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Índice Contenido n° pág. Introducción………………………………………………………………………………. ………3 Objetivos………………………..…………………………………………………..…... …….….4 Marco conceptual……….………………………………………………………….. …………….5 Integral indefinida y sus aplicaciones...…………………………………...…………..…….. …..6 La integral indefinida……………. ……………………………………………………………….7 Formulas básicas de integración……….………………………………………... ……………….8 ejercicios de aplicación de las formulas…………………………………………….. ……………9-17 Técnicas de integración…………………………………………………………..………. ………18 Método de sustitución…………………………………………………………………………….19 Aplicaciones de la integral indefinida en problemas real........................................................20-22 Conclusiones……………………………………………………………………..…………. ……23 Bibliografía………………………………………………………………………….…... ……….24
Introducción
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Como parte del proceso de formación como futuros ingenieros el conocimiento sobre cálculo integral y la aplicación de los ejercicios matemáticos es de vital importancia para desarrollar habilidades y destrezas en la solución de creativa de problemas. La finalidad de nuestra investigación sobre las integrales indefinidas es comprender los conceptos básicos del cálculo integral, como también el adquirir destreza en las técnicas de integración. En este trabajo se desarrolla el marco conceptual sobre la integral indefinida, la integración con condiciones iníciales, las tablas de integrales, las técnicas de integración y el método de sustitución. También se aplica la integral indefinida en problemas de la vida diaria, donde se realiza ejercicios prácticos, se definirá las conclusiones a las que se llega y se verá algunas recomendaciones sobre el tema de investigación.
Objetivos Generales
Comprender los conceptos básicos del cálculo integral, especialmente lo relacionado a la integral indefinida.
Adquirir destreza en las técnicas de integración
3
Objetivos específicos Definir la antiderivada y la integral indefinida, y aplicar fórmulas básicas de integración.
Aplicar la integral indefinida en problemas de la vida real.
Marco conceptual CONCEPTO DE INTEGRAL La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo. El cálculo integral es el proceso inverso a la diferenciación. Es decir, es el proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llama integración, y la función de determinar se denomina la antiderivada o la integral de la función dada, o de otra manera dada la derivada de una función se debe encontrar la función original. Principio.- Con el objeto de evaluar la antiderivada de alguna función f(x), debemos encontrar una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x), por ejemplo, supongamos que
4
f(x)= 3x2. Puesto que sabemos que (d/dx) (x 3)= 3x2, concluimos que podemos decir F(x) = x3, en consecuencia, una antiderivada de 3x2 es x³. El cálculo integral también involucra un concepto de límite que nos permite determinar el límite de un tipo especial de suma, cuando el número de términos en la suma tiende a infinito.
INTEGRAL INDEFINIDA Y SUS APLICACIONES
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LA INTEGRAL INDEFINIDA
No todas las funciones poseen función primitiva, ya que dada una función puede no Existir otra que la tenga por derivada. Ahora bien, cuando una función: ƒ(x), posee función primitiva: F(x), ésta no es única, Sino que existen infinitas funciones primitivas: todas las que difieren de F(x) en una cantidad constante. En efecto, si F(x) es función primitiva de ƒ(x), se verifica que: F '(x) = ƒ(x), pues Bien, la función F(x) + C, donde C es un número real cualquiera, también es una función Primitiva de ƒ(x), ya que: [F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = ƒ(x) El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una función ƒ(x) se Denomina integral indefinida de ƒ(x) dx. La integral indefinida se representa por: ∫ f (x)dx Se lee: integral de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C Ya que la constante de integración es arbitraria (es decir, puede ser cualquier número real), la integral así obtenida recibe el nombre más propio de integral indefinida Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
6
Ejemplo: Determinación de una integral indefinida. Encontrar ∫ 8 dx. Solución: Primero debemos encontrar una función cuya derivada sea 8, luego añadimos la constante de integración Como sabemos que la derivada de 8x es 8, 8x es la antiderivada de 8 (v = 8; dv = dx), por lo tanto, ∫ 8 dx. = 8x + c FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN:
1. ∫ dx = x + C 2. ∫ k dx = Kx + C
k es una constante
n+1
x n+1
3
∫ xⁿ dx =
4
∫ ex dx = ex + C
5
∫ kf (x) = k∫ f(x)dx,
+c
6
∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx
7
∫
1 x
n ‡-1
k es una constante
dx = Ln x + c
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LAS FORMULAS
7
Integrales indefinidas de una constante y de una potencia de x
•
Encontrar ∫ 2 dx.
Solución: Por la fórmula 2 con k = 2,
∫ k dx = Kx + C
∫ 2 dx = 2x + C
•
Encontrar ∫ x⁴ dx =
Solución: Por la fórmula 3 con n = 4,
∫ X⁴ dx =
x 4+1 4+1 +
∫ xⁿ dx =
=
x5 5
x n+1 n+1
+c
+ c
INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN DE X
8
La integral del producto de una constante de una función de x es igual a la constante por la integral de la función. Esto es, si C es una constante. Encontrar
∫ 5x dx
Solución: Por la fórmula 5 con k = 5 y f(x) = x,
∫ kf (x) = k∫ f(x)dx,
∫ 5x dx = 5 ∫ x dx v=x
dv = dx
Como x es x¹, por la fórmula 3 tenemos ∫ X¹ dx = + c,
∫ xⁿ dx =
x n+1 n+1
+c
donde c, es la constante de integración, por lo tanto,
∫ 5x dx = 5∫ x dx = 5
x1 +1 1+1
+c
Con mayor sencillez, escribimos de la siguiente manera 5x 2 2 +c
∫ 5x dx = 5∫ x dx =
INTEGRAL DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN DE X
Encontrar
∫-
3 5
ex dx.
Solución: Donde
3 5
es la constante de integración por lo tanto;
9
3 5
=
∫ ex dx.
Por la fórmula 4
∫ ex dx = ex + C
tenemos 3 5
∫
ex dx
3 5
=
ex + c
INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA SUMA: La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus integrales Encontrar
∫ (x⁴ + 2x) dx
Solución:
Por la fórmula 6,
∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx
∫ (x⁴ + 2x) dx = ∫ x⁴ dx + ∫ 2dx. Este resultado puede extenderse a la diferencia de dos funciones o a cualquier suma algebraica de un número finito de funciones; ahora tenemos, x n+1 n+1
∫ xⁿ dx = v =x
+c
dv = dx
n=4 x⁴ ⁺¹ 4+ 1
x5 5
= ∫ x⁴ dx =
¿
∫ 2x dx.=
Donde 2 es la constante de integración; ¿
2∫ x dx.
2x¹ ⁺ ¹ 1+1
+c
+c
=
=
2x² 2
+c
+c
= x² + c
∫
=
x5 5
+ x² +
(x⁴ + 2x) dx INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA SUMA Y DIFERENCIA Encontrar ∫(2
√5 X 4
Por la fórmula 6, Solución:
x
-7x³ + 10 e −1¿ dx ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx
2∫ x4/5 dx – 7 ∫x³ dx + 10 ∫ ex dx - ∫ 1 dx
10
v = x dv= dx
4 5
n=
Aplicamos la formula ∫ xⁿ dx =
n+1
x n+1
+c
v = x dv= dx v = ex dv = exdx
n=3
9
= (2)
x5 9 5
– (7)
x4 +10 e x −x + c 4
Aplicamos la
formula ∫ ex dx = ex + C ∫(2
√5 X 4
10 x 9
-7x³ + 10
9 5
4
-
7x +10 e x −x +c 4
x
e −1¿ dx
=
USO DE MANIPULACIONES ALGEBRAICAS PARA ENCONTRAR UNA INTEGRAL INDEFINIDA 2 Encontrar ∫ y² (y + 3 ) dy. Solución: El integrado no concuerda con ninguna forma familiar de integración; sin embargo, multiplicando los factores del integrado obtenemos ∫ y² (y +
2 3 ) dy =
Primeramente multiplicamos y nos da:
∫ (y³ +
2 3
y²) dy
Utilizamos la formula ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx Y nos resulta v=y
∫ y³ dy +
dv= dy
n=3
Aplicamos la formula
2 3
∫ y² dy v=y ∫ xⁿ dx =
dv = dy x n+1 n+1
n= 2
+c
y 4 2y 3 + +c 4 9
11
:
∫ (y³ +
2 3
4
3
2 ∫ y² (y + 3 ) dy
y 2 y y²) dy = 4 + 3 3 + c
()
=
USO DE MANIPULACIÓN ALGEBRAICAS PARA ENCONTRAR UNA INTEGRAL INDEFINIDA
Encontrar
1 Al factorizar la constante 6
Solución: 1 6
=
Donde 1 = 6 1 6
( 2x−1 ) ( x +3) dx 6
∫
∫ (2x² + 5x -3 ) dx Utilizamos la formula ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) ± ∫ g(x) dx 1 6
es la constante de integración y aplicando la formula tenemos: 1 6
∫2x² dx +
∫2x² dx =
dx = v = 2x
y multiplicar los binomios, obtenemos:
∫5x dx -
1 6
1 6
∫3 dx
x3 +c 3
1 6
( ) 2
∫5x dx =
1 x2 5 6 2
( )
1 6
+c
∫3
1 ( 3 x )+c 6 dv = x dx
n=2
Tomando factor común
v = 5x
1 tenemos = 6
dv = x dx
⟦
n=1
⟧
1 x3 x2 2 + 5 −3 x + c 6 3 2 3
2
4 x +15 x −18 x 36
12
x3 5 x2 x = 9 + 12 − 2 +c
Encontrar ∫
x 3−1 2 x
ó también = ∫
( 2x−1 ) ( x +3) dx = 6
dx
Solución: Podemos descomponer el integrando en fracciones, dividiendo cada término del numerador entre el denominador. = ∫
(
x3 1 − dx x2 x2
)
−2 = ∫ ( x− x ) dx
−2 = ∫x dx - ∫ x dx
x2 2
=∫x dx =
−2 =-∫ x dx =
+c
−x −1 −1
+c v=x =
dv = dx
x 2 x−1 − 2 −1
n=1
+c
v= ∫
x 3−1 2 x
−2
x
dv =
−1
x
dx
2
=
x 1 − 2 x
+c
dx
APLICACIÓN DE LA REGLA DE POTENCIA PARA INTEGRACIÓN ∫( x + 1)20 dx.
Encontrar
Como el integrado es una potencia de la función x + 1, haremos u = x, entonces du = dx, y la ∫( x + 1)20 dx tiene la forma ∫( u)20 du. Por medio de la regla de la potencia para integración, 20
∫( x + 1) dx = utilizamos la formula Donde v =( x+1)
dv = dx
x n+1 n+1
∫ xⁿ dx =
+c
n= 20 21
=
( x +1) +c 21
13
u 20+1 20+1
20
∫( u) du =
+c
Aplicación con ajuste al dv 2 Encontrar ∫x ( √ x + √ 5 ) dx
5 x +¿ ¿ ¿ 2
Lo podemos escribir también ∫x
u = x2 + 5
du = 2x dx
n=
dx
1 2 ; nos damos cuenta que el valor de que el factor
n constante de 2 aparece en el integrado, la misma que no tiene la forma de ∫ u du ; sin
embargo podemos poner la integral dada en esta forma por medio de la multiplicación 2 y
dividiendo por
=
1 2
∫
1 2
5 2 x +¿ ¿ ¿
, quedando de la siguiente manera 5 x +¿ 3 ¿ / 2 1 ¿ 2 2
.(2x dx) =
2 ∫x ( √ x + √ 5 ) dx
+c
3 2
=
( x +1) +c 3
INTEGRACIÓN CON CONDICIONES INICIALES Encontrar una antiderivada particular de una función que satisface ciertas condiciones implica la evaluación de una constante de integración.
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Si conocemos la razón de cambio, f’, de la función f, entonces la función f misma es una antiderivada de f (ya que la derivada de f es f’). Por supuesto hay muchas antiderivadas de f’ y la más general es denotada por la integral indefinida. Ejemplo; f’ (x) = 3x
entonces:
f (x) = ∫ f’ (x) dx = ∫ 3x dx =
x
2
+C
(1)
Esto es, cualquier función de la forma f (x) = + C tiene su derivada igual a 3x, que debido a la constante de integración, no conocemos f (x) específicamente. Sin embargo, si f debe tener cierto valor para un valor particular de x, podemos determinar el valor de C y conocer así específicamente a f (x) . Ejemplo: Si f (1) = 4, de la ecuación (1) obtenemos. f (1) = 1² + C
4 =1+C
C =4–1
C=3
Así; f (x) = x² + 3 Esto es, ahora la función particular f(x) para la cual f (x)= 3x y f(1) = = 4. La condición f(1) = 4, que da un valor especifico de x, se llama condición inicial ( o valor en la frontera). Ejemplo: Si y es una función de x tal que y’ = 6x - 3 y y(2)= 5, Solución: aquí, y(2) = 5 es la condición inicial. Como y’ = 6x – 3, y es una antiderivada de 6x - 3: y = ∫(6x – 3) dx =
= 3x² - 3x +
(2)
Podemos determinar el valor de C por medio de la condición inicial. Como = 5 cuando = 2, de la ecuación (2) tenemos 5 = 3(2)² - 3(2) + C,
5 = 12 – 6 + C
Al reemplazar C por -3 en la ecuación (2) obtenemos la función que
C = -3
buscamos y = 3x² - 3x - 3
(3)
Para encontrar y(4), hacemos x = 4 en la ecuación (3) y(4) = 3(4)² - 3(4) – 3
= 48 -12 – 3 = 33
15
Ejemplo: Problema con condiciones iníciales que implican x
Dado que y” =
3
- 12, y’(0) = 2, y y(1) = -1, encontrar y.
Solución: para pasar de y” a y son necesarias dos integraciones, la primera nos lleva de y” a y, y la otra de y’ a y. Por lo tanto, se tendrán dos constantes de integración, que c1 y c2 .
denotaremos como
d ' ( y )= x 3 - 12, y’ es una antiderivada de dx
Como y” = '
y =∫( x y
Ahora
'
3
x4 4
- 12) dx =
y
(0) significa que
- 12x + '
x
3
- 12, por lo que,
c1
= 2 cuando x = 0; por tanto, de la ecuación anterior,
tenemos 4
0 4
2== c1
De aquí, y'=
x4 4
– 12(0) +
c1
= 2, de modo que
- 12x + 2
Por integración podemos encontrar: y = ∫
Así:
(
4
)
x −12x+ 2 dx 4
x5 y = 20
=
1 x5 x2 −12 +2 x + c2 4 5 2
()
2
−6 x + 2 x +c 2
Ahora, como y = -1 cuando x = 1, de la ecuación anterior tenemos 5
-1 =
Así,
c2
1 20 1 = - 10,
2
−6 (1) + 2(1)+ c 2
,
por lo que
16
5
y=
x 20
2
−6 x + 2 x−
1 10
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
El objetivo es analizar las técnicas del manejo de problemas de integración más complejas, a saber, por medio de la manipulación algebraica y por ajuste del integrando a una forma conocida. Cuando se tiene que integrar fracciones, es necesario a veces efectuar una división previa para obtener formas de integración conocidas; Ejemplo. 3
x −x 2 x
Encontrar ∫
dx
Solución: Podemos descomponer el integrando en fracciones, dividiendo cada término del numerador entre el denominador. =
∫
(
3
)
x x − 2 dx 2 x x
=
∫
( X − X1 ) dx
; La descomponemos de la siguiente
manera: =
∫x dx
1 ∫ X
-
dx ;
aquí aplicamos para el primer integral
la Formula . ∫
∫ xⁿ dx =
Entonces x 3−x x2
dx
=
x2 2
x n+1 n+1
+c
∫
√ x¿ 1 ¿
dx = ln x + c
tenemos que: - ln x + c
√ x−5 ¿3 Encontrar
1 x
, y en segundo caso la formula ∫
3
√ x−5 ¿−¿ dx ; la podemos escribir como
∫
¿ ¿
√x
dx
17
u=
√ x−5
du =
√ x−5 ¿−3 ¿ ¿ ¿
∫
=
dx =
−1 u2
2∫
c
1 2√ x
dx
√ x−5 ¿−3
=-
( 2 √1 x )
dx
¿
=2∫
( ) u−2 −2
+c
1 ( √ x−5 ¿2 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
No todas las integrales se pueden evaluar en forma directa usando las integrales estándar. Sin embargo, muchas veces la integral dada puede reducirse a una integral estándar ya conocida mediante un cambio en la variable de integración. Este método se conoce como método de sustitución y corresponde a la regla de la cadena en diferenciación. 5 x +¿ ¿ ¿ 2
∫x
1 2
u = x2 + 5
dx 5 x +¿ ¿ ¿
∫
2
.(2x dx) =
2
5 x +¿ ¿ ¿
4 +1
+c
5
( x +5) +c 10
5
1 ( x + 5) 2 5
=
n= 4
1 ( x + 5) 2 4+1
2
=
1 2
du = 2x dx
+c
2
∫
.(2x dx)
18
Algunas veces la diferencial exacta apropiada no aparece en la integral misma, sino que la función debe multiplicarse o dividirse por cierta constante Ejemplo: 3+ 1
2 x ∫ x e dx
; la derivada de
x
3+1
x es 3
2
x
. Puesto que la expresión
2
no aparece
en el x
Integrado, esto no sugiere hacer u =
3
+ 1 , luego, du =
3x
2
x
y así
2
dx =
1 3
du. 3+ 1
n ∫ u
2 x ∫ x e dx ; Utilizamos la formula
1 ( du) 3
=
1 n u 3
+ c, y
nos da como resultado, 1 3
3+ 1
x 2 ∫ e x dx (3)
=
1 x e +c 3 3+ 1
APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN PROBLEMAS REALES
El costo marginal de una finca de 7,00 hectáreas que produce banano orgánico en UROCAL está dada por la ecuación c(x) = 3 + 008x a) Determine la función de costo C (x), si los costos fijos de la finca es de 240 dólares mensuales. C’ (x) = 3 + 0.008x C’ (x) = ∫( 3 + 0.008x ¿ dx=¿ ∫ 3 dx +¿ ∫ 0. 008x dx C (x) = 3x +
0.008 x 2 +¿ 2
2 C (x) = 3x +0.004x +c
+c
b) Cuánto costara producir 500 cajas con banano en un mes? X = 500, procedemos a reemplazar en la ecuación anterior 2 C (x) = 3x +0.004 x + 240
; procedemos a reemplazar x por 500
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C (x)
2 = 3(500) + 0.004(500) + 240
C (x)
= 1500 + 1000 + 240
C (x) = 2740
Producir 500 cajas con banano cuesta 2.740,00 dólares mensualmente. c) Si las cajas con banano se venden a 6,50 dólares cada una. Cuál es su utilidad? U=I–C I = 500 x 6,50 = $ 3.250,00 U = 3.250 – 2740 = La utilidad mensual es
$ 510
de $ 510
d) Si las cajas con banano se venden a 6,50 dólares cada una. Cuántas cajas deben producir para maximizar la utilidad? Px = R (x) – C (x)
R (x) = $ 6,50 2
P(x) = 6,50x – (3x +0.004 x + 240 )
procedemos a derivar la función
❑ P’(x) = 6,50– (3 +0.004 x )
0 = 6,50 -3 – 0,004x
0,004x
= X = 875
6,50−3
0,004x = 3,50
x=
3,50 0,004
Para maximizarla producción hay que producir 875 cajas
con
banano mensualmente e) Determine el incremento de utilidad que hay maximizando la producción a 875 cajas mensualmente. De acuerdo a la pregunta el costo de producir 500 cajas con banano mensualmente es de: 2740/ 500 = $ 5,48; maximizando la producción nos da 875 cajas mensualmente, entonces tenemos lo siguiente: 2740/500 = $ 5,48
Costo de producción por caja
2740/875 = $ 3,13
Costo de producción por caja
Variación:
[ ( 875/500 )−1 ]∗100=75 20
El incremento de producción en porcentaje por cajas es del 75% (375 Cajas mensuales) 875 * $ 6,50 = $ 5.687,50
Ingreso mensual
500 * $ 6,50 = $ 3.250,00
Ingreso mensual
Variación:
[ ( 5687 , 50/3250 ) −1 ]∗100=75
U=I–C
I = 875 x 6,50 = $ 5.687,50 U = 5.687,50 – 2.740 = La
utilidad
mensual
$ 2.947,50
maximizando la producción es de
$ 2.947,50 f) Determine el incremento de utilidad si el volumen de venta es incrementado de 500 a 675 cajas mensuales. 2740/500 = $ 5,48
Costo de producción por caja
2740/675 = $ 4,06
Costo de producción por caja
Variación:
[ ( 675/ 500 )−1 ]∗100=35
675 * $ 6,50 = $ 4.387,50
Ingreso mensual
500 * $ 6,50 = $ 3.250,00
Ingreso mensual
Variación:
[ ( 4 . 387 ,50 /3250 )−1 ]∗100=35
U=I–C I = 675 x 6,50 = $ 4.385,50 U = 5.687,50 – 2.740 =
$ 1.647,50
La utilidad mensual aumentando la producción a 675 cajas es de $ 1.647,50
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Conclusiones Después de la desarrollar la investigación sobre las integrales indefinidas, se llega a las siguientes conclusiones: Que para la integración indefinida no existen reglas generales, es la práctica sistemática lo que determina la aplicación del método adecuado de integración, según sea el integrando.
Solo con la práctica sistemática, se podrá llegar a entender y resolver los ejercicios de las integrales indefinidas.
Que el estudio de las integrales indefinidas son importantes en la aplicación y resolución de problemas
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Bibliografía
wikipedia.org/wiki/Integración www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf www.scribd.com/doc/.../Integrales-Indefinidas www.scribd.com/.../CALCULO-DIFERENCIAL-E-INTEGRAL-II-FAS2-LAINTEGRAL-INDEFINIDA www.upao.edu.pe/new_pregrado/.../12/.../MATEMATICA_II.pdf
23