2º BUP todos los temas by Pedro Márquez

LA FÍSICA Y LA QUÍMICA DEL SEGUNDO CURSO DEL BACHILLERATO UNIFICADO Y POLIVALENTE. Un trabajo preparado desde el verano de 1996 hasta … por PEDRO MÁRQUEZ GALLARDO. TEMA 1. Introducción a la Física y la Química.................................................. 3 1.1. LA FÍSICA Y LA QUÍMICA.................................................................................3 1.2. EL MÉTODO CIENTÍFICO.................................................................................. 4 1.3. LAS MAGNITUDES FÍSICAS..............................................................................8 1.4. LA MEDIDA. SISTEMAS DE UNIDADES......................................................... 8 1.5. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES.......................................... 10 1.6. UNA MAGNITUD DERIVADA: LA DENSIDAD............................................ 12 1.7. CONVERSIÓN DE UNIDADES......................................................................... 13 TEMA 2. Cinemática............................................................................................15 2.1. LA CINEMÁTICA............................................................................................... 15 2.2. EL MÓVIL PUNTUAL........................................................................................16 2.3. EL SISTEMA DE REFERENCIA........................................................................17 2.4. LA TRAYECTORIA............................................................................................ 17 2.5. EL TIEMPO..........................................................................................................19 2.6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO............................................................................19 2.7. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME......................................................23 2.8. GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME........................24 2.9. ACELERACIÓN.................................................................................................. 27 2.10. EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO.............28 2.11. LA CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS........................................................... 29 2.12. EL MOVIMIENTO CIRCULAR. DETERMINACIÓN DE LA POSICIÓN....30 2.13. EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME................................................. 31 2.14. RELACIÓN ENTRE LAS VELOCIDADES LINEAL Y ANGULAR.............31 Tema 3. Las fuerzas............................................................................................32 3.1. LAS FUERZAS.................................................................................................... 32 3.2. REPRESENTACIÓN DE LAS FUERZAS..........................................................34 3.3. EFECTO DE LAS FUERZAS. SOLIDO RÍGIDO.............................................. 41 3.4. MEDIDA DE LAS FUERZAS.............................................................................44

3.5. EQUILIBRIO........................................................................................................46 3.6. COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES......................................... 47 3.7. DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS.................................................................. 52 3.8. EQUILIBRIO DE FUERZAS CONCURRENTES.............................................54 3.9. COMPOSICIÓN DE FUERZAS PARALELAS..................................................56 3.10. EQUILIBRIO DE FUERZAS PARALELAS.................................................... 57 3.11. PAR DE FUERZAS............................................................................................58 3.12. PESO DE LOS CUERPOS. CENTRO DE GRAVEDAD................................. 59 3.13. LEY DE NEWTON DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL........................... 63 3.14. EL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE..................................................64 Tema 4. Dinámica de traslación........................................................................ 65 4.1. TEORÍAS SOBRE EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS.............................65 4.2. EL PRINCIPIO DE INERCIA..............................................................................66 4.3. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA......................................... 68 4.4. UNIDADES DE FUERZA................................................................................... 71 4.5. MASA Y PESO.................................................................................................... 72 4.6. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL PRINCIPIO FUNDA-MENTAL DE LA DINÁMICA................................................................................................................. 72 4.7. EFECTO DE LAS FUERZAS SOBRE EL MOVIMIENTO...............................73 4.8. TERCER PRINCIPIO O PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN..................74 4.9. TIPOS DE FUERZAS.......................................................................................... 75 Tema 5. Trabajo y energía..................................................................................77 5.1. TRABAJO.............................................................................................................77 5.2. CONDICIONES PARA QUE SE REALICE TRABAJO.................................... 79 5.3. ENERGIA............................................................................................................. 80 5.4. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA..................................... 80 5.5. TRABAJO Y ENERGÍA...................................................................................... 80 5.6. ENERGÍA CINÉTICA......................................................................................... 81 5.7. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.......................................................82 5.8. ENERGÍA MECÁNICA.......................................................................................84 5.9. ENERGÍA INTERNA.......................................................................................... 85 5. 10. OTRA FORMA DE TRANSMITIR ENERGIA............................................... 85 5.11. REVISIÓN DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.......86 5.12. POTENCIA.........................................................................................................88 5.13. EL KILOWATT-HORA.....................................................................................90

TEMA 1. Introducción a la Física y la Química. LA FÍSICA Y LA QUÍMICA. EL MÉTODO CIENTÍFICO. MAGNITUDES FÍSICAS. ECUACIONES DE DIMENSIÓN. ERRORES. 1.1. LA FÍSICA Y LA QUÍMICA En el universo continuamente se producen cambios. Sin ellos no existiría vida, ni tan sólo movimiento. A los innumerables cambios que tienen lugar en el universo la ciencia les da el nombre genérico de fenómenos. Así, por ejemplo, un fenómeno es la caída de un cuerpo (cambio de posición), la evaporación de un liquido (cambio de estado), la reflexión de la luz (cambio de dirección de los rayos luminosos), el calentamiento de un cuerpo (cambio de temperatura), etc.

P.- ¿Qué es un fenómeno? Pon ejemplos y razónalos. Es evidente que, a nuestro alrededor, ocurren constantemente muchos cambios o fenómenos. En un primer intento de clasificarlos podemos dividirlos en dos grandes grupos: los fenómenos químicos y los fenómenos físicos.

P.- ¿Qué piensas que puede ser un fenómeno físico y uno químico? ¿Podrías poner un ejemplo de cada uno de ellos? Los fenómenos químicos son los cambios en que una o varias sustancias se transforman en otras nuevas. Por ejemplo, si hacemos arder alcohol, éste y el oxígeno del aire van desapareciendo y transformándose en vapor de agua y dióxido de carbono. La combustión del alcohol es, por consiguiente, un fenómeno químico.

Los fenómenos en que no se produce la transformación de unas sustancias en otras son los que llamamos fenómenos físicos. La fusión del hielo al calentarlo es un fenómeno físico, ya que el agua en estado liquido obtenida es la misma sustancia que el hielo. La Física es la ciencia dedicada al estudio de los fenómenos físicos y la Química, al de los fenómenos químicos. Sin embargo, actualmente encontramos algunas cuestiones en las que es difícil establecer una clara y perfecta distinción entre ambas ciencias.

Escribe algunas diferencias entre Física y Química.

1.2. EL MÉTODO CIENTÍFICO El objetivo de las diversas ciencias es distinto. Sin embargo, la Física, la Química y otras ciencias utilizan un mismo método o procedimiento de trabajo, que recibe el nombre de método científico.

Ya sé que no lo has estudiado, pero ¿Cómo definirías el método científico? Vamos a estudiar, a partir de un ejemplo concreto, cuales son las principales fases de un trabajo desarrollado según el método científico. Extraeremos el ejemplo de la investigación sobre el comportamiento de los gases que realizo el físico y químico británico Robert Boyle (1627-1691). a) Observación Si se encierra aire o cualquier otro gas en un recipiente dotado de un embolo (fig. 3a) y se ejerce fuerza exteriormente contra el, se puede lograr que el gas, sometido a la presión del embolo, disminuya mucho de volumen (figura 3b). Robert Boyle había observado esta propiedad de los gases, llamada compresibilidad, y se propuso investigar sobre ella.

La primera fase del proceso científico es la observación de los fenómenos que tienen lugar en la naturaleza. Muchos de ellos ocurren con frecuencia a nuestro alrededor y los podemos observar fácilmente. Pero existen también fenómenos que sólo se han podido observar recientemente, después de siglos de progreso científico, ya que se requieren para ello instrumentos muy perfeccionados. b) Experimentación Para estudiar el fenómeno de la compresión de los gases. Boyle encerró aire en un tubo de vidrio, lo comprimió ejerciendo presión sobre el y midió su volumen para diferentes valores de la presión. Con ello su proceso de investigación se encontraba en su segunda fase: la fase experimental. Los científicos llaman experimentar a reproducir en su laboratorio los fenómenos observados, repitiéndolos cuantas veces resulte necesario y procurando realizarlos en las condiciones mas adecuadas para estudiar las distintas variables que intervienen en ellos. En nuestro ejemplo, estas eran la presión y el volumen del aire encerrado en el tubo. En esta fase del proceso, el científico realiza minuciosas observaciones, mide las variables que intervienen en el fenómeno y anota cuidadosamente todos los resultados obtenidos. c) Inducción de leyes Estudiando los datos aportados por sus experiencias, Boyle encontró una regularidad, es decir, algo que se repite regularmente en todas las observaciones realizadas. La búsqueda de regularidades en los fenómenos es uno de los principales objetivos de la fase experimental del proceso científico.

La regularidad encontrada por Boyle en el comportamiento de los gases puede expresarse diciendo: "Para una misma masa de gas a temperatura constante, el producto de la presión por el volumen permanece constante". Este enunciado se conoce con el nombre de ley de Boyle. Una ley es un enunciado breve, de carácter general, sobre las regularidades observadas experimentalmente en la naturaleza. Las leyes cuantitativas cabe expresarlas de tres formas: 1) Mediante un breve enunciado verbal, como el propuesto mas arriba para la ley de Boyle. 2) Mediante una formula matemática, que en el caso de nuestro ejemplo sería: pV= presión x volumen = constante 3) Mediante una gráfica. En el caso de la ley de Boyle, la gráfica es como la representada en la figura 4. Según lo dicho, en la ciencia, el conocimiento de numerosas experiencias concretas o particulares es el punto de partida para llegar a las leyes. Estas son conocimientos de carácter general, es decir, que no se refieren a una o a varias experiencias concretas de un fenómeno, sino a todas. A este proceso del pensamiento que nos lleva de lo concreto a lo general se le llama inducción. d) Formulación de teorías El objetivo de la investigación no es únicamente descubrir las leyes que rigen los fenómenos naturales, es decir, alcanzar un perfecto conocimiento de cómo son estos fenómenos; se pretende, ademas, averiguar sus causas. A la explicación que la ciencia propone para establecer las causas de las regularidades observadas en un conjunto de fenómenos se le llama una

Algunos ejemplos muy conocidos son: la teoría atómica de John Dalton, la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y la teoría de la gran explosión o del big-bang de Georges Edouard Lamaitre y George Gamov. Las teorías científicas están formadas por cierto numero de afirmaciones, llamadas postulados, que explican todas las leyes relativas a un conjunto de fenómenos observados en la naturaleza. Así, la ley de Boyle, junto con otras leyes acerca del comportamiento de los gases, se explican mediante la llamada teoría cinético-molecular de los gases. Algunos de los postulados de dicha teoría son los siguientes: —Los gases están formados por un gran numero de partículas en constante movimiento. —La presión que ejerce un gas se debe a los choques de sus partículas contra las paredes del recipiente que lo contiene. En el capitulo 14 se podrá ver cómo, a partir de esta teoría, queda justificada la ley de Boyle. Frecuentemente se descubren, en la historia de la ciencia, hechos experimentales que no se pueden explicar mediante las teorías aceptadas hasta entonces. Estos descubrimientos ponen en duda la validez de dichas teorías. En este caso puede ocurrir que: 1) Se retoque o amplíe esta teoría, de forma que explique también el nuevo hecho descubierto experimentalmente. 2) Si lo anterior no es posible, se rechaza esta teoría y se sustituye por otra. e) Deducción Cuando, para resolver un problema, empleamos la ley de Boyle, estamos utilizando una ley física general para predecir lo que sucederá en un caso concreto.

Por consiguiente, al aplicar una ley, pasamos de lo general a lo concreto. A este proceso se le llama deducción. Es el proceso contrario de la inducción. La inducción es el proceso propio de la investigación o ciencia pura. La deducción es el proceso propio de la técnica o ciencia aplicada.

Razona si los métodos de investigación de tu detective favorito de TV son científicos o no.

1.3. LAS MAGNITUDES FÍSICAS Siempre que sea posible, las leyes físicas deben ser cuantitativas. Se ha dicho que nada se conoce hasta que se logra medirlo. A todo aquello que puede ser medido se le llama una magnitud. La longitud, el tiempo, el peso, el volumen y la fuerza son ejemplos de magnitudes físicas. Obsérvese que, en lenguaje corriente, se utilizan frecuentemente expresiones como "medir una varilla". ¿Podemos deducir de ello que una varilla es una magnitud física? La respuesta es negativa. Lo que ocurre es que la expresión "medir una varilla" no es correcta. Debería sustituirse por "medir la longitud de una varilla". Así, pues, la magnitud física no es la varilla, sino la longitud.

Define magnitud física, y pon algún ejemplo.

1.4. LA MEDIDA. SISTEMAS DE UNIDADES Para medir una magnitud debemos empezar por escoger una unidad.

En el texto "se escoge una unidad", quiero eso decir, que se toma un uno. Llamamos unidad a una cantidad arbitraria a la cual asignamos el valor 1. Conviene que las unidades cumplan ciertas condiciones:

- Han de ser constantes. No deben cambiar con el tiempo ni depender de quién realice la medida. - Han de ser universales, es decir deben ser utilizadas por todos. - Han de ser fáciles de reproducir, aunque esa facilidad disminuya, a veces, la exactitud. Medir es comparar una cantidad cualquiera con la unidad.

Explica lo más detalladamente posible ¿cómo medirías la altura de una valla? ¿Y la velocidad de un coche? Por ello nunca se ha de olvidar que, al expresar una cantidad de cualquier magnitud, se debe hacer constar siempre cual es la unidad utilizada. Dar solamente un número carecería por completo de significado. Podríamos decir que una medida es el número de veces que se repite la unidad de medida multiplicado por la unidad de medida.

Podrías expresar este párrafo en forma de ecuación matemática. La mayoría de las unidades empleadas en Física se derivan de otras unidades. Así sucede, por ejemplo, con la unidad de velocidad, el metro por segundo, que se deriva de la unidad de longitud y de la de tiempo, o con la unidad de volumen, el metro cúbico, que se deriva de la de longitud. Las magnitudes que se definen a partir de otras se llaman magnitudes derivadas; y sus correspondientes unidades, unidades derivadas. Las magnitudes que no se derivan de otras previamente definidas se llaman magnitudes

fundamentales;

sus

correspondientes

fundamentales.

unidades

son

las

unidades

Define claramente poniendo ejemplos: Magnitudes fundamentales y Magnitudes derivadas. ¿Por qué el metro es una unidad fundamental? ¿Por qué el Newton es una unidad derivada? El conjunto de las unidades fundamentales y de todas las unidades que se derivan de ellas constituyen un sistema de unidades. Por ejemplo, si en un sistema se han adoptado como unidades fundamentales el metro (m) y el segundo (s), la unidad de velocidad de dicho sistema será el metro por segundo (m/s).

Inventa un sistema de unidades. ¿Podría llamarse Sistema de unidades de 2º de B.U.P.?

1.5. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES A lo largo de la historia se han utilizado diferentes unidades y sistemas de unidades. Pero, en la actualidad, se están unificando los criterios gracias a que las normas promulgadas por algunas organizaciones internacionales han sido universalmente reconocidas y adoptadas. En ello ha tenido un papel fundamental la CIPM (Conferencia Internacional de Pesas y Medidas) que se creó en 1875 en París y cuyo organismo permanente es la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, que se encuentra en Sèvres. También han sido muy importantes las contribuciones de la IUPAP (Unión Internacional de Física Pura y Aplicada), especialmente en la definición de unidades físicas, y de la IUPAC (Unión Internacional de Química Pura y Aplicada) en todo lo referente a los nombres y fórmulas químicas de las sustancias.

En la decimoprimera Conferencia Internacional de Pesas y Medidas, que tuvo lugar en 1960, fue aprobado el sistema internacional de unidades, que se simboliza por S.I. en todos los idiomas. De este sistema de unidades, recomendado por científicos de todo el mundo, puede decirse ya que ha sido universalmente aceptado. En el siguiente cuadro figuran las unidades fundamentales del S.I. y sus correspondientes símbolos. Sobre los nombres y símbolos de las unidades se han establecido las siguientes normas: a) Los nombres de las unidades se escriben con minúscula. b) Cada unidad tiene un símbolo y no debe utilizarse otro. c) Los símbolos se escriben sin punto final. d) Los símbolos de las unidades cuyo nombre proviene de un nombre propio son mayúsculas; cuando no es así, son minúsculas. En la primera parte de la Física nos limitaremos a utilizar únicamente las tres primeras magnitudes fundamentales de este cuadro.

Unidades Magnitud

Nombre

Símbolo

Longitud metro m Tiempo segundo s Masa kilogramo kg Intensidad de corriente ampere A Temperatura kelvin K Cantidad de sustancia mol mol Intensidad luminosa candela cd La unidad de tiempo, el segundo, se había definido en función de la rotación de la Tierra como 1/86400 del día solar medio. En octubre de 1967 se adoptó una nueva definición, mas precisa, basada en la frecuencia de una radiación emitida por el átomo de

cesio. Pero esta definición se hizo de tal forma que fuese imposible distinguir experimentalmente el nuevo segundo del basado en la rotación de la Tierra. La unidad de longitud, el metro, ha sido definida recientemente por la CIPM como la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz en 1/299792,458 segundos. La definición de la unidad de masa data de 1889 y resulta la mas sencilla: es la masa del Kilogramo Prototipo Internacional. Este es un cilindro de platino iridiado que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas. Para poder expresar cómodamente cantidades muy grandes o muy pequeñas, se han establecido los prefijos del cuadro adjunto que sirven para designar a los múltiplos y submúltiplos de las unidades. Factor 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 1

Prefijo exa peta tera giga mega kilo hecto deca -----

Símbolo E P T G M k h da -----

Factor 1 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

Prefijo ----deci centi mili micro nano pico femto atto

Símbolo ----d c m m n p f a

Algunos ejemplos de utilización de los anteriores prefijos son los siguientes: 1 µm es un micrómetro y significa 10-6 m (una millonésima de metro). 1 Mg es un megagramo y significa 106 g (un millón de gramos).

1.6. UNA MAGNITUD DERIVADA: LA DENSIDAD Como hemos visto, a partir de las magnitudes fundamentales se definen todas las demás magnitudes que se usan en la Física y la Química. De la definición de una magnitud

derivada se deducen de forma inmediata la formula para calcularla y la correspondiente unidad. Tomaremos como ejemplo una magnitud concreta: la densidad. Recordemos que se llama densidad de un cuerpo a la masa que posee por cada unidad de volumen. Esta definición se puede expresar por medio de una formula. Si llamamos m a la masa del cuerpo, V a su volumen y Q (rho) a la densidad:

Así pues, la densidad se deriva de otras magnitudes definidas previamente: la masa y el volumen. El volumen es a su vez una magnitud que se deriva de la longitud.

¿Cuál es la relación entre un volumen y una magnitud? ¿De qué figura geométrica deriva? A partir de la definición se puede deducir fácilmente cual ha de ser la unidad de densidad en el S.I.. Basta considerar que la masa del cuerpo es una unidad de masa (1 kg) y su volumen, una unidad de volumen (1 m3). La unidad de densidad será, por consiguiente:

Así, por ejemplo, cuando afirmamos que la densidad del agua pura a 4°C es de 1000 kg/m3, queremos decir que cada m3 de agua tiene una masa de 1000 kg.

1.7. CONVERSIÓN DE UNIDADES Frecuentemente, se expresan las unidades utilizando algunos de los múltiplos o submúltiplos de las mismas que hemos explicado en la sección 1-5 y, en ocasiones, nos encontraremos aun cantidades que están expresadas mediante unidades no pertenecientes al SI. Por ello, a veces tendremos que cambiar las unidades en que esta expresada una cantidad. Es muy recomendable hacerlo multiplicando dicha cantidad por uno o varios de los llamados factores de conversión. 13

Consideremos una igualdad entre dos cantidades expresadas en diferente unidad, como: 1 min = 60 s Si dividimos ambos miembros de la igualdad por 60 s, obtenemos:

Este cociente igual a la unidad es el factor de conversión que nos permitirá expresar en minutos cualquier cantidad de segundos.

¿Qué es un factor de conversión y para qué sirve? Imaginemos, por ejemplo, que queremos expresar en minutos un tiempo de 225 segundos. Nos bastara multiplicar esta cantidad por el factor citado:

Para expresar una densidad de 0,25 g/cm 3 en la unidad del S.I., utilizaríamos dos factores de conversión:

Obsérvese que en el numerador y el denominador de cada factor de conversión aparecen siempre dos cantidades equivalentes expresadas con diferente unidad y que, al efectuar el producto, se simplifican las unidades exactamente igual que si se tratase de factores numéricos.

Según lo que has estudiado, ¿se puede operar separadamente con los números y las unidades? ¿Por qué?

TEMA 2. Cinemática. CINEMÁTICA. ELEMENTOS DE LA CINEMÁTICA. VELOCIDAD. ACELERACIÓN. MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS MOVIMIENTO CIRCULAR.

2.1. LA CINEMÁTICA La cinemática es la parte de la física que estudia el movimiento. Ya hemos visto que la Física es una ciencia que estudia fenómenos o cambios: precisamente los cambios más simples de la materia. Pero, sin duda, el fenómeno más sencillo que experimentan los cuerpos es el cambio de posición, es decir, el movimiento. Por ello, en la mayoría de los tratados, se suele empezar el estudio de la Física por la cinemática.

¿Qué estudia la Cinemática? ¿Qué dirías que es el movimiento de un cuerpo? El movimiento consiste en el cambio de posición de un móvil al transcurrir el tiempo. Por lo tanto, para poder estudiar un movimiento, necesitaremos ante todo una forma de expresar cuál es la posición del móvil, de modo que podamos anotarla en un papel, introducirla en la memoria de un ordenador o comunicarla a otra persona; a esto le llamamos determinar la posición del móvil. Pero, ¿cómo podemos hacerlo? Fijémonos en alguno de los muchos objetos situados a nuestro alrededor y procuremos describir su posición de manera que cualquiera puede localizarlo aun sin saber de qué cuerpo se trata. Para ello habremos de utilizar forzosamente expresiones como «encima de la mesa», «a la derecha de la puerta», «a 2 metros de altura»..., refiriéndonos directa o indirectamente a otros cuerpos (la mesa, la puerta, el suelo...). A estos cuerpos que utilizamos para referir a ellos la posición de un objeto les llamamos elementos de referencia. La distancia a cada uno de estos elementos de referencia determina la posición del móvil.

¿Qué necesitas para dar la posición de un objeto en el espacio? ¿Es posible situar un cuerpo sin tener en cuenta a otros cuerpos

cercanos a él? ¿Por qué se pierde la gente en el desierto o en un bosque? Se dice que un cuerpo está en movimiento cuando cambia de posición, es decir, cuando varía su distancia a los elementos de referencia al transcurrir el tiempo. En caso contrario se dice que está en reposo. Así pues, el movimiento de un cuerpo siempre se verifica con relación a otro u otros cuerpos. No tiene sentido hablar de movimiento sin especificar cuáles son los elementos de referencia. Sin embargo, en la práctica es muy habitual no mencionarlos. Cuando se hace así, es porque se dan por supuestos. Por ejemplo, si nos dicen que un automóvil va a 60 km/h, sobreentendemos que se toma como referencia el suelo (o, lo que es lo mismo, la Tierra). Si, dentro de un tren en marcha, un pasajero afirma que su maleta no se mueve, se supone que ésta se encuentra en reposo con respecto al tren.

¿Cómo definirías ahora el movimiento de un cuerpo? Compara esta definición con la que diste al principio, busca las semejanzas y las diferencias. Para expresar brevemente que el movimiento de un cuerpo sólo puede tener lugar con relación a unos elementos de referencia, se dice que todo movimiento es relativo.

¿Cuándo un cuerpo está en reposo? ¿Qué piensas que quiere decir que todo movimiento es relativo?

2.2. EL MÓVIL PUNTUAL Llamamos móvil al cuerpo cuyo movimiento pretendemos estudiar. En este texto, consideraremos únicamente un tipo de móvil, el llamado móvil puntual. Se llama así a un móvil tan pequeño, comparado con el recorrido que realiza, que se considera un punto geométrico. Como un punto no tiene tamaño (ni anchura, ni altura, ni superficie...), un móvil puntual es un cuerpo cuyas dimensiones son despreciables y no se tienen en cuenta. Pero debe entenderse bien que un móvil se considera puntual, no simplemente cuando es pequeño, sino cuando su tamaño es mucho menor que el del recorrido que efectúa. Por ejemplo, la Tierra puede considerarse un móvil puntual al estudiar su movimiento de traslación alrededor del Sol; la razón es que el tamaño de nuestro planeta, aun siendo enorme, es muy inferior al de la elipse que describe en torno del Sol. En la física se emplean otras expresiones como sinónimos de móvil puntual. Las más usuales son: masa puntual, punto material y partícula.

Escribe cuatro frases utilizando las palabras: móvil puntual, masa puntual, punto material y partícula.

2.3. EL SISTEMA DE REFERENCIA El cuerpo o conjunto de cuerpos al que referimos la posición de un móvil se llama sistema de referencia.

¿Qué diferencia existe entre sistema de referencia y elementos de referencia? El estado de reposo o movimiento de un móvil depende del sistema de referencia que se considere. Imaginemos, por ejemplo, al conductor de un automóvil que circula por una carretera. ¿Está en reposo o en movimiento? La respuesta será diferente según el sistema de referencia adoptado: diremos que el conductor está en movimiento con respecto a la Tierra, pero en reposo con relación a su vehículo.

El movimiento es relativo dependiendo …, ¿de qué? La elección de un sistema de referencia adecuado puede facilitar mucho el estudio de un movimiento. Un ejemplo es el movimiento de los planetas, muy complicado si tomamos la Tierra como sistema de referencia y bastante sencillo cuando lo referimos al Sol. Para determinar la posición de un móvil puntual se escogen unos ejes de coordenadas unidos rígidamente al sistema de referencia, como si estuviesen pegados o soldados a él. Las coordenadas del móvil definen entonces la posición de éste en el sistema de referencia considerado.

Al empezar un problema siempre debemos fijar las posiciones inicial y final del móvil, y por lo tanto, también debemos escoger un sistema de referencia.

2.4. LA TRAYECTORIA El conjunto de todos los puntos por los que pasa un móvil puntual al desplazarse se llama trayectoria.

Los movimientos, según su trayectoria, pueden clasificarse en rectilíneos (con trayectoria recta) y curvilíneos (con trayectoria curva). El movimiento rectilíneo es unidimensional,

porque una recta sólo tiene una dimensión (la longitud). Pero el movimiento curvilíneo puede ser bidimensional, si su trayectoria es una curva plana, o tridimensional, cuando la trayectoria no puede estar contenida en un plano. Ejemplos de movimientos curvilíneos bidimensionales son: el movimiento circular, el parabólico y el elíptico, cuyas trayectorias son respectivamente una circunferencia, una parábola y una elipse. Un ejemplo de movimiento tridimensional es el movimiento helicoidal. Su trayectoria es una hélice (curva con la forma del alambre que sujeta las hojas en las mal llamadas «libretas»). Se llama espacio recorrido a la longitud total de la trayectoria del móvil.

¿Qué significa espacio inicial? ¿Qué quiere decir espacio final? ¿El espacio final tiene que ser necesariamente cuando se pare el móvil? ¿O cuando dejamos de estudiar el movimiento? En este texto sólo estudiaremos algunos movimientos rectilíneos y el tipo más sencillo de movimiento circular.

2.5. EL TIEMPO El movimiento es el cambio de posición de un cuerpo al transcurrir el tiempo. Por lo tanto, en el estudio del movimiento (cinemática), será esencial saber determinar instantes de tiempo. Para ello siempre se ha de utilizar un instante de referencia, al que podemos llamar origen de tiempos o instante cero. Si, en un partido de fútbol, se dice «marcaron el primer gol en el minuto 35», se está tomando como referencia el instante en que comenzó el encuentro, cuando el árbitro puso en marcha su cronómetro. Si nos advierten «se desayuna a las ocho y media», están tomando como origen de tiempos la medianoche, por que «las ocho y media» significa ocho horas y media después de medianoche. A los tiempos anteriores al instante cero se les asignan valores negativos. Por ejemplo, si anuncian «el lanzamiento espacial se suspendió en el instante -40 segundos», interpretaremos que la suspensión tuvo lugar 40 segundos antes del instante cero (que es el previsto para el lanzamiento). Pero, no sólo interesa determinar instantes. También se necesita expresar la duración de intervalos de tiempo, es decir, del tiempo comprendido entre dos instantes. Se obtiene restando los tiempos correspondientes al instante final (t) y al inicial (to). Esta diferencia se simboliza por ∆t, que se lee «incremento de tiempo». Como hemos visto, un tiempo, que representa a un instante, puede ser positivo (posterior al instante 0) o negativo (anterior al instante 0). Sin embargo, ∆t, que es la duración de un intervalo de tiempo, siempre es positivo. La razón es que el tiempo sólo transcurre en un sentido (no puede volver atrás), y, por ello, t siempre es mayor que to.

2.6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Como ya hemos visto, un movimiento se llama rectilíneo cuando su trayectoria es una recta. a) Determinación de la posición del móvil Para determinar la posición de un móvil puntual basta tomar como eje de coordenadas su propia trayectoria rectilínea. Sobre ella escogeremos un punto O al que llamaremos origen de coordenadas. La posición del móvil quedará determinada por su distancia x al origen, llamada abscisa (fig. 5). P O Sentido ∆x positivo

Según el móvil se encuentre a uno u otro lado del origen asignaremos a su abscisa un valor positivo o negativo. Para ello se dibuja en el eje de coordenadas una punta de flecha (fig. 5), que indica el sentido que deseamos considerar positivo. Naturalmente, el sentido contrario será el negativo. S O Sentido P entido ∆ Dx D x321 =-1 Dx =1 mm =3 positivo

En la figura 6 se muestran varios ejemplos en los que pueden verse diferentes posiciones de un móvil puntual y sus correspondientes abscisas. b) El desplazamiento Si un móvil va desde un punto P0 (posición inicial) hasta otro P (posición final), llamaremos desplazamiento a la distancia entre P0 y P con el signo que corresponde al sentido de P0 hacia P. Para calcular el desplazamiento de un móvil se resta la abscisa de la posición final (x) menos la de la posición inicial (x0). Esta diferencia se simboliza por ∆x, que se lee «incremento de x». 20

Conviene fijarse bien en que, siempre que calculamos un incremento, restamos un valor final menos un valor inicial, precisamente en este orden.

¿Qué diferencia hay entre camino recorrido y desplazamiento? c) La velocidad media Se llama velocidad media entre dos instantes dados al desplazamiento realizado por un móvil en cada unidad de tiempo entre dichos instantes. Esta definición se puede expresar mediante la fórmula: En la anterior fórmula y t representan los valores finales de la abscisa y el tiempo; y t0 son los valores iniciales. En el sistema internacional (S.I.) la unidad de longitud es el metro y la de tiempo, el segundo. Por ello, la unidad de velocidad es el metro partido por segundo (m/s). Un m/s es la velocidad de un móvil que se desplaza un metro cada segundo. Como ha ocurrido al explicar el concepto de velocidad media, la definición de toda magnitud física conduce lógicamente a una expresión matemática para calcularla (fórmula) y a una unidad para medirla. Es muy importante observar que sólo se ha de aprender de memoria la definición de la magnitud. La fórmula y la unidad pueden y deben deducirse de dicha definición. Además de la unidad del S.I., en la práctica se usan frecuentemente otras unidades de velocidad; la más utilizada es el kilómetro por hora (km/h). Puesto que ∆t, como ya hemos visto, es siempre positivo, el signo de la velocidad media coincide con el del desplazamiento (∆x). Por ello, la velocidad media de un móvil será positiva o negativa, según el sentido en que se desplace el móvil. La velocidad media de un móvil depende de sus posiciones inicial y final, pero no de las diferentes posiciones intermedias por las que va pasando. Así, por ejemplo, si la velocidad media es cero, hemos de entender simplemente que la posición final del móvil coincide con la inicial. Ello puede significar: a) que el móvil ha permanecido en reposo. b) que se ha movido y ha regresado al punto de partida.

Representa gráficamente los dos casos anteriores (a y b). d) La velocidad instantánea. Si alguien nos dice que ha realizado un viaje en automóvil con una velocidad media de 80 km/h, no entendemos que el vehículo se ha mantenido constantemente a esa velocidad durante todo el recorrido. Todos comprendemos que, en algunos momentos, su velocidad habrá sido superior y en otros, inferior. Los 80 km/h son simplemente el resultado de dividir la distancia total recorrida por el tiempo empleado. Pero muy frecuentemente, más que la velocidad media en un largo recorrido, nos interesa conocer la velocidad con que nos desplazamos en un momento determinado; esta es la velocidad que podemos leer en los velocímetros de los coches. La llamaremos velocidad instantánea. Para calcular la velocidad instantánea midiendo el desplazamiento realizado por el móvil y el tiempo empleado, tendríamos que realizar estas mediciones para un intervalo de tiempo muy corto. Por ejemplo, en el recorrido de un automóvil, un intervalo de tiempo de 0,01 s es tan corto que prácticamente lo podemos considerar como un instante. Supongamos que, en este brevísimo intervalo de tiempo, el coche recorre 0,2 m. Dividiendo ambas cantidades obtenemos: 22

que se puede considerar prácticamente una velocidad instantánea. Llamaremos velocidad instantánea a la velocidad media en un intervalo de tiempo muy corto. Aunque esta definición no es del todo precisa desde el punto de vista matemático, resulta suficiente para poder comprender y aplicar el concepto de velocidad instantánea. Con conocimientos matemáticos superiores a los de este curso se podrá definir de forma más rigurosa. Designaremos por v la velocidad instantánea. En general, cuando hablemos de la velocidad de un móvil sin indicar si se trata de la media o de la instantánea, se entenderá que nos referimos a la velocidad instantánea. e) La rapidez Se llama rapidez al valor absoluto de la velocidad. En la figura 8 aparecen dos automóviles, A y B, que se mueven en sentidos opuestos. La velocidad de A, que se desplaza en sentido positivo, es de 20 m/s. Como B se mueve en sentido contrario, su velocidad ha de considerarse negativa, de —20 m/s. Por consiguiente, las velocidades de A y B son diferentes, ya que tienen distinto signo. Sin embargo ambos móviles poseen la misma rapidez de 20 m/s, ya que, por su definición, la rapidez no puede ser negativa. v=20 5m/sm/s v=Ñ

¿Es correcto el siguiente gráfico? v=205m/s v=Ñ m/s

¿Por qué no han cambiado los signos de las velocidades del autobús y de la bicicleta de una representación a la otra? Conviene observar que, en el lenguaje común, se confunde habitualmente velocidad con rapidez. Por ello se diría, incorrectamente, que los dos automóviles de la figura 7 se mueven con igual «velocidad», cuando debería decirse que lo hacen con igual rapidez.

¿Cuál es la rapidez del autobús y de la bicicleta en cada uno de los gráficos anteriores? 2.7. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Un movimiento rectilíneo se llama uniforme cuando su velocidad es constante. Ello supone que la velocidad media entre dos instantes siempre tiene igual valor sean cuales sean dichos instantes. La velocidad instantánea coincide, en este caso, con la media.

Por eso, en el movimiento uniforme, no se distingue entre velocidad media e instantánea y se habla simplemente de velocidad. Esta se calcula aplicando la fórmula: Si se despeja x se obtiene: . Esta expresión, llamada ecuación del movimiento uniforme, permite calcular la posición del móvil en cualquier instante. Muchas de las fórmulas que aparecen en los libros de Física no son válidas siempre. Sólo se pueden aplicar en determinados casos, que constituyen su campo de aplicación. No hay que olvidar que tan importante como saber una fórmula es conocer su campo de aplicación. Si lo ignoramos, es muy probable que la apliquemos mal. Las fórmulas que acabamos de estudiar en esta sección sólo son válidas para el movimiento rectilíneo uniforme; éste es su campo de aplicación.

Un error muy común en los alumnos de 2º de B.U.P. es el mezclar las ecuaciones de distintos tipos de movimientos. ¿Qué es lo que están aplicando mal dichos alumnos? 2.8. GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME a) La gráfica velocidad-tiempo (v-t). En la figura 10 aparece la gráfica velocidad-tiempo de un móvil que se desplaza con movimiento uniforme a 5 m/s (primer caso del ejemplo propuesto en la sección 2-7). Para comprender su significado, escojamos un punto cualquiera sobre la escala de tiempos, por ejemplo el A, que corresponde a 4 s. El segmento de trazos AB representa la velocidad del móvil en ese instante. Sobre la escala de velocidades se comprueba que la longitud de dicho segmento representa una velocidad de 5 m/s. Como se trata de un movimiento uniforme, en cualquier instante se habrá de obtener idéntica velocidad. Por esa razón la gráfica es una recta paralela al eje de los tiempos.

De la gráfica velocidad-tiempo se puede deducir fácilmente el desplazamiento realizado por el móvil entre dos instantes. Efectivamente, sabemos que dicho desplazamiento es igual al producto de la velocidad del móvil por el tiempo transcurrido. Así, por ejemplo, para obtener el desplazamiento realizado en los cuatro primeros segundos, multiplicamos dicho tiempo (segmento OA) por la velocidad de 5 m/s (segmento AB): Pero observemos que el área del rectángulo rayado en la figura 11 también se calcula efectuando el producto AB x OA (aunque, en este caso, expresando AB y OA en unidades de longitud). Por ello suele decirse que dicha área representa el desplazamiento realizado por el móvil. De la misma forma, el desplazamiento en los seis primeros segundos queda representado por el área del rectángulo de base OC y altura CD. ¿Qué área representaría el desplazamiento del móvil entre los instantes t = 4 s y t = 6.s?

¿El área entre 4 y 6 s más el área entre 0 y 4 s coincide con el área entre 0 y 6 s? ¿Quiere decir eso que si sumamos el espacio recorrido entre 0 y 4 s y entre 4 y 6 s obtenemos el mismo que si solo contamos entre 0 y 6 s? La gráfica v-t para un móvil que posee una velocidad de -3 m/s, es también una recta paralela al eje de los tiempos, pero, en este caso queda situada al otro lado de dicho eje, en la zona de las velocidades negativas.

Representa esta gráfica en tu cuaderno. Si en vez de representar la velocidad frente al tiempo representamos la rapidez obtenemos el espacio recorrido. b) La gráfica abscisa-tiempo (x-t). Volvamos al primer ejemplo de la sección 2 7. La ecuación del movimiento que obtuvimos era x=5t. Demos a t diferentes valores y calculemos los correspondientes valores de x. Así podemos construir la siguiente tabla: t (s) x (m) 0 0 2 10 4 20 6 30 Si se representan estos valores, se obtiene la gráfica de la figura 13. Así vemos que la gráfica abscisa-tiempo de un movimiento uniforme es una recta. Su pendiente depende de la rapidez del movimiento; cuanto mayor sea ésta, mayor es el ángulo que forma la recta con el eje de los tiempos. Veamos cómo es la gráfica del segundo movimiento del ejemplo. Su ecuación era x1 = 30-3t. Dando varios valores a t obtenemos la siguiente tabla: t (s) x (m) 0 30 2 24 26

4 18 6 12 8 6 10 0 Si se representan gráficamente estos valores resulta la recta de la figura 14. Como el móvil se desplaza en sentido negativo, su abscisa va disminuyendo a medida que transcurre el tiempo y la inclinación de la gráfica es descendente (al contrario que en el caso anterior). Si el móvil estuviese en reposo (velocidad igual a cero), su abscisa permanecería constante al transcurrir el tiempo. En ese caso la gráfica x-t resultaría una recta horizontal. Es frecuente dibujar las gráficas de varios móviles superpuestas sobre los mismos ejes de coordenadas. Ello nos permite comparar su movimiento, ver qué distancia los separa en cada instante, comprobar dónde y cuándo se cruzan, etc. En la figura 15 se han representado sobre unos mismos ejes las gráficas x-t de los dos móviles del ejemplo. En ella se puede comprobar, por ejemplo, que las dos personas se cruzan al cabo de 3,75 s de comenzar a moverse, en un punto situado a 18,75 m del origen de coordenadas.

2.9. ACELERACIÓN Hasta aquí hemos estudiado el movimiento uniforme, en el que la velocidad permanece constante. Existen otros movimientos, llamados no uniformes o variados, en los que la velocidad varía al transcurrir el tiempo. Pero en ningún caso puede cambiar instantáneamente la velocidad, siempre se requiere cierto tiempo, que puede ser muy corto, pero nunca nulo. Por ejemplo, si al arrancar un automóvil su velocidad pasa de 0 a 20 m/s, irá adquiriendo progresivamente todas las velocidades comprendidas entre estas dos, hasta alcanzar la de 20 m/s. Para estudiar los movimientos variados se define una magnitud, la aceleración, que relaciona el cambio de la velocidad instantánea de un móvil con el tiempo empleado en realizarlo.

¿Para qué tipo de moviiento vale la aceleración? ¿Qué es la aceleración de un móvil? Se llama aceleración media entre dos instantes dados al incremento de velocidad instantánea que experimenta un móvil en cada unidad de tiempo entre dichos instantes. Según esta definición la aceleración media es: La unidad de aceleración del SI es el m/s cada s, que se representa simbólicamente como m/s2. Un m/s2 es la aceleración de un móvil que, cada segundo transcurrido, experimenta un incremento de velocidad de 1 m/s. Podríamos definir diversas unidades de aceleración. Por ejemplo, si medimos la velocidad en km/h y el tiempo en minutos, tendremos que expresar la aceleración en

kilómetros por hora cada minuto. Un móvil poseerá una aceleración de 1 km/h min cuando, cada minuto, su velocidad instantánea se incremente en 1 km/h.

Utilizando tus conocimientos de velocidad media e instantánea, podrías decir ¿qué es aceleración instantánea? 2.10. EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Un movimiento rectilíneo se llama uniformemente variado cuando su aceleración es constante. Ello supone que, en cualquier intervalo de tiempo que se considere, la aceleración media será la misma. En el movimiento uniformemente variado, no distinguiremos entre aceleración media e instantánea, ya que son iguales. Hablaremos simplemente de aceleración. La expresión de la aceleración en el movimiento uniformemente variado es: Despejando la velocidad se obtiene: Esta expresión permite calcular la velocidad del móvil en cualquier instante y obtener la gráfica v-t de este movimiento. La gráfica velocidad-tiempo de un movimiento uniformemente variado, como hemos visto en el ejemplo anterior, es una recta. Su pendiente depende del valor de la aceleración. Cuanto mayor es ésta, mayor ángulo forma la recta con el eje de tiempos. Si la aceleración fuese nula, el ángulo también lo sería, y la recta resultaría paralela al eje de tiempos; entonces tendríamos la gráfica de un movimiento uniforme como las que hemos estudiado en la sección 2-8. Recordemos que, en el movimiento uniforme, la superficie comprendida entre la gráfica v-t y el eje de tiempos representa el desplazamiento realizado por el móvil (§ 2-8). Esto también es cierto para movimientos no uniformes, aunque no lo demostraremos. En el movimiento uniformemente variado vamos a utilizar esta interesante propiedad para deducir la expresión de la abscisa del móvil en función del tiempo. En la figura 17 se ha representado la gráfica v-t de un movimiento uniformemente variado. La superficie destacada en la figura es la que representa el desplazamiento realizado por el móvil. La línea de trazos divide a esta superficie en un rectángulo y un triángulo. Calculemos sus áreas: Rectángulo Base: ∆t Área: v0∆t. Altura: v0 Triángulo Base:∆t Altura: a∆t El desplazamiento (∆x) será el área total: ∆x = v0∆t + 1/2 a(∆t)2 Esta expresión se conoce como ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente variado. A partir de ella es fácil construir la gráfica abscisa-tiempo de este movimiento.

¿Es posible que un móvil puntual se desplace con velocidad positiva y aceleración negativa en un momento dado? ¿Por qué? En todo movimiento uniformemente variado, como en el ejemplo anterior, la ecuación que expresa la abscisa del móvil en función del tiempo es de segundo grado. La curva que se obtiene al representarla gráficamente siempre es un arco de parábola. De las dos fórmulas ya estudiadas del movimiento uniformemente variado vamos a deducir una tercera, que se usa frecuentemente en la práctica. De obtenemos Sustituyendo ∆t por esta expresión en la fórmula ∆x = v0∆t + 1/2 a(∆t)2 resulta Efectuando operaciones y simplificando queda: de donde se deduce Se debe tener siempre bien presente que el campo de aplicación de las fórmulas explicadas en esta sección es exclusivamente el movimiento rectilíneo uniformemente variado. Sería erróneo aplicarlas a un movimiento cuya aceleración no fuese constante. Si la rapidez (módulo de la velocidad) de un movimiento está creciendo se dice que el movimiento es acelerado; esto sucede cuando la aceleración y la velocidad tienen el mismo signo. Por el contrario, cuando la rapidez está disminuyendo, se dice que el movimiento es retardado; en este caso la aceleración y la velocidad tienen signos contrarios. Por ejemplo, si la velocidad de un móvil varía desde 10 m/s hasta 15 m/s, su movimiento es acelerado (la rapidez crece de 10 m/s a 15 m/s). Si la velocidad cambia desde -8 m/s a -10 m/s, el movimiento es también acelerado (la rapidez aumenta de 8 m/s a 12 m/s). ¿Sería acelerado o retardado un movimiento si su velocidad pasase de —7 m/s a -2 m/s?

2.11. LA CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS. Cuando un cuerpo cae, la resistencia debida al roce con el aire puede ejercer un efecto importante y frenar notablemente su movimiento. Así sucede cuando dejamos caer un cuerpo muy ligero, de superficie grande, como una hoja de papel En cambio, sobre los cuerpos pesados y de superficie pequeña el efecto de la resistencia del aire es mucho menor; llega a ser imperceptible cuando el cuerpo cae desde poca altura. Experimentalmente se ha encontrado que, cerca de la superficie terrestre, los cuerpos caen con movimiento uniformemente variado cuando la resistencia del aire es nula. Su aceleración, llamada aceleración de la gravedad, se representa por la letra g y, al nivel del mar, es de 9’81 m/s2 aproximadamente. Esta aceleración es ligeramente diferente en distintos puntos de la superficie terrestre y disminuye con la altitud. Pero, como las diferencias son muy pequeñas, aceptaremos el valor de 9’81 m/s 2 para todos los puntos situados en la superficie de la Tierra o muy cerca de ella. Mientras un cuerpo lanzado hacia arriba está subiendo, su movimiento es retardado; la aceleración, por consiguiente, tiene signo contrario al de la velocidad. Pero si el cuerpo está bajando, su movimiento es

acelerado y la aceleración posee el mismo signo que la velocidad. En todos los casos el signo de la aceleración de la gravedad resulta ser el asignado al sentido hacia abajo. Según lo dicho, todos los cuerpos (sean ligeros o pesados) caen con la misma aceleración si la resistencia del aire no es apreciable. Esto puede extrañarnos, ya que estamos acostumbrados a ver que los cuerpos ligeros caen más lentamente. Sin embargo esto se debe únicamente a que el rozamiento con el aire les afecta mucho más que a los cuerpos pesados. Existe una experiencia que lo demuestra claramente. En el interior de un tubo ancho de vidrio hay algunos pequeños objetos de pesos muy diferentes como una pluma, un corcho y una bolita de plomo. Si, estando colocado el tubo en posición vertical, se le da la vuelta rápidamente, se puede observar como los cuerpos más ligeros tardan más en caer a lo largo del tubo que los más pesados. A continuación, con una bomba de vacío, se extrae todo el aire del interior del tubo y se repite la experiencia. Entonces los cuerpos caen con igual aceleración y llegan al fondo del tubo simultáneamente (fig. 21).

2.12. EL MOVIMIENTO CIRCULAR. DETERMINACIÓN DE LA POSICIÓN El movimiento circular es el que tiene como trayectoria una circunferencia. Para determinar la posición del móvil sobre ella, tomamos como elemento de referencia un punto 0 de la misma (fig. 23). Si el móvil se encuentra en el punto P, su po sición puede determinarse por medio de: a) la longitud del arco s, con origen en O y extremo en P, o b) El ángulo θ que forman los radios CO y CP. + P s O C θ

Una circunferencia se puede recorrer en dos sentidos, que denominamos positivo y negativo. Habitualmente se considera positivo el sentido contrario al del movimiento de las agujas de un reloj, como está indicado en la figura 23. En tal caso, serán positivos tanto el arco s como el ángulo θ, ya que, para trasladarse desde el origen O hasta el punto P, se han de recorrer en sentido positivo. En el sistema internacional, el ángulo 0 se expresa en radianes. Un radián (rad) es un ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio. (Recordemos que se llama ángulo central al que tiene su vértice en el centro de una circunferencia). En la figura 24 está representado un ángulo de un radián.

Una circunferencia completa es un arco de 360° y su longitud es 2πr, es decir, 2 π radios. Por lo tanto, 360° son 2π rad. De ello se deduce que un radián equivale a 360°/2π = 57°18'. Imaginemos un ángulo de θ radianes con vértice en el centro de una circunferencia de radio r. Según la definición de radián, dicho ángulo abarcará un arco s cuya longitud contendrá θ veces el radio. Por lo tanto, se puede escribir: s=θr

2.13. EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. Un movimiento circular se llama uniforme cuando, en intervalos de tiempo de igual duración, el móvil recorre arcos de la misma longitud. En un movimiento circular uniforme, la velocidad lineal es la longitud de arco recorrida por el móvil en cada unidad de tiempo. En el S.I., la velocidad lineal se expresa en m/s. En un movimiento circular uniforme, velocidad angular (ω) es el ángulo girado por el móvil en cada unidad de tiempo. En el SI, la velocidad angular se expresa en radianes por segundo (rad/s). Un radián por segundo es la velocidad angular de un móvil que gira un radián cada segundo. Otras unidades de velocidad angular muy usadas en la práctica son las revoluciones por segundo (rev/s) y las revoluciones por minuto (rev/min o r.p.m.). Para poder pasar de estas unidades a rad/s, recordemos que una revolución equivale a 2π radianes.

2.14. RELACIÓN ENTRE LAS VELOCIDADES LINEAL Y ANGULAR. La velocidad lineal en el movimiento circular es un concepto similar al de velocidad en el movimiento rectilíneo. ¿Por qué no nos basta con ella y definimos además la velocidad angular? Para comprenderlo tendremos que referirnos por primera vez a un móvil no puntual. Imaginemos, por ejemplo, una rueda que está girando alrededor de su eje y consideremos tres puntos A, B y C de la misma (fig. 25). En cierto intervalo de tiempo, al girar la rueda, dichos puntos pasarán a las posiciones A', B' y C'. Es evidente que cada punto ha recorrido un arco de diferente longitud, en cambio, los tres han girado el mismo ángulo θ. Ello pone de manifiesto que los puntos de la rueda tienen distintas velocidades lineales, pero la misma velocidad angular. Si nos referimos a la rueda en su totalidad, no tiene sentido hablar de su velocidad lineal, pero sí de su velocidad angular. Por eso se define este concepto.

Intenta representar gráficamente lo que se ha explicado en el párrafo anterior. Tenemos dos partículas que se mueven con igual M.C.U., ¿cuál recorre más espacio, la que está más cerca o la que está más lejos del centro de giro? ¿cuál tiene mayor velocidad lineal?

Tenemos dos partículas que se mueven con la misma velocidad lineal, pero describiendo distintas trayectorias curvilíneas, ¿cuál tiene menor velocidad angular? Recordemos (§ 2.12) que, en el movimiento circular, el arco recorrido por un móvil es igual al producto del ángulo girado por el radio: A partir de esta igualdad se puede encontrar la relación entre la velocidad lineal y la angular. La velocidad lineal es: Pero por lo tanto v = ωr.

Tema 3. Las fuerzas. FUERZAS. REPRESENTACIÓN, EFECTOS Y MEDIDA DE LAS FUERZAS. EQUILIBRIO. COMPOSICIÓN DE FUERZAS. DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS. PESO. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. 3.1. LAS FUERZAS.

Si un cuerpo A tira de otro B, lo empuja, lo atrae o lo repele, decimos que A ejerce una fuerza sobre B. De esta fuerza se dice que actúa sobre B o que está aplicada al cuerpo B. Pon algunos ejemplos de momentos en los que pienses que estás haciendo fuerza. Indica sobre qué otro objeto u objetos estás haciendo fuerza.

¿Es posible hacer fuerza y no realizarla sobre nada? ¿Es posible realizar una fuerza y que no exista algún objeto o cuerpo que la reciba? Esta fuerza puede tener lugar por contacto entre ambos cuerpos o a distancia. Las fuerzas a distancia son las de origen: a) gravitatorio, como el peso de los cuerpos, o fuerza con que la Tierra los atrae; b) electromagnético, como la fuerza con que un cuerpo cargado eléctricamente repele a otro que posee carga de igual signo o la fuerza con que un imán atrae a un clavo de hierro. ¿Cuáles de las anteriores fuerzas son de interacción a distancia y cuáles de interacción por contacto? Todas las fuerzas se pueden clasificar según un solo tipo de los dos anteriores, ¿cuál es? ¿Por qué crees que es ese y no el otro? Sobre una porción de un cuerpo puede actuar una fuerza ejercida por otra porción del mismo cuerpo. Un ejemplo de ello son las llamadas fuerzas de cohesión que mantienen unidas las partículas de un cuerpo. Las fuerzas ejercidas entre dos partes de un mismo cuerpo se llaman fuerzas interiores; las que, por el contrario, son ejercidas por otro cuerpo, se denominan fuerzas exteriores. Define claramente cuáles son los dos criterios según los cuales se clasifican las fuerzas. Clasifica los tipos de fuerzas según los dos criterios que se han expuestos.

3.2. REPRESENTACIÓN DE LAS FUERZAS.

El efecto de una fuerza sobre un cuerpo no está determinado únicamente por su intensidad, es decir, por la cantidad de fuerza ejercida. Depende, además, de la dirección y sentido en que actúa y del punto en que está aplicada. Podemos decir, por consiguiente, que las características de una fuerza son: a) el módulo o intensidad. b) la dirección. c) el sentido. d) el punto de aplicación. ¿Cómo se denominan las magnitudes que se representan por un vector? Pon algún ejemplo. Justifica por qué se representan mediante un vector. Por ello, una fuerza se representa mediante un segmento orientado o vector (fig. 1); en él están representadas las cuatro características citadas:

Fig. 1. 34

a) la longitud del vector representa, a escala, la intensidad de la fuerza. b) la dirección del vector es la dirección en que se ejerce la fuerza. c) el sentido está señalado por medio de la punta de flecha dibujada en el extremo del vector. d) el punto de aplicación es el punto donde se ejerce la fuerza, y se llama también origen del vector. La recta sobre la que se halla situado el vector se llama línea de acción de la fuerza (aparece dibujada a trazos en la figura). Existe alguna diferencia entre línea de acción y dirección de un vector. Cuando dos vectores tienen igual longitud, dirección y sentido se dice que son equipolentes. Para simbolizar el vector representativo de una fuerza utilizaremos una letra con una pequeña flecha horizontal encima de ella.

Ejemplo:

r 37

La misma letra sin la flecha (F) representará la intensidad de la fuerza, que no es un vector sino simplemente un valor numérico. ¿Qué diferencia existe entre un vector y la intensidad de dicho vector? O lo que es lo

mismo,

ÂżquĂŠ

diferencia

r existe

entre

r 40

y F? En el sistema internacional la unidad de fuerza es el newton (N), cuya definición se verá en el próximo capítulo. En la práctica, todavía se utiliza como unidad de fuerza el kilopondio (kp). Un kp es el peso de un cuerpo de masa 1 kg en un lugar donde la aceleración de la gravedad es normal (9,81 m/s2). Un kp equivale a 9,81 N.

3.3. EFECTO DE LAS FUERZAS. SOLIDO RÍGIDO.

Obsérvese la figura 3. El muelle que aparece en la foto a está sujeto por su extremo superior a un punto fijo. Si le aplicamos una fuerza vertical hacia abajo, sufrirá una deformación; éste es uno de los efectos de las fuerzas sobre los cuerpos. En la foto b se puede ver la deformación del muelle al ejercer una fuerza hacia abajo aplicada a su extremo inferior. En la foto c, se puede comprobar que, si desplazamos la fuerza a lo largo de su línea de acción y la aplicamos en otro punto del muelle, la deformación es distinta. Señala, sin explicarlos, los efectos que puede producir una fuerza sobre un cuerpo. Así pues, si una fuerza aplicada a un cuerpo deformable se desplaza a lo largo de su línea de acción, varía la deformación que produce.

Fig. 3. a) Forma de un muelle cuando no actúa ninguna fuerza sobre él. b) El muelle se deforma al aplicarle una fuerza. c) La fuerza se ha aplicado ahora en otro punto, aunque su intensidad, sentido y línea de acción no han cambiado. La deformación del muelle es distinta. Pero si aplicamos una pequeña fuerza a una barra de hierro no notamos que se deforme en absoluto. Llamaremos sólido rígido a todo cuerpo que no se deforme bajo la acción de las fuerzas. En realidad ningún cuerpo es perfectamente rígido o indeformable. Sin embargo, en muchos casos, si las fuerzas aplicadas no son demasiado grandes, la deformación producida es tan pequeña que podemos considerarla nula. Por ello, en la práctica podemos conceptuar rígidos a numerosos cuerpos. Consideremos ahora lo que ocurre si desplazamos a lo largo de su línea de acción una fuerza aplicada a un sólido rígido. Señala, sin explicarlos, los efectos que puede producir una fuerza sobre un cuerpo.

En lo que respecta a la deformación nada cambiaría, puesto que un sólido rígido no se deforma. Pero las fuerzas tienen también un efecto sobre el movimiento de los cuerpos. Pueden hacerles aumentar o disminuir de velocidad y también cambiar la dirección en que se mueven. Experimentalmente se comprueba que, al desplazar a lo largo de su línea de acción una fuerza aplicada a un sólido rígido, no se modifica su efecto sobre el movimiento de dicho cuerpo (fig. 4). En resumen, el punto de aplicación de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo deformable no se puede cambiar sin que varíe la deformación producida; se dice que estas fuerzas son vectores fijos. Por el contrario, las fuerzas aplicadas a un sólido rígido pueden deslizarse a lo largo de su línea de acción sin que cambie su efecto; se dice que son vectores deslizantes.

Fig. 4. El hombre aplica igual fuerza a la vagoneta, pero en diferentes puntos Como la línea de acción de la fuerza no ha cambiado, la vagoneta se moverá exactamente de la misma forma en los tres casos. Escribe los dos conceptos que se intentan distinguir en la pregunta 3.3. ¿Los has comprendido? En caso negativo, explica qué es lo que no entiendes.

3.4. MEDIDA DE LAS FUERZAS

Los muelles en hélice suelen poseer una propiedad que los hace especialmente adecuados para medir fuerzas. Supongamos que tenemos uno de estos muelles colgando verticalmente de un soporte rígido. Si suspendemos de él distintos pesos, medimos el alargamiento que experimenta con cada uno de ellos y los datos los recogemos en la siguiente tabla de valores: Longitud del muelle (cm) Peso (N)

21’5

0’2

23 0’4

24’5 0’6

26 0’8

y representamos los resultados en una gráfica, obtendremos un conjunto de puntos como el de la figura 6.

También puede representarse el alargamiento producido por el peso, cuyo valor será la longitud inicial menos la longitud final. Alargamiento del muelle (cm)

1’5

4’5

Peso (N)

0’2

0’4

0’6

0’8

Como puede verse, y en ambos casos, dichos puntos están prácticamente en línea recta. Se advierte, sin embargo, que su alineación no es totalmente perfecta. Estos pequeños desajustes son habituales en la práctica. 44

Frecuentemente pueden atribuirse al margen de error de las medidas efectuadas y no a la realidad del fenómeno en estudio. Admitiéndolo así, podemos considerar que la gráfica del alargamiento del muelle en función de la fuerza que se ejerce sobre él es la recta representada en la figura. Según esta gráfica, ¿cuál será la deformación del muelle al aplicarle una fuerza de 0,7 N? ¿Y si la fuerza es de 1,2 N? Como ya sabemos, una recta que pasa por el origen de coordenadas es la gráfica de una proporcionalidad directa. Así pues, la deformación del muelle es directamente proporcional a la fuerza que se le aplica (ley de Hooke). Escribe la expresión matemática que nos da la ley de Hooke. Midiendo el alargamiento de un muelle que cumple la ley de Hooke podemos conocer fácilmente la fuerza que actúa sobre él. Pero previamente debemos calibrarlo, es decir, colgarle varios pesos conocidos y medir los alargamientos correspondientes para determinar lo más exactamente posible la relación de proporcionalidad entre ambas magnitudes. Con ello podremos construir una escala que permita leer directamente el valor de la fuerza aplicada al muelle. En esto se basan los aparatos destinados a medir fuerzas, llamados dinamómetros. En la figura 7 se puede ver un dinamómetro constituido por un muelle alojado en el interior de un cilindro de material transparente. Al estirar del muelle, éste se alarga, y su extremo nos indica el valor de la fuerza aplicada sobre una escala trazada a lo largo del cilindro.

Aunque existen diversos modelos de dinamómetros, todos ellos se basan en el mismo principio y sólo difieren en su diseño.

3.5. EQUILIBRIO

Se dice que un cuerpo está en equilibrio cuando no se modifica su estado de reposo o movimiento, es decir, permanece en reposo o se mueve sin que varíe la intensidad, dirección ni sentido de su velocidad (movimiento rectilíneo y uniforme). El equilibrio sólo se puede producir en dos casos: a) Cuando no actúa ninguna fuerza sobre el cuerpo. b) Cuando actúan varias fuerzas que se contrarrestan entre sí. Esto se expresa más brevemente diciendo que las fuerzas se equilibran. Si un paracaídista cae con velocidad constante, es porque hay una fuerza que equilibra al peso. ¿Qué puedes decir acerca del vector que la representa? Estudia el siguiente ejemplo sencillo de equilibrio: dos muchachos tirando de los extremos de una cuerda sin que ninguno de ellos logre arrastrar al otro. Las fuerzas que ejercen sobre la cuerda tienen igual intensidad y son opuestas, es decir, actúan sobre la misma línea de acción en sentidos

contrarios. Evidentemente, dos fuerzas iguales y opuestas siempre se equilibran. Obsérvese, además, que, si uno de los muchachos hiciese variar la intensidad o dirección de su fuerza, el equilibrio se rompería, al menos hasta que el otro reaccionara modificando también su fuerza. Esto nos indica que dos fuerzas sólo se pueden equilibrar mutuamente si son iguales y opuestas. Representa gráficamente las siguientes situaciones: A) dos fuerzas en equilibrio, B) tres fuerzas en equilibrio, C) tres fuerzas formando ángulos distintos de 180° y que estén en equilibrio.

3.6. COMPOSICIÓN DE FUERZAS CONCURRENTES

Consideremos un conjunto de fuerzas aplicadas a un sólido rígido. Estas fuerzas se llaman concurrentes cuando sus líneas de acción pasan por un mismo punto. En este caso (fig. 9) podemos desplazarlas a lo largo de sus líneas de acción y considerarlas todas aplicadas en dicho punto.

Fig. 9. Las fuerzas concurrentes que actúan sobre un sólido rígido (a) se pueden desplazar hasta que queden aplicadas en un mismo punto P (b). Llamamos resultante de dos o más fuerzas concurrentes a una fuerza única que produce por sí sola el mismo efecto que aquéllas. ¿Qué es una fuerza resultante? La operación de hallar la resultante se llama composición o suma vectorial de fuerzas. A las fuerzas cuya resultante obtenemos se les da el nombre de componentes. ¿Qué es composición de fuerzas concurrentes? ¿Qué son las componentes de una fuerza? En el caso de que las fuerzas concurrentes tengan la misma dirección y sentido (fig. 10), la intensidad de su resultante es la suma de las intensidades de las componentes y tiene su misma dirección y sentido.

Fig. 10. Resultante de dos fuerzas concurrentes de la misma dirección y del mismo sentido. Si las fuerzas son de la misma dirección, pero de sentido contrario (fig. 10), la intensidad de la resultante es la diferencia de las intensidades de las componentes y tiene su misma dirección y el sentido de la mayor.

Fig. 10. Resultante de dos fuerzas concurrentes de la misma dirección y de sentidos contrarios. Si las componentes no tienen la misma dirección (fig. 11), la resultante es la fuerza, concurrente con ellas, representada por la diagonal del paralelogramo construido sobre ambas. En este caso obsérvese que la

intensidad de la resultante está comprendida entre la suma y la diferencia de las intensidades de las componentes y es menor cuanto mayor sea el ángulo formado por éstas (fig. 12).

Fig. 11. Resultante de dos fuerzas concurrentes de distinta dirección.

Fig. 12. A medida que aumenta el ángulo que forman entre sí dos fuerzas concurrentes, disminuye la intensidad de su resultante. Hay otra forma, equivalente a la anterior, de construir la resultante de dos fuerzas concurrentes. Se trazan vectores F1 y F2 equipolentes a ambas fuerzas, uno a continuación del otro, es decir, con el origen de F1 en el extremo de F2.

La fuerza resultante es la representada por el vector cuyo origen coincide con el de F1 y cuyo extremo es el de F2 (fig. 13)

Fig. 13. Otra forma de construir la resultante de dos fuerzas concurrentes. Cuando se ha de hallar la resultante de mĂĄs de dos fuerzas concurrentes, este procedimiento resulta especialmente sencillo. En efecto, basta ir trazando todos los vectores uno a continuaciĂłn de otro (fig. 14) y la resultante se traza simplemente uniendo los extremos de la lĂnea quebrada obtenida.

Fig. 14. Resultante de varias fuerzas concurrentes. Para determinar la intensidad de la resultante de dos fuerzas concurrentes podemos dibujarlas a escala, trazar su resultante y medir la longitud del vector

obtenido. Conociendo la escala del dibujo podremos calcular fácilmente a qué intensidad de fuerza corresponde dicha longitud. En el caso de que las componentes formen entre sí ángulo recto se puede calcular la intensidad de su resultante aplicando el teorema de Pitágoras. EJEMPLO.- Dos personas arrastran una barcaza por un canal recto. Cada una de ellas avanza a lo largo de una orilla estirando de una cuerda atada a la proa de la embarcación con una fuerza de intensidad 300 N (fig. 15). Determinar la intensidad, dirección y sentido de la fuerza resultante sobre la barcaza. a) Si cada fuerza forma un ángulo de 30° con las orillas. b) Si cada fuerza forma un ángulo de 45° con las orillas.

Solución.- 520 N; 424 N.

3.7. DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS

A la operación de hallar la resultante R de dos fuerzas F1 y F2 le hemos llamado composición de fuerzas. Pero en muchas ocasiones nos interesa más

proceder a la inversa y determinar las componentes F1 y F2 a partir de su resultante R. Llamaremos descomponer una fuerza a sustituirla por sus componentes. Para ello necesitaremos conocer previamente las direcciones de dichas componentes; en caso contrario la cuestión tendría infinidad de soluciones. Por ejemplo, consideremos un cuerpo de peso P que se encuentra en reposo sobre un plano inclinado (fig. 16). Veamos cómo se descompone P en dos fuerzas de direcciones paralela y perpendicular al plano inclinado. Por el origen de P se traza la recta t (paralela al plano) y la n (perpendicular o normal al plano). A continuación se trazan paralelas a dichas rectas por el extremo del vector P. Los lados del paralelogramo formado determinan las fuerzas T y N cuya suma vectorial es P, como resulta evidente en la figura. T y N son, por lo tanto, las componentes que buscábamos.

La descomposición de la fuerza P, que hemos realizado, tiene una interesante significación física ya que el efecto de cada una de las

componentes obtenidas es completamente distinto. La fuerza T hace deslizarse al cuerpo hacia abajo a lo largo del plano inclinado. La fuerza N sólo «aprieta» al cuerpo contra el plano y es contrarrestada por la resistencia que opone éste. Siempre que consideramos una fuerza podemos sustituirla por sus componentes; y las direcciones de éstas pueden ser las que más nos convengan.

muchos

casos

esta

descomposición

resulta

traordinariamente útil para estudiar y comprender la acción de las fuerzas.

3.8. EQUILIBRIO DE FUERZAS CONCURRENTES

Para que las fuerzas aplicadas a un cuerpo se equilibren, es necesario que su resultante sea nula. Si tenemos varias fuerzas concurrentes aplicadas a un sólido rígido, ¿cómo determinaríamos una fuerza que las equilibre? Sustituyendo las fuerzas dadas por su resultante, el problema se reduce a hallar una fuerza que equilibre a ésta. Pero sabemos que una fuerza sólo se equilibra con otra si es igual y opuesta (§ 3-5); por consiguiente, la fuerza que equilibra a varias fuerzas concurrentes es igual y opuesta a su resultante.

Representa la fotografía superior con un esquema de fuerzas. La anterior afirmación es fácil de comprobar experimentalmente. Obsérvese la figura 17 a. En ella se puede ver un pequeño anillo metálico al que se le han aplicado tres fuerzas concurrentes por medio de hilos con pesas colgadas de ellos. En la figura 17 b se han dibujado los vectores F 1, F2 y F3, que representan dichas fuerzas. Sus direcciones se han trazado paralelas a las de los hilos y sus longitudes son proporcionales al peso suspendido de cada hilo. Como el anillo está en reposo, es evidente que las tres fuerzas que actúan sobre él se equilibran. Trazando la resultante de F1 y F2, podemos comprobar que es igual y opuesta a F3. Esta experiencia nos sirve también para comprobar prácticamente la validez del método del paralelogramo para determinar la resultante de dos fuerzas concurrentes.

3.9. COMPOSICIÓN DE FUERZAS PARALELAS

En muchos casos las líneas de acción de las fuerzas aplicadas a un sólido rígido no concurren en un punto. A continuación veremos cómo se halla la resultante de dos fuerzas paralelas; ese es el caso más sencillo de fuerzas no concurrentes. Imaginemos que, en dos puntos A y B de una varilla rígida, aplicamos sendas fuerzas paralelas FA Y FB (figs. 18 y 19). Si las fuerzas aplicadas son del mismo sentido (fig. 18), se encuentra experimentalmente que la fuerza resultante posee las siguientes características: 1. Su intensidad es la suma de las intensidades de ambas fuerzas. 2. Tiene la misma dirección y sentido de las fuerzas. 3. Su punto de aplicación O (alineado con A y B) está entre A y B y cumple la relación: Si las fuerzas paralelas son de sentidos contrarios (fig. 19), la resultante tiene las propiedades siguientes: 1. Su intensidad es la diferencia de las intensidades de ambas fuerzas. 2. Tiene la misma dirección que las fuerzas y el sentido de la mayor. 3. Su punto de aplicación O (alineado con A y B) es exterior al segmento AB y se cumple: FA X OA = FR X OB

Fig. 18 Resultante de dos fuerzas paralelas del mismo sentido. Fig. 19 Resultante de dos fuerzas paralelas de sentidos contrarios EJEMPLO.- Determinar la intensidad, dirección, sentido y punto de aplicación de la resultante de dos fuerzas paralelas de intensidades FA = 30 N y FR = 10 N cuyos puntos de aplicación distan entre sí 60 cm. Resolver el problema suponiendo que ambas fuerzas: a) tengan el mismo sentido, b) tengan sentidos contrarios.

3.10. EQUILIBRIO DE FUERZAS PARALELAS

La fuerza que equilibra a dos fuerzas paralelas, como es lógico, ha de equilibrar a su resultante. Pero, sabiendo que una fuerza sólo puede ser con trarrestada por otra si es igual y opuesta a ella, podemos afirmar: la fuerza que equilibra a dos fuerzas Paralelas es igual y opuesta a su resultante. Es fácil comprobarlo experimentalmente. En dos puntos A y B, de una barra rígida y muy ligera aplicamos dos fuerzas paralelas hacia arriba, F A y FB de diferente intensidad. Podemos hacerlo utilizando pesas colgadas de dos hilos que pasen por unas pequeñas poleas (fig. 20). Tomamos un tercer hilo y colgamos de él un peso igual al total aplicado en los otros dos hilos.

Finalmente tantea remos en qué punto se ha de colgar este peso para que la barra quede horizontal en equilibrio tal como se ve en la figura 20. Al lado de la fotografía están representadas las tres fuerzas mediante vectores situados en las mismas posiciones que los hilos. La longitud de cada vector es proporcional al peso colgado del hilo correspondiente. Midiendo las distancias OA y OB se puede comprobar que: F1 x OA=F2 x OB El punto O es también el punto de aplicación de la resultante de F1 y F2 (que no hemos dibujado). Por lo tanto, con esta experiencia .se comprueba la corrección de la regla para determinar el punto de aplicación de la resultante de dos fuerzas paralelas.

3.11. PAR DE FUERZAS

Se llama par de fuerzas a un sistema constituido por dos fuerzas paralelas de igual intensidad y sentido contrario (fig. 21). Un ejemplo de ello lo tenemos en la aguja magnética de la brújula (fig. 22), cuyos dos extremos se hallan sometidos a fuerzas iguales dirigidas hacia el Norte y el Sur, respectivamente, por ]a acción del magnetismo terrestre.

Aplicar un par de fuerzas es algo bastante fre cuente en la práctica. Se suele hacer, por ejemplo, para hacer girar el volante de un coche, el mango de un sacacorchos, el manillar de una bicicleta o la tapa de un frasco de mermelada. Según lo que hemos explicado, la resultante de un par de fuerzas es nula, ya que su intensidad es la diferencia de las intensidades (iguales) de ambas fuerzas. Pero esto no significa que las fuerzas se equilibren. Obsérvese, por ejemplo, que la aguja de la brújula sometida a un par de fuerzas no permanece en equilibrio, sino que gira hasta que las dos fuerzas quedan alineadas. Comprobamos así que, aunque la resultante de un sistema sea nula, puede ocurrir que éste no se encuentre en equilibrio. Es indispensable para que exista equilibrio que la resultante sea nula, pero no basta con ello. En el caso de un par de fuerzas es necesario además que ambas tengan una misma línea de acción. Fig. 22 Sobre los extremos de la aguja de una brújula actúa un par de fuerzas que la hace girar hasta tomar la dirección norte-sur.

3.12. PESO DE LOS CUERPOS. CENTRO DE GRAVEDAD

Cuando un cuerpo está situado en la superficie de la Tierra o en sus proximidades, se llama peso a la fuerza con que ésta lo atrae. Esta fuerza siempre está dirigida hacia el centro de la Tierra; su dirección en un determinado punto de la superficie terrestre se llama la vertical del lugar. Esta dirección se determina con la plomada, que es simplemente un hilo con un pequeño peso colgado de su extremo. Cada partícula de un cuerpo, por pequeña que sea, es atraída por la Tierra, es decir, tiene peso. Todo cuerpo se puede considerar formado por partículas de materia. Los pesos de todas ellas son un conjunto de fuerzas que se dirigen hacia el centro de la Tierra; este punto está tan lejano que podemos considerarlas paralelas. La resultante de dichas fuerzas es el peso del cuerpo y su punto de aplicación se llama centro de gravedad (fig. 23). Centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de su peso; éste es la resultante de los pesos de todas las partículas que forman el cuerpoEn algunos cuerpos de forma geométrica sencilla y densidad uniforme en todos sus puntos, el centro de gravedad tiene una posición característica. Así, las superficies, que poseen centro de simetría, como el rectángulo, el rombo o el círculo, tienen en él su centro de gravedad. Una superficie triangular lo tiene en el punto de intersección de sus medianas o baricentro. Las superficies, como el trapecio isósceles o el sector circular, que poseen un eje de simetría, lo tienen en éste.

Fig. 23 El peso (P) de un cuerpo es la resultante de los pesos de todas sus partículas. Su punto de aplicación es el centro de gravedad (G). La estabilidad de los cuerpos que se apoyan sobre una superficie depende de la posición de su centro de gravedad. Un cuerpo apoyado sobre una superficie (fig. 25) sólo cae cuando lo inclinamos de tal modo que la vertical que pasa por su centro de gravedad no corte a la base; de no ser así, al soltarlo, recupera su posición inicial. Cuanto mayor es la base y menor la altura del centro de gravedad, más se necesita inclinar el cuerpo para que caiga, lo cual se expresa diciendo que su equilibrio es más estable. Así, por ejemplo, los coches de carreras se construyen bajos y con las ruedas muy separadas para que el c. de g. esté situado a muy poca altura sobre una amplia base de sustentación. De esa forma poseen una gran estabilidad. Cuando un cuerpo se cuelga de un eje de modo que pueda oscilar libremente como un péndulo, su peso hace que el centro de gravedad tienda a adoptar la posición más baja posible. Por ello, el cuerpo suspendido puede tener tres formas de equilibrio: a) Equilibrio estable (fig. 26 a), cuando el c. de g. queda situado debajo del eje, en la vertical del mismo. Al apartar el cuerpo ligeramente de su posición, su peso le hace volver a la posición inicial.

b) Equilibrio inestable (fig. 26 b), cuando el c. de g. se halla en la vertical del eje de suspensión, pero por encima del mismo. Si apartamos el cuerpo ligeramente de esta posición, su peso le hace apartarse aún más y lo lleva a la posición de equilibrio estable. c) Equilibrio indiferente (fig. 26 c), cuando el c. de g. se encuentra en el eje de suspensión. El cuerpo quedará entonces siempre en la posición en que se le deje, sea cual sea ésta. El equilibrio de un cuerpo apoyado en un punto es similar al de un cuerpo suspendido de un eje. Es estable cuando el c. de g. está más bajo que el punto de apoyo e inestable cuando está más alto. Una curiosa experiencia, muy fácil de realizar, sobre el equilibrio de un cuerpo apoyado en un punto es la que puede verse en la fotografía de la figura 27. Se ha clavado profundamente un mondadientes en una patata. Si apoyamos entonces la punta del mondadientes en una superficie e intentamos que la patata se mantenga en equilibrio sobre él, nos resultará imposible conseguirlo. Se trata de un equilibrio sumamente inestable, ya que el c. de g. se halla muy por encima del punto de apoyo. Pero si clavamos en la patata dos tenedores tal como se ve en la figura, la patata se mantiene en equilibrio con toda facilidad. La razón es que el peso de los tenedores ha hecho desplazarse el c. de g. del conjunto hasta situarlo por debajo del punto de apoyo. Es curioso observar que el c. de g. no está en ningún punto del cuerpo en equilibrio sino por debajo de

él, en el aire. A pesar de ello, cuando el cuerpo se inclina ligeramente, su peso le hace volver a la posición de equili brio como si el c. de g. estuviese materialmente unido al conjunto.

3.13. LEY DE NEWTON DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

La fuerza con que la Tierra atrae a todos los cuerpos obedece a la ley de la gravitación universal. Según dicha ley, denominada también ley de Newton, dos masas puntuales se atraen con una fuerza que se puede calcular mediante la fórmula:

Donde m y m' son las masas de ambos cuerpos; d, la distancia que los separa; y G, una constante llamada constante de gravitación universal cuyo valor en unidades del SI es: G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2 Mediante esta misma fórmula también se puede calcular la fuerza de atracción ejercida por una masa esférica homogénea. Para calcular, por ejemplo, la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo bastará aplicar la ley de Newton considerando que m es la masa de la Tierra, m' es la masa del cuerpo y d, la distancia de éste al centro de la Tierra.

3.14. EL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

Aplicando la ley de la gravitación universal podemos calcular la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de masa 1 kg situado en su superficie. El resultado es 9,8 N. Si lo colocáramos en un punto algo alejado de nuestro planeta, sería atraído con una fuerza menor, que también podríamos calcular mediante la fórmula de Newton. En la figura 29 se han representado las fuerzas que la Tierra ejercería sobre un cuerpo de masa 1 kg al situarlo en distintos puntos del espacio. Al conjunto de todas estas fuerzas ejercidas por la Tierra sobre la unidad de masa se le llama campo gravitatorio terrestre. A la fuerza con que la Tierra atrae a la unidad de masa situada en un punto, se le llama intensidad del campo gravitatorio en dicho punto. Los vectores dibujados en la figura 29 representan la intensidad del campo gravitatorio terrestre. Obsérvese que son menores cuanto más alejados están del centro de la Tierra. Esta intensidad del campo se expresa en newtons por kilogramo (N/kg). En la superficie terrestre su valor, como hemos visto, es de 9,8 N/kg, aproximadamente. De hecho, la intensidad del campo gravitatorio varía

ligeramente de un lugar a otro de la superficie terrestre; es ligeramente menos en el ecuador que en el polo y disminuye con la altitud del lugar. La variación del peso de un cuerpo, cuando se traslada de un lugar a otro de la Tierra, es pequeña, pero se puede apreciar. A las líneas que en todos sus puntos tienen la dirección del vector intensidad de campo, se les llama líneas de campo. En el caso del campo gravitatorio terrestre son líneas rectas que pasan por el centro de la Tierra. Están representadas en color en la figura 29.

Tema 4. Dinámica de traslación. 4.1. TEORÍAS SOBRE EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS. Los primeros conocimientos acerca de las fuerzas y el movimiento los adquirimos a través de nuestra propia experiencia. La teoría que sostenía Aristóteles, filósofo nacido en el año 384 a. de C., parece estar de acuerdo con la experiencia que todos tenemos. Según este célebre pensador, para mantener un cuerpo en movimiento rectilíneo y uniforme, tendríamos que impulsarlo aplicándole una fuerza constante. Cuanto mayor fuera esa fuerza, mayor sería la rapidez del movimiento. En principio, esta explicación parece satisfactoria. Nuestra experiencia, efectivamente, nos enseña que, para desplazar un cuerpo sobre una superficie horizontal, debemos ejercer una fuerza, tal como pensaba Aristóteles. Pero, si analizamos algo más profundamente la cuestión, encontraremos que estas ideas no son aplicables a todos los móviles. Así sucede, por ejemplo, en el movimiento de la caída de los cuerpos. En efecto, un cuerpo, cuando cae, se desplaza impulsado por una fuerza constante: su peso. Según la teoría antes enunciada, su movimiento debería ser uniforme. Sabemos que, por el contrario, los cuerpos caen con movimiento acelerado. La teoría expuesta tampoco es aplicable al movimiento de los astros, que se desplazan indefinidamente en el espacio, sin que aparentemente les impulse fuerza alguna. Así, pues, ni el movimiento de los astros ni el de caída de los cuerpos se podían explicar como el movimiento de un cuerpo sobre un plano horizontal. Los seguidores de Aristóteles se veían por ello obligados a admitir que cada uno de estos fenómenos obedecía a leyes distintas. 65

El pensamiento de Aristóteles sobre las fuerzas y el movimiento mantuvo su influencia durante casi veinte siglos hasta que el físico y astrónomo italiano Galileo Galilei (15641642) demostró sus errores. Unas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton (1642-1727), escribía una obra de capital importancia en el desarrollo de la ciencia: «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» (Principios Matemáticos de la Filosofía Natural). Una de sus más valiosas aportaciones en este trabajo fueron los principios del movimiento, que estableció basándose en los descubrimientos de Galileo y que hoy son universalmente conocidos como leyes de Newton.

4.2. EL PRINCIPIO DE INERCIA El principio de inercia, también llamado primera ley de Newton, se puede enunciar de la siguiente forma: “Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas exteriores permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme.” Cuando se dan las circunstancias citadas en este principio decimos que el cuerpo está en equilibrio (§ 3-5). La palabra inercia significa inacción o ineficacia. Efectivamente, el principio de inercia reconoce la incapacidad de los cuerpos para modificar por sí mismos su propio estado de reposo o movimiento; esto sólo lo puede conseguir una fuerza realizada por otro cuerpo.

¿Podrías explicar el último párrafo con tus palabras? Según este principio, no es necesario ejercer fuerza alguna para mantener un cuerpo en movimiento rectilíneo y uniforme. Podríamos decir que el efecto de las fuerzas no es mantener el movimiento, sino modificarlo. No se ha de ejercer fuerza alguna para conservar la velocidad constante, sino para hacerla aumentar o disminuir o simplemente cambiar de dirección.

Expón varios casos en los que se demuestre que no hay que ejercer ninguna fuerza para mantener a un cuerpo en un M.R.U. Veamos cómo el principio de inercia es aplicable a los tres tipos de movimiento que no se podían explicar de una forma única mediante las teorías anteriores a Newton. Estudiemos primero el caso de un móvil que es arrastrado con movimiento uniforme sobre un plano horizontal. Consideremos, por ejemplo, el carrito de la figura 1. Evidentemente, para desplazarlo con velocidad constante, es necesario aplicarle una fuerza. En la figura la hemos representado por F. Pero tengamos en cuenta que además actúan otras fuerzas sobre el carrito. Son debidas al rozamiento de las ruedas con el suelo y de los ejes de las ruedas con sus apoyos. Aunque estas fuerzas se producen en distintos puntos del carrito, su efecto equivale al de una fuerza única FR que se opone al movimiento. Cuando las intensidades de ambas fuerzas son iguales (F=FR), la fuerza resultante sobre el carrito es nula y éste se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforme, tal como afirma el principio de inercia.

Fig. 1 Cuando el carrito se desplaza con velocidad constante, la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es nula. Para ello, las intensidades de F Y FR han de ser iguales. No sucede lo mismo cuando se está poniendo en marcha el carrito. En esa fase del movimiento su velocidad no se mantiene constante sino que va creciendo desde cero hasta un determinado valor v. Para ello es necesario que F sea mayor que FR Una vez alcanzada la velocidad v, deberá hacerse F igual a FR para mantener invariable dicha velocidad. El movimiento de caída de los cuerpos también se explica por la primera ley de Newton. En efecto, cuando un cuerpo cae y es despreciable la resistencia del aire, se mueve bajo la acción de una sola fuerza, que es su peso. Por ello, según el principio de inercia, su movimiento no será uniforme. Así ocurre en la realidad, pues ya hemos visto que los cuerpos caen con movimiento uniformemente acelerado.

Cuando hemos calculado el tiempo que tarda un objeto en llegar al suelo con caída libre, ¿hemos tenido en cuenta la masa de dicho cuerpo? ¿A qué crees que se debe esto? También el movimiento indefinido de los astros sin necesidad de que lo mantenga ninguna fuerza (ejemplo) está de acuerdo con la primera ley de Newton, ya que, según esta ley, no se requiere fuerza alguna para conservar la velocidad. Ejemplo.- Io, uno de los satélites del planeta Júpiter, gira en torno al gigantesco planeta sin que ninguna fuerza lo mantenga en movimiento (al menos no se ha visto a nadie empujando). El efecto de la atracción gravitatoria de Júpiter sólo es impedir que el satélite se aleje de él. Si no actuara esta fuerza, Io se movería con la misma velocidad, pero en línea recta.

El efecto de la atracción gravitatoria de Júpiter sobre Io obliga a este último a moverse, ¿cómo? ¿Sabes cómo se denomina a esa fuerza? Si no lo sabes sigue estudiando y responde cuando puedas. Actualmente la astronáutica nos proporciona apasionantes experiencias que nos permiten comprobar el principio de inercia. Por ejemplo, las sondas espaciales Voyager I y Voyager II, lanzadas el año 1977, viajan desde entonces por inercia. Se dirigen hacia los confines del sistema solar sin que ningún motor las impulse. Sólo, a su paso por las proximidades de los

grandes planetas, se ha aprovechado la atracción gravitatoria de éstos para acelerar el movimiento de las astronaves. Ejemplo: Cuando vas en coche o en tren (fig. 5.1) y este arranca, te sientes empujado hacia atrás pues por inercia tiendes a mantenerte en tu posición primitiva.

Responde desde un punto de vista dinámico a las siguientes preguntas: ¿Qué fuerzas actúan cuando el coche arranca sobre éste? ¿Cuál es la resultante de todas? ¿Qué le sucede al coche como consecuencia de esa resultante? Cuando una persona es empujada hacia atrás, ¿qué ha actuado sobre ella? ¿De dónde sale esa fuerza? ¿Que quiere decir que “por inercia tiendes a mantenerte en tu posición primitiva”? ¿Por qué luego te mueves a la vez que el coche? Explica con tus palabras todo lo que ocurre cuando arranca un coche ayundándote de las respuestas anteriores. La primera parte de este Principio es evidente, pues ya estamos acostumbrados a observar estos fenómenos. En cambio, la segunda no se comprende con tanta facilidad, puesto que todos hemos observado que cuando un cuerpo se mueve siempre termina parándose, lo que parece estar en contradicción con este Principio. La explicación hemos de buscarla en la existencia de alguna fuerza “no visible”. Esta fuerza es la llamada fuerza de rozamiento.

4.3. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA. Experimentalmente se comprueba que todo cuerpo, cuando actúa sobre él una fuerza constante, adquiere una aceleración constante también (tanto si la fuerza es única, como si se trata de la resultante de varias). Monta un dispositivo como el que ves en la fig. 5.2. Se trata de un carrito de ruedas con un objeto pesado encima, que se ata a un cuerpo que cuelga libremente. La cuerda pasa por una pequeña polea con objeto de evitar rozamientos. • Si mantienes constante la masa colocada encima del carrito y varias la masa del cuerpo que cuelga —y, por tanto, su peso—observaras que el cuerpo o carrito aumenta tanto mas su velocidad cuanto mayor sea el valor del peso del cuerpo que cuelga. • Si mantienes constante el valor del peso del cuerpo suspendido y aumentas el valor de la masa colocada encima del carrito, veras que cuanto mayor sea esta masa tanto menor será el aumento de velocidad experimentado por el carrito. 68

¿Qué puedes deducir de esta experiencia? Representa gráficamente la experiencia y las fuerzas que en ella aparecen. Vemos que al actuar una fuerza (en este caso el peso del cuerpo que cuelga) se produce una aceleración o variación de velocidad en función del tiempo. Esta aceleración será tanto mayor cuanto mayor sea la fuerza aplicada y tanto menor cuanto mayor sea la masa sobre la que se aplica. Si duplicáramos la fuerza aplicada, también se duplicaría la aceleración. Si triplicáramos la fuerza, se triplicaría la aceleración. Para expresar matemáticamente esta observación, podemos escribir que el cociente entre la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración que adquiere, permanece constante. Es decir, si sobre un cuerpo ejerciéramos sucesivamente distintas fuerzas de intensidades F1, F2, F3, F4, etc. y las correspondientes aceleraciones fuesen a1, a2, a3, a4, etc., se cumpliría: Pero el valor constante de este cociente es precisamente igual a la masa del cuerpo. Así, pues, se puede escribir: Multiplicando por a los dos miembros de la anterior igualdad, obtenemos la llamada fórmula fundamental de la dinámica:

Ecuación de dimensiones de la Fuerza Es fácil su deducción a partir de la ecuación fundamental:

Deduce tu mismo la ecuación de dimensiones de una fuerza. (Solución: MLT-2) Si actúan simultáneamente varias fuerzas sobre un cuerpo, también podremos aplicar la fórmula fundamental de la dinámica. En este caso la fuerza que aparece en el primer miembro de la fórmula será la resultante de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo. La expresión de esta relación en forma de ley re recibe el nombre de principio fundamental de la dinámica o segunda ley de Newton. Su enunciado es el siguiente: La resultante de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleración que dicha fuerza le comunica. El principio de inercia se limitaba a afirmar que sólo mediante la acción de fuerzas exteriores es posible comunicar una aceleración a un cuerpo. El principio fundamental de la dinámica amplía esa información y nos muestra cómo se calculan dichas fuerzas. Del principio fundamental de la dinámica se deduce que la masa de un cuerpo es una medida de su inercia, es decir, de la dificultad que opone a modificar su movimiento. Así, por ejemplo, si para comunicar al cuerpo A una aceleración de 1 m/s2 hemos de aplicarle una fuerza de 100 N, mientras que al cuerpo B necesitamos aplicarle 400 N, diremos que la inercia de B es cuatro veces mayor que la de A. Pero obsérvese que, según el principio fundamental de la dinámica, la masa de B es precisamente cuatro veces mayor que la de A.

4.4. UNIDADES DE FUERZA La fórmula fundamental de la dinámica nos permite definir la unidad de fuerza en el Sistema Internacional. Esta unidad, como se sabe, es el newton (N). Un newton es la fuerza que se ha de aplicar a un cuerpo de masa 1 kg para que adquiera una aceleración de 1 m/s2. De la fórmula F = m a deducimos que 1 N= 1 kg x 1 m/s2 En la práctica todavía se utiliza como unidad de fuerza o peso el kilopondio (kp). Se define como la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de masa 1 kg en un lugar donde la aceleración de la gravedad es normal (9,81 m/s2). Para establecer la relación entre el newton y el kilopondio tenemos que hacer la siguiente consideración: Si dejásemos caer libremente el kilogramo patrón, descendería, como todos los cuerpos, con una aceleración de 9,8 m/s2. La fuerza causante de esta aceleración es su peso que, por definición, es de 1 kp (fig. 5). Aplicando la fórmula fundamental de la dinámica F = m a, se obtiene: 1 kp = 1 kg x 9,8 m/s2 = 9,8 kg x m/s2 = 9,8 N Fig. 5. Cuando una masa de 1 kg cae bajo la única acción de su propio peso (1 kp), su aceleración es de 9,8 m/s2. 71

4.5. MASA Y PESO La fórmula fundamental de la dinámica nos permite establecer la relación entre la masa y el peso de un cuerpo. Para ello basta con aplicar la fórmula F = m a al movimiento de caída libre de un cuerpo. La aceleración, a, será igual a la aceleración de la gravedad, g, y la fuerza F, al peso del cuerpo, P. Obtenemos, por consiguiente: P= mg Si en esta fórmula expresamos la masa en kg y la aceleración de la gravedad en m/s2, obtendremos el peso en N. La expresión que acabamos de obtener está de acuerdo con la ley de la gravitación universal. Según dicha ley, el peso de un cuerpo de masa m situado en la superficie o en las proximidades de la Tierra es: siendo G la constante de gravitación universal, MT la masa de la Tierra y d la distancia al centro de la Tierra. El resultado de la operación GMT/d2 es igual a la aceleración de la gravedad, por lo que resulta: que coincide con la expresión obtenida a partir de la fórmula fundamental de la dinámica. Es conveniente comprender bien que la masa de un cuerpo es invariable, pero que su peso, según se deduce de la fórmula P = m g, depende de la gravedad del lugar. Así, en la superficie de otro planeta, el peso de un cuerpo sería igual a su masa multiplicada por la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta. EJEMPLO Calcular el peso de un cuerpo de masa 30 kg en la Tierra (g= 9,8 m/s2) y en la Luna (g = 1, 63 m/s2). Expresar el resultado en N y en kp.

4.6. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL PRINCIPIO FUNDA-MENTAL DE LA DINÁMICA Al aplicar a un cuerpo el principio fundamental de la dinámica debemos tener siempre bien presente que: a) hemos de expresar en unidades del SI todas las magnitudes que aparecen en la fórmula, y b) la fuerza que interviene en la fórmula es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. EJEMPLOS 1. A un cuerpo de masa 5 kg se le aplica una fuerza vertical hacia arriba de 7 kp, ¿con qué aceleración subirá?

2. Un carrito, que tiene una masa de 40 kg, se encuentra sobre una superficie plana y horizontal. Cuando se mueve sobre dicha superficie, actúa una fuerza de intensidad FR = 15 N en sentido contrario al del movimiento, debida al rozamiento. a) ¿Con qué fuerza se le debe empujar para que adquiera una aceleración de 0,8 m/s2? b) ¿Qué fuerza se le ha de aplicar para que siga con movimiento uniforme una vez ha adquirido una velocidad de 2 m/s? c) ¿Cuál será su aceleración si; cuando está moviéndose con una velocidad de 2 m/s, se le empuja con una fuerza de 7 N?

4.7. EFECTO DE LAS FUERZAS SOBRE EL MOVIMIENTO Hemos visto que las fuerzas pueden modificar el movimiento de los cuerpos produciendo una aceleración. Pero este cambio puede ser de tres tipos diferentes: a) Cuando la fuerza resultante actúa en la dirección y sentido del movimiento o sobre un cuerpo en reposo, hace aumentar la rapidez del movimiento. En este caso decimos que se trata de una fuerza motriz (fig. 8).

Fig. 8 Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo en la dirección y sentido de su movimiento, éste se hace más rápido (efecto motor) b) Cuando la fuerza resultante actúa en la dirección del movimiento pero en sentido contrario al de éste, hace disminuir la rapidez del movimiento. Decimos entonces que se trata de una fuerza resistente (fig. 9).

Fig. 9 Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo en la misma dirección pero en sentido contrario al de su movimiento, éste se hace mas lento (efecto resistente). c) Cuando la fuerza resultante se mantiene constantemente perpendicular al movimiento, solamente hace variar su dirección sin modificar la rapidez. Decimos que es una fuerza centrípeta o deflectora (fig. 10).

Fig. 10 Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo en dirección perpendicular a su trayectoria, cambia la dirección del movimiento (efecto deflector) Cuando la fuerza no tiene la dirección del movimiento ni es perpendicular a él, podemos descomponerla en dos fuerzas, precisamente en dichas direcciones. La componente en la dirección del movimiento hará aumentar o disminuir la rapidez (según cual sea su sentido). La componente perpendicular hará variar la dirección del movimiento. Ambos efectos se producirán simultáneamente.

4.8. TERCER PRINCIPIO O PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN. Si un cuerpo actúa sobre otro con una fuerza —acción—, éste reacciona contra el primero con una fuerza igual, de la misma dirección y de sentido contrario—reacción . • Coloca un imán sobre un corcho y un trozo de hierro sobre otro. Hazlos flotar en un recipiente con agua. Observarás que no solo se mueve el hierro hacia el imán, sino también el imán hacia el hierro. • Fíjate en las películas que les sucede a los cañones cuando disparan un proyectil. El proyectil sale impulsado hacia adelante y el cañon retrocede hacia atrás. • Cuando saltas de una lancha a tierra, tu lanzas la lancha hacia atrás y la lancha te “lanza” a ti hacia adelante. Este Principio nos lleva a tener que considerar las fuerzas siempre por parejas. Una fuerza aislada—acción—no puede existir; ha de ir acompañada siempre de la reacción, al igual que una compra lleva aparejada consigo una venta. En resumen: para poner de manifiesto el efecto de una fuerza se necesitan, al menos, dos cuerpos. Así podemos asegurar que del mismo modo que la tierra atrae a un cuerpo el cuerpo atrae a la Tierra. Si esta no se mueve hacia el cuerpo es porque dada su enorme masa, la aceleración producida en ella es despreciable. A primera vista parece que esas dos fuerzas debieran anularse por ser iguales y opuestas. No es así, puesto que no actúan sobre el mismo cuerpo, sino sobre cuerpos distintos. El enunciado del tercer principio presupone que la fuerza de acción y la de reacción sean simultáneas. Sin embargo, se ha postulado recientemente que posiblemente no lo sean, con lo cual este principio deba ser revisado.

4.9. TIPOS DE FUERZAS Las fuerzas se clasifican atendiendo al tiempo que dura su actuación o al valor de su módulo. En el primer caso se dividen en instantáneas y continuas. En el segundo, en constantes y variables. 4.9.1. Fuerza instantánea. Es la que actúa durante un tiempo tan corto que resulta inapreciable. Ejemplo: la fuerza expansiva de los gases en un disparo. Se comprende que este movimiento se produce en realidad después del brevísimo tiempo de actuación de la fuerza, pues durante él, según el principio fundamental, deberá existir una aceleración. 4.9.2. Fuerza continua. Es la que actúa durante un tiempo suficientemente largo como para ser medido. Ejemplo: cuando empujas un coche. Una fuerza continua es constante si conserva, mientras actúa, la misma intensidad y será variable, si su intensidad varía. De acuerdo con el principio fundamental, una fuerza origina una aceleración. Si la fuerza es constante, también lo será la aceleración; y si es variable, la aceleración variara asimismo. Como consecuencia, diremos: Una fuerza continua induce un movimiento variado. Si la fuerza continua es constante el movimiento será uniformemente variado y si es variable, variado no uniformemente. 4.9.3. Fuerzas centrípeta y centrífuga. Ya has estudiado que todo móvil que posee un movimiento circular está sometido a una aceleración radial. Por tanto, según el principio fundamental, debe existir una fuerza que origine esta aceleración. A esta fuerza se la denomina fuerza centrípeta y su valor puedes deducirlo recordando la expresión de la aceleración radial y sustituyéndolo en la ecuación fundamental. Fácilmente deducirás que: La dirección y sentido de esta fuerza serán los de la aceleración radial; es decir; dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia. La fuerza de reacción a la centrípeta se denomina fuerza centrífuga y actúa sobre el cuerpo que ejerce aquella. Ambas son fuerzas reales, actuando sobre cuerpos distintos. No obstante, también suele llamarse fuerza centrífuga a la fuerza de inercia, virtual, y que de hecho no existe, que “aparentemente” actúa sobre el cuerpo que gira, siendo su sentido opuesto al de la centrípeta. La no existencia real de esta fuerza se demuestra con el siguiente hecho: si se rompe la cuerda que une la mano con la piedra, esta sale despedida tangencialmente en la dirección de la velocidad, tal como exige el principio de inercia. Quizá alguna vez te hayas preguntado el porqué existe un peralte en las curvas de las carreteras. Tú mismo puedes encontrar la explicación recordando las condiciones de equilibrio de los sólidos apoyados y lo estudiado ahora. 75

Cuando un vehículo toma una curva actúan sobre él dos fuerzas—prescindimos ahora de los rozamientos—: la fuerza centrifuga y su peso, dando una resultante que estará tanto más inclinada cuanto mayor sea la velocidad del vehículo y menor el radio de la curva. Para que el vehículo no patine o vuelque es necesario que esta resultante no se salga de la base de sustentación del vehículo y que, a ser posible, sea perpendicular a la carretera. Para conseguir esto se peraltan las curvas (fig. 5.6). 4.9.4. Fuerza de rozamiento. En el apartado 1 de este tema surgió la necesidad de hablar de una fuerza “no visible”, opuesta al movimiento para poder explicar la validez del principio de inercia. Por otra parte, de acuerdo con el principio fundamental, si una sola fuerza, aunque sea muy pequeña, actúa sobre un cuerpo, este se moverá: lo cual parece estar en contradicción con la realidad. En efecto, más de una vez habrás deseado mover un objeto pesado empujándolo sobre el suelo y a pesar de hacer una fuerza no has podido. ¿Qué quiere decir esto? Que no actúa una sola fuerza sobre el cuerpo: además de la que tú aplicas existe otra no visible opuesta al movimiento, igual que en el caso anterior. Según esto: Fuerza de rozamiento es toda fuerza opuesta al movimiento, la cual se manifiesta en la superficie de contacto de dos solidos, siempre que uno de ellos se mueva o tienda a moverse sobre el otro. Si colocas un bloque prismático sobre una mesa, observarás que para que el cuerpo comience a deslizarse por ella es necesario cargar un cierto- número de pesas en el platillo, de forma que ejerzan una fuerza que anule el rozamiento, debido fundamentalmente al acoplamiento de las irregularidades de las superficies de los cuerpos en contacto y a la adherencia y cohesión entre ellas. Con una fuerza suficientemente grande se logra mover el cuerpo y éste adquiere una aceleración que no corresponde a la fuerza ejercida, sino a otra fuerza que es igual a la diferencia entre la ejercida y la de rozamiento. Experimentalmente se comprobaron las siguientes leyes: a) El rozamiento es independiente de la velocidad y de la superficie de los cuerpos en contacto. b) El rozamiento depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto y del grado de pulimento de sus superficies . c) El rozamiento es proporcional a la fuerza perpendicular al plano de deslizamiento con que una superficie aprieta contra la otra. Expresado matemáticamente esta ley, diríamos que FR= µN donde N representa la fuerza normal al plano y µ es un coeficiente de proporcionalidad característico de las superficies en contacto y denominado coeficiente de rozamiento. Despejando en la expresión anterior: µ = FR/N Coeficiente de rozamiento de un cuerpo sobre otro es la relación que existe entre la fuerza de rozamiento y la fuerza que actúa sobre el cuerpo perpendicularmente al plano de deslizamiento. Posiblemente habrás observado que hay que hacer más fuerza para iniciar el movimiento de un sólido (rozamiento estático) que para mantenerlo en movimiento una vez iniciado éste (rozamiento dinámico). De ahí que debamos distinguir dos coeficientes de rozamiento: coeficiente de rozamiento estático y coeficiente de rozamiento dinámico. En general es algo mayor el coeficiente de rozamiento estático que el dinámico.

En este caso la fuerza que actúa sobre el cuerpo perpendicularmente al plano de deslizamiento es, precisamente, el peso (P = mg) del cuerpo y, por tanto, la fuerza de rozamiento valdrá: Fr= µP= µmg Según lo expuesto la fuerza efectiva será igual a: Y aplicando la ecuación fundamental de la dinámica podemos deducir la aceleración con que se moverá el móvil: Y, por tanto: Ejemplo: Un bloque prismático de madera, de masa 5 kg, se sitúa sobre un plano horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la mesa es 0,5. Si al bloque se le aplica una fuerza horizontal de 50 N: a) ¿Qué aceleración adquiere? b) ¿Qué velocidad tendrá al cabo de tres segundos? c) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo? Fuerza de rozamiento por rodadura.- Lo expuesto anteriormente relativo al rozamiento se refiere a movimientos por deslizamiento. Cuando el movimiento es por rodadura, el rozamiento es mucho menor. De aquí el uso casi exclusivo de ruedas en los medios de locomoción, el desplazamiento sobre rodillos de cuerpos muy pesados, el uso de rodamientos en los movimientos de ejes, ..., etc. (fig. 5.9).

Tema 5. Trabajo y energía. 5.1. TRABAJO En el lenguaje ordinario llamamos trabajo a la realización de muy diversos tipos de tareas que nos suponen un esfuerzo físico o intelectual. Pero, en la Física este término tiene un significado mucho más preciso y restringido. 5.1.1. Definición de trabajo. Para que el concepto de trabajo resulte más fácilmente comprensible lo introduciremos a través de un caso concreto. Imaginemos, por ejemplo, una vagoneta colocada sobre una vía recta horizontal. Tomemos como referencia un eje de abscisas (Ox) paralelo a la vía (fig. 1). Si se la empuja con una fuerza constante de intensidad F en la dirección del eje Ox, la vagoneta sufrirá un desplazamiento ∆x en esa misma dirección. Al producto F·∆x se le llama trabajo y se le asigna el símbolo W.

5.1.2. Trabajo de una fuerza constante. El trabajo de una fuerza constante cuyo punto de aplicación se desplaza en la dirección de la fuerza es el producto de la intensidad de la fuerza por el desplazamiento realizado. Cuando la fuerza que actúa sobre un cuerpo tiene el mismo sentido que el movimiento de éste (fuerza motriz) el trabajo que realiza es positivo, ya que F y ∆x tienen el mismo signo. Este sería el caso del ejemplo propuesto en la figura 1, en el que un hombre empuja una vagoneta. Pero cuando la fuerza tiene sentido opuesto al del movimiento (fuerza resistente), F y ∆x tienen signos contrarios y el trabajo realizado es negativo. Así ocurriría si, una vez hubiese alcanzado cierta velocidad la vagoneta del ejemplo, se le aplicase una fuerza para frenarla. Observemos que el concepto definido en esta sección es el trabajo “de una fuerza”. Es decir, aunque sobre un cuerpo actúen simultáneamente varias fuerzas, podemos calcular el trabajo de una sola de ellas. El trabajo total realizado sobre un cuerpo se calcula sumando los trabajos efectuados por cada una de las fuerzas aplicadas a él. Si las fuerzas son concurrentes, se demuestra que dicho trabajo es igual al realizado por la fuerza resultante. En muchos casos la fuerza aplicada a un cuerpo no tiene la misma dirección que el movimiento de éste. Así sucede, por ejemplo, cuando hacemos desplazarse un cuerpo sobre una superficie horizontal tirando de él por medio de una cuerda inclinada (fig. 2). En este caso descompondremos en dos la fuerza aplicada: una, llamada componente tangencial en la dirección del movimiento y otra, llamada componente normal, perpendicular a él. La componente tangencial cuya intensidad designamos por Fx, es la que hace desplazarse al cuerpo y realiza todo el trabajo (es la fuerza efectiva). La componente normal, de intensidad Fy, no efectúa trabajo.

El trabajo realizado será, por consiguiente: Ahora podemos generalizar la definición de trabajo de forma que sea válida para una fuerza constante cualquiera: El trabajo de una fuerza constante cuyo punto de aplicación se desplaza en cualquier dirección es el producto de la componente tangencial de la fuerza o fuerza efectiva por el desplazamiento realizado por su punto de aplicación. La componente Fx de la fuerza se puede determinar gráficamente, como hemos visto en el capítulo 3. Pero también se puede aplicar la fórmula trigonométrica de la proyección de un segmento, ya que Fx es la proyección de la fuerza aplicada sobre la dirección del movimiento: Fx = F·cos α. Teniendo en cuenta esta igualdad, podemos expresar el trabajo como: 5.1.3. Trabajo realizado por una fuerza variable. Todavía nos falta definir el trabajo de una fuerza no constante, es decir, que va variando de intensidad y dirección a lo largo del recorrido. Pero, debido a los conocimientos matemáticos que ello requiere, debemos dejar esta cuestión para cursos más avanzados.

5.1.4. Ecuación de dimensiones. La deduciremos a partir de la expresión matemática del trabajo: Dado que en el análisis dimensional sólo se tienen en cuenta las unidades de las magnitudes físicas, el coseno de un ángulo no La unidad de trabajo del SI es el joule (julio), cuyo símbolo es J. Un joule (julio) es el trabajo que realiza una fuerza de 1 N cuando su punto de aplicación se desplaza 1 m sobre su línea de acción. Según esta definición: 1 J = 1 N·1 m. Otra unidad de trabajo, que todavía se utiliza en algunas ocasiones, es el kilopondímetro (kpm) o kilográmetro (kgm). Es el trabajo que realiza una fuerza constante de 1 kp al desplazarse 1 m a lo largo de su línea de acción. Su relación con el joule se obtiene fácilmente: 1 kpm = 1 kgm = 1 kp·1 m = 9,81 N·1 m = 9,81 J EJEMPLO Un bloque es arrastrado sobre una superficie plana y horizontal tirando de él por medio de una cuerda. Para ello se aplica a ésta una fuerza de 40 N en la dirección y sentido del movimiento. Sobre el bloque actúa además una fuerza de rozamiento de 25 N que se opone al movimiento. Calcular el trabajo que realiza cada una de dichas fuerzas cuando el bloque se desplaza 8 m sobre la superficie en que se apoya.

5.2. CONDICIONES PARA QUE SE REALICE TRABAJO Observemos que, según la definición de trabajo establecida en la sección anterior, se requerirán tres condiciones para que se realice trabajo: 1. Que actúe una fuerza sobre un cuerpo. 2. Que se mueva el punto de aplicación de dicha fuerza. 3. Que la dirección del movimiento no sea perpendicular a la fuerza. Veamos algún ejemplo. La fuerza que ejercemos para sostener inmóvil un peso (fig. 4), aunque llegue a producirnos un gran cansancio, no realiza trabajo, ya que no se desplaza su punto de aplicación. Tampoco realiza trabajo la fuerza realizada por una persona al sujetar el cable de un avión de aeromodelismo que vuela describiendo circunferencias en torno suyo (fig. 5). Ello se debe a que, en este caso, la fuerza realizada se mantiene constantemente perpendicular al movimiento. ¿Realiza trabajo la fuerza peso de un cuerpo que se desliza sobre una superficie plana y horizontal? ¿Y los muchachos de la figura de la sección 3-5?

5.3. ENERGIA Uno de los conceptos físicos que actualmente es más empleado por todos es el de energía. Los medios de comunicación tratan frecuentemente temas relacionados con ella. Se habla del precio de la energía, de las reservas energéticas de la humanidad, de los inconvenientes de la energía nuclear, o de la posibilidad de utilizar las llamadas formas alternativas de la energía, como la solar, eólica, geotérmica y mareomotriz. Desde un punto de vista físico consideramos el universo formado por materia y energía; imaginamos la materia como la sustancia del universo y la energía como lo que anima a esa sustancia, es decir, lo que produce los cambios en la materia. Pero el concepto de materia resulta sin duda mucho más asequible que el de energía. La materia puede verse y tocarse, y la energía es algo intangible. Por ello la palabra «energía» en su acepción actual es relativamente moderna en la ciencia. Fue Thomas Young, médico y físico de Hilverton (Inglaterra), quien propuso este término en 1807. Sin embargo, nosotros empleamos este concepto con absoluta soltura, como algo natural y cotidiano. Se debe a que los avances de la ciencia y de la técnica nos han hecho posible manejar muchos aparatos que utilizan diversas fuentes de energía. Cuando adquirimos pilas para una radiocassette, hacemos llenar de gasolina el depósito de una moto o pagamos la factura de la electricidad dad no estamos haciendo otra cosa que comprar energía. Esto no sólo se ha hecho habitual, sino que ha generado en nuestra sociedad una auténtica dependencia de las fuentes energéticas. A lo largo de este capítulo estudiaremos las formas más fundamentales de la energía y, con ello, iremos profundizando en el significado físico de este término.

5.4. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Llamamos principios a algunas leyes de carácter muy general, de difícil demostración, pero que poseen muchas aplicaciones a través de las que se comprueba su veracidad. Uno de los principios fundamentales de la Física es el principio de conservación de la energía, que fue enunciado por primera vez en 1842 por Julius Robert Mayer, médico y físico de Heilbronn (Alemania). Según este principio la energía no se puede crear ni destruir sino sólo transformarse o transmitirse de unos cuerpos a otros. En las siguientes secciones de este capítulo comenzaremos a estudiar cómo se producen algunas de estas transformaciones de la energía.

5.5. TRABAJO Y ENERGÍA Todo cuerpo, para efectuar un trabajo, necesita una fuente de energía, y ésta se va consumiendo a medida que el trabajo se realiza; por ejemplo, los motores de los automóviles consumen combustible, que es su fuente de energía. Pero, según el principio de conservación de la energía, ésta no puede crearse ni destruirse. Ello significa que la 80

energía consumida al realizarse un trabajo no desaparece sino que únicamente se transmite a otro u otros cuerpos. Por consiguiente, cuando se efectúa un trabajo se transmite energía. En el caso de los motores que funcionan con un combustible se puede evaluar la energía transmitida por la cantidad de combustible consumido. Experimentalmente se ha encontrado que la masa del combustible consumido por un motor, es directamente proporcional al trabajo que realiza. Ésta y otras muchas observaciones demuestran que, cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro y realiza un trabajo, se transmite energía de un cuerpo al otro y el trabajo realizado constituye una medida de la energía transmitida. Por ello la energía se mide con las mismas unidades que el trabajo. En el SI la unidad de energía es el joule o julio. Realizar trabajo significa transmitir energía mediante una fuerza cuyo punto de aplicación se desplaza. Pero veremos más adelante que no es ésta la única forma de transmitir energía.

5.6. ENERGÍA CINÉTICA Si un cuerpo está en reposo, para que se ponga en movimiento y adquiera cierta velocidad, es necesario aplicarle una fuerza a lo largo de un recorrido, es decir, efectuar un trabajo. Además todo cuerpo, por el hecho de estar en movimiento, puede realizar trabajo y poner en movimiento a otros cuerpos; así sucede, por ejemplo, cuando una bola de billar choca con otra que está en reposo o cuando el agua que cae de un embalse mueve las aspas de una turbina. Todo ello nos hace comprender que los cuerpos poseen una energía debida a su movimiento. La energía que tiene un cuerpo a causa de su movimiento se llama energía cinética. El nombre de energía cinética proviene de la palabra griega kinema (movimiento) y fue propuesto por el físico y matemático escocés Lord Kelvin en 1856. ¿Cómo podemos calcular la energía cinética de un cuerpo en movimiento? Es lógico considerar que un cuerpo en reposo no tiene energía cinética. Si el trabajo mide la energía transmitida (§ 5-5), nos bastará calcular el trabajo necesario para que, partiendo del reposo, alcance la velocidad que posee. Veamos cómo se hace. Consideremos un móvil puntual de masa m, que se encuentra en reposo. Supongamos que se le aplican una o varias fuerzas, cuya resultante es una fuerza constante de intensidad F. El móvil se pondrá en movimiento y, en un intervalo de tiempo ∆t, realizará un desplazamiento ∆x, con movimiento uniformemente variado. La energía cinética adquirida por el móvil será igual al trabajo realizado por la fuerza resultante y su valor es: (1) Si el móvil se desplaza con una aceleración a, por la fórmula fundamental de la dinámica, será: F=ma Y como su movimiento es uniformemente variado sin velocidad inicial, el desplazamiento realizado en el tiempo ∆t será: Sustituyendo ambos valores en la expresión (1) resulta:

Pero en un movimiento uniformemente variado, sin velocidad inicial, el producto (a∆t) es igual a la velocidad final v alcanzada por el móvil. Por consiguiente Aunque la fuerza aplicada al móvil no fuese constante se llegaría a la misma expresión para la energía cinética. Esto debe demostrarse para poder aceptar como válida dicha expresión; pero, para hacerlo, se han de utilizar conceptos matemáticos que no son propios de este curso. La energía cinética, como todas las formas de energía, se expresa en joules en el SI. Obsérvese que el valor de la energía cinética depende únicamente de la masa del móvil y de su velocidad. ¿Qué factor influye más en el valor de la energía cinética, la masa del móvil o su velocidad? En la demostración de la fórmula de la energía cinética hemos supuesto que el móvil partía del reposo. Pero puede también ocurrir que, en el instante inicial, posea ya una velocidad v0 y, por lo tanto, una energía cinética igual a En este caso, el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas aplicadas será igual a la energía cinética añadida, es decir, la diferencia entre la energía cinética final y la inicial: Cuando el trabajo realizado es positivo, la velocidad del móvil aumenta y también su energía cinética (∆Ec >0). Cuando el trabajo es negativo, la velocidad del móvil disminuye y también su energía cinética (∆Ec < 0). Esto último se conoce con el nombre de teorema de las fuerzas viva, que dice: “El trabajo realizado por una fuerza al actuar sobre un cuerpo durante cierto tiempo es igual a la variación de energía cinética experimentada por el cuerpo en ese tiempo”. Pero recordemos que, cuando la fuerza aplicada a un móvil se mantiene perpendicular a su movimiento, sólo hace cambiar la dirección de éste sin que aumente ni disminuya su velocidad. Así pues, una fuerza perpendicular a la trayectoria del móvil no hace variar su energía cinética (∆Ec = 0). Ahora queda plenamente justificada la afirmación hecha en la sección 5-1 de este capítulo en el sentido de que una fuerza perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo.

5.7. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Al dejar caer un cuerpo desde una cierta altura sobre el suelo, su peso realiza un trabajo durante el descenso y el cuerpo adquiere energía cinética. Como la energía no se puede crear ni destruir, hemos de admitir que dicha energía ya existía en otra forma antes de que el cuerpo cayese. Así pues, todo cuerpo, por el hecho de estar en una determinada posición dentro del campo gravitatorio de la Tierra, posee energía. La energía que tiene un cuerpo a causa de su posición en un campo gravitatorio se llama energía potencial gravitatoria. Veamos ahora cómo se puede calcular esta energía. Imaginemos un cuerpo de masa m que se encuentra a una altura h sobre el suelo. En esa posición, como hemos dicho, tendrá cierta energía potencial gravitatoria. En cambio, 82

cuando esté al nivel del suelo, consideraremos que su energía potencial es nula (ya que siempre que cae tiene energía y desde el único sitio desde el que no cae es desde el suelo, o desde el punto más bajo de su trayectoria) . Esto significa que, si dejamos caer el cuerpo, pierde toda la energía potencial que poseía. Si la única fuerza que actúa durante la caída es el peso, dicha energía se transforma íntegramente en energía cinética. Pero sabemos que el trabajo mide la energía transformada; por lo tanto, el trabajo realizado por el peso mientras el cuerpo cae hasta el suelo es igual a la energía potencial gravitatoria que aquel poseía inicialmente: Ep (a una altura h) = w (del peso) = P h = m g h. Así pues, el valor de la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa a situado a una altura h es: Ep = m g h Esta energía potencial se expresa en joules en el SI. Es necesario hacer algunas puntualizaciones sobre la fórmula de la energía potencial gravitatoria que hemos obtenido: 1. Para deducir la expresión de la energía potencial gravitatoria, hemos calculado el trabajo realizado por el peso como el trabajo de una fuerza constante. Por ello la fórmula E = mgh sólo es válida dentro de una zona del espacio lo suficientemente pequeña como para que el peso del cuerpo pueda considerarse constante. 2. La energía potencial gravitatoria de un cuerpo es menor cuanto más baja es su posición y, al nivel del suelo, es nula. Pero un cuerpo puede situarse a un nivel más bajo que el del suelo, por ejemplo, en el fondo de un pozo. En ese caso, tanto su altura como su energía potencial las hemos de considerar negativas (fig. 9). Puede parecer extraño que un cuerpo tenga una energía potencial negativa, pero esto sólo significa que se encuentra en una posición donde su energía potencial es menor que al nivel del suelo.

La energía potencial gravitatoria no es la única forma de energía potencial que existe. 5.7.1. Energía potencial eléctrica. Imaginemos, por ejemplo, dos esferas metálicas con cargas eléctricas del mismo signo (fig. 10 a). Debido a la fuerza de repulsión entre ellas, se ha de realizar un trabajo para aproximarlas. La energía que les comunicamos al hacerlo se llama energía potencial eléctrica. 5.7.2. Energía potencial elástica. Imaginemos ahora un cuerpo sujeto al extremo de un muelle cuyo otro extremo está fijo. Si empujamos el cuerpo de forma que comprima al muelle realizamos un trabajo (fig. 11 a). La energía que le comunicamos se llama energía potencial elástica. Pero observemos lo que sucede si soltamos el peso que sosteníamos en alto, las dos esferas cargadas de electricidad que manteníamos próximas o el cuerpo que comprimía al muelle. En los tres casos veremos que los cuerpos se desplazan hacia una posición en que pierden la energía potencial que les habíamos comunicado: el peso cae, las esferas cargadas se separan y el muelle se destensa empujando al cuerpo que lo comprimía. Al mismo tiempo dichos cuerpos ganan velocidad y, por consiguiente, adquieren energía cinética (figs. 10 b y 11 b). Una característica fundamental de toda forma de energía potencial es que tiende a transformarse espontáneamente en energía cinética.

5.8. ENERGÍA MECÁNICA Un cuerpo que se mueve a una cierta altura, como un avión en vuelo, posee las dos formas de energía que hemos estudiado: energía cinética, debida a su velocidad, y energía potencial gravitatoria, debida a su altura (es decir, a su posición en el campo gravitatorio terrestre). La suma de la energía cinética y la energía potencial de un cuerpo se llama energía mecánica. También se deben añadir las energías debidas a su estado de tensión (energía potencial elástica) y a su carga eléctrica (energía potencial eléctrica) siempre que existan. Volvamos a considerar el caso de un cuerpo que se deja caer sin velocidad inicial desde una altura h (fig. 12). Cuando el cuerpo se encuentra en reposo en la posición inicial, posee energía potencial pero no energía cinética. Su energía mecánica es: EM1 = mgh A medida que el cuerpo va cayendo disminuye su altura y aumenta su velocidad. Cuando se encuentre a una altura h' moviéndose con una velocidad v', su energía mecánica será: Finalmente, cuando está a punto de chocar con el suelo, la energía potencial es nula. Si la velocidad en ese instante es v, su energía mecánica será: Si durante la caída del cuerpo la única fuerza que actúa es el peso, se puede calcular y comprobar experimentalmente que la energía potencial gravitatoria se convierte íntegramente en energía cinética; por lo tanto, la energía mecánica se mantiene constante: Cuando sobre un cuerpo sólo realiza trabajo su peso, su energía mecánica se conserva. Si además del peso, efectúan trabajo fuerzas de rozamiento, el cuerpo pierde energía mecánica. El trabajo de rozamiento es igual a la energía mecánica perdida. EJEMPLO 1. Desde una altura de 12 m sobre el suelo, lanzamos verticalmente hacia abajo un cuerpo de masa 0,5 kg con una velocidad inicial de 4 m/s. Suponiendo nulo el rozamiento con el aire, aplicar la conservación de la energía mecánica para determinar su energía cinética cuando esté a 3 m de altura y su velocidad al llegar al suelo. Considerar g = 10 m/s2 Sol.- 49 J; 16 m/s 2. Una persona situada en el trampolín de una piscina tira un objeto de masa 0’2 kg verticalmente hacia abajo desde una altura de 5 m sobre el nivel del agua. El objeto es lanzado con una velocidad inicial de 8 m/s y llega al agua con una velocidad de 12 m/s. Calcular la energía transmitida al aire a causa del rozamiento. ¿Qué trabajo habrá realizado sobre el cuerpo la fuerza de rozamiento? Sol.- -1,8 J 3. En lo alto de una rampa, cuyo plano inclinado mide 8 m de longitud, se mantiene en reposo un cuerpo de masa m=4 kg. Si se deja que se deslice a lo largo del plano inclinado, la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es de FR= 6 N. Calcular la velocidad que alcanzará al llegar al punto más bajo de la rampa. 84

Sol.- 5 m/s

5.9. ENERGÍA INTERNA La materia, como sabemos, está constituida por una infinidad de átomos, moléculas o iones, que a su vez están formados por otras partículas más pequeñas. Aunque un cuerpo esté en reposo, las partículas que lo constituyen se encuentran constantemente en movimiento. Por ello podemos decir que la materia posee una energía cinética interna. Pero sabemos además que existen fuerzas de atracción y repulsión entre las partículas constituyentes de la materia. Por ese motivo podemos decir que la materia posee también una energía potencial interna, que dependerá de la posición de cada una de dichas partículas con respecto a las demás. A la suma de estas energías de las partículas que constituyen un cuerpo se le llama energía interna. En cambio, la energía mecánica de un cuerpo es la suma de unas energías cinética y potencial que podríamos llamar externas. Las energías cinética y potencial externas pueden transformarse en energía interna. Nos podríamos preguntar, por ejemplo: Si un cuerpo queda en reposo sobre el suelo después de caer desde cierta altura, ¿en qué se ha transformado la energía potencial gravitatoria que poseía inicialmente? ¿Dónde ha ido a parar esa energía? La respuesta es que aquella energía se ha convertido primero en energía cinética y después, al chocar el cuerpo con el suelo, en energía interna. En el choque se puede producir una deformación y una pequeña elevación de temperatura del cuerpo: ambas cosas suponen un aumento de su energía interna. Otro ejemplo lo tenemos en la notable elevación de temperatura que experimentan los frenos de un coche cuando se utilizan para detenerlo. La energía cinética del vehículo se transforma, al frenar, en energía interna de las piezas que se calientan. También parte de la energía interna de la materia puede transformarse ,en energía mecánica. Cuando un automóvil acelera, una parte de la energía interna del combustible que utiliza se transforma en energía cinética del vehículo. Cuando subimos por una escalera, transformamos energía interna de nuestro cuerpo en energía potencial gravitatoria.

5. 10. OTRA FORMA DE TRANSMITIR ENERGIA Hasta ahora sólo hemos estudiado una forma de transmitir energía: efectuar un trabajo mecánico. Mediante el trabajo podemos proporcionar a los cuerpos no sólo energía cinética y potencial, sino también energía interna. En efecto, es sabido que frotando fuertemente entre sí dos cuerpos sólidos aumenta su temperatura. En este caso el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es el que incrementa la energía interna de ambos cuerpos.

Cuando inflamos la rueda de una bicicleta, se eleva apreciablemente la temperatura del aire insuflado y de la bomba utilizada. En este caso les hemos proporcionado energía interna mediante el trabajo mecánico efectuado al accionar el émbolo de la bomba. Pero también se puede comunicar energía a los cuerpos acercándolos a otros que se encuentren a mayor temperatura. Eso hacemos, por ejemplo, cuando calentamos agua poniendo sobre el fuego el recipiente que la contiene. Así pues, comunicar calor, igual que realizar trabajo, es una forma de transmitir energía. Por ello, el calor se expresa en joules en el SI, igual que el trabajo y la energía. En el capítulo 6 lo estudiaremos más detalladamente.

5.11. REVISIÓN DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. Vamos a volver a estudiar el principio de conservación de la energía. Las diversas formas de la energía (energía cinética, gravitatoria, térmica, eléctrica, química…) son transformables unas en otras, de modo que en estas transformaciones se considera imposible el crear o aniquilar energía. Así se enuncia que: “En todo sistema aislado (sistema sobre el que no actúan fuerzas exteriores) la cantidad de energía permanece constante”. 5.11.1 Demostración de un caso sencillo. Imagina un cuerpo de masa "m" que se encuentra en reposo a una altura "h" (fig. 6 7). Su energía mecánica será igual a: E = Ec + Ep = 0 + mgh = mgh Si cae sin rozamientos desde esa altura “h" cuando se encuentra a un altura “x”, del suelo su energía mecánica valdrá la suma de la energía gravitatoria en el punto "x”, más la energía cinética en dicho punto. Es decir: E = Ep + Ec = mgx + 1/2 mv2

La velocidad en el punto “x” la calcularemos por la expresión conocida donde a = g (aceleración debida a la gravedad) y s = h - x (espacio recorrido). Por tanto, sustituyendo y efectuando operaciones, resulta que E = mgx + 1/2 m 2g(h - x) = mgx + mgh - mgx = mgh Obtenemos el mismo valor para la energía total en el punto "x" que el que habíamos hallado para el punto "h", lo que nos permite afirmar el principio enunciado. Una central hidroeléctrica es uno de los ejemplos de utilización industrial del principio de conservación de la energía: La energía potencial gravitatoria que posee el agua almacenada en el embalse se transforma—al menos en parte—en energía cinética del agua en movimiento. A su vez, parte de esta energía, al chocar el agua contra las aspas de la turbina, se transforma en energía cinética de rotación y, posteriormente, en energía eléctrica.

5.11.2. Generalización al Universo. El Universo puede considerarse como un sistema aislado puesto que sobre él no hay cuerpos que ejerza fuerzas exteriores. (Si hubiera otros cuerpos formarían a su vez parte de ese Universo.) Por tanto, puede afirmar se que la energía del Universo permanece constante. 5.11.3. Generalización de Einstein. A partir de consideraciones teóricas confirmadas después por la experiencia, Einstein postuló que la materia debía ser una forma de la energía, de modo que una variación en la masa de un sistema supone siempre una variación en su energía, según la expresión: ∆E=∆m·c2 donde "c" es una constante de proporcionalidad que corresponde a la velocidad de propagación de la luz en el vacío. Por tanto, adoptando ahora este criterio debemos enunciar así el Principio de Conservación de la Energía: la suma total de la masa y de la energía del Universo permanece constante. Esta afirmación es uno de los postulados fundamentales de la Física moderna. 5.11.4. La energía del presente Los saltos de agua, los yacimientos de carbón y los pozos de petróleo son las fuentes de donde sale la mayor parte de la energía consumida actualmente en la industria y en el hogar. Todas esas energías, como ya estudiaste anteriormente en otros cursos, tienen su origen en el Sol. 5.11.5. La energía del futuro Llegara un día en que se agoten las reservas naturales de carbón y de petróleo. Es posible entonces que para ese futuro las fuentes de energía —necesaria en cantidades abrumadoras— sean la energía nuclear y la energía solar. La energía nuclear de fisión tiene su origen en la energía enorme que se desprende en la ruptura (fisión) del átomo de uranio. Actualmente ya se utiliza, aunque a escala no relativamente grande, en las centrales nucleares, submarinos y portaaviones atómicos, etcétera. La energía nuclear de fusión se basa en la energía que se desprende cuando se unen los átomos de hidrogeno para formar átomos de helio. Actualmente no tiene aplicación industrial pero se espera su pronto destino a este fin. Aunque el uso de la energía nuclear ofrece considerables ventajas (y por eso es considerada como la mejor fuente alternativa a corto plazo) también presenta serio inconvenientes (transporte y deposito de residuos radiactivos, contaminación radiactiva. .). Por eso la ciencia actual esta investigando la utilización de otras fuentes energéticas más limpias. Una de ellas es la energía solar. Es de esperar que la Humanidad. en su continuo avance científico y técnico, sepa aprovechar la energia para mejorar sus medios de vida y no para originar su destrucción.

5.12. POTENCIA La característica más sobresaliente y divulgada de los motores que impulsan a todo tipo de vehículos es su potencia. Lo mismo se puede decir prácticamente de todos los aparatos que transforman o transmiten energía. Pero, a pesar de que este concepto es muy ampliamente utilizado, no todos tienen una idea suficientemente clara de su significado. Que un motor «tiene mucha potencia» significa simplemente que es capaz de realizar mucho trabajo en poco tiempo, es decir, que realiza el trabajo muy rápidamente. Se llama potencia al trabajo efectuado en cada unidad de tiempo. 5.12.1. Ecuación de dimensiones. Partiendo de la expresión matemática fácilmente se deduce que: 5.12.2. Unidades de potencia. La unidad de potencia del SI es el watt (W) o vatio. Un watt (vatio) es la potencia que se desarrolla cuando se realiza un trabajo de 1 joule cada segundo. Por consiguiente podemos escribir: Otra unidad de potencia, no perteneciente al SI, pero que todavía se utiliza es el caballo de vapor (CV o HP). Se define como la potencia desarrollada al realizar un trabajo de 75 kilopondímetros cada segundo y corresponde a la potencia que por término medio puede desarrollar un caballo. Su equivalencia con el watt es la siguiente: 1 CV=736W 5.12.3. Relación entre potencia y velocidad. Supongamos que sobre un cuerpo actúa una fuerza motriz de intensidad F, constante y en la dirección de su movimiento. Si dicha fuerza se equilibra con la fuerza resistente debida al rozamiento, el cuerpo se desplazará con movimiento rectilíneo y uniforme. La potencia que desarrolla la fuerza motriz es: Pero, teniendo en cuenta que Ax/~t es la velocidad con que el cuerpo se desplaza, resulta: P=Fv Esta fórmula para calcular la potencia expresa muy claramente que la potencia depende tanto de la fuerza que se realiza como de la velocidad con que se desplaza su punto de aplicación. Cuando un motor desarrolla más potencia que otro, no necesariamente realiza mayor fuerza; puede ocurrir que la fuerza sea menor pero la velocidad mucho mayor. EJEMPLO 1. ¿Qué potencia se ha de desarrollar para arrastrar con una velocidad constante de 45 km/h un cuerpo de masa 200 kg sobre una superficie horizontal si la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es de 400 N?

Sol.- 5 kW

5.13. EL KILOWATT-HORA

De la f贸rmula

se deduce que el trabajo se puede calcular multiplicando la potencia desarrollada por l tiempo empleado en realizarlo: w= P ∆t. Basándose en ello, se ha definido la unidad de tr bajo llamada kilowatt-hora (kWh) o kilovatio-hora. Un kilowatt-hora es el trab Según la fórmula W = P·∆t, tendremos que: 1 kWh= 1 kW·1 h 5.13.1. Equivalencia con las unidades de trabajo Para hallar la relación entre el kWh y el joule, expresaremos ambos factores de este producto en unidades del SI: 1 kWh = 1 kW x 1 h = 1000 W x 3600 s = 3 600 000 J 1 CV·h = 75 kgm/s·3600s = 27·104 kgm = 27·105 J