orientierte Reifeprüfung durchgeführt. Diese neue Form der Matura, auf die bereits ab der 5. Klasse hingearbeitet wird, erfordert spezielle Grundkompetenzen und vernetztes mathematisches Denken, die mit diesem Buch perfekt erworben und trainiert werden können. Mit Mathematik positiv! 5 lernst du die neuen Prüfungsformate kennen – wie Multiple-Choice-Verfahren, Aussagen richtigstellen, Interpretieren, Argumentieren … Du kannst dich
• auf sämtliche Schularbeiten der 5. Klasse vorbereiten, • dich für jede Prüfung fit machen, • viele Beispiele üben und selbst kontrollieren! Der Stoff des ganzen Schuljahres wird ausführlich erklärt und anhand von vielen übersichtlichen Musterbeispielen verständlich gemacht. Den Abschluss jedes Kapitels bildet ein Mindmap, das eine Übersicht über den Inhalt gibt. Es hilft, die vorkommenden Begriffe mit dem dazugehörenden mathematischen Wissen zu verbinden und die Zusammenhänge herzustellen.
Wolfram Thorwartl • Günther Wagner • Helga Wagner
Mathematik p sitiv! Z
5.
S Klasse AH
Zentralmatura 2014
Ab 2014 wird in Österreich die standardisierte, kompetenz-
Mathematik p sitiv!
5
Alle Übungsbeispiele sind im Lösungsband Mathematik positiv! 5 Das ermöglicht Lösungswege zu kontrollieren, aber auch Fehler zu finden.
Mit Mathematik positiv! 5 kannst du mathematisches Wissen erwerben, erweitern sowie vertiefen und Mathematik besser verstehen!
5. Klasse AHS
(ISBN 978-3-7074-1413-4) durchgerechnet und mit Anleitungen versehen.
www.ggverlag.at
€ 26,80
978-3-7074-1412-7
Österreichischer Lehrplan
usgabe a u Ne für die ura at entralm
2014
www.ggverlag.at ISBN 978-3-7074-1412-7 $Xﾃ．JH Gesamtherstellung: Imprint, Ljubljana ﾂｩ 2011 G&G Verlagsgesellschaft mbH, Wien Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfﾃ､ltigung, auch die des auszugsweisen Nachdrucks, der fotomechanischen Wiedergabe sowie der Einspeicherung und Verarbeitung in elektronische Systeme, gesetzlich verboten. Aus Umweltschutzgrﾃｼnden wurde dieses Buch auf chlorfrei gebleichtem Papier gedruckt.
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Liebe Schülerin, lieber Schüler! Mathematik positiv 5 deckt den gesamten Lehrstoff der 5. Klasse ab und bereitet dich auf die standardisierte und kompetenzorientierte Reifeprüfung (Zentralmatura) vor. Zu Beginn jedes Kapitels werden die Grundkompetenzen angegeben. Diese beschreiben den grundlegenden und unverzichtbaren Bereich des Lehrplans. Die Theorie dazu wird verständlich vorgeführt, wichtige Sätze, Definitionen und Formeln werden hervorgehoben. Durch eine Fülle von Beispielen werden die Grundkompetenzen und deren Anwendungen aufgezeigt und dadurch nachvollziehbar. Die zusätzlichen Übungsaufgaben sind in einem Lösungsband vollständig durchgerechnet und geben dir die Möglichkeit, selbstständig zu üben. Wenn du dich für die Schularbeit oder für eine Prüfung vorbereitest, empfehlen wird dir, zunächst den Theorieteil zu lernen und dann mit dem Üben zu beginnen. In einem eigenen Abschnitt gibt es Fragen zu diesem Kapitel. Zur Kontrolle sind im Lösungsband jene Seiten angegeben, auf denen du die Antworten findest. In einem neuen Prüfungsformat (z. B. Multiple-Choice-Verfahren, Aussagen richtigstellen, Argumentieren, Begründen) werden auch viele Beispiele angegeben, welche die Grundkompetenzen mit Blickrichtung auf die zentrale Reifeprüfung in Mathematik ab dem Haupttermin 2014 festigen. Kontrolliere jedes deiner Beispiele mit dem Lösungsheft, richtig gerechnete Beispiele geben dir Sicherheit für die Prüfungssituation. Am Ende jedes Kapitel gibt es ein Mindmap, das die wichtigen Begriffe und Zusammenhänge visualisiert. Jeden vorkommenden Ausdruck solltest du mit den zugehörigen Inhalten des Kapitels verbinden können. So kannst du nochmals überprüfen, ob du den Lehrstoff beherrschst. Viel Erfolg und dadurch Freude an der Mathematik wünschen dir die Autoren.
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INHALTSVERZEICHNIS A Aussagenlogik – Mengenalgebra 1 Aussage – Aussageform Aussage Aussageform Quantitative Aussagen Negation einer Aussage 2 Verknüpfung von Aussagen Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz 3 Mengen – Mengenalgebra Definition Darstellen von Mengen Mächtigkeit einer Menge 4 Beziehungen zwischen Mengen 5 Verknüpfung von Mengen Durchschnittsmenge Vereinigungsmenge Eigenschaften und Gesetze für Durchschnitt und Vereinigung Differenzmenge Komplementärmenge Produktmenge 6 Klasseneinteilung einer Menge Definition der Klasseneinteilung Restklassen
6 6 6 6 7 8 8 8 9 9 10 10 11 11 11 13 13 13 14 15 16 17 19 19 19
5 Die Menge der reellen Zahlen Übersicht Darstellung und Konstruktion reeller Zahlen Grundgesetze reeller Zahlen Betrag einer reellen Zahl
44 44 46 47 48
C Terme und Formeln 1 Grundbegriffe 2 Rechnen mit Termen Grundrechnungsarten mit Termen Regeln zum Rechnen und Umformen von Termen Wiederholung der Rechenregeln für Brüche und Bruchterme Umformen von Formeln Formeln zum Rechnen mit Prozenten
57 58 58 61 65 68 69
D Darstellen von Größen 1 Näherungswert 2 Festkomma- und Gleitkommadarstellung 3 Internationales Einheitensystem
77 79 80
E Zahlensysteme 1 Das Dezimalsystem 2 Das Dualsystem (Binärsystem) 3 Das Hexadezimalsystem
85 85 87
B Zahlenmengen und Rechengesetze 1 Rechenoperation 2 Die Menge der natürlichen Zahlen Übersicht Eigenschaften Graphische Darstellung Rechnen mit natürlichen Zahlen Teilbarkeit 3 Die Menge der ganzen Zahlen Übersicht Eigenschaften Graphische Darstellung Der Betrag einer ganzen Zahl Rechnen mit ganzen Zahlen 4 Die Menge der rationalen Zahlen Die Bruchzahl Übersicht Eigenschaften Graphische Darstellung Eigenschaften der 4 Grundrechnungsarten in Wiederholung: Rechnen mit rationalen Zahlen
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28 29 29 30 30 30 31 36 36 37 37 37 38 38 38 39 39 39 40 40
F Gleichung in einer Variablen 1 Grundbegriffe 2 Lineare Gleichungen in einer Variablen 3 Quadratische Gleichungen Lösen der quadratischen Gleichung Lösbarkeit der quadratischen Gleichung Die Sätze von Vieta Quadratische Gleichungen mit Formvariablen
91 92 98 98 100 103 107
G Funktionen 1 2 3 4
Grundbegriffe Darstellungsarten von Funktionen Umkehrfunktion – Bijektive Funktion Die lineare Funktion Die homogene lineare Funktion Die inhomogene lineare Funktion Lineare Modellierung Lineares Wachstum – Lineare Abnahme Lineare Interpolation Nullstelle
119 121 123 126 126
128 132 133 134 135
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5
6
7 8
Interpretation von Funktionsgraphen Lineare Funktionen in der Wirtschaft Stückweise lineare Funktionen Nichtlineare Funktionen Monotonieverhalten, Minimum und Maximum Spezielle nichtlineare Funktionen Polynomfunktionen 3. Grades Rationale Funktionen Direkte und indirekte Proportionalität Direkte Proportionalität Indirekte Proportionalität Formeln und Funktionen Graphisches Lösen von Gleichungen
135 140 144 147 147 148 153 154 157 157 158 158 159
H Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen 1 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen 2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
170 172
I Trigonometrie 1 Winkelmessung 2 Winkelfunktionen Sinusfunktion, Cosinusfunktion, Tangensfunktion
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189 190 190
3 Anwenden der Winkelfunktionen in der Geometrie Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck Berechnungen mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken Berechnungen im schiefwinkligen Dreieck Vermessungsaufgaben 4 Polarkoordinaten
196 196 201 208 215 218
J Vektorrechnung 1 Grundbegriffe der Vektorrechnung 2 Vektoren in der Ebene Darstellen eines Vektors im Koordinatensystem Rechnen mit Vektoren Einheitsvektoren Skalares Produkt zweier Vektoren Winkel zwischen Vektoren Vektorielle Projektion 3 Anwenden der Vektorrechnung in der Geometrie Mittelpunkt einer Strecke Schwerpunkt des Dreiecks Richtung der Winkelsymmetralen Abtragen einer Strecke Teilung einer Strecke Geradengleichung in der Ebene
226 227 227 228 234 235 237 238 242 242 242 244 245 246 249
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• auf sämtliche Schularbeiten der 5. Klasse vorbereiten, • dich für jede Prüfung fit machen, • viele Beispiele üben und selbst kontrollieren! Der Stoff des ganzen Schuljahres wird ausführlich erklärt und anhand von vielen übersichtlichen Musterbeispielen verständlich gemacht. Den Abschluss jedes Kapitels bildet ein Mindmap, das eine Übersicht über den Inhalt gibt. Es hilft, die vorkommenden Begriffe mit dem dazugehörenden mathematischen Wissen zu verbinden und die Zusammenhänge herzustellen.
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Zentralmatura 2014
Ab 2014 wird in Österreich die standardisierte, kompetenz-
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Alle Übungsbeispiele sind im Lösungsband Mathematik positiv! 5 Das ermöglicht Lösungswege zu kontrollieren, aber auch Fehler zu finden.
Mit Mathematik positiv! 5 kannst du mathematisches Wissen erwerben, erweitern sowie vertiefen und Mathematik besser verstehen!
5. Klasse AHS
(ISBN 978-3-7074-1413-4) durchgerechnet und mit Anleitungen versehen.
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