Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 1ο
1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πράξεις Το σύνολο που αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς ,λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με . Πράξεις πραγματικών αριθμών Πρόσθεση πραγματικών αριθμών Ομόσημοι αριθμοί
Βάζουμε το πρόσημό τους
Ετερόσημοι αριθμοί
Βάζουμε το πρόσημό της μεγαλύτερης απόλυτης τιμής
Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους. Αφαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους.
Πολλαπλασιασμός πραγματικών αριθμών Ομόσημοι αριθμοί Ετερόσημοι αριθμοί
Βάζουμε το πρόσημο + Βάζουμε το πρόσημο -
Πολ/με με τις απόλυτες τιμές τους. Πολ/με με τις απόλυτες τιμές τους.
Αφαίρεση πραγματικών αριθμών Η διαφορά α-β δύο αριθμών α και β βρίσκεται απ΄ την ισότητα: α-β=α+(-β) Διαίρεση πραγματικών αριθμών 1
Το πηλίκο δύο πραγματικών αριθμών α και β 0 βρίσκεται απ΄ την ισότητα:α:β=α Πράξεις κλασμάτων =
: = =
=
Ιδιότητες πράξεων Ιδιότητες
Πράξεις Πολλαπλασιασμός αβ=βα
Αντιμεταθετική
Πρόσθεση α+β=β+α
Προσεταιριστική
α+(β+γ)=(α+β)+γ
α(βγ)=(αβ)γ
Ουδέτερο στοιχείο
α+0=α
α1=α
Συμμετρικό στοιχείο
α+(-α)=0
Επιμεριστική
α
1 =1, α 0 a
α(β+γ)=αβ+αγ
Γεωργία Μερμίγκη
2
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 2ο
Παρατηρήσεις: Δύο μη μηδενικοί αριθμοί με άθροισμα μηδέν λέγονται αντίθετοι. Δύο αριθμοί με γινόμενο μονάδα λέγονται αντίστροφοι. Οι αριθμοί 1 έχουν αντίστροφο τον ίδιο τον εαυτό τους. Για τον πολλαπλασιασμός ισχύει ακόμα η ιδιότητα α0=0. Τονίζουμε ότι αν αβ=0 τότε α=0 ή β=0. Δεν ξεχνούμε την διπλή επιμεριστική (α+β)(γ+δ)=αγ+αδ+βγ+βδ. Φύλλο εργασίας Α. Ελέγξτε αν κάθε μια απ΄ τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή(Σ) ή λάθος(Λ). Βάλτε σε κύκλο το σωστό. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Αν αβ<0 τότε α,β ομόσημοι. Αν α:β>0 τότε μπορεί αβ>0. Δύο αριθμοί με άθροισμα μηδέν είναι αντίστροφοι. Δύο αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι. Δύο αντίθετοι αριθμοί είναι ομόσημοι. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές. Αν αβ 0 , τότε α 0 και β 0 . Ο αντίστροφος του 1 είναι ο –1.
9. Αν 1 ,τότε α=β. 10. Αν
x2 =0 τότε :x=2 ή x=-1. x 1
Β. Σκέψου και απάντησε: 1. 2. 3. 4. 5.
Τι πρόσημο έχουν δύο αριθμών με άθροισμα και γινόμενο θετικό;………………. Τι πρόσημο έχουν δύο αριθμών με άθροισμα αρνητικό και πηλίκο θετικό;…….... Aν το γινόμενο δύο αριθμών είναι θετικό τότε το πηλίκο τους είναι; ……………. Ποια σχέση συνδέει τα τετράγωνα δύο αντιθέτων αριθμών;………….………….. Τι πρόσημο έχει το γινόμενο των αντίστροφων δύο αντίθετων αριθμών;.……….. Δυνάμεις Ιδιότητες
Ορισμοί
1
0
........ ,ν
Γεωργία Μερμίγκη
=1
ά
*
( )
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
, 0,
a ( )
3
( ) , 0
1
Κεφάλαιο 1ο
*
( ) , , 0,
( )
*
Παρατηρήσεις:
Αν α<ο τότε
2
ό ό
ά
ό
0 α Φύλλο εργασίας
Α. Ελέγξτε αν κάθε μια απ΄ τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή(Σ) ή λάθος(Λ). Βάλτε σε κύκλο το σωστό. 1. Για κάθε α πραγματικό ισχύει: 2. Ισχύει:
3
(( 3) )
5.
4
3
(( 3) )
2
.
.
2 1
(1) 1 , για ν ακέραιος. Αν ( 2) 2 ,τότε περιττός.
3. Ισχύει: 4.
4
2
( 0)
x
1 Αν 2 ( ) 2
x
x
x
,τότε =0.
Β. Αν α,β 0 ,με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάμεων να συμπληρώσετε τις ισότητες: 1. 3. 5.
( ) ........... ( 3) ............ 0
2
: 3
.....
2. 4. 6.
1
1
.............
2
3
( ) ............ : ( ) ............ 2
2
Γεωργία Μερμίγκη
4
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 2ο
8. 7.
(
: )
2
1
: ( 4)
2
( ) ( 2
...........
1 2) 2
2
..........
Ρίζες Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α λέγεται ένας θετικός αριθμός που ,όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον α. Ο θετικός αριθμός συμβολίζεται με a . Επομένως: αν =
a
, τότε
x
2
2
a)
δηλαδή (
. Ορίζουμε
0 0.
Ιδιότητες:
a
1. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, ισχύει: 2. Αν α, β 0, ισχύει:
a
3. Αν α 0, και β>0 ισχύει:
=
a
2
a.
.
.
Παρατηρήσεις:
a
0 0
Αν α, β>0,τότε a .Η ισότητα ισχύει μόνο αν αβ=0. Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα σε ισοδύναμό του χωρίς ρίζα στον παρανομαστή (ρητοποίηση) πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με κατάλληλη 2 παράσταση. Π. χ. .
( )
Φύλλο εργασίας Α. Ελέγξτε αν κάθε μια απ΄ τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή(Σ) ή λάθος(Λ). ….Βάλτε σε κύκλο το σωστό. 1. Ισχύει: 2. Ισχύει:
9
= 3.
x
2
= .
3. Αν α,β>0 τότε ισχύει: a 4. Ισχύει: a = . 5. Ισχύει: 6. Ισχύει:
2
=
a ) για κάθε α>0. = ,για β>0. 2
2
Γεωργία Μερμίγκη
=(
.
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
2
Κεφάλαιο 1ο
7. Ισχύει:
(1 3)
8. Ισχύει:
9. Ισχύει:
10. Ισχύει
a για α,β>0.
2
2
1
3.
( ) για κάθε α πραγματικό. 2
=
=α+β. 2
5
Β. Σκέψου και απάντησε πότε ισχύουν οι παρακάτω ισότητες: 1.
a
2
3.
a
+
5.
2
a . =
=α
.
.
x
1. =-3 τότε …………………… 3. =
(2)
2
a
4.
. 2 ( ) .
6.
Γ. Να βρείτε την τιμή της παράστασης
2
2.
2
a . 2
2
,όταν είναι:
2. =5 τότε …………………….
τότε ………………..
4. =1-
3
τότε …………………..
Διάταξη Για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς α και β βρίσκουμε την διαφορά τους και διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1. Αν α-β>0 τότε α>β 2. Αν α-β<0 τότε α<β 3. Αν α-β=0 τότε α= β Διάταξη και πράξεις: 1. Αν α>β τότε α+γ>β+γ 2. Αν α<β τότε α+γ<β+γ 3. Αν α=β τότε α+γ=β+γ 4. Αν α>β και γ>0 τότε αγ>βγ 5. Αν α<β και γ>0 τότε αγ<βγ 6. Αν α>β και γ<0 τότε αγ<βγ 7. Αν α<β και γ<0 τότε αγ>βγ 8. Αν α=β και γ 0 τότε αγ=βγ Παρατηρήσεις: Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες της ίδιας φοράς, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δηλαδή αν α>β και γ>δ, τότε α+γ>β+δ.
Γεωργία Μερμίγκη
6
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες της ίδιας φοράς, με θετικά μέλη προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες της ίδιας φοράς, με αρνητικά μέλη προκύπτει ανισότητα με διαφορετική φορά. Τονίζουμε ότι δεν γίνεται αφαίρεση και διαίρεση κατά μέλη ανισοτήτων.
Κεφάλαιο 2ο
1
1
Αν αβ>0 και α>β τότε . Αν α>β και β>γ τότε α>γ (μεταβατική ιδιότητα).
Φύλλο εργασίας Ελέγξτε αν κάθε μια απ΄ τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή(Σ) ή λάθος(Λ). Βάλτε σε κύκλο το σωστό.
.
.
1. Αν α>β>0,τότε –α>-β. 2. Αν αβ>0 και α>β τότε
1
1
.
3. Αν 2<<,τότε >0. 4. Αν α>0 και –2α>–3α.. 1
1
5. Αν <0< τότε x .
Αν α,β<0, και α>β τότε
6. Αν α,β>0, και α>β τότε
2
7.
2
2
2
8. Αν α<β<γ τότε (α-β)(β-γ)(α-γ)>0.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.1
Να βρείτε τα εξαγόμενα:
1) (-3+ 3)
1 1 5 1 )-(2- )-( + ) 2 3 2 5
15 9 2 1 4 3 -[- - -( - )+5]-(62 3 4 6 12 2 1 ) 6
2) [-
3 3 1 1 1 :( - )]-( - )(-6) 8 4 2 3 4
4) -3(2-9):(-7)-3(
1 -5)-(-1) 3
3 1 1 1 1 2 3 5) -[-7+ -( - )]+(- + - ) 2 3 4 2 3 4
1.2.
Nα υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων:
Γεωργία Μερμίγκη
( 2 )
1 1 2 6) (1 ):(-1+ )1 4 4 2
1 ( ) : ( ) 2 3 3
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 1ο
2 3 4 6 ( ) 4 6 2 5
7
0
6
4 4 2 : [ ( : ) ] 9 9 3
7
1
2 9 4 3 ( ) 4 5 9 2
2 5 14 6 4 (35) : ( 3) 7 : 3 (3 : 3 ) 3 7 5 5 3 2 6 2 2 2 3 : ( 3) 3 4 : ( 3) 2 : ( 3)
1.3.
Να απλοποιηθούν τα κλάσματα: 2.
1 2 5 1 ( 3)( ) 2( ) 1 2 3 6 3 1. 5 2 4 3 3 3
( x) y 5 8 2 10 2 ( 5) y x 8 7
3
10
18
2
8
2
4
1
4.
3.
[(3)
3
2 (2) ] [2 ( x3) ]y 3
5
4 3
4
[( 4) 5 ] ( 2) 2
1.4
8
4
5
10
1 2
4
1
( x 2 y)
(x y ) ( x2 y) y 2
4
2
2
3
Nα υπολογίσετε την τιμή της παρακάτω παράστασης αν , αντίστροφοι:
3 1
Α=
2
2
[( x 4 y ) ( y x 2) ] ( x 2 y) 4
10
1.5
Αν =α-β-γ και =β+γ-α να δείξετε ότι είναι αντίθετοι
1.6
Να δείξετε ότι η παρακάτω παράσταση είναι ανεξάρτητη του φυσικού ν και να την γράψετε με τη μορφή μιας δύναμης
3 6
4 64 Α= (2) : 16 3 6
1.7
Αν =
1.8
Nα υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: Α= 2 Γ=
3
45
2
και =
3
80 125
32 5 48 8 3 5 2
500
2
να δείξετε ότι είναι αντίστροφοι
Β= 3 Δ=
8 4 50 625
98 2 162
225 1225
2025
Γεωργία Μερμίγκη
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
8
Κεφάλαιο 2ο
Ε=
(49)
2
1.9
Γ=
3
4
5
7
(10) )
3
(8)
2
(
9
4
Β=
49
5
Δ=
3 9 16
10
31
6
8
9
25
4
Να δειχθεί ότι: 12
1.
25 )
2
2
(
Ομοίως οι παραστάσεις: Α=
1.10
2
2(
1 5 1 15
9
3 2
2.
1 4 1 80
5
3. 2
(1 2 )
4 1.11
Αν =
1.12
Αν =2
2
2
5
2
(1 2 ) 4 3
-3 και =2
1) + 1.13
,=
2
5
1
2
3
4.
6 2( 2 1) 0 3( 2 1)
και z=
2
να δείξετε ότι z=1.
+3 να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 2) -
3)
Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: Α= Δ=
8 4 3 27 2
5 32 2 2 6
Β= Ε=
24 243 6 3
15 : 7 5
Δείξτε ότι οι παραστάσεις Α= 24 2 18 4 2 8 162 είναι ίσες.
1.15
Αν α,β<0 να απλοποιήσετε την παράσταση Α=
1.16
Αν α>β να συγκρίνετε τους αριθμούς: 1) 6α-7β και 6β-7 Να αποδείξετε ότι:
Γεωργία Μερμίγκη
Γ=
15 7 5
1.14
1.17
3
ΣΤ=
10 2 6
2) 3α-4γ και 3β-4γ
8 32 2 2
και Β=
40
a 2
4 7 10
2
1
a 2
3) 6γ-7α και 6γ-7α
2
2
2
9 )
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 1ο
1
9
1
i) Αν α,β ομόσημοι και α<β, τότε 1
1
ii) Αν α,β ετερόσημοι και α<β, τότε 1.18
Αν α<β<γ<δ, να δείξετε ότι: (α-β)(β-γ)(γ-δ)(α-γ)(α-δ)<0
1.19
Αν 0< <1 και -2<<-1, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών περιέχονται οι τιμές των παρακάτω παραστάσεων: 1) + 4) - 7)
1.20
x
2
y
2
3) -
5) 2-3
6) -3+4
8)
1 x
5 y 1
9)
Να οι ανισώσεις:
1.
5(-4)+6>11-9
3.
4
5.
2 x x 1 3x 1 x 3 2 6
1.21
2) -
3x 13 1 ( 4 x 3) 2 8 6
2.
2(-3)-(3+2)<-2
4.
2 x 4x 3 3 2
6.
x 1 x 3x 1 x 5 2 5
Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: 1) 5(+1)-9-3>-6(+2) και 3(3+2)<7-2(-8) x 2( x 7 ) x 2) 3-8<2(+1)-3(2-) και 2 3 3) 4)
x3 x 1 x 2 x και 2->2-8 4 2 3 x 1 x 1 x 6 4x 3 και 3+2< 3 2 6 3
1.22
Να βρείτε το μικρότερο φυσικό αριθμό του οποίου το εξαπλάσιο ελαττωμένο κατά δύο είναι μεγαλύτερο από 58.
1.23
Τα τμήματα της Γ΄ Γυμνασίου ενός σχολείου έχουν αριθμό μαθητών μεταξύ 25 και 28.Οι μαθητές ενός τμήματος χωρίζονται σε τετράδες και περισσεύουν 2 μαθητές. Πόσους μαθητές έχει αυτό το τμήμα;
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Γεωργία Μερμίγκη
10 Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 2ο
Αλγεβρική παράσταση Αλγεβρική παράσταση λέγεται κάθε έκφραση ,από αριθμούς και μεταβλητές ή μόνο μεταβλητές που συνδέονται με τα σύμβολα των πράξεων. y 2 xy . Π.χ. -2α+5, 42-5ψ,3αβ, Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις, τότε ο αριθμός που προκύπτει λέγεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης. Μονώνυμο Μια αλγεβρική παράσταση στην οποία σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ αριθμού και μιας ή περισσότερων μεταβλητών ονομάζεται μονώνυμο.
52,
Π.χ.
7
αβ4γ,
3 2 α βω, 4
-ω9.
Σε ένα μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας που γράφεται πρώτος λέγεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μεταβλητών του λέγεται κύριο μέρος του
μονωνύμου.
Π.χ.
2
ύ ή έ
.
Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια μονώνυμα. Π.χ.
3αβγ, -
5
αβγ,
2 αβγ, 7
αβγ.
Άθροισμα-διαφορά μονωνύμων Η πρόσθεση (ή η αφαίρεση) μονωνύμων γίνεται εφόσον αυτά είναι όμοια και εκτελείται με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας. Το άθροισμα (ή η διαφορά) όμοιων μονωνύμων είναι ένα όμοιο με αυτά μονώνυμο, που έχει συντελεστή το άθροισμα (ή τη διαφορά) των συντελεστών τους Π.χ. -2αβ+4αβ-5αβ-6αβ+2αβ=-7αβ, -32+72-32=2. Πολλαπλασιασμός μονωνύμων Ο πολλαπλασιασμός μονωνύμων είναι πάντα δυνατός και εκτελείται με τη βοήθεια της προσεταιριστικής ιδιότητα του πολλαπλασιασμός και της ιδιότητας των δυνάμεων μν=μ+ν. Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο, που έχει ως συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη σε κάθε μεταβλητή το άθροισμα των εκθετών της. Π.χ. (5α3β)(-2 α2β3γ)=-10 α5β4γ.
Πηλίκο μονωνύμων
Γεωργία Μερμίγκη
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 1ο
11
Η διαίρεση μονωνύμων είναι πάντα δυνατή και γίνεται με πολλαπλασιασμό επί τον αντίστροφο του διαιρέτη. 1 5 5 3 3 2 3 3 Π.χ. (5α β): (-2α β γ)=5α β - 2α 2 3 = =- 2 2 . 2 3 - 2α Αναγωγή ομοίων όρων Πολυώνυμο λέγεται κάθε αλγεβρική παράσταση, που είναι το άθροισμα (ή η διαφορά) μονωνύμων, τα οποία δεν είναι όμοια. Π.χ. 42-5ψ+4. Τα μονώνυμα από τα οποία αποτελείται ένα πολυώνυμο λέγονται και όροι του πολυωνύμου. Αναγωγή ομοίων όρων λέγεται η διαδικασία αντικατάστασης, σε μια αλγεβρική παράσταση, των ομοίων όρων απ` το άθροισμά τους. Π.χ. 4-5+1+3-=7-6+1 Γινόμενο μονωνύμου με πολυώνυμο Ο Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο στηρίζεται στην επιμεριστική ιδιότητα: α(β+γ)=αβ+αγ. Έτσι, για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάσουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και μετά κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Γινόμενο πολυωνύμου με πολυώνυμο Ο Πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυώνυμο στηρίζεται στην διπλή επιμεριστική ιδιότητα: (α+β)(γ+δ)=αγ+αδ+βγ+βδ. Έτσι, για να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο του ενός με κάθε όρο του άλλου και μετά κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Παρατηρήσεις:
Κάποιες αλγεβρικές παραστάσεις δεν έχουν αριθμητική τιμή για όλες τις τιμές των 2 μεταβλητών τους. π.χ. η παράσταση δεν έχει αριθμητική τιμή για =1.
Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως μονώνυμο. Π.χ. 5=50. Βαθμός μονωνύμου λέγεται ο αριθμός που προκύπτει αν προσθέσουμε όλους τους εκθέτες των μεταβλητών που περιέχει το μονώνυμο. Μηδενικό λέγεται το μονώνυμο το οποίο έχει συντελεστή ίσο με μηδέν. Ίσα μονώνυμα λέγονται τα όμοια με ίσους συντελεστές. Π.χ. 3αβ, 3αβ. Αντίθετα λέγονται τα όμοια με αντίθετους συντελεστές. Π.χ 2αβ, -2αβ. Το άθροισμα, η διαφορά και το γινόμενο μονωνύμων είναι πάντα μονώνυμο, ενώ το πηλίκο μονωνύμων δεν είναι πάντα μονώνυμο. Συνήθως ένα πολυώνυμο με μια μεταβλητή παριστάνεται με: P(x), Q(x) κ.λ.π. Δύο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν οι όροι από τους οποίους αποτελούνται είναι ίσα μονώνυμα.
x 1
Γεωργία Μερμίγκη
12 Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 2ο
Φύλλο εργασίας Α.
Ελέγξτε αν κάθε μια απ΄ τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή(Σ) ή λάθος(Λ). Βάλτε σε κύκλο το σωστό.
2. Η παράσταση -3 2 5 είναι μονώνυμο
3. Η παράσταση -3
2
είναι μονώνυμο.
4. Η παράσταση (3-
5
)52 είναι μονώνυμο.
5. Η παράσταση 7(α2+2β) είναι μονώνυμο.
6. Η παράσταση α-5β είναι μονώνυμο.
7. Τα μονώνυμα –3α2βγ4, -
8. 0 αριθμός 3-2 μπορεί να θεωρηθεί μονώνυμο.
9. Το πηλίκο (63):(22) είναι μονώνυμο
10. Το πηλίκο (633):(22) είναι μονώνυμο
1. Η αριθμητική τιμή της παράστασης Α=
Β.
5
x 1 για
=-5 είναι 2.
βγ3α2γ είναι όμοια.
Βρείτε το συντελεστή και το κύριο μέρος των παρακάτω μονωνύμων: μονώνυμο -33 [(-2)2]6 (3-
συντελεστής
Κύριο μέρος
5 )52
xy 4 z 7
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθούν οι αριθμητικές τιμές των παρακάτω παραστάσεων για =-1, =-3:
I
1. (-)(+)
4. 3-32+32-3
2. 2-2+2-(+)2
5. 3-2+11-4
3.
II
2 x 3 3 xy 5 y 3 x2 2 y2
Δίνεται η αλγεβρική παράσταση:
6.
1 x4 3y2 1 2 xy 5y
3(1+ 2 22)-6(32+
x ). 2
Να δείξετε ότι είναι μονώνυμο και να βρείτε το συντελεστή και το κύριο μέρος του. III
Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα: 2-32+42-2
1. -2+52-22-72+102
3.
2. 43ω+ 2 43ω+(1- 2 )43ω
4. -2αβ+4αβ-βα-6αβ+βα
Γεωργία Μερμίγκη
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
IV
Κεφάλαιο 1ο
Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα: 1 2 3 (-ω) 3 4 2. 43ω32ω4 ω 3
1. -52
V
2 2 3 4 1 ω ): ( )4 3 2
2. (-43ω)2: (32ω4) VI
1 3 22 αβ γ ) 6
4. [(3)2]: (-5)
3. αμ-2αμ+3α2μ-1 4. (αμβν)2(-αμ-2βν-1)2
Να βρεθούν τα κ, λ ώστε οι παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις να είναι μονώνυμα: 1. –2κ3+651-λ 2. 2κ-5-λ-32 3. -2ω-λ+1+2ω3κ+2
VIII
4. α23κ-2+3λ+112α2 5. -5α3κ-2+3α-1+λ4 6. (κ-2)3+κ3
Να βρεθούν τα κ, λ ώστε τα παρακάτω μονώνυμα να είναι όμοια: 1.
–2κ-31+3λ,
524
2.
3κ2ω,
-3λ-1ω
Δίνονται μονώνυμα: (α+1)2λ+1 και -3-μ+52 να βρεθούν τα α, λ και μ ώστε τα μονώνυμα να είναι ίσα.
X
Να βρεθούν τα α, β ώστε τα παρακάτω μονώνυμα να είναι αντίθετα: 1.
XI
3. (-2αβ)3: (
Να κάνετε τις πράξεις: 1. [–2()2(-2)]: (33) 2. αβ-1(-3α+1β-2)(-αβ)β2
IX
1 2 (-43)(-5) 8 1 4. (-2αβ)3( αβ3γ2)2 6
3. -
Να υπολογίσετε τα παρακάτω πηλίκα: 1. (-
VII
13
(7α–2) 32,
(2α+5)24
2.
(α-2β)22ω,
β3λ-1ω
Να απαλείψετε τις παρενθέσεις και να κάνετε αναγωγές ομοίων όρων στις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις: 1. 2+3-(--2+1)+(6-)
5. 2-(2-)+[22+3-(2+2)]
2. 5α3-2β2+1-(2α2-3β+3)-(-2α2+4)
6. α-2β-[2α-(β-3γ)]-2γ
3. -(α22-3α3)-(23-2α3+α3)-(-α22+α3)
7. 2αβ+(2β2-α2)-[αβ-(α2+β2)+3α2]-(2β2-α2)
4. α-2β-[2α-(β-3γ)]-2γ-3(2α-3α)
8. -33+2-[-2+32-(3+22-5)-6+]
Γεωργία Μερμίγκη
14 Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 2ο
Αν φ()=22-5+8, σ()=-33+22-6-5 και g()=23+52-+2, να υπολογίσετε το πολυώνυμο p()=σ()-[φ()-g()] και να βρείτε την τιμή p(-1). XIII Αν είναι P()=3-2+1, Q()=2-5+7, και Φ()=-3+2+2 να βρείτε τα πολυώνυμα: XII
1. P()+Q()+Φ() XIV 1. 2. 3. 4. 5. 6. XV
2. P()-[Q()-Φ()]
3. P()+3-[Q()+2+Φ()-P()+2Φ()]
Να βρείτε τα παρακάτω γινόμενα: (24-)(+1) (32-2+4)(2-5) (4-22-3)(-23+2-1) (32+3)(32-3) (-1)(24-32+2-5) (2-4-3)(2+4-3)
7. (α2β+α3β2+αβ3)(α2+β2+2αβ+1) 8. (-α2-β2-3γ2)(α2-β2-3γ2) 9. -2α(α-2)(α+5) 10. (β-1)(β+2)(β-3) 11. (--)(--2)(--3) 12. (-+2)(2+1)(-+4)
Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: 1. 3(2-1)-42(+2)-3+4(2-1)-52 2. -52(3-22+4)+(1-2)(-43)-(-1)-2 3. 2α(α2-αβ+β2)-β3-(α-β)(-3αβ)-4α2β-2α2β2 4. 2α(2β-3γ)+β(2γ-3α)+3γ(β-α)-4β(α-γ) 5. 3(2-ω)+2(ω-3)+3ω(+)-+ω 6. (5-1)(-2)-(+2-1)(-2)--(3+2) 7. (2-2)3+(-2)(-)+(+)(-2) 8. 2[2-(-3)-2]-42[2-(-1)]-4(-1) 9. 2[2(-)-3(-2)]-4[3(2-2)+7-(2-)] 10. α[α-(α-β)+(α+β)]-β[β-(β-α)+(α+β)] 11. [2(-)-22(+)]-[(3-42+2-52)-2(32)] 12. 2α{αβ-[α2-(-αβ+4)]+2}-3α(α2-2)+4α2β
XVI Δίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις: Β=(3-2)(3-2)-(2+)(2-)-82+11 1. Α+Β
2. Α-Β
Α=(2-)(2-)-(+2)(-2) να βρείτε τις παραστάσεις:
3. ΑΒ
και
4. ΑΒ-(Α-Β)
XVII Δίνονται τα πολυώνυμα: φ()=53-7+8, σ()=-32-+1 κ()=-+2, να υπολογίσετε το πολυώνυμο: Α()=φ()-2[σ()κ()] βρείτε την αριθμητική του τιμή για =-1.
και και να
XVIII Αν οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 4- και -4 να βρείτε: α). ένα πολυώνυμο το οποίο να εκφράζει το εμβαδόν του και β). το εμβαδόν του αν το μήκος του είναι 6cm.
Γεωργία Μερμίγκη
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 1ο
15
XIX Αν οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι +1, +2 και +3 να βρείτε ένα πολυώνυμο το οποίο να εκφράζει: α) τον όγκο του και β). το εμβαδόν της ολικής του επιφάνειας.
AΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών. Οι ταυτότητες που είναι πολύ χρήσιμες για το αλγεβρικό λογισμό και πρέπει να τις γνωρίζουμε είναι: Τετράγωνο αθροίσματος-διαφοράς (α+β)2=α2+2αβ+β2 (2+4)2=(2)2+224+(4)2=42+16+162
Π.χ.
Π.χ.
(α-β)2=α2-2αβ+β2 (1-3)2=12-213+(3)2=1-6+92. (α+β+γ)2=α2+β2+γ2+2αβ+2αγ+2βγ
Π.χ.
(+2+1)2=2+(2)2+12+22+21+221=2+42+1+4+2+4 Γινόμενο αθροίσματος επί διαφοράς (ή διαφορά τετραγώνων) (α+β) (α-β)= α2- β2 ( 2 -3)( 2 +3)=( 2 )2-(3)2=22-92 Κύβος αθροίσματος-διαφοράς
Π.χ.
(α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3 (2+α)3=23+322α+32α2+α3=8+12α+6α2+α3 (α-β)3= α3-3α2β+3αβ2-β3
Π.χ.
Π.χ.
(-1)3=3-321+312-13=3-32+3-1 Άθροισμα-διαφορά κύβων α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)
Π.χ.
3+1=(+1)(2-1+12)=(+1)(2-+1) α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)
Π.χ.
3-8=3-23=(-2)(2+2+22)=(-2)(2+2+4)
Γεωργία Μερμίγκη
16 Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 2ο
Παρατηρήσεις:
Η απόδειξη μιας ταυτότητας μπορεί να γίνει με έναν από τους παρακάτω τρόπους: 1. Παίρνουμε το μέλος με τις περισσότερες πράξεις και τις εκτελούμε καταλήγοντας στο άλλο μέλος. 2. Κάνουμε πράξεις χωριστά στο κάθε μέλος και καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα, οπότε ισχύει η αρχική ισότητα. Απ’ τις ταυτότητες (α β)2=α2 2αβ+β2 έχουμε α2+β2=(α β)2 2αβ και απ΄ την (α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3 έχουμε α3+β3=(α+β)3-3αβ(α+β) Φύλλο εργασίας
Α.
Ελέγξτε αν κάθε μια απ΄ τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή(Σ) ή λάθος(Λ). Βάλτε σε κύκλο το σωστό. 1. Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ταυτότητα.
2. Η ισότητα 3+2=5 είναι ταυτότητα.
3. Ισχύει (α+β)2=α2+β2.
4. Ισχύει (α+β)2=(-α-β)2
5. Ισχύει (α-β)2=(β-α)2.
6. Ισχύει (α+β)3=(-α-β)3.
7. Ισχύει -(α+β)3=(-α-β)3.
8. Ισχύει (β-α)3=(α-β)3
9. Ισχύει -=( 10. Ισχύει (α+ Β.
y
)2=α2+ (
)( 1
x
y
)
) 2 +2
Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Γ.
1
x
(1+….)2=….+….+162 (3α-….)2=….-6αβ+.… (4α3-.…)2=.…-.…+25β2 (+.…)2=.…+2+…. (.…-….)2=….-2+…. (….+2)2=….+4+.… (.…-….)2=….-+…. (α2-.…)2=….-2+…. (-α-β)(α-β)=….
10. (….+2β)3=α3+….+….+…. 11. (….+
1 2 ) =….+2+…. 2
x -.…)2=.…-2+…. 3 x 13. ( -….)2=….-2+.… 2 1 1 14. (….+ )(….- )=2-…. x x
12. (
Σκέψου και απάντησε πότε ισχύουν οι παρακάτω ισότητες: 1. (α+β)2=α2+β2 2. (α+β)2=(α-β)2
Γεωργία Μερμίγκη
4. 2(α2+β2)=(α+β)2 5. (α-β)2=α2-2αβ-β2
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 1ο
17
6. (α-β)3=α3-β3
3. (α+β)2=α2+β2+2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ I. Να υπολογιστούν τα αναπτύγματα: 1. (7x+3y)2
(x2y3+2)2
2. (4x-5y)2
(x2-2y3)2
3. (-αβ-γδ)2
(-x3-y2)2
4. (2+3)3
(3x2+4y)3
5. (4-1)3
(x2-y3)3
6. (x+2y+1)2
(3x-y+z)2
x 32 -x ) 2 x2 ( +x3)3 2 x 3 ( - )3 3 x
x 2 2 + ) 2 x 1 ( -x)2 x 2x y 2 2 ( ) 3 2 2 ( +3γ)3 3 x y ( y - )3 x
(2x2+y3-3)2
( 2 x-y-4)2
( 2 +
3 )2
( 2 x-y)2 (-
2 +3β)2 3 z2 ( - 5 )2 5 2 5 2 () 2 x 1 3 () 2 (-α- )3 x x 2 ( + +3)2 2 x
(
(
II. Να βρεθούν τα γινόμενα: (x2+2)(x2-2)
1. ( x+3)( x-3)
( 2 +y)(y- 2 ) ( 2 x-
2. (α2-1)(α2+1) (x+1)(x2-x+1)
(x2-2y3)(x2+2y3) (α+2)(α2-2α+4)
1 )( 2 x3 1 ) 3
(2α-β)(4α2+2αβ+β2)
(
x x +y)( -y) 2 2
(
1 1 +y)(y- ) x x
(x-3)(x+3)
III. Να γίνουν οι πράξεις
1. (-)2-(-)2
9. 2(α-2β)2-3(α+3β)2-(2α+3β)(3α-2β)
2. (1-)(+1)+2
10. (2+1)2-(3-2)2-(2+5)(5-2)
3. (-1)2+(+1)2-22
11. (+2)3-3(-1)2+(-1)(+1)(-2)
4. 42(-2)2-(22-4)2
12. 3(-3)2-2(-1)2+2(+1)2-3(+3)2
5. 5-3(α+β)2+2(α-β)(α+β)
13. (2+3)(2-3)-(-1)2-2(-3)(-4)-3
6. (2+1)2-(+)(-)-32
14. (+1)3-3(-2)2-2(+1)(-1)-(-1)3-8
7. (α+2)2-(α-3)(α+3)-2(2α+3)
15. (2-3+1)2-(2+1)2+3(2-1)(-2)+62
IV. Αν +=α και =β να δείξετε ότι: 3+3=α3-3αβ V. Αν +=3 και =2 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων: 1. 2+2
2. 3+3
Γεωργία Μερμίγκη
18 Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 2ο
VI. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης 2+( 1. + VII
1 =3 x
2. -
1 2 ) όταν: x
1 =-3 x
Να αποδειχθούν οι ισότητες:
1. (κ+κ)2=κ2(+)2
7. (α+β)2-2(α+β)(α-β)+(α-β)2=4β2
2. (α2+4)(2+1)-(α+2)2=(2-α)2
8. α(2-α2)+α3(+α)=α(3+α3)
3. (α+β)3=α(α-3β)2+β(β-3α) 2
9. α(1+α)(α+2)(α+3)+1=(α2+3α+1)2
4. (α-3)2-(-3α)2+8α2=82 2 2 2 2 5. ( ) +( )=
10. (α+β)3-(α-β)2(α+β)=4αβ(α+β) 2 2 11. ( ) -( ) =αβ
2 2 2 x 3 3 x 3 3 2 x ( x 2 27) 6. ( ) +( )= 3 3 27
VIII
Αν α=
7
+
1. αβ IX
5
και β=
7
-
2. α2+β2
Αν α=3 2 +2
3
2 2 x3 3 x3 3 9( x 2 3) 12. ( ) -( ) = 2 2 4
5
να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: 4. 3α2-5αβ+3β2
3. α4+α4
και β=3 2 -2
να βρείτε την τιμή της παράστασης:
3
x2 y2 xy
X
Αν = 2 + 3-2
5
και = 2 1
5
να βρείτε την τιμή της παράστασης:
Α=2-
1
XI
Αν ισχύει (α+β)( )=4, να δείξετε ότι α=β
XII
Αν =α2-β2, =2αβ και = α2+β2 με α, β φυσικοί και α>β να δείξετε ότι τα , , είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.
XIII
Αν =α2+1, =2α και =α2-1 να δείξετε ότι 2-2=2
XIV
Αν α4+β4=2α2β2 να δείξετε ότι ή α=β ή α= -β
XV
Αν = -2 και =2+ τότε να δείξετε ότι το 2+2 είναι άρτιος αριθμός.
XVI Να δείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων δύο διαδοχικών ακέραιων είναι περιττός αριθμός XVII Να αποδείξετε ότι: 1. α2+β2 2α 2. (α+β)2 4αβ β XVIII Να δείξετε ότι:
Γεωργία Μερμίγκη
3. 2, α, β>0
4. α+
1
2, α>0
Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
Κεφάλαιο 1ο
19
1. Αν (α-β)2< α2+β2, τότε α, β ομόσημοι αριθμοί 2. Αν (α+β)2>α2+β2, τότε α, β ομόσημοι αριθμοί
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Μια αλγεβρική παράσταση που περιέχει μια τουλάχιστον μεταβλητή στον παρανομαστή λέγεται κλασματική αλγεβρική παράσταση. Για να έχει νόημα μια τέτοια παράσταση πρέπει οι μεταβλητές να μην παίρνουν τις τιμές εκείνες που μηδενίζουν τον παρανομαστή.
Π.χ.
3x
5+ y , 0.
Πολλαπλασιασμός, Διαίρεση, Απλοποίηση κλασματικών αλγεβρικών παραστάσεων
Αν , κλασματική αλγεβρική παράσταση με β, γ, δ
0, τότε ισχύουν:
1. , όταν αδ= βγ.
2. . 3. 4. 5.
= . : = = . , λ 0.
Τονίζουμε για να απλοποιήσουμε μια κλασματική αλγεβρική παράσταση, πρέπει να παραγοντοποιήσουμε τους όρους(αριθμητή-παρανομαστή)της κλασματική αλγεβρική παράσταση και διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες αριθμητή, παρανομαστή. Π.χ.
x 2 xy x( x y ) x . 2 2 x y ( x y )( x y ) x y
Πρόσθεση , Αφαίρεση κλασματικών αλγεβρικών παραστάσεων Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ή περισσότερες κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα, μετά προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους
αριθμητές και αφήνουμε τον ίδιο παρανομαστή δηλαδή: ,β 0. Επομένως για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ή περισσότερες κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις ακολουθούμε την εξής διαδικασία:
Γεωργία Μερμίγκη