Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής Χρήσιμες παρατηρήσεις
ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΑΖΑΡΙΔΗΣ http:giannislazaridis.bogspot.com
2011
Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής
Τύποι De Morgan
Α′ ∪ Β′
rid is .b lo gs p
Α′ ∪ Β′ = ( Α ∩ Β )′
ot .c
om
( Α ∩ Β )′
nn
is
la za
Α ′ ∩ Β′
(Α
∪ Β )′
ht tp
:g ia
Α′ ∩ Β′ = ( Α ∪ Β )′
Οποιαδήποτε ισότητα μεταξύ ενδεχομένων, που δεν περιέχεται στο σχολικό βιβλίο, μπορεί να αποδειχθεί με την χρήση σχήματος.
Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής
Στα ομαδοποιημένα δεδομένα θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται ομοιόμορφα κατανεμημένες στο πλάτος της. Έτσι
fμ c
%.
rid is .b lo gs p
Σε ομαδοποιημένα δεδο-
ot .c
f μ % σε κάθε μία μονάδα της αντιστοιχεί το
om
σε μία κλάση με πλάτος c μονάδες και αντίστοιχη σχετική συχνότητα
μένα για την εύρεση της διαμέσου κατασκευάζουμε το
πολύγωνο σχτικών αθροιστικών % συχνοτήτων και
la za
εκτιμούμε την τετμημένη
is
του σημείου του πολυγώνου
ht tp
:g ia
50.
nn
που έχει τεταγμένη ίση με
Εναλλακτικά μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση
β − δ Fμ +1 − 50 = δ −α 50 − Fμ
που προκύπτει από το θεώρημα του Θαλή.
Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής
om
την ισοδύναμη μορφή:
rid is .b lo gs p
ot .c
2 ⎧ ⎛ ν ⎞ ⎫ ⎪ν ⎜ ∑ ti ⎟ ⎪ 1 ⎪ ⎪ Ο τύπος s 2 = ⎨ ∑ t i2 − ⎝ i =1 ⎠ ⎬ της διασποράς μπορεί να πάρει ν ⎪ i =1 ν ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
2
⎛ ν ⎞ ⎜ ∑ ti ⎟ ν 1 1 ν 2 2 i =1 ⎝ ⎠ 2 2 = − s = ∑ ti − t x ( ) ∑i 2
ν
ν
ν
i =1
is
la za
i =1
Ο τύπος s =
1
κ
(x ∑ ν
nn
2
− x )2ν i της διασποράς μπορεί να πάρει την ι-
:g ia
i =1
i
ht tp
σοδύναμη μορφή:
ν s = ∑ ( xi − x ) ⋅ ν i = ∑ ( xi − x ) ⋅ i = ν i =1 ν i =1 2
1
κ
2
κ
2
κ
∑(x i =1
i
− x )2 ⋅ f i
Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής
ot .c
om
2 ⎧ ⎛ κ ⎞ ⎫ ⎪κ ⎜ ∑ xiν i ⎟ ⎪ 1 ⎪ ⎠ ⎪ της διασποράς μπορεί να πάΟ τύπος s 2 = ⎨ ∑ xi2ν i − ⎝ i =1 ⎬ ν ⎪ i =1 ν ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
rid is .b lo gs p
ρει τις ισοδύναμες μορφές:
2
⎛ κ ⎞ x ν ⎜∑ i i ⎟ 1 κ 2 1 κ 2 2 i =1 ⎝ ⎠ 2 s = ∑ xi ⋅ ν i − x x = ⋅ − ν ( ) ∑ i i 2
ν
i =1
ν
i =1
ή
ht tp
:g ia
nn
is
la za
ν
2
⎛ κ ⎞ x ν ⎜∑ i i ⎟ κ 2 2 νi s = ∑ x i ⋅ − ⎝ i =1 2 ⎠ = i =1
ν
ν
κ
∑x i =1
2 i
⋅ fi − ( x )
2
Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής
Μία επέκταση της εφαρμογής του σχολικού βιβλίου
om
Έστω x1 , x2 ,..., xv ν παρατηρήσεις με μέση τιμή x και τυπική
ot .c
απόκλιση s x .
Αν y1 , y2 ,..., yv είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολ-
συνέχεια
rid is .b lo gs p
λαπλασιάσουμε τις x1 , x2 , ... , xv επί μια σταθερά c1 και στη προσθέσουμε
c1 ⋅ x1 , c1 ⋅ x2 , ... , c1 ⋅ xv
σε
μια
καθεμιά
σταθερά
από
c2 ,
τις τότε:
y = c1 ⋅ x + c2 και s y = c1 ⋅ s x . Δηλαδή Αν yi = c1 ⋅ xi + c2
y = c1 ⋅ x + c2 και s y = c1 ⋅ s x
is
la za
τότε
nn
Απόδειξη:
ht tp
:g ia
Έστω zi = c1 ⋅ xi , τότε
z = c1 ⋅ x και sz = c1 ⋅ s x
Τότε όμως yi = c1 ⋅ xi + c2 ⇔ yi = zi + c2 , οπότε
y = z + c2 = c1 ⋅ x + c2 και s y = sz = c1 ⋅ s x
Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής
Θετική ασυμμετρία
rid is .b lo gs p
ot .c
om
Η διάμεσος και η μέση τιμή βρίσκονται δεξιά της κορυφής της καμπύλης και ισχύει δ < x .
δ
la za
Αρνητική ασυμμετρία
x
ht tp
:g ia
nn
is
Η διάμεσος και η μέση τιμή βρίσκονται αριστερά της κορυφής της καμπύλης και ισχύει x < δ .
x
δ
Σε κάθε συμμετρική καμπύλη συχνοτήτων (όπως η κανονική κατανομή) η διάμεσος είναι ίση με τη μέση τιμή.