VOLUME 1 • 2014
A EVOLUCIONAL
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Revisão
Audiovisual
Bruna Silveira Fernanda Oliveira
Cecília Novais
Adann Simões Vinícius Leone
Thiago Valle
Cristiano Oliveira Everton Pessoa Guilherme Ceolin Rodnei RIbeiro Patrícia Bastos
SUMÁRIO MAT
MATEMÁTICA BÁSICA
MAT
2 • Equações do 1º e do 2º grau, sistemas lineares e fatoração__________________________ 11
3 • Grandezas proporcionais e porcentagem____________________________________________ 15
4 • Fundamentos de geometria plana____________________________________________________ 19
5 • Teorema de Pitágoras e fundamentos de trigonometria____________________________ 23
6 • Vetores________________________________________________________________________________ 27
MATEMÁTICA
FÍS
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1 • Frações, potências e raízes_____________________________________________________________ 7
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1 • Conjuntos______________________________________________________________________________ 33
2 • Introdução à funções_________________________________________________________________ 37
3 • Classificação de funções e função do 1º grau________________________________________ 41
4 • Função do 2º grau____________________________________________________________________ 45
5 • Inequações____________________________________________________________________________ 49
6 • Função exponencial e função inversa________________________________________________ 53
7 • Logaritmo_____________________________________________________________________________ 57
8 • Funções composta e modular________________________________________________________ 61
9 • Tratamento da informação e da estatística___________________________________________ 65
10 • Sequências___________________________________________________________________________ 69
11 • Matrizes_______________________________________________________________________________ 73
12 • Determinantes_______________________________________________________________________ 77
13 • Sistemas lineares_____________________________________________________________________ 81
14 • Análise combinatória: PFC e permutações__________________________________________ 85
15 • Análise combinatória: arranjos e combinações_____________________________________ 89
FÍSICA
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1 • Cinemática escalar: MU e MUV_______________________________________________________ 95
2 • Cinemática escalar: Torricelli e aplicações de MUV__________________________________ 99
3 • Cinemática vetorial: conceitos iniciais e movimento circular_______________________ 103
4 • Cinemática vetorial: lançamentos___________________________________________________ 107
5 • Dinâmica: conceitos iniciais___________________________________________________________ 111
6 • Dinâmica: aplicações práticas________________________________________________________ 115
QUI
7 • Trabalho e energia: conceitos iniciais________________________________________________ 119
8 • Trabalho e energia: conservação e aplicações práticas_____________________________ 123
9 • Dinâmica impulsiva__________________________________________________________________ 127
10 • Gravitação___________________________________________________________________________ 131
11 • Estática_______________________________________________________________________________ 135
12 • Hidrostática_________________________________________________________________________ 139
13 • Termofísica: conceitos iniciais e dilatação__________________________________________ 143
14 • Termofísica: trocas de calor_________________________________________________________ 147
15 • Termofísica: transformações gasosas_______________________________________________ 151
QUÍMICA
estudar
revisar
1 • Estrutura da matéria__________________________________________________________________ 157
2 • Estrutura atômica____________________________________________________________________ 161
3 • Tabela periódica e massa atômica___________________________________________________ 165
4 • Ligações químicas____________________________________________________________________ 169
5 • Polaridade e forças intermoleculares________________________________________________ 173
6 • Funções inorgânicas_________________________________________________________________ 177
7 • Reações inorgânicas_________________________________________________________________ 181
8 • Cálculos químicos____________________________________________________________________ 185
9 • Estequiometria_______________________________________________________________________ 189
10 • Transformações gasosas____________________________________________________________ 193
11 • Misturas gasosas____________________________________________________________________ 197
12 • Soluções_____________________________________________________________________________ 201
13 • Propriedades coligativas____________________________________________________________205
14 • Termoquímica_______________________________________________________________________209
15 • Cinética química____________________________________________________________________ 213
GABARITO GABARITO • MATEMÁTICA BÁSICA________________________________________________________________________ 219 GABARITO • MATEMÁTICA_________________________________________________________________________________ 219 GABARITO • FÍSICA_________________________________________________________________________________________220 GABARITO • QUÍMICA______________________________________________________________________________________222
BÁSICA
MATEMÁTICA
MAT
FRAÇÕES, POTÊNCIAS E RAÍZES
1
OPERAÇÕES COM FRAÇÃO
A C A ⋅D + B ⋅ C + ⇒ B D B ⋅D
A C A ⋅C ⋅ ⇒ B D B ⋅D
A C A ⋅D − B ⋅ C − ⇒ B D B ⋅D
A B ⇒ A ⋅D C B C D
A C : B D
HERANÇA
+
−
⇒
3 1 3 ⋅ 2 + 1⋅ 4 5 + = = 4 2 4 ⋅2 4
CADA FILHO
⇒
1 3 C : 2 1 B D
⇒
3 1 3 ⋅ 6 − 1⋅ 4 7 − = = 4 6 4 ⋅6 12
1 3 3 ⋅ = 2 4 8
1 1 1 ⋅ = 2 3 6
MÃE FILHOS
FATORAÇÃO, MMC E MDC Máximo Divisor Comum (MDC)
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 15,24,60 15,12,30 15,6,15 15,3,15 5,1,5 1,1,1
15 = 3 ⋅ 5 24 = 23 ⋅ 3
ou
60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 MMC(15,24,60) = 23 ⋅ 3 ⋅ 5
2
36 = 22 ⋅ 32
2 2 3 5
90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 MDC(36,90) = 2 ⋅ 32 = 18
23 ⋅ 3 ⋅ 5 Multiplica-se os fatores comuns a todos os números e, para fatores de mesma base, opta-se pelo de menor expoente.
Multiplica-se os fatores de todos os números e, para fatores de mesma base, opta-se pelo de maior expoente.
POTÊNCIAS
RADICIAÇÃO
expoente
→
An = A ⋅ A ⋅ A ⋅ ... ⋅ A
→
onde
base
A∈
n∈
e
É a operação inversa da potenciação
n
A = B ⇔ Bn = A, b ≥ 0
n vezes
n n
A1 = A
A0 = 1 A≠0
An ⋅ Am = An+m m
( A )n = An⋅m
An = An−m Am A≠0 n
A An = n B B B ≠0
1 A −n = A A ≠ 0
( A ⋅ B)
n
b c
= An ⋅ Bn
c
A = A
b
n m
n
A ⋅ n B = n A ⋅B
n
( A)
m
n
A = n⋅m A
= n Am
A B
=
n⋅p
n
A B
Am⋅p = n Am
Racionalização: operação realizada para que, em uma fração, a raiz não fique no denominador.
A B
=
A B
⋅
B B
=
A B B
7
MAT
EQUAÇÕES DE 1º E DE 2º GRAU, SISTEMAS LINEARES E FATORAÇÃO
2
EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAU 1º grau
2º grau Deve-se isolar o x
ax 2 + bx + c = 0
2x + 4 = 0 2x = −4 x = −2
ax + b = 0
Utiliza-se a fórmula de Bháskara ∆ = b − 4ac 2
Equação irracional
Se ∆ < 0; x ∉
EXEMPLOS
x +1= 0 x +1+1= 0
Quando c = 0
x = −b ± ∆
x +1 = 0 3
2a
x =0 2
Isolar a raiz; Elevar os dois lados da equação ao índice da raiz; Descobrir os valores possíveis para x; Substituir o valor encontrado na equação original e verificar a igualdade.
x1 =
−b + ∆ 2a
x2 =
−b − ∆ 2a
ax + bx = 0 2
x(ax + b) = 0 x1 = 0
x2 =
EXEMPLO
2x 2 + 3x − 2 = 0 ∆ = 32 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −2)
−b a
x(2x − 4) = 0
x1 = 0
2x − 4 = 0
x2 = 2
Quando b = 0
∆ = 25; ∆ > 0
ax 2 + c = 0
x = −3 ± 25
ax 2 = −c
4 −3 + 5 1 x1 = = 4 2 −3 − 5 x2 = = −2 4
EXEMPLO
2x 2 − 4x = 0
c x=± − a Se −
c < 0, x ∉ a
EXEMPLO
2x 2 − 8 = 0 2x 2 = 8 x2 = 4 x = ±2 x1 = 2
x 2 = −2
SISTEMAS LINEARES Método da adição
Método da substituição
2x + 3y = 8 2x + 3y = 8 ⇒ x − y = −1 −2x + 2y = 2 5y = 10 ⇒ y = 2
+
2x + 3y = 8 x − y = −1
Substituindo 2x + 3 ⋅ 2 = 8 ⇒ x = 1
S = {(1,2)}
Em uma equação, isolar variável x
x = −1 + y
Substituir x na outra equação, para obter o valor de y 2( −1 + y) + 3 y = 8 ⇒ 5 y = 10 ⇒ y = 2
Conhecendo o valor de y, obter o valor de x
x = −1 + 2 ⇒ x = 1
S={1, 2}
FATORAÇÃO Fator comum
ax + ay = a(x + y)
Agrupamento ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a+ b)
Produto da soma pela diferença
(x + y)(x − y) = x 2 − y 2
Quadrado da soma
Quadrado da diferença
Soma de cubos
(x + y)2 = x 2 + 2xy + y 2
(x − y)2 = x 2 − 2xy + y 2
x3 + y 3 = (x + y)(x 2 − xy + y 2 )
Cubo da soma
Cubo da diferença
Diferença de cubos
(x + y)3 = x3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
(x − y)3 = x3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3
x3 − y 3 = (x − y)(x 2 + xy + y 2 )
8
MAT
GRANDEZAS PROPORCIONAIS E PORCENTAGEM
3
RAZÃO representada por numerador
→
A:B
ou
A B→
=
1 2
denominador
A B
inversa
B A
A · B=1 B A
multiplicada por inversa é igual a 1
B 0
·
não existe inversa quando o numerador é zero
1
=
PROPORÇÃO números com a mesma RAZÃO QUANDO UMA GRANDEZA AUMENTA EM N VEZES
a outra grandeza aumenta em N vezes
diretamente proporcional
C =E =K D F
~
a outra grandeza é igual a seu valor dividido por N
usada na regra de 3 simples G I = H ?
inversamente proporcional
C ·D = E · F = K
OU SEJA:
G
H
I
?
CINEMA
K
CONSTANTE
K
G·?=H·I ?= H·I G
3
R$
ingressos
CONSTANTE
2
67,50
?
ingressos
3 · ? = 67,50 · 2 ? = 67,50 · 2 = 45 3
2 ingressos custam R$ 45
PORCENTAGEM % significa dividido por 100
V% = V 100
{ R$ 1 R$ 5
1 5
=
V 100
OU SEJA:
1
V
5
100
EQUIVALÊNCIAS 1 5
=
20 100
= 0,2 = 20%
cálculo de aumento
cálculo de desconto
100% + 20%
100% - 20%
100 + 20 = 120 100 100 100
100 - 20 = 80 100 100 100
120% = 1,20
80% = 0,80
fator de multiplicação
fator de multiplicação
1 + taxa de aumento
1 - taxa de desconto
V = 20
AUMENTO DE 20% = 0,20 fator de multiplicação = 1 + 0,20 = 1,20 valor inicial
·
DESCONTO DE 20% = 0,20 fator de multiplicação = 1 - 0,20 = 0,80
R$ 5 · 1,20 = R$ 6 fator de multiplicação
=
valor final
valor inicial
·
R$ 5 · 0,80 = R$ 4 fator de multiplicação
=
valor final
9
MAT
FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA PLANA
4 ÂNGULOS A
O - vértice AO e BO - lados AÔB - ângulo
O
B
Agudos
Adjacentes
Opostos pelo vértice
São consecutivos e não possuem pontos internos em comum.
Retos
α
α = 90°=
π rad 2
Congruentes
α
π rad 2
Complemento
Têm a mesma medida. 30°
β α
α
O β
D
Retas paralelas cortadas por uma transversal
A
B e
Obtusos
α < 90° α<
C
α>
π rad 2
g d
f c
h
Suplemento
90° - x
30°
α > 90° α
a
b
180° - x
x
a≡b≡c≡d e≡f ≡g≡h
x
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS A soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180°.
β α
γ
Retângulo α α
Acutângulo
A
Ângulo-Lado-Ângulo (ALA)
A
Escaleno
Obtusângulo Tem um ângulo obtuso.
β γ
A
G
B C
F
G
E
B F
C
G
A
C
F
G
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS • Ângulos congruentes
γ
• Lados proporcionais
TEOREMA DE TALES
C
Lado-Ângulo-Ângulo Oposto (LAAO)
E
B
E
B
F
C
Tem três ângulos agudos.
α
E
B
β
β
A
π
Lado-Lado-Lado (LLL)
Lado-Ângulo-Lado (LAL)
α
Isósceles
α
S = (nlados − 2) ⋅
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Equilátero
α
S = (nlados − 2) ⋅ 180°
α + β + γ = 180º = π rad
TRIÂNGULOS
α
135°
Soma dos ângulos internos de um polígono varia de acordo com o número de lados.
45°
α
β β
α
γ
A
A' B' C'
AB A'B' AB BC = ou = BC B'C' A'B' B'C'
∆ABC ~ ∆ DEC
D
B
E
C
AB AC BC = = DE DC EC
10
MAT
TEOREMA DE PITÁGORAS E FUNDAMENTOS DA TRIGONOMETRIA
5
π(pi) A letra grega π (lê-se “pi) simboliza um número irracional que pode ser encontrado nas relações métricas de diversas estruturas na Natureza.
π ≈ 3,14
Radianos e graus
Teorema de Pitágoras
As duas unidades de medida mais usuais para ângulos são:
A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: a2 + b2 = c2
Graus 1 volta = 360°
Radianos 1 volta = 2π rad
52 = 42 + x 2
5m
4m
x2 = 9
x
x=3
TRIGONOMETRIA E RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
a
β
cat opo
senθ =
hipotenusa (c) lado oposto ao ângulo reto
c
hip
cos θ =
cateto (a) lado oposto ao ângulo α e adjacente ao β
α b
tgθ =
cat adj hip
catopo
cateto (b) lado oposto ao ângulo β e adjacente ao α
a c
sen β =
b c
cos α =
b c
cosβ =
a c
tgα =
catadj
sec θ =
π α+β=90°= rad 2
senα =
a 1 = b tgβ
1 hip = senθ cat opo
cotgθ =
cossec θ =
catadj 1 = tgθ cat opo
ÂNGULOS NOTÁVEIS E SENO, COSSENO E TANGENTE
tgβ =
b 1 = a tgα
1 hip = cos θ cat adj
(senα )2 + (cos α )2 = 1
30°ou π rad 45°ou π rad 60°ou π rad 4 6 3 sen
1 2
2 2
3 2
cos
3 2
2 2
1 2
tg
3 3
1
3
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO QUALQUER EXEMPLO DE USO DA LEI DOS COSSENOS
EXEMPLO DE USO DA LEI DOS SENOS
a
γ α
c Lei dos senos a b c = = senα sen β sen γ
Lei dos cossenos a2 = b2 + c2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α
45º
60º 75º
10m
10m
TERRA
β E PONT
b
120º
x
x RIO
2km 2 x = ⇒ x = 6 km sen 45º sen60º
x 2 = 102 + 102 − 2 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ cos120° 1 x 2 = 200 − 200 ⋅ − 2 x 2 = 200 + 100 x = 300 2
x = 22 ⋅ 52 ⋅ 3 x = 10 3 x 17,5
11
MAT
6
VETORES
DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO
Módulo do vetor a ou a
Instrumento que representa uma grandeza vetorial. Além do valor e a respectiva unidade são necessárias informar a direção e o sentido.
O tamanho da flecha.
extremidade
Direção do vetor Inclinação da flecha.
origem
Sentido do vetor
Uma flecha representa uma grandeza vetorial.
O sentido da flecha, indicado pela posição da seta.
DECOMPOSIÇÃO VETORIAL Um vetor a , pode ser decomposto em dois outros vetores. Um vetor na horizontal ax , no eixo x, e outro na vertical ay , no eixo y. a
ay θ
Com
a = ax + ay
ax = a ⋅ cos θ
ay = a ⋅ sen θ
ax
REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR RESULTANTE Regra do Polígono
Regra do Paralelogramo
Une-se a origem de de um vetor com a extremidade de um outro. a
Conecta-se as origens dos vetores e traça-se vetores paralelos de mesmo módulo e direção
R
b
O vetor resultante será o vetor traçado para completar um polígono formado por ele e pelos demais vetores.
R = a+b Determinação do módulo:
R 2 = a2 + b2
R
b
Sistema de coordenadas Em muitos casos, a determinação da resultante é facilitada pela decomposição em um sistema de coordenadas. a
a
O vetor resultante é dado pelo vetor que liga a origem até a extremidade.
R = a+b
Determinação do módulo:
R 2 = a2 + b2 + 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos θ
b
ay bx
ax
by
12
MATEMÁTICA
MAT
1
CONJUNTOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS Naturais:
= {0,1, 2,3, 4,...} * = {1, 2,3, 4,...}
Inteiros: = {..., −3, −2, −1, 0,1, 2,3,...} + = {0,1, 2,3,...} − = {..., −3, −2, −1, 0} *+ = {1, 2,3,...}
Racionais ( ):
Inteiros, decimais finitos e dízimas periódicas.
Irracionais (
Números decimais infinitos não periódicos.
Reais ( ):
):
*− = {..., −3, −2, −1}
Exemplo: Público de um evento H
n
União
B
A
O elemento n não pertence ao conjunto A
A ⊃B
A contém B
B⊂A
B está contido em A
A = ∅ ; A = { } A é um conjunto vazio
A ∪B ∪ C
{x : x ∈ A e x ∈ B} A
B
A ∩B A ∪B ∪ C
Complementar U ou A A
ou
A
Diferença A − B
ou
A\B
{x : x ∈ A e x ∉ B} A
A
INTERVALOS
C
U
Universo é o conjunto de todos os elementos trabalhados em determinado assunto.
A U
ou
B
A Cou A
A −B
ou
A\B
CARDINALIDADE E OPERAÇÕES
S = {x ∈ A / a < x ≤ b} Solução é igual a: x pertence ao conjunto A, tal que x é maior que a e menor ou igual a b.
Limitado b
a,b ou {x ∈ / a ≤ x ≤ b}
x
Intersecção A ∩ B
C
Um conjunto que contém todos os subconjuntos de outro conjunto é chamado de conjunto das partes
C ⊄ A C não está contido em A
a
H conjunto de todos os homens
B
O elemento p pertence ao conjunto A
A ⊆ B A não está contido em B
Aberto
M conjunto de todas as mulheres
{x : x ∈ A ou x ∈ B ou x ∈ C}
C
p∈A n∉ A
x
M T
OPERAÇÃO ENTRE CONJUNTOS A
p
a
P conjunto de todas as pessoas
T conjunto de todas as mulheres com menos de 30 anos
CONCEITOS BÁSICOS
Fechado
P
União dos reais e dos imaginários ( i2=-1).
A
União dos racionais e irracionais.
Complexos ( ):
b
a,b ou ( a,b ) ou {x ∈ / a < x < b}
Fechado à esquerda ou à direita
Ilimitado x b −∞ ,b ou ( −∞ ,b ou {x ∈ / x ≤ b} x b −∞ ,b ou ( −∞ ,b ) ou {x ∈ / x < b} a x a, +∞ ou ( a, +∞ ou {x ∈ / x ≥ a}
a x b a,b ou a,b ) ou {x ∈ / a ≤ x < b}
a x a, +∞ ou ( a, +∞ ) ou {x ∈ / x > a}
a x b a,b ou ( a,b ou {x ∈ / a < x ≤ b}
0 −∞ , +∞ ou ( −∞ , +∞ ) ou
Cardinalidade de um conjunto é o número de elementos que este contém. Denotado por | | ou n(A). União de conjuntos
| A∪ B |=| A | + | B | − | A ∩ B | Exemplo: Foram entrevistadas 35 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam. Todas usam carro ou ônibus ou ambos. Sabe-se que 26 usam carro e 14 ônibus. Quantos usam ambos? C=conjunto de pessoas que usam carro O=conjunto de pessoas que usam ônibus
| C ∪ O |= 35 C = 26 O = 14
| C ∪ O |=| C | + | O | − | C ∩ O | 35 = 26 + 14− | C ∩ O | | C ∩ O |= 5 usam ambos
15
MAT
INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES
2
PRODUTO CARTESIANO E RELAÇÃO BINÁRIA Sistema de Coordenadas no plano cartesiano
y
Esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com dimensões
A = ( −5, 3)
Par ordenado
B = ( 6, 5)
5 3 D = ( 0, 0 )
Conjunto de dois elementos que indica a posição de um ponto no plano cartesiano, • primeiro número: posição no eixo x (abscissa) • segundo número: posição no eixo y (ordenada)
4,5 6
-5 3,5
C = ( 4,5; − 3,5)
Exemplo:
A = ( −5, 3)
B = ( 6, 5)
C = ( 4,5; − 3,5)
x
D = ( 0, 0 )
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO • Domínio (A): “conjunto de partida” • Contradomínio (B): “conjunto de chegada” • Imagem: elementos do contradomínio que estão associados ao domínio
A
B
t u
x y
f : A →B
Contradomínio
Unidades vendidas 1 unidade 2 unidades 3 unidades
Domínio NOTA: Todo elemento do Domínio só pode ter um único elemento no Contradomínio correspondente a ele.
X→
x → f(x) = y
Exemplo: A comissão y de um vendedor é paga em função da quantidade de produtos vendidos.
v
z
De forma prática, consiste em uma regra que transforma valores
Comissão R$ 100 R$ 210 R$ 350
A
REGRA (relação)
→ y = f(x)
f
1 2 3
B 100 210 350 400
GRÁFICO E RAIZ DE UMA FUNÇÃO
+
y 2
−
f(0)=2 f(1)=0 raíz 1
-2
2
f(2)=-2
A raiz de uma função é onde ela intercepta o eixo x.
x A função será positiva se f(x) estiver acima do eixo x e negativa se estiver abaixo.
16
MAT
CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÕES DO 1º GRAU
3
FUNÇÕES MONÓTONAS Análise da monotonicidade
Outros tipos de comportamento Estritamente decrescente
Estritamente crescente x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 )
y
x1 < x 2
x1 < x 2
⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x 2 )
⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 )
y
x
f(x2)
Constante
y
f(x1) x1
f ( x1 ) = f ( x 2 )
x
x2
As funções seno têm período 2π
y
p= 2π
Decrescente
x1 < x 2
⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x 2 )
x
x
f(x)
Função par
3π + 2π 2
-1
π +2 π
0
O gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
π
f(x1)=f(x1+p) x1+p x2+p
+ 2π
1
0 + 2π
0
3π 2
-1
π
0
π
1
2
f(x2)=f(x2+p)
p
y
FUNÇÕES PAR E ÍMPAR
f(x) = f(x + p) = f(x + 2p) = ... = f(x + kp), k ∈
x 1 x2
x
x
FUNÇÕES PERIÓDICAS
EXEMPLO
Crescente
y
x
2
p
f( − x) = f(x), ∀ x
y f(x1) - x1
x1
y
Função ímpar O gráfico é simétrico em relação à origem.
x
- x1
f(x1)
f( − x) = − f(x), ∀ x
x
x1 -f(x1)
0
0
FUNÇÃO DO 1º GRAU f:→
dada por f(x) = ax + b , a ≠ 0 .
O valor de b é onde a reta corta o eixo y
A raiz da função é onde a reta corta o eixo x. Determinar a raiz equivale a descobrir o valor de x quando ax + b = 0 b Isso ocorre quando x = − a
O gráfico de uma função do 1° grau é sempre uma reta.
Sinais da função do 1º grau a<0: função decrescente
a>0: função crescente
− + raíz
f(x)<0
+ − raíz
x f(x)>0
f(x)>0
x
f(x)<0
17
MAT
FUNÇÃO DO 2º GRAU
4
FUNÇÃO DO 2º GRAU: CONCEITOS INICIAIS
f:→
f(x) = −3 x 2 + 5x + 2
f(x) = 2 x 2 + 3x
f(x) = 5 x 2 + 25
É dada por
a = −3
a=2
a=5
b=5
b=3
b=0
c=2
c=0
c = 25
f(x) = ax + bx + c a ∈ *, b ∈ e c ∈ 2
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
VÉRTICE DA PARÁBOLA
a<0
a>0
concavidade para baixo
concavidade para cima
∆>0
x1
duas raízes reais
x1
∆=0
∆ 4a
, ∆ = b2 − 4ac
Valor máximo
y
a>0
−
x −
x
LEMBRANDO
b 2a
a<0
∆ − 4a
x
∆<0
x
−
x
b 2a
∆ 4a
As coordenadas do vértice da função y = x 2 − 2x − 3 são:
• Discriminante ( ∆ ) é calculado em função dos coeficientes da função: ∆ = b2 − 4ac • As raízes de uma função do 2º Grau (pontos de interceptação da função no eixo x, ou seja, f(x)=0) são calculadas a partir de:
f(x) = a x 2 + bx + c = 0 ⇔ x =
yv = −
Valor mínimo
x
x
não possui raízes reais
b 2a
y
x1 =x2
x1 =x2
uma raiz dupla real
x2
x2 x
xv = −
xv = −
( −2) = −1 b =− 2a 2 ⋅ (1)
−2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ −3 ( ) ( ) ∆ ( ) yv = − =− =3 4a 4 ⋅ (1)
−b ± b − 4 ⋅ a ⋅ c 2⋅a 2
Ou seja: V(-1,3).
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES As raízes x1 e x2 serão tais que a soma (S) e o produto (P) delas são:
S= −
b a
P=
c a
Por exemplo:
−9 = −9 S = 1 x + 9x + 14 = 0 ⇒ P = 14 = 14 1 2
18
MAT
INEQUAÇÕES
5 DESIGUALDADES Comparação entre os valores numéricos de grandezas.
>20 Duas dúzias de ovos (24) >20
Indicadores de desigualdades
Operações com desigualdades
• A maior do que B: A > B • A maior ou igual a B: A ≥ B • A menor do que B: A < B • A menor ou igual a B: A ≤ B • A diferente de B: A ≠ B
Somar (ou subtrair) mesma quantidade nos dois lados da desigualdade 2 > 1 ⇔ 2 + 1 > 1+ 1 ⇔ 3 > 2
Multiplicar (ou dividir) por um mesmo número positivo os dois lados da desigualdade 2 > 1 ⇔ 2 ⋅ 2 > 1⋅ 2 ⇔ 4 > 2 Multiplicar (ou dividir) por um mesmo número negativo os dois lados da desigualdade
INEQUAÇÃO Relação envolvendo incógnitas expressas por uma desigualdade.
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
2 > 1 ⇔ 2 ⋅ ( −2 ) > 1⋅ ( −2 ) ⇔ −4 < −2
Atenção: o sinal da desigualdade é invertido
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU Pode ser representada da forma ax2 + bx + c ≥ 0 (ou outros símbolos de comparação). Com a,b,c ∈ e a ≠ 0 Determinamos a solução a partir das raízes e do comportamento da parábola (função).
Pode ser representada da forma ax + b ≥ 0 (ou outros símbolos de comparação). Com a,b ∈ e a ≠ 0 Determinamos a solução isolando o x.
−2x2 − x + 1 ≥ 0 1± 9 1 ⇒x= ⇒ x1 = −1 e x2 = 2 −4
Representação na reta
1 _
4x − 58 > 2x + 2 ⇒ 2x > 60 ⇒ x > 30
+
1 2
x2 − 6x + 9 > 0 ⇒x=
S = x ∈ / −1 ≤ x ≤
_
1 2
1 2 −2x − x + 1 = 0 , tornando as raízes parte da solução também (intervalo fechado). Note que para x1 = −1 e x2 =
S = {x ∈ | x > 30}
+
S = {x ∈ / x < 3e x > 3}
+ 3
Note que para x = 3 x2 − 6x + 9 = 0 , o que impede que a raiz faça parte da solução (intervalo aberto)
2
30
6± 0 ⇒x=3 2
INEQUAÇÃO PRODUTO E INEQUAÇÃO QUOCIENTE Número par de funções negativas
Obter raízes e representá-las na reta real. Determinar sinal de cada função
+
Avaliar sinal do produto ou do quociente das funções em cada intervalo
_
Determinar intervalo que atende o enunciado original
+
· · ·
+
=
+
+
_
=
+
_
_
:
_
=
+
(x + 5) (x2 + x + 1) (x − 5) < 0
x2 − 6x + 5 = 0 ⇒ x1 = 1 e x 2 = 1
(x + 5) (x2 + x + 1) (x − 5) = 0
+
+
x
5
1
x −3 = 0 ⇒ x = 3
+ 3
_
· : ·
_
=
_
+
= :
_
_
_
=
_
Um outro método
x2 − 6x + 5 ≤0 x −3
_
Número ímpar de funções negativas
Dos resultados ao lado, temos que:
+ 1 _ 3 _
5 +
_ 1 _ 3 + 5+ _ 1 + 3 _ 5+
S = {x ∈ / x ≤ 1 ou 3 < x ≤ 5} Note que x = 3 faz com que o denominador seja nulo, invalidando a desigualdade.
x + 5 = 0 ⇒ x = −5
x2 + x + 1 = 0 ⇒
-5
5
x− 5 = 0 ⇒ x = 5
Há 3 intervalos: x < −5 : escolhemos x=-6, então ( −6 + 5)[( −6)2 − 6 + 1]( −6 − 5) > 0 −5 < x < 5 : escolhemos x=0, então (0 + 5)(0 + 0 + 1)(0 − 5) < 0 x > 5 : escolhemos x=6, então (6 + 5)(62 + 6 + 1)(6 − 5) > 0
Como queremos onde a equação é menor que 0, a solução é
S = {x ∈ | −5 < x < 5}
19
MAT
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO INVERSA
6
EQUAÇÃO EXPONENCIAL Apresenta a incógnita no expoente. Para resolvê-la devemos reduzir à mesma base, fatorando um dos números. Exemplos: 3x + 2 = 27
5x +1 − 7 ⋅ 5x = −2 ⇒ 5x ⋅ 51 − 7 ⋅ 5x = −2
7 x = 2401
3x + 2 = 33 x+2 =3 x =1
1
x
7 2 = 74 ⇒
x Neste caso. Devemos chamar 5 = y : 5y − 7y = −2 ⇒ y = 1
1 x=4⇒x=8 2
Agora substituímos y: 5x = 1 ⇒ 5x = 50 ⇒ x = 0
FUNÇÃO EXPONENCIAL
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Resolvemos inequações da analogamente à resolução de equações exponenciais, mas devemos prestar atenção na base. Exemplos:
É dada por f(x) = ax , f : R → R *+ , a>0 e a ≠ 1 . f(x) = (1/2)
x
g(x) = 2
x
Decrescente 0 < Base < 1
Crescente Base >1
f(-x) = g(x)
x
3x < 81
1 -x
3x < 3 4 x<4
x
x
x
-7
1 1 1 1 7 < 128 ⇒ < 2 ⇒ < 2 2 2 2 Como a base está entre 0 e 1, devemos inverter o sinal da desigualdade: x>-7.
TIPOS DE FUNÇÃO Função injetora Elementos distintos têm imagens distintas
x1 ≠ x 2 ⇒ f(x1 ) ≠ f(x 2 ) A
Função sobrejetora
Função bijetora
Imagem igual ao contradomínio
É injetora e sobrejetora
A
B
f : A →B
A
B
f : A →B
B
f : A →B
FUNÇÃO INVERSA Conceitos iniciais:
f : A →B
Função f
Obtenção da expressão:
Gráfico da função inversa: Os gráficos de f e de f −1 são simétricos em relação à bissetriz* dos quadrantes ímpares 1º e 3º. f(x)
Regra
Exemplo
f −1 : B → A Função inversa
Substitua f(x) por y
y = 3x + 4
y
1 - A = D(f) = CD(f −1 ) e
Troque x por y e y por x
x = 3y + 4
1
B = D(f ) = CD(f) −1
2 - f é inversível ⇔ f é bijetora
Isole o y Substitua y por
f −1(x)
x−4 3 x−4 f −1(x) = 3 y=
f
1
−1
(x)
x
* bissetriz divide um ângulo em 2 congruentes.
20
MAT
LOGARITMO
7 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
log b N = x
log10 100 = x
log2 x = 7
x
10 = 100
logaritmo
base
Exemplos:
logaritmando
27 = x x = 128
10 x = 102 x=2
logb a = x ⇔ b = a , a,b ∈ , b > 0 , b ≠ 1 e a > 0. x
** se a base for omitida, considerar base 10
Consequências da definição
Propriedades
Mudança de base
logb 1 = 0
logb a + logb c = logb ( a ⋅ c )
Mudança da base b para a base c:
logb b = 1
a logb a − logb c = logb c
logb a
b
=a
logb a =
Exemplo: Mudança da base 5 para a base 3:
logb an = n ⋅ logb a
logb bm = m
log5 6 =
1 logbn a = ⋅ logb a n
logb a = logb c ⇒ a = c
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA
loga f(x) = logag(x) ⇒ f(x) = g(x) Exemplo: log(x + 3) + log(x − 2) = log( −4 x)
Exemplo: log2 (3 x + 4) = 4 ⇒ 3x + 4 = 2 4
⇒ log(x + 3) ⋅ (x − 2) = log( −4 x) ⇒ x 2 + x − 6 = −4x ⇒ x 2 + 5x − 6 = 0 ⇒ x1 = −6 e x 2 = 1
⇒ 3x = 16 − 4 ⇒ x = 4
4 3x + 4 > 0 ⇒ x > − 3
x + 3 > 0 ⇒ x > −3 Restrições: x − 2 = 0 ⇒ x > 2 −4x > 0 ⇒ x < 0
4 3
CE:
S = {4}
Função logarítmica
y=logbx
1 1
-3
0
Resolvemos inequações analogamente à resolução de equações logarítmicas, mas devemos prestar atenção na base.
Base >1
0< b<1 y
0 < Base < 1
logb x > logb y ⇒ x > y
y=x
Exemplo: log2 (3 x + 1) > log2 4
1
o
x
2 0
Inequação logarítmica
É definida por f(x) = logb a , com b ∈ *+ , b ≠ 1 e a<0, sendo f : *+ →
y=bx
-3
Não há solução.
FUNÇÃO E INEQUAÇÃO LOGARÍTMICAS
b>1 y=bx y
log3 6 log3 5
**ATENTAR PARA A CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
loga f(x) = r ⇒ f(x) = ar
Restrição:
logc a logc b
x
1
y=logbx A função logarítmica é a inversa da função exponencial.
3x + 1 > 4 ⇒ x > 1 Restrição: 3x + 1 > 0 ⇒ x > −
S = 1, +∞
1 3
loga x > loga y ⇒ x < y
Exemplo:
log 1 (3 x + 1) ≥ log 1 4 2
2
Inverter o sinal da desigualdade:
3x + 1 ≤ 4 ⇒ x ≤ 1 Restrição:
3x + 1 > 0 ⇒ x > − 1 S = − ,1 3
1 3
21
MAT
FUNÇÕES COMPOSTA E MODULAR
8
FUNÇÃO COMPOSTA x
A composição de f : A → B com g : B → C gera h : A → C que denotamos por
(
x
x
x = aresta de cada lote quadrado y= f(x) = área de cada lote = x2
x
)
g f ( x ) ou g f ( x ) , x ∈ A
g(y) = área do terreno = 6y
(
)
( )
g f ( x ) = g x2 = 6 x2
x
área do terreno em função dos lotes.
MÓDULO x, se x ≥ 0 x = − x, se x < 0
Definição
Significado geométrico do módulo de um número real: Distância até a origem. 3 3
Propriedades 1 - a = −a ,∀x ∈
4 - a+ b ≤ a + b , ∀a, b ∈
2
2 2 2 - a = a = a ∀a ∈
5 - a − b ≤ a − b , ∀a, b ∈
3 - a⋅ b = a ⋅ b , ∀a, b ∈
-3
−3 = 3
-2
-1
0
1
2
3
3 =3
Uma das utilidades do módulo é determinar a distância entre dois pontos na reta real. -3
−3 − (2) = −5 = 5
2
FUNÇÃO MODULAR f(x) = x
f(x) = (x − 2)2 − 4
y
Translação em y
y
3
6
2
f(x) = x + 2
2
f(x) = x − 2
2 x
-3 -2 -1
1
2
x
3
-2
f(x) = x − 2
f(x) = x
4
1
Translação em x y
y
f(x) = x + 2
2
4
x
-2
-2
x
2 f(x) = x
EQUAÇÃO MODULAR 1- x =3 2 - x = −12
S = { ±3}
5 - x− 7 = 2 x− 3
S=∅ x + 2 = +4 ⇒ x = 2 x + 2 = −4 ⇒ x = −6
3 - x+2 = 4
S = { −6, 2}
x − 5 x + 6 = +2 ⇒ x1 = 1 e x 2 = 4 2 x − 5 x + 6 = −2 ⇒ não há raízes
4 - | x − 5 x + 6 |= 2 2
2
S = {1, 4}
a) Se x − 7 ≥ 0 ⇒ x ≥ 7
Inviável, pois x ≥ 7
b) Se x − 7 < 0 ⇒ x < 7
Viável, pois x < 7
x − 7 = + ( 2x − 5) ⇒ x = −2 x − 7 = − ( 2x − 5) ⇒ x = 4
S = {4}
INEQUAÇÃO MODULAR 1 - x − 2 < 6 ⇒ −6 < x − 2 < 6 ⇒ −4 < x < 8
S = {x ∈ | −4 < x < 8} x − 3 ≥ +7 ⇒ x ≥ 10 2 - x− 3 ≥ 7 ⇔ x − 3 ≤ −7 ⇒ x ≤ −4 x ≤ −4
-4 10 -4
10
x ≥ 10 S = {x ∈ | x ≤ −4 ou x ≥ 10}
3 - 3 x − 3 ≥ 2x + 2 a) Se 3x − 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
5
3x − 3 ≥ + ( 2x + 2 ) ⇒ x ≥ 5 ∩= x ≥ 5
b) Se 3x − 3 < 0 ⇒ x < 1
3x − 3 ≥ − ( 2x + 2 ) ⇒ x ≤ 1 ∩= x ≤ 5
1 5
1 5 1 5
5
1 S = {x ∈ | x ≤ ou x ≥ 5} 5
22
MAT
9
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO E DA ESTATÍSTICA
ANÁLISE DE GRÁFICOS Gráfico de setores: a área será dividida em função dos dados percentuais.
Gráfico de colunas: feito por dois eixos, um vertical e um horizontal.
Exemplos:
Desempenho em Matemática
15 10 5 0
25% = 90°
OCDE 550
15%
500
500 400
Ruim Regular
Bom
356
350
Ótimo
497
499
370
393
450
2003
Na horizontal colocam-se colunas que representam segmentações da informação (tipos).
12,5% = 45°
Brasil
600
25%
25%
20
Nota
Alunos
25 50% = 180°
Evolução das notas de Matemática no PISA
35%
30
100% = 360°
Gráfico de linhas: é feito por dois eixos, um vertical e um horizontal e por uma linha.
2006
2009
Ano
A linha indica a evolução de um processo.
ESTATÍSTICA - Medidas de tendência central Média aritmética:
x1 + x 2 + ... + xn n
5 + 12 + 13 + 15 = 11, 25 4
Média aritmética entre 5, 12, 13, 15 é:
A moda de 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 2, 1, 3, 1 é 3 (frequência = 4)
Moda: valor com maior frequência em um
conjunto de dados. Obs.: Quando nenhum valor se repete não há moda.
Valor
0 2
Frequência
Mediana:
1
2
3
4
2
2
4
1
A mediana entre 6, 5, 3, 3, 2, 5, 1, 7 é determinada por:
Organizando os n números em ordem crescente. • Se n for ímpar: posição central. • Se n for par: média aritmética dos números centrais.
1º 1
Média geométrica: em n valores, a média geométrica é a raiz com índice n do produto desses valores.
2º 2
3º 3
4º 3
5º 5
6º 5
7º 6
A média geométrica entre 1, 2 e 4 é:
3
8º 7
Como n é par,
1⋅ 2 ⋅ 4 = 3 8 = 2
A média harmônica entre 8, 12 é dada por: Inverso da 1 + 1 Média dos 8 12 = 5 média dos ⇒ inversos 2 48 inversos
Média harmônica: é o inverso da média aritmética dos inversos de n valores.
3+5 =4 2
48 = 9, 6 5
Desigualdade das médias: Média aritmética ≥ Média geométrica ≥ Média harmônica
Medidas de dispersão •Variância: é calculada subtraindo o valor da média aritmética. •Desvio padrão: é calculado extraindo a raiz quadrada da variância.
Valor
Média
2
2 + 3 + 10 =5 3 2 + 3 + 10 =5 3
3 10
Desvios
2 + 3 + 10 =5 3
2
2 − 5 = −3
( −3)
3 − 5 = −2
( −2)
10 − 5 = 5
VARIÂNCIA Média dos quadrados dos desvios 9 + 4 + 25 V= ≅ 12, 67 3
Quadrados dos desvios
=9
2
2
(5 )
=4
DESVIO PADRÃO
Dp = 12, 67 ≅ 3,56
= 25
MATEMÁTICA FINANCEIRA Capital: valor aplicado através de alguma operação financeira. Juros: é a remuneração pelo empréstimo, podem ser simples ou compostos. Taxa de juros: é percentual e indica a remuneração que deverá ser paga ao empréstimo em determinado período. Juros simples: é calculado pela fórmula
M = P ⋅ 1 + ( i⋅ n)
onde M é o montante, P é o principal (capital), i a taxa de juros e n o número de períodos.
Juros compostos: é calculado pela fórmula
M = C ⋅ (1 + i)
n
onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e n o número de períodos.
Qual o montante resultante da aplicação de 70 mil reais à taxa de 2% ao mês durante 6 meses, se o juros for retirado a cada ciclo de remuneração?
2 M = 70 000 ⋅ 1 + ⋅ 6 = 74 200, 00 reais 100 Qual o montante resultante da aplicação de 1500 reais por 6 meses à uma taxa de 2% ao mês? 6
2 M = 1500 ⋅ 1 + = 1689, 24 reais 100
23
MAT
SEQUÊNCIAS
10 SEQUÊNCIAS
EXEMPLOS A sequência dos dias da semana, dos meses do ano, dos números ímpares negativos, dos múltiplos de 3.
Sequências ou sucessões são qualquer conjunto organizado de objetos, números ou eventos
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) É toda sequência de números em que a diferença entre um termo e seu anterior é constante e é chamada de razão (r).
an = a1 + (n − 1) ⋅ r n-ésimo termo da PA
posição do elemento na PA
1º termo da PA
razão da PA
Propriedades
( a , a , a ) termos consecutivos de uma PA, então 1
2
a2 =
3
a1 + a3 2
Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos. Em uma PA com número ímpar de termos, o termo do meio é a média aritmética dos extremos.
Soma dos n termos de uma PA: Sn =
(a + a ) ⋅ n 1
PA = ( 3,5,7,9 ) Propriedade: 5 = PA = ( 2, 4, 6, 8, 10, 12 ) Propriedade: 12 + 2 = 10 + 4 = 14 PA = ( 2, 4, 6, 8,10 ) Propriedade: 6 = +5
n
3 + 7 + 11 + 15 + 19 =
2
7+3 2
10 + 2 2
(3 + 19) ⋅ 5 = 55 2
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) É toda sequência de números na qual a divisão entre cada termo pelo anterior é constante e é chamada de razão (q).
PG CRESCENTE
PG DECRESCENTE
q >1
0 < q <1
PG CONSTANTE
PG OSCILANTE
q<0
q =1
an = a1 ⋅ qn−1 n-ésimo termo da PG
razão da PG
1º termo da PG
posição do elemento na PG
Propriedades Em uma PG com ímpares números de termos, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos.
PG = ( 3, 9, 27 ) Propriedade: 92 = 27 ⋅ 3 = 81
O produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
PG = ( 3, 6,12, 24, 48 ) Propriedade: 48 ⋅ 3 = 24 ⋅ 6 = 144
Soma dos n termos de uma PG finita: S = n
(
)
a1 ⋅ qn − 1 q −1
a Soma dos termos de uma S= 1 PG infinita convergente ( 0 < q < 1): 1− q Produto dos n termos de uma PG: | Pn |=
·2
Sn = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = S∞ = 3 + 1 + ·1/3
(a ⋅ a )
n
1
n
(
) = 93
3 25 − 1 2 −1
1 1 3 9 + + ... = = 3 9 2 1− 1 3
·5
Pn = 2 ⋅ 10 ⋅ 50 ⋅ 250 ⋅ 1250 =
(2 ⋅1250 )
5
= 505
24
MAT
MATRIZES
11 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE MATRIZES Representada por Amxn
a11 a12 a1n a a22 a2n = 21 a a a mn m1 m2 a11 a21 A = a31 a n1
Matriz quadrada:
( A ) : número de linhas igual n
ao número de colunas.
ou
( )
A = aij
a12 a13 a1n a22 a23 a2n a32 a33 a3n an2 an3 ann
onde 1 ≤ j ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
mxn
diagonal principal (i=j)
Matriz identidade: elementos da diagonal 1 0 0 principal são iguais a I3 = 0 1 0 1 e todos os outros 0 0 1 são 0.
diagonal secundária (i+j= n+1)
Matriz transposta Matriz diagonal: é quadrada e aij = 0 quando i ≠ j
1 A = 2 3
4 5 6
e
Matriz simétrica A = A
1 At = 4
2 5
3 6
t
Matriz antissimétrica − A = A
t
ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Adição
1 3 4 2 5 5 + = 2 4 3 1 5 5
Multiplicação por escalar: Multiplicam-se todos os elementos da matriz.
1 3 2 ⋅ 1 2 ⋅ 3 2 6 2⋅ = = 2 4 2 ⋅ 2 2 ⋅ 4 4 8
1 3 4 2 −3 1 − = 2 4 3 1 −1 3
Subtração
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES A mxn ⋅ Bnxp = Cmxp
·
O número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz.
·
=
Nem sempre vale a comutatividade.
( ) ( )
Associatividade: A BC = AB C
1 3 4 2 1⋅ 4 + 3 ⋅ 3 1⋅ 2 + 3 ⋅ 1 ⋅ = 2 4 3 1 2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 13 5 = 20 8
=
Distributividade da soma à direita e à esquerda:
A (B + C ) = AB + AC e ( A + B ) C = AC + BC
Nulidade do produto: o produto de duas matrizes pode ser nulo mesmo que nenhuma delas seja nula.
AC = BC ⇒ A = B
Nem sempre se
DEFINIÇÃO DE INVERSA DE UMA MATRIZ Uma matriz quadrada é invertível quando existe A −1
A ⋅ A −1 = I tal que , onde I é matriz identidade. −1 A ⋅ A = I
Propriedades: 1- A matriz inversa é única.
( )
2- A = A
−1
−1
34-
(A ) t
−1
( AB )
−1
( )
= A −1
t
= B −1 ⋅ A −1
Uma das maneiras de descobrir a inversa de uma matriz é utilizando a definição e resolvendo um sistema linear simples. 5 8 Vamos calcular a matriz inversa da matriz A = 2 3
5 8 a b 1 0 5a + 8c 5b + 8d 1 0 ⋅ = ⇒ = 2 3 c d 0 1 2a + 3c 2b + 3d 0 1
Resolvendo dois sistemas lineares: 5a + 8c = 1 2a + 3c = 0 ⇒ a = −3 e c = 2
5b + 8d = 0 2b + 3d = 1 ⇒ b = 8 e d = −5
Assim:
−3 8 A −1 = 2 −5
25
MAT
12
DETERMINANTES
CONCEITOS BÁSICOS a11 a12 a a A = 21 22 an1 an2
Não existe determinante de matriz que não seja quadrada.
Matriz 1x1
a11 = a11
4 =4
Matriz 2x2
Matriz 3x3 a11 a12 a13 a ⋅ a ⋅ a + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a32 ⋅ a21 a21 a22 a23 = 11 22 33 −a13 ⋅ a22 ⋅ a31 − a12 ⋅ a21 ⋅ a33 − a11 ⋅ a32 ⋅ a23 a31 a32 a33
a1n a2n ann
a11 a12
a21 a22
det A =
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
5 3 = 20 − 6 = 14 2 4
1 4 7 2 5 8 = 45 + 96 + 84 − 105 − 48 − 72 = 0 3 6 9
REGRA DE SARRUS a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a11 a23 a21 a33 a31
a12 a22 a32
Os produtos na direção da diagonal principal ficam com o mesmo sinal, os da diagonal secundária invertem o sinal e o determinante é a soma desses valores: a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a32 ⋅ a21 − a13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 − a12 ⋅ a 21 ⋅ a 33 − a 11 ⋅ a 32 ⋅ a 23
PROPRIEDADES Se os elementos de uma linha ou coluna são todos nulos, o determinante da matriz será nulo.
0 0 = 3⋅0 − 0 ⋅5 = 0 5 3
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
2 1 5 0 5 3 = 2 ⋅ 5 ⋅ 2 = 20 0 0 2
Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número k, o determinante será multiplicado por k.
Se uma matriz quadrada de ordem n for multiplicada por k, seu determinante será multiplicado por k n
1 3 = 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 = −2 2 4
1 3 = 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 = −2 2 4
1⋅ 3 3 1 3 = 3⋅ = 3 ⋅ ( −2 ) = −6 2⋅3 4 2 4
TEOREMA DE BINET Em duas matrizes A e B de ordem iguais det ( A ⋅ B ) = det A ⋅ detB 1 3 5 7 1 3 5 7 ⋅ = ⋅ = det 2 4 6 8 2 4 6 8 = ( 4 − 6 ) ⋅ ( 40 − 42 ) = 4
det (k ⋅ A ) = k n ⋅ det A
1 3 1⋅ 3 3 ⋅ 3 det 3 ⋅ = 32 ⋅ ( −2 ) = −18 = 2 4 2 ⋅ 3 4 ⋅ 3
det A = det A t 1 3 1 2 = = −2 2 4 3 4
Se trocarmos duas linhas ou colunas de posição numa matriz, o determinante será o oposto do determinante da anterior.
1 3 2 4
= 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 = −2
3 1 = 3 ⋅ 2 − 4 ⋅1 = 2 4 2
TEOREMA DE JACOBI
Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna por k e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna temos outra matriz B, onde a b c a + kb b c 2 4 2 + 3⋅ 4 4 = 18 − 20 = −2 = −2 d e f = d + ke e f 5 9 5 + 3⋅9 9 g h i g + kh h i Consequências: 1) Se há igualdade entre elementos entre duas linhas ou colunas, o determinante será nulo. 2) Se duas linhas ou colunas tem elementos de valores proporcionais, o determinante será nulo.
26
MAT
SISTEMAS LINEARES
13
CONCEITOS BÁSICOS DE SISTEMA LINEAR Formado por equações da forma
a1x1 + a2 x 2 + .... + anxn = b
Duas variáveis e duas incógnitas
Duas variáveis e três incógnitas
x + y = 5 4x − 2y = 2
x − y + z = 3 2x + y − z = 0
Três variáveis e três incógnitas
Três variáveis e duas incógnitas
x − y + z = 3 2x + y − z = 0 3x − y + 2z = 6
x + y = 5 4x − 2y = 2 5x − y = 7
e pode ser classificado como: • SPD: sistema possível determinado (apenas uma solução) • SPI: sistema possível indeterminado (infinitas soluções) • SI: sistema impossível (não tem solução)
RESOLUÇÃO Método da adição
Método da substituição
2x + 3y = 8 2x + 3y = 8 ⇒ x − y = −1 −2x + 2y = 2
2x + 3y = 8 x − y = −1
+
5y = 10 ⇒ y = 2
x = −1 + y
2( −1 + y) + 3 y = 8 ⇒ 5 y = 10 ⇒ y = 2
x = −1 + 2 ⇒ x = 1
Substituindo 2x + 3 ⋅ 2 = 8 ⇒ x = 1
S = {(1,2)}
S = {(1,2)} Regra de Cramer
Forma de se resolver um sistema linear (apenas quando o número de incógnitas for igual ao número de equações). D
D
D τ
A solução é dada da forma x1 = 1 , x2 = 2 ,..., xn = n D D D os valores independentes.
Se então
x y = z
x=
y=
≠0
e
z=
em que D é o determinante da matriz original D e
o das matrizes com
n
Exemplo: x + y = 5
4x − 2y = 2
Forma matricial: 1 4
1 x 5 ⋅ = −2 y 2
5 1 2 −2
1 5
−12 x= = =2 −6 1 1 4 −2
e
y=
4 2 1
1
=
−18 =3 −6
4 −2
S = ( 2,3)
Escalonamento Podemos classificar e resolver sistemas lineares por Para classificar um sistema escalonado, devemos observar a última escalonamento, nos quais faremos operações elementares linha, que deve ser, se existir, a linha nula, onde 0=0. nas linhas ou colunas. Há 3 possibilidades para a ultima linha: Exemplos de sistemas escalonados: • Ser uma equação do 1º grau com 1 incógnita ( 2x = 6, 3z = 0, ... )
x − 3y + 2z = 3 2y − z = 0 3z = 6
3x − y + z = 5 2y − 3x = 9
o sistema é possível determinado. • Ser uma igualdade verdadeira, sem incógnitas ( 0 = 0, 3 = 3, ... ) o sistema é possível indeterminado. • Ser uma igualdade falsa ( 0 = 3, 5 = 9, ... ) o sistema é impossível.
Exemplo: Escalonar e resolver:
3 x − y + z = 3 ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −3) x − y + z = 3y − 3z = −6 ⋅ −2 ~ 2x + y − z = 0 3 3x − y + 2z = 6 2y z 3
( )
x − y + z = 3 3y − 3z = −6 ~ z = 1
Assim, da última linha z=1 . Substituindo na segunda linha: y=-1 . Substituindo na primeira linha: x=1.
27
MAT
14
ANÁLISE COMBINATORIA: PFC E PERMUTAÇÕES
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) Um evento que ocorre em n situações independentes e sucessivas na qual a 1ª situação ocorre de a1 maneiras, a segunda de a2 e assim por diante até a n-ésima que ocorre de an maneiras, tem o número total de acontecimentos dado por: a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an
Exemplo: Gabriela possui 3 saias e 4 blusas. De quantas maneiras ela pode se vestir utilizando uma saia e uma blusa?
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Pelo PFC, basta multiplicamos 4 ⋅ 3 = 12 , então há 12 maneiras diferentes de Gabriela se vestir.
PRINCÍPIOS ADITIVO E MULTIPLICATIVO Exemplo: Sempre tive vontade de visitar 3 cidades brasileiras e 5 estrangeiras. De quantas formas consigo visitar uma cidade brasileira estrangeira?
De quantas formas consigo visitar uma cidade brasileira uma estrangeira?
Temos 3 opções de cidade brasileira e 5 estrangeiras: 3+5=8 maneiras de visitar uma cidade, seja ela brasileira ou estrangeira.
Temos 3 opções de cidade brasileira e 5 estrangeiras: 3 ⋅ 5 = 15 maneiras de visitar duas cidades, sendo que uma é brasileira e outra estrangeira.
Princípio aditivo
Princípio multiplicativo
ou
e
n (E1 ou E2 ) = n (E1 ∪ E2 ) = n (E1 ) + n (E2 )
n (E1 e E2 ) = n (E1 ∩ E2 ) = n (E1 ) ⋅ n (E2 )
FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL Definição
Simplificações com fatoriais
É denotado por n! , que é o produto dos números naturais de n à 1:
5! 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2! = ¨= 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 2! 2!
n! = n⋅ (n − 1) ! = n⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ 1 Exemplos: 5! = 5 ⋅ 4! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2! = = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1! = 120
Exemplo: Determinar o valor de n para
(
) (n + 2) ! = 20 ⋅ n! n + 2 ( ) ⋅ (n + 1) ⋅ n! = 20 ⋅ n!
que n + 2 ! = 20 ⋅ n!
9! 9 ⋅ 8 ⋅ 7! = ¨= 9 ⋅ 8 = 72 7! 7!
n2 + n + 2n + 2 = 20 ⇒ n2 + 3n − 18 = 0
4! 3! 4! ⋅ 3 ⋅ 2! 3 ⋅ = = 5! 2! 5 ⋅ 4! ⋅ 2! 5
Como não existe fatorial de números negativos, a única solução é n=3
n = −6 e n = 3
PERMUTAÇÃO Permutação simples Pn = n! *n = número de elementos a serem permutados Exemplo: Numa fila de um supermercado estão 3 pessoas. De quantas maneiras elas podem estar posicionadas?
P3 = 3! = 6 Elas podem estar posicionadas de 6 maneiras diferentes.
Permutação com repetição Pn ( a,b,... ) =
n! a!b!...
*n = número de elementos a serem permutados *a, b... número de repetições por elemento Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com a palavra I T A L I A N A ?
8! P8 (3, 2 ) = = 3360 3!2! Podemos formar 3360 anagramas com a palavra ITALIANA.
Permutação circular É uma alternância ao redor de uma brincadeira de roda, um círculo, uma mesa ou em qualquer evento que ocorra em círculos.
( ) (
)
É dada pela fórmula: PC m = m − 1 ! Exemplo: De quantas maneiras 7 crianças podem dar as mãos para brincar de roda?
PC ( 7 ) = ( 7 − 1) ! = 6! = 720 maneiras.
28
MAT
15 ANÁLISE COMBINATÓRIA: ARRANJOS E COMBINAÇÕES ARRANJO E COMBINAÇÃO SIMPLES Seja n = número de elementos de um conjunto e p = número de formas de organizar estes elementos
Arranjo simples é caracterizado pela natureza e pela ordem dos elementos
An,p =
Combinação simples é caracterizada apenas pela natureza dos elementos.
n! (n − p ) !
n n! Cn,p = = p p! (n − p ) !
EXEMPLO
EXEMPLO
Em um sorteio existem 10 bolas numeradas de 0 à 9. Qual o número de possibilidades existentes de formarmos um número de 6 algarismos através do sorteio sem reposição dessas bolas?
1º dígito 2º dígito 3º dígito 4º dígito 5º dígito 6º dígito
Como a ordem dos algarismos é importante, pois cada sorteio representa a unidade, dezena, centena, etc. do número, temos:
n = 10 p=6
A10,6 =
10!
(10 − 6 ) !
=
10! = 4!
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4! 4!
¨= 151200
Solange vai viajar e levar 5 pares de chinelos. Sabendo que ela possui 12 pares, de quantas maneiras diferentes ela poderá escolher os pares de sapato para a viagem?
Como iremos montar apenas conjuntos de 5 pares de chinelos, não importando a ordem entre eles, temos:
n = 12 p=5
C12,5 =
12! 12! = = 5! (12 − 5) ! 5!7!
12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7! 5! 7!
¨= 792
ARRANJO E COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO Arranjo com repetição: os elementos podem ser repetidos em cada grupo até p vezes e importa a natureza e a ordem dos elementos.
ARn,p = np
Combinação com repetição: os elementos podem ser repetidos em cada grupo até p vezes e importa apenas a natureza dos elementos.
CR n,p = C n+p−1,p
EXEMPLO
EXEMPLO
Quantas placas de carro podem ser construídas com 3 letras e 4 dígitos?
De quantas formas podemos comprar 4 sucos num supermercado que tem 2 tipos de suco?
ou Alfabeto: 26 letras Números: 10
AR 26,3 = 263 AR10,4 = 10 4
Logo, há 263 ⋅ 10 4 = 175760000 formas de construir as placas.
...
tipo 1 + tipo 2 = 4
CR 4 ,2 = C 4 + 2 −1,4 = C5,4 = 5 Logo, há 5 maneiras diferentes.
29
FÍSICA
FÍS
CINEMÁTICA ESCALAR: MU E MUV
1
MOVIMENTO UNIFORME (MU) Equação horária do espaço é do 1º grau.
• Velocidade constante • Aceleração igual a zero
S = S0 + V0 ⋅ t Espaço × tempo
Velocidade × tempo V
Movimento progressivo
S
A
t
t2
t1
S0
Movimento retrógrado
S
v>0
S0
α
α
t
N
∆S = A
t
v<0 N
tgα = V
Exemplo: Considerando que a esteira rolante tem velocidade constante e igual a 0,5 m/s, qual tempo que a pessoa gasta para subir de sua base, ponto A, até seu topo, ponto B?
B
S = S0 + V0 ⋅ t
V= 0,5m/s
S − S0 = V0 ⋅ t
6m
10 = 0,5 ⋅ t t = 20 s
8m
A
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MUV) Função horária da velocidade é do 1º grau.
• Velocidade variável • Aceleração constante
V
V = V0 + a ⋅ t
V0 V0
α
retrógrado retardado
a<0
S progressivo acelerado
α
progressivo retardado
v>0
t
t
c>0
N
tgα = aceleração
Exemplo: O movimento de dois corpos A e B que trafegam em uma trajetória retilínea é representado por meio do gráfico posição x. Supondo que os móveis permaneçam em seus estados de movimento, pode-se afirmar que se encontram em que instante?
a>0
S
V
a>0
Função horária do espaço é do 2º grau. a S = S0 + V0 ⋅ t + ⋅ t2 2
v<0
5 10
v<0
v>0 v=0
S(m) 45 35
v=0
retrógrado acelerado
10m = −1m/s v A = − 10 s ∆S v= ∆t 5m v = = 0,5m/s B 10 s t(s)
t
t s = 45 − 1⋅ t s = s = so + v ⋅ t A sB = 0 + 0,5 ⋅ t ⇒ sA = sB
45 − 1⋅ t = 0,5 ⋅ t
1,5 ⋅ t = 45 t = 30 s
32
FÍS
CINEMÁTICA ESCALAR: TORRICELLI E APLICAÇÕES DE MUV
2
EQUAÇÃO DE TORRICELLI Equação horária do espaço é do 2º grau.
• Aplicação em movimento uniformemente variado. • Não envolve tempo.
v 2 = v 20 + 2 ⋅ a ⋅ ∆s
Exemplo No instante em que a luz vermelha do semáforo acende, um carro à 36 km/h dista 30 m do semáforo começa a frear com desaceleração constante de -2,0 m/s2.
Podemos, considerando os dados numéricos fornecidos, afirmar que:
36 km/h
a) o carro consegue parar 5 metros antes do semáforo. b) o carro para exatamente na posição do semáforo. c) o carro precisaria começar a frenagem 5 metros antes para parar completamente antes do semáforo.
36 km/h
d) o carro precisaria iniciar a frenagem 20 metros antes para parar completamente antes do semáforo.
30 metros
RESOLUÇÃO Pelas alternativas, precisamos determinar o deslocamento total do veículo até a velocidade ser nula. Assim, a melhor opção de resolução é relacionar a velocidade, aceleração e deslocamento (Torricelli). Sabendo que 36 km/h = 10 m/s:
v 2 = v 20 + 2 ⋅ a ⋅ ∆s
02 = 102 + 2 ⋅ ( −2 ) ⋅ ∆s
∆s = 25m
Ou seja, o veículo precisaria de apenas 25 m para parar completamente (restando ainda 5 metros). Alternativa A.
QUEDA LIVRE E LANÇAMENTO VERTICAL Funções do movimento
- Movimento uniformemente acelerado.
v = v0 + a ⋅ t 1 H = H0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t2 2 v 2 = v 0 2 + 2 ⋅ a ⋅ ∆H
- Aceleração = aceleração da gravidade. 2 Dado na prova: g = 9, 8m/s2 ou g = 10m/s
Questão do referencial: Trajetória orientada para cima
Trajetória orientada para baixo
a = −g
a = +g
Velocidade nula
g
g
V>0
Subida
V<0
Descida
Ponto de altura máxima
0 = v0 + a ⋅ t ⇒ t = V<0
Subida
V>0
Descida
−v 0 a
02 = v 0 2 + 2 ⋅ a ⋅ ∆H ⇒ ∆H =
− v 02 2a
Inversão do sentido do movimento
33
FÍS
CINEMÁTICA VETORIAL: CONCEITOS INICIAIS E MOVIMENTO CIRCULAR
3
CINEMÁTICA VETORIAL Deslocamento vetorial
Velocidade vetorial média:
∆r vm = ∆t
z
∆r
P1 r1
P2
∆r = r2 − r1
r2
Aceleração vetorial média:
∆v am = ∆t
y
x
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Frequência
Cinemática do MCU
P1
nº de voltas ∆t
f=
V
P2
∆θ
R
V
R
ω
Unidades usuais: Hertz (1/s) RPM (rotações por minuto)
Velocidade angular
ωm =
∆θ e v = ω ⋅R ∆t
V2
Período
Função horária do MCU
θ em radianos
Características - Velocidade vetorial e Aceleração centrípeta: módulo constante. Direção e sentido variável. - Aceleração tangencial é nula.
T=
θ = θ0 + ω ⋅ t
V3
∆t nº de voltas
V1
ac3 ac2 ac1
R
ac4
V4
Tempo necessário para uma volta completa.
Velocidade angular: v2 2 Módulo: ac = ω ⋅ R = R Direção: perpendicular ao movimento Sentido: centro de curvatura
Duas relações importantes: T =
2π 1 e ω = 2π ⋅ f = f T
TRANSMISSÃO DE MOVIMENTO Transmissão de movimento linear
ωA
VA
ωA
RA
VB
A
RB
B
ωB
VA
RA
B
A
Mesma velocidade linear
ωB RB
Transmissão de movimento angular
VB
A
v A = vB
ωA ⋅ R A = ωB ⋅ RB
C RA
RB
VB
Mesma velocidade angular
B
ωA = ωB
v A vB = R A RB
VA
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO Forma escalar a v
o
ac
at
Aceleração angular:
γm =
∆ω e a = γ ⋅ R ∆t
ω
a s = s0 + v 0 ⋅ t + ⋅ t 2 2 v = v0 + a ⋅ t v 2 = v 20 + 2 ⋅ a ⋅ ∆s
Forma angular θ = θ0 + ω0 ⋅ t +
γ ⋅ t2
ω = ω0 + γ ⋅ t
2
ω 2 = ω02 + 2 ⋅ γ ⋅ ∆θ
As grandezas escalares (s, v e a) se relacionam com as respectivas grandezas angulares ( θ , ω , γ ), por:
s =θ ⋅ R v = ω ⋅R a = γ ⋅R
θ em radianos
34
FÍS
CINEMÁTICA VETORIAL: LANÇAMENTOS
4
CINEMÁTICA VETORIAL: COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS O movimento de um corpo pode ser o resultado da composição de outros movimentos simultâneos. Deslocamento total ( ∆ rtotal ):
Em relação ao referencial fixo ao observador.
∆r total = ∆rrelativo + ∆r arrastamento
Deslocamento relativo ( ∆rrelativo ):
Arrastamento ( ∆r arrastamento ):
Se processa no referencial que e movimenta em relação ao observador.
Deslocamento sofrido pelo referencial móvel em relação a um referencial fixo.
Velocidade relativa:
v total = v relativa +v arrastamento
Situações comuns de um barco em uma correnteza: 1 - Rio abaixo
2 - Rio acima
v relativa
v relativa
v relativa
v total
v arrastamento
3 - Eixo do barco perpendicular à correnteza
v total
4 - Barco parte de A e chega a B
v total
v arrastamento
B
v relativa
v total
Rio
v arrastamento
v arrastamento
A
CINEMÁTICA VETORIAL: LANÇAMENTO OBLÍQUO
y
y
Projeção eixo y
t=ts
ymax Movimento Vertical (MUV)
y = v 0 (senθ ) ⋅ t −
g⋅t 2
v 0y
2
v 0y
vx
vx
v v yy
vy
vx
vx
vx
vv0
v y = v 0 (senθ ) − g ⋅ t
y0
θ
t=0
vx
vx
xT
x0
Tempo de voo tdescida = tsubida =
g
v 0 ⋅ senθ
vx
vx
vx
vx
vx
vx
vx
x
g
Altura máxima
Alcance A=
x
Projeção eixo x v 0 ⋅ senθ
logo: t voo = tsubida + tdescida = 2 ⋅
v 20
Hmax
⋅ sen ( 2θ ) g
Hmax =
v 02 ⋅ senθ 2⋅ g
Movimento Horizontal (MRU)
x = v 0 (cos θ ) ⋅ t
v x = v 0,X = v 0 ⋅ cos θ
(constante)
35
FÍS
DINÂMICA: CONCEITOS INICIAIS
5 FORÇA
No S.I.: N (newton) F = m ⋅ a Outra unidade usual: kgf (quilograma-força)
Grandeza vetorial que representa qualquer agente externo que modifica o movimento de um corpo livre. Interações da distância Força peso, força elétrica, força gravitacional.
F
Interações de contato Força de contato (normal e atrito), força de tração, força elástica.
N
−F
r
µ = µe ou µd
P
m
m
K
FAtrito = µ ⋅ N
FAtrito
m x
K
Seção ampliada
F Elástica = − K ⋅ x m
DINÂMICA: LEIS DE NEWTON E FORÇA RESULTANTE 1º Lei de Newton: Princípio da Inércia
Diagrama de corpo livre: substitui interações com o corpo por uma força.
F R = 0 ⇔ v = cte
F
2º Lei de Newton: Proporcionalidade entre resultante e aceleração
R=
R = m⋅a
m
⋅a
R=
m⋅
A
a
R
R
3º Lei de Newton: Ação e reação
NA
F
FB,A
A
100 N 100 N
C
B NB
FA ,B
FC,B
FB,C
NC
C
B
PA
PC
PB
SOMA DE FORÇAS F1
A força resultante é determinada pela soma vetorial das forças atuantes em um sistema isolado. Pela 2ª Lei de Newton: direção e sentido da resultante é igual à direção e sentido da aceleração.
2 forças paralelas: módulo da resultante = soma ou subtração dos módulos de cada força
2 forças formando um ângulo α :módulo da resultante determinado pela Lei dos Cossenos
a
R = 4 − 2 = 2N
F1= 4N
F2= 2N
2 forças perpendiculares = módulo da resultante determinado por Pitágoras
a
R
2
2
2
R = 3 + 4 ⇒ R = 5N
F2= 4N N
Py
Px
α
P
α
F1= 3N F2= 3N
Py = P ⋅ cos θ Px = P ⋅ senθ
F3
a
R
120°
F1x A F2y F2x
=
F2 Polias Fixa
F=R
R
R 2 = 32 + 32 + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ cos120º ⇒ R = 3N
A
R
N
A
R 2 = F12 + F22 + 2 ⋅ F1 ⋅ F2 ⋅ cos α
F1
Em muitos casos, a determinação da resultante é facilitada pela decomposição em um sistema de coordenadas.
Plano Inclinado: decompor no sentido do plano
F2
F3
F2
F1
Fixa
...
Móvel
R
F=
R 2
F1y
Sendo n = número de polias móveis
F=
R 2n
36
FÍS
DINÂMICA: APLICAÇÕES PRÁTICAS
6
RESULTANTE DA FORÇA CENTRÍPETA v
Rc
v
ac
Lembrando que o módulo da aceleração centrípeta é dado por:
Rc
v2 r
m ⋅ v2 Módulo: R c = r Resultante centrípeta Direção: perpendicular ao movimento Sentido: do centro de curvatura
v
Rc
Rc
ac =
v
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 1) Decompor as forças atuantes no sistema na direção do raio de curvatura e perpendicular à essa direção
2) Analisando as componentes de forças no perpendicular, se houver equilíbrio entre elas, a força resultante será nula.
3) Analisando as forças na direção do raio de curvatura, a resultante deve ser a centrípeta
5) Resolver sistema de equações (equações 2, 3 e 4) para determinar grandeza de interesse.
4) Analisando as condições geométricas do problema, determinar relação entre distâncias e ângulos
EXEMPLO: Pêndulo cônico: determinar velocidade angular 1)
θ
T ⋅ cos θ = m ⋅ g
T
L Rc
T=
De onde temos
r = L ⋅ senθ
5) Resolvendo o sistema
T ⋅ senθ = m ⋅ ω ⋅ r
Asa-delta em voo circular
Fn
v = r ⋅ g ⋅ tgθ
Carro descrevendo uma curva (pista elevada)
v = r ⋅ g ⋅ tgθ
F
P
r
m ⋅ v2 L
θ
centro
θ
N
ω=
g L ⋅ cos θ
Carro descrevendo uma curva (pista nivelada)
v MAX = µe ⋅ r ⋅ g N
r
r
P
chegamos a
T ⋅ cos θ = m ⋅ g 2 T ⋅ senθ = m ⋅ ω ⋅ r r = L ⋅ senθ
2
mg
Corpo girando preso a um fio
T
r
3) Na horizontal, resultante é centrípeta
P
centro
L
θ L
T ⋅ senθ
θ
v
4)
2) Na vertical temos equilíbrio
T ⋅ cos θ
θ
P
Fat
P
DINÂMICA DO MOVIMENTO CIRCULAR: GLOBO DA MORTE Um motociclista com sua moto descreve uma trajetória circular de raio r, num plano vertical, no interior de um globo da morte. O motociclista realiza a volta completa, sem descolar do piso. Determine a velocidade mínima do motociclista no ponto mais alto da trajetória.
No ponto mais alto da trajetória
Rc = N + P
No ponto mais baixo da trajetória
Rc = N − P
v
mg N
N
FN v
mg
P
m ⋅ g + FN = m
v2 R
No ponto mais alto da trajetória (menor velocidade), a velocidade é mínima quando
FN = 0
Logo m ⋅ g = m
v2 ⇒ v = r ⋅g R 37
FÍS
TRABALHO E ENERGIA: CONCEITOS INICIAIS
7
TRABALHO Trabalho de uma força constante F
Trabalho resultante F3
d
θ
F4
B
A
F2 F1
τ = F ⋅ d ⋅ cos θ
O trabalho resultante é a soma dos trabalhos de cada força.
Trabalho de uma força variável
τ R = τ1 + τ 2 + ... + τ n
F
F
τ
Equivale ao trabalho realizado pela força resultante.
τ d
N
d
τ R = FR ⋅ d ⋅ cos θ
τ = Área da figura
ENERGIA Energia cinética
Teorema da Energia Cinética
Ec =
m
m ⋅ v2 2
τ R = ∆EC =
Ep, elástica =
k ⋅ x2 2
τ AB = E − E x
Representa o trabalho realizado ( τ ), ou a energia transformada ( ∆E ), por unidade de tempo ( ∆t ):
Relação entre a potência útil ( Pútil )
Pm = F ⋅ vm ⋅ cos θ
B p
(2)
(1) B
UNIDADES DE MEDIDA Rendimento ( η )
Relacionando a potência de uma força com a intensidade de uma força, temos que:
2
NÃO depende da trajetória!
Potência de uma força ( Pm )
∆E ∆t
m ⋅ vA
Q
POTÊNCIA E RENDIMENTO
=
−
A q A p
Energial Potencial Elástica
τ
2
Trabalho de uma força conservativa é igual à energia potencial inicial menos a energia potencial final do corpo.
Ep, gravitacional = m ⋅ g ⋅ h
∆t
m ⋅ vB
Teorema da Energia Potencial
Energia potencial ⇒ Energia armazenada, associada à posição.
Pm =
B
d
Trabalho da força resultante é igual à variação de energia cinética do corpo 2 2
Energia potencial
Energia Potencial Gravitacional
vB
A
FB
h
FR
vA
Energia cinética ⇒ Energia associada ao movimento.
e a potência total (Ptotal ) fornecida:
Trabalho e Energia SI: [τ ] = [E] = J ( joule, equivalente a N ⋅ m) Unidade prática: [P] = kWh (quilowatt-hora, equivalente a 3,6 ⋅ 106 J)
Conversão
η=
Pútil
Ptotal
1kWh = 3, 6 ⋅ 106 J
Potência SI: [P] = W (watt, equivalente a J / s)
38
FÍS
TRABALHO E ENERGIA: CONSERVAÇÃO E APLICAÇÕES PRÁTICAS
8
ENERGIA MECÂNICA A energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética com a energia potencial ( que pode ser gravitacional e/ou elástica).
Emec = Ec + Ep
Energia cinética
⇒ Ec =
m ⋅ v2 2
Energia potencial ⇒ Epgravitacional = m ⋅ g ⋅ h
Epelástica =
k ⋅ x2 2
SISTEMAS CONSERVATIVOS Nos sistemas conservativos apenas forças conservativas realizam trabalho, não modificando a energia mecânica do sistema. A 36 km/h
C
Exemplo: Um carro de montanha russa, com massa m = 1000 kg, sem atrito, parte do repouso do ponto A. Calcule a velocidade do carro no ponto B, admitindo que o ponto A está a uma altura h = 5 m do ponto B. (Adote g = 10 m/s²).
Solução:
36 km/h
B
Ecinética A + Epotencial A = Ecinetica B + Epotencial B
36 km/h
0 + m⋅ g⋅h =
Emec A = EmecB = Emec C
1000 ⋅ 10 ⋅ 5 =
Exemplos de forças conservativas:
m ⋅ vB2
+0 2 1000 ⋅ VB2
2 VB = 100 = 10m/s
Força peso, força elástica
SISTEMAS NÃO CONSERVATIVOS Nos sistemas não conservativos existem forças dissipativas que realizam trabalho e, com isso, ocorre transformação de parte da energia mecânica em outro tipo de energia.
Fat
N
P
V
EmecFinal = EmecInicial + τ dissipativa Exemplos de forças dissipativas: Forças de contato em geral (decomposta em atrito e normal), tração
Exemplo: Um carro de montanha russa, com massa m = 1000 kg, parte do repouso do ponto A e atinge um ponto B com velocidade de 5 m/s. Admitindo que o ponto A está a uma altura h = 5 m do ponto B, determine qual o trabalho realizado pela força de atrito no sistema (Adote g = 10 m/s2)
Solução: Ecinetica B + Epotencial B = Ecinética A + Epotencial A + τFat m ⋅ vB2
+ 0 = 0 + m ⋅ g ⋅ h + τ Fat 2 1000 ⋅ 92 = 1000 ⋅ 10 ⋅ 5 + τ Fat 2 τ Fat = −9500 J
39
FÍS
9
DINÂMICA IMPULSIVA
IMPULSO, QUANTIDADE DE MOVIMENTO E TEOREMA DO IMPULSO Impulso
Impulso de uma força variável
Quantidade de movimento
Q =m⋅ v
I = F ⋅ ∆t
F
Teorema do impulso
O impulso resultante de um sistema de forças sobre um corpo é igual à variação da quantidade de movimento.
Área 0
IR = Q final − Q inicial
t
t2
t1
I =N Área
SISTEMAS ISOLADOS. SISTEMAS ISOLADOS COM VELOCIDADE RELATIVA Centro de massa
Sistema Isolado
Admitindo um sistema de pontos materiais P1, P2,..., Pn e de massas m1, m2,..., mn, respectivamente. O ponto C de coordenadas (xCM, yCM) obtidas através das médias ponderadas:
F2
Sistema
F1
Fn
Pn(xn,yn)
F3
ΣFexternas = 0
P2(x2,y2)
⇓
Q sistema = cte
C(xcm,ycm)
P1(x1,y1)
Q inicial = Q final
m1 ⋅ x1 + m2 ⋅ x2 + ... + mn ⋅ xn
xCM =
m1 + m2 + ... + mn
m1 ⋅ y1 + m2 ⋅ y 2 + ... + mn ⋅ yn
y CM =
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 + ... = mA ⋅ v 'A + mB ⋅ v 'B + ...
m1 + m2 + ... + mn
Se um sistema é isolado, o centro de massa permanece em seu estado de movimento original (repouso ou movimento uniforme)
COLISÕES antes do choque
v1
m1
v2
m2
durante o choque
depois do choque
m1
v '2
v '1
m1 m2
Coeficiente de restituição e=
m2
Q inicial = Q final
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = m1 ⋅ v '1 + m2 ⋅ v '2 Adotando um referencial positivo para as velocidades. Caso o vetor velocidade esteja no sentido oposto, temos v<0
Coeficiente de restituição Energia Energia Quantidade de movimento
v afastamento
=
Choque elástico
Choque inelástico
v aproximação
v '2 − v '1 v 2 − v1
Choque perfeitamente inelástico
e=1
0<e<1
e=0
Conserva-se
Dissipação parcial
Dissipação máxima
Conserva-se
Conserva-se
Conserva-se
40
FÍS
GRAVITAÇÃO
10 LEIS DE KEPLER
Ra
Rp
A2
θ F
df
Terceira lei de Kepler: a lei dos períodos
∆t2
m
r
M F
Segunda lei de Kepler: a lei das áreas
Cubo do semieixo maior (d3)
Primeira Lei de Kepler: a lei das órbitas
∆t1
A1
Foco
Foco
d Todos os planetas se movem em orbitas elípticas tendo o Sol como um dos focos.
50.000
Netuno
10.000
Urano
1.000 Jupiter
100 10 1
Marte Terra Venus 10 100 Mercúrio
Saturno
1.000 10.000
Quadrado do período (T2) 3
d
Se ∆t1 = ∆t2 , A1 = A 2
T2
= cte
FORÇA E CAMPO GRAVITACIONAL Força Gravitacional
F = G⋅
m1 ⋅ m2
Campo Gravitacional
g
d2
g = g0 =
Ponto no interior do astro (d < r).
R2
Ponto na superfície do astro (d = r).
Varia linearmente com a distância medida a partir de seu centro.
Onde:
G⋅m
G = 6, 67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m2 / Kg2
R
d Ponto a uma distância d do centro do astro (d > r).
g=
G⋅m d2
ÓRBITAS CIRCULARES Velocidade de escape
Velocidade de órbita circular de um satélite:
Vcirc =
G⋅m d
Período da órbita circular:
T = 2π
Ve =
Hipérbole
d3 G⋅m
Parábola
Emec = −
G ⋅M⋅m d
V < Vcirc
Órbita elíptica
V = Vcirc
Órbita circular
Vcirc < V < Ve
Órbita elíptica
V = Ve
Trajetória é parabólica e não constitui uma órbita
V > Ve
Trajeória é um arco de hipérbole e não constitui uma órbita.
Elipse
+
Energia mecânica:
2 ⋅ G ⋅M = 2 ⋅ Vcirc r
Círculo
41
FÍS
11
ESTÁTICA
DEFINIÇÃO E APLICAÇÕES Equilíbrio do ponto material
Tipos de equilíbrio
ΣF = 0 ⇔ R = 0
Equilíbrio estável G
Tipos de equilíbrio de corpo rígido estável
instável
indiferente
Equilíbrio instável
G
G
Base
fora de base
G= centro de gravidade
TORQUE Torque de uma força Decompondo a força, temos:
M = Fa ⋅ b Fy = F ⋅ senβ
β
Equilíbrio de um corpo extenso MF = MF + MF X
Y
MF = 0 + Fa ⋅ senβ
F
c Fx = F ⋅ cos β
NB
A
F
P
B
Equilíbrio de Translação (centro de massa em repouso ou em M.R.U.); ΣM = 0 Equilíbrio de rotação (em relação a qualquer ponto do corpo).
d EXEMPLO Duas crianças, cujos pesos estão indicados em newtons, se equilibram em uma gangorra. Determine o valor da força vertical N e a posição x da segunda criança. x
500N
x y
ΣF = 0
O
2m
x
NA
SOLUÇÃO Determinamos o valor de N pela condição de equilíbrio de translação: ΣF = 0 ⇒ 500 + 400 + 50 = N ⇒ N = 950N Determinamos o valor de x pela condição de equilíbrio de rotação, calculando os momentos em relação ao eixo de apoio da gangorra.
N
50N
Alavancas interfixas
ΣM = 0 500 ⋅ 2 = 400 ⋅ x ⇒ x = 2,5m
400N
Alavancas inter-resitentes
Alavancas interpotentes apoio
apoio F R
R
F
apoio F
R
F ⋅ dF,apoio = R ⋅ dR,apoio 42
FÍS
12
HIDROSTÁTICA
CONCEITOS BÁSICOS Densidade de um corpo
d=
Massa específica de um material
m V
µ=
onde V é o volume ocupado por um corpo de massa m.
Pressão (p)
m V
p= F
onde V é o volume ocupado por uma massa m de um determinado material.
F A
A
PRESÃO HIDROSTÁTICA E LEI DE STEVIN Pressão hidrostática
Lei de Stevin
hM M
Consequência
Dois pontos na mesma horizontal de um mesmo fluido em equilíbrio têm a mesma pressão.
µ1
patm + µ1 ⋅ g ⋅ h1 = patm + µ2 ⋅ g ⋅ h2
pM = pATM + µH
2O
h2
h1 1
⋅ g ⋅ hM
1
No ponto M, a pressão atua em todas as direções
2
3
4
5
µ2 2
p1 = p2
p1 = p2 = p3 = p 4 = p5
patm + µ1 ⋅ g ⋅ h1 = patm + µ2 ⋅ g ⋅ h2
PASCAL E ARQUIMEDES Princípio de Pascal
F1
A1
F1
=
Princípio de Arquimedes e empuxo E
F2
A2
A1
Ppato
F2
A2
“O acréscimo de pressão produzido sobre um líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido.”
E
Vdeslocado
Pdeslocado
E = Pdeslocado Todo corpo mergulhado num fluido (líquido ou gás) fica sujeito a uma força vertical para cima, exercida pelo líquido, sendo a intensidade dessa força igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.
E = µfluído ⋅ Vdeslocado ⋅ g 43
FÍS
13
TERMOFÍSICA: CONCEITOS INICIAIS E DILATAÇÃO
ENERGIA TÉRMICA, CALOR E TEMPERATURA Energia térmica
Calor
Energia associada à agitação térmica (energia cinética total das moléculas).
Energia térmica em trânsito.
CORPO QUENTE
CORPO FRIO
Temperatura
átomos com maior agitação
Grandeza física associada ao estado de movimento ou à agitação das partículas que compõem os corpos.
átomos com menor agitação
ESCALAS TERMOMÉTRICAS ESCALA KELVIN
ponto de ebulição da água ponto de solidificação da água
ESCALA CELSIUS
ESCALA FAHRENHEIT
373,15 K
100ºC
212ºF
273,15 K
0ºC
32ºF
0K
-273,15ºC
-459ºF
zero absoluto
Relações C = K − 273
C F − 32 = 5 9 K − 273 F − 32 = 5 9
DILATAÇÃO Dilatação térmica: O aumento da temperatura aumenta a agitação das partículas que formam esse corpo. Esse afastamento resulta em um aumento das dimensões do corpo.
Dilatação linear
∆L
Dilatação superficial
L0
S0
L
S
∆S = S0 ⋅ β ⋅ ∆T S = S0 ⋅ (1 + β ⋅ ∆t)
com β = 2 ⋅ α
∆L = L0 ⋅ α ⋅ ∆T e L = L0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆T) Dilatação volumétrica
V0
V
Dilatação volumétrica dos líquidos
∆V = V0 ⋅ γ ⋅ ∆T V = V0 ⋅ (1+ γ ⋅ ∆T)
com γ = 3 ⋅ α
V0 T0
aquecimento
V
Líquido extravasado
T
∆Vreal = ∆Vaparente + ∆Vre cipiente , com γ real = γ ap + γ rec
44
FÍS
14
TERMOFÍSICA: TROCAS DE CALOR
CONDUÇÃO, CONVECÇÃO E IRRADIAÇÃO Condução térmica
Convecção térmica
Transporte de energia sem transporte de matéria. Ocorre principalmente nos sólidos. Extremidade menos quente
Irradiação térmica
Transferência de calor por meio de transporte de matéria, devido a uma diferença de densidade e à ação da gravidade.
Extremidade menos fria
Transferência de calor por meio de ondas eletromagnéticas. Se propaga no vácuo.
Congelador Ar frio Extremidade quente
Extremidade fria
IRRADIAÇÃO
Ar quente
Calor
CALOR ESPECÍFICO E CAPACIDADE TÉRMICA Calor específico (c)
Capacidade térmica (CT)
Quantidade de calor necessária pra variar em um grau a temperatura de uma unidade de massa.
c=
Q m ⋅ ∆T
Substância
Razão entre a quantidade de calor trocada (cedido ou recebido) e a correspondente variação de temperatura.
CT =
Calor específico (cal/g.ºC)
Amônia(Líquida)
1,125
Lítio
1,041
Água
1
Q e CT = m ⋅ c ∆T
IMPORTANTE
Cobre
0,0921
Alumínio
0,214
Ferro
0,107
A capacidade térmica (CT) é uma propriedade de um corpo, e o calor específico (c) é uma propriedade da substância que constitui o corpo.
CALOR SENSÍVEL E CALOR LATENTE Calor sensível
Recebe Calor
Gelo a 0ºC
SENSÍVEL
Recebe Calor
LATENTE
120 Vaporização
100
or
p Va
o
Q s = m ⋅ c ⋅ ∆T
Gelo a -20ºC
Água a 0ºC
Líquid
Temperatura (ºC)
Troca de calor onde há apenas alteração na temperatura dos corpos envolvidos.
Calor Latente
Recebe Calor
SENSÍVEL
Recebe Calor Água a 100ºC LATENTE
0 -20
Q L = m ⋅L
Calor Recebido
Sól
Troca de calor onde há mudança de estado físico.
ido
Fusão
Vapor a 100ºC
Recebe Calor
SENSÍVEL
Vapor a 120ºC
EQUILÍBRIO TÉRMICO E SISTEMA ISOLADO 1
2
Q1,recebido Entorno
Q 2, cedido
Dois corpos, em um sistema isolado, trocam calor (Q) de forma a atingir o equilíbrio térmico, ou seja, atingem uma temperatura comum.
∑Q = Q + Q 1
2
+ ... + Q n = 0
com Q recebido > 0 e Q cedido < 0
45
FÍS
TERMOFÍSICA: TRANSFORMAÇÕES GASOSAS
15
PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA Energia interna
Trabalho realizado por um gás
Soma da energia cinética com a energia potencial associada à configuração das partículas de um gás.
Pressão
Vfinal > Vinicial
∆T = 0 ⇒ ∆U = 0 ∆T > 0 ⇒ ∆U > 0
W>0
∆T < 0 ⇒ ∆U < 0
Expansão gasosa
W
Energia interna U1
Trabalho realizado pelo gás sobre a vizinhança.
Volume
1ª da Termodinâmica
Pext
Pext
Pgas
Pgas
Q
∆V > 0 W>0
Compressão gasosa
Energia interna U2
Vfinal < Vinicial Pressão
Um sistema gasoso recebe calor do meio externo. A energia pode ser armazenada no sistema ( ∆U ) e/ou pode ser utilizada na realização de trabalho (W)
W<0
Q = ∆U + W
Volume
∆V < 0 W<0
Trabalho realizado pela vizinhança sobre o gás (sofrido pelo gás).
TRANSFORMAÇÕES GASOSAS Equação de Clapeyron
Lei geral dos gases
p ⋅ V = n⋅R ⋅ T
Lei que relaciona dois estados diferentes de uma transformação gasosa, desde que não haja variação na massa do gás.
Pressão em N/m volume em m3 e temperatura em Kelvin: 2
R = 8,31
J mol ⋅ K
Pressão em atm volume em litros e temperatura em Kelvin:
Transformação
Gráficos
Relações
Isobárica (pressão cte)
τ
W = p ⋅ ∆V
Isocórica (volume cte)
W=0
Isotérmica (temperatura cte)
τ
Q=W ∆U = 0
Adiabática
τ
Q =0 ∆U = − W
p1 ⋅ V1 p2 ⋅ V2 = T1 T2
atm ⋅ l R = 0,082 mol ⋅ K
τ
Cíclica
∆U = 0 Q=W
horário τ >0
TRANSFORMAÇÕES CÍCLICAS E RENDIMENTO
Q1 MOTOR Q2 fonte fria
W
η=
W Q1
ou
η = 1−
Q fria
Q quente
fonte quente
Q fria
Q1 = W + Q 2
Q1 REFRIGERADOR
Q2
fonte fria
W
η=
η=
Q quente
Q2
D
W
ou Q fria
Q quente − Q fria
Pressão
W = Q1 − Q 2
fonte quente
Ciclo de Carnot
Refrigerador
Motor
C
Para motores: T η = 1 − fria Tquente
Tfria
=
Tquente
QFQ
A1 e A2 = Adiabáticas
A A1
QFF
T1 e T2 = Isotérmicas
T1 B
T2 A2
Volume
46
QUÍMICA
QUI
ESTRUTURA DA MATÉRIA
1 SUBSTÂNCIAS PURAS Substância pura simples
Substância pura composta
Mesmo arranjo de átomos de um único elemento.
Mesmo arranjo de átomos de mais de um elemento.
O O O
O
O O
O O
O O
O O
O
O
H
O
H
H H
EXEMPLO: Oxigênio (O2)
O
H
O
H
O
H H
O
O
H
H
H
O H
O
gasoso
PE
O H
• Densidade característica. • PE(ponto de ebulição) e PF(ponto de fusão) constantes. temperatura
EXEMPLO: Água (H2O)
H
PF
líquido sólido tempo
MISTURAS PE(ponto de ebulição) E/OU PF(ponto de fusão) variáveis
Mistura homogênea
Mistura heterogênea
Mais de uma substância com uma única fase (solúveis entre si).
Mais de uma substância com mais de uma fase (insolúveis entre si).
temperatura gasoso
∆PE
água + sal
sólido
água
tempo
EXEMPLO: Água (H2O) e Óleo
EXEMPLO: Água (H2O) e Sal (NaC )
líquido
∆PF
óleo
Se PF é constante: mistura eutética Se PE é constante: mistura azeotrópica
SEPARAÇÃO DE MISTURAS Dissolução
Filtração Passa-se a mistura por uma superfície porosa (filtro) que retém o sólido. poeira + ar
Destilação fracionada Aquecimento e separação pela diferença do tempo de ebulição das substancias. Os sólidos são mantidos no recipiente inicial.
petróleo
Dissolve-se apenas uma substância da mistura e separa-se a outra por filtração.
gás gasolina querosene diesel óleo combustível
Sifonação
Espera-se o tempo necessário para o composto mais denso se sedimentar.
Utilizando um sifão, passa-se o liquido mais denso da mistura para outro recipiente.
água + sal
poeira ar
Decantação
areia + sal
óleo
areia
Levigação Como a densidade dos componentes da mistura é diferente, utiliza-se um fluxo de fluído (líquido ou gás) para separá-las.
água +areia
água
areia
água
Extração
Flotação O sólido se anexa à superfície de bolhas de gás fazendo com que se separe do líquido. pó de serra água areia + pó de serra
água
Utilizando-se um solvente ocorre a transferência de um ou mais solutos da mistura para o solvente utilizado. hortelã
chá
areia
compressor de ar
água
hortelã
49
QUI
ESTRUTURA ATÔMICA
2 ESTRUTURA Dalton – Bola de bilhar
Thomson – Pudim de passas
-
+ • Indestrutível • Indivisível • Maciço
+
-
elétrons
+
- +
Rutherford – Modelo planetário
-
• Cargas negativas distribuídas uniformemente em uma esfera de carga positiva.
• Átomo é um grande vazio • Núcleo pequeno e positivo • Elétrons orbitam (eletrosfera)
Sommerfeld – Órbitas elípticas
Nuvens de elétrons – Orbitais
Böhr – Níveis de energia n=1 n=2
5s 5p
n=3
radiação em forma de luz
A ZX
Número de massa Número atômico
5f
• Introdução da mecânica quântica. • Orbital = maior probabilidade de se encontrar elétrons (máximo dois, um spin up e um spin down).
Isótopos
Isóbaros
Isótonos
Mesmo número de massa
Mesmo numero atômico
Mesmo número de nêutrons
H (hidrogênio) H (deutério)
H (trítio)
quantidade de prótons
3s
1s
• Órbita elípticas. • Introdução da relatividade restrita. • Números quânticos azimutal (ou secundário) e magnético. • Subníveis de energia: s, p, d e f
1 1 2 1 3 1
prótons+nêutrons
2p
5d
• Níveis de energia = camadas. • Elétrons emitem radiação, quando saltam de uma camada superior para uma inferior. • Não existem elétrons fora das camadas ou entre elas. Simbologia de um átomo
núcleo
2s
14 6
C (carbono-14)
11 5
14 7
N (nitrogênio)
12 6
B (boro) C (carbono)
n = 11 − 5 = 12 − 6 = 6
DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA Diagrama de Pauling s
p
camadas
nível
K
1
1s
L
2
2s
2p
M
3
3s
3p
N
4
4s
4p
O
5
5s
P
6
Q
7
subnível
d
f
máximo de elétrons por nível
2
8 18
3d
• Energia crescente no sentido do diagrama. • Camada de Valência, maior nível atingido. Nem sempre a camada de valência é a mesma do subnível de maior energia. EXEMPLO
Ni
4d
4f
32
5p
5d
5f
32
Ordem crescente de energia
6s
6p
6d
18
1s2 , 2s2 , 2p6 , 3s2 , 3p6 , 4s2 ,3d8
7s
7p
2
Ordem de camadas eletrônicas
2
6
10
14
máximo de elétrons por subnível
28
subnível de maior energia
2 2 2 1s , 2p6 , 3s2 , 3p6 , 3d8 , 4s , 2s K N L
M
última camada ou camada de valência
50
QUI
3
TABELA PERIÓDICA E MASSA ATÔMICA
PADRÃO DE MASSA
12
C
Padrão de massas atômicas foi baseado no carbono-12
dividido em 12 partes
1u=
1 do átomo de 12C 12
Massa atômica de um elemento químico = média ponderada das massas atômicas dos isótopos.
1u
(unidade de massa atômica)
CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA 1 IA
18 VIIIA 2 IIA
ns1 ns2
13 IIIA
Representativos Transição interna Transição externa
nd1
nd10
14 IVA
15 VA
16 17 VIA VIIA
ns2
np1 np2 np3 np4 np5 np6
nf1
Período determinado pelo maior nível de energia Família determinado pelo subnível mais energético
Famílias de elementos representativos • IA ou 1 : Metais alcalinos • IIA ou 2: Metais alcalino-terrosos • IIIA ou 13: Família do boro • IVA ou 14: Família do carbono • VA ou 15: Família do nitrogênio • VIA ou 16: Calcogênios • VIIA ou 17: Halogênios • VIIIA ou 18: Gases Nobres
nf14
PROPRIEDADES PERIÓDICAS Raio atômico
Energia de Ionização
Eletronegatividade
Afinidade eletrônica
Eletropositividade
Densidade
Reatividade
Pontos de Fusão e Ebulição
0 + X (g) + energia → X (g)
51
QUI
4
LIGAÇÕES QUÍMICAS
TIPOS DE LIGAÇÃO PROPRIEDADES
Ligação Iônica Na
+
C
+ +
C
Na
C
Na
-
C
• Retículos cristalinos. • Sólidos e quebradiços. • Ligação Forte. • Elevados pontos de fusão e ebulição. • Fundidos ou em solução aquosa são bons condutores de corrente elétrica.
+
Na
cátion (+)
C
-
ânion (-)
+
Na
METAL + AMETAL
C H C
H
H
TIPOS DE LIGAÇÃO
PROPRIEDADES
Ligação Covalente
C AMETAL + AMETAL
• Compartilhamento de elétrons da camada mais externa (valência). • Formação de moléculas (normalmente). • Péssimos condutores de corrente elétrica.
Ligação Simples
H
H C
Cl
Ligação Dupla
O
O
O
Ligação Tripla
N
N N
N
Ligação Metálica + + + +
+
-
+
-
+
-
+
-
+ +
-
+ +
-
+ +
-
+ +
+ + + + + + + +
O
Ligação Coordenada
O
S O
O S
O
Todas as ligações covalentes comuns já realizadas. Existência de pelo menos um par de elétrons não compartilhados e um átomo instável.
PROPRIEDADES
• Brilho metálico. • Ótimos condutores de corrente elétrica e calor. • Sólidos nas condições ambientes (exceto Hg). • Ductibilidade. • Maleabilidade.
Cátion Elétrons livres
Metal perde elétrons = torna-se cátion Elétrons livres (-) vagam entre os cátions.
METAL + METAL (MAR DE ELÉTRONS)
TEORIA VSEPR E GEOMETRIA MOLECULAR Número Estérico
2
0 pares de
e −não ligantes 180°
O C O
F
3
120°
B
1 par de
F
4
C H
S O
F H
e −não ligantes
109°28'
H
H
Num. Estérico = Num. Ligantes + Num. de Pares de
2 pares de
O
H
N H
e −não ligantes
H
107.8°
O H
105°
H
e − não compartilhados (base átomo central)
52
QUI
POLARIDADE E FORÇAS INTERMOLECULARES
5
ELETRONEGATIVIDADE E POLARIDADE DE LIGAÇÃO Nuvem de elétrons em uma ligação química: Eletronegatividade alta ⇒ Atração da nuvem eletrônica.
Eletronegatividade : potencial de atração de elétrons. Quanto menor o raio atômico, maior sua eletronegatividade.
µ
Escala: F > O > N > C >Br> I >S>C>P>H (Flúor é o elemento mais eletronegativo)
δ+ H
C
δ−
C
H
δ+ δ− µ ≠0
Momento Bipolar
POLARIDADE MOLECULAR Apolares
Polares
(momento dipolar resultante igual a zero).
(momento dipolar resultante diferente de zero).
µr ≠ 0
µr = 0
µ1
µ2
µ1
µ2
µ1
µ1 + µ2 = 0
O C O
δ− δ+ δ−
δ−
δ+
µr
O
µ2
H
H +
µ2
δ
µ1
µr = µ1 + µ2 ≠ 0
FORÇAS INTERMOLECULARES Ligação de hidrogênio
Íon - dipolo
Dipolo permanente - dipolo induzido
Dipolo - dipolo
Forças de London
Momento Bipolar −
δ
+
δ−
+
Molécula polar + Íon
δ
+
δ δ+ δ−
δ− δ+
Ligação de Hidrogênio
δ+
δ+ − δ
δ+
δ−
δ+
δ−
δ+ind
δ−ind
δ+inst δ−inst
δ+ind δ−ind
Dipolo instantâneo
H em uma molécula polar + (F, O ou N) em outra molécula.
FORTE
δ−
Molécula polar + Molécula polar.
Molécula polar + Molécula apolar.
INTENSIDADE DA FORÇA ALTOS ALTA
Solubilidade • “Semelhante só solubiliza semelhante”. • Apenas substâncias com forças intermoleculares de magnitudes comparáveis são solúveis entre si.
PONTOS DE FUSÃO E EBULIÇÃO TENSÃO SUPERFICIAL
Dipolo induzido
Molécula apolar + Molécula apolar
FRACA BAIXOS BAIXA
EXEMPLOS • HC (polar) é bastante solúvel em água (polar) • Iodo (apolar) é bastante solúvel em tetracoloreto de carbono (apolar) • Iodo é pouco solúvel em água
53
QUI
FUNÇÕES INORGÂNICAS
6
DEFINIÇÃO DE ARRHENIUS H2O HA → H+(aq) +A-(aq)
(
Ácido produz como único cátion H ou H3O +
H2O BOH → B+(aq) +OH-(aq) +
Sais são produtos de uma reação de neutralização.
Base produz como único ânion, o íon OH− (hidroxila)
)
ÁCIDOS NOMENCLATURA:
NOMENCLATURA:
Hidrácidos (não têm oxigênio)
Oxiácidos (possuem oxigênio)
Hx A
perclórico
Per...ico
Ácido + (nome de A) + ídrico Exemplo: HC Ácido Clorídrico
NOMENCLATURA Ânions
Prefixo + nome de ânion + sufixo
HCO 4
...ico
clórico
HCO3
sulfúrico
...oso
cloroso HCO2
Hipo...oso
hipocloroso HCO
H2SO 4
nítrico
HNO3
fosfórico
sulforoso
nitroso
fosforoso H3PO3
H2SO3
H3PO 4
HNO2
Ácido
carbônico H2CO3
...oso ...ico ...ídrico
Ânion
...ito ...ato ...eto
hipofosforoso H3PO2
FORÇA DOS ÁCIDOS: Hidrácidos
FORÇA DOS ÁCIDOS: Oxiácidos
HC , HBr e HI
Ácido Forte
HF
Ácido Moderado
Demais
Ácido Fraco
Sendo β=[Número de átomos de oxigênio] menos o [Número de átomos de hidrogênio ionizáveis]
β≥ 2
Ácido Forte
HCO 4 ,H2SO 4
β=1
Ácido Moderado
H3PO 4 ,H2SO3
β=0
Ácido Fraco
HCO ,H3BO3
BASES NOMENCLATURA:
B(OH)x
FORÇA E SOLUBILIDADE:
Exemplo: NaOH - Hidróxido de sódio
Hidróxido + de + B (nome do cátion)
Fracas Moderadas Fortes Demais bases<Bases de metais alcalino - terrosos<Bases de metais alcalinos insolúveis
pouco solúveis
solúveis
Exceção:
NH4OH
Base fraca e solúvel
SAIS NOMENCLATURA:
Exemplo:
Nome do ânion (do ácido)+de+nome do cátion
NaC - Cloreto de sódio
SOLUBILIDADE: Nitratos (NO3− ), Cloratos(CO3− )e Acetatos(CH3COO − )
Solúveis
Cloreto (C ),Brometo(Br ) e Io det o (I ).
Solúveis
Exceções: Ag+ , Hg22+e Pb2+
Sulfatos (SO )
Solúveis
Exceções: Ca2+ , Sr 2+ , Ba2+ e Pb2+
Insolúveis
Exceções: metais alcalinos, alcalinoterrosos e NH+4
Insolúveis
Exceções: metais alcalinos e NH+4
−
−
−
2− 4
Sulfetos (S2− ) Carbonatos (CO ) e Fosfatos(PO ) 2− 3
3− 4
ÓXIDOS Óxidos são compostos binários em que o oxigênio é o elemento mais eletronegativo.
NOMENCLATURA:
Óxido + de + (elemento)
Classificação Ácidos
CO2 +H2O → H2CO3
• Reagem com água formando ácido. • São todos moleculares.
Básicos
Na2O+H2O → 2NaOH
• Reagem com água formando base. • São todos iônicos.
Anfóteros • Reagem tanto com ácido como com base.
ZnO, Al2O3
OBSERVAÇÃO
• Nomenclatura de óxidos Moleculares que formam mais de uma substância química Prefixos: mono (opcional), di, tri, tetra, penta, etc. para indicar a quantidade de átomos de cada elemento
Neutros • Não reagem com água, ácido ou base.
CO, NO,N2O
N2O5
pentóxido de dinitrogênio
• Compostos iônicos de cátion que possui de duas valências (hidróxidos e óxidos) Hidróxido (ou óxido) + nome do cátion de menor valência + oso Hidróxido (ou óxido) + nome do cátion de menor valência + ico ou Hidróxido (ou óxido) + de + nome do cátion + valência do cátion
Fe(OH)2 Hidróxido ferroso ou Hidróxido de ferro II
FeO
Fe(OH)3 Hidróxido férrico ou Hidróxido de ferro III
Fe2O3 Óxido férrico ou Óxido de ferro III
Óxido ferroso ou Óxido de ferro II
54
QUI
7
REAÇÕES INORGÂNICAS
REAÇÕES INORGÂNICAS ADIÇÃO Dois ou mais reagentes formam um único produto. Exemplo:
1 H2 + O2 → H2O 2
A+B → C
SIMPLES TROCA Substância simples reage com substância composta, originando nova substância simples e nova substância composta pelo deslocamento entre seus elementos.
AB+C → CB+A
DECOMPOSIÇÃO Um único reagente gera dois ou mais produtos.
A → B+C
Exemplo:
Δ CaCO3(s) → CaO(s) +CO2(g)
DUPLA TROCA Duas substâncias compostas reagem originando outras duas substâncias compostas.
AB + CD → AD + BC
Metais
CONDIÇÕES DE OCORRÊNCIA
Ocorre a reação se C e A forem metais, e C for mais reativo que A. Reatividade dos metais e hidrogênio: Li > K > Ca > Na > Mg > A > Zn > Cr > Fe >
• Forma-se pelo menos um produto insolúvel Exemplo:
H2SO 4(aq) + Ba(OH)2(aq) → 2H2O(l) + BaSO 4(s)
Ni > Sn > Pb > H > Cu > Hg > Ag > Pt > Au
insolúvel
Exemplo: 2 Na + Fe C 2 → 2NaC + Fe + reativo
• Forma-se pelo menos um produto menos ionizado (mais fraco) Exemplo:
−reativo
Ametais
HC (aq) + NaOH(aq) → NaC (aq) +
Ocorre a reação se C e A forem ametais, e C for mais reativo que A. Reatividade dos ametais:
F > O > C > Br > I > S
+ H2 Exemplo: C 2 + reativo
S
H2O
menos ionizado
• Forma-se pelo menos um produto mais volátil. Exemplo: CaCO3(s) + 2HC (aq) → CaC 2(aq) + H2O(l) + CO2(g)
→ 2HC + S
mais volátil
−reativo
REAÇÕES DE NEUTRALIZAÇÃO São denominadas reações de neutralizaçãoas quais tanto o ácido quanto a base são consumidos e novos produtos são formados.
HX (aq) + BOH(aq) → BX (aq) + H2O(l)
NEUTRALIZAÇÃO TOTAL
NEUTRALIZAÇÃO PARCIAL
• É formado um sal de caráter neutro. • Reação entre um ácido e uma base de força semelhante.
• A quantidade de íons hidroxila (OH) e hidrogênio (H) dissociados é diferente. • Forma-se um sal ácido ou um sal básico.
Exemplo:
HC (aq) +NaOH(aq) → NaC (aq) +H2O(l)
Exemplo: H2CO3(aq) +NaOH(aq) → NaHCO3(aq) +H2O(l) Sal ácido
HC (aq) +Mg(OH)2(aq) → Mg(OH)C (aq) +H2O(l) Sal básico
PROBLEMAS AMBIENTAIS CHUVA ÁCIDA • Aumento da acidez da água das chuvas. • Decorrente da liberação de: a) óxidos de nitrogênio ( NO x ) b) dióxido de carbono ( CO2 ) c) dióxido de enxofre ( SO2)
Os óxidos (ácidos) reagem com a água das nuvens, formando ácido nítrico, ácido carbônico e ácido sulfúrico. Exemplo:
2NO2(g) +H2O(l) → HNO3(aq) +HNO2(aq)
DEPLEÇÃO DO OZÔNIO • Destruição da camada de ozônio. • Decorrente principalmente da emissão de clorofluorcarbonetos (CFC), muito utilizado em aerossóis. Exemplos: hν CC 3F → CC 2F+C C +O3 → O2 +CO CO+O3 → 2O2 +C
SMOG FOTOQUÍMICO • Grande concentração de massa de poluentes estagnada, sofre uma reação fotoquímica produzindo uma camada roxo-acinzentada. • O ozônio reage com os hidrocarbonetos, formando álcoois, cetonas e aldeídos, como, formaldeído e a acroleína.
55
QUI
8
CÁLCULOS QUÍMICOS
Molécula
Massa molecular
• Conjunto de átomos que estabelecem ligações covalentes entre si. • Representada pelo número de átomos dos elementos que a compõe. O hidrogênio oxigênio
H2O
massa de H=1u ⇒ massa de H2O =18 u massa de O =16 u
H
H
nº de átomos de hidrogênio
• Massa de uma molécula. • Soma das massas dos átomos que compõem a molécula. EXEMPLO: massa de H2O = 2×massa de H+1×massa de O
Quando há só um átomo do elemento o número 1 pode ser suprimido
Mol
Massa Molar Ca
H2O
N2
massa atômica/molecular
40u
18u
28u
massa molar
40g/mol
18g/mol
Quantidade de matéria: medida em mol
1 dúzia de ovos
1 mol de carbono
1mol contém 6,02 ⋅1023 entidades (constante de Avogadro)
1 dúzia de
1 mol de átomos
6,02 ⋅1023 átomos
1 mol de moléculas
6,02 ⋅1023 moléculas
1 mol de fórmulas
6,02 ⋅1023 fórmulas
6,02×10
bolas de tênis
bolas de baseball
átomos de Ca
= 3 kg
= 8 kg
= 40 g
28g/mol 23
moléculas de H2O
= 18 g
CÁLCULOS QUÍMICOS n=
Fórmula: Quantidade de matéria (em nº de mols)
m (massa) M (massa molar)
= equivale a
Legenda:
Quantidade de matéria
Massa
Volume (gás na CNTP)
Nº de partículas
1 mol
Massa molar
22,4L
6,02 ⋅1023
1 mol de água H2O
18 g de água
22,4L de H2O(g)
6,02 ⋅1023 moléculas de água
Considerando uma amostra de 36 gramas de água de massa molar MH2O =18 g mol 1mol → 18 gramas 36 ⇒ x= = 2 mol 18 x mol → 36 gramas
1mol → 6,02 ⋅ 1023 partículas ⇒ y = (2 ⋅ 6,02×1023 )partículas 2 mol → y partículas
∴ x = 2mol de água
∴ y =12,04 ⋅ 1023 partículas de água
Há na amostra 2 mols de àgua.
Há na amostra 12,04 · 1023 partículas de àgua.
CÁLCULO DE FÓRMULAS Em 5,32 gramas de pirofosfato de sódio existem 1,84 gramas de sódio, 1,24 gramas de fósforo e 2,24 gramas de oxigênio. O sódio possui massa molar MNa = 23 g mol , o fósforo possui massa molar MP = 31g mol o oxigênio possui massa molar MO =16 g mol . A substância possui massa molar Mpirofosfato = 226g mol .
Fórmula Percentual Porcentagem de massa do sódio
1,84 ⋅ 100% = 34,59% 5,32 Porcentagem de massa do fósforo 1,24 ⋅ 100% = 23,31% 5,32 Porcentagem de massa do oxigênio 2,24 ⋅ 100% = 42,10% 5,32 Fórmula percentual:
Na34,59%P23,31%O 42,10%
Fórmula Mínima
Fórmula Molecular
Partindo da fórmula percentual, divide-se a porcentagem de massa de cada elemento pela sua respectiva massa molar.
Supondo que tivéssemos apenas a fórmula mínima da substância
Na :
23,31 34,59 P: = 0,75 =1,5 31 23 42,10 O: = 2,6 16
Se não forem inteiros, divide-se todos pelo menor. Se ainda houver um não inteiro, multiplicam-se todos por um inteiro conveniente.
Fórmula mínima:
Na4P2O7
Massa molar da fórmula mínima: Mm = 4 ⋅ 23+2 ⋅ 31+7 ⋅16 = 226 Determinar n =
Mpirofosfato Mm
=
266 =1 266
Multiplicar a fórmula mínima por n para obtermos a fórmula molecular.
Fórmula molecular:
n ⋅ (Na4P2O7 ) = Na4P2O7
56
QUI
ESTEQUIOMETRIA
9 LEIS PONDERAIS Lei de Lavoisier
Lei de Proust
Lei de Dalton
Lei de conservação das massas
Lei das proporções constantes
Lei das proporções múltiplas
"Na Natureza nada se cria e nada se perde, tudo se transforma". • Num sistema fechado, massa dos produtos =massa dos reagentes.
“Uma determinada substância pura contêm sempre os mesmos elementos combinados na mesma proporção em massa, independente da sua origem.”
“Se uma massa fixa de um elemento se combina com massas diferentes de um segundo elemento, estas massas estão em uma relação de números inteiros pequenos.”
BALANCEAMENTO DE REAÇÕES - MÉTODO ALGÉBRICO Atribuir coeficientes algébricos à equação para serem futuramente determinados por meio da resolução de um sistema.
Passo 2) Monta-se e resolve-se o sistema, igualando a quantidade de cada átomo dos produtos e dos reagentes. 2x = 2y (para o Nitrogênio) x = y y =1 Supondo x =1 ⇒ 4x = 2z (para o Hidrogênio) ⇒ 2x = z z = 2 3x = y +z (para o Oxigênio)
NH4NO3 → N2O+H2O
EXEMPLO:
Passo 1) Nomeiam-se os coeficientes. Passo 3) Substitui-se os coeficientes encontrados.
xNH4NO3 → yN2O+zH2O
1NH4NO3 → 1N2O+2H2O
ESTEQUIOMETRIA Utiliza-se os coeficientes das reações balanceadas para determinar a quantidade de cada composto presente na reação.
O2
H2O
2 mol
1 mol
2 mol
Quantidade de massa
2 ⋅ MH = 2 ⋅ 2g
MO = 2 ⋅ 32g
2 ⋅ MH O = 2 ⋅ 18g
Volume de gás na CNTP
2 ⋅ 22, 4L
22, 4L
2 ⋅ 22, 4L
H2
Dada uma reação balanceada:
Quantidade de Mol
2H2 +O2 → 2H2O Coeficientes na razão 2:1:2
2
2 ⋅ 6,02 ⋅ 10
Nº de moléculas Exemplo: Qual a massa de H2 necessária para formar 6 mol de H2O? 2H2 Estequiométrica
2H2O
2 ⋅ MH = 2 ⋅ 2g
2 mol
xg
6 mol
2
Real
Real
Exemplo: Para se formar 6,02 · 1023 moléculas de H2O, qual o volume necessário de O2(g) na CNTP? 1O2 Estequiométrica
2H2O
22,4L
2 ⋅ 6,02 ⋅ 10
yL
Real
22, 4 ⋅ 60,2 ⋅ 1023 12,04 ⋅ 1023 ⇒ y = 112L y=
23
6,02 · 1023
2
H2 :
1mol → 2 g ⇒ x = 2 mol x mol → 4 g
O2 :
1mol → 32 g y mol → 64 g
massa da substância pura ⋅ 100 massa da amostra
Exemplo: 120 g de Mg com 80% de pureza reage com O2 produzindo MgO. Qual a massa de MgO produzida?
Estequiométrica
2 ⋅ 6,02 ⋅ 1023
6,02 ⋅ 1023
(MMg = 24 g mol e MMgO = 40g mol)
Mg
MgO
48g
80g
(0,8 · 120)g
xg
0,8 ⋅ 120 ⋅ 80 48 ⇒ x = 160 g x=
2
2
Como a proporção estequiométrica é 2:1, O2 está em excesso (1 mol de excesso).
Calcula-se a quantidade de mols de cada um dos compostos:
Excesso: Reagente que sobrará após o limitante ser consumido.
2Mg + O2 → 2MgO
23
2
Exemplo: Suponha que 4g de hidrogênio foram postas para reagir com 64g de oxigênio. Sabemos que a equação balanceada da reação é: 2H2 + 1O2 → 2H2O e que MH = 2g mol, MO = 32g mol e MH O = 18 g mol
Limitante: limita a quantidade de produto produzido, por ser totalmente consumido.
%Pureza =
4⋅6 x= ⇒ x =12 g 2
2
⇒ y = 2 mol
A quantidade de produto será ditada pelo H2.
%Rendimento =
quantidade de produto obtida ⋅ 100 quantidade de produto teórica
Exemplo: Qual a massa de CaO produzida pela decomposição térmica de 200 g de CaCO3 com rendimento de 80%?
CaCO3 → CaO + CO2 CaCO3
(MCaCo = 100 g mol ; MCaO = 56 g mol) 3
CaO
Estequiométrica
100g
(0,8 · 56)g
Real
200g
yg
0,8 ⋅ 56 ⋅ 200 100 ⇒ y = 89,6 g y=
57
QUI
10
TRANSFORMAÇÕES GASOSAS
VARIÁVEIS DE ESTADO DE UM GÁS Gás: fluido elástico, impossível de ser liquefeito só por um aumento de pressão ou só por uma diminuição de temperatura. Volume Molar
Volume • Gases são trabalhados, geralmente, em sistemas fechados • Independentemente da quantidade de partículas, o gás ocupará por completo o volume do frasco que o contém
GÁS A GÁS B
• Volume ocupado por um mol de determinada substância. Na CNTP* o volume molar de um gás é 22,4L.
A mesma quantidade de gás em frascos diferentes ocupará volumes diferentes.
1 mol de He=22,4L
volume volume 2V V
Pressão
He
CO2
1 mol de CO2=22,4L
Temperatura
“Gases executam movimentos caóticos, ocasionando colisões de suas partículas com as paredes do recipiente. O somatório da força do choque, de cada partícula, por unidade de área atingida é a pressão exercida pelo gás” Medida em Pascal (Pa, N m2 ) ou em atmosferas atm) ou em milímetros de mercúrio (mmHg)
“Medida do grau de agitação das partículas do gás” • Diretamente proporcional a energia cinética das partículas do gás • Medida na escala Kelvin (K)
0°C = 273,15K
1atm= 760mmHg=101325Pa =1,013bar
*CNTP (condições normais de temperatura e pressão) 273,15 K (0 °C) / 1 atm(101 325 Pa) / Vmolar = 22, 4L
CPTP (condições padrão de temperatura e pressão) 273,15 K (0 °C) / 105 Pa(1 bar) / Vmolar = 22,7L
TRANSFORMAÇÕES GASOSAS Lei de Boyle (temperatura constante)
Lei de Gay-Lussac (volume constante)
pressão
P1 ⋅ V1 =P2 ⋅ V2
P
P2 P1 T1
T2
P1 T1
volume
Lei de Charles (pressão constante)
T2
T (K)
Hipótese de Avogadro
V
V1 V2 = T1 T2
P2
P1 P2 = T1 T2
“Volumes iguais de gases quaisquer à mesma pressão e temperatura contêm o mesmo número de moléculas.”
V2
0ºC 1 atm
V1 T1
T2
22,4L He
22,4L CO2
6,02 ⋅ 1023
moléculas
T (K)
22,4L CH4
6,02 ⋅ 1023
moléculas
6,02 ⋅ 1023
moléculas
GÁS IDEAL Composto de partículas puntiformes • Não a interação intermolecular • Todas as colisões perfeitamente elásticas • Partículas movem-se desordenadamente Gás real se comporta como gás ideal quando sujeito a • Pressão baixa • Alta temperatura
Obedece a lei geral dos gases ideais (consequente das leis citadas à cima)
pV =nRT
Sendo R:
8,31
J mol ⋅ K
ou 0,082
atm ⋅ L mol ⋅ K
ou
62,3
mmHg ⋅ L mol ⋅ K
58
QUI
MISTURAS GASOSAS
11
FRAÇÃO MOLAR, VOLUME E PRESSÃO PARCIAL Volume Parcial
Pressão Parcial
“Volume parcial é o volume que um dos componentes da mistura possuiria se estivesse sozinho e submetido à mesma pressão e temperatura da mistura.”
“Pressão parcial é apressão que um dos componentes da mistura possuiria se estivesse sozinhoe com mesmo volume e temperatura da mistura.”
Ar
He
He
He
Ar Ar
He
He
Ar Ar
Ar
He He
VA =
PA =
Lei de Amagat “A soma dos volumes parciais é igual ao volume total da mistura.”
He He
Pressão da Mistura
nARTmistura Pmistura
He
He
He
Ar
Volume Parcial do He
He
He
Ar
He
Volume da Mistura
Ar Ar
He
He
He
He
He
Pressão Parcial do He
nARTmistura Vmistura
Lei de Dalton “A soma das pressões parciais é igual à pressão total da mistura”
nA
Fração molar de um gás A (XA), componente da mistura: X A = n
=
total
VA P = A Vtotal Ptotal
MASSA MOLAR APARENTE EXEMPLO: Composição percentual do ar atmosférico
Relação entre a soma das massas e o número de mols, totais, dos gases da mistura.
78% de Nitrôgênio
m Map = total ntotal
21% de Oxigênio 1% de Argônio
Então, XN2= 0,78, XO2= 0,21 e XAr= 0,01. Portanto,
Determinada pela média ponderada entre as massas molares de cada componente na mistura
Map = MN ⋅ XN +MO ⋅ X O +MAr ⋅ X Ar
Map = MA ⋅ X A +MB ⋅ XB +...
2
2
2
2
Map = 28 ⋅ 0, 78 +32 ⋅ 0, 21+ 40 ⋅ 0, 01= 28, 96 g/mol
DIFUSÃO E EFUSÃO Difusão é a propriedade de dois ou mais gases misturarem-se espontaneamente homogeneamente, quando colocadas em presença uma das outras.
N2 1 atm
O2 1 atm
N2 0,5 atm O2 0,5 atm
Efusão é a passagem de um gás através de pequenos orifícios, como poros.
N2 0,5 atm O2 0,5 atm
Lei de Graham “A velocidade de difusão e de efusão de um gás é inversamente proporcional à raiz quadrada de sua densidade.”
vA ρ MB = B = vB ρA MA 59
QUI
12
SOLUÇÕES
SOLUBILIDADE Capacidade do solvente de dissolver o soluto, varia dependendo do soluto e do solvente, suas quantidades e a temperatura a que estão submetidos. Solução saturada
Coeficiente de solubilidade
Contém a máxima quantidade de soluto numa dada quantidade de solvente, a uma determinada temperatura.
+
Solução insaturada
=
+ 50g de NaC
Mais soluto dissolvido que o coeficiente de solubilidade
Curvas de solubilidade
Solubilidade de gases (Lei de Henry)
Coeficiente de solubilidade (g do soluto /100g de água)
100g de H2O
25g de NaC
Soluções supersaturadas (instáveis)
Indica o máximo de soluto que uma determinada quantidade de solvente é capaz de dissolver.
Solução saturada
= 100g de H2O
14g de corpo de fundo Quantidade máxima de soluto dissolvido: 50g - 14g = 36g
KNO3
120 100 80 60 40 20
“A solubilidade de um gás em um líquido, a determinada temperatura, é diretamente proporcional à pressão parcial que o gás exerce sobre o líquido.”
K2CrO4 NaC Ce2(SO4)3
20
40
60
80 Temperatura (ºC)
ENTALPIA EM SOLUÇÕES solubilidade (g do soluto /100g de água)
Dissolução Endotérmica • Absorção de energia. • Frasco da reação esfria.
• Liberação de energia. • Frasco da reação esquenta.
∆H > 0
Quanto maior a temperatura maior a solubilidade.
solubilidade (g do soluto /100g de água)
Dissolução Exotérmica
temperatura Dissolução Endotérmica
∆H < 0
Quanto maior a temperatura maior a solubilidade.
temperatura Dissolução Exotérmica
MEDIDAS DE CONCENTRAÇÃO Molaridade Molaridade (M) indica quantos mols de soluto estão presentes num determinado volume de solução expresso em litros.
m=
Concentração comum
n1
C=
Concentração comum (C) indica a massa de um soluto num determinado volume de solução.
V
(mol/L)
Densidade
m1
Densidade ( ρ ) de uma solução é a relação entre a sua massa e o volume ocupado por ela.
V
(g/L)
Sendo m1 a massa de soluto e V o volume da solução.
Sendo n1 o número de mols do soluto e V o volume da solução.
Sendo m a massa da solução e V o seu volume.
ρ=
m V
Unidades mais utilizadas g/cm3 = g/mL g/dm3 = g/L kg/dm3 = kg/L
MISTURA DE SOLUÇÕES Quando misturamos duas soluções alteraremos tanto a quantidade de soluto quanto a quantidade de solvente Com mesmo soluto
Com solutos diferentes (ou diluição de soluções)
m1(A) + m1(B) = m1(final) n1(A) + n1(B) = n1(final)
C(A) ⋅ V(A) + C(B) ⋅ V(B) = C(final) ⋅ V(final)
m(A) ⋅ V(A) +m(B) ⋅ V(B) =m(final) ⋅ V(final)
Os cálculos da concentração e da molaridade final devem ser feitos separadamente para cada soluto Concentração final de A C(A) ⋅ V(A) = C(final) ⋅ V(final)
Com V(A) + V(B) = V(final)
+ NaOH 0,15 mol/L V=200mL
0,15 ⋅ 0, 2 + 0, 2 ⋅ 0,1 0,3 = 0,17mol/L
NaOH x mol/L V=300mL
m(A) ⋅ V(A) = m(final) ⋅ V(final)
Com V(A) + V(B) = V(final)
0,1 = 0, 05mol/L 2 0, 2 mC12H22O11 = 2 = 0,1mol/L
mNaCl =
+
x= NaOH 0,30 mol/L V=100mL
Molaridade final de A
0,1 mol de NaC V=1L
0,2 mol de C12H22O11 V=1L
0,1 mol de NaC e 0,2 mol de C12H22O11 V=2L
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PROPRIEDADES COLIGATIVAS
13 DIAGRAMA DE FASES pressão fase sólida
pcr ppt
fase líquida
ponto triplo Tpt
Curva de fusão: limita as regiões das fases sólida e líquida.
fluído supercrítico ponto crítico
Ponto triplo: ponto comum as três curvas, equilíbrio entre as três fases
Curva de vaporização: limita as regiões das fases líquida e gasosa
fase gasosa
Ponto crítico: Além deste ponto é impossível ocorrer mudança de estado modificando apenas um dos fatores (pressão ou temperatura).
Curva de sublimação: limita as regiões das fases sólida e gasosa
Tcr
temperatura
PRESSÃO MÁXIMA DE VAPOR
êmbolo móvel
êmbolo móvel
êmbolo móvel
Influência da temperatura
fase intermediária
Para um líquido entrar em ebulição, é necessário que a pressão de vapor seja igual à ambiente.
pressão de vapor nível do mar
34,6°C
78,3°C
100°C
líquido em ebulição
Água
fase de equílibrio dinâmico
pressão atmosférica
pv
Álcool Éter
fase inicial
Ponto de Ebulição
O aumento da temperatura acarreta num aumento da pressão de vapor de um líquido. 760mm Hg
A pressão interna na situação de equilíbrio é chamada de pressão máxima de vapor.
*Panela de pressão: temperatura de ebulição da água aumenta
temperatura
PROPRIEDADES COLIGATIVAS Tonometria
Ebuliometria
Criometria
Abaixamento da pressão de vapor de um solvente através da adição de um soluto molecular não volátil.
Aumento na temperatura de ebulição de um solvente através da adição de um soluto não volátil.
Abaixamento na temperatura de congelamento de um solvente através da adição de um soluto molecular não volátil.
Solvente puro
Solução diluída
Solução concentrada
H2O pura PE=100ºC
Criometria Ebuliometria Tonometria
fase líquida fase sólida
Solução aquosa de glicose 2 molar ∆PE=1,04ºC PE=101,04ºC
H2O pura 0ºC
Solução aquosa de glicose 1 molar ∆PF=-1,86ºC PF=-1,86ºC
Solução aquosa de glicose 2 molar ∆PF=-3,72ºC PF=-3,72ºC
Osmometria: Passagem de um solvente por uma membrana semipermeável de um meio hipotônico (menos concentrado) para um meio hipertônico (mais concentrado).
Propriedades coligativas e diagrama de fases pressão (atm)
Solução aquosa de glicose 1 molar ∆PE=0,52ºC PE=100,52ºC
MSP
solução
após um certo tempo
solvente
MSP
solução mais diluída
osmose meio isotônico
fase gasosa temperatura (ºC)
meio hipotônico
solvente
meio hipertônico
Pressão Osmótica ( π ): Pressão para impedir a osmose.
π = m⋅ R ⋅ T m= molaridade
R = constante universal dos gases T = temperatura
concentração relativa de sal movimento das moléculas de água
Compostos iônicos ou que formam íons Quando temos um soluto de natureza iônica, cada mol do composto gera um mol de cada íon (caso seja um eletrólito forte), aumentando o efeito coligativo. Exemplo: 1 mol de NaCl dissolvido em 1 litro de água tem um efeito coligativo duas vezes maior que 1 mol de glicose em um litro de água.
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14
TERMOQUÍMICA
Variação de entalpia
∆H = HProdutos − HRe agentes
Calor trocado a pressão constante:
Fatores que influenciam na variação de entalpia Quantidade de reagentes e produtos
Reações Exotérmicas
Reações Endotérmicas
Temperatura
Liberam energia na forma de calor.
Absorvem energia na forma de calor.
Pressão: mudanças efetivas apenas em
A + B → C + D + Calor
A + B + Calor → C + D
Fase de agregação: energia da fase sólida>
HR
HP
∆H
HP
substancias gasosas e na ordem de 1000 atm
Energia da fase líquida>Energia da fase gasosa
∆H
HR
Variedade alotrópica: forma mais estável menos energética e menos estável mais energética.
HP > HR ⇒ ∆H > 0
HP < HR ⇒ ∆H < 0
Presença de solvente
Variação de entalpia da reação global é a soma das variações de entalpia de cada etapa
Lei de Hess
∆Hglobal = ∆H1 + ∆H2 + ...
EXEMPLO
I
C(graf ) + O2(g) → CO2(g)
∆H = −393kJ/mol
II
2H2(g) + O2(g) → 2H2O( )
∆H = −571kJ/mol
III
CO2(g) + 2H2O( ) → CH4(g) + 2O2(g)
∆H = +889kJ/mol
Global C(graf ) + 2H2(g) → CH4(g) LEMBRE-SE: Invertendo a equação, inverte-se também o sinal do ∆H
∆H = −393 − 571 + 889 = −75kJ/mol LEMBRE-SE: Multiplicando uma equação por um número, multiplica-se também o ∆H
A + B → C ∆Hreação
A +B → C
C → A + B −∆Hreação
2A + 2B → 2C 2 ⋅ ∆Hreação
Energia de Ligação
Entalpia padrão de formação
Calor necessário para romper um mol de ligações.
Calor trocado na reação de formação de 1 mol de determinada substância, a partir de substâncias simples, à temperatura de 25°C ou 298°K, pressão de 1 atm, em fase de agregação comum e na forma alotrópica mais estável.
H2(g) → 2H(g) ∆H = +104 kcal C 2(g) → 2C (g) ∆H = +58 kcal Na formação de ligações, (energia liberada).
∆H < 0
H(g) + C (g)→ HC (g) ∆H = −103 kcal
1 1 H + C → 1HC (g) 2 2(g) 2 2(g)
EXEMPLO
∆H
H2(g)
+
C 2(g)
(H − H)
( C − C )
+104
+58
+162 kcal (absorvido)
+
→
2HC (g)
(
2 H − C
)
2 ⋅ ( −103) -206 kcal (liberado)
∆H = +162 − 206 = −44kcal
o f ,HC
= −22kcal
IMPORTANTE: Entalpia padrão de formação de substâncias simples é zero. Variação de entalpia de uma reação em função das entalpias padrão de formação:
∆Hreação
Calor de Combustão Calor trocado na combustão completa de 1 mol de determinada substância. ∆H < 0 , pois sempre há liberação de energia nas combustões. EXEMPLOS
1CH4(g) + 2O2(g) → 1CO2(g) + 2H2O ∆Hcombustão = −212,8 kcal
1C(graf )+1O2(g) → 1CO2(g) ∆H=-94,1kcal
∆HRe ação = ∆Hof , Produtos − ∆Hof , Re agentes
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15
CINÉTICA QUÍMICA
OCORRÊNCIA E VELOCIDADE DA REAÇÃO Teoria das Colisões
Velocidade Média
Gráfico Cinético
Para que uma reação química ocorra: • Afinidade entre as partículas. • Geometria favorável. • Energia suficiente para vencer a energia de ativação.
Energia (kJ/ mol)
O3
Complexo ativado
NO
Suponha uma reação:
aA + bB → cC + dD
O2
NO2
Velocidade média:
Vm =
∆[A] ∆[B] ∆[C] ∆[D] = = = a ⋅ ∆t b ⋅ ∆t c ⋅ ∆t d ⋅ ∆t
Coordenada de reação ou caminho de reação
FATORES QUE ALTERAM A VELOCIDADE DA REAÇÃO Concentração
Pressão
Temperatura
Quanto maior a concentração, maior a probabilidade de colisões efetivas entre as partículas. Logo maior a velocidade da reação.
Quanto maior a pressão num sistema maior o número de colisões entre as partículas, portanto, maior a velocidade da reação.
Aumento da temperatura representa um aumento na energia cinética das partículas, causando choques mais frequentes e mais violentos, aumentando a velocidade da reação.
P1
V1
P2
V1 2
Superfície de contato
Natureza dos Reagentes
Luz e Eletricidade
Área de um determinado reagente efetivamente exposta aos demais reagentes. Quanto maior a superfície maior a velocidade.
Quanto maior o número de ligações a serem rompidas e quanto mais fortes elas forem, mais lenta é a reação.
Aumentam a efetividade de determinadas reações e, portanto, a velocidade.
VELOCIDADE DE REAÇÃO E ENERGIA DE ATIVAÇÃO Quanto maior a energia de ativação, menor a velocidade de reação.
Catalisador: Substância que aumenta a
velocidade da reação, diminuindo a energia de ativação dos reagentes. • Não sofre alteração na sua massa • Se a reação for reversível, não desloca o equilíbrio.
Inibidor: Substância que diminui a velocidade
A
B
da reação através do aumento da energia de ativação dos reagentes.
Eat
Complexo ativado sem catalisador
Ecat Hr
Diminuição da energia de ativação provocada pelo catalisador Energia de ativação com catalisador
com catalisador
Hp
∆H Produtos Caminho da reação
LEI DE VELOCIDADE Suponha uma reação:
aA + bB → cC + dD
v = k ⋅ [A]α [B]β • α e β determinados experimentalmente. • K constante de velocidade; aumenta com a temperatura • α + β ordem da reação. • Em uma reação elementar α e β são os coeficientes estequiométricos de “A” e “B” respectivamente.
Reações Elementares aA + bB → cC + dD
Ocorrem numa única etapa.
v = k ⋅ [A]a [B]b
Reações Não Elementares • Ocorrem em mais de uma etapa. • Etapa lenta determina a velocidade da reação.
H2 + 2NO → N2O + H2O (lenta)
H2 + N2O → N2 + H2O (rápida) 2H2 + 2NO → N2 + 2H2O (global)
1
v = k ⋅ H2 NO
2
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