DE CERCA DE CERCA Matemáticas
Índice
1. Números para contar, números para medir 9
Vocabulario • Números naturales • Otras formas de contar • Números enteros • Fracciones • Operaciones con fracciones • Números decimales • Fracciones y decimales con la calculadora
2. Potencias y raíces ............................. 21
Vocabulario • Potencias • Notación científica • Raíces exactas • Radicales
3. Problemas aritméticos 29
Vocabulario • Aproximaciones y errores • Cálculos con porcentajes • Interés compuesto • Problemas clásicos • Proporcionalidad compuesta en problemas aritméticos
4. Progresiones ......................................... 41
Vocabulario • Sucesiones • Progresiones aritméticas • Progresiones geométricas
5. El lenguaje algebraico ................. 49
Vocabulario • Expresiones algebraicas • Monomios • Polinomios • Identidades • División de polinomios
6. Ecuaciones ............................................ 57
Vocabulario • Ecuaciones. Solución de una ecuación • Ecuaciones de primer grado • Ecuaciones de segundo grado • Resolución de problemas con ecuaciones
7. Sistemas de ecuaciones 65
Vocabulario • Ecuaciones lineales con dos incógnitas • Sistemas de ecuaciones lineales • Sistemas equivalentes • Tipos de sistemas según el número de soluciones • Métodos de resolución de sistemas • Resolución de problemas mediante sistemas
8. Funciones. Características .......... 73
Vocabulario • Las funciones y sus gráficas • Aspectos relevantes de una función • Expresión analítica de una función
9. Funciones lineales y cuadráticas 81
Vocabulario • Función de proporcionalidad y = mx • Función lineal y = mx + n • Aplicaciones de la función lineal. Problemas de movimientos • Estudio conjunto de dos funciones lineales • Parábolas y funciones cuadráticas
10. Problemas métricos en el plano 91
Vocabulario • Relaciones angulares • Triángulos semejantes. Teorema de Tales • Figuras semejantes. Escalas • Teorema de Pitágoras • Aplicación algebraica del teorema de Pitágoras • Áreas de los polígonos • Áreas de figuras curvas
11. Cuerpos geométricos
99
Vocabulario • Poliedros regulares y semirregulares • Truncando poliedros regulares • Planos de simetría de una figura • Ejes de giro de una figura • Superficie de los cuerpos geométricos • Volumen de los cuerpos geométricos • Coordenadas geográficas
12. Transformaciones geométricas ....................................... 109
Vocabulario • Transformaciones geométricas • Movimientos en el plano • Traslaciones • Giros. Figuras con centro de giro • Simetrías axiales. Figuras con ejes de simetría • Composición de movimientos • Mosaicos, cenefas y rosetones
13. Tablas y gráficos estadísticos ......................
121
Vocabulario • El proceso que se sigue en estadística • Variables estadísticas • Población y muestra • Confección de una tabla de frecuencias • Gráfico adecuado al tipo de información
14. Parámetros estadísticos .............
129
Vocabulario • Dos tipos de parámetros estadísticos • Cálculo de x y σ en tablas de frecuencias • Interpretación conjunta de x y σ • Parámetros de posición: mediana y cuartiles • Obtención de x y σ con la calculadora
15. Azar y probabilidad ....................
137
Vocabulario • Sucesos aleatorios • Probabilidad de un suceso • Probabilidad en experiencias regulares. Ley de Laplace • Probabilidad en experiencias irregulares. Ley de los grandes números • Probabilidades en experiencias compuestas
1 NÚMEROS PARA CONTAR, NÚMEROS PARA MEDIR
Números naturales
operaciones
contar solución de problemas
tipos decimales exactos
• mixto
Fracciones
simplificación de fracciones operaciones
• simplificada
• irreducible
fracciones equivalentes comparación de fracciones
• suma y resta
• producto y cociente
• operaciones combinadas
• fracción de una cantidad
Números decimales
el cociente puede ser transformación decimales periódicos
irracionales
• decimal exacto
• puro con la calculadora
• un número entero
• un decimal exacto
• un decimal periódico de de fracción a decimal de decimal a fracción
• decimal periódico puro
• decimal periódico mixto
Números enteros
valor absoluto operaciones solución de problemas
Números naturales 1
Los números que usamos para contar objetos se llaman números naturales. Los números naturales son, como sabes, 0, 1, 2, 3, …, 10, 11, …, 100, 101, … Hay infinitos. Al conjunto de todos ellos se le denomina N. Están ordenados. Esto nos permite representarlos sobre una recta:
Los números naturales también sirven para indicar el lugar que ocupan los distintos elementos dentro de un conjunto ordenado: octubre es el segundo mes del otoño y el décimo del año.
Practica...
1 Un ganadero compra 45 terneras a 475 € cada una y, durante el viaje, dos de ellas se accidentan, por lo que debe sacrificarlas. Seis meses después vende cada una de las restantes a 1 690 €. Calculando que los gastos de mantenimiento y ceba han sido de 34 680 €, ¿qué ganancia ha obtenido por cada una de las terneras que compró?
2 En el obrador de la bollería, sacan del horno 7 bandejas de magdalenas con 65 piezas en cada una. Después las envasan en bolsas de 8 unidades y las venden a 2 € la bolsa.
¿Qué recaudación se obtiene en caja, teniendo en cuenta que durante el proceso de manipulación se malograron 13 piezas?
Otras
formas de contar 2
La idea elemental de cómo se cuentan los elementos de un conjunto es ir numerándolos sucesivamente (1, 2, 3, 4, …) hasta llegar al último.
Hay otras formas menos simples de contar utilizando las operaciones aritméticas elementales. Por ejemplo:
¿Cuántas cajas hay en una pila de 45 de largo, 30 de ancho y 40 de alto?
Obviamente, 45 · 30 · 40 = 54 000 cajas.
Pero hay otras formas más sofisticadas de contar que requieren un tratamiento sistemático y la aplicación de estrategias específicas. Veamos algunas:
¿Cuántos caminos, de distancia mínima, van de A a B?
Hay 4 caminos distintos para ir de A a B.
¿De cuántas formas se pueden seleccionar las 5 jugadoras que comenzarán un partido de baloncesto si se dispone de 7?
Hay 7 jugadoras (a, b, c, d, e, f, g) y hemos de seleccionar a 5. Pero resulta más sencillo pensar en cuáles son las dos que, de momento, no juegan.
ab ac ad ae af ag bc bd be bf bg cd ce cf cg de df dg ef eg fg
Como ves en el esquema, hay 21 formas de seleccionar a 2 de entre 7 (las dos que se quedan sin jugar). Por tanto, habrá 21 formas de seleccionar a las 5 que juegan.
3
En un campeonato en el que participan cinco jugadores, hay tres premios distintos para los tres primeros. ¿De cuántas formas se puede resolver el campeonato?
Utilizaremos un diagrama en árbol para analizar todas las posibilidades.
Vemos que el jugador A es el primero en 4 · 3 de los casos posibles.
Otro tanto ocurrirá con los demás jugadores.
Por tanto, el número total de posibilidades es 5 · 4 · 3 = 60.
Practica...
1 ¿De cuántas formas se pueden asignar 3 libros distintos a 6 estudiantes?
2 ¿De cuántas formas podemos ir de A a B? ¿Y de B a C?
¿Y de A a C pasando por B?
3 ¿De cuántas formas podemos repartir 6 entradas entre 7 personas? ¿Y si fueran 8 los candidatos?
4 Se organiza un torneo de pimpón entre seis jugadores. ¿Cuántas partidas han de disputar? Descríbelas.
5 ¿De cuántas formas se pueden sentar cinco amigos en las cinco butacas contiguas de la fila de un cine? Descríbelas.
6 Calcula la suma de los 50 primeros números naturales. Hazlo sin sumar uno a uno. Para ello, ten en cuenta que 1 + 50 = 2 + 49 = 3 + 48 = …
Números enteros 3
El conjunto Z
Los números enteros negativos junto con los números naturales forman el conjunto de los números enteros, que se denomina Z.
Los números enteros se pueden representar, ordenados, sobre una recta: –7 – 6 –5 – 4 –3 –2 –1
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número es su magnitud si prescindimos de su signo. | x | → valor absoluto de x
Operaciones con números enteros
Con los números enteros podemos sumar, restar y multiplicar, con la seguridad de que el resultado siempre será un número entero. Sin embargo, al dividir dos enteros, el resultado no suele ser entero.
Observa
Gráficamente, el valor absoluto de un número es su distancia al cero: |– 4| = 4 – 4 0 3 |+3| = 3 – 4 0 3
a) 7 – |5 – 8| – (4 – 12 + 6 – 11) = 7 – |–3| – (10 – 23) = 7 – |–3| – (–13) = = 7 – 3 + 13 = 20 – 3 = 17
b) |2 · (–9)| – [–16 – 5 · (11 – 17)] : (7 – 8) = |–18| – [–16 · 5 – (–6)] : (–1) = = 18 – [–16 + 30] : (–1) = 18 – [14] : (–1) = 18 + 14 = 32
c) |–4 + (–3) · 2 + 5| – 2 · |3 – |4 – 5|| = |– 4 + (–6) + 5| – 2 · |3 – 1| = = |–10 + 5| – 2 · 2 = |–5| – 4 = 5 – 4 = 1
Practica...
1 Ordena de menor a mayor. |–4|, 19, 7, 0, –6, |–5|, – 2
2 Calcula.
a) [(1 – 4) – (5 – 3) – (–6)] · [–3 + (–7)]
b) |3 – 3 · (–7) – |5 · (–8)||
c) –3(4 – 2) – 4(3 – 8) – [4 · (–5)] · [(–3) · 11]
3 Opera las siguientes expresiones:
a) [(1 – 7) – (8 – 3) – 2] · (15 – 11)
b) (7 – 3) · 12 + (5 – 1) · [6 – 3 · 2]
c) (–3) – 2 · (–1) + 5 · (–2) – [2 – 4 · (–7)]
d) 17 – 4 · (–3 + 6) – 2[4 – 5(2 – 3) · (–2)]
e) |26 – (– 4) · (–3) · (–3 + 2)| – |–2 + 7| · (–4)
4 La temperatura de un congelador baja 2 °C cada 3 minutos hasta llegar a –18 °C. ¿Cuánto tardará en llegar a –12 °C si cuando lo encendemos la temperatura es de 16 °C?
5 Aristóteles murió en el año 322 a. C. y vivió 62 años. ¿En qué año nació?
6 Halla la diferencia de temperatura (en °C) que hay entre el punto de fusión, P. F. (de sólido a líquido), y el de ebullición, P. E. (de líquido a gas), de cada uno de estos elementos químicos:
a) Cloro. P. F.: –101; P. E.: –35
b) Fósforo. P. F.: 44; P. E.: 280
c) Mercurio. P. F.: –39; P. E.: 357
Fracciones 4
Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros. Dicho cociente puede ser entero , 2 6 3 3
A la unión de todos los números enteros y de todos los números fraccionarios se la llama conjunto de números racionales y se designa por Q
Los números racionales son los que se pueden poner en forma de fracción.
Simplificación de fracciones
Si el numerador y el denominador de una fracción se pueden dividir por un mismo número (distinto de 1 y de –1), al hacerlo diremos que hemos simplificado o reducido la fracción. Observa el esquema ❶
Fracciones equivalentes
Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando, al simplificarse, dan lugar a la misma fracción irreducible.
Recuerda
Si el numerador es un múltiplo del denominador, la fracción es un entero. Si no, es una fracción.
Simplificación
y 35
Comparación de fracciones
Dos fracciones con el mismo denominador son muy fáciles de comparar observando sus numeradores. Para comparar dos fracciones con distinto denominador, las «reducimos a común denominador», es decir, buscamos dos fracciones equivalentes a ellas y que tengan el mismo denominador.
Observa
Un procedimiento para comprobar si dos fracciones son equivalentes es el que denominamos productos cruzados:
b a d c = si a · d = c · b
Por ejemplo, 30 18 y 35 21 son equivalentes porque: 18 · 35 = 630 = 21 · 30
Practica...
1 ¿A qué fracciones corresponden estos puntos de la recta?
2 Indica si estas fracciones son o no equivalentes simplificando y mediante productos cruzados.
a) 20 12 y 35 21 b) 102 36 y 221 78
3 ¿Verdadero o falso?
a) 5 2 > – 4 7 porque el primero es positivo y el segundo es negativo.
b) 3 7 > 5 2 porque el primero es mayor que 1 y el segundo es menor que 1.
c) 3 8 > 4 7 porque el primero es mayor que 2 y el segundo es menor que 2.
Operaciones con fracciones
Suma y resta de fracciones
Para sumar (o restar) fracciones con el mismo denominador, se suman (o se restan) sus numeradores y se mantiene el denominador.
Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador, se empieza por transformarlas en otras equivalentes con el mismo denominador. Fíjate en el ejemplo ❶
Producto y cociente de fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores. · · b a d ca c bd =
Fíjate en el ejemplo ❷.
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda. : b a d c b a c d · =
Fíjate en el ejemplo ❸
Operaciones combinadas de fracciones
Para realizar operaciones combinadas, primero se resuelven los paréntesis y los corchetes, y después, el resto de operaciones, teniendo en cuenta que los productos y los cocientes son anteriores a las sumas y a las restas. Fíjate en el ejemplo ❹
Fracción de una cantidad
Para calcular la fracción, b a , de una cantidad, C, multiplicamos b a · C.
Para calcular 5 3 de 1 200 €, divide entre 5 y luego multiplica el resultado por 3.
Fíjate en el ejemplo ❺.
Practica...
1 Calcula y simplifica los resultados.
2 Halla la parte del total en cada caso. a) 2 1 de 520 000 € b) 10 7 de 500 edificios
3 Un ciclista ha recorrido los 5/9 de la etapa de hoy, de 216 km. ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos? Contesta y comenta con tus compañeros y compañeras.
Problemas con fracciones 1
En una clase de 36 estudiantes, 2/3 son chicos. Las 3/4 partes de las chicas dan música. ¿Qué fracción del total son las chicas de música? ¿Cuántas son?
3 2 son chicos → 3 1 son chicas.
Fracción de chicas que dan música:
4 3 de 3 1 = 4 3 3 1 12 3 4 1 ·= = del total de la clase.
Chicas que dan clase de música: 4 1 de 36 = 36 : 4 = 9
2
Tres amigos se reparten un premio, de modo que el primero se lleva 2/5 del total; el segundo, 5/9 de lo que queda, y el tercero, 92 €. ¿A cuánto ascendía el premio?
El primero se lleva 5 2 del premio; quedan 5 3 .
El segundo se lleva 9 5 de 5 3 = 9 5 · 3 5 = 9 3 = 3 1 del premio.
Entre el primero y el segundo se llevan 5 2 3 1 15 65 15 11 += + = del premio.
El tercero se lleva 15 15 15 11 15 4 –= del premio.
15 4 del premio son 92 €; 15 1 son 92 : 4 = 23 €; 15 15 son 23 · 15 = 345 €
Por tanto, el premio ascendía a (92 : 4) · 15 = 345 €.
Practica...
4 Expresa como suma de un entero y una fracción.
a) 9 40 b) 5 86 c) 10 127 d) 12 127 e) 8 43 –
5 Obtén la fracción irreducible.
a) 21 18 b) 35 14 c) 36 42 d) 56 14 e) 200 75
6 Calcula.
a) 5 1 de 275 b) 7 3 de 581 c) 20 11 de 580
7 Halla la fracción resultante.
a) 2 1 de 3 1 b) 3 2 de 4 1 c) 9 5 de 5 3
8 Calcula. a) · 1 9 10 5 1 4 1 ++dn b) : 1
9 En una frutería se venden, por la mañana, 3/5 de la fruta que había y, por la tarde, la mitad de lo que quedaba.
a) ¿Qué fracción queda por vender?
b) Si al empezar el día había 750 kg, ¿cuántos kilos se vendieron?
10 Un dentista dedica 1 h y 3/4 a su consulta. Si recibe a 15 pacientes, ¿qué fracción de hora puede dedicar a cada uno? ¿Cuántos minutos son?
Chicos Chicas
Números decimales 6
La expresión decimal de los números permite valorarlos, compararlos y operar con ellos de forma muy cómoda y eficaz.
Tipos de números decimales
• Decimales exactos: tienen un número limitado de cifras.
5,4; 0,97; 8; –0,0725
• Decimales periódicos puros: todas las cifras después de la coma se repiten periódicamente.
7,81818181... = , 81 7 $
• Decimales periódicos mixtos: tienen otras cifras decimales antes de las cifras que se repiten.
18,35222222... = , 2 18 35 !
• Decimales no exactos ni periódicos: son números decimales que tienen infinitas cifras que no se repiten periódicamente. Al contrario que los decimales exactos y periódicos, estos números no son racionales, por lo que se denominan números irracionales.
2 = 1,4142135…; π = 3,14159265…
Practica...
1 Indica qué tipo de número decimal es cada uno de los siguientes:
3,52 , 28 ! , 154 # 3 = 1,7320508…
2,7 3,5222… π – 2 = 1,1415926…
2 Ordena de menor a mayor.
a) 3,56; , 356 ! ; , 35 ! ; , 356 #
b) –1,32; – , 132 ! ; – , 132 # ; – , 13 !
c) ,; ;, ;; 23 3 8 234 15 32 10 21 !
Recuerda
El grupo de cifras decimales que se repite una y otra vez se llama periodo. Se indica poniendo un arco sobre las cifras correspondientes: , 568 # 16, 14 7 !
Usa la calculadora
En las calculadoras, en lugar de una coma, aparece un punto. 1 437.54 → {∫∫‘¢«|…∞¢}
3 Ordena de mayor a menor los siguientes números: , 25 ! 2,5 , 235 ! 2,505005…
Explica tu respuesta en el cuaderno.
4 Escribe tres números comprendidos entre:
a) 2,5 y , 25 !
b) 0,345 y 0,346
c) , 23 ! y 2,4
d) –4,5 y –4,4
Transformación de fracciones en decimales
Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del numerador entre el denominador. El cociente puede ser:
• Un número entero: el numerador es múltiplo del denominador. 9 72 = 8; 15 –240 = –16
• Un decimal exacto: el denominador de la fracción simplificada solo tiene los factores primos 2 y 5 (o alguno de ellos).
40 123 = 3,075; 25 42 = 1,68
• Un decimal periódico: el denominador de la fracción simplificada tiene algún factor primo distinto de 2 y 5. 11
86 = , 781 # ; 66 87 = 22 29 = 1,318 #
Toda fracción irreducible da lugar a un número decimal:
• Decimal exacto, si el denominador tiene los factores 2 y 5.
• Decimal periódico, si el denominador tiene factores distintos a 2 y 5.
Por tanto, unos y otros son números racionales. Sin embargo, los decimales con infinitas cifras no periódicas son números irracionales.
Practica...
5 Comentad en grupo. ¿Verdadero o falso?
a) 3 1 = 0,333… = , 03 !
3 3 = 3 · 0,333… = 0,999… = , 09 !
Como 3 3 = 1, resulta que , 09 ! = 1
b) , 54 ! = , 544 #
c) , 372 # = 3,7272727… = 3, 727 #
d) , 03 ! + , 06 ! = 1
50 10 3 A partir de aquí se repiten los cocientes y los restos. se repite
6 Sin efectuar la división, y atendiendo solo al denominador de la fracción simplificada, di si las siguientes fracciones darán lugar a decimales exactos o decimales periódicos:
a) 150 44 b) 150 42 c) 1 024 101 d) 500 1 001
7 Escribe un valor de k para que k 84 sea:
a) Un número entero.
b) Un decimal exacto.
c) Un decimal periódico.
6 Números decimales
Transformación de decimales en fracciones
De decimal exacto a fracción
Expresar en forma de fracción un número decimal exacto es muy fácil, pues el denominador es una potencia de base 10.
De decimal periódico puro a fracción
• Periodo de una sola cifra: N = , 54 ! = 5,4444… , , 0N N 154 444 5 444 10 … … = = 4
Al restar, desaparece la parte decimal.
10N – N = 54 – 5 → 9N = 49 → N = 9 49
• Periodo con varias cifras: N = 6,207 & = 6,207207207… , , 000N N 16 207 207207 6 207207 1 000 … … = = 3
Al restar, desaparece la parte decimal:
1 000N – N = 6 207 – 6 → 999N = 6 201 → N =
De decimal periódico mixto a fracción
• Para transformar N = ,5 263 # en una fracción: N = 2,5636363…
Multiplicamos por 10 para obtener un decimal periódico puro.
10N = 25,636363…
Ahora, multiplicamos por 100 para obtener otro con la misma parte decimal.
1 000N = 2 563,636363…
Al restar este al anterior, desaparece la parte decimal. Es decir, se obtiene un número entero.
1 000N – 10N = 2 563 – 25 → 990N = 2 538 → N
Practica...
8 Expresa en forma de fracción. a) 6,2 b) 0,63 c) 1,0004 d) , 35 ! e) , 01 ! f) , 27 ! g) , 023 # h) 41,041 & i) 40,028 & j) , 59 ! k) 7,009 & l) , 099 #
9 Expresa como fracciones los siguientes decimales: a) , 62 5 ! b) , 0001 ! c) , 5018 #
• 2,5 = 10 25 = 2 5
• 3,41 = 100 341
• 0,004 = 1 000 4 = 1 250
Observa
• Multiplicamos N por una potencia de base 10 para hallar otro número con la misma parte decimal.
• Al restar ambos números, obtenemos un entero.
• Despejando N llegamos a la fracción buscada.
Observa
• Multiplicamos N dos veces por potencias de base 10 para obtener dos decimales periódicos puros con el mismo periodo.
• Al restarlos se obtiene un número entero.
• Despejando N se obtiene la fracción buscada.
10 Completa el proceso para expresar como fracción el número dado en cada caso.
a) , , , , 21 00 000 N N N 67 1 1 6 21777 621 77777 6 217 7777 … … … = = = * ! b) , , , , 031 000 00 000 N N N 062 1 1 0 0316262 31 626262 3 162 626262 = = = * #
Fracciones y decimales con la calculadora
Fracciones
Usa la calculadora
Para introducir las fracciones en la calculadora utilizamos la tecla y las flechas ”’‘“. Escribir 3 4 → 3 ’ 4 ”
Operaciones con fracciones
Usa la calculadora
Por ejemplo, obtengamos 2
Decimales
Usa la calculadora
Los decimales no periódicos se escriben de forma natural teniendo en cuenta que en lugar de la coma, se debe poner un punto (.).
La tecla �, aplicada a un número obtenido en la SALIDA, lo transforma de fracción a decimal, o viceversa.
Observa
Puedes pulsar = para simplificar una fracción.
Practica...
1 Introduce en la calculadora estas expresiones y comprueba que al pulsar =, se simplifican las fracciones o se obtienen las fracciones correspondientes: a) 5 3 b) 12 8 c) 15
d) 3,25 e) 0,27 f) 0,321
2 Haz con la calculadora estas operaciones. Obtén los resultados en forma de fracción y de número decimal:
Para escribir un decimal periódico, usaremos las teclas .
El reto final
Aprende y calcula
Códigos de identificación y dígitos de control
En el mundo actual se utilizan códigos con el fin de identificar productos de forma única, como lo hacen el carné de identidad para las personas o la matrícula para los coches. Muchos de ellos tienen asociado un dígito cuya función es controlar los errores que se puedan producir al escribirlos: son los dígitos de control. Veamos un ejemplo:
Los códigos de barras
Seguro que has visto muchos códigos de barras. Las barras y los espacios en blanco forman una codificación en un sistema binario (unos y ceros) que, con ayuda de un dispositivo óptico, identifican el artículo.
Hay distintos tipos de códigos de barras, pero el más habitual tiene 13 dígitos agrupados en tres partes, como ves a la derecha.
Veamos cómo se calcula el dígito de control:
1 Se suman los dígitos de las posiciones impares, empezando por la izquierda (el dígito de control, x, queda indicado en la suma).
2 Al resultado anterior se le añade la suma de los dígitos de las posiciones pares multiplicada por 3. Se da el valor adecuado a x para que el resultado total sea múltiplo de 10.
Veamos un ejemplo del código de barras de un libro como este que estás leyendo –el 978 inicial corresponde al ISBN (Número estándar internacional para libros)–.
9 7 8 8 4 6 7 8 5 2 1 2 x
Sumamos los dígitos de las posiciones impares:
9 + 8 + 4 + 7 + 5 + 1 + x = 34 + x
Sumamos los dígitos de las posiciones pares:
7 + 8 + 6 + 8 + 2 + 2 = 33
Multiplicamos por 3 el resultado anterior: 3 33 = 99
La suma total es: 34 + x + 99 = 133 + x. Tiene que ser múltiplo de 10.
El único número de un solo dígito válido para x es 7, así la suma es 140.
El número, por tanto, quedaría así: 9 7 8 8 4 6 7 8 5 2 1 2 7
Comprueba los dígitos de control en estos códigos de barras:
• Copia en tu cuaderno los números de tres códigos de barras que veas en tres productos cualesquiera.
• Comprueba que en todos está bien calculado el dígito de control.
84 3448504835 6
Código del país (2 o 3 dígitos)
84 → España
Código de control (1 dígito)
Código que indica la empresa y el producto (9 o 10 dígitos)
CERCA
Matemáticas
1 Números para contar, números para medir
Números naturales
Los números que utilizamos para contar objetos se llaman números naturales.
N= {0, 1, 2, 3, …, 10, 11, …, 100, 101, …}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Enteros
Los números enteros negativos junto con los números naturales forman el conjunto de los números enteros.
Z= {…, –11, –10, …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …, 10, 11, …} –7
El valor absoluto de un número es su magnitud si prescindimos de su signo.
|x | → valor absoluto de x. |–3| = 3; |5| = 5
Operaciones
2 · (–9) – [–16 – 5 · (11 – 17)] : (7 – 8) = –18 – [–16 – 5 (– 6)] : (–1) = –18 – [–16 + 30] : (–1) = = –18 – 14 : (–1) = –18 + 14 = – 4
Fracciones
Para simplificar una fracción, divide su numerador y denominador por un mismo número distinto de 1 y –1.
Cuando una fracción no se puede reducir más y su denominador es positivo, diremos que es irreducible. ;; 15 25 3 5 12 8 6 4 3 2 4 500 3 000 4 30 3 2 5
Dos fracciones son equivalentes cuando, al simplificarse, dan lugar a la misma fracción irreducible.
Podemos usar los productos cruzados para comprobar si dos fracciones son equivalentes:
Operaciones con fracciones
Suma y resta
denominador:
Distinto denominator:
Para hallar una fracción b a de una cantidad C, se multiplica b a · C.
Números decimales
Decimal exacto
Número limitado de cifras decimales.
Decimal periódico puro
El periodo empieza después de la coma.
5,4; 0,97; 8; –0,0725 7,81818181... = 7, 81 (
Decimal periódico mixto
Tienen otras cifras decimales antes del periodo.
18,35222222... = 18, 352 (
N = Z [ \ ] ] ] ] ] ] ]
número entero
decimal exacto: el denominador de la fracción simplificada solo tiene los factores primos 2 y 5. decimal periódico: el denominador tiene algún factor primo distinto de 2 y 5.
Paso de decimal a fracción
• De decimal exacto a fracción
• De decimal periódico puro a fracción
o Periodo de una sola cifra:
Números irracionales
Tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente.
2 = 1,4142135…; π = 3,14159265…
Paso de fracción a decimal
o Periodo con varias cifras:
• De decimal periódico mixto a fracción
(
Al restar desaparece la parte decimal:
100 000N = 7 324,324324…
Al restar desaparece la parte decimal:
Al restar se obtiene un periódico puro. Otro, con la misma parte decimal.
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