Universidad de El Salvador. Facultad de Ciencias Económicas Escuela de Economía, Matemáticas III Elaborado por: Carlos Ademir Pérez Alas, Aux. de Cátedra de la Escuela de Economía
21/04/2007
Métodos fundamentales de Cálculo Integral Para estudiantes de Ciencias Económicas.ℵ “HAY DÍAS en que me levanto con una esperanza demencial, momentos en los que siento que las posibilidades de una vida más humana están al alcance de nuestras manos…Les pido que nos detengamos a pensar en la grandeza a la que todavía podemos aspirar si nos atrevemos a valorar la vida de otra manera”. Ernesto Sabato, “La Resistencia” Edit. Seix Barral (2000)
Introducción. En estas páginas se abordan algunos conceptos sobre la algoritmia para el cálculo de integrales, se comienza con una breve introducción a las integrales inmediatas, y se discierne entre una solución general de una integral y sus soluciones particulares. Se presentan cada uno de los métodos, en la medida de lo posible, con la fundamentación de cómo se dedujeron, se incluye teoría y ejercicios desarrollados por cada uno de los tres métodos que se presentan: Integración por cambio de variable, Integración por partes e integración por descomposición en fracciones parciales. La cualidad de este material radica en la presentación del método de desarrollo en fracciones parciales de Heavisiade, método que contribuye a realizar de una forma más rápida la búsqueda de las constantes indeterminadas en las fracciones parciales. Al final se incluye una guía de ejercicios para que el estudiante se prepare en la algoritmia del calculo de integrales indefinidos, y le sirva de base para evaluar integrales definidos.
ℵ
Se usa el término “Estudiante de Ciencias Económicas” para incluir a todos los estudiantes de distintas carreras que cursan matemáticas en esta facultad.
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Índice. 1. Definición y formulas básicas del Cálculo Integral. ........................................................................ 1 1.1. El Cálculo Integral ............................................................................................................... 1 1.2. Reglas (fórmulas) básicas de integración........................................................................... 2 1.2.1 Propiedades de operación de las integrales.................................................................... 3 1.2.2 Reglas para el cálculo de integrales inmediatas. ........................................................... 3 I-Regla de la potencia:............................................................................................................ 3 II- Regla de la función logarítmica. ...................................................................................... 4 III-Regla de función exponencial.......................................................................................... 5 2- Métodos de Integración. ................................................................................................................ 6 2.1. Integración por Cambio de Variable .................................................................................. 6 2.2. Integración por Partes. ...................................................................................................... 12 2.3. Integración por Descomposición en Fracciones Parciales............................................... 20 Caso I: Factores lineales distintos....................................................................................... 21 Caso II: Factores lineales repetidos (iguales)..................................................................... 24 Caso III: Factores cuadráticos distintos. ............................................................................ 28 Caso IV: Factores cuadráticos repetidos (iguales)............................................................. 33 Guía de ejercicios:........................................................................................................................... 35 Bibliografía. ................................................................................................................................... 37
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1. Definición y formulas básicas del Cálculo Integral.
1.1. El Cálculo Integral
En matemáticas existe siempre una operación opuesta ó más rigurosamente una “operación inversa”1, en el caso de la derivación, es decir la tasa de cambio instantánea en términos de economía la función marginal, su función inversa no es mas que el proceso de integración, es decir dada la función marginal encontrar la función total, ósea la función que al derivarla se obtenga la misma función marginal dada; pero esto plantea un problema sencillo que se ilustra a continuación:
1
Por ejemplo para la suma su operación inversa es la resta, para la multiplicación la división, para la potenciación los logaritmos, etc.
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Si buscamos una función de costo total, cuya función de costo marginal (CM), CM = 2 X , en donde “X” es el volumen de producción, la función de costo total (CT) que la originó puede haber sido CT = X 2 , porque al derivarla da como resultado 2 X , pero también la función CT = X 2 + 2 , tiene como función de costo marginal 2 X , así también CT = X 2 + K , donde K es una constante positiva, tiene la misma función de costo marginal 2 X . El problema es que no se puede asignar una solución única al problema de hallar la función de CT, ya que se necesita información adicional para calcular el valor de la constante K, pero en general diremos que la función de Costo Marginal tiene una familia2 de funciones de CT, el nombre suena un romántico pero es exactamente eso muchas funciones de CT (padres) tienen la misma función de CM. Ahora para resolver el problema anterior, supongamos que la empresa tiene unos costos totales de $1000 al producir 25 unidades de “X”, entonces decimos que existe una condición inicial para la identificar la función de CT que buscamos, por lo que al sustituir en la “Familia” la Condición inicial tenemos que: 1000 = (25) 2 + K , y despejamos para K, y obtenemos (en pasos para que se vean las operaciones): a) 1000 = 625 + K b) 1000-625=K c) 375=K Entonces, dado que el CT = 1000 cuando se producen 25 unidades de “X”, la función de 2 Costo Total buscada es CT = X + 375 , la cual coloquialmente se puede denominar, función
hija de la familiar ó más rigurosamente solución particular del problema. Se ha visto una introducción un poco informal al cálculo integral, y una de sus aplicaciones en economía. A continuación se presentan técnicas más formales para evaluar una integral. 1.2. Reglas (fórmulas) básicas de integración
2
Más rigurosamente se habla de la solución general del problema integral.
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La mayoría de las reglas básicas se obtienen a través de su regla análoga de diferenciación, aquí se postularan sin demostración, ya que no es el objetivo del curso. El símbolo3
∫
indica
la operación de integración y el diferencial dx indica la variable con respecto a la cual se llevará el proceso integración, la forma general del proceso de integración se plantea así:
∫ f ( x)dx
el cual se puede leerse de forma coloquial de la siguiente manera: “integrar la
función f(x) con respecto a x”.
1.2.1 Propiedades de operación de las integrales. P1. Producto de la constante por una función
∫ c ⋅ f ( x)dx = c ⋅ ∫ f ( x)dx P2. Suma y/o resta de funciones
∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx 1.2.2 Reglas para el cálculo de integrales inmediatas. I-Regla de la potencia4: n ∫ x dx =
x n+1 +C n +1
Ejemplo: retomando la función de costo marginal, CM = 2 X Función de CT es entonces: CT = ∫ 2 X , aplicando la propiedad P1 y la regla I se tiene:
3 El símbolo proviene de la palabra summa, como verá en el curso un integral es el resultado de sumar los infinitos f(x)dx, dando origen al concepto de área bajo una curva. 4
Por tradición matemática la constante de integración se representa por la letra C, (abreviatura de constante), pero puede escribirse también
K, en algunas ocasiones solo aparece la regla I, se tiene que:
∫ dx , lo cual indica la integral de 1, en ese caso es conveniente recordar que 1=X , por lo tanto, usando
∫ dx = x + c
0
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∫ 2 xdx ⇒ 2 ∫ xdx ⇒ (propiedad P1)
⎛ x1+1 ⎞ ⎟⎟ + C ⇒ (Regla I, con n=1) 2⎜⎜ ⎝1 +1⎠ ⎛ x2 ⎞ /2⎜⎜ ⎟⎟ + C ⇒ ⎝ 2/ ⎠
CT = x 2 + C , como se obtuvo con anterioridad. ¿Qué hacer si n = −1 ?, porque en este caso el denominador de la regla I se vuelve cero, y la división por cero no esta definida. En este caso se tiene que hacer uso de la siguiente regla. II- Regla de la función logarítmica5.
1
∫ x dx = ln( x) + C En general se tiene que:
∫
f ' ( x) dx = ln( f ( x)) + C f ( x)
Ejemplo: Evaluar
∫ 3x
4
2 + dx x
Solución:
1 3∫ x 4 dx + 2∫ dx ⇒ Usando las propiedades P1 y P2 x ⎛ x 4+1 ⎞ ⎟⎟ + 2 ln( x) + C ⇒ 6 3⎜⎜ ⎝ 4 +1⎠
5
Rigurosamente debería colocarse ln
x
+C, pero si se asume que el dominio de x son los reales positivos, se puede colocar de la forma
presentada. 6 Se pone solo una constante ya que la suma de dos constantes es otra constante.
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3x 5 + 2 ln( x) + C 5
III-Regla de función exponencial. Muy coloquialmente la función exponencial ( e x ) se le denomina la función Áurea7, debido a que es su propia derivada y su propia integral, propiedad que sólo esta función posee. Por lo tanto la regla III se enuncia así:
∫ e dx = e x
x
+C
La cual no necesita mucha demostración, pero no esta de más un ejemplo: Evaluar ∫ 5e x dx Solución: Usando P1, se tiene:
5∫ e x dx
Usando la regla III se tiene: 5e x + C En muchas ocasiones la base no es el número e, por lo que de la regla III se obtiene la regla IIIa: x ∫ a dx =
ax +C ln a
Ejemplo: Evaluar ∫ 3 x dx Solución:
3x +C Usando la regla IIIa se tiene: ln 3
Y en general la regla de la función exponencial puede expresarse así: 7
También conocida como la divina función: la que era, la que es y la que será, se usa la letra e en honor a Leonar Euler, he de ahí que algunos lo conocen como el número de Euler.
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∫ f ′( x)e
f ( x)
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dx = e f ( x ) + C
La cual junto a la representación general de la regla del logaritmo expuesta con anterioridad, servirá en el siguiente epígrafe y a largo del curso. Exhortamos al lector a memorizar muy bien las reglas ya presentadas.
2- Métodos de Integración. 2.1. Integración por Cambio de Variable8
Este método de integración se basa en la premisa de que el integrando es la derivada de una función compuesta9, es decir el resultado de haber utilizado la regla de la cadena, por lo que se tiene que:
∫ g ′( x) F ′( g ( x))dx = F ( g ( x)) + C El método se aplica usando los siguientes pasos: 1) Se elige la parte del integrando que será g(x), etiquetándolo como u=g(x), de preferencia “u” debe ser la parte del integrando que se encuentre dentro de una función como un radical, ó un exponente, aunque esta es sólo una sugerencia y no debe aplicarse mecánicamente. 2) Se procede a cambiar de variable la integral, es decir pasarla en términos de u, haciendo el cambio de diferencial así:
u = g ( x) ⇒
8 9
du du = dx = g ′( x) ⇒ g ′( x) dx
También conocido por integración por sustitución. Larson, Roland, Robert P. Hosteler , “Cálculo y Geometría Analítica”, Edit. Mc Graw Hill, 3ra. Edición Pág. 279.
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3) Luego se evalúa la integral en términos de u, utilizando de ser posible las reglas básicas de integración, u otro método de integración de los presentados más adelante en este texto. 4) Después de efectuada la integración, se procede a expresar la respuesta en términos de la variable original, es decir “sustituir” u=g(x). Ejemplos: Evaluar las siguientes integrales.
1)
∫ (4 x
x 2
)
+3
(
6
dx
4) ∫
)
5)
4
2) ∫ x 2 7 − 2 x 3 3 dx
−x dx (x + 1) − x + 1
∫ (x + 1)
2 − x dx
3) ∫ x 2 x − 1dx Solución: 1) Sea I= ∫
(4 x
x 2
)
+3
6
dx
Eligiendo u = 4 x 2 + 3 , se tiene que: de “u” se tiene:
I= ∫
du du = 8x ⇒ = dx , y expresando la integral en términos 8x dx
x/ du 1 ⇒ ∫ u −6 du 6 u 8 x/ 8
Luego se procede a evaluar la integral usando reglas básicas:
1 −6 u du ⇒ 8∫ u −5 1 ⎛ u −6+1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + C ⇒ − +C 8 ⎝ − 6 +1⎠ 40
I=
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Finalmente se ordena y se expresa la respuesta en términos de “x” sustituyendo u = 4 x 2 + 6 , se tiene entonces:
(4 x I= −
(
2
)
+3 40
−5
R/ I = −
+C⇒
(
1
)
40 4 x 2 + 3
5
+C
)
4
2) Sea I= ∫ x 2 7 − 2 x 3 3 dx
du du = −6 x 2 ⇒ = dx , y expresando la integral en − 6x 2 dx
Eligiendo u = 7 − 2 x 3 , se tiene que: 4
términos de “u” se tiene:
I= ∫ x/ 2u 3
4
1 du ⇒ − ∫ u 3 du 2 6 − 6 x/
Luego se procede a evaluar la integral usando reglas básicas: 4
1 3 u du ⇒ 6∫ ⎛ 4 +1 ⎞ 1 ⎜ u3 ⎟ 1 3 1 ⎟ + C ⇒ − ⎛⎜ u 7 / 3 ⎞⎟ + C ⇒ − u 7 / 3 + C − ⎜ 6 ⎜ 4 + 1⎟ 6⎝7 14 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝3 ⎠ I =−
Finalmente se expresa la respuesta en términos de “x” sustituyendo u = 7 − 2 x 3 , se tiene entonces: R/ I = −
(
1 7 − 2x3 14
)
7/3
+C
3) Sea I= ∫ x 2 x − 1dx Eligiendo u = 2 x − 1 se tiene que: “u” se tiene:
I =∫x u
du du =2⇒ = dx , y expresando la integral en términos de 2 dx
du 2
Pero como la “x” no se elimina entonces de la misma relación u = 2 x − 1 , se despeja “x” para obtener x =
u +1 , por lo que la integral queda: 2
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I =∫
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1 u +1 du u ⇒ ∫ (u + 1)u1 / 2 du 2 2 4
Aplicando la siguiente transformación algebraica en el integrando, se tiene:
(u + 1)u1/ 2 = u1/ 2+1 + u1/ 2 ⇒ u 3 / 2 + u1/ 2 Colocando este resultado en la integral se tiene:
I=
1 3/ 2 u + u 1 / 2 du 4∫
Aplicando reglas básicas se tiene:
I=
[
]
u 1 / 2+1 ⎤ 1 3/ 2 1 ⎡ u 3 / 2+1 1⎛2 2 ⎞ 1/ 2 u du u du + C ⇒ ⎜ u 5/ 2 + u 3/ 2 ⎟ + C + ⇒ + ⎥ ⎢ ∫ ∫ 4 4 ⎣ 3 / 2 + 1 1 / 2 + 1⎦ 4⎝ 5 3 ⎠
Finalmente se simplifica y se expresa la respuesta en términos de “x” sustituyendo u = 2 x − 1 , se tiene entonces: R/ I = 4) Sea I= ∫
1 (2 x − 1)5 / 2 + 1 (2 x − 1)3 / 2 + C 10 6
−x dx (x + 1) − x + 1
En este ejemplo no se aplica mecánicamente la elección de “u”, pero como x + 1 aparece 2 veces en el denominador, se Elige u = x + 1 , y se tiene que: integral en términos de “u” se tiene: I= ∫
du = 1 ⇒ du = dx , y expresando la dx
−x du u− u
Pero como la “x” no se elimina entonces de la misma relación u = x + 1 , se despeja “x” para obtener u − 1 = x , por lo que la integral queda:
I= − ∫
(u − 1) du
u− u
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Aplicando la siguiente transformación algebraica en el integrando, se tiene: Aplicando la división de polinomios:
(u − 1) u − u1/ 2
u/ − 1 ⇒ − u/ + u 1 / 2 u1/ 2 − 1
u − u1/ 2 1
Recuerde el lector que toda división puede colocarse así: Cociente más (Residuo sobre Divisor) es decir (Cte+Re/Div) Entonces se tiene:
(u − 1) u − u1/ 2
= 1+
u1/ 2 − 1 , u − u1/ 2
Y sacando factor común u 1 / 2 en el denominador se tiene:
1+
(u1/ 2 − 1) ⇒ 1 + 1 ⇒ 1 + u −1/ 2 u1/ 2 − 1 ⇒ 1 + u − u1/ 2 u 1 / 2 (u 1 / 2 − 1) u1/ 2
Colocando este resultado en la integral se tiene: I = − ∫ 1 + u −1 / 2 du
Luego se procede a evaluar la integral usando reglas básicas:
[
]
⎡ ⎛ u −1 / 2+1 ⎞⎤ ⎟⎟⎥ + C ⇒ −u + 2u 1 / 2 + C I = − ∫ du + ∫ u −1 / 2 du ⇒ − ⎢u + ⎜⎜ ⎣ ⎝ − 1 / 2 + 1 ⎠⎦ Finalmente se simplifica y se expresa la respuesta en términos de “x” sustituyendo u = x + 1 , se tiene entonces10: I = 2( x + 1)
1/ 2
− ( x + 1) + C ⇒ R/ I = 2 x + 1 − x + C
Al desarrollar I = 2( x + 1) − ( x + 1) + C queda: I = 2( x + 1) − x − 1 + C , pero -1+C es una constante (simplemente C), esta propiedad “absorbente de la constante” simplifica la respuesta al resultado planteado 10
1/ 2
1/ 2
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5) Sea I= ∫ ( x + 1) 2 − x dx En este ejemplo no se aplica mecánicamente la elección de “u”, pero como 2 − x aparece dentro de un radical , se elige entonces u = 2 − x , y se tiene que:
du = −1 ⇒ −du = dx , y dx
expresando la integral en términos de “u” se tiene: I = ∫ ( x + 1) u (− du )
Pero como la “x” no se elimina entonces de la misma relación u = 2 − x , se despeja “x” para obtener x = 2 − u , por lo que la integral queda: I = − ∫ (2 − u + 1) u du
Aplicando la siguiente transformación se obtiene:
(2 − u + 1)
1/ 2 3/ 2 u ⇒ (3 − u )u 1 / 2 = 3u 1 / 2 − u 1 / 2+1 ⇒ 3u − u
Sustituyendo este resultado en la integral se tiene: I = − ∫ 3u 1 / 2 − u 3 / 2 du
Luego se procede a evaluar la integral usando reglas básicas:
[
]
⎛ u 1 / 2+1 ⎞ ⎛ u 3 / 2+1 ⎞ 2 ⎟⎟ + C ⇒ −2u 3 / 2 + u 5 / 2 + C ⎟⎟ + ⎜⎜ I = − ∫ 3u 1 / 2 du − ∫ u 3 / 2 du ⇒ −3⎜⎜ 5 ⎝ 1/ 2 + 1 ⎠ ⎝ 3 / 2 + 1 ⎠ Finalmente se simplifica y se expresa la respuesta en términos de “x” sustituyendo u = 2 − x , se tiene entonces: R/ I = −2(2 − x )
3/ 2
+
2 (2 − x )5 / 2 + C 5
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2.2. Integración por Partes. Hasta el momento con el método de integración por cambio de variable solo se han atacado algunas integrales, en su mayoría del tipo algebraicas, en este epígrafe se presenta el método de integración por partes, el cual se usa cuando aparece el producto ó el cociente de la combinación de funciones trascendentales (exponenciales y logarítmicas para el caso de este curso) con funciones algebraicas. El método se basa en la regla de la derivada de un producto, la cual se ilustra a continuación:
d (u ⋅ v ) = du v + u dv dx dx dx Si se multiplica por dx queda entonces: d (u ⋅ v ) = v ⋅ du + u ⋅ dv
Si se integran ambos miembros se tiene11:
∫ d/ (u ⋅ v ) = ∫ v ⋅ du + ∫ u ⋅ dv Por lo que queda: u ⋅ v = ∫ v ⋅ du + ∫ u ⋅ dv
Y al despejar ∫ u ⋅ dv queda:
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du La cual es la fórmula de integración por partes.
11
recuerde que la integración es el proceso inverso de la derivación
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A continuación se presentan los pasos para la utilización del método: 1) En primer lugar debe seleccionarse que parte del integrando se ha de tomar como “u” y cual como “dv”, para ello los matemáticos han ideado una técnica nemotécnica que se basa en las siglas del tipo de funciones que pueden tomarse como “u”, en este caso se debe respetar la jerarquía, más no seguirla ciegamente, estas siglas son “ILATE12” que proviene de Inversa, Logarítmica, Algebraica, Trigonométrica ó Exponencial, y en ese orden deberá escogerse “u”, en donde u = g (x) .
2) Una vez elegido “u” lo que “sobra en la integral” será entonces “dv”, incluyendo al dx. 3) Calcular “du” así: du = g ′( x)dx , y calcular “v” así: v = ∫ resto del integral dx 4) Introducir todos los datos en la fórmula de la integración por partes:
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du 5) Resolver la sub integral que queda en la fórmula, esto se puede hacer por medio de reglas inmediatas, o podría requerir usar un método de integración (por sustitución, de nuevo por partes, u otro método). Ejemplos: Evaluar las siguientes integrales. 4)
2) ∫ t ln (t + 1)dt
5) ∫ ( x + 3) x + 1dx
3)
12
xe x ∫ (x + 1)2 dx
1) ∫ xe x dx
∫ x e dx 2 x
6) ∫ ln( x)dx
En este curso no se utilizarán ni funciones inversas ni trigonométricas, por lo que las siglas se reducen a “LAE”, es decir logarítmica, algebraica ó exponencial.
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Solución: 1) Sea I= ∫ xe x dx Usando la palabra “LAE” se observa que la elección de “u” es: u = x , ya que es una función algebraica. Entonces “dv” será lo que “sobra”: dv = e x dx Luego se procede a calcular “du” y “v” así:
du = (1)dx ⇒ du = dx v = ∫ e x dx ⇒ v = e x Colocando esta información en la fórmula, se tiene (Véase la analogía, esto es tan solo para fines andragógicos y pedagógicos, no son necesarias las flechas):
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
du = dx
I = xe x − ∫ e x dx
u=x
v = ex
Evaluando la sub integral se tiene:
I = xe x − e x + C Que ya es respuesta, pero para que se vea mejor sacamos factor común e x y nos queda: R/ I = e x ( x − 1) + C 2) Sea I= ∫ t ln (t + 1)dt Usando la palabra “LAE” se observa que la elección de “u” es: u = ln (t + 1) , ya que es una función logarítmica, nótese que este caso a pesar de existir una función algebraica se elige la función logarítmica porque tiene preeminencia sobre la algebraica, esto se aprecia en la palabra “LAE”. Entonces “dv” será lo que “sobra”: dv = tdt
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Luego se procede a calcular “du” y “v” así: (1) 1 dt ⇒ du = dt t +1 t +1 t2 v = ∫ tdt ⇒ v = 2 du =
Colocando esta información en la fórmula, se tiene:
t2 t2 1 I = ln(t + 1) − ∫ ⋅ dt 2 2 t +1 Solo queda por evaluar la sub integral I1 = ∫
t2 1 ⋅ dt 2 t +1
Aplicando una transformación algebraica en el integrando se obtiene:
t2 1 1 ⎛ t2 ⎞ ⎟ ⋅ = ⎜⎜ 2 t + 1 2 ⎝ t + 1 ⎟⎠
Aplicando la división de polinomios:
t/ 2 − t/ 2 − t t2 ⇒ − t/ t +1 t/ + 1 1
t +1 t −1
Recuerde el lector que toda división puede colocarse así: Cociente más (Residuo sobre Divisor) es decir (Cte+Re/Div) Entonces se tiene:
t2 1 = t −1+ , t +1 t +1
Colocando este resultado en la sub- integral se tiene:
I1 =
1 1 t −1+ dt , la cual al evaluarla por medio de reglas básicas se llega a: ∫ 2 t −1
I1 =
⎞ 1 ⎛t2 t2 t 1 ⎜⎜ − t + ln(t + 1)⎟⎟ ⇒ − + ln(t + 1) 2⎝ 2 4 2 2 ⎠
Finalmente se sustituye esta respuesta en la integral original y se tiene:
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I=
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⎛t2 t 1 ⎞ t2 ln(t + 1) − ⎜⎜ − + ln(t + 1)⎟⎟ + C 2 ⎝4 2 2 ⎠
La cual ya es respuesta, pero para que se vea mejor sacamos factor común ln(t + 1) y simplificamos, por lo que se tiene:
⎛ t 2 −1⎞ ⎛ t 2 − 2t ⎞ ⎟⎟ ln(t + 1) − ⎜⎜ ⎟⎟ + C R/ I = ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 3) Sea I= ∫ x 2 e x dx Usando la palabra “LAE” se observa que la elección de “u” es: u = x 2 , ya que es una función algebraica. Entonces “dv” será lo que “sobra”: dv = e x dx
Luego se procede a calcular “du” y “v” así:
du = (2 x )dx ⇒ du = 2 xdx v = ∫ e x dx ⇒ v = e x Colocando esta información en la fórmula, se tiene: I = x 2 e x − ∫ e x (2 x )dx
Solo queda por evaluar la sub integral I 1 = ∫ e x (2 x )dx ⇒ 2 ∫ xe x dx , la cual también necesita integración por partes, del ejemplo 1 de esta sección se tiene que
∫ xe
x
dx = e x (x − 1) , por lo que
se remite al lector a lo que revise13, luego se coloca este resultado en la integral original:
I = x 2 e x − 2e x ( x − 1) + C 13
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La cual ya es respuesta, pero para que se vea mejor sacamos factor común e x y simplificamos, por lo que se tiene:
(
)
R/ I = e x x 2 − 2 x + 2 + C 4) Sea I = ∫
xe x
(x + 1)2
dx
En este caso la palabra “LAE” no proporciona una elección inmediata de “u”, pero el numerador posee una combinación de función algebraica con función exponencial, es decir “AE” entonces se elige u = xe x , la cual, como se verá en el desarrollo de este problema, permitirá integrar la función. Es por ello que se recomienda tener cuidado al usar el indicador de la palabra “LAE”. Entonces dv =
1 dx (x + 1)2
Luego se procede a calcular “du” y “v” así:
[
]
du = (1)e x + xe x dx ⇒ du = e x (x + 1)dx 1 1 v=∫ dx ⇒ v = − 2 (x + 1) (x + 1)
Colocando esta información en la fórmula, se tiene:
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ x ⎟⎟ − ∫ ⎜⎜ − ⎟⎟e ( x + 1)dx I = xe x ⎜⎜ − ⎝ ( x + 1) ⎠ ⎝ ( x + 1) ⎠ Simplificando se tiene: xe x + ∫ e x dx I =− (x + 1)
Evaluando la sub integral se obtiene:
I =−
xe x + ex + C (x + 1)
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La cual ya es respuesta, pero para que vea mejor simplificamos, uniendo las fracciones, así14:
I=
ex xe x e x ( x + 1) − xe x xe x + e x − xe x − +C ⇒ +C ⇒ +C (x + 1) (x + 1) 1 ( x + 1)
Por lo la respuesta queda: R/ I =
ex +C (x + 1)
5) Sea I = ∫ ( x + 3) x + 1dx En este caso como ambas son funciones algebraicas, esta integral puede resolverse a través del método de sustitución, pero puede reducirse el tiempo de computo, si se utiliza la integración por partes, en este caso “u” será la función algebraica más simple, u = x + 3 , por lo tanto
dv = x + 1dx
Luego se procede a calcular “du” y “v” así:
du = (1)dx ⇒ du = dx v = ∫ ( x + 1) dx ⇒ v = 1/ 2
2 (x + 1)3 / 2 3
Colocando esta información en la fórmula, se tiene: 2 ⎡2 3/ 2 ⎤ 3/ 2 I = (x + 3)⎢ ( x + 1) ⎥ − ∫ ( x + 1) dx 3 ⎦ ⎣3
Al simplificar y evaluar la sub integral se tiene:
2( x + 3)( x + 1) 3
3/ 2
I=
14
Recuerde que:
a c ad ± bc ± = b d bc
2⎛2 5/ 2 ⎞ − ⎜ ( x + 1) ⎟ + C 3⎝5 ⎠
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La cual ya es respuesta, pero solo falta multiplicar las constantes en la sub integral y se tiene15: 2( x + 3)( x + 1) 3
3/ 2
R/ I =
−
4 (x + 1)5 / 2 + C 15
6) Sea I = ∫ ln( x)dx Por la palabra “LAE” se elige u = ln ( x ) , por lo que dv = dx
Luego se procede a calcular “du” y “v” así:
dx ⎛1⎞ du = ⎜ ⎟dx ⇒ du = x ⎝ x⎠ v = ∫ dx ⇒ v = x Colocando esta información en la fórmula, se tiene:
I = x ln( x ) − ∫ x
dx x
Al simplificar y evaluar la sub integral se tiene: I = x ln (x ) − x + C
Que ya es respuesta, pero para que se vea mejor sacamos factor común “x”, así: R/ I = x(ln ( x ) − 1) + C
2( x + 1)
3/ 2
15
Se puede simplificar más hasta obtener I =
(3x + 13) + C , se invita al lector a que lo compruebe.
15
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2.3. Integración por Descomposición en Fracciones Parciales.
Este método se aplica a integrales que involucren el cociente de dos polinomios: f ( x) =
p ( x) , q ( x)
donde p ( x ) es de grado “m” y q(x ) de grado “n”, si m¥n entonces se dice que el cociente es impropio y debe realizarse primero la división de p ( x ) y q(x ) , para poder utilizar el método.
Este método se fundamenta en la premisa de que todo cociente de polinomios se puede expresar como la suma de fracciones simples que involucran a los factores del denominador de la función. En general el método lo que hace es ofrecer una transformación algebraica del integrando para poder expresarlo de una manera en la que se apliquen las reglas de integración inmediatas, ó a lo sumo integración por cambio de variable en las fracciones resultantes. Pueden presentarse cuatro casos generales, los cuales en la práctica se combinan de acuerdo a la naturaleza del integral que se esta evaluando. En general muchos libros de texto para ciencias
económicas
ofrecen
métodos
algebraicos
para
encontrar
las
constantes
indeterminadas de las fracciones parciales, dichos métodos son totalmente validos, pero son engorrosos, es por ello que se presenta en este texto el Método de Desarrollo de Fracciones Parciales de Heavisiade, coloquialmente denominado en el mundo de las matemáticas como el método de cubrimiento. Este método se aplica en todos los casos pero sólo se tratará su aplicación en los casos de los factores lineales, casos I y II, ya que con los factores cuadráticos se necesita, obligadamente, del uso de números complejos, por lo que para los casos III y IV se presentará el método algebraico para resolver factores cuadráticos.
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Caso I: Factores lineales distintos. En este caso el denominador q(x) posee “n” factores lineales distintos, por lo que el cociente original se puede representar por:
f ( x) =
A3 An p(x ) p( x) A1 A2 = = + + +L+ q ( x ) (a1 x + b1 )(a2 x + b2 )(a3 x + b3 )L (an x + bn ) a1 x + b1 a2 x + b2 a3 x + b3 an x + bn
Entonces las constantes se encuentran por la siguiente expresión:
Ai = ((ai x + bi ) f ( x) ) x = − bi
ai
Ejemplo: Evaluar las siguientes integrales 1)
x2 + 1 ∫ x 3 + 2 x 2 − x − 2dx
2)
∫x
x+2 dx 2 + 5x
Solución: 1) Sea f ( x) =
x2 + 1 x3 + 2x 2 − x − 2
Del cual se obtiene que
q(x ) = x 3 + 2 x 2 − x − 2 , el cual se puede factorizar en16
q( x ) = ( x + 1)( x − 1)( x + 2 ) , Por lo que se tiene que hay 3 factores lineales distintos, entonces la
función original puede representarse así:
f ( x) =
x2 + 1 x2 + 1 A A A = 1 + 2 + 3 = 3 2 x + 2 x − x − 2 ( x + 1)( x − 1)( x + 2 ) x + 1 x − 1 x + 2
Es decir una constante indeterminada por cada factor lineal distinto. 16
Se ha utilizado división sintética.
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Luego se obtienen las constantes usando la fórmula: Para A1 se tiene: 2 ⎛ ( x2 + 1 ⎞ 2 − 1) + 1 ⎟ ⎜ A1 = (( x + 1) f (x )) x=−1 ⇒ ⎜ = = ⎟ ⎝ ( x − 1)(x + 2) ⎠ x=−1 (− 1 − 1)(− 1 + 2) − 2 ∴ A1 = −1
Para A2 se tiene:
⎛ (1)2 + 1 = 2 x2 + 1 ⎞ ⎟⎟ = A2 = (( x − 1) f ( x )) x=−1 ⇒ ⎜⎜ ⎝ ( x + 1)( x + 2 ) ⎠ x=1 (1 + 1)(1 + 2) 6 ∴ A2 = 1 / 3
Para A3 se tiene:
A3 = (( x + 2 ) f (x )) x=−2
2 ⎛ x2 + 1 ⎞ ( − 2) + 1 5 ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ = = ⎝ ( x + 1)( x − 1) ⎠ x=−2 (− 2 + 1)(− 2 − 1) 3
∴ A3 = 5 / 3
Por lo tanto:
f ( x) =
x2 +1 x2 +1 − 1 1/ 3 5/3 = = + + 3 2 x + 2 x − x − 2 ( x + 1)(x − 1)( x + 2 ) x + 1 x − 1 x + 2
Finalmente se sustituye en la integral y se tiene:
1 5 − 1 1/ 3 5 / 3 x2 + 1 ∫ x 3 + 2 x 2 − x − 2dx = ∫ x + 1 + x − 1 + x + 2dx = − ln(x + 1) + 3 ln(x − 1) + 3 ln(x + 2) + C R/
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2) Sea f ( x) =
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x+2 , En este caso q( x) = x 2 + 5 x , que puede factorizar en q ( x) = x( x + 5) 2 x + 5x
Por lo que se tiene que hay 2 factores lineales distintos, entonces la función original puede representarse así:
f ( x) =
x+2 x+2 A A = = 1+ 2 2 x + 5 x x ( x + 5) x x + 5
Es decir una constante indeterminada por cada factor lineal distinto. Para A1 se tiene:
⎛ x+2 ⎞ 0+2 2 ⎟⎟ = A1 = ( xf ( x )) x=0 ⇒ ⎜⎜ = ⎝ ( x + 5) ⎠ x=0 (0 + 5) 5 ∴ A1 = 2 / 5 Para A2 se tiene:
⎛ x+2⎞ −5+ 2 −3 ⎟⎟ = A2 = (( x + 5) f ( x )) x=−5 ⇒ ⎜⎜ = (− 5) − 5 ⎝ ( x ) ⎠ x=−5 ∴ A2 = 3 / 5 Por lo tanto:
f ( x) =
2/ 5 3/ 5 x+2 x+2 = + = 2 x x+5 x + 5 x x ( x + 5)
Finalmente se sustituye en la integral y se tiene:
∫x
x+2 dx = 2 + 5x
∫
2 3 2/5 3/5 + dx = ln( x ) + ln(x + 5) + C R/ 5 5 x x+5
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Recurso de aprendizaje: En lugar de aprender la fórmula, observe que en cada caso para hallar la constante que corresponde a un factor lineal simplemente se “quita” ó se “cubre” de la función original el ese factor lineal y el resultado se evalúa en el punto donde se hace cero el factor lineal. Para ilustrar esto retomemos el ejemplo 1, en este caso solo se plantea el calculo de A1 , Se tenia que
A x2 + 1 A A f ( x) = = 1 + 2 + 3 , El Factor lineal asociado a A1 , es x + 1 , es (x + 1)(x − 1)(x + 2) x + 1 x − 1 x + 2 decir que se hace cero en17 x = −1 , si “quitamos” ese factor queda:
x2 + 1 y al sustituir (x − 1)(x + 2)
x = −1 , se tiene que A1 = −1 , como se dedujo con anterioridad.
Caso II: Factores lineales repetidos (iguales). En este caso el denominador q(x) posee “n” factores lineales iguales, por lo que el cociente original se puede representar por:
f ( x) =
A3 An p(x ) p ( x) A1 A2 = = + + +L+ n 2 3 q ( x ) (ax + b ) ax + b (ax + b ) (ax + b ) (ax + b )n
Entonces las constantes se encuentran por la siguiente expresión18:
(
1 d n −i n ( ) Ai = a x + b f ( x) (n − i )! dx n−i i i 17
18
) x=−
bi ai
x + 1 = 0 ⇒ x = −1
d0 Cuando n=i queda la expresión de derivada así , lo cual indica que la expresión no se deriva, además dx 0
recuerde que el factorial de cero es uno (0!=1)
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Ejemplo: Evaluar las siguientes integrales 1)
x2 + x +1
∫ (x + 1)
3
2) ∫
dx
x
(x − 1)(x + 1)2
dx
Solución: 1) Sea f ( x) =
x2 + x +1
(x + 1)
3
, por lo tanto q ( x ) = ( x + 1) y “n” vale 3, por que habrá 3 factores de 3
(x + 1) , así: f ( x) =
x2 + x +1
(x + 1)
3
=
A3 A1 A2 + + 2 x + 1 ( x + 1) (x + 1)3
Para A1 se tiene que19:
1 d 3−1 2 x + x +1 A1 = (3 − 1)! dx 3−1
(
)
(
)
1 d2 2 ⇒ x + x +1 2 dx 2 ! x = −1
⇒ x = −1
1 ⋅2 2
∴ A1 = 1
Para A2 se tiene que20:
1 d 3− 2 2 x + x +1 A2 = (3 − 2)! dx 3−2
(
∴ A2 = −1
19
20
(
)
d2 2 d x + x + 1 = (2 x + 1) = 2 2 dx dx d 2 ( x + x + 1) = 2 x + 1 dx
)
⇒ x = −1
(
)
1 d 2 x + x +1 1! dx
⇒ 2(− 1) + 1 x = −1
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Para A3 se tiene que21:
d 3− 3 2 1 x + x +1 A3 = (3 − 3)! dx 3−3
(
)
⇒ x = −1
(
)
1 2 x + x +1 0!
⇒ (− 1) + (− 1) + 1 2
x = −1
∴ A3 = 1 Por lo tanto
f ( x) =
x2 + x +1
(x + 1)
3
=
1 −1 1 + + 2 x + 1 ( x + 1) (x + 1)3
Finalmente se sustituye en la integral y se tiene22:
x2 + x +1
∫ (x + 1)
3
dx = ∫
2) Sea f ( x ) =
1 1 1 −1 1 − + C R/ + + dx = ln ( x + 1) + 2 3 x + 1 2( x + 1)2 x + 1 ( x + 1) (x + 1) x
(x − 1)(x + 1)2
q ( x ) = ( x − 1)( x + 1)
2
, en este caso se complica, muy levemente, la situación ya que
posee 1 factor lineal distinto (ósea el caso I) y dos factores lineales
distintos (Caso II), entonces se plantea de la siguiente forma:
f (x ) =
A1 B1 B2 x = + + 2 (x − 1)(x + 1) (x − 1) (x + 1) (x + 1)2
Donde A1 es la constante indeterminada para el factor lineal distinto, y B1 , B2 son las constantes arbitrarias de los factores lineales repetidos.
21 22
d0 indica que no se deriva la función. dx 0 Se han utilizado integrales inmediatas y el método de sustitución.
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Para A1 se tiene: A1 = (( x − 1) f ( x) ) x =1 = ∴ A1 =
x
(x + 1)
=
2 x =1
1
(1 + 1)2
1 4
Para B1 se tiene23:
(
)
1 d 2−1 (x + 1)2 f (x ) B1 = 2 −1 (2 − 1)! dx ∴ B1 = −
⇒ x = −1
−1 1 d ⎛ x ⎞ ⇒ ⎜ ⎟ 1! dx ⎝ x − 1 ⎠ x = −1 (− 1 − 1)2
1 4
Para B2 se tiene: B2 =
(
)
1 d 2− 2 (x + 1)2 f (x ) 2− 2 (2 − 2)! dx
⇒ x = −1
−1 1⎛ x ⎞ ⇒ ⎜ ⎟ (− 1 − 1) 0! ⎝ x − 1 ⎠ x = −1
1 ∴ B2 = 2 Por lo tanto:
f (x ) =
x
(x − 1)(x + 1)
2
=
1/ 4 − 1/ 4 1/ 2 + + (x − 1) (x + 1) (x + 1)2
Finalmente se sustituye en la integral y se tiene24:
x
∫ (x − 1)(x + 1)
23
24
2
dx = ∫
1 1 1 1/ 4 − 1/ 4 1/ 2 + C R/ + + dx = ln( x − 1) − ln( x + 1) − 2 2( x + 1) 4 4 (x − 1) (x + 1) (x + 1)
d ⎛ x ⎞ (1)( x − 1) − ( x )(1) 1 , es decir se usado la regla de la derivada de un cociente. =− ⎜ ⎟= 2 dx ⎝ x − 1 ⎠ ( x − 1) (x − 1)2 Se han utilizado integrales inmediatas y el método de sustitución.
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Caso III: Factores cuadráticos distintos. En este caso el denominador q(x) posee “n” factores cuadráticos, irreducibles, distintos, por lo que el cociente original se puede representar por:
f ( x) = =
p(x ) p( x) = 2 2 q(x ) (a1 x + b1 x + c1 )(a2 x + b2 x + c2 )(a3 x 2 + b3 x + c3 )L(an x 2 + bn x + cn )
A3 x + B3 An x + Bn A1 x + B1 A2 x + B2 +L+ + + 2 2 2 a1 x + b1 x + c1 a2 x + b2 x + c2 a3 x + b3 x + c3 an x 2 + bn x + cn
Al igual que en los casos I y II, existen fórmulas generales para calcular las
Ai
y las
Bi
, pero
implican el uso de números complejos, por lo que no se tratarán aquí, pero nos permitiremos explicar un método algebraico que reduce el trabajo de calcular dichas constantes. El método se desarrolla de la siguiente manera: 1) Del dominio del integrando se usa cualquier valor de “x” para sustituirlo en la identidad planteada en este epígrafe. 2) Se repite el paso 1 para cada factor cuadrático presente en la identidad, es decir si existen “n factores”, se harán n sustituciones de “x”. 3) Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales para las Ai y las Bi
Ejemplos: 1)
x ∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 4) dx
Solución:
2) ∫
x 4 + x3 + 2 x 2 − x − 1 dx x3 − x 2 + x − 1
(
)(
)
x por lo tanto q( x) = x 2 + 1 x 2 + 4 , entonces habrá dos factores 2 ( x + 1)( x + 4) cuadráticos distintos, por lo tanto habrá 4 constantes indeterminadas, 2 por cada factor lineal.
1) Sea f ( x ) =
2
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Así el integrando se puede expresar de la siguiente manera:
A x + B A x + B2 x = 1 2 1 + 22 2 ( x + 1)( x + 4) ( x + 1) ( x + 4) 2
El dominio del integrando admite cualquier valor de “x”, y se tienen 4 constantes indeterminadas en los factores cuadráticos, así se tendrán 4 sustituciones de “x”. Elijamos x = 1 , así se tiene:
1 A1 + B1 A2 + B2 A (1) + B1 A2 (1) + B2 (1) + = + = 1 2 ⇒ ⇒ 2 2 ((1) + 1)((1) + 4) ((1) + 1) ((1) + 4) 10 2 5 2
1 = 5 A1 + 2 A2 + 5B1 + 2 B2 ecuación 1
Elijamos x = −1 , así se tiene:
1 − A1 + B1 − A2 + B2 A (−1) + B1 A2 (−1) + B2 (−1) + = + = 1 2 ⇒ ⇒ 2 2 ((−1) + 1)((−1) + 4) ((−1) + 1) ((−1) + 4) 10 2 5 2
− 1 = −5 A1 − 2 A2 + 5 B1 + 2 B2 ecuación 2
Elijamos x = 0 , así se tiene:
B A (0) + B1 A2 (0) + B2 (0) + = 1 2 ⇒ 0 = B1 + 2 ⇒ 2 2 ((0) + 1)((0) + 4) ((0) + 1) ((0) + 4) 4 2
0 = 4 B1 + B2 ecuación 3
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Elijamos x = 2 , así se tiene:
1 2 A1 B1 A1 B2 A (2) + B1 A2 (2) + B2 (2) + = + + + = 1 2 ⇒ ⇒ 2 2 ((2) + 1)((2) + 4) ((2) + 1) ((2) + 4) 20 5 5 4 8 2
2 = 16 A1 + 8 B1 + 10 A2 + 5 B2 ecuación 4
Ahora solo basta con simultanear las cuatro ecuaciones, esto se puede hacer a través de matrices, ó por el método de eliminación, se hará a continuación por el método de eliminación: Se reproduce el sistema para mayor comodidad: 1) 1 = 5 A1 + 2 A2 + 5B1 + 2 B2 2) − 1 = −5 A1 − 2 A2 + 5 B1 + 2 B2 3) 0 = 4 B1 + B2 4) 2 = 16 A1 + 8 B1 + 10 A2 + 5 B2
Al sumar la ecuación 1 con la 2 se tiene: 1 = 5 A1 + 2 A2 + 5B1 + 2 B2 − 1 = −5 A1 − 2 A2 + 5B1 + 2 B2 0 = 0 + 0 + 10 B1 + 4 B2
Es decir: 0 = 10 B1 + 4 B2 , que será la ecuación 5, la cual se puede simultanear con la número 3 así: − 4(0 = 4 B1 + B2 ) 0 = 10 B1 + 4 B2 ⇒ B1 = 0 0 = −6 B1 + 0
Se sustituye este resultado en la ecuación 3 y se tiene: 0 = 4(0 ) + B2 ⇒ B2 = 0
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Con estos resultados se sustituyen en la ecuación 1 y 4 1) 1 = 5 A1 + 2 A2 + 5(0 ) + 2(0 ) ⇒ 1 = 5 A1 + 2 A2 ecuación 6 4) 2 = 16 A1 + 8(0 ) + 10 A2 + 5(0 ) ⇒ 2 = 16 A1 + 10 A2 ecuación 7
Y se procede a simultanear 6 y 7: − 5(1 = 5 A1 + 2 A2 ) ⇒ 1 A1 = 2 = 16 A1 + 10 A2 3 − 3 = −9 A1 + 0
Sustituyendo en 6 se tiene:
1 ⎛1⎞ 1 = 5⎜ ⎟ + 2 A2 ⇒ A2 = − 3 ⎝ 3⎠
Con lo cual se han obtenido todas las constantes, ahora se tiene que:
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟x ⎜ − ⎟x x x A1 x + B1 A2 x + B2 ⎝ 3 ⎠ x 3 − + 2 f ( x) = 2 +⎝ 2 ⎠ ⇒ = 2 = 2 2 2 2 3( x + 1) 3( x + 4) ( x + 1)( x + 4) ( x + 1) ( x + 4) ( x + 1) ( x + 4) Y entonces la integral original es ahora25:
(
)
(
)
1 1 x x x dx = ln x 2 + 1 − ln x 2 + 4 + C R/ − dx = ∫ 2 2 2 6 6 + 1)( x + 4) 3( x + 1) 3( x + 4)
∫ (x
2
2) ∫
x 4 + x3 + 2 x 2 − x − 1 dx x3 − x 2 + x − 1
Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se procede entonces a efectuar la división de los polinomios, del cual se obtiene:
25
Se usado integración por sustitución.
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x 4 + x3 + 2 x 2 − x − 1 3x 2 − 2 x + 1 = x+2+ 3 x3 − x 2 + x − 1 x − x2 + x −1 3x 2 − 2 x + 1 , donde q( x) = x 3 − x 2 + x − 1 , al En este caso se obtiene una sub función: f1 ( x ) = 3 2 x − x + x −1
(
)
factorizarlo se tiene que: q ( x) = ( x − 1) x 2 + 1 , por lo que hay un factor lineal y un factor cuadrático, entonces la expresión queda:
f1 ( x ) =
A Bx + C 3x 2 − 2 x + 1 3x 2 − 2 x + 1 + 2 = = 3 2 2 x − x + x − 1 ( x − 1)( x + 1) x − 1 x + 1
Para A se tiene:
⎛ 3x 2 − 2 x + 1 ⎞ ⎟⎟ = 1 A = (( x − 1) f1 ( x )) x=1 = ⎜⎜ 2 ⎝ x + 1 ⎠ x=1
(
)
∴ A =1 Para C, se sustituye A = 1 , y se elige x = 0
3(0) − 2(0 ) + 1 1 B (0 ) + C = ⇒ −1 = −1 + C ⇒ C = 0 + 2 (0 − 1)((0) + 1) 0 − 1 (0 )2 + 1 2
Se sustituye A = 1 , C = 0 y x = 2 y se tiene:
9 2B 3(2) 2 − 2(2) + 1 1 B(2 ) + 0 ⇒ = 1+ ⇒ B=2 = + 2 2 5 (2 − 1)((2) + 1) 2 − 1 (2 ) + 1 5
Con lo cual se han obtenido todas las constantes por lo que
f1 ( x ) =
1 2x 3x 2 − 2 x + 1 3x 2 − 2 x + 1 + 2 = = 3 2 2 x − x + x − 1 ( x − 1)( x + 1) x − 1 x + 1
Y la integral original es:
(
)
x2 x 4 + x3 + 2 x 2 − x − 1 1 2x + 2 x + ln( x − 1) + ln x 2 + 1 + C R/ = + + + dx x 2 dx = 2 ∫ x3 − x 2 + x − 1 ∫ 2 x −1 x +1
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Caso IV: Factores cuadráticos repetidos (iguales)26.
En este caso el denominador q(x) posee “n” factores cuadráticos, irreducibles, iguales, por lo que el cociente original se puede representar por:
p( x ) p( x) A1 x + B1 A2 x + B2 A3 x + B3 An x + Bn = = + + +L+ 2 n 2 2 2 2 3 q(x ) (ax + bx + c) (ax + bx + c) (ax + bx + c) (ax + bx + c) (ax 2 + bx + c) n
f ( x) =
Este caso utiliza los mismos métodos del caso III, por lo que no se redundará en el desarrollo de algunos pasos. Ejemplos: Evaluar las siguientes integrales ⎛ 2 x 3 + 8x ⎞ ⎟dx 1) ∫ ⎜ ⎜ (x 2 + 2)2 ⎟ ⎠ ⎝
⎛ x2 + 4 ⎞ ⎟dx 2) ∫ ⎜ ⎜ x(x 2 + 3)2 ⎟ ⎠ ⎝
Solución:
(
)
2
1) Este caso: q( x) = x 2 + 1 , por lo habrán dos factores cuadráticos, iguales: Por lo que el integrando se puede expresar así: 2 x3 + 8x
(x
2
+2
)
2
=
A1 x + B1 A2 x + B2 + 2 x2 + 2 ( x + 2) 2
Utilizando el método descrito en el caso III, se obtiene: A1 = 2 , A2 = 4 , B1 = 0 y B2 = 0
Entonces el cociente se convierte en: 2 x3 + 8x
(x
26
2
+2
)
2
=
A1 x + B1 A2 x + B2 2x 4x + 2 = 2 + 2 2 2 x + 2 ( x + 2) 2 x +2 ( x + 2)
Este caso es raramente usado en las aplicaciones en la economía, ya que involucra, para muchas soluciones el uso de la fórmula del arco secante (secante inversa), función trigonométrica que no se enseña en la facultad.
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Por lo que la integral original queda: ⎛ 2x 3 + 8x ⎞ 2 2x 4x 2 ⎜ ⎟dx = ln x + 2 − + C R/ = + dx 2 ∫ ⎜ x 2 + 2 2 ⎟ ∫ x 2 + 2 ( x 2 + 2) 2 2 x + ⎝ ⎠
(
(
)
)
2) En este caso se tiene que el denominador tiene un factor lineal y dos factores cuadraticos
(
)
2
repetidos, ya que q( x) = x x 2 + 3 , por lo que el integrando es equivalente a:
x2 + 4
(
)
x x +3 2
2
=
A0 A1 x + B1 A2 x + B2 + 2 + x x + 3 ( x 2 + 3) 2
Usando la fórmula del caso I, y los métodos planteados en el caso III se tiene que:
Ao =
4 4 1 , A1 = − , A2 = , B1 = 0 y B2 = 0 9 9 3
Y se tiene entonces que:
x2 + 4
(
)
x x2 + 3
2
=
4 / 9 (4 / 9) x (1 / 3) x − 2 + 2 x x + 3 ( x + 3) 2
Por lo que la integral original queda: ⎛ x2 + 4 ⎞ 4 2 1 4 / 9 (4 / 9) x (1 / 3) x 2 ∫ ⎜⎜ x x 2 + 3 2 ⎟⎟dx = ∫ x − x 2 + 3 + ( x 2 + 3) 2 dx = 9 ln( x) − 9 ln( x + 3) + 6( x 2 + 3) + C R/ ⎝ ⎠
(
)
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Guía de ejercicios:
I-Parte resuelva por cambio de variable las siguientes integrales:
1.
8.
2.
9.
3.
10.
4.
11.
5.
12.
6.
13.
∫
7.
x +1
e
x +1
dx
14.
1
∫ x ln( x) dx
II-Parte Resuelva las siguientes integrales, usando integración por partes (puede ser necesario aplicar primero cambio de variable): 15.
∫ xe
16.
3 x ∫ x e dx
17.
−2 x
x 3e x
∫ (x
2
21. ∫ ln(3x )dx
dx
22.
2
)
+1
2
dx
18. ∫ x 2 ln ( x )dx 19. ∫ 20.
ln( x) dx x2
∫x
xe 2 x ∫ (2 x + 1) 2 dx
x − 1dx
23. ∫ (ln ( x)) 2 dx 24. ∫ 2 x ln( x + 1)dx 25. ∫ e x dx 26. ∫ ln( x + 1)dx
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III- Resuelva los siguientes integrales usando integración por el método de fracciones parciales, (puede ser necesario aplicar primero cambio de variable):
x dx − x − 4x + 4
27.
∫x
1 dx −1
33.
∫x
28.
3 ∫ x 2 + x − 2 dx
34.
x3 ∫ (x − 1)4 dx
2
3
2
x 2 −1 dx 29. ∫ 3 x +x
x2 + 2 dx 35. ∫ 3 2x + x 2 − 2x −1
x dx 30. ∫ 16 x 4 − 1
x2 + 2 dx 36. ∫ 4 x − 2x3 + 2x2 − 2x +1
2x − 3 dx 31. ∫ ( x − 1) 2
x2 dx 37. ∫ 2 x + 4 x − 12
32.
∫x
x dx − x − 4x + 4
3
2
38.
∫e
x
1 dx +1
IV- Miscelánea: Evalué las siguientes integrales (Pueden ser necesarios uno o dos métodos de integración):
eu dx e 2u + 4e u + 3
39.
1 3 ∫ x (ln(x )) dx
48. ∫
40.
∫ (e
)
49.
( x + 1)e x ∫ ( x + 2) 2 dx
41.
∫ x − 1 dx
50.
∫ ( x + 1)
42.
∫ x (x
x
2
+ x dx
x +1
2
3
)
5
+ 1 dx
x −1
51. ∫ −
5
1 ln(t )dt t2
ex dx 45. ∫ 2 x e − ex
52.
∫ x e dx
46. ∫ e x dx
53.
∫ ( x + 1)
3
47. ∫
1 dx ( x − 1)( x + 2)( x − 3)
dx
5
x
2x
2
dx
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V-En los siguientes ejercicios encuentre la solución particular que se le pide: 54.
dy = 2 x + 1 , con y (0) = 5 dx
57.
dCT = 2q 2 + 1 , con CT (0) = 100 dq
55.
dy = x 3 + x , con y (1) = 2 dx
58.
dE 3 i = i − e , con E (0) = 1 di
56.
dy = ln( x ) , con y(1) = 4 dx
Bibliografía.
•
C. Chiang, Alpha “Métodos Fundamentales de Economía Matemática” Edit. Mc Graw Hill, México (1987)
•
Larson, Roland et al, “Cálculo y Geometría Analítica” 3ra. Edición, Edit. Mc Graw Hill, México (1989)
•
Zill, Dennis y Michael CULLEN: "Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera", 5ª edición. Editorial Thomson México (2004)
•
Pita Ruiz, Claudio, “Cálculo Vectorial”, Edit. Prentice Hall, México 1994
•
Weber, Jean E. “Matemáticas para Administración y Economía”, 4ta Edición, Edit. Oxford, México (1999)