SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 05 FACULTAD DE : ESCUELA PROFESIONAL DE : DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo ASIGNATURA : Lógico Matemática TEMAS: Operaciones con conjuntos.
CICLO: I FECHA:
TIEMPO: 08 horas académicas. COMPETENCIA: Resuelve y aplica operaciones matemáticas, relacionadas con la teoría de conjuntos, operaciones y su aplicación, en el campo práctico de la vida cotidiana.
Ó
N
CAPACIDADES: Clasifica y resuelve problemas de conjuntos ACTITUDES: RESPONSABILIDAD: Manifiesta compromiso e identificación en su trabajo académico. PUNTUALIDAD: Revela respeto a los demás y a si mismo asistiendo puntualmente a las clases. PARTICIPACIÓN: Muestra disposición a enfrentarse a situaciones problemáticas novedosas. Participa activamente en el desarrollo de las clases. DESCRIPCIÓN DETALLADA DE EVALUACIÓN MOMENTOS O MEDIOS Y TIEMPO ESTRATEGIAS Y FASES MATERIALES INSTRUMENTO INDICADORES METODOLOGÍA MOTIVACIÓN: (ANEXO Nº 01) Material Impreso EXPLORACIÓN Interés por el El docente presenta en la pizarra tema, Pizarra una lista de ejercicios participación Observación Motivación y relacionadas a operaciones con Plumones individual y en espontánea. exploración conjuntos. (Lluvia de ideas, Intervención 50 min. grupo. acrílicos Técnica interrogativa) oral El uso para seguir la secuencia. Mota (ANEXO Nº 01)
I
Se
Palabra hablada
plantea
las
siguientes
interrogantes:
C
¿Pueden identificar y seleccionar productos
con
las
A
características
mismas
de
un Exposición oral
supermercado?
U
¿Al
ejercicio
anteriormente
realizado
que
nombre
le
L
dan? Problematización
¿Serias
capaz
de
plantear
A
ejercicios con conjuntos? ¿Conocen las diferentes clases
V
de conjuntos? ¿Qué
clase
de
conjuntos
en
los
ejercicios
ejercicios
aplicando
E
observan planteados? ¿Realicen
operaciones con conjuntos y sus propiedades? Se forma 7 grupos. Construcción del conocimiento
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45 min.
Dadas las diferentes clases de conjuntos y las operaciones que se realizan entre ellos resolver los ejercicios planteados. Participación activa
Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluació n (ANEXO Nº 06)
Modulo de lógica matemática (ANEXO Nº 03) Los estudiantes plantean sus ejemplos con conjunto. Se realizan indicaciones en la pizarra sobre conceptos básicos, dadas en la hoja técnica. (ANEXO Nº 04) Se
realiza
la
185 min.
Papelógrafo.
Módulo lógico matemático (ANEXO Nº03) Textos auxiliares. cinta adhesiva
sistematización de lo aprendido. Los plantean
estudiantes y
laboratorio
desarrollan con
un
ejercicios.
Trabaja forma individual grupal comentan ,discuten
(ANEXO Nº 05) Cada grupo lo desarrolla en papelote y expone. Los estudiantes resuelven los ejercicios planteados en su módulo de trabajo. Los estudiantes participan anotando sus
Hoja impresa
respuestas en la pizarra Los estudiantes elaboran
Aplicación de la teoría en la solución de su problema específico. A partir de los ejemplos establecidos en clase proponer las clases de conjuntos y operaciones que se relacionan con su carrera
Folder trabajo
ejercicios referidos a operaciones Transferencia del con conjuntos. conocimiento (Hoja de información ,Grupo de estudio , trabajo en equipo; exposición del problema planteado.(ANEXO Nº04)
de
120 min.
Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluació n (ANEXO 06)
en y ,
Aplica estrategias metacognitivas para simbolizar y negar proposiciones que contiene cuantificadore s. Grafican circuitos lógicos en serie y paralelo
Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05)
Folder trabajo.
Presentación de trabajo individual o grupal
BIBLIOGRAFÍA Venero Baldeon, Armando. Matemática Básica. Espinoza Ramos, E. (2002). Matemática Básica. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú. Garfunkel, Salomon. Las Matemáticas en la vida cotidiana. Aliaga Valdez, Carlos. Matemáticas para Administración y Económia. Moises, Lázaro. (1993). Matemática Básica Tomos I y II. Editorial Moshera. Perú. Espinoza Ramos. (2006). Matemática Básica I. Editorial J. J. Perú. Figueroa G. R. (2006). Matemática Básica. Ediciones San Marcos. Perú. Gonzales Caicedo, Walter Orlando et al. (2009). Modulo de Lógico Matemática. Lambayeque – Perú.
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Nº
de
ANEXO Nº 01 Imagina que en un evento internacional tú tienes que solicitar un salón para congregar a un cierto número de personas que no hablan ni inglés ni castellano. Tu puesto depende de hacer la solicitud para el número adecuado de personas, y la única información que tienes a la mano es que el 60% de los participantes habla inglés y el 25% habla castellano. El 20% de los que hablan inglés hablan también castellano y son 1200 los que hablan solo inglés. Si pudiste resolver el caso, ¡felicidades! Si tuviste algún problema y te despidieron los temas relacionados con conjuntos te ayudarán. ANEXO Nº02 Recuerda: “Se alcanza el éxito convirtiendo cada paso una meta y cada meta en un paso”. C. Cortez. Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar. Materiales: Papelotes y plumones azul, negro y rojo. ANEXO Nº03 Modulo de lógico matemática CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS CONJUNTO: El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática. Intuitivamente un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que como se verá en los ejemplos, pueden ser cualquiera: números, personas, letras, ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Si bien los conjuntos se estudian como entidades abstractas, enumeraremos 10 ejemplos particulares de conjuntos. Ejemplo: 1) Los números 1,3, 7 y 10. Es decir: A = {1,3,7,10} 2) Las soluciones de la ecuación x2-3x-2=0. 3) Las vocales del alfabeto: a, e, i, u, o. Es decir: B = {a, e, i, u, o} 4) Las personas que habitan la tierra. 5) Los estudiantes: Tomás, Ricardo y Enrique. C = {Tomás, Ricardo, Enrique} 6) Los estudiantes ausentes de la USS. 7) Los países: Inglaterra, Francia, Dinamarca. Es decir: D = {Inglaterra, Francia, Dinamarca} 8) Las ciudades capitales de Europa. 9) Los números: 2, 4, 6, 8, … Es decir: E = {2, 4, 6, 8, ….} 10) Los ríos de Perú. Nótese que los conjuntos de los ejemplos impares vienen definidos, o sea, presentados enumerando de hecho sus elementos y que los conjuntos de los ejemplos pares se definen enunciando propiedades, o sea, reglas que deciden si un objeto particular es o no elemento del conjunto. Notación: Es usual denotar los conjuntos con las letras mayúsculas: A, B, X, Y, …
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Los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas a, b, c, x, y, … Al definir un conjunto con la efectiva enumeración de sus elementos, por ejemplo, al A que consiste en los números 1, 3, 7 y 10, se escribe: A={1, 3, 7, 10}. Separando a los elementos por comas y encerrándolos entre llaves {}. Esto es la llamada “forma tabular de un conjunto”. Pero si se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos, como, por ejemplo, el H, conjunto de todos los números pares, entonces se emplea una letra por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe H = {x|x es par} lo que se lee “B es el conjunto de los números x tal que x es par”. Se dice que esta es la forma de definición por comprensión o constructiva de un conjunto. Téngase en cuenta que la barra vertical “|” se lee “tales que”. Para aclarar el empleo de la anterior notación, se escriben de nuevo los conjuntos de los ejemplos 1 al 10, designando los conjuntos respectivamente. Ejemplo: A = {1,3,7,10} F={x|x2-3x-2=0} B={a, e, i, o, u} G={x|x es una persona que habita la tierra} C={Tomás, Ricardo, Enrique} H={x|x es estudiante y x está ausente en la USS} D={Inglaterra, Francia, Dinamarca} I={x|x es una ciudad capital y x está en Europa} E={2,4,6,8,…} J={x|x es un rio y x esta en Perú } Si un objeto x es elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno de sus elementos se escribe x∈A, que se puede leer x pertenece a A ó x está en A. Si por el contrario x no es un elemento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x entre sus elementos, se escribe x∉A, que se lee “x no está en A” o “x no pertenece a A” Es costumbre en los escritos matemáticos poner una línea vertical “|” u oblicua “/” tachando un símbolo para indicar lo opuesto o la negación del significado del símbolo, ejemplo: B={a, e, i, o, u}, a∈B; b∉B; e∈B; f ∉B. G={x|x es par}, 3∉G; 2∈G; 11∉G; 12∈G. Conjuntos Finitos e Infinitos: Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos intuitivamente, un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede terminar. Si no, el conjunto es infinito. Posteriormente se dará una definición precisa de Conjunto infinito y finito. Ejemplos: Si M es el conjunto de los días de la semana, entonces M es finito. Si N={2,4,6,8,…} es infinito. Si P={x|x es un río de Perú}. P es también finito, aunque sea difícil contar los ríos de Perú. Igualdad de Conjuntos: El conjunto A es igual al conjunto B. Si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por A=B. Ejemplo:
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Sea A={1,2,3,4} y B={3,1,4,2}, entonces A=B, es decir {1,2,3,4}={3,1,4,2}, pues cada uno de los elementos de A pertenecen a B y cada uno de los elementos de B pertenecen a A. Obsérvese, por tanto, que un conjunto no cambia al reordenar sus elementos. Ejemplo: Sea C={5,6,5,7} y D={7,5,7,6}, entonces C=D, es decir {5,6,5,7}={7,5,7,6}, ya que cada elemento de C pertenece a D y cada elemento de D pertenece a C. Nótese que un conjunto no cambia se repiten sus elementos. Así que el conjunto {5,6,7} es igual al conjunto C y al conjunto D. 1. Conjunto Vacío: Conviene introducir el concepto de conjunto vacío, es decir, de un conjunto que carece de elementos. Este conjunto se suele llamar Conjunto Nulo. Aquí diremos que un conjunto semejante que es vacío y se denotará por el símbolo Φ. Ejemplo: Si A es el conjunto de personas vivientes mayores de 200 años, A es vacío según las estadísticas conocidas. Sea B = {x|x2=4 y x es impar} 2. Subconjunto: Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Más claro, A es un subconjunto de B si x estás en A entonces x está en B. Se denota esta relación escribiendo A⊂ B, que también se puede leer “A está contenido en B”. Ejemplos: El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto de D={5,4,3,2,1}, ya que todo elemento de C pertenece a B. El conjunto E = {2,4,6} es un subconjunto de F={6,2,4}, pues cada elemento que pertenece a E también pertenece a F. Obsérvese en particular que E=F. De la misma manera se puede demostrar que todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Sea G={x|x es par}, es decir G={2,4,6…} y F={x|x es potencia entera positiva de 2}, es decir, F={2,4,8,16,32…}, entonces F es subconjunto de G, o sea F está contenido en G. Dos conjuntos A y B son iguales, A=B si y sólo si A⊂B ٨ B⊂A. Si A⊂B se puede escribir también B ⊃A, que se lee “B es un superconjunto de A” o “B contiene a A” Observaciones: 1. El conjunto Φ se considera subconjunto de todo conjunto. 2. Si A⊄ B, es decir, A no es subconjunto de B, entonces hay por lo menos 1 elemento de A que no es elemento de B. 3. Subconjunto Propio: Puesto que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo, se dice que B es un subconjunto propio de A si, en primer lugar, B es un subconjunto de A, y en segundo lugar, B no es igual a A (B≠A). Más brevemente, B es un subconjunto propio de A si B⊂A ٨ B≠A. En algunos libros “B es un subconjunto de A” se denota por B⊂A y “B es un subconjunto propio de A” se denota por B⊂A. Aquí se seguirá la notación ya vista, que no distingue entre subconjunto y subconjunto propio. 4. Comparabilidad: Dos conjuntos A y B se dicen comparables si A⊂B ó B⊂A, esto es, si uno de los conjuntos es subconjunto del otro. En cambio 2 conjuntos A y B se dicen que no son comparables si A⊄ B y B⊄ A.
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Nótese que si A no es comparable con B entonces hay en A un elemento que no está en B, hay también un elemento en B que no está en A. Ejemplos: Sea A = {a, b} y B = {a, b, c}, entonces A es comparable con B, pues A es un subconjunto de B. Sea C = {a, b} y D = {d, c, b}, no son comparables ya que C⊄D y D⊄C, es decir, a∈C y a∉D y d∈D y d∉C. 5. Conjunto de Conjuntos: Ocurre a veces que los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos; por ejemplo: el conjunto de todos los subconjuntos de A. Para evitar decir “Conjunto de Conjuntos”, se suele decir “Familia de Conjuntos” o “Clase de Conjuntos”. En tales casos, para evitar confusiones, se emplean letras inglesas A, B, C para designar Familia o Clase de conjuntos, ya que las mayúsculas denotan sus elementos. Ejemplo: El conjunto {{2,3}, {2}, {5,6}} es una familia de conjuntos. Sus elementos son los conjuntos: {2,3}, {2}, {5,6}. En teoría es posible que un conjunto tenga entre sus elementos algunos que sean a su vez conjunto y otros que no lo sean, pero en las aplicaciones de la teoría de conjuntos este caso se presenta rara vez. Ejemplo: Sea A = {2, {1,3}, 4, {2,3}} A no es, pues, una familia de conjuntos; algunos elementos de A son conjuntos y otros no. 6. Conjunto Universal: En toda aplicación de la teoría de conjuntos, todos los conjuntos que se consideren sean muy probablemente subconjunto de un mismo conjunto dado. Este conjunto se llamará Conjunto Universal o Universo del Discurso y se denota U. Ejemplo: En los estudios sobre población humana, se tiene que el conjunto universal es toda la gente del mundo. 7. Conjunto Potencia: La familia de todos los subconjuntos de un conjunto S se llama Conjunto de potencia de S. Se le designa por P(S). Ejemplo: Si M = {a, b} entonces, P(M) ={{a},{b},{a, b},Φ} Si T={4, 7, 8} entonces, P(T ) ={{4},{7},{8},{4,7},{4,8}{7,8}{4,7,8},Φ} Observación: Si un conjunto S es finto, digamos que S tenga n elementos, entonces el conjunto potencia de S tendrá 2n elementos. Esto es una razón para llamar conjunto de potencia de S la clase de los subconjuntos de S para denotarlo P(S). 8. Conjuntos Disjuntos: Si 2 conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento de A está en B y ningún elemento de B está en A, se dice que A y B son disjuntos. Ejemplo: Sea: A = {1, 3, 7, 8} B = {2,4,7,9}, A y B no son disjuntos, pues 7 está en ambos conjuntos, es decir, 7∈A y 7∈B. Ejemplo: Sea E = {x,y,z} y F = {r,s,t}, E y F son Disjuntos. 9. Diagramas de Venn Euler: Se logra ilustrar de manera sencilla e intuitiva las relaciones entre conjuntos mediante los llamados diagramas de Venn Euler, o de Venn, simplemente, que representan un conjunto con un área plana, por lo general delimitado por un círculo. Suponga que A es subconjunto de B y A es distinto de B. Entonces A y B se describen con uno de los diagramas:
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B
B
A
A
Ejemplo: Si A y B no son comparables, se les puede representar por el diagrama de la derecha si son disjuntos o por el diagrama de la izquierda si no lo son disjuntos y no comparables.
A
A
B
B
Ejemplo: Sea A={a,b,c,d} y B={c,d,e,f}. Se ilustran estos conjuntos con un diagrama de Venn de la forma: A
B a b
c e d f
OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS 1. Unión: (A∪B): La Unión de los Conjuntos A y B en el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A ó a B ó a ambos. Se denota la unión de A y B por: A ∪ B = {x /x ∈ A ∨ x ∈ B} Ejemplo: En el diagrama de Venn siguiente A∪B aparece sombreado, o sea el área de A y B. A∪B A
B
Ejemplo: Sea S = { a,b,c} y T = {d,e,f,g} Entonces: S∪T={a,b,c,d,f,g} La unión entre A y B se puede definir concisamente así: A ∪ B = { x /x ∈ A ∨ x ∈ B} Observación: Se sigue inmediatamente de la definición de la unión de dos conjuntos que A∪B y B∪A son el mismo conjunto, esto es: A∪B= B∪A. El conjunto A y B son ambos subconjuntos de A∪B, es decir, A⊂ (A∪B) y B⊂ (A∪B).
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2. Intersección: (A∩ ∩B): La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y elementos que también pertenecen a B. Se denota la intersección de A y B: A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B} Ejemplo: En le diagrama de Venn A ∩ B, el área común de ambos conjuntos A y B: A∩B A
B
Ejemplos: Sean S={a,b,c,d} y T={f,b,d,g} Entonces: S∩ T={b,d} Sea B={2,4,6,8,…}, es decir, los múltiplos de 2 y sea W={3,6,9,12,…}, es decir, los múltiplos de 3. Entonces: W∩ B={6,12,18,…} Observaciones: Se sigue inmediatamente de la definición de dos conjuntos A∩B= B∩A. Cada uno de los conjuntos A y B contiene al conjunto A∩B como subconjunto, es decir (A∩B)⊂A y (A∩B)⊂B. Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si A y B son disjuntos, entonces la intersección de A y B es el conjunto vacío, o sea, A∩B =. Φ 3. Diferencias: (A-B) La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenece a A pero no a B. Se denota la diferencia de A y B por: A-B, que se lee “A diferencia B” o simplemente “A menos B”. (A-B) A
B
Ejemplo: En el diagrama de Venn se ha rayado A-B, el área de A que no es parte de B. Ejemplo: Sea S={a,b,c,d} y T={f,b,d,g}, S-T={a,c} La diferencia de A y B se puede también definir concisamente como: A-B={x|x∈A ∧ x∉B} Observación: El conjunto A contiene al conjunto A-B como subconjunto, esto es (A-B) ⊂A. Los conjuntos A-B y B-A son mutuamente disjuntos, es decir la intersección de los dos es vacío, es decir: (A-B) ∩ (B-A) = Φ 4. Complemento:
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El complemento de un conjunto A es el conjunto de los elementos que no pertenecen a A, es decir, la diferencia del conjunto universal U y del conjunto A. Se denota el complemento de A por A’ ó Ac. Ejemplo: En el diagrama de Venn de la figura, se ha rayado el complemento de A, o sea, el área exterior a A. Se supone que el conjunto universal U es el área del rectángulo. A’: Lo rayado U
A
Ejemplo: Suponiendo que le conjunto universal U sea el alfabeto, dado T = {a,b,c}, entonces, T’ = {d,e,f,…,z} También se puede definir complemento de A concisamente así: A’= {x|x∈U ∧ x∉A} o simplemente: A’= {x|x∉A} Observación: La unión de cualquier conjunto A y su complemento es el conjunto universal, o sea que A∪A’=U. Por otra parte, el conjunto A y su complemento A’ son disjuntos, es decir, A∩ A’= Φ El complemento del conjunto universal U es el conjunto y viceversa, o sea que U’= A y A’=U. El complemento del complemento de un conjunto A es un conjunto mismo, es decir: (A’)’=A OBSERVA Y TEN EN CUENTA LO SIGUIENTE: Tres conjuntos A, B y C que en un diagrama de Venn se representan secantes, mutuamente quedan divididos en siete regiones. El número de elementos de cada región de dichos conjuntos puede calcularse del modo siguiente:
Sólo A = n1 = n(A) – n(B∪C) Sólo B = n2 = n(B) – n(A∪C) Sólo C = n3 = n(C) – n(A∪B) Sólo A y C = n4 =n(A∩C) – n(B) Sólo A y B = n5 =n(A∩B) – n(C) Sólo B y C = n6 =n(B∩C) – n(A) A, B y C en conjunto = n7 = n(A ∩B∩C) Ni A, ni B ni C = n8 = n(U) – n(A ∪B C)
n8
ANEXO Nº 04 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº05
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I. Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Una persona tiene tres monedas, cada una de uno o cinco soles. Escribir los elementos del conjunto de las posibles sumas de capital que puede tener dicha persona. (Por ejemplo, si fuesen tres monedas de un sol, tendría 3 soles; si fuesen dos de un sol y una de cinco soles tendría 7 soles, etc.). 2. Sean A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Completar las afirmaciones que siguen, poniendo el símbolo adecuado en el espacio correspondiente. a) ∈ o ∉ 2____ A
{1, 2, 6}. ____ B
1,2,3 ____ B
4_____B
0____ A
b) ⊂ o ⊄
A____ C B ____ B
∅____∅
B____C
A____B
{2, 3, 1} ____ A
∅____A
B____ A
3. Sea H = {1, 2, 3, 4, 5}. a) Escribe todos los subconjuntos de H de cardinalidad uno. Llama C al conjunto de dichos subconjuntos. b) Escribe todos los subconjuntos de H de cardinalidad dos. Llama D al conjunto de dichos subconjuntos. 4. Clasifica los conjuntos siguientes según sean finitos o infinitos. a) N = conjunto de todos los números naturales b) P = conjunto de todos los números pares c) H = conjunto de todos los seres humanos d) G = el conjunto de todos los números naturales inferiores a 90 trillones e) M = el conjunto de todos los números naturales superiores a 90 trillones f) ∅
g) {∅, N} 5. En los siguientes ejercicios, encuentra la unión o intersección pedidas, en dos formas por comprensión y por extensión. a) {x ∈ N | 0 < x < 8} ∩ {x ∈ N | 2 < x < 6}
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b) {x ∈ N | x < 10} ∩ {x ∈ N | 9 < x}
c) {x ∈ N | x < 10} ∪ {x ∈ N | 9 < x}
d) {x ∈ N | x < 10} ∪ {x ∈ N | 5 < x < 12}
e) {2, 4, 5} ∪ {y ∈ N | 4 < y} 6. Describe la relación entre A y B en cada uno de los casos siguientes: a) A ∩ B = ∅
b) A ∩ B = B
c) A ∪ B = A
7. Dibujar un diagrama de Venn similar a la figura para cada ejercicio y sombrear sólo el área que represente el conjunto dado. Si el conjunto es el conjunto vacío, decirlo. A B C
A∪B B∩C A∪(B∩C)
A ∩ (B ∪ C) A ∩ (B ∩ C)
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A ∪ (B ∪ C)
A’ ∩ (B’ ∪ C)
A ∩ (B ∪ C’) 8. Si tienes los intervalos: U = <-4,7> A = <3,7> B = [0,6] Determina el intervalo solución de (A’ ∩ C) ∩ B’ 9. Teniendo los conjuntos:
y C = [-1,6]
A = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 8}
B = {x ∈ R / -5 < x ≤ 5}
C = {x ∈ R / -7 ≤ x < 2} Determina el intervalo que indica la intersección de A, B y C. 10. Dados los conjuntos: A = {x ∈ R / -5 < x ≤ 4}
B = {x ∈ R / (-7 ≤ x ≤ 5) ∩ (0 < x 8)}
C = {x ∈ R / (-9 < x < -4) ∪ (4 ≤ x < 11)} Determina A ∩ B ∩ C’ 11. Si A = {2, 4, 6, 8, 10} y B = {{2, 4}, {6, 8}, {10}} ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?
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• A⊂B
• B⊂A
• 10 ∈ A
• 10 ∉ A
• 10 ∈ B
• {10} ∈ B
• {2, 4} ⊂ A
• {2, 4} ⊄ A
• {6, 8} ⊂ B 12. Siendo U = { -2, 0, 2, 4, 6, 8 }, A = { 4, 8 } y B = { -2, 2, 6 } determina: • ( A’ ∩ B ) ∪ ( B’ ∩ A )
• La cardinalidad de ( A’ ∪ B )
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13. Escribe por extensión la potencia del conjunto A = {1, 2, 3 } 14. Dibuja el diagrama de Venn correspondiente a la siguiente operación: (A – B)’ ∩ C 15. En una encuesta relacionada con los hábitos de lectura se obtuvo la siguiente información: 60% leen la revista A; 50% leen la revista B; 50% leen la revista C; 30% leen la revista A y B; 20% leen las revistas B y C; 30% las revistas A y C; 10% leen las tres revistas. ¿Qué porcentaje de personas, leen las revistas A o C? 16. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de frutas, de manzana, fresa y piña, es el siguiente: 60% gustan de manzana; 50% gustan de fresa; 40% gustan de piña; 30% gustan de manzana y fresa; 20% gustan fresa y piña; 15% gustan manzana y piña, además 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustaron de los jugos de frutas mencionados? 17. Si M = {a, b} y T= {4, 7, 8} entonces, hallar la potencia de M y T. 18. Según nuestro criterio que podemos decir de los siguientes conjuntos: • A={1,2,3,4,5,} y B = {1,1,1,1,1,1,1,2,3,3,3,4,5,5,5,1}. • C ={1,3,5} y D={5,4,3,2,1} • Sea G = {x/x es par}, es decir G = {2,4,6…} y F= {x/x es potencia entera positiva de 2}, es decir, F = {2,4,8,16,32…} • B={x/x2 =4 ٨ x es impar}
19. Indicar la operación correcta con respecto a cada una de las figuras que se presenta a continuación: a) b) A
B
C
c)
A
B
A
B
C
d) A
B
C
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C
e)
f) A
B
A
B
C C
20. De un grupo de estudiantes que rindieron exámenes los resultados fueron: 10 aprobaron Matemática y Física; 07 aprobaron Matemática y Química; 09 aprobaron Química y Física, 17 aprobaron Matemática; 19 aprobaron Física; 18 aprobaron Química y 4 aprobaron los 3 cursos. ¿Cuántos alumnos rindieron exámenes? y ¿Cuántos aprobaron sólo 1 curso? a) 31 y 2 b) 32 y 10 c) 33 y 12 d) 32 y 14 e) 32 y ninguno 21. Del total de damas de una oficina, 2/3 son morenas, 1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas con ojos azules. ¿Qué fracción no son ni morenas, ni tienen ojos azules? a) 9/10 b) 3/10 c) 2/15 d) 1/6 e) 1/5 22. Se tiene 2 conjuntos comparables A y B los cuales tienen uno 3 elementos más que el otro, el número de sus conjuntos potencias difieren en 3584. Calcular el cardinal de la unión de ambos conjuntos. a)8 b) 17 c) 10 d) 11 e)12 23. Un club de deportes tiene 38 frontistas, 15 pimponistas y 20 tenistas. Si el número total de jugadores es 58 y solo 3 de ellos practican los 3 deportes. ¿Cuántos jugadores practican solamente un deporte? a) 42 b) 43 c) 44 d) 45 e) 46 24. De un grupo de 242 alumnos del CPU – UNPRG, se sabe que 95 practican natación, 82 practican atletismo y 110 no practican estos deportes. ¿Cuántos alumnos practican estos dos deportes? a) 37 b) 45 c) 42 d) 39 e) 40 25. ¿A qué operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico? a) (B ∪ C) – A b) (B ∩ A) – C c) (A ∩ C) – B d) (A ∪ C) – B e) (B ∩ C) – A
A
B
C
26. La siguiente gráfica corresponde a: a) A ∪ B ∩ C b) (A ∪ C) ∩ B c) (B ∪ C) ∩ A d) (A ∪ B ∪ C) e) A ∪ (B ∩ C)
A
B
C
27. ¿Qué operación representa el siguiente diagrama? a) A ∩ B b) A - C)∩B
A
B
Walter Orlando Gonzales Caicedo C www.goncaiwo.wordpress.com
c) A ∆ B d) (B - A) ∩C e) A∩B∩C 28. La parte sombreada corresponde a: A
a) b) c) d) e)
(A - B) ∪ [ C – (A ∪ B) ] (A - C) ∩ ( B - C) (C - B) ∪ (C - A) [(A ∩ B) - C] ∪ [ C –(A ∪ B) ] A∩B∩C
B
C
II. A partir de de lo estudiado dar ejemplos aplicativos de cada una de las clases de conjuntos y operaciones con conjunto.
Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com