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DIVIDE Y VENCERÁS
p
V·W =
∑ (v i =1
2i−1
p
p
i =1
i= 1
+ w2i )(v 2i + w2i −1 ) − ∑ v 2i−1 v 2i − ∑ w2i −1 w2i
podemos observar que pueden reutilizarse muchos cálculos, puesto que los dos últimos sumandos de esta ecuación sólo dependen de los vectores V y W. Entonces el método pedido puede implementarse como sigue: • Primero se calculan las sumas p
∑v i =1
v
2i −1 2i
para cada uno de los vectores fila de B y columna de C. Hay que realizar 2n de estas operaciones, y cada una requiere n/2 multiplicaciones, lo que implica n2 multiplicaciones de elementos en esta fase. • Después se calcula cada uno de los elementos de A como A[i,j] = Bi·Cj utilizando la fórmula anterior, pero en donde ya hemos calculado (en el paso previo) los dos últimos términos de los tres que componen la expresión. Por tanto, para cada elemento de A sólo es necesario realizar ahora n/2 multiplicaciones de elementos. Como hay que calcular n2 elementos en total, realizaremos en esta fase n3/2 multiplicaciones. Sumando el número de multiplicaciones de ambas fases, hemos conseguido un método con el número de operaciones pedido. 3.8 MEDIANA DE DOS VECTORES Sean X e Y dos vectores de tamaño n, ordenados de forma no decreciente. Necesitamos implementar un algoritmo para calcular la mediana de los 2n elementos que contienen X e Y. Recordemos que la mediana de un vector de k elementos es aquel elemento que ocupa la posición (k+1)÷2 una vez el vector está ordenado de forma creciente. Dicho de otra forma, la mediada es aquel elemento que, una vez ordenado el vector, deja la mitad de los elementos a cada uno de sus lados. Como en nuestro caso k = 2n (y por tanto par) buscamos el elemento en posición n de la unión ordenada de X e Y. Solución
( )
Para resolver el problema utilizaremos una idea basada en el método de búsqueda binaria. Comenzaremos estudiando el caso base, que ocurre cuando tenemos dos vectores de un elemento cada uno (n = 1). En este caso la mediana será el mínimo de ambos números, pues obedeciendo a la definición sería el elemento que ocupa la primera posición (n = 1) si ordenásemos ambos vectores. Respecto al caso general, existe una forma de dividir el problema en subproblemas más pequeños. Sea Z el vector resultante de mezclar ordenadamente los vectores X e Y, y sea mZ la mediana de Z. Apoyándonos en el hecho de que X e Y se encuentran ordenados, es fácil calcular sus medianas (son los elementos que ocupan las posiciones centrales de ambos vectores), y que llamaremos mX y mY.
