y la retención, pues están relacionadas con la frecuencia. EVALUACIONES AUTÉNTICAS Se refieren a procedimientos que evalúan las habilidades del estudiante para resolver problemas importantes de la vida real, pensar creativamente y actuar de manera responsable. Las pruebas tradicionales evalúan destrezas que no tienen equivalentes en el mundo real; piden a los alumnos que resuelvan problemas que nunca volverán a encontrar; además esperan que lo hagan solos, sin la ayuda de herramientas y recursos y que lo hagan con límites extremos de tiempo. La vida real no es así. La solución de los problemas importantes necesita tiempo y a menudo requiere el uso de recursos, la consulta con otras personas y la integración de las destrezas básicas con la creatividad y el pensamiento de nivel superior. Las pruebas auténticas piden que los estudiantes apliquen las destrezas y habilidades como lo harían en la vida real. De la misma manera que un escultor modela un trozo de arcilla, un estudiante que enfrenta un problema difícil debe experimentar,

observar, rehacer, imaginar y probar soluciones, aplicar destrezas básicas y técnicas inventivas, hacer interpretaciones, decidir la forma de llegar al resultado, a menudo aceptar las críticas, organizar la información, regresar en sus pasos para hacer consciente el camino exitoso y concluir en la forma más adecuada de llegar a la solución. EL FRACASO EXITOSO El fracaso puede tener efectos positivos y negativos en el desempeño del estudiante. Parece que tanto una historia de completo fracaso como de éxito absoluto son una mala preparación para la vida. Todos tenemos que aprender a afrontar el fracaso en algunas ocasiones. Cierto grado de fracaso puede ser útil para la mayoría de los estudiantes, en especial si los maestros los ayudamos a sacar aprendizajes de ello. Es hora de que los educadores reemplacemos el éxito fácil con el desafío y la exploración. Tenemos que animar a los estudiantes para que avancen en su comprensión intelectual y descubran el privilegio de aprender de sus errores. Debemos tener tolerancia hacia los errores, desarrollar la capacidad de detectarlos, descubrir las causas y lograr su corrección. El criterio para juzgar el aprendizaje debe ser el éxito gradual más que el éxito continuo. CALIFICACIONES Y MOTIVACIÓN La diferencia entre trabajar por una calificación y hacerlo para aprender depende en gran parte de cómo se determine la calificación. Cada maestro puede utilizar las evaluaciones para motivar el aprendizaje. Si las evaluaciones se La verdadera motivación depende más del interés personal por explorar, por superar retos, por construir nuevos cono-

cimientos y por la satisfacción del éxito, que por una calificación o un premio. RECOMENDACIONES PARA MODIFICAR EL SENTIDO DE LA EVALUACIÓN: Evite reservar las altas calificaciones y las felicitaciones sólo para las respuestas tradicionalmente correctas. • Pregúntese para qué es la evaluación. • Premie con puntos adicionales a los procedimientos creativos. • Favorezca la exploración de diversas formas de llegar al resultado que propongan sus alumnos para enriquecer sus estrategias. • Refuerce a los estudiantes que discrepen de los métodos tradicionales. • Dé crédito parcial por respuestas en parte correctas. Asegúrese que los estudiantes tengan oportunidades razonables de éxito, sobre todo al inicio de un nuevo tema: • Aplique una evaluación previa para asegurarse de que sus alumnos tienen las habilidades necesarias como antecedentes del tema. • Cuando sea apropiado, dé a los estudiantes la oportunidad de repetir un examen para aumentar su calificación, pero asegúrese que el nuevo examen sea más difícil que el original. • Considere los esfuerzos fallidos como “incompletos” y anime a los estudiantes a revisar y mejorar.

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Equilibre la retroalimentación oral y escrita: • Permita que sus alumnos argumenten sobre sus respuestas. • Considere la posibilidad de hacer observaciones breves y estimulantes. • Cuando la calificación de un trabajo sea menor a la que el estudiante esperaba, asegúrese que le queda claro por qué obtuvo una menor calificación. • Ajuste los comentarios al desempeño del estudiante; no maneje estribillos. • Señale errores concretos, causas posibles, ideas para mejorar y también los trabajos bien hechos. Haga que las cahficaciones sean tan significativas como sea posible: • Vincule las calificaciones con el dominio de objetivos importantes. • Estimule trabajos que alienten a exploración. • Experimente con la invención de problemas y disfraces. Fundamente las calificaciones en más de un criterio: • En un examen emplee preguntas de diferente tipo: problemas, gráficas, operaciones, disfraces, opción múltiple, etc. • Tome en cuenta las explicaciones orales y las participaciones en clase.

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¿Qué son las matemáticas? Artículo extraído de: “ Matemáticas para todos ” Boletín electrónico elaborado y distribuido por: Educación y desarrollo, A.C. y el Instituto de Ingeniería de la UNAM. Año 8, número 77, febrero de 2008.

niciemos este controvertido tema con algunos comentarios presentados en el prólogo del excelente libro de Keith Devil titulado The Language of Mathematics: Making the invisible visible, (editorial Freeman and Company, Nueva York). A la pregunta: ¿qué son las matemáticas? Devil responde: “No son sólo números”, y nos pide que le hagamos esta misma pregunta a otras personas al azar. La primera respuesta que seguramente obtendremos será: “Las matemáticas son el estudio de los números” y con un poco más de insistencia nos dirán que las matemáticas se refieren a la “ciencia de los números”. De ser así, habremos obtenido una de las definiciones menos precisas que se tienen de esta materia desde hace 2,500 años. Con las respuestas de nuestros entrevistados podremos darnos cuenta de la poca importancia que se da a las matemáticas en nuestras actividades cotidianas y de lo que esto significa. Las respuestas obtenidas no deberán sorprendernos, pues de hecho, el significado de las matemáticas eran, efectivamente, el estudio de los números; con ellos realizaban operaciones aritméticas, controlaban los ingresos y las deudas, definían el tiempo y construían los templos. Entre el 500 y el 300 a. C., durante la época de la Grecia antigua, se dio gran importancia a la geometría y al uso de los números para medir la

longitud y las formas. Sin embargo, cuando los griegos encontraron que sus números no solucionaban los problemas de los números irracionales (como ), se detuvieron y definieron a las matemáticas simplemente como “el estudio de los números y las formas”. Para los griegos, las matemáticas fueron no sólo una materia utilitaria, sino un área estética y religiosa. Fue el gran Tales de Mileto quien planteó que las aseveraciones matemáticas debían estar probadas por argumentos lógicos. Así nació el teorema como parte formal de las matemáticas. Desde entonces, y hasta mediados del siglo XVII, no hubieron mayores cambios. Fue precisamente hasta el siglo XVII que Newton, en Inglaterra y Leibniz, en Alemania, inventaron el cálculo. Esta nueva rama de las matemáticas se encargaría esencialmente del movimiento, el cambio y el espacio. A partir del siglo XIX, además de ser utilizadas para el estudio de los números, las formas, el movimiento, el cambio y el espacio, las matemáticas se empezaron a utilizar como herramienta para estudiar y resolver temas que no son observables como la probabilidad, la estadística, la economía y la física cuántica. En el siglo XX se dio una gran explosión del conocimiento matemático. Como señala Devlin: en 1900, todo el conocimiento matemático podía ubicarse en 80 libros. En la actualidad, se requerirían varios millones de volúmenes para integrarlo. En 1900,

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo” Thomas Carlyle

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las matemáticas se podían dividir en más de doce áreas como la aritmética, la geometría y el cálculo; en la actualidad, podemos encontrar entre 60 y 70 categorías, algunas de estas podrían dividirse en materias como el álgebra y la topología, por ejemplo. Después de este somero recorrido por la historia de las matemáticas, podemos afirmar que éstas son definitivamente algo más que “el estudio de los números” y que nuestra percepción no les hace justicia alguna; tal vez tenga que ver con el bajo nivel de nuestros alumnos en esta materia. Nos ha hecho falta comentar algo sobre la filosofía de las matemáticas, la cual incluye el realismo matemático y discute el hecho de si las matemáticas fueron descubiertas o inventadas por el hombre.

Las matemáticas: Algo más que números Artículo extraído de: “ Matemáticas para todos ” Boletín electrónico elaborado y distribuido por: Educación y desarrollo, A.C. y el Instituto de Ingeniería de la UNAM. Año 8, número 78, marzo de 2008.

l usar y estudiar las matemáticas, el hombre se pregunta no sólo qué son éstas, sino qué hacen en su vida. En los últimos treinta años, se ha analizado qué estudian las matemáticas y cómo lo hacen. De ello ha surgido una nueva definición en la que casi todos los matemáticos coinciden: “Las matemáticas son la ciencia de los patrones o modelos”. Como Keith Devlin señala en su extraordinario libro The Language of Mathematics, editorial W.H. Freeman and Company, “las matemáticas se dedican al análisis de los modelos abstractos, por ejemplo, los modelos numéricos, de las formas, del movimiento, del comportamiento, de las oportunidades, de la naturaleza, del universo, etc. Es-

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tos modelos pueden ser reales o imaginarios, objetivos o mentales, estáticos o dinámicos, cualitativos o cuantitativos, con fines utilitarios o simplemente recreativos. Estos surgen de nuestras actividades cotidianas y han creado las diferentes ramas de las matemáticas”. Las matemáticas, en ninguna de sus formas, existen realmente en el mundo físico; siempre representan abstracciones que únicamente se hallan en la mente. Para lograr que estas abstracciones sean entendidas, analizadas y comunicadas a los demás, se han creado diferentes lenguajes, por ejemplo: las expresiones algebraicas, las fórmulas matemáticas, los diagramas geométricos, la graficación de resultados, etc. Al respecto, Devlin pone algunos ejemplos: “Es más apropiado explicar las características de una casa por medio de un plano que por medio de un texto, o que una pieza de musical sea leída para su interpretación de una partitura, a que esto se trate de hacer por los sentimientos que generan un dibujo del compositor”. De acuerdo con la filosofía de las maternáticas, y con los propios matemáticos, las matemáticas son bellas por sí solas, es decir, no hay lugar para las matemáticas feas o desagradables (aunque es muy difícil definir, con claridad, lo que es bello y lo que no lo es). Tal vez las matemáticas se refieren a la belleza de la lógica o a la de la reflexión de manera abstracta. Es como cuando a uno le parece agradable una melodía: puede ser que nuestro oído no esté entrenado para apreciar una pieza atonal, pero cuando se analiza y se entiende el mensaje del autor ésta puede ser mejor juzgada. La belleza de las matemáticas se detecta no sólo en sus planteamientos o procedimientos, si no también en su utilidad; con ellas se puede interpretar o explicar lo que no se puede ver, como la fuerza de la gravedad, las ondas electromagnéticas, las pre-

ferencias electorales, el diámetro de la Tierra. También con ellas podemos entender y explicar algunos fenómenos como el movimiento de los astros, el cálculo preciso del tiempo, los eclipses y otros más que, sin la intervención de las matemáticas, podrían parecer magia. Las matemáticas, junto con el lenguaje, son consideradas como la base del pensamiento humano, además del origen de la civilización y una manifestación clara de la cultura del hombre. La relación de las matemáticas con la lógica y el estudio del infinito fue planteada y discutida desde los griegos, sin embargo, no fue hasta que Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 -1716) estudió esta relación que inició lo que hoy conocemos como filosofía matemática, la cual forma parte de la filosofía analítica. La filosofía matemática analiza la lógica que existe dentro de as matemáticas y el lenguaje y tienen como principales estudiosos y referentes de ella a Ludwig Wittgenstein (1889-1951), Bertrand Russell (1872-1970) y George Edward Moore (1873-1958), todos ellos del Trinity College de la Universidad de Cambridge. En la actualidad, existen varias corrientes de estudio dentro de esta ciencia, una de ellas es la del realismo matemático, que establece que las matemáticas existen en la naturaleza y que, por lo tanto, los hombres no las inventaron sino que las descubrieron y que cualquier otro ser inteligente en el universo también las habría descubierto. Un ejemplo de esto es el planteamiento de que las figuras geométricas básicas, como los triángulos, los cuadrados y los polígonos, existen en general en la naturaleza y no son creaciones del hombre. Algunos de los matemáticos que soportaron el realismo matemático fueron Paul Erdos (1913-1995) y Karl Gödel (1870-1948). Como pueden ver nuestros queridos lectores, las matemáticas no son sólo los números y sus aplicaciones, también implican el cómo éstas intervienen en nuestras vidas y el cómo se

construyen o descubren. ¿ Qué piensan ustedes de esto?

Programa de Matemáticas de la SEP José Chimal Director académico del CIME

os contenidos que a continuación se presentan en forma matricial corresponden al programa de matemáticas para prima-

ria de la Secretaría de Educación Pública. El formato matricial en que se presentan responde al propósito de mostrar la continuidad y gradación de los temas para, a partir de esa información, inferir los temas básicos que indefectiblemente debe dominar el estudiante egresado de sexto grado de primaria.

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“Subejes”

Números naturales

PRIMERO Conteos. Agrupamiento y desagrupamiento en decenas y unidades. Lectura y escritura. Orden de la serie numérica. Antecesor y sucesor. Valor posicional.

• Planteamiento y resolución problemas sencillos suma y resta mediante diversos procedimientos sin hacer transformación.

• Introducción a ordinales.

1 a 100 • Algoritmo suma y resta sin transformación.

SEGUNDO Conteos. Agrupamientos y desagrupamientos en centenas, decenas y unidades. Lectura y escritura. Orden de la serie numérica. Antecesor y sucesor de un número. Valor posicional.

TERCERO Conteos. Agrupamientos y desagrupamientos en millares, centenas, decenas y unidades. Lectura y escritura. Orden de la serie numérica. Antecesor y sucesor de un número. Valor posicional.

• Planteamiento y resolución problemas diversos de multiplicación con números hasta de 2 cifras, mediante distintos procedimientos.

• Planteamiento y resolución de problemas más complejos de suma y resta con números hasta de 3 cifras, utilizando diversos procedimientos (p.e., problemas de búsqueda de faltantes o problemas que requieran 2 operaciones para su solución).

• Lectura y escritura de números ordinales.

De 4 cifras 1 a 9,999

CUARTO Lectura y escritura. Antecesor y sucesor de un número. Construcción de series numéricas. Valor posicional. Los números en la recta numérica.

• Planteamiento y resolución de problemas diversos de multiplicación.

• Planteamiento y resolución de problemas más complejos de suma y resta con números hasta de 5 cifras.

• Reglas para escritura de números ordinales y su uso en diferentes contextos.

De 5 cifras 1 a 99,999

• Construcción del cuadro de multiplicaciones.

• Algoritmo división con números de dos cifras entre una cifra.

• Planteamiento y resolución diversos problemas división, con números hasta de 3 cifras mediante procedimientos no convencionales (p.e., soluciones con apoyo dibujos, suma iterada, resta o multiplicación).

• Escritura convencional de • Multiplicación de números • Algoritmo de división, con dimultiplicación (con números 1 terminados en ceros. visor hasta de 2 cifras. cifra).

• Introducción a multiplicación • Algoritmo convencional de • Planteamiento y resolución mediante resolución problemas multiplicación. problemas de división, medianque impliquen agrupamientos y te diversos procedimientos. arreglos rectangulares, utilizando diversos procedimientos.

• Algoritmo convencional suma y resta con transformaciones.

• Planteamiento y resolución de diversos problemas suma y resta con números hasta de 3 cifras utilizando diversos procedimientos.

• Uso de números ordinales en contextos familiares para el alumno.

De 3 cifras 1 a 999 • Planteamiento y resolución de problemas de reparto de objetos.

QUINTO Lectura y escritura. Antecesor y sucesor de un número.

Construcción de series numéricas. Valor posicional.

Los números en la recta numérica.

• Planteamiento y resolución de problemas que impliquen dos o más operaciones con números naturales.

• Planteamiento y resolución de problemas que conduzcan a la descomposición de un número en sumandos o factores.

• Números romanos

De 6 cifras 1 a 999,999

• Uso de calculadora en resolución de problemas.

SEXTO

Lectura y escritura.

Antecesor y sucesor de un número.

Construcción de series numéricas.

Valor posicional.

Los números en la recta numérica.

• Planteamiento y resolución problemas diversos cuya solución implique dos o más operaciones.

• Mínimo común múltiplo [Múltiplo mínimo común]

• Múltiplos de un número.

• Reflexión sobre reglas del sistema de numeración decimal.

Los números naturales

• Uso de calculadora en resolución de problemas.

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Ejes:

Los números, sus relaciones y sus operaciones 1

“Subejes”

Números fraccionarios Números decimales

Ejes:

Los números, sus relaciones y sus operaciones 1

PRIMERO

SEGUNDO

TERCERO • Introducción de noción de fracción en casos sencillos (p.e.: medios, cuartos y octavos) mediante actividades de reparto y medición de longitudes. • Comparación de fracciones sencillas representadas con material concreto, para observar la equivalencia entre fracciones. • Representación convencional de las fracciones. • Planteamiento y resolución de problemas que impliquen suma de fracciones sencillas, mediante manipulación de material.

CUARTO • Fraccionamiento de longitudes para introducir nuevas fracciones (p.e., tercios, quintos, sextos). • Diversos recursos para encontrar equivalencias entre algunas fracciones. • Fracciones con denominador 10, 100, 1000. • Comparación de fracciones manteniendo constante el numerador o el denominador. • Ubicación de fracciones en la recta numérica. • Planteamiento y resolución de problemas que impliquen suma y resta de fracciones con denominadores iguales. • Algoritmo convencional de suma y resta de fracciones con igual denominador.

• Lectura y escritura cantidades con punto decimal hasta centésimos, asociados a contextos de dinero y medición. • Planteamiento y resolución problemas de suma y resta con números decimales asociados a contextos de dinero y medición.

QUINTO

• Ubicación fracciones en recta numérica.

SEXTO

• Planteamiento y resolución de problemas de suma y resta fracciones mixtas.

• Equivalencia y orden entre las fracciones.

• Fraccionamiento longitudes para introducir nuevas fracciones (p.e., séptimos y novenos).

• Utilización diversos recursos para mostrar equivalencia de algunas fracciones.

• Planteamiento y resolución problemas con fracciones cuyos denominadores sean 10, 100 y 1000.

• Conversión fracciones mixtas a impropias y viceversa.

• Simplificación de fracciones.

• Actividades para introducir las fracciones mixtas.

• Ubicación fracciones en recta numérica.

• Planteamiento y resolución problemas de suma y resta de fracciones con denominadores distintos mediante cálculo de denominador común.

• Planteamiento y resolución de problemas de suma y resta con números decimales hasta milésimos.

• Escritura en forma de fracción de números decimales; escritura decimal de algunas fracciones.

• Ubicación de números decimales en la recta numérica.

• Lectura y escritura números decimales.

• Planteamiento y resolución problemas suma y resta de fracciones con denominadores iguales y diferentes, mediante la equivalencia de fracciones.

• Algoritmo de suma y resta de fracciones utilizando equivalencias.

• Empleo de fracción como razón y como división en situaciones sencillas.

• Cálculo de porcentajes mediante diversos procedimientos.

• Lectura y escritura de números decimales, asociados a diversos contextos.

• Comparación y orden en números decimales.

• Equivalencia entre décimos, centésimos y milésimos.

• Planteamiento y resolución problemas diversos de suma y resta números decimales hasta milésimos.

• Planteamiento y resolución de problemas de multiplicación con números decimales hasta milésimos.

• Expresión de porcentajes en números decimales.

• Planteamiento y resolución problemas de división con números decimales entre números naturales.

• Planteamiento y resolución de problemas de división de números decimales entre números naturales.

• Uso de calculadora para resolver problemas.

• Planteamiento y resolución de problemas de multiplicación de números decimales. Planteamiento y resolución de problemas de división de números naturales con cociente hasta centésimos.

• Uso de calculadora para resolver problemas.

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Ejes:

“Subejes” Longitudes y áreas. • Comparación de longitudes de forma directa y utilizando un intermediario.

PRIMERO Longitudes y áreas. • Medición de longitudes y superficies utilizando medidas arbitrarias.

SEGUNDO Longitudes y áreas. • Medición y comparación de áreas utilizando unidades de medida arbitrarias y retículas.

TERCERO Longitudes, áreas y volúmenes • Resolución problemas que impliquen medición longitudes utilizando m, dm, cm y mm como unidades de medida.

CUARTO

QUINTO

• Uso instrumentos medición: báscula, recipientes graduados en ml y cl para medir líquidos.

• Lustro, década, siglo, milenio.

• Uso reloj y calendario.

• Situaciones sencillas que ilustren uso de ml y mg (p.e. empaques de medicamentos).

• Resolución problemas que impliquen uso instrumentos medición: regla graduada en mm y cinta métrica.

• Introducción a fórmula área de rectángulo, cuadrado y triángulo.

• Resolución problemas que impliquen medición superficies con el cm2 y m2.

• Planteamiento y resolución problemas diversos que impliquen cálculo perímetros. Medición área figuras lados rectos, utilizando cuadrículas.

• Introducción a noción volumen mediante diversas construcciones en que se utilicen cajas o cubos de masa o plastilina.

• Introducción del km como unidad que permite medir grandes distancias y recorridos largos.

Longitudes, áreas y volúmenes • Planteamiento y resolución problemas que impliquen cálculo perímetro polígonos y figuras curvilíneas utilizando diversos procedimientos.

• Resolución de problemas sencillos que impliquen medición de longitudes utilizando medio metro y cuarto de metro. • Resolución de problemas sencillos que impliquen uso de instrumentos medición: m sin graduar, regla graduada en cm.

• Medición de peso y capacidad utilizando k, ½ k, ¼ k, l, medio l y cuarto l. • Año, meses, semanas, días. • Uso de calendario para programar actividades e identificar fechas. • Lectura de reloj de manecillas: hs. min. • Expresiones media h y cuarto h. • Uso instrumentos medición: balanza y reloj.

• Introducción a estudio sistemático de S.M.D.: múltiplos y submúltiplos del l y del gr.

• Uso instrumentos medición: dinamómetro y báscula.

• Relaciones entre hora, minutos y segundos, asociadas a la resolución problemas (conversiones).

• Relación entre capacidad y volumen; relación entre dm3 y l .

• Introducción a estudio sistemático de S.M.D.: múltiplos y submúltiplos del m.

• Cm3 como unidad de medida del volumen.

• Medición volumen cubo y algunos prismas mediante conteo unidades cúbicas.

• Aproximación del área polígonos irregulares y figuras curvilíneas utilizando cuadrículas.

• Variación del área de una figura en función de la medida de sus lados.

• Relación entre perímetro y área de una figura.

• El km2 como unidad de medida para expresar superficie de grandes extensiones.

• Planteamiento y resolución de problemas que impliquen cálculo de áreas utilizando m2, dm2, cm2.

• Resolución de problemas que impliquen el cálculo del área de polígonos, trapecios y romboides por descomposición en cuadrados, triángulos y rectángulos.

• Comparación y ordenamiento de varias longitudes y áreas.

• Comparación de superficie de 2 figuras por superposición y recubrimiento. • Introducción uso regla graduada como instrumento que permite comparar longitudes.

• Uso de balanza para comparar pesos de objetos. • Medición de capacidad y peso de objetos utilizando unidades de medida arbitrarias. • Comparación y ordenamiento de varios objetos y recipientes, de acuerdo con su peso y su capacidad. • Uso calendario: meses, semanas, días.

• Comparación y ordenamiento de longitudes y áreas utilizando medidas convencionales.

• Resolución de problemas sencillos que impliquen uso de unidades medida convencionales: m, cm y cm2.

• Medición de longitudes utilizando unidades de medida arbitrarias.

• Comparación directa de capacidad de recipientes. • Comparación directa de peso de 2 objetos. • Uso de balanza para comparar peso de 2 objetos. • Medición de capacidad y peso de objetos utilizando unidades de medida arbitrarias. • Términos: antes y después; ayer, hoy y mañana; mañana, tarde y noche, asociados a actividades cotidianas. • Actividades que se realizan en una semana.

SEXTO

Longitudes, áreas y volúmenes • Perímetro del círculo.

• Uso de fórmulas para resolver problemas que impliquen cálculo áreas de diferentes figuras.

• Uso de la hectárea en la resolución de problemas.

• Planteamiento y resolución problemas sencillos que impliquen cálculo de volumen de cubos y de algunos prismas mediante conteo de unidades cúbicas.

• Fórmula para calcular volumen de cubo y de algunos prismas.

• Variación de área de una figura en función de medida de sus lados.

• Cálculo de área total de prismas.

• Profundización en estudio de S.M.D.: múltiplos y submúltiplos de m; algunos múltiplos y submúltiplos de m2, y m3.

Relación entre unidades longitud de S.M.D. y sistema inglés (metro y yarda, cm y pulgada, cm y pie, km y milla terrestre).

• Problemas que impliquen conversión de unidades de tiempo (año, mes, semana, día, hora, minuto y segundo).

• Introducción a algunos aspectos de la historia de la medición.

• Profundización en estudio de S.M.D.: múltiplos y submúltiplos de l y gr.

• Tonelada como unidad de medida.

• Relación entre unidades capacidad y peso del S,M.D. y el sistema inglés (l y gall, kg y lb).

14 Correo Pedagógico 16

Longitudes, áreas, volúmenes Capacidad, peso y tiempo

Medición 2

“Subejes”

Ubicación espacial Cuerpos geométricos Figuras geométricas

Ejes:

Geometría 3

PRIMERO Del alumno con relación a: • Su entorno • Otros seres u objetos De objetos o seres entre sí. Expresiones: arriba, abajo, adelante, atrás, derecha, izquierda.

• Elaboración de grecas.

• Trazo de figuras diversas utilizando regla.

• Identificación líneas rectas y curvas en objetos del entorno.

• Reconocimiento de círculos, cuadrados, rectángulos, triángulos en diversos objetos.

• Reproducción pictórica de formas diversas.

• Construcción de algunos cuerpos mediante diversos procedimientos (plastilina, popotes, otros).

• Clasificación de objetos o cuerpos bajo distintos criterios.

• Representación de objetos del entorno mediante diversos procedimientos.

• Introducción a la representación de desplazamientos sobre el plano.

Ubicación

SEGUNDO Del alumno con relación a: • Su entorno • Otros seres u objetos De objetos o seres entre sí.

• Dibujo y construcción de motivos utilizando figuras geométricas.

• Clasificación diversas figuras geométricas bajo distintos criterios (p.e., lados curvos y lados rectos, número lados).

• Construcción y transformación figuras a partir de otras figuras básicas.

• Trazo de figuras diversas utilizando la regla.

• Representación de cuerpos y objetos del entorno utilizando diversos procedimientos. • Clasificación objetos o cuerpos geométricos bajo distintos criterios (p.e. caras planas y caras redondas). • Construcción algunos cuerpos usando cajas o cubos.

• Los puntos cardinales. Representación desplazamientos sobre el plano: * Trayectos, caminos y laberintos. * Recorridos tomando en cuenta puntos de referencia.

Ubicación

TERCERO • Representación en plano de la ubicación de seres y objetos del entorno inmediato. • Representación de desplazamientos sobre el plano: trayectos tomando en cuenta puntos de referencia. • Diseño, lectura e interpretación de croquis. • Observación y representación de objetos desde diversas perspectivas. • Características de los cuerpos (p.e. número de caras, forma de las caras).

• Introducción a la construcción de cubos utilizando diversos procedimientos. • Representación gráfica cuerpos y objetos.

• Clasificación cuadriláteros y triángulos a partir de sus características: igualdad de lados, paralelismo, perpendicularidad y simetría. • Construcción y transformación figuras a partir de otras figuras básicas. • Simetría. • Ejes simetría de una figura (identificación y trazo). • Construcción y reproducción figuras mediante diversos procedimientos. • Trazo de líneas paralelas y perpendiculares mediante doblado de papel. • Uso regla para trazar líneas y figuras.

• Representación puntos y desplazamientos en el plano.

CUARTO

QUINTO

SEXTO

• Construcción a escala de croquis de entorno.

• Uso de ejes de coordenadas cartesianas.

• Construcción y armado de patrones de prismas, cilindros y pirámides.

• Lectura de mapas.

• Construcción y armado de patrones de cubos y prismas.

• Trazo y reproducción de figuras utilizando regla y compás.

• Construcción y reproducción figuras utilizando dos o más ejes simetría.

• Clasificación figuras utilizando diversos criterios (p.e. tamaño lados, número lados, medida de ángulos, número de vértices, pares de lados paralelos, diagonales iguales, diagonales diferentes, puntos intersección de diagonales, número ejes de simetría, etc.).

• Construcción figuras a partir de sus diagonales.

• Reconocimiento de semejanzas y diferencias entre 2 figuras a escala.

• Construcción figuras a escala.

• Construcción de figuras a escala (casos sencillos).

• Clasificación de figuras utilizando diversos criterios (p.e., igualdad ángulos, igualdad lados, paralelismo y simetría).

• Uso del compás para trazar círculos.

• Uso de regla, escuadra y compás para trazar figuras a partir ejes simetría, líneas paralelas y perpendiculares.

• Trazo de figuras utilizando regla y escuadra.

• Las coordenadas de un punto.

• Introducción de ejes de coordenadas cartesianas para ubicar seres u objetos en mapas o croquis.

• Diseño, lectura e interpretación de croquis y planos. • Lectura e interpretación de mapas.

• Clasificación cuerpos geométricos bajo criterios: forma de las caras, número de caras, número de vértices y número de aristas. • Actividades para introducir construcción de cuerpos geométricos (p.e., mediante trazo de forros con restricciones). • Comparación ángulos, en forma directa y con intermediario. • Uso transportador en medición ángulos. • Clasificación figuras geométricas a partir de número lados, número lados iguales, ángulos iguales y número ejes simetría. • Reconocimiento de diferentes triángulos respecto a sus lados y ángulos (triángulo isósceles, escaleno y equilátero; triángulo rectángulo). • Trazo de alturas de triángulos (casos sencillos). • Composición y descomposición de figuras geométricas. • Trazo de líneas paralelas y perpendiculares utilizando diversos procedimientos. • Trazo de círculo utilizando una cuerda.

Correo Pedagógico 16 15

Ejes:

Tratamiento de la información Procesos de cambio

“Subejes”

PRIMERO • Planteamiento y resolución de problemas sencillos que requieran recolección, registro y organización de información utilizando pictogramas. • Resolución de problemas y elaboración de preguntas sencillas que puedan responderse a partir de una ilustración.

SEGUNDO • Planteamiento y resolución de problemas sencillos en que se requiera recolectar y registrar información periódicamente.

TERCERO

• Invención y redacción de preguntas a partir de enunciados que contienen datos numéricos.

• Interpretación de información contenida en ilustraciones, registros y pictogramas sencillos. • Resolución e invención problemas sencillos elaborados a partir de información que aporta una ilustración. • Invención de problemas a partir de expresiones numéricas dadas.

• Resolución e invención de preguntas y problemas sencillos que puedan resolverse con datos que contiene una ilustración.

• Predicción de hechos y sucesos en situaciones sencillas en las que no interviene el azar. • Identificación y realización juegos en los que interviene o no interviene el azar.

• Representación de información en tablas de frecuencia y gráficas de barras.

• Recolección y registro datos provenientes de la observación.

CUARTO

• Recopilación y análisis de información de diversas fuentes.

• Análisis tendencias en gráficas de barras: promedios, valor más frecuente, mediana.

• Organización de información en tablas, diagramas, gráficas barras o pictogramas.

QUINTO

SEXTO

• Organización de info en tablas, diagramas, gráficas de barras o pictogramas.

• Análisis de tendencias en gráficas de barras: promedios, valor más frecuente, mediana.

• Uso de frecuencia relativa en resolución problemas.

• Recopilación y análisis de info de diversas fuentes.

• Análisis de problemas en los que se establezca si hay suficiente info para poder resolverlos y se distinga entre datos necesarios y datos irrelevantes.

• Planteamiento y resolución problemas que impliquen elaboración tablas y gráficas de variación proporcional y no proporcional.

• Los productos cruzados como método para comprobar si hay o no proporcionalidad.

• Planteamiento y resolución de problemas de porcentaje.

• Registro en tablas y gráficas de resultados de diversos experimentos aleatorios.

• Comparación dos eventos a partir de número de casos favorables sin cuantificas su probabilidad.

• Uso de diagramas de árbol para contar número de resultados posibles en experimentos sencillos.

• Experimentos aleatorios y análisis de resultados posibles y casos favorables.

• Análisis e interpretación de gráficas para hacer predicciones.

• Uso diagramas árbol para resolver problemas de conteo. Lista de resultados posibles.

• Problemas que impliquen arreglos o permutaciones de dos o tres objetos. Lista de resultados posibles.

• Relaciones entre datos una • Análisis de tendencias en tabla de proporcionalidad di- tablas de variación proporcional y no proporcional. recta. • Relación entre situaciones • Elaboración gráficas de va- de variación y las tablas y gráriación proporcional y no pro- ficas correspondientes. porcional. • El valor unitario como proce• Planteamiento y resolución dimiento para resolver ciertos problemas de proporcionaproblemas de porcentaje. lidad.

• Elaboración tablas de variación proporcional y no proporcional para resolver problemas.

Uso de frecuencia absoluta en manejo de la información. • Análisis e interpretación de información proveniente de pequeña encuesta. • Problemas sencillos que introduzcan al alumno a la elaboración de tablas de variación proporcional.

• Registros de resultados experimentos aleatorios. • Representación de resultados de un experimento aleatorio en tablas y gráficas. • Uso de expresiones más probable y menos probable en predicción resultados. • Realización juegos o experimentos cuyos resultados dependen del azar.

• Identificación de la mayor o menor probabilidad de los eventos.

16 Correo Pedagógico 16

Predicción y azar 6

El juego dentro del aula Lic. Julia Raquel García Valdez Capacitadora del CIME

na de las actividades más importantes que ayudan a desarrollar una clase constructiva es sin duda alguna el juego. Es a través de él como se prepara y motiva la clase, además se estimula la creatividad y se desarrolla la habilidad de resolver problemas creando una atmósfera de aprendizaje divertido y alegre que sirve no sólo para transmitir conocimientos, sino que además permite manifestar aptitudes y actitudes positivas por parte de los alumnos. Es el juego más antiguo que la cultura, se encuentra en una amplia vinculación con el tiempo, es una manifestación que no tiene un fin fuera de sí mismo. Como realidad comprende al mundo animal y al mundo humano, no se relaciona o se reconoce en una etapa de la humanidad; simplemente es una expresión de la vida. El juego es un generador de valores que van más allá de una actividad cognitiva con propósitos exclusivamente pedagógicos. El juego tiene además algunas otras funciones descritas por Hugo del Pozo de la siguiente forma: ‘El juego actúa sobre el sistema nervioso como un estimulante del crecimiento...”

Podemos decir entonces que la forma en que el niño juega y el tipo de juego elegido son determinados sin duda por el medio en que se desarrolla e influye en forma significativa sobre su educación. Frobenius expresa que: ‘el juego sirve para actualizar, representar, acompañar y realizar el acontecimiento cósmico.”De tal forma el juego tendrá mayor o menor valor educativo según sus condiciones psicológicas, capaces de desarrollar valores morales y físicos. Como el juego es la actividad más característica y espontánea, es lógicamente la base del proceso educativo en los primeros años. Por medio de él se expresa la vida, se introduce al mundo real, da sentido de confianza en sí mismo y se aprende la ayuda mutua. Para un niño no existe la diferencia entre juego y realidad; los caracteres fundamentales de su mundo son los mismos. De esta manera, poco a poco se va adaptando a las necesidades de su medio favoreciendo aspectos psicológicos, cognitivos, sociales, de higiene, de salud, en una palabra: “integra” al niño al mundo que le rodea de forma placentera y divertida. OBJETIVOS DE LOSJUEGOS

“El juego alivia y apacigua cuando se siente uno colérico...”

Se pueden clasificar algunos objetivos del juego de la siguiente forma:

“El juego adorna la vida, siendo algo que la complementa como función biológica...”

Contribuyen al desarrollo multilateral a través de actividades físicas y recreativas encaminadas al desarrollo dinámico y de productividad. 1

Correo Pedagógico 16 17

Forman hábitos diligentes y de valores morales que desarrollan la tenacidad y perseverancia. 2

Poner a jugar a aquellos alumnos que más lo necesitan. 4

Explicar claramente los juegos y no abusar de la cantidad de su aplicación, realizar máximo 3 juegos por clase y en el siguiente orden: primero los de mayor movimiento, en seguida los de organización y por último los más sencillos (los que no necesitan explicación). 5

Forman hábitos de trabajo colectivo.

Desarrollan aspectos de la personalidad como son: la decisión, la modestia y la disposición para vencer obstáculos. 4

Desarrollan la motricidad infantil relacionada con el desarrollo intelectual y la formación del carácter. 5

Cultivan relaciones sociales y espíritu de solidaridad al trabajar en grupos o equipos.

Si el grupo es muy numeroso, organizar equipos con líderes para cada uno. Poner juegos sencillos y complicarlos cuando los equipos y sus líderes se hayan integrado armoniosamente. 6

Forman hábitos de postura correcta, de higiene y de la mejor utilización del tiempo libre. 7

PEDAGOGÍA DE LOS JUEGOS

El docente debe guiar las actividades y motivar la participación inyectando entusiasmo en todo momento que el juego lo requiera. Por último, 4 puntos que no se deben olvidar sobre el juego para lograr obtener mayor utilidad:

Como principio básico dentro del aula, el juego debe tener un contenido educativo y sus factores principales es hacerlos contínuos y entusiastas, no se debe ver cómo una obligación molesta sino transmitir el espíritu del juego para mantener el interés de los alumnos. Se deben tomar todos los aspectos evitando los extremos y facilitar la disciplina y control del grupo, el espacio y el juego mismo.

- El azar no debe ser la constante de los juegos.

¿Qué principios se deben observar al poner un juego en el salón de clase?

El juego no es particular de los niños, ya que es una actividad que disfrutan los jóvenes y los adultos. Es importante no olvidar esto en nuestro trabajo docente ya que lamentablemente hay quien piensa que cuando los alumnos ya son “grandes” no les gusta jugar, recordemos que motivar el entusiasmo e interés del alumno por el aprendizaje se logra fácilmente a través del juego y que es la estrategia didáctica más eficaz para lograr aprendizajes significativos.

La relación del juego con la edad e interés del niño. 1

El tiempo coordinado con la reacción física y emotiva del alumno. 2

Mantener el interés del juego y suspender antes que caiga la motivación. 3

18 Correo Pedagógico 16

- Utilizar la adaptación de algunos juegos conocidos para que los alumnos los puedan desarrollar. - Reglas sencillas y desarrollos cortos. Hacer juegos atractivos en la presentación y desarrollo.

Asesoría

v v v v v 5

Productos Profra. Ma. de los Ángeles Rojas Colaboradora del CIME

Antecedentes: Trenes de diferente color, trenes de igual color. Figuras geométricas: cuadrados y rectángulos. Dictado de cantidades empleando regletas usando decenas y unidades. Objetivo: Manejar los factores y divisores de un producto. Conocer las multiplicaciones y divisiones. En la primera etapa se puede pedir que los niños escojan 3 colores y hagan alguna figura. Después se comenta usando la palabra “veces”. Ejemplo: ¿cuántas veces usaste la regleta rosa en tu figura? ¿Cuántas veces usaste la regleta roja en tu figura? Se pide que se forme el tren del producto que se va a trabajar. Ejemplo: Número 15.- Usar como base una regleta naranja y agregando regletas a su elección hasta completar el número 15. Después se pide que los niños formen todos los trenes posibles de igual color que midan 15. En este caso, los niños, después de explorar, usarán regletas verde claro, amarillas y blancas. Una vez que se tienen todos los trenes se toman las regletas que son de color verde claro, se unen una seguida de la otra para formar un rectángulo que se lee: “5 veces 3 es igual a 15”.

5 veces 3 = 15

Se toman las regletas amarillas y se forma el rectángulo que se lee: “3 veces 5 igual a 15”.

a a a 5

3 veces 5 = 15

El tren blanco se leerá: “15 veces 1 es igual a 15”. El rectángulo verde se hace coincidir con el amarillo para comprobar que son iguales. Entonces, se concluye que: “5 veces 3 es igual a 3 veces 5”. Se toma una regleta de cada rectángulo, un representante de cada uno y se forma el avión:

Que se leerá así: “3 veces 5 ó 3 x 5 = 15” (El factor es la regleta de arriba). Se forman también las “lunas” correspondientes, que se irán coleccionando en el salón de clases.

En la 2a parte se mide el producto 15 con las regletas de los divisores, preguntando: “En el tren del 15, ¿cuántas veces cabe la regleta verde claro?” R= “Cabe 5 veces, porque 5 veces 3 es igual a 15”.

Correo Pedagógico 16 19

Como puede observarse los factores y divisores van de la mano, por eso es importante favorecer la reversibilidad en el manejo de los productos.

para que los niños aprendan productos, una vez que han construido el conocimiento.

El libro se contestará a partir del manejo del material. Los niños marcarán las regletas en el rectángulo que aparece en el libro, usando los colores correspondientes. El libro presenta todas las maneras de escribir la división: 15 ÷ 5 = 15/ 5 = 5 15 = 15 entre 5. Se leerán todas las expresiones para que los niños las reconozcan y las manejen. Los productos ya vistos se repasarán con ejercicios como los siguientes para que aprendan los factores cada uno. Se juega a los aviones pidiendo: a) Muestren el avión del producto 8, 6, 4, 12 (en el caso del producto 12 mostrarán 2 aviones, que son 3 x 4 y 6 x 2). b) Digan a qué producto corresponde este avión (se muestran aviones de los productos ya vistos). c) Plantear: “Quiero hacer el avión del...15, y sólo tengo esta regleta (muestra la regleta amarilla). ¿Cuál regleta me falta? d) En las paredes del salón estarán pegadas las lunas de los productos ya vistos, así que se puede pedir que pasen a señalar el producto 8, 6, 4, 12, 10, 15, etc.

Cada vez que se ve un producto nuevo se agrega a la colección y forma parte de los juegos de afirmación. Se manejan las antenas para adquirir habilidad en el manejo de factores y divisores como ejercicios rápidos.

x 3 4 5 7 2 1

÷ 12 3 4 6 2 1

Se utiliza la multiplicación y la división en disfraces. Ejemplo:

5=(3x4)-(2x4)+1 6 = ( 12 ÷ 4 ) + 3

e) Señalar lunas y que los niños digan a qué producto corresponden.

Se aplican en resolución de problemas propuestos e inventados por los niños.

f ) Se puede jugar a la lotería, concursos, adivinanzas, etc., según la creatividad de la maestra

Dentro de los 37 productos se encuentran los cuadrados y los cúbicos, los cuales se tratarán

20 Correo Pedagógico 16

de la siguiente forma: - Se siguen los pasos anteriores hasta donde se toman las regletas de igual color para formar la figura; en este caso, un cuadrado. Ejemplo:

gletas que valen 2”. Es decir, 2 x 2 x 2 = 8, y eso se escribe así: 23 = 8. Se pide a algunos niños que pasen y lo expliquen con sus propias palabras. Se forman los siguientes productos cúbicos hasta el 1000. Control del dominio de productos. Antenas.

Que se lee: 4 veces 4 es igual a 16. Se piden las características del cuadrado: lados iguales, ángulos rectos, etc. - Se dirige la atención sobre estar seguros y comprobar qué es un cuadrado, es decir: “Es el cuadrado del 4, o sea 4 al cuadrado, que se escribe así: 42”. “Así como al árbol lo sostiene la raíz, a este cuadrado del 16 lo sostiene el número 4”. Entonces, la raíz cuadrada de 16 es 4 y se escribe así: 16 = 4 Se continúa de la misma manera que el producto anterior (15) y se usa en disfraces. Ejemplo: 6=

16 + 2

- 10

Producto cúbico. Ejemplo: producto 8. Después de formar un rectángulo de 4 x 2 y 2 x 4 se toman las 4 regletas rojas y se forma un cubo. Se piden las características de un cubo: Lados iguales y 6 caras cuadradas. Una vez que comprueban que es un cubo, entonces se dirige la atención sobre el valor: “Este cubo vale 8 porque tiene 2 pisos de 2 re-

x 2 7 2 5 6 8 1 3 9 0 4

x 3 9 3 6 1 7 4 0 5 8

x 4 6 4 1 7 8 5 9 0

x 5 5 9 6 0 1 8 7

x 6 7 6 1 8 0 9

x 7 0 7 9 1 8

x 8 1 8 0 9

x 9 0 9 1

Correo Pedagógico 16 21

Maestro: Estas antenas funcionan como “prueba de exploración” para los grupos de 3o de primaria en adelante. Aplíquelas desde el inicio del tema de productos y posteriormente para identificar a los alumnos que todavía tienen fallas y específicamente qué productos necesitan repasar. Utilice el “block de antenas” para hacerlas con rapidez. Escriba los números en el pizarrón cambiando el orden en cada ocasión. No escriba el factor sino hasta el momento de empezar a contestarlas. Tome el tiempo que necesitan para contestar cada antena, calculando al inicio, para los niños más lentos, el triple del que utilizan los niños más rápidos (cuando los niños dominan los productos contestarán en un lapso de 20 - 25 segundos cada antena). Califique de inmediato variando la forma: Personal, intercambio por filas o hacia adelante o atrás. De vez en cuando haga un muestreo para verificar de manera aleatoria o con quienes tenga dudas. Realice ejercicios de repaso con los productos que presenten más fallas. Lleve el control cada semana con las antenas de los productos vistos. Aspectos matemáticos que integran los productos En la cuadrícula de la derecha representa los productos 56 y 16. ¿Qué forma tiene cada producto? 1

56__________________________ 16__________________________ 22 Correo Pedagógico 16

Termina la tabla, usa la figura anterior.

1x7= 2x7= 3x7= 4x7= 5x7= 6x7= 7x7= 8x7=

¿Qué relación encuentras entre la tabla y las divisiones?

Resuelve los siguientes disfraces:

92 + (

1 9

de 81) =

82 + 4 = 3

Divide:

7 56

8 56

56 56

3 8

2 56 Completa las siguientes divisiones con divisores que tú elijas:

28 4

Convierte trenes en aviones:

a+a+a+a=

5+5+5+5=

7+2+5+2+2+7+7+5= 3+2+3+2+2+5+5+3= 5

729 + 405 + 81 81

Aviones que se convierten en torres.

3 x 3 x 3 x 3 = 34 5 x 5 x 5 x 2 x 5 x 2 x 3 x 2 x 2= 3 x 2 x 3 x 4 x 4 x 2 x 2 =

= 18

de 72 + 64 = Antenas

x 7 8 5 2 6 9 3 4 7

Chocolates de colores “La fábrica de chocolates confitados ha producido barras de 10 colores diferentes. Cada barra cuesta igual que su valor en pesos. Todas las ventas se registran en tablas de variación. La siguiente tabla (página siguiente) quedó incompleta; ayuda a terminar el registro de ayer.” Maestro: Se sugiere repartir entre los equipos pequeñas bolsas de plástico para facilitar esta actividad. Emapaca en las bolsitas que se te van a entregar, las barras que representan las regletas para hacer los conteos:

Correo Pedagógico 16 23

Barras de chocolate en c / paquete

Total de barras de chocolate

Costo total

$ 90

Color

Número de paquetes

$ 36 2 25 $ 48

El problema anterior fue tomado de un grupo de 2o de primaria, en el que la profesora lo trabajó por equipos desde el primer semestre, con muy buenos resultados. Juguemos para dominar los productos Lotería Cada alumno cuenta con una tarjeta de 9 lunas, la maestra dicta los productos y cada niño pone una ficha en la luna correspondiente. Ganador: Puede ser el que llena 3 en diagonal, horizontal o vertical, o puede ser el que llene primero su tarjeta. Naipes 1 Se reparten los naipes entre 4 jugadores. Las tarjetas con los soles se colocan al centro hacia abajo. Por turnos cada jugador toma una tarjeta del centro. Si tiene el naipe correspondiente al sol que acaba de tomar, lo coloca al frente verbalizando ( Ej: “4 veces 9 = 36” ). Si no tiene el naipe pasa el siguiente jugador. Gana el primero que se quede sin naipes. Parejas Se juega entre 2 compañeros, uno tiene los naipes y otro las tarjetas de soles. El primer jugador tira un naipe y el otro jugador 24 Correo Pedagógico 16

pone inmediatamente el sol correspondiente. Si se equivoca, el primero recupera su tarjeta y el segundo deja su tarjeta a un lado. Gana el jugador que tenga menos tarjetas perdidas. Cuadro de colores Se juega entre dos alumnos. Se pone el tablero al centro y un jugador coloca una regleta en cada color (la que se vaya a repasar, ya sea 7, 8, 9, etc.) El otro jugador dice el producto que resulte. Ganador: a 10 tiradas, el que no se equivoque. Se recomienda tener su tabla de Pitágoras para verificar los productos, si hu-

biera duda. Soles y naipes Cada alumno tiene su hoja de soles y algunas fichas. El maestro pasa de relámpago un naipe; el niño coloca una ficha en el sol correspondiente. Pueden ser 5 ó 6 tiradas y hacer un alto para verifcar. La maestra tendrá una línea de tiradas que le ayudará a revisar las fichas correctas:

Áreas: Secuencia por grados Profra. Lucía Gabriela Tapia Trillo Capacitadora del CIME

resentamos a continuación la relación de contenidos que guiarán el trabajo en el aula y los antecedentes y consecuentes que te servirán de apoyo para manejar el concepto de área de acuerdo a tu grado, dejando en libertad al docente la creación y el manejo de estrategias que faciliten la comprensión de conceptos. Primer grado: En este grado se inicia el concepto de área al trabajar: 1 2

Rompecabezas (en forma de cuadros) Encontrar cuadros en figuras en el geoplano.

Segundo grado: Partiendo del antecedente de primero, el estudio de las áreas continúa con: El concepto de unidad de perímetro y área. 2 Áreas sin dificultad (son las figuras que se cortan en cuadros). 1

• Durante el estudio de estas se trabajan varios ejercicios de perímetro y área en su cuaderno de registro rectilíneo. • Invención de figuras dando el valor del perímetro (contar las unidades de área). • Invención de figuras dando el valor del área (contar las unidades de perímetro). • Invención de figuras dando el perímetro y área. • Invención de problemas de área y perímetro aplicando la reversibilidad. 3

Áreas de primera dificultad (son figuras

que tienen diagonales de 45o). • Se lleva al alumno al concepto de éstas. • Se trabajan en el geoplano y se registran varios ejercicios en donde el alumno saque solamente el área de las figuras. • Invención de figuras dando el número de unidades cuadradas. • Invención de problemas aplicando la reversibilidad. Corte de figuras en cuadros, triángulos y rectángulos (antecedente de las áreas de 2a dificultad). • Hacer varios ejercicios de estos en el geoplano y en el registro rectilíneo. 4

Obtener el área de una figura cortando en cuadrados, triángulos y rectángulos sacando el área de cada figura y sumando el total de las áreas (sin fórmula). 5

Tercer grado: Durante este grado el estudio de las áreas inicia retomando lo visto en segundo (frecuencia) y se aumenta el estudio de: Las áreas de segunda dificultad. Son las figuras que no tienen diagonales de 45o. •Siendo el antecedente de éstas el corte en figuras (segundo grado) • El estudio de la geometría del cuadrado, rectángulo y triángulo (tercer grado). 1

Para obtener el área de estas figuras se cortan en cuadrados, rectángulos y triángulos. 2

Se realizan ejercicios en donde el alumno practique el corte de figuras en figuras conoci3

Correo Pedagógico 16 25

das (cuadrado, rectángulo y triángulo). Se obtiene el área de las figuras haciendo los cortes y sacando de manera individual el área de las figuras resultantes utilizando su fórmula. 4

Para su aplicación se trabaja la invención de problemas. 5

Cuarto grado. Trabajar lo visto en tercero (frecuencia) • No olvide que hasta este momento el estudio de las áreas se ha hecho con medidas arbitrarias (etapa concreta: uso del geoplano). En este grado: - Se da el paso a las medidas convencionales llevando la misma secuencia , pero realizando los ejercicios en el cuaderno de centímetro cuadrado. Quinto grado: Comenzamos trabajando frecuencia de lo visto en grados anteriores. 1 Hasta llegar a hojas en blanco (etapa abstracta), donde el alumno ya debe hacer uso de las fórmulas para sacar el área y perímetro de cualquier figura. Aplicación de problemas e invención por parte del alumno. 2

Sexto grado. Reafirma los antecedentes que trae de los grados anteriores. 1

Introduce el área del círculo.

Obtiene el área de polígonos regulares e irregulares (líneas curvas y rectas). 2

Nota: Al estudiar las áreas se trabaja también el perímetro de las figuras.

26 Correo Pedagógico 16

México, D. F. junio de 2008.

El Centro de Investigación de Modelos Educativos

Felicita A los maestros que en junio del 2008 finalizaron el

Diplomado en Matemáticas Constructivas Llevado a cabo en la Ciudad de México de septiembre de 2007 a junio de 2008. Con gran regocijo terminaron su diplomado un nutrido grupo de maestras y maestros.

Felicitamos a su coordinador:

Ing. Gustavo Saldaña y a su equipo de capacitadores:

Mtro. Esteban Martos Mtra. Rosa Araceli Rotaeche Mtra. Adriana Ingelmo Mtra. Ma. de los Ángeles Rojas

¡Enhorabuena! Profr. Francisco J. Gutiérrez., Director del CIME.

Diferentes formas de representación en la resolución de problemas M. en C. César O. Pérez Carrizales

n este artículo discutiremos diferentes formas utilizadas por los alumnos al resolver problemas de tipo algebraico, discutiremos ventajas y desventajas de cada una de estas formas y analizaremos cómo pueden ser aprovechadas para llevar a los alumnos a un razonamiento de tipo algebraico. El problema es el siguiente: En un corral hay conejos y gallinas. Cada conejo tiene 4 patas, cada gallina tiene 2 patas. Si contamos las cabezas de los animales se tienen en total 39 cabezas. Si contamos las patas hay un total de 122. ¿Cuántos animales de cada tipo hay en el corral? Forma uno: solución icónica. Esta forma de solución puede encontrarse en niños de primaria y niveles básicos de secundaria. Primero, dibujan las cabezas de los animales.

Después a cada animal le dibujan dos patas.

Y finalmente, van agregando dos patas a cada animal hasta completar las 122 patas

A esta forma de solución le llamaremos icónica (icono: imagen). Esta forma de solución tiene la característica de que las imágenes son parte importante del proceso de solución, el razonamiento se realiza sobre ellas. El razonamiento usado en la resolución es claro para el alumno, pero tiene la desventaja de que es impráctica para números muy grandes. Si se muestra esta solución a alumnos de segundo de secundaria, normalmente alguno señalará que él lo comenzó a resolver de esa manera, cuando se le pregunta porqué no continuó, la respuesta habitual es que no creyó que se valiera resolverlo de esta manera. Hay varias preguntas que conviene plantear: ¿Un alumno que resuelve un problema de esta forma está haciendo matemáticas? ¿Debemos aceptar una solución de este tipo? Algunos maestros opinan que una solución de este tipo es válida para un alumno de primaria, pero que no debe ser aceptada en alumnos de niveles superiores ya que a partir de secundaria el alumno debe usar un razonamiento de tipo algebraico.

Correo Pedagógico 16 27

Nuestra respuesta a ambas preguntas es sí. Un alumno que resuelve un problema de esta forma sí está realizando un proceso de razonamiento, el cuál sirve de base para desarrollar otro tipo de razonamiento, por lo que si debe ser aceptado como un método válido. Sin embargo, no es conveniente que el alumno se quede en este nivel por lo que es conveniente comparar esta forma de solución con otras para ayudar al alumno a desarrollar un razonamiento de tipo algebraico. Forma dos: solución aritmética. Si todos los animales tuvieran dos patas, en total habría 78 patas.

39 x 2 78 Como tenemos 122 patas, falta repartir 44 patas.

122 - 78 44 Para completar 4 patas hay que agregarle 2 más a cada animal.

22 2 44

Por lo que hay 22 animales con 4 patas y 17 con 2.

39 - 22 = 17 A esta forma de solución le llamaremos aritmética. Su característica es que el razonamiento se realiza sobre los números y no sobre las imágenes. Comparando esta solución con la anterior, podemos ver que el razonamiento básico es el mismo: se reparten dos patas a cada animal, una vez que todos tienen sus dos patitas, el excedente se sigue repartiendo hasta completar 122 patas. Sin embargo, quien resuelve un problema por el método icónico no es consciente de las operaciones involucradas en su razonamiento, mientras que quien lo resuelve de forma aritmética basa todo su razonamiento en los números. Es interesante que si se muestra una solución de este tipo a un grupo de secundaria, no todos siguen el razonamiento, pero si previo a esta forma de solución se trabaja la icónica, prácticamente todo el grupo sigue el razonamiento. Parece ser que el proceso de reparto en la forma icónica sirve de soporte a los alumnos para entender el proceso en forma aritmética. Forma tres: solución tabular. Aunque las dos formas de solución anterior se presentan con frecuencia, el método más común que usan los alumnos es el de prueba y error, por ejemplo pueden dar soluciones como 30 conejos y 1 gallina. Es cierto que con esta solución se obtienen 122 patas, pero sólo hay 31 cabezas. Al hacerles notar esto, intentan cosas como 30 conejos y 9 gallinas. En este caso, cuando están explorando, es fácil ayudarlos a ordenar estos intentos equivocados en una tabla para obtener la solución. La tabla podría ser de la siguiente manera:

28 Correo Pedagógico 16

Conejos

Gallinas

Total de animales

Patas de conejo

Patas de gallina

Total de patas

118

En muchos de los casos, la exploración de los alumnos comienza a la mitad (son 39 animales, la mitad es 19.5, pero como no hay medios animales, se intenta con 20 y 19) Haciendo un segundo renglón tenemos: Conejos

Gallinas

Total de animales

Patas de conejo

Patas de gallina

Total de patas

118

120

Haciendo un intento más: Conejos

Gallinas

Total de animales

Patas de conejo

Patas de gallina

Total de patas

118

120

122

Esta forma de solución, a la que llamaremos tabular, aprovecha los intentos de prueba y error realizados por los alumnos y los sistematiza convirtiéndolos en una exploración. Esta forma de solución es, desde nuestro punto de vista, la que más útil nos resultará en secundaria. Analicemos el procedimiento que realizamos para obtener los números con los que llenamos las columnas de la tabla. Podemos ver que en las dos primeras siempre se tuvo el cuidado de que sumaran 39. Conejos

Gallinas

Total de animales

Patas de conejo

Patas de gallina

Total de patas

118

120

122

Conejos + Gallinas

= 39

Correo Pedagógico 16 29

Al analizar la tabla, también podemos observar que la columna “patas de conejo”, la obtuvimos multiplicando por cuatro el valor que aparece en la columna “conejos” Conejos

Gallinas

Total de animales

Patas de conejo

Patas de gallina

Total de patas

118

120

122

Conejos

4 x conejos

De manera similar, la columna “patas de gallina”, la obtuvimos multiplicando por dos el valor que aparece en la columna “gallinas”

Conejos

Gallinas

Total de animales

Patas de conejo

Patas de gallina

Total de patas

118

120

122

Gallinas

2 x gallinas

Los valores de la columna “total de patas”, se obtienen sumando los valores de las columnas “patas de conejo” y “patas de gallina”. Además, sabemos que terminamos al obtener 122. Conejos

Gallinas

Total de animales

Patas de conejo

Patas de gallina

Total de patas

118

120

122

4 x conejos

+ 2 x gallinas

Las expresiones que obtenemos al analizar el procedimiento utilizado en el llenado de las columnas son: Conejos

+ Gallinas

30 Correo Pedagógico 16

= 39

4 x conejos + 2 x gallinas

= 122

Si en lugar de las palabras completas, usamos solamente iniciales, las expresiones serán: C + g =39

4c + 2g =122

Que es el sistema de ecuaciones correspondiente al problema. La solución tabular aprovecha el procedimiento de prueba y error de los alumnos. En caso de que los números con los que se está probando no den la solución correcta, simplemente se hace otro intento y se llega al resultado por aproximaciones sucesivas. La tabla simplemente se encarga de organizar los intentos de los alumnos. Debido a que el proceso que se realiza en el llenado de cada fila es repetitivo, podemos analizar las operaciones realizadas en cada columna. A partir de la descripción de estas operaciones podemos obtener las ecuaciones. Forma cuatro: Solución algebraica. Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de sumas y restas, tenemos la siguiente secuencia de pasos 4c + 2g = 122 c + g = 39 Multiplicando la segunda ecuación por –2. 4c + 2g = 122 -2c -2g = -78 Al sumar las dos ecuaciones 4c + 2g = 122 -2c -2g = -78 2c = 44 Dividiendo ambos lados entre 2 2c = 44 = 22 2 2 Sustituyendo el valor de c 22 + g = 39 g = 17

Comparemos esta solución con la solución de tipo aritmético:

39 x 2 78 122 - 78 44 22 2 44 39 - 22 = 17

4c + 2g = 122 -2c -2g = -78

4c + 2g = 122 -2c -2g = -78 2c = 44

2c = 44 = 22 2 2

22 + g = 39 g = 17

Puede observarse que en ambos casos, los pasos son exactamente los mismos. ¿Cómo aprovechar estas diferentes estrategias en la enseñanza de las matemáticas? Todos los métodos de solución mostrados son correctos, sin embargo existen maestros que sólo aprobarían a un alumno que utilizara el método algebraico. Cada forma de solución analiza el problema desde diferentes puntos de vida, por lo que resulta útil mostrar todas ellas a los alumnos. Las diferentes soluciones presentan diferente grado de abstracción y de representación. Las representaciones más sencillas pueden ser usadas como escalones que faciliten al alumno la comprensión de las más complejas. Desde nuestro punto de vista, rara vez se aprovechan los primeros tres métodos de solución. Los maestros solemos saltar las primeras formas de solución y pasamos directamente al Correo Pedagógico 16 31

método algebraico. Relación entre las diferentes formas de solución y la propuesta de CIME En CIME, consideramos que la construcción de conocimiento matemático pasa por tres etapas: Concreta En esta etapa el proceso es comprensible por el alumno, cada uno de los pasos realizados tiene significado. Un ejemplo de esta etapa es la solución icónica. Otro ejemplo es el llenado de la tabla: aunque los números son objetos abstractos, cada operación que se realiza para llenar la tabla es comprensible y tiene significado para el alumno. Verbalización En esta etapa, se describen los procesos realizados. Un ejemplo de esta etapa es la descripción de las operaciones que se realizan para llenar la tabla y sirven para obtener las ecuaciones. Pero la verbalización va más allá de eso. Aunque decidimos conservar el nombre que se le dio originalmente al trabajar con niños de primaria, en realidad la “verbalización” es un proceso de “traducción” entre diferentes formas de escritura, diferentes formas de representación. Por ejemplo, se realiza una verbalización cuando se “traduce” de la solución icónica a la aritmética. Esta “traducción” entre símbolos obliga a “reacomodar” las ideas para adaptarlas a la nueva forma de escritura y permite ver situaciones que antes quedaban ocultas, en este caso específico la forma de solución icónica no permite ver las operaciones involucradas, mientras que la forma aritmética permite verlas claramente. Abstracta Es en esta etapa en donde se trabaja directamente con los símbolos, por ejemplo la ecuación. Es importante hacer notar que normalmente, el 32 Correo Pedagógico 16

proceso de enseñanza del álgebra comienza en la etapa abstracta, saltando las dos etapas previas. Consideramos que nuestro modelo resulta útil y bastante adecuado a la RES (reforma de educación secundaria) en donde se pide que primero se aprovechen los métodos propios de los alumnos, después se realicen descripciones de los procesos y finalmente, se aprovechen estas descripciones para enseñarles los métodos expertos. Conclusiones Consideramos que es muy importante que como maestros aprendamos a reconocer alternativas de trabajo por parte de los alumnos y aprovechemos las características de las diferentes representaciones (y estrategias) que utilizan los alumnos para resolver los problemas y en lugar de desecharlas por no ser algebraicas usarlas como puentes que permitan dar significado a los procesos algebraicos realizados. Es importante que durante el desarrollo de una clase el maestro ordene las diferentes propuestas de los alumnos de acuerdo al grado de abstracción necesaria en cada caso para facilitar la transición de los alumnos de una etapa de representación a otra. Consideramos que los procedimientos de tipo algebraico son la etapa final del proceso de enseñanza en secundaria y que los procedimientos de tipo tabular son una de las principales herramientas para dar sentido al álgebra.

Problemas de Olimpiada M. en C. César O. Pérez Carrizales

e tiene un cuadrado cuyo lado mide cuatro. Dentro de él se dibuja un círculo y dentro del círculo otro cuadrado como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área del cuadrado pequeño?

x x (3) Al unir las observaciones (1) y (2) obtenemos la siguiente figura

El problema planteado apareció en una Olimpiada de matemáticas para alumnos de primaria. A continuación mostraremos diferentes formas de resolver dicho problema.

(4) Aplicando teorema de Pitágoras, tenemos:

Solución algebraica

x2 + x2 = 16

(1) Llamemos x al lado del cuadrado pequeño. Como el área se calcula multiplicando los lados del cuadrado, el valor buscado es x2.

x x (2) El diámetro del círculo es igual a la longitud del lado del cuadrado mayor (cuatro unidades), por lo tanto, la diagonal del cuadrado menor mide 4.

2x2 = 16 x2 = 16 = 8 2 Por lo tanto el área es 8. Segunda forma de solución algebraica (1) Llamemos x al lado del cuadrado pequeño. Como el área se calcula multiplicando los lados del cuadrado, el valor buscado es x2.

2 x 2

Correo Pedagógico 16 33

(2) El diámetro del círculo es igual a la longitud del cuadrado mayor (cuatro unidades), por lo tanto, la diagonal del cuadrado menor mide 4 y cada uno de los radios marcados mide 2. (3) aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos 22 + 22 = x2 4 + 4 = x2 8 = x2 por lo tanto el área es 8. Ambas formas de solución son correctas, pero utilizan varias herramientas que la dejan fuera del alcance de alumnos de primaria (y de una gran cantidad de alumnos de secundaria). No olvidemos que este problema fue planteado en un concurso de primaria. A continuación veremos algunas formas de solución que estan más al alcance de los alumnos de niveles iniciales. Soluciones usando geoplano. Veamos algunas soluciones alternativas que requieren sólo conocimientos de primaria. Para construir un cuadrado en un geoplano debemos dividir la circunferencia (24 separaciones) entre 4, obteniendo que cada lado del cuadrado debe abarcar 6 separaciones entre pivotes.

Entonces, el problema se convierte en encontrar el área del cuadrado que toca los puntos medios del cuadrado exterior. A partir de esta transformación del problema analizaremos diferentes formas de solución. Conteo de cuadrados unitarios Si trasladamos el problema al geoplano rectilíneo podemos cuadricular y contar directamente el área cubierta.

Fig. 1

Al rotar el cuadrado pequeño obtendremos las siguientes figuras.

34 Correo Pedagógico 16

Esta forma de solución utiliza el concepto de área en su forma más básica.

Solución usando área del triángulo

Solución con fracciones

El cuadrado interior está formado por cuatro triángulos. Calculando el área de cada triángulo, tenemos: A= 2 x 2 = 2 2 Al multiplicar este valor por 4, obtenemos el área total de la figura.

Como el lado del cuadrado es 4, el área es 16. Si dividimos la figura como se muestra en la fig. 4, podemos ver que está formada por 8 triángulos del mismo tamaño, por lo que cada triángulo tiene un área de 2 unidades.

Una variación de este método consiste en quitar los 4 triángulos de las esquinas al área total del cuadrado.

Fig. 4

Fig. 2

Solución usando área del rombo La figura que se forma es un rombo, con diagonales que miden lo mismo que los lados del cuadrado original.

Como la figura que buscamos está formada por 4 triángulos, su área debe ser 8. Una variación de este razonamiento es que la figura total está formada de 8 triángulos, el área que me interesa consta sólo de 4 triángulos, es decir, es la mitad del área del cuadrado original, por lo tanto es 8. Traslado de triángulos Consiste en trasladar las áreas como se muestra en la figura (fig. 5).

Aplicando la fórmula del área del rombo, obtenemos: A= 4 x 4 = 8 2

Fig. 5

Fig. 3

Ventajas del uso del geoplano en este tipo de problemas. No es nuestra intención decir que alguna forma de solución sea mejor a las otras. Todas

Correo Pedagógico 16 35

ellas son herramientas a las que puede recurrir el maestro para explicar los problemas a los alumnos. Cada una de ellas permite analizar el problema desde un punto de vista diferente y el uso de varias de ellas en el salón de clase permite que el alumno relaciones conocimientos que de otra forma parecerán aislados y sin ninguna relación entre ellos. Reconocemos que el mejor maestro es el que puede enseñar “varias formas de resolver un problema”. Las formas de solución algebraicas permiten que el alumno desarrolle pericia en el manejo de herramientas como el teorema de Pitágoras y el álgebra. Si bien, las soluciones geométricas mostradas no son exclusivas del trabajo con geoplano, el uso de éste facilita la aparición de ideas que involucran movimiento de las figuras, en este caso específico la rotación. Mientras que las matemáticas están llenas de ideas muy dinámicas como la rotación, herramientas como el lápiz y papel, con las que construimos figuras estáticas, dificultan el surgimiento de procesos en donde es necesario realizar movimientos de las figuras. Obsérvese que la idea de rotación también fue usada para la solución por medio del teorema de Pitágoras; en ella, fue necesario girar el diámetro para obtener la diagonal del cuadrado. Las figuras geométricas, una vez dibujadas en el pizarrón, no permiten su modificación. Y aunque una figura dibujada en un cuaderno puede girarse, algunos maestros prohíben que el alumno mueva el cuaderno para usarlo en una posición diferente a la tradicional. La naturaleza física del geoplano, su forma de uso, motiva que constantemente se esté girando, lo que facilita la visualización de la imagen desde diferentes direcciones. Además el movimiento de ligas facilita visualizar la transformación de figuras.

36 Correo Pedagógico 16

Le sugerimos permitir el uso del geoplano y los cuadernos de registro como una herramienta más en el salón de clase, de igual manera que se usan el lápiz, el cuaderno de cuadrícula o la calculadora, permitiendo que el alumno decida en qué momento puede utilizar alguna de las herramientas. La idea no es que el geoplano se vuelva una herramienta indispensable para el alumno, sino que éste desarrolle estrategias de transformación de figuras que puedan ser trasladadas al trabajo con lápiz y papel.

Alexei Tenorio, alumno de la Unidad Pedagógica Juan Jacobo Rousseau participa en Torneo Internacional de Robótica RoboCup 2008 en China • Hace equipo con alumnos de bachillerato gracias al impacto positivo que la Matemática Constructivista del CIME ha tenido en su perfil de egreso. Ing. Leticia Cerda Garrido Coordinadora del Club de Robótica e Informática UNAM-CCH Azcapotzalco con la colaboración de la Lic. Gabriela Aguilar Rubio

i experiencia como profesora en el nivel medio superior me ha permitido reconocer las fortalezas y debilidades de los alumnos al llegar a este nivel. Si bien es cierto que el filtro del examen de selección permite tener a los alumnos con mejores resultados, se encuentran verdaderos problemas académicos en cuanto a conocimientos y a habilidades básicas. La primera pregunta que en general nos hacemos los docentes es: ¿cuál es la institución o las instituciones que los han formado, que han permitido un perfil de egreso tan bajo? pero poco reflexionamos sobre la metodología que opera en esos planteles. Cuando por el contrario, encontramos alumnos que nos sorprenden por su alto nivel académico y de habilidades básicas, tampoco reflexionamos sobre la metodología que han usado para lograr estos resultados. Por estas razones el presente artículo parte de la necesidad de encontrar la relación que hay entre la metodología usada por los docentes y las competencias desarrolladas por sus alumnos (conocimientos, estrategias, habilidades y actitudes). Alexei Tenorio es un alumno del 6º grado en la Unidad Pedagógica Juan Jacobo Rou-

sseau. Cuando cursaba el 3º la escuela inicio una transformación sustancial: cambio su metodología tradicional al modelo constructivista, para fortalecer básicamente las dos asignaturas instrumentales: español y matemáticas. Para la instrumentación de la matemática constructivista el Colegio se puso en contacto con el Profr. Ricardo Chimal del CIME (Centro de Investigación de Modelos Educativos), el cual a través de cuatro líneas de acción permanentes: actualización docente, trabajo en grupo con los alumnos, seguimiento y evaluaciones permanentes ha logrado en sus alumnos resultados como el de Alexei Tenorio. Para el trabajo que yo realizo en UNAMCCH Azcapotzalco y el proyecto de robótica, el desarrollo de la matemática constructivista me permitió encontrar en Alexei, un alumno con habilidades de pensamiento lógico matemático poco comunes en los jóvenes que egresan de primaria en nuestro país: análisis, reflexión, cálculo, clasificación, inducción, deducción, generalización, etc. Estas habilidades permitieron a Alexei desarrollar un proyecto que lo hizo merecedor de participar en el torneo de robótica ROBOCUP 2008 en la ciudad de Suzhou, China, y tomar parte en otras

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competencias tanto de informática como de robótica, como son la Olimpiada de Informática, la Feria de las Ciencias y la Olimpiada de Robótica, en las cuales además de construir y programar robots, ha tenido pruebas de lógica matemática y presentaciones en inglés de su proyecto. Alexei Tenorio comenta sobre su acercamiento a la robótica: “Hace un año fui al ROBOCUP 2007 a Atlanta, Estados Unidos, allí entre en contacto con este mundo tan fascinante que es la robótica, fue por ello que me integré a los cursos que se llevaron a cabo de septiembre a diciembre del año pasado en el Laboratorio de Biorrobótica de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, exclusivo para los alumnos que fuimos a Atlanta, con el fin de construir un robot móvil, ya que los robots de LEGO que llevamos a la competencia fueron dañados por robots de otros países, porque no eran de plástico, sino de metal. La experiencia de construir mi propio robot, me motivó a prepararme para la Olimpiada de Informática, ya que me dijeron que necesitaba mucha preparación y buen desempeño en estos eventos para poder calificar a la Primera Olimpiada de Robótica del Bachillerato. Afortunadamente me fue muy bien, ya que pude resolver fácilmente las pruebas de lógica matemática gracias a los conocimientos que la metodología del CIME que se lleva en mi colegio me ha proporcionado. En cuanto a la Olimpiada de Robótica, logré calificar para el ROBOCUP gracias a la programación de mi robot, pero sobre todo a mi presentación en inglés, ya que la defensa del proyecto se hace ante un jurado extranjero y ese conocimiento del inglés, también se lo debo a la Juan Jacobo. He aprendido mucho, pero sé que me falta mucho más; esta área de robótica me encanta porque me ha dado herramientas para mis otras materias y deseo poder tener la experiencia de ir a China porque se que pondré en alto no sólo a mi colegio sino también a mi país”.

en el RoboCup Junior en la Categoria de Danza en la que no sólo tienen que ver la ciencia y la tecnología sino también la cultura, ya que deben presentar un performance para el cual tanto ellos como los robots van caracterizados con algún tema alusivo a su país. Participar en un evento internacional, que si bien resulta interesante y meritorio, no es lo más relevante; lo mejor es que Alexei Tenorio junto con sus compañeros de la escuela son alumnos que se están preparando para aprender e interactuar en su futuro con altas posibilidades de éxito. Me gustaría que quienes lean este artículo, sobre todo si son docentes, se preguntaran dónde se encuentra el punto nodal de la construcción de la calidad educativa, y asumir que es en la metodología. Y decidieran fortalecerla a través de instancias de formación docente e investigación, como el CIME, que permiten acompañar este proceso de mejora de la práctica docente y de la calidad educativa.

Delegación mexicana que participara en RoboCup 2008 en China con el Director General del CCH-UNAM y el Secretario de Informática

Alexei forma parte del equipo que participará Mexican RoboDancer Team que presentara una Danza Azteca del 14 al 20 de Julio en el RoboCup 2008 en China

38 Correo Pedagógico 16

Juegos con la decena Profra. Ma. de los Ángeles Rojas Colaboradora del CIME

M decena.

aestra: El antecedente fundamental de las sumas y restas de transformación es el dominio del concepto de

Según Piaget, para lograr verdaderos aprendizajes es necesario generar situaciones que él llama: “ conflictos cognitivos “, que permitan al alumno descubrir el camino para llegar al resultado correcto por sí mismo.

una para unidades y otra para decenas. Hace un breve recordatorio de lo que es la decena y pregunta: ¿cuántas decenas formaste?, ¿cuántas unidades te sobraron? Anota en la columna respectiva qué cantidad se formó. Pide el resultado de la suma a 5 niños anotando las respuestas para leer las cantidades. Se les pide que ordenen las cantidades de mayor a menor, siempre con la siguiente verbalización:

Te comparto algunos ejercicios que han dado muy buenos resultados.

“5 decenas y 3 unidades forman la cantidad de 53, cincuenta y tres”.

La maestra pide a los niños que hagan uso de un diseño libre usando muchas regletas blancas, rojas y verde claro.

Este ejercicio también sirve de antecedente para formar la centena de la misma manera.

Dictado de cantidades: Utilizando la hoja de 2 columnas; una para unidades y otra para decenas, la maestra pide que los niños saquen sólo regletas naranjas (decenas) y blancas (unidades). Los niños formarán las cantidades que pida la maestra usando únicamente las regletas naranjas y blancas. Ejemplo: Número 42. ¿cuántas decenas tienes? ¿cuántas unidades? 2

Cuando terminan su diseño, la maestra pregunta: ¿Cuánto vale en total esta “casita” que hiciste? (de acuerdo al valor de cada regleta, el niño calcula el total de su construcción, haciendo la suma; seguramente el niño se perderá en el cálculo). La maestra hace la misma pregunta a varios niños, y cuando ve que están en duda sobre el resultado, puede preguntar si alguien sugiere una forma de sumar más segura. Si no hubiera respuesta, la maestra sugiere hacer trenes que valgan 10, usando como medida una regleta naranja. Así los niños formarán todos los trenes posibles dejando al final las regletas que sobren. La maestra escribe en el pizarrón dos columnas:

Después se lleva a cabo el ejercicio contrario: Pido 4 unidades y 3 decenas y pregunto: ¿qué cantidad se formó? Los niños pueden participar dictando cantidades. Juego de Quita y Pon con decenas. Sobre la hoja de 2 columnas la maestra dicta una cantidad inicial. Ejemplo: 45. Revisa que todos la tengan correctamente y entonces em3

Correo Pedagógico 16 39

pieza a pedir: Pon 2 decenas. Ahora, ¿cuánto es? Quita 3 unidades. ¿Qué cantidad tenemos ahora? Y así va pidiendo que quiten y pongan unidades o decenas, siempre preguntando qué cantidad se formó. Los niños pueden participar en el juego dictando las decenas y unidades que se agregan o se quitan. Una vez que los niños ya dominan este juego, es hora de proponer nuevos retos para entrar en el “JUEGO DEL CAMBIO”: 4

Teniendo el 48 formado con regletas, la maestra dice: pon 5 unidades. Los niños gritan:“¡CAMBIO!”, pues pueden formar otra decena “cambiando” 10 blancas por una naranja. ¿Cuánto hay ahora? Son 5 decenas y 3 unidades. De esta forma se ejercitan en el “cambio”, que es la preparación para la suma de transformación. Teniendo una cantidad inicial, ejemplo: 52, la maestra dice: “Quita 5 unidades”, los niños gritan: “¡CAMBIO!”, pues tendrán que cambiar una decena por 10 blancas para poder quitar 5 unidades. “¿Cuánto hay ahora?” “Quedan 4 decenas y 7 unidades”. Este ejercicio los prepara para la resta de transformación. Cuando ya dominan los dos tipos de ejercicios, la maestra dice: “esto que hacemos con las regletas se escribe así”..., haciendo una conexión entre la acción y la operación. Es muy importantea dedicar tiempo para estos juegos antes de llegar a los algoritmos de las sumas y restas de transformación. El niño dominará el concepto y el uso de la decena al componer y al descomponer cantidades. Maestra: Aproveche todas las oportunidades para que los niños hagan sumas y restas aplicando los cambios. Contar niños, sillas, cuadernos, colores, semillas.

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Juego: “Alto numérico” Profra. Vania Yelenia Díaz Colegio Xail, Campeche.

Nombre del juego: Alto numérico Materiales: regletas y círculos de colores Número de participantes: 1 hasta n participantes Grados: a partir de primer grado. Reglas del juego: 1. Alzar la mano y decir: “¡patas en la barriga!” 2. Decir: ”¡alto numerico!” 3. Mantener la calma y permanecer en su lugar. 4. Tener sus regletas en orden cada vez que comience la elaboración de un nuevo número. PROCEDIMIENTO: Se colocan las regletas de forma de escalera; se les da un tiempo a los alumnos para que las organicen. Ya ordenadas, el maestro da la orden, que es: “¡MANOS ARRIBA!” Ellos tienen que contestar: “¡PATAS A LA BARRIGA!” Se anota el número en el pizarrón y cuando la maestra diga “¡YA!” bajan los brazos y empiezan a formar la cantidad dada en un tren o en notación desarrollada. El primero que termine dice: “¡ALTO NUMÉRICO!”. El maestro anota en el pizarrón los nombres de los alumnos que terminaron primero, se verifica y se les entregan puntos de colores; el niño que logre tener más puntos será el ganador. Opcional: Que registren cada notación desarrollada para garantizar el aprendizaje.

Curso de

La observación del DVD donde el artista resuelve los problemas pictóricos será un excelente ejercicio de corrección de atención dispersa, ya que en el CIME siempre hemos creído que este problema más que ser del niño, es por falta de interés con que provocamos nuestras opciones de conocimiento.

Primera etapa:

El niño pintará dibujos previamente trazados.

para alumnos de 5o de primaria en adelante.

reocupados por el desarrollo armónico de los estudiantes, en el CIME hemos implementado un Curso de Acuarela que ponemos a su consideración. Las ventajas que ofrecen el arte y las actividades artísticas a los niños son muchas más que aprender sólo una técnica. Con el arte, los niños aprenden a expresarse por sí mismos, aumentan su capacidad de observación e imaginación y desarrollan aspectos de vital importancia para el afianzamiento de su personalidad infantil y de su seguridad personal. Con este curso, pretendemos además que los alumnos aprendan a observar y a desarrollar el sentido del tacto, ya que la textura del papel acuarela profesional que usamos lo permite. Podrán indagar la capacidad que tienen los colores para expresar sentimientos.

Adaptándonos a la generalidad de los intereses de los niños, proponemos en una primera etapa no obligar al niño a comenzar por el dibujo, para que pueda ingresar directamente a la agradable experiencia de crear efectos con el agua y los colores. Pretendemos ofrecer un curso incluyente, donde no sólo está invitado el alumno cuyas habilidades para el dibujo ya han sido potenciadas, sino aquel niño que aún ignora su sensibilidad hacia las artes plásticas por creer que no es apto para el dibujo. Estamos seguros que esta habilidad generará la necesidad de crear dibujos originales diseñados por ellos mismos en una segunda etapa. Creemos que este curso ayudará a los estudiantes a expresarse mejor, a desarrollar emociones, creatividad y destrezas artísticas. El dominio de la línea, espacio y color son aprendizajes geométricos que tienen que ver con la propuesta del CIME en la Matemática Constructiva. Pintar de esta manera será una nueva experiencia y un momento de entretenimiento creativo con muchos valores agregados; entre los más importantes estará el desarrollo de la estética y del campo espacial del cerebro.

Será una magnífica oportunidad para comenzar a apreciar la belleza que puedan generar ellos mismos por más incipiente que ésta sea. Correo Pedagógico 16 41

Nuestros materiales Hemos diseñado un estuche completo cuya estructura será el godete, o recipiente de pinturas para hacer las mezclas. El espacio de este recipiente da cabida a una bolsa con doce hojas de papel acuarela de 190 grs., los cuales irán previamente impresos con dibujos seleccionados. El estuche contiene además un juego de acuarelas y un pincel especial para este aprendizaje. El elemento pedagógico que conducirá esta experiencia será un DVD, en donde el maestro Luis Eduardo González, triple ganador del Premio Nacional de Acuarela, irá paso a paso pintando y explicando cada dibujo. De esta manera el maestro(a) será el animador de este proyecto, siendo el responsable de activar o parar el lector de DVD según el momento de avance de los alumnos. El CIME ofrece un DVD sin costo que será usado por el maestro (a) del grupo. Estamos seguros de que esta experiencia será de inapreciable valor pedagógico y una excelente motivación para la cultura artística de los niños. Profr. Francisco Gutiérrez, Director del CIME Constitución 397 Col. Analco, Guadalajara, Jal. C.P. 44450 Tels. (0133) 3618 - 1378, 3126 - 4646 cimeac@prodigy.net.mx www.cimeac.com

42 Correo Pedagógico 16

Disfraces Como siempre, felicitamos a los maestros (as) y alumnos que nos los han enviado.

Disfraces del Producto 42

Alumnos de 5o “A”, Colegio Leona Vicario Lagos de Moreno, Jalisco.

Disfraces del número 7

Alumnos de 1o a 3er grado, Instituto Anglo Moderno Mazatlán, Sinaloa. Andrea Rodríguez Chano

Brenda Guadalupe Méndez García Claudia María Tirado Zatarain Erick Noé Zermeño José Miguel Velasco Aguilar Susana Peña Rodríguez Juan Pablo Castro García Fernanda Joselin Pérez Cabello

Samanta Dení Paulina Núñez Vega Saif Alejandro Mata Hernández Karime

Correo Pedagógico 16 43

Víctor Adrián Valdés Pérez

15 = Pamela Melissa Fernández Rodríguez Fernanda López Solano 40 = 96 = 71= 35= 88=

Sofía Lorena Hernández

Disfraces

Alumnos de 6o “B” , Colegio Nueva España Zapopan, Jalisco.

Oscar Andrés Gallardo Gutiérrez

10 =

496 =

20 = 1=

3= 92 =

25 =

110 =

44 Correo Pedagógico 16

105 =

Disfraces

Alumnos del Instituto Canadiense Clarac, Distrito Federal Josﾃｩ Pablo, 1o c

Ricardo Solares Villanueva, 1o c

Marisol, 1o c

ﾃ］gel, 1o c

Luis Arturo, 1o c

Correo Pedagﾃｳgico 16 45

Dulce Mariana Rosales Flores 1o A

Problemas hechos por los alumnos del

Instituto Canadiense Clarac, Distrito Federal

ﾃ］gel, 1o c

Karla Adriana Reyes Becerril, 4o A

Montserrat Bello Bonilla 2o c

Paulina Jimﾃｩnez, 4o A

Fernanda Hernﾃ｡ndez Salinas 2o c

46 Correo Pedagﾃｳgico 16

Daniela Sánchez Orta, 2o c

Natalia Nieto Muñoz, 1o de Secundaria, grupo A.

Diego Leonardo García , 4o A Sandra de Ita Lozada, 1o de Secundaria, grupo A.

Problemas

Alumnas del Instituto del Bosque, Secundaria Distrito Federal Natalia Nieto Muñoz, 1o de Secundaria, grupo A.

Correo Pedagógico 16 47

Disfraces

Alumnos de 6o B, Maestra Isabel Colegio Margil - Zapopan, Jal. Chrtistian González Aguilar

Arturo Adolfo Gallardo Carvajal

Aldo Sebastián Castañeda Torres

Mauro Donaldo Saucedo Plascencia

Alexis Samuel Gómez Chávez

48 Correo Pedagógico 16