Culegere matematica_Bacalaureat 2013 M_mate-info by Gheorghe Lobonţ

lon Bucur Popescu

MATEMATICA M1 Subiecte rezoluate BAC 2013 . Filiera teoretici, profilul real, specializarea matematici-informatici . Filiera vocalional5, profilul militar, specializarea matematici-informaticd

DDI'TIIRA

@crrn'unrs

rrnriqrr

SUBIECTUL

Varianta

Sa se determine numArul natural x

din egalitatea I +

5+ g+

... + x 2J =

2. Sdse rezolve in mullimea numerelor reals inecuatia 2x2 5x+3<0. 3. Sd se determine inversa functiei bijective f :(0,co))(1..c) f(x)= x, +1. ,

4. Se consideri mulfimea A = {1,2.J, 10 .l . Sd se detemirgnumarul submullmilor cu trel elemente ale multimii A, care contin elementul L 5. Sa se determine me.R, astfel incat disraDta dinrre punctele A(2.m) $i B(m,-2) sa fie 4. o. Ja se calcuteze

23n t2

,,r

Rezolvdri 1. Termenii sumei apa4in unei

r=?z-?r =5-l=4.Avem deducem

ci S,,-.a,,ar ,...r

tru VneN'.Pentru

Sn = 2n2

progesii aritmetice

(a,,

),,.r. , cu primul termen a, = I

=a,+(n l).r= l+(n_1).+= 4n_3,

?,,

(i].lff

'(l-an-

- n = 231 , obfnem ecualia

a=2, b=-1, c=-231, A=b2_4ac

ratia

VneN',deuncte

3) n={2*n.r)

de gradul al

n=2nr

n.fen-

Il-lea 2n2 _n-231=0,

_a.2.( zt1)_ 1849=43:, deci btnfi tr4] l-4J 2I t-4r -i-, n' = a =-;et"l . o2=I=lleN,decrn=ll= X an a| - 4.ll-3 = 41, adici x=41.

2.Avemo inecua{ie

.*,.,

de gradul al IIJea cu

blJA 5+l 5-l =-2a-= -q . *, - -i_-t.

Din rela{iile 3. Pentru

= (_t),

a=2, b=_5, c=J, A=b2_+""= (_5), 1.2.3=1. ),t l *: =i =;

a=2>0, x' =1 9i x, =l.d.du....a 2x2 5x+3s0e -.[t]l

xe(o,o)

ye(l,o)

.avem x2+1=y<> 12

=y 1<> x=/ylT,deci f-'(v) =*=ry1 sau, notind variabila tor cu x, avem f 1(x) -fi1, f-r :(r,"o) *(n.,)

l.Fie A'=A-{1}

submullimea elementelor diferite de elemâ&#x201A;Źntul

Multimea A admite Cfo submultimi de trei elemente, dinhe care

A'c A,

submullimi care nu conlin elementul l, deci raman Cio

submultimi cu trei elemente care conlin elementul L

l. Evident Inl =fO 9i le,l =e. C; sunt $r submul[imile lui

-C; = qj

! j

36 6.

2-m)'+lm (-2)]' = J(2-m), +(m+z), _ Jzm,.8,deci AB=4<> <> Jz-f*i=qc> 2m2 +8-42 =t6+> 2mz=16-8=8e m, =9-a o m,., =12,deci 2 me {-2,2} c R.

Avem AB =

':"T= 'o'('o;')n = *'[#-;)= .*(," #]= -'[-#)= *.(;),*0"

am folosit periodicitatea

ti pa

tatea func{iei cosinus.

jjlrlr 41unq1 qq5 -.o, n.rin n lr1nl= l.l t2 _1 12 t2 12= 2-"'6 2 2 =!4 Varianta 2 l.

Sa se arate

ci numarul (l

i)2a este real.

2. 56 se rezolve in mullimea numerâ&#x201A;Źlor reale ecuatia

3. Sd se determine inversa functiei bijectivâ&#x201A;Ź

3x-1+ x+l ,3.

x+1 2x-l

f :R,+(l,co), f(x)=e^ +1.

4' Si se determine probabilitatea ca, alegdnd un num6r natuale de doua cifre, sd avem a + b.

ab din multimea

5. Sise calculeze lungimea medianei din A a triunghiului ABC, unde

c(0,6)

numerelor

A(_2,_l), B(2,0)

6. Fie vectorii n-mi+3j 9i vectorii [ 5i v str fie perpendiculari.

V=(m-Z)i_j.

Sd se determine

m>0

asrfel incdt

Rezolvdfi

f.Avem

(r i):=r-zi

2. Se impun conditiile

r,2 ---2i -+

1t-i1'o [lr i)r]''

x+l*0<> x:. I

2x-lr0o

=(-2i1t: =2t2.{i"),

-z,r.R.

l,2 deci xelR {_,. _1,}.

l'21

.(x+t)(2x t)= (:x - r)(zx - r)+ (x + r), = 3(x+r)(2x_r)= =6x2.-5x+1+x2 +zx+t= 3(2x2 +x-t)= 1xz 3x+2- 6x2+3x_3= x2 _6x+5=0. Am obfinut astfel o ecuafie de gradul al IIJea cu a =1, b=_6, g=5,6=62_43s= = (-O)'

-+f

= 16 > 0 , deci ecuatia admire rddacinile reale distincte *,.

6!4

2'/3!21

-7=

312, deci xt =3 -2

$i x,

:! I n[

=3+2=5.

4<+

in plus, observim ca S={1,5}

deci

3.Avem

. - -{-tj}

e*+l=ye ex=y-l<r x=ln(y-1),deci f '(r)=x=tn(y_l) f-' (x) = ln(x,1),

variabila x, avem

unde

f-r : (t,-)-+ n

sau, folosind tot

4,Fie A-{10,11,12,...,99} multimea numerelor de doutr cifie. Obsenimcd jal =eO_e-OO.

nde

A'= 111,22,...,99) mullmea numerelor formate din doul cifre egale. Observtrm ci lA'l =9 qica A'c A, ceea ce ne permite sd scriemca le Al=lAl_le,l = eO O=At. in

Fie

final, observimci e = ca

probabilitatea cautatd este

e,a + U} = a-a,,aeci lel

O+6

=3,deci M

=le-e,l

=81,de unde deducem

p=]lf = !1= 2 = o.n. lAl e0 l0

M mijlocul segmentului BC. Avcm

5. Fie

{"tlaU.

are coordonatele

(xr

-, =5a=#=,r,r* ,

yn' )

- (t,3)

=bjb=

Lungimea medianei dinAatriun_

ghiului ABC este lungimea segmentului determinat dc punctele

A(-2,

rerelor

(2,0)

6.Avem <> m2

. incat

r-Lie i i=0o (-i*:J) [1-,2;i- j] =oe

-3m-2

b=-2, c=

M(1,3), deci

m(m_z)+: (_r)=o<>

= 0. Am obfinut astfel o ecua{ie de gradul al

Illea in necunoscuta rr\ cu a = I, 3, deci A-b2 -+ac= (-Z\'? 4.1.( 3)- 16 > 0, adica ecua.tia admite ridicinile

reale distincte mr,2

-b1J^ -( 2)tJi6

=l-2=-1e(0,-)

2.1

2r4 zll!21 2

9i m, =l+2=3>0. in concluzie, m=3

este valoarea cAutatd.

Varianta 3 .r5 . 1,q , 15 . se determine valoarea minimd a funcliei f:R +

1. Sa se ordoneze crescdtor numerele 5

2. Sa

3. Si se rezolve in mullmea numerelor

, f(x)= +xr g* 11. reale ecuaria lg(x _ t)+ lg(6x _5)= 2. IR

4' Si se determine probabilitatea ca, alegdnd un numar din multimea numerelor naturale de doutr cifre, acesta sA fie pAtrat pedect. 5. Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctul ,4.(6,4) pe dreapta

d: 2x,3y+l

6. $tiind cA

sind=1,sase calculijze cos2q. t

este perpendiculara

Rezolvdri

r. Avem Jz =r?F Din 64 <125 <256

=,<12s6 , llt ='1[s. =,{n5 <r35G, adica Ji .1,1i .1fq .

='trA , :14 ='<k

'VA

< rvt25

=4, b=-g, c=l,deci A=b2_4ac= =(-8) -4.4 l=48.Deoarece a=4>0> func(ia f admite valoare miniml, respectiv

2. Avem o functie de gradul al Il-lea cu a

rrrrrrf

,:,

\ - 48 4a= 4.4 =-:.

(x)-t,"

3. Se impun condiliile

,t..'

r-1>0<> \

'.(1..)(-)lf,'.,J (1..)

x>1<=>

Avem

5 *r;o

xe(t,"o) $i 6x-5>0<>

f5 ) .l;,_J,

lg(x-1)+lg(ox-s)=2.:rg(x-r)(ox-s) =rgroo>

+(x 1)(6x 5) =100- tixr I tx-.95 =0. Am obtinut astfel o ecua{ie de gradul al Il_lea cu a-6. b=-11qi c= 95, cte unde rezulrd ca A=b:,4ac = (_ff), _+.0.(_15) = 2aOt = =-19: >0. deci ecualia admite rddicinile reale distin.t. ,,. = ^t.2 -

ll.lq ^, ,,

tq .. -{(1.'

). respecriv r,

11149 ;-^ -bJ{ = oecl 2a D-,

lt-49 _5c(1,{i. =ii

in concluzie. ecualia admire

solulia x = 5. .t.

lje A={10,11,...,99}

rnullimea numerelor nahrrale de doud cifre. ObservEm c6

l.tl = oo

-l

= eo. Fie

lBl -'|) -

(,. deer probabilrrarea cerura esle

5.Obsewanca

cl'

3y.+.1=0<+ condiliile

care indeplineqte

m'..panta(cl')

e={ne Altke ft, n=k,}.

Din A(6.4)

<;2(y-4)+3(x

{+r.sr,...,er} ii

g= 'o. Fi lAl e0 -tls

i=]**1.a..i

nr=?.

unde rn =panta(d). Fie dreapta

d'I d ti A(6.a)â&#x201A;Ź d,. Avem d,l d <+ -,= -a

ed,- d,:y-

=0<> 3x.r"2y

26 =

=m'(x xo)o r-+= l(.

0, deci ecuatia dreprei cautate cste

cl':3x+2y-26=0. 6.Avcm cos2cr = 1-2sin: s

observim cd e =

r-r[jJ' - .21

-f , *a.

Varianta 4 l.

Sa se arate ca

2. Sd se arate

numirul

(1 I\l-i

r \l I l+i, -

cste rerl.

ci vArful parabolei y-x2+5x+1

este situat in cadranul

III.

3. SI se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia 9* l0.l'-r + I = 0 4. SA se determine probabilitatea ca, alegdnd un numAr din mulljmea numerclor natrrralc dc rrci cifie. acesla sa aiba exrct doua cifie egale .

\ -1,t' '

100=

5. Si se determrne q,nr nPmcnrl

r.'.F

pentru care

leclolri u ai r(.r'l) i ;r i - {:a l)i zi

'.,rlen

6. Sd se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascufituDghic AB(. iliird AB = 6 , AC = 10 qi cd aria triunghiului ABC este egali cu 1516 .

c.r

lea cu

Rezolviri

l.Avcm

I {lr'i)-{l-it '' --:_'

-l i l.i

A-b: -l si v., = !=-4 ^..'=-:= laz+J4

2.Avem a=1,

nite

(r-ixl-i)

b=5, c=1,

I . 21 2t i.decrl -:----1 {l-i 2 I i

l.:

4ac= 5'z-4I I = 21'. Coordonatele virfului V surt Evident

x\'<0

$i v\' < 0 , decivnrful

cstc situatin

cadranul al III-lea. 3. Folosind notatia

3^r-y,

yr =1. Revenind la nolutia

eapta l ndc

=xr:1

Deci

999 -.99

9yr

10y+1=0.

3'-i-v,oblittem l' '=],.: 9

cu solutiile yr

=1;i r./

I = ", = l.rcspcctir'3' 1.:

xe{-1'l}

4. Fie A = 1100.101,.

lAl

y > 0 , ecuatia devine

.999| multiDrea numerelor nalurale

de trci cifre. Obseruim

900 . Nunele de trci cifre dinhe care exact doud cifte sunt egalc' sirnl

nurnri unl dintre formele posibilc aab . aba sau baa . Numerele dc lbrma aab sunt in variante posibile. deoarece a e {1.2.. .9f poate fi ales in 9 moduri posibilc. iar

tlna

9.9

!i 8l

{0,t. ,o}-ta} poate fi ales 5i el in 9 moduri posibile. in urod sulriar. rrLmerelc rle foruu rou 6- sunt fiecare in 8 I dc variante posibile, deci avcm in total I E I = 2.13 uuuere dc "Ou O,Zl trei cifre avincl cxact doua cifre egale. Probabilitatea ciu.ati cste p' = 3! = { 900 100 ' 5. \r.,.. ri i - ri.r' 0<,lri-1.*rljl [1i.r l]i.:j -o<= r{5r-.ll lr l) I 0' be

::-5a2

r3a

12=0, cusolutiilc

u, -i lia.

l.deci

1.tf

6.A\em slABCl-

AB AC

sinA= r5J5-610 sinA-:r sinA-â&#x201A;Ź= ,,,{e)-00".

deoarece, prin ipotez6, triunghiul ABC este ascutitunghic. Conform Teoremei lui Pitagora

-2AB AC.cosA =

generalizatd, avem BC2 = AB: +AC2

BC7

62 +102

-2

6.10.cos60'=>

-76= BC-J16-2J9 Varianta 5

I t. l It 2r | -21 2. Sh se rezolve in Z i\ecualia x2-10x+12<0. l. Si

calculeze

3. Sd se determine inversa func{iei bijective

f :(l,co) + (0,-) , f (x)

ltog, x .

4. Sd se determine numarul funcuilor f:{1,2,3,4} -r{1,2,3,4} cu f (r)= f(4)

propdetatea cd

5. Sa se determine coordonatele vdrfului D al paralelogramului ABCD, dacl

A(-2,9),

B(7..4). c(8.-3)

4gq u." g = 1

6. Triunghiul

9i lungimea razei cercului circumscris egala cu

SA se

calculeze lungimea laturii AC.

Rezolvdri

I I l-)i 2 ,' . -',-l.l ,' 2i = 1.2i | 2t (l 2i)(l-2i) t-4i'

1..At,em ___1 ;____l

2.Avem a=1,

-t -rn\+.Gr 2.1

- l0t'2fr = stJr:

l+s= s<s+Jt: oin:.Jr3.+l (-l)> -.1<-Jl3

. Deoarece 32 = 9 < 13 <

16:42

-b1J^ za

-: 3.nTj<+.

<1.

<-31+5= 1<s $3 <2.Avem

x2-10x+12<0c),,.[s-Jr:.5*JnfnZ= $i

10. c=12, A=b2-4ac= (-tO)'? +.t.tZ=Sz, *r..

3<Jl3 <4

l<5-JiJ<2

8<5+Jl3 <g,deducemca

[2,

xez

{2.3,4,5,6,7,8} , deoarece, din inegalitalile

a].

[s - "4:,

+fr] . tt,n], incluziunile

fiind stricte.

3.Avem 3logrx=

yc> I

variabila

log, .-

*=I<r

x. i '(x)- zt =V2'

. unde

*=2i,6eci f r(y)=x=2i

f'' :(0.'o) >(1.-).

sau, folosind tot

C.,

4. Observdm

valorile

cl valoarea comund f(1)=f(4)â&#x201A;Ź{L2,3,4} poate fi aleasi in4 moduri posibile, iar

f(2),f(3)e{t,2,3,+}

pot n alese trecare in 4 moduri posibile, dcci exista

4.4.4=64

firnclii care indeplinesc condiliile cerute.

5.FieMmglocul diagonalei AC.Avem 9

*"''22"'2 - Iallr - ''t-J

1 u., - Yt Y. -

+(-3l

= a' '=3. ABCD paralelogram daci gi numai dactr diagonalele AC 9i BD au acelagi punct ca mijloc, deci M(3,3) este mijloc Ai pentru BD.

' 7+x^

<= J--= ", -*"1*o 2

Avem xM

deci coordonatele punctului D sunr Ltea ca

-2,e)

6. Conform teoremei sinusului,

-_t

gl yv

- I+-I.L.-:2

4lyo > yn-r0, 2

(xD, yD)=(,1, l0)

AC=2RsinB= 2.l,sin1=..6.

Varianta 6 ' SI se

1. Sa se calculeze surna tuturor numerelor naturale de doul cifre iare se divid cu t L 2. Sa se determine tunc1ia fde gradul al doilea gtiind cd f(-t)= I , f(0)= I , f(t)= 3.

3. Si se rezolve in multimea (0,7r) ecualia sin3x = sinx. 4. Cdte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elemente ale mullimri )\2,4,6,8t 1

5. Se consideri rdunghiul ABC cu vArfurile calculeze cosB.

in A(1,2), B(2, 2) $i

C(+,0) . Sa

6. S5 se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, qtiind ca C =

AB=6.

Rezolvdri

r. S=ll+22+... ree= .itafile iunile

1.(l+2+..,n1-,,.-tl.11-t

-+es

:R-+R, f(x)=a;'?+bx+c,unde aeR.9i b,ce lR. Avem f (-f)=l<> oa(-t)'?+b(-l)+c=l <r a-b+c=1, f(O)= r e a.02+b.0+c=lc: c=l $i f(1)= 3 cl a.12 +b.l+c =3 <r a+b+c = 3. Folosind faptul cA avem c =1, celelalte doua relalii devin a-b=0 qi a+b=2,deundededucemc6 a=b=l,deci f (x)= ay'? +bx+c = =1.x2+l x+l= x2+x+1, VxeR. 2.Fie f

Jx-x 3x+x ^lsln-cos=u<> lstnxcoslx 22 deci sinx=0- xâ&#x201A;Ź{ K1r I Ketrl l(U.rl=U.respeclrv cos2x =0= 2x =1+kr= 2 3. Avem sin3x = sin x

a.pi"

<- slnJx-slnx u<>

={2,+,0,8} . observamc. lMl

=4,d..i

putem forma

(J-

al =1;{1= !.=z+ a,

numere cu trei cifre distincte alese dintre cifrele 2.4. 6 sau 8. s. Avem AB =

= J(2

i(1

2)'1

+12

-4): +(-z o)'

- (-2)f'

Jr,

2.'[7. conform

n/1r

+(z - e)'? = s,

+)']

teoremei cosinusului, avem

^tt AB'"BCr AC: 17r68-25 60 15 2AB.BC 2Jt7.2Jt7 4.17 t7 6 9 t 6. Clonibrm teorenrei sinusului. avern 2R =iL= rT= I = sinC 2R =ttne *2 \-os

=0.

Varianta 7 |.

56 se calculeze modulul numtrrului .ornola*

SA se

detemine valoarea maximi a funcliei

3. Sl se rezolve in mullimea [0,2?r) ecualia '2

-41

f :R -r

1R, f

(x)=

-1'? n 6^

-n.

sinx=-1.

4. Sd se determine n e N* pentru care mullimea {1,2,...,n} are e*act 120 de submul,tini cu douA elemente.

5. Se qtie ci. in triunghiul ABC, vectorii ee+,+C 9i AE-ee au acelagi modul. Str se demonstreze ca triunghiul ABC este dreptunghic. 6. Si se calculeze lungimea razei cercului inscris in fiiunghiul ABC care are lungimile letrrilnr coqle nr 1 1 <i {

Rezolviri

t. l"

t-l

' =lo*tl= 17 4tl

2, ObservAm ca f

l8+il

lr:;l

(x) = -v'z

J65 v65

+6x 9= -(x-3)'?<o,cu f(3)=0,

deci

maxf(x)-0.

f' 10

:=o.

3.s,nx=-l-r^.{{-r)*",.,in[-l)-*lu.r]nlo.2^)=1{-r}'i*r;r,rez}n[o.zn]-7r

l7r

r fur ttnl

^ ={-+n.--:l7I|={-.-}.

J |.6

a.pi" 1,4={1,2,. .,n} . Avem lMl =n

cu dour elemente.

qi multimea

M admite exact c1

nln-l) DinCi = l2O =' -l-tZ0-

ecualie de gradul al Il-lea cu

a=1, b=-1,

n'-n-240=0.

IAB

/_\2

ACI = IAB

- (ABl

e N . respecrv n . =

- Acl

IAE.

Atl'

L-l -

l* - *l' -

.,2 _..2 , .\2 AC= IABJ '(AcJ -2AB (ACJ '

rezulttr triunghiul ABC â&#x201A;Źste dreptunghic,

Lln-Ll

submullimi

Amobtinutastfel

-240, A=b2,4ac= (-f)r -+.f.(-Z+O) =

=961=312 > 0, deci ecuatia admite doua radacini reale dlLstlncte nl , adica n, = lJ '2)

JA lt3l = -b+2^ -- 2

b > 2 . in concluzie.

(AB. ACf

(Ar;, Aa)'

. |6

-2AB.AC- AB AC 0-+ AB I AC

rn(a)

= SO"

6. ObservSm cd 52 = 32 + 42 , deci triunghiul ABC este dreptunghic cu ipotenuza de lungime 5 pi catetele de

lungimi 3, respectiv 4. Avem S[enC]=

) IA-|'L I = r ' p , un(le r este laza cerculul mscns, lar semiperimetrul triunghiului. Oblinem 6 = r.6

multimi .1.

Str

= 6 . Pe de altd parte, avem

3+4+5 p=AB+AC+BC= --t-=U 2

at,a

r = 1.

Varianta 8 zr = -4. f(x) =ax'?+x+c. gtiind cA punctele A(1,2)

1. Sf, se rezolve in mullimea numerelor complexe ecua{ia

2. Se considerA funcfia f neimile

:R-+R,

B(0,3) apa4in grahcului func{iei f, str se determine numerele reale

a 9i c.

3, Sd se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia ifx + I - x = f . 4. Cate mrmere naturale de patru cifre distincte se pot forma cu cifre din mullimea [1,3.5.7. e] ?

5. Se consideri paralelogramul ABCD gi puncrele E gi F asrfel incit AE.EEi. nn = Zfe . SA se demonstreze ctr punctele A, F 9i C sunt coliniare. 6, Fie triunghiul ABC. Str se calculeze lungimea inalimii corespunzatoare laturii BC gtiind cd AB=13, AC=14 Si BC = 15. 1l

Rezolvdri 1. Avem z2

=-4 - (2i)'? = zr., = !2i 2.Avem A(1,2)â&#x201A;Źcr <> f (t)=2<r a.12+t+c=2<+ a+c=l,respectiv e(0,:)e G, o f(0) = 3 e a.02 +0+c =3 <> c =3. Din a+c =l a = I,c = l_-l = -2. = Deci a=-2 ;i c=3. 3.

V7x,l-x

t<+ Vzt.

t=x,l<r (ttx.l)'=1x.1)r

7x.t.

3x: rJx.r l<+

c>x3+3x2 4x=0<> x(x: +:*-+) = x(x-r)(x+a)=0,cusoluliile S=l_4,0,11 4.Fie M ={1,3,5,7,9} . observimcd lMl =5, d."i put"- for-u A! numere de patru cifre distincte alese din mullimea M.

5'Avem

AE-FE= 2AE-AB=DC

=2EF+2AE-= 2(AE+EF) = ZAf coliniare. 6.

Notim BC=a, AC=b

qi DF=zFE=,

5! .^^ = 5! 7!=;-''."

[

ro=zee.atunci Fc=FD+DC=

Fe = Zap, de undc deducem cd punctele A, F, C sunt

AB = c. Avem

a=li,,b=14. c=13, p= u*b*" -21. 2

s[eac] Jn(n-")(p bXpj: r5X2r-r4)(21-trj vDr6?r ,lV ],V _ 22.3.j =84. ,l2t(2t-:----_Pe de alta pane. S[aac; 1L.uno. h" reprezinti lungimea inauimii corespuMatoare laturii Conform formulei 1ui Heron,

BC, a carci lungime a fost notatl cu ,,a"

D."i

84 =

15 2

Varianta 9 l.

Sd se determine numarul natural x pentru care

+3+5+

2. SA se determine valorile parametrului real m gtiind

f(x)=x':nt*-r-

.. .

+ x _ 225

graficut tuncfiei

f:R + I

intersecteazi axa Ox in doua puncte situate la distanla 3.

3. SI se rezolve in multimea numerslor reale ecuatia fog,(Z-"-r 4. Sa se arate cd

Ci,

Cl;

+l) =x.

5. Fie hexagonul regulat ABCDEF de laturi 4. Sf, AC+BD.

6. SA se arate cA sin2 1' + sin2 2" +. .. + sin2 90" =

t2 tl

Z 2

calculeze modulul vectorului

Rezolvdri 1. Termenii sumei apa4in unei progresii aritmetice (a,, ),,.*., cu a1 -

=a2 . at =3-l= 2. Avem a,, = a, +(n -l).r = l+2(n-t)=zn-1,pentru Vn e N', deci (a' +az) n (l+21-l) n - nr. pentru s" =225=> n2 =225=+ sn =ar +a2 +...+ai = -

n = 15, deci x=a$=2.15 l=29. 2. Graficul funcliei fintersecteaztr axa Ox in doud puncte dislincte daca 9i numai daca functia admite doud rddicini reale distincte, adicd A = m2 + 8m > 0 <r m e (-o, -8)U (0, o) . in aceasta

situa.tie, punctele de intelsectie

dinfte Gr

M,M, =lx,-x"l.Avem S-xr

unt

-xrl

lx,

=*9,

P=:=

2m. Din M,M, = l

-4P = m2 +8m = 9 > m2 +8m-9 = 0, cu solu(iile

Vxâ&#x201A;ŹlR.Atunci togr(Z ^-r +l)= x <l

2+2^ =22^ <+ 22* -2^ -2= 0. Fdlosincl nota.tia 2x

- y- 2-

0 , cu solutiile yr =

17t l'11 ' l!.(17 3): 3l l4l 1' l6.t'1 l'l| ^r5 l5!.2! 2 l5!.(17-15)!

4. Avem L;

este indeplinitl pentru

y, oblinem 2^ = 2 = x =1

notafia 2x =

latudi

+l =z'l z'

=l,deci me{-e,t} c(-o,-8)u(0,"o).

+l>0

2-**r

ecualia devine y2

+x,=-!=-rn aa

lx, -xrl2 = l'?

respectiv mz

3. Observdm cd

<= 2-"*r

Oxsunt M' (x,,0) 9i M, (xr,0). Observim cd

-r e iO,-) qi y,

-2e(il3).

=y, y>0,

Revenind la

15.16.17

141.15.16.17

3l l4l

Evidentcd,

.2.3

1.2

Y{ rYi

5. Suma unghiurilor unui poligon convex cu n laturi este ( n

)

t6.t7

deci

cl, >clf

in cazul poligonului regulat, unghiurile sale sunt congruente, avAnd mdsura comunf,

jR,

Pentru n =

6 (cazul hexagonului regulat), ob.tinem

+42,2.42

cos4=otJ

)

- Ac'rAE-+2Ac =(acrae) = 2.48 +

2.48 cos+=144,deci

- 2AB BC cos 0 =

Ac =J4s = 4.6. Similar oblinem AE =CE =4.6, deci

triunghiut ACE este echilaterat. Observdnd cb BD = AE , obfinem

torului

ln-2]n

Aplicdnd teorema- lui

Pitagora generalizatn in triunghiul ABC, oblinem AC2 = AB2 + BC2

=42

-\2 AE= (4J3)

l*-erjl -

-,2 -(4./l)

AC - + BD] -\2

l-)

(eC * nO)' =

-.: cos(cna,f rz(ar/3)

- "ltu =tz.

Aveni

n.nt.,, Fie

sin(90' *)=.ort, vxe[on,eo

deci sinr

xnsin,(so. x)=sin2 1ace521=1,

v*.[o',eo']. - sinr 1' + sin2 2' +...+ sinl 90' = sin2 0" +sin2 l" +... + sin2 g9' + sin2 90. . Observdm ii s = sinz 90' +sin: 89" +.. +sin2 1' + sinl 0' . Adundnd membru cu membru

ci putem scrie

iloui relatii, obtinem 23 = (sinr 0' .r sinz lo' + (sin'] t' )

cele

rin,

'ro

\=o

k=o

ae" +... + (sin2 90, )

)(.in't .rin {oo I l}= ir=qt > 2s-qrr

+sinr o' = )

Varianta 10 l.Stiindca ze C

9i cd z2

+z+l=0,sisecalculeze

za+]. z'

2. Si se determine funclia fde gradul int6i, pentru care

xe? 3. Sd se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia

f(f(x)) = 2f(x)+1,

oricare ar

lg(i+l) 1g9=1 lgx.

4. Sii se determine numirul termenilor ralionalr din dezrolrarea (, * i6)'' 5. Sd se detemrine coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC. gtiintl

1.0), B(0.2). c(2.- r) 6. Si se arare

ci unghiul vcctorilor u=5i-1j 9i

v 2i iJj

este obtuz.

Rezolviri

-z t t, =,0 nu adnite rdddciDile z=0 sau z-1. Dnr t. -t-1.0 | :z tr,1rl- 7 0::. z+ =-1 5i z'+zr1=O | (z t)= 1. =zr 1=0= z3 =1= za =7).7=1.7=7-.pss1 711-!-=2.r-1= z-z

1. Se obscrvi cA ecuatia z)

2.Fie f :Ll +lR, f(x)=a1+6,

R',

R. o finclie

de graclul intar.

f(f(x)) - ar(x) rb= a(ax+b) ,, n:1 ,3616 ;i 2f(x)+t-2(ax+b) +t= -2ax r 2b r.l. deci f(f(x)) =2f(x) r t= arx+,ab+g=2ax+2b+1. Vxe d=> Avem

:rl {at =2o-. -l^.la =2 ^. _:.r a=2 ;rhtb lh+l []h lb+l

b-l,dcci f(x)-axrb=2x+j,

1]t

Vx c,p-.

x+1>0<+ xe(,t,+-) qi x>0<+ xe(0,+co),deci x e (-t,+o)[1(0,+-)= (0,+"") Avem lg(x+l)-1g9=l-lgx <> e lg(x+l)+lgx =1+lg9+ lg (x + l)x = tg90 (x+l)x =90= x2 +x 90= 0.

3. Se impun condi{iile

lam rru

Am obtinut astfel o ecualio de gradul al

=t'?-+ t

(-eO)

361=192 > 0, deci ecuatia admire doud ddaaini reale distincte

l- q

-b+JA *', - -;trlO

*' -i l-19

i6 a Q

$i Tk*r =

dezvoltarea expresiei

clo

(l+i6)''

(i5)' . k = 0J0.

3'o-t

ll-4=7 5. Fie

G(xo, yo ) centrul

Avem

, deci dezvoltarea contine 4

de greutate al triunghiului ABC.

- YA t-e33 Yc - ], , i I l) l\c.yc)=l;.;l \J

5-.rvem

(i6)t.gc>

\*,.g.+

termeni rarionali, ccilalti

termeni fiind iralionali.

:espectiv yc

il1(l ca

respecriv

fomrula rermemrlui general din

dupd binomut lui Newton.

e n e {0,t,. .,t0}n(32) = {0,3,6,9} CAIfi

l0a(0.a).

.S e (0.o1 -.adica . in concluzie. ecuatia admite solurra x

r: = -4.: 2 {. Avem

Illeacu a=1, b-1, c=-90, A-br 4ac-

Avem xo =

deci coordonatele centrului

to *

* 1" J.J

d. greutati-..unt

J-l

Li.i={5i

.4ilI2i,:il= ''l

le unde deducem ci vectorii u

zr1a1.: t. \

u. decr

cos(<iLi.v})

I.! u,l!I

ii v formeazA un unghi obtuz. Varianta 11

i:.

1. Si se determine a, b e R . gtiind in progresie aritmeticd.

numerele 2, a. b sunt in progresie geomctric.i

a sunt

2. 56 se rezolve ecuatia

f(f(x))

3. Si se rezolve in multimca

= 0, qtiind

ci f:R

-> :t{.

f(x)=

-31 12.

tg(-x)=1-2rgx. 4. SAse determine numirxl functiilor f : {0,1.2} +{0.1,2} care Yerifici relatia f (2)=2. 5. Se considera triunghrul ABC;r puncrclc D. t asrfcl irrcir nn 2Og. .\1. =.lf. Si [0,2r)

ecuatia

;e arate cA dreptâ&#x201A;Źle DE qi BC sunt paralele.

6. Sd sc calcLrleze lungimca razci ccrcului circumscris rriLinghiulLri ABC. daci A,-

AB=6.

I .t

Rezolvdri

l. Avem +2,17.a<> a=32 2.

l'7

) +a

=:::c.>

;2,a,b

â&#x201A;Ź

=2b<:

=2b<> b=512,deci

322

$i b = 512.

eveni

f(f(x))--3f(x)+2= -3 ( 3x+2)+2- 9x-4 pentru vxe

r(l(x))=o<- sx-4.=oo \ 3.Avem

tg(-x)=t-2tsx<?

R'deci

4 9

tgx =

. t-2rgx <>

tsx=le

(* xe

li+t<rlte

V'lnl1,2r)=

ln 5rl 14

4. Valorile

f(0), f(l)â&#x201A;Ź{0,1.2 } pot fi alese fiecare

in 3 moduri posibilc' deci avem 3 3=9

functii cu propnetatea ceruta. 5.

D. g

2 deducem, conform reciprocei teoremei lui Thales, ca avem oEllBC

= EC DB= 4l

6.evem

c=r-(A+B).deci sinc=snr[r-(A+B)]

-,-r^^^tr ^^-n^,- " =stn_cos_+cos-stn-= 2R--

l?C

= srn(e+e) =

Jz "fl * "11 .!=Ja"Jl 4 2 2 -.-2

--=9---- ,'o -='!!l\-6(u,; +./2 J6 + V2

sin

".[;.;.]=

.conform teoremei sinusurilor,

vD)_,R--r(J6 .,[).unaeR

4 este raza

cercului circumscris triunghiului ABC

varianta 12 1.

1+r .I

calculeze :----:

--' I

-L +x+2,Lx+3 6 ccualia .or2* - I ecurlir '

2. Si se rezolve in multrmea numerelor reale

3. Si sc rezolvq itt multtntc:r [0.2n)

(

4. Sd se determine a > 0, gtiind

termenul din mijloc al dezvoltdrii I Va \

r \r2 +;i I este !4,/

egal cu 1848.

d: 2x-3y+1-0 fa(i de punctul A(-3,4)

5. Sise determine ecuatia simehicei dreptei 6. $tiind

ctgx = 3,

sA se

calculezc ctg2x

Rezolvdri , deci

I I -_."-

1''1Yg6

l-irlri =

x+2*0<f x+-2

**1*"*i=]l u1**r;1**r;x+2 x+l 6l

- bllx'

+Ex+

- . r= -i/)= -/ /lx-' I )x.o]

, cos2x=1ct 2

3.Avem

-o

o..i

)

nt,, =;

ir;It_,)

2. Se impun condifiile

oin

)

r u.cco,

si x+3*0<> x+-3,deci xâ&#x201A;ŹR-1-3,-21

6(x+1)(x+l)+6(x+z)2

,ljx

5x)

0,.cu sotuliite

.i, (Vi'f '

+]"

\Va,/'

12! 6:.7 8 9.10 11 12 61 61 6!.(12-6): 61.6:

r .^ =_= Din

s i-]1,0I. 5 r

12'.

T,=o2ar,6

5. observdm cd

1848.obtinem

t-r\12

It"

-*,J

contine

12 +

7 8 9 l0 I l.12 1 2.1.4 s.6

d', d'lld,

-l-3.-21.

un de

keZ.

I = 13 termeni,

7 4.3.11=924.

und. 6

2xo-3y"+I=2 1-3

= panta

(d). Avem,

= 0 . Fie C simetricul lui

B(1,1) fa$ de A(-3,4),deci Aeste mijlocul segmentului BC, adica xA =

dreaptd

)

' 2-->a=2t'4. J;=iry 924

exemplu, punctul B(1,1)e d, deoarece

coordonatele punctului

3)=

ci,+ =cf, Ji , unde aa/a

2x-3y+1=0<?y:1,.*],a..i - =] JJJ

)x.= --J=l*,*t2'22

sn zr ttrt ir[o'o'o ol

-|o'o'"'6'" 11,-i*^,i*^,-l*z^}= 6'-"I 'e {r}+rnlr.z}n1o,z^;= .u | )

iar termenur din mijloc este 17 =

z(^ 1 2)(x

+ zkn tf +.2kr <> x =13+kr, []l L \2) = 3

4. Dezvoltarea dupa binomul lui Newton a expresie

mde R

IlJiq

l+=yt - tniYt -4 - y. - 7. dect C sunt (*.,y.)=( 7,7) . Simehica dreptei d fattr de punctul A este o

7, respecriv yo

care trece prin simetricul puctului

Bed fap de punctul

A, respectiv pnn

u16s m'= panta(d') . oln C(-z,z)e O'=> = -'= - =:, 3 2x-3y+35 =0. Decidreaptacautatf, = y yc =m'(x-*.)= y-;=](*+7)= I'

punctul c. Dln a'lld

)'"u"

ecualia

-3,4)

d':2x

6. Avem

3y+35=0.

crplx-l f: cts2x " -::!----- -

2ctgx 2.3

4 3

are

Varianta 13 1. Sf, se arate

ci numarul (t+iJ3)

-t2 +(t-iJ3)

e"""*tt

2. Si se rezolve

sistemul de

â&#x201A;Źste numar intreg' o

{:, ];

3. Sd se rezolve in multimea numerelor reale ecua.tia

. = O(Jx

4. Sa se determine termenul care nu con{ine pe x din

dezvort-*

e(:,O)

[-t

t ])t

ta dreapta

Rezolvdri

r.eu.- (r+i",6)'*(r-,.6)'= t'+z t i.6*(i.[1)' =

-t)

d:3x-4y+1=0 are AB = 4, BC - 5 qi CA = 6 Sd se arate ca m(gB)- 2m(<C)'

5. Si se calculeze distanta de la punctul 6. Triunghiul ABC

*t'.z t iJl*(l'6)' =

2(t -31= -aeZ.

2. Folosind nota[iile S = x + y =

P = xy =

St+p =t2 - 4t +3 - 0. Avem a=1,

-ztt,adicl a".it,"=-b+6 2a2 -atz

observam ca x

b=-4, c-3,

li y sunt solutiile

A=b2 -4ac =

tr = 2 - 1 = I ' respectiv

ecualiei

(-l)t -+'l'Z = l

t2=2+l=3'

reci (x, y) e {(r. r), (:. r)} 3. Se impune condi.ti3

x-2>0<r xe [2.-).4u"6 1-6(fi]7-1)o x+6=oJi:2=

->(x+o)':=6(x 2)'+ xr s = {0, t s}

24x

08 = 0 , cu solutiile

[2."c)

'["1.'-]l*.]

4. Termenul general din dezvoltarea

O!.

l8-3k=0o

7.8.9 3!

T,-, = c| -''--'''

este

-fll= cb*'"k ' u"d" (.'f '\x/

termenul Termenul care nu-l contine pe x este câ&#x201A;Źl in care exponentul lui x este 0' adica

pentnr care

xr z =1216'adtci

k=6'decr

To,r

=Ti

Avem T7 =C3

"#4= !)

1 2.3

l:.r -+.0+

:'+(-+)'

lo )

- ABr FBc2 -AC2= 42 +52 62= gI SrcosL= ^ AC2 +BC2 -AEtz cosB.-,Ac Bc 24.5 24g-[[ B 6'+52 42 ]-o""r.-.n.u. aos--=-= ,l="orc'B l+cosB 9 to= "ott= 4 2.6.5 - 4

6'lvem

=f 2 =c = B = 2C, unde am folosit fapnrl cd tunctia cos:[O,r]-+[-t,l] B l^rl I. ^ cosB\u.oeoarece -ciu,2 \ 2) 2

este

injectivl, iar

Varianta 14

{c).

I -l*2-leJ' -J -4

*lsjl -100

l'Sdsecalculeze In -2 2. Si se determine

aeR*

- 3)x2 -

pentru care (a

a < 0 , oricare ar

fi xeR.

tft;

3. Sr se rezolve in multimea numerelor reale ecuafia = {6:4x 4. Si se determine numdrul elementelor unei mullimi, gtiind cd aceasta are exact 45 de

.ubmultimi cu doud elemente. 5. Si se determine ecuatia dreptei AB, ttiind cd

:gali

6. Triunghiul ABC ascutiirnghrc are AC = SI se determine misura unghiului B.

A(2,3)

2rE

B(-5,4).

9i lungimea razei cercului circumscris

cu 2.

Rezoh'liri

1..\vem

1gl1rg?+rg1+. .119:1

2. Se impun

-^ unde ,

.ermenul

conditiile

a-3<0c>

i ,.0)U,I;., 1 o..i .

I ; #)= -(-)=,

='-[+ (--,3)

A-(-a)? 4(a-3X-a)= a(Sa-tz)<O<>

( ,.rln[( "..fu[f.".J]= t--.ol

i&-\ =i/5 {\ c) 8-x=9-4x<?

3,.

- 1o * =1.

{. Fie n e I\ numdrul elementelor mul1imii. Atunci mul.timea admite exact Cl 'ubmul.timi

cu doui elemente. in ipoteza cd n >

.=n: n 90=0= , =!12,adica ", si

2. Deci

112

n(nut)

= -9 e N , respectiv

2 2 . ln concluzie. multinea are n = 10 elemente.

ci =45â&#x201A;Ź

='1P

=0,

n, =!112=19.5

S.Avem xo <.l

+xn gi yo *y",deci (nn;,

r- = : e

x + 7y

2R=

-5-2

23 = 0, deci ecua.tia dreptei AB este x + 7y

6. conlbrm teoremei sinusurilor,

x-xr .= -I:Je = I-l3= i ye -y^ \e Xr 4 -

23 =

o sing={<r sinB=AA= 6 sinB 2R 22 2 AC

1,6g621gqs, prin ipotezd, triunghiul este aiculitunghrc.

l2Jl= l

=B=arcsinl

Varianta 15 1.

calculeze rog, (s

-.,6)

+ tog,

(t *

)

- torr r

2. Sd se determine funclia de gradul al doilea al cdrei grafic este tangent la axa Ox in punctul (1,0) qi trece prin punctul (0,2).

[0,2n) ecuatia sinl +cosx = 0. 4. Cate numere de patru cifre se pot forma cu elemente ale nrufimii {1,3,5,7,9} ? 5. Str se determine ecuatia dreptei care confine punctul A(-2,2) qi este paraleld cu 3. Sd se rezolve in multimea

dreapta determinata de punctele C(2,1) O.

ni" o

, D(-1, -3)

n,I I astfel incat .oro = -a. 2) 13

Sd se

calculeze

sinq.

Rezolrdri

r. rog,(s J7)+roca(5+.77) ro*,2=

rog,f:qt:f)

2.Fie f

:R >R, f(x)=ax'?+bx+c, a e R', b, c e R . Graficul

punctul

(1.0)â&#x201A;Ź A=0 tr coordonarele

<->b= 2a pi A =0.

c=2

A=0:r

vdrfului sunt (t.0) <>

Grahcul trece prin punctul (0,2) c>

ros,e=2. este tangent la axa Ox in

f| +. 4a) 2a +]

(-.1.0)<>

f(0) =2<+ c=2.Avem b--2a,

(-2u)t -nu,Z= 4a2 -8a= 4a(a-2)=03 3=2 b= 2a=-4.Deci f(x)=ax'?+bx+c- 2x2 4x+2, VxeR. 9i

A = b2,4ac =

3.Avem sinx+cosx-0<+

( x--l-\ J2cosl

\ 4)

ecosl

sinx+sin[l-)(]=

-\ x.1l 4l

o<+

)

*-i{-"] -, n ".or" t' lrr,n"-j 2

I==arccos0r 2kn= ta+ 2kir

<.>

.;, y = L a L =

2yn.

unde k e

D*i

[n n;r r ^l lln trl {-+-. 4 -+Zn> 2 J |.4 4) 14 2 -.

1.p1" 14=11,3,5,7,9f

{;t;

zr"lr. z}n1o.z,l

Observlmcd lMl =5, deci fiecare dintre cele 4 cifie poate fi aleasdin5

moduri, deci avem 5a = 625 de numere de patru cifie, nu neaparat distincte, care se pot forma cu cifre din mullimea M.

5.Avem panta(cD)= este paralela cu

Fieddreaptacarecontinepunctul

#=i

CD. Atunci dllCD<.>

Din A(-2,2) â&#x201A;Ź d <?

rOxin

frf

e(-2,2) $

-=p*tu(CO)=1,u16e 6=panta(d).

- m(x -xe

)

-Z

z)<r

-3y+

14 =

0, deci

(d.):4x-3y+14=0.

Lleli cu

Varianta 14 1. Si se calculeze modulul nurntrrului comp lex z

-42+i

aâ&#x201A;ŹlR pentru care x2 +ax+2>0,oricare ar fi numlrul real x. I 1r - -' 3. Sa se rezolve in intervalul '[. l.ll ecuatla arcsln--arcstnx =-. 2.

SA se

determine

Cl =C10, neN, n)10. 5. Sd se afle mlsura celui mai mare unghi al triunghiului ABC, gtiind cd A(2,-2), B(2,3), c(-2,3) . 4. 56 se rezolve ecuatia

6, Fie a e

\2 rl) asrfel incal ,ino = f1,

calculeze sin 2c

Rezolvdri

Pl=

' ltl= l2+il l2+il

r.evemtzi

+u= 4-, +t, J2,

2.Avem x2 +ax+2 >0 pentru Vx

a u.l-zJz,zJ-zf

dac6 9i numai

daci A =a2

-8<0 <i

3. Avem

arcsinl

. tt

+ ur.rin

arcsin x =

arcsin

: =: i

3i1(

q5in 1) =

I . . .r

=srn;=tâ&#x201A;Ź[-r'rl

j"-,t]], - -ar =e.lo<> , ,,n'" ,.,," (" - rolr =*-(n-q)(n-8) l0)l l0I'1" s)l 1n <> n, -l7n I 8 = 0 , cu solutiile nr = 1eN $i n, - 13. Nn[10,g), deci n-18 este solutia

4. Avem

-8= t;' (; ^1,'o

g,.

cAutata.

5.Avem xo

3 -(g)

AB .L BC o.

=xB=2=) enlloy 9i y" =y. =3=

eue- o.

sin 2ct = 2sin

= SO' 9i, evident,

BCllox '

de unde deducem

este cel mai mare unghi al triunghiului ABC'

/ :lt\2 4 (],n)- .oro. o = .oro = -J;rin'o = - l-l\s, =--5 cr

cos

^3(4\ -

[ 5/

2s o,

Varianta

Sa se arale ca

numarul

-.j

t i,/3

)

este inneg

f :R--+lR, f(x)=x'?-^*2 ' -t' 3. Si se rezolve in mullimea'numerelor reale ecualia J^i 2. Sa se determine imaginea frurcliei

4. Sf, se detemine probabilitatea ca, alegind un numdr ab din mullimea numerelor natuale de doud cifre, sd avem a +b = 4 5. Sl se determine ecualia dreptei care trece prin puncrul A(-1,1) $i este perpendiculard pe dreapta d

: 5x-4y+1

= 0.

6. Sdse calculeze perimetnrl triunghiului ABC, $tiind cd

AB=6' B=;

C=;

Rezolvdri

r., 2.

= (r

*i"6)'

[t[*,i',,,ti)]'

= z' (.o,n *

i,i nr) = t (-r) = -a e z

Inf ={veRllxeR,f(x)=l} .Avem f (x)=v<+ x2-x+2-v=6

Am oblinut astfel o

dacA ecualie de gmdul al Il-lea in necunoscuta x 9i cu parametrul y, ecua;ie care adrnite solulii

numai dac6

a=(-r)'

(r- 2)= 4y-1>o<+

r.[1,-l,o*i 14 J

*t=fi.-l L+

coli

x)=

-r. Se impune

condilia 2x+1>0<+

(

-.[-..]l

otn

,deci x=-12 este solufia =x=-12e1-cc,zl \

{.Fie M

)lufia

... + e M, = {13,22,31,40}, deci r

= {10,11, ..,99} . observdmca lrral

:ece prin

A( l.l)

ecualiei.

=el-S=m.evem ab-eM gi a+b=4<+

=H = +e0=+ 45 lMl

5x 4v.l=0<+', 1" '-.t O

5.Arem

J-zi+J=s= -2x+t=25=

deci m =

este perpendiculard pe d.

=panta(d') . Din A(-1,1) e d'-

y-yA

5 1.

Avem

= m'(x

unde rn= panta(d). Fie d'dreapta care

d'-Ld= m'= -] = -1, m)

unde

)= y-r = -1(x+t)+

=4x+5y-1-0.deci (d'): 4x+5y-l -0. 6. Conform teoremei sinusurilor,

.\tunci AC = 2RsinB

r rr

u,o"- 2p

= 2.6.sinI 4

n r

6 =aL= =12= sin C sinl '6

= 6J2 . Avem sinA =

R=6.

sin[r-(f +c)] =

sin(e +C) =

r n Ji Ji Ji r

_ -_r -- | srn-cos-. cos-sln=slnl6/

Jo*Ji 4 6 2 2 2 2 4 LT: t F\ : BC=2RsinA- 2.6.JllJl- -t f(.,/6 +../2 . In concluzie, perimetrul triunghiului ABC este J 4 F E\ ^r/' /; tVoJ .\B r BC+AC- o :{G-Jz\+' o\iz= J(z+JVl 4

rr natu-

licuhla

Varianta 18 1.

rezolve in multimea numerelor complexe ecuatia x2

2. Slse afle valoarea minimd a func{iei

3. Sdse rezolve in intervalul

ecuagia

- 2x + 4 = 0 .

f(x)=1'?-3t*2.

u..rio**-..or].=1. \lz

4. Care este probabilitatea ca, alegdnd un nurndr k din multimea \0,1,2,. ,7lt, numirul

stfel o dacA gi

I l,l]

f :R -+lR,

fie prim?

5. SA se determine

aeR

pentru care vectorii

n=ai+lj 9i n=+i+(a+4)j

coliniari. 6. 56 se catculeze

AB (AC. Be $iind c6 A(-3,4), B(4,-3) 9i c(L2) ),

sunt

Rezolviti

l.Avem a=1,

b=-2, c=4. A=b2 qu"= (-2)' -4 1 4- -12<0'deci

2 rziJl -b i i..f =---E^ -2 -' 'tir6= *.{rti..6} pentru vx'n ii r(])=-]'u*r 2.observamca r(x)- x'z' :**z- (^- ;i -;'-i

*r,,

minf(x)=--. 3.Avem arcsin x +

-cx

- sin(arcsin

4. Avem

T n -l IIt - arcco"i= t- 4=i1r

"t""o"fr-|o

arcsin x =

tt|=1"1-t't1

x)=

c! = cl = t' c\ =

c67

= 1'

ctr

- C,

)

zr' cl

obtinut Pentru 7, 21 9i 35, cloar z este numar prim' fiind

5. Pentru

a=-4

oblinem

Deci putem presupu ne ca

=1= 4

a+4 =

{-o.z} c o.,c,r.- oA a

[=-4i+3i

a+4

a(a+4)'-12 -

i=4i

Atunci vectorii

k=1

\.6.1

i.z

=lS.

) k=6'deci p=:=g'25'

vectori care ovident nu sunt colintan'

[

sunt coliniari

+4a -12 = 0, cu solqiile a' =

l-al'

-6

6""6 9i

]l=J]L= = 2 ' deci

li-zl

=-:i++j, oe=+i-rl , oc=i+21 ' ee = oB-oA = +sJ ec+gc=i+31 ' deci ', AC = OC-OA = +i-zj, ec=oc-on= -:i AB (AC.BC)- (u

Dintre numerele

i-zl)(i*:j)-

ri(-7)3= -r4

Varianta 19 X6' '6' t6' cd graficul sau 9i graficul functret gtiind R + R f: 2. Sa se determine tuncJia ' x-l' 1. Sa se ordoneze crescator numerele

g:R+R, e(x)=-3x+3

sunt simetrice faF de &eapta

reale ecuat'ia 32x+r.-10 3x+r + 2? = 0 ' 3. Si se rezolve in mullimea numerelor ;;' ;legind un numdr din mullimea numerelor natuale 4. Sl se determine pare de trei cifre, acesta sa aiba toate ciftele A(1'2) ' clin vArful A al triunghiului ABC' unde 5. Sd se determine ecualia medianei duse

p'"b";;';

B(2,3) si c(2,-5). 6. Sd 3e arate cd

*ez

4:9

Rezolvdri

t. evem .6 = ='{lzs , =,{s. ='{o5 , {8 =,<le, ='{sD . Drn 5r2 < 625 <lzs --> t<lirz <t4l62s <rlh2g = i6 . i5 . ..6 . 2. Graficele funcliilor fti g sunt simetrice fal6 d€ dreapta x = I dacl 9i numai dacd f(l-x)=s(l+x), vxeRe f(x)=g(2 x), Vxe1R,deci

:ci

r(x)=g(z-x)= 3(2.-x)+3= 3x-3, VxeR. 3.

32x+r

-r0.3x+r +27 =ol:3 c>

32*

-10.3" +9

0. cu notalia 3x = y"; y

ecua{ia devine

0, cu solutiile yr = l, respectiv yz = 9. Revenind la notatia Jx = y, oblinem 3^' = yr =l= x, =0, respectiv 3*, =yz =9> x: = 2. in concluzie, ecualia admite solutiile y2

-l0y+9

s = 10,21

4.Fie M={100,101,...,999} mullimea numerelor naturale

erele

Evidenr lMl

de trei cifte.

=999-99=900.Not[mcu A={0,2,4,6,8} mullimea ci&elor

M'={abceMla.b.cciftenare} . Evidenr lel =5

abc e

M,o

l(A-{0}) * e,. al = +.s.s

deci IM1 =

= r00. Atunci p =

5. Fie M mijlocul segrnentului BC. Avem 3

+(-5)

= ,

. Ecuatia medianei duse

determinate de puncrel€ A(1,

, JI

ctg'l -l Au.- .to2 ' = 2ctgl -

.1n; -

<=) 3)i

-L clgl

ffi

100 l 900 9_

(A-i0})rAlA.

y" - )bIJt -

din vdrful A al triunghiului ABC este ecuatia dreptei

2) 9i M(2,

y-2 x-l c) v-2 x

<j-=,1.

-, &jL

(a.b.c)e

pare gi

-l),

adica

(or),

ffi

-y-5=0. ctgl- tgl 2

Varianta 20 :unctiei

Sa se arate

(fog. +,rF)

2. Sd se rezolve in mullimea numerelor complexe ecuatia x2

ratumle \(1.2)

3. Sl se rezolve in

ecuatia sinx +cosx =

[0,2r) Cl + Cl + Cl 5. Pe lanrile AB ii AC ale tdunghiului

2y + 2

-1.

4. Si se calculeze

. incat

aME 9i MNllBC.

ABC

Sa se determine m €

se considerd

R, astfel inciit CN = -aC.

6. Sd se calculezSerimetrul triunghiului OAB, qtiind

punctele M, respectiv N, astfel

(0,0) , A (_1,2) si B (_2,3)

Rezolvdri

z=Jq.rti,deci 1ogr4<2<16e zt(tog,+'J5)

1, Avem

logr4<logr9=2

2. Avem

a=1, b=-2, c=2, A=b2 -4ac= (-Z)'?-+

-briJJ

2!2i

t Z=-+<O,aeci

3. Avem sin x + cosx

/ =

-;r./l. o..l

nD.orl * \

sin x

4. Avem

6 / t-1r./ 1= -1e cosl\ x --\ l= 2 +./ \

slnx +cosx = -l <r ..D"o.l

*.i

zjn-i-

t; n( e'x--=tarccosl)) o""i

**;--^(';.),

(n +sinll - x )^ )=

2kn <p

-1-

x-411121n.un6. 44

it!.a,-lu.zlnr.r,= IX.+ ; +-r"\={' +} ,

ol 5l ... 5l 4'. .^qtr 41 = -;;E_^\, " = ' qn 4): 4:.(6 " 4,.0, ' I.(slq)t.=. +r'\'i-rlr

6! 5 6 =4t.2t= 2 =t5,deci cX rcl rcl -r-5+t5, t. o1n a1a eN = +NC

21.

+VO 9i MNIIBC oblinem, conform teoremei lui Thales' ca a\ em li -eN = -+NC + Ne = +CN = Cli * N,q = SC'X' -' 5'N -

- CN = -|ac. 5

o.eu"-

k e'L

'A iN ' mAC are valoarcr m i 01'=..6, on=u/1 z-o)' r(l-o)' -Jr: 5i

deci m din relatia

oe=rfilJ-12

AB=J[-l-(-2)]t +(z-z)t

',[

, deci

perimetml triunghirlui oAB cste

oA+oB+AB=J7*^6*JiJ. Varianta 21 8x + 25 - 0 Sd se rezolve in multlmea numerelor complexe ecualia xr + R f :lR functiei 2. Sa se determine a e R , pentru care graficul ' drstrrric puncte in doua Ox axa intersecteaza +1)x'? + 3(a l)x +a -1,

f(x) =(a

3. Sdse rezolve in mullimea numerelor reale ccualia 4. Sd se calculeze Cl

-cj -cl 26

|-_--v{xI8-6'uix I -1'

A' -t

5. Sd se determine ecuatia perpendicularei duse din punctul

d:x+y-l=0.

6. $tiind cd ,in

l,3' sA se calculcze cos 2x

A(1,2) pe dreapta

Rezolvdri

l.Avem a=1,

8r6i =-=2

b=-8, c=25, A=br_4ac= (-8), - 4.t.25

- -bliJ-A

= -36 <0, x, ,

4+]i --'

2' Grahcul funcliei fintersecteaza axa

si A > 0, uade A = [3(a

(r-t \ \) )

- l)]'

ox in doud puncte disrincte daca $i numai daca -+(a + r)(a _ t) = (a _r)(sa _ r:), deci a + _r ei

ae(-"o,r)Uf 1l.-|.incon.tu,ie. ae(_o._l)u( r 3. Se impune conditia

I' t-

={tv',-t q>

x-l)0<>

r2 r.3,1 = lJx

J;J=3+1,

adica

r,)U[].". ,i5

)

fi*s_=0..,ffi=1/il]_t=;= -i*ll .decj J"_s_6nf-_t. r.r lvf_r_:l _ro Jil _: = rro

!&l=3-l

[r,.). au.*

2=> x-t=22

4:+

x = 5, respectiv

=x-l=42=16>x=17. Deci ecua{ia admite soluliile S={5,17}

6=panta(d).

prin A(1,2) la dreaptad. Din

-\vem

d,t

.,,/xl = 311= 4 3

q[1,.o).

{. Conform formulei de recurentd pentru combiniri, avem Cf = gf 5.Avem x+y-1=0<> y=-a..1_- m=-1,unde dusr

a+ r

d deducemcdrn,=

- C; = 0.

Fre d, perpendiculara

*=,,ur16s

rn,=panta(d,)

A(1,2)â&#x201A;Źd'e y-yA =m,(x-xA)e y_2=1.(x_l)e x_y_+l=0.

6. Avem

cos2x=1-2sin,

t-2(!)' -7. e

\3/

Varianta 22 1. Si se calculeze l+i+i2 +...+it0. 2. Se consideri llurcfiile I g:R-+iR.

.cuatia

(f .gXx)=

f(x)=x, 3x+2, g(x) =Zx_.1.

3. Si se rezolve in mulfmea numerelor reale ecua(ia lg(x +9)+lg(7x + 3) = =

r+lg(x'?+e)

4. Sd se rezolve ingcuatia

C; < 10, n>2,nnatural. 27

Sd se rezolve

5. Se considerd dreptele paralele de ecualii

dt: x-2y=g 9i d, : 2x - 4y - 1 = 0 ' Si se

calculeze distanfa dinte cele doul drepte 6. Str se calculeze sin 75" + sin15'

Rezolvdri

l.Avem

l_i,, l+i (r-i), l+iri.+ .-i'"= li ; ,.Ur; cl f(x)

2. Observdm

= x'?

-3x+2= (x-t)(x-z),

7=.

Vx e R, deci

(r"gxx)=o<'

<'r(e(.))=(e(.)-r)(e(.)-z)=(zx-r-r)(zx t-2) = (2x -2)(2x- 3) = 0 ' cu solutile 'l ^ | 3l ' xr =l ii x, =j. in concluzie, ecualia admite soluliite S tt.;f x+9>0<> xe(-e,o)

3. se impun condiliile

| 7 \ /r

* .1-e.-1nl-1.-,) =

[-i

lg(x

lo("

sof

uflile x,.

4.Avem

e)(7x

+ 3) = rg

=ll

4J7

t.*

nt =

""_I:t

solulia n e (-4,5). neci 5. Observlm cE

,lz'z+(-+)'1

o""t

rg(x +e)+ rg(7x +3) = r+ rc(x'? +e)

(x +-e)(z*

i1 =

ro("' l?)

*' - 22x + e = 0' cu

decr

(n -1)n ci' < 16a I-1--ll- a l0=> n2 -n 20<0'cu

nâ&#x201A;ŹNn[2,co)n(-4's)= l2'3,4l

0-2 0-0

Atunci dist(dr,d')= dist(O'dr)=

...6

J2o

6. sin?5'+sinl5' =

". [-],"o),

)

O(0.0)â&#x201A;Źdr , deoarece

lz.o-+.0-4 =-.-:.:

?x+3>0<>

ol,a..i *.{tt-+J7.rr'+J7l

-l)n

^*m

+ e)

' .l( \

-,,]

i5, +15' .or75'-15" = 2sin45.cos30. = ,' E2 9= 2sinj: t-t { 2

Varianta 23

(a,' Str se calculeze suma prrmilor 20 de termeni ai progresiei adtmetice

aa-a2=4 $i al +a3

+a5 +a6

=30'

2. Si se rezolve in multimea numerelor reale ecuagia (

3. Sd se calculeze

tC\1- u,"tn1l - ZI.

=:)

)"', ' gtiind cI

Sd se

4. Sd se determine probabilitatea ca, alegAnd un element n din multimea {1,2,3,. .,40} .6', numArul 2"*2

B(2,

si fie patrat perfect.

5. Si se calculeze coordonatele centrului de greulate al triunghiulur ABC, dacd

-r) , c(o,e) 6. Stiind cI tgct = 2 , sA se calculeze sin4a

A(5,

Rezolvdri

l. Folosind formula termenului general

an =ar

)2r =4- r=2

gi a, +a3 +a5 +a6 = 30

=4ar+lh=30=

4ar

s.0 =ar

; :;

condi{i'e x + 2 + 0 c) ;

2x+3 x-l ;; =;J=

soluliile x,,,

(2x +3)(x

=ttJS

+a.,+...+a,^=

(u,

an =ar

+(n_l).r=

*urn)20 ,^

; ; f ;:, J',. ;;;;

- 2)= (x +2)(x-l)= 2x2,x-6=x2 +x_2 - {-2,2}

/.l.au.m tel;-,*rejJ-_,.

l'illr'i:# _> x2

= 22,)+2.3n = (2".r)r.1,, Observdm !x este pahat perfect daca gi numai dac5 exponentul n al lui 3 este numar par, adica 40

(x6, y6 ) centrul de greutate al triunghiului ABC. Avem xc

-l*(-l),9 5 _ye-yg.y. - ___r-5'2'0-7.,u^ =;. 3 3 i,ro ----,-.,r" )=il.+l \ J J/

itiind

ci numirul

,a..i o-I,M,l =?9 .n,

lMl

5. Fie G

_zx_4=0,

+=,

{.Fie M=11,2,...,39,a0} 9i m=2n+2.6n :eM'=12.4.....401

.-,

'*['"tt.,J

,cu

Vn.X.,oU]in"n1 a4_a2=4=. a, +ar +2r+al +4r+ar +5r=30>

=30-t1r= j0-11.2=g=ar =!=z,ae.i

=2+(n-l) z=zn, vneN-.Atunci 2. Se impun

+(n l)r,

= "g: = }1 - --t ' de unde oblinem I - Ig-0 l- 28 ,.( -t\ -\ ,{-= l, =_!.s __24 *4o=-?E?g-= r+rg-lq ,,r 4). t,..lo 3 25 25'

5..{vem rg2c

''(.-l] '

deci coordonarele lui csunr

Sd se

z+1,pentru

calculeze

Varianta 24 .

"=t":Jt

2. Sl se determine func$a de gradul al doilea

f :R-+R

pentru care

f(-1)=f(1)=0'

f(2)=6. x 3. SA se rezolve in mullimea numerelor reale ecuaia log'? x +log,t x + log3 = 4. Str se demonstreze ca, daci

x€R

$i lxl >1, atunci (1+ x)'?

(1- x)'z > 4 '

5. S[ se determine ecualia inahmii duse din B in triunghiul ABC, $tiind cd A(0'9)'

B(2,-l) ri c(5,-3)

6. sd se calculeze

(zi. si) (:i -+j)

Rezolvdri

l.observamca 14'

=r.deci f-7 =f-+l'.f+i z \ -./ \-J .

-t+ ,*

deci'-l' z

-rri.6 -r-i.6 = -1.

=-+- 22

2.Fie f(x) = ax'

+ bx + c , unde

aelR'qi b'celR Avem f(

=0<r

<ra (-t)'?+u (-r)+c=a-b+c=0, f(1)=0€ a 12 +b'1+c = a +b +c = 0 9i f(2)=6e a'22 +b'2+c=4a+2b+c=6 Am oblinut astfel sist€mul de ecuatii Ia-b+c=o la

+b+c

[4a+2b+c=6 in ecuatia 4a+2b+c = 6, obirn em 4a+2'O-a -3a =

= f

f (x) = 212 - 2 . Sau, pomind

este de

forma

x>0,d€ci xe(0,-)

lsx ls.x= I 8: fri ;b*r

respectiv ctr togr x = ialg =

I I *ilog, *, ltog, *=

tl g, log, x = I <>

111sg, 1 = 11

ca f

rle la ipoteza

(-l)

f(x)=a(x+r)(x-r)= a(x'?-t)'

3. Se inpune conditia

= tog, *

=0>

. Scdzdnd primele doua ecuatii ob(inem b

[t-; x=

1 1\ r

6= a -2 =f

iar

Observam ca

x . deci lo8? x

att-=

2c(o.o). 30

=0> c =-a

Decr

inlocuind

a=2, b=0 'c=-2=>

(l) = 0, putem deduae direct

a=2 il

a+c

frnctia

oblinem din condilia ca f (2)

logr'= lga =

#=;"*r)('

t logl x + logR x =

-]logr * ' deci ecua(ia dati devine

=6'

4.Avem

(l rx)r+(t-x):- 2(t"x?)> 2 2,lF

s.Avem panta{Ac) (1) = 0,

BBr

-LAC=>

{BB, )

6. Avem

5x_t2y_22-0,deci -

/ - -\ / {2i r 5j).(3i-4j)

A(o,e),

m=panta(AC) 9i m,=panta(eB,).Din

+ y-ye -m,(x-x")= y-(-r) =1(x -2)= 12

5x-l2y -22 -

alxl

#=-li.No,rnr.u BB, inf,llimea din B. Avem

ffi

-'=-*=*,*de

B(2,-l)â&#x201A;ŹBBr

i,5

(_4)]

-14

Varianta 25 Si

(t-i)(l+2i)-3(2_i)

calculeze

2. Sdse ante cA, pentru orice

aeR',dreapta y=x+4 intersecteazi

parabola

l=axr+(a-2)x+1.

iii=0.

3. Sdse rezolve in mullmea numerelor reale ecuagia Zr'-:.2'-r 4. SA se determine probabilitatea ca, alegdnd un numar din mullimea

{10.11.12,...,40}

:tuu cifielor lui sd fie divizibiltr cu 3. 5' in triunghi ABC, punctele M, N, p sunt mijloacele laturilor. i'ie H ortocentmr triun3fuului MNP. SI se demonstreze ca AH = BH = CH . 6.

nlocuind

calculeze

rinf1*3)

\6 4J*"'[;-tJ

laolvdri l..rvem (1 -i)(l+ 2i)-3(2'_ i) = (:+i)_(o_:i) = _:+at :- Dreapta intersecteazi parabola dacd gi numai dactr sistemul format din ! =x+4 .

tuncfia

f(2)=6 'los, x.

1 t

ecua{itle lor, respectiv

, adnxte cel putin o solulie realA. Din sistem oblinem

ecuatia ^, -.=ax'+(a-2)x+l a--(a-2)x+l=x+4<.> ax2+(a-:)x-:=O,gu 1=(a 3), 4.a.( 3) = (a+:), >0, jEl ecuatia, precum gi sistemul, admit cel putin o solufie reald. 3- Ficdnd notatia

=y,

= 2 , respectiv

= r' = l, respectiv

y > 0, ecuafia devine y2

6y + g = 0, cu

= 3 + I = 4 . Revenind la notafi a

2^, = yz

- 4:>

xz = 2, deci x e {l,Z}

2" = .

solulile yr 2 =3tl,deci

, oblinem 2x, =

4. Fie

M = {10,1

submullimea deci lM'l =

2,"',40\ .Evident

+o lrral =

luiM formatl din multiplii

t3-3

5. Avem MPIIBC

lo. Atunci

cle

3. Observdm

Fie M' = {12,1

5'18"36'

cl 12=3 4,15=] 5"

391

39=3 13'

livll lo =ffi =;

, MNIIAC $i NPIIAB . Atunci, din NH I MP

deducem cd

I Bc $i' [inand

BC. Similar deducem ci cont ca N este mijlocul laturii BC, rezult6 cd NH este mediatoarea lui H este centrul cercului deci lui AC' mediatoarea este PH este mediatoarea lui AB ii R este raza R BH cd AH = = =CH oblinem de unde ABC, ' unde cir.nmscris t lur,ghiului ^ces' tui cerc. Va'b € R obtinemca 6. TinAncl cont de faptul ca sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb,pentru '

/r, /- -\ r 7r I Jt J, a- ,r\ l5in-6e5-= . i+-: l+sinl , l= o ' 1 , t \6 4) \6 4,/

sinl

Varianta 26 l,Fie zr 9i z2 soluliile

complexe ale ecualioi 222

2' se considerd funclia

+z+50=0

Sdse calculeze

:R+R'T(x)-l zx sa so'arate ca funcfia f'f"f

lz'l+lz'l este

strict descrescatoare. 3. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia 3* +

9' = 2 Sa se calculeze 4. Fie mullimea A={-2,-1,0,L2} 9iotunc{ie bijectivtr f :A-+A f (-2) | f(- l)+ f(o) ' f(l) ff(2) A(-1'3) 9i B(l'-l) 5. in sistemul cartezian de coordonate xOy se considerl punctele

Sf, se determine ecuatia

6. Fie

mediatoarei segmentului AB'

rl .u ,in* = I.3 fI. t2 /

Sd se

calculeze tga

Rezolvdri

l. Avem 22 = zt =

bl=lal=lal oi' P =",",=:=:=25

deducemc6

=l"l = JE = s = lz' + lz, | = s + s = t o' Vx€R'deci (f "f ' fXx)= 2. obsewimcd f(f(x))=1-2f(x)= l-2(l-2x)= 4x -1, pentru vxr'x2 €R' =(f"fxf(x)) = 4f(x)-1=4(1-2x) t=-sx+:' vx€lR Evident ca' xl < xz - -8xl + 3 > -8x, + 3, deci func1ia f ' f ' f este strict dcscresc'toare lz,zrl

=lz,l.lzrl =lz,l'

3. Cu notalia 3*

= zs

=y, Y>0,

l",l

ecuaga devine

-1-13 atti y2+y-2=0,cusolufiile y'., = '

1+l -l-1 -2e(o.co).respectrv u. - ,' , rz = 2 = l.(0,"o). ,r=i= ob{inem 3*!1+x =0.

Revenind la nota.tia 3^

=y'

4. Functia f este injectiva, adicf,

3.13,

$nind

cem ca rercului ,a aces-

em ca

i(x) * f(y)

pentru Vx

* y,9i suiectivd, adicd Imf

:f(-2),f(-t),f(o),f(1),f(2)) = {-2,-1,0,1,2} ri, folosind eomutativitatea aduna f (-2)+f (-1)+ f (0)+i(t)+r(z) = (-z) +( t)+o+ t +z = 0. = J,unds rn=panta(AB) ;-1-li r-t-,/

S..lvem m =f-$-------------- =

^B ^A ssmentuluiAB,deci

irci (x",yr)=(0,1)

=ldIE=

+=0.respectiv

Fie d mediatoarea segmentului

= A , deci

i, obtinem

.Fie M(xM,yv) mijlocul yM

AB <?

="+='*l-t'

dIAB

=r,

Med. Din

drAB- - =-l=+, u16g rn'=panta(d). oin v(o,t)ea<r y-yM = m'(x - xM )e m2' ..y-f ' =]1x-O1<+ x-2y+2=0 deci ecuatia mcdiatoarei segmentului AB este 2' ld): x-2y+2=0.

"t-F

'-[;)'

rl+lz,l. sln d,

I3_

cos ct

212

rste

IqC=.........:=

-:l:3

, deci

t; -4

)ze

Varianta 27 t,

-1)

l+i+i2 +il +...+i6. f:R -+ R, f(x) =-2r,2 *^. 3. Sd se rezolve in intervalul (0,co) ecua{ia lg2x+5lgx-6=0. 4. Si se determine numdrul funcfiilor f: {0,1,2,3} + {0,1,2,3} care au proprietatea 1. 56 se calculeze modulul numdrului complex z =

2. Si se determine valoarea maximd a func{iei

f(0)= f(1)=

5. in sistemul cartezian de coordonate xOy se considerd punctele

B(3,l)

X.)= ,xreR' decr

masua unghiului AOB.

. SA se determine

6,stiindca

O(0,0), A(1,2)

qeR

$i ca

srncr+coscr-].sasecalculeze sin2q

Rezolvdri

t-it t+i (t+i)'? = I-i , l-i l-i2 2.Avem a=-2<0, b=1, q=Q,4=!2 {as = l'z - 4.(-2).0 = l, l.Avem z=l+i+i2+...+i6

All 4a

- 4.t-t\ =; ' \ -,/ -

t JJ

deci ma:f (x) = yy

3. Cu notalia lg x

y , ecualia devine y2

+5y-6

,5+?

yt= -5-'7 = -6,respectiv y, = , 2 -l.

= 6=

lg*, =y,

4. Obserr'am ca

x, =19-o

f(2)

= 0, cu soluliile yr,:

.adica

lgx=y,obfinem

Revenind la notaia

=l.respectiv lgx" -y, =1= x: =l0,deci

9i f(3)â&#x201A;Ź{0,1,2,3} pot fi

alese fiecare

r.t#,t0j

in4 moduri posibile, deci avem

4 = 16 tunc.tii posibile.

5.Avem

oA=i+2J, oe

=:i*j,

oA oe= 1.3+2 1=5,loAl =Jf

-l

=..6,

(Jt\ oA oB 5 J, U:arccos l:=l l-) . E^ lUUl -- = " . unoe am I I VJ-!l \llu. CosU^- i-----:----i---2 \2)4 JsJto ---) lo;lloul 0 rnisura in radiani a unghiului AOB

notat cu

qi am (inut cont cA

-\ e. ff),:J , deoarece ,

A 9i B

sunt situate in acelagi cqdran (respectiv in cadranul I).

6.Avem

L. (sinc+cosc), ^^_^.r2={.lJ f l)t_ sin'c+cos'o sino.+cosc=:- -,-r^.,^^-2^:+2sincrcoro=l= 9

l^18 -)tt slnlo =-_? slnzc : --l 999

---

Varianta23

(t+l)"'+(t-i)'u. 2. Fie func1ia f :R -+ R, f (x)=61-3*:. 1.

r(.6)

calculeze

By OrangeFTW at 10:04 pm, Oct 23, 2013

se ordoneze crescator

4. Sa

se determine numirul funcliilor

{0,1,2,3}

JX - f = I {0,L2,3}

care au propdetatea ca

este impar.

5. Fre tnunghtul

(r,6),

rr r(z) 3. Sf, se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia

f(0)

numerele f

AB( $r M e(BC)

asrfel

i".a,

B^! BC3].

Sa se demonstreze ca

=:AB+:AC 33 6. $tiind cd

(1r cxâ&#x201A;Źt-.7t l ;i c, sind \2)

sd se

-t4

calculeze tgq

l-,{riri :-

,--.=m (l +i)2

=1+2i+ir = 2i, deci qt * i1'o =

,-,r' =(r*if I

.101. )

avem

-32i,

de unde deducem ca (l + i)ro + (t

:rrerr"alul

- i)'o

= 321-321

2x-lt0<> -.f].,ol.Aue- fi-1=3<> 2x

[t ] =x =5el:.coJ.deci

{. Observimcd f(1) , f(2)

f(0)

e(Bc)

5.Avem M

.\tunci AM = AB

= eB

slnc s cosct 4

lqo=-=

l=32 =9c>

in4 nroduri posibile, iar

2.4.4 4=l2g functii posibile. gN,l

lsc.

mai.murt. BM =

nf Bc = AB -+(AC

_ AE)

j"e

]ee Jec 4, qecl __,

Varianta 29 tea ca 1.

se demonstreze ca

2. Se considerd functia

numarul

* 4.6 * Uq

-73

este numar natural.

f :RJR, f(x)=21,-5x+2.siserezolveinecualia

f (2x) < 0. 3. Sa se rezolve in mullimea numerelor reale ecuafia = JZ * . " din rnullimea submullimilor 4. SI se calculeze probabilitatea ca, alegdnd o mullimea aevide ale mullimii A = {1,2,3,4,5,6} , aceasta sA aiba toate elementele rmpare. 5. Fie punctele

o.iulnoca

daci f(0)â&#x201A;Ź {L3} , adici valoarea lui f(0) poate fi aleast in 2

#= j=

+ eN,i

alese fiecare

(Jt),

=g.

x-5.

ti f(3)â&#x201A;Ź{0,L2,3} potfi

este impar dacf, 9i numai

)

ecuarraadmite solulia

sroduri, de unde deducem cA sunt

= (2i)5 = 32i, respectiv

6 l, deci funclia f este strict descrescatoare = 2tt= [t,o) . in concluzie, a;n z>^11 >Ji >t= r(z).r(.,6).r{Jz)

AgiB

*iy,]j

l-Arem a=-3<0 *,,=- b ' -v si '! ^v - t-

3. Se impune condilia

rnde am

[1r

A(2,0), B(l,l) 5i C(3,_2)

J^ 7II ceiU.-]$t

ca tg(I

+ ctgcl

,!.

. Sd se

2 , sd se

calculeze sinC

calculeze sin2q..

1.Avem 7+4..,6

r*0"6*(f)'

= (z*.6)''

a""i'fiTffi

rfi.respectiv t-qJl -(.,61'-z z "6-z'=

)''ot'' Jr-2"6

-,/

z-f

-lz-.61= in concluzie, 2. Avem

z+^6+2-16=

aeN -

"F;12.6lff= -s zx+z= 8x2 - 10x + 2 = z(+*t -s* +r)= z(+x - t)(x -l) =

r(2x)= 2 (zx)z

-r{^ 4/' \ llt^ 3. Se impun

r}.deci

condiliile

=[o,z] .,tu.rn

r(2x}<0e[*-oL]{*-'t'o.' -.-[;

x>0<> xe[0,+t)

a=.!21

-->

=2-

2-x>0<3 xe(-o"'2]'deci

x-'> x2

e[o'-)n(--.o'z]=

+x-2=0'cusoluliile x' = -z s [g' 2] ' respectiv

admite solutia x = l = I e [0' 2] , deci ecuatia dintre care 4. Observam cd lel = O uar"ite 26 = 64 submullimi'

A'= {1,3,5}

submullimea numerelor irnpare evem l'+'l

64-l

= 63 sunt nevide Fie

=: 9i {admite

2r = 8 submul-timi'

p=1= I .'-.:--'------.-s.ou.' oe={z-t)'. (0-l): =^D. Bc=J(r-3}"[r-1-zt]' - Jtl' (2 l)']*10 (-2)]'=.,6 Conform teoremei cosinusului' avem

dintecare

.o,.

8 l=7

sunt nevide Deci

=-#"aE = ##=#,0* lts)'---a:

\l.11-t{./6s I| 6, Avem lg(I i ctgcr

-L-

sln G cos cr

= ---7:

c.[o,i) si "**i

Jos

= .t')

J65

sinsr cosd__ sin2o.+cos2cr : -,il o -l o .o, c

=2<1

2sinct cosd = I

1 sin

cos cr

,deci tgcr+ctgcr = 2<>

sin2a = 1'

Varianta 30 1. sd se demonstreze

numarul

+u{, - i;6* r'f

naurar. 2. Se corsiderS funcga

f :R

R, f (x)=x'z-nr-,<+2

* * 5*k'

"t"

determine mul;imea valorilor

fintersecteaztr axa Ox in doud puncte distincte' parametrului ieal m pentru care graficul funcliei JO

3. Sf,se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia 1og, (x + 1)+ log, (x + 3)

5. Se consideri punctele A(0,2) , B(L-1) centrului de greutate al triunghiului ABC.

n . srn-:

o. Ja se oemonsreze ca

C(3,4). Sase calculeze coordonatele

.^12

82 -

Rezolvdri

--,2]=

, -,2 ' +(vt + IJ -(vt) -,2

1111 ./l r V2 V2 * ./l

rlz a N 'l-.i

F lvkF-----Jt.-*Jt*r = vk rl.Pentru

-Jt *Jt*r

l.observtrmctr,E# 'espectiv

=t.

4. Sd se calculeze probabilitatea ca, alegAnd o mullime din mullimea submullimilor nevide ale mullimii A = tI,2,3,4,51 , aceasta sd aibd produsul elementelor 120.

-K+K+l

./4 J99 +./100 - Jqs * Ji00 - -^,/r * Jroo = -1 +10 = e € N .,,/3

-i

Fie

Graficul funcliei fintersecteazd axa Ox in douA puncte distincte dacd qi numai dacS

Itimi,

t=m2 -8>o<>

Ji - Ji * Ji

3. Se impun xe

condiliile

(--, -zJ7)U(zJz,.) x+1>0<.l x e [-t,-) ii x+3>0<]

[-t,".)n[-:,-)= [-t,.)

tog, (x +1)(x +3) = t

resp€ctiv x2 = 0 e [-1, 4.

€[-3,"oI, deci

l)+ log, (x + l) = t -;

(x +t)(x +r) = 3 >

*),

Avem log, (x

deci ecualia admite

*' +4x - 0, cu soluliile solu(ia x=0.

-4 e [-1,co),

Avem lel = s , deci A admite 25 = 32 submultirni, dintre care 32 -l = 3l sunt nevide. Se =2.3.4.5, deci existd doar doui submullimi ale lui A, respectiv

observi cd 120 = 1.2.3.4.5

{L2,3,4,5} 5.

-1^

{2,3,4,5}

Fie G(xc, yc

0+l+3 6.

)

, care au produsul elementelor egal cu 120- in concluzie,

centrul de greutate al triunghiului ABC. Avem

=1siy6

Aplicdnd formula

x-B +

cos2x=l-2sin2x pentm x=l,obtinem ss51= 1- 2 51n2 1a

L_\L

8422

=$,unu"

xA +

deci(x6.y6,=[i;,)

",rt,'o=;

1t - {zt:^t: z-{z ^ )7t - -cos-= :]zsln--=l I .00

p:1

um folosit

n t^ rrt R I ))

848 srn

valorilor listincte.

-8

> ti

varianta 31 Stiind ca log.r 2 = a . sa se demonstreze ca log,.2a =

2,'Sd se determine doud numere reale care au

surn I

!1!1 produsul I

3. Sl se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia 22**r + 2**2 = 160 4. intr-o clasd sunt 22 de elevi, dintre care 12 sunt fete. Si se determine in cdte modurl se poate al€ge un comitet reprezentativ al clasei format din 3 fete 9i2 bdieli. 5. in sistemul cartezian xOy se considera punctele A(2, 1) , B(-1,1) ti C(1,3) Sase determine ecuatia dreptei care trece prin punctul C $i este paraleli cu dreapta AB 6. Sd se demonstreze cd sin6 < 0 .

Rezolvdri

-ltoe,z+ - f 1: ro*,rl= ]fr--ilE4=Y 4\ logt2) 4 1916 4lg2 4 '-

r.Avem log,o24=

lf.Jf- ll 4\ a)=

=-l

l+3a 4a

2.Fiex,yelR -.numerele cautate. Avem

s=-x+y=l

$i P = xy

- -1, deci x si y sunt solutiile

.t;

ecualrer

t2-St tP=t2 - t-1=0.respecliv t, , llli.d..i

lf r-.6 {x.Y)e1 --

t' '

3. Cunotatia 2r yr.z

=y,

=-l19,deci

oblinem 24. Sunt

r,"[11r

--;- ,

=8-

.,6

I-t6ti t ))la

y > 0 . ecuatia devine 2y1 +4y=1001

=-10e(0,.o),respectiv

y? = 8 e

:2e

+2y

80 = 0 , cu soluliile

(O,o). Revenind la notalia

2'=y.

x=3.

22-12=10 baie!, d€ci comitetul

poate fi format

Ci.

10 11 12

1.2

= 9900 moduri posibile.

5.Avem m=

xg -Ya

t_t-n =

-1-

allee 5i cea.Din dlleB>

t panta

(AB) . Fie d &eapta

cu propdetdtile

m'=m -i.unde

rn'= panra(d) Din c(1.3)ed-:

-y-yc =m'(x-x.)+ y-:= ]{--t)= 2x+3y-11=0,deci (d): sin6<0, deoarece sinx <0 pentru 6.Avem ne(3,4):: u.[],r^,)-

2x+3y-11=0. vx €:

\2-.ztt

)

Varianta 32 1. Se considerd numlrul real s

(l;2)

s=l+f+1*l* 22'

. Sd se demonstreze ca

2. Se considerd tunctiile f, g: R

moduri

*-l.^

, f(x)=

- I 9i g(x)=-4111.Sdsedetermine

:oordonatele punctului de intersectie a graficelor celor doud func1ii.

3. Si se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia sin x = I + cos' x . 4.Fie mullimea A={-2.-1,0,1,2} . Sise deterrnine numtrrul func{iilor pare

i).SAse

5. in sistemul cartezian de coordonate xOy se considertr punctele

f :A -+ A. A(2,-l) , B(-L1) ti

C(1.3) . Sd se determine coordonatele punctului D, gtiind cl patmlaterul ABCD este aaJalelogram.

t1l

6. $tiind cA x â&#x201A;Ź I

\2-;7r )

,3 .x slnx=, si se calculeze sln-

,ciolvdri

iolutiile

,. {\em

=:+:

r(,-#)

-,-# ^

. Ueoarece

1^< Z :)

^l-.-"-=t:. l--) | < Z-'a-:. U' 2'* 2"--

= !<s<2+ se(1,2). 1 :u solutiile

-\bscisa puntelor de interseclie dintre graficele funcliilor f $i g este solu.tia ecuatiei

:i r) = g(x)e 2x-r =-4x+r <> *

-f3 Au.,n rflll]l= z I,r :,-1.]'*, 3 = 13 f13 3) .

:.:ordonatele punctului de intersectie.

3-Folosindctr sin2 x +cos2 x

pentru Vx e R, ecualia devine

sinx=l+l-sin2x<>

=,sinrx+sinx-2=0.Cunota1ia 511x=y, ye[-t,t],obtinem y2 + y - 2 = 0 , cu soluliile l+l I : =:#.deci y, =-24[-1.1] , respectiv vu =le[-1,1] Revenind la notalia sinx=v,

9= 2

)detdtile

11=0.

-.zE t)

-tr:rem sinx = r

.' *. il*zt rlu. u)j 12 I

l--{temcate lAl =5 posibilitrti ae alegere pentru f(0), respectiv pentru valorile comune : l -2)= f(2) 9i f( l)= f(t), deci funclia poate fi definitd in 5 5 5 = 125 de moduri posibile. 5-

-\rem ABCD paralelogram daci

poo=oe

orl+oe =

numai

dacl

-AO

gC.- OO Oe = OC OS <r

(rt-l)-( i+i)+(i+:i)= +i+J+ o(+.r)

6. Avem

xela.r l> cosx<0=cosx=

)

sin: x

,rH

Din formula

irll

l-cosx -""---i----"---.l-lsln-;. | 5/ 9 ^ )x .. vx â&#x201A;Ź ^ K. obtlnem'x 2 2 2 2 = -l0 =' .x rJib /r ) x f n r) > sln.x > 0. unoe am loloslt = ' 2 2 \2 ) '2 \4 2)

cosx =

Varianta 33 l.

Sa se arate ca

numirul

log., 16

logr g r

2. Si se determine valoarea minimi a funcliei

f :R--rR. f(x)= fx2 + 4x+2.

3. Str se rezolve il multimea numerelor reale ecuatia 16'+3.4'-4. 4. Sd se calculeze probabilitatea ca, alegand un element din mullimea

(-tl {Vn

este natural.

n e N. n

100} . acesta

si fie numir ralional.

5. in sistemul cartezian de coordonate

C(1.3) 9i D(a,+) , unde a e R.

Sa se

iOy

se considera

puff'Ctile

A(2, l), B(

determine a e lR astfel incdt dreptele AB

1,1)

CD sa fie

oaralele.

6.Sliindca

re.d

srca

tsx-l.sase calcut.r. tnl -\ *'11. - 2 3)

Rezolvdri

- 2+2+3-7eN. 2, Avem a=3>0, b-4,c-2, A-b2-4ac= 42 -4.3.2=-8,deci mrnf (x)=yu l. Avem loga16+1og9+1ln (-8) 4 3. Folosind notalia

y' r =-ij,adici 2''

z 3

=y, y >0,

ecua{ia devine

yl +3y=4a1

+3y 4=0,cusoluliile

yr =-4e(0,or),respectiv y2 = I e (0,o) . Revenind la notalia 4^

oblinem4'=1> x=0. a.niea={.,6lneN.n<100} ii

observdmca lel = fOO. Tinand cont de faptul cd

numai daci numarul n este pafiat perfect, obtinem ca

lA'l = 10, de unae aeducemca

=H = #=Ot 40

A'=Ana={Jd,rtr,

=y,

r,6eQ

dacd

,.,@} ,O*i

5. Observam cA xA + xB oula .-u O;-.

deci

AI| nu este paralel cu Oy. Din CDIIAB

xc'exD> a+l.Avem m=le-IA ^B-^A

=e..tiurn'=ffi=

unde

- :+=z -t

este paralel

uniq m=panta(AB),

m'=panta(co) . oin

nici CD nu

aollcor m=m,r

==*

>0.

Varianta 34 (l

1. Sd se calculeze modulul numdrului complex z =

2. SA se arate cd varful parabolei asociate functiei 1,1), sa

gtuegte pe dreapta de ecualie

:lR -+

lR, f(x)= 212 +2x

x+y=0.

3. Sd se determine numarul solutiilor ecuatiei

fie

+ +i)a

sinx=sin2x

din intervalul [0,2fi)

4. Fie mullimea A = {L 2,3,4,5} . Str se determine numirul fi.ncliilor bijecrive

f: A -+ A , cu proprietatea cd f(1)

in sistemul cartezian de coordonate xOy

C(t,:)

9r O(a,+) perpendiculare.

se considerd

, a € R . Sf, se determine a€lR

punctele

A(2,-l) , B(-1,1)

pentru care dreptele AB gi CD sunt

6. Se considera triunghnrl asculitunghic ABC in care are loc relafia sin B + cos B = = sin C + cos C . Sd se demonstreze cd triunehiul ABC e ste isoscel.

Rezolvdri

rlutiile

l. Avem l: + +il = 2.

dacd

Avem

deci

+42

=s+

lzl

=lt,3 +4i)41= ,I

a=2,6=2, q=1,4=62 - 4ac:=

,r /-l) ,, =-i= -d=l ecuatie

') ,

observtrm

ll + 4ila -5a =625.

- 4.2 .l=-+,

ciIX\v+yv=-,

X\/

x. {tnlt. Z}n[0,2r)

sinx = 2sinxcosx

= {0, n} , respectiv

sinx

-0,

cu soluliile

cosx=l,cusoluliile

41.

2.2

= 0 , deci V este situat p€ dreapta de

x+y=0.

3.Avem sinx =sin2x

b2l

Rezolvd,

r}n1o,r^; =

{+,-;.r} in concruzie, ^. to,"t r{l,T} - {r+,,,,+} '.. {r1*zr..lr.

4. Funclia f este bijectiva ei

l. Aven

f(l)= 2 =r {f(2),f(3),f(4),f(5)}

: = {1,3,4,5} , deci avem ararea

func1ii f exact in cAte moduri poate fi pemutatA multimea {1,3,4,5} , adica

) Ye-Yq - I (-ll. '-i Xe-Xe t

5.Avem m= xc =xD

fals. Deci

Atunci

CDllOy gidin

4l=24

de funclii.

PresupunAnd prin absurd

-t-t ABICD> ABllOx>

a+t.Avem m,=Le_19= XD-XC a-t

ABICDc) mm'=-1<>

== -?J -!--t* a-l

+ a

Fie f

=a+b ::irnem

ci a=l'obtinem

i:Lrncl Ye = ye I

-1=l,ceeaceesteevident -i.

6de p,=panra(CD).

u=]+r. 3

in concluzie. a

=i3 -4,:-a:1\

-\ -\ 4 t x--4)= .,/2 cos! x-;a.,I.Deci sinB+cosB=sinC+cosC<> l.adici B-C.ruu e I=-[c-t')= o..6"os B-l :JJ"os c-I 4 4 e-1=c 4 4 4 | 4,1

=2sin;cosl

B+C

=:22-

concluzie, B

ceea ce cotravine rpotezei cd triunghiul ABC este asculinrnghic.

:.'.3i-u

-:!i:1ir a:

: ,

-._

.1..B

- C, deci tdunghiul ABC este isoscel. t':-.:=

Varianta 35 1. Sd se calculeze modulul numirului (Z + l)3 + (Z

i)3

2. Graficul unei funclii de gradul al doilea este o parabold care trece prin punctele

A(L-3), B(-1,3),

C(O,t) . Srse calculeze valoarea func{iei in punctul

3. Sd se rezolve in multimea numerelor reale ecualia 3 4* gdnd

x=2.

-6. = 2.9. .

4. Se considerd mulfimea A = 10,1,2,...,2009| . Sd se determine probabilitatea ca, un element din multimea A, acesta sI fie divizibil cu 5. 5. in sistemul cartezian de coordonate xOy se considertr punctele

ale-

A(0,-3) $i B(4,0).

Sd se calculeze distanla de la punctul O la dreapta AB.

6. Strse calculeze aria unui paralelogram ABCD cu

AB-6, AD=8 li m({ADC)

= 115

lalydri I I

xr atatea

functir.

= 8+12i 6-i- 2+1li, (z-i)r =(z+i)3 = = I -l lt = 2 I li, cleci = (Z + i)3 *(Z -;)3 = 2 +lli + 2 -lli = t : lzl = l. " f.Fie f(x)-ax2 +bx+c, unde aelR'qi b,ceR.Avern A(1,-3)e Gr € f(l) =-3<=' <>a+b+c=-3, B(-1,3)eGr <r r(-t)=:<r a b+c=3 9i c(0,1)eGr cr f(0)=1o € c = 1 . Folosind relalia c = I , primele doud ecualii devin a+b--4 li a-b=2,dincare t.,.r,vem

(z+i)r =

oblnem

a=-1

.\runci

+3.22.t+3.2.i2 +ir

3, deci f(x) =ax2+bx+c= x2-3x+1.

f(2) =-22 3.2+l= 9.

:vident

Avem 3 4"

-1.

Jevine 3y2

=spectiv

{.evem

-6- = 2.9-l:9"

-!=2e

5.evem

2=0

[;r,[il

=f =,.1t,-1

le,l

=zoto. Fie A'={0,5.10, ,2005}

(eB):

T' I

Revenindlanotalia

402.deci

-*-t*

' f]J' \r, = r,

= 2. Cu noratia

,cu soluliile v,.,

observimcr t^1 = -''l-.^ ' -t4)

3y2

,decl y'

y > (,. ecualra

=1:l=-? *19,-;'

(i)- =t "btt'"- (1) =l> x=0'

submullimea elementelor divizibile cu 5

t='#:,*-+ 3x-4y-12=0,rleci

i.*=t-

j(o,AB)= 13.0-4 0 121 -12 5 t2 +( t)')

hic. in

(

m({ADC)= t:S' = m({BAD)= 180' 135' = 45" ' deci s[ABcD] = AB.AD sin ({BAD) - 6 8 sin 45' = 24JJ Avem

varianta 36 in punctele

1. Se considerd numirul rtea ca, al€-

B(4,0)

= 0,arazar

scris

sub

formn de frac.tie zecimala infiniti

. Sa se determine a6o.

f(x)= z-1, g(x)=3x+2. Sd se calculeze (f'g)(x)-(s"r)(x) cd func'tia f: lR -+ lR f(x) = 3xr +1 este injectiv6 '

2. Fie firncliile f, g: R -+ R.,

3' sa DC) = 135"

ralional

se demonstreze

4. Sd se calculeze probabilitatea ca, alegind un numlr din mullimea numerelor naturale de trei ci&e, acesta sA fie divizibil cu 50.

!i.cl::=:c-:::<

l-* {[ -qr--

b f..h E (

_{B=3. AC=5 Si BC=7.

l. Sa se catculeze

cosA.

-:=f{râ&#x201A;Źft ), dcci a, =g, a2 = 4, a3 =2, ao=8, a.=5. a.=7 tr â&#x201A;Ź !r-. & rmde deducem cd an = an+6k pentru Vn,k e N'.

si a =,_n+6 r _n

cr aa=z*e.g =a6o+ a6o =a6=7. z. evcm (r.g)(x)= r(e(^)) z-c(*)= _(:x = z + z)= _3x si (s. fXx)= g(f(x) = _ 3f (x) + 2 = 3(2 x) + 2 = -3x + 8, deci (r. g)(x) _(g = _3x _(_3x rXx) _s, + s) = = " n

VxelR.

3.Avem

f(x,)=f(xr)>:xf+r=rx]+r+

V x], x2

e lR ,

xf =^]

deci func1ia feste injectivi.

_ iF=G=

=x,,

4'Fie A={100,101, ,999} multimea numerelor naturale de trei cifre. observim ctr {.. 999-99 900. Fie A,= {100,150,...,950} submullimea elementelor lAl = divizibile prin 50. Observam ca elemenrele lui A sunt de forma 50.k. unde k=F.deci l4,J =1g.i,' i;J

In1=_: 18-_:r ' =l--l e00 50 lAl

lE.

concluzre, avem o

5.A, B, C coliniare

Yc-Y,q

u-(-2) | -(-2) a+2 3 - Ye-Ia ^= --;--; = --;_:_ o i__<f IXB.XA -, 4-l -l -l

6. Conform teoremei cosunusului, avem cosA

AB2 +AC2 2.

-BC2

AB.AC -

+52

a= _4.

-72

2.3.5

6.s

Varianta 37 1. SA se calculeze suma I + 4 + 7

+...+ 100.

2, Sd se determine imaginea funcliei 3. sa se arare ca numarut

f :R_+R, f(x)_

siniarcsinl

_,).

1"*1.

,,"[***{ ] esre natural. -/ \

4. Sd se determine nurnarul rermenilor ralionali din dezvoltarea binomului

5' Fie ABCD un pdftat de rahrrd

6. Sd se demonstreze c4

-^la*Ji

sinl05'

str se calculeze lungimea vectomlui 4

(J7 * f),

eg+Ac+IrD.

d::

.(.

sunt

bannri 1-,Jixervam

cosA.

termenii sumei aparlin unei progresii aritmetice (a,, ),,,,, cu ar = 1

:=a2-at =4-1=3,deci a,, =al +(n l).r= 1+(n-l).3=3n-2, VneN".Avem ek =3k-2 -100<:) k=34, deci 1+4+7+...+100= ar +a, +.. +alq =S34 = (a, + a,4 ).34 (l+1oo).14 ..

2. Irnf

={reRllxe

m,f

(x)= y} . Avem f(x)

=yo

Ecuatia admite solutii reale daca gi numai dac6 A = l':

oect

)

lml =l_.r0

a111=y51

+x+ l-Y=o'

- 4 1.(l - y) - 4y - 3 > 0 <r ),.1;,_.1,

(

..6) l- r

l l rr) :r:=1eN. -+sinl-l= 2) 2 \6/ 2 2

3.Avem E=sini arcsin-l+sin arccos-:

6 le

prin 50.

-.5 t .r.Avem 11,, - c;('/2J Observtmcd ru-, c

-,1+l ao (J2)

-.4 -.k+l - 2'--ci(J2) -.krl ('/21 (J2)

e k-lFfl4.6l

Deci dezloltarea contine trei termeni rationali, respectiv

AE+ed+AD = (AE + AD)+ ac

Avem

lzncl =

6. sinlO5". sin(+s"

k=0.5.

T:,

Ta $i

- ec+eC= zet.

:"[--. deoarece e,c = Jesj + Bc' - v5

.unde

oeci

lee

n- +.to]

t;'r:F v' v' f , 22 2 2

-oo /) sin45 cos60 +cos45 sin60 - 11

Ja*Ji

Varianta 38 1. Sd se arate ca log,

Str se

e (t, Z)

determine valorile reale ale iui m penmr care x2 + 3x + m >

0, oricare l

fi xelR.

3. Sd se rezolve in mul{imea numerelor reale ecua{ia sin x + cos(-x) = 4. Sdse arate ci, pentru odce numAr natural n, n > 3, are loc

5. Se considerd dreptele de ecua(ii d1 :2x+3y+l=0,

+ll

.AC +

relala Ci +C] =C1.,.

dr:3x+y-2-0

x + y + a = 0 . SA se determine a â&#x201A;Ź R pentru care cele trei drepte sunt concurente. 6. Si se calculeze perimetrul triunghiului ABC, gtiind cd AB = 4, AC = 3 9i

rn(<gec) = oo' .

3<4:>

4. Sa se determine numdrul tunctiilor

f: {t,2,:}

5. Fie ABC un triunghi care are AB =

-+ {0,t,2,3} Pentru care

f(1)

este numar

Fr.

6. Sa se arate cA sin

=2Ji

AC = 3 1r BC

rt _Jt

. Sa se calculeze

-:-:

lezolv'dri

| -Irl{J-:-.2| |----

I..{vem z-'

l<3 t.Avem

tt.

-a+) =-:^'-

=-1 , b=4, 211, xr

=t,

c= 3, A=b2 -4ac= 42-4 ( xz

f(x,)=f(x,)= x,tI-*'* Xr

> x,x, e (1,".)=

x1x1

r..lvem f(t)e{0,1,2,3} si

:duri

t7=0=

0. Deci

f(l)

posibile. Pe de altd parte,

*em 2.4.4 s. -r,vem

(-3)=4. .,,, =:!*=

I .' x1 xr-l!-11=g;'

\r-x2 =0.;,xr

-l

=3,deci x2+4x-3>0e xe [1,3]

=(x,-x,)- IId=0= Xtlj itemului

-l -lVJ

[2)42

-1

3.Avem

-2-Zr\15

XtX:

=xz,deoarece

f(x,)-f(xr):?

numar par

xr,

x2 e

(t,-)=

xr = x2, adicd fiincfia feste injectivd. ,deci f(1) poate fi ales in doui

=r(t)e{o,Z}

Pot h alese fiecare in patru moduri, deci

f(2),f(3)€{0,L2,3}

= 32 de func{ii posibile.

AE.AC = AB AC.cos A =

ifica

a sin15"-sin(45'-30')=

AB2 + Ac2

-Bc2

z'+* -(zJl)'z

2'AB AC

t; t; Jt I 5in45'.orl0 -cos45 51n36'= Il !i-t

_J;

Z=7

Varianta 40 1. Se corsiderd

a€i{.

$i numarul

co.pl.^. =314. z+a\

2. Sise demonstreze ca dreapta de ecuatie ,r

=x2

Sd se determine a pentru

y=2x+3

care z€lR '

intersecteaza parabola de ecualie

4x+12 intr-un singur punct.

Jjili

3. Sd se rezolve in mulllmea numerelor reale

..uut,"

4. Se considerh multimea A = {1,2,3,4,5,6}

. Sa se determine

;ereche (a,b) din produsul cartezian

AxA,

sa avem

egalitatea

probabilitatea ca, alegAnd o

a+b=6.

: i s>fr, :-E=Er ::s:b!-

iB{- l-

r---

.---

r sl-r:t

Ed*i

Olr tr Gider, Ue+fraS.

r(e-b)-sin(a-b)=sin2a-sin2b,

punctele

M(2,-t), A(12)

pentruoricare a.be

ldfi a+2i _ (a+ 2i)(2 - ai) r--{sr!t -- --' z = --V =

.^t -

z+i-

4-a2 (>-=0<]

4+a'

+(4-a'?

--;--J_-

deci

e lR ,z

In(z)= 0:>

=+2.

2. Coordonatele eventualelor purcte comune dintre dreapta (d) $i parabola (p) sunt soluriile (in ipoteza ctr exista) sistemului format din ecua[iile dreptei 9i ale paraboler, respectiv

[y =2x+3

. observSm ct ecuatia x2. 4x + 12 = 2x + 3 <a x2, 6x + 9 = 0 admite solutia 1, = ^, - o* *, r dubli xo =1, cdreia ii corespunde y6 2xo + 3 9 = = . in concluzie, &eapta (d) 9i parabola (n) au h comun doar punctul T de coordonate (xo,yo)= (3,9) I

3. Se impun condiliile x€

-.'o I

,Jn[0.,o)

. fr

L2)

lal=

t. ft

e"em ] -..o J

\ , respectiv x >.o<r xe[0,o),deci Lt,-J .,D;:l = * 2x -t = x2 x2 _ 2x + I 0

)

-x=l€l-..(, 4. Avem

2x-l>0e

> la*al =0, = 36. observdm ci M ={(a,b)€AxAla+b

- {tr.s).12.+).1:.:).{4.2).(s.r11 ,i lMl -s.deci

,- s 5. 1 14! = oa, oM + ori o, - oe + oe r"*']', - li - r, - j + i+sJ = -MBl = IMA l;.sji = .,fu. = 6;

6}=

(zi - j)

o=JYl

1144-

6.Avem sin(a+b).sin(a-b) = (sin

a cos b + cos a

sin b) . (sina cosb

- cos a sin b) = =sin2acos2b cos2asin2b= sinra.(t-sinru)_(t_rinru).rlntu= sin2a-sin2b pentm Va,betrt.

'1,2)

Varianta 41

ri 1. Sa se arate cA numArul l00ls2

+V ,

2. Sa se determine imaginea funcliei

este natural.

f:R -r lR. f(x

3. Sf,serezolve in mullimea numerelor reale ecuatia

f (3)

-lx x'+l

3x+l

-3x +8.

f : {1,2,3,4} -+ {1,2,3,4}

4. Si se determine numtrrul func{iilor

:-rl

care au proprietatea ca

=7.

5. in sistemul cartezian de coordonate xOy se consideri punctele

sâ&#x201A;Ź determine ecuatia

A(2,-l)

$i B(-L1)

dreptei care trece prin originea axelor $i este pamleld cu dreapta AB.

6. Fie a gi b numere reale astf-el incat

sina+sinb=l $i cos a + cosb =f.

Sd se calculeze

ite solutia

oora (p,

-b). lalvdri :os (a

(-3) 4-3 le N l Imf -{veRllxe n,r(x)=y} .Au.rn j!=yo Ix: 2x+y=g. x'+l t..\rem

l00rs2 i

= (l0rBr)'?

,fll

Pentru

y=0,

;btinem x = 0. Pentru y + 0, ecuatia admite solulii reale daca qi numai dactr

s=4-4y2 >ocr ye[-t,t].o""1 L1= [ t,t] 3..{vem 3**r=-3'+8<> 4.3" =8e 3* =2<> x = logr 2. {. observdmcd x,ye{t,2,:,+} 9i x+y=7;' x-3 $i y =4, respectiv cazul x=4 $i y=3, ieci f(l)+f(3)=7= f(1)=3 9i f(3)= 4, respectiv cazul f(l)-4 ei f(3) =3.v316t1. Fnfiu f(2),f(4)â&#x201A;Ź {1,2,3,4} pot fi alese fiecare in cdte 4 moduri posibile, deci avem .

2 4-4=32 deastfel de tunc1ii.

5.Avem m_

Ya-Yr ='-\-',=._ :9=

X,{

d[AB

ii oed.Din

-Y

Yo=

Allae

unde m=panra(AB) . Fie d dreapta cu proprietdlile

- m'- rn -2. -d.

2 2\+3Y m'(x-xo)= Y -1x=

6. Avem sina + sinb =

avem cos' a + cos2 b +

cos a cos b =

cont ca sin' x + cost x =

(sina + sinb)t = t2

1 4

ry1'=

panta(d). Din O(0.0)e d.>

sinr

a + sin2

b+ 2sinasinb = 1. Similar,

AdunAnd cele doud relalii membru cu membru, gi finind

pentru vx e R, obtinem

= 2+2cos(a-b):l - *r(u-b) =-f

2 + 2 (cos a cos b + sin a sin

- al 3 1

Varianta 42 l.

Sa se calcule./e partca intreaga a numdrului

()^ 2,Slse rezolve in -?,F. sisremul

'-] + +

ly=x--Jx+l

lY=2x +x-4

3. Sd se rezolve in multimea numerelor reale ecualia

ar.tg"+ur.ctg1=1.

4, Sb se determine numdrul termenilor rationah ai dezvoltini 5. Sa se amte

({6*r)'0"

ci punctele A(-1,5), B(1,1) $i C(3,-3) sunt coliniare.

6. Si se calculeze lungimea razei cercului inscris in triunghiul care are lungimile latunlor

4,59i7. Rezolvd

l.Avem

r l--f

tl' .+ ? / | \ )n ltnl | l-tar l-1=u. =-.1 -= ---!4\ 2'7 -3',1' -. 3'/ rll L27 ) _t. r

\ J/

-3x+l=2xr +x+4<r x2 +4x+3=0, cu soluliile x, = 1 gl v, =-1 inlocuin.t in y=x'- lx rl, obtinem yr (-l): -l (-l)+l=5, respectiv

2. Avem x2

-'I _.. ' r' 1,51., rlql!,r. S=t( arctsx+ar""1n1=1o arctsx =1 or..,n1= arctel <> x - I . unde am folosit tll-tJJ

y:=( l)- I ( 3)-l 3.Avem

' sunt 19.deci solutiile sistenrului

faDtul ca arctsx + ar.arn* = '

4.Avem

I Denlm vx e .rt. 2'

. -. r,,' r l" . {6)"' T*,,=ci""(Vsl Ci:,";;i \"'i

15eQ li lMl

sr5

ci'.,,_. t \v'J

unde k = 0. I 00 . Deoarecc

(S)-.q<> 4/k<r kâ&#x201A;ŹN{=10.4,8,. .,96,100} , tleducem dezvoltarea

100 4

contine

- 26 de rermeni ralionalr.

xa observdmcl xo - I "22

=+.deci

ticular punctele A. B qi C sunt coliniare.

)(,

B este mijlocul segmentului

AB.inpar-

6. Fie

a=4, b=5, c:7

$i e =

8 . Conform lbrmulei lui Heron. avem

p(p ,Xp-tXp-.) = vtr;:i = 4,uG . Pe de alta parte, avem s = p. r , unde reste

lungimea razei cerculrri inscris in trrunghr. Oeci .t..,4, = Ar

Varianta 43 1. Str se determine valoarea de adevdr a propoziliei: ,,Suma oricdror doud numere

[ationale este numir irational". 2. Se considerd functia

rturilor

f :R

ili, f (x)=x+2.

SA se

rezolve ecuatra

f(f(x))= f, (x)

3. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia q* -2^ =12 4. Fie mul[imea A = 1 1.2,3,4,5.6] . Si se calculeze probabilitatea ca, alegind o pereche (a,

b) din mullimea AxA. produsul numerelor a 9i b sd fie impar. 5. in sistemul cartezian <le coordonate xOy se considerd punctele

A(l,j)

C(-l,l) . Si

calculeze aria patlarului de diagonali AC. 6. SA se demonstreze ctr

sinl05'+sin75'

*Jt 2

Rezolviiri

l losrt

Afitmatia este falsi. De exemplu. pentni

t'.. -."6,

avem a,b e

.+u='[+(-Jz)=o.e 2.Avem f(f(x))-f(x)+2- (x+z)*z=x+4,deci r(r(x)i= i, (x) <> ex++=(x+2): <> x+4=x2+4x+4c) xl + -1x = 0 , cu solutiile xr =-j xe

{-r.0}

dar

x: =0,deci

3.Folosind notatia

2':y,

y > 0 . ecuatia

vine

yt,y=12<r y2-v-12=0,cusoluliile

)r = -3 e (0,:c) , respectiv y. =4â&#x201A;Ź(0,.o) . Rcvenincl la notatia 2^ - y. obtinem 2' = 4 = .tine

{.obsenimci lel =o,aeci rmpare, deci

in par-

le'l

9i numai daca a gi b

5. Avem AC =

la><el

=lel'-6'?-J6.Fie A'={1,3,5}

le''a'l -le'1':=3r -9.

impare, adicd (a.b) â&#x201A;Ź

J(-l-

penrru

A\ A', a..t

t)'] i (r-lJ' - 2./: . 5rirnd ca .l

.,a", diagonala, respectiv latura, unui pAtrat, obtinem cd unde S reprezinti supralata pEtntului de laturi a = 2.

submulfimea numerelor

V(a,b)eAxA,

avem ab impar dacd

il' = 16- !4 = 0,r., Al -L lA

aO,

unde am notat cu ,,d", respectiv

alt = 2\lt )

)

g= 3: =z{,

6. Avem sin105' =

t;.+VZ t; 4

+s'l= /

sin60' cos45' +cos60" sin45'

_-q \ _ -- :stnl/.^^" st "" \ l6u - /)-t | stn ' sln /)

sinloo'+

tu) -'

oecr srn

- Jl2 Ji2 ,122Jl t; t; _-" VO +{z

IU) +srn t: - ^ -,.-

*Ji 2

Varianta 44 1. Sa se determine partea realA a numirului complex z

|l+l

2. Sd se determine valorile reale ale lui m penku care x2 +mx

+l ) 0, oricare ar fi

xeR. 3. 56 se rezolve in multimea numerelor reale ecualia arcsin 2x =

-f2

4. Se considertr muljimea A = {0,1,2,3,.. ,9f . Sl se determine numdrul submultimilor mullimii A care au 5 elemente dintre care exact doui sunt numere pare. 5. in sistemul cartezian,de coordondte xOy se consideri-punctele

se determine distanfa de la

6.sriindca '

B(-1,2) si C(2,-2).

punctul O la dreapta BC.

ca sincr=f .sasecalculeze crgc. ".1+.r 5 \2 )I ii

Rezolvdri

1, ll .:----: :\::'-,.)2 := -2i =-i = Re(z)=0. l+i (l-'Xl+') 2

l.Avem z 2. Avem

x2+mx+l>0

pentru

3. Se irnpune condilia 2x e

4. evem

lel

= 10. Fie B =

qi numai dacd

A=m2 -4 <0

I r rl |

Avem arcsin2x [-1,1]<+ x e | -:,: 2 2)l.

^ r-- 1)t=-sln I-->lx:slnt 2 \2)

Vxâ&#x201A;ŹlR daci

r I

<; ne(-Z,Z).

--2 >

l ll

x= -sln-â&#x201A;Źt I -.2 2122)

{0,2,4,6,8} submullimea numerelor pare, iar C = {1,3,5,7,9}

submullimea numerelor impare. fvident lnl = lcl = s . O submullime de 5 elemente dinhe care exact douf, sunt pare (deci celelalte trei sunt impare) poate.fi formate

posibile, unde am tblosrt cA avem C3 = Cl =

= fO

in C! C]

t6g mr6ud

y-2 x-(-l) Y-Ys x-xe yc ye- Xc -Xg<? -2-2 - 2_(,1) la.o*r.n-rl =r\-3y 2_0.deci d(o BC) = -:#_:1 =:'

5,.rrem (BC):

_=_â&#x201A;Ź,

Y!+ +J

crel: .n l=

_{lem

cosc

cos0

=q=-.=sm(I

i.-___-fj)'

0=) .oro = -J ,in'o -

.lr -l -

v \5/

deci

Varianta 45 l. Si se determine

partea inrreagA a numarului

gfr

2.Fie x, 9i x2 solutiile reale ale ecualiei x2 +x-t:0, Sbsearatec6

\+beZ. x2 xl

3. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia 2 .3* + 3t-* = 7 . 4. Se consideri multimile A = {1,2,3,4} $i B = {1,2,3,4,5,6} . Sd se determine numdml

irtiilor

strict crescAtoare

f :A-+B.

5. in sistemul cadezian de coordonate xOy se consideri punctele A (1,3 )

:r -3, -l)

. Sd se calculeze

6.Sase arate ca

,,r,1

z (sinrS -sintS")=J7.

(s'[

+ r)

zlsJz

5v2_1 (sJi). _t #

.l ,el

I I

o**ral

-"*'l

5Jt

6.-> 5Ji+r> j

5J7+1

.11.,.

!.-{vem S=xr+x,

lungimea in5ltimii duse din varful A.in triunghiul ABC.

kolvdri L .\r'em _-F-

, B (-2,1)

Din

+r) 111-i1. . /i ,

> 1411r r, ,"ro..tiv 5J7 + 7

4ysm 50 > 36 -

< 5.2 + 1 = I I

.,60

1.5f'7*1.r- ltf *tl=,

l9i p=x,x, = 9--1 = -9= aa

-l 53

.41unsi

Xr Xr xi+xl x2 xt xr x2

J:O

3. Avem

2 3i+3'^=71.3- -.> 2.32^ +3=7.3^. Folosind notaJia 3* =y, y>0,oblinem

. ecualla ^t

^ -/y<) 2y' +J= -1y,3=0.

notalia 3^ = y, obfnem

x2 = 1, deci x e

a. Avem lAl = alegerea unei

=i-

,-' =r,

{-logr 2,l}

a 9i lel = o.

cu soluliile

I y, - -. respectiv y.. =3.Revenindla 2

='"*.,[;]=-t"g32,respectiv 3', =y: =3>

Construirea unei tunclii

submullimi {br, br,

b3, b4

scrise in ordine crescdtoare br < b2 <

}

f: A ) B

sEict crescttoare presupune

B , ale cdrei elemente le putem considera ca hind

< b4 9i definim

f(k)=

, Vk

= 1,4.

5.6 .= l5 asemenea funclii. x-xs .- y-l x ( 2) .. Y-l-x+2.5.Avem(BC): l-Ye ' ' Yc-yg Xc-xB -1-1 - -3-(-2) -2 -l

Deci avem C; =

y+5=

0 . Lungimea in6$mii duse din vdrful A in triunghiul ABC este

lz.r-r-sl --:4 =-4J: C{.{.Bc}=-4= /r: r ,'r J5 5 o.Avem ^ z

,r: z

, |

\'l

75' - 15' | -." ,.,\ \sln/) slnl) l= l^ 2s. 2 cos

5" +

15'

4sin30"cos45, =

Varianta 46 l.Fie (a")",,

o progresie adtmetich. Stiind ca a1 +are

=10, sdse calculeze

2. Sd se determine valorile parametrului real m pentru care ecualia x2

au +a,u.

-mx+l-m=0

are douE rf,df,cini reale distincte.

3. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatra lg2 x + lg x = 6 4, Se considerd

multinile A - {1,2,3}

funcfiilor strict descrescatoare

B = t1,2,3,4,5} . 56 se determine numdrul : A -+ B , cu propdetatea cA f ( 3 ) = 1

5. in sistemul cartezian de coordonate xOy se considerd punctele

P(0,3). SI

se determine coordonatele

M(2,-1), N(-Ll)

punctului Q astfel inc6t MNPQ sd fie paralelogram.

6. Si se calculeze lungimea medianei duse din A in triunghiul ABC, qtiind cb AB = 2,

AC=3 si BC=4.

lr-olvdri l-,\r'em formula termenului general an =a,+(n l).r', Vne l\', unde reste ralia progresiei E:tnetice. Atunci ar + ale = ai +2r+al +18r = 2al +20r, respectiv a6 +ar6 = =3 -5r+at +l5r= 2ar +20r, deci a6+al6=al +a,o = 10.

lnem

ind Ia --l+

xr-nrx+l m=0

Ecualia

:=( -)' lune r

-r- Se

fiind

4(r-m)

impune condilia

adnite douA riddcini realc distincte dacdqi numai dacd

+4m 4>0<>

x>0<> xe(0,.")

-.(-',, z-2"6)U(-z+zJi,*).

Folosind notafia Igx = y, etualia devine

:;-y=6<> y' + y - 6 = 0 , cu soluliile yr =-3 irrnem lgx, =yr

=-3=

x, =1g-r

$i y: = 2. Revenind la notafia

=-l,lespectiv

lgx2

=yz=2-.>

lgx=y,

x2 =102 =l0O,deci

t .rool i[1000 )

{- O frrnctie

: .11,2,3

} -+ {1,2,3,4,51 este stdct descrescdtoare dacA Si numai dactr

:{r)< r(2) < r(l). in ipoteza

ai -;

1.4

r(l)

= 1.

o6t1""-.a {f(2),r(r)} c {2,:,+,s} formi {arb}

= U functii posibile, eiact cete submullimi de

,:.3,4,5) , definind f(2) =min{a,b} si f(t)=rnax{a,b} 5.Avem Mlri =

=('"-xr).t+(yn-y").j= -:i+2j

-*oi . (f fu) j. e...

MNPQ paralelogram daca

<r-*oi*(:-yo) j-,:i+zj<1 coordonatele

xe =-3 9i 3-yo

, deci avem

admite multimea

er=(*r-l<0) i+(v",vq) i=

numar

daci QP = M)li <>

=2o

xu =3 qi yo

=l>

Qare

(*0, vu ) = (:,t).

\/,A.er + ecr )- ec':

Conform teoremei medianei, ml

a6+4t6.

-m-0

- -" = ,B = +

unde

reprezintd lungimea medianei din A.

narul

r(-1,1)

-4

Varaanta 47

ram.

AB=2,

Sa se arate ca

numdrul (2

- r.)'

i)a

este inneg.

2. Si se determine coordonatele punctelor de intersectie dintre &eapta de ecuatie

y=2x+l

$i parabola de

ecualie

y=x2+x+1.

3. Sd se rezolve in multimea numerelor reale ecualia Zr, * JGF =tt probabilitatea 4. Sa se determine ca, alegdnd un numir din mul{imea numerelor natwale de patru cifre, acesta sI fie divizibil cu 9.

5, In sistemul cartezian de coordonate

xoy

se considertr

C(:, Z) . fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. 6. Sl se arare cd

punctele A(,1,1)

Sd se determine ecuatra

, B(1,3)

dreptei OG.

2.(cos75'rcosts')=./6.

Rezolvdri

r.Avem (2 I i)- -3+4i . (3 = -7 + 24i , respecti"

iai)'

= _7+24i , deci

(z-i;'= 1z*if

=:7 +24i_7 _24i= _14 eZ

(z*i1'{12*i)']'

= -'1 + 24r = -7

24i

, deci (z + i)o

1t*+iy' = +

- i)o =

2. Coordonatele punctelor de intersectie dintre dreapta

(l)' y=r,'***t

sunt solufiile sistemutut

(a),

jv=21*l Ly=x'+x+l

y = 2*

* 1 9i parabola

> x2+x+l=2x+l=

.> x2 - x = 0, cu solufiile x, =6 $i x2 =1. inlocuind in y= 2x +1, obpnem corespunzator Yr

I gi yr=2xr+l= 2 . I + 1 = 3 , deci coordonatele sunt (x,, y, ) = (0, t), respectiv (xr, y, - (1, 3) . )

=2xr+1= 2.0+l

intersectie

punctelor de

2**JGl7=ll<t JO*l =ff-z* Se observi'cf, este necesari conditia 1 t rr r - 2x > 0 o - . -;] etun.i JGF = r I - 2* > (Jr6 - *, )' = {r r - z^), = [

3.Au"-

>16+x2 =121- 44x+4x2

-44x+105=0,

soluliile

*r=3e

(

\a tr-l =i*l--,i].

4. Fie

lAl

=+ 3x2

lll

[-co,-]

, respecttv

deci x =3.

A = {1000,1001,...,9999} mullimea numerelor naturale

9999

(

de patru ciftb. Avem

999 = 9000 . Fie A, = {1008,1017,....9990,9999J submullimea multiplilor de 9.

Observam ca 1008

=9.112, 1017=9.113,...,

9999 = 9.1l l1 , deci

lA1=llll_l1l=1000,

tooo

= =1 ' - I,A,l IAI e000 e

de unde deducem ca o

5.Avem x.. "1 coordonatefe 6. Avem

rxB+xc

-r

u- -Ya*YsrYc

+ cos 15"

2.2"or75'!\5'

"to' )b

- l+l+2 - )

(xu.yo)=(1.2). Atunci (OC):1=l <) Zx-y =0.

2 lrcos \J 75"

GI;vr vz ="! j't=

- l+l+3

"os75"

-15"

4cos45'cos30" =

rreaiG ate

Varianta ztg l.

Sa se determine partea

2. Se consideri tuncria

reali

numtrului complex

f :(0,co)_+lR,

f(_)=*y;.

(-.6*i). Sd se

calculeze

(f"f)(512).

3. Si se rezolve in mul{imea numerelor reale ecuafia cos 2 x + sin x 0 = .1. Se

consideri mullimea M={0,1,2,3,4,5} . Sa se determirr" :rogrietatea ctr a, b, ce M gi a < b < c.

nur*,

5. Sd se calculeze distantra dintre dreptele pualele de ecua{ii x + 2y = 6. Paralelogramul ABCD are

AB =

scalar Ae. AD

BC =

2 ti n({BAD)

orp,"r"lor (a,b,c)

2x + 4y = I I

= 60.. Sd se calculeze

+"u z=(-.F+i)' =l2lcostr+i"intrll= | \ 6 6)l

runzetor de

lk{z)

.r.'BE

Ldi{ia

= -6a

26 (cos

r + isin r) =

.(-l) -

-64

f(512)=+=:= it5t2

4lz,

I I .-/l\. I (f "fx512)= I =t e"[*\v./ J=_r=2.deci ./r \i8

:,:(5r2))= r[;,J=, -lTlm cos2x+sinx=0<+ l_2sin2x+sinx=0<r

rr=y,

[-t,t],

obfnem ecuatia 2yz

tnic, deci putem forrna

_y_t=0

c2=l]!=20

sol4iile V, = _j. [_f,4 9i y, =r e[_t,t].

de triprete

sin2 x _ sin x _ I = 0 . Folosind nota{ia

(a,b,c) cu proprietatea

(d): x+2v=6 9i (d'): 2x+4y= <> 2x+4y-ll =0. lr 6+4 z. r o-|ll ^ ..t lz nn(d.d') = - --l--.6 J22

-{rern

.qz Jzo

observdm cd

<b<c.

A(6,0)ed=

At.AD= (AB.Ba) AD= eE.eo+ec AD= AB.AD.cos(<BAD)+ Bc, =

2.cos60' +22 = 5.

Varianta 49 l. Si

i/7 este rational. 2, Se considerd funclia f :R-+R, f (x)=p1: -2rnx+m-1, m e R' astfel incit f(x) <0,pentmorice xER. sd arate ca

numirul

logo

+ logo

m € R" . SA se determine

3, Sa se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia 2x + 2r+r + 2'-r = 56 . 4. Fie multimea A = {1,2, . ,1000} . Si se calculeze proEabilitatea ca, alegdnd un element din multimea

t.-

lVn In

5. Fie triunghiul ABC

3..-. 1 =:AB,:CA6, $riind ca x

)

A|.

ai M

€

acesta sa fie numar ra!ional.

(BC) astfel incit laC = -1eg

. Sd se demonstreze ca

c 0.I

ci tgr ,3.

sd se

calculeze sin 2x

Rezoludri

Avem logo

2.Avem

*[ . tog.,lE roe. {F - ioe-.,[ = i -* = * Jn

f(x) <0

pentru

a = (-zm)'? - 4m(m -

Vx€R daciginumaidacd n<0,adicd me(

1) =

+p 3 0, adicd m e (-cc.0] , deci m e (--, o)n

"c,0) ,9i

(-.,

o] =

=(-o,o)c1R-..

2 +2''r- 2' r= 5b.- 2t-r/r - *l\ ''l -'\ r'- srro )' \- *)r <>x-l-3<> x -4.

3.Avem

a.Avem lel -t066, d."i incdt n=k3

=rooo l{Vn|".A}l =lnl

observdm c6

nes lt'ltc lt'2'. rr n'|'e= I r

Vn.?o

lke N" astfel

.t0'f .Err.lrnr |q=ro.o".'

p !f

lAl

=1000 - o.ol s.

. l. \ t.eM=eC+cM= -cA-MC= -eA-f -1cel= _CA. "ICA I ABI -:AB_ -CA. {. 4

\,r

2trx 23 6 l O. r\\'em slnlX = ----:1+ tg'x 1+3' 10 5

)

!rt

5.1

:esl

ri( 58

Varianta 50 determine

* a"lr"ilrl.

O*.rrnine

aeR

astfel incdt numerel e 2^ | , 2_a+2

2. Sdse arate cd vdrful parabolei

y=xr+(2a-l)x+a2,

:aaoe 4x+4y=1. 3.

ssra aze ca

dacl z este solufie a ecualiei zz

SA se arate cA,

+ 2z + 4 = 0 ,

2u*r +

catculeze

loa

[AB] ti [CD]

fie inprogre_

este srtuat pe dreapta de

afinci z-:'8 --=l). z

4. Sa se determine probabilitatea ca, alegdnd un numlr din multirnea str fie divizibil cu 2 si cu 5. 5. Trapezul isoscel ABCD are bazele

+1,

Il I lt ... snl

9i lungimea inaldmii egala cu 4.

l uDl

6. Sd se calculeze tg20, $tiind

del0.1 \ 2) I

9l slnq

=-.

kolvdri l._{vem:2at,2^,r*1,2u*, +1<r Solosind notatia 2u

=x, x>0,

2"_r

+2"*t +l=2(2_^*t

ecualia devine

I*2^ =!*16 zx2x

xr , --8.e (o.co). respecliv

ix2 -2x -16 = 0, cu soluliile

+l)<p 2.:42,*, 5x _

=2_"*3 +1

8+x:)

2 e (O.co) .

Revenind la

Dta{ia 2a = x, obtinem 2a =2= a=1.

<:)

1 Parabola y = x2 +(2a

-l)x +ar

(za-t)'-+a2

.4a

are v6rful de coordonate

xv = -?3:1

N'astfel lBl LAI

=-4a+2+4a-l-!,

deci vdrtul V este situatpe dreapta de

Fiezosolutieaecuali,er zz

+22+4-0.

8 -222 -42-g -'tz-6 _ =-22_4_1= -.2 , 1-

-:CA 4

z2 + +22+4 zz+4 _2.2-

Fie M = {l 1,12,...,50}

ineN,

Evident

z+0

e*"r,!

5i z2

= 2z_4=

_!= z

_2.9 = O.

Evident lrvrl=s0_to=eo.observimcd

deoarece c.m.m.m.c.(2, S) t 0 . Atunci =

O"'-Ol=rf

2/n

5/n<> l0/n,

M,= {n â&#x201A;Ź Mll0/n} = {zo,:0,+o,so}

lui M formatd din numerele divizibile prin 2 prin 5. deci p = 9i

este

lMl= = 9, {! 40 1 4

lul

AC gi BD, iar M ei N mijtoacele bazelor AB, i::,....:l5l:**:,^":1"^o*:..drr"nalele CD. Deoarece ABCD este trapbz isoscel. uvern oa _ Ori-9t il'=;; =;il i"A; ONICD= OeMNqi MN -L AB:=> MN=4.Avem Ae

=aM+iurN+Nt

sD=BM+ffi*ND,

deci

ac+gD= (errl . ela )* = 2MN=2 4=8'

o+2ffi+o=

zMN - (NC - ND) =

=2ffi= lle 'r nol = lzt'aNl o.

o*-

[0,])=

cos cr > 0

srn c[

6""1

si ts.2o

"o'o 2tsq

= --=;I

cos c!

- tg'cr

-iifi

^12 z'=

- ::: t?o 119 / rl \2

\si

Varianta 51 multimii 1.SAse determine iurn,rul elementelor

(A-B)n2,9,11n6"5 4=(-3'4]

B = (r,51. y punctelor de intersectie a dreapta = 2. Sa se determine coordonalcle

y=x2-x+3

2x+1

t--

numerelor reale ecualta 3. Sf, se rezolve in mullimea

cu parabola

J^ LIU'^:L-t

4.Siserezolveinmulllmeanrrmerelolnaturaleinecuatia2*|<2048.

5's6secalculezedistanladelapunctule(t,t)ladreaptad:5x+l2y-4=0. ca ctga = 2 9i ctgb = 5 ' 6. Sb se calculeze tg(a +b) $tiind Rezolvdri

- B = (-3, 4l - 0, 5l = (-3' nlnzl= -2.-1.0'rll= 4

1. Avem A

11n

11',

deci

(^ -

B) n7L =

rnte^ecfie dintre dreapta 2. coordonatele punctelor de

(-3;ll-lz

= {-2',

-l'0'l} -}

sistemulur ii parabora sunt solutiile

[2x+t=y 1 -. 1-'t-L1> x] - 3x + 2 = 0 , cu solulile x, =1 9i xt =2' x--x+J=z^ar -fY=Y--x+-r yr = 2xr +1= 2 1 + 1.= 3.' respecti" tt -)a-+tnlocurno ur y - L^ ' " , /" r\ tirl*,]t*",=r,.+r,oblinem rr -: /_ , i'"rt"-.|1z''1' ]

=2.2!l=5.

Deci punctele de intersectie sunt

,e[t.,.)

(x'

y' )=

(l'31 5t 1x2'yt

1-=

2 xzoe xe(--1t:'' ,

' ' -r tl )l ^'.mJt-1.J2-x=I?tvx-r{vz-^, xâ&#x201A;Ź[,co)l l(-cc.z1= _-'--0= (x- t)[z-x1=u: x-t'2-x'2.r/illl)(2- x) = r> zJ{*-t)(z-*) ' =

x e {r,z}

4. Auem

2i'

c [l, z]

ar0o,o

2"1

vneN]n>5.deci lxâ&#x201A;Ź

<2t1 ox!<11 9i 0!= 1=

Nl2^r < 20481 = {0 1'2 31'

<21--2<3t=6<11<41=24<nt'

+0 =

r.,{rEn dist(A,d)= ls t*tzit-ilr/5'z +

l -{r!m

tga

132

rg-,.

tgu=-L=1 .deci tg(arb) - '5ar(tsu - 2 5 ' l-tsa tsb I I crgb ) 25

9 -19'

Varianta 52 l.

SA se

f :1R+JR, f (x)=

arate cd funclia

l4x -81_2.14_2xl este constanti.

2. Sd se determine a e R pentru care parabola y = x2

doui puncte distincte comune. 3.

3,+l

SA se

rezolve in mullimea numerelor reale ecualia

- 2x+ a-

s. str se determine

. .6. !t{At.

m€lR

astfel incat d =

.{vem l-xl =lxl penrru vx€lR,deci r(x)=l+x_al_zj+_zxl [tru Vx € lR , adica functia feste constanta.

2x+a-l

oai dacd ecuatia x2

,t:

:,8;l (-'6)*.',

(.6 * f)t

ii AC*g.

Sa se carculeze

= l+x_al_lr_+xl=o

=2x+3 au doutr puncte distincre comune dacd si -2x+a_l=2x+3<+ x2_4x+a_4=0 admite douA riddcini reale

4(8

-a)>

5*;, ;,,;'

= r,.

(_o,8).

-'r o 1* - r)[1* r)' - r] = o <>

Termenul general al dezvolrarii este T*_, = C5

lo-uC|

9i dreapta y

cr a = (-+)'z-+(a*4)= rulur

=2x+3

(m+l)i +8J 9i n=(m_l)i_aj safie

Triunghiul ABC are lungimile laturilor AB= 5, BC =

Parabola y = 12

$i dreapta y

+t=x

4. SA se determine numArul termenilor iralionali ai dezvolttrril

parabola

(..6)'-* l*

unde k = O9. observtrm ctr T**, e

= CI

(6)t

(.,[)*-'

e <> (..6 )*.' . e c>

k+l€{2,4,6,8,10} c> k€M={1,3,. .,9}.evem rationali, rospectiv observdm ca pentru coliniari. Atunci ',.4

[

m=l 9i

lMl =5, deci aezvoltarea conlrne 5 5 termeni irationali. = obfnem u=zi+gi qi n=-ai, vectori care, in mod evident.

l0-5

sunt coliniari

<>m*l ,l -.] =.j=_z_ _=1.R_{4

< nl ,

6. Conform teoremei cosinusului, avem cos A

",",",(;)

-(<.q)

= oo'

*;ii;;-it'

+d t2.5 1

5. Ob

deoarr

I.b=

varianta 53

Sdsecalculeze

lJzool

l' rl {-;f I r]

reprezinta partea fractionara a lui x. 2. Sa se determine imaginea intervalului

.unde

[xl

6. Fie

reprezint5 panea intreagA a lui x qi

f(x) [2'3] prin func(ia f :lR--rR'

3. Si sc rezolve in multimea numerelor reale ecuatia

tft S Ji

{x}

=1r-4**3'

4.Sdsedetermineprobabilitateaca,alegindunelementalmullimiidivizorilornaturaliai numirului 56, acesta str fiedivizib-il cu 4. incit Fie vectorii;= i*j' u=i-: 9i n=6i+2J Sd se determine p' re R astfel 5.

; pa irD 6. Si se calculeze lungimea razei cercului iircumscris unui tririfilhi care are lungimile lanuilor 5, 7 9i E.

Rezolvdri l.Avem 44 -t916< 2009r2025 -45'z--> 44<J200s <45

_-_-_= > |[V200ol-aa 1

1-r-rt=?, a*i [.,Doosl*r | {lr-\) = oo*t'l=

I-1I=-1-t-rl= ilrl-:'''3'---

i-lJ

::1laa

oa.

2.Avem f(x)= xr -4x+3= (t-Z)? t' VxeR Observim cd functia feste strict cresc6< f(x)< 0 toare pe intervalul [2.-)r[2,3].deci 21x<3= t(z)< r(x)< t(:)> -1

=v' vv e [-l,o], :x e [2,:]' = 2 + r& ^ oeci [-r,o]c r([2,3]). in concluzie. f([2,3]) =[-t'0] x e [-4,-)f'][o'-) 3. se impun condiliile x+8>0c) *eI e.-) 9i x>0e xe[0.'o) ,deci

> f ([2,3])c[

1,0] . Reciproc,

-[o,o) . evern J**s

-J;

I1-;3=ya{Ji +4=

= .,(+s = nf +z =

Jx =1=

(J* 8)' "

! AB;

cosA

incat f (x) ' ustftl

(J;.4' -

"=1.[0.')

Avem A={1,2,4,7,8,14,28,56} mulJimea divizorilor naturali ai lui 56 observdm

ci submullimea elementelor lui A divizibile prin 4 este A'

= {4,8,28' 56} '

lz=olvdt

l-.{.\'em

=9<2 ci

Se im1

lAl =

le'l = + ' 4"t;

) I

AI D=-=-=0,5. '82

-4x

iobsewamca ;+6--zi--> )

t=;(t-b) 5' a-6=zj- i=](a

;)

.o'""i

r, .\ ,' r(ri +b)+i b= 4d+2b= pd -rb= p=4 tr r=2. i .6i +2j=o-(a+u)+2-(d-b).\ = ^/. iroarece vectorii

-4x

sunt liniar independenli (mai mult, sunt perpendiculad, deoarece

b=0).

6.Fie

luixgi {

d 5i b

a=5, b=7, c=8,

:=$10-a10 -t; VJ =

*l*

6110-4 = ..l'io s

t to. conform =

3, =lo^6

formulei lui He?on'

Avem

4RS=abc=n.=*=

und. R este lungimea razei cercului circumscris triunghiultri

-i.

Varianta 54

)r naturah astfâ&#x201A;Źl

1. Sd se calculeze partea intreaga a nurnarufui

2. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale

(.6 + J7)t

in..u"tlu

3. Si se rezolve in multlmea numerelor reale ecuuliu Vf 4. Se considerd 9r

.x)<

" dezuottar.u (VF +.,[)on . sa ,. d.t".-ine

ff =2

termenul care ii conline pe x

la aceeagi putere.

=zi+j, r" = i+l]

=li*zj

vectorii de pozilie ai vArturilor triunghiu.{BC. Si se determine vectorul de pozifie al centrului de greutate a triunghiului ABC 6. Si se calculeze lungimea nzei cercului circumscris triunghiului ABC, qtiind ca BC = 3

s.Fle ro

rict crcsaa-

9' r.

aat f (x.)=

8,.o)0[0, o

eu..

(.,,6

*.,F)' - rc+ 2Jz.. observdm ci (Z)'

-g <2Ji <to- t9<ro+2J2rczo* vdm

impun condifiile

1-x*0<r x*l5i

lAl

A'l =4, deci

\ en-r

2x-1> lx.2 I-x l-2x -

-ax2

_:?

[to

1- 2x

+. 4 ^.

rs = 5'

[1-- 2x)- (l

- xx3x

(1-x)(r-2x)

++x-l-(-3x2 +x+2) (r, xxl-tx) OJ

2. JJi. 5 =

t=-10 (t r *0<> X +-a' oecl xâ&#x201A;ŹlK-<-. l')

t"-l\

-l Jx t 2 - ^ l-x 1-2x

+ 2)

J )

= (x -r)(zx -r) < 0 = ". (;,1). -{;,t}, avand A = -3 < o.

deoarece x2

-3x

+3>

0 pentru Vx e R,

o*i -.lj,r.)

{2-x=z x<- (iD x)' .(2-x)r <r 2-x=(2-x)r<+ e (z -x)[(z - *)' -r] = o o (2- xX1- x)(3-x) = o + s = {r,a:}

3.Au.,',

VJli-*

=zc>

2^'

4.Avem

t,on-u, |.

-,4o-k (Jv) c\";: Tr,r al"(V-')

aceeagi putere

daci

numai

daci

1,-

v2. unde

:.' (as - t ) = ! 2

4.]

ci|

*'oy'o

2R=

0.49 Deci x5i vsuntla

k = 28 . obtinem Tro =

- -. =]('",'"*', ) ,(oi ol) '2i+2j. 1r ,ina=,inl- f I 6.Avem cosA -->0=A=-r

s.Avem

5.t conform teoremei sinusurilor, avem

oA--

o:n=]-=2..uiJ.- R=.4.

sinA

./3

5.A

Varianta 55 l.

Sdse calculeze

[-.6]-{-2,t1 ,.tde [x]

reprezinti partea intreagd a lui x 9i

{x}

reprezinta partea frac{ionari a lui x.

* v' = 13 .

2. sa se rezolve

mul{rmea R x 1R .irt.-d

3. Si se rezolve

mullimea numerelor reale ecua.tia 4*

]*t

lx+y=5 - 5 2'*r

N, x ) 2, astfel incat C':" +Ai = 30. O(0,0), A(2,1) $i B( 2,1). Sd se determine

+ 16 = 0

4. Sd se determine x e 5, Fie punctele de vectorii

Oe qi OS

6. Sf, se

cosinusul unghiului format

calculeze tg2x , ;tiind ca ctgx = 3

catete

Rezolvdri

l.Avem

=4<8<9=32

<3> -3<-.6<-2- [-\6'] =-l 9l = 0,, - [-.,/8 ] - {r, s\ = -3 - 0,2 = -3,2

<^,6

\-2,8\ = -2,8 -l-2, 8l = -2, 8 - (-3)

lezol l. Fie

ib=

aFie S=x+y=5

ii P=xy

P = 6 . Atunci x gi y sunt solufiile

:: = 3. Deci (x,y)â&#x201A;Ź{(2,3),(3,2)} 3. Folosind nota{ia

2* =

x2+y2= (^*y)t -2xy= gz ,2p= 5z-2p=13> ecuafiei t2_St+p=t2-5t+6=0,respectiv tr =2 ,i

Avem

y > 0, ecuatia devine y'] -10y+ 16 = 0, cu soluliile yr = 8. Revenind la notatia 2x = y, obtinem 2xr =yt=2= xr =l, respectiv

!; :t: =y2 =8=23 -

rAvem rt la

=3.Deci xe{t,:}

="#+=

(x-l)x , ., _ :) + ( x 1) x -

-_:tr

= 39

Avem

ctgx=3:)

=G_; = tx-lrx.decr

> :(3. x _ t) x = 30 +

=-4eN li x, = s . 511J2,.).

5. Avem oA- =

-zi

.lt - ctgx

Deci

x=s

l0Al

.qecr

=2,i

Li +Ai =30=

(x * 1)x = 20 + x2 _ x _ 20 = 0, cu soluliile

este

solutia ecuatiei.

=,'r' - 1' = .6, ldl

=,Irt'*l,

,.-l

_ltpx33 tgz\, =--+,. :-, I tg,x

(

t\'

;I '-l\r./

-=_ 8 4 s

Varianta 56 1. Si se rezolve

2. $tiindcd

mulfmea numerelor complexe ecualia 22 + z :3 + 4r . sunt riddcinile ecuatiei x2 + 3x + I 0 s6 se calculeze = , xf

x, gi x,

3, SI se rezolve in mullimea numerelor realâ&#x201A;Ź ecuatia l+5x _2.25x

+xl

=0.

4. Se considerd dezvolta.ea I' a2 +l t)" a+0 sd se determine rangul termenului careJ '

{;j

a-.

i2 - t2, ltiind ca n,n = 3i + 2j 9i [ + n = 2i +3J. 6,-Si se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi &ephrnghic care are : de lungimi 5 9i 12. 5. Sd se calculeze

Fie z

=a+bi, nade a, be rR. Atunci 22+z= 2(a-bi)+a 4<r a=l$i b=+,deci z=t-4i o)

+ bi

= 3a-br =3+4i <,3a =3

Avem xr + x.

(-:)'

-3 si xlxz - 9 = 1, deci xf

+ x,

:.r=-ra.

3. Folosind notalia 5" = Y l

= I € (0,cc). Rev€nind

54 lk

Ci a '

. unde

' -+l

r,., = ci (.')"

Termenul general din dezvoltare este

-:- ^' 'k=0.9 Ubtrnem

aa pentm'o

-y l-0'cusoluliilc la notatia 5. = y, obtinem 5^ = 1-

y>0,ecua{iadevinel+y-2y2 =o

''v, = :2 e {0..:o ), respectiv =x-0. .1.

x] = (*, 'r *, )' -3x'x2 (x,

^l -18

I 7a)

jto

2y2

=o<> k = 6 ' deci termenul cautat

este T? = C3 a4 , avind rangul 7.

5.Avem

d2-nr (ri

)

(

r r )=

( .r

)

(

rrj)

r'z

. z : = t:

f:- -_---; +12' =l3 Tinand cont de are lungimea 15' ipotenuza Pitagora, lui teoremei 6. Conform ci 2R = 13 = ca ipotenuza este diametru in cercul circumscris triunghiului dreptunghic, obtinem

Varianta 57 l.

Sa se arate ca

nuntl-1

2. Sa se arate ca (x2

..fi*a.6 .6 "rt" nutu,ul'

++"+S)("'?+ 2x+2)>1'

oricare ar

xeR

x+logr(4x)=+' / . \2oo + care nuJ contine pe x din dezvoltt* '

3. Si se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia logl 4. Sd se determine termenul 5.'Se consideri dreapta

d: 4x

lW Ji]

0 ii punctul A(2,1)' Si

8y +1=

x>0

se determine ecuatia

dreptei care trece prin punctul A $i este paraleld cu dreapta d

6' Triunghiul ABc are

AB=2' AC=4

m({A)=60'

str se calculeze lungimea

medianei duse din A.

Rezolvdri

Avem 1 + +.Ji = 22 *z.z

JI *(J1)'

J7+4J3 =2+J3-./3 = 2eN. 2.Avem x2+4x+5= (x+2)2 +l>1 Vx e R, decir(x2

+ +x +

= (z

*..6)'

pentru Vx€R" $i x2

s)(x'? + Zx + 2) >

pentru Vx € iR'

(z rvrJ = 2+.,6

+2x+2= (x+l)'z+l>l

pentru

irsrune condi{ia

-r- Se

x>0<> x e (0, o.) . avem log,(4x) =log:q+log, x = : rlosind notafia log2 x y = , ecuatia devine y2 + 2 + y = { e y, + y _

x:)=

:: =-2 9i y2 = l.

Revenind la nota{ia

-A.r'em

= 0, 200 .

T*n, =

/ I Ci."($) zoo-r. l-:

5' -{vem

z = u , cu soluliile

=t=

2, deci x â&#x201A;Ź {1,2} c(0,"o) L4 l t00_t k \r __ 440 5l ^r :t:-^ r r tx.,7 -2oo t-X. (io6 ^t 6 .unde 2" = x ^ =

nul

contir le pe x este cel pentru care exponentul

400-5k _ 0 <_

ClSo .280.

d: 4x-8y+l

roprietatile d,lld si

=o.r y=1"*f -rn =f

Aed,.Din d,lld=

und.

rn = panta (d) . Fie d, dreapta cu

=rn= j.unde m,=panta(d,)

=13=

Drn

A(2,1)ed'=+ y_yA =m,(x-x.\1=, lui Piragora

qJ_-_-

l_r=11r_Z);

ge ne

nrr

medianei duse din A.

*_Zy=6,deci d,: x_2y=s.

ralizard. avem bC2 ABr , A( .2 j-2AB l"I 1..:..1.is6U = I2 . Aplicend teorerna medianei. oblinem 2(s' - AC, - ec] z(2, _ n, _ ) )_ t2

1""

(J;l

Termenul care

k = 80, deci Trr

Iog,

log,x=y,obtinem togrr, =y, = _Zo

=t<r =2-2 =1, respecriv log, xr =y:

-1-

ACcos A =

=V/.unde m" reprezinti

lungimea

Varianta Sg x>0

uaIia

Sd se calculeze partea reala a

2. Sd se determine axa de simetrie

3. Sd se rezorve in nea acesta

m"u,-""

11a 1+ tl

a ,"-.,.,'"'lL'"ll:.T:i:,:

:;l',

j(') ='"' - u^ * '

4' Sa se determine probabilitatea ca, alegand un element al multimri A = {1,3,5,...,200e} sd fie multiplu de 3. 5. Se consideri dreapta

numdmlui complex

d:2x+y_l=0

puncnrl A

(:,2)

care hece pnn puncnrl A 5i este perpendrculari pe dreapra d. o. rre tnunghiul ABC care .A! = AC = 5 9i nC = O. centrul de greurate al triunghiului ABC

T: la dreapta

BC.

. SA se

determine ecualia drcptei

se calculeze distanta de la

Rezolvdri

r.4y66

2=]{

0+41)(4-7i) 32+sl 329rr 4+ii- (++z4pJ=_ V;V= ;.+-t:.1= ..65 o) o) Re (z)=: 67

2. Ara de simetrie a graficului funcliei fare ecualia

3.Avem 3**,+:r-=roJ.:" devine 3y2

-lOy+3

r.-l=

b __(-3)

s.:r-+:=r0.3".a","rrar"i"1,",t=,r,=1lr.0,""r",,"

0, cu solufiile y, = j. r.rp..tiu y2 = 3. Revemnd la notafia 3x y, =

oblinem ,_._..." _.'r _r_xr 3\r =r,.=l.-4. observim ca _ lal

x=xv

2oo9

-=_l, . respectiv 3x, =yz

=3= x, =-1 ,deci xe{_f,f}

,.. 2_ --,J05, iar elementele divizibile prin 3 sunt 3=3.1,9=3.3, 15 = 3.5, ..., 2007 = 3. 669,in numir de Sll 331 I = rrr, d..i o =

Avem d : 2x

l = 0 <+ y = _2x

l. a..i

,n = _.2,

""0.

iili"f.l.

,n =

Fie d, &eapta

care

verifici propriet5tile d,_L d 9i A e d,. Din

Din

A,â&#x201A;Źd,= y-yA =m,(x-xA\- - l, '1= v-2='(x-3)= x-2v+l=0'deci

d':

d,I d =: _,=_1=-l o''=panta(d') m --'unde

x-2y+r=0.

6.FieMmijtocut larurii BC. Atunci

BM=M;=!g=3.oir, aJ=ac=

Aplicand teorema lui Pitagora, obfinem AM

=.,mr

greutate al riunghiului ABC. Avem d(C.BC)

Ep,4: =

=cM=j^r=i

imparte fiecare mediana, in particular pe AM, in proporliile

Bc.

= 4 . Fie

centrul de

unde am folosit faptut cdG

respectiv gy = I *Arvr= 3, : AM.

Varianta 59 r.saseara,ecanurna*r,*f,

lJ.*[, jJ.*[,_i), .*[,_#].*.ro.,

2. Sa se rezolye in mulfimea numerelor reale ecuatia 3. Si se rezolve

ar=f

probabilitatea ca, aleg6nd un elemen, uf ,2OtO) , acesta sd fie divizibil cri4, Oar ,,

"on.lo"ra

punctele

_ "1

5 ,

_.lforit#

". i" ir,r*U ." ,.

A(2,m) ti o(m,-z). sase aetermine mâ&#x201A;ŹlR

6. Str se calculeze sin2 x gtiind , cd ctgx =

t 68

b-------

:1*

mullimea numerelor reale ecualia log, x +

y * g".Tne ,^o; a, = p,4,6,... st

astfel incat

blvdri

*l' j).

r-r,em,e[,-i)-*(,-i) ==

/r\

/.)\

9e)

Pennu xe(-co,3) , ecualia devine

- -

x + 4 = I <> I =

x-3+x-4=1>

=vaga devine i.

=uagie 3- Se impun condifiite

rta

(d')

t.i=j=

-uatia devine .

=32 =9,deci

{. observam cd

4 rlcdG

la1

99\

_x+3_x+4=l> 1

/ I

#)=,,1h)=-,.u x=3e(,--"o,3)

relalie indeplinitA pentru Vx â&#x201A;Ź

pentru x e [3,4],

[],4]. lent u

(+,_),

x = 4 e (4,"o). in concluzie, x e [3,4] reprezintd soluliile

x+l,deci xe(O,f)U(f,o)

2y2 5y+2=0,,;itsoluliile

h notatia logrx=y,oblinem log, x, =y,

=x:

rul de

x>0

;;

t 23

f .f rJ.''f;J-r*l;,J-','l-,J-'*t;

=uatra decine x

rpta

.*1,-#J=

Folosind notatia

=1,

respectiv

logrx=y,

y, =2.

Revenind

,,"specriv log3 x2=y2=2_) ", =.,,f

x.{.6,1} .10,r;U1r,-;. 20j0

= toos. p1s

s=lneal+rn}

= 1+.s,r2,.. .2004,2008} . Evident

rot. p;s 6 = {n e als / n = 1ala,z+,.,2000, 200s}. Evident lcl = 3{q = 25 } CcB,deci {neAl4/n, 8+n} -B-C are cardinalul le-cl =lal_1c1 = 502_2sr_2st, =

- ill 1005

ceci p =

5.Avem

AB-

t/tz -)'+fm-( z)]'=

.rz(m'? +a)=ro 6.Avem

m2 = 4<>

U/:(m,*+).deci

4c+

flrlr+1-a-

m=12.

sin2r,= I = I = I I ' crg7x I.6? 37 Varianta 50

Sa se arate ca

2.Fie

x',

Z(t+l+t,

+...

x2 solutiile ecuatiei x2

3r)< 3r.

+5x-7 =0.Sdse

arate ca

3. Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecualia log,

4. SA se determine x e

N, x )

3, astfel incat C3*, =3.

x r log,

+x] S=

este intreg.

S. S< ;onsrderi punctele

:.::

A(2,3)

B(-3,_2) . Si

se scrie ecualia mediatoarei segmen_

-tB

6. Fie vectorii

i.gtiindcd u.v-5,lul =2

9i ltl = 3 , sa

S=xr**. = -!=-5 ti p=xrx2 = !=-j,a".i l; **;

calculeze cos(<(n,n)).

Rezolvdri

l.rvem 2(l-J+J: 2.Avem =

r...,r')-

(*, * *, )' -3x,x, (x,

3. Se impun condiliile

15 devrne y+-=rr

+ x,

x>0

= 52

25 . Deci

l<. -

(2x-q)(:x-:) _, =--r--' 1= Li\-, = 2x2

x+t>

xe(0,1)U(1,.o)

-7x+3=0.

=i=

3>2

<r x

-:)(2x

cu solutiile

( t t,

"l-;;

led>

-3-2

y: _2. Revenind la notalia

-y. =23

1, indepliniti pentru xâ&#x201A;Ź N, x >3.Avem 3),deci c3*_1

=:= (x_z)(zx_:) =3=

y-yr,a m'(x

*r, ljb

m=panta(AB)

MeAB.Din dIAB= (d):

=rri

*,, =-'t.1.t1f1,-l.Deci x=3 ", =]nll.respech\ t )2 )

4,r"-. =JE---Ia= :31-1,un4. Xs dIAB

Folosind noratia log5x=y,ecuatia

x, =16, respectiv log, x,

5. Notamcu M mJjlocut segmenrulur AB. Aruncr

-Xr

{"6,2s} c (o,r)U(r,.c)

solutia ecua!iei.

Atunci

1.3,.

2y- -5y.2_ 0.cusoluliile

4, Se impune condilia 2x

)= (-s)r -:.(-7) (-s)= ,230ez-.

logrx=y,oblinem logr*, =r,

^'= -l

,r,

=r+

. Fie d mediatoarea segmentului

= -1 , un4e

AB.

m,=panta(d).Oin

| | 1\ yv)- y-+, --+lz -l \

este

"*y=0.deci

ecual,a

mediatoarei segmentului AB este (d) : x + y = 0, reprezentdnd bisectoarea cadranului al Il_lea.

o.A'em cos(<(u,t)l-.1 , l,il

5 ,",= 23 =l6 lil

Varianta 61 1. Sa se determine x real stiind ca numerele x + I

("(r,i)

, I - x ii 4 sunt in progresie adtmetlgtr xl +5x -6 cu axele de coordonate

2, sdse determine punctele de interseclie a parbolei y =

3. Si se rezolve in multimea [0,27t] ecuafia

sin x + I = 0

4. Fie multimea M = {1,2,3,4,5,6}. Sa se determine probabilitatea ca, alegdnd una dintre

r$multimile mullimii M,

aceasta sd aiba 2 elemente.

5. Punctele A, B qi G au vectorii de pozi{ie r-\ = 4i

E determine vectorul d! pozilie riunghiului ABC. 6. Fie vectorii

[

sd se

calculeze

j, h =2i j,

=4i+4j.Sl

punctului C astfel incat punctul G sd fie punctul de greutate al

9i v. Dacd

, ecuatia

4ia

+'7

lll = t,

lvl = Z 9i mtrsura unghiului vectorilor

d 9i

este

(2u+')(2i-il)

lzzolvdri

l.Avem:x+1,1-x,4<) 2(1-x) =x+l+4<> x= 1. !. Ecua{ia x2+5x-6=0 admite solu.tiile xr = 6 9i x: =1,deci Pentru

x=0

oblinem y=92

kev.-+ x. este

a.Avem

lvl

lui AB.

<+ x

= o . l4ultimea M admite 26

;ele cu doud elemente, deci p =

1)r

:t5

=64

**'r[ jJ-ot= ( '

= {(-6,0),(1,0)}

1)u*'1*kn,und.

!"} ,^} {to .6 6 |

de submultimi' dintre care

=4n

n n-Inl.lvl cos(<(u,'))= l 2 cosl=l. 2lnl'?+zlul'?-u

6=15

sttnt

t o =i(.,-'; h)=,.=:'"-,^ r* -:(+i-4j)-{4i-7j)-(2i-1)6.evem

ecualia

-l

zlnlg.2^l= {+-^ -: ]t ( ,)'-'I ' 6' rnlr. ru | r

I 2

nox

+5.0-6=-6> crn'Oy=1(0,-6)j .

3.Avem 2sinx+l=0<> sinx =

v= 3l-2

decr

oi-oj

(2n+i) (2n-[)=

=9.

III-lea.

Varianta 62

x-5 sunt in progresie geometrica tuncfa f :R+R, f(x) -x2 1*-2. sdsecalculeze f (, (f(-t))).

1. Sdse determine 2. Se considera

x>0

gtiind ca numerele x,6 $i

3. Si se rezolve in mullimea numere tor reale ecualia 71

.*lr^

],J

=..t{.l<

-lJ

4. Sa se arate ca (n t)'z AlviOe (2n , pentru oricare n narural. )! 5. Se considerd punctele a (3, Z) ti B (6,5) . Sd se determine coordonatele punctelor M

ii N ltiind

ctr acestea impart segmentul

[aU]

A, M, N, B. 6. Sd se detennine numerele naturale mile laturilor unui triunghi obtuzunghic.

in trei segmente congruente, iar ordinea punctelor

este

pentru care numerele a,

a+l

a+2

sunt lungi_

Rezolvdri

::x,6,x -5

1. Avem

respectiv x2 =

6'?

(-+)'

I e (0,-) ,deci x=9

este solutia problemei.

2.(f(-1))

z.(,2\=--4,\al

+( 4)-2 = r0, deci r(2.f (-r)) = r0.

Au.- .os[2^ I

+.1.l .,r=

\ zt z - lx-ll-

2--+

4. Observim

*' -5* - J6 = 0, cu soluliile xl = -4 € (0,co),

x(x - 5) <+

f( r)=(-r)'?+(-1)-2= 2=

2. Avem

r(-+)

ci ave-

zkr, adictr x = (2k -l)r, -rfI - -+].'/ = 2x +I2 = x -1+ 2

ztr.aaica *=

2ln.*a. kez

(2n)l

(2n)!

cl'" = n l.(2n - n)!

(nr)'

Deci

* ellzu-tlnlx.ztJ4lu.z

' Ir

,.(

pentru Vn e

gi cum

Cl,

+(nl)'?r(zn)t, vnex. s. Avem AE = (xe

xo ) i

+(y" -

yo ) j =

:i +sj, ol"i = oA +1AB

= 3i

2j *

+(l;

* 3l) =

, _ )_ _ _ ) , -4i -3j.deci coordonateletuiMsunt(xr.yr)=(a.3).ON=OA+:AB=3i+2j+;(3i-3jl = 5i +

deci coordonatele lui N sunt (xN, yN = (5,4) . ) 6. Se impun condiliile a>0<> ae(0,o) ti a+2<a+a+l<l ,

a€(0,-)n(1,-)nN= [2,.o)0N. respecrrv cea de lungime a r

Fie

a>le

a€

(l,co), deci

miswa unghiului opus celei mai mari dintre laturi,

2. Avem.oro.

ar'(a-l)2-(ar2)2 2a -a2 . .3. Triunshiul 2a(a - l.) 2a(a l)

este obtuzunghic daci 9i numai dacd cel mai mare dintre unghiwi, respectiv cel opus celei mai

mad dinfte laturi, este obruz,

-)^ -1

^2 ;;|],i.0 ta\a + r)

ob;inem a'

o*t

t<coscr<0<> -1

".[i.^).-

- 2a I < 0:r

(-t,:),

.d;2a

de unde deducem cA

,3.6.p1n

.:r-1.3)nNn[2,-) ={2} r:

, adicf, a

=2.

Observam cA, pentru

I -- - 2 2- J =-lr-D indepliniu =-->-l'deci este

a=2,obtinem

+#=

$i condit

iu .

t.^!^ ,2u-3 za1arl)

Varianta 63 l,-),

1. Sa se arate cA

tirul (u" )".^

. de termen general an =

este cresctrtor.

2. Str se determine coordonatele punctelor de interseclie a parabolelor y = x2 + x +

t=-x2 - 2x+6

3, Str se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia ,in 4. Suma coeficien(ilor binomiali ai dezvolrtrrii

2knl.

" IK -)l

(:"'

termenul de rang patru. 5. SA se determine me lR astfel incAt dreptele'd,

â&#x201A;Ź Ee

l,* 1)=r,nIr**n1 \ 4) \ 4,r

Sy)"

este egah cu 32. Sa se

: mx+3y+2=O.$i du: 2x+y-8=0

concuente.

6. Fie ABCD un patrulater. Sa se arate cA, daca Ae .BD=O, ahnci AB2 +CD2 = =AD2 +BCz.

:i+ri)=

4ln+ll 4n +[(n+t)(n-3)-n(n 1) r\ \ ra)l '.1 a- -a = --i--------1- " - L'| ' = --:-;__-------: >U " n *4 n +3 ln+4lln+ll (n +n)(n -:) \_' ,/\" ",/ Vn e N, deci girul (an )nâ&#x201A;Źri este crescator.

-A-vern

-tJr +Jl

Coordonatele punctelor de intersectie dintre cele dou6 parabole sunt solutiile sistemului ect

v=x2+x+l

lre laturi,

.i= _.r'_ r"'.

+x+l=-x2 -2x+6- 2x2+3x-5-0,cusolutiile *, =-i ti

;elei mai

:0.Din

erem

y,, -- 12 + l + l = 3, deci =[-:, l' *[-12)1*, = ]2,,.rp.ciu 4 \ de intersec{ie au coordonatele (t,, respectiv (xr, y, ) = (1, 3). )= [-;, ?], | ,\ / .\ y-L

= I . la care coresnund Vr

sini.x-1J=sin[3x+IJ=

3.x1'Lo=

itqo-r)nlrl,I respectiv 3x +1= n

t*;*l".

a 21to, cu mullimea sotuliilor

-[" -f).to^,.' t)

mullimea soluliilor

r] observ.m pentru k = 2n - 1, obrin.- 13\11)1 t*#l-. r)nl I lrzt.rrnl JI{+n ' ttl.=v\ I cd.

(1o

J",

6".1

l+ l--J'l 4l'--J

'l4tl {lzt-')^lt.z}

tn conchvie. mullimea sotuliitor ecuatiei esre

l.rl

4. Suma coehcienlilor binomiali este

t=Ial

=2".deci 2" =32cr n=5.

k=0

Avem T.

-cl (2x':)- f-rf - l0 4.xr.( r25).y'= d, qi d,

5. Dreptele

lmr+1v+)=o * l^ " ]' ^ ",

-5000xay'.

sunt concurente dacd 9i numai dacA sistemul fonnat din ecualiile lor, respectiv

udmite solugie umcd, adicr A

l2x+y-8=0

=lT

]lll = m-o *

<.r m + 6

meR

- {6}

6. Fie O punctul de interseclie al diagonalelor AC 9i BD. evem e,C BD = 0 <+ AC -L BD. Aplic6nd teorema lui Pitagora in tiunghiurile dreptunghice formate de laturile patrulaterului gi

punctul O, oblinem AB2 +CD2 AD2 +BC2

OA2 +OB2 +OC2 +OD2, respectiv

=OA: +OD2 +OBr +OC2. Evident AB2 +CD2 - AD2 + BC2.

Varianta 64 1. Sd se arate ca Sirul (a"

),,,,, de termen general a,, = n2 n,

este strict monoton.

f :R-rIR 9i g:R-+R definite prin f(x) = x2 ..2* * g(x)=x-2009. Sa se demonstreze cd, penrru orice xâ&#x201A;ŹR, (f. g)(x) >0. 2. Se considerd functiile

3.Saserezolve in (0.n)

d, :(m

4. Sdse determine 5. Sd se determine

mâ&#x201A;ŹR

2)x

+ 4my

ecualia,e[^-*]=,cf+--l -l -12

) xeN, x)3,qtiindcd C) ' +Cl,f <9.

qtiind cd dreptele

d,:mx+(m+2)y 1=0

sunt paralele.

6. Fie ABC un triunghi

cu tge = 2 , tgB

3 . Sd se determine masura

unghiului C.

Rezolvdri

l.Avem a,,,,

u"=

>0 penrru vn )1. deci 5irul (a"}"., [{n,r1' 1" r1] (n' n)= 2n

este strict monoton (mai precis: strict crescator).

2. Avem f =

(x)=

+2x+1= (x+1)2 >0

(e(r )+ t)- > o pentru vx e

pentru vxe,R,.deci

1i.g1(',)=i(e('))

Scimpune

conditia,*1*1o

+=+ o"..,r["*tJ

"-;

(6k-tlrT rr 1T .-J'r-^+kr:a x= "

unde

=o(]

-)=->

keZ.

"'{*#l-.2}nro^t I ;} {;#}

.\vem

..gj](9=e= f-

:rn[3.".)T] 'l))

R-l6l IBD,

-lvem

rterului gi

-x-16

..[Lf,tf]

S0-

*",

' lo'."Yo' = J.,.ol

^ m m-2 - Jm, d,lld,.. t -^*2--1_g ,,n m_2 4m _r2= 4. '

.1vem

c] ,+c| f <e+

L-')

z respectrv m2 -2

(.-')r("-t),o"ci

=._fu=" I cl-i =*#=

=2, obtinem

Pentru ml=-3 obtin6m -'

*-i= *-f

4m_4=0.

cu solutiile

--J=-1*1.,u,. ----l--.g. 2

m,+2

*1. o."r -.{j,:}

c=r-(A+e)1, tgc=-tg(a*n;=

J94 t-EL = I tgA tsB

211,

2.3

=r=

Varianta 65 1.

se determine

primul termen al progresiei aritmetice ar,ar,13,17,....

2. Sdse arate cd funclia

f:R: --rR, f(x)= xr 12r1n

este impar6.

3. Sd se rezolve in mullime a numerelor reale ecuatia 3 sin x + rA cos x = 0 4. Sd se determine probabilitatea ca, alegand un numAr din multimea numerelor natuiale .

ul (a" )",,

trei cille, acesta sa aibl suma cifrelor egal6 cu 2. 5. Sise determine me lR, qtiind cd dreptele d, perpendiculare.

6. Stiind ca

,*9 = f '

. sA se calculeze

srno.

:lrr.+3y-2=0li du:l2x+2y+l=0

Rezolvdri

l,Avem r=17-13=4.Din 13=ar+2r=a,+g= ar =5. 2.

Avem

f(-x) = (-x)r + 2sin(

3. PresupunAnd prin absurd cd

x) = -;3 -5i1y = -f(x) , Vx e R, deci tunclia feste impar6. avem cosx = 0, obtinem din ecualie cA $i sinx = 0, ceea ce

sin2x+cos2x=I pentru VxelR.Deci cosx+0.Atunci

evident este imposibil, deoarece

6 =ul:Jcosx= ^l rsrnxrvrcosx

rt*= l.r u,

t. I I deci xel--+P71JL.2p. Lo | )

x=arcrsi -l

I+kn. ......*.-unde ..--. kcZ.

llrr.^Jll

4.Fie A={100,101,..999} mullimea numerelor naturale de trei cifre. Avem lAl = 999 Evident A'={110,101,200} este submul{imea numerelor cu suma cifrelor 2, Oeci

99 = 900.

p=$J= ' lAl

3l 5.

900

300

Avem

d,:rnx+3y-2=0<r t

Din d,

rd,

-+-.i

r-or--r- ,n=-f - l.-l.J \ 3i'

dr:l2x+2y+l=ga1

=,61-1

^cr"l tlo

6.Avemsino.

-''zJ3, _.4 1_!1 =. ,q _ /,)z Jl 4 2 r.rg_2 t*l ali \.

'/''

Varianta 66 1. Sd se calculeze

2.Sasearateca

1 3

ftactionarl

numirului

(2+i)(3-2i)-(1-2i)(2-i). este o perioadtr a tuncJiei

f :R-+1R, f(x)= {3x}

unde

{a}

este parrea

3. Sd se rezolve in [0,2n] 4. SI se calculeze

ecualia.6sinx-cosx=1.

'20 5. Se considerd punctele

A(2,3), B(4,n), C(2,2) 5i D(m,s).

astfel incdt patrulaterul ABCD sd fie paralelogram. 6. SI se calculeze cos2 x , qtiind cd tgx

Sdse determine 14 ne

blvdri L.rvem (z I

impartr.

ace unci

i)(3

2i) - (t

- zi)(z - i) = 8 - i -(-5i) =

/ r \ ( r r rl x,=lx+=l! ljx,l}= 3)) \ 3/ {:l l\ Fnxdi a funcliei I l.rvem fl

l3x}

!- ^L'em .,6sinx -cosx = 1 <) !1rin * -1.o, * x

dici Al

':k

x = (2k

+l)'rlk

+1),r, k e z

1+2kzr. -166 =

=f(x)

pentru

,.l vxeR. oecl -3

.tt1rl 1 11 slnxcos-cosxsrn2

adic6 x

6 -

este o

=62

7I ^, 7t tl t )kil tesDectrv x -- - tt=- -2kr. Jbb

. Avemji.*^lu. rln

zln[0.2r]= lr].

1or"r =

{i},'

ltr I xâ&#x201A;Ź<-.7I>.

deci

Clq ---:::. 2ot e,. " ' =- l t :jlL= {-{vem clo lot.l0! 20!

5..lvem AE = (xe -

xo)i +(ra -

r,r

)

zr +(n

-l).;

ei DE =

(x. -*o )i

*(r.

- vo) j

- m)i - 3j . Atunci ABCD pamlelogram dacd 9i numar daca De = ffi <> zi +(n-3)l = (z-m)i-:j o 2,m = 2 ri n -3 = -3 <> m - n = 0.

= (2

LAvem

cos2x--f = t.=t. l+tg'x 1+4' 17

Varianta 67 1. Sd se delermine primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi

L.6,b3,24,... 2, Sbse determine

flct

melR

astfel incAt functia

f :lR+lR, f(x)=(l-m'?)x+3,sAfie

crescatoare.

J. )a

.tr I stn2q+slnlt | sln-. 4n sln-

calculeze

3333

4. Se considerd multimea M a tutuor tuncliilor definitb pe A = {1,2,3} cuvaloriin B = 15,6,71 . Si se calculeze probabilitatea ca, alegAnd o func1ie din mulfimea M, aceasta sA fie 11

njective. 5. Se considerf, punctul G, centrul de greutate al triunghiului ABC. Prin punctul G se drce paralela la AB care intersecteazA dreapta BC in punctul P. Sa se determine m â&#x201A;Ź R astfel

irat

GP = maS

6. Si se calculeze cos2a , gtiind cd cos o =

t 77

-J

Rezolvdri

0 qi :6,b,,24 b, =^f 6Q =9.11in :br,6,b3 = =36 = 12br = br =3â&#x201A;Ź (0.oo). 2. Functia f este stict crescdtoare dacl9i numai dacd 3 - m2 , O <;

l. Avem

b,, >

sinl+sin

3. Avem

*r-fn *r-jn

+ -+ -, -+

62 = br .br

-e(_^6,.6).

4.Avrm lAl =lBl = 3, lMl =3r -27.putemdefini pr =3!=6-tunctii inlective. deci

62 ' z't 9'

5. Fie CG TIAB =

Q punctul de interseclie dintre paraleli 9i latura AC. Avem

{C'} ti

l_l l.eg, 6. Avem cos 2q =

cosl

aeci m

,[j)'

=1,

unde am folosit faptul

# =:

.1 9

Varianta 68 I.

Sa se

ale ca nun1d,

2. Si se determine

* -!l -ZL 9rit 4 Jt

me?

csre intreg.

asrfel incat funcria

f:R +l(, f(x)=(mr_2)x-J

sa fie

strict descrescatoare.

I - I * u."tg {vr

3. Sd se rezolve in lnultimea numele lor reale e cuatia ur"tg

= -1

4. SA se determine probabilitatea ca, alegdnd un num5r din mullimea numerelor naturale _ pare de doui cifre, acesta si he divizibil cu 4.

5. Pe laturile AB gi AC ale triunghiului ABC se considertr punctele M $i respectiv N asrlel incar

Av =:nari 5i '4er

sa se demonstreze ca vectorii MN9i BC sunt coliniari.

.lh 12

Rezolvdri

. 2< ?s 2514- ria,l ,3;) -. / l.A\em --:: r -- - --\ -'. .1+3i 4_3i

(4+3i)(4_3i)

)s.R

)s.ir

- 25 -.=-. 4r *3,

2. Functia f este strict descrcscAtoare dac6 9i numai daca m2 _ 2 < 0

^â&#x201A;Ź

(_"O,.try\

â&#x201A;Ź

irile*

-"..,s,f I.= ur.tgl- tr -lc-

i=+t=f :OJ

6...., 98-2.49,deci

' = 21-2 = 22 ,de unde deducem

.ttr4e

de doud cifie. ObservAm cA 10

lAl 49 4=45. Fie A'={12,16,...,96}

lor divizibile prin 4. Observim cd 12 =

a-v-

*=u5

,{-.110,12, .,981 mullimea numerelor pare

arcrr,

4 3,

=2.5

submulfmea

4, ..., 96 - 4. 24, deci

c: P=45

AM .](AB eMJr

+aM - :ed

ev lad. 4

.ll11l \4N. AN ,\M. :nC '_AB _IAc-ABI_ j BC:I MN= lBCJ

\NllBC,

de unde deducem cd vectorii

' 1

MN 9i

sunr coliniari.

t7 t:

22"ri

Varianta 69 1, Sa se detcrmine

zeC

gtiind cd

Z+7i z

f :lR +ir{, f(x)- 2' 11.

=6.

f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50) 3. Se considerd functia f:N +t\, f(x)- 3x + l. Sd se demonstreze cA functia f este 2. !'ie funclia

Sasecalculeze

4. SA se calculeze probabilitatea ca, alegAnd o verifice inegalitatea (x + 1)l 5. S5 se arate

cI dreptele

cifri

din multimea .J0,1,2,....9f. aceasta

-x!<100. de ecualii

d,:2x-y+1=0

d,:2x+y-l=0

sunt simeftice

de axa Oy.

6. Str se calculeze

Se impune

condilia

cos]1 l2

z+0-Fie

z = a + bi , unde a, b e

i*1i R qi a2 +b2 >0.Avem =6z

>Z+7i=62-) a-bi+7i=6(a+bi)+ a+(7 b)i=6a+6bi- a=6a ti 7-b=6b+ >a=0 ti b=1> z=i. 79

f(l) rf(2)+...+f

2. Avem

50 .F(zl tf(k) ,.., Z_

(501=

k=l

^ -r-

so).50

2 fnu

este

k=l

zir*so k=l

.50= 50.52=2600.

3. Observdm cd ecuatia adicA

,r)

3x+l=0

admite solutia

bijectiva, de unde rezultd

ci fnu

*= ]e

N. deci func1ia fnueste su{ectivA,

este inversatrili.

- {0, 1, 2,..., 9} multimea cifrelor. Evident lal = tO. avem (x + t)l= x! (x +l)-x! = x!.x. Observ6mcd 0!.0 = 0 < t!.1 = l < 21.2 4 < Ji.3 =

4. Fie A

=18 <

< 4!.4 = 96 < 100

5!.5 = 600 < x!.

10.1.2.3.41 . de unde deducem 5,

Observtmci (x,y)ed,

pentru Vx > 5, deci A, = {x e Al(x

+r)t_xl

< tOO} =

p=lj]=a=o.s.

lAl

I=0

(-x, y) e d, . Din (x, y) e d, <+ (-x, y) e cl,

,2x

+y_I=0

deducem

2.(,x)+y_l=0c>

ci dreptele dr $i d,

sunt simetuice

fald de axa Oy. 6. Avem

+n ,:n) r--- ir n r cos]I=cor("*tn) -- ln n) cos-:cos--sin:sin--^^"f t"'ltaJ= 12 t2 -= t"tl.i'* D ,J=

_t.,t5 _J1 Jt _Jr_J6

2 2

Varianta 70 1. Str se calculeze

(l+i)20.

2. Se considerd tunc1ia s=

f : R- -+

, f(x) = ]

. Sd se calculeze suma

r(r(-10))+ r(r(-e))+... + r(r(_r))+ r(r(r)) +. . + r(r(e))+ r(r(10)). 3. Sdse arate cA functia

f :LR-+tR, f(x) =togr(:- +t)

este injectiva.

4. Si se calculeze

5. SA se determine

me R gtiind c6 distanta de la punctul A(m,m+1) la dreapta

d:3x -4y

6Cl

-l = 0 este l.

6. Sd se calculeze

cos75" cos15'.

Rezolvdri

r. (t+l)'?=t'Z+2i+i2 =2i,deci

i)"

[1r

i;,]'u = 12i;'o = 2roiro = _2t0 =_1024.

ob,servam ca

r(rt"l)=;l= I (X/ f

=* p.n* vxeR..deci

s=1-to)+(-e)+. .+(-l)+1+2+..

+10 = 0.

1-{r'em f (x,)=r(x,)+ rog, (:*, + r) = rog, (:\ +r)+:*,+1=3x,+1+ x, =x,,deci fuctia f este injectivA. . al {.{rem Ci =*o Al -Pr CI =0 pentru n=5 9i k = 3 , relalia devine

-ri-3!

=A: -6c; =0.

!..{vem disr(A.d)=

em=-515, netrice

.71

sln4

cos75"

l'- 1(-l')l.,/:'*1-a;'

deci m e {_t0,0}

-cos15' = -z.in

| '-51 -r.= s

lm+51

=5e' m+5 =15c>

75",15"

ri n'15"

!15"

2sin30.sin45.

,/; 22

Varianta 71 l.

Sd se

calculeze log, 2009

- log,

287

x: l. Sa se arare ca funcia f estepa 3. SA se arate ca valoarea maximi a funcliei f:R +R, f(x)= 3 x4 este f(0). 2.Se considerd func{ia

f :R" -+ R, f (x)=

SA se

determine n e

) 2, astfel incat 3C|

+2C3 =g.

5. Se considera fiunghiul ABC qi punctete A,, B', C' astfel incat

eC=ZgA,,

)_ _ B'C = : AC. C' A = 3BC' . Sa se arate cA dreptele AA', BB, CC' sunt concuente. $i

6. SA se determine ecualia medianei corespunztrtoare laturii BC a triunghiului ABC, ca A(2,2) 9i cA ecualiile medianelor duse din B Si C sunt 2x+y_2=0, respectiv :tiind

r-y+2-0.

lezolvdri

l.Avem 1og.2009-log- 287 2' Avem

log,

?q2 .t- log.7 l- l-t-0.

f(-x)=(-^)'-, *' - { x)( 5=

= 11" 1, p.ntru Vx e R*. deci tunclia feste pard.

20 pentni VxelR,deci f (x)= j-x4 <3=f(0) max f (x) = f(0) . (eR

Avem xa

pentru VxelR,deci

Avem Cl

-3n*,

= t----------i--

(n - l)!.1!

(n-;)n

=8=

- n $i

n2 + 2n

\n-

er=zeA'= e'e(nc)

_(n

1)n

2)1.21

- 8 = 0, cu solulile nr

concluzie, solulia ecuatiei este n = 2

s.oin

ci _

,deci 3CL +2cl

=8=

=,4eN li n, =2.Iy1-11r,-; .tn

+:=+ A'(. t

o,n

sr=3Ac= 5

B'e(AC)

#=i=#

iDinC'A.3BCi=('c(AB) ,' #=r observimcd A'B B'C C'A I2. AC B,A C ts = t 1., - I 9r atunci, conform reciprocei teoremei lui Ceva, dreptele AA,,

BB' si CC' sunt concwente. 6. coordonatele centrului de greutate G al triunghiului ABC sunr solutiile sistemului format din

ecualiile celor doud mediane,

,"rp..,t,,

11:-"t_;110

aounana cele dous ecuatii, ob{inem

3x=0> x=0 9i, inlocuind in ecua.tia x-y+2=0,oblinem y=2,

deci coordonatele lui G sunt (xc,yc)=(0,2) . Ecuatia medianei din A este ecualia dreptei doterminate de punctele A(2,2) $i G(0,2) , respectiv y=2.

Varianta 72

1 n o),oo I este real. 4 4) i 2. Se considerd functia f :R'--,R, f(x) = xr ]. Sa r. uru,. ii.rrclia feste impard. "tr 'x 3. SI se determine imaginea funcliei f :[t,,t]-+ R , f(x) = x, , ; 4. S4 se calculeze Cloon .5,oo, - Cloon . 5,oot .4 + cjoon . 52007 .4, _... _ C;BBB .4r0. 1. SA se arate cA

nunlirul I cos:+isin-

5. Se considerd punctul

A(1,2)

9i dreapta de ecualie

d,:4x-2y+5-0.SAsedetermine

ecuatia perpendicularei duse din punctul A pe dreapta d. 6. SI se calculeze sin75".cos15".

Rezolvdri 1. conform formulei lui Moivre, avem = cos25n +isin25n =

2.Avem

cosr+isinn

[.or1*

-l

e lR .

l.ln 1']'oo = .or

l!9I

rirrJ!9 4

f(-x)=(--)'r-+ = *t*-L- f x \ "'-1.Jx/ -f(x).penrru (-xl

funcfia f este impard. l.

vxeR.,deci

t-'.3m xv

= *=: (,

scn im cd f

= r,

decifestestrictcrescitoarepe-"rti-*

fj,_)n[r,,,]= - I = 0 ri f ( 4) = 4, _ 4 = 12. Atunci imf

= f ([ r, +]) = =-l'.121 , unde am folosit faptul cA funcFa feste strict JLrrL. !rLrLdruilrs crescitoare )t continud. si conulua { }:sen im ci suma datd S este dezvoltarea dupd binomul lui Nelvton pentru :aoa ".---rf =l''" =l,deci

r-:ern

d 5i A e d'. Drn

1a)l =

m=2,unde m = panta (d). f

ie d. dreapta cu

d,Id>m'=- I =-1,und" m,=panta(d,).Din ml

rii2)ed'+ y-yn :m,(x-x. )= \+2y-5=0. .{rem sin75'. cosl5' =

lt O, r

S=1.

d:4x-2y+S-O<r y-2"*i=

d'I

[1.e]

1fr-(zs.

I z -jt- 1):xr2y

+ is.

)

5=0.deci

+sin(zs. 15.)] = 1(srn90" +sin60.) =

Varianta 73 1.

calcuteze

l-i

- tzij_{tz

2. Se consideri tunctia

+ srl

f:R +R. f(x)=12_r,r.sAsecalculeze (f.f.f"f)(l)

3, Si se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia 2* + 4, = 20 . 4, Sa se determine probabilitatea ca. alegdnd un element al multimii

= {0.5, 10,.. .,2010} , acesta sd fie

divizibil cu 25.

5. Se consideri un triunghi ABC, cu lungimile laturilor AB = c , AC = b $i un punct D + cAC . SI se arate ca semidreapta este bisectoarea unghrului BAC.

incat eD = UAE

/- \ 6, Fie cr e I,r I l, anfel incAt .orZo = -1. \z

)

A\em 15 l2il -lrz ,51r = Avem

f(t) -t'z-la =0

,/s,

_r:;'

[AD

Sd se calculeze coso.

Jrzr +s: _ o.

f(o)=0, 0i =0. Din f(0) =0 deducem ci

!"r: : f l(o) =0, vneN',deci (f"f"f.f)(r)= (f.f.f)(f(l)) = (f"f.f)(0)=0 83

3. Facand notalia

y2+y_20=0,cusoluiile yr =_5e(0,.o) ,i y: =4e(0,-) . Revenind la notafia 2* = y, obtinem 2* =4-.> x=2. 4. Observf,m cl 0 = 5. 0, 5 = 5. 1, 10 = 5. 2,..., 2O1O 5. 4O2, deci pi. = lal = a93 . A ' - 10,25,50,.. ,2000| submullimea elementelor divizibile cu 25. Obseram c6 0 = 25 .0 . 25

25.1

=b2ccosA+b2c r cosA) .

ao ac= (Uae+caC).ec-

= brc(1+cosa). respecliv

cos

--AI)-""r(tAB)=

Arunci

Fi .,

)

bAB.ACcosA+cAC2 =

cos(DIE)=ee=

bc2(l+cose)

.\/AD.ABc.AD AD.AC

tDAC/ = AD.AC

""r(tAa)- tAD=DAa= Ilt

6, Avem

AD AB = (uee+.ec) na= baB2 +cac.ABcosA = bc2 +bc2cosA =

=bc'?(t+cosA) 9i

la'-.]-

,50=25.2,...,2o0o=2 5.80.deci lA'l =8l.Atunci r

5. observimc6

= y , y>0, ecualia devine

[AD

bzc(1. b

cos

este bisecroarea

bc(l+

---lp

cos A )

oecr

6Ii.

unghiului t"

coscr<0= cosJ=-

Varianta 74 L

Sd se rezolve in mullimea numerelor complexe ecua.tia z2 +32 + 4

2. Se consideri functia

;(0,co)

+R, f(x) =;i*26..2.

SAse determine.m € lR astfel incdt grafrcul funcliei sA nu intersecteze axa Ox. 3. Strse rezolve in mul$mea numerelor reale ecualia JZ,**!r Z =0. 4. SI se arate cA C"'* - Cf.o , pentru oricare a,b e N' . 5. St se determine

melR

astfel incdt punctele A(3,3)

, e(2,+) $ C(2m,1_m) safie

colirliare. 6. Fie

(n € -.7t )l. astfel incdt \2 )

cos 2cr

I 2

Str se

calculeze sin

Rezolvdri

a=1, b=3, c=4, A=b2 _4ac=

-b t rJ-A _4.t.4= -j <0, z, )=--=

x-2m+2=0 are solufia x=2m_ o 2m-2 e (0,co) o 2m-2 !0 o m<l<+ me( "o,l].

2. ObseryAm cA ecualia

2 . Avem G, f)Ox =

-Jalv/ Z

qune

2-x

condilia

>0o

xe(-"o,2] . Avem Jz,*

*ViJ

=o<>

-..== -i!r =Vz-i- (Jr_,I =(V;y. = (z_,.), =(z_*), = =,: - ^)'(t -,,)''-':m cl*u

##5

Ci-o pentru

.-.:- (aB),

cu solutiile {1,2}

c(-"o,2]

Va, b â&#x201A;Ź N-

,",0"",'u .1.,

=;##\t, = $$

H=H*

;*=;*-

y_3=_(x_r)<+ x+y_6=0.

A, B qi C sunt coliniare dacd 9i numai dacA punctul C â&#x201A;Ź AB <+

o.l1.nl-

,u,o"n,

e lm+l-m-6=0> m=5. ,l,r'em

x. + y" _6 = 0<>

sinc > 0:> sinc =

\2)

Varianta 75

1. Sd se ordoneze crescdtor numerele

u= 1li, b=logr] lo

2. Si se determine valorile parametrului real m gtiind c6 parabola asociatl functiei i-+R, f(x)= x2 1**-2* se aflA situatd deasupra axei Ox.

4. Se consideri dreptele paralele dr

d' . Si

, d2 9i punctele distincte A, B,

numlrul triunghiurilor

se determine

C e d, ,

M, N, p,

care au toate vArfurile in mullimea celor gapte

date.

5. Sd se determine coordonatele simetricului punctului

[Bc]

, unde

BC), iar

m(<avc)

l-..i.vem a =

= 150"

!=m2+8m<0<+

BC = 4, unde M este mijlocul tui

-3. b=logrA=,4,

Parabola y = x2 + rnx

3,2) fata de mijlocul

B(1,-4) $i c( 5,-1).

6. Sd se calculeze aria triunghiului ABC in care AM f

- 2m este situatA

m e (-a, o)

c=-2, 4<-3<-2:> b<a<c.

deasupra axei Ox daci gi numai

dacl

3. Se impune condi{ia

x'+x-2>0<r xe( o,

<rJx2+x-2 =2<s x2+x-Z=4<r

2)U(1,o).Avem log

+x-6=0,

4. Observim ctr orice triunghi cu vArturile in mul.timea

(J*n;)=,-

solufile {-:,2}

{A,B,C,M,N,P,Q}

c(--,-z)U(r,o) are una dintre laturi

dl sau pe dreapta d, , iar al treilea vdrfpe cealaltA dreapta, in caz conhar cele trei varfuri fiind coliniare, iar figura geometdctr obtinutA este impropdu considerata tiunghi. Avem 4.C3=12 triunghiuri cu doud dintre vArfuri pe dreapta dr, dintre punctete {e,e,C} ,qial

pe drapta

treilea

virfpe dreapta d2, dinfte punctele

dou6 dinbe varfuri pe dreapta

1M. N, P,Ql . respectiv

dr, dintre punctele 1M,N,P,Ql ,9i

3.Ci = 18 triunghiuri

al treilea vdrfpe dreapta dr

dintre punctele {A, B, Cf , deci un total de 12 + 18 = 30 triunghiuri proprii posibile. 5. Fie M mijlocul segmennrlui BC 9i D simetricul lui A fatl de punctul M. Observdm cA ABDC este paralelogaq deoarece diagonalele sale AD qi BC se intersecteazd ir mijlocul comun (,,se

injumatapsc"), deci AD = AB

= (xo, xn )i + (yo - yo j = -*o )i *(v. - yo )i = xD =xB +xc-xA =

)

-*o)i +(ra - ro )J +(^. = t +(-s)-(-:) = -l ei yo = ya + yc - ya = -e+(-r)-z =

1*"

-7 . Deci (xo, yo)

sunt coordonatele simetricului punctului A fgtd de mijlocul segm€ntului

6. DacI

n({AMC)=

150", atunci

Ar e Bc . Atunci sin(<arrar)

s[eec1=44:-19 =

[BC]

(-1,-7)

m(<alue)= tfo'-m(<auc)= lo' . Fie AA,

44r

sin:o'=

Tr1 >

BC,

Au\, =4sin30'=2,decr

+=4. Varianta 76

verifrce dacl numdrul

2. Se consideri

.!l-Z^lZ

apa4ine

mullimii

\^*dil^,a.2\ ecualia x2-3x+l=0, cu rtrddcinile x, gi xr. SA se arate

xi+x;€N. 3. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia arctg.6 + arctgx = 4. 56 se arate cd oricare ar fi n natural, n

5. Se considerd vectorii

i+i. 6. Fie cr €

) I , are loc egalitatea Cln = 2. Cl,_r

i =i-i It v=2i+aj.

lI.r l . astfel incir ,ino = ]. s \2 )

Str se

se calculeze modulul vectorulur

calculeze

ts9 '2

U(r,." trel

(Ji)'-zJzt-(",[

'..11-:-2JJ=

r)',a".i nE

.l-:= -l+l l[ = a=-]€LSib=IeZ =

z{z U@J=p-'1=

astfel incat

,ll -2.f,2 =u*AJi--

Avem

! ", =

ial

.cu

.-,:

.rctg.,6+arctgx

.--:

c:"

lta dr, ABDC n (,,se

':=

= xr *

=1e

xrx,

ur.tg*

lc,

= y.

4..i xi + xi

lr*"1

= S,

-: :=+-

,-(tl:4

2C1,, r,pentru

2.I

=7€N

vneN..

=l:i*:jl =..6'-f = l5

;.(; ;)= tg9.(r,..) roro,indrormula sino=#,unde

'-.= ".[;,^)oblinem

=1-ur.,*n5

=#=

r-': u-i=3i+3J>

T].

= 3 $i p =

1=j)-3t'? ) l+t'

=] -10r+3=0, cusolutile tj =;e(1,"c ,),,

respectiv

=-:;11.1),6qci 1s9=3. -2

Varianta 77 l.

Se considerii progresia aritmetic?i

2.Fie

f :-d >R, f(x)

(a")",,

de ratie 2 cu ar +a4

= I + x . Sd se calcuteze

=g.

SA se determine

t( t)+t(-Z)+r(-l)+...+f(-10)

3, Sd sc rezolve in multimca numerelor reale ecuatia

4' - 2'

= 56

{. Si

se calculeze A1 -Al -Ci. 5. Fie ABC un triunghi 9i G centrul sAu d€ greutate. Se considera punctul M definit prin = -2Vd . Sa se arate cd dreptele GM 9i AC sunt paralele.

. " lO,lJ

, astfel incat

;i:Ial-al+2r=

r.."r

,ino

]

. Sd se

calculeze rgc.

9i a,, =a, +11= a, +6,deci al +at =8<? 2a,+10=8<+ l0

{l + 101 10 .lr lJ\' Frr Irr-lt ' . '"ro-t! . l0 ' ' = r0-55 = -45. /r z-' 2

i=l

t=t

t=l

3. Folosind notafia 2x

=y,

y > 0 , ecualia devine y2

=8e(0,0c).Deci 2* =8+ x--3. ]t 4. Avem A] = , ,41^.., = 24 , A4j -;j-=0. (3 - 2)! (4 -3)!

-y-56=0, cusoluliile

=-7e(0,"o),

respectiv y2

c; =:-=o.deci 21.21 -'

el ej32 -v412--

=24-6-6=12.

.MC I MC .MB 2 BC MCIMC2GA2GAMC --)_=_= _. Avem si _=_. deci _=_> cMllAc. 2A'C ] A'C J A'A 3 A'A A'C

5. Fie

A' mijlocul taturii BC. oin ME

-zMe

M e (Bc)

a*- " . (0,1) > cos., >o+.oro =J:in'o sinc 3 4 3Jj tgfl=-=

cosc a Jl

I 3

/r\2

1-ll

, deci

\4/

Varianta 78 l. Si se calculeze lors?

S;J

2. Si se rezolve in mul{imea numerelor reale inecua{ia 2x2

SA se arate cA

funclia f

:R-+R, f(x)=log,,2--x

-3x+l<0.

este injectivA.

4. Sa se calculeze numdrul diagonalelor unui poligon convex cu 8 laturi.

5. Fie ABCD un paralelogram

)/_ _\ BP=:{BA+BCl.| 3\ 6.

P un puncr astfel ca BP - 2Pd. Sa se arate cl

Fiea.be[- ].{ l. incdt a-b=4. SAsearateca tga.tgb{ 4 \ 2 2) ^tr.l

tga I tgb=1.

Rezolvdi 1. Avem lorgT

2.Avem

-{sq = I

--t =o

-z,b=-3, c=1, A-b2-aac=

l-l

-; -;'

l+l *, - :i - l'

deci

(-3)'? -.4.2.1-1,*,.,

31t, =-b1[ 2a4 =

tt I 2x'-lx +l s 0 <r - t

f(x) =1og32^ x= (logr 2 l)x, VxelR,deci f(x,)=f(xr)+ =(logr2 1)xr =(logr2 1)x, > x' = x2, dâ&#x201A;Źci funclia f este injectivd. Am

3.Avem

log, 2 t log,

I <> log,

folosit faptul ci

2-l +0

4, Un poligon convex cu 8 laturi are 8 vdrfuri, care determina acestea fiind latuaile, iar celelalte 28

C; = 28 segmente,

-8 = 20 fiind diagonalele. 88

8 dintre

:(0,co),

!.rrem

BF = 2FD

-\vem 1=

z(ao _ei)

1t1u*O;=#ffi=

tgn =

:eF

= znD

* * = i-

tga+tgb=l-tgatgb:)

l1"a

tga tsb + tsa + tsb = I

Varianta 79 l.

Sa se arale ca

|\ -o.:./ ]t-l(togr:.o)=

2. Se consideri firnctia

neneclie

f :lR-+lR, f(x)=;? _4^ *3.

a graficului func{iei

3. Sf, se rezolve

A. SA se

detnnne abscisele punctelor

fcu axa Ox.

mullimea numerelor reale ecuatia

Jf _ * = f . n ) 3, astfel inc6t C] sd dividA Cl*,. 5. Fie punctele A(1,2), B(-1,3) 9i C(0,4) . 56 se calculeze lungimea indllimii 4. Str se determine n e

,_ tnrl A al n-iunghiului ABC. 6.

Fie x e lR , astfel incat tg2x

Frualia

- 6. Si se calculeze

cosz x

duse din

x2-4x+3=0

admite solufile x, =1 9i x, 3, care reprezinti abscisele = punctelor deneclie a g:aficului funcliei f cu axa Ox. Se urpun condiliile x>0e xe[0,"o) 9i 1_x>0e xe (*o,l],deci

r:[0,-)t-t(-"o,1]=

Ji*Jr_* =r= (Ji*/_;1'=,, = = r + I - x + 2./x (l - ^) =t> 2Jx(l-x) =0> x(1- x)= 0, cu soluliile x â&#x201A;Ź {0,1}c [0,1]. '{vem

3rl

cl.,

=#}= 5 r1*t= #

c;/c;r,e*.^*

.llem (BC):

faptul

[o,r] . avem

.; =

j.^on-ze{r,:} e

x-xB ct;-=C.;v-3 x-(-t) J--Ii *.-*" Yc-Ys

*=#='.* ue{:,s}

x-v+4=0'Lungimeaindllimii

din vArful A al triunghiului ABC este egall cu dist(A.BC)

lt-t

f +l

*(-1)' I

-{vem cos2 x I+

tg2x

l1 t+6

_ 3Jt 2

Varianta 80 l. Si

calculeze

I1 ili l-r')/l '/\"/ ;r). /t \' ir* t'I

2. Se considerd firnctiile ca funcfia

f. g

f;R

R. f(x)=

5i g:R -+ R ,

g(x)= Zx

t Si

este descrescatoare.

3. Sd se rezolve in mullimea numerelor r.ule ine"uugiu,.{61? > 4. Sd se calculeze numarul func(iilor injective f:11,2,3| -+

{t,2.:.+,S}

ca f (l) *1

5. Sd se determine ecualia dreptei care trece prin purctul .lrcahrr w-?',rl-n 6.

l'ie

astfel incat sin x =

*.o,

p(4.-1)

gr este paralela

calculeze sin 2x

Rezolvdri

1.Avem ia

=l e I

=0.

Deoarece factorul 1- ia apare in produs, deducem ci intreg pro-

dusul este nul.

2.Avem

(f.g)(x)= i(e('))= l-g(x):r-12.-y)

Vx,,x,

e1R!avem xi <x2 -.>

= -2x

+:,

â&#x201A;Ź R . observdm ca,

-2xt+2> 2x.+2--> (f.g)(xr)>(f.g)(x,),

deci

f.g

este descrescatoars.

au.- i6-7>t*

(Vr-t') \i

>lr

2-xr >r<>

<l<> xe [-t,r].

f(l) *1ii f(l)â&#x201A;Ź{1,2,3.4,5f = valoarea lul f(1) poate fi aleasain4 moduri Valorile f(2) 9i f(3) pot fi alese in A] = 12 moduri posibile, corespunzAtoare numarului de 4. Avem

perechi ordonate

(a.b)= (f(2).f(3))

care se pot fbrma cu elementele

{1,2,3,4,5}-{f(t)} . Deci avem 4.Ai =48 5. Avem

de funclii care indeplinesc cerinlele problemei.

d: x-2y+1=0<+ t=+".+,deci m=1,unde m=panta(d).Din d'ild=; t

= -y

multimii

m'= m = -, undg m'=panta(d') .Din P(4,-l)e

d,= y-yp

= m'(x

(-l). t. a)= x-2y-b-0.deci (d'): x 2y-6-0. r(x

* .or*)t =fflt = 2 2= lsin \2) > sin2 x - 2sin x cosx+cost x=f =l-sin2x-I=rin2*=3. 441

6.Avem

sinx=l+cosx<> sinx-cosx=f

Varianta g1 1. Str se calculeze partea htreagd a numarului

2' Se considerd ecualia

.Sdse

log2joo.

x2-2x+m=0, me rR, care are r'dicinile

- xrl = I , sd se determine

3. Sf, se rezolve in mulflmea numerelor reale ecualia 4. 56 se calculeze Cfu+Cfu+Cfu+. .+Cll. 5. SA se determine a e R gtirnd , 6, Fie a.

paralela

realc

x, qi xr. gtiind

be R . astfel incar

a +A

dreptele de ecuafii

__|.

Vili

t+x.

x-y=19i 3x -ay=)

Sa se arate ca sin 2a + sin 2b

sunt paralele.

= 2cos(a _ b)

lkolvd.ri L -{vem

nneg pro-

n ca,

=254<500 <512=2e =r

hlx, -xrl=11lx, -'xr12 =12 =l> (x, +xr)2-+*,*, =13 4_4m=l= - =1. (_.,4. {fi-l

=r(x'?+:x+a)

1ar c>

=o=

.l=-7<0. .{vem 2" =(r+r)" =

rl rirului

8 = log: 2s

<logr500<log,2e = 9, deci [logr 500]= 8. Se impune condilia A=4-4m)0<+ me(-co,t].Avem xr +x2 =_l=, ,, x,x, =l=6. AV

-{vem

ci f"B

(it--)'=(t+x)3 o t-x=l+3x+3xr

â&#x201A;Ź,

xr +3x2 +4x=

x=0,deoarece x2+3x+4=0 nu admite radacini reale, avind

cl+cl +...+ci-,+ci

lmAnd cele doui identitdf, obfinem

o=[r+(_r)]"

1=:1

.{vem sin 2a +sin 2b = 2sin(a+b)cos(a_b)= n.or(a 251n

c:_cl +cl_...+(_r)"ci.

Ci +Cj +Cil +...= 2, r, deci

Dreptele sunt paralele dacd numai da.a 5i blemei.

+x3

Cfu + C,ru +

+...+ Clf

= Zrj.

_b)=

,il;

C,au

2cos(a

_b).

t!---

Varianta 82 l.

SAse verifice ctr num.[rul

2. SA se arate dreapta de ecualie

l+i

este ddacintr a ecua liei za +4=0 vArful parabolei asociate func|ei f:R -+ R, f(x)=

x+y=7.

x, _4x +9

3.Fie f:{1,2,3} -+{+,S,0} o tuncfe injectivd.

afl!

Sd se arate ca f(1)+f(2)+f(3)=15. 4. SA se calculeze probabilitatea ca, aleg'nd un numar ain.ui1l,n"" numerelor naftuale doud

cifre, acesta sd aibi ambele cifre rmpare. 5. Se considerd purctele A(1,0) B(2,3)

6. Fie a e R . astfEl incat ,in u

=].

c(_t,+)

. Sa se

Slsecalculeze sinJa.

calculeze

eB.AE.

Rezolvdri

r. evem (t+i)2 = 2i? (1+i)4 za

=(zi)'?--+= (t+i)a++=o,deci l+i

este radacina ecua(iei

+4=0.

2.Avem a=1.

b=-4. c-9. A=b2

4ac

=-]=2. r" =-f,=s za

- -20. *u

obsewam

xv+yv =2+5='7,deci v(2,5) apa4ine drcptei de ecuatie x+y=7. 3.Daca r:{t,2,3} -+{+,s,0} este injecdva. atunci lr(1r.2,:1)f=11r,z.l}l =:.cuca

r({r, z,:}) c {+,s,0} ri l{+,s, o}l = :, oeducem ca r({L 2,3}) = {4,5,6}, deci r(t)+ r(z)+ r(l) = 4+s+6 = 15. 4.p1"

y={to, ,.

,99} ,IMI

=99-9=90,5i A={1,3,5,7,9}

multimea cifrelor impare.

Observlm cd ab este format doar din ciffe impare dacd 9i numai dgctr (a, b) e A x A , iar

l.+,al -lel'=52 =25.deci

r='-

" ei .tc-(x6 *n)i+(vc en=(xu-xo)i*(vu-ro)J= i+ri ea ac = (i -:J) ( -zl + +j)= 1.(-2)+3.4 = r0.

6. Avem sin3a

-3sina 4sinra- I -L-+ 4 [llt \4)

3 1 416

r,r)

-2i+4i,oec'

i1 16

Varianta 83 l.

Sd se amte cd

numard {i5 apa4ine intervalului (J7,loer5).

2. S[ se afle valorile reale ale lui m, gtiind cd

x2+3x+m)0,oricarearlt xeR

3. Si se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia

)-.*[;

-.) =t

4. intr-o umd sunt 49 de bile, inscriplionate cu numerele de la I la 49. Sd se probabilitatea ca, extragand o bild din urna, aceasta sd aiba scris pe ea un patrat perfect.

5. Sa se determine

meR

Strind ca

veclorii

U=2i-fj

v-mi r4j

sunt

diculari. 6. Sl se arate cd

tgl' . tg2" tg3' ... tg89'

Rezolvdri

J7=6= .i6.99=ii5 rl ll5<{6=z= ..,6 < 16 < log, s e 15. (Jz,rog, :).

t.evem

Avem x2r+3x+m>0 pentru Vxe R

dacd gi numai

logr4<logr5,deci

dacl

A-9

4m(0<+

14)

'*-' *"(; -.) =''l; -(; -.)i =,'(,. *r), o*,,,"(".*). *,[] -.) =, -..-["*l)

**f =( r)* I*kn .- * = - a..1-1;k n *1n,

=; ..

-'-[-.;)

keZ.

A = {1,2,...,49} pi e, = {tr,2r,...,;2

lel

ei je'l =u.oeci

=+r

}

submultimea pafiatelor perfecre.

=1=1 lAl 4e 7

o=11

i $i i perpendiculari daca si numai daca i.i=0e b-12=0e m=6. -{rem

-*)=l i r = (tgr Zi

+4j

tgar"

). (tgz.

tgss').... (tg++"

(zi _:J).

p.nrru

vx. (o',m').

tg+a'

tg+s' -- r

(_i.

+J) =

Varianta'84 1. Fie z e C . Sa se arate cA, dactr 22+32 e lR, atunci zeR

2. Str se determine func1ia de gradul al doilea al c6rei grafic conline punctele (0,4) -2) si (- t,l). 3, Sd se arate cA firnctia

f :(0,"o)-+(1.:), f(x)=

x+i xi-l

esle bjjectjvA.

4. Sd se determine numerele naturale n, n > 5, astfel incat

C; = C: . 5, Se considerd punctele A, B, C, D astfel incAt = CD . SA se arate ca rrc+OB=fi 6. Fie a, be lR, astfel incat a-b Sd se arate cd are loc relafia cosa.cosb S 0. =

reR

LSeCI

+bi, unde a, b e R . Atunci zz + 32 = 2(a +bi) +i(a bi) 5a bi e R c) = z=aâ&#x201A;ŹlR. Fie f :lR -+lR, f (x) = 212 + bx +c unde a eR- gib, , ce tR. Arunci (0,+)e C, <> Fie z =

lect.

sunt

'f(o) =a<r c=+, (t,-z)ec, c: f(l)--2<r a+b+c=-2,respectiv (_1,1)eC, f (-l) = I <+ a - b +c = I . inlocuind c 4 in ultimele doue relali, oblinem srstemul =

-b=-6-

â&#x201A;Ź | -.6

t4)

)I.

Adunand ecualiile membru cu membru, oblinem

2a=_9=

g 1, 9,3 =-t- a = -6' ; = -:. [nconcluztc, r lx, = --x--x+4. 2,1 >)

"=_2,d"ci

b = 0 <>

J,UDservamca

I{xl=;;x+l

))

=, l+-=l+-= xl +l

vyc(1.3) avemy

=l'-+-= J-y , ,"

I xl =

)

r-4.

. (0.:. ). Arunci f(x,)- f(i. )=

x2 , deci funclia feste injectivA. ObservAm cd pentru

1.(0.2)Q-2 u11.,1-,4' y

lj.(0.c).iart[ )) t-t \J =' !-l

2(va-t)=y.deci

penrm

vye

(l.l).3 re(o.".;. x y

2511q1

y-1

f(x): f, 4.Avem

adica functia feste surjectivf. in concluzie. funclia feste bijectivi.

! cl (i jr ---r -'- - 1"-ll, l:.(n-3)r =-"1 sr'(n . s): 3l (n s): *-

+nt -7n-8-0, s.avem,qC+ofi 6. Avem

(n.

l)(n r)

a s>

= leN 9i n. =8e N[][5,:-) ,deci n =8. = AB rBC DEi=CDf Dd'BC cD+oc=0. cu soluliile nr

a-b-n=

=r+b-

cosa = cos(7l

t b)- -cosb = cosa cosb=-cos2b<0.

Varianta 85 1. Fie z e C . SA se arate cA

-Z)

i(z

este real.

lp pentm care parabola asociati ftncliei f x'? +(m+l)x +m este tangentd la axa ox

2. SA se determine m e

(x)-

3. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale ecua{ia

: 1R

J* * t = S - *

4. Cati termeni ai dezvoltrrii (1+ 2)? sunt divizibili cu 14? 5. Fie ABC un triunghi echilateral de arie 6. Fie a,

be R, astfel incat

u*U=I

rA.

Sa se

calcul.r"

eg At.

Sasearateca sin2a *sin2b = 0.

Rezolvdri

l.Fie z=a+bi,undea,beR.Anrnci i(z Z)= i(a+bi-a+bi)= 2ben. 2. Parabola asociata functiei f este tangentd la axa Ox daca gi numai dacd

= (m + t )'? - 4m

=(.-r)t =0<r m=1. 3. Se impun condiliile

x+120<>

xe[-r,-)0(,*,s]-

[-t.s] .evem

[-t,"o) 9i 5-x 20e xe( o,s],deci

Ji*I =s-x- ('G*r)'={s-*)'=

x2 =.> xz -llx+24=0, cu solufiile x, deci x = 3 .ste solutia ecualiei.

=x+1=25-10x+

-:e[-t,S]

9i xr

=Se[-t.5]

r :rm]

-rrem (1+ 2)7 =

:= =cf

Iclr'uzu l=0

-9--zr, cl 2

i.|r-

cj =16

l.;l

,1-2) = 21 17.2a +21.25 +35.2a

-l

neoarece

k=0

= 15 ' obrinem

ci =cl =r, c| =cf = z,

cl:

+35.2) +21.22 +7.2+1.

ftervam ci,

exceptand primul gi ultimul termen, toti ceilalfi sunt divrzibili oltarea conline 2 = 6 termeni divizibili prin 14.

a-\rem S= o

4 =JJ-

a:alateral. Atunci

=4,-

2, unde

prin 2..1 = 14 , deci

am notat cu,,a,, lungimea laturii triunghiului

AB.AC= AB.AC.cosA= a:cos60. = q.!=2. 2

-{rem

sin 2a

- sin 2b = 2 sin (a - b)cos (a + b) =

sin (a

- b)cos]I _ o . 2

Varianta g6 l.

Sa se arate ca

nurna-l

l'J'*l-3i .-.--. l_li l J.rt.r.ul

2. Numerele reale a 9i b au suma 5 produsut 2. Sd se calculeze yalour"" 9i

,o-"i I * I DA

3. Str se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia 4. CAte elemente ale

multimii

5. Fie ABCD un dreptunghi

-. -18+ACrAD.

cu AB

$i AD

6. Str se calculeze suma cos l0 + cos 20 + cos i0 +

.. .

6. Si

l-li

l- Ji l+3i -

[-r,s]. 95

sunr divizibile cu 7?

se calculeze modulur vectorului

+ cos 1790

(l-lif '(l-Ji): -8r6i.8-6i Ir rt-= 1t-.1,.1r ,1,; 1*!= a2 +b2 - (a+u)'?-zat= 52 -2.2=t'2t .1u.'---b a ab 2 "b .1r.,n- -lt:L,

e= {*j*=C},f..N,k<7}

rl) = *, fl. 6/)

.i, | * * i

=-5. l0

4.Avem

=ci=i,

c! =cl =1, c|

c?,

=c',

=!J

=215i cl =cl =

fff=:s,a..i

A = {1,7,21,35} , avAnd doar cele trei elemente 7,21 qi 35 divizibile prin 7. 5. Conform teorcmei lui Pitagom, avem

Deoarece

AC'z=AD'?+DC2

+32

AE+Ad+AD= (AB+AD)+aC= aC+a-= 2Ad, .

=45- AC=..6t-3.6.

obtinem cd

zec = 0.6 . lzacl = 6. Avem cos(l 80' - *) - -.or,, <> * - = 0 p""nu vx e (o', tao' ), aect "o. " "or(180' ") S = cos l' + cos 2" +... + cos 189" = (cos l' + cos 189' + (cos 2" + cos 188' +... + ) IAB.

ADI =

)

+ (cos 89" + cos91'

J+

cos

90" = 0

Varianta 87 1.Fie ze C o rddtrcind de ordinul 3 a unitdtii. diferita de 1. Sd se calculeze l+z+22 2. Si se determine solutiile innegi ale.inecuatiei x2 . x -6 s 0. 3. Fie tunc1ia

:(1,"o)

+(2,"o), f(x)=

4. Cate numere nahuale de la

se determine

a€lR

I la

11.

1'z

Sd se araG cd tunc1ia

feste bijectivi.

100 sunt divizibile cu 6 9i cu 8?

pentru care vectorii

coliniari. 6. Triunghiul ABC are laturile AB=3, razei cercului lnscris in triunghiul ABC.

BC=5

1=ai+(a+t)j 9i [=:i*Sj

AC=2.

Sd se calculeze

Rezolvdri

LAvem z- =l<f z

,,1

-l=0€

' - I (z )(z'

- l)

z*l-)z-l*O. 2.Avem a=1, x,

=' z' + z + l = 0 . deoarece

b=1, c=-6, A=b2 -+ac= t2 .t.t.(--6)=25,x|r,-blJA

2a2 -

-2,deci

+x-630<>

[-:,2]

Observim cd

[:,2]nV,

-l:5

= {-3. -2. - r. o.l,2} 3. Pentru

Vx',x2e(1,o)

lt,l=l*rl=

avem

r(x,

f(x,

+l=xj +1> xf =xl

= {*i = Jtl

x, = xr, adictr tuncfia feste injectivA. Pentru Vye(2,o) avem

y-le(t,"o)o/F.11-;

$t f

(JF)=(Jyr)'*t- r, deci am verifrcar cd, pentru

Vy€(2,.o),: xe(t,o),x=n[J,astfelincAtf(x)=y,adicdtuncliafestesurjectiva.i-u concluzie.

fu ncqia

f este bijectivi.

| -{ = {1,2,...,100} . observdm cd

35 , deci

â&#x201A;Ź

Al24/ n]

v, 9i v,

'6;=

{24,48,72,s6),, 1i1ti

24 /

i1'

sunt coliniari dac6 9i numai du"a 5

b = AC = 7

c = AB = 3

.uade 24 = c

1=3j-l_. 3

cu a = BC =

,o="

5 n

nrnm

c (0,8), iar

..r

<r -.,trq-JlclI,<=ar-.

conform formulei lui

) , aecl

unde S reprezint[ aria triunghiului ABC. pe de altd parte, avem S pr = , unde r este

:scului inscris in triunghi. O..i 156 =

f 2

Varianta gg l.

56 se ordoneze numerele a = lp z. sa se a"t".mrne

r- *2x +a

;;;':r.,r',::l'r: ;"'i^:;ffiK",,.

la axa Ox este egaltr cu

3, Numerele reale x gi y verificd egallitatea arctgx +arctgy = f . Sd r. uru," "a 4.SA se arate ca numarul neN,J un)3 este qrvzrbrl divzlbil cul cu 3' ' J csrc 5. punctere E, F, c, , r.",;;;;"' Ie lan'ilor [ec] , [oa], [AB], .Fh,r,.; D^^ respectiv I

Aj,

ABCD. ^

Sd se

demonsteze cd

6. Si se calculeze rgx , $tiind cd _ .t

p-F +

[+,,

ifrc- =

qi sin zx = _

a=ts2-1e20=

vem yv

zctgxi

-_'

=-4

.4a

=a-l

arctgy =3<f -,"*'--!J

^ - ----=-"-

tg(arctgy)=

**= **--r. si

b=cj -ci =r-6=

-3,

d(v,ox)=lruf =r,0"". la_rj=r<+ ae{o,z}

arctpx = I-.,-,^. arctgx: , - -arctgy:> - .tg(arcrgx)

w.,-t y-- "r-''

ln ='t(i-r*,rr)=

x.y= l. [cD], ah

{ .tra ni = r:*

- z)(n - l)n

Eviclent

/(n - 2)(n -

l)n,

deoarece produsul

tâ&#x201A;Źi termeni consecutivi, dintre care obligatoriu unul este divizibil cu 3. EF=Ed+cF ei uc=nF+F6=+ Br+nc=rc+HF+(GF*FE) = t_ l_ - _ = -CA +-:CA +0 = CA . unde am folosit faptul c6 EG 9i HF sunt linii mijlocii in

con$ne

5. Avem

ABC, respectiv CDA. 6.Nor6m t = tsx.

3t2 + 10t + 3 =

Dr -.(+,?r

.vem Srn

1-r,oy

0, cu soluliile t, = -3 e (- 1,0)

2t3 = -- ---5 1+ t'

2, -ae (-t.O),

aeci tgx

=_1

Varianta 89 1. 56 se determine numerele cornplexe z care

2. Si se rezolve

verihci relalia z+3i = 6.2 tr mullimea numerelor reale ecuafia _ Zxl = + al . lt lx

R. f(x

r!; __ l+4x'

4. Sd se determine numiml funcfiilor strict monotone

f :{t,Z,:}

3. Sase determine imaginea ftrncliei

Str se demonstreze cA, pentru orice punct

loc egalitatea tr,te + VC =

Vg *

I\aD

-sin

{S, O, Z, S}

M din planul paralelogramului ABCD,

6, Fie a gi b numere reale. astfel incat sin 2a

R --r

a+b=*.Sase

arale ca

-sin(a - b) = 0 .

Rezolvdri

l.Fie

z = a + bi , unde a, b e lR . Atr_rnci

z+3i=6.2o a+bi+3i=6(a_bi)o

a =6a

b+3=-6bo a=0 si'17 b=-3.de.i r=-]i. 3,Avemll-2xl =lx+41= 1- 2x xz = 5, deci x e {-1,5}

Inf

= {y eRl

= x + 4 , cu solufa xr

=-l

,sau I - Zx =

-(x +4).

lx eR,f(x)=v} .Avem;i*=r*

obfinem x = 0 . Pentru y +

4yx2

, ecualia admite rdd.icini reale dacA

r y.lI t rl y'<-<> ;.;l ^=l-l6y')0<:

-x+y=s.pentru y=0 ,i numai dace

. ^-l| r tl ; ;]

deci lrnf

4. Mulfimea {5,6,7,8} admite Cl=4 submullimi de 3 elemente cle forma {y,,yr,y3}, dintre aceste submullimi putAnd fr ordonatA crescitor intr-un singur mod. Fird a reduce gene-

presupnnem cA a

< yz < yt .Observdm

fiecare asemenea submultime permite

dout functii strict monotone. respectiv o functie sbict crescrtoare

y(k)= y,r-i,unde

strict descrescdtoare

Ci = 8 functri

f(k)= y,

{12,:}. in concluzie, avem

9i o

un total de

strict monotone.

ACn BD = {O} . Avem ABCD paralelogram dac6 AC 5i BD. Deoarece t"te +tllC = ZttlO si + MD pentru orice punct M.

9i numai dacd punctul O este mijlocul

MB+MD=2MO,deducemci

- MC = MB sin2a

-sin2b = 2sin(a - b)cos(a +b) = zsin(a -b)cosll = sin(a -b)

- sin2b - sin(a -b) = 0 .

Varianta 90 1. Se considerl progresia aritneticf, (a. ).>r cu raiia 3. Stiind cA suma

primilor l0 termeni

este 150, sl se afle a,. 2. SA se determine toate perechile

(a,b)

de qumere reale pentru care a1

3. S{ se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia X'

lgx+lg(9-2x)

+b2

a+b =2

4. Si se determine probabilitatea ca, aleg6nd un numrr din mu\imea 11,2,3,...,1001 str nu {ie divizibil cu 7.

ui ABCD,

5. Se considerd punctele din

5,6

(a,

1*"or?1*"or11*"or!1*"or!1=g.

5555

+a,") l0

5(a,

+a,o)=1591ar +ar' =30= a,+a,+9r=

-l

4),cu

;2, +Z/ = tU.:> a,

=-.2

-tvem (a +b)2 =a2+b2

Y=o

.vr). duce gene-

+2ab*

=2+2ab-> ab=1. Din relatiile S=a+b=2

= ab = I , de ducem ctr a gi b sunt solu[iile ecualiei x2

r=b=t=

. '

(a.b)= (Ll)

( o\ / o\ -o.: l= | 0.1 l. Avem lgx + lg(9- 2x) = 1= lgr(e 2x)=lgl0= \ 2) \ 2) 99

-Sx+P= x2 2x+1=0,adicd

re{0.o)11l

C(5,1) . Se se determine ecuatia dreptei

virful A, perpendiculartr pe dreapta BC.

6. sa se arate cd

-{rem

A(0,2), B(L-l)

2x2

=x(e-zx)=1sa

-9x

+ 10 =

., = r .

0, cu solufiile

t sl xe{2.:l|

4. Fie

[ni]

ri ",

1. (o,t) , a*i

M = {1,2,3,...,100}

ti M'= {7,14,...,98} submulfimea multiptilor de 7. Avem 7 =7.t. 14 =1.2,.... e8=7.14.deci lul= ra3 Irur -vr1 = lvl-llrl = roo- r+ = 86, deci

R6 p=-:=0.86. -

100

5. Avem (BC)

* =I

d' 1 Bc

und" m

-Ye

-2 = 0,

-xe

Y-(-l)

x-l

v+l

I-(-l)

5-l

(BC) . Fie d, perpendiculara

= panta

+ -' = -*

2x + y

X-Xn

l-!e

r, *6"

deci (d,)

: 2x+y_2

r-l

4 - ' z^ i

dustr din vdrful A pe deapta BC.

panta(d). Drn A(0,2) â&#x201A;Ź d,

Din

y_2 = _2(x _0)

= 0.

21 4T 6n gn 6. Fie S - I * cos? l q65:1-qs5:a1sp531

21*"inf4n * r-!1*sinE.

5t q = stn11

(

't-

1-\

s ,io = r +lcos4*i,in4,J*

Au.rn

(*,11*,,i"3J-(*,9 -,,,,!1).,

(

n" r-\ ,l*r!1*irin!1.J. Dacanoum.or?1*;r1n?I=, s+i<s=l+z+22 +2.

9i aplictrm formula Iui Moivre. oblinem

= "t -:l =o deoarece z5 =f"or4*irln4)'=

z_t

cos2n+isin2r = cos0+isin0 = 1. Din S+io = 0= g = 1a ge5?I..6q5 in *.o.!n',-.*!n 9.

o= 0, deci

Varianta 91 1. Sise calculeze modulul numtrutui compr.*

"=(JI_r*,(JZ*r))t.

2. Sise determine numerele reale x gi y $tiind cd x+2y=l qi x2 _6y2 =1. 3, SA se arate cd func1ia f : 1R -+ 1R , f(x) = 12 .. * 1 nu este injectivi. 4. Sd se calculeze Cfo

-Cl.

. .5. Fie ABCD un paralelogram. gtiind cA vectorii modul, sd se arate c6 ABCD este dreptunghi. 6. Sd se arate c6

sin40'.sinl40' = cos2l30.. 100

ee+eO 9i eE_eD

acelarr

). oecl

&olvdri r.rvem lzl=(Jz-r)'*(O*r)' aDia x+2y=f

- t-

zJi +s+ zJi

=1 x=.1-2y.Avem x,

-6y, =13 (t-Zy)2 -Ay, =l-4y_2y2 =1.> =2y(y+2)=0,cusolu{iile y, =-2 ri yz =0. Corespunztrror, xr =l-2yr =5 li t_=r-2yz = l. Deci (x,y)e{(5,-2),(1,0)} Observtrm ca f(-l)=f(0)=l,de$i -l +0, deci tunclia fnu este injectivA. Conform formulei de recurentl pentru combintrri, avem Cfo Cl + Cf =

Ci. _C;

I.O

.-,3

o9cl

_r2

-rvem

les+eol-

Din

=tS-eo)' o)=

(*-*)"

= AB2+AD2+2AE.eo

= A82 +ADr -2Art.AD.ebservdmcd

laE

ti lar_aol'= - er;l _lee-edl -

= AB AD = 0:+ AB l- AD :+ ABCD &eptunghi. -\plicdnd formulele sin xsin y = afcos( x - y) - cos( x + y)].

c(-x)

= qs5 x . obtinem ca

sir40'.sint40 = 1l*i(-roo.

| + cos

2x = 2cos2

)-.*(rsoJl -

Varianta 92 e-

1. Numerele reale pozitive a. b, c, d sunt in progresie geometricd. $tiind si se afle ratia progresiei.

2, SA se determine valorile reale nenule ale lui m gtiind c6 mx2 + x _ 2 < 0 oricare ar ,

b=2,

d_a=

r=R.

3. Sa se rezolve in inrervalul (0.5) ecuaria

6) -]2 \ -])=

,i"fZ-

4. Sd se determine numrrul n = Clro _ Cio + c,ao _ cfo + Cfo 5. Si se deterrnine

aâ&#x201A;ŹR

pentru care vsclsdi

[=(a-l)i_(Za+Z)j

v=(a+f)i_J

perpendiculari. 6. Fie a e

/-\ r,{

Fie q e

1R'

L_-^

I astret incit cosq

. 56 se

calculeze sin2o

ratia progresiei geometrice. Din a, b, c, de (0,co) deducem cd Si

c=aq2, d=aq3.Atunci d-a

aq3

t0l

qâ&#x201A;Ź(0,"o).

u= u (c' - t) = z . observam

cd are loc

qr-l>0,deci q>l.Din c-b= 2 > aq'?-aq=aq(q-1)

= 2. Am obfinut astfel sistemul

f" fq' -rl= / .Inpl4indcele doua ecuatli membru cu membru, oblin.- 3t-1,=l= j'q(q-l) 2 laq(q-t)=z z

+q+l _ 7 .t = Y^

2. Avem

2q2

mx2+x-2<0

.. _5o+2=0.cusolufiile pentnr

Vxâ&#x201A;ŹlR

=;e

(l.co)

dactr 9i numai dacd

ti q: -2e(l.o).Deci q=

m<0 9i A=1+8m30<::

--.-+l.= E.l me(--.0)0f\ --.-+l8l f\-. -+l 8l 3, avem sin[21+1]=-t* r**I= (-1)k arc.inf -lI*m= (-l)k*rI+kn.deci eme (-o.0)'

mâ&#x201A;Źf

61 2

' 1*$, t2 2 *a.

* = -1*(-r)t "

\2)

Z. Arunci

*. I--1 -( -r)*-' a, Illu. rJj'nro.rt' = t2 2l lt2

l71 7r 51r I (t'I_.-.->. )]I Jnl (-,--+1r.= f2 6 2) 12 6 2) >

4. Conform formulei combinirilor complementare, avem Clo = C,to

cio =clo <+ cfo -c,60 =9.

asrci n =clo *cio +ci, - ci.o ci, = clo =l

5. Avem

[-Lic> i.i=0<]

6.Avem

cos 2cr = 2 cos2 o.

-|"2 -l=

=sin2o. >0:r,,nzo

-C,'?' + Cfo =

1)(a +

l)+ (2a + 2) = 0 o u' +2a+1=0<r

rl-+,J -t=

-l

=-le R.

". [ ".#,J= 2cr e (2r.3n)=

=JL*Jzo= [aT e \ e/ = .8 I8r=oJ'

Varianta 93 1. Sd se calculeze modulele rddtrcinilor complexe ale ecuafie

2. Sa se determine funcliile de gradul intdi indeplinesc condilia

f(f(x))=

zz + 2z + 4

f:R + R, care sunt strict crescatoarc

+3, VxeR.

3. SA se rezolve in mulfimea numerelor reale ecuatia Z- + qt =p . 4, Cale este probabilitatea ca, alegind un numdr natural de la 1 la 1000, acesta

perfect? 5. Se consideri punctele

A(1,2)

ti B(3,4). 56 se calculeze

la dreapta AB.

6. Sl se determine

ce(O,Zr)

astfel incAt

lgc!=sind.

102

distan{a de la originea

fie

sistemul 7 2

Deci q =

0<i

L.{vem z, 2 =-lri.6. deci lz,|=lz,l=

lFie f(x)=ax+b,unde aelR'9i beR. Funclia feste strict crescitoare dacd pi numai dacd r > 0 <+ a e (0,o).,tvem f (r(x)) = af (x)+b = a(ax +b)+b = a2x + ab+b, deci r(r(x))=ax+r<r a2x+ab+b=4x+3 pentru vxelR- a2 =4 9i ab+b=3= a=2 si 6+b=3b=3:r a=2 9i b=l+ f(x)=2111 pentru VxelR.. x+l

ap1. v={t,2,.. ,1000}

n(o,s)=

-l e lR. .\

---r

-l

=no

2^ + 2^,t

ii M'= {13,2r,...,td} submul$mea

hident lMl=1000 ei lvr'l=ro,deci

lAvem (nB):

oti

x+l

47 =(2')T =r*',deci2* o2' =4=22 + x=2.

3. Avem

deci

Jt-tt' -i.,f1' =t

jf p=$|= ' lMl

1000

=12a 3.2, =l2e

cuburilor perfecte.

j=o,or 100

x-y+r=0

*+= x8t- #=--i-

dist(o,Bc)=

I J, lo-o+ tl =-ffi=T=T (

Avem tgd = sind = sinc =0, cu solulia c llufie in intewalul (0,2r) . Deci c = r .

=r e (0,2r)

, sau

cosc = l, dar

care nu admite

Varianta 94 1.

-zt)Jtt

calculeze

-tl)'

[(t 2, Str se amte cb tunctia

cfe,

f :(-l,l)

rR, f (x)=hl-x ' l+x

este irrpara.

3. SI se rezolve in mul{imea numerelor reale ecualia 5* +5-' = 2. 4. Care este probabilitatea ca, aleg6nd un nurntrr din mullimea numerelor naturale de trei prima sa cifti sl fie numlr prim?

5. Fie ABC un triunghi ti O centrul cercului cicumscris lui. $tiind ca BO = OC, cl -ate triunghiul ABC este &eptunghic. 6.Fie a eR, astfel incat sinc+cosc =1. SAse calculeze tg2a.

sa se

lczolvai r.Avem (r-2i)(3i-1)=5+5i,deci

\sl J r+l

[(t-zix:i-t)'1'= l. 5

=(zi)'z -- -.a. 103

= (r+i)a

= (r*i1' '=

2. Avem

f(-x)=

e(-t,t)

3.Avem 5*

,-f l-^) t lt-l--l=,nl..x-,-11-x1' = -tlt--.1= r-(-x)

r_"= '"{.1.^J

-r(x)

pentru

deci tuncfia f este impala.

+:-- = zl.s*

<+ 52* +l = 2.5^

(s^

-r)'=0<r

-1=0<:x =0.

4.Fie M={100,101,...,999} multimea numerelor nahuale de trei cifre, A = {0,t,...,9} mullimea cidelor gi P={2,3,5,7} mulfimea cifrelor numere fdme. Observam ca

lMl=999*99=900,lAl =10,lPl =a ri, p"nnu VabceM, itcdaci

numai dacl

(a,b,c)e pxAxA,

deci avem

numere, de unde deducem ca p = 199 =

'9009

"erel=

incepe cu o cifr6 numdr

lnl.lel,

=nOO u.tret

4 .

ze6= lecl=Zl0Ol+ BC = 2R. Conform teoremei sinusurilor, avem ci BC=2RsinA,deci 2RsinA = 2R > sinA=l> A 1 deci triunghiul ABC este = , 5.

Avem Be =Bd+Oe =

drepnrnghic, cu unghiul drept in vArful A. 6. Avem

sinc

=l+sin2o.

coss = I

=l>

sin2d

:5 (sind + cosc)2

=0-

tgZo=

sin2 c + cos2 c + 2sin q coso. = I

jI+=q.

Varianta gs t. SI se calculeze

panea inneagtr a

nu-aUui

;fr

2, Sd se rezolve in mul{imea numerelor reale ecualia

*-J=

tx+ll

3. Str se studieze monotonia functiei f :(0, o)_+ R , f(x)= 2009" +logroon x. 4. Care este probabilitatea ca, alegAnd un numdr din mullimea numerelor nahrrale de cifre, produsul cifielor sale sl fie impar? 5. Sd se demonstreze cd vectorii O=gi+ai 9i n=(a+l)i+aj nupotfi pentru nicio valoare real6 a numirului a. 6, sa se arate ctr sin x + sin 3x + sin 5x = (l + 2cos 2x).sin 3x, oricare ar

Rezolvdri

l.nvema=ff= !z_t

g+-

ro(Jz+r)- Jzoo.ro.

(Jz)__r,

104

x e IR.

142

196

2gg

225 = t52 = :Jzoo * ro] = = fJzoo] ro = u

quae

condilia

ll+xl

14 <

rDbd'< l5

+ to

= 24.

*0<: x*-lc+

xeR

penftu

lrfxl

I--i =,- * = =J2

iurilor,

_l=l:r

I r:+il;xl =rc)

- {-l} . Deoarece

-t --t=t:____r0= l-x>0:t xe(--,t)-{-r} mir

= [J-o]=r+=

x<-l

ecuatia devine

x, =2,cusolufiile xr =_JTe(__,_l)

(-.o,-r). rentru x â&#x201A;Ź (-l,l),

ecualia devine

r=0e(-t,l) .oect xe{_rD,o} .tEu a>l,funcfile x-+ax gi x_+log"x

respectiv

_*= l=l_x2 =+

fr=f

sunt strict crescdtoare; decr

functia sumi

Fi '+f(x)=a* +log, x este strict cresctrtoare. in particular, pentm a = 2009 > l, r{.,c) -+ R, f(x)=2999" +logzooe x este srrct crescitoare..

fuacpa

M={100,101,...,999} mul;imea numerelor de trdi cifie 9i e={t,:,57,9} mullirnea r [rpare. Evident lMl =900 $i lAl =5. observam ci, penru i6ie M, a.b.c este daci pi numai dacd a, b c sunt impare 9i

..r

"al

jal'

(a, b,

c)e A x A xA, deci avcm

= 5r astfel de numere, de unde deducem

rwn u v=3(a+t)+a.a= a2+3a*3= (a+f)':+]>0 de deducem cd vectorii i ;i i nu pot fi perpendiculari. sin 5x + sin x = 2 sin

2rb

3x cos 2x + sin3x

= (l

!I,JI *r5 + 2cos

sin 3x cos

penru vaelR,deci

2x, deci sin x + sin 3x

2x).sin 3x, pentru Vx e R

i.i*0,

+ sin

5x =

Varianta 96 l. Fie a, b, c numere naturale nenule in progresie geometricl. $tiind ctr a par, str se arate c6 numerele a, b, c sunr

+b+c

este un

cr f(a)+f(a+l)>0,

oricare

Dare.

, .lfl"

tuncfia f :]R -+

R, f(x)

= 1, a3"

12.

Se se arate

3. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale inecuatia log, x + logo x > 3 . 4. Str se dâ&#x201A;Źtermine numerele nafiuale 11 n > 2, pentru care Cl +Ci = fZO .

105

5, SA se arate ca unghiul vectorilor

a>2. 6. Fie ABC un triunghi

n=Zi-aj li n=i+J

este obtuz daci

numai dacl

rina=1, sinB=l gi BC=4. SI se calculeze aria triun-

ghiului ABC. Rezolvdri

Presupunem prin absurd cd numerele a, b, c nu sunt toate pdre. $tiind cA a + b + c este par, deducem ctr doud dintre numere sunt in4rare, iar cel de-al treilea este par. Din : a, b, c obfnem

ci b2 = ac . Dacf, presuprmem ci unul dinte numerele a sau c este par, din b2 = ac rezultd cl b este num& par, ceea ce contrazice observatia cl doar unul dinte numere este impar. Dac6 b

numirul par, atunci a li c sunt cele inpare, dar nu putem avea b2 = ac , termenii egalti1ii fiind de paritit{i diferite. in concluzie, presupunerea cA numerele a, b gi c nu sunt toate pare esle este

absurd6, deci numerele a, b gi c sunt toate trei pare.

2. Observlm cd

f(x)=1'?+3x+2= (x+t)(x+Z), VxetR.Avem f(a)+f(a+l)=

=(a+r)(a+2)+(a+z)(a+3)= (a+2)(a+I+a+3) = z(a +z)2 >0, vaerR. 3. Se irrpune condilia x>0<+ xe(0,co).Avcm logrx=log.4.logox= 2log.x,deci logrx+logox>3<> 3logox>3e logox>l<? x >4<= f ;(4,-)c(0,@). 4.Avem

' =-+=" ll (n-l)!

crn

=n*132=129= 2 deci n

n2 + n

g+. =--ll = 2!.(n-2)! 2

240 =

Atunci CL +ci =120=

0, cu solufiile nr =,16 e N

ti n, = 15 â&#x201A;Ź Nn[2,@),

:15.

5.Avem

i.i-

observdm cd

(zr-"j).(;+J)= 2-a

cos(<(r,n)=

#+= s:a. lrl lil l,il.lvl

*(<1", v;)e (m',rao')c+ cos(<(fr,v))<oe 2-a<0o a>2.

6. Observam cd

sinB=l= B=1 li sinA=:= ,

' =:.

dreptunghic cu unghiul drept in virtul B. Avem ctgA =

atunci s[enc]

=!S-P{ zz

Deci triunghiul ABC este

* !fBC1 .,g1 -6 = .!4 4

1J'-r..6 Varianta 97

3!, VlOo , log, 12 . )0, oricare arhx, ye JR.

Sd se ordoneze crescalor numerele

2, SAse arate cd xz +3xy+4y2

3. Sf, St rezolve in mulfimea numerelor reale ecuafla sin 2x = cos x

106

BA = 4.6

rumai dad

Ai-4C;.

4. Sd se calculeze

5. in sistemul de coordonate xoy se considerA punctele A, B, C astfel incat A(1'3)' ana tnurF

Bf 2,S) 9i aC =

Zae

punctului C.

. Sa se determine coordonatele

6. Fie ABC un triunghi care are BC =

8 $i

cos

]

Sa se calculeze lungimea razei

circumscris niunghiului ABC. ste

par,

oblinem zutttr ca gi Dactr b

li00

L.\vem x2+3xy+4y2

[,.',ir)t

*t.o

pentru

a-{vem sin2x-cosx<+ 2sinxcosx=cosx=

ox = 1, cu solulia

Ceci

deci

< logr 32 < 3!.

:galitdfli pare este

125:r i/i00 <vi25 =5,

L -\vem 3!= 1.2.3 = 6,logr32=togz25 =5. Din 100 <

{i.u^lu.

(-t)k

n..1n,

*16 e

cos

vx,yâ&#x201A;Ź]R.

0 , cu

solulia x =

ktr , re spectiv

keZ,deci

r}r{t-'l-f .*lu.r}

= 1= :.+.s=oo, c:" =----i!-- = ' =-ll. 2t (6-2lt (s -:)r 2r

r..r1

5:6 2

=ts,deci A] -4c3 =0.

(x. -xo)i +(y. vo)i = z(xn -xo)i+2(ru - yo )i txc-xe = 2(xe -*e) $i yc-Ye =2(ye-y,\)= x6 =2x"-xo:2 2-l=3 li !. - 2y B - y = 2. 5 - 3 -'7, deci coordonatele lui C sunt (x., y. ) = (3, 7). ^

r..\vem At = 2AE

(

Observdm

:1.

4Jt

sinA =

I -cosz

BC R=5. = sinA=8.5-10> 4

varianta 98 1. Fie

zeC

astfel incat

z+22 =3 + i. Sf,se calculeze modulul numirului z

2. Sa se dea un exemplu de ecualie de gradul al doilea cu coeficienli intregi care are o :olulie egald cu

3. Str se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia log* 2 + logur 2 = 9 4. Sa se determine nurnirul submullimilor cu

coltin cel putin un numir par. 107

râ&#x201A;Źi

elemente ale

mullimii {1,2'3,4'5f care

5. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. sd se determine a, be aibd loc egaliratea ace- +

6. gtiind ca

bcE

(n \ ".l;.^J ii

astfer incdt

str

sina =

3 1.

sa se

calcuteze tga

Rezolvdri

1.Fie z = a + bi , unde

z+22 =3+i <)

3. Se

x>0

lrl

_bi,

deci

=J, +,f

=O.

integi ti admite solufiile xr.2 = 1\6 , printre

are coeficienti

",6 impun condi{iile

Ji*t o

a+bi+2(a;bi)=

3a-bi=3+ie a=t ii b=-1,deci z=l_i=

2. De exemplu, ecualia x2 care este gi

. Annci z+22 =

a, b e lR

e(0,I)U(L"o) . Avem logr-

log,2+logJ-2= 3log" 4, Mullimea

x+te

(0,1)U(l,o), respectiv x>0,

Ji>0li

=log" x.log, 2 = 2log* 2, deci 2=9<+ log" 2=3o x1 =2cs x-1!ie(0,1)U(L"o).

{L2,3,4,5} admite Cl

= tO submulfimi cu trei elemente, dintre care doar o

singurd submullime, respectiv {t,3,S} areioate elementele

imiire, celelalte l0_l

avand,

consecinfd, cel pufin un element par.

5. gtiind

ci ca+ce+cC

(-l) cA+(_l) cB. Din Ge = aGI+bGE > ad+bcE =(, r).ce+(_r) ce= a = b = _1, deoarece =d

cC = -cA -cB =

GE sunt liniari inclependen{i. 6. Avem a

. slna rga=-=

cos a

',J=

cosa < 0

3r s.)

-t--t=--

\ 4/

.oru = -Jl

-;\--

r-ri)'

, deci

\5,/

Varianta 99 1. Sd se calculeze partâ&#x201A;Źa intreaga a numArului

--=J '13

-.'12 f

2. Fie f o functie de gadul intai. SA se arate ca funclia

3. Si se rezolve in mulfmea numerelor reale ecua{ia 3'

este strict crescatoare.

+q' = 1. 9

4. cate

fimclii f:{1,2,3, ,10} -+{0,1}

5. Se considerl punctele M(1,2)

au proprietatea

f(l)+f(2)+f(3)+..+f(10)=:

, N(2,5) $i p(3,m), m e R.. Sa se determrne

reale ale lui m astfel incat MN . Mp- = 5 . 6. Str s! determine cel mai mare element al

mu\imii {cosl,cos2,cos3}

108

fel incdt si

-{vem

.1-Ji e

---].13

"ti

(fr-(Jr)'

-.!2

..2*z

*Ji

= q. Demonstram

Ji * Ji

J7 +-.6. aue^

5+2G <+ 2 =Ji .J6 , c".u este evident "e : < Jz +.6 <+ = l. =

<.6

.Evident J7

= 2. deci

. Jz *.'6 <r s' .

(.,.,E

adevarat.

intii

este de forma

f(x)=ax+b,unde

lR', belR, f :R,+lR.Avem

{r' t)(x) = i(r (x)) = af (x) + b = a(ax + b) + b = a2x + ab + a, vx e R . observam :rr,,x, eR, x, < xrl.a2 ) azx, <a2x, a2x, +ab+b<a2x, +ab+ b + = = (r " r)(x, )< (r. f)(x, ), deci tunc1ia f"f este strict crescatoare. Folosind notalia

av6nd, in

re GA

[J7*-'6i

Fuaclia de gradul

rre doar o

*.6)t

lx =y,

I =-le(0.-).respectiv JJ3

y > 0 , ecualia devine y2

=f .

!+y2 '-!o

ca, pentru

9y2+9y-4=0,cusolu.tiile

(0,co). oin notalia 3r.= y, oblinem 3"

=]- r,=-,

f(k)â&#x201A;Ź{0,1} pentru Vke{1,2,...,10} , din egatitatea f(l)+-f(2)+...+f(l0)=2 cd I i,j e{1,2,...,10} , i*j,astfelincat f(i)=f (j)=l $i f(k)= 0 penuu e{12, . ,t0}- {i,j} . Avem tot atdtea funclii fcate alegeri pentru i gi j putem face, respectiv

tDeoarece

rf . a.tn ''=45. C:,,='-2

-x")i+(y" -yN)j= i+rj ei Mp=(*r,*r)i+(v"-y")J= =:i +(-- z)J, rteci ffi.MF = (i +:l).[zi +(--z)j] = r z+:(m-2)= 3m-4. Atunci .{vem MN=(xN

F,up=sl,

jm-4=5> m=3.

$tiind cI firnclia

cos:[O,n]--r[-t,t]

cosl > cos 2 > cos3

este stricr descrescatoare,

din

0<1<2<3<n+

cosl =maxlcosl,cos2,cos3[.

Varianta 100 1. sa se arate ca

"li*

tE .l^ *alil^,a.

z|.

2. Sd se rezolve in mullimea numerelor reale ecuatia

11+

3. Si se rezolve in mulfimea numerelor reale ecua[ia

!/-t - ,;

4, Si se arate cd I

I divide numdrul Cl, + Cf, +.

109

.+ Clf

xl = I

= V3

-^.

5. Fie ABC un b:iunghi G(3,4),

ti c

sa se calculeze coordonatele

6. Fie a e

,g"

centrul stru de greutate. gtirnd

=z+Ji. e l^ *alil^,v.zl . 2. Se inpune condifia 1-x >0 c) x = 0 e (-.o,1] , respectiv I + x =

A(l,l),

B(5,2)

ounctului C.

se catculeze

6+4JI= z, +z.z.JI+(Ji7'

r.Avem

lsinal

=p-Ji)' =,[rrtz

(-o, t]. Oin lt+xl=t-*

-(1- x) , care nu admite

=ft-.d= l+x

l-x,

solufie. Deci x =

cu solutia

este solufia

ecuajiei.

3. Se irnpun conditiile x2

= VJ*i =

(S--- 1' =

2x + I > 0 <+ (x

- x 2 0 :r -

t)'? > o <+

x e (--"o,31. 4ygor

2x + l = (3

- *)'

tf, ' -

xe IR gi, deoarece

r-.

Vj- -

*, - 2x + t = 9 - 6x,t. x 2 =

{t**t,O-

(V-L r-.

x = 2e (-co, 3].

s=clr +cir +...+cl! = cf, +Cl, +...+Cl! +cli-cfl, -cil = 2tt -2= -r)= 2.1023 = 2.rr.93. Evidenr I l/S.

4. observamctr = 2l2to 5.

Avem xo =

**j **.

t" =E*e=

Yc =3Yc

sunt (xc, yc ) = (3,e)

xa =3xo

-Ye

-rg

euem

ls-"1=-t$= + ts'a Vl

3'4-l-2 =9,

t .ll*li I \)/

z5 s .lzg I

110

2Jn Jzg

respectiv

deci coordonatele prurctului

-xn -xs = 3.4-I-5=3,

SUBIECTUI

B(5,2)

Varianta | . Se cons

idera

mari..u

astfel incat

rlu{ia

*f>O+ll -\6

(a + b)"

M, (R) verifica rela.tia AX,= XA, atunci exista u,

tl X=lt u./ \v

b)sasearateca

e=lu bl,.uu.U.R 5i b*0. al

a) SA se arate cA. dacA matdcea X e

râ&#x201A;ŹR

-(a

vneN", o"

=f-" t"l,*0. ",, [v" ^"J "

(a+b)"+(a-u)". 2

b)"

., c

l Sa se rezolve in multimea M,

= 2. Se considertr

aeZ,

{R) ecuatia '

9i polinomut

a) Str se verifice cd, pentru orice b

b) Sd se arate

*'=f' tl (r 2j

f=X6+aX+3eZz[X] .

eZ, , b + 0,

*3 =(*' - +)(xt

are loc

relala b6 = i

+), v* eZ,.

c) Si se demonstreze ctr, pentru orice a e

Z, , polinomul feste reductibil in Z, [X].

b,olvdri

M,(r), * f" "l,astlel incar AX= XA. euem ex=[a o]f " "l= \z t/ [b aJ\z tJ /au-bz av -bt) . burav\ -- /u r \fll a b)I /au*bv l!rXA-l I 'ou.az .bv+at/ \? | )\b a) \az+br bz+at,l.deci AX=XA<>

t.a1 Fie

(au+bv .11, +bz av+bt) . =] (au

av+bt) ]<; au+bz=au+bv, av+bt=bu+av, \Dutaz bv+at, \az,bt bz+al, ht+az=az+bt gi bv+at=bz+at<: bz=bv $i bt=bu<> z=v li t=u,deoarece b+0.

p."i

'l=r' '). x=[u (z tl (v ul

b) Demonstram prin metoda inducliei matematice proprietatea

7ne

N.. unde *"

+u)"

1(u

(a+b)"-(a-b)"

-b)' ,1

yn=--2-

111

." "1, \Y" x",

p(n):A,,=f

Pennu n

obtinem

p(t):Ar

(a+b)'+{a-b)r

=--'i--a Ak

Avem

und.

+bxk

o*-

(a+b)-

-(a -u)'

= b . Presupunem adevAratii proprietatea

=01!)*-t(Lt,i

1("-b)- *o (u*b)u:(u-b)*

(a + b)k

-(a -b)k ,-*0.

- u.--

v'.'l-i**. xr-r I Yl.r

(a + u)'

f(k+t)

(a +b)k +(a

e1r.*r,) '

este adevdmta.

rr=(u*b)*-(u-u)u.

(;: :;)[; l)=(;:llll l,;:r;)

AtunciAk*'|=AkA=

evidentadevdrata, deoarece

oarecare qi demonsrIm cd gi proprietatea

[;: ll]

axk +byk =

5i Y'

P(k) pentm un k e N'

aYrr

=[;;

oo,"*,*",

@ld=**_,,

-b)k _ (a+u)k.' -(a -u)k.'

este adevarata. Deci proprieratea -'r'"r"''-!!q

xn y") l1r;,a" l. ' \rr, -- =[ y. l. xr)

, este adevarata pentru

c) Deoarece Xa

*=f " "l \v u/

=X.X3

Atunci

-Xr X=

.fu,

[i ;J"=-[i

u',

urll.un6. u,' =

\u,

u,=(u*u)'_(u-u)' o," *,=(i j,)= (u+vli -(u - v)l

-tou*u={/5

lJ= r ".".n

(u'u)'n(u-u)'

Vrnâ&#x201A;ŹN

astrer incat

!=!d

r,,

Adundnd. respecriv scizind aceste relalii, obfnem (u + v)r = 3 a1

(u-v)r =l

<> u

v = l , de unde deducem

ct r

vl tiV3+l i/l-ll .. /\=l Iu \"'./l=-lzIii5_r ii5*rJ

"= I-t,

z. a) a2

=2-+

u.,,"- iu = i, 2. =i

=(ir)'

=f=i,

= 3,

2u =.(2,

-a>

=i, = i,

-(3,)'

3, = i

= 4,

(3r), _ ),

=4,.a= ).+=i sio, _i>ou =i

decib6=ipentmVbeZ]. b) Avem

(xr

-a)(xt oi)= *u -A, = xu -2

= x6 +5,pentru

r12

=i,

y x eZ,

o*lnu a=0,avem f =X6+3= (x, -a)(x, ++), deci polinomul feste reductibil. l*a a e Z'r, 3 b e Z] astfel inc6t b = a I $i observtrm ca f (b) = b6 + ab * 3 = i + i + 3 = 0, b lX-b)/f , adica polinomul feste reductibil. ,Varianta L

Se considera

rnarricea A e M.

(R).

^=l,: \l

existi a e lR astfel incAt , .2009 b) Sd se calculeze (A - At) a) SA se arate cA

xk+r,

c) Sd se rezolve ecualia X5 =

Yl*r

r"l

x,)

X e M,

,4.2

1l r/

= aA.

(R).

2. Pentru a, b din muttimea

M=[0,co) si

a) Sf, se arate c6, dacd a, bâ&#x201A;Ź

M, atunci a*beM.

definegte operalia a

b) Str se arate ca legea de compozilie .. '* " esre asociativa. c) Pentru nâ&#x201A;ŹN, n > 2 , str se determine aeM astfel incdt

LeN'

blvdri La)Avem

,{2=A

rtrel incdt A2 !)Avem

=t-i 3<+

;, j.

= aA

A'i=t;

deci

A-A, =(1

deci =

-^, =f

\_,

. *6*...*a=23.

,J=3A,deci

I aeR'

l-(:

l)=

(l ;) observrmc' (o-o,)'=

:l w,i

astfel incat X5 = A . observdm o"t(x, ) = a"t, (x): "a [l l]. ", 1o1

=",(o)=l? ff =o= 0"1"1=o *;"-i

_l).

I tl ;)=[; i)=,,,a""i (e-a')'*' =[{o-o')']''*(o-o')=

.'" t

z)('z ,)=fu ol=,f , rJlr r/ 3J -lr

+ eb

=1-r,1rm4(a-n,)= .,

=('z

*b = h(e"

,i, lnand cont ca

=1x'?=(a+d)X= xs=(a+d)ax,deci X5=A<+

x, -(a+d)x+aet(x).r, =o,

f".of

(l :)=[i

?j.-

cr(a+d)aa=2,(a+O)act=f,(a+d)ab=2,(a+d)ac=l.Adundndprimeledou6relalii

113

^ o -+-+si.-d(s)" 3

oblinem(a'd)5 =r >a+d=i6.deci

:-{.u0,., (i5)" 3

b) {612 2) .. /\=tfu t=-l \. dl l!

a,beM=[0,-)- atb>0= a*beM.

2.a)Fie

b) Observim ctr, pentru V pentru V a,b,c €

M, uu.-

"(u'o)"

-t

pi 2b >t

x,y€M,

respectiv su'(t'") =eu +eb*" e(a'b)'c -€a'(b'c)

+2b

x*y=h(e"

avem

tn(2"

+e v -1J <+

+ zb

- r)> nr

e*"] =e* +eY -l.Atunci.

-t = ("" *.b l)+e"-l=e"+eb+e"-2, +e" r)- r = eu +eb +e" 2, deci

= eu*b + e"

"'+(.b

(a,*b)*c = n,*(b* c), adicd legea

-t>t=

de cornpozilie,,*

este asociadva.

c) Demonstrdm prin metoda inducfiei matematice propietatea

P(n):a+a'*..*2=h(ne'-n+l),

N,n

Vne

aeM.

detrona

Pentru n =

2 oblinem P(2):a *a

-f"(f* - r). evident

dehniliei opera{iei ,,,* ", in care luam b =

t. , krl).\ P(k):a*a*.. *a = ,lnlke'

adevlratd, consecinF directtr a

a . Presupunem adeyAratA

pentru un

ke N, k )

proprietatea

2 , 9i demonstrlm cd este adevArata

dekona

prop etarea p(1i r 11;3*a,*...*3=Uf(t de

(k.l)

ori

't''''\

=a*tn(ke"

-k+t)

deci proprietatea

(k +

l),

VneN, n)2 <>

ne'-n+1-e2u

-n+1

hle" +ernlrd

9i V

e" =

aeM.

(t)'

Atunci

*-'l

r h le"\ *

-tl

e#;:

ke"

= ln ( ne"

e'ra'r" '*a=Za

cu solufia a

- ln(n-t)

-l e

r [o t. Se consideri matfi..u A=ll 0

114

k+t

n+I

)

- t) =

a*l a'a...*al= \

de k on

a /

n[(rr t)e' tlr

este adevarata pentru

= 0, cu solulia a .

r) tleMr(R).

11 I o) a) S{,se verifice egalitatea A2 A = 2I3.

h(ne" -n +t)= 2a e

Varianta 3

(k+l) ori

(." -l)("" -n+l)=

n-1,

t).. kl. Au.1n a*a*...'ra-

=0€ M,

respectiv

b) SI se calculeze

c) Sa se amte ca A200e + 42008 =

(2,,*,.)

2, Se considerd cunoscut ca

r,y=x y-3x

(e + Ir ) .

22008

este un

inel comutativ, unde

a) Sd se arate cA elementul neutru al legii de compozifie

b) Si

determite

a,beZ

astfel incat intre inelele

c) Sd se rezolve in mullimea

ecualia

IIlj:_11 de 2009

lculvdri a) Avem A'? = A

b) Observtrm cd

e-'

,,. "

(2,*,.)

este 4.

$i (2,,+,.\

str existe

r r0 -ll 0

= 2200e +3.

r) 12 rl 'lro ' rllr 0 rl=lr 2' rl.deci a)

ll r olll l ol [t l2j o 0l 12 'lrl=10 2 0l-2rr

,'z r r) [o r = 1 2 1l-lI 0

\l I

f :Z -+2, f(x)= n.**6.

zomorfism de forma

x*y=x+y_3

3y+12. V x,yeZ.

0J [002J

A2 a=2\

c> AB=BA=Ir,unde B =;(A -

) , deci A este inversabiltr 9i

11)

.(t

I -{.'r -t _1) r

=e=,(e-r,)-ij

c) Demonstrtrm prin metoda inductiei ratematice propdetarea

P(n): A"*r

A" = 2' (A

Pentru

n=l

- A + 2A

,{2

f(t):al*r proprietatea = zk

+ r:

P(n): A".r obfnem

Ak =

t(k+

+ 2A

eN'.

+ t, ) , pentru

t) : ak*'? +

ek.'

A" =2"(A+lr)

A200e + A2oo8

evident adevArattr, deoarece A2

:t A, + A = 2 (A + Ir ) . presupunem

).a = zk (a'?+e)= +

P(l):A, +A =2(A+Ir),

oblinem =

22008

.z(a

(a +

+ t,:

). avem Ak*: * Akr,

zk*r

este adevaratl pentru V

+ I.: )

+rr)=

neN".

2I: :+

adevlrata proprietatea

un k e N" oarecare, 9i demonstram

= zk-'

p(k

ca este indeplinita

= (e*', +ek).e +

l).

deci proprietatea

in particular, pentru n = 2008,

= x .4

Avem ;ozf ={c;1 - 3x - 3.4 + 12 = x ,y x eZ , decr e=4 este element neutru al legii de compozilie ,, o ". b) observdm cd f este izomorfism implic6, in particular, cf, f este surj ectrva, deci l x E z astfel 2. a)

f(x)=b116 ax+b-ax+b+l<> ax = I , ecuatie care admite solutie in ZL doar in cazul in care a=tl .Dinrf(x*y) =f(x)+f(y) pentru V x, y e Z obtinem ca , incAt

115

a(x + y - 3) +b = (ax + b)

+ (ay +

<+b=-3a.Din f(x"y)=f(x).r(y)

a(x + y) -3a +b = a(x + y)

x,yeZ

pennu Y

obtinem

-3a

b = 2b <+

- 3y + 12) +b = (ax + b)(ay+ b) cr axy -3a(x + y) + l2a + b : a2xy+ +ab(x+y)+b'z<+ a2 =a,ab=-3a 9i l2a+b=b2,deci a=l ii b=-3. a(xy-

c) Observtrm cd

xoy=xy*3x-3y+tZ= (x-:)(V-l) +3,V x,yeV,.

Demonstrtrm prin

metodainduc{ieimatematiceproprietateaP(n)::r.x._....x=(*-:)"+3,VneN,n)2. dcnonx

Pentru

n=2

obpnem

P(2):x.x=(x-:)'+3,evidentadeviratil,'consecinlddirectea

dehniliei legii de compozilie

", in care ludm y = x . plssupunem adevirati proprietatea

,, "

P(k):.x.x."....x=(x-3)- +3

pentru un k oarecare,

keN, k> 2, Si demonstrdm

cA este

d€konx

indeplinitd 9i proprietatea

P(k+l):x.x.....x=(x-3)**' de (k+l ) on

r)"^.. .r

3. Avem Ioxo...ox =

(k+l)ori

=k--r)t+31"x= (x-3)k'r+3= [(*-:)*' +r-rl1x-:)+:= I L' l' ( a.ri;* Jl"^ L

+P(k+l),deciproprietateaP(n):.x.xo....x=(x-:)"+flsteadevdnlApentruVn€I{,

^;llI" -1; de 2009 ori

+3o,.-;;:,=,,,""+3-

-220@

x-3=2c: x=5ez

Varianta 4 l.

se consided

rnatri..u

e=|.-l 2 \2 2

2.]. -1)

a) Str se calculeze rangul matricei A.

Str se

demonsteze ca Oet(et

.e)

= O.

c) Sd se determine o matrice nenub B e M3.,

2.Sestiecd (G,.) tuncpa

este grup, unde

(Q)

c=(3,"o)

astfel incet AB = Oz

9i x " y = (x - 3)(r - 3)+ 3 . Se

f :(0.o)--r G. f(x)-x+3.

a) Str se calculeze 4 o5 o 6

SE se

d€monsteze ctr func{ia f este un izomorhsm de gmpuri, de la ((0,.o),.) la

(G,.). c) SA se demonsteze cA, dacl H este un subgnrp al lui G care contine toate numerele naturale k24, atunci H contine toate numerele rafionale q >3.

116

blvdri L r) Vatricea A admit.

Lr .{vem

"ri""d l-j

(-r z\. A=lz ,lf-t

-'J\

,l -l

=-6* 0. deci

(t 2 t ,, -. 2

-'tl=lz + la z

-41 l0 -'8 -el 1l=2lr o ,(-')ll',' 5l l0 18 el'l=

o Fie BeM3.r(Q),

n=jc t^l .\e

-l -ol

rans(A) = 2 .

-4) 15 2l.deci oet(e' .e)=lz tt

-a+2c+2e -b+2d+2f) f0 0) l-a+2c+2e=0 l_b+zd+zt=o 2a+2c-e 2b+2d-f J= [o oJ* lza+zc-e=o tt ]zu*za-r=o o r= e= -2c pi b= f--2d. Ludnd, de exemplu, c =d=l> a =e=b = f =_2. /a b) f-2 -2)

1r)Avem

. 5 = (4

- 3)(s -

3) + 3 = 5 , deci

Demonstrdnl pentu inceput,

f(x' )= f(x,

tunctia

x, +3 = x, +3

:l *=[-^t :'.)l: \2 2 -t)le ;J-

B;cOr,r,

2l=

=0.

d l, astfel inc6t AB=o:.Avem

f=. Al=l r r j.Urrlq;, e f) \-2 -2)

l-4 2

o) r,/

2 4l

care verifictr relatia

4.5 "6 = (4.5)"

o obtinem

AB=O?.

s.6=(5_3)(6_3)+3=e.

f :(0,"o) -+ (3,0o), f (x) = 1..3, este bijectivd. x1 = x2, V xr, x, e (0,"o), deci feste rnJechvtr.

.semenea, V y € (3, co) , I x € (0, co) , x y 3 astfel inc6t f(x)=x+3=y_3+3=y, = - , i funcua feste surj€ctivd. Fiind injectiva ti surjectiva, funcFa feste bijectivtr. Avem

flv) = xy+: ei r(x).r(y) = (r(x)-3Xf

(y)-3)+3 = (x +3-3)(y+3-3)+3 = xy+3, bi f(xy)=f(x).f(V),pennu Vx,ye(0,"o) ,decifeste morfism de grupun. concluzie, f este izomorfism de grupuri de la

((0,-),.) ta (c,.). Ft H un subgrup al lui G cu proprietatea ca N fl[4, o)c H. Observdm ct f r :c _+ (0,"o), f-'(x)=1-3 este izomorfism de grupuri de la (c,.) h (0,co),.),deci f-r(H) este subgrup h ((0,-),.) Din Nn[4,co)cH+ f-'(Nn[4,-))c r r(u)= Nl[r,o)=N.c f-'(H) . Atunci, inand cont ci, pentru Vree, r>0, f m,n e N. astfel incat

=9=rn n-r gi m,neN'crr(u)=:

m.n-r

r(Qn(0,.)). r(r-' (u)) efi (:,-) c u. =

tl7

ef '(H)= en(0,-)cf-,(u)>

Varianta 5

(r r t l) l.

Se considerd

punctele A(0,6) ,

B(14),

1,8) simatricea

M=10 I -1 al,

t6 4 8

unde a, be IR. a) Sf, se amte ctr punctele A, B, C sunt coliniare. b) SA se determine rangul matricei M in cazul a = 3, b = 0 . c) Se se amte ca, daca unul dintre minorii de ordinul trei ai lui M, care conline ultima coloantr, este nul, atunci rang(M) = 2.

definimlegea de conpozilie x * y = 5xy + 6x + 6y + 6 . a) Sd se arate cf, legea , * " este asociativa. b) Sf, se determine elementele simetrizabile ale mullimii Z h raport cu legea c) 56 se rezolve ecualia . 2, Pe mullimea

I*x*x*.' *x=-l de 2009 on

Rezolvdri

r.a)Avem Observam

,, +

x-*e (an;:-LJ-o zx+y,6=o. ' yg - yA,= Xs - Xa* 1-9=-}..!*4=14--6 1-0 -2 I

2xp+yr-6=2 (-1)+8-6=0,

cleci

CeAB,

adica punctele A, B $i C sunt

coliniare. b) Considerim punctul D(3,0). Observdm

cl 2xo+yo-6=2.3+0-6=0,deci DeAB,

adic[ punctele A, B, C pi D sunt coliniare. Matricea

M admite minorul de ordinul doi

llll^.=t*O ti toli minorii sai de ordinul trei sunt nuli, aparand in formule lo ,l S

=;lAl , u"ae S = 0

de arie de forma

reprezintd aria unui triunghi impropriu determinat de hei dintre punctele

coliniare A, B, C gi D. in concluzie, rang(ltl)= z. c) PresupunAnd cd un minor de ordinul al heilea al matricei M, minor care contine ultima coloan6, este nul, deducem ca punctul D (a, b

)

este

coliniar cu doua dinte purctele A, B

sau C-

deci D este coliniar cu toate cele trei puncte A, B gi C, de unde deducem cd toate triunghiurile determinate de trei dinhe punctele A, B, C sau D sunt improprii ii au aria nultr, adica toti de ordinul trei ai matdcei

M sunt

nul i . in concluzie. rang ( M ) = 2 , deoarece, ala cum am

observat deja, matricea M adnite minorul de ordinul doi

2.a)obsewdmctr

y.9l-9, - * 6 = 5f\^*9lf s) s 5/\-

x r y = 5xy + 6x + 6y

Atunci (x * y)*z =

11 llrl =t.o

-l

Y x,y

ez.

-( 6\1 6) 6 6lf 6\

)l )l x+- ll v+- l--+z +- l-[,(..:)('. f)-:].,= Lf 5/\' sr 5 5l\ s)

118

-.i)[',:)[,.:J-: 5i x*(y,*2)= -'.['(,,:l[,-:)

.-i)[,[,.:]1, :)-:'i]-:-"1' ;l['.:,1[,-fJ

tr.v)*z=x*(y*z) rrobservrmctr

pentru V

x,y,zeZ,adic, legea,,*"

Am.b,inu,ca

este asociativA.

,lr-9.][ ", :l_:=y*x )\'r-:l s) := 5 -1, 5Jl 5,

*.r=11**llf - r, s

penrru

\.\ eZ, adicdlegea,,*" este comutativa. ArAtam cA jeeV, astfel incdt x,ie -e,*x lrau V xeZ.Relafia x*e-e*x este asigurattr de comutativitatea legii,,*". Avem 7

r.c=x 7Ed1J Y

9tl.r!l-g r[*-f11.,,1-o -si*, r 5rt 5) 5 ".i".lllrl..g],1=o. , 5,' \ 5rlt 5r I xeZ= e+l-)=

-leZ.

lt:Ermindm acum elementele simetrizabile ale multimii

fuentelexeZ

pentm care

lx'€Z

astfel incal

;

r, 1 ,

in raport cu legea ,, * ", respectiv = ;i '* 1 = g . Relatia x*x'=x'*x este

-surar6 de comutativitatea lesii ., *,,. Din x,* x, = e = r ; [

;unt

AB, mvt

5l\",*!l5)=a= 2s *,*!5 = ^-( 6 z)t x+

*glf

==J-.2-

riurile

lml n

, deoarece xe Z-^+9+0. --f s(sx +o) s

Se imnrrne

5*n5 I ).2= 5.,**l .z= r!*1..2=f 5xr6 5x'6 5r+o [ 5x,b/ penrru x= l obtinem 5x+6€{-l,l}=..{ ],-r}nz=l-ll

oditia x'e Z>

sau C.

= \

f )( " ".1),

\ 5/ .raci x'=-;! . -g= ---] . 1-t= l-(s**0)-r= _ ^*l -r s(sx+6) s s(sx+6) s s(sx+o) 5x+6

rnctele

t =----9-t-l----- 59--t.z.inconcluzie, 5(sx+6) s 5(-5+6)

doar

x=-l

este simetnzabit in

+ort cu legea ,, * ", iar simetricul sdu este x'= x - -l . <r \otim I*x'*...*x =y.Atunci xi.x'i.-.*x =-l€, x+y= y*x =e= l,

adictrxeste

i 9i, conform punctului precedent, deducem c6 singura solulie posibili este x

de 2008 on

:trizabil cr evident verifica ecuatia.

- -l

Alfel, putem demonstra prin metoda inducfiei matenatice proprietatea ./ Itn):x*x*.. ,rx=s"-rlx

*.' nil;i;i'=

/.\n

;l -; " neN. n) 2.1i v x ez. I <> 5,00s(x+9]"" -f --, dincareoblinemrapidcE x--1. r

119

Varianta 6 r. se considertr permdarea a) Sa se calculeze

o=fl i1254J 1i 1.l.., 13

o2m.

Sd se dea exemplu de o

r€S5

permutare

astfel incat

ro+e

qi (ro)2

=e.

c) Str se demonstreze cl, pentru orice r € Ss, existtr p e N"'astfel incat tp = e 2. Se consided

aeC,

x1,x2,x3 e C r6d6cinile ecualiei

x3-2x2+2x-a=0 !i

x, x,l dererminantul A =l-. -; ^.,1. t--l lx2 x3 xr 1,,'

a) Penhu a =

I, si

determine

xt,

b) Sa se arate c[, pentru odce a € R , ecualia are o singuA ddtuin6 realA. c) SA se arate cI valoarea determinantului A nu depinde de a. Rezolvdri

(r 2 3 4 5\(b 2 3 4 s)_(t.z z + s) . l.a)Avemo'=o.o=[: , z s oJ.[, r ) \ ,rl-lr r r a sl' '/ \- - ' -/

(rztq 234s) l- o'=o-.o5)fl 234 5)/l l= | = o-=o-o=[z: r + sJ[: r z s 4) \r2354) _(r z t 4 5)rt 2 3 4 5l_l'r 2 ' O tl = . Atunci o2ooe = d?o2o o-t (r2354JU23s4) \t2 3 4 5) " o r). r =(ou)"5.o - e3r5.o'= r'=[; : i 5 4)

b)observamca.penrrul,

o2.avem'.="'=fl

I ] i l'.t'

^,2 (ro)'={o'} =6'=s. c)

rie

{r" ln

*rj

e N'

}

Sr . Presupunind prin absurd cd

astfel incat rp = e,

i,jeN'.

icj.deoarece 1i =aj <a.l-i =e, ceea ce conhavine presupunerii fdcute. Atunci rezdta c! multimea (t) este infrnitl, ceea ce este inposibil, oblinem

cI ri

deoarece

(t)cS,

pentru V

lsrl=rr

= 5!<

in concluzie, pentru V

teSr,3 peN'

astfel incat

=e.

2. a)Pentru

a=l

oblrnem ecualn xt -2x2

-\ ' -\! ) ^ lr=u,cusoluFrle <+(x-l)[x'-x+

+2x-l

o x(x-l)'z+(x-l)=o<+ lri'/3

=r tt xz.l=--2-.

t20

bCmsiderdnd functia

f(x) = +o

:lR

--rR, f(x)=;r-2*z+2x_a,observdmca lim f(x)=_co,

$i, finand conr c6 functia feste continutr, deducem c6

xo €

astfel incat

f'(x)= 3x2 -4x+2>0 pentru V xeR,avdnd a=3>0 gi A=_8<0, 11)=O *cem ci funcfia f este stdct crescatoare, in particular injectiva, de unde rezulti unicitatea ecualiei f(x)=0. Deci J!xoelR astfel incit f(xn)=9. Deoarece

Conform relaliilor lui Vidte, avem S,

=x,*x2*x3 = _*=,

u, S,

=*,x,

+x2x3

+xrxj

*rl **r**, *, *.,1 x, x,l l*' *, xr xrl= l*, * xr +x2 xr _rl= , ll _, .rl= l*, l, x, lxz xr xyl lxr+xr+x, x., x,l x,l

_r: =3=

2. Atunci A =lx.r

lu xl -x2 x2-xrl= 2.1 ' 'z xr''/ "rl= 2 (x, _x,)(x,_".) (*, _xr)(x, _xr) = lo *3 -*, *, -*rl lxr-x2 -xrl = z(xl + *l + xl- xrx2 - x2xj - *,*r) = z(sf -xr) z(2, = - 3. 2) = -4 .Evident a = _4 nu =z

rl?inde de

Varianta 7

(t z t 1. Se considerd matricete

=lO t [0 0

31, B=(0 I 2)

0 0 l) 9i sistemul

ix+2y+32+4t=3 y+22+3t=2. z+2t =l

i I

a) Str se determine rangul mahicei A. Str se determine mulfimea solufiilor sistemului. c) Sd se demonstreze cA ecuatia XA =B nu are solutii X € Ml,3

2. Se considera mul{imea

c=lA(k)=l:: :: )-. r} \, z )l ) [

cu --( hlr = {A(ld - l)lk € Zl . Se admite faptul cA

(G,)

este un

(C).

$i. pentru

fiecare tez,notdm

grup, unde,,.,,este inmultirea

rratricelor.

ci y n,peZ, e(n).e(p)= a(n +oayi. b) Str se demonsheze cd, pentu orice I eZ, Ht este un subgrup a) 56 se arate

c) Str se demonstreze ctr grupurile

(C,.)

(V.,+)

t2l

sunt izomorfe.

al grupului

(G,.).

Rezolvdri 1. a) ObservSm

itz:l 1 =1+0,deci rang(e)=f' 2!

loo

b) Deoarece rang

z+2t=1=t

matricea A admite minorul

(e)

'ung

(A) = 3 ' deducem

cd sistemul este compatibil nedeterminat Din

z = 1 .. 2t. inlocuind in ecualia a doua, oblinem

y+2(l 2t)+3r=2)y=t' x=0'dect

inlocuind, mai departe, in prima ecua{ie, obtinem x+2t+3{L-.2t)+41=3-:> multimea solu|ilor sistemului este s c) Presupunem prin absurd

XA=(x

{(0,

t,t-

ci 3 XeMr.r(C),

Zt,

t)lt e C}'

X=(x y

z) , astfel incdt

XA=B

Avem

fr 2 3 4) y ,11 o r z : l= (* Z*+v 3x+2v+z 4x+3v+22), deci XA=B<> [0012J

<a(x 2x+y

3x+2y+z 4x+3y+22)=(0.

0 0 l)o

ii '

1:ll;,., ,

l4x+3Y +22 =1

1= y =2 =Q ' ceea ce nu verifici ultima ecuatie ln concluzre' llcutd este absurda, deci /X e M,., (C) astfel incdt XA = B ' (';" 2o) f1 1) /r\ rl\ /1 r\ = otul =r'1, ,J 2.a)obsenamca i.t tJ t'

trei ecuatii oblinem

^(o)=l;. [r, ,,..'J (^(.))'=[i ftl l]=[; ;)='[l l]-'o101,u".'

Din primele

presupunero

,'J

.r(')

e(n)= (z'e101) (z'e1o))= 2".r(a(o))'= 2"p 2,{(0)= 2".0.'n(o)=

= A(n

+p+

b) observtrrn

l), v

n'P e'1' '

cl A(n) A(-1)=A(-l) A(n)= e(n -l + r)= a(n), v neZ 'deci A(-l)

l(-n

- z) elementul neutu al grupulur (G, ). De asemenea, 't(n) 't(-n-z) = elementului A(n) ' = A(n-n- 2 +1)= A(-1) ,deci e(-n - z) este inversul 2) = A(-kt-l)= t-t)eH, $i, pentru evem a(-r)

este

=A(0

e(n)

vk€2. A(-(kt-l)

=A((-k)t-l)€H,,adictrvA(kt-l)€Hradmitecainverselemennrle((-k)r-l)eH'' in concluzie, H1

este

un subgrup al grupului (G' ) '

+2, f (A(k))=k+1.Avem f (A(k))= f (A (p))= k+l=p+l> k =p' n 1 astfel incat functia feste injectivI. De asemenea, pentnr Y ne Z,3keZ, k = - '

c)Fie f :G f

(e(t))=t+l=

n-1+1=n'decifuncliaf

este

suiectiva in concluzie' feste bijectiva'

r22

i(a(t) a(n))= r(a(t +p + t))= (k+p+l)+t = k+p+2, râ&#x201A;Źspectiv r-rii))+r(r(n))= (r+r)+(p+r)= k+p+2,deci f (A(k). A(e))= f (e(r))+ r(a (p)), ca

7A(k),A(p)â&#x201A;Źc,adicdfiurc{iafeste nat. Din

(c,.) ta (2,+\ si, ctr grupurile (C,) ti (2,+)

morfism de grupuri de la

bijectivA, este izomorfism de grupuri, de unde declucem

zomorfe. deci

Varianta 8

-l -')

Avem

matr,"""

se considerd

-I|A a)

calculeze det(A)

b) 56 se arate

[,i -l ,t.J"'tnt

ozn -22"

-l o*.t2n ''t -J-,,

,pentru orice n e N*

A I. 2. Se considerd aeR gi ecua{ia x3 -x+a =0, cu rlddcinile cogplexe xl,x2,xl a) Sd se calculeze (x, + l)(x, + l)(x, + l) b) Si se determine x, 9i xr, gtiind cd x, = 2 c) Sise determine aeR penhu care xl,x2,xl sunt numere intregi. c) Si se determine

Ir -r -rl lo } det(A)=l-r tl= F' ' l-r I 1l

021

' -'l= 1-'l '^

l_1

LA(-l) t) e (n)

(, -, ,'l[ . -{iemA'=A.A=l I -rll I -l

-'l

\.t

oo) O 0 t)I

' t

-t ]+210 -l _l | ) l0

P(n): A'?" oblinem

,l]=

Demons[am prin metoda inductiei matematjce

)2it +.)

= ,-o--1,.

p(l):e'?

rJ[-r

J[-1

A.2lr.

)2t\ _1

l_-f

-l ll

VneN'.

=?^.!#t:

= A+2r:, evident adevarata.

t23

Presupunem adevdrati proprietatea

care

ti demonstram

Avem

n(k) : a'zk

cd este indeplinittr proprietatea

(*r. ,

pentru un k e

^.+I3

oare-

r(t+t):e'?**2 -22k*! -t o*z2k*1+z',

.. \ .r2r , ,"_2*r.!_)\O^2r, ra;U)= t ).. , ?o'-[

A2r.+2_A2.e,*=(Arzrr)l:--:le

r2t _r r2k , I 22\-l+4. 221't +Z2k !--J:\ - ' --'(A+2t.)-' -'- e+- - l.r= (2zr _L z*n,22t1. (2zk-t _2+22r-r*4), 22k+2 -l _ ^.22r*2+2, tii+t-=t-+ -[ 3 ,2.

3 J" [

+ P(k+l),

deci P(n):A2" =

c) Avem A2 = A + 2I: <+

AB= BA = I:.

unOe A

l2n - I

'r?nt2

o- t-;=Ir-)

v nâ&#x201A;ŹN"

este adevarata pentru

A2-A=zli<?(A-Ii)A=A(A-13)=2Ii.Observamca l.

=;(A-l.r).

deci man-icea A este inversabilE 9i

(o -r -r) o -il. e-'=B=r(,q-r,r=11-t '' ) | )' -r [-r oJ |

2. a) Conform rela{iilor lui Viete, avem Sr

ao -f

=3e= = xr

gi S, = x,xrx, =

*xz * x: *

-31 = -u.Arunci (x, + l)(xr

xrX2 +x?x3 +

Sau, folosind descompunerea

=x, +x2 +*, = -3I=g' +

52 = xrx2 +x2x3 +x,x1

t)(x., + l)=

xlxl

xrxrx, +1 =

St +52 +S, + I

= 0-'l -a

+I=

-a'

*r-*.'3=(x-x1)(x-xr)(x-xr),observamca,pentru

(-t - x' )(-l - x, )(-t - x' ) <> <+ a = (-t)' (t + x, )(t + xr )(t + ,., ) e (x' + l)(x, + 1)(x, + l) = -a . b) Avem x' =2=> 23 - 2+a-0:> a =-6 9i atunci ecualia devine x3 -x-6=0<r

x=-l

<+ xr

obiinem

-t-(x

(-r)'-(-r)+a

- z)= (x -z)(x'?

sunt ale factorului x2

+ zx +

+2x,3

+)- (x -2)= (x -2)(x'?+

= 0, deci

xr., = -1+;n[

+3)=

0 nraa"i"lte *

c) observf,m

cl *l +*f +*l =si -zs: = \'z-2'(-l)=2.Din x,,xr'xreZ

xl 'r xl + xl

deducem cI una dinte radacini este 0, iar celelalte doul aparFn multimii

{-r, r} . Oin xr =0> 03 -0+a =0= solutiile xr =OeZ lt xzl=!1e2.

=0,

situatie

124

care ecuatia devine

-x =0 ' cu

Varianta 9 l.Fie A(xo,yo), B("",y"),

c(*.,y.)

lxe Ye l)

U=l*u y" rlerrl,(n)

rei puncte din plan 9i marricea

(xc Yc l/ a) Si se arate cd, dacA A, B, C se aflA pe dreapta de ecualie y = 2x, atunci det(M) 0 = b) Si se arate ci, dactr triuaghiul ABC este drâ&#x201A;Źptunghic are catetete de lungime l, . ai

rmci det(M)= rl V-r

c) Sd se arate cA, dactr rnatricea M este inversabil{, ahrnci suma elementelor matricei

este

2. Se considerd mullimea de matrice

^=l( :,

o)l".o.rl. J

o. 1']. o ii b) Str se arate ci, dact X e A , yeA ". qi "[*1"* Xy=Or, atunci X=Oz sau y=Oz. a) Sr se arate ctr. daca

xâ&#x201A;ŹA

c) Admitem cunoscut faDtul ctr A este inel in raport cu adunarea $i inmultirea matricelor_ inversabile ale acestui inel.

se determine elementele

bulvdri

a) Punctele

A, B, C se afld pe dreapta de ecuatie

y=2x

daca

M coloane sunt propo4ionale. Dacd triunghiul ABC este d drephrnghic

jF"t"1 =] *

.Pede le altd 6 parte,

numa

dzcb.

l, atunci

S[.4

yc la*1rra)l = r

yo=2ao,

lxo 2xo ll v" 1= lx" 2x" ll = 0 . deoarece primete l*" yc tl lx6 2x. ll lxc

2xB, y6 = 2xs. Atunci det(M) = l*o

s{ABct=l-l=1

- det(M)

ll = der(M) , deci

u. 0 I

limii o,cu

Mi (L3)M(3,3)

= 0 <> a. I + b. I + c. I = a +b + c =

0, unde am folosit notalia

de definifia de bazi a notiunii de rnatrice, aceea de funcfie

t25

a,, =

a(i,

j),

A:{1,2,...,n}x{1,2,...,n} _+C.

Similar obFlem

d+e+f =0,

respectiv

m+n+p

Si, adunand cele

trei rela(ii, concluziondm

ci a+b+c+d+e+f +m+n+

|IrA-'(i, j)= f , suma elementelor matric€i M-r fiind 1.

i'j=t

2.a)FieX,YeAo 3 a,b,c,deZ asrfel inci,r x=f 1. bl ii v=[ L dl.e*n"i [-]b a_/ \ 3d c/ (a b) /c d) / arc brd) +l ., l=l .,, ,, X-Y=l ., A. deoarece este consrruir dupi modelu cJ l-J(brd, a-c,J. \-Jb al \ Jd elementelor lui A.

b)Avem XY=O''

= det(xv)=

det(Y)=0. Alegand,

det(O,

de exemplu,

)= det(x).det(Y) =0- det(x) -0

der(x)=0,

unae

x:i u, Jo

bl, a/

u,u.z,oblincmca

bl ol=o.. l" b o= x=io =u'-,0'=o>a 0, l-lb aj

c) obsewim

ci pentru

VX€A, X=f i. Jb \

Fie

Ol,uu.* a/

det(X)=a2+3b2eN.

XeA, X+02,pentrucare X-re A.Avem X X r=Iz aet(x). aet(x' = 1 ti, linand .ont ca det(x),det(X )

inversabiie

)

=0- a =tl gi b=0, o]=t,ri 0] diD A \unr [' i,1 -',. \0 l/ ' \0 1)

det(X)-a: +3br =1=

gi b2

Xr)=aet(fr)=

=_.det(X e N, oblinem ci

deci singurele elemente

Varianta 10 r. se considera permutdrile a) Sd se calculeze

e,c.r,,.=[l I "

] 1l u2li 1.], "=fl ul2,

b) Si se rezolve ecualia c200e.x=e,

x€S,.

c) SA se demonstreze ci, oricare ar fi ordinea factorilor, produsul tuturor permutarilor

este permutare rmpard.

2. Fie inelur

zlil=la+uila,tez).

a) Sa se dea exemplu de un numtrr complex z astfel incdt z e V,fr] Si z'z e

b) Sd se determine elementele inversabile ale inelului c) Si se arate ca multimea H = + n)+ (rn {(rn in raport cu inmultirea.

126

Z[i]

Zfrl.

- n)ilm, n e Z}

este parte stabild a lui

a f.- ._o o_

3)_

(t 2 31.(t 2 3)_f l 2 (3 I 2/l: r zJ-l: : iJ, ",=", "=()

(t 2009

q2olo.o-t.r, - / " ,670 \" i

'x=e6

.u x.- e' -.0. ,.x = d-,.x

ch e :S, J{-1,1} funcfia signatura, â&#x201A;Ź(o)=-l pentru permutare o a:l= +l pentru o permutare pard. Stiind ci, dintre cele pl =3!=6

tiv 3, sunt lnapre, iar celelalte jurnirate

este permutare impard, unde am notat

oarecare 9i am folosit faptul cA

ft observam

ca. de exemplu.

l- ='*.1*ir.1)' Frc I

;)=

3)-

-lrstn

) l-

: N[] i

= .o,

zeZ[i]. z=a+bi

sunt pare, oblinem ca

=e <>

rmpara, respectiv

permutan, Jumatate,

e(t)

(+f)r (_l), = -l

r=cosl. J1*iV2 _ _t_t,x.LtJ'oaf .-... isinl= dvlil a^ 4

nlrio.

=ie

+ 0..pentru cure

z[i].

!.2[,l.evem

lzl,

= a2 + b2 e

N, ei

!.zlil= z"

=.;] =;, *t. N'= az -b2 = I=(a2 - I 9i b'?=0) sau(a2 =0 ,i b2 =l),adici e=tl 9i b=0)sau(a=0 9i b=11), deci 11,1i sunt elemertele inversabile din Z[i]. x,yeI= r:,l,oo:1astfelincat x = (m+ n)+(m -n)i qi y=(p+q)+(p_q)t. IFie *') + (m - n)i].[(p + q * (p q)i] ) = (m + n)(p + q) -(m - nXp - q) * T'' "1 , [{*-(m

n)(p - q)

q)]i = 2(mq + np) + 2(mp -nq)i (a + b) + _b)i, = (a unde b=mq+np-mp+nq sia,bez.in concluzie, am obfinut ca. pentru '=mq+np+rnp-nq, r.yeH,avemgi xyeH. adicd H este parte stabih a lui Z[i] in raport +

('n - n)(p

cu inmullirea.

Varianta 11 l.

Pentru a, b, c, de

produsul tuturor permutdrilor din S, intr_o produsul numerelor reale es,..ornurutiu uro",u,,u.

, se considerd rnarlcea

127

^[]

bc a-d da -cb

rnatricea

Pentu

a=c=l

b)Sesearateca

qi b = d = 0, si

calculeze

det(A).

A.At =a.I,r,unde c=a2+b2

c) Sl se demonstreze ca, dacd A

+cz +d2.

Oa , atunci A este inversabila.

2. Se considertr a, b, ce lR qi polinomul f = X3 +aX2 +bX+c , cu radAcinile xr,x2,x3 â&#x201A;ŹC,astfelincAr lx,l<1, lxrl< t, lxrl<t. a) S, se demonstreze cA lal < 3

b) SA se arate cA, dac{ c < 0 , polinomul are cel pulin o rtrddcind realtr in intervalul (0, o c) Sd se aratâ&#x201A;Ź cA, dacA a

=1, c=-l,atunci b=-1

Rezolvdri

1. a)

Pentru

l-l

011

0l l0 01 -1 0

a=c=l ti b=d=0

'l , =10 2 0l=

ll,

=f"'.";u

bc a-d b) Avem A .A' da t_; -cb +d2

ill;

00 l0 02 -l 0

olr"

-b -c llo ad -oll' -da c-b ",/ [d

a2 +b2 +c2 +d2

0I.r. c) Avem

A+Oo

dactr gi numai dacd cel pufin unul dinhe elementele a, b, c, d este nenul,

+b2 +c2 +d2 + 0 <> o + 0. Atunci, din relafia

e-r=la'.

A.Ar

2. a) Conform relaliilor lui Vidte, avem Sr = xr + x2 + lal =

l-al = lx, +x,

x, =

xrl< lx,l+lx,l+lxrl< r+1+t =3, 128

a.Ia

obtinem

-3! ao

= -u ,

deci lal

<3.

6""t

este

)

Fx f :R-+R,f(x) =x3 +axt+bx+c funclia

)=c<0 incat

f(x)=+o $i _lim

f(d)

ata$at6 polinomului f. ObservAm

9i, folosind continuitatea functiei f. deducem cd

jo€(0,-)

= 0.

lentru a=1 9i

c:-l

obinem

f(x)=13**:+bx-l.Avem

=x,xrx. =(_t)r*=t,

iix'xrxrl=lx,l lx,l l*rl=t. pln ipo,"za, avem lx,| < l, lxrl < r, lxrl5 r = r'{ lxrl lx, | = t, cu egalitate doar in cazul ca lx, | = lxrl = lx3 | = I . Observrm c6 l=-1<0 ti,lim f(x)=+co,deci lo€(Q,co) astfel inc6t f(c)=O.Fie x, =s.pin :(0,"o) $i

l*,1=t* r, =l> f(l)=0= b+l=0+b=-1. Varianta 12

considerl polinoamele

g€

R[X], f

= X2 + X + I , cu riddcinile complexe x,,

: ;lrt ^:f;lb a cl

g=aX2 +bX+c,cu a*0.Fiemahicelea,VeMr(C),

rl ('' x, x"l. =l

l' .l

,.i,J

a) Sd se arate ca

det(v)- 3(x, -xr).

fe(r) e{x,) elx, ) ) b) sasearareca ^.u=leiri *t-, I "lrt-,f lglr) *fg1*, ,) ^le(*, )J

c)SdsearatecA det(A)=0 daci 2. Se consideri functia a) Sd se calculeze

qi numai

daci

f :Zs -+Zr, f (x)

= xa

r(o) li r(i)

Avem

ala

a=b=c.

b) Sd se arate cA funclia fnu este surjectiva. c) Sd se descompuni polinomul Xa + lX e Z

a+b+c=0

= x, + x2 = -1, P = xrx? =

l, xf +xj

rlXl

= 52

in facrori ireductibi

- 2p = -1,

deci

peste

..1'r il lt

det(v)

129

;11

| :

r rl l: r

., .,1= lo . -,1=rl]l xil l;l-r",-,ll .'l=r'1*, x,)-3(x,-xr x:l lx lxi lr-*i**j *i *jl lo ^i -;l

=lr**,*", b) Avem

g(l)= a.t2 +b.l

k=lJ,

a+b+c, g(xk)=axl+bxk+c, Vk=lJ.Evident xr +t. f(l) = 12 +l+1=3*0.Atunci xi +xu +r=Ol (xr t)= xl -t=O*

deoarece

+ xl = 1, y 1= lJ, a.t+bxi +cxk =

+c=

de uade deducem c6

+bxl,

*1g(x* )= ** (u*1,'+uxu

+c):

ax31

bxl +cx*

tig(** )= xl (a*f +Ux* +c)= =axi+bxi +cxf = a 1.1. + b.l+ cxl = b+axr + cxi, v k=lJ. o ") ft I r I ["+u+u c+bx' +axf " + bt, + at12 ) f" Atunci AV=la c blll x, xrl=larc+b a+cx,+bxf u*"r., *U*; l= =

\b a

[e(r) =

cxk

) )

respectiv

lt *f *j /

] e(t) ) | *1c(*,)) (e(t) 'ic(,.') "g(^,

b.*,.*r,J

b+ax, , cxf

lc b al lc'bra b

e(., )

c(*' *'g(*,

aet(,r)=la

lu 'u

bl =

la+c+b

al ul =

(a+u-c)lr

"u"lbl --

lb a cl lb+a+c a cl Il ll b a b-ul =(a+u+c)lo . b b-ul = 1u*u*.;lt-b = la-D c al u-u lo "-ul I

= (a =

+u+c)[(c-u)(c -a)-(a *u)(u-a)] = (a +b+c)(a'z

J("

o j{"

")[(" -u)'

*.)[{"

+ (u

c)'?

* (u -

-u)'? +(u-c)'? +(u

")' ]

*")']

Abnci det(A) =o

(a -U)'? +(U-c)'? +(a -c)'? = 0, care are loc pentru 2. a)

+b2 +c2

-ab

-ac) =

= 0 <,)

a-b=b-c =a

=Q<; 3 =l =6.

r(0)=0'*.i o=o.r(i) --i'"a.i=0.

ul orn r (o) = r (i)

z,ll<lz l$ 1*11-.

)

:-tr g

z 5 deci tuncua r nu esre

*ix= x(x'.,i)= x(x'-i)= x(x-i)(x' +x+i).nie gez,[xl. s=X2+X+i.observtmci e(o) = o' *o' i= i,0. s(i)= i' * i* i= j * 0.

c)Avem f :Xa

e())=2'*)*i=)+0, ireductibil pesJe

e(:) =:' +s+i =:

o, e (i)

130

+' * + * i = i + 0 , deci g este

r (",

= x4

fin

x(x -i)(x' + x * i) = x(x * i)(x' * x * i) ireductibili Deste 2..

+ax

factori

este desconrpunerea

Varianta 13

=0=,

(x*v+z=l l.

consideri sistemul

cte

]**y*"=:

ecua;ii

unde m e lRi Pentru frecare

[***y*"=rR , nottrm cu

S* mulfmea soluliilor

reale ale sistemului.

a) Str se determine m â&#x201A;Ź lR pentru care sistemul are solulie unici. b) Sb se arate ca, pentru orice m â&#x201A;Ź IR , sistemul este compatibil.

'c) Sl se determine min L

{x'

2. Se consideri matricele

.>t,

. _)

e Sr l(x, V,z) }

(o l\ fo l\ /l o\ | 0l _1,1,-l_l,C-A.Bli -l,B=l \-l \-l l/ [0 l/

c={xâ&#x201A;ŹM,(a)ldet(x)=4. a) Sa se verifice ca Aa = 86 =

b) Si se arate

ci (G,.)

este

un subgrup al gnrpului multiplicativ al maticelor inversabile

ordin doi, cu elemente numere con4rlexe. c) Str se demonstreze cd Cn

12 ,

pentru orice n e

kolvdri L r) Avem matricea coelicientilor sistemului

ll -l ll tr rl 2 dt= 2l' =10 | | lm llll =z(t--).

r' -' ')

A=l I I ll$i ttl

[mtt) Sistemul are solulie

^=det(A)-

-l

;l-

udcr daca gi numai daca a+0<>

lmlll

o 2(l-m)*0<> m*l o meR-{1} b) Evident ctr" pentru

V m e R-{l} , sistemul

lx- v+z=1 ),x+y+z=3. I

sistemul devine

ectivL

Kl,

este conpatibil determinat. Pentru

Scdz6nd primele doutr ecuatii obfinem cn

lr*rr*r=: ^

=x=2-z,deci

(r^

. \l

^ =l(2-z,l.z)lzelR|,adictsistemulesteconrpatibil -) S,

in concluzie, pentru Vm e iR , sistemul este corrpatibil. ',

131

y=t li x+z=2nedeterminat.

c) Pentnr

(x,y,z)eS,

avem x2 +y2 +22 =

cu minimul realizat pentru z

2.a) Avem

-',J=-I' =

- l = 0 <=> z - l, deci min{x, + y,

l) r-t o) fo oi'lfo ;l=l; l-r l-r

A,=A.A=

respec,vB2-"'=[i (-t o\ - ,

=[o

i)t:

;)

-42+5= 2(z_l)2

"r l(*,

e S,

}

+3 >3.

=(a')' =1-l')'z=t''

'-J='' 83=82B=(_l

;](l

ll=

^..2

X,y e G,

.det(V)=1.1=1= Xye G,

Oftt

l)=[_l

222

=(ar)'=1-r, 1'?=r,'

b) Observim c6, pentru V

a.t(x-')=

(Z_z)t +t, +22 =

avem det(X)= de1(V)= r

respectiv

det(Xy) =det(X).

det(X)=1ag= 3 X-r,cu

r, a."i X-r eG. in concluzie, (G,.)

este subgrup al grupului

multiplicativ al matricelor inversabile de ordinul doi, cu elemente numere complexe. c) observtm

ci avem c=A.B= r

0 l)lo 1\ /-l l\ ^' c'=c o.J o;J=

l-r

1-r

-rJ'

N'.

oblinem

p(l):

proprietatea

P(k):Ck

=(-l)k

Pentru n =

proprietatea

Deci proprietatea

(-t)'

I,J=

-;; [;

(-'),.[;

r(') , c" = (-r)"

=(-'I[; l).[;

,lJ, "uio.n,

[;

p(k+l):ck*r =(-r)--'

=(-'r(; l) (; Evident

Cr =

0""*,.

ua"uaratd. prâ&#x201A;Źsupunem adevtrrara

-(t*l)) a**

9i demonstrtrm

ck*r

este

indepliniti

=ck.c=

--.,')=(-'r.'[; -(k*r)J-,1r*r)

(l TJ ** "o"rrmttr penrru v n e N* |=',,

neN*

132

Varianta 14

)'?+3>3.

("2a 2bo .l

considerl manicea A = |

l:u ru

a) Sd se calculeze rangul matricei

2c ], unde a, b. cc R-.

:"J

b) Sd se arate cd existd d e lR astfel incat .A2 = c) Sd se arate ca existA mahicele f e Vr,, (n) 2. Se consideri numarul a) Sa se arate

SE se

a=16_iec

dA. 9i

e M,.,

9i polinomul

(R)

astfel incat A = K

f â&#x201A;Ź e[x], f =xa_4x2+16.

f (a) = 0.

determine rdddcinile polinomului f.

c) Sa se arate cA polinomul feste ireductibil

in e[X].

blvdri L r) Observdm cA det(A)= 0, deoarece liniile determinantului sunt propo4lonale $i, din lzfr considerente, orice minor de ordinul doi al lui A este nul. in aceasti sltualle, -{ a 03, deducem cd rang(e)

Fnand cont cd

-t

b c)fa b c) A.A )za za zc l.] zu zu z. l= tIl \3a 3b 3c/f3a 3b lc] a(a+2b+3c) b(a+2b+3c) c(a+2b+3c) ) (a

Lr.{vem A? =

lrata

2a(a+2b+3c) la(a+2b+3c) 2b(a+2b+3c) 2c(a+2b+3c) zu zt 2b l= 1u*zu*:"yi 2a ra(a+2b+3c) 3c(a+2b+3c) .3a (a + 2b + 3c) 3b(a+2b+3c) 3c(a+2b+3c)J :t l:" 3b lde d=a+2b+3c. ;tFie KeMr,,(R),

r1)

<=lZ

resnectiv

reM,.r(R) , L=(a

::1

c). Atunci K.L =

Ir.]

f(a) =sa-4u:*16= b) observam

-8-8f3r-4(2 z.f:t)+to=o= u=.,8_t

ci f = xa -4X2

+ t6

ace_

este dddcina a lui f.

= Xa +8X2 +16_ t2X, = (x, *+)t _(2.tr:x)t =

=(xt-2"6x*+)(x'?+2.6x+a)

, cu sotugile

IJJ

*,,, =.,6,ti, respectiv x3.4=

..6ti.

Sau, fnand cont cd

faF de R, respectiv

=16-l

x, =.,6

x2 fald de Q, respectiv xr.o

este r6ddcintr a

este

lui f

[X],

deducem

9i conjugata

rtdtrcina a lui f, precum,i conjugarele ridacinilor

=-.,6ti

sunt, de asemenea,

x, gi rf,ddcini ale lur t. Cum grad(f)=4.

insearrmtr cA aceste patru rAdAcini identificate sunt toate rddacinile posibile ale lui

c) Am aratat ctr polinomul f admite o descompunere ireductibili

r = (x'? - z.fix

lui x,

[X],

(x, * z"Ex * +) . Evident X2 - z^fix + c, x, + zr6x polinomul f este ireducribil in e[X] + a)

respectiv ++e

aeci

[x],

Varaanta 15

l.Fiea,b,ceZ

gimatricea

a) Sl se calculeze

det(A)

b) Si se arate cd, dacl

rabc)

A=lc a bl. [b c aJ

a+b+c*0 giAnu esre inversabila in M3 (Q). arunci

a = b = c.

ax+by+cz=-:x c)

SA se arate cA

sistemul de ecuatii liniare

cx+ ay +bz =

-y

admite numai solutia

bX+by+az=-z

x=y=z=0. 2. Se coruideri polinomul a) Si se calculeze

f eR[X], f

1* I * I *

Xz Xt

= Xa

-5X2 +5,

cu radacinile X1,x2,x3,x4

â&#x201A;Źl-

I X4

b) Sd se arate ca polinomul fare toate riddcinilereale. c) Sa se arate c6, dacd g este un polinom cu coehcienfi reali care are proprietatea c:l pentru orice x real (*)l < (")l , exista a e[-l,l] astfel incdt g=af. le lr "t""ci

Rezolvdi

la b cl la+brc b

lr u cl = 1a-u+c1lr a {-_ lb c al lb+la c al lr . "l

t.a) det(e)=lc

bl=

I*a+b a

o 'l li .tabbcl =(a+b+dlo c)-{c b){b c) : l IJ=(a+b.c)1"_; c-b "_il=,"-u+c111a-r11a -cl lu a

=(a+u+c)(l

+b2 +c2

-ab-bc-*)= ]("*u*.)[(a_u)] +(u 134

"),

+(._a),1.

Iui x, or xl

trEcricea A nu este inversabiltr daci 9i numai dacf det

(A) = 0 <a

i(u

+b+

,d(f)=4

a-b=b-c=c-a=0c) a=b=c x],

deci

.l ur+Dy+cz=-x

l."-1)**uu*"r=o

cx+av+br=1v<+ '

+l," - 1)v

*."- * [u -1]"

bx+cv+az=Lz

2)'

b, = 0 . Determinannrl maticei sist€mului

l.o*")lf"-1-o)' +(b-c)'? .("-i-")']",

2rL\2) t'

si '2a-:-b+0.Din

S, =

--criv ,x4€u

sa = xrx2x3x4 = 3t. = 5 ,

6""1

A+0

deducen ctr sistemul admite

x,xrx, +x,xrx4 +x2x3x4 +xtx3xo =

-5=6, ao

t * I * I *!=9=0.

Xl Xz X: X+

l^zolvtrm ecuajia bipatratA xa -5x2 +5 =0. Folosind notafia x2 = y, ecualia devine

-5y+5=0,cusolufiile r,.,

=Sto

€ ct6crvam cI le(.*)l<lr(.*)l=o= g(x*

lEu

giain )=

x'?=.ll€1*,.r.r.0

0. vk=ly',deci f /g= 3qeR[X]

s=rq.Atuci le(*)l=lr(^).c('11=lr(.)l le(.)l<lr(*)l p"or" v Vxe

R-{xr,x2,x3,x4}.

=t1El€.o.

Presupunind prin absurd cd

.-l q(x)l = +.o.

xen=

astfel

lq(x)l<r

grad(q)>l=

ceea ce conbazice retalia =.tlm lt(x)l <l pentru vxeR-{x1,xr,xr,xo}. Da grad(q)<l,adicd laeR astfel incat q=a.Din lul =lql<l= a e [-t,t].

r- ^tl-

135

Varianta 16 (

Se considerd

mutrimea

, ,l

0llu.u.n.u,of

)

=]*=11 t71 t tv

)

a) SA se arate ca, dacd A, B e G , anurci AB e G . b) SA se giseascA doud matrice C, De G pentru care CD + DC.

c) SasearatecS, dac6

AeG,

2. Se considerd a, b, ce

I, -A+Az eG. .. Q 9i polinomul f = Xr +aX2 +bX+c anrnci

a) Sa se determine a, b, c astfel incAt polinomul fsd aibd rlddcinile

b) Si se arate cd, daca fare rddAcina

c)SAsearatecd,

dac6,

a,b,

ceZ,

, anrnci

iar numerele

x, = xz = I

f are o riddcinA raflonald,

f(0)

f(l)

srmt impare, ahrnci

polinomul fnu are rdddcini intregi. Rezolvdri 1. a) Fie A, B € G ,

etunct

eB=fa

.tde A=[

ab 0l

o)f- ,l= (u*

\0 l^0

modelul elementelor lui G.

b)Fi"

c=[; l)" o. o o*'' -=(;i)[; t)= (2 l),.' rJ l.o "=(;

2) 1

resPecnr

-=[; f(; l]=(; i) evic,en,cD+DC ol[" b) fu' a>0. Atunci A2 =A.A= ^-[i f ,.-0" [; r^0 r.J= [o o1-[a o1rfa'z au+ll ft-a+ u' deci r, -A-A2 - [t ' t0 lJ \0 l/ l0 J=l o ",')'o , o**.." c)Pie

AeG,

1-u I rO. =l+J 4

1-a+a2

AD+D

)

2. a) Conform rela{iilor lui Vidte, avem S, = x, + x2 + x3 t + t + (-Z) = = -a 52 =xrx2 +xzxr +xrxz =b€, I.l+1.( 2)+1.( 2)=b<r b=_3, respecriv

a=0

=x,xrx, =-co 1.1.(-2)= c<? c=2.Deci a=0, b=-3 Ei c=2. b) Daca f eQ[X] admite radAcina x, =J7, atunci va admite ca rdddcina, ipe xr=-^l-2, conjugata lui xr fala de Q . in aceasta situalie, avem S, = xr + x2 + x3 = -a €> S,

.+Jz + (-Jz r, )*t

= -a

=-aee. I

€ -{r€m f(0)=c gi f(l)=|13.t6*c,mrmerecaresunt,prinipoteztr,

lrnpare. presupunem

3m€Z astfel incat f(m)=6.4y.- f(m) =n13+am2+bm+c=0<> eqm?+am+U)=-c= m/c m este numlr irnpar,adicr, lkeV, asttel incat m=2k+1. = 6€menea, finand cont ca f(m)=0 qi f(t) este impar, deducem ca $i f(m)-f(1) este Dar f (m)- f (l)= (m, - r)+a(m, _ r)+ u(m _ r)= absurd cd

_\T .

=lE-l)Lm'+m+l+a(m+l)+b-.j

Iti

r-l

care, evident, este numar par, deoarece conlrne factorul

= 2k . Am obtinut astfel o contradicfe. ln concluzie,

fnu admite rtrdlcini intregi.

Varianta 17 r.

Se considerd

mau-i..t.

a-f | 3)-.. / 3

-rJ5'o=1.

a) Si se calculeze

,{2

b) Sd se calculeze

det(lr+A+Ar+ar+Aa).

-s)

c) Sa se arate ca ecuatia Xz = 12 are o infiniiate de solutii 2. Se consideri polinoamele f, g e

e[X] , f

in MrTZ)

= Xa + X3 + X2 + X + I , cu

rid[cinile

-r-.x3,x4 eC qi g=a2 -1. a) Sa se determine restul impA4irii polinomului f la polinomul g. b) Sd se calculeze (l - xr _ x. _ x, x,, . ).(1 ).(l ).(r )

c) Str se calculeze e(x1).g(x,

r lh

:.Jf

).g(x,

g(x. ) .

r :J=[o rj=r"decr A'-B'=tz-lt=ot'

A2 = Iz deducem ctr

Ar, = (A, = rl - L li A2n+r A2n .A = r: . A = A , pentru )" r€N'.Atunci I, +A+42+,A3+Aa = 12+A+12 +A+1, 3I2+2A= =

' ; f .'[; Dpi

j,)=

(; l) deci der(r,+A+42+A].^t=1; il='

modelul tumizat de matricea A, consideram

" [*t"l]'

I r)[; [j -lJ n

rl [0 137

marr*.I. X(.)

(; !r), ,.u

l)=t,, " n ez , adicdmafrcele X(n) sunt

solqii

ale ecuafiei X2 = Iz , de rmde deducâ&#x201A;Źm cA aceasta ecualie matriceald admite o infinitate

de solutii.

l! q,reQ[X] astfel incat 2 . Din grad(r)<2> 3a,beQ astfel incat r=aX+U.

2, a) Conform teoremei imptr4irii cu rest pentru polinoame,

1=gq+r

qi graa(r)< grad(C)=

]

f(-l)=r(-t)<r <?(-l)'+(-l)'+(-t)'+(-t)+t=-a+bcr -a+b=l,respectivf(l)=r(r)<a

Avem f.=

sq + r =

(X -^l)(X

<:14+13+12+l+l=a+bc)

l)q +aX +b, a+

a+b=5,obfinem 2b=6+b=3

b=3.iar

de unde deducem ca

b = 5 . Adundnd membru eu membru relagiile pi

din

a+b=5= a=5-b=5*l=2.

)(x - x, )(x - x, X* (t-x,)(t-x,)(t-x3x1-x4)= f(1)= 5

V xe

IR.,

concl*i.,

(-r)4 (-r - x, )(-r - x, )(-r - x, )(-r *

l ll.r,1oy.

I I

l, ; ;J-..r\-'l

c) Sa se determine inversa matricei

13 +

2. Se considerd a, be 1R 9i polinomul

*''*'itJrrt'.0.,.*ne

= X3 +4aX2

xr,x2.xr incazul a=2.

+20X+b,

ddAcinile

b=0.

-xr)2 +(x, -xr)2 +(x, -xr)'? =_tJ:',;i:]";,

c) Str se determine a, b astfel inc6t polinomul f sd aibtr o rtdtrcir

' Rezotvdri ,a,Avem42=AA=[?

| I

;l::::x:*111;a,riceir,+A+A, b) Strsedemonstreze ca (x,

I Varianta

o=fl

"=2,1 I

cr c(x,) e(x,).g(x,).e(*.)= (-i -t)(,3-t)(-3 -t)(-i-r)= = (x, -l)(x, -l)(x. -r)(xn -l)(x, +l)(x, +t)(x, +l)(xo +t)=

Lseconsiderimatri.""

particular

c) observam

=(-r)a(r-x,)(t-x,)(r-x,)(r-xo) =f(r) f(-r)=s r=5.

-a+b=l gi

r=dK+b-2x+3.

b) Avem f (x) = (x

I I

I " " I I

^^^

:lf? ;:l=[: ;:.l,,^'=a2a= |

tu,,iril l!ir'r'f":

:],"ij

t o o) fo o ol fo fr fl ' 'l -{r:m M=I:+A+Ar = lo t ol+ I 0 0lrl0 0 tl-l' ' loorJ[r10J[oooJurlJ \{)=1,6"out"".

' l.

Evidentca

9i toti minoni de ordinul doi sunt nuli, avand toate elementele

btre ele. ca

(rr+e)(t.-A+A'?)= Ir+,{3 =1.+o, =I:,deci Ir+A

esle inversabil6 9i

fl o o) to o o) fo o o) (t .o

r ol-l' o ol.lo o ol-j-r t ol lo o tJ lt t oJ [t o oJ lo -t tJ

-A)'-r:-A,A2=lo ir

cazul

a=2 li

b = 0 , polinomul devine

radacinile x, = 0 5i xr., =

-",)t

52 = x1x2

+xr

zo]= t(+a'z-rs).

= x(x'?+sX+20)

=-qu ti =-!L a0

32 = xrx2 +x2x3 +

xrxr =

=z(xl+xl**,'-*'*,-*r^,-,,,*,)= '

-a. Din Sl = xl + x2 + xl - -4a - -2a + xt = -4v 1 xt = -2a, + x2xr + xrxr = 20 = (-a)(-a)+ (-a)(-za)+ (-a)(-za) -- 5a2 = 20 xl = x,

z: =4.=> a=12. Din 53 =x,x2x3

a=-2

= xr +x2

+(r, -^3)2 +(x, -*r)t

: s -3s,)= z[{-+")' r lresupunem cd

= X3 +8X'z+zOx

4t2i.

relaliilor lui Vidte, avem q

=20,deci (*'

=-u= (-a)(-a)(

2a) = -2ut

=-b>

b=2ar.

f=Xl

-8X2 +20X - 16, avand rddacinile xr =x2 =2 =4,iarpentru a=2 se obtine polinomul f -X3 +8X2 +20X+16, avand raddcinile =1,= I qi ;., =-zf . obtinem polinomul

Varianta 19

Se considera

sisternrl

a) Si se calculeze

fx+y+z+t=l l_ .. , - + r _ o .l ^ ] ''-'-] li A matricea lx+Y-z+t=0lx+Y+z-t-0

det(A)

sistemului.

b) Sa se rezolve sistemul. .\ qt cc..1.fp|mine A I

2. Fie polinomul

f =Xa

+2X3

ax2

2X +1e R

139

[X] fi x1,xz,x:,xl

â&#x201A;Ź

rrdacinile

a) Si se calculeze

I* I * I *

X2 Xl

I X4

r\ I -l' flr\2,21/ llra+2l,vxeR'. f(x)=;')ll^ x tl

b)Sasearateca

c) Sd se determine a â&#x201A;Ź

L\ x/ \ xl

pentru care toate rAdicinile polinomului fsunt numere reale.

Rezolvdri

1. a)

ll -l I I -l ll

det(A) =

l,l-

-l

il=t-'l'.' _rl -l

Ir r ol ol=r,rr-,r,., =(-,) llIr r -zl li

lrtl' -'I ll

rl ' l-ll

-',1=.,_,,__,

b) Scizind pe rAnd ecuafiile a doua, a treia pi a patra din prima ecualie, obtinem 2y

=1-

! i,2, =l- t=

pi 2t =

r3> t1 -=1I . inlocuinrl

in prrma ecualie. obtinem

x.t- = l:) x = -zz c) Din det (A ) = -8 +

(",

txl

deducem cd matricea A este inversabili.

zt ,'l

(, _1t

vr z, trt

' "l.AvemA.A'=1,= l' zrt:l Y: lx: l' |

Fie

\xaYqzq\)

fltl o o o)

l0 1 0

I l0 0 [0 0 0

ODtrnand 22 =24

Yz zz l.lxz I r,

ll*,

-l) \xo yo

lz, +2, +2, +z^ = O + z, +zo = 0

0l 0l lJ

Yt +y2

-yj

+y4 =

0' )21*2, +22 -4 lq

+24 = |

lzt+22+4 za=0

xl = --

llf-' I

I X2=x1=X4--,

rl =-, 14 =-'2-2

=U.respecttv tl

2"Vr =-- 2

=-.

=t3=0.

140

y:=yr =O,zt=!,4=-:

(*, v, ,,

(-t I I ') -1 0 0l

l zz tzl_ lil -r-r =lxz Yz v. tt

,, 1", \xq ya zt

t!,

o -r oi

(r 0 0

) ,r' Conform relatiilor lui Vidte, avem Sl

t-tf

_t)

= xlx2X3 + Xlx2x4 +

xtxjx4

+ X2XjXq =

t * t *J--s, * Xt Xz x3 x4 34 -,

=(-l)o&=t,o".i t

*=r ei =x1x2xrxo aa kuVxeR'avemf(x)= x4 +2x3 + ax2

- _r,,'-z*llnzf x-,r \ Gervtrm ci ecualiu

-z*+t= *t(

, ",

*z* *u _z

l*11= *

*t,/

l+ ,-rl= x) .l "'ff

x) r1, | -L),"*rl x/ - -l L\"-l)'.

* *-L

^-1=ye

-yx_l = 0

are

L=y2 +4> 0

decr admite

ridlcini

pentru V y e R . Deducem ca toate riddcinile polinomului fsunt numere reale daci gi ecuafiei v2 + 2y + a + 2 = o.sunt reale, adica a,, 4 - 4(a + 2) =

:"1i ::: "*tltile

Varianta l.

Se considerd

+'bx=c .q-az=b.

triunghiul ABC, cu laturile AB =

BC =

a, CA = b

$i sistemul

k+cy=g tl

a) Sd se rezolve sistemul in cazul a =3, b=4, c=5. b) Sf, se demonstreze cA, pentru orice triurghi, sistemul are solufie unici. c) gtiind c{ solutia sistemului este (*0, yo,ru) , ,a ," xo, yo, zo e

d";;n;;;

2.Se consideri

mut1,.* c _{f

a) str se derermine

n".r.",

,lir.

o. r,

(_l,l).

I lo.

.n1')."","1"'l

,",,,,n;

b) SA se arate c6 AI! e G pentru orice , A, B e G . c) Sd se determine numdrul matricelor din mullimea G care au determinantul nul.

lczolvdri r. a) in cazuJ in care a =

3, b = 4 ei

5, sistemul

141

d"",".

l1;==;

=: - _a,_t l+.-sy_t {:::: [sy

J;l

b---- ^{; it"'-'^=de'l(A)=fj

:fl

41-'F f=-,0,-,0,=-,20+0,^^=/; i l=,l: ;l ,f =:,s'z-s(+,-!)=-e6, ay

^'=f

III

.|1

;l,|j

3]'=

+(e,_',)_s

;l=

4=_j2,

i l='|| ;1 '1; J= -< a s-s 1:'-5')=0 er*.i,"onrormreguriirui

solulie unicd.

c)AvemAx

I I fl 'll ;l "I il=-*'-"1u'-"')=-u(-^,+u2+c2),

;l "l; il=o1o'-"',-.'b=-u("2-62 +",),4 fl='l: f .i |j I =r li ll " I iJ= -o'"-"1",-".)= -"(u,*r,-",) ^'

+c'?) -a2 +62 *"2 o, - a = :l-u'+b2 --- -2"u"-- = j-ii-I-:--tosA'

Arunci x^ =

=31= A

+.21 a'-b2+c2 -'/_ = a _ * \ +bz-62) -;z -c{a2 '= -zaoc 2ac =cosB' zo = = :; _ taDc a-+b'-c. = --l;r_ Deoarece A,B,Ce(0,7r)= = cosA,cosB,cosCe(_l,l)= "osC. + xo, yo,zo e (_l,l). -b{a2 ",'a:-b2

142

,1.

tunctia f

= 3.1'z=3, =9.

L-r:G> r :

r .

:Zrxz,-c, r1",u;=[i b.) , este bijectiva, deci

3a.b.x.yev.,asrrer incir

^=[; :l

e=[- v).at"*i

r y) fu" rbv av+bx) lm n\ r -,J Io- ,u, o,r*^^) [" *Jto'unde m=dx rbv

*=o..*

ol.

\b]

ou.,n

o.,tel-ll

ol ul

!.-spectiv(a=2

I. Pentru

n=av+bx'

=u, -6'=(a-b)(a+b).etuncr

=i = {a-b)(a-b) =0cr a-b =0 sau a+ b=0. r-'l=0ea=b oblinem cazurile a=b=0, a:b=i

0 0l lr tl l2 ti | . .1.1" .l o. 0i fr t) t.2

Si a

=b=i,

corespunzAtoare

a+b=0 obtinemcazurile(a=b=0),(a=l

b=i),corespunzaroarernar,""rr{;

in mullimea G sunt 5 matrice cu determinantul nul.

;l [;

,t[;

;1.

Varianta 21 l.

Penau a,b,ce

Sd s€ arate ca

R.,

se considerd

sistemul

Iax+by+cz=b ,{cx+ay+bz=a, x,y,zeR.

lb**"yn-=" b I Sd se

determinantul sistemului s51s

6=(a+b+c)(a'?+b'+c2 -ab-ac-bc).

rezolve sistemul in care este compatibil determinat.

.) Stiind cA a2 +b2 +c2 -ab-ac-bc = 0, (x,y,z), astfel incit x2 +y) =7-1 2. Se consrderd mrrltjmea C

sA se arate cA

r'u u\l

sistemul are o infinitate de

z"l lr0 -,llul.r.

- ll

a) SA se determin€ numf,rul elementelor multimii G.

b) Str se dea un exemplu de matrice A €

cu proprietatea cA

c) Si se determine numtrrul sotutiitor ecualiei

X2 I I I l. *. \.0

143

detA * 0

dete'z =

Rezolvdri

b la ttl a 6=lq ttl lb c 11 b -(u-u*.)lo . 'l^ u u -, lu c-o

1.a)Avem

b"l

la+b+c

"cal

=lc+a-b

al lbtcta c

llbcl

ul- (u*u*")lr

ul= " llcal

o.'l= u .l=1u-u-.;lu-: ,lc_b a_cl a-cl| I

+t+ c)[(a -u)(a -c)-(c -b)(u-c)] = (a +u+c)(a'?

b) Sistemul este compatibil delermina daca

+b2 +c2

-ab-ac-bc),

nunai daca A + 0 . Atunci calculam

luucl labcl labbl llllll\=o.u=4t=r. A^ =la a bl 0.^) -lc a r, =lc a al =0.deci x=.n l=4. lc c al lu c al lb c cl

c)observamca a2 rb2

rc2-ab-ac-bc

<>a-b=b-c=a-c=0<+

o* i[,t"

u;t ,1u

=b=c. incazul incare a =b=c

.)'11u-c)'] o.sistemul devine

lax+ay+at:a I

= a <> x+ y+z = l, dâ&#x201A;Źoarece a e R'. Observdm cd x+ y+z = 1c) lax+ay+az lax+ay+az=a <:.z-l--x- y,deci x2 +y2 =z-l<>x2 +yt =-t-y<> x2+x+yz +y=0<>

.-f -1.]' "|.,.1)'-1-f 9l'.*,.i \ ^ 2) \- 2) 2

cercul decenffu

tt_j -i,)

infinitate de solulii

(x,y,z)

2. a) observim cd fu ncgia

lcl=lz b)Fie

razi

â&#x201A;Ź.

sunt coordonarele puncreror s,tuare pe

o. ,no. o.ou.em ca. in

ale sistemului astfel incat

f :zoxZoxzo

"z, "z ol =lz ol' = 4

AeC.

{x.y}

)

x'+y'=7-1

'rG. f(a.b.c)=[l

f.)

*"o|*ttt,

(i o)fi o) fi o) .A.A A fi A.l.Arem .li. .l l. l. 2] I 2/\0 2l \0 [0 \0

li ol

aetA=l^ "l=2+0

l0 2l

si detA-

acest caz. exista o

=1. "l=0. 0l

144

.1. 0l

o""t

(a b) /a bl_ : i'. reG, t=|,i bl,o*"'""," t, =[i o) ..AvemX'=X.X=1. ll. ro .J l0 0) \0 cl l0 ")ta l4 -r o("1')l (: :l ) : . ,lu1u*.1 ', =

Jc',l0

tuc- c.{0,t}

:sn" x2

r.:

9ll,.|

-o

i :.]. x e c lo ol

a'=loblinem

{t.l} .iardin c'=0

l"'=o

Observdmcd

b(a+c)=0> b=0. "+ce {i,:} ,O"ci 4 solutii posibilede

. admite

o,n

r","'

*-f1

Am obtinut astfel

.*0. ".{i.l} ( ,

[o aJ

dl -ii 9.l..,=ii :.l..,=fi 9.l,'*.=[j " \0 0l 2J (0 0,

jo.i|.respecriv

Varianta 22 fx+y +z =o

l rrtcea

Fie sistemul

.]a*+by+cr=0 ,cu a,b,ce

doutr cate

doulgiA

Ia3x+b]y+crz=1 sistemului.

det(a)=(a+t+c)(c-U)(c-a)(u-a).

a) Sa se arate ca

b) Sd se determine sistemul in cazul a + b + c * 0 . c) Si se demonstreze cA, daca a +b+c = 0, atunci sistemul este incompatibil.

te Pe

2. Se considerd girul de numere reale ;ta o

R, distincte

rbomul rem[x],cu f(o) =o a) Sd se calculeze

f(5)

b)SAsearatectr V

c) Si se arate cd

blvdri L

r) det(A)

= a

la'

+1)- (f(x))'? +1, V xelR.

.'l |

=ai +1, VneN

9i an*,

olro" l, boa .-ul-1,, 'l.l lu

{u-a)(u'z+ut +a-

lu' u'-u'

b-a =

si cu proprietatea cd f(x'?

neN, f(a" )=

(a,,)".*,cu

(" -

)(.'

u" n u'

.'-u'l lb' I

= (b

145

.-u ,

a-l

rrl

-axc -a)lb 'iab+a-

c- +ac+c-l

=(b-a)(c-a)(cr +a"+a2

-ab-a,)= (u-a)(c-a)(c, -b, +ac-ab)= -(b-a)(c a)[(c u)(c+rr)-a("-b)] - (b a)(c aXc-b)(a+b+c)= =(a+b+c)(c-b)(c-a)(u a). b) Deoarece a +b+c

det(a)=

* 0 Si numerele a. b, c sunt distincte dout cate doua, deducem cd - l)(c -a)(U-a)+ 0, deci sistemul este compatibil determinat. Aplicln

(a + b + c)(c

reguraluicramerpenrruarezorvasistemur

Avem

ll o rl

, ^ =ii u3 || i il= l=" lt crl lr r nl

;

=]u o "l= {-r)'.' 1="-..o. =1" ;l= l' ll=o-" ci 'l] la la bl lo' r .'l 1", o, ,l I Atunci x=\= - . ,, t-l = a (u+u+.)("-u)("-41u-u; G.ilF;tr-' u-i r"=a' a (".{''.[.-b)i. ,) (u*t;;a(c-b)(b a) -"ilb o,

7=L'= A

b-a +b+c)(c-b)(c-aXb-a) (a+b+c)(c-b)(c,a)

c) Dacd a t

b+c = 0, atunci det(A) = 0

ordinul doi

ll ]]=t-" bl

gi, tinand cont cA makicea

A admite minorul

*0,<teducemci rang(a.) =z. Matdcea extinsl

(r 1 r ol

lt r

tt u b c 0 adnxre minonrl de o.ainut tr"i l" i =jt ol=o-"*o'o'"' ""'l; ; il*1" lu' u' .' r.l

.r=l

rang(A) =

Observam ca rang(a)

* rang(A),

ceea ce, conform teoremei Kronecker-Capelh.

implicA f'aptul cA srstemul este incompatibil.

2.a)obsenimcE r(0,

*t)-(r1o,1)'+l=

r(1)= 1, r(r. * r) =(r(r))'+r= r(z)= z

r1s)=r(z' +r) = (r121)' +t = 22 +t= 5. b) Demonstrdm prin nretoda inductiei matematice proprictatea Pentru n =

0 obtinem P(0):f(a.)=

p(n):f(a"

a6, evident adevdratd, deoarece,

f(O) = O. pt"rupunem adevirati proprietatea

p(k);f(a*)=ak

demonsram cA este indeplinita propdetatea

(k + l) : f (ak*, ) = u**,

146

)= a,,, V ne N. prin ipotezd, ao = 0 9i

pentru un .

keN

oarecare pi

f(ar.r )= f(ai + l)= (f (a,- ))'+l - ai +l r): f(a" ) = a" este adevarata pentru v n e N Ob6ervam ca a"*,

-a" =al+a,, +l>0

, de unde deducem ca

gen[X], C=f -X.

pentru

= aftrr

P(k

l),

vnEN,decigirut (a"),,.o

mulfimea termenilor sAi, respectiv {a

Observsm cb g(a"

deci propnetatea

este strict

n e X } , este inflnitd.

)= r(a, )-a" =0 pentru V neN,adictr

g adrnite o infrnitate de rf,dhcini distincte, ceea ce implicl faptul cd g =

-X=0= f =X. Varianta 23 l.

se considera

matri..u

a) St se arate ca

fr^ toll".o. e fo 5' t' mutr'mea c(e)={li aA '' o J "l)

V X e C(A), XA = AX.

C(A) 5i Y2 = O" . atr:nci Y = O. . Z e C (A ) , Z + 02 irz arc toate elementels{ationale,

b) Str se arate c6, dacd Y e c) Sa se ante cd, dacd

atunci

bZ+0. 2. Se considerd

ae23

a) Str se calculeze

b) Pentru a =

polinomul

f =X3+2X2 +aezrlxl.

r(o).t(i)-r(i).

str se deterrrune

c) Str se determine a â&#x201A;Ź

ddicinile din Z,

pentru care polinomul feste ireductibil

kalvdri apelli

ll I, lll

,tr

La)Fie Xec(A)-.:

ra.ber

5lfa

5b 5alri

ale poiinomului f.

astrer'".r, 5bl

* [l

in Z, [X]

tll(? o*. *=[; ;] ]b]

tul

AX f0 oJ[b a]'a -f5b sbl .u'd.n, xA -Ax. .a 5b) lt /a 5bl astfel incat Y2 brFie YeC(A). =o:. Avem Y'?=Y'Y"=[; ;,J 'a sb)f a su) fa': - su: ' ^ \ Y2=or<+ a2+5b2=0

5iab=o ll b al\b al rl \ 2ab a..'uuo.l.d..i +5b,) Din ab=0+ a=0 sau b=0 5i, inlocuind in a2 +5b2 =0,obtrnemci a=b=0. (o 5 o\ fo ol_o. . y=[o n

concluzie,

j=[o

t47

c) Fie

zâ&#x201A;Źc(A). z+o..2.

tJ).*r.

deoarece, daci presupunem prin absurd ca a2

obtinem ca

.6 = lll .

11"

a.be Q Atunci

{,;

-5bz

- 0, atunci,

tol

o.,r=l;

{inAnd cont ca

=,,

_sb2

(a,b)+

r0.

(O,O)

. conrradicrie.

lol

r(o)-o'*2 o'+a=a, r(i) r(o).i(i).r(2) = a +u+i+u = i

2.a)Avem

b) Pentru a

=i3

*).i+u=u, r())=)'+).), +a=i+a,deci

a=i *"- t(0)=r(i)= u=)+0, f (i)=

i+a

0.+

este singura

rtdtcinr

polinomului f.

c) Observdmca

grad(f)=3,

deci polinomul feste ireductibil

r(o) = r(i) = + 0 e . " " {i,r},,",nectiv

{i,i}n{o,i}

{i}

Z.[X]

r(i) = i+a + o <+ u e

dac6 9i numai dacd

aeci

{o,i},

i Varianta 24

1. Se considera o matrice

A e M, (C).

a) Sd se demonstreze c6 V

zeC, VXâ&#x201A;ŹM3(A),

b) Sd se demonstreze ca aet (A c) gtiind cd A

* At,

Se noteazd

- a'

)

cu Ar transpusa matricei A. Oet

(zX) = zr Oet(X)

O .

sd se demonsteze

2. Se considerd polinomul

cA,ung(a - e' = 2 . ) cu f = Xa - 5X2 + 4.

f e e[x],

a) Sf, se determine rAd6cinile polinomului f.

b) Str se determine polinomul

hee[X],pentrucare h(0)=l

inversele rddicinilor polinomului t c) $tiind cA g este un polinom cu coeficienti inhegi, astfel incat

C(-2)=S( 1)-g(1)-C(2)=2,

sd se arate cd

ecuatia

g(x)=0

"ur"

u..

ca rdddcini

nu are solulii intregi.

Rezolv'dri

r.a)Fie

xeMr(c,

,=[l: :]: ;]:l o."*,0",1"*y=lii]i

l*r, xrz xr:

[x:r x3z

x33

lt*t,

=z z z lx..r x:: ":rl= zrdet(X). II lx:t xlz x:: I

148

z\z

z\nl

zx)1 zxrl= a

*r,

a*'r'rl

:tssnam ca (e-a')'-a'-(e')'= (0,0).

o'-o= (-r) (a-e,).atunci det(e-e')= 1-r1'a.t(e-.+')= -o"t(n-e')='

=.-._l.q-A')'l

",[t-'1 1^-e')]= = trlA -A')= -d"t(a-e')+ aet(e a')=0. ,r'vm aet(a o' -{(i,

j)+ A'

,l =.{! e I i,j€

lrlConsiderdm

(i,

)

j)<>

{1,2,3}

rang(A

-A')

aij + aji . Evident

3. Din A + Ar deducem cd

A(i,i)= A'(i,i)= aii penfiu

Vi=

j e {1,2,3} asfct

t3,

i* j, astfel incat aii + aii . Atunci minorul lui A-Al

ecuaFa bipatrata xa

deci

delerminat de

- 5xz + 4 = 0 . Cu notatia 12 = y, ob;hem

!r-5y+4=0,avandsolutiile yr =l $i yz =4, deci x,,,

=tl

gi xr.o = 12 , unde am notat cu

ridicinile polinomului f.

fxr l[* -rl[" rJ (x *,Jl.* *:)= - r]{ x - )f'\x -l.lf zll".1'). 2J l\ x:J\ -rlf * h(0)=a r (-tf r'=+1x,-r1[i;-]l= I i-]l-1=r=a=4,deci ''2\2) /\ 4 4) '

t.r'em

rr --

afx -

= r: -r)(+x'? -l)= 4Xo -sx2 *t. c Considerim polinomul G e Z [X], G = g - 2 . Observim cd C (-Z) = g(-z) - z = Z - z = o t ir mod similar, c(-l)=c(1)=c(2)=0.Pe de alt[ parte, conform teoremei lui Bezout, din € < Z[X], aeZ 9r G(a)=O-: c =(X-a)h, unde h e Z[X], deoarece coeficienlii citului h -Pot

obfine cu ajutorul schemei lui Homer prin operafii interne 5i inmulliri de numere intregi.

*nlri

multimii Z , respectiv prin

-rmci, din c (-2) = C (-1)= c(t)= C(Z), aeaucem ca lqe ZlXl asrfel incal

c-z=c=(x+zxx+lxx-l)(x-2)q= g = (x + z)(x + t)(x -r)(x -z)q+ z. lrsupunem prin absurd cd lmeZ astfel incat C(m) =O<+ (m+Z)(m+t)(m-t). {n-2)q(m)+2 = 0. Deoarec€ factorii m-2 9i m-l sunt consecutivi, deducem cd -{igatoriu unul dintre ei este par, iar din relaliile n'a)=(m-2)+4 pi m+1= (m-l)+2, iducem c6 perechile de factori (m-2,m+2) , respectiv (m-l,m+1), au aceeaqi paritate,

dici

(m+2)(m+l)(m- l)(m-2) conline doi factori pari, deci r (m+2)(m+l)(m-t)(m- z)+ +r(m+ 2)(m+ 1)(m- t)(m- z)q(rn) = 4/(-2) de, evident, irposibil. in concluzie, / meZ astfelincitt g(rn) = q. produsul

149

ceea ce

Varianta 25 f.

in mullimea S,

permutdrilor de 3 elemente se consiaerf permutarea o = [

] ]I 1.3

a) Sd se verifice ca permutarea

este para.

b) SI se determine toate permutdrile x â&#x201A;Ź Sr, astfel incat xo = c) SE se rezolve ecualia x2 = 2. se considerd

x e S,

o=[-', i,) ,,-",,-*

matrt"."

a) Sf, se arate ca

o, cu

G={x(a)=Ir+aAlaâ&#x201A;ŹR-{-l}}.

Va,beR-{-l}, x(a)x(b)=x(ab+a+b)

,, " reprezintd inmullirea X(l)X(2) X(2009)=X(t-1).

matricelor.

ctr (G,.) este un gnrp abelian, unde

Sd se arate

c) Sr se determine

teR

astfel incat

Rezolvdri

a) Observdm ca pemlutarea

conline doui inversiuni, respectiv (3,1)

(3,2),decieste

permutare parA.

b) Avem

xo(:)

xo(l) =ox(1)= x(:)=o(x(t)) , *"(z)

ox(:)

.(z)

*(z)= o(*(:))=

"(3)=

Dacd presupunem ca

2, deci

x= rl l=o. [3 l 2'

.=f1 i3 :l="' 1' 12

c) Obsen'trmcf, x2

*o,

"(3)

o(x(1))= o(3)= 2

li x(z)= o(x(l))=

in concluzie, ecuatia

Evident e2

="(l)-: li

ll\1 i2 ]l3)

Daci presupunem cd x(1) =3, anrnci

x(3)-o(x(1))

obtinem

x(l)=2,atunci x(3)= o(x(1))- o(2) = 1 $i

x(2)=o(x(3))=o(r)-:,aeci

cect

o(x(:)).

cl x (l) = I , atunci

Daca presupunem

="*(z)= x(t)=o(x(z))

admite soluliile

".{",o,ot}.

=o- xl -xo=o-x- xo-6x3 *.{e,o,ot}.

Deci ecuaria x2 =

xo=ox

+o li (o')t =oo

= o , deoarece se verificd rapid

admrre doar soluqia x

- or

150

[l ] i)

=e.

o(z)

aa)Avem

r-4)

A,=A.^=(2 2ll2 2l (2 2l o'o"i l-1 -r, [-' -rJ=['-' -tJ=

x(a)'x(b)=

=lIr +aA)(t, +bA) = r; +(a +b)a+abA, = r, +(ab+a +b)A X(ab +a +b)e G, = toarece a,b e R-{-l} e a+l * 0 b+l *0o + (a 9i r)(U +t)+ O o u6..,.u16=(a+l). rb-l)-l*-.1 c> ab+a+beR_{_1} . lr iamullirea matricelor fiind asociat u.o"'u,'", (Ds61y5. x I x p j = x i J; ;"i il':Jl""lrii ilifi "6 oo.i* " r r,bem-{-l}, deci operalia indusa pe c este comutativtr. ObservAm cA I, = X(0)€ c 9i r{3) X(0)=x(0).X(a)=x1u.6*u*0)=x(a) pentru v a e R _{_1} , deci operatia pe G admite elementul neutru X(0)= I, . Observam c4 pentru V aeR_{_t}, -s{

#fi

-l t=-l*;;

are sens.

R_l_l|

abra+b=(a+r)(U+r;_ r=

/.\

= 1.

.1)l -l +;:+ r l-t=r-r=o,aeci v x(a)ec, I x(b)€c,unde b=_r+_-]-, \ a'l a+l' incet X(a).X(b) =X(b) X(a)=X(0), deci orice element at lui ceste simetrizabil

+€ratia industr. in concluzie, (G,.)

multimea

R-{-t}

este

grup abelian.

aennim Iegea de compozifie

* ,,, unde

a*b=ab+a+b

tLb€R-{-l} . Am observat deja cI a*b=ab+a+b=(a+t)(b+f)_r l-l-1) este parte stabila fafa de aceasta operafie, adica opera[ia este bine *b)*c = [(a + r)(t

fatd

pentru

pi cd mullimea

delinita.

r)- r]-" = [(u + r)(u * r)-r + r](c + r),r =rr.t)(b+l)(c+l)-r ei a*(u*c)=a-f(u+t)(c+r)_r] _(a+r)[(u+r)(c+l)_1+l]_l= (a

=tr r lXb + lXc + l) - t . Observam

cA (a * b) * c = a,*(b *

c) p"nt u V

,,*"esteasociativa. prin inductie matennticA p(n) : a,

+a2

lrsN,

*...,ran

(a,

n>2,$i V d1,a21...,a,, ER-{-l} . n--2 obfinem P(2):a, *a, =(a, +r)(a, +t)_1, evident a*b=(a+l)(b+1)-t,incarelu6m a =ar gi b=a2.

a,b, c e R _ l _lf , adica

+l)(a, +1)...(a,*, +l) _1, adevtrmE, oblnuta direct din

cpunem ad€varattr proprietatea p(k): a, *a, *...*ao (a, +t)(a, + 1),..1ap = teN, k >2, oarecare gi demonstr5m cA este indeplinita proprietatea

t-l):a, *ar,*...*ak .11

*ak+r =(a,

+t)(a, +l)...(au +l)(a**,

+lr_l

pentru

*t)_t . eu"_

..*ak *ar*r = (ar *a2 *...*au)*3**, = [(a, +r)(a, +l)...(a*

+t)_t]*a*., = +l)(a,+t)...(a*+t) t+l](ak-r +l)-r=(a,+1)(ar+l)...(a*+l)(a*_, +l) 1=p(k+l) . prop etatea P(n):a, *a, *...*sn =(a, +l)(a, +l)...(a"_, +t)_l este adevarattr pentru eeN, n>2,$ipenbu V ar,a,,...,an € R _{-l} .

-re,

151

1*2*...*2009= (1+lxz+1).. (2009+l)-l= 2010!-1. Atunci x(r)x(2)...x(200e)= x(t - l) e x(r * 2 *... *200e)- x(2010!-l)= x(t In particular, avem

+2010!-l=t-l+

=I,

+aA = I, +bA

t = 2010!, unde am folosit faptul cd X(a) =

= (a-b)A=O, +

=b,

-r)=

X(U)+

adicd tunc1ia a -+

X(a)

este injectivA.

Varianta 26 l.

se considert mahicele

A=f0 -l) .i B=ftott -"ntl..u,.u. 0)' [ [sint cost /

a) SA se arate cA, dacd maaicea X €

t'^

a.be R astfel incdt X

L\ -"1 a)

-l: \o

b) sa se demonsrreze ca

vn €N" B" - |,cosnt -sinntl.

\smnt

c) Sd se rezolve in multimea M, 2. Se consideri

aelR

a) Si se calculeze

polinomului

M, (R) verific6 relafia AX = XA, atunci existd

(R) ecuatia *2

pi polinomul

cosnt

f =3Xa -2X3 +X'?+aX-leR[X]

x,.x,.xr,x, €C

+*l*-Lt-L,unde XI X.Z Xl X4

sunt radacinile

b) S, se determine resrul imp64irii polinomului c) Sd se demonstreze cA

fnu

fla

(X - l)2

are toate rddicinile reale.

Rezolvdri

t. a) Fie

t'" .\ XeMr(R). x =l: :1. asdet incdi AX=xA. Au.rn Ax=f d./

\b _rr rc _a\ clfo -olsi =f-o c) xA_fu lb d/\l oJ=lo -tj'd"'i AX=XA<> fa -o tl=[: -:]* d. a sic. b.decix f" .)=f. -f \a c/ \d _b/ [b dJ lb

b) Demonsrram prin meroda inducriei proprierarea pentru n

oblinem

p(l)

I -sinl tl \stnl.r cost.t/

=fcosl

Presupunem adevarata proprietatea

I I

.f"l

e1t; n,

[ilill

0 -l)fu

c)_

oJ[b d)-

tl -tint'l , vn. cos

N'.

evidenr adevarata.

-t'n,otl =it*,ft o**un keN. oarecare p srn kt coskt J\ 152

t*lo-]], -sin(t+r)tl (sin(k + l)t cos(r_r)t J

p(k+l):Bk*r =f '

c6este indeplinird prop etatea

Br.r=Br.e= f.ork, -sinkt)[cost -sint]- fcos(k+ l)r -sin(k+l)t) lsinkt coskt Jl sint .ort .l [sin(k{ l)r cos(f+t)t

P(k + 1), unde am folosit faptul c6 avem

cosktcost-sinktsint=cos(k+l)l

J-

rbcost+cosktsint =sin(k+l)t, conform formulelor cos(x+y):.gq5)(cosy sinxsiny sa(x + y)= s1116es y+ cosxsin y, Vx,yeR.

.t"l

proprietatea

Geewdm

'=^relalia

"" cd X2 =A'+ '

[ii,ili

"l',",it)

=XA=AX+

2ab=l

deducem

a 9i bauacelaqi semn, deci a2 2a2

iis+-x,x2x,x4=(-'f

' a) :) /

-lJ

-b2 =01a2 =br

=t> " =b=tg, z

adici ecualia X2 =A

x,xrx,

(",f

xtxrx4

+ xlx3x4 +

xrxrxo

+=-j.".,+-+.;

= (_l),31=

*=+=

[-TJ="

Efectuind impd4irea polinomului f lu (X

= (X'?

- ZX + r)(:X2 + 4X

+ 6) + (a

cl -{vem S, =xr +x2 +x3 +xo

recale F

asti.el incat

-t1 x-.^D 2 1l u r)

e)Conform relatiilor lui Vidte, avem S, =

=AX= la,bâ&#x201A;ŹR

"'-o'=0Ei2ab=1

[";-"J' ";i"])=[l

solutiite

=-l

pentru Vn e N'

-o')*

=al=lUl= a=b. Atunci 2ab=t=>

cl_ d)-

"o."rrattr

= xtxz +

- t)'

= X2 _ 2X + I , oblinem

+8)X - 7, deci restul impdrtirii este r = (a + 8)X _ 7.

.3r = 1 - (-f)t'ao3

xtx: + xlx.{ + x2xj +x2x,, +x3x.r = l-r, .-=-.decl .,ao3

r*xj +xj**:=si -zs,_= l?)'- 2 I = _:) < 0 . presupundnd prin absurd cd polinomul f \

-e

toate rldAcinile

reall

ar trebui ca

;

xf + xl

x] + xl

153

ceea ce evident este fals.

Varianta 27

in mullrmea M, (C)

manicele

se considera

a) Sf, se determine rangul matricei A +

b) Sd se demonstreze cA, daci X e

V, (A)

astfel incat AX = XA , atunci

existi x, y e C

c) Sd se demonsheze cA ecuatia Y2 = 2. Pe multimea

se definegte legea

a) Sd se alate ca legea b) Fie functia

:)""=[;?)

/- " astfel incat X=l^ ^\ \Y

e - [0 (l

:lR

nu are nicio solulie in multimea M2 (C)

de compozilie x *y = x+ y+xy.

* " este asociativa.

+ R, f(x)=xll.saseveriflcerelatia f(x-y)=f(x).f(y)

Vx,yeR. c) 5a secalculeze

Rezolvdri

l.a)Avem

_lt l*-rt-* 2 3

I *-*-.I 2008 2009

fo o\ fl o)flo) l=l l=

A+L=l ' 11 0,l+ \0

rjul,

det(A+l,l=l

"'lr tl-'-"*

:)mng(A+12)=2.

(o o)(x z) b)FreXeM,(C).X-l* t l.astfel incdr AX. KA. Avem AX =ir oJ[y ,J= \y r,/ ol ol f' 0J.a.., ex x,q .- [o 0)l=l(z 0)l<P t=x '')lo =[o ,, \",) "o=l," \y t,lll 0, \t 0, lx z) \r 0) z=0,deci

*=l,^ 'l=r. \,y t/ \y

o')

x, c) Presupunem cd lY â&#x201A;Ź M, (A) astfel incat

=t;; ;] deoarece x2

deci

y2=A<>

=0= x=0-

Y2 = A . Obsen lm cd Y3 = AY = YA

2xv='1'eyident h, ;l=(: 3)* "'-o ei

Zxy=9a1. in concluzie, y'Vefrar(C)

astfel incAt Y2

x*y=xy+x+y= (x+t)(y+1)-t, Vx,y e R. Avem (x*y)*z= [(^*t)(r+r)-r]-z = [(x + r)(y + r)-l + l](z + 1)- I = = (x +1)(y + t)(z+ l)-l ei x *(y*z)= x -[(r+r)(z +r)-r]= 2. a) Observlm cd

154

=A.

=(x+t)[(y+r)(z+r)-r+r]-r= (x+r)(;,+r)(z+r)-1.deci (x*y;*z=x*(y*z) ;r.

v,z e R , adicA legea

pentru

* " este asocratrva.

Lr.{vem f (x*y) = (x*y)+l

= (x+t)(y+1)-l+t = (x +r)(y+r) = f (x).f (y), vx.y e R . o EYident tunctia f :lR-+R, f(x)- x + I esre bijectivi f-r (x)=>i_1, yr.p $i *oonstrim prin metoda inductiei rnatematice propdâ&#x201A;Źtatea ll n) : f (xr * 1, *...*1" ) = f (y,y. r(*r).....r(^"), vn e N, n > 2, $r,.vxr,x2,...,x,, e 1R . lmun=2obfnemP(2):f(x,*x,)=r(x,).r(x2),ceeaceesteevidentadevaratconform

-Fei f(x{,y)=f(.).1(y)

, Vx, y e R , in care ludm x=xr $i y=x2. n(t) : f (x, * x, *... * xk ) = f (x, ). f (x,

hsupunem adeviratA propdetarea

) .... f (x* ) pent u k) 2, oarecare 9i demonstrAm cA este indeplinittr proprietatea !rk+l):f(x' *x2 * ..+xk *xr,*r)=f(xr).f(x,) ... r(x*).r(xur,). rE!] f(xr'x, 1'...*xk *x**,)= f((xr *x, *...*x*)*xu*,)= f(", **, *...**u).f(*u.,)= =tf(xr).f(x:).....r(xu)) i(xr_,)= f(xr) f(x,).....f(x*).r(xu_,)=; r(r+t).

ke N,

kiproprietateaP(n):f(x,*1r*...*x,,)=g(ar).f(xr).....f(x,,)esteadevaratapentnr trâ&#x201A;ŹN, n>2,9ipentru Vx,, x,,..., x,, eR.

*...-#-# o,"- i(-)=r[r-1-]- -#-rrt')= =','),(;)'(j)'(#)'[#)=r'.'r['.j)('.+) ['.#J['.#)= _, 3

F,=t*

#H ##=

20r0.Din r(x)=zoro=

x=r

,(zor0)

=20r0-r=200e.

Varianta 28 1. Se considerd

o)_

mao,.* o

a) Str se rezolve ecualia

*)-

=l,t (.0 8,1

det(a-xt,)=0.

b) Str se arate ca, dacd matdcea X e M.

':s

astfel incat

x=f" \0

XA, atunci exista

c) Sd se deterinine numtrrul de solutii aie ecualiei

Xr = a , X e 14: (C)

2. Se considertr mullimea de

funclii c = , R _+ Rlf".o (x) =ax+b,aeR.,beR} {f",b a) Si se calculeze f,,,, of,,r,unde,,o"estecompunerea functiilor. b) Str se demonstreze ca (G,") este grup. c) Str se arate ctr Gtonline o infinitate de elemente de ordinul2. 155

Rezolvdri

1.a)Avem

-l';^ b) Fie

o-,." =[; :) '[; :)= ('0" ,1,.),0""i <iet(a-*,)=o<+

xe{r,t} ,l^l=tt-x)(t x)=oo

XcMr(C),

/a =1,

. astfel

"./

incAt

AX=XA.

t'].o*i " ')f' [" 'Lixe=f 8bJ ld bJ(o 8/ \d 8b /

(a [8d

o)=

Avem AX=

AX-XA<>

l,' o)[" ') 8J[d b,

[o (a

(u 8c\

(8d 8bJ [d

8bJ

ii 8c=c<= c=d=o.deci-=[: ;)=(; :l c)Fie XeMr(C) astfel incdt X3 =A. ObservSm ci Xa =AX=)L{? AX-XA+ (a o)fa o) (u' o) ta 0\ Avem X'=x . x=lo astfel incat =ta,bec o][o oJ= i.o ,,Ju' "=[o ,.,J <r 8d =d

ol=f"' ol,o.;,*'-o.. [u' o.l=i1 ll" u'J\o b/ l.o'u'] -lo brJ \o 8l olf

x,-x,x-- [u'

9i br =8.cusoluliile a, = /

i^-

cos

*-, =[T

2kr lll + isln 111 . 1 - 0.2. respectiv

)-- \

=2[.or4*iri"ffJ,

-,.=-

"'=,

aeci solutiile ecuatiei X3

inconcluzie,ecuali""d",t"

sunt de forma

l{(k,p)lk,r=o2}l=

=lto.L2),10.1.211= 32 . e solulii.

= (-t) r-'.,(x)+z- (-t) (-x+z)+2=x, vxel b) Obsewlmci, pentru Va,c e R' 9i Vb,d e R , avem f",o.f",o (x)= q.b(f".d(x))= =f.,u(cx+d)= a(cx+d)+b- acx+ad+b pentru Vxâ&#x201A;ŹlR $i ac+0+ f".5 . f",6 = f*."6*6 e G , adictr legea de compozilie este bine definitd' 2.a)

f-,.,"f,,,,(x)=

r,,,, (r-,.' (x))

Compunerea funcliilor este asociativi, deci gi operatia indusd pe G este asociativd Avem f,.o(x)=t.x+0=x, Vx eR, deci t,o =idp, adica operatia ,, o " admile elementul

neutru fi.o

â&#x201A;ŹG.

ArAtAm in continuare ca, pentru

incdt f",o.f".o =fr,o-Amvazutca

in concluzic,

fu,5

of",6 =f*,o6r5. Ludnd

obfinen t".uo*, = i,o , deci

(G,.)

VaeRt 5i VbeR,lceR'9i 3deR ac=l <>. =1 5i ad+b-0

fu.5 e G este inversabil gi

este grup.

156

f".l

= f".o =

fr,,o

teZ oarccarc. Observim ci f_,.,,eG 9i f_,.".f_,."(x)= f_,,"(_x+n)= -l) (-x+n)+n=x, VxelR,adicd f-r,n of-r,n =fr.o =ec.Deoarece f r.n *f r.n, pentru n*m 9i {f-,,"lneZ} c G, deducem cA grupul c contine o infinitate de elemente de

Fie

Varianta 29 1.

consideri

sist"-ut

(x+y+z--T (t * * y *, = m - I , melR 5i matricea A =lm

lx+my+22=-r

melR pentru care det(A)=0. b) SA se arate ctr, pentru orice m € R, sistemul este compatibil. c) Sl se determine m € R $tiind cA sistemul are o solulie (*o,yo,"o) c\t zo 2 = a) Sd se determine

2. Se considerd mullimea

M, (Z j ), submutfmea C = X . I

i :l ,' ,, -f 0l

=l,9

rra, 12,

;l*

\b:

rbll a

I.J

(0 l,

x,yeZ3,atvnci x: +y2 =0 daci,i numai dac6 x = y = 0. cd multimea H = c {O, } este un subgrup al grupului multiplicativ al

a) Sdse verifice ctr, dacl

SA se arate

inversabile din

Mr(Zr)

c) Str se rezolve ecua{ia X'z =

a)Avem

Ir,

XeG

,. l' r' 'lrl-- I' rI oo j=| tz-.tlj lfl_ tr_",)1,_,").0*, r"' m 2l m 2 ml ll ll .,

det(A)=lm

t(A)=

(2-m)(l-n)=0€

Evident cA, pentru

me{r,z}. det(A)*Ocr meR-{t,Z}

, sistemul €ste

compatibil determinat.

.h.rl

ntru m = I . sisremul devine

Ix+y+z=0

jxry+z=0

Ix-Y r2z = -l

mem

.= ] l . 1 - : 0 , . S.drand ..t. lx rY!zz=-l

z=-l .Din x+y+z=0> x+y=-z=1:i

forma (l

doua ecuafii.

x = I * y , deci solu(iile sistemului sunt

y, y, - l) , unde y e 1R este arbitrar, adica sistemul este corhpatibil nedeterminat.

l)/

t-.r-z=0 la.z.=l ix+2y+22=-l

=l= y*z=-x=-l=z=-l-y, deci soluliile sistemului sunt de forma (-t,V,-t-V), de y e R este arbitar, adicd sistemul este compatibil nedeteminat. r

Observim cl, indiferent de valoarea lui m â&#x201A;Ź R , sistemul este compatibii.

.ir,.m obtinem

c) ImpunAnd condilia zn = 2 , 4io

lxo+y0=-r, n =m-.1 1*n to

. Adundnd

ultimele doui

Lxu+myo=-5

relafii, oblinem (m+1)(xo

+yo)=m 8= 2(m+t)=rn-3a p=2.

=i si 22 =i, iar singura combinatie posibila *2+y2 =i Ot * 0' = O . oblinuta penfu x -y -0.

2.a)inZ., uu"tn

b)Fre =u2

=0,12

xcc.Atunci la.bâ&#x201A;Źzr

asttel incdr

s51s

,+,'..4.,1x1=lu )bl = =l'" 'bl lb a) lb "l

-)62'=uz +b2. observdm cd

aet(x),.0o a2+b2*0<+ (a,u)*(0,0)<+ x*or.

det(x)+0,

X-r=(a'?.ot)-

in cazut c6nd

-'zbl= a)

i1 ' [-b

mat-icea X este inversabild 9i

-.( a b) -.-,( a b) -l= - d"our""" uu"- i2 =(a'?+5r)'l^=it =i+ i-'=iiii'=: l, ^,[2b , l2b aJ [a'*ut)l \ a] ' Fie

X,YeH>

l:a,b,c,deZr,(",u)+(o,o) ri

(c, d)

(0,0), astfel incat

: ']l u/ t [b

y=f. ,dl Atuncixy=i" ,olf . ial- f*.'iuo i{"a' u')l- i. i"].". c (b a lld c J bc+ad 2bd+ac ..] \d

unde

)

m=ac+2bd, n=ad+bc

ai observamc6

./ [n

aet(xv) =aet(x) aet(v)+0=

+*'+nt*o+ (^,n)+(o,o)= XY + or. -

observdm ca, pentru

uu"- x-' = ("'.r')[; fu ibl, :)= \b uj

,(.,..0,)[^' :(zu)l f," in].u.uno.,"=(u, \n m)

+b'z)a, n=z(a'z+u'z)u

[2b a ) *, *n, = (u, +ut)'+0.

in concluzie, H este subgmp al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din |.

158

4 9l

U, (2,

L.:

)

F,e

--[;

xec

-*mcix2=',!h ab=0=

- [; ,j]t; ,jl.["';io'

':J AvemX:--

["'i"io' ",:ir,j=[;

a=0

b=0.Dacd

i)-

Dca b=0,anrnci

nlgire

t,o

)b2

a2 +

9]r'

t,/

=i..t

eiab=0

",.,0,=i

a2 +2b2

=0,atunci

ce am observar deja cd nu admite solufii, deoarece =ca

{,,t

1;r

=i= .

}

",ii,,J

iU, =

=i=,

{0,i}

_)-t=),

=i= u.{i,i} . in concluzie, ecualia X2 =I:: admite

", [o? :l f

Varianta 30 1,

Se considerd numerele reale a, b, c,

+terminantii A

f:R +l{., f(x)=

func{ia

rl r l'l =la u cl$n=llra b

.rl

lr(a) r(b) r(c)l "'l cd A =(a-b)(b_cxc_a)(a+b+c)

b)SAsearatecd

'lo

2x + 3 qi

A=B.

c) SA se arate cA, pentru odce trei pulcte distincte, cu coordonate natuale, sihrate pe glafi_ cu v6rf ile in aceste puncte este un numtu nahual divizibil cu 3.

al- funcliei f, aria ri'nghiului 2. Se considera

H, a)Sasearate

rnatri..u A =

c) Sd se rezolve ecuatia X2 =

&zolvdri

=t.

A=la

lu'

ei mullimea

n =.]x(a)la . * -

ryort cu inmullAea r|atricelor.

l.a)Avem

-l -l \ {., ,J /

ci Va,beR, x(a)X(0)=X(a)

b) sa se arate cd mu4imea

L,).

lu' u'

a) Sa se arate

1,, X e G

G=lx(a)=Ir+aAlaeR]

X(a)x(b) =X(a+b_lOab).

{*}l rol]

este parte stabird a

lui

M., (tR) in

o o I' b-a 'l.l=1. ._"1I

.tl lu' b'-u'

o-a

j(u-a)(u'+ab+a')

.' -a,l I

-..,-.,)l=,o -utt.-")jo, *^'0.", "lti, 159

rl -l c- +ac+c-l

= (b

- axc - a)(c,

+ ac + az -b2

-au -a, ) = -(a - bxc - a)[(c

_ u)(c + u) + a(c _

u)] =

,,"=ll;:l=li;:l =

-(a -u)(c-a)(c-b)(a +b+c) =

lrla)

11u;

rlcl

-b)(b-cxc -a)(a +b+c).

lar,2a*l

.2b_j c,r zc*:l

jr rrl l" rl l"'l l'rrl =la b cl+la b clrla b =la b cl=e 1"3

c,l l2a 2b 2cl 13 l

lu,

..1

c)Fiea,b, ceN numere distincte pi A(a,f(a)), B(b.f(b)) gi C(c,r(c)) punctele distinctc corespunzltoare absciselor a, b gi c, puncte situate pe graficul funcliei f. Cum f (x) = xr + 2x +3, evident cd a, b, c e N f (a),r(U),f (c) e X

Atunci

. . r,

s[ABc]=:lal,

ObservSm cd (a

-b)

unae

+ (b

-c)

t tl

a=l a u Ir(") i(b) + (c

-a)

l=1"-r.y1r_.;(c_a)(a+b+c).

r(p)l

= 0 ; de unde deducem c*numerele a

- b, b * c qi c -a

nu pot fi toate tlei impare, deoarece in aceastA situatie suma lor ar trebui str fie tot un nurnir inpar, evident diferit de 0. Deducem cd avem cel pu{in unul dintre numerele a _ b , b _ c sau c

-a

par, deci

s[anc]

llal . x

Conform teoremei impA{irii cu rest pentru numere intregi, f !m, unde r, e10,1,2f

, f!n,r2 €N

astfel incat

astfel incdt c = 3p+ 13, unde r, e

{o,t,z}

a-b, b-c

€

astfel incat a = 3m + rj

b=3n+rr,unde r, e{0,1,2},respectiv

llp,t eli

c-a este divizibil cu 3, atunci 3/A>3/SIABC] Presup'nand c6 nici'nul dinhe factodi a -b, b-c ai c-a nu este divizibil cu 3, deducem cl Dactr unul dintre

factorii

numerele a, b gi c au resturi diferite la irpA4irea prin 3, adicd

{r,,rr,rr}={O,lZ1 = 3iS[ABC].

-!+12+rj =0+l+2=3* a+b+c=3(m+n+p+1)> 3/A> in concluzie, S[ABC] este un numtrr natrual divizibil cu 3.

2.a)Avem

Observtrm cd

=^.^=

X(0)= I,

3 30 (-t 'lf-t _e/ -1 -?\ lf'0 1= -,nf '[3 l= -10A 3 e0 l_30 l l3 -eJt

0.A = Ir, deci x(a)x(o) = x(a).r, -

x(a), v aelR.

X(a)X(b)=(Ir+ae)(tr+Ua)- rl +(a+b)A+aba, = = I, +(a +b)A -toabA = Iz +(a+b -loab)A = X(a +b - 1oab), Va,b € R

De asemenea,

b)obsewrmc6

a+b-r0ab=f

-r.(*-")[* ,) ,** ".u.n-{f} u** u*-!160

(e(x))a

b) evem

a""i

=[("(,.))']'= (z^a("))' = +x'?(e(x))'?= ax,.zxe(x)= ax,A(x).

(a(*))'+(a(*))'

.=(s*,*z*1[**l

'\ I

"'x lJr]-10

tro

0) . / r\ oJ- t^'":^=8^[*";) ,

-'[:

o:- tl- 1l -l\ =fo+l I

astrelincer

-aa'1x1=ll '

J {., -ri

-l

xo=0

-tl o--

ttttuounem prin absurd

ci ]x e Mt (c)

0.,1*;=0.Arunci.dinidenriratea

-11

:r x, =(a+d)x=t"*olf ' ll. dl .

observam cd

=a(o)= t'(x')=tr(a(o))= (a+dla+(a+d)d=t+(-+)=r a+

d = 0 9i atunci X2 = (a + O)X =

e(0)* O:.

2. a) Avem

-A(0)..+vem det(x2)=aer(A(o])=r

x'?-(a+d)x+det(x).r, =o,

X'? =

cu solutiile

oavem a(o)

zxa(x)= o,

''-

x'?

8xrA (x)+

in concluzie,

X = 02,

+(xr00 +(-i)c]ooxee +(,i)'zCf*xns

=e1

ceea ce contrazice ipoteza cd

/X e U, (C) asrfel incit X, = A(O)

f =(x+i)r00 +(x-i)'00 =

(a+a)2

(xr00 +iclooxee +i2cfonxes

*...)= zx,*

+...)+

-zcfnoxn, +... =

-arooXtuo+aonX99+anrX98+...+a,X+ao,deundededucemcdar0o=2$ia99=0,deci al00+a9e=2. b) Conform impdrtirii cu rest pentru polinoame,

ilq,r e C[X]

astfel incat

f =(X, _1)C+r,

unde grad(r) <graa(Xt

-r)=Z Din grad(r)<2 deducem cd la,b â&#x201A;¬ C astfel incar r = aX+b. Au"- f -(Xt -1)t+aX +b = f(l) = a.l+b = a+b qi r(-1)=a (-t)+b=-a+b,deundeobsinemca

r(t)i(-l)

si 5=

r(1)ni(-t)

r5u tar r(t)=(r+i)'oo+(r-i)'' = [(r* ii'l" * [(r -i)' ] = (2i)" ' (-2i)" = 25rilo -25: et r (-r) = (-r + i)rm * 1-r - i;'* = -r*r;']"*[(- t-ifl' = (-2i)50 +(zi)50 = -2sr,

f(r) f (-r)_ (-r")-(r")

=0,, u =l0l 162

"tl)

(-z'' )+(-z'')

L :oacluzie,

aX+b = -251.

: Fre a€C o rddAcina oarecare a polinomului i Observim cd f(i)=(Zl)t00= 2ro0*0,deci r=i<>a-i*0.Avemf(a)-(a+i)'oo+(a-i)'m=0> (a + i)'00 = -(a - i)r00 = (2k.1)n (2k-llr a*i)'t ari -l=cosfi+tslnl= | rsln -:------------=cr.unde er =cos= ;) l=O100 este una dintre rdddcinile de ordinul l00alelui -l . * a+i=era-i€r = (l-Ek)a=-i(1+a1)> a=-i .Ll!L. Folosind faptul 3=t, = .

.l l.jt r e,,l-l> ,, -a.obtin.-;=O ' ar

-r.

+ I

= a.

l-c.

Din ; = a -

t+l i -+=

,-"'

-eu

tt i.l*tr. e,^ et. I

a € lR, adice toate ddacinile polinomului f sunt reale.

Varianta 32 l,seconsiderdin R3 sistemul

Iax+y+z=l

l*-^r-, l.

aeR.

l**rt-=u a) SA se amte

cl determinantul matric€i sistemului

are valoarea (a + Z)(a

l)'z

Str se rezolve sistemul irt cazul in care este compatibil determinat. c) Sd se rezolve sistemul in cazul a = -2 .

2. Se consideri multimea

Siseverificeci A

ccM,(Q).c=li: 'o'll",o.*.u'-rou'=r] ' a

|.\b

oo)

=l , _^ leG. 16 lel

b) SA se arate cd X.Y € G, pentru oricare X, Ye G. c) Si se demonstreze ca mullimea G este infinitI.

lc:olvdri .51

a) Matuicea sistemului este

t r) [a e=l t a 1l\l

zt', a+2 a+zl a 1

I l= ^l

a.J ^=der(A)=lrlr

r rl

o It (a+ 2)l' a tl= (a+z)lt a-t Ir

ll I al

o = (a+2)(a-l)'?

ll 0 "-ll

163

iil

]

b) Sistemul este compatibil determinat daca ti nurnai dac6 A +

a e R. -

{-2,1} . in

aceastd situafie, aplicdm regula

lr r rl

r ll

-2

, sistemul de

(a + 2)(a

- l)z

''i=A.decix +=*=t t al

av0^A,A =i=; =O $i z =:. =: = l, deci (x,y,z)=(0,0,1)

c) in cazul in care a =

lui Cramer pentru a rezolva sistemul.

o, ll rl-osir,=l' i'l=o I al la ll a' al lt

evema,=lr

esto.solulia sistemului.

,rr, )*tl ir'**.t==, . Scizdnd prmele lx+y-22--z

doua ecuatii

-3x+3y=0r x=y gi, inlocuind in a treia ecua.tie, avem 2x-22=-2=)z=x+1. Deci (x, y, z) = (x, x, x + 1) , xeR arbitrar, sunt soluliile sistemului in cazul a --2. oblinem

2. a) Obsewdm

60l fa fl9 i l=l

ci, pentru a=19 9i b=6,avem a,beQ $i

f6 leJ lb b)lie X,Yec-

y=f.

-10b2

192-10.62=1,deo

lob\ leG. a) Ja,b,c,de Q,

a',tOf =t,

_fa tob)fc

c2-10d2 = liistfet incat

a \b

X=f

10bl11

t0d)_

a )' tonl

fac-robd l0(ad+bc)]_ fm l.b u /ld c J ( bc+ad ac+t0bd J [n n)' \d c ) undeamnotatcu m=ac+10bd gi n=ad+bc.Evident a,b,c,deQ= m,neQ gi m2 -10n2 = (ac+l0bd)'? -10(ad+ bc)'? = (u' - rou' )(.' - 10d, ) = r.1 = 1, 6..1 fm 10n ) I l . C . In concluzie, pentru VX,YeG,avem X.Y€G. \n m ) c) Demonstrdm prin metoda induc{iei matematice propdetatea P (n) : A' e G , Vn e N , n ) 2 . '0d.]. Atunci

t: -d, A=f[6 ffte)l t*,* n=2

obtinem p(2):a'? e

proprietatea stabilitA anterior conform ctrreia Presupunem adevtrratA proprietatea

P(k):Ak eG

demonstrdm cA este indeplinitd proprietatea

.ee c p(k+l). =>Aktr = Afr = Deci proprietatea P(n):A" eG Observdmci

X.YeG

€vident adevarata, obtinurtr din

pentm VX,Y € G,luind

pentru un

P(k+1):ek*r

este adevArata pentru

tl o=f lll.tr(N), \ 6 le,

keN,

X=Y =A.

k22,oarecaregi

e G. Avem

Ak,A e G

VneN, n)2

de unde deducem ctr An

€M2(N) pentru Vn€N,

n 2 2 , deoarece mullimea numerelor naturale este inchisa fatd de operafiile de inmullire gi adunare folosite in calcularea putedlor matricei A. I

I :

164

parre,

Pe de att6

ul.

60ls

uu.- A ' = f (-6

le)

rvr,tNt.

3k,peN,2rk<p,astfelincAt Ak =Ap = Ap-k =I: = kl.A=12 r, >A.Ap-k-r =Ap - Ap-l:-r =A ceeace este imposibil, deoarece *-' .le e l,l, (N), iar A-r e M, (N) Deducem cd Ak * Ap pentru Vk,p e N, 2 ( k < p, de unde rezultd"cd Sirul de matrice Presupunem prin absurd ctr

are termenii distincli doi cate doi, adici mullimea termâ&#x201A;Źnilor sai

len)".*.

nfinit[. Cum

{a" In

X-

}

. c,

"oncluziondm

cd gi multimea

{a"1.. X'} *t.

este infinita.

Varianta 33 1,

Se considerd matricele

a.b,c e R

:')

[roo) (or r.=lo r ol.e-lo 'ttl lo o lJ

tonl

b) Sd se calculeze

m)'

c) Si se demonstreze cA Va,b,c â&#x201A;Ź 2. Se consideri corp ut (721,+..) a) sa se arate ca H =

{o,i,t,a}

b) Sdse arate cd, pentru orice

I din

[1'o

a) Si se calculeze 83.

, t>2

ol I l9i A=alr+bB+cB',

c) Sa se arate cd

R, (a+b+c)det(a)>0.

{^tl*. z,}.

aeZr,exisldx,yeZ,

astfel incdt

{*tonol*.zr}=H.

lezolvdri

[o o r] fo 0' olfo o o) tl=lt o olria3=n'?e= l0 0 0^I 'll0 0 0) I 0J 1

a) Avem 82 =

B.B =

fo o t)f

=lt o oll lo r

oJl

b) Din Br =

eN, re

:;tl I ooJ

ll =

ir l0

0l=11.

[o o

'J cdB.82-82.B= I, , deci B este inversabil5 qi

(o B-r =82

=l I Io

a=x2+y2.

l;l 165

I o o) I o.) (0 ol)fabc) : q-! r=-i-B-ca--=.f o r ol,olro o o ,1..j o ol= lc a r l,aeci (rooJ l.oorJ I o) ,

F b "l

*^'=1;

la+c+b b+a-c c.b.al

ll=l

; :

[b c

" ll='".0.' )l'lbcal

ol=

o ol I' =(a*u+c)lc u-. u-"1= ("*o*.)1"-: o:l lu =

(a + b +

. u "-ul

c)[(a - c)(a - b) -(c - b)(b -

a-bl =

")]

(u +

")(u

+b2 + c2 _ ab _ bc _ ca) =

j{" *u..)[(" -u)' +(u-c)'? *("-u),].

Atunci (a + b + c)d.t(a) Va,b,c e lR 2.

lc b

a)h Z,

l("

c),

u), [(u -

+ (u

"),

+(c

a),

]

o pentru

"','"m

- 0,

=i, ), =a, 3, =), i2.=), 32 = 4, o? = i, aeci

z,l - {6,i,t,i}

u ={,,1^.

o=0+o=ot*ot, i=o+i=0t+ir, i=i+i=i, +ir, r=i+2=ir+jr. i=)+)=jz +i,,3=i+4=i, +), , G =z* I =i, + i2, adica, pentru vaeZr,l:x,yeZ_ astfel incat u=*'*y,. c) Deoarece u=l*'l*.zr] 9i x2000 -(xroool' pelrtr\t Vxâ&#x201A;Ź21 deducem ct b) observdmcd

pe {*'oool*.zr}c H. de altaparte, x2000 =(*r;rooo qi x:eH pentru Vx e Z, , deci trebur sa ardtdm c5, pentru VyeH, JzeH astfel incat y=zto00.Auem otoon =0<j 0=6:ooo,

i'ooo

=(2r)"'.2=i,.r.z=ie 2 - )toQn , {"ooo

4tooo

1ar

).,,

ir,

: i <r

4=ir@o,deo

. l* zr } . in concluzie, {*ro"rl*.2.,}=u. Varianta 34

consideri matricele K =

(1 Z l)e

V,,, (n)

ro)

r-=ls

t6l a) Sd se calculeze suma elementâ&#x201A;Źlor matncer A.

Sd se arate

SA se

cd A2

=32A.

arate cA rangul matricei A,r este

t66

oricare ar

N..

u,., (n) si A=LK.

-l-t,, t-r)u-r -_,1I .3 ./\3 / I-1 | ----' =-i --'.1-.;i---:

tx \i v \t, 3t.--',/li-']l;

l+3=

\ I

J+3.

observimcr

(x'y)*z=x*(y*z) pentm Vx,y,ze R, adicd legea,,+,,s5te asociahva. b) Observdm cd x*y=axy-x-y+6= alx-y_x+6= y*x pentru Vx,yeR,adicilegea ,,*"estecomutadva.

* " admite element neutru daca 'astfel fi numai dac6 le e R incat x * e = penfiu Vx e R. Relalia x*e e*1 este asiguratd de comutativitatea legll = ,,. ,,. Legea

Avem

x*e=x<> axe-x-e+6=x<+ x(ae_2)=s_6

x=0

obtinem

loc dacd gi numai dacd

V*Jm.

x=x

in ourti.utur.

pentru Vx

eR,

ceea ce

6a-2=0e a=J.

c) Presupunem c6 intervalul

x*y=axy x-y+0e[O,O] ob{inem

p"nt u

0=e-6:+ e=6, deci amobtinut cA x(6a_2)=0

e ,r

[0,6]

estâ&#x201A;Ź pafte stabild a

lui R in raport

cu legea ,, * ,,, adicd

pentru Vx,y e [0,6]. in particular, pentru

6*6=36a_oe[o,o]=r 0<36a.-6<6= 6<36a<12+

x=y=Oe[0,6]

1=u.-!=

".f+

Varianta 35 1. Seconsiderrmaoi..r. o a) SA se arate ca ecuatia

=fl : ;1,, r=l il (r 4 -3.J lsj

AX = B

are o infinitate de

solutii X e M3.r (C).

b) Str se veirifice cd A3 = l0A . c) Str se determine rangul mafticei A* adjuncta , matricei A. 2. Se considerd muttirrrea z,lJt)= +alil^.a. z} nnctia

f(a+bJz)=a, 2b2.va,bâ&#x201A;Źz a) Sa se arate ca

j + SJi

qi mutlimea

e ={,_.2[Jz]lr1^f

:zlJil _ t] r

+ v, ,

b) SI se arate cd. pentru orice x, y e

Z[16], r1*y) = r1"yr1y;

c) Sa se arate ca mullimea A este infinitA.

Rezolvdri

l"l

l.a)Fie XeMr., (A),X=lll,astfelinc6tAX=B.Ecuafiamatricealddevineastfel

l') 168

rang(A) = 2 . De asemenea,

.ng(A) = Z, unde am notat

matricJa extinsl a

rr2 12) 12) (z\(_rt I l,deoarece,deexemptu, l'l=+ lzl_l o l.uai.aur,,^" (r 4 -3 5J lsj 'la.l | :j

A-lz z 0 ili ale ll],1; rErlcel rang

(a)

aceea a termenilor liberi, este o combinalie

= rang(A) = Z

liniari dinfe coloanele

a doua gi a

Oet(a) = O deducer! conform teoremei Kronecker_Capelli. cd mul este compatibil nedeterminat, deci admite o infinitate de solutii, in consecinlA,i ecuafia iceali AX=B admite o infinitate de solutii X e Mr., (C).

(t 2 _rlfr 2 _1) (c z 2) " A'=A.^= 0ll2 z o l=iu r -2 liiA,=A2.A= 12 2 _3r(r _z 4 4 _3, '4 2 2)r' 2 [r_') (to 20 ,r0l lo 2 s_r)) rr =6 8 -zll2 2 0l=120 20 o l= ro.l2 2 0l=rc^. ,.6 -2 8J(l 4 _3J lro +o 3ol l.r + _:J .A.vem

.A'

A' .A

- (det A).Ij = 0.I: = O: . presupgndnd prin absurd cd t(a')+O> r(a')-' siain A-.A-Or am obtine o=(o.) '.o.r =cl3,ceeaceeste Avem A

fals. Deci

der(e')=O=rang(A')<3.

Observtrmca

li -ll=, a,,=( r)r*rM,, =l:;l='

Ar2 = (-l)3*2 M32

-l; ;l

r,deci A'

f(z+sJ7)=/ -z.sz =-l=

rie x,v eZlJ-Zf=,> la,b,c,deZ

v=("+uJ7)("+o^,li)=

A,2=(-t)2',M22=

li _1=r,,

admire minorul de ordinul doi

'uns/e'l=.2 a)evem

Ar, =(-1)2*t Mr, =

7+5J2 eA.

astfel incat

x=a+bJi

ac+2bd+(ad+bc)JT. observam 169

y=c+dJI.

ci f (x)=a,

Avem

_21o2,

f (v)

c'?

za'? ei f (xy)

r(xy)=r(x)f(y) clNoUmcu x,,

(ac+ 2ba)'

pennu v*. y e /

-'2n+l =(7+5J2J

matematice proprietatea

Pentru n

- z(ad+

z[.D]

bc)2

pentru ne

' -\)k x,.,=(r+s./2)

Deci proprietatea P(n)

inprus,observamcr

)(c' - za, ) = r(x)r(y),

aec

prin metoda inductiei

$i d€monstrtrm

=7+5JJeA.

evident adevarata, conform verihctrrilor

demonstrdm cd este indeplinitd proprietatea P(k +

xo*'

zu,

P(n): xn eA, VneN.

obtinem P(0):xo

>f(x*.')=-1-'

(",

anterioare. Prepupunem adevdrata propdetatea P(k)

Avem

x* e A penau un k e N oarecare

l) : x.*, e A

t / -\2 .(7+5J2) -'ll'l -'2 , (rrsJ2)-.x, r li-sJ2l

eA=P(k+l) x.

€ste adevAratl pentru Vn € N

'":(z+sJ7)'"-' ' '0.r,

rr'r=

(*-tf,']ij

Xn (r*s.,D)'''

= Q*sJi)'>1

penru

Vn e N , deci girul (xn )n€N este strict crescdtor, in particular termenii sai sunt distincfi doi cate doi, adictr mullimea termenilor qirului deducem

gi mullimea A este

{x"ln e fV} infiniti.

este infinittr. Curn

{x" In e N} c

Varianta 36 1. se considera mub-icele

/a f0 0\ o=[. o. =lo t' oJ

b\ o.,Jtttto)'cuproprietateac]

.A2=O:. a)56searatecd a+d=0. b) Si se arate ctr matricea I,

c) Sd se arate cd ecuafia AX =

este inversabild.

are o infinitate de solulii in mul{imea

M, (R).

f =Xa -2X2 +9, cu rddicinile X1, X21X3, X4 e C, numirul u=.ti+i ei mullimile a={e(a)lgeO[xl] ii a = {n(";lr'. A[x],craa(rr)<:] . a) Sd se calculeze f(a). 2. Se consideri polinomul

b) Sf, se calculeze

lx,l+lxrl+lxrl+lxol B.

c) Si se arate cd A =

t70

]m A: =o: E

rdentitatea A'?

aet(a'?)=aet(or)-r detr(A)=0= det(A)

- (a + d),r

+ det

=02

pentru vA e M, (R)

= 0 . lindnd cont cd

,^=[:

bJ,

ortin"-

A -(a + d)A + 0. Iz = Oz > (a +a)e = Or . Observdm ca, dacd A = O", atunci l=0= a+d=0, iar dacA presupunem cA A +02, atunci (a + d)e =O, + a+d=0, iI

oricare dintre situatii oblinem c6 a + d 0 =

-{rrm A'=O,

I, -A2 =I: _o:

=Ir= (tr_a)(r, + a)= (I, +A)(I, *A)=Ir,adicd

(I, + A) I = y, -4 . bca A=02,atunci AX=ozX=Oz pentru VX e Mr (R) , deci ecuafra AX=oz I,

este inversabih $i

de solulii in multimea

M, (R)

adrnite

A*02,notamcu Xn -ru{,unde

N'. Din A2 =O" obtinem ta =nOz =Or,deci,pentru VneN., X" este solutie a ecuatrei =O,. Observimcd A*,O2 - nA*nA = Xn *Xn, pentru Vn,m,n*m,decr

=A ("A)-

ru4.2

i 9irului (X"

ueN'] {x

esre

),.*.

sunt distinc.ti doi cate doi, adicl mullimea termqgilor qirului

infinita. Cum

(m)lax

in mullme a M, .qvem a2

= O,

{X"ln e N'} c {x

}

v,1n;l*:

este infinita, adic6 ecuafia

=(J2 +i)' =r*zJ-zi ri +9

Din f(a) = 0

ti f â&#x201A;Ź Q[X]

AX = Oz admite o infinitare

=(u,)' =

(*zJii)'

=-7 +4J-2i,deci

deducem ca una dintre rlddcinile lui f, de exemplu xr este egald , ele faf6 de R sau fa{d de e , adicd putem considera

ridlcinile lui f sunt conjugate intre

lru vk

x: =-.,,D+i, xq=-Ji-i.observamca

lr-l=r@ .f =5

= 1,4, dect

lx,l+lxrl+lx,l+1,,.,1=+16. oeoarece e q[X], deducem {h e[x]leraa(rr)<:] c =

deducem c6 qi

= -i+4.f2i-2(r+zJ-zi)+e=o.

tr=i=Ji-i,

o, }.

(R).

,)=u' -2u' a iar

lh(a)lh c A[x].

grad (h ) <

l] c le(,)le. O[x]] = A.

deci

BcA.

geQ[X] oarecare. Conform teoremei imp64irii cu rest pentru polinoame, lq,hee[X] incat g=fq+h 9i grad(h) < grad(f) = 4 , adica grad(h)<3. ca g(a)= r(a)q(1)+ h(a)= o.q(a)+ir(a)=h(a), deci r(a) e {h(a)lh

[x], eraa(rr) <:] pentru vg

171

e[x]

, de unde deducem cd

{h1";lr' . concluzionIm ci A =B.

{e(")le e a[x]]

AcB

q1xl,c'ud(r')<:} =a.adici AcB. Din BcA

Varianta 37 l.

(a a+1 a+2\ A_lb b+l b+2l,cu a,beR.

nntri."u

se considera

(r I

a) Sa se arate c6 det

(a)

= (a

)

- U)(a - t) .

a*(a - a' )

b) Sd se calculeze

2, Va,b e lR . 2. Se considerS polinomul f e R[X], f=xr +pX2 +qX+r, cu p,q,re(0,-) gicu c) Sd se arate cd rangA >

rdddcinile

x1, x2, x3

a) Str se demonstreze cA f nu are rf,ddcini in intewalul

b) Sd se calculeze xf + x] +

[0,

in tunc1ie de p, q 9i r.

c) Sd se demonstreze cd, dacd a, b, c suftt trei numere reale astfel inc6t

ab+bc+ca >0 9i abc<0,atunci a,b,c Rezolvdri

r'a)Avem

la a+r

o"(o)=ll

=("-o)l1

o ol

','

a+ b+ c

(-o,0).

a,2l la-u a-u a-ul l' t | ("-')li oi' ';1 I ';1= 'l'l=

'i'

,l= t"-orli

It o a-tl

b)Avem det(A

,1,1=r"-bxa-,)

e')-o.r[(e-e,)']= 0.,1o' n) a.r[f-r1(e a')].

=( r)'a.t(a-a')= aet(e-e,)= aet(e-e,)=-aet(o,o,)- oet(a-e,)-0. Se observa ca,

in cursul demonstratiei, nu a intervenit componenta matricei A, ci doar faptul cl

A este de ordin impar, deci putem afirma la modul general ca Oet(X VX e M"

(A)

- Xr)

= O nentru

9i Vn e N' , n impar.

c) Observdm cd matricea A conline minorul de ordinul 2. a) Considerim funclia polinomiald ata$attr

dorlb

* tl

lr I

f ;lR-+lR, f(x)=

..0*z *

Fie A discdminantul funcliei de gradul al Il-lea reprezentate de catre 172

-t * u , deci rangA )

f,(x)=3x2 +2px+q.

i<0,atunci f '(x)>0

pentm VxelR, adici fi.rnctia f este stdct crescitoare pe

stdct crescAtoare pe intervalul [0, o ) . admite dou6 raddcini reale y, -1 > 0, atunci functia

R,in

este

notate in ordinea yr <

rl>0

y, . Din

yr r y:

= ?P.

y2 sunt stdct negative, adicd yr 5 yz <

pentru Vx€(yr,cD) , oblinemca

fi O

y2, pe care le putem considera

yry:

=9t0.

+ [0,-)c (y,,o)

f'(x)> 0 pentnr

deducemca

9i cum

Vx € [0,"d) , adica tunctia feste

crescitoare pe intervalul [0, "o) . I mcluzie, putem ahrma la modul general c6 funcfa f este strict crescAtoare pe intervalul f:c ). indiferent de semnul discriminantului derivatei f' .

pentru Vx€[0,oo) , avem

x20= f(x)>f(O) =r>O> f(x) >0,

in particular

firl*

0 pentru Vx€[0,.o) , adicA func{ia fnu are ridicini in intervalul [0,co). Conform relaliilor lui Vidte, avem St =xl +x2 +x: =-p, 52 = x,x, +xrx, +x,x,

3 =:(rx2xr = -r. Pe de alt, parte, xr este radacintr a polinomului fdacS 9i numai dacf, fi r,. )=g a xl +pxl +qx* +r=0= xi =-pxl -qx1 -r., Vk =F. Adunand aceste relatii 0,

=-p(xf+rl + *l )- q(", +xi + x, ) =-r(sf -zs,)-qsr -3r= -o(oz -zq) q( n)-tr= -o: +3pq-3r. cu membru, oblinem

Folosind notatiile

x] +,.1

p=-(a+b+c),

trei riddcini reale ale polinomului cA

g =ab+bc+ac qi r = -abc , deducem ctr a, b qi c sunt

= Xr +pX2

+qX+r

p.q,re(0,-).Amverificat

un asemenea polinom nu are rldAcini in Intervalul [0,..

-dor * ftei ddrcini a,b,ce{ o,0}.

)

gi de aici deducem ca toate

Varianta 38 1. se considera

natr-"

=0. tul ca

l(^ v=1lb [lc ,>2.

3r=

^=[i i

$i mullimea de natrice

o a

a) Si se calculeze A3.

b) Si se arate ctr, dacA X e M,

2. Se considerl polinomul

;;

r : *l h"Jfusrir;.::r;#

",,,#"' L

a) Avgrn

;":

o"*""'*;";"*- ;;i"'"'.;lJliT'i

::,[i,Ji

o o)fo fo =10 o oJJr o o/= lo o o/=o. 1r o o/l I 1 o) [o o o]

';]

!l' u1l?."::"il;l':'l'"

l: ;f

*'''

/a x -t x e M, (C). x u _'i =i

"' '' '-l; " "J'^oot"t'Ax=XA' J o) o*,'*=fl r; i ;/t: ; ;l= l,:n ":, ,,T"]* *=/; ; rJfi ; ;l= f:r: '" 0]:r deciAx=xAc> r 0l '^p/tr tliJ J , )' b) Fie

ll)[;;:t (o o

.=/

; :

:l_[]t',"0)

x+m=0, v+n=a, z+p=a+b, ..",/=ll:; ^1, ; ;J* =i;t;-ii',l.;=:i ""_fj,--, m=n=x=0, y=p=a.

t "=/o \c z

z=b,

deundededucemr

oi.r. "/=lo, I b

c) Presupunem ca

\c a) lx€Mr(c)

astfel inc6t

x2 =A.Ahnci

x3 =4a=14= AX=XA (u o o) :>ra.b'c€c asrrerincdt ,:' o/.o**,x2=x x= "=l: ; : ;l[ : ;]= /; b ', 1c a/(c b aJ ( u' o o)

-1,.i1.

;: .:]

..''X2=Ae/,,::..

imposibil. deoarece reraliire u2

il /ilt ;t rf ..,o*,

,1" u') lb- +2ac 2ab

- = lrsurrt =0tt 2ab clar incompatibile.

rililliru

7X e M, (C) astfel incdt X2 = A

,.rvern

r(:) - f (r) = a(:a - r) + u(l -

r) + c _ c

Bla + 2b = 2(40a +

b), deci f (3) _ f (l)

rml,ar par.

-rtm f (x)- f (r)

i'-

y)fu(*

-lrsm

= a(xa

y)(*' * r'

(t-b)/(f(l)-r(u))=

b(x - y)+c

-c

a(x

- y)(* + y)(x'

+ y,

)

+b(x _ y) =

(x, y)/(r(x)_r(y)).

l_b=11. presupunem cd l-b=-1,atunci b 2, deci f =aXa+2X+c qi avem f(1) = 4 <+ = .-2+c = 4 <. a+c=2,respectiv f (2)=3<a16u*4*"_r<> l6a+c- 1. rela{iile

l6a+c=-l

Presupunem cA

a+c=2

oblrnem

a=-!qg.

l-b=l,atunci b=0,deci f=aXa+c

:nv f(0) = 3 <9

c = 3 , de unde deducem cd a

caz polinomul este

f =Xa +leZ[X]

Aiavem

f(l)=4<1 31s=4,

=4-c=l.

qi verificd toate cerin{ele.

Varianta 39 I.

Se considerd

[x+v+z-o t'

sistemul .{ax + by + cz =

, cu a, b,c e lR. tr A matricea sistemului.

a) Si se calculeze

Ibcx+acy+abz=0 det(A).

b) Sd se rezolve sistemul in cazul in care a. b, c sunt distincte douA cate dou6. c) Si se determine mul mea solutiilor sistemului in cazul in care a _ b + c . 2. Se considert multimea

- St, = t} 'J ' I +b6la,beZ.a2 I

- {a

a) Sa se arate cA x = 9+416 e M. b) SA se demonstreze cI M este grup in raport cu inmulfirea numerelor reale. ct Ja se demonsbeze cI mullimea M are o infinitate de elemente.

r) Avem A

, b-a

(t I r) lr I rl lr o o =l " b c l,deci aet(a)=la b "l= l" b_a "_u l= ac abl [bc ac abJ lbc luc c(a_u) u(a c)l I

c-a i

c(a-b) u ("-.)l= (b-")(.-")l-:

-;l= | lJ

(b aXc-a)(c-b)= (a-b)(b-c)(c-a).

: -a=i: - : s:.8: -<-'..-;nrt€.-do,,, aturci A=der(A)=(a_b)(b_cxc_a)*0, E l-o. .*- E sol{i baDala x = y = z. :r

=b * c, auraci sistemur devine ]*-.t";1 ]

Avem a(x

y+ z)-(ax +ay+cz)

lacx+acy+a2r=o lcx+cy+az=o = 0 :r (a -c)z = 0 =+ z = 0 :) x + y = 0 _:) este compatib' nedeterminat !i admite o infinitate de

a.0-0

-x ' adicd in acest caz sistemul solufii de forma (x,-x,0) , unde x e R 2.a)Avem b)Fie

;t=. * ] ;-J;i;:.

este arbitrar.

-5.42 =81-5.16=1,deci x =9+416e M. x,yeM= Ja,b,c,d.eZ, a2-5b2 =1, cr _5d2 =1,

v=c+d\6.Atunci xy=(a+br6)(".0f)= ac+SbdeZ, ad+bceZ,

(ac + 5bd )':

astfel incet

ac + 5bd + (ad +

- 5 (ad + bc ),

bc)..6

x=a+bJ5

5i observimcd

_ su,

_ . )(c, 5d, ) = r 1 = 1 , 6".i (ac+5bd)+(ad+bc)"6eM=rxyeM,adictrMesr€partestabildalui lR' fala de operatia

(u,

lndusA de cdtre inmullrea numerelor reale. Inmullirea numerelor reare fiind asociativd $i comutativ', ileducem ca si operafia indusd pe M este asociativd

Observdm

ti comutatiyl. cd 1= 1+0.16 9i 12-5.02 =l,deci

element neutru.

Pentu

x€M, x=a+b.6,unde a,beZ qi a2 _5b2 =1, observdm ca

t- '=+=;k= #=.-rf

eicd x-t eM,deoarece

c;rie

x,,

Vn e

N.,

=(e++..6)", neN'.Evident x, =x=9+4rEeM 9i xn =1,,€M deoarece

(M..)

Vn e N" , deci 9irul (x,,

este

)".*.

grup. Observam c6

+-=+ xn x"

xn n I

€

N I c M , concluziondm

ctr

{r,,,l,

}

penrru

=9+4..6> I

ro.

fala de operaar

{!rn

pentru

este sftrct crescAtor, in particular termenii Srrului sunt distincti

cate doi, de unde deducem ctr mullimea termenilor girului 1

lz't

a,(-b)ez

a'?-S(-U)'=a2 -5b2 =1, adica pentru VxeM exista x-r eM inversul tuix indusd pe M, in concluzie, (M,.) este grup abelian.

L^(tum

FJ --{ -

M , adicd operatia rndusl pe M admite

d..

este infinitd.

mullimea M are o infinitate de termem.

i,Va

I /O

-a) + O.

Varianta 40 !.Seconsiderimatr,".,. ,,

=t.

-A, C=I: +aA,

'zlx=13f')i, Y=(r 3 2), ; 61, ^=f] (oor) lru 4) 12)

=[i I ;l

cu aeXt.

a) SA se calculeze S A = . b) SA se determine a e R astfel incdt BC = c) Sa se arate cl An*r 144" = Vn e

-Xy

2. Se considerd polinomul

ll:;=9. a) Si se demonsteze

I:.

, N, . f = Xi -1e R[X] li numarul e e C_lR,

+e+t=0.

deci erada

x+r+z=-o

^-, ,

b) Sd se rezolve in mullimea f numerer^,or complexe sistemul- jx+yr+ze2

peM ite

astfel incat

sa se arle c6, daci f divide r, .cl Firnoame cu coeficienti

-\_1. 4olvdri La) Avem

(x, ) + xr,.(x, + u,';,l.1 ) + II ;:. complecsi. atunci fiecare dintre polinoamele

=0.

;:;

fi,f2,fi

1,"",

este

divizibil cu

(t t z\ , ,)= i, n uJ=o,deci S=A_Xy=o,. itr \z) \2 6 4) ft)

xv=J:

j 2)fr 3 2l (r+ tz za\ (t (r ^ br.+vem A2 =o o= oll: r o/= loz na uJ=,01. i:lz ae +)lz n a t) i.r, ,n iu] '-1, u

1l ol +)

I: e (t, + a)(r. + aa) = 1, e I, +(a+t)A+ao, = ,r'*(u* 1)A + l4A = =lr+(a+15)A=I, e (a+15)A=()2 <.) a+15=0c) a=-15. c) Avem A2 =laal.e"-t = A"*r =144", yn.1,i.. 2.a) f(€) =0= e3-l=0= (e r)(er+e+r) =o=> e2 + e + I = 0 deoarec , eC-R+ -r'tunci. BC =

=€+l=€-1+0.

b) Matricea coeficien{ilor sistemului este

il ^[jj E) e'

177

deci A

=aet(a)=fr e'

lt "'

Ir o o =1, " , ,, 'lrl= ,'l- (.-,)'1.r, l^., ', '^' ll r,-,),fr 1"-r;,]= t-ll 'll'-r lu'-l r-tl lr I

"'-r

=(e'-ze+f)(ze-et). oin et+e+l=0 2e-e2 =l+3e,deci

a=(et

=6e+9. Evident A = ti

6e + 9 admite doar solutia banala

c) Observtrm ctr

{1,e,e'?}

Pentru xo = t

\z=e2 =)

-2"*r)(ze-et)= *

0 , deoarece

x=y=z=0.

ee c

e2 2t+t=tz +e+l-3e=-3e fi 3e(1+re)- -3e-9e2= -3e 9(_e_r)=

-R,

deci sistemul este cornpatibil determinar

este mullimea rddicinilor polinomului f.

Oin r u (t (x3 xr, (xt )+ )+ rddtrcini ale polinomutui

oblinem

xtr,

(x3

))

deducem cr radicinile polinomului f sunt totodata

t (Xi )+ xr, (Xr )+ Xtr,

(X,

)

= t (t)+ i, (t)+ f3 (t) = 0 . pentru xr = e =* f, (t)+ ef, (l)+ err, (r) = o . rsnurr

f, (t)+ e 'zr,

solu{ia sistemului

(l)+ er. (l)

[x-y

=0.

A-

obltn,t astfel

ctr

tripletul (f, (r),f, (f),f, (r))

.rt.

z=0

lr+ ze'? = 0 , sistem despre care am adtet anterior ca admite doar solutr ix+)â&#x201A;Ź'+zâ&#x201A;Ź=0 banala x =y=z=0. Oeci t (t)= f, (t)= fr (t)= 0 9i, conform teoremei lui Bezout, deducem x+

(x-l)/fk,

=lJ. Varianta 41

lx+py+p'z"=pl

Pentru p.q.r e C. se considertr sislemul

Jx+CVrO,rr-lt

lx+ry+r-z:r-

a) 56 se arate cd determinantul sistemutui este A =

(p_q)(q_r)(, _p)

b) Dactr p, q, r sunt distincte, str se rezolve sistemul. c) Sa se arate cf,, dacd sistemul are solutia (- L L I , atunci cel pufn doud dintre numerck ) p, q, r sunt egale.

2.Seconsideriinelut

ol"

(A.-.).*d. A=lf

o.r,.| i l\-o a4 )

a) Str se determine nunarul elementelor multimii A.

b) Str se rezolve in mullimea A ecualia X2 = c) SA se?rate cd (A,+,.) nu este corp.

178

Ir.

blvdri Lr,

t-:l[::;]l= r'-.rt'-'rll liil=

='r-n)(r-p)(r q) = (p q)(q-')('-p) i' DacIp, q, rsunt distincte douacate doua, atunci a = (p-q)(q,r)(5p) *0, deci sistemul c:5â&#x201A;¬

;ornpatibil determinat gi-l rezolvim prin metoda lui Cramer.

ln'n

lentss

n'l ln't nl lr n n'l , r = 1-.r1'pq,lr r crl= pqra, a, .,1 1,, t ,l lr , ,'l

l" =lq' o c']1,, .

-r-=n

, ,o' ,] =0 q-p'q-.Dl=l(l

este

olu;ir

tcem

,,0'

na.le

p' =

:,1

;,1

lq,-p, q, o.l l(q-p)(q, *w*p,) (q-pXq*p)l l=l l=

;' o, ,, o,l l" p' " p'l l(. nt("*,p'p') ('-p)(,-p)l lrl

+qP+P- q+Pl -pX'-p)lq" lr- +rp+p- r+Pl - n)('- n)[(c' + qp + p'?)(r + p)- (,'

o,p

- pX' -pXq - r)(pq

-'c)(u

+ qr +

rp)

*p')(q+p)]

-')('-p;(pq * q'*rp) = -a(pq+qr ++),

o .o' .l lq-p (q-pxq'*qo*p')l Iit tq t]l ql I' q-p q' p'l '' , , ] lo ,-o ,' o'l |l'-o t' P)(" "P- P')l lo l-.'l p)t, p)l' :i {q-p)(,-p){r'-e' .o-cnJ r- +rp+pll l,'1

-p)(, p)(',q)(p+q+r) = (p q)(q r)(r-p)(p+q+r)= ^(p+q+r) A, r(pq*qr ' rpJ A, pqr.\ \ }eci . -o - {pq-.rr-rn}

-i=Pqt.y 1

r(p+q+r) _=p+q+r.

-r+p+p- =p, :r DacA srstemul admite solutia (-1,1,1) , atunci avern

j rl q+qI

Ll-r-r+r-

179

_^l

'--t=

in'-r'-nrt=o

=0, deci p.qsir Je'-l'-q+t -_ sunt solu{ii ale ecualiei t3*t2_t+l=0<+ II [r--r'_r+l=0 <r t'(t - t)-(t- t) = (t' r){r r) - = (t - r), (t + r)= o, respecriv tr.2

sunt una dintre valorile

=l ti tj =*l

, adicd

p,q,re {_t,t}.

Observam ca p, q,

deoarece aceastd ipotezd ar implica relulia

d"tincte

'*t "qg:tl:"o

b)Fie

XeA+

douA cate

doul

{n, c, 4 {- t, t} .""u ." .ste cvrdent absurd, deci dou, cate doua, altfel spus cel putin " ioud dintre numerele p, q gi r sunt

2.a) Observ4m c6 funclia f

lel=lz,*z,l=lz,l'

rnupot fi distincte

=s2

/ - L\ :Zrxi --'A' r(a'b)=l'lo ]J

este btiectiva' oecl

=zs.25

1a,beZ, astfelincet

"=[: I a u)_ l/a, _u, jau ) Avem X2 =* *=(a l-u "/(-u "l=.1 _;o _ o, ,f_otn.' X2 =rr <> ", o(u' *( -a' i"u J_ i i O)^ b)f

-i,u

Din

j=lo i)o

u'-0,

iab=0=

in ipoteza cd u =

<+b2-4=b2

=0=r

a --O sau

u' -a'

=iri

2ab=o

b=0.

din ut - b, = i obfinem cd

-b, = i o ), =(o-r)(b-r) = 0. cusotusile b, =) O

ci soluliile corespunzatoare aie ecualiei X, = t, ,un, X,

x.' f o jl_fo jl

l-i

in ipoteza cd u =

ain ur

_ b2 =

soluliile a, = i 9l a, = -i = i, X2 = r.u sunr

obfnem a2 = i <> a,

de unde deducem

9J ,, *. to rJ' -la ld

b2 e;

=-j= j,6.*6ededucem

2l 2) . i=lI0 ^ lsr ^ -t 0/ \3 0J 0

= a,

_i2

qi b =

_ i11"

* i) = 0,

ale ecualiei

dl 4)

]J.ob'.-a*.a

ci solufiile corespunzitoare

f " h\ clFieXeA= Ja.beZ, astfelin car x =[_; exemplu, pentru a =

obtinem det(x) = i2 +)2

t80

det(X)= a, +b2 srci,&

=i1 deci matricea

; i../l=ll\-

fi structud

^ I nu ,J

este invemabili $i, evident,

X * Or. in concluzie, inelul (A,+,

de corp, deoarece conline elemente neinversabile diferite de O"

)

Varianta 42 l.

consideri matricele A,B e M, (C)

,cu AB_BA =A

(o $i matricele Ao = |

;)

' =|,t l0 2l

a) Sf, se determine rangul matricei An.

b) SI se arare cA A6Be - 864o =

ci AnB-BAn =nA,', pentru orice neN, n)2. f e R [X], f = 4X3 - l2X2 + aX + b. a) Sdse determine a,b e lR, astfel incdt polinomul fsi se dividi cu polinomul X2 _1. b) Sd se determine a,b e R, astfel incdt ecuatia f (x) - 0 sI aibi seiutia x i e C c) Srse determine a,beR., astfel incAt polinomul sA aibd ridtrcinile x,,xr,x, in aritmeticd ii, in plus, xf + xj + xj = t l c) Sa se demonstreze

2. Se considera polhomul

bolvdri LrrAvem Ao +o2 ei

det(A')=l;

b.{vemA0Bo-8"o"=

=o= ,*s1e,;=r

olfo r,]- 2I /0 rl f: lYl 9)-ft fo o.J= '' (o ojt0 z,J-ro Jio oJ= f0 l.o o.,J oJ=o'

Observdm cd

ABA

-{8-BA

AB_BA_Al.A+

- BA2

= A2 . AdunAnd cele doud relatii, obfinem A2B - BA2 = 2A2 . De asemenea, AB= BA +A, relafie pe care o utilizim in continuare. prn metoda inducfiei propdetatea p(n): A"B - BA, neN, n)2.

=nAn, p(2):A,B - BA2 =2A2, evident adev5rata, conform observatiei p(k):AkB-BAk Presupunem adevdratd proprietatea = kAk pentru un k e N

huu n-2 l2

A.IAB-BA=A.r A2B-ABA=42

obfinem

2 , oarecare gi demonstram cA este indeplinita propdetatea

Itk+

1) :

Ak*'B -B4k*r

(k+ t)ak.r.

alEtrl A.lAkB-BAk = lir\k

> Ak*rB-ABAk =ln{k+r = =.{'t'B-(BA+A)Ak =p4t*t + Ak+rB_BAk+r _Ak+r _kAk+r > =Ak+rB-BAk+r :(t+r;ar,.' + p(k+l) .

i81

In concluzie, proprietatea

2.a)Avem

P(n):AnB-BAn =nA"

(x'-r)rr<> (x-1)/f

pentru

este adevdmtf,

(x+r)rr<+ f (t)=0

VneN,

n)2.

f(-l)=0<+

+a.l+b=*8+a+b=0 $i 4.(-l)3 -12 (-l)'? + a.(-1)+ b = -16 - a + b = 0. deci a+b=8 9i -a+b= 16. Adunind aceste relatii obtinem 2b=24:+b=12 si din a+b=8r a = 8 - b = -4 . in concluzie. a=*4 si b=12. b) Ecualia f(x)=9 a6nt1," trdicina x=i dacA 9i numai dac6 f(i)=0<+ â&#x201A;Ź4i1 -72i2 +ai+b=0<> (a-a)i+U+tZ=O<> a-4=0 ii b+12=0<> a=4 qi c) 4.1r -12

D= -12. c) Fie r e

rafia progresiei aritmetice +xr , x2, xr . Conform relaliilor lui Vidte, avem r _1 ,l =(-t) l--l:1 =3<? x2 - r + x2 + x2 + r = 3x2 = 3 +

=x, +x, +x,

=x,xr.xrxr+x3x, =1<a (t-r).trt.(t+r)+(t-r)(t+r1=9.1

Atunci

xf+x] +xj =114,

-zS, =11a1

32 -

Z.L=fio

xz =1, respectiv

t f =i.

a=-.4,deci

f =4Xr -12X2 -4X+b.Jinindcontci x2.= I este iaddcina a lui f, oblnem cd f(l)= 0 <. <+-12+b=0eb=12,deci f = 4lx3 -tZX2 -4X+12. intr-adev6r, polinomul f = 4x3 -12x2 -4X+12= 4x, (x - 3)*4(x - 3)=

=4(X+lXX-l)(X-3) aritmetic6 de ratie r

admite rddicinile

=2, verificindu-se

x, = -1, x2 =1

astfel

ti relatia 3- rt =!a

care sunt in progresie

3-2t

=C?

Varianta 43 l.Se coruidera

mulli-*

" lll",o...o.u] ei^ut i.." o=f1 1.].r. \l 3i ltc dil )

rra={[

a) Cate rnatrice din multimea M au surna elemcntelor egalf, cu

SA se arate

SA se

A-t e M

determine toate matricele inversabile B e

2. Se considerl ecuala ,,4 X1,X2,X3,X4 e

- 8xr

+ ax2 + 8x + b = 0 ,

care au proprietatea

cu a,b e lR

x.)x,x.

-8.

B-r e M

cu solutiile

a) SA se arate cA

(x,

+ xo

)(x,

x.)+ x'xo

xrx,

(x,

xo)xrx, +(x,

b) Sa se determine a e lR astfel incAt xt + x4 = x? + xj . c) Sa se determine a,be R, astfel incdt xr,x2,x3,x4 sdfie in progresie aritmetictr.

182

I -4tran .0.

t''t*

B€M' S(B)

B=[l i;,] o''*' *=F suma elementelor matricei B.

Icnotatcu t =l ii b,=0 pentru Vj*i. I

nt*'".

!s:rie

lui

au suma erementeror egar6 cu

eev

"=[: :]

a"{a)="d-bc*0,'

l=+.:.,t=

b-c

J=b-0.resnecti'

(; ;)'

-1_<o ,,;i;.^=

-j'.li= t';-o=

r,0..,

u=[l i),,"'*,

f;=o=

"=0,

u-o

t j j; ,].M,(N)= J

,=e.Na,(N)

- ,!;*.N= -;h=o-*l-<o ei - ,f .ru- _;fu=o= "=o

1...u.,,,i*u,,.auem

* B=; *f : :l= f 11,,, adtoaj ,"u,

:1.M,(N)=

l.il

=" -a = r. deci B

[; :]

t' atunci B-, = Bc M,{N).

I II

"t0"'-

"o).r,1*y

u'ror.ruoun.*cir ad bc>0,atunci -+.

,=;h(i

1h"..u,,.,,*",,.u*,"

astfel incat

a,b,c,deN,astrer incat B-, eM.

e i0 l],, ,- = ;:l

l!i€{1,2.3,4}

^-[l :J*.- a.t1a;=lr ]l='u, o-' =(i, ,t)-',deoarece -r,-2eN

l*"';|to

=t€

ir-t

Dcr n'esunun"m ci ad-bc<0,ahrnci

Atunci S(B)

s(B)=b,+b,+b3+ba,unde

Cum i€{1,2,3,4} poate fi ales in patru moduri, deducem cd

--'"e

F;ffi',,

observamca

,0,

j *.^=

2. a) Conform relaliilor lui

=( t)tf =" (x,

+ xo

S,:x,xrx,

+ x, )+ x,xo +

)(x,

b) Dac[ x,

Viite, avem S, = x,x,

x,x,

+ xlx4 + x2x3 + x2x4 +

+xrx2x4 +xrx3x4 +x2x3x4

xrx, +(x, +xo)xrx, +(x,

= (-t)'3a=-3,6".i

+ x,

+x4 =x2 +x3,atuncidin S, =1, +x2 +x3+x4

xlx4 =

)x,xo =

= S:+S:=a-8.

(-l)ta ao

= S deducem cA

8 xl+x4=X2+x3=-=4.

+xlxj +xtx4+x2x3 +x2x4 +x3x4 =a> (x, +xo)(x, +xr)+x,xo+xrx, =a> 4.4+x,xo+x2xl=a- x,xo+xrx, =a-16,

Avem 52 =xlx2

respectiy 53 = xtx2xl +xlx2x4 +x,xrxo +xrxrxo

=8+

=(x, +xn)xrx, +(x, +xr)x,xo =8= 4xrx,+4x,xo=8-:: xrx4+x2x3 =2. Din relafile xrx4+x2xr =a-16 $i xrx4+x2xj =2 obtinem a-16=2=a=18. c) Fie re R raia progresiei aritmetice +x,, xr, xr,1. . Observdm cA xt +x4 = 2xl +3r x2 +x3 = 2xl +3r, deci xl +x4 =x2 +x3:) a =18, collform punctului precedent. Avem S, =x,+x2+x3+x4=8=

.113

ti atunci x2 = *r+t

x,+xo=xr--, =|=na. 2x,+3r=4= xt=2-!t

2-it , xt =x2 +r =2+:r,

Din 52 =(x, +xo)(x, +x.)+x,x4+x2x3

=xrx4+x2xr

> d--rz)

xo =

=a=18=

xr11=);11

4.4 + x,xo +

xrx,

z*l.l=r= =z- (z-.1,\(z;]'l-[z-],)f 2)\ 2)\ 2) \ 2/\

= l8

4.2,,

*4-!,, =24

Z= r'=*.

2/\ 2)\ 2)\ 2) \ ]'.lfr-1,)[r.1,')fr-],)= fo_2..Lllf o_1.1?)= (o_!\(o_1\= f _1) r; __rrg =[o_2,,)[o_],,)= 4 4 4

Avem

= x,x,x,xo -

=(-r)o3a= r. a..i

=[z-

5/\ 4 s) \

) \

sl( s) [ 5r s

Varianta 44

Se considerd matricele

oo r' 'l t0 0 0 0t

A =I

a) Sd se calculeze AB + BA

l0 (l

00 t0 ll lsi B=l 0 0 0l' l0 ll

b) Sd se arate ctr rang(A+B)=rangA+rangB. c) Str se 5[emonstreze

cf (A + n)"

= An + Bn

184

, Vn e N.

f =Xa+aX3+4Xr+leC[X]

2. Se consider6 polinomul

riddcinile

t,, xr,xr,Xo e C. a) Str se determine

aeC

astfel incit polinomul

b) SI se arate cd polinomul g = Na 1 4X2 + aX +

fsise dividd cu X+1.

are

rid6cinile

+ ;

; *

c) Sd se arate cA, pentru orice a e C, polinomul fnu are toate ddAcinile reale.

froo'lfooool o o oll o I I ol foooo) lo o o ol r.a)Avem AB -lo r'''^vEr"^" o o ollo r 'rl=10 0 0 0l=o4 e' io |.l o o t,/\o o o oJ lo o o oJ

ool) (oooo) Ifoooo)fl r' I 0ll0 0 0 0l' lo o o ol "^-lo' ' "o=lo r oll o o o tl=10 0 0 0l=or'deci nB+BA=oaioi \0 0 0 o,ll I o o l/ lo o o 0l b t

Observim ctr A

* Oo gi singurul

=oa

sdu minor de oldinul al doilea care np contine o linie sau

;oloand formata doar din 0 (caz in care minorul este evident nuft Din aceleagi considerente oblnem rangB =

"rt"

llp 1l =o'a"ti

rangA=l

[roo') froor) o o ol+lfoooo) o I I 0i lO r r ol

rvemA+B_10 "-lo

o o ol-lo I I ol= lo t olobservamcamatriceaAlB lr o o rJ lo o o o,J [r o' o rJ rdmite minorul de ordinul doi 11 :lll = t - t 9i orice minor de ordinul al rreilea â&#x201A;Źste nul, l0

&oarece doud dintre coloanele sale coincid, rnaticea A + B avand pdma gi ultima dinhe ;oloane identice, respectiv a doua gi a heia dintre coloane de asemenea identice. Deci rang(A +

e)= 2

evident

rang(a+U)=Z=t+l=13ngA+rangB>

rang(A + n) = rangA + rangB . i) Am observat cA AB = BA = O,r, deci matricele A 9i B comutd la inmultire, in plus .{tBr -A'-r (ae).ni I = 6i-r.9o.gj-t =Oa, respectiv BiAj =Bi ',(na;.a;-' =

=Bi r'0q.Aj-r=or pentm Vi,jeN'. n

.{tunci putem scrie

(e * e1'

D_l

)Cian-tBk k=0

AD +

n-l

=a" +Icloo k=l

+Br = An+Bn, vnâ&#x201A;ŹN'. t

185

)Clie',-knk + n" k=l

2. a) Polinomul fse divide cu

X+1 daci

t =O

(-r)o

a(-t)'

+(-t)'?

$inumai dacr

f(-t)=

a+6=0<> a=6.

- I r 0. deci x, r 0 penrru Vk = 1.4. / r \ I r \1 / r ,2 I ) , xi raxl -a11 .1 f(xr) 0 Avem gl ^f +a ^ l-41 -, __------ = -------- -=vr -lxr,l b)Observam ca

i(0)

-l-l- \xrj

-l

(*o,l [^*,] -pr

.rt.rada.inaupolinomuluig, vk---iy'.Cum grad(g)

xl *l

=4=

patru ridlcini ale polinomului g. c) Conform relaliilor lui Vidte aplicate in cazul polinomului g, avem

I +l=osi =I*l* Xt X: X-r X.1

+.+.+.+-si xi x; x; x; Presupunand prin absurd

2s,

s,-

1+ 1* I * 1 n-L-4,6""1 =-_L+ XtXz XlXl- XlX4 XuX: X:X4 XtXq

=-8

ci x,,xr,x,,x4 ci

toate reale, de unde rezulta

**"a.

i,|,i,|

sunt toate reale. deducem cd

+xi -+xt r+.+ xi \;

+r+-+r+=-8.inconcluzie,

Vae,l

*,+,*,*

ceea cg.contrazice reta(ra

polinomul fnu are roate ridhcinile reale.

^l^:^^J

Varianta 45 t. se consided matri".l.

c(A)

â&#x201A;Ź

M, (rR)lxa

A=|,1 :1, \J t)

0l \r "=fl

n.,ulti-"u

=ax}.

a) SA se arate ca B e

C(a).

b) Sise arate ci, daca XeC(A),atunci existl c) Si se rezolve ecua{ia X + X2 = A 2. Se considerd mullimea

(*,y)-+x*y,unde x*y

r,/

c = (-l,l)

=5I, l+xy

x,yeR

astfel incat

"=f"\Y

, tunc1ia

G -+

R, f(x)= b

9i co.espondeng

vx,yeG.

a) SA se arate cA aceastA corespondenta definegte o lege de compozi{ie pe G. b) Sd se arale cd Vx,yeG, f(x*y)=f(x)f(y)

c) $titnd

x'l

opera{ia ,, * " este asociativ4 sd se calculeze

ll 23

I 9

blvdri Lr)Avem*=(l A{=AB=

B€

:)= (; l),,*=(;

f(l

o)l=lf2 :)(l 1) \s

o) l. deci 2)

C(A).

zzl lsl )r I '

'2x+32 2z\ ( 2x e,.2v+3t rr)=lt**r,

2z \ lz+zt)o

2x+32=2x 2y+3t=3x+2y

2t=32+2r<>

ol. t, \y xl :: Observ{m cE X+X2 =A= X2+X3 =XA=AX+ XeC(e)= lx,y€R astfel incat 0l.aeci .=f* ol o*,"i x, =x.x=l* oll ol= f x+x'=.r <=> x./ x/\y x/ \Y \y lZxy .xrJ

oz=o

" \y

t=x,deci *=f

"l=f

'x o\ ixz ol f2 o) l,*-*, .o ) /2 o\ *J-[r*, zJo [r,r*, -- -'.,J=l., ,Jo ***'=z5i ",J=l:

-.,

!-2xy=3.Ecua1ia x+x2

dafa y12xy = I = t t,

="L=";=-1,

concluzie, ecualia

=2e

+x-2=0

admite rddicinile xr

=-2

gi xz

=l,iardin

obfrnem valorile corespuuatoare

-ft+ t\

respectiv

X+X2 =A

= " *;-

admire soruliire

/-.

*;=t.

x, =f

\Yt

t xr

l=r

/ \-t

'2 )

r.- =l^' " l=l' \yz xzJ ll t) la)Fie x,y€(-1,1)

arbitrare. Avem lxl

x>-l

pi lyl

<r=

lxyl

:r x+l>0

=lxl

lyl

<t= -t<xy<l+

y+l>0> (x+t)(y+t)>O= >x+y+xy+l>0> x + y > -(l + xy)l (r * xy) - ,^*, t-t= x*y)-1. ' I+xy Din x<1 9i y<1> 0<l-x 9i 0<l-y= O<(t-x)(t-y)+ 0<1-x-y+xy=) =x+y<l+xyl :(l+xy)= IlJlcr+ x*y<l.Din x*y>-l $i x*y<l oblinem =

I+

xy > 0 . De asemenea,

gi y>-1

i+xy

-1 4 1 * y < I

colespondenta

(-t,t) = C. in concluzie. pentru Vx, y e G (x, y) +rx * y defineqte o lege de compozilie pe G. 1*ye

187

avem x * y e G, deci

b)Avem

r- Iry f(x*vt=l (*-y) - l-xt = l-xv-x-v. I ' xv - (l x)(l-v) " l+(x*y) r, x*Y l+xy l+xy+x+y (t+x)(t+y) '* t" t

=-l+x l+y r(x) r(y), deci f(x*y)=s(1) f(v) oentru vx,yeG. ==de la proprietatea f(x*y)=f(x)f(y) pentru Vx,yeG gi folosind asociativitatea c) Pomind operaliei ,,'* ", putem demonsta prin inductie matenatica faptul ca

*xr* *x,,)=f(x')f(xr) r(x,,), v^,,rr, ,^,, eG qi vneN, n>2. ll Observam ca fl 1l=-+=pentm VneN, n>2.Pentru Vx,yeG avem f(x,

\n./

f(x)-f(y)= +

n+l

(l 3 P'fy

* x + y - xy = I + x -

rf1*1*. 2:.8!\ =;=

,+uem

r----

x)(l-y)={r-x)(r v)-

+ ; = y , adicd funclia feste injectiva.

frll fr1). .. f|,l)= 2-1.3-1.....e-1= 1.?. . 8 = o to tt"-l', ,n'^ ,'i' ,'l'*-' l|t rrt Din ecualia f(x)=J--a i oblinem x=11=!!.dsc

*_L)=

I ff 1-]- -1) = =f(4\t2 3 9) 45 \23) injectivd.

I - 1 *... * L 4 . un6. u^ =

9 23

potosir faonrr ca tunctia f

esl |

varianta l.

se consrdera marr,..u

| I

A I n b)

oJ.'"n'

Vxâ&#x201A;ŹR, det(a-xtr)=x'?-(a+cl)x+ad b) Daci A.2 =Oz, sd se demonstreze ci a+d=0. a) Sd se demonstreze ca

bc.

det(A+2l2) 2. Se consideri mullimea c = V,"Zla2 - 3b2 = l} ti operatia {(a,b)e (a.b)*(c.d)=(ac+3bd.ad+bc) c) $tiindca 42 = Ou , sl se calculeze

o)ec :iJkt:1.JfT.?;:,::.P::(a,).(c

I I | I |

blvdri L,Avem

o-,.',:(l ;) .(l =

=tr -x)(a- x)-bc

o:^;,0"",

a.t(n-*r,)=lu-* -' '

-^l

-(a+d)x+ad-bc, VxeR.

)= det2A-0> derA=0.linAndcontde a'? -(a + O)e + (ad -bc) I, = gr, o61inem ca Or -(a + d)A^+ 0.I2 = 02 -

b-\r'em A2 =oz tutitatea

?)= ("".

d"t(A'?)= det(o,

={a+d)A =Oz. Dacd A = Oz, ahrnci a = d = 0:+ a+d = 0. Dacd A * 02, ahrnci tr-d)A =O, + a+d =0. Deci, indiferent de situajie, oblinem a+d = 0. 6.{\'em A2 =Oz + det(A)=ad-bc=0 gi a+d=0,deci

ir(A - xlr ) = x'? -(a + d)x + ad *bc = x2, Vx e lR, in particular det(A + 2Ir) = (-z)'z = 4 t rAvem (a,15)eGe at*3.15'=t<> a2 =6j6-t a=tJd6=tza. b

Fie

(a,b),(c,d)eG.-> a,b,c,deZ gi

-3b2 = l,

-3d2 = t.

ZxZ 9i (ac + 3bd)'? - 3(ad + bc)'? = (u' - :Ut )(c' -3d'? ) = l. t = 1, (ac+3bd,ad+bc)ec = (a,b)*(c,d)ec. . -{m adtat la punctul antedor cd asocierea (x, y) -+ x * y definegte o lege de compozilie pe G. (ac + 3bd, ad + bc) e

(a,u),(c,0),(x, y) e G . Avem ((a,u) .ia

+ 3bdx + 3ady + 3bcy, acy + 3bdy +

=l r. b) r (cx

+ 3dy, cy +

dx)

- (c, o))

-(x, y)

(ac +3bd,ad + bc) * (x, y) =

adr + bcx) 9i (a, b) + ((c, d) * (x, y)) =

(acx + 3ady + 3bcy + 3bctx, acy + adx + bcx + 3bdy)

ca ((a,u).(c,a)) -(x, y) = (a,u).((c, a) -(x, y)) pennu oPeratia

(a, b) * (c,

v(a,t),(c, o),(x, y) e c,

este asociativA.

d) = (ac

+ 3bd, ad +

bc) = (ca + 3db, cb + cla) = (c, d) * (a,

rie. b),(c, d) e G , adicd operalia ,, ,* "

b) pentru

este comutativtr.

('t,o)eZxZ fi tz -3.02 =1,deci (1,0) e c . observim ca (a,U)*(t,o)=(t,o)-(a,U)= =lr.l+3b.0,a.0+U t)=(a,U) pentru V(a,b)eG,u61.5 s=(t,0) este element neutru (a,b)eG,atunci (a,-,b)eZxZ 9i a'z-:(-U)'? =a2 -3b' =l,cleci (a,-b)eG.

(a,t)-(a, -u) = (a,-t)-(a,t) = (a a +3b.(-b),a.(-u)+b L0) = â&#x201A;Ź , deci (a,b) este inversabil fafi de operatia ioncluzie,

(G,*)

este grup abelian.

189

" $i (a,b)-'

(u,

-:u,,0)

(a,-b)

Varianta 47 1. se considera rnanicele A

=il ll \o ]llJ';i nn.1i" f :M,(R) +M,(R), [3 4' "=f1

(x)=AX-xA. a) Sd se determine rangul matricei A.

b) S[

f(B)

calculeze

f(X) = B nu are solulii. polinoamele f,geiR[X], f =X3+a2x a, g=aX3 -a'Xt 1,cu

c) Si se arate ca ecuatia 2. Se considerd

aeR* qi x1,x2,x3 eC

rdd6cinile polinomului f.

a) 56 se calculeze

b) Si

c) Sa se Rezolvdri

polinomului g sunt inversele rddicinilor polinomului f' arate cd polinoamele f gi g nu au rddicini reale comune.

lr o.,la)=lj

il -r"n.0..' rang(e)=: rr 2)/r r\ rl'l\, I 2) ll vl r-l b)r(B)=AB BA= lr +J[o rJ lo ']1', ol lr "j-l: l.a)A\em

+*]**l

se arate ctr rtrdScinile

c)Fie

xeM,(R).

la x=["

a b\

blf

b\ 'oJ

a*-

I 2) (."-2c b,2d)

l3a+3c-3d

presupunemci

r(x)

=eo

/ -3b.2c

a+-lb

calculele, puteam scrie direct

-Ax xA+B

tr(AX

XA)

vlele. a\em

s' = x,x, + xrxl * x,x. = 1-t1:3e

4b\ 2c+4d)

2a +

,J=l., ,J

=1, ceeace

in concluzie' ecualia

2. a) Conform relatrilor lur

2a-.lbr -lo_r.2dI fl

[";;._-;

-3b+2c=l9i 3b-2c=-(-3b+2c)

este evident

1u:*

Atunciarrebuisaai

imposibil Fdrt

a efectua

= ir(Ax)- tr(XA)= 0 + 2 =u(B)-

f(X) =B

nu admite solulii'

Sr xr x r x, ( =

=a2, deci xi

t)' -n' - o ao

+*] +x] = si - 25' :

a 9i g(x)=a1r-a2x-l.observimca f(0) 190

-2u:

i'R,

=-a*0'deci

b) Considerdm funcliile atalate polinoamelor f.g e R'[X], respectil

f(x)=13

;)

(x)=AX xA=

f -ll/r aJl. aJ 1a lc aJl : +.J l3a+4c 3b-4d J \c- ld -( -za+zc -2a-3b+2dJ. 3b-2c )

2lr

tl-t;

f,g:

'?'

f(*u) -.3

0 f r\ =--1=O= el l-0= -xi xr \xr, 1

C-ur grad(g)= 3, deducem cd -{m obfinut

&lcinile f :R

x', +

este redAcina a polinomului g, pentru Vk

+,:,+ xl x2

xj + x! = -2a2 f eR[X],

sunt cele trei ridacini ale polinomului g.

< 0 , de unde deducem cd polinomrii f nu are toate

reale. Deoarece

+R, f(x)=xr+a2x-a

(x)=-o,

^lim

ksrpunind

f (x)=+"o, iar tuncfia

"lim

este continul, deducem ctr una dintre radtrclni, de exemplu

numir real. iar celelalte douA radacini x2. xr c

Amci ridEcinile polinomului

=[.

g sunt

. x, - [

x,,

le R. respectiv ].a. C-R. rt x2 x3

cd polinoamele f 9i g au rtrddcini reale comune, deducem ca

r[dacirn realr x,

f aluig, adictr *, =a= xi =l= x, tt. = Xt Xr & f(-l)=-l-a'?-"=-("t+a+t)<O pentru Va â&#x201A;Ź R-,'respectiv f (l)'= a2 _a +l > 0 froincide cu r6dtrcina reab

prnu Va e lR , adic6 -l sau +l nu pot fi rdddcini ale polinomului f. in concluzie, lcsupunerea fdcut?l este absurdi, deci polinoamele f gi g nu au rddtrcini reale comune. Varianta 48

consideri sistemul

lx+2y+z=l

j2x-y+z=1 t-

, unde a

gib

sunt parametrii reali.

l7x-y+az=b

a) Str se determine a e R pentru care determinantul sistemului este egal cu 0. b) str se determine valorile parametrilor a, b â&#x201A;Ź rR. pentru care sistemul este

c) Si se arate

&ite

incomoatibil.

ci existi

o infinitate de valori ale numerelor a gi b pennu care sistemul o solu e (x, y, z) , cu x, y, z inarogresie aritrneticd.

2. se considera

mutli-.u c=.]x1t;=f

to"t ttttll,.ol. -stnr

cosr

X(t).X(u)=X(t+u), Vt,ueR. b) Sa se determine t e R , itiind ca X(t)eMr(Z).

)

a) Sa se arate ca

c) SA se arate

mullimea G formeazd grup abelian in raport cu inmullrea matricelor.

191

lui

Rezolvdri

Ir u rl lt o ol r_s _r ,r ,.a)condiria ,-',1= r lj '-l= I I |1 .l ^-|1 'l= a-il al -ls '', lr -l lu I

A=0<+ -5(a-+) =Oe3=4EP. b) Pentru A +0 <> a +4, sistemul este corpatibil

u_',1=

-'{" ,'.

deci

Daca a = 4 , atunci sistemul devine

determiMt.

Ix+zY+z= L 2x - v + z = I

. ScdzAncl

primele douf, ecua{ii, oblinem

l7x-y+42=b in prima ecuatie, oblinem 3y+2y+z=l--> x=3y -x+3y=0-x=3y.inlocuind =>z=-5y+7. Folosind x=3y li z --5y+1, ultima ecua{ie devhe 7 .3y - y + 4(-5y +1) = U o U = a . in concluzie, sistemul este incompatibil daci 9i numai nu €ste indeplinitl condi{ia b = 4, adica pentru b + 4 o b € R - l4l c) Conditia +x,y,z <) x+z=2yo x-Zy+z--0 o putem considera cape o ecuafie sistemului. Atunci, adundnd membru cu membru relaliile x + 2y + z = I 9i x - 2y + z = 0 '

I y.-x+z I x-z=12 =i Avem 2x' y+z=l= x+(x+z)-l= x+2y-y=x+y= **]=lI 13 xrz= -1-1 z:--x=---=4 24 2 2

obtinem

2(x+z)=l ->

x=]

ildin

inlocuind

3 x=i,y=rStr=-:

1in ultima ecuafie, oblinem 7 1 t*ui_!l=ug, ---

\ 4/

<> a + 4b = 20 , rela{ie care este indeplinita de o infinitate de valori ale numerelor a 9i b,

respectiv (a,b) = 2. a) Avem

(20-4b,b), beR

arbitrar.

\ / cos(t -u) sin(t-u)) | | !-sint cosl J\-sinu cosu,/ \-srn(t-ul costtr u,,

. / cosl X{t).X(u) ' L

srnt

ll cosu

sinu

;

=X(t+u), Vt,ue IR, unde am folosit formulele costcosu-sintsrnu=cos(t+u), costsinu +sintcosu = sin(t +u), Vt,u€lR. b) Observimcd x(t) € M, (Z) <? sinteZ 9i cost eZ.Deoarece sinz t+cos2t=l penau Vte R, deducem cd singurele situalii posibile pentru care sinteZ gi cost€Z sunt acelea it care

sint=11 $i cost=0,ceeaceseintdmplao.n*,.{1*unlkeZ},respectiv

cost=11

, ceeace se intampla pennu

in concruzie.

te {tnlteZ}

x(t) eMr(Z) <+ ,..{l- u^10.,;, \kik€v.}. |

)

192

)

sint=0

X(t),X(u)e G, avem X(t) X(u)= X(t + u)e C, adica a lui M, (R) fafd de operafia indusa de cdtle inmullirea

aratat anterior c5, pentru G este parte stabild

(" - 4)-

Inmultirea matricelor fiind asociativi, leducem cd operalia indusd pe G este observdm cI x(t) x(u) = x(t+u): x(u + t)= x(u) x(t) pentru e G , adica operatia indusA pe G este comutativd.

t ). X (u )

. / cos0 sin0) f1 0) ' ' |\ sin0 cos0jl= |l0 l)l= Iz e G, deci operalia indusa pe G admite elementul

X{0}=

x(0)= I, element

observam

X(t)e G

:mcluzie, (G..)

ci x(t).x(-r)

este inversabil

x(-r) x(r)= x(t+(-t))=x(o)=Iz,adictr

(x(t))-'

x(-t)e C.

este grup abe lian.

Varianta 49

r ataiarl

lx+av=1

consideri a â&#x201A;Ź R, sistemul 1Y+az=a

' lr*t =t

a) Sa se arate cA

A matiicea

sa.

detA * 0.

b) SA se aratâ&#x201A;Ź cA solutia sistemului este forrnata din tlei numere in progresie geometricd. c) Sa se determine inversa nratricei A. 2. Se considerl pe IR legea de compozi.tie dati de relafa x * y = xy - 5x - 5y + 30 ,

;r h

1 e 1R 9i

mullimea G

(5,

co . ) * a) Sd se arate cl legea ,, " are element neutru. b) Sd se demonstreze cA G este grup abelian in raport cu legea ,, * ". lx'Y = z

c) Sa se rezolve in grupul

(C..)

sisremul

t= t)

y*z.

lz4x=y

respectir

lpe

acelea

sint=0

ay +0.2 - | ft x+y+az=a, a."i A=10

lx+

[x+0.y+z=1

la0l ul =o t .l = It tl =t-ut- derA=l*a: !0 o -a ll l-a tr Deoarece A = det A = I + a2 * 0 , deducem

u 1

[ 0

pentru

ol a

l.Atunci

vaâ&#x201A;Ź

6s1a={0 I

I ;l-

cd sistemul este compatibil determinat $i-l putem

czolva folosind metoda lui Cramer.

193

o"..o^=ll

il 'ol l: 'q rrr I il=|lill=,'"r lll=l'.1="-; o rl o rl lo 'l '^'ll ;il

;'l Ii:l 1",.u'd"'.]-,.'^'|ff''

^, ll

"=+=#

observimcd

c)AvemA-=#[1:

l =[ff)'= # #=

i:i

a,,=(-l)rt2M,,--Mrz=

i]:1

l? il=",

y.=*,= -^.r.1

xz..+

.-"e,,=(-,)*'M =M

=1;i=' I

A,,=(-r)r*rM,,=r,,=

e,,=(

A.r=(-l)'zt'M,r= Mzr=

r)'?*'?M:r=Mz:-

l--'

|; ll=-" li a,, =(-r)2'M,. --M:: = -li a,' ;l=", =(-t)'-rtw;, =t,, = l;

ll=r

ll-^''

A,,=( r)'*2M,,=-M::=

A,,=(-1)3*3u,,=r,,|| ;l=_, l; il='.0*'

1.1

T ^,."Lil t) ,^ "'l 2, a) ObservAmcA

Atunci

x*6=6+x0(x-5X6 5)+5=x

I I I I | |

x*y=xy 5x 5y+30= (x-S)(r-S)+S, Vx,yeR.

Penlru legea ,. * b) Pentru Vx,yeG

pentnr Vxe lR,deci

e=6

este element

neutru

I I I

>0,deunde I deducem cd (x-s)(y-s) >o= (x s)(y-s)+st5= 1*y>5= x.re(s.-)--C.rl =(5,o)

avem x

>5 9i y>5, deci

x-5>0

qi y-5

G. Avem(x*y)*z=[(x-s)(r-s)+s]-,=[(,(-s)(r-s)+5-5](z 5)+s= =(x-5)(y-5Xz 5)+5 ei x*(y*z) =*-[(r,s)('-s)+s] asocierea

(x,y)-+x*y

defineste o lege de compozilie pe multimea

| |

=("-5)[(y-sx"-s)+s-s]+s= I Obscrvim ci (x*y)*z=x*(y*z) pentru Vx,y,zeG,adicioperalia..*"esleasociarr\e I 4.or- 1*y=(x-5)(y S)+S= (y S)(x S)+S=y*x pentru Vx,yeG, rdica operanr I "*" este comutativ^ (x - s)(y - s)(z - s)+

rno

I I

ln verihcat deja ctr e=6e(5,o) este element neutru pentru operalia,. r.". I TatAm cA pentru orice x€G existd yeG astfel inc6t x*y=y*x=e,adicdfaptulclorice &nnt al lui G este simetrizabil fala de legea de compozilie ,, * ". ldalia

x*y=y*

este

de comutativitate.

1xy=s3 (x-s)(y-s)+s=o> (x-s)(r

rreal

=r=5+;:

Evident, pentru

r e G , deci, pentru

indepliniti conform proprietaii

-'oncluzie, (G,

x>5> x-5>0=

=1=;

y-s=-!= x-5

,=5*-!-tS-

;|'rO=

Vx€G,lx'e G, x'=5+-!, x-5

astfel incat

x,|x,=x,:lx=e.

este grup abelian.

impune condifia x, y, z e g = (5,co). Observam

x*y=z

(x - 5)(y -

5) + 5 = z

o(x-5)(y-5)=z-5= (" 5Xy-5)(2,5) = (z - s)2 . Similr obrinem din ecuaJiile !'z = x ri 7* ; = y cd (x -s)(y -s)(z-s) = (* -s)' ei (x -s)(y -s)(z-s) - (v- s)'z. am (x-s)'?=(y-s)'?=(z

x,5>0, y-5>0 r-5 > 0, deducem c6 x-5=y-5-z-5= x=y-?,Atuncidin \*y x-5=l= x : 6 . in concluzie , y = y = 7 = g E e ={x-5)'?=x-5=

--teut

astfel ca

5)2 pi, funndcontc6

Varianta 50 1. Se considerf, B=

AA'

martcele

A=l: :t :] l. ur.rin) [br b2 b] /

P*(a*,bu),unde k € {1,2,3} . a) 56 se calculeze B, itiind ca q (1,2), pr(2,4),

, Eanspusa

Areur.r(R),

, 9i punctele

SA se arate

cA det(B) >

(,3,-6)

oricare ar fi punctele pr,p2,p3

cd det(B) = 0 dac6 $i numai dacd punctele Pr,p2,p3 sunt coliniare pe o &apta care trece prin originea axelor.

, utl =]l O i ll^.r.r,l l. ^[ j l(o o r/l lri

2.Seconsiderimullimea M

a) Sa se determine numirul elementelor mullimii M.

b) Sa se arate cA AB € M , pentru orice A,B e M c) Sd se arate cd

(M,.)

este un

grup, unde,,." este inmulfrea matricelor.

195

Ralydri l.

a) in acest caz av

(t4

,^ e =(l 2 ll,decis=,a \24 -o)

2) ^' (1 z -3)f' 2 4l= /t \24 -o-ll 'l-3 -6J J

28\ ={.zs soj b)incazurgeneraravem

B__A

A,={l

I l= l; ;:i; br,/ lar

/ -l

2 a,b1 ra2b, .arb: .at 'a;1a: I +arbr +arb, 14,0, Al +aj +Aj )' det(B)=(ai

decl

+^i +"j)(ai +ai*a3)-1",u, +a,b, +a,b,)2 = (",b, = -urb, )' +(a,b,, -arb, +(a,t, )2 -arb, )2, o, o"r_ Va*,b* e R, k = 1,3.

ifil-#

;

::"1;;':

;;,rl

0,t.,., 0,,1

on;",

o, -

-/.j .i .:/=/j .i ":i=/i ^' "'/ 0, ,;l i. ;; ;l/ ;; ;;l='* /o ,-,]: oeducem ca punclele

p,.pr.p,

2. a) observam cd tu nctia r

!rvtl=!z,,z,l=!z:,1, =5,

u,,

oeip2, oeip,

si oep,p,,deunde

sunt coliniare pe o dreaptd care Fece pnn originea

z, x z,

M.rG, r)

Oa axelor.

=fj I ll *,. 0,,.o_r, o*, lo o iJ

=zs.

b)FieA,BeM= sa,b,x,yez,astferincat^=|i

Atunci

o)li ,r t; fi " AB=Jo i liu " , /= /j ", " o

{a a ti{o o

;lr, I ;/ i "=f; (o.o ld d iJ ''l rlrl

i/ l; ;

uroeptrnerre regula dupa care sunt alcatuite elementele

;li#l:-'

matricelor din

Mt(25)

fiind asoci",i"a.

196

/stevidenrABeM'deoarece

' m;lrimii M. a.a"....a

si operana indusa pe M esre

ol li " *aru a=l:

fi " ,) [i a+* u+y] i ol."*'"es=lo I dl_ i:liin-lo lo o rl lo o 'l lo o i J

x+a

v+b)

^i U l=

"O,

deci operalia indusd pe M este comutativd. pentru a

(i 0 0l t: ".1 dtinem j

l" l0

0 = Ir e M, deci operafia indusd pe M admite elementul neutru I, |

=|;

(i"")

ol.tuanae-lo

(i a+x b-yl

lo o

o i J [o o

-''="=19 i lo

ol.unc.*.

.--,iu 9i y = -b = 4b, obfinem

i.J

fi o o.) o l= l0 i 0l=t.,a".ia"r,.inversabilifi

*=*=l: i (i

i.J

(i ab)ti

=b = 0,

i.J

a:l rn conctuzie,

(M, )

este

grup comutativ.

J Varianta 51

l.Fieqirul (F,,),,,0, datde l,.r =I, +4,_r, VneN', g =0,

r\ -r=lItI 0/ L \

a) Si se verifice relafia

=A+

AX = XA, atunci X

o 5) ,=ll 2 3 4 o.rcS.. ' o=('\l '3 2|s4)' 'lz:|4s)'

a) Sd se demonstreze c6 on

râ&#x201A;Ź

matricea

(e), X + O, ii /c E.) c) Sd se arate c, A" = ':.' I r', -'" l, vn > t. \-r / \ b) Sd se arate ctr, dacd X e M,

2.Fie

\=t

nq. 197

este inversabila.

bt Si

dersmlDe nunAml elementelor mullimii U =

c) Se se arate ca U =

{r"frr e ru.}

este un subgrup al

{n"ln

e X_}

grupului (Sr,.)

Rezolvdri

t)(t l) 2 I' rr l\ /r 0t " =(t(r ol(r oi=tr rl$iA'r'l.l; ;]"tr

I.a)Avem 42=A.A

42 =A+12

b)FiexeM'(Q).-=[l

l.*a

"J.o'n"'

<)a+c=a+b, b+d=a, a=c+d observtrmci

b=cc) c_b

*.,

o Ju' " ,;f =[:]: [";" l* n)= {.

d=a_b,deci

r^ r r

det(x)=J;

r)f" o]-fa+c b+a)AvemAX=fl '^-[',"/\",0.]=

:l,X*o,

o)f, ,1_ 1l'.r',", *=f" ''^-1" o,il, AX=XA* oJ= (a =lo u ) "-o,l

/2 l)

,)=[,

,lo] = "{.-01-r:

*=f" (t

=a: -ab-b2

Presupunem prin absurd ca

=a =0, a2

ceea

det(X)= ar _ ab._ b2 = 0 Dacd b =g, arunci ar -a.0_0r = 0 = ce contrazice ipoteza cA X+O, o (a,b)+ (0,0). Deci b*0 giatunci

-ab -b2 = 0l'

cu soluliile ,,,, =

Deci presupunera

b'z

[;)' -;*a

, câ&#x201A;Źea ce

aolosind notatia

ecuatia devine t2

conhazice ipoteza adx e M"

cI det(X) =a: _ab_b2 =0

adicd matricea X este inversabiltr.

(e)

ea,bee= 16;

esre absurdd, de unde deducem

c) Demonsham prin metoda inducfiei proprietatea

p(n):A'=[1,, f,),

:nh'u q =q

+Fo

oblinem p(r): Ar

=l+0=1.

=il ;)=ti

Presupunem adevarata proprietatea

demonstrrm

cE este

j),

l1t;,a- =(1-,

cd det(X)*

*.^_

"uia.n,ua.ua,utd, deoarece

i ]o**.*

indeptinirtr proprietatea p(k + t) : Ak*r =

AvemAk*=AkA=

- t-1 = i

[l;

];

keN.

oarecare si

,.)

i)ii ;]= (ll_l T:)= [H ])=,r,.r, t98

(r,,.,

proprietatea P(n): An

[

F' )

4-'J

12 tl 2l 5 4)\2 3 | 23 4 5)r I 2 3 4 5) t1l 4 5^3 2 1 s 4) (l 234s\(r lI2 r.lt

.{Yem

5lf

-{vem

este adevAratf,

pentru Vn € N'

345) fl 2345) | 4 5) 12 I 3 s 4/ rl 2 3 4 5) 5l evloenl oI t 7to. \r 3 2 5 4) ' 3"4 s)I, 2 3 4 5)t= (1.2 |

3 | 4 s)\2 3 | 4 5) (3 1 2 4 (1 234 5)fl 234s\ fl 2345) '=n-n=[r n o t)\z t r + s)= [r z: + s.J=' tl

cu rest pentru numere intregr, pentru

Caform teoremei impd(irii

n=3k+r

9i re{0,1,2}

Atunci

=0>

;re F

-1=0

stabili

Vn,meN'avem

t-: - n: , (nz )-'

ca H = {..n,

= n . in concluzie,

N'}=

te.r.l}nn eH, r'e H 9i tu r' - ln*'

lui 55 in raport cu operatia

de altd parte, Unand cont

Vn€N" f!k,r€N

astfel

nn-":t'' = (/)-.n' = ek.n'=n',deci

I.{no,n',nt}={e,n,,.2}.inconcluzie. s: E\ident ca pentru

de inrnultire a

n').

(H,.)

l.o

{n'ln

auem e-'

permutdrilor.

este subgrup al

$i, din urr

=e,

lHl

=3.

e H , deci h este

deducem

gmpului (Sr, ) .

Varianta 52

:)*0l.

Se considera

permutarea

a) SA se determine

oeSo.

/l 2 3 4 s 6) "=[, O 5 3 6 l.J

o gi o I au acelagi numlr c) Sd se arate cd ecua.tia xa = o nu are solu{ii in grupul

Sb se arate cd

permutArile

2.Fie legea de conrpozilie

", definita pe IR prin

de inversiuni.

(Su,')

x"y=1y-x-y+2, Vx,ye 1R,9i

tuctia f :R-+R, f(x)=x+1. a) SA se arate cA (1, co) este parte stabili in raport cu ,, o ".

c) $tiind cA legea

+lf

se demonsheze ,, o

x,yeR ' sd se rezolve in JR ecualia I ' x "

f(xy)=f(x).f(l)

este asociativa,

kzolvdri l.

Avem

. /l 2 3 4 s o-'=l

\6 | 4 2 3

b) 1.

t99

Pentru orice

x = 1025 '

I b) Inversiunile permurarii

sunt (2,1), (4,3), (4,1), (5,3),

(s,l) , (3.1) ,i (6.1).decr m(o) = z . Inversiunile permutirii o-r sunt (6,1), (6,4) , (6,2) , (6,3). (6.5). (4.2) ,r

(+,:), oect

-("-'

u . Am obtinut ca )=

-(")--("-,)-z

I =o> r(-" )= r(",{ = ea (x)= (-r1"'(") = (-t)t = 1> ea (x)= -l , ceea ce evident este imposibil. I Deci /x e Su astfel incdr xc o . I 2.a)ObservimcA x.y=xy-x-y+2= (x-t)(y-t)+t, Vx,yeR I Pentru Vx,ye(l,o) avem x>l qi y>l= x-1>0 qi y-l>0:r (x-f)(y-f)>0= | +(x-l)(y-1)+l>l- xoy>1= x.yâ&#x201A;Ź(1,"o),deciintervalul (1,"c) este pane srabrr{ rapon cu operalia .. ". I b) Avem f(xy)=xy+t ei f(x)"r(r)= (r(x)*r)(r(y),1)+l= (x + r - l + r r - )+ =l )(y xy + . Observam ca r(xy)=f(x)"r(y) p"nttu Vx,ye1R. = I c) Presupunem prin absurd

ci !xeSn

astfel incat xa = o . Atunci x4

c) Pomind de la relatia

f(xy)=f(x)"f(V)

nentru

Vx,yelR

9i folosind

,, c

f(x,xr.

.x,,

): f(x,)"r(x,

)"...

"r(r. ) pentru

Vx',

x2,.,;x.

r(."

in particular, pentru xr = x2 =... = xn = x, obtinem

asociativitatea

I I e IR 9i Vn e N. n > 2 . I

", putem demonstra prin metoda inducfiei matematice

opemtiei

proprietatea

p*a$};-ll!, r*r,

n>2. Atunci r.xi. '.x= l(x-r).r(x-.r). .r(x-r) = i((*-r)'')=tozsVxeR

VncN. roorix

a.,

>(x-l)ro+l=1025= (x

q--,)

1)r0 =1024

2to

> x-l=12> xe{ t,rf

I Varianta 1. Penrru odce matrice

AeMr(C)

senoteaza

C(a)

={x.lrarlclex=xa}

ll.. -lo 0l fl 0l E 0l considera mafficere E, =i0 -f0 ' \o o, ' ""[o ol "'-lo '=tr oJ

5i pe a

a) Sd se arate cA, dacf

X,YeC(A),atunci

b) Sase arate cd, daca

E,,8, eC(A)

c) Sise arate ca, dacd

C(A)

pana.

X+Yâ&#x201A;ŹC(A)

, atunci

exista

oeC

astfel incat A

| =q12.

contine trei dintre matricele Er, E2, Er, E4 . atunci o

2 I4 5l.b 2 ] 4 5ldouro.,-", 2.Fieu=|.l Il ari dingrupul \3 2 1 4 5l 12 I 4 5 lr a) S$ se rezolve

in 55 ecualia u*

I cod{

I (St ll!

,OO

I I I

b) Sa se determine ordinul elementului ab in grupul (Sr,.)

c)Fie k eZ cu bk = e . Sa se amte cA 6 divide

kolvdri Lr|Avem X,Y€C(A)+ AX=XA 9i Ay=yA.Atunci =-{Y+AX = YA+XA = (Y+X)A > X+Y C C(A).

-[a f ].or*,E, ly 0l "'*-''r ec(A)>

r'rre a

o al /v

= o .,J=[o

= "7

o.J= r=o$i

0)io ol_fo olld

€bservim ci, dacA E, e

die lac

d =6, respectiv E,

re o\ /o

r 0/ ll o;ry oJ- [o oJ-["

6/l

Dcci Er,E2

AE, E,A+ ","-

C(A)

C(A),

A(X+y)=lX+4y=

0lf

ec(A)> o) pJ

l)/s B\ .

rt"-10

ly ollo o]=[o o]t., o.,lf

AE, =614=

'0=osi"=6

atunci cel pulin

condiia d = 6

este indeplinitd.

0) f " ec(e)> g=r=0 ti a = 6, de unde deducem cd e=[" ^ -ty oj=[o

C astfel incer A = cl-.. :'Observim ch, in ipoteza cf, E,,Eo e C(a) , avem en,

o.,J=o,,.

- Br4

= plf' o) _f' o)fa pl /o o\ fa B) 'i= " o]lo o,J=lo orlr o,J- ly o.'J=lo bJ- 0 =Y =0' respectiu s.=E+A= i: llf: :l=i: :ll' ll- f: ll=r' lt= p=v=o {y dl(o t, (0 I l\y 6/ to a/ ly 0j

G6erv6m ca, dacA

Id 0\ -a=[O

Oresupunem cd mullimea

U,1

Ou.,

C(A)

sau Eoe

C(A), atunci p=7=0,adictr lcr,6eC

C(A)

contine trei dintre matricele

astfel incat

E,,Er,E,,Eo,

-ncr avem una dinre urmaloarele siruadil - stricele Er,E, €C(A)- fc{€C astfel incat A-dI2 9i atunci AX=XA pentru ;f eU, (A), adicd X e C(A) pentm VXe Mr(C), in particular Er,E4 € C(A) ; -\fatricele Er,E4 eC(A) E- € C(A)) obfinem cd

9i atunci

cr =

3cr,6eC astfel incat

6, deci A

$idin Er eC(A)

i :l ^=ft0 6,

= crl: . de unde deducem ca X e

C(A)

;X e M, (C), in particular e , e C(e) (repsectiv Er € C(A) ). L concluzi, indiferent de situalie, dacd mullimea C(A) contine trei dinhe

pentru

matricele

E;.Er,Er,Er,atuncivaconjineoricematrice XeMr(C) , in particular gi a paha dintre aatricele E,, Er, E],

1a)Avem

ax:b<> xoa to-(t z z r 13 2 I

n 4

2345)

'll.' )\2 | 4 s

201

(1 2345\ 3)=

[z : a s rj

(sau

b)Fie

o=ab='

o=(t,3 4 slf l 2345)_fr2345) [3 2 I 4 5/(2 I 4 s :J- [z t t s t)

(::'^1 ;)[i : ; 1 ;]= tl ; ; i i),r=o "= (r z t 4 5)f I 2 3 4 5J ll 2 3 4 5) f: a s nJlr: o t t)- lo i,, rJ.""-"'"'=

Avemo2=oo=

_(t -[: z3 4 +s

_(rzt45\( -fs rz: Deci q5

s\(

t2 345)

zJ[: + s +jl

=e fi k =5

(t 23 4s\

z)=

ls r z: t)."'=o- "=

t 2l4 s) fl 214 5) : + s rJ=l_r z t o s)='

este cea mai mic6 putere

keN*

pentm care o5

ordin(o) = ordin(3!) =5.

=e, adici

2]45)fl

"-lz1,l r a s r/lz 2345)_(t2345).,.. | 4 s 3)- lr z s l +J'u'=t'l= s)fr z r n sl (t 2 3 4 5) ., .. -(r zz st at t)lz -[r r o t t)= [z.r:,i sJ.u"=u'u'= =(t z t 4 slf' 2 I 4 5)_.fr 2 3 4 sl u, _-,.0 ,._

c)Avemb2_b b=

fr 2 5 3 4)\t 2 s 3 4) lr z a s t)'" -" "= 5t,16u=6, =(: :'. : :)(: : I i :l= I : 1 : 2 4 5 3j[2 r 4 5 3] lz r s : +)t'" '" 6,fr 4s)ft 2345) (t234s\ _(1 -fz 23 r : + s)\z r t t s)=lt z z e s)="

in concluzie, n = 6 este cea mai mic6 putere n e N* pentru care bn e = Pie k eZ pentru care b( = e . Conform teoremei impdrlirii cu rest pentru numere ,nhegr,

J!q,reZ

astfel incdt

k=6q+r

si râ&#x201A;Ź{0,1,2,3,4,5} . Atunci bk

=g.c* = (t6)q.U. _ = e.b' = b', deci bk = e <+ br = e. Cum r e {O,t,Z,:,+,S} 9i n=6 este cea mai mica purr nenultr pentru care bn = e, deducem ci r = 0= k 6q= 6/k. =

Varianta 54 r. se considertr matricele

0 A fo -tlriB-.f o \r )' [-l

a) Si se verifice cd AB + BA

b) Sd se arate cd .46 + 86 = 21' c)

SA se

amte cA, pentru orice n e

Nl', (ae)" * Ir. 202

t) lJ

2.Se consideri qirul (F,,1,.*,Fo

v, =z[x], P=x'z-x-1,

=0,

=1, F"*r =F,, +q-r, Vn>l

polinoamele

=x"-F,,x-E-,, Vn>2. Xr-2X-t este divizibil cuP.

a) Sa se arate cd polinomul

b) Sa se determine radacinile reale ale polinomului Q,. c) Sa se amte cd, pentru orice n > 2 , polinomul Qn este divizibil cu P.

.{vem

ltr O ll /l l\ i 0 l)/0 -ll ll 0) I ll lsiBA=l I l-l l. | 0^-1 lJ \-! l^1 0, u rl [r l0 )

r0 AB=

O] BA--' AB;rBA, AB=TI'I-T' r/ l,

\0 lr .1,emA2=A A-(l ;)t:

;)=t; l,)=',= oo=(o')'=(-I,)'=I,, "'=" "=[_0, l][:, l)=[_l l),"'="' "= [_l ;)(: N=

.... o"=[; ,').[; l)-', ?

AB+12,

(""f

prrn meroda inducriei rnalematice proprielalea

n=l

n=2

obtinem

p(l):(ABl =f '

l \0

=[; ,')(; l')= f1" 1,1eay =(i

r(z; .tl,resp..tiu 1)

,1en)'?

t) l. VneN 11

-2.\

[0 t)

adevArate, conform observaliilor anterioare.

adevarata proprietatea

e(k):(an)k =11

-:lpentruun keN, k>2

\0 | )

r.em (AB)-.'

Endent (aB)"

fr -n)1+lfl o)l= I, \0 r, \0 rl =

(AB)" + I, pentru Vn â&#x201A;Ź N" .

203

oarecare

xr-2x-l=x3-X2-x+x2-x-l- x(x'? -x-r)+(x'? = (x+r)(x'? -x-l) = (x+r)p - rr(x' -zx-r).

2.a)Avem

- X3-2X-l=

b)Avem F, =Fl +Fo = 1+0=1, Fr =F2+E =1+l=2, Qj = X3 - FjX -F2 =

(X r f )(X'? - X - l) , deci Q,

c) Observam

ti *,., =Ef2 cd avem Qz =X2 -FrX-q = X2-X-l=P> P/Qr.Amvdzutc6 are riddcinile reale

x, =-1

DemonstrAm pdn metoda induc{iei matematice proprietatea

Pentru

n-2

n=3

P(k):P/Qr

demonstrAm cf, este indeplinita propdetatea

Avem Q**,

(n)

/ Q,,

, Vn e N ,

P/Q3. n

)

obtinem P(2):P/Qr,respectiv P(3):P/Qr, evidenr adevdrate.

Presupunem adevtrratd propdetatea

-t)=

-Xk*r-Fl*rX-F* =

kâ&#x201A;ŹN, k22

pentru un +

xk*r -(Fr +Fk

Qu*,

r)x-F.l

oarecare 5i

x(xk-Fkx-E_,)+rr(xt x-r) = =XQr +\P. Din P/Q1 = P/(XQk +FkP)- P/Qkrr + P(k+l), deci proprietatea P(n):P/Q" este adevdratA pentru VneN, n)2.' =xk*r -Fr.x2 -\,,X+F*X2 -Fkx-Fk =

Varianta 55 1. Matricea

=ll -ol.tr(R) a)

ei eirurile

(x"),,.*, (y.)".o

verilica

[."-'l= o i-" l, vn.ro

\Y".r,t

\Y"/

a) Sa se arate ca

xi*,+yi*r =("t +Ut)(*l +yl), vneX. )"." , (yn )n.o r*t ^argini,.. xn*u = 64x,,, Vn ) 0.

b) Sd se arate c6, daca a2 +b2 < 1 , atunci qirurile (x,, c)

SA se arate cA,

dacd a = 1

2. Se considertr corp:ul

li b =.6,

anrnci

(72r,+,.).

a) Sa se arate ca ecuatia x2

- 8 nu are solulii in 2,,

b) Sd se determine numirul polinoamelor de gradul doi din c)

SA se arate cA

polinomul X2 + X

este ireductibil

Zr I

[X]

Rezolvdri

l.a)Avem

[-"-,]=of^")=fa -b)/x") 'a*"

\v".r.r

\v,,

r \b "Jl'r"J= [*"-"r,,J decixnrr=ax'-bv'ri

yn+r = bxn + ayn , de unde deducem c6 =

(a'

+ u'1

bv"

xl*,

)

yl., = (ax" -by"

)(xi+ yi ), vneN 204

)'?

+(bx" +ay,, )'? =

tu q =^i +yl , VneN. +br <1, atunci ci girul

(2,,

Avem zn

qi 2,,*, =(a'?+b'?)2" pentru

VneN.

<",, > z,*t !2,. pentru Vn â&#x201A;Ź N, de unde ",u =(i'+b])t,,

)".,n

este descresctrtor,

mirginit inferior

de 0 5i mtuginit superior de zo

VneN obtinem ca xf,+yf,<zo= *l <*l+yl <zo qi sr"-yl<zo= xl<zoqi yi<zo= l*"1=Jr, si ly.l<"f ,uncle z0 =x;+y;, ;rurile (x"),,.^ Si (v"),,.* sunt mdrginite. lszn<20

pentru

a=l

b=J3,

_^/l

=l - "- I. Observam ca .A2 = A.A = W3 t)

atunci avem A

(z_ -261 (z_ -."5) t= t.A-_A-.A=l r-1 I ,l Jr I I r2.i3 2 ) [2JJ :_ -.6)ft_r

n\ ""

, = -tt, = l=-t'.

\y"/

itv,,, =

avem

iO- =

wl eFre f

lzi, "

Obsenam

2,, z,,l "

=i,

)'1 =

4.3' -g,

.\y",

lz;,l.lz,,l'

= I 0. 1 12 =

r(o) =0t

2 I

este

bijectivt,

. /'\

+0+i=i +0. f lll=1" +l+t=l+0. \,/ '

+)+i-i *0, i(:)=:' *t*i-)+6. r(+)=r' +q*i=it*0,

Ajl=s:+s+i=0+0, r(o)= a'*e +i =i?r+0, r(i)=

fiit=S':*8*i=i*o r(q)=s'*0*i=:+0, ' \/ fir)*0

multimea polinoamelor de gradul doi din

f :Zi,xZtrxZ, -+M. f (a,b,c)=aX2 +bX+c

ez,,fxf , f -x2+x+i.Ave-

",1=)1

o' | "" I - oor,-rv,,J ]=. -rv,,./[ l= uol^"

=5,5'=3,6': =3, i, =3, e, -i ca. pentru Vx e Zrr. avem i2 z 8. deci ecualia i2 =t nu are

0t =0, it

Observam ca funclia =

xn*6 = 64x,, 9i ynru = 64y,, pentru Vn e N.

,.t.rn y={aX']+bX+claeZi,,b,ceZ,,} [X],

o' a" ==(e')' (-sr. )'? = o+t, b4r.. (o')" ==(-sl.)r

'"-''J= [-'"]-^['"'l=A'f lv","l -l'y,,,. J l'r"..) .]-

'')"-"/ ".]= uol^"

r -f)

z.,6lt _ 2 JIJ]

pentru Yx e 211, de unde deducem cd

*i*i-)x6,

f (10) = 10' *

f =X2 +X+i

205

* i = i + 0 . observdm

este ireductibil

in Z. [X].

Varianta 56 l.

Se considera

matricea

-J \ A'tt12 _2,/ev:(R)

tunctia f

a) Sa se arate c6

f(A)

b) sa se arate ca

r(x+r(x))=x+r(x), vx e rra, (n)

SA se arare

I, .

ca functia feste bijectivd.

2. Se consideri matricea

a)Si

:M.(R)-,Mr(R).f{x) -

se arate ca

/ I 0) | =1,

M=lXe u,(n)lax = xe)

,l5imut;imea ye M. anrnci Xy e M. C= {X e Uldet X * 0} este grup in raport cu inmultirca

dact X.

b) Sd se arate ca

matricelor.

c) Sd se determine elemenrele de ordinul doi din grupul G defimt Ia punctul b).

Rezolvdri

-r)('z 4\- (2 2-31 2 (-, 3.(-2)) rr 2/ _2.1

r.a) r(A)=A A -1'z I

b) f (x =

lr.2

r (_3)_2

(X), pentru VX e M, (R)

det(e)=l' --.\..,-ll

AX = AY

AX = A

VYe

Din f(X) = f (y)=

A r .(Ay)

y, = X = deci funclia f este nJectivi. Mr(R) ,lXeM,(R), X = A-ry, astfel incdt =

deci tunctia f este surjectivd.

", injeciiva surjectivtr.

l.g::lyi:.fiind X.yc M +

AX+12.X =AX+X =

(A-'t)=

2. a) Fie

AX = XA pi

tunclia feste bijecriva.

ev = va. atun.i "";;;i,A (xy) = (AX)y = (xA)y ji, deci xv =x(Ay) = x(ve)_ (xv

b)Avemci der(Xy)=detX.dety.deunde obfinem

( z))= lo r)=t'

-'l=-,., - r + , deci maricea A este inversabili.

_Ul =

A-, . (AX)

Observdm cA, pentru

J(x)=

lr 2)

r(x))- A(x +r(x))= A(x+AX)_AX+A2x_

X+AX

c) evem -...

e rrr.

deducem ca. peDtru

detX+0 qi dety+0, am verificat antedor ctr pentru vX,y e M = Xye M. ca p€ntru VX,y € G Xy e G, adictr operalia indusa pe G de cdtre =

det(xy)* 0. De asemenea,

de unde deducem

inmullirea mahicelor este bine definita. inmullirea matricelo, uao"iu,iua, A"ci gi operatia ".,a fi, la rdndul sdu, asociativd. Avem I, € M, (R)

industr pe G va

asemenea,

Pentru

detI,

17I

$i AI2 = l2A, deci

I, e M. Da

1, € G, adictr G admite element neutru.

VXEM,avem AX =XA. inplus, daci derX *0+ 3X-r e M, (R). inmullind rela:r tu gi Iadreaptacu X-r, oblinemcl AX-r = X,rA, adicd X,,eM. Evidea

1*,_,11 "Untu det(x ir.0, deci X 'eG.

adicd orice element al lui Geste inversabil.

in concluzie, (G,.) are stnrctura de grup algebric.

206

detX=ad-bc*0

Atunci

= "=[: lJ,t.o

AX-XA.

o\1=l/a-b /t o)ra bt r a b )l.iar XA=lfa u)/t | ll It t I lc dJ ia +c b-dl \c dJ \t ll lc+d

.t\ =

:galarea celor doud rezultate oblinem cd a = a + b

\).

b=0

:qcruzie.

a=d,adici.=[:

"={[:

cd X €

llor.

\: =X X

R....

:)1..

:)-[:

a+ c

o'*'

b) .1. dJ

d = d , de unde

detX"=a2

+0<]a+o

rR]

este de ordinul doi dacd 5i numai

daci Xz = I"

ol=l.'' o,l.or1in.,n x'-r, €t (u' o)t=lfl ['\c oll' al\c a) \2ac a-) [2ac ./ a:

gi 2ac=0>c,0.

a: =lra=:l

Varianta 57

ri. -ot i..r.

;::

I.,J

gi xu

-1,

n=[] 1). t,1,*y ri ('"). u,, 1n;, - (;::)=^(;:

y". = 0.

a) Sd se deteminc xl,

b) s,

se arate

x]. yr

cd x" + y"

c) Sa se amte ca

x,,+:

2Jt)" , vn. N. + x,, = 0, Vn € N.

= (3

6x,,*r

2. Se considerd mullimile de clase de

restul Zt

{0,i,2,:,4.S,e} ti

z. =t0,1,i,3,4,51. a) Sd se rezolve in corput

Sd se determine

(Zr,+,.)

ecualia

ordinul elementului

c) Sa se arate ca nu existE niciu morfism

blvdri l-

a) Prin ipotezd, avem xo =

I ti

ix2+4=0.

in gruput

(2", ). de grupuri t :(2",+) >(z:,,) * f(t)=

yn = 0

/x,) "l=lr: 4\/l\ .Lfl)l. deci x, -J 5i y, =1. I =Alf*") | l/ \2i

li'l

\v".1 t

lo,

207

Avem

[;;J ^[;l) (] 1)(;) 1;;

xr =17 $i yi = 12.

b) Demonsham pdn inductie matematictr proprietatea

Penfru n xo +

=0 oblnem r(0)

yo.,[ = t*0..,D

Presupunem adevdratA

+ yo J7 = (3 *

l(n),x,, +y,,J2

zJf)",

ZJI)" , Vn.f

euident udeuarata, deoarece

r si (:*zJI)" = r. propdetatea p(k) pentru un keN =

oarecare qi demonstram ctr

p(k-

este adevarau.

Avem p(k) : xk n

rJi

= (z

* zJi)

-l

(,. rO;

=(3xu +4y*)+(2x* +ryo)J7=(:+ zJi)u-'

(,o * y*Ji)(t

zJi)

= (r

* zJI)--

,Ji)r,' = , o) f^-l= =r P (k + 1) , unde am rolosit faptul ca f--- l= o[-|. )<- i*u-, ]=f \Yr-r./ \yrl 3J(yrl =.

*'.., *y,*,J7=(3n

I l2

lyr-,

-4yr.

]^ (2xr+3yri* [3xr

in concluzie,

.rau.n]"

J*'',, =3x1 +4y. lyu,, -.2xr-3y1 .

t(n)'""+y"J2=(s-zJi)"

f^"',.]=of-".l= |'y"]-

este adevarata

penrru

Vn€N.

4lrx") (:x"++r")- , l.l -1*tr,)- xn', -3xn'4vn lz :Jl y",J

$i Iv,,-, lz-" yn*r =2xn+3y,,,pentru Vn€N.Atunci xn*r_6xn*, +xn = 3xn+r +4y,,*, _6xn*, +xn -3xn*, +4yn*, +xn = -3(3xi + 4y") + 4(2x, + 3y" )+ x,, =0= x,,*, _6xn*, +x,, =0 pentru Vn€N.

2. a) in corpul (v,

r,+,.)

avem:

:^,

+=o

e 3", = _i = : =, j(.r - i) = 0

.+(- i)(t.i)=0 = x-i=0,cusolu(ia Decr soluliile ecuatlei sunr S

b)evem

- i_6.

- {i.oj.

f :(26,+) j (Z],.), fmorfism

de gmpuri cu proprietatea ca

f(7+2+7)=r(Z) r(Z) r(Z)= r(o)=:, =6, contradiclie,

implicd faptul

r(t) :3

=), ! :A,30 =a, jt =3, :6 =i,Aeci -a(:)=0.

c) Presupunem cA existd

Atunci

x, =1,9i x + i = 0, cu solu{ia, x,

<+ x2

ct f(O)=i.Oeci

(Zi ,.) , f morfism

208

f(i)=:

deoarece fmorfism

de grupuri cu proprietatea

Varianta 58 l. Fiea.b. se noteaza

f"" :" l, und" n. N-. d',

"" \c',

a) SA se arate cd,

P(k

o=i" :l5i funclia i:(0.m) " cxrd '(0.-).' 11x1=3lJ! [. dJ

d>0.matricea

daci detA = 0, atunci feste func{ie constanta. * 0, atunci funclia feste injectivA.

b) SI se arate ctr, dacd detA

;) sa

se arare

rI2. se considerd

= I: -aA

[:r.l:__!(-) denorif

matri".t"

bBla,b e R,a

a=[1

1o oJ '

ffi

o".

o"]

^' -utti-"u

a) SA se arate cA orice rnatice din G este inversabild. b) SA se arate cI G este un subgrup al grupului multiplicativ al rnatricelor inversabile din

,R) c) SA se arate cd ecuatia X2

-.q,rem

:.d

detA

ia =l lc

bl _l

are o

=ad bc=0<>

(0."o). Atunci f

infinitae

ad = bc

de solulii in

db -ca= -.

G. -'

unde am (rnut cont ca

rx+bl

.- rl'

u I d\ ,' - I c r cJ x+\ c./

(x)=a{

cx+o

Dentru vx € (0.oo). de unde deducem

i:ste functie constantA. l:-upunem ctr detA = ad-bc + 0. Atunci, pentru Vxr, x2 € (0,co), avem f(xr )= f(x, rI'.,b ax, +b (ax, + b)(cx, - d)= (cx, + d)(ax, - b) 'a ;;=;;-

tx,x" (r)=

+adx, +bcx, + bd

= (ad-bc)(x, - xz) = 0 = xl = x2 , unde am folosit ca ad-bc r0. in concluzie, am obfinut ca pentru =

acx,x, +bcx,

=t.-xr=0-> rt-.r. € (0, co), din f(x,)= f(x, )=

n = I . obtinem

t) : f (x ) = '

adx, +bd

xr = x2, adicd tunctia f

DeDronstram prin inductie proprietatea

avem

1I+

P(n) :(f

ctx ldl

este Eectivtr.

.-.-.--"- )(x)=1I1\, cnx + On f

yn.

, evident adevarata, deoarece, conform notaliei din

, /a, b,) /a b) A' | ' ,'.darA'=A=l ,l.deci \cr orl \c q./ 209

=a.br =b.cr =c.dr =d$i

g+ 1-+ clx+ot= cx+o

= f (x) . Presupunem proprietatea

9i demonstrim cd gi

P(k

P(k)

adevdratd pentru un k e

este adeviratS.

p(k)-(r .rX.)=H*- (r" "r)i";=f(r.. .rl.rlt.)= (r" delorir

de(I+l)onf a. u*

_ arf (x)+bu

N" oareca:

I dekonf

.rXr{,.tr=

dekonf

ax+b

_ ;**.d*o, = (a*a+b*c)x+(aub+b*d) _" ur,r,*+br*r _p1p*1.1. -/' -+h. c*f(x)+d, .,..u^*b*d,. (c1a+d1c)x+(c1b+dud) cu*,x+du,,-'\-" cx+d

unde am folosit faptul ca avem AK+'j

- At .e

<i [u|..' l|.- I = f"ol,'r \cr'r

(ur,, - brc arb+brd) ' b*,,) ' I fala ," | ,",l.adiclavem 1c1.1 or,r/ \cta+otc ckD+oto/

c1*r

/ \cr

1or

I f"

/ \c

ar,r --ara+bkc. br,r -

:Jaub + b*d

=cua+d*c, d1r, =c1b+d1d.

.. "f)(-)=.J3-I*

,(f

in concluzie, proprietatea P(n)

este adevarata pentru

vn e N'.

der:oni

ft or fl o', 'l-tl- fo t) 'l /t-a ul -l ' raA-bB-l\o l.llral.lo o/ \oo,\o| - U

2.a) Avem I"

ll+ a bl =l 0 rll-l+ar0penmra/ I) l,

aA rbB

>der(t, +aArbBl=

este iuversabill.

ttu tl; I a+-l gi x+-1 . Atunci: jl[; u , lla.beR,a*-li.Fiea,b,x,ye.{, l\ " ' yl=f(l.a)(l-x) (l+a)y+b o][|-t*uy*bl.o. ['*" l]\o 1_ fl-a+x+ax l.l 0 0 I ) I \0 | , |

b)Avemctr

C-

x+-1- a+l+0 9i x+1r0= (a+1)(x+l)+0> *1 = a + x + ax + 1 * 0 - a + x + ax * , deci G este parte stabild fa!tr de operalia indusd de

deoarece

a*-l

inmultirea matricelor. De asemenea'

6.o"r... penhu

/l + a b)-'

I g

-a.l= a+l

-Lt a+l

a=0*-r$r b.

pentru

0.obtinem

(t-^ r f-L--Ll I'al-i atl

-b .t+at l=ll.a

| ) [ o

ol-

arllc(J.

)

a*-1. o

f i'0 :l=fl 1, l0 r/l=,. --, ,,.o \

in concluzie, G este subgrup al grupului multiplicativ al matricelor inversabile din l,t,

2r0

(n).

st \latricea

mardacd

{r-a)'

ble

G,una.u,buR qi a;e -l , este solutie a ecualiei X, =Ir ( 0 t) " [t:" r+a bl? +a b) bl'l - fl r,.Auemfl{a f fl'a b)' t) =

\0 r, [0 rJ[o

\0 ,

.\ b(a, z)

t) ol'_r, ._ u(a+z)l [{r-u)' I)

a..,

['1, to

,,1

l, o

=-l

,din b(a+2)

r , "lo (1+a)'?=l=t+a=il:ra=-1tl>

=0>beR

oarecare, deci matricele de

-,bER, sunt eremente de ordinul 2 ale grupurui G. Lplus, pentru vb,b,e

/-t U) /-t tJ*[0.

R, b+b,='Io

b **, ' I, l. 0 t) "-"

rru:ice de forma i

u'\ ,.J'

deci srunut

=-l+l=0 ,i

fo* f-l b) [o tJ'ot"* c

contine o infinitate de

in partrcular, solutii ale ecualiei X'/ = I,

Varianta 1. Se considerl sistemul

ol _ t.i

e(1+a)'?=l 9i b(a+2) =0.Oin r- =-l-l=-2.Pentru ar =0, din b(a+2)-0=b=0. lanru a,

dacd gi

fmx+y+z=0

jx+3y+22-0,cu meR L-x

Y + '12

a) Str se determine m e R pentru care matricea sistemului are determinantul nenul. b) SA se determine m â&#x201A;Ź R astfel incet sistemul str adrnitd cel puln doud solupi. c) Si se determine me1R. pentru care dreptele dr :rnx+y+l=0, d2 :x+3y+2=0,

ti. : -x-y+4=0

sunt concurente.

2. se considera mullimea

a) sase verince ca.

dr.r

H-] [l lll.,". u,,^=ril t/|

l\o

A=[i 1l ,' 9l,u*".i l0 rJ "=fi \0 r,

B.A =A

Str se arate ca Il este un grup cu l0 elemente in ruport cu iffnultirea matdcelor. c) SA se determine numtrrul elementelor de ordinul 2 din grupul H.

lczolvdri

r.ar

lm I ll I o

a,lr ; I t -'

t: '-l ,r(t ,n'),,.4m= r4m 4, lr z* ' ,l l'. ol | ,. -s 4l l-r-4' ' zl

ede in determinantul de ordinul trei am

fAcut hansform6rile

21r

= cr

-m.ca , c': = c: -ct

apoi am dezvoltat dupA elementele linei 1. Deci

b) Pentru A

A+0c:14m-4*0em+2. 7

*0,

sistemul admite doar solulia

nuli x=y =z=O.

Pentru ca sistemul sd admitd cel putin douA solu(ii estc necesar ca A

=0<> m=?. inacestcaz 7

I2 t'7 sistemul devine

x + 3y + Zz = O . Adundnd ultimele douA ecuat'ii, oblinem c6

l-x v+42=0 I

2y+62=0->

32 . Atunci

))

x+3y +22=0 <> x-92+22=0<>x=72

x+y+z=0c>1.72 3z+22=0,ceeace

este arbitrar. in concluzie, pentru m =

este evident adevArat.

Deci

x=jz, y=-3z.rz

? . sistemul admite cel putin doud solulii (mai

precis: admite o infinitate de solutii).

c) Obsen'trm cd punctul Mo(xo,yu) de intersectie ppntru drcptele d2 9i date de srstemul de ecuaht

2y + 6 = 0

Dreptele

jlxrly+2=0.. Adundnd l-x y'* 4 = 0

y0 = -3 . Atunci x + Jy + 2 = 0

d,, d., pi d,

sunt concurente daca

<- ,,m-J f l=uâ&#x201A;Ź>m=-.

are coordonatele

cele doud ecuatii, obtinem

.(-3)+ Z = O xo = Z . =' x + 3 = ii numai dacl M0(7, 3)edr <+

2 7

ilrl = rA-, 5ie ,=t f i ^il=f i ilrJ o**,, io ',0 lo 'J lo r: dec B A=A. B o ,=l:(0 illl " ^=ii ll(0 :l rl [: t.t {0 l' lJlo :l= tJ [o llr, \0 :l'l

a)Arem

d.,(A)=ll

di\ Mz(Zs)

b) Operatia de inmultire a matdcelor

este asociativa, deci gi operatia indusd pe H

este asocrattva.

Pentru

m=l

$i n=0,obtinem

/m nl ri o)

/i i)

l,J=[O i,J.*.' lU iJ.H.

H admite elemeDt neuh'u. De asemenea, pentru Vm,n e

..,[; ;]=-=,i+o = : l) ,'[; [; 212

Zr,

ti,

,ll/:

;)

=m'l

udt"a on"'u1ia rndustr pc

avem

-n

l= J

[; ;j. ",

m -m-'n 0rl )

deoarece m =

h concluzie, (H,.)

<> m-r

ti.

are structrul de gmp algebric.

r:{-i.il,z,-

n. r1.,"y-iT ll. ob,.-a..a [

o.nr.u

'{",,n), (-',n,). { -i,il,z, avem r(m,n)= rin-',.",1=f t=n'= (-,n)=(m',n,), adicd tuncfia feste injectivd.

i \u

'l Io ij='=''pi

"l;fm' r,r

Endent feste surjectivd, datodtA modului cum a fost aleasl mulfimea H.

concluzie, funclia feste bijectiva, de unde deducem cd

lr ' .r

li "

.,1

li-'.'l'z,l=11 t.t\lzsl=2

n) /.m, rrur.m) ii --. d n)(iJlo iJ=l

n-*") fi _'i - , l='.

.o I , l0

i. i}

Zrl

5=r0.aeci lHl=ro

;rFie XeH=>lm,neZr, m= li,astfel incat

o i

l{_

*=[T ll.or"l. 0 l/

-n*ni

,J=lo

o*''

X, =X.X=

X'=r:<>

ol .l<+ mn.n =0.= "{rnti) =0 lJ

.8. peH

Varianta 60 sa

Se considera

rnatl.""

a) Si se calculeze f

Str se

c) Sd se

1\ a=[2 _2) $i tunctia r \_4

(A).

ante ca (f . f XX) = Or, VX e M, (tR) . arate cd f (X)+f (y)+ Ir, VX,yeMr(R)

zlJ

M, (R) --l

rra,

(R), r(x)

2. Se considert multimea P =

a) Si se verifice daclrnut

€ M,

(R)lAA, = I.

i."a /o l) l1 0Japartine

unde },

mullimii

este transpusa matricer _{

b) Sf, se arate cA inmultirea matncelor determina pe mul[imea p o structurd de grup necomutativ. c) Sd se arate ca, daca A, B € P ,

X€Mr(R) ii AX-B,atunci X€p.

Rezolvdi

f(A)=A A= (:, :,)(:, j)=(: ;)=", b) (r"f)(x)= r(r(x)) =A r(x)=A.(AX)=A,x =o:.X=oz, vxeM,(R) c) f(X)+f(Y) =Ax+Ay= A(X+y)*I. pentru VX,y€Mr(R) d.ourece detA-0= = detA(X+ Y) =detA.det(X+y)=0, iar dett, =t. 1.a)

2. a1Avem

t"o t)

Ir 0' ',o 11.r. l,: :lr: o, ]''.10 ollr o,J lo r1="-1.' u, lr o.Jlr lr +A.A'=r:

b)FieA,Bep

B.B,=I, =la a).(a e)'= (a.e) (n,.e,)=

=a tB.B').A' = A.I:.A1 = A.At =I: =ABe (AB)t = g'e', deci operalia indusd pe multimea p

p, unde am folosit proprretatea

de cdtre inmullirea matricelor este bine

definita. pentru

vAep+A.A1 =r, >oet(e.ei)=det(t2)= aet(e).aet(e,)= r = > det(A) * 0 > I A' e M, (R). Din A.At = Iz, inmullind la stanga cu A r, oblinem ca

A'=A

I- observamc6

este inversabil.

p, A-' (A-')I-e-r (at)'=A-r.A=12 =A-r e adica vAep

in concluzie, (P,.)

are o structuri de grup algebric.

0 ll,tl 0\ ot tedficat anterior o=[o ca avern ce P' ii -tJ \l ,i/ o]ft o) /t o) De asemenea. o o'=[t >D€P observim c6; t0 -U[0 -r.J =lo rJ=I' consideram marricer.

.o=f: \l

c -f

:lil\0 ',1=fl ll=f ' ll,a..,co*DC & l, \r 0^'1.".=ll I to '.lf: (' oJ [_r

unde deducem cd

gn:pul (P..)

este necomutativ.

o,/'

c)FieA,BeP ii X€M,(R) astfel incat AX=B.Aven A€p-A Iep pi. inmultind relalia AX=B la stAnga cu A-r,obfnem X = A-rB € p , deoarece (n..) este gmp, deci XeP.

2t4

Varianta 51

c-Jv,olM",,

1. Se considerd multimea

a) SA se arate

ct M",r

r'ab')

=lo r

l.u.U.

loor]

I f

.v,(n;.

]

M".a = Ma+c.r+0, Va,b,c,d e lR. b) Sd se arate ca odce rxatrice din G este inversabili. c) Sd se calculeze, in func1ie de a qi b, rangul matricei

M,.r

Ml.u ( Mj,o

este transpusa

\ta.b ). 2. Se considerd grupul

(K,.),unde K = {e,a,b,c}

, e este

elementul neuau

1:=6:=s2=s. a) Sd se rezolve in grupul K ecua{ia SA se arate ca ab = c .

xl = e.

c) Sb se arate ca grupul

(K..)

nu este izomorf cu grupul

kplvdri LarAvem M,o

0 I 0 =I: eG,

lo o

de altd parte, avem M",o

)

deci G conline elementul unitate

Ir.

este inversabild gi

I c d] ir.a*c bidl o ]=M,,.o,o.Va.b.c.de R.

M..o.i0 r0lo rol=lo t t0 0 t/|'0 0 l/ [0 o r1 0 0)

Observim cd Vfo.o = ]

;\la.bâ&#x201A;ŹG

oll

[, "

(Zo,+)

r - M-". t .M".r, = Mu*(_"),tr(-r) -

(V".0) '=fr4

",-o

I: , deci

. C.

(r a u) fl o o) (o u b) :rAvem M,r M: , I oi l" r o]=i-. o ol lo l0 0 llrb 0 lj lb 0 0, bl l0 " observdm cd aet(u) =] a 0 = (-r) "ol-l lb lu o ol 0l

Mo,o =

llol

=o,o*i

rang(M) <3.

=b = 0, anrnci M = Or, iar cazul matricei nule este exclus din definilia rangului. a * 0 sau b * 0, atunci cel pulin unul dintre minorii de ordinul doi ai matricei M,

DacA a DacA

*p..tiu ' lo- 1=^' 0l ,""

l-a

l:l_b ll0l = u',..,. n"nut, de unde deducem ca rans(M)=2.

zt)

a'=b2 =c2 =e2 =e.adici x2 =e pentru Vxâ&#x201A;ŹK.Atunci =x2.x=e.x=x pentru Vx e K, deci x3 -e<> x =e, adica ecualia xl =e

2. a) Observimcd x3

admite doar

solutia x = e.

a*e 5i b*e,deducemc6 ab+ae=a ti ab+eb:b. presupunand cont cA a2 =e<la-a I, oblinem ab=ec>b=a-r=a,evidenttbls.

b) Deoarece

tinand Singura posibilitate r[masi este ca ab = c c) Presupunem pdn absurd

i+i = i

ci 3f :(K,.) +(2,4,+),f

izomorfism.de grupuri. Avem f (e)= O

."ea ce este evidenr imposibil. in concluzie,

izomorfism de grupuri, adic6 grupul

(K,.)

ab=e,l

3!x e {a,b,c} astfel incdt r(x) = i . atunci f (e) = f (x, = f (x. x) = r(x)+ r(x) )

/t:(f,)-->(Zo,+),f

nu este izomorfcu grupul

(2.,+)

Varianta 62 1. Fie matricea

A=l/a \c

,leMr(R)

o,/

a) Sd se amte ca matricea B =

b) Sasearatecd, dac1 c) Sd se amte c5, daci

cu proprietatea cA A2

3 l-l

u"rin"a

,.f

ala

a+d+2,

atunci A =Oz sau A a+d=2,atunci det(A)= 0.

2. Se consideri polinoamele f ,g e

= 2A.

&= 28.

= 2Iz.

Q[X], f =X4-t, g=X6-1.

a) Sa se arate cd un cel mai mare divizor comun al polinoamelor fgi g este X2 -1. b) SA se determine numirul solutiilor complexe distincte ale ecualiei f(x)g(x)= 0.

c) Sa se descompuni polinomul

fin

factod ireductibili

Rezolvd

l-i1

r.a1AvemB,.B.B- f

'.lf '. r/l _r

t.l-f

in e[X]

-[ : 2) rl' -r/ l_6 'l=

b) Din condijia A2 = 2A oblinem aet(a'?)=

Oet(Za)>

det,

Il=28,decie,=zB _rJ

(a)- 46st(A), cu soluriile

det(a) =0, respectiv det(A) =4. finAnd cont ci a2 -(a+d)A+aet(a).I, VA . M. (R) . obtinem urmAroarele cazuri: LDacd det(A) =0,atunci avem 2A. (a+d)A+o.Iz =oz

+A-O:,deoarece i

a+d*2<) 2 (a+d)*0.

II. Daca det(A)=4, atunci avem

2A-(a+d)A+4I, =Oz

=g, O"n*

i [z-(a+a)]l:o, = >

(a+d-2) A=4tz-->

=oet[(a+d z)a] =aet(+rr)= (a+d,2)'? .4=42 => (a+d- 2)2 =4= a+d 2=l Inlocuind in relatia (a+d 2)A=4Ir,ob1inem !2A=4Iz -=> A=!212. 216

Observam ca solutia

O=rr.' =(t

O\ 2.'J

verificd relalia ,{2 =

24,

deoarece

.\? =4\=2.212=24,respectivrelalia

a+d=2+Z-4*2,darsolutia A=_2Iu nu verifictr rclagia A2 = 24, deoarece 42 - (-212)2 = 412 + 4I2 =2A . h concluzie, soluliile sunt A = O, 9r A = 2I, . tf Daca a+d=2, atunci ,A2-(a+d)a+clet(e).Iz =O: > 2A_24+det(A).I z=Oz) aet(a).t, =O, = det(A)=0. = 1

a) observdm ca

- I = (x' -r)(x,

= Xa

-r = (x, -r)(x.

s = X6

.rvem

+ r)

b)Avem

de unde deducem ca

1)(x+ t)(x _i)(x +t), respectiv

(x- r;(x' +x + r)(x + r)(x' _ x + r)

(x'?*r)lr ri (x, -r)lg,

X+

+1) =

iar

e(ti)=(ti). |=_2+0 deci g nu se drvide prin X-i

c.m.m.d.c.(f,g)=Xr_1.

f(x)-ocr (x t)(x+r)(x,i)(x+i)=0<+

xâ&#x201A;ŹSr ={_1,1,_i,i}

, unde amnotar cu

S. multimea ridacinilor complexe ale polinomului f. De asemenea,

e(x) = 0 e (x -r)(x + l)(x, -

x + r)(

r, * * * r)=

o.-

r116 -t-i.6 - tr,..6 I o*.s" \ '" -8=J-i.r.l:'.8.r Atunci " r(x)g(x)=0e ^-.-.:., r(x)-0 sau 2' 2' 2 --l f

s(x)=oe xesr Observdm cd

xes,

xes,US,

={-,.,,-,.,.'-f

,1+

lS, USrl = S.

"_, ,

i.6 -l-i"6 -r+1.6l

ci f =(X t)(X+f)(Xr+l) ti, deoarece factorul X2 +l admite (X-i)(X+i),cu ti e e, deducem ci descompunerea lui f in factori

Am observat anterior

descompunerea

reductibili in

e[x] "rt" r=(x-r)(x+r)(x,+t). Varianta 63

consideri mulfimile p = â&#x201A;Ź M, {s

(n)ls'

/r r\ a)sasearareca

s} ei q

.(o 2) r'I ;,J.r ; ;,J.o

b) Sd se arate ci, dacA A, B e e , atunci AI| e p c) Sa se arate ca det(X)> 0, oricare ar fi X e 2, Se considerd polinoamele

_a} {a e u, (R)la, =

e. +3X+45e2[X]

f =X3 +2X2 C ale polinomului fnu

a) SA se arate cA ladieinile din

217

i_Xr +X+ieZ"[X].

sunt toate reale.

polinomul i nu are rdddcini in Z, . c) Sd se demonstreze cl polinomul fnu poate Ii scris ca produs de doui polinoame neconstante, cu coefi cienli integi. b)

Sd se amte cA

Rezolvdri

s'{,t '). o'.. r' f' 'll/ S= S'=S= Sep. [3 l/ \3

r.a)Fre

ri. e=l

2l.ou",n

l-2 0J

-A-. Aee. o' fo 0'l= f o 'z) 12 ) [-2 0i

. /a b\ fa c) (a b) e a a.c=-b. -l b)FicAcQ.A=l I.Avem A'=-A<> \o o/ \c o/ \c d./

b--c

d=-d<+ a=d=0

ri.--0.- o=[l :]-ti

adicd

AeQ<+

olbeR astfelincdt"=[t, :) SirnilarBeQe ]xeR astfelincdt"=[-t,. ; r0 b\r0 xl I bx 0) -bxr' Atunci AB Io o]l-" oJ Io .-o* J Evident

I, eP,

c)Amadtatca

tleci

-bxlr eP, Vb,xeR. in concluzie AB€ P pentru VA,B

x€Q<r lx€l,rt astfet incat X=[

o) [-* ]l.a*-

pentru Vx e R, deci det(X) >

0 penfu VX

€ Q.

det(x)=lo ll0l =-'

l-*

e Q.

2.a) Conform relaliilor lui Vidte, avem S, =x'

+xr+x, = ( t113I=-2 ao

S,=x,x,+x,x,+x,x,= (-l)231 =3,deci xf+xl +xl =sf -2s, = ( 2)'1-2 3=-2< a0 Presupundnd prin absurd cA toate ridacinile

lui fsunt reale,

obline

*f +tl +xi >0,ceer

contazice rezultatul anterior. In concluzie, rdddcinile lui fnu sunt toate reale

b)Avem l(U.l =U-

IU'l

l*ufr

r.r

in 22. [X] , neconstante, astfel incdt f = gh p"out".g3=grad(f)=grad(g)+grad(h),iargrad(C),erad(h)eN',deducemcdunul c) Presupunem prin absurd cd 3g, h e Z

polinoamele g 9i h este de gradul 1, iar celdlalt de gradul 2, de exemplu grad(g) =

gmd(h)=2,

de unde rezultd

ci polinoamele

sunt de forma g = mX + n , respectiv

+bX+c, rnde m,aeZ* qi n,b,c e Z . Avern f =Xr +2X2 +3X+45= (mX+n)(aX'?+bX+c)> ma=1= m=a=-l h =aX2

m=a -1. Fird

reduce generalitatea, putem presupune ca

218

m-a =1.

&faim tp:Z[x]-+ <p(aeX"

(Irervtrm

z.fxl

pnn

+a,x"-r +.., +a"-,x

+ a"

= ilx" *41"-, *... * {]x

)

este un morfism de inele de polinoame 9i ca

=Lx'-ixr,ix,8= xr*x-i i. Dn f

= gh =

= 1x

(x + n)(x' * ux +

+;)(xt

* ux

deducem

n e) . observim ctr

cr q(r)

i1-i1

=9,

9(f ) = 9(Xr

,p[(x *rr)(x,

"..u

2X, +3X+45)=

c)]+

.ontrazice constatarea

nu arc rd.ddcini in Z, . Deci presupunerea fdcutd, anume cd polinomul fpoate fi scris ca produs de doud polinoame cu coeficienfi intregi, este absurdr, de unde deducem conhariul, adicl iaptul ci fnu fi scris ca produs de doud polinoame neconstante cu coeficienli intregi. c6,

Varianta 64 t.Fiemullimea

r- J' -'3)l-.reZf marriceu ^ ll\, L):l l\r x4 , si y

eMr(Z) 9i Ay=yA,anrnci yeM. cA, dacd X e M 9i det(X)= O, s1,rnci X = Oz .

a) Str se arate ca, dac|

b) Sd se arate

c) Sa se arate cd An e M

. Vn e N'. f =X5-Xa+3X3_Xr_ZeC[X].

2. Se considerd polinomul a) Sa se determine o

radlcinl inbâ&#x201A;Źaga

polinomului

b) Sise calculeze xf +xl +...+x! , unde x1,x2,...,xs sunt riddcinile polinomului c) Str se arate ca fare o singurd rlddcind reald.

Fie

Y â&#x201A;Ź1'M,

zyy+ t ,2x 3y

Y Fie

iJ,

*,o'r.r,

AY = YA.

x z) - i:x + Jv 2z+lt\ / x z)r2 3) zllr ,]= l,.-r, ,-r, lt'"o=|., t )\.1 z) x+22 ']'l . o*, -3v 2zt tr) 2x+z 3x+22\ AY - YA <r (2x -( 3y 'ztt \x+2y z_2t)\ ?y+t 3y +2t )a

rA.Y _( IIr zx{.+iz

(z), 3)(

2x+2,22+3t=3x+22, \+2y =2y+t

/x z) fx lv) .leM. I\v r/l=l x/ \y

XeM> !x,yeZ astfel incat X=[t

"l) x

219

$i z+2t

=3y+2t<1 z=3t

ou"- aer(x) = l* 3vl=*, _3r. ly

det(X)=Oe

Atunci

.'6

-3y'

a1 x =y=0,

deoarece, presupunind

x,y+0,ob1inem

lll . q , ce"u "e evident este fals. tvl

c) Avem A

.A"

= An

Si,

conform subpunctului (a), deducem

2. a) O posibili ridlcintr intreaga a polinomului

= X5

An e M pennu Vn e N'

-Xa + 3Xr -X2 -2 tebuie sa fie

printre divizorii termenului liber -2 , adica in mullimea D (-2) = {-2, - l,1,2} . Observim cd f(x)-x5-x4+3xr -x2 -2<O,deci f(12)19 qi f

(-l)*0.

Avem f (t) =

o,deci rddtrcr

x<0>

inheagtr

- 2 = 0 $i f (z) a polinomului feste a=1. ts

ta + 3. 1r

b) Conform rela{iilor lui Viite, avem S,

S, =

x'x, + x,x, +...+

x4x5 =

= z5

- 2t * t.

=x, +x2+...+x5 =

2 = 34 +

(-t)'a=f

(-t)'9ao =:, a."i xf +xl +...+x! =si-2s, = 12 -2.3 = --'

f =X5-Xa+3X3 -X2 2= X5 -Xa+3X3 .3X2 +2X1 ,2= = xa (x. - t)+:x'? (x - 1)+ 2 (x + l)(x - t) = (x,r)(x4 + 3x2 +2X+2)=

c) Observimcl

-r)[(x. + zx, +r)+(x,

Avem

x2+1)l

2x +r)]

pentru Vxe1R, aeci

Se considera

sistemul

[ax

]

(x'?+l)':+(x+t)2 >O pentru Vx e 1R , de unde

ca singwa radacina reals a polinomului

= i* -ty[1r, * r)' *1i * r;'

f =(X-l)l(X':

*r)'*{x*r;']

este

d=1.

Varianta 65 - v-z .4 r 2V

6. cu a.b e R

= lx l3x-y-22-b

a) SA se determine a,b pentru care sistemul are solu.tia (1,1,1).

b) Sd se determine a,b astfel incdz sistemul sd fie incompatibil. c) Sd se arale cd penttu orice a eZ existZ. b eZ astfel incat sistemul toate cornponentele nurnere intregi.

J1" 2. Se consideri mulfimea de matrice

^=llo " llo

o)l

admitd soluqr

O]1r.0...r,f

' 'jl

a) Sd se determine numarul elementelor mul{imii A.

b) Str se arate ctr, penhu odce X e

X? =

sau X2 = Or.

c) S[ se dâ&#x201A;Ź{ermine numdrul matdcelor X din mullimea A care au proprietatea X2 = O.

220

blvdri LrrDacA sistemul

ia.l+l+1=a

are solutia (1,1, t) , atunci oblinem

(^' t2

o=l

L' -{iem matricea sistemului

[3 -l

11+2.1+3.1=6

[3.1-l-2.1=b

ttl

3 l,deci ^=det(A)= ll -2, l:

a=2 ti b=0.

"-r

-21

l-3a+t

il -3a-1 r2a.3. a-4. l- - -l= la+3 | -21 lza+J I Ll A =*a+4 *0 c) a +4 €) a e R.*{,f} , atunci sistemul este compatibil determinat. kcu ca sistemul si fie incompatibil, este necesar ca A - -a+4 = 0 €, a = 4.

-,"0-,, =--1a+l

-ot ] i

Lrestcaz,

sistemul

[4x+y+z=4 devine lx+2y+32=e I

.Observdm cd, dacd adunim ultimele doutr ecuatii

l3x-y-22=b -nh1g

su msmlru, obtinem

-ri

4x+y+z=6+b.sistemul

[4x+y+z=6ib

4+6+b€ b*-2.

5i numai dac6 concluzre, penku a =

Pcntru

a=4

4 $i b + -2

b=-2

!4i+y+z=t

este incompatibil

, sistemul este incompatibil.

oblinem sistemul

[4x+y+z=4 .lx+2l+3z=6

l3x-y-22--2 r.-, f**zy*:.-o - Jx'2v=-32+6 _ lxt2y 3z-6 -22=-2l3x-y

=t=!J1, r= rk -2,

respectiv

atunci * = "

lx=7+z) llx-y, zz_zl.z' \0, zy l._l--> y =3x-22+2. observdm c6 dacf, 3)2.vo rkeZ astfel inclt !2 = k.

V,, y = 3x -

z=:k-2 eZ , deci sistemul este compatibil

z) = (r, a

* 4,

-r rr

2z + 2

- 2(7k -

-b-2=a-4<+

nedeterminat gi admite solu{iile

obfinem (a + 4)x = -b - 2. Luand, de t;ll il; -: - b

b = -a + 2,obflnem x =

qi sistemul

=.-3a+7 $i z=2a-3. respectiv x

= -ltk+ 6 e Z

6,7k- 2) e Z3 .

observf,m cd

;oucluzie, pentru

2) + 2

VaeZ,-lal ,1b=_a+2eZ

-lczr- y=-3a.ieZ

soluliile

astfel inc6t soluliile sistemului sunt numere

z=2a 3eZ.

221

{i; :;"r: r^,cu

lel=lz, "2, "2,1. lz,l' b) Fie

XeA>

= a.

r"00.J

3a,b,c<2,

astfel incat

*=lo " 0I at"n"i *2 =X X= [bcaJ

f"oolf"ool (]ool =lO " Oll O " Ol= I 6 ,', 0l [, . ".Jlo . ",J lo o u,J Yx

eZr.

Obsewdmca, daca a

c) Am obtinut anterior cd X2

Evidenr

l{xeAlx'?=o,}l =

a:l,.undeamrolos,traptul ca

=0, atunci xr =021:

=o: <ra=0.decr

l{(b,.)1b,

x'x -ir pentru

-:r,:,11"t u =i' utun.i X' =itI, =i'

l0 0 ol *=lO O 0l. unde b'c e Z, arbitrare [u " o)-

,.2,\l- lz,*z,l=lz,l'

Varianta 55 l.

Fie dreptele d1 :x +2y =

3, d2:3x-4y=-l' d,:4x+3y=m'

unde

meR'

a) Sa se determine m astfel incat dreptele si fie concurente. b) SA se demonstreze ca existl o infinitate de valori ale lui m pentru care vdrfurile triunghiului determinat de cele trâ&#x201A;Źi drepte au toate coordonatele intregi. c) Sh se calculeze valorile htr m pentm care triunghiul determinat de cele trei drepte ari

alia

l 2. Fie polinomul

f=2X3 -aX: aX+2,cu ae lit

a) 56 se calculeze

b) Si

Rezolvdri 1. a) Fie d, n

x,,x' r'

f( l).

se determine a

c) Sa se

qi cu rdd?icinile complexe

penhl

care polinomul are trei

determine a astfel incdt lx,

lxr

l*,

rldacini reale'

sistemului format din ecuagi:i {A} . Coordonatele punctului A sunt solutiile 1.x.2v=31 2 {2x+4v=b sx=5=,x=l $idin dreptelor d, 9i dr, r.espectiv ,=

1r"_-or=:;- tr__.,=

r-2y=3= 2y=3*x =3,1=2.-> y=l,deci x,r =ya = I , adictr punctul A are srdonatele (x, , yo ) = (t, t) . Dteptele d, , d, gi d, sunt concurente

tr Fie d, 0 d., = {B}

dacd gi numai

daci A e d,

4xA +3yA = m

Coordonatele punctului B sunt soluliile sistemului form;rt din ecualiile

Gptelor d, 9i dr, respectiv

r".ry=31.4

l4x,8y.12

{

l-+" :y= m= ei din x+2y=l= x=3-2y=3-2.(?)= ?Il 1+x+:y=ml.(-l)=

=,=''r'

5v=12-m+ ,decipunctulBare

, , (zm 912 m\ txa'Yr/=l , , 5 ) dr n d3 = {C} . Coordonatele punctului C sunt solulile sistemului format drn ecuafiile

d, ei d,,respectiv

='=oli'qi = r =2'!?

j-{i.;l=;l'j=- {i;]i;*

din4x+ly=s1 =

:;i+

3y=m

, deci punctul

.f1

2sx=4m-3>

= r.,.-4f4T;3.]=e-jl?-

\2s )

are coordonatele

(-., r.)=

[{i

i#)

-etAm acum cl existA o infinitate de valori ale lui m pentru care coordonatels punctelor A, B C. adici ale vArfurilor triunghiului determinat de cele trei drepte, sunt intregi, rispectiv

l2-m 4m-3 3m+4 _ 5 5 25 2s --' cA -::-:cV,$3k€Z asrlel incar 4m- j=25k= l6k+k+3= a/(k+3)= 3peZ astfel incdt k=4p+1. 2m'-.9

4m=25k+3= 25(ap+ l)+

m. 25p+7. pe Z.

(2sp

.71

3(25p + 7)+4

l00p + za

)m-o

)l)\n-7\

4m=25kr3=

m =1!Ea?8_

=25p+7.

fip+teZ, =-\--P - 't I j\_3 _ 4m_3 4(2sD )p€!.---: _ -=.lp-lcZ,

oblinemqi "-::--:

=3p+leZ.Deci, dacdlu6m n=25p+7.unde peZ

arbitrar,

atr_rnci

ca puncte A,B gi C au coordonatele inhegi. Cum p € Z este arbitrar, deducem cA existtr dnitate de valori ale lui m = 25p + 7 p€ntru care este indeplinita cerinta.

223

c)Avem

slABCl-|lol.-0.

ll 2m*9 12-m

:^l_

^=ll T ;:l

4m3 3m+4 25

Atunci

(m-7)-

' -'t =25<> m '7 =15. cu soluljrle mr -2 | (m-7)-

S[ABC]-1a- lil-Jl=1o

b) observlm

ci f =2X3 - aXz - aX+2= z(x3 +t)-ax(x+r)=

=z(x+r)(x'?-x+r)-a,x(x+r)= (x + r)[zx' -(a + z)x + z] Deoarece grad(f) = 3 , deducem

factorului 2X2

ci polinomul f admite trei rldlcini Notdm cu xt.t

-(a+Z)X+Z gicu x,

Avem xr,2 e lR dacl

9i numai daca

ridicina factorului

+lx,l+lx,l

Evident x,

=-lelR

a=[ (a+z)]']' 4 2 2=(a+21'1 -16>0<>

o (a-2)(a+o)> 0 <+ ae(-o,-6]U[2,o). c) Avem lx,l

X+l

l*'l +1"'l+l-tl

l*'l +lxrl = z. 6s4u6sm

^r*r=L=11 lx,l'lxrl=r.oin lx'l+lxtl=z lx,l lxrl=t x',x, eR 9i rela$a lx'l=lx; l*,1=l*rl=f . Dacd A>0e a e(-*,-O]U[2,"o), atunci 5i

Pe de altaparte,

S= xr +x: e {-2,0.21. Deoarece

fi t=T-

evem {-6, -2, z}n [(-"., -6]U

-)]

are loc pentru (

x, =xz - -1), ( xr =-1

[2,

x2 = I )' respectiY ( xr

a-2S-2e]-6.

{-6,2}

in concluzie,

e {-0, z} U (-0, z) = [-0, z]

= 1), situatii in care

2.2}

x' = x, . iar din x,x, condilia lx, | + lx, | = z'

DacIA<0oae(-6,2),atuncix,.xreC R 6ssa ge indeplinegte automat lx, | = lx, | = 1,

=x:

114

= 1 deducem ct

Varianta 67

(t t t) lx+y+z=l gi a=lt t 1, Fie sistemul jx+ml+z=t ,cu melR matricea ^m m] l. \l [x+my+mz=-2 a) Sd se calculeze det(A.)

b) Sa se arate ch rang(A)

* Z, oricare

SA se

2' Fie permutirile

m E R.

/l 2 3 4) /r 2 J 4) ft z : "=[, , a rJ P=[r , o r)' t lo , l

nroului (S,. ) . a) Si se verihce cf, y b) Sd se arate

lui m + l, pentru care sistemul are solulie cu

determine valorile intregi ale

inhegi.

este solutie a ecualiei

ax = xp

+) 2J'eremente

cI ca = Pa.

c) Si se determine o solutie a ecualiei xg3 = a3x

S+

r rl 11 0 ol ll r, Avem oer(.r)=lt m tl= m-t o.l=(m-r)' lt ll m ml 11 m-l

Daca det

m-rl

(a)=(m r)'?*0<r m*l<; meR.-{t}

(tt m=

luzie,

r, obrinem

^=[l

ll ,,*tu*, I

, atunci

mng(A) =3.

rang(e) = t

rang(A)+2 pentru VmelR

kntru m + 1 avem

det

(e ) - (m - l)2 *

0 , deci sistemul este compatibil determinat $i poate

225

-3(m-l)

(--r)t

m-l

Observf,mci

x,y,zeZ

dacd Sinumai

e m-t e {-3,-t,t,:} o me{-2,0,2,4\cz,-\l\.

(tz34)fr234)(r : + rJ[+ l r zJ

2.a)Avemcr=[z

2 3

daci

-: m-t,eZ<>

4) l5l

4 2 3)'

(r 234\(r 214) fl 234) vO=l ll | + z)- 4 2 3) tv-1.+ 3 l 2J[3 \r I

Observam c6 cy = yp, deci

^-_-a

este solulie a ecualiei

(t 2 3 4\( | 2 3 . b) Avem cr'="'"=[z z + r)lz 3 4

(t 2

r)= \3 4

(t 234\(t 2 34) /l 234) ll l=l l-e. \r4 r 2r\3 4t 2) \t234)

. oo

resDecllv U- -v

_(t z r 4lf' 2 r 4l f' 2 i 41.ou_0282_ [] I 1 2Jl3 | 4 2/ [4 ] 2 rl (t 2 i 4\(t 2 3 4) fl 2 i \4 3 2 r^4 l 2 rJ U 2 3

c) Avem xp3

=crtrcr "(*gt)p="("'*)g<>

aa =ga =e.Deci x0r admite solutia y . faptul

4) oxpa

=crx<>ax=x0

=sa1po ax = xp , unde am folosr

9i am observat anterior ctr ecua{ia o.x

-x,8

Varianta 68 1

considerl matricele A e M,

(R) qi B = A +At

a) Sd se arate ctr Bt = B. b) Sa se demonsueze ca, dacd B =

c) Si se demonstreze c6, daci

unde

este transpusa matricer

2Ir, atunci aet(e)> t.

x,yeC

matricea

xA+yA'

este inversabili, atunci

x+y+0. 2.Se consideri ecua.tia

xr+px+q=Q, p,qâ&#x201A;ŹR,9i

x,, xr, x3 solufiile complexe ale

acesteia.

p=1 ii q=0, strse determine X1lXr:X3. b) Sd se determine p !i q ttiind cA xr = I + i . a) $tiindca

c)Sasearateca-.^t12(xi

7 -/ r + xir + xj1l/ ' + x;' + xi) +xj'xr,)=7(xi ){x;

Rezolvdri

l.a)Avem

gr-(e+A')'=e'*(e')'= / \ r\

Ar - A = A + At

226

=B.

deci

B(=B.

bFie M =A-Ir. Avem M+Mt =A- 13 +A'-13 = A+Ar -213 =B-212 -

21,

xv)

21,=

Or. ConsiaeranA fvf = frl

* y') ra m nl ( ," " = m b zl*l* o ol= o p c) \r z c1 l-.\n+y

b p

z L avem M+M' =

m+x n+v) -l

2b p+zi,deciM+M'=O.,e p+z 2, )t-

m+x n+vl O O) .'2a m+x 2b p+z [o 0 0 0l <+ 2a=0. 2b=0. 2c=0.

n+y p*z

l=1

/ [0 0

;-z=0<> a=b=c=0 ti

0x =.-x 0 ll. "0., -y -z o) M xP

m =-x,

n=_y, p=_z,deci,

m+x=0, n+Y=0,

* tl i" !l=lm b 7{= l" o "j

r*r' =or<> 3x,y,zetR*oo-"*t=[-0" ; :l l-v -z 0l fr o o) f o * yl (t )( i)

=A-I: +A=I: +M=

."o,

o "l=l-:< t ,l lo 0rol+l-x \0 lJ l-r -z 0.1 \-v -, r)

j ll il=[ ;l |]

fl.,|1

:l=

!-z: -x(-x+12)+y(xr+y)= x2+y2+22 +1. Observamca xz +y2 +22 +l2l ?Ly,z€R, deci det(A)>l pentru VAeMr(R) cu proprietatea ci B=2I:,unde hesupunem prin absurd

x + y = 0 <> y =

-x . Atunci

xA + yAt = xA

1,A' = *

(e - a'

)

o"(a-e')= o*[(o -o')']= o,t(a' -e)= a"t[(-r).(e -a')]= -a' ) = -aet(a - a' ), aeci aet(e -.a,' ) = -aet(e - e, ) - oet(a, a, ) = o = 4.,[-(e-a')] = o, ceea ce contrazice ipoteza ca xa+ya'=x(A-Ar) este inversabild. -r)r aet(e

cd presupunerea

Pentru

p=1 ii q=0

x+y

este absurdA,

oblin€m ecuafla

deci

x+y r.0.

x3+x=0<> x(x2+l)=9,gu54uliile

r: =0'

227

xr.2

=1i

b) Deoarece

p,qeR

=1-i.

qi xr =

I+

- R , deducem cd ecualia xr+px+q=0 admite 9i soluprl

iâ&#x201A;ŹC

Conform relaliilor lui Viete, avem Sr

xr +x2

+x. = (-t)t3r

-1+i+l-i+x3 =0> xr = -2. Avem s, =x,xrx, =(-lf 3= q= (r+i)(t-i)(-2)=-q= -4=-q+q=4. an Din fapd cA x3

=-2

este solulie a ecualiei, oblinem ca (-Z)3

.r-4-2p=g1p=-2.

p=-2

+p.(-Z)+a=O+

q=4. c) Folosim notafia s" = xl +xl + x!, unde n e N. Avem so = 1f a1! +x! =3, t, =xr +x2 +xr =0, s, = xi +x; +xi =

(x,

Observdm

in concluzie,

*, )t - 2(*,*, + xrx, + x,xr)= Si -25, =-2p. cd x] + pxu + q = Ol.;l =0 pentru yp = +

^l*'+pxi*r+qxl

=il

9i VneN.

insumind aceste relatii, oblinem ca sr+: * psn+r + qsn = 0 pentiu Vn e N . Pentru n=0 oblinem s, +psr+qso =0> s: + p.0+ q 3=0= sr =-3q.

n=l

=0: ro +p( 2p)+q.0=0- s4 = 2p'z. Pentru n=2 oblinem sr+ps3+qs2 =0= s5+p(-3q)*qf-zp;=g= s5 =5pq.

Pentru

Pentru n = 3 Pentru

oblinem

+ps2 +qsr

oblinemsu+ps4+qsl=0=

+p.2p2

+q(-:q)=o>

n=4 oblinemsr+ps5+qs4=0= s?+p 5pq+q 2p2=0+

Atunci avem rz(x1 = Tsjsl =

=-2p3+3q2.

sr =-7p2q.

+xl+*l)=125, =-84p2q ti z(xi+xl+xl)(xf +*l +xj)'=

7(-3qX-2p)'z

-84p'?q.

in concluzie, am oblinut ca

l2(xl +*l +*l)=u(xi +xi +xl)(xl +"1

**l)'.

Varianta 69 l.Fiematricea

[r r o)t

^ l : :l [0

a) 56 se verihce relalia .A3

SA se

arate ctr

letrl,(R).

- A = A2 - I,

-A" : 2

Vn e

)

An este hecare n e N' se dehnegte polinomul P" = X" - 1 e A[X] .

Sd se arate cr, pentru orice n e 2. Pentru

-It,

, suma elementelor matricei

a) SA se determine radtrcinile complexe ale polinomului Po. se descompuntr polinomul P3 in factori ireductibili c) Sirse descompuni polinomul P6 in factori ireductibili

b) Sl

228

in A[X]. in R [X].

n+3

r 0)rr 1 0)

-Al<m A2 =

A.A

;rll:

i;l

o rllo o rl=

ll'

r 'l

0 I ]. Atunci

r 1l rr A'-1, = r 0l-10 I ti 0 1, lo ?l fo I r)

l.1

1l-10

0r0Jl0

o ti= l

;;l o

ir]'

o' =o'

i:i r 2 1l

l0^0 I0J

caAr-A=.c2-r,=lo o. ol.

(000J pdn metoda inductiei matematice proprietatea

An -AD-2 =A.2 n = 3 obtinem

-I:, VneN, n)3.

(3)

: ,A.3

-A

adevdratl proprietatea

A, -

, evident qdev6ratA,

P(k):Ak-Ak-2 .4.2-lr

demonsram cd este indeplinitl proprietatea p(k

+l)

.A.k*' -At,-a(eu-a* t)= o(o, -tr)=o' A=

-I3 = p(k+l). ie, proprietatea P(n):a"

-AI-r

conform subpunctului (a).

pentru un :

Ak+r

keN, k>3,

I - Ak

= A2 _

.q2_13,deci

=.q.2

-A" 2 -.A2 Ir este adevarati pentru VneN, n)3.

s:M,(R) rR. s(A)=1a,,

. unde

A=(.,),-,,.,

it -l

S(A)= I a116ng *0+1+0+1+0 = 4, S(a, -{: ) =

+2+l+0+0 +l +0+l+0

lEtreral, observdm ca

:7-eR.

I+t+t+

S(X+y)=S(X)+S(v) ti S().X)=).S(X)

n=1 obtinem n (t) : S(er = 1+ 3 , evident )

-*')

+I+0+0+0+I=

(2)

s(et)

= 6.

prin metoda inducliei matematice propietatea

oblinem

(n)

pentru

VX,yeMr(R)

A" = n + )

3, Vn . X- .

adevArata, conform observatiei

ci S (A) = 4

= z +S , evidenr adevdratd, conform observaliei cd

229

Presuprmem adevaratA proprietatea

e(l):S(ll)=i+:

oarecare qi demonstram ca este indeplinita proprietatea

Avem =

Aktr Akr-A2-13=

Ak*r =Ak*r

s(ek-')+s(e'z)-s(t3) = k+2+s

in concluzie, proprietatea 2. a) Avem p4 =

pentru

f (t

Vi(k

+ f)

lui

b) Avem P, =X3

t++> e(t+t).

f (n) : S(a" = n + 3 este adevAratd pentru Vn e N" . )

x4 l= (x'-r)(x, +r)= (x- r)(x+r)(x'

Evident rtrddcinile

S(ektr = f )

kâ&#x201A;ŹN", k>1.

+42-rr=> s(ek-')=s(att +e,'-rr)=

k+4, deci s(ek.'

pentru un

Pa sunt

x,., = 11 qi x,.. = ti

-l=(X-l)(X'?+X+l).

+r)

Factorul

X2+X+t

admite rdddcinile

.E xr,:

=-#.deci

descompunerea polinomului P, in factori ireductibili

in C[X]

este

rli\61- rx-rtix.,r'iflir,, r-iJ: l *-r*,rf'(x--r-i'6lfx'l 2lt 2 ) 2ll 2) c) Avem

Pu=X6-l= (x3 -t)(x'+t)= (x- l)(x' + x+r)(x+r)(x'? X+l),aceasta in EX], deaorece factorii ireductibili in trt[X].

fiind descompunerea polinomului Pu in faJtori ireductibili X2

+X+l ii

-X+l

au A = -3 < 0 , deci sunt

Varianta 70 l.

Pentru orice doui matrice A,B e

a) Pentru

AeMr(R)

, sa se calculeze

b) Sa se arate c6, pentru orice e. e I

M, (R)

se defineqte

matricea

[A,B]= AB - BA

[e,e'?]. , [a,a,.]= Or, unae

(R.)

este adjuncta

matricei A. c) Sd se arate cd, pentru orice A,B,C e M"

[a, [u, c]l

(R),

n]l+ [c, [e, e]l = o. . 2. Se considera intetuulul g = (0,l) . +

[u, [c,

a) Sl se arate cb relalia a

b) Sa se arate ca tunctia

f(xy)=

f(x)'f(y),

"b =

au+(t

a)(t -

f :(0,+co)-+(0,1),

vx, y > 0,

unde legea ,,.

dehne$te o lege de compozilie pe H.

f(r)=;i

are propdetatea

este definita la punctul a).

230

c) gtiind cA legea

,, c

" definitA la punctul

a) este asociativa, sA se rezolve in multimea

'2 xox"x=!.

ecuatia

A3-43

=or. fa,l'z]=a.A?-A2.A= -{r-em A.A* =A- A=det(A) Ir,deci LA,A'l= AA'-A'A = oz. .r,'em [n,[n,c]] = A [B,c]-[B,c]A = A(Bc - cB)-(Bc - cB)A = e"em

cBA , [8,[c,A]] = B[c,A]-[c,A]B = B{cA - Ac)- (cA - Ac)B = BcA - BAC-cAB, ACB, [c.[A. Bll = .{,Bl-[A, B]c = c(AB - BA) -(AB - BA)c = cAB - cBA - ABc + BAc.

-r8c - ACB - BcA

ABC

[e,[n,c]]+[n,[c,e]l+[c,[e,n]l= +

ACB + CAB

+ BAC = Or

- CBA -ABC

rrFie a,be(0,1)Cr cd aob= ab

],|.1r,-)*

- AcB - BCA

cBA

BcA - BAc

l-t,*-1.(0,-).

+(l * aXl -b)

<l.deci l.-;,-\r, , :-1 l,l ll -r-l la /lb )

. b e (0,1) = H , adici asocierea

(a,b)-+a'b

definegte o lege

:otrpozilie interna pe H.

.r,em

f(x).f(y)=r,-iil= '-[ir.r

r(xy) , deci f(xy)=

{m observat ctr aob =

-',J[;rt-'J

f(x).f(y)

i.ftl-'][tl-'] \ x /\ y

)

,,1 l xy

penau vx,y > 0. pentru Va,b e (0,1).

,.l.t-t)f1-') b [a

,/\,

)

t-t=f1-')i1-'l r,.o, --l- = r*r -r'lr!-l)= a"b \a /\b ) aob \a ,\b ) 1

r_,) = r1_r)r1_r]r1-,). d..i .-""1 I -1=---1---r= Ir _,)f ']\u 'J[. 'J'-'' aoboc (a"b)"c Ia"u 'J[c 'J \"

rbc

_,=l,t-,lf t-,){,1-,] (a ,\b

./\c )

pentru Va.b.c e (0.1). in particular. pentru

231

a=b=c-xâ&#x201A;Ź(0,r),obtinem t,=l,1-,]fl-r)f1-r)=f1-r)' xoxox tx ,/\x ,/\* ,/ \x ) atunci

I =2.> I -t=1.- fl-ll x.x"x=lo 2 x.x"x xoxox lx )

=r<+

l-t=t<> x

<+x=1e(0.1).

Varianta 71

Se considera

determinantul de ordinul n

) 2 . D-

100 21 121

o ... ... ... , o ... ... ... 2

I' 0 ... ... ...

1 0l a) Si se calculeze D3=ll 2 11. l0 121

- Dn ,, Vn ) Vn>2.

b) Sd se verifice cd D,, = 2D,,_,

c)SAsearatecA D"

=n+I,

2. Un grup (G,.) , cu elementul neutru e, are propri"tut"u

(n) daci

x2 = e , Vx e G

Z, x Z, , impreuni cu legea de compozilie datd de (a,b) (c,d)=(a+c,b+d), Va,b,c,dâ&#x201A;Ź2, este un gmp care are proprietatea (p) . a) Sd se verifice cd mullrmea

b) Sise arate c6, daci un grup G are propdetatea (n) c) SI se arate ctr orice grup care are propdetatea

(p)

,ut-"i (*y)' = *'yt, V^,y.G este comutativ.

Rezolvdri

l ol lo I ol r.a)Avem o, z I r t_))tt))l'l -t l' , rl= tt l-r 'l= 'tl' lo r 2l lz r zl 12

b) Dezvoltf,m

o,,

(-r)'.'

dupA elementele primei

linii

'l=0.

gi oblinem

.2.o,,_, +(-t)r*'?oet(d,, , ), unde d"-, e M'_, (R)

232

I I 0 ... 0 2 1 ... 0 1 2 ...

00 00 00

0 0 0

0 0 0 ... 2 l0 0 0 0 ... I 2l 0 0 0 ... 0 t2 :oloane, obtinem

:rAvem D2

Fntru Vn

Observim ci, dezvolt6nd

det(d",,)

dupa elementele pdmei

det(d" r ) = (-l)r-r .l.Dn,, =D"_r,4"ci D" =2D'_1 -Dn

=1, ,l =,

ObservAm ctr

> 2, de unde deducem

D" =2D. r -Dn-z

ci girul (D.)",,

este o progresie

rDn_,:Dn,r -Dn_: aritmetica de ra,tie

r=Dr-Dz =4-3=1.Atunci D" =Dr+(n-l)1= 3+(n-2).1=n+1

a) Deoarece

(Zr, +)

este grup comutativ, deducem cd operatia definittr

la, b).(c, d) = (a + c, b +

<kment (a,b) e Z,

Dtci (22;<2,2,.)

admite ca invers tot pe (a,

" blDac[grupulG

b), deoarec" *

n*t

este grup comutativ, avdnd elementul

.6, ,deci (Zrxzr,.)

(0,0)=

1 = (a,b), avem x2

pe Z,

Vn>2.

xZ,

(p) , uton"i x2

gi cum e =

e e, deducem

r =j)

pentru

x e Z 2.

(p).

e pentru Vx e G, deci

("y)'

*, =.,

(xy)2 = 1212 pentru Vx,y e G

*'="1.*-' <> x=x-r,deci x=x-r'pentru Vx€G. xy=x-ry-r=(e.)-t=fr, deci xy=y; pentru Vx, y e G , adic5 gmpul c este

comutativ.

Varianta 72 1. Se considera matricea

a) Si se rezolve ecualia

Sd se determine o

c) Sase amte cA

rr1r)

A=ll I

[r r

det(f,

l€

(R)

+ xA'?)= O,

7r.p.

matrice B e M, (R) cu proprietatea 82 = A

YC€Mj(R), VxeR, det(C+xA)aet(C-xe)

z))

orice

e=(O,O)

c) ObservAm cd

-{tunci

pifir

=x.x= (a,b) (a,U)=(a+a,b+U)-

este grup cu proprietatea

are propdetatea

= e pentm Vx,y e

pentru

este asociatiyd, comurativa, admite elementul neutru (0, O)

ObservAm ca, pentru O* =

,, Vn)4.

<(AetC)'z.

2. Se considertr polinomul p ;3 _;q 1m = cu m e lR a) $tiind cI m = _6, sd se determine xr, x2, xr

rid6crrtile xr, x2,

)

b) Sd se calculeze xf + xl + xj . c) SA se determine m e IR pentru care polinomul p are toate radfuinile intlesi. Rezolvd

t a)A,vem

333) [r.rr'1 3l=31 I I ll=3A, rr+x{2 = 333) lrrrJ 33

(l 00 0

3x ,X+ +l

Il0 l0 I 00l I

Il[] +:3xA .10

3x ,*) 3x+1 3x Aet(t.+xar)= 3x 3x +1)l,deci

3 3x

3x+.l

9)x+ 9x-

3 x+ 3x

3x 3tt

]x 3x 3

3x+ 0

.t (e9x+_r,ll3

b) observtrm cd

13*

+;xA 2

e, =:a

3x +

)=o- e"*r:o- *=-j.

)

AJ =a, at"i lBeMr(R), =*o, - [* (J:

=A.

c)Fie Ar

3rx+t 3xr

I I Ir 3x+r ,*

= (ex+l)l:x

i* 82

3x 3x

3x lx

asrfel incdt

:gl A,=10ror0) roor) I oliie:=10 0

l,l =l] ::l

tr o o/

lo r oJ

[o o

I l. Evident A=Ar +A2+A3.

Folosind proprietifile detenninanlilor, observtrm cA det (C + xa* = 6e1(C)+ x det (C* ) ) , unde amnotat cu

matricea oblinuta prin inlocuirea coloanei k din C cu

Oblinem det(C + xA) = det(C + xAr +xA2 +xA3)=

coa*"

fll, u=n. IrJ

= aet(C)+

x[det(c, )+ det(C, )+aet(C: )] rr, in mod simttar, det(c - xa) = aet(c)- x[aet(c, )+ aet(c, )+ det(c, )]. Atunci det(c + xA)aet(c _ xe)= (oetc), _xrlaet(c,)+det(Cr)+det(cr)], 2. a) penrru m =

obfinem

<(a"tc)r.

p = X. _x_6 = (X, _a)_(X_Z)=

=(x-z)(x'z+zx+4)-(x-2)=

(x - z)(x,

2x +3). Radrcinile polinomului p sunt cere

&te de ecua{ia x2

+2x+3=0,adica

xr,2

=-l+iJt,

respectiv ecualia

x-2=0,

aclicl

r,,t=2.

Conform relafiilor lui Vidte, avem S, = x' + xr +

(-1)'

S-=x,xr+x',xr+x,x, =(-l)231= l.Atunci xf +xl Ob6ervamca

*l -*u+m-01

pcibild

-lr},ll cZ.

deducem cf,

+xj:Si

xr,x2,xj €2,

gi. impundnd condifia ca

m=0

-2Sr=2. rnxr penm Vk-1.3

deducem cd singura situalie

celelalte doua au modulul 1.

$iatunci p=X3

-X = (X+l)X(X-l)

in conchzie, polinomul p are toate rddacinile intregi dact

Varianta l.

*f +x! +*,t = (xf +*] +xj)-m(x, +xr+xr)=

este aceea in care o rardcina est€ nultr

D'! p(0)=0

*u- *l -*l t -*1 =0-? xi=xi

insumand aceste relalii, obt-inem

=2-m.0=2. :t-{vem xf +*'?r+x!-Z

.l!

Fie matricea M

/a b) =l- dJ - l€Mr(lR)

, avand Si

rdddcinile

numai dactr m = 0.

7.3

. Se asociazd

fiecdrui punct

A(x,y)

punctul

- i' x'l /a b\fx) |(y'l .l- \c dr\y, ,ll

-ru(r'.y').unde

a) $tiind cd

lrctului

a=1,b=2, c=3, d=4

A(-l,l)

gicA

, se se determine coordonatele

AM.

b) $tiind cA Itapta y = !x.

a=1, b=2, c=2,

d = 4 , sd se arate

toate punctele

c) Fie A, B, C trei purcte in plan. DacA se noteaz5 cu S gi

rgectiv A.BrCr , atunci

SM = S

seaflipe

ariile triunghiurilor ABC,

ldetMl.

2. Se considera mullimea A

a) S5 se determine numdrul elementelor mul.timii A. b) Sd se arate cA multimea A este parte stabilA in raport cu inmulfirea matricelor din

Y.\zt). c) Str se rezolve ecualia X2 =

X, cu X e A

235

Rezolvdri

I'alAvem

/x') /t z)/-t) /r) deci coordonatelepunctului Av sunt (x'.y') =(t.t) [rJ=[, ;,J[ ,J [iJ

z)/x) fx+2v\ o'o"- /x') /t o)lr)=lr.-or)'deci f r'.J=[r y'= 2x',

deci punctele

x'=x+2v

AM sunt situate pe dreapta

v'=2x+4v

de ecualie y

observam cd

=2x.

o Ir l 1l lr o c) A'em s=;lll,unde a-lxo *.1= ,." -*o" *.-*ol= ^, l"o Ye Ycl Ye - Ye Yc Yr I

lYe

'.-*ol,,",p,.tiu s, =1la,l,unoe =["-:^ =l-:" .:- ,,:"1= ). ^" lYe - Ye, Yc | lr^" ,"" ,"" -*o" ^.' - *o" pe alta parte, -^ =l*"" [-^' l=no1. L [-"" l=rf."l, -Ye, Yc" -Ia"l lYal Ye

lle"

\Y."

I-

ly^"J

.|.

\Ycl

a. uno. deducem ci |

*""

[Ys*

*^"

pa"

Ya"

) .\Yy)

- -^ ri'" l r, \9a i Y.n

*o" -*^1....u..pou,.fi scrisunitarasrfel: i^t"-Ya,/l tl*' \Yc-Ya/ \Yc,

-^n" [*", -Ye, \Ye,

.l=r[-"-xa

Xc"

-Xq"

Yc,

-Ye"7

=det(M).^, de unde ^". ?sM = ldet(M)l.s

rezultd

2. a) Observdm cd frm cliaf

deci

xc-xo'l \Ye-Ye Yc-Yal ci lr"

Atunci

xY-]0 "0 [0

c)rx all 0 "./[0

jla"l=lo.t(ru)l

]lol

o'l :ZrxZrxZrxZr-+A,r1",0,",01=|,

ay+bx

;il

l a Io o

dleste a)

X,Y e A:+ 3a,b,c,d,x,y,z,t e Z, astfel incat

ra b

Aplicind tunclia determinanr obtrneE

la"t(u)l.lal

lel=lZrxzrxz, xzrl=lzrla = 2a =16

b) Fie

zJo

[io'l

(:"

x=lo a dlsiv=]0 x

[o0aJ [00, f: U tlu l9 :0 aJl.o, ax

az+bt+cxl at+dx l=

I l0

a=ad, I

ay+bx,

(a b t^t eFieXâ&#x201A;ŹA,X=10 a 'ar

li 6=ay+dx.

az+bt+cx

cl d

Avem

[auc)fatc)

x=lo

x'?=x

[00"J[00",

[00"J

ab+ab ac+bd+ac)

u' 0

" ullo " o1=

|," o

uaJ

ad+ad l= lO

l, unde am folosit cd x2

=x 9i xtx=0

" a'^ll^^t' J [0 0 aJ Ia obd) fa uc) alo u=0,d=0,c=bde x'z =x<rl0 a U "râ&#x201A;Ź22.Atunci l=19 : [o o a.J [o o a) [" o ol fi o ol

" ol-"lo i o l= at,. [oo"J [ooiJ

pentru

ob=c=d-0.cleci X=lo lctrFu

a=0

in concluzie,

obtinem

X=0 I: = o:,

iar pentru a

=1 ob$nem

x=i,I =Ir'

Xt = X <r X. {Or,Ir}.

Varianta 74

o=[-1,

1 seconsidertrmatrt."" a) Sa se calculeze det A

b) Si

Ir -2 o)

verihce relafia A(A'? + OI, ) = O,

c) Str se arate cd oet(t, + xe'?) > o 2. Se considerf, a,b e

, vx

9i polinomul p

=Xr +aX2 +x+b,

cu radacinile

x1'xt'x3 e C

a) $tiind cA a = b - 1 , sd se afle rbddcinile polinomului p b) Si se determine a $i b, gtiind cA pofinomul p are r6ddcina dubld I c) in cazul b=1, sf,se determine valorile lui a pentm care polinomul p are o rAdacind

t l. ^l

; ]l

n[onal6. Rezolvdri

I -rl lo ' lo 0 2l= , Avem derA -

-'l

r, l-r -2 ol l0 -z tl=l ol r-2 lt Ir 237

2l=o -l

fli

; :,')=l: :, i l o".' o,*u,,= f-', (r -z o.J[' _: oj l, r _sJ'---"' "'' (,rr 2) froo) (422\ -12 -5 I l+6lo I ol= lz r r \2 i _s) lo o rJ {., r t) (o r _l)/4 2 2,) fo o o) "

b)Avem

A2=^

AtunciA(A'?.ot,)=[-t

-fr clAvemr'l-*'=[;

i ;j[; I lj=[; ;r=o,

oo) (-22 2\(t2x

i ij'-ii ;'

:]=

|.l

deciA(A,+or,)=o.

2x 2x\

'J-

,_",.J'0."'

,:;- 'J l= j; ,::" ': l.i;': ,1^ ? ]= lr" x r_sxl lo * ,_s*l lr" ;- ,_rj-

0",1,,.*,1=l',:-

2x 2* | l_r l_r o r r. sx x l-r-rox+z+xr*z*lr -r-:* ; l= lt x 1_sxl lr 3x r_:^l

-(l-sx)--x'+2xl =|-10x+ =

24x2

-2"lt;i-,l:-l=

(l - 6x)' . Observtrm cr

2. a) Pentru a

=b=l

r-r0x+24x2-2x(l-6x)= r-r2x+36x2

aet(tr+xlr)=(r_6x)2>0

oblinem p

pentru Vxe R.

=Xi +X2 +X +t =(X, +f)(X+f),

tl ll Xl = -1. bt Fie p:R -+ R., p(x)= xr rax2

av6nd evident rdddcinile

Xt,2 =

nx,b

func[ia polinomiala ata$attr. Polinomul p are rtrddcina dubli 1 daci gi numai daca p(r)= O, n,(r) g

= ,, n"(t)+ O p,(x)=r;, +2ax+l= p,(l)=2a+q. Din p'(t) = 2214 = 0= a = -2, iar din p(l) = 3 161 2 = 0.= _2+b+ 2= 0= b = 0. Atunci p =X3 -2x'?+X=X(X-t), evident polinomul ,i astfel oblinut are riddcina dubltr I c) in cazul b = I obtinem p =X3 +axz +X+1. Observtrm ctr termenul tiber al polinomului

Avem

p(l)=a1612

estel.Dactrpolinomulpadmiteoddacinarationalir,atuncireZsirll=re{_l,l}.

=, I oblinem p(-t) = a -l = 0 + a = I 9i atunci p = {3 + X2 +X+l =(x+r)(x'?+1) , avnnd radrcinile x,,, =g6q-p $t x..=-1.v.

Pentru r

238

r=l

p(l)=a+3=0=a=-3 qi atunci P = X3 -3X2 +X+1= =\r -3x2 +3x-t-2x+2= (x-r)' 2(X-l)- (x-r)(xt -2x-1), avand ridf,cinile

*atru

obtinem

-/:-^ â&#x201A;Ź L(-u 5r xj =iâ&#x201A;Ź u. L,i =lt{l Varianta 75 '1.

Se considera

matricele A

2 -r

-'J

-l 2 -1 l. B .l I \-r -1 2J (l |

r1)

I I lsi M,="41-!e.." r rxI lJ

r:R'. a) Sd se calculeze produsul AB.

b) Si se arate ctr

M-M, =M*,, Vx,YeR'

c) SA se arate ca, pentru orice x real nenul, det(M" )+ 0. 2. Se consideri polinomul

p=aa-aXr aX+1'cu aeR

9i cu

rlddcinile

t.. x,. x,. x., c J. a) Si se verifice ca

b) Sa se arate

xr+x2+x3+x, -11!-*-*

polinomul p nu este divizibil cu X2 -

c) SA se arate ci, 0ach a =

. atunci toate

pentru nicio valoare a lui a

ridicinile polinomului p au modulul l.

lczolvdri

(2 -r r)ft 1 lJ [o o o] 0 0l=o3. l.a)Avera AB-l-1 2 -lll 1 t tl= l0 [-1 -1 2)V 1 t) [o o

(2 -t rlf 2 I -'l t6 -3 -31 f2 -1 -l) brAvem A2 A^-1-r 2 rll -' 2 rl-13 6 -ll=ll -' 2 -ll=l^. [-r I 2rl I | 2) \J -] 6) l-r | 2) ir l l\rl I ll 13 3 l) ft t t) Br-B.B= lr r rllr r rllr r :]=:lr I r l-rB 5i observdm ci Ullrlrrr.l 1333J lr1r, .{B = BA

=O,. ntunci M-M.

'ro*-!eliro-,+tl =[3 jx_ /\ j ry-

)

AB+ v- sa*-] . et = !.:an{g.,*-!o.,*--}-:e= =*YAr* 9 9y' 9x' - 9x'y' 9 gyt 9x' 9*'y' 23g

=ga*-lg=M^".deci M^M, =M,, pentru vx.ycR.. 5 3x. y, (2 _j _l.l fl r lt f3 o o\ clobservamca A+B=l .r 2 rlrlr r ,l= lo : ol_:r,.aeci

\_r _t 2/ (l I ll t0 0 3J lll v =-14"--B - jla'et= M,M, =M., pentru vx.ye R.. ]-:r.='''.inreta1ia

alegand

y=1,

obfinem M*

>aet(v,).aetl

.Ml =M,.1 =Mr =I:

r\lr,

\ il l=Aet(rr)=r>

det(v_)*o

2. a) Conform relaliilor lui Vidte, obf,nem S,

M*.Mr =I3 >

pentru Vxe1R.

=xr +x2 +x3 +xo = (_t)'

=xrxrx, +xlx2x4 +xlxjx4 +x2xrx4 = (-t)'

j="

3t_ = s

=(-t).;=, arunciI.l "l* I = x,x:x, tx'xrx., t-x,xrxo -xrx:xo _ .S, a Xr X: x3 x4 xrx2x3x,1 {=1=u=s'.ott' I* t xr +x,+xj*^,r-I*a* Xt Xz Xl

b) Presupunem ca

S,,

x,xrxrxo

X.l

(x':-t)lp.auem x, -l =(X_lXx+t)

qi atunci

(xr _r)ln

<>(X-l)/p ii (X+1)/p. Din (X-l)/p=p(r)=o- z - zu - o > a I iar din = , (X+t)lp=+p(-t) =O-> 2 + 2a = 0 > a = -l . Evident relafiile a=l9r a=_r sunt incompatibile, deci presupunerea cd

(Xt - f)ln

este absurdf,.

in concluzie, polinomul p nu este divizibil cu X2 c) penrru a

obrinem

o="0-

pâ&#x201A;Źntru nicio valoare a lur a.

;*, -j"-,

Observf,m cd p(O)= t + O, deci rdd[cinile lui p sunt nenule. Rtrdacinile potinomului p sunr

rtrdicinileecuatiei

t\2

*t -1^,

=.|'"-;J ;l --;,J f -)v-z=o<:

-1"*l -ol,", = l

2y2

2 = 0 . Folosind notalia

-y-4=0.

cu solulirte

*-!--lf

x' 2\^*11=o= x)

x+l=

y. ecualiadevine

,,. =EF

oblinem urmtrtoarele doud cazuri:

240

Revenind la notalia x

+1=

ax,-(Jl-t-l)x+4=0.Avem ar (./33-l) -4.4.4=

)xr-=:?

\Z =(Jx-t)' -a'' = (.,[l-o)(J:l, 7).0. d.ou'... 25 <]l<36=

>S=JX.J:l *,|=l*rl.Dar

..,66=g.Oln x,x,

lx'l=lx,l=t r r+,fi1

A, <0 deducem cI ridicinite x,.,

ax' - {V33 - l)x -

observim cf,

lx,xrl=1ui,11n6n6contca lx1|=lxrl,obJinem

a = 0 . Avem a2

=(Jr-t)'-a'=(J::-z)(J::+9)<0,cleciradacinile

l",l-l*.1

=i=t -

2)xt-=;:>

eC-lR.deci x,

p=*r,,0

=1=1-

I t

=l-(V:.1 x,,o

,r2

*t;1 -444-

ec-R

ri atunci x4 =x3

lx,xol=1,6".1 lrrl=lxol=r.

in concluzie, toate rddf,cinile polinomului p au modulul L

Varianta 76

(t*^' ab * 1. Se considerl matr1..u

4=l ba l+b2 bc l,cu a,b,ceR cb t*rt ) [ ."

adjuncta sa.

a) SI se calculeze determinantul rnatdcei A.

c, a.t(e" )= {A.r e }' c) SA se amte ca maticea A - Ir are rangul cel mult l.

b) Sa se verifice

2. Fie (G,

(x)=

)

un grup. Pentru fiecare element a e

sâ&#x201A;Ź

definefte funclia fu :G

, Y*.6.

a) Si se arate ca

este bijectivd, pentru orice a â&#x201A;Ź

fi = ful , Va,b e G c1 rie :r(c)= {f" :c -+ cla e c} . Sa se arate ca 5r(G)

Sd se arate

cd f" .

impreuna cu operalia de

compunere a functiilor formeazd un grup.

Rezolvdri

l. a) det

+ G,

.l u"l I lt au u" I la' aD A = lr" r+b2 ul=lo r*u' u" l*lu" l+b2 o."l1." cb r+c'?l lo .u r+c'l l"u cb l+c'l

It*u' ab

24r

.o',1-ulo r la ab ". I la 0 0l u ol = (r-, b'])(r-c')-brc'? , l= "lr '-o' ' l.b , jc cb I ,.tl lc o tl

_lr*u'

= l+a2 +b2 + c2.

b) Evident 1+a2 +b2 +c2

Avem

A.A* =(aete).r,

pentru Va,b,ceR,deci detA=l+a2 +b2 +c2

det(A.A-)=det[(detA)

>aet(e) aet(a')=(aeta)3 =

a.t

(e'

)

+0.

r]J=

= (aet e)2 , unde am folosit faprul ctr detA + 0.

acl

fa']aU c) Avem A-I, =]ba b' bc ObservAm ci matricea A-I3 l. [ca cb c'

f"')

r")

f*l

este forrnata din coloanele

[")li [*)

r")

b deci oricare doud cotoane ale matricei A-ri sut l* l=.1 l.lo' l=r] I lu. l=cli'.1 l, lc./ \./ [.u,] lcuJ 1.,./ o

liniar dependente. de unde deducem Pentru

a=b=c =0

cf rgng(A

i.,

1. t.

obfinem A-13 = 03 , caz care nu se incadreazd in dehnilia rangului unei

matrice. unde se discuta doar despre matrice care nu sunt identic nule. DacE a *0 sau b*0 sau c + 0, anmci A-I3 +Oj 9i obflnern rang(A-tr)=t.

2.a)Avem

f"(x,)=t(xr)=

f,(x,)=f"(xr)=xr ObservAm ca, pentru

axr =ax2

arax, =3-rs1r

xr =x2,deci

=x2 pentm Vxr,x2 €G,adicafunctia fa este injectivr.

VyeG,3xeG,

x = a-ry , astfel incat

f"(x)=ax=aa-ry=y,adicd

functia fa este sulectivi. in concluzie, frind injectivi 9i surjecdva, f'uncfia fa

este

bijecdva.

r".r.1*1=t"(ro(*))= f"(bx)=a(bx) =(ab)x=f"o(x) , deci f,"fb(x)=f"b(x Vx € G, adicd f".fb = f"b penau Va,b e G.

b) Avem

pentru

c) $tiind cd opera{ia de compunere a func{iilor este asociativA, deducem cd opera{ia indusd pe F(G) este asociativ5. Obserydm cf, fa 'fe =feofa =fae =fa pentru Vf" eEr(G) , unde,,e" reprezintd elementul neutru din G, deci

f".!,

F(G)

admite pe f€ ca element neutru.

'.f" =f"" =f",deci Vf" eF(c) este simetrizabil, (f" )-' = f" € r(c) . in concluzie, (r(c),") este srup. '

Avem

=f"

242

varianta 77 lx-y-mz=1 'mz*1.m, mER. I

Se considerd

sistemul

.{rnr+y I

lmx+3y+32=-1 a) Sl se calculeze determinantul matricei sistemului, b) Str se arate cd, pentru orice m â&#x201A;Ź R , matricea sistemului are rangul cel pu{in egal cu 2. c) SA se determine m â&#x201A;Ź R pentru care sistemul este incompatibil. 2. Se considera o > 0 un numlr real qi mullimea

compozilie

x*y=3xy

6(x + y)+

7cr

Str se arate cA

grupurile

(cr.*)

legea

a) Sa se arate cA, pentru cr = 2 , cuplul (G",

lle

G" = (c,"o) . pe IR se definegte

(Ri,.)

este grup abelian.

sunt izomorfe, prin funclia

f :G, -;R.*,

i(r)=:x -0. -13

sr.-

c) JPeratia

SA se arate ,, {.

ci, pentru d > 2, multimea Ga

lczolvtiri

este parte stabild a

a) Matncea sistentului este

-ml ft -rt -ml lr-.-r o=]der(A)=lm t .l= - ],deci [- 3 3) l- 3 3l

lm.t m)+ml('tr)l^lt , llici lva. "s

(*)

=(m+r)(mr+3-nr'?-3m)

: -,. r1

- -:(m+r)(m r)

m n-',

- -:(m + t)(ni - t) = o +: m e {,r, t} .\runci me R-{-1.t} e det(A)* 0 o rang(e)=3. Pentru

t',

m=-l

obfinem matricea

o=[-t, ,t ]rl,

l-r r

":l

bt Obsen'am ctr dct(4,)

;d Pe

lui R in raport cu

uuana,nino,.,r de ordinul doi

-rl

= z + o. deci rang(a)= 2 . -,JI .'l

Pentm

m=1

ob$nem matricea

l -11 ,, l=2+0.deci

rang(rt)=2.

in concluzie, rang(A)

1 -r) e =i1 I I l, av6nd minorul de ordinul doi [' , 3)

>2 pentru Vnrâ&#x201A;ŹR.

-,.

x+x'=e=, :(x-z)(x, z)+z=7= (x-z)(x,-z;=15 x,_2=_;1 .=

-\r'em

>x'-2+ ---1-e(2.m). 9(x - 2) ' . + 1' = ; r* I

in concluzie, (Gr,

b)Avem

Deci. pentru vx

adicl orice element

xeG,

e(2.o). :x,=

2,J

e(x_t€(2'"o)

este simetrizabil fa{d de operatia,,,*,,.

este grup abehan.

f(x,)=f(xr)=+

3x,

-6=3xz-6=

x, =xr, deci

f(x,)=i(xr)=x, =x,

pe'ntru Vx,,

PeDtru Vy €

(0,"o), tx € (2, "o), x = 2 +{, astfel incat f (x) = 3x

e (2,

astfel incat

, adlca runclia f€ste injectiva.

:Iz*rJ-o= r, o..i

_6=

imctia f este su{ectivd. Fiind injectivd gi surjectivd, deducem cd functia feste bijectivt. -{vem f(x * y) =:(x*y)_o= :[:(x _ z)(y _ z)+ z]_o =

=[r(.-t)] lr(r-2)]=r(x).r(y)

,deci r(x * y) = r(x).

r(y)

pentru

Vx,ye(2,o),adici

frrnclia f este morfism. Fiind bijectivd 9i morfism, concluzionim ca functia f r (Gr, -) _-

gupun.

Observdm ctr x * y = 3xy

Pentru .r

-2

- 6(x

+ y)+ Zc

(Ri . )

sste izomorfism de

=3(x_Z)(V *2)+7a _12 penhu Vx,y€lR.

Vx,yeG" =(c,o) avem x >a)2 9i y>d>2> x_2 >cr-220

2>o

-2)(r - 2) > (a - 2)2 =

3(x - 2)(y - 2) + 7 a - t2 > 3(a

=x*y>c,deci G" =(a,co)

este

- t2 = 3a2 _sa = 3a (c _ 2) + cr > o .+ pane stabild a lui R in raport cu operalia,,x,,. 2)2 + 7 u

Varianta 78 l.

Se considerd

sistemul

[2x-3y+42-5t=_l

jx+9y+mz+t=3 , m,n,peR.

.l5x-6y+l0z+nt=p a) SA se determine p astfel incat sistemul sA admita o solutie (xo , yo, zo, to cu )

a=to=0.

b) Si se arate cA, pentru orice m, n e R , rangul matricei sistemului este mai mare sau

cgal cu 2.

c) SA se detdrmine m, n,p e R pentru care sistemul este compatibil, iar mah-icea sstemului are rangul 2.

245

2. Fie multimea

r, - 9i n sunt i-pur"} {!.,". Inl

9i G = eo

xZ.

pe G se

)

definegte legea de compozilie

(q,,k,)*(qr,kr)=(c,9r,k, *kr),

Vq;,q2 e eo,

ykr,k, eZ.

(c,'*) este grup abâ&#x201A;Źlian. b) Str se calculeze (t, t)- (t, Z)-... - (t, tO) a) Sa se arate cA

c)Sf,searate

(c,,-) ,i (a'.

tunc1ia

:G-+ ', f((q,t))=C

Zk este un izomorfism intre grupurile

)

Rezolvdri

a) Dacd sistemul admite o solulie (xo,

, [2xu -3yo = -11 otu'n

[6xn -9yo

yo,zo,to) cu z0 = t0 - 0, ahrnci primele doud ecualii

7*o =0:) xo=0 ti din x0+9yo =3 {"0*eyo=3 = {". *nri'-3 = oblinem gyu -, = t, = i inlocuind in ultima ecualie, oblinem 5.6-6.1*19.g*n.g=p=

ordinur doi

l'll

-ll = rt * o deci rang(A) ) 2 e

c) Din condilia rang

Avem

(A) = 2 deducem

cd toti minodi de ordinul trei ai matdcei A sunt nuli.

r4l lo P =0<+ l' -i ml -li 2 tol 2 r0l ll

-3

lz-:+l o =oo -rltlr'rl I ml

ll 6 l0l 15

<.(-l)'*'r.17 t

tt2l

=oo lr 2

m_2 = 0<r m = 2, resnectiv

lr'-sl <:) 3lr -r I

lr'-3

,l lo r

l=0o lr 2 nl ls 2 nl ls ll

l=17 -3 2

-1,,1=, o

-6

-14 l= (-l)r.'? . l.l Ir n+l0l

246

rang(I)

-51

I nll=0<r

-to

l= n+l0l

[ -2| l=-7(n+12)=0<f n=-t2. = -11 ll n+l0l Sistemul este compatibil daci pi numai dacl rang(A) =

ils

, de unde deducem

rg(A )

. ceca ce. in

prrriculrr. implica faprul ca

t _'l l, l, t3 -'l l, e-3lr _r 3l=o<) :l=lr 152pl

lszpl

la-adevdr, penhu m =

;J=.*

-3 . J- ro.rtl]

r,l--r1p*21=o..

2 p+21

= -tzsi

15 -6

oP=-2.

-2 . avem sistemur

[1.-;7iri"- rt.;,

sistem

[5x-6y+102,12t=_2

este

compatibil, deoarece din primele doud ecualii, scrise sub forma

rftinem x =-22+2t,

t= 3, -3

ceea ce verilicA ultima ecuatie a sistemului:

3-6y r-l0z-t2t sl-22+21-o(

lr \ -91

= -l0z +10t + 2t

^ t-l )) iL

etrie (cr,

- 2 +l\z -12t

- 3y = 42+ 5t -1 lx +9y = -27- 1n3

{2x

. roz -rzr

= _2 . adica solutiile sistemului sunt de tbrma

k, ),(c 1,k2) €

dcl

incit c,

l,t

€ Qo, resoectiv

=],nt

Qoxz. Avem qr,q2 e eo :>

c, =Az.46n., t2

qrqz =

l{L nr [.,

lm1,n1,m

gi m,mr,n,n2

r,nrez

e/,

impare

imapre, deci

kr,kreZ=kr+kreZ.

Dri (q'.k,).(q,,kr)=(q,qr,k, +k.r) e en xZ , adici asocierea f ,1.k' ),(q,, kr )) + (qi,kr ) * (qr, k, ) este o lege de compozitie intema pe c. Doarece. operatiile de inmullire a numerelor rationale, respectiv de adunare a numerelor inhegi, G asociative $i comutative, deducem cA operatia ., *,, este asociativtr 5r comutatlva.

Ay<m

t=:eeo

qi observim cA

(t,o)-(q,r)=(o,r)-(1,0)=(q l,k+0) =(q,k)

:lq. k) e G , deci operalia ,, ,* " admite Gervam

.-.'

ch, pentru Vq e

elementul neutru (1,0)

en, 3m,neZ

impare astfel incdt

1= _ll. eo .

| i.t<+( \ 1 k),'J=('.0).deci u ],-r1. )=ll {c.t v(q.k)€c tq / tq ,

10.r,1-[1. kl

Gaizabil

pentru

fata de operatia ,, * ,, $i

{c.l

t =

[

1^'1

-0.;

in conctuzie. (G,

esre

este grup abelian.

b)Avem (1,1)*(1,2)*...*(1,10)=(1

....1,1+2+...+10)

(r,55) , unde am folosit faptul

l1+ 101 10 l+2+ ..+10=' ' =55. 2

c)avem f((q,k)) =f

((q,k'))* q 2t=q'.2r''= ! 2'=4.2*,und" n

.mm_ q--, q'= , . Presupundnd, de exemplu,

rmpare $i

ctr avem k 2

k',

din

m,n,m"rr' e z

D' .t n'

oblinem mn'2k-k' = m'n

=) 2k-k' = 1, deoarece m,n,m',n' sunt impare, k-k,=0>k-k' 9i atunci q2k =q'2k'+ q=q'.

2k-k'=l= in concluzie, f ((q,k))=f((q',k'))-(q,k):(q',k') Din

nentru

v(q,t),(q',k')eG,adica

functia f este injectivd.

Fie

reQ'.Atunci llm,neZ'

impar, respectiv n AfuNCT

astfel incat

2rn' , unde j e

2'm' 2'm' r -m = -::--- = n tJ-'

m' fi'-i

-.2

r=I.Putemscrie m-2im',unde ie N, m'el

gi n'e

i ^! '=q.Z

impar.

undeamnotal

m' q=_€

Qo si

I j=keZ.

Deducemci,pentruVreQ',l(q,k)eQ0xZastfetincetr-.q.zk:f((q,k)),decitunctra este surjectiv5. Fiind injectivS 9i surjectiva, rezultA ctr functia feste bijectivtr.

obsevim c6

r((r,,k,)*(or,k,)) =r((q,q,,r,+kr))= (q,qr)2k'.*'=(c,z*,).(c,z*,)=

=r((q,,k,)) r((q,,k,)),deci r((c,,k,)*(c,,k,))-r((q,,k,)).r((q,,k,)) V(c', k' ),(c:,kz ) . G , adica tunclia feste morfism.

pentru

Fiind bijectivd 9i morfrsn1 concluziondrn cA funclia f este un izomorfism intre grupurile (G..

si (a., ).

Varianta 79

l* r^y-2. t" jx+(2m-l)y+32- | 1

considerl sisremul

[x+my+(m-3)z=2m

. meR. I

a) Sd se deterrnine m € lR p€ntru care sistemul are solutie unicA. b) SI se determine m e R pentru care sistemul este compatibil nedeterminat. c) Pentru m = I sf, se determine solu(iile reale (xo, yo, zo ) ale sistemului pentru care

zxl -

y2o

lzl =t+.

2. Pe mullimea

C-[0,t)

defrnette legea de compoz(ie

partea fiaclionara a numirului real a.

248

x*y={x+y}

, unde {a}

a) Str se calculeze

*]-

b) Sa se arate cd (G, *) este grup abelian.

SA se

rezolve ecuatia

l^ X'X*x =_. xe(j.

Vatricea coeficienfilor sistemului este

(t^2

A=11 2m-1 \rmm-

2l ll o ol

ll -

r : l-lr.-r 'l=l'^-' lt * --21 It o 'n-sl lu

aet(a)-lr zm

der(e) +O<+ (m-t)(m_S)* 0 o m e R _ {r,S} ca sistemul sd fie compatibil nedeterminat este det(A)= 0 <+ m e {1.5}

are solu{ie unictr daci qi numai dacd necesard

lx+Y+tz=l m= I obtinem jx+y+32 =l lx+y-22=l I

I = l,

ceea ce

verifici

z=0 ii

gi ultima ecuafie, deci in acest caz sistemul este comDatibil

rnatcu solutiile de forma

m= 5 obtinem

. Scdz6nd primele douA ecuirlii, obtinem

(x,l-x,0)

unde

xeR

arbitrar.

lx+5y+22=l 1x

+9y+32 =1 . Scizdnd prima

9i ultima ecuatie, oblinem

0=_8,

ceea

lx+5y+22=9

imposibil, deci in acest caz sistemul este incompatibil. sistemul este compatibil nedeterminat daca $i numai daca m l = -lm oblinut cd, in cazul m=1, soluliile sunt de forma (x,l_x,0),unde xelR arbitrar, deci

(*o,yo,ro) trebuie

str

2xl-yl+3zl=Uo e

Z*10

- (t -

xo )2 + 3. O,

=l-xo ti

=0.

=14<a x; + 2xo

= 0, cu solu{iile

l-5,3) . Pentru xo = -5 obfinem y0 = 1- x0 = 6, deci (xo, yn,z0)= (-5,6,0). xo =3 obtinem yo =l-xo =-2,deci (xo,yo,zo)=(:, Z,O) .

Pcutru

verifice conditiile y0

Vx,yeG=[0,1) avem x-y={x+y}

e [0, t) , deci asocierea

de compozilie intem5 pe G. cA,

pentru Va,U e [O,t), avem

a+be[0,2),

249

deci

(x,y)_+x*y

detrnegte

[]x+ y+zl

- {'

daca

x-y e[0,])'

[{x 'r t,} ={^.yrz}

Vx,y,ze G. in mod sinrilar, deducem ca (x * y) * z

x * (y *

4u"11 1 * y = {x + y} = { f este

,. -,.deri (x*y)xz -{*-y*r} p.ntx.yeLL.zl obfnem ci x *(y* z) = {x + y+z} pentnr Vx,y,zeG,deunde daca

z) pentm Vx, y, z e G , adicE

+ x} = y * x, deci x * y = y *

operatia

este asociativi.

x pentru Vx, y € G,

adictr operatia,, r "

comutativd.

0e[0,]) 9i x*0=0*x={x+O} = {x} =x pentru Vx€[d,l) , deci operalia,,*" admite elementul neutru e=0. observim cd 0.0={0+0} = {o} =o,iarpcntru vxe(0,1) avem 1-xe(0,1) ti x.(t x) =(t x)*x={x+l,x} ={t} =0, aeci vxe [o,t) este simetrizabil taFde operatia ,,*", respectiv 0'=0li x'=l x pentru x€(0,1) . in concluzie. (G,*) este grup abelian.

Avem

c)Avem

x*x*x={x+x+x}

pentru vx e [0,1) ,deci

{:x}

xe[0,1)=3xe[0,3),deducemcarelala {lx}

Deoarece

11 X

l)'26 JX =-=

-z

x*x*x=l<>{3^} =+ 2''2 are loc in una dinhe situaliile:

=-:

.t ll'22 JX=l+-=x=-:

Jl Jx=l+-=x=-. zo f r r <l oecl x€<-.-.->. 16

Varianta 80 l.

Fie permutarca

2 I 4 5) . fll; ,. . ll.t,5i ,

r n {o'1". ..1

mullimea

r.r'}

a) Sh se determine numirul inversiunilor lui o. Sa se determine numdrul elementelor mullimii A.

c) Fie

r € 55 astfel incat to2

o't.

se arate

ctr

H={renlr(x+r) a) Si se arate cA, dac6 T e H , atunci T e Il. 2.Fie f b)

:RJR

o ftrnctie si mul{imea

Sd se demonstrezc ca

f(x),vx e n}

H este subgrup al grupului (iR,+).

c) Sa se detemine mullimea H pentru func1ia

250

f :R +

f (x) =

{x}

kolvdri L r) Inversiunile lui

l,Avem

sunt (2, l)

o2=o o=[t 2 3

, (3,1) , (4,1) si 4 s\( | 2 3

(5,1) , deci

m(o) = a .

4 s\ ft 2 J 4

12 3 4 s lJ(2 3 4 s t)- [: o s r z)'"'="'o= 2 _'t 3 4 5)fl 2 3 4 5) /r 2 j 4 ;) \3 4 5 I )12 3 4 s rJ= la s | 2 3). o*=o'.o= _1t23 4 5)fl 2345) (rztqst ,4 s | 2 t)lz t t 5 r].= [s , , , o), o'=oo o= _'t 2 3 a s)fr z : a s) 1r z t + s\ .5 I 2 3 +)lz t + s rj=lr z t + s)=, 2

lnuE

1!la

Gnervim

ci o, or, o3, oa, q5 sunt distincte doua cate doud

a€{12,3,4,5}

astfel incar

n=5k+p

=oee{o,o2,o3,o',o5},aect e

9i atunci o,,=o5k+e

{""1".

n..}

$i, pentru

=(o5)k.op _ ek. op =

- {o.or.or.o'.or}.

t:i",;J: :;:;;:?d";:_l_l:"

vn>6,3kelN.9i

deci lAl= 5.

-' (.-')-'

1".,-'

la)Avem f(x-T) =f((x-T)+T)=f(x) pentru vx€R,deci -T€H. rlFie f ,T, eH, deci f(x+Tr)=f(x) 9i f(x + 1)= f(x) pentru vx€Li{. -rnrnci f (x + ! + r, ) = t((x + 1 )+ r: ) = f (x + r, ) = f (x) pentru Vx e tR, adic6 !+leH. rrn faptul ci r +T2 €H pentru vrL,T2 eH deducemcrH este parte stabih a lui (R'n). Avem Si -T e H penhu VT e H. de cr

Avem { x} = x -

. ;'

[x] pentru

ff .T::H'"t,l?::l,Yl_

., "" ;r+kl =x+k-[x+t]= x+r-([x]+r)=x-[x]={x} ,deci {x+k} _ , adica f{x +k) = f(x) pentru Vx€R giykeZ,deundededucemcAZcH. ix, Fe TeH oarecare. Avem f (x+T)=i(x)31x+f) ={x'} pentru Vx € tR. in particular. Ftru x = 0, oblinem {tl = O 1 7 . V, de unde deducem a H c 2, DmHcZ Si Zc=H conc\uionhm c6 H=2. ,T

Varianta g1 l.Fie m€R

si punctele

A(m,l), B(l_m,2), C(2m+1,2m+t).

I r) (n ratncea M=l l_m 2 ,l (2m+t 2m+l a) Sa se calculeze ler

t_J

(M). 251

Se considerd

Gcervrm cd

;

a+ib=0<$ 2("*iu)=oo )u+qa=)u_a=0.

ll' [; f-

FreXeA, .d

d.t(x')=J1 jJ=u= *,,1";=o>

X'?-)aX +(detX).t,

.\=i-,[1

. o,

aet(a)=0.

=> X2 - 2aX

]l=li 1l-

t-r 2/ l-3 lJ "*=.1\-b =i.Din a'=i= ".{i,a} a=i,din ab= j=i u=j= 6=3 .

=4, din au= j=4u=:=+ b=4-1 ecualia

=t:

4=A3=).

;lua,nit.,oruil"

x,=[_i

llt) u' *, =[1

(-2

Varianta g2 1. Se consideri sistemul de ecuatii liniare cu coeficienli reali

[x + ay+(b+ c)z = o .]

x+by+(c+a)z=0.

lx + cy + (a + b)z = o a) Sd se calculeze determinantul rnatdcei b) Sa se arate cA, pentru orice a,b,c e 1R, sistemul admite solulii nenule. c) SA se rezolve sistemul, gtiind ca a + qi b cd (1,1,1) este solulie a sistemului.

sistemului.

2. Se considerd mullimea

: '.tx4 ll- r.n.*,-y,,oi. iuv l

= 1f

a) Sd se.demonstreze qF G este parte stabill in raport cu inmullirea mahicelor

t51

din M, (C)

b) SI se arare ca

(c.

)

este

c) s6se arate ca tunqra izomorfism de

gn.p abâ&#x201A;Źlian.

r:(c.,

gnrpuri.

)-+(c,.)

cu f (x_i1..1

" tll

ryl , x,/

v",yuR

"*.

Rezolvdri

flI ba cb-c) lr a b*cl .a aeci der(a;-fr b .*ui= (t c a,!tl. . fr

a) Matricea sistemului este A =J

It u

b+cl

".uJ

=io u-u

"-uJ= lt-" .-u u-"J lc-a l-f=ro-"rr.-.r/i Jo

b) Observtrm cd, pentm

plus,

Va,b,celR' (x' (a+b+c,-1,-l) *(0,0,0).

_{=,

v' z) = (a + b + c' - l'

- I)

este solu{ie a sistemului gi, in

c) Sclzind primete doua ecualii dir deoarece a

a_b

;",#,#;rJ':.;] j:,.:I:" ;f.:

x+(a+b+c)y= 0. Tinand cont

r+(a+b+c).r=0=

(t'y'4-=(r'r'r)

esle solutie a

=>a+b+c

; ; ; :; ; " :1:,:'-", :*.1.; ?+b-+c=-l,caz in care solufiile

* ; ::'ffi

;J,: Jj;

** o,,""*

sisremur,

j_,

;.J;;

3x,y,a.beiR, x2+y?

9i a2+b2

?;;l;;;;H;;l

r)j,=,ii,

t-f,l ':l AtunciAB. l,: tlf : \ru a/ tiy

unde

amnotatcu

c,'z + B'?

= (ax

3:1i?"j"

pentru VA, B e

^;,

astfel incet

^.o

o=f .^ iylri.

giavem

a,BeR,

= (a?+u,)(x,_rr)*;-''

c ' adici G este pare

stabila in rapon cu inmul{irea mafticelor

b) Operafia de inmulfre a matrice lo _r fiind asociativi, deducenl ctr operalia indusd pe G cste

asociativa. Avem AB

f ax -uv - (' 'r)( ^ iu)=li1u* xl\ib 1ry n"y;

ax-bv

[i (bx + ay) comutativa.

(ux + ay)

ax-by

*",

',1, "' ibJ-f a\ by r(bx,ay.)) ,o rJ(iu aJ_[t1u^,ay; ." or,J=i*;].".

d=ax-by,i g=bx+ay

by)? + (bx + oy)2

=, =,

'sistemului' obfnem cd

2.a)Fie A,Be

lt:::l'l$i d^-oy )

BA'

ia'olf"''l (ib a/(iy xj-

AB = BA pentru VA, B e G, adica operalia indusa pe G es=

254

x=r

ei y=0 avem x2+y2

elementul neutru I2

oo.o,

o=[l

=r*o ,'

[' f=(; f-,,,decr r, eG,adicdG

'I),*'*r'+0,avem o,,fot=1,

f =-,-t,r)' =x2

+y2

*0,

* '=pir[; l)=[; f)'*" "=^,i,g=--iL;, c,pen, =-u'=["i) .[-=+"j'= e

este inversabil qi

(G,.)

-{ren

d*=#*0,deci

AIe

G,adic6

A-r â&#x201A;Ź G .

este grup abelian.

r(x+iy)=r(a+ib)+

f ( x + iy) = f (3 1 15)

vAeG, Jx,yeR,

t; f =t; '"ol= - =" ,i iy=ib1 x+iy=a+ib, i6 pentru Vx + iy,a + ib â&#x201A;Ź C.,

x + iy = 3 1

x2 +y2

+0, astfel incer A

=fx

\.tY

iy x

adica tunctia f este

de unde deducem ca

mJectrva gi surjectivd, rezultd ctr funcjia feste biiectiva.

r((x+ry)(a+iu))=r(ax-by+i(bx+ar,f =

-'v)r(a+ib)=(x

fi;

'll=

[,*

j"t,'ffi,]

[,,,.oJ,,r '!oj;)J,0""'

r-ry)(a+ib))=f(x+iy).f (a+ib) pentru vx+iy,a+ibe bijectivA gi morfisr& concluziondm

C", adica firnctia feste

firncqia feste izomorfism de grupuri abeliene.

Varianta 83

a) SA se demonstreze

ol sistemul

are solufie

ZJJ

unici daci

unde

5i numai daca m e R

melR.

-{0,lJ

b) SI se arate ca pentru m e {0,1} sistemul este incompatibil. c) Se se arale ca. dacd (xo. yo.zo )e

xo-yo+2009

este solulie a srstemului atuncl

=1.

2. Se considerd multimile

{a'zla

Zr}

a) Sd se determine elementele mul{imii H

b)Fie x,yeH

astfel incdt

x+y=0.

={[; ])l,o.u,'^*o *"u *o]

Sasearate cd

x=y=0

c) SA se arate ctr G este grup abelian in raport cu operatia de inmulfire a matdcelor' Rezolvdri

A=lt [z

a) Matricea coeficientilor sistemului este

Atunci det(A)

-lll'.-'rl -l

In*' m'-m m'?-m-z z(m+t)l

lz tl

'11 = =m(m--mlh zl

-l m" -m-1 -' -m-2

I m+1

2(m+l)

ol r' m ml lt I lml= = -.- m ml=1. r

^"-

I lm'-m m 2ml ;.

2ml

--l*-,1

Sistâ&#x201A;Źmuladmitesolu,tieumcadacafinumaidacddet(a)+0em2(m-1)+0<+meR-{Ot'

lx-Y+z=l b) Pennu

m=0

obtinâ&#x201A;Źm sistemul

l^-y+"=2

. Observam cd, scazand

primele doutr

lzx-zY+zz=t ecuatii, obtinem 0 = -1 , ceea ce este imposibil, deci sistemul este incompatibil'

pentru

+z=l Jx-y+22=2

t' m=l obtinem sistemul

. Scdzind primele doua ecualii, oblinem

z=1.

l2x-2Y+42=3 deci

x-y = 9. Afinci 2x-2y+42=2(x-y)+42=2 0+4

ecua{ie din sistem

2x-2y+42-3

este echivalenttr cu 4

=3,

1= 4, de unde deducem ci ultirrc ceea ce este imposibil, deci

sistemul este incorpatibil. in concluzie, pentru rn e {O,t} , sistemul este incompatibil. c) Am observat ca sistemul admite solulii daci 9i numai daca det (M) * 0 <* m e R - {0,lf ' in aceastd situalie, sistemul este compatibil determinat $i putem determina solu{iile aplicAnd metoda lui Cramer.

o olI |lm-.m -r rlI lr lr I I . ,

Avem A,-l=ll m'-m-l 2l - ll m'-m ll= | , llm'm ^ll 12 ra-m-2 3l 12 m"-m rl 256

tl=o.o*,

,"-,*=o -

in prima ecuatie din sisten! obtinem x0

+ 200920

-yn rtAvem 02 =0, i ,l

=',a'la

eztl

-y0 +zo =1- xo -yo = 1. =x0 -yo + 2009.0 = xo -yo =1, deci xo -y0 +20092(} =1.

it =i, )'=4,3,

t0.1.2.41

-),4, = ),3, =+, O2 = i, aect

x+y=9e y= x. pentru elementele multimii H={0,i,i,a} "".=oen, i=6eH, z = s e tt, ,4 = 3 e H , deci singura pereche (x,-i) de elemente H este cea pentru care *=0 $i y = -x = 0, adic6 ecuatia x+y=6 u6.i,. tnH doar solutia

Observam ca

A,B€c-la,b,x.yeZr,(a*0 sau b+0y9i1x*0 ruu y*0I asti.el incat -bJl .ix -vl rl-fa*-uv (bx+av)l =':b -olsi " a) B ty x) a*n.i ee=fu y ull x/ lUx,ay ax_by J lb

Fre

a g

-0) o.'J,uno. c2 +92

c =ax-by 9i

=6a (a'

0 = bx + ay . Presupunem prin absurd ca

by)'? + (bx + ay)'? = o

a2+b2 =0,atunci a =b=0,

d.atunci

^t.y'

*u.)(*) *yt)=0F

ceea ce contrazice ipoteza ca

u=0

p+o.adica

(ut

a*0

y = 0 . c..u .e connazice ipoleza cA

ctr presupunerea fdcuta cA

[;

ct=o 9i p=0.

^*O

a2 +b2

b*0. ru, y r0.

ii I = 0 este absurda, deci este adevarata negalia ei,

:]."

obtinut cA AB € G pentru VA,B e G , adicA G este pdrte stabild fatd de inmultirea rcelor

in Mr(27)

matricelor fiind asociativtr, deducem cd gi operalia indusd pe g este asociativa.

*=[; ])(; ;)=[;:;t; -!1.;;r),*.0*,,"

f* -y)fu 'b) /ax-bv -(bx.av)\ observdm =lt cl AB=BA pentru vA'B€G' - ll o ,J=lo**", or',J " "^ operalia indusd pe G este comutativa.

a=i*0 ri b=0,anrnci

f: ll=fi(o gl-r,> \b ai rJ

257

r,eG,adicdcconrneerementul

ob.€n'amca,penhu

*,(")=|i a =(a'?+br)

vA€c,

-"ol=",.0,+0,deci r.a

]) a*0

^=[;

b+0,a'em

]A' =("'--0,f'[i

:)=[;

JJ,"""

(a: +uz)'.r .b.Dacd a *0 sau b*0,ahrnci (a,

(a'+t')-r b+0,adicr a*0

,uu p+0,deundededucemci

Am oblilut astfel ci. penuu VA € G, in concluzie. (G,.) este grup abelian.

*ory-'.a=i

A =[; J)."

IeG , adici orice element al lui G este

Varianta 84 +

r. se consider.i sistemul

2v -32 =

lx ecuatii liniare l,2x-y+z=m.

unde m,n e

|nx.+y-22=4 a) SA se determine m $i n pentru care'sistemul admite solutia xu __ 2, yo =2, zo = b) SI se determine n € R p€ntru care sistemul are solulie unicA. c) SA se detennine m $i n pentruJare sistemul este compatibil nedeterminat.

bll ll'ui oll".u.z,f I

2. Se consrderi mutrim.u

=1lo lt..]tl

llo o

a) Si se determine numir.ul de elemente al€ multimii G. b) SA se arate cI G estc grup in rapo cu operalia de inmullire a matricelor din M,

c) Sd se arate ca Xr =

Ir,

oricare ar

h XeG.

Rezolviri 1, a) Sistemul admitc solulia x0 =

yr,

=2 , yo =1

c)nr=j li n=2.

b) Matricea coeficientilor sisremului est.

2n+1

,".'

.,,'t-

Z -l |

:l :n-21

dactr qi numai

-it 258

[2+2.2-3.1

2-2+t l\.2+2-2.1

-3) t

- t;

dacl

-t

(

avem det(A)

lr =

ln .2n+t) =

-n+3.

-l I

fumul

adrnite solu{ie unicd dacb 9i numai

eoeR

13|

-n

r0o-n+3+0<.> n*3<>

Condilia necesarf, ca sistemul

daci det(A)

+ 3 = 0 <+

fie compatibil nedeterminat este det(A) = 0 <?

n = 3, caz in care sistemu,

u"t,r"

{)""'i

i'=;i

l3x+Y-22=4

De asemenea, este necesar ca

t*g(a) = tung(A)

lxticular, minorul

trei

de ordinul

Il' z- 3l -l lll' o -{yem 12 -r ml =lz -s

l, ,

,tl

l, 5

l'lZ *t, -l,l

qi cum rang(e) = 2 , deducem cd, in

al matricei extinse

l, t

este nul.

m ol lt "' "l - l-s -5(r-m) | _ "''5-l . _s l. -.ol _5l 1.5 1 lr sl I

m-61

5(nr-l).Jcci

I ml oe 5(m-t)=0<>m.1.

r4l

.l.runci oblinem sisremul '

lx+2y-Jz=3 v+7= 2x+l I l2x Y+z=l <. I' - -- .adunind .Din l-" ' l2x-v+z=l ' | l.lx tv 2z=4 lv 2z- 3xr4 l3x+y-2t'4

z= 5x-5 , deci y - 2z-1x+ 4 = 7x -6, ceea ce verihcd prima ecuafie: t+ 2y -32 = x+2(7x - O)-:(Sx -S)= 3, deci sistemul este compatibil nedeterminat li are rlutiile de forma (x, y, z) = (x, 7x - 6, 5x - 5), unde x e lR arbitrar. .cuatiile, ob.tinem cA

in concluzie, sistemul este

a) Observtrm

corpatibil nedeterminat daci

cI f,tnclia f :ZrxZ,

-->

gi numai dacS m =

b) Fie A,B e G

[o o

rJlo

. 'l [i "i o] [i l0 0l$iB=10 i [o o

0 este brjectiva. deci

3a,b,x,y e'L, astfel incdt A =

ulfi Ii " ..rvemAB=lo i oll

n=3

" ol ii c. i(a.b)=l 0 I j l.o

cl=lq xv,l=lz3l' :s' :s

I ii

lo o

[i " Ii "i" *') 0 l= l0 i o eG,unde d.=iI+\;l t;; i ) lo 0 i, o

:l]

i.J

01.

259

9=b+y.Deci ABeG

pentru VA,B â&#x201A;Ź c, adicd inmullirea manicelor din Ir,tr(Zr) inducc

pe G o lege de compozilie intema. Inmullirea matricelor fiind asociativa, deducem cd operafia indusi pe G este asociativr. 9i

i . ulfi '. rl fi "*u r*u) 1i . ,'11i " eu.. AB=10 i0il0 i 0l=10 i o leiBA=lo i ollo i Ol= looi.J[Ooij lo 6 i) [aaiJ[aoi.J Ii 'i.'i'l =l: AB=BA, VA,BeG, e u')

I f0 0

Pentru a

: I t)

=b=0

observdm cd

deci operafia este comutativtr pâ&#x201A;Ź

et l= Ir, deci I,

"br*-

G, adicd G conline elemer

[; neuhu fatd de opera(ia indusd.

observamca,pentru*."

^=[;

r-u) fi [i "-" *=*=l;

;

I l=l;

ii]

."",,,,."{,

,'1,**,"."

i i1=u'""'

rA-r

$i A-r =BeG'adicdorice

element al lui G este inversabil fald de opera{ia indus6. in concluzie, (G,.) este grup abelian.

(i | , u)| c)Fie xec --i: io ol.e*.x,-x rJ

(i " ulfi ul (i a+a b" l.: x =lo i olloi ol=lo i

1'o

i.o

ijlo o iJ

to o

u*ulfi " u] (i u+u +a b+b+bl o 0l fi "*" fi rix'=x'?.x= lo i r llo i0l=lo i 0 l=i0 i 0l=r. o i]looi.J lo i ) lo o iJ [o o

unde am folosir faprul

Deci X3 =

x,***=0

pentru VX e G

pentru

VxeZ,.

260

Varianta 85 l.

Fie A matricea coeficientilor sistemului

l2x+v+z=0 melR. J3x-l+mz=0,unde l-x+2y+2.=0

calculeze

det(A).

b) Sd se determine m e R. astfel incdt sistemul sd admiti solulii nenple. c) Sa se antc ca, daca m = 0 , atunci

.^pr.riu

{i{j{

.6-vi-xi,

este constanti, pentru orice

nenuld (xo, yo,zn

) a sistemului. 2. Se considerl a,beR gi polinomul f =Xa xl.x-.xr.x{. a) Si se determine a 9i b gtiind

b) Sf, se calculeze

(x,

l)'?

ci fare ridlcina

+(x,

-1)'?

+(x,

4X3 + 6X2 + aX + b , care are riddcinile i.

l)'?

+(xn

t)'].

c) Str se determine valorile reale ale numerelor a gi b gtiind ca toate rAdf,cinile

f sunt reale.

/ ,\l+l t-lt

, lJ l l

m+ll| _1'tt'|

<l tl

m+ll

r l= '-

Sistemul esteltompatibil determinat, caz in care admite solu(ia unic6 ( x, y, z) = (0, 0, 0) , daca u.rmai

,-l

l-tru

daci det{A) + 0 o -5m+0<+m*0<>meR".

m = 0 , obtinem sistemul

l2x+v+z=o

Jlx-y=9

.Din 3x-y=Q rezulta y=3x

qi, inlocuind

1 x+2Y+z=0

icelelalte ecualii, oblinem in ambele

compatibil nedeterminat

5x+z-0<)z=

5x, adici in cazul m=0 sistemul =(x,3x,-5x),unde xeR

admite solu.tii de forma (x, y, z)

rbirar. De exemplu, pentru x - I , ob{inem solulia nenuli (1,3, -5 ) . L concluzie, sistemul admite solujii nenule daci qi numai daci m = 0 . â&#x201A;Źt -{m observat cd, pemtru m = 0, soluliile sistemului sunt de forma (x,

rde xelR.

arbitrar, deci o solulie nenuld _:

zo =

-5xo. " o,un.i

'4jf*

...'

'i -yi *i

(

z) = (x,

3x, 5x),

("n,yn,rn) verificd proprietdlile xn+0, yo=3xo

i, Jxo)'2 t(Jxo) 'i

(-s*o)'

cste o constantA care nu depinde de alegerea

rx;I I4=l

-(t*o)' "l

lsxi

solutiei nenule ( xn, yo, zn

261

3 )

5i rezuttatul obrinur

r) Dar:i f arc lidicina i, atulrci f(i)

;:ai.l-01i b1

=0- i] -4ir+6ir13119=(a+4)i+b_5=0=

b 5 _0= a= .l ,r b_5.

('onform rclariilor lui Yiitc. clent S, -r, +x1 .i-\. +x.,

S. =

r,r. + x,xr

r \rx,r

a=+ li =(-f)' ' al

*Xrxr +xixr +xrx4 =( l)t5=0,a".; a0

(r, l)r r(x. t):+(x. t)r r(x.,-l)':= xi+x] +x;+xj Z(x, +x.rx,+xo)+4= si 2s- 25, + .1 .. 4: 2.6, 2.4 4 - 0 .)D.r.ar x,. c i pcnrlu t/k -1.4. din relatia (x, l): r(x,, t):r(x., 1): +(x.-t)r =O iL,lrrcerlcr-r r;. I prJrlrrt lrk. G.rlcci f =(X-l)r-Xt .lxr i6Xl .1\r1. .,', ir!r ii,i.ir )'r -t1;' -6nr 1\ , I. -\1 .1\r.6Ir re\.h '. a .t ilb=1. .

Varianta 86 ;

1.Se cotsidcri sistcnrLrl

\ r..tr.tsJ) ..6

x+rr1+{ar rbl)z=a?+bl

. unde

a,beli.

it' .r y,la 'b lz c rb. , a) Si sc caiculezc determinanlul matricci sistemului. b) Si se detemine a.b â&#x201A;Ź R astfel incer sistemul sd fie compatibil dererminat. c) Sd se arate ci, pcutru oncc valori reale ale parametrilor a gi b, sistemul are solutie. 2. Se consideri polinomul

f - )X r ie Z. [X]

a) Si sc deteminc gradul polinonului

b) Si se arate

ci polinomul festc

fr.

elemenr inversabil al inelului (2.r

c) Sd se dctelnline toate polinoamele g c:au

[X]

[X],*.

de gradul 1 cu proprietatea

)

ci g: =

Ilc:a lytiti

a) \'latricea slstemLrlui cstc A

a+b

lit

a' - a-

altb: a al +br -al

=1,

:.:, a +D- i

a+rl lt" det(A)= a: a:+brl=

u'+btl

It ar

lr^. -a l=t"

]1"'

a- +b al

*bl

262

a-b

- b'l

a'+brl

a(a-l) a: (a

= a(a

a2+b2_a-b ar +br -a2 -b2 J=

-t)

-r)ft'

(r -a)*b(b

-")] =

a: rb'-a ,,, ,,J' '1. ar

+b'

"r -6:

ab(a _rXb_. r)(b _a)

Sistemul este con.lpatibil determinat dac5 numaj daca Si de,r(A).r

oau(a-t)(t-r)(b_a) *0o a.beR_{0.1f ei a rb.

Sâ&#x201A;Ź

obsenAcA, pentru

Va,betR. (x,,,yu.zn)_(O,O,t)

0"r;

csrc solulie a srsrenrutrii.

0.a.0+(a+b).1=a+b .

r-u'.0

(u,

i-ar.0+(ar

b:).I = a: + 6:

+b3).1 =ar +br

ioncluzie, sistemul admite solutie. i0dif.crent

<ie I.a1or

!-r) Avem l:

.;.'-r !1.1x,I I ;.. ,' /ixt-,._,/ilr ., ^ i-Din f2 -f .f =i deducenc6f es.--r^*^-. r( eremenl eFte geZrfXf un polinom de gradul l,deci

ilc par a mer rilor a r 5

I.decr gr.rrl{r

b)'

I .,r.,rll]

)vcrsJbilJl rDelrrlrri

de forma

-trem 92 = (aX

d.otecc

[\ l. . I ., I ,

g-3a f b,unde a e i/,\

silttL:1 ,.

utxt + iabX + br . Atunci gr ic> a.x, jabX+br=le = + ar-0, i*=o qi b2 =i. pentm ar=0 a",em in Z] doar sorutia a=i.Atunci zau=) )a=0, ;b=Zo.Din U: =i AeAucem ca le{i,3} +

r.oncluzle. poJinoamele

E.Zr[Xl

!:=ix+i.

degladul lcupropricrrrer

sr,,r

r, .2X,.i ;i

Varianta g7 l.

Fie mahicea A e M3

a) Si se demonstreze

(R),

care are toate elementele cgale cu 1.

ci Ar = 3,{ +e,).

b) Si se calculeze aet(r,

c) Sd se demonsreze cd, daci B â&#x201A;Ź MJ (R) este o matrice cu ploprictarea ,,\lJ _ UA suma elementelor de pe fiecare linie gi de pe

2.Fie c

--;-rf

a) Sd se arate cd

fi.care coloarrl ole lu,

si ={"), 1". bcta.b. s, e e(e)

263

" ".r" ".."rr,.

b) Si

a(r). c) Sa se arate ca multimea l.l={a'? ab +b,la,a ez,l este parte stabila a lui Z nrlqr:| se demonstreze cd

inversul oricf,rui element din

e(e)

apar.tine

mullt"it

cu inmultirea.

Rezolvdri

rl fr II r].deciA?.A

r.are=lr

UIlj b)Avem A3

r I r)f r I r') 13 I 3) fr I r) r rllr I r]"= l: : rl-:lr I rl=3A lr lt/ll|l.J f

=A,2.a=34.a=

3A2

l::lj

=3.3A=9A,deci I, +A3

i I

lrrlJ

=I:+9A-

el rrool rr rr) rroe e) lror I ol*ol r r rl =lo t0 el= le ro I l.erunct aerfr,+nr]=ls 'leerol rr] loorJ [r lseroj =lf il Tl=,,l; ,i ;l=,,l; I lo erol lo e rol loorl

I |

:I.,,

"=[: ; ll.r",r-.",, =unr*1, 12=\+y+2, ,, =-*n*0. I cl =a+x+m..,=0.\,1 I "r, :,' =,-.,0. e".,ea_ll I llf: [:: :; :]1,, ,^=[i l:lil I I r rJl* pJ n [r [., ., .,J [," " o]lt rJ I c)Fie Bâ&#x201A;ŹM,(R),

l;l

ic' c' c'l rr'

I r')

Illeruncina-ee<=l:l :i :lj=[: ;lj-c'r=r2-! Innnr =It =t2 =I3,

= r,

=r,, decr ct -C2 =ca =l =I, =rj, adiCd Suma element"to, fiecare linie gi de pe fiecare coloand ale lui B este aceea5i. C2

C3 =11

2.a)Avem"'=[-;.,f]' deci

3a,beQ,

b) observdmcd

a=-l ti

t=-]-tf

pl I

=:-i-,:'+=-+ ,+= ,-[-j-,f)- , ,.1

b = - I , astfel incat e2

=-t-s.pâ&#x201A;Źnrru

=a+b(-,-,)=a-o'*,1,,,,

=a+bs=

e, ee(e)

I zee(e), z=a+be,avem Z=a+bE= I

= 1..{ ;- +1 l(,

' ,uo

;l-l

iJ-,^ll'

b \'? b./5)'? .rtJ*1 -\-./ , l=u'-ab+b'el. r/

z*0'

atunci

observam c6 a2

1b.x,y eZ

lirm

:=fr =tr=if-#"'*,e).deoarece -ab+b2

= la +bel'?

astfel incat m =

mn = la + tel'? .lx +

= ax+(ay + bx)e

l'?

uit

-ii.-

lentru va,b ez . Atunci, pentru Vm,n e M

=la+bel' si n="2-^y+y, =i*+yel,.

ab+b2

= l(u+ue)(*+re)l' =lu**(uv*u")e +uy"tI=

+br( r -r1l' = l(ax,by)+(ay

bx,by)el'? =

- (ax -by)(ay + bx - by) + (ay + bx -by)t = o, -op * pr, unde o. = ax -by !=ay+bx-by.Evident a,B e Z, deci c2 -a0+02 e M. Lconcluzie, mn€M pentru Vm,n e M, adicaM €sre parte stabila a lui L in ruport c\ =1ax

by)'?

hrltirea.

Varianta 88, l.

Fie

( 2 t

_rl

meRsiA=l -l

m -t levr(R) [3m+4 I 0 )

det(A). b) Sa se determine m € R astfel incat rnatricea A

a) Str se calculeze

c) Str se determine m € lR astfel incat 2. Se considerd

corp\I (23,+,.)

fie inversabill.

A'. f,geV,.[X], f

9i polinoamele

= Xr

_X.

g=x'+ix+2. a) Sa se determine ridhcinile

SA se

btlvdri Lar

ale polinomului f.

arate cA polinomul g este ireductibil

c) Sd se determine toate

lkare

din

in 23 [X] . polinoamele heZrlXl de gadul rei, astfel incat h(x) =g(x)

fi x eZr.

r-rl lzr mr-rl lz -rl -3 m-r ol=

oer(a)=l

I l3m+a I 0l l3m.4 |

=-[-:-(:m++)(m-l)] = 3*t-.

*--4

| -: -lrm+a

=3m2 +m -1.

265

rn,

I l:

b) Matricea A este invcrsabili dacd 5i numai dacd det(A)

deducem ctr

A r=A" odet(A)=l <>

3rg2

)

<>3nr

2=0.cusotutiite

2. a) observim ctr f (0) =

polinonurlui f sunt b) observdm cf,

eQ) =

+m_1* 0.

l+} -â&#x201A;Źn-{-l t66j;.'41

A =rj-o'.deci der(.4

c)A\cm

0 <:> 3m,

fi|t -l-0 adm itc soluliile r,., -- -t' : -ao

( rrnrecrrria Jm -m

3mr+m,l+o<+

{ t.?}. l. 3J

0, f (i)

i, _i

0, f ())

), _)

o deci rrddcinile

10.i,21

(0) =

+m-l=t<>

ff + i 0+i=2+0, c(i)= i, + ).i+i=)+6

*) )* )- i * 0 . pr"rupun"m prin absurd ca polinomul

Aceasta ar insemna cd existd polinoamele h;p e

g este reductibil

in Z, [X]

Z, [X], grad(h> grad(p)> l, astfel incat g = hp . Avern 3 = grad(g) = grad(hp)= grad(h)+grad(p). de unde deducem ca unul dintre po)moarnele h gi p este de gradul I, iar celdlalt de gradul 2. Fie h poluroniul de gradul

l,adica h =X-a.unde aeZr.Observdmca h(a)=

g(a)- h(a)p(a)= 0, ceea ce contrazice

constatarea ca

g(x)+ 0 pentm vx e Z,

in corcluzie, presupunearea fhcutA este absurdi, deci polinomul g este ireductibil. c) Fie h e Z, [X]. h = aXr + bXr + cX + d. a + 0. asrfel incer h(x) = g(x) pentru Vx â&#x201A;Ź Zt Arrl obseryat cA

e,em

B(x)= j

h(o) d.deci

O.n,- Vx e 2., , deci h(x) = i psnx1'1 y*. r, h(o) -i--,0=).

Avem h(i) = a + b + c +d =

,tv.'" h(i)

= a.2r

obccr\irnca

a+ b+ c

+i,

Oect

rr(i) - i

+b+c = 0 .

+b.i2 +c.)+a=)a+b+ic+2,deci h(r)

=t1 )a+b+)c=6.

-b c 0= )u, )ur, )r=d o," {i"*io'.i.

.d obtin.. b=0. [2a+b+2c=0

AtuDci a+b+c =0=:)a+c =0= =-u. " in concluzie. h = aXr + bX2 + cX + d = aXr - aX + 2 , unde a eZ\ . Dendu-i lui respectiv

obtinem soluliile hr = Xr

-X+i sihr=)yt -)y*t.

266

valorile i

Varianta g9 1. Se consideri sistemul de ecuatii

1X, Xr =a ,,., - *., .. O .+.*o -[x1 +x. + *,

linior"

. untle a,b e

a) Sd sc arate cA, pentm orice valoli alc lui a gi b. sistcrnul este compatibil. b) Si se determine a,beR astfel incdt sistcmut si admiti o solutie (x,,x,.x,.x.)cu

xt,x".xr,x.r $i xl +x')

sunt termeni consecutivi ai uneiprogresii adtmetice.

c) Sd se demonstreze ci, daci sistemul are o solutie cu toate componentele srict pozitive.

ia+b<1.

2. Fie polinomul

f - Xr -3Xr +5X+1e R[X] $i xr,x",xr c iJ riclicililc

a) Si se calculeze

b) Si

se arate cd

(t-xr)(t x.)(t-xr).

polinoruul f nu are uicio rldicinir intreagd.

c) Sdse calculeze

xix, i*ix,+xix, +*]r, rxlx, + *;*,

La)-vatricea coeficientilor sistcmului

<rinqd este

-dlnul trei

sale

1 -1 0 0

e=lo o r r fr 1 1 |

j, i i. *,., tri). iar matricea [r 1 1 t)

.r,. n =l; oi

bleM.,(R)

. Observdm ce matricea

A admite minolul

li1r 'il il=t-'r'.''li ll ,

_li -rl1= 2+O,deci rang{A)=3 qisum

ag(A) <ra"g(A) 33,deducemci tang(e)=*ng(A)-3 fi atunci, conform Ironecker-Capelli. rezulta

cA sistemul este

tcoren.rei

compatibil.

ItFie reR fatia progresiei aritmetjce :xr,x2,xr,xa,xt +x,.Avcm x,, =xl +r, l. = xl + 2r, xi = xr +3r, xr + x) = xl +5r. Pe de altd parte, avem xl +x. = 2xt +r. .lt, +r=x, *4r+x, = 3r , ds unde deducem cd (x,, xr, x], x'1 ) = (3r.4r,5r.6r) . Arunci sistemul

g numai dac6

lx' x, =a ]-1 --, =O l^j *^, *^. **o

,levine

l-r-a -r=b. ltt, - r

Obsewim

deci

Droblema are solutie daci

5. u ) (l Z s I u=t=-a si atunci avem {x,.x,.x..x.}=f a.1. q 18 rr 18 18 t8 l8 t8/ \6

267

c) Presupunem cd sistemul adnite o solutie (xl, x2, xr, xa

) cu proprietatea cA xk >0 pentru Vk=1r4.Atunci a+b=(xr -x,)+(x., xn)- x, x,+xr-x.r < xr + xr + xl + x4 = I , de: a+b<1.

2. a) Avem

f(x)-(x-x,)(x

f(l) = (1- xr X1-

xr)(x-x,)pentru

)(l ^r).Cum (t - x, )(t x,)(t-x,)=+. b) Presupunem prin absurd cd

Atunci

f (1)= tr

Vx e R,deci

-3.yr

5.1+

astfel incat f (n) =

4 , deducem cd

f(n)=nr-3n2+5n+1-0= n(n'?-:n+S)=-t= nl(-1)= ne{-t,r}.

oar r(-r)=(-r)3

-: (,r)'z+s.(-r)+t= 8+0 ii f(l)=4

* 0, contradic{ie.

in concluzie, polinomul fnu are nicio rtrdicintr intreagd. c) Conform relaliilor lui Vidte, avem Sr = xr + x, +

S, = x,x, +

x,x, + x,x,

=( 1)'9=s, ao

=x,x,x,

*l*, + xfx, + x]t, + xjx, + x]x, + r]x, *irrl)= = (^l*, +r,*l)+(*i*, *,,,*l )+ (*3*, *, x,

x,x, (x, +x,

(x,

+ x,

)+ x,x., (x,

=( t)'5ao = -r.

Observlm cE

(-l)'a

)+ x, x., (x, + x, ) = + x,x, (x, +x, +x,,)-x,xrx,

+ x,

+x,)-x,x,x,

=(x,x, +xrxr+xrx,)(x, +x, +xr)-3x,xrx, =

SrS:

xrx, (x, +x,

-35: -3.5-3.(-1)

+ x,

)- x, xrx, =

= 18.

Varianta 90 l. Fie M multimea matricelor de ordinul 3 cu elemente reale avand proprietatea c6 surB elemeltelor fiectuei linii este 0. a) Sa se arate cA,

daci A,BeM,atunci A+BeM.

orice matrice din M este neinversabild.

SA se arate cA

c) Sa se demonstre,/e ca, daca A €

M, atunci A2 € M.

zl.'5) = l^ + a"lll^.a . zl ir z [16] = . u.6l^t . z} " a) Sase arate ca, dacd xelR gi *t =3*2Ji,atunci x€ZIJI]. 2. se considera inel

{

b) Sd se arate

zlJi)nzlJll=

c) Sa se demonstreze ca nu existl morfisme de inele de la

zlJl)

zl^lll

Rezolvdri

l.a) Fie A.BeM. A = (a;; ),.,.,. , i, B=(b,;),.,.,.r.

Iu,, -o

iU',

=o pentru vi=i:

.1'.- 4..s=(a,,+b,;),.,.,., li l(a,,+uu)=lar;+)u,, =o+g=q,deci A+B e M. j=r j=r i=l

la,, a,, a,.,1 la,,na,. *a,, a,., a,,l lo a,, a,,l !r.{,vem det{A) 1",, r- ,,, ",,1- lo ",, ",,1-o,o*' ^,, ",,1- 1",,.",,. la31 a' ar,l lar, +ar" +a,, a, a.,rl lo u' ur.,l ,lt

(A ) = 0 pentru VA â&#x201A;Ź M , de unde deducem ca orice rnatrice din M este neinvercabila,

33r3 . :-if .{vem tA" )['. j.l= Za,raki .pentru Vr.J=t.J. Atunc'

lLtA',['.Jl=

l3 =ss, ,

pentru Vi

/J /2-tK\=l J=l

r-r/ '\r. ,=ss,..,..== .2

-ar: -ar..r)- lu,r.o=0 I",r(u*, k=l k=l

=l.3.deci ,A2cM.

1a)observimci 3+2Jl=|+2^,6+(J;)" =(t-"!t)" ,deci x2 =3+2J2 .>

*t - (r * J7)t,

bt Pentru va e

soluiiile \,.,

avem a = a + 0.

+(t

J7 .

"E)

ulJi),

deci

zlJi).

Sirr'rtar

ZlJll,

deducem cd

Dln a+bJ2

-c+d".6

obfnem ctr

>2b2+3d2-zua$=(c-a)'? Dactr presupunem

i6-

v,lJt).

z. zlJi)nzlJ1] aE x ezlJ-2)nz[.6] . e**i 3a,b,c,d,ez astfel incat x=a+bJi

2u,rur,

prin absurd

2b2 + ld2 -{c-a}2 't ='" -'"---\'

bJ7-a.6=.-u= (ur6-a..6)t =(c

a)'?+

+3d2-(c-a)'?. cd b+0 $i d * 0, atunci bd+0 9i oblinem

eQ.

2bdJ6 =

2b2

ceea ce este fals, deoarece

J6eQ.Deci b=0

lgnau b=0 oblinem x = a +0.J2 =aeZ,iarpentru d=0 obtinem &ci, indiferent de situalie, avem aceeagi concluzie: x e Z. -{m ardtat astfer ca, pentru

ti y=c+d.6.

vxez[J7]nz[.,6]

Tinind conr de observatia antedoara ca Z

,u*- xez,

.V,lJt)ltzlJtl

decr

d=0.

x=c+0.Ji =ceZ,

zlJ-z)nzl"!-tl.z.

concluziontrm

z:JllnzlJll=2. c) Presupunem prin absurd

ci zt:zlJi)-+ZlJl]

fmorfism de inele.

vx,yeZ[J7] ,nrecumti f(r) =r. rvern f(z)= r(t + t) =i(t)+r(t) =t+t=2,dect f(2)=2. te de arta parte, r 121 = r (Ji . Jz) =r(O)r(Jz = r' (J7), a..i r' (Ji) - z =: ) -rtunci

f(x + y) =f(x)+i(y), r(xy)=r(x)r(y)

pentru

=r(J-z)=xJi.avidentx.,!ieLl^,6] siorelatiedeforma f(Jr)=J,

'"' f(Jt)=-Jt

ar tmplica faptur

zL''/2

'i !-'zL$l * -Ji "z[Jl] de unde deducem cd

]nzL"5l= z "^, -Ji . zf"Dlnzf,lll = Z , ceea ce este rmposibir. in concluzie, nu existr morfisme de nori u;il t^ zlJil. 'J2

Varianta l.

Se considerd

matri."u

2) .-, a=[l ^ -i- qi'unde xeR'

a) Si se detennine x â&#x201A;Ź

I{ $tiind cA 42 = 54 . b) Penfu x = 2 str se calculeze A2ooe . c) Sd se detemine xâ&#x201A;ŹR pentrucare."ng(a+A,)=t. 2.Fie a,b,ce R a)

9i polinomul

se determine a, b, c,

2X4

+2(a- t)Xr +(a, +:)X2 +bX+c.

ci a = b = c, iar restul impa4'irii lui fla X+1 este ci X1 , X2 1X3, X4 e C sunt r sdse calculeze f, xf +xj+xj+xj. c) si (p der.*i-- a, b, c e ,.idhcinileiui R ridfcinle gtiind

b) $tiind

ridicinilc ;]"t:;0""r-.. reale

poltnomului

10.

ffi .;;;;; lu,.^i;. ;;;

Rezolyiri

2)/ 2) fl+2x lo ) Ir- 2\ (s l0l =fl .tll I qi=l 5.A =51 si * lx s* .z**ro,/ \X a/ (sx 'tn l' n t* lo Atunci A: =,o ., I r5 10) ft l)x zx+ro]-[sx zo)o t*z'=s $i 2x+16 =20c>x l.a)r\r,em At

A.A

b) in cazul in care x =

2, avem

fl A =lrt

2) ttunrootervatca A2 =54. oJ

I)emonstrdm prin metoda inducliei proprietatea p (n)

Pentru

n=2

obtinem P(2):A2

= 5n

rA pentm

Vn E N, n

)

- 5:-rA, evident adevaratd. conform subpunctului anterior. Presupunem adevdratl proprietatca p (k ) , pentru un k E N k ) 2 , , oarecare 9l demonsram ca eslc irrdeplinird proprieratea p(k +1).

1.":.1,. ;1,,i

;ffii; l;:;::. "H.i;#;;: ^, 270

A+At+o, qi atunci rang(A.+ a')= t c> a.t(a * a')= o o to (x+z)':=6r+2=i4<> x e {-6,2f r) Pentru a=b-c obtinem f :2x1 + 2(a - 1)xt + (at + l)xr +ax+a impdrtirii lui fla X+l este 10 dach 9i numai dacA f(-1) = 10. f(-1)=2 (-r)4 +z(a r) (-r)3 +(u'*:) (-r)'+a (-t)+a= a2 2a+7,deci .

fi-l)=10<r

2a + 7 =

<:>

6=$=q= |

concluzie, avem

a' - 2u 3=O<> 56u

x,x,

-ta:nci xi

x,x,

xrx{ + x,xr

+*l+*r'+";

x,x4

{-t,:}

a-S=s=1.

Conform relaliitor lut Viete. avem S,

=x'

r x..+x1

xlx4

( l)'i' = u,t li ao

"ti' =( ,)t3taol

=Si -zs, =(-a-r-1):

zu')3 --z^. 2.

ct Observam ca

I (*,-*,)t =-r(xi +x]

txl

=3(-2a-2)-2

hct

=(x, -x2 )r +(',, -x.,)r +(x, -,,0)r +(x, +

I + x)xr )- z(xtx, + xrxr xrxi

:'r 2

(*' -*,)t

>0e

-{rem Sr

=xr-rx. +xr +x4 =-a+t=-(-3)+l=4.

Dur f = 2Xa + 2(a

+x,xr)=

> tJ. cle unde deducem cd

=g€,r=-1. {tunci | (-,--,)' -=0-x' =x" =x1 =x4. l<r<l<J

-1a+3)r

nde deducemcd f

+ x2xr

deci xr =X2 =X3'=X,r

=2(X l)r -z(x4 -axr +6xr +x+1)= -l)Xr

+(a'? *

:)x']

+ bX + c -- 2Xa

-8Xr

2X{ - sxr

+ 12X2

-}=

l2Xr -

=t. n.

8X + 2

-8X + 2 ob{inenl b'- -3

Sc=2. in concluzie, polinomul fare toatc raddcinilc reale daci5i numai dacd

a--3. b= -8. c=2

Varianta 92 t.

Fie natricea

este transpusa

-ut 6u-o= 1u ' 11'

xre,R pentru Vk =13. arunci (a+:)?

-x,)t *(*r L)'+(x, -xr)r

A-l'1, lii \,1 -1,

*ultin',.a c

={xev.(,r)l,txA'=ori.

matncei A.

a) Sd se arate cA. d|cd

X.Y € G , atrnci X ] Y € C. 211

unclc

r\'

daci X e G, atunci suma elementelor lui X este egal6 cu 0. ci, daci XeG 9i detX=0,atunci Xn €G pentru orice

Sa se arate ca,

c) Sdse arate

2. Se considerd polinomul

f =Xa _ 6X3 + l8X2 _30x+25€C[X].

a) SA se arate cI polinomul bJ Sa se arate cA polinomul

fse divide cu X2

c) Si

_ 2X

n€N,.

+5.

fnu

are nicio rddicintr real6. se amte cA rdddcinile polinomului fau acetagl moaul.

Rezolvdri 1. a) Pentru

Atunci

VX,y

avem AXAr =

A(X+Y)A'=A)L{r +AyAi

02 si AyAt = 02. = O, +O, = Or, deci X+ye G.

rl|'

F,€xcMr(R).x=i."

:] AvemAXA, rl [c d] l_l r/[c aJll r) _a u1 , r)faru _a.b c_dl fa.brc,d ..r I ll =lt.-l-tll laFb'crd)i_l c,d -c d/

b.)r

-r'l

l-a_b c.d ar-b,..a,J= l) i0 , ..f 0\ -l\ Atunci AXA, = o. e (a - b ". r r J=lo oJe u * b * c + d = 0 ' adici suma elementelor matricei

-. fr - x=lc t; tte I !

i I

"rr"

dJeM,("

"guh.:'J

)cuproprierarea ca

der

Avem X2

-(a+d)X+(detX).I, =O, - X, =(a+d)X matematictr faptul c5 1', - (a + d)',-' X pentru Vn e IN. .

si putem demonstra prin inducle

Daci XeG, atunci AXA'=O, grobservimca AX,,A.=A.[(a+a;,'-'X] = (a + d)"-i

axt'=(a+a)"-ro,

o,,

deci

X,'eG

a,=

pentru VneN*

2.a)Avem f =X4 -6X3+18X2 -J(tX+25= =(xo -zx'+sx,)-(+xr 8X2 +20X)+5X, _l0x+25 =

=x2(x' -zx+s)-,rx(x,-zx+s)+s(x,_zx+s)= evident ca b)

(x,

+x+s)(x,_2x+s) ti

(x, -zx+s)zr.

Rldicinile lui f sunt radicinile factorilor X: _4X+5 $i X2_2X+5,adicA t i € rc - iR . respectiv xr.4 =r12ie c-R, deci fnu are nicio radacina

xr.2 = 2

reald.

c)Avemlx,l l*,1 J2"(-ll'='6si 1x,l ,x,l=u[,,1tz1 .f Observim ci 1:<, I = lx,I = lr3 | - lxr | = , adica radacinile potinomului f au acelagi ^6

272

modul.

Varianta 93 1. Se considera matri."u

a) Si se calculeze

b) Sd se determine

a=fl rJ'M'(R) 1z

(o o'f

c) Sd se rezolve ecua{ia X2 =

2,Fie a,belR

polinomul

X e V, (R)

= X30

3X20 + aXr0 + 3X5

a) SA se arate cf, restul impd4irii polinomului f

+aX+beR[X]

la X + 1 nu depinde de a.

b) Sa se determine a $i b astfel incat restul impa4irii polinomului f la X2 c) SI se determine a qi b astfel incdt polinomul f s6 fie divizibit cu (X

-X

str

fie X.

- t)? .

lczolvdri

r. a) Avem

At =A.A-r1 \2

. fl

!r.\vemA A'-i

l)(; l)=(l l),'o'=o' ^=(1 l)(; :)=(: l)

o)fr ll

1l[0 1)

, / { -')\ =l

t; ;l I a"(a 'a') ll =

/ \2 r)

I-{ A'l :tFic

ra cr XeM,(fi). *=|.o

o,J

Avem AX

ll -[,

Ol/a c\ | a

,Jlo

a,J

c )

lzu,r

zc+aJ

0] l'a -2c cl AtunciAX=xe- | " ' )=[."*]: :l**-[" 'l{1 \2a r b 2c+d./ \b+2d dJ lb dJ[2 tJ lb+2d dJ <'a=a+2c, 2a+b=b+2d,,2c+d=d<r a=d ti c=0,0""t

"=[l ;)=[; :)

.{m obtinut astfel

Observamci X2

=A=X3 =AX=XA> AX=XA:) la,belR

-\vem X2 =

x.x

AX = XA <+ !a,b e R astfel incat )(

ol[: o]=["' l \b al\b al

u' 9l=il tl.-a:=lsi [zuu a'J \z t/ X:

[;

:,) astfelincat

a" ono" o.ou"em cd X2

l2ab a')

,-(

in concluzie, solufiile ecualiei

0^1,

=A<;

2ab-2<+a=b=rl. sunt >< =

273

lJ tt ",

[-l

"=[;

j,)

2. a) Restul impanirii polinomului f la

X+1 este = ( r)'" -:.(-r)'n +a.(_r)ro +:.(_r)5 +a.(_r)+u Evident f(-l)= 5+b nu depinde de a.

r(-t)

b) DacA restul impdrtirii polinomului f Ia X2

i=(x'?-x) c+x f(l)=

X, arunci :f q e R[X] astfel incat

observim cd

alt[ parte, avem

Pe de

este

= _s + b.

f(0) =(0, -o) e(o)+o=o 5i r(r) =(i, f(0)=0r0-3.020+a.0r0+3.05+a.0+brb

-r) r(r)+r = r

1r0

-3.ln'

+a.1r0 +.3.15 +

f(1) = 1<f 2a+b+1= c)Dacd I

(x-l)'ztf

a l+b=2a+b+l,deci f(0)=0â&#x201A;Źb=0 ii

de unde obfinem a =

, atunci

0. in concluzie, avem a = b = 0.

(x-1)/f >f(l)=0>

2a+b+l=0= b=,2a_t ,i atr_rnci Din (X_1)r/f deducem cE f,(l) = 0.

f =Xio-JX20 +aXr0+iX5 +aX_2a_1. Avem f'(x) = :91'?n - 60xre + lgaxo + l5xa + a, cleci f'(t) =39.1uo-66 lre + l0a.le + l5.la +a = I la _15, de unde f '(1) = 0 c> I ta -15 = g <> u 15 . in concluzie, = a -11 qi

deducem ca

b= 2a-1=-11 ll

Varianta 94 l. Fie a,b,ceR'9imatricea

a a-h A=10 b \0 0 f

;:l

a) S, se arate ca A cstc matrice irversabilii.

u,' c6 A', = i 0 f

-6"

Str se ciemonstreze

l0 c) Sd se calculeze A-r

2.Fie f eR.[X]

-b" I b" c" l,

oricare ar

fi neN'.

un potinom astfet incat

a) Si se derermine

f( l).

r(Xr+rX+r)=rr(X)+3f(X)+1$i f(0) =0

b) Sd se determine restul impi4irii polinomului f la X _ 5 c) SA se demonstreze c6 f = X.

Rezolvdri

a) Avem det (A = )

l" l0 l0

ab b

"rl

o;'1="0"*o

deoarece a, b, c e lR' , deci A este inversabili.

11^

b,Avem42=^^=fi

";, ;_:lf; ";' o

;_:l= l^,

r.nrorositcia(a-u)+u(a-r)=,:il:-r;=",;,1 r(a - b) + (a - u)(u - c) + (a b)c = (a _ b)(a b(u-c)+(u-c)c = (b+ c)(b _c) b, _c,. =

+b_c+

^';"'

:]_jl,*..

It o "' )

c) = (a _ b)(a +

u)_

_b2 ei

Demonstrdmprin metoda inducuei matematice proprietatea

P(n): A"

[a"

_u"

0 b"

\ a" _u" a"

lo o

-." J n.n* vn. n..

hesupunem adevdratd proprietatea O,U, , O- = qrecarc

demonstrdm cd este indepliniu

P(k.l):Ar''

-ivem Ak*r =

./ali+l =i 0

fat-' =l O [o

4.4t

ak+r _ bk+r

bk+l

ar''

-or-r

[

-6'

-bk

bk ,u"* _.* ) o .*) I

O."ojl.,

ur,r -or'r'1

bk,i Or-'_.r,, l. o "t+t )' a-b a-u1far ak-u, ut-url fa =lo b b-cll

o br

lo o ..Jlo o

ak-' _ br*r bt+r

cr(+r =+ |

ck+r

l(t

b*_.* l=

"*.J

+ r) , unae am folosit

)

ZIJ

pentru un

keN'

-b)tk _ ^k{l -bk*', u(uk tt)+(a-t)(ut -ck)+(a-b)ck u(uk,ck)+(r-c)cr _ Lk+l a

(a (ak -uk )+

(u^ in concluzie,

P(n):A" =l

_u" b"

="i"[li:

A,, -(-l)r*rM,,

-",, =l;

lu c)Avem

a., _u'.

ljj]

o;"1=*,

-c"

=ak+r

-bk*l

j ese adevarard pennu Vn c N'.

"") ,,-'0"1e;="r"' Ar2

=(-r),*2M,2

=-",, =-|!

o;"1=0,

=|| ;l=r A,, =(-r)2.,M,, =-r,,=-1";o ""rl=-t"-o)., a", =(-r)'*'?r,r,, =r" =|| ""1=*,A23 =(-l)2*iMzr =-r,, =-|| "ool =0, A,, =(-r)r'3M,,

e,, -1-r1'''Mr: = ,M,:

= |]

:-'l

luoci

a(u-c).

u-ol A,, =1 l1'-t .'..r.r M,, =M,, ",. r ., =lu U -^' -.'.1 -10

l=ao.

, fuc -(u-u)" -(a-b)c') (uu u-' -b-r a-r -b-r ) oeci A '=--il 0 uo'lo ac -u(u-.) l= I o b-r b ,-"-' l.

2. a)

Avem r(x'?

In particular, pentru

<)f(-l)=-l

+ 1) = r'?

x=-l

c-,

)

(x)+3f (x)+l pentru Vx e lR.

, obtinem

f(-t)=fr(-l)+3f(-r)+r<+

(r(_r)+r)'?=O<>

b) Obsewdm c!, pentru

pentru

x=0,obtinem f(1)=f,(0)+3f(O)+1=02+3.0+I=I

x=l,avem f(12+3.1+l)

Restul impa4irii

=f,(l)+3f(l)+lpolinomului fla X 5 este f(5)= 5

f(5) =5.

c) Fie girul

(x,,),,.^ definit prin xo=0 $i x"*,

Evident x,

=x3+3xo+1-02+3.0+l=19i x, =1f +3x, +l=12 +3.1+l=5.

=xl+3x.+l

276

pentru

Vnâ&#x201A;ŹN.

pi atunci.

-s

ObservSm cb xn

rn*r

=(x"

>0-xD+r =x;+3x^+1>0,deci

+1)2 + xn

>0 pentru VneN-

>xn pentru Vn€ N, adicdtirul (x,)n.*

9i atunci

este strict crescator 9i,

particular, termenii tirului sunt distincqi doi cate doi, de unde deducem ci mullimea {x" ln e N} rste infinitA. Demonshim prin induc.tie matematicA proprietatea f (n):f(x")=xn penhu Vne N.

n=0

P(0):f(xp)- x6 evident adevArata, deoarece p=0 $ f(O)=O Pentru n=l obtinem P(l):f(x, ): x, , evident adevtrrata, deoarece x, =l 9i f(l)= L Presupunem adevf,ratA proprietatea P(k): f(x* )= xu pentru un keN oarecare $i dcmonsftem ci este indepliniti propdetatea P(k + 1) : f(x**, - x*., ) .:rvem f(x*.,)=r(xl +3x* +t)=t2(xu)+3f(xu)+l= xl +3x* +1-x**, >p(k+l). Pentru

obtinem

Deci proprietatea

f(n):f(x,,)=x.

Vn€N.

este adevdratd pentru

R[X] , C=f -X. Cibsewdmcd e(x")=f(x")-x" =0 pentru VneN',deci polinomul g are o infinitate de laddcini, ceea ce se intamph doar pentru g 0 . = Fie g e

in concluzie,

f-X=g=0,adic6 f=X. Varianta 95

1. Se considerd n e

9i matricea

€ M^ (R

pnncipali egale cu 2

$i restul elementelor egale cu a) Si se calculeze det(2A, ).

SA se

SA se arate

egale cu

determine

x€lR

pentru care

gi restul elementelor egale

2. Fie a,b,c e lR gi polinomul

xr, x, e

det(ar+xI,)=0.

-1.

= X3 -aX2

+bX*c

R[X]

cu rdddcinile

a) Sl se determine a, b, c pentru care

ll'

care are elementele de pe diagonala

cA Aa are inversa, aceasta avand elementele de pe diagonala principald

x1,

xt = 2

x2 = | +i

b) Sd se arate ci resturile impt4idi polinomului f ia

t)'?

ti la (X-Z)'? nupotfi

egale, p€ntru nicio valoare a parametrilor a, b, c. c) SA se arate cA, daca toate rdddcinile polinomului fsunt reale qi a, b, c sunt stricl

pozitlve, atunci xr,x2,x3 sunt strict pozitive. Rezolvdri

t.a)Avem

o,-\r =12 Laec, ze,

=[' 4)t)rt der(24, )12

2'77

'l 4l

-,,

b)Avem A,

2 r rl lr o o) (z+x I l = 1 z tl+xl0 I 0l I t 2+x [r r zJ [o o rJ I r 1 2+x l++x ++x ++xl lr r r

f2 2r r) |

=lt

l,deci A]+xt1

[r r zj

t tI lz+x 2+x t lei det(A,+xI,)=l 1 2+x r l= | | It

I 2+xl I r

ol Iro =(x+a)lr r+* o

z+x t l= lr t 2+xl I

(++x)lt

| 2+xl

(**+X*+r)'

11 0 l+xl

Atunci det(Ar

+xlr)=9s, (x+a)(x+l)':=0e xe{-+,-t}

f2t'r'l l 2 L..,.u=l

clAvem A,- _]

I 2 1l lr tt--lii

(r r r zl

1_t_1 -1 5555 -l-1 -rJ 1_11 l_rr f1 ,r , 5 5 5l=11 + ,_, I I 1 4 I

5l I -l 4 -1 s 5 s 5l I r't [-r,r -r +] 4) * I --:) --) -=) =) J/ 1

1 1 1Jf+ -r -r -r) (t I -r -rlf2 I I 1l f2I 2 I lll 4 -r -' l=lt4 I -l11 I 2 ' observimcr I r 2 rll 'r -r 4 -r I l-1 | 4 -'11 | 2 'lrl Ir '

fr r r f5oool

-|: ; : 3|=tu'0""'

lo o o sJ

inversabili 9i

A;'

=B=

-t -r 4) [-r -r r t)\t r r

zJl 1

AoB=BAo

51, =io,6"undededucemcdmatricea A4 este

11 55

_1 55 !!

,1 11

5555

ii xr=11i.6-O,deducemciavemx, atuns1 f =(X x,)(X- x,)(x-x,)= (x-2)(x-r-i)(x r+i) = (x-2)(x, -2X+2) 2. a) Deoarece

=Xr

f e R[X] , xr =2elR

4x2+6X-4. 278

Din

-c - Xj -4X2 + 6X,4

= Xr -aX2 +bX

b) Presupunem prin absurd egale, respectiv ctr .

ci resturile impd4irii

3!q,,qr,reR[X]

grad( r) < grad ( X

- I )'

a=4, b=6 $i c=4. polinomulul fla (X-l)'? gila (X-2)'

oblinem cd

f =(X-t)'?q,+r

astfel incat

sunt

f =(X-Z)'zq, +r,unde

= 2 9i grad(q, ) = srad(qz ) = l . Observdm ctr avem

1x-l)2tr =1x-z;tqr,a*i (x-r)'?l(x-z)'?q

rt (x

-t)2 tqr,ceea ce esre imposibit,

grad(q2)=1,deci q, nu poate fi divizibil prin poliromul de gradul doi (X-t)2.

deoarece

concluzie, resturile

valorile parametrilor a, b gi c.

:) Observtrm

impirfirii polinomutui fla (X-l)'? 9i (X-Z)'? nu pot fi egale, indiferent

xl <0, -axt <0, bx<0, -c<0,deci pentru Vx <0, adicd polinomul fnu are rtdIcini in atervalul (-"o,0) 5i, cum f (0) = -c * 0. deducem ci rtrddcinile x,,x2,x3 sunt strict pozitive. ctr,

penhu x<0,auem

f(x)=1r u"z+bx-c<0:> f(x)+0

Varianta 96

Pentru odce matfice

a) SI se verifice

'. /a b) A=l^ leMr(R) \c o./

ci Ar - tr(A)

b) Sa se demonstreze cf,, dac6

Be M,(R)

A + (detA).12

tr(A)

se noreazA

tr(A)=a+d.

= 0, atunci A2B = BA2 , penhu orice matrice

c) Sa se arate ci, dacd

2.Fie a,beR

rr(A) * 0,

polinomul

= Xa

M, (R) ti A'?B = BA? , atunci AB = BA

-6X3

l3X'? +aX +b e

R[X].

a) SA se calculeze suma pdtratelor celor 4 dddcini corrplexe ale polinomului f. b) Str se determine a, b astfel incat polinomul f str fie diviziblt cu (X - t)(X -:)

c) Sa se determine a, b astfel incdt polinomul fsa aibd douA riddcini duble.

lczolvdri /^

L\/^

" " ll " " l=l lc dJ\c d/ | :,".-i

l.a) A2 =A.A =i .rvem

-1.

.rt'?

-tr(e).

A +(detA).

/0 0\ =,.0 0Jl= O..

de'[(A)=la

ll=*-0"

i).r*-*{i ":"#'Jsi [;":;',:";']-r".'{l

0.A+(detA).I, =O: + 42 =_(aete).Ir. E\ident -(detA).I: ,B=e ;-,o",or-tr], iect A2B=BA2 pentru VBâ&#x201A;ŹMr(R) br Daca

tr(A)=0,atunci

279

i)=

e'?-tr(e).a+(aetA).t2 =o, * a']=tr(e).e-(detA).Ir. Avem e2B - tr(A).AB - (det A). B $i BA'? - tr(A).BA-(detA).8. Atunci A2B = BA: > tr(.L) ae-(aetA) B = tr(A).BA -(deta).n = AB = BA, deoarece tr(A)* 0. c) observam ca

2. a) Conform relafiilor lui Vidte, avem S,

=x, +x2 +x3+x4

x,x, +x,x, + xrx4 +x2xr + x2x4 + xtx4

-(-t)'2

{-t)l3:-

,uo

+'j +xl =Si -2s, =62 -2 13=lo. b) e,vem (x-r)(x*3)/f <+(x-l)/f si (x-3)/f <+ f(l)=0 ri r(3)=0. Atunci xf

+xl

f(t)=14-6 13+13.12+a.1+b=a+b+s de unde deducem ca <> 3a +b +36 = 0

9i r (:) = :a -

6 . 33 +

32 + a . 3 +

f(1)=Qe3r.6*8=0<ra+b=-8,respectiv

+b = -36. Am obtinut astfel sistemul .la

Dar

b = 3a + b + 36 .

(3)=0<i

+b = -8

l3a+b=-36

Dactr scAdem ecuatiile membru cu membru, oblinem a = -14, deci b = -a+8 = 6. in concluzie, polinomul feste divizibil cu (X-l)(X-3) dacl gi'aumai dacd a=-14 qi

b=6.

ci xl =x2 =u 9i x, =xo =v.Avem Sl =xr+x2+x3+x4 =6> -2(u+v)-63u+v=3,respectiv S, = (x1 + x.)(x, + xo )+ x,x, + xrxo =13=

c) ?resupunem

=r (u+v)'z+2uv = l3

2u,r=13-(u+v)'?=13-32

=4:.w -2.

fu+v=3-, {- '^ de unde deducemcAu fi v sunt rldlcinile ecualiei t2 -3t+2=0,adicd iu = 1 lu =2 generalitatea, considerdm cd xr =x2 =1 9i x, =xo =2. ,uu lr=z lv_l . FEra a reduce atunci r = (x -r)'z (x - z)'? = (x' -2x + l)(x'? - $ + a) - x4 -6xr +13x2 -r2x+ 4. Deci

Din f =Xa -6X3+13X2 +aX+b=Xa -6X3+13X2

-l2X+4

in concluzie, polinomul f are doutr rldtrcini duble dacd

a=-12 ti b=4 -12 qi b = 4 .

deducem cd

numai dacd a =

Varianta 97

/a b)

r.Fie A =1.

M,(R). \- ,*_/le

a) Str se aratâ&#x201A;Ź ca det (A

b) Sasearate ca, dacd

.A' > 0 . ,)

A.At=At.A,

c) Sl se demonstreze c6, dacd

atunci

(e-e'1']00' : 280

(a-O)(U-c) =0. A

-At.

atunci

lb-cle t0,4.

2, Se considerS corp'rl a) Sd se rezolve

n 2.,

(Zj,+,.)

)x = 3 . cd polinomul p= ja2 +ieZrIX) nu

Sd se arate

ectalia

c) Sd se demonstreze cA funclia

\Lt.+ )

are

f :Zr -+Zr, f(x)= ix

fidtciniin Zr. este un automorfism al grupului

lczolvdri

, / ,\

r. a) Avem der(a',) = det(A). deci

det(a.a'

=(: :)(; ;)=[".];.

b) Avem

oet(A) det(A'

det, )=

(A) > 0.

::l])"o'o=(l ;)i: :):

fa2+c2 ab+cd) l. Atunci A.A', = A,.A <> fa':*u: ac.uol _(u' ,r' ab-cd )^ ^ (ab+cd b'+d'J Iac*bd c2+drJ lab-cd ar.a, ) c: a2 +b2 =a2 +c2, ac+bd=ab+ cd qi c2 +d2 =b2 +d2 <> b2 =c2 ,i (a-d)(b-c)=0=)

>(a-d)(b-c)=0. crAvem

("'"l=t .\ (o A-Ar-l-/a h\ :l-l (c d/ d/

observimcd

Atuncl (e - e' = 1b

")'oo'

b_c) ,. .(o l) r' .,I r o)t.FieX. lc_b o^ 1.,tb_ct.t i-i

* =[-0, ;)(] ;)= [{r - ";x]'oon

= (b

, de unde deducem ca

(e -

)'?00'

:,)

a:ooo

c)200q

a,)'?@n = A

_,,, ae", xo =(x,), (u

"ytuoo

(xo )'ot

- Ar <> 1b-.;rno, x

=(-Ir)t=r,. =

= (b

-c)x <)

."(b-.)''' =b-c, deoarece x=[o t)*o..

l-l

Pentru relatia

(b-")'oon = b-c avem doui situatii posibile:

b-c=0=+lb-cl =0;

b-c*0

9i aruirci (b-c)200e

=U-cl,(u-").+ (b-.)toot =t= b_c = 11= lb,q = l. in concluzie, daca (a-e,)'zO@ - A -At, atunci lb-clâ&#x201A;Ź {0,4. 2.a) Avem i* -i.t*. i'.j=,i 3=i. b) Presupunem cd laeZ, astfel inc?tt p(a)=0.4tu1s1 )^, *4=6<->i(u, +i)=0<<ra2+2=0c>a2 - 2-5, contradicfe, deoarece 0. =0*s, i, =i*j. ), =q+s, jt =)+3, q'=)*3,3, Gt =q*?;,

=i*3.

concluzie, presupunerea fpcuta este absurdd, de unde deducem cd polinomul p nu are

Zr.

28r

ridicini

Avelr f(x)

> ix = ix,.> x = x'. deci func1ia feste injectivd. -'. Observim ci" pcnau VyeZ,, .i JxeZ_. x=4y'astfelincat x =i. "",s-r._^.. f(x)=2x ., firncfia feste suriec n.o =2 4y=y,deci .,-,--,.1t ' ",,-, :T:lT' ll,,lo T,".ii,i=, ;r"Ji,l;,,i;i"i;.1;l j I 14 rJ; ;"";; lTil \ ; ---' ' I '/ ' ^ l ;,T.1',':i:.*. i"Vx,x'e I f.l Zr, adicd firnclia feste .liun cndomorfism al grupului (27,+) F,indtijecdva iiind biiectiv: .i F-'r^*^-,',si endomorfisr4 concruz_;;';;;;",;Jf,i "ll,n_n,n' "l gn:purui

f"f i;:

(x')

:*;;;;;;

.'.

;t if:: I

Varianta 9g l. Fie sisternul

fmx+y-z=t

de ecua{ii liniare

lx+y-z=Z

, unde

me R.

[-x+y+z=0

a) SA se determine m â&#x201A;Ź R astfel incat matricea sistemului str aiba rangul 2. b) Sd se determine m e R astfel incat sistemul sd aibi solu{ii (xo, yo, zo e verificl relafia xo + yo + zo ) =4 .

c) Sa se determine m e

2. Fie p e lR gi polinomul

e, --

i]31::

astfel inciit sistemul sa aiba o sol4ie

f = {a _.+x+P e R[x].

J^.-j::X*: I lilfl i:iin,1,".ur

care

unicl (xo,yo,zo)eZ:

f sr ne divizibir cu X r I

'J,,.,li,j:ilXJlo,r, l]3;;:"'..,,,".T":i":,:*i:.ii*r;;T:i;il:ff ..r"" p ifr',

c) Sd se arate c', penr,

o"iiil#il11"J:i::,ffn:1;1iji:",".

Rezolvdri

a) Man-icea sisternului este

(^t -'l o=l tr l-t

,tJ"'to)

Avem

J'"'-4

det(A)=Jt r_,1=

l_l I tl l'' =l r A minorul ordinul l-l I if='F i1=','-', Ir I rang(e)=2e6et(a)=o.-21"r-r)=96.n=1. ,

f-r

Observim cd matricea

admite

{=z*o.atunci

b) DacE adunam membru cu membru ecualiile x -z = r + x z+1. = proprieratea cd xo + y

presupunand

+y-z=2

i.-x

":tj,

+ zo=., ",::T::l za +l+l+ zo 4 = => zo =l gi xo=20+t=l+l=2. o

inlocuind (xo,yo,zo) =

(z,t,t)

dh,i.-. oolrnem +y+z=0'

-'i',]T*, Jffi:li

in prima ecualie, obfinem

282

y=l'deci

2m+r-l-l>m=

-, * I

doi

;) Am observat cA

y=1fi x=z+1.Atunci

prima ecuatie a sistemului devrne

n(z +1)-r1-z = I <.; (m-l)z = -m. Ecua{ia admite solulie

rr-l:oc>m*l5i m=0

I ,--ezc>

z=--m ,-=

m-te{-t,l} e me{o,z}

obtinem z=0 qi x = z + 1 = 1 , deci sistemul admite solufa umcd x!,y0,20)-(1,1,0)e Zr. Pentnr m=2 obtinem z=,2 $i x=z+t=_l , decr sisremul

Pentru f

aruncr

dacA Si numar dacd

rdmite solufia unica (xo, y o,zo) = (-t,t, -Z) e 23 . a) Conform teoremei lui Bezout, polinomul f este divizibil cu X +

I dac6 gi numai daci r(-l) =0. Avem f( t)=( r)o -+.(-r)+p=p+5,deci f (*l)=0<ap+5=0<+p=_5. it Presupunem ci la e R rtrddcini dublt a lui f. Ahrnci avem f(a)= O f'(a)= 0. 9i f'(x)-+xr-+=a(x f)(x, +x+l), deducem cd singura ridtrcind realtr posibild a lui f, ste a = L Atunci f(l)=0op-3=0<+p-3,deci |=Xa _4X+3=Xa _1_4X+4= =(x-,1)(xr +xr +x+r)-a(x-t) = (x-l)(xr+xr+x_:)= (x_t)z(x, +2x+3). .-um

; r Conform relatiilor lui Viete. avem S, = x, +x2 + xr + x4 S. =

xrx' +xrx: +xlx4 f xrxr +x2x4 +x3x4

= xlx2x3

.\runci

+xlxrx4 +xlxlx4 +x2x1x.1

.xj -xt rxj

0 pentm Vk = 1r4,

=(-r)'9=o

= O,

=(-r)'a=+. ao

-0.

-Sf -ZS,

hesupunind prin absurd cd x*

=(-t)*

pentm Vk=1.4, din xf

ceea ce contrazlce relatia S. = 4

+xl +xl +xl =9 661in.-.,

* 0.

.n concluzre. polinomul p nu are tocle rAdacinile teale, pentru Vp

Varianta 99 t. Fie matricele A = :-{x) = det(AAr + xB)

' t,

1o1'

"-[i

r,,Jâ&#x201A;ŹM'(R)

qi funcfia

f :R + R,

a) Sd se calculeze AAt

b) Sd se arate

ci f(0) > 0.

c) Si se arate cd existd

m,nâ&#x201A;ŹR

astfel incat

f(x)

= rm + n , pentm oricare

2. Se considerd multime a de numere complexe G = {cos qn + i sin a) sa se arale ca

I , ,f. 22

283

qrlq e e}

xeR. .

b) Si se arate

G este parte stabil5 a

c) Sa se arate ca polinomul

= X6

lui C in raport

- I e C [X]

cu inmultirea numerelor complexe

are toate

ridicinile in G.

Rezolvdri

t.a)Avem

oA'=f" blf" tl. f"" b') ac+bdl \c d/t b d/ lac tba c, _d:J

b) Avem

f(0)

c)Avem

/ > -t (a'z rb)'x "'*b!**l,a..i A.{t**e=f u'-.ol ":-111, ll= \ac+bd c-+d'/ \L t) (ac+bd+x c,*d'tx)

-il

r(x)=det(Ae'

+b2

**)

=1"' lac.

ac+bd+xl

x c.+d,+xl

bd +

+x)(c'?+d, +x)-(ac+ba+x)'z=

= (a2 +b2

aet(aa, +o.a)= aet(ea,)= a"t1a)a.r(o,)i a",, (o) - o.

*' * *(u'

+b'? +c2 +

=l(a-c)-.(b-d)'lx in concluzie,

o,)+(a, +ur)(c, +a, r det' (.+ )

)-("c.*bd)t -2(ac +bd)x

lm,neR,*4s n=(a_c)2+(u_a), ri n=aetr(a)

, astfel incat

f(x)=nx1r'". 2, a) Avem

,t: j: +

b) Pentru Vzr,z, I

cos-

+ i sin

a = cos qn + isin

eG, 3q,,q, eQ

qn e

isin qr e G , unde q = q, +Qz,

Am oblinut ctr

z,zreG

astfel incdt z, =cosq,n+isinqr?r

gi altnci zrzt =(cosq,n+isinq,n)(cosqrn+isinqrzr; = cos

G, unde

cos(Cr

i. * lr

z2 =cosq27r+rslnq-r

+qr)n+isin(q, +qr)z=

geQ.

pentru Yz.,,z, eG, adici mullimea G este parte stabild a lui

raport cu inmul{irea numerelor complexe.

f =X6 -l sunt rddAcinile ecuatiei x6 =1, adici 2kn 2kn kn kn xk = cos- + isin? = cosi + lsln]. unde k = 0. 5 . Observim cA aceste ddacini sunr i

c) Rddncinile polinomului

forma x* =cosqrn+isinq,n,unde q, ;

=!Eq.deci x*eG

Varianta 100 1. Fie

maticâ&#x201A;Źa A

(;

a) SA se Gmonstreze

-:)

c, (t,

a)'

= Iz

+A. 284

pentru Vk =

0J.

b) Sd se demonstreze cd mullimea c) Si se rezolve ecuafia

2. Fie n e

3, ao,a',

b) Sd se arate cd, daca

, X e M, (R)

.,an e

t(t)+t(-t)

a) Sd se amte cd

*-}

{O"1".

este finita.

gi polinomul

= a,,Xn +a,,,rx,'-r +... + a,X + a,,.

este numArpar.

f(Z) ti f(3)

sunt numere irnpare, atunci polinomul

l$alcini infteagtr. c) Sd se arate cd polinomul g = N3 _X+3a + doutr polinoame neconstante, cu coeficienti intresi.

eZ,nupoate fi

fnu

are nicio

descompus in produs

blvdri

-2)(4 -2) -3

L,Avem

,A2

)\6

-3

)

t 2) r-3 2) a'ci o'=-o;' ']f [6 -41l.6 -'.J=lt aJ ='-n'

=o o-['

p(n):A" =(_l)".r A pentru Vn e N*. r(t):er = (-t)'tr a, respectiv r(Z): e2 =(_t)r*'a, care

Drmonstritn prin inductie matematica propdetatea

!:nru n=l

n=2

obtinem

evident adevarate.

hsupunem adevirati proprietatea

fuonstram

c6 este

f(t):Ak =(-t)k-'A

indeplinitl proprietatea

l) : Ak*r

a-em Ak*r = At .A = (_1)k*, A, e = (_r)*., .(_a)

&ri

proprietatea

f (n) : a" = (-f

)"-r

penau un =

keN.

1-t)kr, A

(_r)k-, a

= r(r

este adevtrrate pentru Vn e N"

oarecare tr

l. . ^' } = {-a, A} , care evident este o multime finita. Fie XeM,(R). --[: observam ca x3 =e,=aer(x])=der(A)>

ELducem cd

{O"

=det3(X)=O=

det(X)

=0.Din Xr-(a+d)X+(detx).r, =o:

1r -1a+d)x, =(a+d)'?X.deci Xr <e(a+d)'?a=3, (a+o)'zu

=-2,

(a+d)'?c

(a+d)':a=3 9i (a+d)'?d=-4

r=-2, c=6,d=-4,adicd

obqinem

"=flo \.

=(a+d)X

=A- ("-r)r[: :J=[: -,\- l<> -4) =0,

(a+a)'? o =-<.

(a+d)r

-:l=^. -4,/ 285

=3-4=-l+a+d=-1 ii atunci a =3,

2. a)

Avem

f(t)=Iak ri f (-t)=I(-l)t k=O

f(1)+f(-l)

ak.deci

r1r1.ri-4

k=0

i[r- +(-r)k la* k=0

este numtrr par.

lbeZ astfel inc6t f(b)=0. " evern f(z)=r(z)-f(b)=a"(2" -u")+a"-,(2"-'-u'-r)+...+a,(z-b), deci (2-b) : Similar obpnem cd (:-U)lf(f) . oeoarece f(2) 9i f(3) sunt numere impare, deducem ci r divizorii (2-b) 9i (3-b) sunt impad, ceea ce este imposibil, numerete (2-b) $i (3 bl b) Presupunem prin absurd ctr

fiind consecutivein concluzie, daci

f(2) ti f(3)

sunt numer€ irpare, atunci polinomul

fnu

are nicio

radacd

inheage. c) Presupunem prin absurd cd

Avem

ez,lxl, grad(h)>1, graO(f)>t,

grad(g)= grad(h)+gad(f),

are gradul 1, iar

3neZ

3h,f

celllalt gradul 2. FIrd

asfel inc6t

a reduce gerieralitatea, consideram ca

Ya eZ,deoarece

I al lui

3a+l=0<+a

grad(f) = I .

f =X-n.Observdmca g(n) = h(n)f(nf= 0, deci teZ

g(-t)=g(t)=3a+1*0 pentu

g=M

de unde deducem ctr unul dinfre polinoamele h sau

a lui g, ceea ce inpun€ necesitatea ca n str dividtr termenul liber

Oar

astfel incar

este

g, deci ca n e

{-l.l

=-t*U

Am obtinut astfel o contradicqie, de unde deducem cd presupunerea ficutA este absurdA. In concluzie, polinomul g nu poat€ fi descompus in produs de doul polinoame neconstante :1 coeficienfi intregi.

286

ln-

c) ObservAm ca

I--

f(x)=:--:<O

pentru Vx e (0.1) 5i

Aria ceru6 este dari de formula

"nt

jr1-;la-

f(x)- "F t/x

> O penmi Vx € [l.co)

ji1*;la* * jr1*11a"

::, =

',.

.,t

/r\\

- Jr1*;o* * Jr1^;o^

- -F(.)l! - F(^)[

),t r[].]-

frr r \ z/I - zJ -+Jr t r" r - z)+ zG(rae-

-l F(')-

zntrl - r(.t =

+8Ji -

;

j,j

n(e)

lr"1

- n(r)

zG -

--T--2e

Varianta 2 1. Se considerr girut

(u")".*.

a) SA se arate ca a" e

(O,t), Vn e N'

Sd se demonstreze cd

c) Sd se arate superior de a,

ci iirut

e(0,t) 9i a"-,

=5(r-fi),

)".o, , dat de b" =

u', + u',

+...+ a]., Vn e N'

, este

mirginit

a) Sase arate cd tuncfia

f(x)= ' t x" +x+1

:ll{

>R,

F:lR

rR,

F(x)=

4+], {arc,*f -[J3/ I

b) Sd se calculeze aria suprafelei delimitate de dreptele x =

tuncliei

vneN'.

pirul (an )nuN, este strict d€screscdtor.

(U"

2. Se consrdera tunctia

a tunctiei

cht ae 4,

x € lR, este o primitirt

Ox gi grahcul

g:R-+R, e (x) = (zx + t)r (x)

c) Sd se calculeze

f"n

n-@J.[f(^)O*

unde n e N'

Rezolvdri 1. a) observdm a,

(t-,.[,

ci din a, e (0,1) obfnem

(o,r)> a, e(o,t)

.[, e (0,1)> t -.,[,

(o,r),

oect

e(n):a. e(O,t) pentru Vn e N'. n=l sau n=2 obtinem l(t):a, e(o,t), respectiv P(2):a, e (0,1) , care sunt evider

Demonstrtrm prin metoda induliei matematice proprietatea

Pentru

adevtrrate conform ipotezei gi celor demonstmte anle or.

288

kesupunem adevdrata proprietatea P(k):au e(0,1) pentru un

€

indeplinitd proprietatea

este

-{r'em au e (0, l)

P(k

e (o,r)

l) . Deci proprietatea

+ 1)

oarecare 9i demonstrdm

ar-, e (0, t) .

= - fr

(n) : a"

k€ N'

e (0,

(o,r)

esre

(t -

r[,. ).

10,r1

a*,,

adevdrati penku Vn e N'

(o,r)

b -\vem a,,*' =",(t-ut[) .",, 1=a,,, deci atr+r <ar penhu vn e N* , adicd qirul (u"),,.*.

*a strict descrescAtor. :, a,,., = a,, /1 -nf-) o u,,fi

-."".fi=ni

.u,,.[l

= u,,

-ar+r penku Vn e N- . Cum a"

, deducem cd

(o.t)

u6" . t -

aj <a,, -a,,*, pentru VneN".

-bnci b,, -af +a]+ ..+aj <ar a2+a2-a1 +..+ar-rn+r =or -a!r+r <al ;: t N'. deci lirul (b,, ),, \. este marrgrnir superror de a.

penrru

aa) obsewimc6 runcliaF

.t;

t,,f4tl'

este

derivablipe R ei

F,(,)=[+-*c(#)]

2431 --_-=:._:-= . =f (^) pentru Vx € R, deci func1ia F ../3 3 4x'+4x+4 x'+x+1

\ ./3 i rse o primitivA a functiei

r,.\riaestedatdde =

f",-"h jc(*)ld,

b(l' +1+1)-h(o'] +o+t) tr

z$l'.3 L2

.,. I

fl-i=-.n)l 2,,,..6 \ 2rl

ij::*

;x-+x+l

ro(*,+**r)l' -

tn3.

.. hm lf(x)dr = lim lp(x)1" llm Inl l= n-dl "-d J r

tlj*-l*

;lx-+x+ll r-

t2v3 |

zn+t) 2.,,6 ( -2n +1 ')l _ ------_|-alctsl

L--arctgl

-[ Jl ))-

J3)3

Varianta 3 1. Se considerd tunctia

f :(0,"o)'+R, f (x)- 13^: -6*

a) Str se determine intervalele de monotonie ale functiei f.

b) Sl se determine a e

pentru care

f(x)> a,

Vx e (O,o)

c) Sa se determine numirul de rddicini reale ale ecualiei

I'.

ctru

real.

idefl

289

f(x)

= m, unde m este un para-

f":R--+R,

2. Se considera tuncgiile

f"(x)=;] lx

a) SA se arate cA, pentru odce a e ]R , func1ia

l b) Si se calculeze

c) Si se calculeze

Jf,

(x)dx

. unde aeR. al+r.

are

primitive stict crescitoare pe R

(.)O^

Rezolvdri

1. a)

Avem

i'(x)= (rs*': -tn*)'

observam cd, pentru

'(x)>0+*

$i shict crescatoare

:o*

xe (0,o) , avem 0

-1= XX

-1

(o.r-

[+,.)

este punct de

minim global pentru tunctia f, deci

deducem

r1.;>

"pl)f

(1.1

(x)=

r[] f

[*]=

J.rrl j."

[2]

timf (x)= trq(ra", x>0

rirn x: I rs

x>0

-n*)= +- ri l1xf(-)

]g3(18x2

-hx)=

(h"l' l= r- , a"oarece rim!l= ri'n -!+ = ri-i= r--!=0. xJx:@ 2x'/ x' ,r xz "-. (.'l

'+62x

confomr regulii lui I'Hdspital.

in concluzie, functia feste strict descrescitoare pe int.*"frf

t,,,

(0,1]

unde ia valori in intervalul

1.,

"J L2

lf l\6'\'n tl,timflx;l=ll+tnO,+-l9i,tunc{iafiindcontinuagistrictmonotonl,deducemcd, L

pcntnr vve

)

\ r:xc[0.*j / r

l1+lno.+oJ.

asrfel

incit

290

f(*)=y

r"rn".,i'

ae -:..-+lnb l.

c) Avem

pentru Vx e (0.

f este stdct descrescatoare pe intervarr

pe'tru vxâ&#x201A;Ź(0,co).Din f (x) >a penrru vxâ&#x201A;Ź(0,co) oect

36r. * 1l 6/\. 6) -I - \ -11r.

r'(x)<0**-1.0=*.(0,1)

= . . [],-), 0*t *ctia

p. -t.-"1.1

b) Am obfinut ca xo

36x2

],. L "oa. Itr

asemenea, func{ia feste strict crescdtoare pe intervalul |

ia valori in intervalul

r.i),gtto)=[i+1r6,-)

ri,nentru

or.[.ru,-), ,,".[,*)

astrer incat

r(")=

m e IR se poate afla intr-una dintre urrnitoarele situatii:

m<:+ln6= li;1,f(*) li atunci ecuatia f(x)=m re(0.6] I I

f!\

im=-l+r"6=tlfJ -

(0..

j+fnO

r{Ectiv

!. r) Evident I

[

0.11

(-)=

Grae

-+1tr5 ,-

:+hA

f(x)=11 udrlir" Ooud solu{ii x, 9i xr,

cd, pentru Va e

i;:+;

strict crescitoare pe R

uevem jr,(x)0" =

unde

-,.fo,ll,

, func1ia

0. adict

(*) t 0 pertru vx c R.

deci prirnitiva oarecare

l#-

i*= l*. i* 4 '(4s\

l--**.

=-rn(s-x)ll t- -,,t0+h(x+l)13=-61-' -\" 'rt2 -'5 *tJ=tl; i,

=1;

(*,-)

(.)=

gi atunci ecualia

aclmite solulia unicd xo

fa este continu{, de unde rezulta cd admite primitive. :lR -+ R o primitiyl oarecare a funcliei f" . Atunci \ este derivabild pe R qi

5_.:

ti utrn.i."ootia f(x)=m

nu admite solutii:

observam ca, penru a > J. avem

=-ln(-x+a+3)ll . ,r0=-rn-a

I j=t;

ir" (,.)* = i-+.

= i--g, dlx-al+l ra-x,3

a+j EYident, in trecerea la limittr a -+ r-aD , putem presupune cA parametrul ,,a" este situat intr-o lcinAtate a lui +@ suficiâ&#x201A;Źnt de restranstr astfel incat sA avem a > 3 . -{tunci lim

"*.;

l- i-r"-ilir",-,* = a.-\ a+r)

r" r = o

Varianta 4 l.

Se considertr tunc1ia

f :lR {-1.0} -+R.

f(x)=-41

a) 56 se determine asfurptotele graficului funcfiei f.

291

x' (x + l.)-

SA se

fnu

d€monstreze cA funclia

are puncte de exftem local.

c) sa se calculez€

J1g(r(r)*r(z)*r(l)+. '[-{d*. 2. Se consideri 5irul (1" )".^. , I" = ix" +l a) Sd se calculeze

SA se

.+r(n))",unde neN'.

n. N'.

I,.

arate ca In <

Vn e N'.

c) Sd se calculeze lim In. Rezolvdri

l.a)Avem lim f(x)= 16 -!"1! ^ =6,deci y=6 |3r@ \-r€ x/ (x +l)-

(axa Ox) este ecuatia asimptoter

orizontale la gmficul func{iei fspre -co 9i spre +co.

2x+l llxl= .. Ilm 2x+l -@. resDecnv llmllxl= .. lrm ---------------' r+,*r(*-t)' \+o ' x+ox2(x+l)z =+co.decl x=-l , respectiv x=0 (axa Oy), sunt ecua{iile asimptotelor verticale la graficul funcliei f.

Avem llm

r-r'

b) observam ca r( x) =

.qruncr

)' = "-:,t 1,;' = 4 --?t x' =f,-o*hu x'(x + l)' x'(x-l)' (x+l)' (

vx €,R - t-1.01

'l I t=- z 2 - (x+l)r-xl, =-2.3*'*3**.1 -+ -= -2.' x](x+t)' xr(x+t)' {.x' (x*l)'J x' (x+l)'

r^...(t txf ' ' =l

oao-

Vx€R-{-1,0} .Avem 3x2 +3x +l > 0 pentru Vx€lR,deoarece A = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 , deci f '(x)*0 pentru VxeR-{-1,0} . Deducem de aici ca funcfia nu admite puncte critice, iD particular nu admite puncte de extrem local. c) Deoarece

f(-)=+-;--1 x- (x + l)-

f(1)+f(2)+f(3)+.

pentru

Vx€R-l-l.0l.deducemctr

*r(n)=1-4.+-+.+-+*. *4---l l2 22 22 32 32 42 nt *t),^ = 1n

111 l'

(n +

l)'

r-(n

l)'

nentnr

VneN'. /

Atunci

r,m(f(r)+f(2)+f(3)+. +fi"))"' =;yil

t--+

\n'2

"*-1. (n+l)-J|

=rin'llr ---1 .l " -Lt (".1'

{"-r)'l-G;i'

=.'=r. 292

r, \\em

r, i-o- = I'-*)*=

Croservim cd. pentru

[*-n(x+r)]: =(z-rn:)-(r-rnz)=,-r;

vxe [i.2] 9i VneN'.avem In <

cA,

p€ntru Vx e [f,Z], avem x,,+l > x',

=o.i-ii.t+=

pentru Vn €

r.g,6""i

6.-_J-.1=

+1, = *(#,)=*[,#)

Dqu1sqq.1;mI['

2',-' ) ',-"n l[ ^:]

j;.{{=,.0*,

0.deducemcr ti, T-!" -,;,;ix,*,

-0.d.., ",*"'-

t,, ,,' i-l-d" ,,, [,- i o^ l=,' "-,/x",r ,,."1 /x"*r] Varianta s

f:(0./)+ r. f(x) .tn*- 2(* ') xtI a)Sa se calculcze derirara functiei f. l. Secon\rdera funcria

b) Sa se deteJmin€ punctele graficului functiei ,. . de ecuatle tEapla 9y = 2x. c) Sd se arate ca, dacd x > 1, 2. Se considerd tunctia

"ron"i

f : (0,co)+

ln;1 >

fin

2(*

care tangenta la gralic este paralelA cu

x+l

f(lt)=+

9i qirul, (a,,

. _r .-./,\{r,ar./\r lzl+.. +r(n). a)56 se arareca

f(k- l)r jf(x)dxsr(t). vke(0.:o). k

b) Sa se calculeze

hm ., neN. ,,-. Jff(x)cx,

c) St se arate cd $igrl (J,, ),,,,

.rr. .onu".g.ot. 293

),,,,,

Rezolvdri

r(,,)=rn*-?E-1)=6"-2*1 pentm vx e (0,co), deci t- q f'(x)-ltnx.r'.-a)-- _"1) =;-G;F=l(;t-=,..dT ' -(xr'l)z-+x (*-l)t pentru vxe(0.0o)

a) Obsevam cA

'^,-[".^

b) Obscrvam ca

(d):9y = 21 .=

Panta tangentei

(t)

fnend cont

t -; * . deci panta(d) ?.

tangenta

(t)

(d)

9i dreapta

r'1x;=-!-lJ-=? ' x(x+l)'

(2x - l)(x2

,2x +9) = 0, squ3lie

hctorul de gradul al doilea

care admite doar rdddcina

r 9 are A -

panti

zxt -5x2+20x-9=0-a reali

-f .(0,-),

deo"r.=

. 32 < 0.

,f1-,)

Avcm

r(x,,)-'[jJ-"j ]i/-=!-nldeci

(xo,r(xo))=(;,;_hr),.,",

coordonatele singurului punct in care tangenta la grahc este paraleli cu dreapta

c) observim cd

f'(-)= (l-l),, x(x +1)'

rnterualul (0,co) . Atunci, pentm x >

pentru Vx

>0,

(d): 9y = 2r

deci tunclia feste crescatoare pe

t. a'em f (x )> r(l)= r" r-

211? =

o, O*i

2(x l). ,-. lnx .-)U ^ >lnx: 2(x -t) x+l x+l k<x<k+l *jt';.'j+*.'jF=u*".,

2. a) Observdm cd, pentru

*?. i.*f i,, r

{k,r)' i

Vke (O,co), din

rezultd k2

t+t

in conctuzie,

f(k+t)<

Jr1*1A'< I

<r1t1

pentru Vkâ&#x201A;Ź(0,co).

294

,(xu)=?.

ubt,n.* 2x(x+t)r =9(x-l)2

(xo,f(x.,)) frind f,(xu)

sunt paralele dac6gi numai dacd au aceeagi

tlecluccm cd este necesard indeplinirea conditiei f

orn

la graficul fun1iei f in punctul de coordonare

<x,

< (k

+t)2, deci

r;evem ft(x)dx=

g=-1"

l-+l=1-1 x| =-f\n l/ n

/x' l' r\ ^. tu lf(x)dx = n+@\ limll-:n) l=1.

c) Observtrm cA

Ftru

f(x)=]tO

pentru

vneN'.deci

pentu Vx €(0,.o). Deducem c6 a,,*, a,, =f(n+1) >0

Vn € N' , adicd girul (a, ),,r, est€ strict crescdtor.

l+t

fiin inegalitatea

f(k+l)< [r(x)dx pentru Vk e(0.o) deducemcd i1z1 . ,J''|,,)'

[r1*}a*.

*n '

f(3)< F(x)dx..... 2

sr*

Jr{^)o* l2

f(n)s Ir1^)a^,0""i +...

Jr1*)a*

+ 11-;o* J r-l

(".

Deoarece

a,,

=r(t)+f(z)+...+f(n)<

limlt+ lf(x)ax

"--( i

) |

adica a,,

Jt(*)a*.

. r,

= I + I = 2 , deducem cd girul

(a"),,,,

este

Jr(^ )a^

m;rginit superior.

)

concluzie, fiind strict crescdtor

mArginit superior, girul (an),,,, este convergent.

Varianta 6 l.

f :(0,"o)--+R, f(x)= e-'ha) S6 se amte ci f '(x) = f(x)(t + tn x), Vx >0. Se considerd

tuncfia

b) Sd se determine valoarea minimi a functiei f. c) SA se arate ci functia feste convexA pe (0,co). 2. Se considera, pentru fiecare

neN',func1iile f":(-l,co)-+n,

:(-t,o)-+n, B"(x)=I-^+*2-x3+ -x2"'*f,,(*). I

a) sa se catculeze

Je,

(*;a*

0 I

b)Sisearatectr o< [f-(x)dx '

J"., o

c) S{ se calculeze

< I .Vn.N'. 2n+l

r,nft- 1*l- I *...* 1 - 1). n.x'. 2t_t 2n)'

D+-l 234

295

f"(x)={

1+x

Rezolvdri

(e-h- )' - e^h' .(xhx)' = e*r"" (t+lnx) = r(x)(r+nx), vx > o.

a) Avem

observtmct r'(x)= e-r'^(t+tnx)

f '(x)

<0o l+lnx.0.t *.[0,1l,

e,/

r"rp""uu

f'(x)=e'r"-11*hx)>oo1+lnx>0<+*ei1,-],6""ifimctiafestesrictdescrescdtoan

pe intervalul

[0,1)

li ,t i"t -*ctrtoare

punct de minim slobal pentru tuncfia

(1 -)

pe intervalur

*a"

(x)= f(1)

Atunci ^min,f

aeducem cd

.;t:

", = J

"-:

c)our r'(x)=r(x)(l+hx)obrhemca r"(x)=[r(x)(t+tnx)]'= r'(x)(r + n x)+ r(x)(r+ nrx)

- f (x)(l

t ln

., I x)' + f ( x) -

- [r LX

(x)

+ ln

x)"

pentru Vx e (0.co). Observam ca

f"(x)=e''^l-+(t+tnx)'l>0pennuVx>0,deci.tuncfiafesteconvextrpeintervalul(0,.cr 2. a) Observam ca (l

+x)(l - x + x': -*r *..'- *:"-r

)

=l-x+x2-x3+...-x2"-l+x-x2+x3-...+x2n-l-xtn=l-*2npentruvxe(-l,co),doo B"(x)=I-x+x'?-x3+.. -x2n-r +!, (x)= 1-1112 -*: *... -*zn-t *-{= 1+x ,- ,t-l-xrxx- +. -xlrX-r -2n , -2n lrtXll \ /\ adicr g,(x)=I l+x l+x l+x , pentru Vx â&#x201A;¬ (-1, co) gi VneN'. ll

'l Atunci lg,,(x)dx- l,'j1 t"(t rx)l'=h2 pentru Vn e N'- in panicular [g: (x)dx = ID: J Jl+x J-' t 00 0 ,.2n _-2n 2". deci . | ^ d* < l*'"d* = b) Pentru Vx e l0.l I avem 0<-:L<:=x Jlodx Jl+x J

x+l

tl. *:',tll lf..(x)dxs ^ |

000

=2n+l.adica 0< Jf"(x)dxs___! pentru VneN.. 2nrllo d I t oentru VneN" deducem ctr c) Deoarece lim n-62n+l=0.dinrelatia 0('[r-(^)*= =0<

d"\J

zn+l'

,l1i

Ji,,

t.1o-

0. Avem 9" (x) = l-x +x2 - *3 +.. -x2n-' +f" (x) pentru Vx e (-1,.o), &

296

ll deducem

Je"

(*)or = (r -

="'=1.-+.+

*r,

*... - *2,'

+ r"

(x))ax

L- *|.ir(.,*=

=r-}.J-+. -*=^r-irt.t* r"ci

penrru

r*(r-1+i-i. -;)=;g['r-

vn€N..

1'"t'.r*]=r,

Varianta 7 1. Se consideri tunctia

llr +-1-.r...1-z5n.

f :(0,6)-+R, t(x)=tnx

qi girut

(x,,),,.*.,

n, Vne N'.

a) SA se determine asimptotele graficului funcliei f.

k>0, j;.f (tof)-f1t).1. K+l k ("" )*n. estte descrescdtor pi are termenii pozitivi.

b) Sa se arate ca, pentru odce c) Str se arate ca $irul

2. Se considertr tunctiile

F(x)

h (x

+ l) + b

f : (-1, co) -+ R, r(-) =

h ( x2 + I ) + c. arctgx, unde

(..f, 1,

$i F : (*t,co) _+

b, c sunt parametrii reali.

a) SI se determine a, b, c astfel incat F sa fic o primitivA a funcliei

b) SI se calculeze

lf(x)dx.

c) Sd se studieze monotonia functiei F, in cazul in care F este primitivA a funcfiei f.

lezolvdri l.a) Avem lim f (x)= limlnx = -co, deci x =O (axa Oy) este ecuafia asrmptoter vedcale la x-t0 ' x+0 x>O x>0 graficul func{iei f. Pe de alti parte, avem limf(x)= lim lnx +"o, deci graficul funcliei fnu = rdmite asimptotd orizontall spre De asemenea,

lim'\"/= xJ+6 X

lim

)(j€

+co

h^{ x

(lnxl =-rim_$=

ur admite nici asirnptotd oblici spr€

297

lim lL=0eR..

deci graficul firncliei

k>0,tunc1ia f(x)

b) Pentru orice

= 111 este continuA pe

Atunci, confomr teoremei lui Lagrange, :cu e

[t,t+t]

derivabila pâ&#x201A;Ź (k,k +l i

(t,t + t) astfel incAt

i(t+r)-r(t) = [(t + r)- r]. r'(c* ) = f,(c* ) . Deoarece r'(x)=(rnx)'=J o"n* vxe(0.co),deducemca f (k+t)-f

[*'i)= *']'i-

*,,., *. =[,*1*J.

c)observamca

=fr-{t{r.t;-hn) vk>0

in particular

I I

-f

-(ln1n

(k.t + t)c

cu e

pentru

(O,co) oblinem ctr

Vk>0.

.*..-*-rt".tt)-(t.].1*..

pentru vn e N' , deoarece

fr-{r{u. r)-r(k)).0

oblinem

Oir

*'r(t+r)-r1t;

(t+f)-f (k)<f

-l.f

in concluzie, avem

(k):4.

*]-roo.=

-l . 1(p 11)- f(k) pentru

*-(rn(r +l)-rnt)< o pentru vk>0.

r1- mn).0 pen'tru vne N'.

Deci xn*r

- xn < 0 c> xn+r < xn penau

Vn e N' , adicl girul

Dinrelalia

r(t+r)-r1t1.1e!>

r(t)+r(t+l),pennu

(*" ),.*.

este descrescator.

Vk >0, obtinemc6

l>-r(r)+r(z), 1'-r1u;+r(:), .., 1>-r(n)+i(n+l)

pentru

vneN..

insumind inegalitdlile membru cu membru, oblinem

j. -*'

-t(r)+r(z)-r(z)+ r(3)-...,r(n)+r(n

- i -;... .*

r -r(r)+r(n +r) = n(n+t),

VneN'.Anrnci x, pentru Vn e 2. a) Avem

cleci 11

+r)

..1* .. *1, h(n+l)

pentru

I+1+...+ 1-lnn>In(n+l)-tnn=f"[t*1),nf =0,deci xn >0

r'(*)

a(x'] .l)+(2bx

r)+ u h(x2

l)+ c.arc,g"]'

J- * $1, -??

c)(x+l) (a+2b)x2+(2b+c)x+a+c _ = ______________: _ -, . 1l. (x l)(x' (x+l)(x'+l) '

= __________

298

penru vx e(_i.cor.

FunctiaFesteop mitiva

a funcliei tOaca 9i numai daca

- (a + 2b)' x2 +{2b+clx+a+c dlca ': ': (x

t)(xr +t)

(a +Zb)x'? +(Zb

2b+c-2=0

(a +2b)x2

pentm

Vx€( 1.-).

+(2b+c)x +a+c - 2x

2)x+a +c = 0 pentru Vx € (-1..,:). de unde deducem ci

a+2b+2c-2=0 ii, tinand sont cA a+2b=0, c=l.Atunci a+c=0-a=-c=_l $i 2b+c_2=0=

doua relalii, obfinem ca

rzultd ctr 2c-2=0,deci 2b = -c + 2 =

f(x)

a+c=0.

kumind ultimele

=1"*f;T=

F,(x) =

-l

+Z=

1 = U = 22in concluzie,

pentm

U=]

9i c=1.tunc[ia

F(x)

=ah(x+l)+bh(x'?+l)+c.arctgx= h(x+l)a1rn(x: +r)+arctgx, F:(-l.to)+lt,

cste o

pdmitivi a funcliei

','.,

F(-)[ =l Jf(x)dx = -L

;

s) Observam cA

f(x)=

I 1

f(x)=-'^

tx+lr(x- +l/

----2x-

(x+l)(x"+1,

- r).-.tsr, I = -rnz*lr, z 1 = -]rnz, -ln(x' r)+1h(x' z 2 4 2 lu

o pentru vx

<0 penfu Vxe(-1,O) e

I 4

, respectiv

(0."o).

F:(-1,"o)-+R oprimitivf,oarecareatuncseitAtunci F'(x)=f (x)< 0 pentru Vx€(0 j j, Espectiv F'(x) = f(x) > O pentm Vx € (0,co), de unde deducem c6 fimc1ia F este stricr descres_ sloare pe intervalul (-1,0), respectiv strict crescatoare pe intervalul (O,co)

Varianta 8 1

\.r

Se considertr

funclia

f :R

+R, f(x)=xas6.*

9i qirul

(x"),,.*,

=0,

= f(x" ), vnex. a) SA se arate ca func{ia feste crescdtoare pe lR

Sf, se arate

x, <I, Yn.1lI.

cd 0 <

c) Sa se arate cA girul (x,,

).,,

este convergent

r 2. Se consideri girul de numere reale (f"

reN'. a) SI se calculezerl,

)".^ , definit ae fo =

lcos"

xdx,

b) SA se arate cA

tirul (ln ),,.o

c) Sa se arate cA nI,,I,, ,

este descrescdtor.

- 1, yn . 5'

Rezolvdri

f'(x)-(x+cosx)'=l,sinx)0

1.a)Avem

b) Demonstrdm Pentru n

n inducfie matematicd proprietatea

=0 obinem P(0):0

ca este indeplinitd proprietatea

p(k):0

i I

<1=f(t+l)

c) observam ca,

pe"- v-.

in particular, penrru

Deci

[0,{],

:.,.[t,;]

Tinand cont cA functia

ayem cosx > 0

ad*a

-)cosa. 0. o..t

".1.[o j]. 1

f1O1 a

f1** )a

f(]

x +cosx > x

astfel

f (x) >

) x,,, vneN, ),,.-

VneN.

adicd $irut

este gi

incat lim x"

Jcosxdx--sinxlf

-sinI

sin0-1.

300

(x"

mirginit

f:R ) R, f(x)- 11.or" este continua, dacA tlecem la limita f(x" ) , atunci obtinem lm x"*, = f(x,, ).+ a = f(u.; ,hm =

I Avem l,

:". fO,ll L tl

in concluzie, giml (x, ),,,, este convergent la

2, a)

oarecare gi

este adevdrati pentru

pentru Vn e N, girul (x,,

relalia de recurentA x,,-, =

=a+cosa

keN

<1.

,avem f(x,.)>x,, f,Xn*r

de unde deducem cd este convergenr,

pentru un

=0.

r' r(;)=;."",;={.deducemca r<"**, <]

p(n):0<x"

in plus, deoarece x,, (

este crescf,tor.

i x, <1pentru VneN.

obtinem, tinand contcd func[ia feste crescdtoare,

cum r(0)-0+6650=l, r(xu)=x*.,

=0Sxun,

p(k +l):0 < x*.,

I I

p(n):0

< xu _<1, evident adevaratA, deoarece x0

Presupunem adevarata propdetatea

Din 0(x1

penhx Vx â&#x201A;Ź R, deci fesre crescaroare pe

Lt Evident

tn . Din 0 ' = 131= 2 .

cosx < 1l.cos'' x

= 0l

(

cosx

( I p.n* o*. fO,{l zl

oblinem ca

Vn€N'9i

v*.[0,]'l | 2)

cos"*' x < cosn

pentru

11 22

-tnroci [cos"-r xdx < fcos" xdx. adice In., ( In pentru Vn e N'. )J

Db Ir <I0 9i I.*, <1" pentru VneN'deducemctr In*r <In penhu Vne N, adicdgirul

{\),.*

este descrescitor.

;)observdmcd

l.l, .t^ =l.r.r .1.

= ]ttttzu * = J "* 12

L ='[.or,

Auem

l[ xf.................._l sinz^li I n 7r , ^, ^7r. z.t..L1. = 2.-.1=-. ' 2L 2 )o=_._=-.oect 4 2 22 4 rr

=-l

_ Dc asemenea. I,

2r3cosx*cosJx

= Jcos'xdx = "

00 -2tt Gcl J l,.1. =J.34---.

Jffdx

l[^ sin3xl: lf^ l) 2 .. - :l3sinx -:::::t =;]., -iJ -i l.

11 22 Pctrtru neN. n)3.avem I..,,JJ' - fcos"xdx= [cos"-r x (sinx]

dx=

11 ^22 x)./ dx= {n-l) [sin2 xcosn-2 xdx = =sinx cosn-r to- Jirin*.{.or"-r \ ' 'J "ll 0 II\

zxdx= =(n -r)fr-cos'?x)cos" ' Din I"

("-')l

JcoJ-':xrlx-

=(n-l)(\,

2-i,,)oblinemca nl"

=(n-l)I"

Jcos"

n=l

P(3) : 3.

n=2

n=J,obtinem p(l):1.t, .L

I, = 1 . .ur. uu fost verificate 2

deja.

301

l.tn-l)tl"-,-r"). )

=I11. 2 penhu n>3. 2,deci l"''n

D€monstrdm prin metoda inducfiei proprietatea P(n);n1,,1,,-, Petrtru

xax

pentru

VneN-.

p(Z),2.t,.1, =],respecrrv =1, 22

Presupunem adeviratd proprietatea

P(k):klklk-r

demonstrdm ca est€ ind€plinitd proprietut"u h-l

Din relatia de recurentA I,, (t< +

r) tu*,ru =

=-:---:Ii , n

r).rf

ru-,

pentru

t--,

= I (t + t) . in concluzie, proprietatea

keN,

pentru un

1t*t;i1t*t)f-rf- =f VneN,

= (k

- l)rk_rrk-2 ;

(n) : nlnI"_,

k)3,oarecaregi

deducem cA avem

]

(r * r)r**,ru

este adevlrati pentru

VneN'.

Varianta 9 l.

consideri tunc1ia f

:R+lR, f(x)=x-sin*.

a) Sh se arate cA funcfia feste crescatoare.

b) Admitem cE pentru fiecare

ci tirul (x" )".*.

n€N

ecualia

f(x) = n

o,orufiermic6

x,. Sise

est€ nemtuginit.

c) Sd se calculeze 2. Fie tuncliile

.lim n n+6

unde girul (x"

f,g":[0,])+R.

)"r, " fosr 6noit

ta U;.

f(-)=*. e,(x)={,*6e

neN..

I 2

a) Str se catculeze

!ft*)-c:(*))ax.

t d* sI. vn e N'. Jc"(x) 2. (1 r r | c)Sisearatectr limi------:-1 '- +...+ ' r-q\I 2 2

c) sa se arate cd

2t 3.2r

l=h2.

n.2^ )

Rezolvdri

f'(x)=(x-sinx)' =l-cosx)0 pentru Vx e IR, deci fiucfia feste crescttoare. b) Observdmctr f (x")=1s,*,, -sinxn =ns,;,, = n +sin xn )n-l,deci xn > n-l 1.a)Avem Vn e

c)Avem

5i cum,lim (n

- l) = +.c,

deducem cd pirul (x"

)".^.

este nemdrginit.

-'l(sinx,, Sl,deci n-13n+sinxn <n+l=n_l<xn

a\aIt-l =11nnnDrdntr+dn

pentru vneN'.Deoarecc lim

,,Criteriului clegtelui".

lim 5 l. n+- n =

302

t-l

<n+l:)

limljl,

deducerq conform

1{,

!- a)

vem

tl r (x)-

(x)) dx = ll

;\r-x -_r_r-x

=1 .t. ?

1rr)\2 ll5

t \t)

b)Avem gn (x

-rl

I1-

1r '.

fl x-

ldx = Jl-ox I -x l

-.-'

)

J(t**)o*=l-.+;l L -lo

, I x" l ' (r-*/

('"

)

- x)(r

*" (1-x)'

n<"'(t-"x)+x"

- *)'

^)' x"r[r*(n-r)(r,x]l > 0 pentru Vxe[0,t) 9i Vn e N', deci funclia g,, esre crescdtoare. ---f-

i'.

-{runci, pentru

[oi],

auem g,, (0) < g"

(xr. -" (j)

0 < g,,

(.).

({

a*i

-l

:2I

lodx

ls,. {x )dx <

[Jx 3 ss l-'' [g,,(^)d^<.+*l:ro=-' | )n-r )n

12' '

pentru

Vnc N'

1 '?)'--l 2

2r, 0< le,,(x)dr(

ltltl

t2-

= r"(r-")l; fr,*n,*,, .,x",10*. ' o

(t r I "''-tl'2 - rl +--;r

_,^", -

r"z-]+,+l+l'-11-1i.' 2\2) 3\2) L2

I ) r r +l;t+1 +r )'""" t2* ,4 -

---:;

=ln2- Je"{x)dx Din rclarir 0

Il'

pentru Vne

.. i'lg,, (x)dx

N' . rinand conr ci

1 2

llm

ls,. (x )dx = 0

t 303

timl=o,oblinemci

n.+a,

'\2ll

etunci

timll*-l , n.2"r , ,..,0', l-r, ' )- "_,1 2 2.2'-!3 2, ',,n[,", d-

n-D\t

)

Varianta 10 f: R + R, f(x)= xarctgx f"(f . -t).

1. Se considerd tunc1ia

a) Sl se arate cd functia f este convexa pe R

b) Si

se arate cd

funclia

ci f(x)> 0, VxeR.

c) Si se demonstreze

2. Se considerd 5irul (1,, ),,,r a) Sd se calculeze I,

b) St

ca I,,

c) Si sc calculeze

I,,

= l---L6*. yn. 1' ; i+ x-

*-:*;, 1

se arate

este ndrginita.

,lim

1,,

Vn e N'

Rezolvdri

rrl' x l.a)Avem f- '(x)=[xarctc*-lnll \../ --.--b- ...\.n*-.1..] -arctgx+;xr L

,. (

Vx € iR, respectiv f "(x) = ] arctgx

2x -1+x: =

arctgx

penr-

1 *'(r**r) r(r"*r)

x I

----:' t- x, ,/

lr x_

(r rx.),

vrcR. =,t+*']._ r *',=ltr_L(l_*'i -,*"Denrru ' ' - "' '--"^(r+x.)'? (r**,)' (rn".y' Observdm cd

f"(x)=-4'? ; >0

pentru Vx € lR. deci furcfia feste convextr pe lR.

(t+")-

b) obsewdm rantut ca

ci lr 1^| = l-",e"

--l"l .l*.,*,,1*f!.. :.:-+,unde

-(t+xr)<2x(l+x2 e

Din relalia lr'(l<)l

zlxl

<t+x2

*#.;

pentru

vx€tR.

pentru VxeLR deducem c[ funclia f 'este marginita.

304

am folosir

Deoarece

f"(x)=--::

. >0

pentru Vx € R, rezultd ca funclia f

este strict crescatoare

(t+x")

=arctg0---:;=O,deci f '(x)<0 l+u-

pe R. Avem f '(0)

pentru x<0,respectiv

pentru x > 0, adica functia feste strrct descrescAtoare pe intervalul crescatoare pe intervalul (0,.o) , de unde deducem cd xo = tunc1ia f. An-rnci

(--,0)

'."1,

2 '

, respecti'n

strict

punct de minim global pentru

este

r(x)>r(o)=o.arctco-h(l+O'?)=0-f (x)>0

2.a)Avem I, = l---;dx=-lnll.rr)l ' Jl+x'

f'(x)>0

pentm

VxeR-

Ilo ]t, 2

j-;<f ii vnex', uu"- o< 1+ xn I = xn, deci ln .', tn I "n*rl'_-: r adictr 0<t ^, < --: nentru 0<l dx< lxndx j-l ' "-'n-n+l

b) Pentru Vx € [0,1]

c) Dinrelana 0<1,,

''--

n.llo n l

jr."2""" l^"

< I

pentru Vn e N' , li4ind coni cd

n 'l

..Crrteriului clegtelui '. ca

,linr

I,, = 0

Vnc N'.

h* -l=q,

rrid n ri{

obfinem conform

Varianta 11 l.

| l : i .l-21 > R. f{x) ' ' = x+2 el'l derivabilitatea funcliei fin punctul xo =0.

considert tunclia

a) SI se studieze

b) Sa se determine punctele de exhem local ale funcliei f. c) Sa s€ determine numarul de riddcini reale ale ecualiei f

(x)-m,*t4"*".,"uo

pammetu real. 2. Se considerd

tuncliile f :R -+

R, f(x)-5111-v-1-xr

q1,(1= f:'nj61. faptul

Se admite cunoscut

cl f (x) > 0,

Vx > 0.

t. at Sa se calculeze

ff{x)dx. J\| 0

functia g este strict descrescAtoare. c) Sd se arate cA hm g(x) > 0.9

Sd se arate ca

"tu 305

g:(o,ll+R,

Rezolvdri

r.a) Avem r;1*;= ,

*r'-" i - ;,- 2e-'.- x-2 * 2x(x +2)

ri-ltIJ1!)=,,-

x-O x<o

X_0

I;"

=i,r,g" '.** t -;,*(z'-'-."-z) --Lri.{-2. .-r)=-f *"."",,., 41.;o ^, oi;6, -" "lj, ,,,=-;..."'.".," l-".

rr1ol=

-.1 -) ri-l[):{!)= ri"*zt _ i# x-o

i,*

(ze"

-x z)

ilit-;---r

observdm b) Pentru

=-,

r, (O) =

- x-2 =;i:+ _ 2e^

t1t5(2." - r) =

-i - i

= ri (0), deci tunc1ia fnu este derivabild in punctul xo =0

" -::,"-,-;h-'=r,t,)=l'_1.-^ l-:,-.,,,*

x<0, x+-2,avem 11*1=-J-"-.

. +.'-+. x+2 +2)'

- ,.- 2e^ -x -2 | ,.. -;";61_(._r)

-(x +3) > 0 <r

-3,

-.', (x+-7

respectiv

r'1*;

lx+2)=

--:::.

<r -(x+3)

< 0 c> x > _3,

funcfia feste strict cresctrtoare pe intervalul (_o,_3) , respectiv strict descrescatoare pe intenrlele (-3,-2) 9i (-2,0), de unde deducem cd xy =_3 esre punct de madm local pentm firnclia

Pentru

x>0,avem

x+l t- -,y

f(x)=-!e" =r,(*)=| I )'=__l_",*$", \x+2". ) ft+2):

> 0, deci func$a feste shict crescdtoare pe intervalul (0,co)

findnd cont c{ funclia feste strict d intervarur (0,

deducem

c6,.,

;::::'#

;j ,ilil",'Jj

in concluzie, flrnc{ia f admite punctele de extrem local x, =

r(x)-.,1.-*.

r",IL',:;: :*'"'*" 91

-.ri,r* - *. -,lqfl '--2) \+-â&#x201A;Ź ,r".) gir(")=lg_ _2.' -lTil;-lg+=,-. r,"' r(.)="rg,*J"r =_..

c) Avem

,,rim

1x +

I Jq =1. I J^l -.,--. r(-l)= I hm f(x)- ri--"r. f(0)= !*2 " {+-2x+2 " ' "l-:l 0+2 2 -3+2 D-Z \>-2 Deoarece functia feste continul pe (0, co) , respectiv

lR-{-2}

, strict descrescltoare pe intervalele

(-f, -Z) li (-2,0) , deucem r((-:,-z)) = (--, r(_:)) = (--,-"3 ),

strict descrescatoare pe intervalele

r((--, -3)) = (,.,r(

3)) =

(--,

t'r

-t

(-o,-3)

r((-2.0))=(r(0).'-)-1i,. I si r((0.-))=(r(0)."o)=l +.@ I.' \z ) \z ) Parametrul m â&#x201A;Ź

poate sA fie in una dintre urrnAtoarele situaiii:

m<-er ti atunci flxl e(-o,-3) astfel incat f (x, ) = 6, r"tp"",iv 3!xr e (-3,-2) ircat f(x, )= m, adictr ecualia f(x)= m admite doua solutii. ii) m=-e3 9i atunci Jlxo em-{-Z} , xo =-3, astfel incit f (xo )= m, 16is6 sgttfi. f(x) = 6 36t61" tolutie unicd. r)

dr)

/ . r\ mel-er.tj

9i atunci

,/x e IR - {-2} astfel incat f (x)=

adicd ecualia

f(x)

astfcl

rdnite solulie. w)

m=, ii atunciflxoeR-{-2} 1

xo =0,astfelincAt f (xo) = m, disS ecualia

f(x)=m

rdmite solulie unicA.

tl l rn.[J'-J

cEr

ii}

incAt

f(x,

si atunci

?!x, e(-2.0) astfel incdt f (x, ) = m, ;gspectiv 3lx, e(0,o) astfcl

) = m, s6ictr ecuafia

2.at [r(x)ax=

f(x)= m 64-11" 6oud soluqii. r\

fl.in*-**L6)la*=l-.o.*-]1**| =-.orl-l* l *l= 2 za)o 2 24 r'11

il.

=-cosl+-. 24 b)Fie H:(0.1]-+ R o primitivd a frrncfiei h:(0.1]

-+R, rr(t)=!ll-!.

Avem

g(x)= pll-! 61 =11111-s(*)

g'(x)=-H'(x)=-h(x)=-l'nx

observam ca pentru

vxe(o,t]

p"nt u

pentru Vx e (0.1]

vxe(O,r]c(O,r)

avem

, de unrte deducem ca

g'(x)=-lrnl<0,decitunctiagestestrict

descrescAtoare. c)

Avem f

(x)=sin1-1..42935i1121-a

307

pen$u Vxâ&#x201A;ŹlR.

Atunci, pentru t

>0,

,in,

avem

(0.r1. avem g(x)

t l-i,6

>,-41,, = ol

='pl!, 0,, f, -4

!tn-! >

lo,

=* ^.* ","-,",,"tr,-,,#t'..;r.":

de unde deducem ca, pentru

-il'

_f l_|.._4)

-];.l

r.l..:"",-'=

limg(x)> rin]f l? . ** ""1= 17. l;' i.;ol 18 l8 / 18 Cum

q 1t? > a.

deoarece

17.l0=170>162=18.9.oblinemca

l,1ie(.),fr=o.e.

x>0

Varianta 12 f

1. Se considerf, tunc6a

a) saseararecasirur

:(0,co)

+R, f (i)=EIj"l)__

(x")",,.unde

irrl.jr(_!)_ir[i). .*r1g; .*

divergent.

f(x)

b) Si se calculeze "lim

c) Sd se arate ctr funcia feste descresctrtoare. 2. Se consideri tunctia a) Sd se calculeze

f :(1,"o)--rR, r1r;=

f(2).

b) Si se demonstreze relaria c

l-,t.-,dt.

l Si se demonsrreze relalia

l(x)s l.

Vx > t

f(x+l)= xf(x) l. y*rt.

Rezolvdri

r. a) observtrm

Atunci x" =

a,"-

=1 :rf1l k\k/k

t[i.t

hi+l .,1 -tu,, J

-hk

+rn(k +r), vk â&#x201A;Ź N..

r1r1.]r[]l--1rf1l. -rr1r1= z \zt J \5J n \n,/

-lnl

+ ln2

ln 2 + ln3

-... - lnn + ln(n

l) = tn(n 3og

+ x" = ln(n + l) penrru

Vn e N.

lim

Deoarece

ln (n +

b,.{vem,rim r(x)=

l)=

+co, deducem cd girul

;*qP=

(x")",,

divergent.

este

1*[m(:lt)]' =r-_-1*=0.

.)A*- r'(*)=lh(i*1)]' - [t"(.*t)]' :-[t"("*'r)] '.' - -fx+l -ln(x+l) x2

x-(x+l)ln(x+l)

--lf;t---'

Pentm

Fie e:[0,"o)

+R,

=-ln(x+l)

pentm Vx

Vxe(o'r)

g(x) = x-(x+r)rn(x+r) . Observdm cd

e[0,-) tlca e,(x) =-hr(x+r) <0

strict descrescAtoare, adicd avem

.rrunci r'1

x 1=

e(x)< g(0)= 0 pentru Vx

1_! -J)ll!J \-(x+t)

),, . o x-(xr l)

=,i(

e,(x)=[x-(x+r)h(x+r)]/= penfiu Vx >0, deci tunclia g este

> 0.

penrru vx e ( 0.co ). de unde deducem ca

tunctia f este descrescdtoare.

lltrl 2.a)Avem =

i(z)=

,) Je-'tot=-jt (. o,=-l

te-,1'

[t'.-,at l= L 'o d I

-" ':f"-,1:)= \ to)

"-'-(.-' -t) = t. tlf

blPentru

vx>t.avem

i(x;- Je-'t- o, =l I.-,(t') dr=+1.-'r"1, *d ' ' *L o ro

li\

=]l "'. J.',"4, I. observam c6, pentru vtâ&#x201A;Ź[0,1] '[ i ) e

't" <e

.{runci

=-"

J"-'t^at< J. 'at 00

r .( \ f(x)=l] e-r - fe'r.dt ].

c) pentru

vx>1

avem

,l:

11.

) ^' 1"

-e-r

x le 't"-rat = xr(x) -l

f(x)< I ' ,l-e.r)=1.u6;.6 x

-i1"-';'

l-r

Vx>t,avem r* <l,deci

--(.-'-1)=l-e

,,'0,

f(x+t)=

309

,".] = It'' l

pentnr

,"0,= -"-',"1'+ J"

Vx>1.

'(,-)'*=

Varianta 13 1. Se considerd tunc1ia

:1R --+

lR, f (-)

V-j +3l -4 .

a) Str se determine asirptota oblicd a gaficului funcliei b) Sd se arate ca f'?(x)f'(x)= x2 +2x. VxeR-

Vx e R

fspre

oo.

{-2.1}

c) Str se determine dedvatele latemle al€ funcliei 2. Pentru

n€N'

se considerd

a) SI se calculeze

tuncfia

fin punctul xo

q:(0,co)+R, q(^i

= _2.

[t,'"-'at,

\ (x), x>0.

determine punctele de inflexiune ale graficului functiei F"

SA se

*ro.

c) Sd se calculeze lim B

(x),

Rezolvdri

a) Avem m

= lim

f(x)

ffi=,.o'u'

(V*T:"'-af

+x = lim

y=mx+n

x+l

b) Obsewim cd f <+

este asimptota oblicb a graficului fi.mcqiei f spre

(*)

{/ *:l -+ = 0 c> xr +3x2 -4 = 0 <; x3 -t +3(*, -t) =

(x - r)(x? ++x ++)= (* - r)(x

Funclia f (x)

= rt i*'J

(*' +:^t - +)'

esre

Jx-

+ 2)'? = 0

€,

x € {-2,1}

derivabil6 pe R

- {-2.1}

,i f '(-) = ({/-, .3^, -4)'

3x(x+2)

+ bx

r{(*'*r"'-a)' r{{x r)'("+z)o :(**z){*-r;1"*4 pentru Vx € R

-l-2,11

=x(x+2)=x2+2x

penru

Vx€R-{-t -__ t -.','ll 310

€,

crAvem rs(-2)

=,g,{tr

1- r(*)--r(.2)

= ,, i.'_l x_t-zt l=

= +{D, respectiv r;

l-e)Avem E(x)=Jte-'ar=*J,

r+r

ffi

,"" ,@G;t= x+2 = l:l1l (x+2)l

-,r1"'ffi

=,i*rffi = *

,l-"1

(.')'a,=-l

- ft'."-'6, l= ooL'odL ,l;.)--* , -(. ' r)-r-1* r-r)e-\.pentru vx >0. = -*.-* -[. ('.r

L) Pentru

r: (*)=

VneN',avem

(""r')'

(x)=

te-,ll

ft'"-,Ot | =",,.--, Vx>0, ) l.-x,x"e-^ = 1;!r =(n-x)xn r"-". 4"

_;" "*J"-,0,=

de unde deducemce

Gseniar ci 4(x)=(n-x)x"-re-" >0 pentru xe(O,n), F;(n)=0 "i F;(x)=(n-x)x"-'e-" <0 pentru xe(n,o),deci {n =n este unicul prncr Snficului funcliei Fn, pentru fiecare n e

c)Avem F2(xr--

".t-l'l Jr,e-'dt=-Jr,(e-,) 0 0

ot= -l ,:.-,1'_ fit:)'e-,a,

L ', d' ,"

=-x'e-'-2Jt(e') dr- -*'e-'-zl

,o jf. l= i."'1.)

de in{lexiune al

N'.

-x2e'^

l= _*r" -"+zJte-'at= I 0

-2xe'-2( -'- -\ "-'1"t0))=

-x2e-" - 2xe-" - z(e-^ - r) = -(x, +2x +2)e-, +2, pentru Vxe(0,o,;.

Deoarece lim {x2 l+o\

(2x+ z\'

+2x-2)e-'

*' *;1**'

^,g

J*;

deducem c6

Jgx

1*T# = Xg2#

(-)

J13[-

(x2 + zx + z\e-^ +

Varianta 14 1 Pentru

neN', n)3

se considerd

funcfia f":1R _+R,

f"(x)=sin" x

cu xn abscisa puucnrlui de inflexiune din inrervalul ut *ufr.utu; 6,n^riFi -.-.t-.2)-r5r9rr9q|9rrqJ!F!|ln.

fO,ll

311

$i se noteaze

fi(x)=n(n-l)sin"-2x-n2sinn x, VneN', n>3 5i xelR.

a)Sf, searateca b) Sl se arate

ci sinx"

c) Sd se calculeze 2. Se consideri

aâ&#x201A;ŹlR

/;J =

{-:---:,

n>3.

f" (x" ) . si tunc{iile

f.F:lR--rlR,

f(x)--l=!-. (x'+l,|Vx'+l

-, , x2 +ax +5 r(xr=-----. {x'+l

a) Sd se arate cA functia F este o pdmitiyd a functiei f. b) Pentru a = 2, sa se determine aria suprafe{ei plane cuprinstr intre graficul functiei f. axa Ox gi dreptele

x=l

x=2.

c) Sa se deterrrune a astfel incat

, o Jf1*;a*- Jr1*;o* = z. 2

Rezolvdri

1.a)Avem

i.(x) =(sin"x)'=nsinn-r xcosx pentru VxeR,deci

f. (x)= (nsin"-r

*.or*) =n[{n-t)sinn

=n[(n-r)sir,"-'zx(r-rio'z^)-sin"x] =

x] = n(n-r)sur" 2x-nsinn x pentru vxelR x cos2

- sin"-

x sin

VneN', n>3.

n[(n - l)-

b) Observim cE r"

(x)=

r*tru -.10,].J

avem sinxe(0,1) , deci sinn-2x+0.

n sin2

x]sin"-2 x = 0.

Atunci f" (x) = 0 > (n - l) -nsin'z * = 0 rin' * = -

-".(ni)

a ecualiei

f;(x)=0

verificd rela1a ,in

,Fl"

=1E

r"(x")=5,""." =f -f ,-1);.o*, \Y n '/ \ n'l I / r\; rr rrrrl-: , hm f"(x")= limll-: l'= riln 11r. n+6\ n) n,_L\ -n)I | =. =-i Je )

c)Avem

312

rtn

nE,

aeci solufia

a) Observtrm c6

xl -3x+a = f(x) pentru Vx e lR, (.'+r)C, +r csre o

primitiva a funcliei

b) Pentru a =

x')

F(x)=

2, obtinem

14!,

Vx2

f x3-3x+2

f(x)=

unde f. F:

(-, * r)"/i, *r

-+ R.

observrm ca. penrru x e [1.2]. auem

-0-{( * 4,

*I=

(x'+lJri rie

r, ={(x,y)lr<x<2,0<y<f(x)}

.rria(r, ) =

Jrf-t* = rt-lli

_13.,6 -l- -'u,A.

=Hl,

r'+z.r1s -]:-=---F-----= Jl2

Z]-+ [-Z,O], O(t) =_t

JF(x)dx = J r(x)ax = Jr(<o(r)) q,(r)at -2q{2)222 2/ t2 r

Jr1-';0, = Jr(-,.)a.

- Jr1_,1 1_r1ot = _Jr1 ,ya,

,F.rt

-2.

JF(x)dx Jr1*ya*- F+ax+5dx- p$o-=

J*' * rl = :a(..6-r). -,J

d Vx'+t

deci

Jr(x)ax

o2 I

jtlrrL-tjl:1tl ',.=i+#* d Vx,+t

r"J;o*_ d./^,

= zu

.i2

o-a(q)ooo fr

Deducemctr

x'+l

atunci

c) Considerim schimbarea de variabila 9 :[0,

.{tunci

deci func{ia F

z <+ 2a(6-r) = z JF(x)dx =

.6*r

Js -1

Jt-)

Varianta 15 l. Pentu fiecare neN, n)3,se consided functia q,:[O,o)-+n, f,,(x)=x" a)Slsearateca fn

este strict descrcscAtoare pe

f.(x)=0, x>0

b) SA se arate cd ecualia

$i strict crescatoare pe

[0,1]

are exact doutr

rddicini an e(O,t)

-nx-:

[1,-). 9i

b" e (l,co) . c) Sd se calculeze lim an , unde 2. Se considerd girul

a) Sf, se arate

b) Si se amte ca

(I. ),.* , unde

Io =

Ir"

s-a

definit la punctul b)"

'[-a*

q, t"

;x-+l

[+ +l d* , n . x'

Vn e

)

z\-l =1-;-lr"-r. 6[1- 1*1- 1*...+(-l)" ' t )=t". 2n*l) \ 3 5 7

c)sasearateca Rezotvtri J\/

f;(x)=(x' -nx+t) =nxtr-r -n=r(*"-' -t), vxe[0,-). ca, pentru VneN, n23, f"(x)=n(x"r-t)<0 daca x e [0,l) , respectiv

l.a)Avem Obs€wam

f"(x)=n(x'-t-t)>0 [0,1]

ii stict

dace x€(1,co),decifunc{ia fn este stict descrescatoare pe

crescatoare pe intervalul

b) Avem f" (o) =

[l,o)

p)= z -n ei m

inten:H

(x)=

$g(*" -n"*r)=,'-.

Deoarece firncfia fn este continua gi strict descrescitoare pe intervalul [0,1], deducem ca

t" ([o,t]) = [t" (t),t" (o)] = [z - n,t] . observdm

ctr,

pentru n e

n > 3, avem

2-n<3-n<0,deci 0e(2-n,l),deunderezultdcl l!a" €(0,1) De asemetrea. functia fn este continua

ti srict

f"(tL.))=if"(l),rrnr,(x))=[z-n,o) .,/ ' n+@ astfel incat

f, (b,,)

astfel incet

f.(a")=0

crescatoare pe [t.co), aeci

ei, cum o e (z

- n,"o),

deducem

cl 3!b. e(i"r.

ln concluzie, ecualia f" (x) = O, x >0, are exact doul r[ddcini a,, 9i b,,unde a.

b" e (l,o)

3t4

e(o.t) s

A.{vem f"

(a,,

)= o =r al -ra,, +l

ul-*l n

uii-*1.3 . Deoarece liml= lim?=0, -t 1. n n n-+6n D+@n n

Din a,, e (0,1) deducem c6 ai e(O,r),

aplicand ,,Criteriului clegtelui,,, ob{inem

,-au" =o 1,

L.,

Avcm

l,- -

= arcrgl -arctg6 = 1. l; - dl< = arctgxll - r(J jx'+l 4

dx'+l

=J'*'"

' --2n-llnI x'+l/.l*-+-

c'.{r'emI:

tr(

'. *'

=1,, =--1--1r.r r=1. -laro.l

in concluzie,

â&#x201A;Źtnervdmcd

t. A-

^l;-Jfr=r_rn> r,-r

=r:-tr"_,

I:;;;!-Irn

ro>

estgyerificata

li penhu

<>1;!1=rrn , +Ir,, pentru vneN..

+(-r)' ir,".

j1=',,,

-L = 0 < I:,, . ;;f

fnteriului clegtelui", c,

r 1* 1 -1+...+(-r)"-r -J- = Io + I: -(I: + Io) + Io + Iu -(Iu + Ir)+... +

-r-r)"-'(r:" , +r,,,)=

2, adicd relafia de recurentl

uu"- Ir"

x'+l

,,", .*t-,,"-,

'-l.,jo-

J;T"=Jl

l(-t)"-'Ir"l:rr,,

frecand la limitd in

pentru

R.nrnlim

pi Irn

raulo

Vn e

I2n = 0

-;0,

vxe[o.r],aeci N' . Cum

lg*

i**.]"^o*=#[ =

o, deducerq conform

obfnem ca

t-1*1-1+.

lrrn(-r)"-r r," =0.

+(-r)"-r

-L=ro+(-t)"'Irn,ob1in"-

g(t-;.i-+. -(-')'';1)= r'*(ro+1-r)" ",.)=t,

315

Varianta 16 t

| ,

Se considera

tunclia f

^ i^)

:R +n. r1*) -]* ''n7'x€u(-lvi [0, "

a) Sd se arate cd functia f este derivabilA pe R '

Sd se

calculeze

l11t

(.1

c) Si se demonstreze ca funcfia f €ste mtuginita pe R 2. Pentru fiecare

n€N'

a) Sa se calculeze

Jr2

se considera

tunctia

f,.:[o,r]

-rR' f"(x)=(1 x)'

(x )ox

0 ta

b) Sa se arate

[xf,, (x)ax =

;

c) sa se calculeze

ar fi n e N' ,;+ - . oricare r" l)(n'2)

ri. [q, f]-la+dJ'\n/

Rezolvdri 1. a) Pentm

vx e iR' , tunc1ia f(x)=

tuncfii elemenrare derivabile. in plus.

O.o"r"c"

I rl Itinll<l

x'?si"]

este

gf+P

evident derivabila' fiind alcdtuita din

"*l

pentru Vx e R',decitunclia f este derivabild 9i in punctul x0

in concluzie, funclia f este dedvabilS pe R

=o'

=0'

/' r,n1)' =t-";:,: = 2*rin{-*'.{ *:,tb)Pentru x€R-,avem f '(x)=[x"*", a .orl = ,-'

' +-'"'+l 3l:-i-"':r= ' '> | )t--lx'sin;-co'F,J -2xsin-2----cosJ;l t_ -"^;=

(t)r

,l sin;

Atunci

limr'(x)=lIiil

l*.il.

, L

ttn;

-i-*,1 l=o,a"ou'"". lTi:=o' lTi-ts=1 *' ) fl

pentru vx e IR'

316

Avem lim f (x)= astfel incdt

Ll6nd, de exemplu,

+lf

= I , de unde deducem cd, pentru Ve > 0

r(x)e(t*e,t+e)

Vx€(-co,-S")U(6",-) s=l,ob{inemcd f6=6(1)>0 astfel incdt f(x)e(0,2) pentru

pentru

-6)U(6, "o) , adictr resriclia tuncfiei fla domeniul (-"o,-6)U{6,co) este marginita. parte, alti conform teoremei lui Weierstrass, reshiclia funcliei continue fla intervalul

e (-"o, de

[-6,6] este mtuginitd $i iti atinge marginile, deci 3M>0 asrfel incat f(x)< M Ftru Vx€[-S,S]. Considerdnd IrA'=max{Z,Vt} , avem f(x)<M'pentru Vxe)R,adic6 cotrpact

tnclia f este mtrrginiti. tl La) Avem Jrr(x)dx= 00

h) observam ctr, pentru

n ' ,=--l(r-*)'l'=*lfo-rt=l. J(t-x)'d> J. r0 3. 3

vn e N', avem

-fir

^t"

ol<

--f

tr- -f'.'1,

.rttl

x ' . Atunci [xr- (x]ox = - ,ff{t =tr+l ,, 0000 I

=- [r.-,(x)ox ' ' + h"-'(*)*

.,o."itu €

-6" >0

x'sin , - lim \ {id -t'x'

1;rn r\

.l sln

-l

(x)

Deoarece

-J(t

-+.+=,---. n+2 n+l (n+l)(n+2)

1,"[;)*:,('jl*: #('

N'. I.

)

;)".l,= +

1]"' ,,,n "l ri.[r- nl = -f [1, 1 n--L\ n/ J -"

-frlo-rt=

i{ r^ ' ' ' x)r"(x)ax+ Jf"(x)dx=

vn e N'

#[('

+)".'-,]o**

d.d.,""' =1, e "a

(

, r l, ,\n+r Il ,. rHJ-\n/ -r =-r.f1-11='-t [r"f llo.= ri.]--i-lIr-]l lf n+rl\ n) \. )

"-- 1

Varianta 17 1.Se considera qirul

(*"),.*.,

a) Sa se arate cA

girul

Sa se arute cd

e (0,1)

unde x, e(0.1)

, Vn e N'

(*,),...

este conv€rgent.

317

,,*"., =d#L,

Vn e

N-.

c)gs"u'rectr * xn*z - 9 . D-+@ xn

2- Sc consideri o funcge a)

calculeze

:lR -+

ct xf(x)= 561,

cu proprietatea

y*. p.

lx,flx)a*. 0

b) Sd se arate cd firnclia feste integabild pe intervalul

l'+l

SA se arate

ci J"lf(xldx<cosl. I

Retolvdri

a) Demonstrdm prin metoda induc{iei maternatice propdetatea

Pcntru n =

ca esre indeplinittr proprietatea

Avem x;. e (0,1)= x1

e (0, t)

Vn e X.

obpnem P(l): x, e (0,1), evident adevtuatd, conform ipotezei.

Presupunem adevirati proprietatea

x" < l

p(n) : x,,

x,..,

p(k +l): xk.i

>0rx1-1

xi +3xr..

un k e N.

ciarecate qi

demonstu

F (0,1).

=i&>0,respe.iu

+3 1:=1,deci 0<x*n,

<l=x**, e(O,t)>f (t+f).

in concluzie, proprietatea p(n): b) observtrm ctr x"*,

f(k): x* e (O,f) pentru

x, e (0,1)

pentru Vn e [g.

este aclevdrattr

-x" =Iia3xr-- -" = ^;--:r

-" =

({ -t) <

0 pentru Vn e N., adia

qirul (x"

)".^. este strict descrescdtor 9i, fiind mlrginit inferior, este convergenr. pis x = lim x,. Cum x,, e (o,t), Vn e N., qi (x,)".*., deducem cd x e

[0,]).

Trecind la limiu in relalis de recurenlA xtr{r =

4#t

+3x x=^x5 j-^**s-x=x(x*r;1x+r)(x2+r)=01

ilr*"

x â&#x201A;Ź {-10,1}n[0,])=

{0}+ x=o,rb

c)observamca

61*r.1

obflnem relaga

11-

.-5 , ,-,

=5#L- -xn =d#= m *l13 lim+= ^"-, 4 n+. 1n DJo 4 =1 4'

Ir:- - 1;- x.-z . x,.r _ | ,,- rr.z) i 6 tl n ,@ xn-r xn xn,r

n+6 xn

\"-.

/ \",.

318

l _/

33 9 4416

-Lrcos r - 0cos 0 -

Pentru

Avem

J-'r1-;0" oo6L;l

= J*,,n *

* = -t(.o. *;, o* = -i. ""..l; - h, *,.*l

.-\'l )l =-( 'r)=,r.

(srn xl;

Vxâ&#x201A;ŹR'avem xf(x)=5inx>f(x)=llna,6.ci

al?Dtual cu un punct de discontiunuitate de prima spefd

h:::i:

funcgia f este continud pe

= I e lR , de unde deducem cd functia feste integrabila Riemann pe intervalul

Avem

l:::= JXJI

< l.:::::

-cos xlf

(nl

- -lcos

cos

R.,

xo = 0 , dmarece exist{

II ct

= cos I . deci

lo.1l. | )l

ta.

lf(xldx-<cosl.

eN'. Varianta 18 ronstttrt 1. Se consideri tunctia

f :[0,.o)-+

{(r)=#

[0,co),

gieinr(x")".*

dat de xo

=2,

1-, =f(x"), VneN. a) Sd se determine asinryrtotele graficului funcliei

SA se arate ctr

c) Sase arate cA

'' adicl ,

tinl (*" )".* are limita t. lirul (v, )".*

2. Se considera tuncliile

, dat de yn

=xo +xr +x2 +...+ xn

-n,

esre convergenr.

f :R-+R, f(x)=1a"or* 9i F:R-+R, F(-)= *

F(t)dt

I 2

a, Ja se calculeze

(xJdx.

Sd se arate ctr F este funcfie parA. c) Str se determine intervalele de monotonie ale ftncliei F.

r) Avem

1lrnf(x)=

l*#=r

deci dreapta de ecuafie

+co la grahcul tuncfiei f. Deoarece

y=2 s.1..rimrtota

lunf(x)=f(0)=;â&#x201A;Ź R ,i lim f(x)=f(10;.p 2

l-;'"

'-'"'

Vxo e (0,oo), deducem cI grahcul functiei fnu admite asimplote verticale.

Avem

r(x)

orizonah

? ?Ij-l -2(x+21-3 x+2 x+2 =2---<2

3t9

Pentru

vx<[o''o)

DemonstrAm prin metoda inducliei matematice proprietatea

(n ) : x,, > I

Vn e N

Pentrun=0oblinemP(0):x0>l,evidentadevirata,deoarecexo=2,conformipotezet' 2xo+1 2.2+l _ 5 Pentru

n=l

P(l);xr

obtinem

> 1, evident adevarata, deoarece xr

este indepliniti proprietatea P (k +

P(k):x1

Presupunem adevtrratd proprietatea

l) : x1*r

pentru un

keN

xo+2

2+z

oarecare 9i demonsfim ce

xr. l 2xr-l xr,r l- :. ^,; -1=---!---->O-xr,r >l-P(k.l) xk+xr+z in concluzie, proprietatea P(n):x. >l este adevaratl pentru VneN. Avem

*".,

Observamci

.*" -;:;,v

Vn e N, adicd girul (x,, Fiind mErginit inf€rior

)..N

t-*2

(t-x-)(l r*-)

_"4

.0i

X',.r <x,, penrru

este sftict descrescdtor.

strict descrescitor, d€ducem cd

;irul (x" ),.x

este convergent.

Fie x =.lim xn. Deoarece xn e (1,2) pentru Vn e N' 9i (x,, )..N este shict descrescator' rezultd ca x e [1,2) . Trecand la limitd in relalia de recuren$

*^t

x+2

x'?

c) Obsewam ca

-1

=(x-l)(x +l) =0-

*"-,

ttz

prin inducfie matematrca faptul ca

Atunci yn

x € {-1,1}n[t,z) = {r}

"!-:1= I:r-1

-l =I+. xn+z

*"-r- +# xn

pentru

-1.!:=-L

VneN',

psntru

=Xo*Xr*X2+ '+xn-n= xo+(x' -1)+(xr

deci lim-xn = I.

de unde putem

demons*

vneN'

-1)+ +(x' -1) <

ll I r; = 2+;l ^ 3ll; I )1.2*^ 31--- 5 +*-2+r t-1n-r -." I z\J l',,,,/ z r t 3" ,

I I <z.rI+*+ 3 3,

, oblinem ecuatia

penmr

vneN'.

sirul {v-

)

este mtusinit superior

+x2+ +x, +x"*r-n-1)-(x0+x, +. .+xn-n)= >0+ Yn+r > Yn, VneN, deci girul (yn)n.N este strict crescator

inplus, yn*,-yn =(x0+xr =xn*r

-1>0>

Yn*r

-Yn

Fiind mbrginit superior

22. a)

Avem

It(.)*

strict crescdtor, deducem ctr lirul ( V.

2" j(r*

"o,*)0"

= [x +sin

! t*

x]J

320

)..N

este convergent.

-''";j-\ -,0.sino) = l+r.

f r.e,u"- f (*) =

l + cost)dt = x [t + sin t]^ = x1* * r1n,,1 = x2 + xsin

penhu Vx e R.

r(-x)= (-x)'? +(-x)sin(-x)= x'? +(-x).(-r)sinx = x2 +xsin x = F(x).> = r(-x) = r(x) pentru Vx e R, adica tunctia F este para. cfObservAm cA f(x)= tasosx > 0 pentm Vxe[-1,1] , deoarece cosxe[-l,l] Gservdm cd

-{trrnci, pentru

Vx,,x, e1R,03x, <x2 =O< Jf(t)at< 00

Jf(t)at+

.=O<x,'J'lf(t)dt<*,'J lflt)at>O<E(x,)<f(xr),decitunctiaFestestdctcrescatoarepe lervalul [0,"o). Pentru Vxr,x2

R, x, < x,

= -xr > -x, ) 0 > F(-x,) r f (-*r) -

F(x,) > n(x, ) , adic6 tunctia F este srict descrescdtoarc pe intewalul (-0o,0], unde am folosit

lptul c, funcfia

F este pard.

Varianta 19

f(x)=Lr4r asimptotele graficului funcliei I

l. Seconsiderl tunctia f :(-2.2) +R.

a) SA se determine Sd se determine punctele de inflexiune ale graficului funcliei f.

/r\ I l. unde a este un numir real. \x/ 2. se consideri tunc{ia f :1R-'+R. f (x)=:I11+-I13. c) Sd se calculeze lim

a) Si se calculeze

x"fl

vxeR.

Jf(x)ax. 0 4

b) sa se calculeze

ftx+r(x)-zl'zox. . ' J\ 2

c) $tiind cd funcJia feste bijectivA, sd se calculeze

lf !

tx)dx

Lczolvdri

Avem lim

f(x)= 1;rn6?Ja=--. limf(x)1;n16?t" =i--. '

r--2 ' ' r ,-2 2-X x>-2 x>-2

r r2 ' \,<2

fucfiei f admite ca asimptote verticale dreptele

x-2 2-x

de ecuatii x =

321

deci graficul

x<2

*2, respectiv x = 2 .

b) Avem f

(x)=

hfr

r"1z*)(;-rr(z-')

etunci r'(x) = [rn(z+x)- rn(z-x)]'

p"onu

vxe(-2,2).

= r"(., = (*.*) *-* = ;+. pentru Vx c(-2.2). (2+x)- (2-x)' (z+x)'(z-x)'=--g-^+=--=g----= =

(+ *,;''

observam ca

f'(x)=--3l . <0 pennu xe(-2.0). r'(o) 1o ei r,(x)=--\

(4_*,J

pentru x e (0,2), deci xo = g

rf -lI \x/

este punct de

inllexiune pentru grafrcul funcliei

o a*m

(o_*,)'

r,r

jl,- r34 2x-l ,_l

ri-."r[1]= lim x"

rft.=1.) p"nt u 1. (-2.z; o 2x-llr x \

/r\ lnl l+ - l | 2x-t )

2\t

-1 <l

r+6

-l +2x2 -5x+8 *x3 - 4x+Zx2 +8 -x_ 2. a) Avem f(x) = 2*

Atunci lf{x)dx = 0

'l 1s

**z__5lo*=f_{*r._1 2 x'+4) L

a>l -

---;-- , x'+4

vx â&#x201A;Ź -(

= --+l--h-

=:-:ln:. 22 4 b)Din f (x)=-x+ =

2-;h+

penuu Vx e

*+f

(^)-2=-;i;=

U(.

(x'?++)"

322

(x+r(x)-z)'z=t

;:j

= ; J,. [":) " -.,'ft**r1"1-:)'d"=i--+d' i I

'(x-+aj

)(-:---: l-+'ti:=+;-'nif l'-i.,-r-*1= 2\42 +4 ;;o*l '4) 2'!x' +4

-lf -* -tL-,-41,

,:r tarctg2 - arctg:l\ r.\vem f (x)= -x

,-;Jpentru vxeR observf,m cd r(o)=z si

' r'(t)at = ''r r{l)=-r+2--1-=f .n"..i J '1*16* ="0/r-'1*;o* = ir-'(r(t)) ,r.ir ; ; ,Trlr. r(r)+ J'(')*= =i',t,)"=-1, r'1'1a,=-[r1q1i-l''t')*]= -r =

-!.i-i^i=l-f

r"J, *0" "-

rorosit raphrr

i'i';*

=it1.1*

rzultat stabilit la Punch a)'

Varianta reR-

t5 :ln:

funcia

1. Se considertr

f:R +

' f(x)=

Ze" +3x2

-2x+5

feste strict crescatoare pe [0'@) ' a) SA sâ&#x201A;Ź demonstrâ&#x201A;Źze cA functia =

Sd se arate c6

functia fnu este surjectivI'

f,{x}

c) Str se calculeze

l1x;fi; f

a) s6 se calculeze j1C

-4ti,)u,

[0,"o)

R' t(')

2. Se considerl tunctia

FdFq

*..

l. b) sa se arate

c) Sa se calculeze

Jrlt;ot= Jt',r(t)0t' lirn

vx>O'

Jf(t)dt )LJ

=|-i^i'

Rezolvdri

1.a)Avem f'(x) ObservAm ca,

= (2e" +3x2

-2x+5)'=ze* +6x-2=2(e" - t)+ 6x

pentu x > 0, f '(x) = 2(e- - l)

stdct crescAtoare pe intervalul [0,

6x > 2(e0

- l)

+ 6. 0

pentru Vxâ&#x201A;ŹlR.

= 0, deci tunctia f este

o).

>0 pentru VxeJR 9i 3x2-2x+5>0 pentru Vx â&#x201A;Ź R, deoarece a=3>0 gi A=-56<0,deci f(x)=Ze.+3x2-2x+5>0 pentru Vx e IR. Atunci, penfru Vy<0, /x e JR astfel inc6t f(x) = y , de unde deducem cd funcfia fnu esti su{ectivi.

b) Avem ex

Avem

(ze ' r ox_z) f ,(x) )e^ -r," _.t lim;ji lim ----::------:j:-lim ' " r.-t(x) \,o2e\ { 3x,_2x+ 5= "__{Ze"' +3x2_2x+5),

'-'6)' , yun-J{:6 = li. (" '-\ =1. unde amapticar = 11rp --lI---(Ze" 2e' +6\-2 zex +ox_Z)' '.+e +6

sisrematic regula

x+@

lui I'Hdspital. 2. a)

lt Avem fitr+r)r1t1ot=

;

[-!]- = -"e{i

s161g1- arqlgs

dr+t

b) Considerim schimbarea de variabilt

/r\ t(*(,))=rlij=L

:(0.rc)

--+

(0.o) . ,O(t) -

15 =,*iI;l J l.'-7r1.'-fl \ /\

, V,

=a -

I . OOr"-r-.n

.,, /l)

$ie'(r)=[,,J

=-]

pentru

vt>0

f^,,. fr-,, =-1,. ,,,. .dr- lt'f(t)dr.deci Jf(t)dt pentru Vx>0. = Jt,r(t)Ot :(r't'J(r+t') i , I

c) Observim cd, pentru

xl far x>l,avem lf{t)dt = lf(t

11r

r)r(t)at =

lf(t)dt = lt'f(t

ffi=-"e,li

)dt

=arctgx-arctgl=arctgx-1,

)dr . stabitit la punctul b). Atunci

lim lf ltldt

x-o J "

|l t

+ lf(t)dt=

11^

J"r1r;at

Jr1t;a, =

unde am folosit faptul

/ "--\

* *" . -\ |=r:4) 2 4=:t

limIarctsx_a -

Varianta 21 1. Se considerd tunc1ia ste

f :R-+R,

r(x)=(x-t)(x-:)(x-S)(x-u).

f(x)

a) Sd se calculeze

l*;;

b) Sd se calculeze

lim

SA se arate ca

f(x)i

ecualia f '( x ) = 0 are exact trei ridicini reale."

2.Se considerl tuncliile

f,,:R-+R. f"(x)=;] . neN'. n'+x',

a) Sd se calculeze aria suprafetei cuprinse intre graficul funcliei fi ! axele de coordonate

ttapta x=1. I

b) Str se calculeze

J.(t' (.)) 'd^. 0

c)sasearareca limn(L(l)+f-(2)+L{3} "... , f" (n)}=

lczolvdri

La)

(x-lXx-3Xx-s)(x-z) f(*) .lim\ 7\ 3)/ s\/l--l=1. ,. I. I )f.l--tl-:ll '\ '\: \ '-limll--ll lim_rr\ Ud x x,i x./\ x x" , , ., ,..1

brAvem 1im

D.ou..."

I f(x)- =l'1x(.'""^')"

"@\ ./\ ln(\) ,;',!IQ r

jg1. ' =e;;

li-ln(*-k) - ,- [tn(*-t)]' = lg* Xx+@X

Pentru Vk e

deducem

lnf(x) Xx+@X

, h(x-l)-tn(x =

.ln(x-5)+ln(x-7)

.trmlltnl^-r1I hr(x-l)+ln(x s) In(x 7)l=U.^ decl .-.1 x x xl x

,,,,,!1I!!) hnf (x)i =e"-' * -eu=1. ;r observam ca

r'(x) = (x -l)(x -s)(x -z)+(x -t)(x -s)(x -z)+(x-t)(x -:)(x -z)+

-(x-lxx-3)(x-5) pentm VxelR,deci f' esteo tunctie polinomiali de gradul hei, de nde deducem c6 f' are trei rddtrcini complexe 9i, evident, admite cel mult ftei rdd6cini reale. f(l)=f(3)=0 9i atunci, conform Teoremei lui Rolle, lx' e(1,3) astfel inc6t f'(x') = 0. Similar oblnem cd :x, e(3,S) astfel incat f '(xr)=O gica 3x, e(5,u) astfâ&#x201A;Źl incat f '(xr)=0.

-rvem

325

Evident

*x2,

+x3 9i xr +x3,

deoarece xr €(1,3)

, x, e(3,5), x3€(5,7)

qi inrcr-i>.

lele sunt doul cate doui disjuncte.

Deci x,,x2,x3 sunt trei rtrddcini reale distincte ale lui

xl,x2,x3 sunt toate cele hei radlcid

ale

lui

f',

9i cum grad(f

adic6 ecualia

f'(x)

,)= 3, concluzionir 61"

reale. 2. a) Observdm c6 _

a(.)=p$rO

f,(.)=$'o

pentru VxeIR gi Vn€

penru vxetR. Fi€ rr,

N',

",.u",

tlei

ladicr

in particular

={(x,y)lo<*<r,oi y<r,1*;}

Atunci Aria(r,

b)Avem

)= Jt, t.)* = 00 lrl ., t \2

-"+li

ffi=

= arctct-arctc0

=;-0 =;

l. j.(#)'a.=ffia.= j #1, Jx(r,(x))'*= ',

ji#

#)=+(+')=;

c) Observdm ctr

nf.(k)=n.--]--=n. n'+k'

I 1,. 1 ---------------= I =-n,-----_i =k' n f k), ,- , l+l-l "'lt.4l n[n/ \ n-J

Dentru

(

.r"("))=*i-*.+u.

vkeN',deci n(r"(r)+r"(z)+r"(s)*

"['-[*)"

-*u

'.(:)

= oo" (q,6o, ) , unae "o"(r,,Eo")reprezintasurruRiemannatagatatuncfi"i

diviziunii An

;glla"

=[.=*.*.*.

+.+=tJ

aintervatului

, este un sistem de puncte inrermediare asociat

lg]

de unde deducem ce

=,l11i"o" (t,,q^" ) = Jr, {-)a,,

=."e.li

}

5ZO

6o"

=((.[=*.

diviziunii A, . Evident llA"fl

trm n(f" (l)

[o.r].ar

'.[;) f,(r)=#.

f. (z) +

.. +

r. (n)) =

Varianta 22 l.

Se considerd

firnctia

a) 56 se calculeze

:R+R. f(.) =7:

f'(x) , x e lR

b) Sa se determine mulgimea valorilor func{iei f.

lr(*)-r(v)l< l* - rl, vx,yeR. 2. Se considertr funcfa f :R-+R, f(x)= x3 -3* * 2 c) sa se arate ca

a) Sa se calculeze

.IIXI

Jfr*

b)strsecarculeze

j#dx

c) S[ se determine punctele de exhem ale

fincliei e:R

R , g(x) =

f(t le'dt

h,olvdri

li tI

=-3.'

pentru

VxelR.

(x'+3)

bt Obsewf,m

7' o

ctr

lim -f;=0, lin f(x)= x+i@

'(x)=-3

(x-t)(x+l)(x'?+t)

<0<i

*:)' + l)> 0 e x e (-.o, -t)U(l,o), respectiv f'(x)>oe(x-t)(x+l)<0<r

-r)(x <r x e ( - l,l)

, deci

x +J

(ro

frrnctia f este strict descresctrtoare pe intervalele (-@, -

Rspectiv strict crescdtoare pe intervalul

(-l,l)

(1,

"o) '

Folosind faptul cd funcJia f este continue, deducern cd

I t tl ri- r(*t] =f-l,o), r(l-r,rl)=[r(-r),r(r)l rt(--.-rt\-[rr-rr. * \\ ,., 1.,,--..,t -=L;';1u L4 ) (rim r(,.), r(r).l = f o,J-'l . de unde rezulti ca r([r.-))= "l \. 4l " '' \*-hr = r(R) = r(--, -1lU[-L r]u [r,"o)) = r(-"o,-1])u r([-t,t]) =

[_r.o)u[-r.rlrf 441-\o,rl4l=[-r.rl. *.,

t4')-L

L441

t.tl *' = |144)

,,,

r(p,-1)

c)Avem

r'(x)=-,

pentru vxelR.observdmcd

d+ l*o-ll-.r. ^o*t..3. *n*3, =3. ,l .3.I=t= lr'(.;l=: -1----- l *o t 3 t

(*'*r)'

€R.

(*o

*r)'

(xo

*r)'

Conform teoremei lui Lagrang€, pentru

Vx,ye R,

lf'(x)l

x+y, ic e lR, c:

pentu

c(x, y)

asd

r(x)-r(v)=(x-y)r'(c).atunci lr(x)-r(r)l=|(.-y)i'(.)l=l^-yl.lr'(c)l< <lx-yl.t=lx-yl . p.n1tu 1=y,relalia lf(x)-f(y)l <lx yl este evidentd.

incat

in concluzie, avem 2. a) Observtrm

lf(x)-f(y)l <lx-yl

ci f (x) = xr -31

a 2 = xr

=(x-1)(x'z+x-2)=(*-r)t(**z)

vx,yeR

pentnr

- I -3x +3 = (x - t)(x,

+ x + t)

- :(x - r) =

pentru vx € lR.

n*n.i'f.!46* ='( * * - z)0" = [+.+ - r,.l' = L3 Z )z 2 2 ^, 195^41

+.!+ 3

- zp -

2) =

b) Avem

x--lj

-13

r(*)

pentru

VxeJR.-{-2,lf

, unde

(-z)2-t.l rr-r1 '-l =:_____:: ------:;l =' , ; =_1,b-",,-rrl ^'-trl = 4.6..i **2 (*-t)'1,__, (-2-l)' l*_, t*2

c=-

x2-13 a 4 I a *t -13 4l ----:;-= -t.-'t''..r= y-ll'/" x-l f /"x t2 x-1 (x-t)'?(x+z) \'- _, \" r-rl -/ \^ rl' ',/ a 2 _ x2 -t:++(x+z)+(x-t)'? _ 2x2+2x-4 ,2(x l)(x+2) _ z =G-tI..4 = ' =--'r (,.-Dl^.4 .----.L------

-l;t1."4 I

a = 2. Din relatiu

I !

-13 ==-;-;-=. ,--r:; (x-r)'?(x+z) x-l (x-l)'z x+2' [,^lo

i-'",1[*#*]," =

=;=)

-21n2-4+2-ln2 = -2-31n2. H:R -+ lR o primitiyA a tunciei h:lR

c) Fie

-ln(x+2)l L2lnlx-ll+ x _l

--r

R, h(t)= f (t)et

328

Vx e R _{_2.11 . deducemcr

g(x)- Jr1t1.'at -H(t)l; =H(x':)-H(0)

.$rnci

pentru Vx e R . de unde rezulti ca

pentss

4,ad

s(x)=l

i '\l' H(x')|

/ :r\ ^ ^/ ,\ 2x=f(x') -u'(x') zx=h(x')

x<0, g'(o)=o qi pe intervalul (-o,0) 9i strict

=2x(x':-r)'(*'*z).^'<0

Fntru VxeR.observamctr c'(x) e'(x)

12, ' | ' ^ ^2x.(x'-l) ': .2x= e^ (x',z)e^

0 pentru x > 0 , deci tuncfia

g â&#x201A;Źste shict descrescatoare

pentru

rescitoare pe intervalul (0, iar x0 = 0 este punct de minim global, singurul punct de "o) , <trem al functiei g. Observtm cA g'(-t) = g'(t) = O , aar punctele critice xr,z = il nu sunt Fncte de extrem local pentru funcfia g deoarece apa4in intervalelor (-oo,0) , respectiv (0,co),

care funclia g este strict monotona.

Varianta 23 l.Se considerl funclia f ;lR

+lR, f(x)=1r'"r,*1.

ul Sa.. urut".a, p"ntu orice n e N , ecuafia

b)Sdse arate cd

mde

f(x)=:+-l

llmxn =1,ude xn este solulia

c) Sase determine

arE o

reald a ecuatiei

unici solufie xn e 1R.

f(x)

=3+-f . n.tl

limn(x.-l),unde xn este solulia real6 a ecualiei f(x)=:+-J-.

neN. 2. Se considertr tunclia

a)sdsearate cd

j-l

l: [0."o)-r '

6,=1111*".;,

. f(*)=

T:Il dt Jl+t

vur-1.

dl it b) Sa se arate ca f (x)< ln(t + x), vx >0. c) Si se arate ca f(n) > f(Zn).

-l rem cA

Lezolvdri + x + t) = -"",,13g f (l<) = j11(l + x + t) = +o (.) = "1T_(.3 "ry-f f'(x)=(x'+x+l) =3x'+l>0 pentru Vxe R. Deducem ca funclia f este strict crescatoare,

1. a)

observam ca

h panicular

inj ectivd, 9i, fiind continud

fi avdnd *lim f ( x ) = tco

, tunc,tia

in concluzie, func{ia f este bijectivtr, de unde rezultd cf,, pentru Vy e

f(x)= y,

in particular, pentru

VneN, 3!x" elR 5Zv

astfel incar

f(x")=

f este 9i surj ectivtr.

, 3 !x e 1R astfel

3+;f

incAt

c[ f (l) = l] + I + I = 3 < 3 +I,

b) Observdm

pennu

VneN,deci

9irul (x,

)".*

respectiu t (Z) =

f (1) < f (x" ) < f (2)=a I <

este marginit. De asemenea, 3

=) xn > xn+r , adicA girul (x"

)".o

-l- t 3 *+

e (1,2)

tf , I *fr

penru Vnâ&#x201A;ŹN,adica

f (x" ) > f

(x,.,

este strict descresctrtor.

Fiind mirginit gi strict descrescAto!, girul (x"

Fie

x" <Z=:x,

Z3 + Z

),.n

x=nlimx..Din x. e(t,Z) 9i xn >xn*,

este convergent.

pentru

VneN

deducem

[f,Z).

f(x-)-:+-l <>x],.+^-,, +l=3+;J| pentru Vn e N. Trecand h limit6, obfinen n+l lim (xl + x, * r)= rim[:*-l]=+ xr+x+t=3+x3+x-2=0\+l)

Avern

(x -t)(x'? + x +2)

=911-1=0+x=l,unicasolufie

nu admite r6dtrcini reale, avdnd A = -7 < 0 in concluzie, *, = t .

real6, deoarece factoml x2

+x+i

Jg1

c) Avem

f(x")=3**=

=(x"- r)(xl

xl +x" +r =3+-J1-> xl + x" -2

j-+=

+2)=I-"(-"

-t)=* j" _, pentu vnâ&#x201A;ŹN. { (, \ I I unde am folosit faptul cr Atunci limn(x- -ll= lml " "'*'"','1';"1^"-'r-,i1,;["r.l l.ur=2, {_"._, )=, '

]

Jg*'=r. 2. a) Pentru

va > -1, avem

J-at

n(r + t)li

h(l + a)- ln(l +0)

= rn(r +a).

b) Deoarece

sint<1pentru

v,.n-{I*21,,11.z} t)

r..p""tiu sint=I<+

- r. {l *zr"lt . z}, aeaucem ca r(x) = ilsl dt . ifr f

a, = r, 1,'',y1i = rn(r +

*),

(x)< h(1+x) pentru Vx>0. sint<0 2^

c) Tinand cont cd

r(2r)-r(n)=

pentru

Vte(r,2r),oblinemci 2r

[?'nlar.o--' f||ot [}l-!*= Jlf Jl+t l+t t

330

r(2r)-r(r)<o=r r(,r) >r(2,,r).

"ar

Varianta 24 1. Se considertr func{ia

f:R

-+ R

, f(x)

x-5inrt'

a) SA se arate ca funcfia feste strict crescdtoare. b) SA se arate ca graficul funcliei nu are asimptote.

c) Sd se arate cd tunclia g : R -+ IR , g(^) =

tF(.) ["-r

2. Se consideri tunctia

f :[o.co)--tR.

f(*)=]

este derivabild pe IR. _

*"+x '*>u".

lr,*=o a) SA se arate cA functia fare primitive pe [0,co). I

b).JSd se calculeze

lxf(x)dx. 0

c) Folosind eventual inegalitatea e" >

x+I,

Vx e lR,

sa se amte cA

0< lf(t)dt<1. Vx>0. 0

lezolvdi l. a) Avem f '(x) petrtru cste

- sin x)' = I -cos x pennu Vx e R. Deoarece f '$) = I -cos x > 0 VxeR-{2Wrll<eZ\ 9i f '(x)=t-gs5x=OexelZUtrlt<eZ},deducemcAfirnctiaf

strict crescAtoare pe lR .

b)Avem lim !+!6'

= (x

--co sau

f(x)= 1- (x-sinx) =1o, deci func1ia fnu admite asirptote orizontale la

+co observdm ctr o' =

=,',*LH

^\'i+

f(x)-mx=x-sinx-l.x=-sinx

nu admite limita

-'*(' - $)

. o.'

la -co sau +co, deci func1ia f nu admite

asirptote oblice. Funclia f fiind continu6 pe JR , deducem cA nu admitâ&#x201A;Ź nici asirptote yerticale. [r concluzie, grafrcul func{iei fnu are asirptote. c) Obsewdm cd f ( 0 ) = 0 - sin 0 = O 9i, {in6nd cont ctr funclia f este strict crescltoare, deduce m

=g .r1. *i"a solulie a ecualei f(x)=O.Eviaent g(x)+oo{f(x) +0<+ e f(x) + 0 <+ x + 0, de unde deducem cl funciia g este deriyabild pe R' , respectiv

ctr xo

.,, / -E;-\ - f'(*) ' = -.: l-cusx e'{xl=ll/f{xll / \I 'l /'l -\ :{r':(x) :{/(x-sinx)'z

Dentru

Vxe}t-.

(x-sinx)' .. l-cosx . zs'n'?] z (t)' I =lT =lS-r;r=;l;l =;

.. x-sinx=lS .. =V:o 'deoarecelS 6 il

JJ I

2. a) Funclia feste evident continutr pe

continue elementare. observtrm ctr f

Atunci lim f ( x) =

r>0

intewalul (0,co), frind definitd cu ajutorul unor funclrl

(x)=s '-:

':^

e ']"

-t)

(e'

pentru

vx>0.

e-"Ie'-tl

lS--f

x>0

tn e =

t = r(O), aeci tunctia f esre continud

punctul x0 = 0 . in concluzie, funclia feste continui pe

Or unde aeducem ctr,

[0,-),

particular, functia f admite primitive pe intervalul [0,"o).

-:" ^'0. obserudm ca -"-'"l"=o =e0-e0 =o=11(1)1" (x)= ' {:-"-* [0.x=0 considera ci xf(x)=e-x-e-2* pentm Vxe[0,.o) .

b).e,uem xf deci putem

eto,,ci

|*r(^)a* =- i("

c) Avem f

(t)=:-----1

"-r,^;0. -[-"

.2'{e'

c.t _c-2t

..+J

Vt>0.Evident

pentnr

e-2'{e' - t)

=f(t) =-----l----J>0+ Jf(t)dt>0

'.+l-f 2)l -.,.+]= 2)

2.], -f-. (

penrru

t>0=er-l>0>

Vx>0.

in inegalitatea e" e-t

)x+1,

Vx e lR, fdcind schimbarea de variabiltr

>_t+l>1_e-,<t.Atunci f(t)=

deundededucemci

Jr1,;at

00 in concluzie, 0 <

Jf(t)dt

e-r

-_et'_e-'(l-e-')="-; t =" t pentru

J.-'4, =-.-'l^

Varianta 25 f :(0,co)-+R, f(x) = "2

6'*.

a) Sd se arate cd funcfia â&#x201A;Źste convexi pe intervalul (0,e]

Sd se determine asimptotele

Vt>0_

- (.-^-t)=l-e ^<l penrru Vx >0.

I penru Vx>0.

1. Se considerd tunclia

x=-t,seobtine

graficului functiei.

c) sa se arare ca

iirul (a")".,. datde ""

=+.T *hl* ' un -11n1 '""'

&crescAtor.

' r,fo,ll [ 2] -R,

f(x)=se5)(.

2. Se considera n,n.riu

a)56secalculezeadasupmfeleicuprinseintegaficulfunclieif'iaxeledecoordonate' bj

calculeze volumul corpului oblinut prin rotirea graficului funcliei

SA se

c)56secarcureze -,---------

rul ;r[

finjurut axei Ox.

rrrl. frzl-fr1l. Jrilll r-rill)f 1n)) tJn J,]\ In./ \n/ \n/

lczolvdri

/1 l.a)Avem f '(-)=[;t

.{-)=f f_ \._.,

!a) -(lnx) I x)

lnx

pentru Vx e(0'co). respectiv -J =; ztt"-) ;=Jla x-(hx) x'=l-T^ p.ntu vxâ&#x201A;Ź(0,"o).

1-lnv

=' -T* >O penfu Vxe(0,e],decitunc{iafesteconvexape (0,e] ' . 11^ \ â&#x201A;Ź, d""i dteupta de ecuatie x = 0 (axa Oy) este asimptota b)Avem limf (x)= t$[;"' *

Observam ctr

f"(*)

,J=

Yerlical6 la

gnficul tuncliei f. /1

De asemenea,

orizontala sprc +co

pede attrpane.

**, Inf (-)= "\*[;n'^.1=

deci graficul tuncliei f nu admite asirrptota

r1*r r.?x r,-(h'x) =tliT ,,,-t(**)-+.=timh* , \ ,, x t,gY=t'f ?-;l'nt

/r- -\ limt"'^/ -liml=0eR',deci x'x

graficul funcliei f nu admite asimptotd oblica la +co

clobservdmci f "(x)=-!:]!x <0 pentru Vx>e'decifunclia intervalul (e,o)

este sfiict descrescatoare pe

VneN. n>3.3c" e(n.n+l) astfel incat r(n+r)-r(n)=[(n+r)-n]r'(c")=r'(c").Deoarece e<33n<c" < n+l $i functia f'

Conform teoremei lui Lagrange, pentru

strict descrescatoare pe intervalul

este

(e,o) , deducemcd f '(n) > f '(c" )> f '(n+t)>

. lnn.> .,-, .r-\- l"ln:]-) :, ln(n'l)-r(n*t)+f(n)<0 I I - I ( n ., > I ( n + !\ = n+l

JJ)

penrru

vneN. n)J.

ObservAm c4 pentru

neN, n>3,avem h(L1r)

-"" .r- .rJ (l *+ "". - = l+.+*...*!l* n n+l -11".,yl\ 3 4 ln (n + t) _= - f (n + l) + f (n) < O, deci a"*, _

fu-$*

a" < 0 <+ a,*r <

girul (a"

)".,

2. a) pentru

o".

Lnl].

vol(c, ) =

avem f (x) = 6e51 2

p1.;* = p*.0* "1r,

{-)*

"1.",,

c* =

"l.t{.;J*

suma Riemann asociata tunctiei f. diviziunii

ata$at

[0,1] ,i sistemului

diviziunii A"

avem jla"fl=

1-n

o rie r,

= rin*1", =

c)observamca- lf s[t)-r[31 r:t nl.'(ni'l

intewalului

{(x,r)lo

zt"

^}!e.

/"\\ -*tl;]J=".

a" :

de puncte inrermediar" 6o"

Vn â&#x201A;Ź ntr, n > 3, adica

I s r1.y}

;i-.y]:

(r's^.)'unae

-,.

1.Z.

=(â&#x201A;Ź,),=,;,g,

o^"

*. =l

(r,6^.)

esa

* = r) " pentu

vi=fi

9 pentru n -+

co, dect tim o.^"

/, \\ pedeatrapane. nl/ r-rl -=ll=n/

co .

ai pentu

sini-sin0

(r,g^,

=sinl-sin0=sinl

penru n -+

este descrescdtor.

Atunci Aria(r.) =

b) Avem

..*.E n -i1n1l .) =

Jr(-)*

= icos*ox = sinxli = o

(^,

,1sin-l-

' (J"// "['-cos*-:-.J=znsin'-!=;lf i -j "=j lr..6=l

Atu*"- i' - rf| llf rlrl - r1:'1.... - '\")) rllll "-'l \Vn //[ \n/ \ni

2sinr=sh.t 2

"('

mf"i,-,1.+lllfr1,1r1.,1z'). ;:;f IG.JJJL;l'l;J.',,',.,fr)ll=r r.n))J

l l I

-4

= .l[ :I

))4

Varianta 26 f :lR +R, f (x)

-*..r*

. = ap1* a) Str se determine asimptola la graficul funcliei f spre +o b) SI se arate cd functia f este strict crescatoare pe lR .

1. Fie tunc{ia

)

adid

iirut (x.),r,,datde x..' =f(x"), VneN" 9i xl = 0, este convergent. 2. Fie tunc[ia f :[-t,1]-+R, f(x)=31s5in)(. a) Sase arate ca tunc1ia g:[-1,1]--rlR, s(x)=xr(x) are pri.rfritive, iar acestea sunt

c) Strse arate ca

g€scAtoare.

I 2

SA se

calculeze

x Jf( )ax

lxf(x]ax<1 J'4

c) SA se arate ctr

lezolvdri

l.a) Avem

(x)=,lim

(arctgx - arcctgx)-

"hm gaficul funcliei fspre +o

orizontale la

=l "

b) Avem f

'(x)

= (arctgx

-arcctgx)/

y=ilste i =

ecualia asimptotei

t #)

o pentru vx

e lR, cleci

fucfia f este stdct crescatoar€ pc R s) obsewdm

ci lr (^)l = l"r"tgr "rc"tgxl

.{vem

lur"tsxl+lu *"r*1..|*

'l*

Deducem

ct lx"-,1=lf(x")l <:-:

x, =f(x,)=f(0)

= ar-ctgg

pentru Vne N,adicaqirul

arcctgg =

0-1= -;

Pentu n =

oblinem

(l) : x, < x, , evident

hesupunem adevdratA propd€tatea

Deoarece x1*,

<x.

Xr*z

( Xt*r

x**,

pentru Vx e

1R.

este marginit.

xr.

P(n):x".r <xn pentru VneN'.

adevtrratd, conform observatiei anterioare'

P(k):x**r <xk

c{ este indeplinit{ prcprietatea P(k +1)

(x.),r,

<0=

DemonstrAm prin metoda induc{iei maternatice ProPrietatea

< x**,

p€ntru un

keN'

oarecare 9i demonstrAm

qi funclia feste strict cresc6toare pe

R, deducemc4

f(x**r)<f(xt)+

P(k+1).

in concluzie, proprietatea P(n): x"*, < xn este adevtuata Pentru Vn € N' . adicd

6te strict descrescator

gi,

fiind mtrrginit, deducem

JJ)

cA este

convergent.

rirul (x" ).r,

2. a) Funclia

g:[-1,4+R, B(x)="al.r'n*

admite primitive pe

[-1,1]

este continuA, de unde deducem ca,

in particulc

t " I -Deoarece arcsinx.l-;.olpentru

x e [- 1.0] . respectiv

I -l

arcsinxefo.]] n"nr, * e [0. r].

g(x) = xf(x) > 0 penfiu Vx € [-l,l] . Ahrnci, pentru odce primiliyd c : [-l,ll ,+ R a tunc(iei g, avem G'(x) = g(x) > 0 , deci deducem cd

primitiva oarecare G eeste crescatoare.

1_Lr

bt evem

[f(x)dx =

farcsin x dx

= J[x'.arcsinxdx

l = x arcsin

xlo2

1 2

f lx.(arcsin x) dx =

=1"r.r1n1-s.rr.rtnot:

ifra*

6Vl-x'

+.( oI

=-+--1.

122 tllll

ctobservam ca

Jxr(x)ax 00000

. i il;

r1*;a* = Jr(x)o*.

-.t xarcsinx+./t- x, =limJarcsinxdx=liml <+

r-----T

l;'.

rl -l < 1 <> r

au"-

jrtir*

= ja,.sin^a><

| = i2- t <.14. deoarece I_l Jo 2 ={<>l 4 2-1. 4-'f -

< 4 , ceea ce este evident adevlrat. in concluzi.,

Jfl"yax<1.

Varianta 27 l.

Fie tunc{ia

:[-t,t]-rR, f(x)=(x-t)arcsinx.

a) Sl se calculeze

flvl lim---\::L. rrux--x

b) Si se derermine punctele in care f nclia f nu este derivabild. c) Sd se arate cI functia feste convexd. 2. Se considertr funcriile

:lR

+ lR, f(x)

= 1a * * *z + xr + xa gi

F:lR+R,

Flx) = lf{ rldt 0

a) Sd s€ arate ctr functia F este strict cr€scatoare pe lR. b) Sf, se arate cA functia F este bijectiva. -l

c) Sd se calculeze tw

JlF-r(x)dx,unde

F-r

este inyersa func{iei F

336

1* I

*1*1 =t* 2345

Iezolvdri

l.a)Avem

(x-llarcsinx (arcsinx) i(x) arcciny l-------------l .lim:=1. lim -r=lim#-lim--" = lim x-+0 xz x,0 x+0 x x+o X' r+o J1 _ x2 x' - X -X

b) Deoarece funcfia x -+ arcsin

f(x)= (x-l)arcsin x Avem f '(x)

= zllcsm x

derivabild pe intervalul (-1,1) , deducem cA

este

este derivabill pe (-1,1)

=[(x-l)arcsinx]/ =arcsinx+(x t)]

{l-x'

f'(x)= 1;rn fur.rin ' ' l:l'\ l,-_l' tim

de unde deducem

ur.rln* *

-18

pentru vx â&#x201A;Ź

=n1s5inx-g=

Jt-l

(-l,l).

observam ca

n. ]= -.p]= -- , ,.rp..,iu lirnf '{x)=11.iur.r;n*-.[:" I r*x / Yl+x J2 ll, l;,|\

funclia fnu este derivabiltr

in x,

in concluzie, funclia f nueste derivabild in punctul

DrAvem

ti funcfia

/1--) _- I r^-,,( lXl' arcslnx-.1- | =

= -1 , dar este derivabilS

x:-1

in x,

tfi -xrl

Yl-xJ Jt-*' 'ZYl xll+x/ l. 'l I I l+x | , t t x+2 Jr-*' 2 Jr-*' | (r**)'] Jr-*'z (r+x)Jr-x: (r+x)Jr,x'?

Vx e 2. a)

(-l,l),

deci tunctia feste convextr.

Observlmcd f(1) = 111*12

*,r

=5>0 pi f(x)=&

pentm

x*1.

x<1,atunci x5 <1, deci

x-l<0

x5-t<o>r(x)= "'t r6.

Daci x>l,atunci xs >l,deci

x-l>0

x5-t>o+f(x)=

Dactr

in concluzie,

f(x) >0

pentm VxelR.observEmca

Vx e R, deci funclia F este strict crescAtoare pe

t_ita

F'(.)=[lf(t)drl' =ri";'o o.n*

)

F(x) Jilt)ot= J(t ,','.r'.ta)dt=1,*: *' "' *i] ' L 2 3 4 -)o o o x2 xl *5 =x+-+-+- ^4 +; Pentru vx c lR '

Avem

)) l

observtrm

ca tim F(x)= li. f^**'-*',*o /,;:;l."-

*---'

"\*'t.t ",,*[.

,- (-tJ

"'')2'T*?"Tj=",',%lT,J=-co,respectiv

-+'+.+-;J =.'*[;]

Deoarece funcfia F este continua Si

*lim

F(x) = _"o , lsspectiv lim F(x) = co , deducem

ctr

JInF = R . adicA funcFa F este suriectrvA. In plus, funcfia F esre strict crescaioare 1R,de unde rezulta ca, in particular, este injectivaFiind injectiva pi surjectivd, concluzioni. -pe fr""ti" "a

c) observim ca F(o)=onq*q,oo ot Z : "T*T=0,^ r(r)=t*t*l'*ro *l=,* I .l I l t, + i_,_1r_i_+_=4.

"ri"ill.iifrii'^

respecriv

or"., 1u-'{*)* = 'f.-,1*yo. = i.-'1u1.;;.r,1.;0,. oF(o)d; =

](" * *, * *, + ^o + *5 )d* =

_+.

+,_+ .+].

'[*i1*)a*

r,J.t I I 29 t-Jr;";*;=20

Varianta 28 1. Fie tunc1ia

r:[0,:]_+R, r(*)={l<}0_{"})

unde

numtrrului x. a) Sd se calculeze

limf (x)

x+l

{x}

este partea fiaclionara a

SA se determine;:meniul de continuitate al func{iei f. c) Str se determine punctele in care funcfia fnu esre derivabili.

2. Se considerd ftrncliile

r(x,=

f:R -R. f/x}= I si F.In," 2-sinx ''- t-"-,)--rR

(trdr.

! 2

a) sa se catculeze

Jf(x)cosxdx.

b) SI se demonstreze ctr funclia c) Sd se determine lim F(x).

este strict cresctrtoare.

338

btlvdri [0,]) , a,rem {x} = x. -\rrnci limf (x) = lim{-} (t *{^}) = - x) = 1 (r - r) = 0. L

a) Observam c5, pentru x e

x<l

E,((1

x<l

xâ&#x201A;Ź[1,2),avem {x} = x -[x]= x -1, deci f(-)= {.}(t-{r})= (x -t)[1-(x -l)] =(x -lX2 - x). rentru x e [2,:), avem {x} = x -[x] = x-2, deci f (.) = {.}(t-{^}) = =(x - z)[r -(x -z)]= (x -z)(:- x)

br Pentru

,tL

..r,vem

r(l) = {:} (r - {l}) = o ri obsewam ca (x - z)(l - x)1"_, = (3 - 2)(3 - 3) = 0. Ix(t-x),xe[o,t) I

concluzie, putem scrie

f(x)=l(x-l)(z-x),xe[t,z) l(x - z)(:

-'),

x e [z,r]

cl funclia f este continutr

pe intervalele [0,1) gutorul unor functii continue elementare.

Obaervdm

-rvem f" (t) =

trmt(x)= timx(t - x)= x<l

0 , fd

[l2)

si [2,3] , fiind construita cu

(l)= rm(x - 1)(2 - x)=

x<l

frl

f(1)=(1-l)(2-l)=0,decif,(1)-fd(1)=r(t),adicatunc{iafeste6ntinudinx,=1. Dr asemenea, E (z) = lS r(.) = I'q (x -rX2 - x) = 0, f (2\ = (2- 2)P - 2) = 0, x<2

(z) =

lT] r>2

(.)

\<2

2)(3 - x) = 0, deci f, (2) = fd (2) = f (2), adicd liq(x -

tuncria f este

x>2

.'oDtinua gi in punctul x2

ConcluzionAm ca tunctia feste continua pe intreg domeniul de definitie [0,3]

c) AYem

mrervalele

[0.]). (1.2)

5r (2.31. respectiv f

|.t-z^,*.[o,t)

'(x)=l-zx+-t.

-.It.tl

[-2x+s.xe(2.31 .rvem

f,(x)=Lmf'(x) =trm(t-zx) x<l

Deoarece f,

(l) -

-l

--l

, f;(l)=umf'(x) =li4(*2x+3)=L x>l

x<l

* I = fa (1) , deducem

ctr

x>l

func{ia f nu este derivabil6 in punctul xr =

339

De asemenea.

f.(2)= limf '(x)= lim(-2x+3)=-t,respectiv f,(2)=Iimf'{x)=lim(-2x+5)=: _ ' '

\+2 x<2

ficum f; (2) = -1

+l=fo(2)

r r?' x<2

11r 22

--i*

Avem lf (xlcosxdx = | , J' J2-sinxo* 000

- -ml| z-slnl'ti ]+ln(2-sin0)

b) Deoarece sin x e

penhu

x>2

-ul-tn2

[0,:]-{r,z}

ln2.

('" I

VxeR.Atunci n'(x)=l lf(t)dt | =f(x)>0 )

r.;

sin x >

pentru

f (x) =

VxeR,

--J- r q

adic6 tunclia F este

stdct crescAtoare. c) Avem sinx e [-1,1]

-sinx e [-1.1] = z-sinx

I =f(*)-' ' 2-sinx>f3'oennu vxeR.

Atunci F(x)=

tr,t*

Jt{,)Ott

Jt=i *"*

lm F(x)=

+"o

[t,:]

VxelR.Cum tim

I < 2 -sinx <

Varianta 29 N' 9i tuncfiile f", gn :lR -+ IR, f"(x)=1-"**z-x3+..-x2n-'+x2n, gn (x) = x2"*r 11 1. Se considerd n e

9il!

. vx c R -{-lf x+r -fu1"l (x+1)'

b) Sd se calculeze ]irn f; f+ n+6 \z/ c) Sf, se demonstreze cd fn are exact un punct de extrem local. ,

2. Se considerd qirul

(\ )".*. definit prin I" = '[-I-

d* , Vn e N.

dl+x-

a) Sd se calculeze

Sd se demonstreze cA

c) Si se calculeze 1i-m

qirul (I"

)".*.

este descrescator.

I,. 340

= +co, dectucem c6

a) se se verilice ca r; 1-1=

=2.

[0,])U(L2)U(2,3]

-i13-tttloJ 2-sinx = -Ln(z-rin*ll 'r0

pentru Vx e R, deducem ca

[-t,t]

r-2'

, deducem cA funcfia f nu este derivabil6 nici in punctul x2

in concluzie, domeniul de derivabilitate al tunctiei feste

2. a)

r'2 ' ' x>2

X.ezolvdri

a) Observdm

l)q (x) = (t+ x)(t - * *

(x +

x' +... - x'"' "' -

+ x,"

=l-x+xr-..._xzn-r+xrn+x_xr+xr_..._x2n+x2.+r=11xr".'=g"(x) our

(x+r)t(x)=e,(x)

- e"(x)

'''(x)=[Sltl [x+l I

arunci r;

=E1rl x+r

:(ll (x+l)-

vxeR

p"nt u

penrru

deducem cd

f"(^)=1#

pentru

vx€

{-r} ri g"(*) _

('lr)_ (x + t)' (x + r)'

r)-g"(x) (x+r) _ e"(*) 1*.r1'

vxcR-l-rf

pentru Vx€lR.

b)avem g.(x) =(x'?".r +t) =(2n+t)x'" pentm VxeR.

.fr) fr) s"lll e"l;l rrr r .{runci f.l,:

J=r: u;= z \)

rr,,n

;fz".rrl,

+[(;i*.'] pentru

Vn € N'

D."**"

I,s(;j

=H$=o c) r" (x)

=o ,i rrj?(zn+r)[i)'"

=mi#=

m@*#4=

deducemci,,*,"i]l-I".,{](2"+r)f+l

\2/ "'Ll'

=(t-x

+x2

-xr +

..-x2n-1

+x'")' =

'\2) -*ff+l'" eL\2/.,1}= lJ * n

-1a2^ :x' +...,(2n-t)x'n' +2nx'n'

pentru Vx e R. observdm Vn e

f;(-r)=-l z-3-...-(2n-r)-rn= 0*'rr)''"

N', deci

= I

=-n(2n+1) +0

pentru

nu este punct critic pentru funclia fn , cu atat mai putin nu este punct de

extrem local.

vxeR-{ l} ,*"-r; (*)= s; (:) -.e"(t- (2"+t)''" - x'"-'+.1 = x+| (*-r)' x-l (*-t)' (2n + t)x'z" (x+t) (x'?"'' +1) 2m,"-, + (2n + 1)x," _l _ _

Pentru

l)'

Considefim tunctia h"

etunci h" (x)

:1R.

- [znx'".'

x"'

, h" (x) = 2u"-' +(Zn + t)x'"

(2n + 1)x'"

-r]'=zn(zn+r)x'"

-t

+(2n + r).2nx'"

l) pentru Vx e lR. Observim ca h" (x) = 0 <= x e {-t, O}, respectiv tr"(x)>O pentru Vxe( -,-t)U(O,o) qi h"(x)<0 pentru Vxe(-1,0) , adicd func(ia h" = 2n(2n +

(x +

341

este

stnct crescatoare pe interyalele

intervalul (-1,0)

(--,-l) li (0,o), respectiv

strict descrescatoare pe

cum h" (-l)= 2n(-r)'"-' +(zn + r)(_r)'" _ r = 9, deducem cd h" (x) < h" (_l) = 0 penru ' Vxe(-oo,-1) , respectiv h"(x)<h"(-l)=0 p"nt u V*.(_r,oi. Deoarece h" (O)=

-l < 0, lim[2nx,*r+(Zn+l)x,"_t]=co

toare pe intervatul

ln concluzie,

[0,@), rezulta

:lxo€(0,a)

astfel incat

vx > xo, adictr xo aceastA

este

proprietate.

2. a) Avem

" r _.. - l*Or. ;l+x-

O pentru

Vx<xo, x*0,respectiv h"(xl>l

,' {x ) notalir rn. (x, pentru Vx e R *{_l} = ---+ ' h-

r,(x)<o

pentru

. deducem

V".xo. * * 0, respectiv f"(x)>0 pennu I; ,i, in plus, este umcul puncr r

punct de extrem local pentru funclia

i**

b) observrm cd, pentru

fiuctia hn €ste strictcres4

ci ]lxo (o,co) astfel incat fr" (x6) = O

llxoe(0,@) asfel inc6t h" (x)<

pentru Vx > xo . Revenind la

j$/*

=rr(,.,.,;|.,

vx€(0,1),avem 0<x<{.xn

xn+l q *n

, l-1 " O* =l-., ,.-,. In penFu vneN.,adicrgiml jl+x,

+ x"*: . x"_ = l+x, l+x,

(In)n.^.

esre

snrct

descresctrtor,

c) Pentru Vx€[0,11 ' I

+0<li

--j-

n+l

Deoarece nlim

uu.*

9q-I:<,,' t I-' =0< l-j t+x

'[-"*={l' , dxs

;l+x-

n+llo

penku Vn € N.. = 0, aplicind ..Criteriul clegtelui.,. oblinem cd lim

Se considerd funcfia

a) sa se determine

_\g

: JR

n+l

-r;

Varianta 30 l.

: 1

f(l<)

JR ,

r(")=*-{-s,n'

b) SA se calculeze derivala a doua a funcfiei f. c) S{ se demonstreze ca f(x) < O, Vx > O.

)+z

I" =g

2. Fie funclia '

x I'xl

f :R--+R, f(x)=-.]-

a) Sd se arate ca funcfia F : R -+ R

, F(x

arslgy 1

h { x2

1) este o prrmitiv[ a I

if. I

ftlx)dx.

b) Sl se calculeze

o, c) Sd se arate ca sirul (""

j+ cin'+k'

),,.*., definit de an = i

Vn e

N'.

esre convergent.

lezolvdri

,. I x' I 1..ttm x,/.l- 6 6srnx l llmlx---srnxl=-,r-l=x' \r@{ o 0\,-6 l x. \ /1

t. a) Avem

_\T-

f (^) =

-1 61 ^, = 1"o.

b) Avem

l-2\'

f,(x)=[x

pentru Vx e

f"(x)=11-a--cosx \-) 4l

*-,*-.)

=-x+slnx

=(-x+sinx)'=-l+cosx pentru VxeR. Observdm cd f "'(x)--11.or" <0 pentru VxeR-l2krrlkâ&#x201A;ŹZ| c)Avem f "'(x)

f'(x)=-1as..t=0 descrescdtoare pe

-{tunci

pentru Vx e {2knlk e Z} , ae unde deducem cd func{ia

p"nttu Vx >0, adicd funclia f '

este strict descrescdtoare pe

[0,"),adicl f(x) < f(0)=

Vx>0.

2.a)observsmcd

F'(x)

1.,

[arctcx*]ln{x'

.,\

rt).'J

I I 2x l+ x,. f1*1p.ntn, =iF.; fr ,, _.

Yx e 1R, adicd func1ia F este o primitivA a func,tiei f.

este strict

f"(x)<f"(0)=0

rntervalul [0,"o), respectiv f '(x)< f'(0) = 0 p.trtt, V* > O. ia consecin{tr, funclia f este strict descrescdtoare pe intervalul Pâ&#x201A;Źntru

, respectiv

evem [r(x)ax = F(-)1. = | u,.,g* 0

-f"r.tno*f -)\rL')r'lo' .

' *]r"{r' - r)lt) -]r'("', l' = | u,.tgr 2 ' r]'J" I -

tll' Ir f h 2.

343

"r,-!)

',1,

l'i, =:ii_,f,.t'I I il,=lIoii, fk)' ="o'(r.€o,,).,e,pe"tiusum" '' :frn'-k' " " '-l

c)Aveman

l.'

tuemann asociatd tuncliei f, diviziunii

^" [0,1] si sistemului observtrm cf,

".1

* * *

de puncte intermediare €0" = (€r. )*=r"

a lnteru"tutu

limoo"(r,6o,)=

pentru n--rco,deci

llo.il=1-o

. .. . n:1 .n=1)

Jr(;<)*=O**

ln concluzte. llm an

,^- r n ln2 jllmo^n\l.qo"J=Z* Z

Varianta 31 l.

se consideri tuncfia

f: R

. f(x]=

JF-

a) Str se arate ci gmficul funcliei f admite asirptotA spre -co b) 36 se determine domeniul de derivabilitate al funcfiei f. c) Si se determine punctele de extrem local ale functiei f. 2. Se consideri girut a) Sd se calculeze

(t")".*.

Oat

ae 1"'' ='1-""

dx'+l

4", on.ry'.

. 1

b) Sd se verifrce

ci I"*, + I. = ---1 , Vn e N' .

c) Str se calculeze limnl"

Rezolvdri 1. a) Avem

ObservAm

x2-x)0<>xe(-co,O]U[Lo),deci

ca tirn f(x)= lim Vx"-x

odzontalf, spre -co

Pe de

f{x)

lx'?

= +co, deci gmficul func{iei

fnu admite asimptoti

alti parte, lim

t.=,t:lY

x, daca x e(-o,o]U[t,"c) I*' I f-x'?+x,dacaxe[o,t]

_*l

r(*)

ei m=

-l

e IR' . De asemenea.

.,lim

344

[f(x) --.]=,r'- (J-r

- - -)=

b, Avem rn-2 penfru Vn e

-,"

jj;*=X'-":)r-

2.a)Avem', =

-2

u,.tg*]l

=r-I.

i+d.. jj;..= i++.^ = i..* =#|. =*

(.*r)r.

c) Solulia r. observimcf,

fl l" (*)

*-i-1"".'

o.-IIf

VneN*.Deoarece

=1"*r;jfo- = j-l{"".,)/*

.*"-'z

f:i..=i-,i;|**"*

pentru Vx e (0,1), deducem

(x: + t)lf

yn,2

J'*' Jn t .tT

dx<

l*[ff

t,'--,1,"

]

soluliaall-a. observtrm cd 0< x < ll.xn l, *n

, n+l

* ' j;* = J^t -,

*t"-, < I, + In = 2t. - \ r

-L

= I" + I"*z > In*2 +In+2 = 2In*2

sub forma

-\ z(n - rJ

lTit ".,),"

=0<xn'r

t.., + I" = I

lui".

., ,r-

o'11" vneN' ei'cum

ffi*

.*'=0. ji.{i-

penrru Vn

In*2

este strict

pentru Vn e N' , oblinem pentru Vn e N", respectiv

d.D

= O.

-,* [r., i-r__-*l = It 1 o1*'-t)' )

ln*, < In pentru Vn e N' ' deci girul (I" ),,.*.

descrescdtor. Anrnci, din relafia

J6;o*';:

Jx"*'dx=o'

, oblinerrl conform ,,Crileriului clepte

Atunci,rim nr,, =

.n+2

;1;!,-

346

penhu Vn e N', ceea ce

se poate

scr

-{'eobFrutci

A;O

4"*4'r''I;riJ=drT'""'4fu

^t*

;fb

pentru vn

teanrtt conform,,cdteriului clestelui", cd

ei, cum

Varianta 32 l.

Se considertr

f :lR -+R, f ,(x), x e R.

firactia

a) Sd se calculeze

b) Sl se demonstreze ca

f(*)=."tg(**2)_."tg*.

0<f(x)<1. yx.p.

c) Si se demonstreze ctr tunclia g:JR 2. Se considerl funcliile

D r) = arctgt( a)

R , s(x) =

61*;*."-q{

*l f:R -+lK,l(xr=--xrarctgx

este constanta.

g:R -+R.

tFi4* calcuteze I

b) Sa se determine c) Si se calculeze _ r=0^ $i x=1.

I'n r lf(t)dt. __0

aria suprafe{ei cuprinse

rr f'(x)=[arctg(x+z)-arctgx]/ -\vcm x < x + 2

cd f '(x) =

I --'-=

;*y

arctgx < arctg(x +2)

infe graficele celor doui func1ii

4x+4

(x' +l)(x'? ++x +s)

Ii;ri*;4,

vxeR

f (x) = arctg(x + 2) * arctgx > 0 pentru Vx â&#x201A;Ź

pentru

4x+4 r)=-;--:-----i-t---: - ,l^l' < 0 Dentru Vx > - I ,.0 (x'+lJ(x'+ax+s)

(--,-ll,

9i dreptele

Vx<-1, f '(-l)=

0 , respoctiv

deci funcfia f este strict crescatoare pe

respectiv strict descrescdtoare pe intervalul

347

[-f,"o), iar

x0 =

este

punct

Deci f (x) s f (-r) = arctg(-l

de maxim grobal.

Vx e lR. in concluzie, c) Deoarece arctgx

arctg(xr2)-arctgx

f(x)

arctgy =

condilia x(x + 2) +-1 Pe de altd parte,

pentru

- arctg( -t)

*0c:x+-l

j n"n*

Vx1yelR, xy+-l,obinemca

x+2-x arctg 2 ,

(x +1)2

; - (j)

arctg- . -----i- -

pentru VxcllR care indepline$te

ave- ur.tgr +a.ctg1=l nentru VxeR',deci

(t*l)

De asemenea,

pentru Vx â&#x201A;¬

arctgg

(x+l)2 g(x)-f(x)+afclg-=arctg .onditiu '2

+ 2)

*o<>x+-l

x+l)2

+ atrctg:--------L =

penku

VxeR

care satisfa*

g(-r) = r(-r)+ arc,r-Gl

=;n1-l+2),arctg(<t)+arctgo=

n J lrl ^ n -- l+u=-.

=--t

4 \ 4)

]2'pentru Vx e lR , adici func,tia g este constanti. (*'-t)(x'?+l)+r ("t \ , 2.a) f '(x)-l: x- arclgx | =xr -l+----' = ---l_x,-_1;j. \r )

in concluzie, avem

o**, 'lrIc*

x)=

ffi.* -'l** -'li:-"

l*' t./. ,'l- l-f

=i-__tnlt+x--l=__tn_. 2 \

b)Avem tim

'1,

I__olr(t)0r = tim

(^. ) I lr(t)at \; )

-('r

f(*) ,. ltm ---

\i'

t.. /x I arcrex ) +co =-ltml---+---i = J\+6\J X x-

,-r=)"

t. f l.'2').] j l.s 2 lt+!') 2 2 2 I

t*.

v*.m,

)

348

Jx-

1..llm --x+arctgx

-J \ro

) x-

c) Obscrvam Obs cA, pentnt I Itru

vx'-l: [0, t] ^t' aue- *2 s I >

^(*'-l) )L+arc *r=--t-

r(*), =

arctgx .<al arctgx =

g(x). Fie r,.,

rnci Aria -{tunci

L,l

= l(x.y)10 < x

(fr,,,)='J(g(-f(*. ) )d*= fi r)0

< 0, de unde deducem ctr

T 1

l.f(x)

<e(*))

,-1

t[l*-*'la.=i{-{l =1_ 3) r2)n 2 tz tz s

Varianta 33 |. Fie tuncfia f :(o.r,co)-+R.

z.,l

z JvJ

f(^)=*

nvn

a) Sd se arate cd funcfia

----- I

Str se demonsheze

este stdct cresctrtoare pe

2. Se considera tuncliile

intewalul (0,+"o)

*llffi . E-F.;11q",

c) S, se demonstreze cd sirul

f":[0,+o)-+R, _2 ,

vr. x'

(a l

f" (x)=

Jr"arctgtdt ,

VneN..

(x)-I-J'ut.,r*-I. n.-L. vn t r. b) Se se arare ce q 1113 a) Sasearateca fr

gisirul (a,,)",,.

V*>0.

4 n+l

c) Si se calculeze

J3grf.

(t).

lczolvdri La)Avem

I r t' |, --!J t'(*)=l#l =l ^,

\vx/ l' l ]

=_1*

i,a..i,"(,.)=[j":l'=(

\) , r observam ca f '(x) = ]. ;+ .,4x2Jx

I -: 3 l penm.r vx e (0.o). = ;. if ;*' { x-vx ' -ci funcfia f' este strict crescatoare pe intervalul (0,+o). =

Solufa L Conform teoremei lui Lagange, pentru Vk e N.

r(k+r)-r(k)-L(k"r)-rlr'(c*)+

, 3c* e (t<, t

,( ,.;=

> 0'pentr.u Vx > 0,

astfel inc6t

I= _r,r., +_+=r,(.u)= ./k+t Jl '-' * Jk J--'t'r/ 349

Deoarece fimc;ia f

r'(k)

< r'(ck ) <

este strict crescatoare pe intewalul

r'(k+l)1.(-t)

-r,(k+l)

-r,(c*

(0,+o) ,an k<cu <k+.1 obtinem )<

-r'(r) =

< +-:.-fpenr.ru vk e N'. -l = -2(k+l)Vk-l ./k Vk+l 2k.l/k '

solulia

II-a. observim cd

-'[)

G(k.D(./k.r

Jtll *r)(Jt

zkJk .

!qk

+r)Jt + r

z(k

+-+=g= '/k r/k + I . Deoarece

(ltT*Jk).

2(k

-,1

(t< +

fG.4(./tll.Jk)

<k+l + Jk <r./k+l penhu

*Jt /\ )' Jt' (Jr -Jl -

' ' -,2 -(vkJ (rk+rJ

zrJr

Vk e N', obtinem

. oeci

r)"{; -

ll ./t(r<

'\{Jr

+ r)

+Jrl| . 2kJk

1l1r ( ""- ""- 1--- Dentru Vk e N'. 3 -:---------:--2(k rl)r/k+l ./k ./k*l 2k./k ' C) \JOSenaIn Ca

a"-t

-+.+-

+ 2,!z 3'l) \vl

(t r l I l l ---- - ----- + ------ +. - -----= * -:-----------:-- lnJn (n r l)Vn + I J I Jl 2,12 3.!3

-a. =i

nvn

= (n+llr/n+1 J] --==

stnct crescator. F'olosrnd inegalitate"

0 pentru vn e N', deci pirul (u" )..n.

.* * +*-1_z(t+t)Jt<+t Jt - Jt+r -

< 2f -=L I penrru vk e N'. obrinem ci _]-. r( I ----l-: (k+l)Vk+l I + Vk lk+l / 2.lz iJr

---F

^( |

1 ^( I

- ---F t! ... , ------F \ zt ---.=:

\ -l --F

3V3 1../2 ^/3 J

nJn l./n t

.t2 )

,ln )

| \ | | I + r<'.,1+-+j.,i.+ ^^=i-r7.t;''* I

- ----

insumind aceste inegalittrli membru cu membru. oblinem ca

=*z[t-ll-r-i., \ Jnl

+j'

,[#-+,=

pentm Vn e N' , adica iirul (an).eN. este mtuginit superior. Jn in concluzie, girul fiind simultan strict cresctrtor li mirginit superior, din teorema lui Weio$tasr rezulti cd girul (a, ),.0,. este convergent.

350

2.a) rr(x)=

J,*.,n0,=

jJ(',.,,; *.,r,0,=]f1,,*r)*actl'-

^__..--r rlol' = -x2 +l*.,* - x , i -arctgx

fi,,-r)f*.,e,),a,]=

x2 _ =

b) ObservAm cA, pentru Vt e

nentru Vx > o.

[0,1], avem 0=arctgO<arctgt<arctgl=1,de unde deducem

r"(r)= f"arctgtots |.t".rdt- n. t^'rl'

-l , pentru vn>l' "" d --- -'-i' +-'-+ "-rlr=7 "*r

c) observam ca (n + l)

f, (r)

= (n + r)

i,'u,.,r,

o, =

|(t"-'

-rr

ar"te tot =

l-.n*l

j#"

r""..tstl' J,"',(uo,e,y'0, =;4 Jl+t2 *"

^u.nl

tn+l 6.Ji.,n-r

pentru

vtâ&#x201A;Ź(0.r).deci

p*. i$*.' Ii7o,. o-? J,"*'0, = 0.0 t

rn+l

l-dt

= 0.

;l+t' r.

) -Fa"j=i 1n

Varianta 34

l Seconsiderituncria f ;(0,r@)-+R. r(^)=*_r(-.,lJ .n(__j) 1." )".N.

. a,

t\ =l+-+...+--ln{.n+-J. VneN'

a) 56 se demonstreze cA nrncfia feste strict crescAtoare pe intervalul (0,+@)

Str se arate

ct f(x)< 0,

Vx e(0,r_-)

c) Sl se demonstreze cd 9irul (a,

)..^.

este

J) I

strict descrescAtor.

r, ,i",r

f":[O.r]--+m,f (.)= j,"arcsintdt, VneN'.

2.Se considerd tuncliile

a) Sf, se calculeze

derivata func{iei

ff I. '\2 )

b) Sa se calculeze f,

SA se

determine lim fz

(x)

x<l

Rezolvdri

l.arAvem

. I r i'(x)=l ' lxrl

rx+-3r./ x+.I )l' =- I --JI t I = , \ 2)-ln,\ 2/lrl (x+l)' *.i -_)t

-lnl

t22l

+(x+t)'z _ =-G*lf * (zx+t)(2x+3) _ +r)z -(zx+t)(zx+:) + r)(zx +:)

G;tt--t2..r =

(zx

I , pentru Vxâ&#x201A;Ź(0,+co). --'t. (x+t)'(2x+l)(2x-3)'

Evident

f'(x)

> 0 pentm Vx > 0, deci funclia feste strict crescdtoare pe intervalul

r(x) = ri,"

b) observam cd rim

[-L,hi,\ +]l.ri,..1ll --- rf i tl \ z/l =',-

^,dx+r

c) Observam

ci a,+r

a,,

) , deducem

[ ' ...*t* t -n[,'*r*f)l2ll L 2 n n-l \

=ll+-+

*f -Lll n, ,l, rl"-f l<0 pentru VneN-.decr i,*1* -rf -L-rf \ " 2rl nrl n \ '2) \ 2) | 2 (a. )".N, este strict descrescator.

2.a)Avem r;1*1

[x_;J

Deoarece funcfia f este stdct crescdtoare pe intervalul (0, r(x) < um f(x) f (x) < o pentm vx â&#x201A;Ź (0,co).

(0,o)

={i'*.rintdt I -^'-.rir,*

r.d

pentru vx e

[o.l]

)

j,..,',0,=-1'1t u,o*- r,[1]= r \2)

- t2) arcsintdt=

=l[{,-.')",".,"4i - 11'-,';r-*'',t"]= 352

;[; ;-1,-,',

r-.]=

sinrJ

-*. i padt

considerind schimbarea de variabi"

1.,;]

lr.;],,o(^

)

=.in *,

6.-

lJl -sin2 x . cosxdx 0

a! 66-!

=h*,*c*=Tl1:9t4d,.=Ii**sinzxl; "*JlI= 2L z =lf216 j 2 4)t2'

llrl 2.2.r 12 2, a, lu purem scrie ln/t-ttat= [pat= t-+

dJt-t'

*Jj8'

i" .,

- [-!at i'/t-t'z JJr-,'

128

=t'"*.r**11,,({7)'at= . -o =liu,",r*

*{JF

i1r

{**r-.][,,JF[ .,.,Jt-t'at.1r ,L ,o-i(,,;, -'

-,'

)'.fi - r

a, =

E--

.*' -x!--.-. +;t =-arcsrnx+Tvr_x={-..*i"* *{Jr

, r._,r1il"= ;.[r t

* .f [{t - -, ;n---,1 353

Varianta 35 l.

Se considerd

tunc1ia

f :R-+R, f (") =^_fr,(.-+r)

a) Sa se arate cA funclia

SA se arate

este strict descrescdtoare pe lR.

y3gp.

_Lmx"f(x)=0,

c) Sd se determine asimptotele graficului funcliei f. 2. Fie girul (r"

)".^.

, aat

ae r,, =

(z* _ *, )"0* , Vn e N.

a) Sh se calculeze Ir

b) SAse demonstreze ca c)

SA se

arate cd qirul

(2n+l)i" =2nln_,, VneN., n;'2. (\ )".*. tinde descrescAtor c6tre 0.

Rezolvdri

I ) =-eT . L -rlr(.^.r)l ,I -l--e'-=]-, =_ .^ \,.,/-\e\;l e.rl e^-1..r.t"t=[

l.a)Avem r'(x) =fx I :

pentru VxelR.Observdmcd

f,(")=-; .t :f <0 pentru VxeR,decitunc{ia f ,este (e'+U

descrescdtoare pe 1R.

b) Avem 1im

x"f (x) = r,,n *, (*

=_ls[,"(.-+r)_rn""] *, =

r,(." - r)) = _gi(r"("

l*r[+]

=_lsr[,.i)

r,- r"lf , *rl" l"' -" = - ri- r"f r .f )" I- = - - .l,n f1 = - lim: \-. \ e'/ e' -l-,," r+o *-; e' sr Lt .', ] Evident, pentru ra

a<0

avem

ilimx"=0,deci :g*=O xi6 e^

pentru a =0 oblinem

]gi= lgi=0

Pentru a

>0, consider{m n = [a], neN,9i, aplicand de n+t ori 354

rgula lui l'H6spital, ob;inem

*-l =,-(.")1"-,] xJo e^ _-(._

&oarece

-(n+l) = a-([a]+t)

L concluzie, fim x"f(x) c) Avem

t=0 Gm

=0.

0 pentru Va e R

(x)="\gl.-t("-

orizontal, spre

./-.\

tim 1L1/ ei

--co

t)]

--,

= Lr r = 0 , deii dreapta de ecuafie

derlucem

ci grarrcul tuncfiei f nu admite

m=_leR..

asemenea,,lg[t(-) -

"*] =,r-

(* -

r"(.'i

lr(x)-mx] li n=oen. L concluzie, dreapta de ecualie y=rx+n=l.x+0=x

-,Lq *F-

r) =

-n

o, cect

"trm

este asimptota oblica spre

-co la

;nficul tuncjiei f.

ite

(adic6 axa Ox) estâ&#x201A;Ź asimptottr orizontah spre +cc la graficul functiei f.

arytoti

-t

*" ("*')

I..,,

1imf(x)="lix[.-t("-.t)] = j*r j;

"lim

= {a}

li-

= a(a-l)...(a-n)

srl

6.nal, obsewtrm ca functia feste continul pe

ra)Avem I, =

, deci nu admite asimptote

verticale.

fiz*-*')a*=l-'-+l , L 31=r' -'l=o 3 1=1 3 3

'fi* vneN, n)2,avem r" = - r;'(z* - *, )a* = i1z- -l<';alt = 00 2, L -,n12 .f ,,n-r. . ', "rnl =(x-rx2x-x'?) .ro;Ll;L l - J('. -rl1 (z*-*' )" I c. =- Jt- -r)l o(:* - *,)"-' (z- z*)]a*

Pentru

=-:ol(*-rXr-*)(z*-*')"'a*=-znJlt-r)

00 ',{ ,

-!n-l

= -2" -(z*- *' Jl

=2nIn-r -2nln

+ I,

-2nI"

(2n+l)I"

355

+(zx - x: )" la* = z" fi z- -

= 2nln_,

(z- - -, )l(z^ - *z ;"-r ar

-' )"-' ox - zn z* - *'] )" ax . fi o

= 2nl"_r.

c) Evident I,, =

ll2x- x'

dx>0

pentru VneN',deoarece

2x-x2 =x(2-x)>0 pentu

Vxe(0,2),decigirul

VneN, gr se

)

(\)".n.

este mtrrginit inferior. Am obtinur ctr

2 , ceea ce se poare soie gi sub forma

observa ce

)n t1

(Zn+t)1"

(Zn+3)t"*, =(Zn+Z)I" pentru Vn€N.

In*, <In pentru Vn e N. , adici girul

T=r;.t-

descrescltor. Atunci, conform teoremei lui Weierstrass, deducem c6 girul conv€rg€nt. Fie a = descresctrtor

nlim

ti I, =1,

In. Deoarece In

deducemca

Presupunem prin absurd c6 a

Din rela{ia

(zt+l)r* =2kI*_,

+Ik-!-Ir ti.|n** Atunci

i0k-,

".Lt,iJ

0 , ceea ce,

pentru

9i In

= 2nln_r pentnr

(I"),.n.

(I, )".n.

VneNr, girul (I" )..n.

este snict

este

l.a)

este strict

>a pentru vneN.

in aceste condilii, inplice faptul

VkeN, k>2,obtinem

cI . "

_Ir,)=Ir >a+

2k(Ik_r

vkeN, k>2.

-I-)'iif

=,,

Reu

fduo

-t ';[-t.t+J

n"nru vn

ceea ce este

evide'

'r, Ave tE20Dl

inposibl, deoarece

;*f * =.- - ;*;[

ln concluzie, presupunerea c6 a + 0 este

(I" )n.n. tinde descrescator

Ii)

+o,

pe ciind r1 -

absurd^6, de unde deducem

c6 a

=0,

< r, =

adictr girul

cAtse 0.

Varianta 36 f. Fie flrncgia f a"*r = f(a"

x.6+t :R-{ f)-+n, r(x)= --E--

t ccua : hes

=du

9i girul (a"

)",,

definit prin ar = 2 .

.=A

l'.-.1

), VneN'.

a) SA se demonstreze cd tunc{ia f este strict cresctrtoare pe

(_a,.5)

p. (16,-)

b) Str se determine asimptotele gaficului functiei f. c) Sl se demonsreze cA girul (a" este convergent.

)".n.

2. Se considerd tuncfiile

"{rlm

f :R-+R,

f(x)=e-"

9i F:tR

-+R,

r(*)=

[r1t;at.

I a) Si se determine punctele de inilexiune ale graficului funcliei F.

356

| ,,

lxf{x}dx.

b) Sl se calculeze

0 I

lF(xldx.

c) Sd se calculeze

holvlri *HE *'-\1

L r) Avem

r'(*) = | \'vJ -x /

6(J3-.)*(,..6*r) \2

(J3 -xJ obecrvdm ctr

(Jr-.r

=,*penruvxen-{J5}. (Jr - x,f

t'(-)

(Jr?'

pentsu

rbducem ctr tunctia f este strict crescato."

vx € lR -

{16}

p" (=:,16)

ti*

(--,Jl)U(.,/5,.),

*-l? +l

liryf(x)=

I++ll

x'y.3 ' ' x+l.r v3 -x x<J3 x<J3

]{,

respectiv

*'ae

(J5,-L"

l) Avem lim f(x)= 11In +r:l = -J5, deci &eapta de ecuati e rrto ' x-r6 .J3 - x rbontah spre -co 9i spre +o la graficul funcliei f Avcm

y=4

este asinptottr

liryf(x)= h+#11= --, x+{t *-J3 {3 -x \>'/3

deci dreapta

r>'/3

ccualie x = !r3 este asirptotil verticaE la graficul funcliei f. c) hesupunem prin absurd ci girul (an )n.n. este convergent 9i fie a =

Trccind la limi6 in relatia de recurenti a"*, = f(a"

.= uH *t =uJf-12 r/3 -a h concluzie, ginrl

(an

s.,[ +l +

-1,

ceea ce este

{111 \,,J - an

a e IR

oblinem

evident inposibil pentru

Va€R.

)n.n. nu este convergent.

(, \'| - . I a .. la)Avem F'{x}=l lf{tfdt | ' t) " I \l

a2 =

)<r a"*,

lim

)

r'r/

r'(x)=r'(x)=(e-" =f(x)+ \ I| =-r*"*' '

penbu

Obeervim cI p"1*1=-2xe-"'>0 pentru Vx<0, F'(0)=0 9i F"(x)=-216-"'<0 Vx > 0, deci xo = 0 est€ unicul punct de inflexiune al firnctici F.

357

Vx€R. pentru

urevem

Jxr(x)a.=1""'*=-ji-^,),. ",0"=_j.,,[

lIl .\ 2\e ) I

c) Avem I

_](", _u)=

e-1 2e

l-r

JF(x )dx = c-l

= Jlf {x )dx -:--: )e t-'

| ,^7 ,.

000 a

-,.r1 F(x)dx -xF(x)in-

F(l) _ jxf(x)dx JxF'(x)dx -

-:--: rVarianta 37

f:R

1. Se considerd funcfia

R, f(x)

= x3 _3"

*3ur.,**.

a) SI se arate cd functia f este strict crescatoare pe R

b) SA se arate cA funcfia feste bijectivd. c) Sa se determine a e

2. Se consideri qirut (r,,

pennu

),,,

care'1TlS

dat ae r,,

.*ir,a. esii finita

i"e'Ax,

9i nenula.

vn e N" .

a) SI se calculeze I,

b) Sf, se demonstreze cA girul (I,, ),,,, este convergent. c) Si se calculeze nI,,. ,lim Rezolvdri

f,(x)-(xi -3x+3arcrgx) -Jx2 .3r -: . -tf("t-r)-(*'*r)-r] - ,*., x'+1 ' x2 +l x2 +l Vx e 1R. Evident ci t'(-) > 0 pentru Vx e R. . respectiv f ,(O) O, 69 nrde = #

a) Avem

pentru

deducem cd funclia feste strict crescAtoare pe lR. b) Fmctia f flind strict crescAtoare, este injectiva. $i

Arem tim f(x)= tim ("r-3^.,3arcrgx)= ti- *,- " , \ +16 Il { -

3ur..lg*

)

= li-

\- xl xl ) ^":i_^^,=_..,. cum functia feste continui, deducem cA Imf R adicd finctia feste surjectrva. = , In concluzie, fiind injectiva

surjectivA, furctia f esre bijectivA.

I i I

358

o observam

f(l)

c, h x+4

= l.m

- 3x +_3arctgx

li_ *: f I_ .-. x. \

J-

lor..tg*)= 1,_"r-, x, ,t _*.

0daci3-a<0ea>3 =.ldaca3-a=0€,a=3 .+odacd3-a>0<*a<3 fltt -Lconcluzie. lim { exista.

este finita

nenulA dact gi numai

=.""11

J,.("')' 00 Pentu Vx€(0,1) avem 0<xcll.xn

daci e = .!.

i .^* ="-(".11) =.-t"-,)

0<xn*lcx"l.e*

=0<x"*re* <x,'e*

=0. t".'"^4". t'""a*=:0.r,., <In pentru VneN',decigirul (Ir)n:r este stricr 00 Gcrescltor

lrll

gi mlrginit inferior. ceea ce, conform teoremei este convergent.

(fr€rvam

ca, pcntru

Vxe[0,1].avem

e0(e. {er =e.deci

I", fte'ax s Jx"edx-

l- t . adicd o<I..tr:----:Pentru <-e -u+lln-n+l =.* ".r

lui Weierstrass, implicd fapnrl

Vn e

9i, cum

,lim

-L

= 0, din ,,criteriul

d5telui" deducem cA [m In = 0 . ctAvem

(n+l)I" =1"*r;J*"."ax= j(**'

rtru vneN'.Aturci

Jun nr"

=,lglff

)' "-a* =

*,-,"-

- I,.".'("") dx=

e-rn*r

trr-ttr" l-tI}(n-l)t" =,lim(e-t._, )=e.

Varianta 38 l.

Se considerd

tunctia f

:R--'R, f(x) -2x+h(xr+x*t).

a) 56 se demonstreze ca functia feste strict crescAtoare. b) Si se demonstreze ca functia feste bijectivA. c) Sa se arate ct graficul funcliei f nu are asimptotA oblicA spre +co . 2. Se considerd tunclia f :lR-rJR. f (x) = {xl(l - {xl), unde {x} este partea fractionard

r nrmirului real x. I

a1 Sa se

calculeze

lf(x)dx.

to 3s9

b) SA se demonstreze cd firnctia f admite primitive pâ&#x201A;Ź lR. c) Str se arate ca valoarea integralei

f (x)dx nu aepinde de numlrul real

Rezolvdri

2x2-'4x+3

penrru vxe \ /J =z*-2I{I " =fzx+u(*']+x*r)l xz+x+l xr-rx+l | ,t2 *3t0,deducemca ***1 **] Deoarece 2x2 +lx+:=2(x+l)'z+l>0 9i x2 =l ' \ 2)| 4 2x2 +4x + 3 --, , :j:---:-:j:-j-: > 0 pentru Vx e lR., adic{ functia f este stlict crescdtoare pe lR. f'(x) t.a)Avem f'(x) '

x'+x+l

b) Funclia f fiind strict crescdtoare, evident este

Observdm

)

"gir(,lim

f(x)

ti injectiva.

h(x'z+x+t) [ro("t*""r)]' )y lim +l lim ' '= lim += x' *ii. 12; .s 1 11 =0,deci

.!il2x

{rlid.l .,* -f ,. * _._l '' -l*L

h(x'? * x + r)] =

= +"o . 6um func1ia f este continuI, deducem ca

ri. in moa

Imf = R , adicd feste

sirrura,.

sudectiva.

in concluzie, fiind injectivd 9i surjectiva, funclia feste bijectivtr. c)

2x+h(x'?+x-l) tn(^'***r)l .. f{x) .. lim =liml2+' = l=2.deci -l-1 x-td x x

Avem lim x+b

:m= 1i*

"*"1

f(*)

m=2eR'.oar limff(x)-mx'l= timfzx*tn(x']+x+t.)-zx'l

r-'6xxt6L"rx--L\'/I

timln(x2+x+l)=+co.6gs1 = ,+o \ ,/

/nelR

astfel

incit n= limff(x)-mx] . . xrdL

. de unde deducea

cl funclia fnu admite asimptottr oblicd spre +o . 2. a) observrm ci, pentru Vx â&#x201A;Ź [0,]) , avem {x} = x = f (x) = {l<}(t - {"}) = :<(1- x)= 1- a: t

1_ll

/ i

l--L [/*-*')a*=ri*l r:-r| = lirnl r-tl\ 2 3Jl= r+r J\ 2 31, ' L ru '*rl r<l t<l t<l 0

Atunci ft(x)dx=rim [r(x)cx=[m

r-rJ0 " t<l

ll 23

I 6

neZ. Evident funclia f este conthu[ cel pulin pe intervalele de forma (n,n + l), VneZ,adicape fJ(n,n*r)=n-z .Fie neZ arbitar fixat. Avem f(x)=(x-n+1)(n-x) pennu

b) Observimcd

f(x)=(x-n)(n+t-x)

pentru

Vxe[n,n+l)

unde

t<Z

Vx e [n

-l.n).

deci f, (n) = lim f (x) = lim(x -

l)(n - x)

= (n

t)(n - n) = 0.

f(x)=(x-n)(n+l-x) fa (n) =

pentru

vxe[n,n+l)

deci

11p 11*i = lim (x -n)(n * I - x)= (n - n)(n

a- rUinuiu.f"f .a"i(r)=,(")=

(n),

f(n)=(n-n)(n+t-n)=o +t

-n) =o

adic6 tuncfa feste continui in punctul xn =11

Cum n e Z a fost arbitrar fixat, deducem cd func1ia f este continud gi pe Z ,deci este continui pe intreg domeniul R , ceea ce, in particular, inplictr faptul ci func1ia f admite primitive pe R

Vnâ&#x201A;ŹZ,avem {x+n} = x +n-[x+n]= x +n -([x]+n)=.x -[x]= {x} , deci r(x+n) = {x +n}(t -{x +n}) = {x}(t-{x}) = r(x) + r(x +n) = r(x) pentru vn â&#x201A;Ź z ri

c) Pentru

Vxe lR. Pentru belR 9i

neZ

arbitrar hxate, considerind schirnbarea de variabild

b+n+r e(b+r) q:[u,u+t]-+[t+n,b+n+l], e(t)=t+n,obtne- r1.;ar= r1-;a-= J J qb)

b+l f ,,-,

b+l b+l b+l b+n+l | |,. a, t deci lf{x}dx= | f(x}dx pennu = lf{e(t}}.a'(t}dt= Jlf{t+n}dt= Jlf{t}dt, '' J " bbbbb+r b+t b fa, VbeR 5i Vne Z, in particular lf(x)dx= lf(x)dx, obfinuttr in cazul cAnd n=-1. -

l\/ b

lva.

Atunci I f {x )dx =

b_t

r(*)a*= J r1*;a,. J {"}.t"t {"}

{"}*' Dac^

aeZ,aitnci {a}=0.deci r1*1a* = jr(;<)* J

Dacs a eV,,atunci

O.{a}

.f ti

{"}*,

{.}+r

flxldx= lf(x)dx+ | f(x)dx= J

{.}

{"}

r{"ll r+l ttrl | ^ + lf(xldx= Jlf(xldx=- .In concluzie. J f(x)dx = J| f(x )dx J., 6 oo t",

f ,, Jf(x)dx

nentu

!+l Va e iR 9i observlm

cI valoarea integralei

(

dx nu depinde

de numtrrul real a.

Varianta 39 1. Se considertr ftracfia

f :(0,.o)+R, f(x)=11a1.

a) Sl se studieze monotonia funcfiei f. SA se determine asimptotele graficului funcliei f.

c) 56 se demonstreze cd orice gir

(x.)".,

cu proprietatea xo

convergent. t 361

e(0,1), xn*r =er('")

este

l" 2. Se considerd girul

(I,)**.

definit prin

Ii = l----dx J4X+)

- Vn e N'

a) Sd se calculeze 12.

b) Sd se arare ctr 9irul c)

)".*. verificb relalia 4I"., +5I-'' =

. Vn. N'

n+1

determine lim nI".

SA se

Rezolvilri

l.a)Avem f '(x)=(xhx)/ =l+lnx pentru Vx€(0,co). observam ca f

.li,-,J,

'(x)= t16*.6 0..* v".(0,1)

lim f (x) = lirn

x ln x =

+o tt

l,$r(x) = r,"1xh. x>o

(0,1], ,"ro*n,

.*o

fl,-) Le ) :gP

x>o

ln x = +<o, deci

:**.=

funcfei fnu admite asimptotA orizontaltr sau oblicA la De asemenea,

f'(x)=t+1rr*rq o"n*

deci tunctia f este strict descrescatoare pe intervalul

crescatoare pe intervalul

b) Avem

respectiv

+co

gra6ci

"lim

gT = gf]

x>o -

g*_

\>o

1,33t-x)

=0e

2 x>o ^- [;] f este continud pe (0,o), deci graFrcul funcliei fnu aclmite nici asirptote v€rticale. c) Demonstrdm prin metoda inducfiei matematice proprietatea p(n): x, e (0,1) pentru Vn € Pentru n = 0 obtinem P(0): x0 E (O,l), ceea c€ este evident adevdrat, conform ipotezei.

e(t): xu e (O,t) pentru un k € N f(t+t):x*_, e (O,t).

Presupunem adevtrrata proprietatea

este

indeplinitd proprietatea

oarecare

li demonstrt

=.r(") ro 9i f(x*)=xulnxl <xuhl=0:>x**, ="r(^.) ."0 =1,6..i x**, e (o,t)= l(t + l). in concluzie, proprietatea f(n):x" e(0,f) este adevdraE pentru Vn€

Avem x1*,

observam cd xn*,

="r('") -"""r"-" =(er"")-" =(.,)."

Vn e N , adicd qirul (x"

)n.*

este strict crescAtor. Fiind

deducerl conform teoremei lui Weierstrass, ctr 9irul (xn

362

,(*")'=r" =

xn+r

>xn penru

mirginit superior gi strict

)n.*

este convergent.

cresctrtor,

Avem

2. a)

=J 0

Observam ca. penhu Vx e n

*;*.

i. sl

-i-i|.

avem

x2 I 4x2 +5x 5x l[4x2+5x sx ) x 5 4x+5-5 x 5 2s I 4x+5 4 4x-5 4( 4x+5 4x+5 ) 4 t6 4x+5 4 16 16 4x-5' t, *t 'v2 5 ?5 It 'r{ * 5 2s I \ deci r7= l--i-dx = ll 1--'.+s)l _ ld*= i-i^.:jtn(+x = ' J4x+5 r\4 16 16 4x+5/ '.1. l8 16 64,' l 5 25.9 3 25.9 =-_-+-lr-=__+_ln_. 81664516&5 (o.jt) b) Avem 4r"+, + 5r, = 4 o^ = i-r".: dx *, i-{u^ = Frl!g:d^ = iI" l.

*n*t

= lx"dx = ^

c)Observtrmc6 l.

Atunci Inr,

IR,

*n-t

- .|;;O-. 00

J--LOx=t" =In*r

<In pentru Vn â&#x201A;Ź N'

, adic5

lirul (I.),.^.

strict descrescAtor.

ot"-,

oL.'

5I.

51" <

*tt"

n.n*

Vn e N" obtinem

4I" +51" . 91" =

n(";.

+5ln'r

> 4ln+r

scrie pi sub forma In <

/neIi-

\'.

0<x<ll.xn =>0<x"*r.^" = 0. :t"lt. . t*'r. 4x+5 4x+5

Din relalia 4ln*t +

psnku yn q

| : --l n+llo n+l

cste

= 9ln*,

penrru Vn e

,] ..r".1=9n e(n+l)

conctuzie,

---L = ]. d.du..* "'-e(n-l) q

Cun lim

In*t n

)

penrru Vn e

y(n + l, 'O=

N'.

respectiv

pentn'r Vn e

, ceea ce se poate

.nrl), . nt-" .19'pe ntru Vn c N . n > 2

9(n

conform..critenului cle'telui", cd

limnt" " n'-

I. s

Varianta 40 1. Se considerd tunc1ia

f :R ;1R,

f(^)=1,f,t.2-J7;.

cI functia feste strict crescdtoare pe intervalul (-.c,0]. ctr graficul funcliei fare exact douA puncte de inflexlune.

a) Sd se demonstreze

b) Sd se arate

JOJ

c) Se se determine ecualia asinptotei la graficul frmcliei fspre 2. Se considertr tuncfiile a) Sd se calculeze F,

b) Si

(r)

se demonstreze

c) Sl se calculeze

,EgF,

F":R-+R,

\(x)=

-o

[tsin" tat, Vn e N'.

;

F".r(l)<F"(1), vneN'. (t)

Rezplvtri

Avem r,(,.)

t-""""""':

./lx2

+ I l[x2

-J**rI =,f;,-tr

(ffi| -lr.+z)'

(Jr .,

+l)t

J-t -l

-J-'.2

Evident ca, pâ&#x201A;Źntru Vx < 0, avem

f'(x)=

tr;4(--,Ifffi..r,.,) (-o,0]. J-t;t-..+ / \, {J*,2)' ' r/x'+2 ^,J-r*2-. \', /= | bt-{verrl-: = -' - {.J*'*zJ (/mf frrmfia feste strict crescatoare pe intervalul

x2+2

=(ffi)_r (x'+z)Jx'+z

si.inmdsimilar.

(x'?+2)Jx'+2

f-+l'

\Jx'+t.J (x'+t)Jx'+l

2(-'+r)Jl .r -(*' +z),[* +z (-' *r)(.' +z)nl(x' +r)(x' +z) z(x'?+r)J7+i (x'?+r)(x'?+z

-l(.'.,)

x'?+r)(x'?+z) z(*'+r)J^'?*r +(x'?*z

364

considerrmtunc1ia g1^1 =

a(x' +l)

.l)Jl -l]' -[{.'.r)J-' -t1' =

=[z(*'

-(x'+2) =3x"+6x'-4.

g:lR --rlR.

g(*). 0, f "(x) = 0 <+ s(x) = 0 ei f "(x) > 0 <+ g(x) > 0. Cu schimbarea de variabiltr x2 =t oblinem flmclia h(t)=3r3+612-4, h:[0,.o)-+R. Observdm c6 h(0)= -4 < 0, h(l)=5>0 ii cum tunctia h este continua, deducem cd Evident f "(x) < 0 <+

3to e (0.1) astfel incat h(ro) = Deoarece

h'(t)

+lzt>

= 9t2

p€ntu Vt

0 deducem cl functia h este strict

cresctrtoar€ p€

inlervalul [0, co) 9i, in particular, este injectiva, de unde rezulttr ci t0 este unica rldacina ecualiei h(t)=0, h(t)<0 pennu Vte[0,10), h(t)>0 pentru Vt€(t0,.o).

g(x)=0of "(x)=0 are doar doutr rtrdlcini x'., = tJf Ei, in plus, funcliile g 9i f" igi schimbd semnul la trecerea prin aceste

Revenind la notalia x2

distincte

=t,

deducem cd ecualia

rldlcini, deci xl.2 reprezinta cele exact

dou6 puncte de inflexiune ale funcliei f.

, VxelR. Atunci lim

f(x)=

------=

0, deci y=Q

r+ d Vx/ +2 +r/x, +l

asirptotei orizontale

este ecuatia

spre -oo la graficul funcliei f. 2. a)

Avem

\ (r) = Jtsin tdt = - Jt("ort)' ot = -,"ostli

b) Pentru Vt e (0,

l).

0 < sinn*r t <

:r \r,

T -t

lnil,

sin' tlr t

avem 0 < sin t < sinl <

(1)< r" (r) pentru Vn €

tsin"*r t < rsinn t

sinl o

r Jt'costrtt = =

l.+

N'.

tli = r )

sint < ll. sinn t :+

<'Jrsin"-r tat <

"(.n

lt.in"

t at

c) Evident q"

(t) = sin' tdt > 0 . Jt 0

Observrm ct, pennu

vt. (o,r).

t- -t fo,f ],

avem sin0 < sint < sinl <

deoarece functia sinus este strict crescatoare pe intervalul

365

sinl =

[-+,+.l 22) = [t,+-l.

l2l

0 < sint < 1,

Arunci

II I

Am obtinut asrfet c6 0 < f;, (t) < 1.51nn

''"

folosind ,,criteriul cletrelui", ca

sint<t

Sau, tinand cont cd

,'.

.2ll

ll = j._"r. E,(l)- jrsin"tdr< Jtsin"rar=(sin"r) o o 6Jtot=(,i""r) tlo

--;-

9i, cum

,lim

qicum

Im q (l)

sin l e

penau Vtâ&#x201A;Ź(0,1),avem

--;-=

se aplic6

(0,1)= lim sin' I = 0, deducen!

q (ry=

j*rn"tat. j,

t,,A,

=.{j' = n+ljo

similar ,,cdteriul clertelui".

Varianta 41 1. Se considerd funclia

f :(0,+o) -+(*-,0),

a) Str se demonstreze ctr func a feste

stict

f(x)=h0+x)_x.

descrescatoare pe intervalul

(q+co)

b) Sd se arate cA func{ia feste sudectiyl.

c) Str se arate cd graficul funcliei

f:R

2. Fie tunc1ia

a) Sd se calculeze

R, f(x)

fnu ddmite asirnptote.

q1r^

Jf(x)dx 0

b) sd

se arate

Jgi;

Jr1rrrt;ot =

l' r tl /.\ /,\ Iim'lrl ' l+ rl.1 l*rl: l* .*rl I ll. \n.i 't

c)Sasecalculeze

\n,i

\n/_l

Rezolviiri

1.a)Avem

r'(x)=[rn(r+x)--]'=*-r=-*

ObservAm cA f

'(x)=

intervalul (0, +o) b) Avem lim

r>0 L.,eoarece

--l

0 pentru Vx >0,

pentru

vxe (0,+o)

deci funcfia feste strict descrescitoare pâ&#x201A;Ź

f(x) =]'U frr(r * *;_ *1=

rn I

_0 = o .

x>0

In(l-x) -lim.[tn(t '-r l trm ' '*)'] lim ___ = 6, 6.6u"a_ = , \-6 x x r-ol+x

.trmf(x) rimlrn(r r-x)-xT= I*-f!(l:!

''-L

* 366

,l=-j

r')

fuclia f fiind

continua gi stdct descrescatoare, dâ&#x201A;Źducem cd

:((0.+-))-l limf(x).timf(x) l=(-o,0), lrr4l ;r

\*'o) .q,m ardtat ci

_hm

f (x) =

-o

deci tunclia f este surjectivd.

deci graficul funcliei f nu admite asimptoti odzontald la +co '

+2 ll I

+llto

r=-lelR-.

Dar

rim[f(x)-mxJ:;1i[ttt*-1 *+x]=

./a = fim

[f(*)-mx]

Trc

Avem

+cD .

lr$f

astfel incdt n e

(x)= 0

tip 1n11**)=+-,decl

R, adici graficul funcliei fnu admite asimptota oblici

(0'+-cc) 9i cum funclia f este continud pe domeniul de deflnitie '

i>0

tlducem cd graficul func{iei fnu admite asimptote verticale. L concluzie, graficul func{iei fnu admite asimptote.

ll |

La)Avem lf(x)dx --""'"'J-'-/--

larctgxdx

0000

b! nvem trm

,,observdmcd

= Jlx'arctexdx=x "

t lt -',',- Jlx(arctgx)

arctgxl"

tir(r' t)otl it1

*,10,

r'-

=,l1gr(h -)

+(r(+)"r[]).r(*)"

.r(*))=

;sprczinta suma Riemann asociattr lui f, diviziunii A,, =

inervalului [0,1] 9i sistemului

-+ 0 pentru n -+

hconcruzie.

ri-1rf rIl.r[3J, \n/ \nl

"-.-n\

deducem cd

l*arctg(rn

= [t *' * i''

367

(r,e^. )= l11"^,

((t )r=r, , e-

lJ-.. -rflll= ^-1t' + tn))

\n,/

), u,'a" oo' (r,Eo. )

oo. (r,qo'

de puncte intermediare â&#x201A;Źa" =

o.oarece lla"ll

dx=

J,{*)*

-?t'

Variant 42 l.Fie funcfia f:lR-+ R, f(x)=13r"1** x"*,

=f(x"),

Vn e

a) Si se dernonstreze cd funcfia

2. Fie

(x")""*.

definit de x, =1,

N'.

este shict crescatoare De lR.

b) Sd se determine ecualia asinprorei la c) Sa se arate

9i girul

ct tirul (*.)".o.

este conv€rgent.

rirut (r"),,.n., definit prin r" =

a) S! se calculeze

"ii;ii.;

i(*-"r)"a*. vn.

ro..

Ir.

b) Si se demonstreze ca I,, c) Si se calculeze

g.fi""r tu

=--L-ln_,, VneN, n22.

In.

.lim

Re?pleltrl

a) Avem f

'(x) = (xarctgx)/ =31s1gxa-+3 f ,(*)=fur.t** * _)'= l{x' " \ i l+x2 )

- ' .;*

==;"

(t +

Vx e IR , deci fun4ia f' este strict crescdtoare pe R. in plus, obsewim ca f'(x)<o penrru Vx<o jf ,(o)

.\2

x',|

= 0 $ f,(x) > 0 penhu vx >0,deci funcfa feste strict d€screscltoare pe intervalul (--<o,0] ,i sfict crescAtoare pe [0,+-). b)

Avem lim

r(*) ^\^/= Iim

xarctgx

x+-o x

-I

e R' . De asemenea,

"hm

Iim arctgx =_I - r+€

|,deci:m=,lim

[r(-) - ""] = ",lg(-"o,s* I rl | - ./ 'rl ttarclsx+\ lim

IE)

:----; = lim r+x- -

_-;

(:)

-2

=-"'l1;F=-l'aeci 3n=^h [r(x)-mx] ti n=-l€R. Deducem cA dreapta de ecualie

frrncfiei

y=plap=_I1_I

este

c) Observim

ci x, = f(x, ) = r(r) = l.arctgl =1<t = x,. 368

asiqltoti oblictr sprs _@

Dcnnnstrdm prin metoda inducliei proprietatea P(n):0 < xn+t Pentru n =

oblinem

P(l):0

<x,

Vnâ&#x201A;ŹN'.

pentru

< x2 < xj , evident adevdrata conform obsewaliei anterioare.

P(k):0

Presupunem adevtrrata propdetatea

< x**r <

&rmnstrtrm ca este indeplinita 9i proprietatea

xk pentu un k e N' oarecare

P(k+l):0<Xr*z ( xt*r

Din 0 < xurr < x1 , folosind faptul c[ funcia feste strict crescdtoare pe inlervalul [0'+co), obfinâ&#x201A;Źm ci f(0)<f(xk.r)<f(x*)+0<x**, < x1*, > P(k+l) ..

concluzie, proprietatea

(xn),.n.

irylicl

P(n):

0 < x,+r <

este adevarata pentru Vn e N- , adicn girul

este strict descrescltor gi m6rginit inferior, ceea ce, conform teoremei lui Weiersnass,

faptul c6 9irul

(*" )".o.

este convergent.

,,r, 'r, , ^., or, f"' *o *'l' t, = 'f, = J(x-x') 6x= J[x'-2x'rx-ldx=lT-;*Tl ' - to

2.a)Avem

= , deci

-l

r,,

i lr.-',;1.-*')n]

-tl["(^ -*')"-'1r- z*)]o* =-]

Jtr^

,-t*;=,

, '-

) 2. avem

=j(2.-r)("-.')"1,

I I l

f*--')'a* =j Jtr--'l

(^-*':)" o*=

a*=

i1r,. -,11,

-r*)(" -x'?)"-'a*

, .'"1 ' ++(x-x')ldx= 'a*=-} l'l -[*-*'f ll(-r)*q(*-*')'l{*-*')" =-l2 JL' t \ \ 2Jl 'l\ =

-i(r"-,

=ln = ---1-

= I,

ar. ) 1.-'

-](-\-,

* +r" ) =

!I.,'

- 2,,I" = (zn+r)r"

=|t.-,

c) Evident

l" = (r,-*')"a*t0

pentnr Vne

N',

deoarece

=#t* , -*=#.*=1 '-t.;5\ deducemc6 ?.(il" * *

*.*

vxe(o,r).avem t*

in concluzie, 0 <

<;;!t,

-criteriului clegtelui", cA lim

369

=*(t-^)t0

pent u

vkeN, k22,deunde

n.n* vneN, n)2.

p.nnu vneN, n)2.9i,cum

x-x2

lim-!=0 = o' a.aucenl conform

"l*

o,-,

Varianta 43 l.

Se considerA func1ia

f :R-+R, f(x)=y.."-..

a) Si se demonstreze cd functia feste strict cresctrtoare pe intervalul

b) Str se arate ctr fi.rnclia f admite exact un punct de extrem local. c) SA se determine numirul de solufi reale ale ecua{iei f(x) = 6,

[0,Je).

*t6"

real oarecare. 2. Fie

tunc;iile

r,(o,l)- n, f (.) = T-+dt,i

"ste

nur*

g:lo,-:l-+R,

s(*)- [--r dt t(l+t'J

sa se calculeze

b) Str se calculeze

c) Sd se arate ca

fllJ t'(-),

".(0,;J

f(x)+g(x)=0,

Vx ''

('';)

Rezolvdri

,/ ' f'(x)=(x+e-') =t-.-" pentru VxeR. Observdm ci f '(x)=t-e-- <0c+l<e-" <e0<-xclx<0, f'(x)=061=9 91 f '(x) > O o x > 0 , de unde deducem cA functia f este stdct crescf,toare pe intervalul cc). [0,

|.a)Avem

b) Functia feste strict descrescitoare pe intervalul

[0,.o), aeci x0 = 0

(-o,0]

$i strict crescatoare pe intervalul

este unicul puncl de exh€m local al funcliei

Deoarece funclia f €ste continua 9i strict descrescitoarc pe intervalul (-co,0l , deducem c6

r(1--,0]) =fr1o1, tim f(x)) =[],+o), iardin ,'--€ '/

intervalut [0.co) obtinem ca f([0..o)) '' in concluzie, deducem ca ecuatia

m>l,

faptul ca tuncfia f este stflcr crescatoare pe

rirn f(x))= [1..-) filo;. '/ ' x-o L '

f(x)= m 366,.6oua solulii xl gi xr, x, <0<x",dacd =0 pentru m=I fi nicio solutie in cazul cdnd m<L

respectiv o singura solutie x0

370

2.a)Avem

b)Avem

'i--*="i.

+l= \3i

/ t+t'

[r+t')z

('ri, L* ts- (r*tg'*)=tgx, [l-dtl =-ls.-(tgx) = l+tg'x' l+tg'x '

f'(x)=l 'f

c) Deoarece

tel

vxe

il+t" _J =

"te|

orr'*-

(n: observam c6

j* =1"f ti,f'l=+r, +*=+r(,.,' \ 1+t' 2 'l' 2

* r(l). r(;) = i#.r. )'

ffi

/-\

lo,]1. z)

u, = o

e'(-)=l f t1t+t',; , \ot | = ---L -(ctgx)'= i I J ctsx(l+cts"x)

*.ts'* = -I = -tgx = -f '(x)= r'(x)+ g'(x) = o pentru ----l---=-(t ctgxll+ctg'xl ) clgx

o- .

[0,]),

*ae

deducem cd functia f +

/-\

este constantl

/. -\

[o,f ),

a*t

r1-)"r e(.) = f[;J.t|.;J= o pentru vxâ&#x201A;Ź|.0,-:.J

Varlanta 44

consideri functia

:R-,?, f (x)=.4,

r/x2

t-).

a) Str se calculeze

alul

Str se amte ce

c) Pentru a =

.. ile runclla

+x+l

a,beR.

f'(x), vx e R..

funclia f â&#x201A;Źste strict crescatoare pe 1R dacd 9i numai dacl a = 2b > 0 Si b =1, sA se determine mullimea valorilor firncliei f.

. r,,1 - r,"r-J. r:l-l,ll+]i(. f(x)=i*,'",0,.

a) SA se arate cA functia feste strict monotoni. rrcsinx

b)Sdsearatecd

f(x)=

ercostdt, Vxe[-t,t]

c) Sl se determine

'e pe

f(l)

Rezolvdri

dactr

<t.

tt.\/ eY+h

Avemf'(x)=i-:l=

(u**u)'JF * *lf

\.Vx'+x+l/

Jtl

-(*-b)(J-'.,..1)' +x+l

aVx-

+x+l

(ax

7v+l +b)--7:::- -::

2Vx'rxrl

za(x'?

+x+t)-(ax +b)(2x+l)

x2+x+l (a-2b)x+2a-b

r-"*_ ix â&#x201A;Ź R. ^tsnrn,

FT-

' 2lx'+x+llr./x'+x+l

b) Funclia feste strict crescitoare pe 1R dacd qi numai daci, pentru Vx e R, avem f '(x) > O (a - ZU)x + 2a - b > 0 a - 2b = 0 si 2a-b>0"<+ a =2b ti 2a-b=3b>0. adictr a=2b>0.

ii b I

c)Penrru a =2 pentru

VxeR,deci

oblinem

f(x)=+ qi r'(x) = ------J----2(x'.x+l)Vx'+x+l {x'+x+1

func1ia feste strict crescatoare pe lR in acest caz.

Avem lim f (x)- lim

--=

f(x)= +2.

in mod similar, ob.tinern cd

^lim loare pe R, deducem ca f{R ) . .l

2.a)Avem f '(x)=l

\,11

Deoarece funclia feste continuI

stdct crescl-

(x) lim f (x),l=(-2'21 .deci lmf =(-2.2).

| =.""''"^ >0 \; ) pe intervalul de definitie [-l,l] fe-"'r"'{dt

pentru vx

e[-r,r],

deci tunclia feste strict

b) considerdm schimbarea de variabrli x

Avem

2x+I

lim

'*-"Vx',x*I

crescdtoare

[-;.;1 -

l] .,o( t) = sin r .

a{arcisix)

f(x)=J-"";"ra,o

e-*h,ot=

+(o)

I e'costdt, deci

J "**"{')*,1tyot=

J 0

arcsn'r

r(.)= J

e'costdt pentru Vx e [-l,l]

f{ l)

| 0

1 IIi"

arcsiDl

c) Avem

2.. .t

e'costdt le'costdt. le'(sint)'dr=e'sintlr - l{e') sintdtJJ"IoJ\/ ooo

r r, || , l:"\ L t-fr ,\ r ; _ I t, . e.' _ Ite'srnrdt=e. te.tcos +l e.costl^j l_ l[e,] costdr, dt=e, JJ' 00\,/0

"1 -l-

f .

=er

le'costdt =e/ J'

-l-f(l).

r(r)

Am obtinut ca

et - r - r(r) , aeci

b>0,

I - ..2 -l ', f{l)= 2

Varianta 45

consider! tunc1ia f

:R--+n,

aen

Vx'+1

a) SI se calculeze f =

r(x;={$,

-2

b) $tiind cd a = 0,

'(x),

determine ecuatia asimptotei spre +oo la graficul functiei f, c) Sa se determine toate numerele reale a astfel incAt functia f sA aibA trei puncte de

r',

sA se

extrem local. 2. Fie tunc1ia

esca-

r:[-r,r]-+ R, f (x)=J-7.

a) Si se calculeze

J..f--.'a".

b) Str se determine volumul corpului oblinut prin rotirea graficului funcfiei fin jurul axei

rlct

Ox. I

c)' Sl se calculeze

lim [x'f(x)dx. J

"-o

Rezplvdri (^'? +u*

*s)

1. a) Avem

J*',r-(-'-*.s)(J*.r)' t

(J*'+t) -'2

(zx+a)(x'z +t)-x(x'? +ax +s)

x-+l pentru Vx â&#x201A;Ź b) Pentru

(.'*r)J'.nr

a=0,avem

f(x)=ff,

Vx'+l

(*) 1i. - "]-l1+@ x = "-- xr/x2 + I

,,uunci lim

vxeR.

= r , deci 3m =

J t)

r(*)

tl m=lelK

x' -3x +a

Deasemenea.

rim[f(x)-mx]

(

rT[#

")-,,*[;5

, \

xl= r,,n,_J_-_g =rimlJxrrlr-_! l=0. deci ^--l -. Jxz .l J '-"1 J*t * t ", Jr'? , t l 'ln

= "Lm

[f/x )- n:x.] I'n =0.

ln concluzie, dreapta de ecua,tie graltcul func;iei I

y=nx+n=l x+0=x

este asirptgta oblicd spre

x -Jx+a _:, deducem cd funclia f are trei puncte de extrem local dac! lx'+llVx'+l -9i numai dacl tunc1ia g(x)=xr-31..a, g : )R -+ 1R , arc rei raddcini reale distincte. c) Deoarece

(xJ =

g(x)

Observdm cd

="gL(*'-:**u)=t-

qicr g'(x)=rx2 -3 =3(x-lXx+r) ,rta-

^tim

e'(x)> 0 pentru Vxe(-"o,-l)U(1,+o)

(-o,-t]

[l,o)

descrescatoare pe

xz =

, adictr func1ia g este

strict crescAtoare pe intervalele

e'(x)< 0 pentru Vx e (-1,1), adica tuncla g este stncr ,iar g'(-t)-g'(t)=O,adica xr =-l este punct de maxim local ti

respectiv

[-lt]

este punct de minim local pentru funclia gi

Deoarece

g(-1):(-t)r-:

(-t)+a=a+2,respectiy

_. |

g(l)-l'-:.t+u =a-2,

deducsrn

-1

e((--.-tl)=(,tiae(*),g(-t) l=(-".,a+zl, g([-t,t])=[s(r),e(-r)]=[a-z,a+z]$ s([r,-)) -

-2,*) f)educem ctr ecuatia I(x) = 0 ur. o. trddcini distincte dactr gi numai dacd ' \--",u i.2) :+ 0 < a + 2 , 0 e (a - 2, a + 2) e a -2 <0 <a+2 9i 0 e (a - 2, o) o dc:i I l<0<a.2<> 2 < a < 2 <+ a e (-2,2) Jlie(.))

le(r),

= ["

2 < 0.

in concluzie, funclia f admite trei puncte de extrem local dacf, 9i numai 2. a)

Avem'1ttr;,-*'*,

_l cA

tunclia

-'l'l = -,11,-'til' J\

d acA a

e(-2,2)

rezultat care putea fi dedus din stan.

este irnpad, iar intervalul de integrare

[-11]

centat in 0.

b)Avem vol(Cr

obsenii

l_l

g:[-t,t]-+n, e(x)="1t-*'

^ f. l)

f ,_ f, )=n JJ!J\ lf'{x)dx=n _l -t

lll-

x' ldx

= 2n

l{l - x ')a"=znl | | L

4r 'l

374

r "ll

l-l= ll -Jo

esa

c) Observ[m c6, penhu

Vxe(0,1),avem 0<rh-x2

<t+0<f(x)<ll.x" = pentru

J-"*=*

vneN'.

=0<x'f(x)<x"

=+o< Jx"r(x)ax<

Deoarece lim

= 0 , aplicind ,,criteriul clcptclui", obfinem c6

nr@n+l

'f(x)ax = o. o

Varlanta 45 l.

Se considera tunc1ia

:iR

, f1*i = l*:

cI f nu este derivabild in puncttrl xo = I . b) Str se determine numlrul soMilor reale ale ecualiei f (x) = m, un6r m ..,. a) SA se arate

, deci

rlele

Ltl 2.Se considert nca

lTi(f0)*f(2)*f(l)+ +r(n)). tunctia f ,lo,tl- n , ffx) = x2 sinx.

calculeze

a) Sl se arate ca exista numerele reale a, b, c astfel

f(x)

(ax' +b)cosx+cxsinx

incit fun"fiu

f ,fO,ll - n , L z)

fie o primitiv[ a tuncfiei f.

1 b) St se calculeze Ttf

| ;

Il*

\zx )

c) Str se calculeze ada supmfelei plane cuprirue intre graficul funcliei

T -1 g:l o,; l-+ R. g(x)=n-;'z. L zl

fgi graficul funcliei

Rezobdri

[-*-ldu"a*.t tr*--^ l.a)Avem f(.)=]- 1 l]]Aa.a*>r l-^ /x-l\/ 2- x f'(^)=-f:-J =--=-

Evidenr tunctia f este derivabili cel pulin pe

R-{l}

2 penru vx<l.respectiv r'(*)=[t .. lll')'=2-* *o* ." ) e, . 375

= lrmf '(x)=tm?:l= '(x)=lE+= :e respectiv fo(l) "" e' ;.i' .l.;' it

vx>r.Avem f.(1) =1Tf

f,,(rr=--*-=r o (l)

Observam ca

b) Pentru Vx < 1 , avem f

(-o,t].

Pentru

I i I

I I I

I t

< 0 , deci functia f este strict descrescatoare pe intewalul

$i observam ca f

'(x)

?1t

o.n*

f'(x)=?:'}( <0 pentu Vx > 2, adicd funcfa f este strict cresctrtoare

P€

intervalul [1,2] ti strict descrescatoare pe intewalul [2,+co).

Avem,rim f (x) =

deci tunc1ia fnu este derivabili in punctul x0 = I

Vx>l,avem f'(-)

Vxe(1,2),respectiv I

'(x)

=:'r.9{ '*

l. - rl.'-

"\q

='-,,1g

r(,,)

=,1*F = ]1g;

e(r)=\1=o'(')=?=}=.' l,:*=0. \-o e'

(.- )

Din monotonia pe interyale

r(1--. rl) =

"tla+

r 1.

din continuitatea funcliei f, deducem cd

)) = [0,

+..), r(ti,

z]) =

[r(r), r1z;]

^rim-

{0,

"-'?

]

,- .. t .l , r([2,-)) = (rAi1x).r(2)] - (o.e':]. in concluzie, ecualia f doutr

rddicini x,

(x)=m

e(-o,-l)

adrnite o unici solulie xo

x, =2

o.n* -

x, e(t,z) qi x. e(2,"o) daca m € (o,e-'?), rtdacinA reala in cazul cand m < 0

Pentru

m>f (2) = e-2 '

= f (2) = e-t , t ei radtrcini reale

o unica rddtrcina

e(-o,-l)

xo=1 dacl m=0 ti nicio

c)Pentru

e(-o,l)

vx€R-{0,1}, vn€N, n)2.avem

t.:-}-

-#=,+= "i*

deundededucemci

lr.1.l, l'' *'*' n-l

x"-'? (x 2n-2

^l-'

+(n-l)x" +nx '+ln-llx -x-2n 2- +nxn-r

X-X_X

x2 xl

. '-) ={.-*'(.-D.,J -f ,."-r )'-. .J t)'?

_nxn r+(n_t)x',-, x'?"-'?

(x -

t)'z

376

a.tuncr

+r(n)=1.3. .+=

f(r)+f(2)+r(:)+

e2"

2 -nen-r +(n-1)en _

"'"'1e-r)' valul

==fi'-*-$l \ e(e

-l)-

Deoarece

p"n* VneN. n22.

)

x-l= t,n(*-l)'- timf x' ,= lim l, lim =0 si xio x+ae' x-+@ex-r

lim-r-: li-

x+6ex-r --.(""-'l

deducem cd si in cazul sirurilor

l1x(r 2. a)

(r)+ r(21 *

Avem

-*'

-x2

"or*

r(:)

*a*

rin

-x2

x dx =

ft.os

in particular, func(ia

,lt*i

=o,

]T!

O*'

risdlf (' -ff . ?) GT

r(n)) =

Jr1.;4. = J*' +2xsinx

cos x

av.-

- J*t

cos x + z

(cos x)/ dx =

Jx(sn

-*2 "o, * + (*t )' .o, * a* =

x)/ dx = -x2

cos x + 2x sin x

2cosx + C = (-x2 + 2)cos x +2xsinx +C

[4,;]--,

funclei f, pdmitiva care are forma

=0,

^-" 1.,)

x ox =

r(x) =(-x'?+2)cosx+2xsinx (a*2+b)"or*+"*sinx,unde

- 2 Jx'sin

este o primitivd a

=-l

b=c=2

I !1 l( n ?r) .D I il{tl I -rt'sinr . I tl,; tdt =- JZ = --cos tl; =--l cos- - cos- l=-. =-- t,---:--dt = - l-dt lsln 4) 4 2f 2 2J t' 2J r' 2 III

244

Observam ca

gix)= nx - x2

-l -. n;] I =

2x e [0.r]

x(r-x)> x x=x2

n > 2x

> x2 sinx =

377

-: n - x > x . deci

f(x)>

e(x)> r(x) nentru

l- ,l vxel0.:].

Fie

r,.,- = j(x.x)0<x<.:.r(x)<vsg(x)f

='fl o* - *' - *',in *_2t_3n_3*3*3

=:.:--:..::t,o 38

-)*

['+

-+ -(-x'

Aria(r,.r)= -' l(e(*)-r(*))a*=

Atunci

+ 2)cos x

+2-r )-2.:2=::-8 --24 = 12 -r*

- 2x'r

-]:

Varianta 47 1. Se considerd tunc1ia

a) S[ se calculeze Ul Sr

r" urut"

SA se

f : R-{1,-l}

--+

R.,

limf(x).

f(x)=arcrg;!. x- -l

x+l

gJ'icul func{iâ&#x201A;Źi fadmite asimlitotit spre

+co

"e demonstreze cE func(ia f admitâ&#x201A;Ź un singur punct decxtrem local.

2.Se considertr tunc1ia

f :R-+IR, f(x)=6q5)(-1.'1x2. z

a) Sd se calculeze

Jf(x)ax

b) Se se determine

rim-f [r(t)ot. I

SA se

demonstreze.a

r("')a* , ,

J"o

Rezolvdi

Avem x2 - I > 0 <: x e (-co,-1)U(l,o),

<lec1

11--l

"arx"-l

** -

(x) = limarc,nJ-=1. x+l - x'-l 2

= limf x'f " x>l b)

x>l

Avem lim f(x) =

11r,

ur"tg--I- = r",rg

x'-l

Ox) este asimptotA orizontalf, spre

= 0, deci dreapta de ecuatie y =

la graficul funcflei f.

378

(adicd axr

r,(x)=[ar",s-J_l'=-vxeR-{-r,r} ----:o--, ' ' ( " x, -t ) ,*1 r------1' f.r-l l. *, -r,i (*2 _t)'*r -r Ix'-t,/ 2*i; >0 pentru Vx<0, x* adic6 Observtrm ca f '(*)=-; func{ia f este stdct -1, ; +l (x'-l) c)avem

crescitoare pe intervalele

(-co,-l)

(

f.O], respecriv f ,(x)=

-, i1-

.O p"nt u

(x'z-t)- +t

Vx>0,

x + 1, adic6 func1ia f este strict descrescatoare pe intervalele [O,t) 9i (t,co),iar este unicul punct de extrem local al func{iei

f '(0) = 0 , deci xo = 6

:t! 2, ',t I _r)..,.. _[^,-.. . 1.,-; -inn. n*_l-[n), 2.a) Arcm Jr(x)dx=.1[*,*-r*r",,10*=fsinx-x-;-']; - s z z o1z1 = 248

c) Observlmcd f

'(x)=-s;n"*,, >0

pentru Vx > 0, deci func1ia f este strict crescatoare pe

Vx)0,

rntervalul [0,+o) . Deducem cA, pentru

"o,

> 1-

1*t 2

avem f

(x)>f (0)=cos* 1+]x2 >O>

Ficdnd schimbarea de variabilf, x -+ x2 , obfnem

.or{"')>t-l(*'l'=l \ / 2\ | -]*0. 2

v* e ,{. .]o-

=,-l=l-'[.o,1*,1a*r]. [r-1*o r \ ./ dt 2 ) =[^ 10lo l0 t0 j , / l0 I *l'

etunci fcos(xr)a*-

Varianta 48 l.

Se considera

tunclia

a) Str se calculeze

^\Af

R -+ R

, f(x)

arcrinf

(*) 379

2*,

). \1+x',/

b) Sl c)

domeniul de derivabilitate al funcliei f. demonsteze ctr functia fare doutr Duncte de extrem.

se determine

SA se

2.Fietunc1ia

r:[o,r]-+R,

f(x)=Jl-l

qieirul

(a")".*.,

=*i.n'-O

VneN'. l

a) Sd se calculeze

SA se

lxf(x )dx

determine volumul corpului ob[nut prin rotir€a graficului functiei

fin jurul

axer

Ox. c) Sd se demonsteze ca girul (a"

este convergent.

)".o.

Ruolvliri

f(x)=

l.a)Avem 11*-?t-=9,deci lim \ rolt xu b) gtiind cr tunc{ia

2-=+1c>12 1+

tuncliei feste c) Pentru

-\I=arcsin0=0. \l+x"/

ur"rin,[-t,t]- [-{,]l nu.rt. O.riuabils L 2 2l

intervatului de defin4ie

"ur"

lim arcsinf

[-t, t]

, deducem cA funcfia

+21+1= (x

+ 1)2

R-{-1,1} = (--,-l)U(-Ll)U

vx € lR - {-t, t}, a,,em f '(,.) =

fnu

in capetele x,.2 =

este derivabih in valorile

(Lco)

pentru Vx

respectiv

2 '(x)=I+.' ll - xrl l+x'- =-Ltg l+x'

ca f

Vx e (-t,1) , adicA funclia feste strict crescrtoare pe intewalul

descrescitoare pe intewalele

lui x p€ntru

[.*,.[-:+)]'

, deducem

l-x2 2 2 f'(-)=L;T = ,',,1 ift.o

ale

xr.z = 11, deci domeniul de derivabilirdte al

1+ x, 2(1-x'z) l-x2 2 ,, .Deoarece l-x2 >0<>xe(-l,l) = r-i--;T.;---r "-i.:t+x' x'l (r+x,)' lr-x'l |t -

l-x2 <0c>xe(-o,-1)U(l,m)

[-l,l]

e(-o,-1)U(l,o),

(-"o,-1] 9i [t,co),iar x,,,

-tl

p"nt.1.,

respectiv

adic{ tunctia f este stricr

sunt cele dou6 puncte de extreE

local ale funcfiei f.

in plus, avem in mod evident f"

(-l)

-1 + 1=

(-l)

fi(t)=

-t

= fo (t), ceea ce

confirmf, observalia antedoarA conform careia funclia f nu este derivabib in punctele x,., = :1

380

2. a)

Avem

j.r1*io*

(r0

J.Jr_l.,.

-l [

1a^ = nf

jJ'

'fir': b) Avem Vol(C,

f. diviziunii

)= r J (x \' ]ox

I Avem llA"ll =--+0 "^'

1o,

...

)*=- , e-

n- I

. I = tl

)= Jtt*10*

*3 l- 2n - 3Jn 3

intewalului [0,1] ri sistemului

.1 (f /^-

pentru n--râ&#x201A;Źo.deci pirul

le "gX

;

o" = [o : I . ] .3 . \nnnnn)

puncte intermediare e^" = (e*

n'fir - *'

ioo"

' penru catcutarea tnregratei ',

esre convergent gi

F(x)dx

000

schimbareade variauil,

)1..^.

, =

ffi--f

a*..on.io.ra-

q,[0.1]-10.t]. q(r)=sint. ti atunci L

I 2

lcos t .cos t dt =

J 0

!L 2rl+cos2t L . = tcos-tdt= t_dt=

J 2

l[ t+_l sin2r'li._._=_ I r rl _t

21 2 )n 22

4 I

ir concluzie. 3 lim an $i lima,,

sirul {a-) " 4 "-'*' .*')- d[f1*14*=1eR.deci 11pqn

(f.6^

csle convelgent.

Varianta 49 l.

Se considerd tunctia

f :[],-@)-+R. r(^)=

O-1^' x'

a) S[ se demonstreze c] graficul funcliei f admite asimptotf, spre +@ b) SA se determine mullimea valorilor funcliei f.

381

,..

c) Sd se dctermine dorneniul de deriyabilitate al functiei g :[2,co) -+

g(x)

= arccos

f(x)

IR ,

2. Se considertr tuncfiile

f(x)=-+

f :[1,2]-+R,

xr,lx'+l

r:[t,Z]-+lR,

-, ' {x'+l -l r[x,=rn-. xa) SI se arate ctr funcfia F este o primitivd a funcliei f. b) Si se calculcze volumul corpului obfinut pdn rotirea gaficului funcflei f in jurul axa

Ox. c) S[se calculeze aria mul$rnii cuprinse intre dreptele de ecuafii x = funcliei F gi axa Ox.

qi x =2, graficd

Rezolvdrt

til.a)Avem lin f(x)= . , r--

;--2

"-i^

' = 0 . deci dreapta de ecuatie y=0 (adcl x/] *r axa Ox) €ste asi[ptota orizontali spre +co la graficul funcliei i rr

a*.

r,1*;

observdm

timf { = x+4\xr

({-i)' -5-+ =S'z'!) = r(x

'(*)=:lljag:a

screscdtoare pe int€rvalul

0 penhu vx

[1,2], respectiu f

'(*)=

zJx - z) pentru vx € [r,rc)

e [1,2) , adicd fimc1ia feste strict

3(*+4(*-2)

funcfia f este strict crescatoare pe int€walul [2, +s) , iar f '(Z) = este punct de minim global pentru funcjia f.

eu",n

t2 f(t)=4-1 1'=t. r(z)=j-1 . ' -iau=-t' lr

mnotonia pe intervale

a tuncliei {, oblinen cd

r([2,."))

r(x))

[1121,

[-10),

pentru

, 6s unde deducem

f([t,2])=[f(Z),r(r)]=[-r,r],respectiv

deci r([L =

-))

= r([L 2]U [2,".)) =

[-r,r],

adicd

rnr

[-11]. , f(Z)

c) Am ob[inut ctr functia fest€ sEict crcsctrtoare pe intervalul [2,co) = O, 6s un6e deducem cd

Cum tunc1ia arccos

arccosf(x)

[-t,l]-+

[0,

-l < f(x) < 0 pentru este derivabih pe

(-L l)

este derivabiltr cel pufin p€ intervalul

, deducem ca .

in continuare, studiem derivabilitarca funcfiei g in punctul xo = 2

382

-t

Vx > 2.

(2,r@)

s(x)

ctr xo =

lim f (x)=0 9i' folosind contiouitatea

"rim

r([r,2])U r([2,-))= [-r,r]U [-1,0)

lirn f(x)

vx>2,adict

tunclia

Pentru Vx > 2, avern g,(x) = (arccos f

(x))i

:(x'-+)

, f+-:*')' ' I----1

--+.

(x) =

'-:^'++)(*3 +:*'z-+)

\x-.)

:(*'-+)

:(^'? - a)

Observlm cd lim f

i'fr"

( 3I

'(x) = lirnl-t^'-:f:l-F

----f.:

xVx'-l

Pentru

Vx>2.

t r(^' 'ry ' decr tunclia s este derivabiltr 5r in z

punctul xo = 2 in concluzie, domeniur de derivabiritate al funcliei g este infegul sau domeniu de definitie co) . [2,

2.a)Avem

't'

I l'/^"r I= x I =-+x Jx'?+t-i'l )

r1x;=1r"1!'-i1l

(

J',1r-r * *'-J-'-l(,'['-l =

este o

-;ffi-

=;ffi |

: t(-)

pencu vx e [r,2], deci tuncia F

primitivd a funcliei f. 2)l

b) Avem

vor(c,)

^F, I

(.)d*

=,T

I-+_* i x'(x" 1.) +

(

" t\fl

I*' __!l* x' -t )

fr f' = trl-,r- arcte2 + t*.aerJ='[, \ /r *i, - arcte2).\ =nL-;-*.t*], c)

Avem F'(x) = f(*;

intervalul [1,2]. Deoarece

r(x)

r(z)

O pentru Vx e

r1z;=

rnâ&#x201A;Ź1.6?

-$ xv x- +l

= r(x) < 0 pennu vxâ&#x201A;Ź[l,z].

383

[t,2], deci tuncla =

r,=0,

F este stnct cresciroare

deducem c6

Fie rF = {(x,y)I 1 < x < 2,F(x) < v <

,.'"2' =

- Jx'r(x)o.r

--F(lc)li + Jxr'(x)dx

r,(Jtl. i.*- -, lJ'.nt (Jt

,,j- " -rX:..6)

=rt'-

jr(-)o*

Atunci Aria(r,) = f r1.1l a- = -

-zln

{'i'

(Jz-r)(:-.fs) (Jz -txr *vs J *r"(.

*n(Jz -t)+ Jxr(x)dx

*r;1'

(,-'Jz)(rr*s.6) (J'-4(l.J-){'.6) ,i(i;Oj ,=t ,.rfi#=r' =,' .r r.f _,"

Varianta 50 1. Se considerd

funclia f :lR'

a) Si se calculeze

b) Sd se calculeze

-r

f(x)= x sinl

ItSt(*) f'(x) , x e R''

f citre c) Si se determine ecualia asimptotei la graficul funcliei 2. Fie qirul (1,

',, vn = x' )".*. , I, = J(r - *t )' a* ,

-r

a) Sd se calculeze

Sa se

Ir.

verifice relalia In.l

z\tJ

c) s6 se demonsfteze ca eirul (a" ),.n. ' clefinit prin

vn e N' ' are

t++'

limita 0. Rezolvdri

e4:

t-i]= 1. a) Avem .inl. [-1,4 pentru vx e ]R' , deci l'$t(-) = lt:]l/

b)evem f '(x)=[x

| | l\ .'"+,) =*'.,nI**

| | =''i-;*'i l'*]j

c)Avem,lim f(x)=_\%1*

r\'

!) = ,,l,. "11 =,,-r,n, ''n-r-ls I =i,ld t =-^'*", r,

asimptotei orizoriale cdtre +oo la grahcul funcliei

384

pentru

creci y =

VxelR'

este ecuatia

li:

r,=

2.a)Avem

Avem r"*, =

l.f =

- J *l("

i{'-*,)'a*= i(r-2". -*. 1o*=f^ i-,.+l'

)"-' o- -'i^,. 1, - ^, ;".' u- =.1, - -, ;".'1'' r-l -l _r I * r)( r - *': )" (-2x) = -z(n + r) --, )(t - -' )" = J(

i(r,., -l

iax

r"., =-z(n+r)(r,,-,

-l

^ z ^z+-z = to z--. 3 5 -15

- ,lx.lt,(l - x, ) idx= l-

?I1?y" pentru vneN.. = r,*, = ..] lrrln I ' c)observamca ,"= J(t-.,)"t*= Jllclr"-{_*,)* lo*= Jlll_,t-.1",- l= _t llk=o I rlk=tI rn n f-.:r,rlr ) r ,rk-k (; " x-"'l I.

-t.)=

(zn+r)r"*r

= (2n +

2)t"

l--2i(-r, =f1-ryrci -. '' '"lzt*rl_,)='2 ' 'l [*,*a*=i{-l)kcrl

ft'

,*, =-],zan:)an --rn'pentru

u=oz-'

VneN'. I

avem t,,

=ft-x'z)"ax>o

Din relatia de recurenu

pentru Vnâ&#x201A;ŹN',deoarece

l-x2 >0

tu., penru VkeN'deducemca 'u t -=$J?1, 2k*,

pentm

vxe(-t,t)

2k+2

' !,r tf-=-LJ''=tr.-' 'tl.

pentru Vk e N' , adica girul (In )".N. este strict descrescAtor. Fiind strict descrcscator fi m[rginit inferior, deducerq conform teoremei lui weierstrass, cd girul (In ),,.^. urrgent. Fie a = lim I", aelR.

"rt" "ot

Deoarece I,,

7n e

N'.

9i I"*, <In pentru VneN*,deducemcr

Presupunem prin absurd c6 a

+0,

aâ&#x201A;Ź[0,Ir)9i

pentru

ceea ce implicd faptul cA a > O.

)k +')

iir, = (2k +2)(Ik -Ir*,)=Ir.*, >a=I* -r1*, tu ;uf ,ot.x'. e*n.i itr1. - r*,,1rui;]; - rr -tr.r t:t+ 2ftk+l penku vn e N- , ceea ce este ff' fr2k+2 -{vem [u*, =

evident imposibil, deoarece I,

- I,,rr

< Ir

-x'Jdx=-.iar lim = J(t ->rt 3

"--Lk+l k=l

-l

J6)

=--

t;.in

(n\ ipoteza ca a > 0 . implica faptut

|Ifr

,tim |

\x=r)

Deducem ca a =

si atunci oblinem

I* [1I-"') = 1 ." = .0 = o n"-""- = n-.\2 2 2

cd lim

Varianta 51 1. Se considera tunc1ia

a) Sf, se

f :[l,co)-+[l,o),

calculeze,l1g(.

b) SI se arate c) Sd se arate

^, , x2-x+l r(xJ=-

-r(*))'.

ci firnctia feste shict crescetoare. ci tunctia feste bijectivtr.

2.Fre a,bc R pi tunc1ia

F:R-+R. F(*)=.11*b'*'l

[n'x+l,x>l

a) SA se determine nurnerele reale a g! b astfel incat funclia F sI fie primitiva unei funcfi

b) Si se calculeze

JxF{xl \/-

dx.

c) Sise arate ctr, pentru tunctia

Jn{*)r"1*;*

tr;[t,r]-+n, h(x)=(F(x)-t)sinx,

are loc relaga

Rezolvdri 1. a)

observ6mcr

Atunci

f(x)=I'?

-I11=*-l*1+ x-r(x)=r-1

rim(x-r(x))- = lin'f r-1] x+@\ x)

b),rvem f

'l ,=1. *) ) =e e

1;"ffr-1)

,-"1\

'(x)=(x-'.+)'=t-i =.i, I p**

Observlm ctr f

'(x)=::-----tP

pentru Vxâ&#x201A;Ź[l,co)

pentru Vx >

vxe[r,o).

deci functia feste strict cresctrtoare pe

intervalul [1,o) . c) Am aritat deja cd functia f este strict cresctrtoare, ceâ&#x201A;Źa ce inplictr faphrl ctr feste gi

386

Avem f

. (I

)

l2-lrl ' = -----l-- = I . lim

"2-'rl

f(x)

= 'o' fi. deoarece fimclia f esle conlinua

]'T::-

ri strict crescatoare, deducem cd r(1r.-1)

=[r1r1.liif(x))=[],-).decifunctiafeste

injectivl9i suiectiva, functia feste bijectiva. 2.a) Func{ia F este primitiva unei func{ii f dactrFeste derivabild 9i F'(x) = sudectivA. in concluzie, fiind

f(x), VxeR.

sI fie continul pe R , observdm ca F Fste evident continuA pe fiind construitd cu ajutorul unor funclii continue elementare, iar continuitatea in punctul - {11 ,

Deoarece este necesar ca funcfia F R

xo =

-{vem

impune ca F, (t) E,

rd (1) = F(1)

(l) = lim F(x) = lrrn(ax + b) =a+b, x<l

F,i(1) =

x<l

limF(x)= [m(h'] x>l

+t) =r,

x>l

r(t) =lI'?t+t=t,deci 4 (1)= Fd (1)= F(1)<r a +b = 1 De asemenea, funclia F este evident derivabild

F'(x)=(h: x+t)

respecrir

.lvem r, (t)= trmn'(^)= '

x<l

IrT "

) tn. ''j^ =

pe R-{1} ,

$i arunci

a. respectiv F.(l)=

a+b

1-$" =s,4""1 EF'(-)= x>l

-l-+b l.

ia concluzie, funclia F â&#x201A;Źste primitiva unei func(ii f dacl gi numai

o*-

ffi

= arctg(ln

e)-

:) Avem h(x) obsewdm c6

-{tunci

0,, =

j4*4.,, - i#!-*

a'ctg (lo l1 = ur"r*t =

(E(x) - r)sin x

- ur",*o

h(r) =(h'?n) srnn=(rn'n)

h(r). h,(r)-h(r) h'(1)-

fih

o-o

"rcte(rnx)li

(t"' *). rin *

(x)ll

n,{*;;' u)(.

387

b=I

pentru Vx e [1,n]

rr(r)=(r'r'?r).sinl=0.sial=0.

(h ) (x)dx = h(x)h (x))'] dx = -

daci

= (tn'? x + I - 1)sin x =

lh(x)h"(x)d.: Ih(.)

pentru Vx<1,

pcntru Vx >1.

x<l

[(t)=Fo(l)=a=0

F'(x)=(ax+b)'=3

r' Jr' 1*; 1*;a* = o

Varianta 52

I. f(^)=]*tin;.xc(o.t].

t. se considera tunc1ia f :[0.1]-r R.

[0,"=o a) Sd se arate cd func1ia f este continua pe

[0, l]

b) Str se determine domeniul de derivabilitate al functiei c) Se se arate c5, dactr n e

N',

atunci ecuatia

f(x)=

ge5

f."

are cel pufin o solufe in

ir,te-urut[ 1 .1).

\n+l n/

2.Fie tunc{iile f

:[0,r]+R, r(x)=rn(ra*:)

ei g:[0,1]_+R, s(x.,=xarctgx.

a) Sa se calcuteze

Jr(Jl<)ax 0

b) Sd se calculeze

Je(^)0" 0

. c) Sd se calculeze aria suprafefei plane marginitA de graficele funcliilor dreptele de ecualii x=0 si x=1.

fgi g pi de

Rezolvdri 1. a) Evident .in

[-t,l]

pentru Vx c [0, tl. Oeci lim f (x

x>o

)

lim x sinl - 0 - f {0). - \_0 adica , X ,

x>0

functia f este continua in punctul x0 = 0 . pe de alttr parte, funclia continua

in Vx e (0,t] , fiind

b) observdmci

r(^)-{(0) x-0 =rrrrn

exemplu sirurite

(*" ),,.*. ri (v" )".*. , *.

+0,

6,6u,

,ina

"lim adictr funcfa

nu are limita pentru

5in2nn = 0 --r

= xryn22

0 9i

x-+0, ,

x>0,deoarece, lu6nd avem xn

este derivabild in punctul x0 = 0

388

>0, y" >0,

sinl=r611at=sinl=t

/rim xn* liAsina, Y"ceeace implici faptul ca /limsinl,deci I;' ,,' -l#

fnu

este evideni

sin-a

adicr

x51n

construita cu ajutorul unor funclii continue elemenrare.

in concluzie, funclia feste continua pe [O,t]

x,,

f(x)=

+1.

i1i' x-o

j-(1)_

Pe de alttr parte,

pentru Vx

E (0, 1l ,

functia f (x ) =

1 5;n

este derivabila,

fiind construittr cu

aJutorul unor functii derivabile elementare. c) Considerlm funclia

Pentru

VneN'

g:(0.1]--+R. g(x)= f (x)-cosl =

xxx^rinl-.or1. /r\ avem gl --l- l--(n+l)sin(n+l)n-cos(n+l)r=-(-t)"-r =( l)" 9i -\n+l/ '

t[i] = ','. "', - "os nr = -(-1)" = (-r)'-' observimcr

-l]l=t-r)" (-r)"-' = (r -)'"t' =-l<o ti, cum tunclia g r[=!l \n+l/ \n/

rcntinua, deducem

=f(x,,)=se5

ct r.,, .

( 1 r\ [#,;J

, adictr ecualia

astfel incdt g (x,, ) =

f(x)=s65a

o,+ r (x,, ), se5a

are cel putin o

solutr"

"".[;|,]J,

este

I n."*

;neN'. 2.a)Avem

+ r)

jt(V;)*

n(r + x)l'

= Jtn(r**)o* =

,. +

fi**r)' n(r**)a*

r)[r"(' + r)]' dx = 2 ln 2 -(x[

)

h 2 - r.

ir Auern

Ie(x)dx = I-

-"r- * = j

:, Considedm funcfia h : l] [0, -rrem h'(x)=

obtervam ca

+ x2

+ R, h(x)

[xarctex-h(r+x'?)]'

i'1*1=[u,.,g*

J(l

arctgx dx =

= g(x)

"..,**

jrl l{ x. / = r-! rx" :+

- f (x) = t ur"tg* -h(l *

. "t )

*,*]-, *$ = ur.re" -#, vxc[0.r1 =:+pennu '

(r+x,). (r**,;,

t "1*1=

2*1,,

, + x'J

t 0 pentm Vx e (0,11 , deci tunctia h,

este stdct crescatoare

mtervalul [O,t]. etuncl

tr'(x)> tr'(O)=

O pentru

389

e (O,t] , de unde deducem ctr func.tia h

este

sffict crescdtoare pe intervalul [0,1], ceea ce implica faptul ctr

h(x)> h(0)

vxe[o,t]. Am oblinut astfel ca tr(x) =

(x)- r(x)> o = f(x) < e(x)

rie r,., ={(x,y)lo<x<t,f (x)<

vxe[O,t].

pentru

e(*)} . atuo"i aria(r,.,)=

i{*{')-r{-);0.=

l-..1' *"'.te* - t"(r *

-| =

"-4 - [-L ",,'

-'))0"

-11-

J*'1"(r

* *')a* =

-., /ro ]l' -'t[r"{,\ * *])l' d,l = 4't ) 4 dL

(r---.1 - lo*= =n-2 4 -tnz, z t+x')

n-2

h 2*

z'[-{6. rlfx,

-lnz* 2l* - *"te*ll =

4,2-ln ,*r(r-!\= \ 4)

- ---ftl2+-.

Varianta 53 1. Se considerd func1ia

(-2,-)

f :R -+ R, f(x)=

-3*

9i un numlr real m din intervalul

a) Sd se determine puuctele de ex$em ale func{iei f. ;

Sd se demonstreze cA

ecuatia x3

-3x

c) Str se deterrnine nurnlrul punctelor de inflexiune ,

c(")=

r'?

(x)

2. Fie func{ia

f :IR'+lR,

r(-)={-:-'-to^ lslnx,x>u

a) SA se arate cA funcfia f admite primitive pe

1R .

b) Si se determine primitiva F a tunc{iei fcare are proprietatea F(0) =

-1.

i-..

I t

(t,o) . ale graficului funcliei g:R + R,

= m are solutiâ&#x201A;Ź unic6 in mu\imea

c)Sa

calculeze

liq! i>0

Jf(t)dt ,

Rezolviri

3x) =31:-3-l(x-t)(x+l) pentru VxeR. Observf,m cd r'(x)=l(x-t)(x+t)>0 pentru Vxe(-co,-l)U(l,o), deci tunc1ia feste strrr crescdtoare pe irlervalele (-o,-t] li [t,m), respectiv f '(x) = :(x - t)(x + t) < 0 pentru La)A\em f '(x) -(x'

390

Vx e (-1,1), adicl funclia feste strict descrescAtoare pe intervalul

'(-t)

[-t,t]

, iar

f'(1) = 0 , de unde rezultd cd x,., = tl sunt cele dou6 puncte de extrem ale funcliei f.

b) Am aritat deja cd functia feste strict crescdtoare pe intervalul (1,.o).

-3.r=-2,lTf(-) = lTg("'-3x)=+-,1un.r'u feste continud $i strict crescatoare pc (1. r.o).deci i((1..{)) =(rf't f(x)) (-2*) , Jg Avem f

(t)=1r

Deducem cd, pentru

Vm€(-2,"o), l!xo €(1,.o)

astfel incat f

fiind dat6 de inj ectivitatea restricfiei funcliei f la intervalul consecinta faptului c) Avem g

(xo)=m,

(1, co) ,

unicitatea soluliei

irjectiv(ate care este

aceasta restrictie este sttict crescdtoare.

(x) = f'z1*;= (*'

-1")t

= x6

-6x4 +9x2 pentru Vx € R.

Atunci g'(x) = (x6 -oxa +9x'?

6x5 -24x3 + l8x, s"(*) - (o*t 24xr + l8x)' = )' = =30x1 i2x2 +18=6(5x4-12x'?+3) penhu vx€R.

=y, y)0,ecua1ia 5xa l2x2+3=0 devine 5y: -l2y+3=0,cu 6i ^solufiile yr.2 =::f .10.-;. de unde deducem ctr g'(x) = o(S'1 iz*' *r) = Folosind nota{ia 7i2

:o(x'?

:o(. - Jr, )(x': - v, ) =

Ubservdm cA xr z.r,r =

l{}r.:

&ecerea prin fiecare, de unde

)(". Jt)(.

Jt)(' * J[)

sunt rAdAcini reale distincte gi functia

rezulti cd

g" i9i schimbi

semnul la

xr.2.1,a sunt cele patru puncte de inflexiune ale

graficului funcliei g.

2. a) Evident cA functia feste continutr cel putin pe

R., fiind construiti

cu ajutorul unor functii

contlnue elementare.

Arem

f.(0)

Irmf (x1=

tim,{xe')-0. f (0) -0

x<0

-0. fd(0) limf (x)= tjnr51nx 6. x>0

t(O)-fu(0)=f (0), adicd tunc1ia f este continui $i in x0 -0. in concluzie, feste continud pe R, de unde deducem cd functia f admite primitive pc

deci

Deoarece

( Jsin

, Jlxctdx Jf"{.'l

xe'

Jx'e'dx

xe' e'

R..

C. tcspccttv

dx = - cos x + C, deducem ci o prinritivi F a functiei f este de forma

f."' e\+a.<o f(*)=j -- ' . -"' ^ ".unde

[-cosx+b.x>u

derivabili in puncnrl xu = 6

parametrii

a,bein

391

sunt ale;i astfcl incdt primitiva F

sifie

Avem

\(o)=1p1p(.)=93(*--e-+a)=a-1, x<o

F, (o) =

F(0) = 0.

s0 _ s0 a a =

x<0

l$F(*) = lq(

cosx +u) =

u-1, deci F, (0) = F(0) -

(0)

I = b _1

x>0

3a=b=k,unde kelR arbirrar, decr primitivele sunt de foro" f*1*) Observdm

(0)

primiriva cautau este

1, 6."1

& (0) = -l

- I = *,

- -

O, O"

{*. -e'+k.

x<0

*';.:;1:

F:R +R. F(x)=eo(") -J*.' e^.x<0. [-cosx, x > 0

f :R -+R, f(x)=e"_x.

consideri tunc1ia

a) SA se determine punctul in care tangenta la graficul funcliei feste paraleld cu prima . bisectoare. b) SA se arate cA valoarea rninimi a functiei feste 1.

c) Sdse arate

ci funcfia g:R -+R. e(x)=n/i1xy 1

I I

2. Se considerd tunctiile

l,r

f :(l,co)-J R, f(") =

"+dr

ir--r

nu este derivabila

in xo=0.

g:(t,o)-+R,

"t_l l

c(.)= J .,[J *r a, a) Si se calculeze

f(3)

g'(*)- 2,*' , vx e(l,oo). x2 -l' c) Si se arate ci s(x) = zf('), Vxâ&#x201A;Ź(1,"o). b)sasearareca

Rezolvdri

I t

punct (xn, f (xo

I I

a) Se Stie cA pdrna bisectoare are ecuatia y =

))

la graficul tuncliei f are panta

9i numai daci auaceea$i pantd, adica f ,(xo)= t.

91Oun,u m

f'(xo ) , iar cele doud drepte

I I I

- l, respectiv ca tangenta intr_uo

392

sunt paralele da:l

.lvem f '(x) =(e-

-*)' ="" -l

penau

VxeR, deci f'(x)= 1e

ln2, iar f(xo ) = f(nZ) = et"' -ln2 =2-1n2, (xo,r(xo)) = (tnz,z - rnz). <> x0 =

b)Avem f

'(x)=e-

-l<0

-1= t <> e" =2<a,

deci punctul cautat are coordonatele

pentru Vx < 0, deci funcfia feste strict descrescdtoare pe intervalul

(-co, 0], respectiv f

'(x) = e" - I > 0 pentru Vx > 0, deci functia f este strict cresc6toare pe htervalul [0, "o), iar f'(0) = 0 , de unde deducem cd xo = 0 este pundt de minim global pentru

tunctia

adicd

-l

f(x) >f(0)

c) observdm cf,, penrru

pentru Vx e

vxâ&#x201A;ŹlR',

1R, ceea ce

g(-)-g(o) ,

x-0

implic6 faptul ca

uF-"

\vem

riqL]1=rs!fl=g,- =j1*#-

c,{o)

e(x)-c{o) .tr_rl=,,,r1[ E =liT=-;l,$:* ,,0, 1r / _r_ r.0

r.0

x>0

Observim cd C, (0) = riunctul

xo=0.

!.alAvem r{r)=

ii,"

t /r r\ | l= I +-ln2 \2t)

=l1--lnl -.2 'rtevem

# #

6"=

1,6."1

i-,,-.@- ! r-oY x, JZ

c; (0),

de unde deducem ctr functia g nu este derivabild in

dr- j!--.11-Lo,

I'.*,;.,=f,,

jr-1,-

(. ^,-t ta

g'(x)=l

\.0! Y \ ^,

J"-* ri-4"]-r.1q-, e,(o). ' \.0 \,0 x-0 x x>0

mrnf(x)=t.

=J,.''*., t; ^l;'-'..] I

vx â&#x201A;Ź (t,.c).

393

["+)'

uF'

;

c)observtmcd r.

,'1-1

- ,'l' , o.n* vxc(t'':o).deci f"f ['[,'0,'J I lit' J x--r

- rr'(x) > g'(x) - zr'(x) = 0 pentn vx

constanta pe

(1.-).Penmr

â&#x201A;Ź (1,co), adicr tunctia g

este

or-

r? r

2 avem ln"

- 2f

- '=lnl-0'deci

g(2)=

Jt/3e'+tat

-o'

ta:

71 f (2)

[

dt = o. deci

g(x)-2f (x) = e(z)-zr(z;

o-2

0=0

g(x) = 2f (x) penu-'

Vx e (1,o:).

Varianta 55 l.

Se considerd

tunc1ia

calculeze

-' R. f (")= il' -3* ' 2

f{xl

lim{ x+t x _l

r<l

b) SI se determine punctele de extrem ale funcliei f. c) Sf, se determine domeniul de derivabilitate al funcliei f. 2. Fie tuncfia

(1,.o)

, r(-)

=:;=f,-..,., x(x+rJ(x+2,

a) Si se determine o primitivA a functiei f.

b) sa se demonstrcT..a

irlt;or

*:l . v*. It.-)

c) Sa se calculeze

l--t;d* JI+I

Rezolvdri

r;--.,:,, ^, f(x) .. {/(x-l)'(x+2} = La)observamca *r-3*-2=(x-l)'(x+2).deci liT;j= ltT _{

f(x - r)': (x--+ z) = ltm ll_--

ll'11

-t)'

394

R-{-2,11 ti r'1r,1=(t/it

-:..2)

(x'-3x+2)

(x-t)(x+t)

x+l

l{("'-l**z)'

1.-ryffi..zf

b) Funclia feste derivabild cel pu{in pe domeniul

Observam

cl f '(x) =

x+l

tG-)(^-'

cstc strict crâ&#x201A;Źscdtoare pe iniewalele

>0 pentru Vx

e (-co,

-l)U

(1,

fifx.;f "o)- {-2} , deci tunctia

(-o,-t] $ [l,co), respectiv f '(x)=

pentru Vx e (-1,1) , deci tunc1ia feste strict dcsffescdtoare pe intervalul deducem

cI x,., = 1l

r |

= ln

t''=

i"_,=-t

lr(x)dx=

t/i"tX*;t [-t, t]

, ae unde

= +oo, deci nrncliaJnu este-derivabih in punctele {-2,1}

In concluzie, domeniul de derivabilitate al firncliei feste

Atunci

x+l

sunt punctelc de extrem ale funcliei f.

limf'(x)=rrm-$ :;' l,i'{(*-r)(x+z)'?

u=;(xf

R-{-2,t}

' .l =l.oeci r(x)- 1.1- I *-L ', 2x x,t 2 x-2' 4**,11"__, 2

(; + *.;

=J-6*-1,,1,*r)+ln(*+z)+c=

*)"=

.[G.r)

-!-l------- r C pentru vx e (l,o).

b) Observdm ctr, pentru

Vt>l,avem t+l>2 ti

t + 2 > 3 , de unde deducem ca

I I=f,-l s1,6..1 .--],----=1-L t+l 2 t+2 Atunci

F(t)dt= t.

clevem

-2

t(t+l)(t+2) tt+lr+Z

^,'

I(,*,iu-ta..

f<1,

.r 11=1

23 6'

.- v-l j|*=|I ,li=?-

"el

, '- {"')'

Jr{,y*.1--t,

J-{=ax=f,,it*("r)[-\:-] " d.=l-"r,.'li=]-"er=] dr+x, 395

;=;

vxâ&#x201A;Ź[r."o).

ipoteza

ca lim

0, implica faptul

Iel-]_l=-,-. | 2-k+t )

Deducem cd a =

$i ahrnci oblinem

/t \ r ci lima" = t16l:I, l=; n-6\z ./ z

u=;0=0 z

Varianta 56

considerltuncr'

r,m-{-1} --'R.

f(-)-#:

a) SI se determine asirnptota la graficul funcliei f spre +co a) Sa se determine limita $irului (u"

)"r,, u"

f(l)f(2) ..f(n)

c) Sd se determine punctele de inflexiune ale graficului ftrncliei g : R -+ R

I I

2. Fie tunc1ia

f ;[l.e]+ R.

' g(x) = f(e'

t(x)=Jlnx.

a) Sl se calculeze

lfle" ldx.

J\ 0

b) Sd se calculeze volumul corpului ob$nut prin rotalia gaficului funcliei

fin jurul

axei

le c) Sa se arate

cA le^ dx + lt (xrox JJ

Rezolvdri 1. a)

Avem

(-)=

dreapta de ecualie

$;#=;,"ci

,l1xf orizontaltr la +co pentru gaficul finctiei f.

,L+5

b) observdmca

f(k)=:=>0 Jl(+4

Vn e N- , adictr girul (a,

)"r,

pentru

VkeN',deci

a,'

este asirptottr

=f(t)f(2) f(n)>0 pentru

este marginit superior'

2(n+l)+5 2112.1 o.n* r(t)r(z)...r(n)i(n-l) ttn+ll dn-r --j_l:;.;/.:.j--;'j-\--= ,,, =--- -:= ",'t" ' 3(n rl)++ 3r,+7 I (l,r (r.,. r (n, an

^ -_- :ll1= Avem I

Vn e N' , deci girul (a. )n,, este strict descrescator' rezultd, conform teoremei lui Weierstrass' $irul fiind strict descrescdtor 9i mirginit inferior, a=nhman )0' este convergent. Fie a=.111a. Avem an >0 pentru VneN',deci Presupunem ca a >

an-l

lim n-a

0. Atunci

,lg;

1i1n!)'-L --1: l. = n--Jn+7 I

' "eea

ce contravine observa{iei

Deci a = 0, adict lim.an

'--

396

-0

g(x)=r{s\lt'Je"4",

*'.

*'(-) *'

VxeR.Avem

1',.:l \le'rlJ

=_i

vxeR,qi

(re^ ++)'

"' | - ; .'{-le'+41 2l a\ / ,\ -*(:e't+) --f- ? (re'ta) ' [(*'*a) ] --i,e'--r.VxeR.

g"(x)- ;.i Aruncr

.=.' {-o=*oirr,'1 + |,"'-1..]=o " I :l 3 (l'*+1't

g"(x)-0ce2l

Observimcd ,, <xo

+g"(x)<0

9i x > xo

= g"(x)>

0, deci xo = hr1

este singurul punct

de inflexiune al graficului funcliei g.

I 2.a)Avem

r(..)=.I;J-Ji,decl

lr(e')dx

00t0

xdx = n[x krx b; vol(c, ) = n (x)ax = n f'? Jh

^ lll

=i-1 =i

Jfio.

-x]i = n[(" r'e -e)-(1. ln1 -l)] - r,

unde

.ei

am folosit faptul cunoscut

Jhxdx =

J*tt^* =*"*-

J* 1tn^f-Ot -

=*h*-Jd*=,,lnx-x+C. o evem

Je"dx

oooo J."a"

J" (.'' )

'. Jzx'?e''ax.

aeci

a:[0,1]J [1,e], 9(*)

si i(,0(*)) =.1G,p(*)

fiF=t.

,p(r)

J2x'?.""'a* oo,(0)

le' dx+ l2x'e' tl

l. o(l)=e. a (x)-2x e' = Jr(,0(*)).0'(x)ax

= J r(')ox

Jr1.;o-,

deci relatia

lâ&#x201A;¬

ll 00

.rl

*.' l"

= e . Considcram schimbarea de variabild

Jz^'.".t*

^*- r,0) Atunci

J*,e^'a*

ara . le' dx li(x)dx - e. ceeaceamaratatciesteindeplinit =e derrne JJ 0l

397

varianta 57 l.

f:R

Fie functia

+LQ,

f(x) =1'?11.

ci girut (x"),,,, definit prin x'

a) Sf,se arate

5i x"., = f (x,,

). vn 2l

are

limi

;

s:R -+R,

b) Sdsearatecdtunctria i

lxf(x), x- -' -(-)=t;;";i:

c) Sd se determine cel mar mare numtrr

t"rl u .ur"

estederivabildpe

ar" prop,i.tatea f (x) >

+ 2ln x

Vx e (0,o)

2, Fic tunc{ia

-'R.

: lR

f(x)= c-' giFoprimitivdasa.

lxf{x)dx.

a) Sit se calculeze

I I

.. F(cos x)- F(1) llT I g:R +R, g(x)=n(1)+f(x) c) Sa se arale ctr func1ia bJSl

I :

calculcze

are exact un punct de extrem

local. I I

Rezolvriri

-f (x,,)-x; +l >0. deunde deducemci x', >0, Vne N' =xi+1>2xn >x pentru VneN"dccigirul (*")nr, t't" strict crescator'

LalAvem *, Avem x,*r

=1t0

5i x,,.,

Presupunind prin absurd Weierstrass, .A

(*" ),,r,

(x,, ),,,, este mtrrginit supedor' ar rezulta, conform teoremei lui

este convergent, adictr

Trecand la limitd in relatia de recnrenta x,,*, este absurd, deoarece ecualia

x2 x+1=0

lx â&#x201A;Ź R astfel

incat

=xl +l' V'eN"

,1I1

*" = *

oblinem x =x2 +1'ceeace

nu admite Iadlcini reale '

in concluzie. presupunerea initialS cste falsi' deci Siml (x,' ),,,r nu este mdrginit superior, unde rezulta ca

,lT1*"

*Il

b)Avem

g:R.->R, s(^)= '

+x' x <0. larclcx. x>0

Restriciiile lui g Ia intervalele

(-"c,0) 9i

(0''r

sunt, iu nod cvident. indefinit derivabile, deci rdmAne de discutat doar componarea functiel

-q

punctul xo = 0.

Avem linr c{x), - lim ixr +

'-.,'' \<0

=o=g(o)

ei lrm

e(x)

'..n. r<0

este continui in Punctul xo = 0

398

linr arctgx - arctgo ' 0. dcci funcn:

o"",",i3{lg = iS+ x<O x<O

= um (x'z

r) =

x<O

tuncliagestederivabilainpunctul xn

I*+=CI) = g3rer

= 1, 6""1

x>0

g'(0)=t.'. r,",

=]!j

., l.* *t

(x)-2lnx, Vx e (0,"c) Considerrm funclia h : (0,"o) + R, tr (x) = f (x) - z rn x = x2 + I - 2 ln i c)

Avem f (x)> a+2lnx <r

Avem

a<f

*2 -1 Obsewtrm cd

h'(x)=zx-t ;=, T

h'(x)>0

h'(l)=0, h'(x)<0

pentru Vxe(0,1)

pentru Vx €(1,0o), deci functia h admite un Punct de minim global

Avem h(t) = l'z + 1 - 2lnl = 2 . Din a <

h(x),

a< min.h(x)> a32,iar max{aenla r€{0.-) ' '

in x, =1.

pentru Vx € (0,"o) oblnem ctr

<Z} =2.

in concluzie, valoarea c6utatf, este a = 2.

2.a)Avem

Jxr(x)dx= Jxe

,lr ,rr dx=-lI(-.').."'*=-+. -'l"=-I1.-'-11 ='-r

b) Aplicdm reg;ula lui l'Hospital:

gtt$S

[E(co'*)-r(r)]'__

(*')'

=**lks+-i)= -i'ru=-i .-' =-* c) Avem

g'(x)=(E(x)+r(x))/=r(x)+r'(x) =s "'-2x .-" =(r-zx)e-"" VxeR

observamc6 deci xo =

r'(+)=.,e'(*)'o este

"^.(-*i)ei

g'(x)<0

pentru

vx.(j ")'

singurul punct de extrem local (mai precis: punct de maxim global) al lui g.

rl iei

pennu

Varianta 58 1. Se considerd

funcliile f

a) Sa se calculeze

:R-+R, f(-)=#

g:R->R'

trmit(xte(x)).

deiermine punctele de extrem local ale funcfiei c) Sa se arate ca S(x), n""t- orice x e (0,o) .

Sa se

f(*).

399

g(x)=arc1g;1

t,-'. '' ".to '-}.':lrl

2.Fie meR 5i tunc1ia r:[o.z] -+R, f(x)=.{

a) Str se arate ca, pentru odce m €

tr.rl

R, firnctia este integrabilA.

Itlntdr b) Si se calculeze lim-l

xJt x_l x>l

c) Pentru

m=l,sdse

demonstreze ctr, pen&u odce

te(0,2)

exista a,b e [0, Z]

, a *U,

asrfel

incir [r(*)c^

Rezolvdri

(u-" ]r(,].

1.a) lim(f (x)s(x;)= '

btnvem

(" \ ri-l-I-.ar.tg*lr+@\l+x-

\r+x')=f+, l,^,

r'1x1=f-J .I ' ci f'(x)<0

" tirn --* \-ol+x-

timarcrgx=0 \+a

+=0 2

vxeR.Atulci f '(x)=og, 1-*z =0<+

xr.z =11

Vx€(-l,l),deci functia feste strict descrescatoare pe fiecare in parte dinte intervalele (-"o,-l) ti (L"o), rcspectiv stdct cr€scatoare pe intewalul (-1,1) , deci xr = -1 este punct de minim local, iar observdm

x2 =

este punct de

maxim local pentru func,tia

c)Fie h:[0."o) -->R. 1-.2

pentru Vxe(-co,-l)U(1,0o)

observSmcd h'(x)

h(0) =0 5i

pentru

h'(-)=;! :+= l+x' (r *,,,

Vx€(0,.o),

adicf, tunc{ia heste

x')

strict crescdtoare pe intervalul [0,"o), decl arctgx

pentru

h(x)=a1q1gx-,].o'.-

e[0,*)

ti f'(x)>o

----

0:f

1**r.ur",g"

h(x)

h(0)= O pentru x > 0 , de unde rezultd ca

pentru Vx€(0,co).

9i (1,2] sunt funclii continue, iar singuntJ eventual punct de discontinuitate al functiei feste xo = l, deci funcfia feste integrabili. 2. a) Observdm cd restricliile lui f pe intewalele [0,

400

I"_r. ^.Lo.r] ' f{x)=]'' '''' lxhx. xe(r.u] Observsm ctr lirnf (x) =hm(x-l)=0-f(t) 9i limf ;) Penru m=l,obtinern

x<l continua

(x) = lim(xlnx) =0, deci tunc1ia f este

x>l

x<l

ti in punctul xo = 1 , u6i"5 l.rte

x>l

continua pe [0, 2 ] , ceea ce implica faptul ca f admite

primitive pe [0,2] . in ptus, se observf, cd feste strict crescdtoare pe [0,2] Fie F o primitivd oarecare a funcliei f. Pentru

g:[o,z]-+n, e(x):r(x)-xr(t)

un t â&#x201A;Ź (0. 2 ) oarecare. codsiderim funclia

Evident, tunctia seste continua. Presupundnd prin absurd cE funclia g este injectiva, rezultd cA g este strict monotona. Dar g'(x)= f(x)-f(t) ei avem s'(0)= f(0) f(t) < 0, respectiv c'(2)= f(2) f(t) > .

deoarece functia feste strict crescAtoare. inseamni cd funclia g nu este shict monotona (adictr nu este numai strict crescAtoare sau numai strict descrescdtoare), de unde deducem cA presupunerea miliald, aceea ctr func{ia g este injectivd, nu este indeplinitd.

la,be[0,2] , a *b, astfel incat e(a)= g(U). oar g(a)=g(b) <rr(a)-a r(t) =r(u) t r(t) <+ F(b)-F(a) =(b-a)f(t)<+

Deci funclia g nu este injectiva, adica

+ astfel incdt Jf1*iO*=(b a)f (t) , adica am demonstrat it la,bâ&#x201A;Ź[0,2] , a !r,

lf{x}dx=fb-a)flt).

Varianta 59

f:R +R, f(x) f(x) a)Sa se calculeze lim ---+. ,-1. Se considerd func{ia

Sd se dernonstreze cd -

2. Se consideri funcliile a

a) Sd se calculeze I J

Sf, se

1*.

+l)

func{ia feste inversabild.

f-----:--: '(*)

,:;

nr a4 cc rqlerrleze lim

=13

v; f

:1R

f{x )dx

+ R, f(x)=

1'?r1n*

9i F o

determine c e (1,3) astfel incAt

l -/ \ attxt

l-f JSlnx I

c) Sa se arate c, func1ia F nu are limita la +cc

401

dx = 2c'

primitivl

lui

Rezolvdri

l.a)Avem f (x +l)= (x + l)3 +(x +t)= 1r +3x2 +4x+2, VxeR,deci:

f(x) .. xr + x .. ltm __j_:--:- = llm .--;-_________:_

=I r 44 xJ +3x: +4x +2

\+6 Itx+1, b) Avem

f'(x)=fxz+1>0

particular, este

pentru Vx e

1R.,

cleci func1ia feste ssict cresctrtoare

pe lR 9i,in

injectivi.Tinandcontca,,TLf(-)=.1-u1;(*t+x)=t-,iarfirncfiafesre

cootinua qi stdct cresclroare, oblinem ca

f(R) =(_hm f(x),timf(x))=(-o,*)=R,rleci

func1ia f este surjectivi.

In concluzie, fiind injectivl qi surjectivtr, func{ia feste bijectivd, deci este inversabih.

limf (x)=+co,deciin

c) Avem tunc1ia fbijectivtr, strict crescatoare,

inlocui x cu variabila f

a) J'lf(x

)dx =

(x)

i-'(r(x))

,,- lim -5 ]g) - .'" \+6 vx t/r(-) *--Vx,

obtinem fi,n

x'sin xdx

O*".

Jgff

= 0. deoarece func1ia feste

inpad, iar intervalul

[-l,r]

este

centrat in 0.

t;;

lrJ

=c=li-â&#x201A;Ź(l.Jr. c)

evem

-*t

rin *dx = (.o, *;' a* = -x2 cosx Jr(x)dx = J*t J*t

cos* + z

Jl*(sin

x)/ dx = -x2 cosx +2(xsinx

deci primitiva F a lui f este de forma

Fie girurile

("")".*, (y"),,.*,unde

Evident avem

ei n(y" )=

nhm

xn =

nhm

rl znn ' { lz.) \

l)n-

- Jr*-*) = (-x2

cos x

dx =

+ 2)cos x + 2xsin x +

=!1n ti y" =2nn+J, VneN. r(x"

r(Znn) = -4n2n2

k . deci

Deoarece lim F(x" ) + lim F(y, ), deSi limittr la +.o

F(x)=[-x'?+2)cosx+2xsinx+k,unde keR.

yn = +co gi

(+n r

F(1" ) =

+co

+ k , deci

lim F(x" ).= .-c

"lim

9i yn -> co, deducem ca funcfa F nu admiE

402

Varianta 60 l.

f :R-+R.

consideri firnclia

f(x)=**.I*t'

a) Str se arate cA mullimea valorilor funcuei

b) Sd se arate ca, dacd

c) Sdse demonstreze Punctul b).

g:R -+ lR , s(x) cI g(x) <x

pentru

feste

(0,@ )

t"r

b) atunci

fll

tnsi*r, u"n"i (f(x)-x) c'(x) = l, Vx e R. oice x >0, unde g este firncfia definit[ la

2.Fie mullimea M =1f :[0,1']-rRlfeste derivabiltr a) SA se arate cA tunctia

f :[0,1]+R, f(x)=

2x3

..i

9i [r1:<ia-=f1o;=r1r;f

-3x2

apa4ine mullirnii M.

se amte c5, dactr feste o functie polinomialtr de gradul trei care apa4ine lui M,

f(o)

c) SA se arate cd, pentm orice

atervalul (0,1)

e M , ecuatia f

'(x)

are cel pu{in doutr solu}ii

Rezolvdri

a) Avem

.1y:,

r(, )=,r,'-' Pedealraprdc. f

(")

"lE(.. (,,. * '[F) =*-.

' t r-r/l+x- ')) '(x)=tx

=,* )

t (g

.,--:"tg>o .r-U67.

^\*;i pentru

,6-t0

d.our".. Jl*f tJ7=l"l =-*-**1I*l rO, deci func1ia feste strict Functia ffiind continua !i strict crescdtoare, deducem cd . | .\ ii-i)=(.tim r(x)..lim r(x)j =(0..o).adica Lnf =(0.co) . brAvem f

..rtunci

f(*) f'(*)

'(x)* 'Jr *l

ffi=

(r(x)-x) s'(-)=(,,*.I*7-.)

:)Consideram funclia h :[0."o)

.\vem h'(x)

-1-g'(.)

#=J*

. h(x)=

r/1+

pentru

VxeR, crescatoare.

.. vxet.

#=t

penrru vxâ&#x201A;ŹrR.

-g(r).

1-+x. =+=x' r./l +

,._i=1ffi

r .t t-----=+ l.f\'

Vl+x'[{l+x-

vx â&#x201A;Ź [0,"o)

Obscrvdm

ci h'(x)=

.'[-']

(.,fi''1 -'r)

, Vx

> 0 , deci functia h este strict crescatoare Fâ&#x201A;Ź

h(x)>h(0)=o >,.-g(x)> 0 > g(x) <x pentru Vx>0. f(x)=21r-Jx]+x.Evidenr f(0)=f(1)=0 si fderivabils pe [0,1]

intervalul [0,"o). Atunci

2.a)Fie f :[0,1j

rR,

De asemenea.

fi2*'-.].,t.*)o-=lL-.,'-t l=l ,'l-0. , L2 ) 21n"2 j[i(*)a* = J,

feM. b) Fie l-(x)= ax . bx' . cx fd. in concluzie,

de lR. ,

a. b. c.

+0, f e M . Atunci:

f(0)=d. f(l)=a+b-c rd. J'lf(x) dx= l^x

-z cl+d

3 -lo l4 l. d a+b+c+d [l(*) a" = t(0]= r{l)e 1.1.,i*a J' 4 3 2

l' I

oo'in."'u,brc=or,

i: i.cr.=i,iq*.

Scizind aceste relafii,

obline

].|=O-U=-Ja

abc 432

$idin

a, a+b+c=0-c =-.qect 2'

-I"' *1* * d, a e lR'. de R. 3u.l*u.l *d-d-f(0). observim ci flll=9 \21 8 4 2 2 2 f (x) = 3;r

c) Deoarece functia feste derivabild, deducem ctr f este continutr. Conform teoremei de medie pentru integrala Riemann, 3c

e(0,1) asrfel incit

Jr1*1a*

=1r-o;

t (c) =

f(c).

Aplic6m in continuare teorema lui Rolle:

r(o)

= :cr â&#x201A;Ź (0,c) astfel incit f '(c,)= 0 f (c) = r(t)= rcr e (c,1) astfel incdt f '(cr)=o =

r(c)

Avem (o,c)n(c,l) =Q intervalul (0,1)

=.>

c, + c.,, deci ecuatia f '(x) = 0 are cel putin doui solu(ii in

Varianta 61

It"*

l.Fie tunctia f :(0.,o) -+f . ilxl=.1

*-1'*"r.

Ll,x=l a) Si se demonstreze ca functia feste continua.

404

b) SI

calculeze

r(x)-t

E -:i

c) Str se arate cd funclia feste stict descrescatoare. 2. Se consideri tunctia

f: f +

. f(x)= fn(l -sin2 x)

a) Sd se amte cA orice pdmitivA a funcfiei feste crescf,toare pe

),1]

b) Sl

calculeze

Jf(x

)cos

xdx

c) SI se calculeze derivata func{iei

g:(-1,1)-+ R, g(x)

II f(t)dt.

L Rezolvdri a) Evident func{ia feste continua cel putin pe (0,"o)-{1} , fiind construita cu ajutorul unor

tuncfii continue elementare. Avem

l':lt(')=

func{ia feste continul gi in punctul xo = I

in conclwie, functia feste continua pe

f51ffi = g1= r = r(r), a""i

(0,.o). ' I

lnx

t ,.- lnx xrl ,*(lnx x+l) -t , i(x) r(r)= ,,limx= ' llm ;-i bl Avem = ltm ---------------- = " llm-"";;; 2(x - l) i-i x-l ;-;i 1x-r)2 .,t ;;i x-l [(_-,),.]

t-ll

I ',:-'. =-:lim 2 --+' x(x - l)

c) Evident func{ia feste derivabilf, cel putinpe

vx â&#x201A;Ź(0,"o)-{r}. Avem rimr'(x)=

nrj.|} (*_l)'-'

-*=r't,t. z

(o,co)-{l}

11iffi

unde

r'(r)=

tSl

in concluzie. funclia feste derivabila pe (0.co)

t t (-,=

g:(0,-) )n, g(x)=x-1-xlnx.

405

-1

a rostcarcular anrerior.

--l--.11-. x e(o.o)-lrI

I l2

1 Considefim functia

?_fi

lTI!+PI

x I xhx = , ..u ' x (x rJ

f'(^)-[tti!)

__I

g'(x)=(x-1-xlnx)' =-lnx,

Avem

e'(x):-lnx>0

Vx e (0,co). Observtrm ctr

Vx e(O,t), deci func{ia g este strict crescatoare pe intervalul (0,1], respectiv

g'(x)=

pentru

-lp;19

p€ntru Vx > I , deci fimclia g este strict descresctrtoare pe intervalul [t,"o),lar C'(l) = -tnt = O. de unde deducem cd x0 = I este punct de maxim global pentru funclia g, adicf g(x) < g(l) = 0 pentru vx € (0,"o). Atunci f

'(x)

-g1+ x(x-r,

0 pentru vx

(0,o)

-{r} ri r,(r) = -}.

deci f '(x ) < 0 pentm Vx > 0 , adicl func1ia f este strict descreicatoare pe intervatul (0, 2. a) Evident

r(x)

r(x)- n(t +sin'? t)t Ut = o pentru VxER-{krlt*eZl

oo)

n(t+sin'? *) = r"r = o pentnr vx e {trlt e z}.

Fie F;R -+

R o primitivd

deducem cd

f'(x)= f(x)>

vx e {tnlt e Z},

oarecare a funcliei O p€ntm

Deoarece

VxeR-{kTrlkeZ}

adictr F este crescttoare pe

F'(x)= f(x) pentru Vx € R, ,

respectiv

n'(x)= f(x)=

O pentru

in concluzie, orice primitivtr a funcliei feste crescdtoare pe lR.

sinr u) e,vem

rsin'?x) [sinx) Jr(x)cos"ax= Jrn(r

c) Avem

g'(x) =

tnlt

a*= Jr"(r+t')at= Jro(r*t')ar=

r"",,"" I | [ 11tyo, = f (arcsin x) (arcsin x)i = n[t

r.;

1 16z 1a'csi"

x)].

f" :(0,.o) -+

)

+ x'?

Ji=

"-."-\

''''

nentnr Vv c 1-l l\

Varianta 62 |.

Pentru fiecare numfu natual nenul n se considerd funcgia

f"(x)=4"a1tr*. a) Str se arat€ cd funcfia

SA se

este

strict crescAtoare pe int€rvalul (0, co)

arate cA, pentru orice n e

1,lI \e ,/

siruata in intervalul f

h^f

se carcureze

--l- ,rIfr(x)_l

N' , ecualia

x_t./

(x) = g

21s

.x..,

o dddcind real[,

rmr

+ R. rt-)=]l''

2.Fie runctia r :iR

lnx<0

lnt=u.

i'(ll x. x

e (0, co)

+ sin

a) Str se arate cA functia f este inte gnbild pe intewalul

l-Zr,Zt].

(1)= 0 b)

Sd se

calculeze

-<0, c) sa se arate ca,

o).

(x)d.r

orice n e N',

'ir"

i^;0,, = z"',,.

Rezolvdri 1. a)

Avem f, (x) = x2

lnx

pentru Vx e (0,"o), deci f, (x) = (x'? *n

pentru Vx â&#x201A;Ź (0,"o). Evident f" crescatoare pe intervalul (0,

2*::+ I

(")=

*)'

= z^

0 pentru Vx > 0. deci funcfia

2*1* I

este strict

lt +*h1-+-l-1-!" .0, respectiv fn (l) = ln + In I = I > 0 en e e" en

b,observamca C f "\e/

pentru Vn e N' . Evident functia

este continua pi, din rela{iile f"

p) . O, ,.rn".trt

f. (1)> 0, deducem ct, pentru Pe de

altdparte, observtrm

VneN',3c,,.f 1,t ,rr*'

cl f; (^)= (^" * In *)'

= n*n

incat 1

f"(c,)=0.

*i*l tq

pentru

Vx>0,

deci func1ia fn este strict crescatoare gi, in particular, este injecdva,

Din injectivitatea funcliei fi, deducem unicitatea solutiei ecualiei in concluzie, pentru VneN*,ecua1ia

f"(x)=6

3t"

. . r l .\ n lnrervalul I -.1 I. \e

Avem

o rtrdlcintr

reall,

hql+

3 i-r

aceasta fiind situati

f, (r)-- 2 r+1=r

I )-, -3(--r)-(r,(-)-r) -lim ,r

,iIf,(x)-r x-r J ,

(r,(*)_r)(x_r)

3x-f"(x)-2

,,"'

*-t __:r_,:_ f. {x)-1 ,|

,,-f 3

^-.-^, ,

"*u",

f, (x)

ix-x--lnx-z (* _ l)'

-5-ZX-1 1.. (:*-*'-t,*-z)' =ltim---,---*= 3 xJI 3 x'' 2(x-l) t)' l(x L' I I

407

l)-

(-2x+l){x-1)

l-. -2x'l r -r"r-ly-r r", -' i--------- i-lrm-== ll m:--r =:lim -;l:i x 6\-r 6'';i x(x-l) x(x-l)

1,.,

l-1,---.

continue 2. a) Evident functia f este continua pe lR' , fiind construitd cu ajutorul unor functii elementare.

Avem

limf(x)= lim(l tsinx)-l' f{0)=0'=0. fd(0)= f (0)=limf(x)=limx'=0' , i_o ' , .-o ' r-0 ' ' \+0

observam ca

x>o

x<o

1<o

E(0)=f(0)=0+1=fa(0),adica

este

punct de dicontinuitate de pnma

spe$ pentru functia f. Deoarece functia f este continua pe [-27r, 27r] are discontinuitate de pdma speta, deducem

btAvem

r I

t ,

Jf(x)dx

x>o

- {0} , iar in punctul xo = 0

cl funclia f este integrabila pe inrervalul [-2 r' 2n]

'Jf(x)dx-

or,

nr'

-l

-.olo x

| +[x_cosxl] -""""t" Jx'dx+ J(l+srnx)dx' + l_,'t"

n.t v / r\a ''t I (r-cosn) (0-cos0)= --rI r+l- ( l)=n+2 |,=r'-; 7 -t 4441 :E

c)Observdmca '

f, f" f, .u l{lrsrnxl 6r= J'l(t+sin(x'n))" (xrn) dx= l(l-sinx) J'

dx'deci

IO )anh'

ftt+rin^)" Jt.'-"",-'

000

r Jr ftr,,inx)"dx [(t'sinx]"ax= J' ftr"in*)"4;' J'ftt-slnx)" dx ' J\',

ll (1+sinx)" +(l-sinx) )ldx. = JL. Pe de alta parte, (1+ sin

frl

[2] k _ r\. r-lk ";.2 -'/)'n'"

t;l

*<2I ^2k -,r

lcl

sink

x+I(-1)' cl sink x k=0

)n | - tn ,l-.;

(1-sinx l" I a* . J[2" a* - 2" xli"', ' )

(t+sinx) 2n

in concluzie,

+(t-sinx)"

k=0

x )"

= 2" 1 pentru

vn F N'

f{ttsinx)"dx.2nn f" (x)dx . J' ' J 0

408

pentru

VneN'.

Varianta 63 l.

considerr tunc1ia

f :R -riR.

f(x) {^l"t' xeR

lr(")l .l-l , vx e [-r,

a)Sasearateca

-,Q

lx'.

se arate ci func(ia feste continul in origine. c) Sd se arate cI funclia fnu este derivabili in origine.

b) Si

ima

r-l

2. Se consideri a)

a.beR

se determine a 9i

b ) griind ca

5i funclia

f:R ,R, f(x)-{axe^ x.xs0 lxcosx+b,x>0 R a unei funcfii.

b $tiind cA functia feste primitivi pe

0 qi b - 0.

sa se

calculeze [f1*;A* J'

c) Sd se arate c6, dactr b = 0, atunci

,hm

jx"r(x)ax = -.

Rezolvdri

vxe[-r,r] uu"*

a) pentru

l"l < r = l*'l = 1*1' < 1"1' < j*l = l*'l < l*l . Observtrm cd, pentru Vxe[-1,1] ,avemne xe[-1,1]0Q 9i atunci f(x)= x >

=lr(x)l =lxl <l-l,ne xe [-1,1]n(R-e) ii

atuncr

in concluzie, pentnr vx e

l"l

b) Deoarece

f(x)=

riqlxl =o

f(0),

Considerdm girurile tde exemplu.

observimci

avem

[-t,t]

lilxl.l*

lr(x)l

pentru

r(x)=

> ]r(x)l =l-'l.l-l

vxe[-t.l] .deduce-ca t'qli1x)l -o.aeci

adicd functia feste continui in origine

(*,),,.*..Q

rJl

x,, - Si yn = 'nn r(,,")-:(0)

-0

si (y")".x, c1R-Q penlru Vn â&#x201A;Ź N-

cu proprietatea xn

-+0 9i yn ->0

lim\=l ri ml(y"Il9= ri-dxn Y" -0

nJd

limyl =s,

fnu este derivabil6 in origine. 2.a)FunctiafestepdmitivdpeRauneifunc.tiidacf,ginumaidacaestederivabilipeRgi,in adicd func,tia

particular, este continud pe iR Evident

funcfia feste continua cel pu.tin pe R' , hind constmitd cu ajutorul unor functii

continue elementare. Avem f. (0) =

limf (x) = lim (axe' rJ(J ' ' \-0 \ x<0 \<0 409

- *) = O, f (0) = a 0

lim (x cos x +b)=6. f, (0) = lim f (x) = r+o' r-o w "' r>0

xo =

Pundnd condilia ca funclia fsa fie continul in punctul

x>0

0, oblinem f"(0)=f (0)=

(0)=

b = 0. deci

f(x)= iaxe -x'x<0 ' lxcosx,x>0

Evident cA funcfia feste derivabila cel pulin pe lR' , fiind construiti cu ajutorul unor funclii .-,tt t \/ peutru Vx<0'respectiv ' derivabile elementare. gi f'(x)=(axe'-*) = a(x + t).-

-l

r'(x)

= (x cos

Avem lunf

x)i =cosx-xsinx pentru vx >0.

'(x)= hmla(x+l)e'-r]=a-r,

x<0

respectiv limf

'(x)- lim(cosx xsinx)=1

x>o

x<0

x>0

Punind eo,rditia ca func{ia fs6fie derivabili in punctul xo=0,oblinem a-l=l-= a=2. !n concluzie. lunctia f este primitiva pe R aunei func.tii dacd 9i numai daci a-2 si b=0. s0 i.. ..r-., r,, Lirr.. . .. !. 4. ^r,1;nsrn f(x) =.1 -^' ^ d..i lxcosx. x > u^.

ir(,.)*= -rJr(*)o**Jr1-14*= j,l, u -l =-!+xsinxll .10

\rd:\-l

';.^,r' -+flt . J'lx(sinxl dx= -4

fx,sinxdx=--l-*"o"*ll 1 1,,22

=-],

c) Pentru

b=0,avem

*".'

*l' - i(*"*'

,in

,t, xcosxdx = Jx"''cosrdr Jx"f(x)dx= Jxn

sin x d* =

-(n + l) Jx'

>0 pentm Vxe(0,r).

Deoarece sinx

"u.rn

"''

{sin x

)

sin x dx

(n+t)j*"

sinxox

>(n+r)

, .\ f x' slnrox=srnr'x ., , n*tlr-r =sint.[(n-f),,-' -fl >(n+r, , l, J J -.

si cum

Jx"

sinxdx >

r--l>l,deducemca

lim

.rm

(r - l)"*' (n + r)

= +co , deci lim

Jx"

sin

*dx

sint.[(r -t)"'r - t'l = *-, t"J

+o, adicr

de unde oblinem

=;11[-t'. tl 1,,",in " o*l = -.o J."rt-l* ;* "-'t "--d d l

410

Varianta 64 l.

consideri tunc1ia f

:(-"o. 2)U(0.co) -+n. r(^;=rn[r*31

a) Sh se arate cd functia feste concav6 pe intervalul

b) Sd se calculeze limita girutui

("")"-,,

u" =

r : [o,t] --r R ,

f(r)+r(z)+...+f(n)*h

c) Str se arate cI exiss un punct c e (1,2) asrfel 2. Fie funcfia

(--,-Z)

x,/ n(n-+l)

incit (c-t)f'(c)+f(c)=f(Z)

f(.) = -+ l+x

ixf{x'la*

a).JSa se calculeze

b) Str se arate cd

1< ff (xlax<t. 4 J"

c) St se calculeze

Observtrm

lr ( x l f "( x) - (r'( x ))': | " " '= "' dx.'

(f(.))'

4{x+l) r'(-)= ;* ;)' :lr . 0 pentru Vx < -2 , deci funclia f este concavd pe intervalul x?(x+Z)

(*'-z) b) Avem f

(x) =

h[t.i) = tnf

pentru vx e

r(r)+r(z)+ +r(n)=u1161* -t(n+lXn+z) =

*')j'

* r)

pentru

VneN',

(-o, -z) U(o,o),

<leci

.r*= r(i i y)=rS#=

deci a,, =f(r)+r(2)*.

-, "('jl = hlerr0rA 4tl

#"rl

*r1n;-trn(1*1)

pentru vn â&#x201A;Ź N.

Arunci lim a"

n+2 lim ln - .. ---n

= In I = 0

c) Considerlm funclia g : (-co,

observrm cd

-2)U (0,o) -+ R, s(x) = (x - 1)f (x)

vxe(-"o,-2)U(0,o) :c e (t,2) astfel incit e (z)- s(t)= (z - t)e'(") > pentru

e'(x)=[(x-r)r(x)]'=(*-r)i'(,,)*f(x)

Conform teoremei lui Lagrange,

r(2) = (c-r)r'(c)+r(c) " = (z-r)r(z)-(t-r)r(1) = c'(c)in concluzie, existt un punct ce(1,2) astfel incdt (c-t)f'(c)+f(c)=f(z) 2.a)Avem jxr(*)ax

b) Pentru

. | {'2\

= i.:o- -l I-t.--1, d;,'" ";l+(x,J

Vx€[0,1] avem 0<xa

a"em r'(x) .

j."n(-')l^ = j-"er =i

< x2 , de unde deducem cd

i-e- . i-o--.'[rd,. --l+x2-l_xa---! - . --L,. r - jt**, Jl-xo J c1

131+xa <l+x2

i=;

.r -'' ]4<'[r1*;a^ d

u,.,g*11 =

=i-'!; l = , o*1,, pentru Vx e iR, de unde deducem ci \1.x"/ (,- *").

itt#d*=tr:)(.)*=8[

-#=-+-

Varianta 55 1

Se considerd

tunctia

lR, f (x) = 11.^

a) Sa se arate cd funcfia feste bijectiva.

f(x) >2x+1, VxeR c) Si se demonstreze ci, daci f(x)>mx+1, VxeR,atunci m=2' 2.Fie tunc{ia f :lR +R, f(x)=51n:*"o'* 9i F o primitivb a functi€i f pe R'

b)Sdsearateca

a) Sa se arate cd exista c € lR astfel incat 4F(x) = sin' x + c

b) SE se calculeze aria subgraftcului restdcliei functiei

c)sa

se arate

ca lf-""(x)dx =0.pentruorice ncN. J

4t2

fla intervalul

Io.rl | 2)

Rezolvdri

l.a)Avem f '(x)=(x+e")

l+e* >0 pentm Vx € R,

deci tunclia feste strict crescdtoare

$i, in particular, este injectiva.

Avem

,lim

f(x)-

.1*"

tunctia feste continua $i strict crescatoare, deducem c6 =

(-o,+o)=

f(x)

(* , .')= -..respecriv ,lim

(x re')= -co.5i.cum ^hm

f(R)=(_Im f (- ).,!L f (.))=

> r(R) = R , deci tunctia feste sulectiva.

in concluzie, fiind injectivd qi surjectivi, funclia feste bijectivtr.

g:R-+n, g(x)=f(x)-(2x+t)

b)Fie

Avern g'(x)

=(e^-x-l)

1.- - (2x + l) = e" - x - I

pentru

VxeR.

=e- -1, VxelR.ObservAmca g'(x)=e- -1< 0 pentru Vx<0,

d€ci functia g este strict descrescAtoare pe intervalul

tr O "" pe intervalul [0,-),iar e'(0) =e0 t=0,

(--,

,"rp""tiu e '(x ) =

0] ,

>0, deci func{ia g este stict crescdtoare de unde deducem cd x0 = 0 este punct de minim global pentru funcfia g, deci e(x) > g(o)= o * r (x)- (zx +l)> o > f(x)> 2x + I pentru Vxe R. pentru Vx

h;R ->JR, h(x)=f(x)-rx Observim ca h'(x) -f '(x)-m=l+ex -m pentru vxeR, h'(O)=2-m, h(0)= f (0)= I si atunci f (x) >mx+1<rf (x)- mx > 1<+ h(x)> t <=> h(x)> h(0) pentru Vx € iR, deci x0 =0 c) Considertrm tunc1ia

decr

este punct de

ninim global pentm functia

2-m=0=m =2.

Atunci, confolm teoremei lui Fermat, avem h'(O) = O, 6ssi

2.a)Avem

r' ' Jitt*la*= J[r,n'*.oy,d" . Jsin'x(sinx) dx

Dactr F este o primitir'd a

lui f, atunci

+c,

deci 4F(x) = sina x + 4k = sina x in concluzie, existi

ceR

b) Observam ca. penrru

rie

(-r+.

astfel

lk€R

astfel incdt

unde am notat c =

-sin" x . C.

F(x)=116'r**p

pentru VxelR,

4k.

incit 4F(x)=s1na11., y*.14.

t .t

Vxe 6.- ]. avem f(x)=s1n1x.or*t6. | .1

r,=l(x.y)jo<xs1.0sy<r(-)f 'r.'2),j'olu4

c) Considerdnd schimbarea de

.Arunci Aria{r1

variabili q : [O, r]

[O,

)

lrin.*lj frt")a* =

r] , O(t) = n -

t , $i lnand cort

sin(r-t)=sint, cos(n-t)=-qs51

pentru Vt € [0, 7r] , ceea ce implici faptul c5

f(n - t) = sinr (n -

1(-cost)=-51n3

f (n

1)cos (n

- t)=

s1n3

1"os t =

-f (t),

-t) = r(t), respectiv f2"*r (n -t) = (-t(t))t".' = -ft".' (t) 413

-f cA

adicd

pentru vn e N, cteducem

*(9) "J'r2n*r

, 1r,"" i*;o- =

rl":r.rr('o(t)) o'(r)at = -Je'"" (r t) (-t)at

o. ..

(x)dx = Jr'"''

.,.

,{n,

(t)i.(-r)at = - f(-rr'-,

1t)at , rezultat

- 1r--

care poate

scris 9i sub forma

- Jt'".' (*)u*

deoirece variabilele x

domeniu dc variatie 9i t au acelagi

[0"r]'

c, Jf'"{*)a* = -i1'"-' 1*14*'atti f'"-' 0

Am obtinut astfel

(*)d*

0 pentru Vne N'

Varianta 66 1. Se considerl funclia

f :Jt -+R' f1.)

-ffi'

funcliei f pe intervalul a) Sl se calculcze derivata sp" bl Sa se determine ecualia asinrptotei .lT : (.,co) -+ R' g(x) =

T:ltl "x'r(x)

;; ; ;;;;;*"tia's

rl"

n'tn"1iu

(-.il)

f :[0'4-+[l'3]' f(x)

= xa + x2

l::t5: ddrsinitd'

este

g' Se admite c6 functia f are rnversa

or2t*l ' a)' Sa se calculeze l:77\ot

6t\{rj

Str se

ante cd

lJ t.

frrr

Jf(x)ax+ JB(x)ox

0llo.

cr e c) Se se demonsteze cd, dacf,

Reulvtri l. a) Pentru vx

r'(.)

atunci are loc inegalitatea

(-1,1) avem

--"'1 . =r(x)=t-r/t-x"

pentru vx e (-

(-"o'-4U[r,')

avem

-l e lR'

De asemenea'

1-x2 <o'0""i lr-*'?1=-(t-*

li'n [f (4 -

decr

r'r)

r(*)_,- r-.F; -,,-[f-.lt+l=-r,adicrrm= .,rl1;="'il--;.IL\" lrl- *'l m=

Jf1*10*n Je(")o*>"

I-x2 >o ii atmci 11-x')l=I-x']

(r-',l[-itl = ;;7

b) pentru vx e

[t'3]'

#;. "-] = E(t 4t4

-1 =

2'l

lim

*t -1 !i an,nci

f(x) >

., -(./;, -,y --l-----L *-' x+Jx2*l

= 1+

=1+ lim dx.

in concluzie, &eapta de ecualie Ia

lim--+=t.deci ^-'x+Jx2-l

y=sp1+1=(-t)x+l=-x+l

-lim

[f (x)-rnx] 9i n=1eR

este asirnptot6

oblicl spre

+co

grahcul funcliei f. t

l':-(,,/l-xr)

. l_.I_l clAvem nn]s(xr=lT x;0 =

\>0

-q--+=+.

:#l+./1-x'?

l,T [: '-'\*

Espectiv

. -t2 ., -IT;I;FI "',"\'"'/

9lx

)

Amarnatci

(

3*+

0. Deoarece tuncfia

deci iim

g(x)-

g este continutr

19?=

si ],1ie(-)

i5*

ca tunclia g este mtrrginita.

ll3 ,.

^>o

g(x) = 0 e IR , deducem

xlim

-r.

j+r.:.,,

='if:'.'l

o, =

r)' r .l

rr =m-4)l +-+l 4 ) 16

r"(,' *, * r)li

rf(t)tl

r'(x)d{.' Jfxr'(x)dx= bravem [e(x)dx= [e(*)d*= [e{r(x)) Ja\\ /' J-.t ' J'.' tllSl =

i>a

xfl*)lr \ /r0- [x'f(x)dx J o00l

t3 at = lf {x }dx + lelxldx 0t c) Avem

(o)

f(t][r(x)dx -:., J.,

=.1

g=f-r:[r,r] +[o,r],deci g(x)e[o,r]+g(x)<l-l-s(x)>0

lall3l

=:- J[r(x)ax =

.rtunci ft(x)dx+ [e(*)d*= [r1"1a* J ', J ' ', J-' ', f

fr{*)a*. o".i J-" fs(x)dx

J "

3-c-

313 a . f le{x)dx = c + lldx J

[g1*;a*- J-' [e(*)a^= :' J-ll

pentru vxE[1,3]

[e{*)a^

l f , ft ls(x)dx =cr+ J'lll - g{x }}dx > a pentru Vc[ â&#x201A;¬ [1,3] . J-' '

415

r(*

varianta 67

Se considerd mul{imea de functit este de doul ori derivabila ei

-lf {;,t-tJi" a) Sa se arate ca tunctia u:[-1,1]-+R' =

b) strse arate c6, dacd

feM

2.Fie tunciiile

r:[o,t]--+n,

a) Sa se arate c5

= 0'

r'(o)

u(x)=s*t1tx

Deoal

M' ,

f e M 5i n e N' arunci

f(-)=*

g(x) = ur(t+ x)

apa4ine mullimii

f(x)+ o ' vx e[-l'r]-{0}'

c) Sa se demonstreze c6. dacd

f(0)

r't

ei g:[o.o)--+R

atunci ft"l(r +

fY;{

r(x))qt ="'

=!+l d

nr'(o) 2

Z. a) A

' s(x)= Jf(t)dt'

b) Avr

b) Sd se calculeze

Jr'(r)e(*)a*

c) 56 se demonstrez"

r[*)',-

Rezolvdri

i. u) fuio.nt n""tia u (x) = s* 511* derivabili), u(o)=e'5116=g

r(i).t[*).:

r[;].

nh 2, vn e N''

este indeflnit este de doui ori derivabild (mai precis:

ir u'(x)=(e- sinx)' =e*(sinx+cosx)

e[-t'l]'

pentru vx

u'(o)= g01t1tg*tos0) = 1, deci rr e M ' atunci rimr(x)=r(o) =o b) Dacd f eM qi f (x)+ 0 pentm vxe[-t,t]-{o} '

asocia

;i sisti

r(")

g9=

c) Fie

t g4#=r'(0)=1' deci r'"r(r.r(^))1 = $[{'.'t*t)o]- ='

tr-+:

A\ em

c)Aplicanclregulaluil'Hospital,u'"-

"q$

W=${#=

l =

1*{}1 ;',-{1:)-'llt-u X

+2\-0

observamcd

r(x)-x.

(f(*) ^)(f" .' 'f'{x)-x" \-l ='

t"-r (x)+ xr"-'z (x)+

r.(x)

r(x)r

;r'(o) n_r \ xf"-'(x)' +x t(x)'x .!

+am -eser

:.;*i xn*

"+x"-':f(x)+x"-t=,i__

4t6

=+_. Deoa,.ce

.[YI'. .+.']

[t+l

penruvnEN'

r,mu-r,(0)=r.deducemcd,*l[+)"

f"(*)l*"

Ii* =l+l+...+1=n.o".i -;ffi--x+o xrr+r 2.a)Avem g1* 1=

=n11,nf

*. ,tr

Jrlt;ot=

ffi=t"(t*,)li

urauem fi')1x;gi-)a- = '

'[-f

(*)=-* =

xro x' =

I n. 6"1s1-"nf--(!) , yn.19..

h(t +x)

pentm

;[j-l

r"(t+x)dx=

j(t+x)'.

.[gi'-,+-,]= vxe[0,o)

t1'*-10-=

d\r+x/

j' =--J-611** ' 'ln* f

, i--l- = 9-1-+l' ''Jo*=-$2 d(l*-f 2 l xlo = x' ' *y1 jli-L;r1, tn2 fl -\ ln2 I l-ln2

'x )

)

c)Fie sn -qr' (r.€^.

'' '' )=;[t|.;j

f.diviziunilor

asociate functiei

5i sisremelor de puncre

)

-rf

,n))

€

o, =(€r

esre conversent

N'.

eirul sumelor Riemann

.*.*-')

-(t=*.*.i.

intermediare

>co.deci sirul (s,,),,.o.

?)- . .rf lll

,",

ale intervalului [0.1]

)r-;. €. - !. Au.- lll"||= I - o p*t

ii lims"-ff(x)d.*-J*

rn(r+x)ll =rnz.

-{vem

/r-\ tl ! I - -+ - -+ \n/ ,l+-K n+K

pentru vn e

5i vk

deci

t t n n ." =firill-rlZl-..r|,l)l=1{,' 'ln/ 'lnJJ n[nr-l*nr2*...*n-n)J=nrl *n-2*..*t2n "['[n/

pentru Vn € N'

I * t J-f t * t *...* 1)= *...*1* -"*'-s--" =t 2") 2n+l 2n+2) ln+l n+2 2n ln+2 (1

observam ca -- s...,

tll1l 2n+l 2n+2 n+l 2n+l i

s,,*r

)

sn pentru Vn e

N',

2n+2

adica girul (s"

(2n+l)(2n+2)

)".r. 417

>0-

sn*r

este strict crescf,tor.

-s,,

>0>

Deoarece avem

= ln 2 , iar girur

lim s"

r/ rr\

(r, )..*.

este strict crescdtol, deducem

ln 2

1zJ* *riljl.rr= penruVneN'.uo"a;[fl;J"rrn, In// /a\

/r\

'"-ltn'n' pentru vne N' -'|.t.).,liJ-'l;J' -'l;t'""^-'""\

Varianta 68 I'Seconsidertrtunctia f :(0''D) -+R a) Sd se calculeze

b) Sa se arate ca

t(-)=*-rt#;

f'(x), xe(0,-)

r(x)

, Vx e (0,"o)

c) Sd se demonstreze ca girul (x" )nrr

' x. =,*l* 2

este strict *!-t("*11 n \ t)

descrescAtor.

f :R

2. Fie tunclia

R' f (x)= let'dtI

--+

a) Sd se arate ca functia

b) S[

se arate

cd 1im I

c) Sa se arate

este impara'

f(x)

=o'

(x)dx s e

-Z'

Rezolvdri

I --\ pentru Vx >0'deci t--2x 'l-= xrl -ln(2*-t)-ln(2x+3) 2 2 I I r .l = -;. ' ' f '(x)-l ,,t, ,x.r- ,x+3' Lx+l: 'ln(2x+l)-ln(2x-3)lI (x+r.l

1.al Avem

| f(x)=--t

(x+l)'?(zx+t)(zx+3) pentm Vx e (0,.o) b) Observdm cd f

'(x) =

+ r)'?

crescf,toare pe intervalul (0, "o) deducem cd

(zx

t)(zx

ii cum,lim f (t ) =,!1n.[* -

r(x)<mf(t)*f(x)<0

pentru Vx e (0'"o)

418 I

0 pentru Vx

0, deci functia feste stncl

" 1*)

= o * tn t =

c) Avem

I r"["*,-]ll-[r*f *!r...,1, r"f n n+l \ 2))L 2'...*1 n t.".1]l= 2)) L 2

x"-,-*-- =['

I , 2n+3 2n+l 1 2n+l =------'-ln-+t =--*rn*a=f(n)<0= , pentru Vn e N' , adicl girul (x"

r(-x) = Je'at=

2.a)Avem

+ r(-x)= -r(x) b) Observtrm

)"r,

Jer

xn*,

-xn <0:)xn_, <xn

este strict descrescetor.

"r (-u)'du=

Je"'

(-t)ou=-Je"'du

-i(x)=

pentru vx â&#x201A;Ź iR, adica tunclia feste impar6.

ci e" >eo=1 pentu Vtâ&#x201A;ŹlR,deci [."4t> [fa,=*=.f(x)>x pentu Vx>0.

;o'

Deoarece c) Pentru

r(^)=

lim x =+co gi f(x)>x

pentru

Vx>0,deducemce [m f(x)=+o.

Vte[0.1] avem t? < t, deci e" <e' ti atunci.rpentu Vx e [0,1], oblinem

f""at<

'ot=.'li ="" -1+r(x)<e* -r= Jr(x)ox< ("'-r)0.=[".0 I

={e-l). 1=e

2, deci

-.]i=

lf{x)dx<e-2.

J 0

Varianta 69 t.

Se considerl tunclia

-r

r(*)"2 1V7.

a) SA se studieze derivabilitatea func{iei

b) Sa se arate

cA,

pentru orice

fin

origine.

ke(0,co),exisA

(k,k+l)

astfel incAt

r(t+r)-r(t)=* Vc

demonsteze c[ girul

(a,),,,.

descrescAtor,

2. Fie tunc1ia

f : ( -1, co) -+

a) Sd se calculeze

lf (x )dx

419

+.#-

.Uf

-r1n)

"ste

i"t

b) Sh se calculeze

ru'cia F: [g,co)+ R , r(x)= Jr(t)ot' xe [o'+"o) ' l,SY' *a"

c) Sa se arate, folosind eventual tunc1ia

'.(

t cd Jh(1+ x)dx <;

Rezolvdri

a) Pentru Vx â&#x201A;Ź

observrm

cr r,n

i'. r

avem

( ] -l(0)

x<0 deci func{ia

fnu

l'##

--, -'o""tiu

qlGfp

i*',

x<0

=.-'

are derivatd in origine'

brPentru

lxr-r(o)

1.r--.\ rl i)' 3 2 I

vxerR'.*.. r'(*)=llV-',J =;[-'J =i

i-'=f

k + 1] oblinem ca Pentru Vk e (0, "o) , aplicind teorema lui Lagrange pe intetvalul [k, ' 3c1

e(k.k.r l)

astfel incat

in prus, observtrm ca <

f(k r l)- f(k)-?

c)Avem

t[.

f(k+l) (Vk,{A.

f(k) I

)

=[(k+l)-kl f'(ck)=l-'

#. #. # - #'

-r1l-r1*r(k) <o pentru i/k+l 1 r (t I

o)'

.\ | t an.r-"" -lfr'u,' -#.#-t("'')J-[fr.tr'

=$-f

Vn+l

<an pentru vn e N- ' adicd Sirul (a")"' 1n*f )+f (n)<0>a,,*, -an <0+an*'

este strict descrescltor.

2.a)Avem

"Jtt.)* tl

'tf *2 *'

'- 'l'

f - zrnz**li

xal] [*' xr -;1,-Jtn(t+x)0x= .

JL"-i.;-*," ^rlo-=li

=f,,I-Lrr- f r+ ^)'r,,(r + *)a. =f -0 * ')r.(r =

\ +?F-r(n)l=

a -,tn, *t =#-'n''

420

+.)l', +

!r*

x)[rn(r

x)]'o*

'l y2 yr t btAvem f'{x) l*-a*i-t,(l-x}l=l-x+x2' ' I 2 3 'l Irxl-l

(r-***')(r**)-r 1 ' =' '' ' l+x l+x

ri-F(l) -1,,-r'(*) r+0 15 =ri-F'(*l =,,,or(*) xJo 5xa S--0(xr)' ^-"(*r)' c) ObservSmcd

-l

'(x)=i;>0

pentru Vx

rntervalul [0,co), de unde deducem cd

, =1,,,n*,,,Jx+o {1r 20*-rfl+x

>0, deci tunclia feste strict

f(x) > f(o) :

crescatoare pe

O pentru Vx > 0.

I_-tr,,-^1'lo^'o-'[|"-*.*l*t *-4, ',_ 2 3 jl 2 3) dL

.{runciavem'[r1"10*'o.a..i'fl

l,:

-a I'

-l

r Jr"tr, x)ax = | " '' JO ,,

;-+.#

Jrnlr**;a*=- L' ;

Jtn(t+")dx

Varianta 70 1, Se definegte funclia fo

tunc.tia f,, : R -+

R prin

a) Sd se arate

f,,

(x)

s2"

9i, pentru fiecare n e

8e'?"

2. Fie tunctia

fT:lg}l1#ltr),

r:[0,co)-]R, r(*)={1tn'^:" lo,x=o

unde a este

*0.

a) Si se arate ca functia feste integmbila pe intewalul [0,1] I

b) Si

calculeze

c)Str se calculeze

Jflt;O* ttf

se definegte

Vx e IR.

b) Sa se determine asimptotele graficului funcliei t, c) 56 se calcuteze

N*,

(x)= f;,r (x)

(x)=

:lR +

f l* /

421

numtr real.

Rezolvdri

l.a)Avem fi(x)

-f;(x) =(e'*) =ze'-. f,(x)-f,(x)=(2.") =0"'".

[(x)=fr(x)=(ae",)

8."

pentru

VxeR. (x)= 2ne2', VneN.

b) Demonstrdm prin metoda inductiei matematice propdetatea P(n): f" Pentru n =

0 oblinern P(0):

(x) = 20"'" =

Presupunem adeviratd propdetatea

"t',

"uident

f(t):tu(x)=Zke'z"

demonshtrm cA este indepliniti proprietatea

+ 1)

adevarcta, conform ipotezei.

penfru un

f**, (* ) -

keN

oarecare gi

"'* , ^ '| Avem f*-,(x)=fi (*)=(2k.") =ru("t-) =2k.2e2* =2kt'e'?" >P(k+1). P(n):!,(x)=2ne2^

in concluzie, proprietatea

f"(x)=_1a(z'e'z")=o,aeci&eaptadeecuatie y=0

Avem

"lim

asimptotd orizontala

r"(x)"' '

Avem lim x-+-

i.r. \

=2" lim

orizontah

tim

{2".t')= /

f",

(adica axa Ox) este

Vn e N.

rco. respecriv ti,n - iJo

i"(*) x

-,,o.2ne2'-r" ti-{= xJo

x+@ x

x ;'

r+o

citre -co la graficul funcliei rr+-\

VneN.

este adevarat, pentru

=2"

Iim

oblicd spre +cc

Evident ctr func1ia

) = +"o , decr gralicul tirnctiei

f,,, Vn e N , nu admite asimptod

f,,(x)=2"e'z-,

Vn â&#x201A;Ź N , este continui pe 1R, deci graficul s6u nu admite

asimptote verticale.

c)Avem f, (a)+fr(a)+...+f,-,(a)=ze2u +22e2^ +...+2n )n_)

=;r'^

Atunci lim 2. a) Evident

\Z' -Z)e'^

pentru Vn e

(z + :'? +... + 2"-r

)e"

P" -z\e'z^ / ii-l 2n ela

2*' )

cel pufin pe intervalul (0,"o), fiind construitd cu ajuroid

unor func{ii continue elementare,

Avem

rimr(x)= riq(.h',-)=1,$f -,0 x>o x>o ;

llnxl .'

=-2lim'. r-0/t\ x>0

|: I [ *,]

r$T= =m91=l,g+ x>o ^>0 [;J

-X,

x>o

;

=-2

lim-4--2limx

\+0 r *r0 --t

continud $i in punctul xo = 0

N'.

f,(a)rf,(al+ ..+t. ,lal . t" (u) ci funcfia feste continutr

1e2^

deci lim f (x) = 0= f (0), \,0 =0. \,0 x>0 x>0

422

adica tunctia f esre

In concluzie, func{ia f este continua pe inrervalul co) ti, in particular, este integrabila pe [0,

intervalul [0,1]

b)Avem

Jxkrz

xdx

].'r'. - j J.' )*t ^t * II

er*i

!*'

=](,, r' "- J,,,(r",.)'a-)= .26".16* = 1*'n, * = j-, r,. -i =1 fi*')' r"' *a*

J*n*o*

tn* * LJ*t {u *;t a* = 1*t ro, * *, ln,

0Jr{")t*=g3Jr{-)*=u,,'-'[f r.or ,;oL2

-1*,

I(.,)'h*d*

*i I

a, vx â&#x201A;Ź (0,co).

*--l",k **]*,l'=1, 2 4 I'

rezultat obtinut in demonstratia de la punchrl anterior, anume

cI lim(t

'nde

t):0

am folositun

o^*- 1'[1)* = = l(lnx) ln'xdx= i+"(,i)"= ijr-,,.y* j*,, "*= J' I

1i I , xlI,= J\ 1n' s - tr,r r) -

l1nr

Varianta 71 f :(O,co)+R, f(x)=x-tn(t+x) a) Sise calculeze f'(x) , xe(0,-) . b) Sd se arate cd f(x) > 0, Vxe(0,o). 1. Se considerd tunclra

c) Str se calculeze

lTr(-) 2

2. Se considera

tuncfa P:R

, f1*1 =

Jt'at. I

l)F(x)= 2"*r, VxeR. b) Str se calculeze lim F(x) a) SI se verifice cf, I

+(x

c) Si se arate cd existtr o functie continua

rlxl=r+

(YldY, vx

f : (-l,co) -+ R , astfel

incAt

(-l,cor.

Rezolvdri r. a)Avem

lv f (xl=Lx-ln(l+x)J =t_;=;; t 423

pentru Vx e(0,"o).

b) ObservimcA

f'(x)=-r-rg

limf(r)-- liml t-lr(l { r)l=0,

intervalul (l.oo) gi,cum

+ f(x)>

r'O " 1,0

cr f (x) ''

deducem

r-OL 1>0

timt(r) IrO "

1>0

l3ie$4 - lg*

deci rim

r(r)

= rim

[* -r"(r + *)]

n{t+^)l

xll_--:-----r

2. a) Pentru

l=+co.

x= l, evidentca t+(-t+t)f(-t)=Zr.r. 2.

,rrt 12

1^,t _1

F(x)=.lt'at=-1 ='-. ,',deci t+(x+l)F(x)= *tll xrl i .r+l 'l=2'-r penrru VxeR- {l} =1s1xa1;1----1 ' ' x+l -lr2'r

Pentru

vxem

{t} , avem I

in concluzie, avem I + (x +

b)Avem lim F(x) = lim r+ I ' \+-r

l)F(x)

= 2"*r pentm Vx e R.

,\,r_r x+l

(z'., -r)

'--r (x+l)

\+-r\

.r0+l _ I

c) Observtrmcd F(0) =

'0 - ' i

/ r*-r -r \ [{x+l)ln2-l''l ', ,l =l-l=t' x+l (x+l), \ /

Consideram tunctia

2'-r +l .

(-L"o) ei r* Jr(r)av=r*r(y)li

=r+

f :(-1,"o)+ R , f(x)= F'(x)-

Evident cd func{ia feste continul pe intervalul

r(x)- r(0) = F(x) pentru vx e (-1,co).

Varianta 72 l.

0 pentru Vx e (0,co).

g{P

= lim

pentu Vx >0, deci funcfia feste stnct crescatoare pe

l+x

Se considera

tunctia f

:R-l-ll ,R. f (x)-lL--!-I

d) Str se determine ecuatia asimptotei spre +"o la graficul funcliei

b) Strse calculeze

r'(x) , xen-{-t}

c) Si se demonstreze cI functia f este concavtr pe intervalul

424

(-o, -

2. Pentru orice

l" =

'i f. lxl --::-r--I JX

neN"

se considertr

funclia

f,:R-+R,

f,,(x) =lsinnxl

9i numlrul

a) Si se calculeze

)ax

l" ( ln2.

b) Str se arate cd

Se se arate

ca l-.

I .+-l) l. >:l2( | nln+l n+2 2n) -+-+

Rezolvdri

l.a)Avem

tix+rd

De asemenea,

f(") x

lim

li^ = \+M

*t;+*lil l, deci lm= |;rn llj] = \ 46 x(x.{ l,

lr(x)-rnx;= ri-

[f(x)-mx] li n=oen. in concluzie, y=nx+n=I x+0=x ln

qi m=lEiR".

ti,n--1-=o.o..i [4]:1 x+l -*l =

) ^'-x+r

= ]rm

tuncfie i

b)observamcd

t(-)=

-'#i-t

este ecuafia asimptotei oblice spreaoo la grahcul

=IEt!*+=**l

pentru

vxeR-{-1}

,deci

': l =l- ' ., pentru Vxâ&#x201A;ŹR-l-ll '(x)=lx'x+r / \ (x+l)TI' ct Auem f'(x)=lt ;+l ==a pentru vxelR-{-l}. observam ca L tx+r, I (x+rl <O pentru Vx < -1, deci funcfia feste concava pe intervalul (-o,-l) f '(x) =-f + f

2. a)

Avem

= jsin zxl dx = fsin zxl ax + Jt, {";0,,

000r I

z* a* * jsu zxlax = Jrin

t t^

-lcos2xl' r ) | -lcos2xl lr

=-l{-t-t)+:l r 2L l.( l)l=lrl=2. )

425

f -ttr*;0"

I I

b)Evidenr f"(x)=lsinnxl

pentru

vxe R 5i VneN'.deci t" =

i i

2a -l;'2a = In(27r)-h n = ln1 = =vz

c) Pentru n e

,p"(,)=;.ob1inem I" =

I rn

t I

e N* ,cleci In 3 ln2 pentru vn â&#x201A;Źl\

arbitrar frxat, considerdnd schimbarea de variabild <p,

J-;o

*(,""r *

.znn' r

- I(n.k+l)tr|

t)l

t n;lll

.2nnlslnl

[l = JtnJtPJl *

t61

[

Ftntl61

obsewrm

ctr,

e"(r,

e"(r)dr_

{r'n,ld'.

[

(".T')'+dt

l I

:[m,2nn] r [n,2r]

k=o (n'k)r

;

I I

J+*.Ji*-

,,nrr..r,"_'"{,i"rl,in*lo_='il,rlt"(,)l

I I

pentru vk =

di-r,

avem

r'"-j""ffi* *

t'-it" t

1"i1"

=at -,:j'ts|'''1a'

*.t;

Jlt-ty.-'t'l

ffi =

Jl'-[t.1" - t1']l

ffi

1'''t *

at =

6;*6

J'i'

. .deci r- yr"-'1')^l'intlot,y----= =--l-(-.o.*ril----l (n-k+l)n\ '"'"r0/ (n+k+l)o'--- '" = 3,",{,. t -'-ft(n-k+l)n I

z+l *!lp.nt., vn.N'. ) 2 21 1 | =-nf,!n+k+l r\n+l n+2 2n)' -+-+ -=_t

Varianta 73

I I

i I

l.Fie aelR

ei tuncgia

f :R - {-l.l} -+R.

*?...r

r(x)=fr.

t I

a) Sd se calculeze lim

f(x)-

b) Si se determine valoarea numirului a, gtiind ci 3 este punct de extrem local al funcfiei i c) Sd se determine valoarea numirului a, gtiind cd graficul funcliei fare exact o asimptoE vertical6.

426

2' se considera functia fo rlR -+ R

,t- _

irnctia f,, :R

+ R,

(x)=

JE,

(x)= t

gi' pentru orice n e

se deltnegte

(t)dt.

a) Sa se arate cd

.z1tt.

rf (x)

= Zfr

(x), vx

xf. (x)

lim;-:j'' f"-r (x)

b) Sa se calculeze

'l r

c) Str se calculeze volumul corpului ob,tinut prin rottea graficului funcliei g,

[o,n],+ [o,n], g(x)=

(x)sinx injurul

ox.

axei

Rezolvdri

r.a)Avem

"2**'a f(^)-*'1*-u ItTt(-)=lt*fr-r.-r. r(x,-----r-,

l-l.l|. =,' **."*1, vxeR {-r.r} =1,

i,,r:",",.vxex

[ I r., "-, rlJ'= (x)" ri. ll,r'**ru*l]''il | .\tunci rimf - \rimf ,.\,*x--a x'_t ) ,-.Lt x. _t )

=er=e.

("'-t)' x2-1-2x(x+a-l) x2-2(a+l)x+l =-- ,, J J --,. (*' r)

pentfu Yxe.\,

(^,-rJ

f'(3) = -

l'?

+z(a+1).:+1,_6a+16 _

-i-l.li

.oecl

3a+8

Daca x0 = 3 este punct de extrem local pentru functia f, atunci, conform teoremei lui Fermat, avem f

'(l)=0.

c) Fie g : R --+

observam

deci

ra,R -=0 )a=-- 8 --' 323

R, g(x)

= x'? + x + a, dect f

(

pentru Vx € R

- {-L l}

ci c(-1) = u qi g(t)- 312 ptta g(-t)+ 0 9i g(1)+ 0' atunci limitele

punctele xr =

-1

Si x2 =

ale functiei f

(x)=

laterale in

sunt -co sau +o , deci grahcul

fucliei

-l , respectiv x = l ' ..) x(xrl) x ' tt) = ' Daca presupunem ca g(-l)=0. adici a - 0.arunci f(")=";'i=; x-l (x-t)(x x2 -l pentru Vx€lR-{-l,l} ii evident cd graficul funcfiei fare exact o asimptotl verticala, Iespectrv

f admite doua asimptote yerticale, acestea fiind dreptele de ecua{ie x =

dreaptade€cualiox=1. 427

Dacd prcsupunem cA

g(l)

(x-l)(x+2) x+2 )--.+a1.,=-x+l (x -lr(x + ^

= O, adic[ a + 2 =

:] a = -2,atunci

VxelR-l-l,l|

pentru

f (x) =

I1j xj x2 -l

evident cn Braficul functiei f admite exacl

asimptoti verticald, respectiv dreapta de ecua.tie x = -1 . in concluzie, graficul func{iei f are exact o asimptotd verticali daca 9i numai daci a e \-2,01

2.a)Avem E(x)= lfo(t)dt= ltat=tli =x pentru Vx â&#x201A;Ź lR, respectiv J "'' J 00 x ,lx

ltOt

=:l21"= a2

pentru Vx e

2fr(x) 'vz =22-=21r1r)-f,'(*)= 2"

pentru

b) Demonstrlm prin metoda inductiei proprietatea P(n): Pentru

n=1 oblnem P(l):f,

(x)=i-l

"uiA"nt

VxeR.

f. (x)=

P(k):fr(x)=il

demonstrdm cd este indeplinita prcpdetatea

'",r

Jtt,)a,=

in concluzie, proprietatea Pentru n =

0 uu"m lim

Ji"=. (n)

f,,

99lA

tr-r

pentru

VneN*.

pentru un

l): fu.,

keN*

oarecare gi

(l<)=#

*u-' l' -;I xr.r=C;T>P(k+1). *,

-*,1,

(x) = ll

"r,"

li- t+l

x-- fr (x)+ 2 = xr@ x + 2 =

incadreazl in formula c) Deoarece f,

I-

adevdratd, conform punctului anterior.

Presupunem adevdrata propdetatea

Avem rur,(x)=

1,1a, =

-.2

Arunci fr'?(x)

fr(x)= Jt

xf"(x)+t lim-l\J-=l=0-1. \-fr(x){ 2

u6"u6ru,6 pentru Vn e

iar pentru vn â&#x201A;Ź

deci

xf-(x)-l

avem

lim;--j-i ^-=n-l \-.f,,.r(x)'2

pentru

Vnel

(^) =^ O"n* VxeR,deducemcr g(x) =t(x)sinx=xsinx, Vxe[0,n]

428

Avem Vol( C,,)=^fr' 0

al l"'a* )t J IJ*"o' 0

11 1ll 2_: - srnzxl

6 4l

="-;[.*,,"1;-i.'.",,.0"J=+

;[' Yl,J=+ +

Varianta 74 l.Se consideri tunctia f :(-2.2)--> R.

f(x) .rnla.

2-x

a) SA se determine ecuafiile asimptotelor la graficul funcfr'ei f. b) Str se studieze monotonia funcliei f.

c) Sd se calculeze

2. Fie tunc{ia

ri-*rf 1l

\x,/

:iR -->

R, f (t)=

'J,

J[--e- J

2 dx ginumerele

e= [a*.

ix'

= pa*. i*

r(t)=at'?-2g1*{-2t , y1 .p. b) Sd se arate ca f(28- t)= f(28 + t), Vte R. a) sd se arate c5

c) s6 se demonstrez...

"o- i+*l ) [i* , ['t(i l[]li*-

Iiio-'l

Rezolvdri 1. a)

Avem

Jy,f x>-2

(-)=

Jy,t* x> 2

respectiv

= +co, deci

lgt* l'*t(')= x<2 x<2

graficul funcfiei f admite asimptotele verticale de ecualii x = -2 , respectiv x = 2 4

4x2 pentru

Vxâ&#x201A;Ź(-2,2) . Observimctr f '(x)=-+>0

4-x'

strict crescatoare pe intewalul

(-2,2)

t 429

pentru

Vxâ&#x201A;Ź(-2,2)

deci functia feste

r1l

.. ^fl) .. 'l*J ,. r(y) y+0 r+d Ka€ I f

=hl=s t;1'1s)=-j.

c)Avem f(0)

=r,aeci

\x/

v'o

r(v) - r(o)

"' .,=f'{0)=1. =lim y.)0 y-0 2.a)Avem

r(t)='fl-"'l'd-- [5-r'+-.'^lu^ ) i\* / i\x' x .z^12

=at'-2Bt+:1, =Arr 2Bt+b)Avem

j(t'

.4 _.2

2 '

't2

il*=-fl'=-[-L-']=t.o.ci x| \2 ) 2 lx'

-an,*"0

[(ze - t)- ze]' /. c)Evidentcd

-.')=][tt-ze)t =

(-t)'z = t'? = [(zn \, pentru

[+-..)'>o

VtelR,adic[ A

pentru

, ,)

Ar2

-2Bt+"

*"0 +

t2 "\2 (2

|(.i*i [Ll

\r2

J[i'-

)

ix'

2,iLd.,'J",'d,.

r(t)=lt, -2Bt*to-t' 2 2

-"' -+at]

t)- zn]'

pentru

, deducem

vte R. Deoarece

c6 f (28

- t)= r(28 + t) , vt€

vt€R,deci f(t)=

Vt€R,

pentru

(l-.')'dt>0 p*

de unde deducemcl

poate scrie gi sub forma echivalenti

.l f.,"*il [4*l l.i

Varianta 75 1. Se considerf,

aelR, a>l

$i tunctia

a) SA se studieze monotonia functiei

f :(-1,"o)-+R, f(x) =(1+x)"-cx.

(l+x)" >l+cx, Vxe ( l,"o)-{0} , Vd€(1,"o) ca 2f(x+y)<f(2x)+f(2y), vx,ye[O,o)

b) Str se demonstreze ca c) Sa se demonsheze 2. Fie tunc1ia

r :(-t,o) -; n , f (^)

a) Sl se calculeze

vxe[r,z]

-e2 -e2 =(28)" -4A----L<0 >8," <A;.ceeacese eo

j{*.

Vt€R,

=,,

a. Jf(x)dx. 430

Sd se

calculeze

c) Si se arate

lf'(x)[x]dx,uae [x]

cl eirul (a" ),,,,

reprezint6 partea intreagf, a numtrrului real x.

dat de a" = f (r) + f

(z)+

r(:)+

r(n)

- Jr(*)a*, 0

"ste

convergent.

Rezolvdri

1.a)Avem

f'(x)=L(lt *)" -o*] =q(l+x)o-r -o-o[(r**)'-' -r]

Observam ca f

.f-l '(x)-cxi(l+x)' ll<0

pentru

(-1,0], respectiv f

descrescatoare pe intervalul

Vxe(

n"nt o

vxe(-t'"o)

1.0) .deci tunctia feste strict

'(x)=c[(l+*)"-'-r] to

pentru Vx > 0, deci

furctia feste sftict crescAtoare pe intervalul [0, "c). b) Deoarece funclia feste strict descrescatoare pe intervalul (-1,01 9i strict crescatoare pe intervalul [0,"o), deducem

x0 =

este punct de

Vx e (-1,.o)*{0}, avem f (x) > r(o) = t = ru

(

I+

minim global pentru functia fSi ca, pentu

x)" - cx > I > (l

x)l

Vxe(-l,cD) ' Avem f "(x)=fc(r**)" 'L' ) ', '-cl=o(o-t)(t+x)"-'?pentru

c.;

observlm

f " (x)

- cr (a - r)(r + x)"-2 >0

convexa, ceea ce implica faptul ca t

a=2x.b=2y,unde

Ludnd

2f (x + y) < f (2x)+ r (zy)

ltlr,, 2.a)Avem [r1*1a*=

[+)

x. y e [0.

pentru

e+o

oblinem cd

Il xrl =-L\ x-t,r '-+. (x+t).

[r:(x)ax= ,[ fl r

gi Vc>l,decitunctiafeste

pentru va, b â&#x201A;Ź (-l, cD).

f(2x) + f(2y) f(x - y) < -:--r: =

[.Lo-- [l la*=[*-r"1r**;ll dr-* d\'-.r,x/

/r\2

breuem r':1x;=[r-

Vx>-l

+ctx.

=r-r"z

pentru Vxe(-l.co).deundededucemcl

ldx -x-2tn(x+t)-I-q -L.-f ' . x+l xrl 1x r l)..,J

pentru

Vx>

32lt etunci

|- ' ' l*+ [f2 lx)[xldx=tim ff'?{x}[*lax+ Jf'(x)lxldx Jf'(x)[x]c J !, ,-2J I 2 -

I utu2l

t<2

+L- F'(*)[*]d*=]g Jt'{*; to^*rrm Jr'?(x) zax= Ir'(x)dx+2F'?(x)dx= | 2 2 u<3

tl<2 I

u<3

431

L1'=(r-r^r-1.] f ,-r"r-fl=f* zulr**; .Ll'-rf1-xJr I 2rn(r+x) ' l-xl, \ l) \ L 2, *z[:-:tn+-|]-zf z zr":-1.]=.19-6h2 r 2ln3. 4) 3/ 3 \

.t x+l'*rl"*l . o. '.nh

c)Avem f \"/ 1x)=-I-.

Vxâ&#x201A;Ź(-l.co) si

pentru Vx >

crescAtoare pe

Atunci

an+r

-1, deci func1ia feste strict

Ll ' -r,, f'(x)=lt (

iitervalul

".r

-a" =lr(t)+r(z)+...+f(n)+f(n+l)- | f(-)d-

tdl

t,o)

-lf(r)+f(2)+...+f(n)-Jr(x)dxl=f(n+r)- lr(x)dx= | (rin+r)-

L;];;

ar+r -aD

A"em

>0=a,,*, >an

pentm Vne N',adicigirut

lll ,'l

.n_r

r-r

=-1 ^ to (xrl),

(u"L.*,

r(x))ox

este strict crescitor.

n_r

r_l

-Jr(*;a*. lrlry.a f(x)dx=I Jr1^.yo*'l Jrlr;a*=lr1r).aeci k=o k k-o i k=u *=o 6

unde deducem cd

=f(n)<1+a" <l

IrtuiIrt-)a-. irlry-ir(k)=,r(0)+r(n)= k=l k=l 0 lt=0

pentru Vn e N' , adicd girul

(u")".r.

esre

mArginit superior.

Fiind stdct crescator gi mirginit superior, deducern, conform teoremei lui Weierstrass, c6 girul (a,, )n.0,. este convergent.

Varianta 76 1. Se considerl funclia

a) Sd se arate cA

b) Sa se arate

:(0,"o)

+R, f (x)=111n*.

gaficul funcfiei fnu admite asimptotA spre

ci ecualia f(x)=

c) Si se demonshez"

31. o

li- *t -l "6 r_ro X _ Xo

2. Se consideri sirul (In )nr, , definrt

rolufi.

*i.l

+co

[1,fJ

= f'(xu ), unde xo este numarul definit la punctul

pr," ," =

il1al)dx.

oricare

arfi neN*.

a) SA se determine Ir

Sd se arate cd

c)Sasearateca

'o'

girul In este strict descrescator. Jim_

I,,

(se considera cunoscut faptul cA

n(t + t)< t, VtE(-l,co)

Rezolvdri l. a) Deoarece lim

f(x) =

(x+lnx)-+.o,

lim

asimptota odzontala cAtre +co

deducem

iro

. (. l)

x+6

[f(x)-

mx'l astfel incet n e R

asimptot[ oblicd la +co

b)Avem

Pentru Vx

/r\ r r tll l-11;nl '-t \eJ e e e

ci graficul functiei fnu admite nici

>0,

deci func.tia feste strict crescItoare pe

l-t.0.respectiv e

Deoarece tunclia feste continui pe (o.oo).din

f!1,t \ astfel incit f(xu )= 6, *1"i,u,.a \e ./I

c) Observamci

1 = a.6 , u4i.5

$i, in particular, est€ injectivA. r

ttxo

observam ca

1irrr

, de unde deducem

f'(x)=(x+lnx) =11-;'g

intewalul (0,o)

r(*)

l.Oecl Im-llmxJo x

-llmIlt-| x-r@\ x)

m=lelR'.Dar lim[f lx) mxl=]im(x+lnx-x) y' lim

admite

(x*lnx) f(x) .. ::-:,:::-: x+lnx .Iim r-------------.. -l--1= lim

Avem lim

ci graficul funcliei fnu

er(x)

er+lnx

=e*

er""

t[11. \e,/

f(l)=l r lnl=l>0.

o ,t

f(l)> 0 deducem ca

lui xo hind o consecinfi; injectivitdtii lui f.

=e*.x=xe"

pentru

Vx€(0,"o).

l- li. e. fl\) -ef((o =.i("r't'(*o)=f '(*o). x+xo X-Xo X-XO

Arunci lim 2. a) Avem

t, =

i$o'-

ir.1'*r;[r"1**r)]'ax =1n'?(x+r,l:

00 b) Pentm Vxe(0,1) si VneN',avem 0<x<ll.x"

>rcx,,-, .r.

x,, .

*0<x"''

<xn

'' *]1

r+0<rn(x,,.,+l). ln{x" -l)=0.I!

=+ .*P=

r.lnix" r

rt),.tnlx" r t)'4*>0r1,,., .;0< l-1---J6^ - Jl--' < I".adicdSirul (t,,),,=*. esre strict J x+l x+l d.r"r.rlator gi I,, c) Deoarece

o pentu- vn. N.

ln(l- t)< t

pentru Vr e ( l."o). deducem ca

II --a nn

1,, <

+JJ

',h(x" ,l)

l" J--* 00

Pentru vn € N

-n . J--O* .

Deci 0 < In cA

a-l n

pentru Vn e N' 9i, cum hm

, deducem,

conform ,,criteriului clettelui",

limI" =0.

Varianta 77 f :iR -+ R,

e' -1 , Vx e 1R. a) Sd se determine ecuafia tangentei la graficul funcqiei fin prmctul de abscisd x=1, 1. Se consideri o tunc1ie

astfel incat xf (x)"=

situat pe grahcul func{iei f.

Str se arate ca

in x=0 dacf, linumai daca f(0)=1. continud in x = 0, atunci ea este derivabila pe

funclia f este continutr

c) Str se arate ca, dacl funclia f este

IR.

(t")".r

2. se considerd girul

.l" = Jtt*-t)tr-^)1"0^. I

a) 56 se calculeze I,

b)StrsearatecA 2(2n+1)I. =nln-,, oricare c) Sd se calculeze

arfi neN, n)2.

lim ln.

Rezolvdri 1. a) Observam ca

Avem

f(x)

r(r)=e-1,t

-rl

Dentru Vx â&#x201A;Ź R'

r,(.)=[-) =1I-*a

pentru

vxeR',deci r'(r)=l

Ecualia tangentei la graficul funcliei f in punctul de abscisf, x = I este y-(e- t)= 1.(x (t): x - y+e -2=0. = r'(t)(x -t)

y-r(l)

b)'rio\'r-0x Ave m lim t{ x) = 11Functia feste continul

Sl:-l

in x - 0

-l)e

= .o =

1 .

daca $r numai daca hm f

c) Dacl tuncfia feste continua in x

(x) = f(0) <t f(0) = 1.

[.''r

=0.

arunci

'*t " ^ fr,*=o

f(0) =1.6..1 f(*) = ]

Observdm cd funcfia feste derivabila cel pulin pe IR' , fiind construittr cu ajutoml unor funclii derivabile elementare. e^ -l f{x)-flO) - -l -l-l=lim ("^,*-r)' =lim-'= Avem lim " = lim ^ =lime x-to x -0 xro x x-+@ x' xro x-+o 2x ("'

434

1.. e'I I l I lR, - decr..tunctia feste dedvabilf, 5i in puncul xo =0, =-hm-=* =-â&#x201A;Ź 2x+o x 2 2 f(x i- f(0) r . f '(0)= liq ':. In concluzie. firnclia feste derivabilr pe R x _ 0-:--: ^

|."

-;),,

- rx)(x - r)"-'

(2,.)'''

= " (r.' . * -?)(x -r)"-' (z - ")"-r ax =

nizl* rttz ') -l l{' t) '{: ")"a* lL

fI zf. ,2. I a. .) nl2J(x l) x} dx = {2 J(r

=.:nr,,.{r., " 2 " r )r,,

2nr,,

)

t1"'1:-^}"'d. -"[r'"-1', l= I '

.r{2n+r)t,, - I r,, , =. 2 {2n , l)1" =nt",. +ll._, 2 "-' 2"'

c) Deoarcce,

pentu Vxe(1,2),avem (x-i)(2-x)>0,deducemcd I,,

pentru Vn e

N'.

Din relalia de recurenF 2(2n+1)I,,

- 1{r,-rXr-4;"*rO l

=nI,,-'. neN, n>2,deducemca

=1< l, deci sirul (I"),,,' este strict descrescator 5Iu-r= =#-=.+ 2(2n +1) 4n 4 mfginit inferior, deducem, conform teoremei lui Weierstrass, Fie a=,limI". a e R. Presupunem prin absurd ca a t0.

Fiind strict descrescitor $i

(1,,)",,

este convergent.

435

cd qirul

o,un"1

11.J-t= = I , ceea ce contrazice ;;;I' r a I"

in concluzie, a = 0, adicd lim

observafia cd

p"n* lt.f In-r 4'

Vne N,

n)2

Varianta 78 l.

Se considera tunc1ia

:lR-n. f(*)=V"'-l**2.

a) Sa se arate cd graficul funcliei fadmite asimptottr spre -'|-co. b) Sl se determine punctele de extrem local ale funcliei

c) Sd se calculeze lim

x(2arctgf(x)-rr)

f :lR-+lR, f (.)=;. -

2. Fie funcfia

J+COSX

! 3

a) Si se calculeze

Jf(x)dx. 0

b) Sd se demonstreze ca orice primitivi a func(iei feste s$ict crescdtoare. c) Sd se calculeze

r^. lim , lf(t)dt -_o

Rezolvdri

l.a)Ayem

r(*)-,,n {/x'-lx+2 1.Jr-4*4=VI=r.deci l-= li- f(*) ti- \--Y r-. 1 x++d x x x' x'

= lim

-1-r) =;lim-:,:j Jxto

-3x+2

.'[[f,F:;.fi34.']

n=hm f(x)-mx ;0=0.decif J x' in concluzie, dreapta de ecuafie y=mx+n=l.x+0-x

n=0elR.

esle asirptotd oblicd spre +co la

-..fir,,1 6,h.r;ci f b) obsewdm cd xr =

-3x

+ 2 = x3

-l-3x

+3 = (x - I )(x') + x +

(x .\ + * - z)| =(x-t)': (x+ 2), deci x3 -lx+2 \ l)(x'z ,

436

r)-3(x -r)= x e {-2,1}

(x - t)(x

t) .

Observim cd f

rl)

-1l(x '(x)=--ir--;>0 {/(*3

Vxe(-co,-1)U(1,co)-{-2} , deci func1ia feste strict [1.co). respectiv

. (x-l)(x-l) i'(x)--<0 + z){(x3 -:x

penm.r

local ale funcliei c) Observam ca

-rx + z)'

crescatoarc pe intc{valele

Vxe(-l.l).deci

descrescdtoare pe intervalul [-1,1] , de unde deducem ca xr,2 =

pentru

(-o,-t] li

tunctia feste strict

sunt punctele de extrem

]11t("1=

llrnV*'-:**Z

=+co.deci

,lim

arctgf(x)=I. 2

Avem rim

tim =-2 y-.

y(2arcrr,

^)=

; =-2.deci y-

JTlgTry

L Jl

r+y-

J'*

',2

limx(2arctgf(x) r)= limf i(x)(2arcrgt(x)-n1

,-.1

x -f(*) (-2) | - -2 ^--

o-.[o.l'l

t;J

lrrn y(2arcrgy = y-' "- n).' lim

2.a)Penrru

:'*!3#9

.uue-

-x r

tx, l

i(*) ---L Jlcos\

-t+ te-)X -2=

/ x)'

l"zJ

4+2ts2L -2

t*ts-

-2 x \ll / r\ :l ( te;ll l lte; ltc;L ., aecr lr(x)ax - l. "" = t_:_ -l J JJ+COSX ll '12 i.J2 00 i(Ji)'*tg'\ J2 l J2 )1" /

I1 ll

Ox = ---F arctq

----3

=-tr.lo

lz b) Avem

ill

-(J0

cosxe[

1,1]

pentru Vx e R, deci

3+cosx>O=i(x)=-1*->0,

437

VxelR.

Varianta 80

f(.) = ./;{ a) Sb se studieze monotonia funcliei I 1. Se consideri tunctia

R --> lR ,

b) sase arateca {x') r r)r"(x) rxr'(x)=./inr.pentruorice c) Si se arate ctr graficul funcliei f admite asimptotl spre -co

, f nxn o* . ln ' J *=, 0

2. Se considerl girul (1,, 1,,,r a) Sf, se calculeze It

xâ&#x201A;ŹR

. I

b) sd

se arate

\ =ltt2-Jn(r**")o*'

vn. x-.

c) Si se calculeze lim In. Rezolvdri 1. a)

Avem f

'(')

(.f,t

pentru Vx e R. observam

ffi

pentru Vx < 0 , deci functia f este strict descrescdtoare pe intervalul

'(.)

fr !x- +l

brevem f

> O pentru Vx >

(-o,0]

func1ia f este strict crescatoare pe

J"nl

.;e,,e- rr-@= ,_o x

= r,-- !{C

-xf '(x)=

rin-'

ffi

ai m = - l e

x2 +l I -x2 (J7;)

,":1 {l+J_x

1R' .

(x'?

intervald

Gi*l =- rti,,'' ,_o _x

"rlqlr I

(^) -

v"R'

-.] = -tlT.(Jfu

3n=,lim-[f

(*)-rl*]

y=mx+n=( l)x-0=-x

-'[-]-o* Jx+l ='fldt,--!l* xrlJ =fx-rn(x-r)ll =r-rnz. 440

[0,

=-,^.8=-l,deci .-_-y(_^)-

De asemenea,

rim $-=0,deci = ,:';"/i{-1

+r)f '(x)+ xf '(x)='.,F*'*l p",,t u

Deducem cd graficul funcliei f admite spre -co asimptota oblictr de ecua{ie

2.a)Avem,,

1;f;

respectiv

f - ) / " ) x'f{x)-xf'(x} Jx')+l-xf'(x) "(x)=1JFj =ll;ij =--F(.) = .'_r

+ (*' +r)r"(*)

0, deci

cr r'(x)

-,.)

ei n=0e1R.

i+:* I q+* l[',"" *r)]'

b) Avem r,, =

/..

xrn(x"'

ljlo

I. a

- Jx'ln(x"

. t)dx =

tn2-

000

c) Deoarece

tn(t+t)<t

I I

t -

Jln(x"

a* = ]

t)dx

penhu Vt>0,deducemcd tn(f

I / r,, . rnz_ . x"-. )ax.

Jrn(r

+*").x"

pentru Vx>0,deci

tr. ,. 'a .. r ',u_' I' llnll r x" ldx < lx"dx=Ll =-. n+lln n+l ' ' d J tvrdent

,t.-\-,,^.,".r, ln[l+x"l>lnl=0

pentru Vx

---- lirr., --]-! '' .u,n n+l 9i.

0. deci

Jtn(l+x")dx

>0.

in concluzie, avem 0 < [f. (r J \

)4" / .

"--1a1

= o . d.aucerq conform criteriu-

luiclegtelui.ct

, -, t , I lm '. limt" limlh2 ltn(r-*")a" l-Uz. Jln(t+x")dx =0. Atunci n--' 'l j: o

"-t

Varianta 81 l.

consideri tunc1ia

f :JR'+n, f (")

a) Si se scrie ecua{ia tangentei

(* - l)e-i la gnficul func{iei fin punctul =

graficul funcliei f.

dâ&#x201A;Ź abscisa x = I , situat pe

SA se arate cA functia admite douA puncte de extlem. c) SI se determine ecualia asimptotei la graficul func{iei fspre +"o

2. Se considertr tunctia

f :[o,co)rR, r1^;=

JI,JC*tat

ci functia feste strict crescdtoare. b) Sa se calculeze f (l) . a) Si se arate

sl$[

63lqu[s2s

f/Y)

lim_J2

,-_

Rezolvdri

rl'

l.a) r(r)=(r-l)e ' =0, f'(x) =l(x-r)e " I =z ; +(x-r)e -f I x2

pentru Vxe1Rt,deci f

'(t)=eI=1. 441

x2+x-l *2

-1

i t l I

(t):y

b)Avem f '(x)-

i I

observarn ca f

--(x l)ox

-',, ' .-''-0<;x2 " ;i

'' r e'>0

"/-" '(x) a-:-

este

I = 0 . cu solulirle

(

t-r -;-

6.oJ

=-lr.16 Z-

)

deci

resnectiv

l-j,..j'

[--

)

-]r[-i.a

r -'--Gl I r'.F ii

[

descrescatoare pe intervalele |

*'..,

:j, vxe[-"o.-r-.F)..(-t-Js

-] r'.61-10l r-6. penrru o^.1

'2 | ' f,(x)-l---i-r.e'<o

pentru

ey-1=0.

func-tia f este strict crescatoare pe intervalele

*,.,

de abscisa x =

(l)=f'(l)(x-l)ey

I I

fin punctul

Ecua.tia tangentei la graftcul functiei

lo'-'*frJ'0. 2l

sunt cele doud puncte de extrem ale func{iel

,deci tunctia fesre srncr

)

unde deducem cb

(x-lle i f{x) lim\' ^/c) Avem lim!= xx+-x"--1 Deasemenea.avem i

= ; I

i i

i I I

I I

e .]-rl=-t-lim t.. i;;.'[-

]

f(x)-mx "t]1,

in concluzie,

| I I r r ) rl r).-i --]=]Tl^[.'',J-' ^]=

[

_r,m[r(x),rnr1=1*1,-

._1

r+ timx[

.. f(x) l,deci lm= lim! 9im-1eR'

-, 1=-t-ti-911 =-1-.0

=-2,deci

n=-2â&#x201A;ŹR'

y=mx+n=1 x+(-2)=x-

2 este ecuatia asimptotei oblice spre +co la graltcul

luncliei f.

(') 2.a)Avemr'(x) =l lCJt'?+ldt | =r3{xr+l \; ) f '(x)

=*r1f,']+t >o . t-r-

b)Avem

pentru vxâ&#x201A;Ź[0.cc).Observamcd

pentru Vx >0, deci func{ia feste strict crescatoare pe intervalul

(/.

i-1

t[,.

f{l)= Jr'Jt'*tor Jlt(t'-r)-rlJr'!'ror=

=ll(,,.')l .

ou"',d['j

il' ]1,'*r;; -r

t(,'

[0,o)'

\] '!l l)j-t(r'?-l}'z ldt=

\ ./' .,'.6 , r --1lz:-r'= ':(4't-r)-,(:"0-r)=:-e: s'

I ilr, _\ I 3l ,u

442

f(x)

Avem lim --f---r = x+6 xJ

l*ffi=i:*#=ieffi

I 5

Varianta 82 1. Se considertr girut

(a.)",0, aefnit prin

=.[,

a,.,

=J2Jil,

VneN.

a) Si se arate cd (an )n,o este strict crescitor.

b) Sd se arate cd giml (a,, )n,o este convergent. c) Str se calculeze 11-

an+z -an+t

n+- 3n+t

2. Fie tunc1ia

(

a) Sd se calculeze

Sd se arate cA

0.1

10.-t.

i('rl:::1bl"'

r,\

fl : L (4,

funcfia feste strict crescAtoale.

fr-l

c) Sd se calculeze lim

l\an

r_o xl

x>0

Rezolvdri 1. a) Evident

.,6

r t = z *.,6 r I - rE

*.6 r..6 *

=16ffi

Demonshtrm prin metoda inducliei matematice proprietatea

Pentru n =

0 obfnem P (0)

ao <

I . evident

P(k): a* <a1*, pentru un

Avem ak <ak*r

P(k

ar > ao

adevarati, conform observatiei anterioare.

Presupunem adevAratA proprietatea este indeplinitd propdetatea

r u5 = ao =

p(n): a" <a.*,, VneN.

l): a**, < au*,

keN

oarecare gi demonsham

=)2+ak<2+aki >J2+ao <ri2+au*, ttk*r (?r,r2 =+p(k+l).

Deci prop etatea P(n) : a" < a"*, este adevAratf, pentru Vn e N , adic6 girul (a.

)n.*

este strict

crescator. b) Demonstrim pdn metoda inductiei natematice proprietatea

Pentru n =

0 oblinem P (0) : a0 < 2 , evident

Presupunem adevtrrata proprietatea este

indeplinita proprietatea P(k +

Avem a* <2=>2+ ar

pentru un

kâ&#x201A;ŹN

oarecare gi demonstrim cd

ar*t < 2 .

.4 = .li + uu ., J? =

Deci proprietatea P(n) ;a" <

(n) : a" < 2 , Vn e N .

adevirata, deoarece ao = r,6 , conform ipotezei.

P(k):a* <2 1) :

u**,

<2=p(k+l).

este adevArata pentru Vn e

superror.

443

N, adicd girul (a" ),,0

este

mlrginit

$irul (a" )",0 frind strict crescf,tor

$i rndrginit superior, deducerrL conform teoremei

lui

Weierstrass, ctr este convergent.

c)Fie a= liman, aelR.Deoarece

a.(Jl,z].

crescitor, deducem

Jl <u,..2

pentru

VneN,iargirul (a,,),,,0 este strict

Trecdncl la limitd in relafia de recureng

"z VneN,obfinemcl a:.!2+a=a2 =2+a.+a2 - a - 2 -

respectiv a2

C)bsendm

-2.({Z,Z), d,r..: dn'l

ilV-

Jt."

*rl

(Jz*u,,-,

) -[Jr*",;

-,2 .Jr-q, ) (",,,, -",,)(J2+..-\2

a,,*r +\i2+a,,

+v[+4

2.!2 +

"" 'rlsint+costlsint '.,

2.a)Avem l:______;---:--dt= l{tg't+tgtldt

-t g (n[,2],

*1:.--_'

(",,., -",,X.vD+r,- ..,,6'' r" )

- ,,i-; J2 ..

solutirle a, =

deci a = 2 .

4n+l - dn

?r+t -

0 , cu

u".' =.'p*u"

cos-

'.,

- l(l+tg"L'l rtgt)dt;'

tg* * ln(cosx) pentru o".{oil / .) ( t) t"t Anrnci f| j =1p----Lr cos-l=l n lnl -ll=l----1n2. 'r l. ^ "4 \ (4,/ 4t a lJz) 4 2 4 (i{rln,, cost\sinr ) {rin* .cosx)sinx b)Avem f '(x)-] l#dt =--;:-tg'x+ cos- x cos- I l; , =lrgr-t-ln(cost)li

tgx

penm.t

o.'{.n],J' deci functia feste strict crescatoare.

Varianta 83 l.

Se considerd

tunctia f :R

-tll

llJ

>R.

f(-) -,il+l ril*_ll

a) Sd se arate cf, dreapta de ecualie x = I este asimptoti verticalE la graficul funcfiei f. se arate cl graficul funcliei f admite asimptotd spre +co . c) Str se studieze derivabilitatea funcliei I

b) Si

444

t .t ,lo,;l-

2. Se consideri funcliile r,,

* i^+-; r' (x)

a) Str se catculeze

n, f"(x)=-----l

. n€N'.

cos x+srn x

b) SIse arate ci, dactrF

este o

primitivl

a tunctiei

i .t

f.,

atunci

f"(x),=

(fo (x))'?sin4x,

Vxel0.:1. L 2l !,r 22. c) Sa se arate

x (x Jfsinr t"' )dx = J[cos] x f, {x )dx = 00

-l

Rezolvdri

f-----:i

Avem limf (x) =

fiq-./llil \+r

Ylx_rl

= +co, deci dreapta de ecualie x =

est€ asrmptota

verticald la graficul funcliei f. b) observtrm c6

nll= **l I{ > o <> *. (---,-l}U[l,o), o"nrlv*rr. \ /_r , a."t l*l*_tl x_l x_1,

(*)

enon.i rim r(+o x

;i.

Itrl

"Vl^-tl "

De asemenea, avem

li,n.,E=r.

\-6Yx_l

[r(x) - mxf

"rrm

deci rm=,,n-,

I(I)

116 x

g[.rlFI

r r-_--=\2 I lx+l

,i m=leR..

n " [rH

-')

lY*-l=.1 =],,*"[::1-,]=1r,-*.-' =1.2=r,o""i = 11-* 2r)- \x-l ) 2,'- x.l 2 /x+1

llx-l

ln = lm [f(x)-mx] ti n=leR in concluzie, graficul funcliei f admite spre +co asir$,totf, oblica de ecuafie y = mx + n = x c) avem

rx-rr Ja-i .. 1(-€o' t 1":-lt

(--,-r]U(r, -),

-rlu

respectiv

cr x e [-t,r),

(r'co).

xe[-r,r)

de unde rezurta

==tr

445

ca,, -,

J.E'

aect

x e ( -"o' - rlu (1'"o)

i_j]+ xe[_r.r)

Evident

func1ia feste derivabili cel putin pe R-1-1,11 , fiind construita cu ajutorul unor

-l

funclii elementarâ&#x201A;Ź derivabile. Studiem derivabilitatea functiei in punctul xo =

Avem lim

f(x)-f(-1)_ , -(-1)

. r(x) t('t)

-*-.respecriv tim x =* ti- * V2 '-lr Jlx.ll l:_; [-rr

llx+ll

X l1-l

.. llx = llm

x+-l x+l

-= | l- JiF l= -+ ,,n' -Jiil'.l - -* r,. * l;' [vl- - 'l + I J .,/2 l:,' l*. rl {2 I],, ,/l* functia fnu admite derivati in punctul xn = -l

,,-

-:o.

de unde deducem

in concluzie, domeniul de dedvabilitate al func{iei f este R

,-L "(-)= cos'x,sin'x

2. a)Avem f,

L 1}

lr{xl

tslnx

cosx

!L ,e.n.i =

ffio^ ;'r(",

(1-0)-(o

'f .o,"+,in*)d* ,[.1n" .o,*]i

;

=[t'"] -.lJ

(sin0'cos0)=

r)= 2.

t)'

- 2 rint *.o.t *

-](z rin x cos x)2 = 2 1 tint2* oecl lt(*l=.oro = =]-l1ot'2^ =1-11612,.=2 **rini* 1-."Jrt 2 2 -' ,,. o,fo.jl >R oprirnitivroarecareatuncliei [o.Arunci F'(x)=fo(11.e*'[0.]l o*'

b) Avem cosa x + sina x = (cosz x + sint

F"(.)=

| ) {l .ott 2") ' --,G6 f;(-)=i;*rl

o"no* +

cot'

2;:

2 (-2)cos 2x sin 2x

,, =f\ :I + cos' 2x l'rin+'=(io(x))'?sin+x I

z')' T -l pentru vxâ&#x201A;ŹL0,-:]. (t n

"or'

z^)'

c) considerdm schimbarea de varrabrla

_' fo.*l I zl [0,{.l' L .)

446

..p(t)

=+-t

If.

o(o)

fsinrxf, ..(x)dx

o.r

t ' = J[ sin] xf,{x)c ,, ,lx= Jsin'e(t)t(o(t)) I ,frJ \2)

,o'(t)at=

^ln

Jsi^'

\ r-

l;-r.Jf, l;_tJ

(_r)dt = t Jcos' t

(r )dt . rezuhat care poare

fi scris 5i sub forma

t JcoJ

q ^

i^,;ar

In concluzie.

.(:tta

, deoarece variabilele x

', Jsin'

00vO

fi t au acelaii

2n x

(x)dx = Jcosr

;

domeniu de varialie.

t. x

(x)dx

x q (x )Ox Jsinr

= Jcosr x t (x)dx =

:-t'

| (x' ={l zt:lcos'xf,(x)dx+ o i[sin'xf,.. .ld l=1J[cos'x*sin'xJfr -o l.' ) !" .)

,"rp..,* fO,Il L 2)

(x)dx=

=]z J. fi.o.'x+sinrx).---!-0:r =l f .*, cosx_sinx

x-cosxsinx*

sin2 x)dx =

I 12( | \ r[ r l] 1.1*11.orn,coso1=I*11_21= r , -:.;\Jl t --sinzx tr-l jax =ll x+ l.o,2, = l' q z 2L ) Jn 2 2 8. 4 1

Varianta 84 l.

Se considera func1ra

f :lR'--rn,

f{x)=4. x funcfiei i

a) Si se studieze r.ronotonia Sd se determine asimptotele graficului func!.iei c) Si se calculeze hm n, (f(n)-f(n + r))

447

2. Se considerd funclia

(l)

a) Sd se arate ca f

:-t+R. f(x) i.-'(rt -:,*z)Or' .

b) Si se arate cd functia f admite doua puncte de exfem.

f{x)+ f(-x

c) Sa se calculeze

li+

}

--.i-).

Rezolvdri

r{-) '''' lil -(x-l)e' pentru vr â&#x201A;Ź IR'.observamca r'(")= 8:]]t x' '0 lx ) ^'

r.a) Avem pentru

Vx<1, x *0,

deci functia feste strict descrescatoare pe intervatete

. -l)e' '(x)= !1-l-11> I (x

resPectiv f

f(x)

b) Avem

pentru Vx >

(-"o,0)

deci funclia feste strict crescatoare pe

=-lt-;=-A?=xlim

(0,1],

[],-)

ex = +co , deci grahcul tuncliei f nu admite

"lim

asimptota odzontali spre +"o

De asemenea.

rin-,t') =]ri-:-=*-.deci ri-{= ,- r(*) = x+o 2 \-- x xJ+o x 1r '-- (-')

ri/m= x+d

f!1)

incdt m e lR* , de unde deducem cd grahcul funcliei fnu admite asimptotd oblici spre

uur",

+oo '

Avem'limf(x)="11-;=o'decigraficulfunclieifadmitesprecoasimptotaorizontald de ecua(ie y =

0 (adicl

axa Ox).

Observtrm ca functia f este continud pe 1R', iar in punctul xo

-0

avem

respectiv fo (0) = lim f (x) = Iim ix>0 r>0 x<0 x<0 funcliei f admite asimptota verticald de ecua(ie x = 0 (adica axa Oy).

i, (o) .

lrlir(x

)

I'T:

c) observf,m c6 n'7 (r(n)

--.

-r(n +r))' =''

n'?

(r(n) -

r(' -,))

deci sraficul

L-+l ] -.i n+l/lo = n+l)= "' \n |

^2 - n(n+l)' ;n :;[-(.-t)n+lle" -j' n+l L-(e-l)n

Atunci

- -o.

=,${ff

' lle" pentm vneN'.

[-(" - t). * r]." ]

--. t

2. a) Avem

1'?

-31+2

=(t-r)(2-r)'

0. vt e (0.1). deci

448

f(t) J.' 1,' -r, r z)ar'0.

(^,,(t,-:t+z)atl

r'(x)=l

b)evem

\; Observdm cd f

'(x)

)

= e-" (x

=.r(*,

_rx+z)=e-,

1**l)(x_2)

pentru

- lXx - 2) > 0 pentru Vxe(-o,l)U(2,co),decitunc1iaf

vxeR. este

(-o,t] ti [Z,o) , respectiv f,(x)=e-"(x_t)(x_2)<0 ientru Vx e (t,Z), adic6 tunc{ia fesre stdct descrescdroare pe intervalul [L2], iar f,(l) = f,(2) = 0 , de unde deducem cn funcfia fadmite doua punctâ&#x201A;Ź de exter& respectiv xr =1 fi x2 =2. strict crcscdtoare pe intervatete

c) Avem f

+e-* (2x

Atu,"i

'(x)

e-'

(', -:'

-3)= -e-'(x'

+z), aeci r"(x)

(^, -r* * z)]' = -e-" (x, _3x [e-" -Sx+S) pentru Vx e R, in particular f,(0)= _S. =

r,qq+:t g[EfffL

=,,-

fr'(*; - r'1-*11'

2 x+o

2)+

r'(*):j'(*) =

jl*[t'(.t.t'1-.y]=]'zr"1q

r"(0)= -5.

Varianta g5 l.

Se considerd

tunc{ia

lR- -+ lR

, f(*)

a) SA se determine asimptotele la gaficul func{iei f. b) Str se determine punctele de inflexiune ale graficului f,urcliei f.

c) Str se calculeze lim

(t"),,,

2.Fiegirut

x'?(r(x+r)-t(x))

; aefinit prin

t" = neN.. Jtg2"tat, 0

a) Sd se calculeze I,

b) Sd se arate cA

I"., + t"'' =

c) SA se arate cA girul

-1-, 2ntl

(In)n,

pentru orice n e N.

este convergent la 0.

Rezolvdri

Avem

_t]T_

asirptota orizontall Observim

(*)=

"*_"^ de ecualie y

= e0 =

deci graficul tuncliei f admite spre _co spre +@ fr

functia fâ&#x201A;Źste continue pe lR' , iar in punctul x0 = I

449

avem

f. (o)=

("): l'$ei l5f x<O x<0

=0,

respectiv fd (o)=

=+":o, deci graficul

lTlf(x)= lTlex x>0

x>0

funcliei f admite ca asimptottr verticald la dreapta Oy, de ecualie x = 0

btevem

IR' observdmcl i"(-)=

pentru vx c

2"+t+

, -1, +o 'r"rp""tit f'[-;) " inflexiune pentm graficul funcfiei I

pentru vx

(r(x

c) Avem rim x2

=.0

li-

f rr) =^'..'i l.l ll2x+l] j 4e\ -:i-e\

f ')' rl f'(x)-le',J =-F.'.respectiv t"(-)=

+ r)

=,*.'

- r(x))

lx,. ,J <0 pentru v"'-l'

= 0 , de unde deducem

-.t

[.*

]

f"(")= *o =

r'l

t "@-t =- lim --1 t-"*("*t) l--limx2. x+ox+11 x(x+t) "r

IJ t,

2.alAvem ,

]

ir,

lts-tdt= Ill-rs-t-l)dr-[tg, ),) =rs+-+ t te t]i "4 4 =r+'+ 4 4 J" OU

\7r1 o, b) Avem I,,-r

x(x

este punct de

-.U*

l*.'"*

2l;l tl to

- ln

4..

4, -

i'-

(tgt) dt = tg't)dt = Jtg'"t

Jtg'?"'?tat Jre'"rdt Jte'"t(t ooo0 | t ,I | 'lo- __'_(1r^-t _Or"-' )..:_ =__l_rs2".rtl; I 2n+1 pentru VneN'.

2n-1t 2n+1"' / -\ . c) Pentru vtel0.i Isi vneN'.avem 0<tgt<l-0<tg't<ll \ {_/ a1 44 I

->0<rq2n'2t.tgtnt-0. J' [rg'"

2tdr<

0{)

strict descrescator cd $irul este

ii mirginit inferior,

[rg2" J'

ceea ce,

0 < I".

tg'"t

l,'.deci girul (I''),,.^'

conform teoremei lui weierstrass, implictr faptul

convergent.

Fie a=

limIn, ae R.. Trecdnd

obtinem

=0.>

la limita in relatia de recurenl5

a = 0 , deci

este

lim I,, = 0 .

450

ln+r+I-" =

^ ' VneN"

2n+l

Varianta 86 l.

Se considera

tunctia

-rn,

f :R -{-1}

f1*1=

-1

x +l

a) Sd se scrie ecuatia tangentei la grahcul funcliei fin punctul de abscistr x = 0 , situat pe graficul functiei I b) Str se determine asimptotele graficului funcliei f.

2. Se

consideri qirul (1" ),,.r ,

a) SE se calculeze Sd se arate

.\"'

(2)f(3)...f(n)

c) Sd se calculeze lim ] :f nJd\z

1,,

t^ jsin" x Ox.

Ir.

cd ni,, =

(n-l)I,,_r,

Vn > 3

1 :l

c) Sd se calculeze

lim '+.

[sin" xox.

Rezolvdri

La)Avem f(0) =-1.

(", (.'-t) (*,+r) (*,-r)(.,+r) 6x2 r'(^) ^t rt :,=r x'-l) (*r r)' - r -r(*. -',;'

pentru Vx e n de abscisd

- {- t} , in particular f '(0) = 0 . Ecua(ia tangentei la graficul funcliei f in punctul x=0 este (t):y r(o)=r'(o)(x -o) <;v-(,t)=0.(x 0) e y+t=0.

b)Avem lim f(x)/

-,1

iim ",-'=l.deci

\Jt@ \-t- Xr + l asimptotd odzontala dreapta de ecuatie y = Observlm cA functia f este contimrA pe R

f.(-l)' -

Iim \-l' x< I

. rl-l f(x)= 1;r \'-lx'+l x<-l -

graficul funcliei f admilespre -co gi spre +co

- l-

1l , iar in punctul x0

r,o,respecliv

f,(-t).

\-l r>

=-l

r-txrtl

= c) Fie g : R -+ R, g(x) = x: x +1. Observf,m cd g(x +1) = (x + r)2 vxeR,aeci

pen,ru n >

r(*)={]

r. l,.(, ) r{,),(n

)

F#+=# j[.#

-4+lt 451

avem

xr-l f(x)= ,. ,,- ----=-.r.oecl

graficul funcliei f admite ca asimptotd verticalA dreapta de ecua_tie x

pentru

(x+1)+1 = x2 +x +l

vxeR-{-r}

*+l [# -*#)

3| 2

n-l

;(t;O

".r

r "-"1\

c(3) c(4)

g(n +

l) -(n-t)! g(n+t) l ='G.+ -tF) ="("-r)

+n+l

s(")

1"t"-rtl"1*rr

mll r +--l| n(n + r,

| J l

=er=e.

I1 ,rl_cos2x lf sin2xll I 7r r i _ -il*2.a)Avem I. = tsrn'xdx= l-dx i=)r=4 J zz J zL tz Jo 2 00 7L 22 f" Vn 3, avem > b) Pentru = Lln"*61 = - [sinn-'x(cosx] dx= ,,JJ' 0

11 2..

*T(rin"-'x)'cosxdx=(n-l) [sin"-2 x.cos2 xdr = = -sinn-r xcosxl2 | lO J\ 'J "

a! 22 = (n - t) lin"

. - l)'J\fltin" \ - rint *.ld* ,r = (n

* (t

-sin' x)dx

= (n

nt,

=(n-t)q

c)' renru

2 penfiu

- t)I",, - (n - t)t" , aaicr

Vn€N, n>3.

rf)' o.ll li vn.N'avem 0=sinO<rin".r1nI=€=9',1n" x<t-1, \l| \2 )

vxef

/ /-\n 1/ -\n f 13l " fl a.=ll-!ll deunderezultaca0<Jsin"xdx.;\, 3l 2 I

Deoarece

/ t; / 6\' 0<9<l,deducemcl lim I fl | 2 ",.[ 2 ,]

= 0, ceea ce, conform ,,criteriului cleqtelui",

L 3

irDlica faDhll cd

lim

lsinn xdx = 0. 0

A<1

Varianta 87 1. Se consideri tunc1ia

f :lR-+lR, f (x)

h(x +.'I

a) Se se arate cA funclia feste strict crescdtoare. b) SA se studiâ&#x201A;Źze conyergenta lirului (x")"., definit

prin

qi x,*,

=f(x,),

VneN'. c) Sa se demonsreze cA

f(x+l)-f(x)(1,

2. Se considert tunctiile

f,g ;(0,3)-+ R ,

a) Sd se calculeze

VxelR..

f(')=|}

g1*;=

!(3:I),

vx e (0,:).

fir-*)r{*;o*.

b) Sa se arate

22 ca [f(*)a* = [s(")d* t\t

ll I

c) Sa se arate ca

lim fs(x)dx r\o J-' '

+-.

Rezolvdri

(,.---t=--* )

Jt+f+x

vx e i.. ----t x+Vl+x'\ \il+x') x+,ll+x' ------=---prnurr r./l+x' Vl+x, Observim cd f '(x)=-+>0 pentru Vx e IR, deci tunclia feste stnct crescatoare pe lR. =

Vl+x'

b) obsewam ca

ol+^li

r(x, ) = r(r)

h(l + Jt)

<I=

deoarece

= z,qt < 2.71 = e, evident adevdmt. De asemenea,

Demonshtrm prin inducfie matematicd proprietatea

Pentru

x,,

n=l

obtinem

P(l):0

p(n):0

u(t+./f)> nt

x"r, <xn pentru Vn e N..

x**, < xk pentru un k e N' oarecare

demonshtrm cd este indeplinitd proprietatea p (k + l) : 0 < xr+z

<x*

< I = lne

< x2 < xr , evident adevtuat conform obsewatiilor anterioare.

Presupunem adevtrratd proprietatea P(k) ;0 <

Avem 0 < xr*,

h(l + Jt)

(

Xk+r

(0)< f (x**, )< f (x*)=O< Xr*z ( xr*r

faptul ctr tuncla f este stdct crescdtoare, iar f (O) = fn{O

453

+.d * C

p(k

) = f" f =O

l),

unde am folosit

Deci proprietatea (xn

),,.*.

(n)

0 < x,,

*, < x,,

este adevdratA pentru Vn e

, de unde deducem cd girul

este strict descrescAtor $i marginit inferior, ceea ce, conform teoremei

implicl faptul ch girul

lui Weierstrass,

este convergenl.

Fie,limxn =a, aeR.Deoarece 0<xn (xr =l,iariirul (x.)".N.

este strict descrescator,

deducem cd a e [0,t) . Trecdnd la limitd in retalia de recurenld

-J+r1

h("* '[+l) Considerim funclia g: [0.- )-; R . g(x)-x-ln(x'r11{F) \/ t. x I {l+x'-l .,, pentru Vx>0, AVem s lxl= l---: = _---_=

"".,

r(*, )= lo(^"

vneN',

obline ca

g'(x)=

Observdm ca

**'

Jr** (r..[."

Jl**'

,'[-l(r..,[*t') > 0 pentru Vx > 0, deci func1ia

in particular, este crescdtoarâ&#x201A;Ź pe intervalul [0, "o) 5i,

e(x)=oor1*, -g(0)

are solulia unica

t0=0

unde a ) 0, are loc doar pentru a = 0, deci c) observf,m

pentru

deci

cr t'(t)

)

vxeR,3c* e(x,x+l)

f(x+l)-f(x){ I

de unde deducem cd ecua{ia

9i, de aici, ca'relalia

"=f"("*.I*J),

limx" =Q.

= 1 pentru

astfel incat

injectivi,

g este strtct

vx e R . Conform teoremei lui Lagrange,

r(x+r)-r(x)=[(x+r)-x]f

'(c. )= r'(c- )< t

pentru Vx e lR.

t;= r. 2.a) ft3-x)i(")d*= ft: *1-lll!6" 'J_X = [n*a*=[xlnx-x]i =(elne -e)-(rtntJ' J' b) Coirsiclerdnd schimbalea de ,oariabila

l''

''(D

[r(x)ox= [-llJ!6"= J-*

r.ln{3-

t} I'!-!dt 2llr

[r, z] --r [r, z]

, q(t)

- t , oblinem

rrlno{t)

rrln{3 t)

2''J-.o(tl

2'r-(r-rl

[Jf** - l. ,^ ro'(r)dr- l;--;;-;

*f'r,,

'--

'.tt (r-

I-lj:ll

tl dt

', Je

(3-r)'dt=

(r )dt . rezuttat care se poare scrie 5i sub forma

deoarece variabilele x qi t au acelagi domeniu de varialie, rcspectiv intervalul

22 ln concluzie.

lf(x

J ' ll

)dx

ls{x = J-''

c) Pentru Vx â&#x201A;Ź [0.1]. avem

ldx

x e [2,3]

-r

lnl < ln2

454

li(3 - x) < ln3.

[1,2].

Jc(x)dx

Atunci, vt â&#x201A;Ź (0,1) $i vx â&#x201A;Ź [1,1]c [0.r]. ln ?

ln'l

tn 2 <

ln(3- x) <,n,

'rt' r

ln2 h(3tx) . . = xxx

ln3

I .ln 1 < Je(" )o^ ' l,s'.r., Deoarece [9I - In xlr = - ln r . deci fox = - ttt tn t = -"' ' conform criteriului clegtelui Jx ItT J-

? -ll' s s(x) s:'- =

j_lu

J:-6*.

ttt

deducem

ci lim fe{x)dx = +"c t 'o

J-"

Varianta 88 1. Se considerd func{ia

:1R

f(x)=

+ lR,

q1g)(

a) SA se sc e ecuafia tangentei la graficul funcfiei

graficul tuncfiei

b) Sa se calculeze c) SAse arate

fin

punctul de abscisi x =

situat pe

. (x) lim ' -f'-\

xrO X' ci tunc1ia g:R-+1R, S(x)

-t)f(x)

admite exact un puncr de

extIem. I

2. Se consideri 5rrul (1,,)" a) Sl se calculeze I,

t.,

Jx"sinra*.

b) SA se arate cE $irul (t,, ),,,, este convergent. c) Sd se demonstreze cA I2,\

+2n(2i-l)Ir,, , =2nsin1-cosl, Vn)2.

Rezolvdri

1.a)Avem f '(x)

=(arctgx)'=;!

Ecuatia tangentei la graficul funcliei

(t):y-r(l) =r'(t)(--r)

vxe.R, f(t) =arctgr-f , i,1r1=-!=j.

o**

fin

punctul de abscisi x = 1 este

*y-;-+(x

e2x-4y+ r,2=0.

I 3 '--0 1**: l'

=-trm-=_

455

c) evem

-,, g'(x)

g'(x)

( =

larctgx

Observtrm

[(x - r)r(x)]/

x,l\ +-J

-t)' r (x)+ (x - l)r'(*)

I . l+2x-x2 2(x+l) _1 .--

(x'?+r)"

2(x+l) g"(*)=---.0

(x' pe intewalul

(-o,-1],

+++

pentru Vx F R

, deci

functia

este strict descrescitoare

respectiv

g'(*)

=ft{-t0 (x'

strict crescetoare pe intervalul

Avem

","tg',

(x'? + r)"

Vx<-l

pentru

pentru Vx > - I , deci tunclia g'este

[-l,co).

g,(x)= rl. [-"tg**++l=-1 g'(-r)=arstg(-r)+-:11=-l-r.0, rlim r-o 4 x-+t/ lt( l)-

ri-

lim g'(x) =

Deoarece fimc{ia g

",.tg**$]=*{. z x- +l) este continutr 9i strict descrescitoare pe intervalul (-co,

-1] , deducem

,. .r f -\ d..i -, T -\ observam ca 0 e T * -',-; e,((--.-rl) = lr 1-rl,^rJqe'(-)) = ;-, J. L-; [/x e (-or,-ll astfel incat g'(*)= 0 De asemenea, funcfia g ' este continuf, Si stdct crescatoare pe intervalul [- 1, ) . deci

-;)

., f

c'([-,.-)) = Ls'(-r),;::e'(.)) observlm ctr

Din acelaqi motiv a"em este punct de

-X-r

l!xo

[-]-t,i),*ci

xo rezultind din faptul ca functia

deci x0

â&#x201A;Ź

(-1,"o) astfel incat c'(xo)- o, unicitatea punctului

este strict cresctrtoare pe intervalul

g'(x)< 0 pentru Vxe(-l,xo),respectiv B'(x) >0

deci njectiva. "o) , pentnr

Vx>xo,

extem pentru functia g.

in concluzie, functia g admite exact un punct de extrem, acesta fiind situat in intervalul (-l,co) lll

2.a)Avem l, = Jxsinxdx= 00 = -cos I +sinl . b) Pentru

-xcosxl; , J*(.or*) d{= J"'cor*d* -.ot

/o,I) ,,

' Vnâ&#x201A;Ź5'9i vxe(0.1)c[

'r"

rezultica0<Jx"sinxdx<

'r".

avem

(tin

0<sinx<1l.xn =>0<xn sinx<xn,

I' I

^"''.1 = .-:0<1"._. n*lln n+l n+l ,Jx"dx=: 456

*ll)

de unde

Deoarece lim

n'@n+1

$icd

= 0, deducen! conform criteriului clegtelui,

cI girul (In )n-,

este convergent

iimI" =0.

IrVn€N, n>2.avem lrn = --Jx':"(cosx) a* =-*'".o.*lo+ Jxznsrnxdx 00 ,. 1., r. I * (sinx)' ax = .or *a* = -cosl + 2n cos x dx = -cosl + zn J(*t" )' Jx2n Jx'"j 000 ( ,r Ie, ^.r/ ) ,tr" " ^ cosl+2nl x'"-'sinxl'-J(x"r) srn*ax = -cosl+2nsinl-2n(2n-t) lJx2"-2sinxdx= '"; \ ) o

c) Penru

2nsinl-cosl-2n(2n-1)lt"-, - Irn = 2151n1 cosl-2n(2n-1)Ir.-, + 12" +2n(2n-l)Irn-, = 2nsinl-cosl. =

Varianta 89 l.

Pentru fiecare

a>0

a) Ja s€ calcuteze Ia

(x,,

Sa se determine a astfel

considerl ftrnclia

/ r\ ' \ t+-x)l.

fa:(0,@)-+R, f"(x)=(x+a)lnl

x > u. incat funclia

fie convex6.

c) Sa se arate ca graficul funcliei fa admite asimptoti spre +co

! 2. Se considertr qirul

xdx (I" )",r . In = Jcos"

a) Sd se calculeze

Ir.

b)SAsearate cA nI" c)

SA se

=(n-l)I"-r, Vn>3.

demonsfieze cA-

t /, \ tlrul (ln ln>t este

convergent.

Rezolvdri 1. a) Avem

r; (,.) =

[(^. ")r(,.

1)]

t,..

r"[r.1).t.. ")[r(r.:)]'

r"{r*l)*i**")i( }) ='['.+)-ffi x

45'.7

pentru vx > 0

Functia

este convexf, dacd gi numai

Considerdnd functia

daci f, (x) > 0 pentm Vx

g:R +R, S(x)=(Za 1)x+a,

r"(x)>oeg(x) >0.Daca g(x) >0

\. situatie I l.co -; a ) :| -> a e [r 212)

in concluzie, functia

c)Avem functiei

limt(x)

pentru

in care g(

> O.

vx>0,atunci 1i. !-01

x ) = ( 2a

este convexa dact $i numai

Vx>0,

observim cA, pentru

- l)x -

a>a>

avâ&#x201A;Źm

r9*2u-1r6-

:2 > 0 pentru Vx > 0.

daci

". [;,"o) r"f r*11 lim(x.a)hl I-' l= tirn xra \ x/-l I xl r-' x I

lne= l. decr graticul

x admite ca asimptottr orizontald spre +.o dreapta de ecuatie y

1 .

2.'

2.a)Avem t, = '

ior'^6*= ltI9t46*=-l[,,*ttn2*l] r r 2 21 2 )c,=!.L=" 22 4

11 72

b)Pentru n>3.avenr f" =

?.,

J.or"

xdr

Jcos"

rx(sinx) dx cos' -

(.ot"' * ,,]) stn x dx = ft n - l l.or''-t x{-sin J\ J' 000

x sin

xll

x)srnxdx

= {n

-l}'Jlcos"-? xsin/ xdx

I(\

titl

r)fcos' r x(l-cos2 x)dx

-(n r) Jcos" ':*d*- Jcos. *a^ l={n-r){1,, , -r")=.

)

=r,,=1'-ryr,,,-(n-r)r,,-","=(.\;),',. c) Pentru

V\. I O,] I si Vn e N'. avem 0 < cosx < 1l cos" x +

\ z)

II22

0 < cosn*r x < cosn x

f,a xdx < xdx=0<I,,*, <I,,, deci qirul (I")",, este strict descresc6tor ti Jcos"'' Jcos" 00 mlrginit inferior, ceea ce, conform teoremei lui Weierstrass, implicd faptul cI girul (I,, ),,,, este

=0<

convergenl.

458

Varianta 90 l.

fn:(0,cc)+R, f"(x)=x"

consideri tunciile

a) SA se determine asimptotele graficului funcliei

b) Sa se demonsheze ctr func{iile

lnx, neN..

g. :(o,o)-+ n , e. (x)= f" (x)+ f" I t

I ,"",

convexe. c) Admitem ca ecuatia f,,

(x) = 2"

are solutia unictr xn . SA se arate

cA,irul (x" ),,r,

converge la 2.

I.'' = l-l-6, , n . Jt+l

2. Fie a â&#x201A;Ź [0.1] 9i

1O'

a) Sd se calculeze

Ir.

b) Sd se demonstreze ca c) 56 se arate cA

,lim

In = 0

+ I,)-r =

1l , On - , n

Rezotgdri

Avem hm t (x) = lim (x

observdm ctr

/x)

_lim

qi m = I e JR', dar

[f (x)- mx]

nu admite asimptotd odzontall spre +oo

este continud pe

(-) ]1g [r,

-.]

ti.f r+1)=r,ae"i = \-6\ X)

= 1im (x + h x _ x) =,lim tn x =

astfcl incdt n.e R , de unde deducem ctr graficul funcliei

admite asimptotd oblicd spre +co

Funclia

x) = +o , deci

t(t) = [- "*lnx = li- (**ll*) ,'\+d x \-a x x

lg.i

deci y'n =

+ In

+o,

(0,o),iar

(-)-13i(:<*hx) lgf, x>0

=-"o,6".1 Uruficul funcliei

x>0

admite ca asimptottr verticalS dreapta de ecuatie x = b) Avem

pentru

g"(x) ,r"1-1*r"ILl - x" + rn x r Il]".t

\x./

Vxe(0,o).Atunci s,,(x) =(-"

\x/

*-fJ

(adicd axa Oy).

ri!l=

="*"-,

.. | e"(")=[*

\x/

-" *

1,,*

*Ixn

1n* =

-fr.r.rn..tiu

\ _, n(n+ll -;-]" =n(n l)x" ")i.';'' pentru Vx e(0.o) " Observtrm cd g,(x)=n(n-r)x" ,*tl:r*rl)tO penhu Vx > 0, decitunctia gn este convexd, Vn e

459

I xn

evern

strict crescitoare. Observ6m

f" (l)< 2" < f" (2)

lrx" e (t,z)

ri(x)=(x" +hx)/ = n "t *

(+)"

*i*l rg

pentru vx>0,decifimctia fn

este confinua gi

r(x" )= z" + xi +lnxn

oin x" e (r.z)

strict crescltoare, deducem cd

z"l'2"

deducemcr o =

lim

2. a) observem ce

= Jlt'-'dt=-l nt 0t0 vt

â&#x201A;Ź

t, d.du..rr,,

uplicand criteriul

.. inplicl faptul cd pirul =.

avem rn +rn-r =

t"-laI

c) Pentru

a*i

}"?,

ql,-q1. z

*-!-

clettetu,,., u"ut

(xn

),r,

pentru vt e R

fal ( 2./",,

este

converge la 2.

-f

l),

deci

vn22,

|\ "'/ jlt_r..*',1*=;z f{-,-11,.,y1" ,)o={-a+rn(a+r).

r,=J_61= "'2 b) pentru

= t , ggr.

}Io

Deoarece tim convergent gi

=[.])'* \"

1"2 ., h*n -,-, ,rz -fl)".,-f,_!?'); ,t-7<t-,-<t=t-7<[ z/ \ 2,/

!2li [t n+-\ z,)

este

+ln2=f"(2):

f" (l)= ln +lnl = I < Z" <2"

9i, cum funcfia

asrfel incat

i*dt.i#r,= I*.#).,

ill-(lild,=

(0,a)c (o,r) 9i Vn e N',

avem

o.l.f

e, a."i o.

ilat. 00

Jt"a1 =

lim I =I-l'=U-=f = 0, deducerq conform ,,criteriului " n+l'si,cum n+6n+l n+lln n+l n+l=g.1".-l clertelui", ctr]T\ =0.

Varianta 91 l.

consideri tunc1ra

f :lR-+R,

f(-)="f

a) Str se arate ce graficul funcliei f admite asinptota spre +co

b) Sd se arate cd funcfia feste inversabila. I

(rle' tJ *-.\ \ l)i

c) Str se calculeze rim

2.Fie tuncliile F.f :R---r R.

,'J"

f(x)=s'i"'-, r(x)= [i(t)at.

a) Sl se demonsteze cd funclia F este strict crescitoare.

I 2

b) Si se calculeze lcos2xF(x)dx

Flx)

c) Sd se calculeze lim ---l---1

x+0 x

Rezolvdri

t.a)Avem

r(*)

ti= rim x+6x--'x(x'+l)x+6x

De asemenea,

= lim

=2,deci

-{f

gg[r(") - "*]

[f(x)

mx.]

lm=,r-l(')

,i m=2erR'.

j^, r- j leij* .-.\ - x'+l/I -o, a*r -.1x'+l - ,/='1*i

ii n=oeR

Deducem cd graficul funcliei f admite spre +oo asimptota oblictr de ecualie

b)Avem

y=nx+n=2x.

/ r-: ) *'(*'' 3) f'(x)=l '! -. =2 ' ..;' pentru Vx â&#x201A;Ź R. lx'tlJ (*r*r;'

observtrm ctr f

'(.)= ,

t:(:.'

ii)

(x' + t)' strict crescatoare pe

Avem lim

gi, in particular, este injectiva.

)"3

f(x)- \+ox.il tim i^

este conrinua 9i

pentru vx e lR' , respectiv f ,(0) = 0, deci tunclia feste

--.

respectiv lim

strict crescatoare. deducem ca

.-3

f(x)- \J+6Xz+l lim *

si, deoarece

i(R)=(\lim r(- ).Jg f(-))= (-co.o) = R ,

adicd funcfia feste surjectivi. in concluzie, fiind injectivl gi surjectivA, funcgia feste bijectivtrc) Avem

.,r=e'(t{.'l r )-,\ . . unde r'1r(.' ))= r"ljiJ= \

(r(e' ))'

=x+ln2 lnll+e'* l,deci lim

tnlf(xl) X

r"z-rn.,. -rn.,^ (r*.-,')=

x+tn2-br(tre-,.) x-+â&#x201A;Ź

46r

ln concluzle,

ltmlt{xll\

2. a) observamca

= lime

r"{(')) t -el =e.

f(x) =",i"'" >0

vxeR,deci.,t^l=f

pentru

hf,i*l

penku Vx â&#x201A;Ź R, de unde deducem ci func{ia F este strict crescdtoare.

lrf:l

.b)A'em ',

r(x)>

ri ,t \jsn:*r,1^ya" --rll(sin2x) F(x)dx .llsinzrF(*)lt l= I

Jcos2xF(x)ax

)

L! f -.

12,

iJs'n2xf(x)ax =-1Jsinzxe''"'o' -

,i.

-1f'tn,x) e'i""ax=-j.'"'''|;

=_:{e_l)=:__: 2) F'(*) c) Avem lim Lg-l = 1;,n r ", ' \'o x rro \' - \lmJIx'=llme

=e"=I'

Varianta 92 l.

Se considerl functia

f :(1,"o)+

, f (x)= h(ln x).

a) SA se determine ecuatia tangentei la graficul funcliei f in punctul de abscisE x = e siruat pe graficul funcliei I

b) Sd se demonsreze cA functia festc concavA. c) St se calculeze

,,- r(t*tj ,r(*) r'(* )

2. Se consrderd func1ia

f:R ,R. f(x)=--S9:11+sin'x

I 2

calculeze fu1x ldx

J.,

SA se arate cA

orice pdmitivd a func{iei feste strict crescatoare pe intervalul 0,1 |I tl

:n c) Si se calculeze

fxf(xldx J" a

462

Rezolvdri

l.a)Avem f(e)=ln(lne)=lnl=0, narticular este

(t)

f'(e)= ,l.: = I

y-f

brnvem Observlm

(e) = f

f'(x)=[h(h")]' =*

. Ecuafia tangentei la

'(e)(x

graficul tunc(iei

e y-o = !(*-e) e x-ey-e

r"1x;-[--l I = q++--++ \xlnx/ x-In-x x-tn-x ci f "(x):--tln'}( <0

x'ln'x

penrru

fin

pentru

vx>l,in

punctul de abscisl x =

= 0.

vxe(r,.o)

pentru Vx >1, deci hrnclia feste concava.

h(h(x+l))-h(hx)

f(xll)-flx)

c) Observdmcd

+=*

* t"*

xlnx

(tn(x+r))

t"[ r"*

tf x/ '.1)Jl=r,-,rnfr*1.]=l,undeamfacurschimbareadevariabil! um ,lnx , hl r+ \Inx '--r.f r*1.] | | -- \ t/ x/ \

^ hl r+1

)

gi am tinut cont ca, pentru x -+ co , avem t -+ c. i

x,/

in concluzie,

lf(x)dx l_ '-: ; &= d ;I+stn-x g=I. = 31s1s1- 31s1sg =.1

2.a)Avem

463

b) observtrmca Fie F o

r(x)=--!9{->9 ' l+sin'x

pentru

vxel'c,f l. l. 2 )

primitivl oarecare a funcliei f. Atunci F'(x )=

r'(x)=r(x)>o

nentru

/ "\

f(x)

pentru Vx e IR , in particular

.nr.*utut [o.rl vxe[o'rJ,deciFeste:strictcrescatoarepet,,.""''-'L-'r

c) Considerind schimbarea de variabila A:[0,21,r]-+[0,2n],

i*r(")d" = '

*"o'." o. = tj l+sin'x

*i'

-l::l-a*

dt,ll+sin'x

e(t) = Zr -

t , obfinem

= i'e(t)'T'eIt-)rp'(t)dt = ,J*

l+sin'e(t)

t):"r]6,='[(zn-,)"o'.dr,rezultatcarepoate' d l+sin't

- l(zn-t):o'(zn-t)1-,10,=-i13.; I..-sin't ,.t, l+sin'(2n-t) 21(

scris gi sub

forma

2r - *).o.

J ,;r, _ *,

deoarece variabilele x 9i t au acelaqi domeniu de variafie,

respectiv intervalul [0, 2n].

* .*'n u- Ji('l - l):"' - *l = e,un.i'i-ro' "-a^ ='i.Gr:' ):o' a* = 1['i 2l Jl*titt'* j l+sin'x ) j l+sin'x J l*"io'* t'if| *cos* (2r-x)cos xltdx_ '1t-dx .or" . =narctE|slnxllo r rr2r =u. =-2 J[l+sinrx l+sin'x- .] =r jl+sin'x -+--

Varianta 93

1. Pentru fiecare t e,.lR., se consideri funclia a) Sl

calculeze

f, (x) , x e R

b) Str se arate cd fie{rare funclie c) Sp se arate ctr

2.Fietunctia f

\aclia

t:R-+R,f,(*)=^t*ttt.

este inversabila.

g : R -+ IR

:R;11p, f(")=

, e(t)

f;' 1t; este continua in punctul 0

j(,t*r)ftla,. 0

Sl se cr'rulezt.: f(l) . b) Sl se arar, :f,.,feste firnclie impari. a)

c; 36 se

calcule

lim

rlr" . r)- f(x) :!:=-

*'Ji

Reaolvdri

1.a)Avem

^ \/ t,({=(xr+trx) =312+t2

pentru

VxeR.

464

b) Observim cd,

daci t€ lR', atunci f;(x)=3x'?+t2 >0 pentru Vx e lR, iarpentru t=0

avem fo (x) = 3x2 > 0 pentru Vx e

funclia

qi f; (0) = 0, de unde deducem ctr, p€ntru Vt €

IR ,

este strict crescatoarc gi, in particular, este injectiva.

f,(x)=^lim (xr + t'?x) = -co , respectiv _ti%f,(.)=_gT_(x3+t2x)='r-,ei, cum func{ia fr este continuA gi strict cresctloare, deducem cf,

Avem

"lim

(R)=

[.\T-f,

(.),,9g

(,,))=

{--,6)=

R , deci tunctia

este surjectiva.

f, este injectivd ti surjectiva, deci este bijectivd. c) Avem fo (x)= xr , aeci r;' (x) = Vi , in particular r;r (r)= Vi = t.i g(0)= 6'(l) =1. observam ctr g(t)=r;'(t)+f,(e(t))=t=g'(t)+t2g(t) =l,1ssr..rit q(t)=t+t'z>t-+ + f, r(t)< t + g(t)< t = t'zg(r)< t2.4suns1 1= 93 (r)+lg(t)< 93 (t)+ t, = in concluzie, pentru Vt €

lR ,

funclia

=l-t'z<g3(t)+i[-,'=g1,; ..ttn obtinut astfel cd il-rt = g1,1= r pentru Vr€]R. D"our""" li-i/F=1, deducem cb tli4e(t) $ I = C(0) , deci tunc{ia gesre l$c(t)=

continua in punctul to = 0.

2.a)pentru

vx>0

avem

r(.)= fit'*r)ftlat= flt,*r).[ot=

ji,;.,ilu,= ;1. )

l) - )::l ) ) :. 2 , r *:x\/fx.deci 2 r ^,., 2 2 | flll=:+:==:x2+:x2 7 3 17 3 | '7 3 =:xi\/ix " 7 3

=l:1u a:12

allta- c[ f (-x)= -f(x) penku Vx e lR . Observam cI f(-x) = -f(x) pentru Vx > 0 .

U;'freUuie sa demonstrem

Fie x

Arunci

arbitrar fixat gi schimbarea de variabild

ca este suficient sa

9:[o,x]-+[-x,0], to(u)=-u.

r(-x) = i(t,*r).fiiat= *,lJJo,= i(,, * r)J-,a,=*i'{,, I ,r' J\,vr J\, J\ 0 0 a(0)

observtm ca

i(u' J\

, r)Ju au poate fi scris gi sub forma T(,' * / J\

9i u au acelagi domeniu de apartenenfS, respectiv intervalul [0, x]

oeci r(-x)= fit'?

r).,/i at = -r (x), adict

r).,[a,

tunc1ia feste impari.

465

, deoarece

variabitele t

c) Conform t€oremei lui Lagrange, Pentru Vx e 1R, 3c* e (x,x

+l)

astfel incat

r(x+ r)-r(x)= [(x +r)-x]r'(c^)= r'(.^ )= (.i .t)JEl in cazul trecerii la limitl x -+o putem considera cf, x>0,deci 0<x<c* lc"l = c* . in ptu,, ouservam ca

(x'+r)fi (.i *r1fi :-----:-<#<------;-*-. x'Vx x'./x lim

(*' * r)Ji. ("i

r)"[

((* + r)'

r)Jx

x+l

$i atuncr

deci

{(**r)'*r)J"*r f. r)l=r - (,,' ' r)Ji= .lrmll+-' Ayem llm ---;-;-

= x-d\

x-Vx

x'{x

(("*r)'+r'lJx+r | ) r\fl \' ' , limlt+:+ j; : x.r/x

l./l+)\ x

= I . de unde deduce m

)

Varianta.94 l.

tuncfile fn:[0,co)jR, f" (x) = x".r -{n + 2)x + n , cA gnficele functiilor fn nu admit asimptota spre +@ .

Se considertr

a) SA se arate

b) Se se arate cA, pentru oricare n e N' c) Sl se calculeze

,lim

xi'

a) Sd se calculeze It

Sd se arate

SA se

€xtem xn

. l" =

-2n

l-j , dx ;l+x-

I"., + I"

calculeze

un Punct de

unde xn este dehnit la punctul b).

l" 2. Se considertr sirul (1" )"r,

, fn are exact

neN'.

rlim

=;fu,

Vn > t

I..

Rezolvllri 1. a) Pentru Vn e

N',

avem fim f,, ( x) =

lI:[x'-r

firncliilor fn nu admit asimptote orizontale spre De asemenea,

+co

xn" -(n+2)x+n f- (x) lim "' '= lim-

-(n

+ 2) x +

n] = +co, deci graftcele

xJ6XX

.t xmlx

-(n * z)*l]

- e n' , deci

graficele funcliilor fn nu admit asimptote oblice sPr€

b)Avem

1" ,' 1"*r, ^r v*>0. -(n+l)x" - (n+z) =1".ri[" -n*? f"(x)=lx"'' -(n+2)x+nl n+l l,

466

pentru n 1 =

,''(-)

lt,;)

outin"- ri1*)

, deci tuncfia

=r[.-;.)r0

[;,.),

[J)

-J)

ri ou,"*am

r;(-)

2(-

-;).

este strict descrescaroare pe interyalur

lo,1]

pentru

= o,

z[*

Vx>],decitunctia fi

a.,,"a"

deducem ctr xr =

este

o"n*

-.0*n"

sfict crescatoare pe intervalul

unicul punct de extrem local al

functiei fr.

functia fn este strict descresctrtoare pe

f,,

(.)-

(" *1)[-"

-#)'o

i*"*"t

pentru vx

lo,ipf:],

r.rr""nu

,1E12 , o."i rroctia

f,r este stdct cresctrtoare pe

T-\

'**''"' Li/#. -.J "",

[

ffiJ

punct de extrem local al funcfiei

ct'tvem xrr'

=tit*j l.

2.a)Avem, = b) pentru Vn

-z

i__b'

o, o.

*0.

o"o'cem ca xn

f".

=[H)"

=('.*i,

ffi

"*.

unr.u,

vneN'.deci

ffio-= ['-#)*=tx-arctgxll =1-arctgr =t-]-.=+

) r, avem r,,*, + r,, =

.l)., =

i.,"_

J#". l#a^ [;,. ;7J*

#1"

2n+1

467

=f, +o'I" < -]ca girul

(I.).r,

0<1"l _.4 |

Vxc(0.1),avem

c) Pentru

--I-

Deoarece 1u"

este convergent Si

,lT,

-- x2n , deci

-:n*t ll ..1-'"*=i*t|, o. ';-r'" o,

dl**-

=g,6"4ucenl conform criteriului clegtelui'

Varianta 95 1. Fie

g(x) = r(x

tunctiile f :lR ->

+r)-r(-) -

R, f (x) = arq19(

9i g:IR -+ lR

rf--L-l \l+x+x'l

a) SA se arate ca graficul funcliei f admite asimptot6 spre +co

b) Si

ci e(x)= O, Vx e n

se arate

c) Sd se calculeze

.. ( ]*[*.,e

I "

2. a) Se considertr

1 +. +arcrgQn*n, .-,-^- t ^). - -;----T

r ------;

+ arctg

iirul (I. )"r, , t"

"""4*

a) Sd se calculeze Ir

SA se

_l , penku orice n>2.

arate cA I,, = nln-,

c) Si se calculeze lim In. Rezolvdri

1.a)Avem

_lim

f(x)=.lim

arctgx

orizontald dreapta de ecuatie y =

=1,

deci grafrcul funcfiei f admite spre +co ca asimptotA

b) Conform teoremei lui Lagrange, pentru Vx e

arctg(x

+ 1)

- arctgx = [(^ - t)

scne arctg ( x

. | ) - arctgx -

arctg--1 . =

arctg

-.]#

, 3c,

e (x, x +

oo..--

l) e.

..,,

arctg tg

+ l)

r(x+1)-r(x)-t(;*;)

Larctg

arctgx

(x + I)

arctg

- arctgxl I = arc,C

---L--;

t = B(x) = o 0",,'* o,.. o. 468

astfel incat

-J-

(x+l)-

GG;

. 1,

deci putem

c) Deoalece

arctg------ .- = -arctgx + arctg(x + l) l+ x +x'

p€ntru Vx € R, deducem cA

ltll ---------------= + ---------------- + ---------------- +.+iu 'l+ I +12 arctg' l+2+22 arctg'l +3 +32 'l

= arctg

+ n+ n2

=-arctgo+arctgl-arctgl+arctg2-arctg2+arctg3-...-arctg(n-l)+arctgn=arctgn,deci lim an = lirn

31s1g1 =

ltl t

2.a)Avem I, = Je--xdx=-J(" 000

vn>2

xdx=-e "xl "

(

"x'dx=-e Je

-l;J= 'r\

'-["

1 e-2 =l--=ee

=-e -le -tl=t-ze b)pentru

avem In =

.t.

i-""*=-i1t")''"a*=-"--*"1' 000

.(.')'*=

=-e-' +n Jee le-^x"-'dx=-.:+nI,, >ln =nln, --. 0

c) Penrru

vxe(0,1)

avem

0<e-* <1>0<e-*xn <xn +0<

ft---;a-.

J*"d"=

l - - < ------;. I *"*r lr -: lim ----- = 0, conform cdteriul clegtelui, oblinem :l =n+l ='n+llo =0<I. n+l Deoarece n+on+l I

ctr lim In = 0.

Varianta 96 1. Fie multimea

A=iR-{1,2,3,..,2009} ti functia f :A + lR,

llll ' ' x-l x-2 x-3

ltxt=-!-+-+...+-

x-2009

a) SI se determine asirptotele graficului funcliei f.

b) $tiind cA a e lR*, sl

se deterrnine

numlrul solutiilor reale

ale ecualiei

f(x)

c) 56 se determine numdrul punctelor de inllexiune ale graficului funcfiei f. 2. Fie tunclia

+ R, r(x) =

[e-"At

a) Str se arate cA functia feste stdct crescAtoare.

b) SI se arate ctr funclia f este concava pe intervalul [0, c) Sl se arate

cl girul (f(n))",r t

este convergent.

469

oo)

= a.

Rezolvdri

Avem lim f (x) = rlln [-J- *-1 *.. " r-+-\ x - I x-2

1. a)

.-]-

l = o, deci sraficul

x-2009.)

spre -co gi spre +co ca asimptota orizontalA &eapta de ecualie y = Observtrm ctr funcfia feste continua pe A. iar pentru Vk =

l-f009

functiei f admite

(adictr axa Ox).

avem

I * *----L- l= ---. r..p..nu tirnr(x)= t,-fJ-*-1*. .*i(k)= "" .11 " .-r(x-l x-2 x-k x-2009 ) r* rr-t = ,*r--,-.-1....*-J-*.. x-k "'r*t = l't " x+l[x-l x-2

,"0*,.

"r,*,o,.,.11n,"u,"

utevem

o.."uu,ii

*-+-l=+-, x-2009 )

deci srarrcul tunctiei

k. unde k = 1J009.

I * I *...* I )'=---L---l --...- I ..0 \x-l x-2 x-2009 ) (x-r)' (x-z)' (x-2009)'

r,(x)=f '

pentru Vx e A , deci tunclia f este strict descrescatoare pe intervalele (-"o, l) , (2009, +-

) ti

(t,t+t),

unae k = 11008, 9i, in particular, restricfiile lui fla aceste intervale sunt injectiye. JinAnd cont ctr functia feste continuf, pe A, este strict descrescdtoare pe intervalele corPonente ale

f(x)=0, f"(k)=---

luiA,

fo(k)=+-, vk = l,f6d9; deducem cl

"lim

r((-"",r))=(r" (r),^rim r(x))=1--,0), r((200e.*-))= f ((k, k + l)) = (f" (k + r),ro (k)) = (-o.

+-)

(r*

r1*;,ro1zooe))=to."") ri

= R pent'u vk = l. 2008

f(x)= a, a e R', considerim urmtrtoarele doui situalii posibile: i) Cazul a<0.Atunci l!xoe(-o,1) astfel incdt f(xo)=aE1--,9)=f((---.r)).respectlv l!xk e(k,k+l) astfel incAr f (x1)=ae(-"o,0)cn=r((t,r+r)) pentru Vk=f26G,dar

Pentu

rezolva ecua{ia

(zool,*) astfel incat f(x)=1,6"oar""" a<0>ae(0,-)=f ((2009,.o)) ii) Cazul a>0.Atunci y'xe(-o,l) astfel incat f(x)=s,6"o."". a>0=ac(-"o,0)=f((*,1)),."spectiv l!xk â&#x201A;Ź (k,k +l) astfel incat ,/x

f(x*)=aE19,.;.R=r((k,k+l)) r(xroon) = a 6 (q,.o) =

t,l'l

t,l =2l

f'(x)=-l -f

f(x)

..*

gi 3!xroo,

34tn11" 2909

+...+--:-t

^ l(x-t)' (x-z)'

-l----l-* -t)' (* -z)'

l(*

=il766l

r((zooe,-))

in concluzie, pentru Va e lR', ecualia

c)Avem

pentru vk

(x-zooe)'l

|. resoectiv (x - zooe)'l

470

solulii.

e(zooe,-)

astfel incdt

l,r1,.y=-o[--L.

[(x-t)' (* :)'

(x-zooo)']

f(3)(x)<0 penfiu Vx€A,decifunc1ia f,, este strict (-:o.l). (2000.-r) 9i (k.k+l). rnd. k=t.2668.

Observdm ctr

intervalele

Avem

_lim

f"(x)= 0,

este continud pe

f;(k)=

descrescatoare pe

(k) = +-, pentru Vk = 12009.

(--,

A, oblinem c6 r "((-"o, r)) =

9i. deoarece funclia

, i"((zooe,+-)) =(0,+-)

f'((k.k+l)) =( co.-a)-R pentru vk -1.2008. Deducem ci y'x€(-".,1) astfel incat f"(x)=9,6"our.." Oe(-"o,0)=r,'((-o.l)),respectiv y'x e (ZOOO,+-) astfel incat f"(x)=9,6.out".. O e (0, +-) =r"((2009,+o)) in schimb , :tyu e(t<,t+t) astfel incar f'(11)=0,deoarece t"((t,t+t))=n 9i f,, este injectivi pe

(t,t + t),

pentru vk = tJoo8. in concluzie, graficul funcliei f are 2008 puncte de inflexiune. 2.

a)Avem

b)evem f

r'.

)

f (x)= | le ''dt - e-*- > 0 pentru "(x)-(e '\l ") =-2".-"

Vx e IR, deci func{ia$rste shict crescitoare.

pentru VxeR.Observtrmca

Vx > 0, deci funcfa feste concavA pe intervalul [0,co) c) Deoarece func{ia feste strict cresctrtoare, deducem cd girut

f"(x)=-2xs *'<0

pentm

et>l+t

Avem Arunci

pentru Vt € R, deci

e" >l+tz

i(x)= f.-"a, =.'[-!L--arcrgtl" j jl.t'

f(n)<l

pentru Vn e N-, adict giruf

(f(n))"r,

=" " =i=#

(f(.))".,

-+ IR,

VteR.

este marginit supedor. Fiind strict

(f(n))n,,

Varianta 97

penku

pentru Vx € R . irl panrcular =31s1g)(a.1 -

mdrginit superior, conform teoremei lui Weierstrass, girul

1. Se considerl func1ia

este stIict crescator.

f(x):

arctgx

c[ funclia feste concavi pe intervalul [0,"o). b) Sasecalculeze lim x'?(f(x+l)-f(x)) . a) Sd se arate

471

este convergent.

crescttor;i

f(x)

c) Sa se rezolve inecualia 2. Fie tunc{ia

-4

, x e lR '

f :R -+R, f (.)=;-l;7 (l + x'J r-

a) Sd se calculeze

b) Sh se arate

*')r(*)a* J*(tr o^,

ci tunclia

F : lR --+ lR,

f ( x) =

Jt"f

(t)0t

este strict cresc6toare'

a. c) Sa se arate ci, pentru odce a e iR, are loc relalia

(x)Ax<i. Jf I

Rezolvdri

r.arAvem f '(x)=(arctgx)

observlm

2*-:i

t"(-)=f;-!l' =-. -1l+x. ri " \l+x. I (r*xr)

pentru

vxâ&#x201A;Źr'

cl f'(*)=-; ""::, <0 pentru Vx >0, de unde dedtrcem cd func$a f'

este strict

(l+x'.1 descresctrtoare pe intervalul [0,.o) , respectiv functia f este concavi pe intervalul [0, co)

b) Conform teoremei lui Lagrange, pentru Vx e

R, 3c* e (x'x+1)

r(x+l)-r(x)=[(x+r)-x]i'(c.)=r'(.'l= j=. putem considera cf,

x>0

9i, deoarece functia

intervalul [0,"o), clin relafia

x<c* <x+l

in cazul trecerii la limita x -+ +co,

f'(x)=-1=

deducem

astfel incat

este strict descrescdtoare pe

ci f '(x+1)<f'(c-)<f '(x)=

ll1x2*2x2 pentru Vx>0. ------. <----:-,---: . .---.-+ 1-(x+l)' l*ci l+x' l+(x.l)' l+ci l+x' x 11- i Evident ca = 1 , de unde deducem ci f lin \'61+xr\-:t*.itt >

---------------- <

_-2

1;-

_L=1.

rr@ | !."

adici lim

c) Considerim funcfia

x,(r(x+t)-f(x))

g:R--+IR,

g(x)=f(x)-x+4 o*.

-l e'{x)=f '(x)-l+x2 = ^.-l*x2= l+x" t

g(o)

Observam

e'(*)=-{rg

pentru

VxeR'9i g,(O)=9,6s.1

ninc.tia g este srrict

crescdtoare pe lR.

Atunci

f(x)<

-4

f(x)- x +4

r(*).*-{<+*e(-"o,0) 2. a) Avem

blAvem

Observdm

< o <+

g(x)<

o <+

= i(r+.,)r1^;o* J-(t..,)r1-* '(t+x'?)' o o (.. )'

F'(x)=lir4f (r)dt.j

=x'r1x;---I'-

ci f '(*)= - xo--, r0 (t

+ x'?

g(x) . e(o)<> x < 0, deci

i;:*

penrru

Vx€lR' 9i F,(0)

pentru

=1n(r**,)l' =lr"z

dr-^'

vxFR.

= O, de unde deducem

ci func{ia

F est€ strict cr€sctrtoare.

c) Considertrm funclia

t g:R -+R, e{a }= lf{x)dx Dentru Va€iR. I

(".

observdm cd

s'(a)=l lf(x)dx =f(a)=--

l.i

)

a'J

, >0

pentru Va e R . deci fi.rncria g este

strrct crescdtoare pe lR.

,+u.-

I . I a* Jlr*'l-"' I .l,- *',16*= , = f.!:-'--l1d*= fl [--1 '(t**';- ' r

*')'

*"t.. ; J.(#)'

e(") =

ffi

[*.,*

observlmcd rim e(b)=

b.--'

'fl**'

-"*. j(fit-

vaetR

-o,

]

*. = ](u*,, * * -*

)

*,]] j(-"*".#) :(:. :) =

ri. llf -cteu+ , )_lll-1.]l=l.l_1[l_])_ ^-r - t+b7) b-.12\ 2\4 2)l 22 21 4 2) 8

Deoarece firnc{ia g este stdct cresctrtoare pe

pentru

(r**')

.'':*, T.?=1,

R, deducem ci g (a)

a".t e(a)<1,aaicr 473

blim

g(b)- g(^).7

Jr{-)*.}, o". o

aeci

Varianta 98 1. Pentru fiecare

neN, n>2

definette funclia

f":[O,o)-+n, f,,(x)=x"-nx-1.

, n > 2, funplia fn este convexa. odce neN, n>2,ecuatia fu (x)= 0 are solutie

a) Sd se arale ca, pentru orice n € N

b) Sd se arate ca, pentru c) SI se calculeze

2.Fie funclirle

xn, unde x,,

,lim

este unica

f,g:R-+R, f(-)=t';,

calculeze

unica.

solutie a ecuatiei f" (x) = 0

g(x)=

ii(t)costot.

(x)dx.

b) Si se studieze monotonia functiei g pe intervalul [0,

/\ ct Se se calculeze sl I -t',

)

Ruolvdri

-nx-l)'', =nxn-r -ri n)2.

1.a)Avem f; (x) =(x"

Vx)0

VneN,

Observim cd

f"(x)=n(n-t)x" 2 >0

t"(x)=(nx"*'-n) =n(n-t)*"-2

pentru Vx

>0,

deci, pentr:.r

pentru

VneN, n22,func1ia

f,,

este convexa.

b) Observam ctr

f"(x)=

n(x"'-t).0

descrescdtoar€ pe intervalul

p.ntru Vx€[0.]). deci tunc1ia fn

f;(x)=n(""-'-f)tO

[0,t] , respectiv

funclia f,, este stdct crescdtoare pe intervalul [1,oo) Deoarece tunctia fn este continud, detlucem ca

.. T ('). ..

([',-*))

1r,,

],*

(x)) - [-'.

--)

pentru

este strict

Vx>l,deci

f"([0,1])=[r,,(t),r,,(o)]=[-n,-1],respectiv

oe[-n,-l]=f([0,t]),deci y'xe[0,t] astfel inc6t f (x)=9,int"111-6 oe[-t,+o) = q, ([t, +o)) , deci ]!x, e(1,"o) astfel incat r(x.)-0. r+Ci >Cl +Cl, +Cii I =1+n+n=2n+1, c) Pentru Vn>3, 2" =Cl +CL +Cl + . +Ci adica f,,(2)=2'-2n-1>0 9i, cum f,,(l)=-n<0, deducem cd x" e(l'2) pentru vn>3. Avem f,, (x,, )= O > xi] -nx,, +l=0* xil -nx,, +t gidin 1<x,, <2 deducem ci n+1<nx,, +l<2n+1-n+l<xi < 2n + I > dn + I . *" . d2tr * I pentru VneN, n 23. Observim cd

Deoure"e lim

Vill

= limV2n+l =l,deducemctr (x,,),,,,

este convergent

.lim-

x,, =1.

t. 2. a)

Avem

Jr(x)ax

t(--)

b) observrrn cE

r. ^*

l-/t *

* = fi-i+dx l,_.,

deci f (x)

rn('.." +

(-x)

)1. =

#. #

Vx e

JR.

(. \/ erunci g'(x ) = rat | Jrlt).os | = r(x)cosx - r(-x)cos(-x ).(-x)' = \--. ) =f(x)cosx+f(-x)cosx=[f(x)+f(-x)]cosx=cosx. cr g(x)=g(0)+

J"o,

t Ot

Din retalia

B'(x)=cor*

+ g(r) =.in x pentru Vxe JR. Funcgia B(x)= rin*

O.Ou."rn

este strict

crescrtoare pe

c) Evident

i*.-"r"r

/-\

nl " l= -\2)

511

" 2

[0.1]

9i stdct descrescarou." n"

int.-ufuf

[],^]

= 1.

Varianta 99 l.Se considerd tunc1ia f :IR-+R, f(*)={^'*l*t*z**f a) Sl se scrie ecuafia tangentei la graficul funcliei f in punctul

-il;]x+f

de abscisd x = 0 , situat pe

graficul functiei b) Str se arate

c)sa

cl graficul func{iei fadmite

carcureze

asimptotd spre

r'- [10:tQL:t19]" .,_( n )

2. Se considerl tunctiile f,,:(O,co)

+R, f"(-)= jr"htdt, neN..

: a) Sd se calculeze f,

(e).

b) Sd se arate cA func{iile fn sunt descrescdtoare pe intewalul (0,1). c) Str se calculeze

]1gr"

(t)

Rezolvdri

a) Avem

f'(x)

Rlxr +sx'?+ 2x +l

= 0}U

e mlxr

-x +t = 0} 475

Evident

04A ii

ahrnci f '(0)

r(ot=Vr -Vr =0. =: -[f-1]=t.observf,mca ],

Ecuatia tangentei la grafrcul firnctiei f in punctul de abscis[ x =

este

(t):y-f(o)= f'(o)(x -o) o y = x. b) Avem f (x) = rr- ({f .:.t. zt.r -lim xr+3x2

+2x+ll -lVxr -x+l ^\2 x'-x+1)

r*'ft*I 21 -3 t+_+-+-xx2xl iJ = I , deci graficul funcliei f admite spre +cD asirnptota orizontall de ecualie y = I c) Consider6m func{ia g:R-+R, e(*)= t' -x+l observtrmca e(t)=t 9i =

g(x

+ 1) =

(x + t)3 - (x + l)

I = x3

+ 3x2 + 2x +

pentru Vx e R.

-,,---:_---------,,--r + 2x + I -

Atunci f (x) = d/xr

+{/e(* * l) {x' - x + I = -{/e(x) ----,---:--------.-

3x2

deducem c6, pentru Vn e

N',

avem f (t) + f (2)

-#O.

iGO - tEO. GO

-l+ i/nr

+3n2 + 2n +

penmr Vx e R. de unde

(n) =

#(;t. GGO = -tEO. G(".-il

ri.li/rt *rn' rzr,-r -n.I= ti* #' "'-

"-'\

d(",

+ 3n2

* 2n + r)2 *

_,* ^'[,.i.*)

==,=, r

I f 1 ) | | "-- n'lf/l -l l/t+:r - -;r + --;r \2 +.t/l+ - r !+ . +l | n n' n- l LI, n n' n'J I r--------------

4'.76

nifJl:nrllii

* n'

in concluzie.

lmf

r(l)+r(2)1 *r(n)

"--\

,. ll. {n' -" =limlll+'--

-" * I -

+ 3n2 + 2n

"-'l\ Ll

2. a) Avem f,

l" _

)

2,,

rr-

rl"

.ft,-:"'-2,*r_"_r

- 1 ]{n''r"'*zn'r ".r I

)

l6i - l"'

- f,;;l' ,

=eo=I.

(.)= J,r",a, =11 l

,- lt'(lnt) dt l= -!l \.

t( , I ) r/ , t ) I , 3 I ea+3 +-.=-l2\e-+--il-.le-, i: -e" 4 4 e2= 4e2 e'/ a\ er) b) Avem

f;(x)

Iti ft" r"tA, | = xn lnx pentru Vx â&#x201A;Ź (0,.o) 9i vn e N-

Observam cd

c) Avem

)

f"(x)=x"lnx<0

intervalul (0,1)

pentru Vx e [0,

t). aeci funcliile -fn

sunt descrescatoare pe

.t r'-fi,"-']n,at=-ln+rl - '.u,a,=-tnrri.

f"(l)=

i ;;L;I /

ls"''rr,,l1,.- [."., (rr,,) a, l=

[,"

l= ' _rf,-r),* =,r.r_rlLl (n+l) e"*' n*ll n+llr | (n+l)e"-r J'--"(n+r), l' ';, lim

"--

en+r

r r rrl --r ^lr-- .ll=0. "--L(n.l)e"il (n+r),l' .".' ,l

f.(l)= "" hml------1-

O alta solutie se obline observand

"tr

f. t.l -l.lnt <0> =

=-i*0,. J,"r,o,.o ricu- [t"at=-r '*' : : I t (

l:.l --f n+on+l\ e"-') r

tim

J,"

u,at

-L

47'/

< tn

lnt

=-!f n+r\r-]1,r", en+'/'

,"- li t-

o . o"oucem c6 I=

-tn

Varianta 100 1' Se considerd tuncfa

:JR

+iR, f(x)=e. 1*:-*z*t

a) SA se arate cA func[ia feste strict clescatoare.

b) Si

se arate c6

func{ia feste inversabill.

c) Sa se calculeze

.. f-'(*) ,lI: ,.

2. Se considerl pirut

(1.)":r . t,, =

a) Si se calculeze I,

l* ;x-+Jx+l"O*

b) Sase arate cA ln,2 ".11,,.1-ZI" =-L. " n+l

c) 56 se calculeze 1im

VneN'

nl.

Rezolvdri

l.a)Avem

f'(x)=(e"+x'-*2*x)

Observam cd e*

qi 3x2

-2x

=e* +3x2-2x+1 pentru Vxâ&#x201A;ŹiR'

1> 0 pentru VxeR,deoarece

a=J>0 ti

t.= (-z\2 -+'z't=-8<0,deci f '(x)=e"+3x2-2x+1>0 pintm vxeR'deunde deducem ca functia f este stdct crescAtoare pe R . b) Funclia feste strict crescatoare pe R , deci, in particular, este injectrYE'

t, ,\ (e'+xr.xr+x)= lim Avem lim f(x)= tim x x-Jl=-oo. "'lf\x -r-1*I tim f (x)= lim (e'+ x3- x2 * x.|= lirn continutr. deducem ca

-'"o ti. deoarece f este *'[+*l 1-+l (x' x x /

.\ . I f(R)=(,[m f(x).,lim f(x)) =( co.+co)=6

in concluzie, fiind injectivtr 9i surjectiv6, functia feste bijectiva c) Avem lim f(x) = +- 9i atunci, fdcind schimbarea de variabild y =

r r-'(v) , ----f '(*) ,. ,luTt ___---..-= ltm ---:-- = llm - '(i1x)) -- Iim

.-,.

i-;

'-"

l-nf

(x)

respectiv

iii

*' ''; " ""r"1-"1+" ,,hmtt*[t(.'**'-*'**)]' = \-d er +Jxz-l;al

478

adica feste suriectiv'

f(x)

obtinem

6("- * *: -*'

'=lim r+o

*l .*fr**t-"'* e- e' e'.] I

.'['.,5-,i-iJ

=l,unde

am folosit faptul

o penku Vn € N'.

" |11:

ceea ce se poate demonstra

rapid apliceDd

pentru Vx e R

unde

succesiv regula lui l'H6spital. 2. a) Avem

FIfo;,

*. *

- {-2, -r},

x| -l j.l x:l . x =- I -u 2 "= ^*zl\--l= -1. respectiv b=x+llr -) =2,decix"+3x+2 x+l x+2 Atunci

=,fl *.*)4"=;-r"1**r;*zrn(x+z)li

l*-"

^ -. 3= -rl [rr:r'l r;e i[iJ l=

- .tn2+ 2tn:

L-'-',I

VneN',avem 0<x<ll.x" +0<xn+rcxn l' l' n *n'' *" "n_l a . . -o' *' =0a ' x2 + Jx +2 x2 + jx * 2 J p-* 3- *z

b) Pentru Vx € (0,1) 9i

J;*;*

In'

0 < ln*r <

deci

girul (t,, )".n. este srrict descrescator $i mdrgini.t inferior.

eue-

+3ln*r+2Ii <I"

-!=I,,.,

De asemenea,

uu"-

-!=I"*,

+31" +2In

=61":::-]

+3ln*r +zln >In*, +3In,2 +21^*, =61n,2:+ In*,

pentm Vn e N', relatie care poate fi scristr 9i sub forma t"

Am oblinut astfel ca oeoarece "lirn

ffi

I-- -'" < I- < -. a(n + rj

4;rD

. <In pentru Vn e N..

J1:q,*t = ;'

;1;O'

dr, d"'

deducem ctr I 1im

479

pentru Vn € n

o(,,1D

nI"

ei;*

-,-L-r-

pentru vn >

= "" *

n > 3.