Vacaciones Matemáticas 3 ESO (muestra)

Refresca lo que has aprendido en MATEMÁTICAS de

4 . o ESO Rumbo a

Refresca lo que has aprendido en MATEMÁTICAS de

MATE MÁTICAS

¿Qué encontrarás en este cuaderno?

Refresca tus conocimientos de cálculo, álgebra, geometría, medida, estadística y probabilidad de una manera práctica y amena para empezar el próximo curso con buen pie.

Los contenidos se agrupan en seis semana s de cinco días . Para facilitarte la gestión del tiempo , cada semana se especifican las páginas que puedes hacer diariamente.

LA ESTRATEGIA GANADORA

1.

Cada semana empieza con un enigma . ¿Lo sabrás resolver?

que se cortan en un punto.

Sistema compatible indeterminado Infinitas soluciones. Dos rectas coincidentes. Sistema incompatible No tiene solución. Dos rectas paralelas.

2.

Un caracol que se ha deslizado hasta el fondo de un pozo de 24 m de profundidad empieza a subir siguiendo el rastro de la luz al siguiente ritmo: Durante el día, como ve la luz del Sol, sube por el pozo a razón de 3 m diarios. Durante la noche, como no ve la luz del Sol, se detiene y resbala 2 m hacia abajo. ¿Cuántos días tardará en salir del pozo? ¡EL

Y, para saber cómo vas de matemáticas, resuelve las actividades de las páginas siguientes.

Y, además, practica un poco más con las secciones El Reto , ¡Crea tu propio problema! y Sin calculadora .

Y, si algún contenido te cuesta un poco, no te preocupes: ¡te damos pistas !

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Icosaedro 20 caras triangulares

¡Experimenta cada semana el desafío de una nueva situación de aprendizaje !

2 MENSAJES EN CLAVE

POLIEDROS REGULARES POLIEDRO SEMIRREGULAR En cada vértice concurren el mismo número de polígonos regulares.

Octaedro 8 caras triangulares

Tetraedro 4 caras triangulares Cubo o hexaedro 6 caras cuadrados Dodecaedro 12 caras pentagonales

1. Di si estas figuras son poliedros regulares. Razona la respuesta.

a) b)

2. Di si estas otras son poliedros semirregulares. Razona la respuesta. a) b)

5.

La criptografía consiste en convertir un texto en un mensaje enigmático que solo puede comprender a la persona que tiene la clave. A lo largo de la historia, se han diseñado numerosos sistemas de claves y códigos para garantizar la confidencialidad de los mensajes. ¿Te atreves a descifrar algunos de los códigos más famosos?

1 El código Atbash es un método de ciframiento hebreo. Pertenece a la criptografía clásica y es un tipo de ciframiento por sustitución. Consiste en sustituir la primera letra del alfabeto por la última, la segunda por la penúltima, y así sucesivamente.

Original Clave

A B C D E F G H J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Z Y X W V U T S R Q P O N M L K J H G F E D C B A

a) A la pregunta ¿Qué haremos esta tarde? María responde con este mensaje cifrado: «ZMRIVN Z OZ KRHXRMZ ZNY VOH NVFH XLHRMH ¿Qué dice este mensaje?

b) Ahora es tu turno, codifica este mensaje con el código Atbash: «Mi helado preferido es el de limón.»

El cuadrado de Polibi es un sistema en que las letras se colocan en una matriz de 5 × 5, y cada letra está representada por dos números, correspondientes a la fila y la columna en que se encuentra. Como el alfabeto tiene 26 letras y la matriz tiene 25 casillas, hay dos que se colocan en la misma casilla. Pueden ser la y la J, como en este caso, u otras.

1 2 3 4 5 1 A B C D E 2 F G H I/J K 3 L M N O P

El solucionario está al final del cuaderno. Utilízalo correctamente y procura no mirarlo hasta que no hayas hecho las actividades.

Y, cuando te apetezca, puedes leer las curiosidades o hacer los pasatiempos que encontrarás en el Cajón de sastre (en las últimas dos páginas de cada semana).

EL CIELO NOCTURNO

Si miráis hacia allí, podréis distinguir la Osa Mayor y la Osa Menor.

Ysimiráisenaquella dirección,veréisla constelaciónde Casiopea.

¿LO RESUELVES?

Para encontrar la Osa Menor, une el 121 con los números capicúas siguientes. Ten en cuenta que la constelación tiene 7 estrellas y que las cuatro últimas forman un cuadrilátero.

Para encontrar la Osa Mayor, une el 1 125 con los números impares siguientes. Ten en cuenta que la constelación tiene 7 estrellas y que las cuatro últimas forman un cuadrilátero.

Para encontrar Casiopea, une el 7 con los cuatro números primos siguientes.

FRACCIONES, DECIMALES Y PROPORCIONALIDAD

1. Haz estas operaciones con fracciones:

a)

2. Expresa estos números en forma de fracción, siempre que sea posible. No te olvides de simplificar la fracción resultante.

a) 2,36 = 236 100 = 59 25

b) 2,363636... = 2,36 = 236 – 2 99 = 234 99 = 78 33

c) 2,4515151... = 2,451 = 2

d) 3,4545454545... =

e) 2,862 =

3. Un equipo ciclista júnior participa en una carrera de relevos de 540 km. El primer ciclista hace una cuarta parte del recorrido, el segundo hace una tercera parte, y el tercero, el resto de la carrera. ¿Cuántos kilómetros recorre cada ciclista?

=

4. La familia de Carmen han comprado un coche para ir de vacaciones. Les hacen un descuento del 15 %, de manera que, una vez aplicada la rebaja, tendrán que pagar 15 000 €.

a) ¿Cuánto les habría costado el coche sin el descuento?

b) Una vez aplicado el descuento, hay que añadir un 21 % de IVA. ¿Cuánto tendrán que pagar finalmente?

5. Escribe en notación científica los siguientes números:

a) 0,000000000003254 = 3,25 · 10–12

b) 3254000000000 = 3,25 · 1012

2

4 5

c) 581 000 000 000 =

d) 0,00091 =

e) 0,00000000307 =

f) 628 100 000 000 =

6. Haz estas operaciones en notación científica:

a) 1,23 · 10–7 + 3,01 · 10–7 = 4,24 · 10–7

b) 3,00 · 1015 – 6,50 · 1015 = –3,50 · 1015

c) 3,50 · 103 · 8,25 · 104 = 2,887 · 108

d) 12,40 · 1015 : (2,20 · 103) = 5,64 · 1012

Notación científica

3,25689 · 1014

una sola cifra entera mayor o igual que 1 cifras decimales potencia de 10

e) 2,00 · 104 + 6,00 · 104 =

f) 1,70 · 10–3 – 3,01 · 10–3 =

g) 3,20 · 103 · 0,20 · 107 =

h) 6,25 · 10–3 : (1,75 · 10–1) =

7. En el taller de astronomía en que participan Paula, Clara y Marta, les han explicado que la sonda Mars Pathfinder que en 1996 lanzó a la NASA para explorar Marte tardó exactamente 7 meses en llegar. Si recorrió 58 millones de kilómetros, ¿a qué velocidad media fue la nave? Calcula la velocidad en km/h y en m/s, y exprésala en notación científica; considera que todos los meses son de 30 días.

Cada año, el tercer jueves del mes de julio se hace una carrera solidaria con una finalidad diferente. Argumenta qué día del mes de julio será el año en que la carrera se hará más temprano y qué día será el año en que se hará más tarde.

1. Si dos camiones pueden cargar 7 000 kg de mercancías, ¿cuántos kilos pueden cargar cinco camiones?

En este problema intervienen magnitudes que tienen una relación de proporcionalidad directa; por eso, para resolverlo, hay que hacer una regla de tres:

2 camiones 7 000 kg

5 camiones x kg { x = 5 · 7 000 2 = 17 500 kg

2. Si cinco trabajadores tardan 8 h en descargar un camión, ¿cuánto tardarán en descargarlo dos trabajadores?

En este problema intervienen magnitudes que tienen una relación de proporcionalidad inversa; por eso, para resolverlo, se utiliza una regla de tres inversa:

5 trabajadores 8 h 2 trabajadores x h { x = 5 · 8 2 = 20 h

3. Lucía ha pagado 7,20 € por tres bocadillos de jamón. ¿Cuánto tendrá que pagar si compra cinco bocadillos? ¿Y si compra ocho?

4. Tres amigos han cobrado 3 600 € por diseñar una aplicación y se quieren repartir el dinero de manera proporcional a las horas que ha trabajado cada uno. Noelia ha trabajado 8 h diarias en el proyecto; Iván, 4 h diarias, y Magda, 6 h diarias. ¿Cuánto tiene que cobrar cada uno?

5. Una sonda espacial propulsada por un cohete alcanza una velocidad de 15 000 km/h. Si la distancia entre la Tierra y Marte es de 2,27 · 108 km, ¿cuántos días tardará el cohete en llegar a Marte? (Expresa los cálculos en notación científica.)

6. La piscina del camping donde veranea Manuel tarda 30 horas en llenarse si se utiliza una manguera que suministra 15 L de agua por minuto. ¿Cuándo tardará en llenarse si se utiliza una manguera que proporciona 25 L de agua por minuto?

2 4 5 3

7. La cooperativa LESENO dispone de una casa de colonias con 40 literas y las quiere cambiar por otras más resistentes. El encargado de mantenimiento ha trabajado 6 h diarias durante 4 días para montarlas. Si ha tardado el mismo tiempo en montar todas las literas, ¿cuántas horas habría tenido que trabajar cada día si las hubiera querido tener listas en 3 días?

8. Para hacer queso, una granjera mezcla 30 L de leche de vaca, que tiene un coste de producción de 0,54 € el litro, con 20 L de leche de cabra, que tiene un coste de producción de 0,86 € el litro. a) ¿Cuál es el coste de producción de un litro de leche mezclada?

b) Con la leche producida, la granjera puede elaborar 5 kg de queso. ¿Cuál es el coste de producción de 1 kg de queso?

c) ¿A qué precio tiene que vender el kilo de queso para obtener un beneficio del 40 % respecto de los costes de producción de la leche?

9. En una fábrica de café, 4 máquinas exactamente iguales envasan 6 400 paquetes de café en 8 h de funcionamiento. ¿Cuántas horas tendrán que trabajar 6 máquinas para envasar 12 000 paquetes de café?

SUCESIONES

10. Indica el término general y los cinco primeros términos de la sucesión 2, 4, 6, 8, 10...

Una sucesión es un conjunto de números ordenados. Los términos de la sucesión 2, 4, 6, 8, 10... son a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 8, a5 = 10…

El término general de la sucesión es la expresión matemática que permite encontrar cualquier término de la sucesión a partir de su posición. En este caso es an = 2n

11. Expresa la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8... en forma recurrente.

Una sucesión se expresa en forma recurrente cuando cada término se obtiene a partir de los términos anteriores; por lo tanto, la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8... se expresa en forma recurrente así:

a1 = 1; a2 = 1; an = an–1 + an–2

12. Escribe, en cada caso, los diez primeros términos de la sucesión:

a) –12, –9, –6, –3...

b) an = 3n – 5

c) a1 = –2; a2 = 5; an = 2an–2 + an–1

d) an = n2 – 3

13. Encuentra, en cada caso, el término general de la sucesión:

a) –3, –1, 1, 3, 5...

b) –1, 2, 7, 14, 23...

c) 3, 0, –3, –6, –9...

d) 5 3 , 6 4 , 7 5 , 8 6

14. Para comprobar la resistencia del motor de un 4 × 4, se hacen 10 vueltas a un circuito, de manera que cada vuelta se hace en 25 s menos que la vuelta anterior. La primera vuelta se hace en 635 s.

a) ¿Cuánto tardará, el 4 × 4, en dar la quinta vuelta? ¿Y la décima?

b) El tiempo que tarda el 4 × 4 en dar las vueltas viene dado por los términos de una sucesión. Indica cuál es el término general de esta sucesión de forma recurrente, en la que n es el número de cada vuelta.

2

1. Encuentra el término general de cada progresión aritmética:

a) –  3 2 , –1, –  1 2 , 0

b) 4,2; 3,6; 3; 2,4…

c) a3 = –6; d = 3

d) a1 = 8; a4 = –7

Progresión aritmética

an = a1 + d · (n – 1), con n ≥ 1

Sn = (a1 + an) · n 2

2. Encuentra la suma de los 30 primeros términos de las progresiones aritméticas de la actividad anterior:

a) S30 =

b) S30 =

4

5 3DÍA

c) S30 =

d) S30 =

3. Escribe el término general de las progresiones geométricas que permiten caracterizar estas situaciones:

a) Se llena la piscina de un hotel de manera que al cabo de una hora hay 5 200 L de agua. A partir de este momento, cada hora se añaden 300 L más. ¿Cuántos litros habrá, en la piscina, al cabo de n horas?

b) Un empresario hace cada día una transferencia de 500 € a uno de sus proveedores a fin de que este le envíe el material necesario para su negocio. El empresario tiene actualmente 25 000 € en su cuenta bancaria. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de n días?

c) Javier tiene un depósito bancario de 10 000 € y cada año recibe un 5 % de esta cantidad inicial en concepto de intereses. ¿Cuánto dinero tendrá Javier al cabo de n años?

5 % = 0,05 en tanto por uno

Progresión geométrica

an = a1 · r n–1, con n ≥ 1

Sn = a1 · (r n– 1) r – 1

En caso de que |r| < 1 : S∞ = a1 1 – r .

4. Encuentra el término general de cada progresión geométrica:

a) 3, 15, 75, 375...

b) –8, 4, –2, 1...

c) a1 = 500; a2 = 300

d) a1 = –1.000; a3 = –40

5. Encuentra la suma de los 10 primeros términos de las progresiones geométricas de la actividad anterior:

a) S10 =

b) S10 =

c) S10 =

d) S10 =

6. Observa la siguiente situación en la que un aumento o una disminución porcentual se puede expresar como una progresión geométrica:

El salario de Juan es de 1 200 € y, cada año, aumenta un 5 %.

Por lo tanto, el salario de Juan se puede expresar con el término general: an = 1 200 · (1 + 0,05)n–1 = 1 200 · (1,05)n–1

Fíjate en esta situación y escribe el término general:

Un coche cuesta actualmente 15 000 € y cada año pierde el 15 % de su valor.

¿Cuál es el valor del coche al cabo de 5 años?

2

7. El monitor del campus de naturaleza en que se ha inscrito Pedro este verano explica cuál es el papel de cada animal dentro del ecosistema. Se acerca a una ventana sin vidrio y dice que una araña tarda 16 días en construir una telaraña y que cada día construye el doble de lo que ha construido el día anterior. Finalmente, les plantea esta pregunta: ¿Cuántos días tardarían dos arañas iguales en construir una telaraña que tapara toda la ventana?

3

4

5

8. Unos excursionistas hacen una ruta de senderismo durante varios días. El primer día el grupo recorre 35 km, pero, a causa del cansancio acumulado, cada día que pasa el grupo recorre una distancia 0,95 veces inferior a la del día anterior.

a) ¿Cuántos kilómetros habrán hecho después de andar durante 10 días?

b) Si la ruta es de 730 km, ¿el grupo podrá hacer todo el recorrido en 30 días?

En caso negativo, ¿a cuántos kilómetros se quedarán del final?

1. Justo y sus amigos, este verano, se han propuesto atravesar las montañas de su pueblo con una bicicleta todoterreno. Como no están acostumbrados a afrontar este tipo de rutas, lo harán de forma progresiva: el primer día recorrerán 20 km y cada día harán 5 km más que el día anterior.

a) ¿Cuántos días tardarán en hacer una etapa de 50 km?

b) El día que hagan la etapa de 50 km, ¿qué distancia habrán recorrido en total?

2. Un grupo de amigos a quienes les gustan los deportes de riesgo utilizan una cuerda elástica para dar salto de puente. Carla se ha lanzado desde uno de los puentes más altos de España. La cuerda se ha llegado a estirar 50 m en el primer salto. En los rebotes siguientes, la cuerda se ha estirado 7/8 partes de lo que se había estirado en el rebote anterior.

a) ¿Cuánto se ha estirado la cuerda después de 6 rebotes?

b) ¿Cuántos rebotes hará Carla antes de que la cuerda se estire una longitud inferior a 20 m?

SIN CALCULADORA

Completa esta pirámide teniendo presente que el valor de cada ladrillo superior se obtiene sumando el valor de los dos ladrillos inferiores contiguos.

2 4 5 3

LA REFORESTACIÓN

Una hectárea (ha) es la superficie que ocupa un cuadrado de 100 m × 100 m.

Después del gran incendio que se produjo el verano de 2022 y que afectó a varios municipios de una comarca, las autoridades han decidido reforestar las 1 500 hectáreas que se quemaron.

Han acordado reforestar el bosque con encinas, ya que son árboles que crecen rápidamente. Para hacerlo, han dividido el bosque en parcelas de 1 ha y se han plantado encinas en filas y columnas, separadas 20 m las unas de las otras y dejando un margen de 10 m respecto de la línea imaginaria que delimita cada hectárea, tal como se muestra en la figura adjunta.

1. ¿Cuántas encinas plantarán en total?

2. Cada encina cuesta 70 €, sin el IVA. ¿Cuánto costarán todas las encinas? ¿Y si tienen que añadir el 10 % de IVA?

3. Los trabajadores que participarán en la reforestación cobrarán 20 € por cada hora de trabajo. Si se han contratado 4 trabajadores, que pueden plantar entre todos 5 encinas cada hora, ¿cuántas horas de trabajo habrá que invertir para plantar todas las encinas? ¿Cuál será el coste total de la mano de obra?

4. Se prevé que el coste total de la reforestación sea de 3 500 000 €. Los ayuntamientos de los municipios afectados por el incendio se harán cargo de este coste de forma proporcional a la superficie afectada del bosque que pertenece a su municipio. La superficie afectada por el incendio que pertenece al municipio A es de 600 ha, la superficie afectada del municipio B es de 750 ha, y el resto pertenece al municipio C. ¿Cuánto dinero tendrá que pagar el ayuntamiento de cada municipio?

5. En el año 2002 se produjo otro gran incendio. Entonces, además de reforestar el bosque, se introdujeron jabalíes con el fin de conseguir el equilibrio ecológico de la zona. Esta es la gráfica de la evolución de la población de los jabalíes en los últimos 20 años.

a) ¿Cuántos jabalíes se introdujeron en 2002?

b) ¿Cuántos había en 2012?

c) ¿Por cuánto se multiplicó la población en estos 10 años?

d) ¿Qué crees que pasó a partir de 2012, para hacer que la población de jabalíes dejara de crecer?

e) ¿Qué dirías que pasó con los jabalíes a partir de 2022?

2 4 5 3DÍA

LA AUTOPISTA

La empresa AUTOSTRADA se encarga del mantenimiento de una autopista que mide 800 km de longitud. El inicio de esta autopista lo consideramos en el kilómetro 0.

A lo largo de toda la autopista hay un área de servicio cada 40 km. La primera área de servicio está situada en el kilómetro 0 y las otras áreas se numeran a partir de esta.

1. Escribe el término general a n de la sucesión que indica el punto kilométrico en que se encuentra el área de servicio n

2. Completa la siguiente tabla con el número de orden del área de servicio o el punto kilométrico en que está situada (puedes utilizar el término general de la sucesión que has escrito en el apartado anterior):

3. Este diagrama muestra los millares de vehículos que pasaron por uno de los peajes la semana pasada. ¿Cuántos vehículos pasaron por el peaje del lunes al viernes? ¿Y el fin de semana?

No. de vehículos (en miles)

lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo

4. ¿Qué porcentaje de vehículos respecto del total representan los vehículos que pasaron por el peaje el fin de semana?

5. Los vehículos que pasan por el peaje tienen que pagar 2,10 €. ¿Cuál es la diferencia, con respecto a las recaudaciones, entre el día que pasan más vehículos por el peaje y el día que pasan menos?

6. La empresa AUTOSTRADA emite unos bonos a 10 años por valor de 30 millones de euros y ofrece un interés compuesto del 5 % anual. La progresión geométrica Cn = C0 · 1,05n muestra el valor de un bono al cabo de n años en función del capital inicial C0 invertido. ¿Cuánto pagará la empresa a los inversores al acabarse la vigencia de los bonos?

7. La empresa quiere premiar aquellos conductores que hagan más kilómetros por la autopista. Ha decidido cobrar 2 € por cada 10 km de recorrido. Los primeros 10 km cobrará los 2 € íntegramente, pero a partir de aquí hará un descuento del 10 % respecto del precio que ha cobrado en los 10 km anteriores. Expresa esta situación en forma de progresión geométrica e indica a qué hacen referencia an y n.

8. ¿Cuánto pagará un conductor por un trayecto de 20 km? ¿Y para uno de 150 km?

MENSAJES EN CLAVE

La criptografía consiste en convertir un texto en un mensaje enigmá- tico que solo puede comprender a la persona que tiene la clave. A lo largo de la historia, se han diseñado numerosos sistemas de claves y códigos para garantizar la confidencialidad de los mensajes. ¿Te atre- ves a descifrar algunos de los códigos más famosos?

1

A B C

El código Atbash es un método de ciframiento hebreo. Pertenece a la criptografía clásica y es un tipo de ciframiento por sustitución. Consiste en sustituir la primera letra del alfabeto por la última, la segunda por la penúltima, y así sucesivamente.

a) A la pregunta ¿Qué haremos esta tarde?, María responde con este mensaje cifrado:

«ZMRIVN Z OZ KRHXRMZ ZNY VOH NVFH XLHRMH»

¿Qué dice este mensaje?

b) Ahora es tu turno, codifica este mensaje con el código Atbash:

«Mi helado preferido es el de limón.»

2

El cuadrado de Polibi es un sistema en que las letras se colocan en una matriz de 5 × 5, y cada letra está representada por dos números, correspondientes a la fila y la columna en que se encuentra. Como el alfabeto tiene 26 letras y la matriz tiene 25 casillas, hay dos que se colocan en la misma casilla. Pueden ser la I y la J, como en este caso, u otras.

1 2 3 4 5

a) A la pregunta ¿Cómo has ido a París?, Juana responde con este mensaje cifrado:

«2315 51241144241144 113212 1531 44421533

1411314411 511531341324441144»

¿Qué dice este mensaje?

b) Ahora es tu turno, codifica este mensaje con el cuadrado de Polibi:

«Este verano iré al pueblo de mis abuelos.»

SUMAS EN LA PLAYA

¿Qué número corresponde a cada símbolo?

EL PROBLEMA DE LOS 9 PUNTOS

1

Une estos 9 puntos con 4 líneas rectas sin levantar el lápiz de la hoja y sin pasar dos veces por el mismo lugar.

SOLUCIONARIO

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