Mục lục
Mục lục PHẦN 1: LỚP 12
7
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
8
Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số
8
Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số
17
Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
31
Chuyên đề 4: Tiệm cận của đồ thị hàm số
38
Chuyên đề 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
45
Chuyên đề 6: Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số
56
CHƯƠNG 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
74
Chuyên đề 1: Lũy thừa và lôgarit
74
Chuyên đề 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
86
Chuyên đề 3: Phương trình mũ
95
Chuyên đề 4: Phương trình lôgarit
104
Chuyên đề 5: Các bài toán lãi suất
113
Chuyên đề 6: Bất phương trình mũ và lôgarit
120
CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
129
Chuyên đề 1: Nguyên hàm hàm cơ bản
129
Chuyên đề 2: Nguyên hàm các hàm thường gặp
142
Chuyên đề 3: Tích phân
153
Chuyên đề 4: Tích phân hàm ẩn
164
Chuyên đề 5: Ứng dụng của nguyên hàm, tích phân
172
CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC
188
Chuyên đề 1: Các phép toán trên tập số phức
188
Chuyên đề 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức
199
Chuyên đề 3: Phương trình trên tập số phức
209
5 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
PHẦN 1: LỚP 12
7 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia
CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Phần 1 LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định trên I, với I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Đồng biến
Hàm số y = f ( x ) được gọi là đồng biến trên I nếu:
∀x1,x 2 ∈ I : x1 < x 2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ).
Hàm số y = f ( x ) được gọi là nghịch biến trên I nếu:
∀x1,x 2 ∈ I : x1 < x 2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) . Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến được gọi chung là hàm số đơn điệu trên I.
Hàm số y = f ( x ) = x có f ' ( x ) = 1 > 0 , ∀x ∈ thì hàm số f ( x ) đồng biến trên . Nghịch biến
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên I. Khi đó: Nếu hàm số y = f ( x )đồng biến trên I thì f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ I . Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên I thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ I.
y = -x
Hàm số y = f ( x ) = − x có f ' ( x ) = −1 < 0, ∀x ∈ thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên .
8 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó:
Xét các hàm số: y = f ( x ) = x 3 + x
y = g ( x ) = −2x + 5 y = h(x) = −
2 3
Các hàm số trên có đạo hàm trên . Ta có f ' ( x ) = 3x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ nên hàm
Nếu f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ I thì hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng I.
số f ( x ) đồng biến trên .
Nếu f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ I thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng I.
Ta có g' ( x ) = −2 < 0, ∀x ∈ nên hàm số g ( x ) nghịch biến trên .
Nếu f ' ( x ) = 0, ∀x ∈ I thì hàm số f ( x ) không đổi trên khoảng I.
Ta có h' ( x ) = 0, ∀x ∈ nên hàm số h ( x ) không đổi trên .
Định lí: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng I.
Hàm số y = f ( x ) = ( m − 1) x 2 + x + 5 xác định trên . Hàm số có f ' ( x ) = 2 ( m − 1) x + 1.
Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên I thì ≥ 0, ∀x ∈ I và f ' ( x ) = 0 chỉ xảy ra tại f '(x) ≤ hữu hạn điểm .
Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khi
f ' ( x ) = 2 ( m − 1) x + 1 ≥ 0, ∀x ∈ .
Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên I thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ I và f ' ( x ) = 0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm .
Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khi f ' ( x ) = 2 ( m − 1) x + 1 ≤ 0, ∀x ∈ .
Chú ý:
Một số công thức tính đạo hàm
Ta có thể thay khoảng I thành một đoạn hoặc một nửa khoảng, khi đó ta cần bổ sung thêm giả thiết: “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
(u ± v ) ' = u'± v ' (ku ) ' = ku' (uv ) ' = u' v + uv ' u ' u' v − uv ' v = v2
( ) n
=
n −1
( ) = 2 1x
ax + b ' ad − bc cx + d = 2 ( cx + d)
9 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Phần 2
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số 1. Phương pháp giải
Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x + 1.
Bước 1: Tìm tập xác định D.
Tập xác định D = .
Bước 2: Tìm f ' ( x ) . Tìm các điểm xi mà f ' ( xi ) = 0 và f ' ( xi ) không xác định.
Ta có: f ' ( x ) = 3x 2 − 3 .
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
x = 1 f ' ( x ) = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔ x = −1 Bảng biến thiên Thay nên
-
có dấu x
nên f ' ( x ) có dấu −
f '(x)
1
−1
−∞ +
−
0
+∞ +
0
f (x) Dấu +, mũi tên đi lên, hàm số đồng biến
Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Dấu –, mũi tên đi xuống, hàm số nghịch biến
Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) và (1;+∞ ) .
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 1) .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 + 4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và (1;+∞ ). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) .
Hướng dẫn
Cách 1: Hàm số có tập xác định: D = . Ta có
khi đó
10 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Phần 2
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số 1. Phương pháp giải
Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x + 1.
Bước 1: Tìm tập xác định D.
Tập xác định D = .
Bước 2: Tìm f ' ( x ) . Tìm các điểm xi mà f ' ( xi ) = 0 và f ' ( xi ) không xác định.
Ta có: f ' ( x ) = 3x 2 − 3 .
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
x = 1 f ' ( x ) = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔ x = −1 Bảng biến thiên Thay nên
-
có dấu x
nên f ' ( x ) có dấu −
f '(x)
1
−1
−∞ +
−
0
+∞ +
0
f (x) Dấu +, mũi tên đi lên, hàm số đồng biến
Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Dấu –, mũi tên đi xuống, hàm số nghịch biến
Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1) và (1;+∞ ) .
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 1) .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 + 4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −1).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và (1;+∞ ). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) .
Hướng dẫn
Cách 1: Hàm số có tập xác định: D = . Ta có
khi đó
10 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Bảng biến thiên
−∞
x
−1
f '(x)
−
0
+∞
1
+
+
−
f (x) Vậy: Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) và (1;+∞ ) . Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) . Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570 VNPLUS Nhập MODE 7, nhập f ( X ) = X 4 − 2X2 + 4 Start ? − 5 Khi đó ta nhận được bảng giá trị: f ( X)
X
−5 −4 −3 −2 −1
End ? 5 f ( X)
X
579 228 67 12 −3
Step ? 1
4 -3 12 67 228 579
0 1 2 3 4 5
Nhìn vào bảng giá trị, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) . Chọn C. Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ như sau:
x
f '(x)
−2 0
+
1
0
−
5
+∞ −
Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞ ).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 5; +∞ ). C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;2 ). D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;5 ). Hướng dẫn Nhìn vào bảng xét dấu của đạo hàm, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;1), nghịch biến trên khoảng (1;5 ) và ( 5;+∞ ). Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( 5; +∞ ) . Chọn B.
11 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia PHẦN 2: LỚP 11 VÀ LỚP 10
217
CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP, HÀM SỐ
218
Chuyên đề 1: Mệnh đề, tập hợp
218
Chuyên đề 2: Đại cương về hàm số
228
Chuyên đề 3: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai
237
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
253
Chuyên đề 1: Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn
253
Chuyên đề 2: Hệ phương trình bậc nhất và bậc hai hai ẩn
271
Chuyên đề 3: Bất đẳng thức
283
Chuyên đề 4: Bất phương trình và hệ bất phương trình
287
Chuyên đề 5: Một số bất phương trình thường gặp
298
CHƯƠNG 3: LƯỢNG GIÁC
303
Chuyên đề 1: Cung và góc, công thức lượng giác
303
Chuyên đề 2: Hàm số lượng giác
313
Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác
327
CHƯƠNG 4: TỔ HỢP, XÁC SUẤT
347
Chuyên đề 1: Hai quy tắc đếm, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp
347
Chuyên đề 2: Nhị thức Niu-tơn
364
Chuyên đề 3: Xác suất
378
CHƯƠNG 5: DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM
389
Chuyên đề 1: Dãy số. Giới hạn của dãy số
389
Chuyên đề 2: Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục
401
Chuyên đề 3: Cấp số cộng, cấp số nhân
413
Chuyên đề 4: Đạo hàm
424
Chuyên đề 5: Phương trình tiếp tuyến
438
6 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Ví dụ 3: Hàm số y =
− x 2 + 2x − 4 đồng biến trên: x−2
A. ( 0;2 ) và ( 2;4 ).
B. ( 0;2 ) và ( 4;+∞ ).
C. ( −∞;0 ) và ( 4;+∞ ).
D. ( −∞;0 ) và ( 2;4 ). Hướng dẫn
Tập xác định: D = \ {2}. Ta có
( −2x + 2 )( x − 2 ) − ( − x 2 + 2x − 4 ) − x 2 + 4x y' = = 2 2 ( x − 2) ( x − 2)
x = 0 . khi đó y ' = 0 ⇔ − x 2 + 4x = 0 ⇔ x = 4
Bảng biến thiên x
0
−∞
f '(x)
−
2
+
0
4
+
0
+∞ −
f (x)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) và ( 2;4 ). Chọn A. 3. Bài tập tự luyện Câu 1 (ID 30596) Cho hàm số y =
x +1 . Phát biểu nào sau đây đúng? 1− x
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và (1;+∞ ) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) ∪ ∩ (1; +∞ ). D. Hàm số đồng biến trên khoảng . Câu 2 (ID 30597) Cho hàm số y = x +
4 . Kết luận nào sau đây là đúng? x
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;2 ) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;2 ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2;2 ) .
Đáp án
1–B
2–B
12 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Dạng 2: Điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu 1. Phương pháp giải Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d Tập xác định: D = .
Xét hàm số y = mx 3 + x + 1 Tập xác định: D = .
y ' = 3ax 2 + 2bx + c
Để hàm số đồng biến trên thì:
y ' = 3mx 2 + 1
Để hàm số đồng biến trên thì:
⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ .
.
a > 0 Khi đó: ∆ ≤ 0
.
Để hàm số nghịch biến trên thì: ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ .
⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ⇔ 3mx 2 + 1 ≤ 0, ∀x ∈ . a < 0 3m < 0 ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ ∅. Khi đó: ∆ ≤ 0 ∆ = −12m ≤ 0
a < 0 Khi đó: ∆ ≤ 0 Hàm số y =
Để hàm số nghịch biến trên thì:
ax + b cx + d
Xét hàm số y =
d Tập xác định: D = \ − . c ad − bc y' = 2 ( cx + d)
Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi: ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ D ⇔ ⇔ ad − bc > 0.
x+m x −1
Tập xác định: D = \ {1} ; −1 − m y' = 2 ( x − 1) Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ D
⇔
−1 − m
( x − 1)
2
> 0, ∀x ∈ D
⇔ −1 − m > 0 ⇔ m < −1. Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi: ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ D ⇔ ⇔ ad − bc < 0.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ D
⇔
−1 − m
( x − 1)
< 0, ∀x ∈ D
⇔ −1 − m < 0 ⇔ m > −1
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho hàm số y = biến trên . A. −1 < m < 0.
2
B. −1 < m ≤ 0.
C. −1 ≤ m ≤ 0.
x3 + mx 2 − mx − m luôn đồng 3 D. −1 ≤ m < 0.
13 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Hướng dẫn 2
Tập xác định: D = . Ta có y′ = x + 2mx − m . Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi: . Chọn C. Ví dụ 2: Giá trị của tham số m để hàm số y = là:
A. m < 2.
B. m ≥ 2.
x −m nghịch biến trên các khoảng xác định x−2
C. m > 2.
D. m ≤ 2.
Hướng dẫn −2 + m . Tập xác định: D = \ {2} . Ta có y ' = 2 ( x − 2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi: ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ D ⇔
Chọn A.
−2 + m
( x − 2)
2
< 0, ∀x ∈ D .
⇒ −2 + m < 0 ⇔ m < 2 ⇔
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = các khoảng xác định. A. −2 < m ≤ 2.
B. −2 ≤ m ≤ −1.
C. −2 ≤ m ≤ 2.
mx + 4 giảm trên x+m
D. −2 < m < 2.
Hướng dẫn Tập xác định: D = \ {−m} . Ta có y′ =
m2 − 4
( x + m)
2
.
Hàm số giảm trên các khoảng xác định khi và chỉ khi hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Khi đó: ⇔ y′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ m2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 .
Chọn D. 3. Bài tập tự luyện Câu 1 (ID: 30604) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = giảm trên các khoảng mà nó xác định. A. m < −3. B. m ≤ −3.
C. m ≤ 1.
x −m+ 2 x +1
D. m < 1.
14 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu 2 (ID: 30605) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 1 y = − x 3 − mx 2 + (2m − 3)x − m + 2 luôn nghịch biến trên . 3 B. m ≤ 1. C. −3 < m < 1. D. m ≤ −3;m ≥ 1. A. −3 ≤ m ≤ 1. Câu 3 (ID: 30606) Tìm giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 2x 3 − 3(m + 2)x 2 + 6(m + 1)x − 3m + 5 luôn đồng biến trên .
A. 0. Đáp án
Phần 3
B. –1. 1–D
2–A
C. 2.
D. 1.
3–A
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1 (ID: 30612) Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 3x + 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số luôn nghịch biến trên . B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1;+∞ ) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;+∞ ) . D. Hàm số luôn đồng biến trên . Câu 2 (ID: 30613) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y = biến trên các khoảng xác định của nó. A. m = −1.
B. m = −2
C. m = 0
(m + 3)x − 2 luôn nghịch x+m
D. Không có m
Câu 3 (ID: 30614) Hàm số y = − x 4 + 4x 2 + 20 đồng biến trên khoảng nào?
( C. ( −
) 2;0 ) ; (
A. −∞; − 2 .
B.
)
(
)
D.
2; +∞ .
. .
3 5 x − 3x 4 + 4x 3 − 2 đồng biến trên khoảng nào? 5 B. . C. ( 0;2 ). D. ( 2;+∞ ) .
Câu 4 (ID: 30615) Hàm số y = A. ( −∞;0 ).
Câu 5 (ID: 30620) Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = − x 3 + 3 ( 3 − m ) x 2 − 2mx + 2 nghịch biến trên tập xác định. A. −3 < m < 3.
B. m ∈ ∅.
C. −3 < m < 0.
D. m > 3.
15 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Câu 6 (ID: 30616) Giá trị của m để hàm số y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( m + 1) + 7 đồng biến trên là: m < −1 C. . m > 0
B. −1 < m < 0 .
A. −1 ≤ m ≤ 0.
m ≤ −1 D. . m ≥ 0
Câu 7 (ID: 30617) Cho hàm số y = 3x 2 − x 3 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) . B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞
)
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞
và (
) và
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;3 ) . Câu 8 (ID: 30618) Hàm số y = A.
và và
C.
.
x2 đồng biến trên trên các khoảng nào? x −1 . B. và D.
.
và
.
Câu 9 (ID: 30619) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = trên các khoảng xác định. A. −3 < m < 3.
B. m < −3.
C. −3 < m < 0.
Câu 10 (ID:30621) Tìm m để hàm số y = A. m ≤ 1.
mx + 3 nghịch biến 3x + m
D. m > 3.
x −m+ 2 nghịch biến trên các khoảng xác định. x +1
B. m < 1.
C. m ≤ 3.
D. m < 3.
Đáp án 1–A
2–D
3–D
4–B
5 -B
6–A
7–B
8–B
9–A
10 – B
16 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 2: Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN Phần 1
LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đại cương về phương trình Phương trình một ẩn Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f ( x ) = g ( x ). Trong đó:
(1)
f ( x ) và g ( x ) là những biểu thức của x.
x gọi là ẩn. Nếu có số thực x 0 sao cho f ( x 0 ) = g ( x 0 ) là mệnh đề đúng thì x 0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Ta nói: f ( x ) là vế trái của phương trình (1), g ( x ) là vế phải của phương trình (1). Ta có: f ( x ) và g ( x ) xác định lần lượt trên Df và Dg . Khi đó D = Df ∩ Dg gọi là tập xác định của phương trình. Tập hợp chứa tất cả các nghiệm của phương trình (1) được gọi là tập nghiệm của phương trình (1). Phương trình nhiều ẩn Ví dụ: 3x − 4y + 5 = 9x − 1: Phương trình 2 ẩn x và y. 4x 2 − y + z = 6 : Phương trình 3 ẩn x; y; z.
Phương trình chứa tham số Ví dụ: 5x + m − 1 = 0 : Phương trình một ẩn x, tham số m. 4x 2 − y 3 + 2 = m : Phương trình hai ẩn x và y, tham số m.
Chú ý: Tham số trong phương trình đóng vai trò như một hằng số.
253 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Nếu phương trình f ( x ) = g ( x ) tương đương với phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) thì ta viết
f ( x ) = g ( x ) ⇔ f1 ( x ) = g1 ( x ) .
Cho phương trình f ( x ) = g ( x ) xác định trên D và h ( x ) xác định trên D. Khi đó, ta có: f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + h ( x ) và
với
.
Phương trình hệ quả Nếu mọi nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) đều là nghiệm của phương trình
f1 ( x ) = g1 ( x ) thì phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f ( x ) = g ( x ) . Ta viết f ( x ) = g ( x ) ⇒ f1 ( x ) = g1 ( x ) . Ta có f(x) = g(x) ⇒ [ f(x)] = [g(x)] . 2
2
Chú ý: Nếu hai vế của một phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta được một phương trình tương đương. Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu rồi mới kết luận nghiệm. 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng:
.
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng: ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ). Ta có ∆ = b2 − 4ac và ∆ ' = ( b' ) − ac , trong đó b ' = 2
b . 2
Định lí Vi-ét: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm
thì:
b S = x1 + x 2 = − a P = x .x = c 1 2 a u + v = S Nếu u và v có thì u và v là các nghiệm của phương trình x 2 − Sx + P = 0. uv = P 3. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Phương trình chứa dấu căn.
254 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 2: Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Phương trình bậc ba. Phương trình bậc bốn trùng phương.
Phần 2
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình 1. Phương pháp giải Một số cách xác định điều kiện: Đa thức xác định với mọi giá trị thuộc . Phân thức Căn thức Phân thức
Phân thức
f (x)
g( x)
xác định khi g ( x ) ≠ 0.
f ( x ) xác định khi f ( x ) ≥ 0. f (x)
xác định khi g ( x ) > 0.
g( x)
f (x) g( x)
2
xác định khi g ( x ) ≠ 0.
Chú ý: Ta cần phân biệt điều kiện xác định và tập xác định. Điều kiện xác định là điều kiện nào đó của ẩn. Tập xác định là tập hợp. Ví dụ: Phương trình
x = 0 có điều kiện xác định là x ≥ 0 , có tập xác định là D = [0; +∞ ) .
2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tập xác định của phương trình A. \ {2;0}.
B. [ 2;+∞ ).
x−2 1 2 là: − = x + 2 x x(x − 2) C. ( −∞; −2 [.
D. \ {−2;0;2}.
Hướng dẫn
x + 2 ≠ 0 x ≠ −2 ⇔ x ≠ 0 Cách 1: Phương trình có điều kiện xác định: x ≠ 0 x − 2 ≠ 0 x ≠ 2 Vậy phương trình có tập xác định là \ {−2;0;2} .
255 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS Thử các đáp án: Thay x = 2 vào phương trình, ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, do đó x = 2 không thuộc tập xác định. Nên loại đáp án B. Thay x = −2 vào phương trình, ta thấy máy tính hiện MATH ERROR, do đó x = −2 không thuộc tập xác định. Nên loại ch đáp án A và C. Chọn D. Ví dụ 2: Tập xác định của phương trình 4 A. \ . 3
3x − 2 + 4 − 3x = 1 là:
2 4 B. ; . 3 3
2 4 C. ; . 3 3
Hướng dẫn
x ≥ 3x 2 0 − ≥ Cách 1: Phương trình có điều kiện xác định: ⇔ 4 − 3x ≥ 0 x ≤ Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx 570VN PLUS
2 4 D. \ ; . 3 3
2 2 4 3 ⇔ x∈ ; . 4 3 3 3
Thử các đáp án:
Chọn C. Ví dụ 3: Tìm tập xác định của phương trình A. D = .
B. D = \ {−2}.
3x −1 . −4= 2 x +2 3x + 5 2
C. D = \ {3}.
D. D = \ {−5}.
Hướng dẫn x 2 + 2 ≠ 0 Phương trình có điều kiện xác định: 2 (luôn đúng). 3x + 5 ≠ 0 Vậy tập xác định của phương trình là D = .
Chọn A. Ví dụ 4: Cho phương trình phương trình trên là:
A. ( 4;+∞ ).
2x − 1 −7x 6x − 4 , tập xác định của + 2 =− 2 x − 5x + 6 x − 6x + 8 x − 7x + 12 2
B. \ {2;3;4}.
C. .
D. \ {4}.
256 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 2: Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Hướng dẫn
x 2 − 5x + 6 ≠ 0 x ≠ 2 2 Phương trình có điều kiện xác định: x − 6x + 8 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 2 x ≠ 4 x − 7x + 12 ≠ 0 Vậy tập xác định của phương trình trên là \ {2;3;4} . Chọn B. 3. Bài tập tự luyện Câu 1 (ID: 31923) Tập xác định của phương trình A. ( 2;+∞ ) .
1 3 4 là: − = 2 x+2 x−2 x −4
C. [ 2;+∞ ) .
B. \ {−2;2}.
Câu 2 (ID: 31924) Tập xác định của phương trình
D. .
2x 1 6 − 5x là: + = 3 − x 2x − 1 3x − 2
1 3 1 2 C. \ ;3; . D. \ ;3; . 2 2 2 3 1 Câu 3 (ID: 31925) Điều kiện xác định của phương trình + x 2 − 1 = 0 là: x A. ( 3;+∞ ) .
B. [3;+∞ ) .
A. x ≥ 0.
B. x > 0.
Đáp án
1–B
2–C
C. x > 0 ; x 2 − 1 ≥ 0. D. x ≥ 0 ; x 2 − 1 > 0.
3–C
Dạng 2: Phương trình tương đương, phương trình hệ quả 1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chọn khẳng đị
g trong các khẳng định sau:
A. 3x + x − 2 = x 2 + x − 2 ⇔ 3x = x 2.
B.
C. 3x + x − 2 = x 2 ⇔ 3x = x 2 − x − 2.
D. Cả A, B, C đều sai.
.
Hướng dẫn Đáp án A và B: Ta thấy 2 phương trình này không có cùng tập nghiệm. Từ đó suy ra hai phương trình chúng không tương đương với nhau. Đáp án C: Ta chuyển vế các hạng tử của phương trình thì ta được phương trình tương đương. Chọn C.
257 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Ví dụ 2 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai? A. C.
B. x = 2 ⇔ x = 2.
x − 3 = 2 ⇒ x − 3 = 4. x(x − 2) = 2 ⇒ x = 2. x−2
D.
x − 2 = 3 2 − x ⇔ x − 2 = 0.
Hướng dẫn Đáp án A: Ta bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả. Đáp án B : Vì x = 2 ⇔ x = ±2 . Nên đáp án B sai. Chọn B. Ví dụ 3 : Phương trình ( x − 4 ) = x − 2 là phương trình hệ quả của phương trình nào ? 2
A.
x − 2 = x − 4.
B.
x − 4 = x − 2.
C. x − 4 = x − 2.
D.
x − 4 = x − 2.
Hướng dẫn Đáp án A : Ta có
x−2 = x−4
Chọn A.
(
)
Ví dụ 4 : Cho phương trình x 2 + 3 ( x – 1)( x + 1) = 0 . Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
A. x + 1 = 0.
B. x 2 + 1 = 0.
D. ( x − 1)( x + 1) = 0.
C. x − 1 = 0. Hướng dẫn
Phương trình đã cho có nghiệm x = 1 hoặc x = −1 . Đáp án A: Phương trình có nghiệm x = −1 . Loại đáp án A. Đáp án B: Phương trình vô nghiệm. Loại đáp án B. Đáp án C: Phương trình có nghiệm x = 1. Loại đáp án C. Đáp án D: Phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = −1 . Chọn đáp án D. Chọn D. Ví dụ 5: Cho hai phương trình x 2 + x + 1 = 0 (1) và
1
( 2) .
Chọn khẳng
định đúng nhất trong các khẳng định sau.
A. Phương trình (1) và ( 2 ) tương đương.
B. Phương trình ( 2 ) là phương trình hệ quả của phương trình (1) . C. Phương trình (1) là phương trình hệ quả của phương trình ( 2 ) . D. Cả A, B, C đều đúng.
258 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Chương 2: Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Hướng dẫn Giải phương trình (1) , ta thấy phương trình (1) vô nghiệm. 2 − x ≥ 0 Giải phương trình ( 2 ) , ta có điều kiện ⇔ x ∈ ∅ . Nên phương trình (2) vô nghiệm Nên cả ba đáp án A, B, C đều đúng. Chọn D. Ví dụ 6 : Tập nghiệm của phương trình A. T = {0}.
B. T = {0;5}.
x 2 − 5x = 5x − x 2 là: C. T = \ {0;5}.
D. T = {5}.
Hướng dẫn x 2 − 5x ≥ 0 Phương trình có điều kiện xác định : ⇒ x 2 − 5x = 0 ⇔ 2 5x − x ≥ 0
x = 0 . x = 5
Thay x = 0 và x = 5 vào phương trình, ta thấy thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là T = {0;5} . Chọn B. 2. Bài tập tự luyện Câu 1 (ID: 32) Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 3x + 5 = 0 ? A. 5x − 3 = 2x + 9
B. 4x − 7 = x − 8
C. 6x + 3 = 3x − 9
D. 7x + 9 = x − 1
Câu 2 (ID: 38) Phương trình 2x + 1 = 3x − 1 nhận phương trình nào sau đây là phương trình hệ quả? A. x 2 − 2x + 1 = 0
B. x 3 + 8 = 0
C. x 2 − 5x + 6 = 0
D. x + 2 = 0
Câu 3 (ID: 31) Hai phương trình 2x − 1 = 0 và (−2m + 4 ) x − 2m − 5 = 0 tương đương khi: A. m là số nguyên tố.
B. m > 0.
C. m = −1 .
D. m < 0.
Đáp án
1–D
2–C
3–C
259 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304
Đột phá 8+ môn Toán kì thi THPT Quốc gia Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn 1. Phương pháp giải Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0
(1)
Trường hợp 1:
suy ra phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x.
Trường hợp 2:
suy ra phương trình (1) vô nghiệm. suy ra phương trình
(1) là phương trình bậc nhất một ẩn. (1) có nghiệm duy nhất x = −
Chú ý:
b . a
a = 0 Phương trình (1) vô nghiệm khi b ≠ 0
a = 0 Phương trình (1) có vô số nghiệm khi b = 0 Phương trình (1) có nghiệm khi a ≠ 0.
Khi tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm (hoặc vô nghiệm), ta có thể tìm điều kiện để phương trình (1) vô nghiệm (hoặc có nghiệm), sau đó lấy kết quả ngược lại. Giải và biện luận phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0
(2)
Trường hợp 1: a = 0 . Ta có: (2) ⇔ bx + c = 0 (Đưa về dạng trên). Trường hợp 2: a ≠ 0 . Ta có: (2) là phương trình bậc hai một ẩn có ∆ = b2 − 4ac. , phương trình (2) vô nghiệm. , phương trình (2) có nghiệm kép x = −
b . 2a
, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = Chú ý: Phương trình (2) vô nghiệm khi
c
hoặc
−b ± ∆ . 2a
.
a = 0 a ≠ 0 hoặc . Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi b ≠ 0 ∆ = 0 a ≠ 0 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khi . ∆ > 0
260 Website: https://gooda.vn/dotpha8cong
Hotline: 0972.853.304