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ORDENACIÓN
Esta ecuación es fácil de resolver si hacemos el cambio n = (3/2)k, mediante el cual obtenemos tk = 22 + 3tk–1, ecuación en recurrencia no homogénea con ecuación característica (x–3)(x–1) = 0, y por tanto la solución es: tk = c13k + c2. Deshaciendo el cambio, obtenemos finalmente:
T (n) = c 1 3
log3/ 2 n
+ c 2 = c1 n
log3/ 2 3
+ c2 .
Para el cálculo de las constantes, tomaremos dos condiciones iniciales: T(1) = 6 y T(2) = 13. Con ambas es fácil ver que c2 = 6 y c1 = 1.07017. Como c1 > 0 podemos afirmar que:
T (n) ∈Θ(n
log3/ 2 3
).
Ahora bien, log3/23 = 2.7095113, con lo cual este método resulta ser de un orden de complejidad muy superior al del resto de los métodos de ordenación vistos en el presente capítulo y por tanto no rentable frente a ellos. Solución al Problema 2.15.
( )
Este problema es una generalización del que intenta encontrar la mediana de un vector dado (para k = (n+1)÷2), conocido también como el problema de la Selección. Sin embargo hemos preferido referirnos a él como el problema del k-ésimo elemento para no confundirlo con el algoritmo de ordenación del mismo nombre. • Efectivamente, una primera idea consiste en ordenar el vector a[1..n] por algún método eficiente y luego escoger el elemento a[k]. Sabemos ya que este procedimiento es de complejidad O(nlogn). • Si decidiéramos modificar el procedimiento de Selección de forma que parase cuando hubiera ordenado hasta la posición k conseguiríamos cierta mejora para algunos casos, pues este algoritmo sería de complejidad O(nk). • Otra idea interesante es la de utilizar el método de ordenación por montículos, modificándolo como en el caso anterior para que pare cuando tenga ordenado hasta la posición k. Así logramos hacerlo mejor para algunos valores de k, pues este procedimiento es de complejidad (n–k)logn (ya que el método de montículos ordena de atrás hacia adelante). También podemos usar una variante en donde los montículos están ordenados de menor a mayor. Con esto conseguimos un procedimiento de complejidad O(klogn). • ¿Puede usarse una modificación de Quicksort para resolver este problema? Observando cómo funciona este método, nos damos cuenta que la función
