Proyecto de Cálculo Diferencial Tema: Determinar excentricidad, forma de la trayectoria y puntos de colisión de 2 ecuaciones elípticas. Integrantes: Gabriel Arreaga Kevin Barahona Alex Cabrera Hideki Chikazawa Profesor: Ing. Allan Avendaño Sudario. Grupo: 4160. Fecha de Entrega: 29 de Junio/ 2016.
INDICE 1. Objetivos………………………………...............1 2. Descripción del Proyecto……………..................1 2.1 Introducción………………………....................1 3. Definición del Proyecto………………………….3 4. Trayectorias del Planeta CA y Cometa Halley en Octave ……………………………………………...7 5. Trayectorias del planeta CA y cometa Halley en GeoGebra…………………………………………..8 6. Trayectorias del planeta CA y cometa Halley en GeoGebra en 3D……………………………………8 7. Referencias…………………………………...….9 8. Evaluación del Proyecto…………………………9 9. Fechas de Entrega……………………………….9 10. Observaciones………………………………….9
ÁREA BÁSICA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA PROYECTO DE APLICACIÓN DE CONOCIMIENTOS Guayaquil, 1 de junio de 2016 Para: Ing. Víctor Huilcapi, Director de Ingeniería Electrónica. Ing. Rafael Pérez, Jefe de Área Básica de Ingeniería Electrónica. De: Ing. Allan Avendaño M.Sc. Asignatura: Cálculo Diferencial
Grupo: 4160
De conformidad con lo establecido en la reunión del Área Básica de la Carrera de Ingeniería Electrónica realizada el martes 24 de mayo del 2016, pongo a su conocimiento el “Proyecto de aplicación de conocimientos” del grupo 4160, en la materia Cálculo Diferencial, utilizando GeoGebra, Octave y/o MATLAB. 1. OBJETIVOS Proponer y evaluar soluciones a problemas de aplicación real de ingeniería mediante la aplicación de conceptos de Cálculo Diferencial y el uso herramientas informáticas de cálculo. 2. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO Contexto del problema 2.1 Introducción El tema de los movimientos planetarios es inseparable de un nombre: Johannes Kepler. En "Misterio Cósmico", escrito antes de que tuviera 25 años, calculó que la órbita de Marte no era circular, sino elíptica. De este trabajo, desarrolló tres leyes muy importantes del movimiento de las órbitas Primera Ley: “La orbita que describe cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos”. Con las observaciones de Tycho Brahe, Kepler se decidió en determinar si las trayectorias de los planetas se podrían describir con una curva. Por ensayo y error, descubrió que una elipse con el Sol en un foco podría describir acertadamente la órbita de un planeta. Fundamentalmente, las elipses son descritas por la longitud de sus dos ejes. Un círculo tiene el mismo diámetro si se le mide a lo ancho, hacia arriba y hacia abajo. Pero una elipse tiene diámetros de diversas longitudes. El más largo se llama el eje mayor, y el más corto es el eje menor. El radio de estas dos longitudes determina la excentricidad (e) de la elipse; mide cuán elíptica es. Los círculos tienen e=0, y las elipses muy estiradas hacia fuera tienen una excentricidad casi igual a 1 (Universo Formulas, 2014) (Vitutor.com, 2016). Proyecto de parcial
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Los planetas se mueven en elipses, pero son casi circulares. Los cometas son un buen ejemplo de objetos en nuestro Sistema Solar que pueden tener órbitas muy elípticas. Compare las excentricidades y las órbitas de los objetos que aparecen en la Figura 1.
Figura 1 Lista de órbitas de algunos objetos del sistema solar
Una vez que Kepler determinó que los planetas se mueven alrededor del Sol en elipses, entonces descubrió otro hecho interesante sobre las velocidades de planetas a medida que circundan al Sol.
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3. Definición del proyecto Se tiene que la trayectoria del planeta “CA” viene dado por la ecuación:
Además, el cometa Halley tiene una trayectoria que viene dado por la ecuación:
El proyecto consiste en: 1. Identifica la excentricidad de las ecuaciones de las trayectorias. Formula de la Excentricidad
Excentricidad del planeta CA A= 5
Excentricidad del cometa Halley
B=4.99
EXCENTRIIDAD EN OCTAVE
A= 10.2
B=2.57
EXCENTRIIDAD EN OCTAVE
2. De acuerdo a los valores de la excentricidad de cada ecuación, ¿Cuál es más
aplanada? ¿Cuál se parece más a una circunferencia? En la elpise la Excentricidad no debe ser mayo o igual a 1 Cuando la excentricidad de una elipse es un numero aproximado a 1, la elipse es mas aplanada. La excentricidad del cometa Halley se acerca a 1 por lo tanto es mas aplanada. Cuando la excentricidad de una elipse es un numero alejado a 1, la elipse toma forma parecida a la de una circunferencia La excentricidad del planeta CA se aleja a 1 por lo tanto se parece a una cicunferencia.
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3. Genera una tabla con los valores de la posición de por lo menos 20 puntos de la trayectoria del planeta “CA”.
X Y
-1 5
-1.57 4.02
-1.9 2.98
-2 2
-1.86 0.81
-1.58 0
-1.12 -0.83
0 -2
1.25 -2.68
3.42 -2.98
X Y
5.44 -2.36
7 -1
7.58 0
8 1.84
7.8 3.41
6.93 5.1
5.53 6.31
3.77 6.94
1.57 6.79
0 6
4. Genera una tabla con los valores de la posición de por lo menos 20 puntos de la trayectoria del cometa Halley.
X Y
2.33 4.33
-7.06 4.24
-9.67 -11.86 -11.95 -7.19 3.71 2.7 1.38 -0.22
-3.38 -0.53
-1.64 -0.57
-0.55 -0.49
3.74 -0.13
X Y
6.01 0.42
7.39 0.97
7.56 2.92
-2.84 4.57
-437 4.51
4.02 4.08
-9.84 0.34
5.63 3.72
0.76 4.48
-1.94 4.57
5. Para las tablas, genere un gráfico por cada una. PLANETA CA
COMETA HALLEY
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6. Identifica sí existe un punto de colisión entre el planeta “CA” y el cometa Halley. ¿Cuál sería el o los puntos de colisión? Hay 4 puntos de colisión: (-1.29 , 4.57) (-1.29 , -0.57) (7.96 , 2.6) (7.96 , 1.4) EN OCTAVE PUNTOS EN X PROGRAMACIÓN: octave:1> syms x; octave:2> sol = solve((1-(x-3).^2/25)*24.99 == (1-(x+2).^2/105)*6.63, x)
PUNTOS EN Y PROGRAMACIÓN: octave:1> syms y; octave:2> sol = solve((1-(y-2).^2/24.99)*25 == (1-(y-2).^2/6.63)*105, y)
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GRÁFICO DE PUNTOS DE COLISION EN OCTAVE PROGRAMACIÓN: octave:1> X=-20:1:20; octave:2> y1=(1-(x-3).^2/25)*24.99; octave:3> plot(x, y1); octave:4> hold on; octave:5> X1=-20:1:20; octave:6> y2=(1-(x+2).^2/105)*6.63; octave:7> plot(x1, y2);
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4. TRAYECTORIAS DEL PLANETA CA Y COMETA HALLEY EN OCTAVE PROGRAMACIÓN: octave:1> drawEllipse(3, 2, 5, 4.99); octave:2> hold on; octave:3> drawEllipse(-2, 2, 10.2, 2.57);
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5. TRAYECTORIAS DEL PLANETA CA Y COMETA HALLEY EN GEOGEBRA
6. TRAYECTORIAS DEL PLANETA CA Y COMETA HALLEY EN GEOGEBRA EN 3D
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Te dejo un enlace de cómo se ven las trayectorias del planeta "CA" y el cometa Halley [http://ggbm.at/mCSZDZ27] Finalmente, los resultados serán presentados en el formato que se especificará en la primera revisión.
7. Referencias Universo Formulas. (2014). Excentricidad de la elipse. [online] Available at: http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/excentricidad-elipse/ [Accessed 9 Jun. 2016]. Vitutor.com. (2016). Excentricidad de la elipse - Vitutor. [online] Available at: http://www.vitutor.com/geo/coni/g_2.html [Accessed 9 Jun. 2016]. 8. Evaluación del proyecto El proyecto tendrá la calificación de 5 puntos dentro del aprovechamiento y será presentado en grupos de máximo 3 integrantes. 9. FECHAS Entrega a estudiantes: Revisión de avances: Revisión final:
9 de junio de 2016 15 de junio de 2016 y 22 de junio de 2016 30 de junio de 2016
10. OBSERVACIONES El proyecto es en grupos de máximo 3 estudiantes, y debe ser presentado usando GeoGebra, Octave o MATLAB. Particular que comunico para los fines pertinentes. Atentamente,
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