Soluções C.A. p297-p593

SOLUÇÕES

que é visível, está iluminada. Já em projecção frontal, de todas as faces em B CV] é sombra, apenas a face lateral [B visível, pelo que é a única sombra própria a assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a – A s 2 e B s 2 situam-se no S P F S e Cs 1, Ds 1 e Vs 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada da pirâmide admite dois pontos de quebra (um situado entre Ds 1 e A s 2 e o outro situado entre B s 2 e Cs 1). Os pontos de quebra determinaram-se atendendo às situações de paralelismo entre os lados B C] e [A A D] do quadrado (que são ho[B rizontais) e as respectivas sombras no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 5 6 8 e respectivo relatório).

Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada da pirâmide, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, é possível identificar as áreas de sombra com tracejado (ver relatório do exercício 610).

614.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide pelas suas projecções, em função dos dados. Para determinar o centro da circunferência O é o centro da circircunscrita ao hexágono construiu-se um triângulo equilátero a partir de A 2 e B 2 – o terceiro vértice do triângulo é O2 (O cunferência). Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o Plano Frontal de Projecção (o plano que contém a base da pirâmide – note que as rectas t e t’ são, imediatamente, os traços frontais dos dois planos tangentes luz/sombra). As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos C e F, respectivamente – as arestas laterais [C CV] e [F FV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra (são as arestas CV] e [F FV] separam a parte da superfície lateral da pirâmide que segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes ao sólido). As arestas [C AFV], [A A BV] e está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (da esquerda, de trás e de cima), as faces laterais [A B CV] estão em sombra, enquanto que as faces laterais [C CDV], [D DEV] e [E EFV] estão iluminadas. A base da pirâmide também está em som[B CVFED]. A sombra própria da pirâmide integra as faces laterais bra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [C AFV], [A A BV] e [B B CV] e a base da pirâmide. Em projecção frontal, apenas a base é invisível (as faces laterais são todas visíveis em projec[A AFV], [A A BV] e [B B CV]). Já em projecção horizontal, de todas as ção frontal), pelo que se assinalou a sombra própria visível (as faces laterais [A B CV] é visível, pelo que é a única sombra própria a assinalar. Em seguida determinaram-se as partes em sombra apenas a face lateral [B (Continua na página seguinte) 297

SOLUÇÕES

sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra (considerando a direcção convencional da luz) – Cs 2, Ds 2, Es 2 e Fs 2 situam-se no S P F S e Vs 1 situa-se no S P H A, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem pontos de quebra. Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv 2. Após o desenho do contorno da sombra, identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a porção de sombra que está por baixo da base está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

615.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide pelas suas projecções, em função dos dados. A circunferência circunscrita ao pentágono da base tem centro em O e passa por A (que é um dos vértices do pentágono). O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide.

As projecções do vértice V, da pirâmide, determinaram-se em função da sua abcissa e da sua cota (que é 10 cm, pois a pirâmide tem 7 cm de altura e o plano da base tem 3 cm de cota) e ainda em função da projecção horizontal da recta suporte do eixo da pirâmide. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t ’ são tangentes à base nos pontos A e D , AV] e [D DV] são, imerespectivamente – as arestas laterais [A diatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tanAV] e [D DV] separam gentes ao sólido). As arestas laterais [A a parte da superfície lateral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de A BV], [B B CV] e [C CDV] cima, da direita e de lado), as faces [A DEV ] e estão iluminadas enquanto que as faces laterais [D AEV] estão em sombra. A base da pirâmide também está [A em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A AVDCB]. A sombra própria da A BV], [B B CV] e [C CDV] e a pirâmide integra as faces laterais [A base da pirâmide. Em projecção horizontal, a base da DEV] são invisíveis, pelo que face pirâmide e a face lateral [D AEV] é a única a sombra própria visível. Já em prolateral [A jecção frontal, de todas as partes em sombra apenas a DEV ] é visível, pelo que é a única sombra face lateral [D (Continua na página seguinte) 298

SOLUÇÕES

própria a assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a (considerando a direcção luminosa dada), que se situam todas, sem excepção, no SPHA – a sombra projectada da pirâmide não admite pontos de quebra.

Após o desenho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

616.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide pelas suas projecções, em função dos dados (ver relatório do exercício anterior). O vértice V, da pirâmide, tem 11 cm de cota (pois a pirâmide tem 8 cm de altura e o plano da base tem 3 cm de cota) e a sua projecV e A ção horizontal está coincidente com A 1 (V situam-se na mesma recta projectante horizontal).

Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos A e C, A V] e [C CV] respectivamente – as arestas laterais [A são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes ao sólido). As arestas AV] e [C CV] separam a parte da superfície lalaterais [A teral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da AEV], [D DEV] e [C CDV] esquerda e de trás), as faces [A estão iluminadas enquanto que as faces laterais A BV] e [B B CV] estão em sombra. A base da pirâmide [A também está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A AVCDE].

A sombra própria da pirâmide integra as faces lateA BV] e [B B CV] e a base da pirâmide. Em projecrais [A ção horizontal, a base da pirâmide e a face lateral A BV] (que é projectante horizontal) são invisíveis, [A B CV] é a única a sombra própelo que face lateral [B pria visível. Já em projecção frontal, todas as partes em sombra são invisíveis, pelo que não há qualquer sombra própria a assinalar. Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra (considerando a direcção luminosa convencional) – Cs 1, Ds 1 e Es 1 situam-se no SPHA e Vs 2 e A s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem dois pontos de quebra (um entre Cs 1 e Vs 2 e o outro entre Es 1 e A s 2). O primeiro A E] determinou-se com o recurso à sombra virtual de C – Cv 2. O segundo determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o lado [A do pentágono (que é horizontal) e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

299

SOLUÇÕES

617.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide. Em seguida, construiu-se o rectângulo da base da pirâmide, inscrevendo-o previamente numa circunferência. O centro da circunferência circunscrita ao rectângulo (o ponto O) é o ponto A C]. Desenhou-se a circunfemédio do segmento de recta [A rência e B é o ponto da curva que se encontra a 3,5 cm de A, para a sua direita. Determinado o ponto B, por este conduziu-se a outra diagonal do rectângulo, em cujo extremo se situa D. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à base nos AV] e pontos A e C, respectivamente – as arestas laterais [A CV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz [C luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 AV] e [C CV] e λ2 são tangentes ao sólido). As arestas laterais [A separam a parte da superfície lateral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da ADV] luz (de cima, da esquerda e de trás), as faces laterais [A CDV] estão iluminadas enquanto que as faces laterais e [C A BV] e [B B CV] estão em sombra. A base da pirâmide tam[A bém está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/somb r a é a l i n h a q u e b r a d a f e c h a d a [A A V C D ]. A s o m b r a própria da pirâmide integra as faces laterais [A A BV] e [B B CV] e a base da pirâmide. Em projecção horizontal, a base da piA BV] são invisíveis, pelo que a face râmide e a face lateral [A B CV] é a única a ter sombra própria visível. Já em lateral [B projecção frontal, apenas a base é invisível (todas as faces laterais são visíveis em projecção frontal), pelo que se assiA B V] e nalou a sombra própria visível (as faces laterais [A B CV]). Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra (considerando a direcção luminosa [B convencional) – Cs2 e Ds2 situam-se no SPFS e Vs1 e As1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem dois pontos de quebra (um entre Cs2 e Vs1 e o outro entre Ds2 e As1). O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv2. O segundo determinouAD] do rectângulo (que é frontal) e a sua sombra no Plano Frontal de Projecção (ver exercí-se atendendo à situação de paralelismo entre o lado [A cio 570 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

618.

300

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide. Uma vez que a base da pirâmide está contida num plano frontal (de frente), o eixo da pirâmide está n e c e s s a r i a m e n t e contido numa recta de topo (projectante frontal), pelo que se tem O2 ≡ V2, sendo O o centro da circunferência circunscrita ao triângulo da base, que está contido no plano frontal (de frente) que contém A .

Com centro em O2 e raio até A 2 desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo, que se construiu em seguida e a partir do qual se desenharam as projecções da pirâmide, respeitando as respectivas invisibilidades. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a , o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a , conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos A e C, respectivamente A V] e [C CV] são, imediatamente, duas – as arestas laterais [A arestas da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a (são as arestas se(Continua na página seguinte)

SOLUÇÕES

AV] e [C CV] separam a parte da superfície lateral da pirâmide gundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes ao sólido). As arestas laterais [A ACV] é a única que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a face lateral [A A BV] e [B B CV] estão em sombra. A base da pirâmide também está iluminada, pelo que a face iluminada enquanto que as faces laterais [A linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A AVCB]. A sombra própria da pirâmide integra apenas as faces laterais [A A BV] e B CV]. Em projecção frontal, todas as faces laterais são invisíveis, pelo que não há sombra própria visível (não há qualquer sombra própria [B B CV] – a sombra própria visível resume-se à face lateral a assinalar). Já em projecção horizontal, a base é invisível, tal como a face lateral [B A BV]. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra (considerando a direcção lumi[A nosa convencional). Vs 2 ≡ V2, pois V é um ponto do Plano Frontal de Projecção. Cs 1 e B s 1 situam-se no SPHA e Vs 2 e A s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem dois pontos de quebra (um entre Cs 1 e Vs 2 e o outro entre B s 1 e A s 2). O primeiro A B] determinou-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv 1. O segundo determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o lado [A do triângulo (que é frontal) e a sua sombra no Plano Frontal de Projecção (ver exercício 570 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

619.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. Uma vez que a base da pirâmide está contida num plano horizontal (de nível), o eixo da pirâmide está n e c e s s a r i a m e n t e contido numa recta vertical (projectante horizontal), pelo que se tem O1 ≡ V1, sendo O o centro da circunferência circunscrita ao hexágono da base, que está contido no plano horizontal que contém A. Com centro em O1 e raio até A 1 desenhou-se a circunferência circunscrita ao hexágono, que se construiu em seguida e a partir do qual se desenharam as projecções da pirâmide, respeitando as respectivas invisibilidades. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos F e D, respectivamente – as aresFV] e [D DV] são, imediatamente, duas tas laterais [F arestas da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são FV ] e tangentes ao sólido). As arestas laterais [F DV] separam a parte da superfície lateral da pirâ[D mide que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda EFV] e [D DEV] estão e de trás), as faces laterais [E AFV], iluminadas, enquanto que as faces laterais [A A BV], [B B CV] e [C CDV] estão em sombra. A base [A FVDCBA]. A sombra própria da da pirâmide também está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [F AFV], [A A BV], [B B CV] e [C CDV]. Em projecção horizontal, todas as faces laterais são invisíveis, pelo que não há pirâmide integra as faces laterais [A B CV], [A A BV] e [A AFV] são invisísombra própria visível (não há qualquer sombra própria a assinalar). Já em projecção frontal, as faces laterais [B CDV]. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha veis – a sombra própria visível resume-se à face lateral [C separatriz luz/sombra (considerando a direcção luminosa convencional). As2 ≡ A 2, pois A é um ponto do Plano Frontal de Projecção. Vs1 ≡ V1, pois V é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Fs2, A s2 e Bs2 situam-se no SPFS e Vs1, Ds1 e Cs1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem dois pontos de quebra (um entre Vs1 e Fs2 e o outro entre Cs1 e Bs2). O primeiro determinou-se com o recurso à B C] do hexágono (que é horizontal) e a sombra virtual de F – Fv1. O segundo determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o lado [B sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

301

SOLUÇÕES

620.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide. Para determinar o centro da circunferência circunscrita ao hexágono construiu-se um triângulo equilátero a partir de A 2 e B 2 – o terceiro vértice do triângulo é O2 (O O é o centro da circunferência). O vértice V, da pirâmide, tem afastamento nulo (pois a pirâmiF é o vértice de maior de tem 8 cm de altura e o plano da base tem 8 cm de afastamento) e a sua projecção frontal está coincidente com F2 (F abcissa da base e V e F situam-se na mesma recta projectante frontal). Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos A e D, respectivamente – as arestas laterais AV] e [D DV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tan[A AV] e [D DV] separam a parte da superfície lateral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra – gentes ao sólido). As arestas [A A BV], [B B CV] e [C CDV] estão em sombra, enquanto que as faces dada a proveniência da luz (da esquerda, de trás e de cima), as faces laterais [A A F V], [E EFV] e [D DEV] estão iluminadas. A base da pirâmide também está iluminada, pelo que a l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a é a laterais [A A BV], [B B CV] e [C CDV]. Em projecção frontal, l i nha quebrada fechada [A AVDCB]. A sombra própria da pirâmide integra as faces laterais [A apenas a base é visível (as faces laterais são todas invisíveis em projecção frontal), pelo que não há qualquer sombra própria visível a assiCDV] é visível, pelo que é a única sombra própria a nalar. Já em projecção horizontal, de todas as partes em sombra apenas a face lateral [C assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra (considerando a direcção luminosa dada). Vs 2 ≡ V2, pois V é um ponto do Plano Frontal de Projecção. A s 1, B s 1, Cs 1 e Ds 1 situam-se no SPHA e Vs 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide admite pontos de quebra. Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv 1.

Após o desenho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

302

SOLUÇÕES

621.

Em primeiro lugar representaram-se a pirâmide e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à base BV] nos pontos B e A, respectivamente – as arestas laterais [B AV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz e [A luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e BV] e [A AV] separam λ2 são tangentes ao sólido). As arestas [B a parte da superfície lateral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (do ACV] e [B B CV] estão ilumifoco luminoso), as faces laterais [A A BV] está em sombra. A nadas, enquanto que a face lateral [A base da pirâmide também está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada BVA C]. A sombra própria da pirâmide integra a face lateral [B A BV] e a base da pirâmide. Em projecção horizontal, ne[A nhuma das partes em sombra própria é visível, pelo que não há nenhuma sombra própria a assinalar. Já em projecção A BV] é visível, frontal, a base é invisível mas a face lateral [A pelo que é a única sombra própria a assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra – As2, Bs2 e Cs2 situam-se no SPFS e Vs1 situa-se no SPHA, pelo que a sombra projectaVv2). Em seguida, desenhou-se o da da pirâmide admite dois pontos de quebra – estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de V (V contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes) e identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

622.

Em primeiro lugar representou-se o tetraedro pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de A BC] do sólido. Em função dos dafrente) que contém a face [A O é o centro dos conclui-se que o ponto O tem 4 cm de cota (O de uma circunferência com 4 cm de raio que é tangente ao Plano Horizontal de Projecção). Em seguida, construiu-se o triângulo equilátero inscrito na circunferência, de acordo com os dados. O vértice D, do tetraedro, terá afastamento inferior ao do plano que contém o triângulo e situa-se na mesma projectante frontal de O, pelo que O2 ≡ D2 – em função do exposto, é possível desenhar imediatamente a projecção frontal do sólido, respeitando as suas invisibilidades. Como se trata de um tetraedro, todas as suas faces são triângulos equiláteros e as suas arestas A D], têm todas a mesma medida. Assim sendo, as arestas [A BD] e [C CD] medem o mesmo que qualquer dos lados do triân[B A BC]. Das três arestas [A AD], [B BD] e [C CD], apegulo equilátero [A AD] se projecta em V.G. no Plano Horizontal de nas a aresta [A Projecção, pois é horizontal (de nível). Assim sendo, com o recurso ao compasso, fazendo centro em A 1 e com raio igual ao A BC], determinou-se D1 na mesma linha de lado do triângulo [A chamada de O (situam-se na mesma projectante frontal), a partir do que se pôde desenhar a projecção horizontal do sólido. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura (note (Continua na página seguinte) 303

SOLUÇÕES

que a determinação da sombra de um tetraedro se processa de forma idêntica à exposta para as pirâmides). As rectas t e t’ são tangentes à A B C] nos pontos B e C, respectivamente – as arestas laterais [B BD] e [C CD] são, imediatamente, duas arestas da l i n h a s e p a r a t r i z face [A luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes ao sólido). Note que, nesta situação particular, um dos planos ABD] do tetraedro, pelo que esse plano tangente luz/sombra contém a face [A A B D] tangentes luz/sombra é o próprio plano que contém a face [A BD] produz sombra (rasante) sobre a totalidade da superfído sólido. Assim sendo, esta face está necessariamente em sombra, pois a aresta [B BD] e [C CD] separam a parte da superfície lateral do sólido que está iluminacie dessa face (ver exercício 598 e respectivo relatório). As arestas [B A BC] e [B B CD] estão iluminadas, enquanto da da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faces [A ABD] e [A ACD] estão em sombra (note que a face [A ABD] está em sombra pelo que acima se expôs). A linha separatriz luz/somque as faces [A bra é a linha quebrada fechada [B BDCA]. A sombra própria do tetraedro integra apenas as faces [A ABD] e [A ACD]. Em projecção frontal, todas ACD] é invisível, mas não as faces em sombra são invisíveis, pelo que não há sombras próprias a assinalar. Já em projecção horizontal, a face [A ABD] – a sombra própria visível resume-se à face [A ABD]. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha a face [A separatriz luz/sombra (considerando a direcção luminosa convencional). Cs1 e A s1 situam-se no SPHA e Ds2 e Bs2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do tetraedro tem dois pontos de quebra (um entre Cs1 e Ds2 e o outro entre Bs2 e A s1). O primeiro determinou-se com A B] do triângulo [A A B C] o recurso à sombra virtual de D – Dv1. O segundo determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o lado [A (que é frontal) e a sua sombra no Plano Frontal de Projecção (ver exercício 570 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

623.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. Na construção do quadrado da base da pirâmide é conveniente perceber que as suas diagonais são necessariamente de A BV] está contida topo e fronto-horizontal. Uma vez que a face lateral [A num plano projectante horizontal (um plano vertical), representou-se o plano pelos seus traços (plano α) e sabe-se que a projecção horizontal dessa face será um segmento de recta – um segmento de hα, sobre o qual se encontra, necessariamente, V1, com 11 cm de afastamento. Tendo em conta que a pirâmide tem 8 cm de altura e que a sua base tem 3 cm de cota, o vértice da pirâmide terá 11 cm de cota. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a , conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos A e C, AV] e [C CV] são, imediatamente, respectivamente – as arestas laterais [A duas arestas da linha separatriz luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes ao sólido). Note que, nesta situação particular, um dos planos tangentes luz/sombra é o próprio plano α A BV] da pirâmide), pelo que esse pla(o plano que contém a face lateral [A A BV] do sólido. Assim sendo, no tangente luz/sombra contém a face [A AV] produz esta face está necessariamente em sombra, pois a aresta [A sombra (rasante) sobre a totalidade da superfície dessa face (ver exercíAV] e [C CV] separam a parte da cio 598 e respectivo relatório). As arestas [A superfície lateral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (da esquerda, de trás e de cima), as faces ADV] e [C CDV] estão iluminadas, enquanto que as faces laterais laterais [A A BV] e [B B CV] estão em sombra. A base da pirâmide também está em [A sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A AVCD]. A sombra própria da pirâmide integra as faces laterais A BV] e [B B CV] e a base da pirâmide. Em projecção frontal, apenas a face [A A BV] é visível (a face lateral [B B CV] e a base são invisíveis em prolateral [A A BV]. Já em projecção horizontal, de todas as partes em somjecção frontal), pelo que a sombra própria visível a assinalar se resume à face [A B CV] é visível, pelo que é a única sombra própria a assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de bra apenas a face lateral [B V é um todos os vértices da linha separatriz luz/sombra (considerando a direcção luminosa convencional). Vs, a sombra de V, está no eixo X (V Vs é um ponto de quebra da sombra projectada da pirâmide). A s1, Ds1 e Vs ponto do β1/3), pelo que Vs pertence aos dois planos de projecção (V situam-se no SPHA e Cs2 e Vs situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide admite dois pontos de quebra. Um deles é Vs, CD] da base (que como atrás se referiu. O outro, que se situa entre Ds1 e Cs2, determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o lado [C é horizontal) e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

304

SOLUÇÕES

624.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da pirâmide, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. O vértice da pirâmide é visível em projecção horizontal, pelo que tem cota superior à base. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, o que se efectuou através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por V, um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz). 2. Determinou-se o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano da base – ponto I. 3. Note que o ponto I é interior à base, pelo que não há quaisquer rectas tangentes à base passando por I (todas as rectas que passam por I são secantes à base). Conclui-se, assim, que não há planos tangentes luz/sombra às arestas laterais da pirâmide – não há, portanto, quaisquer arestas laterais a separarem faces iluminadas de faces em sombra. Todas as faces laterais estão iluminadas ou em sombra. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), todas as faces laterais estão i l u m i n a d a s (toda a superfície lateral do sólido está iluminada). Uma vez que a base da pirâmide está necessariamente em sombra, a linha separatriz é a linha que delimita o quadrado da base – a linha separatriz luz/sombra é A B CD]. A sombra própria da pirâmide integra unicamente a base da pirâmi[A de. Em projecção horizontal, a base (que está em sombra) é invisível, pelo que não há lugar à representação de sombra própria. Em projecção frontal, a base é também invisível (é projectante frontal), pelo que também não há lugar à representação de sombra própria. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra (do quadrado da base) – A s 1, Cs 1 e Ds 1 situam-se no SPHA e B s 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide admite dois pontos de queA B] e bra (um entre A s 1 e B s 2 e o outro entre Cs 1 e B s 2). Estes determinaram-se atendendo às situações de paralelismo entre os segmentos [A B C] (que são horizontais) e as respectivas sombras no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). Após o de[B senho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme. Note que a sombra projectada da pirâmide corresponde à sombra projectada do quadrado da base.

625.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções da pirâmide, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. O vértice da pirâmide é invisível em projecção horizontal, pelo que tem cota inferior à base. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separ a t r i z l u z / s o m b r a, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, o que se efectuou através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por V, um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz). 2. Determinou-se o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano da base – ponto I. 3. Note que o ponto I é interior à base (à semelhança da situação do exercício anterior), pelo que também nesta situação não há quaisquer rectas tangentes à base passando por I (todas as rectas que passam por I são secantes à base). Conclui-se, portanto, que também não há planos tangentes luz/sombra às arestas laterais da pirâmide – não há, portanto, quaisquer arestas laterais a separarem faces iluminadas de faces em sombra. Todas as faces laterais estão iluminadas ou em sombra. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a base da pirâmide está necessariamente iluminada e todas as faces laterais estão sombreadas (toda a superfície lateral do sólido está sombreada – em sombra própria). Uma vez que a base da pirâmide está iluminada, a linha separatriz é a linha que delimita A B CD]. A sombra o quadrado da base – a linha separatriz luz/sombra é [A p r ó p r i a da pirâmide integra todas as faces laterais da pirâmide (toda a superfície lateral da pirâmide). Em projecção horizontal, a base (que está iluminada) é visível e todas as faces laterais (que estão em sombra) são invisíveis, pelo que não há lugar à representação de sombra própria. Em projecção frontal, a base é também invisível (é projectante frontal), mas as faces A DV] e [C CDV] são visíveis, pelo que a sombra própria a assinalar resume-se a estas faces. Em seguida, determinaram-se as somlaterais [A bras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra (do quadrado da base) – ver exercício anterior e respectivo relatório. Após o desenho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que também nesta situação, tal como no exercício anterior, a sombra projectada da pirâmide corresponde à sombra projectada do quadrado da base.

305

SOLUÇÕES

626.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de A’B’C’]. Em seguida, promaior afastamento do sólido, que é o triângulo [A cedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Por um ponto P, exterior ao sólido, conduziram-se duas rectas – uma recta r, paralela às arestas laterais do sólido (que são de topo), e um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz). Estas duas rectas definem um plano (o plano λ) que é paralelo aos planos tangentes luz/sombra (tem a orientação daqueles). 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano λ (o plano definido pelas rectas r e l ) com o Plano Frontal de Projecção (o plano da base de referência) – a recta i. A recta i está definida pelos pontos I e I’ que são os pontos de intersecção das rectas r e l, respectivamente, com o Plano Frontal de Projecção (o plano da base de referência). Note que, nesta situação, os pontos I e I’ são imediatamente os traços frontais das rectas r e l, respectivamente, assim como a recta i é imediatamente o traço frontal do plano definido por aquelas rectas. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base que são paralelas à recta i – t e t’. Estas são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra (os planos λ1 e λ2) com o Plano Frontal de Projecção (o plano da base de referência).

4. As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência nos AA’] e [B BB’] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas pontos A e B, respectivamente – as arestas laterais [A AA’] e [B BB’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [A AA’] e [B BB’] separam laterais [A a parte da superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), AA’C’C] e [B BB’C’C] estão iluminadas, enquanto que a face lateral [A AA’B’B] está em sombra. A base de menor afastamento do as faces laterais [A prisma também está em sombra e a sua base de maior afastamento está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A AA’B’BC]. A sombra própria do prisma integra a face lateral [A AA’B’B] e a base de menor afastamento do prisma. Em projecção fronAA’B’B] é invisível (é projectante frontal), bem como a base de menor afastamento, pelo que não há qualquer sombra própria a tal, a face lateral [A AA’B’B] é igualmente invisível, bem como a base de menor afastamenassinalar em projecção frontal. Já em projecção horizontal, a face lateral [A to (é projectante horizontal), pelo que também não há qualquer sombra própria a assinalar em projecção horizontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. As2 ≡ A2, Bs2 ≡ B2 e Cs2 ≡ C2, pois A, B e C são pontos do Plano Frontal de Projecção. As2, Bs2 e Cs2 situam-se no SPFS e A’s1 e B’s1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra (um entre As2 e A’s1 e o outro entre Bs2 e B’s1). Estes determinaram-se atendendo às situações de paralelismo entre as arestas AA’] e [B BB’] e as respectivas sombras no Plano Horizontal de Projecção, pois trata-se de segmentos de recta de topo (ver exercício 547 laterais [A e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme. Note que a porção de sombra que está por baixo da base de menor afastamento está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

627.

Em primeiro lugar representaram-se o prisma e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano A’B’C’]. Em seguida, procedeu-se à determinação da frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do sólido, que é o triângulo [A linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por L, uma recta i, paralela às arestas laterais do sólido (a recta i é a recta de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra e é uma recta de topo). 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o Plano Frontal de Projecção (o plano da base de referência) – o ponto I (note que o ponto I é imediatamente o traço frontal da recta i, pois a base de menor afastamento do prisma está contida no Plano Frontal de Projecção). 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base de menor afastamento (a base de referência), t e t’.

Note que estas são, imediatamente, os traços frontais dos dois planos tangentes luz/sombra. 4. As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à AA’] e [C CC’] são, imediatamente, base de referência (a base de menor afastamento) nos pontos A e C, respectivamente – as arestas laterais [A AA’] e [C CC’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangenduas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas laterais [A AA’] e [C CC’] separam a parte da superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra tes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [A AA’C’C] é a única face lateral iluminada, enquanto que as faces laterais – dada a proveniência da luz (do foco luminoso), a face lateral [A AA’B’B] e [B BB’C’C] estão em sombra. A base de menor afastamento do prisma (a base [A A BC]) também está em sombra e a sua base de [A A’B’C’]) está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A AA’B’C’C]. A sommaior afastamento (a base [A bra própria do prisma integra as faces [A AA’B’B] e [B BB’C’C] e a base de menor afastamento do prisma (a base [A A BC]). Em projecção frontal, as faces laterais são todas invisíveis (são projectantes frontais), bem como a base de menor afastamento, pelo que não há lugar à representaBB’C’C] é visíção de sombra própria em projecção frontal. Já em projecção horizontal, de todas as partes em sombra apenas a face lateral [B vel, pelo que é a única sombra própria a assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz (Continua na página seguinte) 306

SOLUÇÕES

luz/sombra. A s2 ≡ A 2 e Cs2 ≡ C2, pois A e C são pontos do Plano Frontal de Projecção. A s2, Cs2 e C’s2 situam-se no SPFS e A’s1 e B’s1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra (um entre A s2 e A’s1 e o outro entre C’s2 e B’s1). O primeiro determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre a aresta lateAA’] e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção, pois trata-se ral [A de um segmento de recta de topo (ver exercício 547 e respectivo relatório). O segundo determinou-se atendendo à situação de paralelismo enB’C’] (que é frontal) e a sua sombra no Plano Frontal de tre o segmento [B Projecção (ver exercício 570 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. Note que a porção de sombra que está por baixo da base de menor afastamento está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

628.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que A’B’C’D’]. contém a base superior do sólido, que é o quadrado [A Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 626, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra está definido por uma recta v, vertical (paralela às arestas laterais do prisma) e por um raio luminoso l. Note que, nesta situação, em que a base inferior do prisma está contida no Plano Horizontal de Projecção, a recta i é o traço horizontal desse plano (II e I’ são os traços horizontais das rectas v e l, respectivamente), tal como as rectas t e t’ são os traços horizontais dos planos tangentes luz/sombra – as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o Plano Horizontal de Projecção (o plano que contém a base inferior do sólido). As rectas t e t ’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base inferior) nos pontos A e C, respectivamente – A A ’] e [C CC’] são, imediatamente, duas aresas arestas laterais [A A A ’] e tas da linha separatriz luz/sombra. As arestas laterais [A CC’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [A A A ’] e [C CC’] separam a parte da [C superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faA A ’ B ’ B] e [B BB’C’C] estão iluminadas, enquanto que as faces laterais [A AA’D’D] e [C CC’D’D] estão em sombra. A base inferior do ces laterais [A prisma também está em sombra e a sua base superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada AA’D’C’CB]. A sombra própria do prisma integra as faces laterais [A AA’D’D] e [C CC’D’D] e a base inferior do prisma. Em projecção frontal, a [A AA’D’D] é invisível, bem como a base inferior (é projectante frontal) – a sombra própria a assinalar em projecção frontal resumeface lateral [A CC’D’D] (a única face em sombra que é visível em projecção frontal). Já em projecção horizontal, todas as faces laterais -se à face lateral [C são invisíveis (são projectantes horizontais), bem como a base inferior – apenas a base superior é visível e está iluminada, pelo que não há (Continua na página seguinte) 307

SOLUÇÕES

qualquer sombra própria a assinalar em projecção horizontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da l i n h a separatriz luz/sombra. A s 1 ≡ A 1, B s 1 ≡ B 1 e Cs 1 ≡ C1, pois A , B e C são pontos do Plano Horizontal de Projecção. A s 1, B s 1, Cs 1 e C’s 1 situam-se no SPHA e A’s 2 e D’s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra (um entre A s 1 A A ’] e a sua sombra no e A’s 2 e o outro entre D’s 2 e C’s 1). O primeiro determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o segmento [A Plano Frontal de Projecção, pois trata-se de um segmento de recta vertical, que é um caso particular dos segmentos de recta frontais (ver exercício 545 e respectivo relatório). O segundo ponto de quebra determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o segmento C’D’] e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra [C (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a porção de sombra que está por baixo da base inferior está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

629.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do sólido. O plano ν’ é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do prisma, que é o quadraA’B’C’D’]. Em seguida, procedeu-se à determido [A nação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a , o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Por um ponto P , exterior ao sólido, conduziram-se duas rectas – uma recta v, paralela às arestas laterais do sólido (que são verticais), e um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz). Estas duas rectas definem um plano (o plano λ) que é paralelo aos p l a n o s t a n g e n t e s luz/sombra (tem a orientação daqueles). 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano λ (o plano definido pelas rectas v e l ) com o plano ν (o plano da base de referência, que é a base inferior) – a recta i. A recta i está definida pelos pontos I e I’ que são os pontos de intersecção das rectas v e l, respectivamente, com o plano ν (o plano da base de referência). 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base que são paralelas à recta i – t e t’. Estas são as rectas de intersecção dos p l a n o s t a n g e n t e s luz/sombra (os planos λ1 e λ2) com o plano ν (o plano da base de referência). 4. As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência nos pontos A e C, respectivamente – as arestas laterais A A ’] e [C CC’] são, imediatamente, duas arestas da [A l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a . As arestas laterais A A ’] e [C CC’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. Note que este exercício é semelhante [A ao anterior, sendo a única diferença o facto de a base de menor cota não estar contida no Plano Horizontal de Projecção mas, sim, num plano horizontal (de nível) com 3 cm de cota. Nesse sentido, as sombras projectadas dos pontos A , B e C já não estão coincidentes com os próprios pontos (e as suas projecções horizontais), pois aqueles pontos já não pertencem ao Plano Horizontal de Projecção. B s 1 e Cs 1 situam-se no SPHA e A s 2, A’s 2, D’s 2 e C’s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra (um entre A s 2 e B s 1 e o outro entre C’s 2 e Cs 1). O primeiro determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o segmento [A A B] e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). O segundo ponto de quebra determinou-se atendendo à situaA A ’] e a sua sombra no Plano Frontal de Projecção, pois trata-se de um segmento de recta vertical, ção de paralelismo entre o segmento [A que é um caso particular dos segmentos de recta frontais (ver exercício 545 e respectivo relatório). No que respeita à sombra própria visível, este exercício é semelhante ao anterior, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. No que respeita à sombra projectada, após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes.

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SOLUÇÕES

630.

Em primeiro lugar representaram-se o prisma e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do sólido, que é o hexáA’B’C’D’E’F’]. Em seguida, progono [A cedeu-se à determinação da l i n h a separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a , conforme exposto no relatório do exercício 627, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base de menor afastamento) nos pontos C e E, respectivamente – CC’] e [E EE’] são, as arestas laterais [C imediatamente, duas arestas da l i n h a separatriz luz/sombra. As arestas laCC’] e [E EE’] são as arestas seterais [C gundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As CC’] e [E EE’] separam a parte arestas [C da superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (do foco luminoso), as faces laterais C C ’ D ’ D ] e [D D D ’ E ’ E ] estão ilumina[C das, enquanto que as faces laterais B B ’ C ’ C ], [A A A ’ B ’ B ], [A AA’F’F] e [B EE’F’F] estão em sombra. A base de menor afastamento do prisma (a base [A A B CDEF]) também está em sombra e a sua base de maior [E CC’B’A’F’E’ED].

A’B’C’D’E’F’]) está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [C afastamento (a base [A BB’C’C], [A A A ’ B ’ B], [A AA’F’F] e [E EE’F’F] e a base de menor afastamento do prisma (a base A sombra própria do prisma integra as faces [B A B CDEF]). Em projecção frontal, as faces laterais são todas invisíveis (são projectantes frontais), bem como a base de menor afastamento, [A pelo que não há lugar à representação de sombra própria em projecção frontal. Já em projecção horizontal, de todas as partes em sombra EE’F’F] e [A AA’F’F] são visíveis, pelo que a sombra própria a assinalar se resume àquelas faces (a base [A A B CDEF] apenas as faces laterais [E é projectante horizontal). Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. Cs 2 ≡ C2, Ds 2 ≡ D2 e Es 2 ≡ E2, pois C, D e E são pontos do Plano Frontal de Projecção. B’s 1 ≡ B’1, pois B’ é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Cs 2, Ds 2, Es 2, E’s 2 e F’s 2 situam-se no SPFS e C’s 1, B’s 1 e A’s 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra (um entre Cs 2 e C’s 1 e o outro entre A’s 1 e F’s 2). O primeiro determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre a CC’] e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção, pois trata-se de um segmento de recta de topo (ver exercício 547 e aresta lateral [C A’F’] (que é frontal) e a sua sombra respectivo relatório). O segundo determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o segmento [A no Plano Frontal de Projecção (ver exercício 570 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. Note que a porção de sombra que está por baixo da base de menor afastamento está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

631.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cubo, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a A B CD]. O plano ν’, situado 5 cm acima do plano ν (a medida da aresta do cubo), é o plano horizontal face inferior do sólido – o quadrado [A A’B’C’D’]. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z (de nível) que contém a face superior do sólido – o quadrado [A luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 629, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a face inferior) nos pontos A A A ’] e [C CC’] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas [A A A ’] e [C C C ’] e C, respectivamente – as arestas [A A A ’] e [C CC’] separam a parte da susão as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [A perfície lateral do cubo que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faces AA’D’D] e [C CC’D’D] estão iluminadas, enquanto que as faces [A A A ’ B ’ B] e [B BB’C’C] estão em sombra. A face inferior do cubo também está [A AA’B’C’CD]. A somem sombra e a sua face superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A bra própria do cubo integra as faces [A A A ’ B ’ B], [B BB’C’C] e [A A B CD]. Em projecção frontal, a face [A A A ’ B ’ B] é invisível, bem como a face (Continua na página seguinte) 309

SOLUÇÕES

A B CD] (que é projectante frontal) – a sombra própria a [A B B ’ C ’ C] assinalar em projecção frontal resume-se à face [B (a única face em sombra que é visível em projecção frontal). Já em projecção horizontal, todas as faces verticais são invisíveis (são projectantes horizontais), bem como a face inferior – apenas a face superior (o quadrado A’B’C’D’]) é visível e está iluminada, pelo que não há [A qualquer sombra própria a assinalar em projecção horizontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a .

A s 2 ≡ A 2 e A’s 2 ≡ A’2, pois A e A’ são pontos do Plano Frontal de Projecção. Cs 1 e Ds 1 situam-se no SPHA e A s 2, A’s 2, B’s 2 e C’s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do cubo admite dois pontos de quebra (um entre A s 2 e Ds 1 e o outro entre C’s 2 e Cs 1). O primeiro determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre A D] e a sua sombra no Plano Horizontal de o segmento [A Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). O segundo ponto de quebra determinou-se atendendo à CC’] e a sua situação de paralelismo entre o segmento [C sombra no Plano Frontal de Projecção, pois trata-se de um segmento de recta vertical, que é um caso particular dos segmentos de recta frontais (ver exercício 545 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

632.

Em primeiro lugar representaram-se o cubo e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a face inferior do sólido A BCD]. O plano ν’ é o plano horizontal (de nível) – o quadrado [A A’B’C’D’]. que contém a face superior do sólido – o quadrado [A Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por L , uma recta i, paralela às arestas verticais do sólido (a recta i é a recta de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra e é uma recta vertical). 2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta i com o plano ν (o plano da face de referência) – o ponto I. 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à face inferior do cubo (a face de referência) – as rectas t e t ’ . 4. As rectas t e t ’ são tangentes (ou rasantes) à face de referência (a face inferior) nos pontos B e D, BB’] e [D DD’] são, imediatamente, respectivamente – as arestas [B B B ’] e duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas [B DD’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tan[D BB’] e [D DD’] separam gentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [B a parte da superfície lateral do cubo que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (do foco luminoBB’C’C] e [C CC’D’D] estão iluminadas, enquanto so), as faces [B AA’B’B] e [A AA’D’D] estão em sombra. A face infeque as faces [A A BCD]) também está em sombra e a sua face rior (o quadrado [A A’B’C’D’]) está iluminada, pelo que a l isuperior (o quadrado [A nha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada B B ’ A ’ D ’ D C ]. A s o m b r a p r ó p r i a do cubo integra as faces [B AA’B’B] e [A AA’D’D] e a face inferior (a face [A A BCD]). Em pro[A jecção frontal, as faces laterais em sombra são invisíveis, bem como a face inferior (é projectante frontal), pelo que não há lugar à representação de sombra própria em projecção frontal. Em (Continua na página seguinte)

310

SOLUÇÕES

projecção horizontal, todas as faces verticais são invisíveis (são projectantes horizontais) e a face inferior também é invisível, pelo que também não há lugar à representação de sombra própria em projecção horizontal (todas as faces em sombra são invisíveis em projecção horizontal).

Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. A’s2 ≡ A’2, pois A’ é um ponto do Plano Frontal de Projecção. Note que os raios luminosos que passam por B e B’ são de perfil, pelo que, de forma directa, não é possível determinar as sombras de B e B (as projecções de rectas de perfil não verificam o Critério de reversibilidade). Assim, para determinar as sombras de B e B’ é necessário um processo geométrico auxiliar – optou-se por rebater os raios luminosos l e l’ que por eles passam, rebatendo o plano de perfil que os contém (o plano π). Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. O raio luminoso l, rebatido, fica B’s r). O raio luminoso l’, rebatido, fica definido por definido por L r e B’r – o traço frontal de l, em rebatimento, é a sombra real de B’ rebatida (B L r e B r – o traço frontal de l’, em rebatimento, é a sombra real de B rebatida (B B s r). Inverteu-se o rebatimento, obtendo B s 2 e B’s 2. B s 2, B’s 2, A’s 2 e D’s 2 situam-se no SPFS e Ds 1 e Cs 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do cubo admite dois pontos de quebra (um DD’] e a sua somentre D’s 2 e Ds 1 e o outro entre Cs 1 e B s 2). O primeiro determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre a aresta [D bra no Plano Frontal de Projecção, pois trata-se de um segmento de recta vertical, que é um caso particular dos segmentos de recta frontais (de frente) – ver exercício 545 e respectivo relatório. O segundo ponto de quebra determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre B C] (que é horizontal) e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). Após o deseo segmento [B nho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme.

633.

Em primeiro lugar representou-se o paralelepípedo pelas suas projecções, em função dos A BCD] repredados. Para construir o rectângulo [A A C], determinando-se, em sentou-se a diagonal [A seguida, o seu ponto médio. Com o compasso, A C] e raio até fazendo centro no ponto médio de [A A 1 ou C1, desenhou-se a circunferência circunscrita ao rectângulo. O ponto B será o ponto da circunferência que satisfaça as condições dadas – o A B] faz um ângulo de 45o (a.e.) com o eixo lado [A X. Determinado o ponto B , por este é possível conduzir a outra diagonal do rectângulo (que pasA C]), em cujo sa pelo ponto médio da diagonal [A extremo se situa o vértice D do polígono. Em seguida, desenharam-se as projecções do paralelepípedo, em função da sua altura, assinalando-se convenientemente as arestas invisíveis. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a , conforme exposto no relatório do exercício 626, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra está definido por uma recta v, vertical (paralela às arestas verticais do sólido) e por um raio luminoso l. Note que, nesta situação, em que a base inferior do sólido está contida no Plano Horizontal de Projecção, a recta i é o traço horizontal desse plano (II e I’ são os traços horizontais das rectas v e l, respectivamente), tal como as rectas t e t’ são os traços horizontais dos planos tangentes luz/sombra – as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o Plano Horizontal de Projecção (o plano que contém a base inferior do sólido). As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referênBB’] e [C CC’] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz cia (a base inferior) nos pontos B e C, respectivamente – as arestas laterais [B luz/sombra. As arestas laterais [B BB’] e [C CC’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. Note AA’B’B] do paralelepípedo e o outro plano que, nesta situação particular, um dos planos tangentes luz/sombra é o plano que contém a face [A CC’D’D] do sólido. Assim sendo, estas duas faces estão necessariamente em sombra – a aresta [B B B ’] tangente luz/sombra contém a face [C AA’B’B] e a aresta [C CC’] produz sombra (rasante) sobre a totalidade da produz sombra (rasante) sobre a totalidade da superfície da face [A CC’D’D] (ver exercício 598 e respectivo relatório, bem como os exercícios 622 e 623). Dada a proveniência da luz (de cima, superfície da face [C AA’B’B], [A AA’D’D] e [C CC’D’D] estão em, sombra, enquanto que a face lateral da esquerda e de trás), e em função do exposto, as faces laterais [A BB’C’C] é a única face iluminada do sólido. A base inferior do paralelepípedo também está em sombra e a sua base superior está iluminada, [B BB’A’D’C’C]. A sombra própria do paralelepípedo integra as faces latepelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [B AA’B’B], [A AA’D’D] e [C CC’D’D], bem como a base inferior. Em projecção frontal, as faces laterais [A AA’B’B] e [A AA’D’D] são invisíveis, bem rais [A A BCD] (que é projectante frontal) – a sombra própria a assinalar em projecção frontal resume-se à face [C CC’D’D] (a única face como a base [A em sombra que é visível em projecção frontal). Já em projecção horizontal, todas as faces laterais são invisíveis (são projectantes horizontais), A’B’C’D’]) é visível e está iluminada, pelo que não há qualquer sombra próbem como a base inferior – apenas a base superior (o rectângulo [A pria a assinalar em projecção horizontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra.

(Continua na página seguinte) 311

SOLUÇÕES

A’s 2 ≡ A’2, pois A’ é um ponto do Plano Frontal de Projecção. B s 1 ≡ B 1 e Cs 1 ≡ C1, pois B e C são pontos do Plano Horizontal de Projecção.

B s 1, Cs 1 e C’s 1 situam-se no SPHA e B’s 2, A’s 2 e D’s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do paralelepípedo admite dois pontos de quebra (um entre B’s 2 e B s 1 e o outro entre C’s 1 e D’s 2). O primeiro determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o segBB’] e a sua sombra no Plano Frontal de Projecção, pois trata-se de um segmento de recta vertical, que é um caso particular dos mento [B segmentos de recta frontais (ver exercício 545 e respectivo relatório). O segundo ponto de quebra determinou-se atendendo à situação de C’D’] e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). Após o paralelismo entre o segmento [C desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a porção de sombra que está por baixo da base de menor afastamento está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

634.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afasA B CDE]). O tamento do sólido (que é o pentágono [A plano ϕ’ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do prisma (que é o pentáA’B’C’D’E’]). Em seguida, procedeu-se à degono [A terminação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 626, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que, nesta situação, em que a base de referência do prisma (a sua base de menor afastamento) não está contida no Plano Frontal de Projecção, a recta i é não o traço frontal do plano definido por r e l, tal como as rectas t e t’ também não são os traços frontais dos planos tangentes luz/sombra – as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano ϕ. Note ainda que a direcção luminosa dada não é a direcção convencional. As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base de menor afastamento) nos pontos D e B, respectivamente – as arestas lateDD’] e [B B B ’] são, imediatamente, duas arestas rais [D da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a. As arestas laterais DD’] e [B BB’] separam a DD’] e [B BB’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [D [D parte da superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da direita e de trás), CC’D’D] e [B BB’C’C] estão iluminadas, enquanto que as faces laterais [A A A ’ B ’ B], [A AA’E’E] e [D DD’E’E] estão em sombra. A as faces laterais [C base de menor afastamento do prisma também está em sombra e a sua base de maior afastamento está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [B BB’A’E’D’DC]. A sombra própria do prisma integra as faces laterais [A A A ’ B ’ B], [A A A ’ E ’ E] e DD’E’E] e a base de menor afastamento do prisma. Em projecção horizontal, as faces laterais [A A A ’ B ’ B] e [A AA’E’E] são invisíveis, bem [D como a base de menor afastamento (é projectante horizontal) – a sombra própria a assinalar em projecção horizontal resume-se à face lateDD’E’E] (a única face em sombra que é visível em projecção horizontal). Já em projecção frontal, todas as faces laterais são invisíveis ral [D (são projectantes frontais), bem como a base de menor afastamento – apenas a base de maior afastamento é visível e está iluminada, pelo que não há qualquer sombra própria a assinalar em projecção frontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da lin ha separatriz luz/sombra. A’s 1 ≡ A’1, pois A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. As sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do prisma não admite pontos de quebra. Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

312

SOLUÇÕES

635.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido. Note que as arestas laterais, por estarem contidas em rectas frontais (paralelas ao Plano Frontal de Projecção), se projectam em V.G. no Plano Frontal de Projecção. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes l u z / s o m b r a, conforme exposto no relatório do exercício 629, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra está definido por uma recta f, frontal (de frente), paralela às arestas laterais do prisma, e por um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz). As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base inferior) nos pontos A e C, respectivamente – as arestas laterais [A AA’] e [C CC’] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas laterais [A AA’] AA’] e [C CC’] separam a parte da CC’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [A e [C superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faces AA’B’B] e [B BB’C’C] estão em sombra, enquanto que a face lateral [A AA’C’C] é a única face lateral iluminada. A base inferior do prisma laterais [A AA’B’C’C]. também está em sombra e a sua base superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A AA’B’B] e [B BB’C’C] e a base inferior do prisma. Em projecção frontal, a face lateral A sombra própria do prisma integra as faces laterais [A AA’B’B] é invisível, bem como a base inferior (é projectante frontal) – a sombra própria a assinalar em projecção frontal resume-se à face lateral [A BB’C’C] (a única face em sombra que é visível em projecção frontal). Já em projecção horizontal, a face lateral [A AA’B’B] é invisível (é projectan[B BB’C’C] – apenas a base superior e a face lateral [A AA’C’C] são visíveis e estão iluminate horizontal), bem como a base inferior e a face lateral [B das, pelo que não há qualquer sombra própria a assinalar em projecção horizontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. As ≡ A1 e Cs1 ≡ C1, pois A e C são pontos do Plano Horizontal de Projecção (note que A é um ponto do eixo X). A’s2 ≡ A’2 e B’s2 ≡ B’2, pois A’ e B’ são pontos do Plano Frontal de Projecção. As, Cs1 e C’s1 situam-se no SPHA e A’s2 e B’s2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra. Um deles é o próprio As. O outro (o que se situa entre C’s1 e B’s2) B’C’] e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o segmento [B e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a porção de sombra que está por baixo da base inferior está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a AA’B’B], que está contida no Plano Frontal de Projecsombra). O mesmo acontece com a porção de sombra que está por baixo da face lateral [A ção – essa porção de sombra está oculta pelo sólido.

636.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do sólido. O plano ν’, que dista 5 cm (a altura do prisma) do plano ν, é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 629, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra está definido por uma recta r, oblíqua, paralela às arestas laterais do prisma, e por um raio luminoso l (com a direcção luminosa dada) As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base inferior) nos pontos A e C, respectivamente – as arestas laterais [A A A ’] e [C CC’] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas laterais A A ’] e [C CC’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [A A A ’] e [C CC’] separam a [A parte da superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de A A ’ B ’ B] e [B BB’C’C] estão iluminadas, enquanto que as faces laterais [A AA’D’D] e [C CC’D’D] estão em sombra. A base lado), as faces laterais [A inferior do prisma também está em sombra e a sua base superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A AA’D’C’CB]. A sombra própria do prisma integra as faces laterais [A AA’D’D] e [C CC’D’D] e a base inferior do prisma. Em projecAA’D’D] é invisível, bem como a base inferior (é projectante frontal) – a sombra própria a assinalar em projecção ção frontal, a face lateral [A CC’D’D] (a única face em sombra que é visível em projecção frontal). Já em projecção horizontal, tanto as frontal resume-se à face lateral [C AA’D’D] e [C CC’D’D] são invisíveis, como a base inferior, pelo que não há qualquer sombra própria a assinalar em projecção faces laterais [A horizontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. A s2 ≡ A 2, pois A é um ponto do Plano Frontal de Projecção. A’s 2 situa-se no SPFS e as sombras dos restantes vértices da linha separatriz luz/sombra situam-se no (Continua na página seguinte) 313

SOLUÇÕES

SPHA. Uma vez que se trata de uma direcção luminosa frontal (de frente), a situação que se observa é idêntica à do exercício 573 – o ponto A produz sombra ao longo do raio luz/sombra que por ele passa, depois de ter sido transformado em raio de sombra, até ao eixo X (ver exercício 573 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

637.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do sólido (que é o hexágono A B C D E F ]). O plano ϕ’ é o plano frontal (de [A frente) que contém a base de maior afastamento A’B’C’D’E’F’]). do prisma (que é o hexágono [A Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos t a n g e n t e s l u z / s o m b r a, conforme exposto no relatório do exercício 626, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que, nesta situação, em que a base de referência do prisma (a sua base de menor afastamento) não está contida no Plano Frontal de Projecção, a recta i é não o traço frontal do plano definido por r e l, tal como as rectas t e t’ também não são os traços frontais dos planos tangentes luz/sombra. Note que a recta i é necessariamente uma recta fronto-horizontal – tal justifica-se pelo facto de o plano definido pelas rectas r (paralela às arestas laterais do prisma) e l (o raio luminoso) ser um plano de rampa paralelo ao β 1/3 . Note que as arestas laterais do prisma são paralelas ao β1/3 (Continua na página seguinte) 314

SOLUÇÕES

(as suas projecções fazem, com o eixo X, ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura), tal como a direcção luminosa (a direcção convencional da luz) – o plano definido por duas rectas concorrentes paralelas ao β1/3 é necessariamente paralelo ao β1/3. As rectas t e t’ (que são fronto-horizontais, pois são paralelas à recta i) são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base de menor afastamento) nos pontos A e D, respectivamente – as arestas laterais [A AA’] e [D DD’] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas laterais AA’] e [D DD’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [A AA’] e [D DD’] separam a par[A te da superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), as AA’F’F], [E EE’F’F] e [D DD’E’E] estão iluminadas, enquanto que as faces laterais [A AA’B’B], [B BB’C’C] e [C CC’D’D] estão em sombra. faces laterais [A A base de menor afastamento do prisma também está em sombra e a sua base de maior afastamento está iluminada, pelo que a linha separaAA’B’C’D’DEF]. A sombra própria do prisma integra as faces laterais [A AA’B’B], [B B B ’ C ’ C] e triz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A CC’D’D] e a base de menor afastamento do prisma. Em projecção horizontal, a face lateral [A AA’B’B] é invisível, bem como a base de menor [C BB’C’C] e [C CC’D’D]. afastamento (é projectante horizontal) – a sombra própria a assinalar em projecção horizontal resume-se às faces laterais [B AA’B’B] é visível (as outras duas faces laterais em sombra Já em projecção frontal, de todas as faces laterais em sombra, apenas a face lateral [A são invisíveis, bem como a base de menor afastamento), pelo que aquela face lateral é a única sombra própria a assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. As1 e A’s1 situam-se no SPHA e Fs2, Es2, Ds2, D’s2, C’s2 e B’s2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra (um entre Fs2 e A s1 e outro entre A’s1 e B’s2).

AF] e [A A’B’] e as respectivas sombras no Plano Frontal de Estes determinaram-se atendendo à situação de paralelismo entre os segmentos [A Projecção (ver exercício 570 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

638.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do sólido (que é o A B C]). O plano ϕ’ é o plano frontal triângulo [A (de frente) que dista 5 cm (a altura do prisma) do plano ϕ e é o plano que contém a base de maior afastamento do prisma (que é o triânA ’ B ’ C ’ ]). Em seguida, procedeu-se à gulo [A determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a , conforme exposto no relatório do exercício 626 , pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto P é o ponto pelo qual se conduziram uma recta h , paralela às arestas laterais do prisma, e um raio luminoso l – a recta i é a recta de intersecção do plano definido pelas rectas h e l com o plano ϕ (o plano da base de menor afastamento do prisma – a base de referência). As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base de menor afastamento) nos pontos A e B , respectivaA A ’] e [B BB’] são, mente – as arestas laterais [A imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas laterais [A A A ’] e [B BB’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido.

A A ’] e [B BB’] separam a parte da superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência As arestas [A AA’C’C] e [B BB’C’C] estão iluminadas, enquanto que a face lateral [A A A ’ B ’ B] está da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faces laterais [A em sombra. A base de menor afastamento do prisma também está em sombra e a sua base de maior afastamento está iluminada, pelo que A A ’ B ’ BC]. A sombra própria do prisma integra a face lateral [A A A ’ B ’ B] e a a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A A A ’ B ’ B] é invisível, bem como a base de menor afastamento base de menor afastamento do prisma. Em projecção horizontal, a face lateral [A (é projectante horizontal) – não há qualquer sombra própria a assinalar em projecção horizontal. Já em projecção frontal, a face lateral A A ’ B ’ B] é igualmente invisível, bem como a base de menor afastamento, pelo que também não há qualquer sombra própria a assinalar. Em [A seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. A s 1, A’s 1 e B’s 1 situam-se no SPHA e Cs 2 e B s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra (um entre A s 1 e Cs 2 e outro entre B’s 1 e B s 2). O primeiro determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o segmento [A A C] e a sua sombra no Plano Frontal de Projecção BB’] e a sua (ver exercício 570 e respectivo relatório). O segundo determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o segmento [B sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme.

315

SOLUÇÕES

639.

Em primeiro lugar representaram-se o prisma e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados.

Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a, conforme exposto no relatório do exercício 627, pelo que se aconselha a sua leitura.

Note que, nesta situação, e uma vez que o foco luminoso L se situa no plano ϕ’ (o plano que contém a base de maior afastamento do prisma), se considerou que a base de referência é a b a s e d e m a i o r afastamento do prisma. Tal implica que o foco luminoso L seja, imediatamente, o ponto I – o ponto de intersecção do plano ϕ’ (o plano da base de referência) com a recta paralela às arestas laterais do prisma (a recta h). As rectas t e t’ (que passam por I) são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base de menor afastamento) nos pontos B ’ e C ’ , respectivaBB’] e [C C C ’] mente – as arestas laterais [B são, imediatamente, duas arestas da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a. As arestas B B ’ ] e [C C C ’ ] são as arestas laterais [B segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As BB’] e [C CC’] separam a parte da arestas [B superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (do foco luminoso), A A ’ B ’ B] e [A AA’C’C] estão em sombra, enquanto que a face lateral [B BB’C’C] é a única face lateral iluminada. Já no que resas faces laterais [A peita às bases, a base de menor afastamento está necessariamente em sombra e a base de maior afastamento também – uma vez que o A’B’C’] do prisma, e em função dos planos tangentes luz/sombra, conclui-se que o lado [B B’C’] do foco luminoso se situa no plano da base [A triângulo produz sombra ao longo de toda a superfície da base. À semelhança do exposto nos exercícios 622 e 623 (referentes a uma direcA’B’C’] também contém a fonte luminosa (o foco luminoso), pelo que se ção luminosa), também nesta situação o plano que contém a base [A trata de um plano luminoso – ambas as faces do triângulo (caso se tratasse de uma figura plano – ver exercício 598 e respectivo relatório) BB’C’C] (ou seja, corresponde ao estão necessariamente em sombra. Assim, a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [B AA’C’C] e [A A A ’ B ’ B] e as duas bases do contorno da única face iluminada do sólido). A sombra própria do prisma integra as faces laterais [A AA’C’C] é visível (que está em sombra), bem como a base [A A’B’C’] (que também está prisma. Em projecção frontal, apenas a face lateral [A em sombra), pelo a sombra própria visível em projecção frontal corresponde à totalidade das partes visíveis do sólido (note que a única face BB’C’C], que é invisível em projecção frontal). Já em projecção horizontal, a única face visível do sólido iluminada do sólido é a face lateral [B BB’C’C], que está iluminada (as faces laterais em sombra são invisíveis em projecção horizontal, tal como as duas bases, é a face lateral [B que são projectantes horizontais) – não há qualquer sombra própria visível em projecção horizontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. Bs 2 e Cs 2 situam-se no SPFS e C’s 1 e B’s 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra (um entre Cs 2 e C’s 1 e o outro entre B’s 1 e B s 2). Estes determinaram-se atenBB’] e [C CC’] e as respectivas sombras no Plano Horizontal de Projecção, pois dendo às situações de paralelismo entre as arestas laterais [B trata-se de segmentos de recta de topo (ver exercício 547 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as A’s 1), mas tal foi desnecessário, pois não é indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que se determinou a sombra real de A’ (A um vértice da linha separatriz luz/sombra – a sua determinação teve a ver com a demonstração de que a sombra de A’ não é um vértice da sombra projectada do sólido.

316

SOLUÇÕES

640.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inA B CD]). As ferior do sólido (que é o quadrado [A arestas laterais do prisma são paralelas ao β1/3, pelo que as suas projecções fazem, com o eixo X , ângulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. O plano ν’ é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do prisma (que é A’B’C’D’]) – o plano ν’ dista 5 cm (a o quadrado [A altura do prisma) do plano ν. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a , conforme exposto no relatório do exercício 626, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que a recta i é necessariamente uma recta fronto-horizontal – tal justifica-se pelo facto de o plano definido pelas rectas r (a recta paralela às arestas laterais do prisma) e l (o raio luminoso) ser um plano de rampa paralelo ao β1/3. Note que as arestas laterais do prisma são paralelas ao β1/3, tal como a direcção luminosa (a direcção convencional da luz) – o plano definido por duas rectas concorrentes paralelas ao β1/3 é necessariamente paralelo ao β1/3. As rectas t e t’ (que são fronto-horizontais, pois são paralelas à recta i ) são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base inferior) nos pontos A e C , respectivaA A ’] e [C CC’] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas laterais [A A A ’] e [C C C ’] mente – as arestas laterais [A A A ’] e [C CC’] separam a parte da susão as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [A perfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faces A A ’ B ’ B] e [B BB’C’C] estão iluminadas, enquanto que as faces laterais [A AA’D’D] e [C CC’D’D] estão em sombra. A base inferior do laterais [A prisma também está em sombra e a sua base superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada AA’D’C’CB]. A sombra própria do prisma integra as faces laterais [A AA’D’D] e [C CC’D’D] e a base inferior do prisma. Em projecção horizon[A CC’D’D] é invisível, bem como a base inferior – a sombra própria a assinalar em projecção horizontal resume-se à face latal, a face lateral [C AA’D’D] (a única face em sombra que é visível em projecção horizontal). Já em projecção frontal, de todas as faces laterais em teral [A CC’D’D] é visível (a face lateral [A AA’D’D] é invisível, bem como a base inferior, que é projectante frontal), pelo sombra, apenas a face lateral [C que aquela face lateral é a única sombra própria a assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da l i n h a separatriz luz/ sombra. A s 2 e A’s 2 situam-se no SPFS e B s 1, Cs 1, C’s 1 e D’s 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra (um entre B s 1 e A s 2 e outro entre A’s 2 e D’s 1). Estes determinaram-se atendendo à situação de paralelismo A B] e [A A’D’] e as respectivas sombras no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). Após entre os segmentos [A o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

641.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados. C’1 ≡ A 1, pois A e C situam-se na mesma projectante horizontal. Uma vez que as arestas laterais do prisma estão contidas em rectas de perfil, tem-se que A’2 ≡ C’2. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do prisma. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Por um ponto P, exterior ao sólido, conduziram-se duas rectas – uma recta r, paralela às arestas laterais do sólido (que são de perfil), e um raio luminoso l (com a direcção luminosa dada, que é frontal). Estas duas rectas definem um plano (o plano λ) que é paralelo aos planos tangentes luz/sombra (tem a orientação daqueles). 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano λ (o plano definido pelas rectas r e l) com o Plano Horizontal de Projecção (o plano da base de referência) – a recta i. A recta i está definida pelos pontos I e I’ que são os pontos de intersecção das rectas r e l, respectivamente, com o Plano Horizontal de Projecção (o plano da base de referência – a base inferior). Note que o paralelismo enA A ’], o tre a recta r e as aresta laterais do prisma foi garantido pelo processo do rebatimento – a recta p é a recta suporte da aresta lateral [A plano π é o plano de perfil que contém a recta p e o plano γ é o plano de perfil que contém a recta r (ver exercício 3 e respectivo relatório).

Note que, nesta situação, os pontos I e I’ são imediatamente os traços horizontais das rectas r e l, respectivamente, assim como a recta i é (Continua na página seguinte) 317

SOLUÇÕES

imediatamente o traço horizontal do plano definido por aquelas rectas. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência que são paralelas à recta i – as rectas t e t’. Estas são as rectas de intersecção dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a (os planos λ1 e λ2) com o Plano Horizontal de Projecção (o plano da base de referência). 4. As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência nos pontos A e C, respectivamente – as arestas A A ’] e [C CC’] são, imedialaterais [A tamente, duas arestas da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a. As aresA A ’] e [C CC’] são as tas laterais [A arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas A A ’] e [C CC’] separam a parte da [A superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de A A ’ D ’ D] e lado), as faces laterais [A C C ’ D ’ D ] estão iluminadas, en[C quanto que as faces laterais A A ’ B ’ B ] e [B B B ’ C ’ C ] estão em [A sombra. A base inferior do prisma também está em sombra e a sua base superior está iluminada, pelo que a l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a é a l i n h a q u e b r a d a f e c h a d a AA’B’C’CD]. A sombra própria do prisma integra as faces laterais [A A A ’ B ’ B] e [B BB’C’C], bem como a base inferior do prisma. Em projec[A A A ’ B ’ B] é invisível, bem como a base inferior (é projectante frontal), pelo que a sombra própria visível em projecção frontal, a face lateral [A BB’C’C]. Já em projecção horizontal, a face lateral [A A A ’ B ’ B] é igualmente invisível, bem como a base ção frontal se resume à face lateral [B BB’C’C]. Em seguida, inferior, pelo que também a sombra própria a assinalar em projecção horizontal se resume igualmente à face lateral [B determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. A’s 2 ≡ A’2, pois A’ é um ponto do Plano Frontal de Projecção. A s 1 ≡ A 1, Ds 1 ≡ D1 e Cs 1 ≡ C1, pois A , D e C são pontos do Plano Horizontal de Projecção. A’s 2 situa-se no SPFS e as sombras dos restantes vértices da linha separatriz luz/sombra situam-se no SPHA. Uma vez que se trata de uma direcção luminosa frontal (de frente), a situação que se observa é idêntica à do exercício 573 – o ponto A produz sombra ao longo do raio luz/sombra que por ele passa, depois de ter sido transformado em raio de sombra, até ao eixo X (ver exercício 573 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a porção de sombra que está por baixo da base inferior está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

642.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por V, um raio luminoso l (com a direcção luminosa convencional). 2. Determinou-se o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano da base – ponto I (que, neste caso, é o traço horizontal do raio luminoso l). 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base – t e t’. Estas são rectas horizontais (de nível) e são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra com o Plano Horizontal de Projecção (o plano da base) – são os traços horizontais dos dois planos tangentes luz/sombra. Note que as rectas t e t’ se determinaram através da construção rigorosa para o traçado das tangentes a uma circunferência passando por um ponto exterior que, nesTV] e [T T’V] são, imediatate caso, é I1. 4. As rectas t e t’ são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente – as geratrizes [T mente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao TV] e [T T’V] separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra – dada a procone). As geratrizes [T ២ veniência da luz (de cima, de trás e da esquerda), a parte da superfície que está i l u m i n a d a é a que corresponde ao arco maior T T’, (Continua na página seguinte) 318

SOLUÇÕES

២ enquanto que a parte que corresponde ao arco menor T T’ está em sombra.

A base do cone está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a ២ linha mista fechada [T T’V T T’] (note que o arco que integra a l i n h a s e p a r a t r i z ២ luz/sombra é o arco maior T T’). Em projecção horizontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, mas a parte da superfície lateral do cone que está T1V1] e [T T’1V1]) é visível, pelo em sombra (a menor parte compreendida entre [T que corresponde à sombra própria a assinalar, em projecção horizontal. Em projecção frontal, a base também é invisível (é projectante frontal) pelo que a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cone compreenTV] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. dida entre a geratriz [T T’V] é invisível em projecção frontal. Em seguida, determiNote que a geratriz [T naram-se as sombras reais dos seus vértices – Ts 1 e T’s 1 situam-se no SPHA e Vs 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do cone admite dois pontos de quebra (um entre Ts 1 e Vs 2 e o outro entre T’s 1 e Vs 2). Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv 1. Uma vez que o arco maior ២ T T’ está contido no Plano Horizontal de Projecção, a sua sombra está coincidente com o próprio arco (note que Ts 1 ≡ T1 e T’s 1 ≡ T’1, pois T e T’ são dois pontos do Plano Horizontal de Projecção). Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a porção de sombra que está por baixo da base está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

643.

Em primeiro lugar representaram-se o cone e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à determinação da l inha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício anterior, pelo que se aconselha a sua leitura (note que, de acordo com a resposta à questão da alínea a) do exercício 607, o processo para a determinação da sombra de cones é idêntico, quer se trate de uma direcção luminosa quer se trate de um foco luminoso). Note que o raio luminoso l, que passa pelo vértice do cone é, nesta situação, oriundo do foco luminoso L. As rectas t e t’ são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente – as geratriTV] e [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da linha zes [T separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao TV] e [T T’V] separam a parte da cone). As geratrizes [T superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (do foco luminoso), a parte da superfície que está iluminada é a que ២ corresponde ao arco maior T T’, enquanto que a parte ២ que corresponde ao arco menor T T’ está em sombra. A ២ T’V T T’] (note que o arco que integra a linha base do cone está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [T ២ separatriz luz/sombra é o arco maior T T’). Em projecção horizontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, mas a parte da superfíT’1V1]) é visível, pelo que corresponde à sombra própria a T1V1] e [T cie lateral do cone que está em sombra (a menor parte compreendida entre [T assinalar, em projecção horizontal. Em projecção frontal, a base também é invisível (é projectante frontal) pelo que a única sombra própria visíT’V] e a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal. Note vel é a parte da superfície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T TV] é invisível em projecção frontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos seus vértices – Ts1 e T’s1 situam-se no que a geratriz [T SPHA e Vs2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do cone admite dois pontos de quebra (um entre Ts1 e Vs2 e o outro entre T’s1 e ២ Vs2). Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv1. Uma vez que o arco maior T T’ está contido no Plano Horizontal de Projecção, a sua sombra está coincidente com o próprio arco (note que Ts1 ≡ T1 e T’s1 ≡ T’1, pois T e T’ são dois pontos do Plano Horizontal de Projecção). Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. Note que a porção de sombra que está por baixo da base está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

319

SOLUÇÕES

644.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que o ponto I é, neste caso, o traço frontal do raio luminoso l . Nesse sentido, as rectas tangentes à base t e t’ são rectas frontais (de frente) e são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra com o Plano Frontal de Projecção (são os traços frontais dos dois planos tangentes luz/sombra). As rectas t e t’ são tangentes à base do cone nos pontos T TV] e [T T’V] são, imediatamente, e T’, respectivamente – as geratrizes [T duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cone). As TV] e [T T’V] separam a parte da superfície lateral do cone que geratrizes [T está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, de trás e da esquerda), a parte da superfície que está iluminada é ២ a que corresponde ao arco maior T T, enquanto que a parte que corres២ a r c o m e n o r T T ’ e m sombra. A base do cone está em ponde ao está sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fecha២ da [T T’V T T’] (note que o arco que integra a linha separatriz luz/sombra ២ é o arco maior T T’). Em projecção frontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, mas a parte da superfície lateral do cone que está T2V2] e [T T’2V2]) é visíem sombra (a menor parte compreendida entre [T vel, pelo que corresponde à sombra própria a assinalar, em projecção frontal. Em projecção horizontal, a base também é invisível (é projectante horizontal) pelo que a única sombra própria visível é a parte da superT’V] e a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. Note que a geratriz [T TV] é fície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T invisível em projecção horizontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos seus vértices – Ts2 e T’s2 situam-se no SPFS e Vs1 situa-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do cone admite dois pontos de quebra (um entre Ts2 e Vs1 e o outro entre T’s2 e Vs1). Estes deter២ minaram-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv2. Uma vez que o arco maior T T’ está contido no Plano Frontal de Projecção, a sua T T T ’ T ’ T T ’ sombra está coincidente com o próprio arco (note que s2 ≡ 2 e s2 ≡ 2, pois e são dois pontos do Plano Frontal de Projecção). Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a porção de sombra que está por baixo da base está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

645.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a, através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por V, um raio luminoso l (com a direcção luminosa dada, que é frontal). 2. Determinou-se o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano da base – ponto I. Note que, nesta situação, o ponto I se situa n o i n f i n i t o, pois o raio luminoso l (que é frontal) é paralelo ao plano da base (que é o Plano Frontal de Projecção). 3. Por I (que se situa n o i n f i n i t o) conduziram-se as rectas tangentes à base – t e t’. Estas, porque são concorrentes com o raio luz/sombra l num ponto do infinito, são paralelas a l. As rectas t e t’ são rectas frontais (de frente) e são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra com o Plano Frontal de Projecção (o plano da base) – são os traços frontais dos dois planos tangentes luz/sombra. 4. As rectas t e t’ são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, TV] e [T T’V] são, imediatamenrespectivamente – as geratrizes [T te, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são TV] e [T T’V] separam a parte tangentes ao cone). As geratrizes [T da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, de lado e (Continua na página seguinte) 320

SOLUÇÕES

២ da direita), a parte da superfície que está iluminada é a que corresponde à semicircunferência superior T T’, enquanto que a parte que cor២ responde à semicircunferência inferior T T’ está em sombra. A base do cone está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a l i២ nha mista fechada [T T’V T T’]. Em projecção frontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, mas a parte da superfície lateral do T2V2] e [T T’2V2]) é visível, pelo que corresponde à sombra própria a assinalar, cone que está em sombra (a parte inferior compreendida entre [T em projecção frontal. Em projecção horizontal, a base também é invisível (é projectante horizontal) pelo que a única sombra própria visível é T’V] e a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal. Note a parte da superfície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T TV] é invisível em projecção horizontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos seus vértices – Ts 2 e T’s 2 situamque a geratriz [T -se no SPFS e Vs 1 situa-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do cone admite dois pontos de quebra (um entre Ts 2 e Vs 1 e o outro entre T’s 2 e Vs 1). Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de V, que se situa n o i n f i n i t o (o ponto em que o raio luz/sombra TV] e [T T’V] no Plano Frontal de Projecção são paralelas entre si e intersecta o Plano Frontal de Projecção) – as sombras das geratrizes [T paralelas à projecção frontal da direcção luminosa. Uma outra forma de abordar esta situação é atender ao facto de a sombra projectada do cone estar limitada pelos traços dos planos tangentes luz/sombra – uma vez que as rectas t e t’ são, imediatamente, os traços frontais dos dois planos tangentes luz/sombra, a sombra do cone no Plano Frontal de Projecção está limitada pelas rectas t e t’. Estes dois raciocínios conduzem-nos aos mesmos pontos de quebra – os pontos em que a rectas t e t’ intersectam o eixo X. Uma vez que a base do cone está contida no Plano Frontal de Projecção, a semicircunferência que integra a linha separatriz luz/sombra tem a sua sombra coincidente com a própria semicircunferência (note que Ts 2 ≡ T2 e T’s 2 ≡ T’2, pois T e T’ são dois pontos do Plano Frontal de Projecção). Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a porção de sombra que está por baixo da base está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

646.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é, neste caso, o traço frontal do raio luminoso l. Nesse sentido, as rectas tangentes à base t e t’ são rectas frontais (de frente) e são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra com o Plano Frontal de Projecção (são os traços frontais dos dois planos tangentes luz/sombra). As rectas t e t’ são tangentes à base do cone nos pontos T e T ’ , TV] e [T T’V] são, imerespectivamente – as geratrizes [T diatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra, pois separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a que corres២ ponde ao arco maior T T’, enquanto que a parte que ២ corresponde ao arco menor TT’ está em sombra. Uma vez que a base do cone está em sombra, a linha sepa២ ratriz luz/sombra é a linha mista fechada [T T’V T T’ ] (note que o arco que integra a l i n h a s e p a r a t r i z ២ luz/sombra é o arco maior T T’). Em projecção frontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, mas T’V] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal (que está em a parte da superfície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T TV] é invisível em projecção sombra) é visível, pelo que corresponde à sombra própria a assinalar, em projecção frontal. Note que a geratriz [T frontal. Em projecção horizontal, a base também é invisível (é projectante horizontal) pelo que a única sombra própria visível é a parte da superTV] e a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. Note que a geratriz [T T’V] é fície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T invisível em projecção horizontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos seus vértices – Ts2 e T’s2 situam-se no SPFS, tal como ២ Vs2, pelo que a sombra projectada do cone não admite pontos de quebra. Uma vez que o arco maior T T’ está contido no Plano Frontal de Projecção, a sua sombra está coincidente com o próprio arco (note que Ts2 ≡ T2 e T’s2 ≡ T’2, pois T e T’ são dois pontos do Plano Frontal de Projecção). Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a porção de sombra que está por baixo da base está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

321

SOLUÇÕES

647.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados e tendo em conta que a geratriz mais à esquerda é a que contém o ponto mais à esquerda da circunferência que delimita a base do sólido. Uma vez que essa geratriz é vertical, o vértice situa-se na mesma recta projectante horizontal que passa pelo ponto mais à esquerda da base. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente – as geraT V ] e [T T ’ V ] são, imediatamente, duas linhas da l i n h a s e p a r a t r i z trizes [T luz/sombra, pois separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a que corresponde ao ២ a r c o m a i o r T T’ , enquanto que a parte que corresponde ao a r c o m e n o r ២ T T’está em sombra. Uma vez que a base do cone está em sombra, a linha se២ paratriz luz/sombra é a linha mista fechada [T T’V T T’] (note que o arco que ២ integra a linha separatriz luz/sombra é o arco maior T T’). Em projecção horizontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, mas a parte da superfície lateral do cone que está em sombra (a menor parte compreendida entre T1V1] e [T T’1V1]) é visível, pelo que corresponde à sombra própria a assinalar, [T em projecção horizontal. Em projecção frontal, a base também é invisível (é projectante frontal) pelo que a única sombra própria visível é a parte da superfíT’V] e a geratriz mais à direicie lateral do cone compreendida entre a geratriz [T T V ] é invisível em ta do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [T projecção frontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos seus vértices – Ts 1 e T’s 1 situam-se no SPHA e Vs 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do cone admite dois pontos de quebra (um entre Ts 1 e Vs 2 e o outro entre T’s 1 e Vs 2). Estes determinaram-se ២ com o recurso à sombra virtual de V – Vv 1. Uma vez que o arco maior T T’ está contido no Plano Horizontal de Projecção, a sua sombra está T T T ’ T ’ T coincidente com o próprio arco (note que s 1 ≡ 1 e s 1 ≡ 1, pois e T’ são dois pontos do Plano Horizontal de Projecção). Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a porção de sombra que está por baixo da base está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. O ponto O tem 3 cm de afastamento, pois a base tem 3 cm de raio e é tangente ao Plano Frontal de Projecção. Uma vez que O é um ponto do β1/3, sabe-se que tem coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que, nesta situação, o ponto I não é o traço horizontal do raio luz/sombra l, tal como as rectas t e t’ não são os traços horizontais dos planos tangentes luz/sombra, pois o plano da base não é o Plano Horizontal de Projecção. As rectas t e t’ são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente – as geratrizes [T TV] e [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra, pois separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra.

Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a parte da ២ superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco maior T T’, ២ enquanto que a parte que corresponde ao arco menor T T’ está em sombra. Uma vez que a base do cone está em sombra, a linha separa២ triz luz/sombra é a linha mista fechada [T TV T’T]. Em projecção horizontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, mas a parte da superfície lateral do cone que está em sombra (a menor parte comT1V1] e [T T’1V1]) é visível, pelo que corresponde à sombra própria a assinalar, em projecção horizontal. Em projecção frontal, a preendida entre [T base também é invisível (é projectante frontal) pelo que a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cone compreendida enT’V] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [T TV] é invisível em projecção frontal. Em seguida tre a geratriz [T determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. Vs2 e Ts2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra da geTV] não admite pontos de quebra. T’s1 situa-se no SPHA, pelo que a sombra da geratriz [T T’V] admite um ponto de quebra, que se deterratriz [T T’V] produz no SPHA se poderia minou com o recurso à sombra virtual de T’ – T’v2. Note, no entanto, que o troço da sombra que a geratriz [T

648.

(Continua na página seguinte) 322

SOLUÇÕES

determinar conduzindo, por T’s1, uma paralela a t’ até ao eixo X, pois t’ é uma recta horizontal (de nível) do plano tangente luz/sombra que contém aquela geratriz e rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano (de que a parte da sombra da geratriz no SPHA é um troço – a sombra projectada de qualquer sólido está limitada pelos traços dos planos tangentes luz/sombra). Por outro lado, observa-se que existirá necessariamente um outro ponto de quebra na sombra do cone, ponto esse que se situa na sombra do arco ២ ២ maior T T’. O ponto de quebra da sombra do arco maior T T’ – ponto Q – determinou-se com o recurso ao plano luz/sombra passante. O raio luminoso l’ é um raio luminoso passante, que intersecta o plano ν (o plano da base do cone) em I’. A recta de intersecção do plano luz/sombra ២ passante com o plano da base – recta i – é uma recta fronto-horizontal que passa por I’ e que é secante ao arco maior T T’ em Q, de que se de២ ២ terminou, apenas, a sua projecção horizontal. O arco TQ produz sombra no SPFS e o arco QT’ produz sombra no SPHA. Uma vez que o arco ២ T២ T’ está contido num plano horizontal (de nível), a sombra do arco T២ Q (que existe no SPFS) será um arco de elipse e a sombra do arco Q T’ ២ (que existe no SPHA) será um arco de circunferência, geometricamente igual ao arco QT’. As sombras projectadas dos dois arcos determinaram-se segundo o exposto no relatório do exercício 578, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que o ponto O, que é um ponto do β1/3, é também um ponto do próprio plano luz/sombra passante (que é o próprio β1/3), pelo que a sua sombra – Os – se situa no eixo X. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça se២ T’V] é concordante com a sombra do arco QT’ guindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [T ២ TV] é concordante com a sombra do arco TQ’ em Ts2. em T’s1, tal como a sombra da geratriz [T

649.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. O ponto O tem 3,5 cm de afastamento, pois a base tem 3,5 cm de raio e é tangente ao Plano Frontal de Projecção. Uma vez que o cone tem 7 cm de altura e o seu vértice tem cota nula, a base tem 7 cm de cota. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que, nesta situação, o ponto I não é o traço horizontal do raio luz/sombra l, tal como as rectas t e t’ não são os traços horizontais dos planos tangentes luz/sombra, pois o plano da base não é o Plano Horizontal de Projecção. As rectas t e t’ são tangentes à base TV] do cone nos pontos T e T’, respectivamente – as geratrizes [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da l i n h a s e p a r a t r i z e [T luz/sombra, pois separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a parte da superfície que está i l u m i n a d a é a que corresponde ao a r c o menor ២ T T’, enquanto que a parte que corresponde ao arco maior T២ T’ está em sombra. Uma vez que a base do cone está iluminada, a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [T TV T២ T’]. Em projecção horizontal, toda a superfície lateral do cone é invisível (apenas a base do cone é visível, e está iluminada) pelo que não existe qualquer sombra própria a assinalar, em projecção horizontal – há a assinalar, apenas, as duas geratrizes separatrizes luz/sombra e as respectivas invisibilidades. Em projecção frontal, a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cone comTV] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [T T’V] é invisível em projecção frontal. preendida entre a geratriz [T Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. Vs1 ≡ V1, pois V é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Ts2 e T’s2 situam-se no SPFS e Vs1 situa-se no SPHA, pelo que a sombra do cone admite dois pontos de quebra. Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv2. Note que os pontos de quebra da sombra referem-se às sombras das geratrizes e não ២ T e T’) situam-se no mesmo plano de projecção. Note ainda que o ponto de à sombra do arco T T’, pois as sombras dos dois extremos do arco (T quebra situado entre Ts2 e Vs1 se poderia ter determinado conduzindo, por Vs1, uma paralela à recta t até ao eixo X. De facto, tal como se expôs TV] no SPHA é um troço do traço horizontal do plano tangente luz/sombra que contém no relatório do exercício anterior, a sombra da geratriz [T aquela geratriz e que, por sua vez, é paralelo a todas as rectas horizontais desse plano – a recta t é, precisamente, uma recta horizontal (de nível) desse plano (é a recta de intersecção desse plano tangente luz/sombra com o plano da base do cone). Assim, de forma semelhante, o ponto de quebra situado entre Vs1 e T’s2 poder-se-ia ter determinado conduzindo, por Vs1, uma paralela a t’ até ao eixo X. Em função do exposto, observa២ -se que a sombra do arco maior T T’ não admite pontos de quebra, situando-se, na totalidade, no SPFS, pois as sombras dos seus extremos si២ tuam-se, ambas, no SPFS. A sombra que o arco maior T T’ produz no SPFS, que é um segmento de elipse, determinou-se conforme exposto no relatório do exercício 575, pelo que se aconselha a sua leitura. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note TV] é concordante com a somT’V] é concordante com a sombra do arco T២ T’ em T’s2, tal como a sombra da geratriz [T que a sombra da geratriz [T ២ bra do arco T T’ em Ts2.

323

SOLUÇÕES

650.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos t a n g e n t e s l u z / s o m b r a, conforme exposto no relatório do exercício 6 4 2 , pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l com o plano ϕ (o plano da base). As rectas t e t’ passam por I e são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente – TV] e [T T’V] são, imediaas geratrizes [T tamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra, pois separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra.

Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a parte da superfície que está i l u m i n a d a é a que ២ corresponde ao a r c o m e n o r T T’, enquanto que a parte que corresponde ២ ao a r c o m a i o r T T’ está e m s o m b r a .

Uma vez que a base do cone está i l um i n a d a, a l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m bra é a linha mista fechada [T TV T២ ’T].

Em projecção frontal, toda a superfície lateral do cone é invisível (apenas a base do cone é visível, e está iluminada) pelo que não existe qualquer sombra própria a assinalar, em projecção frontal – há a assinalar, apenas, as duas geratrizes separatrizes luz/sombra e as respectivas invisibilidades. Em TV] e a geratriz projecção horizontal, a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T T’V] é invisível em projecção horizontal. Em seguida determinaram-se as mais à direita do contorno aparente horizontal. Note que a geratriz [T sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. Ts situa-se no eixo X, pelo que é, imediatamente, um ponto de quebra da sombra do cone. T’s 1 situa-se no SPHA e Vs 2 situa-se no SPFS, pelo que existe outro ponto de quebra entre T’s 1 e Vs 2. Este determinou-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv 1. Note que o ponto de quebra situado entre Vs 2 e T’s 1 se poderia ter determinado com um raciocínio semelhante ao exposto no relatório do exercício anterior, considerando que a recta t’ é uma recta frontal (de frente) do plano tangente T’V] e, por isso, é necessariamente paralela à sombra que a geratriz produz no Plano Frontal de Projecluz/sombra que contém a geratriz [T ២ T e T’) situam-se no mesmo plano de ção. A sombra do arco T T’ não admite pontos de quebra, pois as sombras dos dois extremos do arco (T T’s 1 e Ts situam-se, ambos, no SPHA, pois o eixo X é a recta limite do SPHA). A sombra do arco maior T២ T’ situa-se, na totalidaprojecção (T de, no SPHA – é um segmento de elipse, que se determinou conforme exposto no relatório do exercício 575, pelo que se aconselha a sua leitura. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a traT’V ] é cejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [T ២ concordante com a sombra do arco T T’ em T’s 1.

324

SOLUÇÕES

651.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a , o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l com o plano ν (o plano da base). As rectas t e t’ passam por I e são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente – as geratrizes [T TV] e [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra, pois separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a parte da superfície que está iluminada ២ é a que corresponde ao arco maior T T’, enquanto que a parte ២ a r c o m e n o r T T ’ que corresponde ao está em sombra. Uma vez que a base do cone está e m s o m b r a , a l i n h a s e p a r a t r i z ២ l u z / s o m b r a é a l i n h a m i s t a f e c h a d a [T TV T’T]. Em projecção horizontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, mas a parte da superfície lateral do cone que está em sombra T1V1] e [T T’1V1]) é visível, (a menor parte compreendida entre [T pelo que corresponde à sombra própria a assinalar, em projecção horizontal. Em projecção frontal, a base também é invisível (é projectante frontal) pelo que a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cone compreendida entre a geraTV] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. triz [T T’V] é invisível em projecção frontal. Em seNote que a geratriz [T guida determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. Ts 1 e T’s 1 situam-se no SPHA e Vs 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra do cone admite dois pontos de quebra. Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv 1 Note que os pontos de quebra da sombra referem-se às ២ T e T’) situam-se no mesmo plano de prosombras das geratrizes e não à sombra do arco T T’, pois as sombras dos dois extremos do arco (T jecção. Note ainda que os pontos de quebra se poderiam ter determinado atendendo à situação de paralelismo entre as sombras projecta២ das das geratrizes no Plano Horizontal de Projecção e as rectas t e t’ (ver relatórios dos exercícios 648 e 649). A sombra do arco maior T T’ não admite pontos de quebra, situando-se, na totalidade, no SPHA, pois as sombras dos seus extremos situam-se, ambas, no SPHA. A ២ sombra que o arco maior T T’produz no SPHA é um segmento de círculo (pois o plano ν é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção), com O苶s苶T T苶苶 = 苶 O苶s苶T T苶’苶苶. centro em Os 1 e 3 cm de raio (é semelhante ao segmento de círculo da base. Note que o raio do segmento de círculo é 苶 苶 苶 1 s1 1 s1 Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, reTV] é concordante comenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [T ២ ២ T’V] é concordante com a sombra do arco T T’ em T’s 1. com a sombra do arco T T’em Ts 1, tal como a sombra da geratriz [T

652.

Em primeiro lugar representaram-se o cone e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura (note que, de acordo com a resposta à questão da alínea a) do exercício 607, o processo para a determinação da sombra de cones é idêntico, quer se trate de uma direcção luminosa quer se trate de um foco luminoso). O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l (oriundo do foco luminoso L) com o plano ν (o plano da base). As rectas t e t’ passam por I e são tangentes à base do TV] e [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra, pois cone nos pontos T e T’, respectivamente – as geratrizes [T separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (do foco luminoso), ២ ២ a parte da superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco maior TT’, enquanto que a parte que corresponde ao arco menor TT’ ២ TV T’T]. Em projecestá em sombra. Uma vez que a base do cone está em sombra, a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [T ção horizontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, mas a parte da superfície lateral do cone que está em sombra (a menor T1V1] e [T T’1V1]) é visível, pelo que corresponde à sombra própria a assinalar, em projecção horizontal. Em projecparte compreendida entre [T ção frontal, a base também é invisível (é projectante frontal) pelo que a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cone T’V] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [T TV] é invisível em projecção compreendida entre a geratriz [T frontal. Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. Ts 1 e T’s 1 situam-se no SPHA e Vs 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra do cone admite dois pontos de quebra. Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de ២ V – Vv 1 Note que os pontos de quebra da sombra referem-se às sombras das geratrizes e não à sombra do arco T T’, pois as sombras dos (Continua na página seguinte) 325

SOLUÇÕES

T e T’) situam-se dois extremos do arco (T no mesmo plano de projecção. Note ainda que os pontos de quebra se poderiam ter determinado atendendo à situação de paralelismo entre as sombras projectadas das geratrizes no Plano Horizontal de Projecção e as rectas t e t’ (ver relatórios dos exercícios 648 e 649). A sombra do arco ២ maior T T’ não admite pontos de quebra, situando-se, na totalidade, no SPHA, pois as sombras dos seus extremos situam-se, ambas, no S P H A . A sombra que o arco ២ maior T T’ produz no SPHA é um segmento de círculo (pois o plano ν é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção), com centro em Os 1 e raio até Ts 1 ou T’s 1 (note que O苶s苶T O苶s苶T T苶苶 = 苶 T苶’苶苶). Por fim, desenhou-se o 苶 苶 苶 1 s1 1 s1 contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificouse a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. Note que a sombra T V ] é concordante com a da geratriz [T ២ sombra do arco T T’ em T s 1, tal como a T ’ V ] é concordante sombra da geratriz [T ២ com a sombra do arco T T’ em T’s 1.

653.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. O eixo do cone tem as suas projecções paralelas entre si, pois é paralelo ao β2/4. O vértice do cone tem 3 cm de afastamento, pois dista 6 cm (a altura do cone) da base e a base é visível em projecção frontal, pelo que a base tem afastamento superior ao vértice. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l (com a direcção luminosa dada) com o plano ϕ (o plano da base). As rectas t e t’ passam por I e são tangentes TV] e [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da l i n h a s e p a r a t r i z à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente – as geratrizes [T luz/sombra, pois separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (de ២ cima, da direita e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco menor T T’, enquanto que a parte que cor២ responde ao arco maior T T’ está em sombra. Uma vez que a base do cone está iluminada, a linha separatriz luz/sombra é a l i n h a m i s t a fechada [T TV T២ ’T]. Em projecção horizontal, são visíveis dois troços de sombra própria – a parte da superfície lateral do cone compreendida TV] e a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal e a parte da superfície lateral do cone compreendida entre entre a geratriz [T T’V] e a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. Em projecção frontal, a única sombra própria visível é a parte da a geratriz [T TV] e a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal. Note que a geratriz superfície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T T’V] é invisível em projecção frontal e que a base (que está iluminada) é visível em projecção frontal. Em seguida, determinaram-se as som[T bras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. Ts 1 e T’s 1 situam-se no SPHA e Vs 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra do cone admite dois pontos de quebra. Estes determinaram-se atendendo à situação de paralelismo entre as rectas t e t’ e as sombras das cor២ respondentes geratrizes separatrizes no Plano Frontal de Projecção. A sombra do arco T T não admite pontos de quebra, pois as sombras T T T ’ T ’ dos dois extremos do arco (T e ) situam-se no mesmo plano de projecção (T s 1 e s 1 situam-se, ambos, no SPHA). A sombra do arco ២ maior T T’ situa-se, na totalidade, no SPHA – é um segmento de elipse, que se determinou conforme exposto no relatório do exercício 575, (Continua na página seguinte) 326

SOLUÇÕES

pelo que se aconselha a sua leitura. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [T T’V] é concordante com ២ a sombra do arco T T’ em T’s 1, tal como a sombra da geratriz ២ TV] é concordante com a sombra do arco T T’ em Ts 1.

[T

654.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. Note que o centro da base, O, e o vértice do cone, V, têm o mesmo afastamento, pois o eixo do cone está contido numa recta frontal (de frente).

O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a , o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l com o plano ν (o plano da base). As rectas t e t’ passam por I e são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente – as TV] e [T T’V] são, imediatageratrizes [T mente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra, pois separam a parte (Continua na página seguinte) 327

SOLUÇÕES

da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a parte ២ ២ da superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco menor T T’, enquanto que a parte que corresponde ao arco maior T T’ está em ២ sombra. Uma vez que a base do cone está iluminada, a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [T TV T’T]. Em projecção horizontal, toda a superfície lateral do cone é invisível (apenas a base do cone é visível, e está iluminada) pelo que não existe qualquer sombra própria a assinalar, em projecção horizontal – há a assinalar, apenas, as duas geratrizes separatrizes luz/sombra e as respectivas invisibilidades.

T’V] e a geratriz mais Em projecção frontal, a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T TV] é invisível em projecção frontal. Em seguida determinaram-se as sombras reais à direita do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [T de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. Vs1 ≡ V1, pois V é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Ts2 situa-se no SPFS e Vs1 e T’s1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra do cone admite dois pontos de quebra. Um ponto de quebra situa-se entre Ts2 e Vs1 e é o ponto TV] – este determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre a recta t e a sombra projectada da gerade quebra da sombra da geratriz [T ២ TV] no Plano Horizontal de Projecção. O outro ponto de quebra situa-se entre Ts2 e T’s1 e é o ponto de quebra da sombra do arco T T’ – o triz [T ២ ២ arco T T’ produz sombra sobre dois planos de projecção. A determinação do ponto de quebra na sombra do arco T T’ e da própria sombra processou-se de acordo com o exposto no relatório do exercício 576, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano luz/sombra passante está definido pelo eixo X e pelo raio luz/sombra l’ – I’ é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l’ com o plano ν (o plano da base do cone) e a recta i é a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ν (o plano da base). A recta i é uma recta fronto-horizontal que passa por I’. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomendaT’V] é concordante com a som-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [T ២ ២ TV] é concordante com a sombra do arco T T’ em Ts2. bra do arco T T’ em T’s, tal como a sombra da geratriz [T

655.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados (ver relatório do exercício anterior). Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l (com a direcção luminosa dada) com o plano ν (o plano da base).

As rectas t e t’ passam por I e são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente – as TV] e [T T’V] são, imediatamente, duas geratrizes [T linhas da linha separatriz luz/sombra, pois separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de lado), a parte da superfície que está iluminada é a que ២ corresponde ao arco menor T T’, enquanto que a ២ parte que corresponde ao arco maior T T’ está em sombra. Uma vez que a base do cone está ilumin a d a, a l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a é a l i n h a m i s ២ ta fechada [T TV T’T]. Em projecção horizontal, toda a superfície lateral do cone é invisível (apenas a base do cone é visível, e está iluminada) pelo que não existe qualquer sombra própria a assinalar, em projecção horizontal – há a assinalar, apenas, as duas geratrizes separatrizes luz/sombra e as respectivas invisibilidades. Em projecção frontal, a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cone compreendida entre a T’V] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [T TV] é invisível em projecção frontal, mas está oculta geratriz [T T’V]. Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. Vs1 ≡ V1, pois V é um pela geratriz [T ponto do Plano Horizontal de Projecção. Ts1, T’s1 e Vs1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra do cone não admite pontos de quebra. No entanto, atendendo a que um ponto da base (o ponto de menor afastamento da base) se situa no Plano Frontal de Projecção, e que a sombra desse ponto está coincidente com o próprio ponto, trata-se de uma situação semelhante à exposta nos exercícios 573, 636 e 641, pelo que se aconselha a leitura dos respectivos relatórios. De facto, apesar de a sombra do cone se situar, na sua totalidade, no SPHA, aquele ponto produz sombra no SPFS até ao eixo X, ao longo do raio luminoso que por ele passa, depois de ter sido transformado em raio de sombra. A som២ bra que o arco maior T T’ produz no SPHA é, pois, um segmento de círculo (o plano ν é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção), com centro T苶苶 = 苶 T苶’苶苶. Por fim, deO苶s苶T O苶s苶T em Os1 e 4 cm de raio (é semelhante ao segmento de círculo da base. Note que o raio do segmento de círculo é 苶 苶 苶 1 s1 1 s1 senhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o T’V] é concordante com a sombra do faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [T ២ TV] é concordante com a sombra do arco T២ T’ em Ts2. arco T T’ em T’s, tal como a sombra da geratriz [T

328

SOLUÇÕES

656.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. Note que o vértice do cone e o ponto mais à esquerda da base têm a mesma abcissa (a geratriz mais à esquerda do cone é de perfil). O vértice do cone tem 10 cm de afastamento, pois o cone tem 7 cm de altura e a base tem 3 cm de afastamento. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l com o plano ϕ (o plano da base). Note que o ponto I é, nesta situação, o traço horizontal do raio luminoso l e se situa sobre o traço horizontal do plano ϕ. As rectas t e t’ passam por I e são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente – note que, nesta situação, a recta t é uma recta fronto-horizontal (é o próprio traço horizontal do plano ϕ) e que a recta t’ é uma recta vertical.

TV] e [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da As geratrizes [T linha separatriz luz/sombra, pois separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra.

Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a que corresponde ២ ao arco maior T T’, enquanto que a parte que corresponde ao ២ arco menor T T’ está em sombra. Uma vez que a base do cone está e m s o m b r a, a l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a é a linha mista fechada [T TV T២ ’T]. Note que a geratriz [T T’V] é a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. Em projecção frontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, mas a parte da T’2V2]) é visível, pelo que corresponde à sombra T2V2] e [T superfície lateral do cone que está em sombra (a menor parte compreendida entre [T própria a assinalar, em projecção frontal. Em projecção horizontal, a base também é invisível (é projectante horizontal) e a parte da superfície laTV] (que é invisível em projecção horizontal) e a geratriz [T T’V] (que é a geratriz mais à teral em sombra também, pois é a parte entre a geratriz [T direita do contorno aparente horizontal). Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. Ts1 e Vs1 situam-se no SPHA e T’s2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra do cone admite dois pontos de quebra. Um ponto de quebra situa-se enT’V] – este determinou-se com o recurso à sombra virtual de T’ (T T’v1). O outro ponto tre T’s2 e Vs1 e é o ponto de quebra da sombra da geratriz [T ២ ២ de quebra situa-se entre T’s2 e Ts1 e é o ponto de quebra da sombra do arco T T’ – o arco T T’ produz sombra sobre dois planos de projecção. ២ A determinação do ponto de quebra na sombra do arco T T’ e da própria sombra processou-se de acordo com o exposto no relatório do exercício 578, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano luz/sombra passante está definido pelo eixo X e pelo raio luz/sombra l’ – I’ é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l’ com o plano ϕ (o plano da base do cone) e a recta i é a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ϕ (o plano da base). A recta i é uma recta fronto-horizontal que passa por I’. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes.

No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no reTV], que está sobre (h hϕ), é concordante com a sombra do arco T២ T’ em Ts1, tal como a latório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [T ២ T ’ V T T ’ T ’ sombra da geratriz [T ] é concordante com a sombra do arco em s2.

657.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cilindro, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Por um ponto P, exterior ao sólido, conduziram-se duas rectas – uma recta v, vertical, paralela às arestas laterais do sólido, e um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz).

Estas duas rectas definem um plano (o plano λ) que é paralelo aos planos tangentes luz/sombra (têm a mesma orientação). 2. Determinou-se a recta i, que é a recta de intersecção do plano λ (o plano definido pelas rectas v e l) com o plano da base de referência (a base inferior). A recta i está definida pelos pontos I e I’, que são os pontos de intersecção das rectas v e l, respectivamente, com o plano da base de referência (a base inferior). Uma vez que a base inferior (a base de referência) está contida no Plano Horizontal de Projecção, a recta i é o traço horizontal do plano λ, tal com os pontos I e I’ são os traços horizontais das rectas v e l, respectivamente. 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base que são paralelas à recta i – as rectas t e t’. Estas são, nesta situação, os traços horizontais dos planos tangentes luz/sombra (os planos λ1 e λ2), pois são as rectas de intersecção dos dois planos com o Plano Horizontal de Projecção, que é o plano da base de referência do cilindro (a base inferior). 4. As rectas t e t’ são tangentes à base inferior (a base de referência) nos pontos A e B, A A ’] e [B BB’] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo respectivamente – as geratrizes [A (Continua na página seguinte) 329

SOLUÇÕES

das quais os planos tangentes luz/sombra são A A ’] e tangentes ao cilindro). As geratrizes [A BB’] separam a parte da superfície lateral do ci[B lindro que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (da esquerda, de cima e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a parte de maior afastamento, enquanto que a parte em sombra é a parte de menor afastamento (a parte mais próxima do Plano Frontal de Projecção). A base inferior do cilindro está em sombra e a sua base superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/som២ ២ bra é a linha mista fechada [A A A ’ A’B’ B A]. Em projecção horizontal, toda a superfície lateral do cilindro é invisível (as geratrizes são projectantes horizontais) – apenas a base superior do cilindro é visível e está iluminada, pelo que não existe qualquer sombra própria a assinalar, em projecção horizontal. Em projecção frontal, a base inferior (que está em sombra) é invisível (é projectante frontal), pelo que a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do A A ’] e a cilindro compreendida entre a geratriz [A BB’] é invisível em projecção frontal, o que se assinalou devidamente. geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [B Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. A s 1 ≡ A 1 e B s 1 ≡ B 1, pois A e B são dois pontos do Plano Horizontal de Projecção. A s 1 e B s 1 situam-se no SPHA e A’s 2 e B’s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do cilindro admite pontos de quebra. Um situa-se entre B s 1 e B’s 2 e o outro entre A s 1 e A’s 2. Os pontos de quebra determinaram-se atendenA A ’] e [B BB’] e as suas sombras no Plano Frontal de Projecção, pois trata-se de segmentos do à situação de paralelismo entre as geratrizes [A de recta verticais, que são casos particulares dos segmentos de recta frontais (ver exercício 545 e respectivo relatório). A sombra do arco ២ ២ ២ A B está coincidente com o próprio arco (o arco A B está contido no Plano Horizontal de Projecção). O arco A ’B’ produz sombra exclusiva២ mente no SPFS, pois as sombras reais dos seus extremos situam-se, ambas, no SPFS. A sombra do arco A’B’ no SPFS (que é um segmento de elipse) determinou-se de acordo com o exposto no relatório do exercício 5 7 5 , pelo que se aconselha a sua leitura. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recoA A ’] é concordante menda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [A ២ ២ ’B’ em B’s 2.

BB’] é concordante com a sombra do arco A com a sombra do arco A’B’ em A’s 2, tal como a sombra da geratriz [B

658.

Em primeiro lugar representaram-se o cilindro e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por L, uma recta v, vertical, paralela às geratrizes do sólido (a recta v é a recta de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra).

2. Determinou-se o ponto de intersecção da recta v com o plano da base inferior do cilindro (a base de referência) – ponto I. Note que, nesta situação, I é o traço horizontal da recta v, pois a base de referência (a base inferior) está contida no Plano Horizontal de Projecção). 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base (de referência) – as rectas t e t’. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra com o plano da base de referência (a base inferior) do cilindro (que, nesta situação, é o Plano Horizontal de Projecção, pelo que as rectas t e t’ são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes luz/sombra). 4. As rectas t e t’ são tangentes à A A ’] e [B BB’] são, imediatamente, duas linhas da base inferior (a base de referência) nos pontos A e B, respectivamente – as geratrizes [A linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cilindro). As geratrizes A A ’] e [B BB’] separam a parte da superfície lateral do cilindro que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (do [A ២ foco luminoso), a parte da superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco menor A B, enquanto que a parte que corresponde ២ ao arco maior A B está em sombra. A base inferior do cilindro está em sombra e a sua base superior está iluminada, pelo que a linha sepa២ ratriz luz/sombra é a linha mista fechada [A A A ’ A’B’ ២ B A]. Sublinha-se que o arco da base inferior que integra a linha separatriz luz/som២ ២ bra é o arco menor A B. Já no que respeita à base superior, o arco que integra a linha separatriz luz/sombra é o arco maior A’B’. Em projecção horizontal, toda a superfície lateral do cilindro é invisível (as geratrizes são projectantes horizontais) – apenas a base superior do cilindro é visível e está iluminada, pelo que não existe qualquer sombra própria a assinalar, em projecção horizontal. Em projecção frontal, a base inferior (que está em sombra) é invisível (é projectante frontal), pelo que a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do A A ’] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [B BB’] é invisível em cilindro compreendida entre a geratriz [A projecção frontal, o que se assinalou devidamente. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz (Continua na página seguinte) 330

SOLUÇÕES

luz/sombra. A s 1 ≡ A 1 e B s 1 ≡ B 1, pois A e B são dois pontos do Plano Horizontal de Projecção. A s 1, B s 1 e A’s 1 situam-se no SPHA e B ’ s 2 situa-se no S P F S , pelo que a sombra projectada do cilindro admite pontos de quebra. Um situa-se entre B s 1 e B’s 2 e o outro entre A ’ s 1 e B ’ s 2. O primeiro ponto de quebra determinou-se atendendo à situação de paraBB’] e a sua sombra lelismo entre a geratriz [B no Plano Frontal de Projecção, pois trata-se de um segmento de recta vertical, que é um caso particular dos segmentos de recta frontais (ver exercício 545 e respectivo relatório).

O segundo ponto de quebra é o ponto de ២ quebra da sombra do arco maior A’B’ – note que este arco produz sombra nos dois planos de projecção, pois as sombras dos seus extremos situam-se em planos distintos. O pon២ to de quebra da sombra do arco A ’ B ’ determinou-se pelo m é t o d o d o p l a n o l u z / s o m b r a p a s s a n t e. O ponto I’ é o ponto de intersecção do raio luminoso l (o raio luminoso passante) com o plano ν (o plano que ២ contém o arco A’B’ – o plano da base superior). A recta i , fronto-horizontal e passando por I’, é, assim, a recta de intersecção do plan o l u z / s o m b r a p a s s a n t e com o plano ν – i ២ corta o arco A ’ B ’ no ponto Q (note que se determinou, apenas, a projecção horizontal de Q). A sombra de Q será, assim, o ponto de ២ quebra da sombra do arco A’B’. Por Q1 conduziu-se a projecção horizontal do raio luminoso que por ele passa e determinou-se Qs, no eixo X – Qs é o ponto de quebra da som២ ២ bra do arco A’B’. O arco A’Q produz sombra ២ no S P H A e o arco B ’ Q produz sombra no ២ ’Q produz no SPFS. A sombra que o arco A SPHA é um outro arco de circunferência (ampliado) – esse arco tem centro em O’v 1 (a sombra de O’ no Plano Horizontal de Projecção) e ២ O苶’苶v苶A A 苶’苶苶. Note que a sombra do arco A ’Q passa necessariamente por Qs. Tenha em conta que o arco é necessariamente concordante raio 苶 苶 1 s1 ២ ២ A s 1A’s 1] em A’s 1. A sombra que o arco B ’Q produz no SPFS (que é um segmento de elipse) obteve-se inscrevendo o arco B ’Q na parcom [A te correspondente de um quadrado, conforme exposto no relatório do exercício 577, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que a som២ ២ bra do arco A B está coincidente com o próprio arco, pois o arco A B está contido no Plano Horizontal de Projecção. Por fim desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que ២ A A ’] é concordante com a sombra do arco A’Q em A’s 1 (como com intensidades ligeiramente diferentes. Note que a sombra da geratriz [A ២ BB’] é concordante com a sombra do arco B’Q em B’s 2. atrás se referiu), tal como a sombra da geratriz [B

659.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cilindro, em função dos dados. O plano ν é o plano que contém a base superior do cilindro. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 657, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que o raio luminoso l é uma recta frontal (de frente), que é a direcção luminosa dada. As rectas t e t’ são tangentes à base inferior (a base de referência) nos A A ’] e [B BB’] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratripontos A e B, respectivamente – as geratrizes [A A A ’] e [B BB’] separam a parte da superfície zes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cilindro). As geratrizes [A lateral do cilindro que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (da direita, de cima e de lado), a parte da superfície que está iluminada é a mais à direita, enquanto que a parte em sombra é a parte mais à esquerda. A base inferior do cilindro está em ២ ២ A A ’ A’B’ B A]. Em projecsombra e a sua base superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [A ção horizontal, toda a superfície lateral do cilindro é invisível (as geratrizes são projectantes horizontais) – apenas a base superior do cilindro é visível e está iluminada, pelo que não existe qualquer sombra própria a assinalar, em projecção horizontal. Em projecção frontal, a base inferior (que está em sombra) é invisível (é projectante frontal), pelo que a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do (Continua na página seguinte) 331

SOLUÇÕES

cilindro compreendida entre a geratriz BB’] e a geratriz mais à esquerda do con[B torno aparente frontal. Note que a geratriz A A ’] é invisível em projecção frontal, mas [A BB’]. Em seguida está oculta pela geratriz [B determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. A s 1 ≡ A 1 e B s 1 ≡ B 1, pois A e B são dois pontos do Plano Horizontal de Projecção. A s 1, B s 1, A ’ s 1 e B’ s 1 situam-se no S P H A – atendendo a que se trata de uma direcção luminosa frontal (de frente), conclui-se que a sombra projectada do cilindro não admite pontos de quebra. A ២ sombra do arco AB está coincidente com ២ o próprio arco (o arco AB está contido no Plano Horizontal de Projecção). A sombra ២ projectada do arco AB no SPHA é um arco ២ semelhante do arco A’B’ – tem centro em O’s 1 (a sombra real de O’) e 3 cm de raio ២ (o raio do arco A’B’ ). Note que a sombra ២ do A’B’ tem n e c e s s a r i a m e n t e de passar por A’s 1 e por B’s 1. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro (que é visível na sua totalidade) e identificou-se a mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do ២ B B ’] ’B’ em A’s 1, tal como a sombra da geratriz [B A A ’] é concordante com a sombra do arco A exercício 610. Note que a sombra da geratriz [A ២ é concordante com a sombra do arco A’B’ em B’s 1.

660.

Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções do cilindro, em função dos dados. O plano ν é o plano que contém a base superior do cilindro. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 657, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que esta situação é muito semelhante à situação do exercício 657, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura daquele relatório. Os dois exercícios diferem apenas no facto de, neste exercício, as sombras dos vértices da linha separatriz luz/sombra se situarem, todas, no SPHA. Sublinha-se, no entanto, que tal facto não é garantia de a sombra do cilindro não admitir pontos de quebra. Note que, no exercício anterior, tratando-se de uma direcção luminosa frontal (de frente), estava garantido que nenhum ponto do cilindro produziria sombra no Plano Frontal de Projecção. O mesmo não acontece neste exercício, pois existem pontos ២ da base superior (do arco A’B’ ) com afastamento inferior a A’ – assim, embora as sombras dos dois extremos do arco se situem no S P H A, tal não nos garante que não haja nenhum ponto cuja sombra se situe no SPFS (não ២ está garantida a inexistência de pontos de quebra na sombra do cilindro). Assim, há que verificar se a sombra do arco A’B’ admite, ou não pontos de quebra, o que se processou com o recurso ao método do plano luz/sombra passante. Este está definido pelo eixo X e por um raio luminoso l’, passante. O raio luminoso l’ intersecta o plano da base superior do cilindro (o plano ν) no ponto I’’. A recta i, fronto-horizontal e passando por I’’, é a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano da base superior do cilindro (o plano ν). A recta ២ ២ ២ i é exterior ao arco A ’B’, pelo que se conclui, então, que a sombra do arco A ’B’ não admite pontos de quebra – a sombra do arco A ’B’ situa២ ២ -se, na totalidade, no SPHA. A sombra do arco A’B’ no SPHA é um arco de circunferência semelhante ao arco A’B’ (com o mesmo raio), ២ O’s 1 é a sombra do centro do arco A ’B’ no Plano Horizontal de Projecção). com centro em O’s 1 (O

332

SOLUÇÕES

661.

Em primeiro lugar representaram-se o cilindro e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do cilindro. O plano ν’ é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 658, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que esta situação é muito semelhante à situação do exercício 658, inclusivamente no que respeita à sombra própria, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura daquele relatório (note que a linha separatriz luz/sombra é a idêntica, nomeadamente os arcos que a integram). Os dois exercícios diferem apenas no facto de, neste exercício, a base inferior do cilindro não estar contida no Plano Horizontal de Projecção mas, sim, num plano horizontal (de nível) com 2 cm de cota. Esse facto tem implicações, apenas, na determinação da sombra projectada do cilindro. Determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. A s 1, B s 1 e A’s 1 situam-se no SPHA e B’s 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do cilindro admite pontos de quebra. Um situa-se entre B s 1 e B’s 2 e o outro entre A’s 1 e B’s 2. O priBB’] e a sua sombra no Plano Frontal de Promeiro ponto de quebra determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre a geratriz [B jecção, pois trata-se de um segmento de recta vertical, que é um caso particular dos segmentos de recta frontais (ver exercício 545 e ២ respectivo relatório). O segundo ponto de quebra é o ponto de quebra da sombra do arco maior A’B’ – note que este arco produz sombra nos dois planos de projecção, pois as sombras dos seus extremos situam-se em planos distintos. O ponto de quebra da sombra do arco A២ ’B’ determinou-se pelo método do plano luz/sombra passante. O ponto I’ é o ponto de intersecção do raio luminoso l (o raio luminoso ២ passante) com o plano ν’ (o plano que contém o arco A’B’ – o plano da base superior). A recta i, fronto-horizontal e passando por I’, é, as២ sim, a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ν’ – i corta o arco A’B’ no ponto Q (note que se determinou, ape២ Q Q nas, a projecção horizontal de ). A sombra de será, assim, o ponto de quebra da sombra do arco A’B’. Por Q1 conduziu-se a projecção ២ ២ horizontal do raio luminoso que por ele passa e determinou-se Qs, no eixo X – Qs é o ponto de quebra da sombra do arco A’B’. O arco A’Q ២ ២ S P H A B ’ Q S P F S A ’ Q S P H A produz sombra no e o arco produz sombra no . A sombra que o arco produz no é um outro arco de circunferênO苶’苶v苶A A 苶’苶苶. Note que a sombra do 苶 cia (ampliado) – esse arco tem centro em O’v 1 (a sombra de O’ no Plano Horizontal de Projecção) e raio 苶 1 s1 ២ A s 1A’s 1] em A’s 1. A sombra arco A’Q passa necessariamente por Qs. Tenha em conta que o arco é necessariamente concordante com [A ២ ២ que o arco B’Q produz no SPFS (que é um segmento de elipse) obteve-se inscrevendo o arco B’Q na parte correspondente de um quadra២ do, conforme exposto no relatório do exercício 577, pelo que se aconselha a sua leitura. A sombra do arco A B é também um arco de circunO苶s苶A O苶s苶B A 苶苶 = 苶 B苶苶. Por fim ferência (ampliado) – esse arco tem centro em Os 1 (a sombra de O no Plano Horizontal de Projecção) e raio 苶 苶 苶 1 s1 1 s1 desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, A A ’] é concordante com a sombra do arco A២ ’Q em se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. Note que a sombra da geratriz [A ២ A’s 1 (como atrás se referiu) e concordante com a sombra do arco A B em A s 1. De forma semelhante, a sombra da geratriz [B BB’] é concor២ ២ dante com a sombra do arco B’Q em B’s 2 e concordante com a sombra do arco A B em B s 1.

333

SOLUÇÕES

662.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cilindro, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do cilindro. O plano ϕ’ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do cilindro. Note que o cilindro é tangente ao Plano Horizontal de Projecção ao longo de uma geratriz – a sua geratriz de menor cota. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 6 5 7 , pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra (o plano λ) está definido por uma recta t, de topo (paralela às geratrizes do cilindro), e por um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz).

As rectas t e t’ são tangentes à base de menor afastamento do cilindro (a base de referência) nos pontos A e B, respectivamente – as geratriA A ’ ] e [B B B ’ ] são, imediatamente, duas lizes [A nhas da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cilindro). As geA A ’] e [B BB’] separam a parte da superfície lateral do cilindro que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da ratrizes [A luz (da esquerda, de cima e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a parte superior da superfície, enquanto que a parte em sombra é a sua parte inferior (a parte mais próxima do Plano Horizontal de Projecção). A base de menor afastamento do cilindro está em A A ’ A២ ’B’ ២ B A ]. sombra e a sua base de maior afastamento está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [A Em projecção frontal, toda a superfície lateral do cilindro é invisível (as geratrizes são projectantes frontais) – apenas a base de maior afastamento do cilindro é visível e está iluminada, pelo que não existe qualquer sombra própria a assinalar, em projecção frontal. Em projecção horizontal, a base de menor afastamento (que está em sombra) é invisível (é projectante horizontal), pelo que a única sombra própria visível A A ’] e a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. é a parte da superfície lateral do cilindro compreendida entre a geratriz [A BB’] é invisível em projecção horizontal, o que se assinalou devidamente. Em seguida determinaram-se as sombras Note que a geratriz [B reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. B s 1, B’s 1 e A’s 1 situam-se no SPHA e A s 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do cilindro admite pontos de quebra. Um situa-se entre A s 2 e A’s 1 e o outro entre B s 1 e A s 2. O primeiro ponto de quebra determinouA A ’] (que é de topo) e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver se atendendo à situação de paralelismo entre a geratriz [A ២ exercício 547 e respectivo relatório). O segundo ponto de quebra é o ponto de quebra da sombra do arco A B – note que este arco produz sombra nos dois planos de projecção, pois as sombras dos seus extremos situam-se em planos distintos. O ponto de quebra da sombra do ២ arco A B determinou-se pelo método do plano luz/sombra passante. Este está definido pelo eixo X e por uma raio luminoso l’, passante. O ២ ponto I’ é o ponto de intersecção do raio luminoso l’ com o plano ϕ (o plano que contém o arco A B – o plano da base de menor afastameni ’ I ’ p l a n o l u z / s ombra passante com o plano ϕ – a recta i’ to). A recta , fronto-horizontal e passando por , é, assim, a recta de intersecção do ២ corta o arco A B no ponto Q (note que se determinou, apenas, a projecção frontal de Q). A sombra de Q será, assim, o ponto de quebra da ២ sombra do arco A B. Por Q2 conduziu-se a projecção frontal do raio luminoso que por ele passa e determinou-se Qs, no eixo X – Qs é o pon២ ២ ២ ២ to de quebra da sombra do arco A B. O arco BQ produz sombra no SPHA e o arco AQ produz sombra no SPFS. A sombra que o arco AQ ២ S P H A O A Q O produz no é um outro arco de circunferência, semelhante ao arco – esse arco tem centro em v 2 (a sombra de no Plano Fron២ ២ tal de Projecção) e 3 cm de raio (o raio do arco AQ). Note que a sombra do arco AQ passa necessariamente por Qs e por A s 2 (é concor២ B Q A A ’ A produz no SPFS (que é um segmento de elipse) obteve-se dante com a sombra da geratriz [A ] em s 2). A sombra que o arco ២ inscrevendo o arco BQ na parte correspondente de um quadrado, conforme exposto no relatório do exercício 577, pelo que se aconselha a ២ sua leitura. O arco A’B’ produz sombra exclusivamente no SPHA, pois as sombras dos seus extremos situam-se, ambas, no SPHA – a som២ bra do arco A’B’ no SPHA é um segmento de elipse, que se determinou inscrevendo o arco na parte correspondente de um quadrado, conforme exposto no relatório do exercício 577, pelo que se aconselha a sua leitura. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações A A ’] é concordante com a sombra do arco ២ AQ em A s 2 (como atrás expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [A ២ BB’] é concordante com a somse referiu) e concordante com a sombra do arco A’B’ em A’s 1. De forma semelhante, a sombra da geratriz [B ២ ២ bra do arco BQ em B s 1 e concordante com a sombra do arco A’B’ em B’s 1.

334

SOLUÇÕES

663.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cilindro, em função dos dados. O centro da base superior (o ponto O’ ) tem 3 cm de afastamento, pois aquela base é tangente ao Plano Frontal de Projecção. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 6 5 7 , pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra (o plano λ) está definido por uma recta r, oblíqua (paralela às geratrizes do cilindro), e por um raio luminoso l (com a direcção luminosa dada). As rectas t e t’ são tangentes à base inferior do cilindro (a base de referência) nos pontos A e B , A A ’] e [B BB’] são, respectivamente – as geratrizes [A imediatamente, duas linhas da l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao A A ’] e [B BB’] separam a parcilindro). As geratrizes [A te da superfície lateral do cilindro que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (da direita, de cima e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a parte de maior afastamento da superfície, enquanto que a parte em sombra é a sua parte de menor afastamento (a parte mais próxima do Plano Frontal de Projecção). A base inferior do cilindro está A A ’ A២ ’B’ ២ B A]. Em proem sombra e a sua base superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [A jecção horizontal, a base inferior (que está em sombra) é invisível – a parte da superfície lateral do cilindro que está em sombra e é visível é A A ’] e a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal (sendo essa a somaquela que está compreendida entre a geratriz [A BB’] é invisível em projecção horizontal, o que se assinalou devidabra própria a assinalar em projecção horizontal). Note que a geratriz [B mente. Em projecção frontal, a base inferior (que está em sombra) é invisível (é projectante frontal), pelo que a única sombra própria visível A A ’] e a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal. Note é a parte da superfície lateral do cilindro compreendida entre a geratriz [A BB’] é também invisível em projecção frontal, o que se assinalou devidamente. Em seguida determinaram-se as sombras que a geratriz [B reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. A s 1 ≡ A 1 e B s 1 ≡ B 1, pois A e B são dois pontos do Plano Horizontal de Projecção.

A s 1 e B s 1 situam-se no SPHA e A’s 2 e B’s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do cilindro admite pontos de quebra. Um situa-se entre A s 1 e A’s 2 e o outro entre B s 1 e B’s 2. Os pontos de quebra determinaram-se atendendo ao facto de a sombra projectada do cilindro nos planos de projecção estar limitada lateralmente pelos traços dos planos tangentes luz/sombra – uma vez que as rectas t e t’ são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes luz/sombra (a base inferior está contida no Plano Horizontal de Projec២ ção), sabe-se que a sombra projectada do cilindro no SPHA está limitada pelas rectas t e t’. A sombra do arco A B está coincidente com o ២ ២ A B A ’ B ’ próprio arco, pois o arco está contido no Plano Horizontal de Projecção. O arco produz sombra exclusivamente no SPFS, pois as ២ sombras dos seus extremos situam-se, ambas, no SPFS – a sombra do arco A’B’ no SPFS é um segmento de elipse, que se determinou inscrevendo o arco na parte correspondente de um quadrado, conforme exposto no relatório do exercício 577, pelo que se aconselha a sua leitura. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a traA A ’] é cejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [A ២ ២ BB’] é concordante com a sombra do arco A’B’ em B’s 2. concordante com a sombra do arco A’B’ em A’s 2, tal como a sombra da geratriz [B

664.

Em primeiro lugar representaram-se o cilindro e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do cilindro. O plano ν’ é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro.

Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 658, pelo que se aconselha a sua leitura. O raio luminoso l, passando por L e paralelo às geratrizes do cilindro, é a recta de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra. O raio luminoso L intersecta o plano ν (o plano da base de referência – a base inferior) no ponto I. As rectas t e t’ (passando por I) são tangentes à base inferior (a base de A A ’] e [B BB’] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra referência) nos pontos A e B, respectivamente – as geratrizes [A A A ’] e [B BB’] separam a parte (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cilindro). As geratrizes [A da superfície lateral do cilindro que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (do foco luminoso), a parte da ២ ២ superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco menor A B , enquanto que a parte que corresponde ao arco maior A B está em sombra. A base inferior do cilindro está em sombra e a sua base superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha (Continua na página seguinte) 335

SOLUÇÕES

mista fechada [A AA’ A២ ’B’ ២ B A ]. Sublinha-se que o arco da base inferior que integra a linha separatriz luz/sombra é o arco menor ២ A B. Já no que respeita à base superior, o arco que integra a l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra é o arco maior A២ ’B’. Em projecção horizontal, a base inferior (que está em sombra) é invisível – a parte da superfície lateral do cilindro que está em sombra e é visível é aquela que está compreendida entre a A A ’] e a geratriz de menor afastageratriz [A mento do contorno aparente horizontal (sendo essa a sombra própria a assinalar em projecção horizontal). Note que a geratriz B B ’] é invisível em projecção horizontal, o [B que se assinalou devidamente. Em projecção frontal, a base inferior (que está em sombra) é invisível (é projectante frontal), mas existem duas partes de sombra própria visível – a parA A ’] e a te compreendida entre a geratriz [A geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal e a parte compreendida entre a geB B ’ ] e a geratriz mais à direita do ratriz [B contorno aparente frontal. Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra, que se situam, todas, no SPHA. Sublinha-se, no entanto, que tal facto não é garantia de a sombra do cilindro não admitir pontos de quebra.

De facto, existem pontos da base superior ២ (do arco A’B’) com afastamento inferior a A’ e B’ – assim, embora as sombras dos dois extremos do arco se situem no S P H A, tal não nos garante que não haja nenhum ponto cuja sombra se situe no SPFS (não está garantida a inexistência de pontos de quebra na sombra do cilindro). Assim, há que verificar se a som២ bra do arco A’B’ admite, ou não pontos de quebra, o que se processou com o recurso ao método do plano luz/sombra passante. Este está definido pelo eixo X e pelo foco luminoso L. O raio luminoso passante l’ intersecta o plano da base superior do cilindro (o plano ν’) no ponto I’. A recta i, fronto-horizontal e passando por I’, é a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano da base supe២ ២ rior do cilindro (o plano ν’). A recta i é secante ao arco A’B’ (corta o arco A’B’ nos pontos R e S), pelo que se conclui, então, que a sombra ២ do arco A’B’ admite dois pontos de quebra. Note que não se determinaram as projecções frontais de R e S, por estas não serem necessárias. Conduzindo, por R 1 e S1, as projecções horizontais dos raios luminosos que por eles passam, determinaram-se as respectivas som២ R s e Ss), que se situam no eixo X. O arco ២ RS produz sombra no SPFS (que é um segmento de elipse) e os arcos A ’R e ២ SB’ produzem bras (R sombra no SPHA (que são dois arcos de circunferência). Esses arcos têm centro em Ov 1 (a sombra de O no Plano Horizontal de Projecção) ២ ២ O苶v苶苶A A 苶’苶s苶1 = 苶 O苶v苶苶B B苶’苶s苶. e raio 苶 苶 苶 Note que a sombra do arco A’R passa necessariamente por R s, tal como a sombra do arco SB’ passa necessaria1 1 1 ២ mente por Ss. O arco RS, por sua vez, produz sombra no SPFS, que é um segmento de elipse e se determinou inscrevendo o arco na parte correspondente do quadrado circunscrito à circunferência, conforme exposto no relatório do exercício 577, pelo que se aconselha a sua lei២ tura. A sombra do arco menor A B é um arco de circunferência (ampliado) – tem centro em Qs1 (a sombra de Q no Plano Horizontal de ProA B jecção) e raio Q 苶s苶1苶A 苶s苶1苶= Q 苶s苶1苶B 苶s苶1苶. Por fim desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaA A ’] ram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. Note que a sombra da geratriz [A ២ ២ B B ’] é é concordante com a sombra do arco A’R em A’s 1 e com a sombra do arco AB em A s1. De forma semelhante, a sombra da geratriz [B ២ ២ concordante com a sombra do arco SB’ em B’s 1 e concordante com a sombra do arco AB em B s 1.

665.

Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções do cilindro, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 657, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra (o plano λ) está definido por uma recta r, oblíqua (paralela às geratrizes do cilindro), e por um raio luminoso l (com a direcção luminosa convencional). As rectas t e t’ são tangentes à base inferior do cilindro (a base A A ’] e [B B B ’] são, imediatamente, duas linhas da l i n h a s e p a r a t r i z de referência) nos pontos A e B , respectivamente – as geratrizes [A (Continua na página seguinte) 336

SOLUÇÕES

luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cilindro). As geratrizes [A A A ’] e [B B B ’] separam a parte da superfície lateral do cilindro que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (da esquerda, de cima e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a parte superior da superfície, enquanto que a parte em sombra é a sua parte inferior (a parte mais próxima do Plano Horizontal de Projecção). A base inferior do cilindro está em sombra e a sua base superior está ilumiA A ’ A២ ’B’ ២ B A]. Em projecção horizontal, a base inferior (que está em nada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [A sombra) é invisível – a parte da superfície lateral do cilindro que está em sombra e é visível é aquela que está compreendida entre a geratriz A A ’] e a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal (sendo essa a sombra própria a assinalar em projecção horizon[A BB’] é invisível em projecção horizontal, o que se assinalou devidamente. Em projecção frontal, a base inferior (que tal). Note que a geratriz [B está em sombra) é invisível (é projectante frontal), pelo que a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cilindro comBB’] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [A A A ’] é invisível em projecção preendida entre a geratriz [B frontal, o que se assinalou devidamente. Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra.

A s 1 ≡ A 1 e B s 1 ≡ B 1, pois A e B são dois pontos do Plano Horizontal de Projecção. A s 1, B s 1 e B’s 1 situam-se no SPHA e A’s 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do cilindro admite pontos de quebra. Um situa-se entre A s1 e A’s2 e o outro entre A’s2 e B’s1. O primeiro ponto de quebra determinou-se atendendo ao facto de a sombra projectada do cilindro nos planos de projecção estar limitada lateralmente pelos traços dos planos tangentes luz/sombra – uma vez que a recta t é, imediatamente, o traço horizontal de um dos planos tangentes luz/sombra (a base inferior está contida no Plano Horizontal de Projecção), sabe-se que a sombra projectada do cilindro no SPHA está limi២ tada (à esquerda) pela recta t. O segundo ponto de quebra é o ponto de quebra da sombra do arco A’B’ (note que as sombras dos dois ២ extremos do arco se situam em planos distintos). A determinação do ponto de quebra da sombra do arco A’B’ processou-se com o recurso ao método do plano luz/sombra passante. Este está definido pelo eixo X e por um raio luminoso l’, passante. O raio luminoso l’ intersecta o plano da base superior do cilindro (o plano ν) no ponto I’’. A recta i’, fronto-horizontal e passando por I’’, é a recta de intersecção do plano ’B’ no ponto Q (note que se determinou, luz/sombra passante com o plano da base superior do cilindro (o plano ν). A recta i’ corta o arco A២ ២ apenas, a projecção horizontal de Q). A sombra de Q será, assim, o ponto de quebra da sombra do arco A’B’. Por Q1 conduziu-se a projec២ ção horizontal do raio luminoso que por ele passa e determinou-se Qs, no eixo X – Qs é o ponto de quebra da sombra do arco A’B’. ២ ២ ២ O arco A’Q produz sombra no SPFS e o arco B’Q produz sombra no SPHA. A sombra que o arco B’Q produz no SPHA é um outro arco de ២ circunferência (semelhante ao arco B’Q) – esse arco tem centro em O’v 1 (a sombra de O’ no Plano Horizontal de Projecção) e 3 cm de raio ២ (note que a sombra do arco B’Q passa necessariamente por B’s 1 e por Qs). Tenha em conta que o arco é necessariamente concordante ២ ២ ’Q produz no SPFS (que é um segmento de elipse) obteve-se inscrevendo o arco A ’Q na parte Bs1B’s1] em B’s1. A sombra que o arco A com [B correspondente de um quadrado, conforme exposto no relatório do exercício 575, pelo que se aconselha a sua leitura. A sombra do arco ២ ២ A B está coincidente com o próprio arco, pois o arco A B está contido no Plano Horizontal de Projecção. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as ២ A A ’] é concordante com a sombra do arco A ’Q em A’s 2, indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [A ២ BB’] é concordante com a sombra do arco B’Q em B’s1. (como atrás se referiu). tal como a sombra da geratriz [B

337

SOLUÇÕES

666.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cilindro, em função dos dados. A recta f, frontal (de frente), é a recta suporte do eixo do cilindro. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do cilindro. O plano ν’ é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro. O (o centro da base inferior) é o ponto de intersecção da recta f com o plano ν e O’ (o centro da base superior) é o ponto de intersecção da recta f com o plano ν’. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 657, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra (o plano λ) está definido por uma recta f ’, frontal (paralela às geratrizes do cilindro), e por um raio luminoso l (com a direcção luminosa convencional). A recta i é a recta de intersecção do plano definido por f ’ e l com o plano ν (o plano da base de referência – a base inferior) – note que, nesta situação, a recta i é necessariamente uma recta de topo. As rectas t e t’ são as rectas paralelas à recta i (são também rectas de topo) que são tangentes à base inferior do cilindro (a base de referência) – as rectas t e t’ são tangentes à base inferior do ciA A ’] e [B BB’] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são lindro nos pontos A e B, respectivamente. As geratrizes [A as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cilindro). Note que os planos tangentes luz/sombra são A A ’] e [B BB’] separam a parte da superfície lateral do cilindro que está iluminada da que está necessariamente planos de topo. As geratrizes [A A A ’] e [B BB’] são as duas geratrizes do contorno aparente frontal. Dada a proveniência da luz (da esem sombra. Note que as geratrizes [A querda, de cima e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a parte de maior afastamento da superfície, enquanto que a parte em sombra é a sua parte de menor afastamento (a parte mais próxima do Plano Frontal de Projecção). A base inferior do cilindro está em somA A ’ A២ ’B’ ២ B A]. Em projecção hobra e a sua base superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [A rizontal, a base inferior (que está em sombra) é invisível – a parte da superfície lateral do cilindro que está em sombra e é visível é aquela A A ’] e a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal (sendo essa a sombra próque está compreendida entre a geratriz [A BB’] é invisível em projecção horizontal, o que se assinalou devidamente. Em pria a assinalar em projecção horizontal). Note que a geratriz [B projecção frontal, a base inferior (que está em sombra) é invisível (é projectante frontal), tal como a parte em sombra da superfície lateral do A A ’] e [B BB’] são as geratricilindro, pelo que não há qualquer sombra própria a assinalar em projecção frontal (recorde que as geratrizes [A zes do contorno aparente frontal) – a parte visível da superfície lateral do cilindro está iluminada. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. A s 1 e B s 1 situam-se no SPHA e A’s 2 e B’s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do cilindro admite pontos de quebra. Um situa-se entre A s 1 e A’s 2 e o outro entre B s 1 e B’s 2. Os pontos de quebra determinaramA A ’] e [B BB’] (que são frontais) e as respectivas sombras no Plano Frontal de -se atendendo à situação de paralelismo entre as geratrizes [A ២ ២ Projecção (ver exercício 570 e respectivo relatório). O arco AB produz sombra exclusivamente no SPHA – a sombra do arco AB é um outro ២ A B O arco geometricamente igual ao arco . Esse arco tem centro em s 1 e 3 cm de raio (note que esse arco tem necessariamente de passar O苶s苶A A 苶苶 = 苶 O苶s苶B B苶苶 = 3 cm). O arco A២ ’B’ produz sombra exclusivamente no SPFS, pois as sombras dos seus extremos 苶 苶 por A s 1 e por B s 1, pois 苶 1 s1 1 s1 ២ situam-se, ambas, no SPFS – a sombra do arco A’B’ no SPFS é um segmento de elipse, que se determinou inscrevendo o arco na parte correspondente de um quadrado, conforme exposto no relatório do exercício 577, pelo que se aconselha a sua leitura. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o A A ’] é concordante com a sombra do faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [A ២ ២ BB’] é concordante com a arco AB em A s 1 e concordante com a sombra do arco A’B’ em A’s 2. De forma semelhante, a sombra da geratriz [B ២ ២ sombra do arco AB em B s e concordante com a sombra do arco A’B’ em B’s 2.

338

SOLUÇÕES

667.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cilindro, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do cilindro. O plano ϕ’ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do cilindro.

A recta r é a recta suporte do eixo do cilindro e O’ (o centro da base de maior afastamento) é o ponto de intersecção da recta r com o plano ϕ’. Note que a recta r é uma recta paralela ao β1/3. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/somb r a, conforme exposto no relatório do exercício 657, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra (o plano λ) está definido por uma recta s, oblíqua (paralela às geratrizes do cilindro e à recta r), e por um raio luminoso l (com a direcção luminosa convencional). A recta i é a recta de intersecção do plano definido por r e l com o plano ϕ (o plano da base de referência – a base de menor afastamento) – note que, nesta situação, a recta i é necessariamente uma recta fronto-horizontal. As rectas t e t’ são as rectas paralelas à recta i (são também rectas fronto-horizontais) que são tangentes à base de referência do cilindro – as rectas t e t’ são tangentes à base de menor afastamento do cilindro A A ’] e [B BB’] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geranos pontos A e B, respectivamente. As geratrizes [A trizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cilindro). Note que os planos tangentes luz/sombra são necessaA A ’] e [B BB’] separam a parte da superfície riamente planos de rampa, pois contêm rectas fronto-horizontais e rectas oblíquas. As geratrizes [A lateral do cilindro que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (da esquerda, de cima e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a parte de maior abcissa da superfície, enquanto que a parte em sombra é a sua parte de menor abcissa (a parte mais à direita). A base de menor afastamento do cilindro está em sombra e a sua base de maior afastamento está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [A A A ’ A២ ’B’ ២ B A]. Em projecção frontal, a base de menor afastamento (que está em sombra) é BB’] e a geinvisível – a parte da superfície lateral do cilindro que está em sombra e é visível é aquela que está compreendida entre a geratriz [B ratriz de mais à direita do contorno aparente frontal (sendo essa a sombra própria a assinalar em projecção horizontal). Note que a geratriz A A ’] é invisível em projecção frontal, o que se assinalou devidamente. Em projecção horizontal, a base de menor afastamento (que está em [A sombra) é invisível (é projectante horizontal) – a sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cilindro que está compreendida entre A A ’] e a geratriz mais à direita o contorno aparente horizontal. Note que a geratriz [B BB’] é invisível, em projecção horizontal, mas a geratriz [A A A ’]. Note que geratrizes [A A A ’] e [B BB’] são as geratrizes que contêm os pontos de maior cota e os pontos de menor está oculta pela geratriz [A cota das bases, respectivamente. Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. Bs e B’s situam-se no eixo X e A s2 e A’s2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do cilindro não admite pontos de quebra. Note que a somBB’] se situa no eixo X – uma vez que é a geratriz que contém os pontos de menor cota da superfície lateral do cilindro, a bra da geratriz [B ២ ២ sombra projectada do cilindro situa-se, na totalidade, no SPFS. O arco AB produz sombra exclusivamente no SPFS – a sombra do arco AB é ២ um outro arco geometricamente igual ao arco A B. Esse arco tem centro em Os2 e 3 cm de raio (note que esse arco tem necessariamente de O苶s苶A A苶苶 = 苶 O苶s苶B B苶 = 3 cm). De forma semelhante, o arco A២ ’B’ também produz sombra exclusivamente no SPFS, passar por A s e por Bs, pois 苶 苶 苶 2 s2 2 s ២ pois as sombras dos seus extremos situam-se, ambas, no SPFS – a sombra do arco AB é um outro arco geometricamente igual ao arco ២ O苶’苶s苶A A’B’. Esse arco tem centro em O’s2 e 3 cm de raio (note que esse arco tem necessariamente de passar por A’s2 e por B’s2, pois 苶 A苶’苶苶 = 苶 2 s2 O苶s苶B B苶’苶 = 3 cm). Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua par=苶 苶 2 s te visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a A A ’] é tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [A ២ ២ concordante com a sombra do arco A B em A s 2 e concordante com a sombra do arco A’B’ em A’s 2. De forma semelhante, a sombra da BB’] é concordante com a sombra do arco ២ A B em B s e concordante com a sombra do arco A២ ’B’ em B’s. geratriz [B

339

SOLUÇÕES

668.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cilindro, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do cilindro. Note que os dados do exercício permitiram-nos construir, de forma imediata, apenas a projecção horizontal do cilindro – não sendo dada a cota de O’ (o centro da base de maior afastamento), não é possível construir a projecção frontal do cilindro, sem o recurso a traçados e raciocínios auxiliares.

A recta p, de perfil, é a recta suporte do eixo do cilindro. O ângulo que a recta p faz com o Plano Frontal de Projecção (o plano da base de menor afastamento) é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que a recta p faz com o traço frontal do plano de perfil que a contém (o plano ortogonal ao Plano Frontal de Projecção que contém a recta p). Esse ângulo não se projecta em V.G., pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π (o plano de perfil que contém a recta p) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. Or ≡ O2, pois O é um ponto da charneira. Com vértice em Or, mediu-se o ângulo de 60o com f πrr (o ângulo que a recta p faz com os planos das bases) e desenhou-se pr (garantindo que o seu traço horizontal tem afastamento negativo (para se situar no SPHP).

Rebateu-se a referência de O’ (a partir do rebatimento de O’1) e determinou-se O’r sobre pr – invertendo o rebatimento, determinou-se O’2 e concluiu-se a construção da projecção frontal do cilindro. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 657, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra (o plano λ) está definido por uma recta p’, de perfil (paralela às geratrizes do cilindro e à recta p), e por um raio luminoso l (com a direcção luminosa convencional). Para garantir o paralelismo entre a recta p’ e a recta p recorreu-se ao rebatimento do plano de perfil que contém a recta p’ (plano α), para o Plano Frontal de Projecção e no mesmo sentido do rebatimento do plano π (ver exercício 3 e respectivo relatório) – a recta p’r passa por Pr e é paralela à recta pr. Em rebatimento, determinou-se o ponto de intersecção da recta p’ com o Plano Frontal de Projecção (o plano da base de referência), que é o traço frontal da recta p’ – ponto I. Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projecções de I (II é um ponto da charneira). A recta i é a recta de intersecção do plano definido por p’ e l com o Plano Frontal de Projecção (o plano da base de referência). As rectas t e t’ são as rectas paralelas à recta i que são tangentes à base de menor afastamento do cilindro (a base de referência) – as rectas t e t’ são tangentes àquela base do cilindro nos pontos A e B, respectivamente. As geratrizes [A A A ’] e [B BB’] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo A A ’] e [B BB’] separam a parte da superfície lateral do cilindas quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cilindro). As geratrizes [A dro que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (da esquerda, de cima e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a parte mais à esquerda da superfície, enquanto que a parte em sombra é a sua parte mais à direita. A base de menor afastamento do cilindro está em sombra e a sua base de maior afastamento está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [A A A ’ A២ ’B’ ២ B A]. Em projecção frontal, a base de menor afastamento (que está em sombra) é invisível – a parte da superfície lateral do BB’] e a geratriz mais à direita do contorno aparente cilindro que está em sombra e é visível é aquela que está compreendida entre a geratriz [B A A ’] é invisível em projecção frontal, o que se frontal (sendo essa a sombra própria a assinalar em projecção frontal). Note que a geratriz [A assinalou devidamente. Em projecção horizontal, a base de menor afastamento (que está em sombra) é invisível (é projectante horizontal) – a A A ’] e a geratriz mais à parte em sombra própria do cilindro que é visível em projecção horizontal é a que está compreendida entre a geratriz [A BB’] é invisível, em projecção horizontal, o que se assinalou devidamente. Em sedireita do contorno aparente horizontal. Note que a geratriz [B guida, determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. A s2 ≡ A 2 e Bs2 ≡ B2, pois A e B são dois pontos do Plano Frontal de Projecção. As sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra situam-se no SPFS pelo que, à partida, a sombra do cilindro não admite pontos de quebra. No entanto, nenhum dos vértices da linha separatriz luz/sombra é o ponto de menor cota do cilindro, pelo que é necessário averiguar se, efectivamente, não existe nenhum ponto de quebra na sombra projectada do sólido. As somA A ’] e [B BB’] situam-se, na totalidade, no SPFS, tal como a sombra do arco ២ AB (o arco ២ AB está contido no Plano Frontal bras das geratrizes [A ២ de Projecção, pelo que está coincidente com a sua sombra). Assim, caso haja algum ponto de quebra, será na sombra do arco A’B’. Apesar ២ m é t o d o d o p l a n o l u z / s o m b r a p a s s a n t e A de se terem omitido os traçados, recorreu-se ao e concluiu-se que a sombra do arco ’B’ também ២ não admite pontos de quebra, pelo que a sombra do cilindro se situa, na totalidade, no SPFS. O arco A’B’ produz sombra exclusivamente no ២ ២ SPFS – a sombra do arco A’B’ é um outro arco geometricamente igual ao arco A’B’. Esse arco tem centro em O’s2 e 3 cm de raio (note que O苶’苶s苶A A苶’苶苶 = 苶 O苶’苶s苶B B苶’苶苶 = 3 cm). Por fim, desenhou-se o contorno da sombra esse arco tem necessariamente de passar por A’s2 e por B’s2, pois 苶 苶 苶 2 s2 2 s2 projectada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as ’B’ em A’s2, A A ’] é concordante com a sombra do arco A២ indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [A ២ B B ’ A ’ B ’ B tal como a sombra da geratriz [B ] é concordante com a sombra do arco em ’s2.

340

SOLUÇÕES

669.

Em primeiro lugar representou-se o cilindro, pelas suas projecções, em função dos dados (ver relatório do exercício 666). Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a, através das quatro etapas para o efeito. 1. Por um ponto P, exterior, conduziu-se uma recta f ’, frontal (de frente), paralela às geratrizes do cilindro, e um raio luminoso l (com a direcção luminosa dada). Note que, nesta situação particular, as rectas f ’ e l estão coincidentes, ou seja, são uma única recta. Acontece que nunca um plano pode ser definido por uma única recta, a menos que essa recta seja uma das suas rectas de maior declive ou de maior inclinação, o que não é o caso. Conclui-se, portanto, que não existe uma orientação definida para os planos tangentes luz/sombra, o que quer dizer que planos tangentes luz/sombra são todos e quaisquer planos que contenham a direcção luminosa, a que corresponde uma infinidade de planos. Considerando essa infinidade de planos tangentes ao cilindro, cada um ao longo de uma geratriz, conclui-se que todas as geratrizes do cilindro são geratrizes de tangência de um qualquer plano tangente luz/sombra.

Assim sendo, a superfície luz/sombra tangente ao cilindro não é um plano mas, sim, uma superfície cilíndrica luz/sombra – uma superfície cujas geratrizes são raios luminosos e que é tangente ao cilindro precisamente ao longo de toda a sua superfície lateral. Tal significa, então, que toda a superfície lateral do cilindro está em sombra, pois a circunferência que delimita a base superior produz sombra ao longo de toda a superfície lateral. Por outro lado, a sombra projectada do cilindro é limitada pela intersecção da superfície cilíndrica luz/sombra tangente ao cilindro com os planos de projecção – como as geratrizes dessa superfície são frontais (de frente), a superfície não intersecta o Plano Frontal de Projecção, intersectando o Plano Horizontal de Projecção segundo uma circunferência. Esta circunferência delimita a sombra projectada do cilindro, que é um círculo com o mesmo raio das bases e centro em Os1 ≡ O’s1. Note que, de forma objectiva, neste exercício se tem a situação em que a superfície cilíndrica luz/sombra tangente ao cilindro é a própria superfície de que a superfície lateral do cilindro é uma parte.

670.

Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados.

O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. A projecção horizontal do sólido tem determinação imediata, pois tratando-se de um cone de revolução tem-se V1 ≡ O1. Para a construção da projecção frontal do sólido teve-se em consideração que todas as geratrizes fazem, com o plano da base, ângulos iguais (trata-se de um cone de revolução).

Assim sendo, é nas geratrizes frontais (de frente), que são as geratrizes do contorno aparente frontal, que esse ângulo se projecta em V.G. no Plano Frontal de Projecção. Note que o ângulo que as geratrizes frontais (de frente) da superfície lateral do cone fazem com o plano da base está contido num plano frontal (de frente), paralelo ao Plano Frontal de Projecção, razão pela qual o ângulo se projecta em V.G. no Plano Frontal de Projecção. Este raciocínio permitiu-nos determinar V2 e, assim, concluir a construção da projecção frontal do sólido. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l com o plano ν (o plano da base). Note que a projecção frontal de l (o raio luminoso) está coincidente com a projecção frontal da geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. As rectas t e t’ passam por I e são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente. Note que a recta t é necessariamente uma recta fronto-horizontal e que TV] e [T T’V] são, imediatamente, a recta t’ é necessariamente uma recta de topo. As geratrizes [T duas linhas da linha separatriz luz/sombra, pois separam a parte da superfície lateral do T’V] é a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Dada a procone que está iluminada da que está em sombra. Note que a geratriz [T ២ veniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco maior T T’ (3/4 da su២ perfície lateral total do cone), enquanto que a parte que corresponde ao arco menor T T’ (1/4 da superfície lateral total do cone) está em T T’]. Em projecção horisombra. Uma vez que a base do cone está em sombra, a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [T TV ២ zontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, sendo que a sombra própria visível (e a assinalar) se resume ao quarto de círculo limiT1V1] e [T T’1V1]. Em projecção frontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível (é projectante frontal), tal como a tado pelos segmentos [T parte em sombra da superfície lateral do cone, pelo que não há qualquer sombra própria a assinalar em projecção frontal. Recorde que a geraT’V] é a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Em seguida, determinaram-se as sombras dos três vértices da linha separatriz triz [T luz/sombra – Ts e Vs situam-se no eixo X e T’s1 situa-se no SPHA, pelo que se conclui que a sombra do cone não admite pontos de quebra ២ TV] está no eixo X. A sombra do arco maior T T’ é um arco de circunferência geome(situa-se, na totalidade, no SPHA). A sombra da geratriz [T ២ ២ tricamente igual ao arco T T’ – tem centro em Os1 e 3 cm de raio (note que a sombra do arco T T’ tem necessariamente de passar por Ts e por T’s1). Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes.

341

SOLUÇÕES

671.

Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. A projecção frontal do sólido tem determinação imediata, pois tratando-se de um cone de revolução tem-se V2 ≡ O2. Para a construção da projecção horizontal do sólido teve-se em consideração que todas as geratrizes fazem, com o plano da base, ângulos iguais. Por oposição ao exercício anterior, nesta situação é nas geratrizes do contorno aparente horizontal (as geratrizes horizontais), que esse ângulo se projecta em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. Note que o ângulo que as geratrizes horizontais (de nível) da superfície lateral do cone fazem com o plano da base (um plano frontal) está contido num plano horizontal (de nível), paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, razão pela qual o ângulo se projecta em V.G. no Plano Horizontal de Projecção.

Este raciocínio permitiu-nos determinar V1 e, assim, concluir a construção da projecção horizontal do sólido. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l com o plano ϕ (o plano da base). Note que a projecção horizontal de l (o raio luminoso) está coincidente com a projecção horizontal da geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. As rectas t e t’ passam por I e são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente. Note que a recta t é necessariamente uma recta fronto-horizontal e que a recta t’ é necessariamente uma recta vertical. As geratrizes [T TV] e [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra, pois sepaT’V] é a geratriz mais à direita do conram a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra. Note que a geratriz [T torno aparente horizontal. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a que ២ ២ corresponde ao arco maior T T’ (3/4 da superfície lateral total do cone), enquanto que a parte que corresponde ao arco menor T T’ (1/4 da superfície lateral total do cone) está em sombra. Uma vez que a base do cone está em sombra, a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [T TV ២ T T]. Em projecção frontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, sendo que a sombra própria visível (e a assinalar) se T2V2] e [T T’2V2]. Em projecção horizontal, a base do cone (que está em sombra) é invisíresume ao quarto de círculo limitado pelos segmentos [T vel (é projectante horizontal), tal como a parte em sombra da superfície lateral do cone, pelo que não há qualquer sombra própria a assinalar T’V] é a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. Em seguida, determinaram-se as em projecção frontal. Recorde que a geratriz [T sombras dos três vértices da linha separatriz luz/sombra – T’s situa-se no eixo X e Ts1 e Vs1 situam-se no SPHA, pelo que se conclui que a sombra do cone admite dois pontos de quebra. Um ponto de quebra é o próprio T’s. O outro ponto de quebra situa-se entre T’s e Ts1 e é o ponto ២ ២ de quebra da sombra do arco T T (o arco T T’ produz sombra sobre dois planos de projecção) – a determinação do ponto de quebra na som២ bra do arco T T e da própria sombra processou-se com o recurso ao método do plano luz/sombra passante, conforme exposto no relatório ២ T’Q] é um diâmedo exercício 578, pelo que se aconselha a sua leitura. Q é o ponto do arco T T’ cuja sombra é o ponto de quebra (note que [T ២ ២ tro da base). O arco TQ produz sombra no SPHA (que é um segmento de elipse) e o arco T’Q produz sombra no SPFS (que é um arco de cir២ cunferência, geometricamente igual ao arco T ’ Q ). Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes.

672.

Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. Não sendo dada a altura do cone mas, sim o ângulo que as geratrizes fazem com o plano da base (ângulo com ϕo de amplitude), é necessário, antes de mais, determinar graficamente a V.G. daquela amplitude. Para tal, conduziu-se um raio luminoso l, qualquer, passante, e determinou-se o ângulo que l faz com o Plano Frontal de Projecção (que é um plano paralelo ao plano da base do sólido) – esse ângulo (com ϕo de amplitude) existe no plano projectante frontal de l (plano α) e determinou-se rebatendo o plano α para o Plano Horizontal de Projecção. O ângulo de ϕo de amplitude está em V.G. no ângulo entre lr e o eixo X. Como se referiu no relatório do exercício anterior, o ângulo que as geratrizes de um cone de revolução de base frontal (de frente) fazem com o plano da base está em V.G., em projecção horizontal, no ângulo que as suas geratrizes do (Continua na página seguinte) 342

SOLUÇÕES

contorno aparente horizontal (as geratrizes horizontais) fazem com o plano da base. O ângulo que a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal do cone faz com o plano da base é um ângulo de lados directamente paralelos ao ângulo determinado e projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção – este raciocínio permitiu-nos desenhar imediatamente a projecção horizontal dessa geratriz e, assim, determinar V1, após o que se concluiu a construção da projecção horizontal do sólido. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l’ com o plano ϕ (o plano da base). Note que, nesta situação, o ponto I é um ponto da circunferência que delimita a base do cone, pelo que existe um único plano tangente luz/sombra. A recta t é a recta tangente à base no ponto I – é a recta de intersecção do único plano tangente luz/sombra com o plano ϕ (o plano da base). A geratriz [IIV] é a única geratriz em sombra da superfície lateral do sólido – uma vez que a base está em sombra (dada a proveniência da luz), a sombra própria integra a geratriz [IIV] e a base. Note que a geratriz [IIV] está em sombra, pois o raio luz/sombra l’, depois de passar por V, é transformado num raio de sombra – a geratriz [IIV] é um segmento da parte em sombra do raio luz/sombra l’. Assim sendo, a linha separatriz luz/sombra é a própria circunferência que delimita a base do cone e a sombra projectada do cone corresponde à sombra projectada da sua base (que é um círculo). Averiguou-se a possível existência de pontos de quebra, pelo método do plano luz/sombra passante – a recta i é a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ϕ e é exterior ao círculo, pelo que a sombra do cone não admite pontos de quebra. A sombra do cone é um círculo geometricamente igual ao círculo da base – tem centro em Os2 e 2,5 cm de raio (ver exercício 574 e respectivo relatório).

673.

Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Não sendo dada a altura do cone mas, sim o ângulo que as geratrizes fazem com o plano da base (ângulo com ϕo de amplitude), é necessário, antes de mais, determinar graficamente a V.G. daquela amplitude. Para tal, conduziu-se um raio luminoso l, qualquer, passante, e determinou-se o ângulo que l faz com o Plano Horizontal de Projecção (que é um plano paralelo ao plano da base do sólido) – esse ângulo (com ϕo de amplitude) existe no plano projectante horizontal de l (plano γ) e determinou-se rebatendo o plano γ para o Plano Frontal de Projecção. O ângulo de ϕo de amplitude está em V.G. no ângulo entre l r e o eixo X. Como se referiu no relatório do exercício 670, o ângulo que as geratrizes de um cone de revolução de base horizontal (de nível) fazem com o plano da base está em V.G., em projecção frontal, no ângulo que as suas geratrizes do contorno aparente frontal (as geratrizes frontais) fazem com o plano da base. O ângulo que a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal do cone faz com o plano da base é um ângulo de lados directamente paralelos ao ângulo determinado e projecta-se em V.G. no Plano Frontal de Projecção – este raciocínio permitiu-nos desenhar imediatamente a projecção frontal dessa geratriz e, assim, determinar V2, após o que se concluiu a construção da projecção frontal do sólido. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l’ com o plano ν (o plano da base). Note que, nesta situação, o ponto I é um ponto da circunferência que delimita a base do cone, pelo que existe um único plano tangente luz/sombra. A recta t é a recta tangente à base no ponto I – é a recta de intersecção do único plano tangente luz/sombra com o plano ν (o plano da base). A geratriz [IIV] é a geratriz de contacto (ou de tangência). Seguindo um raciocínio oposto ao do exercício anterior, por uma lógica superficial poderíamos ser facilmente levados a deduzir que esta geratriz seria a única geratriz em luz da superfície lateral do sólido, mas, na realidade, tal não acontece. De facto, a geratriz é um troço do raio luz/sombra que passa por V e por I. Ora, dada a proveniência da luz, e seguindo o raciocínio exposto no exercício anterior, o raio luz/sombra l’, depois de passar pelo ponto I, é transformado em raio de sombra, pelo que a geratriz [IIV] é, também nesta situação, um segmento da parte em sombra do raio luz/sombra l’. Assim sendo, nesta situação toda a superfície lateral do cone está em sombra. A linha separatriz luz/sombra é, então, a própria circunferência que delimita a base do cone e a sombra projectada do cone corresponde à sombra projectada da sua base (que é um círculo). Averiguou-se a possível existência de pontos de quebra, pelo método do plano luz/sombra passante. A recta i é a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ϕ e é secante ao círculo, pelo que a sombra do cone admite dois pontos de quebra – a sombra do círculo determinou-se conforme exposto no relatório do exercício 578, pelo que se aconselha a sua leitura.

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SOLUÇÕES

674.

Em primeiro lugar representou-se o cone, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l com o plano ν (o plano da base). Note que, nesta situação, o ponto I é um ponto interior à circunferência que delimita a base do cone, pelo que não e x i s t e nenhum plano tangente luz/sombra – qualquer plano que passe por I é um plano secante à base. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a superfície lateral do sólido está totalmente iluminada e a sua base está em sombra – a linha separatriz luz/sombra é, então, a própria circunferência que delimita a base do cone e a sombra projectada do cone corresponde à sombra projectada da sua base (que é um círculo). Averiguou-se a possível existência de pontos de quebra, pelo método do plano luz/sombra passante. A recta i é a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ν e é secante ao círculo, pelo que a sombra do cone admite dois pontos de quebra – a sombra do círculo determinou-se conforme exposto no relatório do exercício 576, pelo que se aconselha a sua leitura.

675.

Em primeiro lugar representou-se o cone, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separat r i z l u z / s o m b r a, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l com o plano ν (o plano da base). Tal como na situação anterior, também nesta situação o ponto I é um ponto interior à circunferência que delimita a base do cone, pelo que não existe nenhum plano tangente luz/sombra – qualquer plano que passe por I é um plano secante à base. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a superfície lateral do sólido está totalmente em sombra e a sua base está iluminada – a linha separatriz luz/sombra é, então, a própria circunferência que delimita a base do cone e a sombra projectada do cone corresponde à sombra projectada da sua base (que é um círculo). Averiguou-se a possível existência de pontos de quebra, pelo método do plano luz/sombra passante. A recta i é a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ν e é secante ao círculo, pelo que a sombra do cone admite dois pontos de quebra – a sombra do círculo determinou-se conforme exposto no relatório do exercício 576, pelo que se aconselha a sua leitura.

676.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e A , pelas respectivas projecções, e o plano π, pelos seus traços e contendo aqueles ponA B C] não se projecta em V.G. em nenhum tos, em função dos dados. Note que A e O têm necessariamente a mesma abcissa. O triângulo [A dos planos de projecção, pois o plano π não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo Or e A r. Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até A r, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do triângulo. Pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta ortogonal ao plano da base (a recta suporte do eixo da pirâmide), que é uma recta fronto-horizontal. A altura da pirâmide mede-se ortogonalmente ao plano da base, pelo que se mede sobre a recta suporte do eixo, que se projecta em V.G. nos dois planos de projecção. A partir das projecções do vértice do sólido e da sua base, desenharam-se as projecções da pirâmide. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 610, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano π (são rectas de perfil). Note que esta situação não difere das restantes situações de sombras de pirâmides (ao nível dos raciocínios), pois a diferença reside, apenas, no facto de só ser possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base do sólido em rebatimento. Nesse sentido foi necessário rebater o ponto (Continua na página seguinte) 344

SOLUÇÕES

I e as rectas t e t’ para o rebatimento previamente efectuado (para a construção das projecções da base) para, em rebatimento, identificar os vértices nos quais as rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base da pirâmide – tr passa por Ir e é tangente (rasante) à base em rebatimento no vértice B r e t’r passa por Ir e é tangente (rasante) à base em rebatimento no vértice Cr. Note que o ponto I se situa no 3o Diedro, pelo que o seu rebatimento pode provocar alguma confusão – o arco do rebatimento do ponto I é concêntrico com os arcos do rebatimento dos restantes pontos e roda no mesmo sentido (no sentido contrário ao dos ponteiros o relógio), sendo que I, no seu rebatimento, mantém BV] e [C CV] – estas arestas separam a cota (que é negativa). As arestas laterais que integram a linha separatriz luz/sombra são as arestas [B B CV] é a parte em sombra da superfície lateral do sólido da que está iluminada. Dada a proveniência da luz (do foco luminoso), a face lateral [B A BV] e [A ACV] estão em sombra. A base do sólido está em sombra, pelo que a l i n h a s e p a r a t r i z a única face iluminada e as faces laterais [A luz/sombra é [B BVC] (note que linha separatriz luz/sombra corresponde ao contorno da única face iluminada da pirâmide). A sombra próp r i a da pirâmide integra as faces laterais [A A BV] e [A ACV] e a base da pirâmide. Em projecção horizontal, a base da pirâmide (que é projecACV] são invisíveis – a sombra própria visível a assinalar em projecção horizontal resume-se à face lateral tante horizontal) e a face lateral [A A BV]. De forma semelhante, em projecção frontal a base da pirâmide (que também é projectante frontal) é invisível, bem como a face late[A A BV] – a sombra própria visível a assinalar em projecção frontal resume-se à face lateral [A ACV]. Em seguida, determinaram-se as somral [A bras reais dos vértices da linha separatriz luz/sombra. Cs 1 e Vs 1 situam-se no SPHA e B s 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem dois pontos de quebra, que se determinaram com o recurso à sombra virtual de B – B v 1. Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes.

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SOLUÇÕES

677.

Em primeiro lugar representaram-se o plano π, pelos seus traços, e o ponto A, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos A BCD] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano π não é paralelo a nenhum dos planos dados. O quadrado [A de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo A r. Com o compasso, fazendo centro em A r e com 5 cm de raio (a medida do lado do B tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de fπ) e construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. quadrado), determinou-se Br sobre fπr (B O sólido é uma pirâmide regular, pelo que o seu eixo está contido numa recta que passa pelo centro da base e é ortogonal ao plano da base – nesse sentido, foi necessário determinar as projecções do ponto O (o centro da base), o que se processou em rebatimento. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do quadrado e do ponto O. Pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta ortogonal ao plano da base (a recta suporte do eixo da pirâmide), que é uma recta fronto-horizontal. A altura da pirâmide mede-se ortogonalmente ao plano da base, pelo que se mede sobre a recta suporte do eixo, que se projecta em V.G. nos dois planos de projecção. A partir das projecções do vértice do sólido e da sua base, desenharam-se as projecções da pirâmide, respeitando as invisibilidades. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano π (são rectas de perfil). Note que esta situação não difere das restantes situações de sombras de pirâmides (ao nível dos raciocínios), pois a diferença reside, apenas, no facto de só ser possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base do sólido em rebatimento. Nesse sentido foi necessário rebater o ponto I e as rectas t e t’ para o rebatimento previamente efectuado (para a construção das projecções da base) para, em rebatimento, identificar os vértices nos quais as rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base da pirâmide – tr passa por Ir e é tangente (rasante) à base em rebatimento no vértice Br e t’r passa por Ir e é tangente (rasante) à base em BV] e [D DV] – estas arestas separam a rebatimento no vértice Dr. As arestas laterais que integram a linha separatriz luz/sombra são as arestas [B parte em sombra da superfície lateral do sólido da que está iluminada. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faces laB CV] e [C CDV] estão iluminadas e as faces laterais [A A BV] e [A ADV] estão em sombra. A base do sólido está iluminada, pelo que a linha terais [B BVDA]. A sombra própria da pirâmide integra as faces laterais [A A BV] e [A ADV]. Em projecção horizontal, as duas faces separatriz luz/sombra é [B laterais em sombra são invisíveis, pelo não há qualquer sombra própria visível a assinalar em projecção horizontal. Já em projecção frontal, a A BV] é invisível, mas a face lateral [A ADV] é visível, sendo esta a sombra própria visível em projecção frontal. Em seguida, determinaface lateral [A ram-se as sombras reais dos vértices da linha separatriz luz/sombra. As1 ≡ A1, pois A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Bs2 ≡ B, pois B é um ponto do Plano Frontal de Projecção. Vs situa-se no eixo X, pelo que Vs é, imediatamente, um ponto de quebra da sombra da pirâmide. Ds1 e A s1 situam-se no SPHA e Bs2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem outro ponto de quebra para além de Vs. O ponto de quebra (que se situa entre A s1 e Bs2) determinou-se com o recurso à sombra virtual de A – A v2. Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

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SOLUÇÕES

678.

Em primeiro lugar representaram-se o plano π, pelos seus traços, e o ponto A , pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função A B CDEF] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano π não é paralelo a nenhum dos dados. O hexágono [A dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo A r. Em rebatimento, efectuou-se a construção do hexágono em V.G., A r B r] faz um ângulo de 45o com hπr e B r situa-se mais próximo de f πr do que A r (para que B tenha afastarespeitando os dados – o lado [A DV] é horizontal (de nível), pelo mento inferior a A ). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do hexágono. A aresta lateral [D FV] é frontal (de frente), pelo que V tem o afastamento de F. A aresta lateral [F FV] (que é frontal) que V tem a cota de D. A aresta lateral [F mede 10 cm, e uma vez que é paralela ao Plano Frontal de Projecção, projecta-se em V.G. na sua projecção frontal – com o compasso, fazendo centro m F2 e com 10 cm de raio (a medida da aresta) determinou-se V2, a projecção frontal do vértice, após o que se determinou a sua projecção horizontal e se concluiu a construção das projecções da pirâmide, atendendo às invisibilidades existentes. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano π (são rectas de perfil). Note mais uma vez que esta situação não difere das restantes situações de sombras de pirâmides (ao nível dos raciocínios), pois a diferença reside, apenas, no facto de só ser possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base do sólido em rebatimento. Nesse sentido foi necessário rebater o ponto I e as rectas t e t’ para o rebatimento previamente efectuado (para a construção das projecções da base) para, em rebatimento, identificar os vértices nos quais as rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base da pirâmide – tr passa por Ir e é tangente (rasante) à base em rebatimento no vértice Cr e t’r passa por Ir e é tangente (rasante) à base em rebatimento no vértice Fr. As arestas laterais que integram a linha separatriz luz/sombra são as CV] e [F FV] – estas arestas separam a parte em sombra da superfície lateral do sólido da que está iluminada. Dada a proveniência arestas [C CDV], [D DEV] e [E EFV] estão iluminadas e as faces laterais [B B CV], [A A BV] e [A A F V] da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faces laterais [C CVFED]. A sombra própria da pirâmide estão em sombra. A base do sólido está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é [C B CV], [A A BV] e [A AFV] e a base da pirâmide. Em projecção horizontal, a base é invisível (é projectante horizontal), integra as faces laterais [B A BV] e [A AFV] – a única sombra própria visível a assinalar em projecção horizontal resume-se à face lateral bem como as faces laterais [A B CV]. Já em projecção frontal, a base é invisível (é projectante frontal), bem como as faces laterais [A A BV] e [B B CV] – a única sombra própria [B AFV]. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos vértices da li n h a visível a assinalar em projecção frontal resume-se à face lateral [A separatriz luz/sombra. Ds situa-se no eixo X, pelo que Ds é, imediatamente, um ponto de quebra da sombra da pirâmide. Vs 1, Fs 1 e Es 1 situam-se no SPHA e Cs2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem outro ponto de quebra para além de Ds. O ponto de quebra (que se situa entre Vs 1 e Cs 2) determinou-se com o recurso à sombra virtual de C – Cv 1. Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

347

SOLUÇÕES

679.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, e o plano π, pelos seus traços e contendo aqueles pontos, em função dos dados. Note que A e B têm necessariamente a mesma abcissa. Representou-se, também, o foco luminoso L, pelas suas A B C] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano π não é paralelo a nenhum dos projecções. O triângulo [A planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π – rebateu-se o plano π para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hπ), obtendo A r e B r. A partir de A r e B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, e inverteu-se o rebatimento, determinando as projecções do triângulo. O plano π’ é o plano que contém a base mais à direita do prisma – situa-se 5,5 cm (a altura do prisma) para a direita do plano π. Pelas projecções dos vértices do triângulo conduziram-se as projecções homónimas das rectas ortogonais ao plano π (as rectas suporte das arestas laterais do prisma), que são fronto-horizontais, após o A’B’C’]) e se concluiu a construção das projecque se determinaram as projecções os vértices da base mais à direita do sólido (o triângulo [A ções do prisma (atendendo às invisibilidades existentes). Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 627, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que esta situação não difere das restantes situações de sombras de prismas (ao nível dos raciocínios), pois a diferença reside, apenas, no facto de só ser possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base de referência do sólido em rebatimento. Note que a base de referência foi a base contida no plano π – a base cujo rebatimento nos possibilitou a construção das projecções do sólido. Assim, as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano π (são rectas de perfil).

Nesse sentido, foi necessário rebater o ponto I e as rectas t e t’ para o rebatimento previamente efectuado (para a construção das projecções da base mais à esquerda) para, em rebatimento, identificar os vértices nos quais as rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) àquela base do prisma – tr passa por Ir e é tangente (rasante) à base em rebatimento no vértice B r e t’r passa por Ir e é tangente (rasante) à base BB’] e [C CC’] – estas arestas em rebatimento no vértice Cr. As arestas laterais que integram a linha separatriz luz/sombra são as arestas [B separam a parte em sombra da superfície lateral do sólido da que está iluminada. Dada a proveniência da luz (do foco luminoso), a face laBB’C’C] é a única face lateral iluminada e as faces laterais [A A A ’ B ’ B] e [A AA’C’C] estão em sombra. A base mais à esquerda do sólido teral [B BB’C’CA]. A sombra própria do está iluminada e a sua base mais à direita está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é [B A A ’ B ’ B] e [A AA’C’C] e a base [A A’B’C’]. Em projecção horizontal, a base [A A’B’C’] é invisível (é projectante hoprisma integra as faces laterais [A A A ’ B ’ B] e [A AA’C’C] – a única face visível em projecção horizontal é a face lateral [B BB’C’C], que está rizontal), bem como as faces laterais [A A ’ B ’ C ’] é iluminada, pelo que não há qualquer sombra própria visível a assinalar em projecção horizontal. Já em projecção frontal, a base [A A A ’ B ’ B] – a única sombra própria visível a assinalar em projecção fronigualmente invisível (é projectante frontal), bem como a face lateral [A (Continua na página seguinte) 348

SOLUÇÕES

AA’C’C]. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos vértices da linha separatriz luz/sombra. As 1 ≡ A 1, tal resume-se à face lateral [A pois A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. A s 1, Cs 1 e C’s 1 situam-se no SPHA e B s 2 e B’s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra (um situado entre A s 1 e B s 2 e outro situado entre C’s 1 e B’s 2). O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de B – B v 1. O segundo ponto de quebra determinou-se com o recurso à sombra virtual de B’ – B’v 1. Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

680.

Em primeiro lugar representou-se o ponto R , pelas suas projecções, e o plano π, pelos seus traços e contendo o ponto R , em função dos RSTU] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano π não é paralelo a nenhum dos pladados. O quadrado [R nos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π – rebateu-se o plano π R T] do quadrado faz com o Plano Horizontal de para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo R r. O ângulo que a diagonal [R Projecção é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que aquela diagonal faz com hπ, que está em V.G. em rebatimento – com vértice em R r, mediu-se o ângulo de 60o com hπr (garantindo que T tenha afastamento positivo e que toda a construção do quadrado em rebatimento se situe entre f πr hπr, para que o quadrado se situe no 1o Diedro). Sobre esse lado do ângulo mediram-se os 8 cm (em V.G.), obtendo Tr. A partir de R r e Tr construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, e inverteu-se o rebatimento, determinando as projecções do polígono.

O plano π’ é o plano que contém a face mais à direita do cubo – a distância entre os dois planos é igual à medida do lado do quadrado RSTU] (que está em V.G. em rebatimento). Pelas projecções dos vértices do quadrado conduziram-se as projecções homónimas das rec[R tas ortogonais ao plano π (as rectas suporte das arestas do cubo que não são de perfil), que são fronto-horizontais, após o que se determiR’S’T’U’]) e se concluiu a construção das projecções do naram as projecções dos vértices da face mais à direita do sólido (o quadrado [R cubo (atendendo às invisibilidades existentes). Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 626, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra está definido por uma recta g, fronto-horizontal (paralela às arestas do cubo que não são de perfil) e por um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz). A recta i, definida pelos pontos I e I’ (que são os pontos de intersecção do plano π com as rectas g e l, respectivamente), é a recta de intersecção do plano definido por g e l com o plano π – a recta i é uma recta de perfil. Note que esta situação não difere das restantes situações de sombras de prismas (ao nível dos raciocínios), pois a diferença reside, apenas, no facto de só ser possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base de referência do sólido em rebatimento. Note que a base de referência foi a face contida no plano π – a base cujo rebatimento nos possibilitou a (Continua na página seguinte) 349

SOLUÇÕES

construção das projecções do sólido. Assim, as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano π (são rectas de perfil e são paralelas à recta i). Nesse sentido, foi necessário rebater a recta i e as rectas t e t’ para o rebatimento previamenRSTU]) para, em rebatimento, identificar os vértices nos quais as rectas t e t’ são te efectuado (para a construção das projecções da face [R tangentes (ou rasantes) àquela face do cubo. A recta i r passa por Ir e por I’r – a recta tr é paralela à recta i r e é tangente (rasante) à face RSTU] em rebatimento no vértice Sr e a recta t’r é também paralela à recta i r e é tangente (rasante) à face [R RSTU] em rebatimento no vérti[R S S’] e [U UU’] – estas arestas separam a parte em sombra da ce Ur. As arestas que integram a linha separatriz luz/sombra são as arestas [S S S’T’T], [T T T’U’U ] e superfície lateral do sólido da que está iluminada. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faces [S RSTU] estão iluminadas e as faces [R RR’S’S], [R RR’U’U] e [R R’S’T’U’] estão em sombra – a linha separatriz luz/sombra é [S S S’T’U’UR]. A [R sombra própria do cubo integra as faces [R RR’S’S], [R RR’U’U] e [R R’S’T’U’]. Em projecção horizontal, a face [R R’S’T’U’] é invisível (é projectanRR’S’S] e [R RR’U’U] – as faces visíveis em projecção horizontal estão iluminadas, pelo que não há qualte horizontal), bem como as faces [R R ’ S ’ T ’ U ’ ] é igualmente invisível (é quer sombra própria visível a assinalar em projecção horizontal. Já em projecção frontal, a face [R RR’S’S] – a única sombra própria visível a assinalar em projecção frontal resume-se à face [R RR’U’U]. projectante frontal), bem como a face [R Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos vértices da linha separatriz luz/sombra. R s 1, Us 1 e U’s 1 situam-se no SPHA e Ss 2, S’s 2 e T’s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do cubo admite dois pontos de quebra (um situado entre R s 1 e Ss 2 e outro situado entre U’s 1 e T’s 2). O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de R – R v 2. O segundo ponto de quebra determinou-se com o recurso à sombra virtual de T’ – T’v 1. Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

681.

Em primeiro lugar representou-se o plano π, pelos seus traços, em função dos dados.

O ponto O , o centro da circunferência circunscrita ao pentágono, tem 3,5 cm de cota (a circunferência é tangente ao Plano Horizontal de Projecção) e 6 cm de afastamento, pelo que é possível representar o ponto O pelas suas projecções, pertencente ao plano. Os dados permitem-nos, ainda, representar a projecção A B C D E] não se frontal de A . O pentágono [A projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano π não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar.

Optou-se pelo rebatimento do plano π – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo O r . Com o compasso, fazendo centro em Or e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono (que é tangente a hπr) em V.G., em rebatimento. Em seguida, transportouse a cota de A para o rebatimento, obtendo Ar sobre a circunferência (note que se garantiu que A é o vértice de menor afastamento do polígono – é o vértice mais próximo de f πr). Em seguida, construiu-se o pentágono em V.G., em rebatimento (inscrito na circunferência), e inverteu-se o rebatimento, determinando as projecções do polígono. Uma vez que as arestas laterais do sólido são paralelas ao β2/4, sabese que as suas projecções são paralelas entre si. Pelas projecções de A conduziram-se as projecções homónimas da recta suporte da A A ’] – A’ tem afastamento nulo, aresta lateral [A o que nos permitiu determinar os traços do plano π’ (o plano que contém a base mais à esquerda do prisma). Pelas projecções dos restantes vértices do pentágono conduziram-se as projecções homónimas das rectas suporte das respectivas arestas laterais (paralelas às projecA A ’]), após o que se determinaram as projecções dos vértices da base [A A’B’C’D’E’] e se concluiu a construção das ções homónimas de [A projecções do prisma (atendendo às invisibilidades existentes). Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 626, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra está definido por uma recta r (paralela às arestas laterais do prisma) e por um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz). A recta i, definida pelos pontos I e I’ (que são os pontos de intersecção do plano π com as rectas r e l, respectivamente), é a recta de intersecção do plano definido por r e l com o plano π – (Continua na página seguinte) 350

SOLUÇÕES

a recta i é uma recta de perfil. Note que esta situação não difere das restantes situações de sombras de prismas (ao nível dos raciocínios), pois a diferença reside, apenas, no facto de só ser possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base de referência do sólido em rebatimento. Note que a base de referência foi a base contida no plano π – a base cujo rebatimento nos possibilitou a construção das projecções do sólido. Assim, as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano π (são rectas de perfil e são paralelas à recta i). Nesse sentido, foi necessário rebater a recta i e as rectas t e t’ para o rebatimento previamente efectuado (para a construção das projecções da base mais à direita) para, em rebatimento, identificar os vértices nos quais as rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) àquela base do prisma. A recta i r passa por Ir e por I’r – a recta tr é paralela à recta i r e é tangente (rasante) à base em rebatimento no vértice B r e a recta t’r é também paralela à recta i r e é tangente (rasante) à base em rebatimento no vértice Dr. As arestas BB’] e [D DD’] – estas arestas separam a parte em sombra da superfície laterais que integram a linha separatriz luz/sombra são as arestas [B BB’C’C] e [C CC’D’D] lateral do sólido da que está iluminada. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faces laterais [B A ’ B ’ C ’ D ’ E ’] está iluminada e a base A A ’ B ’ B], [A A A ’ E ’ E] e [D DD’E’E] estão e m s o m b r a. A base [A estão i l u m i n a d a s e as faces laterais [A A B CDE] está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é [B BB’A’E’D’DC]. A sombra própria do prisma integra as faces laterais [A A A ’ B ’ B], [A AA’E’E] e [D DD’E’E], bem como a base [A A B CDE]. Em projecção horizontal, a base [A A B CDE] é invisível (é projectante horizontal), [A AA’E’E] e [D DD’E’E] – a única face lateral em sombra que é visível em projecção horizontal é a face [A A A ’ B ’ B], pelo que bem como as faces [A A B CDE] é igualmente invisível (é projectante é a única sombra própria a assinalar em projecção horizontal. Já em projecção frontal, a base [A frontal), bem como todas as faces laterais em sombra – em projecção frontal não existe qualquer sombra própria visível a assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos vértices da linha separatriz luz/sombra. A’s 2 ≡ A’2, pois A’ é um ponto o Plano Frontal de Projecção. D’s 1, Ds 1 e Cs 1 situam-se no SPHA e E’s 2, A’s 2, B’s 2 e B s 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra (um situado entre E’s 2 e D’s 1 e outro situado entre Cs 1 e B s 2). O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de D’ – D’v 2. O segundo ponto de quebra determinou-se com o recurso à sombra virtual de C – Cv 2. Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

682.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto O, pelas suas projecções, e o plano π, pelos seus traços e passando por O, em função dos dados. Note que para desenhar as projecções do cone não é necessário, sequer, o recurso ao rebatimento do plano de perfil no qual existe a base do sólido, pois atendendo a que o plano π é duplamente projectante (as duas projecções da base são segmentos de recta) é possível desenhar imediatamente as duas projecções da base (que são dois segmentos de recta com 6 cm de comprimento, de que as projecções de O são os pontos médios). No entanto, com vista à futura determinação da sombra do sólido e da respectiva parte curva, optou-se por efectuar o rebatimento – ver relatório do exercício 601. O vértice do cone situa-se 9 cm (a altura do cone) para a esquerda do plano π. Uma vez que a geratriz de maior afastamento é frontal (de frente), sabe-se que V tem o afastamento do ponto de maior afastamento da base do cone. Por outro lado, uma vez que a geratriz de maior cota é horizontal (de nível), sabe-se que V tem a cota do ponto de maior cota da base do cone.

(Continua na página seguinte) 351

SOLUÇÕES

Estes raciocínios permitiam-nos concluir a construção das projecções do sólido. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano π (são rectas de perfil). Note que esta situação não difere das restantes situações de sombras de cones (ao nível dos raciocínios), pois a diferença reside, apenas, no facto de só ser possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base do sólido em rebatimento. Nesse sentido foi necessário rebater o ponto I e as rectas t e t’ para o rebatimento previamente efectuado (para a construção das projecções da base) para, em rebatimento, determinar os pontos nos quais as rectas t e t’ são tangentes à base do cone. Note que o ponto I é, nesta situação, o traço frontal de l – I é, assim, um ponto fixo no rebatimento do plano π, pois situa-se na charneira. A recta tr passa por Ir e é tangente à base em rebatimento em Tr e a recta t’r passa por Ir e é tangente à base em rebatimento em T’r. Invertendo o rebatimento, TV] e [T T’V], cujas invisibilidades se assinalaram obtiveram-se as projecções de T e T’, bem como as projecções das geratrizes separatrizes [T TV] e [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo convenientemente. As geratrizes [T TV] e [T T’V] separam a parte da superfície lateral do cone das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cone). As geratrizes [T que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, de trás e da esquerda), a parte da superfície que está i l uT T’, enquanto que a parte que corresponde ao arco menor ២ T T’ está em sombra. A base do minada é a que corresponde ao arco maior ២ T’V ២ T T’] (note que o arco que integra a linha sepacone está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [T ratriz luz/sombra é o arco maior ២ T T’). Em projecção frontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível (é projectante frontal) – a úniTV] e a geratriz inferior ca sombra própria visível em projecção frontal é a parte da superfície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T T’V] é invisível em projecção frontal (o que se assinalou devidamente). Em projecção horido contorno aparente frontal. Note que a geratriz [T zontal, a base do cone (que está em sombra) é igualmente invisível (é projectante horizontal) – a única sombra própria visível é a parte da T’V] e a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal. Note que superfície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T TV] é invisível em projecção horizontal (o que se assinalou devidamente). Em seguida, determinaram-se as sombras reais de toa geratriz [T dos os vértices da linha separatriz luz/sombra. Vs 1 e Ts 1 situam-se no SPHA e T’s2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra do cone admite dois pontos de quebra – um situa-se entre Vs 1 e T’s2 e o outro entre Ts 1 e T’s 2. O primeiro determinou-se com o recuso à sombra virtual de V ២ – Vv 2. O segundo é um ponto de quebra do arco T T’, que se determinou com o recuso ao método o plano luz/sombra passante – ver rela២ tório do exercício 601. Q é o ponto do arco TT’ cuja sombra é o ponto de quebra (note que se representou, apenas, a projecção frontal de Q). O ២ ២ arco T’Q produz sombra no SPFS e o arco TQ produz sombra no SPHA – as duas sombras são segmentos de elipses, que se determinaram de acordo com o exposto no relatório do exercício 601, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo à invisibilidade (que é mínima), e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se T’V] é concordante com a somque o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [T ២ ២ TV] é concordante com a sombra do arco TQ em Ts 1. bra do arco T’Q em T’s 2, tal como a sombra da geratriz [T

683. Resolução

(Relatório na página seguinte) 352

SOLUÇÕES

683. Relatório Em primeiro lugar representaram-se o ponto O, pelas suas projecções, e o plano π, pelos seus traços e passando por O, em função dos dados. O ponto O tem 6 cm de afastamento (o afastamento do vértice, pois trata-se de um cone de revolução) e 3,5 cm de cota (pois a base é tangente ao Plano Horizontal de Projecção).Tal como no exercício anterior ver respectivo relatório), para desenhar as projecções do cone não é necessário o recurso ao rebatimento do plano que contém a base do sólido. No entanto, com vista à futura determinação da sombra do sólido e da respectiva parte curva, optou-se por efectuar o rebatimento (ver relatório do exercício 601), construindo em seguida as projecções do sólido. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano π (são rectas de perfil). Note que esta situação não difere das restantes situações de sombras de cones (ao nível dos raciocínios), pois a diferença reside, apenas, no facto de só ser possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base do sólido em rebatimento. Nesse sentido foi necessário rebater o ponto I e as rectas t e t’ para o rebatimento previamente efectuado (para a construção das projecções da base) para, em rebatimento, determinar os pontos nos quais as rectas t e t’ são tangentes à base do cone – tr passa por Ir e é tangente à base em rebatimento em Tr e t’r passa por Ir e é tangente à base em rebatimento em T’r. Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções de T e T’, bem como as projecções das geratrizes separatriTV] e [T T’V], cujas invisibilidades se assinalaram convenientemente. As geratrizes [T TV] e [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da l i n h a zes [T separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cone). As geratrizes [T TV ] e T’V] separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, de [T ២ trás e da esquerda), a parte da superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco menor T T’, enquanto que a parte que corres២ a r c o m a i o r T T ’ e m s o m b r a l i n h a s e p a r a t riz luz/sombra é a linha mista fechaponde ao está . A base do cone está iluminada, pelo que a ២ da [T T’V ២ T T’] (note que o arco que integra a linha separatriz luz/sombra é o arco maior T T’). Em projecção frontal, a única sombra própria T’V] e a geratriz inferior do contorno aparente frontal. Note que visível é a parte da superfície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T TV] é invisível em projecção frontal (o que se assinalou devidamente). Em projecção horizontal, a única sombra própria visível é a a geratriz [T TV] e a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal. parte da superfície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T T’V] é invisível em projecção horizontal (o que se assinalou devidamente). Em seguida, determinaram-se as sombras Note que a geratriz [T reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. Vs 1 e T’s 1 situam-se no SPHA e Ts 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra do cone admite dois pontos de quebra – um situa-se entre Vs 1 e Ts 2 e o outro entre T’s 1 e Ts 2. O primeiro determinou-se com o recurso à sombra vir២ tual de T – Tv1. O segundo é um ponto de quebra do arco T T’, que se determinou com o recurso ao método do plano luz/sombra passante – ២ ver relatório do exercício 601. Q é o ponto do arco T T’ cuja sombra é o ponto de quebra (note que se representou, apenas, a projecção ២ ២ frontal de Q). O arco T’Q produz sombra no SPHA e o arco TQ produz sombra no SPFS – as duas sombras são segmentos de elipses, que se determinaram de acordo com o exposto no relatório do exercício 601, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da T’V] é concordante com a sombra do arco ២ T’Q em T’s 1, tal como a sombra da geratriz [T TV] é concordante com a sombra do arco geratriz [T ២ TQ em Ts 2.

684.

Em primeiro lugar representaram-se a recta g (a recta fronto-horizontal que é a recta suporte do eixo do cilindro), pelas suas projecções, e os planos π e π’ (os planos de perfil que contêm as bases do sólido e que distam 6 cm um do outro), pelos respectivos traços, em função dos dados. Note que é possível desenhar imediatamente as projecções das duas bases do sólido sem sequer recorrer ao rebatimento do plano π, pois sendo o cilindro tangente ao Plano Horizontal de Projecção, sabe-se que as suas bases têm 3 cm de raio e as duas projecções das duas bases são segmentos de recta (ver relatório do exercício 682). Assim, é possível construir as projecções do cilindro sem o recurso a qualquer rebatimento. No entanto, com vista à futura determinação da sombra do sólido e da respectiva parte curva, optou-se por efectuar o rebatimento do plano π, o plano que contém a base mais à esquerda do sólido. Após a determinação das projecções do sólido, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 657, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra está definido por uma recta g’ (uma recta fronto-horizontal, paralela às geratrizes do cilindro) e por um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz). A recta i, definida pelos pontos I e I’ (que são os pontos de intersecção do plano π com as rectas g’ e l, respectivamente), é a recta de intersecção do plano definido por g’ e l com o plano π – a recta i é uma recta de perfil. Note que esta situação não difere das restantes situações de sombras de cilindros (ao nível dos raciocínios), pois a diferença reside, apenas, no facto de só ser possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base de referência do sólido em rebatimento. Note que a base de referência foi a base contida no plano π – a base cujo rebatimento nos possibilitou a construção das projecções do sólido. Assim, as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano π (são rectas de perfil e são paralelas à recta i). Nesse sentido, foi necessário rebater a recta i e as rectas t e t’ para o rebatimento previamente efectuado (para a construção das projecções da base mais à esquerda) para, em rebatimento, determinar os pontos nos quais as rectas t e t’ são tangentes àquela base do cilindro. A recta i r passa por Ir e por I’r – a recta tr é paralela à recta i r e é tangente à base em rebatimento em A r e a recta t’r é também paralela à recta i r e é tangente à base em rebatimento em T’r. Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções de A e B, bem como das geratrizes separatrizes A A ’] e [B BB’]. Dada a proveniência da luz (da esquerda, de cima e de trás), a parte da superfície que está i l u m iluz/sombra – as geratrizes [A nada é a parte superior da superfície, enquanto que a parte em sombra é a sua parte inferior (a parte mais próxima do Plano Horizontal de Projecção). A base mais à esquerda do cilindro está iluminada e a sua base mais à direita está em sombra, pelo que a l i n h a s e p a r a t r i z (Continua na página seguinte) 353

SOLUÇÕES

luz/sombra é a linha mista fechada [A A A ’ A២ ’B’ ២ B A]. Em projecção frontal, a base mais à direita (que está em sombra) é invisível (é projectante frontal) – a única sombra própria visível em projecção frontal é a parte da superfície lateral do cilindro que está compreendida entre a A A ’] e a geratriz inferior do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [B BB’] é invisível em projecção frontal (o que se assinalou geratriz [A devidamente). Em projecção horizontal, a base mais à direita (que está em sombra) é invisível (é projectante horizontal) – a única sombra BB’] e a geratriz de menor afastamento do contorno própria visível é a parte da superfície lateral do cilindro compreendida entre a geratriz [B A A ’] é invisível em projecção horizontal (o que se assinalou devidamente). Em seguida, determinaaparente horizontal. Note que a geratriz [A ram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. B s 2 e B’s 2 situam-se no SPFS e A s 1 e A’s 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do cilindro admite pontos de quebra. Um situa-se entre A s 1 e B s 2 e o outro entre A’s 1 e B’s 2. A sombra da geA A ’] situa-se, na totalidade, no SPHA, tal como a sombra da geratriz [B BB’] se situa no SPFS na totalidade. Assim sendo, os pontos ratriz [A de quebra da sombra do sólido situam-se nas sombras dos arcos que integram a linha separatriz luz/sombra. A determinação dos pontos de quebra processou-se, assim, com o recurso ao método do plano luz/sombra passante que, nesta situação (uma vez que se trata da direcção luminosa convencional), é o β1/3. Assim, com vista a uma maior economia de traçados que possibilite uma melhor leitura da resolução proposta, não se desenharam as projecções do raio luminoso que nos permitiria determinar a recta i’ (a recta de intersecção do plano π com o plano luz/sombra passante – o β1/3), mas desenharam-se imediatamente as suas projecções, pois sabe-se que a recta de intersecção de π com o β1/3 é necessariamente uma recta de perfil passante, que faz ângulos de 45o com os traços do plano π. Note que, caso a direcção luminosa não fosse a convencional, a determinação da recta i’ passaria, necessariamente pela determinação do ponto de intersecção de π com um raio luz/sombra passante com a direcção luminosa dada. Desenhou-se a recta i’ em rebatimento (i’r) e determinaramse os pontos em que a recta corta os dois arcos da circunferência – R r e Sr. Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções dos pontos R e S (note que não se determinaram as suas projecções horizontais, por serem desnecessárias). Note que dos dois pontos, R e S, apenas o ponto R se situa num arco que produz sombra. Efectivamente, o arco no qual se situa o ponto S não integra a linha separatriz luz/sombra. No entanto, o ponto S corresponde a um outro ponto S’, que se situa na base mais à direita e que, esse sim, pertence a um arco que integra a linha separatriz luz/sombra. O facto de se ter determinado o ponto S no rebatimento da base mais à esquerda do sólido permitiu-nos economizar o rebatimento da base mais à direita para a determinação do ponto S’. Sobre a determinação das sombras dos ២ ២ dois arcos (o arco A B e o arco A ’B’) ver relatório do exercício 601. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça ២ ២ seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que as sombras dos arcos A R e A ’S’ no SPHA (que são arcos de ២ A s 1A’s 1] em A s 1 e em A’s 1, respectivamente. Da mesma forma, as sombras dos arcos ២ BR e B ’S’ no elipse) são, ambas, concordantes com [A SPFS (que são também arcos de elipse) são, ambas, concordantes com [B B s 2B’s 2] em B s 2 e em B’s 2, respectivamente.

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SOLUÇÕES

685.

Em primeiro lugar representaram-se os planos π e π’ (os planos de perfil que contêm as bases do sólido e que distam 6 cm um do outro), pelos respectivos traços, em função dos dados. O ponto O (o centro da base mais à esquerda) pertence ao plano π e tem 5 cm de afastamento (é dado) e 3 cm de cota (pois a base é tangente ao Plano Horizontal de Projecção). O ponto O ’ (o centro da base mais à direita) pertence ao plano π’ e tem 5 cm de cota (é dado) e 3 cm de afastamento (pois a base é tangente ao Plano Frontal de Projecção). Note que é possível desenhar imediatamente as projecções das duas bases do sólido sem sequer recorrer ao rebatimento do plano π, pois as suas bases têm 3 cm de raio e as duas projecções das duas bases são segmentos de recta (ver relatório do exercício 682). Assim, é possível construir as projecções do cilindro sem o recurso a qualquer rebatimento. No entanto, com vista à futura determinação da sombra do sólido e da respectiva parte curva, optou-se por efectuar o rebatimento do plano π, o plano que contém a base mais à esquerda do sólido. Por outro lado, atendendo a que as geratrizes do cilindro não são fronto-horizontais, a eventual determinação dos pontos de quebra dos arcos das bases não se poderá processar conforme exposto no relatório do exercício anterior para o ponto S’ – assim, optou-se por rebater o plano π’ (o plano que contém a base mais à direita) e construir previamente a base em rebatimento. Após a determinação das projecções do sólido, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 657, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra está definido por uma recta r (paralela às geratrizes do cilindro) e por um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz). A recta i, definida pelos pontos I e I’ (que são os pontos de intersecção do plano π com as rectas r e l, respectivamente), é a recta de intersecção do plano definido por r e l com o plano π – a recta i é uma recta de perfil. Note que esta situação não difere das restantes situações de sombras de cilindros (ao nível dos raciocínios), pois a diferença reside, apenas, no facto de só ser possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base de referência do sólido em rebatimento. Note que a base de referência foi a base contida no plano π – a base mais à esquerda.

Assim, as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano π (são rectas de perfil e são paralelas à recta i). Nesse sentido, foi necessário rebater a recta i e as rectas t e t’ para o rebatimento previamente efectuado (para a construção das projecções da base mais à esquerda) para, em rebatimento, determinar os pontos nos quais as rectas t e t’ são tangentes àquela base do cilindro. A recta i r passa por Ir e por I’r – a recta tr é paralela à recta i r e é tangente à base em rebatimento em A r e a recta t’r é também paralela à recta i r e é tangente à base em rebatimento em T’r. Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções de A e B, bem como das A A ’] e [B BB’]. Dada a proveniência da luz (da esquerda, de cima e de trás), a parte da geratrizes separatrizes luz/sombra – as geratrizes [A superfície que está iluminada é a parte superior da superfície, enquanto que a parte em sombra é a sua parte inferior (a parte mais próxima do Plano Horizontal de Projecção). A base mais à esquerda do cilindro está iluminada e a sua base mais à direita está em sombra, pelo que ២ ២ A A ’ A’B’ B A]. Em projecção frontal, a base mais à direita (que está em sombra) é a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [A invisível (é projectante frontal) – a única sombra própria visível em projecção frontal é a parte da superfície lateral do cilindro que está comA A ’] e a geratriz inferior do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [B BB’] é invisível em projecção frontal preendida entre a geratriz [A (o que se assinalou devidamente). Em projecção horizontal, a base mais à direita (que está em sombra) é invisível (é projectante horizontal) BB’] e a geratriz de menor afasta– a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cilindro compreendida entre a geratriz [B A A ’] é invisível em projecção horizontal (o que se assinalou devidamente). mento do contorno aparente horizontal. Note que a geratriz [A Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. B s 2 e B’s 2 situam-se no SPFS e A s 1 e A’s 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do cilindro admite pontos de quebra. Um situa-se entre A s 1 e B s 2 e o outro entre A’s 1 A A ’] situa-se, na totalidade, no SPHA, tal como a sombra da geratriz [B BB’] se situa no SPFS na totalidade. e B’s 2. A sombra da geratriz [A Assim sendo, os pontos de quebra da sombra do sólido situam-se nas sombras dos arcos que integram a linha separatriz luz/sombra.

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SOLUÇÕES

A determinação dos pontos de quebra processou-se, assim, com o recurso ao método do plano luz/sombra passante que, nesta situação (uma vez que se trata da direcção luminosa convencional), é o β1/3. A recta i’ é a recta de intersecção do plano π com o plano luz/sombra passante (o β1/3) – é uma recta de perfil passante, que faz ângulos de 45o com os traços do plano π (ver relatório do exercício anterior).

Desenhou-se a recta i’ em rebatimento (i’r) e determinaram-se os pontos em que a recta corta a circunferência. Dos dois pontos, apenas se identificou o que se situa no arco que integra a linha separatriz luz/sombra – o ponto R r. Invertendo o rebatimento, determinou-se a projecção frontal de R (note que é desnecessária a sua projecção horizontal). Por R 2 conduziu-se a projecção frontal do raio luminoso que por ele ២ passa e determinou-se R s, no eixo X – já temos o ponto de quebra da sombra do arco A B. Falta-nos determinar o ponto de quebra da som២ bra do arco A ’B’. Para tal, recorreu-se de novo ao método do plano luz/sombra passante, mas para o arco que se situa no plano π’. A recta i’’ é a recta de intersecção do plano π’ com o plano luz/sombra passante (o β1/3) – é outra recta de perfil passante, que faz ângulos de 45o com os traços do plano π’. Desenhou-se a recta i’’ em rebatimento (i’’r) e determinaram-se os pontos em que a recta corta a circunferência. Dos dois pontos, apenas se identificou o que se situa no arco que integra a linha separatriz luz/sombra – o ponto Sr. Invertendo o rebatimento, determinou-se a projecção frontal de S (note que é desnecessária a sua projecção horizontal). Por S2 conduziu-se a projecção frontal do raio luminoso que por ele passa e determinou-se Ss, no eixo X. Note que o rebatimento do plano π’ se processou para a direita e o rebatimento do plano π se processou para a esquerda – assim, as rectas i’r e i’’r não têm de ser paralelas (teriam de ser paralelas apenas ២ se os dois rebatimentos se tivessem efectuado para o mesmo lado). Sobre a determinação das sombras dos dois arcos (o arco A B e o arco ២ A ’B’) ver relatório do exercício 601. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes.

No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no ២ ២ ២ relatório do exercício 610. Note que as sombras dos arcos A R e A’ S’ A B no SPHA (que são arcos de elipse) são, ambas, concordantes ២ A s 1A’s 1] em A s 1 e em A’s 1, respectivamente. Da mesma forma, as sombras dos arcos ២ BR e B ’ S’ no SPFS (que são também arcos de com [A B s 2B’s 2] em B s 2 e em B’s 2, respectivamente. elipse) são, ambas, concordantes com [B

686.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B , pelas suas projecções, em função dos dados. A e B são pontos do β1/3, pelo que têm coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X. O triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano que o contém (o β1/3) é não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do β1/3 para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira é o próprio eixo X. Os pontos A e B rebateram-se pelos respectivos triângulos do rebatimento (ver exercício 199 e respectivo relatório). A partir de A r e B r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, obtendo Cr. Para inverter o rebatimento recorreu-se a uma B C ] do recta auxiliar do β/3 – a recta suporte do lado [B triângulo. A recta r r passa por B r e Cr e é concorrente com o eixo X num ponto fixo (um ponto da charneira). As projecções de r determinam-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas do ponto B e é uma recta passante (cujas projecções são simétricas em relação ao eixo X, pois é uma recta do β1/3). Conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), determinaram-se as projecções de C (sobre as projecções homónimas da recta r )e construíram-se as projecções do triângulo. Em seguida determinaram-se as sombras reais dos três vértices do triângulo, considerando a direcção luminosa dada – A s 2, B s 2 e Cs 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do polígono não admite pontos de quebra (situa-se, na totalidade, no SPFS). Em seguida desenhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. Por fim, analisou-se a questão da sombra própria da figura, pois a face visível em projecção frontal e a face visível em projecção horizontal não são a mesma (trata-se de um plano em tensão). Consideremos o sentido dos ponteiros do relógio e início no vértice A . Assim, a partir do vértice A e no sentido dos ponteiros do relógio, os vértices da sombra surgem pela seguinte ordem: A s 2, Cs 2 e B s 2. No mesmo sentido, e também a partir de A , os vértices da projecção frontal da figura surgem pela seguinte ordem: A 2, C2 e B 2. Como as duas sequências têm a mesma ordem, a face visível (em projecção frontal) da figura está i l u m i n a d a. Ainda no mesmo sentido (o dos ponteiros do relógio), e também a partir de A , os vértices da projecção horizontal da figura surgem pela seguinte ordem: A 1, B 1 e C1. Como esta sequência apresenta uma ordem diferente da sequência dos vértices da sombra, a face visível (em projecção horizontal) da figura está sombreada (em sombra própria). As duas sombras da figura (a projectada e a própria) identificaram-se, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça, na sombra própria, paralelamente ao eixo X.

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SOLUÇÕES

687.

Em primeiro lugar representaram-se as projecções de A e a projecção horizontal de C (os dados do enunciado não nos permitem de forma imediata, representar a projecção frontal A C] mede 8 cm mas não de C). O segmento [A se projecta em V.G., pois o segmento é oblíquo a ambos os planos de projecção. Assim sendo, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano projectante horizontal do segmento (o plano γ) para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f γ – recta e), obtendo A r. O ponto C é um ponto da charneira, pelo que é fixo – Cr estará necessariamente sobre f γr, a 8 cm de A r. Com o compasso, fazendo centro em A r e com 8 cm de raio (o comprimento do segmento), obteve-se Cr sobre f γr. O ponto C é fixo (é um ponto da charneira), pelo que se tem imediatamente C2 ≡ Cr. A partir das A C], e atendendo a projecções do segmento [A A C] está contido numa recta que o segmento [A de maior declive do plano α, desenharam-se os traços do plano. Sabe-se que hα passa por A 1 (A A tem cota nula, pelo que é o traço horizontal da recta de maior declive que contém a A C]) e é perpendicular a [A A 1 C 1] – f α diagonal [A é concorrente com hα no eixo X e passa por C2 (C C tem afastamento nulo, pelo que é o traço frontal da recta de maior declive que conA C ]). O quadrado [A A B C D ] não se tém [A projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hα (recta e’). O rebatimento do plano α processou-se de forma idêntica à exposta no relatório do exercício 589, pelo que se aconseA r ’ e Cr ’ são os pontos A e C nos seus segundos lha a leitura do respectivo relatório. O ponto C foi o ponto que nos permitiu rebater f α (A rebatimentos – no rebatimento do plano α). A partir de A r ’ e de Cr ’, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. As diagonais de um A C] do quadrado está contida numa recta de maior declive do plano quadrado são perpendiculares entre si – atendendo a que a diagonal [A BD] está necessariamente contida numa recta horizontal (de nível) do pla(que é perpendicular às rectas horizontais do plano), a diagonal [B BD] – a recta h foi a recta a que se recorreu para determino α. A recta h é a recta horizontal (de nível) do plano α que contém a diagonal [B nar as projecções de B e D e, dessa forma, construir as projecções do quadrado. Note que seria possível economizar o rebatimento do plano γ (e todos os traçados inerentes), procedendo-se imediatamente ao rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção e A C] em V.G., no rebatimento do plano α, num procedimento semelhante ao dos exercícios 203 e 207 (ver resrepresentando a diagonal [A pectivos relatórios). A partir das projecções do quadrado, determinaram-se as sombras reais de todos os seus vértices (considerando a direcção convencional da luz). Cs 2 ≡ C2, pois C é um ponto do Plano Frontal de Projecção. A s 1 ≡ A 1, pois A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Cs 2 e Ds 2 situam-se no SPFS e A s 1 e B s 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do quadrado admite dois pontos de quebra (um entre Ds 2 e A s 1 e o outro entre B s 1 e Cs 2). O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de D e o segundo com o recurso à sombra virtual de B. Em seguida desenhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do quadrado (que é a mesma em ambas as projecções) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices das duas projecções do quadrado e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

357

SOLUÇÕES

688.

Em primeiro lugar representaram-se o traço frontal do plano ρ, as projecções do ponto A que é um ponto de fρ (pois tem afastamento nulo) e a projecção frontal de C (os dados do enunciado não nos permitem de forma imediata, representar a projecção horizontal de C). O segmento [A AC] mede 7 cm mas não se projecta em V.G., pois o segmento é oblíquo a ambos os planos de projecção. Assim sendo, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano projectante frontal do segmento (o plano α) para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hα – recta e), obtendo Ar. O ponto C é um ponto da charneira, pelo que é fixo – Cr estará necessariamente sobre hαr, a 7 cm de Ar. Com o compasso, fazendo centro em Ar e com 7 cm de raio (o comprimento do segmento), obteve-se Cr sobre hαr. O ponto C é fixo (é um ponto da charneira), pelo que se tem imediatamente C1 ≡ Cr. A partir das AC], e atendendo a que C é um ponto de projecções do segmento [A hρ (pois tem cota nula), desenhou-se o traço horizontal do plano.

A BCD] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos O quadrado [A de projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ (recta e’). O rebatimento do plano ρ processou-se de forma idêntica à exposta no relatório do exercício 593, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. O ponto A foi o ponto que nos permitiu rebater fρ (A Ar’ e Cr’ são os pontos A e C nos seus segundos rebatimentos – no rebatimento do plano ρ). A partir de Ar’ e de Cr’, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. A inversão do rebatimento processou-se com o recurso às rectas r BC] e [A AD] do e s, do plano, que são as rectas suporte dos lados [B quadrado, respectivamente (ver exercício 190 e respectivo relatório). Note que seria possível economizar o rebatimento do plano α (e todos os traAC] çados inerentes), procedendo-se imediatamente ao rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção e representando a diagonal [A em V.G., no rebatimento do plano ρ, num procedimento semelhante ao do exercício 194 (ver respectivo relatório). A partir das projecções do quadrado, determinaram-se as sombras reais de todos os seus vértices (considerando a direcção convencional da luz). As2 ≡ A2, pois A é um ponto do Plano Frontal de Projecção. Cs1 ≡ C1, pois C é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. As2 e Bs2 situam-se no SPFS e Cs1 e Ds1 situam-se no S P H A, pelo que a sombra projectada do quadrado admite dois pontos de quebra (um entre A s 2 e Ds 1 e o outro entre B s 2 e C s 1.

O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de D e o segundo com o recurso à sombra virtual de B. Em seguida desenhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do quadrado (que é a mesma em ambas as projecções) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices das duas projecções do quadrado e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

689.

Em primeiro lugar representaram-se as projecções do ponto A, a projecção horizontal do segmento (cuja direcção é dada) e a projecção horizontal de V (note que os dados não nos permitem, de forma imediata, determinar V2, pois não é dada a cota de V nem a altura da pirâmide). O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a AV] mede 9 cm, mas não se projecbase da pirâmide. O segmento [A ta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o segmento é oblíquo a ambos os planos de projecção. Assim sendo, é necessário o recuso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano projectante horizontal do segmento (o plano α) para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi fα), obtendo Ar e a referência de Vr. Em rebatimento, o segmento estará em V.G., pelo que, com o compasso, fazendo centro em Ar e com 9 cm de raio (o comprimento do segmento), obtém-se Vr. Invertendo o rebatimento obtém-se a projecção frontal de V e a projecção frontal do segmento. Um outro dado permite-nos obter as projecções do vértice C do quadrado da base – C situa-se na mesma projectante horizontal de V, pelo que C1 ≡ V1, estando C2 sobre o traço frontal do plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. ConsA BCD] e desenharam-se as projecções da pitruiu-se o quadrado [A râmide, atendendo às invisibilidades existentes. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes (Continua na página seguinte)

358

SOLUÇÕES

luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à base nos ponDV] e [B BV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra (são as arestas setos D e B, respectivamente – as arestas laterais [D DV] e [B BV] separam a parte da superfície lateral da pirâmide que gundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes ao sólido). As arestas laterais [D CDV] e [B BCV] estão em sombra, está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faces [C A BV] e [A ADV] estão iluminadas. A base da pirâmide também está em sombra, pelo que a linha separatriz enquanto que as faces laterais [A luz/sombra é a linha quebrada fechada [B BVDA]. A sombra própria da pirâmide integra as faces laterais [B BCV] e [C CDV] e a base da pirâmide.

BCV] e [C CDV] (que são projectantes horizontais) também, pelo que não Em projecção horizontal, a base da pirâmide é invisível e as faces laterais [B há qualquer sombra própria a assinalar (todas as faces em sombra própria são invisíveis em projecção horizontal). Já em projecção frontal, a base CDV], pelo que a única face em sombra visível é a face lateral [B BCV], que é a única somé invisível (é projectante frontal), tal como a face lateral [C bra própria a assinalar. Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra (considerando a direcção luminosa convencional) – As1 e Bs1 situam-se no SPHA e Vs2 e Ds2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem dois pontos de quebra (um entre Bs1 e Vs2 e o outro entre As1 e Ds2). O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de B – Bv2. O segundo AD] do quadrado (que é horizontal) e a sua sombra no Plano Horizontal de Prodeterminou-se atendendo à situação de paralelismo entre o lado [A jecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

690.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e A ’, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do prisma. O plano ν’ é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do prisma. C1 ≡ A’1, pois C e A’ situam-se na mesma projectante horizontal. A partir de A e C é posA B C D] sível construir o quadrado [A da base inferior do prisma. O segA A ’ ] dá-nos a direcção mento [A das arestas laterais, o que nos permite construir as projecções da base superior e, em seguida, desenhar as duas projecções do prisma. Sobre a ordem dos vértices, uma vez que a aresta lateral BB’] é visível em projecção fron[B tal, B e B’ são os vértices de maior afastamento das respectivas bases. Estes raciocínios permitiram-nos construir as projecções do prisma, nas quais se respeitaram as invisibilidades existentes. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 626, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base infeBB’] e [D DD’] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As rior) nos pontos B e D, respectivamente – as arestas laterais [B BB’] e [D DD’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [B BB’] e [D DD’] arestas laterais [B separam a parte da superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e AA’B’B] e [A AA’D’D] estão iluminadas, enquanto que as faces laterais [B BB’C’C] e [C CC’D’D] estão em sombra. A base de trás), as faces laterais [A inferior do prisma também está em sombra e a sua base superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [B BB’C’D’DA]. A sombra própria do prisma integra as faces laterais [B BB’C’C] e [C CC’D’D] e a base inferior do prisma. Em projecção horizontal, as duas faces laterais em sombra são invisíveis, bem como a base inferior, pelo que não há qualquer sombra própria a assinalar em BB’C’C] projecção horizontal (todas as partes em sombra própria são invisíveis em projecção horizontal). Já em projecção frontal, a face lateral [B CC’D’D] é invisível, bem como a base inferior, que é projectante frontal), pelo que aquela é a única face em sombra que é visível (a face lateral [C face lateral é a única sombra própria a assinalar. Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. D’s2, C’s2 e B’s2 situam-se no SPFS e Ds1, As1 e Bs1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois ponDv2) e o segundo tos de quebra (um entre Ds1 e D’s2 e outro entre Bs1 e B’s2). O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de D (D B’v1). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidacom o recuso à sombra virtual de B’ (B des), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

359

SOLUÇÕES

691.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto A e a base do cone, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. O ponto A tem 9 cm de cota (dado no enunciado) e afastamento nulo, pois é o ponto em que a base do sólido é tangente ao Plano Frontal de Projecção. A projecção frontal do vértice determina-se imediatamente, tendo em AV] é de perfil e que conta que a geratriz [A V tem cota nula. Este facto permite-nos construir imediatamente a projecção frontal do sólido. Tendo em conta que a geraA V ] mede 11 cm, mas não se triz [A projecta em V.G. nenhum dos planos de AV] não é paralela a projecção (a geratriz [A nenhum dos planos de projecção), é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano de perfil π que contém aquela geratriz para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. A r ≡ A 2, pois A é um ponto da charneira. Com o compasso, fazendo centro em A r e com raio igual a 11 cm, determinou-se Vr no eixo X, onde se situa hπr (note que V é um ponto de hπ).

Invertendo o rebatimento obteve-se a projecção horizontal de V e concluiu-se a construção da projecção horizontal do sólido. Sobre a determinação das sombras própria e projectada do cone, e uma vez que se trata de uma situação muito semelhante à do exercício 649, sugere-se que se faça o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura daquele relatório.

692.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cilindro, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do cilindro. Note que os dados do exercício permitiram-nos construir, de forma imediata, apenas a projecção horizontal do cilindro – não sendo dada a cota de O (o centro da base de menor afastamento), não é possível construir a projecção frontal do cilindro, sem o recurso a traçados e raciocínios auxiliares. A recta p, de perfil, é a recta suporte do eixo do cilindro (que mede 9 cm). O eixo do cilindro não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π (o plano de perfil que contém a recta p) para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo O’r. O ponto O tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de f π – com o compasso, fazendo centro em O’r e com 9 cm (o comprimento do eixo) de raio, O é um ponto fixo, pois situa-se na charneira) e concluiu-se a construdeterminou-se Or, sobre f πr. Invertendo o rebatimento, determinou-se O2 (O ção da projecção frontal do cilindro. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 657, pelo que se aconselha a sua leitura.

O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra (o plano λ) está definido por uma recta p’, de perfil (paralela às geratrizes do cilindro e à recta p), e por um raio luminoso l (com a direcção luminosa convencional). Para garantir o paralelismo entre a recta p’ e a recta p recorreu-se ao rebatimento do plano de perfil que contém a recta p’ (plano α), para o Plano Frontal de Projecção e no mesmo sentido do rebatimento do plano π (ver exercício 3 e respectivo relatório) – a recta p’r passa por Pr e é paralela à recta pr. Em rebatimento, determinou-se o ponto de intersecção da recta p’ com o Plano Frontal de Projecção (o plano da base de referência), que é o traço frontal da recta p’ – ponto I. Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projecções de I (II é um ponto da charneira). A recta i é a recta de intersecção do plano definido por p’ e l com o Plano Frontal de Projecção (o plano da base de referência). As rectas t e t’ são as rectas paralelas à recta i que são tangentes à base de menor afastamento do cilindro (a base de referência) – as rectas t e t’ são tangentes àquela base do cilindro nos pontos A e B, respectivaAA’] e [B BB’] são, mente. Note que as rectas t e t’ são, nesta situação, os traços frontais dos dois planos tangentes luz/sombra. As geratrizes [A (Continua na página seguinte) 360

SOLUÇÕES

imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangenAA’] e [B BB’] separam a parte da superfície lateral do cilindro que está iluminada da que está em sombra. Dada a tes ao cilindro). As geratrizes [A proveniência da luz (da esquerda, de cima e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a parte superior da superfície, enquanto que a parte em sombra é a sua parte inferior (a parte mais próxima do Plano Horizontal de Projecção). A base de menor afastamento do cilindro está AA’ A២ ’B’ ២ B A]. em sombra e a sua base de maior afastamento está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [A Em projecção frontal, a base de menor afastamento (que está em sombra) é invisível – a parte da superfície lateral do cilindro que está em somBB’] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal (sendo essa a sombra e é visível é aquela que está compreendida entre a geratriz [B AA’] é invisível em projecção frontal, o que se assinalou devidamente. Em bra própria a assinalar em projecção frontal). Note que a geratriz [A projecção horizontal, a base de menor afastamento (que está em sombra) é invisível (é projectante horizontal) – a parte em sombra própria do BB’] e a geratriz mais à direita do contorno cilindro que é visível em projecção horizontal é também a que está compreendida entre a geratriz [B AA’] é igualmente invisível em projecção horizontal, o que se assinalou devidamente. Em seguida aparente horizontal. Note que a geratriz [A determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. A s2 ≡ A 2 e Bs2 ≡ B2, pois A e B são dois pontos do Plano Frontal de Projecção. A s2 e Bs2 situam-se no SPFS e A’s1 e B’s1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do cilindro admite dois pontos de quebra. Um situa-se entre A s1 e A’s2 e o outro entre Bs1 e B’s2. Os pontos de quebra determinaram-se atendendo ao facto de a sombra projectada do cilindro nos planos de projecção estar limitada lateralmente pelos traços dos planos tangentes luz/sombra – uma vez que as rectas t e t’ são, imediatamente, os traços frontais dos planos tangentes luz/sombra (a base de menor afastamento está contida no Plano Frontal ២ de Projecção), sabe-se que a sombra projectada do cilindro no SPFS está limitada pelas rectas t e t’. O arco A A está contido no Plano Frontal ២ de Projecção, pelo que a sua sombra está coincidente com o próprio arco. Uma vez que as sombras dos extremos do arco A’B’ se situam, ២ ambas, no SPHA, é possível concluir que a sombra do arco A’B’ também não admite pontos de quebra – situa-se, na totalidade, no SPHA. A ២ sombra do arco A’B’ será um segmento de elipse, que se determinou inscrevendo previamente o arco na parte correspondente do quadrado circunscrito à circunferência, tal como exposto no relatório do exercício 575, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que AA’] é concordante com a sombra do o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [A ២ BB’] é concordante com a sombra do arco A២ ’B’ em B’s1. arco A’B’ em A’s1, tal como a sombra da geratriz [B

361

SOLUÇÕES

693.

Em primeiro lugar representou-se o plano θ, pelos seus traços, e construíram-se as projecções da pirâmide, em função dos dados. A é um ponto de f θ, pois tem afastamento nulo, e B é um ponto de hθ, pois tem cota nula. Para construir as projecções da base da pirâmide, foi necessário o rebatimento do plano θ, pois este não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. O sólido é uma pirâmide regular, pelo que o seu eixo está contido numa recta que passa pelo centro da base e é ortogonal ao plano da base – nesse sentido, foi necessário determinar as projecções do ponto O (o centro da base). Pelas projecções de O conduziram-se as projecções de uma recta ortogonal ao plano da base (a recta suporte do eixo da pirâmide), a recta p, que é uma recta frontal (de frente). A altura da pirâmide mede-se ortogonalmente ao plano da base, pelo que se mede sobre a recta p – esta projecta-se em V.G. no Plano Frontal de Projecção, pelo que a altura da pirâmide se mede directamente sobre p2, a partir de O2, obtendo-se V2 sobre p2 e a 9 cm de O2 – V1 situa-se sobre p1. A partir das projecções do vértice do sólido e da sua base, desenharam-se as projecções da pirâmide, respeitando as invisibilidades. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, o que se efectuou através das quatro etapas para o efeito.

1. Conduziu-se, por V, um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz). 2. Determinou-se o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano da base (o plano θ) – ponto I. O ponto I teve determinação imediata a partir da sua projecção frontal, pois o plano θ é projectante frontal. 3. Por I conduziram-se as rectas tangentes à base, t e t’ (que são as rectas de intersecção dos dois p l a n o s t a n g e n t e s luz/sombra com o plano da base – o plano θ). 4. As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos B e D, respectivamente – as arestas lateBV] e [D DV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são rais [B BV] e [D DV] separam a parte da superfície lateral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra – tangentes ao sólido). As arestas [B B CV] e [C CDV] estão iluminadas enquanto que as faces [A A BV] e dada a proveniência da luz (de cima, de trás e da esquerda), as faces [B A DV] estão em sombra. A base da pirâmide também está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fecha[A da [B BVDC]. A sombra própria da pirâmide integra as faces laterais [A A BV] e [A A DV] e a base da pirâmide. Em projecção horizontal, a base é A BV] e [A A DV] são visíveis, pelo a sombra própria a assinalar se resume àquelas faces laterais. Já em projecção invisível e as faces laterais [A frontal, nenhuma das faces em sombra é visível, pelo que não há sombras próprias a assinalar. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra (considerando a direcção convenciona da luz). Bs1 ≡ B1, pois B é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Bs 1, Cs 1 e Ds 1 situam-se no SPHA e Vs 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide admite dois pontos de quebra. Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv 1. Após o desenho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

694.

Em primeiro lugar representou-se o plano θ (o plano que contém a base inferior do prisma), pelos seus traços, e construíram-se as projecções dessa base do sólido, em função dos dados. Para tal foi necessário o rebatimento do plano θ, pois este não é paralelo a nenhum dos A B C] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Em rebatimento, desenhouplanos de projecção, pelo que o triângulo [A -se a circunferência circunscrita ao triângulo, que é tangente aos dois planos de projecção – o seu centro, em rebatimento, tem de estar A B C] inscrito na circunferência, de acordo com os dados – o lado equidistante de f θr e de hθr. Em rebatimento, construiu-se o triângulo [A A B] faz ângulos de 45o com os traços do plano θ (em rebatimento, esses ângulos estão e V.G.) e C é o vértice de menor afastamento do [A polígono. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do triângulo. O plano α, representado apenas pelo seu traço frontal (razão pela qual se assinalou entre parêntesis), é o plano paralelo a θ que contém a base superior do prisma – o plano α dista 6 cm (a altura do (Continua na página seguinte) 362

SOLUÇÕES

prisma) do plano θ. O sólido é um prisma regular, pelo que as suas arestas laterais estão contidas em rectas ortogonais aos planos das bases. Pelas projecções de A , B e C conduziram-se as projecções das rectas suporte das respectivas arestas laterais (ortogonais aos planos das bases) e determinaram-se as projecções dos vérA’B’C’] a partir das respectices da base [A tivas projecções frontais (trata-se da intersecção de rectas não projectantes com um plano projectante frontal). A partir das projecções de todos os vértices do sólido, desenharam-se as projecções do prisma, respeitando as invisibilidades. Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a , o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1.

Por um ponto P, exterior ao sólido, conduziram-se duas rectas – uma recta f, paralela às arestas laterais do sólido (que são frontais), e um raio luminoso l (com a direcção luminosa convencional). Estas duas rectas definem um plano (o plano λ) que é paralelo aos p l a n o s t a n g e n t e s luz/sombra (tem a orientação daqueles).

2. Determinou-se a recta de intersecção do plano λ (o plano definido pelas rectas f e l) com o plano θ (o plano da base de referência) – a recta i. A recta i está definida pelos pontos I e I’ que são os pontos de intersecção das rectas f e l, respectivamente, com o plano θ (o plano da base de referência). 3. Conduziram-se as rectas tangentes à base de referência que são paralelas à recta i – as rectas t e t’. Estas são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra (os planos λ1 e λ2) com o plano θ (o plano da base de referência). 4. As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência nos pontos B e A , BB’] e [A A A ’] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas laterais respectivamente – as arestas laterais [B BB’] e [A A A ’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [B BB’] e [A A A ’] separam a [B parte da superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de A A ’ B ’ B] é a única face lateral que está iluminada, enquanto que as faces laterais [A AA’C’C] e [B BB’C’C] estão em sombra. trás), a face lateral [A A base inferior do prisma está iluminada e a sua base superior está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [B BB’ A ’ A C]. A sombra própria do prisma integra as faces laterais [A AA’C’C] e [B BB’C’C], bem como a base superior do prisma. Em BB’C’C] é invisível, bem como a base superior (é projectante frontal), pelo que a sombra própria visível em projecção frontal, a face lateral [B AA’C’C]. Já em projecção horizontal, a face lateral [A A A ’ B ’ B] é igualmente invisível, mas não a projecção frontal se resume à face lateral [A BB’C’C] a base superior. Em seguida base superior, pelo que a sombra própria a assinalar em projecção horizontal integra a face lateral [B determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. Bs 2 e B’s 2 situam-se no SPFS e Cs 1, A s 1 e A’s 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra – um situado entre B s 2 e Cs 1 e o outro entre A’s 1 B v 1) e o segundo com o recurso à sombra virtual de B’ (B B’v 1). Após o e B’s 2. O primeiro determinou-se com o recuso à sombra virtual de B (B desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

695.

Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, em função dos dados. A base está contida num plano que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano θ – rebateu-se o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hθ), para, em rebatimento, se construir a circunferência que delimita a base em V.G. (ver exercício 600 e respectivo relatório). O círculo é tangente aos dois planos de projecção, pelo que o seu centro está equidistante dos dois traços do plano – o ponto O determinou-se em rebatimento, estando a 4,5 cm de f θr e de hθr. Conforme exposto no relatório do exercício 600, para desenhar à mão livre a elipse que é a projecção horizontal do círculo (que é a base do cone), é necessário um mínimo de oito pontos, pontos esses que se determinam inscrevendo a figura num quadrado de lados paralelos ao eixo de transformação (a charneira do rebatimento). Após a inversão do rebatimento, tendo-se obtido as (Continua na página seguinte) 363

SOLUÇÕES

projecções horizontais dos oito pontos que nos permitem um desenho relativamente preciso da curva (bem como a projecção horizontal do quadrado envolvente, que é um rectângulo), determinou-se o vértice do sólido, atendendo a que o eixo do cone está contido numa recta perpendicular a θ (o cone é de revolução, pelo que o seu eixo está contido numa recta frontal ortogonal a θ) e que a sua geratriz mais à esquerda é vertical.

Apesar de ser possível desenhar as projecções do cone, optou-se por desenhar apenas a sua projecção frontal – a projecção horizontal carece do desenho da elipse e a determinação das geratrizes separatrizes luz/sombra permitir-nos-á determinar mais dois pontos da curva, pelo que, após essa etapa, será possível desenhar a elipse a partir de dez dos seus pontos.

Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a , o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que esta situação não difere das restantes situações de sombras de cones (ao nível dos raciocínios), pois a diferença reside, apenas, no facto de só ser possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base do sólido em rebatimento (onde se situa a base em V.G.). Nesse sentido foi necessário rebater o ponto I e determinar as rectas t e t’ em rebatimento, no rebatimento previamente efectuado (para a construção das projecções da base). Assim, em rebatimento, determinaram-se os pontos nos quais as rectas t e t’ são tangentes à base do cone – tr passa por Ir e é tangente à base em rebatimento em Tr e t’r passa por Ir e é tangente à base em rebatimento em T’r. Invertendo o rebatimento, obtiveramTV] e [T T’V] (que são, ambas, visíveis em projecção horizontal se as projecções de T e T’, bem como as projecções das geratrizes separatrizes [T TV] e [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes e invisíveis em projecção frontal). As geratrizes [T TV] e [T T’V] separam a parte da superfície lateral do ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cone). As geratrizes [T cone que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, de trás e da esquerda), a parte da superfície que está ២ ២ iluminada é a que corresponde ao arco maior T T’, enquanto que a parte que corresponde ao arco menor T T’ está em sombra. A base do ២ T’V T T’] (note que o arco que integra a linha separacone está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [T ២ triz luz/sombra é o arco maior T T’). Em projecção frontal, a base é invisível (é projectante frontal), bem como a parte em sombra da superfície TV] e [T T’V] são, ambas, invisíveis em projecção frontal) – não há qualquer sombra própria visível a lateral do cone (recorde que as geratrizes [T assinalar em projecção frontal. Em projecção horizontal, a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cone compreendida enTV] e [T T’V] (a base, que também está em sombra, é invisível em projecção horizontal). Em seguida determinaram-se as somtre as geratrizes [T bras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra, que se situam, sem excepção, no SPFS. Tal facto, no entanto, não nos garante ២ que a sombra do cone não admita pontos de quebra, pois existem pontos do arco T T’ com afastamento superior a T e T’. Assim, foi necessário ២ averiguar a existência de pontos de quebra na sombra do arco T T’, o que se processou com o recuso ao método o plano luz/sombra passante – ver exercício 599 e respectivo relatório. A recta i’ é a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano θ – a recta i é uma recta passante. A recta ir está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo) e por I’r. A recta ir corta a circunferência (em rebatimento) nos pontos A r e Br – estes, porque se situam no arco que integra a linha separatriz luz/sombra, são os dois pontos de quebra ២ da sombra do arco T T’. Inverteu-se o rebatimento e determinaram-se as projecções horizontais de A e B, sobra a projecção horizontal da recta i’ (note que é desnecessária a determinação das projecções frontais de A e B). Conduzindo, por A 1 e B1, as projecções horizontais dos raios ២ luz/sombra que por eles passam, determinaram-se A s e Bs no eixo X – A s e Bs são os pontos de quebra da sombra do arco T T’. Note que é possível, agora, desenhar a projecção horizontal do cone, pois temos um total de doze pontos para o desenho da curva. Note ainda que, caso se tivesse desenhado a elipse antes da determinação dos pontos T, T’, A e B, poderia acontecer que estes pontos não estivessem sobre a curva, devido à ausência rigor de uma curva desenhada à mão livre. A sombra da base do cone (que são arcos de elipses) determinaram-se a partir dos pontos determinados e a partir das sombras, no Plano Horizontal de Projecção e no Plano Frontal de Projecção, do quadrado envolvente (ver exercícios 599 e 600, e respectivos relatórios). Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações T’V] é concordante com a sombra do arco ២ T’B em T’s2, tal como a expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [T TA em Ts2.

TV] é concordante com a sombra do arco ២ sombra da geratriz [T

364

SOLUÇÕES

696.

Em primeiro lugar representaram-se o plano θ (o plano da base inferior), pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos dados. O plano θ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que a base do cilindro não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano θ – rebateu-se o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hθr), obtendo Or. Com o compasso, fazendo centro em Or e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência que delimita a base inferior em V.G., em rebatimento. Conforme exposto no relatório do exercício 600, para desenhar à mão livre a elipse que é a projecção horizontal do círculo (que é a base inferior do cilindro), é necessário um mínimo de oito pontos, pontos esses que se determinam inscrevendo a figura num quadrado de lados paralelos ao eixo de transformação (a charneira do rebatimento). Inverteu-se o rebatimento, obtendo-se as projecções horizontais dos oito pontos que nos permitem um desenho relativamente preciso da curva, bem como a projecção horizontal do quadrado envolvente (que é um rectângulo). O plano α, representado apenas pelo seu traço frontal (razão pela qual aquele se assinalou entre parêntesis), é o plano paralelo ao plano θ que contém a base superior do cilindro – o plano α dista 6 cm (a altura do cilindro ) do plano θ. Em seguida transportaram-se, para o plano α, todas as referências da base inferior, com o recurso a rectas ortogonais aos planos das bases (o cilindro é de revolução). Note que, tratando-se de um cilindro, as projecções horizontais das duas bases serão e l i p s e s – há que desenhar duas curvas. Apesar de ser possível desenhar as projecções do cilindro, optou-se por desenhar apenas a sua projecção frontal – a projecção horizontal carece do desenho das elipses e a determinação das geratrizes separatrizes luz/sombra permitir-nos-á determinar mais dois pontos de cada uma das curvas, pelo que, após essa etapa, será possível desenhar as elipses a partir de dez pontos cada uma. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 657, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra está definido por uma recta f (uma recta frontal, paralela às geratrizes do cilindro) e por um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz).

A recta i, definida pelos pontos I e I’ (que são os pontos de intersecção do plano θ com as rectas f e l, respectivamente), é a recta de intersecção do plano definido por f e l com o plano θ. Note que a base de referência foi a base contida no plano θ – a base cujo rebatimento nos possibilitou a construção das projecções do sólido. Tenha em conta que esta situação não difere das restantes situações de sombras de cilindros (ao nível dos raciocínios), pois a diferença reside, apenas, no facto de só ser possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base de referência do sólido em rebatimento (onde se situa a base em V.G.). Nesse sentido, foi necessário rebater a recta i e as rectas t e t’ para o rebatimento previamente efectuado (para a construção da projecção horizontal da base inferior) para, em rebatimento, determinar os pontos nos quais as rectas t e t’ são tangentes àquela base do cilindro. A recta i r passa por Ir e por I’r – a recta tr é paralela à recta i r e é tangente à base em rebatimento em A r e a recta t’r é também paralela à recta i r e é tangente à base em rebatimento em T’r. Invertendo o A A ’] e [B BB’]. Note que rebatimento, obtiveram-se as projecções de A e B, bem como das geratrizes separatrizes luz/sombra – as geratrizes [A se optou por não representar as projecções horizontais das rectas t e t’, por estas não serem necessárias para a conclusão do exercício e para evitar uma maior complexidade do traçado no exercício, que dificultasse a sua leitura e correcta compreensão. Tenha em conta que, A A ’] é invisível em ambas as projecções e a geratriz mesmo sem desenhar as projecções do sólido, é possível constatar que a geratriz [A

(Continua na página seguinte) 365

SOLUÇÕES

BB’] é visível em ambas as projecções. As geratrizes [A A A ’] e [B BB’] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as [B A A ’] e [B BB’] separam a parte da sugeratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cone). As geratrizes [A perfície lateral do cilindro que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (da esquerda, de cima e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a parte de maior afastamento da superfície, enquanto que a parte em sombra é a sua parte de menor afastamento (a parte mais próxima do Plano Frontal de Projecção). A base superior do cilindro está iluminada e a sua base inferior está em A A ’ A២ ’B’ ២ B A ]. Em projecção frontal, a base inferior (que está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [A sombra) é invisível (é projectante frontal) – a única sombra própria visível em projecção frontal é a parte da superfície lateral do cilindro que BB’] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [A A A ’] é invisível em proestá compreendida entre a geratriz [B jecção frontal (o que se assinalou devidamente). Em projecção horizontal, a base inferior (que está em sombra) é invisível – a única sombra BB’] e a geratriz de menor afastamento do contorprópria visível será a parte da superfície lateral do cilindro compreendida entre a geratriz [B no aparente horizontal. Essa será a sombra própria a assinalar, após o desenho da projecção horizontal do cilindro. Note, como atrás se reA A ’] é invisível em projecção horizontal (o que se assinalou devidamente). Em seguida, determinaram-se as sombras feriu, que a geratriz [A reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. Á’s 2 e B’s 2 situam-se no SPFS e A s 1 e B s 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do cilindro admite pontos de quebra. Um situa-se entre A s 1 e A’s 2 e o outro entre B s 1 e B’s 2 – conclui-se, assim, que os pontos de quebra se referem às sombras das geratrizes separatrizes e não às sombras dos arcos que integram a linha separatriz luz/sombra. O ponto de quebra situado entre B s 1 e B’s 2 determinou-se com o recurso à sombra virutal de B – B v 2. O ponto de quebra situado entre A s 1 e A’s 2 determinou-se atendendo ao facto que as sombras das duas geratrizes (que são paralelas) num mesmo plano de projecção são igualmente A A ’] produz no SPFS é paralela à sombra que a geratriz [B BB’] produz no SPFS. Assim sendo, paralelas entre si – a sombra que a geratriz [A ២ ២ ២ nem a sombra do arco A B nem a sombra do arco A’B’ admitem pontos de quebra. As sombras dos extremos do arco A B situam-se, am២ bas, no SPHA, pelo que sombra do arco A B se situa, na totalidade, no SPHA (e é um segmento de elipse). As sombras dos extremos do ២ ២ arco A’B’ situam-se, ambas, no SPFS, pelo que sombra do arco A’B’ se situa, na totalidade, no SPFS (e é outro segmento de elipse). Uma vez que não há pontos de quebra nas sombras dos arcos, não serão determinados mais pontos das elipses, pelo que se concluiu o desenho da ២ ២ projecção horizontal do cilindro (atendendo às invisibilidades). O desenho das sombras dos arcos A B e A’B’ processou-se a partir dos pontos determinados das elipses e a partir das sombras, no Plano Horizontal de Projecção e no Plano Frontal de Projecção, do quadrado envolvente (ver exercícios 599 e 600, e respectivos relatórios). Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expres២ AA’] em sas no relatório do exercício 610. Note que a sombra do arco A B (que é um arco de elipse) é concordante com a sombra da geratriz [A BB’] em Bs1. De forma idêntica, a sombra do arco A២ A s1 e é concordante com a sombra da geratriz [B ’B’ (que é outro arco de elipse) é concorBB’] em B’s2.

AA’] em A’s2 e é concordante com a sombra da geratriz [B dante com a sombra da geratriz [A

366

SOLUÇÕES

22 I NTRODUÇÃO 697.

As Pe r s p e c t i v a s A x o n o m é t r i c a s constituem-se como um Método de Representação ou, mais concretamente, como um conjunto de Métodos de Representação, se atendermos à diversidade de perspectivas axonométricas que existem. Por Sistema de Projecção entende-se um conjunto de elementos que nos permite representar (projectar) um dado objecto sobre uma superfície plana (bidimensional), independentemente da informação perdida, enquanto que Método de Representação é todo o processo através do qual se representam bidimensionalmente os objectos, a partir dos Sistemas de Projecção conhecidos, mas verificando-se, sempre, o Critério de reversibilidade. Nesse sentido, as Perspectivas Axonométricas nunca poderão ser consideradas como um Sistema de Projecção, pois as Perspectivas Axonométricas visam, precisamente, a representação bidimensional de formas e objectos, mas verificando-se, sempre, o Critério de reversibilidade. Por outro lado, as várias Perspectivas Axonométricas provêm de dois Sistemas de Projecção distintos – as Axonometrias Ortogonais que, tal como o nome indica, provêm do Sistema de Projecção Ortogonal, e as Axonometrias Oblíquas (ou Clinogonais), que provêm do Sistema de Projecção Oblíqua (ou Clinogonal), ambos sendo Sub-sistemas do Sistema de Projecção Paralela ou Cilíndrica.

698.

Por representação perspéctica entende-se toda a representação bidimensional (projecção), na qual se observam as três dimensões do objecto e a partir da qual, de forma empírica e sem qualquer tipo de aprendizagem pré-requerida, é possível compreender a forma exacta do objecto, a sua volumetria e a sua correcta localização no espaço.

699.

Na representação de um objecto em Dupla Projecção Ortogonal, o objecto é representado por duas projecções (resultado da representação do objecto em dois planos de projecção distintos mas complementares), sendo que em nenhuma delas se observam as três dimensões do objecto (nenhuma das suas duas projecções verifica o Critério de reversibilidade). Na representação desse objecto em p e r s p e c t i v a, o objecto é representado por uma única projecção (resultado da representação do objecto num único plano de projecção), na qual se observam imediatamente as três dimensões do objecto e que, dessa forma, verifica o Critério de reversibilidade.

700.

Numa perspectiva axonométrica, o objecto é representado num plano de projecção a partir do Sistema de Projecção Paralela ou Cilíndrica (nas suas variantes Ortogonal ou Oblíqua), sendo uma representação que, apesar de permitir uma percepção rápida do objecto representado (da sua forma e volumetria), se distancia da percepção visual real do mesmo mas permite acrescentar determinado tipo de informação sobre o objecto, nomeadamente a sua cotagem. Numa perspectiva cónica, o objecto é representado num plano de projecção a partir do Sistema de Projecção Cónica ou Central, sendo uma representação bastante próxima da percepção visual do mesmo mas que, ao contrário da perspectiva axonométrica, não permite outro tipo de informação, como a cotagem.

701.

Os fundamentos da representação axonométrica consistem nas diferentes possibilidades da representação do primeiro triedro trirrectângulo formado pelos três planos coordenados sobre um único plano de projecção (o plano axonométrico ou quadro), recorrendo a um único Sistema de Projecção Paralela ou Cilíndrica (por oposição à Dupla Projecção Ortogonal, que recorre a dois planos de projecção e, por conseguinte, a dois Sistemas de Projecção Paralela ou Cilíndrica distintos, mas que se complementam).

702.

Por plano axonométrico (ou quadro) entende-se o plano de projecção em qualquer representação axonométrica, ou seja, o plano onde os objectos são representados (projectados).

703.

Numa axonometria ortogonal, o plano axonométrico é oblíquo aos três eixos coordenados e as rectas projectantes são ortogonais ao plano de projecção (o plano axonométrico). Já numa axonometria oblíqua, o plano axonométrico é paralelo a dois dos eixos coordenados (e ortogonal ao terceiro eixo) e as rectas projectantes são oblíquas ao plano axonométrico. No caso das axonometrias oblíquas, o plano axonométrico pode conter um par de eixos, ou seja, pode ser um qualquer dos três planos coordenados.

704.

As axonometrias ortogonais englobam a perspectiva isométrica, a perspectiva dimétrica e a perspectiva trimétrica (ou anisométrica).

367

SOLUÇÕES

705.

Se o plano axonométrico contém a origem do referencial, que é um ponto do eixo X, já temos um ponto para definir a perspectiva do eixo X (a perspectiva de O, a origem do referencial, está coincidente com o próprio ponto). Para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Assim, há que determinar a perspectiva de um outro ponto do eixo X. Consideremos um ponto A , qualquer, do eixo X – por A conduz-se uma recta projectante (ortogonal ao plano axonométrico) e determina-se a perspectiva de A (o ponto de intersecção da recta projectante com o plano axonométrico), que será A p. A perspectiva do eixo X fica definida por O (que está coincidente com a sua própria perspectiva) e por A p.

706.

Se o plano axonométrico não contém a origem do referencial, corta o eixo Z num ponto (ponto C, por exemplo), que está coincidente com C é um ponto do plano axonométrico). Já temos um ponto para definir a perspectiva do eixo Z (a perspectiva de a sua própria perspectiva (C C). Para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Assim, há que determinar a perspectiva de um outro ponto do eixo Z – a origem do referencial (o ponto O), por exemplo. Por O conduz-se uma recta projectante (ortogonal ao plano axonométrico) e determina-se a perspectiva de O (o ponto de intersecção da recta projectante com o plano axonométrico), que será Op. A perspectiva do eixo X fica definida por C (que está coincidente com a sua própria perspectiva) e por Op.

707.

As axonometrias oblíquas (ou clinogonais) englobam a perspectiva cavaleira e a perspectiva militar (ou planométrica).

708.

Se o plano axonométrico é o plano XY, o plano axonométrico contém a origem do referencial, que é um ponto do eixo Z – a perspectiva de O, a origem do referencial, está coincidente com o próprio ponto. Já temos um ponto para definir a perspectiva do eixo Z (a perspectiva de O). Para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Assim, há que determinar a perspectiva de um outro ponto do eixo Z. Consideremos um ponto A , qualquer, do eixo Z – por A conduz-se uma recta projectante (oblíqua ao plano axonométrico) e determina-se a perspectiva de A (o ponto de intersecção da recta projectante com o plano axonométrico), que será A p. A perspectiva do eixo Z fica definida por O (que está coincidente com a sua própria perspectiva) e por A p.

709.

Por perspectiva axonométrica de um objecto entende-se a projecção (representação) de um objecto no plano axonométrico. De facto, tal como, em Dupla Projecção Ortogonal, se chama projecção horizontal a toda e qualquer projecção obtida no Plano Horizontal de Projecção e projecção frontal a toda e qualquer projecção obtida no Plano Frontal de Projecção, em axonometrias chama-se p e r s p e c t i v a (ou perspectiva axonométrica) a toda e qualquer projecção obtida no plano axonométrico.

710.

Para se determinar a perspectiva de um ponto conduz-se, por esse ponto, uma recta projectante – o ponto de intersecção da recta projectante com o plano axonométrico é a perspectiva do ponto. Note que a recta projectante é ortogonal ao plano axonométrico, no caso das axonometrias ortogonais, ou é oblíqua ao plano axonométrico, no caso das axonometrias oblíquas.

711.

Alguns dos campos de utilização das axonometrias são a arquitectura, o design (de equipamento e industrial, por exemplo), a engenharia (civil, aeronáutica, naval, mecânica, etc.), entre muitos outros campos profissionais que utilizam o desenho como meio preferencial para a expressão das ideias que antecedem as suas concretizações.

712.

As vantagens do recurso às representações axonométricas ao longo do processo projectual de um dado objecto têm a ver com o facto de aquelas aliarem, à representação simultânea das três dimensões desse objecto, o rigor de uma representação à escala que permite a sua cotagem, uma grande correspondência com a Dupla Projecção Ortogonal e, ainda, uma grande facilidade de execução de uma forma quase empírica.

368

SOLUÇÕES

23 A XONOMETRIA S O RTOGONAIS 713.

Por perspectiva de um ponto entende-se o ponto de intersecção da recta projectante que passa pelo ponto com o plano axonométrico.

Tratando-se de uma axonometria ortogonal, a recta projectante é necessariamente ortogonal ao plano axonométrico.

714.

Na situação em que o plano axonométrico não contém a origem do referencial, o plano axonométrico corta cada um dos eixos num ponto – já temos um ponto para definir cada uma das rectas que é a perspectiva de cada eixo. Em seguida conduz-se, pela origem do referencial, uma recta projectante (ortogonal ao plano axonométrico) – o ponto de intersecção da recta projectante com o plano axonométrico é a perspectiva da origem do referencial. Tendo em conta que a origem do referencial é o ponto de concorrência dos três eixos coordenados, as suas perspectivas serão necessariamente concorrentes na perspectiva da origem do referencial. Já temos, então, dois pontos para definir a perspectiva de cada eixo – o ponto de intersecção de cada eixo com o plano axonométrico e a perspectiva da origem do referencial.

715.

Na situação em que o plano axonométrico contém a origem do referencial, a perspectiva desse ponto (a origem do referencial) é o próprio ponto, pois é um ponto do plano de projecção. Tendo em conta que a origem do referencial é o ponto de concorrência dos três eixos coordenados, já temos um ponto para definir cada uma das rectas que é a perspectiva de cada um dos eixos. Para obter a perspectiva do eixo X, por exemplo, conduz-se, por um ponto A qualquer do eixo (que não seja a origem do referencial) uma recta projectante – o ponto de intersecção da recta projectante com o plano de projecção é a perspectiva desse ponto. Já temos, então, dois pontos para definir a perspectiva do eixo X – a origem do referencial (cuja perspectiva está coincidente com o próprio ponto) e a perspectiva do ponto A . O processo repete-se para cada um dos outros dois eixos, obtendo-se, assim, as respectivas perspectivas.

716.

Existem duas situações – aquela em que o plano axonométrico contém a origem do referencial e aquela em que o plano axonométrico não contém a origem do referencial. 1. Considerando que o plano axonométrico não contém a origem do referencial. Nesse caso, por t r i â n g u l o fundamental entende-se o triângulo que está contido no plano axonométrico e cujos vértices são os pontos de intersecção do plano axonométrico com os três eixos coordenados. Os lados do triângulo fundamental estão, nesse caso, contidos nas rectas de intersecção do plano axonométrico com os planos coordenados. 2. Considerando que o plano axonométrico contém a origem do referencial. Por t r i â n g u l o fundamental entende-se o triângulo que existe num plano paralelo ao plano axonométrico e cujos vértices são os pontos de intersecção desse plano com os três eixos coordenados. Note que, neste caso, o triângulo fundamental se projecta em V.G. no plano axonométrico, pois o plano que o contém é paralelo ao plano axonométrico.

717.

Por pirâmide axonométrica entende-se a pirâmide cuja base é o triângulo fundamental e cujo vértice é a origem do referencial, tendo, por arestas laterais, os segmentos dos eixos coordenados que estão compreendidos entre o triângulo fundamental e a origem do referencial.

718.

Em primeiro lugar há que recordar que um plano pode ser definido por duas rectas (paralelas ou concorrentes), entre outras situações (três pontos não colineares ou uma recta e um ponto exterior à recta). O plano projectante de um dado eixo contém necessariamente o eixo – já temos uma recta para definir o plano, o que não é suficiente. Por outro lado, para ser projectante, o plano contém necessariamente a direcção das projectantes, ou seja, contém uma recta projectante qualquer. As rectas projectantes não são paralelas a nenhum dos eixos coordenados, pelo que são concorrentes com os eixos coordenados. Assim, o plano projectante de um eixo fica definido por esse eixo e por uma recta projectante qualquer, concorrente com esse eixo (o plano fica definido por duas rectas concorrentes).

369

SOLUÇÕES

719.

Em primeiro lugar há que ter em conta que qualquer lado do triângulo fundamental é complanar com dois eixos coordenados e não complanar com o terceiro eixo. Qualquer lado do triângulo fundamental é oblíquo a dois eixos coordenados (os eixos com os quais é complanar) e ortogonal ao terceiro eixo coordenado (o eixo com o qual não é complanar). J u s t i f i c a ç ã o: qualquer lado do triângulo fundamental está contido num plano coordenado – está contido na recta de intersecção desse plano coordenado com o plano axonométrico. Assim sendo, qualquer lado do triângulo fundamental é necessariamente complanar com dois dos eixos coordenados, aos quais é oblíquo (não pode, nunca, ser paralelo nem perpendicular a nenhum desses dois eixos). Por outro lado, qualquer lado do triângulo fundamental está contido num plano coordenado que é ortogonal ao eixo que não está contido nesse plano. Tendo em conta o Teorema da Ortogonalidade entre rectas e planos, que diz que se uma recta é ortogonal a um plano, então todas as rectas desse plano são ortogonais ou perpendiculares a essa recta, conclui-se que qualquer lado do triângulo fundamental é necessariamente ortogonal ao eixo que não está contido no plano coordenado a A B], do triângulo fundamental, sendo A e B, que esse lado pertence (o eixo oposto a esse lado). Exemplifiquemos: consideremos um lado [A A B] está contido na recta de intersecção do respectivamente, os pontos de intersecção do plano axonométrico com o eixo X e o eixo Y. [A A B] é, assim, oblíquo ao eixo X e ao eixo Y. De acordo com o acima exposto, uma vez plano axonométrico com o plano coordenado XY . [A A B] está contido num plano ortogonal ao eixo Z, [A A B] é necessariamente ortogonal ao eixo Z (não é perpendicular ao eixo Z, pois não que [A é concorrente com este).

720.

Em primeiro lugar há que ter em conta que qualquer lado do triângulo fundamental é complanar com dois eixos coordenados e não complanar com o terceiro eixo. Assim sendo, qualquer lado do triângulo fundamental é oblíquo às perspectivas de dois eixos coordenados (os eixos com os quais é complanar) e perpendicular à perspectiva do terceiro eixo (o eixo com o qual não é complanar). J u s t i f i c a ç ã o: qualquer lado do triângulo fundamental existe no plano axonométrico, tal como as perspectivas dos eixos coordenados (as projecções dos eixos coordenados no plano axonométrico) – qualquer lado do triângulo fundamental é, assim, complanar com as perspectivas dos três eixos coordenados. Rectas complanares ou são paralelas ou são concorrentes (e, caso sejam concorrentes, ou são oblíquas ou são perpendiculares).

A B] é a hipotenusa de um triângulo que está contido no plano coordenado XY – o Consideremos agora o exemplo da resposta anterior. [A A O B], que é uma face da pirâmide axonométrica e é rectângulo em O (a origem do referencial). A perspectiva desse triângulo é triângulo [A A B] faz com os outros um outro triângulo, mas obtusângulo – tem um ângulo obtuso na perspectiva de O. Assim sendo, os ângulos que [A A B] é, assim, dois lados do triângulo (que estão contidos nas perspectivas do eixo X e do eixo Y) são necessariamente ângulos agudos – [A oblíquo às perspectivas do eixo X e do eixo Y. Analisemos, agora, a questão da perspectiva do eixo Z, que não é complanar com o lado A B] do triângulo fundamental – o eixo Z é ortogonal a [A A B] (ver resposta à questão do exercício anterior). A perspectiva do eixo Z (que está [A no plano axonométrico) é a recta de intersecção do plano projectante do eixo Z com o plano axonométrico – os dois planos são ortogonais entre si, pois o plano projectante do eixo Z contém a direcção ortogonal ao plano axonométrico (a direcção das rectas projectantes). Por outro lado, o plano projectante do eixo Z é ortogonal ao plano coordenado XY, pois contém a direcção ortogonal a esse plano (a direcção do eixo). Dessa forma, o plano projectante do eixo Z é ortogonal aos dois planos de que A B é a recta de intersecção (o plano axonométrico e o plano coordenado XY). A recta de intersecção entre dois planos é uma recta da única «família» de rectas comum aos dois planos. Os dois planos são ortogonais ao plano projectante do eixo, pelo que ambos contêm a direcção das rectas ortogonais a esse plano, direcção essa A B]. Assim sendo, [A A B] é necessariamente ortogonal a todas as rectas do plano projectante do eixo Z, que é, precisamente, a direcção de [A A B] e a perspectiva do eixo Z são complanares (estão contidas nas quais se inclui a perspectiva do eixo. Uma vez que a recta suporte de [A no plano axonométrico), então são perpendiculares.

721.

O factor que provoca a existência de diversos tipos de axonometrias ortogonais é o conjunto dos diferentes ângulos que os eixos coordenados podem fazer com o plano axonométrico. De facto, os ângulos que os eixos coordenados fazem com o plano axonométrico podem ser todos iguais, dois iguais e um diferente ou todos diferentes, facto que provoca, precisamente, os diferentes tipos de axonometrias ortogonais.

722.

Uma perspectiva isométrica é aquela em que os três eixos fazem, com o plano axonométrico, ângulos iguais. Em função disso, a pirâmide axonométrica é uma pirâmide regular, os coeficientes de deformação (ou redução) dos três eixos são um só (são iguais), as perspectivas dos três eixos fazem, entre si, ângulos de 120o e o triângulo fundamental é um triângulo equilátero.

723.

Uma perspectiva dimétrica é aquela em que dois dos eixos fazem, com o plano axonométrico, ângulos iguais, sendo que o terceiro eixo faz um ângulo diferente com o plano axonométrico. Em função disso, a pirâmide axonométrica não é uma pirâmide regular (embora seja uma pirâmide recta, pois o seu eixo é ortogonal ao plano da base), os coeficientes de deformação (ou redução) de dois dos eixos são um só (são iguais), sendo que o terceiro eixo tem um coeficiente de deformação diferente, as perspectivas dos três eixos fazem, entre si, dois ângulos obtusos iguais e um terceiro ângulo, também obtuso, mas diferente dos outros dois e, por fim, o triângulo fundamental é um t r i â ng u l o i s ó s c e l e s.

370

SOLUÇÕES

724. ou anisométrica) é aquela em que os três eixos fazem, com o plano axonométrico, ângulos diferentes. Em Uma perspectiva trimétrica (o função disso, a pirâmide axonométrica não é uma pirâmide regular (embora seja uma pirâmide recta, pois o seu eixo é ortogonal ao plano da base), os coeficientes de deformação (ou redução) dos três eixos são diferentes, as perspectivas dos três eixos fazem, entre si, três ângulos obtusos diferentes e, por fim, o triângulo fundamental é um triângulo escaleno.

725.

A afirmação é verdadeira. J u s t i f i c a ç ã o : em primeiro lugar, há a considerar o facto de o plano axonométrico cortar os três eixos coordenados em três pontos, que são fixos e por onde passam as perspectivas dos eixos correspondentes. Cada par desses três pontos integra uma face lateral da pirâmide axonométrica, que é um triângulo rectângulo cuja hipotenusa tem extremos nesse par de pontos. Os catetos do triângulo rectângulo, em função da projecção ortogonal, ficam reduzidos, pelo que a amplitude dos dois ângulos agudos do triângulo rectângulo, em perspectiva, diminui. Uma vez que a soma dos três ângulos internos de um qualquer triângulo é sempre 180o, em perspectiva, o terceiro ângulo aumenta, pois os outros dois diminuem. O terceiro ângulo, em perspectiva, é, assim, um ângulo obtuso, pois a sua amplitude é superior a 90o (e inferior a 180o, pois a soma dos três ângulos internos é 180o).

726.

Por perspectivas de um ponto entende-se o conjunto das representações, no plano axonométrico, do ponto e das suas projecções ortogonais nos três planos coordenados, ou seja, a perspectiva propriamente dita do ponto, a perspectiva da sua projecção horizontal, a perspectiva da sua projecção frontal e a perspectiva da sua projecção lateral.

727.

Por coeficiente de redução (ou de deformação) entende-se o quociente (a razão) entre uma dada dimensão na realidade (no espaço) e a sua representação bidimensional (projecção). Na situação em que um segmento de recta é paralelo a um plano de projecção, a sua projecção nesse plano não apresenta qualquer deformação, uma vez que não existe qualquer diferença entre o comprimento real do segmento e o comprimento da sua representação (diz-se, neste caso, que o segmento se projecta em V.G.). O mesmo não se verifica quando o segmento não é paralelo ao plano de projecção, observando-se, nesse caso, a existência de uma disparidade (que pode ser maior ou menor) entre o comprimento real do segmento e o comprimento da sua representação.

728.

Um determinado objecto (um segmento de recta, por exemplo) projecta-se em V.G. num plano se for paralelo ao plano de projecção e apenas nessa situação. Assim, se o objecto (o segmento de recta, por exemplo), não for paralelo ao plano de projecção, a sua projecção nesse plano apresenta necessariamente uma deformação que, no caso da projecção ortogonal, é sempre uma redução. Essa redução depende directamente do ângulo entre o objecto e o plano de projecção, podendo ir até à deformação (ou redução) máxima, no caso em que o objecto é ortogonal ao plano de projecção (a projecção do segmento é um ponto). No caso das perspectivas axonométricas ortogonais, nenhum dos três eixos coordenados é paralelo ao plano de projecção (o plano axonométrico), pelo que se observa sempre a existência de um factor de deformação das medidas existentes nos eixos que, no caso, e por se tratar de projecção ortogonal, é sempre uma redução.

729.

Numa perspectiva isométrica, os três eixos apresentam o mesmo coeficiente de redução (ou de deformação), pois os três eixos fazem o mesmo ângulo com o plano axonométrico. Numa perspectiva dimétrica, dois dos eixos apresentam o mesmo coeficiente de redução (ou de deformação), pois há dois eixos que fazem, com o plano axonométrico, ângulos iguais, sendo que o terceiro eixo faz um ângulo diferente ou com o plano axonométrico e, por isso, apresenta um coeficiente de redução (ou de deformação) distinto. Já na perspectiva trimétrica (o a n i s o m é t r i c a), os três eixos apresentam coeficientes de redução (ou de deformação) diferentes, uma vez que os três eixos fazem, com o plano axonométrico, ângulos diferentes.

730.

Por coeficientes de redução predefinidos entende-se um conjunto de factores numéricos predeterminados matematicamente, que permitem, para determinadas perspectivas predefinidas, determinar os valores das dimensões existentes nos eixos depois de afectadas pelo coeficiente de redução inerente à projecção. Tal processa-se através do produto das dimensões reais (que existem nos eixos) por esses coeficientes de redução predefinidos.

371

SOLUÇÕES

731.

Consideremos a penúltima das seis perspectivas trimétricas apresentadas na tabela. A perspectiva do eixo X fará um ângulo de 114o 55’ com a perspectiva do eixo Z e um ângulo de 142o 20’ com a perspectiva do eixo Y. Note que a perspectiva do eixo Y fará, com a perspectiva do eixo Z, um ângulo de 102o 45’. Note ainda que 142o 20’ + 114o 55’ + 102o 45’ = 360o. Nessa perspectiva, o coeficiente de redução predefinido para o eixo X é de 0,63, o que significa que as abcissas (a representar sobre esse eixo) deverão ser multiplicadas por esse valor. Da mesma forma, o coeficiente de redução predefinido para o eixo Y é de 0,84, o que significa que os afastamentos (a representar nesse eixo) deverão ser multiplicados por esse valor. Por fim, o coeficiente de redução predefinido para o eixo Z é de 0,95, o que significa que as cotas (a representar nesse eixo) deverão ser multiplicadas por esse valor.

732.

Por plano projectante de um eixo entende-se o plano que projecta esse eixo no plano axonométrico – é o plano ortogonal ao plano axonométrico que contém esse eixo.

733.

Para determinar a perspectiva de um eixo conduz-se, por esse eixo, um plano projectante (ortogonal ao plano axonométrico) – a recta de intersecção do plano projectante com o plano axonométrico é a perspectiva desse eixo.

734.

Por charneira do rebatimento entende-se a recta de intersecção do plano a rebater com o plano para o qual se processa o rebatimento. No caso das perspectivas axonométricas, os rebatimentos processam-se sempre para o plano axonométrico. Assim, no rebatimento do plano projectante de um eixo qualquer, a charneira do rebatimento é necessariamente a recta de intersecção do plano projectante do eixo com o plano axonométrico, que é precisamente a perspectiva desse eixo (ver a resposta à questão do exercício anterior).

735.

Em perspectiva isométrica, as perspectivas dos três eixos fazem, entre si, ângulos de 120o. Desenharam-se apenas dois lados do triângulo PQ] e [Q QR]. As coordenadas do ponto, que existem sobre fundamental, por estes serem suficientes para a resolução do exercício – os lados [P os eixos coordenados, não se projectam em V.G. no plano axonométrico, pois nenhum dos eixos coordenados é paralelo ao plano axonométrico – todos os eixos apresentam um coeficiente de deformação que, nas axonometrias ortogonais, é sempre uma redução. Como se trata de uma perspectiva isométrica, o coeficiente de redução dos três eixos é o mesmo, pelo que basta rebater um dos eixos para, a partir desse eixo em V.G., obter todas as dimensões reduzidas. Optou-se por rebater o eixo Z (mas poder-se-ia ter rebatido qualquer um dos três eixos), rebatendo o seu plano projectante – a charneira é a recta de intersecção do plano projectante do eixo Z com o plano axonométrico, que é a perspectiva do eixo Z. Identificou-se a charneira com a letra e (mas não é necessário – poderia omitir-se a identificação da charneira). A charneira R é o ponto em que o plano axonométrico corta o eixo Z) e S é o ponto em que é a recta R S – R é um dos vértices do triângulo fundamental (R o plano axonométrico corta a recta i (a recta i é a recta de intersecção do plano projectante do eixo Z com o plano coordenado XY). A persRSO] está contido no plano projectante do eixo Z e é rectângulo pectiva da recta i está coincidente com a perspectiva do eixo Z. O triângulo [R R S] é a hipotenusa desse triângulo. Assim, determinou-se o ponto médio de [R R S] e, com centro nesse ponto, desenhou-se uma semiem O. [R R S] é um diâmetro (passa por R e é tangente a [P PQ] em S). R r ≡ R e Sr ≡ S, pois R e S são dois pontos da charneira circunferência de que [R (são fixos – rodam sobre si próprios). O rebatimento processa-se em planos ortogonais à charneira, pelo que, conduzindo por O uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), obtém-se Or sobre a semicirRSO] em V.G. e que fica rectângulo em Or – o eixo Z em rebatimento (Z Zr) passa por Or e cunferência, o que nos permite desenhar o triângulo [R por R r e a recta i r passa por Or e por Sr. Note que a representação da recta i r não é necessária para a resolução do exercício. Sobre o eixo Zr, e a partir de Or, representaram-se as medidas da abcissa, do afastamento e da cota de A, em V.G. (em rebatimento). Através de perpendiculares à charneira, transportaram-se essas medidas para a perspectiva do eixo Z, obtendo as perspectivas da abcissa, do afastamento e da cota de A, já afectadas pelo coeficiente de redução inerente, sobre a perspectiva do eixo Z. Com o recurso ao compasso e fazendo centro em O, transportou-se a perspectiva da abcissa para a perspectiva do eixo X e a perspectiva do afastamento para a perspectiva do eixo Y. A partir das perspectivas da abcissa e da cota de A , construiu-se um paralelogramo de lados paralelos aos eixos coordenados correspondentes (eixo X e eixo Z), que tem um vértice em O e cujo vértice oposto é A 2 (a perspectiva da projecção frontal de A). A partir das perspectivas da abcissa e do afastamento de A, construiu-se um segundo paralelogramo de lados paralelos aos eixos coordenados correspondentes (eixo X e eixo Y), que tem um vértice em O e cujo vértice oposto é A 1 (a perspectiva da projecção horizontal de A). A partir das perspectivas da cota e do afastamento de A, construiu-se um terceiro paralelogramo de lados paralelos aos eixos coordenados correspondentes (eixo Y e eixo Z), que tem um vértice em O e cujo vértice oposto é A 3 (a perspectiva da projecção lateral de A). A partir desses paralelogramos determinou-se a perspectiva de A, construindo a perspectiva de um paralelepípedo de que A é um dos vértices e O o vértice oposto. Para tal conduziu-se, pelas perspectivas das projecções de A, as perspectivas das respectivas rectas projectantes, paralelas aos eixos opostos – por A 1 conduziu-se a perspectiva da (Continua na página seguinte) 372

SOLUÇÕES

recta projectante horizontal de A (que é paralela à perspectiva do eixo Z); por A 2 conduziu-se a perspectiva da recta projectante frontal de A (que é paralela à perspectiva do eixo Y); por A 3 conduziu-se a perspectiva da recta projectante lateral de A (que é paralela à perspectiva do eixo X). O ponto de concorrência das três projectantes é a perspectiva propriamente dita do ponto A. Obtém-se, dessa forma, um paralelepípedo com três arestas sobre os eixos e as três arestas que concorrem na perspectiva de A são as perspectivas das rectas projectantes de A – a projectante horizontal de A (que passa por A e por A 1), a projectante frontal de A (que passa por A e por A 2) e a projectante lateral de A (que passa por A e por A 3).

736.

Ver relatório do exercício anterior. Note que, neste caso, se optou por rebater o eixo X, pelo rebatimento do seu plano projectante, obtendo-se o eixo X em V.G., em rebatimento (o eixo Xr). Tenha em conta que a charneira do rebatimento foi a perspectiva do eixo X – a recta de intersecção do plano axonométrico com o plano projectante do eixo X. No entanto, o procedimento foi idêntico ao exposto no relatório do exercício anterior para o eixo Z. A recta i é, nesta situação, a recta de intersecção do plano projectante do eixo X com o plano coordenado YZ. Sobre o eixo Xr representaram-se as três coordenadas de B em V.G. (em rebatimento), a partir de Or – a abcissa, o afastamento e a cota. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira (perpendiculares à perspectiva do eixo X), obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, as perspectivas das coordenadas de B. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportou-se a perspectiva da cota de B para a perspectiva do eixo Z e a perspectiva do afastamento de B para a perspectiva do eixo Y. Em seguida determinaram-se as perspectivas de B (as perspectivas das suas projecções e a sua perspectiva propriamente dita), conforme exposto no relatório do exercício anterior para as perspectivas do ponto A.

737.

Ver relatório do exercício 735. Note que, neste caso, se optou por rebater o eixo Y, pelo rebatimento do seu plano projectante, obtendo-se o eixo Y em V.G., em rebatimento (o eixo Yr). Tenha em conta que a charneira do rebatimento foi a perspectiva do eixo Y – a recta de intersecção do plano axonométrico com o plano projectante do eixo Y. No entanto, o procedimento foi idêntico ao exposto no relatório do exercício 735 para o eixo Z. A recta i (cuja representação se omitiu, por não ser fundamental para a resolução do exercício) é, nesta situação, a recta de intersecção do plano projectante do eixo Y com o plano coordenado XZ. Sobre o eixo Yr e a partir de Or representaram-se as três coordenadas de A em V.G. (em rebatimento), bem B tem abcissa nula) e a abcomo o afastamento e a cota de B (B cissa e o afastamento de C (que tem cota nula). Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira (perpendiculares à perspectiva do eixo Y), obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, as perspectivas daquelas coordenadas. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportaram-se as perspectivas das cotas de A e B para a perspectiva do eixo Z e as perspectivas das abcissas de A e C para a perspectiva do eixo X. Em seguida, determinaram-se as perspectivas de A , B e C (as perspectivas das respectivas projecções e as suas perspectivas propriamente ditas), conforme exposto no relatório do exercício 735 para as perspectivas do ponto A . Note que, nesta situação, se tem B 3 ≡ B, pois B é um ponto com abcissa nula (está no plano YZ) e C1 ≡ C, pois C é um ponto com cota nula (está no plano XY). Por fim, a partir das perspectivas dos três vértices do triângulo, desenhou-se a sua perspectiva propriamente dita, bem como as perspectivas da sua projecção horizontal e da sua projecção frontal, atendendo-se às respectivas invisibilidades (parte das perspectivas das projecções são invisíveis, por estarem ocultas pela própria figura). Observe que a omissão da representação da charneira e da recta i tem a ver com uma necessária e desejável simplificação da resolução gráfica. Ainda nesse sentido, omitiu-se, também, a identificação dos vértices do triângulo fundamental.

373

SOLUÇÕES

738.

Em função dos dados (três arestas do cubo estão contidas nos eixos coordenados), conclui-se que um dos vértices do cubo é a própria origem do referencial – o ponto O. Assim, para a resolução do exercício é necessário obter, sobre cada um dos eixos e a partir da origem do referencial, a medida da aresta do cubo, já reduzida. Nesse sentido, neste exercício optou-se por rebater o eixo Z (através do rebatimento do seu plano projectante) – ver exercício 735 e respectivo relatório). Note que a medida da aresta é a mesma sobre os três eixos (tanto no espaço como em perspectiva, uma vez que o coeficiente de redução é o mesmo), pelo que se efectuou o respectivo transporte, com o recurso ao compasso. Em seguida, desenhou-se a perspectiva do cubo, cujas arestas são paralelas (quatro a quatro) às perspectivas dos três eixos coordenados. Note que existem dois vértices cujas perspectivas estão coincidentes – o vértice O e o vértice espacialmente oposto a O. Observe, ainda, que se verifica a colinearidade entre arestas opostas. Note, por fim, que as arestas que estão contidas nos eixos coordenados são invisíveis.

739.

A B] do a) O polígono está contido no plano XY, pelo que C e D têm necessariamente cota nula. Por outro lado, constatou-se que o lado [A CD] será igualmente paralelo ao eixo X. Por sua vez, os lados [B B C] e [A A D] serão necesquadrado é paralelo ao eixo X, pelo que o lado [C sariamente paralelos ao eixo Y (por serem perpendiculares A B] e [C CD]). Por fim, o lado [A A B] mede 4 cm (a aos lados [A diferença entre as abcissas de A e B), que é a medida do lado do polígono. Assim sendo, C tem a mesma abcissa de B e está a 4 cm deste – tem 6 de abcissa e 6 de afastamento. D terá a abcissa e A e o afastamento de C. As coordenadas são: C (6; 6; 0) e D (2; 6; 0). b) Para determinar as perspectivas dos quatro vértices do polígono foi necessário, em primeiro lugar, obter as perspectivas das suas coordenadas, sobre as perspectivas dos respectivos eixos, conforme se expôs no relatório do exercício 735, pelo que se aconselha a sua leitura. O eixo rebatido foi o eixo Y (ver exercício 737 e respectivo relatório). Note que as perspectivas propriamente ditas dos quatro pontos estão coincidentes com as perspectivas das suas projecções horizontais – tal deve-se ao facto de os quatro pontos terem cota nula. Nesse sentido, e uma vez que o quadrado está contido no plano coordenado XY, a figura (no espaço) está coincidente com a sua projecção horizontal, pelo que a perspectiva propriamente dita do quadrado está coincidente com a perspectiva da sua projecção horizontal.

740.

A B CD)] está contido no plano XY, pelo que B e D têm necessariamente cota nula. Por outro lado, a) O quadrado da base (o quadrado [A A C] do quadrado é paralela ao eixo Y, pelo que a diagonal [B BD] será necessariamente paralela ao eixo X constatou-se que a diagonal [A A C] do quadrado mede 6 cm (a (as diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si), pelo que será fronto-horizontal. A diagonal [A diferença entre os afastamentos de A e C), pelo que o seu ponto médio (o ponto em que se bissectam as duas diagonais do quadrado A B CD]) está a 3 cm de cada um dos extremos da diagonal – esse ponto terá 3 cm de afastamento. O afastamento de B e D é o mesmo [A BD] é fronto-horizontal). A abcissa de B é 3 cm (metade do comprimento da diagonal) inferior à abcissa de A e C – e é 3 cm (a diagonal [B B tem 2 cm de abcissa (note que B é o vértice de menor abcissa). A abcissa de D é 3 cm (metade do comprimento da diagonal) superior à abcissa de A e C – D tem 8 cm de abcissa. Por fim, uma vez que a pirâmide é regular, V tem a abcissa de A e C (que é 5 cm), tem o afastamento de B e D (que é 3 cm) e tem 7 cm de cota (a altura da pirâmide). As coordenadas são: B (2; 3; 0), D (8; 3; 0) e V (5; 3; 7). b) Para determinar as perspectivas dos cinco vértices da pirâmide foi necessário, em primeiro lugar, obter as perspectivas das suas coordenadas, sobre as perspectivas dos respectivos eixos, conforme se expôs no relatório do exercício 735, pelo que se aconselha a sua leitura. O eixo rebatido foi o eixo X (ver exercício 736 e respectivo relatório). As perspectivas dos cinco vértices determinaram-se conforme (Continua na página seguinte) 374

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exposto no relatório do exercício 735 para o ponto A . Note que as perspectivas propriamente ditas dos quatro vértices da base estão coincidentes com as perspectivas das suas projecções horizontais – tal deve-se ao facto de os quatro pontos terem cota nula (ver exercício anterior e respectivo relatório). A partir das perspectivas dos cinco vértices da pirâmide, desenhou-se o seu contorno aparente, AVB CD]. Note que toque é a linha quebrada fechada [A dos os vértices do sólido integram o contorno aparente da sua projecção (perspectiva) – no entanto, atendendo a A BV] são as únicas faces invique a base e a face lateral [A A B] da base é a única aresta invisível (as síveis, a aresta [A restantes arestas são visíveis). Por fim, de forma a se verificar o Critério de Reversibilidade, representaram-se as perspectivas da projecção frontal e da projecção lateral da pirâmide. Note que parte da perspectiva da projecção frontal da pirâmide está oculta pela perspectiva da pirâmide, o que se assinalou convenientemente a traço interrompido.

741.

Por coeficiente de redução isolado entende-se o coeficiente de redução (ou deformação) que afecta apenas um dos eixos coordenados e que é diferente do coeficiente de redução que afecta os outros dois eixos. Note que se verifica a existência de um coeficiente de redução i s o l a d o apenas nas situações em que os outros dois eixos coordenados têm o mesmo coeficiente de redução.

742. a) A soma dos três ângulos é 360o. Uma vez que a soma dos dois ângulos dados é de 235o, constata-se que existe um outro ângulo de 125o (235o + 125o = 360o) – o ângulo entre as perspectivas do eixo X e do eixo Y é de 125o.

O eixo que sofre uma redução isolada é, então, o eixo Y – os outros dois eixos sofrem a mesma redução (têm o mesmo coeficiente de redução), o que significa que fazem, com o plano axonométrico, o mesmo ângulo. Na perspectiva isométrica, em que havia um único coeficiente de redução, bastava rebater um eixo coordenado e, em seguida, efectuar o transporte das coordenadas já reduzidas para os respectivos eixos. Já nesta perspectiva (dimétrica), é necessário rebater o eixo Y, que possui um coeficiente de redução isolado, mas, dos outros dois, é necessário rebater apenas um deles e, à semelhança da perspectiva isométrica, efectuar o transporte das coordenadas reduzidas de um eixo para o outro. Dos outros dois eixos, optou-se por rebater o eixo Z. Neste rebatimento, a charneira é a recta e e a recta i é a recta de intersecção do plano projectante do eixo Z com o plano coordenado XY. A charneira é a recta R S – R é um dos R é o ponto em que o vértices do triângulo fundamental (R plano axonométrico corta o eixo Z) e S é o ponto em que o plano axonométrico corta a recta i. A perspectiva da recta i está coincidente RSO] está contido no plano projectante do eixo Z e é rectângulo em O. [R R S] é a hipotenusa com a perspectiva do eixo Z. O triângulo [R R S] e, com centro nesse ponto, desenhou-se uma semicircunferência de que desse triângulo. Assim, determinou-se o ponto médio de [R R S] é um diâmetro (passa por R e é tangente a [P PQ] em S). R r ≡ R e Sr ≡ S, pois R e S são dois pontos da charneira (são fixos – rodam [R sobre si próprios). O rebatimento processa-se em planos ortogonais à charneira, pelo que, conduzindo por O uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), obtém-se Or sobre a semicircunferênRSO] em V.G. e que fica rectângulo em Or – o eixo Z em rebatimento (Z Zr) passa por Or e cia, o que nos permite desenhar o triângulo [R (Continua na página seguinte) 375

SOLUÇÕES

por R r e a recta i r passa por Or e por Sr. Note que a representação da recta i r não é necessária para a resolução do exercício. Sobre o eixo Zr, e a partir de Or, representaram-se as medidas da abcissa e da cota de A, em V.G. (em rebatimento). Através de perpendiculares à charneira, transportaram-se essas medidas para a perspectiva do eixo Z, obtendo as perspectivas da abcissa e da cota de A, já afectadas pelo coeficiente de redução inerente, sobre a perspectiva do eixo Z. Com o recurso ao compasso e fazendo centro em O, transportou-se a perspectiva da abcissa de A para a perspectiva do eixo X (recorde que o eixo X e o eixo Z têm o mesmo coeficiente de redução). No rebatimento do eixo Y, a charneira é a recta e’ e a recta i’ é a recta de intersecção do plano projectante do eixo Y com o plano coordenado XZ. Q é o ponto em que o plano axonométrico corta o eixo Y) e T é o A charneira é a recta QT – Q é um dos vértices do triângulo fundamental (Q ponto em que o plano axonométrico corta a recta i’. A perspectiva da recta i’ está coincidente com a perspectiva do eixo Y. O triângulo QTO] está contido no plano projectante do eixo Y e é rectângulo em O. [Q QT] é a hipotenusa desse triângulo. Assim, determinou-se o ponto [Q QT] e, com centro nesse ponto, desenhou-se uma semicircunferência de que [Q QT] é um diâmetro (passa por Q e é tangente a médio de [Q P R] em T). Qr ≡ Q e Tr ≡ T, pois Q e T são dois pontos da charneira (são fixos – rodam sobre si próprios). O rebatimento processa-se em [P planos ortogonais à charneira, pelo que, conduzindo por O uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira QTO] em V.G. e que contém o arco do seu rebatimento), obtém-se Or ’ sobre a semicircunferência, o que nos permite desenhar o triângulo [Q Yr) passa por Or ’ e por Qr e a recta i’r passa por Or ’ e por Tr. O ponto Or ’ é o ponto que fica rectângulo em Or ’ – o eixo Y em rebatimento (Y O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano projectante do eixo Y. A representação da recta i’r não é necessária para a resolução do exercício. Sobre o eixo Yr, e a partir de Or’, representou-se o afastamento de A, em V.G. (em rebatimento). Com o recurso a uma perpendicular à charneira, transportou-se o afastamento de A para a perspectiva do eixo Y, obtendo a perspectiva do afastamento de A, já afectada pelo coeficiente de redução inerente, sobre a perspectiva do eixo Y. Em seguida determinaram-se as perspectivas das três projecções do ponto A, bem como a sua perspectiva propriamente dita, conforme exposto no relatório do exercício 735. b) O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo Y (como na alínea anterior se referiu). O eixo Y sofre uma redução maior do que os outros dois eixos, pois o eixo Y faz, com o plano axonométrico, um ângulo superior ao ângulo que os outros dois eixos fazem com o plano axonométrico. Note que o ângulo que o eixo Z faz com o plano axonométrico (que é igual ao que o eixo X faz com o plano axonométrico) está representado entre a sua perspectiva e o eixo Zr. O ângulo que o eixo Y faz com o plano axonométrico está representado entre a sua perspectiva e o eixo Yr. Este ângulo é maior do que o anterior, pelo que o coeficiente de redução do eixo Y é menor do que o coeficiente de redução dos outros dois eixos (que é o mesmo) – note que a uma redução maior corresponde um coeficiente de redução menor.

743.

O eixo X é aquele que sofre uma redução isolada, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos – a perspectiva do eixo X faz, assim, ângulos de 130o com a perspectiva do eixo Z e com a perspectiva do eixo Y (estas duas perspectivas fazem, entre si, um ângulo de 100o, pois o somatório dos três ângulos é 360o). Uma vez que o eixo Y e o eixo Z têm o mesmo coeficiente de redução, destes dois eixos bastará rebater um deles (ver relatório do exercício anterior). O eixo X terá sempre de ser rebatido isoladamente, pois possui um coeficiente de redução isolado.

Rebateu-se o eixo X (pelo rebatimento do seu plano projectante) e, dos outros dois, optou-se por rebater o eixo Z (pelo rebatimento do seu plano projectante). No rebatimento do eixo X, a charneira do rebatimento foi a perspectiva do eixo X – a recta de intersecção do plano axonométrico com o plano projectante do eixo X. No rebatimento do eixo Z, a charneira do rebatimento foi a perspectiva do eixo Z – a recta de intersecção do plano axonométrico com o plano projectante do eixo Z. O rebatimento destes dois eixos processou-se de forma idêntica à exposta no relatório do exercício anterior para o rebatimento do eixo Z e do eixo Y. Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representou-se a abcissa de R em V.G., que se transportou para a respectiva perspectiva com uma perpendicular à charneira. Sobre o eixo Zr, a partir de Or ’, representaram-se o afastamento e a cota de R em V.G., cujas perspectivas se obtiveram sobre a sua perspectiva através de perpendiculares à charneira. Note que Or ’ é o ponto O rebatido pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano projectante do eixo Z. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportou-se a perspectiva do afastamento de R para a perspectiva do eixo Y. A partir das perspectivas das três coordenadas de R , já afectadas com os respectivos coeficientes de redução, determinaram-se as perspectivas das três projecções de R e, em seguida, a perspectiva propriamente dita do ponto (ver relatório do exercício 735). Note que se omitiu a identificação das charneiras dos rebatimentos efectuados, bem como das rectas de intersecção dos planos projectantes dos eixos com os planos coordenados (as rectas i e i’), a que no relatório do exercício anterior se fez referência. Essa omissão tem a ver com uma necessária e desejável simplificação da resolução gráfica. Ainda nesse sentido, se omitiu, também, a identificação dos três vértices do triângulo fundamental. O ângulo que o eixo Z faz com o plano axonométrico (que é igual ao que o eixo Y faz com o plano axonométrico) está representado entre a sua perspectiva e o eixo Zr. O ângulo que o eixo X faz com o plano axonométrico está representado entre a sua perspectiva e o eixo Xr. Este ângulo é maior do que o anterior, pelo que o eixo X (que é o eixo que sofre uma redução isolada) tem uma redução superior à dos outros dois eixos, a que corresponde um coeficiente de redução inferior.

376

SOLUÇÕES

744.

A perspectiva do eixo Z faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos, pelo que o eixo Z é o eixo que sofre a redução isolada – o eixo X e o eixo Y sofrem a mesma redução, e as suas perspectivas fazem, entre si, um ângulo de 130o (2 x 115o + 130o = 360o).

Atendendo a que o eixo Z é o que sofre uma redução isolada, é fundamental rebater este eixo (pelo rebatimento do seu plano projectante).

Já em relação aos outros dois eixos, que sofrem redução igual, basta rebater um deles apenas – optou-se por rebater o eixo X. No rebatimento do eixo X, a charneira do rebatimento foi a perspectiva do eixo X. No rebatimento do eixo Z, a charneira do rebatimento foi a perspectiva do eixo Z. O rebatimento destes dois eixos processou-se de forma idêntica à exposta no relatório do exercício 742 para o rebatimento do eixo Z e do eixo Y. Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representaram-se as A tem abcissas dos três pontos, bem como os afastamentos de B e C (A afastamento nulo). Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira (perpendiculares à perspectiva do eixo X), obtendo, sobre a perspectiva do eixo X , as perspectivas daquelas coordenadas. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportaram-se as perspectivas dos afastamentos de B e C para a perspectiva do eixo Y. Sobre o eixo Zr, a partir de Or ’, representaramB tem cota nula). Inverteu-se o rebatimento, com o -se as cotas A e C (B recurso a perpendiculares à charneira (perpendiculares à perspectiva do eixo Z), obtendo, sobre a perspectiva do eixo Z, as perspectivas daquelas coordenadas. Note que Or ’ é o ponto O no seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano projectante do eixo Z. Em seguida determinaram-se as perspectivas de A , B e C (as perspectivas das respectivas projecções e as suas perspectivas propriamente ditas), conforme exposto no relatório do exercício 735 para as perspectivas do ponto A . Note que, nesta situação, se tem B 1 ≡ B, pois B é um ponto com cota nula (está no plano XY) e A 2 ≡ A , pois A é um ponto com afastamento nulo (está no plano XZ). Por fim, a partir das perspectivas dos três vértices do triângulo, desenhou-se a sua perspectiva propriamente dita, bem como as perspectivas da sua projecção horizontal e da sua projecção frontal, atendendo-se às respectivas invisibilidades (parte das perspectivas das projecções são invisíveis, por estarem ocultas pela própria figura). O ângulo que o eixo X faz com o plano axonométrico (que é igual ao que o eixo Y faz com o plano axonométrico) está representado entre a sua perspectiva e o eixo Xr. O ângulo que o eixo Z faz com o plano axonométrico está representado entre a sua perspectiva e o eixo Zr. Este ângulo é menor do que o anterior, pelo que o eixo Z (que é o eixo que sofre uma redução isolada) tem uma redução inferior à dos outros dois eixos, a que corresponde um coeficiente de redução superior.

745.

Em função dos dados (três arestas do cubo estão contidas nos eixos coordenados), conclui-se que um dos vértices do cubo é a própria origem do referencial – o ponto O. Assim, para a resolução do exercício é necessário obter, sobre cada um dos eixos e a partir da origem do referencial, a medida da aresta do cubo, já reduzida. A perspectiva do eixo X faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos, pelo que o eixo X é o eixo que sofre a redução isolada – o eixo Y e o eixo Z sofrem a mesma redução, e as suas perspectivas fazem, entre si, um ângulo de 150o (2 x 105o + 150o = 360o). O eixo Y e o eixo Z sofrem a mesma redução, pelo que se torna necessário rebater, apenas, um deles – optou-se por rebater o eixo Z. O rebatimento do eixo X é fundamental, uma vez que possui um coeficiente de redução isolado.

No rebatimento do eixo X, a charneira do rebatimento foi a perspectiva do eixo X. No rebatimento do eixo Z, a charneira do rebatimento foi a perspectiva do eixo Z. O rebatimento destes dois eixos processou-se de forma idêntica à exposta no relatório do exercício 742 para o rebatimento do eixo Z e do eixo Y. Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representou-se a medida da aresta do cubo. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira (perpendicular à perspectiva do eixo X), obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, a perspectiva de um ponto que dista 6 cm de O. Sobre o eixo Zr, a partir de Or ’, representou-se a medida da aresta do cubo. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira (perpendicular à perspectiva do eixo Z), obtendo, sobre a perspectiva do eixo Z, a perspectiva de um ponto que dista 6 cm de O. Note que Or ’ é o ponto O no seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano projectante do eixo Z. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportou-se a medida obtida na perspectiva do eixo Z para a perspectiva do eixo Y (os dois eixos têm o mesmo coeficiente de redução), obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, a perspectiva de um ponto que dista 6 cm de O. Em seguida, desenhou-se a perspectiva do cubo, cujas arestas são paralelas (quatro a quatro) às perspectivas dos três eixos coordenados. Note que as arestas que estão contidas nos eixos coordenados são invisíveis. O eixo X sofre uma redução menor do que os outros dois eixos, pois o ângulo que o eixo X faz com o plano axonométrico é inferior ao ângulo que os outros dois eixos (os eixos que sofrem a mesma redução) fazem com o plano axonométrico – a redução destes dois eixos é maior do que a redução do eixo X, a que corresponde um menor coeficiente de redução.

377

SOLUÇÕES

746. a) O polígono está contido num plano frontal (de frente), pelo que todos os seus vértices têm o mesmo afastamento – B e D têm 2 cm de afastamento. A e C são dois extremos de uma diagonal fronto-horizontal do quadrado, pelo que a outra diagonal é necessariamente vertical, que passa pelo ponto médio A C] (as diagonais de um quadrado bissectamde [A A C ] mede -se simultaneamente). Uma vez que [A 6 cm, o seu ponto médio tem 4 cm de abcissa (a abcissa de A adicionada a metade do comprimento da diagonal), que é a abcissa de B e D. O ponto médio A C] é, também, o ponto médio de [B BD], pelo de [A que um dos pontos terá 8 de cota (a cota de A e C adicionada a metade do comprimento da diagonal) e o outro 2 de cota (a cota de A e C subtraída de metade do comprimento da diagonal). As coordenadas serão: B (4; 2; 2) e D (4; 2; 8). Note que a ordem de B e D é arbitrária, pois não nos é dada nenhuma informação adicional sobre estes dois pontos (por exemplo, qual é o de maior cota). b) A perspectiva do eixo X faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos, pelo que o eixo X é o que sofre uma redução isolada. As perspectivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 100o (2 x 130o + 100o = 360o). O eixo Y e o eixo Z sofrem a mesma redução, pelo que basta rebater, apenas, um deles – optou-se por rebater o eixo Z. O rebatimento do eixo X é fundamental, uma vez que possui um coeficiente de redução isolado. No rebatimento do eixo X, a charneira do rebatimento foi a perspectiva do eixo X. No rebatimento do eixo Z, a charneira do rebatimento foi a perspectiva do eixo Z. O rebatimento destes dois eixos processou-se de forma idêntica à exposta no relatório do exercício 742 para o rebatimento do eixo Z e do eixo Y. Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representaram-se as abcissas dos vértices do polígono. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira (perpendiculares à perspectiva do eixo X), obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, as perspectivas daquelas coordenadas. Sobre o eixo Zr, a partir de Or’, representaram-se os afastamentos e as cotas dos vértices do quadrado. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira (perpendiculares à perspectiva do eixo Z), obtendo, sobre a perspectiva do eixo Z, as perspectivas daquelas coordenadas. Note que Or’ é o ponto O no seu segundo rebatimento. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportaram-se as perspectivas do afastamento dos pontos para a perspectiva do eixo Y (os dois eixos têm o mesmo coeficiente de redução), obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, a perspectiva de um ponto que dista 2 cm de O. Esse ponto é o ponto de concorrência dos traços do plano ϕ (o plano frontal que contém a figura) – hϕ é a perspectiva do traço horizontal de ϕ e pϕ é a perspectiva do traço lateral (de perfil) no plano ϕ. Em seguida, transportaram-se, para pϕ, as perspectivas das cotas dos quatro pontos e determinaram-se as perspectivas das suas projecções laterais. As perspectivas das suas projecções horizontais determinaram-se transportando, para hϕ, as perspectivas das abcissas dos quatro pontos. Recorrendo às perspectivas das suas projectantes horizontais e das suas projectantes laterais, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas dos quatro pontos e desenhou-se a perspectiva do quadrado. Note que se omitiu a representação das perpendiculares frontais dos vértices do quadrado, por não serem estritamente fundamentais.

747. a) O polígono está contido num plano horizontal (de nível) com 2 cm de cota (a cota de A e B), pelo que C e D têm necessariamente 2 cm de cota. Por outro lado, A B] do quadrado é paralelo constatou-se que o lado [A CD] será igualmente paraao eixo Y, pelo que o lado [C B C] e [A A D] selelo ao eixo Y. Por sua vez, os lados [B rão necessariamente paralelos ao eixo X (por serem A B] e [C C D]). Por fim, o perpendiculares aos lados [A A B] mede 5 cm (a diferença entre os afastamenlado [A tos de A e B), que é a medida do lado do polígono.

Assim sendo, C tem o mesmo afastamento de B e está a 5 cm deste – tem 7 de afastamento e 7 de abcissa. D terá a abcissa de C e o afastamento de A . As coordenadas são: C (7; 7; 2) e D (7; 2; 2). Por fim, uma vez que a pirâmide é regular, a abcissa e o afastamento de V correspondem aos do ponto médio do quadrado – este tem mais 2,5 cm (metade do lado do quadrado) de abcissa do que A e B e tem mais 2,5 cm (Continua na página seguinte) 378

SOLUÇÕES

(metade do lado do quadrado) de afastamento do que A e D. Por outro lado, uma vez que a base tem 2 cm de cota e a pirâmide tem 7 cm de altura, a cota de V é 9 cm. As coordenadas são: V (4,5; 4,5; 9). b) O eixo X é o que sofre uma redução isolada, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos. As perspectivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 140o, pelo que a perspectiva do eixo X faz, com as perspectivas dos outros dois eixos, ângulos de 110o (2 x 110o + 140o = 360o). O eixo Y e o eixo Z sofrem a mesma redução, pelo que se torna necessário rebater, apenas, um deles – optou-se por rebater o eixo Y. O rebatimento do eixo X é fundamental, uma vez que possui um coeficiente de redução isolado. Sobre o rebatimento dos dois eixos e a determinação das perspectivas dos cinco vértices da pirâmide, ver relatório do exercício anterior. Note que, ao contrário da situação anterior, o transporte efectuou-se da perspectiva do eixo Y (o eixo que se rebateu) para a perspectiva do eixo Z (o eixo que tem a mesma redução do que o eixo Y). O plano ν, representado pelos seus traços frontal e lateral, é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide – f ν é a perspectiva do traço frontal do plano ν e pν é a perspectiva do traço lateral (de perfil) do plano ν. A partir das perspectivas dos cinco vértices da pirâmide, desenhou-se o contorno aparente da persB CDV]. O vértice A é o único vértice que não integra o contorno aparente – A é invipectiva do sólido, que é a linha quebrada fechada [B A DV] e [A A BV] são sível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base da pirâmide bem como as faces laterais [A invisíveis. Por fim, de forma a se verificar o Critério de Reversibilidade, representaram-se as perspectivas das projecções horizontal, frontal e lateral da pirâmide. Note que parte das perspectivas das projecções horizontal e frontal da pirâmide estão ocultas pela perspectiva da pirâmide, o que se assinalou convenientemente a traço interrompido.

748.

As perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 135o (105o + 120o + 135o = 360o).Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos, pelo que é necessário efectuar o rebatimento dos três eixos. No rebatimento do eixo X, a charneira é a recta e e a recta i é a recta de intersecção do plano projectante do eixo X com o plano coordenado YZ. A charneira (recta e) é a recta PS – P é um dos P é o ponto em que o plano axonométrico vértices do triângulo fundamental (P corta o eixo X) e S é o ponto em que o plano axonométrico corta a recta i. A perspectiva da recta i está coincidente com a perspectiva do eixo X. O triânPSO] está contido no plano projectante do eixo X e é rectângulo em O. gulo [P PS] é a hipotenusa desse triângulo. Assim, determinou-se o ponto médio de [P PS] e, com centro nesse ponto, desenhou-se uma semicircunferência de [P PS] é um diâmetro (passa por P e é tangente a [Q QR] em S). Pr ≡ P e que [P Sr ≡ S, pois P e S são dois pontos da charneira (são fixos – rodam sobre si próprios). O rebatimento processa-se em planos ortogonais à charneira, pelo que, conduzindo por O uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), obtém-se Or sobre a semicircunferência, o que nos permite desenhar o triângulo PSO] em V.G. e que fica rectângulo em Or – o eixo X em rebatimento (X Xr ) [P passa por Or e por Pr e a recta ir passa por Or e por Sr. Note que se omitiu a representação da recta ir. Sobre o eixo Xr, e a partir de Or, representou-se a abcissa de A, em V.G. (em rebatimento) – com o recurso a uma perpendicular à charneira, transportou-se essa medida para a perspectiva do eixo X, obtendo a perspectiva da abcissa de A, já afectada pelo coeficiente de redução inerente, sobre a perspectiva do eixo X. No rebatimento do eixo Y, a charneira é a recta e’ e a recta i’ é a recta de intersecção do plano Qéo projectante do eixo Y com o plano coordenado XZ. A charneira (recta e’) é a recta QT – Q é um dos vértices do triângulo fundamental (Q ponto em que o plano axonométrico corta o eixo Y) e T é o ponto em que o plano axonométrico corta a recta i’. A perspectiva da recta i’ está QTO] está contido no plano projectante do eixo Y e é rectângulo em O. [Q QT] é a hipotecoincidente com a perspectiva do eixo Y. O triângulo [Q QT] e, com centro nesse ponto, desenhou-se uma semicircunferência de que nusa desse triângulo. Assim, determinou-se o ponto médio de [Q QT] é um diâmetro (passa por Q e é tangente a [P P R] em T). Qr ≡ Q e Tr ≡ T, pois Q e T são dois pontos da charneira (são fixos – rodam sobre [Q si próprios). O rebatimento processa-se em planos ortogonais à charneira, pelo que, conduzindo por O uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), obtém-se Or’ sobre a semicircunferência, o que nos perQTO] em V.G. e que fica rectângulo em Or’ – o eixo Y em rebatimento (Y Yr) passa por Or’ e por Qr e a recta i’r passa mite desenhar o triângulo [Q por Or’ e por Tr. Note que se omitiu a representação da recta i’r. O ponto Or’ é o ponto O no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano projectante do eixo Y. Sobre o eixo Yr, e a partir de Or’, representou-se o afastamento de A, em V.G. (em rebatimento) – com o recurso a uma perpendicular à charneira, transportou-se o afastamento de A para a perspectiva do eixo Y, obtendo a perspectiva do afastamento de A, já afectada pelo coeficiente de redução inerente, sobre a perspectiva do eixo Y. No rebatimento do eixo Z, a charneira é a recta e’’ e a recta i’’ é a recta de intersecção do plano projectante do eixo Z com o plano coordenado XY. A charneira (recta e’’) é a recta RU – R é um dos vértices do R é o ponto em que o plano axonométrico corta o eixo Z) e U é o ponto em que o plano axonométrico corta a recta i’’. A triângulo fundamental (R RUO] está contido no plano projectante do eixo Z e é rectânperspectiva da recta i’’ está coincidente com a perspectiva do eixo Z. O triângulo [R RU] é a hipotenusa desse triângulo. Assim, determinou-se o ponto médio de [R RU] e, com centro nesse ponto, desenhou-se uma gulo em O. [R RU] é um diâmetro (passa por R e é tangente a [P PQ] em U). R r ≡ R e Ur ≡ U, pois R e U são dois pontos da charneisemicircunferência de que [R ra (são fixos – rodam sobre si próprios). O rebatimento processa-se em planos ortogonais à charneira, pelo que, conduzindo por O uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), obtém-se Or ’’ sobre a (Continua na página seguinte) 379

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RUO] em V.G. e que fica rectângulo em Or’’ – o eixo Z em rebatimento (Z Zr) passa semicircunferência, o que nos permite desenhar o triângulo [R por Or’’ e por R r e a recta i’’r passa por Or’’ e por Ur. Note que se omitiu a representação da recta i’’r. O ponto Or’’ é o ponto O no seu terceiro rebatimento – no rebatimento do plano projectante do eixo Z. Sobre o eixo Zr, e a partir de Or’’, representou-se a cota de A, em V.G. (em rebatimento) – com o recurso a uma perpendicular à charneira, transportou-se a cota de A para a perspectiva do eixo Z, obtendo a perspectiva da cota de A, já afectada pelo coeficiente de redução inerente, sobre a perspectiva do eixo Z. Em seguida determinaram-se as perspectivas das três projecções do ponto A, bem como a sua perspectiva propriamente dita, conforme exposto no relatório do exercício 735. O ângulo que o eixo X faz com o plano axonométrico está representado entre a sua perspectiva e o eixo Xr. O ângulo que o eixo Y faz com o plano axonométrico está representado entre a sua perspectiva e o eixo Yr. O ângulo que o eixo Z faz com o plano axonométrico está representado entre a sua perspectiva e o eixo Zr. O eixo Y é o eixo que faz, com o plano axonométrico, o maior ângulo – o eixo Y é aquele que sofre a redução maior, a que corresponde o menor coeficiente de redução. Por sua vez, o eixo Z é o eixo que faz, com o plano axonométrico, o menor ângulo – o eixo Z é aquele que sofre a redução menor, a que corresponde o maior coeficiente de redução.

749.

As perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 120o (110o + 130o + 120o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distint o s, pelo que é necessário efectuar o rebatimento dos três eixos (ver exercício anterior e respectivo relatório). Note que se omitiu a identificação das charneiras dos rebatimentos efectuados, bem como das rectas de intersecção dos planos projectantes dos eixos com os planos coordenados (as rectas i, i’ e i’’), a que no relatório do exercício anterior se fez referência. Essa omissão tem a ver com uma necessária e desejável simplificação da resolução gráfica. Ainda nesse sentido, omitiu-se, também, a identificação dos três vértices do triângulo fundamental. O ângulo que o eixo X faz com o plano axonométrico está representado entre a sua perspectiva e o eixo Xr. O ângulo que o eixo Y faz com o plano axonométrico está representado entre a sua perspectiva e o eixo Yr. O ângulo que o eixo Z faz com o plano axonométrico está representado entre a sua perspectiva e o eixo Zr. O eixo Y é o eixo que faz, com o plano axonométrico, o maior ângulo – o eixo Y é aquele que sofre a redução maior, a que corresponde o menor coeficiente de redução. Por sua vez, o eixo X é o eixo que faz, com o plano axonométrico, o menor ângulo – o eixo X é aquele que sofre a redução menor, a que corresponde o maior coeficiente de redução.

750.

As perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 115o (120o + 125o + 115o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos, pelo que é necessário efectuar o rebatimento dos três eixos (ver exercício 748 e respectivo relatório). Note que se omitiu a identificação das charneiras dos rebatimentos efectuados, bem como das rectas de intersecção dos planos projectantes dos eixos com os planos coordenados (as rectas i, i’ e i’’), a que no relatório do exercício 748 se fez referência.

Essa omissão tem a ver com uma necessária e desejável simplificação da resolução gráfica. Ainda nesse sentido se omitiu, também, a identificação dos três vértices do triângulo fundamental. Sobre o eixo Xr , a partir de Or , representaram-se as abcissas dos três pontos em V.G. que, depois, com o recurso a perpendiculares à charneira, se transportaram para a perspectiva do eixo X, obtendo-se as perspectivas daquelas coordenadas sobre a perspectiva do eixo X. Sobre o eixo Yr, a partir de Or’, representaram-se os afastamentos de B e C (A A tem afastamento nulo) em V.G. que, depois, com o recurso a perpendiculares à charneira, se transportaram para a perspectiva do eixo Y, (Continua na página seguinte) 380

SOLUÇÕES

obtendo-se as perspectivas daquelas coordenadas sobre a perspectiva do eixo Y. Sobre o eixo Zr, a partir de Or’’, representaram-se as cotas B tem cota nula) em V.G. que, depois, com o recurso a perpendiculares à charneira, se transportaram para a perspectiva do eixo Z, de A e C (B obtendo-se as perspectivas daquelas coordenadas sobre a perspectiva do eixo Z. Em seguida determinaram-se as perspectivas de A, B e C (as perspectivas das respectivas projecções e as suas perspectivas propriamente ditas), conforme exposto no relatório do exercício 735 para as perspectivas do ponto A. Note que, nesta situação, se tem B1 ≡ B, pois B é um ponto com cota nula (está no plano XY) e A 2 ≡ A, pois A é um ponto com afastamento nulo (está no plano XZ). Por fim, a partir das perspectivas dos três vértices do triângulo, desenhou-se a perspectiva propriamente dita da figura, bem como as perspectivas da sua projecção horizontal e da sua projecção frontal, atendendo-se às respectivas invisibilidades (parte das perspectivas das projecções são invisíveis, por estarem ocultas pela própria figura). O eixo X é o eixo que faz, com o plano axonométrico, o maior ângulo – o eixo X é aquele que sofre a maior redução, a que corresponde o menor coeficiente de redução.

751.

Em função dos dados (três arestas do cubo estão contidas nos eixos coordenados), conclui-se que um dos vértices do cubo é a própria origem do referencial – o ponto O. Assim, para a resolução do exercício é necessário obter, sobre cada um dos eixos e a partir da origem do referencial, a medida da aresta do cubo, já reduzida. As perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 135o (105o + 120o + 135o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam c o e f i c i e ntes de redução distintos, pelo que é necessário efectuar o rebatimento dos três eixos (ver exercício 748 e respectivo relatório).

Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representou-se a medida da aresta do cubo. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira (perpendicular à perspectiva do eixo X), obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, a perspectiva de um ponto que dista 5 cm de O. Sobre o eixo Y r , a partir de O r ’, representou-se a medida da aresta do cubo. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira (perpendicular à perspectiva do eixo Y), obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, a perspectiva de um ponto que dista 5 cm de O. Note que Or ’ é o ponto O no seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano projectante do eixo Y. Sobre o eixo Zr, a partir de Or ’’, representou-se a medida da aresta do cubo. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira (perpendicular à perspectiva do eixo Z), obtendo, sobre a perspectiva do eixo Z, a perspectiva de um ponto que dista 5 cm de O. Note que Or ’’ é o ponto O no seu terceiro rebatimento – o rebatimento do plano projectante do eixo Z. Em seguida, desenhou-se a perspectiva do cubo, cujas arestas são paralelas (quatro a quatro) às perspectivas dos três eixos coordenados.

Note que as arestas que estão contidas nos eixos coordenados são invisíveis.

752. a) O polígono está contido no plano XZ, pelo que todos os seus vértices têm afastamento nulo. O é a origem do referencial, pelo que as suas coordenadas são (0; 0; 0). Em função desse facto, dois dos lados do polígono estão OP] está contido no eixo X e [O ON] está contidos nos eixos coordenados – [O NO] e [M M P] são verticais e os lados [O O P] contido no eixo Z. Assim, os lados [N MN] são fronto-horizontais. Dessa forma, M tem afastamento nulo, cota e [M igual a N e abcissa igual a P – as coordenadas de M são (6; 0; 6). b) Sobre as condições da perspectiva, ver relatório do exercício anterior, note que, neste exercício, atendendo a que o afastamento de todos os vértices do quadrado é nulo, é desnecessário rebater o eixo Y – para resolver o exercício basta rebater o eixo X e o eixo Z, o que se processou conforme exposto no relatório do exercício 748, pelo que se aconselha a sua leitura. Sobre o eixo Xr , a partir de Or , representou-se a medida do lado do quadrado (6 cm).

Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira (perpendicular à perspectiva do eixo X), obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, a perspectiva de um ponto que dista 6 cm de O – esse ponto é o próprio P. Sobre o eixo Zr, a partir de Or ’, representou-se a medida do lado do quadrado (6 cm). Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira (perpendicular à perspectiva do eixo Z), obtendo, sobre a perspectiva do eixo Z, a perspectiva de um ponto que dista 5 cm de O – esse ponto é o próprio N. Note que Or ’ é o ponto O no seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano projectante do eixo Z. Note que as perspectivas propriamente ditas dos vértices do quadrado estão coincidentes com as perspectivas das suas projecções frontais, pois o quadrado está contido no plano XZ. Por P tem cota nula). Em seguida desenhou-se a perspectiva do quadrado (que está outro lado, tem-se P1 ≡ P, pois P é um ponto do plano XY (P coincidente com a perspectiva da sua projecção frontal).

381

SOLUÇÕES

753. a) O polígono está contido num plano de perfil com 2 cm de abcissa (a abcissa de A e C), pelo que B e D têm necessariamente 2 cm de abcissa. Por outro lado, constatou-se que a A C] do quadrado é paralela ao eixo diagonal [A Z, pelo que a diagonal [B BD] será necessariamente paralela ao eixo Y (as diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si), pelo A C] do quadraque será de topo. A diagonal [A do mede 6 cm (a diferença entre as cotas de A e C), pelo que o seu ponto médio (o ponto em que se bissectam as duas diagonais do A BCD]) está a 3 cm de cada um quadrado [A dos extremos da diagonal – esse ponto terá 3 cm de cota. A cota de B e D é a mesma e é BD] é de topo). O afasta3 cm (a diagonal [B mento de B é 3 cm (metade do comprimento da diagonal) inferior ao afastamento de A e C – B tem 2 cm de afastamento (note que B é o vértice de menor afastamento do quadrado).

O afastamento de D é 3 cm (metade do comprimento da diagonal) superior ao afastamento de A e C – D tem 8 cm de afastamento. Por fim, uma vez que a pirâmide é regular, V tem o afastamento de A e C (que é 5 cm), tem a cota de B e D (que é 3 cm) e tem 8 cm de abcissa, pois a pirâmide tem 6 cm de altura e o plano da base tem 2 cm de abcissa. As coordenadas são: B (2; 2; 3), D (2; 8; 3) e V (8; 5; 3). b) As perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 120o (110o + 130o + 120o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos, pelo que é necessário efectuar o rebatimento dos três eixos (ver exercício 748 e respectivo relatório). Sobre o rebatimento dos dois eixos e a determinação das perspectivas dos cinco vértices da pirâmide, ver relatório do exercício 748. O plano π, representado pelos seus traços horizontal e frontal, é o plano de perfil que contém a base da pirâmide – fπ é a perspectiva do traço frontal do plano π e hπ é a perspectiva do traço horizontal do plano π. A partir das perspectivas dos cinco vértices da AVBCD]. Note que todos os vértipirâmide, desenhou-se o contorno aparente da perspectiva do sólido, que é a linha quebrada fechada [A A BV] são invisíveis, pelo que a aresta [A A B] da ces do sólido integram o contorno aparente. No entanto, a base da pirâmide e a face lateral [A base é a única aresta invisível (as restantes arestas são todas visíveis). Por fim, de forma a se verificar o Critério de reversibilidade, representaram-se as perspectivas das projecções horizontal, frontal e lateral da pirâmide. Note que parte das perspectivas das projecções da pirâmide estão ocultas pela perspectiva da pirâmide, o que se assinalou convenientemente a traço interrompido.

754.

382

Uma vez que se trata de uma perspectiva isométrica, os três eixos apresentam o mesmo coeficiente de redução, pelo é suficiente o rebatimento de um único eixo – é possível, através de arcos de transporte com centro em O, transportar as medidas reduzidas do eixo que se rebateu para os outros dois eixos. Optou-se por rebater o eixo X (ver relatório do exercício 735) – sobre o eixo Xr representou-se uma escala de –2 (a menor de todas as coordenadas dos três pontos) a 6 (a maior de todas as coordenadas dos três pontos). Note que a parte negativa do eixo X é a parte em sentido oposto ao do triângulo fundamental (em que as três coordenadas são positivas).

Através de perpendiculares à charneira transportou-se, para a perspectiva do eixo X, a graduação da escala axonométrica. Esta está, sobre a perspectiva do eixo X, já afectada pelo coeficiente de redução inerente à sua projecção. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportou-se a parte positiva da escala axonométrica para as perspectivas dos outros dois eixos (note que a única coordenada negativa é uma abcissa, que existe no próprio eixo X). A partir deste momento, os três eixos já estão graduados com a escala axonométrica já deformada. Em seguida, a partir das perspectivas das coordenadas dos três pontos existentes sobre as perspectivas dos respectivos eixos, determinaram-se as perspectivas de cada um dos pontos, conforme exposto no relatório do exercício 735 para o ponto A. Note que se tem C2 ≡ C, pois C tem afastamento nulo (é um ponto do plano XZ). Note que, atendendo ao facto de o ponto B ter abcissa negativa, o ponto B se situa para a direita do plano YZ.

SOLUÇÕES

755.

O eixo X é o que sofre uma redução isolada, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos – o eixo Y e o eixo Z sofrem a mesma redução e as suas perspectivas fazem, entre si, um ângulo de 110o (2 x 125o + 110o = 360o). O eixo Y e o eixo Z sofrem a mesma redução, pelo que se torna necessário rebater, apenas, um deles – optou-se por rebater o eixo Z. O rebatimento do eixo X é fundamental, uma vez que possui um coeficiente de redução isolado. No rebatimento do eixo X, a charneira do rebatimento foi a perspectiva do eixo X. No rebatimento do eixo Z, a charneira do rebatimento foi a perspectiva do eixo Z. O rebatimento destes dois eixos processou-se de forma idêntica à exposta no relatório do exercício 742 para o rebatimento do eixo Z e do eixo Y. Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representou-se uma escala até 6 unidades (a maior de todas as abcissas dos dois pontos). Através de perpendiculares à charneira transportou-se, para a perspectiva do eixo X, a graduação da escala axonométrica. Esta está, sobre a perspectiva do eixo X, já afectada pelo coeficiente de redução inerente à sua projecção. Sobre o eixo Zr, a partir de Or ’, representou-se uma escala até 6 unidades (a maior de todas as coordenadas, entre afastamentos e cotas, dos dois pontos). Através de perpendiculares à charneira transportou-se, para a perspectiva do eixo Z, a graduação da escala axonométrica. Esta está, sobre a perspectiva do eixo Z, já afectada pelo coeficiente de redução inerente à sua projecção. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportou-se a escala axonométrica do eixo Z para a perspectiva do eixo Y (que tem redução igual ao eixo Z) obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, a perspectiva da respectiva escala axonométrica. Note que, atendendo ao facto de haver afastamentos negativos, se transportou a escala para a parte negativa do eixo Y. Em seguida, a partir das perspectivas das coordenadas dos três pontos existentes sobre as perspectivas dos respectivos eixos, determinaram-se as perspectivas de cada um dos pontos, conforme exposto no relatório do exercício 735 para o ponto A . Note que, atendendo ao facto de o ponto N ter afastamento negativo, o ponto N se situa para trás do plano XZ.

756. a) O polígono está contido num plano de perfil, pelo que os vértices do polígono têm, todos, a mesma abcissa, que é 3 cm. Os pontos A e C são dois extremos de uma diagonal vertical do losango, pelo que C tem afastamento igual a A . Por outro lado, a outra diagonal é necessariamente de topo (perpendicular à A C] e contida no mesmo plano de perfil) e passa diagonal [A A C], que é também o ponto médio da pelo ponto médio de [A BD]. Assim, D terá necessariamente cota igual a B. diagonal [B B D] Uma vez que B tem 4 de cota, o ponto médio da diagonal [B tem também 4 de cota. Assim, se a distância de A ao ponto A C] mede 8 cm. Como A tem cota nula, médio é 4, a diagonal [A C terá 8 de cota. Por outro lado, o ponto médio das duas diagonais tem 3 de afastamento (o afastamento de A ), pelo que a distância do ponto médio a B é 3 – conclui-se, então, que a BD] mede 6 cm. Como B tem afastamento nulo, D diagonal [B terá 6 de afastamento. As coordenadas de C são (3; 3; 8) e as de D são (3; 6; 4). b) A perspectiva do eixo Z faz ângulos de 115o e de 130o com as perspectivas dos outros dois eixos, pelo que, em primeiro lugar, há que determinar a amplitude do terceiro ângulo e identificar o eixo que sofre a redução isolada: 115o + 130o = 245o.

360o – 245o = 115o. O terceiro ângulo (que se situa entre as perspectivas do eixo X e do eixo Y) é de 115o. Assim sendo, o eixo que sofre a redução isolada é o eixo X, pois é aquele cuja perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos, o que redunda na situação do exercício anterior. Torna-se necessário rebater o eixo X e, dos outros dois, rebater apenas um deles – optou-se por rebater o eixo Z (ver exercício anterior e respectivo relatório). Em seguida, sobre os eixos rebatidos, representaram-se as respectivas escalas, efectuando-se os procedimentos expostos no relatório do exercício anterior. Após a determinação das perspectivas dos quatro vértices do losango (determinadas em função das suas coordenadas e das perspectivas das suas projecções horizontais e frontais), desenhou-se a perspectiva do polígono. Note que, neste caso, não se representaram as perspectivas das projecções laterais dos vértices do polígono, por estas não serem essenciais. O plano π, representado pelos seus traços horizontal e frontal, é o plano de perfil que contém o losango – f π é a perspectiva do traço frontal do plano π e hπ é a perspectiva do traço horizontal do plano π.

383

SOLUÇÕES

757.

As perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 130o (110o + 120o + 130o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam c o e f i c i e ntes de redução distintos, pelo que é necessário efectuar o rebatimento dos três eixos (ver exercício 748 e respectivo relatório). Sobre os eixos rebatidos, em V.G., representaram-se as respectivas escalas, que em seguida se transportaram para as respectivas perspectivas, através de perpendiculares às charneiras. Em seguida, a partir dos eixos graduados em perspectiva, determinaram-se as perspectivas do ponto P, conforme exposto no relatório do exercício 735.

758.

Por plano coordenado entende-se qualquer plano definido por dois eixos coordenados e, portanto, qualquer dos planos que contém uma das faces da pirâmide axonométrica. Existem três planos coordenados – o plano XY (o plano horizontal, definido pelo eixo X e pelo eixo Y), o plano XZ (o plano frontal, definido pelo eixo X e pelo eixo Z) e o plano YZ (o plano de perfil, definido pelo eixo Y e pelo eixo Z). Sublinha-se, por ser m u i t o i m p o r t a n t e, que qualquer das faces da pirâmide axonométrica (que estão contidas nos planos coordenados) é necessariamente um triângulo rectângulo em O.

759.

Por charneira do rebatimento entende-se sempre a recta de intersecção entre dois planos – o plano a rebater e o plano para o qual se processa o rebatimento. Uma vez que, em axonometrias, os rebatimentos se processam exclusivamente para o plano axonométrico, no rebatimento de um qualquer plano coordenado, a charneira do rebatimento é a recta de intersecção desse plano coordenado com o plano axonométrico – é, assim, a recta suporte do lado do triângulo fundamental que está contido nesse plano coordenado. Assim sendo, e ilustrando com um exemplo, caso se pretenda rebater o plano coordenado XY, a charneira do rebatimento é a recta que contém o lado do triângulo fundamental que tem extremos no eixo X e no eixo Y (a recta de intersecção do plano XY com o plano axonométrico).

760.

Em perspectiva isométrica, as perspectivas dos três eixos fazem, entre si, ângulos de 120o. As coordenadas do ponto, que existem sobre os eixos coordenados, não se projectam em V.G. no plano axonométrico, pois nenhum dos eixos coordenados é paralelo ao plano axonométrico – todos os eixos apresentam um coeficiente de deformação que, nas axonometrias ortogonais, é sempre uma redução. Nesse sentido, é necessário rebater, pelo menos, um dos eixos coordenados. Neste exercício, e de acordo com o conteúdo em que se insere (rebatimento dos planos coordenados), recorreu-se ao rebatimento de um dos planos coordenados. Tendo em conta que se trata de uma isometria, em que o coeficiente de redução dos três eixos é o mesmo, é possível rebater qualquer dos três planos coordenados. Optou-se, no presente caso, por rebater o plano X Y – a charneira do rebatimento é a recta de intersecção do plano coordenado XY com o plano axonométrico, que se identificou com a letra e e que é a recta M N ] do triângulo fundamental (note que, nesta suporte do lado [M situação, é desnecessária a representação da totalidade do triângulo fundamental, sendo necessário, apenas, o lado do triângulo fundamental que corresponde à charneira do rebatimento). Analisemos detalhadamente o processo que nos permite rebater o plano XY e os seus fundamentos. Em primeiro lugar, para rebater o plano coordenado XY é necessário ter em conta que o rebatimento de O se processa perpendicularmente à charneira (num plano ortogonal à charneira que contém o ponto O) – o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de O é o próprio plano projectante do eixo Z. Assim, Or situar-se-á sobre a perspectiva do eixo Z. Tenha em conta que a origem do referencial está contida em todos os planos coordenados (é o ponto de intersecção dos três planos coordenados), pelo que o que acima se expôs é válido no rebatimento de qualquer plano (Continua na página seguinte) 384

SOLUÇÕES

coordenado. Em segundo lugar, sabe-se que qualquer face da pirâmide axonométrica é um triângulo rectângulo em O (a origem do referenMNO] é um triângulo rectângulo em O e, em V.G., o triângulo [M Mr Nr Or] será rectângulo em Or. Mr ≡ M e cial). Assim, no espaço, o triângulo [M Nr ≡ N, pois M e N são dois pontos da charneira. A partir das situações expostas, sabe-se que Or será, então, um ponto que se situa sobre a perspectiva do eixo Z e será o vértice de um triângulo rectângulo em Or, de que já se conhecem dois vértices – Nr e Mr. Então, é necessário Mr Nr] é a hipotenusa. Para tal determinou-se o ponto médio de [M MN] (que, neste caso, é o construir um triângulo rectângulo, de que o lado [M MN] com a perspectiva do eixo Z) e, com centro nesse ponto, desenhou-se uma semicircunferência que passa por ponto de intersecção de [M Mr e por Nr. O ponto de intersecção da semicircunferência com a perspectiva do eixo Z é Or – o eixo Xr está definido por Or e por Mr e o eixo Yr está definido por Or e por Nr. Note que, em rebatimento, os dois eixos são perpendiculares entre si em Or. Sobre o eixo Xr, em V.G., representou-se a abcissa de A que, em seguida, se transportou para a perspectiva do eixo X através de uma perpendicular à charneira, obtendo-se a perspectiva da abcissa de A, sobre a perspectiva do eixo X, já reduzida. Sobre o eixo Yr, em V.G., representou-se o afastamento de A que, em seguida, se transportou para a perspectiva do eixo Y através de uma perpendicular à charneira, obtendo-se a perspectiva do afastamento de A, já reduzida, sobre a perspectiva do eixo Y. Ainda sobre o eixo Xr (poderia ter sido sobre o eixo Yr), em V.G., representou-se a cota de A que, em seguida, se transportou para a perspectiva do eixo X através de uma perpendicular à charneira, obtendo-se a perspectiva da cota de A já reduzida, sobre a perspectiva do eixo X. Com o compasso, fazendo centro em O, transportou-se a cota de A, já reduzida, para a perspectiva do eixo Z, obtendo-se, assim, sobre os três eixos, as perspectivas das três coordenadas de A, que nos permitiram obter as perspectivas do ponto, conforme exposto no relatório do exercício 735.

761.

Para representar as coordenadas de P em V.G., optou-se por rebater o plano coordenado XY (ver exercício anterior e respectivo relatório).

No entanto, e tal como se referiu no relatório do exercício anterior, porque se trata de uma isometria, poderia ter-se rebatido qualquer um dos três planos coordenados. Note que se omitiu a identificação da charneira do rebatimento, bem como dos dois vértices do triângulo fundamental que definem a charneira do rebatimento. Essa omissão tem a ver com uma necessária e desejável simplificação da resolução gráfica. Observe que o afastamento de P é negativo – representou-se, em rebatimento, na parte negativa do eixo Yr (a parte que fica para trás de Or, no sentido oposto ao do triângulo fundamental) e transportou-se, precisamente, para a parte negativa da perspectiva do eixo Y. Assim sendo, o ponto P, definido pelas suas quatro perspectivas, é um ponto que se situa para trás do plano XZ.

762.

Para representar as coordenadas dos pontos em V.G., optou-se por rebater o plano coordenado YZ – este rebateu-se de forma idêntica à exposta no relatório do exercício 760 para o rebatimento do plano coordenado XY (ver exercício 760 e respectivo relatório). No entanto, atendendo a que se trata de uma isometria, poderia ter-se rebatido qualquer um dos três planos coordenados. A charneira do rebatimento foi a recta de intersecção do plano coordenado YZ com o plano axonométrico – o lado do triângulo fundamental que está contido no plano YZ. Desenhou-se a semicircunferência de que esse lado é um diâmetro e determinou-se Or, sobre a semicircunferência, na perpendicular à charneira que passa por O. Sobre o eixo Zr, a partir de Or, representaram-se as cotas dos três pontos (em V.G.) – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Z, as perspectivas das cotas dos três pontos. Sobre o eixo Yr, a partir de Or, representaram-se as abcissas e os afastamentos dos três pontos – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, as perspectivas daquelas coordenadas. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportaram-se as perspectivas das abcissas dos três pontos para a perspectiva do eixo X. Em seguida, determinaram-se as perspectivas de R, S e T (as perspectivas das respectivas projecções e as suas perspectivas propriamente ditas), conforme exposto no relatório do exercício 735 para as perspectivas do ponto A. Por fim, desenhou-se a perspectiva do triângulo, bem como as perspectivas das suas projecções (frontal, horizontal e lateral).

385

SOLUÇÕES

763.

Em primeiro lugar raciocinou-se sobre as coordenadas dos vértiA B C D]. Todos os ces da face inferior do sólido – o quadrado [A pontos têm a mesma cota (que é 3 cm), pois o quadrado está contido num plano horizontal (de nível) com 3 cm de cota. A abcissa de B e C é superior à abcissa de A em 4 cm (a aresta do cubo). De forma semelhante, o afastamento de C e D é superior ao afastamento de A em 4 cm (a aresta do cubo). As coordenadas dos restantes três vértices do quadrado são: B (6; 1; 3), C (6; 5; 3) e D (2; 5; 3). A face superior do cubo está contida num plano horizontal (de nível) com 7 cm de cota. Para representar as coordenadas dos pontos em V.G., optou-se por rebater o plano coordenado XY (ver exercício 760 e respectivo relatório), mas poderia ter-se rebatido qualquer plano coordenado, pois os três eixos apresentam o mesmo coeficiente de redução. Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representaram-se as abcissas que nos permitem determinar as A B CD] – inverteu-se o rebatimento, perspectivas do quadrado [A com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, as perspectivas das abcissas representadas em rebatimento. Sobre o eixo Yr, a partir de Or, representaram-se os afastamentos que nos permitem determinar as perspectivas do A B CD], bem como as cotas dos planos horizontais (de quadrado [A nível) que contêm as faces superior e inferior do sólido – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, as perspectivas daquelas coordenadas. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportaram-se as perspectivas das cotas dos planos horizontais (de nível) para a perspectiva do eixo Z. O plano ν, representado pelos A B CD] – f ν é o traço frontal do plano ν e pν é o traço lateral (de perfil) seus traços, é o plano horizontal (de nível) que contém o quadrado [A do plano ν. Transportaram-se as referências das abcissas de A , B, C e D para f ν, obtendo as perspectivas das projecções frontais daqueles pontos, e transportaram-se as referências dos afastamentos de A, B, C e D para pν, obtendo as perspectivas das projecções laterais daqueles pontos. Note que o transporte acima referido se processou, sempre, através de perpendiculares à charneira. Determinaram-se as perspectivas das projecções horizontais dos quatro pontos e, a partir das perspectivas das projecções de todos os pontos, determinaram-se as suas perspectivas propriamente ditas. Apesar de não se ter representado o plano horizontal (de nível) que contém a face superior do sólido, transportaram-se, para a respectiva cota, todas as referências que nos permitem determinar a perspectiva do quadrado que é a face superior do cubo e, em seguida, desenhar a perspectiva do sólido, atendendo às invisibilidades existentes.

764. a) O polígono está contido num plano horizontal (de nível) com 7 cm de cota (a cota de A e B), pelo que C e D têm necessariamente A B] do 7 cm de cota. Por outro lado, constatou-se que o lado [A CD] será igualquadrado é paralelo ao eixo X, pelo que o lado [C B C] e [A A D] serão mente paralelo ao eixo X. Por sua vez, os lados [B necessariamente paralelos ao eixo Y (por serem perpendiculares A B] e [C CD]) – são de topo. Por fim, o lado [A A B] mede aos lados [A 4 cm (a diferença entre as abcissas de A e B), que é a medida do lado do polígono. Assim sendo, C tem a abcissa de B e está a 4 cm deste – tem 6 de abcissa e 7 de afastamento. D terá a abcissa de A e o afastamento de C. As coordenadas são: C (6; 7; 7) e D (2; 7; 7). Por fim, uma vez que a pirâmide é regular, a abcissa e o afastamento de V correspondem aos do ponto médio do quadrado – este tem mais 2 cm (metade do lado do quadrado) de abcissa do que A e D e tem mais 2 cm (metade do lado do quadrado) de afastamento do que A e B. Sendo dado que V tem cota nula, as suas coordenadas são V (4; 5; 0). b) Para representar as coordenadas dos pontos em V.G., optou-se por rebater o plano coordenado XY (ver exercício 760 e respectivo relatório), mas poderia ter-se rebatido qualquer plano coordenado, pois os três eixos apresentam o mesmo coeficiente de redução. Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representaram-se as abcissas que nos permitem determinar as perspectivas dos cinco vértices da pirâmide – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, as perspectivas das abcissas representadas em rebatimento. Sobre o eixo Yr, a (Continua na página seguinte) 386

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partir de Or, representaram-se os afastamentos que nos permitem determinar as perspectivas dos cinco vértices da pirâmide, bem como a cota do plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, as perspectivas daquelas coordenadas. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportou-se a perspectiva da cota da base para a perspectiva do eixo Z. O plano ν, representado pelos seus traços, é o plano horizontal A B CD] – f ν é a perspectiva do traço frontal do plano ν e pν é a perspectiva do traço lateral (de perfil) do (de nível) que contém o quadrado [A plano ν. Transportaram-se as referências das abcissas de A , B, C e D para f ν, obtendo as perspectivas das projecções frontais daqueles pontos, e transportaram-se as referências dos afastamentos de A , B, C e D para pν, obtendo as perspectivas das projecções laterais daqueles pontos. Note que o transporte acima referido se processou, sempre, através de perpendiculares à charneira. Determinaram-se as perspectivas das projecções horizontais dos cinco pontos e, a partir das perspectivas das projecções de todos os pontos, determinaram-se as suas perspectivas propriamente ditas. A partir das perspectivas dos cinco vértices da pirâmide, desenhou-se o contorno aparente da persA BVD]. O vértice C é o único vértice que não integra o contorno aparente – C é visível, pectiva do sólido, que é a linha quebrada fechada [A B CV] e [C CDV] são visíveis. Por bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base da pirâmide bem como as faces laterais [B fim, com vista à verificação do Critério de Reversibilidade, representaram-se as perspectivas das projecções (horizontal, frontal e lateral) da pirâmide, respeitando as invisibilidades em projecções (as arestas laterais da pirâmide são invisíveis em projecção horizontal). Note que as partes das perspectivas das projecções da pirâmide que estão ocultas pela perspectiva da pirâmide se assinalaram convenientemente a traço interrompido.

765.

O eixo Z é aquele cuja perspectiva faz o mesmo ângulo com as perspectivas dos outros dois eixos – o eixo Z é, assim, o eixo que sofre uma redução isolada. As perspectivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 100 o (2 x 130o + 100o = 360o). Existem, nesta perspectiva, dois coeficientes de redução distintos (o do eixo Z e o dos outros dois eixos) – uma vez que o método do rebatimento dos planos coordenados nos permite rebater dois eixos em simultâneo, é conveniente que o plano coordenado a rebater contenha dois eixos com coeficientes de redução distintos, para uma maior economia de traçados, caso contrário será necessário recorrer a dois rebatimentos distintos. Os planos coordenados a rebater serão, assim, o plano XZ ou o plano YZ, uma vez que o eixo X e o eixo Y possuem o mesmo coeficiente de redução. Optou-se por rebater o plano coordenado YZ – a charneira do rebatimento é a recta de intersecção do plano coordenado YZ com o plano axonométrico, que se identificou MN] do triâncom a letra e e que é a recta suporte do lado [M gulo fundamental (note que, tal como referido no relatório do exercício 760, também nesta situação não é necessária a representação da totalidade do triângulo fundamental). Analisemos detalhadamente o processo que nos permite rebater o plano YZ e os seus fundamentos. Em pr i m ei r o l u g ar, é necessário ter em conta que o rebatimento de O se processa perpendicularmente à charneira (num plano ortogonal à charneira que contém o ponto O) – o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de O é o próprio plano projectante do eixo X. Assim, Or situar-se-á sobre a perspectiva do eixo X. Tenha em conta que a origem do referencial está contida em todos os planos coordenados (é o ponto de intersecção dos três planos coordenados), pelo que o que exposto é válido no rebatimento de qualquer plano coordenado. Em segundo lugar, sabe-se que M N O] é qualquer face da pirâmide axonométrica é um triângulo rectângulo em O (a origem do referencial). Assim, no espaço, o triângulo [M M r Nr Or] será rectângulo em Or. M r ≡ M e Nr ≡ N, pois M e N são dois pontos da charum triângulo rectângulo em O e, em V.G., o triângulo [M neira. A partir das situações expostas, sabe-se que Or será, então, um ponto que se situa sobre a perspectiva do eixo X e será o vértice de um triângulo rectângulo em Or, de que já se conhecem dois vértices – Nr e M r (que são fixos, pois pertencem à charneira). Então, é necesM r Nr] é a hipotenusa. Para tal determinou-se o ponto médio de [M MN] e, com centro sário construir um triângulo rectângulo, de que o lado [M nesse ponto, desenhou-se uma semicircunferência que passa por M r e por Nr. O ponto de intersecção da semicircunferência com a perspectiva do eixo X é Or – o eixo Yr está definido por Or e por M r e o eixo Zr está definido por Or e por Nr. Note que, em rebatimento, os dois eixos são perpendiculares entre si em Or. Sobre o eixo Zr, em V.G., representou-se a cota de A que, em seguida, se transportou para a perspectiva do eixo Z através de uma perpendicular à charneira, obtendo-se a perspectiva da cota de A, já reduzida, sobre a perspectiva do eixo Z. Sobre o eixo Yr, em V.G., representou-se o afastamento de A que, em seguida, se transportou para a perspectiva do eixo Y através de uma perpendicular à charneira, obtendo-se a perspectiva do afastamento de A , já reduzida, sobre a perspectiva do eixo Y. Ainda sobre o eixo Yr (recorde que o eixo X e o eixo Y sofrem o mesmo coeficiente de redução), em V.G., representou-se a abcissa de A que, em seguida, se transportou para a perspectiva do eixo Y através de uma perpendicular à charneira, obtendo-se a perspectiva da abcissa de A já reduzida, sobre a perspectiva do eixo Y. Com o compasso, fazendo centro em O, transportou-se a abcissa de A , já reduzida, para a perspectiva do eixo X (que tem a mesma redução do eixo Y), obtendo-se, assim, sobre os três eixos, as perspectivas das coordenadas respectivas de A , que nos permitiram obter as perspectivas do ponto, conforme exposto no relatório do exercício 735.

387

SOLUÇÕES

766.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo Y, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 140o entre si. Assim, a perspectiva do eixo Y faz ângulos de 110o com as perspectivas dos outros dois eixos (2 x 110o + 140o = 360o). Tendo em conta o exposto no relatório do exercício anterior, o plano coordenado a rebater deverá conter, necessariamente, o eixo Y, pois este é o eixo que sofre a redução isolada – o plano coordenado a rebater será o plano XY ou o plano YZ. Note que caso se rebatesse o plano coordenado XZ, estaria a rebater-se um plano que contém os dois eixos com o mesmo coeficiente de redução, pelo que seria necessário efectuar um outro rebatimento, para determinar o coeficiente de redução do eixo Y (o eixo que sofre uma redução isolada). Optou-se por rebater o plano XY, o que se processou de acordo com os procedimentos expostos no relatório do exercício anterior, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que se omitiu a identificação da charneira do rebatimento, bem como dos dois vértices do triângulo fundamental que definem a charneira do rebatimento. Essa omissão tem a ver com uma necessária e desejável simplificação da resolução gráfica. Observe que o afastamento de M é negativo – representou-se, em rebatimento, na parte negativa do eixo Yr (a parte que fica para trás de Or, no sentido oposto ao do triângulo fundamental) e transportou-se, precisamente, para a parte negativa da perspectiva do eixo Y. Assim sendo, o ponto M, definido pelas suas quatro perspectivas, é um ponto que se situa para trás do plano XZ. A cota de M foi representada em V.G. sobre o eixo Xr (o eixo X e o eixo Z sofrem a mesma redução) e, depois de reduzida, sobre a perspectiva do eixo X, foi transportada para a perspectiva do eixo Z, com o auxílio do compasso.

767.

A perspectiva do eixo X faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos, pelo que o eixo X é o que sofre uma redução isolada. As perspectivas dos outros dois eixos (eixo Y e eixo Z) fazem, entre si, um ângulo de 150o (2 x 105o + 150o = 360o).

De acordo com o exposto no relatório do exercício 765, o plano coordenado a rebater deverá conter necessariamente o eixo X – deverá rebater-se o plano XY ou o plano XZ. Note que caso se rebatesse o plano coordenado YZ, estaria a rebater-se um plano que contém os dois eixos com o mesmo coeficiente de redução, pelo que seria necessário efectuar um outro rebatimento, para determinar o coeficiente de redução do eixo X (o eixo que sofre uma redução isolada). Optou-se por rebater o plano XY, o que se processou de acordo com os procedimentos e raciocínios expostos no relatório do exercício 765. A charneira do rebatimento foi a recta de intersecção do plano coordenado XY com o plano axonométrico – o lado do triângulo fundamental que está contido no plano XY. Desenhou-se a semicircunferência de que esse lado é um diâmetro e determinou-se Or, sobre a semicircunferência, na perpendicular à charneira que passa por O (que é a perspectiva do eixo Z). Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representaram-se as abcissas dos três pontos (em V.G.) – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, as perspectivas das abcissas dos três pontos. Sobre o eixo Yr, a partir de Or, representaram-se as cotas e os afastamentos dos três pontos – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, as perspectivas daquelas coordenadas. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportaram-se as perspectivas das cotas dos três pontos para a perspectiva do eixo Z (recorde que o eixo Y e o eixo Z têm a mesma redução). Em seguida determinaram-se as perspectivas de A , B e C (as perspectivas das respectivas projecções e as suas perspectivas propriamente ditas), conforme exposto no relatório do exercício 735 para as perspectivas do ponto A . Por fim, desenhou-se a perspectiva do triângulo, bem como as perspectivas das suas projecções (frontal e horizontal), assinalando convenientemente as invisibilidades existentes (note que parte da perspectiva da projecção frontal do triângulo está oculta pela perspectiva propriamente dita da figura).

388

SOLUÇÕES

768.

Em função dos dados, conclui-se que existe um outro ângulo de 115 o (o ângulo entre as perspectivas do eixo Y e do eixo Z), pois o somatório dos três ângulos tem de ser 360o (2 x 115o + 130o = 360o). O eixo Y é, assim, o eixo que sofre uma redução isolada (é o eixo cuja perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos – ângulos de 115o). De acordo com o exposto no relatório do exercício 765, o plano coordenado a rebater deverá conter necessariamente o eixo Y – deverá rebater-se o plano XY ou o plano YZ. Note que caso se rebatesse o plano coordenado XZ, estaria a rebater-se um plano que contém os dois eixos com o mesmo coeficiente de redução, pelo que seria necessário efectuar um outro rebatimento, para determinar o coeficiente de redução do eixo Y (o eixo que sofre uma redução isolada). Optou-se por rebater o plano XY, o que se processou de acordo com os procedimentos e raciocínios expostos no relatório do exercício 765. A charneira do rebatimento foi a recta de intersecção do plano coordenado XY com o plano axonométrico – o lado do triângulo fundamental que está contido no plano XY. Desenhou-se a semicircunferência de que esse lado é um diâmetro e determinou-se Or, sobre a semicircunferência, na perpendicular à charneira que passa por O (que é a perspectiva do eixo Z ).

Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representou-se a abcissa do plano π – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, a perspectiva da abcissa de π, o que nos permitiu representar o plano π pelos seus traços (ffπ é a perspectiva do traço frontal de π e hπ é o traço horizontal de π). Sobre o eixo Yr, a partir de Or, representou-se afastamento do plano ϕ – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, a perspectiva do afastamento de ϕ, o que nos permitiu representar o hϕ é a perspectiva do traço horizontal de ϕ e pϕ é a perspectiva do traço lateral de ϕ). O cubo, tendo uma face frontal plano ϕ pelos seus traços (h (de frente) e outra de perfil, tem necessariamente uma face horizontal (de nível). O vértice A, com 2 cm de cota, é um vértice dessa face, que tem 2 cm de cota. Atendendo a que o eixo X e o eixo Z têm a mesma redução, com o compasso, fazendo centro em O, transportou-se a cota de ν (que é igual à abcissa de π), já reduzida, para a perspectiva do eixo Z e representou-se o plano ν pelos seus traços (ffν é a perspectiva do traço frontal de ν e pν é a perspectiva do traço lateral de ν). Em seguida, representou-se o ponto A, pelas suas perspectivas, e determinou-se a recta i, a recta de intersecção dos planos π e ϕ (a recta i contém uma das arestas do cubo – a aresta vertical que passa por A). A face superior do cubo tem 6 cm de cota – a cota do plano da face inferior aumentada da medida da aresta do cubo. No eixo Xr representou-se a cota da face superior do sólido, invertendo-se o rebatimento em seguida (com uma perpendicular à charneira) e transportando essa cota, já reduzida (em perspectiva), para a perspectiva do eixo Z. Note que a cota dessa face é igual à abcissa da face do cubo de maior abcissa. A face de maior afastamento do cubo tem 6 cm de afastamento – o afastamento da face de menor afastamento, aumentado da medida da aresta do cubo. Sobre o eixo Yr representou-se esse afastamento, invertendo-se o rebatimento (com uma perpendicular à charneira) e determinando, sobre a perspectiva do eixo Y, a perspectiva desse afastamento. A partir das perspectivas dessas coordenadas, foi possível desenhar a perspectiva do cubo, atendendo às invisibilidades verificadas.

769.

A B CD] está contido no plano XY, pelo que a) O quadrado [A B e D têm necessariamente cota nula. A e C são dois extremos de uma diagonal fronto-horizontal do quadrado (têm a mesma cota e o mesmo afastamento), pelo que a outra diagonal é necessariamente de topo, passando A C] (as diagonais de um quadrado pelo ponto médio de [A A C] mede bissectam-se simultaneamente). Uma vez que [A 6 cm (a diferença entre as abcissa de A e C), o seu ponto médio tem 4 cm de abcissa (a abcissa de A adicionada a metade do comprimento da diagonal), que é a abcissa de B e D. O ponto médio de [A A C] é, também, o ponto médio BD], pelo que D (o vértice de maior afastamento) tem de [B 8 de afastamento (o afastamento de A e C adicionado a metade do comprimento da diagonal) e B tem 2 de afastamento (o afastamento de A e C subtraído de metade do comprimento da diagonal). Assim, tem-se – B (4; 2; 0) e D (4; 8; 0). Como a altura do prisma é 7 e a sua base inferior tem 0 de cota, todos os vértices da base superior têm 7 de cota (estão contidos num plano horizontal com 7 cm (Continua na página seguinte) 389

SOLUÇÕES

de cota) e são os extremos superiores das arestas laterais do prisma, que são verticais (projectantes horizontais). Assim sendo, tem-se – A’ (1; 5; 7); B’ (4; 2; 7); C’ (7; 5; 7); D’ (4; 8; 7). b) A perspectiva do eixo X faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos, pelo que o eixo X é o que sofre uma redução isolada.

As perspectivas dos outros dois eixos (eixo Y e eixo Z) fazem, entre si, um ângulo de 100o (2 x 130o + 100o = 360o). De acordo com o exposto no relatório do exercício 765, o plano coordenado a rebater deverá conter necessariamente o eixo X – deverá rebater-se o plano XY ou o plano XZ. Note que caso se rebatesse o plano coordenado YZ, estaria a rebater-se um plano que contém os dois eixos com o mesmo coeficiente de redução, pelo que seria necessário efectuar um outro rebatimento, para determinar o coeficiente de redução do eixo X (o eixo que sofre uma redução isolada). Optou-se por rebater o plano XY, o que se processou de acordo com os procedimentos e raciocínios expostos no relatório do exercício 765. Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representaram-se as abcissas dos oito pontos (em V.G.) – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, as perspectivas das abcissas daqueles pontos. Sobre o eixo Yr, a partir de Or, representaram-se os afastamentos dos oito pontos – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, as perspectivas dos afastamentos daqueles pontos. Sobre o eixo Yr representou-se, ainda, a cota do plano ν (o plano que contém a base superior do prisma) – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, a perspectiva da cota de ν. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportou-se a perspectiva da cota do plano ν para a perspectiva do eixo Z (o eixo Y e o eixo Z têm a mesma redução) e representou-se o plano ν pelos seus traços (ffν é a perspectiva do traço frontal de ν e pν a perspectiva do seu traço lateral). Em seguida determinaram-se as perspectivas dos oito pontos (as perspectivas das respectivas projecções e as suas perspectivas propriamente ditas), conforme exposto no relatório do exercício 735 para as perspectivas do ponto A. Por fim, desenhou-se a perspectiva do prisma. O contorno aparente do sólido é a linha quebrada fechada [B B CDD’A’B’]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente do sólido – o vértice A (que é invisível, bem como todas A B C D] é as arestas que nele convergem) e o vértice C’ (que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a base [A AA’B’B] e [A AA’D’D]. Já a base [A A’B’C’D’] é visível, bem como as faces laterais [B BB’C’C] e [C CC’D’D]. invisível, bem como as faces laterais [A

770.

As perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 135o (120o + 105o + 135o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos, pelo que é necessário rebater os três eixos. Atendendo a que o método do rebatimento dos planos coordenados nos permite rebater dois eixos em simultâneo, será necessário rebater dois planos coordenados, de forma a rebater os três eixos. Optou-se por rebater os planos coordenados XY e XZ (note que se repete o rebatimento do eixo X). No rebatimento do plano coordeMN] do nado XY, a charneira é a recta e, que é a recta suporte do lado [M triângulo fundamental (é a recta de intersecção do plano XY com o plano axonométrico). O rebatimento de O processa-se perpendicularmente à charneira (num plano ortogonal à charneira que contém o ponto O) – o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de O é o MNO] é um próprio plano projectante do eixo Z. No espaço, o triângulo [M M r Nr Or] será rectântriângulo rectângulo em O e, em V.G., o triângulo [M gulo em Or. Mr ≡ M e Nr ≡ N, pois M e N são dois pontos da charneira. Or será, então, um ponto que se situa sobre a perspectiva do eixo Z e será o vértice de um triângulo rectângulo em Or, de que já se conhecem dois vértices – Nr e Mr (que são fixos, pois pertencem à charneira). DetermiMN] e, com centro nesse ponto, desenhou-se nou-se o ponto médio de [M uma semicircunferência que passa por Mr e por Nr. O ponto de intersecção da semicircunferência com a perspectiva do eixo Z é Or – o eixo Xr está definido por Or e por Mr e o eixo Yr está definido por Or e por Nr. Note que, em rebatimento, os dois eixos são perpendiculares entre si em Or. No rebatimento do plano coordenado XZ, a charneira é a recta e’, que é a recta suporte do lado [LL M] do triângulo fundamental (note que se omitiu a representação do terceiro lado do triângulo fundamental, por este não ser necessário). A recta e’ é a recta de intersecção do plano XZ com o plano axonométrico. O rebatimento de O processa-se perpendicularmente à charneira (num plano ortogonal à charneira que contém o ponto O) – o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de O é o próprio plano projectante do eixo Y. No espaço, o triângulo [LLMO] é um triângulo rectângulo em O e, em V.G., o triângulo [LLrMrOr] será rectângulo em Or. Lr ≡ L e Mr ≡ M, pois L e M são dois pontos da charneira. Or será um ponto que se situa sobre a perspectiva do eixo Y e será o vértice de um triângulo rectângulo em Or, de que já se conhecem dois vértices – Lr e Mr (que são fixos, pois pertencem à charneira). Determinou-se o ponto médio de [LL M] e, com centro nesse ponto, desenhou-se uma semicircunferência que passa por Lr e por Mr. O ponto de intersecção da semicircunferência com a perspectiva do eixo Y é Or’ – o eixo Xr’ está definido por Or’ e por Mr e o eixo Zr está definido por Or’ e por Lr. Note que, em rebatimento, os dois eixos são perpendiculares entre si em Or’. Note que Or’ e o eixo Xr’ são, respectivamente, o ponto O e o eixo X no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano XZ. Note que existe uma duplicação do rebatimento do eixo X, que não nos é necessária, pelo que, no segundo rebatimento, poder-se-ia ter omitido a representação do eixo X em rebatimento, pois apenas nos interessa o rebatimento do eixo Z (que é o único eixo que não foi rebatido pelo rebatimento do plano coordenado XY). Sobre o eixo Xr, em V.G., representou-se a abcissa de A que, em seguida, se transportou para a perspectiva do eixo X através de uma perpendicular à charneira (recta e), obtendo-se a perspectiva da abcissa de A, já reduzida, sobre a perspectiva do eixo X. Note que se recorreu ao eixo X rebatido pelo rebatimento do plano XY, mas poderia ter-se recorrido ao eixo X rebatido pelo (Continua na página seguinte) 390

SOLUÇÕES

rebatimento do plano XZ (só que, nesse caso, a charneira seria a recta e’). Sobre o eixo Yr, em V.G., representou-se o afastamento de A que, em seguida, se transportou para a perspectiva do eixo Y através de uma perpendicular à charneira (recta e), obtendo-se a perspectiva do afastamento de A, já reduzida, sobre a perspectiva do eixo Y. Sobre o eixo Zr, em V.G., representou-se a cota de A que, em seguida, se transportou para a perspectiva do eixo Z através de uma perpendicular à charneira (recta e’), obtendo-se a perspectiva da cota de A, já reduzida, sobre a perspectiva do eixo Z. A partir das perspectivas das coordenadas de A, sobre as perspectivas dos respectivos eixos, determinaram-se as perspectivas do ponto, conforme exposto no relatório do exercício 735.

771.

As perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 120o (110o + 130o + 120o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de reduç ã o d i s t i n t o s , pelo que é necessário rebater os três eixos.

Atendendo a que o método do rebatimento dos planos coordenados nos permite rebater dois eixos em simultâneo, será necessário rebater dois planos coordenados, de forma a rebater os três eixos. Optou-se por rebater os planos coordenados XY e YZ, conforme exposto no relatório do exercício anterior, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que, no rebatimento do plano YZ, se optou por omitir a representação do eixo Yr, uma vez que este eixo já estava rebatido no rebatimento do plano XY – evitou-se, assim, a duplicação do rebatimento do eixo Y .

Observe que a cota de M é negativa – representou-se, em rebatimento, na parte negativa do eixo Zr (a parte que fica para trás de Or ’, no sentido oposto ao do triângulo fundamental) e transportou-se, precisamente, para a parte negativa da perspectiva do eixo Z. Assim sendo, o ponto M, definido pelas suas quatro perspectivas, é um ponto que se situa para baixo do plano XY.

772.

As perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 115o (110o + 135o + 115o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam c o e f i c i e n t e s d e r e d u ç ã o d i s t i n t o s, pelo que é necessário rebater os três eixos. Optou-se por rebater os planos coordenados XY e XZ, conforme exposto no relatório do exercício 770, pelo que se aconselha a sua leitura.

Note que, no rebatimento do plano XZ , se optou por omitir a representação do eixo Xr, uma vez que este eixo já estava rebatido no rebatimento do plano XY – evitou-se, assim, a duplicação do rebatimento do eixo X. Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representaram-se as abcissas dos três pontos (em V.G.) – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, as perspectivas das abcissas dos três pontos. Sobre o eixo Yr, a partir de Or, representaram-se os afastamentos dos três pontos – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, as perspectivas dos afastamentos dos três pontos.

Sobre o eixo Zr, a partir de Or, representaram-se as cotas dos três pontos – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Z, as perspectivas das cotas dos três pontos. Em seguida determinaramse as perspectivas de R, S e T (as perspectivas das respectivas projecções e as suas perspectivas propriamente ditas), conforme exposto no relatório do exercício 735 para as perspectivas do ponto A. Por fim, desenhou-se a perspectiva do triângulo, bem como as perspectivas das suas projecções (frontal e horizontal).

391

SOLUÇÕES

773. a) O polígono está contido no plano YZ, pelo que todos os seus vértices têm abcissa nula. O é a origem do referencial, pelo que as suas coordenadas são (0; 0; 0).

Em função desse facto, dois dos lados do polígono O P] está estão contidos nos eixos coordenados – [O ON] está contido no eixo Z. Ascontido no eixo Y e [O NO] e [M M P] são verticais e os lados sim, os lados [N OP] e [M MN] são de topo. Dessa forma, M tem abcissa [O nula, cota igual à de N e afastamento igual ao de P – as coordenadas de M são (0; 5; 5). O vértice V, da pirâmide, tem 8 de abcissa, que corresponde à altura do sólido. O seu afastamento e a sua cota são iguais às do centro do quadrado – tem 2,5 cm (metade da medida do lado do quadrado) de afastamento e de cota., pelo que as coordenadas de V são (8; 2,5; 2,5). b) As perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 135o (105o + 120o + 135o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos, pelo que é necessário rebater os três eixos. Optou-se por rebater os planos coordenados XY e YZ, conforme exposto no relatório do exercício 770, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que, no rebatimento do plano XY, se optou por omitir a representação do eixo Yr, uma vez que este eixo já estava rebatido no rebatimento do plano YZ – evitou-se, assim, a duplicação do rebatimento do eixo Y. Sobre o eixo Xr , a partir de Or , representou-se a abcissa de V (os vértices da base têm abcissa nula), em V.G. – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, a perspectiva da N e O têm afastamento nulo) – inverteu-se o abcissa de V. Sobre o eixo Yr, a partir de Or, representaram-se os afastamentos de V e de M e P (N rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, as perspectivas daquelas coordenadas.

O e P têm cota nula) – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a Sobre o eixo Zr, a partir de Or, representaram-se as cotas de V e de M e N (O perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Z, as perspectivas daquelas coordenadas. Em seguida, determinaram-se as perspectivas dos cinco vértices da pirâmide (as perspectivas das respectivas projecções e as suas perspectivas propriamente ditas), conforme exposto no relatório do exercício 735 para as perspectivas do ponto A. Por fim, desenhou-se a perspectiva da pirâmide, assinalando MNVP]. Existe um único vértice convenientemente as invisibilidades existentes. O contorno aparente do sólido é a linha quebrada fechada [M que não integra o contorno aparente – o vértice O. Este é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. As restantes arestas são MNOP] é invisível, bem como as faces laterais [N NOV] e [O OPV] – as outras duas faces laterais são visíveis. visíveis. Note que a base [M

774.

Uma vez que se trata de uma perspectiva isométrica, os três eixos apresentam o mesmo coeficiente de redução, pelo que é suficiente o rebatimento de um único plano coordenado, pois, tal como referido no relatório do exercício 754, é possível, através de arcos de transporte com centro em O, transportar as coordenadas reduzidas de um eixo para o outro. Optou-se por rebater o plano coordenado XY (ver relatório do exercício 760 e respectivo relatório) e, sobre os dois eixos rebatidos (eixo Xr e eixo Yr), representaram-se as respectivas escalas. Note que as partes negativas dos eixos são as partes em sentido oposto ao do triângulo fundamental (em que as três coordenadas são positivas). Através de perpendiculares à charneira obteve-se, no eixo X e no eixo Y, a representação das respectivas escalas axonométricas, já reduzidas. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, transportou-se a escala axonométrica para a perspectiva do eixo Z (a partir do eixo X), incluindo a parte negativa. Em seguida, a partir dos valores das coordenadas dos três pontos existentes sobre as perspectivas dos respectivos eixos, determinaram-se as perspectivas dos pontos, conforme exposto no relatório do exercício 735 para o ponto A . Note que o ponto A , que tem cota negativa, se situa para baixo do plano XY. O ponto B, que tem afastamento negativo, situa-se para trás do plano XZ. O ponto C, por sua vez, que tem abcissa negativa, situa-se para a direita do plano YZ.

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SOLUÇÕES

775.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo X, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 110o entre si (2 x 125o + 110o = 360o).

O plano coordenado a rebater deverá conter, n e c e s s a r i a m e n t e , o eixo X, pois este é o eixo que sofre a redução isolada – o plano coordenado a rebater será o plano XY ou o plano XZ. Optou-se pelo rebatimento do plano XY, o que se processou conforme exposto no relatório do exercício 765, pelo que se aconselha a sua leitura. Em seguida, sobre os dois eixos rebatidos (eixo Xr e eixo Yr), representaram-se as respectivas escalas. Note que as partes negativas dos eixos são as partes em sentido oposto ao do triângulo fundamental. Através de perpendiculares à charneira obteve-se, no eixo X e no eixo Y, as perspectivas das respectivas escalas axonométricas, já reduzidas. Uma vez que o eixo Y e o eixo Z sofrem a mesma redução, com o recurso ao compasso e fazendo centro em O, transportou-se a escala axonométrica da perspectiva do eixo Y para a perspectiva do eixo Z, incluindo a parte negativa. Em seguida, a partir dos valores das coordenadas dos dois pontos existentes sobre as perspectivas dos respectivos eixos, determinaram-se as perspectivas dos pontos, conforme exposto no relatório do exercício 735 para o ponto A . Note que o ponto R , que tem afastamento negativo, se situa para trás do plano XZ. Por sua vez, o ponto S, que tem cota negativa, situa-se para baixo do plano XY.

776. a) O polígono está contido num plano frontal (de frente), pelo que todos os seus vértices têm o mesmo afastamento – B e D têm 3 cm de afastamento (que é o afastamento de A). A diagonal A C] é vertical, pelo que a outra diagonal é necessariamente [A A C] (as diagofronto-horizontal e passa pelo ponto médio de [A nais de um quadrado bissectam-se simultaneamente). Uma vez A C] mede 6 cm, o seu ponto médio tem 4 cm de cota que [A (a cota de A adicionada a metade do comprimento da diagonal), A C] é, também, o que é a cota de B e D. O ponto médio de [A BD], pelo que D tem abcissa nula (a abcissa de ponto médio de [B A subtraída de metade do comprimento da diagonal) e B tem 6 cm de abcissa (a abcissa de A adicionada a metade do comprimento da diagonal). C, por sua vez, tem a abcissa de A e cota superior em 6 cm (o comprimento da diagonal) à cota de A. As coordenadas de B, C e D serão: B (6; 3; 4), C (3; 3; 7) e D (0; 3; 4). b) As perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 130o (110o + 120o + 130o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de reduç ã o d i s t i n t o s , pelo que é necessário rebater os três eixos.

Optou-se por rebater os planos coordenados XY e XZ, conforme exposto no relatório do exercício 770, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que, no rebatimento do plano XZ, se optou por omitir a representação do eixo Xr, uma vez que este eixo já estava rebatido no rebatimento do plano XY – evitou-se, assim, a duplicação do rebatimento do eixo X. Sobre o eixo Xr, a partir de Or, representou-se a respectiva escala, em V.G. – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, a perspectiva da escala axonométrica. Sobre o eixo Yr, a partir de Or, representou-se, em V.G., a escala axonométrica – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, a perspectiva da escala axonométrica. Sobre o eixo Zr, a partir de Or, representou-se a escala axonométrica (em V.G.) – inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Z, a perspectiva da escala axonométrica. Em seguida determinaram-se as perspectivas dos quatro vértices da figura (as perspectivas das respectivas projecções e as suas perspectivas propriamente ditas), conforme exposto no relatório do exercício 735 para as perspectivas do ponto A. Por fim, desenhou-se a perspectiva do quadrado, bem como as perspectivas das suas projecções (frontal, horizontal e lateral).

Note que as projecções horizontal e lateral se reduzem, ambas, a segmentos de recta, pois o plano ϕ é simultaneamente projectante horizontal e projectante lateral. A perspectiva da projecção frontal da figura, por sua vez, é parcialmente invisível, por estar oculta pela perspectiva do quadrado.

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SOLUÇÕES

777.

O métodos dos cortes consiste numa evolução do método do rebatimento dos planos coordenados, uma vez que recorre precisamente ao rebatimento dos planos coordenados. A diferença entre os dois processos consiste no facto de, no métodos dos cortes, o rebatimento dos planos coordenados se processar para o i n t e r i o r da pirâmide axonométrica, seguindo-se uma translação desse rebatimento ao longo dos planos ortogonais à charneira que contêm os arcos do rebatimento. Recorde que, no método do rebatimento dos planos coordenad o s, os planos coordenados eram rebatidos para fora da pirâmide axonométrica.

778.

As vantagens deste novo método são: 1. por um lado, a translação do rebatimento faz com que a área dos planos coordenados em rebatimento fique fora da área em que se processa a representação perspéctica dos objectos; 2. por outro lado, o plano coordenado, em rebatimento, fica rebatido em sentido directo, ou seja, as projecções do objecto nos planos coordenados em rebatimento apresentam-se com a orientação da sua perspectiva, sendo possível, assim, criar relações directas entre a perspectiva de uma qualquer projecção do objecto e o rebatimento dessa projecção. Note que, no método do rebatimento dos planos coordenados, a relação é inversa.

779.

Como se referiu na resposta à questão do exercício 777, o métodos dos cortes consiste numa evolução do método do rebat i m e n t o d o s p l a n o s c o o r d e n a d o s , uma vez que recorre ao rebatimento dos planos coordenados, se bem que este se processe para o interior da pirâ mide axonométrica e seja seguido de uma translação ao longo dos planos perpendiculares à charneira que contêm os arcos do rebatimento. As vantagens que este novo método apresenta, referidas na resposta à questão do exercício anterior, são bastante significativas e serão constatáveis ao longo deste exercício. Rebateu-se o plano coordenado XY, tal como exposto no exercício 760, mas para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (note que é a própria perspectiva do eixo Z), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Yr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Xr ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr. Sobre o eixo Xr ’ representou-se a abcissa de A , em V.G., e sobre o eixo Yr ’ representou-se o afastamento de A , em V.G., o que nos permitiu obter A 1r – A 1r é a projecção horizontal do ponto A , em rebatimento (no rebatimento do plano XY). Em seguida rebateu-se o plano coordenado YZ, tal como exposto no exercício 760 para o rebatimento do plano XY, também para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (note que é a própria perspectiva do eixo X), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Yr ’ e o eixo Zr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr e o eixo Zr ’ é paralelo ao eixo Zr. Note que existe uma duplicação do rebatimento do eixo Y. Sobre o eixo Yr ’ representou-se o afastamento de A , em V.G., e sobre o eixo Zr ’ representou-se a cota de A , em V.G., o que nos permitiu obter A 3r – A 3r é a projecção lateral do ponto A (a projecção do ponto A no Plano de Perfil de Projecção – o plano YZ) em rebatimento (no rebatimento do plano YZ). Em seguida, por A 1r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de A , no rebatimento do plano XY) e por A 3r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano YZ (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de A no rebatimento do plano YZ) – o ponto de concorrência das duas perpendiculares é a perspectiva propriamente dita do ponto A . Note que a primeira perpendicular corresponde, também, à perspectiva da recta projectante horizontal do ponto A e que a segunda perpendicular corresponde à perspectiva da recta projectante lateral do ponto A . Por fim, transportaram-se as coordenadas em V.G. (representadas nos eixos em rebatimento), através de perpendiculares às respectivas charneiras, para as perspectivas dos eixos correspondentes, o que nos permitiu obter rapidamente as perspectivas das três projecções do ponto A . Note que o rebatimento do plano YZ não era absolutamente necessário, pois, atendendo a que o coeficiente de redução dos três eixos é o mesmo, seria possível efectuar o transporte da perspectiva da cota (depois de reduzida) para a perspectiva do eixo Z, como em situações semelhantes se efectuou. No entanto, e visando a utilidade posterior (na perspectiva de sólidos) deste método, optouse por se efectuar o segundo rebatimento (o rebatimento do plano YZ).

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SOLUÇÕES

780.

Rebateu-se o plano coordenado XY, para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento.

Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a própria perspectiva do eixo Z), efectuou-se uma t r a n s l ação de Or , com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Yr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Xr ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr. Sobre o eixo Xr ’ representou-se a abcissa de P, em V.G., e sobre o eixo Yr ’ representou-se o afastamento de P, em V.G., o que nos permitiu obter P1r – P1r é a projecção horizontal do ponto P, em rebatimento (no rebatimento do plano XY). Em seguida, optou-se por rebater o plano coordenado XZ – este rebateu-se igualmente para dentro da pirâmide axonométrica, obtendose Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a própria perspectiva do eixo Y), efectuou-se uma t r a n s l a ç ã o de Or , com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Zr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Xr ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Zr ’ é paralelo ao eixo Zr. Note que existe uma duplicação do rebatimento do eixo X. Sobre o eixo Xr ’ representou-se a abcissa de P, em V.G., e sobre o eixo Zr ’ representou-se a cota de P (que é negativa), em V.G., o que nos permitiu obter P2r – P2r é a projecção frontal do ponto P em rebatimento (no rebatimento do plano XZ). Note que P2r fica para baixo do eixo Xr ’, pois a cota de P é negativa. Em seguida, por P1r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P, no rebatimento do plano XY) e por P2r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XZ (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P no rebatimento do plano XZ) – o ponto de concorrência das duas perpendiculares é a perspectiva propriamente dita do ponto P. Note que a primeira perpendicular corresponde, também à perspectiva da recta projectante horizontal do ponto P e que a segunda perpendicular corresponde à perspectiva da recta projectante frontal do ponto P. Por fim, transportaram-se as coordenadas em V.G. (representadas nos eixos em rebatimento) através de perpendiculares às respectivas charneiras para as perspectivas dos eixos correspondentes, o que nos permitiu obter rapidamente as perspectivas das três projecções do ponto P. Note que o rebatimento do plano XZ não era absolutamente necessário, pois, atendendo a que o coeficiente de redução dos três eixos é o mesmo, seria possível efectuar o transporte da perspectiva da cota (depois de reduzida) para a perspectiva do eixo Z, como em situações semelhantes se efectuou. No entanto, e visando a utilidade posterior (na perspectiva de sólidos) deste método, optou-se por se efectuar o segundo rebatimento (o rebatimento do plano XZ).

781.

Rebateram-se os planos coordenados XY e XZ, conforme exposto no relatório do exercício anterior, o que nos permitiu de forma semelhante à efectuada naquele exercício, representar as projecções horizontais e as projecções frontais dos três pontos, em rebatimento. Note que, apesar de não se ter efectuado, seria possível a representação das projecções horizontal e frontal do triângulo, em rebatimento. Em seguida determinaram-se as perspectivas propriamente ditas dos três pontos, bem como as perspectivas das respectivas projecções (horizontal, frontal e lateral). R 1 ≡ R, pois R é um ponto com cota nula (está no plano XY). S2 ≡ S, pois S é um ponto com afastamento nulo (está no plano XZ). T3 ≡ T, pois T é um ponto com abcissa nula (está no plano YZ). Representou-se a perspectiva propriamente dita do triângulo, bem como as perspectivas da sua projecção horizontal e da sua projecção lateral, atendendo-se às respectivas invisibilidades (parte das projecções são invisíveis, por estarem ocultas pela figura).

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SOLUÇÕES

782.

Neste exercício utilizaram-se as vantagens que o método dos cortes apresenta. Rebateram-se os planos coordenados XY e XZ, de acordo com os procedimentos expostos no relatório do exercício 780, pelo que se aconselha a sua leitura. Sobre os planos, em rebatimento, representaram-se as projecções frontal e horizontal do sólido (em rebatimento), de acordo com os dados. De facto, a partir de A 1r e de B1r é possível construir a projecção horizontal do sólido em rebatimento, sem a necessidade de descobrir, primeiramente, as coordenadas dos restantes vértices do sólido, ao contrário de situações anteriores. Por outro lado, no plano XZ rebatido representaram-se as projecções frontais dos vértices da base inferior do prisma, em rebatimento – A 2r, B2r, C2r e D2r. No plano XZ rebatido representou-se, também, f νr – f νr é, em rebatimento, o traço frontal do plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido. A partir de f νr e das projecções frontais (em rebatimento) dos vértices da base inferior, foi possível construir a projecção frontal do sólido (em rebatimento). Em seguida, pelas projecções horizontais e frontais, em rebatimento, de todos os vértices do sólido, conduziram-se rectas perpendiculares às respectivas charneiras (conforme exposto no relatório do exercício 780, para o ponto P), cujos pontos de concorrência são, sucessivamente, as perspectivas dos vértices do sólido. Este representou-se pela sua perspectiva, BB’A’D’DC]. Os únicujo contorno aparente é [B cos vértices que não integram o contorno aparente são A e C’. O vértice A é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. O vértice C’ é visível, bem como todas as arestas que A BCD] é invisível, bem como as faces laterais [A AA’B’B] e [A AA’D’D]. Já a base [A A’B’C’D’] é visível, bem nele convergem. Note que a base [A BB’C’C] e [C CC’D’D]. como as faces laterais [B

783. a) O polígono está contido no plano XZ, pelo que todos os seus vértices têm afastamento nulo – B e D têm A C] é vertical, pelo que afastamento nulo. A diagonal [A a outra diagonal é necessariamente fronto-horizontal A C] (as diagonais de e passa pelo ponto médio de [A um quadrado bissectam-se simultaneamente). Uma A C] mede 6 cm (a diferença entre as cotas vez que [A A tem de A e C), o seu ponto médio tem 3 cm de cota (A cota nula), que é a cota de B e D. O ponto médio de A C] é, também, o ponto médio de [B BD], pelo que D [A tem 2 cm de abcissa (a abcissa de A subtraída de metade do comprimento da diagonal) e B tem 8 cm de abcissa (a abcissa de A adicionada a metade do comprimento da diagonal) – note que B é o vértice de maior abcissa do quadrado. As coordenadas de B e D serão: B (8; 0; 3) e D (2; 0; 3). A aresta lateral [C CV] é de topo, pelo que C e V têm a mesma abcissa e a mesma cota – o afastamento de V corresponde à altura da pirâmide (que é 7 cm), pelo que se tem V (5; 7; 6). b) Note que a base da pirâmide está contida no plano XZ, pelo que se optou por rebater apenas o plano coordenado XZ, o que se processou conforme exposto no relatório do exercício 779 para o rebatimento dos planos XY e YZ, pelo que se aconselha a sua leitura. Em função das coordenadas dos cinco vértices da pirâmide, representaram-se as suas projecções frontais (em rebatimento). Note que se tem V2r ≡ Cr, pois V e C estão na CV] é de topo. Tenha em conta que os vértices do quadrado [A A B C D] mesma recta projectante frontal (recta de topo), pois a aresta lateral [C (Continua na página seguinte) 396

SOLUÇÕES

estão efectivamente contidos no plano XZ, pelo que, no rebatimento do plano XZ, mais do que as suas projecções frontais, são os próprios pontos que estão em rebatimento. O mesmo não acontece com V, que não está contido no plano XZ – no rebatimento do plano XZ tem-se, apenas, V2r, que é a projecção frontal de V em rebatimento (a projecção frontal de V é que está contida no plano XZ). Construiu-se o A rBrCrDr] em V.G., em rebatimento. Note que seria possível, à semelhança do exercício anterior, rebater o plano XY e, em seguiquadrado [A da, construir a projecção horizontal da pirâmide em rebatimento (no rebatimento do plano XY) e, em seguida, determinar a perspectiva da pirâmide. No entanto, optou-se por economizar esse rebatimento – tratando-se de uma perspectiva isométrica, sobre o eixo Zr’, em V.G., representou-se o afastamento de V (que é 7 cm). Em seguida, inverteu-se o rebatimento, determinando, sobre a perspectiva do eixo Z, a perspectiva do afastamento de V – com o compasso, fazendo centro em O, transportou-se a perspectiva do afastamento de V para a perspectiva do eixo Y. Note que as perspectivas propriamente ditas dos vértices do quadrado estão coincidentes com as perspectivas das suas projecções frontais, pois o quadrado está contido no plano XZ. Por fim, determinou-se a perspectiva de V e desenhou-se a perspectiva do sólido – A B CV]. Note que neste exercício se tem uma situação particular – a face o contorno aparente da pirâmide é a linha quebrada fechada [A CDV], em perspectiva, reduz-se a um segmento de recta. Tal justifica-se pelo facto de essa face estar contida num plano projectante lateral [C em perspectiva axonométrica. Por definição, um plano projectante é aquele que projecta todas as suas rectas e pontos no plano de proCDV] é i n v i s í v e l – apenas é visível a aresta lateral [C CV], que oculta a jecção que, neste caso, é o plano axonométrico. Assim, a face lateral [C CDV] e [A ADV]. As faces laterais [A A BV] e [B B CV] são visísuperfície da face. Assim, a base da pirâmide é invisível, bem como as faces laterais [C veis. O vértice D (que é o único vértice que não integra o contorno aparente da perspectiva da pirâmide) é invisível, bem como todas as AD], da base, é a única aresta com invisibilidade a assinalar. arestas que nele convergem – a aresta [A

784.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo Z, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 150o entre si – a perspectiva do eixo Z faz ângulos de 105o com as perspectivas dos outros dois eixos (2 x 105o + 150o = 360o).

Rebateu-se o plano coordenado XY, tal como exposto no exercício 765 (para o rebatimento do plano YZ), para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a própria perspectiva do eixo Z), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Yr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Xr ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr. Sobre o eixo Xr ’ representou-se a abcissa de A , em V.G., e sobre o eixo Yr ’ representou-se o afastamento de A , em V.G., o que nos permitiu obter A 1r, recorrendo a paralelas aos eixos em rebatimento – A 1r é a projecção horizontal do ponto A , em rebatimento (no rebatimento do plano XY). Em seguida rebateu-se o plano coordenado XZ , tal como exposto no exercício 765 (para o rebatimento do plano YZ), para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a d i r e cção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a própria perspectiva do eixo Y), efectuou-se uma t r a n s l a ç ã o de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Zr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo X r ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Zr ’ é paralelo ao eixo Zr . Sobre o eixo Xr ’ representou-se a abcissa de A , em V.G., e sobre o eixo Zr ’ representou-se a cota de A , em V.G., o que nos permitiu obter A 2r, recorrendo a paralelas aos eixos em rebatimento – A 2r é a projecção frontal do ponto A em rebatimento (no rebatimento do plano XZ).

Em seguida, por A 1r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de A , no rebatimento do plano XY) e por A 2r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XZ (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de A no rebatimento do plano XZ) – o ponto de concorrência das duas perpendiculares é a perspectiva propriamente dita do ponto A . Note que a primeira perpendicular corresponde, também à perspectiva da recta projectante horizontal do ponto A e que a segunda perpendicular corresponde à perspectiva da recta projectante frontal do ponto A . Por fim, transportaram-se as coordenadas em V.G. (representadas nos eixos em rebatimento) através de perpendiculares às respectivas charneiras para as perspectivas dos eixos correspondentes, o que nos permitiu obter rapidamente as perspectivas das três projecções do ponto A . Sublinha-se a universalidade deste processo, pois para a resolução deste exercício, com o recurso ao método dos cortes, não foi relevante identificar o eixo que sofre uma redução isolada, pois, de facto, este processo apresenta-nos os três eixos em rebatimento.

397

SOLUÇÕES

785.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo X, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos – a perspectiva do eixo X faz ângulos de 125o com as perspectivas dos outros dois eixos (e não apenas com a perspectiva do eixo Y). As perspectivas dos outros dois eixos, por sua vez, fazem um ângulo de 110o entre si (2 x 125o + 110o = 360o). Rebateu-se o plano coordenado XY, tal como exposto no exercício 765 (para o rebatimento do plano YZ), para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira passando por Or (a perspectiva do eixo Z), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’.

Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Yr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Xr ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr. Sobre o eixo Xr ’ representou-se a abcissa de P (que é negativa), em V.G., e sobre o eixo Yr ’ representou-se o afastamento de P, em V.G., o que nos permitiu obter P1r, recorrendo a paralelas aos eixos em rebatimento – P1r é a projecção horizontal do ponto P, em rebatimento (no rebatimento do plano XY). Note que P1r fica para a direita do eixo Yr ’, pois a abcissa de P é negativa. Em seguida rebateu-se o plano coordenado YZ, tal como exposto no exercício 765, para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira passando por Or (a perspectiva do eixo X), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Yr ’ e o eixo Zr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr e o eixo Zr ’ é paralelo ao eixo Zr. Sobre o eixo Yr ’ representou-se o afastamento de P, em V.G., e sobre o eixo Zr ’ representou-se a cota de P, em V.G., o que nos permitiu obter P3r, recorrendo a paralelas aos eixos em rebatimento – P3r é a projecção lateral (no plano YZ) do ponto P em rebatimento (no rebatimento do plano YZ). Em seguida, por P1r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P, no rebatimento do plano XY) e por P3r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano YZ (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P no rebatimento do plano YZ) – o ponto de concorrência das duas perpendiculares é a perspectiva propriamente dita do ponto P. Note que a primeira perpendicular corresponde, também à perspectiva da recta projectante horizontal do ponto P e que a segunda perpendicular corresponde à perspectiva da recta projectante lateral do ponto P. Por fim, transportaram-se as coordenadas em V.G. (representadas nos eixos em rebatimento) através de perpendiculares às respectivas charneiras para as perspectivas dos eixos correspondentes, o que nos permitiu obter rapidamente as perspectivas das três projecções do ponto P. Note que o ponto P situa-se para a direita do plano YZ, pois tem abcissa negativa.

786.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo Y, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos – a perspectiva do eixo Y faz ângulos de 115o com as perspectivas dos outros dois eixos (e não apenas com a perspectiva do eixo X). As perspectivas dos outros dois eixos, por sua vez, fazem um ângulo de 130o entre si (2 x 115o + 130o = 360o).

Rebateram-se os planos coordenados XY e XZ, à semelhança do efectuado no exercício 784 (pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório), o que nos permitiu, de forma semelhante à efectuada naquele exercício, representar as projecções horizontais e as projecções frontais dos três pontos, em rebatimento. Note que, apesar de não se ter efectuado, seria possível a representação das projecções horizontal e frontal do triângulo, em rebatimento. Em seguida determinaram-se as perspectivas propriamente ditas dos três pontos, bem como as perspectivas das respectivas projecções (horizontal, frontal e lateral). B 1 ≡ B, pois B é um ponto com cota nula (está no plano XY). A 2 ≡ A , pois A é um ponto com afastamento nulo (está no plano XZ). Representou-se a perspectiva propriamente dita do triângulo, bem como as perspectivas da sua projecção horizontal e da sua projecção frontal, atendendo-se às respectivas invisibilidades (parte da projecção horizontal é invisível, por estar oculta pela figura).

398

SOLUÇÕES

787.

Note que não pode haver dois ângulos de 140o entre as perspectivas dos eixos, pois tal significaria que a soma desses dois ângulos seria 280o, pelo que o terceiro ângulo teria de ser de 80o para totalizar os 360o. Ora, numa axonometria ortogonal, as perspectivas dos eixos fazem s e m p r e, entre si, ângulos obtusos (mais de 90 o e menos de 180o). Assim, o ângulo de 140o é único e os outros dois ângulos são os ângulos iguais, que serão de 110o cada – são os ângulos que a perspectiva do eixo Y faz com as perspectivas dos outros dois eixos. O eixo Y é, assim, o eixo que sofre uma redução isolada. Em seguida, rebateram-se os planos coordenados XY e XZ, sobre os quais se representaram, em rebatimento, as projecções (horizontal e frontal) da pirâmide, a partir das coordenadas de A e B. O quadrado [A A B CD] está em V.G. no plano X Z rebatido – a partir de A 2r e B 2r construiu-se o quadrado em V.G., e determinou-se o seu centro, onde se situa V2r (a projecção frontal de V em rebatimento, pois trata-se de uma pirâmide regular). Note que, atendendo a que o quadrado está contido no plano XZ, em vez de A 2r, B 2r, C2r e D2r se poderia ter representado, apenas, A r, B r, Cr e Dr (ver exercício 783 e respectivo relatório), mas o mesmo não acontece com V2r, pois V não está contido no plano XZ. A partir das projecções (em rebatimento) da pirâmide, conduzindo, por cada par de projecções de um mesmo vértice, as respectivas perpendiculares à charneira, determinou-se sucessivamente a perspectiva propriamente dita de cada um dos vértices do sólido, bem como as perspectivas das respectivas projecções (horizontal, frontal e lateral). Em seguida desenhou-se a perspectiva AVB CD]. Todos os vértices integram o contorno aparente, mas a base é da pirâmide – o contorno aparente é a linha quebrada fechada [A A BV]), pelo que a única aresta invisível é a aresta [A A B] da base. invisível (bem como a face lateral [A

788. a) O polígono está contido num plano horizontal (de nível) com 2 cm de cota (a cota de A e B), pelo que C e D têm necessariamente 2 cm de A B] do quadrado é paralelo ao eixo X, pelo que o lado [C CD] será igualmente paralelo ao cota. Por outro lado, constatou-se que o lado [A B C] e [A A D] serão necessariamente paralelos ao eixo Y (por serem perpendiculares aos lados [A A B] e [C CD]) – eixo X. Por sua vez, os lados [B A B] mede 5 cm (a diferença entre as abcissas de A e B), que é a medida do lado do polígono. Assim sendo, são de topo. Por fim, o lado [A C tem a abcissa de B e está a 5 cm deste – tem 7 de abcissa e 8 de afastamento. D terá a abcissa de A e o afastamento de C. As CV] é vertical, V tem abcissa e afastamento igual a C. A cota coordenadas são: C (7; 8; 2) e D (2; 8; 2). Por fim, uma vez que a aresta lateral [C de V resulta da soma da altura da pirâmide (8 cm) com a cota do plano da base (2 cm), pelo que V tem 10 cm de cota. As coordenadas de V são (7; 8; 10). b) O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo Y, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 130o entre si – a perspectiva do eixo Y faz ângulos de 115o com as perspectivas dos outros dois eixos (2 x 115o + 130o = 360o). O eixo X e o eixo Z têm a mesma redução. Rebateu-se o plano coordenado XY, o que se processou conforme exposto no relatório do exercício 765 para o rebatimento do plano YZ, pelo que se aconselha a sua leitura. Em função das coordenadas dos cinco vértices da pirâmide, representaram-se as suas projecções horizontais (em rebatimento). Note que se tem V1r ≡ C1r, pois V e C estão CV] é vertical. Desenhou-se o quadrado [A A 1rB 1rC1rD1r] em na mesma recta projectante horizontal (recta vertical), pois a aresta lateral [C V.G., em rebatimento. Note que seria possível, à semelhança do exercício anterior, rebater os planos XY e XZ e, em seguida, construir as projecções (horizontal e frontal) da pirâmide em rebatimento para, em seguida, determinar a perspectiva da pirâmide.

(Continua na página seguinte) 399

SOLUÇÕES

No entanto, optou-se por economizar esse rebatimento – tratando-se de uma perspectiva dimétrica, em que o eixo X e o eixo Z têm a mesma redução, sobre o eixo Xr ’, em V.G., representou-se a cota de V (que é 10 cm). Em seguida, inverteu-se o rebatimento, determinando, sobre a perspectiva do eixo X, a perspectiva da cota de V – com o compasso, fazendo centro em O, transportou-se a perspectiva da cota de V para a perspectiva do eixo Z. Por fim, determinaram-se as perspectivas dos cinco vértices da pirâmide e desenhou-se a perspectiva do sólido – o contorno aparente da pirâmide é a linha quebrada fechada [B B CDV]. Existe um vértice que não integra o contorno aparente da perspectiva da pirâmide – o vértice A. Este é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. As restantes arestas são visíveis. Note que a base da pirâmide é invisíA B V] e vel, bem como as faces laterais [A A D V]. As faces laterais [B B CV] e [C C D V] [A são visíveis. Representaram-se, ainda, as perspectivas das projecções (frontal, horizontal e lateral) da pirâmide, atendendo às invisibilidades verificadas – as partes destas projecções que estão ocultas pela pirâmide são invisíveis.

789.

As perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 100o (120o + 140o + 100o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos. Optou-se por rebater os planos coordenados XY e YZ. Rebateu-se o plano coordenado XY, tal como exposto no exercício 770, para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se O r e a d i r e c ç ã o dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira passando por Or (a perspectiva do eixo Z), efectuou-se uma t r a n s l ação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Yr ’, com as d i r e c ç õ e s previamente determinadas – o eixo Xr ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr. Sobre o eixo Xr ’ representou-se a abcissa de A , em V.G., e sobre o eixo Yr ’ representou-se o afastamento de A , em V.G., o que nos permitiu obter A 1r, recorrendo a paralelas aos eixos em rebatimento – A 1r é a projecção horizontal do ponto A , em rebatimento (no rebatimento do plano XY). Em seguida rebateu-se o plano coordenado YZ, tal como exposto no exercício 770 (para o rebatimento do plano XZ), para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira passando por Or (a perspectiva do eixo X), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir (Continua na página seguinte) 400

SOLUÇÕES

que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Yr ’ e o eixo Zr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr e o eixo Zr ’ é paralelo ao eixo Zr. Sobre o eixo Yr ’ representou-se o afastamento de A , em V.G., e sobre o eixo Zr ’ representou-se a cota de A , em V.G., o que nos permitiu obter A 3r, recorrendo a paralelas aos eixos em rebatimento – A 3r é a projecção lateral do ponto A (a projecção no plano YZ – o Plano de Perfil de Projecção) em rebatimento (no rebatimento do plano YZ). Em seguida, por A 1r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de A, no rebatimento do plano XY) e por A 3r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano YZ (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de A no rebatimento do plano YZ) – o ponto de concorrência das duas perpendiculares é a perspectiva propriamente dita do ponto A . Note que a primeira perpendicular corresponde, também à perspectiva da recta projectante horizontal do ponto A e que a segunda perpendicular corresponde à perspectiva da recta projectante lateral do ponto A . Por fim, transportaram-se as coordenadas em V.G. (representadas nos eixos em rebatimento) através de perpendiculares às respectivas charneiras para as perspectivas dos eixos correspondentes, o que nos permitiu obter rapidamente as perspectivas das três projecções do ponto A .

790.

As perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 100o (120o + 140o + 100o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos. Optou-se por rebater os planos coordenados XY e XZ. Rebateu-se o plano coordenado XY, tal como exposto no exercício 770, mas para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira passando por Or (a perspectiva do eixo Z), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Yr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Xr ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr. Sobre o eixo Xr ’ representou-se a abcissa de P, em V.G., e sobre o eixo Yr ’ representou-se o afastamento de P (que é negativo), em V.G., o que nos permitiu obter P1r, recorrendo a paralelas aos eixos em rebatimento – P1r é a projecção horizontal do ponto P, em rebatimento (no rebatimento do plano XY). Note que P1r fica para trás do eixo Xr ’, pois o afastamento de P é negativo. Em seguida rebateu-se o plano coordenado XZ, tal como exposto no exercício 770, mas para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira passando por Or (a perspectiva do eixo Y), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Zr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Xr ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Zr ’ é paralelo ao eixo Zr. Sobre o eixo Xr ’ representou-se a abcissa de P, em V.G., e sobre o eixo Zr ’ representou-se a cota de P, em V.G., o que nos permitiu obter P2r, recorrendo a paralelas aos eixos em rebatimento – P2r é a projecção frontal do ponto P em rebatimento (no rebatimento do plano XZ). Em seguida, por P1r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P, no rebatimento do plano XY) e por P2r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XZ (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P no rebatimento do plano XZ) – o ponto de concorrência das duas perpendiculares é a perspectiva propriamente dita do ponto P. Note que a primeira perpendicular corresponde, também, à perspectiva da recta projectante horizontal do ponto P e que a segunda perpendicular corresponde à perspectiva da recta projectante frontal do ponto P. Por fim, transportaram-se as coordenadas em V.G. (representadas nos eixos em rebatimento) através de perpendiculares às respectivas charneiras para as perspectivas dos eixos correspondentes, o que nos permitiu obter rapidamente as perspectivas das três projecções do ponto P. Note que o ponto P situa-se para a trás do plano XZ, pois tem afastamento negativo.

401

SOLUÇÕES

791.

As perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 135o (105o + 120o + 135o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos. Optou-se por rebater os planos coordenados XY e YZ, à semelhança do efectuado no exercício 789 (pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório), o que nos permitiu, de forma semelhante à efectuada naquele exercício, representar as projecções horizontais e as projecções laterais dos três pontos, em rebatimento. Note que, apesar de não se ter efectuado, seria possível a representação das projecções horizontal e lateral do triângulo, em rebatimento. Em seguida determinaram-se as perspectivas propriamente ditas dos três pontos, bem como as perspectivas das respectivas projecções (horizontal, frontal e lateral). A 1 ≡ A , pois A é um ponto com cota nula (está no plano XY). B 2 ≡ B , pois B é um ponto com afastamento nulo (está no plano XZ). Representou-se a perspectiva propriamente dita do triângulo, bem como as perspectivas da sua projecção horizontal e da sua projecção frontal, atendendo-se às respectivas invisibilidades (as partes daquelas projecções são invisíveis, por estarem ocultas pela figura, o que se assinalou devidamente).

792.

As perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 135o (120o + 105o + 135o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos. Uma vez que o sólido tem bases de perfil, é conveniente que um dos planos a rebater seja o plano YZ. Assim, rebateram-se os planos XY e YZ, conforme exposto no relatório do exercício 789, e, em rebatimento, construíram-se as projecções (horizontal e lateral) do paralelepípedo, a partir das coordenadas de A e B . O A B CD] está em V.G. no plano YZ rebatido rectângulo [A – a partir de A 3r e C3r construiu-se o rectângulo em V.G., em rebatimento, de acordo com os dados – o A B] é paralelo ao eixo Y, pelo que [A A 3rB 3r] é palado [A ralelo ao eixo Yr ’. No rebatimento do plano XY, representaram-se os traços horizontais dos dois planos de perfil (os planos que contêm as duas bases do paralelepípedo), os planos π e π’, em rebatimento – hπr e hπ’’r. Os dois planos distam, um do outro, 6 cm – a altura do paralelepípedo. O plano π tem 3 cm de abcissa e o plano π’ tem 9 cm de abcissa. A projecção lateral do paralelepípedo (em rebatimento) está coincidente com a projecção lateral do rectângulo A B CD] (no rebatimento do plano YZ). As arestas la[A terais do sólido estão contidas em rectas fronto-horizontais – este raciocínio permitiu-nos construir a projecção horizontal do sólido, em rebatimento (no rebatimento do plano XY ). A partir das projecções (em rebatimento) do sólido, conduzindo, por cada par de projecções de um mesmo vértice, as respectivas perpendiculares à charneira, determinou-se (Continua na página seguinte) 402

SOLUÇÕES

sucessivamente a perspectiva propriamente dita de cada um dos vértices do sólido, bem como as perspectivas das respectivas projecções (horizontal, frontal e lateral). Em seguida desenhou--se a perspectiva do paralelepípedo, desenhando previamente o contorno aparente e assinalando convenientemente as arestas invisíveis. O vértice B, que não integra o contorno aparente, é invisível, bem como todas as aresA B CD], do sólido, é invisível). A base do paralelepípedo que está contida no plano π’ é visível, tas que nele convergem (note que a base [A pelo que o vértice espacialmente oposto a B é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que, com vista a uma simplificação geral da resolução gráfica apresentada, não se identificaram os vértices da base do sólido que está contida no plano π’.

793. a) O polígono está contido no plano YZ, pelo que todos os seus vértices têm abcissa nula – B e D têm A C] é verabcissa nula. A diagonal [A tical, pelo que a outra diagonal é necessariamente de topo e passa A C] (as diapelo ponto médio de [A gonais de um quadrado bissecA C] mede tam-se). Uma vez que [A 6 cm (a diferença entre as cotas de A e C ), o seu ponto médio tem A tem cota nula), que 3 cm de cota (A é a cota de B e D. O ponto médio A C] é, também, o ponto médio de [A BD], pelo que B tem 2 cm de de [B afastamento (o afastamento de A subtraído de metade do comprimento da diagonal) e D tem 8 cm de afastamento (o afastamento de A adicionado a metade do comprimento da diagonal) – note que B é o vértice de menor afastamento do quadrado. As coordenadas de B e D serão: B (0; 2; 3) e D CV] é hori(0; 8; 3). A aresta lateral [C zontal (de nível), pelo que C e V têm a mesma cota, que é 6 cm. A aresta BV] é frontal (de frente), pelo lateral [B que B e V têm o mesmo afastamento que é 2 cm). A abcissa de V corresponde à altura da pirâmide (que é 7 cm), pelo que se tem V (7; 2; 6). b) As perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 110o (130o + 120o + 110o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos. Uma vez que a base do sólido é de perfil, é conveniente que um dos planos a rebater seja o plano YZ. Assim, rebateram-se os planos XY e YZ, conforme exposto no relatório do exercício 789. Em função das coordenadas dos cinco vértices da pirâmide, representaram-se as suas projecções laterais (em rebatimento, no plano YZ rebatido) e A 3rB 3rC3rD3r] em V.G., em rebatimento, tendo-se representado, ainda, V3r, a projecção lateral de V em rebatidesenhou-se o quadrado [A mento (no rebatimento do plano YZ). Note que seria possível, à semelhança do exercício anterior, construir a projecção horizontal do sólido em rebatimento (no plano XY rebatido), mas optou-se por uma outra situação – a determinação das perspectivas dos vértices da pirâmide em função das suas coordenadas. Assim, no eixo Xr ’ (no rebatimento do plano XY), representou-se a abcissa de V, em V.G. – invertendo o rebatimento, foi possível determinar, sobre a perspectiva do eixo X, a perspectiva da abcissa de V. Em seguida, determinaram-se as perspectivas dos cinco vértices da pirâmide e desenhou-se a perspectiva do sólido – o contorno aparente da pirâmide é a linha quebrada fechada [A AVCD]. Existe um vértice que não integra o contorno aparente da perspectiva da pirâmide – o vértice B. Este é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. As restantes arestas são visíveis. Note que a base da pirâmide é invisível, bem A BV] e [B B CV]. As faces laterais [A A DV] e [C CDV] são visíveis. Representaram-se, ainda, as perspectivas das projeccomo as faces laterais [A ções (frontal e horizontal) da pirâmide, atendendo às invisibilidades verificadas – as partes destas projecções que estão ocultas pela pirâmide são invisíveis.

794.

Por axonometrias ortogonais normalizadas entendem-se as representações axonométricas em que são predefinidos tanto os ângulos entre as perspectivas dos eixos como os respectivos coeficientes de redução (coeficientes de redução normalizados). De uma forma geral, as axonometrias ortogonais normalizadas visam uma representação expedita e de execução simplificada das formas perspectivadas. Por outro lado, os coeficientes de redução predefinidos provêm do arredondamento, às décimas ou às unidades, dos coeficientes de redução das axonometrias ortogonais em que a representação dos objectos mais se aproxima da percepção visual humana desse objecto.

403

SOLUÇÕES

795.

A incorrecção científica que afecta a representação de objectos nas axonometrias ortogonais normalizadas tem a ver com o facto de estas não considerarem reduções de todo ou convencionarem reduções que não são as reais. De facto, por exemplo, na perspectiva dimétrica normalizada representam-se os afastamentos e as cotas sem qualquer redução (em V.G.) sobre os respectivos eixos, o que, na realidade, não acontece. Por outro lado, também o coeficiente de redução que é estipulado para os afastamentos (0,5) é apenas uma aproximação do coeficiente de redução r e a l. Assim, o erro que afecta a representação de qualquer objecto numa axonometria ortogonal normalizada tem a ver com o facto de não haver qualquer relação entre o objecto, no espaço, e o plano axonométrico onde existe a sua representação, relação essa que leva necessariamente à existência de coeficientes de redução r e a i s, sempre que não haja situações de paralelismo em relação ao plano de projecção (o plano axonométrico). Note que, ao se representar uma determinada dimensão sem qualquer redução (quando haja redução), está-se a considerar que essa dimensão, no espaço, é superior à representada (a dimensão representada pressupõe uma redução).

796.

Numa perspectiva isométrica normalizada tem-se: 1. os ângulos que as perspectivas dos três eixos fazem entre si (ângulos axonométricos) é de 120o; 2. é desprezado qualquer coeficiente de redução, ou seja, as coordenadas representam-se sobre as perspectivas dos eixos directamente em V.G. (em tamanho real).

797.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o. Em seguida, atendendo a que, numa perspectiva isométrica normalizada, os coeficientes de redução são desprezados (considera-se que não existe deformação), representaram-se as coordenadas de A sobre os respectivos eixos, directamente em V.G. – a partir das coordenadas do ponto A sobre os respectivos eixos, determinaram-se as perspectivas de A , conforme exposto no relatório do exercício 735.

798.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos eixos.

Em seguida, atendendo a que as bases do sólido estão contidas em planos de perfil, e que o coeficiente de redução é desprezado, é possível representar, imediatamente, os dois planos de perfil (plano π e plano π’), pelos seus traços (frontal e horizontal) – o plano π tem 3 cm de abcissa e o plano π’ tem 9 cm de abcissa (dista 6 cm do plano π). Em seguida, representaramse os pontos A e C pelas suas perspectivas (as suas perspectivas propriamente ditas e as perspectivas das suas projecções frontal, horizontal e lateral), directamente em função das suas coordenadas, sem qualquer redução. Em seguida construiu-se A B CD], garantindo a manutenção a perspectiva do rectângulo [A A B] é paralelo ao eixo Y (e a hπ), tal como dos dados – o lado [A CD] – os lados [A A D] e [B B C] são verticais (paralelos ao o lado [C eixo Z e a f π). Em seguida conduziram-se, pelas perspectivas propriamente ditas dos quatro pontos, as perspectivas das rectas suporte das arestas laterais do sólido (que são fronto-horizontais – paralelas ao eixo X), assim como as perspectivas das suas projecções horizontais, pelas perspectivas das projecções horizontais daqueles pontos. Os vértices da base de maior abcissa foram determinados pela intersecção simples entre rectas não projectantes (as arestas laterais do sólido) e um plano duplamente projectante (o plano π’), o que nos permitiu, em seguida, concluir a construção da perspectiva do paralelepípedo.

404

SOLUÇÕES

799.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos, fazendo, entre si, ângulos de 120o (trata-se da perspectiva isométrica). Nos coeficientes de redução normalizados, o coeficiente de redução dos três eixos é desprezado (considera-se que não existe deformação), pelo que as dimensões são medidas em V.G., nos eixos a que reportam. O sólido dado apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do objecto estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos seus vértices é a origem do referencial – o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da respectiva aresta do sólido. As medidas das arestas contidas nos eixos coordenados representam-se em V.G., uma vez que o coeficiente de deformação daqueles eixos é desprezado. A partir das medições efectuadas sobre os eixos, construíram-se as projecções do objecto sobre os respectivos planos coordenados, baseadas em paralelas aos eixos – estas são as perspectivas das projecções (frontal, horizontal e lateral) do objecto. Pelas projecções de cada um dos vértices do objecto conduziram-se as perspectivas das respectivas rectas projectantes, obtendo as suas perspectivas e, em simultâneo, as perspectivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspectiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes. Note que, tratando-se de um único objecto (embora composto por dois sólidos – um paralelepípedo e um cubo), as faces do objecto que resultam de duas faces complanares daqueles objectos (a face que está contida no plano XY e a que está contida no plano YZ) não apresentam qualquer linha divisória. o objecto»), aquelas De facto, caso se tratasse de dois sólidos justapostos (o que não é o caso, pois o enunciado refere expressamente «o faces apresentariam uma linha divisória que identificaria, precisamente, o plano que separaria fisicamente os dois sólidos.

800.

Numa perspectiva dimétrica normalizada, tem-se: 1. no que respeita aos ângulos axonométricos (os ângulos entre as perspectivas dos eixos), a perspectiva do eixo Y faz ângulos de 131o 30’ com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 97o entre si; 2. no que respeita aos coeficientes de redução, os relativos ao eixo X e ao eixo Z são desprezados (representam-se a abcissa e a cota em V.G., em tamanho real) e o relativo ao eixo Y é de 0,5, ou seja, os afastamentos representam-se, sobre a perspectiva do eixo Y, multiplicados por esse valor (a dimensão representada é metade da dimensão real).

801.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos fazendo, entre si, os ângulos normalizados: as perspectivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 97o, enquanto que os outros dois ângulos têm 131o 30’ de amplitude. Segundo os coeficientes de redução normalizados, o coeficiente de redução do eixo X e do eixo Z é desprezado (considera-se que não existe deformação), enquanto que o eixo Y apresenta um coeficiente de redução isolado de 0,5. A abcissa e a cota de M, referentes, respectivamente, ao eixo X e ao eixo Z, representam-se, assim, em V.G. sobre os respectivos eixos. O afastamento de M representa-se sobre o eixo Y multiplicado pelo coeficiente de redução normalizado (6 cm x 0,5 = 3 cm).

A partir das coordenadas de M sobre os respectivos eixos, determinaram-se as perspectivas do ponto conforme exposto no relatório do exercício 735.

802.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados: as perspectivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 97o, enquanto que os outros dois ângulos têm 131o 30’ de amplitude. Em seguida determinaram-se as coordenadas dos restantes vértices da pirâmide – C (4; 0; 7), D (7; 0; 4) e V (4; 7; 4). Segundo os coeficientes de redução normalizados, o coeficiente de redução do eixo X e do eixo Z é desprezado (considera-se que não existe deformação), pelo que é possível representar, de forma directa, em V.G., as abcissas e as cotas dos cinco vértices da pirâmide – este procedimento permite-nos, imediatamente, construir a perspectiva da base da pirâmide (que está contida no plano XZ) e determinar V2, a projecção frontal do vértice da pirâmide. Segundo os coeficientes de redução normalizados, o eixo Y apresenta um coeficiente de redução isolado de 0,5, pelo que o afastamento de V se representa sobre o eixo Y multiplicado pelo coeficiente de redução normalizado (7 cm x 0,5 = 3,5 cm).

A partir do afastamento de V foi possível determinar V1, a perspectiva da sua projecção horizontal, e V3, a perspectiva da sua projecção lateral, após o que se determinou a perspectiva propriamente dita de V e se desenhou a perspectiva da pirâmide, atendendo ao contorno aparente e invisibilidades existentes (ver exercício 787 e respectivo relatório).

405

SOLUÇÕES

803.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados (ver exercício 800 e respectivo relatório). Nos coeficientes de redução normalizados, o coeficiente de redução do eixo X e do eixo Z é desprezado (considera-se que não existe deformação), enquanto que o eixo Y apresenta um coeficiente de redução isolado de 0,5. O sólido dado apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do objecto estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos seus vértices é a origem do referencial – o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da respectiva aresta do sólido. As medidas das arestas contidas no eixo X e no eixo Z (6 cm, ambas) representam-se em V.G., uma vez que o coeficiente de deformação daqueles eixos é desprezado. A medida da aresta contida no eixo Y representa-se multiplicada pelo coeficiente de redução normalizado, que é 0,5 – mede-se 3 cm (6 cm x 0,5).

A partir das medições efectuadas sobre os eixos, construíram-se as projecções do objecto sobre os respectivos planos coordenados, baseadas em paralelas aos eixos – estas são as perspectivas das projecções (frontal, horizontal e lateral) do objecto. Pelas projecções de cada um dos vértices do objecto conduziram-se as perspectivas das respectivas rectas projectantes, obtendo as suas perspectivas e, em simultâneo, as perspectivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspectiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes. Note que, tratando-se de um único objecto (embora composto por dois sólidos – um paralelepípedo e um cubo), as faces do objecto que resultam de duas faces complanares daqueles objectos (a face que está contida no plano XY e a que é paralela à que está contida no plano YZ) não apresentam qualquer linha o objecto»), divisória. De facto, caso se tratasse de dois sólidos justapostos (o que não é o caso, pois o enunciado refere expressamente «o aquelas faces apresentariam uma linha divisória que identificaria, precisamente, o plano que separaria fisicamente os dois sólidos.

804.

Numa perspectiva trimétrica normalizada, tem-se: 1. no que respeita aos ângulos axonométricos (os ângulos entre as perspectivas dos eixos), a perspectiva do eixo Z faz ângulos de 95o e de 108o com as perspectivas do eixo X e do eixo Y, respectivamente, que, por sua vez, fazem, entre si, um ângulo de 157o; 2. no que respeita aos coeficientes de redução, o relativo ao eixo Z é desprezado (representa-se a cota em V.G.), o coeficiente de redução relativo ao eixo X é de 0,9, ou seja, as abcissas representam-se, sobre a perspectiva do eixo X, multiplicadas por esse valor, e, por fim, o coeficiente de redução relativo ao eixo Y é de 0,5, ou seja, os afastamentos representam-se, sobre a perspectiva do eixo Y, multiplicados por esse valor (a dimensão representada é metade da dimensão real).

805.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados: as perspectivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 95o e as perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 108o (o ângulo entre as perspectivas do eixo X e do eixo Y é o ângulo restante – 157o). Os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos. O coeficiente de redução do eixo Z é desprezado (considera-se que não existe deformação), pelo que a cota de G se representa directamente em V.G. (3 cm), sobre a perspectiva do eixo Z. O coeficiente de redução do eixo X é 0,9, pelo que a abcissa de G é multiplicada por aquele valor – sobre o eixo X representa-se 4,5 cm (5 cm x 0,9), sendo esse o valor da perspectiva da abcissa de G. O coeficiente de redução do eixo Y é 0,5, pelo que o afastamento de G é multiplicado por aquele valor – sobre o eixo Y representa-se 3 cm (6 cm x 0,5), sendo esse o valor da perspectiva do afastamento de G. A partir das coordenadas de G sobre os respectivos eixos, determinaram-se as perspectivas do ponto, conforme exposto no relatório do exercício 735.

806.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados: as perspectivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 95o e as perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 108o (o ângulo entre as perspectivas do eixo X e do eixo Y é o ângulo restante – 157o). No que respeita aos coeficiente de redução normalizados, o do eixo Z é desprezado, pelo que se representou directamente, em V.G., sobre a perspectiva do eixo Z, a cota do plano ν e desenharam-se, imediatamente, os seus traços – f ν é a perspectiva do traço frontal de ν e pν é a perspectiva do seu traço lateral (de perfil). O coeficiente de redução normalizado do eixo X é de 0,9, pelo que as abcissas são multiplicadas por aquele valor – sobre o eixo X mediram-se 1,8 cm (correspondente à perspectiva da abcissa de A e D) e 5,4 cm (correspondente à perspectiva da abcissa de B e C ). O coeficiente de redução normalizado do eixo Y é de 0,5, pelo que os afastamentos são multiplicadas por aquele valor – sobre o eixo Y mediram-se 1,5 cm (correspondente à perspectiva (Continua na página seguinte) 406

SOLUÇÕES

do afastamento de A e B) e 3,5 cm (correspondente à perspectiva do afastamento de C e D). A partir das perspectivas das coordenadas destes pontos, determinaram-se as perspectivas das suas projecções frontais (sobre fν), das suas projecções laterais (sobre pν) e, ainda, das suas projecções horizontais, o que nos permitiu, em seguida, determinar as perspectivas propriamente ditas dos pontos. O ponto Q é o centro do quadrado, que tem 4 de abcissa, 5 de afastamento e 7 de cota. Sobre o eixo X representou-se 3,6 cm (4 x 0,9), que corresponde à perspectiva da abcissa de Q. Sobre o eixo Y representou-se 2,5 cm (5 x 0,5), que corresponde à perspectiva do afastamento de Q. A partir das coordenadas de Q, determinaram-se as suas perspectivas, o que nos permitiu, também, determinar as perspectivas de V (que tem cota nula) e, em seguida, desenhar a perspectiva da pirâmide, atendendo ao contorno aparente e às invisibilidades existentes (ver exercício 764 e respectivo relatório).

807.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados (ver exercício 804 e respectivo relatório). Nos coeficientes de redução normalizados, o coeficiente de redução do eixo Z é desprezado (considera-se que não existe deformação), enquanto que o eixo X apresenta um coeficiente de redução de 0,9 e o eixo Y apresenta um coeficiente de redução de 0,5. O sólido dado apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do objecto estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos seus vértices é a origem do referencial – o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da respectiva aresta do sólido. A medida da aresta contida no eixo Z (6 cm) representa-se em V.G., uma vez que o coeficiente de deformação deste eixo é desprezado. A medida da aresta contida no eixo X representa-se multiplicada pelo coeficiente de redução normalizado, que é 0,9 – mede-se 5,4 cm (6 cm x 0,9).

A medida da aresta contida no eixo Y representa-se multiplicada pelo coeficiente de redução normalizado, que é 0,5 – mede-se 3 cm (6 cm x 0,5). A partir das medições efectuadas sobre os eixos, construíram-se as projecções do objecto sobre os respectivos planos coordenados, baseadas em paralelas aos eixos – estas são as perspectivas das projecções (frontal, horizontal e lateral) do objecto. Pelas projecções de cada um dos vértices do objecto conduziram-se as perspectivas das respectivas rectas projectantes, obtendo as suas perspectivas e, em simultâneo, as perspectivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspectiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes. Note que, tratando-se de um único objecto (embora composto por dois sólidos – um paralelepípedo e um cubo), as faces do objecto que resultam de duas faces complanares daqueles objectos (a face superior, que é paralela ao plano XY, e a face que é paralela à que está contida no plano YZ) não apresentam qualquer linha divisória. De facto, caso o objecto»), aquelas faces apresentase tratasse de dois sólidos justapostos (o que não é o caso, pois o enunciado refere expressamente «o riam uma linha divisória que identificaria, precisamente, o plano que separaria fisicamente os dois sólidos.

808.

As perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 125o (105o + 130o + 125o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos.

Uma vez que a base da pirâmide está contida num plano horizontal (de nível), é conveniente que um dos planos a rebater seja o plano XY (que é paralelo ao plano da base). Assim, rebateu-se o plano XY, conforme exposto no relatório do exercício 789. Sobre o plano XY rebatido (e transladado) representaram-se as projecções horizontais de A e C, em rebatimento, em função das suas coordenadas – A 1r e C1r são as projecções horizontais de A e C, respectivamente, em rebatimento (no rebatimento do plano XY). O quadrado, porque está contido num plano paralelo ao plano XY, projecta-se em V.G. no plano XY – a partir de A 1r e de C 1r construiu-se a projecção horizontal do quadrado A BCD], em rebatimento, obtendo B1r, D1r, V1r e Q1r. V é o vértice da [A pirâmide que, por ser regular, se situa na mesma projectante horizontal do centro do quadrado, que é o ponto Q. Note que seria possível, neste caso, determinar previamente as coordenadas de B, D e V e, em seguida, representar as projecções horizontais dos pontos, em rebatimento, não pela construção do quadrado (como atrás foi exposto) mas pelas suas coordenadas, à semelhança do efectuado para A e C. As coordenadas de B e D são, respectivamente, (0; 0; 10) e (6; 6; 10).

Já as coordenadas de V, que tem cota nula, são (3; 3; 0). Observe que, tratando-se de um trimetria, os três eixos sofrem reduções distintas, pelo que é necessário o recurso ao rebatimento dos três eixos.

Para a construção da perspectiva do sólido, neste exercício recorreu-se a um método misto, ou seja, um método que mistura vários processos. De facto, para a representação da projecção horizontal da pirâmide, recorreu-se ao m é t o d o d o s c o r t e s, conforme acima se expôs. Por outro lado, para a determinação da cota do plano horizontal (de nível) da base do sólido, recorreu-se ao rebatimento do plano p r o j e c t a n t e d o e i x o Z – ver exercício 748 e respectivo relatório.

(Continua na página seguinte) 407

SOLUÇÕES

A cota do plano ν representou-se em V.G., em rebatimento, sobre o eixo Zr, a partir de Or. Em seguida, com o recurso a uma perpendicular à charneira (a perspectiva do eixo Z), transportou-se a cota de ν para a perspectiva do eixo Z, obtendo um ponto que é o ponto de concorrência de f ν com pν (as perspectivas dos traços de ν no plano frontal XZ e no plano de perfil YZ). A partir da projecção horizontal da pirâmide, em rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira do rebatimento do plano XY, inverteu-se o rebatimento, permitindo-nos, dessa forma, obter as perspectivas de todos os vértices do sólido. A partir das perspectivas dos seus vértices, desenhou-se a perspectiva da pirâmide.

AVCB]. O único vértice que não integra o contorno aparente é D, que é visível (bem como todas as arestas que nele O contorno aparente é [A BV]. Note que a base é visível, bem como as faces laterais [A ADV] e [C CDV]. convergem). A única aresta invisível é, assim, a aresta lateral [B

809. a) A base da pirâmide está contida no plano XY, pelo que A B] é um todos os vértices do quadrado têm cota nula. [A lado do quadrado da base, é fronto-horizontal, e mede 6 cm (a diferença de abcissas dos dois pontos). Assim sendo, A D] e [B B C] do quadrado [A A B CD] são de topo, os lados [A uma vez que a base é horizontal. C tem a abcissa de B e mais 6 cm de afastamento – C (7; 8; 0). D tem a abcissa de A e mais 6 cm de afastamento – D (1; 8; 0). O vértice da pirâmide tem 8 cm de cota (a altura da pirâmide, uma vez que a base tem cota nula) e, atendendo a que se situa na mesma projectante horizontal de B , tem a mesma abcissa e o mesmo afastamento – V (7; 2; 8). b) Atendendo a que se trata de uma isometria, em que os três eixos apresentam o mesmo coeficiente de redução, foi necessário, apenas, o rebatimento de um dos planos coordenados – o plano XY, através do método dos cortes.

No plano XY , rebatido e transladado, representou-se a A BCD], em rebatimento. projecção horizontal do quadrado [A A cota de V representou-se em V.G. no eixo Yr – com o recurso a uma perpendicular à charneira, determinou-se a perspectiva da cota de V sobre a perspectiva do eixo Y e, depois, foi transportada para a perspectiva do eixo Z, com o recurso ao compasso e fazendo centro em O. A inversão do rebatimento da base processou-se com o recurso a perpendiculares à charneira, atendendo sempre às situações de paralelismo que se observam entre os lados do quadrado e os eixos, paralelismos esses que se mantêm em perspectiva. Note que se tem necessariamente V1 ≡ B1, pois B e V situam-se na mesma recta projectante horizontal BV] é vertical). A partir das perspectivas de (a aresta lateral [B todos os vértices da pirâmide, desenhou-se a perspectiva B CDV]. O único vértice do sólido – o contorno aparente é [B que não integra o contorno aparente é o vértice A , que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem.

Note que a base da pirâmide é invisível, bem como as A BV] e [A A DV]. faces laterais [A

810. a) A base da pirâmide está contida num plano de perfil, pelo que todos os vértices da base têm a mesma abcissa, que é 6 cm (a abcissa de A e C). [A A C] é uma diagonal do quadrado e é vertical, pelo que mede 6 cm (a diferença das cotas entre os dois pontos). A diagonal [B B D] A C], pelo que B e D têm 3 cm de cota. O afastamento de B é 3 cm é necessariamente de topo e contém o ponto médio da diagonal [A B é o vértice de menor afastamento da pirâmide) – B (6; 3; 3) e D (6; 9; 3). Uma vez inferior ao de A e o de D é 3 cm superior ao de A (B que V tem abcissa nula, as suas coordenadas serão (0; 6; 3). b) As perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 120o (115o + 125o + 120o = 360o). Trata-se de uma perspectiva trimétrica – os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos. Uma vez que a base da pirâmide está contida num plano de perfil, é conveniente que um dos planos a rebater seja o plano YZ (que é paralelo ao plano da base). Assim, rebateu-se o plano YZ, conforme exposto no relatório do exercício 789. Sobre o plano YZ rebatido (e transladado) representaram-se as projecções laterais dos cinco vértices da pirâmide, em rebatimento, em função das suas coordenadas – A 3r, B3r, C3r, D3r e V3r são as projecções laterais dos vértices da pirâmide, no rebatimento do plano YZ. Observe que, tratando-se de um trimetria, os três eixos sofrem reduções distintas, pelo que é necessário o recurso ao rebatimento dos três eixos. Para a construção da perspectiva do sólido, neste exercício recorreu-se a um método misto, ou seja, um método que mistura vários processos, à semelhança do efectuado no exercício 808. De facto, para a representação da projecção lateral da pirâmide, recorreu-se ao método dos cortes, conforme acima se expôs. Por outro lado, para a determinação da abcissa do plano de perfil da base do sólido, recorreu-se ao rebatimento do plano projectante do eixo X – ver exercício 748 e respectivo relatório. A abcissa do plano π representou-se em V.G., em rebatimento, sobre o eixo Xr, a partir de Or. Em seguida, com o recurso a uma perpendicular à charneira (a perspectiva do eixo X), transportou-se a abcissa de π para a perspectiva do eixo X, obtendo um ponto que é o ponto de concorrência de f π (Continua na página seguinte) 408

SOLUÇÕES

com h π (os traços de π no plano frontal XZ e no plano horizontal XY).

A partir da projecção lateral da pirâmide, em rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira do rebatimento do plano YZ, inverteu-se o rebatimento, permitindo-nos, dessa forma, obter as perspectivas de todos os vértices do sólido. A partir das perspectivas dos seus vértices, desenhou-se a perspectiva da pirâmide. O contorno aparente é AVDCB]. Todos os vértices da pirâ[A mide integram o contorno aparente da perspectiva do sólido. No entanto, apenas a base e a face lateral A DV] são visíveis. Assim, as restan[A tes três faces laterais são invisíveis, B V] e pelo que as arestas laterais [B CV] também são invisíveis.

[C

811.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo X, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 150o entre si – a perspectiva do eixo X faz ângulos de 105o com as perspectivas dos outros dois eixos (2 x 105o + 150o = 360o). O eixo Y e o eixo Z têm a mesma redução. Em seguida, atendendo a que as bases do prisma são horizontais (de nível), paralelas ao plano XY, rebateu-se o plano XY (pelo método dos c o r t e s) para, em rebatimento, construir a projecção horizontal do sólido a partir dos dados. Note que seria possível, através do m é t o d o d o s c o r t e s, representar o sólido por duas das suas projecções (a projecção horizontal e a projecção frontal ou a lateral), em rebatimento, e, depois, obter a sua perspectiva. No entanto, atendendo a que se trata de uma dimetria, considerou-se ser apenas necessária a construção da sua projecção horizontal (recorde que o eixo Y e o eixo Z têm a mesma redução). Rebateu-se o plano XY e efectuou-se a sua translação, conforme exposto no relatório do exercício 784. Em rebatimento,representaram-se as projecções horizontais de A e de A’, em função das coordenadas dadas – A 1r e A’1r. Uma vez que A’ e C se situam na mesma recta projectante horizontal, sabe-se imediatamente que C1r ≡ A’1r. A partir de C1r e de A 1r foi possível construir, em V.G., a projecção horizontal do quadrado A B CD], em rebatimento. Por outro lado, possuindo a [A direcção das projecções horizontais das arestas lateA 1rA’1r] é a projecção horizonrais do sólido (note que [A AA’]), e tendo em tal, em rebatimento, da aresta lateral [A A’B’C’D’] da base suconta que os lados do quadrado [A perior são paralelos aos lados correspondentes do quaA BCD] da base inferior, construiu-se igualmente em V.G., em rebatimento, a projecção horizontal da base superior e, dessa forma, drado [A obteve-se a projecção horizontal do prisma (em rebatimento, no rebatimento do plano XY). Em seguida, sobre o eixo Yr mediu-se a cota do plano da base superior, em V.G. – depois de reduzida, sobre a perspectiva do eixo Y, transportou-se a perspectiva da cota de ν para a perspectiva do eixo Z (que tem o mesmo coeficiente de redução do eixo Y). Em seguida representou-se o plano ν (o plano horizontal que contém a base superior do sólido) pelos seus traços – fν é a perspectiva do traço frontal de ν e pν a perspectiva do seu traço lateral (no plano de perfil YZ). Com o recurso a perpendiculares à charneira, inverteu-se o rebatimento, determinando-se as perspectivas dos vértices do sólido para o que se recorreu, também, aos traços do plano ν (que é um plano simultaneamente projectante frontal e projectante lateral). A partir das perspectivas de todos os A BCC’D’A’]. Existem dois vértices que não vértices do sólido, desenhou-se a sua perspectiva. O contorno aparente da perspectiva do prisma é [A integram o contorno aparente – os vértices B’ e D. O vértice B’ é visível, bem como todas as arestas que nele convergem – note que a base A’B’C’D’] é visível, bem como as faces laterais [A AA’B’B] e [B BB’C’C]. O vértice D é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem – [A A BCD] é invisível, bem como as faces laterais [C CC’D’D] e [A AA’D’D]. note que a base [A

409

SOLUÇÕES

24 A XONOMETRIA S C LINOGONAIS (OU OBLÍQUA S): C AVALEIRA E P L ANOMÉTRICA 812. ou clinogonais) são as representações perspécticas nas quais o plano axonométrico (ou quadro) é um dos As axonometrias oblíquas (o planos coordenados (ou é paralelo a um dos planos coordenados) e em que o eixo ortogonal ao plano axonométrico é projectado no plano axonométrico por rectas projectantes oblíquas ao plano axonométrico. Sublinha-se que, sempre que o plano axonométrico seja um dos planos coordenados, o plano axonométrico contém necessariamente dois eixos coordenados (os dois eixos que estão contidos nesse plano coordenado) e há um terceiro eixo, que não está contido no plano axonométrico e que lhe é ortogonal. Caso o plano axonométrico seja paralelo a um dos planos coordenados, há um par de eixos que é paralelo ao plano axonométrico e um terceiro eixo que é ortogonal ao plano axonométrico. Há ainda a ter em conta que, caso o plano axonométrico contenha um dos planos coordenados, os eixos que estão contidos nesse plano coordenado (que é o próprio plano axonométrico) estão coincidentes com as suas perspectivas.

813.

No referencial em Geometria Descritiva, qualquer eixo coordenado é ortogonal ao plano coordenado que não o contém. Uma vez que o plano axonométrico, nas axonometrias oblíquas, contém um plano coordenado (ou é paralelo a um plano coordenado), conclui-se que o plano axonométrico ou contém dois eixos coordenados (se for um dos planos coordenados) ou é paralelo a dois eixos coordenados (se for paralelo a um dos planos coordenados) – o terceiro eixo coordenado é necessariamente ortogonal ao plano axonométrico.

814.

Por direcção das projectantes entende-se o ângulo que os planos projectantes (que contêm as rectas projectantes) fazem com os planos coordenados ortogonais ao plano axonométrico, ou seja, o ângulo que a perspectiva do eixo ortogonal ao plano axonométrico faz com as perspectivas dos outros dois eixos.

815.

Por inclinação das projectantes entende-se o ângulo que as rectas projectantes fazem com o plano axonométrico.

816.

Por coeficiente de deformação (ou coeficiente de deformação perspéctica) entende-se o quociente (ou a razão) entre uma determinada medida (dimensão) em V.G., no espaço, e o comprimento da sua representação no plano axonométrico (o comprimento da sua perspectiva) por ordem inversa, ou seja, o quociente entre o comprimento da representação de uma dada medida e a sua V.G., no espaço.

817.

A afirmação é verdadeira. Ao longo do estudo efectuado sobre as axonometrias ortogonais, observou-se que todas as deformações provocadas pelo processo de projecção eram, necessariamente, reduções, ou seja, a dimensão representada era sempre inferior à dimensão real – nas axonometrias ortogonais o coeficiente de redução varia exclusivamente em função do ângulo que essa dimensão apresentava em relação ao plano axonométrico. Já nas axonometrias oblíquas (clinogonais) o mesmo não acontece, uma vez que a deformação de uma dada dimensão não se deve, apenas, ao ângulo que essa dimensão apresenta em relação ao plano axonométrico mas, também, ao ângulo que as projectantes fazem com o plano axonométrico (a inclinação das projectantes). Assim, em determinadas situações, pode verificar-se a existência de uma ampliação face à dimensão real (como em seguida se refere, na resposta à questão seguinte).

818.

Nos casos em que a inclinação das projectantes é 45o, observa-se que não existe deformação nas dimensões projectadas do terceiro eixo – as dimensões projectam-se em V.G. (trata-se de uma i s o m e t r i a). Nos casos em que as projectantes têm uma inclinação superior a 45o, observa-se que as dimensões do terceiro eixo se projectam reduzidas (trata-se de uma redução). Já nos casos em que a inclinação das projectantes é inferior a 45o, observa-se que as dimensões do terceiro eixo se projectam ampliadas (trata-se de uma ampliação).

819.

Uma perspectiva cavaleira é uma axonometria oblíqua em que o plano axonométrico é indistintamente o plano XZ ou o plano YZ (é qualquer dos planos coordenados que contém o eixo Z ou é paralelo a um desses planos coordenados). No primeiro caso, as perspectivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. No segundo caso, são as perspectivas do eixo Y e do eixo Z que fazem, entre si, um ângulo de 90 o . Em qualquer das situações, os eixos que estão contidos no plano axonométrico (ou que são paralelos ao plano axonométrico) projectam-se em V.G., enquanto que o coeficiente de deformação só afecta o terceiro eixo (o eixo Y, na primeira situação, ou o eixo X, na segunda situação). Note que, caso o plano axonométrico seja um dos planos coordenados, as perspectivas dos eixos contidos nesse plano coordenado são os próprios eixos.

410

SOLUÇÕES

820. o u m i l i t a r) é uma axonometria oblíqua em que o plano axonométrico é o plano XY (ou um plano paralelo Uma perspectiva planométrica (o ao plano XY), sendo que, nesta situação, as perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. O eixo X e o eixo Y, porque estão contidos no plano axonométrico (ou porque são paralelos ao plano axonométrico), projectam-se em V.G., enquanto que o coeficiente de deformação só afecta o eixo Z. Note que, caso o plano axonométrico seja o plano coordenado XY, as perspectivas do eixo X e do eixo Y são os próprios eixos.

821.

A perspectiva de um ponto determina-se da mesma forma, quer se trate de uma axonometria ortogonal quer se trate de uma axonometria oblíqua (clinogonal). Assim, para determinar a perspectiva de um ponto conduz-se, pelo ponto, uma recta projectante (que, no caso das axonometrias oblíquas, é uma recta oblíqua ao plano axonométrico) – o ponto de intersecção da recta projectante com o plano axonométrico é a p e r s p e c t i v a d o p o n t o.

822.

Também o conceito de plano projectante de um eixo é o mesmo, quer se trate de uma axonometria ortogonal, quer se trate de uma axonometria oblíqua (clinogonal). Assim sendo, por plano projectante de um eixo entende-se todo o plano que projecta um eixo no plano axonométrico – o plano projectante de um eixo está, assim, definido por esse eixo e por uma qualquer recta projectante (oblíqua ao plano axonométrico) concorrente com esse eixo.

823.

Atendendo a que o plano axonométrico é o plano XZ, sabe-se que o eixo X e o eixo Z estão contidos no plano axonométrico – as suas perspectivas são os próprios eixos. Assim, as abcissas (que se medem sobre o eixo X) e as cotas (que se medem sobre o eixo Z) estão em V.G., pois não existe qualquer deformação – os eixos estão em V.G., no plano axonométrico. O mesmo não acontece com o eixo Y – este, sendo projectado no plano axonométrico, apresenta necessariamente uma deformação, sendo esta dependente da inclinação das projectantes (ver resposta à questão do exercício 818). Assim, os afastamentos (que se medem no eixo Y), podem ser reduzidos (caso se trate de uma redução), podem estar em V.G. (caso se trate de uma isometria) ou podem ser ampliados (caso se trate de uma ampliação).

824.

Atendendo a que o plano axonométrico é o plano YZ, sabe-se que o eixo Y e o eixo Z estão contidos no plano axonométrico – as suas perspectivas são os próprios eixos. Assim, os afastamentos (que se medem sobre o eixo Y) e as cotas (que se medem sobre o eixo Z) estão em V.G., pois não existe qualquer deformação – os eixos estão em V.G., no plano axonométrico. O mesmo não acontece com o eixo X – este, sendo projectado no plano axonométrico, apresenta necessariamente uma deformação, sendo esta dependente da inclinação das projectantes (ver resposta à questão do exercício 818). Assim, as abcissas (que se medem no eixo X), podem ser reduzidas (caso se trate de uma redução), podem estar em V.G. (caso se trate de uma isometria) ou podem ser ampliadas (caso se trate de uma ampliação).

825.

A charneira do rebatimento de um plano é sempre a recta de intersecção do plano a rebater com o plano para o qual se processa o rebatimento. A recta de intersecção do plano projectante do eixo Y (o plano a rebater) com o plano axonométrico (o plano para o qual se processa o rebatimento) é a perspectiva do eixo Y (recorde que, para determinar a perspectiva do eixo Y se conduz, pelo eixo Y, um plano projectante – a recta de intersecção do plano projectante do eixo Y com o plano axonométrico é a perspectiva do eixo Y). Assim, no rebatimento do plano projectante do eixo Y, a charneira do rebatimento é a perspectiva do eixo Y.

826.

Seguindo o raciocínio exposto na resposta à questão do exercício anterior, há a ter em conta que a recta de intersecção do plano projectante do eixo X (o plano a rebater) com o plano axonométrico (o plano para o qual se processa o rebatimento) é a perspectiva do eixo X (para determinar a perspectiva do eixo X conduz-se, pelo eixo X, um plano projectante – a recta de intersecção do plano projectante do eixo X com o plano axonométrico é a perspectiva do eixo X). Assim, no rebatimento do plano projectante do eixo X, a charneira do rebatimento é a p e r s p e c t i v a d o e i x o X.

411

SOLUÇÕES

827.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 120o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 150o (que é outro ângulo obtuso). A abcissa e a cota de A representaram-se em V.G. nos respectivos eixos (eixo X e eixo Z, respectivamente), obtendo imediatamente a projecção frontal de A – A 2. O afastamento de A , porque existe no eixo Y, está afectado pela deformação inerente à projecção do eixo. Para determinar a deformação, rebateu-se o plano projectante do eixo Y para o plano axonométrico (o plano XZ) – a charneira é a própria perspectiva do eixo Y. O eixo Y rebatido (o eixo Yr) fica perpendicular à perspectiva do eixo Y. O ponto O roda sobre si próprio, pois é fixo (é um ponto da charneira).

A partir de O mediu-se, sobre o eixo Yr , o afastamento de A em V.G. (6 cm), obtendo um ponto Pr – P é um ponto do eixo Y com o afastamento de A . Por Pr conduziu-se uma recta r r – r r é a recta projectante do ponto P, em rebatimento. A inclinação das projectantes é 60o, pelo que o ângulo que a recta r faz, no espaço, com o plano axonométrico, é de 60o – esse ângulo, em rebatimento, está no ângulo que a recta r r faz com a perspectiva do eixo Y. O ponto de intersecção de r r com a perspectiva do eixo Y é a perspectiva de P (é o P苶 O é a perspectiva do afastamento de A . A partir de O e da perspectiva de P vértice do ângulo entre r r e a perspectiva do eixo Y). Note que 苶 OP] é um lado e de que a abcissa de A é outro lado – o vértice do paralelogramo que é oposto a O é construiu-se o paralelogramo de que [O OP] é um lado e a perspectiva de A 1 (a perspectiva da projecção horizontal de A ). Em seguida, construiu-se outro paralelogramo, de que [O de que a cota de A é outro lado – o vértice oposto a O é a perspectiva de A 3 (a perspectiva da projecção lateral de A ). Por fim, procedeu-se à determinação da perspectiva de A . Para tal conduziu-se, pela perspectiva de A 1, a perspectiva da recta projectante horizontal de A (que é paralela ao eixo Z), pela perspectiva de A 2 conduziu-se a perspectiva da recta projectante frontal de A (que é paralela à perspectiva do eixo Y) e pela perspectiva de A 3 conduziu-se a perspectiva da recta projectante lateral de A (que é paralela ao eixo X) – as três rectas intersectam-se num ponto, que é a perspectiva propriamente dita do ponto A , definindo a perspectiva de um paralelepípedo de que O e a perspectiva de A são dois vértices espacialmente opostos.

828.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos da direcção das projectantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Sobre a determinação das perspectivas do ponto R , ver relatório do exercício anterior. Note que nesta situação, e porque a inclinação das projectantes é de 45o, trata-se de uma i s o m e t r i a (ver resposta à questão do exercício 818), ou seja 苶 P苶O O=苶 PO 苶. r苶

829.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90° e a perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). O afastamento e a cota de M representaram-se em V.G. nos respectivos eixos (eixo Y e eixo Z, respectivamente), obtendo imediatamente a projecção lateral de M – M 3. A abcissa de M, porque existe no eixo X, está afectada pela deformação inerente à projecção do eixo. Para determinar a deformação, rebateu-se o plano projectante do eixo X para o plano axonométrico (o plano YZ) – a charneira é a própria perspectiva do eixo X. O eixo X rebatido (o eixo Xr) fica perpendicular à perspectiva do eixo X. O ponto O roda sobre si próprio, pois é fixo (é um ponto da charneira). A partir de O mediu-se, sobre o eixo Xr, a abcissa de M em V.G. (6 cm), obtendo um ponto Pr – P é um ponto do eixo X com a abcissa de M. Por Pr conduziu-se uma recta r r – r r é a recta projectante do ponto P, em rebatimento. A inclinação das projectantes é 50o, pelo que o ângulo que a recta r faz, no espaço, com o plano axonométrico, é de 50o – esse ângulo, em rebatimento, está no ângulo que a recta r r faz com a perspectiva do eixo X (note que r r faz um ângulo de 40o com o eixo Xr, que é o ângulo complementar do ângulo de 50o). O ponto de intersecção de r r com a perspectiva do eixo X é a perspectiva de P P苶 O é a perspectiva da abcissa do (é o vértice do ângulo entre r r e a perspectiva do eixo X). 苶 M 2 e M 1, respectivamente), bem como ponto M, a partir da qual se determinaram as perspectivas das projecções frontal e horizontal de M (M a perspectiva propriamente dita do ponto M (ver relatório do exercício 827).

412

SOLUÇÕES

830.

Uma vez que os ângulos da direcção das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 130o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 140o (que é outro ângulo obtuso). A inclinação das projectantes é de 70o (o ângulo que a recta r r faz com a perspectiva do eixo X e tem vértice na perspectiva de P é de 70o). Sobre a determinação das perspectivas do ponto B, ver exercício anterior e respectivo relatório. Note que, nesta situação, o ponto B tem cota negativa, ou seja, situa-se para baixo do plano XY.

831.

Uma vez que os ângulos da direcção das projectantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 115o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 155o (que é outro ângulo obtuso). Sobre a determinação das perspectivas dos pontos A , B e C, ver exercício 827 e respectivo relatório. Tenha em conta que as perspectivas de A se determinaram imediatamente, pois o seu afastamento é nulo – não há nenhuma coordenada de A que não esteja em V.G., o mesmo não se verificando com B e C. A 2 ≡ A , pois A é um ponto com afastamento nulo (está no plano XZ).

B 3 ≡ B, pois B é um ponto com abcissa nula (está no plano YZ). C1 ≡ C, pois C é um ponto com cota nula (está no plano XY).

832.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos da direcção das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o.

A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Y um ângulo de 150o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 120o (que é outro ângulo obtuso). Sobre a determinação das perspectivas dos três pontos, ver exercício 829 e respectivo relatório. Note que se tem B 3 ≡ B, pois B é um ponto com abcissa nula (está no plano YZ). A partir das perspectivas dos três vértices do triângulo, desenhou-se a sua perspectiva propriamente dita, bem como as perspectivas das suas projecções horizontal e frontal, atendendo-se às respectivas invisibilidades (parte da perspectiva da projecção frontal do triângulo é invisível, por estar oculta pela figura).

413

SOLUÇÕES

833.

Uma vez que os ângulos da direcção das projectantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 120o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 150o (que é outro ângulo obtuso). Em função dos dados, conclui-se que um dos vértices do cubo é a própria origem do referencial – o ponto O (o cubo apoia-se, por três das suas faces, nos três planos coordenados, pelo que três das arestas do cubo estão contidas nos eixos coordenados). As arestas que estão contidas no eixo X e no eixo Z estão em V.G., o mesmo não acontecendo com a aresta que está contida no eixo Y – para determinar a perspectiva desta aresta, já afectada com o respectivo coeficiente de deformação, efectuaram-se os procedimentos explicitados no relatório do exercício 827 para o afastamento de A (foi necessário rebater o eixo Y). A partir das medidas de todas as arestas sobre os três eixos coordenados, desenhou-se a perspectiva do sólido, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes. Note que as arestas que estão contidas nos eixos coordenados são invisíveis.

834.

Uma vez que os ângulos da direcção das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Y um ângulo de 150o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 120o (que é outro ângulo obtuso). Um dos vértices do cubo é a própria origem do referencial – o ponto O (ver relatório do exercício anterior). As arestas que estão contidas no eixo Y e no eixo Z estão em V.G., o mesmo não acontecendo com a aresta que está contida no eixo X – para determinar a perspectiva desta aresta, já afectada com o respectivo coeficiente de deformação, efectuaram-se os procedimentos explicitados no relatório do exercício 829 para a abcissa de M (foi necessário rebater o eixo X). A partir das medidas de todas as arestas sobre os três eixos coordenados, desenhou-se a perspectiva do sólido, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes. Note que as arestas que estão contidas nos eixos coordenados são invisíveis. Comparando a perspectiva do cubo neste exercício com a perspectiva obtida no exercício anterior, é possível constatar a importância do coeficiente de redução na representação final do objecto. De facto, enquanto que, no exercício anterior, a aresta que não está em V.G. é reduzida (a inclinação das projectantes é superior a 45o – é de 65o), já no presente exercício a aresta que não está em V.G. é ampliada (a inclinação das projectantes é inferior a 45o – é 40o).

835.

A B] é fronto-horizontal a) Em função das coordenadas de A e B, constata-se que [A e mede 4 cm (a diferença entre as abcissas dos dois pontos). Assim sendo, os AD] e [B B C] do quadrado [A A BCD] são verticais, uma vez que a base está lados [A contida no plano XZ. Os quatro pontos têm o mesmo afastamento (que é nulo).

O vértice C tem a abcissa de B e mais 4 cm de cota – as coordenadas de C são (6; 0; 7). O vértice D tem a abcissa de A e mais 4 cm de cota – as coordenadas de D são (2; 0; 7). O vértice da pirâmide tem 9 cm de afastamento (a altura da pirâmide) e a sua abcissa e a sua cota terão mais 2 cm (metade do comprimento do lado do quadrado) do que A – as coordenadas de V são (4; 9; 5). b) Uma vez que os ângulos da direcção das projectantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 150o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 120o (que é outro ângulo obtuso). As abcissas e as cotas dos cinco vértices da pirâmide estão em V.G., o mesmo não acontecendo com o afastamento de V – para determinar a perspectiva do afastamento de V, já afectada com o respectivo coeficiente de deformação, efectuaram-se os procedimentos explicitados no relatório do exercício 827 para o afastamento de A (foi necessário rebater o eixo Y). Note que, a partir da abcissa e da cota de A, B, C e D é possível, imediatamente, desenhar a perspectiva do quadrado da base. A partir das perspectivas dos cinco vértices da pirâB CDV]. Existe um único vértice que mide, desenhou-se o contorno aparente da perspectiva do sólido, que é a linha quebrada fechada [B não integra o contorno aparente da pirâmide – o vértice A. Este é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a A BCD] da pirâmide é invisível, bem como as faces laterais [A A BV] e [A A DV] – apenas as faces laterais [B B CV] e [C CDV] são visíveis. Por base [A fim, de forma a se verificar o Critério de reversibilidade, representou-se ainda a perspectiva da projecção horizontal da pirâmide.

414

SOLUÇÕES

836.

A B CD] está contido num plano frontal (de a) O quadrado [A frente), pelo que todos os seus vértices têm o mesmo afasA C] é uma diagonal vertical tamento – o afastamento de A. [A do quadrado e mede 6 cm, pelo que C tem mais 6 cm de cota do que A – as coordenadas de C são (5; 2; 7). A diagoBD] é fronto-horizontal e também mede 6 cm. As duas nal [B diagonais bissectam-se, pelo que o ponto médio de ambas tem 4 de cota e a abcissa de A. B e D têm, assim, 4 cm de cota. A abcissa de B será 3 cm (metade do comprimento da diagonal) inferior à de A e a abcissa de D será 3 cm (metade do comprimento da diagonal) superior à de A. Assim sendo, as coordenadas de B são (2; 2; 4) e as de D são (8; 2; 4).

A altura do prisma é 7 e a sua base de menor afastamento tem 2 cm de afastamento, pelo que a base de maior afastamento está contida num plano frontal (de frente) com 9 cm de afastamento – todos os vértices da base de maior afastamento têm 9 cm de afastamento. Assim sendo, tem-se – A’ (5; 9; 1); B’ (2; 9; 4); C’ (5; 9; 7); D’ (8; 9; 4). b) Uma vez que os ângulos da direcção das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o.

A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo Y e do eixo Z, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Os afastamentos e as cotas dos oito vértices do prisma estão em V.G., o mesmo não acontecendo com as respectivas abcissas – para determinar as perspectivas das abcissas dos vértices do prisma, já afectadas com os respectivos coeficientes de deformação, efectuaram-se os procedimentos explicitados no relatório do exercício 829 para a abcissa de M (foi necessário rebater o eixo X). Note que a partir dos afastamentos dos planos das bases, é possível representá-los pelos respectivos traços. O plano ϕ é o plano da base de menor afastamento do sólido – pϕ é o traço lateral (de perfil) do plano ϕ e hϕ é a perspectiva do seu traço horizontal. O plano ϕ’ é o plano da base de menor afastamento do sólido – pϕ’’ é o traço lateral (de perfil) do plano ϕ’ e hϕ’’ é a perspectiva do seu traço horizontal.

Note ainda que, a partir das abcissas e das cotas dos oito vértices do prisma, é possível, imediatamente, determinar as suas projecções laterais. A partir das perspectivas dos afastamentos daqueles pontos, determinaram-se as suas perspectivas, de acordo com os procedimentos expostos no relatório do exercício 827, para o ponto A. A partir das perspectivas dos oito vértices do prisma, desenhou-se o contorno aparente da perspectiva do sólido, que é a linha quebrada fechada [A AA’B’C’CD]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente do prisma – os vértices B e D’. O vértice B é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. O vértice D’ é visível, bem A B CD] do prisma é invisível, bem como as faces laterais [A A A ’ B ’ B] e como todas as arestas que nele convergem. Note que a base [A BB’C’C]. Por outro lado, a base [A A’B’C’D’] do prisma é visível, bem como as as faces laterais [C CC’D’D] e [A AA’D’D].

[B

837.

A B CD] está contido num plano horizontal (de nível), pelo a) O quadrado [A que todos os seus vértices têm a mesma cota – a cota de A e C. A diaA C] é de topo, pelo que a outra diagonal é necessariamente gonal [A A C] (as diagonais de fronto-horizontal e passa pelo ponto médio de [A A C] mede 6 cm (a diferença um quadrado bissectam-se). Uma vez que [A entre os afastamentos de A e C), o seu ponto médio tem 3 cm de afasA tem afastamento nulo), que é o afastamento de B e D. tamento (A A C] é, também, o ponto médio de [B BD], pelo que B O ponto médio de [A tem 8 cm de abcissa (a abcissa de A adicionada a metade do comprimento da diagonal) e D tem 2 cm de abcissa (a abcissa de A subtraída de metade do comprimento da diagonal) – note que B é o vértice de maior abcissa da base. As coordenadas de B e D serão: B (8; 3; 7) e D (2; 3; 7). A aresta lateral [C CV] é frontal (de frente), pelo que C e V têm BV] é de perfil, o mesmo afastamento, que é 6 cm. A aresta lateral [B pelo que B e V têm a mesma abcissa, que é 8 cm. Uma vez que o vértice da pirâmide tem cota nula, as coordenadas de V são (8; 6; 0). b) Uma vez que os ângulos da direcção das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo Y e do eixo Z, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Os afastamentos e as cotas dos cinco vértices da pirâmide estão em V.G., o mesmo não acontecendo com as abcissas – para determinar as perspectivas das abcissas dos cinco pontos, já afectadas com os respectivos coeficientes de deformação, efectuaram-se os procedimentos explicitados no relatório do exercício 829 para a abcissa de M (foi necessário rebater o eixo X). O plano ν, representado pelos seus traços frontal e lateral (ff ν e pν), é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. A partir das perspecAVCD]. tivas dos cinco vértices da pirâmide, desenhou-se o contorno aparente da perspectiva do sólido, que é a linha quebrada fechada [A (Continua na página seguinte) 415

SOLUÇÕES

Existe um único vértice que não integra o contorno aparente da pirâmide – o vértice B. Este é visível, bem como todas as arestas que nele converA BCD] da pirâmide é visível, bem como as faces laterais [A A BV] e [B BCV] – as faces laterais [A ADV] e [B BCV] são invisíveis. gem. Note que a base [A DV] é invisível. Por fim, de forma a se verificar o Critério de reversibilidade, representaram-se, ainda, as perspectivas das projecções A aresta lateral [D horizontal, frontal e lateral da pirâmide, assinalando convenientemente as partes das mesmas que são invisíveis (por estarem ocultas pelo sólido).

838.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 120o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 150o (que é outro ângulo obtuso). Note que a perspectiva do eixo Z se representou na vertical. A abcissa e o afastamento de A representaram-se em V.G. nos respectivos eixos (eixo X e eixo Y, respectivamente), obtendo imediatamente a projecção horizontal de A – A 1. A cota de A , porque existe no eixo Z, está afectada pela deformação inerente à projecção do eixo. Para determinar a deformação, rebateu-se o plano projectante do eixo Z para o plano axonométrico (o plano XY) – a charneira é a própria perspectiva do eixo Z. O eixo Z rebatido (o eixo Zr) fica perpendicular à perspectiva do eixo Z. O ponto O roda sobre si próprio, pois é fixo (é um ponto da charneira). A partir de O mediu-se, sobre o eixo Zr, a cota de A em V.G. (6 cm), obtendo um ponto Pr – P é um ponto do eixo Z com a cota de A . Por Pr conduziu-se uma recta r r – r r é a recta projectante do ponto P, em rebatimento. A inclinação das projectantes é 60o, pelo que o ângulo que a recta r faz, no espaço, com o plano axonométrico, é de 60o – esse ângulo, em rebatimento, está no ângulo que a recta r r faz com a perspectiva do eixo Z. O ponto de P苶 Oéa intersecção de r r com a perspectiva do eixo Z é a perspectiva de P (é o vértice do ângulo entre r r e a perspectiva do eixo Z). Note que 苶 OP] é um lado e de que a abcissa de A é perspectiva da cota de A. A partir de O e da perspectiva de P construiu-se o paralelogramo de que [O outro lado – o vértice do paralelogramo que é oposto a O é a perspectiva de A 2 (a perspectiva da projecção frontal de A ). Em seguida, consOP] é um lado e de que o afastamento de A é outro lado – o vértice oposto a O é a perspectiva de A 3 truiu-se outro paralelogramo, de que [O (a perspectiva da projecção lateral de A ). Por fim, procedeu-se à determinação da perspectiva de A . Para tal conduziu-se, por A 1, a perspectiva da recta projectante horizontal de A (que é paralela à perspectiva do eixo Z), pela perspectiva de A 2 conduziu-se a perspectiva da recta projectante frontal de A (que é paralela ao eixo Y) e pela perspectiva de A 3 conduziu-se a perspectiva da recta projectante lateral de A (que é paralela ao eixo X) – as três rectas intersectam-se num ponto, que é a perspectiva propriamente dita do ponto A , definindo a perspectiva de um paralelepípedo de que O e a perspectiva de A são dois vértices espacialmente opostos.

839.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados.

O eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Sobre a determinação das perspectivas do ponto M , ver relatório do exercício anterior.

Note que nesta situação, e porque a inclinação das projectantes é de 40o (a inclinação é inferior a 45o), trata-se de uma ampliação (ver resposta à questão do P苶 P苶O O<苶 O (a cota de M, em perspectiva, está ampliada). exercício 818), ou seja 苶 r苶

840.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados.

O eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90°. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 155o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 115o (que é outro ângulo obtuso). Sobre a determinação das perspectivas dos pontos A , B e C, ver exercício 838 e respectivo relatório. Tenha em conta que as perspectivas de C se determinaram imediatamente, pois a sua cota é nula – não há nenhuma coordenada de C que não esteja em V.G., o mesmo não se verificando com A e B. A 2 ≡ A , pois A é um ponto com afastamento nulo (está no plano XZ). B 3 ≡ B, pois B é um ponto com abcissa nula (está no plano YZ). C1 ≡ C, pois C é um ponto com cota nula (está no plano XY). Note que a inclinação das projectantes é de 45o, pelo que se trata de uma i s o m e t r i a (ver resposta à questão do exercício 818) – as cotas de A e B estão em V.G., pois não existe deformação.

416

SOLUÇÕES

841.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados.

O eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 125o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 145o (que é outro ângulo obtuso). Sobre a determinação das perspectivas dos pontos A, B e C, ver exercício 838 e respectivo relatório. Note que se tem B3 ≡ B, pois B é um ponto com abcissa nula (está no plano YZ). A partir das perspectivas dos três vértices do triângulo, desenhou-se a sua perspectiva propriamente dita, bem como as perspectivas das suas projecções horizontal e frontal, assinalando convenientemente as partes das mesmas que são invisíveis (por estarem ocultas pela figura). Note que, nesta situação, e porque a inclinação das projectantes é de 35o (a inclinação é inferior a 45o), trata-se de uma ampliação (ver resposta à questão do exercício 818), ou seja as cotas dos três pontos, em perspectiva, estão ampliadas.

842.

A B CD] está contido num plano frontal (de a) O quadrado [A frente), pelo que todos os seus vértices têm o mesmo afastamento – o afastamento de A . Como o lado do quaA B] é vertical, B tem mais 6 cm de drado mede 6 cm e [A cota do que A , mantendo-se as restantes coordenadas – B C] é necesas coordenadas de B são (2; 7; 8). O lado [B sariamente fronto-horizontal, pelo que C tem o afastamento e a cota de B, mas tem mais 6 cm de abcissa do que B – as coordenadas de C são (8; 7; 8). Da mesma forma, A D] é fronto-horizontal, pelo que D tem o também o lado [A afastamento e a cota de A e tem mais 6 cm de abcissa do que A – as coordenadas de D são (8; 7; 2). Note que o CD] é vertical (é paralelo a [A A B]), pelo que C e D lado [C têm a mesma abcissa. V tem afastamento nulo. Já a abcissa e a cota de V têm mais 3 cm (metade do lado do quadrado) do que as respectivas coordenadas de A – as coordenadas de V são (5; 0; 5). b) Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Y, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Sobre a determinação das perspectivas dos cinco vértices da pirâmide, ver exercício 838 e respectivo relatório. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide – hϕ é o traço horizontal de ϕ e pϕ é a perspectiva do traço lateral (de perfil) de ϕ.

Uma vez que o plano ϕ é projectante horizontal, a projecção horizontal do quadrado está sobre hϕ. Por outro lado, uma vez que o plano ϕ também é projectante lateral, a projecção lateral do quadrado está sobre pϕ. A partir das perspectivas dos cinco vértices da pirâmide, A BVD]. Existe um único vértice que não desenhou-se o contorno aparente da perspectiva do sólido, que é a linha quebrada fechada [A integra o contorno aparente da pirâmide – o vértice C. Este é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base A B CD] da pirâmide é visível, bem como as faces laterais [B B CV] e [C CDV] – as faces laterais [A A BV] e [A A DV] são invisíveis. A aresta lateral [A AV] é invisível.

[A

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SOLUÇÕES

843.

A B C D ] está contido num plano de perfil, a) O quadrado [A pelo que todos os seus vértices têm a mesma abcissa – a A C] é vertical, pelo que a abcissa de A e C. A diagonal [A outra diagonal é necessariamente de topo e passa pelo A C] (as diagonais de um quadrado bisponto médio de [A A C] mede 6 cm (a diferença sectam-se). Uma vez que [A entre as cotas de A e C), o seu ponto médio tem 3 cm de A tem afastamento nulo), que é o afastaafastamento (A A C] é, também, o mento de B e D. O ponto médio de [A B D], pelo que B tem 8 cm de cota (a ponto médio de [B cota de A adicionada a metade do comprimento da diagonal) e D tem 2 cm de cota (a cota de A subtraída de metade do comprimento da diagonal) – note que B é o vértice de maior cota da base. As coordenadas de B e D CV] é fronserão: B (7; 3; 8) e D (7; 3; 2). A aresta lateral [C tal (de frente), pelo que C e V têm o mesmo afastamento, BV] é horizontal (de nível), que é 6 cm. A aresta lateral [B pelo que B e V têm a mesma cota, que é 8 cm. Uma vez que o vértice da pirâmide tem abcissa nula, as coordenadas de V são (0; 6; 8). b) Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 125o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 145o (que é outro ângulo obtuso). Sobre a determinação das perspectivas dos cinco vértices da pirâmide, ver exercício 838 e respectivo relatório. O plano π é o plano de perfil que contém a base da pirâmide – hπ é o traço horizontal de π e f π é a perspectiva do traço frontal de π. Uma vez que o plano π é projectante horizontal, a projecção horizontal do quadrado está sobre hπ. Por outro lado, uma vez que o plano π também é projectante frontal, a projecção frontal do quadrado está sobre f π. A partir das perspectivas dos cinco vértices da pirâmide, desenhou-se o contorno aparente da perspectiva do sólido, que é a linha quebrada fechada [A ADCV]. Existe um único vértice que não integra o contorno A B CD] da pirâmide aparente da pirâmide – o vértice B. Este é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base [A A BV] e [B B CV] – as faces laterais [A A DV] e [C CDV] são invisíveis. A aresta lateral [D DV] é invisível. é visível, bem como as faces laterais [A

844.

Por direcção de afinidade entende-se a direcção que nos permite relacionar, de forma directa e recíproca, uma determinada coordenada em V.G. e a sua transformada pela projecção oblíqua, ou seja, é a direcção que nos permite, de forma directa, após o rebatimento de qualquer plano coordenado para o plano axonométrico, inverter esse rebatimento.

845.

Em primeiro lugar, desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Para determinar qualquer direcção de afinidade é necessário, em primeiro lugar, efectuar o rebatimento do plano projectante do eixo Y (nesta situação), para se obter graficamente a inclinação das projectantes e o coeficiente de deformação que afecta o eixo Y, relacionando a V.G. do afastamento de um ponto P, do eixo Y, com a sua perspectiva (ver relatório do exercício 827). O eixo Y, rebatido pelo rebatimento do seu plano projectante, é o eixo Yr. a) Para determinar a direcção de afinidade d foi necessário, em primeiro lugar, rebater o plano coordenado XY sobre o plano axonométrico – o eixo Y, rebatido pelo rebatimento do plano coordenado XY sobre o plano axonométrico, é o eixo Yr ’ e fica coincidente com a perspectiva do eixo Z (note que, no rebatimento do plano coordenado XY, a charneira é o eixo X). Pr ’ é o ponto P rebatido pelo rebatimento do plano XY, e P苶O O. A recta que passa situa-se num arco de circunferência com centro em O e raio 苶 r苶 por Pr’ e pela perspectiva de P é a direcção de afinidade d, que nos permite, de forma directa, inverter o rebatimento do plano XY. b) Para determinar a direcção de afinidade d’ foi necessário, em primeiro lugar, rebater o plano coordenado YZ sobre o plano axonométrico – o eixo Y, rebatido pelo rebatimento do plano coordenado YZ sobre o plano axonométrico, é o eixo Yr ’’ e fica coincidente com a perspectiva do eixo X (note que, no rebatimento do plano coordenado YZ, a charneira é o eixo Z). Pr ’’ é o ponto P rebatido pelo rebatimento P苶O O. A recta que passa por Pr ’’ e pela perspectiva do plano YZ, e situa-se no mesmo arco de circunferência que tem centro em O e raio 苶 r苶 de P é a direcção de afinidade d’, que nos permite, de forma directa, inverter o rebatimento do plano YZ.

418

SOLUÇÕES

846.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Y um ângulo de 130o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 140o (que é outro ângulo obtuso). Para determinar qualquer direcção de afinidade é necessário, em primeiro lugar, efectuar o rebatimento do plano projectante do eixo X (nesta situação), para se obter graficamente a inclinação das projectantes e o coeficiente de deformação que afecta o eixo X, relacionando a V.G. do afastamento de um ponto P, do eixo X, com a sua perspectiva (ver relatório do exercício 829). O eixo X, rebatido pelo rebatimento do seu plano projectante, é o eixo Xr. a) Para determinar a direcção de afinidade d foi necessário, em primeiro lugar, rebater o plano coordenado XY sobre o plano axonométrico – o eixo X, rebatido pelo rebatimento do plano coordenado XY sobre o plano axonométrico, é o eixo Xr’ e fica coincidente com o eixo Z (note que, no rebatimento do plano coordenado XY, a charneira é o eixo Y, que está coincidente com a sua perspectiva). P r ’ é o ponto P rebatido pelo rebatimento do plano XY, e situaP苶O O. A recta que passa por Pr ’ e pela perspectiva de P é a direcção de afinidade se num arco de circunferência com centro em O e raio 苶 r苶 d, que nos permite, de forma directa, inverter o rebatimento do plano XY. b) Para determinar a direcção de afinidade d’ foi necessário, em primeiro lugar, rebater o plano coordenado XZ sobre o plano axonométrico – o eixo X, rebatido pelo rebatimento do plano coordenado XZ sobre o plano axonométrico, é o eixo Xr ’’, e fica coincidente com o eixo Y, que é a própria perspectiva do eixo Y (note que, no rebatimento do plano coordenado XZ, a charneira é o eixo Z, que está coincidente com a sua perspectiva). Pr ’’ é o ponto P rebatido pelo rebatimento do plano XZ, e situa-se no mesmo arco de circunferência que tem P苶O O. A recta que passa por Pr ’’ e pela perspectiva de P é a direcção de afinidade d’, que nos permite, de forma directa, centro em O e raio 苶 r苶 inverter o rebatimento do plano XZ.

847.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Y, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Para determinar qualquer direcção de afinidade é necessário, em primeiro lugar, efectuar o rebatimento do plano projectante do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico), para se obter graficamente a inclinação das projectantes e o coeficiente de deformação que afecta o eixo Z, relacionando a V.G. da cota de um ponto P, do eixo Z, com a sua perspectiva (ver relatório do exercício 838). O eixo Z, rebatido pelo rebatimento do seu plano projectante, é o eixo Zr. a) Para determinar a direcção de afinidade d foi necessário, em primeiro lugar, rebater o plano coordenado XZ sobre o plano axonométrico – o eixo Z, rebatido pelo rebatimento do plano coordenado XZ sobre o plano axonométrico, é o eixo Zr ’, e fica coincidente com o eixo Y (note que, no rebatimento do plano coordenado XZ, a charneira é o eixo X, que está coincidente com a sua perspectiva). Pr’ é o ponto P P苶O O. A recta que passa por Pr ’ e rebatido pelo rebatimento do plano XZ, e situa-se num arco de circunferência com centro em O e raio 苶 r苶 pela perspectiva de P é a direcção de afinidade d, que nos permite, de forma directa, inverter o rebatimento do plano XZ. b) Para determinar a direcção de afinidade d’ foi necessário, em primeiro lugar, rebater o plano coordenado YZ sobre o plano axonométrico – o eixo Z, rebatido pelo rebatimento do plano coordenado YZ sobre o plano axonométrico é o eixo Zr ’’, e fica coincidente com o eixo X (note que, no rebatimento do plano coordenado YZ, a charneira é o eixo Y, que está coincidente com a sua perspectiva). Pr ’’ é o ponto P P苶O O. A recta que passa rebatido pelo rebatimento do plano YZ, e situa-se no mesmo arco de circunferência que tem centro em O e raio 苶 r苶 por Pr ’’ e pela perspectiva de P é a direcção de afinidade d’, que nos permite, de forma directa, inverter o rebatimento do plano YZ.

848.

Em primeiro lugar, desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 45o (que é um ângulo agudo) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 135o (que é um ângulo obtuso). Note que esta situação é semelhante à do exercício 845, diferindo, apenas, nas condições da perspectiva – tenha em conta que a direcção das projectantes faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo agudo. Nesse sentido, e à semelhança daquele exercício, é necessário, em primeiro lugar, efectuar o rebatimento do plano projectante do eixo Y, para se obter graficamente a inclinação das projectantes e o coeficiente de deformação que afecta o eixo Y, relacionando a V.G. do afastamento de um ponto P, do eixo Y, com a sua perspectiva (ver relatório do exercício 827).

O eixo Y, rebatido pelo rebatimento do seu plano projectante, é o eixo Yr. (Continua na página seguinte) 419

SOLUÇÕES

a) Para determinar a direcção de afinidade d foi necessário, em primeiro lugar, rebater o plano coordenado XY sobre o plano axonométrico – o eixo Y, rebatido pelo rebatimento do plano coordenado XY sobre o plano axonométrico, é o eixo Yr’ e fica coincidente com a perspectiva do eixo Z (note que, no rebatimento do plano coordenado XY, a charneira é o eixo X). Pr’ é o ponto P rebatido pelo rebatimento do plano XY, e P苶O O. A recta que passa por Pr ’ e pela perspectiva de P é a direcção de afinisitua-se num arco de circunferência com centro em O e raio 苶 r苶 dade d, que nos permite, de forma directa, inverter o rebatimento do plano XY. b) Para determinar a direcção de afinidade d’ foi necessário, em primeiro lugar, rebater o plano coordenado YZ sobre o plano axonométrico – o eixo Y, rebatido pelo rebatimento do plano coordenado YZ sobre o plano axonométrico, é o eixo Yr’’ e fica coincidente com a perspectiva do eixo X (note que, no rebatimento do plano coordenado YZ, a charneira é o eixo Z). Pr’’ é o ponto P rebatido pelo rebatimento do plano YZ, P苶O O. A recta que passa por Pr ’’ e pela perspectiva de P é a e situa-se no mesmo arco de circunferência que tem centro em O e raio 苶 r苶 direcção de afinidade d’, que nos permite, de forma directa, inverter o rebatimento do plano YZ.

849.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Em seguida, rebateu-se o eixo Y pelo rebatimento do seu plano projectante (ver relatório do exercício 827) e pelo rebatimento do plano coordenado XY (ver exercício 845 e respectivo relatório). Em seguida, considerando o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico, representou-se o ponto A em Dupla Projecção Ortogonal, através das suas coordenadas, obtendo-se imediatamente a sua projecção frontal, A 2 (que está no plano A 1r), no rebatimento do plano axonométrico), e a sua projecção horizontal em rebatimento (A coordenado XY. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano XY (ver alínea a) do relatório do exercício 845). A distância que nos permitiu determinar a direcção d foi o próprio afastamento de A . Em seguida, procedeu-se à inversão do rebatimento do plano XY, pelo processo que em seguida se expõe.

Por A o conduziu-se uma paralela à perspectiva do eixo Y – essa paralela é a direcção da projectante de A 1 (corresponde à parte da linha de chamada de A que se situa no plano XY), pelo que a perspectiva de A 1 situar-se-á necessariamente sobre essa linha. Em seguida, por A 1r conduziu-se uma recta paralela à direcção de afinidade d – o ponto de intersecção das duas rectas é a perspectiva de A 1. A partir das perspectivas das projecções frontal e horizontal de A obteve-se a perspectiva propriamente dita de A e a perspectiva da sua projecção lateral, conforme exposto no relatório do exercício 827.

850.

Em primeiro lugar, desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo Y e do eixo Z, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Em seguida, rebateu-se o eixo X pelo rebatimento do seu plano projectante (ver relatório do exercício 829) e pelo rebatimento do plano coordenado XY (ver exercício 846). Em seguida, considerando o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico, representou-se o ponto M em Dupla Projecção Ortogonal, através das suas coordenadas, obtendo-se imediatamente a sua projecção lateral, M r1), M 3 (que está no plano axonométrico), e a sua projecção horizontal em rebatimento (M pelo rebatimento do plano coordenado XY. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano XY (ver alínea a) do relatório do exercício 846). A distância que nos permitiu determinar a direcção d foi a abcissa de M. Em seguida, procedeu-se à inversão do rebatimento do plano XY, pelo processo que em seguida se expõe. Pelo ponto de intersecção da linha de chamada de M com o eixo Y conduziu-se uma paralela à perspectiva do eixo X – essa paralela é a direcção da projectante de M 1 (corresponde à parte da linha de chamada de M que se situa no plano XY), pelo que a perspectiva de M1 situar-se-á, necessariamente, sobre essa linha. Em seguida, por M1r conduziu-se uma recta paralela à direcção de afinidade d – o ponto de intersecção das duas rectas é a perspectiva de M1. A partir das perspectivas das projecções lateral e horizontal de M obteve-se a perspectiva de M e a perspectiva da sua projecção frontal, conforme exposto no relatório do exercício 827.

420

SOLUÇÕES

851.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – note que a direcção das projectantes se refere ao eixo X e ao eixo Z, pelo que o plano axonométrico é o plano XZ. Assim, o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 115o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 155o (que é outro ângulo obtuso). As perspectivas dos pontos A e C determinaram-se de acordo com o exposto no relatório do exercício 849, pelo que se aconselha a sua leitura – note que as perspectivas do ponto B se determinaram directamente, uma vez que o seu afastamento é nulo (não há nenhuma coordenada de B que não esteja em V.G.). A 1 ≡ A , pois A é um ponto com cota nula (está no plano XY). B 2 ≡ B, pois B é um ponto com afastamento nulo (está no plano XZ).

852.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – note que a direcção das projectantes se refere ao eixo Y e ao eixo Z, pelo que o plano axonométrico é o plano YZ. Assim, o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas daqueles dois eixos, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). As perspectivas dos pontos A e C determinaram-se de acordo com o exposto no relatório do exercício 850 – note que as perspectivas do ponto B se determinaram directamente, uma vez que a sua abcissa é nula (não há nenhuma coordenada de B que não esteja em V.G.). B3 ≡ B, pois B é um ponto com abcissa nula (está no plano YZ).

A partir das perspectivas dos três pontos, desenharam-se as perspectivas do A B C] – a sua perspectiva propriamente dita e as perspectivas das triângulo [A suas projecções horizontal e frontal, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes (note que parte da perspectiva da projecção frontal do triângulo está oculta pela figura).

853. a) O quadrado está contido num plano de perfil, pelo que todos os seus vértices A B] é de topo e mede 5 cm têm a mesma abcissa – a abcissa de A e B. O lado [A AD] e [B B C] são (a diferença entre os afastamentos de A e B), pelo que os lados [A verticais. Nesse sentido, D tem o afastamento de A e C tem o afastamento de B. Por outro lado, C e D têm mais 5 cm (a medida do lado do quadrado) de cota do que A e B, pelo que as coordenadas de C são (3; 7; 7) e as de D são (3; 2; 7). b) Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas daqueles dois eixos, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Uma vez que as abcissas e as cotas estão em V.G., foi possível representar, directamente, fπ (o traço frontal do plano π), bem como as projecções frontais dos quatro vértices do polígono. Em seguida, considerou-se o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico, o que nos permitiu concluir a representação do quadrado em Dupla Projecção Ortogonal – A1r, B1r, C1r e D1r são as projecções horizontais dos quatro vértices do quadrado, em rebatimento (no rebatimento do plano XY).

Para inverter o rebatimento, determinou-se a direcção de afinidade (ver alínea a) do relatório do exercício 845) – note que a direcção de afinidade foi determinada em função do afastamento de B e C. Invertendo-se o rebatimento, determinaram-se as perspectivas dos quatro vértices do quadrado (ver exercício 849 e respectivo relatório), a partir das quais se desenharam as perspectivas do polígono. Tenha em conta que a direcção das projectantes das projecções horizontais dos quatro vértices do polígono (que é paralela à perspectiva do eixo Y) é a própria perspectiva de hπ (o traço horizontal do plano π). Note ainda que fπ (o traço frontal do plano π) e hπ (a perspectiva do traço horizontal do plano π) são concorrentes no eixo X.

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SOLUÇÕES

854.

A B CD] está contido num plano horizontal (de nível), a) O quadrado [A pelo que todos os seus vértices têm a mesma cota – a cota de A A C] é de topo e mede (que é 2 cm). Atendendo a que a diagonal [A 6 cm, C tem a abcissa de A e mais 6 cm de afastamento – as coorBD] é fronto-horizontal e denadas de C são (3; 8; 2). A diagonal [B mede também 6 cm. As duas diagonais bissectam-se, pelo que o ponto médio de ambas tem a abcissa de A e 5 de afastamento (o afastamento de A adicionado de metade do comprimento da diagonal). Os pontos B e D têm, assim, 5 de afastamento. A abcissa de B será 3 cm (metade do comprimento da diagonal) inferior à de A e a B é o vértice de menor abcissa do de D será 3 cm superior à de A (B quadrado). Assim sendo, as coordenadas de B são (0; 5; 2) e as de D são (6; 5; 2). A pirâmide tem 8 cm de altura, pelo que V tem 10 cm de cota. Uma vez que V se situa na projectante horizontal do ponto médio das duas diagonais do quadrado, as coordenadas de V são (3; 5; 10). b) Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – note que a direcção das projectantes se refere ao eixo Y e ao eixo Z, pelo que o plano axonométrico é o plano YZ. Assim, o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 130o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 140o (que é outro ângulo obtuso). Uma vez que os afastamentos e as cotas estão em V.G., foi possível representar, directamente, pν (o traço lateral do plano ν, o plano horizontal que contém a base), bem como as projecções laterais dos cinco vértices da pirâmide. Em seguida, considerou-se o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico, o que nos permitiu construir a projecção horizontal da pirâmide, em rebatimento (no plano XY rebatido sobre o plano axonométrico). A 1r, B 1r, C1r e D1r são as projecções horizontais de A , B, C e D, em rebatimento (no rebatimento do plano XY, tal como Q1r é a projecção horizontal, em rebatimento, do centro do quadrado. Para inverter o rebatimento, determinou-se a direcção de afinidade d (ver alínea a) do relatório do exercício 846) – note que a direcção de afinidade foi determinada em função da abcissa de D. Invertendo-se o rebatimento, determinaram-se as perspectivas dos cinco vértices da pirâmide (ver exercício 850 e respectivo relatório), bem como as perspectivas das projecções frontais e horizontais daqueles. Tenha em conta que a direcção das projectantes das projecções frontais dos quatro vértices da base (que é paralela à perspectiva do eixo X) é a própria perspectiva de f ν (o traço frontal do plano ν). Note ainda que pν (o traço lateral do plano ν) e f ν (a perspectiva do traço frontal do plano ν) são concorrentes no eixo Z. Em seguida desenhou-se a ADCV]. Existe um único vértice que não integra o contorno perspectiva da pirâmide, cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada [A A B CD] da pirâmide é invisível, aparente – o vértice B. Este é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base [A A BV] e [B B CV] – as faces laterais [A A DV] e [C CDV] são visíveis. A aresta lateral [D DV] é visível. bem como as faces laterais [A

855.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90° e a perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 120o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 150o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, rebateu-se o eixo Z pelo rebatimento do seu plano projectante (ver relatório do exercício 838) e pelo rebatimento do plano coordenado XZ (ver exercício 847 e respectivo relatório). Em seguida, considerando o plano XZ rebatido sobre o plano axonométrico, representou-se o ponto A em Dupla Projecção Ortogonal, através das suas coordenadas, obtendo-se imediatamente a sua projecção horizontal, A 1 (que está no plano axonoA 2r), no rebatimento do plano métrico), e a sua projecção frontal em rebatimento (A coordenado XZ. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano XZ (ver alínea a) do relatório do exercício 847).

A distância que nos permitiu determinar a direcção d foi a própria cota de A . Em seguida, procedeu-se à inversão do rebatimento do plano XZ, pelo processo que em seguida se expõe. Por A o conduziu-se uma paralela à perspectiva do eixo Z – essa paralela é a direcção da projectante de A 2 (corresponde à parte da linha de chamada de A que se situa no plano XZ), pelo que a perspectiva de A 2 situar-se-á necessariamente sobre essa linha. Em seguida, por A 2r conduziu-se uma recta paralela à direcção de afinidade d – o ponto de intersecção das duas rectas é a perspectiva de A 2. A partir das perspectivas das projecções frontal e horizontal de A obteve-se a perspectiva propriamente dita de A e a perspectiva da sua projecção lateral, conforme exposto no relatório do exercício 838.

422

SOLUÇÕES

856.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Y, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Sobre a determinação das perspectivas do ponto R, ver exercício anterior e respectivo relatório, pois trata-se de duas situações semelhantes, quer em termos de raciocínios, quer em termos de traçado.

857.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 45o (que é um ângulo agudo) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 135o (que é um ângulo obtuso). As perspectivas dos pontos B e C determinaram-se de acordo com o exposto no relatório do exercício 855, pelo que se aconselha a sua leitura – note que as perspectivas do ponto A se determinaram directamente, uma vez que a sua cota é nula (não há nenhuma coordenada de A que não esteja em V.G.). A 1 ≡ A , pois A é um ponto com cota nula (está no plano XY). B 3 ≡ B, pois B é um ponto com abcissa nula (está no plano YZ). Note que, apesar da forma como fica representado o referencial em perspectiva (em função da direcção das projectantes), os raciocínios e os procedimentos para determinar as perspectivas dos três pontos são exactamente os explicitados no relatório do exercício 855.

858.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 130o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 140o (que é outro ângulo obtuso). As perspectivas dos pontos R e T determinaram-se de acordo com o exposto no relatório do exercício 855 – note que as perspectivas do ponto S se determinaram directamente, uma vez que a sua cota é nula (não há nenhuma coordenada de S que não esteja em V.G.).

S1 ≡ S, pois S é um ponto com cota nula (está no plano XY). A partir das perspectivas dos três pontos, desenharam-se as perspectivas do triânA B C] – a sua perspectiva propriamente dita e as perspectivas das gulo [A suas projecções horizontal e frontal, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes (note que parte da perspectiva da projecção horizontal do triângulo está oculta pela figura).

423

SOLUÇÕES

859. a) O rectângulo está contido num plano frontal (de frente), pelo que todos os seus vértices têm o mesmo afastamento A B] é vertical e mede – o afastamento de A e B. O lado [A 4 cm (a diferença entre as cotas de A e B), pelo que os A D] e [B B C] são fronto-horizontais (e medem 6 cm, lados [A pois são os lados maiores do polígono). Os pontos C e D têm mais 6 cm de abcissa do que A e B. C tem afastamento de cota igual a B, pelo que as coordenadas de C são (9; 2; 6). D tem afastamento e cota igual a A , pelo que as coordenadas de D são (9; 2; 2). b) Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas daqueles dois eixos, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Uma vez que as abcissas e os afastamentos estão em V.G., foi possível representar, directamente, h ϕ (o traço horizontal do plano ϕ, o plano frontal que contém o polígono), bem como as projecções horizontais dos quatro vértices do rectângulo. Em seguida, considerou-se o plano XZ rebatido sobre o plano axonométrico, o que nos permitiu concluir a representação do rectângulo em Dupla Projecção Ortogonal – A 2r, B 2r, C2r e D2r são as projecções frontais dos quatro vértices do rectângulo, em rebatimento (no rebatimento do plano XZ). Para inverter o rebatimento, determinou-se a direcção de afinidade (ver alínea a) do relatório do exercício 847) – note que a direcção de afinidade foi determinada em função da cota de B e C. Invertendo-se o rebatimento, determinaram-se as perspectivas dos quatro vértices do rectângulo (ver exercício 855 e respectivo relatório), a partir das quais se desenharam as perspectivas do polígono. Tenha em conta que a direcção das projectantes das projecções laterais dos quatro vértices do polígono (que é paralela à perspectiva do eixo Z) é a própria perspectiva de pϕ (o traço lateral do plano ϕ). Note ainda que hϕ (o traço horizontal do plano ϕ) e pϕ (a perspectiva do traço lateral do plano ϕ) são concorrentes no eixo Y.

860.

A BCD] está contido num plano de perfil, a) O quadrado [A pelo que todos os seus vértices têm a mesma abcissa – a abcissa de A. Assim, as coordenadas de B são, imeA C] é de topo e mede diatamente, (8; 6; 0). A diagonal [A 8 cm (o dobro da diferença dos afastamentos de A e B) – C tem a cota de A e mais 8 cm de afastamento do que A, pelo que as coordenadas de C são (8; 10; 4).

BD] é vertical – D tem o afastamento de B e A diagonal [B tem mais 8 cm (a medida das diagonais do quadrado) de cota do que B. As coordenadas de D são (8; 6; 8).

V situa-se na mesma projectante lateral (que é uma recta fronto-horizontal) de A, pelo que tem afastamento e cota igual a A . Por outro lado, é dado que V tem abcissa nula, pelo que as coordenadas de V são (0; 2; 4). b) Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 145o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 125o (que é outro ângulo obtuso).

Uma vez que as abcissas e os afastamentos estão em V.G., foi possível representar, directamente, hπ (o traço horizontal do plano π, o plano de perfil que contém a base da pirâmide), bem como as projecções horizontais dos cinco vértices do sólido. Em seguida, considerou-se o plano YZ rebatido sobre o plano axonométrico, o que nos permitiu construir a projecção lateral (a projecção (Continua na página seguinte) 424

SOLUÇÕES

no plano YZ) do quadrado da base – A3r, B3r, C3r e D3r são as projecções laterais dos quatro vértices do quadrado da base, em rebatimento (no rebatimento do plano YZ). Para inverter o rebatimento, determinou-se a direcção de afinidade (ver alínea b) do relatório do exercício 847) – note que a direcção de afinidade foi determinada em função da cota de D. Invertendo-se o rebatimento, determinaram-se as perspectivas dos quatro vértices do quadrado (ver exercício 855 e respectivo relatório), bem como as perspectivas de V – note que se tem V3 ≡ A 3, pois A e V situam-se na mesma projectante lateral. Por outro lado, atendendo a que V tem abcissa nula, tem-se imediatamente V3 ≡ V. Tenha em conta que a direcção das projectantes das projecções frontais dos quatro vértices da base (que é paralela à perspectiva do eixo Z) é a própria perspectiva de fπ (o traço frontal do plano π). Note ainda que hπ (o traço horizontal do plano π) e fπ (a perspectiva do traço frontal do plano π) são concorrentes no eixo X. A partir das perspectivas dos cinco vértices da pirâmide, desenhou-se a perspectiva da pirâmide, cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada [A A BCV]. Existe um único vértice que não integra o contorno aparente – o vértice D. Este é visível, A BCD] da pirâmide é visível, bem como as faces laterais [A ADV] e [C CDV] bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base [A A BV] e [B B CV] são invisíveis. A aresta lateral [D DV] é visível. Representaram-se, ainda, as perspectivas das projecções fron– as faces laterais [A tal e horizontal da pirâmide, atendendo-se às respectivas invisibilidades.

861.

Por a x o n o m e t r i a s c l i n o g o n a i s n o r m a l i z a d a s entendem-se as perspectivas axonométricas oblíquas em que são predefinidos tanto os ângulos entre as perspectivas dos eixos (a direcção das projectantes) bem como os coeficientes de redução que afecta os eixos que não estão contidos no plano axonométrico (por serem predefinidas as inclinações das rectas projectantes).

862.

Por c o e f i c i e n t e s d e d e f o r m a ç ã o n o r m a l i z a d o s entendem-se os coeficientes de deformação perspéctica predefinidos, que provêm de determinadas inclinações das rectas projectantes – as inclinações que permitem uma representação do objecto mais próxima da percepção visual humana dos objectos.

863.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o plano axonométrico é o plano XZ, a perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135o (os ângulos normalizados). Sobre o eixo X e o eixo Z representaram-se, em V.G., a abcissa e a cota de A, respectivamente. O coeficiente de deformação normalizado para o eixo Y é 0,5, pelo que o afastamento de A (6 cm) tem de ser multiplicado por aquele valor – sobre a perspectiva do eixo Y, a partir de O, mediram-se 3 cm (que é 6 cm x 0,5), que corresponde à perspectiva do afastamento de A. Em seguida determinaram-se as perspectivas do ponto A , de acordo com os procedimentos expostos no relatório do exercício 827.

864.

Em primeiro lugar, desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY. Numa perspectiva planométrica normalizada, a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135o (os ângulos normalizados) e representa-se convencionalmente na vertical. Sobre o eixo X e o eixo Y representaram-se, em V.G., a abcissa e o afastamento de M, respectivamente. O coeficiente de deformação normalizado para o eixo Z é 2/3, pelo que a cota de M (6 cm) tem de ser multiplicada por aquele valor – sobre a perspectiva do eixo Z, a partir de O, mediram-se 4 cm (que é 6 cm x 2/3), que corresponde à perspectiva da cota de M. Em seguida, determinaram-se as perspectivas do ponto M, de acordo com os procedimentos expostos no relatório do exercício 838.

425

SOLUÇÕES

865.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados.

Uma vez que o plano axonométrico é o plano XZ, a perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135o (os ângulos normalizados). Em seguida, representaram-se as perspectivas dos vértices da pirâmide, em função das suas coordenadas, conforme exposto no relatório do exercício 863 (note que as coordenadas dos vértices da pirâmide foram determinadas no exercício 854). Em seguida, B CDV]. O único desenhou-se a perspectiva da pirâmide – o contorno aparente é [B vértice que não integra o contorno aparente é A, que é invisível, bem como todas A B CD] da pirâmide é invisível, as arestas que nele convergem. Note que a base [A A DV] e [A A BV] – as faces laterais [B B CV] e [C CDV] são bem como as faces laterais [A CV] é visível. Representaram-se, ainda, as perspectivas visíveis. A aresta lateral [C das projecções frontal e horizontal da pirâmide, atendendo-se às respectivas invisibilidades. Tenha em conta que f ν (o traço frontal do plano ν, o plano da base da pirâmide) e pν (a perspectiva do traço lateral do plano ν) são concorrentes no eixo Z.

866.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY. Numa perspectiva planométrica normalizada, a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135o (os ângulos normalizados) e representa-se convencionalmente na vertical. Em seguida, representaram-se as perspectivas dos vértices do prisma, em função das suas coordenadas, conforme exposto no relatório do exercício 864 (note que as coordenadas dos vértices do prisma foram determinadas no exercício 836). Note que, como a redução que afecta as cotas dos vértices nem sempre nos permite obter números exactos, se efectuou uma construção que nos permite reduzir para 2/3 qualquer dimensão linear – essa construção integra os conteúdos da disciplina de Educação Visual do Ensino Básico e consiste em: 1. desenhar uma outra linha recta, com uma direcção diferente daquela que se pretende dividir e com a mesma extremidade; 2. marcar, sobre essa linha, um ponto (ponto M ) com uma determinada medida (6 cm) e marcar, sobre a linha que se pretende dividir, um ponto (ponto P) com a medida transformada (4 cm, que é 2/3 de 6 cm); 3. em seguida, conduzir uma linha recta por M e por P, linha essa que nos permitirá passar todas as medidas representadas sobre a linha auxiliar para 2/3 na linha que se pretende dividir (a perspectiva do eixo Z). Foi este raciocínio que nos permitiu representar, sobre a perspectiva do eixo Z, 2/3 das cotas de todos os vértices do prisma e, dessa forma, obter as perspectivas de todos os vértices do sólido. A partir das perspectivas dos oito vértices do sólido, desenhou-se a sua perspectiva propriaB CDD’A’B’]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente da mente dita – o contorno aparente da perspectiva do prisma é [B perspectiva do sólido – o vértice C’ e o vértice A. O vértice C’ é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. O vértice A é invisível, A B CD] é invisível, bem como as faces laterais [A A A ’ B ’ B] e [A AA’D’D]. bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base [A A’B’C’D’], por sua vez, é visível, bem como as faces laterais [B BB’C’C] e [C CC’D’D].

A base [A

426

SOLUÇÕES

867.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XZ. Nesta perspectiva cavaleira normalizada, a perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135o (os ângulos normalizados) e representa-se convencionalmente na vertical. O sólido dado apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do objecto estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos seus vértices é a origem do referencial – o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da respectiva aresta do sólido, bem como as restantes referências que nos permitem determinar a perspectiva do objecto.

As medidas das arestas contidas no eixo X e no eixo Z (6 cm, ambas), bem como as referências dos restantes vértices do sólido, representam-se em V.G. (não há deformação).

A medida da aresta contida no eixo Y representa-se multiplicada pelo coeficiente de redução normalizado, que é 0,5, bem como as restantes referências. A partir dos comprimentos das arestas do sólido sobre os respectivos eixos e das restantes referências, construíram-se as perspectivas das projecções do objecto sobre os respectivos planos coordenados, baseadas em paralelas aos eixos correspondentes. Pelas projecções de cada um dos vértices do objecto conduziram-se as perspectivas das respectivas rectas projectantes, obtendo as suas perspectivas (ver exercício 827) e, em simultâneo, as perspectivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspectiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes.

868.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano YZ. Nesta perspectiva cavaleira normalizada, a perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135o (os ângulos normalizados). O sólido dado apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do objecto estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos seus vértices é a origem do referencial – o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da respectiva aresta do sólido, bem como as restantes referências que nos permitem determinar a perspectiva do objecto. As medidas das arestas contidas no eixo Y e no eixo Z (6 cm, ambas), bem como as referências dos restantes vértices do sólido, representam-se em V.G. (não há deformação). A medida da aresta contida no eixo X representa-se multiplicada pelo coeficiente de redução normalizado, que é 0,5, bem como as restantes referências. A partir dos comprimentos das arestas do sólido sobre os respectivos eixos e das restantes referências, construíram-se as perspectivas das projecções do objecto sobre os respectivos planos coordenados, baseadas em paralelas aos eixos correspondentes. Pelas projecções de cada um dos vértices do objecto conduziram-se as perspectivas das respectivas rectas projectantes, obtendo as suas perspectivas (ver exercício 827) e, em simultâneo, as perspectivas das arestas do sólido.

Estas permitiram-nos desenhar a perspectiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes.

869.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY. Numa perspectiva planométrica normalizada, a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135o (os ângulos normalizados) e representa-se convencionalmente na vertical. O sólido dado apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do objecto estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos seus vértices é a origem do referencial – o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da respectiva aresta do sólido, bem como as restantes referências que nos permitem determinar a perspectiva do objecto. As medidas das arestas contidas no eixo X e no eixo Y (6 cm, ambas), bem como as referências dos restantes vértices do sólido, representam-se em V.G. (não há deformação). A medida da aresta contida no eixo Z representa-se multiplicada pelo coeficiente de redução normalizado, que é 2/3, bem como a segunda referência (da cota intermédia, que é 3 cm) – 2/3 x 6 cm = 4 cm e 2/3 x 3 cm = 2 cm. Note que, caso alguma dessas referências não fosse um valor exacto, seria necessário recorrer ao processo exposto no relatório do exercício 866. A partir dos comprimentos das arestas do sólido sobre os respectivos eixos e das restantes referências, construíram-se as perspectivas das projecções do objecto sobre os respectivos planos coordenados, baseadas em paralelas aos eixos correspondentes.

Pelas projecções de cada um dos vértices do objecto conduziram-se as perspectivas das respectivas rectas projectantes, obtendo as suas perspectivas (ver exercício 838) e, em simultâneo, as perspectivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspectiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes.

427

SOLUÇÕES

870.

A BCD] está contida num plano frontal (de frente), pelo que A base [A todos os seus vértices têm o mesmo afastamento – o afastamento A B] é fronto-horizontal e mede 5 cm (a diferença de A e B. O lado [A AD] e [B B C] são verentre as abcissas de A e B), pelo que os lados [A ticais. C tem a abcissa de B e tem mais 5 cm (a medida do lado do quadrado) de cota do que B, pelo que as coordenadas de C são (6; 8; 7). D tem a abcissa de A e tem mais 5 cm de cota do que A, pelo que as coordenadas de D são (1; 8; 7). A face superior do CDV]) está contida num plano horizontal (de nível), sólido (a face [C pelo que V tem a cota de C e D. A face de maior abcissa do sólido B CV]) está contida num plano de perfil, pelo que V tem a (a face [B abcissa de B e C. Uma vez que V tem afastamento nulo, as coordenadas V são (6; 0; 7) – note que V se situa necessariamente na mesma projectante frontal de C. Em seguida, desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – note que a direcção das projectantes está referenciada ao eixo Y e ao eixo Z, pelo que o plano axonométrico é o plano YZ. O eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo Y e do eixo Z, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Os afastamentos e as cotas estão em V.G., o que nos permite, de forma imediata, determinar as projecções laterais dos vértices da pirâmide e representar o plano ϕ (o plano frontal que contém a base da pirâmide) pelo seu traço lateral – pϕ. Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico e determinaram-se as projecções horizontais dos vértices da pirâmide, em rebatimento. Note que hϕr é o traço horizontal do plano ϕ (o plano que contém a base), em rebatimento (no rebatimento do plano XY). Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade, em função do afastamento de B, C e V. Inverteu-se o rebatimento, a partir da direcção de afinidade, obtendo-se as perspectivas dos cinco vértices da pirâmide, após o que se desenhou a perspectiva do sólido – o contorno aparente da perspectiva da pirâmide é A BVD]. O único vértice que não integra o contorno aparente é C, que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a [A A BCD] é visível, bem como as faces laterais [B B CV] e [C CDV]. As faces laterais [A A BV] e [A ADV] são invisíveis. A aresta lateral [A AV] é, assim, base [A invisível.

871.

428

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Y, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Neste exercício, optou-se por não determinar previamente as coordenadas dos restantes vértices do sólido mas, antes, representá-lo imediatamente em Dupla Projecção Ortogonal e, a partir dessa representação, determinar a sua perspectiva. Nesse sentido, considerou-se o plano XZ rebatido sobre o plano axonométrico. Em função dos dados, representou-se o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, pelas suas projecções frontal (em rebatimento) e horizontal (que está em V.G.). Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade, em função da cota de C (ver alínea a) do relatório do exercício 847). Inverteu-se o rebatimento, com o recurso à direcção de afinidade, obtendo-se as perspectivas dos vértices do sólido (ver exercício 855 e respectivo relatório), após o que se desenhou a sua perspectiva. O contorno aparente da persB C D D ’ A ’ B ’]. Existem dois vértices que não pectiva do prisma é [B integram o contorno aparente do sólido – o vértice C’ e o vértice A .

O vértice C’ é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. O vértice A é invisível, bem como todas as arestas que nele A B CD] é invisível, bem como as faces convergem. Note que a base [A A A ’ B ’ B] e [A AA’D’D]. A base [A A’B’C’D’], por sua vez, é visílaterais [A BB’C’C] e [C CC’D’D]. Note ainda vel, bem como as faces laterais [B que se representou o plano ϕ (o plano que contém a base de maior afastamento do sólido) pelos seus traços – hϕ é o traço horizontal de ϕ e pϕ é a perspectiva do traço lateral (de perfil) do plano ϕ. Note que hϕ e pϕ são concorrentes no eixo Y.

SOLUÇÕES

872.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 150o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 120o (que é outro ângulo obtuso). Neste exercício, e à semelhança do exercício anterior, optou-se por não determinar previamente as coordenadas dos restantes vértices do sólido mas, antes, representá-lo imediatamente em Dupla Projecção Ortogonal e, a partir dessa representação, determinar a sua perspectiva.

Nesse sentido, considerou-se o plano XZ rebatido sobre o plano axonométrico. Em função dos dados, representou-se o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, pelas suas projecções frontal (em rebatimento) e horizontal (que está em V.G.). Tenha em conta que é possível construir a projecção horizontal do sólido directamente em V.G., pois o plano axonométrico é o plano XY. No plano XZ, em rebatimento, representaram-se os traços frontais (em rebatimento) dos planos ν e ν’ – o plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a face inferior do sólido e o plano ν’ é o plano horizontal (de nível) que contém a face superior do sólido. Os planos ν e ν’ distam, um do outro, a medida do lado do quadrado (que está em V.G. em projecção horizontal) – a diferença entre as cotas dos dois planos é a aresta do cubo. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade, em função da cota do plano ν’ (ver alínea a) do relatório do exercício 847). Inverteu-se o rebatimento, com o recurso à direcção de afinidade, obtendo-se as perspectivas dos vértices do sólido (ver exercício 855 e respectivo relatório), após o que se desenhou a sua perspectiva. O contorno aparente da perspectiva do cubo é ADCC’B’A’]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente do sólido – o vértice D’ e o vértice B. O vértice D’ é visível, bem [A como todas as arestas que nele convergem. O vértice B é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que as faces A B CD], [A AA’D’D] e [C CC’D’D] são invisíveis. As faces [A A’B’C’D’], [A A A ’ B ’ B] e [B BB’C’C], por sua vez, são visíveis. Note ainda que se repre[A sentaram os planos ν (o plano que contém a face inferior do sólido) e ν’ (o plano que contém a sua face superior) pelos seus traços – f ν e pν são, respectivamente, as perspectivas do traço frontal e do traço lateral do plano ν, tal como f ν’’ e pν’’ são, respectivamente, as perspectivas do traço frontal e do traço lateral do plano ν’. Note que f ν e pν são concorrentes no eixo Z, assim como f ν’’ e pν’’.

873.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o e a perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 45o (que é um ângulo agudo) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 135o (que é um ângulo obtuso). Neste exercício, e à semelhança dos exercícios anteriores, optou-se por não determinar previamente as coordenadas dos restantes vértices do sólido mas, antes, representá-lo imediatamente pelas suas projecções e, a partir destas, determinar a sua perspectiva. Nesse sentido, e atendendo a que as bases são de perfil (projectam-se em V.G. no plano YZ), considerou-se o plano YZ rebatido sobre o plano axonométrico. Em função dos dados, desenhou-se a projecção frontal do sólido (que está em V.G.) e construiu-se ainda a sua projecção lateral (em rebaA 3rB 3rC3rD3r] é a projecção lateral timento) – o quadrado [A A B CD], no rebatimento do plano YZ. Tenha do quadrado [A em conta que A tem afastamento nulo (assim, como A ’), (Continua na página seguinte) 429

SOLUÇÕES

A A ’] está contida no plano XZ. Por outro lado, B tem cota nula (assim, como B’), pois a aresta [B BB’] está contida no plano XY. pois a aresta [A Note que se representaram imediatamente os traços frontais dos planos π e π’ – o plano π é o plano de perfil que contém a base mais à direita do sólido e o plano π’ é o plano de perfil que contém a base mais à esquerda do sólido. O plano π tem a abcissa de A e o plano π’ tem a abcissa de B’. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade, em função do afastamento de C (ver alínea b) do relatório do exercício 847). Inverteu-se o rebatimento, com o recurso à direcção de afinidade, obtendo-se as perspectivas dos vértices do sólido (ver exercício 855 e respectivo relatório), após o que se desenhou a sua perspectiva. O contorno aparente da perspectiva do prisma é ADD’C’B’B]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente do sólido – o vértice A’ e o vértice C. O vértice A’ é invisível, bem [A como todas as arestas que nele convergem. O vértice C é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base A B CD] é visível, bem como as faces laterais [B BB’C’C] e [C CC’D’D]. A base [A A’B’C’D’] é invisível, bem como as faces laterais [A A A ’ B ’ B] e [A AA’D’D]. Note ainda que se representaram os planos π (o plano que contém a base mais à direita do sólido) e π’ (o plano que contém a [A sua base mais à esquerda) pelos seus traços – f π e hπ são, respectivamente, o traço frontal e a perspectiva do traço horizontal do plano π, tal como f π’’ e hπ’’ são, respectivamente, o traço frontal e a perspectiva do traço horizontal do plano π’. Note que f π e hπ são concorrentes no eixo X, assim como f π’’ e hπ’’.

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SOLUÇÕES

25 R EPRESENTAÇÃO A XONOMÉTRICA DE F ORMA S B I E T RIDIMENSIONAIS

874.

O objectivo da representação axonométrica, no programa da disciplina de Geometria Descritiva A, é exclusivamente a representação de f o r m a s t r i d i m e n s i o n a i s, sejam elas os sólidos previamente estudados (poliedros, cones e cilindros), sejam elas formas compostas pela justaposição daqueles sólidos.

875.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o. O quadrado está contido no plano XZ, pelo que é necessário efectuar o rebatimento do plano XZ para a construção do quadrado em V.G., em rebatimento, e, em seguida, invertendo o rebatimento, determinar a sua perspectiva. Rebateu-se o plano XZ pelo método dos cortes (ver exercício 779). O plano coordenado XZ rebateu-se para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a própria perspectiva do eixo Y), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’.

Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Zr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Xr ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Zr ’ é paralelo ao eixo Zr. Sobre o eixo Xr ’ representou-se a abcissa de A , em V.G., obtendo A r – A é um ponto com afastamento e A r é um cota nulos, pelo que é um ponto do eixo X (A ponto do eixo Xr ’). O ângulo dado (o ângulo que o A B] faz com o plano XY) projecta-se em V.G. lado [A A B] está contido numa recta frontal (de frente) do plano XZ. Assim, por A r conduziu-se uma recta a 30o (a.d.) no plano XZ – note que o lado [A A B] do quadrado (e que faz, com o eixo Xr ’, um ângulo de 30o, de abertura para a esquerda), com o eixo Xr ’, que é a recta suporte do lado [A B r), a 5 cm (o lado do quadrado) de A r. A partir de A r e B r construiu-se o quadrado em V.G., em e determinou-se o ponto B em rebatimento (B rebatimento, obtendo Cr e Dr. Para inverter o rebatimento recorreu-se a duas rectas do plano XZ – a recta r, que é a recta suporte do lado A D] do quadrado, e a recta s, paralela a r, que é a recta suporte do lado [B B C] do quadrado. As rectas r e s são duas rectas frontais (de [A frente) do plano XZ. A recta r r intersecta o eixo Xr ’ em A r e o eixo Zr ’ em M r – as perspectivas de A e M determinaram-se sobre as perspectivas do eixo X e do eixo Z, respectivamente, recorrendo às perpendiculares à charneira que por eles passam. A perspectiva da recta r está, assim, determinada – fica definida pelas perspectivas de A e M (a recta r está definida por dois pontos). Note que A e M são, respectivamente, o traço horizontal e o traço lateral de r. Por Dr conduziu-se uma perpendicular à charneira e o ponto de concorrência entre esta e a perspectiva da recta r é a perspectiva do ponto D. A recta sr é concorrente com o eixo Xr ’ num ponto Nr (que é o traço horizontal de s, em rebatimento) – a perspectiva de N determina-se directamente, recorrendo à perpendicular à charneira que por ele passa (a perspectiva de N situa-se sobre a perspectiva do eixo X). Como a recta s é paralela à recta r, a situação de paralelismo mantém-se em perspectiva, pelo que a perspectiva da recta s passa pela perspectiva de N e é paralela à perspectiva da recta r (a recta s está definida por um ponto – o ponto N – e uma direcção – é paralela à recta r). As perspectivas de B e C determinaram-se conduzindo, por B r e Cr, as perpendiculares à charneira que por eles passam – os pontos de intersecção destas com a perspectiva da recta s são as perspectivas de B e C, respectivamente. A partir das perspectivas dos quatro vértices do polígono, desenhou-se a perspectiva do quadrado. Note que as projecções horizontais das rectas r e s estão sobre o eixo X (são rectas frontais), tal como as projecções laterais de r e s estão sobre o eixo Z. As projecções frontais das rectas estão coincidentes com as próprias rectas, pois as rectas estão contidas no plano XZ. No entanto, por questões de simplificação de traçado, seria possível omitir a representação das projecções das duas rectas.

431

SOLUÇÕES

876.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120°. O triângulo está contido no plano XY, pelo que é necessário efectuar o rebatimento do plano XY para a construção do triângulo em V.G., em rebatimento e, em seguida, invertendo o rebatimento, determinar a sua perspectiva. Rebateu-se o plano XY pelo método dos cortes (ver exercício 779). O plano coordenado XY rebateu-se para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a própria perspectiva do eixo Z), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or’. Por Or’ conduziram-se o eixo Xr’ e o eixo Yr’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Xr’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Yr’ é paralelo ao eixo Yr. Sobre o eixo Xr’ representaram-se as abcissas de A e B, em V.G., e sobre o eixo Yr’ representaram-se os afastamentos de A e B, em V.G., o que nos permitiu determinar A r e Br. A partir de A r e Br construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, obtendo Cr. Para inverter o rebatimento recorreu-se a duas rectas do plano XZ – a recta r, que é a recta suporte do lado [A A B] do triângulo, e a recta s, que é a recta paralela à recta r que passa por Cr. As rectas r e s são duas rectas horizontais (de nível) do plano XY. A recta r r intersecta o eixo Xr’ em Mr e o eixo Yr’ em R r – as perspectivas de M e R determinaram-se sobre as perspectivas do eixo X e do eixo Y, respectivamente, recorrendo às perpendiculares à charneira que por passam por aqueles pontos. A perspectiva da recta r está, assim, determinada – fica definida pelas perspectivas de M e R (a recta r está definida por dois pontos). Note que M e R são, respectivamente, o traço frontal e o traço lateral da recta r. Por Br conduziu-se uma perpendicular à charneira e o ponto de concorrência entre esta e a perspectiva da recta r é a perspectiva do ponto B. A recta sr é concorrente com o eixo Yr’ num ponto Sr (que é o traço lateral de s, em rebatimento) – a perspectiva de S determina-se directamente, recorrendo à perpendicular à charneira que por ele passa (a perspectiva de S situa-se sobre a perspectiva do eixo Y). Como a recta s é paralela à recta r, a situação de paralelismo mantém-se em perspectiva, pelo que a perspectiva da recta s passa pela perspectiva de S e é paralela à perspectiva da recta r (a recta s está definida por um ponto – o ponto S – e uma direcção – é paralela à recta r). A perspectiva de C determinou-se conduzindo, por Cr, uma perpendicular à charneira – o ponto de intersecção da perpendicular à charneira com a perspectiva da recta s é a perspectiva de C. A partir das perspectivas dos três vértices do polígono, desenhou-se a perspectiva do triângulo. Note que se omitiu a representação das projecções das duas rectas, com vista a uma simplificação da resolução gráfica, não a sobrecarregando visualmente com informação desnecessária para o objectivo final do exercício.

877.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o.

O quadrado está contido num plano de perfil π, que é paralelo ao plano YZ, pelo que se projecta em V.G. no plano YZ – o quadrado e a sua projecção lateral são dois polígonos geometricamente iguais. Assim, o plano a rebater é o plano YZ, que se rebateu pelo método dos cortes (ver exercício 779). O plano coordenado YZ rebateu-se para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento.

Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a própria perspectiva do eixo X), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Yr ’ e o eixo Zr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr e o eixo Zr ’ é paralelo ao eixo Zr. Sobre o eixo Yr ’ representaram-se os afastamentos de R e S, em V.G., e sobre o eixo Zr’ representaram-se as cotas de R e S, em V.G., o que nos permitiu determinar R 3r e S3r. Note que, ao contrário das situações (Continua na página seguinte) 432

SOLUÇÕES

anteriores, em que as figuras estavam contidas nos planos coordenados rebatido, nesta situação a figura não está contida no plano YZ – o plano YZ contém a projecção lateral da figura, pelo que no rebatimento do plano YZ não são os pontos que estão rebatidos mas, sim, as suas projecções laterais. A partir de R3r e S3r construiu-se a projecção lateral do quadrado em V.G., em rebatimento, obtendo T3r e U3r. Para inverter o RU] do quadrado, e a recta s, parebatimento recorreu-se às rectas suporte dos dois lados do quadrado – a recta r, que é a recta suporte do lado [R ST] do quadrado. As rectas r e s são duas rectas de perfil do plano π – r3r e s3r são, respectivamente, as ralela a r, que é a recta suporte do lado [S projecções laterais das rectas r e s, em rebatimento. A recta r3r intersecta o eixo Yr’ em M3r e o eixo Zr’ em N3r – as perspectivas de M3 e N3 determinaram-se sobre as perspectivas do eixo Y e do eixo Z, respectivamente, recorrendo às perpendiculares à charneira que por eles passam.

A perspectiva da projecção lateral da recta r está, assim, determinada – fica definida pelas perspectivas de M 3 e N3 (r 3 está definida por dois pontos). Note que M e N são, respectivamente, o traço horizontal e o traço frontal da recta r. Por U3r conduziu-se uma perpendicular à charneira e o ponto de concorrência entre esta e a perspectiva de r3 é U3 (a perspectiva da projecção lateral do ponto U). A recta s3r é concorrente com o eixo Yr’ num ponto P3r (P P3 é a projecção lateral do traço horizontal de s, em rebatimento) – a perspectiva de P3 determina-se directamente, recorrendo à perpendicular à charneira que por ele passa (a perspectiva de P3 situa-se sobre a perspectiva do eixo Y). A recta s é paralela à recta r, pelo que a perspectiva de s3 passa pela perspectiva de P3 e é paralela à perspectiva de r3 (s3 está definida por um ponto – P3 – e uma direcção – é paralela a r3). As perspectivas de S3 e T3 determinaram-se conduzindo, por S3r e T3r, as perpendiculares à charneira que por eles passam – os pontos de intersecção destas com a perspectiva de s3 são as perspectivas de S3 e T3, respectivamente. A partir das perspectivas das projecções laterais dos quatro vértices do polígono, desenhou-se a perspectiva da projecção lateral do quadrado. Para determinar a perspectiva do quadrado é necessário determinar os traços do plano π – este tem 3 cm de abcissa, que é o afastamento de R . Transportou-se o afastamento de R para a perspectiva do eixo Y, através de uma perpendicular à charneira, obtendo, sobre a perspectiva do eixo Y, a perspectiva do afastamento de R. Uma vez que os três eixos têm o mesmo coeficiente de redução, com o compasso, fazendo centro em O, transportou-se a perspectiva do afastamento de R para a perspectiva do eixo X, obtendo a perspectiva de um ponto com a abcissa de π – por esse ponto conduziram-se os traços do plano π (ffπ é a perspectiva do traço frontal de π e é paralelo à perspectiva do eixo Z, tal como hπ é a perspectiva do traço horizontal de π e é paralelo à perspectiva do eixo Y). Com o recurso às perpendiculares à charneira que passam por M, P e N, transportaram-se estes pontos para as perspectivas dos traços de π – M e P são dois pontos de hπ e N é um ponto de fπ. A perspectiva da recta r está definida pelas perspectivas de M e N. A perspectiva da recta s está definida pela perspectiva de P e é paralela à perspectiva da recta r. Em seguida, conduzindo, por R3, S3 T3 e U3, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as perspectivas daqueles pontos sobre as perspectivas das rectas a que pertencem – a partir das perspectivas propriamente ditas dos quatro vértices do quadrado, desenhou-se a perspectiva propriamente dita do quadrado.

878.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o.

A circunferência está contida no plano YZ, pelo que o plano a rebater é o plano YZ, que se rebateu pelo método dos cortes (ver exercício 779). O plano coordenado YZ rebateu-se para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a própria perspectiva do eixo X), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or’. Por Or’ conduziram-se o eixo Yr’ e o eixo Zr’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Yr’ é paralelo ao eixo Yr e o eixo Zr’ é paralelo ao eixo Zr. Sobre o eixo Yr ’ representou-se o afastamento de Q, em V.G., e sobre o eixo Zr’ representou-se a cota de Q , em V.G., o que nos permitiu determinar Qr (note que, neste exercício, e uma vez que a circunferência está contida no próprio plano YZ, ao rebater o plano se tem o próprio ponto Q rebatido, ao contrário da situação anterior, em que a figura não e s t a v a c o n t i d a no plano YZ ). Com o compasso, fazendo centro em Qr e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência em V.G., em rebatimento. A perspectiva de uma circunferência é uma elipse, cujo desenho, por ser executado à mão livre, requer pelo menos oito dos seus pontos, para um desenho relativamente preciso da curva. No entanto, não nos bastam oito pontos quaisquer. Analisemos esta questão. Em primeiro lugar para desenhar correctamente a elipse é conveniente que, desses oito pontos, quatro deles sejam os extremos dos dois eixos da elipse, que são perpendiculares entre si, o que significa que é conveniente determinarmos os dois eixos da elipse – o eixo maior e o eixo menor. Em segundo lugar para um desenho mais preciso da elipse será conveniente, ainda, obter o rectângulo em que ela se inscreve – é o rectângulo de que os eixos da elipse são as medianas. Então, para determinar os oito pontos é necessário começar por inscrever a circunferência (em V.G., em rebatimento) num quadrado, de lados paralelos à charneira do rebatimento (o eixo de homologia). Em seguida, há que desenhar as medianas e as diagonais do quadrado. Repare que a circunferência é tangente aos lados do quadrado nos pontos A, B, C e D, que são, precisamente, os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado. As perspectivas A B] será o eixo maior da elipse (por ser o diâmetro que não sofre desses quatro pontos serão, já quatro pontos da elipse – a perspectiva de [A (Continua na página seguinte) 433

SOLUÇÕES

CD] será o qualquer redução, uma vez que é paralelo à charneira e, por conseguinte, é paralelo ao plano axonométrico) e a perspectiva de [C eixo menor da elipse (por ser o diâmetro da circunferência que sofre a maior redução). Atentemos, agora, nos pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado – as perspectivas destes quatro pontos serão os outro quatro pontos de que necessitamos para o desenho da elipse. Por fim, a perspectiva do quadrado será, precisamente, o rectângulo envolvente da elipse, a cujos lados a elipse será necessariamente A rBr], uma recta r, em rebatimento – rr. A recta r é uma recta de tangente. Para obter a perspectiva do quadrado conduziu-se, pelo diâmetro [A perfil do plano YZ e a sua perspectiva determinou-se de forma semelhante à exposta para a recta r do exercício 875. As perspectivas dos pontos A, B e Q (o centro da circunferência e do quadrado) determinaram-se imediatamente, sobre a perspectiva da recta r, através das perpendiculares à charneira que por eles passam. Note que as perpendiculares que passam por A e B contêm, ainda, as perspectivas dos dois lados do quadrado que são perpendiculares à charneira. Necessitamos, agora, da perspectiva de um dos lados paralelos à charneira – o lado inferior é concorrente com o eixo Y num ponto M, cuja perspectiva se determinou imediatamente (conduzindo, por Mr, uma perpendicular à charneira – a perspectiva de M está na perspectiva do eixo Y). Pela perspectiva de M conduziu-se uma paralela à recta r (que é paralela à charneira), até intersectar as perpendiculares à charneira que contêm os dois lados do quadrado, o que nos permitiu obter as perspectivas de dois vértices do quadrado. Por esses vértices e pela perspectiva de Q conduziram-se as perspectivas das diagonais do quadrado, o que nos permitiu completar a perspectiva do quadrado que é, agora, um rectângulo – é o rectângulo envolvente da elipse (o rectângulo é a perspectiva do quadrado). As A B] é o eixo maior da elipse e [C CD] é o seu eixo menor. Por outro perspectivas de C e D determinam-se imediatamente, também, pelo que [A lado, A, B, C e D são, ainda, os pontos em que a curva da elipse será tangente aos lados correspondentes do rectângulo. Os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado foram transportados para as perspectivas das diagonais (para as diagonais do rectângulo) através das rectas perpendiculares à charneira que por eles passam, obtendo-se, assim, os oito ponto necessários a um desenho relativamente preciso da curva, que foi executado à mão livre.

879.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o. O hexágono está contido num plano frontal (de frente) ϕ, que é paralelo ao plano XZ, pelo que se projecta em V.G. no plano XZ – o hexágono e a sua projecção frontal são dois polígonos geometricamente iguais. Assim, o plano a rebater é o plano XZ, que se rebateu pelo método dos cortes (ver exercício 875). Sobre o eixo Xr ’ representou-se a abcissa de Q, em V.G., e sobre o eixo Zr’ representou-se a cota de Q, em V.G., o que nos permitiu determinar Q2r. Note que, nesta situação, a figura não está contida no plano XZ – o plano XZ contém a projecção frontal da figura, pelo que no rebatimento do plano XZ não são os pontos que estão rebatidos mas, sim, as suas projecções frontais. Com o compasso, fazendo centro Q2r e com 3,5 cm de raio (o lado do hexágono), desenhou-se a circunferência circunscrita ao polígono em V.G. e construiu-se a p r o j e c ç ã o f r o n t a l d o hexágono em V.G., em rebatimento, de acordo com os dados – dois dos lados do hexágono fazem, com o plano XY, ângulos de 45o (a.d.), ângulos esses que se projectam em A B] e [D DE] são V.G. no plano XZ. Os lados [A os lados do polígono que fazem o ângulo pedido. Para inverter o rebatimento recorreuA B] do hexágono.

-se a três rectas do plano que contêm os vértices do polígono – as rectas a, b e c. A recta a é a recta suporte do lado [A CF] do hexágono. A recta c é a recta suporte do lado [D DE] do hexágono. As rectas a, b e c são três A recta b é a recta suporte da diagonal [C rectas frontais (de frente) do plano ϕ – a2r, b2r e c 2r são, respectivamente, as projecções frontais das rectas a, b e c, em rebatimento. Ao contrário do efectuado no exercício 877, neste exercício optou-se por não construir a perspectiva da projecção frontal do polígono mas, antes, construir directamente a perspectiva do hexágono. Nesse sentido há que, em primeiro lugar, determinar os traços do plano ϕ, o plano que contém a figura. Atendendo a que os três eixos têm o mesmo coeficiente de redução, sobre o eixo Xr ’ representou-se um ponto Mr – M é um ponto do eixo X que tem 3 cm de abcissa, que é igual ao afastamento do plano ϕ. Por Mr conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de M sobre a perspectiva do eixo X. Com o compasso, fazendo centro em O e raio até à perspectiva de M, transportou-se a perspectiva da abcissa de M para a perspectiva do eixo Y, obtendo a perspectiva de um ponto com o afastamento de ϕ – por esse hϕ é a perspectiva do traço horizontal de ϕ e é paralelo à perspectiva do eixo X, tal ponto conduziram-se as perspectivas dos traços do plano ϕ (h como pϕ é a perspectiva do traço lateral de ϕ e é paralelo à perspectiva do eixo Z). A recta a2r intersecta o eixo Xr’ em H2r e o eixo Zr’ em P2r – (Continua na página seguinte) 434

SOLUÇÕES

as perspectivas de H e P determinaram-se sobre as perspectivas de hϕ e de pϕ, respectivamente, recorrendo às perpendiculares à charneira que passam por H2r e P2r. Note que H é o traço horizontal da recta a e P é o seu traço lateral. A perspectiva da recta a está, assim, determinada – fica definida pelas perspectivas de H e P (a está definida por dois pontos). Por A 2r e B2r conduziram-se as perpendiculares à charneira que por eles passam – as perspectivas de A e B são os pontos de intersecção daquelas com a perspectiva da recta a. A recta b2r é paralela à recta a2r e intersecta o eixo Zr’ no ponto P’2r (P P’ é o traço lateral da recta b) – a perspectiva de P’ determinou-se sobre a perspectiva de pϕ, através da perpendicular à charneira que passa por P’2r. A perspectiva da recta b passa pela perspectiva de P’ e é paralela à perspectiva da recta a. A recta c 2r é paralela às rectas a2r e b2r e intersecta o eixo Zr ’ no ponto P’’2r (P P’’ é o traço lateral da recta c) – a perspectiva de P’’ determinou-se sobre a perspectiva de pϕ, através da perpendicular à charneira que passa por P’’2r. A perspectiva da recta c passa por P’’ e é paralela às perspectivas das rectas a e b. As perspectivas dos pontos C e F determinaram-se sobre a perspectiva da recta b, recorrendo às rectas perpendiculares à charneira que passam por C2r e F2r. As perspectivas dos pontos D e E determinaram-se sobre a perspectiva da recta c, recorrendo às rectas perpendiculares à charneira que passam por D2r e E2r. A partir das perspectivas propriamente ditas dos seis vértices do hexágono, desenhou-se a perspectiva propriamente dita do polígono.

880.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o. O quadrado da base da pirâmide está contido no plano XY, pelo que é necessário efectuar o rebatimento do plano XY para a construção do quadrado em V.G., em rebatimento, e, em seguida, invertendo o rebatimento, determinar a sua perspectiva. Rebateu-se o plano XY pelo método dos cortes (ver exercício 876). No plano XY rebatido e transladado representaram-se os pontos A e C, em rebatimento, em função das suas coordenadas (abcissa e afastamento) em V.G. – a partir de A r e Cr, construiu-se o quadrado em rebatimento, obtendo B r e Dr, bem como V1r. Note que V1r é a projecção horizontal do vértice da pirâmide em rebatimento – tratando-se de uma pirâmide regular, a projecção horizontal do seu vértice está sobre o centro do quadrado. A inversão do rebatimento dos pontos A e C processou-se com o A C] (ver recuso à recta r, que é a recta suporte da diagonal [A exercício 876 e respectivo relatório). Note que a perspectiva de V1 se situa sobre a perspectiva da recta r, e determinou-se com o recurso à perpendicular à charneira que passa por V1r. Para inverter o rebatimento de B recorreu-se à sua projecção lateral – B 3r é a projecção lateral de B, em rebatimento, e situa-se sobre o eixo Yr ’. Por B 3r conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de B 3 sobre a perspectiva do eixo Y. Pela perspectiva de B 3 conduziu-se uma paralela à perspectiva do eixo X e por B r conduziu-se uma perpendicular à charneira – o ponto de concorrência das duas rectas é a perspectiva do ponto B. O processo repetiu-se para o ponto D, o que nos permitiu determinar a perspectiva de D. Para determinar a perspectiva de V é necessário determinar a perspectiva da cota de V. Para tal, e atendendo a que os três eixos têm o mesmo coeficiente de redução, sobre o eixo Xr ’ representou-se um ponto Mr – M é um ponto do eixo X que tem 8 cm de abcissa, que é igual à cota de V. Por Mr conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de M sobre a perspectiva do eixo X. Com o compasso, fazendo centro em O e raio até à perspectiva de M, transportou-se a perspectiva da abcissa de M para a perspectiva do eixo Z, obtendo a perspectiva de um ponto com a cota de V. Esta acção permitiu-nos, em função da perspectiva de V1, determinar as perspectivas das projecções frontais e lateral de V, bem como a sua perspectiva propriamente dita. Em seguida desenhou-se a perspectiva propriamente dita da pirâmide, começando pelo seu contorno aparente, A B CV]. O vértice D é o único vértice que não integra o contorno aparente – D é invisível, bem como todas que é a linha quebrada fechada [A A DV] e [C CDV]. A aresta lateral [B BV] é as arestas que nele convergem. Note que a base da pirâmide é invisível, bem como as faces laterais [A visível. Em seguida desenharam-se ainda as perspectivas das projecções frontal e lateral da pirâmide, assinalando convenientemente as invisibilidades das projecções e as suas invisibilidades relativas ao sólido (as partes das projecções que estão ocultas pelo sólido).

435

SOLUÇÕES

881.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o. O triângulo da base inferior do prisma está contido no plano XY, pelo que é necessário efectuar o rebatimento do plano XY para a construção do triângulo em V.G., em rebatimento, e, em seguida, invertendo o rebatimento, determinar a sua perspectiva. Rebateu-se o plano XY pelo método dos cortes (ver exercício 876). No plano XY rebatido e transladado representaram-se os pontos A e B, em rebatimento, em função das suas coordenadas (abcissa e afastamento) em V.G. – a partir de Ar e Br, construiu-se o triângulo em rebatimento, obtendo Cr. A inversão do rebatimento dos três pontos processou-se com o recurso às suas projecções (frontais e laterais), que se situam no eixo X (as projecções frontais) e no eixo Y (as projecções laterais), conforme exposto no relatório do exercício anterior para a inversão do rebatimento de B. B3r é a projecção lateral de B, em rebatimento, e situa-se sobre o eixo Yr ’. Por B3r conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de B 3 sobre a perspectiva do eixo Y. Pela perspectiva de B 3 conduziu-se uma paralela à perspectiva do eixo X e por Br conduziu-se uma perpendicular à charneira – o ponto de concorrência das duas rectas é a perspectiva do ponto B. A 2r é a projecção frontal de A, em rebatimento, e situa-se sobre o eixo Xr ’. Por A 2r conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de A 2 sobre a perspectiva do eixo X. Pela perspectiva de A 2 conduziu-se uma paralela à perspectiva do eixo Y e por A r conduziu-se uma perpendicular à charneira – o ponto de concorrência das duas rectas é a perspectiva do ponto A. O processo descrito para A repetiu-se para o ponto C, o que nos permitiu determinar as perspectivas dos três pontos.

Para determinar os traços do plano da base superior do sólido (o plano horizontal ν), e atendendo a que os três eixos têm o mesmo coeficiente de redução, sobre o eixo Yr ’ representou-se um ponto Mr – M é um ponto do eixo Y que tem 8 cm de afastamento, que é igual à cota da base superior do sólido (o prisma tem 8 cm de altura e a sua base inferior tem cota nula). Por Mr conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de M sobre a perspectiva do eixo Y. Com o compasso, fazendo centro em O e raio até à perspectiva de M, transportou-se a perspectiva do afastamento de M para a perspectiva do eixo Z, obtendo a perspectiva de um ponto com a cota da base superior do sólido – por esse ponto conduziram-se as perspectivas dos traços do plano ν (ff ν é a perspectiva do traço frontal de ν e é paralelo à perspectiva do eixo X, tal como pν é a perspectiva do traço lateral de ν e é paralelo à perspectiva do eixo Y). As perspectivas dos vértices da base superior determinaram-se em função das perspectivas das suas projecções frontais e laterais, que se encontram, respectivamente, sobre f ν e sobre pν, atendendo, ainda, a que as arestas laterais estão contidas em rectas verticais (cujas perspectivas são paralelas à perspectiva do eixo Z), pois trata-se de um prisma regular. Depois de determinadas as perspectivas de todos os vértices do sólido, desenhou-se a sua perspectiva – o AA’B’B C]. O único vértice que não integra o contorno aparente é o contorno aparente da perspectiva do sólido é a linha quebrada fechada [A A B], da base inferior, é invisível, pois é a vértice C’, que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. Assim, apenas a aresta [A AA’B’B]). recta de intersecção de duas faces invisíveis (note que a base inferior é invisível, bem como a face lateral [A

882.

Em primeiro lugar, representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o.

A B CD] está contido no plano YZ, pelo O quadrado [A que o plano a rebater é o plano YZ – este rebateu-se pelo método dos cortes (ver exercício 877). No plano YZ rebatido e transladado representaram-se os pontos A e C, em rebatimento, em função das suas coordenadas (abcissa e cota) em V.G. – a partir de A r e Cr, construiu-se o quadrado em rebatimento, obtendo B r e Dr. A inversão do rebatimento dos quatro pontos processou-se com o recurso às suas projecções frontais, que se situam no eixo Z, conforme exposto no relatório do exercício anterior. B2r é a projecção frontal de B, em rebatimento, e situa-se sobre o eixo Zr’. Por B2r conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de B2 sobre a perspectiva do eixo Z. Pela perspectiva de B2 conduziu-se uma paralela à perspectiva do eixo Y e por Br conduziu-se uma perpendicular à charneira – o ponto de concorrência das duas rectas é a perspectiva do ponto B. O processo repetiu-se para os pontos A, C e D, o que nos permitiu determinar as (Continua na página seguinte) 436

SOLUÇÕES

suas perspectivas. Para determinar os traços do plano da face de maior abcissa do sólido (o plano de perfil π), e atendendo a que os três eixos têm o mesmo coeficiente de redução, sobre o eixo Yr’ representou-se um ponto Mr – M é um ponto do eixo Y que tem afastamento igual ao lado A BCD] (que está em V.G. em rebatimento) – note que a face [A A BCD] tem abcissa nula, pelo que a abcissa da outra face de perfil é do quadrado [A igual ao lado do quadrado. Por Mr conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de M sobre a perspectiva do eixo Y. Com o compasso, fazendo centro em O e raio até à perspectiva de M, transportou-se a perspectiva do afastamento de M para a perspectiva do eixo X, obtendo a perspectiva de um ponto com a abcissa da face de maior abcissa do sólido – por esse ponto conduziram-se as perspectivas dos traços do plano π (ffπ é a perspectiva do traço frontal de π e é paralelo à perspectiva do eixo Z, tal como hπ é a perspectiva do traço horizontal A’B’C’D’] determinaram-se em função das perspectivas das de π e é paralelo à perspectiva do eixo Y). As perspectivas dos vértices da face [A AA’], [B BB’], suas projecções frontais e horizontais, que se encontram, respectivamente, sobre fπ e sobre hπ, atendendo ainda, a que as arestas [A CC’] e [D DD’] estão contidas em rectas fronto-horizontais (cujas perspectivas são paralelas à perspectiva do eixo X). A partir das perspectivas [C propriamente ditas de todos os vértices do sólido, desenhou-se a sua perspectiva – o contorno aparente da perspectiva do cubo é a linha queB CDD’A’B’]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente do sólido – o vértice A, que é invisível (bem como tobrada fechada [B das as arestas que nele convergem), e o vértice C’, que é visível (bem como todas as arestas que nele convergem). Note que as faces do cubo A BCD], [A AA’B’B] e [A AA’D’D] – as restantes faces são invisíveis. que são visíveis são as faces [A

883.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o. O pentágono está contido num plano frontal (de frente) ϕ, que é paralelo ao plano XZ, pelo que se projecta em V.G. no plano XZ – o pentágono e a sua projecção frontal são dois polígonos geometricamente iguais. Assim, o plano a rebater é o plano XZ, que se rebateu pelo método dos cortes (ver exercício 875). Sobre o eixo Xr ’ representou-se a abcissa de Q, em V.G., e sobre o eixo Zr’ representou-se a cota de Q, em V.G., o que nos permitiu determinar Q2r. Note que a figura não está contida no plano XZ – o plano XZ contém a p r o j e c ç ã o frontal da figura, pelo que no rebatimento do plano XZ não são os pontos que estão rebatidos mas, sim, as suas projecções frontais. Com o compasso, fazendo centro Q2r e com 3 cm de raio, desenhouse a circunferência circunscrita ao polígono em V.G. e construiu-se a projecção frontal do pentágono em V.G., em rebatimento, de acordo com os dados – a face lateral inferior do prisma é horizontal (de nível), pelo que o lado inferior do pentágono (o lado C D], por exemplo, tem de ser fronto-horizontal [C (paralelo ao eixo X). Para determinar os traços dos planos das bases do sólido, teve-se em conta que os três eixos têm o mesmo coeficiente de redução.

Assim, sobre o eixo Xr’ representou-se um ponto Mr – M é um ponto do eixo X que tem 3 cm de abcissa, que é igual ao afastamento do plano da base de menor afastamento do sólido (o plano ϕ). Por Mr conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de M sobre a perspectiva do eixo X. Com o compasso, fazendo centro em O e raio até à perspectiva de M, transportou-se a perspectiva da abcissa de M para a perspectiva do eixo Y, obtendo a perspectiva de um ponto com o afastamento da base de menor afastamento do sólido – por esse hϕ é a perspectiva do traço horizontal de ϕ e é paralelo à perspectiva do eixo X, tal ponto conduziram-se as perspectivas dos traços do plano ϕ (h como pϕ é a perspectiva do traço lateral de ϕ e é paralelo à perspectiva do eixo Z). O ponto Nr é um ponto do eixo Xr' que dista 5 cm (a altura do prisma) do ponto Mr – repetindo-se o processo atrás descrito para o ponto M, obteve-se, sobre a perspectiva do eixo Y, um ponto com a abcissa do plano ϕ’ (o plano da base de maior afastamento do sólido), pelo qual se conduziram os traços do plano ϕ’. Note que o ponto N tem 8 cm de A BCDE] processou-se com o recurso às referências das suas projecções lateabcissa. A inversão do rebatimento dos cinco vértices da base [A rais, que se situam no eixo Y – note que, embora as projecções laterais dos cinco vértices se situem sobre pϕ, existem ponto do eixo Z que têm a mesma cota que aquelas projecções laterais. Foi a partir dessas referências, e conduzindo, por elas, rectas perpendiculares à charneira, que se determinaram, sobre pϕ, as projecções laterais dos cinco vértices do pentágono (seguindo traçados e raciocínios muito idênticos aos exposto no relatório do exercício 881). A 3 é a perspectiva da projecção lateral de A, em rebatimento, e situa-se sobre pϕ. Pela perspectiva de A 3 conduziu-se uma paralela à perspectiva do eixo X e por A 2r conduziu-se uma perpendicular à charneira – o ponto de concorrência das duas rectas é a perspectiva do ponto A. O processo repetiu-se para os restantes vértices do pentágono, o que nos permitiu determinar as suas perspectivas.

A’B’C’D’E’] determinaram-se em função das perspectivas das suas projecções horizontais e laterais que As perspectivas dos vértices da base [A se encontram, respectivamente, sobre hϕ’’ e sobre pϕ’’, atendendo, ainda, a que as arestas laterais do sólido estão contidas em rectas de topo (cujas perspectivas são paralelas à perspectiva do eixo Y). A partir das perspectivas propriamente ditas de todos os vértices do sólido, deseABB’C’D’DE]. Existem três vértices nhou-se a sua perspectiva – o contorno aparente da perspectiva do prisma é a linha quebrada fechada [A que não integram o contorno aparente do sólido – os vértices A’ e E’, que são visíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), e o A BCDE] do prisma é invisível, bem como as vértice C, que é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem). Note que a base [A BB’C’C] e [C CC’D’D] – as restantes faces laterais são visíveis, bem como a base [A A’B’C’D’E’]. suas faces laterais [B

437

SOLUÇÕES

884.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o. A base do cone está contida no plano YZ, pelo que o plano a rebater é o plano YZ – este rebateu-se pelo método do rebatimento dos planos coordenados (ver exercício 7 6 0 ).

Tenha em conta que para a representação axonométrica de cones (e cilindros também), é fundamental a determin a ç ã o r i g o r o s a d a s g e r a t r i z e s d o c o n t o r n o a p a r e n t e.

Tendo em conta que as perspectivas das bases são necessariamente e l i p s e s, que resultam de um desenho à mão livre e não rigoroso, não existe nenhum processo geométrico rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma elipse, como existe para as rectas tangentes a uma circunferência. Assim, para além da construção das perspectivas das bases (que são elipses) é necessária a determinação de mais alguns pontos, pelo que não é aconselhável o recurso ao método dos cortes, mas, antes, o processo do rebatimento dos planos coordenados. Assim sendo, para a construção da perspectiva da base (da elipse) seguiram-se todos os procedimentos explicitados no relatório do exercício 878 . Note que a grande diferença entre os dois processos (o métodos dos cortes, utilizado no exercício 878, e o método do rebatimento dos planos coordenados, utilizado neste exercício) reside no facto de, com o segundo método, neste exercício, existe uma sobreposição da base em rebatimento e da base em perspectiva, o que, no método dos cortes, se consegue evitar. De qualquer forma, os procedimentos foram rigorosamente os mesmos. Em primeiro lugar rebateu-se o plano YZ, que é o plano que contém a base do cone – a charneira do rebatimento é a recta e (note que, para a resolução do exercício, não é necessário o desenho do triângulo fundamental na totalidade, pois basta-nos o lado do triângulo que é a charneira do rebatimento). Representou-se Qr, o centro da base, em rebatimento, em função das suas coordenadas (afastamento e cota) – com o compasso, fazendo centro em Qr e com 3 cm de raio, desenhou-se a circunferência que delimita a base do cone, em rebatimento. Em seguida, inscreveu-se a circunferência num quadrado de lados paralelos à charneira, desenhando-se, em seguida, as suas medianas e as suas diagonais. Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado são, imediatamente, quatro pontos da circunferência e as suas perspectivas serão os extremos dos dois eixos da elipse. A construção da perspectiva do quadrado efectuou-se a partir dos pontos em que os lados paralelos à charneira são concorrentes com o eixo Y – os pontos R e S. A perspectiva do quadrado é um rectângulo – o rectângulo tem centro na perspectiva de Q, pela qual se conduziram as diagonais do rectângulo (que são as perspectivas das diagonais do quadrado). Transportaram-se, para a perspectiva, os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado (através de perpendiculares à charneira) e, dessa forma, obtiveram-se os oito pontos necessários a um desenho relativamente preciso da elipse, que é a perspectiva da base do cone. No entanto, não é aconselhável desenhar de imediato a elipse, pois os procedimentos sequentes vão originar a determinação de mais dois pontos da curva. Esses procedimentos são os necessários à determinação das geratrizes do contorno aparente, e têm a ver com a determinação dos planos tangentes ao cone que contêm a direcção das projectantes, o que se efectua em três passos, conforme explicitado nas páginas 14 a 17 do Volume 2 do Manual e que em seguida se especificam. 1. Pelo vértice do cone conduz-se uma recta, a recta i, que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes (note que a recta i é uma recta projectante, pelo que a sua perspectiva é um ponto, coincidente com a perspectiva de V) – a recta i é uma recta ortogonal ao plano axonométrico e é a recta projectante de V. 2. Determina-se o ponto I, que é o ponto de intersecção da recta i com o plano da base do cone, o plano YZ (a perspectiva de I está necessariamente coincidente com a perspectiva de i e de V). 3. Por I conduzem-se as rectas tangentes à base do cone, o que tem de se processar em rebatimento, pois, como anteriormente se referiu, não existe processo algum para a determinação rigorosa das tangentes a uma elipse. Assim, é necessário rebater o ponto I, o que se processa com o recurso a uma recta do plano YZ que passa por I – a recta m. A recta m é uma recta que está contida no plano YZ e é paralela ao eixo Z (é uma recta vertical), sendo concorrente com a charneira (recta e) no ponto M, que é fixo. Por Mr conduz-se mr, paralela ao eixo Zr. O ponto I r é o ponto em que a recta mr é concorrente com a perpendicular à charneira que passa por I. Por Ir conduzem-se as rectas tangentes à base, em rebatimento (que é uma circunferência), pelo traçado rigoroso das tangentes a uma circunferência, passando por um ponto exterior (que, neste caso, é Ir). As rectas t r e t’r são as rectas tangentes à base em Tr e T’r, respectivamente. As geratrizes do contorno aparente do cone passarão pelo vértice e pelas perspectivas de T e T’. As perspectivas de T e T’ obtiveram-se conduzindo, por Tr e por T’r, uma recta, que é paralela à charneira – a recta nr. Esta recta é concorrente com o eixo Yr num ponto Nr – conduzindo, por Nr, uma perpendicular à charneira, determinou-se a perspectiva de sobre a perspectiva do eixo Y. A perspectiva da recta n passa pela perspectiva de N e é paralela à charneira. As perspectivas de T e T’ determinaram-se, sobre a perspectiva da recta n, através das perpendiculares à charneira que por eles passam. As perspectivas das geratrizes do contorno aparente podem desenhar-se imediatamente – uma tem extremos em V e em T e a outra em V e em T’. Note que, agora, temos dez pontos para o desenho da elipse à mão livre, que tem de passar pelos oito pontos determinados previamente e pelos pontos T e T’. Tenha ainda em conta que a elipse é concordante com as perspectivas TV] e [T T’V] nas perspectivas de T e T’, respectivamente. Em seguida assinalou-se convenientemente a parte invisível do condas geratrizes [T torno da base do cone, que é a parte menor da elipse que tem extremos nas perspectivas de T e T’.

438

SOLUÇÕES

885.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o. A base inferior do cilindro está contida no plano XY, pelo que o plano a rebater é o plano XY – este rebateu-se pelo método do rebatimento dos planos coordenados (ver exercício 760).

Tenha em conta que para a representação axonométrica de cilindros (tal como se observou no exercício anterior, para o cone), é fundamental a d e t e r m i n a ç ã o r i g o r o s a das geratrizes do contorno aparente. Tenha em conta que as perspectivas das bases são necessariamente elips e s e que não existe qualquer processo geométrico rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma elipse. Assim, para além da construção das perspectivas das bases (que são elipses) é necessária a eventual determinação de mais alguns pontos, pelo que não é aconselhável o recurso ao m é t o d o d o s c o r t e s , mas, antes, o processo do rebatimento dos planos coordenados (à semelhança do exposto no relatório do exercício anterior). Assim sendo, para a construção da perspectiva da base inferior (da elipse) seguiram-se todos os procedimentos explicitados no relatório do exercício anterior. Em primeiro lugar rebateu-se o plano XY, que é o plano que contém a base inferior do cilindro – a charneira do rebatimento é a recta e. Representou-se Qr, o centro da base, em rebatimento, em função das suas coordenadas (abcissa e afastamento) – com o compasso, fazendo centro em Qr e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência que delimita a base inferior do cilindro, em rebatimento.

Em seguida, inscreveu-se a circunferência num quadrado de lados paralelos à charneira, desenhando-se, em seguida, as suas medianas e as suas diagonais. Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado são, imediatamente, quatro pontos da circunferência e as suas perspectivas serão os extremos dos dois eixos da elipse. A construção da perspectiva do quadrado efectuou-se a partir dos pontos em que os lados paralelos à charneira são concorrentes com o eixo Y – os pontos R e S. A perspectiva do quadrado é um rectângulo – o rectângulo tem centro na perspectiva de Q, pela qual se conduziram as diagonais do rectângulo (que são as perspectivas das diagonais do quadrado). Transportaram-se, para a perspectiva, os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado (através de perpendiculares à charneira) e, dessa forma, obtiveram-se os oito pontos necessários a um desenho relativamente preciso da elipse, que é a perspectiva da base inferior do cilindro (que não se desenhou). Em seguida, efectuaram-se os traçados necessários à construção da elipse que é a perspectiva da base superior. A determinação da perspectiva da cota do plano ν (o plano horizontal que contém a base superior do cilindro) determinou-se com o recurso a um ponto M, do eixo X, com 8 cm de abcissa (a cota de ν) – ver relatório do exercício 881. O plano da base superior representou-se pelas perspectivas dos seus traços frontal (ff ν) pν). Para a construção da base superior, foram transportados, para o respectivo plano, todas as referências obtidas para a construe lateral (p ção da elipse da base inferior. Note que, para o transporte das referências da base inferior para a base superior, a perspectiva de pν corresponde à perspectiva do eixo Y e a perspectiva de f ν corresponde à perspectiva do eixo X. Note que, apesar de ser possível desenhar, de imediato, as duas elipses, à semelhança do exposto para os cones, não é aconselhável desenhar as duas curvas sem os procedimentos sequentes, pois estes podem originar a determinação de mais dois pontos das curvas (em particular nos cilindros oblíquos). Esses procedimentos são os necessários à determinação das geratrizes do contorno aparente, e têm a ver com a determinação dos planos tangentes ao cilindro que contêm a direcção das projectantes, o que se efectua em três passos, conforme explicitado nas páginas 25 a 28 do Volume 2 do Manual e que em seguida se especificam. 1. Por um ponto qualquer conduzem-se duas rectas – uma recta r, paralela às geratrizes do cilindro, e uma recta s, projectante. As rectas r e s, porque são concorrentes, definem um plano, que é paralelo aos planos tangentes. 2. Determina-se a recta i, a recta de intersecção do plano definido pelas rectas r e s com o plano da base do cilindro – o plano XY, neste caso.

3. Determinam-se as rectas tangentes à base (de referência) que são paralelas à recta i, o que nos permite obter os pontos pelos quais passam as geratrizes do contorno aparente. Neste exercício, a aplicação dos passos acima enunciados é a que em seguida se expõe. 1. A recta Q’ é o centro da base superior do cilindro). r é o próprio eixo do cilindro e a recta s (que é a recta projectante) é concorrente com r em Q’ (Q A perspectiva da recta s é um ponto, pois trata-se de uma recta projectante (ortogonal ao plano axonométrico) – a perspectiva da recta s está, assim, coincidente com a perspectiva de Q’. O plano definido pelas duas rectas é o próprio plano projectante do eixo do cilindro (que, neste caso, é o próprio plano projectante do eixo Z). 2. Determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano definido por r e s, com o plano XY (o plano da base de referência) – a recta i está definida por Q (o ponto de intersecção de r com o plano XY – recorde que a recta r é o próprio eixo do cilindro) e pelo ponto I, que é o ponto de intersecção da recta s com o plano XY. Tenha em conta que a perspectiva de I está coincidente com a perspectiva de Q’ e com a perspectiva da recta s – a recta s, sendo uma recta projectante, projecta todos os seus pontos num único ponto. 3. O traçado das rectas tangentes à base do cilindro que são paralelas a i só se pode processar em rebatimento, pois, como anteriormente se referiu, não existe processo algum para a determinação rigorosa das tangentes a uma elipse. Assim, é necessário rebater a recta i, o que se processa de forma imediata, uma vez que a recta existe num plano ortogonal à charneira. Assim, tem-se que ir ≡ i. Em rebatimento, conduzem-se as rectas tangentes à base do cilindro que são paralelas a ir – tr e t’r. Estas são tangentes à base (de referência) em A r e Br, cujas perspectivas serão os pontos pelos quais passarão as geratrizes do contorno aparente. Note que A e B são, já, dois dos pontos previamente (Continua na página seguinte) 439

SOLUÇÕES

A A ’] e [B BB’] são, precisamente, as persdeterminados para o desenho da elipse. A’ e B’ são os pontos correspondentes da base superior e [A pectivas das geratrizes do contorno aparente. Em seguida desenhou-se a perspectiva do cilindro, o que implicou o desenho das duas elipses que são as perspectivas das suas bases, assinalando-se convenientemente as invisibilidades que existem na base inferior. Tenha ainda em A A ’] e [B BB’] nas perspectivas conta que a elipse inferior (a perspectiva da base inferior) é concordante com as perspectivas das geratrizes [A de A e B, respectivamente. Da mesma forma, a elipse superior (a perspectiva da base superior) é concordante com as perspectivas das geraA A ’] e [B BB’] nas perspectivas de A’ e B’, respectivamente. Em seguida assinalou-se convenientemente a parte invisível do contorno da trizes [A base inferior do cilindro, que é a parte menor da elipse que tem extremos nas perspectivas de A e B.

886.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o.

As bases dos dois sólidos estão contidas no plano XY, pelo que o plano a rebater é o plano XY, que se rebateu pelo método dos cortes (ver exercício 876).

Representaram-se os pontos A e B, em rebatimento Ar e Br), em função das suas coordenadas (abcissa e (A afastamento). A partir de Ar e Br, construiu-se o quaA B CD] em V.G., em rebatimento, o que nos drado [A A BCD] é a permitiu determinar Cr e Dr. O quadrado [A base da pirâmide. V1r é a projecção horizontal de V, em rebatimento, e situa-se no centro do quadrado. A CDEF], em partir de Cr e Dr, construiu-se o quadrado [C V.G., em rebatimento, o que nos permitiu determinar Er e Fr. Note que é referido expressamente que os dois sólidos não se interpenetram, pelo que o lado CD] é um lado comum aos dois polígonos. Os três [C eixos têm o mesmo coeficiente de redução, pelo que é possível, a partir dos eixos rebatidos, determinar a cota de V (o vértice da pirâmide) e a cota do plano ν (o plano horizontal que contém a face superior do cubo). O ponto S, do eixo X (determinado previamente em rebatimento), com 8 cm de abcissa, foi o ponto que nos permitiu determinar a cota de V (ver exercício 880 e respectivo relatório). O ponto R , do eixo X (determinado previamente em rebatimento), com CDEF], foi o ponto abcissa igual ao lado do quadrado [C que nos permitiu determinar a cota do plano ν (ver exercício 882 e respectivo relatório). Para inverter o rebatimento recorreu-se a três rectas do plano XY que contêm os vértices dos quadrados – as rectas a, b e c.

A B]. A recta b A recta a é a recta suporte do segmento [A CD]. A recta c é a recta é a recta suporte do segmento [C EF]. As rectas a, b e c são três suporte do segmento [E rectas horizontais (de nível) do plano XY. A recta ar intersecta o eixo Xr ’ em M r e o eixo Yr ’ em P r – as perspectivas de M e P determinaram-se sobre as perspectivas do eixo X e do eixo Y, respectivamente, recorrendo às perpendiculares à charneira que por passam por aqueles pontos. Note que M é o traço frontal da recta a e P é o seu traço lateral. A perspectiva da recta a está, assim, determinada – fica definida pelas perspectivas de M e P (a está definida por dois pontos). Por Ar e Br conduziram-se as perpendiculares à charneira que por eles passam – as perspectivas de A e B são os pontos de intersecção daquelas com a perspectiva da recta a. A recta br é paralela à recta ar e intersecta o eixo Xr’ no ponto M’r (M M’ é o traço frontal da recta b) – a perspectiva de M’ determinou-se sobre a perspectiva do eixo X, através da perpendicular à charneira que passa por M’r. A perspectiva da recta b passa pela perspectiva de M’ e é paralela à perspectiva da recta a.

M’’ é o traço frontal da recta c) – a perspectiva de M’’ determinou-se A recta cr é paralela às rectas ar e br e intersecta o eixo Xr’ no ponto M’’r (M sobre a perspectiva do eixo X, através da perpendicular à charneira que passa por M’’r. A perspectiva da recta c passa pela perspectiva de M’’ e é paralela às perspectivas das rectas a e b. As perspectivas dos pontos C e D determinaram-se sobre a perspectiva da recta b, recorrendo às rectas perpendiculares à charneira que passam por Cr e Dr. As perspectivas dos pontos E e F determinaram-se sobre a perspectiva da recta c, recorrendo às rectas perpendiculares à charneira que passam por Er e Fr. Para determinar as perspectivas dos vértices da face superior do cubo, recorreu-se às rectas b’ e c’, do plano ν. A recta b’ é uma recta paralela à recta b que pertence ao plano ν – note que a recta b é a projecção CC’] e [D DD’] do cubo são verticais, o que nos permitiu deterhorizontal da recta b’. N’ é o traço frontal da recta b’ e tem-se N’1 ≡ M’. As arestas [C minar as perspectivas de C’ e D’ sobre a perspectiva da recta b’. A recta c’ é uma recta paralela à recta c que pertence ao plano ν – note que a EE’] e [F FF’] do cubo são verticais, o recta c é a projecção horizontal da recta c’. N’’ é o traço frontal da recta c’ e tem-se N’’1 ≡ M’’. As arestas [E que nos permitiu determinar as perspectivas de E’ e F’ sobre a perspectiva da recta c’. A partir das perspectivas de todos os vértices do cubo, desenhou-se a perspectiva do sólido, atendendo às invisibilidades observadas. Em seguida determinou-se a perspectiva de V, o que nos permiCV] e [D DV], da pirâmide, que setiu desenhar a perspectiva da pirâmide, atendendo às invisibilidades observadas. Note que as arestas laterais [C riam visíveis, estão parcialmente ocultas pelo cubo, que está à frente da pirâmide, o que se assinalou convenientemente.

440

SOLUÇÕES

887.

Em primeiro lugar, representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o. Neste exercício, em função do objecto a perspectivar, optou-se por se representar previamente o objecto pelas suas projecções frontal e horizontal, em rebatimento, para o que se recorreu ao método dos cortes (ver exercício 779).

No plano XY, rebatido e transladado, representou-se a projecção horizontal do objecto, em V.G., em função dos dados.

No plano XZ, rebatido e transladado, representou-se a projecção frontal do objecto, em V.G., em função dos dados.

Em seguida, conduzindo, por cada par de projecções, em rebatimento, de cada um dos vértices do sólido, rectas perpendiculares às respectivas charneiras (correspondentes aos planos ortogonais às respectivas charneiras do rebatimento), obtiveram-se sucessivamente as perspectivas propriamente ditas de cada um dos vértices do sólido, o que nos permitiu a construção da sua perspectiva, na qual se assinalaram adequadamente as invisibilidades.

Salienta-se, de qualquer forma, que a resolução deste exercício deverá ser precedida por um exercício prévio de visualização no espaço do objecto dado, a partir das suas projecções. pν). Por O plano horizontal (de nível) sobre o qual o objecto assenta foi representado pelas perspectivas dos seus traços frontal (ff ν) e lateral (p outro lado, em função da posição das projecções do sólido que foram dadas, e uma vez que o ponto A tem afastamento nulo, conclui-se que a face posterior do sólido está contida no plano coordenado XZ.

888.

O eixo Y é aquele que sofre uma redução isolada (a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos) – as perspectivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 100o (o somatório dos três ângulos é 360o). Uma vez que o quadrado está contido num plano horizontal (de nível), paralelo ao plano XY, projecta-se em V.G. no plano XY, ou seja, o quadrado e a sua projecção horizontal são dois polígonos geometricamente iguais. Assim sendo, rebateu-se o plano XY , pelo método dos cortes (ver exercício 784 e respectivo relatório) – o plano coordenado XY rebateu-se para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento.

Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a própria perspectiva do eixo Z), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Yr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Xr ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr. Sobre o eixo Xr ’ representaram-se as abcissas de A e C, em V.G., e sobre o eixo Yr ’ (Continua na página seguinte) 441

SOLUÇÕES

representaram-se os afastamentos de A e C, em V.G., o que nos permitiu determinar A 1r e C1r. Note que A 1r e C1r são as projecções h o r i z o n t a i s de A e C em rebatimento. A partir de A 1r e C1r construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, obtendo B 1r e D1r (que são as projecções horizontais de B e D, em rebatimento). Em seguida determinaram-se as perspectivas dos traços do plano ν (o plano horizontal que contém a figura), para o que foi necessário determinar a perspectiva da sua cota. O eixo X e o eixo Z têm o mesmo coeficiente de redução – o ponto M foi o ponto do eixo X que nos permitiu determinar a perspectiva da cota do plano ν. M é um ponto do eixo X que tem 3 cm de abcissa, que é igual à cota do plano ν. Por Mr conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de M sobre a perspectiva do eixo X. Com o compasso, fazendo centro em O e raio até à perspectiva de M, transportou-se a perspectiva da abcissa de M para a perspectiva do eixo Z, obtendo a perspectiva de um ponto com a cota do plano ν – por esse ponto conduziram-se as perspectivas dos traços do plano ν (ff ν é a perspectiva do traço frontal de ν e é paralelo à perspectiva do eixo X, tal como pν é a perspectiva do traço lateral de ν e é paralelo à perspectiva do eixo Y). A inversão do rebatimento processou-se de forma distinta para os pontos A e C e para os pontos B e D. As perspectivas dos pontos A e C determinaram-se a partir das perspectivas das respectivas coordenadas, transportando, para f ν e para pν, as referências das abcissas e dos afastamentos de A e C, que nos permitiram determinar as perspectivas das projecções frontais A 3 e C3) – a partir destas, determinaram-se as perspectivas proA 2 e C2), bem como as perspectivas das suas projecções laterais (A de A e C (A A 1 e C1). Para determinar as perspectivas de B e D priamente ditas de A e C, bem como as perspectivas das suas projecções horizontais (A BD] do quadrado. A recta r é uma recta horizontal (de nírecorreu-se a uma recta do plano XY – a recta r, que é a recta suporte da diagonal [B vel) do plano XY. A recta r 1r (a projecção horizontal da recta r, em rebatimento) intersecta o eixo Xr ’ em S1r e o eixo Yr ’ em R 1r – R é o traço lateral da recta r e S o seu traço frontal. Conduziu-se, por R 1r, uma perpendicular à charneira e determinaram-se as perspectivas de R 1 e de R, sobre a perspectiva do eixo X e sobre a perspectiva de pν, respectivamente. O processo repetiu-se para S1r, o que nos permitiu determinar as perspectivas de S1 e de S, sobre a perspectiva do eixo X e sobre a perspectiva de f ν, respectivamente. A perspectiva de r 1 (a projecção horizontal de r) passa por R 1 e por S1 e a perspectiva propriamente dita da recta r passa pelas perspectivas de R e S. Conduzindo, por B 1r e por D1r, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as perspectivas de B 1 e D1 sobre a perspectiva de r 1 e as perspectivas de B e D sobre a perspectiva da recta r. A partir das perspectivas dos quatro vértices do polígono, desenhou-se a sua perspectiva propriamente dita. Note que as perspectivas das projecções horizontais dos quatro vértices do polígono nos permitiram, também, desenhar a perspectiva da projecção horizontal do quadrado, na qual se assinalou convenientemente a invisibilidade existente (por parte da projecção horizontal estar oculta pela figura).

889.

A perspectiva do eixo Z faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos, pelo que o eixo Z é o que sofre uma redução isolada. As perspectivas dos outros dois eixos (eixo X e eixo Y) fazem, entre si, um ângulo de 110o (2 x 125o + 110o = 360o).

O hexágono está contido num plano de perfil π, que é paralelo ao plano YZ, pelo que se projecta em V.G. no plano YZ – o hexágono e a sua projecção lateral são dois polígonos geometricamente iguais. Assim, o plano a rebater é o plano YZ , que se rebateu pelo método dos cortes (ver exercício 785) – o plano coordenado YZ rebateu-se para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a própria perspectiva do eixo X), efectuou-se uma translação de O r , com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Yr’ e o eixo Zr’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Yr’ é paralelo ao eixo Yr e o eixo Zr’ é paralelo ao eixo Zr. Sobre o eixo Yr’ representou-se o afastamento de A, em V.G., e sobre o eixo Zr’ representou-se a cota de A, em V.G., o que nos permitiu determinar A 3r.

A B] é vertical, pelo que é paralelo ao eixo Z – por A 3r conduziu-se uma paraNote que A 3r é a projecção lateral de A, em rebatimento. O lado [A lela ao eixo Zr’ e sobre aquela mediram-se os 3,5 cm (o lado do hexágono), obtendo B3r. A partir de A 3r e de B3r, construiu-se a projecção lateral do hexágono em V.G., em rebatimento. Para inverter o rebatimento recorreu-se a três rectas do plano que contêm os vértices do polígono – AF] do hexágono. A recta b é a recta suporte da diagonal [B BE] do hexágono. A recta c é as rectas a, b e c. A recta a é a recta suporte do lado [A CD] do hexágono. As rectas a, b e c são três rectas de perfil do plano π – a3r, b3r e c 3r são, respectivamente, as projeca recta suporte do lado [C ções laterais das rectas a, b e c, em rebatimento. Para determinar as perspectivas daquelas rectas há que, em primeiro lugar, determinar os traços do plano π, o plano que contém a figura, para o que é necessário determinar a perspectiva da sua abcissa. Atendendo a que o eixo X e o (Continua na página seguinte) 442

SOLUÇÕES

eixo Y têm o mesmo coeficiente de redução, sobre o eixo Yr’ representou-se um ponto Pr – P é um ponto do eixo Y que tem 4 cm de afastamento, que é igual à abcissa do plano π. Por Pr conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de P sobre a perspectiva do eixo Y. Com o compasso, fazendo centro em O e raio até à perspectiva de P, transportou-se a perspectiva do afastamento de P para a perspectiva do eixo X, obtendo a perspectiva de um ponto com a abcissa de π – por esse ponto conduziram-se as perspectivas dos traços do hπ é a perspectiva do traço horizontal de π e é paralelo à perspectiva do eixo Y, tal como f π é a perspectiva do traço frontal de π e é paplano π (h ralelo à perspectiva do eixo Z). A recta a3r intersecta o eixo Yr’ em M3r e o eixo Zr’ em R 3r – as perspectivas de M e R determinaram-se sobre as perspectivas de hπ e de f π, respectivamente, recorrendo às perpendiculares à charneira que por eles passam. Note que M é o traço horizontal da recta a e R é o seu traço frontal. Note ainda que também se determinaram as perspectivas das projecções de M e R, embora tal não fosse necessário. A perspectiva da recta a está, assim, determinada – fica definida pelas perspectivas de M e R (a está definida por dois pontos) – note que se desenhou, também, a3, a perspectiva da projecção lateral da recta a. Por A 3r e F3r conduziram-se as perpendiculares à charneira que por eles passam – as perspectivas de A e F são os pontos de intersecção daquelas com a perspectiva da recta a. A recta b3r é paralela à S é o traço frontal da recta b) – a perspectiva de S determinou-se sobre a perspectiva de f π, atrarecta a3r e intersecta o eixo Zr’ no ponto S3r (S vés da perpendicular à charneira que passa por S3r. A perspectiva da recta b passa pela perspectiva de S e é paralela à perspectiva da recta a.

T é o traço frontal da recta c) – a perspectiva de T determinou-se soA recta c 3r é paralela às rectas a3r e b3r e intersecta o eixo Zr’ no ponto T3r (T bre a perspectiva de f π, através da perpendicular à charneira que passa por T3r. A perspectiva da recta c passa pela perspectiva de T e é paralela às perspectivas das rectas a e b. Note que se desenharam, também, as perspectivas de b3 e c 3, as projecções laterais das rectas b e c. As perspectivas dos pontos B e E determinaram-se sobre a perspectiva da recta b, recorrendo às rectas perpendiculares à charneira que passam por B3r e E3r. As perspectivas dos pontos C e D determinaram-se sobre a perspectiva da recta c, recorrendo às rectas perpendiculares à charneira que passam por C3r e D3r. A partir das perspectivas propriamente ditas dos seis vértices do hexágono, desenhou-se a perspectiva propriamente dita do polígono. Note que se determinaram, também, as perspectivas das projecções laterais dos seis vértices do polígono, o que nos permitiu desenhar a perspectiva da projecção lateral do hexágono, embora esta não fosse estritamente essencial à resolução do exercício.

890.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo X, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 140o entre si – a perspectiva do eixo X faz ângulos de 110o com as perspectivas dos outros dois eixos (2 x 110o + 140o = 360o). Uma vez que o pentágono está contido num plano horizontal (de nível), paralelo ao plano X Y , projecta-se em V.G. no plano XY, ou seja, o pentágono e a sua projecção horizontal são dois polígonos geometricamente iguais. Assim sendo, rebateu-se o plano XY, pelo método dos cortes (ver exercício 888 e respectivo relatório). Uma vez que a circunferência circunscrita ao polígono é tangente aos planos XY e YZ, o seu centro tem de estar equidistante dos dois planos – o centro da circunferência tem, assim, 3,5 cm (o raio da circunferência) de abcissa e de afastamento.

Sobre o plano X Y , rebatido e transladado, representou-se Q1r (a projecção horizontal do centro da circunferência, em rebatimento), em função da sua abcissa e do seu afastamento, e desenhou-se a projecção horizontal da circunferência, que é tangente ao eixo Xr’ e ao eixo Yr’.

Uma vez que o vértice A , do pentágono, tem abcissa nula, A será o ponto em que a circunferência é tangente ao plano YZ – este raciocínio permitiu-nos determinar A 1r (a projecção horiz o n t a l de A , em rebatimento, que se situa sobre o eixo Yr ’) e, em seguida, construir a projecção horizontal do pentágono em V.G., em rebatimento, determinando B 1r (que é o vértice de menor afastamento do polígono), C1r, D1r e E1r. Para inverter o rebatimento, é necessário, em primeiro lugar, determinar a perspectiva da cota do plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a figura, o que se processou conforme exposto no relatório do exercício 888, atendendo a que, nesta situação, os eixos que têm o mesmo coeficiente de redução são o eixo Y e o eixo Z. O ponto M, do eixo Y, foi o ponto que nos permitiu determinar a perspectiva de um ponto do eixo Z com 5 cm de cota, pelo qual se conduziram as perspectivas dos traços do plano ν (ff ν é a perspectiva do traço frontal de ν e é paralelo à perspectiva do eixo X, tal como pν é a perspectiva do traço lateral de ν e é paralelo à perspectiva do eixo Y). Para inverter o rebatimento recorreu-se a três rectas do A B] do pentágono. A recta b é a recta plano que contêm os vértices do polígono – as rectas a, b e c. A recta a é a recta suporte do lado [A (Continua na página seguinte) 443

SOLUÇÕES

CE] do pentágono. A recta c é uma recta paralela às rectas a e b que passa pelo vértice D do pentágono. As rectas a, suporte da diagonal [C b e c são três rectas horizontais (de nível) do plano ν – a1r, b1r e c 1r são, respectivamente, as projecções horizontais das rectas a, b e c, no rebatimento do plano XY. A recta a1r intersecta o eixo Xr ’ em B 1r e o eixo Yr ’ em A 1r – as perspectivas de B e A determinaram-se sobre as perspectivas de f ν e de pν, respectivamente, recorrendo às perpendiculares à charneira que por eles passam. Note que B é o traço frontal da recta a (é um ponto de f ν) e que A é o seu traço lateral (é um ponto de pν). Note ainda que se omitiram as perspectivas das projecções de A e B. Tenha em conta que se verifica a condição para que uma recta pertença a um plano – os traços da recta pertencem aos traços homónimos do plano. A perspectiva da recta a está, assim, determinada – fica definida pelas perspectivas de B e A (a está definida por dois F é o traço frontal da recta b) e intersecta o eixo Yr ’ no ponto pontos). A recta b1r é paralela à recta a1r e intersecta o eixo Xr ’ no ponto F1r (F P1r (P P é o traço lateral da recta b). A perspectiva de F determinou-se sobre a perspectiva de f ν, recorrendo à perpendicular à charneira que passa por F1r. A perspectiva de P determinou-se sobre a perspectiva de pν, recorrendo à perpendicular à charneira que passa por P1r.

A perspectiva da recta b passa pelas perspectivas de F e P e é paralela à perspectiva da recta a (a e b são rectas paralelas). A recta c 1r é F’ é o traço frontal da recta c) – a perspectiva de F’ determinou-se sobre a paralela às rectas a1r e b1r e intersecta o eixo Xr ’ no ponto F’1r (F perspectiva de f ν, recorrendo à perpendicular à charneira que passa por F’1r. A perspectiva da recta c passa pela perspectiva de F’ e é paralela às perspectivas das rectas a e b. As perspectivas dos pontos C e E determinaram-se sobre a perspectiva da recta b, recorrendo às rectas perpendiculares à charneira que passam por C 1r e E1r . A perspectiva do ponto D determinou-se sobre a perspectiva da recta c , recorrendo à recta perpendicular à charneira que passa por D1r. A partir das perspectivas propriamente ditas dos cinco vértices do pentágono, desenhou-se a perspectiva propriamente dita do polígono. Note que se omitiram as perspectivas das projecções dos cinco vértices do polígono, por tal não ser essencial à resolução do exercício.

891.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo X, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 130o entre si – a perspectiva do eixo X faz ângulos de 115o com as perspectivas dos outros dois eixos (2 x 115o + 130o = 360o). Uma vez que o triângulo está contido num plano frontal (de frente), paralelo ao plano XZ, projecta-se em V.G. no plano XZ, ou seja, o triângulo e a sua projecção frontal são dois polígonos geometricamente iguais.

Assim sendo, rebateu-se o plano XZ, pelo método dos cortes (ver exercício 784) – o plano coordenado XZ rebateu-se para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a própria perspectiva do eixo Y), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Zr’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Xr’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Zr’ é paralelo ao eixo Zr. Sobre o eixo Xr’ representou-se a abcissa de A , em V.G., e sobre o eixo Zr ’ representou-se a cota de A , em V.G., o que nos permitiu determinar A 2r.

Note que A 2r é a projecção frontal de A , em rebatimento (no reA B] do triângulo batimento do plano XZ). O ângulo que o lado [A A B] é um segmento de recta frontal (a V.G. do Ângulo está no faz com o plano coordenado XY projecta-se em V.G. no plano XZ – note que [A A B] e o eixo X). Assim, por A 2r conduziu-se uma recta que faz um ângulo de 15o com o eixo Xr ’ e deterângulo entre a projecção frontal de [A minou-se B 2r, sobre essa recta, a 5 cm (a medida do lado do polígono) – B 2r é a projecção frontal de B, em rebatimento. A partir de A 2r e B 2r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, obtendo C2r (que é a projecção frontal de C, em rebatimento). Em seguida, determinaram-se as perspectivas dos traços do plano ϕ (o plano frontal que contém a figura), para o que foi necessário determinar a perspectiva do seu afastamento. O eixo Y e o eixo Z têm o mesmo coeficiente de redução – o ponto P foi o ponto do eixo Z que nos permitiu determinar a perspectiva do afastamento do plano ϕ. P é um ponto do eixo Z que tem 3 cm de cota, que é igual ao afastamento do plano ϕ. Por Pr conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de P sobre a perspectiva do eixo Z. Com o compasso, fazendo centro em O e raio até à perspectiva de P, transportou-se a perspectiva da cota de P para a perspectiva do eixo Y, obtendo a perspectiva de um hϕ é a perspectiva do traço ponto com o afastamento do plano ϕ – por esse ponto conduziram-se as perspectivas dos traços do plano ϕ (h horizontal de ϕ e é paralelo à perspectiva do eixo X, tal como pν é a perspectiva do traço lateral de ϕ e é paralelo à perspectiva do eixo Z).

A inversão do rebatimento processou-se a partir das perspectivas das respectivas coordenadas (abcissas e cotas), transportando, para hϕ e para pϕ, as referências das abcissas e das cotas de A , B e C, que nos permitiram determinar as perspectivas das projecções horizontais de A , B e C (A A 1, B 1 e C1), bem como as perspectivas das suas projecções laterais (A A 3, B 3 e C3) – a partir destas, determinaram-se as perspectiA 2, B 2 e C2). A partir das perspectivas dos três vas propriamente ditas de A , B e C, bem como as perspectivas das suas projecções frontais (A vértices do polígono, desenhou-se a sua perspectiva propriamente dita. Note que as perspectivas das projecções frontais dos três vértices do triângulo nos permitiram, também, desenhar a perspectiva da projecção frontal do triângulo, na qual se assinalou convenientemente a invisibilidade existente (por parte da projecção frontal estar oculta pela figura).

444

SOLUÇÕES

892.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo X, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 140o entre si – a perspectiva do eixo X faz ângulos de 110o com as perspectivas dos outros dois eixos (2 x 110o + 140o = 360o). Uma vez que a circunferência está contida no plano XZ, é necessário rebater o plano XZ, o que se processou pelo método dos cortes (ver exercício anterior e respectivo relatório). Sobre o plano XZ, rebatido e transladado, representou-se Qr, o centro da circunferência em rebatimento, em função da sua abcissa e da sua cota (note que, neste exercício, e uma vez que a circunferência está contida no próprio plano XZ, ao rebater o plano se tem o próprio ponto Q rebatido, ao contrário da situação anterior, em que a figura não estava contida no plano XZ). Com o compasso, fazendo centro em Qr e com 3 cm de raio, desenhou-se a circunferência em V.G., em rebatimento. A perspectiva de uma circunferência é uma e l i p s e, cujo desenho, por ser executado à mão livre, requer pelo menos oito dos seus pontos, para um desenho relativamente preciso da curva (ver exercício 8 7 8 e respectivo relatório) – é conveniente, no entanto, que quatro desses pontos sejam os vértices da elipse (os extremos dos seus dois eixos). Para além disso, para um desenho mais preciso da elipse será conveniente, ainda, obter o rectângulo em que ela se inscreve – é o rectângulo de que os eixos da elipse são as medianas. Começou-se por inscrever a circunferência (em V.G., em rebatimento) num quadrado, de l a d o s paralelos à charneira do rebatimento (o eixo de homologia). Em seguida, desenharam-se as medianas e as diagonais do quadrado – os pontos em que a circunferência é tangente aos lados do quadrado nos pontos são, precisamente, os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado. As perspectivas desses quatro pontos serão, imediatamente, quatro pontos da elipse. A perspectiva da mediana paralela à charneira será o eixo maior da elipse (por ser o diâmetro da circunferência que não sofre deformação) e a perspectiva da mediana que é perpendicular à charneira será o eixo menor da elipse (por ser o diâmetro da circunferência que sofre a maior redução). A perspectiva do quadrado será, precisamente, o rectângulo envolvente da elipse, a cujos lados a elipse será necessariamente tangente. Para obter a perspectiva do quadrado conduziu-se, pelos lados do quadrado que são paralelos à charneira, duas rectas – uma recta ar e uma recta br. A recta ar é a recta suporte do lado inferior do quadrado e é concorrente com o eixo Zr ’ no ponto A r. A perspectiva de A (sobre a perspectiva do eixo Z) determinou-se imediatamente, conduzindo, por aquele ponto, uma perpendicular à charneira. A perspectiva da recta a passa pela perspectiva de A e é paralela à charneira (a recta a está definida por um ponto e uma direcção). A recta br é a recta suporte do lado superior do quadrado e é concorrente com o eixo Zr ’ no ponto B r. A perspectiva de B (sobre a perspectiva do eixo Z) determina-se imediatamente, conduzindo, por B r, uma recta perpendicular à charneira. A perspectiva da recta b passa pela perspectiva de B e é paralela à charneira (a recta b está definida por um ponto e uma direcção). R r é um vértice do quadrado e é um ponto da recta br – a perspectiva de R determina-se imediatamente, sobre a perspectiva da recta b, conduzindo, por R r, uma perpendicular à charneira. Sr é outro vértice do quadrado (é o vértice oposto a R r) e é um ponto da recta ar – a perspectiva de S determina-se imediatamente, sobre a perspectiva da recta a, conduzindo, por Sr, uma perpendicular à charneira. Note que a perpendicular à charneira que passa por R r contém um lado do quadrado e que a perpendicular à charneira que passa por Sr contém outro lado do quadrado – estes traçados permitiram-nos construir o rectângulo, que é a perspectiva do quadrado. A perspectiva de Q determinou-se directamente, através das diagonais do rectângulo – o ponto em que as diagonais do rectângulo se bissectam é a perspectiva de Q. Pela perspectiva de Q conduziram-se as medianas do rectângulo, paralelas aos lados correspondentes do rectângulo. Os pontos em que as medianas do rectângulo se apoiam nos lados do rectângulo são, imediatamente, quatro pontos da elipse – são os extremos dos dois eixos da elipse e são os pontos nos quais a curva é tangente aos lados do rectângulo. Os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado foram transportados para as perspectivas das diagonais (para as diagonais do rectângulo) através das rectas perpendiculares à charneira que por eles passam, obtendo-se, assim, os oito ponto necessários a um desenho relativamente preciso da curva, que foi executado à mão livre.

893.

A perspectiva do eixo X faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos, pelo que o eixo X é o que sofre uma redução isolada – as perspectivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 100o (2 x 130o + 100o = 360o). Uma vez que a base da pirâmide está contida num plano de perfil, paralelo ao plano YZ, projecta-se em V.G. no plano YZ, ou seja, o triângulo e a sua projecção lateral são dois polígonos geometricamente iguais. Assim sendo, rebateu-se o plano YZ, pelo método dos cortes (ver exercício 889). No plano YZ, rebatido e transladado, representaram-se A 3r e B 3r, as p r o j e c ç õ e s l a t e r a i s de A e B, em rebatimento, em função das respectivas coordenadas.

A partir de A 3r e B 3r construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, obtendo C3r (que é a projecção lateral de C, em rebatimento). Construiu-se, também, a projecção lateral da pirâmide em rebatimento, o que nos permitiu obter a projecção lateral do centro do triângulo e a projecção lateral do vértice da pirâmide, em rebatimento. Em seguida, determinaram-se as perspectivas dos traços do plano π (o plano de perfil que contém a base da pirâmide), para o que foi necessário determinar a perspectiva da sua abcissa. Note que o eixo X é o eixo que (Continua na página seguinte) 445

SOLUÇÕES

sofre uma redução isolada, pelo que a determinação da perspectiva da abcissa de π tem de se processar com o recurso ao rebatimento do eixo X – este rebateu-se pelo método do rebatimento do plano projectante de um eixo (ver exercício 7 4 3 e respectivo relatório). Sobre o eixo Xr, representou-se a abcissa de π, em V.G. – a inversão do rebatimento processou-se com o recurso a uma perpendicular à charneira do rebatimento (que é a perspectiva do eixo X), obtendo, sobre a perspectiva do eixo X, a perspectiva de um ponto com a abcissa do plano π, pela qual se conduziram as perspectivas dos traços do plano π hπ é a perspectiva do traço horizontal de π e é para(h lelo à perspectiva do eixo Y, tal como f π é a perspectiva do traço frontal de π e é paralelo à perspectiva do eixo Z). A inversão do rebatimento dos pontos A , B e C processou-se a partir das perspectivas das respectivas coordenadas (afastamentos e cotas), transportando, para hπ e para f π, as referências dos afastamentos e das cotas de A, B e C, que nos permitiram determinar as perspectivas das projecções horiA 1 , B 1 e C 1 ), bem como as zontais de A , B e C (A A2, B2 e C2) perspectivas das suas projecções frontais (A – a partir destas, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas de A , B e C, bem como as perspectiA 2, B 2 e C2). Note vas das suas projecções frontais (A que V tem abcissa nula, pelo que se tem V3 ≡ V. A partir das perspectivas dos quatro vértices da pirâmide, desenhou-se a sua perspectiva propriamente dita – o contorno aparente da persA BV]. Existe um único vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C, que é visípectiva da pirâmide é a linha quebrada fechada [A ACV] e [B B CV]. A vel, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base da pirâmide é visível, bem como as faces laterais [A A BV] é a única face invisível da pirâmide – note que não há qualquer aresta invisível. Em seguida, desenhou-se, ainda, a persface lateral [A pectiva da projecção horizontal da pirâmide, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes.

894.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo Z, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 140o entre si – a perspectiva do eixo Z faz ângulos de 110o com as perspectivas dos outros dois eixos (2 x 110o + 140o = 360o).

Uma vez que o pentágono da base da pirâmide está contido num plano frontal (de frente), paralelo ao plano XZ, projecta-se em V.G. no plano XZ, ou seja, o pentágono e a sua projecção frontal são dois polígonos geometricamente iguais. Assim sendo, rebateu-se o plano XZ, pelo método dos cortes (ver exercício 891). No plano XZ, rebatido e transladado, representou-se Q2r, a projecção frontal de Q, em rebatimento, em função das suas coordenadas. Com o compasso, fazendo centro em Q2r e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a projecção frontal da circunferência circunscrita ao pentágono, em rebatimento, e efectuou-se a construção do polígono, em V.G. (em rebatimento), de acordo com os dados – o lado inferior do polígono é fronto-horizontal (é paralelo ao eixo X, pelo que, em rebatimento, é paralelo ao eixo Xr), A é o vértice de maior abcissa do polígono e B o seu vértice de maior cota. Note que, tratando-se de uma pirâmide regular, o vértice V da pirâmide se situa na mesma recta projectante frontal de Q (o centro da base), pelo que se tem Q2r ≡ V2r. Em seguida, determinaram-se as perspectivas dos traços do plano ϕ (o plano frontal que contém a figura), para o que foi necessário determinar a perspectiva do seu afastamento. O eixo X e o eixo Y têm o mesmo coeficiente de redução – o ponto M foi o ponto do eixo X que nos permitiu determinar a perspectiva do afastamento do plano ϕ, de forma semelhante à exposta no relatório do exercício 891 (tendo em conta que, naquele exercício, os eixos com o mesmo coeficiente de (Continua na página seguinte) 446

SOLUÇÕES

redução eram o eixo Y e o eixo Z). Depois de determinada a perspectiva do ponto do eixo Y com o afastamento do plano ϕ, conduziram-se, por hϕ é a perspectiva do traço horizontal de ϕ e é paralelo à perspectiva do eixo X, tal como pν esse ponto, as perspectivas dos traços do plano ϕ (h é a perspectiva do traço lateral de ϕ e é paralelo à perspectiva do eixo Z). A inversão do rebatimento dos cinco vértices do pentágono processou-se a partir das perspectivas das respectivas coordenadas (abcissas e cotas), transportando, para hϕ e para pϕ, as referências das abcissas e das cotas de A, B, C, D e E, que nos permitiram determinar as perspectivas das projecções horizontais de A, B, C, D e E, bem como as perspectivas das suas projecções laterais – a partir destas, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas dos cinco vértices da base da pirâmide. Note que V tem afastamento nulo, pelo que se tem V2 ≡ V. A partir das perspectivas dos seis vértices da pirâmide, desenhou-se a sua B CDEV]. Existe um único vértice perspectiva propriamente dita – o contorno aparente da perspectiva da pirâmide é a linha quebrada fechada [B que não integra o contorno aparente – o vértice A, que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base da pirâmide é A BV] e [A AEV]. As restantes faces laterais são invisíveis, pelo que as arestas laterais [C CV] e [D DV] são invisíveis. visível, bem como as faces laterais [A

895.

Atendendo aos ângulos axonométricos dados (os ângulos entre as perspectivas dos eixos), constata-se que não pode haver dois ângulos de 130o, pois, nesse caso, o somatório dos três ângulos seria superior a 360o – existem, sim, dois ângulos de 115o. Nesse sentido, as perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 115o – o eixo Y é o que sofre uma redução isolada, pois é aquele cuja perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos (2 x 115o + 130o = 360o). Neste exercício, dada a complexidade do sólido e a informação que é fornecida sobre o mesmo, optou-se por representar previamente o sólido pelas suas projecções frontal e lateral, em rebatimento, com o recurso ao método dos cortes. Assim, rebateu-se o plano XY e efectuou-se uma translação do seu rebatimento para fora da área perspéctica (ver exercício 8 8 8 e respectivo relatório). Sobre o plano XY, rebatido e transladado, representaram-se R 1r, S1r e S’1r (as projecções horizontais de R, S e S’, em rebatimento), em função das respectivas coordenadas (abcissas e afastamentos). Em seguida, a partir de R1r e S1r, efectuou-se a construção, em rebatimento, R S T] da projecção horizontal do triângulo [R (a base inferior do prisma), obtendo T1r (a p r o j e c ç ã o h o r i z o n t a l de T , em rebatimento). A partir de S 1r e S’ 1r , tem-se a direcção da projecção horizontal das arestas laterais do prisma, o que nos permitiu conduzir, por R 1r e T1r, rectas paralelas ao S1r S’1r]. Por outro lado, atensegmento [S dendo a que os lados correspondentes das duas bases são necessariamente paralelos entre si, é possível, a partir de S’1r, e conduzindo paraS1rR 1r] e [S S1rT1r], determinar R’1r e T’1r, sobre as projecções horizontais das rectas suporte das respectivas arestas laterais – R’1r e T’1r lelas a [S são as projecções horizontais de R’ e T, os vértices em falta da base superior. Este conjunto de traçados permitiu-nos concluir a construção da projecção horizontal da pirâmide, em rebatimento (note que se optou por não identificar quaisquer invisibilidades, por tal não ser estritamente necessário para o objectivo do exercício – a perspectiva do sólido). Em seguida, rebateu-se o plano XZ e efectuou-se uma translação do seu rebatimento para fora da área perspéctica (ver exercício 891 e respectivo relatório). Sobre o plano XZ, rebatido e transladado, representaram-se R2r, S2r e S’2r (as projecções frontais de R, S e S’, em rebatimento), em função das respectivas coordenadas (abcissas e cotas), representando, ainda, o traço frontal do plano ν (o plano horizontal que contém a base superior do sólido), em rebatimento – fνr. A partir da construção previamente efectuada da projecção horizontal do sólido, em rebatimento, transportaram-se as abcissas de T, R’ e T’ para o eixo Xr ’ (pelo rebatimento do plano XZ), o que nos permitiu construir a projecção frontal do prisma, em rebatimento (no rebatimento do plano XZ). Em seguida, por S’2r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XZ e por S’1r conduziu-se uma recta perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY – o ponto de concorrência das duas perpendiculares à perspectiva propriamente dita de S’. A partir da perspectiva propriamente dita de S’, determinaram-se as perspectivas das suas projecções horizontal, frontal e lateral e determinaram-se, ainda, as perspectivas dos traços (frontal e lateral) do plano ν (o plano horizontal que contém a base superior do sólido e que contém o ponto S’). Em seguida, repetiu-se (Continua na página seguinte) 447

SOLUÇÕES

o processo descrito para os restantes vértices do sólido – conduziu-se, pelo par de projecções, em rebatimento, de cada um dos vértices do sólido, rectas perpendiculares às respectivas charneiras (correspondentes aos planos ortogonais às respectivas charneiras do rebatimento), obtendo-se sucessivamente as perspectivas propriamente ditas de cada um dos vértices do sólido. Note que se determinaram, também, as perspectivas das projecções horizontal, frontal e lateral de cada um dos vértices do sólido. Em seguida, desenhou-se a perspectiva do prisma, RTS S’R’]. Existe um único vértice que não integra o contorno aparente – o vértice T’, que cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada [R RST] é invisível, bem como a face lateral [R RR’S’S] – a única aresta é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base [R RS] da base inferior, por ser a única aresta que separa duas faces invisíveis. As outras duas faces laterais do sólido invisível, do sólido, é a aresta [R R’S’T’]. são visíveis, bem como a base superior, o triângulo [R

896.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo Z, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais (de 115o) com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 130o entre si (2 x 110o + 140o = 360o). A base do cone está contida no plano XY, pelo que o plano a rebater é o plano XY – este rebateu-se pelo método do rebatimento dos planos coordenados (ver exercício 765). Tenha em conta que para a representação axonométrica de cones (e cilindros também), é fundamental a determinação rigorosa das geratrizes do c o n t o r n o a p a r e n t e – ver exercício 884 e respectivo relatório. Como se referiu naquele relatório, não é aconselhável o recurso ao método dos cortes, mas, antes, o processo do r e b a t imento dos planos coordenados. Assim sendo, para a construção da perspectiva da base (da elipse) seguiram-se todos os procedimentos explicitados no relatório do exercício 892.

Note que, a grande diferença entre os dois processos (o métodos dos cortes, utilizado no exercício 892, e o método do rebatimento dos planos coordenados, utilizado neste exercício) reside no facto de, com o segundo método, neste exercício, existir uma sobreposição da base em rebatimento e da base em perspectiva, o que, no método dos cortes, se consegue evitar. De qualquer forma, os procedimentos foram rigorosamente os mesmos. Em primeiro lugar rebateu-se o plano XY, que é o plano que contém a base do cone – a charneira do rebatimento é a recta e. Representou-se Qr, o centro da base, em rebatimento, em função das suas coordenadas (abcissa e afastamento) – com o compasso, fazendo centro em Qr e com 3 cm de raio, desenhou-se a circunferência que delimita a base do cone, em rebatimento. Em seguida, inscreveu-se a circunferência num quadrado de lados paralelos à charneira, desenhando-se, em seguida, as suas medianas e as suas diagonais. Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado são, imediatamente, quatro pontos da circunferência e as suas perspectivas serão os extremos dos dois eixos da elipse. A construção da perspectiva do quadrado efectuou-se a partir dos pontos em que os lados paralelos à charneira são concorrentes com o eixo Y – os pontos R e S. A perspectiva do quadrado é um rectângulo – o rectângulo tem centro na perspectiva de Q, pela qual se conduziram as diagonais do rectângulo (que são as perspectivas das diagonais do quadrado). Transportaram-se, para a perspectiva, os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado (através de perpendiculares à charneira) e, dessa forma, obtiveram-se os oito pontos necessários a um desenho relativamente preciso da elipse, que é a perspectiva da base do cone. No entanto, não é aconselhável desenhar de imediato a elipse, pois os procedimentos sequentes vão originar a determinação de mais dois pontos da curva. Esses procedimentos são os necessários à determinação das geratrizes do contorno aparente. No entanto, antes de efectuar esses traçados, há que determinar a perspectiva de V, o vértice do cone. O eixo Z é o eixo que sofre uma redução isolada, pelo que a determinação da perspectiva da cota de V tem de se processar com o recurso ao rebatimento do eixo Z – este rebateu-se pelo método do rebatimento do plano projectante de um eixo (ver exercício 744 e respectivo relatório). A partir da perspectiva da cota de V e sabendo que este se situa na mesma projectante horizontal de Q, determinou-se a perspectiva de V. Em seguida, efectuaram-se os traçados necessários à determinação das geratrizes do contorno aparente, que (Continua na página seguinte) 448

SOLUÇÕES

têm a ver com a determinação dos planos tangentes ao cone que contêm a direcção das projectantes, o que se efectua em três passos, conforme explicitado nas páginas 14 a 17 do Volume 2 do Manual e que em seguida se especificam. 1. Pelo vértice do cone conduz-se uma recta, a recta i, que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes (note que a recta i é uma recta projectante, pelo que a sua perspectiva é um ponto, coincidente com a perspectiva de V) – a recta i é uma recta ortogonal ao plano axonométrico e é a recta projectante de V. 2. Determina-se o ponto I, que é o ponto de intersecção da recta i com o plano da base do cone, o plano XY (a perspectiva de I está necessariamente coincidente com a perspectiva de i e de V, pois é simultaneamente a recta projectante de V e de I). 3. Por I conduzem-se as rectas tangentes à base do cone, o que tem de se processar em rebatimento. Assim, é necessário rebater o ponto I, o que se processa com o recurso a uma recta do plano XY que passa por I – a recta m. A recta m é uma recta que está contida no plano XY e é paralela ao eixo Y (é uma recta de topo), sendo concorrente com a charneira (recta e) no ponto M, que é fixo. Por Mr conduz-se mr, paralela ao eixo Yr. O ponto I r é o ponto em que a recta mr é concorrente com a perpendicular à charneira que passa por I. Por Ir conduzem-se as rectas tangentes à base, em rebatimento (que é uma circunferência). As rectas tr e t’r são as rectas tangentes à base em Tr e T’r, respectivamente. As geratrizes do contorno aparente do cone passarão pelo vértice e pelas perspectivas de T e T’. As perspectivas de T e T’ obtiveram-se conduzindo, por Tr e por T’r, uma recta, que é paralela à charneira – a recta ar. Esta recta é concorrente com o eixo Yr num ponto A r – conduzindo, por A r, uma perpendicular à charneira (recta e), determinou-se a perspectiva de A sobre a perspectiva do eixo Y. A perspectiva da recta a passa pela perspectiva de A e é paralela à charneira (a recta a está definida por um ponto – o ponto A – e uma direcção – é paralela à charneira).

As perspectivas de T e T’ determinaram-se, sobre a perspectiva da recta a, através das perpendiculares à charneira que passam por Tr e por T’r. As perspectivas das geratrizes do contorno aparente podem desenhar-se imediatamente – uma tem extremos em V e em T e a outra em V e em T’. Note que, agora, temos dez pontos para o desenho da elipse à mão livre, que tem de passar pelos oito pontos determinados TV] e [T T’V] nas previamente e pelos pontos T e T’. Tenha ainda em conta que a elipse é concordante com as perspectivas das geratrizes [T perspectivas de T e T’, respectivamente. Em seguida, assinalou-se convenientemente a parte invisível do contorno da base do cone, que é a parte menor da elipse que tem extremos nas perspectivas de T e T’.

897. Resolução

449

SOLUÇÕES

897. Relatório O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo Y, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 140o entre si – a perspectiva do eixo X faz, com as perspectivas dos outros dois eixos, ângulos de A B CD] (que é, simultaneamente a base da pirâmide e uma face do cubo) está contido num 110o (2 x 110o + 140o = 360o). O quadrado [A A B CD] e a sua projecção horizontal não dois polígonos geometricaplano horizontal (de nível) ν, que é paralelo ao plano XY – o quadrado [A mente iguais, pelo que o plano a rebater é o plano XY, que se rebateu pelo método dos cortes (ver exercício 888 e respectivo relatório). ReA 1r e B 1r), em função das suas coordenadas (abcissa e presentaram-se as projecções horizontais dos pontos A e B, em rebatimento (A A B CD] em V.G., em rebatimento, o que nos permitiu afastamento). A partir de A 1r e B 1r, construiu-se a projecção horizontal do quadrado [A V1r é a projecção horizontal de determinar C1r e D1r. Uma vez que V se situa na projectante horizontal de D, tem-se imediatamente V1r ≡ D1r (V V, em rebatimento). O eixo X e o eixo Z têm o mesmo coeficiente de redução, pelo que é possível, a partir do eixo X rebatido, determinar a A B CD]) e a cota do plano ν’ (o plano horizontal que contém a face superior do cota do plano ν (o plano horizontal que contém o quadrado [A cubo). O ponto R , do eixo X (determinado previamente em rebatimento), com 6 cm de abcissa, foi o ponto que nos permitiu determinar a cota do plano ν (ver exercício 888 e respectivo relatório). O ponto S, do eixo X (determinado previamente em rebatimento), com abcissa A B CD], foi o ponto que nos permitiu determinar a cota do plano ν’ igual somatório da cota de ν (6 cm) com a medida do lado do quadrado [A (ver exercício 888 e respectivo relatório). Note que a diferença entre as cotas do plano ν’ e do plano ν é a medida da aresta do cubo, que é A B CD]. Os dois planos representaram-se pelas perspectivas dos seus traços frontal e lateral. Para determinar a perso lado do quadrado [A A B CD], recorreu-se a duas rectas do plano ν que contêm os vértices do quadrado – as rectas m e n. A recta m é a pectiva do quadrado [A A B]. A recta n é a recta suporte do segmento [C CD]. As rectas m e n são duas rectas horizontais (de nível) do recta suporte do segmento [A plano ν. A recta mr intersecta o eixo Xr ’ em R r e o eixo Yr ’ em P1r – as perspectivas de R e P determinaram-se sobre as perspectivas de f ν e de pν, respectivamente, recorrendo às perpendiculares à charneira que por passam por aqueles pontos. Note que R é o traço frontal da recR 1r e P1r são, respectivamente, as projecções de R e P, em rebatimento). A perspectiva da recta m está, asta m e P é o seu traço lateral (R sim, determinada – fica definida pelas perspectivas de R e P ( a está definida por dois pontos). Por A 1 r e B 1 r conduziram-se as perpendiculares à charneira que por eles passam – as perspectivas de A e B são os pontos de intersecção daquelas com a perspectiva da P’ é o traço frontal da recta n e P’1r é a projecção horizontal de recta m. A recta nr é paralela à recta mr e intersecta o eixo Yr ’ no ponto P’1r (P P’, em rebatimento) – a perspectiva de P’ determinou-se sobre a perspectiva de pν, através da perpendicular à charneira que passa por P’1r.

A perspectiva da recta n passa pela perspectiva de P’ e é paralela à perspectiva da recta m (a recta n está definida por um ponto e uma direcção). As perspectivas dos pontos C e D determinaram-se sobre a perspectiva da recta n, recorrendo às rectas perpendiculares à charneira que passam por C1r e D1r. A partir da perspectiva da projecção horizontal da recta n (n1), determinou-se a perspectiva de V1 (sobre a V ≡ V1, pois V tem cota nula). A recta m’ é uma recta paralela à recta m que perperspectiva de n1) e, por conseguinte, a perspectiva de V (V tence ao plano ν’ – note que as rectas m e m’ têm a mesma projecção horizontal. P’’ é o traço lateral da recta m’ e tem-se P’’1 ≡ P1. As aresA A ’] e [B BB’] do cubo são verticais, o que nos permitiu determinar as perspectivas de A’ e B’ sobre a perspectiva da recta m’. A recta n’ tas [A é uma recta paralela à recta n que pertence ao plano ν’ – note que as rectas n e n’ têm a mesma projecção horizontal. P’’’ é o traço lateral CC’] e [D DD’] do cubo são verticais, o que nos permitiu determinar as perspectivas de C’ e D’ soda recta n’ e tem-se P’’’1 ≡ P’1. As arestas [C bre a perspectiva da recta n’. A partir das perspectivas de todos os vértices do sólido, desenhou-se a sua perspectiva do sólido, atendendo CD] e [A A D] não são arestas desse sólido. Suàs invisibilidades observadas. Note que se trata de um único sólido, pelo que os segmentos [C blinha-se que, caso se tratasse de d o i s s ó l i d o s, esses segmentos seriam arestas a assinalar a traço forte, o que não é o caso, pois o enunciado refere expressamente tratar-se de um único sólido resultante da justaposição de um cubo e uma pirâmide. Nesse sentido, aqueles CC’D’V] é uma única face do sólido presegmentos, embora sendo linhas construtivas, não separam faces distintas do sólido – o trapézio [C CD] não pode ser uma aresta, pois não separa duas faces distintas do sólido. De forma semelhante, o trapétendido, pelo que o segmento [C AA’D’V] é uma única face do sólido pretendido, pelo que o segmento [A A D] não pode ser uma aresta, pois não separa duas faces zio [A distintas do sólido. Note que o ponto D nem sequer é um vértice do sólido final. O contorno aparente da perspectiva do sólido é a linha queAA’B’C’CV]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente – o vértice D’ (que é visível, bem como todas as brada fechada [A arestas que nele convergem) e o vértice B (que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem). Note que as faces visíveis são A’B’C’D’] e os trapézios [C CC’D’V] e [A AA’D’V]. As restantes faces são invisíveis. o quadrado [A

450

SOLUÇÕES

898.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo X, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 110o entre si – a perspectiva do eixo X faz, com as perspectivas dos outros dois eixos, ângulos de 125o (2 x 125o + 110o = 360°). A base do cone está contida no plano XZ, pelo que o plano a rebater é o plano XZ – este rebateu-se pelo método do rebatimento dos planos coordenados. A determinação dos oito pontos necessários ao desenho da elipse processou-se conforme exposto no relatório do exercício 896, pelo que se aconselha a sua leitura. Em seguida, determinou-se a perspectiva do vértice do cone, em função das suas coordenadas – uma vez que o eixo Z e o eixo Y têm o mesmo coeficiente de redução, foi possível, através do rebatimento do eixo Y (no rebatimento previamente efectuado para a determinação dos oito pontos da base), determinar a perspectiva da cota de V – o ponto P foi o ponto do eixo Y, com 8 cm de abcissa, que nos permitiu determinar a perspectiva da cota de V (ver exercício 891, tendo em conta que naquele exercício se processou ao contrário – do eixo Z para o eixo Y). A abcissa de V representou-se em V.G. no eixo Xr e o afastamento de V representou-se, em V.G., no eixo Yr. A partir da perspectiva de V e dos oito pontos determinados para o desenho da elipse, efectuaram-se os traçados necessários à determinação rigorosa das geratrizes do contorno aparente, conforme exposto no relatório do exercício 896, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Tenha em conta que, nesta situação, a recta que passa pelos pontos T e T não é paralela à charneira do rebatimento, pelo que não poderá estar definida por um ponto e uma direcção, à semelhança do que se verificou naquele exercício. Assim, a recta ar, que passa por Tr e por T’r, é concorrente com o eixo Yr no ponto A r e é concorrente com a charneira no ponto Br. B é um ponto da charneira, pelo que é fixo – Br ≡ B, pelo que a perspectiva de B está imediatamente determinada.

Conduzindo, por A r, uma perpendicular à charneira, determinou-se a perspectiva de A sobre a perspectiva do eixo Y. A perspectiva da recta a passa pelas perspectivas de A e B – a recta a está definida por dois pontos. Tenha em conta que um dos pontos poderia ser o ponto de concorrência da recta a com o eixo X, por exemplo. Conduzindo, por Tr e por T’r, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as perspectivas de T e T’ sobre a perspectiva da recta a, após o que se concluiu a construção da perspectiva do cone, conforme exposto no relatório do exercício 896. Note que, ainda nesta situação, se mantiveram as situações de concordância ali referidas.

451

SOLUÇÕES

899.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo X, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 130o entre si – a perspectiva do eixo X faz, com as perspectivas dos outros dois eixos, ângulos de 115o (2 x 115o + 130o = 360o). A base inferior do cilindro está contida no plano XY, pelo que o plano a rebater é o plano XY. Tenha em conta que para a representação axonométrica de cilindros (tal como se observou no exercício 896, para o cone), é fundamental a determinação rigorosa das geratrizes do contorno aparente. Tenha em conta que as perspectivas das bases são necessariamente e l i p s e s e que não existe qualquer processo geométrico rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma elipse.

Assim, para além da construção das perspectivas das bases (que são elipses) é necessária a eventual determinação de mais alguns pontos, pelo que não é aconselhável o recurso ao método dos cortes, mas, antes, o processo do rebatimento dos planos coordenados (à semelhança do exposto no relatório do exercício 896). Assim sendo, para a construção da perspectiva da base inferior (da elipse) seguiram-se todos os procedimentos explicitados no relatório do exercício 896, pelo que se aconselha a sua leitura.

Depois de determinados os oito pontos necessários a um desenho relativamente preciso da elipse, que é a perspectiva da base inferior do cilindro (que não se desenhou), efectuaram-se os traçados necessários à construção da elipse que é a perspectiva da base superior. A determinação da perspectiva da cota do plano ν (o plano horizontal que contém a base superior do cilindro) determinou-se com o recurso a um ponto P, do eixo X, com 6 cm de abcissa (a cota de ν) – ver relatório do exercício anterior, sobre a determinação da cota de V. O plano da base superior representou-se pelas perspectivas pν). Para a construção da base superior, foram transportados, para o respectivo plano, todas as referências dos seus traços frontal (ffν) e lateral (p obtidas para a construção da elipse da base inferior. Note que, para o transporte das referências da base inferior para a base superior, a perspectiva de pν corresponde à perspectiva do eixo Y e a perspectiva de f ν corresponde à perspectiva do eixo X. Note que, apesar de ser possível desenhar, de imediato, as duas elipses, à semelhança do exposto para os cones, não é aconselhável desenhar as duas curvas sem os procedimentos sequentes, pois estes podem originar a determinação de mais dois pontos das curvas (em particular nos cilindros oblíquos). Esses procedimentos são os necessários à determinação das geratrizes do contorno aparente, e têm a ver com a determinação dos planos tangentes ao cilindro que contêm a direcção das projectantes, o que se efectua em três passos, conforme explicitado nas páginas 25 a 28 do Volume 2 do Manual e que em seguida se especificam. 1. Por um ponto qualquer conduzem-se duas rectas – uma recta r, paralela às geratrizes do cilindro, e uma recta s, projectante. As rectas r e s, porque são concorrentes, definem um plano, que é paralelo aos planos tangentes. 2. Determina-se a recta i, a recta de intersecção do plano definido pelas rectas r e s com o plano da base do cilindro – o plano XY, neste caso.

3. Determinam-se as rectas tangentes à base (de referência) que são paralelas à recta i, o que nos permite obter os pontos pelos quais passam as geratrizes do contorno aparente. Neste exercício, a aplicação dos passos acima enunciados é a que em seguida se expõe. 1. A recta r é o Q’ é o centro da base superior do cilindro). A perspróprio eixo do cilindro e a recta s (que é a recta projectante) é concorrente com r em Q’ (Q pectiva da recta s é um ponto, pois trata-se de uma recta projectante (ortogonal ao plano axonométrico) – a perspectiva da recta s está, assim, coincidente com a perspectiva de Q’. O plano definido pelas duas rectas é o próprio plano projectante do eixo do cilindro. 2. Determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano definido por r e s, com o plano XY (o plano da base de referência) – a recta i está definida por Q (o ponto de intersecção de r com o plano XY – recorde que a recta r é o próprio eixo do cilindro) e pelo ponto I, que é o ponto de intersecção da recta s com o plano XY. Tenha em conta que a perspectiva de I está coincidente com a perspectiva de Q’ e com a perspectiva da recta s – a recta s, sendo uma recta projectante, projecta todos os seus pontos num único ponto. 3. O traçado das rectas tangentes à base do cilindro que são paralelas a i só se pode processar em rebatimento, pois, como anteriormente se referiu, não existe processo algum para a determinação rigorosa das tangentes a uma elipse. Assim, é necessário rebater a recta i, o que se processa de forma imediata, uma vez que a recta existe num plano ortogonal à charneira. Assim, tem-se ir ≡ i. Em rebatimento, conduzem-se as rectas tangentes à base do cilindro que são paralelas a ir – tr e t’r. Estas são tangentes à base (de referência) em A r e Br, cujas perspectivas serão os pontos pelos quais passarão as geratrizes do contorno aparente. Note que A e B são, já, dois dos pontos previamente determinados para o desenho da elipse. A’ e B’ são os pontos correspondentes AA’] e [B BB’] são, precisamente, as perspectivas das geratrizes do contorno aparente. Em seguida, desenhou-se a perspecda base superior e [A tiva do cilindro, o que implicou o desenho das duas elipses que são as perspectivas das suas bases, assinalando-se convenientemente as invisibilidades que existem na base inferior. Tenha ainda em conta que a elipse inferior (a perspectiva da base inferior) é concordante com as AA’] e [B BB’] nas perspectivas de A e B, respectivamente. Da mesma forma, a elipse superior (a perspectiva da perspectivas das geratrizes [A AA’] e [B BB’] nas perspectivas de A’ e B’, respectivamente. Em seguida, assibase superior) é concordante com as perspectivas das geratrizes [A nalou-se convenientemente a parte invisível do contorno da base inferior do cilindro, que é a parte menor da elipse que tem extremos nas perspectivas de A e B.

452

SOLUÇÕES

900.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo Y, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais (de 125°) com as perspectivas dos outros dois eixos – estas, por sua vez, fazem um ângulo de 110o entre si (2 x 125o + 110o = 360o). Neste exercício, em função do objecto a perspectivar, optou-se por se representar previamente o objecto pelas suas projecções frontal e horizontal, em rebatimento, para o que se recorreu ao método dos cortes (ver exercício 784). No plano XY, rebatido e transladado, representou-se a projecção horizontal do objecto, em V.G., em função dos dados. No plano XZ, rebatido e transladado, representou-se a projecção frontal do objecto, em V.G., em função dos dados.

Em seguida, conduzindo, por cada par de projecções, em rebatimento, de cada um dos vértices do sólido, rectas perpendiculares às respectivas charneiras (correspondentes aos planos ortogonais às respectivas charneiras do rebatimento), obtiveramse sucessivamente as perspectivas propriamente ditas de cada um dos vértices do sólido (ver exercício 895), o que nos permitiu a construção da sua perspectiva, na qual se assinalaram adequadamente as invisibilidades. Salienta-se, de qualquer forma, que a resolução deste exercício deverá ser precedida por um exercício prévio de visualização no espaço do objecto dado, a partir das suas projecções. Em função da posição das projecções do sólido que foram dadas, e uma vez que o ponto A tem cota nula, conclui-se que a face posterior do sólido é paralela ao plano coordenado XZ.

901.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 135o, pois a soma dos três ângulos é 360o. Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. Assim, em primeiro lugar, há que determinar a perspectiva da cota do plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém o triângulo – as cotas medem-se no eixo Z. Nesse sentido, rebateu-se o eixo Z, pelo rebatimento do plano projectante do eixo Z, e sobre o eixo Zr a partir de Or, representou-se a cota de ν (6 cm) em V.G. – invertendo o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira (que é a perspectiva do eixo Z), determinou-se, sobre a perspectiva do eixo Z, a perspectiva de um ponto com 6 cm de cota, pela qual se conduziram as perspectivas dos traços frontal e lateral do plano ν (ff ν e pν, respectivamente).

Uma vez que o triângulo está contido num plano horizontal (de nível), paralelo ao plano XY, projecta-se em V.G. no plano XY, ou seja, o triângulo e a sua projecção horizontal são dois polígonos geometricamente iguais. Assim sendo, rebateu-se o plano XY, pelo método dos cortes (ver exercício 789 e respectivo relatório) – o plano coordenado XY rebateu-se para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a própria perspectiva do eixo Z), efectuou-se uma translação de O r , com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or ’. Por Or ’ conduziram-se o eixo Xr ’ e o eixo Yr ’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Xr ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr. Sobre o eixo Xr ’ representaram-se as abcissas de A e B, em V.G., e sobre o eixo Yr ’ representaram-se os afastamentos de A e B , em V.G., o que nos permitiu A 1r e B 1r são as projecções horizontais de A e B em rebatideterminar A 1r e B 1r (A mento). A partir de A 1r e B 1r construiu-se a projecção horizontal do triângulo em V.G., em rebatimento, obtendo C1r (que é a projecção horizontal de C, em rebatimento). A inversão do rebatimento processou-se a partir das perspectivas das (Continua na página seguinte) 453

SOLUÇÕES

coordenadas dos três pontos, transportando para f ν e para pν, as referências das abcissas e dos afastamentos de A , B e C, que nos permitiA 2, B 2 e C2), bem como as perspectivas das suas projecções laterais ram determinar as perspectivas das projecções frontais de A , B e C (A A 3, B 3 e C3) – a partir destas, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas de A , B e C, bem como as perspectivas das suas projec(A A 1, B 1 e C1). A partir das perspectivas dos três vértices do polígono, desenhou-se a sua perspectiva propriamente dita. ções horizontais (A Note que as perspectivas das projecções horizontais dos três vértices do polígono nos permitiram, também, desenhar a perspectiva da projecção horizontal do triângulo.

902.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 120o, pois a soma dos três ângulos é 360o. Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. Assim, em primeiro lugar há que determinar a perspectiva da abcissa do plano π, o plano de perfil que contém o quadrado – as abcissas medem-se no eixo X . Nesse sentido, rebateu-se o eixo X, pelo rebatimento do plano projectante do eixo X, e sobre o eixo Xr a partir de Or, representou-se a abcissa de π (4 cm) em V.G. – invertendo o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira (que é a perspectiva do eixo X), determinou-se, sobre a perspectiva do eixo X, a perspectiva de um ponto com 4 cm de abcissa, pela qual se conduziram as perspectivas dos traços frontal e horizontal do plano π (ff π e hπ, respectivamente). Uma vez que o quadrado está contido num plano de perfil, paralelo ao plano YZ , projecta-se em V.G. no plano YZ, ou seja, o quadrado e a sua projecção lateral são dois polígonos geometricamente iguais. Assim sendo, rebateu-se o plano YZ , pelo método dos cortes (ver exercício 7 8 9 e respectivo relatório) – o plano coordenado YZ rebateu-se para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo-se Or e a direcção dos eixos em rebatimento. Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Or (que é a perspectiva do eixo X), efectuou-se uma translação de Or, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Or’. Por Or’ conduziram-se o eixo Yr’ e o eixo Zr’, com as direcções previamente determinadas – o eixo Yr’ é paralelo ao eixo Yr e o eixo Zr’ é paralelo ao eixo Zr. Sobre o eixo Yr’ representou-se o afastamento de A – atendendo a que A tem cota nula, sabe-se que A é um ponto do plano XY, pelo que a sua projecção lateral está no eixo Y. Assim, A 3r é a A B] faz com o plano XY) projectaprojecção lateral de A , em rebatimento, e situa-se sobre o eixo Yr ’. O ângulo dado (o ângulo que o lado [A A B] está contido numa recta de perfil. Assim, por A 3r conduziu-se uma recta a 30o (a.d.) com o -se em V.G. no plano YZ – note que o lado [A A B] do quadrado (e que faz, com o eixo Yr ’, um ângulo de 30°), e determinou-se a projecção lateral eixo Yr ’, que é a recta suporte do lado [A B 3r). O ponto B tem afastamento nulo, pelo que B é um ponto do plano XZ – a projecção lateral de B situa-se do ponto B, em rebatimento (B no eixo Z, pelo que B 3r tem de se situar sobre o eixo Zr ’. Note ainda que das várias hipóteses que havia para medir o ângulo de 30°, a apresentada é a única que garante simultaneamente que B tem afastamento nulo e que o quadrado se possa situar no espaço do 1o Triedro.

A partir de A 3r e B 3r construiu-se a projecção lateral do quadrado em V.G., em rebatimento, obtendo C3r e D3r. A inversão do rebatimento processou-se a partir dos afastamentos dos três pontos, transportando, para as perspectivas dos traços do plano π, as referências das coordenadas que nos permitem obter as perspectivas dos quatro pontos. A tem cota nula (é um ponto do plano XY), pelo que é um ponto de hπ – a perspectiva de A situa-se sobre a perspectiva de hπ (note que se tem imediatamente A ≡ A 1). B tem afastamento nulo (é um ponto do plano XZ), pelo é um ponto de f π – a perspectiva de B situa-se sobre a perspectiva de f π, conduzindo, por B3r, uma perpendicular à charneira (note que se tem imediatamente B ≡ B2). Em seguida, através de perpendiculares à charneira, transportaram-se, para a perspectiva de hπ, as C1 e D1), referências dos afastamentos de C e D, o que nos permitiu determinar as perspectivas das projecções horizontais destes dois pontos (C sobre a perspectiva de hπ. Pela perspectiva de C1 conduziu-se a perspectiva da recta projectante horizontal de C (que é paralela à perspectiva do eixo Z) e o ponto de concorrência desta com a perpendicular à charneira que passa por C3r é a perspectiva de C. O processo repetiu-se para D – pela perspectiva de D1 conduziu-se a perspectiva da recta projectante horizontal de D (que é paralela à perspectiva do eixo Z) e o ponto de concorrência desta com a perpendicular à charneira que passa por D3r é a perspectiva de D. A partir das perspectivas dos quatro vértices do quadrado, desenhou-se a perspectiva propriamente dita do polígono. Note que se determinaram, ainda, as perspectivas das projecções laterais dos quatro pontos, o que nos permitiu desenhar a perspectiva da projecção lateral do quadrado, se bem que esta não fosse essencial à conclusão do exercício.

454

SOLUÇÕES

903.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 110o, pois a soma dos três ângulos é 360o. Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. Assim, em primeiro lugar há que determinar a perspectiva do afastamento do plano ϕ, o plano frontal (de frente) que contém o pentágono – os afastamentos medem-se no eixo Y. Nesse sentido, rebateu-se o eixo Y, pelo rebatimento do plano projectante do eixo Y, e sobre o eixo Yr a partir de Or , representou-se o afastamento de ϕ (3 cm) em V.G. – invertendo o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira (que é a perspectiva do eixo Y), determinou-se, sobre a perspectiva do eixo Y, a perspectiva de um ponto com 3 cm de afastamento, pela qual se conduziram as perspectivas hϕ e pϕ, respecdos traços horizontal e lateral do plano ϕ (h tivamente). Uma vez que o pentágono está contido num plano frontal (de frente), paralelo ao plano XZ, projecta-se em V.G. no plano XZ, ou seja, o pentágono e a sua projecção frontal são dois polígonos geometricamente iguais. Assim sendo, é possível rebater o plano XZ e, em rebatimento, construir a projecção frontal do pentágono, em V.G., em rebatimento. No entanto, optou-se por uma situação distinta, que consistiu no rebatimento do próprio plano ϕ (o plano frontal que contém a figura), o que se processou de forma idêntica à que resultaria da utilização do método dos cortes para o rebatimento do plano XZ. Os traços horizontal e lateral (de perfil) do plano ϕ são concorrentes num ponto P , do eixo Y. Para rebater o plano ϕ começou-se por determinar a charneira do rebatimento, que é a recta de intersecção do plano ϕ com o plano axonométrico – essa recta é necessariamente paralela ao lado do triângulo fundamental que existe no plano XZ (pois o plano ϕ é paralelo ao plano XZ e planos paralelos são cortados por um terceiro plano segundo duas rectas paralelas). O rebatimento do plano ϕ para o plano axonométrico processa-se exactamente como se tratasse do rebatimento do plano XZ – rebateu-se o ponto P (que, nesta situação, corresponde à origem do referencial no rebatimento do plano XZ) para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo Pr e a direcção dos traços do plano ϕ em rebatimento hϕr e pϕr). Em seguida, através de uma perpendicular à charneira a passar por Pr (que é a perspectiva do eixo Y), efectuou-se uma transla(h ção de Pr, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Pr ’. Por Pr ’ conduziram-se hϕr ’ e pϕr ’ (os traços do plano ϕ, rebatidos e transladados), com as direcções previamente determinadas – hϕr ’ é paralelo a hϕr e pϕr ’ é paralelo a pϕr. No plano ϕ rebatido (e transladado) desenhou-se a circunferência circunscrita ao polígono, que é tangente aos dois traços do plano (o seu centro dista 3,5 cm de ambos os traços). Uma vez que o vértice A tem cota nula, sabe-se que A é o ponto em que a circunferência é tangente a hϕ, o que nos permitiu determinar A r e, em seguida, construir o pentágono em V.G., em rebatimento. Note que, atendendo a que se rebateu o próprio plano ϕ, construiu-se o próprio pentágono em V.G. (em rebatimento), e não a sua projecção f r o n t a l. A inversão do rebatimento processou-se a partir das perspectivas das coordenadas dos cinco pontos, transportando, para hϕ e para pϕ, as referências das abcissas e das cotas de A , B, C, D e E, que nos permitiram determinar as perspectivas das suas projecções horizonA 1, B 1, C1, D1 e E1), bem como as perspectivas das suas projecções laterais (A A 3, B 3, C3, D3 e E3) – a partir destas, determinaram-se as tais (A perspectivas propriamente ditas dos cinco pontos e desenhou-se a perspectiva propriamente dita do pentágono.

904.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 115o, pois a soma dos três ângulos é 360o. Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. Assim, em primeiro lugar há que determinar a perspectiva da abcissa do plano π, o plano de perfil que contém a figura – as abcissas medem-se no eixo X. Nesse sentido, rebateu-se o eixo X, pelo rebatimento do plano projectante do eixo X, e sobre o eixo Xr a partir de Or, representou-se a abcissa de π (4 cm) em V.G. – invertendo o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira (que é a perspectiva do eixo X), determinou-se, sobre a perspectiva do eixo X, a perspectiva de um ponto P, com 4 cm de abcissa, pela qual se conduziram as perspectivas dos traços horizontal e hπ e f π, respectivamente). Uma vez que a circunferência está contida num plano de perfil, paralelo ao plano YZ, projectafrontal do plano π (h -se em V.G. no plano YZ, ou seja, a circunferência e a sua projecção lateral são duas figuras geometricamente iguais. Assim sendo, é possível rebater o plano YZ e, em rebatimento, desenhar a projecção lateral da circunferência, em V.G., em rebatimento e, a partir desta, determinar os oito pontos que nos permitirão desenhar a elipse que é a perspectiva da circunferência. No entanto, à semelhança do efectuado no exercício anterior, optou-se por rebater o próprio plano π (o plano de perfil que contém a figura), o que se processou de forma idêntica à que resultaria da utilização do método dos cortes para o rebatimento do plano YZ. Os traços frontal e horizontal do plano π são (Continua na página seguinte) 455

SOLUÇÕES

concorrentes num ponto P , do eixo X. Para rebater o plano π começou-se por determinar a charneira do rebatimento, que é a recta de intersecção do plano π com o plano axonométrico – essa recta é necessariamente paralela ao lado do triângulo fundamental que existe no plano YZ (pois o plano π é paralelo ao plano YZ e planos paralelos são cortados por um terceiro plano segundo duas rectas paralelas). O rebatimento do plano π para o plano axonométrico processa-se exactamente como se tratasse do rebatimento do plano YZ – rebateu-se o ponto P (que, nesta situação, corresponde à origem do referencial no rebatimento do plano YZ) para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo Pr e a direchπr e f πr). Em ção dos traços do plano π em rebatimento (h seguida, através de uma perpendicular à charneira passando por Pr (que é a perspectiva do eixo X), efectuou-se uma translação de Pr, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se P r ’. Por P r ’ conduziram-se h π r ’ e f π r ’ (os traços do plano π, rebatidos e transladados), com as direcções previamente determinadas – hπr ’ é paralelo a hπr e f πr ’ é paralelo a f πr. No plano π rebatido (e transladado) representou-se o ponto Qr (em função do seu afastamento e da sua cota) e desenhou-se a circunferência em V.G. (em rebatimento).

A perspectiva da circunferência é uma e l i p s e , cujo desenho requer, pelo menos, oito dos seus pontos, para um desenho relativamente preciso da curva (ver exercício 878 e respectivo relatório) – é conveniente, no entanto, que quatro desses pontos sejam os vértices da elipse (os extremos dos seus dois eixos). Para além disso, para um desenho mais preciso da elipse será conveniente, ainda, obter o rectângulo em que ela se inscreve – é o rectângulo de que os eixos da elipse são as medianas. Começou-se por inscrever a circunferência (em V.G., em rebatimento) num quadrado, de lados paralelos à charneira do rebatimento (o eixo de homologia). Em seguida, desenharam-se as medianas e as diagonais do quadrado – os pontos em que a circunferência é tangente aos lados do quadrado nos pontos são, precisamente, os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado. As perspectivas desses quatro pontos serão, imediatamente, quatro pontos da elipse. A perspectiva da mediana paralela à charneira será o eixo maior da elipse (por ser o diâmetro da circunferência que não sofre deformação) e a perspectiva da mediana que é perpendicular à charneira será o eixo menor da elipse (por ser o diâmetro da circunferência que sofre a maior redução). A perspectiva do quadrado será, precisamente, o rectângulo envolvente da elipse, a cujos lados a elipse será necessariamente tangente. Para obter a perspectiva do quadrado conduziu-se, pelos lados do quadrado que são paralelos à charneira, duas rectas – uma recta ar e uma recta br. A recta ar é a recta suporte do lado superior do quadrado e é concorrente com f πr ’ no ponto A r. A perspectiva de A (sobre a perspectiva de f π) determinou-se imediatamente, conduzindo, por aquele ponto, uma perpendicular à charneira. A perspectiva da recta a passa pela perspectiva de A e é paralela à charneira (a recta a está definida por um ponto e uma direcção). A recta br é a recta suporte do lado inferior do quadrado e é concorrente com hπr ’ no ponto B r. A perspectiva de B (sobre a perspectiva de hπ) determina-se imediatamente, conduzindo, por B r, uma recta perpendicular à charneira. A perspectiva da recta b passa pela perspectiva de B e é paralela à charneira (a recta b está definida por um ponto e uma direcção). Atendendo a que dois lados do quadrado estão contidos em rectas perpendiculares à charneira, a determinação das perspectivas desses lados (que ficam compreendidas entre as perspectivas das rectas a e b) determinam-se imediatamente. Esta acção permite-nos concluir a construção do rectângulo. A perspectiva de Q (o centro da circunferência) determinou-se directamente, através das diagonais do rectângulo – o ponto em que as diagonais do rectângulo se bissectam é a perspectiva de Q. Pela perspectiva de Q conduziram-se as medianas do rectângulo, paralelas aos lados correspondentes do rectângulo. Os pontos em que as medianas do rectângulo se apoiam nos lados do rectângulo são, imediatamente, quatro pontos da elipse – são os extremos dos dois eixos da elipse e são os pontos nos quais a curva é tangente aos lados do rectângulo. Os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado foram transporta-dos para as perspectivas das diagonais (para as diagonais do rectângulo) através das rectas perpendiculares à charneira que por eles passam, obtendo-se, assim, os oito pontos necessários a um desenho relativamente preciso da curva, que foi executado à mão livre.

456

SOLUÇÕES

905.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 130o, pois a soma dos três ângulos é 360o. Os três eixos têm coeficientes de redução distintos.

Assim, em primeiro lugar há que determinar a perspectiva da cota do plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a figura – as cotas medem-se no eixo Z, o que se processou conforme exposto no relatório do exercício 901. Após a determinação da perspectiva da cota de ν, representaram-se as perspectivas dos seus traços frontal e lateral (ff ν e pν, respectivamente). O hexágono está contido num plano horizontal (de nível), que é paralelo ao plano XY, pelo que se projecta em V.G. no plano XY – o hexágono e a sua projecção horizontal são dois polígonos geometricamente iguais. Assim, optou-se por rebater o plano XY, que se rebateu pelo método dos cortes (ver exercício 901 e respectivo relatório) e construir a projecção horizontal do hexágono, em rebatimento. No plano XY, rebatido e transladado, representou-se A 1r, a projecção horizontal do ponto A , em rebatimento – A é um ponto do plano X Z (tem afastamento nulo), pelo que a sua projecção horizontal se situa no eixo X . Assim, A 1 r é a projecção horizontal de A , em rebatimento, e situa-se sobre o eixo X r ’.

O ângulo dado (o ângulo que o lado A B ] faz com os planos XZ e YZ ) [A projecta-se em V.G. no plano XY – A B ] está contido note que o lado [A numa recta horizontal (de nível).

A B] do quadrado (e que faz, com Assim, por A 1r conduziu-se uma recta a 45o com o eixo Xr ’ e com o eixo Yr ’, que é a recta suporte do lado [A B 1r). O ponto B tem abcissa nula, aqueles dois eixos, ângulos de 45o), e determinou-se a projecção horizontal do ponto B, em rebatimento (B pelo que B é um ponto do plano YZ – a projecção horizontal de B situa-se no eixo Y, pelo que B 1r tem de se situar sobre o eixo Yr ’. A partir de A 1r e de B 1r, construiu-se a projecção horizontal do hexágono em V.G., em rebatimento, obtendo as projecções horizontais (em rebatimento) dos restantes vértices do polígono. Em seguida procedeu-se à inversão do rebatimento. A determinação das perspectivas de A e B foi imediata, pois A é um ponto de f ν e B é um ponto de pν. Conduzindo, por A 1r, uma perpendicular à charneira, determinou-se a perspectiva de A sobre a perspectiva de f ν. De forma semelhante, conduzindo, por B 1r, uma perpendicular à charneira, determinou-se a perspectiva de B sobre a perspectiva de pν. Para determinar as perspectivas dos restantes vértices da base recorreu-se a duas rectas que contêm os CF] do hexágono. A recta b é a recta suporte do lado [D DE] do vértices do polígono – as rectas a e b. A recta a é a recta suporte da diagonal [C hexágono. As rectas a e b são duas rectas horizontais (de nível) do plano ν – a1r e b1r são, respectivamente, as projecções horizontais das rectas a e b, em rebatimento. A recta a1r intersecta o eixo Xr ’ em M 1r e o eixo Yr ’ em P1r – as perspectivas de M e P determinaram-se sobre as perspectivas de f ν e de pν, respectivamente, recorrendo às perpendiculares à charneira que passam por M 1r e P1r. Note que M é o traço frontal da recta a e P é o seu traço lateral. A perspectiva da recta a está, assim, determinada – fica definida pelas perspectivas de M e P (a está definida por dois pontos). Por C1r e F1r conduziram-se as perpendiculares à charneira que por eles passam – as perspectivas de C e F são os pontos de intersecção daquelas com a perspectiva da recta a. A recta b1r é paralela à recta a1r e intersecta o eixo Yr ’ no ponto P’1r P’ é o traço lateral da recta b) – a perspectiva de P’ determinou-se sobre a perspectiva de pν, através da perpendicular à charneira que passa (P por P’1r. A perspectiva da recta b passa pela perspectiva de P’ e é paralela à perspectiva da recta a. As perspectivas dos pontos D e E determinaram-se sobre a perspectiva da recta b, recorrendo às rectas perpendiculares à charneira que passam por D1r e E1r. A partir das perspectivas dos seis vértices do polígono, desenhou-se a perspectiva propriamente dita do hexágono.

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SOLUÇÕES

906.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 135o, pois a soma dos três ângulos é 360o. Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. Assim, em primeiro lugar há que determinar a perspectiva da cota do plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide – as cotas medem-se no eixo Z, o que se processou conforme exposto no relatório do exercício 901. Após a determinação da perspectiva da cota de ν, representaram-se as perspectivas dos seus traços frontal e lateral (ff ν e pν, respectivamente), que são concorrentes no ponto Q. O quadrado da base da pirâmide está contido num plano horizontal (de nível), que é paralelo ao plano XY, pelo que se projecta em V.G. no plano XY – o quadrado e a sua projecção horizontal são dois polígonos geometricamente iguais. Assim sendo, é possível rebater o plano XZ e, em rebatimento, construir a projecção frontal do pentágono, em V.G., em rebatimento. No entanto, optou-se por rebater o próprio plano ν (o plano horizontal que contém a figura), o que se processou de forma idêntica à que resultaria da utilização do método dos cortes para o rebatimento do plano XY. Os traços frontal e lateral (de perfil) do plano ν são concorrentes no ponto Q, do eixo Z. Para rebater o plano ν começou-se por determinar a charneira do rebatimento, que é a recta de intersecção do plano ν com o plano axonométrico – essa recta é necessariamente paralela ao lado do triângulo fundamental que existe no plano XY (pois o plano ν é paralelo ao plano XY e planos paralelos são cortados por um terceiro plano, segundo duas rectas paralelas). O rebatimento do plano ν para o plano axonométrico processa-se exactamente como se tratasse do rebatimento do plano XY – rebateu-se o ponto Q (que, nesta situação, corresponde à origem do referencial no rebatimento do plano X Y ) para dentro da pirâmide axonométrica, obtendo Qr e a direcção dos traços do plano ν em rebatimento (ff νr e pνr). Em seguida, através de uma perpendicular à charneira passando por Qr (que é a perspectiva do eixo Z), efectuou-se uma translação de Qr, com uma distância qualquer, de forma a garantir que este fique fora da área da representação perspéctica, obtendo-se Qr ’. Por Qr ’ conduziram-se f νr ’ e pνr ’ (os traços do plano ν, rebatidos e transladados), com as direcções previamente determinadas – f νr ’ é paralelo a f νr e pνr ’ é paralelo a pνr. No plano ν rebatido (e transladado) representaram-se os pontos A e B, em rebatimento, em função das suas coordenadas (abcissas e afastamentos) – A r e B r. Note que não se trata das suas projecções horizontais em rebatimento, mas sim, dos próprios pontos em rebatimento, pois o plano rebatido foi o próprio plano ν, que contém os dois pontos. A partir de A r e B r construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, o que nos permitiu determinar Cr e Dr. A inversão do rebatimento processou-se a partir das perspectivas das coordenadas dos quatro pontos, transportando, para f ν e para pν, as referências das abcissas e dos afastaA 2, B 2, C2 e D2), bem mentos de A , B, C e D, que nos permitiram determinar as perspectivas das projecções frontais dos quatro pontos (A A 3, B 3, C3 e D3) – a partir destas, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas como as perspectivas das suas projecções laterais (A de A , B, C e D. Sabendo que V, o vértice da pirâmide, se situa na mesma projectante horizontal do vértice C e que tem cota nula, sabe-se que V é a própria projecção horizontal de C – a perspectiva de C1 determinou-se a partir das restantes perspectivas de C – C1 ≡ V1 ≡ V. A partir das perspectivas de todos os vértices da pirâmide, desenhou-se a sua perspectiva propriamente dita, cujo contorno aparente é a A BVD]. Existe um vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C. Este é visível, bem como todas as linha quebrada fechada [A B CV] e [C CDV]. As faces laterais [A A DV] e arestas que nele convergem. Note que a base da pirâmide é visível, bem como as faces laterais [B A BV] são invisíveis, pelo que a aresta lateral [A AV] é a única aresta invisível (é a única aresta que separa duas faces invisíveis). Note que se [A desenharam, ainda, as perspectivas das projecções frontal e lateral da pirâmide, assinalando convenientemente as respectivas invisibilidades.

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SOLUÇÕES

907.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados (ver relatório do exercício anterior). Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. Assim, em primeiro lugar há que determinar a perspectiva das abcissas dos planos de perfil que contêm as bases o plano π, o plano de perfil que contém a base mais à direita do prisma, tem 2 cm de abcissa (a abcissa de A e B) e o plano π’, o plano de perfil que contém a base mais à esquerda do sólido, tem 10 cm de abcissa (os dois planos distam 8 cm um do outro, que é a altura do prisma). As abcissas medem-se no eixo X, pelo que se rebateu o eixo X, pelo rebatimento do plano projectante do eixo X, e sobre o eixo Xr a partir de Or, representaram-se a abcissa de π (2 cm) e a abcissa de π’ (10 cm), em V.G. – invertendo o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira (que é a perspectiva do eixo X), determinaram-se, sobre a perspectiva do eixo X, a perspectiva de um ponto com 2 cm de abcissa (pela qual se conduziram as perspectivas dos traços frontal e horizontal do plano π – f π e hπ, respectivamente) e a perspectiva de um outro ponto, com 10 cm de abcissa (pela qual se conduziram as perspectivas dos traços frontal e horizontal do plano π’ – f π’’ e hπ’’, A B C] (a base mais à direita do prisma) está contido num plano de perfil, paralelo ao plano YZ, respectivamente). Uma vez que o triângulo [A projecta-se em V.G. no plano YZ, ou seja, o triângulo e a sua projecção lateral são dois polígonos geometricamente iguais. Assim sendo, rebateu-se o plano YZ, pelo método dos cortes (ver exercício 902 e respectivo relatório). No plano XY, rebatido transladado, representaramA 3r e B 3r), em função das suas coordenadas (afastamentos cotas). A partir de A 3r e B 3r se as projecções laterais de A e B, em rebatimento (A construiu-se a projecção lateral do triângulo em V.G., em rebatimento, obtendo C3r. A inversão do rebatimento processou-se a partir das cotas e dos afastamentos dos três pontos, transportando, para as perspectivas dos traços do plano π (ff π e hπ, respectivamente), as referências daquelas coordenadas, através de perpendiculares à charneira. Esta acção permitiu-nos determinar, sobre a perspectiva de hπ, as perspectivas de A 1, B 1 e C1, e sobre a perspectiva de f π, as perspectivas de A 2, B 2 e C2. A partir destas, determinaram-se as perspectivas A B C]. Uma vez que se trata de um prisma regular, sabe-se que as suas arestas laterais propriamente ditas dos três vértices do triângulo [A estão contidas em rectas ortogonais aos planos das bases (que são planos de perfil) – as arestas laterais do prisma estão contidas em rectas fronto-horizontais (paralela ao eixo X). Assim, pelas perspectivas propriamente ditas de A , B, e C conduziram-se as perspectivas das rectas suporte das respectivas arestas laterais. Em seguida, pelas perspectivas das projecções horizontais de A , B e C conduziram-se as perspectivas das projecções horizontais daquelas rectas, o que nos permitiu determinar, de forma imediata, as perspectivas das projecções horizontais dos vértices da base mais à esquerda – A’1, B’1 e C’1. Note que se tratou da intersecção entre rectas não projectantes (as arestas laterais do sólido) e um plano projectante (o plano π’). As perspectivas propriamente ditas de A ’, B’ e C’ estão sobre as perspectivas propriamente ditas das rectas suporte das arestas laterais do sólido. A partir das perspectivas propriamente ditas dos seis vértices do prisma, A C BB’ A ’]. Existe um único vérdesenhou-se a perspectiva propriamente dita do sólido, cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada [A tice que não integra o contorno aparente – o vértice C’, que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base A B C] é invisível, bem como a face lateral [A A A ’ B ’ B]. A base [A A’B’C’] e as outras duas faces laterais são visíveis. A única aresta invisível é, [A A B] da base mais à direita, por ser a única aresta que separa duas faces invisíveis. assim, a aresta [A

459

SOLUÇÕES

908.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 110o, pois a soma dos três ângulos é 360o. Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. Neste exercício, optou-se por representar, em primeiro lugar, os vértices da pirâmide pelas suas duas projecções (projecção frontal e projecção horizontal), em rebatimento, recorrendo ao método dos cortes (ver exercício 789). O quadrado da base está contido num plano frontal (de frente), que é paralelo ao plano XZ, pelo que se projecta em V.G. no plano XZ – o quadrado da base e a sua projecção frontal são dois polígonos geometricamente iguais. No plano XZ, rebatido e transladado, representou-se A 2r, a projecção frontal do ponto A , em rebatimento – A é um ponto do plano XY (tem cota nula), pelo que a sua projecção frontal se situa no eixo X. Assim, A 2r é a projecção frontal de A , em rebatimento, e situa-se sobre o eixo Xr ’. O ângulo dado A B ] faz com o plano XY ) (o ângulo que o lado [A projecta-se em V.G. no plano XZ – note que o lado A B] está contido numa recta frontal (de frente).

[A Assim, por A 2r conduziu-se uma recta a 30o com o A B ] do eixo X r ’, que é a recta suporte do lado [A quadrado, e determinou-se a projecção frontal do B 2 r ). O ponto B tem ponto B , em rebatimento (B abcissa nula, pelo que B é um ponto do plano YZ – a projecção frontal de B situa-se no eixo Z, pelo que B 2r tem de se situar sobre o eixo Zr ’. A partir de A 2r e de B 2r, construiu-se a projecção frontal do quadrado em V.G., em rebatimento, obtendo as projecções frontais (em rebatimento) dos restantes vértices do polígono. Em projecção frontal, determinou-se, ainda, o centro do quadrado, que é Q2r (a projecção frontal, em rebatimento, do centro do quadrado). Em seguida, transportaram-se, para o plano XY, rebatido e transladado, as abcissas de todos os vértices da base, bem como a abcissa de Q, o centro da base da pirâmide, obtendo as projecções horizontais (em rebatimento) daqueles pontos, que se situam sobre o traço horizontal do plano ϕ (o plano frontal que contém a base do quadrado), em rebatimento – hϕr. Tenha em conta que o plano ϕ (o plano frontal que contém a base da pirâmide) tem 7 cm de afastamento ( afastamento de A ), o que se mediu em V.G., no plano XY rebatido. O eixo da pirâmide está contido numa recta horizontal (de nível) h, que faz um ângulo de 60o (a.d.) com o plano XZ. No plano XZ, rebatido e transladado, representou-se a projecção frontal da recta h, em rebatimento – h2r passa por Q2r. Por sua vez, no plano XY rebatido e transladado representou-se h1r, passando por Q1r e fazendo um ângulo de 60° de abertura para a direita com o eixo Xr ’ – h1r é a projecção horizontal da recta h, em rebatimento (no rebatimento do plano XY). Em rebatimento, determinou-se a projecção horizontal do vértice da pirâmide, que é o traço frontal da recta h (é o ponto de h que tem afastamento nulo). Note que, uma vez que o plano da base tem 7 cm de afastamento e a pirâmide tem 7 cm de altura, o vértice da pirâmide tem afastamento nulo (o vértice não pode ter afastamento superior à base, pois é expressamente referido no enunciado que a base é visível em projecção frontal, ou seja, tem afastamento superior ao vértice). Em seguida procedeu-se à construção da perspectiva do sólido. Em primeiro lugar, através de uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY, transportou-se a referência do afastamento do plano ϕ para a perspectiva do eixo Y, o que nos permitiu desenhar as perspectivas dos traços horizontal hϕ e pϕ, respectivamente). Conduzindo, pelas projecções horizontais dos vértices da base (em rebatimento), as perpendie lateral do plano ϕ (h culares à charneira que por eles passam, determinaram-se as perspectivas das projecções dos vértices da base sobre a perspectiva de hϕ.

A é um ponto com cota nula (é um ponto de hϕ), pelo que se tem imediatamente A ≡ A 1. Por B 2r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XZ e determinou-se a perspectiva de B 2 sobre a perspectiva de pϕ – atendendo a que B é um ponto de pϕ (tem abcissa nula), tem-se imediatamente B ≡ B 2. Para determinar as perspectivas de C e D recorreu-se a uma recta f, que é a recta suporte do CD] do quadrado. A recta f 2r é a projecção frontal da recta f, em rebatimento, e passa por C2r e por D2r. A recta f 2r é concorrente com lado [C o eixo Zr ’ no ponto P2r – conduzindo, por P2r, uma perpendicular à charneira, determinou-se a perspectiva de P sobre a perspectiva de pϕ.

A B] do quadrado. Uma vez que já eram conheciPela perspectiva de P conduziu-se a perspectiva da recta f, paralela à perspectiva do lado [A das as perspectivas das projecção horizontais de C e D, conduziram-se, por aquelas, as perspectivas das rectas projectantes horizontais dos dois pontos e determinaram-se as suas perspectivas sobre a perspectiva da recta f. Por fim, para determinar a perspectiva do vértice da pirâmide transportou-se a cota da recta h para a perspectiva do eixo Z, o que nos permitiu desenhar h3 (a perspectiva da projecção lateral da recta h) e h 2 (a perspectiva da projecção frontal da recta h). Conduzindo, por V1r, uma perpendicular à charneira do rebatimento do (Continua na página seguinte) 460

SOLUÇÕES

plano XY, determinou-se a perspectiva de V2 (a projecção frontal de V) sobre a perspectiva de h2 – V tem afastamento nulo, pelo que se tem imediatamente V ≡ V2. Determinando a perspectiva de Q, o centro da base da pirâmide, foi possível desenhar a perspectiva da recta h, a recta suporte do eixo da pirâmide, se bem que tal não fosse essencial à resolução final. Por fim, a partir das perspectivas propriamente ditas de todos os vértices da pirâmide, desenhou-se a sua perspectiva propriamente dita, cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada A B CV]. Existe um único vértice que não integra o contorno aparente – o vértice D. Este é visível, bem como todas as arestas que nele con[A A DV] e [C CDV]. As faces laterais [A A BV] e [B B CV] são invisíveis. vergem. Note que a base da pirâmide é visível, bem como as faces laterais [A BV] é, assim, a única aresta invisível da pirâmide, por separar duas faces invisíveis.

A aresta lateral [B

909.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 135o, pois a soma dos três ângulos é 360o. Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. A base do cone está contida no plano XZ, pelo que o plano a rebater é o plano XZ – este rebateu-se pelo método do rebatimento dos planos coordenados. Recorde que na representação axonométrica de cones é fundamental a d e t e r m i n a ç ã o r i g o r o s a d a s g e r a t r i z e s d o c o n t o r n o a p a r e n t e – ver exercício 884 e respectivo relatório. Como se referiu naquele relatório, não é aconselhável o recurso ao método dos cortes, mas, antes, o processo do r e b a t imento dos planos coordenados. Assim sendo, para a construção da perspectiva da base (da elipse) seguiram-se todos os procedimentos explicitados no relatório do exercício 904. Em primeiro lugar rebateu-se o plano XZ, que é o plano que contém a base do cone – a charneira do rebatimento é a recta e. Representou-se Qr, o centro da base, em rebatimento, em função das suas coordenadas (abcissa e cota) – com o compasso, fazendo centro em Qr e com 3 cm de raio, desenhou-se a circunferência que delimita a base do cone, em rebatimento. Em seguida, inscreveu-se a circunferência num quadrado de lados paralelos à charneira, desenhando-se, em seguida, as suas medianas e as suas diagonais. Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado são, imediatamente, quatro pontos da circunferência e as suas perspectivas serão os extremos dos dois eixos da elipse. A construção da perspectiva do quadrado efectuou-se a partir dos pontos em que os lados paralelos à charneira são concorrentes com o eixo Y – os pontos R e S. A perspectiva do quadrado é um rectângulo – o rectângulo tem centro na perspectiva de Q, pela qual se conduziram as diagonais do rectângulo (que são as perspectivas das diagonais do quadrado). Transportaram-se, para a perspectiva, os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado (através de perpendiculares à charneira) e, dessa forma, obtiveram-se os oito pontos necessários a um desenho relativamente preciso da elipse, que é a perspectiva da base do cone. No entanto, não é aconselhável desenhar de imediato a elipse, pois os procedimentos sequentes vão originar a determinação de mais dois pontos da curva. Esses procedimentos são os necessários à determinação das geratrizes do contorno aparente. No entanto, antes de efectuar esses traçados, há que determinar a perspectiva de V, o vértice do cone. Os três eixos têm reduções diferentes, pelo que para determinar o afastamento de V é necessário rebater o eixo Y, o que se processou pelo rebatimento do plano projectante do eixo Y. A partir da perspectiva do afastamento de V e, sabendo que este se situa na mesma projectante frontal de Q, determinou-se a perspectiva de V. Em seguida, efectuaram-se os traçados necessários à determinação das geratrizes do contorno aparente, que têm a ver com a determinação dos planos tangentes ao cone que contêm a direcção das projectantes, o que se efectua em três passos que, em seguida, se especificam. 1. Pelo vértice do cone conduz-se uma recta, a recta i, que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes (note que a recta i é uma recta projectante, pelo que a sua perspectiva é um ponto, coincidente com a perspectiva de V). 2. Determina-se o ponto I, que é o ponto de intersecção da recta i com o plano da base do cone, o plano XZ (a perspectiva de I está necessariamente coincidente com a perspectiva de i e de V). 3. Por I conduzem-se as rectas tangentes à base do cone, o que tem de se processar em rebatimento. Assim, é necessário rebater o ponto I, o que se processa com o recurso a uma recta do plano XZ que passa por I – a recta m. A recta m é uma recta que está contida no plano XZ e é paralela ao eixo Z (é uma recta vertical), sendo concorrente com a charneira (recta e) no ponto M, que é fixo. Por M r conduz-se mr, paralela ao eixo Zr. O ponto I r é o ponto em que a recta mr é concorrente com a perpendicular à charneira que passa por I. Por Ir conduzem-se as rectas tangentes à base, em rebatimento (que é uma circunferência). As rectas tr e t’r são as rectas tangentes à base em Tr e T’r, respectivamente. As geratrizes do contorno aparente do cone passarão pelo vértice e pelas perspectivas de T e T’. As perspectivas de T e T’ obtiveram-se conduzindo, por Tr e por T’r, uma recta, que é paralela à charneira – a recta ar. Esta recta é concorrente com o eixo Xr num ponto A r – conduzindo, por A r, uma perpendicular à charneira (recta e), determinou-se a perspectiva de A sobre a perspectiva do eixo X. A perspectiva da recta a passa pela perspectiva de A e é paralela à charneira. As perspectivas de T e T’ determinaram-se, sobre a perspectiva da recta a, através das perpendiculares à charneira que passam por Tr e por T’r. As perspectivas das geratrizes do contorno aparente podem desenhar-se imediatamente – uma tem extremos em V e em T e a outra em V e em T’. Note que, agora, temos dez pontos para o desenho da elipse à mão livre, que tem de passar pelos oito pontos TV ] determinados previamente e pelos pontos T e T’. Tenha ainda em conta que a elipse é concordante com as perspectivas das geratrizes [T T’V] nas perspectivas de T e T’, respectivamente. Em seguida, assinalou-se convenientemente a parte invisível do contorno da base do e [T cone, que é a parte menor da elipse que tem extremos nas perspectivas de T e T’.

461

SOLUÇÕES

910.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados (ver relatório do exercício anterior).

Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. A base mais à direita do cilindro está contida no plano YZ, pelo que o plano a rebater é o plano Y Z . Tenha em conta que na representação axonométrica de cilindros (tal como se observou no exercício anterior, para o cone), é fundamental a determinação rigorosa das geratrizes do contorno aparente. Tenha em conta que as perspectivas das bases são necessariamente e l i p s e s e que não existe qualquer processo geométrico rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma elipse.

Assim, para além da construção das perspectivas das bases (que são elipses) é necessária a eventual determinação de mais alguns pontos, pelo que não é aconselhável o recurso ao método dos corte s, mas antes, o processo do rebatimento dos planos coordenados (à semelhança do efectuado no exercício anterior). Assim sendo, para a construção da perspectiva da base mais à direita (da elipse) seguiram-se todos os procedimentos explicitados no relatório do exercício 904, pelo que se aconselha a sua leitura. Depois de determinados os oito pontos necessários a um desenho relativamente preciso da elipse, que é a perspectiva da base mais à direita do cilindro (que não se desenhou), efectuaram-se os traçados necessários à construção da elipse que é a perspectiva da base superior. A determinação da perspectiva da abcissa do plano π (o plano de perfil que contém a base mais à esquerda do cilindro) efectuou-se com o recurso ao rebatimento do eixo X, pelo rebatimento do plano projectante do eixo X. O plano π, o plano da base mais à h π ). Para a construção da base mais à esquerda representou-se pelas perspectivas dos seus traços frontal (ff π ) e horizontal (h esquerda, foram transportados, para o respectivo plano, todas as referências obtidas para a construção da elipse da base mais à direita.

Note que, para o transporte das referências da base mais à direita para a base mais à esquerda, a perspectiva de hπ corresponde à perspectiva do eixo Y e a perspectiva de f π corresponde à perspectiva do eixo Z. Note que, apesar de ser possível desenhar, de imediato, as duas elipses, à semelhança do exposto para os cones, não é aconselhável desenhar as duas curvas sem os procedimentos sequentes, pois estes podem originar a determinação de mais dois pontos das curvas (em particular nos cilindros oblíquos). Esses procedimentos são os necessários à determinação das geratrizes do contorno aparente, e têm a ver com a determinação dos planos tangentes ao cilindro que contêm a direcção das projectantes, o que se efectua em três passos, que em seguida se especificam. 1. Por um ponto qualquer conduzem-se duas rectas – uma recta r, paralela às geratrizes do cilindro, e uma recta s, projectante. As rectas r e s, porque são concorrentes, definem um plano, que é paralelo aos planos tangentes. 2. Determina-se a recta i, a recta de intersecção do plano definido pelas rectas r e s com o plano da base do cilindro – o plano XY, neste caso. 3. Determinam-se as rectas tangentes à base (de referência) que são paralelas à recta i, o que nos permite obter os pontos pelos quais passam as geratrizes do contorno aparente. Neste exercício, a aplicação dos passos acima enunciados é a que, em seguida, se expõe. 1. A recta r é o próprio eixo do cilindro e a recta s (que é a recta projectante) é concorrenQ’ é o centro da base mais à esquerda do cilindro). A perspectiva da recta s é um ponto, pois trata-se de uma recta projecte com r em Q’ (Q tante (ortogonal ao plano axonométrico) – a perspectiva da recta s está, assim, coincidente com a perspectiva de Q’. O plano definido pelas duas rectas é o próprio plano projectante do eixo do cilindro. 2. Determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano definido por r e s, com o plano YZ (o plano da base de referência) – a recta i está definida por Q (o ponto de intersecção de r com o plano YZ – a recta r é o próprio eixo do cilindro) e pelo ponto I, que é o ponto de intersecção da recta s com o plano YZ. Tenha em conta que a perspectiva de I está coincidente com a perspectiva de Q’ e com a perspectiva da recta s – a recta s, sendo uma recta projectante, projecta todos os seus pontos num único ponto. 3. O traçado das rectas tangentes à base do cilindro que são paralelas a i só se pode processar em rebatimento, pois, como anteriormente se referiu, não existe processo algum para a determinação rigorosa das tangentes a uma elipse. Assim, é necessário rebater a recta i, o que se processa de forma imediata, uma vez que a recta existe num plano ortogonal à charneira. Assim, tem-se i r ≡ i.

Em rebatimento, conduzem-se as rectas tangentes à base do cilindro que são paralelas a i r – tr e t’r. Estas são tangentes à base (de referência) em A r e B r, cujas perspectivas serão os pontos pelos quais passarão as geratrizes do contorno aparente. Note que A e B são, já, dois A A ’] e [B B B ’] dos pontos previamente determinados para o desenho da elipse. A’ e B’ são os pontos correspondentes da base superior e [A são, precisamente, as perspectivas das geratrizes do contorno aparente. Em seguida, desenhou-se a perspectiva do cilindro, o que implicou o desenho das duas elipses que são as perspectivas das suas bases, assinalando-se convenientemente as invisibilidades que existem na base inferior. Tenha ainda em conta que a primeira elipse (a perspectiva da base mais à direita) é concordante com as perspectivas das geratrizes AA’] e [B BB’] nas perspectivas de A e B, respectivamente. Da mesma forma, a segunda elipse (a perspectiva da base mais à esquerda) é con[A AA’] e [B BB’] nas perspectivas de A’ e B’, respectivamente. Em seguida, assinalou-se conveniencordante com as perspectivas das geratrizes [A temente a parte invisível do contorno da base inferior do cilindro, que é a parte menor da elipse que tem extremos nas perspectivas de A e B.

462

SOLUÇÕES

911.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 120o, pois a soma dos três ângulos é 360o. Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. Neste exercício, em função do objecto a perspectivar, optou-se por se representar previamente o objecto pelas suas projecções frontal e horizontal, em rebatimento, para o que se recorreu ao método dos cortes (ver exercício 789). No plano XY, rebatido e transladado, representou-se a projecção horizontal do objecto, em V.G., em função dos dados. No plano X Z , rebatido e transladado, representou-se a projecção frontal do objecto, em V.G., em função dos dados. Em seguida, conduzindo, por cada par de projecções, em rebatimento, de cada um dos vértices do sólido, rectas perpendiculares às respectivas charneiras (correspondentes aos planos ortogonais às respectivas charneiras do rebatimento), obtiveram-se sucessivamente as perspectivas propriamente ditas de cada um dos vértices do sólido (ver exercício 895), o que nos permitiu a construção da sua perspectiva, na qual se assinalaram adequadamente as invisibilidades. Salienta-se, de qualquer forma, que a resolução deste exercício deverá ser precedida por um exercício prévio de visualização no espaço do objecto dado, a partir das suas projecções. O plano ν, representado pelas perspectivas dos seus traços frontal e lateral (ff ν e p ν , respectivamente), é o plano que contém a face inferior do objecto. Em função da posição das projecções do sólido que foram dadas, conclui-se que a face posterior do sólido é paralela ao plano coordenado XZ.

912.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 120o, pois a soma dos três ângulos é 360o. Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. Os dois quadrados estão contidos no plano XY, pelo que o plano a rebater é o plano XY, que se rebateu pelo método dos cortes (ver exercício 901 e respectivo relatório).

B r e Dr), em função das suas coordenadas (abcissa e afastamento). A partir de B r e Dr, Representaram-se os pontos B e D, em rebatimento (B A B CD] em V.G., em rebatimento, o que nos permitiu determinar A r e Cr (note que A é o vértice de menor afastaconstruiu-se o quadrado [A mento do quadrado). Em seguida, desenhando as diagonais do quadrado, determinou-se o seu centro, pelo qual se conduziu a mediana A D], em rebatimento – Er. A partir de Dr e Er construiu-se o quadrado [D DEFG] em V.G., que nos permite determinar o ponto médio do lado [A A B CD], recorreu-se a duas rectas do plaem rebatimento, o que nos permitiu determinar Fr e Gr. Para determinar a perspectiva do quadrado [A A B]. A recta c 1 é a recta suporte do no XY que contêm os vértices do quadrado – as rectas a1 e c 1. A recta a1 é a recta suporte do segmento [A CD]. As rectas a1 e c 1 são duas rectas horizontais (de nível) do plano XY. A recta a1r intersecta o eixo Yr ’ em B r e o eixo Xr ’ em segmento [C M 1r – as perspectivas de M 1 e B determinaram-se sobre as perspectivas do eixo X e do eixo Y, respectivamente, recorrendo às perpendiculares à charneira que passam por M 1r e por B r. Note que M 1 é o traço frontal da recta a1 e B é o seu traço lateral. A perspectiva da recta a1 está, assim, determinada – fica definida pelas perspectivas de M 1 e B (a1 está definida por dois pontos). Por A r conduziu-se uma perpendicular à charneira – a perspectiva de A é o ponto de intersecção dessa perpendicular à charneira com a perspectiva da recta a1. A recta c 1r é P’1 é o traço frontal da recta c 1 e P’1r é a projecção horizontal de P’1, em rebatimenparalela à recta a1r e intersecta o eixo Yr ’ no ponto P’1r (P to) – a perspectiva de P’1 determinou-se sobre a perspectiva do eixo Y, através da perpendicular à charneira que passa por P’1r. A perspectiva da recta c 1 passa pela perspectiva de P’1 e é paralela à perspectiva da recta a1 (a recta c 1 está definida por um ponto e uma direcção).

As perspectivas dos pontos C e D determinaram-se sobre a perspectiva da recta c 1, recorrendo às rectas perpendiculares à charneira que passam por Cr e Dr. Note que a recta c 1r passa, também, por Gr – assim, conduzindo por Gr, uma perpendicular à charneira, determinou-se P1 é o traço frontal a perspectiva de G sobre a perspectiva de c 1. A recta b1r é paralela às rectas a1r e c 1r e intersecta o eixo Yr ’ no ponto P1r (P da recta b1 e P1r é a projecção horizontal de P1, em rebatimento) – a perspectiva de P1 determinou-se sobre a perspectiva do eixo Y, através da perpendicular à charneira que passa por P 1r. A perspectiva da recta b1 passa pela perspectiva de P 1 e é paralela às perspectivas das (Continua na página seguinte) 463

SOLUÇÕES

rectas a1 e c 1 (a recta b1 está definida por um ponto e uma direcção). As perspectivas dos pontos E e F determinaram-se sobre a perspectiva da recta b1, recorrendo às rectas perpendiculares à charneira que passam por Er e Fr. Uma vez que os três eixos apresentam coeficientes distintos, para determinar as perspectivas das cotas dos planos que contém as faces superiores dos dois cubos, foi necessário recorrer ao rebatimento do eixo Z, o que se processou pelo rebatimento do plano projectante do eixo Z. Sobre o eixo Zr representou-se um ponto com DEFG] e um outro ponto com cota igual à medida do lado do quadrado [A A B CD] – invertendo o cota igual à medida do lado do quadrado [D rebatimento, determinaram-se, sobre a perspectiva do eixo Z, as perspectivas daquelas cotas, o que nos permitiu representar os dois planos horizontais pelos respectivos traços. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a face superior do cubo menor – f ν e pν são as perspectivas dos seus traços frontal e lateral, respectivamente. O plano ν’ é o plano horizontal (de nível) que contém a face superior do cubo maior – f ν’’ e pν’’ são as perspectivas dos seus traços frontal e lateral, respectivamente. A recta a é uma recta paralela à recta a1 que pertence ao plano ν’ – note que a recta a1 é a projecção horizontal da recta a. B’ é o traço lateral da recta a (que se situa sobre pν’’) e M é o A A ’] e [B BB’] do cubo maior são verticais, o que seu traço frontal (que se situa sobre f ν’’) – a recta a está definida por dois pontos. As arestas [A nos permitiu determinar as perspectivas de A’ e B’ sobre a perspectiva da recta a. A recta b é uma recta paralela à recta b1 que pertence ao plano ν – note que a recta b1 é a projecção horizontal da recta b. P é o traço lateral da recta b – a recta b está definida por um ponto e uma EE’] e [F FF’] do cubo menor são verticais, o que nos permitiu determinar as perspectivas de E’ e F’ sobre a perspectiva direcção. As arestas [E da recta b. A recta c é uma recta paralela à recta c 1 que pertence ao plano ν – note que a recta c 1 é a projecção horizontal da recta c. P’ é o GG’] e [D DD’] do cubo menor são verticais, o que traço lateral da recta c – a recta c está definida por um ponto e uma direcção. As arestas [G nos permitiu determinar as perspectivas de G’ e D’ sobre a perspectiva da recta c. A recta c’ é uma recta paralela à recta c que pertence ao plano ν’ – note que as rectas c e c’ têm a mesma projecção horizontal (que é c 1). P’’ é o traço lateral da recta c’ e tem-se P’’1 ≡ P’1 (a recta c’ está definida por um ponto e uma direcção). As arestas [C CC’] e [D DD’’] do cubo maior são verticais, o que nos permitiu determinar as perspectivas de C’ e D’’ sobre a perspectiva da recta c’. A partir das perspectivas de todos os vértices do sólido, desenhou-se a sua perspectiva DD’] e [D DE ] n ã o s ã o do sólido, atendendo às invisibilidades observadas. Note que se trata de um único sólido, pelo que os segmentos [D arestas desse sólido. Sublinha-se que, caso se tratasse de d o i s s ó l i d o s, esses segmentos seriam arestas a assinalar a traço forte, o que não é o caso, pois o enunciado refere expressamente tratar-se de um único sólido resultante da justaposição de dois cubos. Nesse sentido, aqueles segmentos, embora sendo linhas construtivas, não separam faces distintas do sólido. As arestas invisíveis do sólido são as arestas A B], [A AE], [A A A ’], [E EE’], [E E’D’], [E EF], [F FF’] e [F FG]. Note que a aresta [E E’F’] é parcialmente invisível.

[A

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SOLUÇÕES

913.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos coordenados que fazem, entre si, ângulos de 120o. Numa perspectiva isométrica normalizada, os coeficientes de redução dos três eixos são desprezados, pelo que as medidas se representam todas em tamanho real. Assim, a partir das dimensões do objecto em V.G. (sobre os respectivos eixos) representaram-se, sobre duas faces do triedro (o plano XY e o plano XZ), as perspectivas das respectivas projecções do objecto (projecção horizontal e projecção frontal). Por cada par de projecções de cada um dos vértices do objecto conduziram-se as perspectivas das respectivas rectas projectantes de cada ponto, obtendo as suas perspectivas e, em simultâneo, as perspectivas das arestas do sólido.

Estas permitiram-nos desenhar a perspectiva do sólido, na qual se atenderam às invisibilidades observadas. Note que, se representou o plano ν (sobre o qual o sólido assenta) pelos seus traços frontal e lateral (ff ν e pν, respectivamente).

914.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados (atendendo a que o eixo Y é o que sofre uma redução isolada): as perspectivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 97o, enquanto que os outros dois ângulos têm 131o 30’ de amplitude. Segundo os coeficientes de redução normalizados, o coeficiente de redução do eixo X e do eixo Z é desprezado (considera-se que não existe deformação), enquanto que o eixo Y apresenta um coeficiente de redução isolado de 0,5.

A partir das dimensões do objecto (sobre os respectivos eixos e atendendo à redução existente no eixo X) representaram-se, sobre duas faces do triedro (o plano XY e o plano XZ), as perspectivas das respectivas projecções do objecto. Pelas projecções de cada um dos vértices do objecto conduziram-se as perspectivas das respectivas rectas projectantes de cada ponto, obtendo as suas perspectivas e, em simultâneo, as perspectivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspectiva do sólido, na qual se atenderam às invisibilidades observadas

915.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados: as perspectivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 95o e as perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 108o (o ângulo entre as perspectivas do eixo X e do eixo Y é o ângulo restante – 157o). Os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos. O coeficiente de redução do eixo Z é desprezado (considera-se que não existe deformação). O coeficiente e redução do eixo X é 0,9. O coeficiente de redução do eixo Y é 0,5. Assim, sobre as perspectivas dos eixos representaram-se as correspondentes dimensões do objecto (apresentadas no enunciado), multiplicadas pelos respectivos coeficientes de redução normalizados.

A partir das dimensões do objecto (sobre os respectivos eixos) representaram-se, sobre duas faces do triedro (o plano XY e o plano XZ), as perspectivas das respectivas projecções do objecto. A partir das projecções de cada um dos vértices do objecto obtiveram-se as suas perspectivas e, em simultâneo, as perspectivas das arestas do sólido. Note que, se representou o plano ν (sobre o qual o sólido assenta) pelos seus traços frontal e lateral (ff ν e pν, respectivamente).

465

SOLUÇÕES

916. a) Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o plano axonométrico é o plano XZ, o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Sobre a determinação das perspectivas do ponto A , ver relatório do exercício 827. b) Para determinar as projecções da recta projectante que passa por A (a recta r) há que ter em conta que a perspectiva de um ponto é o ponto de intersecção da recta projectante que por ele passa c o m o p l a n o d e p r o j e c ç ã o (o plano axonométrico) que, neste caso, é o plano XZ (que corresponde ao Plano Frontal de Projecção, em Dupla Projecção Ortogonal). A perspectiva propriamente dita de A é, assim, o traço frontal da recta projectante de A (a recta r), pelo que se tem F ≡ A (os dois pontos são o mesmo ponto). Por outro lado, como F é um ponto do Plano Frontal de Projecção, tem-se F2 ≡ F – uma vez que F tem afastamento nulo, F1 (a projecção horizontal de F) situa-se no eixo X e F3 (a projecção lateral de F) situa-se no eixo Z. A recta r passa por A e por F (está definida por dois pontos). A projecção frontal de r passa por A 2 e por F2. Em seguida, considerando-se o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico, determinou-se A 1r, a projecção horizontal de A em rebatimento – r 1r (a projecção horizontal da recta r, em rebatimento) passa por A 1r e por F1 (que é fixo, pois é um ponto da charneira do rebatimento do plano XY). Por fim, considerando o plano YZ rebatido sobre o plano axonométrico, determinou-se A 3r, a projecção lateral de A em rebatimento – r 3r (a projecção lateral da recta r, em rebatimento) passa por A 3r e por F3 (que é fixo, pois é um ponto da charneira do rebatimento do plano YZ).

917. a) Uma vez que o plano axonométrico é o plano YZ, o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Y um ângulo de 130o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 140o (que é outro ângulo obtuso). Sobre a determinação das perspectivas do ponto B, ver relatório do exercício 829. b) Para determinar as projecções da recta projectante que passa por B (a recta r) há que ter em conta que a perspectiva de um ponto é o ponto de intersecção da recta projectante que por ele passa com o plano de projecção (o plano axonométrico) que, neste caso, é o plano YZ (que corresponde ao Plano de Perfil de Projecção, em Tripla Projecção Ortogonal). A perspectiva propriamente dita de B é, assim, o traço lateral (o ponto P) da recta projectante de B (a recta r), pelo que se tem P ≡ B (os dois pontos são o mesmo ponto). Por outro lado, como P é um ponto do Plano de Perfil de Projecção, tem-se P3 ≡ P – uma vez que P tem abcissa nula, P 1 (a projecção horizontal de P) situa-se no eixo Y e P2 (a projecção frontal de P) situa-se no eixo Z. A recta r passa por B e por P (está definida por dois pontos). A projecção lateral de r passa por B3 e por P3. Em seguida, considerando-se o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico, determinou-se B1r, a projecção horizontal de B em rebatimento – r 1r (a projecção horizontal da recta r, em rebatimento) passa por B 1r e por P1 (que é fixo, pois é um ponto da charneira do rebatimento do plano XY). Por fim, considerando o plano XZ rebatido sobre o plano axonométrico, determinou-se B 2r, a projecção frontal de B em rebatimento – r 2r (a projecção frontal da recta r, em rebatimento) passa por B 2r e por P2 (que é fixo, pois é um ponto da charneira do rebatimento do plano XZ).

466

SOLUÇÕES

918. a) Uma vez que o eixo que não está contido no plano axonométrico é o eixo Y, o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 45o (que é um ângulo agudo) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 135o (que é um ângulo obtuso). Sobre a determinação das perspectivas do ponto D, ver relatório do exercício 827. b) Note que, apesar de a direcção das projectantes ser diferente da dada no exercício 916, os dois exercícios são idênticos, pelo que se mantiveram todos os raciocínios expostos na alínea b) do relatório daquele exercício – aconselha-se o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura daquele relatório.

919. a) Em primeiro lugar,desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o (que são dois ângulos obtusos). Sobre a determinação das perspectivas do ponto M , ver relatório do exercício anterior.

Sobre a determinação das perspectivas do ponto C, ver relatório do exercício 838. b) Para determinar as projecções da recta projectante que passa por C (a recta r) há que ter em conta que a perspectiva de um ponto é o ponto de intersecção da recta projectante que por ele passa com o plano de projecção (o plano axonométrico) que, neste caso, é o plano XY (que corresponde ao Plano Horizontal de Projecção, em Dupla Projecção Ortogonal). A perspectiva propriamente dita de C é, assim, o traço horizontal (o ponto H) da recta projectante de C (a recta r), pelo que se tem H ≡ C (os dois pontos são o mesmo ponto). Por outro lado, como H é um ponto do Plano Horizontal de Projecção, tem-se H1 ≡ H – uma vez que H tem afastamento nulo, H2 (a projecção frontal de H) situa-se no eixo X e H3 (a projecção lateral de H) situa-se no eixo Y. A recta r passa por C e por H (está definida por dois pontos). A projecção horizontal de r passa por C1 e por H1. Em seguida, considerando-se o plano XZ rebatido sobre o plano axonométrico, determinou-se C2r, a projecção frontal de C em rebatimento – r 2r (a projecção frontal da recta r, em rebatimento) passa por C2r e por H2 (que é fixo, pois é um ponto da charneira do rebatimento do plano XZ). Por fim, considerando o plano YZ rebatido sobre o plano axonométrico, determinou-se C3r, a projecção lateral de C em rebatimento – r 3r (a projecção lateral da recta r, em rebatimento) passa por C3r e por H3 (que é fixo, pois é um ponto da charneira do rebatimento do plano YZ).

467

SOLUÇÕES

920.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 130o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 140o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico, conforme exposto no relatório da aliena a) do exercício 845, e representou-se o ponto Q em Dupla Projecção Ortogonal – Q2 é a projecção frontal de Q e Q1r é a projecção horizontal de Q em rebatimento. Em seguida, representou-se o plano π (o plano de perfil que contém a figura) pelos seus traços, contendo o ponto Q – f π é o traço frontal de π e hπr é o traço horizontal de π, em rebatimento. A figura está contida num plano paralelo ao plano YZ, pelo que se projecta em V.G. no plano YZ – rebateu-se o plano YZ sobre o plano axono métrico (ver alínea b) do exercício 845 e respectivo relatório) e obteve-se Q 3 r , a projecção lateral de Q em rebatimento (no rebatimento do plano YZ ). Com o compasso, fazendo centro em Q3r, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo (em projecção lateral) e construiu-se o triângulo inscrito A B] é de na circunferência, de acordo com os dados – o lado [A topo (paralelo ao eixo Y) e C é o vértice de maior cota do polígono. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d que nos permite inverter o rebatimento do plano YZ, conforme exposto na alínea b) do relatório do exercício 845 (a partir do afastamento de Q). Para determinar as perspectivas dos vértices do triângulo desenhou-se, de imediato, a perspectiva de hπ (o traço horizontal de π) – esta é concorrente com f π no eixo X e é paralela à perspectiva do eixo Y. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano YZ determinando, dessa forma, as perspectivas das projecções horizontais dos três pontos sobre a perspectiva de hπ – A 1, B1 e C1. Note que, para tal se transportaram para a perspectiva do eixo Y, através de paralelas à direcção de afinidade, as abcissas daqueles pontos que, em seguida, se transportaram, por paralelas ao eixo X, para a perspectiva de hπ. As projecções frontais de A , B e C determinaram-se imediatamente sobre f π, pois o plano π é projectante frontal. Para determinar as perspectivas dos três vértices do triângulo, a partir das suas projecções frontais e das perspectivas das suas projecções horizontais, efectuaram-se os procedimentos expostos no relatório do exercício 827 para cada ponto, pelo que se aconselha a leitura daquele relatório. A partir das perspectivas dos três pontos, desenhou-se a perspectiva do polígono, bem como as perspectivas das suas projecções horizontal, frontal e lateral.

921.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Y, ângulos de 135o. Em seguida, rebateu-se o plano X Y sobre o plano axonométrico , conforme exposto na alínea a) do relatório do exercício 845, e representou-se o ponto A em Dupla Projecção Ortogonal – A 2 é a projecção frontal de A e A 1 é a sua projecção horizontal (que se situa no eixo X , pois A tem afastamento nulo). No rebatimento do plano X Y , a charneira do rebatimento é o eixo X, pelo que se tem A 1 é um ponto da charneira). imediatamente A 1r ≡ A 1 (A Por A 2, a projecção frontal de A , conduziu-se o traço frontal do plano ν (o plano horizontal que contém a figura). A figura está contida num plano paralelo ao plano XY, pelo que se projecta em V.G. no plano XY – a partir de A 1r , a projecção horizontal de A em rebatiA B] faz um mento, efectuou-se a construção da projecção horizontal do quadrado, em V.G., em rebatimento, em função dos dados. O lado [A ângulo de 30o com o plano XZ, ângulo esse que se projecta em V.G. no plano XY – com vértice em A 1r mediu-se o ângulo de 30o com o eixo X A B], em rebatimento, sobre a qual se mediram os 6 cm (o comprimento do lado do quadrado), o e desenhou-se a recta suporte do lado [A que nos permitiu obter B1r (a projecção horizontal de B em rebatimento). A partir de A 1r e B1r construiu-se a projecção horizontal do quadrado (Continua na página seguinte) 468

SOLUÇÕES

em V.G., em rebatimento, obtendo C1r e D1r. As projecções frontais dos pontos B, C e D situam-se sobre f ν, pois o plano ν é projectante frontal. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d (a partir do afastamento de C), conforme exposto no relatório da alínea a) do exercício 845, e inverteu-se o rebatimento do plano XY, determinando as perspectivas das projecções horizontais dos três pontos – B 1, C1 e D1 (ver exercício 849 e respectivo relatório). A partir das projecções frontais e das perspectivas das projecções horizontais dos três pontos, determinaram-se as suas perspectivas propriamente ditas (ver exercício 827 e respectivo relatório). A partir das perspectivas propriamente ditas dos quatro pontos, desenhou-se a perspectiva do quadrado (tenha em conta que a perspectiva de A está coincidente com a sua projecção frontal, pois A é um ponto do plano XZ, pelo que se tem imediatamente A ≡ A 2). Note que se representou, ainda, a perspectiva do pν), bem como a perspectiva da projecção horizontal do polígono. traço lateral (de perfil) do plano ν (p

922.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o.

A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 120o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 150o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico, conforme exposto na alínea a) do relatório do exercício 846, e representou-se o ponto Q em Dupla Projecção Ortogonal (considerando o plano YZ como o Plano Frontal de Projecção e o plano X Y como o Plano Horizontal de Projecção) – Q3 é a projecção lateral de Q e Q1r é a projecção horizontal de Q, em rebatimento (no rebatimento do plano XY). Por Q3, a projecção lateral de Q, conduziu-se o traço lateral do plano ν (o plano horizontal que contém a figura). A figura está contida num plano paralelo ao plano XY, pelo que se projecta em V.G. no plano XY – com o compasso, fazendo centro em Q1r, a projecção horizontal de Q em rebatimento, desenhou-se a circunferência circunscrita ao polígono e construiu-se o polígono inscrito na circunferência (de acordo com os dados), em projecção horizontal.

Note que, o lado de menor afastamento do pentágono é fronto-horizontal, pelo que é paralelo ao eixo X (ao eixo Xr ’, em rebatimento). O vérCD]. As projecções laterais dos tice A é o vértice de maior afastamento e B o vértice de menor abcissa. O lado fronto-horizontal é o lado [C vértices do pentágono situam-se sobre pν, pois o plano ν é projectante lateral. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d (a partir da abcissa de E), conforme exposto no relatório da alínea a) do exercício 846, e inverteu-se o rebatimento do plano XY, determinando as perspectivas das projecções horizontais dos cinco vértices do polígono (ver exercício 850 e respectivo relatório). A partir das projecções laterais e das perspectivas das projecções horizontais dos cinco pontos, determinaram-se as suas perspectivas propriamente ditas (ver exercício 829 e respectivo relatório). A partir das perspectivas dos cinco pontos, desenhou-se a perspectiva do pentágono. Note que, se representou, ainda, a perspectiva do traço frontal do plano ν (ff ν), bem como a perspectiva da projecção horizontal da figura.

923.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados.

Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 130o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 140o (que é outro ângulo obtuso). A circunferência é simultaneamente tangente ao plano XY e ao plano XZ, pelo que o seu centro (o ponto Q) tem necessariamente 3,5 cm (o raio da circunferência) de afastamento e de cota. Em seguida, determinaram-se as perspectivas do ponto Q, em função das suas coordenadas, conforme exposto no relatório do exercício 829, pelo que se aconselha a sua leitura. Representou-se o plano π (o plano que contém a figura) pelos seus traços – f π é a perspectiva do traço frontal de π e hπ é a perspectiva do traço horizontal de π. Atendendo a que o plano π é duplamente projectante (é simultaneamente projectante frontal e projectante horizontal), a perspectiva de f π contém a perspectiva de Q2 e a perspectiva de hπ contém a perspectiva de Q1 (as perspectivas dos traços do plano π são concorrentes na perspectiva do eixo X). A figura está contida num plano paralelo ao plano YZ (que é o plano axonométrico), pelo que a sua perspectiva está em V.G. – assim, com centro na perspectiva de Q e com 3,5 cm de raio, desenhou-se uma circunferência, que é a perspectiva da circunferência dada. Note que, a perspectiva da circunferência é necessariamente tangente à perspectiva de f π e à perspectiva de hπ.

469

SOLUÇÕES

924.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 140o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 130o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, representou-se a circunferência em Dupla Projecção Ortogonal, considerando o plano X Y rebatido sobre o plano axonométrico (o plano XZ) – note que a figura é tangente ao eixo Y, pois a circunferência tem 4 cm de raio e o seu centro tem 4 cm de abcissa (em rebatimento, a circunferência é tangente ao eixo Yr ’, no rebatimento do plano XY). Note ainda que o ponto Q, que tem cota nula, é um ponto do plano XY, pelo que, no rebatimento deste plano, se tem imediatamente Qr. Recorde que a perspectiva de uma circunferência (que não seja paralela ao plano axonométrico) é, n e c e s s a r i a m e n t e , uma e l i p s e , cujo desenho, executado à mão livre, requer, pelo menos, oito dos seus pontos e o rectângulo envolvente, sendo ainda conveniente que quatro desses oito pontos sejam os extremos dos dois eixos da elipse. Analisemos como se processou a inversão do rebatimento e a determinação dos pontos necessários ao desenho da curva. Em primeiro lugar, determinou-se a perspectiva do ponto Q, o centro da circunferência (ver exercício 849 e respectivo relatório). Em seguida, deQr Q], ou seja, o segmento cujos extremos são a perspectiva de Q e o ponto Q rebatido. terminou-se a mediatriz do segmento de recta [Q M苶 Q (que é igual a A mediatriz do segmento intersecta a charneira do rebatimento do plano XY (o eixo X) no ponto M – com centro em M e raio 苶 M苶 Q苶), 苶 r desenhou-se uma semicircunferência, que passa necessariamente por Qr e pela perspectiva de Q e que corta o eixo X (a charneira do rebatimento do plano XY) em R r e Sr. R e S são dois pontos da charneira, pelo que são fixos – rodam sobre si próprios, pelo que se tem imediatamente R r ≡ R e Sr ≡ S. Qualquer ângulo inscrito nessa semicircunferência, é necessariamente um ângulo recto. Assim, desenhouR r Qr Sr], que é rectângulo em Qr. O lado [R R r Qr] está contido na recta ar e o lado [Q Qr Sr] está contido na recta br. Note que ar -se o triângulo [R e br são perpendiculares entre si em Qr. Em seguida, inscreveu-se a circunferência num quadrado, de lados paralelos, precisamente, a ar e a br, e desenharam-se as medianas e as diagonais do quadrado, o que nos permite obter oito pontos da circunferência. O passo seguinte consiste em desenhar a perspectiva do quadrado, o que se processa obtendo, em primeiro lugar, as perspectivas das rectas a e b. A perspectiva de a passa por R (que é um ponto da charneira, pelo que é fixo) e pela perspectiva de Q, tal como a perspectiva de b passa por S RQS] é também um triângulo rectângulo, em Q, pois (que é um ponto da charneira, pelo que é fixo) e pela perspectiva de Q. O triângulo [R está igualmente inscrito numa semicircunferência, pelo que as perspectivas das rectas a e b são perpendiculares entre si na perspectiva de Q. A r e B r são os pontos do quadrado que estão sobre a recta ar – estes pontos foram transportados para a perspectiva de a, com o recurso à direcção de afinidade. Cr e Dr são os pontos do quadrado que estão sobre a recta br – estes pontos foram transportados para a perspectiva da recta b, com o recurso à direcção de afinidade. A partir das perspectivas de A , B, C e D construiu-se o rectângulo envolvente da elipse, e desenharam-se as suas diagonais – note que os pontos A , B, C e D são os pontos em que a elipse será tangente aos lados do rectângulo A B] é o eixo maior da elipse e [C CD] é eixo menor da elipse). Os pontos Er e Fr são os pontos da recta ar que nos dão as referências dos ([A quatro pontos da circunferência que estão sobre as diagonais do quadrado – Er e Fr foram transportados para a perspectiva da recta a através da direcção de afinidade. Pelas perspectivas de E e F conduziram-se paralelas à perspectiva da recta b que, ao intersectarem as diagonais do rectângulo, nos deram os quatro pontos da elipse que estão sobre as diagonais do rectângulo. A partir destes pontos, já se têm os oito pontos que nos permitem desenhar a curva, atendendo a que a elipse é tangente aos lados do rectângulo em A , B, C e D (recorde que A B] é o eixo maior da elipse e que [C CD] é o seu eixo menor).

[A

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SOLUÇÕES

925.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Y um ângulo de 150o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 120o (que é outro ângulo obtuso). A partir do afastamento dos pontos A e B representou-se, imediatamente, o plano ϕ (o plano frontal que contém a figura) – pϕ é o traço lateral do plano ϕ e hϕ é a pϕ e a perspectiva de hϕ perspectiva do seu traço horizontal (p são concorrentes entre si no eixo Y). A figura está contida num plano paralelo ao plano XZ, pelo que se projecta em V.G. no plano XZ – rebateu-se o plano XZ sobre o plano axonométrico (ver alínea b) do exercício 846 e respectivo relatório) e determinaram-se A2r e B2r, as projecções frontais de A e B em rebatimento (no rebatimento do plano XZ), em função das suas coordenadas. Em seguida, construiu-se a projecção frontal do hexágono, em rebatimento – com o compasso, A 2r B 2r ] é um construiu-se um triângulo equilátero de que [A lado, o que nos permitiu determinar o centro da figura e concluir a construção do polígono. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d que nos permite inverter o rebatimento do plano XZ, conforme exposto na alínea b) do relatório do exercício 846 (a partir da abcissa de E). Para determinar as perspectivas dos vértices do hexágono inverteu-se o rebatimento do plano XZ determinando, dessa forma, as perspectivas das projecções horizontais dos seis vértices do hexágono sobre a perspectiva de h ϕ. Note que para tal se transportaram para a perspectiva do eixo X , através de paralelas à direcção de afinidade, os afastamentos dos seis pontos que, em seguida, se transportaram, por paralelas ao eixo Y, para a perspectiva de hϕ. As projecções laterais dos vértices do hexágono determinaram-se imediatamente sobre pϕ, pois o plano ϕ é projectante lateral. Para determinar as perspectivas dos seis vértices do hexágono, a partir das suas projecções laterais e das perspectivas das suas projecções horizontais, efectuaram-se os procedimentos expostos no relatório do exercício 829 para cada ponto, pelo que se aconselha a leitura daquele relatório. A partir das perspectivas dos seis pontos, desenhou-se a perspectiva do polígono, bem como as perspectivas das suas projecções horizontal e lateral.

926.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 145o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 125o (que é outro ângulo obtuso). A partir do afastamento de A e B, representou-se o plano π (o plano de perfil que contém a base da pirâmide) – f π é o traço frontal de π e hπ é a perspectiva do traço horizontal de π (ff π e a perspectiva de hπ são concorrentes entre si no eixo X). A base da pirâmide está contida num plano paralelo ao plano YZ, pelo que se projecta em V.G. no plano YZ – rebateu-se o plano YZ sobre o plano axonométrico (ver alínea b) do exercício 845 e respectivo relatório) e determinaram-se A 3r e B3r, as projecções laterais de A e B, em rebatimento (no rebatimento do plano YZ). Em seguida efectuou-se a construção da projecção lateral do triângulo, em rebatimento (no rebatimento do plano YZ) e determinou-se, ainda, o centro do triângulo, em rebatimento – Q3r é a projecção lateral de Q (o centro do triângulo) em rebatimento. Em seguida, determinou-se a perspectiva do A BC] e de Q, de acordo com os procedimentos efectuados no exercício 920, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório triângulo [A (note que se trata de duas situações muito semelhantes). Em seguida, atendendo a que a pirâmide é regular, sabe-se que o seu eixo está contido numa recta fronto-horizontal (ortogonal ao plano da base, que é de perfil), que é paralela ao eixo X – pela perspectiva de Q conduziu-se (Continua na página seguinte) 471

SOLUÇÕES

a perspectiva da recta suporte do eixo da pirâmide, paralela ao eixo X. Por outro lado, a altura da pirâmide é 7 cm, pelo que o vértice do sólido tem necessariamente 9 cm de abcissa (note que o plano da base tem 2 cm de abcissa) – as abcissas estão em V.G., pelo que a determinação das perspectivas de V se processou de forma directa, sobre as perspectivas da recta suporte do eixo da pirâmide. A partir das perspectivas de ACV]. Existe um único vértice todos os vértices do sólido, desenhou-se a sua perspectiva, cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada [A que não integra o contorno aparente – o vértice B. Este é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que, a face lateral ACV] é a única face visível – as faces laterais [A A BV] e [B B CV] são invisíveis, bem como a base do sólido. Após a determinação da perspectiva [A do sólido representaram-se, ainda, as perspectivas das suas projecções frontal e horizontal, atendendo-se às respectivas invisibilidades, quer por projecção quer por ocultação pelo sólido.

927.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo Y e do eixo Z, ângulos de 135o. A partir da cota de A e B, representou-se o plano ν (o plano horizontal que contém a base da pirâmide) – pν é o traço lateral de ν e f ν pν e a perspectiva de f ν é a perspectiva do traço frontal de ν (p são concorrentes entre si no eixo Z). Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico, conforme exposto na alínea a) do relatório do exercício 846, e representaram-se os pontos A e B em Dupla Projecção Ortogonal (considerando o plano YZ como o Plano Frontal de Projecção e o plano XY como o Plano Horizontal de Projecção) – A3 e B3 são as projecções laterais de A e B, respectivamente, e A 1r e B 1r são as projecções horizontais de A e B (respectivamente), em rebatimento (no rebatimento do plano XY). A base da pirâmide está contida num plano paralelo ao plano XY, pelo que o quadrado se projecta em V.G. no plano XY – a partir de A 1r e B 1r , construiu-se a projecção horizontal do quadrado, em projecção horizontal (em rebatimento), obtendo C 1r e D1r .

Ainda considerando o rebatimento do plano XY sobre o plano axonométrico, representou-se o vértice da pirâmide, V, em Dupla Projecção Ortogonal – V1r é a projecção horizontal de V, em rebatimento (no rebatimento do plano XY). A inversão do rebatimento e a determinação das perspectivas dos cinco vértices da pirâmide processou-se conforme exposto no relatório do exercício 922, pelo que se aconselha a sua leitura.

Em seguida, desenhou-se a perspectiva da pirâmide, cujo ADCV]. Existe um único vértice que não integra o contorno aparente da perspectiva da pirâcontorno aparente é a linha quebrada fechada [A A DV] e [C CDV] são visíveis, mide – o vértice B. Estes é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que, as faces laterais [A A BV] e [B B CV] são invisíveis, bem como a base do sólido. Por fim, representaram-se, ainda, as perspectivas enquanto que as faces laterais [A das projecções horizontal e lateral da pirâmide, atendendo às respectivas invisibilidades (quer por projecção quer por ocultação pelo sólido).

928.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo Y e do eixo Z, ângulos de 135o. A partir do afastamento do ponto Q representou-se, imediatamente, o plano ϕ (o plano frontal que contém a base de menor afastamento do prisma) – pϕ é o traço lateral pϕ e a perspectiva de hϕ são concorrentes entre si no eixo Y). Atendendo a que o prisma do plano ϕ e hϕ é a perspectiva do seu traço horizontal (p tem 6 cm de altura, foi possível representar, imediatamente, o plano que contém a base de maior afastamento do sólido – o plano ϕ’. O plano ϕ’ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do prisma e tem 8 cm de afastamento (note que o plano ϕ tem 2 cm de pϕ’’ e a perspectiva de hϕ’’ são concorrentes entre si afastamento) – pϕ’’ é o traço lateral do plano ϕ’ e hϕ’’ é a perspectiva do seu traço horizontal (p no eixo Y). Em seguida, rebateram-se os planos XY e XZ para o plano axonométrico, o que nos permitiu representar as projecções de Q (o centro da base de menor afastamento do prisma) em rebatimento – Q1r é a projecção horizontal de Q, em rebatimento (no rebatimento do plano XY) e Q2r é a projecção frontal de Q, em rebatimento (no rebatimento do plano XZ). Por outro lado, hϕr é o traço horizontal do plano ϕ (o plano frontal que contém a base de menor afastamento do sólido) no rebatimento do plano XY. A figura está contida num plano paralelo ao plano XZ, pelo que se projecta em V.G. no plano XZ – com centro em Q2r, a projecção frontal de Q em rebatimento (no rebatimento do plano XZ), desenhou-se A B C], em projecção frontal (em rebatimento) e construiu-se o polígono em V.G. (em rebatimento), a circunferência circunscrita ao triângulo [A (Continua na página seguinte) 472

SOLUÇÕES

inscrito na circunferência e de acordo com os dados.

Uma vez que a face lateral do sólido que contém os vértices B e C está contida num plano de perfil, sabe-se imediatamente que B e C têm a mesma B C] do triângulo é vertical. Por outro abcissa – o lado [B lado, A é o vértice de maior abcissa do triângulo e B é o vértice de maior cota. Determinou-se a direcção de afinidade d que nos permite inverter o rebatimento do plano XZ (a partir da abcissa de Q) e inverteu-se o rebatimento, determinando as perspectivas dos três vértices do triângulo e do ponto Q, conforme exposto no relatório do exercício 925, pelo que se aconselha a sua leitura. Em seguida, pelas perspectivas dos vértices do triângulo conduziram-se as rectas suporte das arestas laterais do sólido – o sólido é um prisma regular, pelo que as arestas laterais do prisma estão contidas em rectas de topo (rectas ortogonais aos planos da bases), que são paralelas ao eixo Y. As perspectivas dos vértices da base de A ’ B ’ C ’]) maior afastamento do sólido (o triângulo [A determinaram-se recorrendo aos pontos de intersecção das rectas suporte das arestas laterais do sólido com o plano ϕ’ (o plano da base de maior afastamento do prisma), que é um plano projectante horizontal e projectante lateral. A partir das perspectivas de todos os vértices do sólido, desenhou-se a sua perspectiva, cujo contorno aparente ABB’C’C]. Existe um único vértice que não integra o contorno aparente – o vértice A’. Este é visível, bem como é a linha quebrada fechada [A A B C] do sólido é invisível, bem como a face lateral [B BB’C’C], pelo que a aresta [B B C] todas as arestas que nele convergem. Note que a base [A A’B’C’] e as faces laterais [A A A ’ B ’ B] e [A AA’C’C] são visíveis. daquela base é invisível (separa duas faces invisíveis). A base [A

929.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 140o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 130o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, representou-se o plano horizontal (de nível) ν que contém a base superior do prisma. O plano ν tem 7 cm de cota, que é a altura do prisma (note que a base inferior tem cota nula, pois está contida no plano XY) – f ν é o traço frontal do plano ν e pν é a perspectiva do seu traço lateral (ff ν e a perspectiva de pν são concorrentes entre si no eixo Z).

Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico e representaram-se os pontos A e B em Dupla Projecção Ortogonal – A 2 e B 2 são as projecções frontais de A e B, respectivamente, e A 1r e B 1r são as projecções horizontais de A e B (respectivamente), em rebatimento (no rebatimento do plano XY). A partir das projecções de A e B construíram-se as duas projecções do sólido – a projecção frontal do prisma e a sua projecção horizontal (em rebatimento, no rebatimento do plano XY). Note que são dadas as direcções das rectas suporte das A’B’C’]), pela intersecção arestas laterais do sólido, o que nos permitiu determinar as projecções dos vértices da base superior (o triângulo [A das rectas suporte das arestas laterais (que são rectas não projectantes) com o plano da base superior (que é um plano projectante frontal).

Note ainda que, em função da direcção das arestas laterais, se conclui que C tem de ser o vértice de maior abcissa da base inferior do prisma – caso seja o vértice de menor abcissa da base, o prisma não se situará, na totalidade, no espaço do 1o Triedro, como é expressamente referido no enunciado. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano XY (a direcção de afinidade determinou-se em função do afastamento de B). Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano XY, conforme exposto no relatório do exercício 921, o que nos permitiu determinar a perspectiva da projecção horizontal de todos os vértices do sólido. A partir das (Continua na página seguinte) 473

SOLUÇÕES

projecções frontais dos vértices do prisma e das perspectivas das suas projecções horizontais, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas dos seis vértices do sólido (conforme exposto no relatório do exercício 827), o que nos permitiu desenhar a perspectiva do prisma, B CC’A’B’]. Existe um único vértice que não integra o contorno aparente – o vértice A. Este cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada [B A B C]) é invisível, bem como as faces lateinvisível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que, a base inferior (o triângulo [A A A ’ B ’ B] e [A AA’C’C]. Apenas a base superior e a face lateral [B BB’C’C] são visíveis. rais [A

930.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o plano axonométrico é o plano XZ, pelo que o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o.

A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o. Note que, nesta situação, e devido a se tratar de uma situação de grande simplicidade quer de raciocínios quer de traçado, se optou por não rebater o plano XY sobre o plano axonométrico nem sequer representar o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, o que foi essencial à resolução do exercício anterior. A base do cone está contida num plano frontal (de frente), pelo que o eixo do cone está contido numa recta de topo – Q e V têm, assim, a mesma abcissa e a mesma cota. Por outro lado, atendendo a que o plano da base (o plano ϕ) tem 2 cm de afastamento (o afastamento de Q) e que o cone tem 8 cm de altura, sabe-se imediatamente que V, o vértice do cone, tem 10 cm de afastamento. Assim, determinaram-se as perspectivas de Q, o centro da base do cone, e V, o vértice do sólido, em função das respectivas coordenadas, conforme exposto no relatório do exercício 827. Em seguida, representou-se o plano ϕ (o plano que contém a base do sólido) pelos seus traços – hϕ é a perspectiva do traço horizontal de ϕ e pϕ é a perspectiva do traço lateral de ϕ. Atendendo a que o plano ϕ é simultaneamente projectante horizontal e projectante lateral, a perspectiva de hϕ contém a perspectiva de Q1 e a perspectiva de pϕ contém a perspectiva de Q3 (as perspectivas dos traços do plano ϕ são concorrentes na perspectiva do eixo Y). A base do cone está contida num plano paralelo ao plano XZ (que é o plano axonométrico), pelo a sua perspectiva está em V.G. – assim, com centro na perspectiva de Q e com 3 cm de raio, desenhou-se uma circunferência, que é a perspectiva da base do sólido. Para determinar as geratrizes do contorno aparente do sólido efectuaram-se os traçados lineares necessários à determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior (que, neste caso, é a perspectiva de V), o que nos permitiu deterTV] e [T T’V] são as geratrizes do contorno aparente da perspectiva do cone. minar os pontos T e T’ (os pontos de tangência). As geratrizes [T ២ Note que, a base do cone é invisível, pelo que o arco menor T T’ é invisível – corresponde à porção da circunferência da base que separa a base (que é invisível) da porção da superfície lateral do cone que é invisível. De forma a garantir uma melhor visualização do sólido (bem como a verificação do Critério de Reversibilidade), optou-se por representar, ainda, a perspectiva da projecção horizontal do cone.

931.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Y um ângulo de 150o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 120o (que é outro ângulo obtuso). Note que, este exercício é muito semelhante ao exercício anterior, pelo que todas as etapas de resolução forma idênticas – aconselha-se o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura do relatório do exercício anterior.

As perspectivas de Q e de V determinaram-se, também, a partir das suas coordenadas (ver exercício 829 e respectivo relatório). O plano π é o plano que contém a base do sólido (é um plano de perfil) – hπ é a perspectiva do traço horizontal de π e f π é a perspectiva do traço frontal de π. Note que, nesta situação particular, a perspectiva do traço frontal do plano π ficou coincidente com a recta projectante (no rebatimento do plano projectante do eixo X) que nos permitiu determinar a perspectiva da abcissa do ponto Q. Atendendo a que o plano π é duplamente projectante (é simultaneamente projectante horizontal e projectante frontal), a perspectiva de hπ contém a perspectiva de Q1 e a perspectiva de f π contém a perspectiva de Q2 (as perspectivas dos traços do plano π são concorrentes na perspectiva do eixo X). Note que, nesta situação, e ao contrário da situação anterior, a base do cone é visível, pelo que não existem quaisquer invisibilidades a assinalar. A única invisibilidade a assinalar refere-se à parte da perspectiva da projecção horizontal do cone que está oculta pelo sólido.

474

SOLUÇÕES

932.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o. Em seguida, determinaram-se as perspectivas dos oito pontos que nos permitem desenhar a elipse, que é a perspectiva da base, conforme exposto no relatório do exercício 924, pelo que se aconselha a sua leitura. No entanto, optou-se por não desenhar imediatamente a elipse que é a perspectiva da base do cone, pois, conforme se expôs no relatório do exercício 884, os procedimentos sequentes e necessários à determinação rigorosa das geratrizes do contorno aparente, vão originar a determinação de mais dois pontos da curva. Esses procedimentos têm a ver com a determinação dos planos tangentes ao cone que contêm a direcção das projectantes, o que se efectua em três passos, conforme explicitado nas páginas 14 a 17 do Volume 2 do Manual e que em seguida se especificam. 1. Pelo vértice do cone conduziu-se uma recta, a recta r, que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes (a recta r é uma recta projectante, cujas projecções horizontal e frontal se determinaram conforme exposto no relatório do exercício 916) – a recta r está definida por V (no espaço) e pela sua perspectiva, que é o traço frontal de r. 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta r com o plano da base do cone, o plano XY. Note que I é o traço horizontal da recta r – a determinação do ponto I processou-se em Dupla Projecção Ortogonal, considerando o rebatimento do plano XY sobre o plano axonométrico. 3. Por I conduzem-se as rectas tangentes à base do cone, o que tem necessariamente de se processar em rebatimento (no rebatimento do plano XY), para se determinarem as rectas tangentes à circunferência (a base do cone) que passam por um ponto exterior (que, neste caso, é I1r). Assim, efectuaram-se os traçados necessários à determinação das rectas tangentes à circunferência (em rebatimento) que passam por I1r, determinando-se os pontos em que aquelas serão tangentes à circunferência – os pontos Tr e T’r.

Note que se omitiu a representação das rectas tangentes, pois para a conclusão do exercício os pontos de tangência são suficientes.

As perspectivas de T e T’ obtiveram-se com o recurso a uma recta m que por eles passa – mr é a recta m em rebatimento no rebatimento do plano XY) e passa por Tr e T’r. A perspectiva da recta m determinou-se com o auxílio dos pontos em que ela se apoia no eixo X (ponto M, que é um ponto da charneira, pelo que se tem M ≡ M r) e no eixo Y (ponto N). A perspectiva do ponto N determinou-se, sobre a perspectiva do eixo Y, a partir de Nr e recorrendo à direcção de afinidade. Os pontos T e T’ transportaram-se para a perspectiva da recta m com o recurso TV] e [T T’V] são as perspectivas das geratrizes do contorno à direcção de afinidade, o que nos permitiu determinar as perspectivas de T e T’. [T aparente. Em seguida, desenhou-se a elipse, a partir dos dez pontos entretanto determinados – os oito pontos previamente determinados e os pontos T e T’. Note que se atendeu, no desenho da elipse, às situações da tangência relativas ao rectângulo envolvente e às situações de concordância relativamente às perspectivas da geratrizes do contorno aparente – a elipse tem de ser concordante com a perspectiva de TV] na perspectiva de T e concordante com a perspectiva de [T T’V] na perspectiva de T’. Por fim, assinalaram-se convenientemente as invi[T sibilidades existentes na perspectiva do sólido.

475

SOLUÇÕES

933.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Y um ângulo de 150o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 120o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, determinaram-se as perspectivas de V, o vértice do cone (a partir do rebatimento do plano XY sobre o plano axonométrico) e dos oito pontos que nos permitem desenhar a elipse, que é a perspectiva da base – estes foram determinados conforme exposto no relatório do exercício 924, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que, na presente situação, a base do sólido está contida no plano XZ, sendo a partir do rebatimento deste plano sobre o plano axonométrico que se efectuaram as construções descritas naquele relatório. A recta a é a recta suporte do eixo maior da elipse e é concorrente com o eixo Z (a charneira do rebatimento do plano XZ) no ponto A , que é fixo. A recta b é a recta suporte do eixo menor da elipse e é concorrente com o eixo Z (a charneira do rebatimento do plano XZ) no ponto B. As rectas ar e br são perpendiculares entre si sobre Qr. As perspectivas das rectas a e b são perpendiculares entre si na perspectiva de Q. À semelhança do exercício anterior, optou-se por não desenhar imediatamente a elipse que é a perspectiva da base do cone, pois, conforme se expôs no relatório do exercício 884, os procedimentos sequentes e necessários à determinação rigorosa das geratrizes do contorno aparente, vão originar a determinação de mais dois pontos da curva. Esses procedimentos têm a ver com a determinação dos planos tangentes ao cone que contêm a direcção das projectantes, o que se efectua em três passos, conforme explicitado nas páginas 14 a 17 do Volume 2 do Manual e que em seguida se especificam. 1. Pelo vértice do cone conduziu-se uma recta, a recta r, que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes – a recta r é uma recta projectante, cujas projecções frontal (em rebatimento – r2r) e lateral (r3) se determinaram conforme exposto no relatório do exercício 917. A recta r está definida por V (no espaço) e pela sua perspectiva, que é o traço lateral de r – o ponto P. 2. Determinou-se o ponto F, o ponto de intersecção da recta r com o plano da base do cone, o plano XZ. F3) se situa no Note que F é o traço frontal da recta r – F é o ponto da recta r que tem afastamento nulo, pelo que a sua projecção lateral (F eixo Z. F2r é a projecção frontal de F, no rebatimento do plano XZ e situa-se sobre r 2r. 3. Por F conduzem-se as rectas tangentes à base do cone, o que tem necessariamente de se processar em rebatimento (no rebatimento do plano XZ), para se determinarem as rectas tangentes à circunferência (a base do cone) que passam por um ponto exterior (que, neste caso, é F2r). Assim, efectuaram-se os traçados necessários à determinação das rectas tangentes à circunferência (em rebatimento) que passam por F2r, determinando-se os pontos em que aquelas serão tangentes à circunferência – os pontos Tr e T’r. Note que se omitiu a representação das rectas tangentes, pois para a conclusão do exercício os pontos de tangência são suficientes. As perspectivas de T e T’ obtiveram-se com o recurso a uma recta m que por eles passa – mr é a recta m em rebatimento, no rebatimento do plano XZ) e passa por Tr e T’r. Note que, nesta situação, a recta mr é paralela ao eixo Z, pelo que é uma recta vertical. A perspectiva da recta m determinou-se a partir do ponto em que a recta mr intersecta o eixo Xr’’ – esse ponto transportou-se para a perspectiva do eixo X, através da direcção de afinidade, e pela sua perspectiva conduziu-se a perspectiva da recta m, paralela ao eixo Z. Os pontos T e T’ transportaram-se para a perspectiva da recta m com o recurso à direcção de afinidade, o que nos permitiu determinar as persTV] e [T T’V] são as perspectivas das geratrizes do contorno aparente. Em seguida, desenhou-se a elipse, a partir dos dez pectivas de T e T’. [T pontos entretanto determinados – os oito pontos previamente determinados e os pontos T e T’. Note que se atendeu, no desenho da elipse, às situações da tangência relativas ao rectângulo envolvente e às situações de concordância relativamente às perspectivas da geratrizes do conTV] na perspectiva de T e concordante com a perspectiva de [T T’V] na torno aparente – a elipse tem de ser concordante com a perspectiva de [T perspectiva de T’. Por fim, assinalaram-se convenientemente as invisibilidades existentes na perspectiva do sólido.

476

SOLUÇÕES

934.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o plano axonométrico é o plano XZ, pelo que o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o. Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico (o plano XZ), com vista à representação do sólido em Dupla Projecção Ortogonal. Representaram-se os pontos Q e Q’, em Dupla Projecção Ortogonal (em função das suas coordenadas), o que nos permitiu, em seguida, construir as projecções do cilindro – a sua projecção frontal e a sua projecção horizontal (no plano XY rebatido sobre o plano XZ, em torno do eixo X). O ponto Q é um ponto do próprio plano XZ, pelo que Q1 se situa no eixo X, que é a charneira, pelo que se tem Q1r ≡ Q1. Q’1r é a projecção horizontal de Q’ rebatida, pelo rebatimento do plano XY. Por Q’1r conduziu-se o traço horizontal do plano ϕ em rebatimento – hϕr (ϕ é o plano frontal que contém a base de maior afastamento do sólido).

A base de menor afastamento do sólido está contida no próprio plano axonométrico, pelo que está em V.G. – a perspectiva da base é a própria circunferência que a delimita. Em seguida determinou-se a direcção de afinidade (ver alínea a) do exercício 845 e respectivo relatório) e inverteu-se o rebatimento de Q’1r, conforme exposto no relatório do exercício 849. Q’1 é a perspectiva da projecção horizontal de Q’ e Q’ é hϕ), que é paralela ao eixo X, e pelo a perspectiva propriamente dita do ponto. Por Q’1 conduziu-se a perspectiva do traço horizontal de ϕ (h pϕ). Q e Q’ são ponto de concorrência de hϕ com a perspectiva do eixo Y conduziu-se a perspectiva do traço lateral (de perfil) do plano ϕ (p QQ’] é a perspectiva do eixo do cilindro. A base de menor afastamento está as perspectivas dos centros das duas bases – o segmento [Q contida no próprio plano axonométrico e a base de maior afastamento está contida num plano frontal (de frente), o plano ϕ, que é paralelo ao plano axonométrico, pelo que as perspectivas das duas bases não apresentam qualquer deformação – assim, com centro na perspectiva de Q e 3 cm de raio, desenhou-se a circunferência que delimita a base de menor afastamento, o que se repetiu para a base de maior afastamento, com centro na perspectiva de Q’ (note que a base de maior afastamento do cilindro é necessariamente tangente a pϕ, em Q’3, pois Q’ tem 3 cm de abcissa). Há, agora, que determinar as geratrizes do contorno aparente do cilindro. Estas determinam-se com o recurso aos planos tangentes ao cilindro que são paralelos a uma recta projectante. No entanto, com vista a simplificar a resolução gráfica, e atendendo a que as bases do sólido estão em V.G., é possível determinar, de forma imediata, as rectas tangentes às perspectivas das duas bases que são paralelas ao eixo do cilindro, evitando, dessa forma, a nomenclatura excessiva e, neste caso, desnecessária. Note, no entanto, que caso as bases não estivessem em V.G. (como é o caso do exercício seguinte), a determinação das geratrizes do contorno aparente teria de se processar inevitavelmente com o recurso à determinação dos planos tangentes ao cilindro que são paralelos às rectas projectantes.

BB’]. A partir das geratrizes do contorno aparente, desenhou-se a perspectiva AA ’] e [B As geratrizes do contorno aparente são as geratrizes [A do sólido, assinalando convenientemente a parte invisível do contorno da base de menor afastamento do cilindro.

477

SOLUÇÕES

935.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Y um ângulo de 130o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 140o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, representou-se o plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro – o plano ν tem 6 cm de cota, pois a base inferior tem cota nula (está contida no plano XY) e o cilindro tem 6 cm de altura. O plano ν foi representado pelos seus traços – pν é o traço lateral do pν e plano ν e f ν é a perspectiva do traço frontal do plano (p a perspectiva de f ν são concorrentes no eixo Z). Atendendo a que as bases do cilindro são horizontais (de nível), pelo que se projectam em V.G. no plano XY, recorreu-se ao rebatimento do plano XY sobre o plano axonométrico. Nesse sentido, efectuaram-se as construções que nos permitem determinar os oito pontos necessários ao desenho da elipse (a perspectiva da base inferior), o que se processou exposto no relatório do exercício 924 (aconselha-se a leitura daquele relatório). A recta a é a recta suporte do eixo maior da elipse e é concorrente com o eixo X (a charneira do rebatimento do plano XY) no ponto A, que é fixo. A recta b é a recta suporte do eixo menor da elipse e é concorrente com o eixo X (a charneira do rebatimento do plano XY) no ponto B. As rectas ar e br são perpendiculares entre si sobre Qr. As perspectivas das rectas a e b são perpendiculares entre si na perspectiva de Q. Em seguida, transportaram-se, para o plano ν, todas as referências que nos permitiram determinar os oito pontos da elipse que é a perspectiva da base inferior – essas referências são essenciais à determinação dos oito pontos que nos permitirão desenhar a elipse que é a perspectiva da base superior do cilindro. No entanto, à semelhança do exposto no relatório dos exercícios 932 e 933, optou-se por não desenhar imediatamente nenhuma das duas elipses (as perspectivas das bases do cilindro), pois os procedimentos sequentes e necessários à determinação rigorosa das geratrizes do contorno aparente, vão originar a determinação de mais dois pontos da curva. Esses procedimentos têm a ver com a determinação dos planos tangentes ao cone que contêm a direcção das projectantes, o que se efectua em três passos, conforme explicitado nas páginas 25 a 28 do Volume 2 do Manual e que em seguida se especificam. 1. Por um ponto qualquer conduzem-se duas rectas – uma recta r, projectante, e uma recta s, paralela às geratrizes do cilindro. As rectas r e s, porque são concorrentes, definem um plano, que é paralelo aos planos tangentes. 2. Determina-se a recta i, a recta de intersecção do plano definido pelas rectas r e s com o plano da base do cilindro – o plano XY, neste caso. 3. Determinam-se as rectas tangentes à base (de referência) que são paralelas à recta i, o que nos permite obter os pontos pelos quais passam as geratrizes do contorno aparente. Neste exercício, a aplicação dos passos acima enunciados é a que em seguida se expõe. 1. Considerou-se a recta s como o próprio eixo do cilindro e a recta r (que é a recta projectante) é Q’ é o centro da base superior do cilindro). Note que, a recta r está representada pelas suas projecções – r3, a sua concorrente com s em Q’ (Q projecção lateral, e r1r, a sua projecção frontal, em rebatimento (ver alínea b) do exercício 917 e respectivo relatório). 2. Determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano definido por r e s, com o plano XY (o plano da base de referência) – a recta i está definida por Q (o ponto de intersecção da recta s com o plano XY – a recta s é o próprio eixo do cilindro) e pelo ponto I, que é o ponto de intersecção da recta r com o plano XY. O ponto I é o traço horizontal da recta r – é o ponto da recta r que tem cota nula, pelo que a sua projecção lateral (II3) se situa no eixo Y e a sua projecção horizontal, em rebatimento (II1r) se situa sobre r1r. A recta i (da qual se representou, apenas, a sua projecção horizontal em rebatimento), definida por Q’ e por I, é a recta de intersecção do plano definido por r e s com o plano XY. Note que, atendendo a que se trata de um cilindro de revolução, se tem que as projecções horizontais de Q e Q’ estão coincidentes – assim, i1r, que passa põe Q’1r e por I1r, está coincidente com r1 . 3. Em rebatimento, conduzem-se as rectas tangentes à base (de referência) do cilindro que são paralelas a i1r – note que, apesar de não se terem desenhado as rectas tangentes à base de referência do cilindro (para não sobrecarregar em demasia a resolução gráfica), se determinaram os pontos de tangência, que era o objectivo das tangentes. A recta pr é a recta perpendicular a i1r que nos permitiu Mr e Nr), cujas perspectivas serão os pontos pelos quais passarão as geratrizes do contorno aparente. determinar os pontos de tangência (M Para determinar as perspectivas de M e N recorreu-se a uma recta que passa pelos dois pontos – a própria recta p. A recta pr é concorrente com o eixo X (a charneira do rebatimento) no ponto R, que é fixo – R r ≡ R. Uma vez que a recta pr passa por Qr, sabe-se que a perspectiva da recta p passará pela perspectiva de Q. Nesse sentido, foi possível desenhar a perspectiva da recta p (que fica definida por dois pontos – a perspectiva de Q e R ). A determinação das perspectivas dos pontos M e N sobre a perspectiva da recta p processou-se com o recurso à direcção de afinidade. Em seguida, foi necessário transportar, para o plano ν, as referências dos pontos M e N, para o que se recorreu a uma recta p’. O ponto R’ é o ponto de pν que corresponde ao ponto R do eixo Y e a recta p’ é a recta que passa por R’ e que corresponde à recta p – a perspectiva de p’ é paralela à perspectiva de p. Em seguida, conduzindo, pelas perspectivas de M e N, as respectivas projectantes horizonMM’] e [N NN’] são as geratritais (paralelas ao eixo Z), determinaram-se as perspectivas de M’ e N’ sobre a perspectiva da recta p’. As geratrizes [M zes do contorno aparente da perspectiva do cilindro. Em seguida, desenharam-se as duas elipses que são as perspectivas das duas bases do cilindro, a partir dos dez pontos determinados de cada uma delas. Tenha ainda em conta que a primeira elipse (a perspectiva da base inferior) é MM’] e [N NN’] nas perspectivas de M e N, respectivamente. Da mesma forma, a segunda elipse concordante com as perspectivas das geratrizes [M MM’] e [N NN’] nas perspectivas de M’ e N’, respectivamente. (a perspectiva da base superior) é concordante com as perspectivas das geratrizes [M Em seguida, assinalou-se convenientemente a parte invisível do contorno da base inferior do cilindro. Ã

478

SOLUÇÕES

936.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 150o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 120o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, atendendo a que os dois cubos têm faces horizontais (de nível), que se projectam em V.G. no plano XY, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico e representaram-se os pontos A e B pelas suas projecções, em rebatimento, em função das suas coordenadas – A 1r e B 1r são as projecções horizontais de A e B, respectivamente, em rebatimento. A partir de A 1r e B 1r construiu-se a projecção horizontal (em rebatimento) do quadrado [A A B CD]. Em seguida, em projecção horizontal (em rebatimento), determinou-se o centro do quadrado (o ponto de intersecção das duas diagonais da figura), pelo qual se conduziram as medianas do quadrado, que nos permitiram determinar os pontos médios dos lados da figura – esses pontos são as projecções horizontais (em rebatimento) dos vértices do quadrado [JJ K L M]. A partir da construção dos dois quadrados (em projecção horizontal rebatida) já sabemos a medida do lado de cada quadrado, o que nos permitiu representar os planos horizontais (de nível) que contem as faces horizontais (de nível) dos cubos – o plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a face superior do primeiro cubo e a face inferior do segundo cubo, e o plano ν’ é o plano horizontal (de nível) que contém a face superior do segundo cubo. A cota do A B CD]. O plano ν’ dista, do plano ν, a medida do lado do quadrado [JJ K L M]. Os dois planos plano ν é igual à medida do lado do quadrado [A foram representados pelos respectivos traços – f ν e f ν’’ são, respectivamente, o traço frontal do plano ν e o traço frontal do plano ν’, enquanto que pν e pν’’ são, respectivamente, as perspectivas do traço lateral do plano ν e do traço lateral do plano ν’. Em seguida, construiu-se a projecção frontal dos dois cubos. Determinou-se a direcção de afinidade (a partir do afastamento de D) e determinaram-se as perspectivas das projecções horizontais dos vértices dos dois quadrados. A partir das projecções frontais dos dezasseis vértices do sólido (oito de cada cubo) e das perspectivas das respectivas projecções horizontais, construiu-se a perspectiva do sólido constituído pelos dois cubos. Note A B], [A A D] e [A A A ’] (do cubo maior) e [JJ M], [LL M] e [M MM’] (do cubo menor) são invisíveis. As arestas [A A’B’] e [A A’D’] (do cubo que, as arestas [A maior), por sua vez, são parcialmente invisíveis, por estarem ocultas pelo cubo menor.

479

SOLUÇÕES

937.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que a direcção das projectantes se refere ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o.

A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o. Para desenhar a perspectiva do objecto dado a partir das suas projecções, há que, em primeiro lugar, representar as suas projecções nas faces do triedro – tendo em conta que são dadas, apenas, duas projecções (a sua projecção horizontal e a sua projecção frontal), há que começar por representar estas duas projecções. Para tal, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico (a charneira foi o eixo X). O vértice A do objecto, pelas suas coordenadas, é a própria origem do referencial – o ponto O. Em função das projecções dadas, conclui-se que o sólido tem três faces paralelas aos planos coordenados – uma vez que o ponto A é a origem do referencial, conclui-se que o objecto se apoia nos três planos coordenados e que tem arestas contidas nos eixos coordenados. Em V.G., representaram-se a projecção frontal do objecto (que existe no próprio plano axonométrico – o plano XZ) e a sua projecção horizontal (no plano XY rebatido sobre o plano axonométrico). Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano XY (ver alínea a) do exercício 845 e respectivo relatório).

Com o recurso à direcção de afinidade, inverteu-se o rebatimento do plano XY e obteve-se a perspectiva da projecção horizontal do objecto.

Em seguida, conduzindo, pelo par de perspectivas de cada um dos vértices do sólido, as perspectivas das respectivas rectas projectantes, obtiveram-se sucessivamente as perspectivas propriamente ditas de cada um dos vértices do sólido, o que nos permitiu a construção da sua perspectiva, na qual se assinalaram adequadamente as invisibilidades. Salienta-se, de qualquer forma, que a resolução deste exercício deverá ser precedida por um exercício prévio de visualização no espaço do objecto dado, a partir das suas projecções.

938. Relatório Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que a direcção das projectantes se refere ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo Y e do eixo Z, ângulos de 135o. Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico, conforme exposto na alínea a) do relatório do exercício 846, e representou-se o ponto Q em Dupla Projecção Ortogonal (considerando o plano YZ como o Plano Frontal de Projecção e o plano XY como o Plano Horizontal de Projecção, em rebatimento) – Q3 é a projecção lateral de Q e Q1r é a projecção horizontal de Q, em rebatimento (no rebatimento do plano XY). A base inferior do prisma está contida no plano XY, pelo que o triângulo está em V.G. no plano XY – com o compasso, fazendo centro em Q1r, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo (em projecção horizontal) e efectuou-se a construção da projecção horizontal do triângulo, A A ’ B ’ B] está contida num plano de perfil, sabe-se que A e B têm a mesma abcissa – a em função dos dados. Uma vez que a face lateral [A A B] da base é de topo (é paralela ao eixo Y). Por outro lado, atendendo a que a aresta [C CC’] é a aresta de maior abcissa do prisma, aresta [A sabe-se que C é o vértice de maior abcissa do triângulo. Em função do exposto, e atendendo ainda a que A tem de ser o vértice de maior A A ’] é a aresta de maior afastamento do prisma), construiu-se a projecção horizontal do triângulo (em afastamento do triângulo (a aresta [A AA’V] está contida num plano frontal (de frente), rebatimento), obtendo A 1r, B 1r e C1r. Já em relação à pirâmide, sabe-se que a face lateral [A pelo que V, o vértice da pirâmide, tem o afastamento de A . Por outro lado, uma vez que V tem abcissa nula, conclui-se que a sua projecção horizontal se situa no eixo Y, o que nos permite determinar V1r. Por fim, atendendo a que as faces laterais do prisma são quadrado, sabe-se A B C], o que nos permitiu representar, sobre o eixo Z, a cota do plano ν (o plano que a altura do prisma é igual à medida do lado do triângulo [A horizontal que contém a base superior do sólido) e, em seguida, representar o plano ν pelos seus traços – pν é o traço lateral do plano ν e f ν é pν e a perspectiva de f ν são concorrentes no eixo Z). A partir da representação do plano ν, construiu-se a a perspectiva do seu traço frontal (p A’B’V] da pirâmide está projecção lateral do prisma e determinou-se, ainda, a projecção lateral de V o vértice da pirâmide – a face lateral [A contida num plano horizontal (de nível), que é necessariamente o plano ν. Determinou-se a direcção de afinidade (a partir da abcissa de Q) e inverteu-se o rebatimento do plano XY, o que nos permitiu obter as perspectivas das projecções horizontais dos vértices do prisma e da pirâmide. Por fim, a partir das projecções laterais de todos os vértices do sólido e das perspectivas das suas projecções horizontais, desenhou-se a perspectiva do sólido resultante da justaposição dos dois sólidos, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes. As A B] e [B BV] – esta última, no entanto, apenas é parcialmente invisível, pois parte da aresta está oculúnicas arestas invisíveis são as arestas [A A’V], que é visível. Note que, tratando-se de um único sólido (resultante da justaposição de um prisma e uma pirâmide), o ta pela aresta [A A’B’] não é uma aresta do sólido final, pois não separa duas faces distintas do sólido – o segmento [A A’B’] é, apenas, uma linha segmento [A construtiva.

480

SOLUÇÕES

938. Resolução

939.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o.

A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 130o (é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 140o [que é outro ângulo obtuso).

Em seguida, rebateu-se o plano XZ sobre o plano axonométrico, conforme exposto na alínea a) do relatório do exercício 847, e representaram-se os pontos A e B em Dupla Projecção Ortogonal – A 1 e B 1 são as projecções horizontais de A e B e A 2r e B 2r são as projecções frontais de A e B, em rebatimento (no rebatimento do plano XZ). A figura está contida num plano frontal (de frente), que é projectante horizontal – por A 1 e B1 conduziu-se, imediatamente, o traço horizontal do plano ϕ, hϕ – a perspectiva do seu traço lateral, pϕ, é concorrente com hϕ no eixo Y e é paralela à perspectiva do eixo Z. O plano ϕ, representado pelo seu traço horizontal e pela perspectiva do seu traço lateral, é o plano frontal (de frente) que contém a figura. A figura está contida num plano paralelo ao plano XZ, pelo que se projecta em V.G. no plano XZ – a partir de A 2r e B 2r, as projecções frontais de A e B em rebatimento, efectuou-se a construção da projecção frontal do triângulo, em V.G., em rebatimento (tendo em conta que o polígono tem de situar no espaço do 1o Triedro, pelo que C é o vértice de maior abcissa da figura), obtendo C1r. A projecção horizontal do ponto C situa-se sobre hϕ, pois o plano ϕ é projectante horizontal. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d (a partir da cota de B), conforme exposto no relatório da alínea a) do exercício 847, e inverteu-se o rebatimento do plano XZ, determinando as perspectivas das projecções frontais dos três pontos – A 2, B 2 e C2 (ver exercício 855 e respectivo relatório). A partir das projecções horizontais e das perspectivas das projecções frontais dos três pontos, determinaram-se as suas perspectivas (ver exercício 829 e respectivo relatório). A partir das perspectivas propriamente ditas dos três pontos, desenhou-se a perspectiva do triângulo. Note que se representou, ainda, a perspectiva da projecção frontal do triângulo.

481

SOLUÇÕES

940.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 155o (é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 115o (que é outro ângulo obtuso). O pentágono está contido num plano de perfil π, que tem a abcissa de Q, que é 3 cm – a partir da abcissa de π representou-se imediatamente o plano π, pelo seu traço horizontal, hπ e hπ e a pela perspectiva do seu traço frontal, f π (h perspectiva de f π são concorrentes entre si num ponto do eixo X). A figura está contida num plano paralelo ao plano YZ, pelo que se projecta em V.G. no plano YZ – assim, há que rebater o plano YZ sobre o plano axonométrico, conforme exposto na alínea b) do relatório do exercício 847 para, dessa forma, representar o ponto Q em Dupla Projecção Ortogonal (considerando o plano YZ como o Plano Frontal de Projecção). Assim, representou-se o ponto Q em Dupla Projecção Ortogonal – Q1 é a projecção horizontal de Q e Q3r é a projecção lateral de Q, em rebatimento (no rebatimento do plano YZ). A figura está contida num plano de perfil, que é projectante horizontal, pelo que Q1 se situa sobre hπ. Por outro lado, como a figura se projecta em V.G. no plano YZ, há que construir a projecção lateral da figura, em rebatimento (no rebatimento do plano YZ) – assim, com o compasso, fazendo centro em Q3r, a projecção lateral de Q em rebatimento, desenhou-se a circunferência circunscrita ao polígono e construiu-se o polígono inscrito na circunferência (de acordo com os dados), em projecção lateral (em rebatimento). Note que, o lado inferior do pentágono é de topo, pelo que é paralelo ao eixo Y. As projecções horizontais dos vértices do pentágono situam-se sobre hπ, pois o plano π é projectante horizontal. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d (a partir da cota de Q), conforme exposto no relatório da alínea b) do exercício 847, e inverteu-se o rebatimento do plano YZ, determinando as perspectivas das projecções laterais dos cinco vértices do polígono. A partir das projecções horizontais e das perspectivas das projecções laterais dos cinco pontos, determinaram-se as suas perspectivas propriamente ditas (ver exercício 855 e respectivo relatório). A partir das perspectivas dos cinco pontos, desenhou-se a perspectiva do pentágono. Note que se desenhou, ainda, a perspectiva da projecção lateral do pentágono.

941. Relatório Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados (ver relatório do exercício anterior). O quadrado está contido num plano de perfil π, que tem a abcissa de A , que é 4 cm – a partir da abcissa de π representou-se imediatamente o plano π, pelo seu traço hπ e a perspectiva de f π são concorrentes entre si num ponto do eixo X). A figura horizontal, hπ e pela perspectiva do seu traço frontal, f π (h está contida num plano paralelo ao plano YZ, pelo que se projecta em V.G. no plano YZ – assim, há que rebater o plano YZ sobre o plano axonométrico, conforme exposto na alínea b) do relatório do exercício 847 para, dessa forma, representar o ponto A em Dupla Projecção Ortogonal (considerando o plano YZ como o Plano Frontal de Projecção). Assim, representou-se o ponto A em Dupla Projecção Ortogonal – A1 é a projecção horizontal de A e A 3r é a projecção lateral de A, em rebatimento (no rebatimento do plano YZ). A figura está contida num plano de perfil, que é projectante horizontal, pelo que A 1 se situa sobre hπ. Por outro lado, uma vez que A tem cota nula, A 3, a projecção lateral de A, A3 é situa-se sobre o eixo Y. No rebatimento do plano YZ, a charneira do rebatimento é o eixo Y, pelo que se tem imediatamente A 3r ≡ A 3 (A um ponto da charneira). Como a figura se projecta em V.G. no plano YZ, há que construir a projecção lateral da figura, em rebatimento (no rebatimento do plano YZ)– assim, a partir de A 3r, a projecção lateral de A em rebatimento, efectuou-se a construção da projecção lateral do A B] faz um ângulo de 30o com o plano XY, ângulo esse que se projecta quadrado, em V.G., em rebatimento, em função dos dados. O lado [A A B] está contido numa recta de perfil) – com vértice em A 3r mediu-se o ângulo de 30° com o eixo Y e deseem V.G. no plano YZ (o lado [A A B], em rebatimento, sobre a qual se mediram os 6 cm (o comprimento do lado do quadrado), o que nos nhou-se a recta suporte do lado [A permitiu obter B3r (a projecção lateral de B em rebatimento). Note que, se garantiu que B tem afastamento e cota superiores a A. A partir de A3r e B3r construiu-se a projecção lateral do quadrado em V.G., em rebatimento, obtendo C3r e D3r. As projecções horizontais dos pontos B, C e D situam-se sobre hπ, pois o plano π é projectante horizontal. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d (a partir da cota de D), conforme exposto no relatório da alínea b) do exercício 847, e inverteu-se o rebatimento do plano YZ, determinando as perspectivas das projecções laterais dos três pontos – B 3, C3 e D3. A partir das projecções horizontais e das perspectivas das projecções laterais dos três pontos, determinaram-se as suas perspectivas propriamente ditas. A partir das perspectivas propriamente ditas dos quatro pontos, desenhou-se a perspectiva do quadrado (tenha em conta que a perspectiva de A está coincidente com a sua projecção horizontal, pois A é um ponto do plano XY, pelo que se tem imediatamente A ≡ A 1). Note que se representou, ainda, a perspectiva da projecção lateral do polígono.

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SOLUÇÕES

941. Resolução

942.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 120o (é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 150o (que é outro ângulo obtuso).

Em primeiro lugar determinaram-se as perspectivas do ponto Q, em função das suas coordenadas, conforme exposto no relatório do exercício 838, pelo que se aconselha a sua leitura. Representou-se o plano ν (o plano que contém a figura) pelos seus traços – f ν é a perspectiva do traço frontal de ν e pν é a perspectiva do traço lateral de ν. Atendendo a que o plano ν é simultaneamente projectante frontal e projectante lateral, a perspectiva de f ν contém a perspectiva de Q2 e a perspectiva de pν contém a perspectiva de Q 3 (as perspectivas dos traços do plano ν são concorrentes na perspectiva do eixo Z). A figura está contida num plano paralelo ao plano XY (que é o plano axonométrico), pelo que a sua perspectiva está em V.G. – assim, com centro na perspectiva de Q e com 3,5 cm de raio, desenhou-se uma circunferência, que é a perspectiva da circunferência dada.

483

SOLUÇÕES

943.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados .

O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90 o . A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico ) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 140o (é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 130o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, representou-se a circunferência em Dupla Projecção Ortogonal, considerando o plano X Z rebatido sobre o plano axonométrico (o plano XY).

Note que, o ponto Q, que tem afastamento nulo, é um ponto do plano XZ, pelo que, no rebatimento deste plano, se tem imediatamente Qr . Recorde que a perspectiva de uma circunferência (que não seja paralela ao plano axonométrico) é, n e c e s s a r i a m e n t e, uma e l i p s e , cujo desenho, executado à mão livre, requer, pelo menos, oito dos seus pontos e o rectângulo envolvente, sendo ainda conveniente que quatro desses oito pontos sejam os extremos dos dois eixos da elipse. Analisemos como se processou a inversão do rebatimento e a determinação dos pontos necessários ao desenho da curva. Em primeiro lugar, determinou-se a perspectiva do ponto Q, o centro da circunferência (ver exercício 855 Qr Q], ou seja, o segmento cujos extremos são a perse respectivo relatório). Em seguida, determinou-se a mediatriz do segmento de recta [Q pectiva de Q e o ponto Q rebatido. A mediatriz do segmento intersecta a charneira do rebatimento do plano XZ (o eixo X) no ponto M – com M苶 Q (que é igual a 苶 M苶 Q苶), centro em M e raio 苶 r desenhou-se uma semicircunferência, que passa necessariamente por Qr e pela perspectiva de Q e que corta o eixo X (a charneira do rebatimento do plano XY) em R r e Sr. R e S são dois pontos da charneira, pelo que são fixos – rodam sobre si próprios, pelo que se tem imediatamente R r ≡ R e Sr ≡ S. Qualquer ângulo inscrito nessa semicircunferência, é necessariamente R r Qr Sr], que é rectângulo em Qr. O lado [R R r Qr] está contido na recta ar e o lado [Q Qr S r ] um ângulo recto. Assim, desenhou-se o triângulo [R está contido na recta br. Note que, ar e br são perpendiculares entre si em Qr. Em seguida, inscreveu-se a circunferência num quadrado, de lados paralelos, precisamente, a ar e a br, e desenharam-se as medianas e as diagonais do quadrado, o que nos permite obter oito pontos da circunferência. O passo seguinte consiste em desenhar a perspectiva do quadrado, o que se processa obtendo, em primeiro lugar, as perspectivas das rectas a e b. A perspectiva de a passa por R (que é um ponto da charneira, pelo que é fixo) e pela perspectiva de Q, tal RQS] é também como a perspectiva de b passa por S (que é um ponto da charneira, pelo que é fixo) e pela perspectiva de Q. O triângulo [R um triângulo rectângulo, em Q, pois está igualmente inscrito numa semicircunferência, pelo que as perspectivas das rectas a e b são perpendiculares entre si na perspectiva de Q. A r e B r são os pontos do quadrado que estão sobre a recta ar – estes pontos foram transportados para a perspectiva de a, com o recurso à direcção de afinidade. Cr e Dr são os pontos do quadrado que estão sobre a recta br – estes pontos foram transportados para a perspectiva da recta b, com o recurso à direcção de afinidade. A partir das perspectivas de A , B, C e D construiu-se o rectângulo envolvente da elipse, e desenharam-se as suas diagonais – note que os pontos A , B, C e D são os pontos em que a A B] é o eixo maior da elipse e [C CD] é eixo menor da elipse). Os pontos Er e Fr são os pontos elipse será tangente aos lados do rectângulo ([A da recta ar que nos dão as referências dos quatro pontos da circunferência que estão sobre as diagonais do quadrado – Er e Fr foram transportados para a perspectiva da recta a através da direcção de afinidade. Pelas perspectivas de E e F conduziram-se paralelas à perspectiva da recta b que, ao intersectarem as diagonais do rectângulo, nos deram os quatro pontos da elipse que estão sobre as diagonais do rectângulo. A partir destes pontos, já se têm os oito pontos que nos permitem desenhar a curva, atendendo a a elipse é tangente aos lados do A B] é o eixo maior da elipse e que [C CD] é o seu eixo menor). rectângulo em A , B, C e D (recorde que [A

484

SOLUÇÕES

944.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Y, ângulos de 135o.

O losango está contido num plano frontal (de frente) ϕ, com 4 cm de afastamento – a partir do afastamento de ϕ representou-se imediatamente o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, hϕ e pela perspectiva do seu traço hϕ e a perspectiva de pϕ são concorrentes lateral, pϕ (h entre si num ponto do eixo Y). A figura está contida num plano paralelo ao plano XZ, pelo que se projecta em V.G. no plano XZ – assim, há que rebater o plano XZ sobre o plano axonométrico, conforme exposto na alínea a) do relatório do exercício 847 para, dessa forma, representar o losango em Dupla Projecção Ortogonal. Assim, representou-se o ponto A em Dupla Projecção Ortogonal (note que A é um ponto do eixo Y) – A1 é a projecção horizontal de A e A 2 é a projecção frontal de A, que se situa no eixo X, pois A tem cota nula. A projecção frontal de A , em rebatimento (no rebatimento do plano XZ) é fixa (situa-se na charneira do rebatimento, que é o eixo X ), pelo que se tem imediatamente A 2r ≡ A 2. A figura está contida num plano frontal (de frente), que é projectante horizontal, pelo que A 1 se situa sobre hϕ. Como a figura se projecta em V.G. no plano XZ, há que construir a projecção frontal da figura, em rebatimento (no rebatimento do plano XZ)– assim, a partir de A2r, a projecção frontal de A em rebatimento, efectuou-se a construção da projecção frontal do losango, em V.G., em rebatimento, em A B] tem cota nula e mede 6 cm, o que nos permite, imediatamente, determinar as projecções de B (B B1, a sua projecfunção dos dados. O lado [A ção horizontal, e B2, a sua projecção frontal) – como B2 se situa no eixo X, que é a charneira do rebatimento, tem-se, à semelhança do exposto A C] faz um ângulo de 30o com o plano XY, ângulo esse que se projecta em V.G. no plano XZ (a diapara A, B2r ≡ B2. Por outro lado, a diagonal [A A C] está contida numa recta frontal) – com vértice em A2r mediu-se o ângulo de 30o com o eixo X e desenhou-se a recta suporte da diagonal [A A C], em rebatimento. Por B2r conduziu-se, em rebatimento, a recta suporte da outra diagonal do losango, que é perpendicular à diagonal gonal [A A C]. A partir das rectas suporte das diagonais da figura, e sabendo a medida do seu lado (que é 6 cm), determinaram-se as projecções frontais [A (em rebatimento) dos restantes vértices do losango, obtendo C2r e D2r. As projecções horizontais dos pontos C e D situam-se sobre hϕ, pois o plano ϕ é projectante horizontal. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d (a partir da cota de C e D), conforme exposto no relatório da alínea a) do exercício 847, e inverteu-se o rebatimento do plano XZ, determinando as perspectivas das projecções frontais dos dois pontos – C2 e D2. A partir das projecções horizontais e das perspectivas das projecções frontais dos dois pontos, determinaram-se as suas perspectivas propriamente ditas. Note que, atendendo a que A e B são pontos do plano XY, as suas perspectivas propriamente ditas estão coincidentes com as suas projecções horizontais, pelo que se tem imediatamente A ≡ A1 e B ≡ B1. A partir das perspectivas propriamente ditas dos quatro pontos, desenhou-se a perspectiva do losango. Note que se representou, ainda, a perspectiva da projecção frontal do polígono.

945.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o.

A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 130o (é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 140o (que é outro ângulo obtuso). A base da pirâmide está contida num plano de perfil π, que tem a abcissa de A, que é 2 cm – a partir da abcissa de π representou-se imediatamente o plano π, pelo seu traço horizontal, hπ e pela perspectiva do hπ e a perspectiva de f π são concorrentes seu traço frontal, f π (h entre si num ponto do eixo X). O triângulo da base está contido num plano paralelo ao plano YZ, pelo que se projecta em V.G. no plano YZ – assim, há que rebater o plano YZ sobre o plano axonométrico para, dessa forma, representar o ponto A em Dupla Projecção Ortogonal (considerando o plano YZ como o Plano Frontal de Projecção) – ver exercício 941 e respectivo relatório. Assim, representou-se o ponto A em Dupla Projecção Ortogonal – A 1 é a projecção horizontal de A e A 3r é a projecção lateral de A , em rebatimento (no rebatimento do plano YZ).

A figura está contida num plano de perfil, que é projectante (Continua na página seguinte) 485

SOLUÇÕES

horizontal, pelo que A 1 se situa sobre hπ. Por outro lado, uma vez que A tem cota nula, A 3, a projecção lateral de A , situa-se sobre o eixo Y. A 3 é um ponto da charneira).

No rebatimento do plano YZ, a charneira do rebatimento é o eixo Y, pelo que se tem imediatamente A 3r ≡ A 3 (A Como o triângulo se projecta em V.G. no plano YZ, há que construir a projecção lateral da figura, em rebatimento (no rebatimento do plano YZ) – assim, a partir de A 3r, a projecção lateral de A em rebatimento, efectuou-se a construção da projecção lateral do triângulo, em V.G., em rebatimento, em função dos dados. B tem afastamento nulo, pelo que B é um ponto do plano XZ – a projecção lateral de B situa-se necessariamente no eixo Z, pelo que B 3r é o ponto do eixo Zr ’ que está a 6 cm (a medida do lado do triângulo) de A 3r. Assim, com o compasso, fazendo centro em A 3r e com 6 cm de raio, determinou-se B 3r sobre o eixo Zr ’. A partir de A 3r e B 3r construiu-se a projecção lateral do triângulo em V.G. (em rebatimento), e determinou-se o seu centro, obtendo C3r e Q3r. As projecções horizontais dos pontos B, C e Q situam-se sobre hπ, pois o plano π é projectante horizontal. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade que nos permite inverter o rebatimento do plano YZ (a partir da cota de B) e inverteu-se o rebatimento do plano YZ, determinando as perspectivas das projecções laterais dos três pontos – B 3, C3 e Q3. A partir das projecções horizontais e das perspectivas das projecções laterais dos três pontos, determinaram-se as suas perspectivas propriamente ditas (note que a perspectiva de A está na sua projecção horizontal, pois A é um ponto do plano XY, pelo que se tem imediatamente A ≡ A 1). A pirâmide é regular, pelo que o seu eixo está contido numa recta ortogonal ao plano π – trata-se de uma recta fronto-horizontal, que é paralela ao eixo X. Por outro lado, atendendo a que a pirâmide tem 8 cm de altura e que o plano da base tem 2 cm de abcissa, o vértice V, da pirâmide, tem 10 cm de abcissa. A projecção lateral de V, V3, está coincidente com Q3, pois o eixo da pirâmide está contido numa recta projectante lateral (uma recta fronto-horizontal). Assim, a partir da perspectiva da sua projecção lateral e da sua abcissa, determinou-se a perspectiva propriamente dita de V. A partir das perspectivas propriamente ditas dos quatro vértices da pirâmide, AVB C]. Todos os vértices da pirâmide integram o desenhou-se a perspectiva do sólido, cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada [A A BV], pelo que a aresta [A A B] da base é invisível contorno aparente. No entanto, a base da pirâmide é invisível, bem como a face lateral [A B CV] e [A ACV] são visíveis. Note que se representaram, ainda, as perspectivas da projecção (separa duas faces invisíveis). As faces laterais [B lateral e da projecção horizontal da pirâmide – nesta última assinalaram-se convenientemente as invisibilidades existentes, quer as referentes à projecção quer as referentes à ocultação da projecção pelo sólido.

946.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 150o (é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 120o (que é outro ângulo obtuso). A base da pirâmide está contida num plano frontal (de frente) ϕ, que tem o afastamento de A e C, que é 7 cm – a partir do afastamento de ϕ representou-se imediatamente o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, hϕ e pela pershϕ e a perspectiva de pϕ pectiva do seu traço lateral, pϕ (h são concorrentes entre si num ponto do eixo Y). O quadrado da base está contido num plano paralelo ao plano XZ, pelo que se projecta em V.G. no plano XZ – assim, há que rebater o plano XZ sobre o plano axonométrico para, dessa forma, representar os pontos A e C em Dupla Projecção Ortogonal – ver exercício 939 e respectivo relatório. Assim, representaram-se os pontos A e C em Dupla Projecção Ortogonal – A 1 e C1 são as projecções horizontais de A e C, respectivamente, e A 2r e C2r são as projecções laterais de A e C, em rebatimento (no rebatimento do plano XZ), respectivamente. A figura está contida num plano frontal (de frente), que é projectante horizontal, pelo que A 1 e C1 se situam sobre hϕ. Por outro lado, uma vez que A tem cota nula, A 2, a projecção frontal de A , situa-se sobre o eixo X. No rebatimento do plano XZ, a charneira do rebatimento é o eixo X, pelo que se tem imediatamente A 2r ≡ A 2 A 2 é um ponto da charneira). Como o quadrado se projecta em V.G. no plano XZ, há que construir a projecção frontal da figura, em rebati(A mento (no rebatimento do plano XZ) – assim, a partir de A 2r e de C2r, as projecções frontais de A e C em rebatimento, efectuou-se a construção da projecção frontal do quadrado, em V.G., em rebatimento, em função dos dados, obtendo B 2r e D2r. As projecções horizontais dos pontos B e D situam-se sobre hϕ, pois o plano ϕ é projectante horizontal. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d que nos permite inverter o rebatimento do plano XZ (a partir da cota de C) e inverteu-se o rebatimento do plano XZ, determinando as perspectivas das projecções frontais dos três pontos – B 2, C2 e D2. A partir das projecções horizontais e das perspectivas das projecções frontais dos três pontos, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas de todos os vértices do quadrado (note que a perspectiva de A está coincidente com a sua projecção horizontal, pois A é um ponto do plano XY, pelo que se tem imediatamente A ≡ A 1). Para a determinação do vértice da AV] é de perfil e a aresta lateral [B BV] é horizontal (de nível). pirâmide teve-se em conta os restantes dados do enunciado – a aresta lateral [A AV]), p1, bem Assim, em primeiro lugar representaram-se a projecção horizontal da recta p (a recta de perfil que contém a aresta lateral [A (Continua na página seguinte) 486

SOLUÇÕES

como a perspectiva da sua projecção frontal, p2 – p1 passa por A 1 e é paralela ao eixo Y, enquanto que a perspectiva de p2 passa pela perspectiva de A 2 e é paralela à perspectiva do eixo Z. Uma vez que o vértice da pirâmide tem afastamento nulo, a determinação da sua projecção horizontal é imediata – V1 é o ponto em que p1 intersecta o eixo X. Em seguida, representaram-se a projecção horizontal da recta h CV]), h1, bem como a perspectiva da sua projecção frontal, h2 – h1 está definida por C1 e por V1 (a recta horizontal que contém a aresta lateral [C a perspectiva de h2 passa pela perspectiva de C2 e é paralela ao eixo X. O ponto de concorrência entre a perspectiva de p2 e a perspectiva de h2 é a +perspectiva de V2, a projecção frontal de V. Uma vez que V é um ponto do plano XZ, sabe-se que a sua perspectiva está coincidente com a perspectiva da sua projecção frontal, pelo que se tem imediatamente V ≡ V2. A partir das perspectivas propriamente ditas dos A BVCD]. Todos os cinco vértices da pirâmide, desenhou-se a perspectiva do sólido, cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada [A B CV]. As faces laterais vértices da pirâmide integram o contorno aparente. No entanto, a base da pirâmide é visível, bem como a face lateral [B A DV] e [C CDV] são invisíveis, pelo que a aresta lateral [D DV] é invisível (separa duas faces invisíveis). Note que, nesta situação particular, a face [A A BV] está contida num plano projectante – a perspectiva desta face reduz-se, assim, a um segmento de recta. A face lateral [A A BV], lateral [A A B] e [B BV]) ocultam a totalidade da superfície da face. Note ainda, no entanto, é invisível, pois as duas arestas visíveis dessa faces (as arestas [A que se representaram as perspectivas da projecção frontal e da projecção horizontal da pirâmide, assinalando-se convenientemente as invisibilidades existentes, quer as referentes à projecção quer as referentes à ocultação da projecção pelo sólido.

947.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Y, ângulos de 135o.

A BC] do prisma está contida no plano YZ, que tem abcissa A base [A nula – a outra base (a base mais à esquerda do prisma) está contida num plano de perfil π, com 7 cm (a altura do prisma) de abcissa.

A partir da abcissa de π representou-se imediatamente o plano π, pelo seu traço horizontal, hπ e pela perspectiva do seu traço fronhπ e a perspectiva de f π são concorrentes entre si num ponto tal, f π (h do eixo X). O triângulo da base está contido no plano YZ – assim, há que rebater o plano YZ sobre o plano axonométrico para, dessa forma, construir a base do sólido em Dupla Projecção Ortogonal (considerando o plano YZ como o Plano Frontal de Projecção) – ver exercício 941 e respectivo relatório. O ponto A , porque tem cota nula, é um ponto do plano XY. Por outro lado, atendendo a A B C] está contido no plano YZ, A tem abcissa que o triângulo [A nula, pelo que A é necessariamente um ponto do eixo Y. Assim, representou-se o ponto A em Dupla Projecção Ortogonal – A 1 é a A 1 ≡ A 3). projecção horizontal de A e A 3 é a projecção lateral de A (A No rebatimento do plano YZ , a charneira do rebatimento é o A 3 é um ponto da eixo Y, pelo que se tem imediatamente A 3r ≡ A 3 (A charneira). Como o triângulo está em V.G. no plano YZ, há que construir a projecção lateral da figura, em rebatimento (no rebatimento do plano YZ) – assim, a partir de A 3r, a projecção lateral de A em rebatimento, efectuou-se a construção da projecção lateral do triângulo, em V.G., em rebatimento, em função dos dados. O lado [A A B] faz um ângulo de 45o com o eixo Y – esse ângulo está em V.G. no plano YZ. Por outro lado, B tem afastamento nulo, pelo que B é um ponto do plano XZ – a projecção lateral de B situa-se necessariamente no eixo Z, pelo que B 3r é um ponto do eixo Zr ’. Assim, com vértice em A 3r, mediu-se o ângulo de 45o com o eixo Y e determinou-se B 3r sobre o eixo Zr ’. A partir de A 3r e B 3r construiu-se a projecção lateral do triângulo em V.G. (em rebatimento). As projecções horizontais dos pontos B e C situam-se no eixo Y. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade que nos permite inverter o rebatimento do plano YZ (a partir da cota de B) e inverteu-se o rebatimento do plano YZ, determinando as perspectivas das projecções laterais dos dois pontos – B 3 e C3. Note que, uma vez que B e C são pontos do plano YZ, as suas perspectivas propriamente ditas estão coincidentes com as perspectivas das suas projecções laterais, pelo que se tem imediatamente B ≡ B 3 e C ≡ C3.

Note que, a perspectiva de A está na sua projecção horizontal, pois A é um ponto do plano XY, pelo que se tem imediatamente A ≡ A 1 ≡ A 3).

O prisma é regular, pelo que as suas arestas laterais estão contidas em rectas ortogonais aos planos das bases – trata-se de rectas fronto-horizontais, que são paralelas ao eixo X. Assim, pelas perspectivas dos vértices do triângulo conduziram-se as rectas suporte das arestas A’B’C’]) determinaram-se recorrendo aos laterais do sólido. As perspectivas dos vértices da base mais à esquerda do sólido (o triângulo [A pontos de intersecção das rectas suporte das arestas laterais do sólido com o plano π (o plano da base mais à esquerda do prisma), que é um plano projectante horizontal. A partir das perspectivas de todos os vértices do sólido, desenhou-se a sua perspectiva, cujo contorno ACB B ’ A’]. Existe um único vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C’. Este é visível, aparente é a linha quebrada fechada [A A B C] do sólido é invisível, bem como a face lateral [A A A ’ B ’ B], pelo que a bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base [A A B] daquela base é invisível (separa duas faces invisíveis). A base [A A’B’C’] e as faces laterais [B BB’C’C] e [A AA’C’C] são visíveis. aresta [A

487

SOLUÇÕES

948.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados (ver relatório do exercício anterior). Sobre a construção da perspectiva do quadrado A B C D ], ver exercício 9 4 6 e respectivo [A relatório. Sobre o prisma, é dado que as suas arestas laterais são de perfil e fazem ângulos de 30o com o plano XY – uma vez que as arestas laterais do prisma são paralelas ao plano YZ , o ângulo que aquelas fazem com o plano XY projecta-se em V.G. no plano YZ. Assim, rebateu-se o plano YZ sobre o plano axonométrico e efectuou-se o transporte, com o compasso e fazendo centro em O, das cotas dos vértice do quadrado para o rebatimento do plano Y Z .

Note que as projecções laterais dos vértices do quadrado, em rebatimento (no rebatimento do plano YZ), estão sobre pϕr, que é o traço lateral do plano ϕ, em rebatimento (no rebatimento do plano YZ) – recorde que o plano ϕ é projectante lateral.

Por A 3 r , B 3 r , C 3 r e D 3 r conduziram-se as projecções laterais das arestas laterais do sólido, fazendo ângulos de 30o com o eixo Y (a charneira do rebatimento do plano YZ), e determinaram-se as projecções laterais, em rebatimento, dos vértices da base de menor afastamento do prisma – A ’3r, B’3r, C’3r e D’3r. Tenha em conta que a base de menor afastamento do sólido está contida no plano XZ, pelo que todos os vértices do quadrado A’B’C’D’] têm afastamento nulo – as suas projecções laterais estão no eixo Z, pelo que, no rebatimento do plano YZ, situam-se no eixo Zr ’’.

[A Determinou-se a direcção de afinidade d’, que nos permite inverter o rebatimento do plano YZ (a direcção de afinidade d foi aquela que nos permitiu inverter o rebatimento do plano XZ). Assim, invertendo o rebatimento do plano YZ, determinaram-se as perspectivas das projecA’B’C’D’]. As projecções horizontais dos vértices do quadrado [A A’B’C’D’] situam-se no eixo ções laterais dos quatro vértices do quadrado [A X e foram determinadas conduzindo, por A 1, B 1, C1 e D1, as projecções horizontais das arestas laterais do sólido, que são paralelas ao eixo Y. A partir das projecções horizontais de A , B’, C’ e D’ e das perspectivas das suas projecções laterais, determinaram-se as perspectivas A’B’C’D’] (que estão coincidentes com as perspectivas das suas projecções frontais, pois os propriamente ditas dos vértices do quadrado [A pontos situam-se no plano XZ). A partir das perspectivas propriamente ditas dos oito vértices do prisma, desenhou-se a perspectiva do sólido, ABB’C’D’D]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente – os vértices cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada [A C e A’. O vértice C é visível, bem como todas as arestas que nele convergem O vértice A’ é invisível, bem como todas as arestas que nele A’B’C’D’] é invisível, bem como as faces laterais [A A A ’ B ’ B] e [A AA’D’D]. A base [A A B CD], por sua vez, é visível, convergem. Note que a base [A BB’C’C] e [C CC’D’D]. Note que se representou, ainda, a perspectiva da projecção lateral do sólido, atendendo bem como as faces laterais [B às invisibilidades existentes.

949.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Y, ângulos de 135o. Em seguida, rebateu-se o plano XZ sobre o plano axonométrico, para se proceder à representação do sólido em Dupla Projecção Ortogonal. Assim, representou-se o ponto Q em Dupla Projecção Ortogonal, em função das suas coordenadas – Q1 é a projecção horizontal de Q e Q2r é a projecção frontal de Q, em rebatimento (no rebatimento do plano XZ). Por Q2r conduziu-se f νr, que é, em rebatimento, o traço frontal do plano ν (o plano horizontal que contém a base do cone). Em seguida, representou-se, em Dupla Projecção Ortogonal, a recta suporte do eixo do cone – a recta f. A projecção horizontal da recta f, f1, passa por Q1 e é paralela ao eixo X e a sua projecção frontal (em rebatimento), f2r, passa por Q2r e faz, com o eixo X o ângulo dado (note que o ângulo que a recta f faz com o plano XY se projecta em V.G. no plano XZ). O cone tem 7,5 cm de altura, pelo que V é o ponto da recta f que dista 7,5 cm do plano ν – uma vez que o plano ν tem V2r é a projecção frontal de V, 2 cm de cota, o vértice V tem necessariamente 9,5 cm de cota. Com este raciocínio, determinou-se V2r sobre f2r (V em rebatimento – no rebatimento do plano XZ), a que se seguiu a determinação de V1, a projecção horizontal de V, sobre f1. Determinou-se a direcção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano XZ (a partir da cota de V), e inverteu-se o rebatimento, determinando as perspectivas das projecções frontais de Q e V – Q2 e V2, respectivamente. A partir das projecções horizontais de Q e V e das perspectivas das suas projecções frontais, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas dos dois pontos. Note que se optou, com vista a não sobrecarregar demasiadamente a resolução gráfica apresentada, por não representar o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, pois a construção da perspectiva do sólido pode efectuar-se apenas a partir das perspectivas de Q e V. Em seguida representou-se o plano ν (o plano horizontal que (Continua na página seguinte) 488

SOLUÇÕES

contém a base do cone), pelas perspectivas do seu traço frontal, f ν, e do seu traço lateral, pν (as perspectivas de f ν e pν são concorrentes entre si num ponto do eixo Z). A base do cone está contida num plano paralelo ao plano XY (que é o plano axonométrico), pelo a sua perspectiva está em V.G. – assim, com centro na perspectiva de Q e com 3,5 cm de raio, desenhou-se uma circunferência, que é a perspectiva da base do sólido. Para determinar as geratrizes do contorno aparente do sólido efectuaram-se os traçados lineares necessários à determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior (que, neste caso, é a perspectiva de V), o que nos permitiu determinar os pontos T e T’ (os pontos de tangência). As geratriTV] e [T T’V] são as geratrizes do contorno apazes [T rente da perspectiva do cone. Note que a base do ២ cone é invisível, pelo que o arco menor T T’ é invisível – corresponde à porção da circunferência da base que separa a base (que é invisível) da porção da superfície lateral do cone que é invisível. De forma a garantir uma melhor visualização do sólido (bem como a verificação do Critério de Reversibilidade), optou-se por representar, ainda, a perspectiva da projecção frontal do sólido.

950.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 150o (é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 120o (que é outro ângulo obtuso). Note que, nesta situação, e devido a se tratar de uma situação de grande simplicidade quer de raciocínios quer de traçado, se optou por não rebater o plano XY sobre o plano axonométrico nem sequer representar o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, o que foi essencial à resolução do exercício anterior. As bases do cilindro são horizontais e o cilindro é um cilindro de revolução, pelo que o seu eixo é vertical. Por outro lado, atendendo a que o cilindro é tangente ao plano XZ e ao plano YZ, sabe-se que o eixo do cilindro tem 3,5 cm (o raio das bases) de abcissa e de afastamento. Este raciocínio permitiu-nos determinar imediatamente o ponto Q, o centro da base inferior – Q tem 3,5 cm de abcissa e de afastamento e cota nula. A perspectiva de Q está coincidente com a sua projecção horizontal, pois Q é um ponto do plano XY, pelo que se tem Q ≡ Q1. Para determinar a cota do plano da base, optou-se pelo rebatimento do plano projectante do eixo Z, conforme efectuado no exercício 838, pelo que se aconselha a sua leitura. Após determinar, sobre a perspectiva do eixo Z, a perspectiva da cota do plano da base superior (o plano horizontal ν), representou-se o plano pelos seus traços – f ν é a perspectiva do traço frontal de ν e p é a perspectiva do traço lateral de ν (as perspectivas de f ν e de pν são concorrentes entre si num ponto da perspectiva do eixo Z). Em seguida, determinou-se a perspectiva de Q’, o centro da base superior do cilindro – Q’2, a perspectiva da sua projecção frontal, está sobre a perspectiva de f ν (o plano ν é projectante frontal) e Q’3, a perspectiva da sua projecção lateral, está sobre a perspectiva de pν (o plano ν é projectante lateral). Com o compasso, fazendo centro na perspectiva de Q e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a perspectiva da base inferior do sólido, que é tangente ao eixo X em Q2 e tangente ao eixo Y em Q3. De forma semelhante, fazendo centro na perspectiva de Q’ e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a perspectiva da base superior, que é tangente à perspectiva de f ν na perspectiva de Q’2 e tangente à perspectiva de pν na perspectiva de Q’3. Tenha em conta que, uma vez que a base superior do cilindro está contida num plano paralelo ao plano axonométrico, se projecta em V.G., ou seja, a sua perspectiva (Continua na página seguinte) 489

SOLUÇÕES

é uma figura geometricamente igual à própria base do sólido. Há, agora, que determinar as geratrizes do contorno aparente do cilindro. Estas determinam-se com o recurso aos planos tangentes ao cilindro que são paralelos a uma recta projectante. No entanto, com vista a simplificar a resolução gráfica, e atendendo a que as bases do sólido estão em V.G., é possível determinar, de forma imediata, as rectas tangentes às perspectivas das duas bases que são paralelas ao eixo do cilindro, evitando, dessa forma, a nomenclatura excessiva e, neste caso, desnecessária. Note, no entanto, que caso as bases não estivessem em V.G., a determinação das geratrizes do contorno aparente teria de se processar inevitavelmente com o recurso à determinação dos planos tangentes ao cilindro que são paralelos às rectas projectantes. As A A ’] e [B BB’]. A partir das geratrizes do contorno aparente, desenhou-se a perspectiva do geratrizes do contorno aparente são as geratrizes [A sólido, assinalando convenientemente a parte invisível do contorno da base inferior do cilindro.

951.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 140o (é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 130o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, rebateu-se o plano XZ sobre o plano axonométrico (o plano XY), de forma a representar previamente o sólido em Dupla Projecção Ortogonal. Assim, representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções, em função das suas coordenadas. A1 e B1 são as projecções horizontais de A e B e A2 e B2 são as suas projecções frontais – A e B têm cota nula, pelo que as suas projecções frontais se situam no eixo X. Uma vez que o eixo X é a charneira no rebatimento do plano XZ, tem-se imediatamente A 2r ≡ A 2 e B2r ≡ B2. O quadrado A BCD] está contido no plano XY, pelo que, a partir de A 1 e B1, construiu-se a projecção horizontal do quadrado em V.G. (que está coincidente [A com o próprio quadrado), o que nos permitiu determinar as projecções de C e D. Por outro lado, sabendo a medida do lado do quadrado foi possível, no rebatimento do plano XZ, representar o traço frontal do plano ν, em rebatimento – f νr. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a face superior do cubo e, simultaneamente, a base do cone. O plano ν é projectante frontal, o que nos permitiu determinar, imediataA’B’C’D’]. As projecções horizontais dos vértices do quadramente, as projecções frontais dos vértices da face superior do cubo – o quadrado [A A’B’C’D’] estão coincidentes com as projecções horizontais dos vértices do quadrado [A A BCD], pois as arestas entre estas duas faces são do [A AA’] do cubo, que é uma recta verticais (projectantes horizontais). Sobre o cone sabe-se que o seu vértice se situa na recta suporte da aresta [A vertical, pelo que se tem, imediatamente, V1 ≡ A 1 ≡ A ≡ A’1. Considerou-se desnecessária a construção das projecções do sólido, pois a partir das projecções (horizontais e frontais, em rebatimento) dos seus vértices, é possível determinar a perspectiva do sólido. Assim, determinou-se a direcção de afinidade que nos permite inverter o rebatimento do plano XZ e determinaram-se as perspectivas das projecções frontais de toA’B’C’D’] e a base do dos os vértices do sólido. Note que se representou, também, o plano ν (o plano horizontal que contém o quadrado [A cone) pelos seus traços – f ν é a perspectiva do traço frontal de ν e pν é a perspectiva do traço lateral de ν (as perspectivas de f ν e de pν são concorrentes entre si num ponto da perspectiva do eixo Z). Note que, nesta situação particular, a perspectiva do traço lateral do plano ν ficou coincidente com a recta projectante (no rebatimento do plano projectante do eixo Z) que nos permitiu determinar a direcção de afinidade, mas tal apenas se verificou porque a direcção de afinidade foi determinada em função da cota do plano ν. Caso a direcção de afinidade tivesse sido determinada a partir da cota de V, tal já não sucederia. A partir das projecções horizontais de todos os vértices do sólido e das perspectivas das suas projecções horizontais, construiu-se a perspectiva do cubo e determinou-se, ainda, a perspectiva do vértice do cone. Uma vez que a A’B’C’D’], em perspectiva, e recorrendo às suas diagonais, determinou-se o seu centro, o ponto Q, base do cone está inscrita no quadrado [A que é o centro da base. Uma vez que a base do cone está contida num plano paralelo ao plano axonométrico, a perspectiva da base do cone está em V.G. – com o compasso, fazendo centro em Q, desenhou-se a perspectiva da base do cone, que é tangente às perspectivas dos lados A’B’C’D’]. Em seguida, determinara-se as geratrizes do contorno aparente da perspectiva do cone, conforme exposto no relatório do quadrado [A do exercício 949, pelo que se aconselha a sua leitura. A partir das linhas construtivas das perspectivas do cubo e do cone, desenhou-se a persA B], [B B C] e [B B B ’] pectiva do conjunto formado pelos dois sólido e assinalaram-se convenientemente as invisibilidades existentes – as arestas [A A’B’] é parcialmente invisível, por estar parcialmente oculta pelo cone. são invisíveis e a aresta [A

490

SOLUÇÕES

952.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados.

O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Y, ângulos de 135o. Para desenhar a perspectiva do objecto dado a partir das suas projecções, há que, em primeiro lugar, representar as suas projecções nas faces do triedro – tendo em conta que são dadas, apenas, duas projecções (a sua projecção horizontal e a sua projecção frontal), há que começar por representar estas duas projecções. Para tal, rebateu-se o plano XZ sobre o plano axonométrico (a charneira foi o eixo X). O vértice A do objecto, pelas suas coordenadas, é a própria origem do referencial – o A B] está ponto O. Em função das projecções dadas, e sabendo que o lado [A contido no eixo X, conclui-se que o sólido tem três faces paralelas aos planos coordenados – o objecto apoia-se nos três planos coordenados e tem arestas contidas nos eixos coordenados. Em V.G., representaram-se a projecção horizontal do objecto (que existe no próprio plano axonométrico – o plano XY) e a sua projecção frontal, em rebatimento (no plano XZ, rebatido sobre o plano axonométrico). Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano XZ (ver alínea a) do exercício 847 e respectivo relatório). Com o recurso à direcção de afinidade, inverteu-se o rebatimento do plano XZ e construiu-se a perspectiva da projecção frontal do objecto. Em seguida, conduzindo, pelo par de perspectivas de cada um dos vértices do sólido, as perspectivas das respectivas rectas projectantes, obtiveram-se sucessivamente as perspectivas propriamente ditas de cada um dos vértices do sólido, o que nos permitiu a construção da sua perspectiva, na qual se assinalaram adequadamente as invisibilidades. Salienta-se, de qualquer forma, que a resolução deste exercício deverá ser precedida por um exercício prévio de visualização no espaço do objecto dado, a partir das suas projecções.

953.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY, pelo que o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Y, ângulos de 135o. Em primeiro lugar, rebateu-se o plano XZ sobre o plano axonométrico, para se proceder à representação do sólido em Dupla Projecção Ortogonal. Assim, representou-se o ponto Q em Dupla Projecção Ortogonal, em função das suas coordenadas – Q1 é a projecção horizontal de Q e Q2r é a projecção frontal de Q, em rebatimento (no rebatimento do plano XZ). Por Q2r conduziu-se f νr, que é, em rebatimento, o traço frontal do plano ν (o plano horizontal que contém a base do cone). Em seguida representou-se, em Dupla Projecção Ortogonal, a recta suporte do eixo do cone – a recta f. A projecção horizontal da recta f, f 1, passa por Q1 e é paralela ao eixo X e a sua projecção frontal (em rebatimento), f 2r, passa por Q2r e faz, com o eixo X o ângulo dado (note que o ângulo que a recta f faz com o plano XY se projecta em V.G. no plano XZ). O vértice do cone tem cota nula, pelo que o vértice do cone é o traço horizontal da recta f – é o ponto de intersecção da recta f com o plano XY. V2r, a projecção frontal de V em rebatimento (no rebatimento do plano XZ ), é o ponto em que f 2r intersecta o eixo X. V1, a projecção horizontal de V, situa-se sobre f 1. Uma vez que V é um ponto do plano XY, sabe-se que a perspectiva propriamente dita de V está coincidente com a sua projecção horizontal, pelo que se tem imediatamente V ≡ V1. Determinou-se a direcção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano XZ (a partir da cota do plano ν), e inverteu-se o rebatimento, determinando as perspectivas da projecção frontal de Q – Q2. Note que V2 é um ponto da charneira (o eixo X), pelo que se tem imediatamente V2 ≡ V2r. Em seguida, determinou-se a perspectiva propriamente dita de Q e representou-se o plano ν (o plano horizontal que contém a base do cone), pelas perspectivas do seu traço frontal, f ν, e do seu traço lateral, pν (as perspectivas de f ν e pν são concorrentes entre si num (Continua na página seguinte) 491

SOLUÇÕES

ponto da perspectiva do eixo Z). A base do cone está contida num plano paralelo ao plano XY (que é o plano axonométrico), pelo a sua perspectiva está em V.G. – assim, com centro na perspectiva de Q e com 3 cm de raio, desenhou-se uma circunferência, que é a perspectiva da base do sólido. Para determinar as geratrizes do contorno aparente do sólido efectuaram-se os traçados lineares necessários à determinação das rectas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior (que, neste caso, é a perspectiva de V), o que nos TV] e [T T’V] são as geratrizes do contorno aparente da perspermitiu determinar os pontos T e T’ (os pontos de tangência). As geratrizes [T pectiva do cone. Note que, a base do cone é visível, pelo que não existem quaisquer invisibilidades a assinalar. De forma a garantir uma melhor visualização do sólido (bem como a verificação do Critério de reversibilidade), optou-se por representar, ainda, a perspectiva da projecção frontal do sólido, assinalando convenientemente a parte da mesma que é invisível, por estar oculta pelo sólido.

954.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados.

O plano axonométrico é o plano XZ. Nesta perspectiva cavaleira normalizada, a perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135o (os ângulos normalizados) e representa-se convencionalmente na vertical. O vértice A do objecto, pelas suas coordenadas, é a própria origem do referencial – o ponto O. Em função das projecções dadas, conclui-se que o sólido tem três faces paralelas aos planos coordenados – uma vez que o ponto A é a origem do referencial, conclui-se que o objecto se apoia nos três planos coordenados e que tem arestas contidas nos eixos coordenados. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da respectiva aresta do sólido, bem como as restantes referências que nos permitem determinar a perspectiva do objecto. As medidas das arestas contidas no eixo X (8 cm) e no eixo Z (7 cm), bem como as referências dos restantes vértices do sólido, representam-se em V.G. (não há deformação).

A medida da aresta contida no eixo Y representa-se multiplicada pelo coeficiente de redução normalizado, que é 0,5, bem como as restantes referências. A partir dos comprimentos das arestas do sólido sobre os respectivos eixos e das restantes referências, construíram-se as perspectivas das projecções do objecto sobre os respectivos planos coordenados, baseadas em paralelas aos eixos correspondentes. Pelas projecções de cada um dos vértices do objecto conduziram-se as perspectivas das respectivas rectas projectantes, obtendo as suas perspectivas (ver exercício 827) e, em simultâneo, as perspectivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspectiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes.

955.

Em primeiro lugar, desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados.

O plano axonométrico é o plano XY. Numa perspectiva planométrica normalizada, a perspectiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135o (os ângulos normalizados) e representa-se convencionalmente na vertical. O vértice A do objecto, pelas suas coordenadas, é a própria origem do referencial – o ponto O. Em função das A B] está contido no eixo X, conclui-se projecções dadas, e sabendo que o lado [A que o sólido tem três faces paralelas aos planos coordenados – o objecto apoia-se nos três planos coordenados e tem arestas contidas nos eixos coordenados. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da respectiva aresta do sólido, bem como, as restantes referências que nos permitem determinar a perspectiva do objecto. As medidas das arestas contidas no eixo X (8 cm) e no eixo Y (4 cm), bem como as referências dos restantes vértices do sólido, representam-se em V.G. (não há deformação). A medida da aresta contida no eixo Z (3 cm) representa-se multiplicada pelo coeficiente de redução normalizado, que é 2/3, bem como a segunda referência (das cotas intermédias, que são 1 e 2 cm) – 2/3 x 3 cm = 2 cm, mas 2/3 x 1 cm e 2/3 x 2 cm não são valores exactos. Assim, recorreu-se ao processo exposto no relatório do exercício 866, que consistiu nas etapas que em seguida se enunciam. 1. Desenhou-se uma outra linha recta, com uma direcção diferente daquela que se pretende dividir (a perspectiva do eixo Z) e com a mesma extremidade. 2. Marcou-se, sobre essa linha, um ponto (ponto M) com uma determinada medida (3 cm) e marcou-se, sobre a linha que se pretende dividir (a perspectiva do eixo Z), um ponto (ponto P) com a medida transformada (2 cm, que é 2/3 de 3 cm). 3. Em seguida, conduziu-se uma linha recta por M e por P, linha essa que nos permitirá passar todas as medidas representadas sobre a linha auxiliar para 2/3 na linha que se pretende dividir (a perspectiva do eixo Z). Foi este raciocínio que nos permitiu representar, sobre a perspectiva do ⭈ eixo Z, 2/3 das cotas intermédias (1 cm e 2 cm) que foram representadas previamente na semi-recta OM. A partir dos comprimentos das arestas do sólido sobre os respectivos eixos e das restantes referências, construíram-se as perspectivas das projecções do objecto sobre os respectivos planos coordenados, baseadas em paralelas aos eixos correspondentes. Pelas projecções de cada um dos vértices do objecto conduziram-se as perspectivas das respectivas rectas projectantes, obtendo as suas perspectivas (ver exercício 838) e, em simultâneo, as perspectivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspectiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes.

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SOLUÇÕES

956.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o. Neste exercício, e tal como é expressamente pedido no enunciado, em primeiro lugar representou-se a pirâmide pelas suas projecções frontal e horizontal, em rebatimento, com o recurso ao método dos cortes (ver exercício 779). O hexágono da base está contido no plano XZ, pelo que a construção do polígono da base se efectuou em V.G., em rebatimento. No plano XZ, rebatido e transladado, representaram-se os pontos A e B, em rebatimento, em função das suas coordenadas (abcissa e cota). Note que, apesar de o hexágono estar realmente contido no plano XZ, se optou por identificar A 2r e B 2r, em vez de identificar A r e B r (note que, qualquer ponto contido no plano XZ está coincidente com a sua projecção frontal). Em seguida, a partir de A 2r e de B 2r, construiu-se a projecção frontal do hexágono, em V.G. e concluiu-se a construção da projecção frontal da pirâmide, em rebatimento. Em seguida, transportaram-se, para o plano XY, rebatido e transladado, as abcissas de todos os vértices da base, bem como a abcissa de V, o vértice da pirâmide, e construiu-se a projecção horizontal da pirâmide, assinalando convenientemente as invisibilidades. Em seguida, conduzindo, por cada par de projecções, em rebatimento, de cada um dos vértices do sólido, rectas perpendiculares às respectivas charneiras (correspondentes aos planos ortogonais às respectivas charneiras do rebatimento), obtiveram-se sucessivamente as perspectivas propriamente ditas de cada um dos vértices do sólido, o que nos permitiu a construção da sua perspectiva, na qual se assinalaram adequadamente as invisibilidades. Nesse sentido, e exemplificando, por V2r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XZ e por V1r conduziu-se uma recta perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY – o ponto de concorrência das duas perpendiculares à a perspectiva propriamente dita de V. O mesmo se processou em relação aos restantes vértices do CDEFV]. Existem dois vértices que não integram o sólido. O contorno aparente da perspectiva da pirâmide é a linha quebrada fechada [C contorno aparente – os vértices A e B. Estes são invisíveis, bem como todas as arestas que neles convergem. As restantes arestas do sólido B CV], [A A BV] e [A AFV]. são visíveis. Note que a base da pirâmide é invisível, bem como as faces laterais [B

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SOLUÇÕES

957.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o plano axonométrico é o plano XZ, pelo que o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 45o (que é um ângulo agudo) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 135o (que é um ângulo A BCD] está contido no obtuso). Uma vez que o quadrado [A plano coordenado XY, todos os seus vértices têm cota AA’] está contida no plano XZ, A tem nula. Como a aresta [A também afastamento nulo, pelo que A é um ponto do eixo X. De forma semelhante, como a aresta [B BB’] está contida no plano YZ, B tem abcissa nula, pelo que é um ponto do eixo Y. Atendendo a que o cubo tem faces horizontais (de nível), que se projectam em V.G. no plano XY, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico e representou-se o ponto A pelas suas projecções, em rebatimento, em função das suas coordenadas (que acima se referiram) – A 1r é a projecção horizontal de A, em rebatimento. Note que os dados do exercício não nos permitem construir absolutamente mais nada, de forma directa – é dado, apenas, que as diagonais das faces medem 7 cm, mas não A BCD], que nos permitiria construir imediatamente a projecção horizontal do quanos é dada, por exemplo, a direcção da diagonal da face [A drado, em rebatimento. Assim, é necessário o recurso a uma sequência de raciocínios e de traçados, que nos permitam determinar a medida A BCD]. Em primeiro lugar, sabe-se que as faces [A A BCD] e [A A’B’C’D’] são da aresta do cubo e construir a projecção horizontal do quadrado [A AA’B’B] – esta está contida num plano vertical α, cuja orientação se descohorizontais – as restantes faces são verticais. Considerou-se a face [A nhece. No entanto, é possível representar, imediatamente, f α, o traço frontal de α – f α passa por A, que é um ponto do eixo X. Esta face não é paralela a nenhum dos planos coordenados, pelo que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos coordenados – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o plano XZ, pois apenas se conhece o seu traço frontal que é, assim, a charneira do rebatimento. A r ≡ A 2, pois A é um ponto da charneira. O único vértice conhecido dessa face (e do cubo) é A – a diagonal AA’B’B] que passa por A é a diagonal [A AB’], que faz um ângulo de 45o com os planos das bases (é a diagonal de um quadrado). da face [A Assim, com vértice em A r, mediu-se o ângulo de 45o com hαr’ (que se situa no eixo X) e, sobre esse lado do ângulo, mediram-se os 7 cm (o comprimento das diagonais) e obteve-se B’r. Br situa-se no eixo X, pois B é necessariamente um ponto de hα. A partir de B’r está imediatamente determinada a cota do plano ν, o plano que contém a face superior do cubo – o plano ν representou-se pelo que traço frontal (ff ν) e pela perspν). Em seguida, inverteu-se o rebatimento, determinando B1r sobre o eixo Yr’ – o traço horizontal do plano α (em pectiva do seu traço lateral (p rebatimento), hαr, passa por A 1r e por B1r. A medida da aresta do cubo (e do quadrado) é a distância de A 1r a B1r. A partir de A 1r e de B1r consA BCD], em rebatimento. Em seguida representou-se o cubo em Dupla Projecção Ortogonal e truiu-se a projecção horizontal do quadrado [A determinou-se a direcção de afinidade que nos permite inverter o rebatimento (ver alínea a) do exercício 848 e respectivo relatório). Inverteu-se A BCD]. A partir das projecções frono rebatimento do plano XY e determinaram-se as perspectivas das projecções horizontais do quadrado [A tais dos oito vértices do sólido e das perspectivas das respectivas projecções horizontais, construiu-se a perspectiva do cubo, cujo contorno B CDD’A’B’]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente – os vértices C’ e A. O vértice A aparente é a linha quebrada fechada [B é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. O vértice C’ é visível, bem como todas as arestas que nele convergem.

958.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 135o, pois a soma dos três ângulos é 360o. Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. A base mais à direita do cilindro está contida no plano YZ, pelo que o plano a rebater é o plano YZ. Tenha em conta que na representação axonométrica de cilindros, é fundamental a determinação rigorosa das geratrizes do contorno aparente. Tenha em conta que as perspectivas das bases são necessariamente e l i p s e s e que não existe qualquer processo geométrico rigoroso para a determinação das rectas tangentes a uma elipse. Assim, para além da construção das perspectivas das bases (que são elipses) é necessária a eventual determinação de mais alguns pontos, pelo que não é aconselhável o recurso ao método dos cortes, mas, antes, o processo do rebatimento dos planos coordenados (à semelhança do efectuado no exercício 910). Assim sendo, para a construção da perspectiva da base mais à direita (da elipse) seguiram-se todos os procedimentos explicitados no relatório do exercício 904, pelo que se aconselha a sua leitura. Depois de determinados os oito pontos necessários a um desenho relativamente preciso da elipse, que é a perspectiva da base mais à direita do cilindro (que não se desenhou), efectuaram-se os traçados necessários à construção da elipse que é a perspectiva da base superior. A determinação da perspectiva da abcissa do plano π (o plano de perfil que contém a base mais à esquerda do cilindro) efectuou-se com o recurso ao rebatimento do eixo X, pelo rebatimento do plano projectante do eixo X. O plano π, o plano da base mais à esquerda representou-se pelas perspectivas dos seus hπ). Em seguida, determinou-se a perspectiva do ponto Q’, o centro da base mais à esquerda do cilindro, em traços frontal (ffπ) e horizontal (h função das suas coordenadas. Para a construção da perspectiva da base mais à esquerda, foram transportados, para o respectivo plano, todas as referências obtidas para a construção da elipse da base mais à direita. Note que, o transporte das referências da base mais à direiQQ’], em que Q é a ta para a base mais à esquerda se processou com o recurso a paralelas à perspectiva do eixo do cilindro (o segmento [Q perspectiva do centro da base mais à direita e Q’ é a perspectiva do centro da base mais à esquerda). Note que, apesar de ser possível (Continua na página seguinte) 494

SOLUÇÕES

desenhar, de imediato, as duas elipses, não é aconselhável desenhar as duas curvas sem os procedimentos sequentes, pois estes podem originar a determinação de mais dois pontos das curvas (em particular por se tratar de um cilindro oblíquo). Esses procedimentos são os necessários à determinação das geratrizes do contorno aparente, e têm a ver com a determinação dos planos tangentes ao cilindro que contêm a direcção das projectantes, o que se efectua em três passos, que em seguida se especificam. 1. Por um ponto qualquer conduzem-se duas rectas – uma recta r, paralela às geratrizes do cilindro, e uma recta s, projectante. As rectas r e s, porque são concorrentes, definem um plano, que é paralelo aos planos tangentes. 2. Determina-se a recta i, a recta de intersecção do plano definido pelas rectas r e s com o plano da base do cilindro – o plano YZ, neste caso. 3. Determinam-se as rectas tangentes à base (de referência) que são paralelas à recta i, o que nos permite obter os pontos pelos quais passam as geratrizes do contorno aparente. Neste exercício, a aplicação dos passos acima enunciados é a que em seguida se expõe. 1. A recta r é o próprio eixo do cilindro e a recta p (que é a recta projectante) é concorrente Q’ é o centro da base mais à esquerda do cilindro). A perspectiva da recta p é um ponto, pois trata-se de uma recta projectante com r em Q’ (Q (ortogonal ao plano axonométrico) – a perspectiva da recta p está, assim, coincidente com a perspectiva de Q’. O plano definido pelas duas rectas é o próprio plano projectante do eixo do cilindro. 2. Determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano definido por r e p, com o plano YZ (o plano da base de referência) – a recta i está definida por Q (o ponto de intersecção de r com o plano YZ – a recta r é o próprio eixo do cilindro) e pelo ponto I, que é o ponto de intersecção da recta p com o plano YZ. Tenha em conta que a perspectiva de I está coincidente com a perspectiva de Q’ e com a perspectiva da recta p – a recta p, sendo uma recta projectante, projecta todos os seus pontos num único ponto. 3. O traçado das rectas tangentes à base do cilindro que são paralelas a i só se pode processar em rebatimento. Assim, é necessário rebater a recta i, o que se processa rebatendo o ponto I. Nesse sentido conduziu-se, por I, uma recta m, do plano YZ – a recta m é uma recta de topo do plano YZ (é paralela ao eixo Y). A perspectiva da recta m é concorrente com a charneira no ponto M, que é um ponto fixo, pelo que se tem imediatamente Mr ≡ M. Por Mr conduziu-se a recta mr, paralela ao eixo Yr. Conduzindo, pela perspectiva de I, uma recta perpendicular à charneira, determinou-se Ir no ponto em que aquela intersecta a recta mr. A recta i r está definida por Ir e por Qr. Em rebatimento, conduziram-se as rectas tangentes à base do cilindro que são paralelas a i r – tr e t’r. Estas são tangentes à base (de referência) em A r e B r, cujas perspectivas serão os pontos pelos quais passarão as geratrizes do contorno aparente. Para determinar as perspectivas de A e B recorreu-se a uma recta a, que passa por A e B – ar é a recta a em rebatimento (no rebatimento do plano YZ) e passa por A r e B r. Note que a recta ar também passa por Qr, pelo que a perspectiva da recta a passará necessariamente pela perspectiva de Q. Já temos um ponto para definir a perspectiva da recta a. Falta-nos outro ponto – esse ponto pode ser o ponto de intersecção da recta a com a charneira o rebatimento do plano YZ (o ponto P). A recta ar intersecta a charneira do rebatimento em Pr, que é um ponto fixo, pelo que se tem imediatamente Pr ≡ P. A perspectiva da recta a passa pela perspectiva de Q e por P. Conduzindo, por A r e B r, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as perspectivas de A e B sobre a perspectiva da recta a. Para determinar as perspectivas dos extremos das geratrizes do contorno aparente que se situam na base mais à esquerda, recorreu-se a uma recta b, do plano π, paralela à recta a – a recta b é a recta paralela a a que passa por Q’. Conduzindo, pelas perspectivas de A e B, paralelas ao eixo do cilindro, determinaram-se as perspectivas A A ’] e [B BB’], as geratrizes do contorno de A’ e B’ sobre a perspectiva da recta b. Em seguida, desenharam-se as perspectivas das geratrizes [A aparente. Em seguida, desenharam-se as duas elipses, a partir dos dez pontos já determinados de cada curva e conclui-se a construção da perspectiva do sólido. Tenha em conta que a primeira elipse (a perspectiva da base mais à direita) é concordante com as perspectivas das A A ’] e [B BB’] nas perspectivas de A e B, respectivamente. Da mesma forma, a segunda elipse (a perspectiva da base mais à geratrizes [A A A ’] e [B BB’] nas perspectivas de A’ e B’, respectivamente. Em seguida, assiesquerda) é concordante com as perspectivas das geratrizes [A nalou-se convenientemente a parte invisível do contorno da base mais à direita do cilindro.

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SOLUÇÕES

959.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados . Uma vez que a direcção das projectantes se refere ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 125o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 145o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, atenA B CD] está contido dendo a que o quadrado [A num plano horizontal (de nível), projecta-se em V.G. no plano XY, pelo que se efectuou o rebatimento do plano XY sobre o plano axonométrico para, dessa forma, se iniciar a representação da pirâmide em Dupla Projecção Ortogonal. Nesse sentido, representaram-se os pontos A e C em Dupla Projecção Ortogonal, pelas suas projecA 2 e C2, respectivamente) e pelas ções frontais (A suas projecções horizontais em rebatimento A 1r e C1r, respectivamente). A partir das projec(A ções frontais dos dois pontos, representou-se o plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide, pelos seus traços.

A partir de A 1r de C1r construiu-se o quadrado da base em V.G., em projecção horizontal (em rebatimento). Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano XY, e determinaram-se as perspectivas das projecções horizontais dos vértices do quadrado e as suas perspectivas propriamente ditas, conforme se expôs no relatório do exercício 921. Em Dupla Projecção Ortogonal determinou-se, ainda, o centro do quaA B CD] – o ponto Q. Uma vez que o eixo da pirâmide está contido numa recta de perfil, sabe-se imediatamente que V tem a abcissa drado [A de Q. Por outro lado, sendo dado que V tem cota nula, é possível determinar imediatamente a projecção frontal de V e concluir a construção da projecção frontal da pirâmide. Sendo dado que o eixo da pirâmide está contido numa recta de perfil (que faz um ângulo de 60o com o plano coordenado XY), representou-se a recta suporte do eixo (recta p) pelas suas projecções (em Dupla Projecção Ortogonal) – p2 ≡ p1r, em que p2 é a projecção frontal da recta p e p1r a sua projecção horizontal em rebatimento. Uma vez que a recta p é paralela ao plano coorQ3) e rebateu-se o plano YZ sobre o plano axonométrico (a charneira é denado YZ, representou-se a perspectiva da projecção lateral de Q (Q o eixo Z), obtendo-se Q3r. Por Q3r conduziu-se a projecção lateral da recta p em rebatimento (p3r), com o ângulo dado (que está em V.G. no ângulo entre p3r e o eixo Yr ’’), obtendo-se V3r sobre o eixo Yr ’’ (note que V tem cota nula). Através da direcção de afinidade d’, que nos permite inverter o rebatimento do plano YZ (ver alínea b) do exercício 845 e respectivo relatório), determinou-se a perspectiva de V3, a partir da qual se determinou a perspectiva de V. A partir das perspectivas de todos os vértices do sólido, desenhou-se a sua perspectiva, cujo conA BVCD]. Todos os vértices do sólido integram o contorno aparente. No entanto, as faces latetorno aparente é a linha quebrada fechada [A A BV], [A A DV] e [C CDV] são invisíveis, pelo que as arestas laterais [A AV] e [D DV] são invisíveis, por separarem faces invisíveis. Note que rais [A B CV] são visíveis. Note que a determinação do vértice da pirâmide poderia ter passado, simplesmente, pela apenas a base e a face lateral [B resolução do exercício em Dupla Projecção Ortogonal, ou seja, conduzindo um plano de perfil pelo eixo e rebatendo-o, obtendo a recta p rebatida e, dessa forma, o vértice em rebatimento, que é, afinal o traço horizontal da recta p, à semelhança do efectuado no exercício 957.

496

SOLUÇÕES

960.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados, bem como a A B CD] (ver relatório perspectiva do quadrado [A do exercício anterior). A partir da representação A B CD] em Dupla Projecção Ortodo quadrado [A gonal (considerando o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico), representou-se igualmente o prisma em Dupla Projecção Ortogonal, a partir da direcção das suas arestas laterais (ver exercício 9 2 9 e respectivo relatório). Note que se representou, também, o plano ν’, o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do sólido – f ν’’ é o traço frontal do plano ν’ e pν’’ é a perspectiva do seu traço lateral. Em seguida, a partir da direcção de afinidade, inverteu-se o rebatimento do plano coordenado XY obtendo-se as perspectivas das projecções horizontais de todos os vértices do sólido. A partir das projecções frontais dos vértices do prisma e das perspectivas das suas projecções horizontais, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas dos vértices do prisma e desenhou-se a perspectiva do sólido, cujo contorno aparente é AA’B’C’CD]. Existem a linha quebrada fechada [A dois vértices que não integram o contorno aparente do sólido – o vértice B e o vértice D’. O vértice B é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. O vértice D’ é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem.

961.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo Y e do eixo Z, ângulos de 135o. Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico, conforme exposto na alínea a) do relatório do exercício 846, e representou-se o ponto A em Dupla Projecção Ortogonal (considerando o plano YZ como o Plano Frontal de Projecção e o plano XY como o Plano Horizontal de Projecção) – A3 é a projecção lateral de A e A 1r é a projecção horizontal de A , em A B C] rebatimento (no rebatimento do plano XY). O triângulo [A está contido no plano XY, pelo está em V.G. no plano XY – por A 1 r conduziu-se uma fronto-horizontal (paralela ao eixo X r ’ e sobre aquela mediram-se os 7 cm (o comprimento do segmento A B]), obtendo B 1r. A partir de A 1r e B 1r construiu-se o triângulo [A A B C] em projecção horizontal, em V.G. (em rebatimento), deter[A minando C1r, a projecção horizontal de C em rebatimento. Em seguida, determinou-se o centro do triângulo, em projecção horizontal (em rebatimento) – Q1r. Determinaram-se as projecções A B C] está contido no plano XY, pelo que todos aqueles pontos têm cota nula). A laterais de B, C e Q, que se situam no eixo Y (o triângulo [A partir das duas projecções do triângulo, construíram-se as duas projecções (lateral e horizontal (em rebatimento) do tetraedro. A projecção horizontal do sólido (em rebatimento) tem construção imediata, pois o quarto vértice do tetraedro (o vértice D) situa-se na projectante horizontal de Q, pelo que se tem imediatamente Q1r ≡ D1r. Assim, foi possível concluir a construção da projecção horizontal do sólido, mas não da sua projecção frontal. Recorde que não se sabe a altura de um tetraedro – a construção das projecções de um tetraedro processa-se, CD] é de perfil, necessariamente, em função do comprimento das suas arestas, que são todas iguais. Nesse sentido, e atendendo a aresta [C (Continua na página seguinte) 497

SOLUÇÕES

CD] mede 7 cm, que é igual ao comprimento das restantes arestas do sólido, mas a esta projecta-se em V.G. no plano YZ. Assim, a aresta [C CD] é a única que se projecta em V.G. no plano YZ. Assim, com o compasso, fazendo centro em C3 e com 7 cm de raio, determinouaresta [C -se D3 na linha de chamada de D1r, o que nos permitiu concluir a construção da projecção lateral do sólido. Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade que nos permite inverter o rebatimento do plano XY (a partir da abcissa de C), e inverteu-se o rebatimento do plano XY, determinando as perspectivas das projecções horizontais dos quatro vértices do sólido (ver exercício 922 e respectivo relatório). A partir das perspectivas das projecções horizontal e frontal dos quatro pontos, determinaram-se as suas perspectivas propriamente ditas (ver exercício 829 e respectivo relatório). A partir das perspectivas dos quatro pontos, desenhou-se a perspectiva propriamente dita do tetraedro, cujo B CD]. Existe um único vértice que não integra o contorno aparente do sólido – o vértice A . contorno aparente é a linha quebrada fechada [B B CD] é a única face visível do sólido – as restantes três Este é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que, a face [B faces são todas invisíveis.

962.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 140o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 130o (que é outro ângulo obtuso). A partir do afastamento dos pontos A e B representou-se, imediatamente, o plano ϕ (o plano frontal que contém a base da pirâmide) – pϕ é o traço lateral do plano ϕ e hϕ é a perspectiva do seu traço pϕ e a perspectiva de h ϕ horizontal (p são concorrentes entre si no eixo Y).

Em seguida, rebateram-se os planos XY e XZ para o plano axonométrico, o que nos permitiu representar as projecções de A e B em rebatimento – A 1r e B 1r são as projecções horizontais de A e B , respectivamente (em rebatimento – no rebatimento do plano XY) e A 2r e B 2r são as projecções frontais de A e B, respectivamente (em rebatimento – no rebatimento do plano XZ).

Por outro lado, hϕr é o traço horizontal do plano ϕ (o plano frontal que contém a base de menor afastamento do sólido) no rebatimento do plano XY. A figura está contida num plano paralelo ao plano XZ, pelo que se projecta em V.G. no plano XZ – a partir de A 2r e B 2r, as projecções frontais de A e B em rebatimento (no A BCD], em V.G. (em rebatimento) e determinou-se Q2r, a projecção rebatimento do plano XZ), construiu-se a projecção frontal do quadrado [A frontal em rebatimento) do centro do quadrado. Em seguida, transportaram-se, para o rebatimento do plano XY, as abcissas de C, D e Q, o que nos permitiu determinar as projecções horizontais daqueles pontos (em rebatimento), sobre hϕr. Por outro lado, através de paralelas ao eixo Y, determinaram-se as projecções laterais de C, D e Q, sobre pϕ. É dado que o eixo da pirâmide está contido numa recta horizontal (de nível) que faz um ângulo de 60o (a.d.) com o plano XZ – por Q1r conduziu-se h1r, a projecção horizontal da recta h (em rebatimento), de acordo com os dados. A recta h é a recta suporte do eixo da pirâmide. Por Q3 conduziu-se, também, a projecção lateral da recta h – h3.

Uma vez que o vértice da pirâmide tem afastamento nulo, V1r é o ponto de intersecção de h1r com o eixo Xr ’ – V é o traço frontal da recta h.

A determinação de V3, a projecção lateral de V, é imediata, sobre a projecção lateral da recta h. A determinação das projecções de V permitiu-nos concluir a construção das projecções (lateral e horizontal, em rebatimento) da pirâmide. Determinou-se a direcção de afinidade d que nos permite inverter o rebatimento do plano XY (a partir da abcissa de B) e inverteu-se o rebatimento, determinando as perspectivas propriamente ditas dos quatro vértices da pirâmide e do ponto Q, conforme exposto no relatório do exercício 925, pelo que se aconselha a sua leitura. A partir das perspectivas de todos os vértices do sólido, desenhou-se a sua perspectiva, cujo contorno aparente é a linha queA BVD]. Existe um único vértice que não integra o contorno aparente – o vértice C. Este é visível, bem como todas as arestas brada fechada [A A B CD] do sólido é visível, bem como as faces laterais [B B CV] e [C CDV]. As faces laterais [A A DV] e que nele convergem. Note que a base [A A BV] são invisíveis, pelo que a aresta lateral [A AV] é invisível (separa duas faces invisíveis).

[A

498

SOLUÇÕES

963.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o plano axonométrico é o plano XZ, pelo que o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico ) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o. O ponto Q, o centro da base de menor afastamento, é um ponto do plano XZ, pelo que, a partir das suas coordenadas, foi possível representar imediatamente o ponto e a sua perspectiva propriamente dita.

A base de maior afastamento do cilindro é simultaneamente tangente ao plano XY e ao plano YZ, pelo que se infere que Q’, o centro da base de maior afastamento, tem 3 cm (o raio das bases) de abcissa e 3 cm de cota. Este raciocínio permitiu-nos representar o ponto Q’ pela sua projecção frontal, bem como a projecção frontal do cilindro – no entanto, não é dado o afastamento de Q’ (nem é possível inferi-lo), pelo que os dados do enunciado são insuficientes para efectuar a construção da perspectiva do sólido de forma directa. De facto, os dados do enunciado que nos permitem determinar o afastamento de Q’ referem-se ao comprimento do eixo do cilindro, que, não sendo paralelo ao plano de projecção (o plano axonométrico), nos obrigam a recorrer a uma sequência de raciocínios e de traçados, que nos permitam representar o eixo do cilindro em V.G. – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar, para o que é necessário o recurso à Dupla Projecção Ortogonal. Nesse sentido, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico (o plano XZ) para, dessa forma, se resolver o exercício em Dupla Projecção Ortogonal. Recorreu-se ao rebatimento do plano projectante frontal do eixo do cilindro – o plano α. Assim, representou-se o plano α pelos seus traços – uma vez que o plano α é projectante frontal e contém os pontos Q e Q’ (os extremos do eixo do sólido), sabe-se que o seu traço frontal, f α, contém Q2 e Q’2, as projecções frontais daqueles pontos. O traço horizontal do plano α, hα, é concorrente com f α no eixo X – hα está coincidente com o eixo Y, pelo que, no plano XY rebatido (sobre o plano axonométrico), se tem hαr ≡ Yr ’ ≡ Z. Rebateu-se o plano α para o plano XY, pelo que a charneira do rebatimento foi hα. Rebateu-se o ponto Q e Q’2, a projecção frontal de Q’, que nos permite obter a referência de Q’r. Em seguida, com o compasso, fazendo centro em Qr e com 9 cm de raio (o comprimento do eixo do sólido), determinou-se Q’r na referência antes determinada – invertendo-se o rebatimento, determinou-se a projecção horizontal de Q’ (em rebatimento, no rebatimento do plano XY) – Q’1r. Por Q’1r conduziu-se hϕr, que é, no rebatimento do plano XY, o traço horizontal do plano frontal (de frente) ϕ que contém a base de maior afastamento do cilindro. Em seguida, procedeu-se à construção da perspectiva do sólido, conforme exposto no relatório o exercício 934, pelo que se aconselha a sua leitura. Tenha em conta que este exercício e o exercício 934 diferem, apenas, nos raciocínios atrás explicitados que nos permitiram determinar o afastamento de Q’ – sendo já conhecido o afastamento de Q’, os dois exercícios são idênticos. Note que a perspectiva da base de maior afastamento do cilindro é necessariamente tangente às perspectivas dos traços do plano ϕ – é simultaneamente tangente à perspectiva de hϕ e à perspectiva de pϕ.

499

SOLUÇÕES

26 R EPRESENTAÇÃO DE S OLIDOS EM T RIPL A P ROJECÇÃO O RTOGONAL 964.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide em Dupla Projecção Ortogonal, em função dos dados. Em seguida, pelos quatro vértices da pirâmide conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (que são rectas fronto-horizontais – rectas ortogonais ao plano de perfil YZ) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide. A projecção lateral da pirâmide fica, assim, definida pelos pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ). Convencionalmente, a representação desta projecção processa-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices da pirâmide, que se identificam por A 3, B 3, C3, D3 e V3. Note que o processo descrito corresponde ao rebatimento de um plano de perfil para o Plano Frontal de Projecção, sendo que a charneira, nesse caso, seria o traço frontal do plano. Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral da pirâmide (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada [A A 3C3D3V3]. Existe um vértice que não integra o contorno aparente lateral – o vértice B. Este é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem), A B] e [B B C], da base, são invisíveis mas estão ocultas por arestas da base pois é o vértice de menor abcissa da pirâmide. Assim, as arestas [A BV] é invisível. A aresta lateral [D DV] é visível, pois D é o vértice de maior abcissa da que são visíveis. Ainda nesse sentido, a aresta lateral [B base. Recorde que, no caso das projecções horizontais, são visíveis os vértices de maior cota e invisíveis os de menor cota, tal como nas projecções frontais são visíveis os vértices de maior afastamento e invisíveis os de menor afastamento.

965.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide em Dupla Projecção Ortogonal, em função dos dados. Em seguida, pelos seis vértices da pirâmide conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (que são rectas fronto-horizontais – rectas ortogonais ao plano de perfil YZ ) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide. Esta obtém-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices da pirâmide, que se identificam por A 3, B 3, C3, D3, E3 e V3 (num processo que corresponde ao rebatimento de um plano de perfil para o Plano Frontal de Projecção). Note que as projecções laterais dos vértices da base estão no eixo Z pelo que, após o rebatimento do Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) para o Plano Frontal de Projecção, aquelas são fixas (estão na charneira). Em seguida, desenhou-se o c o n t o r n o a p a r e n t e l a t e r a l da pirâmide (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada f e c h a d a [B B 3A 3E3V3]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente lateral – C e D. Estes são invisíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices de B C], [C CD] e [D DE], menor abcissa da pirâmide. Assim, as arestas [B da base, são invisíveis mas estão ocultas por arestas da base que CV] e [D DV] são visíveis. Ainda nesse sentido, as arestas laterais [C AV] é visível, pois A é o vértice de são invisíveis. A aresta lateral [A maior abcissa da base.

500

SOLUÇÕES

966.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide em Dupla Projecção Ortogonal, em função dos dados. Em seguida, pelos sete vértices da pirâmide conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (que são rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide. Esta obtém-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices da pirâmide, que se identificam por A 3, B3, C3, D3, E3, F3 e V3. Em seguida desenhou-se o cont o r n o a p a r e n t e l a t e r a l da pirâmide (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada A 3F3E3D3V3]. Existem dois vértices que [A não integram o contorno aparente lateral – B e C. Estes são invisíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices de menor abcissa da A B], [B B C] e pirâmide. Assim, as arestas [A CD], da base, são invisíveis mas estão [C ocultas por arestas da base que são visíveis. Ainda nesse sentido, as arestas lateBV] e [C CV] são invisíveis. As arestas rais [B FV] e [E EV] são visíveis, pois F e E laterais [F são os vértices de maior abcissa da base.

967.

Ao contrário dos exercícios anteriores, neste caso a construção das projecções do sólido em Dupla Projecção Ortogonal não é imediata a partir dos dados do enunciado, sendo necessário o recurso a alguns raciocínios e traçados auxiliares, que têm a ver com a d e t e r m i n a ç ã o d e Ve r d a d e i r a s G r a n d e z a s .

Assim, em primeiro lugar representou-se o A B CD] da base em Dupla Projecquadrado [A ção Ortogonal, em função dos dados. Em seguida, uma vez que se trata de uma pirâmide r e g u l a r, e atendendo à invisibilidade do vértice da pirâmide, a projecção horizontal do sólido tem construção imediata, o mesmo já não acontecendo com a sua projecção frontal. De facto, não nos é dada a altura da pirâmide, mas sim, o comprimento das suas arestas laterais (que são todas iguais), pelo que a cota do vértice não tem determinação imediata. As arestas laterais do sólido não são paralelas a nenhum dos planos de projecção, pelo que não se projectam em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o que não constituiu obstáculo para a construção da projecção horizontal mas constitui, agora, para a construção da projecção frontal). Assim, é necessário obter uma representação de uma das arestas (Continua na página seguinte) 501

SOLUÇÕES

em V.G. (com o recurso a um processo geométrico auxiliar) para, dessa forma, obter a projecção frontal do vértice. Optou-se pelo rebatiAV] – o plano α. Note que o plano α contém, também, a aresta lateral [C CV], mas é fundamento do plano projectante horizontal da aresta [A mental que contenha pelo menos uma das arestas. Rebateu-se o plano α para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f α), obtendo A r e a referência de Vr (obtida a partir do rebatimento de V1). Com o recurso ao compasso, fazendo centro em A r e com 8 cm de raio (a medida das arestas da pirâmide), obteve-se Vr. A partir de Vr, invertendo-se o rebatimento, determinou-se V2 e a projecção frontal da pirâmide. Em seguida, pelos cinco vértices da pirâmide conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide. Esta obtém-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices da pirâmide, que se identificam por A3, B3, C3, D3 e V3.

Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral da pirâmide (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada [A A 3B 3C3V3]. Existe um vértice que não integra o contorno aparente lateral – o vértice D. Este é invisível (bem como todas as arestas A D] e [C CD], da base, são invisíveis mas estão ocultas que nele convergem), pois é o vértice de menor abcissa da pirâmide. Assim, as arestas [A DV] é invisível. A aresta lateral [B BV] é visível, pois B é o vértice de por arestas da base que são visíveis. Ainda nesse sentido, a aresta lateral [D maior abcissa da base.

968.

Neste exercício, tal como no anterior, a representação da pirâmide em Dupla Projecção Ortogonal não se processa de forma imediata, sendo necessário o recurso a alguns raciocínios auxiliares, que têm a ver com a d e t e r m i n a ç ã o d e Ve r d a d e i r a s Grandezas. Assim, em primeiro lugar representouA BCDEF] e da -se a projecção frontal do hexágono [A pirâmide, atendendo às invisibilidades existentes.

Note que se atendeu aos dados referentes à posição AV] e [E EV] são de das arestas laterais – as arestas [A perfil (o vértice da pirâmide tem a abcissa de A e E) CV] é horizontal (de nível), pelo que o e a aresta [C vértice da pirâmide tem a cota de C. Note que este FV ] dado implica n e c e s s a r i a m e n t e que a aresta [F também é horizontal (de nível), apesar de tal não ser referido. Uma vez que o vértice da pirâmide tem afastamento nulo, é possível determinar imediatamente V1, a projecção horizontal de V. Como acima se expôs, a construção da projecção frontal da pirâmide pode processar-se de forma imediata, em função dos dados, o mesmo não acontecendo com a projecção horizontal, pois não nos é dado o afastamento do plano da base. É dado que as arestas de perfil medem 7 cm, o que significa um procedimento idêntico ao do exercício anterior – conduzir, pelas arestas, um plano que as contenha (um plano de perfil) e proceder ao seu rebatimento, por exemplo. No entanto, optou-se por um AV] e [E EV] projectam-se em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), procedimento mais prático e mais rápido – as arestas de perfil [A pois são paralelas a este (um segmento de recta projecta-se em V.G. no plano de projecção ao qual é paralelo). Note que, em Projecção Triédrica, o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) é um terceiro plano de projecção. Assim, em vez de se iniciar pela Dupla Projecção Ortogonal e, em seguida, construir a terceira projecção, neste exercício existem claras vantagens em se construir a terceira projecção (a projecção lateral) em primeiro lugar, para, em função desta, se construir projecção horizontal do sólido. Uma vez que V tem afastamento nulo, V3 determina-se imediatamente (está sobre o eixo Z, que é a charneira do rebatimento do plano YZ). A partir de A 2 e E2, é possível obter as referências de A 3 e E3 – situam-se nas fronto-horizontais (as projectantes laterais) que por eles passam. Com o compasso, fazendo AV] e [E EV]) desenhou-se um arco de circunferência, obtendo-se A 3 e E3 nos pontos centro em V3 e com 7 cm de raio (a medida das arestas [A de intersecção desse arco com as fronto-horizontais que passam por A 2 e E2. A partir de A 3 e E3 é possível construir a projecção lateral da pirâmide e, invertendo o rebatimento (como se de um qualquer plano de perfil se tratasse), é possível, igualmente, obter o afastamento do plano A3F3E3V3]. Existem três vértices que não da base e, dessa forma, construir a projecção horizontal do sólido. O contorno aparente lateral é [A integram o contorno aparente lateral – os vértices B, C e D. Estes são invisíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices de menor abcissa da pirâmide. No entanto, em projecção lateral, todas as arestas que convergem naqueles vértices (e são invisíveis) estão ocultas por aresta visíveis (em projecção lateral), pelo que não há lugar à representação de invisibilidades em projecção lateral.

969.

Em primeiro lugar representaram-se as projecções do ponto A , a projecção horizontal do segmento (cuja direcção é dada) e a projecção hoC e V situam-se na mesma projectante horizontal, pelo que se tem imediatamente C1 ≡ V1, e C rizontal de V, que tem 2,5 cm de afastamento (C tem 2,5 cm de afastamento). O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. Note que os dados não nos permitem, de forma imediata, determinar V2, pois não é dada a cota de V nem a altura da pirâmide – de facto, os restantes dados obrigam-nos a AV] mede recorrer a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. O segmento [A 11 cm, mas não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o segmento é oblíquo a ambos os planos de projecção. Assim (Continua na página seguinte) 502

SOLUÇÕES

sendo, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano projectante horizontal do segmento (o plano α) para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f α), obtendo A r e a referência de Vr. Em rebatimento, o segmento estará em V.G., pelo que, com o compasso, fazendo centro em A r e com 11 cm de raio (o comprimento do segmento), obtém-se Vr. Invertendo o rebatimento obtém-se a projecção frontal de V e a projecção frontal do segmento.

A BCD] e desenharamConstruiu-se o quadrado [A se as projecções da pirâmide, atendendo às invisibilidades existentes. Em seguida, pelos cinco vértices da pirâmide conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide. Esta obtém-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices da pirâmide, que se identificam por A3, B3, C3, D3 e V3. Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral da pirâmide (o contorno aparente da projecção lateral), que é a l i n h a q u e b r a d a f e c h a d a D3A 3B 3V3]. Existe um vértice que não integra o [D contorno aparente lateral – o vértice C. Este é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem), pois é o vértice de menor abcissa da B C] e [C CD], da base, são invisíveis mas estão ocultas por arestas da base que são visíveis. Ainda nesse sentido, a pirâmide. Assim, as arestas [B CV] é invisível. A aresta lateral [A AV] é visível, pois A é o vértice de maior abcissa da pirâmide. aresta lateral [C

970.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto A , pelas suas projecções, e o plano ϕ, o plano frontal (de frente) que contém a base, pelo seu traço horizontal, em função dos dados.

Note que os dados do enunciado não nos permitem construir absolutamente mais nada, de forma imediata. De facto, os dados obrigam-nos a uma sequência de raciocínios encadeados, sem os quais não é possível a determinação das projecções do sólido, e que têm a ver com a determinaç ã o d e Ve r d a d e i r a s G r a n d e z a s .

Assim, conduziu-se pelo ponto A o plano θ, que é o plano de topo, que A BV]. Note que contém a face lateral [A nenhum dos dados se refere à mediA B C D ], da do lado do quadrado [A pelo que não é possível começar por construir as projecções da base, como nos exercícios anteriores. Os dados do exercício referem-se excluA BV], pelo que será sivamente à face [A através dela que será possível construir as projecções do sólido. A face A BV] não se projecta em V.G. lateral [A em nenhum dos planos de projecção, (Continua na página seguinte) 503

SOLUÇÕES

pois o plano θ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo A BV]) para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hθ). Rebateu-se o rebatimento do plano θ (o plano de topo que contém a face [A AV] do triângulo [A A BV] ponto A, obtendo-se A r. Sabe-se que V, o vértice da pirâmide, tem 9 cm de afastamento e está a 7,5 cm de A (o lado [A mede 7,5 cm), o que nos permite, em rebatimento, determinar Vr – para tal, desenhou-se uma paralela ao eixo X a 9 cm deste, para que V teAV]), determinounha 9 cm de afastamento, e, em seguida, com o compasso, fazendo centro em A r e com 7,5 cm de raio (a medida da aresta [A A BV] em V.G., em rebatimento, pois B tem o mesmo afastamento de A (estão contidos -se Vr. A partir de Vr já é possível construir a face lateral [A A BV] é um triângulo isósceles). Assim, com o compasso, fazendo centro em Vr e raio até Ar no mesmo plano frontal) e está a 7,5 cm de V (a face [A (7,5 cm de raio), obteve-se Br com o mesmo afastamento de A r. Inverteu-se o rebatimento do plano θ, obtendo-se as projecções de B e V. O A B], que está em V.G. no Plano Frontal de Projecção (o plano que contém o quadrado [A A B CD] é paralelo ao Placomprimento do segmento [A no Frontal de Projecção), é o lado do quadrado, o que nos permite a sua construção. A partir do quadrado, e porque já são conhecidas as projecções de V, representou-se a pirâmide em Dupla Projecção Ortogonal. Em seguida, pelos cinco vértices da pirâmide conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide. Esta obtém-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices da pirâmide, que se identificam por A 3, B3, C3, D3 e V3. Em seguida desenhou-se o contorno aparente lateral da D3A 3B3V3]. Existe um vértice que não integra o contorno pirâmide (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada [D aparente lateral – o vértice C. Este é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem), pois é o vértice de menor abcissa da pirâmide.

B C] e [C CD], da base, são invisíveis mas estão ocultas por arestas da base que são visíveis. Ainda nesse sentido, a aresta Assim, as arestas [B CV] é invisível. A aresta lateral [A AV] é visível, pois A é o vértice de maior abcissa da pirâmide. lateral [C

971.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e O, pelas respectivas projecções, e o plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a base, pelo seu traço frontal, em função dos dados. Com o compasso, fazendo centro em O1 e raio até A1, desenhou-se a projecção horizontal da circunferência circunscrita ao pentágono e efectuou-se a construção da do polígono, em V.G., em projecção horizontal. Os dados do exercício permitem-nos concluir a construção da projecção horizontal da pirâmide – V , o vértice da pirâmide, situa-se na mesma projectante horizontal de A, pelo que se tem imediatamente V1 ≡ A1. Os dados não nos permitem, no entanto, construir de forma imediata a projecção frontal da pirâmide, pois não nos é dada a altura da pirâmide, mas sim, o comprimento BV], pelo da aresta lateral [B que a cota do vértice não tem determinação imediata.

Os restantes dados obrigam-nos, assim, a recorrer a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. A aresta lateral [B BV] não é paralela a nenhum dos planos de projecção, pelo que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o que não constituiu obstáculo para a construção da projecção horizontal mas constitui, agora, para a construção da projecção frontal).

BV] em V.G. (com o recurso a um processo geométrico auxiliar) para, dessa forma, obter Assim, é necessário obter uma representação da aresta [B BV] – o plano α. Rebateu-se o plano α para o a projecção frontal do vértice. Optou-se pelo rebatimento do plano projectante horizontal da aresta [B Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f α), obtendo Br e a referência de Vr (obtida a partir do rebatimento de V1). Com o recurso ao compasso, BV]), determinou-se Vr. A partir de Vr, invertendo-se o rebatimento, determinou-se fazendo centro em Br e com 10 cm de raio (a medida da aresta [B V2 e a projecção frontal da pirâmide. Em seguida, pelos seis vértices da pirâmide conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide. Esta obtém-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (Continua na página seguinte) 504

SOLUÇÕES

(plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices da pirâmide, que se identificam por A3, B3, C3, D3, E3 e V3. Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral da pirâmide (o contorno aparente da projecção lateral), A3B3C3V3]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente lateral – os vértices D e E. Estes são que é a linha quebrada fechada [A AE], [D DE] e invisíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices de menor abcissa da pirâmide. Assim, as arestas [A CD], da base, são invisíveis mas estão ocultas por arestas da base que são visíveis. Ainda nesse sentido, as arestas laterais [D DV] e [E EV] são invi[C BV] é visível, pois B é o vértice de maior abcissa da base. síveis. A aresta lateral [B

972.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν, passando por A e B , é o plano horizontal (de nível) que A B CD]. Os dados do contém o quadrado [A enunciado permitem-nos apenas, de forma directa, construir as projecções do quadrado da base. Os restantes dados obrigamnos a recorrer a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinaç ã o d e Ve r d a d e i r a s G r a n d e z a s . A aresta B V] não é paralela a nenhum dos lateral [B planos de projecção, pelo que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α – o plano α é o plano projectante horizontal da face lateral A BV] (note que o plano α contém necessa[A BV]). Rebateu-se o plano riamente a aresta [B α para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f α), obtendo B r. Sabe-se que V tem 9 cm de cota (a pirâmide tem 7 cm de altura e assenta, pela base, num plano horizontal com 2 cm de cota) e está a 8 cm de B BV]), o que nos (o comprimento da aresta [B permite, em rebatimento, determinar V r – para tal desenhou-se uma linha paralela ao eixo X a 9 cm deste, para que V tenha 9 cm de cota, e, em seguida, com o compasso, fazendo centro em B r e com 8 cm de raio obteve-se Vr. Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções de V, o que nos permitiu, por fim, representar a pirâmide em Dupla Projecção Ortogonal. Para determinar a terceira projecção do sólido conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos cinco vértices do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide. Esta obtém-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices da pirâmide. Em seguida, desenhou-se o contorno aparente l a t e r a l da pirâmide (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada [A A 3B 3C3V3]. Existe um vértice que não integra o contorno aparente lateral – o vértice D. Este é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem), pois é o vértice de menor A D] e [C CD], da base, são invisíveis em projecção lateral mas estão ocultas por arestas da base que abcissa da pirâmide. Assim, as arestas [A DV] é invisível em projecção lateral. A aresta lateral [B BV] é visível em projecção lateral, são visíveis. Ainda nesse sentido, a aresta lateral [D pois B é o vértice de maior abcissa da base.

973.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν, passando por A e B, é o A BCD]. Os dados do enunciado permitem-nos apenas, de forma directa, construir as proplano horizontal (de nível) que contém o quadrado [A jecções do quadrado da base. Os restantes dados obrigam-nos a recorrer a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. Os dados que nos permitem dar sequência ao exercício têm a ver com a face lateral [A ADV] que, ao contrário das situações anteriores, não está contida em nenhum plano projectante – está contida num plano oblíquo. No entanto, é necessária a representação dessa face em V.G., para podermos concluir o exercício – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por ADV] para o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide – a charneira é a recta e, que é rebater o plano que contém a face lateral [A AD] e é a recta de intersecção do plano ADV com o plano ν (o plano da base). Ar ≡ A1 e Dr ≡ D1, pois A e D são a recta suporte do segmento [A ADV] em V.G., tendo em conta os dados – os lados [A AV] e [D DV] medem, ambos, 8 fixos (são pontos da charneira). Construiu-se o triângulo [A cm, o que nos permite determinar Vr. Para determinar as projecções de V inverteu-se o rebatimento, conduzindo, por Vr, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de V). Uma vez que é dado, também, que a BV] é de perfil, V1 é o ponto de concorrência entre a perpendicular à charneira que passa por Vr e a projecção horizontal da recta aresta lateral [B (Continua na página seguinte) 505

SOLUÇÕES

BV]. Este de perfil que é a recta suporte da aresta [B raciocínio permite-nos concluir a construção da projecção horizontal da pirâmide. Para concluir a inversão do rebatimento do plano que contém a ADV] é necessário o recurso ao triânface lateral [A gulo do rebatimento. Assim, por V1 conduziu-se uma paralela à charneira. Em seguida, com o recurso ao compasso, fazendo centro no ponto de concorrência da perpendicular à charneira com a própria charneira (o centro do arco do rebatimento de V), e raio até Vr, desenhou-se um arco até intersectar a paralela à charneira que passa por V1, obtendo-se Vr1. Construiu-se o triângulo do rebatimento em V.G. e determinou-se V2 em função da sua distância ao plano da base – o comprimento do V1Vr1] é a distância de V a ν, o plano da segmento [V base do sólido, o que nos permite determinar V2.

Em seguida, concluiu-se a construção da projecção frontal da pirâmide, assinalando a invisibilidade BV]). Para determinar existente (a da aresta lateral [B a terceira projecção do sólido conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos cinco vértices do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z). Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral da pirâmide (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada [B B3C3D3V3]. Existe um vértice que não integra o contorno aparente lateral – o vérA D] tice A. Este é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem), pois é o vértice de menor abcissa da pirâmide. Assim, as arestas [A A B], da base, são invisíveis em projecção lateral mas estão ocultas por arestas da base que são visíveis. Ainda nesse sentido, a aresta lateral e [A AV] é invisível em projecção lateral. A aresta lateral [C CV] é visível em projecção lateral, pois C é o vértice de maior abcissa da base.

[A

974.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto A, pelas suas projecções, e o plano θ, pelos seus traços e passando por A, em função dos dados.

A BCD] não se projecta em V.G. em nenhum Os dados permitiram-nos, ainda, determinar C2, a projecção frontal de C, sobre f θ. O quadrado [A dos planos de projecção, pois o plano θ (o plano que o contém) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano θ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hθ), obtendo A r e A C]), determinou-se Cr e, a partir de A r a referência de Cr. Com o compasso, fazendo centro em A r e com 8 cm de raio (a medida da diagonal [A e Cr, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Inverteu-se o rebatimento e determinaram-se as projecções do quadrado, bem como do seu centro. A recta p, ortogonal ao plano θ e passando por O (o centro do quadrado), é a recta suporte do eixo da pirâmide – V, o vértice da pirâmide, é um ponto da recta p. O dado que nos permite determinar as projecções de V refere-se ao ângulo que as arestas laterais do sólido fazem com o plano da base. Esse ângulo está contido num plano ortogonal ao plano da base – um plano que contenha a recta p e uma qualquer das quatro arestas laterais. O raciocínio exposto implicaria, em seguida, o rebatimento (por exemplo) desse plano, pois nenhum plano que contenha a recta p e uma das arestas laterais é paralelo a qualquer dos planos de projecção. Note, no entanto, que esse situação não se poria se uma das arestas laterais fosse frontal (de frente), pois redundaria na situação do exercício 670 (ver respectivo relatório). Uma forma de poder contornar o problema e diminuir, em muito, o grau de dificuldade de resolução do exercício e a quantidade de traçados a efectuar, é considerar uma superfície cónica tangente à superfície lateral da pirâmide ao longo das quatro arestas laterais do sólido (a superfície cónica circunscrita à pirâmide), que é uma superfície de revolução. Todas as geratrizes dessa superfície fazem, com o plano da base (ou da directriz), ângulos iguais. O vértice da pirâmide e dessa superfície cónica seria o mesmo. A vantagem dessa situação tem a ver com o facto de haver duas geratrizes dessa superfície que são frontais (de frente) – as geratrizes do contorno aparente frontal (ver exercício 670 e respectivo relatório).

Tr) é um extremo de uma das geratrizes do contorno aparente frontal dessa superfície cónica – Assim, o ponto T, determinado em rebatimento (T TV] é a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal dessa superfície. Note que T é o ponto mais à direita da circunferência a geratriz [T A BCD] e que seria, nesse caso, a directriz da superfície cónica. Inverteu-se o rebatimento do ponto T, determinando circunscrita ao quadrado [A (Continua na página seguinte) 506

SOLUÇÕES

a sua projecção frontal – T2 (note que não se determinou a sua projecção horizontal, por não ser necessária para a conclusão o exercício). Por T2 conduziu-se uma recta a 45o com o plano θ – note que, uma vez que se trata de uma recta frontal (de frente), o ângulo que a recta faz com o plano θ está contido num plano frontal (de frente) e, por isso, se projecta em V.G. no Plano Frontal de Projecção (ver exercício 297 e respectivo relatório). Essa recta é concorrente com a projecção frontal da recta p num ponto, que é V2 – a projecção frontal do vértice da pirâmide (que é o mesmo da superfície cónica). A partir de V2, determinou-se V1, a projecção horizontal do vértice, sobre p1, e concluiu-se a construção das projecções (horizontal e frontal) da pirâmide, assinalando devidamente as invisibilidades existentes (em projecção frontal).

Para determinar a terceira projecção do sólido conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos cinco vértices da pirâmide – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z). Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral da pirâmide (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada [A A 3D3C3V3]. Existe um vértice que não integra o contorno aparente lateral – o vértice B. Este é invisível (bem como A B] e [B B C], da base, são invisíveis todas as arestas que nele convergem), pois é o vértice de menor abcissa da pirâmide. Assim, as arestas [A BV]. A aresta lateral [D DV] é visível em projecção lateral, pois D é o vértice de maior abcissa da em projecção lateral, tal como a aresta lateral [B base.

975.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto O, pelas suas projecções, e o plano π, pelos seus traços e passando por O, em função dos dados. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar A 1, a projecção horizontal de A , sobre h π. O pentágono A B C D E ] não se projecta em [A V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano π (o plano que o contém) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção (Plano Frontal de Projecção e Plano Horizontal de Projecção). Note, no entanto, que o plano π é paralelo ao Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), pelo que o pentágono se projecta em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ ). Assim, é possível recorrermos à terceira projecção para construir as projecções do sólido. Por O conduziu-se uma recta projectante lateral e determinou-se O3, a projecção lateral de O, rebatendo o plano YZ sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). A circunferência circunscrita ao pentágono é tangente ao Plano Horizontal de Projecção, pelo que tem 4 cm de raio (a cota de O). Note que, na terceira projecção, a circunferência será tangente ao eixo X. Desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono e transportou-se, para a terceira projecção, a referência do ponto A , a partir do seu afastamento – A 3 é um ponto da circunferência, mas temos duas hipóteses (uma com maior cota e outra com menor cota). Uma vez que é dito, no enunciado, que B tem cota e afastamento inferiores a A , a única hipótese possível terá de ser a de (Continua na página seguinte) 507

SOLUÇÕES

maior cota. A partir da localização de A 3, construiu-se o pentágono em V.G., em projecção lateral, a partir da qual, invertendo o rebatimento do Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), foi possível determinar a projecção frontal e a projecção horizontal do polígono. A recta g, frontoDV]. Uma vez que a recta g é uma recta projectante lateral, é possível de-horizontal e passando por D, é a recta suporte da aresta lateral [D V3) e concluir, assim, a construção da terceira projecção da pirâmide. A dificuldade do exercício consiste, terminar a projecção lateral de V (V AV] faz com o precisamente, na determinação do vértice da pirâmide em Dupla Projecção Ortogonal. É dado o ângulo que a aresta lateral [A plano da base – esse ângulo não se projecta em V.G. (o plano que o contém não é paralelo a nenhum dos planos de projecção) e o raciocínio do exercício anterior não é aplicável nesta situação, por se tratar de uma pirâmide oblíqua. De facto, se considerássemos a superfície cónica circunscrita à pirâmide, não seria uma superfície de revolução (ao contrário da situação anterior), pelo que as geratrizes da superfície não fariam ângulos iguais com o plano da base. Assim, a única forma de resolver o exercício é recorrendo aos conteúdos do Capítulo 17, AV], neste caso) e referentes ao ângulo entre uma recta e um plano. Esse ângulo está contido num plano que contenha a recta (a aresta [A AV]. Esse plano contém o que seja ortogonal ao plano dado (o plano π) – trata-se, portanto, de um plano de rampa que contém a aresta [A ponto A (que é conhecido), o ponto V (que se desconhece) e contém rectas fronto-horizontais. A recta g, fronto-horizontal e passando por D, é a recta suporte da aresta [D DV], pelo que a recta g contém V – o plano de rampa contém, assim, a recta g e o ponto A (está definido por uma recta e um ponto exterior à recta). O plano não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Tendo em conta os poucos dados que possuímos, optou-se por rebater o plano para o plano horizontal (de nível) que contém a recta g – a recta g é a própria charneira do rebatimento e roda sobre si própria, pelo que se tem imediatamente g1 ≡ e1 ≡ gr.

O ponto A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância ao plano ν (a cota de A em relação a ν). Com vértice em A r e a partir de do plano da base da pirâmide, mediram-se os 50o, obtendo Vr sobre gr. V é um ponto da charneira, pelo que se tem V1 ≡ Vr, e a sua projecção frontal, V2, determina-se imediatamente sobre g2. A partir das projecções dos seis vértices do sólido, concluiu-se a representação do sólido em Dupla Projecção Ortogonal, atendendo às invisibilidades existentes. Note que a terceira projecção foi a primeira projecção a estar concluída.

976.

Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que conRST]). O plano ϕ’ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastatém a base de menor afastamento do prisma (o triângulo [R R’S’T’]). Em seguida, mento do prisma (o triângulo [R pelos seis vértices do prisma conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do prisma e definem a projecção lateral do prisma.

Esta obtém-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices do prisma, que se identificam por R 3, S3, T3, R’3, S’3 e T’3. Em seguida desenhou-se o contorno a p a r e n t e l a t e r a l do prisma (o contorno aparente da projecção lateral), que é a l i n h a q u e b r a d a f e c h a d a S3S’3T’3T3]. Existem dois vértices que não integram o [S contorno aparente lateral – os vértices R e R’. Estes são invisíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices de menor abcissa R S] e [R R T] (da base de do prisma. Assim, as arestas [R R’S’] e [R R’T’] (da menor afastamento) e as arestas [R base de maior afastamento), são invisíveis mas estão ocultas por arestas daquelas bases que são visíveis (em projecção lateral). Ainda nesse sentido, a aresta R R ’] é invisível. Note que, na presente situalateral [R ção, o contorno aparente lateral corresponde ao conS S’T’T]. Tal deve-se ao facto de torno da face lateral [S essa face ser a única face do sólido que é visível em projecção lateral.

508

SOLUÇÕES

977.

Em primeiro lugar representou-se o prisma, pelas suas projecções, em função dos dados.

O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do prisma (o triângulo A BC]). O plano ν’ é o plano horizontal (de nível) [A que contém a base superior do prisma (o triânA’B’C’]). Em seguida, pelos seis vértices gulo [A do prisma conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral do prisma. Esta obtém-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices do prisma, que se identificam por A3, B3, C3, A’3, B’3 e C ’ 3. Em seguida, desenhou-se o c o n t o r n o aparente lateral do prisma (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada [C C3C’3B’3A’3A3B3]. Todos os vértices do sólido integram o contorno aparente lateral. No BB’] é visível (e, projecentanto, a aresta lateral [B ção lateral), pois contém os vértices de maior abcissa do sólido. Note que, em projecção lateral, as duas bases são invisíveis (são projectantes AA’C’C] – as laterais), bem como a face lateral [A faces visíveis em projecção lateral são as faces AA’B’B] e [B BB’C’C].

[A

978.

A BCD], em função dos dados. Uma vez que se trata de um prisma regular, as Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do quadrado [A suas arestas laterais são projectantes horizontais, pelo que as projecções horizontais das duas bases estão coincidentes – a base superior é o A’B’C’D’], cuja projecção horizontal está coinciquadrado [A A BCD]. Apedente com a projecção horizontal do quadrado [A sar de já estar concluída a construção da projecção horizontal do prisma, note que não é possível construir directamente a sua projecção frontal, pois desconhece-se a altura do sólido – o dado que nos permite determinar a altura do prisma é o que se refere à medida das diagonais das faces laterais do sólido.

Os dados obrigam-nos a recorrer a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. Uma vez que nenhuma das faces laterais do prisma é paralela a qualquer dos planos de projecção, nenhuma das diagonais das faces se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Note que, tratando-se de um prisma regular, as suas faces laterais são rectângulos e são todas iguais, pelo que todas as diagonais das faces do sólido são iguais. Optou-se pelo rebatimento do plano α, o AA’B’B]. Rebateu-se o plano plano que contém a face lateral [A α para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f α), obtendo Ar e a referência de B’r (obtida a partir do rebatimento AB’] da face de B’1). Note que o exposto se refere à diagonal [A AA’B’B]. Com o recurso ao compasso, fazendo centro em A r [A e com 8 cm de raio (a medida das diagonais), obteve-se B’r.

A partir de B’r, inverteu-se o rebatimento, determinando-se B’2, o que nos permitiu saber a cota da base superior (e representar o plano horizontal que a contém – o plano ν) e concluir a construção da projecção frontal do sólido. Em seguida, (Continua na página seguinte) 509

SOLUÇÕES

pelos oito vértices do prisma conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do prisma e definem a projecção lateral do prisma. Esta obtém-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices do prisma. Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral do prisma A3A’3D’3C’3C3D3]. Existem dois vértices que não integram o con(o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada [A torno aparente lateral – os vértices B e B’. Estes são invisíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices de menor A B] e [B B C] (da base inferior) e as arestas [A A’B’] e [B B’C’] (da base superior), são invisíveis, mas estão abcissa do prisma. Assim, as arestas [A BB’] é invisível. A aresta lateral ocultas por arestas daquelas bases que são visíveis (em projecção lateral). Ainda nesse sentido, a aresta lateral [B DD’] é visível, pois contém os vértices de maior abcissa do prisma.

[D

979.

Em primeiro lugar representou-se o ponto A, pelas suas projecções, em função dos dados. Note que os dados do enunciado não nos permitem construir absolutamente nada, de forma imediata. De facto, os dados obrigam-nos a uma sequência de raciocínios encadeados (que têm a ver com a det e r m i n a ç ã o d e Ve r d a d e i r a s G r a n d e z a s), sem os quais não é possível a determinação das projecções do sólido. Como se trata de um prisma regular com bases horizontais (de nível), sabe-se imediatamente que as faces laterais estão contidas em planos verticais (projectantes horizontais). A partir das projecções do ponto A é possível conduzir o plano ν, horizontal (de nível), que contém a base inferior, e o plano α, vertical, que AA’B’B], pois ambos contém a face lateral [A os planos contêm o ponto A. O plano α faz, com o Plano Frontal de Projecção, um diedro de 30o (a.d.), que é o diedro que aquela face lateral faz com aquele plano de projecção.

Representou-se, ainda, o plano ν’, que é o plano que contém a base superior (que tem 7 cm de cota, que é a cota do vértice B’).

Note que existem poucos dados e nenhum deles se refere à medida do lado do quaA B CD]. Os dados do exercício refedrado [A A A ’ B ’ B], pelo que é através dela que será possível construir as projecções do sólido. O segmento [A A B ’] é rem-se, exclusivamente, à face [A A A ’ B ’ B] e mede 7 cm – o segmento [A A B ’] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois não é uma diagonal da face [A paralelo a nenhum dos planos de projecção. Nesse sentido, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatiAA’B’B] (e a diagonal [A AB’]) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi fα. Rebateu-se o mento do plano α, vertical, que contém a face [A plano α, obtendo A r. Sabe-se que B’ tem 7 cm de cota (pertence ao plano ν’) e está a 7 cm de A, o que nos permite, em rebatimento, determiAB’]) obteve-se B’r, sobre (ff ν’’). Invertendo o rebatinar B’r. Com o compasso, fazendo centro em A r e com 7 cm de raio (a medida da diagonal [A A 1B1] é a projecção horizontal de um lado do quadrado mento, obteve-se B1, a partir do qual já é possível construir o quadrado (note que [A A BCD], que se projecta em V.G. no Plano Horizontal de Projecção). A partir das projecções do quadrado [A A BCD], foi possível concluir a cons[A trução das projecções (horizontal e frontal) do prisma. Em seguida, pelos oito vértices do prisma conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do prisma e definem a projecção lateral do prisma. Esta obtém-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices do prisma. Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral do prisma (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada B3B’3C’3D’3D3C3]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente lateral – os vértices A e A’. Estes são invisíveis (bem como [B A B] e [A AD] (da base inferior) e as todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices de menor abcissa do prisma. Assim, as arestas [A A’B’] e [A A’D’] (da base superior), são invisíveis, mas estão ocultas por arestas daquelas bases que são visíveis (em projecção lateral). arestas [A AA’] é invisível. A aresta lateral [C CC’] é visível, pois contém os vértices de maior abcissa do prisma.

Ainda nesse sentido, a aresta lateral [A

510

SOLUÇÕES

980.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto A , pelas suas projecções, e o plano ϕ, pelo seu traço horizontal e passando por A , em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do prisma. Tal como no exercício anterior, os dados do enunciado não nos permitem construir absolutamente nada de forma imediata. De facto, os dados obrigam-nos a uma sequência de raciocínios encadeados (que têm a ver com a determinação de Ve r d a d e i r a s G r a n d e z a s), sem os quais não é possível a determinação das projecções do sólido. Note que é possível representar a direcção da projecção frontal da A A ’] (que é dada). Note que o ânaresta lateral [A A A ’] faz com gulo dado (o ângulo que a aresta [A os planos das bases) é o ângulo real, que existe no espaço e não tem correspondência em projecções – de acordo com os conteúdos estudados sobre ângulos entre rectas e planos, o ângulo que uma recta faz com um plano frontal (os planos das bases) está contido no plano projectante frontal da recta. Assim sendo, conduziu-se o plano projectante frontal da aresta (plano θ), que é um plano de topo. O ângulo está contido no plano θ e não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano θ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar, para obter o ângulo A A ’] faz com os planos das bases em verque [A dadeira grandeza. Optou-se pelo rebatimento do plano θ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hθ). Com vértice em A r mediu-se o ângulo de 45o a partir do traço horizontal A A ’]. Sobre esta mediram-se 7 cm (o comprimento da aresta [A A A ’]), obtendo-se A’r. Note do plano ϕ, obtendo a recta suporte da aresta [A que se atendeu que a aresta tem de se situar, na totalidade, no 1o Triedro, pelo que A’ teria de ter afastamento e cota superiores a A, pois A é o vértice inferior da base de menor afastamento do sólido e este situa-se no 1o Triedro. Invertendo-se o rebatimento, obtiveram-se as projecções de A’, o que nos permitiu determinar o plano da base de maior afastamento (o plano ϕ’) e, ainda, obter as projecções de C, o vértice oposto a A na base de menor afastamento – note que C2 ≡ A’2, pois A’ e C estão na mesma recta projectante frontal. A partir de A e C foi A B CD] e, a partir de A’, a construção do quadrado [A A’B’C’D’]. A partir das projecções possível a construção das projecções do quadrado [A dos dois quadrados, representou-se o sólido em Dupla Projecção Ortogonal atendendo-se às invisibilidades existentes. Para determinar a terceira projecção do sólido conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos oito vértices do prisma – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do prisma e definem a projecção lateral do sólido, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral do prisma (o contorno aparente da A 3D3C3C’3D’3A’3]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente lateral – projecção lateral), que é a linha quebrada fechada [A os vértices B e B’. Estes são invisíveis (bem como todas as arestas que nele convergem), pois são os vértices de menor abcissa do prisma.

A B] e [B B C], da base de menor afastamento, e as arestas [A A’B’] e [B B’C’], da base de maior afastamento, são invisíveis em Assim, as arestas [A BB’] também é invisível. A aresta lateral projecção lateral, mas estão ocultas por arestas daquelas bases que são visíveis. A aresta lateral [B DD’] é visível em projecção lateral, pois D e D’ são os vértices de maior abcissa das duas bases.

[D

511

SOLUÇÕES

981.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto O, pelas suas projecções, em funA B C] não se ção dos dados. O triângulo [A projecta em V.G., em nenhum dos planos de projecção (em Dupla Projecção Ortogonal), pois o plano YZ (o plano que o contém) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção (Plano Frontal de Projecção e Plano Horizontal de Projecção).

Note, no entanto, que o plano YZ é o próprio Plano de Perfil de Projecção, pelo que o triângulo está em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ). Assim, é possível recorrermos à terceira projecção para construir as projecções do polígono. Determinou-se O3, a projecção lateral de O, rebatendo o plano YZ sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z).

Com centro em O3 desenhou-se a projecção lateral da circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o triângulo em V.G., em projecção lateral, em função dos A B] do triângulo faz ângudados – o lado [A los de 45o com o Plano Horizontal de Projecção e o Plano Frontal de Projecção e A é o vértice de menor cota do triângulo e B o de menor afastamento. Invertendo o rebatimento do Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), foi possível determinar a projecção frontal e a projecção horizontal do polígono. Em seguida, uma vez que é A A ’ B ’ B] está condado que a face lateral [A tida num plano oblíquo ortogonal ao β1/3, e A B] faz parte dessa face e, uma vez que [A portanto, está contido numa recta desse plano, determinaram-se os traços frontal e horizontal da recta que passa por A e B – note que essa recta é pα, que é uma recta de perfil do plano α (com abcissa nula) e é o traço do plano α no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ ). Representou-se o plano α, ortogonal ao β1/3, que contém o A B ], tendo em conta que os segmento [A seus traços frontal e horizontal fazem ângulos de 30o (a.e.) com o eixo X (planos A A ’ B ’ B] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de ortogonais ao β1/3 têm os seus traços simétricos em relação ao eixo X). A face [A projecção, pois o plano que a contém (o plano α) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hα), de forma a ser possível AA’B’B] em V.G., em rebatimento. O ponto que nos permitiu rebater f α foi o ponto F, que é o ponto de concorrência de f α construir a face [A H é o traço horizontal de pα e é fixo, pois é um ponto da com pα (é o traço frontal da recta de perfil pα) – pαr fica definido por Fr e por Hr (H charneira). Os pontos A e B rebateram-se conduzindo, por A 1 e B 1, as perpendiculares à charneira que por eles passam – os pontos de inA A ’ B ’ B], em V.G. (em rebatersecção dessas perpendiculares à charneira com pαr são A r e B r. A partir de A r e B r, construiu-se o quadrado [A timento), que se situa no 1o Triedro, obtendo-se os outros dois vértices da face lateral em rebatimento – A’r e B’r. Inverteu-se o rebatimento, recorrendo às rectas frontais (de frente) que passam por A’ e por B’, obtendo-se as projecções de A’ e de B’ – estas permitiram-nos, ainda, determinar os traços do plano de perfil que contém a base mais à esquerda do sólido (o plano π). A partir das projecções de A’ e de B’ foi possível determinar, também, a direcção das arestas laterais do prisma em projecções, o que nos permitiu determinar as projecções do terA ’ B ’ C ’] ceiro vértice da base mais à esquerda – C’. Representou-se então o prisma em Dupla Projecção Ortogonal. Pelos vértices da base [A A’B’C’], no rebatimento conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam e determinou-se a projecção lateral do triângulo [A previamente efectuado do Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção. A partir das projecções laterais dos A 3A’3C’3B’3B 3]. O único vértice que não integra o contorno apaseis vértices do prisma, desenhou-se o contorno aparente lateral, que é [A rente lateral é C, que é invisível em projecção lateral, pois é um dos vértices de menor abcissa – C é invisível em projecção lateral, bem A’B’C’] é necessariamente visível, por ser a base de maior abcissa, enquanto que a como todas as arestas que nele convergem. A base [A A B C] é invisível, por ser a base de menor abcissa. Nesse sentido, a aresta [A A’B’], da base [A A’B’C’], é visível. base [A

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SOLUÇÕES

982.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto A, pelas suas projecções, e o plano ν (o plano horizontal que contém a base inferior), pelo seu traço frontal e passando por A, em função dos dados. Note que os dados do enunciado não nos permitem construir absolutamente nada, de forma imediata, pois nem sequer nos é dada a medida do lado do hexágono da base. De facto, os dados obrigam-nos a uma sequência de raciocínios encadeados (que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas), sem os quais não é possível a determinação das projecções do sólido. Como se trata de um prisma regular com bases horizontais (de nível), sabe-se imediatamente que as faces laterais estão contidas em planos verticais (projectantes horizontais). A partir das projecções do ponto A é possível representar o plano α, vertical, que AA’B’B], pois o plano contém o ponto A. O plano α faz, com o Plano Frontal de Projecção, um diedro de 45o (a.d.), que é contém a face lateral [A AA’B’B], pelo que o diedro que aquela face lateral faz com aquele plano de projecção. Os dados do exercício referem-se exclusivamente à face [A AB’], é uma diagonal da face [A AA’B’B], mede 5 cm e faz será através dela que será possível construir as projecções do sólido. O segmento [A AB’] nem o ângulo que o segmento [A AB’] faz com os planos das bases (que está ângulos de 45o com os planos das bases – nem o segmento [A contido no plano α) se projectam em V.G., em qualquer dos planos de projecção, pois o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção. Nesse sentido, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Note que o ângulo dado (o ângulo que a diagonal A B ’] faz com os planos das bases) é o ângulo real, que existe no espaço e não tem correspondência em projecções – de acordo com os [A conteúdos estudados sobre ângulos entre rectas e planos, o ângulo que uma recta faz com um plano horizontal (os planos das bases) está contido no plano projectante horizontal da recta, que é o plano α. Optou-se pelo rebatimento do plano α (o plano que contém a face AA’B’B] e a diagonal [A AB’]) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f α. Rebateu-se o plano α, obtendo A r. Com vértice em A r [A A B ’]. Sobre esta mediram-se 5 cm mediu-se o ângulo de 45o a partir do traço frontal do plano ν, obtendo a recta suporte da diagonal [A AB’]), obtendo-se B’r. Note que se atendeu a que a diagonal tem de se situar, na totalidade, no 1o Triedro, pelo (o comprimento da diagonal [A que B’ teria de ter afastamento e cota superiores a A. Invertendo-se o rebatimento, obtiveram-se as projecções de B’, o que nos permitiu determinar o plano da base superior (o plano ν’). Uma vez que se trata de um prisma regular e as suas bases são horizontais (de nível), sabe-se imediatamente que as suas arestas laterais são verticais (projectantes horizontais), pelo que se tem B1 ≡ B’1. Este dado permitiu-nos construir o hexágono da base inferior e, em seguida, concluir a construção das projecções do sólido (projecção horizontal e projecção frontal). Para determinar a projecção lateral do prisma conduziram-se as rectas projectantes laterais que por passam pelos doze vértices do sólido (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do prisma e definem a projecção lateral do prisma, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). Em seguida desenhou-se o contorno aparente lateral do prisma (o contorno A 3A’3F’3E’3D’3D3E3F3]. Existem quatro vértices que não integram o contorno aparente lateral – os véraparente da projecção lateral), que é [A tices B, B’, C e C’. Estes são invisíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices de menor abcissa do prisma.

Assim, as arestas das bases que neles convergem são invisíveis, mas estão ocultas por arestas daquelas bases que são visíveis (em projecção BB’] e [C CC’] são invisíveis. As arestas laterais [F FF’] e [E EE’] são visíveis, pois contêm os vértices lateral). Ainda nesse sentido, as arestas laterais [B de maior abcissa do prisma.

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SOLUÇÕES

983.

Em primeiro lugar representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto A, pelas suas projecções e pertencente ao plano, em função dos A B CD] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano γ (o plano que o contém) não é paradados. O quadrado [A lelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano γ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f γ), obtendo A r. Com o compasso, fazendo centro em A r e com 7 cm de raio (a medida da A C]), determinou-se Cr sobre hγr (note que C é um ponto com cota nula, pelo que pertence a hγ), garantindo que C tenha afastadiagonal [A Cr situa-se mais próximo de f γr do que A r). A partir de A r e Cr, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Invermento inferior a A (C teu-se o rebatimento e determinaram-se as projecções do quadrado. A dificuldade do exercício consiste, precisamente, na determinação da altura do prisma, pois apenas é dado o comprimento das diagonais espaciais – estas não se projectam em V.G. em qualquer dos planos de projecção (Plano de Perfil de Projecção incluído), pois não são paralelas a nenhum dos planos de projecção. É necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano que contém uma diagonal espacial qualquer – escolheu-se a diagonal AC’]. A aresta lateral [C CC’] está contida numa recta ortogonal ao plano γ – é uma recta horizontal (de nível) h, com cota nula, cuja espacial [A projecção horizontal é perpendicular a hγ. O vértice C’ é o ponto da recta h que dista 10 cm (o comprimento das diagonais espaciais) do vértice A (o vértice espacialmente oposto a C’). O plano que contém essa diagonal está definido por uma recta (a recta h) e por um ponto exterior à recta (o ponto A ). Rebateu-se esse plano para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi a própria recta h (recta e’), pelo que se tem imediatamente h1 ≡ e’1 ≡ hr. O ponto A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua cota. A r 1 é o ponto A no seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido por A e pela recta h. Com o compasso, fazendo centro em A r 1 e com 10 cm de raio (o comprimento das diagonais espaciais), determinou-se C’r sobre hr. C’ é um ponto da charneira, pelo que se tem C’1 ≡ C’r. A sua projecção frontal, C’2, determina-se imediatamente sobre h2 (situa-se no eixo X). Por C1 conduziu-se o plano α, o plano que contém a outra base do sólido – o plano α está representado, apenas, pelo seu traço horizontal, razão pela qual aquele se assinalou entre parêntesis. Em seguida conduziA B CD], as rectas suporte das respectivas arestas laterais e determinaram-se os restantes vérram-se, pelos restantes vértices do quadrado [A A’B’C’D’], pela intersecção entre rectas não projectantes (as rectas suporte das arestas laterais) e um plano projectante tices da base [A horizontal (o plano α), concluindo-se a construção das projecções do sólido (projecção horizontal e projecção frontal). Para determinar a projecção lateral do prisma conduziram-se as rectas projectantes laterais que passam pelos oito vértices do sólido (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do prisma e definem a projecção lateral do prisma, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). Em seguida desenhou-se o contorno aparente lateral do prisma (o contorno aparente da A3A’3B’3C’3C3D3]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente lateral – os vértices B e D’. O vértice B projecção lateral), que é [A é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem), pois é o vértice de menor abcissa do prisma. O vértice D’ é visível (bem como todas as arestas que nele convergem), pois é o vértice de maior abcissa do prisma.

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SOLUÇÕES

984.

Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Os dados do enunciado permitiram-nos, ainda, determinar a projecção horizontal de C’ – C’1. Uma vez que o cubo tem faces contidas em planos horizontais (de nível), as arestas do cubo que não são horizontais (de nível) são verticais (projectantes horizontais) – este raciocínio permite-nos determinar a projecção horizonC1), que é o vértice do quadrado [A A B CD] que é tal de C (C oposto a A – C1 ≡ C’1. A partir de A 1 e C1 construiu-se a projecção horizontal do quadrado e determinaram-se as projecções frontais de todos os seus vértices (que se situam no A B CD] está contido no Plano Horieixo X, pois o quadrado [A zontal de Projecção). A partir da construção do quadrado, já se sabe a medida da aresta do cubo (que é igual ao comprimento do lado do quadrado), o que nos permitiu determinar a cota do plano ν (o plano horizontal que contém a face superior) e representar o plano pelo seu traço frontal. Em seguida, concluiu-se a construção das projecções (frontal e horizontal) do cubo, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes. Para determinar a projecção lateral do cubo conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos oito vértices do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do cubo e definem a projecção lateral do sólido, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral do A3A’3B’3C’3C3B3]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente lateral – cubo (o contorno aparente da projecção lateral), que é [A os vértices D e D’. Estes são invisíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices de menor abcissa do cubo.

AD] e [C CD], da face [A A BCD], e as arestas [A A’D’] e [C C’D’], da face [A A’B’C’D’], são invisíveis em projecção lateral, mas estão Assim, as arestas [A DD’] também é invisível. A aresta lateral [B BB’] é visível em projecção lateral, pois B ocultas por arestas daquelas faces que são visíveis. A aresta [D e B’ são os vértices de maior abcissa do cubo.

985.

Em primeiro lugar representaram-se o plano ϕ (o plano A BCD]), pelo seu traço horifrontal que contém a face [A zontal, e o ponto A, pelas suas projecções e pertencente ao plano ϕ, em função dos dados. O plano ϕ’, que dista 6 cm (o comprimento da aresta do cubo, que é igual ao A BCD]) do plano ϕ, é o plano frontal lado do quadrado [A (de frente) que contém a face de maior afastamento do cubo. É possível concluir, de forma imediata, que A é um extremo da aresta do cubo que pertence ao Plano Horizontal de Projecção (plano XY), que é necessariamente uma aresta de topo (ortogonal aos planos ϕ e ϕ’). Essa aresta está necessariamente contida no traço horizontal do plano θ, de topo, o plano que contém a face que faz o diedro de 30o (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Representou-se o plano θ pelos seus traços, o que A B], que está connos permitiu determinar o segmento [A tido em θ e em ϕ (pertence à recta de intersecção dos A B] projecta-se em V.G. no Plano Frontal dois planos) – [A de Projecção, o que nos permitiu construir a projecção A BCD] e, a partir deste, construir frontal do quadrado [A as duas projecções do sólido (projecção frontal e projecção horizontal). Para determinar a projecção lateral do cubo conduziram-se as rectas projectantes laterais que passam pelos oito vértices do sólido (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do cubo e definem a projecção lateral do sólido, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral do cubo (o contorno aparente da A3A’3B’3C’3C3B3]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente lateral – os vértices D e D’. Os vértices D projecção lateral), que é [A AD] e e D’ são invisíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices de menor abcissa do cubo. Assim, as arestas [A CD], da face [A A BCD], e as arestas [A A’D’] e [C C’D’], da face [A A’B’C’D’], são invisíveis em projecção lateral, mas estão ocultas por arestas daquelas [C DD’] também é invisível. A aresta lateral [B BB’] é visível em projecção lateral, pois B e B’ são os vértices de maior faces que são visíveis. A aresta [D abcissa do cubo.

515

SOLUÇÕES

986.

Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Note que os dados do enunciado não nos permitem construir absolutamente nada, de forma imediata. Os dados fornecidos implicam o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. De facto, os dados obrigam-nos a uma sequência de raciocínios encadeados, sem os quais não é possível a determinação das projecções do sólido. Como se trata de um cubo com faces horizontais (de nível), sabe-se imediatamente que as outras faces do sólido estão contidas em planos projectantes horizontais – é dado, aliás, A B CD] está contida num plano vertical que a face [A que faz um diedro de 45o (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção (o ângulo que a projecção horizontal da A C ] do quadrado faz com o eixo X ). diagonal [A A partir das projecções do ponto A é possível, então, conduzir o plano α, vertical, que contém a face A B CD]. Note que o ângulo dado (o ângulo que a [A A C] faz com o Plano Horizontal de Projecdiagonal [A ção) é o ângulo real, que existe no espaço e não tem correspondência em projecções – de acordo com os conteúdos estudados sobre ângulos entre rectas e planos, o ângulo que uma recta faz com um plano horizontal (o Plano Horizontal de Projecção) está contido no plano projectante horizontal da recta, que é, neste caso, o plano α. O ângulo dado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano que o contém (o plano α) não é paralelo a nenhum A C], que mede 7 cm, não se projecta em V.G em nenhum dos planos dos planos de projecção. De forma semelhante, também a diagonal [A de projecção, pois não é paralela a nenhum dos planos de projecção. Assim, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar – A C]) para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f α). optou-se pelo rebatimento do plano α (que contém o ângulo dado e a diagonal [A A C].

Rebateu-se o plano α, obtendo A r. Com vértice em A r mediu-se o ângulo de 45o a partir de hαr, obtendo a recta suporte do segmento [A A C]), obtendo-se Cr. Note que se atendeu que a aresta tem de se situar, na totaliSobre esta mediram-se 7 cm (o comprimento da diagonal [A A B CD] em dade, no 1o Triedro, pelo que C teria de ter afastamento e cota superiores a A . A partir de A r e de Cr, construiu-se o quadrado [A V.G., em rebatimento. Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projecções de B, C e D, o que nos permitiu determinar, também, o plano da A B CD], concluiu-se a representação do cubo em Dupla Projecção face superior do cubo (o plano ν’). A partir das projecções do quadrado [A Ortogonal – ver exercício 983 e respectivo relatório. Para determinar a projecção lateral do cubo conduziram-se as rectas projectantes laterais que por passam pelos oito vértices do sólido (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do cubo e definem a projecção lateral do sólido, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). Em seguida, deseA 3B 3B’3C’3D’3A’3]. Existem dois vértices nhou-se o contorno aparente lateral do cubo (o contorno aparente da projecção lateral), que é [A que não integram o contorno aparente lateral – os vértices C e D. Estes são invisíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices de menor abcissa do cubo. No entanto, todas as arestas do cubo que convergem naqueles dois vértices (e são invisíveis) estão ocultas por arestas do cubo que são visíveis, pelo que, em projecção lateral, não há qualquer invisibilidade a assinalar. Note que em projecção frontal se tem uma situação semelhante, pois também não há qualquer invisibilidade a assinalar em projecção frontal – todas as arestas do sólido que são invisíveis em projecção frontal, estão ocultas por arestas que são visíveis em projecção frontal.

987.

A B C]), pelo seu traço frontal Em primeiro lugar representaram-se o ponto O, pelas suas projecções, e o plano ν (o plano que contém a face [A A B C], em função dos dados (o lado e contendo o ponto O, em função dos dados. Em seguida, construíram-se as projecções do triângulo [A A C] é de topo e o vértice B é o de maior abcissa), a partir da qual se obteve a projecção horizontal do sólido. Note que um tetraedro toma a [A A B C] do sólido é horizontal (de nível), o vértice D (o quarto forma aparente de uma pirâmide triangular regular, pelo que, uma vez que a face [A vértice do sólido) situa-se na mesma projectante horizontal de O, pelo que se tem imediatamente D1 ≡ O1. Este raciocínio permite-nos concluir a construção da projecção horizontal do tetraedro. Para a construção da projecção frontal do tetraedro é necessário ter presente que se trata de um poliedro regular, cujas faces são todas iguais (são triângulos equiláteros), pelo que todas as suas arestas também são iguais.

A B], [B B C] e [A A C] projectam-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção, pois são segmentos de recta horizontais (de nível).

As arestas [A Observando atentamente o sólido e a sua posição, constata-se que existe uma única aresta que se projecta em V.G. no Plano Frontal de BD], por ser frontal (de frente). Assim, com o recurso ao compasso, fazendo centro em B 2 e com raio igual à medida Projecção – a aresta [B A B C], obteve-se D2 na linha de chamada de D1, o que nos permitiu construir a projecção frontal do sólido. Para dedos lados do triângulo [A terminar a projecção lateral do tetraedro conduziram-se as rectas projectantes laterais que passam pelos quatro vértices do sólido (rectas (Continua na página seguinte) 516

SOLUÇÕES

fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano Y Z ) são as projecções laterais dos vértices do tetraedro e definem a projecção lateral do sólido, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lat e r a l do tetraedro (o contorno aparente da projecção lateral), que é A 3 B 3 C 3 D 3 ]. Note que, [A todos os vértices do sólido integram o contorno aparente lateral. A única aresta invisível do sólido A C] da face é a aresta [A A B C], mas está oculta [A A B] e pelas arestas [A B C ] daquela face. To[B das as restantes arestas são visíveis. Por fim determinaram-se os traços do plano α, o plano que A B D] do contém a face [A BD] condusólido. Por [B BD]), e determinaram-se os seus traços horizontal (H H) e lateziu-se uma recta f, frontal (de frente), do plano (que é a recta suporte da aresta [B P). Por [A A B] conduziu-se uma recta h, horizontal (de nível), do plano (que é a recta suporte da aresta [A A B]), e ral no plano de perfil (P F) e lateral no plano de perfil (P P’). Em seguida, desenharam-se os traços de α – f α passa por F e é determinaram-se os seus traços frontal (F paralelo à recta f (rectas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma recta frontal do plano com afastamento nulo); hα passa por H, é paralelo a h (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula) e é concorrente com f α no eixo X; pα (o traço do plano α no Plano de Perfil de Projecção – plano YZ) passa por P e por P’ e é concorrente com f α no eixo Z (num ponto que se situa fora dos limites do papel) e com hα no eixo Y (no ponto M).

988.

Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se as projecções do A B] (que se projecta em V.G. nos dois planos de projecção, pois é paralelo a ambos), representou-se o plano ϕ (o plano frontal segmento [A A B C]. A partir das projecções do triângulo que contém o triângulo), pelo seu traço horizontal e construíram-se as projecções do triângulo [A A B C], construiu-se a projecção frontal do sólido. Note que um tetraedro toma a forma aparente de uma pirâmide triangular regular, pelo [A A B C] do sólido é frontal (de frente), o vértice D (o quarto vértice do sólido) situa-se na mesma projectante frontal que, uma vez que a face [A de O, pelo que se tem imediatamente D2 ≡ O2. Este raciocínio permite-nos concluir a construção da projecção frontal do tetraedro. Para a construção da projecção horizontal do tetraedro é necessário ter presente que se trata de um poliedro regular, cujas faces são todas iguais A B], [B B C] e [A A C] projectam-se em V.G. no (são triângulos equiláteros), pelo que todas as suas arestas também são iguais. As arestas [A Plano Frontal de Projecção, pois são segmentos de recta frontais (de frente). Observando atentamente o sólido e a sua posição, constata-se CD], por ser de perfil (é paque não existe qualquer aresta que se projecte em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. No entanto, a aresta [C ralela ao Plano de Perfil de Projecção – plano YZ), projecta-se em V.G. no Plano de Perfil de Projecção. Assim, tal como em situações anteriores (exercícios 975 e 981, por exemplo), a construção das projecções do sólido processa-se a partir da sua projecção lateral. Assim, A B C], conduzindo, pelos três vértices do triângulo e pelo seu centro (o ponto O), as rectas determinou-se a projecção lateral do triângulo [A projectantes laterais que por eles passam (rectas fronto-horizontais) e rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano (Continua na página seguinte) 517

SOLUÇÕES

CD], por ser de perfil, Frontal de Projecção. A aresta [C projecta-se em V.G. no Plano de Perfil de Projecção – com o compasso, fazendo centro em C3 e com raio igual à A B C], obteve-se D3 na medida dos lados do triângulo [A paralela ao eixo X que passa por D2, o que nos permitiu construir a projecção lateral do sólido. Invertendo o rebatimento, determinou-se a projecção horizontal de D e concluiu-se a construção da projecção horizontal do sólido. Note que, caso não se recorresse à terceira proA D], [B B D] e jecção, há que ter em conta que as arestas [A CD] são todas oblíquas ao Plano Horizontal de Projec[C ção, o que nos obrigaria ao recurso a um processo geométrico auxiliar – o rebatimento do plano projectante frontal de uma qualquer daquelas arestas, por exemplo.

A 3 C 3 D3], que corresO c o n t o r n o a p a r e n t e l a t e r a l é [A ponde ao contorno da única face visível em projecção lateral. O vértice B, que não integra o contorno aparente lateral, é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem, por ser o vértice de menor abcissa do sólido. No entanto, todas as arestas invisíveis estão ocultas por arestas visíveis, pelo que não existe qualquer invisibilidade a assinalar em projecção lateral.

989.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, e o plano π (o plano de perfil que A B C] do sólido), pelos seus traços e concontém a face [A tendo aqueles pontos, em função dos dados. O triângulo A B C] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de [A projecção (Plano Frontal de Projecção e Plano Horizontal de Projecção), pois o plano que o contém (o plano π) não é paralelo a nenhum daqueles planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. No entanto, atendendo a que o plano π é paralelo ao Plano de Perfil de Projecção (plano YZ ), sabe-se que o triângulo A B C] se projecta em V.G. no Plano de Perfil de Projecção.

[A Assim, é possível construir a projecção lateral do triângulo e, a partir desta, determinar as suas projecções frontal e horizontal (à semelhança do efectuado nos exercícios 975 e 981). Assim, por A e B conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (rectas fronto-horizontais) e deA 3 e B3), rebatenterminaram-se as suas projecções laterais (A do o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção a charneira foi o eixo Z). A partir de A 3 e de B3, construiu-se o triângulo em V.G., em projecção lateral, e determinou-se C3, a projecção lateral do vértice C. Uma vez que um tetraedro toma a forma aparente de uma pirâmiA BC] do sóde triangular regular, e atendendo a que a face [A lido é de perfil, o vértice D (o quarto vértice do sólido) situa-se na mesma projectante lateral de O (uma recta fronto-horizontal), pelo que se tem imediatamente D3 ≡ O3. Este raciocínio permite-nos concluir a construção da projecção lateral do tetraedro.

A3B3C3], que corresponde ao contorno da única face visível em projecção lateral. O vértice D, que não integra O contorno aparente lateral é [A o contorno aparente, é o vértice de menor abcissa do sólido (situa-se à direita do plano da base), pelo que é invisível (em projecção lateral), bem como todas as arestas que nele convergem. Invertendo o rebatimento do Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), é possível determinar as projecções (horizontal e frontal) do vértice C, mas não do vértice D. Em seguida, temos o problema da V.G. das arestas, constatando-se a impossibilidade de resolver o exercício com o recurso a um plano projectante que contenha qualquer das arestas, uma vez que não é conheciAD], [B BD] e [C CD]. Assim sendo, optou-se por um procedimento idêntico da a direcção de nenhuma das projecções de nenhuma das arestas [A ao exposto na resolução do exercício 973 – o rebatimento do plano que contém uma face do sólido, que será necessariamente um plano não (Continua na página seguinte) 518

SOLUÇÕES

projectante (um plano oblíquo). Acontece que esse rebatimento terá de ser efectuado para o plano de perfil π, e não para qualquer dos planos de projecção, em função dos poucos elementos que possuímos para definir esse plano. Rebateu-se o plano que contém a face lateral B CD] para o plano de perfil π que contém o triângulo [A A B C]. A charneira é a recta de intersecção dos dois planos é uma recta de perfil [B B CD], em rebatimento, se projecta em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), pois (recta e) que passa por B e C. Note que a face [B é rebatida para um plano paralelo ao Plano de Perfil de Projecção. Assim, toda a construção do rebatimento se processa em terceira projecB CD], em rebatimento, é um triângulo equilátero, ção. A recta e3 é a projecção lateral da charneira do rebatimento (recta e). A face lateral [B A B C]. O triângulo [A A r3B r3Cr3] é a projecção lateral do rebatimento que se efectuou sobre π. Para invergeometricamente igual ao triângulo [A ter o rebatimento conduziu-se, por Dr3, uma perpendicular à charneira até D3, por onde se conduziu uma paralela à charneira. Com centro no ponto de intersecção da charneira com a perpendicular à charneira que passa por Dr3 e raio até Dr3, desenhou-se um arco de circunferência até à paralela à charneira que passa por D3, obtendo-se o triângulo do rebatimento de D em V.G., que nos permite saber a distância de D ao plano da base – foi essa distância que nos permitiu obter as projecções de D e as projecções do sólido. Um outro processo de resolução, bastante mais simples ao nível dos raciocínios e económico ao nível dos traçados a efectuar, é semelhante ao exposto no relatório do exercício 974. Esse processo consiste em considerar uma superfície cónica tangente à superfície lateral do tetraedro ao longo das aresA D], [B BD] e [C CD] do sólido (a superfície cónica circunscrita ao tetraedro), que é uma superfície de revolução. Todas as geratrizes destas [A A D], [B BD] e [C CD] seriam três sa superfície têm o mesmo comprimento, que é o comprimento das arestas do tetraedro (note que as arestas [A geratrizes dessa superfície). O vértice D do tetraedro, seria o vértice dessa superfície cónica. A vantagem dessa situação tem a ver com o facto de haver duas geratrizes dessa superfície que seriam frontais (as geratrizes do contorno aparente frontal) e duas geratrizes dessa superfície que seriam horizontais (as geratrizes do contorno aparente horizontal). Qualquer dessas quatro geratrizes se projectaria em V.G. numa das suas projecções – as geratrizes do contorno aparente frontal projectar-se-iam em V.G. no Plano Frontal de Projecção e as geratrizes do contorno aparente horizontal projectar-se-iam em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. Assim, desenhando a projecção lateral da A B C], seria possível obter as projecções de qualquer dessas geratrizes – as geratrizes do contorno circunferência circunscrita ao triângulo [A aparente frontal conteriam os pontos de maior e de menor cota da circunferência e as geratrizes do contorno aparente horizontal conteriam os pontos de maior e de menor afastamento da circunferência. Determinando as projecções de qualquer desses pontos, seria possível desenhar a geratriz correspondente, em função da sua V.G. (na projecção respectiva), seria possível determinar o ponto D, sobre a frontoB CD] (ou outra -horizontal que passa por O. Este raciocínio, como se pode constatar, evitaria o rebatimento do plano que contém a face [B face qualquer) e a necessidade de o efectuar em terceira projecção.

990.

Em primeiro lugar representou-se o ponto Q, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, representou-se o cone em Dupla Projecção Ortogonal. Para determinar a projecção lateral do cone conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam por V e pelos pontos de maior e de menor afastamento da base do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais daqueles pontos e definem a projecção lateral do cone, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). A projecção lateral do cone é, à semelhança da sua projecção frontal, um triângulo. Note que as geratrizes do contorno aparente frontal são, nesta situação, as geratrizes frontais (mais especificamente, as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor abcissa da base), enquanto que as geratrizes do contorno aparente lateral são, nesta situação, as geratrizes de perfil (mais especificamente, as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor afastamento da base).

519

SOLUÇÕES

991.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos Q e V, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, representou-se o cone em Dupla Projecção Ortogonal, respeitando as invisibilidades existentes (em projecção horizontal) – a base é invisível em projecção horizontal. Note que as geratrizes do contorno aparente horizontal foram determinadas rigorosamente, através da construção que nos permite determinar as rectas tangentes a uma circunferência (a base do cone) que passam por um ponto exterior (que, neste caso, é V1). Para determinar a projecção lateral do cone conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam por V e pelos pontos de maior e de menor afastamento da base do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais daqueles pontos e definem a projecção lateral do cone, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z ). A projecção lateral do cone é, à semelhança da sua projecção frontal, um triângulo. Ao contrário da situação anterior, as geratrizes do contorno aparente frontal não são as geratrizes frontais, mas são, ainda, as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor abcissa da base. Também, no que respeita às geratrizes do contorno aparente lateral, estas não são, nesta situação, as geratrizes de perfil (ao contrário da situação anterior), mas são, ainda, as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor afastamento da base. Note que, em projecção horizontal, não é necessária a representação das geratrizes dos contornos aparentes frontal e lateral. Da mesma forma, em projecção frontal não é necessária a representação das geratrizes dos contornos aparentes horizontal e lateral, tal como em projecção lateral não é necessária a representação das geratrizes dos contornos aparentes horizontal e frontal. Note que, nesta situação, atendendo a que o vértice do cone e o ponto de menor afastamento da base têm ambos 2 cm de afastamento, a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal é frontal (de frente) e é, também, a geratriz de menor afastamento do contorno aparente lateral.

992.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e V, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, representou-se o cone em Dupla Projecção Ortogonal, respeitando as invisibilidades existentes (em projecção frontal) – a base é invisível em projecção frontal. Note que as geratrizes do contorno aparente frontal foram determinadas rigorosamente, através da construção que nos permite determinar as rectas tangentes a uma circunferência (a base do cone) que passam por um ponto exterior (que, neste caso, é V2). Para determinar a projecção lateral do cone conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam por V e pelos pontos de maior e de menor cota da base do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ ) são as projecções laterais daqueles pontos e definem a projecção lateral do cone, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). A projecção lateral do cone é, à semelhança da projecção horizontal, um triângulo. Note que as geratrizes do contorno aparente horizontal n ã o s ã o as geratrizes horizontais, (Continua na página seguinte) 520

SOLUÇÕES

mas, sim, as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor abcissa da base. No que respeita às geratrizes do contorno aparente lateral, estas não são as geratrizes de perfil, mas sim, as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor cota da base. Uma vez que no enunciado são expressamente pedidas as projecções horizontal e frontal das geratrizes do contorno aparente lateral, estas identificaram-se correctamente – são as geratrizes g e g’, definidas pelo vértice V e pelos pontos A e B da base (os pontos de maior e menor cota da base). A geratriz g está definida por V e A e é visível em projecção frontal e invisível em projecção horizontal (em projecção horizontal está oculta pela geratriz g’). A geratriz g’ está definida por V e B e é visível em projecção horizontal e invisível em projecção frontal (só é invisível a parte da geratriz que está oculta pelo sólido).

993.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto A , pelas suas projecções, e o plano ν (o plano horizontal que contém a base do sólido), pelo seu traço frontal e contendo o ponto A, em função dos dados. Os dados do exercício permitem--nos, de forma imediata, construir a projecção frontal do cone. De facto, sabendo que a base é tangente ao Plano Frontal de Projecção em A e tem 4 cm de raio, o seu centro, o ponto O tem AV] é de perfil, V tem a mesma abcissa de A, e, a mesma abcissa de A e tem 4 cm de afastamento. Por outro lado, uma vez que a geratriz [A como V tem cota nula, é possível localizar imediatamente a sua projecção frontal, o que nos permite concluir a projecção frontal do sólido.

AV] mede O mesmo não acontece com a projecção horizontal, pois não nos é dado o afastamento de V. Sabe-se, no entanto, que a geratriz [A 14 cm e, como se trata de uma geratriz de perfil, sabe-se também que ela se projecta em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ).

Assim sendo, à semelhança do efectuado no exercício 988, esta é mais uma situação em que é conveniente construir as três projecções do sólido em simultâneo. Para determinar a projecção lateral do cone conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos pontos de maior e de menor afastamento da base do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais daqueles pontos e definem a projecção lateral da base do cone, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). A projecção lateral do cone será, à semelhança da projecção frontal, um triângulo. Com o recurso ao compasso, fazendo centro em A 3 e com 14 cm de AV]), determinou-se V3 sobre o eixo X (V V tem cota nula), o que nos permitiu concluir a terceira projecção do raio (o comprimento da geratriz [A cone. A distância de V3 ao eixo Z é o afastamento de V. Em seguida, invertendo o rebatimento do Plano de Perfil de Projecção, obteve-se V1, o que nos permitiu concluir a projecção horizontal do sólido. Note que, em projecção horizontal, não há qualquer invisibilidade a assinalar, pois a base do sólido é visível na sua totalidade.

521

SOLUÇÕES

994.

Em primeiro lugar representaram-se a recta g, pelas suas projecções, e o plano ν (o plano horizontal que contém a base do cone), pelo seu traço frontal, em função dos dados. Uma vez que a recta g contém uma geratriz do cone, a recta g contém um ponto da base que é, necessariamente, um ponto do plano ν, no qual a base está contida. Assim sendo, o ponto de intersecção da recta g com o plano ν (ponto A) é um ponto da base do cone. Uma vez que se trata de um cone de revolução com a base contida num plano horizontal (de nível), sabe-se imediatamente que o seu eixo está contido numa recta vertical (projectante horizontal), ou seja, que o vértice do sólido V) e o centro da base (O O) estão (V na mesma projectante horizontal (as suas projecções horizontais estão coincidentes). Em projecção horizontal, V1 tem de estar sobre g1 e, necessariamente, a 4 cm de A 1, que é a medida do raio da base. Este raciocínio permite-nos determinar O1 e, em seguida, construir as projecções da base do cone – note que O2 está sobre (ff ν).

Como O1 ≡ V1, o vértice do cone tem determinação imediata, pois V2 está sobre g2. A partir destas conclusões, é possível construir as duas projecções (horizontal e frontal) do sólido. A determinação da projecção lateral do cone processou-se conforme exposto no relatório do exercício 990, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura daquele relatório. Note que se determinou, A 3), com vista à identificação, nas três projecções, das invisibilidades da recta g. A projecção lateral da também, a projecção lateral do ponto A (A AV] da recta g é invisível em projecção frontal (A A é um dos pontos de menor afastamento da recta g passa por K 3, por A3 e por V3. O segmento [A A é, também, um dos pontos de menor abcissa da base). Note que a geratriz [A AV] está contida na parte invisível base) e em projecção lateral (A (em projecção frontal) da superfície lateral do sólido, tal como também se situa na parte invisível (em projecção lateral) da superfície lateral do AV] é visível. sólido. Já em projecção horizontal, uma vez que a superfície lateral do sólido é visível na sua totalidade, a geratriz [A

995. Relatório Em primeiro lugar representaram-se o ponto A , pelas suas projecções, e o plano ν (o plano horizontal que contém a base do cone), pelo seu traço frontal e contendo o ponto A , em função dos dados. Os dados do enunciado permitem-nos, ainda, determinar a projecção horizontal do vértice V do cone. Os dados do enunciado não nos permitem, de forma directa, construir absolutamente mais nada – não nos é dado o raio da base nem o seu centro, nem forma imediata de os determinar, pois, apesar de se saber a direcção do seu eixo e o seu comprimento, também não nos é dada a cota de V, pelo que estamos perante uma situação em que, uma vez mais, é necessária uma sequência de raciocínios encadeados, sem os quais não é possível a determinação das projecções do sólido. Sabe-se, no entanto, que o centro da O) tem 6 cm de afastamento (o afastamento de V), pois o eixo está contido numa recta frontal (de frente). O objectivo seguinte é conbase (O seguir representar o eixo do sólido, pois através deste será possível obter V2 e as projecções de O. Uma vez que se sabe a direcção da recta que contém o eixo (recta f), representou-se uma recta paralela à recta f (recta f ’) e com o mesmo afastamento, passando por um ponto qualquer que esteja no plano da base – optou-se por representar um ponto O’, situado na mesma projectante frontal de A e com 6 cm de afastamento (o afastamento de V). Por O’ conduziu-se a recta f ’, paralela a f, e sobre a sua projecção frontal mediram-se os 8 cm (o compriO’V’] se projecta em V.G. em projecção frontal, pois o segmento do eixo), o que nos permitiu obter um ponto V’. Note que o segmento [O O’V’] corresponde a uma translação mento é paralelo ao Plano Frontal de Projecção. O ponto V’ tem a mesma cota de V, pois o segmento [O OV] (o eixo do cone) ao longo do plano frontal que o contém. Sabendo-se a cota de V, obteve-se V2, o que nos permitiu, de do segmento [O forma imediata, desenhar a projecção frontal do eixo e, dessa forma, obter as projecções de O – O é o ponto de intersecção da recta f com O A] (que é um raio da circunferência), o que nos permitiu conso plano ν (o plano da base). O raio da base é o comprimento do segmento [O truir as duas projecções do sólido (projecção horizontal e projecção frontal). Por fim, representou--se ainda a recta g (definida por A e V), que é a geratriz a que se faz referência no enunciado mas que não teve qualquer relevância para a resolução do exercício. Para determinar a projecção lateral do cone conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos pontos de maior e de menor afastamento da base do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais daqueles pontos e definem a projecção lateral da base do cone, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). A projecção lateral do cone é um triângulo.

522

SOLUÇÕES

995. Resolução

996.

Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados.

Para representar a base, que está contida no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), recorreu-se imediatamente à projecção lateral do cone – a base foi desenhada previamente em projecção lateral, a partir da qual se obtiveram as outras duas projecções. Os restantes dados não nos permitem uma construção imediata do sólido, pois implicam o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Ve r d a d e i r a s G r a n d e z a s . Sobre o vértice V, do cone, sabe-se apenas a sua abcissa e o comprimento das geratrizes do contorno aparente horizontal.

Estas têm, por extremos, o vértice do sólido e os pontos de menor e de maior afastamento da base do cone – os pontos A e B, respectiAV] e [B BV] não se provamente. As geratrizes [A jectam em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois não são paralelas a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Note que, apesar de não termos o vértice do cone, sabe-se que as duas geratrizes estão contidas num mesmo plano projectante frontal, pois tem-se A 2 ≡ B 2. Assim, optou-se pelo (Continua na página seguinte) 523

SOLUÇÕES

rebatimento do plano projectante frontal que contém as duas geratrizes. No entanto, uma vez que não temos quaisquer dados sobre esse plano (não se sabe sequer a sua orientação), só é possível rebatê-lo para o plano horizontal (de nível) ν que contém os pontos A e B. A charneira do rebatimento (recta e) é a recta de intersecção dos dois planos – uma vez que se trata de dois planos projectantes frontais, a recta e é uma recta projectante frontal (de topo), definida por A e B (que são dois pontos que pertencem simultaneamente aos dois planos.

A r ≡ A 1 e B r ≡ B 1, pois A e B são dois pontos da charneira. Uma vez que V tem afastamento inferior a O, a geratriz [B BV] (geratriz g’) terá de BV]), AV] (geratriz g). Com o compasso, fazendo centro em B r e com 12 cm de raio (o comprimento da geratriz [B ser maior do que a geratriz [A AV]), desedesenhou-se um arco de circunferência. De forma idêntica, com centro em A r e com 11 cm de raio (o comprimento da geratriz [A nhou-se outro arco de circunferência. O ponto de intersecção dos dois arcos é Vr. Inverteu-se o rebatimento desenhando um arco de circunferência com centro em (e2) e raio sobre a projecção frontal de Vr, até à linha de chamada de V (que passa por Vo) obtendo-se V2, a partir da qual se obtém igualmente V1. Em seguida, concluiu-se a construção das projecções (horizontal e frontal) do cone. Para determinar a projecção lateral do sólido, e uma vez que já se tem a projecção lateral da base do cone, conduziu-se, por V, a recta projectante lateral (recta fronto-horizontal) que por ele passa e determinou-se V3, no rebatimento do Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção. Note que as geratrizes do contorno aparente lateral foram determinadas, rigorosamente, através da construção que nos permite determinar as rectas tangentes a uma circunferência (a base do cone) que passam por um ponto exterior (que, neste caso, é V3). Note, ainda, que a base do cone é invisível em projecção lateral (o que se assinalou convenientemente), pois contém os pontos de menor abcissa do sólido.

997.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto A , pelas suas projecções, e o plano π (o plano de perfil que contém a base do cone), pelos seus traços e contendo o ponto A , em função dos dados. Os restantes dados não nos permitem uma construção imediata do sólido, pois implicam o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. Note que não nos é dado nem o centro da base, nem o seu raio, nem sequer se sabe se A é um dos pontos de menor cota ou de menor afastamento da base.

São dados, apenas, o ângulo que a geratriz que passa por A faz com o plano da base (que é igual aos ângulos que as restantes geratrizes fazem com o plano da base, pois trata-se de um cone de revolução), e o comprimento dessa geratriz (que é igual ao comprimento das restantes geratrizes, pois trata-se de um cone de revolução). Sabe-se ainda, que essa geratriz está contida numa recta do β1/3. Ora, o ângulo que essa geratriz faz com o plano π está contido num plano que contém essa geratriz e é ortogonal ao plano π (que é um plano que contém rectas fronto-horizontais – a «família» das rectas ortogonais a um plano de perfil). Um plano que contenha essa geratriz e rectas fronto-horizontais é AV] faz com o plano π está contido no β1/3. um plano de rampa ou, mais especificamente, é o próprio β1/3. Assim, o ângulo que a geratriz [A Sublinha-se que o ângulo dado é um ângulo real, que existe no espaço (está contido no β1/3) e não tem correspondência directa em projecções. Assim, uma vez que o ângulo não se projecta em V.G., há que rebater o β1/3 (o plano que contém o ângulo) para, dessa forma, se medir o ângulo em V.G., em rebatimento. Optou-se por rebater o β1/3 para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi o próprio eixo X. O ponto A rebateu-se pelo seu triângulo do rebatimento. Com vértice em A r, e a partir de hπ, mediu-se o ângulo de 60o em V.G., obtendo gr, AV], em rebatimento. Sobre gr, a partir de A r, mediram-se os 8 cm (o comprimento da geratriz, que está em V.G., a recta suporte da geratriz [A pois a geratriz está rebatida) e determinou-se Vr. A recta gr é concorrente com o eixo X num ponto M r – este é um ponto fixo, pois situa-se na charneira. As projecções da recta g determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de A e de M. Note que a recta g é uma recta do β1/3, pelo que as suas projecções são simétricas em relação ao eixo X. Conduzindo, por Vr, uma perpendicular à charneira, determinaram-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta g. Em seguida, conduzindo, pelas projecções de V, as projecções homónimas de uma recta fronto-horizontal (a recta suporte do eixo do cone), determinaram-se as projecções de O, o centro da base do sólido – O é o ponto de intersecção da fronto-horizontal que passa por V com o plano π. Para construir a base do sólido recorreu-se à projecção lateral do cone, pois a base, que está contida no plano π, projecta-se em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ).

Assim, determinaram-se as projecções laterais de A , O e V – A 3, O3 e V3. Com o compasso, fazendo centro em O3 e raio até A 3, desenhou-se uma circunferência, que é a projecção lateral da base do cone. Note que a projecção lateral do sólido já está concluída. Em seguida, invertendo o rebatimento do Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), determinaram-se as projecções (horizontal e frontal) da base do cone e concluiu-se a construção das projecções (horizontal e frontal) do sólido.

524

SOLUÇÕES

998.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto O, pelas suas projecções, e o plano ν (o plano horizontal que contém a base do cone), pelo seu traço frontal e contendo o ponto O, em função dos dados. Em seguida, determinaram-se as projecções da base do cone. Os restantes dados referem-se às geratrizes de perfil do cone, que têm 3,5 cm de abcissa. Assim, determinaram-se os pontos da base do cone que têm AV] e [B BV]. Os restantes dados não nos permitem uma 3,5 cm de abcissa – os pontos A e B. As geratrizes de perfil serão as geratrizes [A construção imediata do sólido, pois implicam o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. Analisemos a questão. Uma geratriz (a geratriz visível em projecção horizontal, que não se sabe qual das duas é que é) faz um ângulo de 45o com o plano da base. Esse ângulo, que está contido num plano de perfil, projecta-se em V.G. no Plano de Perfil BV], pois B tem afastamento de Projecção (plano YZ). A outra geratriz (a geratriz visível em projecção frontal, que tem de ser a geratriz [B BV] projecta-se em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), pois é paralela a este. Assim, a superior a A ) mede 9 cm – a geratriz [B construção das projecções do sólido pode processar-se com o recurso à projecção lateral do cone. Note que seria possível, por exemplo, rebater o plano de perfil que contém as duas geratrizes, mas isso implicaria traçados que, recorrendo à projecção lateral do sólido, se evitam.

Assim, determinaram-se as projecções laterais de A e B – A 3 e B3. Já se tinha concluído que a geratriz visível em projecção frontal é a geratriz BV] – a geratriz [A AV] é a que faz um ângulo de 45o com o plano da base. Assim, com vértice em A 3 e a partir do traço frontal do plano ν (o tra[B ço do plano ν no Plano de Perfil de Projecção está coincidente com f ν), mediu-se o ângulo de 45o. Note que existem duas hipóteses, mas AV] seja visível em projecção horizontal – na outra hipótese possível, a geratriz [A AV] seria inviapenas a apresentada garante que a geratriz [A BV] seria visível em ambas as projecções, para além de o cone já não se situar, na totalidade, no sível em projecção horizontal e a geratriz [B espaço do 1o Triedro. A projecção lateral de V, V3, tem de se situar na recta desenhada (que contém o outro lado do ângulo de 45o) – com o BV]), determinou-se V3. Invertendo o rebatimento do Plano de compasso, fazendo centro em B 3 e com 9 cm de raio (a medida da geratriz [B Perfil de Projecção (plano YZ), determinaram-se as projecções (horizontal e frontal) de V, o que nos permitiu concluir a construção das projecções (horizontal e frontal) do cone, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes (a base do cone é invisível em projecção horizontal). Em seguida, conduziram-se, por O e pelos pontos de maior e de menor afastamento da base do sólido, as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que por eles passam, e determinaram-se as respectivas projecções laterais e construiu-se, por fim, a projecção lateral do cone.

525

SOLUÇÕES

999.

Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados. Os dados do enunciado permitiram-nos, de forma imediata, representar o cilindro em Dupla Projecção Ortogonal. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do sólido, cujo centro é o ponto O’. Para determinar a projecção lateral do cilindro conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam por O e O’, bem como pelos pontos de maior e de menor cota das duas bases do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ ) são as projecções laterais daqueles pontos e definem a projecção lateral do cilindro, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z).

A projecção lateral do cilindro é, à semelhança da sua projecção horizontal, um rectângulo. Note que as geratrizes do contorno aparente horizontal são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor abcissa das bases, enquanto que as geratrizes do contorno aparente lateral são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor cota das bases.

1000.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e O’, pelas respectivas projecções, bem como o plano ν (o plano horizontal que contém a base superior do sólido), pelo seu traço frontal e contendo o ponto O’, em função dos dados. Em seguida representou-se o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes (em projecção horizontal) – a base inferior é invisível em projecção horizontal. Note que as geratrizes do contorno aparente horizontal se determinaram rigorosamente, através do traçado das rectas tangentes às circunferências que delimitam as bases paralelas a uma recta dada (o eixo do cilindro). Para determinar a projecção lateral do cilindro conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam por O e O’ , bem como pelos pontos de maior e de menor afastamento das duas bases do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais daqueles pontos e definem a projecção lateral do cilindro, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). A projecção lateral do cilindro é, nesta situação, e à semelhança da sua projecção frontal, um paralelogramo. Note que as geratrizes do contorno aparente frontal são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor abcissa das bases, enquanto que as geratrizes do contorno aparente lateral são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor afastamento das bases. Note ainda que, em projecção horizontal, não é necessária a representação das geratrizes dos contornos aparentes frontal e lateral. Da mesma forma, em projecção frontal não é necessária a representação das geratrizes dos contornos aparentes horizontal e lateral, tal como em projecção lateral não é necessária a representação das geratrizes dos contornos aparentes horizontal e frontal.

526

SOLUÇÕES

1001.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto A e a recta r, pelas respectivas projecções, em função dos dados. As projecções da recta r são paralelas entre si, pois a recta r é paralela ao β2/4. Em seguida, representaram-se os planos frontais (de frente) que contêm as bases do sólido (os planos ϕ e ϕ’), em função dos seus afastamentos, e determinaram-se os pontos de intersecção dos dois planos com a recta r – os pontos O e O’ que são, respectivamente, os centros das bases de menor e de maior afastamento do cilinO é o ponto de intersecção da recta r com o dro (O plano ϕ e O’ é o ponto de intersecção da recta r com o plano ϕ’). A base de maior afastamento é tangente ao Plano Horizontal de Projecção, o que nos permite deduzir o raio das bases, que se projectam em V.G. em projecção frontal. Já temos todos os dados de que necessitamos para representar o cilindro em Dupla Projecção Ortogonal, pelo que se concluiu a construção das suas projecções (horizontal e frontal). Tenha em conta a necessidade de, nesta situação, se determinarem rigorosamente as geratrizes do contorno aparente frontal, através do traçado das rectas tangentes às circunferências que delimitam as bases paralelas a uma recta dada (o eixo do cilindro). Para determinar a projecção lateral do cilindro conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam por O e O’, bem como pelos pontos de maior e de menor cota das duas bases do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais daqueles pontos e definem a projecção lateral do cilindro, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). A projecção lateral do cilindro é, à semelhança da sua projecção horizontal, um paralelogramo. Note que, as geratrizes do contorno aparente horizontal são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor abcissa das bases, enquanto que as geratrizes do contorno aparente lateral são as geratrizes que contêm os pontos de maior e de menor cota das bases.

1002.

Em primeiro lugar representou-se o plano ϕ (o plano frontal que contém a base de maior afastamento do cilindro), pelo seu traço horizontal, em função dos dados. Note que o ponto O tem necessariamente 3,5 cm de cota, pois a base de que O é o centro é tangente ao Plano Horizontal de Projecção.

Por outro lado, o ponto O tem 4 cm de abcissa, pois o eixo do cilindro, que está contido numa recta de perfil, tem 4 cm de abcissa. Estes raciocínios permitem-nos determinar as projecções do ponto O. Em seguida, desenharam-se as projecções da recta p, a recta suporte, do eixo do cilindro. Por outro lado, uma vez que a base de menor afastamento do cilindro está contida no Plano Frontal de Projecção, sabe-se que o seu centro, o ponto O’, tem afastamento nulo – este raciocínio permite-nos determinar a projecção horizontal de O’ (O O’1), que é um ponto da recta p. Estes dados permitem-nos, apenas, concluir a construção da projecção horizontal do cilindro, que é um rectângulo. Os restantes dados não nos permitem uma construção imediata das restantes projecções do sólido, pois implicam o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. Sabe-se, no entanto, que o OO’]) mede 9 cm e, como se eixo do cilindro (o segmento [O trata de um segmento de recta de perfil, sabe-se ainda que o segmento se projecta em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), pois é paralelo a este. Assim sendo, esta é mais uma situação em que é conveniente recorrer à projecção (Continua na página seguinte) 527

SOLUÇÕES

lateral do sólido, para concluir a construção das projecções do sólido. Determinou-se O3, a projecção lateral do ponto O. O’3, a projecção lateral do ponto O’, tem de se situar sobre o eixo Z, pois O’ tem afastamento nulo. Com o compasso, fazendo centro em O3 e com 9 cm de raio (o comprimento do eixo do sólido), determinou-se O’3, o que nos permitiu determinar também O’2 (a cota mantém-se da projecção lateral para a projecção frontal). Em seguida concluiu-se a construção da projecção frontal do cilindro, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes (a base de menor afastamento é invisível em projecção frontal). Por fim, conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos pontos de maior e de menor cota das duas bases do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais daqueles pontos e definem a projecção lateral do cilindro, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). A projecção lateral do cilindro é um paralelogramo.

1003.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto O, pelas suas projecções, e o plano ϕ (o plano frontal que contém a base de maior afastamento do cilindro), pelo seu traço horizontal, em função dos dados. Os dados do exercício permitem-nos, de forma imediata, construir a base de menor afastamento do sólido. Em seguida, sendo dada a direcção das projecções horizontais das geratrizes do sólido (o eixo é paralelo às geratrizes do cilindro) e sendo conhecido, também, o afastamento do plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento, é possível determinar O’ 1 , a projecção horizontal do centro da base de maior afastamento (o ponto O’). Os restantes dados não nos permitem uma construção imediata das projecções do sólido, pois implicam o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. É dado o ângulo que as geratrizes (e o eixo) do cilindro fazem com os planos das bases – esse ângulo existe no espaço (é o ângulo r e a l) e não tem correspondência directa em projecções. Uma vez que as bases do sólido estão contidas em planos frontais (de frente), esses ângulos estão contidos em planos projectantes frontais (os planos projectantes frontais das geratrizes) – os planos ortogonais aos planos das bases que contêm as geratrizes. Esses ângulos não se projectam em V.G., pois os planos que os contêm não são paralelos a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano projectante frontal do eixo para o plano horizontal (de nível) ν que contém o centro da base de menor afastamento. A charneira do rebatimento (recta e) é uma recta de topo (projectante frontal), pois é a recta de intersecção entre dois planos projectantes frontais – a recta e contém o ponto O, que é um ponto que pertence simultaneamente aos dois planos. O plano projectante frontal do eixo está definido pela recta r (que é a recta suporte do eixo) e pela charneira (recta e), que é a recta de intersecção desse plano com o plano horizontal (de nível) ν. Considerou-se o plano já rebatido, tendo-se Or ≡ O1, pois O é um ponto da charneira. Em V.G., em rebatimento, com vértice em Or e a partir do eixo X, representou-se o ângulo de 45o que a recta r faz com os planos das bases, obtendo-se r r. Sobre r r determinou-se O’r, pelo transporte, para r r, de O’1. Em seguida, inverteu-se o rebatimento, desenhando um arco de circunferência com centro em (e2) e raio sobre a projecção frontal de O’r, até à linha de chamada de O’ (que passa por O’1) obtendo-se O’2 e r 2 (a projecção frontal da recta suporte do eixo). A partir das projecções de O’2 construíram-se as projecções frontal e lateral do sólido, assinalando-se convenientemente as invisibilidades que se observam na projecção frontal (a base de menor afastamento é invisível em projecção frontal). Tenha em conta que se determinarem rigorosamente as geratrizes do contorno aparente frontal, através do traçado das rectas tangentes às circunferências que delimitam as bases paralelas a uma recta dada (o eixo do cilindro). Para determinar a projecção lateral do cilindro conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam por O e O’, bem como pelos pontos de maior e de menor cota das duas bases do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais daqueles pontos e definem a projecção lateral do cilindro, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). A projecção lateral do cilindro é, à semelhança da sua projecção horizontal, um paralelogramo.

528

SOLUÇÕES

1004.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto A, pelas suas projecções, e o plano π (o plano de perfil que contém a base mais à direita do cilindro), pelos seus traços e contendo o ponto A , em função dos dados. Os restantes dados não nos permitem uma construção imediata do sólido, pois implicam o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. Note que não nos é dado nem o centro da base, nem o seu raio, nem sequer se sabe se A é um dos pontos de menor cota ou de menor afastamento da base mais à direita do cilindro. São dados, apenas, o ângulo que o A B] faz com o plano π e o comprisegmento [A mento desse segmento. Sabe-se ainda que esse segmento está contido numa recta do A B] faz com o plano π β1/3. Ora, o ângulo que [A A B] e é está contido num plano que contém [A ortogonal ao plano π (que é um plano que contém rectas fronto-horizontais – a «família» das rectas ortogonais a um plano de perfil).

A B] e Um plano que contenha o segmento [A rectas fronto-horizontais é um plano de rampa ou, mais especificamente, é o próprio β1/3.

A B] faz com o plano π Assim, o ângulo que [A está contido no β1/3. Sublinha-se que o ângulo dado é um ângulo real, que existe no espaço (está contido no β1/3) e não tem correspondência directa em projecções. Assim, uma vez que o ângulo não se projecta em V.G., há que rebater o β1/3 (o plano que contém o ângulo) para, dessa forma, se medir o ângulo em V.G., em rebatimento. Optou-se por rebater o β1/3 para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi o próprio eixo X. O ponto A rebateu-se pelo seu triângulo do rebatimento. Com vértice em A r, e a partir de hπ, mediu-se o ângulo de 50o em V.G., obtendo r r, a recta suporte de A B] em rebatimento. Sobre r r, a partir de A r, mediram-se os 10 cm (o comprimento de [A A B], que está em V.G., pois [A A B] está rebatido) e [A B é o outro extremo do segmento). Em rebatimento, determinou-se ainda o ponto médio do segmento [A A B] – o ponto M r. determinou-se B r (B A B] e o eixo do sólido se bissectam simultaneamente, sabe-se que M será o ponto médio de [A A B] e o ponto médio do eixo Uma vez que [A do cilindro. A recta r r é concorrente com o eixo X num ponto Pr – este é um ponto fixo, pois situa-se na charneira. As projecções da recta r determinaram-se imediatamente – passam pelas projecções homónimas de A e de P. Note que a recta r é uma recta do β1/3, pelo que as suas projecções são simétricas em relação ao eixo X. Conduzindo, por B r e por M r, as perpendiculares à charneira que por eles passam, determinaram-se as projecções de B e M sobre as projecções homónimas da recta r. Em seguida, conduzindo, pelas projecções de M, as projecções homónimas de uma recta fronto-horizontal g (a recta suporte do eixo do cilindro), determinaram-se as projecções de O, o centro da base mais à direita do sólido – O é o ponto de intersecção da recta g com o plano π. Pelas projecções de B conduziram-se os traços do plano π’, o plano de perfil que contém a base mais à esquerda do cilindro. O ponto O’ é o centro da base mais à esquerda do cilindro e é o ponto de intersecção da recta g com o plano π’. Para construir as projecções das bases do sólido recorreu-se à projecção lateral do cilindro, pois as bases, que estão contidas em planos de perfil, projectam-se em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ). Assim, determinaram-se as projecções laterais de A , O, O’ e B – A 3, O3, O’3 e B 3. Note que se tem necessariamente O3 ≡ O’3, pois O e O’ situam-se na mesma recta projectante lateral (que é a recta fronto-horizontal g). Com o compasso, fazendo centro em O3 e raio até A 3 (ou B 3), desenhou-se A 3B 3] é um diâmetro dessa circunferência. Em seguida, invertendo o reuma circunferência, que é a projecção lateral do cilindro. Note que [A batimento do Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), determinaram-se as projecções (horizontal e frontal) das duas bases do sólido e concluiu-se a construção das projecções (horizontal e frontal) do cilindro.

529

SOLUÇÕES

1005.

Em primeiro lugar representou-se o plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro, pelo seu traço frontal, em função da sua cota. O centro da base superior tem, portanto, 9 cm de cota, pois é um ponto do plano ν. O eixo do cilindro está contido numa recta do β1/3, e, uma vez que O é um ponto do eixo do cilindro, sabe-se que O é um ponto do β1/3 – O tem, assim, coordenadas iguais, pelo que também tem 9 cm de afastamento. Por outro lado, atendendo ao facto de a base superior (que tem 3 cm de raio) ser tangente ao Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), sabe-se que O, o seu centro, tem 3 cm de abcissa. Estes raciocínios permitiram-nos, determinar as projecções de O, em função das suas coordenadas. Os dados sequentes não nos permitem construir, de forma directa, absolutamente mais nada, pois implicam o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. Note que não nos é dado nem o centro da base inferior, nem a sua cota. É dado, apenas, o ângulo que o eixo do cilindro faz com o eixo X. Note que o ângulo dado é um ângulo real, que existe no espaço e não tem correspondência directa em projecções – trata-se do ângulo entre duas rectas que está contido no plano definido pelas duas rectas, que é o próprio β1/3. Assim, uma vez que o ângulo não se projecta em V.G., há que rebater o β1/3 (o plano que contém o ângulo) para, dessa forma, se medir o ângulo em V.G., em rebatimento.

Optou-se por rebater o β1/3 para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi o próprio eixo X. O ponto O rebateu-se pelo seu triângulo do rebatimento. Em seguida, desenhou-se uma recta r r, passando por Or e fazendo um ângulo de 60o com o eixo X – a recta r é a recta suporte do eixo do sólido. Note que existem duas hipóteses (uma de abertura à esquerda e outra de abertura à direita), no entanto, uma delas (a de abertura à esquerda) não nos garante que o cilindro se situe no espaço do 1o Triedro. A recta r r é concorrente com o eixo X num ponto A r – note que a recta r é a recta suporte do eixo do cilindro. O ponto A é um ponto da charneira, pelo que é fixo – as projecções da recta r determinam-se imediatamente, passando pelas projecções homónimas de O e A. Uma vez que se sabe que a base inferior é tangente ao Plano Frontal de Projecção, o seu centro (o ponto O’) é o ponto da recta r que tem 3 cm de afastamento – este raciocínio permitiu-nos determinar as projecções do ponto O’ (sobre as projecções homónimas da recta r) e concluir a construção das projecções (horizontal e frontal) do cilindro, nas quais se assinalaram as invisibilidades existentes. Note que a base inferior é invisível em projecção horizontal. Para determinar a projecção lateral do cilindro conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam por O e O’, bem como pelos pontos de maior e de menor afastamento das duas bases do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais daqueles pontos e definem a projecção lateral do cilindro, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano Y Z ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). A projecção lateral do cilindro é, à semelhança da sua projecção frontal, um paralelogramo.

530

SOLUÇÕES

1006.

Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços.

O plano α tem os seus traços coincidentes, pois é um plano ortogonal ao β2/4. Em seguida, representou-se o plano ν, horizontal (de nível), com 8 cm de cota, que contém a base da pirâmide. A recta h é a recta de intersecção do plano ν com o plano α. Uma vez que a face laA BV] está contida no plateral [A A B C D] no α e que o quadrado [A está contido no plano ν, conA B] clui-se que o segmento [A pertence aos dois planos, pelo que pertence à recta de intersecção dos dois planos – a recta h. Uma vez que a face lateral A BV] está contida no plano α, [A e que V é um ponto dessa face, conclui-se que V é um ponto do plano α – a recta h’ é a recta horizontal (de nível) auxiliar, com 2 cm de cota e pertencente ao plano α, a que se recorreu para determinar as projecções o ponto V (tem de se verificar a condição para que um ponto pertença a um plano). Uma vez que se trata de uma pirâmide regular de base horizontal (de nível), sabe-se imediatamente que o seu eixo está contido numa recta vertical (projectante horizontal), pelo que se tem imediatamente que O1 ≡ V1, sendo O o centro do quadrado da base. Uma vez que a base está contida no plano ν, O está também contido no plano ν pelo que O2 tem determinação imediata. A partir do centro do quadrado O, e sabendo que A e B estão contidos na recta h, é possível construir-se o quadrado – por O conduziram-se duas rectas a 45o com h que são as rectas que contêm as diagonais do quadrado. Os pontos de concorrência destas com a recta h são os vértices A e B do quadrado, cuja determinação nos permite concluir a construção da projecção horizontal do polígono. A partir do quadrado da base e do vértice da pirâmide, representou-se o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, atendendo às invisibilidades verificadas. Para determinar a terceira projecção do sólido conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos cinco vértices da pirâmide – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z). Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral da pirâmide, que é a linha quebrada fechada [B B3C3D3V3]. Existe um vértice que não integra o contorno aparente lateral – o vértice A . Este é invisível (bem como todas as arestas A D] e [A A B], da base, são invisíveis em projecção que nele convergem), pois é o vértice de menor abcissa da pirâmide. Assim, as arestas [A AV] é invisível em projecção lateral. lateral mas estão ocultas por arestas da base que são visíveis. Ainda nesse sentido, a aresta lateral [A CV] é visível em projecção lateral, pois C é o vértice de maior abcissa da base.

A aresta lateral [C

1007.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e C, pelas respectivas projecções, e o plano π, pelos seus traços e contendo aqueles ponA B CD] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano π (o plano que tos, em função dos dados. O quadrado [A o contém) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção (Plano Frontal de Projecção e Plano Horizontal de Projecção). Note, no entanto, que o plano π é paralelo ao Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), pelo que o quadrado se projecta em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ). Assim, é possível recorrermos à terceira projecção para construir as projecções do sólido. Por A e C conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam e determinaram-se A 3 e C3, as projecções laterais de A e C, rebatendo o plano YZ sobre o A B CD], em projecção lateral. Por outro Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). A partir de A 3 e de C3 construiu-se o quadrado [A lado, atendendo a que as arestas laterais do sólido estão contidas em rectas fronto-horizontais (que são rectas projectantes laterais), sabeA’B’C’D’] (a base mais à esquerda do prisma) está coincidente com a projecção la-se imediatamente que a projecção lateral do quadrado [A A B CD], o que nos permitiu concluir a construção da projecção lateral do sólido. Em seguida, invertendo o rebatimento teral do quadrado [A A B CD]. Note que do Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), determinaram-se a projecção frontal e a projecção horizontal do quadrado [A não nos é dada a altura do prisma, pelo que não é possível determinar, de forma directa, a abcissa da base mais à esquerda e, assim, concluir a construção das projecções (frontal e horizontal) do sólido. De facto, o dado que nos permite saber a altura do prisma refere-se ao comprimento das diagonais das faces laterais do sólido, cuja determinação implica o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. As faces laterais do prisma estão contidas em planos de rampa (note que as (Continua na página seguinte) 531

SOLUÇÕES

arestas laterais do sólido estão contidas em rectas fronto-horizontais). Nenhuma das diagonais de qualquer das faces se projecta em V.G., pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento – conBB’C’C] e rebateu-se o siderou-se a face lateral [B plano de rampa que a contém para o plano horiB B ’ ]. zontal (de nível) que contém a aresta [B A charneira é a recta e, que é a recta de intersecção dos dois planos – é uma recta fronto-horizontal que passa por B (note que a recta e é, BB’]). também, a recta suporte da aresta lateral [B O plano de rampa está, assim, definido por uma recta (recta e) e por um ponto exterior – o vértice C (note que se trata do plano de rampa que contém BB’C’C], pelo que C é um ponto do a face lateral [B plano). O ponto C rebateu-se pelo seu triângulo do rebatimento, em função da sua distância ao plano ν (a cota de C em relação ao plano ν). Br ≡ B1, pois B CC’] é frontoé um ponto da charneira. A aresta [C -horizontal, logo paralela à recta e – por Cr conduziu-se uma recta paralela à charneira, que é a recta CC’]. O segmento [B B C’] suporte da aresta lateral [C BB’C’C] – assim, é uma diagonal da face lateral [B com o compasso, fazendo centro em Br e com 8 cm de raio (o comprimento das diagonais das faces laterais), determinou-se C’ r , sobre a recta CC’], em rebatimento. A suporte da aresta lateral [C partir de C’r, é possível determinar B’r, sobre a recta e – B’r ≡ B’1, pois B’ é um ponto da charneira. Desta forma, já está determinada a abcissa da base mais à esquerda, o que nos permitiu representar, pelos seus traços, o plano de perfil que a contém (o plano π’) e, assim, concluir a construção das projecções (horizontal e frontal) do sólido.

1008.

Em primeiro lugar representou-se o plano π, pelos seus traços, em função dos dados. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar A 1, a projecção horizontal do vértice A (que se considerou ser o vértice de menor cota da base da pirâmide). A circunferência circunscrita à base tem 3,5 cm de raio e é tangente aos dois planos de projecção, pelo que o seu centro, o ponto O, tem 3,5 cm de afastamento e de cota – este raciocínio permitiu-nos determinar imediatamente as projecções de O, pertencente ao plano π. O A B C] (a base da pirâmide) não se projecta triângulo [A em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano π (o plano que o contém) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção (Plano Frontal de Projecção e Plano Horizontal de Projecção). Note, no entanto, que o plano π é paralelo ao Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), pelo que o triângulo se projecta em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ). Assim, é possível recorrermos à terceira projecção para construir as projecções do sólido. Por O conduziu-se uma recta projectante lateral e determinou-se O3, a projecção lateral de O, rebatendo o plano YZ sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). Com o compasso, fazendo centro em O3 e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a projecção lateral da circunferência circunscrita ao triângulo. A partir de A 1, transportou-se a referência de A para a projecção lateral da circunferência e determinou-se A 3, sobre a circunferência e garantindo que A seja o vértice de menor cota do triângulo. Em seguida, construiu-se o triângulo, em projecção lateral, inscrito na circunferência. Atendendo a que o eixo do sólido está contido numa recta fronto-horizontal V3) está coincidente com O3, o (que é uma recta projectante lateral), sabe-se imediatamente que a projecção lateral do vértice da pirâmide (V A 3B3C3], que corresponde ao que nos permitiu concluir a construção da projecção lateral do sólido. O contorno aparente lateral do sólido é [A contorno da base – o vértice V não integra o contorno aparente lateral, e é o vértice de menor abcissa da pirâmide (tem abcissa inferior à (Continua na página seguinte) 532

SOLUÇÕES

base), pelo que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que, a partir da projecção lateral do sólido, são já conhecidos o afastamento e a cota do vértice da pirâmide (o eixo está contido numa recta fronto-horizontal). Sendo dado o comprimento das arestas laterais (que não se projectam em V.G. em nenhum dos planos de projecção, nem no plano de perfil YZ, por não serem paralelas a nenhum desses planos), é necessário o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas, nomeadamente, o recurso a processos geométricos auxiliares (note que nenhum dado nos permite saber, de forma imediata, a abcisAV] para o plano horizontal (de nível) ν que sa do vértice da pirâmide). Optou-se por rebater o plano projectante frontal da aresta lateral [A contém o vértice A. Trata-se de um plano de topo – a charneira, que é a recta de intersecção entre dois planos projectantes frontais, é necesA é um ponto que pertence simultaneamensariamente uma recta projectante frontal. A recta e é, assim, uma recta de topo que passa por A (A AV] já rebatido sobre o plano ν, tendo-se A r ≡ A 1, pois A é um ponto da te aos dois planos). Considerou-se o plano projectante frontal de [A charneira. Com o compasso, fazendo centro em A r e com 8 cm de raio (o comprimento das arestas laterais da pirâmide), desenhou-se um arco de circunferência, obtendo-se Vr sobre a projecção horizontal do eixo. Inverteu-se o rebatimento desenhando um arco de circunferência com centro em (e2) e raio sobre a projecção frontal de Vr, até à projecção frontal do eixo da pirâmide, obtendo-se V2, a partir do qual se obteve igualmente V1. A partir das projecções do vértice, construíram-se as projecções frontal e horizontal do sólido, verificando-se que não se observam quaisquer invisibilidades em nenhuma destas duas projecções. Note que uma forma de poder contornar o problema e diminuir, em muito, o grau de dificuldade de resolução do exercício e a quantidade de traçados a efectuar, é considerar uma superfície cónica tangente à superfície lateral da pirâmide ao longo das três arestas laterais do sólido (a superfície cónica circunscrita à pirâmide), que é uma s u p e r f í c i e de revolução (à semelhança do efectuado no exercício 974). Todas as geratrizes dessa superfície têm o mesmo comprimento e o vértice da pirâmide e dessa superfície cónica seria o mesmo. A vantagem dessa situação tem a ver com o facto de haver duas geratrizes dessa superfície que seriam frontais (de frente) – as geratrizes do contorno aparente frontal – e duas geratrizes da superfície que seriam horizontais (de nível) – as geratrizes do contorno aparente horizontal. Qualquer destas quatro geratrizes se projectaria em V.G. (ou no Plano Frontal de Projecção ou no Plano Horizontal de Projecção, consoante a sua posição), o que nos permitiria, rapidamente e sem o recurso a qualquer processo geométrico auxiliar, determinar o vértice da superfície e, por conseguinte, o vértice da pirâmide.

1009.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto A , pelas suas projecções, e o plano α, pelos seus traços e contendo o ponto A, em função dos dados. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano α (o plano que o contém) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f α. É dado que B tem afastamento nulo, pelo que B é um ponto de f α. É dado, ainda, o A B] ângulo que o lado [A do quadrado faz com hα – note que o ângulo dado é um ângulo real, que existe no espaço e não tem correspondência directa em projecções, pois trata-se do A B] e hα), que está contido no plano definido pelas duas rectas, que é o próprio plano α. Esse ângulo entre duas rectas (a recta suporte de [A ângulo está em V.G. em rebatimento – com vértice em A r mediram-se os 30o e determinou-se Br sobre f αr. A partir de A r e Br, construiu-se o A B CD] em V.G., em rebatimento – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do quadrado e do seu centro, o ponquadrado [A to O. A recta h, horizontal (de nível) e ortogonal ao plano α, passando por O, é recta suporte do eixo da pirâmide. Porque se trata de uma pirâmide regular, a sua altura é o comprimento do seu eixo, que se projecta em V.G. no Plano Horizontal de Projecção (o plano ao qual a recta h é paralela), pelo que, a partir de O1, sobre h1, mediram-se os 9 cm (a altura do sólido), obtendo-se V1 – V2 está sobre h2, na mesma linha de (Continua na página seguinte) 533

SOLUÇÕES

chamada de V1. Representou-se a pirâmide em Dupla Projecção Ortogonal, atendendo às invisibilidades existentes. Para determinar a projecção lateral do sólido conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos cinco vértices da pirâmide – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z). Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral da pirâmide, que é a linha quebrada fechada [A A 3B3C3V3]. Existe um vértice que não integra o contorno aparente lateral – o vértice D. Este é visível (bem como todas as arestas que A D] e [C CD], da base, são visíveis em projecção lateral, nele convergem), pois é o vértice de maior abcissa da pirâmide. Assim, as arestas [A DV]. A aresta lateral [B BV] é invisível em projecção lateral, pois B é o vértice de menor abcissa da base. bem como a aresta lateral [D

1010.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto Q , pelas suas projecções, e o plano α, pelos seus traços e contendo o ponto Q, em função dos dados. O penA B CDE] (a base inferior tágono [A do prisma) não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano α (o plano que o contém) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar.

Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hα), obtendo Qr . Com o compasso, fazendo centro em Qr e com 3,5 de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono, em V.G., em rebatimento. É dado que uma das faces laterais invisíveis em projecção horizontal está contida num plano projectante frontal, pelo que o lado do pentágono que lhe pertence tem de ser de topo (projectante frontal). Por outro lado, se essa face é invisível em projecção horizontal, o lado do pentágono que lhe pertence terá de ser o lado de menor cota, para garantir a invisibilidade da face em projecção horizontal – foi este o raciocínio que nos permitiu determinar correctamente a posição do pentágono em rebatimento. ConstruiuA B CDE] em V.G., em rebatimento, tendo-se invertido o rebatimento em seguida, o que nos permitiu obter as projecções -se o pentágono [A (horizontal e frontal) do polígono. A altura do prisma é a distância entre os planos das bases – o plano θ, representado apenas pelo seu traço frontal (razão pela qual se assinalou devidamente entre parêntesis), é o plano que contém a base superior do prisma (o plano θ dista 6 cm do plano α). Por outro lado, uma vez que se trata de um prisma regular, sabe-se que as suas arestas laterais estão contidas em rectas ortogonais aos planos das bases, ou seja, rectas frontais (de frente). Os vértices da base superior determinaram-se pela intersecção simples das rectas suportes das arestas laterais (que são rectas não projectantes) com o plano θ (que é um plano projectante frontal). A partir dos vértices da base superior, representou-se o prisma em Dupla Projecção Ortogonal, atendendo às invisibilidades existentes. Para determinar a projecção lateral do sólido conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos dez vértices do prisma – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do prisma e definem a projecção lateral do prisma, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z). Em seguida desenhou-se o contorno aparente lateral do prisma, que é a linha quebrada fechada [B B 3C3D3E3E’3A’3B’3]. Existem três vértices que não integram o contorno aparente lateral – os vértices A , C’ e D’. Os vértices C’ e D’ B’C’], são visíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices de maior abcissa do prisma. Assim, as arestas [B C’D’] e [D D’E’], da base superior, são visíveis em projecção lateral, bem como as arestas laterais [C CC’] e [D DD’].O vértice A é invisível (bem [C A B] e [A AE] da base como todas as arestas que nele convergem), pois é o vértice de menor abcissa do prisma. Nesse sentido, as arestas [A A A ’]. inferior, são invisíveis, bem como a aresta lateral [A

534

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1011.

Em primeiro lugar representou-se o plano δ, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida representou-se a recta p, de perfil, com 3 cm de abcissa e contida no plano δ – a recta p é a recta suporte da diagoFH] do quadrado. A recta p está nal [F definida pelos seus traços, F e H, que são os dois extremos da diagonal FH] de um quadrado [F FGHI] conti[F do no plano δ. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano que o contém (o plano δ) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano δ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi h δ.

Hr ≡ H1, pois H é um ponto da charneira. O ponto F foi o ponto que nos permitiu rebater f δ. A partir de Fr e Hr construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, e inverteu-se o rebatimento, com o recurso a recta frontais (de frente) do plano que passam por G e I – f r é, em rebatimento, a recta frontal (de frente) que passa por Gr e f ’r é, em rebatimento, a recta frontal (de frente) que passa por I r . As projecções do ponto O determinaram-se directamente em projecção, através do ponto de concorrência das projecções das duas diagonais do quadrado. Em seguida, pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta r, uma recta ortogonal ao plano δ – a recta r é a recta suporte do eixo da pirâmide (ver exercício 338 e respectivo relatório). Sobre a determinação das projecções da pirâmide, ver exercício 338 e respectivo relatório. O plano α é o plano projectante horizontal da recta r. Para determinar as projecções de V rebateu-se o plano α para o Plano F’ é o traço frontal da recta r e é fixo, pois é um Frontal de Projecção – a charneira foi f α (recta e’). A recta r r está definida por Or e por F’r (F ponto da charneira, pelo que se tem F’r ≡ F’2). Em rebatimento, sobre r r e a partir de Or ’, mediram-se os 8 cm (a altura da pirâmide), obtendo-se Vr. Inverteu-se o rebatimento, obtendo-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta r, após o que se construíram as projecções (frontal e horizontal) do sólido, atendendo às invisibilidades existentes. Para determinar a projecção lateral do sólido conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos cinco vértices da pirâmide – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a F3I3H3V3]. Existe charneira é o eixo Z). Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral da pirâmide, que é a linha quebrada fechada [F um vértice que não integra o contorno aparente lateral – o vértice G. Este é invisível (bem como todas as arestas que nele convergem), pois FG] e [G GH], da base, são invisíveis em projecção lateral, bem como a aresta laé o vértice de menor abcissa da pirâmide. Assim, as arestas [F GV]. Esta, no entanto, está oculta pela aresta lateral [IIV], que é visível em projecção lateral, pois I é o vértice de maior abcissa da teral [G base.

535

SOLUÇÕES

1012.

Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto A , pelas suas projecções e contido em hρ A tem cota nula), em função dos da(A dos. A é um vértice de um quadrado A B C D ] contido em ρ, que é a base [A inferior do prisma – o quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano ρ não é paralelo a qualquer dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar.

Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f ρ). Para rebater o plano ρ recorreu-se à projecção lateral – pρ é o traço lateral (de perfil) do plano ρ (é a recta de intersecção do plano π com o Plano de Perfil de Projecção). Note que A é um ponto pρ está definido por A 3 (A com cota nula) e pelo seu ponto de concorrência com f ρ, que é fixo (situa-se no eixo Z). Com o compasso, fazendo centro nesse ponto e raio até A 3, desenhou-se o arco do rebatimento de A em projecção lateral e rebateu-se o ponto A. Por A r conduziu-se h ρ r . Em seguida, construiu-se no quadrado em V.G., em rebatimento, em função dos dados – note que o ângulo dado (o ângulo que A B] do quadrado faz com o trao lado [A ço horizontal do plano) é um â n g u l o r e a l e não um ângulo em projecções.

Esse ângulo existe n o e s p a ç o (está contido no plano ρ) e não tem correspondência directa em projecções (ver exercício 190 e respectivo relatório). A inversão do rebatimento B C] do quadrado, e a recta s, que é a recta processou-se com o recurso a duas rectas do plano – a recta r, que é a recta suporte do lado [B A D] do quadrado. As projecções da recta r determinaram-se a partir das projecções homónimas dos seus traços (a recta r suporte do lado [A está definida por dois pontos). As projecções da recta s determinaram-se a partir das projecções de A (que é o seu traço frontal), paralelas às projecções homónimas da recta r (as rectas r e s são paralelas, pelo que a recta s está definida por um ponto e uma direcção). Determinando as projecções (horizontal e frontal) dos vértices do quadrado, desenharam-se as projecções (horizontal e frontal) do polígono. Para determinar o plano da base superior do sólido, recorreu-se, mais uma vez, à projecção lateral – o plano ρ é um plano projectante lateral, pelo que o plano da base superior (o plano ρ’) também é um plano projectante lateral. A distância entre os dois planos pode medir-se directamente, em V.G., em projecção lateral (como se de planos de topo se tratassem). Assim, o plano ρ’, definido apenas pelo seu traço lateral (de perfil), pρ’’ (razão pela qual este se assinalou entre parêntesis), é o plano de rampa que dista 6 cm (a altura do prisma) do plano ρ – o A B CD] em projecção lateral – as projecplano ρ’ é o plano que contém a base superior do sólido. Em seguida representou-se o quadrado [A ções laterais de todos os vértices do quadrado têm necessariamente de se situar sobre pρ, pois o plano ρ é projectante lateral. Pelas projecções laterais de todos os vértices do quadrado conduziram-se as projecções laterais das rectas suporte das arestas laterais do sólido, pρ’’) – os pontos de intersecção daquelas com (p pρ’’) são as projecções laterais dos vértices da base superior – perpendiculares a pρ e a (p A’B’C’D’]). A projecção lateral do prisma já está construída. O contorno aparente lateral é [A A 3B 3C3C’3B’3A’3]. Existem dois vér(o quadrado [A tices que não integram o contorno aparente lateral – D e D’. Estes são invisíveis (são os vértices de menor abcissa do prisma), bem como todas as arestas que neles convergem. As arestas das bases que têm extremos em D e D’ são invisíveis, mas estão ocultas por arestas daDD’] é invisível. A aresta lateral [B BB’] é visível, pois B e B’ são os vértices de maior abcissa quelas bases que são visíveis. A aresta lateral [D do sólido. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), transportando, para as projecções (horizontal e frontal) das rectas de perfil que passam pelos vértices do quadrado (as rectas suporte das arestas laterais do sólido), as referências que nos permitem determinar as projecções (horizontal e frontal) de A’, B’, C’ e D’, o que nos permitiu concluir a construção das projecções (horizontal e frontal) do prisma.

1013.

Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, em função dos dados. Os dados permitiram-nos, ainda, representar o plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a face superior do cubo (que tem 6 cm de cota) e a direcção da projecção horizontal da AC’]. O vértice C, o vértice do quadrado [A A BCD] que é oposto a A, situa-se necessariamente na mesma projectante horizontal de C’ diagonal [A A B CD] teve-se em conta que as projecções horipelo que se sabe que C1 ≡ C’1. Para a construção da projecção horizontal do quadrado [A A 1C1] e medem 6 cm, o que nos permitiu determinar B 1 e D1 e, em zontais dos lados do quadrado fazem ângulos de 45o com a diagonal [A (Continua na página seguinte) 536

SOLUÇÕES

A 1C1]. A projecção horizontal do quadrado [A A’B’C’D’] está coincidente com a projecção horiseguida, C1, sobre a recta suporte da diagonal [A A BCD], pelo que a projecção horizontal do cubo está concluída. Em seguida, determinaram-se as projecções frontais de zontal do quadrado [A todos os vértices do cubo (o único cuja projecção frontal já era conhecida é A) e concluiu-se a construção da projecção frontal do sólido, atendendo às invisibilidades existentes. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a face superior do cubo e a sua cota é igual ao comA BCD]. As projecções do cubo construíram-se a traço leve, uma vez que, tratando-se de dois sólidos, pode primento do lado do quadrado [A haver ocultações (logo, invisibilidades provocadas pela eventual sobreposição dos sólidos). A partir das diagonais do quadrado que é a projecção horizontal do cubo, determinou-se o seu centro – conduzindo, por este, as medianas do quadrado (paralelas aos lados do quadrado), determinaram-se os pontos médios dos lados do polígono, que são as projecções horizontais dos vértices da base da pirâmide. As projecções frontais destes determinaram-se, em seguida, sobre o traço frontal do plano ν. É dado que a aresta lateral [JJV] da pirâmide é paralela à diagonal AC’] do cubo. A recta r, passando por A e C’, é a recta suporte da diagonal [A AC’] do cubo. A recta s, passando por J e paralela à espacial [A recta r, é a recta suporte da aresta lateral [JJV]. A aresta [JJV] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois não é paralela a qualquer dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α, o plano projectante horizontal da aresta [JJV] (e da recta s) – rebateu-se o plano α para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f α), obtendo J r.

Para rebater a recta s necessitamos de um outro ponto da recta – o seu traço frontal, por exemplo, que é um ponto fixo, pois situa-se na charneira, pelo que se tem imediatamente Fr ≡ F2. A recta sr fica definida por J r e por Fr. Sobre sr, a partir de J r, mediram-se os 8 cm (o comprimento da aresta [JJV]), obtendo Vr – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de V sobre as projecções homónimas da recta s, a partir do que se desenharam as projecções (frontal e horizontal) da pirâmide, atendendo às invisibilidades existentes. Por fim, para determinar as projecções laterais dos dois sólidos, conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) pelos oito vértices do cubo e pelos cinco vértices da pirâmide – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do cubo e da pirâmide e definem as projecções laterais dos dois sólidos, que se obtiveram rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z). O contorno aparente lateral da pirâmide, que é a linha quebrada fechada [M M3J 3K 3V3]. Existe um vértice que não integra o contorno aparente lateral – o vértice L. Este é K L] e [LL M], da invisível (bem como todas as arestas que nele convergem), pois é o vértice de menor abcissa da pirâmide. Assim, as arestas [K base, são invisíveis em projecção lateral (mas estão ocultas por arestas da base que são visíveis), bem como a aresta lateral [LLV]. A aresta lateA3A’3D’3C’3C3D3]. ral [JJV] é visível em projecção lateral, pois J é o vértice de maior abcissa da base. O contorno aparente lateral do cubo é [A Existem dois vértices que não integram o contorno aparente lateral – os vértices B e B’. Estes são invisíveis (bem como todas as arestas que A B] e [B B C], da face [A A BCD], e as arestas [A A’B’] e [B B’C’], neles convergem), pois são os vértices de menor abcissa do cubo. Assim, as arestas [A A’B’C’D’], são invisíveis em projecção lateral, mas estão ocultas por arestas daquelas faces que são visíveis. A aresta [B BB’] também é da face [A DD’] é visível em projecção lateral, pois D e D’ são os vértices de maior abcissa do cubo. invisível. A aresta lateral [D

537

SOLUÇÕES

27 P ROVA S G LOBAIS E E XAMES N ACIONAIS de 2002 a 2007 P ROVA G LOBAL 1 1.

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – o plano ρ está definido pelos seus traços e o plano σ está definido pelo eixo X e pela sua orientação (é paralelo a ρ). Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância entre dois planos. 1. Conduziu-se uma recta p, qualquer, ortogonal aos dois planos – a recta p é uma recta de perfil.

2. Determinaram-se os pontos I e I’, os pontos de intersecção da recta p com os planos ρ e σ, respectivamente. Como nem a recta p nem os planos ρ e σ são projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos.

Assim, conduziu-se, pela recta p, um plano π, auxiliar (π é um plano de perfil).

Em seguida determinou-se a recta i, a recta de intersecção dos planos π e ρ (que está definida por F e H, os seus traços). Não é possível determinar directamente o ponto de concorrência das rectas p e i. Em seguida, determinou-se a recta i’, a recta de intersecção dos planos π e σ (a recta i’ é uma recta de perfil passante, que está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e pela sua direcção – é paralela à recta i, pois qualquer plano corta dois planos paralelos segundo duas rectas paralelas). Também não é possível determinar directamente o ponto de concorrência das rectas i’ e p. Há que resolver o exercício com o recurso a um processo geométrico auxiliar – o do rebatimento, por exemplo. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. A recta i r está definida por Fr e Hr e a recta i’r está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo) e pela sua direcção (é paralela a i r). Em rebatimento, desenhou-se pr, qualquer, perpendicular a i r e i’r e determinaram-se os pontos de concorrência de pr com aquelas – Ir e I’r, respectivamente. I é o ponto de intersecção de p com ρ e I’ é o ponto de intersecção de p com σ. 3. A distância entre os dois pontos é a distância entre os dois planos. 苶I苶I r 苶I苶’苶r é, assim, a V.G. da distância entre os dois pontos (e da distância entre os dois planos). Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projecções de I e I’. As projecções do segmento [III’] são as projecções de um segmento representativo da distância entre os dois planos.

2.

Em primeiro lugar representou-se a pirâmide pelas suas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide. Uma vez que a base da pirâmide está contida num plano frontal (de frente), o eixo da pirâmide está n e c e s s a r i amente contido numa recta de topo (projectante frontal), pelo que se tem O2 ≡ V2, sendo que V tem afastamento nulo (o plano da base tem 7 cm de afastamento e a altura da pirâmide também é de 7 cm, sendo o vértice invisível em projecção frontal). Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos C e E, CV] e [E EV] são, imediatamente, respectivamente – as arestas laterais [C duas arestas da linha separatriz luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes ao sólido). As arestas laterais CV] e [E EV] separam a parte da superfície lateral da pirâmide que está [C iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz CDV] e [D DEV ] (de cima, da esquerda e de trás), as faces laterais [C A BV], [A AEV] e estão iluminadas, enquanto que as faces laterais [A B CV] estão em sombra. A base da pirâmide também está iluminada, [B pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada C V E A B]. A so m b r a p r ó p r i a da pirâmide integra apenas as faces [C A BV], [A AEV] e [B B CV]. Em projecção frontal, todas as faces laterais [A laterais são invisíveis, pelo que não há sombra própria visível (não há qualquer sombra própria a assinalar). Já em projecção horizontal, a (Continua na página seguinte) 538

SOLUÇÕES

A BV] e [A AEV] – a sombra própria visível resume-se à face lateral [B B CV]. base é invisível (é projectante horizontal), tal como as faces laterais [A Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra (considerando a direcção luminosa convencional). Vs2 ≡ V2, pois V é um ponto do Plano Frontal de Projecção. Es1, A s1 e Bs1 situam-se no SPHA e Vs2 e Cs2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem dois pontos de quebra (um entre Es1 e Vs2 e o outro entre Bs1 e Cs2). O primeiro determinou-se com B C] do pentágono (que é o recurso à sombra virtual de E – Ev2. O segundo determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o lado [B frontal) e a sua sombra no Plano Frontal de Projecção (ver exercício 570 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

3.

Em função dos ângulos entre as perspectivas dos eixos, conclui-se que se trata de uma perspectiva dimétrica, pois existem dois ângulos de 125o – atendendo a que o somatório dos três ângulos axonométricos (os ângulos entre as perspectivas dos três eixos) tem de ser 360o, concluiu-se que não pode haver dois ângulos de 110°, pois o somatório seria inferior a 360o. Assim, as perspectivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 125o e o eixo que sofre uma redução isolada é o eixo Z, pois é aquele cuja perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos (2 x 125o + 110o = 360o). A base do cone está contida no plano YZ, pelo que o plano a rebater é o plano YZ – este rebateu-se pelo método do rebatimento dos planos coordenados. Tenha em conta que para a representação axonométrica de cones é fundamental a determinação rigorosa das geratrizes do contorno aparente – ver exercício 896 e respectivo relatório. Como se referiu naquele relatório, não é aconselhável o recurso ao método dos cortes, mas, antes, o processo do rebatimento dos planos coordenados. Em primeiro lugar, rebateu-se o plano YZ, que é o plano que contém a base do cone – a charneira do rebatimento é a recta e.

Representou-se Qr, o centro da base, em rebatimento, em função das suas coordenadas (abcissa e cota) – com o compasso, fazendo centro em Qr e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência que delimita a base do cone, em rebatimento. Em seguida, inscreveu-se a circunferência num quadrado de lados paralelos à charneira, desenhando-se, em seguida, as suas medianas e as suas diagonais. Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado são, imediatamente, quatro pontos da circunferência e as suas perspectivas serão os extremos dos dois eixos da elipse. A construção da perspectiva do quadrado efectuou-se a partir do ponto em que um dos lados paralelos à charneira é concorrente com o eixo Y e a partir do ponto em que o outro lado é concorrente com o eixo Z – os pontos A e B, respectivamente. A perspectiva do quadrado é um rectângulo – o rectângulo tem centro na perspectiva de Q, pela qual se conduziram as diagonais do rectângulo (que são as perspectivas das diagonais do quadrado). Transportaram-se, para a perspectiva, os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado (através de perpendiculares à charneira) e, dessa forma, obtiveram-se os oito pontos necessários a um desenho relativamente preciso da elipse, que é a perspectiva da base do cone. No entanto, não é aconselhável desenhar de imediato a elipse, pois os procedimentos sequentes vão originar a determinação de mais dois pontos da curva. Esses procedimentos são os necessários à determinação das geratrizes do contorno aparente. No entanto, antes de efectuar esses traçados, há que determinar a perspectiva de V, o vértice do cone. O eixo X e o eixo Y têm o mesmo coeficiente de redução, pelo que foi possível, através do rebatimento do eixo Y (no rebatimento previamente efectuado para a construção da base), determinar a perspectiva da abcissa de V. Sobre o eixo Yr determinou-se um ponto com 6 cm de abcissa – com o recurso a uma perpendicular à charneira, determinou-se a perspectiva desse ponto que, em seguida, com o compasso e fazendo centro em O, se transportou para a perspectiva do eixo X, obtendo, assim, a perspectiva da abcissa de V. Após a determinação da perspectiva de V, efectuaram-se os traçados necessários à determinação das geratrizes do contorno aparente, que têm a ver com a determinação dos planos tangentes ao cone que contêm a direcção das projectantes, o que se efectua em três passos que, em seguida, se especificam. 1. Pelo vértice do cone conduz-se uma recta, a recta i, que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes (a recta i é uma recta projectante, pelo que a sua perspectiva é um ponto, coincidente com a perspectiva de V) – a recta i é a recta projectante de V. 2. Determina-se o ponto I, que é o ponto de intersecção da recta i com o plano da base do cone, o plano YZ (a perspectiva de I está necessariamente coincidente com a perspectiva de i e de V). 3. Por I (Continua na página seguinte) 539

SOLUÇÕES

conduzem-se as rectas tangentes à base do cone, o que tem de se processar em rebatimento. Assim, é necessário rebater o ponto I, o que se processa com o recurso a uma recta do plano YZ que passa por I – a recta m. A recta m é uma recta que está contida no plano YZ e é paralela ao eixo Y (é uma recta de topo), sendo concorrente com a charneira (recta e) no ponto M, que é fixo. Por Mr conduz-se mr, paralela ao eixo Yr. O ponto I r é o ponto em que a recta mr é concorrente com a perpendicular à charneira que passa por I. Por Ir conduzem-se as rectas tangentes à base, em rebatimento (que é uma circunferência). As rectas tr e t’r são as rectas tangentes à base em Tr e T’r, respectivamente. As geratrizes do contorno aparente do cone passarão pelo vértice e pelas perspectivas de T e T’. As perspectivas de T e T’ obtiveram-se conduzindo, por Tr e por T’r, uma recta, que é paralela à charneira – a recta rr. Esta recta é concorrente com o eixo Zr num ponto R r – conduzindo, por R r, uma perpendicular à charneira (recta e), determinou-se a perspectiva de R sobre a perspectiva do eixo Z. A perspectiva da recta r passa pela perspectiva de R e é paralela à charneira. As perspectivas de T e T’ determinaram-se, sobre a perspectiva da recta r, através das perpendiculares à charneira que por eles passam. As perspectivas das geratrizes do contorno aparente podem desenhar-se imediatamente – uma tem extremos em V e em T e a outra em V e em T’. Note que, agora, temos dez pontos para o desenho da elipse à mão livre, que tem de passar pelos oito pontos determinados previamente e pelos pontos T e T’. Tenha ainda em conta que a elipse é concordante com as perspectivas das geraTV] e [T T’V] nas perspectivas de T e T’, respectivamente. Em seguida, assinalou-se convenientemente a parte invisível do contorno da trizes [T base do cone, que é a parte menor da elipse que tem extremos nas perspectivas de T e T’.

P ROVA G LOBAL 2 1.

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados – o plano θ está definido pelos seus traços e o plano ρ está definido pelo eixo X (onde se situam os seus traços, que estão coincidentes) e pelas projecções do ponto P. Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta oblíqua, o plano ortogonal à aresta do diedro não é projectante nem tem determ i n a ç ã o i m e d i a t a, pelo que se recorreu ao 2o P r o c e s s o.

1. Por um ponto qualquer, conduziram-se duas rectas – uma recta a, ortogonal ao plano ρ, e uma recta b, ortogonal ao plano θ. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por conduzir as duas rectas pelo ponto P, o ponto que define o plano passante. A recta b é uma recta frontal (de frente).

A recta a é uma recta de perfil, que está definida por um ponto (o ponto P ) e por uma direcção (é ortogonal ao plano ρ).

2. O ângulo entre as rectas a e b é o ângulo entre os planos ρ e θ. Esse ângulo está contido no plano definido pelas duas rectas, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Assim, optou-se por rebater o plano definido por a e b para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira é a recta de intersecção do plano definido pelas duas rectas com o Plano Horizontal de Projecção. Para determinar a charneira do rebatimento, é necessário determinar os traços horizontais das duas rectas. O traço horizontal da recta a só pode ser determinado com o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π, o plano de perfil que contém a recta a. A recta a, porque é ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal às rectas de perfil do plano ρ – a recta p é a recta de intersecção do plano π com o plano ρ e é uma recta de perfil do plano ρ. A recta p está definida por dois pontos – o ponto P (que é um ponto comum aos dois planos) e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (a recta p, porque é uma recta de perfil do plano ρ, é necessariamente uma recta de perfil passante). Rebateu-se o plano π para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hπ (recta e).

A recta pr está definida por Pr e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo (é um ponto da charneira). A recta ar passa por Pr e é perpendicular a pr – a ortogonalidade entre a recta a e o plano ρ já está garantida. Em rebatimento, determinou-se o traço horizontal da recta p – H. Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções de H (que é fixo, pois é um ponto da charneira). Em seguida, determinou-se H’, o traço horizontal da recta b (que está coincidente com Pr – note que, caso se tivesse rebatido o plano π para o Plano Frontal de Projecção, tal não aconteceria). Definiu-se a charneira do rebatimento do plano definido pelas rectas a e b para o Plano Horizontal de Projecção – recta e’ (está definida por H e H’, os traços horizontais das rectas a e b, respectivamente). Note que se tem e’1 ≡ ar, por mera casualidade de traçados – caso se tivesse rebatido o plano π para o Plano Frontal de Projecção, tal não aconteceria. H’r ≡ H’1 e Hr ’ ≡ H1, pois H’ e H são dois pontos Hr ’ é o ponto H no seu segundo rebatimento – no rebatimento do plano definido pelas rectas a e b). Em seguida, rebateu-se o da charneira (H ponto P (que é o ponto de concorrência das duas rectas) pelo seu triângulo do rebatimento, em função da sua cota – Pr’ é o ponto P rebatido pelo seu segundo rebatimento (o rebatimento do plano definido pelas rectas a e b). A recta ar’ está definida por Pr’ e Hr’ (a recta ar’ é a recta a rebatida pelo seu segundo rebatimento – o rebatimento do plano definido por a e b). A recta br está definida por H’r e por Pr ’. A V.G. da amplitude do diedro entre ρ e θ está em qualquer dos dois ângulos menores entre ar ’ e br, com vértice em Pr ’ – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com α°.

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SOLUÇÕES

2.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados.

O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do A B CDEF]). O sólido (que é o hexágono [A plano ϕ’ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do A’B’C’D’E’F’]). prisma (que é o hexágono [A Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 626, pelo que se aconselha a sua leitura. Note que, nesta situação, em que a base de referência do prisma (a sua base de menor afastamento) não está contida no Plano Frontal de Projecção, a recta i não é o traço frontal do plano definido por r e l, tal como as rectas t e t’ também não são os traços frontais dos planos tangentes luz/sombra – as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano ϕ. As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base de menor afastamento) nos pontos F e C , FF’] respectivamente – as arestas laterais [F CC’] são, imediatamente, duas arestas e [C FF’] e [C CC’] são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) da linha separatriz luz/sombra. As arestas laterais [F FF’] e [C CC’] separam a parte da superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra – dada a proveao sólido. As arestas [F CC’D’D], [D DD’E’E] e [E EE’F’F] estão iluminadas, enquanto que as faces laterais niência da luz (de cima, da direita e de trás), as faces laterais [C BB’C’C], [A AA’B’B] e [A AA’F’F] estão em sombra. A base de menor afastamento do prisma também está em sombra e a sua base de maior [B CC’B’A’F’FED]. A sombra própria do prisafastamento está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [C BB’C’C], [A AA’B’B] e [A AA’F’F] e a base de menor afastamento do prisma. Em projecção horizontal, as faces laterais ma integra as faces laterais [B AA’B’B] e [B BB’C’C] são invisíveis, bem como a base de menor afastamento (é projectante horizontal) – a sombra própria a assinalar em pro[A AA’F’F] (a única face em sombra que é visível em projecção horizontal). Já em projecção frontal, jecção horizontal resume-se à face lateral [A todas as faces laterais são invisíveis (são projectantes frontais), bem como a base de menor afastamento – apenas a base de maior afastamento é visível e está iluminada, pelo que não há qualquer sombra própria a assinalar em projecção frontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. C’s1, B’s1 e A’s1 situam-se no SPHA e Cs2, Ds2, Es2, Fs2 e F’s2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do paralelepípedo admite dois pontos de quebra (um entre C’s1 e Cs2 e o outro entre A’s1 e F’s2). O primeiro deCC’] e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 547 terminou-se atendendo à situação de paralelismo entre o segmento [C A’F’] e a sua some respectivo relatório). O segundo ponto de quebra determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o segmento [A bra no Plano Frontal de Projecção (ver exercício 570 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes.

No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

3.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo X, pelo que a sua perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos que, por sua vez, fazem um ângulo de 110o entre si – a perspectiva do eixo X faz ângulos de 125o com as perspectivas dos outros dois eixos (2 x 125o + 110o = 360o). A base da pirâmide está contida num plano horizontal (de nível) ν, que é paralelo ao plano XY, pelo que se projecta em V.G. no plano XY – o hexágono e a sua projecção horizontal são dois polígonos geometricamente iguais. Assim, o plano a rebater é o plano XY, que se rebateu pelo método dos cortes (ver exercício 888 e respectivo relatório). No plano XY, rebatido e transladado, representaram-se as projecções horizontais (em rebatimento) dos pontos A e B – A 1r e B 1r. Note que A é um ponto do plano XZ, pois tem afastamento A 1r situa-se no eixo Xr ’), e B é um ponto do plano YZ, pois tem abcissa nula (B B 1r situa-se no eixo Yr ’). A partir de A 1r e B 1r construiu-se nulo (A a projecção horizontal do hexágono da base, em rebatimento – V1r, a projecção horizontal do vértice da pirâmide (em rebatimento), está coincidente com Q1r, a projecção horizontal do centro do hexágono (em rebatimento). Para determinar a perspectiva da base da pirâmide há que, em primeiro lugar, determinar os traços do plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém o hexágono. Atendendo a que o eixo Y (Continua na página seguinte) 541

SOLUÇÕES

e o eixo Z têm o mesmo coeficiente de redução (o eixo X é o que sofre a redução isolada), sobre o eixo Yr ’ representou-se um ponto M r – M é um ponto do eixo Y que tem 10 cm de afastamento, que é igual à cota do plano ν. Por M r conduziu-se uma perpendicular à charneira e determinou-se a perspectiva de M sobre a perspectiva do eixo Y. Com o compasso, fazendo centro em O e raio até à perspectiva de M, transportou-se a perspectiva da abcissa de M para a perspectiva do eixo Z, obtendo a perspectiva de um ponto com a cota de ν – por esse ponto conduziram-se as perspectivas dos traços do plano ν (ff ν é a perspectiva do traço frontal de ν e é paralelo à perspectiva do eixo X, tal como pν é a perspectiva do traço lateral de ν e é paralelo à perspectiva do eixo Y). A determinação das perspectivas de A e B foi imediata, pois A é um ponto de f ν e B é um ponto de pν. Conduzindo, por A 1r, uma perpendicular à charneira, determinou-se a perspectiva de A sobre a perspectiva de f ν. De forma semelhante, conduzindo, por B 1r , uma perpendicular à charneira, determinou-se a perspectiva de B sobre a perspectiva de pν. Para determinar as perspectivas dos restantes vértices da base recorreu-se a duas rectas que contêm os vértices do polígono – as rectas h e h’.

CF] A recta h é a recta suporte da diagonal [C do hexágono. A recta h’ é a recta suporte DE] do hexágono. As rectas h e h’ do lado [D são duas rectas horizontais (de nível) do plano ν – h1r e h’1r são, respectivamente, as projecções horizontais das rectas h e h’, em rebatimento. A recta h1r intersecta o eixo Xr ’ em R 1r e o eixo Yr ’ em S1r – as perspectivas de R e S determinaram-se sobre as perspectivas de f ν e de pν, respectivamente, recorrendo às perpendiculares à charneira que passam por R 1r e S1r. Note que R é o traço frontal da recta h e S é o seu traço lateral. A perspectiva da recta h está, assim, determinada – fica definida pelas perspectivas de R e S (h está definida por dois pontos). Por C1r e F1r conduziram-se as perpendiculares à charneira que por eles passam – as perspectivas de C e F são os pontos de intersecção daquelas com a perspectiva da T é o traço lateral da recta h’) – a perspectiva de T determinourecta h. A recta h’1r é paralela à recta h1r e intersecta o eixo Yr ’ no ponto T1r (T -se sobre a perspectiva de pν, através da perpendicular à charneira que passa por T1r. A perspectiva da recta h’ passa pela perspectiva de T e é paralela à perspectiva da recta h. As perspectivas dos pontos D e E determinaram-se sobre a perspectiva da recta h’, recorrendo às rectas perpendiculares à charneira que passam por D1r e E1r. Para determinar a perspectiva de V, que é um ponto com cota nula (é um ponto do plano XY), desenhou-se a perspectiva de h1 – esta está definida pelas perspectivas de R 1 e S1, que se situam, respectivamente, sobre as perspectivas do eixo X e do eixo Y. Conduzindo, por V1r, uma perpendicular à charneira, determinou-se a perspectiva de V sobre h1, bem como a perspectiva de Q (o centro do hexágono) sobre a perspectiva da recta h. Note que se tem V1 ≡ V. A partir das perspectivas de todos A B CVF]. Existem dois vértices os vértices da pirâmide, desenhou-se a sua perspectiva, cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada [A que não integram o contorno aparente – os vértices D e E. Estes são visíveis, bem como todas as arestas que neles convergem. Note que a CDV], [D DEV] e [E EFV]. As faces laterais [A AFV], [A A BV] e [B B CV] são invisíveis, pelo que base da pirâmide é visível, bem como as faces laterais [C AV] e [B BV] são invisíveis. as arestas laterais [A

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SOLUÇÕES

P ROVA G LOBAL 3 1.

Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, em função dos dados – o plano α tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β2/4. Pretende-se a V.G. da amplitude do diedro formado entre o plano α e o plano ϕ, que é um plano frontal (de frente). O diedro formado entre o plano α e o plano ϕ é igual (tem a mesma amplitude) ao diedro que o plano α fará com qualquer plano paralelo ao plano ϕ. Assim, o diedro formado entre o plano α e o plano ϕ é igual (tem a mesma amplitude) ao diedro formado entre o plano α e o Plano Frontal de Projecção (que é paralelo ao plano ϕ). Assim, optou-se por determinar a amplitude do diedro formado entre o plano α e o Plano Frontal de Projecção. A recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta frontal (é o próprio traço frontal do plano α – f α), pelo que o plano ortogonal à aresta do diedro é projectante (é um plano de topo) e tem determinação imediata.

Assim, é possível recorrer ao 1o P r o c e s s o. No entanto, optou-se por um raciocínio mais simples, idêntico ao utilizado no exercício 316. O ângulo entre um plano oblíquo qualquer e o Plano Frontal de Projecção é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que as suas rectas de maior inclinação fazem com o Plano Frontal de Projecção. Assim, o problema resume-se à determinação do ângulo entre uma recta (uma recta i, de maior inclinação do plano α) e o Plano Frontal de Projecção. Determinaram-se as projecções de uma recta i, uma recta de maior inclinação do plano, qualquer – a recta i está definida pelos seus traços. O ângulo entre a recta i e o Plano Frontal de Projecção está contido num plano que contém a recta i e é ortogonal ao Plano Frontal de Projecção – trata-se do plano projectante frontal da recta i. Assim, por i conduziu-se um plano de topo (o plano θ) – o ângulo entre a recta i e o Plano Frontal de Projecção é o ângulo entre a recta i e a sua projecção ortogonal no Plano Frontal de Projecção (que é i 2, que é o próprio traço frontal do plano θ – f θ). Esse ângulo está contido no plano θ e não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano θ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hθ. Rebateu-se a recta i, rebatendo os seus traços – i r está definida por Fr e por Hr. A V.G. da amplitude do diedro entre o plano α e o Plano Frontal de Projecção está em qualquer dos dois ângulos agudos entre i r e f θr, com vértice em Fr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αo.

2.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cilindro, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento do cilindro. O plano ϕ’ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do cilindro. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 657, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra (o plano λ) está definido por uma recta r, de topo (paralela às geratrizes do cilindro), e por um raio luminoso l (com a direcção luminosa convencional). A recta i é a recta de intersecção do plano definido por r e l com o plano ϕ (o plano da base de referência). As rectas t e t’ são as rectas paralelas à recta i que são tangentes à base de menor afastamento do cilindro (a base de referência) – as rectas t e t ’ são tangentes àquela base do cilindro nos pontos A e B , respectivaA A ’] e [B B B ’] mente. As geratrizes [A (Continua na página seguinte) 543

SOLUÇÕES

são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra – são as geratrizes que separam a parte da superfície lateral do cilindro que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (da esquerda, de cima e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a parte superior da superfície, enquanto que a parte em sombra é a sua parte inferior (a parte mais próxima do Plano Horizontal de Projecção). A base de menor afastamento do cilindro está em sombra e a sua base de maior afastamento está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a ២២ linha mista fechada [A AA’ A’B’ B A]. Em projecção frontal, a base de menor afastamento (que está em sombra) é invisível, bem como a superfície lateral do cilindro (as geratrizes são projectantes frontais), pelo que, em projecção frontal, não há qualquer sombra própria a assinalar. Em projecção horizontal, a base de menor afastamento (que está em sombra) é invisível (é projectante horizontal) – a parte em sombra própria do cilindro AA’] e a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. que é visível em projecção horizontal é a que está compreendida entre a geratriz [A BB’] é invisível em projecção horizontal, o que se assinalou devidamente. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de Note que a geratriz [B todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. As2 e Bs2 situam-se no SPFS e A’s1 e B’s1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do cilindro admite dois pontos de quebra. Um situa-se entre As1 e A’s2 e o outro entre Bs1 e B’s2. Os pontos de quebra determinaram-se atendendo à AA’] e [B BB’] (que são de topo) e as respectivas sombras no Plano Horizontal de Projecção (ver exercísituação de paralelismo entre as geratrizes [A ២ ២ cio 547 e respectivo relatório). As sombras dos extremos do arco A B situam-se, ambas, no SPFS, pelo que a sombra do arco A B não admite pon២ tos de quebra – a sua sombra existe, na totalidade, no SPFS e é um arco geometricamente igual ao arco A B (com 3,5 cm de raio), com centro em ២ ២ Os2. Note que a sombra do arco A B passa necessariamente por As2 e por Bs2. Uma vez que as sombras dos extremos do arco A ’B’ se situam, am២ ២ bas, no SPHA, é possível concluir que a sombra do arco A’B’ também não admite pontos de quebra – a sombra do arco A’B’ situa-se, na totalida២ de, no SPHA. A sombra do arco A’B’ será um segmento de elipse, que se determinou inscrevendo previamente o arco na parte correspondente do quadrado circunscrito à circunferência, tal como exposto no relatório do exercício 575, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório.

Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o AA’] é concordante com a sombra do arco faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a sombra da geratriz [A ២ ២ BB’] é concordante com a sombra A B em As2 e é concordante com a sombra do arco A ’B’ em A’s1. De forma semelhante, a sombra da geratriz [B ២ ២ do arco A B em Bs2 e é concordante com a sombra do arco A’B’ em B’s1.

3.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projectantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 130o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 140o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, optou-se por representar o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, considerando, para tal, o plano X Y rebatido sobre o plano axonométrico (o plano X Z ). Nesse sentido, representaram-se os pontos A , B e V, pelas suas projecções – A 2, B 2 e V2 são as suas projecções frontais e A 1r , B 1r e V1r são as suas projecções horizontais, em rebatimento (no rebatimento do plano XY). A partir de A 1r e B 1r, construiu-se a projecção horizontal do hexágono da base do sólido, em V.G. (no rebatimento do plano XY), o que nos permitiu determinar as projecções horizontais (em rebatimento) dos restantes vértices do polígono – a partir daquelas determinaram-se as projecções frontais dos vértices do hexágono, que se situam no eixo X, pois todos os vértices do polígono têm cota nula (o hexágono está contido no plano XY). A partir das duas projecções de todos os vértices da pirâmide, seria possível, em seguida, construir as duas projecções do sólido, mas optou-se por não o fazer, de forma a não sobrecarregar desnecessariamente a resolução gráfica apresentada. De facto, a partir das duas projecções de cada um dos vértices do sólido (a projecção frontal e a projecção horizontal, em rebatimento) é possível, agora, determinar as suas perspectivas propriamente ditas e, em seguida, desenhar a perspectiva do sólido. Determinou-se a direcção de afinidade que nos permite inverter o rebatimento do plano XY, a partir do afastamento de V – o ponto P foi o ponto do eixo Y (com o afastamento de V) ao qual se recorreu para determinar a direcção de afinidade (ver alínea a) do exercício 845 e respectivo relatório). Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano XY e determinaram-se as perspectivas das projecções horizontais de todos os vértices da pirâmide. A partir das projecções frontais de todos os vértices da pirâmide e das perspectivas das suas projecções horizontais, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas de cada um dos BCDEV]. Existem dois vértices vértices da pirâmide e desenhou-se a perspectiva do sólido, cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada [B que não integram o contorno aparente – os vértices A e F. Estes são invisíveis, bem como todas as arestas que neles convergem. Note que a base A BV], [A AFV] e [E EFV]. As faces laterais [B BCV], [C CDV] e [D DEV], por sua vez, são visíveis. da pirâmide é invisível, bem como as faces laterais [A 544

SOLUÇÕES

P ROVA G LOBAL 4 1.

Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta r é uma recta do β2/4, pelo que tem as suas projecções coincidentes. O ponto P, porque pertence ao β2/4, tem coordenadas simétricas e projecções coincidentes.

A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto P, uma recta perpendicular à recta r. No entanto, a perpendicularidade não é directa em nenhuma das projecções, pois a recta não é paralela a qualquer dos planos de projecção. Assim sendo, o processo de resolução mais linear consiste em resolver o problema a duas dimensões, no plano definido pela recta e pelo ponto – para tal é necessário rebater o plano definido pela recta e pelo ponto, pois em rebatimento (em V.G.) a perpendicularidade é directa. Assim, rebateu-se esse plano para o plano frontal (de frente) ϕ que contém o ponto P – a charneira do rebatimento (recta e) fica definida pelo ponto P e pelo ponto B (que é o ponto de intersecção da recta r com o plano ϕ). O ponto A é o ponto de concorrência da recta r com o eixo X. Note que, uma vez que tanto a recta r como o ponto P pertencem ao β2/4, o plano definido pela recta e pelo ponto é o próprio β2/4 – o rebatimento efectuado foi o rebatimento do β2/4, pelo que a charneira é uma recta fronto-horizontal (é a recta de intersecção do β2/4 com um plano frontal – o plano ϕ). Pr ≡ P2 e Br ≡ B2, pois P e B são dois pontos da charneira. Já temos um ponto para definir a recta r em rebatimento (o ponto B r). Recorreu-se a um outro ponto da recta r (o seu ponto de concorrência com o eixo X – o ponto A ), para rebater a recta – r r fica definida por A r e B r. Note que o ponto A se rebateu pelo triângulo do rebatimento, em função do seu afastamento em relação ao plano ϕ (a distância de A ao plano ϕ). Em rebatimento (no plano definido pela recta e pelo ponto), conduziu-se, por Pr, uma perpendicuP苶I lar a r r, obtendo Ir – 苶 r 苶I苶r é a V.G. da distância de P a r . Inverteu-se o rebatimento, com o recurso à perpendicular à charneira que passa por I (e que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento), obtendo I2 sobre r 2 – uma vez que as projecP I], que é o segmento ções da recta r estão coincidentes, sabe-se que I1 ≡ I2. A partir das projecções de I, obtiveram-se as projecções de [P representativo da distância de P a r.

2.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e C e o foco luminoso L, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida desenharam-se os traços do plano ρ, atendendo a que A (que tem afastamento nulo) é um ponto de f ρ e que C (que tem cota nula) é um ponto de hρ. O quadrado A BCD] não se projecta em V.G., em nenhum dos planos de [A projecção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hρ (recta e).

O rebatimento do plano ρ processou-se de forma idêntica à exposta no relatório do exercício 593, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. O ponto A foi o ponto que nos permitiu rebater f ρ. Cr ≡ C1, pois C é um ponto da charneira.

A partir de A r e de Cr, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. A inversão do rebatimento processou-se com o recurso às rectas r e s, do plano, que são as rectas suporte dos AD] e [B B C] do quadrado, respectivamente (ver exercício lados [A 190 e respectivo relatório). A partir das projecções do quadrado, determinaram-se as sombras reais de todos os seus vértices (considerando raios luminosos oriundos de L). A s2 ≡ A 2, pois A é um ponto do Plano Frontal de Projecção. Cs1 ≡ C1, pois C é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. A s2 e Bs2 situam-se no SPFS e Cs1 e Ds1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do quadrado admite dois pontos de quebra (um entre A s2 e Ds1 e o outro entre Bs2 e Cs1. O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de D e o segundo com o recurso à sombra virtual de B. Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do quadrado (que é a mesma em ambas as projecções) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices das duas projecções do quadrado e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

545

SOLUÇÕES

3.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que a direcção das projectantes se refere ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o.

A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 140o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 130o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, optou-se por representar o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, considerando, para tal, o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico (o plano XZ). Nesse sentido, representaram-se os pontos A e B, pelas suas projecções – A 2 e B2 são as suas projecções frontais e A 1r e B 1r são as suas projecções horizontais, em rebatimento (no rebatimento do plano XY). A partir de A 1r e B1r, construiu-se a A BC], em V.G. (no rebatimento projecção horizontal do triângulo [A do plano XY), o que nos permitiu determinar C1r, a projecção horizontal de C (que é o vértice de menor abcissa do triângulo), em rebatimento – a projecção frontal de C situa-se no eixo X, pois todos os vértices do polígono têm cota nula (o triângulo está contido no plano XY). Em seguida, atendendo a que o prisma tem 7 cm de altura e a sua base inferior tem cota nula, sabe-se que a base superior do sólido está contida num plano horizontal (de nível) ν, com 7 cm de cota – este raciocínio permitiu-nos representar o plano ν pelos seus traços (ffν é o traço frontal de ν e pν é a perspectiva do traço lateral de ν, que é concorrente com f ν no eixo Z). Em seguida, determinaram-se as projecções dos vértices da base superior, o A’B’C’] – as suas projecções horizontais (em rebatimento) estão coincidentes com as projecções horizontais (em rebatimento) dos triângulo [A vértices da base inferior, pois as arestas do sólido são verticais (projectantes horizontais) e as suas projecções frontais estão sobre f ν (o plano ν é projectante frontal). A partir das duas projecções de todos os vértices da pirâmide construíram-se as duas projecções do sólido. Determinou-se a direcção de afinidade que nos permite inverter o rebatimento do plano XY, a partir de um ponto P do eixo Y (ver alínea a) do exercício 845 e respectivo relatório). Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano XY e determinaram-se as perspectivas das projecções horizontais de todos os vértices do prisma. A partir das projecções frontais de todos os vértices do prisma e das perspectivas das suas projecções horizontais, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas de cada um dos vértices do sólido e desenhou-se a perspectiva do prisma, cujo contorno B CC’A’B’]. Existe um único vértice que não integra o contorno aparente – o vértice A. Este é invisível, aparente é a linha quebrada fechada [B A A ’ B ’ B] e bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base inferior do sólido é invisível, bem como as faces laterais [A AA’C’C]. A face lateral [B BB’C’C] e a base superior do sólido, por sua vez, são visíveis.

[A

P ROVA G LOBAL 5 1.

Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta r tem as suas projecções coincidentes, pois é uma recta do β2/4. O plano α tem os seus traços coincidentes, pois é um plano ortogonal ao β2/4. Note que a recta r não pertence ao plano α, apesar de as suas projecções estarem sobre os traços de α. Uma vez que se trata do ângulo entre uma recta e um plano não projectante, recorreu-se ao método do ângulo complementar. 1.

Por um ponto P qualquer, da recta r, conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano (note que a recta p é também uma recta do β2/4). 2. O ângulo formado entre as duas rectas está contido no plano definido pelas mesmas (que é o próprio β2/4), e não se projecta em V.G. – recorreu-se ao rebatimento do plano definido pelas duas rectas (o β2/4) para um dos planos de projecção (note que o rebatimento é rigorosamente o mesmo, independentemente do plano de projecção para onde se processe o rebatimento) – a charneira é o eixo X. A é o ponto de concorrência da recta r com o eixo X e B é o ponto de concorrência da recta p com o eixo X – tem-se imediatamente A r ≡ A 2 ≡ A 1 e B r ≡ B 2 ≡ B 1, pois A e B são dois pontos da charneira. Rebateu-se o ponto P pelo triângulo do rebatimento. A recta r r fica definida por A r e Pr e a recta pr fica definida por B r e por Pr. O ângulo entre r e p é qualquer dos ângulos agudos entre r r e pr, com vértice em Pr, e identificou-se com 90o–θo, pois é o ângulo complementar do ângulo pretendido. 3. O ângulo entre a recta r e o plano α é o ângulo complementar do ângulo 90o–θo – assim, por Pr conduziu-se uma perpendicular a pr. O ângulo pretendido é o ângulo entre esta perpendicular e r r, e identificou-se com θo.

546

SOLUÇÕES

2.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto O e a base do cone, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base do cone. A projecção horizontal do vértice determina-se imediatamente, tendo em conta que o eixo do cone está contido numa recta de perfil e que o cone tem 7 cm V tem 12 cm de afastamento, de altura (V pois a base tem 5 cm de afastamento).

Este facto permite-nos construir imediatamente a projecção horizontal do sólido.

Tendo em conta que o eixo do sólido faz um ângulo de 45o com o Plano Horizontal de Projecção, e que esse ângulo não está em V.G. (está contido no plano que contém o eixo e é ortogonal ao Plano Horizontal de Projecção – um plano de perfil), é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. A recta p, de perfil, é a recta suporte do eixo do cone. O plano π é o plano de perfil que contém a recta p. O ângulo que a recta p faz com o Plano Horizontal de Projecção é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que a recta p faz com hπ (a projecção ortogonal da recta p no Plano Horizontal de Projecção). Recorreu-se ao rebatimento do plano de perfil π (o plano que contém o eixo) para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f π. Com vértice em Or, mediram-se os 45o com hπr e desenhou-se pr (note que existem duas hipóteses, mas apenas uma delas garante que o traço frontal de p se situa no S P F I). Note ainda que a segunda hipótese não garantiria que o cone se situasse no 1o Diedro, pelo que é desnecessário o dado referente ao traço frontal da recta p. Rebatendo V1, determinou-se a referência de Vr e determinou-se Vr sobre pr. Invertendo o rebatimento, determinou-se V2, a projecção frontal de V, e concluiu-se a construção da projecção frontal do cone. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. O ponto I é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l com o plano ϕ (o plano da base). As rectas t e t’ passam por I e são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, respectivamente – as geratrizes [T TV] e [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra, pois separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a ២ ២ parte da superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco maior T T’, enquanto que a parte que corresponde ao arco menor T T’ ២ TV T’T ]. Em proestá em sombra. Uma vez que a base do cone está em sombra, a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [T jecção frontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, mas a parte da superfície lateral do cone que está em sombra (a menor parte T’2V2]) é parcialmente visível – a sombra própria a assinalar, em projecção frontal, é a parte da superfície lateT2V2] e [T compreendida entre [T TV] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [T T’V] é invisível ral do cone compreendida entre a geratriz [T em projecção frontal. Em projecção horizontal, a base também é invisível (é projectante horizontal) mas é visível a parte em sombra da T’V] e a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. Note que a geratriz superfície lateral do cone compreendida entre a geratriz [T TV] é invisível, em projecção horizontal, mas está oculta pela projecção horizontal da geratriz [T T’V]. Em seguida, determinaram-se as som[T bras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. Ts 1 e Vs 1 situam-se no SPHA e T’s 2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra do T’V] – este cone admite dois pontos de quebra. Um ponto de quebra situa-se entre T’s 2 e Vs 1 e é o ponto de quebra da sombra da geratriz [T Vv 2). O outro ponto de quebra situa-se entre T’s 2 e Ts 1 e é o ponto de quebra da sombra determinou-se com o recurso à sombra virtual de V (V ២ ២ ២ do arco T’T – o arco T’T produz sombra sobre dois planos de projecção. A determinação do ponto de quebra na sombra do arco T’T e da 5 7 8 própria sombra processou-se de acordo com o exposto no relatório do exercício , pelo que se aconselha a sua leitura. O plano luz/sombra passante está definido pelo eixo X e pelo raio luz/sombra l’ – I’ é o ponto de intersecção do raio luz/sombra l’ com o plano ϕ (o plano da base do cone) e a recta i é a recta de intersecção do plano luz/sombra passante com o plano ϕ (o plano da base). A recta i é uma recta fronto-horizontal que passa por I’. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

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SOLUÇÕES

3. a) Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – o plano axonométrico é o plano XZ, pelo que o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X, um ângulo de 150o (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 120o (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, optou-se por representar o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, considerando, para tal, o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico (o plano XZ). Nesse sentido, representou-se o ponto A , pelas suas projecções – A 2 é a sua projecção frontal e A 1r é a sua projecção horizontal, em rebatimento (no rebatimento do plano XY). Em seguida representou-se o plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide, pelos seus traços – f ν é o traço frontal de ν e pν é a perspectiva do seu traço lateral (ff ν e a perspectiva de pν são concorrentes entre si no eixo Z). É referido no A BV] e enunciado que as faces laterais [A C D V ] estão contidas em planos de [C rampa, o que nos permite concluir que A B] e [C CD] do quadrado da os lados [A base são fronto-horizontais. Este raciocínio permitiu-nos inferir a posição do polígono da base do sólido. Assim, construíram-se as projecções do quadrado da base, que tem 5 cm de lado – com o recurso às diagonais da projecção horizontal do quadrado (em rebatimento), determinou-se o seu centro, no qual se situa V1r, a projecção horizontal (em rebatimento) do vértice da pirâmide (note que se trata de uma pirâmide regular). O vértice da pirâmide tem 6 cm de cota, pois o plano da base tem 2 cm de cota e a pirâmide tem 4 cm de altura. A partir das projecções de todos os vértices da pirâmide, desenharam-se as suas projecções – a sua projecção frontal e a sua projecção horizontal, em rebatimento. Determinou-se a direcção de afinidade d que nos permite inverter o rebatimento do plano XY, a partir do afastamento de C e D – o ponto P foi o ponto do eixo Y (com o afastamento de C e D) ao qual se recorreu para determinar a direcção de afinidade (ver alínea a) do exercício 845 e respectivo relatório). Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano XY e determinaram-se as perspectivas das projecções horizontais de todos os vértices da pirâmide. A partir das projecções frontais de todos os vértices da pirâmide e das perspectivas das suas projecções horizontais, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas de cada um dos vértices B CDV]. Existe um único vértice da pirâmide e desenhou-se a perspectiva do sólido, cujo contorno aparente é a linha quebrada fechada [B que não integra o contorno aparente – o vértice A . Este é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base da A BV] e [A A DV]. As faces laterais [B B CV] e [C CDV], por sua vez, são visíveis. pirâmide é invisível, bem como as faces laterais [A CDV] é necessário o recurso a uma recta qualquer do plano b) Para determinar os traços do plano de rampa que contém a face lateral [C (note que já se sabe que os traços horizontal e frontal do plano são rectas fronto-horizontais). Assim, recorreu-se à recta r, que é a recta DV] – a recta r é necessariamente uma recta do plano ρ (o plano de rampa que contém aquela face), pois a suporte da aresta lateral [D DV] é uma das arestas daquela face. A perspectiva propriamente dita da recta r está definida pelas perspectivas propriamente aresta [D ditas de D e V. A perspectiva da projecção horizontal da recta r, r 1, está definida por D1 e V1, as perspectivas das projecções horizontais de D e V, respectivamente. A perspectiva da projecção horizontal da recta r, r 1, intersecta o eixo X num ponto que é F1 – F é o ponto da recta r com afastamento nulo, pelo que F é o traço frontal da recta r. A perspectiva de F situa-se sobre a perspectiva da recta r. Por outro lado, a perspectiva propriamente dita da recta r é concorrente com a perspectiva da sua projecção horizontal num ponto que tem cota nula, que é H, o seu traço horizontal. Note que se tem F ≡ F2 (pois F é um ponto do plano XZ) e H ≡ H1, pois H é um ponto do plano XY. Por F conduziu-se f ρ, o traço frontal do plano ρ e pela perspectiva de H conduziu-se hρ, a perspectiva do traço horizontal do plano ρ – f ρ e a perspectiva de hρ são, ambos, paralelos ao eixo X (são rectas fronto-horizontais). O traço lateral do plano ρ é concorrente com o traço frontal do plano ρ num ponto do eixo Z, tal como o traço lateral do plano ρ é concorrente com o traço horizontal do plano ρ num ponto do eixo Y – este foi o raciocínio que nos permitiu determinar pρ, a perspectiva do traço lateral do plano ρ. O plano ρ, definido pelos seus CDV] da pirâmide. traços (frontal, horizontal e lateral), é o plano de rampa que contém a face lateral [C

548

SOLUÇÕES

P ROVA G LOBAL 6 Exame Nacional, 2002 – Prova Código 408 (Prova Modelo) GRUPO I

1.

Em primeiro lugar representou-se o plano α pelas projecções do ponto P e da recta n, em função dos dados. Pretende-se a V.G. da amplitude do diedro formado entre o plano α e o Plano Frontal de Projecção – a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta frontal (é o traço frontal do plano α – f α). Uma vez que o plano α não está definido pelos seus traços, efectuaram-se os traçados necessários à determinação de f α – f α fica definido por F, o traço frontal da recta n, e por F’, o traço frontal de uma recta h, paralela a n e passando por P. O plano ortogonal à aresta do diedro (que é f α) é projectante (é um plano de topo) e tem determinação imediata. Assim, é possível recorrer ao 1o P r o c e s s o. No entanto, optou-se por um raciocínio mais simples – o ângulo entre um plano oblíquo qualquer e o Plano Frontal de Projecção é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que as suas rectas de maior inclinação fazem com o Plano Frontal de Projecção. Assim, o problema resume-se à determinação do ângulo entre uma recta (uma recta i, de maior inclinação do plano α) e o Plano Frontal de Projecção. Determinaram-se as projecções de uma recta i, qualquer, uma recta de maior inclinação do plano α – i 2 é perpendicular a f α e, para uma maior economia de traçados, conduziu-se a recta i pelo ponto A .

Já temos um ponto para definir a recta i (que é o ponto de concorrência da recta i com a recta n). O ponto B é o ponto de concorrência da recta i com a recta h. A recta i está definida por dois pontos – A e B. O ângulo entre a recta i e o Plano Frontal de Projecção está contido num plano que contém a recta i e é ortogonal ao Plano Frontal de Projecção – trata-se do plano projectante frontal da recta i. Assim, por i conduziu-se um plano de topo (o plano δ) – o ângulo entre a recta i e o Plano Frontal de Projecção é o ângulo entre a recta i e a sua projecção ortogonal no Plano Frontal de Projecção (que é i 2, que é o próprio traço frontal do plano δ – f δ). Esse ângulo está contido no plano δ e não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano δ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hδ. Rebateu-se a recta i, rebatendo os pontos que a definem – i r está definida por A r e por B r. A V.G. da amplitude do diedro entre o plano α e o Plano Frontal de Projecção está em qualquer dos dois ângulos agudos entre i r e f δr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com θ°.

2.

Em primeiro lugar representou-se o ponto O pelas suas projecções, em função dos dados. Para que o ponto pertença a um plano, o ponto tem de pertencer a uma recta do plano – a recta h foi a recta horizontal (de nível), pertencente ao plano e passando por O, a que se recorreu para determinar os traços de δ. A recta h, porque é paralela a hα, faz um ângulo de 45o (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. F é o traço frontal de h – f δ passa por F2 e faz, com o eixo X, um ângulo de 45o (a.d.) e hδ é concorrente com f δ no eixo X e faz, igualmente, um ângulo de 45o (a.d.) com o eixo X. Note que o plano δ é ortogonal ao β1/3, pois tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X. A B C D ] não se projecta em V.G. em O quadrado [A nenhum dos planos de projecção (o plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano δ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hδ (recta e). O rebatimento do plano α processou-se de forma idêntica à exposta no relatório do exercício 589, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. O ponto F foi o ponto que nos permitiu rebater f δ. A recta hr é, em rebatimento, a recta suporte de uma das diagonais do quadrado (em rebatimento) – a outra diagonal é perpendicular a hr. O ponto dessa (Continua na página seguinte) 549

SOLUÇÕES

diagonal que se situa sobre hδr é A r (o vértice A está no traço horizontal de δ). Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até A r, desenhouA C], -se a circunferência circunscrita ao quadrado e construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência. A diagonal [A BD] (que está contida numa recta horizontal do plano), está necessariamente contida numa do quadrado, porque é perpendicular à diagonal [B recta de maior declive do plano δ. Inverteu-se o rebatimento, recorrendo a uma outra recta horizontal (de nível) do plano δ (a recta h’) e desenharam-se as projecções do quadrado. A r ≡ A 1, pois A é um ponto da charneira. A partir das projecções do quadrado, determinaram-se as sombras reais de todos os seus vértices (considerando a direcção convencional da luz). A s1 ≡ A 1, pois A é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Bs2 e Cs2 situam-se no SPFS e A s1 e Ds1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do quadrado admite dois pontos de quebra (um entre Ds1 e Cs2 e o outro entre Bs2 e A s1. O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de D. O segundo ponto de quebra determinou-se atendendo a dois segmentos de recta paralelos produzem, num mesmo plano, sombras paralelas. Assim, a sombra que o A B] produz no Plano Frontal de Projecção é paralela à sombra que o segmento [C CD] produz no Plano Frontal de Projecção ([A A B] e segmento [A CD] são paralelos). Assim, por Bs2 conduziu-se uma paralela ao segmento [C Cs2Ds2], até ao eixo X, onde se situa o segundo ponto de quebra.

[C Note que este ponto de quebra se poderia ter determinado com o recurso à sombra virtual de A ou de B, mas tal implicaria mais traçado. Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do quadrado, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com tracejado (conforme é expressamente pedido no enunciado), em cada um dos planos de projecção, perpendicular às respectivas projecções da direcção luminosa.

GRUPO II

1.

Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projecções, em função dos dados bem como o plano ν, pelo seu traço frontal – o plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do prisma e que passa necessariamente por O. Foi possível, ainda, em função dos dados, desenhar a projecção horizontal da circunferência circunscrita à base e determinar o vértice do triângulo com maior abcissa – o vértice A (que tem 6 cm de afastamento). A partir deste, foi possível construir o triângulo em V.G., em projecção horizontal, e concluir a construção da projecção horizontal do prisma (note que as arestas laterais do sólido são verticais, pelo que as duas bases estão coincidentes, em projecção horizontal). A base superior é o triângulo equiA ’ B ’ C ’ ] e a base inferior é o triângulo equilátero látero [A A B C ]. Note que não nos é dada a altura do prisma – o [A dado que nos permite determinar a cota do plano da base superior refere-se ao comprimento das diagonais das faces laterais do sólido. Os dados obrigam-nos, assim, a recorrer a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. Uma vez que nenhuma das faces laterais do prisma é paralela a qualquer dos planos de projecção, nenhuma das diagonais das faces se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar.

Note que, tratando-se de um prisma regular, as suas faces laterais são rectângulos e são todas iguais, pelo que todas AA’C’C]. Rebateu-se as diagonais das faces do sólido são iguais. Optou-se pelo rebatimento do plano α, o plano que contém a face lateral [A o plano α para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f α), obtendo Cr e a referência de A’r (obtida a partir do rebatimento de A’1). Note CA’] da face [A AA’C’C]. Com o recurso ao compasso, fazendo centro em Cr e com 7 cm de raio (a medida que o exposto se refere à diagonal [C das diagonais), obteve-se A’r. A partir de A’r, inverteu-se o rebatimento, determinando-se A’2, o que nos permitiu saber a cota da base superior (e representar o plano horizontal que a contém – o plano ν’) e concluir a construção da projecção frontal do sólido. Em seguida, pelos seis vértices do prisma conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que por eles passam e construiu-se a projecção lateral do sólido, rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z). Em seguida desenhou-se o contorno aparente lateral do prisma (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada A 3A’3C’3C3]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente lateral – os vértices B e B’. Estes são invisíveis (bem como todas [A A B] e [B B C] (da base inferior) e as as arestas que neles convergem), pois são os vértices de menor abcissa do prisma. Assim, as arestas [A A’B’] e [B B’C’] (da base superior), são invisíveis, mas estão ocultas por arestas daquelas bases que são visíveis (em projecção latearestas [A BB’] é invisível. ral). Ainda nesse sentido, a aresta lateral [B

550

SOLUÇÕES

2.

Atendendo a que a soma dos três ângulos axonométricos é de 360o, conclui-se que existe um outro ângulo com 128o 30’ (128,5o) de amplitude – o ângulo entre as perspectivas do eixo X e do eixo Y. O eixo X é, assim, o eixo que sofre uma redução isolada, pois é o ângulo cuja perspectiva faz ângulos iguais com as perspectivas dos outros dois eixos. Sobre a construção da perspectiva do cone, ver exercício 896 e respectivo relatório, pois trata-se de dois exercícios muito idênticos. O ponto P, do eixo Y, foi o ponto que nos permitiu determinar a perspectiva da cota de V, pois o eixo Y e o eixo Z têm o mesmo coeficiente de redução. A recta g foi a recta que nos permitiu rebater o ponto I – a recta g é uma recta que está contida no plano XY e é paralela ao eixo X (é uma recta fronto-horizontal), sendo concorrente com a charneira (que não se identificou) no ponto G, que é fixo. Por Gr conduz-se gr, paralela ao eixo Xr. O ponto Ir é o ponto em que a recta gr é concorrente com a perpendicular à charneira que passa por I. A recta m foi a recta que nos permitiu determinar as perspectivas de T e T’ – mr é paralela à charneira e é concorrente com o eixo Yr num ponto M r. Conduzindo por M r, uma perpendicular à charneira, determinou-se a perspectiva de M sobre a perspectiva do eixo Y. A perspectiva da recta m passa pela perspectiva de M e é paralela à charneira. As perspectivas de T e T’ determinaram-se, sobre a perspectiva da recta m, através das perpendiculares à charneira que passam por Tr e T’r.

551

SOLUÇÕES

P ROVA G LOBAL 7 Exame Nacional, 2002 – Prova Código 408 (1ª Fase, 1ª Chamada) GRUPO I

1.

Em primeiro lugar representaram-se as rectas n e f, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O ângulo entre as duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas e tem vértice em P. Uma vez que o plano definido pelas duas rectas não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Por uma questão de economia de traçados, optou-se por rebater o plano definido pelas duas rectas para o plano horizontal (de nível) que contém a recta n – a charneira do rebatimento (recta e) é a própria recta n, que roda sobre si própria, pelo se tem imediatamente n1 ≡ e1 ≡ nr. Sublinha-se que seria igualmente económico, em termos de traçado, efectuar o rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) que contém a recta f que, nesse caso, seria a charneira e rodaria sobre si própria. Pr ≡ P1 pois P é um ponto da charneira. Para rebater a recta f é necessário o recurso a um ponto qualquer da recta – o ponto H, o traço horizontal da recta f (mas poderia ser um outro ponto qualquer da recta f). H rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua cota em relação ao plano ν (a distância de H ao plano ν). A recta f r está definida por Pr e Hr. A V.G. do ângulo entre f e n está em qualquer dos dois ângulos agudos entre nr e f r, com vértice em Pr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com α°.

2.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto A , pelas suas projecções, e o plano δ, pelos seus traços e contendo o ponto A , em função dos dados.

B tem afastamento nulo, pelo que é um ponto de f δ – B é o ponto de f δ que tem 4 cm de cota. Este raciocínio permitiu-nos determinar as projecções de B. O quadrado não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano δ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano δ para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f δ) – B r ≡ B 2, pois B é um ponto da charneira. A partir de A r e B r construiu-se o quadrado em V.G. – invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções dos restantes vértices e as projecções do quadrado. Em seguida determinaram-se as sombras reais dos quatro vértices do quadrado e analisou-se a existência de pontos de quebra na sombra do polígono. B s 2 ≡ B 2, pois B é um ponto do Plano Frontal de Projecção.

B s 2, Cs 2 e Ds 2 situam-se no SPFS e A s 1 situa-se no S P H A , pelo que a sombra do quadrado admite dois pontos de quebra – um situado entre B s 2 e A s 1 e o outro situado entre A s 1 e Ds 2. Os dois pontos de quebra determinaram-se com o recurso à sombra virtual de A – A v 2. Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do polígono, assinalando convenientemente a parte invisível (que está oculta pelo próprio quadrado). Recorreu-se a uma mancha clara a uniforme para assinalar a parte visível da sombra projectada do quadrado. A face visível do quadrado (em projecção frontal) está iluminada, pois considerando um qualquer movimento rotativo, os vértices da projecção frontal e da sombra aparecem sempre pela mesma ordem. A projecção horizontal não admite a existência de sombra própria, pois resume-se a um segmento de recta (o plano δ é projectante horizontal).

552

SOLUÇÕES

GRUPO II 1.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B , pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em A BC], da base. Os resseguida, construiu-se o triângulo [A tantes dados não nos permitem uma construção imediata do sólido, pois implicam o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. Sobre o vértice V, da pirâmide, sabe-se apenas a sua abcissa e o comprimento das aresAV] e [B BV]. As arestas [A AV] e [B BV] não se protas laterais [A jectam em V.G., em nenhum dos planos de projecção, pois não são paralelas a nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Note que, apesar de não termos o vértice da pirâmide, sabe-se que as duas arestas estão contidas num mesmo plano projectante horizontal, pois tem-se A1 ≡ B1.

Assim, optou-se pelo rebatimento do plano projectante horizontal que contém as duas arestas. No entanto, o único dado que temos sobre esse plano (plano α) resume-se ao seu traço frontal, que passa necessariamente por A e B (que são dois pontos com afastamento nulo) – note que não se sabe a orientação do plano α. Assim, só é possível rebater o plano α para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f α. A r ≡ A 2 e Br AV]), ≡ B2, pois A e B são dois pontos da charneira. Com o compasso, fazendo centro em A r e com 6 cm de raio (o comprimento da aresta [A BV]), desenhoudesenhou-se um arco de circunferência. De forma idêntica, com centro em Br e com 7 cm de raio (o comprimento da aresta [B -se outro arco de circunferência. O ponto de intersecção dos dois arcos é Vr. Inverteu-se o rebatimento – uma vez que é dada a abcissa de V (é possível desenhar, imediatamente, a linha de chamada de V), por Vr conduziu-se uma paralela ao eixo X (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento – um plano horizontal), determinando V2 no ponto de intersecção da paralela ao eixo X com a linha de chamada de V. Em seguida, desenhou-se a projecção horizontal do arco do rebatimento de V, no sentido da inversão do rebatimento, e determinou-se V1, a projecção horizontal de V, o que nos permitiu concluir a construção das projecções (horizontal e frontal) da pirâmide. Em seguida, foi possível desenhar hα, o traço horizontal do plano α – hα é concorrente com f α no eixo X e passa por V1, pois α é um plano projectante horizontal. Por fim, pelos quatro vértices da pirâmide conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que por eles passam e construiu-se a projecção lateral do sólido, rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z). Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral da pirâmide (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada [A A3B3V3]. Existe um vértice que não integra o contorno aparente lateral – o vértice C. Este é invisível (bem como todas A C] e [B B C], da base, são invisíveis, mas as arestas que nele convergem), pois é o vértice de menor abcissa da pirâmide. Assim, as arestas [A A B], da base, que é visível. Ainda nesse sentido, a aresta lateral [C CV] é invisível em projecção lateral. estão ocultas pela aresta [A

2.

Ver exercício 881 e respectivo relatório. Note que o ponto P foi o ponto que nos permitiu determinar a cota do plano ν (o plano horizontal que contém a base superior do sólido). A circunferência M苶A A苶.r A construção do circunscrita à base tem centro em Mr e raio 苶 r苶 triângulo da base, em rebatimento, processou-se a partir de A r.

O contorno aparente da perspectiva do sólido é a linha quebraA BCC’A’]. O único vértice que não integra o contorno da fechada [A aparente é o vértice B’, que é visível, bem como todas as arestas A C], da base infeque nele convergem. Assim, apenas a aresta [A rior, é invisível, pois é a recta de intersecção de duas faces invisíveis (note que a base inferior é invisível, bem como a face lateral AA’C’C]).

[A

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SOLUÇÕES

P ROVA G LOBAL 8 Exame Nacional, 2002 – Prova Código 408 (1 a Fase, 2 a Chamada) GRUPO I 1.

Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pelo que é ortogonal ao β1/3. O ponto P tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X, pois é um ponto do β1/3 (pontos do β1/3 têm coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X). Para determinar a distância do ponto P ao plano α recorreu-se ao m é t o d o g e r a l p a r a a d e t e r m i n a ç ã o d a d i s t â n c i a d e u m p o n t o a u m p l a n o, conforme exposto no relatório do exercício 224. 1. Pelo ponto P conduziu-se uma recta p, ortogonal ao plano (a recta p é uma recta oblíqua, cujas projecções são perpendiculares aos traços homónimos do plano). 2. Determinou-se o ponto I, o ponto de intersecção da recta p com o plano α – a determinação do ponto I processou-se com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos, pois nem a recta nem o plano são projectantes. O plano θ é o plano auxiliar a que se recorreu (é o plano projectante frontal da recta p).

A recta i é a recta de intersecção dos dois planos (o plano α e o plano θ) e determinou-se a partir do caso geral da intersecção entre planos. O ponto I é o ponto de concorrência das rectas p e i. 3. A distância do ponto P ao plano α P I]. O segmento [P P I] é oblíquo, pelo é o comprimento do segmento de recta [P que não se projecta em V.G. em nenhuma das suas projecções. A determinação da V.G. da distância obriga, assim, ao recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da distância para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hθ. A V.G. da distância de P a α éP 苶苶I r苶I苶. r

2.

Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que A’B’C’]. Em contém a base superior do sólido, que é o triângulo [A seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 626, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra está definido por uma recta v, vertical (paralela às arestas laterais do prisma) e por um raio luminoso l. Note que, nesta situação, em que a base inferior do prisma está contida no Plano Horizontal de Projecção, a recta i é o traço horizontal desse plano (II e I’ são os traços horizontais das rectas v e l, respectivamente), tal como as rectas t e t ’ são os traços horizontais dos planos tangentes luz/sombra – as rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o Plano Horizontal de Projecção (o plano que contém a base inferior do sólido). As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base inferior) nos pontos B e C, respectivamente – as arestas laterais [B BB’] e [C CC’] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas BB’] e [C CC’] são as arestas segundo as quais os planos laterais [B B B ’] e λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [B CC’] separam a parte da superfície lateral do prisma que está ilu[C BB’C’C] é a única face ilumiminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a face lateral [B A A ’ B ’ B] e [A AA’C’C] estão em sombra. A base inferior do prisma também está em sombra e a sua nada, enquanto que as faces laterais [A BB’A’C’C]. A sombra própria do prisbase superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [B A A ’ B ’ B] e [A AA’C’C] e a base inferior do prisma. Em projecção frontal, a face lateral [A A A ’ B ’ B] é invisível, bem ma integra as faces laterais [A AA’C’C] (a única como a base inferior (é projectante frontal) – a sombra própria a assinalar em projecção frontal resume-se à face lateral [A face em sombra que é visível em projecção frontal). Já em projecção horizontal, todas as faces laterais são invisíveis (são projectantes horizontais), bem como a base inferior – apenas a base superior é visível e está iluminada, pelo que não há qualquer sombra própria a assinalar em projecção horizontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. Bs 1 ≡ B 1 e Cs 1 ≡ C1, pois B e C são pontos do Plano Horizontal de Projecção. B s 1, Cs 1 e C’s 1 situam-se no SPHA e A’s 2 e B’s 2 situam-se no SPFS, pelo (Continua na página seguinte) 554

SOLUÇÕES

que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra (um entre A’s 2 e C’s 1 e o outro entre B’s 2 e B s 1). O primeiro determinouBB’] e a sua sombra no Plano Frontal de Projecção, pois trata-se de um seg-se atendendo à situação de paralelismo entre o segmento [B mento de recta vertical, que é um caso particular dos segmentos de recta frontais (ver exercício 545 e respectivo relatório). O segundo A’C’] e a sua sombra no Plano Horizontal de Proponto de quebra determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o segmento [A jecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no enunciado.

Note que a porção de sombra que está por baixo da base inferior está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

GRUPO II 1.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto M, pelas suas projecções, bem como o plano π, pelos seus traços e contendo o ponto M, em função dos dados. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar as projecções do ponto A .

A B CD] (a base da pirâmide) não O quadrado [A se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano π (o plano que o contém) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção (Plano Frontal de Projecção e Plano Horizontal de Projecção). No entanto, o plano π é paralelo ao Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), pelo que o quadrado se projecta em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ). Assim, é possível recorrer à projecção lateral para construir as restantes projecções do sólido. Por M e por A conduziram-se as rectas projectantes laterais (fronto-horizontais) que por eles passam e determinaram-se M 3 e A 3, as projecções laterais de M e A , rebatendo o plano YZ (o Plano de Perfil de Projecção) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). Com o compasso, fazendo centro em M 3 e raio até A 3, desenhou-se a projecção lateral da circunferência circunscrita ao quadrado e construiu-se a projecção lateral do quadrado, inscrito na circunferência. Atendendo a que o eixo do sólido está contido numa recta frontoV3) está coincidente -horizontal (que é uma recta projectante lateral), sabe-se imediatamente que a projecção lateral do vértice da pirâmide, (V A 3B 3C3D3], que com M 3, o que nos permitiu concluir a construção da projecção lateral do sólido. O contorno aparente lateral do sólido é [A corresponde ao contorno da base – o vértice V não integra o contorno aparente lateral, e é o vértice de menor abcissa da pirâmide (fica situado à direita da base), pelo que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. Em seguida inverteu-se o rebatimento do plano YZ (o Plano de Perfil de Projecção), obtendo as projecções (horizontal e frontal) da base da pirâmide. Note que, a partir da projecção lateral do sólido, são já conhecidos o afastamento e a cota do vértice da pirâmide (o eixo está contido numa recta fronto-horizontal). Sendo dado o comprimento das arestas laterais (que não se projectam em V.G. em nenhum dos planos de projecção, nem no plano de perfil YZ, por não serem paralelas a nenhum desses planos), é necessário o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas, nomeadamente o recurso a processos geométricos auxiliares (note que nenhum dado nos perAV] (plamite saber, de forma imediata, a abcissa do vértice da pirâmide). Optou-se por rebater o plano projectante frontal da aresta lateral [A no α) para o Plano Horizontal de Projecção. No entanto, o único dado que temos sobre esse plano resume-se ao seu traço horizontal, que passa necessariamente por A (que é um ponto com cota nula) – note que não se sabe a orientação do plano α. Assim, só é possível rebater o plano α para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hα. A r ≡ A 1 e, pois A é um ponto da charneira. Com o compasso, fazendo centro em A r e com 9 cm de raio (o comprimento das arestas laterais da pirâmide), desenhou-se um arco de circunferência – Vr é o ponto desse arco que tem o afastamento de M. Recorde que o eixo da pirâmide está contido numa recta fronto-horizontal, pelo que V tem o afastamento (e a cota) de M. Em seguida inverteu-se o rebatimento, obtendo V2 sobre a projecção frontal da recta suporte do eixo da pirâmide – a partir de V2 determinou-se V1, na linha de chama de V2 e sobre a projecção horizontal da recta suporte do eixo da pirâmide. Em seguida, foi possível desenhar f α, o traço frontal do plano α – f α é concorrente com hα no eixo X e passa por V2, pois α é um plano projectante frontal.

A partir das duas projecções (frontal e horizontal) de V, é possível concluir a construção das projecções (horizontal e frontal) da pirâmide.

Note que, este exercício teria uma resolução mais simples e com menos traçado, caso se considerasse uma superfície cónica tangente à superfície lateral da pirâmide ao longo das quatro arestas laterais do sólido (a superfície cónica circunscrita à pirâmide), que é uma superfície de revolução (à semelhança do efectuado no exercício 974) – ver exercício 1008 e respectivo relatório.

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SOLUÇÕES

2.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que a direcção das projectantes se refere ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ – o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o.

A perspectiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo Y e do eixo Z, ângulos de 135°. Em seguida, optou-se por representar o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, considerando, para tal, o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico (o plano XZ) – note que, atendendo a que o plano axonométrico é o plano YZ, nesta situação a projecção lateral corresponde à projecção frontal da Dupla Projecção Ortogonal. Assim, representaram-se os pontos A e M , pelas respectivas projecções – A 3 e M 3 são as projecções laterais de A e M, respectivamente, e A 1r e M 1r são as projecções horizontais, em rebatimento (no rebatimento do plano XY) dos pontos A e M, respectivamente. A base da pirâmide está contida no plano XY, pelo que o quadrado está em V.G. no plano XY – com o compasso, fazendo centro em M1r e raio até A 1r, desenhou-se a circunferência circunscrita ao quadrado (em rebatimento) e, em seguida, efectuou-se a construção do quadrado, inscrito na circunferência, a partir de A 1r. Esta acção permitiu-nos obter as projecções horizontais (em rebatimento) dos restantes vértices do polígono – as suas projecções laterais estão no eixo Y, pois todos os vértices do quadrado têm cota nula (o quadrado está contido no plano XY). Uma vez que se trata de uma pirâmide regular, cuja base é horizontal, o seu eixo está contido numa recta vertical (projectante horizontal) – a projecção horizontal do vértice da pirâmide (em rebatimento) está coincidente com M1r, pelo que se tem imediatamente V1r ≡ M1r. Sendo dada a cota de V, determinou-se a projecção lateral de V, V3.

A partir das duas projecções de todos os vértices da pirâmide (projecção lateral e projecção horizontal, em rebatimento), seria possível, em seguida, construir as duas projecções do sólido, mas optou-se por não o fazer, de forma a não sobrecarregar desnecessariamente a resolução gráfica apresentada. De facto, a partir das duas projecções de cada um dos vértices do sólido (a projecção lateral e a projecção horizontal, em rebatimento) é possível, agora, determinar as suas perspectivas propriamente ditas e, em seguida, desenhar a perspectiva do sólido. Determinou-se a direcção de afinidade que nos permite inverter o rebatimento do plano XY, a partir da abcissa de M – o ponto P foi o ponto do eixo X (com a abcissa de M) ao qual se recorreu para determinar a direcção de afinidade (ver alínea a) do exercício 846 e respectivo relatório). Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano XY e determinaram-se as perspectivas das projecções horizontais de todos os vértices da pirâmide.

A partir das projecções laterais de todos os vértices da pirâmide e das perspectivas das suas projecções horizontais, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas de cada um dos vértices da pirâmide e desenhou-se a perspectiva do sólido, cujo contorno aparente é a linha queA BCV]. Existe um único vértice que não integra o contorno aparente – o vértice D. Este é invisível, bem como todas as arestas brada fechada [A ADV] e [C CDV]. As faces laterais [A A BV] e [B B CV], por que nele convergem. Note que a base da pirâmide é invisível, bem como as faces laterais [A sua vez, são visíveis.

P ROVA G LOBAL 9 Exame Nacional, 2002 – Prova Código 408 (2 a Fase) GRUPO I 1.

Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, em função dos dados. Pretende-se a V.G. da amplitude do diedro formado entre o plano α e o Plano Horizontal de Projecção – a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta horizontal (é o próprio traço horizontal do plano α – hα), pelo que o plano ortogonal à aresta do diedro é projectante (é um plano vertical) e tem determinação imediata. Assim, é possível recorrer ao 1o Processo. No entanto, optou-se por um raciocínio mais simples– o ângulo entre um plano oblíquo qualquer e o Plano Horizontal de Projecção é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que as suas rectas de maior declive fazem com o Plano Horizontal de Projecção. Assim, o problema resume-se à determinação do ângulo entre uma recta (uma recta d, de maior declive do plano α) e o Plano Horizontal de Projecção. Determinaram-se as projecções de uma recta d, uma recta de maior declive do plano, qualquer – a recta d está definida pelos seus traços. O ângulo entre a recta d e o Plano Horizontal de Projecção está contido num plano que contém (Continua na página seguinte) 556

SOLUÇÕES

a recta d e é ortogonal ao Plano Horizontal de Projecção – trata-se do plano projectante horizontal da recta d. Assim, por d conduziu-se um plano vertical (o plano γ) – o ângulo entre a recta d e o Plano Horizontal de Projecção é o ângulo entre a recta d e a sua projecção ortogonal no Plano Horizontal de Projecção (que é d1, que é o próprio traço horizontal do plano γ – hγ).

Esse ângulo está contido no plano γ e não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano γ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hγ. Rebateu-se a recta d, rebatendo os seus traços – Hr ≡ H1, pois H é um ponto da charneira, e F rebateu-se em função da sua cota. A recta dr está definida por Fr e por Hr. A V.G. da amplitude do diedro entre o plano α e o Plano Horizontal de Projecção está em qualquer dos dois ângulos agudos entre dr e hγr, com vértice em Hr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com θ°.

2.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e V, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν, passando por A , é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. Uma vez que a base da pirâmide está contida num plano horizontal (de nível), o eixo da pirâmide está n e c e s s a r i a m e n t e contido numa recta vertical (projectante horizontal), pelo que se tem O1 ≡ V1, sendo O o centro da circunferência circunscrita ao triângulo da base, que está contido no plano horizontal (de nível) que contém A . Com centro em O1 e raio até A 1 desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo, que se construiu em seguida e a partir do qual se desenharam as projecções da pirâmide, respeitando as respectivas invisibilidades. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à BV] base nos pontos B e C, respectivamente – as arestas laterais [B C V ] são, imediatamente, duas arestas da l i n h a s e p a r a t r i z e [C luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 BV] e [C CV] separam são tangentes ao sólido). As arestas laterais [B a parte da superfície lateral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da B CV] é a única face iluminada esquerda e de trás), a face lateral [B A BV] e [A ACV] estão em sombra. enquanto que as faces laterais [A A base da pirâmide também está iluminada, pelo que a l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a é a l i n h a q u e b r a d a f e c h a d a [B B V C A ].

A s o m b r a p r ó pr i a da pirâmide integra apenas as faces laterais A BV] e [A ACV]. Em projecção horizontal, todas as faces laterais são invisíveis, pelo que não há sombra própria visível (não há qualquer som[A ACV] – a sombra própria bra própria a assinalar). Já em projecção frontal, a base é invisível (é projectante frontal), tal como a face lateral [A A BV]. Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra visível resume-se à face lateral [A (considerando a direcção luminosa convencional). Vs 1 ≡ V1, pois V é um ponto do Plano Horizontal de Projecção. Cs 2 e A s 2 situam-se no SPFS e Vs 1 e B s 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem dois pontos de quebra (um entre Cs 2 e Vs 1 e o outro entre B s 1 e A s 2). O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de C – Cv 1. O segundo determinou-se atendendo à situação de A B] do triângulo (que é horizontal) e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo paralelismo entre o lado [A relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no enunciado.

557

SOLUÇÕES

GRUPO II 1.

Em primeiro lugar, representaram-se o ponto A, pelas suas projecções, em função dos dados.

A B C D ] está contido no Plano O quadrado [A Frontal de Projecção, pelo que está em V.G. no Plano Frontal de Projecção – é possível construir o quadrado em projecção frontal em V.G., de forma imediata. O vértice B é o ponto do eixo X que se situa a 5 cm (a medida do lado do quadrado) do ponto A – com o compasso, fazendo centro em A 2 e com 5 cm de raio, determinou-se B2 no eixo X. A partir de A 2 e B2, construiu-se a projecção frontal do quadrado, em V.G., e determinou-se a sua projecção horizontal, que se situa no eixo X. Note que os dados do enunciado não nos permitem construir absolutamente mais nada de forma imediata. De facto, os dados obrigam-nos a uma sequência de raciocínios encadeados (que têm a ver com a d e t e r m i n a ç ã o d e Ve r d a d e i r a s G r a n d e z a s), sem os quais não é possível a construção das projecções do sólido. É referido que duas das faces laterais do prisma estão contidas em planos de topo, para o que existem duas hipóteses distintas: ou são as faces AA’B’B] e [C CC’D’D] ou são as faces [A AA’D’D] e [B BB’C’C]. Só é possível deduzir quais das duas hipóteses é a correcta a partir de raciocínios [A espaciais ou, caso o estudante não seja capaz de efectuar esses raciocínios, terá de o descobrir por tentativa e erro. Nesse sentido, caso se considere a primeira hipótese, na sequência dos traçados a efectuar chegar-se-á à conclusão que, nessa situação, o prisma não se situaria no espaço do 1o Triedro. Assim, a hipótese correcta é a segunda – as faces laterais do sólido que estão contidas em planos de topo são as faces BB’C’C] e [A AA’D’D]. O plano θ (representado pelos seus traços) é o plano de topo que contém a face lateral [B BB’C’C] e o plano α laterais [B (representado, apenas, pelo seu traço frontal, que se assinalou devidamente entre parêntesis) é o plano de topo que contém a face lateral AA’D’D]. Por outro lado, tenha em conta que o ângulo dado (o ângulo que as arestas laterais do prisma fazem com os planos das bases) é o [A ângulo real, que existe no espaço e não tem correspondência em projecções – de acordo com os conteúdos estudados sobre ângulos entre rectas e planos, o ângulo que uma recta faz com um plano frontal (os planos das bases) está contido no plano projectante frontal da recta.

BB’] e da aresta [C CC’]. Os ângulos que estas arestas fazem com Note que o plano θ é, simultaneamente, o plano projectante frontal da aresta [B os planos das bases estão contidos no plano θ e não se projectam em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano θ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar, para obter o ângulo que aquelas arestas fazem com os planos das bases em verdadeira grandeza. Optou-se pelo rebatimento do plano θ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hθ), obtendo Cr e Br (note que B é um ponto da charneira, pelo que se tem Br ≡ B2). Com vértice em Br mediu-se o ângulo de 60o a partir do BB’]. Sobre esta, a partir de Br, mediram-se traço frontal do plano θ em rebatimento (ff θr, que está no eixo X), obtendo a recta suporte da aresta [B BrB’r] e construiu-se a face lateral [B BB’C’C] em os 5,5 cm (o comprimento das arestas), obtendo-se B’r. Por Cr conduziu-se uma paralela a [B V.G., em rebatimento, apesar de tal não ser estritamente necessário. Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projecções de B’ e C’, o que nos permitiu determinar o afastamento do plano da base de maior afastamento (o plano ϕ), que se representou pelo seu traço horizontal. Em seguida, representou-se o sólido em Dupla Projecção Ortogonal atendendo-se às invisibilidades existentes. Para determinar a terceira projecção do sólido conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos oito vértices do prisma – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do prisma e definem a projecção lateral do sólido, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral do prisma (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada [B B3C3D3D’3C’3B’3]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente lateral – os vértices A e A’. Estes são A B] e [A AD], da invisíveis (bem como todas as arestas que nele convergem), pois são os vértices de menor abcissa do prisma. Assim, as arestas [A A’B’] e [A A’D’], da base de maior afastamento, são invisíveis em projecção lateral, mas estão ocultas base de menor afastamento, e as arestas [A AA’] também é invisível. A aresta lateral [C CC’] é visível em projecção lateral, pois por arestas daquelas bases que são visíveis. A aresta lateral [A C e C’ são os vértices de maior abcissa das duas bases.

2.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Note que os dados do enunciado são insuficientes na informação da direcção das projectantes, pois o único dado refere-se ao ângulo entre as perspectivas do eixo X e do eixo Z. Analisemos as hipóteses que existem, que são duas. A perspectiva do eixo Z faz um ângulo de 120o com o eixo X, mas pode fazer um ângulo de 150o (um ângulo obtuso) ou um ângulo de 30o (um ângulo agudo) com o eixo Y. Decidimos apresentar a primeira hipótese. Em seguida, rebateu-se o plano XZ sobre o plano axonométrico, para se proceder à representação do sólido em Dupla Projecção Ortogonal. Assim, representou-se o (Continua na página seguinte) 558

SOLUÇÕES

ponto C em Dupla Projecção Ortogonal, em função das suas coordenadas – C1 é a projecção horizontal de C e C2 é a projecção frontal de C. Uma vez que se trata de um cone de revolução, cuja base está contida no plano XY, sabe-se que o eixo do sólido está contido numa recta vertical (projectante horizontal), pelo que se tem imediatamente V1 ≡ C1. V2r é a projecção frontal de V, em rebatimento (no plano XZ rebatido sobre o plano XY). Em seguida determinou-se a direcção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano XZ, com o recurso a um ponto P, do eixo Z. A partir da direcção de afinidade, inverteu-se o rebatimento do plano XZ, obtendo a perspectiva da projecção frontal de V – V2. A partir desta e da projecção horizontal de V, determinou-se a perspectiva de V. C é um ponto do plano XY, pelo que a sua perspectiva está coincidente com a sua projecção horizontal, pelo que se tem imediatamente C ≡ C1. Uma vez que a base do cone está contida no plano XY, está em V.G. – assim, com o compasso, fazendo centro em C e com 3 cm de raio, desenhou-se a circunferência que delimita a base do sólido. Em seguida, efectuaram-se os traçados necessários à determinação das geratrizes do contorno aparente, que têm a ver com a determinação dos planos tangentes ao cone que contêm a direcção das projectantes, o que se efectua em três passos que em seguida se especificam. 1. Pelo vértice do cone conduz-se uma recta, a recta i, que é a recta de intersecção dos dois planos tangentes (a recta i é uma recta projectante, pelo que a sua perspectiva é um ponto, coincidente com a perspectiva de V) – a recta i é a recta projectante de V. 2. Determina-se o ponto I, que é o ponto de intersecção da recta i com o plano da base do cone, o plano XY (a perspectiva de I está necessariamente coincidente com a perspectiva de i e de V). 3. Por I conduzem-se as rectas tangentes à base do cone, o que se processa directamente, pois a base está em V.G. – efectuaram-se os traçados lineares necessários à determinação das rectas tangentes à circunferência que passam por I, mas não se desenharam as tangentes, pois bastou determinar os pontos de TV] e tangência, T e T’. A partir das perspectivas destes dois pontos, desenharam-se as perspectivas das geratrizes do contorno aparente – [T ២ T’V] são as geratrizes do contorno aparente da perspectiva do cone. Note que a base do cone é invisível, pelo que o arco menorT T’ é invisível [T – corresponde à porção da circunferência da base que separa a base (que é invisível) da porção da superfície lateral do cone que é invisível.

P ROVA G LOBAL 10 Exame Nacional, 2003 – Prova Código 408 (1 a Fase, 1 a Chamada) GRUPO I 1.

Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. Note que, em função dos dados, o plano β tem os seus traços coincidentes (trata-se de um plano ortogonal ao β2/4).

Em seguida, e uma vez que a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta oblíqua, o plano ortogonal à aresta do diedro não é projectante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2o Processo. 1. Por um ponto P, qualquer, exterior aos planos, conduziram-se duas rectas – uma recta p, ortogonal ao plano α, e uma recta p’, ortogonal ao plano β. A recta p é uma recta horizontal (de nível). 2. O ângulo entre as rectas p e p’ é o ângulo entre os planos α e β. Esse ângulo está contido no plano definido pelas duas rectas, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção.

Assim, rebateu-se o plano definido por p e p’ para o plano horizontal (de nível) ν, que contém a recta p – p é a charneira (que é a recta de intersecção dos dois planos), pelo que se tem imediatamente pr ≡ e1 ≡ p1 e Pr ≡ P1 (P P é um ponto da charneira). A recta p’ rebateuM rebateu-se com o -se com o recurso a um ponto M, da recta p’ (M recurso ao seu triângulo do rebatimento, em função da sua cota em relação a ν – a distância de M a ν) – p’r está definida por M r e P r.

A V.G. do ângulo entre α e β está em qualquer dos dois ângulos menores entre pr e p’r, com vértice em Pr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com θ°.

559

SOLUÇÕES

2.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e V, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O plano ν, passando por A , é o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. Uma vez que a base da pirâmide está contida num plano horizontal (de nível), o eixo da pirâmide está necessariamente contido numa recta vertical (projectante horizontal), pelo que se tem O1 ≡ V1, sendo O o centro da circunferência circunscrita ao quadrado da base, que está contido no plano horizontal (de nível) que contém A . Com centro em O1 e raio até A 1 desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo, que se construiu em seguida e a partir do qual se desenharam as projecções da pirâmide, respeitando as respectivas invisibilidades.

Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos p l a n o s t a n g e n t e s l u z / s o m b r a , conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são tangentes à base nos pontos A e C, respectivamente – as arestas lateAV] e [C CV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz rais [A luz/sombra (são as arestas segundo as quais os planos λ1 e λ2 são AV] e [C CV] separam a parte tangentes ao sólido). As arestas laterais [A da superfície lateral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de A DV] e [C CDV] estão em sombra, enquanto trás), as faces laterais [A A BV] e [B B CV] estão iluminadas. A base da pirâque as faces laterais [A mide também está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/somb r a é a l i n h a q u e b r a d a f e c h a d a [A A V C B ]. A s o m b r a p r ó p r i a da A DV] e [C CDV] e a base da pirâmipirâmide integra as faces laterais [A de. Em projecção horizontal, todas as faces laterais são visíveis e a base é invisível, pelo que a sombra própria visível resume-se às faces A DV] e [C CDV]. Já em projecção frontal, a base é invisível laterais [A A DV] – a sombra própria visível resume-se à face lateral [C CDV]. Em seguida, determinaram-se (é projectante frontal), tal como a face lateral [A as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra (considerando a direcção luminosa convencional). A s 2 e Vs 2 situam-se no SPFS e B s 1 e Cs 1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada da pirâmide tem dois pontos de quebra (um entre Vs 2 e Cs 1 e o outro entre B s 1 e A s 2). O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv 1. O segundo determinou-se atendendo à situação A B] do quadrado (que é horizontal) e a sua sombra no Plano Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e resde paralelismo entre o lado [A pectivo relatório). Após o desenho do contorno da sombra (no qual se identificaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no enunciado.

GRUPO II 1.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida representou-se o plano de perfil que contém a base mais à direita do cilindro (o plano π), pelos seus traços e contendo os pontos O e P. Note que, os pontos dados O, o centro da base, e P, um dos extremos de uma das geratrizes do contorno aparente horizontal) são extremos de um raio de topo da base (O mais à direita do cilindro, que se projecta em V.G. no Plano Horizontal de Projecção e no Plano de Perfil YZ. Assim, e recorrendo imediatamente à terceira projecção (projecção lateral), é possível construir as projecções (lateral, frontal e horizontal, por esta ordem) da base mais à direita do sólido. Em seguida, a partir dos ângulos das projecções das geratrizes, é possível desenhar imediatamente as projecções das rectas suporte das geratrizes dos contornos aparentes frontal e horizontal – note que as geratrizes do cilindro são paralelas ao β2/4, pois as suas projecções são paralelas entre si. Note que, não é possível construir de forma imediata as projecções do cilindro, pois desconhece-se a altura do sólido (não se sabe a abcissa do plano de perfil que contém a base mais à esquerda do sólido) – o dado que nos permite determinar a altura do prisma é o que se refere ao comprimento das geratrizes do cilindro, que não se projectam em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois não são paralelas a qualquer dos planos de projecção. Os dados obrigam-nos, assim, a recorrer a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. Assim, é necessário o recurso a um dos processos geométricos auxiliares.

Optou-se por rebater o plano projectante horizontal da geratriz g (a geratriz do contorno aparente horizontal que contém o ponto P) para um plano frontal (de frente) que passa por P – o plano ϕ. A charneira do rebatimento é a recta e, que é uma recta vertical (uma recta projectante horizontal) – trata-se da recta de intersecção entre dois planos projectantes horizontais. A recta e (a charneira do rebatimento) é uma recta vertical que passa pelo ponto P, pois P é um ponto dos dois planos – o plano a rebater (o plano projectante horizontal da geratriz g) e o plano ϕ. O plano projectante horizontal da geratriz g está, assim, definido por duas rectas – a própria geratriz e a charneira (recta e), à qual o ponto P pertence.

(Continua na página seguinte) 560

SOLUÇÕES

O ponto P é um ponto da charneira, pelo que se tem imediatamente P r ≡ P 2. Para rebater a geratriz g recorreu-se a um ponto A , qualquer, da geratriz g – com o compasso, fazendo centro em (e1) e raio até A 1, desenhou-se um arco de circunferência hϕ), o que nos permitiu obter a referênaté (h cia de Ar, que tem a cota de A 2. A geratriz g, em rebatimento (gr), está definida por Pr e por A r . Sobre gr mediram-se os 7 cm (o comprimento da geratriz), a partir de Pr, obtendo P’r – P’ é o outro extremo da geratriz g. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do ponto P’, pelas quais se conduziram os traços do plano π’, o plano de perfil que contém a base mais à esquerda do sólido. Pelas projecções de O conduziram-se as projecções do eixo do sólido e determinou-se O’ , o centro da base mais à esquerda (é o ponto de intersecção do eixo com o plano π’). Em seguida, concluiu-se a construção das três projecções do sólido, atendendo-se às invisibilidades que existentes em projecção lateral – a base mais à direita é invisível (por ser a base de menor abcissa), enquanto que a base mais à esquerda é visível (por ser a base de maior abcissa).

Note que a projecção horizontal e a projecção frontal do cilindro são, ambas, paralelogramos.

2.

Ver exercício 885 e respectivo relatório. Note que, o ponto C, o centro da base inferior, tem de ter 3 cm de abcissa e 3 cm de afastamento, para que a base seja simultaneamente tangente ao eixo X e ao eixo Y. Tal como no exercício 885, considerou-se que o eixo do cilindro é a recta r. O ponto P, do eixo do cilindro, foi o ponto pelo qual se conduziu a recta p (a recta projectante). Observe que, relativamente ao exercício 885, se regista a omissão de algumas notações, por não serem essenciais à resolução mas, apenas, aos raciocínios que a sustentam.

561

SOLUÇÕES

P ROVA G LOBAL 11 Exame Nacional, 2003 – Prova Código 408 (1 a Fase, 2 a Chamada) GRUPO I

1.

Em primeiro lugar representaram-se as rectas n e p pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta p está definida por dois pontos – P e Fp. As rectas p e n são concorrentes (no ponto P), pelo que definem um plano – o ângulo entre as duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas e tem vértice em P. Uma vez que o plano definido pelas duas rectas não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar.

Por uma questão de economia de traçados, optou-se por rebater o plano definido pelas duas rectas para o plano horizontal (de nível) ν que contém a recta n – a charneira do rebatimento (recta e) é a recta de intersecção dos dois planos, pelo que é a própria recta n. Assim sendo, a recta n roda sobre si própria, pelo que se tem imediatamente nr ≡ e1 ≡ n1. Pr ≡ P1 pois P é um ponto da charneira.

Para rebater a recta p é necessário o recurso a um ponto qualquer da recta – o ponto Fp, por exemplo, que é um ponto da recta p que é dado (caso se escolhesse um outro ponto da recta, esse ponto teria de ser determinado com o recurso a um processo geométrico auxiliar, o que se traduziria na realização de traçados desnecessários). Fp rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância a ν (a cota de Fp em relação a ν). A recta pr está definida por Pr e Fpr. A V.G. do ângulo entre as rectas p e n está em qualquer dos dois ângulos agudos entre pr e nr, com vértice em Pr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com α°.

2.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e A, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O ponto A, porque pertence ao traço frontal do plano, tem afastamento nulo. Em seguida desenharam-se os traços do plano ϑ – ϑ é um plano projectante frontal, pelo que f ϑ passa por O2 e A 2. O triângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano ϑ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano ϑ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hϑ. Com o compasso, fazendo centro em Or e raio até A r, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência. Inverteu-se o rebatimento e determinaram-se as projecções dos vértices do triângulo e do próprio polígono. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices do triângulo, considerando a direcção convencional da luz. A s2 ≡ A 2, pois A é um ponto do Plano Frontal de Projecção. A s2 situa-se no SPFS e Bs1 e Cs1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra do triângulo admite dois pontos de quebra – estes determinaram-se com o recurso à somA v1). Em seguida, desenhou-se o contorno bra virtual de A (A da sombra projectada do triângulo, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do triângulo (em projecção horizontal, pois a projecção frontal do triângulo reduz-se a um segmento de recta) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices da projecção frontal do triângulo e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

562

SOLUÇÕES

GRUPO 2 1.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, em função dos dados.

Uma vez que o quadrado está contido no Plano Horizontal de Projecção, foi possível construir imediatamente o quadrado em V.G., em projecção horizontal, e determinar a sua projecção frontal. Uma vez que se trata de um prisma regular, as suas arestas laterais são projectantes horizontais (verticais), pelo que as projecções horizontais das duas bases estão coinciA’B’C’D’], cuja dentes – a base superior é o quadrado [A projecção horizontal está coincidente com a projecção A B C D]. Apesar de já estar horizontal do quadrado [A concluída a construção da projecção horizontal do prisma, note que não é possível construir directamente a sua projecção frontal, pois desconhece-se a altura do sólido – o dado que nos permite determinar a altura do prisma é o que se refere à medida das diagonais espaciais do sólido. Note que se entende por «diagonal de um sólido» (ou «diagonal espacial» de um sólido) todo o segmento de recta que tem extremos em vértices não consecutivos e não contidos nas mesmas faces (as diagonais de um sólido são segmentos de recta que existem no interior do sólido), o que significa que pirâmides não têm «diagonais espaciais». À partida, os dados obrigam-nos a recorrer a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determinação de Verdadeiras Grandezas. Note que, o prisma tem quatro diagonais espaciais – a diagonal [B BD’], a diagonal [D DB’], a diagonal [A AC’] e a diagonal [C CA’]. As duas primeiras são de perfil, mas as últimas duas são frontais (de frente), pelo que se projectam em V.G. no Plano Frontal de Projecção. Assim, não há a necessidade de recorrer a qualquer processo geométrico auxiliar – com o recurso ao compasso, fazendo centro em A 2 e com 8 cm de raio (a medida das diagonais), obteve-se C’2, na linha de chamada de C’1. A partir de C’2, sabe-se a cota da base superior (o plano horizontal ν), que se representou de imediato pelo seu traço frontal, o que nos permitiu concluir a construção da projecção frontal do sólido. Em seguida, pelos oito vértices do prisma conduziram-se as rectas projectantes laterais que por eles passam (rectas fronto-horizontais) – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do prisma e definem a projecção lateral do prisma. Esta obtém-se rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z), obtendo-se a projecção lateral dos vértices do prisma. Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral do prisma B3B’3C’3D’3D3C3]. Existem dois vértices que não integram o (o contorno aparente da projecção lateral), que é a linha quebrada fechada [B contorno aparente lateral – os vértices A e A’. Estes são invisíveis (bem como todas as arestas que neles convergem), pois são os vértices A B] e [A A D] (da base inferior) e as arestas [A A’B’] e [A A’D’] (da base superior), são invisíveis, de menor abcissa do prisma. Assim, as arestas [A A A ’] é invisível, mas estão ocultas por arestas daquelas bases que são visíveis (em projecção lateral). Ainda nesse sentido, a aresta lateral [A CC’], que é visível. Note que, apesar de no enunciado se referir expressamente a representação de aresmas está oculta pela aresta lateral [C tas invisíveis, efectivamente não há invisibilidades a assinalar, uma vez que, como atrás se expôs, todas as arestas invisíveis estão ocultas por arestas visíveis.

2.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Uma vez que a direcção das projectantes se refere ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ – o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90o. A perspectiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z, ângulos de 135o. Em seguida, optou-se por representar o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, considerando, para tal, o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico (o plano XZ). Assim, representaram-se os pontos A e G, pelas respectivas projecções – A 2 e G2 são as projecções frontais de A e G, respectivamente, e A 1r e G1r são as projecções horizontais, em rebatimento (no rebatimento do plano XY) dos pontos A e G, respectivamente. A partir da cota de G representou-se o plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido, pelos seus traços – f ν é o traço frontal de ν e pν é a perspectiva do seu traço lateral (ff ν e a perspectiva de p ν são concorrentes entre si no eixo Z). Em seguida, procedeu-se à construção das projecções do prisma, para o que se teve em (Continua na página seguinte) 563

SOLUÇÕES

conta dois aspectos fundamentais do enunciado e que, na altura do exame, geraram bastante controvérsia entre os docentes. Em primeiro lugar, é dito expressamente que se trata de um prisma oblíquo. Em seguida, refere-se expressamente que o vértice G e o vértice A são dois vértices opostos do sólido, o que significa necessariamente, que são dois extremos de uma diagonal espacial do prisma. Ora, um prisma quadrangular tem quatro diagonais espaciais, mas apenas uma única passa por A ao contrário, por exemplo, de um prisma hexagonal, no qual haveria três diagonais espaciais com extremo em A. Os pontos A e G estão, então, em posições opostas nos quadrados a que pertencem.

Atendendo a que os dois quadrados têm lados paralelos ao eixo X e ao eixo Y, existem duas hipóteses que garantem que A e G sejam extremos de uma diagonal espacial do sólido – uma delas, no entanto, geraria um prisma regular, pelo que fica excluída. Resta-nos, portanto, A BCD], enquanto que G é o a outra hipótese, que é a apresentada. Note que A é o vértice mais à direita e de maior afastamento do quadrado [A EFGH]. Assim, a partir dos raciocínios expostos, construiu-se a projecção horivértice mais à esquerda e de menor afastamento do quadrado [E zontal do prisma (em rebatimento, no rebatimento do plano XY), a partir da qual se determinaram as projecções frontais dos restantes vértices do sólido. A partir das duas projecções de todos os vértices do prisma, seria possível, em seguida, construir as duas projecções do sólido, mas optou-se por não o fazer, de forma a não sobrecarregar desnecessariamente a resolução gráfica apresentada. De facto, a partir das duas projecções de cada um dos vértices do prisma (a projecção frontal e a projecção horizontal, em rebatimento) é possível, agora, determinar as suas perspectivas propriamente ditas e, em seguida, desenhar a perspectiva do sólido. Determinou-se a direcção de afinidade que nos permite inverter o rebatimento do plano XY, a partir do afastamento de A – a projecção horizontal do ponto E (que se situa no eixo Y) foi o ponto do eixo Y ao qual se recorreu para determinar a direcção de afinidade (ver alínea a) do exercício 845 e respectivo relatório). Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano XY e determinaram-se as perspectivas das projecções horizontais de todos os vértices do prisma. A partir das projecções frontais de todos os vértices do prisma e das perspectivas das suas projecções horizontais, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas de cada um dos vértices do sólido e desenhou-se a perspectiva do prisma, cujo contorno aparente é a linha quebrada A BCGHE]. Existem dois vértices que não integram o contorno aparente – os vértices D e F. O vértice D é invisível, bem como todas fechada [A as arestas que nele convergem. O vértice F é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base inferior do prisma é CDGH] e [A ADHE]. A base superior do sólido é visível, bem como as faces laterais [B B CGF] e [A ABFE]. invisível, bem como as faces laterais [C

P ROVA G LOBAL 12 Exame Nacional, 2003 – Prova Código 408 (2 a Fase) GRUPO I

1.

Em primeiro lugar representaram-se a recta f e o ponto P, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O ponto P tem coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X, pois é um ponto do β1/3. A distância de um ponto a uma recta é medida perpendicularmente à recta, pelo que há que conduzir, pelo ponto, uma recta perpendicular à recta f. A recta f é paralela ao Plano Frontal de Projecção, pelo que a perpendicularidade é directa em projecção frontal – assim, é possível conduzir, por P, uma recta perpendicular à recta f (a recta p) de forma directa. Nesse sentido conduziu-se p2 por P 2, perpendicular a f 2 – p2 e f 2 são concorrentes em I2, que é a projecção frontal do ponto de concorrência das duas rectas. I1 situa-se sobre f 1, na linha de chamada de I2 – p1 fica definida por P1 e I1. A recta p, definida por P e I, é a PI] é o segmento representativo recta perpendicular à recta f que passa por P. [P da distância de P a f, que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de P I] é necessário o projecção (é oblíquo a ambos). Para determinar a V.G. de [P recurso a um processo geométrico auxiliar – optou-se pelo rebatimento do plano projectante frontal da distância para o plano frontal (de frente) que conte a recta f (e que contém o ponto I). A charneira (recta e) é uma recta frontal (de frente), cuja projecção frontal está coincidente com p2 (p e e são duas rectas do mesmo plano projectante frontal). I é um ponto da charneira pelo que se tem imediatamente Ir ≡ I2. O ponto P rebateu-se em função da sua distância ao plano ϕ P苶I (o afastamento de P em relação ao plano ϕ). A V.G. da distância de P a f é 苶 r 苶I苶r e está devidamente assinalada com a letra d, conforme é expressamente pedido no enunciado.

564

SOLUÇÕES

2.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B , pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se os traços do plano β – β é um plano projectante horizontal, pelo que hβ passa por A 1 e B 1. O hexágono não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o plano β não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que a construção das suas projecções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano β para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f β. A partir de A r e B r , determinou-se o centro da circunferência circunscrita ao hexágono, em rebatimento, e construiu-se o hexágono em V.G., em rebatimento, inscrito na circunferência. Inverteu-se o rebatimento e determinaram-se as projecções dos vértices do hexágono e do próprio polígono. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices do hexágono, considerando a direcção convencional da luz. A s 1 ≡ A 1 e B s 1 ≡ B 1, pois A e B são dois pontos do Plano Horizontal de Projecção. A s 1, B s 1 e Cs 1 situam-se no SPHA e Ds 2, Es 2 e Fs 2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra do hexágono admite dois pontos de quebra – um entre A s 1 e Fs 2 e outro entre Cs 1 e Ds 2. O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de F e o segundo, com o recurso à sombra virtual de D. Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra projectada do hexágono, atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a parte visível da sombra projectada com uma mancha clara e uniforme. A face visível do hexágono (em projecção frontal, pois a projecção horizontal do hexágono reduz-se a um segmento de recta) está iluminada, pois qualquer que seja o movimento rotativo pelo qual se enumerem os vértices da projecção horizontal do hexágono e da sua sombra, a ordem é sempre a mesma (ver relatório do exercício 568).

GRUPO II

1.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto C (o centro da base do sólido), pelas suas projecções, e o ponto V (o vértice do cone), pela sua projecção horizontal, em função dos dados. O vértice V tem afastamento nulo (pertence ao Plano Frontal de Projecção), pelo que a sua projecção horizontal, V1, se situa no eixo X. Em seguida, representou-se o plano que contém a base (o plano horizontal ν), pelo seu traço frontal e contendo o ponto C, e desenhou-se a projecção horizontal da circunferência que delimita a base do sólido. A partir destes traçados, foi possível concluir a construção da projecção horizontal do cone, determinando rigorosamente as geratrizes do contorno aparente horizontal (pelo processo rigoroso para a determinação das tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é V1). Note que, se assinalou convenientemente a invisibilidade existente em projecção horizontal.

Note que a construção da projecção frontal do sólido não é imediata a partir dos dados do enunciado (não é dada a cota de V), sendo necessário o recurso a alguns raciocínios e traçados auxiliares, que têm a ver com a determinação de Ve r d a d e i r a s G r a n d e z a s.

(Continua na página seguinte) 565

SOLUÇÕES

De facto, é dada apenas a distância do ponto V ao ponto C, ou seja, o comprimento do eixo do cone, que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção (o eixo do cone não é paralelo a nenhum dos planos de projecção). Tenha em conta que o problema com que nos deparamos não constituiu obstáculo para a construção da projecção horizontal do cone mas constitui, agora, para a construção da sua projecção frontal. Assim, é necessário obter o eixo do cone em V.G. (com o recurso a um processo geométrico auxiliar) para, dessa forma, obter a projecção frontal do vértice do sólido e concluir a construção da sua projecção frontal. Optou-se pelo rebatimento do plano projectante horiCV]) – o plano α. Rebateu-se o plano α para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f α), obtendo Cr zontal do eixo do cone (o segmento [C e a referência de Vr (obtida a partir do rebatimento de V1). Com o recurso ao compasso, fazendo centro em Cr e com 8 cm de raio (a distância de C a V, que é o comprimento do eixo do cone), obteve-se Vr. A partir de Vr, invertendo-se o rebatimento, determinou-se V2 e concluiu-se a construção da projecção frontal do cone (note que se tem Vr ≡ V2, pois V é um ponto da charneira). Para determinar a projecção lateral do cone conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam por V e pelos pontos de maior e de menor afastamento da base do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais daqueles pontos e definem a projecção lateral do cone, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). A projecção lateral do cone é, à semelhança da sua projecção frontal, um triângulo.

2.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados – as perspectivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 120o, pois a soma dos três ângulos é 360o. Os três eixos têm coeficientes de redução distintos. Tenha em conta que o exercício apresentado é idêntico ao exercício 751, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório. Note que, tal como no exercício 751, para a construção da perspectiva do cubo apenas foi necessário obter, sobre as perspectivas de cada eixo, a medida da aresta do cubo, com o respectivo coeficiente de redução. Uma vez que existem três coeficientes de redução distintos, optou-se por recorrer ao rebatimento de um dos planos coordenados. Tal justifica-se pelo facto de, rebatendo um plano coordenado, obtêm-se, imediatamente, dois eixos rebatidos. Assim, rebateu-se o plano XY, o que nos permitiu, imediatamente, obter o coeficiente de redução do eixo X e do eixo Y. Para determinar o coeficiente de redução do eixo Z, optou-se por rebater o plano projectante do eixo Z.

P ROVA G LOBAL 13 Exame Nacional, 2004 – Prova Código 408 (1 a Fase) GRUPO I

1.

Em primeiro lugar representaram-se a recta p, pelas suas projecções, e o plano α, pelos seus traços, em função dos dados. A recta p está definida por dois pontos A e B, que têm necessariamente a mesma abcissa. Note que, as projecções da recta p estão coincidentes com as projecções dos eixos Y e Z. Para determinar o ponto de intersecção da recta p com o plano α, uma vez que se trata da intersecção entre um plano não projectante e uma recta não projectante, recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos. 1. Pela recta p conduziu-se um plano auxiliar que a contenha – o plano π (que é um plano de perfil). 2. Determinou-se a recta de intersecção do plano π (o plano auxiliar) com o plano α – a recta i. A recta i é uma recta de perfil, que está definida pelos seus traços, F e H’ (trata-se do caso geral da intersecção entre rectas e planos). 3. O ponto de concorrência da recta p com a recta i é o ponto de intersecção da recta p com o plano α.

Uma vez que as duas rectas são rectas de perfil, cujas projecções não verificam o Critério de Reversibilidade, é necessário o recurso a um (Continua na página seguinte) 566

SOLUÇÕES

processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo A r, B r, Fr e H’r (note que Fr ≡ F2, pois F é um ponto da charneira). A recta pr fica definida por A r e B r. A recta i r fica definida por Fr e H’r. A recta pr e a recta i r são concorrentes num ponto, que é Ir . Em rebatimento, determinou-se Hr que é o traço horizontal da recta p em rebatimento (note que são pedidos o ponto I e o ponto H, o traço horizontal da recta p). A V.G. do segHI] está no segmento [H Hr Ir]. Invertendo o rebatimento [H mento, determinaram-se as projecções de H e I, conforme é expressamente pedido no enunciado. Note que, todos os conteúdos que este exercício pretende avaliar se referem ao primeiro ano de leccionação da disciplina (Bloco 1) – não há, neste exercício, nenhum item de avaliação referente a conteúdos do programa do Bloco 2 da disciplina.

2.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do prisma, em função dos dados.

O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do sólido. A circunferência circunscrita à base inferior do sólido A . Note que as tem centro em O e raio O 苶苶 arestas laterais do prisma estão contidas em rectas frontais (de frente). Em seguida, procedeu-se à determinação da l i n h a s e p a r a t r i z l u z / s o m b r a, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes l u z / s o m b r a, conforme exposto no relatório do exercício 629, pelo que se aconselha a sua leitura. O plano que nos dá a orientação dos planos tangentes luz/sombra está definido por uma recta f, frontal (de frente), paralela às arestas laterais do prisma, e por um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz). Note que, o raio luz/sombra l é passante, mas poderia não o ser. As rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base de referência (a base inferior) nos pontos E e C, respectivaEE’] e [C CC’] são, mente – as arestas laterais [E imediatamente, duas arestas da linha separat r i z l u z / s o m b r a. As arestas laterais [E EE’ ] e CC’] são as arestas segundo as quais os pla[C EE’] e [C CC’] separam a parte da superfície lateral do prisma que está iluminada nos λ1 e λ2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [E DD’E’E] e [C CC’D’D] estão iluminadas, da que está em sombra – dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faces laterais [D AA’E’E], [A AA’B’B] e [B BB’C’C] estão em sombra. A base inferior do prisma também está em sombra e a sua enquanto que as faces laterais [A CC’B’A’E’ED]. A sombra própria do prisma base superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [C AA’E’E], [A AA’B’B] e [B BB’C’C] e a base inferior do prisma. Em projecção frontal, as faces laterais [A AA’E’E] e [A A A ’ B ’ B] é integra as faces laterais [A B B ’ C ’ C] invisível, bem como a base inferior (é projectante frontal) – a sombra própria a assinalar em projecção frontal resume-se à face lateral [B (Continua na página seguinte) 567

SOLUÇÕES

(a única face em sombra que é visível em projecção frontal). Já em projecção horizontal, a base inferior (que está em sombra) é invisível, bem AA’E’E] – as faces em sombra própria que são visíveis em projecção horizontal são as faces [A AA’B’B] e [B BB’C’C], que como a face lateral [A constituem, assim, a sombra própria a assinalar em projecção horizontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. Cs1 ≡ C1, Ds1 ≡ D1 e Es1 ≡ E1, pois, C, D e E são pontos do Plano Horizontal de Projecção. Cs1, Ds1, Es1 e C’s1 situam-se no SPHA e E’s2, A’s2 e B’s2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada do prisma admite dois pontos de quebra. O ponto de B’C’] e a sua sombra no Plano quebra que se situa entre C’s1 e B’s2 determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre o segmento [B Horizontal de Projecção (ver exercício 568 e respectivo relatório). O ponto de quebra que se situa entre Es1 e E’s2 determinou-se atendendo à EE’] e a sua sombra no Plano Frontal de Projecção (ver exercício 570 e respectivo relatório). Após o situação de paralelismo entre o segmento [E desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que a porção de sombra que está por baixo da base inferior está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação de sombra projectada, pois não se vê a sombra).

GRUPO II

1.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto O , pelas suas projecções, e o ponto A , pela sua projecção horizontal, em função dos dados. Em seguida, representou-se o plano β, vertical, que A B C ], pelos seus contém o triângulo [A traços – o plano β é projectante horizontal, pelo que o seu traço horizontal contém as projecções horizontais de O e A. A B C ] não se projecta em O triângulo [A V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano β (o plano que o contém) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar.

Optou-se pelo rebatimento do plano β para o Plano frontal de Projecção (a charneira foi f β), obtendo Or e a referência de A r (a partir do rebatimento de A 1). Com o compasso, fazendo centro em O r e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo, determinando A r sobre a circunferência, na referência obtida a partir do rebatimento de A 1 (tenha em conta que se garantiu que A tem cota inferior a O). Em seguida, construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento – inverteu-se o rebatimento e determinaram-se as projecções do triângulo. A recta p, ortogonal ao plano β e passando por O (o centro do triângulo), é a recta suporte do eixo da pirâmide – V, o vértice da pirâmide, é um ponto da recta p. O dado que nos permite determinar as projecções de V refere-se ao ângulo que as arestas laterais do sólido fazem com o plano da base. Esse ângulo está contido num plano ortogonal ao plano da base – um plano que contenha a recta p e uma qualquer das três arestas laterais. Esse raciocínio implicaria, em seguida, o rebatimento (por exemplo) desse plano, pois nenhum plano que contenha a recta p e uma das arestas laterais é paralelo a qualquer dos planos de projecção. Note, no entanto, que essa situação não se poria se uma das arestas laterais fosse horizontal (de nível). Uma forma de poder contornar o problema e diminuir, em muito, o grau de dificuldade de resolução do exercício e a quantidade de traçados a efectuar, é considerar uma superfície cónica tangente à superfície lateral da pirâmide ao longo das três arestas laterais do sólido (a superfície cónica circunscrita à pirâmide), que é uma superfície de revolução. Todas as geratrizes dessa superfície fazem, com o plano da base (ou da directriz), ângulos iguais. O vértice da pirâmide e dessa superfície cónica seria o mesmo. A vantagem dessa situação tem a ver com o facto de haver duas geratrizes dessa superfície que são horizontais (de nível) – as geratriMr) é um extremo de uma das geratrizes do contorno zes do contorno aparente horizontal. Assim, o ponto M, determinado em rebatimento (M MV] é a geratriz de maior afastamento do contorno aparente horizontal dessa superfíaparente horizontal dessa superfície cónica – a geratriz [M A BC] e que seria, nesse caso, a directriz da supercie. Note que M é o ponto de maior afastamento da circunferência circunscrita ao triângulo [A fície cónica. Inverteu-se o rebatimento do ponto M, determinando as suas projecções. Por M1, a projecção horizontal de M, conduziu-se uma recta a 60o com o plano β (o plano da base) – note que, uma vez que se trata de uma recta horizontal (de nível), o ângulo que a recta faz com o plano β está contido num plano horizontal (de nível) e, por isso, se projecta em V.G. no Plano Horizontal de Projecção. Essa recta é concorrente (Continua na página seguinte) 568

SOLUÇÕES

com p1 (a projecção horizontal da recta p) num ponto, que é V1 – a projecção horizontal do vértice da pirâmide (que é o mesmo da superfície cónica). A partir de V1, determinou-se V2, a projecção frontal do vértice, sobre p2, e concluiu-se a construção das projecções da pirâmide, assinalando devidamente as invisibilidades existentes (em projecção frontal). Para determinar a terceira projecção do sólido conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que passam pelos quatro vértices da pirâmide – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices da pirâmide e definem a projecção lateral da pirâmide, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira é o eixo Z). Em seguida, desenhou-se o contorno aparente lateral da pirâmide (o contorno aparente da projecção lateral), que é A 3B3V3C3]. Todos os vértices integram o contorno aparente lateral. No entanto, a base é invisível em projecção a linha quebrada fechada [A B CV], pelo que a aresta [B B C], da base, é a única aresta lateral (contém os vértices de menor abcissa da pirâmide), bem como a face lateral [B invisível em projecção lateral (separa duas faces invisíveis, em projecção lateral).

2.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo Z, pois a sua perspectiva faz ângulos iguais (de 110o) com as perspectivas dos outros dois eixos – estas, por sua vez, fazem um ângulo de 140o entre si (2 x 110o + 140o = 360o). As bases dos dois prismas são paralelas ao plano XY, pelo que se projectam em V.G. no plano XY – nesse sentido, há que rebater o plano XY, o que se processou pelo método dos cortes (ver exercício 888 e respectivo relatório). No plano XY, rebatido e transladado, representaram-se as projecções horizontais, em rebatimento, dos pontos dados. A partir de A 1r e de B 1r, construiu-se o A 1r B 1r C 1r D 1r ], que é a projecção horizontal da quadrado [A A B CD] do primeiro prisma, em rebatimento – note que base [A A B CD] é a b a s e i n f e r i o r do prisma. A partir de o quadrado [A M 1r e N1r , construiu-se o quadrado [JJ 1r L 1r M 1r N1r ], que é a projecção horizontal, em rebatimento, da base [JJ L M N] do segundo prisma – note que o quadrado [JJ L M N] é a b a s e s u p e r i o r do prisma. O plano ν é o plano horizontal (de nível) A B CD] – o plano ν tem 3 cm de que contém o quadrado [A cota. O plano ν’ é o plano horizontal (de nível) que contém o quadrado [JJ L M N] – o plano ν’ tem 6 cm de cota. Uma vez que o quadrado [JJ L M N] é a b a s e s u p e r i o r de um prisma com 6 cm de altura, a sua b a s e i n f e r i o r (o quadrado [JJ’L’M’N’]) está contida no próprio plano XY. Por outro lado, A B CD] é a b a s e i n f e r i o r do atendendo a que o quadrado [A outro prisma, também com 6 cm de altura, a sua base super i o r tem 9 cm de cota (3 + 6 = 9) – o plano ν’’, com 9 cm de cota, é o plano que contém a base superior do prisma (o A’B’C’D’]). Uma vez que o eixo Z é o que sofre quadrado [A uma redução isolada, para determinar as perspectivas das cotas dos três planos horizontais (de nível), recorreu-se ao rebatimento do eixo Z, pelo rebatimento do seu plano projectante – sobre o eixo Zr representaram-se as três cotas diferentes (3, 6 e 9) e inverteu-se o rebatimento, determinando as perspectivas dos pontos do eixo Z que têm aquelas cotas.

Por esses pontos conduziram-se as perspectivas dos traços (frontal e lateral) dos planos horizontais (de nível) ν, ν’ e ν’’.

A determinação das perspectivas dos vértices dos dois prismas processou-se a partir das perspectivas das duas coordenadas (abcissas e afastamentos), que foram sendo progressivamente transportadas, com o recurso a perpendiculares à charneira, para as perspectivas dos traços dos planos horizontais (de nível). A partir das perspectivas de todos os vértices, desenhou-se a perspectiva do sólido pretendido (o sólido resultante da justaposição dos dois prismas), assinalando convenientemente as arestas invisíveis. Tratando-se M B] e [LL C] não são arestas desse sólido. Sublinha-se que, caso se tratasse de d o i s s ó l i d o s, esses de um único sólido, os segmentos [M segmentos seriam arestas a assinalar a traço forte, o que não é o caso, pois o enunciado refere expressamente tratar-se de um único sólido constituído por dois prismas. Nesse sentido, aqueles segmentos, embora sendo linhas construtivas, não separam faces distintas do sólido.

B C], [C CD], [A A D] e [D DD’].

M’L’], [JJ’L’] e [LL’C] são invisíveis, bem como as arestas [B As arestas [M

569

SOLUÇÕES

P ROVA G LOBAL 14 Exame Nacional, 2004 – Prova Código 408 (2 a Fase) GRUPO I 1.

Em primeiro lugar representaram-se as rectas n e b, pelas respectivas projecções, em função dos dados. Em seguida, apesar de haver outras formas de resolver este exercício, considerou-se que o processo mais imediato consiste na determinação dos traços dos dois planos.

Os planos são paralelos, pelo que os seus traços homónimos são paralelos entre si. Uma vez que a recta n é uma recta horizontal (de nível do plano α, sabe-se que hα é paralelo à recta n (rectas de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma recta horizontal do plano com cota nula).

Os planos são paralelos, pelo que os seus traços horizontais são paralelos entre si – h β é também paralelo à recta n (as rectas horizontais dos dois planos são paralelas entre si). Assim, por H b (o traço horizontal da recta b ) conduziu-se hβ, paralelo à recta n – f β é concorrente com hβ no eixo X e passa por Fb, o traço frontal da recta b. O traço frontal do plano α, f α, é paralelo a f β e passa por Fn, o traço frontal da recta n – hα é concorrente com f α no eixo X e é paralelo a hβ (e à recta n). A partir da determinação dos traços dos dois planos, o problema (determinação da distância entre os dois planos) é idêntico ao exercício 247, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatório.

A recta p é a recta ortogonal aos dois planos.

O plano γ, vertical (o plano projectante horizontal da recta p), foi o plano auxiliar a que se recorreu. A recta i é a recta de intersecção do plano γ com o plano α. A recta i’ é a recta de intersecção do plano γ com o plano β. O ponto I é o ponto de intersecção da recta p com o plano α. O ponto I’ é o ponto de intersecção da recta p com o plano β. O segmento [III’] é um segmento representativo da distância entre os dois planos. O segmento [III’] é oblíquo aos dois planos de projecção, pelo que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano γ (o plano projectante horizontal do segmento) para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi hγ). A V.G. da distância dos dois planos é 苶I苶I r 苶I苶’苶. r

2.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 642, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são as rectas tangentes à base do cone que passam pelo ponto I. As rectas t e t’ são tangentes à base do cone nos pontos T e T’, TV] e [T T’V] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra, pois separam a parte da respectivamente – as geratrizes [T superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), a parte ២ ២ da superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco maior T T’, enquanto que a parte que corresponde ao arco menor T T’ está ២ em sombra. Uma vez que a base do cone está em sombra, a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [T TV T’T]. Em projecção horizontal, a base do cone (que está em sombra) é invisível, mas a parte da superfície lateral do cone que está em sombra (a menor parte T1V1] e [T T’1V1]) é visível, pelo que corresponde à sombra própria a assinalar, em projecção horizontal. Em projecção compreendida entre [T frontal, a base também é invisível (é projectante frontal) pelo que a única sombra própria visível é a parte da superfície lateral do cone comTV] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [T T’V] é invisível em projecção preendida entre a geratriz [T frontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha separatriz luz/sombra. Vs 2 situa-se no SPFS e Ts 1 e T’s 1 (Continua na página seguinte) 570

SOLUÇÕES

situam-se no SPHA, pelo que a sombra projectada do cone admite pontos de quebra. Estes determinam-se com o recurso à sombra virtual de V – Vv 1. ២ Note que a sombra do arco maior T’T não admite pontos de quebra, pois as sombras dos seus extremos situam-se, ambas, no SPHA. A sombra do arco ២ T ’ T é, assim, um arco geometricamente igual ao ២ arco T’T (com o mesmo raio) e com centro em Os 1. ២ Note que a sombra do arco T’T passa necessariamente por T s 1 e por T’ s 1. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projectada do cone, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610. Note que as sombras das geratrizes TV ] e [T T ’ V ] são concordantes com a sombra do [T ២ arco T’T em Ts 1 e em T’s 1, respectivamente.

GRUPO II 1.

Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, e a projecção frontal do ponto C, em função dos dados. Em seguida, representou-se o plano θ, A B CD], pelos seus de topo, que contém o quadrado [A traços – o plano θ é projectante frontal, pelo que o seu traço frontal contém as projecções frontais de A e C. O A B CD] não se projecta em V.G. em nenhum quadrado [A dos planos de projecção, pois o plano θ (o plano que o contém) não é paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano θ para o Plano Horizontal de Projecção (a charneira foi h θ ), obtendo A r e a referência de Cr, que se obteve rebatendo C2. Note que o ângulo dado (o ângulo que a diagoA C ] faz com o Plano Frontal de Projecção) é o nal [A ângulo real, que existe no espaço e não tem correspondência em projecções – de acordo com os conteúdos estudados sobre ângulos entre rectas e planos, o ângulo que uma recta faz com o Plano Frontal de Projecção está contido no plano projectante frontal da recta, que é o plano θ. Assim, com vértice em A r mediu-se o ângulo de 30o a partir do traço frontal do plano θ em rebatimento (que se situa no eixo X), obtendo a recta A C]. O ponto em que esta intersuporte da diagonal [A secta a referência de Cr é, precisamente, Cr. Note que, se garantiu que C tem afastamento inferior a A . A partir de A r e Cr, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Inverteu-se o rebatimento e determinaram-se as A’B’C’D’]. A distância do plano θ’ projecções do quadrado. O plano θ’ é o plano de topo que contém a face superior do cubo – o quadrado [A A’B’C’D’]) ao plano θ (o plano que contém a face [A A BCD]) é igual à medida do lado do quadrado, pois as arestas (o plano que contém a face [A A B CD] conduziram-se as rectas ortogonais aos planos θ e θ’, que são as rectas de um cubo são todas iguais. Pelos vértices do quadrado [A (Continua na página seguinte) 571

SOLUÇÕES

suporte das arestas do cubo que não estão contidas naqueles planos (são rectas frontais). Os vértices da face superior determinaram-se pela intersecção entre rectas não projectantes com um plano projectante frontal (o plano θ’). A partir das projecções dos oito vértices do cubo, desenharam-se as suas projecções frontal e horizontal. Para determinar a projecção lateral do cubo conduziram-se as rectas projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que por passam pelos oito vértices do sólido – os pontos de intersecção das rectas projectantes laterais com o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) são as projecções laterais dos vértices do cubo e definem a projecção lateral do sólido, que se obteve rebatendo o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi o eixo Z). Em seguida, A3B3B’3C’3D’3D3]. Existem dois vértices desenhou-se o contorno aparente lateral do cubo (o contorno aparente da projecção lateral), que é [A que não integram o contorno aparente lateral – os vértices A’ e C. O vértice A’ é visível (é o vértice de maior abcissa), bem como todas as arestas que nele convergem. O vértice C é invisível (é o vértice de menor abcissa), bem como todas as arestas que nele convergem.

2.

O eixo que sofre uma redução isolada é o eixo Y, pois a sua perspectiva faz ângulos iguais (de 105o) com as perspectivas dos outros dois eixos – estas, por sua vez, fazem um ângulo de 150 o entre si (2 x 105o + 150o = 360o). As bases dos dois prismas são paralelas ao plano YZ, pelo que se projectam em V.G. no plano YZ – nesse sentido, há que rebater o plano YZ, o que se processou pelo método dos cortes (ver exercício 889 e respectivo relatório).

No plano YZ, rebatido e transladado, representaram-se as projecções laterais, em rebatimento, dos pontos dados. Note que A é a própria origem do referencial – A r é o próprio Or ’. O ponto B e o ponto C situam-se, ambos, no eixo X, pelo que se tem A r ≡ B 3r ≡ C3r. O eixo X tem o mesmo coeficiente de redução do eixo Z. Assim, no eixo Zr ’ representaram-se dois pontos – Mr e Nr. M é um ponto do eixo X com 5 cm de cota (que é igual ao afastamento de B).

N é um ponto do eixo Z com 8 cm de cota (que é igual ao afastamento de C). Invertendo o rebatimento, determinaram-se as perspectivas de M e N , sobre a perspectiva do eixo Z. Com o compasso, fazendo centro em O e raio até à perspectiva de M, transportou-se essa medida para o eixo X, obtendo a perspectiva de B. Repetiu-se o processo em relação a N, obtendo a perspectiva de C, na perspectiva do eixo X. Sabendo que as faces laterais dos dois prismas são quadradas, sabe-se que existe um prisma maior e um outro, menor – as arestas do prisma maior medem 5 cm (a diferença entre as abcissas de B e A ) e as arestas do prisma menor medem 3 cm (a diferença entre as abcissas de C e B). Assim, considerou-se que a face lateral do prisma maior que está contida no plano XY é o ABFG] e que a face lateral do prisma menor que está contida no plano XY é o quadrado [B B CDE]. Estes dois quadrados têm dois quadrado [A lados paralelos ao eixo X (cada um), pelo que os outros dois lados de cada quadrado são paralelos ao eixo Y (projectam-se em V.G. no eixo Y).

Assim, no eixo Yr ’ (no plano YZ rebatido e transladado), representaram-se, em rebatimento, as projecções laterais de D e E (que distam 3 cm de Or ’) e as projecções laterais de F e G (que distam 5 cm de Or ’). Já se sabe a medida do lado de cada um dos triângulos que são as bases dos dois prismas. Construíram-se os triângulos equiláteros, obtendo as projecções laterais (em rebatimento) dos restantes dois vértices de cada prisma – R e R’ são os vértices de maior cota do prisma menor e S e S’ são os vértices de maior cota do prisma maior. Conduzindo, por D3r ≡ E3r e por F3r ≡ G3r, as perpendiculares à charneira que por eles passam, foi possível determinar as perspectivas de D, E, F e G e, assim, construir as perspectivas das faces quadradas de ambos os prismas. A determinação das perspectivas de S, S’, R e R’ processou-se através dos respectivos afastamentos, o que nos permitiu determinar as perspectivas das suas projecções horizontais, R 1, R’1, S1 e S’1. Pelas perspectivas destes pontos conduziram-se as perspectivas das respectivas projectantes horizontais (paralelas à perspectiva do eixo Z) e, em seguida, recorrendo às perpendiculares à charneira do rebatimento que passam pelas suas projecções laterais em rebatimento, determinaram-se as perspectivas dos quatro pontos. A partir das perspectivas dos onze pontos, desenhou-se a perspectiva do sólido pretendido (o sólido resultante da justaposição dos dois prismas), assinalando convenientemente as arestas invisíveis. Tratando-se de u m ú n i c o s ó l i d o, os segmentos [B B R ’] e [B BE] não são arestas desse sólido. Sublinha-se que, caso se tratasse de d o i s s ó l i d o s, esses segmentos seriam arestas a assinalar a traço forte, o que não é o caso, pois o enunciado refere expressamente tratar-se de um único sólido constituído por dois prismas. Nesse sentido, aqueles segmentos, embora sendo linhas construtivas, não separam faces distintas do sólido (o ponto B nem AG] é a única aresta invisível do sólido. sequer é um v é r t i c e do sólido). A aresta [A

572

SOLUÇÕES

P ROVA G LOBAL 15 Exame Nacional, 2005 – Prova Código 408 (1 a Fase) GRUPO I

1.

Em primeiro lugar representaram-se os planos α e β, pelos respectivos traços, em função dos dados. Um vez que os traços horizontais dos dois planos são paralelos, os dois planos têm, em comum, a «família» das rectas horizontais (de nível) – a recta de intersecção dos dois planos (a aresta do diedro) é uma recta horizontal (de nível), paralela aos traços horizontais dos dois planos. O plano ortogonal à aresta do diedro é um plano vertical, ortogonal aos traços horizontais dos dois planos – uma vez que o plano ortogonal à aresta do diedro é projectante e tem determinação imediata, optou-se por recorrer ao 1o P r o c e s s o. 1. A aresta do diedro foi identificada, conforme atrás se expôs. Note que, não se determinou a aresta do diedro, pois tal não é necessário para a resolução do exercício, nem sequer para a determinação do plano ortogonal à aresta do diedro.

2. O plano γ, vertical, é o plano ortogonal à aresta do diedro.

3. Determinaram-se as rectas de intersecção do plano γ com os planos α e β. A recta a é a recta de intersecção do plano γ com o plano α – a recta a está definida pelos seus traços, F e H (trata-se do caso geral da intersecção entre planos). A recta b é a recta de intersecção do plano γ com o plano β – a recta b está definida pelos seus traços, F’ e H’ (trata-se mais uma vez do caso geral da intersecção entre planos). 4. O ângulo entre as rectas a e b é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo entre os planos α e β. O ângulo entre as rectas a e b está contido no plano γ e não se projecta em V.G. – o plano γ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção), pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano γ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hγ. Hr ≡ H1 e H’r ≡ H’1, pois H e H’ são dois pontos da charneira. Rebateram-se os traços frontais das duas rectas – ar está definida por Hr e por Fr e br está definida por H’r e por F’r. A V.G. da amplitude do diedro entre α e β está em qualquer dos dois ângulos menores entre ar e br – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com θo.

2.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, pelas respectivas projecções, e o plano π, pelos seus traços e passando por aqueles A B CDEF] não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção, pois o plano π não é pontos, em função dos dados. O hexágono [A paralelo a nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π – rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π), obtendo A r e Br. Em seguida, determinou-se Or, o centro do hexágono em rebatimento, desenhou-se a circunferência circunscrita ao polígono e concluiu-se a construção do hexágono em V.G., em rebatimento. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções do hexágono e do ponto O. Pelas projecções de O conduziram-se as projecções homónimas de uma recta ortogonal ao plano da base (a recta suporte do eixo da pirâmide), que é uma recta fronto-horizontal.

Determinaram-se as projecções do vértice do sólido e concluiu-se a construção das projecções da pirâmide. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 609, pelo que se aconselha a sua leitura. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes luz/sombra com o plano π (são rectas de perfil). Note que só é possível analisar a questão da tangência das rectas t e t’ à base do sólido em rebatimento. Nesse sentido, foi necessário rebater o ponto I e as rectas t e t’ para o rebatimento previamente efectuado (para a construção das projecções da base) para, em rebatimento, identificar os vértices nos quais as rectas t e t’ são tangentes (ou rasantes) à base da pirâmide – tr passa por Ir e é tangente (rasante) à base em rebatimento no vértice Cr e t’r passa por Ir e é tangente (rasante) à base em CV] e [E EV] – estas arestas separam rebatimento no vértice Er. As arestas laterais que integram a linha separatriz luz/sombra são as arestas [C a parte em sombra da superfície lateral do sólido da que está iluminada. Dada a proveniência da luz (de cima, da esquerda e de trás), as faCDV] e [D DEV] estão iluminadas e as faces laterais [B B CV], [A A BV], [A AFV] e [E EFV] estão em sombra. A base do sólido está ilumices laterais [C CVEFA B]. A sombra própria da pirâmide integra as faces laterais [B B CV], [A A BV], [A A F V] e nada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é [C EFV]. Em projecção horizontal, a única face lateral em sombra que é visível é a face [E EFV] – esta é a única sombra própria a assinalar em [E (Continua na página seguinte) 573

SOLUÇÕES

projecção horizontal. Em projecção frontal, a única face lateral em sombra B CV] – esta é a que é visível é a face [B única sombra própria a assinalar em projecção frontal. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos vértices da l i nha sep a ra tr iz lu z/ s om br a. A s 1 ≡ A 1 e Bs1 ≡ B1, pois A e B são dois pontos do Plano Horizontal de Projecção.

A s1, Bs1, Cs1 e Vs1 situam-se no SPHA e Es2 e Fs2 situam-se no SPFS, pelo que a sombra projectada da pirâmide admite dois pontos de quebra. O ponto de quebra situado entre Es2 e Vs1 determinou-se com o recurso à sombra virtual de E – Ev1. O ponto de quebra situado entre A s1 e Fs2 determinou-se com o recurso à sombra virtual de F – Fv1. Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha clara e uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projectada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. No entanto, caso se opte por assinalar a sombra com o recurso a tracejado, recomenda-se que o faça seguindo as indicações expressas no relatório do exercício 610.

GRUPO II 1.

Em primeiro lugar, representaram-se a projecção frontal do ponto O e a projecção horizontal do ponto O’, em função dos dados.

Note que é dado, no enunciado, que o ponto O, sendo um ponto do Plano Horizontal de Projecção (tem cota nula) dista 6 cm do bissector dos diedros pares (β2/4) – este dado n ã o s e r e f e r e ao afastamento de O mas sim, à distância do ponto O a um plano – o β2/4. De facto, não nos é dado o afastamento de O , pelo que não é possível determinar, de forma directa, a projecção horizontal de O. Note que o dado que nos permite saber o afastamento de O se refere à distância de um ponto a um plano, cuja determinação se processa em três etapas, que em seguida se expõem. 1. Conduz-se, pelo ponto, uma recta ortogonal ao plano (que é o β2/4) – atendendo a que o β2/4 é um plano de rampa (um plano de rampa passante), qualquer recta ortogonal a um plano de rampa é necessariamente uma recta de perfil. A recta p, de perfil e passando por O, é a recta ortogonal ao β2/4. Note que é possível determinar imediatamente as projecções da recta p, mesmo sem ter a projecção horizontal de O. 2. Determina-se o ponto de intersecção da recta p com o β2/4. Nem a (Continua na página seguinte)

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SOLUÇÕES

recta p (que é uma recta de perfil) nem o β2/4 são projectantes, pelo que a determinação do ponto de intersecção da recta p com o β2/4 tem de se processar com o recurso ao método geral da intersecção de rectas com planos. No entanto, no triedro de projecção (considerando o Plano de Perfil de Projecção – o plano YZ), o β2/4 é um plano projectante – é um plano projectante lateral. Assim, em projecção lateral, o problema pode ter determinação imediata. Rebateu-se o Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) sobre o Plano Frontal de Projecção (plano XZ), obtendo pβ2/4 – pβ2/4 é o traço lateral (de perfil) do plano β2/4 no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ) e faz ângulos de 45o com os eixos (tendo em conta que não atravessa os 1o e 3o Diedros). Sabe-se que o ponto O tem cota nula, pelo que O3 se situa necessariamente no eixo X. Por fim, sabe-se que a projecção lateral da recta p – p3 é perpendicular a pβ2/4 e que a distância de O ao β2/4 está contida em p e se projecta em V.G. no Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), pois a recta p é paralela ao Plano de Perfil de Projecção (plano YZ). Nesse sentido, determinou-se o ponto do eixo X que se situa a 6 cm de pβ2/4 – esse ponto é O3, a projecção lateral de O. Por O3 conduziu-se uma recta perpendicular a pβ2/4, que é p3 – a projecção lateral da recta p. O ponto em que p3 intersecta pβ2/4 é I3, a projecção lateral do ponto de intersecção da recta p com o O3I3]. Note, ainda, que esta distância só foi determinante para deterβ2/4. Note, agora, que a V.G. da distância de O ao β2/4 está no segmento [O minar o ponto O, pelo que, na inversão do rebatimento, o ponto I não é necessário – não se determinaram as projecções (frontal e horizontal) do ponto I). Assim, inverteu-se o rebatimento e determinou-se a projecção horizontal de O, O1. A partir da projecção horizontal de O, foi possível desenhar a projecção horizontal da recta suporte do eixo do cilindro – a recta r (r1 passa por O1 e por O’1). Segundo o enunciado, as geratrizes do cilindro (que são paralelas ao eixo do cilindro) são paralelas ao β2/4, o que significa que as suas projecções (frontais e horizontais) são paralelas entre si (rectas paralelas ao β2/4 têm as suas projecções paralelas entre si). Assim, por O2 conduziu-se r2, a projecção frontal da recta suporte do eixo do cilindro, paralela a r1, o que nos permitiu determinar O’2 – O’2 situa-se sobre r2, na linha de chamada de O’1. A partir de O’2 determinou-se a cota do plano horizontal (de nível) que contém a base superior do cilindro, o plano ν, que se representou pelo seu traço frontal.

Em seguida, concluiu-se a construção das projecções (horizontal e frontal) do cilindro, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes. Por fim, determinou-se a projecção lateral de O’ e, em função das geratrizes do contorno aparente lateral, construiu-se a projecção lateral do cilindro. Note que, a projecção lateral do eixo do cilindro e das geratrizes do contorno aparente lateral são necessariamente paralelas a pβ2/4, pois as geratrizes do cilindro são paralelas ao β2/4.

2.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos eixos que fazem, entre si, ângulos de 120o. Os vértices dados dos dois paralelepípedos referem-se a faces dos sólidos que estão contidas em planos horizontais (de nível), pelo que se projectam em V.G. no plano XY – nesse sentido, há que rebater o plano XY, o que se processou pelo método dos cortes (ver exercício 876 e respectivo relatório). No plano XY, rebatido e transladado, representaram-se as projecções horizontais, em rebatimento, dos pontos dados. A partir de Or ’ e de Nr e Pr, construiuM r Nr Or ’Pr], que é a face [M MNOP] do -se o rectângulo [M primeiro paralelepípedo, em rebatimento. A partir de R 1r, S1r e T1r (que são as projecções horizontais de R, S e T, R1rS1rT1rU1r], em rebatimento), construiu-se o rectângulo [R que é a projecção horizontal, em rebatimento, da face RSTU] do segundo paralelepípedo. Sublinha-se que é [R M N O P] é a necessário ter em atenção que o rectângulo [M f a c e i n f e r i o r do primeiro paralelepípedo e que o rectânRSTU] é a f a c e s u p e r i o r do segundo paralelepígulo [R pedo. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém, simultaneamente, a face superior do primeiro paralelepípedo e a face inferior do segundo paralelepípedo – o plano ν tem cota igual à abcissa de R, pelo que foi a perspectiva da abcissa de R que nos permitiu determinar a perspectiva da cota do plano ν (ver exercício 881 e respectivo relatório). O plano ν’ é o plano horizontal (de nível) que contém a face superior do segundo paralelepípedo. O ponto A r , do eixo X r ’, é, em rebatimento, o ponto do eixo X que tem 9,5 cm de cota (a cota da face superior do segundo paralelepípedo) – o ponto A foi o ponto que nos permitiu determinar a perspectiva da cota do plano ν’. Os dois planos representaram-se pelas perspectivas dos seus traços frontal e lateral. Em seguida, inverteu-se o rebatimento, com o recurso a recta perpenO é a origem do referencial), bem como as perspectivas diculares à charneira, o que nos permitiu determinar as perspectivas de M, N e P (O R’S’T’U’] é a face inferior do segundo paralelepípedo. O rectângulo [M M’N’T’S’] é a face superior do primeiro de R , S, T e U. O rectângulo [R paralelepípedo. A partir de todos os vértices do sólido, desenhou-se a sua perspectiva, atendendo às invisibilidades existentes. Note que se (Continua na página seguinte) 575

SOLUÇÕES

M’T’], [S S’T’] e [N N’S’] não são arestas desse sólido. Sublinha-se que, caso se tratasse de trata de um único sólido, pelo que os segmentos [M d o i s s ó l i d o s, esses segmentos seriam arestas a assinalar a traço forte, o que não é o caso, pois o enunciado refere expressamente tratar-se de um único sólido resultante da justaposição de dois paralelepípedos. Nesse sentido, aqueles segmentos, embora sendo linhas construtiPTSO] é uma única face do sólido pretendido, pelo que o segmento [T T’S’] não vas, não separam faces distintas do sólido – o rectângulo [P M’T’] também não separa duas faces pode ser uma aresta, pois não separa duas faces distintas do sólido. Da mesma forma, o segmento [M N’S’]. A aresta [M M’N’] é invisível, bem como as arestas [R R’N’], [O ON], [O OS] e [O OP]. A aresta [N NN’] é parcialdistintas, tal como o segmento [N mente invisível, por estar parcialmente oculta pela «aba» que constitui o segundo paralelepípedo.

P ROVA G LOBAL 16 Exame Nacional, 2005 – Prova Código 408 (2 a Fase) GRUPO I

1.

Em primeiro lugar representaram-se as rectas f e b pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta b tem as suas projecções coincidentes, pois é uma recta do β2/4. As rectas f e b são concorrentes (no ponto P), pelo que definem um plano – o ângulo entre as duas rectas e s t á c o n t i d o n o p l a n o d e f i n i d o p e l a s duas rectas e tem vértice em P. Uma vez que o plano definido pelas duas rectas não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) ϕ que contém a recta f – a charneira do rebatimento (recta e) é a recta de intersecção dos dois planos, pelo que é a própria recta f. Assim sendo, a recta f roda sobre si própria, pelo que se tem imediatamente f r ≡ e2 ≡ f 2. Pr ≡ P2 pois P é um ponto da charneira. Para rebater a recta b é necessário o recurso a um ponto qualquer da recta – o ponto A , por exemplo (note que o ponto A é o ponto de concorrência da recta b com o eixo X). O ponto A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância ao plano ϕ (o afastamento de A em relação a ϕ). A recta br está definida por Pr e A r. A V.G. do ângulo entre as rectas f e b está em qualquer dos dois ângulos agudos entre f r e br, com vértice em Pr – identificou-se um dos ângulos pelas semi-rectas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com α°.

2.

Em primeiro lugar desenharam-se as projecções do cone, em função dos dados. Note que o centro da base, O, e o vértice do cone, V, têm o mesmo afastamento, pois o eixo do cone está contido numa recta frontal (de frente).

O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base do cone. Note que, a situação deste exercício é muito semelhante à do exercício 654, pelo que se aconselha o acompanhamento da resolução gráfica apresentada com a leitura daquele relatório. A diferença entre os dois exercícios reside, essencialmente, no facto de o vértice do cone, nesta situação, não ter cota nula – assim, não se tem que Vs 1 ≡ V1, apesar de V s 1 se situar, igualmente, no SPHA. Em tudo o resto, os dois exercícios são quase idênticos.

576

SOLUÇÕES

GRUPO II

1.

Em primeiro lugar representaram-se o ponto A , pelas suas projecções, e o ponto G, pela sua projecção horizontal, em função dos dados. Em seguida, representaram-se, pelos respectivos traços, os dois planos de perfil que contêm A B CD] e [E EFGH] – o plano π, as faces [A passando por A , é o plano que contém A B CD] e o plano π’, passando a face [A por G , é o plano que contém a face E F G H ]. Note que, não nos é dada a [E cota do vértice G, pelo que não é possível determinar, de forma directa, mais nenhum vértice do sólido (não é possível determinar directamente a projecção frontal de G). De facto, o dado que nos permite saber a cota de G refere-se ao c o m p r i m e n t o das diagonais espaciais do sólido, cuja determinação implica o recurso a raciocínios e procedimentos auxiliares, que têm a ver com a determin a ç ã o d e Ve r d a d e i r a s G r a n d e z a s .

Nesse sentido, A e G são dois extremos de uma das diagonais espaciais do sólido, que não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção A G ] não é paralelo a (o segmento [A nenhum dos planos de projecção) – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano projecAG] – o plano α. A partir das projecções horizontais de A e G é possível desenhar os traços do plano α, que é tante horizontal da diagonal [A um plano projectante horizontal. Rebateu-se o plano α para o Plano Frontal de Projecção – a charneira foi f α. Rebateu-se o ponto A , obtendo A r, e rebateu-se G1, o que nos permite obter a referência de Gr – com o compasso, fazendo centro em A r e com 9 cm de raio (o comprimento das diagonais espaciais do sólido) determinou-se Gr, na referência previamente determinada. Invertendo o rebatimento, determinou-se G2, a projecção frontal de G. Em seguida, tratando-se de um paralelepípedo, sabe-se que as arestas do sólido que não são de perfil (as arestas que não estão contidas nos planos π e π’) são necessariamente fronto-horizontais. Assim, por A conduziu-se uma recta fronto-horiAE]. Por zontal e determinou-se o ponto de intersecção dessa fronto-horizontal com o plano π’ – o ponto E, que é o outro vértice da aresta [A G conduziu-se outra recta fronto-horizontal e determinou-se o ponto de intersecção dessa fronto-horizontal com o plano π – o ponto C, que GC]. Os vértices A e C são dois vértices opostos da face [A A B CD] do sólido, que é um rectângulo. A face [A A B C D] é o outro vértice da aresta [G está contida num plano de perfil, que é paralelo ao Plano de Perfil de Projecção (plano YZ), pelo que se projecta em V.G. no Plano de Perfil de Projecção – nesse sentido, recorreu-se à projecção lateral do sólido, para concluir a construção das suas projecções. Por A e C conduziA 3 e C3), ram-se as projectantes laterais (rectas fronto-horizontais) que por eles passam e determinaram-se as projecções laterais de A e C (A após o rebatimento do plano YZ (o Plano de Perfil de Projecção) sobre o plano XZ (o Plano Frontal de Projecção). Para construir o rectângulo, A 3C3] e, com centro nesse ponto, em função dos dados, é necessário inscrevê-lo numa circunferência – determinou-se o ponto médio de [A A B] do rectângulo mede 3,5 cm e B tem cota inferior a A – com o compasso, desenhou-se a circunferência que passa por A 3 e C3. O lado [A A B]), determinou-se B 3 sobre a circunferência, garantindo que a cota fazendo centro em A 3 e com 3,5 cm de raio (o comprimento do lado [A de B é inferior à de A. A partir de B3, foi possível, com o recurso à diagonal do rectângulo que passa por B3, determinar D3, a projecção lateral do quarto vértice do rectângulo. Em seguida, atendendo que as arestas do sólido que não são de perfil são fronto-horizontais (projectantes EFGH], que estão coincidentes com as projeclaterais), é possível determinar imediatamente as projecções laterais dos vértices da face [E A B CD] – a construção da projecção lateral do sólido está concluída. Invertendo o rebatições laterais dos vértices correspondentes da face [A mento do plano YZ, foi possível determinar, em seguida, as projecções frontal e horizontal dos restantes vértices do sólido e concluir a representação do sólido em Dupla Projecção Ortogonal, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes.

577

SOLUÇÕES

2.

Em primeiro lugar desenharam-se as perspectivas dos três eixos coordenados. Note que os dados do enunciado são omissos em relação ao plano axonométrico, e mesmo a informação da direcção das projectantes é claramente insuficiente. De facto, o único dado refere-se ao ângulo entre as perspectivas do eixo X e do eixo Y. Analisemos as hipóteses que existem, num total de quatro. Caso o plano axonométrico seja o plano YZ, a perspectiva do eixo X faz um ângulo de 145o com o eixo Y, mas pode fazer um ângulo de 125o (um ângulo obtuso) com o eixo Z ou um ângulo de 55o (um ângulo agudo). Por outro lado, caso o plano axonométrico seja o plano XZ, a perspectiva do eixo Y faz um ângulo de 145o com o eixo X, mas pode fazer um ângulo de 55o (um ângulo agudo) com o eixo Z, ou um ângulo de 125o (um anglo obtuso). Decidimos apresentar esta última hipótese. De qualquer forma, o Júri Nacional de Exames emitiu um comunicado no qual se referia expressamente que deveriam ser consideradas como correctas quaisquer das outras três hipóteses possíveis, pois o grau de dificuldade do exercício se mantinha inalterado. Em seguida, optou-se por representar o sólido em Dupla Projecção Ortogonal, considerando, para tal, o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico (o plano XZ). Assim, representaram-se os pontos A, B e D, pelas respectivas projecções – A 2, B 2 e D2 são as projecções frontais de A , B e D, respectivamente, e A 1r, B 1r e D1r são as projecções horizontais, em rebatimento (no rebatimento do plano XY) dos pontos A , B e D, respectivamente. A partir da cota dos três pontos, representou-se o plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém o A B CD], pelos seus traços – f ν é o traço frontal de ν e pν é a perspectiva do seu traço lateral (ff ν e a perspectiva de pν são concorquadrado [A rentes entre si no eixo Z). Os restantes dados do enunciado são apresentados de forma mais ou menos confusa, mas é necessário ter partiA B E] está necessariamente cular atenção às posições descritas. Uma vez que A e B têm o mesmo afastamento, o triângulo equilátero [A ADG] está necessacontido num plano frontal (de frente). Por outro lado, uma vez que A e D têm a mesma abcissa, o triângulo equilátero [A riamente contido num plano de perfil. Assim, o triângulo equilátero [A A B E] projecta-se em V.G. no plano XZ, o que nos permitiu, a partir de A 2 e B 2, construir a projecção frontal do triângulo em V.G., determinando E2, a projecção frontal de E – em seguida, determinou-se E1r, a projecção horizontal (em rebatimento, no rebatimento do plano XY) de E e determinou-se o traço horizontal do plano ϕ, o plano frontal ADG], por sua vez, estando conti(de frente) que contém o triângulo, em rebatimento (no rebatimento do plano XY), que é hϕr. O triângulo [A do num plano de perfil, projecta-se em V.G. no plano YZ, pelo que se procedeu ao rebatimento do plano YZ sobre o plano axonométrico, obtendo A 3r e D3r (as projecções laterais de A e D, em rebatimento – no rebatimento do plano YZ). Note que D tem afastamento nulo, pelo que a sua projecção lateral se situa no eixo Z, que é a charneira do rebatimento do plano YZ, pelo que se tem imediatamente D3r ≡ D3. A partir ADG] em V.G., em rebatimento (no rebatimento do plano YZ), obtendo G3r, a de A 3r e de D3r construiu-se a projecção lateral do triângulo [A projecção lateral (em rebatimento) do vértice G do triângulo. Note que é referido expressamente no enunciado que E se situa acima do plano do quadrado (o plano ν) e que G se situa abaixo do plano do quadrado. Em seguida, determinaram-se as direcções de afinidade que nos permitem inverter o rebatimento do plano XY e do plano YZ, conforme exposto no relatório o exercício 845 e inverteram-se os dois rebatimentos, obtendo as projecções frontais de todos os vértices do sólido e as perspectivas das suas projecções horizontais. Note que, se ADG] e o plano ϕ é o plano frontal (de frente) representaram o plano π e o plano ϕ – o plano π é o plano de perfil que contém o triângulo [A ABE]. O plano π está representado pelo seu traço frontal, f π, e pela perspectiva do seu traço horizontal, hπ. O plano ϕ que contém o triângulo [A está representado pelas perspectivas do seu traço horizontal, hϕ, e do seu traço lateral, pϕ. A partir das projecções frontais de todos os vértices do sólido e das perspectivas das suas projecções horizontais, determinaram-se as perspectivas propriamente ditas de todos os vértices do sólido e desenhou-se a sua perspectiva propriamente dita, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes.

578

SOLUÇÕES

P ROVA G LOBAL 17 Exame Nacional, 2006 – Prova Código 708 (1ª– Fase) GRUPO I

I. Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, em função dos dados. É pedida a recta de intersecção entre os dois planos, que é uma recta que pertence simultaneamente aos dois planos – é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem aos dois planos. Poder-se-ia determinar os traços do plano de rampa ρ, com o recurso a uma recta oblíqua auxiliar, do plano, concorrente com as rectas a e b. Em seguida, estando os dois planos definidos pelos seus traços, tratar-se-ia do caso geral da intersecção entre planos. No entanto, optou-se por uma situação diferente – recorrer a planos auxiliares, tendo em conta que para definir uma recta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Recorreu-se a um plano auxiliar ϕ, frontal (de frente), contendo a recta a, que pertence ao plano ρ.

Em seguida determinaram-se as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos. A recta a, que o plano ϕ contém, é imediatamente a recta de intersecção do plano ϕ com o plano ρ. A recta f é a recta de intersecção do plano ϕ com o plano α – é uma recta frontal (de frente) do plano α e está definida por um ponto (o seu traço horizontal – H) e uma direcção (é paralela a f α). As rectas a e f são concorrentes no ponto I, que é um ponto comum aos três planos – os planos ϕ, ρ e α. O ponto I é assim, um ponto que pertence simultaneamente aos planos ρ e α, pelo que já é um ponto da recta de intersecção entre os dois planos. Já temos um ponto para definir a recta i, pelo que nos falta outro ponto ou uma direcção. Recorreu-se a outro plano auxiliar ϕ’, frontal (de frente), contendo a recta b, que pertence ao plano ρ. Em seguida determinaram-se as rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos. A recta b, que o plano ϕ’ contém, é imediatamente a recta de intersecção do plano ϕ’ com o plano ρ. A recta f ’ é a recta de intersecção do plano ϕ’ com o plano α – é também uma recta frontal (de frente) do plano α e está definida por um ponto (o seu traço horizontal – H’) e uma direcção (é paralela a f α). As rectas b e f ’ são concorrentes no ponto I’’, que é um ponto comum aos três planos – os planos ϕ’, ρ e α. O ponto I’’ é assim, um ponto que pertence simultaneamente aos planos ρ e α, pelo que é outro ponto da recta de intersecção entre os dois planos. Já temos o ponto que nos faltava. A recta i está definida por dois pontos – os pontos I e I’’.

II. Em primeiro lugar representaram-se as duas rectas, em função dos dados. É pedida a amplitude do ângulo formado entre duas rectas enviesadas (as rectas n e f ), que é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que duas rectas concorrentes, paralelas às rectas dadas, fazem entre si. Nesse sentido, recorreu-se a uma recta auxiliar h, paralela à recta n e concorrente com a recta f num ponto P. As rectas h e f, que são concorrentes no ponto P, fazem, entre si, um ângulo igual (com a mesma amplitude) ao ângulo que as rectas n e f fazem espacialmente entre si. As rectas h e f, porque são concorrentes, definem um plano. O ângulo que as rectas h e f fazem entre si está contido no plano definido pelas duas rectas, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção (trata-se de um plano oblíquo), pelo que o ângulo não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Há que recorrer a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano definido pelas duas rectas para o plano frontal (de frente) ϕ que contém a recta f. A charneira do rebatimento é, imediatamente, a própria recta f. A recta f roda sobre si própria, pelo que se tem f 2 ⬅ e2 ⬅ f r . Há, agora, que rebater a recta h para o plano ϕ, o que se processa rebatendo um ponto qualquer da recta h. Sobre a recta h representou-se um ponto qualquer – o ponto A. O ponto A rebateu-se para o plano ϕ pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância ao plano ϕ (o afastamento do ponto A em relação ao plano ϕ). Por A 2 conduziram-se uma paralela e uma perpendicular à charneira do rebatimento. Sobre a paralela à charneira do rebatimento mediu-se a distância do ponto A em relação ao plano ϕ e construiu-se o triângulo do rebatimento, em V.G., pelo rebatimento do plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento do ponto A . O comprimento da hipotenusa do triângulo é o raio do arco do rebatimento do ponto A . Com o compasso, fazendo centro na charneira e raio igual à hipotenusa do triângulo, transportou-se essa medida até à perpendicular à charneira que passa por A 2, obtendo A r. O ponto de concorrência das duas rectas (o ponto P), porque é um ponto da charneira, roda sobre si próprio, pelo que se tem P2 ⬅ Pr. A recta h em rebatimento (a recta hr), fica definida por Pr e por A r. O ângulo entre as rectas f r e hr e qualquer dos dois menores ângulos entre elas formado – assinalou-se um qualquer dos dois ângulos com α° de amplitude. Essa amplitude é a amplitude do ângulo pedido.

(Continua na página seguinte)

579

SOLUÇÕES

III. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e V, em função dos dados. Em seguida representou-se o plano ϕ, o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide. Uma vez que se trata de uma p i r â m i d e r e g u l a r, com a base contida num plano frontal (de frente), sabe-se que o seu eixo está contido numa recta de topo (uma recta ortogonal ao plano da base). O ponto O, o centro da circunferência cirA B C ], situa-se, assim, na cunscrita ao triângulo [A mesma projectante frontal do ponto V e tem o afastamento do ponto A . Este raciocínio permitiu-nos determinar as projecções do ponto O e, em seguida, com o compasso, fazendo centro em O2 e raio até A 2, desenhou-se a circunferência na qual o triângulo A B C] em V.G., se inscreve. Construiu-se o triângulo [A em projecção frontal, e nomearam-se os restantes vértices por uma ordem qualquer, uma vez que o enunciado é omisso no que respeita à ordem dos vértices do triângulo da base. A partir das projecções da base da pirâmide e do seu vértice, desenharam-se as projecções da pirâmide, respeitando as invisibilidades das suas arestas. As arestas laterais são todas visíveis em projecção horizontal e são todas invisíveis em projecção frontal. São pedidas as sombras, própria e projectada nos planos de projecção, da pirâmide, para o que é necessário determinar a linha separatriz luz/sombra na situação considerada, o que se processa com o recurso aos (Continua na página seguinte)

580

SOLUÇÕES

planos tangentes luz/sombra. Assim, conduziu-se, pelo vértice da pirâmide, um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz) – este raio luminoso é a recta de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra. Em seguida determinou-se o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano da base – o ponto I. Pelo ponto I conduziram-se as rectas tangentes (ou rasantes) à base – as rectas t e t’. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra com o plano da base. A recta t é rasante à base no ponto B e a AV] e [B BV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. Dada a recta t’ é rasante à base no ponto A . As arestas laterais [A A BV]. As faces laterais [B B CV] e [A ACV] estão em sombra – trata-se da proveniência da luz, a base está iluminada, bem como a face lateral [A AVB C]. As faces em sombra própria são invisíveis sombra própria da pirâmide. A linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [A em projecção frontal, pelo que, em projecção frontal, não há lugar à identificação de sombra própria. Já em projecção horizontal, apenas a B CV] é visível, pelo que esta é a única sombra própria a assinalar em projecção horizontal. Para determinar a sombra projectada face lateral [B da pirâmide nos planos de projecção, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. Vs 2 e B s 2 são as sombras reais de V e B, respectivamente, e situam-se no SPFS. A s 1 e Cs 1 são as sombras reais de A e C, respectivamente, e situam-se no S P H A. A sombra projectada da pirâmide admite dois pontos de quebra – um situado entre A s 1 e Vs 2 e outro situado entre C s 1 e B s 2.

B v 1).

Vv 1) e o segundo determinou-se com o recurso à sombra virtual de B (B O primeiro determinou-se com o recurso à sombra virtual de V (V A partir de todos os vértices do contorno da sombra projectada da pirâmide, desenhou-se esse contorno, respeitando as suas invisibilidades (quer a parte oculta pela pirâmide em projecção horizontal, quer a parte oculta pela pirâmide em projecção frontal). Em seguida, assinalou-se, com uma mancha clara e uniforme, a parte visível da sombra projectada.

IV.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos, que fazem, entre si, ângulos com 120° de amplitude. Em seguida, recorreu-se ao método dos cortes com vista a poder representar em V.G., pelo menos, duas das projecções do objecto. Rebateu-se o plano X Y para o interior da pirâmide axonométrica, obtendo a direcção do eixo X r e do eixo Yr (que são perpendiculares entre si). Em seguida efectuou-se a translação do plano X Y rebatido, através da perpendicular à charneira que passa pela perspectiva de O, para fora da área da (Continua na página seguinte)

581

SOLUÇÕES

representação – o eixo X r ’ é paralelo ao eixo X r e o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr. No plano X Y rebatido e transladado, construiu-se a projecção horizontal do objecto, em V.G., tendo em conta as dimensões extraídas a partir do enunciado (que têm de ser medidas pelo examinando).

O processo acima descrito repetiu-se para o plano Y Z, mas poderia ter-se repetido ou para o plano X Z (em opção ao plano YZ) ou também para o plano X Z (cumulativamente com o plano Y Z). No entanto, sublinha-se que, para a construção da perspectiva do objecto, basta o recurso a duas das suas projecções, apenas. A opção de se ter recorrido à projecção lateral do objecto (com o rebatimento do plano YZ) tem a ver com o facto de se considerar que a informação que esta projecção fornece é mais útil para a construção da perspectiva do objecto.

Assim, rebateu-se o plano Y Z para o interior da pirâmide axonométrica, obtendo a direcção do eixo Yr e do eixo Z r (que são perpendiculares entre si). Em seguida efectuou-se a translação do plano Y Z rebatido, através da perpendicular à charneira que passa pela perspectiva de O, para fora da área da representação – o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr e o eixo Z r ’ é paralelo ao eixo Z r. No plano Y Z rebatido e transladado, construiu-se a projecção lateral do objecto, em V.G., tendo em conta as dimensões extraídas a partir do enunciado (que têm de ser medidas pelo examinando). Por fim, por cada um dos vértices da projecção horizontal do objecto, em rebatimento, conduziu-se uma perpendicular à charneira (paralela à perspectiva do eixo Z), que corresponde à perspectiva da sua projectante horizontal. Por cada um dos vértices da projecção lateral do objecto, em rebatimento, conduziu-se uma perpendicular à charneira (paralela à perspectiva do eixo X), que corresponde à perspectiva da sua projectante lateral. O ponto de concorrência das duas rectas é a perspectiva de cada vértice. A partir das perspectivas de todos os vértices do objecto, desenhou-se a sua perspectiva (apenas das arestas visíveis e das partes visíveis das arestas parcialmente ocultas, tal como é pedido no enunciado). Sublinha-se que a construção da perspectiva de um objecto dado por três das suas vistas deve ser precedida, sempre, por um esboço feito à mão livre, a partir da informação fornecida (as três vistas), no qual o examinando traduza a compreensão exacta da forma e da sua volumetria, se possível a partir de um ponto de vista próximo daquele a que corresponderá a construção da perspectiva rigorosa pedida.

P ROVA G LOBAL 18 Exame Nacional, 2006 – Prova Código 708 (2ª– Fase)

I.

Em primeiro lugar representaram-se os pontos A , B, C e Q, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta p (a recta pedida), tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes do plano α (o plano definido pelos pontos A , B e C) – trata-se do Critério de ortogonalidade entre rectas e planos. Por outro lado, em projecções, a ortogonalidade entre rectas só é directa se uma das rectas for paralela a um dos planos de projecção. Assim, em primeiro lugar, recorreu-se a uma recta h, uma recta horizontal (de nível) do plano α, definida pelos pontos B e C (Continua na página seguinte)

582

SOLUÇÕES

(que têm a mesma cota). A projecção horizontal da recta p tem de passar por Q1 e ser perpendicular à projecção horizontal da recta h.

A ortogonalidade entre as duas rectas é directa em projecção horizontal, pois a recta h é paralela ao Plano Horizontal de Projecção. Isto garante-nos que a recta p é, já, ortogonal a uma recta do plano α – a recta h. É necessário, agora, o recurso a uma recta frontal (de frente) do plano, para saber a direcção das suas rectas frontais (de frente), Nesse sentido conduziu-se, pelo ponto A , uma recta frontal (de frente) f, do plano α. Uma vez que o ponto A tem afastamento negativo (é um ponto do β2/4), a projecção horizontal da recta f passa por A 1 e está acima do eixo X. Para definir uma recta (a recta f ) são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Já temos um ponto – o ponto A. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. As rectas f e h são complanares (estão, ambas, contidas no plano α), pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois têm direcções diferentes (uma é frontal e a outra é horizontal), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto D. A recta f está, assim, definida por dois pontos – o ponto A e o ponto D. A projecção frontal da recta p tem de passar por Q2 e ser perpendicular à projecção frontal da recta f. A ortogonalidade entre as duas rectas é directa em projecção frontal, pois a recta f é paralela ao Plano Frontal de Projecção. Isto garante-nos que a recta p é, também, ortogonal a uma segunda recta do plano α – a recta f. A recta p contém o ponto Q e é ortogonal do plano α, pois é ortogonal a duas rectas concorrentes do plano – as rectas h e f. Note que um outro processo de resolver o exercício poderia passar pela determinação dos traços do plano α e, em seguida, desenhar as projecções da recta p, perpendiculares aos traços homónimos do plano α. A solução final seria rigorosamente a mesma, mas com mais traçado. A solução apresentada pauta-se por uma grande economia de traçados.

II. Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, bem como a projecção horizontal do ponto C, em função dos dados.

A C] do Em seguida desenhou-se a projecção horizontal da recta p (a recta passante que contém os pontos A e C, pois contém a diagonal [A quadrado), passando por A 1 e C1. Uma vez que se trata de uma recta passante, as suas projecções são concorrentes no eixo X, o que nos permitiu desenhar a projecção frontal da recta p e, assim, determinar a projecção frontal do ponto C. A recta p é uma recta passante do plano β, pelo que é concorrente com o eixo X no ponto de concorrência dos dois traços do plano β. Este raciocínio permitiu-nos desenhar, imediatamente, hβ, a partir do ângulo dado. Para determinar o traço frontal do plano (que não era pedido), recorreu-se a uma recta auxiliar do plano – uma recta h, horizontal (de nível), passando pelo ponto A e paralela a hβ. Determinou-se o traço frontal da recta h e desenhou-se o traço frontal do plano, f β, passando por F2 e concorrente com hβ no eixo X. O quadrado está contido num plano oblíquo, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que a sua construção implica o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano β para o Plano Horizontal de Projecção, rebatimento esse que se processou pelo rebatimento dos seus traços. No entanto, era possível efectuar o mesmo rebatimento pelo triângulo do rebatimento, o que significava não ser necessária a determinação do traço frontal do plano que acima se explicou. Rebateu-se o plano β para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi h β, pelo que se tem imediatamente hβ ⬅ e1 ⬅ hβr. Para rebater f β recorreu-se a um ponto de f β – o ponto F , que é o traço frontal da recta h, que contém o ponto A . Em primeiro lugar conduziu-se, por F1, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento). Em seguida, com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos dois traços do plano e raio até F2, transportou-se essa distância até à perpendicular à charneira, obtendo Fr . O traço frontal do plano rebatido (ff β r ) está definido por dois pontos – o ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é um ponto da charneira e, por isso, é fixo) e Fr. Por Fr conduziu-se, também, uma recta paralela a hβr, que é a recta h em rebatimento (rectas horizontais de um plano são paralelas ao traço horizontal do plano, no espaço, em projecções e em rebatimento). Por A 1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que (Continua na página seguinte) 583

SOLUÇÕES

corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se A r sobre hr (o ponto A é um ponto da recta h). Em seguida desenhou-se a recta p em rebatimento – a recta pr está definida por dois pontos, que são A r e o ponto de concorrência dos dois traços do plano (que é um ponto da charneira e, por isso, é fixo). Por C1 conduziu-se uma recta perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se Cr, sobre pr. A partir de A r e de Cr (dois A B CD], em V.G., em rebatimento, determinando B r e Dr. Para vértices opostos do quadrado, em rebatimento) construiu-se o quadrado [A determinar as projecções dos pontos B e D (inverter o rebatimento), recorreu-se a uma recta do plano que os contém – a recta r, que é a BD] do quadrado. Note que os pontos A e C foram rebatidos a partir das rectas que os contêm – o ponto A foi recta suporte da diagonal [B B D] rebatido a partir da recta h e o ponto C foi rebatido a partir da recta p. A recta r r, passando por B r e Dr, é a recta suporte da diagonal [B em rebatimento. A recta r, porque é uma recta do plano β, tem os seus traços sobre os traços homónimos do plano – F’ é o seu traço frontal Hr está sobre hβr). H é um ponto da charneira, pelo que roda sobre si próprio – assim, tem-se F’r está sobre f βr) e H é o seu traço horizontal (H (F imediatamente Hr ⬅ H1 e H2 situa-se no eixo X. Conduziu-se, por F’r, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se F’1 no eixo X – F’2 situa-se sobre f β. As projecções da recta r ficam, assim, definidas pelas projecções dos seus traços. Os pontos B e D são dois pontos da recta r, pelo que as suas projecções têm de se situar sobre as projecções homónimas da recta r. Por B r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se B 1 sobre r 1 – a projecção frontal de B situa-se na projecção frontal da recta r. Repetiu-se o processo para o ponto D – por Dr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento) e determinou-se D1 sobre r 1, sendo que a projecção frontal de D situa-se na projecção frontal da recta r. A partir das projecções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as projecções do polígono.

III. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e V, pelas respectivas projecções, em função dos dados.

Em seguida representou-se o plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide. Uma vez que se trata de uma pirâmide regul a r, com a base contida num plano horizontal (de nível), sabe-se que o seu eixo está contido numa recta vertical (uma recta ortogonal ao plano da base). O ponto O, o centro da circunferência circunscrita ao pentáA B C D E ], situa-se, assim, na gono [A mesma projectante horizontal do ponto V e tem a cota do ponto A .

Este raciocínio permitiu-nos determinar as projecções do ponto O e, em seguida, com o compasso, fazendo centro em O 1 e raio até A 1 , desenhou-se a circunferência na qual o pentágono se inscreve. Construiu-se A B CDE] em V.G., em o pentágono [A projecção horizontal, e nomearam-se os restantes vértices por uma ordem qualquer, uma vez que o enunciado é omisso no que respeita à ordem dos vértices do pentágono da base.

A partir das projecções da base da pirâmide e do seu vértice, desenharam-se as projecções da pirâmide, respeitando as invisibilidades das suas arestas. As arestas laterais são todas visíveis em projecção horizontal e, em projecção frontal, são CV] e [D DV] (que correspondem aos vértices de menor afastamento da base). Em seguida representou-se o invisíveis as arestas laterais [C plano τ, de topo, contendo o vértice B da base da pirâmide (o vértice mais à esquerda da pirâmide. Uma vez que o plano τ contém o vértice B da pirâmide, este é, já, uma dos vértices da figura da secção. Uma vez que o plano τ é um plano projectante frontal, constata-se que o plano BV] no próprio ponto B). Assim, os restantes vértices da figura da corta todas as arestas laterais do sólido (o plano τ corta a aresta lateral [B secção tiveram determinação imediata, a partir da sua projecção frontal (trata-se da intersecção entre rectas não projectantes com um plano AV] é de perfil, pelo que o ponto A’ (o ponto em que o plano τ corta esta aresta) não tem projectante frontal). No entanto, a aresta lateral [A determinação imediata – trata-se de um ponto «problemático» desta secção. Para a determinação do ponto A’ recorreu-se ao método dos planos paralelos à base. Por A’2 conduziu-se o traço frontal do plano ν’, outro plano horizontal (de nível) – um plano paralelo ao plano de base. A secção produzida pelo plano ν’ na pirâmide é um polígono semelhante ao polígono da base e com os seus lados paralelos aos EV] no ponto P, que tem determinação imediata (trata-se da lados correspondentes do polígono da base. O plano ν’ corta a aresta lateral [E (Continua na página seguinte)

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A 1E1], o que intersecção entre uma recta não projectante com um plano projectante frontal). Por P1 conduziu-se uma paralela ao segmento [A PA’] é um lado da secção produzida pelo plano ν’ na pirâmide). A partir dos cinco vértices da figura nos permitiu determinar A’1 (o segmento [P da secção produzida, na pirâmide pelo plano τ (os pontos A’, B, C’, D’ e E’), desenharam-se as projecções da figura da secção, conforme é pedido no enunciado – em projecção horizontal, a figura é visível, na sua totalidade, e em projecção frontal reduz-se a um segmento de recta, sobre f τ (o plano τ é projectante frontal). Sendo pedida a V.G. da figura da secção, e uma vez que o plano τ não é paralelo a nenhum dos planos de projecção (a figura não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção), é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Recorreu-se ao rebatimento do plano τ para o Plano Horizontal de Projecção – a charneira foi hτ. Rebateram-se os cinco vértices da figura da secção, desenhando-se, em seguida, a figura da secção em V.G., em rebatimento. Note que a V.G. da figura se poderia ter obtido, por exemplo, com o recurso a uma mudança do diedro de projecção, transformando o plano τ num plano horizontal (de nível).

Por fim, e de acordo com o que é expressamente pedido no enunciado, tracejou-se a V.G. da figura da secção.

IV.

Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos, de acordo com os ângulos dados. O eixo X é o eixo que sofre uma redução isolada. Em seguida, recorreu-se ao método dos cortes com vista a poder representar em V.G., pelo menos, duas das projecções do objecto. Rebateu-se o plano X Y para o interior da pirâmide axonométrica, obtendo a direcção do eixo X r e do eixo Yr (que são perpendiculares entre si). Em seguida efectuou-se a translação do plano X Y rebatido, através da perpendicular à charneira que passa pela perspectiva (Continua na página seguinte)

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de O, para fora da área da representação – o eixo X r ’ é paralelo ao eixo X r e o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr. No plano X Y rebatido e transladado, construiu-se a projecção horizontal do objecto, em V.G., tendo em conta as dimensões extraídas a partir do enunciado (que têm de ser medidas pelo examinando). O processo acima descrito repetiu-se para o plano X Z, mas poderia ter-se repetido ou para o plano Y Z (em opção ao plano X Z) ou também para o plano Y Z (cumulativamente com o plano X Z). No entanto, sublinha-se que, para a construção da perspectiva do objecto, basta o recurso a duas das suas projecções, apenas. A opção de se ter recorrido à projecção frontal do objecto (com o rebatimento do plano X Z) tem a ver com o facto de ser a partir da sua projecção frontal que se tem a compreensão exacta do objecto, que se baseia em prismas triangulares, sendo possível, dessa forma, construir os triângulos equiláteros em V.G., em rebatimento. Assim, rebateu-se o plano X Z para o interior da pirâmide axonométrica, obtendo a direcção do eixo X r e do eixo Z r (que são perpendiculares entre si). Em seguida efectuou-se a translação do plano X Z rebatido, através da perpendicular à charneira que passa pela perspectiva do ponto O, para fora da área da representação – o eixo X r ’ é paralelo ao eixo X r e o eixo Z r ’ é paralelo ao eixo Z r. No plano X Z rebatido e transladado, construiu-se a projecção frontal do objecto, em V.G., tendo em conta as dimensões extraídas a partir do enunciado (que têm de ser medidas pelo examinando), bem como as construções geométricas dos triângulos equiláteros. Por fim, por cada um dos vértices da projecção horizontal do objecto, em rebatimento, conduziu-se uma perpendicular à charneira (paralela à perspectiva do eixo Z), que corresponde à perspectiva da sua projectante horizontal. Por cada um dos vértices da projecção frontal do objecto, em rebatimento, conduziu-se uma perpendicular à charneira (paralela à perspectiva do eixo Y), que corresponde à perspectiva da sua projectante frontal. O ponto de concorrência das duas rectas é a perspectiva de cada vértice. A partir das perspectivas de todos os vértices do objecto, desenhou-se a sua perspectiva (apenas das arestas visíveis e das partes visíveis das arestas parcialmente ocultas, tal como é pedido no enunciado). Sublinha-se que a construção da perspectiva de um objecto dado por três das suas vistas deve ser precedida, sempre, por um esboço feito à mão l i v r e, a partir da informação fornecida (as três vistas), no qual o examinando traduza a compreensão exacta da forma e da sua volumetria, se possível a partir de um ponto de vista próximo daquele a que corresponderá a construção da perspectiva rigorosa pedida.

P ROVA G LOBAL 19 Exame Nacional, 2007 – Prova Código 708 (1ª– Fase) I. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e N e as rectas a e n, pelas respectivas projecções, em função dos dados. A recta a é uma recta do β2/4, pelo que tem as suas projecções coincidentes. O ângulo que a recta n faz com o Plano Frontal de Projecção projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção, no ângulo que a sua projecção horizontal faz com o eixo X. É pedido o ponto de intersecção da recta n com o plano ρ – trata-se da intersecção entre uma recta não projectante com um plano não projectante, pelo que é necessário o recurso ao método geral da intersecção entre rectas e planos. Assim, em primeiro lugar conduziu-se, pela recta n, um plano auxiliar – o plano γ é um plano vertical que contém a recta n (é o plano projectante horizontal da recta n). Em seguida, determinou-se a recta de intersecção do plano auxiliar (o plano γ) com o plano dado (o plano ρ). Se já tivéssemos os traços do plano ρ, tratar-se-ia do caso geral da intersecção entre dois planos. Assim, recorreu-se a um raciocínio diferente. Para definir uma recta (a recta i, a recta de intersecção dos dois planos) são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. O ponto B é o ponto de intersecção da recta a (que é uma recta do plano ρ) com o plano γ. O ponto B teve determinação imediata, a partir da sua projecção horizontal, pois trata-se da intersecção entre uma recta não projectante com um plano projectante horizontal. O ponto B, porque pertence à recta a, tem as suas projecções coincidentes (o ponto B é, também, um ponto do β2/4). Já temos um ponto para definir a recta i. Falta-nos outro ponto ou uma direcção. Os dados do plano ρ são insuficientes para definir a recta i , pelo que se recorreu a uma recta auxiliar do plano ρ – a recta h, que é uma recta fronto-horizontal do plano ρ, passando pelo ponto A . O ponto C é o ponto de intersecção da recta h (que é uma recta do plano ρ) com o plano γ. O ponto C teve determinação imediata, a partir da sua projecção horizontal, pois trata-se da intersecção entre uma recta não projectante com um plano projectante horizontal. Já temos o ponto que nos faltava. A recta i está definida por dois pontos – os pontos B e C . Por fim realizou-se a terceira etapa do m é t o d o g e r a l d a i n t e r secção entre rectas e planos – o ponto de intersecção da recta i com a recta n é o ponto de intersecção da recta n com o plano dado (o plano ρ). O ponto I é o ponto pedido. Note que a determinação da recta i se poderia ter processado, como acima se referiu, através do caso geral da intersecção entre planos, caso se tivessem determinado os traços do plano ρ. Para tal bastaria conduzir, pelo ponto A , uma recta auxiliar do plano ρ (uma recta oblíqua concorrente com a recta a) e determinar os traços dessa recta, pelos quais passariam os traços homónimos do plano ρ. No entanto, essa situação implicaria uma maior quantidade de traçados auxiliares. A solução apresentada pauta-se por uma maior economia de traçados.

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II. Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, em função dos dados. O ângulo que o plano α faz com o Plano Frontal de Projecção representa-se, em V.G., no ângulo que o seu traço horizontal faz com o eixo X – o traço frontal do plano α é uma recta vertical (com afastamento nulo). Em seguida representou-se o ponto M (o centro do quadrado), pelas suas projecções, pertencente ao plano α. Uma vez que se trata de um plano M 1) projectante horizontal, a projecção horizontal do ponto M (M tem de se situar sobre hα. Por outro lado, uma vez que o ponto M é um ponto do β1/3, sabe-se que tem coordenadas iguais e projecções simétricas em relação ao eixo X . O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que as duas figuras não se projectam em V.G. em nenhum dos planos de projecção – é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Projecção – a charneira do rebatimento foi f α. Rebateu-se o ponto M, obtendo M r. Por M r conduziram-se uma recta vertical (a recta suporte da diagonal vertical do quadrado) e uma recta horizontal, paralela ao eixo X (a recta suporte da diagonal horizontal do quadrado). Sobre as duas rectas mediram-se os 7 cm (3,5 cm para cada lado, a partir de Mr, que é o ponto médio das duas diagonais, em rebatimento), a partir do que foi possível desenhar o quadrado em V.G., em rebatimento. Uma vez que é pedida, também, a c i r c u n f e r ê n c i a i n s c r i t a no quadrado, sabe-se que essa circunferência será tangente aos quatro lados do quadrado. Assim, por M r conduziram-se as medianas do quadrado, em rebatimento, o que nos permitiu determinar imediatamente, em rebatimento, os pontos de tangência da circunferência em relação aos lados do quadrado (os pontos P, Q, R e S, pedidos no enunciado). Em seguida, com o compasso, fazendo centro em M r e raio até Pr (ou Qr ou R r ou Sr), desenhou-se a circunferência inscrita no quadrado, que é tangente aos lados do Aéo quadrado nos quatro pontos – Pr, Qr, R r e Sr. Sobre a circunferência representaram-se, anda, os restantes pontos pedidos – A r e B r (A E é o ponto mais à esquerda da circunferência ponto de maior cota da circunferência e B é o seu ponto de menor cota), bem como E r e Dr (E e D o seu ponto mais à direita). Note que, dado o movimento do rebatimento e a posição inicial do plano α, o ponto mais à esquerda, no espaço (o ponto E), corresponde ao ponto mais à direita em rebatimento. Da mesma forma, o ponto mais à direita, no espaço (o ponto D), corresponde ao ponto mais à esquerda em rebatimento. Caso se tivesse rebatido o plano α para o lado direito (provocando uma sobreposição das figuras em projecção frontal e em rebatimento), a situação da esquerda e da direita não estaria invertida. Por fim, inverteu-se o rebatimento, determinando as projecções de todos os pontos relevantes para o desenho das projecções das duas figuras – os oito pontos pedidos da circunferência, bem como os quatro vértices do quadrado, aos quais não foram atribuídos nomes (mas poderia ter sido). A projecção horizontal das duas figuras reduz-se a um segmento de recta, sobre hα, pois o plano que as contém é projectante horizontal. A projecção frontal do quadrado é um losango. A projecção frontal da circunferência é uma elipse, cujo desenho, à mão livre, se processou a partir dos oito pontos determinados, e tendo ainda em conta as situações de tangência aos lados do losango (que correspondem às situações de tangência da circunferência aos lados do quadrado).

III. Em primeiro lugar representou-se o ponto O pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, com o compasso e fazendo centro em O2, desenhou-se a circunferência circunscrita ao hexágono da base de menor afastamento – essa circunferência está em V.G., pois está contida no Plano Frontal de Projecção. O raio da circunferência é 2,5 cm, pois o hexágono regular é o único polígono cujo lado é igual ao raio da circunferência em que se inscreve, e é dada, no enunciado, a medida do lado do hexágono. Em seguida há que determinar a posição da figura, para se proceder à sua construção. O único dado que nos reporta para a posição da figura é o facto expresso no enunciado de que «os dois vértices mais à direita, na base de centro O, têm a mesma abcissa dos dois vértices mais à esquerda da outra base». Assim, para que tal suceda, dois dos lados do hexágono têm de ser verticais – esta dedução permitiu-nos construir o hexágono da base dada, tendo-se atribuído nomes aos seus vértices (mas não era necessário, pois o enunciado é omisso em relação a tal). Em seguida determinaram-se as projecções horizontais dos seis vértices do polígono. Pelas duas projecções de cada vértice conduziram-se as projecções respectivas das rectas suporte das arestas laterais (são rectas horizontais, cujas projecções horizontais fazem, com o eixo X, o ângulo dado). Não nos é dada nem a altura do prisma nem o afastamento da outra base, mas o facto de haver dois vértices, da outra base, com a mesma abcissa A B CDEF], permitiu-nos determinar, de forma imediata, a posição do plano frontal (de frente) que dos dois vértices mais à direita da base [A A’B’C’D’E’F’]. Os vértices A’ e B’ são os vértices mais à esquerda da base [A A’B’C’D’E’F’], que se situam nas mesmas contém a base [A A B CDEF]). A partir das projectantes frontais dos vértices E e D, respectivamente (os vértices D e E são os vértices mais à direita da base [A projecções frontais dos pontos A’ e B’, foi possível determinar as suas projecções horizontais, sobre as projecções horizontais das rectas suporte das arestas laterais a que aqueles pontos pertencem. A partir das projecções horizontais dos pontos A’ e B’ conduziu-se, por (Continua na página seguinte)

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aquelas, o traço horizontal do plano frontal (de frente) ϕ, o plano que A’B’C’D’E’F’] do prisma. Por fim, concluiu-se a conscontém a base [A trução das projecções do sólido, a traço leve, uma vez que o pretendido no exercício (e que deverá ser representado a traço forte) é o sólido resultante da secção. Há que ter particular cuidado na análise das situações das invisibilidades deste sólido, pois a sua posição pode provocar algumas confusões. Em projecção horizontal, não há qualquer invisibilidade a assinalar, pois todas as arestas invisíveis estão ocultas por arestas visíveis. Já em projecção frontal, o mesmo não se passa. De facto, existe uma linha horizontal que passa por A 2 e que corresponde à projecção frontal de duas arestas distintas – a aresta A A ’] (que é visível, em projecção frontal) e a aresta [E EE’] (que é invisí[A vel, em projecção frontal). O mesmo se passa com a linha horizontal DE], da base [A A B CDEF], é que passa por B 2. Por outro lado, a aresta [D A’B’], da invisível, em projecção frontal, mas está oculta pela aresta [A A’B’C’D’E’F’], que é visível. Após a construção das projecções base [A do sólido, representou-se o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano β é um plano de topo e o ângulo que o plano faz com o Plano Horizontal de Projecção está no ângulo que o seu traço frontal faz com o eixo X – o traço horizontal do plano é uma recta de topo com cota nula. Uma vez que o plano β é um plano projectante CC’], [D DD’ ] e frontal, constata-se que o plano corta as arestas laterais [C E E ’ ] do sólido, bem como as arestas [B B ’ C ’ ] e [E E ’ F ’ ] da base [E A’B’C’D’E’F’]. O plano β não corta a base [A A B CDEF]. Assim, os vér[A tices da figura da secção tiveram determinação imediata, a partir da sua projecção frontal (trata-se da intersecção entre rectas não projectantes com um plano projectante frontal). O plano β corta a aresta C C ’ ] no ponto P . O plano β corta a aresta [B B ’ C ’ ] da base lateral [C A’B’C’D’E’F’] no ponto Q. O plano β corta a aresta lateral [B B B ’] no [A EE’] no ponto S. O plano β ponto R . O plano β corta a aresta lateral [E E’F’] da base [A A’B’C’D’E’F’] no ponto T. A figura da secção é o polígono [P PQRST]. Em seguida, assinalou-se, a traço forte, o corta a aresta [E sólido resultante da secção (o sólido compreendido entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção), tracejando-se a figura da secção (a área do corte) em projecção horizontal, como é pedido, pois é visível em projecção horizontal. Na representação do sólido pretendido teve-se em conta todas as invisibilidades verificadas. De facto, para além das invisibilidades acima referidas, há ainda a registar que a FF’], em projecção horizontal, deixou de estar oculta pela aresta lateral [C CC’], pois parte desta corresponde à parte do sólido aresta lateral [F PC’] da aresta lateral [C CC’] foi retirado, a parte da aresta lateral [F FF’] que se que foi desprezada. Assim, tendo em conta que o segmento [P situa por baixo daquele segmento deixou de estar oculta, mas ainda assim é invisível em projecção horizontal (corresponde à aresta de menor cota do sólido final).

IV. Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos, de acordo com os ângulos dados. Em função dos dados, depreende-se que o plano axonométrico é o plano X Z, pelo que estes dois eixos são perpendiculares entre si. A perspectiva do eixo Y faz, com estes dois eixos, os ângulos dados. Em seguida, com vista à construção da perspectiva do objecto, procedeu-se à sua representação prévia em Dupla Projecção Ortogonal, considerando o plano X Y rebatido sobre o plano axonométrico (o plano X Z) – a charneira deste rebatimento é o próprio eixo X e o eixo Yr fica coincidente com o eixo Z. No plano X Z (que é o próprio axonométrico e que corresponde ao Plano Frontal de Projecção) representou-se, directamente, a projecção frontal do objecto, em V.G., tendo em conta as dimensões extraídas a partir do enunciado (que têm de ser medidas pelo examinando), bem como as construções geométricas dos triângulos equiláteros. No plano X Y rebatido (que corresponde ao Plano Horizontal de Projecção), representou-se a projecção horizontal do objecto, em V.G. (em rebatimento), tendo em conta as dimensões extraídas a partir do enunciado (que têm de ser medidas pelo examinando). Em seguida, determinou-se a direcção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano X Y. Para tal rebateu-se o plano projectante do (Continua na página seguinte) 588

SOLUÇÕES

eixo Y para o plano axonométrico (o plano X Z) – o eixo Yr 1 é o eixo Y rebatido pelo rebatimento do seu plano projectante e é perpendicular à perspectiva do eixo Y. Com o compasso, fazendo centro no ponto O (a origem do referencial) e com um raio qualquer (optou-se por fazer o raio igual ao afastamento dos vértices de maior afastamento do objecto) desenhou-se um arco de circunferência, que relaciona o eixo Y rebatido pelo rebatimento do plano X Y (o eixo Yr) e o eixo Y rebatido pelo rebatimento do seu plano projectante (o eixo Yr 1). O ponto A é um ponto do eixo Y cujo afastamento é igual ao afastamento dos vértices de maior afastamento do objecto (o afastamento do ponto A é igual ao raio do arco desenhado). O ponto A r do eixo Yr é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano X Y. O ponto A r 1 do eixo Yr 1 é o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano projectante do eixo Y. Por A r 1 conduziu-se uma recta projectante em rebatimento (a recta r r ), com a inclinação dada (a recta r r faz um ângulo de 55° com a perspectiva do eixo Y), obtendo-se a perspectiva do ponto A sobre a perspectiva do eixo Y. A recta que passa por A r (o ponto A rebatido pelo rebatimento do plano X Y) e pela perspectiva do ponto A é a direcção de afinidade – a recta d. Com o recurso à direcção de afinidade, determinaram-se as perspectivas das projecções horizontais de todos os vértices da projecção horizontal do objecto, que se situam nas paralelas à perspectiva do eixo Y que passam pelas respectivas projecções frontais. Seria possível, agora, construir a perspectiva da projecção horizontal do objecto, mas optou-se por não o fazer, para evitar uma resolução com maior grau de complexidade gráfica e, consequentemente, de leitura mais difícil. Por fim, por cada um dos vértices da perspectiva da projecção horizontal do objecto conduziu-se uma paralela à perspectiva do eixo Z, que corresponde à perspectiva da sua projectante horizontal.

Por cada um dos vértices da projecção frontal do objecto conduziu-se uma paralela à perspectiva do eixo Y, que corresponde à perspectiva da sua projectante frontal. O ponto de concorrência das duas rectas é a perspectiva de cada vértice. A partir das perspectivas de todos os vértices do objecto, desenhou-se a sua perspectiva (apenas das arestas visíveis e das partes visíveis das arestas parcialmente ocultas, tal como é pedido no enunciado). Sublinha-se que a construção da perspectiva de um objecto dado por três das suas vistas deve ser precedida, sempre, por um esboço feito à mão livre, a partir da informação fornecida (as três vistas), no qual o examinando traduza a compreensão exacta da forma e da sua volumetria, se possível a partir de um ponto de vista próximo daquele a que corresponderá a construção da perspectiva rigorosa pedida. Refere-se, a propósito, que em cada uma das três projecções de um dado objecto só existem linhas a separar planos distintos. Assim, observando a projecção lateral deste objecto, há que ter em conta que ali estão, apenas, dois planos – a linha quebrada que divide «ao meio» a projecção lateral do sólido corresponde à separação entre dois planos distintos. Uma parte está toda no mesmo plano (não há outras linhas divisórias) e a outra parte está toda num outro plano (também aí não há mais linhas divisórias).

P ROVA G LOBAL 20 Exame Nacional, 2007 – Prova Código 708 (2ª– Fase) I. Em primeiro lugar representaram-se os pontos A , P e R , bem como a recta h, pelas respectivas projecções, em função dos dados. O ângulo que a recta h faz com o Plano Frontal de Projecção projecta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projecção – é o ângulo que a sua projecção horizontal faz com o eixo X. O plano β, o plano pedido, tem de conter os pontos P e R . Uma vez que o ponto R é um ponto do eixo X , sabe-se imediatamente que os traços do plano β terão de ser concorrentes no ponto R .

No que respeita ao ponto P, para que o plano β contenha o ponto, o ponto P tem de pertencer a uma recta do plano (condição para que um ponto pertença a um plano). Por outro lado, para que o plano β seja ortogonal ao plano α, o plano β tem de conter uma recta ortogonal ao plano α (Critério de ortogonalidade entre planos).

Assim, há que conduzir, pelo ponto P, uma recta ortogonal ao plano α – a recta p. Para que a recta p seja ortogonal ao plano α, a recta p tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes do plano α (Critério de ortogonalidade entre rectas e planos). Nesse sentido, em projecções, a ortogonalidade entre rectas só é directa se uma das rectas for paralela a um dos planos de projecção.

Uma vez que a recta h é uma recta horizontal (de nível) do plano α, a projecção horizontal da recta p tem de passar por P1 e ser perpendicular à projecção horizontal da recta h. A ortogonalidade entre as duas rectas é directa em projecção horizontal, pois a recta h é paralela ao Plano Horizontal de Projecção. Isto garante-nos que a recta p é, já, ortogonal a uma recta do plano α – a recta h. É necessário, agora, o recurso a uma recta frontal (de frente) do plano, para saber a direcção das suas rectas frontais (Continua na página seguinte) 589

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(de frente). Nesse sentido conduziu-se, pelo ponto A , uma recta frontal (de frente) f, do plano α. Para definir uma recta (a recta f ) são necessários dois pontos ou um ponto e uma direcção. Já temos um ponto – o ponto A . Falta-nos outro ponto ou uma direcção. As rectas f e h são complanares (estão, ambas, contidas no plano α), pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois têm direcções diferentes (uma é frontal e a outra é horizontal), pelo que são concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrência – o ponto B. A recta f está, assim, definida por dois pontos – o ponto A e o ponto B. A projecção frontal da recta p tem de passar por P2 e ser perpendicular à projecção frontal da recta f. A ortogonalidade entre as duas rectas é directa em projecção frontal, pois a recta f é paralela ao Plano Frontal de Projecção. Isto garante-nos que a recta p é, também, ortogonal a uma segunda recta do plano α – a recta f. A recta p contém o ponto P e é ortogonal do plano α, pois é ortogonal a duas rectas concorrentes do plano – as rectas h e f. Em seguida determinaram-se os traços da recta p nos planos de projecção – F e H. O traço frontal do plano β (ff β) passa por F2 e pelo ponto R (recorde que os traços do plano β são hβ) passa por H1 e pelo ponto R . O plano β, definido pelos seus traços, é o plano concorrentes no ponto R ). O traço horizontal do plano β (h pedido – contém o ponto R (os seus traços são concorrentes no ponto R), contém o ponto P (o ponto P pertence a uma recta do plano – a recta p) e é ortogonal ao plano α (pois contém uma recta ortogonal ao plano α – a recta p). Note que um outro processo para determinar as projecções da recta p poderia passar pela determinação dos traços do plano α e, em seguida, desenhar as projecções da recta p, perpendiculares aos traços homónimos do plano α. A solução final seria rigorosamente a mesma, mas com mais traçado. A solução apresentada pauta-se por uma grande economia de traçados.

II. Em primeiro lugar representou-se o ponto A , pelas suas projecções, bem como o traço horizontal do plano δ, em função dos dados. Uma vez que o ponto A é um ponto com afastamento nulo do plano δ, sabe-se que é um ponto do traço frontal do plano – assim, por A conduziu-se, imediatamente, o traço frontal do plano (ff δ). O rectângulo está contido num plano de rampa, que não é paralelo a nenhum dos planos de projecção, pelo que a sua construção implica o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano δ para o Plano Frontal de Projecção, rebatimento esse que se processou pelo rebatimento dos seus traços – a charneira foi f δ, pelo que se tem imediatamente f δ ⬅ e 2 ⬅ f δr . Para rebater hδ recorreu-se a um ponto de hδ – o ponto P , com abcissa nula. Em primeiro lugar conduziu-se, por P 2, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento – um plano de perfil). O rebatimento do ponto P processou-se pelo triângulo do rebatimento. Transportou-se o afastamento do ponto P para o eixo X, com o compasso, e construiu-se o triângulo do rebatimento do ponto P . Com o compasso, fazendo centro na charneira e raio igual à hipotenusa do triângulo do rebatimento do ponto P, transportou-se essa medida para a perpendicular à charneira que passa por P2, obtendo Pr. O traço horizontal do plano δ, em rebatimento, passa por Pr e é paralelo ao eixo X. O ponto A é um ponto da charneira, pelo que é fixo – roda sobre si próprio, A B] do rectângulo faz com f δ (o traço frontal do plano δ) está contido no plano (é o ângulo pelo que se tem A 2 ⬅ A r. O ângulo que o lado [A entre duas rectas concorrentes do plano) e não é um ângulo em projecções – esse ângulo, tal como o rectângulo, não se projecta em V.G. em nenhum dos planos de projecção. Assim, em rebatimento, a partir de A r, mediu-se o ângulo dado (35°), obtendo a recta suporte do lado A B], em rebatimento – r r. Em seguida, em rebatimento, sobre r r e a partir de A r, mediram-se os 6 cm (o comprimento do lado [A A B]) obtendo [A B r. A partir de A r e de B r construiu-se o rectângulo em V.G., em rebatimento, obtendo os vértices Cr e Dr. Para determinar as projecções dos A B] do recpontos B, C e D (inverter o rebatimento), recorreu-se a rectas do plano que os contém – a recta r, que é a recta suporte do lado [A CD] do rectângulo. Assim, a recta r r é, em rebatimento, a recta suporte do lado [A A B] em tângulo, e a recta s, que é a recta suporte do lado [C CD] em rebatimento. A recta r, porque é uma recta do plano δ, rebatimento, tal como a recta sr é, em rebatimento, a recta suporte do lado [C A tem afastamento nulo) e H é o seu traço horitem os seus traços sobre os traços homónimos do plano – o ponto A é o seu traço frontal (A Hr está sobre hδr). A é um ponto da charneira e as suas projecções já são conhecidas. Por Hr conduziu-se uma perpendicular à charzontal (H neira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento – um plano de perfil) e determinou-se H2 no (Continua na página seguinte) 590

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eixo X e H1 sobre hδ. As projecções da recta r ficam, assim, definidas pelas projecções dos seus traços – A e H (a recta r está definida por dois pontos). O ponto B é um ponto da recta r, pelo que as suas projecções têm de se situar sobre as projecções homónimas da recta r.

Por B r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento – um plano de perfil) e determinou-se B 2 sobre r 2 e B 1 sobre r 1. A recta s, porque é também uma recta do plano δ, tem os seus traços sobre Fr está sobre f δr) e H’ é o seu traço horizontal (H Hr está sobre hδr). F é um ponto da os traços homónimos do plano – F é o seu traço frontal (F charneira, pelo que roda sobre si próprio – tem-se imediatamente Fr ⬅ F2 e F1 situa-se no eixo X. Por H’r conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento – um plano de perfil) e determinou-se H’2 no eixo X e H’1 sobre hδ. As projecções da recta s ficam, assim, definidas pelas projecções dos seus traços – F e H’ (a recta s está definida por dois pontos, mas poderia estar definida por um ponto apenas e pela sua direcção, uma vez que é paralela à recta r ). Os pontos C e D são dois pontos da recta s, pelo que as suas projecções têm de se situar sobre as projecções homónimas da recta s. Por Cr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento – um plano de perfil) e determinou-se C2 sobre s2 e C1 sobre s1. De forma idêntica, por Dr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento – um plano de perfil) e determinou-se D2 sobre s2 e D1 sobre s1. A partir das projecções dos quatro vértices do rectângulo, desenharam-se as projecções do polígono.

III. Em primeiro lugar representaram-se o ponto V , pelas suas projecções, bem como o plano horizontal (de nível) que contém a base do sólido (o plano ν), pelo seu traço frontal, em função dos dados.

O ponto V situa-se no semiplano horizonS P H A ), pelo que tem cota tal anterior (S nula. Uma vez que se trata de um cone d e r e v o l u ç ã o, com a base contida num plano horizontal (de nível), sabe-se que o seu eixo está contido numa recta vertical (uma recta ortogonal ao plano da base).

O ponto O, o centro da base, situa-se, assim, na mesma projectante horizontal do ponto V e tem a cota do plano ν. Este raciocínio permitiu-nos determinar as projecções do ponto O e, em seguida, com o compasso, fazendo centro em O1 e com 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência que limita a base do sólido. Em seguida desenharam-se as duas projecções do sólido. São pedidas as sombras, própria e projectada nos planos de projecção, do cone, para o que é necessário determinar a linha separatriz luz/sombra na situação considerada, o que se processa com o recurso aos planos tangentes luz/sombra. Assim, conduziu-se, pelo vértice do cone, um raio luminoso l (com a direcção convencional da luz) – este raio luminoso é a recta de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra.

Em seguida determinou-se o ponto de intersecção do raio luminoso l com o plano da base – o ponto I. Pelo ponto I conduziram-se as rectas tangentes à base – as rectas t e t’. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos dois planos tangentes luz/sombra com o plano da base. A recta t é T V] e [T T’ V] são, imediatamente, as geratrizes separatritangente à base no ponto T e a recta t’ é tangente à base no ponto T’. As geratrizes [T zes luz/sombra. Dada a proveniência da luz, a base está iluminada, bem como a parte da superfície lateral do cone correspondente ao arco T’. A parte da superfície lateral do cone que corresponde ao arco menor T៣ T’ está em sombra – trata-se da sombra própria do cone. menor T៣ T V T៣ ’ T ]. A parte da superfície lateral do sólido que está em sombra própria é invisível A linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [T em projecção horizontal, pelo que, em projecção horizontal, não há lugar à identificação de sombra própria. Já em projecção frontal, atenT V] é visível e que a geratriz [T T’ V] é invisível, a sombra própria visível a assinalar, em projecção frontal, é a que cordendo a que a geratriz [T T V] e a geratriz mais à direita do contorno responde à superfície lateral do sólido compreendida entre a projecção frontal da geratriz [T aparente frontal do sólido. Para determinar a sombra projectada do cone nos planos de projecção, determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. Vs 1, Ts 1 e T’s 1 são as sombras reais de V, T e T’, respectivamente, e situam-se no SPHA. Conclui-se, assim, que as sombras das geratrizes separatrizes não têm pontos de quebra. No entanto, é necessário averiguar a possível (Continua na página seguinte) 591

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existência de pontos de quebra na sombra do arco que integra a linha separatriz luz/sombra. Para tal recorreu-se ao método do plano luz/sombra passante. O plano luz/sombra passante está definido pelo eixo X e pelo raio luminoso l’, passante. O ponto I’’ é o ponto de intersecção do raio luminoso l’ com o plano ν. A recta de intersecção do plano ν (o plano da base do cone ) com o plano luz/sombra T’ nos pontos Q e R , pelo que passante é a recta i, que é uma recta fronto-horizontal que passa pelo ponto I’’. A recta i corta o arco maior T៣ ’Q produz sombra no aquele arco produz sombra nos dois planos de projecção – a sombra do arco admite pontos de quebra. O arco T៣ ៣R produz sombra no SPFS – a sua sombra é um SPHA, bem como o arco T៣ R – as suas sombras são arcos de circunferência. Já o arco Q arco de elipse. Recorrendo às projecções horizontais dos raios luminosos que passam pelos pontos Q e R , determinaram-se as suas somQs R s] éa linha de quebra da sombra da base do cone. Em seguida, determinou-se a sombra bras, que se situam no eixo X. O segmento [Q real do ponto O, o centro da base – Os 1 (situa-se no SPHA). Com o compasso, fazendo centro em Os 1 e com 3,5 cm de raio, desenharam៣ Vs 1T’s 1] no ponto T’s 1) e o -se os arcos correspondentes à sombra da base no SPHA – o arco Q s T’s 1 (que é concordante com o segmento [V ៣R produz R s Ts 1 (que é concordante com o segmento [V Vs 1Ts 1] no ponto Ts 1). Para determinar a sombra que o arco Q arco ៣ no SPFS, recorreu-se à inscrição da semicircunferência que contém esse arco na parte correspondente de um quadrado de lados paralelos ao eixo X. Em seguida determinou-se a sombra que essa figura produz no Plano Frontal de Projecção, recorrendo tanto a um dos seus vértices como ao ponto O – Ov 2 é a sombra do ponto O no Plano Frontal de Projecção. Os pontos em que a linha horizontal que passa por Ov 2 se apoia nas sombras dos lados desse meio quadrado são, imediatamente, dois pontos da sombra do arco de elipse. Conduziu-se, por Ov 2, uma paralela às sombras dos lados desse meio quadrado e determinou-se um outro ponto do arco de elipse – o seu ponto mais alto. Por fim, desenharam-se as sombras das diagonais desse meio quadrado (que passam por Ov 2) e transportaram-se, para aí, as sombras dos pontos em que o arco da circunferência corta as diagonais do quadrado. Estes procedimentos permitiram-nos determinar cinco pontos para desenhar o arco de elipse (incluindo uma parte virtual, que se situa no SPFI mas que se considera relevante para melhor «lançar» a curva, à mão livre). A esses cinco pontos acrescem os dois pontos da linha de quebra – Qs e R s. Assim, é possível desenhar, com algum rigor, o arco de elipse, a partir dos sete pontos. No entanto, a sombra que o arco produz no SPFS é, apenas, a parte que se situa acima do eixo X. Por fim desenhou-se o contorno da sombra do cone, respeitando as suas invisibilidades (a parte oculta pelo cone em projecção horizontal). Em seguida, assinalou-se, com uma mancha clara e uniforme, a parte visível da sombra projectada.

IV. Em primeiro lugar representaram-se as perspectivas dos três eixos, de acordo com os ângulos dados. Em seguida, recorreu-se ao método dos cortes com vista a poder representar em V.G., pelo menos, duas das projecções do objecto. Rebateu-se o plano X Y para o interior da pirâmide axonométrica, obtendo a direcção do eixo X r e do eixo Y r (que são perpendiculares entre si). Em seguida efectuou-se a translação do plano X Y rebatido, através da perpendicular à charneira que passa pela perspectiva de O , para fora da área da representação – o eixo X r ’ é paralelo ao eixo X r e o eixo Yr ’ é paralelo ao eixo Yr .

No plano XY rebatido e transladado, construiu-se a projecção horizontal do objecto, em V.G., tendo em conta as dimensões extraídas a partir do enunciado (que têm de ser medidas pelo examinando). O processo acima descrito repetiu-se para o plano X Z, mas poderia ter-se repetido ou para o plano Y Z (em opção ao plano X Z) ou também para o plano Y Z (cumulativamente com o plano X Z). No entanto, sublinha-se que, para a construção da perspectiva do objecto, basta o recurso a duas das suas projecções, apenas. A opção de se ter recorrido à projecção frontal do objecto (com o rebatimento do plano X Z) tem a ver com o facto de se considerar que a informação que esta projecção fornece é mais útil para a construção da perspectiva do objecto.

Assim, rebateu-se o plano X Z para o interior da pirâmide axonométrica, obtendo a direcção do eixo X r e do eixo Z r (que são perpendiculares entre si). Em seguida efectuou-se a translação do plano X Z rebatido, através (Continua na página seguinte) 592

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da perpendicular à charneira que passa pela perspectiva do ponto O, para fora da área da representação – o eixo Xr ’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Z r ’ é paralelo ao eixo Zr. No plano X Z rebatido e transladado, construiu-se a projecção frontal do objecto, em V.G., tendo em conta as dimensões extraídas a partir do enunciado (que têm de ser medidas pelo examinando). Por fim, por cada um dos vértices da projecção horizontal do objecto, em rebatimento, conduziu-se uma perpendicular à charneira (paralela à perspectiva do eixo Z), que corresponde à perspectiva da sua projectante horizontal. Por cada um dos vértices da projecção frontal do objecto, em rebatimento, conduziu-se uma perpendicular à charneira (paralela à perspectiva do eixo Y), que corresponde à perspectiva da sua projectante frontal. O ponto de concorrência das duas rectas é a perspectiva de cada vértice. A partir das perspectivas de todos os vértices do objecto, desenhou-se a sua perspectiva (apenas das arestas visíveis e das partes visíveis das arestas parcialmente ocultas, tal como é pedido no enunciado). Sublinha-se que a construção da perspectiva de um objecto dado por três das suas vistas d e v e s e r p r e c e d i d a, sempre, por um esboço feito à mão l i v r e, a partir da informação fornecida (as três vistas), no qual o examinando traduza a compreensão exacta da forma e da sua volumetria, se possível a partir de um ponto de vista próximo daquele a que corresponderá a construção da perspectiva rigorosa pedida. Neste caso, a forma dada baseia-se na conjugação de três paralelepípedos «colados», sem qualquer interpenetração, ao contrário das situações dos exames (Prova 708) anteriores. De facto, observa-se um cubo e dois prismas quadrangulares regulares – o cubo está «colado» a um dos prismas e tem uma aresta contida numa aresta lateral do outro prisma.

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