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FRAÇÕES OPERAÇÕES COM FRAÇÕES. Em uma fração o número de cima é chamado numerador e o de baixo chamado denominador.
a b
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FRAÇÕES IRREDUTÍVEIS Uma fração é irredutível quando o único fator comum entre o numerador e o denominador é o 1. Para escrever uma fração em sua forma irredutível escrevemos o numerador e o denominador com o produto de números primos e dividimos ambos por todos os fatores primos comuns.
Numerador Denominador
Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. 5 9 2 , , . 9 10 3 Frações Impróprias: O numerador é maior ou igual ao denominador. 13 5 ou . 10 5 Fração aparente. O numerador é múltiplo do denominador. 5 10 6 1, 5, 2 5 2 3
EXERCÍCIO RESOLVIDO 02) Reduza cada uma das seguintes frações a uma fração irredutível. 42 a) 18 b)
EXERCÍCIO PROPOSTO 03) Reduza cada uma das seguintes frações a uma fração irredutível. a)
NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO Qualquer número natural pode ser escrito como um produto de outros dois ou mais números menores ou iguais a ele chamado de fatores do número. Número Fatores 18=2.9 2e9 18=1.18 1 e 18 18=3.6 3e6 18=2.3.3 2 , 2 e 3 Fatorar um número é escrevê-lo como um produto de fatores. Adiante, será necessário fatorar um número em fatores primos.
4 2.2 1 ¨ 8 2. 2 . 2 2
3 9 10 c) 12 8 d) 14 16 e) 18 14 f) 21 50 g) 75 64 h) 32 96 i) 48 100 j) 85 120 k) 84 25 l) 45
b)
Número primo é um número natural maior que 1 cujos únicos fatores são ele mesmo e o 1. Os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. Então quando nós fatoramos 18 = 2.3.3 nós estamos fatorando 18 em fatores primos. EXERCÍCIO PROPOSTO 01) Escreva cada um dos números abaixo com um produto de fatores primos: a) 36 36 2 18 2 9 3 3 3 1 Assim 36 2.2.3.3 22.32 b) 54 c) 96 d) 345 1
45 60
PRODUTO DE FRAÇÕES Para multiplicar duas frações:
Escrever o numerador e o denominador como um produto ( sem multiplicar). Reduzir a fração resultante a uma fração irredutível. Multiplicar
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06) A área de um retângulo é dada pelo produto da largura 5 pela altura. Calcule a área de um retângulo de cm de 2 11 cm de altura. largura por 6
EXERCÍCIO RESOLVIDO 04) Multiplique as frações a seguir obtendo uma fração irredutível. 2 5 a) 3 7 b)
5 3 6 4
c)
5 6 6 5
07) Multiplique ou divida as frações a seguir obtendo uma fração irredutível. a)
2 5 3 6 7 7 c) 8 12 7 3 d) 5 2 7 3 e) 9 4 3 f) 6 4 3 4 g) 7 5 12 8 h) 25 15 6 i) 3 7 3 j) 4 8 7 k) 4 2 1 l) 17 2 3 5 m) 12 1 6 17 n) 3 4 1 o) 2 4
Para encontrar o quociente entre 2 frações Para dividir duas frações multiplique a primeira pelo inverso da segunda e reduza o produto resultante em uma fração irredutível. 49 pode ser escrita como o 48
1 , o qual é a soma de um número inteiro 48 com uma fração própria. Ele é obtido dividindo-se o numerador pelo denominador.
número misto 1
49 1
48 49 1 1 1 48 48
EXERCÍCIO RESOLVIDO 05) Divida as frações a seguir obtendo uma fração irredutível. 7 6 a) 8 7 b)
5 3 5.3 5. 3 1 ¨ 6 5 6.5 2. 3. 5 2
b)
Quando o produto entre dois números é 1, dizemos que eles são números inversos. 5 6 e são inversos. 6 5 2 7 e são inversos. 7 2 Usamos o inverso de uma fração para dividir frações.
Obs.: A fração imprópria
COMPASSO CURSOS
15 3 17 5
08) Qual é o volume de um paralelepípedo com comprimento,
4 c) 5 3 7
46 cm de 3
17 cm de largura e de altura? 4
123 cm foi dividido em 14 2 partes. Qual é o comprimento de cada parte?
09) Um pedaço de madeira de
1 2 d) 3 5 4 3 2
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ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES. Para somar ou subtrair duas frações, elas devem possuir o mesmo denominador.
12 18 24 2 6 9 12 2 3 9 6 2 3 9 3 3
Para adicionar ou subtrair duas frações com mesmo denominador:
1 1
Adicionar ou subtrair os numeradores. Colocar a soma ou diferença sobre o denominador comum. Reduzir a fração resultante a uma fração irredutível.
3 1
1 3 1
Logo, MMC(12,18,24) = 23.32 8.9 72 5 como uma fração equivalente com 6 novo denominador 24, nós encontramos o número que multiplicado por é igual a 24. Desde que
Para escrever a fração
6.4 24
EXERCÍCIO RESOLVIDO 10) Execute as operações a seguir. 3 1 a) 8 8
Nós usamos o 4 como fator. Agora multiplicamos a fração pela fração
5 6
4 . Então: 4 5 5 4 5.4 20 . 6 6 4 6.4 24
7 5 b) 16 16
Para encontrar frações equivalentes Dividimos o novo denominador pelo denominador original. Multiplique o numerador e denominador da fração pelo número obtido no passo anterior.
Quando as frações têm denominadores diferentes, nós devemos reescrever todas as frações com um novo denominador comum. Muitos números podem satisfazer a essa condição, mas nós queremos o menor desses números, chamado de mínimo múltiplo comum (mmc).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 11) Encontre o mmc entre os números indicados a) 6, 9 e 12 b) 3, 8 e 10 c) 9, 15 e 21 d) 6, 14 e 18 e) 5, 10 e 12 f) 16, 24 e 36 g) 12, 16 e 24 h) 5, 7 e 11 i) 10, 20 e 30 j) 68, 9 e 12 k) 10, 14 e 18 l) 10, 15 e 20
24 é o mínimo múltiplo comum entre os denominadores 7 5 das frações e , desde que ele o menor número que 8 6 pode ser dividido por 8 e 6 exatamente. Para encontrar o mínimo múltiplo comum (mmc) entre dois ou mais números decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostrado a seguir. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o mmc desses números. (Processo chamado de decomposição simultânea): 24 18 2 12 9 2 6 9 2 3 9 3 1 3 3 1 1
12) Escreva frações equivalentes tendo o novo denominador indicado: 3 ? a) 5 30 3 3 6 18 30 5 6 5 5 6 30 7 ? b) 9 72 5 ? c) 7 77 1 ? d) 4 20
Logo, MMC(18,24) 2.2.2.3.3 23.32 8.9 72 Esse procedimento pode ser generalizado para mais números.
3
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 15) Some ou subtraia as seguintes frações. 1 1 a) 3 3 2 3 b) 5 10 1 1 c) 3 4 5 1 d) 6 6 4 2 e) 5 10 5 3 f) 6 8 5 g) 3 6 3 h) 4 5 2 3 i) 3 4 3 7 j) 5 15 5 1 k) 6 3 5 1 l) 6 3 3 1 m) 8 12 7 3 n) 24 16 7 19 o) 54 45 1 1 1 p) 2 5 10 7 5 3 q) 15 6 4 9 5 2 r) 16 18 15 2 2 5 s) 7 3 7 1 3 t) 7 2 2 4
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1, 2, 3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor . Para calcular o mdc de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos. Assim: I) Decompomos os números em fatores primos; II) O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Calcular o mdc entre 36 e 90. 36 2 18 2 9 3 3 3 1
90 2 45 3 15 3 5 5 1
36 2.2.3.3 90 2.3.3.5
Logo mdc 36,90 2.3.3 18 . 13) Uma piscina com 18 m de comprimento, 8,7 m de largura e 1,2 m de profundidade foi azulejada de modo que seu fundo foi revestido com o menor número possível de azulejos quadrados. Supondo ser desprezível o espaçamento dos rejuntes entre os azulejos, qual é o menor número de azulejos quadrados utilizados para o revestimento?
Para adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes
Encontramos o mmc entre os denominadores. Escrevemos cada fração com uma fração equivalente com o mmc como novo denominador. Executamos a adição ou subtração. Reduzimos a fração resultante.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 14) Execute as operações a seguir. 7 5 a) 8 6
b)
COMPASSO CURSOS
7 1 8 3
4
16) O perímetro de um retângulo é encontrado adicionandose os comprimentos de seus 4 lados. Encontre o 5 5 perímetro de um retângulo de dimensões cm e cm . 4 6 1 17) Luísa deve algum dinheiro para Renan. Se ela pagar 4 1 do que deve em junho, da dívida original em julho e 3 3 da dívida original em Agosto, quanto de sua dívida 8 ainda restará?
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18) Certo dia, Júlia compra
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5 3 m de certo tecido, m de 6 4
2 m de um terceiro. Quantos metros de tecido 3 Júlia comprou?
outro e
VOCÊ SABE? Reduzir uma fração? Multiplicar e dividir frações? Encontrar o mínimo múltiplo comum de 2 ou mais números? Somar e subtrair frações
RESOLVENDO PROBLEMAS Leia atentamente o seguinte problema: Você entra em um ônibus vazio juntamente com sete outros passageiros e na primeira parada de sua rota quatro pessoas descem e duas sobem para o ônibus. Na segunda parada, seis pessoas descem e 4 sobem no mesmo. Na terceira parada, oito pessoas descem do ônibus e três sobem. Na quarta parada, 30 pessoas entram e oitos saem do ônibus. Pergunta: Qual a idade do motorista? Você começou a contar os passageiros no ônibus? Aqui está a primeira lição: Não comece a resolver um problema antes de ter lido seu enunciado inteiro.
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ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
DECIMAIS.
PARA ADICIONAR OU SUBTRAIR NÚMEROS DECIMAIS: Colocamos os números um sobre o outro de tal forma que as vírgulas fiquem alinhadas verticalmente Procedemos como se estivéssemos adicionando ou subtraindo números inteiros.
INTRODUÇÃO Um número decimal é uma fração cujo denominador é 10, 100, 1000, etc. Em um número como 235, os algarismos 2, 3 e 5 tem os valores posicionais a seguir: 235 (2.100) (3.10) (5.1)
EXERCÍCIO RESOLVIDO 02) Execute as operações a seguir. a) 5,67 32,046 251,7367 0,92
Em um número como 0,235 os algarismos 2,3 e 5 tem os valores posicionais a seguir: 0,235 (2
COMPASSO CURSOS
1 1 1 ) (3 ) (5 ) 10 100 1000
Nós chamamos esse número de Fração decimal ou simplesmente decimal. Observe que: 0,235
2 3 5 200 30 5 235 10 100 1000 1000 1000 1000 1000
b) 39,62 18,7
Lido como 235 milésimos. Da mesma forma: 27 0,27 (27 centésimos) 100 3 (3 décimos) 0,3 10
EXERCÍCIO PROPOSTO 03) Efetue: a) 3,97 7,39 3,17 8,45 b) 6,8 0,354 2,78 7,083 2,002
EXERCÍCIO PROPOSTO 01) Escreva os seguintes números decimais como frações irredutíveis.
c) 4,76 0,573 3,57 40,09 13 d) 8,0007 360,01 25,72 6,362 0,0005
8 2 .2.2 4 a) 0,8 10 5 2 .5
e) 7,0001 8 7,067 803,1 5,25 f) 10,03 3,113 0,3342 0,0763 0,005
b) 0,57
g) 19,2 4,38
c) 0,1234
h) 83,42 14,9 i) 27,376 14,0007
d) 0, 42 e) 0, 4
j) 367,0076 210,02 k) 836 0,367
f) 0,83 g) 0,15
l) 4,5632 274,063
h) 0,36 i) 0,125 j) 0,248
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS PARA MULTIPLICAR NÚMEROS DECIMAIS:
k) 0,875 l) 0,625
Multiplique os números como se fossem inteiros. Conte o número de casas decimais nos 2 fatores. Esse número é o número total de casas do produto. Começando à direita do resultado, conte para a esquerda o número de casas decimais obtidas anteriormente. Se necessário complete com zeros e então insira a vírgula.
Obs.: Um número decimal escrito com fração será redutível somente se o numerador for divisível por 2 ou por 5.
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 04) Execute as operações a seguir. a) 2,36 0,403
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 06) Execute as operações a seguir. a) 360,5 1,03
b) 4950,3 5,69
b) 18,14 106,4
c)
1 3
No item (c) podemos observar que, independente da quantidade de zeros que colocamos, continuará a aparecer o algarismo 3 no quociente. Assim: 1 0,3333... 0,3 3
EXERCÍCIO PROPOSTO 05) Efetue: a) 206,1 9,36 b) 7,006 1,36 c) 42,6 73
EXERCÍCIO PROPOSTO 07) Efetue: a) 4950,3 5,69 b) 0,84 0,7
d) 56,37 0,0076 e) 703,6 1,7 f) 30,0303 0,030303
c) 0,525 0,5 d) 10,4 0,26
g) 2,456 0,00012
e) 21,681 8,03 f) 6,1251 60,05
DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
g) 166,279 64,7 h) 31,50 0,0126
Dividendo Divisor Quociente
i) 2,9868 0,057
PARA DIVIDIR NÚMEROS DECIMAIS: Identifique o divisor, o dividendo e o quociente como indicado acima. Mude o divisor para um número inteiro movendo a vírgula para a direita quantas casas forem necessárias. Mova a vírgula no dividendo para a direita o mesmo número de casas do passo anterior. Se necessário use zeros para completar. Divida como números inteiros. Esse processo é o conhecido “igualar as casas”.
7
08) Converta as seguintes frações em números decimais. 3 a) 8 3 b) 20 5 c) 8 13 d) 20 17 e) 50 2 f) 9 5 g) 9
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09) 1 litro de gasolina custa R$2,599 . Qual é o custo de
14,36 litros? 10) Um estudante comprou um livro por R$21,68 . Se ele pagou com R$25,00 qual é o seu troco? 11) Encontre a área de um retângulo de dimensões 15,75 cm por 21,3 cm. VOCÊ SABE? Escrever decimais finitas como frações? Adicionar e subtrair números decimais? Multiplicar e dividir números decimais? Escrever frações como números decimais?
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 02) Encontre as porcentagens abaixo: a) 8% de 35 b) 224% de 50 7 c) % de 270 2 d) 226% de 20 e) 5% de 40 f) 240% de 60 g) 110% de 500
PORCENTAGENS. A palavra “por cento” significa um a cada cem. Utilizamos o símbolo “%” para representar porcentagens. Assim 4% significa “quatro partes em cada cem”. Nós podemos escrever porcentagens como: Um número decimal ou Como uma fração com denominador igual a 100. Exemplos: 139 27 139% 1,39 27% 0, 27 100 100
03) Lúcio economiza 5% de seu salário todo mês. Quanto ele terá economizado em 1 ano?
PARA ESCREVER UMA PORCENTAGEM COMO NÚMERO DECIMAL: Mova a vírgula decimal duas casas para a esquerda e acrescente o símbolo “%”.
04) Em promoção relâmpago uma loja oferece um desconto de 35% sobre o preço de uma mercadoria cujo preço original era R$ 460,00. Qual o novo valor da mercadoria?
PARA ESCREVER UMA PORCENTAGEM COMO UMA FRAÇÃO:
05) Os automóveis atuais chamados “Flex” podem utilizar álcool ou gasolina como combustível. A utilização do álcool como combustível vale a pena se o preço do álcool for menos ou igual a 60% do preço da gasolina. Se o preço atual da gasolina é R$ 2,50 qual deve ser o preço do álcool para que compense a sua utilização?
Elimine o símbolo “%” e escreva o número sobre o denominador 100. PARA ESCREVER UM NÚMERO DECIMAL PORCENTAGEM: Mova a vírgula decimal duas casas para a direita e coloque o símbolo “%”.
06) Uma loja ofereceu um desconto de 9% sobre o preço de uma mercadoria. Qual é o preço original da mercadoria se o preço pago foi de R$ 70,00.
PARA ESCREVER UMA FRAÇÃO COMO UMA PORCENTAGEM: Encontre o número decimal equivalente a essa fração e mude o número decimal para porcentagem.
07) O salário de um trabalhador que era de R$ 3000,00 sofreu um reajuste de 6,2%. Quanto passou a ser seu novo salário?
EXERCÍCIO PROPOSTO 01) Escreva os números seguintes como números decimais, frações e porcentagens: a) 0,9 b) 1, 25
08) Ao aumentar o preço de uma mercadoria de R$ 2850,00 para R$ 3277,50 qual foi o aumento percentual? 09) Comprei um terreno por R$ 5400, 00, depois de dois anos, resolvi vendê-lo com 30% de lucro. Qual deveria ser o novo preço do terreno?
7 8 d) 5% e) 1% f) 325% g) 1,75 3 h) 4
c)
Quando calculamos 40% de 300, nós encontramos a percentagem. Em linguagem matemática, a palavra “de” usualmente significa a operação de multiplicação. Assim 40% de 300 significa 40% 300 . Entretanto, nós não podemos multiplicar 40% por 300. Nó devemos primeiro converter 40% para um número decimal ( ou para fração) antes de efetuar a operação. 40% 300 0,40 300 120
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10) Uma salina produz 18% de sal, em um determinado volume de água que é levada a evaporar. Para produzir 125 m3 de sal, quanta água precisa ser represada. 11) Uma determinada empresa oferece 25% de desconto no pagamento á vista. Comprei um eletrodoméstico por R$ 375,00 a vista. Qual é o preço do eletrodoméstico sem desconto? 12) Uma loja aumenta 20% o preço de um par de sapatos que custa R$ 40,00. Ao entrar em liquidação, essa loja passa a oferecer o mesmo pra de sapatos com um desconto de 20% para pagamento à vista. Quanto você irá pagar pelo par de sapatos se comprá-lo à vista? 9
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13) Um automóvel adquirido por R$ 20.000,00, foi vendido com 20% de lucro sobre o preço de venda. Qual foi o lucro em reais? 14) Das peças produzidas num torno, sabe-se que 60% são perfeitas, 30% possuem pequenos defeitos e as restantes não são aproveitadas. O custo de produção de cada peça, em qualquer caso, é de R$10,00. O preço de venda de cada peça perfeita é de R$15,00 e de cada peça com pequeno defeito é de R$ 12,00. Qual o valor do lucro esperado pelo fabricante ao programar a produção de 400 peças? 15) Um tanque de combustível contém 240 litros de gasolina com 3% de álcool. Quantos litros de álcool puro devem ser adicionados à mistura para que ela tenha 4% de álcool? 16) Do preço de venda de um produto, um comerciante paga 20% de imposto. Do restante, 70% correspondem ao custo do produto. Se o custo do produto é de R$ 336,00, qual é o preço de venda desse produto? 17) Vendeu-se uma bicicleta por R$ 270,00 devido a 10% de desvalorização sobre seu preço de compra. Portanto, o valor de compra, imediatamente anterior a essa venda, foi, em reais? 18) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista, com 30% de desconto sobre o preço da tabela, ou no cartão de crédito, com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que, à vista, sai por R$ 700,00, no cartão, saíra por 19) O preço de uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos, de 10% e de 20%. De quantos por cento foi o aumento total dessa mercadoria? VOCÊ SABE? Escrever uma porcentagem com número decimal? Escrever um número decimal como porcentagem? Escrever uma fração como porcentagem? Escrever uma porcentagem como fração? Encontrar a porcentagem?
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NÚMEROS REAIS.
Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como um quociente de dois inteiros de forma que o divisor seja diferente de zero.
O conjunto
Exemplos: 23 2 1 6 21 0 5 , , , , , , 7 3 2 1 5 8 1 A representação decimal de um número racional é ou uma decimal finita ou uma decimal infinita periódica. Exemplos: 1 0, 5 2 1 0,3333.... 0,3 3 1 0,1666... 0,16 6 5 1, 25 4 4 0,121212... 0,12 33 1 0,037037037... 0,037 27
é o conjunto dos números naturais {0,1,2,3,4,...}
Geometricamente, o conjunto pode ser representado por meio de uma reta numerada. Escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita)
Subconjunto importante: *
{1,2,3,4,...}
O conjunto
{0}
é o conjunto dos números inteiros {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}
Todos os elementos de pertencem também ao , isto é, . A representação geométrica do conjunto pode é feita a partir da representação de na reta numerada; basta acrescentar os pontos correspondentes aos números negativos.
{..., 3, 2, 1,,1,2,3,...}
{0,1,2,3,...}
*
{1,2,3,...}
{..., 3, 2, 1,0}
*
{..., 3, 2, 1}
NÚMEROS IRRACIONAIS. Nesse momento, poderíamos pensar que nós temos números suficientes para resolver todas possíveis situações. Infelizmente esse não é o caso. Consideremos o seguinte problema: Qual é exatamente o lado de um quadrado cuja área é 5m 2 ?
Subconjuntos importantes: *
Obs. A barra colocada sobre um algarismo ou grupo de algarismo indica que o algarismo ou o grupo repete indefinidamente.
{0}
Para responder a essa questão nós precisamos de um número que ao ser multiplicado por ele mesmo, tenha 5 como resultado. Será 2,236 o número procurado? 2,236 2,236 4,999696
*
MÓDULO. Módulo, ou valor absoluto, de x é a distância da origem ao ponto que representa x . | 2 || 2 | 2 | 4 || 4 | 4
Esse número é próximo de 5 mas não é 5. Pode-se mostrar que não existe um número racional cujo produto por ele mesmo seja igual a 5. A resposta para esse problema e para muitos outros não pode ser encontrada no conjunto dos números racionais. A reposta para essa questão é Outros exemplos:
3, NÚMEROS RACIONAIS. O conjunto dos números inteiros é suficiente para representar muitas situações físicas, mas em muitas situações precisaremos de um novo conjunto de números chamado de conjuntos dos números racionais ( representado por ).
11
,
2,
5 ( raiz quadrada de 5).
0,1011011101111...
Números que não podem ser escritos como quociente de dois números inteiros pertencem ao conjunto chamado de irracionais.
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NÚMEROS REAIS. Números podem ser racionais (aqueles que podem ser escritos como quociente de dois inteiros) e irracionais ( aqueles que não podem). Assim, um número pode ser racional ou irracional, mas não ambos. O conjunto que contém todos os números racionais e todos os números irracionais é chamado conjunto dos números reais (representado por ). Quando nós encontrarmos um problema em que um conjunto específico de números não foi indicado nós assumiremos que esse conjunto é . RETA REAL Para representar os números reais, nós usamos a reta de números reais.
COMPASSO CURSOS
Existem 2 outros símbolos para desigualdades ( chamados de desigualdades fracas) . Eles são menor ou igual ( ) e maior ou igual ( ). Assim x 3 significa que x é no mínimo 3 . Isto é, que x representa um número que é igual a 3 ou maior que 3 . VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO O valor absoluto (ou módulo) de um número real é a distância deste número até a origem.
O símbolo para o valor absoluto é | | Assim
O número que é associado com cada ponto da linha é chamado a coordenada do ponto. Números como 3 e representam números irracionais. Para representar esses números, nós precisamos de uma aproximação.
| 7 | 7
2 2 5 5
| 6 | 6
| 0 | 0
| 3 | 3
ADIÇÃO DE NÚMEROS REAIS
3 1,732 3,142 Movendo-se da esquerda para a direita na reta real, nós estamos nos movendo no sentido positivo e os números estarão crescendo. Se nos movermos para esquerda, nós estaremos nos movendo no sentido negativo e os números estarão decrescendo.
PARA ADICIONAR DOIS NÚMEROS REAIS Para somar a e b , isto é a b , nós localizamos a sobre a reta real e o movimentamos de acordo com o valor de b. Se b é positivo, nós movemos a para a direita b unidades. Se b é negativo, nós movemos a para a esquerda b unidades. Se b é zero, nós não movimentamos a .
ORDEM NA RETA REAL.
Nós utilizaremos o sinal ( ) na frente de um número para
Se nós escolhermos quaisquer dois números da reta real e representarmos eles por a e b , onde a e b representam números não especificados, nós observamos que existe uma relação de ordem entre a e b .
a b ( a está à esquerda de b ) ou b a ( b está à direita de a )
Exemplos: 0 4 ou 4 0 0 3 ou 3 0 3 6 ou 6 3 2 4 ou 4 2 Obs. Não importa qual símbolo de desigualdade nós usemos a seta sempre aponta para o menor.
enfatizar o fato de o número ser positivo. Nos futuros exemplos isso será omitido. Exemplos (4) (5) 9 (3) (8) 11 (6) (0) 6
(5) (2) 3
(3) (8) 5
(2) (7) 9
(20) (30) 50
(9) ( 9) 0
Quando nós somamos dois números com sinais diferentes a resposta é a diferença entre os valores absolutos prefixados com o sinal do número com maior valor absoluto. PROPRIEDADES a 0 0 a 0 ( 0 é o elemento neutro da adição) a b b a (Propriedade comutativa da adição) a (a) (a) a 0 (A soma de um número com seu oposto ou simétrico é zero) (a b) c a (b c) ( Propriedade associativa)
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SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS REAIS.
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O qual resulta em
Para subtrair o número real b do número real a , isto é a b , nós Mudamos a operação de subtração para adição. Mudamos o sinal do número que segue o símbolo de subtração. Efetuamos a operação seguindo as regras de adição. Assim a b significa a somado com o oposto de b .
= 4 4 1 = 8 1 =7 EXERCÍCIO PROPOSTO 01) Efetue as operações: a) 8 3 2 5 1 b) [6 1] [2 5] 7 [9 6] c) (14 7) 2 d) 14 (7 2) 1 1 e) 2 4
a b a (b)
Exemplos (4) (5) 4 ( 5) 1 3 (8) 3 (8) 11
2 1 f) 3 4 g) 18,7 (9,3)
20 (30) 20 (30) 10
h) 107,4 ( 12,6)
3 (8) 3 (8) 5 9 (5) 9 (5) 4
i) 215,8 96,2 j) (30) (14) (8)
5 (9) 5 (9) 4
k) (12) (10) (8)
Percebemos pelos dois últimos exemplos que a operação de subtração não é comutativa, isto é:
l) (25) (4) (32) (28)
(6) (0) 6 (0) 6
m) (24) (12) (12) ( 13) n) (2) (3) (4) ( 5) ( 6)
9 (5) 5 (9)
o) (15) (13) (7) (32) p) 14 4 (7 2)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE VÁRIOS NÚMEROS REAIS. Quando vários números estão sendo adicionados e subtraídos em uma mesma linha, resolvemos o problema da esquerda para a direita. 9 3 4 3 6 1 4 9 3 4 3 6 1 4 6
q) (25 2) (12 3) r) (6) 4 8 (8 7) s) 32 5 7 4 (11 8) t) 10 10 (10 10) 10 u) 12 3 16 10 (12 5) v) (18 14) (12 17) 16
6 4 3 6 1 4
w) 8 4 7 (5 2) 3
10
10 3 6 1 4 Observe pelos exemplos (c) e (d) que a operação de subtração não é associativa. Isto é, a ordem faz diferença na subtração.
13
13 6 1 4 7
7 1 4 6
64 10 Muitas vezes, parte do problema terá um grupo de números dentro um símbolo de agrupamento como parênteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { }. Independente da quantidade de números dentro de um desses símbolos de agrupamento, nós trataremos eles como sendo um único número. Então em: 9 (3 2) (6 2) (5 4)
Nós realizaremos as operações dentro dos parênteses primeiro para obter: 9 5 4 1 13
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS REAIS Nós já conhecemos o fato de que o produto de dois números positivos é positivo. Nós podemos observar isso considerando a multiplicação como repetidas adições. 4.3 3 3 3 3 12 Nós também sabemos que 3.4 4 4 4 12 Assim podemos observar também a propriedade conhecida como propriedade comutativa da multiplicação. Para quaisquer números reais a e b , a.b b.a
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Em nosso exemplo, nós usamos o símbolo "." para indicar multiplicação. O símbolo " " será evitado em álgebra para evitar confusão com a letra “x”. 5.7 é lido com 5 vezes 7. (4)(6) é lido com 4 vezes 6. 3a é lido como 3 vezes a . 6(8) é lido como 6 vezes 8. 1 1 não significa 3 2 2 Multiplicação de dois números com sinais diferentes. Como uma ilustração de uma multiplicação de um número positivo por um número negativo, observe o seguinte padrão.
3
.
( 2).3 ( 3).3
Decresce de 3 em 3
3.3 9 2.3 6 1.3 3 0.3 0 ( 1).3
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4.(4) 16 (5)(5) 25 Nós podemos determinar o sinal de nossa resposta ao multiplicarmos 3 ou mais números reais. Se em uma multiplicação existir uma quantidade ímpar de fatores negativo, o resultado será negativo. Se em uma multiplicação existir uma quantidade par de fatores negativo, o resultado será positivo. Exemplos: (1).(2)(3)(4) 24 (Número ímpar de fatores negativos) (1)(2)( 3)(4) 24 (Número par de fatores negativos) Propriedade associativa da multiplicação. Mudando a ordem de multiplicação dos números em uma multiplicação não mudará o resultado. (a.b)c a(b.c)
02) Efetue as operações indicadas. a) (3)( 5) b) 0.( 6)
Assim, faz sentido que o produto de um número negativo por um número positivo tenha como resultado um número negativo.
c) 4.( 7)
Propriedade de zero Multiplicando qualquer número por zero sempre resultará zero como resposta a.0 0.a 0
f) (2)(2)( 2)
d) ( 8).3 e) 4.(3).5 g) 4.( 9) h) (3)(2)(8) i) (5)(2)(4)(3)
Elemento neutro da multiplicação Multiplicando qualquer número por 1 sempre resultará no próprio número. a.1 1.a a
j) 7.(1)(3)(5) k) 2.(3)(1)(2)(2)(3) l) (1,8)(2, 4) m) (5,7)(6,12) n) (8,9).( 8,9)
Multiplicação de dois números negativos.
( 2).( 3)
o) (27)(0,08) 1 3 p) 3 5
Cresce de 3 em 3
3.(3) 9 2.(3) 6 1.(3) 3 0.( 3) 0 ( 1).( 3)
3 3 q) 4 4 3 8 r) 4 9
( 3).( 3)
5 2 s) 8 5 t) (3)(3)( 4)(4)
Assim, faz sentido que o produto entre dois números negativos tenha com resultado um número positivo.
u) (1)(1)(1)(1) v) (2)(0)(3)( 4)
Exemplos: (2).3 6
w) (3)(2)(4)(0) x) (5)(0)(4)
(2).(4) 8 14
y) (2)(0)(3)( 4)
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03) Nos itens abaixo, são dados dois números, encontre dois inteiros tais que seu produto é o primeiro número e sua soma é o segundo. a) 4, 4 Resposta: 2 e 2 pois (2)(2) 4 e 2 (2) 4
b) 27, 6 Resposta: 9 e 3 pois (9)(3) 27 e 9 (3) 6 c) 16,0 d) 30,1 e) 25,10 f) 20, 9
g) 11,10 h) 0, 7
i) 72, 21 j) 12, 1
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EXERCÍCIO PROPOSTO 04) Efetue as divisões 14 a) 7 36 b) 6 24 c) 3 15 d) 5 18 e) 9 15 f) 3 O sinal de nossa resposta pode ser obtido pelo mesmo método utilizado na multiplicação
k) 48,16 l) 35,12
Exemplos: ( 1)(12) 1 (Quantidade ímpar de fatores negativos) (2)(3)
m) 8,7 n) 9,0
( 1)(12) 2 (Quantidade par de fatores negativos) (2)( 3)
o) 12,1 p) 15, 2
( 1)(12) 2 (Quantidade par de fatores negativos) (2)( 3)
q) 18,3 r) 30, 1
( 1)(12) 2 (Quantidade ímpar de fatores negativos) ( 2)( 3)
DIVISÃO DE NÚMEROS REAIS
( 1)( 12) 2 (Quantidade par de fatores negativos) ( 2)( 3)
Lembramos que quando nós dividimos um número (dividendo) por outro número (divisor), nós calculamos um valor (quociente). Assim nós definimos a divisão a seguir a q se a b.q , onde a é o b dividendo, b é o divisor e q é o quociente.
Se b 0 , dizemos que
Podemos checar nossa resposta multiplicando o divisor pelo quociente e o resultado deve ser igual ao dividendo. 20 O quociente é um número q tal que 20 (5).q , Esse 5 número é o 4, o que mostra que a divisão de dois números negativos resulta sempre em um número positivo. Para dividir um número positivo por um número negativo, ou um negativo por um positivo, considere os seguintes exemplos: (14) (2) 7 desde que (2)(7) 14 . (24) 6 4 desde que (6)(4) 24 .
Assim, temos que o quociente de um número positivo e um número negativo é sempre negativo. 15
Quando nós multiplicamos ou dividimos, se nós tivermos uma quantidade para de números negativos, nossa resposta será positiva, caso contrário, será negativa. Obs. O procedimento para a escolha do sinal envolvendo divisão ou multiplicação de três ou mais números aplica-se somente quando as operações envolvidas são apenas multiplicação e divisão. ( 8) ( 4) 12 6 2 2
Divisão envolvendo o zero. O número zero é o único número que não pode ser usado a como divisor, para perceber esse fato, lembre-se que q b se a b.q . Se nós aplicarmos essa definição usando o zero como divisor nós temos as seguintes situações: 3 q . Então q.0 deve ser igual a 3 e nós não podemos 0 encontrar resposta para esse problema. Nós dizemos que esta divisão não está definida.
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0 q . Então q.0 deve ser igual a 0 e nós temos que 0 qualquer valor de q serve como resposta para esse problema. Nós dizemos que esta divisão não é indeterminada. É importante lembrar que o quociente de zero dividido por qualquer número diferente de zero é sempre zero. 0 0 pois (4).0 0 4
EXERCÍCIO PROPOSTO 05) Efetue as divisões, se possível. 0 a) 5 2 b) 0 7 c) 0 0 d) 7 0 e) 0 ( 6)(0) f) ( 3)(0) g)
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Obs. Entende-se que o expoente é 1 quando um número não tem expoente. Isto é, 5 51 . Exemplos
(3)3 (3)(3)(3) 27 33 (3.3.3) 27 (3)4 (3)(3)(3)(3) 81 34 (3.3.3.3) 81 ORDEM DAS OPERAÇÕES Quando nós realizamos vários tipos de operações aritméticas, nós devemos respeitar uma ordem na qual as operações deverão ser realizadas. Considere a seguinte expressão numérica. 3 4.5 3 Dependendo da ordem a qual utilizamos para realizar a operação, o resultado pode ser diferente. Para ilustrar 3 4.5 3 7.2 14 Ou 3 4.5 3 3 20 3 20 * Ou ainda 3 4.5 3 3 4.2 3 8 11
66 66
VOCÊ SABE? Realizar divisões com números reais? Lembrar os resultados das divisões envolvendo o zero?
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS. Se a , b e c são números reais, então: ab ba a.b b.a (a b) c a (b c) (a.b).c a(b.c) a.1 1.a a 0 0a a ( a ) 0 a.0 0.a
Ordem das operações Grupos: Realize qualquer operação agrupada com um dos símbolos ( ) , [ ] ou { } e em cima ou abaixo de uma barra de fração. Expoentes: Realize as operações indicadas por expoentes. Multiplique e divida: Realize as multiplicações e divisões da esquerda para a direita. Adição e subtração: Realize as adições e subtrações da esquerda para a direita. Dentro um símbolo de agrupamento, a ordem das operações deverá ser aplicada. Se existem vários símbolos de agrupamento, inicie eliminando o mais interno. Exemplos
6 5(7 3) 22 6 5.(4) 22 6 5(4) 4
EXPOENTES Considere os produtos indicados 4.4.4 64 e 3.3.3.3 81
6 20 4 26 4 22
3
Uma forma mais conveniente e escrever 4.4.4 é 4 , lido como “4 a terceira potência” ou “4 ao cubo”. Nós chamamos o número 4 de base e o número 3 de expoente.
EXERCÍCIO PROPOSTO 06) Efetue as operações a) 7 8.3 2 b) (7 1) 3.4
Da mesma forma 3.3.3.3 pode ser escrito como 34 , lido como “3 a quarta potência”. Nós chamamos esses produtos de forma exponencial.
1 3 5 2 4 8 d) 22.3 3.4
c)
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3 1 2 . 4 2 3 f) (7,28 1,6) 2,4 (6,1)(3,8)
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e)
Realizar múltiplas operações na ordem correta? Usar expoentes?
2 7 5 g) 3 8 6
h) (5,4)2 4.(3,1)(2,8) 3(2 4) 4 6 42 5 j) 5[7 3(10 4)]
i)
k) 18 6.3 10 (4 5) 07) Alex comprou 6 caixas de bombom por R$ 1,25 por caixa e 7 chocolates por R$ 0,70 cada. Qual foi o gasto total? 08) Um homem trabalha 40 horas por semana a R$ 4,00 a hora. Se ele trabalha 11 horas a mais na semana a um valor de R$ 6,00 qual será o valor semanal a ser recebido? 09) Efetue as operações a) 0(5 2) 3 24.3 6 9 c) (24 6) 3
b)
d) (37 4) 11 e) 3(6 2)(7 1) f) 12 3.16 42 2 g) 9 3(12 3) 4.3 h) 15 2(8 1) 6.4 i) 5[10 2(4 3) 1] j) 18 [14 5(6 4) 7] k) (8 2)[16 4(5 7)] l) (9 6)[21 5(4 6)] 6 3 14 2.3 m) 7 4 5
10) Verifique se as afirmações abaixo estão corretas, em caso negativo identifique o erro e corrija. a) 3 5 b) | 3 | 3 c) (3) 4 1 d) (9) (4) 13 e) 4 (5 2) 3 f) 32 9
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3x 1 , x y e 81W 2 9T 2 são binômios.
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS.
5x 3 2 y 1 e z 2 9 z 10 são trinômios
TERMINOLOGIA Uma variável é um símbolo que representa um valor não especificado. Uma variável pode tomar qualquer um dos diferentes valores que ela pode representar. y 2x Nesta relação, y e x são variáveis e 2 é constante. Qualquer expressão envolvendo variáveis, constantes, símbolos de agrupamentos e sinais de operações é chamada de expressão algébrica. 5xy ,
xy , 2
2k 2w ,
x 1 , x2 1 2
( 3 termos).
x2 y2
(2 termos).
4x5 y 2 z 4
6 x3 2 x 2 4 x 1 é um polinômio de 4 termos. 4 não é um polinômio x2 Nós devemos simplificar qualquer polinômio, antes de identifica-lo. Exemplo x 3 4 é um binômio pois x 3 4 x 7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Determine os coeficientes numéricos das seguintes expressões algébricas a) a 2 2a 4 b) 5x 2 x 4 z c) a 2b 4ab2 ab d) x y 3z
5(a 2b)
Em uma expressão algébrica, termos são separados por um sinal de mais ou um sinal de menos. 5x 2 2 x 1
(1 termo).
e) 3x 4 x 2 x 2 02) Determine se cada uma das seguintes expressões algébricas é um polinômio. Se for um polinômio, que nome o descreve? Se não for um polinômio escreva o porquê. a) 5x 2 y 2 z
bc (2 termos). d Nesta última expressão temos 2 termos desde que a barra de fração forma um agrupamento. Observe que o segundo termo tem dois termos no numerador. Na expressão 5xy o 5 é chamado de coeficiente numérico
a2
2
2 z 2 c) ax bx c d) mx b
b) 5x 2 y
e) 5x 2 2 x 1 f) y x ab g) c 5 ab h) d c i) 4 x5 7 x3 3x 2
ou simplesmente coeficiente do termo. Se não aparecer nenhum coeficiente numérico em um termo, o coeficiente é 1. 6x 3 y z 6 é o coeficiente de x , 3 é o coeficiente de y e
1 é o coeficiente de z . Um tipo especial de expressão algébrica é um polinômio. Um polinômio possui as seguintes características. Seus coeficientes são números reais. Todas as variáveis admitem apenas expoentes naturais. As operações realizadas sobre as variáveis são somente adição, subtração e multiplicação. Um polinômio que possui apenas um termo é chamado de monômio; um polinômio que possui 2 termos é chamado de binômio; e um polinômio que contém 3 termos é chamado de trinômio. Exemplos x, 4 x,3 e 5x 2 y são monômios
COMPASSO CURSOS
j) 9 x6 2 x 2 4 Outro caminho para diferenciar polinômios é o grau do polinômio. O grau de um polinômio em uma variável é o maior expoente da variável em qualquer termo. Exemplos 5x 3 é um polinômio de grau 3. x 4 2 x 3 3x 5 é um polinômio de grau 2. 7 y 2 4 y 5 3 é um polinômio de grau 5. NOTAÇÃO ALGÉBRICA Muitos problemas são colocados de forma verbal. Então será necessário traduzi-los para uma expressão algébrica. Não existe um padrão para fazer isso, mas as seguintes informações podem ajudar. 18
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Leia o problema cuidadosamente. Observe qual informação é fornecida e qual nós devemos encontrar. Escolha alguma letra pra representar uma dos valores desconhecidos. Expresse os outros valores desconhecidos em termos desse. Use as condições dadas no problema e os valores desconhecidos para escrever o problema.
VALOR DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Ao traduzir frases verbais para expressões algébricas, nós devemos observar para frases que envolvem as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Exemplos Vamos representar por x o número desconhecido. Adição 6 unidades maior que um número. A soma de um número com 6. 6 mais um número. Um número acrescido de 6. 6 adicionado a um número.
x 6
Subtração 6 unidades menor que um número. Um número diminuído de 6. A diferença de um número e 6. Um número menos 6. 6 subtraído de um número
x 6
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Propriedade da substituição. Se duas coisas são iguais, então elas podem ser trocadas uma pela outra a qualquer momento. Se a b , então a pode ser torçado por b ou b pode ser trocado por a em uma expressão sem alterar o valor da expressão. Exemplo Avalie a expressão algébrica x 2 2 x 7 quando x 4 .
4
2
2 4 7 17
Avalie a expressão algébrica 5a b 2(c d ) quando a 2 , b 3 , c 2 e d 3 . 5(2) (3) 2((2) (3)) 3
EXERCÍCIO PROPOSTO 04) Avalie as seguintes expressões algébricas para a 2 , b 3 , c 2 e d 3 . a) 2a b c b) 3a 2b (c d ) c) (3a 2b)(a c) d) ac db e) 7a d (6b c) f) (5c 3a)(4d 2b)
Multiplicação Um número multiplicado por 3. 3 vezes um número. O triplo de um número. O produto de um número por 6.
3x
Divisão Um número dividido por 2. O quociente de um número e 2. A metade de um número.
x 2
g) a 2b2 c2 d 2 h) (ab)2 (ac)2 i) (c d )2 (a b) j) c2 d 3 k) 3d 2 2c3 l) (3d 5c)3 m) 3ac 2a 2c2 FÓRMULAS
EXERCÍCIO PROPOSTO 03) Escreva uma expressão algébrica para cada uma das seguintes frases. a) A soma de a e b . b) 3 vezes a , subtraído de b. c) 7 a menos que x . d) 5 a mais que x . e) A soma de x com y dividido por z f) x vezes a soma de y e z g) a diminuído de 5. h) a diminuído de b. i) Metade de x , acrescido de 2 vezes x . j) Um número acrescido de 12. k) Um número dividido por 5. l) 3 vezes um número acrescido de 1. m) 2 vezes a soma de um número com 4.
Uma fórmula expressa uma relação entre quantidades no mundo físico, por exemplo, s v.t , que nos fornece o espaço percorrido s em uma velocidade v durante um determinado tempo t . O volume V de um paralelepípedo é calculado pelo produto do seu comprimento a vezes a sua largura b vezes sua altura c . A fórmula tem a forma V a.b.c
Encontre o volume de um paralelepípedo cujas dimensões são respectivamente 12 m , 4 m e 5m .
V a.b.c 12.4.5 240 m3 19
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A relação entre temperaturas em Fahrenheit F e graus
b) João tem n Reais em sua conta bancária e saca R$ 34,00 para realizar uma compra. Qual seu saldo S ? c) Uma mulher paga r Reais por 300g de mussarela. Qual o preço P de cada grama? d) Uma caixa de bombons com y bombons custa R$4,00.
Celsius C é dada pela fórmula
C
5 F 32 9
Qual é o custo P de cada bombom? e) Pedro tem x notas de R$ 10,00, y notas de R$ 5,00 e
Encontre a temperatura em graus Celsius se a temperatura em Fahrenheit é 86 5 5 C F 32 86 32 30 9 9
z notas de R$ 1,00. Qual é a quantia Q de dinheiro
que Pedro possui? f) Suse tem p anos. Qual será sua idade I daqui a x anos? g) Rose possui R$ 258,00 na sua conta bancária. Ela faz 2 saques de x Reais e n saques de R$ 10,00. Qual será seu saldo final? h) Se x representa um número inteiro, escreva uma expressão para o seu sucessor ( s ) .
O perímetro de um retângulo de comprimento x e largura y é dado pela fórmula P 2x 2 y
Encontre o perímetro de um retângulo com 8 metros de comprimento e 4 de largura. P 2 x 2 y 2.8 2.4 24 m
i) Paula resolve x exercícios de matemática por minuto e Lucimar resolve 7 exercícios a menos que Paula por minuto. Escreva uma expressão que associa o número
EXERCÍCIO PROPOSTO 05) Avalie cada fórmula abaixo.
de exercícios y que Lucimar realiza em 35 minutos.
(b B ).h , 2 calcule a área de um trapézio em que b 2 cm ,
a) A área de um trapézio é dada por A
B 5 cm , h 6 cm .
b) A força resultante, em Newtons N , aplicada sobre um objeto é dada pela fórmula F m.a . Calcule a força aplicada sobre um objeto de massa m 3 kg com uma aceleração a 5 m / s 2 . c) Corrente elétrica I dada em ampères é a quantidade de carga Q dada em Coulomb
COMPASSO CURSOS
C
que flui por
unidade de tempo t dado em segundos s em um Q t .Numa secção reta de um condutor de eletricidade, passam 12C a cada minuto. Calcule, nesse condutor, a intensidade da corrente elétrica, em ampères.
sistema elétrico, sendo dada pela fórmula I
Resolução de Problemas
VOCÊ PODE Identificar termos em uma expressão algébrica. Identificar um polinômio. Escrever uma expressão algébrica.
SUBTRAÇÃO E ADIÇÃO ALGÉBRICA. Expressões algébricas (incluindo polinômios) representam números reais quando as variáveis são trocadas por números reais. Assim, as propriedades que se aplicam as operações com números reais também podem ser aplicadas a expressões algébricas. Propriedade distributiva Para quaisquer reais a , b e c temos: a(b c) ab ac e a(b c) ab ac
Exemplos 3 4 5 3.4 3.5 12 15 27 2 3 a 2.3 2.a 6 a
Para resolver problemas nós devemos interpretar frases e escrever expressões em termos de símbolos algébricos. EXERCÍCIO PROPOSTO 06) Escreva uma expressão algébrica para cada uma das seguintes frases. a) Helena tecla 90 palavras por minuto. Quantas palavras P ela pode teclar em n minutos? Resolução: 90.n ou 90n
EXERCÍCIO PROPOSTO 07) Aplique a propriedade distributiva a) 1. 2a 3b b) 1 2a 3b c) 2a 3b d) 2a 3b 20
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Termos semelhantes Dois termos são iguais quando possuem as mesmas variáveis com os respectivos expoentes iguais. Exemplos 3a 2b4 e a 2b4 são termos semelhantes . 4a 2b3 e 4a 2b3 são termos semelhantes . 2x 2 y e 5xy não são termos semelhantes. Adição e subtração Usando a propriedade distributiva e a definição de termos iguais, estamos prontos para soma ou subtrair expressões algébricas. Exemplos 3a 4a 7a 5x 7 x 12 x 4ab 3ab 7ab y 3y y 2 y 2 x 6 y 5x 3 y 7 x 3 y 6 x 2 4 x 3x 2 x 2 4 x 2 x 5x 2 y 2 2 xy 2 3x 2 y 2 5xy 2 8x 2 y 2 3xy 2 EXERCÍCIO PROPOSTO 08) Realize as operações possíveis a) a 2b 5ab2 4a 2b 3ab2 b) 3a 2b a 5b c) 3x 2 2 x 5 4 x 2 3x 6
d) 3x 2 x 4 2 x 2 5x 7 e) a 2 2ab b2 3a 2 4ab b2 f) (8R 2 2R 3) 6R 2 6R 1 g) (5x 2 2 x 1) (3x 2 4 x 3) h) 2x y x z i) 2a 3b 2a b j) 3R 2S 5R R S k) 5a 2a 5b 3a l) 2 x 3x 5x 3 m) 3a 2a (a b) n) 2a a b 3a 2b o) 6 x 5a y 4 x 7 y p) 3x 6 x 4 x 3 y 4 y 3x VOCÊ SABE? Identificar termos semelhantes? Adicionar ou subtrair expressões algébricas? Remover símbolos de agrupamento?
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EQUAÇÕES. EQUAÇÕES Uma equação é uma sentença matemática aberta expressa por uma igualdade. Uma sentença matemática é uma proposição que pode ser classificada em verdadeira ou falsa. 2 1 3 é uma sentença matemática verdadeira. 3 2 6 é uma sentença matemática falsa. Sentença matemática aberta é aquela que não pode classificada como verdadeira ou falsa. 2 x 8 é uma sentença aberta A veracidade ou falsidade da sentença é “aberta” porque não conhecemos o valor que a variável representa. Conjunto solução Um valor para a variável que faz com que a sentença seja verdadeira é uma raiz ou uma solução da equação. Dizemos que a raiz satisfaz a equação. O conjunto solução ou conjunto verdade de uma equação é o conjunto formado por todos os valores da variável que satisfazem a equação. Para checar se um dado valor é solução de uma equação basta trocar a variável pelo valor a ser checado. Exemplo Verifique se x 2 é solução da equação x 2 4
2 2 4 44 A sentença é verdadeira. Portanto, 2 é solução da equação. A única solução para essa equação é 2, então o conjunto solução é {6} .
Propriedade da adição e subtração da igualdade Se adicionarmos ou subtrairmos a mesma quantidade em cada membro de uma equação o resultado será uma equação equivalente.
a bac bc a bac bc Exemplos x2 4 x22 42 x6 Propriedade de simetria da igualdade Esta propriedade permite trocar de lugar os membros do lado esquerdo e do lado direto da equação. a bb a Exemplo 3 x x 3
EXERCÍCIO PROPOSTO 01) Resolva as equações abaixo usando as propriedades da adição e subtração na igualdade e da simetria a) x 5 7 b) x 4 12 c) x 8 11 d) 2 x 7 e) 5x 4 4 x 3 f) 6 x 4 7 x 2 g) 2 x 5 3x 4 h) 3(3x 1) 4 2(4 x 3) i) 12 6 x 3 4 x x j) 5(3x 2) 7(2 x 3) k) (9b 7) (8b 2) 4 l) 2 a 3 (a 2) 8
Se uma equação é verdadeira para qualquer valor da variável, ela é chamada de identidade.
m) 2 b 1 3(b 4) 5
2 x 3 2 x 6 é uma identidade EQUAÇÕES LINEARES Uma equação linear é uma equação com uma incógnita cujo expoente é 1. 2 x 8 é uma equação linear. 2 x 3x 4 2 x 4 x é uma equação linear. Duas equações são equivalentes se possuem o mesmo conjunto solução. As equações abaixo são todas equivalentes. x2 4 x6 4 x 2 3x 4 2 x 3x 2 x 4 x
COMPASSO CURSOS
Propriedade da multiplicação e da divisão em uma igualdade Se multiplicarmos ou dividirmos cada membro de uma equação por um número diferente de zero o resultado será uma equação equivalente. a b a c bc a b a b c c
Exemplo 3x 21 x7 3 3 1. x 10 x 10 1. x 10 x 10 1 1
3x 21
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6 x 10 5 x 6 6 3 x 1 6 4. . x 4.6 x 24 4 4 2 Para equações como x 12 , lembre-se que para dividir por 3 uma fração nós multiplicamos pelo inverso. 2 3 2 3 . x 12 . x .12 x 18 3 2 3 2 3 4 3 4 x 9 x 9 x 12 4 3 4 3
6 x 10
EXERCÍCIO PROPOSTO 02) Resolva as equações abaixo usando as propriedades da multiplicação e divisão de uma igualdade e da simetria. a) 2 x 8 3 b) x 12 4 2 c) x 10 5 1 d) x 9 5 7 e) 14 x 3 f) 8 2x g) 30 6x h) x 4 i) 5x 0 j) 0 7x k) 3x 0 x l) 1 3 x m) 7 2 n) 3,1x 21,7 Resolução de Problemas Leia o problema cuidadosamente. Anote quais informações são fornecidas e quais são devem ser encontradas. Escolha uma letra para representar um dos valores procurados e expresse os outros em função dessa. Escreva uma equação algébrica. Resolva a equação. Cheque seus resultados. Exemplos Um número acrescido de 16 resulta em 24. Encontre esse número. Seja n o número procurado. A palavra chave é “acrescido de” que significa adicionado, e “resulta”, o qual significa igual. A equação é então: n 16 24 n 8 23
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João gastou R$ 15,00 a menos que Maria no mês passado. Se João gastou R$ 342,00, quanto gastou Maria. Seja d a quantidade gasta por Maria no mês passado. d 15 342 d 357 03) Resolva os seguintes problemas. a) Um número acrescido de 11 resulta em 37. Encontre o número. b) Se subtrairmos 16 unidades de um número, o resultado será 52. Encontre esse número. c) Quando um número é multiplicado por 6 , o resultado é 54. Encontre esse número. d) Quando um número é dividido por 9, o resultado é -7. Encontre esse número. e) Quando um número é multiplicado por -6, o resultado é 48. Encontre o número. f) Alice ganha R$ 4,50 por hora. Se ela recebeu R$ 108,00, quantas horas ela trabalhou? g) Nádia trabalhou 30 horas e recebeu R$ 135,00. Quanto ela recebe por hora? h) 4 amigos dividiram igualmente as despesas em um restaurante. Se cada um pagou R$ 32,50, qual foi o total da conta? 3 i) Se de um número é igual a 48, encontre o número. 4 RESOLVENDO EQUAÇÕES LINEARES. Lembrando que: Se adicionarmos ou subtrairmos a mesma quantidade em cada membro de uma equação o resultado será uma equação equivalente. Se multiplicarmos ou dividirmos cada membro de uma equação por um número diferente de zero, o resultado será uma equação equivalente. Usando essas propriedades, existem 4 passos básicos para resolver uma equação linear. Vamos aplicar essas propriedades em um exemplo. Exemplo Resolver a equação 6( x 1) 4 x 10 . Passo 01: Simplifique cada membro da equação realizando todas as adições, subtrações, multiplicações e divisões indicadas e removendo todos os símbolos de agrupamentos. 6( x 1) 4 x 10 6 x 6 4 x 10 Passo 02: Use as propriedades da adição e subtração em uma igualdade para formar uma equação equivalente onde todos os termos envolvendo a incógnita estejam em um membro da equação. 6 x 6 4 x 10 6 x 4 x 6 4 x 4 x 10 2 x 6 10
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Passo 02: Use as propriedades da adição e subtração em uma igualdade para formar uma equação equivalente onde todos os termos não envolvendo a incógnita estejam no outro membro da equação. 2 x 6 10 2 x 6 6 10 6 2x 4 Passo 02: Use as propriedades da multiplicação e da divisão em uma igualdade para formar uma equação equivalente onde o coeficiente da a incógnita seja 1. 2x 4 2x 4 2 2 x2
COMPASSO CURSOS
em uma velocidade média
v
durante um determinado
tempo t . Se nós conhecermos a distância s entre 2 cidades e o tempo t gasto para realizar uma viagem entre elas, nós podemos resolver a equação para encontrar a velocidade média v . s v.t s v t A equação está resolvida para v em função de s e t .
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06) Resolva as equações abaixo para a variável especificada a) Os juros simples J , resultantes da aplicação de um
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 04) Resolva as equações abaixo. a) 6 y 5 7 y 10 2 y 3
capital C a uma taxa i , durante um período n de tempo, podem ser calculados pela fórmula J Cin . Resolva para i . 5 b) C F 32 para F . 9 c) P 2 x 2 y para x .
b) 8 y 5 7 y 10 2 y 3 c) 4(5x 2) 7 5(3x 1) d) 5x 2( x 1) 4 3x 1 1 x2 4 2 5 2 3 f) x x 2 6 3 4 g) 5x 2 x 1 4 3x
e)
d) P 2 x 2 y para y . e) A área de um círculo é
A r 2 em que
A
representa a área di círculo e r representa o raio. Resolva para r .
3x 11 5 5x 2 x i) 10 6 j) 2 x (3 x) 0
h) 5
f) A área de um trapézio é dada por A
(b B ).h , 2
resolva para h . g) 3x y 4 x 5 y para x . h) ax by c para y .
k) 6 2(2 x 1)
i) À distância s que um corpo lançado para baixo com 05) A relação entre temperaturas em Fahrenheit F e graus
velocidade inicial v irá percorrer em t segundos
9 Celsius C é dada pela fórmula F C 32 . Encontre 5 C quando a) F 18 b) F 27 c) F 2
1 por causa da gravidade g é dada por s vt gt 2 . 2 Resolva para g.
Equações literais Equações que contém duas ou mais variáveis são chamadas de equações literais. Nós geralmente resolvemos a equação para uma das variáveis em termos das restantes. O procedimento para resolução de equações literais é o mesmo usado para resolver equações lineares.
Resolução de Problemas Muitos problemas são colocados verbalmente. Será necessário escrevê-lo na forma algébrica. Exemplo Escreva os seguintes problemas na forma algébrica: Um número é 4 unidades a mais que um segundo número. Se a soma de ambos é 38, encontre os dois números. Resolução: Seja x o menor número. Assim, SOMA
x
Fórmulas Uma fórmula é uma equação matemática que determina uma relação entre duas ou mais condições físicas. Considere a fórmula s v.t , que nos fornece o espaço percorrido s
MENOR NÚMERO
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É
x 4 38 MAIOR NÚMERO
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x ( x 4) 38
2 x 4 38 2 x 34 34 x 2 x 17 Assim, o menor número será 17 e o maior será 17 4 21 .
EXERCÍCIO PROPOSTO 07) Escreva os seguintes problemas na forma algébrica. a) Um número é 18 unidades maior que um segundo número. Se a somas de ambos é 62, encontre esses números. b) Um número é 9 unidades menor que outro. Se a Omã de ambos é 47, encontre ambos. c) A diferença entre 2 números é 17. Encontre ambos os números sabendo a soma deles é 87. d) Se ao triplo de um número é somado 11 o resultado será 47. Que número é esse? e) Um número é o triplo de um segundo número e a soma dos dois é 24. Encontre esses números. f) Se o primeiro de dois números consecutivos é multiplicado por 3, esse produto será 4 vezes maior eu a soma dos 2 inteiros. Encontre esses números.
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INEQUAÇÕES. Já vimos o significado de cada um dos símbolos: “é menor que” ”é menor ou igual a” “é maior que” “é maior ou igual a” Estes símbolos definem a ordem de uma desigualdade. Exemplos: Se queremos escrever simbolicamente que 4 é menor que 7, escrevemos 4 7 . Se nós queremos escrever simbolicamente que a variável x representa um número que é no mínimo igual a 5, nós escrevemos x 5 . Se nós queremos denotar que a variável T representa qualquer número menor que 3 , mas não 3, nós escrevemos T 3 . INEQUAÇÕES LINEARES. Quando trocarmos o sinal de igualdade em uma equação linear por um dos sinais de desigualdade acima, nós obtemos uma inequação linear. 4x 8 A grande diferença entre uma equação linear e uma inequação linear é a solução. Uma equação linear possui no máximo uma solução, enquanto que o conjunto solução de uma inequação linear pode consistir de um número ilimitado de soluções. Considere 4 x 8 . Nós podemos observar, por substituição, que, por exemplo, 9 2, , 4 ou 5 são soluções desta inequação. De fato, nós 2 podemos perceber que qualquer número maior ou igual a 2 é solução desta inequação. Assim, os valores de x que satisfazem essa inequação devem ser tais que x 2 . Outro caminho para indicar as soluções da inequação é graficamente
COMPASSO CURSOS
3 x 4 . Esta expressão é chamada de desigualdade simultânea. Ela é lida “ 3 é menor ou igual que x e x é menor que 4”.
Quando nós representamos desigualdades, uma desigualdade estrita ( ou ) é representada por uma “bolinha vazia” enquanto uma desigualdade fraca ( ou ) é representada por uma “bolinha fechada”. 01) Represente geometricamente desigualdades. a) 3 x 2
as
seguintes
b) x 2 c) x 2 d) x 0 e) x 0 f) 2 x 0 g) 1 x 2 h) 3 x 4 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES LINEARES. Propriedade da adição e subtração em uma desigualdade. Podemos adicionar ou subtrair a mesma quantidade em cada membro de uma inequação sem mudar o sentido da desigualdade. a bac bc a bac bc
a bac bc
a bac bc
Propriedade da multiplicação e da divisão em uma desigualdade. Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma inequação por um número positivo sem mudar o sentido da desigualdade. Se c 0 Se c 0 a b a.c b.c a b a.c b.c a b a b ab ab c c c c
Exemplos: x 5 . Aqui, x representa um número real que é menor que 5. Nós indicamos isso graficamente usando uma circunferência que nós chamamos “bolinha aberta”.
Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma inequação por um número negativo mudando o sentido da desigualdade. Se c 0 Se c 0 a b a.c b.c a b a.c b.c a b a b ab ab c c c c
x 3 .
As propriedades acima valem também para os símbolos
Expressando desigualdades graficamente.
e . 26
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Para justificar essas propriedades observe desigualdade 8 12 . Se nós adicionarmos ou subtrairmos 4 em cada membro, a desigualdade continua verdadeira. 8 12 8 12 ou 8 4 12 4 8 4 12 4 12 16 48 Se nós multiplicarmos ou dividirmos por 4 cada membro, a desigualdade permanece verdadeira. 8 12 8 12 8 12 8.4 12.4 ou 4 4 32 48 23 Mas se nós multiplicarmos ou dividirmos por 4 , nós devemos trocar o sentido da desigualdade para obter uma desigualdade verdadeira. 8 12 8 12 8 12 ou 8. 4 12. 4 4 4 32 48 2 3
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2 x 4 2 x 4 2 2 x 1
5 2 x 1 7 x 4 x 3 10 x 5 3x 3 10x 3x 5 3x 3x 3 7x 5 3 7x 5 5 3 5 7 x 2 7 x 2 7 7 2 x 7
Assim, para resolver inequações devemos: Simplificar cada membro, onde necessário, realizando as operações indicadas. Adicionar, ou subtrair, para obtermos uma inequações em que todos os termos contendo a incógnita estejam do mesmo lado do sinal de desigualdade. Adicionar, ou subtrair, para obtermos uma inequações em que todos os termos que não contém a incógnita estejam do outro lado do sinal de desigualdade. Multiplicar, ou dividir, para obter o coeficiente 1 para a incógnita. Lembrando que ao multiplicar ou dividir por um número negativo o sentido da desigualdade deve mudar. Exemplo: Encontre a solução das seguintes inequações. 2 x 5x 1 4 x 2 7x 1 4x 2 7x 4x 1 4x 4x 2 3x 1 2 3x 1 1 2 1 3x 3 3x 3 3 3 x 1
O coeficiente negativo na incógnita pode ser evitado se nós formarmos inequações equivalentes onde a incógnita aparece somente do lado da desigualdade que possui a incógnita com maior coeficiente. 27
3 2 x 1 5 Ao resolver inequações simultâneas, a solução deve ser tal que a incógnita apareça apenas no termo do meio da desigualdade. Podemos usar todas as propriedades aplicando-as ao três termos. Se nós multiplicarmos ou dividirmos por um número negativo, nós devemos mudar o sentido de todos os símbolos de desigualdade. 3 1 2 x 1 1 5 1 4 2 x 4 4 2 x 4 2 2 2 2 x 2
6 3x 3 9 6 3 3x 3 3 9 3 3 3x 12 3 3x 12 3 3 3 1 x 4 Nós podemos escrever a solução na forma 4 x 1 Esta forma é mais usual.
MATEMÁTICA EXERCÍCIOS PROPOSTOS 02) Resolva as seguintes graficamente a solução. a) 4 x 5x 4 6 x 1 b) 4 x 10 c) 3x 15 3 d) x 9 4 e) 4 x 12 f) 6 x 18 g) 4 x 3x 2 x 7 h) 3x 2 x x 6 4x i) 12 3 j) x 4 12 k) x 12 9
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inequações
e
e) O dobro de um número mais 7 é maior que o triplo desse número menos 5. Encontre todos os números que satisfazem essa condição. f) O perímetro de um retângulo é menor que 100 cm. Se a largura é 30 cm, encontre todos os possíveis valores para a altura. ( Lembre-se que a largura de um retângulo deve ser um número positivo) .
represente
VOCÊ SABE? Representar desigualdades graficamente? Resolver inequações lineares e inequações lineares simultâneas? Resolver inequações expressas verbalmente?
l) 2 3x 1 7 m) 4 5x 3 25x 11 n) 9 x 4 x 11 o) 3 2 x 5 4 x 3 p) 3x 2 2 x 5 7 q) 2 x 4 16 3 5 2 x 03) Resolva as seguintes inequações represente graficamente a solução. a) 3 3x 4 6 b) 0 7 x 1 7 c) 2 x 3 d) 4 2 x 3 e) 1 3 4 x 6 f) 4 3 2 x 0 g) 1 x 4
COMPASSO CURSOS
simultâneas
e
Resolução de Problemas Estamos prontos para combinar habilidades de escrever expressões e resolver inequações para resolver problemas. 04) Escreva uma desigualdade para cada uma das seguintes sentenças. a) A média escolar M de um estudante deve ser no mínimo 7,0 para aprovação. Escreva essa sentença. b) Quatro vezes um número menos 5 não é maior que três vezes esse mesmo número acrescido de 6. Encontre todos os números que satisfazem essa condição. c) Se 4 é subtraído do triplo de um número, o resultado é maior que 2 mais o dobro do número. Encontre todos os números que satisfazem essa condição. d) Quando 7 é subtraído do dobro de um número, o resultado é maior ou igual a 9. Encontre todos os números que satisfazem esta condição. 28
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Obs. Um erro comum é multiplicar as bases 3.3 9 e somar
POLINÔMIOS E EXPOENTES.
os expoentes, encontrando a resposta errada 96 .
y 2 . y 3 . y 4 y 234 y 9 a 2 .a.a 3 a 213 a6
a b a b 3
EXPOENTES. Anteriormente nós vimos uma introdução à ideia de potências ao trabalharmos com números reais. Vamos aplicar essas ideias para expoentes em polinômios. A expressão x 4 é chamada de forma exponencial do produto x x x x Nós chamamos x de base e 4 de expoente.
forma exponencial
2 2 3
2
4
a b
3 4
a b
7
2
5
Potência de um agrupamento Podemos obter algumas propriedades de potência usando a definição de expoentes e a propriedades associativas e distributivas da multiplicação. Exemplos:
expoente x 4 x x x x forma expandida 4 fatores base
xy x. y x. y x. y 3
y. y. y
x 3. y 3
Quando um produto é elevado a mesma base, cada um dos fatores desse produto é elevado a esta base.
a.b
4
imediatamente a sua esquerda. Isto é, em ab o expoente 4 aplica-se somente ao b , enquanto que, em ab o expoente
.
3 fatores de x 3 fatores de y
3 fatores de xy
O expoente indica quantas vezes a base é usada como fator no produto indicado. Observe que um expoente atua somente sobre o símbolo
x. x. x
m
a m .a n
4
aplica-se a ambos, a e b .
Exemplos: Encontre o produto.
ab
Exemplos:
2ab
2.2.2.2 24
3.4
a b a b a b a b 3 3 3 3 3
4
33.43 27.64 1.728
a b 3 a 3 b 3
, pois a e b são termos e não
fatores com a propriedade pede.
a b 3 a b . a b . a b
b b.b.b.b 4
23 2.2.2
Potência de uma potência Exemplos:
x y x y . x y . x y . x y 4
x
4 3
2 2 2 2
22 2.2
x 2 . x3 x. x . x.x.x x5 x2
x4 .x4 .x4
x4 .x4 .x4
3 fatores de x
adicionar os expoentes
4
x 3.4 x12
Uma potência de uma potência é calculada multiplicando-se os expoentes.
Multiplicação com bases iguais Exemplo:
Exemplos: Simplifique
x3
y 4 x a
Ao multiplicarmos potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes. a m .a n a mn
EXEMPLO Encontre o produto. x .x x
23.a 3 .b3 8a 3b3
Obs. Temos que
3.3.3.3. 34
5
3
3
3
3
a 4 .b4
4
8
32.34 324 36 29
3 2
y 3.2 y 6
2 5
42.5 410
5 4
x5.4 x 20
4 3
a 4.3 a12
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PRODUTO DE MONÔMIOS Para multiplicar os monômios 5x 3 .2 x nós aplicamos a Lei associativa junto com as propriedades de potências.
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02) Escreva a produto indicado na forma expandida a) c 5 b) x 4
5x 3 .2 x 5.2 x 3 . x 15x 4
c) 4 y
Para encontrar o produto 2a.4b nós aplicamos a mesma regra para obter:
4
d) 2
3
e) 24
2a.4b 2.4 a.b 8ab
f) x y
Obs. É bom costume escrever os fatores literais de um termo em ordem alfabética. Esse procedimento torna mais fácil a
2
g) 53 h) 2x y
identificação de termos semelhantes. Por exemplo, 2x 2 zy 3 e
3
4zy 3 x 2 são termos semelhantes, mas reconhecer esse fato é mais fácil se eles forem escritos como 2x 2 yz 3 e 4x 2 y 3 z . Exemplos: Realize a operação indicada
03) Simplifique usando propriedades de expoentes. a) x 4 . x5
b) a 4
3
4 x.3xy 4.3 x. x . y 12 x 2 y
c) x 2 . x 7
8a 3 .4a 3.3a 8.4.3 . a 3.a 3.a 96a 7
d) R 2 .R
2a . 3ab 2.3 . a .a .b 6a b 5x y z 4 x yz 5.4 x .x y y z 20x y z
e) a.a 4
Resolução de problemas Exemplos Escreva uma expressão algébrica para cada uma das sentenças: O volume de um cubo de lado é encontrado multiplicando-se o lado por ele mesmo 3 vezes.
h) a b a b
2
2
2
3
3
4
3
2
3
V
3
4
5
f) 4.42.44
4 4
g) x5 . x. x 3 4
i) ab
d) 2.2.2.2 e) xxxxxx f) 2a 2a 2a g) xy xy xy xy h) a b a b i) x y x y x y j) 2a b 2a b 2a b
3
2
3
3
4
2
2
VOCÊ SABE?
c) 2 2 2 2
4
2
5 x2
b) aaaa
3
l) 2 xy 3x y m) 4 x y 5xy n) 6 x 5x o) 2a b 3ab p) 5x y 2 x y k) a 2
Escreva uma expressão para 5 menos o quadrado de um número.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Escreva as expressões a seguir na forma exponencial a) y. y. y. y
5
j) 2abc
3
Escrever um produto em sua forma exponencial? Usar a propriedade da multiplicação com bases iguais? Calcular a potência de um produto? Calcular a potência de uma potência?
7
2
4
5
2
04) A área A , de um quadrado é encontrada usando-se o lado como fator 2 vezes. Escreva uma expressão para a área do quadrado. 05) A distância s , que um objeto em queda livre percorre em t segundos é encontrada pelo produto da metade do valor da gravidade g , pelo quadrado do tempo. Escreva uma expressão para s . 06) A área de um círculo é encontrada pelo produto da constante pelo quadrado do raio. Escreva uma expressão para a área A . 07) O volume de uma esfera é encontrado pelo produto do 4 número pelo cubo do raio. Escreva uma expressão 3 para o volume V de uma esfera. 08) João tem n anos. Sua irmã diz que ela tem 6 anos a mais que o cubo da idade de João. Escreva uma expressão para a idade de usa irmã. 30
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PRODUTO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Para multiplicar um monômio por um polinômio, nós usamos a propriedade distributiva. Exemplo 3x 2 y x 2 xy y 2
3x 2 y . x 2 3x 2 y . xy 3x 2 y . y 2
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5a 4b 5a 2. 5a . 4b 4b 25a 2 40ab 16b2 2
2
O terceiro tipo especial de produto é obtido quando multiplicamos a soma e a diferença dos mesmos termos. Considere o seguinte exemplo:
x 3 x 3 x2 3x 3x 9 x 2 9 Características especiais são evidentes nesse produto. De uma forma geral temos:
3 x 4 y 3x 4 y 2 3x 2 y 4 5 y 2 y 3 5 y.2 y 5 y.3 10 y 2 15 y x 3 x 2 xy y 2
a b a b a 2 b2
x 3 . x 2 x3 . xy x 3 . y 2 x5 x 4 y x 3 y 2
Exemplos
Para multiplicar dois polinômios nós usamos a propriedade distributiva várias vezes. Exemplo x 2 y . x y
a 2b a 2b a 2 2b a 2 4b2 2
3x 2 y 3x 2 y 3x 2 y 9 x 2 4 y 2
Assim, cada termo do primeiro fator é multiplicado por cada termo do segundo fator. a 3 a 4 a.a a.4 3a 3.4 a 2 a 12 . PRODUTOS NOTÁVEIS Três tipos especiais de produtos de polinômios podem ser obtidos sem a realização de todos os cálculos. Trinômio quadrado perfeito Considere o produto x 6 x 6 x 2 6 x 6 x 36 x 2 12 x 36
Os três termos do produto podem ser obtidos da seguinte maneira: O primeiro termo é o quadrado do primeiro termo do binômio. x 2
Para multiplicar dois polinômios, nós multiplicamos cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio e depois combinamos termos semelhantes. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 09) Realizes as multiplicações indicadas e simplifique. a) 2ab a 2 bc c 2
b) 6 x 4 y 7 z c) 3a 5b2 7c 2 d) ab a 4 a 2b2 b4 e) 5ab2 3a 2 ab 4b2 f) 2 x x y 55 y g) 3a 2a b 2b2
O segundo termo do produto é igual a 2 vezes o produto dos dois termos do binômio . 2. x.6 12 x
h) y 9 y 4
O terceiro termo do produto é o quadrado do segundo
i) b 1 b 1
termo do binômio. 6 36 . 2
j) R 3
De uma forma geral temos:
a b
2
2
k) R 2 R 2 l) a 3 a 3
a 2 2ab b2 e a b a 2 2ab b2 2
m) 3x 2 x 4 n) 7 2 x 2 x 7
Exemplo
o) 3x y 2 x 3 y
x 7 x 2 2. x. 7 7 x 2 14 x 49 . 2
2
Um erro comum é
a b
2
p) a 2 2a 2 3a 2
a 2 b2 . O quadrado de um
binômio é sempre um trinômio. Exemplos
q) x y x 2 3xy y 2 r) a 6 a 2 a 1 s) a 6b
2 x 3 2 x 2. 2 x .3 32 4 x 2 12 x 9 2
2
Apesar de existirem tipos especiais de produtos de polinômios, nós devemos lembra que:
x. x 2 y. x x. y 2 y. y x 2 3xy 2 y 2
2
x 7 x 7 x 2 72 x 2 49
2
x 2 y .x x 2 y . y
x 6
2
2
2
t) 2a 3b 2a 3b 31
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u) 4 x y 4 x y
3
v) a 4b a 2 2ab b2 w) x 2 y 2 x 2 3xy y 2 x) x y x 2 2 xy y 2 y) a b z) a b
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3
3 27 3 3 3 64 4 4 5
5 a a 5 b b
8a 3 2a 2a 3 3 . b b b 3
3
3
Divisão de expressões na mesma base.
10) A área de uma coroa circular (região entre dois círculos) é dada por A R r R r . Realize a multiplicação indicada.
x6 . Nós podemos usar a definição de x2 expoentes para escrever a fração como:
Considere a expressão
x 6 x. x. x. x. x. x x. x. x. x. x . x x. x. x. x x 4 2 x x. x x. x
Assim, para dividir potências com a mesma base, subtraia o expoente da potência do denominador do expoente da potência do numerador. am a mn , a 0 an
11) Ao retirarmos quadrados de lados de medida x cm dos 4 cantos de um quadrado de lado e dobrarmos os lados para cima, obtemos uma caixa cujo volume é dado por V
2 x . 2 x . Realize a multiplicação indicada.
Exemplos
x7 x 7 5 x 2 x5
a11 a114 a 7 a4
54 541 53 5
a 5 .a 2 a 5 2 a 7 4 4 a 74 a 3 a4 a a
x3 x3 ( Não podemos simplificar neste caso) y2 y2
25 x 9 y15 253. x 95 . y1512 22. x 4 . y 3 4 x 4 y 3 23 x 5 y12
VOCÊ SABE? Multiplicar um monômio por um polinômio? Multiplicar 2 polinômios? Calcular o quadrado de um binômio e o produto da soma pela diferença dos mesmos termos?
Expoentes negativos Vamos considerar problemas em que o expoente no numerador é menos que o expoente no denominador. Considere o exemplo: x2 x. x x. x 1 1 x 6 x. x. x. x. x. x x. x. x. x. x . x x. x. x. x x 4
Potência de uma fração 3
a Considere a expressão , temos: b 3 fatores 3
3 a a a a a.a.a a 3 b b b b b.b.b b
3 fatores
Então quando uma fração é elevada a uma potência, o numerador e o denominador são ambos elevados a essa potência. n
an a n , b0 b b
Nós subtraímos novamente os expoentes, deixando o expoente 6 2 4 no denominador. Entretanto, poderíamos ter usado a propriedade da divisão de potências de mesma base para obter: x2 x 26 x 4 6 x Como a resposta deve ser a mesma devemos concluir que 1 x 4 4 , o que nos leva a definição de potências com x expoentes negativos.
Exemplos
a n 32
1 , a0 an
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Uma potência com expoente negativo em qualquer base ( diferente de zero) pode ser escrito como 1 sobre a mesma potência com o expoente positivo.
g) 2x
3
h) 3P Exemplos 1 x 3 3 x 1 a 9 9 a Da definição de expoentes negativos, se um fator é movido ou do numerador para o denominador ou do denominador para o numerador, o sinal do expoente deve mudar. O sinal da base não será afetado por essa mudança. Exemplos 1 x 3 3 x 1 4 b4 b 1 3 3 3 3 Expoente zero x 3 x. x. x 1 Considere a situação 3 1 , por outro lado x x. x. x 1
i) 4z 2 j) 9C 4 5 k) 4 x 1 l) 2 y 3 m)
1 3x 2
n) 2x 4 y 2 o) x 2 y 4 p) p 0 r 2t 5 q) x 3 y 2 z 4 13) Realize as operações indicadas e deixe a resposta somente com expoentes positivos.
a a) b
6
x b) y
x3 x 33 x 0 . O que nos leva a seguinte definição: x3
2
4
a0 1 , a 0
2 c) 3
Qualquer potência de um número diferente de zero elevado a zero é igual a 1.
1 d) 2
Exemplos ( Considere que nenhuma base resulta em zero)
2x e) y
b0 1 50 1
4
0
3x 1
3a g) b
0
VOCÊ SABE? Elevar uma fração a uma potência? Realizar divisões com expressões com a mesma base? Realizar operações envolvendo potências com expoentes negativos?
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 12) Escreva cada uma das expressões com expoentes negativos. Assuma que nenhuma variável é igual a zero.
h)
x12 x6
i)
y4 y2
0
c) 5a 0 0
33
3
c6 c9 6 k) 3 6
j)
l)
a) x 0
d) 3B
4
2ab f) c
a b 1
b) 2 y
3
x4 x3 x2
m)
y4 y y2
n)
a 7 b5 a 4bh 2
3
MATEMÁTICA o)
23 x 3 y 7 2 xy 5
p)
33 a 4 b5 34 a 4 b5
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52 a 3b 53 a 7 b3 r) x 4 x 7
q)
s) 2
4
t) x5 x 0 x 2
u) a 3
0
14) Simplifique, deixando a resposta somente com expoentes positivos.
b) 2x y c) x y z d) 5a b c e) 2a f) 4 x g) 3xy h) x y z i) 3x 2 x y x y j) 2 x y 3x y x y 3
a) 2a 2
3
2
4
4
3
5 2 4 2 2 2
1
2 2
4 3
2
5 3 2
2
0
2
2x k) 2 y
2
3
5
2
5
3
3a 2 c 0 l) 3 b
2
xy 2 m) 4 z 2a 3 n) 5 b
1
2
4 1 a 2 o) 5 b
ab 2 p) 1 c
2
3
2 2 x 3 q) 2 y
3
34
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NOTAÇÃO CIENTÍFICA. Um importante uso de potências com expoentes inteiros é nas ciências, engenharias e outros campos técnicos que trabalham com números muitos grandes ou muito pequenos. Exemplos: A massa de um átomo de hidrogênio é 0,00000000000000000000000167 g A massa de um elétron é 0,00000000000000000000000000000091g A meia vida do chumbo-204 é 14,000,000,000,000,000,000 anos. Para trabalhar com tais números, mesmo em calculadoras, é muito útil escrevê-los em notação cientifica. Um número x esta em notação cientifica se estiver escrito na forma do produto x a 10 onde 1 a 10 e n . n
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o Zero, a vírgula não é movida. Exemplos: Escreva os seguintes números em notação padrão: a) 1,45 104 14.500 b) 5,23 103 0,00523 c) 4,07 102 0,0407 Cálculos com notação científica. Notação científica pode ser usada para simplificar o cálculo quando os números envolvidos são ou muito grandes, ou muito pequenos. Exemplos: Realize os cálculos indicados: a) 349.000.00 0,0816 3, 49 108 8,16 102
3, 49 8,16 108 102 28, 4784 106 28.478.400 8 3 102.000.000 0,00105 1,02 10 1,05 10 b) 1.190 0,012 1,19 103 1, 2 102
1,02 1,05 108 103 1,02 1,05 4 10 0,75 104 7.5 1,19 1, 2 103 102 1,19 1, 2
Para obter a forma cientifica de um número decimal x , usamos os seguintes passos: Mova a vírgula decimal para a posição imediatamente após o primeiro algarismo diferente de 0 em x . Conte o número de casas que a vírgula decimal foi movida. Este número é o expoente n . Se o decimal ponto: o Foi movido para a esquerda, então n é positivo, o Foi movido para a direita, então n é negativo, o Não se moveu, então n 0 . Exemplos: Escreva os seguintes números em notação científica: a) 250 2, 50 102 2 casas
b) 45000000 4,5000000 107 4,5 107 7 casas
c) 5 5 10
0
d) 0,000152 00001,52 104 1,52 104 4 casas
e) 0,0234 0 02 ,34 102 2,34 102 2 casas
Algumas vezes é necessário converter um número em notação cientifica para a forma padrão. Para fazer isso, vale as seguintes regras.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Escreva cada um dos números a seguir em notação científica. a) 4.380 b) 255 c) 12.345 d) 14.800 e) 1.570,7 f) 6.000.736 g) 0,12079 h) 0,000000000000094 i) 456 j) 0,00087 k) 0,000000029 02) Escreva os seguintes números em notação padrão a) 9,98 104 b) 2,07 103 c) 5,061 105 d) 1,073 104 e) 5,0 102 f) 7,89 104 g) 2,3 105
Se n for: o Positivo, a vírgula decimal é movida n casas para a direita, o Negativo, a vírgula decimal é movida n casas para a esquerda, 35
03) Um micrômetro 1 m é igual a 0,000001 de um metro. Escreva esse número em notação cientifica.
MATEMÁTICA 04) A
velocidade
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luz
é
de
aproximadamente cm s . Escreva
30.000.000.000 centímetros por segundo
esse número em notação cientifica. 05) Realize as operações indicadas usando notação científica. Deixe sua resposta em notação científica. a) 456.000.000 0,000.587 b) 0,0000183 0,00003 c) 128.000.000 0,000000032 d) 0,00625 5.000.000 VOCÊ SABE? Expressar um número em notação científica? Converter um número em notação científica para notação padrão? Realizar cálculos usando notação científica?
36
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Exemplos: Fatore o seguinte polinômios.
FATORAÇÃO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
12 x 3 y 30 x 2 y 3 Fatore cada coeficiente em fatores primos.
12 x 3 y
30 x 2 y 3
22.3. x3. y
2.3.5. x2 . y3
Observe todos os números e variáveis que são comuns a todos os termos. Para encontrar o conjunto solução de certas equações que não são lineares, nós precisamos estudar uma técnica chamada “fatoração de polinômios”. Esta técnica também será útil quando estudarmos frações algébricas. FATORES COMUNS Nosso primeiro tipo de fatoração consiste em encontrar fatores comuns em cada termo de um polinômio. Para isto, devemos relembrar a propriedade distributiva.
2.3. x 2 . y Este é o fator comum. Encontre cada termo entre parêntese do polinômio dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum. 12 x 3 y 2x 6x2 y
e
30 x 2 y 3 5y2 2 6x y
Obtendo:
6x2 y 2 x 5 y 2
Agora, nós podemos escrever o polinômio em sua forma fatorada.
a b c a.b a.c
12 x 3 y 30x 2 y 3 6 x 2 y .2x 6 x 2 y .5y 2 6 x 2 y 2 x 5 y 2
a b c é chamada de forma fatorada de a.b a.c .
No exemplo 12 x 3 y 30 x 2 y 3 6 x 2 y 2 x 5 y 2 poderíamos
Vamos usar a propriedade distributiva para escrever 3x 6 em sua forma fatorada.
também ter fatorado a expressão 12 x 3 y 30 x 2 y 3 como
3x 6 3. x 3.2 3. x 2
Assim 3. x 2 é a forma fatorada de 3x 6 . Esse tipo de fatoração, como o próprio nome indica envolve encontrar números ou símbolos que são fatores comuns em todos os termos originais. Quando um polinômio é fatorado, nós “extraímos” o maior fator comum do polinômio. O maior fator comum é formado pelo maior inteiro que é um fator comum de todos os coeficientes e, pela variável ou variáveis comuns junto com a menor potência que aparece em todos os termos. Exemplos: Fatore os seguintes polinômios. 3x 6 3. x 3.2 3 x 2
5 3xy 4 x 2 10 xy 2 ou 12 y x 3 x 2 y 2 . 2 Assim um polinômio com coeficientes inteiros será considerado completamente fatorado quando satisfizer os seguintes critérios.
O polinômio esta escrito com um produto de polinômios com coeficientes inteiros. Nenhum dos termos do polinômio pode ser novamente fatorado. Normalmente, quando nós “extraímos” um fator de um polinômio, nós “extraímos” de tal maneira que seu coeficiente seja positivo. Observe que nós também podemos fazer o oposto, ou seja, “extrair” um fator de tal forma que seu coeficiente seja negativo. No exemplo anterior poderíamos ter feito: 12 x 3 y 30 x 2 y 3 6 x 2 y 2 x 5 y 2
10 x 2 15 y 5.2 x 2 5.3 y 5 2 x 2 3 y 12a 42b 6.2a 6.7b 6 2a 7b
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06) Escreva na forma fatorada. a) 7a 3 14a
18xy 12 xz 6 x.3 y 6 x.2 xz 6 x 3 y 2 z Nesses exemplos, nós encontramos o maior fator comum através de uma simples observação. Em alguns casos, isto pode não ser possível. Assim o seguinte procedimento ajudará. 37
b) 9 x5 6 x3 18x 2 c) 72a 2b 84a 3b4 48a 4b2 d) 3x3 y 2 15x 2 y 4 3xy 2 e) 3a 12 f) 8 y 2 10 x 2
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g) 5r 2 10rs 20s h) 8x 12 y 16z
Para fatorar um polinômio usando agrupamento nós: Reordenamos o polinômio de tal forma que os dois primeiros termos tenham um fator comum e os dois últimos tenham um fator comum. Determinamos o maior fator comum de cada para e o fatoramos. Se o passo anterior produzir um fator binomial comum em cada termo, nós o “extraímos”.
i) 18ab 27a 3ac j) 15a 2 27b2 12ab k) V V 2 V 3 V 4 l) 2L3 18L 2L2 m) 2x3 x 2 x 07) Forneça o fator omitido
b) a 2b3 a 2b2 a 2b2 c) 6 x 8z 12w 2
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a) 3a 6b
Exemplos: Fatore o seguinte polinômios. ax 2ay bx 2by
d) 4a 3 36ab 16ab2 24b3 4 e) x 2 xy xy 2 x
ax 2ay bx 2by a x 2y b x 2y x 2 y a b
3ac 6ad 2bc 4bd Já vimos que, quando uma expressão está envolvida por um símbolo de agrupamento, nós a tratamos como um único número. Exemplos: Fatore os seguintes polinômios x a 2b y a 2b x a 2b y a 2b a 2b x y
3ac 6ad 2bc 4bd 3a. c 2d 2b c 2d c 2d 3a 2b EXERCÍCIOS PROPOSTOS 09) Escreva na forma fatorada. a) 2ax 2ay bx by
x2 a b a b
b) 6ax by 3ay 2bx
x 2 a b a b x 2 1 a b
c) rt ru st su d) 5ax 3by 15bx ay
3x 2 2a b 9 x 2a b
e) 2ax 2 bx 2 6a 3b
3x 2 2a b 9 x 2a b 3x 2a b x 3
f) 20 x 2 5xz 12 xy 3 yz g) ac ad 2bc 2bd h) 2ac 3bc 8ay 12by
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 08) Escreva na forma fatorada. a) x y 5 x y 5
i) 2ax ad 4bx 2bd
b) x a b y a b
j) 2a 3 15 10a 2 3a
c) 15x 2a b 10 y 2a b d) 8a b 6 b 6
10) Escreva na forma fatorada. a) A área da superfície de um cilindro é calculada pela fórmula A 2 rh 2 r 2 . b) A superfície total de um cone circular reto é dada por
e) 21R L 2 N 35S L 2 N
A rg r 2 .
AGRUPAMENTOS Consideremos o polinômio ax ay bx by . Observe que a é um fator comum dos dois primeiros termos e b é um fator comum dos dois últimos. Assim, podemos usar a propriedade distributiva para fatorar os dois primeiros termos e os dois últimos. ax ay bx by ax ay bx by a x y b x y Agora x y é comum aos dois termos, então nós usamos a
c) A equação da distância S percorrida por certo foguete disparado verticalmente é dada por S 560t 16t 2 . VOCÊ SABE? Determinar o maior fator comum? Fator um polinômio usando agrupamento?
propriedade distributiva novamente. Assim: ax ay bx by a b x y 38
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FATORAÇÃO DE x2 bx c Determinando se um trinômio é fatorável. Lembre-se que para multiplicar 2 binômios nós usamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
x 2 x 6 x 2 8 x 36
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O trinômio x 2 bx c poderá ser fatorado usando inteiros somente se existir 2 inteiros m e n tais que m n b e m.n c x 2 bx c x m x n
Para obter o sinal ou para m e n
Multiplicando
Agora, nós vamos fazer o processo inverso, ou seja, vamos fatorar o trinômio. x 2 8 x 36 x 2 x 6 Fatorando
Os seguintes exemplos nos ajudarão a entender o procedimento: Exemplos:
Se c 0 , então m e n tem o mesmo sinal de b . Se c 0 , então m e n tem sinais opostos. Neste caso aquele com o maior valor absoluto terá o mesmo sinal de b. Exemplos: Fatore os seguintes trinômios: a 2 11a 28 Devemos ter m n 11 e m.n 18 , Desde que b 11 0 e c 18 0 , m e n são ambos positivos. Fatorações do 18 1.18 2.9 3.6
Soma dos fatores 1 18 19 2 9 11 3 6 9
Assim, temos m 2 e n 9 . A fatoração é: a 2 11a 18 a 2 a 9
b2 2b 15 Devemos ter m n 2 e m.n 15 , Desde que b 2 0 e c 15 0 , m e n tem sinais opostos e aquele com maior valor absoluto será negativo. Fatorações do 15 1. 15
Soma dos fatores 1 15 14
3. 5
3 5 2
Assim, temos m 3 e n 5 . A fatoração é: b2 2b 15 b 3 b 5
x 2 5x 24 Devemos ter m n 5 e m.n 24 , Desde que b 5 0 e c 24 0 , m e n tem sinais opostos e aquele com maior valor absoluto será positivo.
Em geral,
Fatorações do 24 1 .24
Soma dos fatores 1 24 23
2 .12 3 .8 4 .6
2 12 10 3 8 5 4 6 2
Assim, temos m 3 e n 8 . A fatoração é:
x m x n x 2 m n x m.n
x 2 5x 24 x 3 x 8 39
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x 2 5x 12 Devemos ter m n 5 e m.n 12 , Desde que b 5 0 e c 12 0 , m e n são positivos. Fatorações do 12 1.12 2.6 3.4
VOCÊ SABE? Determinar 2 inteiros cujo produto é um número e cuja a soma é outro? Reconhece quando um trinômio x 2 bx c poderá ser fatorado usando inteiros? Fatora trinômios da forma x 2 bx x
Soma dos fatores 1 12 13 26 8 3 4 7
Nenhuma fatoração de 12 tem soma igual a 5, ou seja, não existe um par de números inteiros nestas condições e o trinômio não será fatorado usando inteiros. Nós chamaremos este polinômio de primo.
x 4 4 x 3 12 x 2 x 2 x 2 4 x 21 Para
efetuar
a
fatoração,
nós
x 2 4 x 21 x 3 x 7 . Assim:
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FATORAÇÃO DE
ax2 bx c
A forma ax 2 bx c é a forma padrão do trinômio. Considere o produto
2 x 3 x 3 Utilizando a propriedade distributiva nós encontramos
verificamos
2 x 3 x 3 2 x2 6 x 3x 9 2 x 2 9 x 9
que
x 4 4 x 3 21x 2 x 2 x 3 x 7
Se nós observamos o processo de multiplicação, nós veremos que 6 e 3 aparecem como coeficientes dos termos intermediários e que são combinados para a resposta final.
x 2 y 2 9 xy 20 xy 9. xy 20
2 x 3 x 3 2 x2 6x 3x 9 2 x 2 9 x 9
Assim m n 9 e m.n 20
Assim para reverter o processo nós podemos fazer
x 2 y 2 9 xy 20 xy 4 xy 5
2 x 2 9 x 9 2 x 2 6 x 3x 9 Usando agrupamento e fatoração temos que:
2
2 x 2 6 x 3x 9 2 x x 3 3 x 3
x 2 5ax 6a 2
x 3
passa a ser um fator comum podemos
m n 5a e m.n 6a 2 Assim:
Como
x 2 5ax 6a 2 x 2a x 3a
2 x x 3 3 x 3 2 x 3 x 3
11) Escreva na forma fatorada. a) z 2 8z 20 b) a 2 9a 18
reescrever: O trinômio ax 2 bx c poderá ser fatorado utilizando-se coeficientes inteiros se nós pudermos encontrar dois inteiros m e n cuja soma é igual a b e cujo produto é igual a a.c de tal forma que:
f) a 2 2a 24
No trinômio 2 x 2 9 x 9 temos b 9 e a.c 2.9 18 . Assim, nós procuramos: m n 9 m.n 18
g) 2a 2 26a 24
Os valores para m e n são 3 e 6.
c) x 2 13x 12 d) x 2 14 x 24 e) y 2 9 y 36
h) x 2 5x 7
ax2 bx c
i) b2 13b 40
Para fatorar
j) 5a 2 15a 50
Determine se o trinômio ax 2 bx c é fatorável encontrando m e n tais que m.n a.c e m n b . Troque o termo intermediário bx por mx nx . Fatore os dois primeiros termos e os dois últimos. Utilize fator comum para fatorar novamente.
k) x 2 y 2 xy 30 l) 3x 2 y 2 3xy 36 m) a 2 ab 2b2 n) a 2 ab 6b2 o) x 2 2 xy 15 y 2 p) 5 y 5 y 30 2
q) a 2 7ab 10b2 r) x 2 3xy 2 y 2
O processo para determinar os sinais de m e n é similar ao utilizado anteriormente. Se a.c 0 , então m e n tem o mesmo sinal de b . Se a.c 0 , então m e n tem sinais diferentes e o que possui o maior valor absoluto possui sinal igual ao de b 40
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 12) Escreva na forma fatorada. a) 6 x 2 13x 6
b) 3x 2 5x 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13) Escreva na forma fatorada. a) 6 x 2 23x 15 b) 12 x 2 12 x 9 c) 2 x 2 x 6 d) 2 x 2 3x 1 e) 2R2 7 R 6 f) 5x 2 7 x 6 c) 4 x 11x 6
g) 9 x 2 6 x 1
2
h) 5x 2 4 x 6 i) 6 x 2 13x 6 j) 4 x 2 20 x 21 k) 4 x 2 2 x 5 l) 2 x 2 14 x 12 m) 5R2 9R 2 n) 6 x 2 17 x 12 o) 3x 2 2 x 4
d) 12 x 2 4 x 5
p) 9 x 2 27 x 8 q) 8x 2 18x 9 14) Quando uma pedra é atirada verticalmente, a altura h dessa pedra em um instante t é dada pela fórmula h 16t 2 32t 16 . expressão.
Fatore
o lado direito dessa
VOCÊ SABE? e) 6 x 2 9 x 4 Determinar 2 inteiros cuja soma e produto são conhecidos? Reconhecer quando o trinômio ax 2 bx c pode ser fatorado e quando não? Fatorar trinômios da forma ax 2 bx c ? Sempre relembrar de fatorar qualquer fator comum antes da aplicação de outras regras? FATORAÇÃO DE DIFERENÇA DE QUADRADOS Anteriormente vimos que
a b a b a 2 b2 .
Neste
momento queremos inverter o processo, isto é, devemos reverter a fórmula. Assim:
f) 24 x 39 x 18 2
41
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f) x 2 16 z 2 g) b2 36c2
Para utilizar esta técnica, devemos estar aptos a reconhecer quadrados perfeitos.
h) 8 x 2 32 y 2
9 3.3 3
j) 50 2x 2 k) r 2 s 2 25t 2
2
25a 2 5a 5a 5a
2
9a 3a
2 2
4
2
i) 5r 2 125s 2
l) 16t 4 1
3a 3a 2
m) 49 x 2 64 y 4 n) 98x 2 y 2 50 p 2c2
Para fatorar diferenças de quadrados Verifique se temos uma diferença de dois quadrados perfeitos. Reescreva o problema. Fatore. EXERCÍCIO RESOLVIDO 15) Escreva na forma fatorada. a) x 2 9
b) 4a 2 b2
c) 4 x 2 25 y 2
d) 4x 2 x 2 y 4
e) 2a 18b 2
2
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO Nós já vimos que
a b
2
a 2 2ab b2 e
a b
2
a 2 2ab b2 .
Os membros do lado direito são os quadrados do binômio do membro do lado esquerdo. Neste momento, nós desejamos reverter esse procedimento. Trinômios quadrados perfeitos podem ser fatorados pela técnica descrita no início desta aula. Porém, se nós observamos que o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos nós devemos tentar fatorar o trinômio como um quadrado perfeito. Condição necessária para um trinômio quadrado perfeito O primeiro termo deve ter coeficiente positivo e ser um quadrado perfeito. O último termo deve ter coeficiente positivo e ser um quadrado perfeito. O termo do meio deve ser 2 vezes o produto das bases do primeiro e do último termo. 2ab ou 2ab EXERCÍCIO RESOLVIDO 17) Escreva na forma fatorada. a) 9 x 2 12 x 4
f) 3a 2 48
g) a 4 16
b) 4 x 2 20 x 25
EXERCÍCIO PROPOSTO 16) Escreva na forma fatorada. a) t 2 64
c) 9 x 2 6 x 1
b) 4a 2 b2c2 c) r 2 s 2 d) 49 R 2 e) 4 y 2 9 42
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d) 16 x 2 24 x 9 c) 2a 3 54b3
e) 9 y 2 30 y 25 d) a15 64b3
EXERCÍCIO PROPOSTO 18) Escreva na forma fatorada. a) c2 14c 49
A SOMA DE DOIS CUBOS.
Considere o produto a b a 2 ab b2 . Se nós fizermos os produtos indicados, nós obteremos:
b) b2 8b 16 c) a 2 6a 9
a b a 2 ab b2 a 3 b3
d) x 12 x 36 2
e) 9c2 12cd 4d 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO 20) Escreva na forma fatorada a) a 3 8
f) 9a 2 30ab 25b2 g) x 2 16 xy 64 y 2
VOCÊ SABE? Identificar e reescrever quadrados perfeitos? Fatorar a diferença de dois quadrados? Relembrar que a soma de dois quadrados não pode ser fatorada? Fatorar quaisquer fatores comuns antes de aplicar as outras regras?
OUTROS TIPOS DE FATORAÇÃO A DIFERENÇA DE DOIS CUBOS.
b) x 3 125
c) 8a 3 b21
Considere o produto a b a 2 ab b2 . Se nós fizermos os produtos indicados, nós obteremos:
a b a 2 ab b2 a 3 b3 d) x 3 y 3 z 3 EXERCÍCIO RESOLVIDO 19) Escreva na forma fatorada a) x 3 27
b) 8x 3 y 3 43
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EXERCÍCIO PROPOSTO 21) Escreva na forma fatorada. a) r 3 s 3 b) 8x 3 y 3
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Verifique a possibilidade de obter trinômio quadrado perfeito. Se não for o caso, use métodos gerais de fatoração de trinômios. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 24) Escreva na forma fatorada a) a 2 6a 9
c) h 3 k 3 d) a 3 8 e) x 3 8 y 3 f) 64x 3 y 3 g) 27 x 3 8 y 3 h) 8a 3 37b3
b) a 2 5a 14
i) 64s3 1 j) x5 27 x 2 y 3 k) 16a 3 2b3
c) 6a 2 7a 20
l) x12 27 m) x18 y 9 27 z 3 n) a15b6 8c9 REVISÃO Fator Comum e agrupamentos Procure sempre fatorar os fatores comuns antes de prosseguir. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 22) Escreva na forma fatorada
Quatro termos Verifique a possibilidade fatoração usando agrupamento. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 25) Escreva na forma fatorada a) ac 3a 2bc 6b
a) 5a 3 25a 2 b) a 3 2a 2 3a 6
b) ca 2cb 2da 4bd
Dois Termos Cheque se é diferença de quadrados, diferença ou soma de cubos. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 23) Escreva na forma fatorada a) a 2 16b2
Cheque se qualquer um dos fatores obtidos pode ser novamente fatorado. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 26) Escreva na forma fatorada a) c4 11c2 28
b) 8a 3 b3 b) 4a 2 36b2 c) m3 64n3
Três termos 44
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x 3 x 2 0
EXERCÍCIO PROPOSTO 27) Escreva na forma fatorada.
x 3 0 ou x 2 0
a) n 2 49 b) 7b2 36b 5
x 3 ou x 2 V {2, 3}
c) x 2 y 2 2 xy 8 d) 25a 2 3b c 5a 3b c
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 28) Encontre o conjunto solução das seguintes equações:
e) 4a 2 16b2
a) x 5 x 4 0
f) 5x 2 18x 60 g) 6am 4bm 3an 2bn h) 3a 2 13a 4 i) 6 x 2 24 xy 48 y 2
b) x 3 3x 1 0
j) 4 x 2 20 xy 25 y 2 k) 3a5 48a l) 3b2 8b 91 m) 3ax 6bx 2ay 4by n) 9a 2 30ab 25b2
c) 3x x 7
o) 6 x 2 17 x 3 p) y 3 27 z 3 q) a 3b3 64 r) 8b3 c3
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS POR FATORAÇÃO. Anteriormente, estudamos equações lineares, que também são conhecidas como equações do primeiro grau. Lembre-se que o grau de uma equação em uma variável é o maior expoente daquela variável em qualquer termo. Agora, nós encontraremos soluções para equações do 2º grau, também chamadas de equações quadráticas.
PARA RESOLVER EQUAÇÕES DO 2º GRAU POR FATORAÇÃO Escreva a equação em sua forma padrão ax 2 bx c 0 com a 0 . Fatore completamente o membro esquerdo. Iguale cada fator a zero e resolva as equações obtidas Cheque suas soluções EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 29) Encontre o conjunto solução das seguintes equações:
ax bx c 0 a 0 2
a) x 2 5x 6 SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO QUADRÁTICA Oberve a equação x 2 x 6 0 . Já sabemos obter a sua forma fatorada: x 2 x 6 0 x 3 x 2 0
Esta equação afirma que o produto dos fatores
x 2
x 3
e
é zero. b) x 2 2 x
PROPRIEDADE DO PRODUTO IGUAL A ZERO p, q e p.q 0 p 0 ou q 0 Se o produto de dois fatores é igual a zero, então no mínimo um dos fatores é zero. Generalizando: Se x p x q 0 x p 0 ou x q 0 . Assim 45
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sua altura. Se a área desse retângulo é A 33 cm2 .
c) x 2 16
Encontre sua largura e sua altura. 33) Um móvel com velocidade inicial v sofre uma aceleração a durante um tempo t . O espaço percorrido por s esse 1 móvel é dado pela equação s vt at 2 .Encontre t 2 quando s 8 , v 0 , a 2 d) 4 x 2 20 x 25
VOCÊ SABE? Encontrar o conjunto solução de uma equação em sua forma fatorada cujo produto é igual a zero? Encontrar o conjunto solução de uma equação do 2º grau por fatoração? e) 3x 2 3 6 x
EXERCÍCIO PROPOSTO 30) Encontre o conjunto solução das seguintes equações: a) 2 x 3 x 1 0 b) x x 6 0 c) 3a a 7 0 d) 3x 9 2 x 3 0 e) 5x 3 x 10 4 x 1 0 f) 2a 2 5a g) 4 y 2 9 h) x 2 4 x 0 i) 2 y 2 18 0 j) x 2 7 x 12 0 k) x 2 3x 4 0 l) a 2 14a 49 0 m) y 2 32 4 y n) x 2 27 6 x 31) O produto de dois números pares consecutivos é 168. Encontre esses números. 32) A área de um retângulo é dada pela fórmula A b.h em que b é a medida da largura e h é a altura do retângulo. A largura de certo retângulo é 2 cm maior que o triplo de
46
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EXPRESSÕES RACIONAIS.
Uma expressão racional não tem significado para aqueles valores da variável que fazem com que o denominador seja zero. Esses valores são restrições para a variável. Todos os outros valores da variável para os quais a expressão está definida formam o domínio da expressão racional.
EXPRESSÕES RACIONAIS Aprendemos que um número racional é um número que pode ser escrito como quociente entre dois inteiros com denominador diferente de zero. 2 4 5, , . 7 9 Vamos ampliar esta definição para o quociente de 2 polinômios.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 02) Encontre o domínio das seguintes expressões racionais. x3 a) x4
b)
3x 2 x x6
c)
x2 3 x2 4
d)
x3 x2 x
2
Uma expressão racional é uma expressão com a forma: P Q Onde P e Q são polinômios e Q 0 Assim, uma expressão racional é uma expressão que pode ser escrita como o quociente de 2 polinômios com o denominador diferente de zero. Exemplos: 2x x 1 x2 2 2 x x6 x2 x 5 Assim como nos números racionais o polinômio de cima é o numerador e o de baixo é o denominador. Para avaliar expressões racionais basta substituir a variável pelo valor fornecido e realizar as operações indicadas.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 01) Avalie as seguintes expressões racionais para o valor fornecido. x 5 1 para x a) 2 2x x 1 2
b)
EXERCÍCIO PROPOSTO 03) Encontre o domínio das seguintes expressões racionais. x3 a) 2 x x6 4 b) 3x 3x 2 x3 a9 d) 4a 3 8x e) 2 3x 2 x 8 4 f) 2 h 4
c)
5x 2 para x 2 4x 3
VOCÊ SABE?
c)
Avaliar uma expressão racional para um dado valor? Determinar as restrições sobre a variável? Determinar o domínio de uma expressão racional?
x2 para x 5 x 3x 10 2
47
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PRINCÍPIO FUNDAMENTAL. Um dos procedimentos mais importantes usados a trabalharmos com expressões racionais é a simplificação. Para fazer isso, utilizamos o seguinte princípio. Se P é um polinômio e Q e R são polinômios diferentes de zero, então: PR P P PR e QR Q Q QR Para mudar a aparência de uma expressão racional sem mudar seu valor, nós podemos multiplicar ou dividir o numerador e o denominador por um mesmo polinômio diferente de zero. Esta propriedade nos permite reduzir uma expressão racional para termos irredutíveis. A expressão racional é irredutível se o maior fator comum entre o numerador e o denominador é igual a 1 ou -1.
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NÃO FAÇA ISTO: 8 1 8 1 1 83 8 3 3
O princípio fundamental permite dividir numerador e denominador por fatores comuns. O 8 acima não é fator comum. O 8 é termo. Observe que se b a , em geral temos: a b 1 ba
ab
EXERCÍCIO RESOLVIDO 05) Simplifique as expressões racionais. x 5 a) 5 x
PARA REDUZIR UMA EXPRESSÃO RACIONAL
b)
4 x x 2 16
c)
1 x2 2 x2 x 3
Escrever numerador e denominador na forma fatorada. Dividir o numerador e o denominador por todos os fatores comuns. EXERCÍCIO RESOLVIDO 04) Simplifique as expressões racionais. 45 a) 60
b)
14 x 2 10 x 3
c)
5a 15 4a 12
d)
e)
EXERCÍCIO PROPOSTO 06) Simplifique as expressões racionais. 75 a) 145
y 7 y 2 49
a 2 36 a a 30 2
48
b)
15b3 20b3
c)
x2 y2 x y
d)
6y 6 8 y2 8
e)
x2 x3 8
f)
x2 9 x 6x 9
g)
a 2 10a 25 a 2 25
h)
16 y 2 3 y 11 y 4
i)
p 2 q2 q2 p 2
j)
x3 12 x x 2
2
2
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PROFESSOR TENANI O procedimento correto é:
VOCÊ SABE? Reduzir uma expressão racional para termos irredutíveis usando o princípio fundamental? Reconhece fatores a b e b a ? QUOCIENTE DE 2 POLINÔMIOS Já vimos o processo de divisão entre dois monômios. Vamos relembra-lo. 7
x x 74 x 3 x4 5
4a 2 a 5 3 2 a 2 2a 3
Divisão de Polinômio por monômio. Considere então a divisão de um polinômio por um monômio: 3x 3 9 x 2 15 x 3x Para efetuar essa divisão basta lembrar-se de um princípio usado na adição de frações com mesmo denominador: a b ab c c c
c 0
Assim, para dividir um polinômio por um monômio, nós dividimos cada termo do polinômio pelo monômio. 3x 3 9 x 2 15x 3x 3 9 x 2 15x x 2 3x 5 3x 3x 3x 3x
a)
8 x 4a 12a 4a
b)
5 x 7 15 x 5 10 x 5x 2
x3 x2 x3 x2 2 2 x 1 x2 x x Pois somente fatores devem ser divididos por fatores. E x 3 e x 2 são termos do numerador.
EXERCÍCIO PROPOSTO 08) Encontre o quociente a)
9 x3 3x 2
b)
3a b a b
2
16 x 5 20 x 3 4 x 2 4x2 6x 9 d) 3
c)
bx 2 bx bx a b 1 c b 1 f) b 1 a x y bx y g) yx
e)
Divisão de Polinômio por Polinômio. Considere o seguinte quociente no qual o divisor não é um monômio. x2 x 2 x2
EXERCÍCIO RESOLVIDO 07) Encontre o quociente 4
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Envolvendo a divisão de um trinômio por um binômio. Para realizar a divisão nós usaremos o mesmo processo utilizado para divisão de números. Começamos escrevendo-os em ordem decrescente de potências com zeros utilizados no termos de coeficientes iguais a zero. Exemplos: Dividendo Escrita 3 4 2 4 3 x 2 x 3x 4 x 1 3x x 4 x 2 2 x 1 3 x x 9 x3 0 x2 x 9 4 x 1 x4 0 x3 0 x 2 0 x 1
2
Assim, temos
x2 x 2 x 2 Divida x 2 por x e coloque o resultado ( nesse caso, x ) no lugar destinado ao quociente. x2 x 2 x 2 x
NÃO FAÇA ISTO:
Multiplique x por x 2 e coloque o resultado (nesse caso) x 2 2 x sobre o dividendo.
x x x x x 1 x3 1 2 x2 1 x 3
2
3
2
3
x2 x 2 x 2 49
x2 2 x
x
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Subtraia esse resultado do dividendo x x 2 x2 2
x2 2x
x
x2
Repita todo o procedimento anterior para o resto obtido (nesse caso) x 2 . Ou seja, divida x por x , obtendo 1 e coloque o resultado no lugar destinado ao quociente
d)
x 2 6 x 10 x3
e)
2 x 3 3x 2 13x 12 x 5
f)
6 x 4 x 3 2 x 2 7 x 19 2x 3
g)
x 4 3x 3 6 x 2 3x 8 x 2 3x 5
h) x 4 2 x 3 4 x 2 x 2 x 4
x2 x 2 x 2 x2 2x
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x 1
11) Qual polinômio que, ao ser dividido por 3x 2 , resulta
x2
um quociente 2 x 2 3x 5 . Multiplique 1 por x 2 obtendo x 2 e coloque abaixo de x 2 , realizando a subtração. x2 x 2 x 2 x2 2x
x 1
x2 x2
VOCÊ SABE? Dividir um monômio por outro monômio? Dividir um polinômio por um monômio? Dividir um polinômio por um polinômio? Checar a resposta?
0
EXERCÍCIO RESOLVIDO 09) Encontre o quociente solicitado e cheque sua resposta. a)
x 2 3x 4 x4
b)
x 2 5x 6 x2
EXERCÍCIO PROPOSTO 10) Encontre o quociente solicitado. a)
6x2 7 x 3 2x 3
b)
a 2 7a 10 a2
c)
x 2 5 x 10 x3 50
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Propriedade
RAZÕES E PROPORÇÕES.
Se
a c a.d b.c b d
EXERCÍCIO RESOLVIDO 15) Encontre o termo desconhecido nas proporções dadas.
RAZÕES a representa o quociente indicado b pela divisão de a por b . Uma razão compara dois números ou quantidades seguindo esse mesmo caminho. A razão entre dois números a e b (nessa ordem) pode ser escrita como:
Vimos que uma fração
a ou a:b b Lê-se: “a razão de a para b ”. Se as quantidades puderem ser escritas na mesma unidade de medida, a razão será escrita sem qualquer unidade de medida. 45min 45 3 45 min :60 min 60 min 60 4
a para b ,
35 centavos 7:8 400 centavos 50 km 350 km : 7 h 50 km / h h
35 centavos: 4 Reais =
a)
x 16 8 64
b)
49 35 y 5
c)
72 30 z 6
EXERCÍCIO PROPOSTO 16) Encontre o termo desconhecido nas proporções dadas. a)
9 36 x 5
h 42 7 30 c) R :12 15 :100
b)
EXERCÍCIO PROPOSTO 12) Em uma sala de aula existem 32 meninos e 32 meninas. Encontre a razão entre o número de meninos e de meninas.
13) Um salão possui 24 metros de comprimento por 18 metros de largura. Qual a razão entre o comprimento e a largura?
14) Um salão possui 24 metros de comprimento por 18 metros de largura. Qual a razão entre a largura e o comprimento?
PROPORÇÕES Uma proporção é uma relação de igualdade entre duas a c e escrevemos: razões. Assim, dadas as razões b d a c ou a : b c : d b d
Lê-se: “ a está para b como c está para d ” Os números a, b, c e d são os termos da proporção. 51
d)
5 p 9 20
Proporções são utilizadas na resolução de vários problemas. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 17) Duas engrenagens estão na razão 4 : 5 . Se a menor tem 32 dentes, quantos dentes têm a maior?
18) Em um mapa 1 cm representa 6 km. Quantos cm são necessários para representas 28 km.
19) Cecília economiza R$ 20,00 por semana de sua mesada quando esta é igual a R$ 220,00. Se a mesada de Cecícia subir para R$ 250,00, quanto ela devera economizar por semana para manter a proporção de economia?
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 20) Em um mapa. 1 cm representa 9 km. Quantos cm são necessários para representas 42 km? 21) Uma pessoa ganha R$ 180,00 por semana. Quantas semanas ela precisa trabalhar para ganhar R$ 1260,00? 22) Um carro percorre 126 km com 12 litros de gasolina. Quantos litros serão necessários para uma viagem de 924 km? 23) 24 gramas de água contêm 4 gramas de hidrogênio. 276 gramas de água contêm quantos gramas de hidrogênio? 24) Uma máquina pode produzir 21 peças em 30 minutos. Quanto tempo será necessário para produzir 224 peças? 25) Uma imagem de computador tem 10 cm de comprimento por 8 cm de largura. Se nós aumentarmos a sua largura para 20 cm, qual deverá ser proporcionalmente seu novo comprimento? VOCÊ SABE? Escrever razões? Escrever proporções Encontrar termos desconhecidos em proporções? Resolver problemas que envolvem proporções?
52
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Divisão de expressões racionais
OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES RACIONAIS
Dadas as expressões racionais
Multiplicação de expressões racionais
P R P.R Q S Q.S
x 1 2 x 5 x 3
c)
9 4x 8x2 3
d)
x 1 x 3 3 x x 2
e)
x 2 8 x 16 x2 4 2 2 x 3x 10 x 5x 4
Q, R , S 0
EXERCÍCIO RESOLVIDO 02) Realize a divisão indicada e simplifique sua resposta. 3xy xyz a) 5 15
b)
x2 9 x 3 5 20
c)
4x 2 2x 1 x 1 6 6x
d)
x2 4 2 x 2 x 1 2 x2 7 x 3
P R e , então: Q S
Q, S 0
EXERCÍCIO RESOLVIDO 01) Realize a multiplicação indicada e simplifique sua resposta. 5x 3 a) 4 2y
b)
P R e , então: Q S
P R P S PS Q S Q R QR
MULTIPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES RACIONAIS A multiplicação de expressões racionais é realizada da mesma forma que a multiplicação de frações, ou seja, nós multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores e simplificamos os fatores comuns.
Dadas as expressões racionais
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EXERCÍCIO PROPOSTO 03) Efetue a operação divisão indicada e simplifique sua resposta. 24 7 a) 35 8 4x 5 b) 5 2
2
c)
24abc 14 x 2 yz 7 xyz 2 9a 2
d)
x y 12 3 x 2 2
3x 6 5 x 10 4x 8 2 x 5 x y 12 f) 8 10 y x
e)
DIVISÃO DE EXPRESSÕES RACIONAIS A divisão de expressões racionais também é realizada seguindo o mesmo da multiplicação de frações, ou seja, nós multiplicamos o numerador pelo inverso do denominador e simplificamos o resultado. 53
g)
8 x 16 2 x 6 3 x 3x 6
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 04) Realize a operação indicada e simplifique sua resposta. 5 2 a) x 3 x 3
6 x 21x 5 y 15 y
20 xy 3 4 xy 9a 2 3ab2 9 x 4 x 9 j) 7 21 4x 2 1 2x k) 15 27 2x 6 l) x 3 x 5 9 3x m) 6 2 x 2x 8 i)
n)
9 x2 4 x 4 y x y x3
o)
x 2 16 x 4 x 1 x2 1
p)
x 2 5x 6 x 2 5x 4 x 2 9 x 20 x 2 3x 2
q)
x 2 x 3 x x 12 x 2 3x 4 x 2 x 6
r)
2 x 2 15x 7 x 2 49 2 2 x 9x 8 x 2x 1
2
2
x2 4 s) 3x 2 2 x 8 x2 t)
x 3 27 x 2 3x 18 10 15
u)
6 x 2 7 x 2 2 x 2 x 12 x 2 5x 3 6 x 2 5x 1 4 x 2 1 12 x 2 17 x 6
v)
A2 5 A 14 5 A3 40 2 A 4 A A 12 VOCÊ SABE?
Multiplicar expressões racionais? Dividir expressões racionais? ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE EXPRESSÕES RACIONAIS I Lembremos que para somarmos ou subtrairmos frações com denominadores iguais, nós somamos os numeradores e mantemos o denominador. O procedimento para soma e subtração de expressões racionais com mesmo denominador é o mesmo. Adição e subtração de expressões racionais com mesmos denominadores.
P R e , então: Q Q P R PR e Q 0 Q Q Q
Dadas as expressões racionais
P R PR Q Q Q
COMPASSO CURSOS
b)
5x 7x 3x 5 3x 5
c)
2x 3 4 2x 2 x 5x 6 x 5x 6
d)
2x 1 4 x x 2 5x 6 x 2 5x 6
e)
5x 2 2 x 3 x3 3 x
2
EXERCÍCIO RESOLVIDO 05) Realize a operação indicada e simplifique sua resposta. 5 2 a) x x 5x 3x b) x2 x2 x 1 x 2 c) 3x 3x 3x 2 4 x 1 d) 2 x2 x 5 6 e) 7 7 4 7 f) x x 2x 5 x 7 g) 5 2x 2x 5 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (mmc) Ao somarmos (ou subtrairmos) duas frações com denominadores distintos, nós devemos encontrar frações equivalentes às dadas com denominadores comuns. Existem muitos números que satisfazem tal condição e que podem ser utilizados nessa operação, entretanto, o denominador mais conveniente a ser utilizado é o mmc entre os denominadores fornecidos. Exemplo: 5 2 5.6 2.4 30 8 38 19 6 9 6.6 9.4 36 36 36 18 ou 5 2 5.3 2.2 15 4 19 6 9 6.3 9.2 18 18 18 54
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O mesmo critério será utilizado para somarmos ou subtrairmos expressões racionais com denominadores distintos. Para isso, devemos saber calcular o mmc de um conjunto de denominadores. Para encontrar o mmc entre um conjunto de expressões algébricas. Fatore completamente cada uma das expressões. Utilize notação exponencial onde for possível. Escreva cada fator diferente que aparece em cada uma das fatorações obtidas anteriormente. Coloque em cada fator obtido no passo anterior o maior expoente visto nesse fator. Escreva o produto desses fatores.
www.compassocursos.com.br i) x 2 9 , x 2 x 6 e x 2 4 x 4 j) 5 x , x 2 25 e x 2 10 x 25 VOCÊ SABE?
Adicionar ou subtrair expressões racionais com denominadores iguais? Encontrar o mmc de um conjunto de expressões algébricas? EXPRESSÕES RACIONAIS EQUIVALENTES Vamos utilizar a ideia de frações equivalentes nas expressões racionais. EXERCÍCIO RESOLVIDO 08) Encontre a fração equivalente indicada. 3 ? a) 15 90
EXERCÍCIO RESOLVIDO 06) Encontre o mmc das expressões abaixo. a) 12 e 18
b) 16x 2 e 4x 3 b)
x 1 ? 2 x 4 x 2x 8
c) 50x 3 y 2 e 20xy 4
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE EXPRESSÕES RACIONAIS II Agora que sabemos encontrar o mmc de um conjunto de expressões algébricas
d) x 2 x 12 e x 2 2 x 8
Para adicionar ou subtrair expressões racionais com denominadores diferentes. Encontre o mmc dos denominadores. Escreva cada expressão racional como uma expressão racional equivalente com o mmc como denominador. Realize a operação indicada. Simplifique, se possível, o resultado obtido
e) x 2 x 1 , x 11x 12 e 1 x 2
2
EXERCÍCIO RESOLVIDO 09) Realize a operação indicada e simplifique a resposta. 5 x 3x a) 8 12
EXERCÍCIO PROPOSTO 07) Encontre o mmc das expressões abaixo. a) 6x e 9x b) 6x 2 e 14x
b)
c) 10x 2 , 12x 3 e 9x d) 4 x 2 e 2 x 1 e) x 4 e 3x 12 f) 18x 3 e 9 y 36 g) z 1 e z 2 1 2
h) 9 x 18 e x 2 7 x 10
55
3 2 4 x 2 18 x
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3x 2 x4 x 2 16 3x 12
m) n) o) p)
5x x 1 d) 2x 1 x 2
q)
e)
COMPASSO CURSOS
2x 5x 2 x 2 9 x 20 x 5 13 2 5 12 x 9 x 4 x 5 x 1 3x 2 x 1 6 9 12 5 x 4 2 2 2 x 4 x 1 x x 2 4 3 x y 5 7 x y
x2 y2 y r) x y y2
5x 4 3x x2 2 x 1 x2 4x 5
x y x y x y x y s) x2 y2
11) Em Física, a resistência total de um circuito paralelo pode ser fornecida por: I I I 1 1 2 3 RT E1 E2 E3 Combine a expressão do membro direito. 12) A área de um triângulo é 21m 2 . Se o triângulo tem base EXERCÍCIOS PROPOSTOS 10) Realize a operação indicada e simplifique a resposta 15 20 a) 3x 9 x 2 4 5 b) 3x 2 x 3 7 c) x 1 x 3 8 11 d) x 4 x 5 15 14 e) 5x 10 2 x 4 12 7 f) 2 x 9 3x 9 3x g) 3 x3 x 2x h) 2 x 1 x 1 3 5 i) 2 2 x x 6 x 9 6 5 j) 2 x 4 x 12 x 2 36 4x x k) 2 x x 20 x 2 8 x 16 x 1 3x 2 l) 2 x x 12 x 2 9 x 20
bh b , qual é a altura do triângulo? A 2 13) Em Física, a indutância em paralelo pode ser calculada pela fórmula: 1 LT 1 1 L1 M L2 M
Simplifique o lado direito.
VOCÊ SABE? Adicionar ou subtrair denominadores distintos
expressões
racionais
com
EQUAÇÕES RACIONAIS Uma equação algébrica que possui no mínimo uma expressão racional é uma equação racional. Para resolvermos uma equação racional devemos eliminar os denominadores usando a propriedade da multiplicação em uma igualdade. O múltiplo é o mmc de todos os denominadores na expressão racional da equação. 56
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Para resolver uma equação racional. Encontre o mmc de todos denominadores. Elimine os denominares multiplicando cada termo em ambos os membros pelo mmc obtido no passo anterior. Resolva a equação. Teste suas soluções.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 14) Resolva as equações. x3 x a) 4 8
b)
x x4 7 4 5 10
c)
5 4 5 3x 9 12 x
d)
3 4 2 2 x x 2x x 2
Obs. Este item mostra o cuidado que devemos ter com as soluções encontradas já que existem restrições aos valores de x.
e)
x 2 5x 3 0 3 2
57
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15) Resolva a equação racional
y 3x z para a variável x. 3 2
16) Resolva a equação racional
1 1 1 para a variável z. x y z
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 17) Encontre o conjunto solução de cada uma das equações abaixo. (Considere os denominadores diferentes de zero). 6 7 9 a) 4 x 8 16 x x 2 b) 4 3 x 7 c) 6 9 x 1 d) 3 8 4 x 2x e) 1 6 5 2x 1 2x 3 f) 1 7 14 4 7 2 g) x 3x 5 3 6 1 h) 5 x 5x 2 x 5 1 7 i) 3x 2 6 x 5 x 2x 5 j) 8x 6x 4 5 k) x4 x4 3 1 l) 2x 3 7 x 1 6 m) 2 x 4 x2 6 4 1 n) 2 x 4 x 2 x2 4 8 1 o) 2 x 6 x 8 x 2 16 5 7 9 p) 2 x 1 3x 2 6 x 2 x 2
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18) Resolva a equação racional
5 3 3 para a variável x . x y
19) Resolva a equação racional
2 1 3 para a variável x . x y
20) Resolva a equação racional
21) Resolva a equação racional
5 6x 4 3 y para a x y
variável y . 22) Resolva a equação racional
tendo 2 resistores conectados em paralelo se suas resistências são 4 ohms e 6 ohms respectivamente.
1 1 1 1 para a R R1 R2 R3
variável R .
COMPASSO CURSOS
VOCÊ SABE? Resolver equações racionais? Resolver equações racionais para uma variável em termos de outras variáveis? Resolver problemas envolvendo expressões racionais?
x 4 y 3 1 para a 2 5 5
variável y . 23) A relação entre a pressão P , o volume V e temperatura absoluta T de um gás é dada por: PV PV 1 1 2 2 T1 T2 Resolva para T2 . 24) A fórmula para resistores em paralelo é dada por RR R 1 2 R1 R2 Resolva para R1 . 25) 2 torneiras são utilizadas para encher uma caixa de água . A primeira pode sozinha, encher a caixa em 12 horas e a segunda pode sozinha, encher a caixa em 9 horas. Quanto tempo as duas juntas levarão para encher a caixa? ( Dica: Qual a fração do volume da caixa que cada uma das torneiras preenche em 1 hora?) 26) Um motorista precisando percorrer a distância de 120 km, realiza uma parte do trajeto a uma velocidade constante de 50 km/h e outra parte a uma velocidade 9 constante de 60 km/h. Se ele percorreu os 120 km em 4 de horas, quantos quilômetros ele percorreu a 50 km/h? 27) O denominador de uma fração é 3 unidades maior que o numerador. Se somarmos 4 ao numerador e ao 3 denominador, a fração resultante é . Encontre a fração 4 original. 28) Em física, quando dois resistores são conectados em paralelo, a resistência total do circuito em ohms é dada por: 1 1 1 R R1 R2 Onde R1 e R2 são as resistência dos 2 resistores em ohms. Encontre a resistência total R de um circuito 58
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Para encontrar soluções de uma equação com 2 incógnitas.
EQUAÇÕES LINEARES EM DUAS VARIÁVEIS.
Escolha um valor para uma das incógnitas. Resolva a equação resultante para a outra incógnita.
Vimos anteriormente métodos para resolver equações lineares ( equações do 1º grau) em uma variável. Todas estas equações podem ser escritas na forma: ax b 0
a, b
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EXERCICIO RESOLVIDO 02) Usando o valor fornecido para uma das incógnitas, encontre o valor da incógnita restante. Escreva a solução na forma de par ordenado. a) y 2 x 1 com x 3 .
; a 0
Agora, nós ampliaremos nosso trabalho para equações lineares em 2 variáveis. As equações 4x 3y 8 e 5y 2x 0 são exemplos de tais equações. Uma equação linear em 2 variáveis x e y é qualquer equação que pode ser escrita na forma:
b) y 2 x 1 com x 2 .
c) y 2 x 1 com y 5 .
ax by c 0 a, b, c ; a, b 0
d) 3x 2 y com x 2 . Em uma equação com 2 incógnitas, x e y , qualquer par de valores x e y que satisfaça a equação é um solução desta equação. e) y 6 com x 3 . EXERCÍCIO RESOLVIDO 01) Dada a equação 3x 2 y 6 , verifique se os valore que se seguem são representam soluções da equação. a) x 2 e y 0
b) x 1 e y
f) x 3 0 com y 1
3 2
g) x 3 0 com y 4
c) x 3 e y 1
PAR ORDENADO Os valores para x e y usados no exercício acima podem ser escrito como um par de números. Nós os separamos por vírgula ou ponto e vírgula e os colocamos dentro de parênteses. O valor de x é sempre dado primeiro. Isto é, o par de números é escrito com x, y . Um par de números escrito em ordem especial é um par ordenado.
2,0 ,
3 1, e 3,1 2 59
PLANO DE COORDENADAS CARTESIANAS Em uma secção anterior, nós associamos o conjunto dos números reais com uma reta chamada reta numérica. Esta reta numérica foi utilizada para “desenhar” soluções de equações e inequações com uma incógnita. Nós utilizaremos agora o plano cartesiano para “desenhar” soluções de equações lineares com 2 incógnitas. Tomaremos 2 retas numéricas perpendiculares, uma horizontal e a outra vertical. Estas 2 retas são os eixos. Ao eixo horizontal (eixo-x ou eixo das abscissas) nós associaremos os valores de x e ao eixo vertical ( eixo-y ou eixo das ordenadas) nós associaremos os valores de y.
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No quadrante I temos x 0 e y 0
O ponto de intersecção das 2 retas é a origem do plano cartesiano e corresponde ao par 0,0 . Os 2 eixos dividem o
No quadrante II temos x 0 e y 0 No quadrante III temos x 0 e y 0
plano cartesiano em 4 regiões chamadas quadrantes. Pontos que pertencem a qualquer um dos eixos não pertencem a nenhum dos quadrantes. Cada par ordenado
x, y corresponde
a exatamente um
ponto do plano. Para encontrar a localização de tal ponto nós consideramos o par ordenado como 2 instruções para nos dirigirmos, a partir da origem, a localização procurada. Pontos são sempre nomeados utilizando-se letras maiúsculas. A notação A x, y indica que o nome do ponto é A .
COMPASSO CURSOS
No quadrante IV temos x 0 e y 0 DESENHANDO AS SOLUÇÕES Vamos agora mostrar graficamente alguns pares ordenados que são soluções da equação em duas variáveis y 2 x 1 . Para isso, vamos atribuir alguns valores para x . Se x 1 então y 3 Se x 2 então y 3 Se x 0 então y 1
EXERCICIO RESOLVIDO 03) Represente os pares ordenados abaixo no plano cartesiano.
Se x 1 então y 1 Os pares ordenados 1, 3 , 2,3 , 0, 1 e 1,1 são algumas soluções da equação y 2 x 1 .
a) A 2, 4 b) B 1, 3 c) C 4,3
VOCÊ SABE?
d) D 4,0 e) E 2, 3 f) F 0, 4 g) G 3,0 3 h) H 2, 2 Observe que:
Determinar se um par ordenado é ou não solução de certa equação? Encontrar o valor de uma incógnita, se fornecido o valor da outra? Desenhar pares ordenados no plano cartesiano? Desenhar pares ordenados que são soluções de dadas equações no plano cartesiano? 60
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EXERCICIOS PROPOSTOS 04) Determine se os pares ordenados dados são ou não soluções da equação fornecida. a) 3x y 2; 1, 1 , 2,0 b) y 3x 1; 1, 2 , 1, 4 , 2,3
www.compassocursos.com.br f) 0,0 g) 0, 2 1 h) , 3 2
i) 4,0
c) y 2 x 4; 1,3 , 0, 4 , 2,8
09) Determine as coordenadas x, y dos pontos dados no
1 d) 3 y 4 x 2; 1, 2 , 2,1 , ,1 2
plano cartesiano a seguir.
e) 3x 2 y; 2,3 , 3, 2 , 0,0 f) x 4; 4,1 , 4, 2 , 4, 4 g) x 5 0; 3, 5 , 5,3 , 5,8 3 h) y 3; 2,3 , 5, 2 , ,3 4 2 i) y 2 0; 2, 2 , , 2 , 5, 2 3
05) Encontre o valor de y correspondente a cada valor de x fornecido em cada equação. Expresse sua resposta como um par ordenado. a) 2 x y 1; x 1, x 2, x 3 b) y 3x 2; x 1, x 2, x 0 c) y 3 2 x; x 3, x 4, x 0 d) 3x y 4; x 3, x 2, x 0 e) x 5 y; x 2, x 3, x 0 f) y 5; x 1, x 6, x 0 3 g) y 1 0; x 7, x , x 0 5
06) O custo total C em reais para produzir x unidades de certo produto é dada pela equação C 2 x 20 . Encontre o custo para produzir: a) 75 unidades. b) 300 unidades. c) 1000 unidades. 07) No exercício anterior, encontre quantas unidades são produzidas quando o custo total é: a) R$ 430,00 b) R$ 700,00 c) R$ 1400,00 08) Desenhe os pares ordenados fornecidos a seguir em um plano de coordenadas cartesianas. a) 2, 4 b) 2, 3 c) 4,0 d) 4,1 e) 0, 4 61
10) Desenhe cinco pontos cuja abscissa é igual a 2. Ligue os pontos. Qual a figura resultante? 11) Desenhe cinco pontos cuja ordenada é igual a 4. Ligue os pontos. Qual a figura resultante? 12) Desenhe cinco pares ordenados cuja abscissa e ordenadas são iguais. Ligue os pontos. 13) Desenhe cinco pares ordenados cuja ordenada é oposta da abscissa. Ligue os pontos. GRÁFICO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR. Vimos na seção anterior que existem infinitos pares ordenados que satisfazem uma equação linear com 2 incógnitas e desenhamos algumas dessas soluções. Ligando esses pontos, percebemos que todos eles pertencem a mesma reta. Qualquer ponto cujas coordenadas satisfazem a equação pertence a reta e as coordenadas de qualquer ponto dessa reta serão soluções da equação. EXERCICIO RESOLVIDO 14) Esboce o gráfico da equação 2 x y 3
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COMPASSO CURSOS
RETA Em geral, o gráfico de qualquer equação linear com 2 incógnitas é uma reta. Nós usaremos o fato geométrico de que por quaisquer 2 pontos do plano nós podemos desenhar uma e somente uma reta. Assim, desde que nós sabemos que o gráfico de uma equação linear com 2 incógnitas é uma reta, nós podemos esboçar o gráfico usando somente 2 pontos. EXERCICIO RESOLVIDO 15) Esboce o gráfico da equação y 2 x 4
b) 3 y 2 x 9 .
A INTERSECÇÃO COM OS EIXOS Observe que o gráfico de y 2 x 4 intercepta o eixo y em
0, 4
e o eixo x em 2,0 . Os pontos 0, 4 e 2,0 são
os pontos de intersecção do gráfico com os eixos e desde que nós necessitamos de apenas 2 pontos para esboçar o gráfico, em muitos casos, nós usamos esses pontos de interseção com os eixos. Observe que o gráfico intercepta o eixo das abscissas quando y 0 e intercepta o eixo das ordenadas quando x 0 .
Qualquer equação linear que pode ser escrita na forma y kx ou x ky
em que k é um número real passará pela origem. EXERCICIO RESOLVIDO 17) Esboce o gráfico da equação y 2 x
Para encontrar os pontos de intersecção. Faça x 0 e encontre o valor de y correspondente. Esse é o ponto 0, y . Faça y 0 e encontre o valor de x correspondente. Esse é o ponto x,0 . EXERCICIO RESOLVIDO 16) Esboce o gráfico das equações a seguir usando os pontos de intersecção do gráfico com os eixos. a) y 2 x 3
62
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18) Esboce o gráfico da equação y 2
www.compassocursos.com.br h) y 4 x 0 i) 0,3x 0,4 y 0,7 j) y
2 1 x 3 3
21) Esboce o gráfico das equações lineares dadas usando as intersecções com os eixos. a) 2 y 3x 12 b) y 3x 6 c) y x 2 d) y 2 x 8 e) y x f) y 3x g) x y 0 h) y 2 x 0 i) 4 x 3 y 0
19) Esboce o gráfico da equação x 1
j) 2 y 5x 10 k) 5x 6 y 30 22) Resolva as equações para y em termos de x , ou seja, escreva as equações na forma y mx n . a) 3 y 2 x 4 b) y 2 x 7 0 c) 3 y 4 x 9 d) 7 x 3 y 10 e) x 5 y 7 0 f) 5 y 8x 14 0 23) Esboce os gráficos das equações y 2 x n no mesmo
VOCÊ SABE? Esboçar p Gráfico de equação linear? Encontrar a intersecção do gráfico de uma equação linear com os eixos? Esboçar o gráfico de equações como x k ou y k onde k é uma constante?
EXERCICIOS PROPOSTOS 20) Encontre a intersecção do gráfico com os eixos. a) 5x 3 y 15
plano cartesiano para: a) n 5 b) n 0 c) n 3 24) Esboce os gráficos das equações y mx 1 no mesmo plano cartesiano para: a) m 1 1 b) m 2 c) m 2 25) Escreva uma expressão matemática para cada uma das afirmações abaixo: a) O valor de y é 3 unidades menor que o dobro de x .
b) y 2 x 4 c) y 3x 1
b) O dobro de x menos o triplo de y é igual a 6.
d) 2 x 3 y 6
c) O valor de x é 4 vezes maior que o de y .
e) 2 x 5 y 11 0
d) Cinco vezes x menos o produto de 2 por y resulta
f) y 5x g) 3x 2 y 0
em 20. 63
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A INCLINAÇÃO DE UMA RETA. Consideremos duas rampas denotados R1 e R2 mostradas abaixo:
COMPASSO CURSOS
Definição: O coeficiente angular m de uma reta não vertical que passa pelos pontos P x1 , y1 e Q x2 , y2 é dado por: m
y2 y1 y x2 x1 x
Dizemos que R1 é mais inclinada que R2 , pois caminhando do ponto A ao ponto B em cada rampa, o deslocamento horizontal em cada rampa será igual a 100 m mas o deslocamento vertical será de 15m na rampa R1 e 10m na rampa R2 . Se nós medirmos o “grau de inclinação” pela razão: descolamento vertical deslocamento horizontal
EXERCICIO RESOLVIDO 26) Encontre o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos: a) P 2,3 e Q 5,9 .
A rampa R1 terá “grau de inclinação” b) P 3, 2 e Q 5, 4 .
15 m 3 100 m 20
E a rampa R2 terá “grau de inclinação” c) P 3, 4 e Q 2, 4 .
10 m 1 100 m 10 3 1 é maior que temos que R1 é mais inclinada 20 10 que R2 .
Como
d) P 4,1 e Q 4, 3 .
Vamos aplicar este conceito à qualquer reta. Então o coeficiente angular m de uma reta não vertical é:
m=
descolamento vertical deslocamento horizontal
O coeficiente angular m de uma reta horizontal com equação y k é m 0 . O coeficiente angular m de uma reta vertical com equação x k é indefinido.
27)
Na figura m=
descolamento vertical 4 2 deslocamento horizontal 6 3
64