estadistica by german revilla

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

TITULO I

CAPITULO I INTRODUCCION RESEÑA HISTORICA DE LA ESTADISTICA El término estadística, es ampliamente escuchado y pronunciado a diario desde diversos sectores activos de la sociedad. Son diversos vocablos que se citan como antecedentes del término estadística, sin pretender ser exhaustivo, pero sí buscando reseñar las de mayor mención, podemos señalar los siguientes: - STATUS

(Latín):

Que

significa

situación,

posición,

estado. - STATERA (Griego)

:Que quiere decir balanza, ya que la

estadística

mide o pesa hechos. - STAAT

(Alemán)

:Que

refiere

estado

como

expresión de unidad política superior. La razón o razones que motivaron al hombre en un momento de su desarrollo a tomar en cuenta datos con propósitos estadísticos, tal vez la hallemos si tenemos en cuenta que es difícil imaginar un organismo social, sea cual fuere la época, sin la necesidad, casi instintiva, de recoger aquellos hechos que aparecen como actos esenciales de la vida; y así, al situarnos en una etapa del desarrollo de la estadística podemos pensar que se convirtió en una aritmética estatal para asistir al gobernante que necesitaba conocer la riqueza y el número de súbditos con el objeto de recaudar impuestos o presupuestar la guerra. Es sabido que CESAR AUGUSTO, decretó que todos los súbditos tenían que tributar y por lo tanto exigió a todas las personas que se presentaran al estadístico más cercano que era en ese entonces el recaudador de impuestos.

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GUILLERMO, el "Conquistador" ordenó un censo de las tierras de INGLATERRA con fines de tributación y del servicio militar. este documento se llamó DOMESDAY BOOK. Sin embargo con mucha anterioridad a estos dos casos antes señalados de recolección de datos hay evidencias del uso de la estadística a un nivel rudimentario por organizaciones sociales antiguas. Así por ejemplo, en los monumentos egipcios hay testimonios de que los movimientos de poblaciones eran seguidos por medios de censos. La Biblia cita que MOISES hizo un censo de los israelitas en el desierto, como también que DAVID llevó un censo. En China, CONFUCIO narra cómo un Rey llamado YAO, unos 3000 años a. de c., hizo levantar un recuento agrícola, industrial y comercial del país. Especial mención ameritan los estudios RENTA VITALICIA, durante la época del Imperio Romano, los cuales suponen el cálculo de la vida media a distintas edades; y los documentos sobre los itinerarios en los que se describen las distancias entre las diversas localidades y el desarrollo de las vías de comunicación. Hacia mediados del siglo XVII en Alemania comenzó a tomar fuerza una disciplina orientada a la descripción de las cosas notables de estado; esta disciplina gozaba de una sistematización orgánica y respondía a principios doctrinales. Ajustada a esta estructura, HERMANN CONRING (1600 - 1681) la introduce en un curso de la ciencia política con el propósito de describir y examinar los casos sobresalientes del Estado. Mas tarde GODOFREDO ACHEWALD (1719 - 1772), entra a considerarla como disciplina independiente y la introduce como una asignatura universitaria con el nombre de ESTADISTICA, encargada de las descripción de las cosas del ESTADO.

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En 1749 apareció la primera obra que trataba en forma sistemática de la estadística,

considerándola

como

CIENCIA.

autor

esta

obra

fue

GODOFREDO ACHEWALD, que es considerado como el PADRE DE LA ESTADISTICA. Aunque en 1662 JUAN GRAUNT, ya había publicado un estudio sobre ESTADISTICAS DEMOGRAFICAS en Inglaterra. Paralela y contemporánea con la escuela alemana, en Inglaterra se desarrolla la escuela conocida con el nombre de los ARITMETICOS POLITICOS, en Francia la escuela PROBABILISTICA. La escuela de los "ARITMETICOS POLITICOS" tuvo como propósito fijar en números aquellos fenómenos sociales y políticos buscados por los empíricos. Tienen como hecho meritorio sus creadores, el intento de buscar leyes cuantitativas que regularan los comportamientos sociales. Uno de sus miembros fue GRAUNT (1620 1674), quién realizó investigaciones estadísticas sobre población y por ello se le señala como el iniciador de la tendencia conocida con el nombre de estadística investigadora, la cual se oponía a la postura universitaria alemana que se conoce con el nombre de estadística descriptiva. La

escuela

probabilística

conocida

también

como

ENCICLOPEDICOTEMATICA, basó su desarrollo en el empleo de la matemática particularizada en el cálculo de, probabilidades, como instrumento de investigación. El cálculo de probabilidades nace con BLAS PASCAL (1623 - 1662) y PEDRO DE FERMAT (1601 - 1665) al tratar de dar soluciones a problemas relacionados con juegos de azar propuestos por ANTONIO GAMBAUD, más conocido con el título nobiliario de CABALLERO DE MERE. A partir de PASCAL fueron muchos los matemáticos insignes que al apoyarse en la teoría de la probabilidad, formularon la teoría estadística y su aplicación práctica. Sin pretender agotar los nombres de todos aquellos que han contribuido al desarrollo de los métodos estadísticos, comencemos a señalar a ADOLPH 3

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QUETELET (1796 - 1874), quien fue el primero en aplicar métodos modernos al estudio de un conjunto de datos. QUETELET (Belga), del siglo XIX se le conoce como el PADRE DE LA ESTADISTICA MODERNA, por su persistencia en recalcar la importancia de aplicar métodos estadísticos. En este punto es justo reconocer la labor desarrollada por ANTONIO COURNOUT (1801 - 1877), tendiente a integrar las leyes de la teoría de la probabilidad al análisis estadístico; esto le dio prestancia a la estadística al tiempo que la dotó de un rigorismo hasta ese momento ausente en sus procedimientos. Ahora bien, si tuviésemos que señalar un hecho que hubiera contribuido más al desarrollo de la que pudiésemos llamar estadística moderna, tal vez la mayoría, por no decir todos, estaríamos de acuerdo en señalar la aparición de la DISTRIBUCION NORMAL La ecuación de la curva asociada a esta distribución fue publicada por primera vez en 1733 por DE MOIVRE, pero debido a su incapacidad para aplicar sus resultados a observaciones experimentales su trabajo permaneció inédito hasta cuando KARL PEARSON lo encontró en una biblioteca en 1924. Sin embargo, LAPLACE (1749 - 1827) y GAUSS (1777 - 1855) obtuvieron cada uno por su lado el mismo resultado que había conseguido DE MOIVRE. Entre los contemporáneos de QUETELET y GAUSS que contribuyeron al avance de la estadística como CIENCIA, estaban FLORENCE NIGHTINGALE (1820 1910) y FRANCIS GALTON (1822 - 1911) NIGHTINGALE, afirmaba que los políticos y los legisladores fracasaban a menudo porque sus conocimientos estadísticos eran deficientes. GALTON, como su primo CHARLES DARWIN, se dedicó al estudio de la herencia, a la cual aplicó métodos estadísticos. entre sus aportes más importantes se encuentra el desarrollo de métodos básicos, como la Regresión y la Correlación.

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La obra de GALTON estimuló a KARL PEARSON (1857 - 1936), para que

profundizara en sus investigaciones y fundó el periódico BIOMETRICA, que ha influido profundamente en el desarrollo de la estadística. Muchos métodos que forman parte del glosario del análisis estadístico son obra de PEARSON y su obra cumbre es la creación de la distribución del JI CUADRADO. Debido a que PEARSON, se ocupó fundamentalmente de muestras grandes, la correspondiente teoría no se ajustaba para el estudio basado en muestras pequeñas. Entre los experimentadores que vivían este problema estaba WILLIAM GOSSET (1876 - 1937), quien estudiaba con PEARSON. GOSSET, quien escribió con el seudónimo de "STUDENT", dedujo la distribución t y con ello solucionó el problema para el estudio de pequeñas muestras. RONALD FISHER (1890 - 1962), recibió influencia de KARL PEARSON y de STUDENT, e hizo numerosas e importantes contribuciones a la estadística, sobre todo a su aplicación para el estudio de situaciones propias de la agricultura, biología y genética. A FISHER se debe el hallazgo de la conocida distribución F. J. NEYMAN, 1894 y E.S.PEARSON, 1895, presentaron una teoría sobre la verificación o prueba de hipótesis estadística, entre 1936 y 1938. La teoría estimuló la investigación y fueron varios los resultados de uso práctico. Finalmente mencionemos a ABRAHAM WALD (1902 - 1950), quien en sus libros SEQUENTIAL ANALYSIS y STATISTICAL DECISION FUNCTIONS, presenta conquistas estadísticas orientadas en el campo de la genética. -(Estadística para las Ciencias Administrativas : Tercera

Edición.- LINCOLN L.

CHAO ). CAPITULO II DE LOS OBJETIVOS

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La estadística tiene tres grandes objetivos: a) DESCRIPCION

De grandes colecciones de datos empíricos,

reduciéndolos

pequeño

número

características que concentran la parte importante de la información suministrada por los datos. b) ANALISIS

Científico de datos experimentales y

de los fenómenos observados. c) PREDICCION

Del comportamiento de los datos en el

futuro. CAPITULO III DE LAS DEFINICIONES DE ESTADISTICA En el campo de la ESTADÍSTICA que es muy amplio, han escrito diferentes Economistas y matemáticos , pensadores de otras épocas

que son autores de

diferentes textos acerca de este tema tan importante. Para mejor ilustración mencionaré algunas definiciones que éstos nos han dado a conocer: MURRAY R. SPIEGEL, define a la estadística de la siguiente manera: " La estadística está ligada con los métodos científicos en la recolección, organización, presentación y análisis de los datos, tanto para una deducción de conclusiones como para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales análisis". De acuerdo a esta definición el punto central del análisis estadístico moderno es la toma de decisiones de incertidumbre. JUAN FERNANDEZ CHAVESTA, Docente de la facultad de Ciencias Sociales, de la Universidad Femenina del Sagrado Corazón, dice que la estadística es una ciencia relativamente moderna, de veloz formación, que crece día a día, a medida 6

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que halla más respuestas a los problemas que poseen los investigadores y la define como: "Que es el método científico de recopilar, clasificar, presentar, analizar e interpretar los datos numéricos, obtenidos de hechos reales y de inferir de ellos conclusiones lógicamente aceptables ". Según ROBERT D. MASON DOUGLAS A. LIND, dice que la ESTADISTICA, Es la ciencia que trata de la recepción, organización, presentación, análisis e interpretación de datos numéricos (estadística) con el fin de realizar una toma de decisiones más efectiva. ROBERTO B. AVILA ACOSTA, define a la estadística de la siguiente manera: "Es la ciencia que tiene por objeto la clasificación y el análisis de conjuntos de datos de observaciones, para interpretarlos y obtener leyes y relaciones entre ellas. Es la ciencia que orienta la toma de decisiones a partir del análisis e interpretación

observaciones

realizadas

forma

directa

experimentalmente. La estadística es uno de los mejores instrumentos de investigación que posee el hombre en la actualidad, no sólo para la observación de los hechos que se presentan, sino también en la formulación de hipótesis y leyes, derivadas de esos hechos en el diseño de experimentos, en el control de errores posibles, en la comprobación de teorías, cuando no se puede hacer experimentalmente, en las decisiones de importancia, etc. La estadística proporciona técnicas e instrumentos, para la investigación, por este motivo A. M. MOOD la denomina como " LA TECNOLOGIA DEL METODO CIENTIFICO". Al haber señalado algunas de las muchas definiciones existentes, y para que nuestra juventud estudiosa y los diferentes profesionales así como políticos, ideólogos puedan realmente entender la definición de ESTADISTICA, y aún más se puedan acordar en cualquier momento de su vida cotidiana me atrevo a dar una definición que pueda dar mejores luces de lo que realmente es la ESTADISTICA. 7

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Sólo deben acordarse de esta sencilla palabra, que seguramente no se olvidarán jamás. R O P A I. Recolección Ordenación Presentación Análisis Interpretación, de los datos tomados de nuestra realidad en forma directa , y sacar conclusiones razonables. Por lo que la definición que propongo en este trabajo de investigación y de mi experiencia laboral de 28 años de estar dictando esta asignatura en las carreras profesionales de Contabilidad y Administración en el Instituto Superior Tecnológico "José Carlos Mariátegui", así como en la Universidad Privada de Moquegua, en las Escuelas de Contabilidad y de Ingenierías: Mecánica y Civil. La definición que propongo es la siguiente: "La ESTADISTICA, es la Recolección, la Ordenación, Presentación, Análisis, Interpretación de los datos tomados de nuestra realidad en forma directa, para sacar conclusiones y tomar las decisiones que sean razonables y las más efectivas, a fin de plantear

las alternativas necesarias y solucionar los

problemas investigados".

CAPITULO IV CONCEPTOS BASICOS IMPORTANTES Es

necesario

conocer

algunas

definiciones

importantes,

para

poder

entendernos en el lenguaje de la ESTADISTICA. 8

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ESTADISTICO

Es la persona que se dedica al estudio de la

ESTADISTICA , es el profesional que analiza estadísticas, desarrolla métodos y modelos estadísticos y contribuye a la evolución de la ciencia ESTADISTICA. ESTADIGRAFO

Es cualquier función de datos empíricos que

se usa con fines descriptivos o analíticos, son las medidas de resumen estadístico de un conjunto de datos por ejemplo: La Media Aritmética, la Mediana, la Varianza, el Coeficiente de Correlación, etc. INFORMACION

Es el resultado de los datos procesados de acuerdo

a ciertos objetivos. No hay información sin datos. INDICADOR

Son elementos característicos que describen

una situación permitiendo su análisis. Son referentes empíricos

que

permiten

una

medición,

descripción,

ordenamiento de los datos o características en forma válida y confiable. Los indicadores no determinan la realidad, la realidad determina el valor del indicador. La validez y la confiabilidad del indicador depende de la validez de los datos utilizados y de la lógica de su relación o construcción. Indicador, es toda cantidad, valor o elemento que permite conocer el estado de un hecho, también permite expresar o conocer la variación, el comportamiento, la intensidad o relación de una o más características, variables, hechos o fenómenos. En este sentido,

los

llamados

índices,

tasas,

estadígrafos,

medidas de resumen, etc. son indicadores. VARIABLE

Es la cantidad que puede tomar cualquiera

de un conjunto determinado de valores . Es lo que puede tomar distintas formas y valores, puede ser medible (peso, ingreso,etc.) o no medible o cualidad ( estado civil, 9

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nacionalidad, etc.).Se denota generalmente por letras X, Y, Z, etc. Son características que varían de individuo a individuo o de objeto a objeto. Las

variables

son

características

observables, suceptibles de adoptar distintos valores expresados en varias categorías. Variable es un aspecto específico de la realidad referido a la unidad de análisis, y que puede ser medido o cuantificado. Todas las variables tienen una escala de registro. UNIDAD DE ANALISIS.-

Es el objeto o elemento indivisible que será estudiado en una población, sobre los cuales se va a obtener datos. La Unidad de análisis no es el fenómeno investigado, sino el que genera el fenómeno y proporciona datos concretos.

POBLACION UNIVERSO.- Está referido a un colectivo finito individuales.

Es el

o infinito elementos

número de elementos, objetos,

individuos, etc., que interesa estudiar. MUESTRA

Es la parte o subconjunto de una población.

La muestra está constituida de elementos seleccionados de una manera deliberada , con el objeto de investigar las propiedades

población.

Toda

muestra

será

representativa de la población que forma parte. ESTADISTICO

Es el número resultante de la manipulación de

ciertos datos iniciales de acuerdo con determinados procedimientos específicos. Comunmente, usamos un estadístico que se calcula a partir de una muestra para estimar el parámetro de una población. PARAMETRO

Es una medida de una característica de una

población. Es cualquier característica de una población que sea medible Estadísticamente, las características de la 10

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población son: la Media, desviación standard y varianza poblacional y se utilizan las letras griegas

U, O, para

representar los parámetros poblacionales. INDICADOR

.expresar

Es o

intensidad

toda

función

conocer o

relación

empírica

variación,

una

que

permite

comportamiento, más

variables,

características, hechos o fenómenos. En este sentido, los índices, las tasas, los estadígrafos, las

medidas de

resumen, etc. son indicadores. DATO

Es el valor o respuesta que adquiere

al variable en cada unidad de análisis. Dato es el resultado de la observación, entrevista o recopilación en general. Los datos son la materia prima de la estadística. Es el resultado de toda observación, entrevista

o recopilación.

Dato

estadístico

será

resultado de toda observación con fines estadísticos. Son números o medidas que han sido recopilados como resultados de observaciones. Los datos pueden provenir de recuentos tales como el número de personas que residen en una vivienda, el sexo de los estudiantes de la universidad. INFORMACION

Es el resultado de los datos procesados de acuerdo

a ciertos objetivos. No hay información sin dato. ESTIMACION

Es la determinación del valor de uno o más

parámetros de una Ley de distribución, o de una población, a partir de las observaciones de una muestra. Valor

proporcionado

por el

método de estimación

utilizado. ESTIMADOR

.-Es la fórmula método o cálculo utilizado para efectuar una estimación puntual. Se presenta generalmente como una función de los valores observados en la muestra.

¿QUIEN UTILIZA LA ESTADISTICA? 11

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Las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en Mercadotecnia, Contabilidad, Control de calidad y en otras actividades; estudios de consumidores; análisis de resultados en deportes; administradores de instituciones, en la educación; organismos políticos; médicos; y por otras personas que intervienen en la toma de decisiones. Así tenemos los ejemplos que siguen sugieren el amplio uso de la Estadística en los problemas de decisión. 1.-

Los analistas de investigación para empresas, quienes evalúan muchos aspectos de una acción o valor antes de hacer una recomendación de compra o venta. Recopilan los datos de venta anteriores de la empresa y estiman las ganancias futuras. Factores tales como la demanda proyectada para los productos de la empresa, la fuerza de sus competidores y el efecto de un nuevo contrato entre empresa y sindicato, también se toman en cuenta antes de hacer una recomendación.

2.-

Los diferentes partidos políticos, quienes desean determinar sus probabilidades de triunfo, en los escaños del Congreso de la República.

3.-

Los directivos deben tomar decisiones acerca de la calidad de la producción actual.

4.-

Los consumidores que compran comestibles como carnes, quienes frecuentemente utilizan los precios unitarios para decidir qué tamaño adquirir.

5.-

Los equipos profesionales de fútbol computarizan los datos sobre el rendimiento de losa jugadores, para decidir a cuáles contratar.

6.-

El director de un hospital debe tomar la decisión acerca de una propuesta para agregar una nueva sección al edificio a fin de mejorar las concesiones de admisión. Para determinar si en realidad es necesaria o no una nueva sección, el director debe recopilar y evaluar datos como tasas de ocupación de camas. Después debe reunir datos sobre costo de la construcción, fuentes de financiamiento e ingresos proyectados, para justificar la nueva edificación ante la junta directiva.

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7.-

El contralor y el departamento de contabilidad de una empresa se encargan de la exactitud de los cálculos financieros. ya que resulta físicamente imposible verificar cada documento y determinar su exactitud, se realiza un muestreo de las facturas y se toman decisiones con base en los resultados de las muestras.

8.-

El departamento de mercadotecnia de una empresa fabricante, está encargado de hacer recomendaciones acerca de la posible rentabilidad de un determinado producto.

9.-

El gobierno de un determinado país está interesado especialmente en la condición actual de la economía y en la predicción de las tendencias económicas futuras. El gobierno realiza un gran número de encuestas para determinar la confianza de los consumidores y las perspectivas de los directores de empresas en lo que se refiere a ventas y producción para los próximos meses. Cada mes se elaboran índices, como el índice de precios al consumidor, con el objeto de evaluar la tendencia inflacionaria. las ventas en almacenes de departamentos, los inicios de construcciones

habitacionales,

movimiento

monetario,

las

estadísticas de producción industrial son unos cuantos de cientos de indicadores económicos que se evalúan cada mes. Estas evaluaciones se utilizan para tomar decisiones en lo que se refiere a las tasas preferenciales aplicadas por los bancos y las utiliza un banco central a fin de decidir el nivel de control sobre la oferta de dinero. 10.-

Resultados de varios sondeos de opinión realizados y que se publican en los diarios revistas y se presentan en la radio y televisión. Estos sondeos abarcan muchos temas, como evaluación del desempeño del Presidente del Perú, el sentir de los peruanos acerca de los problemas de la salud como el de SIDA y el TABAQUISMO, si deben continuar ciertos programas establecidos,, la importancia de la religión y si las líneas áreas comerciales son tan seguras como lo eran hace cinco años, la importancia de la planificación familiar en los hogares peruanos.

11.-

En los siguientes casos se necesita aplicar técnicas estadísticas: Una 13

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televisora debe decidir si agrega o no otra telenovela en su horario principal. En una Universidad se debe decidir si se admite o no a un postulante

egresado

Instituto

Superior

Tecnológico

Pedagógico. Un médico debe decidir qué análisis debe practicar a un paciente que presenta ciertos síntomas; con base en los resultados de pruebas sanguíneas, electro cardiogramas y otros análisis por último, uno puede pensar en establecer un comercio. Antes de tomar una decisión, deben reunirse y evaluarse datos sobre elementos tales como costo inicial, competidores y posibles ganancias. 12.-

En el campo de la educación, la estadística también desempeña un papel de importancia, un educador tal vez quiera saber si hay una relación significativa entre las puntuaciones de un test de aptitud escolar y las calificaciones promedio de un grupo de estudiantes. Si existe una relación semejante, se podría predecir la calificación promedio de un estudiante con base en su puntuación del test de aptitud. Así mismo, es posible comparar dos métodos de enseñanza diferentes para determinar sus eficacias relativas.

13.-

El desarrollo del campo de la

computación ha contribuido a la

expansión de las aplicaciones de las técnicas estadísticas en nuevos y más complejos problemas. Al tiempo que se han fortalecido y ampliado los métodos de análisis estadísticos, particularmente al hacer uso de la teoría de la simulación. No siempre se hace buen uso de la metodología estadística en cuanto al análisis de los datos. Unas veces por desconocimiento y otras por descuido del investigador. Unas cuantas citas acerca del mal empleo de la técnica estadística nos permitirá comprender mejor el fondo del problema. Uno de los errores que se cometen con mayor regularidad es hacer conclusiones basadas en datos muestrales no representativo. Otro error que se comete es aquel en el cual las conclusiones están basadas en los datos insuficientes. Como aún no se han presentado los diversos métodos de la estadística, la presentación y examen de los abusos de ésta quedan limitados. Finalmente se diría 14

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que todo procedimiento estadístico puede emplearse de modo engañoso o con interpretaciones deficientes de los resultados. En los tiempos actuales la Estadística se aplica a todos los campos del conocimiento humano, tales como la Economía, Biología, Medicina, Educación, Sociología, Psicología, etc.

CAPITULO V IMPORTANCIA Y OBJETO DE LA ESTADISTICA IMPORTANCIA DE LA ESTADISTICA Es fácil darse cuenta de la importancia que ha ido adquiriendo la Estadística como herramienta de trabajo en la investigación, ya que mediante el empleo de sus técnicas y procedimientos, ha sido y es posible analizar adecuadamente el cúmulo de información numérica proveniente de observaciones y experimentos. La importancia de la Estadística, se puede manifestar, en la que no se puede concebir que un Político, un perito en Administración, un Estadista, y todos los profesionales sea cual fuere la profesión no tengan los conocimientos necesarios de la estadística. OBJETO DE LA ESTADISTICA El objeto de la estadística que se sujeta a las probabilidades, "es interpretar

numericamente los fenómenos de la vida". Actualmente no hay

investigador que prescinda de ella, sea cual fuese el estudio que realice.

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ELEMENTOS BASICOS DE LA ESTADISTICA

Dentro de los elementos básicos de la estadística están: 1.-

LA POBLACION .-Conocido también como UNIVERSO, está referido a un colectivo finito o infinito de elementos individuales. es el número de elementos, objetos, individuos, etc, que interesa estudiar. Es un conjunto de todos los posibles individuos, personas, objetos o mediciones de interés. Es el conjunto finito o infinito, pero muy grande de datos que corresponden a una misma característica o variable y puede ser: 1.1.- Población finita.- Es cuando los datos pueden ser contados. Por ejemplo: El número de alumnos de una escuela universitaria, en número de empleados de una empresa, el peso de los pacientes que van a ser atendidos en un determinado hospital. 1.2.-Población infinita.- Es cuando los datos no

pueden ser

contados. Por ejemplo: las estrellas del universo, la arena del mar, etc. 2.-

MUESTRA.- Es la parte o sub conjunto de una población. La muestra está constituida de elementos seleccionados de una manera deliberada, con el objeto de investigar las propiedades de la población. Toda muestra será representativa de la población que forma parte de una población de interés. Es un grupo de unidades extraídas de una población, definida

previamente, de acuerdo con un plan de sondeo dado y sobre las cuales se realizarán las observaciones previstas en la encuesta. La población, considerada representada por la muestra, se llama algunas veces población madre o población de referencia. Es una parte convenientemente seleccionada de la 16

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población; o un subconjunto tal, que los elementos que lo componen sean tomados aleatoriamente del universo, de manera que los resultados que se obtengan en la misma, puedan ser generalizados mediante un proceso lógico de inducción a la población de la cual se obtuvo. Ejemplo: si la población consiste en el número de habitantes del Perú, una muestra sería el número de habitantes del Departamento de Moquegua. Es una parte relativamente pequeña de una población. Si es que todos los datos de la población han tenido igual oportunidad de haber sido incluidos en la muestra, se dice que, la muestra es tomada al azar. Para que una muestra tenga validez en toda investigación, es necesario que sea del 10% al 20% de todo el universo. Si se toma una muestra demasiado grande se pierde dinero y otros recursos; y si la muestra es demasiado pequeña, produce resultados inútiles. Por lo tanto, en cualquier investigación, que utilice el muestreo, es de gran importancia que la muestra que se va a tomar sea de un tamaño adecuado. Por otra parte, la utilización de diferentes métodos aleatorios de muestreo da lugar a que el tamaño de la muestra pueda ser diferente en cada uno de ellos; cuya derivación estadística escapa a los propósitos de esta publicación. Sin embargo, el muestreo, aleatorio simple exige generalmente muestras superiores (para un igual grado de confianza de los resultados)que el muestreo estratificado. Muestreo, es la labor de extraer una muestra del universo. 3.-

VARIABLE.- Son las expresiones cuantitativas de alguna de las propiedades de los fenómenos. Es la cantidad que puede tomar cualquiera de un conjunto determinado de valores. Es lo que puede tomar distintas formas y 17

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valores, puede ser medible (peso, ingreso, etc.)o no medible o cualidad (estado civil, nacionalidad, etc.). se denota generalmente por letras: X, Y, Z, etc. Son características que varían de individuo a individuo o de objeto a objeto, mientras que las que permanecen inalterables reciben el nombre de constantes. Por ejemplo:"En un estudio de la capacidad aritmética entre los individuos de ambos sexos del Tercer grado de secundaria en la Ciudad de Moquegua". Identificar algunas variables y constantes. Solución: Grado escolar y ciudad son constantes, ya que están especificados o es la misma para cada individuo (quinto grado y ciudad de Moquegua). En cambio capacidad aritmética y sexo son variables, porque van a cambiar de individuo a individuo. 3.1.- CLASIFICACION DE LAS VARIABLES.Las variables se clasifican en: 3.1.1.-

Variables Cualitativas.- Llamadas así cuando los valores del dominio de variación obedecen a una clasificación. Ejemplo: Estado Civil, sexo, profesión, etc.

3.1.2.-

Variable ordinal.- Llamada así cuando los valores del dominio de variación obedecen a un orden. Ejemplo:

Grado

socioeconómico,

Instrucción,

Cuadro

Asignación

nivel de

Personal, etc. 3.1.3.-

Variables Cuantitativas.-

Cuando los valores del

dominio de variación, pueden ser contados o medidos. Estas variables se clasifican en: 18

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Cuantitativa discreta: Si los valores del dominio de variación pueden ser contados, es decir, los valores que toma son números enteros. Ejemplo:

El número de alumnos.

Pueden haber 4,5,6,... n alumnos; pero no puede decirse que hay 40.5 alumnos. b)

Cuantitativa continua.- Si los valores del dominio de variación pueden ser medidos. Ejemplo: La cantidad de dinero ahorrado en soles. Una persona puede tener ahorrado S/.150.50 nuevos soles.

3.2.-MEDICION DE LAS VARIABLES.Para

poder

estudiar

cuantitativamente

los

fenómenos

poblacionales es necesario medir las variables mediante la comparación del elemento medido con una escala preestablecida. 3.2.1.-

Nivel Nominal.- Por lo común los términos nivel nominal de medición y escala nominal se emplean para hacer referencia a los datos que sólo pueden clasificarse en categorías. si embargo, en el sentido exacto de las palabras, no intervienen mediciones ni escalas. En vez de esto sólo hay cuentas o conteos. Consiste en percibir las diferencias o semejanzas de dos objetos. Las pruebas aplicadas a los datos de escala nominal no implican ninguna consideración en lo que se refiere a la distribución básica de la población a partir de la cual se seleccionó la muestra. Por tanto, a estas pruebas se les denomina pruebas libres de distribución, o pruebas no paramétricas por ejemplo: pesado en comparación a no 19

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pesado,

estudiante

universitario

comparación

universitario. Los objetos que se perciben como iguales se designan como de la misma clase, dentro de cualquier clase se pueden definir subclases. Es decir, el estudiante universitario y la estudiante universitario. Sin embargo, en esta forma más simple de observación no se pueden realizar comparaciones entre las clases o sub-clases sólo se nombran o enumeran en este nivel de medición, no se comparan. 3.2.2.-

Nivel Ordinal.- La principal diferencia entre un nivel de medición nominal y uno ordinal, es la relación "mayor que" entre las categorías del nivel ordinal. Por otra parte, la escala ordinal de medición tiene las mismas características que la escala nominal, es decir, las categorías son mutuamente excluyentes y exhaustivas. El nivel ordinal, es aquel que realiza una comparación ordinal, o sea que exista una jerarquización, un orden, una secuencia, que permitan diferenciar una de otra. Ejemplo: Grado de instrucción, rango militar, categoría de los empleados, etc.

3.2.3.-

Nivel de Intervalo.-

Es el siguiente nivel más alto. Incluye

todas las características de la escala ordinal, pero además la distancia entre valores es constante. Un ejemplo de es esto es la temperatura en la escala Fahrenheit. supóngase que exista una variación de temperatura en la Ciudad de Moquegua. estas temperaturas pueden clasificarse por categoría con facilidad, pero también es posible determinar la diferencia entre cada par de temperaturas. Esto es posible a que

1 grado Fahrenheit

representa una unidad constante de medición. La escala de medición de intervalo tiene las propiedades de ser mutuamente exclusiva y exhaustiva. Este nivel requiere el establecimiento de algún tipo de unidad física de medición que pueda considerarse por todos como una 20

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norma común y ser receptible, es decir, que pueda aplicarse indefinidamente con los mismos resultados. Ejemplo: El largo se mide en términos de metros o pies, el tiempo en segundos, el peso en gramos, etc. Entonces resulta posible decir que la diferencia entre dos medidas es de 15 unidades, o que una diferencia es dos veces mayor que otra, etc.

3.2.4.-

Nivel de Proporción o Razón.- Este nivel tiene todas

las

características

del

intervalo:

las

distancias entre números son de tamaño conocido y constante;

las

categorías

son

mutuamente

excluyentes; y así sucesivamente, las principales diferencias entre los niveles de intervalo y de razón son: 1)

Los datos de nivel de razón tienen un punto cero significativo.

La razón o cociente de dos números es significativa. Es un nivel de medición algo mejor que el nivel de intervalo. En este caso se está en condiciones de comparar marcas

medidas

sirviéndonos

sus

proporciones. Podemos decir que una marca es 2 veces más alta que otra. Se caracteriza porque

esta escala

contiene el cero absoluto. Ejemplo:

Porcentaje

proporción

pacientes

personas con

fallecidas,

enfermedades

cardiacas en un hospital "X", proporción de alumnos desaprobados

aprobados

una

determinada asignatura, proporción de trabajadores con grado de instrucción, primaria , secundaria, superior, etc. 4.- DATOS ESTADISTICOS.21

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

conjunto

unidades

estadísticas,

que

tienen

determinadas características o cualidades. Ejemplo: La realización de una encuesta, censo o recopilación de información con fines estadísticos. Estos datos estadísticos se clasifican en: 4.l.-Datos Estadísticos Cualitativos.Son los que se refieren a las cualidades de las personas o cosas, estos datos no implican medición alguna de tal manera que su agrupación o sistematización es sencilla de acuerdo a sus cualidades o atributos. Por ejemplo: A las personas se les puede agrupar de acuerdo al sexo: Hombres o Mujeres; o de acuerdo a la

profesión

que

tienen: Médicos, Ingenieros,

Abogados,

Contadores, Economistas, Enfermeros, etc. Por el color del pelo: rubios, negros, castaños, etc.; de acuerdo a su Coeficiente intelectual, de unos será alto y otros bajo.

4.2.-Datos estadísticos Cuantitativos.Se refieren a mediciones y en general sus valores están representados mediante números; ejemplo: Cuando se agrupan las personas teniendo en cuenta el peso, estatura, número de hijos por familia, etc. Ya hemos mencionado que estos puedan ser: Discretos y continuos. 4.3.-Datos estadísticos cronológicos.Llamados también series cronológicas, son los datos que se refieren a los datos estadísticos relativos a un fenómeno determinado en diversos periodos de tiempo especificados. Ejemplo la cotización de las acciones en la Bolsa de Valores, 22

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

durante u trimestre, la natalidad en la ciudad de Moquegua durante un mes, un año, etc.

4.4.-Datos estadísticos geográficos.Son los datos que se obtienen en base a una situación geográfica. Ejemplo: La población de la Provincia de Mariscal Nieto, Provincia de Ilo, o la Provincia General Sánchez Cerro, etc. 5.-PARAMETRO.-Es cualquier característica de una población que sea medible. Es costumbre utilizar las letras griegas, U, ,  2 para representar los parámetros poblacionales. Estadísticamente, las características de la población son: la media, la desviación standard y la varianza poblacional. CAPITULO VI CLASIFICACION DE LA ESTADISTICA La estadística se clasifica en: A)

Estadística Descriptiva.Describe y analiza una determinada población sin pretender sacar conclusiones de tipo general. Se utiliza cuando el propósito de la investigación consiste en describir los datos que han sido ( o serán) recolectados. Se utilizan operaciones estadísticas simplemente para describir los datos que han sido recopilados. Por ejemplo: se tiene un Centro Educativo, compuesto de 800 alumnos, se desea averiguar el número de alumnos mujeres que existe en cada carrera profesional. En vista que el interés de este problema está centrado en estas carreras profesionales, se puede reunir la información pertinente, de todos los alumnos de los cuales se quiere obtener una conclusión específica. En este caso los datos que deben reunirse, consiste en averiguar el 23

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

número de mujeres. Por lo tanto se utilizan operaciones estadísticas simplemente para describir los datos que se han recopilado.

Estadística Inferencial.Infiere o induce leyes de comportamiento de una población a partir del análisis de una muestra. Se emplea cuando el propósito de la investigación no consiste en describir los datos que se han reunido, sino en generalizar o hacer inferencias basadas en los mismos datos. Del ejemplo anterior, supóngase que estamos interesados en determinar

profesionales

proporción de

dicho

alumnas

Centro

Educativo.

todas Resulta

las

carreras

sumamente

improbable que puedan o siquiera deseen recopilar los datos de los individuos sobre los cuales se pretende sacar una conclusión. Es probable que tenga que limitar la recopilación de datos a algún grupo más pequeño seleccionado en forma aleatoria y utilizar la estadística inferencial para generalizar las conclusiones obtenidas a partir de ese grupo más pequeño de modo que se puedan aplicar al grupo más grande. TITULO II CAPITULO VI CONCEPTOS MATEMATICOS BASICOS 1.-

Recta Real.Se considera muy útil representar los números reales en forma gráfica. Dicha representación se llama recta de los números reales, y para construirla, elegimos un punto sobre ella que represente al cero. Este punto se conoce como origen. A la derecha del origen se señalan puntos equidistantes para representar los números enteros positivos :1, 2, 3, 4,...; y la izquierda, para representar los números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, ... 24

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Ejemplo:

___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!___!____ -6 -5

-4 -3 -2

-1

Hay que tener en cuenta que los puntos comprendidos entre dos números enteros sucesivos cualesquiera representan números no enteros. Por ejemplo el punto medio entre 2 y 3 representa el promedio entre esos números, es decir, 2.5 De igual manera, el punto que se encuentra a un cuarto de distancia del punto 3 al punto 4, es el punto 3.25 : 2.5 3.25 ___!___!___!___!___!___!___!__! _!_!_!_!___!__ -5 -4

-3

-2 -1

1 2 3 4 5

IMPORTANTE.-

Cada número real tiene un punto único que lo representa sobre la recta real.

Cuando un número no tiene ningún signo se considera como positivo.

2.-

Orden.Dados dos números A y B cualesquiera, el número cuyo punto sobre la recta real se encuentra más hacia la derecha se considera el mayor; y el número cuyo punto sobre la recta se encuentra más a la izquierda se considera como el punto más pequeño. Ejemplos: a)

N º menor

Nº mayor

___!___!___!___!___!___!___!___ 0 1 2 3 4 5 6 b)

Nº menor

Nº mayor

___!___!___!___!___!___!___!___!__ -4 -3 -2

-1

En el ejemplo a) cuatro es mayor que uno, porque 4 se encuentra más a la derecha que 1. 25

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

En el ejemplo b) -1 es mayor que -4, porque -1 se encuentra más a la derecha que -4. También podremos decir, que -4 es menor que -1, porque -4 se encuentra más a la izquierda que -1. Los cuatro símbolos matemáticos que se emplean para representar el orden se conocen como símbolos de desigualdad. Estos son: <

: se lee "menor que"

: se lee "mayor que"

: se lee "mayor o igual que"

: se lee "menor o igual que"

Ejemplos: a)

2 < 4 , se lee como: "2 es menor que 4 "

a <=b , se lee como: "a es menor o igual que b"

c) 5 > 1 , se lee como: "5 es mayor que 1" d)

a>= b , se lee como: "a es mayor o igual que b"

3.-Valor Absoluto.Un número tiene dos componentes: un signo y un tamaño de magnitud. El signo (+ ó -) nos indica si el punto sobre la recta real que representa al número considerado se encuentra a la derecha o a la izquierda del origen. El tamaño o magnitud, es la distancia del origen al punto que representa al número y siempre es "positivo". se representa mediante el símbolo : / /. Ejemplos: / 4 / = 4, se lee : Valor absoluto de 4 es igual a 4. /-3/ = 3, se lee : Valor absoluto de menos 3 es igual a 3. El valor absoluto de cualquier número, es el mismo valor, pero expresado siempre con signo positivo. 4.-

Operaciones con números Positivos y Negativos.4.1.-Multiplicación y División.- Si los dos números que se

han de multiplicar

o dividir tienen el mismo signo (positivo o negativo), el resultado es positivo : si tienen signos diferentes (uno positivo y otro negativo),el 26

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

resultado es negativo.

Ejemplos: a)

6 = 42 :(+)

x (+) = + b) (-7)

(-6) = 42 :(-) x

c) ( 7)

(-)

(-6) =

- 42 :(+) x (-) d) (-7)

=x (

= - 42

:(-) x (+) =

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: 5

1.4

:(+) : f) (-7)

(+)

:(-5)

1.4

:(-) : g)

(-)

:(-5)

1.4

:(+): (-) h) (-7): 5

=- 1.4

:(-) : (+)

4.2.-Suma y Resta.-Se en el problema de suma los dos números tienen el mismo signo, se considera la suma de las magnitudes de los dos números y se coloca el mismo signo. Ejemplo: a)

6 + 5 11

= :(+)

+ (+) = + b)

(-6) + (-5) = -11

:(-) +

(-)

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Si en un problema de suma los dos números tienen signos diferentes, se considera la diferencia de magnitudes y se utiliza el signo del número de mayor valor absoluto. Ejemplos: 6

(-5)

1 ,porque la diferencia

entre 6 y 5 es 1 y es positivo porque el número de mayor valor absoluto tiene signo positivo. (-6)

-1, porque la diferencia

entre 6 y 5 es 1 y se coloca el signo -, porque el número de mayor valor absoluto (6), tiene signo negativo. Por último para restar un número de otro, cambiamos el signo del asegundo número y sumamos.

Ejemplo: a)

(-4)

decir, hemos cambiado el signo del segundo número (en este caso, hemos cambiado -4 por 4 ) y después hemos sumado. b)

-2 - (-7) = -2 + (+7) = 5

c) -2 - (+4) = -2 + (-4) = -6 5.-

Orden de las Operaciones.En el desarrollo de expresiones donde intervienen las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división), primero se realizan las operaciones de multiplicación y división, y después la suma y la resta. Ejemplos: a) 6 :3 x 4 = 2 x 4 = 8 29

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b) 3 + 5 x 6 : 10 - 5 = 3 + 30 : 10 - 5

=3+3-5 =6-5 =1 c) 4 + 6 x 4 : 4 - 3 = 4 + 24 : 4 - 3 =4+6-3 = 10 - 3 =7 Podemos considerar el orden de la realización de las cuatro operaciones como un tipo de jerarquía de dos niveles: Primer Nivel

: Multiplicación y división

Segundo Nivel

: Suma y resta

Cuando aparece en la misma expresión dos o más operaciones del mismo nivel de jerarquía, se efectúan por orden y una a la vez, de izquierda a derecha. Por ejemplo, deseamos calcular la expresión 6 : 3 x 4 . Como las operaciones de división y multiplicación son del mismo nivel de jerarquía, ninguna tiene prioridad sobre la otra. Por lo tanto, realizamos una operación cada vez de izquierda a derecha, de la siguiente manera:

6:3x4=2x4 =8

3 + 5 x 6 : 10 - 5 = 3 + 30 : 10 - 5 =3+3 -5 =6-5 =1

4 + 6 x 4 : 4 - 3 = 4 + 24 : 4 - 3 =4+6-3 = 10 - 3 =7

Cuando se desea realizar las operaciones de orden diferente al normal y conforme las reglas de jerarquía establecida, se hace necesario el uso del 30

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paréntesis. Por lo tanto las operaciones que aparecen entre paréntesis se deben realizar primero. Ejemplos: a)

(4 + 4) : 2

=8:2=4

16 : ( 3 + 1 ) = 16 : 4 = 4

4x5:(2+2)-3=4x5:4-3 = 20 :4 - 3 =5-3 =2

6.-

Exponentes y Notación Exponencial.Muchas veces nos encontramos en situaciones donde debemos considerar un número y multiplicarlo por sí mismo varias veces ( por ejemplo: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 ). a fin de representar su valor en forma simplificada, tomamos el número ( en este caso 3) y colocamos en la parte superior del mismo, un subíndice que denota el número de veces que debe aparecer en la multiplicación ( en este caso , 5 veces).

luego: a) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35 = 243 b) 4 x 4 x 4

= 43 = 64

c) 0.5 x 0.5 x 0.5 x 0.5 x 0.5 x 0.5 = (0.5) 6

=0.015625

Esta forma de representar la multiplicación repetida de un número por sí mismo se llama notación exponencial o potencia de un número. El número que se multiplica se conoce como base, y el número que representa las veces en que la base aparece en la multiplicación recibe el nombre de exponente. En la expresión 35 , la base es 3 y el exponente es 5. 6.1.- Producto de Potencias de Igual Base.31

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias dadas. Por lo tanto, a n x am = a n+m Ejemplos: a) 25 x 23 = 25+3 = 28 b) 42 x 43 = 42+3 = 45

6.2.-Potencia Negativa de un Número.Es igual a uno dividido por la misma potencia con exponente positivo. por lo tanto : a-n = 1/an Ejemplos: a) 2-3 = 1/23

c) 4-2 =1/42

b) 5-4 = 1/54

d) 16-4=1/164

6.3.-Cociente de Potencias de Igual Base.Es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia de los exponentes de las potencias dadas. Se denota así : a n /am = an-m donde a= base y n , m = exponentes. Ejemplos: a) 23 /22 = 23-2 = 21 = 2 b) 36 /34 = 36-4 = 32 = 9 c) 35 /37 = 35-7 = 3-2 = 1/32 = 1/9 IMPORTANTE.Toda cantidad elevada a la potencia 0 (cero) es igual a 1, es decir: a 0 = 1. Ejemplos: a) 50 = 1

b) 40 = 1

c) 200 =1 d) 350 = 1 32

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

7.-

Notación Científica.Es utilizada para abreviar cantidades que tienen muchos ceros antes o después del punto decimal. Para ellos se emplean las potencias de 10. Casos: 7.1.-Cuando las cantidades son enteras.Colocamos la cantidad diferente de CERO, y la multiplicamos por la base 10 elevado a un cierto exponente que es igual al número de ceros de que está compuesta dicha cantidad. Ejemplos: a) 1500000

15 x 105

b) 38000000

38 x 106

c) 45050000000

4505 x 107

7.2.-Cuando las cantidades son decimales.Se coloca la cantidad diferente de CERO y la multiplicamos por la base 10 elevado a un cierto exponente que es igual al número de decimales de que está compuesta la cantidad, pero con signo negativo. Ejemplos: = 42 x 10-6

a) 0.000042

b) 0.0000000032 = 32 x 10-10 c) 0.000420 8.-

= 420 x 10-6

Redondeo de Datos.Es utilizado cuando se trabaja con un número grande de operaciones y la finalidad es minimizar la acumulación de errores de redondeo.

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Es común la presentación del problema de como manejar el excedente de cifras o decimales obtenidos al medir o efectuar un cálculo, pero innecesarios para el registro al nivel deseado. Teóricamente el redondeo de cifras se puede hacer de acuerdo a reglas o de acuerdo a normas. Empleando las normas , el redondeo de cifras puede ser: 8.1.- Redondeo por defecto 8.2.- Redondeo por exceso 8.3.- Redondeo por aproximación Veamos en que consiste cada uno de ellos. 8.1.-Redondeo por defecto.Cuando el último dígito retenido no sufre alteración. Ejemplo: Redondear el número 4.151583 Cifra de redondeo Registro (número redondead o) Redondear a: Enteros

Un decimal

4.1

Dos decimales

4.15

Tres decimales

4.151

Cuatro decimales

4.1515

Cinco decimales

4.15158

8.2.-Redondeo por exceso.Es cuando se incrementa en una unidad al último dígito retenido. Ejemplos: Usando el mismo ejemplo anterior 4.151583 tenemos: Cifra de redondeo

Registro(número 34

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

redondeado)

Redondee Ud. a : Enteros 5 Un decimal 4.2 Dos decimales 4.16 Tres decimales 4.152 Cuatro decimales 4.1516 Cinco decimales 4.15159 8.3.-Por aproximación.Es una conjugación de las dos formas anteriores, en la que se redondea por defecto si la primera cifra de los dígitos eliminados es menor que 5; y por exceso si aquella primera cifra es igual o mayor que CINCO (5). Ejemplo: Usando el número 4.151583 tenemos: Cifra de redondeo

Registro(número redondeado)

Redondee Ud. a: Enteros

Un decimal

4.2

Dos decimales

4.15

Tres decimales

4.152

Cuatro decimales

4.1516

Cinco decimales

4.15158

El redondeo de datos es: 35

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Es la representación de los resultados en los informes, evitando incluir dígitos superfluos. En los decimales, también es necesario tener en cuenta las siguientes reglas: PRIMERA REGLA.Si la cantidad eliminada excede a la mitad de la unidad, o sea es mayor que 5, al último dígito retenido se le aumenta en una unidad. Ejemplo: Redondee Ud. el siguiente número 236.856 a: La unidad

237

Al décimo más cercano

237.9

Al centésimo más cercano

237.86

SEGUNDA REGLA.Si la cantidad eliminada no excede a la mitad de la unidad, o sea la cantidad eliminada es menor que 5, al último dígito retenido no se le aumenta ninguna unidad. Ejemplo: Redondee Ud. el siguiente número 894.342 a: La unidad

894

Al décimo más cercano

894.3

Al centésimo más cercano

894.34

TERCERA REGLA.Si la cantidad eliminada, o dígito eliminado, es exactamente igual a la mitad de la unidad, o sea es exactamente igual a 5. Hay que tener presente lo siguiente: a)

Si el último dígito retenido es par, no cambia o no

agrega 36

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

ninguna unidad.

Si el último dígito retenido es impar, si cambia o sea se agrega una unidad.

Ejemplo: Aplicando la tercera regla redondee las siguientes cantidades al décimo más cercano. Sin redondeo

Con redondeo

10.85

10.8

8.65

8.6

7.75

7.8

13.55

13.6

3.05

3.0

9.75

9.8

5.45

5.4 Sumatoria.-(Σ )

9.-

La dificultad que presentan expresiones con muchos sumandos para sumarlos o trabajar con dichas sumas, fue lo que indujo a crear un símbolo de sumación para representar sumas. Donde resultó el símbolo “SIGMA MAYUSCULA”: Σ Consideremos la siguiente expresión: n Σ Xi, i=1 Donde ¨i¨ es el índice de la sumatoria( pudiendo emplearse cualquier otra letra) y tiene como principal característica la de variar adoptando sólo valores enteros consecutivos y comprendidos entre los que se indican debajo ( límite inferior) y encima (límite superior) del signo Σ de sumatoria.

Se hablará así, de una sumatoria de “x sub i” ( o sigma X sub i) desde i =1 hasta i = n 37

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Decimos que la anterior expresión representa a una sumatoria y está dada por la siguiente igualdad :

n Σ Xi = X1 + X2 + X3 + …+Xn i=1 Observamos que es igual a la suma del primer dato con el segundo y así sucesivamente hasta enésimo dato. De acuerdo a lo observado podemos decir que : “ La sumatoria es un símbolo que nos indica lo que debemos sumar todo lo que indica a continuación, ya que dentro de las notaciones sistemáticas es considerado como un verbo matemático”. Por ejemplo: 4 Σ Xi = X1 + X2 + X3 + X4 i=1 Si los datos son: X1 =4, X2 =5, X3 =1, X4 = 6 entonces tendremos que: 4 Σ Xi = 4 + 5 + 1 + 6 = 16 i=1

9.1.- NUMERO DE TERMINOS DE UNA SUMATORIA SIMPLE.Considerando los límites inferior y superior se puede 38

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

determinar el número de términos que tendrá el desarrollo de una sumatoria simple finita. Si “a” es límite inferior y “b” es límite superior el número “N” de

términos estará dado por:

N =b - a + 1 relación fácil de comprobar. 9.2.- PROPIEDADES OPERATIVAS DE LA SUMATORIA SIMPLE.De acuerdo con la definición de sumatoria, se pueden deducir muchas propiedades que simplificarán las operaciones con ellas; aquí solo mencionare las más importantes. 9.2.1.- Primera Propiedad.n Σ

i=1 9.2.2.- Segunda Propiedad.n Σ k = kn, donde k es constante. Σ i=1 Demostración: Por definición n 39

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Σ Xi = x1 + x2 + x3 + … + xn i=1

Si hacemos x1 =x2=x3=… =xn = k n

entonces Σ Xi = k + k + k +…+ k = Σ k i=1

i=1

factorizando en k: n Σ K = K(1 + 1 +…+ 1) = K Σ 1 = k.n i=1 por lo tanto: n Σ k = k.n i=1 Ejemplo: 5 Σ 7 = (7)(5) = 35

aquí n=5; k=7

i=1

9.2.3.- Tercera Propiedad.n

Σ k xi = k Σ xi i=1

(k es constante)

i=1 40

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Demostración: n Σ Kxi = kx1 + kx2 + kx3 +…+ kxn i=1 factorizando en k : n = k( x1 + x2 + x3 +…+ xn) = k Σ Xi i=1 Ejemplo: Si X1 = 5 ; X2 = 0 ; X3 = 1 ; X4 = -3 Calcular: 4 Σ 2 Xi i=1 Desarrollando: 4 Σ 2Xi = 2X1 + 2X2 + 2X3 + 2X4 i=1

4 = 2(X1 + X2 + X3 + X4) = 2 Σ Xi i=1

finalmente: 4

Σ 2 Xi = 2 Σ Xi = 6 i=1

i=1 41

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

9.2.4.-Cuarta propiedad.- (Propiedad distributiva) n

Σ (Xi + Yi) = Σ Xi + Σ Yi i=1

i=1

Demostración: n Σ (Xi + Yi) = (X1 + Y1) + (X2 + Y2) + (X3 + Y3)+ … i=1 …+ (Xn + Yn) agrupando los Xi ; Yi, se tiene : = ( X1 + X2 + X3 +…+ Xn) + ( Y1 + Y2 + Y3 +… + Yn) n

Σ (Xi + Yi) = Σ Xi + Σ Yi i=1

i=1

Ejemplo: Dos variables “X” e “Y” están relacionados entre sí como se indica en el cuadro: Xi Yi

1 -3

3 0

-2 1

6 7

Calcular: 42

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Σ (Xi + Yi) = (1-3)+(3+0)+(-2+1)+(6+7) i=1 = - 2 + 3 - 1 + 13 = 13 ó también : 4

Σ Xi + Σ Yi = (1 + 3 - 2 + 6) + (-3 + 0 + 1 + 7) i=1

i=1 = 8 + 5 = 13

9.2.5.- Quinta propiedad.n

n+1

Σ (i + 1) = Σ i i=1

i=2

Demostración : n Σ (i + 1) =(1 + 1) + (2 + 1) + (3 + 1) +…+(n +1) i=1

n Σ ( i + 1) = 2 + 3 + 4 + 5 +…+ (n +1) i=1 n

n+1

Σ (1 + 1) = Σ i i=1

i=2

Ejemplo: Calcular 43

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Σ ( i + 1) = (1 + 1) + (2 + 1) + ( 3 + 1) +(4 + 1) i=1 (5 + 1) + (6 + 1). = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27

por lo tanto: 6

Σ (1 + 1) = Σ i i=1

i=1

9.2.6.- Sexta propiedad.“Dado una suma de n términos, podemos descomponer esta suma en dos o más sumas parciales, iguales en lo total”. n

Σ Xi = Σ Xi + Σ Xi i=1

i=1

si q < n

i=q+1

Demostración: n Σ Xi = X1 + X2 + X3 + … + Xq-1 + Xq + Xq+1 + … + Xn i=1 de esta descomposición se tiene que: q X1 + X2 + X3 + … + Xq-1 + Xq = Σ Xi i=1 44

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Xq+1 + Xq+2 + … + Xn

= Σ Xi i=q+1

por lo tanto: n

Σ Xi = Σ Xi + Σ Xi i=1

i=1

i=q+1

Ejemplo: Si X1 = 2; X2 = 1; X3 = 0;X4 = 4; X5 = 2;X6 = 1; X7 = 3 7 Descomponer en dos sumas la sumatoria: Σ Xi i=1 7

Σ Xi = Σ Xi + Σ Xi i=1

i=1

i=5

= (X1 + X2 + X3 + X4) + ( X5 + X6 + X7)

= (2 + 1 + 0 + 4) + ( 2 + 1 + 3 ) = 7 + 6 = 13 9.2.7.- Sétima propiedad.n

Σ Xi = Σ Xj = Σ Xk = Σ X i=1

j=1

k=1

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

La supresión del índice, índice que la sumatoria incluye la

totalidad de los valores de X . Por ejemplo es el caso de las fórmulas que se emplean en Estadística . La supresión del índice sobre entiende el número de términos que tendrá una sumatoria. Ejemplo: Dos variables “X” e “Y” están relacionados entre sí, como se indica la siguiente tabla: Xi

-5

-8

-3

-8

Calcular: a)

ΣX

b) Σ Y

c) Σ XY

Σ X2

e) Σ Y2

f) (Σ X)(Σ Y)

Σ X Y2

h) Σ ( X + Y)(X - Y)

Es recomendable, para facilitar la solución del ejercicio , presentar los valores de las variables en un cuadro o tabla como el siguiente:

Xi 2 -5 4 -8 -7 ΣX

Yi -3 -8 10 6 5 ΣY

X2i 4 25 16 64 109 ΣX2

XiYi -6 40 40 -48 26 Σ XY

Y2i 9 64 100 36 209 Σ Y2

XiY2i 18 -320 400 -288 -190 Σ XY2

Del cuadro se deduce que: a)

Σ X = -7

Σ XY = 26

b) Σ Y = 5 d) Σ X2 = 109 46

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Σ Y2 = 209

g) Σ XY2 = -190

(Σ X)(Σ Y) = (-7)(5) = -35

h) Σ (X + Y)(X - Y) = Σ (X2 - Y2) = Σ X2 - Σ Y2 = 109 - 209 = -100 Nota: Téngase presente que:

Σ XY ≠ ( Σ X) ( Σ Y)

TITULO IV METODOS ESTADISTICOS EN LA INVESTIGACION ESTADISTICA CAPITULO VII METODO ESTADISTICO.Los métodos estadísticos son un conjunto de procedimientos que se aplican en una secuencia lógica a fin de recolectar, elaborar, analizar e interpretar los datos cuantitativos de fenómenos sujetos a variaciones. INVESTIGACION ESTADISTICA.La investigación estadística por su naturaleza es fundamentalmente de tipo descriptiva; se preocupa de la confiabilidad, valides y significación de los datos, de las muestras, así como de los métodos y técnicas de recolección y análisis 47

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estadístico. Es importante saber distinguir

entre Investigación estadística y la

Estadística como técnica o ciencia auxiliar para la investigación científica, social, educativa, económica, etc. La investigación social, económica o de otro tipo, estudia el fenómeno en su totalidad, dentro de un marco teórico y conceptual, con el propósito de contribuir al conocimiento científico; por ejemplo hay que distinguir entre hecho estadístico y hecho social, económico, educativo, etc. ETAPAS DE UNA INVESTIGACION ESTADISTICA La Investigación Estadística es un proceso donde se distingue cinco etapas: 1.- ETAPA DE PLANEAMIENTO O PREPARACION 2.- ETAPA DE RECOLECCION DE DATOS 3.- ETAPA DE ORGANIZACIÓN Y PRESENTACION DE DATOS 4.- ETAPA DE ANALISIS E INTERPRETACION DE LOS DATOS 5.- ETAPA FORMULACION DE CONCLUSIONES Y PUBLICACION

Veamos en que consiste cada de las etapas que he mencionado anteriormente , para que nuestros estudiantes puedan

realizar un trabajo de

investigación estadística y tengan conocimiento claro de la importancia de las mismas.

1.-ETAPA DE PLANEAMIENTO O PREPARACION.Es la etapa donde se diseña la investigación o estudio. Todo investigador antes de lanzarse a obtener información, debe planearse todas las interrogantes posibles que deberán ser contestadas a medida que avance el trabajo. Comprende las siguientes fases: 48

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Elección o enunciado del problema o justificación del

estudio.-

En esta fase se concibe el estudio y se reflexiona sobre el problema que se va a estudiar. Responde a la pregunta: ¿Qué tema o problema voy a estudiar o investigar? La elección dependerá del grado de conocimiento y de los juicios de valor que tenga el investigador sobre lo que quiere investigar.

b.- Formulación de objetivos.Consiste en señalar detalladamente lo que se pretende investigar. Responde a las preguntas: ¿Para qué? o ¿por qué? se quiere investigar Estas preguntas nos evitan el riesgo de conocer de alguna información

importante y de no efectuar gasto inútil de tiempo y esfuerzo observando y registrando elementos que ya han sido obtenidos o que no interesan. Es decir, una investigación debe planificarse y ejecutarse no para salir de la curiosidad, sino, para encontrar una solución razonable a los problemas. Es preferible formularse varios objetivos sencillos, a tener que formular uno solo de carácter general. c.- Precisión de los datos e información requerida.

Determinación de

la variable.Es necesario, que cuando fijemos los objetivos estos nos sirvan para recoger 49

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información para nuestro trabajo de investigación estadística, y podamos determinar cual va hacer nuestra variable o variables a investigar, porque de nada serviría que nos fijemos objetivos específicos y estamos recogiendo datos que no tienen que nada con lo planteado y mucho menos no sepamos determinar cual va hacer nuestra variable. d.- Identificación de las fuentes de información.Para realizar nuestro trabajo de investigación estadística, es necesario que identifiquemos cuales van hacer nuestras fuentes de información, ya que es muy importante determinar de donde sacaremos o extraeremos los datos, si existen instituciones públicas o privadas que han tratado sobre el tema que estamos investigando. e.- Identificación y análisis de estudios similares.Es necesario identificar cuáles son los estudios que se ha realizado, quiénes lo han realizado dichos estudios y luego analizarlos si estos datos o estudios nos pueden servir para el logro de los objetivos planteados en nuestro trabajo de investigación o que es lo que faltaría complementar y no duplicar esfuerzo, ya que esto nos permitiría ahorrar esfuerzo, tiempo, dinero, recursos

humanos . f.- Determinación de la Población o Universo, del ámbito

investigación.Es necesario determinar la población de la cual se obtendrá la información y a la que se referirán los resultados. Tomando siempre en cuenta los objetivos de la investigación, aquí se va decidir si el estudio debe incluir a toda la población o universo, o debe estudiarse a través de una muestra. Esta fase responde a la pregunta: 50

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¿Dónde se va a efectuar el estudio o investigación? De igual manera se debe determinar:  El ámbito geográfico de nuestro trabajo de

investigación.

 La población, el grupo humano o elementos que serán estudiados, por que es necesario que se tenga en cuenta esto porque se debe conocer a la población desde el punto de vista cultural, social , económica , religiosa y costumbres de la población a investigar para que nuestro trabajo de investigación sea bueno. Así como también determinar las unidades de análisis. Es necesario tener un periodo de análisis del trabajo que se va a realizar. g.- Enumeración de los recursos.Cuando hablemos de la enumeración de los recursos , nos estamos refiriendo a poder hacer un inventario de los recursos humanos, materiales y financieros disponibles para llevar adelante el trabajo de la investigación estadística. Y responde a la pregunta:

¿Con qué recursos contamos para realizar el estudio? Es necesario tener este punto presente, porque llega a presentarse caso que no tenemos el recurso humanos necesario para un trabajo de investigación estadística, y mucho menos no esta capacitado y nos preguntamos ¿En cuánto tiempo lo podremos capacitar?, aún más no contamos con los materiales para realizar este tipo de trabajos de investigación (encuestas , lapiceros, movilidad, etc.), o peor aún no tenemos el recurso financiero para poder hacer este trabajo de investigación, esto sí, hay que tenerlo muy presente, de lo contrario fracasaríamos en un trabajo de investigación estadística. h.- Preparación del plan para ejecutar la investigación.En la preparación del plan para ejecutar la investigación, es necesario tener 51

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en cuenta lo siguiente:

 Fijación de la población, donde se realizará la investigación.  Determinación de los métodos(Método Prospectivo; cuando conocemos la causa del fenómeno que se investigará, y se buscará conocer su efecto. Método Retrospectivo: Que es cuando conocemos su efecto de un fenómeno y buscamos los factores causales ) , técnicas e instrumentos de recolección y análisis de datos.  Método de selección de las muestras.(Muestreo aleatorio simple, muestreo aleatorio sistemático , muestreo aleatorio estratificado, muestreo por conglomerados).  Elaboración de los cuestionarios e instrumentos de recolección de datos.  Preparación del Plan de Tabulaciones y de los cuadros de análisis. i.- Formación y capacitación del equipo de trabajo.Es necesario formar y capacitar el equipo de trabajo con el que vamos a realizar el trabajo de investigación, dándole los conocimientos necesarios, para la solución de los problemas que se pueden encontrar a lo largo del trabajo. j.- Elaboración del calendario de actividades.Necesariamente debemos tener un calendario de

las diversas

actividades y para esto debemos confeccionar un DIAGRAMA DE GANTT, que es el más adecuado que nos permite tener una orientación para el cumplimiento por fechas de nuestro trabajo de investigación. k.- Formulación del Presupuesto y fuentes de financiamiento.Una vez que ya hemos planificado nuestro trabajo de investigación debemos determinar cuánto es el monto que necesitamos para llevarlo adelante y quien o quienes nos pueden financiar dicho trabajo de investigación estadística, que puede ser por parte del Tesoro Público o bien puede ser que 52

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las Empresas Privadas apoyen dicho trabajo de investigación y que para esto suceda debemos presentar nuestro esquema del trabajo que vamos a realizar a fin de que sea aprobado su financiamiento, solos jamás podremos hacer un trabajo de investigación, salvo raras excepciones como se ha podido observar en nuestra realidad. Porque hay que determinar también, cómo se va a procesar la información: lo haremos manualmente, mecánicamente, electrónicamente, etc.

l.- Diseño del Formulario o Cuestionario y Ejecución de una

prueba piloto o

experimental. Cuando tenemos que diseñar el formulario o cuestionario, las preguntas que se incluyan deben ser tendientes a lograr los objetivos planteados anteriormente .

2.- ETAPA DE RECOLECCION O RECOPILACION DE DATOS.Es la etapa en la cual se registra de manera ordenada las observaciones, de cuyo análisis se responderá a las preguntas planteadas durante el planeamiento. Es el momento en la cual el investigador se pone en contacto con los objetos o elementos sometidos a estudio, con el propósito de obtener los datos o respuestas a las variables analizadas. Los métodos de recolección son diversos y dependen de las posibilidades de acceso o contacto con los elementos investigados, del tamaño de la población o muestra y de la oportunidad de obtener datos. El método de recolección está asociado también con el tipo y naturaleza de la fuente de datos. A continuación señalo algunos criterios para seleccionar la técnica de recolección de datos, y podemos considerar:  El tipo de problemas a investigar 53

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 Definición de la unidad de análisis y fuente de datos.  Definición de las variables;

 Definición del Universo o población, tipo y tamaño de la muestra .  Disponibilidad de recursos;  La oportunidad o coyuntura para recoger los datos, etc. Entre las técnicas más frecuentes de recolección de datos se tiene: 1.- LA OBSERVACION : Que consiste en mirar con rigor, en forma sistemática y profunda con el interés de descubrir la importancia de aquello que se observa. Puede ser, directa, indirecta, participante, no participante.

2.- LA ENTREVISTA: Que consiste en establecer una situación de interrelación entre personas, en la cual el “entrevistador” de acuerdo a objetivos pre establecidos solicita que el “entrevistado le proporcione datos o información. 3.- EL CUESTIONARIO: Es un instrumento constituido por un conjunto de preguntas articuladas, que se formulan al encuestado, que para ello se utiliza un “formulario” impreso para registrar las respuestas. 4.- LA ENCUESTA POR MUESTREO: Consiste en elegir una muestra representativa en una población determinada para recopilar datos, la selección de la muestra requiere de técnicas especiales que se analizan en los cursos de Técnicas de muestreo. 2.1.-Formas de recoger información.a)

A través de material ya recogido a veces publicado por personas o entidades públicas o privadas. Ejemplo: 54

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 Boletines, anuarios, revistas, etc.

 Obtener datos de nacimientos, defunciones,, matrimonios, etc. de las Oficinas de Registro Civil de las Municipalidades.  Tomar datos de las historias clínicas de un hospital. b) En forma personal, caso por caso , ya sea a través del tiempo o investigando en un sector de la población en un momento dado. Esta forma nos proporciona datos más confiables y actualizados, pero es más costoso y necesita personal capacitado.

2.2.-Sistemas de recolección.a)

a través de registros.Registro; Es el acto por el cual se toma nota en forma regular y permanente del acontecer de un hecho determinado. Podemos decir que lo que acontece en forma regular y permanente, es el que para ser ciudadano poder tener derecho a voto en caso de elecciones, nosotros tenemos que inscribirnos primeramente a la edad de los 17 años en el Registro del Servicio Militar Obligatorio, y si prestamos dicho servicio, nos otorgan nuestra Libreta Militar, y con esta a su vez teniendo los 18 años podemos ir a la Oficina que otorga la Libreta Electoral, inscribimos y para esto tenemos que dar nuestros datos personales a fin de que se nos otorgue dicho documento que nos acredite que somos mayores de edad y tenemos derecho a votar en cualquier elección sea 55

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Municipal o Presidencial.

Con esto quiero indicar que en las Oficinas como las indicadas existe una recolección de datos en forma directa, y dichas oficinas funcionan constantemente y en forma regular , como también es el caso de la SUNAT, en donde los ciudadanos pueden inscribirse o registrarse, en le Registro Unico de Contribuyente (RUC). b)

A través de encuestas.Encuesta; Es el procedimiento de recolección de datos que consiste en

averiguarlos directamente mediante la interrogación de los individuos que constituyen una población determinada. La encuesta puede ser:  Censal.- Cuando abarca a toda la población en estudio. Ejemplo : El III Censo de Población y Vivienda realizado en el Perú en el año de 1993.  Muestral.- Cuando se abarca sólo una parte de la población en estudio. Por ejemplo: Las encuestas de opinión que se realizan en Lima. Sobre determinados temas. 2.3.- Fuentes de información.Las fuentes de información las constituyen las instituciones, entidades o 56

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personas que proporcionan los datos solicitados ya sea en forma individual o colectiva.

Pueden clasificarse en: a)

Fuente Primaria.- Cuando se obtiene la información deseada de la

misma persona o entidad a través del interrogatorio o del envío del cuestionario. Por ejemplo:  Cuando el médico llena la historia clínica del paciente, después de efectuar el examen.  Cuando el técnico en Contabilidad, hace los asientos contables, de las facturas y/o comprobantes de pago que tiene una determinad Empresa.  Cuando se realiza un estudio de mercado para un determinado producto, se tiene que recolectar datos acerca de aceptación o no de un determinado producto que se quiere producir. b)

Fuente Secundaria.Cuando se acude al archivo de una institución o de una persona para recoger la información deseada. Ejemplo:  Cuando queremos hacer la historia de un Departamento, recurrimos al Archivo Departamental, ya que en el encontramos documentos históricos que nos pueden dar algunas pautas acerca de lo que 57

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queremos hacer.



Cuando queremos ilustrarnos sobre las ventas de un determinado producto recurrimos a los archivos de la Empresa para poder observar como fueron las ventas de ese entonces, esto nos puede dar algunos indicadores, que ser tomados en cuenta o pueden ser superados o corregidos.

3.- ETAPA DE ORGANIZACIÓN Y PRESENTACION DE DATOS Después de la recopilación de los datos, se procede a su organización, clasificación y tabulación, de modo que se facilite su presentación en tablas, cuadros o gráficos. Como tarea previa a la organización, es indispensable realizar una evaluación, crítica, corrección y ajuste de los datos, el propósito de esto es el superar las omisiones, inconsistencias y desechar las propuestas las propuestas no significativas o erróneas . Téngase presente que la validez de sus resultados y conclusiones dependen en gran medida de la fidelidad de los datos utilizados. No existen computadoras que por sí corrijan los errores de recopilación. Realizada las correcciones o ajustes, se procede a la CLASIFICACION o establecimiento de categorías o intervalos, para realizar la agrupación de los datos. Finalmente se procede a la TABULACION o procesamiento de los datos, de acuerdo a un Plan de TABULACIONES, previamente definido. Los cuadros y tablas estadísticas como primera fase de la REDUCCION DE DATOS, facilita el cálculo de los indicadores ( porcentajes, promedios, proporciones, índices, tasas, etc.) con los cuales se inicia la descripción, análisis e interpretación 58

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de los datos, variables e información estadística.

Pero revisemos un poco más acerca de las fases de esta importantísima etapa , como es la ELABORACION DE LOS DATOS. Las fases son las siguientes:

REVISION O CRITICA.Consiste en verificar que los cuestionarios utilizados en la recolección de

datos, hayan sido llenados en forma completa y correcta de acuerdo a las instrucciones ,para determinar si las respuestas son coherentes y completas. Por ejemplo existen casos en las que las personas no han contestado todas las preguntas y otras que han falseado sus respuestas, por eso que en un cuestionario debe existir preguntar de comprobación, y así estaremos verificando sus respuestas. Por eso es importante esta fase de Revisión o Crítica.

CLASIFICACION DE DATOS.Consiste en organizar los datos en categorías, tomando en cuenta el nivel de medición de los datos. b.1. Clasificación de los datos medidos a nivel nominal u ordinal.En este caso no existe mayor problema para organizar los datos, puesto que la variable es el objeto de clasificación. Ejemplo: 59

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Cuando se quiere clasificar a un grupo de elementos (personas) d

acuerdo a su estado civil, provincia de residencia, enfermedad que padece, profesión que tiene, tipo de producto que se vende, etc. las escalas correspondientes se presentarán de la siguiente forma:

ESTADO CIVIL

FRECUENCIA O CANTIDAD

TOTAL

Soltero Casado Viudo Divorciado Conviviente TOTAL • O también puede darse el caso siguiente: PROVINCIA DE

FRECUENCIA O CANTIDAD

RESIDENCIA

TOTAL

Mariscal Nieto Ilo General Sánchez Cerro TOTAL b.2.- Clasificación de datos medidos a nivel de intervalo o de razón.En este caso los datos han sido medidos y por lo tanto la forma de organizarlos

conoce

con

nombre

DISTRIBUCION

FRECUENCIAS. 60

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Al observar los datos numéricos provenientes de la medición de una

característica cualquiera, salta a la vista la variabilidad de estos datos y

también el desorden en que se encuentran. Como no es posible sacar ninguna conclusión con los datos presentados de esta forma, es conveniente organizarlos en una distribución de frecuencias de manera que permita destacar los hechos más importantes y facilite los cálculos posteriores. Para poder realizar algunas definiciones es conveniente que se trabaje con algunos datos, y a manera de ilustración puedo presentar, la siguiente recolección de datos. Ejemplo:Se ha podido recolectar la medición de la talla en centímetros de 20 niños de 8 años de edad, tomados en la ciudad de Moquegua. 142 130 125 129 118 125 131 129 124 131 126 109 121 118 115 128 137 108 125 126 Teniendo los datos recolectados, debemos considerar los siguientes pasos: Primer paso.- Debemos ordenar los datos de menor a mayor 108 118 125 128 131 109 121 125 129 131 61

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115 124 126 129 137 118 125 126 130 142

Como podemos ver los datos están ya ordenados de menor a mayor pero también podemos ordenarlos de mayor a menor, pero es mas fácil y recomendable que se trabaje con los datos ordenados de menor a mayor. Cálculo del Rango: Segundo paso.- Ordenados los datos de menor a mayor, procedemos a observar estos y determinaremos cuál es el dato mayor (M) y cuál es el dato menor(m). R=M-m Determinación del número de clases (nc) Tercer paso.- Determinado el dato mayor (M) ó valor máximo y el dato menor(m) ó valor mínimo , luego procedemos a encontrar el RANGO ( R ). RANGO.- Es la diferencia que existe entre el dato mayor ó valor máximo y el dato menor ó valor mínimo, esto cuando los datos no están agrupados en intervalos de clase, porque cuando estos están agrupados ya en intervalos de clase, el RANGO,

sería la diferencia que existe entre el dato del Límite Superior de la última clase y el dato del Límite Inferior de la Primera Clase. Veamos. R=M-m R = 142 - 108 62

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R = 34

Determinación del número de clases: Cuarto paso.- Encontrado el Rango, procedemos a determinar el Número de clases (nc),o sea cuantas clases vamos a tener de acuerdo a los datos que estamos analizando. Clase: Es cada categoría en el que va a dividir la información. Y para esto utilizamos la siguiente fórmula. nc = 1 + 3.3 log. n Donde : n = número total de datos disponibles. Para nuestro ejemplo : n = 20 nc = 1 + 3.3 log 20 nc = 1 + 3.3 (1.30103) nc = 1 + 4.29 nc = 5.29

nc = 5 ( siempre debemos redondear a entero). Pero debemos aplicar las reglas o normas de redondeo ya estudiadas anteriormente. Entonces como son 5 clases que debemos tener, sería de la siguiente manera: ETAPA DE PRESENTACIÓN DE DATOS: FORMA TABULAR CONCEPTO DE TABLA ESTADÍSTICA: 63

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Es la presentación ordenada en filas y columnas de datos estadísticos

obtenidos a través de una observación o experimentación, mediante un cuadro o TABLA ESTADÍSTICA.

La presentación tabular es muy importante porque permite presentar la información de una forma adecuada; es más exacta y muestra mayor detalle que la presentación gráfica. PARTES DE UNA TABLA ESTADÍSTICA a) TITULO: Es aquel que expresa en forma clara y concisa la información que contiene. Debe ser breve, concreto y completo. Se coloca en la parte superior de la tabla. b) ENCABEZADO:

Está constituido por la primera fila superior e indica las

características del fenómeno que se está estudiando. c) COLUMNA MATRIZ: Está formada por la primera columna de la izquierda e indica también las características del fenómeno que se analiza. d) CUERPO: Viene a ser el contenido de la tabla, es decir, la información dada a través de las filas y columnas. e) FUENTE: nos indica el lugar de donde se han obtenido los datos, y

colocado en la parte inferior de la tabla.

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Ejemplo: CUADRO Nº INSTITUTO PERUANO DE SEGURIDAD SOCIAL PACIENTES ATENDIDOS POR ESTADO CIVIL, SEGÚN NIVEL ECONOMICO –LIMA-2004

ESTADO

NIVEL ECONOMICO

TOTAL

CIVIL ALTO

MEDIANO BAJO

SOLTERO CASADO VIUDO DIVORCIADO CONVIVIENTE TOTAL Fuente: Instituto Peruano de Seguridad Social, Dirección de Estadística. Tal como se dijo en la etapa de Planeamiento, es importante que Ud. tenga en cuenta lo siguiente: Las tablas estadísticas deben prepararse por anticipado antes de empezar la ejecución de la investigación, tomando como base el Plan de tabulaciones, de tal manera que refleje la forma de presentación de la información estadística que se busca. Servirá además, como referencia para el diseño de los cuestionarios que se usarán en la recolección de datos

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Se sobre entiende que el cuerpo de la tabla será llenado luego de la

investigación y con los datos recolectados. TIPOS DE TABLAS ESTADÍSTICAS A) DE ACUERDO AL USO: a) Tabla General o de referencia: Son aquellas que nos dan información detallada y son frecuentemente muy extensas. Su finalidad es presentar los datos de tal forma que el usuario puede encontrar fácilmente la información de su interés. Son utilizadas como fuente de información , sin arreglo previo de los datos. b) De texto o resumen: Son aquellas de tamaño reducido y hacen resaltar uno o varios datos estrechamente relacionados. Se preparan tomando como base la tabla general o de referencia eliminando la información que tiene poca importancia para los fines del estudio, y agrupando adecuadamente los datos. DESDE EL PUNTO DE VISTA DE SU DISPOSICIÓN c) Tablas de una sola entrada o entrada simple: Son aquellas que exponen un solo análisis, es decir, se ordena una serie de datos que tienen la misma característica o corresponden a una sola variable d) Tabla de dos entradas o entrada doble: Son aquellas que exponen dos análisis o presentan dos variables, donde una de ellas se distribuye en forma vertical y la otra en forma horizontal. e) Tablas complejas: Son aquellas que realizan una presentación simultánea de varias características o variables. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Un grupo de 2,000 pacientes ingresaron internos al Hospital del MINSA de Moquegua en el año 2004. Al averiguar sobre sus antecedentes de 66

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enfermedades anteriores, se obtuvo lo siguiente: Tifoidea: 200; enfermedades venéreas : 800, tuberculosis: 110, enfermedades gastroinstestinales: 180, pulmonía 300, enfermedades cardiovasculares: 260,; otros 150. Se pide: a) Tabular la información proporcionada b) ¿Qué tipo de escala de medición le corresponde a la variable establecida? 2.

El Ministerio de Salud, presenta la información de tres hospitales sobre el número de atenciones de mujeres en edad fértil de 15 a 49 años durante el mes de agosto del 2003, por condición de fertilidad. HOSPITAL LOAYZA: Embarazadas

Lactando

Mestruando

219

Amenorrea

No inician mestruación

HOSPITAL DOS DE MAYO: Embarazadas

Lactando

Mestruando

446

Amenorrea

No inician mestruación

HOSPITAL SANTA ROSA: Embarazadas

Lactando

Mestruando

300

Amenorrea

No inician mestruación

Se pide: a) Elaborar una tabla estadística para representar el número de atenciones del Hospital Loayza. 67

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b) Elaborar una tabla estadística para representar el número de atenciones del Hospital Loayza y Dos de mayo. c) Elaborar una tabla estadística para representar el número de atenciones de los tres Hospitales.

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TITULO V ETAPA DE PRESENTACIÓN DE DATOS: FORMA GRAFICA CAPITULO VIII GRAFICOS ESTADÍSTICOS CONCEPTO DE GRAFICO ESTADÍSTICO: Es la presentación en dibujo de las diversas relaciones entre variables, ofreciendo una visión panorámica y rápida del problema; ahorrando tiempo y esfuerzo en el análisis de los cuadros estadísticos. Los gráficos son muy importantes porque: a)

Constituyen un elemento básico en el análisis y presentación de trabajos estadísticos, ya que permite un análisis visual que es, en muchos casos, la primera etapa de un análisis.

A través de ellos se puede apreciar en forma instantánea el conjunto de datos o relaciones, materia de estudio.

Permite formar un juicio sobre la tendencia en el futuro de un fenómeno.

Debe tener en cuenta Ud. que: Para construir un gráfico es necesario contar de antemano con un cuadro o tabla estadística, que nos servirá de referencia.

PARTES DE UN GRAFICO ESTADÍSTICO a) TITULO : Generalmente es igual o parecido al título de la tabla estadística que sirvió de referencia. b) ESCALAS: Son equivalentes a la columna matriz o al encabezado de la tabla estadística. Una va en forma horizontal y la otra en forma vertical. c) EL CUERPO: Es equivalente al contenido de la tabla estadística. d) FUENTE: Se coloca la referencia del cuadro de donde se tomaron los datos para el gráfico correspondiente.

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TIPOS DE GRAFICOS ESTADÍSTICOS Existen varios tipos de gráficos; su elección depende de la naturaleza de los datos y del propósito para el cual se construye. Los gráficos comúnmente usados son: A.- SI LOS DATOS SON MEDIDOS A NIVEL NOMINAL U ORDINAL: a) GRAFICO DE BARRAS SIMPLE: Se usa cuando el número de clases en que se divide la variable es de 4 ó más. Para su construcción se debe tener en cuenta lo siguiente:  Todas las barras deben tener el mismo ancho  Las barras deben estar proporcionalmente espaciadas. Es de gran ayuda la siguiente fórmula: d= L 3Nc d= Distancia entre barra y barra L= Longitud total disponible para trazar las barras Nc= Número de clases o características en que se divide la variable.

 Habitualmente colocar en orden decreciente de magnitud. En casos especiales se debe ordenar por orden alfabético, cronológico, etc. Son útiles para comparar magnitudes, mostrar variaciones en sus partes componentes ya sea en forma de frecuencias absolutas o relativas. b) GRAFICO DE BARRAS COMPUESTAS: Usado generalmente cuando una variable es común a dos o más distribuciones de frecuencias. Su construcción es similar al gráfico de barras simple, debiendo estar las barras siempre proporcionalmente espaciadas. 70

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c) GRÁFICO DE BARRAS SUPERPUESTAS: Se utiliza para representar los datos de un cuadro que presenta distribución simple. Su construcción es igual que el de las barras simples, con la diferencia que en este caso cada barra esta dada o referida sobre el total o sobre el 100%, pero dividida en tantas partes como sub clases tenga cada categoría de la variable. d) GRAFICO CIRCULAR O DE SECTORES Posee los mismos campos de aplicación que el gráfico de barras, pero en representación gráfica se efectúa generalmente en términos de porcentaje y calculados en grados de circunferencia; se usa generalmente cuando el número de clases es menor de seis, y para comparar tamaños o las diferentes partes de un fenómeno con el fenómeno total. Dicha comparación se hace m3diante sectores de un círculo. Los grados correspondientes a sus respectivos porcentajes, se calcula de la siguiente forma:

G1 = (i)% x 360 100 Donde: G1 = grado correspondiente a una determina clase (i)

% = Porcentaje correspondiente a dicha clase.

Una vez que se hayan obtenido los valores (grados), se grafican mediante un transportador.

e) GRAFICOS O DIAGRAMAS PICTOGRAFICOS Consiste en la utilización de figuras representativas que atrae la atención de las personas. 71

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Estos gráficos comparan cantidades aproximadas y solamente deben usarse para hacer comparaciones y no afirmaciones aisladas. B. SI LOS DATOS SON MEDIDOS A NIVEL DE INTERVALO O PROPORCION. a) HISTOGRAMAS: Sirve para representar una distribución de frecuencias, de datos cuantitativos. Consiste en un grupo de rectángulos adyacentes que tienen sus bases sobre el eje de la “X” e igual a la amplitud de los intervalos de clase, con los centros en las marcas de clase y con altura igual a las frecuencias de clase. b) POLÍGONO DE FRECUENCIA Es un gráfico lineal trazado sobre las marcas de clase ( Xc). Se obtienen uniendo los puntos medios de las rectángulos en el Histograma.

partes superiores de los

c) GRAFICO LINEAL O DE TENDENCIA Se usa para representar una distribución de frecuencias dada en el tiempo ( días, semanas, meses, años, etc.) Pueden incluir hasta tres hechos o situaciones, razón por la cual pueden ser simples o compuestos. d) OJIVA: Sirve para representar cantidades o frecuencias acumuladas, las cuales se grafican mediante puntos al final de cada periodo y luego se unen por medio de rectas formando una curva ascendente. Son de dos tipos: -

“OJIVA MENOR QUE”

“OJIVA O MAS”

Es de gran uso en el campo de la salud para controlar el avance de los programas.

EJERCICIO La Gerencia de una gran Empresa de construcción y renta especializada en dondominios vacacionales en el Área de Miraflores y la Molina, desea los lineamientos disponibles en lo que se refiere a rentas mensuales para enviarlos a posibles vacacionistas. Como primar paso, seleccionó una muestra de 120 ofertas de arrendamiento. Estas se muestran en la tabla que sigue. Por lo general a tales cifras se les denomina DATOS ORIGINALES ( sin procesar). Es posible localizar las 72

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rentas mensuales más baja y más alta, pero eso es casi todo lo que se puede obtener de tal conjunto desorganizado de datos “En bruto” . ¿Cómo pueden reorganizarse las rentas para describir mejor la información?. RENTAS MENSUALES (EN DOLARES) DE CONDOMINIOS 1 170 1 207 1 561 1 277 1 305 1 472 1 077 1 319 1 537 1 849 1 332 1 418 1 949 1 403 1 744 1 532 1 219 1 471 1 399 1 041 1 379

896 1 500 1 671

821 1 558 1 118 1 533 1 510 1 760

1 826 1 309 1 426 1 288 1 394 1 545 1 032 1 289 1 440 1 421 1 329 1 407

695

803

718 1 457 1 449 1 455 2 051 1 677

1 119 1 020 1 400 1 442 1 593 1 962 1 263 1 788 1 501 1 668 1 352 1 340 1 459 1 823 1 451 1 138 1 592

982 1 981 1 091

1 428 1 603 1 699 1 237 1 325 1 590 1 142 1 425 1 550 1 470 1 783 1 618 1 431 1 557 1 249 1 419

913

896 1 662 1 591 1 551 1 612

2 162 1 373 1 542 1 631 1 567 1 221 1 972 1 714

949 1 539 1 634 1 637 1 649 1 607 1 640 1 739 1 540 1 752 1 648 1 978

640 1 736 1 222 1 790 1 188

2 187

2 091 1 829

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Los siguientes datos corresponden al número de consultas que atienden diariamente 30 médicos del Hospital de Moquegua. 20 16 12 18 05

25 12 10 14 08

26 15 18 12 16

06 12 16 16 12

05 09 18 19 21

22 16 14 13 19

Sírvase resolver lo siguiente: a) Agrupar los datos en una tabla de frecuencias b) Indique Ud. cuál es el límite real inferior de la 4ta clase? ........................... c) Indique Ud. cuál es el límite inferior de la 5ta clase? .................................... d) Indique cuál es el intervalo que presenta la mayor frecuencia? ...................... e) El mayor número de médicos cuántas consultas promedio atienden? ............ y que porcentaje le corresponde?................. f) Cuántos médicos atienden entre 5 y 20 consultas?.................. y que porcentaje le corresponde?................. g) Indique el límite inferior de la 3era clase. ...................... h) El promedio de consultas de la 4ta clases es : ................. i) Indique cuál es el promedio de consultas que le corresponde la mayor frecuencia? ............. j) Cuántos médicos atienden entre 13 y 20 consultas? ..................... e indique su porcentaje correspondiente ......................... Por favor no consulte con sus compañeros, concéntrese y Ud. saldrá favorecida en el resultado de su evaluación .

PRUEBA DE BIOESTADÍSTICA 30 MINUTOS NOMBRE Y APELLIDOS:................................................................................................... FILA “B” CARRERA PROFESIONAL:...................................................................... Los siguientes datos corresponden al peso de 55 pacientes que son atendidos en ESSALUD. 74

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

46 47 52 54 56

57 57 58 58 59

60 61 63 63 64

65 66 67 67 67

67 67 68 68 69

69 70 76 70 70

72 72 76 73 73

74 76 76 77 77

77 79 80 82 84

85 86 88 93 94

Sírvase resolver lo siguiente: a) Agrupar los datos en una tabla de frecuencias b) Indique Ud. cuál es el límite real inferior de la 4ta clase? ........................... c) Indique Ud. cuál es el límite inferior de la 5ta clase? .................................... d) Indique cuál es el intervalo que presenta la mayor frecuencia? ...................... e) El mayor número de pacientes cuanto pesan en promedio ? ............ y que porcentaje le corresponde?................. f) Cuántos pacientes pesan entre 46 y 59 kg ?.................. y que porcentaje le corresponde?................. g) Indique el límite inferior de la 3era clase. ...................... h) El promedio de peso de la 4ta clases es : ................. i) Indique cuál es el promedio de peso que le corresponde la mayor frecuencia? ............. j) Cuántos pacientes pesan entre 60 y 73 kg? ..................... e indique su porcentaje correspondiente ......................... Por favor no consulte con sus compañeros, concéntrese y Ud. saldrá favorecida en el resultado de su evaluación .

PRUEBA DE BIOESTADÍSTICA 30 MINUTOS NOMBRE Y APELLIDOS:................................................................................................... FILA “A” CARRERA PROFESIONAL:.............................................................. Los siguientes datos corresponden al número de consultas que atienden diariamente 50 médicos del Hospital de Moquegua. 75

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

60 47 65 68 67

58 62 56 48 60

48 46 60 65 58

45 49 70 68 65

50 53 62 49 61

63 60 63 48 63

66 63 58 67 64

48 60 59 46 70

66 47 55 58 60

62 49 53 62 64

Sírvase resolver lo siguiente: a) Encontrar el Rango b) El número de clases c) El intervalo de clases d) Agrupar los datos en una tabla de frecuencias e) Encontrar las frecuencias absolutas; Frecuencias acumuladas. f) Encontrar las frecuencias relativas ; la frecuencias relativas acumuladas. g) Encontrar las frecuencias relativas porcentuales,; frecuencias relativas porcentuales acumuladas. 1. Indique Ud. cuál es el límite real inferior de la 4ta clase? ........................... 2. Indique Ud. cuál es el límite inferior de la 5ta clase? .................................... 3. Indique cuál es el intervalo que presenta la mayor frecuencia? ...................... 4. El mayor número de médicos cuántas consultas promedio atienden? ............ y que porcentaje le corresponde?................. 5. Cuántos médicos atienden entre ..... y ...... consultas?.................. y que porcentaje le corresponde?................. 6. Indique el límite inferior de la 3era clase. ...................... 7. El promedio de consultas de la 2ta clases es : ................. 8. Indique cuál es el promedio de consultas que le corresponde la mayor frecuencia? ............. 9. Cuántos médicos atienden entre ..... y ....... consultas? ..................... e indique su porcentaje correspondiente ......................... 10. ¿Cuántos médicos atienden entre 53 y 64 consultas? .............. y qué porcentaje le corresponde?....................

PRUEBA DE ESTADÍSTICA I NOMBRE Y APELLIDOS DEL ALUMNO:............................................................................ CARRERA PROFESIONAL:.................................................................................................... FILA “A” 1. El gerente Regional de una compañía está considerando varias promociones para lograr que los compradores en tiendas de abarrotes acudan con más frecuencia a las tiendas. Una idea es que al cliente que gaste por lo menos $10 (dólares) se le obsequie con una barra de jabón de tocador la primera vez que efectúe una compra durante el mes. La segunda, el cliente 76

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

puede elegir cualquier caja de cereal de 371 gramos, y así sucesivamente. Para examinar más la idea, el Gerente realizó una encuesta a 50 clientes con esta pregunta : ¿Cuántas veces ha realizado compras en esta empresa durante los últimos 30 días? El número de visitas fue: 5 3 3 1 4 4 5 6 4 2 6 6 6 7 1 14 1 2 4 4 4 5 6 3 5 3 4 5 6 8 4 7 6 5 9 11 3 12 4 7 6 5 15 1 10 1 8 9 2 12 a) Analice la distribución de frecuencias b) Sugiera las acciones que debería considerar el Gerente de Ventas. 2. Moore Travel, una agencia de viajes, ofrece precios especiales en ciertas travésías1as por el Caribe. Planea ofrecer varios de estos viajes durante la próxima temporada invernal y desea enviar folletos a posibles clientes. A fin de obtener el mayor provecho por cada dólar gastado en publicidad, necesita la distribución de las edades de los pasajeros de travesías anteriores. Se consideró que si participaban pocas personas de un grupo de edad en los paseos no sería económico enviar un gran número de folletos a personas de ese grupo de edad. La agencia seleccionó una muestra de 40 clientes anteriores de sus archivos y registró sus edades: 77 18 63 84 38 54 50 59 54 56 36 26 50 34 44 41 58 58 53 51 62 43 52 53 63 62 62 65 61 52 60 60 45 66 83 71 63 58 61 71 a) ¿ Cuál sería el mejor intervalo de clases? b) Saque conclusiones que puedan a la agencia a planear una compañía de publicidad para los paseos invernales.

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

SEPARATA DE

ESTADÍSTICA BASICA

AUTOR: Eco. GERMAN GERÓNIMO REVILLA DELGADO

Moquegua, enero 2009

III UNIDAD FORMATIVA PROBABILIDADES CONCEPTO DE PROBABILIDAD 79

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Es una disciplina abstracta que se usa como modelo para hacer deducciones relativos a eventos que posiblemente pueden ocurrir Por lo tanto la probabilidad nos proporciona la base para construir medidas exactas de incertidumbre. Para su estudio, es necesario conocer los siguientes conceptos: EXPERIMENTO ALEATORIO Es un proceso de observación en el que queda un margen de duda en la determinación del resultado exacto del mismo Ejemplos: 1) Sea el experimento: Dejar libre una piedra en el aire. RESULTADO: Se conoce, antes de realizar el experimento: “caerá por acción de la gravedad” Como el resultado se conoce de antemano, este experimento no es aleatorio. 2) Sea el experimento: “Operación al corazón de un paciente” RESULTADO: Antes de la operación, el resultado no se conoce con exactitud ( no sabemos si la operación será un éxito o fracaso). Por lo tanto el experimento es aleatorio. ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio Ejemplos: 3) Sea el experimento aleatorio: “resultados de un partido de fútbol entre el equipo A y B”. ESPACIO MUESTRAL = { gane A, empaten, pierda A} SUCESO O EVENTO Es la ocurrencia entre varios posibles resultados de un experimento. Se define también como un subconjunto del espacio muestral. Ejemplo. Sea el experimento: Selección de pacientes con diversos tipos de retardo mental” 80

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

ESPACIO MUESTRAL = { R.M.L, RM.M., R.M.A} R.M.L.= Retardo Mental leve R.M.M. = Retardo mental Moderado R,M.A. = Retardo mental Alto Um evento o suceso sería : “Pacientes com retardo mental lento” Outro evento o suceso sería : “Pacientes com retardo mental alto” Los eventos pueden ser: a) Evento seguro o suceso universal: Significa que dicho evento ocurre. Ejemplo: Sea el experimento: “Selección de pacientes con tuberculosis” de una población donde todos padecen el mismo mal. El evento es seguro o universal, puesto que de todas maneras se seleccionará un paciente con tuberculosis. b) Evento imposible. Significa que dicho evento NO PUEDE OCURRIR Ejemplo: Sea el experimento: “selección de pacientes con tuberculosis, de un pabellón donde todos padecen de enfermedades del corazón” El evento es imposible, puesto que no será posible seleccionar un paciente tuberculoso.

c) Evento elemental o suceso sencillo Es aquel que tiene como único elemento el resultado individual de un experimento aleatorio. Ejemplo: Sea el experimento aleatorio: “selección de pacientes con tuberculosis, de un pabellón donde existe un solo paciente internado de dicha enfermedad” 81

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

En este caso el suceso o evento es UNICO d) Evento complementario o suceso contrario _ Determinado por A, es el suceso que nos indica que el evento A no ocurre. Ejemplo: Sea el experimento: “Resultado del lanzamiento de una moneda al aire”. ESPACIO MUESTRAL = { cara, sello} Sea los eventos A = Cara B = Sello _ Luego: A = no cara; es decir, el evento complementario de A ( que ocurra _ cara), es A ( que no ocurra cara).

e) Eventos Mutuamente Excluyentes. Dos eventos son mutuamente excluyentes, si la ocurrencia de uno de ellos, anula la ocurrencia de los demás. Ejemplo: En el ejemplo anterior contiene dos eventos mutuamente excluyentes: A = Cara B = Sello Decimos entonces, que A y B son eventos mutuamente excluyentes, ya que como resultado del lanzamiento de una moneda, no se puede tener cara y sello al mismo tiempo. f) Eventos Independiente: Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de uno de ellos, no influye sobre la ocurrencia del otro. Ejemplo: Sean los eventos: A = Primer paciente con TBC, recuperado del Hospital Loayza. B = Segundo paciente con TBC, recuperado del Hospital Laoyza. Entonces, A y B son eventos independientes, porque el hecho de que el evento A ocurra, no va a inferir para que el evento B ocurra.

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

PROBABILIDAD EN EVENTOS SIMPLES: PROBABILIDAD CLASICA La probabilidad de un evento A, se calcula de la siguiente manera:

P (A) = CASOS FAVORABLES CASOS POSIBLES Los casos favorables se refieren al número de veces que el evento solicitado se presenta. Los casos posibles se refieren al total de elementos de la muestra Ejemplo: De una sala de 20 pacientes, se sabe que 5 de ellos tienen enfermedad leve. Si se selecciona un paciente al azar, ¿Cuál es la probabilidad de elegir un paciente con enfermedad leve?. SOLUCION: Sea el evento A

= paciente con enfermedad leve

Casos favorables Casos posibles

=5 = 20

Luego:

= 5 20

P(A)

= 0.25

= 25%

RESPUESTA: La probabilidad de elegir un paciente con enfermedad leve, es del 25%.

La suma de probabilidades se calcula a través de : P ( A u B)

= p(A) + p (B) – p ( A

DONDE: U

= Símbolo de la unión en teoría de con juntos y significa suma de probabilidades.

P(A U B) = Probabilidad de que ocurra A ó B 83

P(A)

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

P(B) P( A

Probabilidad de que ocurra el primer evento.

Probabilidad de que ocurra el segundo evento

B ) = Probabilidad de que ocurra simultáneamente A y B

NUMEROS INDICES El número índice es un relativo porcentual, por medio del cual se expresa una

medición en un periodo dado como una relación a la medición en un periodo base designado.

Las mediciones pueden relacionarse con cantidad, precio o valor. Cuando el número índice representa una comparación para un producto o artículo

individual es un número índice simple.

Por el contrario cuando el número índice ha sido construido para un grupo de

artículos o productos, es un número índice agregado o compuesto.

CONCEPTO DE NUMERO INDICE SEGUN SPIEGEL.Un número índice es una medida estadística diseñada para mostrar los cambios en

una variable o a un grupo de variables relacionadas con respecto al tiempo, situación geográfica u otra característica como la renta, profesión, etc.

Una colección de números índices para diferentes años , situaciones, etc, se llama

a veces SERIE INDICE.

APLICACIONES DE LOS NUMEROS INDICES: 84

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Con los números índices se puede por ejemplo comparar el costo de los alimentos

o de otros productos o de los costos de vida en una ciudad durante un año, con los costos del año anterior, o se puede comparar la producción de acero durante un año de una determinada parte del continente con la habida en Europa.

Aunque su principal aplicación es la Economía o negocios el número índice puede

aplicarse a otros campos, como por ejemplo los números índices para comparar la inteligencia de diferentes estudiantes.

Hay muchos departamentos gubernamentales encargados del cálculo de los

números índices, obteniéndose así índice de salarios, índice de producción, índice de desempleo, índice de costo de vida, o índice de precios de consumo. CONSTRUCCION DE INDICES SIMPLES. Uno de los ejemplos más sencillo de un número índice, es un precio RELATIVO,

que es la razón de un precio de un bien determinado en un PERIODO DADO, a su precio de otro periodo llamado PERIODO BASE o periodo de referencia.

La fórmula general para el INDICE SIMPLE es:

I =

Donde: Pn = Precio del bien en el periodo considerado P0 = Precio del bien en el periodo base.

Generalmente se expresa como porcentaje multiplicado por 100.

Si llamamos “Pa” y “Pb” a los precios de los periodos considerados, el precio

relativo del periodo “b” con respecto al periodo “a” se define como:

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Pb/a = Pb

EJEMPLO:

esta notación es de gran utilidad.

Supóngase que los precios de consumo da un litro de leche en los años 1975, y 1980 fueron de S/.20.00 nuevos soles y S/.150.00 nuevos soles respectivamente y tomando como base el año de 1975 y como año dado el año 1980 se tiene. P1980/1975 = Precio en 1980 = 150 nuevos soles = 7.5 Precio en 1975

20 nuevos soles

Que multiplicado por 100 dá 750% por ciento, es decir que en el año 1980 la leche aumentó en un 650%.

Hay que hacer notar que cuando se toma un precio con respecto al mismo

periodo, siempre es el resultado igual a 1 que multiplicado por 100 da 100%.

Así mismo, donde se indica qn la cantidad d un artículo producido o vendido en el

periodo dado y q0 indica la cantidad en el periodo base, la fórmula para el INDICE SIMPLE DE CANTIDAD o cantidad relativa, es: Iq

= Qn

Finalmente, el valor de un artículo en un periodo designado es igual al precio del

artículo multiplicado por la cantidad producida o vendida. Por lo tanto P n Qn indica el valor del artículo en el periodo dado y P 0Q0 indica el valor del artículo en el periodo base. La fórmula general para un INDICE DE VALOR SIMPLE o RELATIVO es:

Iv = PnQn P0Q0

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

EJEMPLO:

Sea que los precios de un artículo en el año de 1981 costo S/230.00 nuevos soles y la cantidad de consumo per-cápita es de S/ 25.00 nuevos soles, el año de 1978 el costo del artículo costaba S/.150.00 nuevos soles y su consumo per-cápita es de

S/.18.00 nuevos soles. Calcular el INDICE SIMPLE DE CANTIDAD, y EL INICE SIMPLE DE VALOR RELATIVO, tomando como base

el año de 1978.

A) Iq/19811978 = Qn = 25 = 1.39 ó 139% Q0

B) Iv 1981/1978

= Pn Qn = (230) (25) P0Q0

(150)(18)

= 2.13 ó 213%

PRECIO INDICE MEDIANTE LA SUMA: En este índice de precios se expresa el total de los precios de bienes en el año dado como porcentaje del total de los precios de bienes en el año base en símbolos se tiene:

I p = Σ Pn Σ P0

En donde : P0 = Suma de todos los precios de los índices en el año base

Pn = Suma de los precios de bienes correspondientes al año dado. Los resultados se expresan en porcentajes como son los números índices en general. INCONVENIENTES: 87

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

1) No tiene en cuenta la importancia relativa de los diferentes bienes, así con este

método igual peso e importancia tiene la leche, que la crema de afeitar, en el cálculo del costo de vida.

2) Las unidades utilizadas tales como galones, fanegas, libras, etc. afectan al valor del índice.

VENTAJA:

Es un método fácil de aplicar. PROPIEDADES DE LOS PRECIOS RELATIVOS Si denotamos Pa, Pb, y Pc. Los precios de los periodos a, b y c respectivamente, existen las siguientes propiedades para los precios relativos: a) PROPIEDAD DE IDENTIDAD: P a / Pa = 1

Esta propiedad simplemente declara que el precio relativo para un periodo con respecto así mismo es de 1 ó del 100% b) PROPIEDAD DEL TIEMPO INVERSO P a / P b . Pb / P a

= 1

Esta propiedad nos dice

ó Pa/ b =

Pb / a

que cuando dos periodos se intercambian sus

correspondientes precios relativos son recíprocos entre sí. c) PROPIEDAD CICLICA O CIRCULAR Pa / b . Pb / c . P c / a = 1

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

PROMEDIO SIMPLE DE PRECIOS RELATIVOS: En este método existen varias posibilidades dependiendo del procedimiento para promediar los precios relativos, tal como la media aritmética, media geométrica, media armónica, mediana, etc. , por ejemplo usando la media aritmética se tendrá: I = Pn / P0 N

Donde:

Pn / Po = Suma de todos los precios relativos de bienes. N

= Número de precios relativos de bienes empleados

Este método no presenta el inconveniente del método de la suma, pero presenta el primer inconveniente.

INDICE DE PRECIOS AGREGADOS Para salvar los inconvenientes del método de agregación simple, se dá un peso al

precio de cada bien mediante un factor adecuado, tomando a menudo como la cantidad o volumen del bien vendido durante el año BASE, el año DADO o algún año típico ( que puede ser la media de varios años) tales pesos indican la

importancia de cada bien particular. Aparecen así tres fórmulas, según utilicen las

cantidades del año BASE, el año DADO o un año tipo, que se denotan: q o , qn , y qt respectivamente.

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

•

INDICE DE LASPEYRES.- o método de año BASE.

I (L) = Σ Pn Qo ΣP o Q o

•

INDICE DE PAASCHE.-o método del año DADO. I (P) = ΣPnQn

Σ PoQ n

•

INDICE POR EL METODO DEL AÑO TIPICO I (T) = ΣPnQt Σ PoQ t

INDICE IDEAL DE FISCHER

El índice ideal de Fisher es la media geométrica de los números índices de Laspeyres y Paasche, satisface la prueba de tiempo inverso y del factor inverso lo que le dá ciertas ventajas teóricas sobre los otros números índices. I (F)

I (F)

( ΣPnQo) (ΣPnQn)

Σ PoQ o

Σ PoQ n

I (L) I (P)

EJEMPLO: 90

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

Encuentre o determine los índices de los precios para el año 2006 para los artículos, tomando como base el año 1976 según el cuadro siguiente:

PRECIOS Y CONSUMO DE LOS TRES ARTICULOS EN UN AREA METROPOLITANA DETERRMINADA / 1976-2006

ARTICULO

COTIZACION POR UNIDAD

LECHE

Cuarto de galón

HUEVOS

Docena

PAN

PRECIO

PROMEDIO

PERCAPÍTA ( por

1976

2006

1976

S/.0.30

S/.0.38

0.60

0.90

Molde de libra

CONSUMO

0.25

0.35

mes)

3.8 1.5

2006 Qn

3.7 1.0

CALCULOS: PARA LA LECHE Ip = P n P0

= 0.38

0.30

x 100

= 125.7

Haga Ud. Los cálculos para el PAN y los HUEVOS CALCULO DE PRECIOS AGREGADOS Con los mismos datos anteriores calcule Ud. El índice de precios agregados. CALCULO POR EL INDICE DE LASPEYRES. I (L) = ΣPnQ0

= (0.38) (30) + (0.35) (3.8) + (0.90) (1.5) = 1.297 = 1.30 91

Autor : Eco. Germán Revilla Delgado. Docente ISTP “José Carlos Mariátegui” Moquegua.

ΣP0Q0

(0.30)(35) + (0.25) (3.7) + (0.60) (1.0)

CALCULE UD. LOS INDICES DE PAASCHE Y DE FISHER.

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION Y BUENA SUERTE EN SU VIDA PROFESIONAL.