INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE ESPECIFICACIONES EN TOPOGRAFÍA by Gonzalo Jimenez-Cleves

INTRODUCCION AL DISEÃ&#x2018;O DE ESPECIFICACIONES EN TOPOGRAFIA

GONZALO JIMENEZ CLEVES JOSE JOAQUIN VILA ORTEGA CARLOS ALBERTO HURTADO BEDOYA

1998

INTRODUCCION AL DISEÑO DE ESPECIFICACIONES EN TOPOGRAFIA

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

ISBN 958-33-0302-X

INTRODUCCION AL DISEÑO DE ESPECIFICACIONES EN TOPOGRAFIA

GONZALO JIMENEZ CLEVES TOPOGRAFO Esp. En Computación para la Docencia Profesor Universidad del Quindio Asistente

JOSE JOAQUIN VILA O. Ing. CARTOGRAFO MSc. Ingeniería Profesor Universidad del Quindio Instructor

CARLOS ALBERTO HURTADO B. TOPOGRAFO Esp. Sistemas de Información Topográfica Profesor Universidad del Quindio Asistente

Armenia 1995

Dedicatoria A MarĂa Alejandra Juan Felipe Rafael Ernesto

AGRADECIMIENTOS

De entre muchas personas que han colaborado en este libro, nos gustaría expresar nuestro especial agradecimiento a las siguientes:

Profesor Edgar Zuluaga J. Profesor Marco A. Aristizabal O. AL programa de Topografía de la Universidad del Quindío

INTRODUCCION

Este Libro proporciona a los profesionales y especialista en el área, un soporte en el diseño de las especificaciones para trabajos topográficos. Es la primera vez que este tema se presenta bajo el enfoque, profundidad y argumentación de los procesos, en nuestro país. La obra, en cuatro capítulos trata el fenómeno del proceso de las mediciones topográficas, desde el punto de vista de la teoría de errores, como una herramienta para diseñar la metodología acorde a los recursos humanos. Técnicos, tecnológicos y económicos; generando los elementos de control e interventora. A fin de que las teorías y planteamientos aquí tratados pueden ser mejor comprendidos, se muestran algunos problemas resueltos, como demostración de la aplicabilidad de estas.

CONTENIDO 1. TEORIA DE ERRORES………………………………………………………………………1 Error Clasificación Según su fuente Naturales Personales Instrumentales Sistemáticos Según su ley de aparición Graves aleatorios Error total Leyes de distribución Distribución Distribución de Gauss o Normal Características de la ley de distribución Normal Equivocación Discrepancia Precisión Exactitud Sensibilidad Error relativo Media aritmética Varianza Error medio cuadrático Relación entre el error y el porcentaje del área bajo la curva de probabilidad Error máximo Error de la serie Error de la media Expresión general del error medio cuadrático de una función Observaciones pesadas Media Ponderada Error de la media ponderada

2. NIVELACION GEOMETRICA…………………………………………………………….37 Conceptos básicos Nivelación Geodésica Astronómica Astronomogravimétrica Geométrica Hidrostática Mecánica Trigonométrica Barométrica Instrumentos Nivel Diferentes clases de nivel (burbuja) Nivel esférico Nivel tubular Teoría del empleo de los niveles Determinación del radio de curvatura Campo visual Aumentos Mira Comprobación Limite de utilización de la mira Fuentes de error Error de observación Error de aumentos Error de lectura Error de la burbuja Error de lectura debido a la resolución del telescopio Error de observación de la mira Error en la mínima división de la mira Error del medio externo Principales fuentes de error en la nivelación geométrica Diseño

POLIGONOMETRIA …………………………………………………………………………71 Definición Ángulos Resolución angular Fuentes de error en la medición de los ángulos horizontales. Tolerancia angular de una poligonal Precisión media Precisión alta Hilo invar Taquimetría Corrección del ángulo vertical Mira Base Precisión de la medición de las distancias Medición electrónica de distancias

GLOSARIO

BIBLIOGRAFIA

CAPITULO I TEORIA DE ERRORES

CAPITULO I Teoría de errores

GENERALIDADES Las mediciones juegan un papel importante en las ciencias fundamentales y en la técnica. El problema de darles precisión, confiabilidad, calidad y efectividad continúan siendo varios de los aspectos mas importantes del procesamiento matemático, a pesar del continuo mejoramiento de los medios y los métodos de las mediciones. Tomando la medición como un sistema cibernetico, es posible en cierto grado, realizar un camino de investigación, el cual es llamado DE SISTEMA. La investigación mas completa de los problemas de sistema, se obtiene como resultado del modelamiento con el empleo de los computadores. A la realización de cualquier proyecto ingenieril, como es sabido, le antecede un estudio y una formulacion del proyecto a ejecutar. Debido a que la medición es un objeto de investigación, entonces, es natural que los problemas del modelamiento del sistema y la proyección del sistema de las mediciones geodésicas, se conviertan en problemas fundamentales. La confiabilidad de la información, obtenida en el proceso de la medición, directamente esta relacionada con el posterior análisis estadístico de los datos observados y el procesamiento matemático finalmente de estos últimos. Durante la solución de problemas científico - técnicos, es necesario tener en cuenta la siguiente secuencia: ANALISIS ESTRUCTURO-FUNCIONAL DE LA MEDICION, ANALISIS ESTADISTICAMENTE CONFIABLE DE LAS OBSERVACIONES, PROCESAMIENTO MATEMATICO DE LOS RESULTADOS. Así, si hablamos de definición, entonces se puede decir que la medición ES EL PROCESO COGNOSITIVO, EN EL CUAL, COMO RESULTADO DEL EXPERIMENTO, SE OBTIENE UNA INFORMACION SOBRE EL VALOR NUMERICO DE LA MAGNITUD MEDIDA. Las mediciones técnicas se realizan con el fin de descartar o ratificar una u otra hipótesis científica. El problema del observador es la búsqueda de la relación del resultado de la medición con los aspectos teóricos, además con la ayuda de las mediciones realizadas resuelve el problema planteado, es decir, los resultados se consideran suficientemente precisos.

En la práctica geodésica y topográfica, las mediciones se realizan, por lo general, para determinar parámetros desconocidos. En este caso la PRECISION DE LOS RESULTADOS DEPENDE DE LA PRECISION PROYECTADA O PLANEADA de estos mismos. Para una comprensión suficientemente técnica de las mediciones, es necesario el análisis de sus múltiples formas reales de interacción mutua. El propio proceso de medir supone, por lo general, los siguientes elementos: OBJETO, SUJETO, EQUIPO, MEDIO EXTERNO, METODO. Con el desarrollo de las ciencias aplicadas, fundamentales (básicas), las tecnológicas y técnicas, ha quedado claro, que se hace necesario no solo, el procesamiento de la información métrica, sino también los procedimientos mas óptimas de manejo del proceso de medición y métodos efectivos de análisis matemático-estadístico de los datos experimentales. La definición común de la geodesia, como una ciencia, contiene el problema del estudio de la figura de la tierra y de su campo gravitacional externo. Dentro de los temas de la geodesia tener en cuenta tres ramificaciones científico-practicas fundamentales: mediciones geodésicas, instrumentación geodésica y el procesamiento matemático de las mediciones geodésicas. De este modo, las mediciones geodésicas y también topográficas, se transforman en el camino para la solución de problemas científicos. Estas combinan la teoría con la practica, dan la posibilidad de obtener relaciones cuantitativas entre los parámetros medidos, determinar el grado de confiabilidad de las magnitudes obtenidas, veracidad de las teorías de partida, hipótesis y suposiciones. En las práctica geodésicas y topográficas tienen lugar algunas formas de mediciones. Para su clasificación por lo general se parte del carácter de la dependencia de la magnitud a medir con respecto al tiempo, con respecto a las condiciones que definen la precisión de las observaciones y los métodos de formulación de los resultados.

1. ERROR Es la diferencia entre el valor observado o calculado y su valor verdadero o teórico.

E = Vm - Vv

(1)

Vm: Valor medido Vv: Valor verdadero E : Error Los objetos de medición con los cuales trata la topografía son: Distancias, Angulos, Areas, Volúmenes, Temperaturas, Características ópticas, Características electrónicas, densidades y masas de minerales En la teoría de las mediciones uno de los postulados es la existencia de un valor verdadero de la magnitud a medir y que sea preferencialmente constante. Pero generalmente en la topografía se desconocen los valores verdaderos (Vv) de las magnitudes. En general los valores que reemplazan el valor verdadero son: variables y casuales. La teoría de las mediciones parte del supuesto de que el objeto a medir posee un modelo en el cual los parámetros del mismo son medibles o cuantificables. Un modelo matemático cuyos parámetros son determinables y cuantificables, además debe ser el mas cercano a la realidad del objeto. Además este modelo representa la relación cualitativa ideal entre las características del objeto, las características cualitativas de este se expresan a través de los parámetros medibles del modelo. El modelo del objeto debe satisfacer la estabilidad de los parámetros en el momento de las mediciones, en otras palabras los parámetros del modelo deben ser constantes en el momento de su determinación. El error que surge como resultado de la incoherencia del modelo objeto de la medición ( modelo inadecuado ) debe ser menor que el error de la medición, de aquí se deduce que la medición con una precisión dada de antemano puede ser realizada solamente cuando la característica medible del objeto se encuentra en concordancia con los parámetros desconocidos del modelo del objeto. Este parámetro será el valor verdadero de la magnitud medida. A las magnitudes variables y casuales se les determinan los parámetros que no son ni casuales ni variables, por ejemplo, la media (valor mas probable). Aumentando el número de observaciones se puede elevar la precisión de la medición hasta cierto limite es decir que el modelo corresponda al fenómeno estudiado. El tratamiento de los errores (compensación) depende mucho del tipo de medición, así pues se plantea las siguientes: A. Mediciones de igual precisión (homogéneas): Son aquellas mediciones en las cuales los resultados se obtienen con la misma confiabilidad, como resultado de unas condiciones iguales u homogéneas; las cuales determinan su precisión; ninguna de las mediciones es

de mejor calidad que las otras. B. Mediciones de diferente precisión ( heterogéneas): Son Aquellas en las que los resultados son de diferente calidad y se volarán con un numero especial llamado peso ( este concepto se tratara mas adelante )

C. Mediciones independientes: Son aquellas en las cuales es característica la ausencia de cualquier relación entre las medidas D. Mediciones dependientes: Son aquellos en las

cuales existe una relación.

Según el esquema de medición suelen ser: A.

Necesarias: Aquellas que directamente determinan una magnitud desconocida.

Ejemplo: Determinar la suma de los ángulos internos de un triángulo, para tal efecto es suficiente conocer dos ángulos. B.

Redundantes : Son aquellas que exceden los necesarios.

Ejemplo: medir todos los ángulos de un triángulo

2. Clasificación. Existen diferentes clasificaciones de errores según la fuente, la ley de distribución, su aparición, etc. Nos referiremos, en particular, a la clasificación según las fuentes y a la ley de aparición.

2.1 Según la fuente: 2.1.1. Naturales: Son provocados por fenómenos naturales, como el viento, la temperatura, la humedad, la refracción, la gravedad y la declinación magnética. 2.1.2. Personales: Nacen de la limitación de los sentidos humanos, de la vista, el tacto y el oído. 2.1.3. Instrumentales: Son ocasionados por cualquier imperfección que haya en la construcción o ajuste de los instrumentos.

2.1.3.1. Sistemáticos: Son aquellos que siguen las leyes matemáticas y físicas, tienen siempre el mismo signo (positivo o negativo) y pueden ser constantes o variables dependiendo de las condiciones.

La influencia de los errores sistemáticos en los resultados de las mediciones deben llevarse al mínimo con el empleo de metodología especiales en el campo, comprobación y ajuste de los instrumentos y también con la introducción de correcciones a los resultados. Con lo anterior se busca transformar el residuo en magnitudes aleatorias para poder emplear las teorías de compensación.

2.2 Según su aparición: 2.2.1. Graves (grandes) : Son los que sobrepasan las tolerancias establecidas, son debidos a distracción, cansancio, etc... Los resultados de las mediciones que contienen errores graves han de ser descubiertos y desechados.

2.2.2. Aleatorios (pequeños) : También llamados errores accidentales o casuales. Son los que permanecen en la medida, obedecen a las leyes de las probabilidades y son ajenos a la voluntad o habilidad del observador. La magnitud y el signo de estos errores es casual, no se pueden calcular, por lo tanto es imposible eliminarlos. Se les conoce por esto como errores compensables porque tienden a anularse entre sí en una serie de medidas. En condiciones ideales, es decir cuando solamente actúan errores aleatorios y cuando se conoce el valor verdadero, teórico. los errores aleatorios se determinan por la formula:

E = Vm - Vmp

(2)

E: Error Vm: Valor medido Vmp: Valor más probable En la practica topográfica, no se dan las condiciones ideales.

Error Total: En consecuencia en el proceso de medición intervienen un sinnúmero de causas que llevan a constantes discrepancias entre cada uno de los resultados y por consiguiente del valor más probable, a este fenómeno de interrelación se le denomina Error Total o General.

Errores

Clasificació n

Fuente

Personales

Ley de aparició n

Naturales

instrumentales

Graves

Aleatorios

Sistematicos ERROR TOTAL fig 1 3. Leyes de distribución . 3.1 Distribución : A la regla que expresa la relación entre los valores posibles de un variable aleatoria y a las respectivas probabilidades de éstos es llamada Ley de Distribución de una variable aleatoria. Esta puede expresarse en tres formas, analítica (Calculada) numérica (tabla) y gráfica. Existen diferentes distribuciones como: Binomial, Poisson, Gauss o normal, etc. 3.2. Distribución de Gauss o Normal Es el conjunto con las siguientes características a las cuales, por lo general se someten los errores aleatorios de las mediciones homogéneas o de igual precisión. 1. los errores positivos y negativos con igual valor absoluto poseen la misma posibilidad de aparición. 2. los errores con valor absoluto más pequeño son más frecuentes que los grandes. La formula analítica de expresar la ley normal de distribución, esta dada por la siguiente expresión: 1 2 2x p(x) = (3) e-(vm-vv ) / 2  x 2 . 

En donde sx es la desviación estándar, e es 2,718 la base de los logaritmos naturales.

fig. 2 Es útil analizar la forma que toma curva de Gauss, de acuerdo con la precisión y la exactitud.

fig. 3

3.2.1. Características de la ley de distribución normal.

Conceptos básicos: EQUIVOCACION: Valor obtenido en una observación o cálculo por una acción errónea. La equivocación es de carácter personal, debido a: criterios deficientes, falta de atención, fatiga y negligencia. La equivocación se elimina repitiendo el proceso. Diferencia entre error y equivocación - Los errores son inevitables, las equivocaciones se pueden evitar poniendo atención en el trabajo. - Los errores se pueden minimizar, mientras que las equivocaciones pueden ser localizadas y se deben eliminar de los resultados finales.

DISCREPANCIA: Diferencia entre dos valores medidos de una misma magnitud o entre un valor establecido y su valor medido. PRECISION : Es el grado de posibilidad de repetición entre varias medidas de la misma cantidad. EXACTITUD : Grado de aproximación de una medida a su valor verdadero. SENSIBILIDAD: Características de un instrumento para medir magnitudes pequeñas definida por el constructor. ERROR RELATIVO : Es la relación del error (E) de cualquier magnitud (L) con respecto a ella misma (E/L) en muchos casos se emplea cuando la magnitud del error depende de las dimensiones de la magnitud a medir. MEDIA ARITMETICA: (valor mas probable) Este es el tipo de promedio más común, el cual a menudo se denomina simplemente promedio o media, siendo este último termino el que se emplea con más frecuencia. La media es un valor tal que la suma de las desviaciones o diferencias entre las observaciones y dicho valor es cero; por lo tanto, equivale a la suma de las observaciones dividida entre el número de ellas. x=

1 n  I=1 xi n

(4)

VARIANZA: Si el conjunto de valores está formado por n observaciones xi, cuya media es m, podemos expresar la desviación respecto a la media, ( xi - m ), de cada observación; a dicha desviación se le conoce también como residuo. La desviación cuadrada medida recibe el nombre de variancia o varianza, y esta dada por:

2=

2 n i=1 ( xi -  ) n

(5)

ERROR MEDIO CUADRATICO : Es el principal criterio de precisión de la magnitud de un valor medido o calculado. En calidad de característica de precisión una sola medición homogénea se toma el Emc. De acuerdo a las desviaciones Vi de los resultados, n mediciones homogéneas con respecto a la media aritmética, es decir con base en los errores más probables; se calcula con la formula de Bessel. EMC   

V

( 6)

N 1

Dependiendo de la cantidad de datos se puede utilizar n o n-1, como denominador de la expresión dentro del radical, cuando la muestra es menor a 30 datos se emplea el denominador n-1 que es insesgado. Es decir cuando se emplea n el calculo se aproxima al valor más probable por debajo y viceversa. El valor del error medio cuadrático del mismo error medio cuadrático depende del número de mediciones n.

 Emc =

Emc 2n

(7)

El valor s caracteriza la esperanza, para juzgar sobre la precisión de las mediciones.

RELACION ENTRE ERROR Y PORCENTAJE DE AREA BAJO LA CURVA DE PROBABILIDAD Existen tablas y sus respectivos nomogramas para calcular la densidad normal para intervalos de t=0 a 4 o se pueden calcular por medio de la siguiente formula, denominada formula de Laplace   t3 t5 t7  (T) = 0.798  t + +..... (8)   6 40 336 Dado el intervalo Vmpx ± t . Emc, llamado intervalo de confiabilidad. Calcular la probabilidad de que la magnitud casual se encuentre en este intervalo dado. Suponiendo que los números que asume t son: 1,2,3, entonces: P:probabilidad Vmpx ± Emcx P ( Vmpx - Emcx < x < Vmpx + Emcx )=F(1)=0.6827

Vmpx ±2 Emcx P ( Vmpx - 2Emcx <x<Vmpx+2Emcx)=F(2)=0.9545 Vmpx ±3 Emcx P ( Vmpx -3Emcx<x<Vmpx+3Emcx)=F(3)=0.9973 El nomograma de la función anteriormente mencionada para los valores de 0 a 3 es la siguiente :

fig. 4

ERROR MAXIMO: (TOLERANCIA) Este error nos marca una barrera en las medidas realizadas, que usaremos para desecharlos valores superiores a la misma y considerarlos como groseros. Este error se llama también tolerancia. Suele adoptarse que: E max = T = t . Emc

(9)

Se usa para valorar la precisión de las mediciones en topografía y geodesia el Emc debido

a que este tiene en cuenta la influencia de errores grandes y a su vez esta relacionado con las tolerancias de las precisiones de las mediciones:

Probabilidad T  3 . Emc

99.73 %

(10)

T  2,5. Emc

99.00 %

(11)

T  2 . Emc

95.00 %

(12)

T  Emc

68.27 %

(13)

Estos valores se emplean cuando la muestra es mayor que 10. Las tolerancias (10) y (11) se emplean en la practica para el control de las mediciones topógrafo-geodesicas, en la investigación de equipos y levantamientos especiales (mapas base). Las otras dos formas se emplean en topografía de minas, durante el procesamiento de la información de prospección, calculo de reservas de material y en el modelamiento de la superficie del yacimiento. Para ciertos trabajos topográficos, el valor de t esta dado por condiciones especiales. z=x±y

(14)

z + z = (x + x) ± (y + y) z + z = (x + x) + (y + y)

Restamos (14) de (15)

z=x+y -z + z = x + x + y + y ----------------------------z = x + y (16) Si x y y han sido medidas, n veces =>

z1 = x1 + y1 z2 = x2 + y2 ... ... ...

(15)

... ... ...

zn = xn + yn Elevamos al cuadrado ambas partes de la expresión.

z12 = ( x1 + y1 )2

(17)

z22 = ( x2 + y2 )2 .... ... ... .... ... ... 2 zn = ( xn + yn )2

Resolvemos el paréntesis.

z12 = x12 + 2 x1 x1 + y12 zn2

... .... .......... .... ... .... .......... .... = xn2 + 2 xn xn + yn2

(18)

sumamos las expresiones y dividimos por n 0

zn2 = xn2 +  2 xn xn + yn2 ----n

-----n

----------------n

de acuerdo a las fórmulas Emc (6) y 1n _  0 n

Tenemos que:

zn2 -------- = Emc2z n

xn2 --------- = Emc2x n

yn2 ------- = Emc2y n

----n

2 xn xn ----------------------  0 n Emc2(z) = Emc2(x) + Emc2(y)

Emc(z) =

Emc2 (x) + Emc2 (y)

(19)

Ejemplo: Calcular el error medio cuadrático del azimut final de una poligonal, si el azimut de partida se considera sin error y cada ángulo de la poligonal ha sido medido con un error medio cuadrático de 30 segundos, además n = 10.

n Az f = Azi + n . 180 - 1 

Entonces

Emc2Az f = Emc2 1 + Emc2  2 +...+ Emc2  n Emc Az f = Emc Emc Az f = 30"

n n

Emc Az f = 94" .86  95" = 1 35"

ERROR DE LA SERIE: A veces se toma una serie de datos catalogados de igual precisión, como los ángulos de una poligonal resultando cada magnitud con su respectivo error. Al error total de la suma de todas las cantidades obtenidas de una serie de esta naturaleza se le llama error de la serie y se designa por Es. Si las mediciones son homogéneas se puede considerar que el error E en cada magnitud es igual, entonces se puede aplicar la siguiente formula.

E suma = E 2a + E b2 + E 2c +    = E n

(20)

ERROR DE LA MEDIA: Se ha establecido que el valor más probable de un grupo de mediciones repetidas es la media aritmética, y que la propia media está sujeta a error y la característica de la precisión es el error medio cuadrático. Sin embargo, en muchos tipos de levantamientos se usa comúnmente el error de la media, puede encontrase por la relación.

Em =

E suma n

De lo cual depende:

Em =

E n E = n n

En donde E es el error especifico de una sola medida, Em un error especifico de la media y n numero de observaciones. Emc (21) Em = n El error de la media se emplea para valorar la calidad del error medio cuadratico.

EXPRESION GENERAL DEL ERROR MEDIO CUADRATICO DE UNA FUNCION las magnitudes medidas en la practica topógrafo- geodésica, independientes y dependientes, frecuentemente son argumentos de funciones desconocidas. Los errores de los argumentos medidos generan errores a las funciones. Para mediciones independientes, la función de en forma general y = f(x1,x2,...,xn) se lleva a una forma lineal, empleando la siguiente descomposición (serie de Taylor):

y + y = f( x1 ,x2 ,...,xn )+ f F  x2 +...+  xn  x2  xn

f +  x1 (22)

x1,x2,...,xn valores aproximados de los argumentos. y parte lineal y = f1x1 + f2x2 + ... + fn\xn

f1 =

f f f ; f2 = ;...; f n =  x1  x2  xn

Si a (22) le restamos (21), entonces tenemos:

f f f  x1 +  x 2 +...+  x1  x2  xn

y =

(23)

y y x1, x2,...xn, Son los errores reales, pero como en las mediciones topógrafo-geodésicas por lo general se miden magnitudes desconocidas, por consiguiente se puede trabajar con el error medio cuadrático, que es el error con base en los resultados de las mediciones, así la expresión 23 toma la forma:  f   f   f  Emc =   Emc2x1 +   Emc2x2 +...+   Emc2xn   x1    x2    xn  2

(24)

La formula 24 es posible, si por analogía con la definición del error estándar de las mediciones, se halla el error estándar de los argumentos de la función, mediante el cuadrado de sus errores (Esperanza matemática). EJEMPLOS: Calcular el área de un predio rectangular y su respectivo error medio cuadrático, si las dimensiones de la figura son: d = 82,00 ± 0,10 m v = 26,00 ± 0,05 m A = d.b = 2131  0,21 Ha De acuerdo a la formula general (24) 2 2  A   A  2 2 Emc p =   Emcd +   Emcb2  d   b  A = b d

A = d b

2 2 Emc2p = ( b . Emcd ) + ( d . Emcb )

Emc p = (26 . 0,10 ) + (82 . 0,05 ) = 4,85 m2

1.3. OBSERVACIONES PESADAS. Pesos, son aquellos factores numéricos que caracterizan la precisión de los resultados de las mediciones heterogéneas (de diferente precisión) y se emplean en el procesamiento conjunto de estas mediciones o de magnitudes de diferente género, el peso se acostumbra asignar como un número positivo inversamente proporcional al cuadrado de su error medio cuadrático.

Pi =

2 Emc2

(25)

Como m es un valor teórico de la magnitud real que se desconoce, entonces el grado de confiabilidad de los resultados de una o varias mediciones heterogéneas, se expresa de la siguiente forma: P=

c Emc2

(26)

C : es un número cualquiera entero constante de unidades igual al Emc, si las magnitudes son del mismo género, en caso contrario no posee unidades. MEDIA PONDERADA: Es la media aritmética de los valores heterogéneos o de diferente precisión de cualquier magnitud, calculados teniendo en cuenta los pesos de éstos resultados. Si x1,x2,x3,...xn, son resultados heterogéneos y p1, p2, p3,..., pn, sus pesos respectivos, entonces la media ponderada se halla por la siguiente formula:

Mp=

 xP x1 P1 + x2 P2 + x3 P3 +...+ xn Pn = P P1 + P2 + P3 +...+ P N

(27)

ERROR DE LA MEDIA PONDERADA :Para valorar la confiabilidad del cálculo de la media ponderada se emplea el criterio de error de la media ponderada y se calcula así: EP =

( Pv 2 ) (  P)(n - 1)

(28)

En función de los pesos determinamos las correcciones:

ec Pi Ci = - 2  j=1 (1 / P j )

(29)

ec : Error de cierre

Los pesos de los ángulos y las distancias se calculan de la siguiente forma: c: Constante ( se escoge de tal manera que P se fácil de operar ) p =

c Emc2

(30)

c Emc2s

Ps =

(31)

Los pesos particularmente para los diferentes métodos para la medición de distancias deben ser: - Distanciometro c = Emc2

Entonces

P = 1 5 Entonces Emc2 = constante Emc2s 6 Debido a que Emcs es constante para los distanciometros. Ps =

- En el método paralítico p =

c Emc2

(32)

Entonces

P = 1 7

Entonces

Ps =

2 Emc2 8 = Emc2s s2

ß : Angulo paraláctico

Psi =

1 Si

(35)

Taquimetría

=

Emcs s c  2

(33)

p 

2 Emc2

Psi 

1 SI

(34)

 35

Debido a que para cada distancia  9 es diferente se recomienda tomar Emcs de todo el perímetro.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1- Se midió una longitud con una cinta de 20 m, obteniéndose los siguientes resultados: 149,85; 149,87; 149,80; 149,91; 149,90; 149,83; 149,92; 149,78; 149,77; 149,82. Determinar el valor mas probable de la longitud medida, error medio cuadratico (Emc), grado de precisión (Gp), máxima desviación, mínima desviación, desviación media. 2- Se peso en una balanza de precisión una muestra de suelo con el siguiente resultado en gramos: 28,09; 28,11; 28,14; 28,21; 28,17; 28,19; 28,18. Determinar: media, Emc, error de la media E(0). 3- Se midió en un laboratorio de física con un calibrador pie de rey el diámetro de una esfera obteniéndose los siguientes resultados en centímetros: 2,15; 2,13; 2,14; 2,17; 2,18; 2,18; 2,14; 2,17. Determinar: media, Emc, E(0). 4- Se midió un ángulo con cinta utilizando el método del seno, (brazo 5 m) y se obtuvieron los siguientes resultados de la cuerda (m): 4,70; 4,72; 4,71; 4,68. Determinar el valor del ángulo utilizando el valor promedio de la cuerda, Emc, E(0). 5- Con los datos del problema anterior determine los valores del ángulo para cada una de las cuerdas, su valor promedio y Emc del ángulo. 6- Se mide una distancia entre los puntos A y B con los siguientes resultados: 198,17; 198,37; 198,12; 197,42; 198,90; 198,02; 198,50; 197,98. Calcule: valor mas probable, valor máximo, valor mínimo, dispersión, desviación máxima y mínima, desviación media, Emc, error probable, error de 90% y Gp. 7- Se miden 3 ángulos de un triángulo con los siguientes resultados: A: 39° 17' 12" 13" 14"

B: 50° 33' 17" 18" 16" 15"

C: 90° 09' 32" 31" 30" 29" 33"

Calcule valor promedio de cada ángulo e indique cual es el mejor. 8- Un lote de forma rectangular dos veces mas largo que ancho. En el levantamiento se encontró que tiene un área de 8.620 m2, precisión de 1/3.000. Calcule el error en el área. 9- Se miden independientemente tres distancias adyacentes a lo largo de una línea, y se obtuvieron los siguientes datos: x(1) = 73,25; e(1) = ±0,05; x(2) = 85,17; e(2) = ±0,03; x(3) = 37,16; e(3) = ±0,02; Determinar la distancia total y su error.

10- Se determina una distancia de 526,11 m con una cinta de 50 m. Se calculo por ensayos que el error accidental por cintada es de ± 0,025 m. Determine el error en la longitud medida y su Gp.

11- Una cinta de 20 m que al patronarla resulto tener 20,04 m se utiliza para medir una distancia de 325,08. Determinar el error por cintada y el error total en la longitud medida (con signo). 12- Se midió un tramo de 38,17 m con pendiente 3%, luego 27,11 m con desnivel 1,07 m, 20,17 m con un ángulo de 3° 20' y 17,21 m horizontales. Determinar el error total y la longitud total corregida. 13- Se midió la distancia entre dos puntos con una cinta de 30 m que patrona resulto 0,02 m mas larga. Si la distancia tomada con esta cinta fue de 317,10 m, determine error total, Gp, valor corregido de la distancia. 14- Se Debe colocar un mojón a una distancia de 150,00 m de otro empleando para esto una cinta cuya longitud verdadera es de 20,03 m. Determinar la longitud a medir en el terreno utilizando esta cinta. 15- Un ángulo AOB es medido varias veces por diferentes observadores: Observadores 1 2 3 4

Angulo Observaciones 62° 27' 38" 5 62° 27' 41" 3 62° 27' 26" 2 62° 27' 39" 1

Determinar : la media y su error. 16- Una distancia L se divide en tres tramos L1, L2 y L3. Cada tramo se mide 2 veces en las mismas condiciones empleando una cinta de acero de 50m longitud nominal. L1 417,35 417,32

L2 358,08 358,11

L3 199,82 199,73

Calcular la longitud L con su error medio cuadrático. 17- Los tres ángulos de un triángulo se midieron con los siguientes resultados: A: 43° 10' 09' 08' 12'

B: 71° 23' 25' 19' 16'

C: 65° 22' 24' 27' 29'

Determinar : Valor mas probable de cada ángulo, Emc, el ángulo mas preciso; ajustar el triángulo. 18- Se midieron los ángulos de un cuadrilátero: A: 99° 57'

B: 75° 02'

C: 105° 30'

D: 49° 28'

58'

01' 05' 74° 58'

31' 36' 30'

27' 26' 24'

Calcular: valor mas probable de cada ángulo, error de la media, Emc; ajustar el cuadrilátero.

19- Estacionado en un punto G, se visan los vértices P5, P6, P7 y se miden los ángulos. P5 G P6 033° 14' 28" 25" 24" 26" 27"

P6 G P7 011° 12' 15" 14" 18" 16" 13"

P5 G P7 044° 26' 44" 45" 46" 46" 44"

Calcular los pesos y realizar el ajuste de los ángulos.

20- Un ángulo se mide por dos observadores diferentes : A: 18° 07' 10' 06' 04'

B: 18° 08' 07' 11' 09'

Calcular: valor mas probable para cada observador y su error, el valor mas probable del ángulo y su error.

21- Se midió un ángulo en dos días diferentes, con los resultados siguientes: Observador 1 2

Angulo Observaciones 27° 40' 15" 7 19' 3

Calcular el valor del ángulo y su error. 22- Un ángulo es medido con un teodolito óptico en dos días diferentes; entregaron los siguientes resultados calculados: A: B: Media: 42° 16' 25.2" Media: 42° 16' 20.4" e: ±3.2" e: ±1.6" Determinar el valor mas probable del ángulo y su error.

23- Entre dos puntos BM - 14 y BM - 15 se siguen 4 itinerarios diferentes. Calcular el valor mas probable de la elevación del BM - 15 a partir de los siguientes datos: L(1) = 5,30 Km, elev(1)= 3,723; L(2) = 7,88 Km, elev(2)= 3,714; L(3) = 6,28 Km, elev(3)= 3,719; L(4) = 4,36 Km, elev(4) =3,721; elev BM - 14 = 125,04 m. 24- Un ángulo AOD, esta formado por tres ángulos AOB, BOC y COD. los cuatro ángulos se miden independientemente con estos resultados: AOD: 174° 34' 45" e = ± 3" AOB: 13° 25' 04" e = ± 4" BOC: 83° 42' 46" e = ± 1" COD: 77° 27' 02" e = ± 4" Encontrar los valores ajustados de los ángulos. 25- Los tres ángulos de un triángulo se han medido con valores y errores probables como aparece a continuación: 24° 22' 20", e = ± 10"; 126° 43' 50", e = ± 20"; 28° 54' 30", e = ± 30". Encontrar los valores ajustados de los ángulos 26- El ángulo LMN es medido por un observador por repeticiones y reiteraciones según el registro a continuación. Est M

O L N N L

O L L N N L

T R D 0 D 1 D 5 I 10

T D I D I

Lectura 256° 43' 14.2" 282° 19' 00.0" 024° 47' 01.8" 256° 43' 13.2"

° ' " 000 03 55 56 180 03 56 56 025 40 40 41 205 40 41 40

L N N

I D I D

225 19 59 00 045 20 01 00 250 56 45 44 070 56 43 44

L L N N

D I D I

090 40 16 15 270 40 15 14 116 16 59 00 296 17 00 01

L L N

I D I

315 53 25 26 135 53 25 24 341 30 11 12

161

12 12

Calcular el valor mas probable sus pesos y la media ponderada del ángulo

27- Se midió un lote rectangular con los siguientes valores : A = 100 m B = 75 m

Gp = 1 / 300 Gp = 1 / 250

Determinar el error en el área.

28- Las especificaciones para medir los ángulos de una poligonal de 23 lados limitan el error angular (tolerancia) a 53”. ¿ con que exactitud deberá medirse cada ángulo.

29- Se midió una distancia (AC) por dos observadores usando dos distanciometros de características diferentes. Encontrar la longitud ajustada de la distancia. Observador A

( 5 mm + 4 ppm )

AB = 2345 m BC = 1740 m

Observador B

( 3 mm + 2 ppm )

AB = 2140 m BC = 1944,96 m

30 - El ángulo a esta formado por los ángulos independientes ,  y , calcular los valores de los ángulos ajustados  = 88° 52' 40"  = 26° 34' 40"  = 62° 18' 10"

W 6 2 1

31- Una distancia L se divide en tres tramos L1, L2 y L3. Cada uno se mide 3 veces en las mismas condiciones empleando una cinta de acero de 50m de longitud nominal. L1

123.34 123.37 123.36

234.56 234.58 234.60

145.67 145.70 145.71

Calcular la longitud L con su error medio cuadratico.

32- Entre dos puntos BM N y BM S (distancia aprox = 134.45) se siguen 4 itinerarios diferentes. Calcular el valor mas probable de la elevación del BM S a partir de los siguientes datos. cota de BM A : 2456.234 Itinerario 1 2 3 4

EMC ± 5 mm ± 4 mm ± 6 mm ± 3 mm

Desnivel + 12.457 + 12.456 + 12.462 + 12.455

33- Explique la relación ángulo distancia. 34- Se va medir con una cinta de 20 m una distancia de 300m con error no mayor de ± 0.05 m, y se desea determinar con qué exactitud debe medirse cada longitud de 20 m para asegurarse de que el error no exceda del límite permitido.

CAPITULO II NIVELACION GEOMETRICA

CAPITULO II Nivelación Geométrica

2.1. CONCEPTOS BASICOS

NIVELACION: Es la determinación de las alturas de los puntos de la superficie terrestre con respecto a un punto escogido o la superficie del mar. Existen las siguientes nivelaciones:

NIVELACION GEODESICA: Se emplea para determinar la diferencia de alturas de puntos de la superficie terrestre por los siguientes métodos geométrico, trigonométrico, barométrico, mecánico, hidrostático y aéreo (aeronivelacion).

NIVELACION ASTRONOMICA: Tiene como objetivo determinar con base en la desviación de las líneas de la plomada las alturas del geoide.

ASTRONOMOGRAVIMETRICA: Tiene por objetivo determinar las alturas de los puntos de la superficie terrestre del cuasigeoide sobre el elipsoide de referencia con base en la desviación de las líneas de la plomada y las anomalías de la fuerza de gravedad en el aire libre y en un espacio limitado por lo general a los largo de los itinerarios de nivelación. NIVELACION GEOMETRICA: Es el método para determinar la diferencia de alturas de los puntos por medio de un rayo visual horizontal obtenido por la ayuda de un instrumento llamado nivel. Este es el método de nivelación que estudiaremos.

NIVELACION HIDROSTATICA: Es el método para determinar las diferencias de alturas de los puntos basado en el empleo de las características de los líquidos colocados en recipientes que se comunican unos a otros.

NIVELACION MECANICA: Llamada también automática, es el método para determinar la diferencia de altura de los puntos del lugar promedio de perfilografos, colocados en un automóviles; estos equipos pueden dibujar automáticamente el perfil o solamente las alturas de los puntos. La forma de trabajo de los perfilografos se basa en los centros mecánicas o en el empleo de superficies horizontales de liquido. Esta nivelación se emplea en casos

usando el terreno permite emplear gran velocidad de nivelación permitiendo obtener una precisión de algunos centímetros por kilometro.

NIVELACION TRIGONOMETRICA: Es el método para determinar la diferencia de altura de la superficie terrestre con base en la medida de un ángulo de inclinación de una visual desde un punto a otro conociendo la distancia entre ellos ya sea medida o calculada si esta nivelación sobre puntos de una red planimetrica. NIVELACION BAROMETRICA: Es la determinación de las diferencias de alturas de los puntos por medio de las mediciones de las presiones atmosféricas en estos puntos con la ayuda de barómetros especiales o también llamados baroniveles. ┌------------┐ │NIVELACION │ └------┬-----┘ ┌----┴----┐ ┌--------------------┤ CLASES ├-------------------┐ │ └----┬----┘ │ │ │ │ ┌----------┴----------┐ ┌------┴------┐ ┌----------┴-----------┐ │TOPOGRAFICO-GEODESICA│ │ ASTRONOMICA │ │ASTRONOMOGRAVIMETRICA │ └----------┬----------┘ └------┬------┘ └----------┬-----------┘ │ ┌-----┴-----┐ │ └-------------------┤ METODOS ├------------------┘ └-----┬-----┘ ┌------------┬----------------┼---------------┬-----------┐ ┌------┴----┐ ┌-----┴------┐ ┌-------┴-------┐ ┌-----┴-----┐ ┌---┴----┐ │ GEOMETRICA│ │HIDROSTATICO│ │TRIGONOMETRICO │ │BAROMETRICO│ │MECANICO│ └-----------┘ └------------┘ └---------------┘ └-----------┘ └--------┘

Fig. 5 2.2. INSTRUMENTOS 2.2.1. NIVEL Equipo topo-geodesicos empleados para la determinación de la diferencia de altura entre dos puntos ( Desnivel ) con la ayuda de una visual horizontal y el empleo de miras en estos dos puntos. Existen varios criterios para la clasificación de niveles entre ellos se destacan: A. Con compensador y sin compensador ( clasificación que es motivo de estudio este capitulo) B. De acuerdo a la precisión

C. De acuerdo a las características ópticas, mecánicos y opticomecanicas de los compensadores.

Fig. 6 2.2.1.1. DIFERENTES CLASES DE NIVEL (BURBUJA)

BURBUJA: Instrumento topógrafo-geodesico que sirve para reconocer que un planos es horizontal o no; Consiste este en una ampolla de vidrio o plástico en forma de tubo curvado (en arco de círculo), en el cual se encuentra un liquido muy móvil ( éter sulfúrico o con alcohol ), y contenida en una armadura metálica protectora a la que se sujeta con yeso. La parte no ocupada por el líquido es una burbuja de aire, que siempre tiende a ocupar la parte más alta del tubo; este está generalmente graduada en una y otra dirección a partir de su punto medio. De este modo, observando la posición de los extremos de la burbuja se puede calar esta; es decir, es posible conseguir que su centro coincida con el punto medio del tubo. La armadura del nivel va fijada al instrumento por medio de tornillos, que permiten su corrección.

NIVEL ESFERICO: Es de base circular, siendo su superficie superior en forma esférica. También denominado nivel ojo de pollo, universal y ojo de buey. Es aquel que se emplea para nivelar la base de los equipos

NIVEL TUBULAR: Es de forma cilíndrica, Es el que se encarga de colocar el sistema óptica en posición horizontal.

Fig. 7 Cuando mayor sea el radio de curvatura del tubo, mayor será la sensibilidad de la burbuja, puesto que el desplazamiento de la burbuja por una inclinación del eje vertical será más grande. Sin embargo, con una curvatura pequeña, el tiempo que se emplea para equilibrar

la burbuja es excesivo.

2.2.1.2. TEORIA DEL EMPLEO DE LOS NIVELES Considerando plano el segmento del circulo medio de un nivel MAN, el centro de la burbuja esta en A, el radio AO es vertical y tangente en A. TAT es horizontal. Inclinando el nivel en su plano medio de un ángulo a la burbuja en B, punto situado en la vertical de O. Ella esta pues desplazada en una longitud AB = L = aR.

Fig. 8 Se puede concluir que:

1. Para un nivel de rayo de curvatura donde, el desplazamiento lineal L es proporcional al desplazamiento angular a, en particular para una rotación 2a la burbuja se desplaza 2L. Nosotros utilizaremos en adelante esta propiedad para el ajuste de los niveles. 2. Para un mismo desplazamiento angular a, el desplazamiento lineal es proporcional al radio de curvatura; pues a mas grande el rayo de curvatura, permite colocar mas fácilmente en evidencia un pequeño desplazamiento angular. El radio de curvatura caracteriza así la precisión de el nivel. Mas generalmente estos son dados por la variación angular fácilmente descubiertos. Es decir estos corresponden a un desplazamiento lineal de 1 división. Se llama sensibilidad de el nivel al ángulo para el cual el desplazamiento de la burbuja en 2mm sea:

Radianes

2 r = ---------R mm

2 . 206265

Segundos sexagesimales

Segundos centesimal

cc

"= ----------------R mm

2 . 600000 = ----------------R mm

Ejemplo: Para un radio de 30 metros calcular la sensibilidad del nivel

2 . 206265 " = ---------------30000 " = 13.75  14"

Con la distancia del instrumento a la mira (d) y la sensibilidad del nivel " podemos obtener la diferencia (s) entre la lectura correcta y la obtenida con un error del desplazamiento de la burbuja. Y corregir las lecturas sobre la mira.

d mm . 2 . " s = ---------------206265

Ejemplo: Durante una nivelación se observó que la burbuja había estado desplazada dos divisiones del centro del tubo, en una visual de 100 m. Si el valor angular de una división es de 20", encontrar el error de la lectura sobre la mira y el radio de curvatura del tubo siendo las divisiones de 2mm.

100000 . 4 . 20 s = ----------------- = 38,78  39 mm 206265

2 . 206265 R = ---------------- = 20626,5 mm  20,63 m 20"

2.2.1.3. DETERMINACION DEL RADIO DE CURVATURA

La precisión de el nivel esta en función del radio curvatura, y es necesario ocuparse de la determinación del radio para conocer la precisión de las medidas efectuadas y eventualmente el limite de empleo del instrumento. Este se puede determinar en:

1. Laboratorio (Fabrica). 2. Sobre el terreno, se puede determinar experimentalmente el radio de curvatura:

Fig. 9 Se ubica el aparato en A, la burbuja entre las señales, se visa M sobre una mira situada a un distancia OM=D. El desface de la burbuja del nivel de una longitud AB corresponde a una inclinación a. La óptica que corresponde de el nivel a este plano de inclinación es a. La lectura sobre la mira esta entonces en M'. En MM' = D tan a y AB = a R.

MM' AB a = ------ = -----D R

Ejemplo: En una mira situada a 60m, El desplazamiento de la burbuja es de 4 divisiones = 8mm y la variación sobre la mira es de 20mm. Calcular el radio:

8 . 60000 R = --------------- = 24000 mm = 24 m 20

2.2.1.4 CAMPO VISUAL El campo visual de un anteojo es la sección de espació que se ve en el mismo cuando está fijo. l : Diferencia de hilos 10 : Campo visual 11 : 206225 D : Distancia horizontal

 =

38.2 A

 =

l . " D

( 39)

El diámetro del campo óptico generalmente esta indicado en metros por Km. En la figura se muestra diferentes tránsitos con variados campos visuales.

Fig 101 2.2.1.5. AUMENTOS 1

Tomado del teodolito y su empleo de O. Trutmann

El aumento de un anteojo es la relación que existe entre la imagen de un objetivo a simple vista y la imagen del mismo visto a través del anteojo. Esta relación puede expresarse a través de las distancias focales del objetivo y del ocular así:

A 

f ob f oc

( 40)

La relación de estas cantidades dará el poder de amplificador se expresa en diámetros o multiplicación X.

2.2.2. MIRA Es una regla vertical u horizontal, graduada con un patrón de medida de alta precisión. que se emplea en la nivelación, la mira es una de las herramientas de trabajo por eso a ella al igual que al nivel le corresponden altas exigencias técnicas. Puede ser:

plegable telescópica deslizante acoplable

Regularmente de 4 m de longitud, pintada en franjas alternas negra y roja de 1m; divididas en decímetros y éstos en centímetros; con numeración que permite leer el centímetro y por apreciación, el milímetro (también puede venir graduada en pies).

Fig. 11 Las miras de precisión, normalmente vienen en longitudes de 3, 1.75 y 1 m, el marco de la mira se componen de aluminio, la cinta invar posee un coeficiente de dilatación de 1 . 10 -6

K-1 está incorporada de manera protegida en el marco de la mira, donde queda sujeta con el dispositivo tensor de resorte, con el fin de compensar la transmisión de variaciones de la longitud del marco de la mira a la cinta invar . Bajo todas las influencias climáticas esta mira es insensible a efectos de la humedad. La precisión de la división de la escala de nivelación de estas es para algunas de  0.02 mm.

2.2.2.1. COMPROBACION A. Determinar la curvatura de la mira, la flecha (pandeo) no debe exceder los tres milímetros para las miras de invar y para las mira normales de tres a diez milímetros. B. Determinación de la longitud de un metro en la mira, solamente se realiza con ayuda de un comparador realizado por el fabricante. Con un error Emc = 10 mkm a 15 mkm. C. Comprobación de la correcta posición de las divisiones decimetricas, también se realiza con la ayuda de un comparador especial, los errores no deben exceder los siguientes valores 0.1, 0.2, 0.5, 1.0 mm; correspondientes a las cuatro clasificaciones de nivelación. D. Comprobación de colocación de la burbuja en la mira, se realiza de igual manera que en los niveles. E. Determinación de la diferencia de alturas de las E.

2.2.2.2. LIMITE DE UTILIZACION DE LA MIRA

En función de los aumentos (A) y de la lectura de la mira al milímetro podemos determinar las siguientes fórmulas que calculan las distancias (D) a las cuales se deben realizar las lecturas respectivas. Formula General : D < 6.A

(41)

Si deseo que el error máximo no revase 1mm el limite de la distancia es:

6.A D < -------2.5

sea acerca de : D < 2.5 A

(42)

En nivelación utilizaremos:

D < 6000 . A . 0.0005 m

(43)

Para taquimetría y lectura al cm D < A . 12

(44)

ó D < A . 13

(45)

Esto depende de la características ópticas del instrumento.

2.3. FUENTES DE ERROR

2.3.1. ERROR DE OBSERVACION : Este es el error que depende de: aumento del telescopio, del error de lectura en la mira y el error de redondeo de ese valor, del error de coincidencia de la parábola para las burbujas de contacto ( en los niveles con compensador del error del sistema automático ), y de la distancia de la visual.

2.3.2. ERROR DE AUMENTOS Es el error causado entre la relación la luz incidente a través del ojo humano y los aumentos del instrumento. Ea =

60" A

( 46)

NOTA: 60" es el mínimo ángulo bajo el cual se pude distinguir sin el empleo de sistemas ópticas 2 puntos en el espacio y es llamado ángulo critico de observación o poder de resolución.

Algunos autores consideran las siguientes tablas para algunos trabajos específicos. Ordinaria

100"/A

60"/A

Media

60"/A

30"/A

Coincidencia

30"/A

10"/A

Tabla 1

2.3.3. ERROR DE LECTURA Es el error compuesto por el error en la toma del dato y el error del patrón del cual se toma el mismo. t : mínima división del patrón de medida. EL =

t 2

( 47)

2.3.4. ERROR DE LA BURBUJA Es aquel error causado por la imprecisión de la burbuja de aire al colocarlo en su centro, además debido a la poca sensibilidad de la misma Eu : Error de la burbuja. t : Mínima división de la burbuja. En ciertos catálogos viene expresado en grados minutos y segundos, o en milímetros.

E u = 0.1 . 

( 48)

EBu : Error de colocación de la burbuja. D : Distancia horizontal.

E Bu =

Eu . D 

( 49)

2.3.5. ERROR DE LECTURA DEBIDO A LA RESOLUCION DEL TELESCOPIO Es la capacidad de distinguir dos objetos a determinada distancia. Er : Error de lectura debido a la resolución del telescopio. Er =

60" .D A.

(50 )

2.3.6. ERROR DE OBSERVACION DE LA MIRA Es el error de la toma de la lectura a una distancia dada y que depende de la mínima división del patrón graduado y el poder de resolución de instrumento t : Mínima división de la mira D   + 0.040 . t  E OM =  0.156 .   A

( 51)

2.3.7. ERROR EN LA MINIMA DIVISION DE LA MIRA

Es la mitad del error garantizado por el fabricante en la colocación de la mínima división de la escala graduada. max  12 EM = 1 mm { Dadas por la fabrica para miras al cm } Ed =

max  M = 0.5 mm 2

2.3.8. ERRORES DEL MEDIO EXTERNO Son los errores inherentes a las condiciones ambientales donde se realizan la medición. Se considera que esta valor no excede el 15% del error total para nivelaciones de precisión media, el estudio de estos errores se trata en libros de mas específicos por sus características especiales. Además porque la finalidad de esta obra es el empleo de los errores en el diseño de la metodología y las especificaciones, mas no la explicación de estos.

2.3.9. PRINCIPALES FUENTES DE ERROR EN LA NIVELACION GEOMETRICA En la nivelación geométrica la principal influencia en la precisión es debida a los errores del equipo, del operador y a los errores del medio externo. Como es sabido en la nivelación geométrica el desnivel h es igual a la diferencia entre los valores de las lecturas de las miras atrás y adelante: h = a - b (53) Si Ea y Eb son los errores medios cuadraticos en las observaciones totales a las miras entonces el error del desnivel será: E h = E 2a + E 2b (54)

Pero partiendo de que las mediciones son homogéneas entonces Ea = Eb = E, por consiguiente: Eh = EOT . 2 (54)

Partiendo del supuesto de que las mediciones se comportan bajo el criterio de igual valor de certeza ( homogéneas ), entonces podemos afirmar que el error total en la observación es igual a: (Aquí podemos ver la aplicación del error de la suma)

E OT =

E 2BU + E 2OM + E 2r + E 2d

(56)

Con base en esto podemos diseñar las especificaciones de la metodología a emplear y clasificarla según su orden. n : Numero de armadas.

E Km = Eh

(57)

Resumiendo para el diseño de una especificación, o en otras palabras para hallar el error de cierre en una nivelación se debe tener en cuenta lo siguiente: - Desde el punto de vista estadístico se trabajara con un coeficiente igual a tres (3), cuya esperanza matemática equivale 0.99996 que garantiza una alta precisión con un mínimo de datos.

ECmax = Tolerancia = 3 . E Km .

L km

(58)

2.4. DISEÑO Es bien conocida la frase " El mejor topógrafo no es aquel que realiza las mediciones mas precisas, sino el que es capaz de seleccionar y aplicar el grado apropiado de precisión que se requiere para el propósito"2. En nuestro país hasta ahora las especificaciones de topografía y geodesia son tomadas de las empleadas en otros países de muy diferente topografía y estado del desarrollo de esta ciencias. Otro tipo de especificaciones provienen de criterios personales sin ningún fundamento técnico. Pero en realidad existe las metodologias y criterios irrefutables del porque de las exigencias y tolerancias de los trabajos, fuera del deseo personal. En los temas tratados partimos del punto de referencia de los resultados de las mediciones con respecto a un valor probable lo cual nos con lleva a hablar de normas y especificaciones basadas en la precisión y fundamentalmente bajo las leyes de la estadística matemática y probabilistica. Para la nivelación geométrica se ha descrito los principales fuentes de error para obtener una precisión media que es la utilizada en los trabajos de topografía convencional. Algunos de estos elementos se emplean para el diseño de especificaciones en otros procedimientos topográficos. El fundamento del algoritmo de procedimiento es establecer la función del proceso que se esta realizando Ej: h = a - b Luego enunciar la ley estadística o condiciones bajo las cuales se considera esta sujeto a proceso de medición, es decir bajo que modelo se comporta el proceso de obtención del dato ( homogéneo o heterogéneo ). Definimos los errores que están comprometidos en todo el proceso de obtención del dato o resultado. Finalmente se calcula un error total que es la suma de todos los errores particulares para establecer el mínimo rango dentro del cual los procesos deben arrojar los resultados para poder determinar así el grado de precisión planeado y el obtenido. Pudiendo concluir así el tipo de metodología y equipo a emplear aminorando así el empleo de recursos humanos y técnicos.

Ejemplo: Dado el siguiente nivel de precisión diseñar las especificaciones para realizar una nivelación de 10 Km, y a que orden pertenece. 2

Fundamentos de Topografía. Schimdt y Rayner

GK0 Aumentos: 18x Apertura del objetivo: 24mm Mínima división de la burbuja = 45" Error medio para 1Km de nivelación doble ± 5 mm Mira : cm Errores por medio externo e incorrecciones de la mira = 2,5 mm

1) Distancia máxima dmax = 2,5 . 18 = 45 m

2) Error de la burbuja 0.1 t d

E Bu =



= 0.98 mm

Error de observación de la mira

E om =

0.156 d + 0.04 . t = 0.79 mm 18

4) Error de resolución del telescopio 60" . d = 0.73 mm  .A

Er =

5) Error en la mínima división de la mira Ed = 0,5 mm

6) Error de observación total

E OT =

1.98 = 1.41 mm

Eh = Eot 2 = 1,99 = 2 mm

7) Numero de estaciones del nivel n = 11,1 = 12

8) Error por kilometro EKm = 6,93 = 7 mm

9) Tolerancia T = 2,5 . 7 T = 17,5 m

10) Tolerancia general ( 2,5 mm medio externo ): TG = 17,5 + 2,5 mm

TG = 20 mm

11) Error de cierre Ec = T G .

L km

Ec = 63 mm = 6,3 cm

A continuación vemos una tabla en la cual aparece una serie de niveles con sus características y el diseño de especificaciones de una nivelación geométrica para dos kilómetros. De lo que se puede concluir: - Que antes que el error instrumental tiene mayor importancia los aumentos del equipo debido a que la mayor influencia de los errores depende de la resolución. - No se puede considerar una clasificación especifica solamente de acuerdo al error instrumental.

-Es fundamental dentro de la planeaciĂłn del trabajo considerar la configuraciĂłn del terreno ya que esto limita las visuales y sobrarĂa un equipo de grandes aumentos.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1- Para un radio de 35 m, calcular el valor de la sensibilidad del nivel, en radianes, segundos sexagesimales y centesimales. 2- Una mira situada a 40 m, si el desplazamiento de la burbuja es de una división y la variación de la lectura sobre la mira es de 15 mm. Cual es el radio de curvatura de la burbuja ?. 3- Determinar el campo visual de un aparato de 30x a una distancia de 100m. 4- Elaborar una tabla que clasifique los niveles que conozca en función de sus aumentos. 5- Determinar la distancia máxima a la cual se deban realizar las observaciones de un levantamiento taquimetrico, que se realizara con la ayuda de un teodolito de 25x. 6- Establecer cual es el error de aumentos, para los siguientes niveles, con estos aumentos: 18x, 21x, 25x. 7- Cual es el error de la burbuja de un instrumento cuya sensibilidad es de 50" ?. 8- Calcular el error de resolución para una distancia de 200, para un telescopio de 25x 9- Determinar el error de observación de la mira a 300 m con un instrumento de 30 x, cuya mínima división de la mira es de un cm. 10- Seleccione los instrumento de nivelación que permitan obtener un error de cierre menor o igual a seis centímetros, para un itinerario cuyo perímetro es igual a 5427 m.

CAPITULO III DISTANCIAS

3.1. HILO INVAR Hasta mediados de los años 50 cuando aparece los distanciometros electrónicos la medición de las líneas en poligonometria se realizaban con la ayuda de estos equipos. En la actualidad estos equipos se emplean para la medición de bases y comparadores de campo, para hallar los patrones de control de los distanciometros electrónicos, puesto que dependiendo de las condiciones se puede lograr precisiones de 1/30000 a 1/100000. El origen de la palabra invar es del griego invar que significa inamovible o indeformable. El poco uso de este instrumento en el país mas que a una consideración obsoleta del equipo es debido a que con el transcurso del tiempo, el hilo invar se deforma y el único para introducirles correcciones con el patrón métrico internacional (longitud de onda del átomo de kriptón 86) que es llevado acabo por entidades de metrologia estatales que en nuestro país como tal no existe.

Fig. 12

3.2. TAQUIMETRIA

Es el método con el que se puede determinar la DH y DE de una manera rápida y con la precisión adecuada para muchos propósitos. El procedimiento requiere el empleo de: - Mira vertical. - Tránsito taquimétrico.

El Tránsito se denomina taquimétrico por estar provisto de retículos taquimétricos o de mira, para el caso, horizontales Procedimiento: El principio de medición consiste en leer los valores interceptados sobre la mira por los dos retículos estadimétricos superior (s) e inferior (i), cuando ésta se sostiene verticalmente en uno de los extremos de la línea a medir, estando el tránsito ubicado en el otro extremo. La distancia horizontal (DH) está dada por la formula: DH = K S cos²  (59) para el caso de ángulo vertical DH = K S sen² z

(60)

para el caso de ángulo cenital

El valor K que aparece en las fórmulas corresponde a la constante diastimométrica o constante de multiplicación del taquímetro, éste valor regularmente es 100. DH = Distancia horizontal DE = Diferencia en elevación s = Diferencia de hilos em = Error en la lectura de la mira k = Constante de multiplicación del taquímetro  = ángulo vertical z = ángulo cenital DH = k * s * cos²  = k * s * sen² z DE = ½ * k * s * sen 2  = ½ * k * s * sen 2 z

El modelo de error está determinado para a.

eDH = e2m . k 2 . Cos4  + e2 . k 2 . S 2 . Sen2 2

ede = e2m .¼. k 2 . Sen2 2 + e2 . k 2 . S 2 . Cos2 2

(61)

(62)

Ejemplo: Las lecturas sobre una mira vertical con graduación a 0,5 cm, son 1,030; 1,480 y 1,937 hechas con un taquímetro de a = 2', armado a una altura instrumental de 1,48 m; la lectura del ángulo vertical es 16° 36'; k = 100. eDH =  ( 0,5² cm² * 100² * cos4 16° 36' + 0,0006² rad² * 100² * 90,7² cm² * sen 33° 12' ) = = 46,02 cm => eDH = 46 cm eDE =  ( 0,5² cm² * ¼ * 100² * sen² 33° 12' + 0,0006² * rad² * 100² * 90,7² cm² * cos² 33° 12' ) = = 14,43 cm => eDE = 14 cm

Para las siguientes gráficas se tomo el error en la mira de 3 mm y la constante del aparato igual a 100 y error medio cuadratico angular de 30”. GRADO DE PRECISION 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 1

ESTADIMETRIA

11 13 15 17 19 21 23 25 ANGULO VERTICAL

Fig. 13

ESTADIMETRIA DESNIVEL 12,0

EMC

10,0 8,0 6,0 4,0 2,0

0,0 ANGULO VERTICAL

Fig. 14 Consideraciones Generales

1. Las distancias menores de 25 m la constante (K) tiene variaciones.

2. No se deben realizar lecturas en la mira menores de 1 m ya que el suelo produce refracción.

3. Las consideraciones para la distancia máxima de lectura de la mira son iguales que para los niveles, con algunos cambios en lecturas al cm.

3.3. MIRA BASE (INVAR)

La estadía base de 2 metros es un instrumento práctico y elegante para la medición rápida y segura de distancias. Permite traspasar sin dificultades terrenos inclinados, impracticables o también labrados, evitando daños en los cultivos. Midiendo con un teodolito al segundo, el ángulo paraláctico horizontal entre dos signos de puntería dispuestos en una distancia de exactamente 2 m en la estadía, se obtiene, la distancias horizontal expresada en metros, independientemente de la forma del terreno situado entre los dos extremos. La medición de distancias con la estadía se basa en la fórmula trigonométrica siguiente: DH : Distancia horizontal buscada b : La base 2 m (distancia entre los dos signos)  : El ángulo paraláctico horizontal.

DH =

b  .ctg 2 2

( 63)

Fig. 15 3.3.1 Precisión de la medición de distancias La exactitud de la distancia ópticamente medida depende no sólo de la precisión de la estadía de 2m, sino también de la precisión de la medición del ángulo paraláctico. En el siguiente cálculo se supone una precisión angular de 1" y se puede aún mejorarse aumentando las series de los ángulos medidos. Mediante la diferenciación de la formula anterior se puede deducir la ley de los errores para la distancia, obteniendo como resultado el error medio ( desviación standard ). Para:

DH 2 . m b

EMC MB = 

( 64)

ma : Error medio de la medición angular DH : Distancia horizontal b : longitud de la base EmcMB: Error medio de la distancia

Con ma = 1" y b = 2 m se obtiene

EMC MB = 

DH 2 1 DH 2 . "=  2  412530

y para EMCMB ( en mm) y DH ( en m) resulta EMC MB = 

DH 2 412,53

( 66)

( 65)

Errores en la medición de distancias con la mira base.

Fig. 16

3.4. MEDICION ELECTRONICA DE DISTANCIAS (EDM) Distanciometro es el instrumento que registra el tiempo de desplazamiento de la onda electromagnética y con base en la velocidad calculada por métodos indirectos con la ayuda del valor de la velocidad de la luz en el vacío, se puede calcular la distancia recorrida por la onda. D =

V. t 2

( 67)

D: distancia V: Velocidad t: Tiempo En estos equipos el tiempo o cualquier otro parámetro que este en función del tiempo.

Fig. 17

De acuerdo al proceso físico de la onda se distingue los siguientes métodos de medición. a. Temporal o de impulso: El cual emplea una emisión en forma de impulsos en donde se mide directamente el tiempo de propagación del impulso. b. Interferencia: Es aquel que emplea una emisión continua sin modular y registra el resultado de la interferencia directa de la onda de apoyo y la onda reflejada. c. Fase: Emplea una emisión continua o un impulso con una señal armónica, modula o una emisión continua sin modular en donde se mide la diferencia de faces. d. Frecuencia: emplea una emisión continua o un impulso modulado y se mide diferencia de las frecuencias instantáneas de las ondas emitidas y recibidas.

La precisión esta dada por la siguiente expresión:

 EDM =

e2 + (ppm . D )

(68)

EDM: error e : Error medio cuadratico ppm: Partes Por Millón D : Distancia Horizontal (Km) Los distanciometros se clasifican en tres 1. Corto alcance menor 3 Km 2. Medio alcance de 3 a 12 Km 3. Largo alcance mayores de 12 Km La siguiente figura muestra la precisión para un instrumento de las siguientes características e= ± 5 mm + 3 ppm ( partes por millón ) EDM 300000 250000 200000 GP

150000 100000 50000 0 1

4 EMC

Fig. 18

CAPITULO IV POLIGONOMETRIA

POLIGONOMETRIA: Es el método para la determinación de la posición de puntos topógrafo - geodésicos por medio del trazado de líneas quebradas sobre un lugar determinado ( itinerario o poligonal ) o el sistema de líneas quebradas entrelazadas ( red poligonometrica ) en las cuales se miden todos los ángulos y los lados consecutivamente. 4.1 ANGULOS

4.1.1. RESOLUCION ANGULAR Es la distancia a la cual puedo medir los cambios en el circulo horizontal y se define como: S: Desplazamiento : Lectura a estima L: Longitud

Fig. 19 S=L.

(69)

L = S /  (70)

Esta relación es valida para los valores de  muy pequeños.

La siguiente tabla nos muestra la distancia a la cual se perciben un centímetro de desplazamiento de acuerdo a la lectura estima del circulo.

Grupo I

III

Marca

Modelo

L.E.

Wild Wild Kern Zeiss Topcon

TO5

30" 30" 30" 30" 30"

Wild Wild Wild Kern Kern Topcon Leitz

T1 T16 RDS K1M K1S DT05 DT-5

6" 6" 6" 6" 6" 5" 5"

Zeiss Wild Wild Nikon Wild

Elta 3 TC 1600 T2 DTM-A5LG T3

2" 1,5" 1" 1" 0,2"

TO KOS THEO 80 AG-30B

S 68,75

343,77 412,53

1031,32 1375,10 2062,65 10313,24

Tabla 2

4.1.2. FUENTES DE ERROR EN LA MEDICION DE LOS ANGULOS HORIZONTALES

Durante la toma del dato se presenta los siguientes errores:

1. En la colocación de las señales de puntería ( Ej: jalones, plomadas, miras, señales, torres) también denominado error de reducción (sr) 2.

En el centrado del instrumento (sc)

Precisión del centrado de acuerdo al instrumento

Plomada ordinaria

Bastón

Plomada óptica

Centrado forzado

0,1 tabla 33

Instrumentos (si)

Medio externo (sme)

En la medición misma (sm)

En los datos de partida (sd)

Debido a que existe un modelo matemático que permite manejar los resultados de las mediciones de una manera mas cercana a la realidad, ya no se hace necesario calcular la magnitud real de cada uno de los errores sino minimizarlos para su tratamiento. En poligonometria se considera que los trabajos estarán organizados de tal manera que los desplazamientos longitudinales y laterales son iguales es decir: 2 =  2L =  Tr

 2t 2

(71)

En donde sTr desplazamiento transversal, sL desplazamiento longitudinal. Se considera que en sTr influye las fuentes de error angulares y en el longitudinal los errores en la distancia; aceptando el carácter independiente de influencia en las fuentes de errores en la medición de los ángulos sobre el desplazamiento lateral se puede decir:

 2tr =  2r +  2c +  2i +  2m +  2me +  2d

(72)

Además considerando que las mediciones son homogéneas o de igual precisión, es decir que los errores influyen igualmente o equitativamente podemos decir:

 =  r =  c =  i =  m =  me =  d  Tr2 = 6 .  2

( 74)

De donde

Tomada de Project Surveying. P. Richardus assisted by J. S. Allman

( 73)



2  Tr

;  =

 Tr

( 75)

El error longitudinal (sL) es debido a los errores cometidos en la medición de los lados de la poligonal, sea cual fuere el método y el equipo empleado. Entonces se dice que:

 2L = n .  2s

(76)

n: numero de lados ss : error en la medición de cada lado Basándonos en la fórmulas anteriores podemos hallar las tolerancias máximas permisibles. 1 EcT = L T . 12

( 77)

EcT : Error de cierre teórico

4.1.3. ERROR ANGULAR

Partiendo del supuesto de que el error de cierre planimetrico del ultimo punto de una poligonal depende tanto del desplazamiento longitudinal, como lateral en el presente paragrafo se tratara el error lateral que esta influenciado por la precisión en la medición angular. En la medición de un ángulo en una poligonal influyen los siguientes errores:

1. Error en la medición de un ángulo. Depende del error de lectura y del error de estima o apreciación del equipo.

mm =

mL : Error de lectura mo : Error de observación (estima)

1 ( m2i + m2o ) n

( 78)

60" A

ml =

mo =

( 79)

1  2

(80)

A : Aumentos ß : Mínima lectura directa.

2. Error de reducción Es el error causado por la incorrecta colocación del equipo de referencia para puntería.

mr =

. e D

(81)

e : Es el elemento lineal de desplazamiento del instrumento de puntería con respecto a su verdadera posición. Este valor es igual a dos veces el error de centrado, ver tabla 3.

3. Error de centrado. Es el error que surge de la correcta colocación del equipo sobre el vértice real.

mc =

. 2. e D

(82)

mc : Error de centrado.

4. Error instrumental Es aquel causado por las limitaciones en la fabricación de las partes optico - mecánicas. Viene especificado por el fabricante. minst : Error instrumental.

5. Error del medio externo. Son todos aquellos errores causados por las condiciones ambientales del lugar donde se desarrollan las mediciones. Debido a que se están considerando mediciones homogéneas este valor equivale a 1/4 ( mm + mr + minst ) me : Error del medio externo.

6. Error total angular. m = m2m + m2r + m2c + m2inst + m2e

(83)

4.1.4. TOLERANCIA ANGULAR EN UNA POLIGONAL Es costumbre en nuestro medio determinar la tolerancia de la siguiente manera:

Tolerancia = ± LD . N

(84)

LD: Lectura directa N : numero de estaciones Esta expresión no se debe usar ya que asume que el error depende solamente de los errores sistemáticos cuando el error depende no solamente de esta clase sino también de los errores casuales, instrumentales y los ocasionados por el medio externo.

a. Precisión media : En función del error de la serie , tomando el error total angular.

T =  m . 2,5 .

(85)

b. Alta precisión: Similar al tratamiento anterior, pero se toma el error medio cuadratico del instrumento.

T =  Emc . 2,5 .

(86)

En algunos instrumento el Emc es igual a la lectura directa, por esto las dos tolerancias angulares serían iguales. En general para estar en esta tolerancia se requiere un cambio de la metodología como puede ser medir los ángulos por repetición o reiteración de acuerdo al instrumento

Ejemplo: Calcular la tolerancia angular para un polígono de 20 lados, levantado con el tránsito Topcon DT-30 de lectura directa de 30".

Eangular =  30"

20 = 134" ,16

Tolerancia = 134" ,16 . 2,5 = 335" ,4  335"= 535"

4.3. POLIGONOMETRIA El objetivo de la poligonometria, es el de colocar nuevos puntos en aquellas regiones en donde la densidad de la red geodésica nacional no es suficiente y por las condiciones de la zona, no se pueden emplear la triangulacion o la trilateracion. Además este método es empleado para darle coordenadas (X,Y) a objetos topográficos que deseen ser incluidos en los mapas existentes y puedan servir para trabajos ingenieriles posteriores. Las redes de densificacion, construidas bajo el principio de poligonometria, se dividen de acuerdo a su precisión así: poligonometria de cuarta clase, poligonometria de primer orden y poligonometria de segundo orden. las clases de poligonometria según el sistema de medición de distancias, pueden ser: poligonometria telemetrica, poligonometria radiometrica, poligonometria con telémetros ópticos poligonometria paralactica.

SIMBOLOGIA TN - Punto de partida (placa inicial) Tk - Punto de llegada (placa final) S1,S2,...,Sn - Distancia de los lados del itinerario 1,2,...,n - Angulos medidos AN,Ak - Azimutes inicial y final respectivamente L - Distancia longitudinal entre los puntos inicial y final Tnd - Punto nodal, generado por la intersección de varios itinerarios

Fig. 20 Nota: En casos aislados, en donde el amarre de los itinerarios a los puntos de la Red Geodésica Nacional, con el empleo de telémetros electrónicos, las distancias de los lados pueden aumentarse en un 30%. En itinerarios de primer orden, con perímetro igual a 1 km y de segundo orden con perímetro igual a 0.5 km, se permite un error absoluto de fs= 10 cm. El numero de errores angulares y lineales máximos o cercanos al máximo no debe exceder al 10%. se permite el aumento de las distancias de los lados de los itinerarios de primer y segundo orden, hasta un 30%, siempre y cuando el tramo total (perímetro) sea mayor a los expresados.

Se deben determinar los azimutes de los lados del itinerario con una precisión de 5-7 segundos cada quince (15) lados y cada 3 km o mas (cierre azimutal. por lo general con observaciones astronómicas).

De acuerdo a su forma las poligonales pueden ser:

1-. Itinerario rectilineo: son aquellos que cumplen con las siguientes condiciones:

a-. Si los azimutes de las líneas difieren con respecto al azimut de la línea longitudinal L en un valor promedio de 8 grados y un máximo de 24 grados.

b-. Si los vértices de la poligonal caven dentro del espacio limitado por dos paralelas, trazadas con respecto a la perpendicular a la línea L.

o = 

1 L 24

(87 )

y un valor máximo

o = 

1 L 8

(88)

c-. Si  s /L =< 1.3

Fig. 21 2-. Itinerario curvilíneo: es aquella poligonal en la que no se cumple si quiera alguna de las tres condiciones anteriores. 3-. Itinerarios cerrados.

DESPLAZAMIENTO DEL PUNTO FINAL DE UNA POLIGONAL Si la poligonal es rectilinea o cercana a esta forma, el error de desplazamiento se puede desmembrar así ( en general es valido para todo tipo de poligonales) f 2s = t 2 + u2

(88 )

Fs - Error de cierre lineal del itinerario (error absoluto) t - Desplazamiento longitudinal del itinerario u - Desplazamiento transversal del itinerario

Fig. 22

Podemos afirmar que el error en la posición del ultimo punto de la poligonal depende de los ángulos y distancias medidas. Sabemos que el error medio cuadratico de una función y = x + b es igual a la suma de los errores medios cuadraticos de cada una de las incógnitas, es decir: my = mx + mb, por consiguiente podemos escribir:

m2fs = m2t + m2u

(89)

Si partimos del supuesto de que la influencia de los errores es equitativa u homogénea, entonces: m2t = m2u

(90)

m2fs = 2 m2t = 2 m2u

(91)

Si se conoce mfs, el error medio cuadratico de la posición del ultimo punto, entonces tenemos que:

mt =

m fs 2

(92)

mu =

m fs 2

(93)

Además es conocido que el error máximo permisible se puede obtener de la relación: f s max 1 = L T

(94)

RELACION ENTRE EL DESPLAZAMIENTO LATERAL Y LOS ERRORES ANGULARES DE LA POLIGONAL Supongamos que en nuestra poligonal, se produjo el siguiente desplazamiento, claro esta que con fines explicativos exageremos la gráfica, para poder observarlo. d 1 =

 u1 =

 u1  ns

d 1 . n . s



d (n - 1)s

 u1 =



. . .  un =

dn (s)



Fig. 23

(95)

Por consiguiente el desplazamiento general u será igual a la suma de todos los desplazamiento parciales un: u =  u1 +  u2 +...+  un (96)

Con base en esto, tenemos:

u =

d 1 s n



d  2 s(n - 1)



+...+

d n s



(97)

Ahora pasamos a los errores medios cuadraticos de la función y considerando que las mediciones fueron de igual precisión (*), es decir:

m1 = m 2 =...= m n = m

(98)

Entonces tenemos:

2 u

m =

S 2 m2



n + (n - 1 ) + (n - 2 ) +...+ 2 + 1  2

(99)

En la ecuación anterior [n²+(n-1)²+(n-2)²+...+2²+1²], es lo mismo que tener [1²+2²+3²+...+n²], por consiguiente esta suma puede expresarse así: n(n + 1)(2n + 1) 6

(100)

Reemplazando tenemos:

m2u =

S 2 m2 n(n + 1)(2n + 1) 2 6

(101)

Multiplicamos la parte derecha de la ecuación por n/n tenemos:

m2u =

S 2 m2 n(n + 1)(2n + 1) (102) 2 6n

m2u =

L2 m2 (n + 1)(2n + 1) 2 6n

Pero s². n²=L, entonces:

(103)

Despejamos los paréntesis y dividimos por 2n, tenemos:

L2 m2 2 n2 + 3n + 1 m = 6n 2 2 u

2 n2 + 3n + 1 3 = n+ 2n 2 6n = 3 2n

2 u

m =

(104)

(105)

(106)

L2 m2 n + 1,5 3 2

(107)

CONCLUSION: El error medio cuadratico del desplazamiento lateral del ultimo punto, depende de la distancia total del polígono, del numero de lados y de la precisión en la medición de los ángulos. Sabemos que: mfs²=mt²+mu², por consiguiente reemplazaremos las fórmulas obtenidas en la expresión anterior, pero antes, es necesario decir que mt depende de la medición de los lados del polígono, por eso podemos afirmar que mt²= [ms²].

2 fs

M2 L2 m2 (n + 1,5) 2 = = [ ms ] + 2 2 3 

(108)

Esta es la formula del error medio cuadratico en la posición del punto final de la poligonal, antes de la compensación. Después de compensados los errores fx,fy tenemos la siguiente forma para la ecuación :

[m2 S ] 2 L2 m2 (n + 3) = [ ms ] + 2 2  12

(109)

Para fines prácticos, se emplea la siguiente formula:

M 2 = [ m2s ] / 2 +

M 2

2

[ D2n+1,i ]

= [ m2s ] / 2 +

M 2



(110)

[ D2c.g,i ]

(111)

Fig. 24

Fig. 25 Dn=1,i - Es la distancia desde el punto final Tk a cada uno de los puntos de la poligonal en km. Dc.g,i - Es la distancia desde el centro de gravedad del la poligonal a cada uno de los puntos de la poligonal, en km. Estos valores se pueden hallar gráficamente o por medio del empleo de la formula:

J=1

n+1

x xo =

i=1

n+1

yo =

y

J=1

n+1

(112)

En otras palabras, el centro de gravedad es la media aritmética de las norte y las estes (X y Y)

EJERCICIO Dado el siguiente equipo para realizar una poligonal por el método taquimetrico, con un perímetro de tres kilómetros. hallar las tolerancias teóricas permisibles y el error relativo (grado de precisión) Teodolito T16 Emc =  6"

Aumentos = 30 x

1) Distancia máxima para la lectura de la mira Dmax = 30 . 6 = 180 m

2) Numero de estaciones n = 3000/180 = 9

3) Tolerancia angular

T  = 2,5 . Emc .

n = 45"

4) Error medio cuadratico lineal EmcDH = 0,54 m Ver formula de taquimetria

5) Error medio cuadratico del perímetro ms = 0,54 . N = 1,71 m

6) Error de cierre

Ect = 5,25 + 3,27 = 2,92 m 7) Error relativo o Grado de precisión Gp = 1 / T = Ec / P = 1 / 1027

Con base en los resultados obtenidos se deduce que en los registros de campo no pueden existir distancias mayores a 180 m debido a que el grado de precisión al cual se llegara es mucho menor a permisible basados en las especificaciones del equipo, obligando esto a repetir las mediciones líneas. Esta es una fundamentación o argumento para realizar una interventoría.

Por lo tanto se justifica una interventoría de los trabajos topográficos, sin la necesidad de comprobarlos directamente en campo. Además da las pautas para el diseño de la metodología conveniente

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ESTA OBRASE TERMINODE IMPRIMIR DEL DIA 22 DE OCTUBRE 1995

UNIVERSIDAD DEL QUINDIO Armenia – Quindío – Colombia