Matematicas 2do Ano Conexos by José Pinto

Matemática 2º año

Matemática 2

año

Matemática 2

año

Desde su propio nombre, Conexos -el conjunto de bienes educativos que hemos elaborado para afrontar los nuevos retos de la Educación Media- está comprometido con un mundo de interrelaciones, en el que los saberes no son estáticos ni están encerrados en espacios restringidos, sino que andan en constante movimiento, dispersos en infinitas redes. Estos materiales didácticos apuntan a potenciar los vínculos, activar los contactos, descubrir los enlaces. El aprendizaje significativo, que cultivamos como una de las premisas conceptuales de todos nuestros materiales didácticos, tiene una importancia creciente en esta serie, pues atiende las necesidades de estudiantes que ya han avanzado a otra fase de su educación formal. La necesidad de que las competencias adquiridas sean útiles para la vida es en Conexos una estrategia vital.

2º año

El libro Matemática de 2º año de Educación Media es una obra colectiva concebida, diseñada y elaborada por el Departamento Editorial de Editorial Santillana S.A., bajo la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro. En la realización de esta obra intervino el siguiente equipo de especialistas:

Edición general adjunta Inés Silva de Legórburu Coordinación editorial Ciencias y Matemática José Manuel Rodríguez R. Edición ejecutiva Lisbeth C. Villaparedes de Maza Nathalia García M. Textos • Daniel G. Hernández N. Licenciado en Educación, mención Matemática. Universidad Central de Venezuela • Judith Alvarado Profesora, mención Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador; Magister en Educación, mención Enseñanza de la Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador • Linda Y. Arvelo C. Licenciada en Matemática. Universidad Central de Venezuela • Lisbeth C. Villaparedes de Maza Profesora, mención Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador • Olga Domínguez Licenciada en Matemática. Universidad Central de Venezuela • Rosaura Cordero C. Licenciada en Educación, mención Matemática y Licenciada en Matemática. Universidad Central de Venezuela

Lectura especializada Henry J. Martínez L. Profesor, mención Matemática. Universidad Pedagógica Experimental Libertador. Magíster en Ciencias, mención Matemática. Universidad Central de Venezuela Coordinación de arte Mireya Silveira M. Diseño de unidad gráfica Mireya Silveira M. Coordinación de unidad gráfica María Elena Becerra M. Diseño de portada Mireya Silveira M. Ilustración de la portada Walther Sorg Diseño y diagramación general María Elena Becerra M., Diana Angilecchia María Fernanda Guédez, María Alejandra González José Pérez Duin Documentación gráfica Amayra Velón Andrés Velazco Ilustraciones Walther Sorg, Oliver González, Fondo Documental Santillana

Edición de apoyo Evelyn Perozo de Carpio Doris E. Pérez de Acevedo

Infografías Walther Sorg Oliver González

Corrección de estilo Mariví Coello Karina Hernández Juan Luis Valdez

Fotografías Fondo Documental Santillana Retoque y montaje digital Evelyn Torres

ISBN: 978-980-15-0622-5 Depósito legal: If6332012372267

Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1. Sector Montecristo, Boleíta. Caracas (1070), Venezuela.Telfs.: 280 9400 / 280 9454 www.santillana.com.ve

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización previa de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

Impreso en Ecuador por: Imprenta Mariscal CIA. LTDA

SOLO PÁGINAS SELECCIONADAS PARA MUESTRA

Matemática 2

año

Estructura del libro Inicio de unidad Infografía. Recurso gráfico que permite despertar el interés con relación a los temas de la unidad. Contiene datos y preguntas que favorecen la interacción, participación y reflexión para introducir los nuevos contenidos. Logros esperados. Enunciados breves que describen los principales conocimientos, valores, habilidades y destrezas que se pretende consolidar con el desarrollo de los contenidos de la unidad.

Para reflexionar y debatir. Preguntas dirigidas a generar conclusiones a partir del análisis de la información y los datos planteados en la infografía.

Idea para la acción. Reseña de la actividad grupal para contribuir al desarrollo de proyectos, trabajos especiales o líneas de investigación, para ser llevada a cabo durante o al final de la unidad.

Desarrollo de los temas

Contenido. Tema con información actualizada, presentada a través de textos e imágenes, organizadores y recursos gráficos novedosos.

Información complementaria. Datos adicionales que enriquecen los temas, relacionados con diversas áreas del conocimiento, así como con aspectos de la vida cotidiana, como el trabajo, la tecnología, el ambiente y la diversidad cultural del país.

Pensamiento crítico. Actividades especiales que estimulan la capacidad de reflexión y la emisión de juicios de valor sobre los contenidos de los temas.

Actívate. Preguntas relacionadas con situaciones de la vida cotidiana, orientadas a evocar conocimientos previos vinculados con los temas o generar inquietudes acerca de los nuevos contenidos a desarrollar.

Actividades. Preguntas, ejercicios, casos y situaciones de análisis para validar, afianzar y reforzar los contenidos vistos. Estimulan la capacidad de razonamiento en el plano individual, y la interacción por medio del trabajo en equipo.

Infografías. Temas con una propuesta gráfica diferente y novedosa, que presentan la información a través de imágenes y textos asociados, para aprender de manera dinámica.

Cierre de unidad Actividades de refuerzo. Ejercicios, preguntas y casos de análisis, vinculados con los temas abordados en la unidad. Persiguen el desarrollo de las distintas habilidades del pensamiento.

Conexos con… Datos informativos que ponen en evidencia la relación de la Matemática con otras áreas del conocimiento y laborales, resaltando su aplicación e importancia. Idea para la acción. Desarrollo de la actividad anunciada al inicio de cada unidad, con sugerencias para su planificación, puesta en práctica y evaluación, como estrategia para la generación de conocimientos.

Estrategia de resolución de problemas. Estrategias sistemáticas para resolver problemas, con base en el desarrollo del pensamiento lógico-matemático.

Índice Números enteros................................ 6

Tema 6 Propiedades de la adición de polinomios............................ 76

Tema 1 Números enteros (Z)............................................................ 8

Tema 7 Sustracción de polinomios .................................................. 78

Tema 2 Operaciones en Z................................................................. 10

Tema 8 Multiplicación de monomios............................................... 80

Tema 3 Propiedades de la adición, la multiplicación y la potenciación en Z.......................................................... 12

Tema 9 Multiplicación de un monomio por un polinomio ................................................................. 82

Tema 4 Operaciones combinadas con potencias en Z..................... 16

Tema 10 Multiplicación de polinomios ............................................. 84

Tema 5 Ecuaciones en Z................................................................... 18

Tema 11 Propiedades de la multiplicación de polinomios ..................................................................... 86

Cierre Actividades de refuerzo ....................................................... 20 Estrategia de resolución de problemas ............................... 22 Idea para la acción: Trazo de la trayectoria hacia los sitios más frecuentados........................................ 23

Tema 12 División entre un monomio.................................................. 88 Tema 13 División de polinomios con coeficientes enteros...................................................... 90

Números racionales............................ 24

Tema 14 División de polinomios con coeficientes racionales................................................. 92

Tema 1 Números racionales (Q)...................................................... 26

Cierre Actividades de refuerzo ...................................................... 94 Estrategia de resolución de problemas .............................. 96 Idea para la acción: Diseño y construcción de un juego de polinomios................................................... 97

Tema 2 Operaciones en Q................................................................ 28 Tema 3 Propiedades de la adición y la multiplicación en Q...................................................... 30 Tema 4 Operaciones combinadas con potencias en Q............................................................. 32

Tema 5 Ecuaciones en Q.................................................................. 34 Cierre Actividades de refuerzo ...................................................... 36 Estrategia de resolución de problemas .............................. 38 Idea para la acción: Construcción de una lámpara con fractales.......................................................... 39

Funciones.......................................... 40

Tema 1 Relaciones entre conjuntos ................................................ 42

Productos notables y factorización ................................... 98

Tema 1 Productos notables: cuadrado de una suma y cuadrado de una diferencia.............................................. 100 Tema 2 Productos notables: producto de una suma por su diferencia.................................................................. 102 Tema 3 Productos notables: producto de dos binomios con un término común......................................................... 104

Tema 2 Función ................................................................................ 44

Tema 4 Productos notables: cubo de una suma y cubo de una diferencia...................................................... 106

Tema 3 Función numérica ................................................................ 46

Tema 5 Productos notables combinados.......................................... 108

Tema 4 Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva ........................ 48

Tema 6 Factor común de un polinomio ............................................ 110

Tema 5 Plano cartesiano ................................................................. 50

Tema 7 Factorización de un polinomio............................................. 112

Tema 6 Representación gráfica de funciones ................................. 52

Tema 8 Factorización: adición y sustracción de cubos..................... 116

Tema 7 Función afín ......................................................................... 54

Tema 9 Factorización combinada..................................................... 118

Tema 8 Casos de la función afín ..................................................... 56

Tema 10 Raíces de un polinomio........................................................ 120

Cierre Actividades de refuerzo ...................................................... 58 Estrategia de resolución de problemas .............................. 60 Idea para la acción: Estudio de mercado de un mini negocio............................................................... 61

Cierre Actividades de refuerzo ...................................................... 122 Estrategia de resolución de problemas .............................. 124 Idea para la acción: Producción de un video demostrativo de las fórmulas de productos notables............................... 125

Polinomios......................................... 62

Fracciones algebraicas........................ 126

Tema 1 Función polinómica ............................................................. 64

Tema 1 Fracciones algebraicas........................................................ 128

Tema 2 Elementos de un polinomio ................................................ 66

Tema 2 Adición y sustracción de fracciones algebraicas ................................................... 130

Tema 3 Orden de los términos de un polinomio............................... 68 Tema 4 Clasificación de los polinomios........................................... 70 Tema 5 Adición de polinomios......................................................... 72

Tema 3 Multiplicación y división de fracciones algebraicas.................................................... 134

Tema 4

Operaciones combinadas con fracciones algebraicas ................................................. 136

Cierre

Actividades de refuerzo ...................................................... 138 Estrategia de resolución de problemas ............................. 140 Idea para la acción: Comparación de la rentabilidad de dinero colocado en diferentes bancos .......................... 141

Vectores ........................................... 142

Tema 1

Vectores y sus elementos ................................................... 144

Tema 2

Representación de vectores en el plano............................. 146

Tema 3

Vectores equipolentes ........................................................ 148

Tema 4

Adición de vectores y sus propiedades .............................. 150

Tema 5

Sustracción de vectores ...................................................... 154

Tema 6

Multiplicación de un número por un vector y sus propiedades ............................................................... 156

Tema 7

Operaciones combinadas con vectores .............................. 158

Cierre

Actividades de refuerzo ..................................................... 160 Estrategia de resolución de problemas ............................. 162 Idea para la acción: Demostración de la ley que permite a un velero navegar contra el viento ................................. 163

Geometría ......................................... 164

Tema 1

Proyecciones ortogonales .................................................. 166

Tema 2

Traslaciones ........................................................................ 170

Tema 3

Rotaciones........................................................................... 174

Tema 4

Simetría axial ..................................................................... 178

Tema 5

Congruencia ........................................................................ 180

Tema 6

Congruencia de triángulos .................................................. 184

Tema 7

Rectas paralelas y secantes ............................................... 186

Tema 8

Ángulos determinados por la intersección de rectas.............................................................................. 188

Tema 9

Aplicaciones de ángulos determinados por rectas ............ 190

Cierre

Actividades de refuerzo ..................................................... 192 Estrategia de resolución de problemas ............................. 194 Idea para la acción: Elaboración de un reloj analógico .......................................................... 195

Probabilidad y estadística .................. 196

Tema 1

Sucesos ............................................................................... 198

Tema 2

Probabilidad de sucesos independientes .......................... 200

Tema 3

Medidas de tendencia central para datos no agrupados ................................................... 202

Tema 4

Medidas de tendencia central para datos agrupados ........................................................ 204

Cierre

Actividades de refuerzo ..................................................... 206 Estrategia de resolución de problemas ............................. 208 Idea para la acción: Construcción y análisis estadístico de un circuito eléctrico ....................................................... 209

U10

Informática ....................................... 210

Tema 1

Algoritmos .......................................................................... 212

Tema 2

Diagramas de ﬂujo ............................................................. 214

Tema 3

Resolución de problemas a través de la computadora .............................................................. 216

Tema 4

Programación ...................................................................... 218

Cierre

Actividades de refuerzo ..................................................... 222 Estrategia de resolución de problemas ............................. 224 Idea para la acción: Representación del proceso de evacuación de una edificación ....................................... 225

Solucionario ...................................................................................... 226 Fuentes consultadas ........................................................................ 232

A propósito del lenguaje de género Según la Real Academia de la Lengua Española y su correspondiente Academia Venezolana de la Lengua, la doble mención de sustantivos en femenino y masculino (por ejemplo: los ciudadanos y las ciudadanas) es un circunloquio innecesario en aquellos casos en los que el empleo del género no marcado sea suficientemente explícito para abarcar a los individuos de uno y otro sexo. Sin embargo, desde hace varios años, en Editorial Santillana hemos realizado un sostenido esfuerzo para incorporar la perspectiva de género y el lenguaje inclusivo, no sexista en nuestros bienes educativos, pues valoramos la importancia de este enfoque en la lucha por la conquista definitiva de la equidad de género. En tal sentido, en nuestros textos procuramos aplicar el lenguaje de género, al tiempo que mantenemos una permanente preocupación por el buen uso, la precisión y la elegancia del idioma, fines en los que estamos seguros de coincidir plenamente con las autoridades académicas.

A propósito de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Editorial Santillana incluye en sus materiales referencias y enlaces a sitios web con la intención de propiciar el desarrollo de las competencias digitales de docentes y estudiantes, así como para complementar la experiencia de aprendizaje propuesta. Garantizamos que el contenido de las fuentes en línea sugeridas ha sido debidamente validado durante el proceso de elaboración de nuestros textos. Sin embargo, dado el carácter extremadamente ﬂuido, mutable y dinámico del ámbito de la Internet, es posible que después de la llegada del material a manos de estudiantes y docentes, ocurran en esos sitios web cambios como actualizaciones, adiciones, supresiones o incorporación de publicidad, que alteren el sentido original de la referencia. Esos cambios son responsabilidad exclusiva de las instituciones o particulares que tienen a su cargo los referidos sitios, y quedan completamente fuera del control de la editorial. Por ello, recomendamos que nuestros libros, guías y Libromedias sean previa y debidamente revisados por docentes, padres, madres y representantes, en una labor de acompañamiento en la validación de contenidos de calidad y aptos para el nivel de los y las estudiantes.

U1 lOGROs esPeRadOs • Resolver problemas en los que se utilicen operaciones con números enteros.

NÚMEROS ENTEROS ¿Cómo evolucionó la temperatura a través del tiempo? Los números enteros ayudan a expresar diversas situaciones. Por ejemplo los cambios que ha registrado el clima desde antes de la era moderna hasta la actualidad. La última era glacial terminó hace 10 000 años y, desde entonces, ha aumentado la temperatura gradualmente hasta el siglo actual.

• Comprender el uso de la matemática en experiencias cotidianas. • Reconocer el rol de la matemática a través de la historia y en el mundo actual.

Principio de la última Era Glacial

Fin de la Edad de Piedra

Neandertal

Homo sapiens americano

Homo sapiens europeo

Adaptado al frío de la Era Glacial

idea PaRa la acciÓN

Al final de esta unidad trazarán la ruta desde sus casas hasta los sitios más frecuentados usando un eje de coordenadas sobre un mapa.

Números eNteros

Año –98000 Año –28000 o

–15 C

–7 C

Extinción del hombre de Neandertal

Año –12000 o

0 C

Año –8000 o

6 C Fin de la Era Glacial

Trazo de la trayectoria hacia los sitios más frecuentados

Para reﬂexionar y debatir ¿Cuántos años han transcurrido desde el principio de la última Era Glacial? ¿Cuántos grados ha aumentado la temperatura desde entonces? ¿Por qué estos datos se expresan con números enteros? ¿En qué siglo se generó el aumento más significativo de la temperatura? ¿Crees que el ser humano es responsable de estos cambios en el clima? ¿Cómo se podrían evitar?

Sol Temperatura promedio mundial 15 oC Por el efecto invernadero aumentará entre 1 oC y 6 oC en el último siglo

Homo sapiens sapiens

Año –8000 o 6 C

Inicio del calentamiento global

Mamut

Año –3700 o 10 C

Año 0 o 10 C

Año 1900 o 15 C

Ser humano moderno

Año 2012 o 16 C

Extinción del mamut El mamut fue un mamífero adaptado a temperaturas entre –6 oC y 0 oC Números eNteros

Tema 1

Números enteros (Z) Actívate En los estados de cuentas bancarias, ¿con qué signo se representan los depósitos? ¿Y los retiros? ¿En qué otras situaciones se usan los números negativos?

Conjunto de los números enteros Las cantidades expresadas en diversas situaciones pueden tomar valores positivos o negativos. Por ejemplo, la altitud sobre el nivel del mar se expresa con cantidades positivas; y las medidas de la profundidad, es decir, por debajo de ese nivel, en cantidades negativas. En ambos casos se usan los números enteros. El conjunto de los números enteros, denotado por Z, es: Z 5 5..., 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14, ...6 El conjunto de los números enteros contiene a los siguientes subconjuntos: • Enteros positivos (Z1). Se representa con Z1. Lo componen los enteros que tienen signo positivo (1).

Z15 511, 12, 13, 14, ...6 5 51, 2, 3, 4, ...6

•E nteros negativos (Z2). Se representa con Z2. Lo componen los enteros que tienen signo negativo (2). •N úmeros naturales. Está constituido por los enteros positivos y el cero. •E nteros positivos y negativos sin el cero. Está compuesto por todos los enteros excepto el cero.

Z25 5...,24, 23, 22, 216 N15 5 0, 1, 2, 3, 4, ...6 Z*5 5..., 23, 22, 21, 1, 2, 3, ...6

Valor absoluto de un número entero

Geométricamente, el valor absoluto de un número a es la distancia que hay desde el cero (0) hasta ese número. Se denota como uau.

Ejemplo Si unas algas marinas comienzan a crecer a 25 m de profundidad, ¿qué distancia hay desde allí hasta el nivel del mar? Procedimiento

u25u 5 5

Respuesta: la distancia que hay entre el suelo donde crecen las algas

marinas y el nivel del mar es de 5 m. En conclusión, el valor absoluto de un número entero a se define así: • u a u 5 a, si a  0 • u a u 5 2a, si a  0 • u a u 5 0, si a 5 0

Por ejemplo, u8u 5 8; u22u5 2(22) 5 2 y u0u 5 0.

Números enteros

0 21 22 23 24 25

5 espacios

Se halla el valor absoluto de 25. Para ello se miden los espacios entre 25 y 0.

Ecuaciones con valor absoluto

Recuerda

Una ecuación con valor absoluto es una igualdad en la que se desconoce un término llamado incógnita, el cual está expresado como un valor absoluto. Estas ecuaciones siempre tienen dos soluciones.

Los números enteros se representan gráficamente en la recta numérica eligiendo un punto para el 0 y un segmento unidad. Los enteros positivos se representan a la derecha del 0; y los enteros negativos, a la izquierda.

Ejemplo Si uxu 5 10, ¿cuánto vale x? Procedimiento

Como u10u 5 10 y u210u 5 10, entonces x 5 10 o x 5 210.

Se buscan los números que satisfacen la igualdad.

Orden en Z

El 0 es un número entero que no es ni positivo ni negativo.

Para comparar dos números enteros a y b y ordenarlos, se toman en cuenta sus signos y se aplica la siguiente regla según sea el caso: • Si a y b son positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Por ejemplo, 4  2 porque u4u  u2u. • S i a es positivo y b negativo, a siempre es mayor. Por ejemplo, 30  277. • Si a y b son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. Por ejemplo, 27  212 porque u27u  u212u. • El 0 es mayor que cualquier entero negativo y menor que cualquier entero positivo.

Actividades

Para realizar en el cuaderno

Identifica cuáles números son enteros. a) 22,2 b) 4 c) 0 d) 10 e) 1 f ) 25 g) 22 489 3 2 Completa con los signos ,  o 5 según corresponda. u298u d) u98u g) 25 a) 210 220 49 1

b) u215u c) u21u

u225u

216

e) 3  (22) f ) 253

32 52

h) 4 2 10 i) u3u

h) 7 5

i) 20,8 j) 0

9  (23)

u270u

j)22 u233u

k) u12u

l) 28

u28u

Representa los números en la recta numérica y ordénalos de menor a mayor. a) 0; u22u; 25; 26; 21; 22; 3 y 4 b) 25; u224u; 23; u2u221uu y 22 c) 216; 2u215u; 220 y 2u18u 3

Determina el valor o los valores de la incógnita en cada caso. a) u2xu = 25 b) u23u 5 p c) unu 5 12 d) 2u5u 5 2m 4

Pensamiento crítico

e) 210 5 2upu

f ) u2mu 5 12

Más de 12 °C bajo cero

Se tienen dos congeladores: A , que alcanza los 28 ºC, y B , que llega a congelar a 15 ºC bajo cero. Si se requiere refrigerar los artículos de la derecha a la temperatura indicada, ¿en cuál de los congeladores pondrías el pescado? ¿Y el helado? ¿Y el pollo? Menos de -5 °C

Más de -10 °C Números enteros (Z)

Tema 2

Operaciones en Z Actívate Cuando se tiene una deuda y se adquiere otra, ¿cómo se calcula la deuda total? ¿Y cómo se puede distribuir la deuda entre varias personas?

Adición, sustracción, multiplicación y división en Z

Para efectuar operaciones en el conjunto de los números enteros, se aplica la regla de los signos correspondiente. La siguiente tabla muestra la regla para cada operación:

Adición

• (22) 1 (25) 5 2(2 1 5) 5 27

• (2a) 1 (2b) 5 2 (a 1 b)

• (116) 1 (112) 5 1(16 1 12) 5 28

• (1a) 1 (1b) 5 1 (a 1 b)

• (125) 1 (23) 5 1(25 – 3) 5 22

• Si uau  u2bu, entonces (1a) 1 (2b) 5 1 (a – b)

• (232) 1 (14) 5 2(32 2 4) 5 228

Sustracción

Regla de los signos para todo a y b  Z

Ejemplos

• Si u2au  ubu, entonces (2a) 1 (1b) 5 2 (a – b)

a 2 b 5 a 1 (2 b) • 12 2 (25) 5 (112) 1 (15) 5 117 • a 2 (2 b) 5 a 1 (1 b) • (26) 2 (13) 5 (26) 1 (23) 5 29

•

• (13) ? (15) 5 115

• (1a) ? (1b) 5 1 (a ? b)

• (25) ? (11) 5 25

• (2a) ? (1b) 5 2 (a ? b)

• (135) ? (22) 5 2 70

• (1a) ? (2b) 5 2 (a ? b)

• (210) ? (24) 5 140

• (2a) ? (2b) 5 1 (a ? b)

• (125) 4 (15) 5 5

• (1a) 4 (1b) 5 1 (a 4 b)

• (2150) 4 (21) 5 150

• (2a) 4 (2b) 5 1 (a 4 b)

• (126) 4 (213) 5 2 2

• (1a) 4 (2b) 5 2 (a 4 b)

• (2100) 4 (14) 5 225

• (2a) 4 (1b) 5 2 (a 4 b)

Multiplicación

División

Números enteros

Diversidad cultural Conexión Wi-fi Un grupo de investigadores de la Universidad de los Andes, superó la máxima distancia alcanzada en el mundo con una transmisión de datos utilizando la tecnología Wi-Fi. Lograron transmitir datos de 233 K a 653 K entre el pico El Águila en Mérida, hasta la población El Baúl, en Cojedes a 279 kilómetros. Para calcular las tasa de transferencia de datos las computadoras hacen uso de las operaciones básicas entre números enteros. En este caso, se obtuvo una tasa de transferencia de 58,9 kb por segundo con un máximo de 448 kb.

Operación

Operaciones combinadas en Z

Algunas veces es necesario efectuar varias operaciones para resolver un problema.

Ejemplo Un equipo de fútbol tuvo 15 encuentros. En ocho partidos ganó 3 goles a 2 y en el resto perdió 4 goles a 1. ¿Cuántos goles a favor y en contra tuvo este equipo? Procedimiento

1. Se calcula la cantidad de juegos perdidos.

Total de juegos: 15; juegos ganados: 8; juegos perdidos: 15 2 8 5 7

2. Se calculan los goles que hizo el equipo tanto en los juegos ganados como en los perdidos.

Goles a favor en juegos ganados y perdidos: Ganados: 3 ? 8 5 24 Perdidos: 1 ? 7 5 7 Total de goles a favor: 24 1 7 5 31

3. Se calculan los goles en contra al equipo, en los juegos ganados y en los perdidos.

Goles en contra en juegos ganados y perdidos: Ganados: 2 ? 8 = 16 Perdidos: 4 ? 7 5 28 Total de goles en contra: 28 + 16 5 44

Respuesta: el equipo tuvo 31 goles a favor y 44 en contra.

Potenciación en Z

La potenciación es una multiplicación abreviada que se resuelve multiplicando la base por sí misma tantas veces como indica el exponente. Es decir, si a  Z,

n veces se cumple que a 5 a ? a ? a ? a ? ... ? a; donde a es la base y n es el exponente. n

Base

Exponente (5 veces)

(23)5 5 (23) ? (23) ? (23) ? (23) ? (23) 5 2243

Al efectuar una potencia se tienen en cuenta los signos de la base y del exponente: si la base es positiva, el resultado es positivo; si es negativa y el exponente es par, también es positivo; si es igualmente negativa y el exponente es número impar, entonces el resultado es negativo. Así se fundamenta que 32 = 3 ? 3 = 9; (24)2 5 (24) ? (24) 5 16; (25)3 5 (25) ? (25) ? (25) 5 2125.

Actividades

Para realizar en el cuaderno

Efectúa cada operación. a) 26 2 (2227) 5 d) 15 ? 92 5 g) 28 ? 6 1 4 5 j) (216) ? (211) 5 m) 150 4 52 5 o) 16 1 120 5 b) 47 1 (2123) 5 e) 45 4 5 5 h) 3 1 83 4 4 5 k) 120 1 5 ? 12 5 n) (215)3 5 p) 453 1 3 5 l) 16 ? (225 1 4) 5 ñ) (24)6 5 q) 25 ? 25 5 c) (2256) 4 32 5 f ) 1253 5 i) 229 2 5 5 © editorial santillana, S.A.

2 Resuelve los problemas. a) Juan, Luis y Rosa obtuvieron b) Claudia presentó una prueba de 40 preguntas. Cada 6 000 puntos jugando videojuegos. respuesta correcta valía 1 punto y por cada incorrecta Si todos sacaron igual puntaje, le restaban 1 punto. Si Claudia tuvo 10 respuestas ¿cuántos puntos obtuvo cada uno? correctas y el resto incorrectas, ¿qué puntaje obtuvo en el examen? O Z 11 peraciones en

TeMa 3

Propiedades de la adición, la multiplicación y la potenciación en Z acTÍVaTe Si tienes que calcular una suma o una multiplicación con números enteros, ¿puedes aplicar las mismas propiedades que se usan en los números naturales?

Propiedades de las operaciones en Z La adición y la multiplicación en el conjunto de los números enteros, cumplen con las mismas propiedades que en el conjunto de los números naturales.

Propiedades de la adición en Z Las propiedades de la adición en Z se presentan en diversas situaciones. Por ejemplo, en un concurso de surf,

un tanto diferente, se evalúa por puntajes positivos o negativos a quienes compiten y se aplican las propiedades siguientes para calcular los puntajes ﬁnales.

Puntaje participante 1 Juez Juez

212

Total: (212 ) 1 36 5 24 Puntaje participante 2 Juez Juez

36 212

A B

Total: 36 1 (212 ) 5 24 Ambos participantes obtuvieron igual puntaje. Si a y b  Z, entonces a 1 b 5 b 1 a. • Elemento neutro Si a  Z, entonces a 1 0 5 a y 0 1 a 5 a. 0 es el elemento neutro de la adición.

• Propiedad asociativa 1a ronda 2a ronda participante 3 participante 3 Juez A 36 Juez B 213 36 Juez C 27 2 21 Total: 36 1 (221 ) 5 15 En este caso, se observa que se calculó la suma del puntaje de cada ronda por separado y luego se halló la suma total. Entonces, se tiene que: Si a, b y c  Z, entonces a 1 b 1 c 5 (a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c). • Elemento opuesto Juez Juez

A B

Puntaje 15 215 0

El competidor obtuvo 0 puntos. Por lo tanto 215 es el opuesto de 15.

Sea a  Z, se tiene que 2a es el opuesto de a pues a 1 (2a ) 5 0 y (2a ) 1 a = 0.

Números eNteros

• Propiedad conmutativa

Propiedades de la multiplicación en Z

Al ﬁnal de un concurso como el propuesto en el ejemplo, se usan métodos de multiplicación para contar, fácilmente, los puntos negativos o positivos. Al efectuar los cálculos pueden usar las propiedades de la multiplicación en Z: • Propiedad conmutativa Equipo rojo Puntaje participante 4 24 24 24

1a ronda 2a ronda 3a ronda

Puntaje total: 3 rondas por 24 puntos en cada una (3 ? 24 5 72)

Puntaje participante 5 24 24 24

Puntaje total: 24 puntos en cada una de las 3 rondas (24 ? 3 5 72)

Ambas atletas obtuvieron los mismos puntos. Entonces, 24 ? 3 5 3 ? 24 5 72. En general: Si a y b  Z, entonces a ? b 5 b ? a.

• Propiedad asociativa Como cada integrante del equipo rojo obtuvo 72 puntos, el puntaje del equipo se puede calcular así: Equipo rojo cantidad de atletas 3 ? 24 ? 2 5 (3 ? 24) ? 2 5 72 ? 2 5 144 O también así: 3 ? 24 ? 2 5 3 ? (24 ? 2) 5 3 ? 48 5 144

• Elemento neutro. El elemento neutro de la multiplicación en Z es el 1 porque: Para todo entero a, se cumple que: a ? 1 5 a; por ejemplo 210 ? 1 5 210.

En general se tiene que: Si a, b y c  Z, entonces: (a ? b) ? c 5 a ? (b ? c).

• Factor cero. El cero es el factor que anula a cualquier número entero, es decir: Para todo entero a, se tiene que: a ? 0 5 0 ? a 5 0 por ejemplo 0 ? 12 5 0.

• Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición 1a Ronda Juez B Juez C

Puntaje 213 7

2a Ronda Juez B Juez C

Puntaje 213 7

Puntaje del participante 6 entre las dos rondas: 2 ? [ (213) 1 7 ] 5 2 ? (213) 1 2 ?7 5 226 1 14 5 212

En general se tiene que: Si a, b y c son números enteros, entonces a ? (b 1 c) 5 a ? b 1 a ? c.

ProPIeDADes De LA ADICIÓN, LA mULtIPLICACIÓN Y LA PoteNCIACIÓN eN Z

Propiedades de la potenciación en Z Al efectuar operaciones con potencias pueden usarse algunas propiedades que permiten facilitar los cálculos. La siguiente tabla contiene las propiedades de la potenciación. Propiedad Multiplicación de potencias de igual base

• 52 ? 57 5 5217 5 59

División de potencias de igual base

• 7 5 4 72 5 75 – 2 5 73

Potencia de una potencia

• [ (23) ] 5 (23) 5 2243

Potencia de un producto

• [4 ? (23) ] 5 4 ? (23) 5 16 ? 9 5 144

Potencia de un cociente

• ( 290 4 15) 5 (290) 4 15 5 2729 000 4 3 375 5 221

• (23) ? (23) 5 (23) 3

4+3

5 (23)

Actividades

3?2

5 (23)

vado a 1 es igual al mismo número, es decir, para todo aZ, se tiene que a1 5 a.

• T odo número diferente de cero elevado a 0 es igual a 1, esto es, a0 5 1 para todo aZ.

• 0 elevado a cualquier exponente entero positivo es igual a cero, es decir, 0n 5 0.

• [am]n 5 am ? n

• 1 elevado a

• am ? an 5 am + n

• Si m  n se tiene que am 4 an 5 am 2 n.

• (25)1 500 4 (25 1 499 5 (25) 1 500 2 1 499 5 (25 1 5 25 3 2

• T odo número ele-

Generalización para todo a, b Z y m, n N

Ejemplo

Recuerda

• (a ? b) 5 a ? b n

• (a 4 b)n 5 an 4 bn

cualquier número entero es igual a 1, es decir, 1n 5 1, para todo nZ.

Para realizar en el cuaderno

Calcula cada operación. Menciona en cada caso las propiedades utilizadas. k) a6 4 a3 a) 9 1 (23) 1 79 = f ) m2 ? m5 ? m4 ? m0 5 b) (224) 1 8 1 3 1 (218) + (216) = g) (23)3 ? (23)3 ? 33 5 l) a100 4 a98 1

c) (22) ? (–7) ? 3 =

h) (2x)2 ? (2y)5 ? (2x)5 ? y0 5

d) [(22) 1 6] ? (25) ? 6 =

i) (a2)4 ? (a2)7 ? a2 ? (a2)0 5

e) (23)3 ? (23) ? (23)3 =

j) (230)2 ? 102 ? 302 ? (210)2 5 ñ) x1y8 4 y8 5

m) 152 4 152 5 n) 32 ? 199 ? 22 ? 22 5

Halla el valor de x en cada caso aplicando las propiedades de la potenciación. b) 62 = (3 ? x)2 c) x2 ? x1 ? x3 5 64 d) (225)8 5 (225)10 4 (225)x a) 7x = 7 3

Efectúa aplicando la propiedad distributiva. a) 9 ? [6 1 11] = d) 5 ? [(27) 1 (23)] =

g) 10 ? [(28) 1 (26)] = j) 10 ? (3 2 6) =

b) 6 ? [8 + (22)] =

h) [(211) 1 3] ? (25) = k) 2 ? (23 1 1) =

e) (24) ? [(25) 1 3] =

c) [(28) 1 (24)] ? (26) = f ) [(27) 1 6] ? (212) = i) 5 ? (23 1 2) =

Números enteros

l) (23) ? (2 1 1)

Expresa cada número como potencia de 2 y reduce la expresión aplicando las propiedades de la potenciación. c) 325 4 8 5 e) 4 096 4 211 5 g) 163 4 82 5 a) 48 ? 16 ? 211 5 d) 256 ? 28 ? 20 5 f ) 8 ? 25 5 h) 2 048 4 25 5 b) 2 048 ? 28 ? 1 024 5

Expresa cada término como una potencia cuya base sea un número primo. Luego, reduce la operación a su mínima expresión. d) 16 ? 4 ? 164 ? 64 ? (–2)4 ? (–2)2 4 5122 5 a) 2243 ? (23)4 ? (23)3 ? (227) 5

b) 493 ? 72 ? 493 4 492 4 70 ? 74 5

e) 273 ? 642 ? 81 ? 912 4 96 ? (–2)4 ? 9 5

c) 729 ? (23)3 4 275 ? 92 ? (23)5 ? 37 5

f ) 1252 ? 83 ? 43 4 16 ? 642 ? 642 5

Completa cada operación con el número faltante para que se cumpla la igualdad. 50 i) 508 1 (251) 5 251 1 a) 25 2 =8?6 p) 8 ? 6 ? b)

1 (234) 5 234

c) (24) 1 d) 25 ?

50 50

? (234) 5 234 50 f ) (24) ?

5 29 ? (229)

j) 229 ? k) 230 ? 5 ?

l) 230 1 5 1 m) 79 1

q) 1 ? (2100) = 100 ?

5 230 ? 0 5 230 1 5

5 279 1 79

n) 8 + 6 + (21) 5 (21) 1

r) 12 +

s) 45 +

= 45

t) 25 + 5 = 16

u) 2 ?

=0 =5

g) 229 1 29 5

ñ) 10 + (2100) + 100 = 10 1

v) 5 ?

h) 50 ? (251) 5 251?

o) 9 ?

w) 25 ? 1 =

= 29 ? 9

Lee y haz lo que se te pide. 10 vendedores de semillas están en una feria agrícola. Cada uno vendía 10 tipos de semillas y por cada tipo de semilla tenían 10 paquetes, cada uno con 10 semillas. a) Representa la cantidad de semillas totales de la feria en forma de producto. b) Representa la cantidad de semillas totales de la feria en forma de potencia. c) ¿Cuántas semillas tenían?

Pensamiento crítico Una campaña de vacunación para animales domésticos se ejecuta de la siguiente manera: 27 de las vacunas fueron para perros y 25 para gatos. Si las vacunas estaban refrigeradas en las cavas mostradas en la imagen de la derecha, responde: a) ¿De cuáles cavas se puede extraer la cantidad exacta de vacunas para cada tipo de animal? b) ¿Crees que la proporción usada de vacunas es suﬁciente para toda la población de perros y gatos en Venezuela? ¿Por qué? c) ¿Crees que es importante vacunar a los animales domésticos? ¿Por qué? ProPIeDADes De LA ADICIÓN, LA mULtIPLICACIÓN Y LA PoteNCIACIÓN eN Z

Tema 4

Operaciones combinadas con potencias en Z Actívate Al dividir dos potencias de igual base en las que los exponentes son consecutivos, como 1 200 y 1 201, y el mayor es del dividendo, ¿cuánto será el cociente?

Reducción de expresiones aritméticas con potencias Las expresiones aritméticas que combinan productos, cocientes y potencias de potencias, se pueden simplificar, siempre que sea posible, a modo de reducirlas a expresiones más sencillas aplicando las propiedades de la potenciación. Una manera de obtener simplificaciones es tratar de que las potencias tengan la misma base. Para ello, se descomponen las bases que no sean números primos en el producto de sus factores primos.

Ejemplo 1 Reducir [352 ? 73? 50]4 a su mínima expresión. Procedimiento

1. S e descomponen en factores primos los números que no lo sean y se sustituyen en la expresión.

[352 ? 73? 50]4 5 [(5 ? 7)2 ? 73 ? 50]4

2. S e aplica la propiedad de potencia de un producto.

5 [52 ? 72 ? 73 ? 50]4

3. S e aplica la propiedad de multiplicación de potencias de igual base. En este caso, se usó la propiedad en las potencias de base 5 y de base 7.

5 [5(2 1 0) ? 7(2 1 3) ]4 5 [52 ? 75]4 5 58 ? 720

4. S e emplea la propiedad potencia de una potencia.

Ejemplo 2

Reducir [(43)4 ? 54 ? 42 ? (22)3]4 4 (22)5 a su mínima expresión.

1. S e emplea la propiedad potencia de una potencia, primero en los exponentes internos y luego en los externos.

[412 ? 54 ? 42 ? (22)3]4 4 (22)5 5 [448 ? 516 ? 48 ? (22)12] 4 (22)5 5

2. S e aplica la propiedad de multiplicación de potencias de igual base.

[456 ? 516 ? (22)12] 4 (22)5 5

3. S e usa la propiedad división de potencias de igual base.

456 ? 516 ? (22)7

Números enteros

Procedimiento

Reducción de expresiones algebraicas con potencias En las expresiones con potencias que contienen letras también se pueden aplicar las propiedades de la potenciación para reducirlas a su mínima expresión. En estas expresiones se suele prescindir del signo de multiplicación entre las letras. Por ejemplo, a ? b 5 ab, sin embargo, debe entenderse que ambas letras se multiplican.

EjEmplo

Reducir [(a5 b3 c2)2 (a b)5]4 2 a su mínima expresión. Procedimiento

1. Se aplica la propiedad potencia de una potencia empezando con las operaciones internas.

[a10 b6 c 4 a5 b5 ]4 2 5 a40 b24 c 16 a20 b20 2 5

2. Se aplica la propiedad de multiplicación de potencias de igual base.

a120 b88 c 32

Actividades

a80 b48 c 32 a40 b40 5

Para realizar en el cuaderno

Reduce las expresiones aritméticas a su mínima expresión. a) [(28)3 ? (28)5] 4 [(28)2 ? (28)5] 5 e) (43 ? 412 ? 45) 4 1 5200 ? 12 000 5 b) 52 ? (24)3 ? [(24)6]2 ? 53 4 [(52)2 ? (24)4 ? (24)8] 5 f ) [(23)5 ? (23)4 ]2 ? [(23)5]3 5 c) [(25)3 ? (25)4 ] 4 [(25)2 ? (25)3 ]2 5 g) 22 ? (23)3 ? [45 ? (23)6]2 ? 23 2 5 d) (18 ? 110 ? 115) 4 1500 5 h) 22 549 4 22 548 ? 11 000 5

Reduce las expresiones algebraicas a su mínima expresión. e) [(m111 n111)2 (mnp)2]2 ? [(m2 p2]2 5 a) [(a3 n5 b)2 b3]0 5 b) [(x4 y4 z3)3 (xyz)2]4 4 [x2 (x2 y z5)2] 5 f ) (2k)5 ? [(2k)311 4 (2k)5]2 ? (2k)0 5 c) [(2p)2q3r]2(pqr)4 5 g) r2 ? (2d)3 ? [(2d)6]2 ? r5 4 [(r2)2 ? (2d)4] 5 d) (2s)5 ? (2s)3 4 (2s)5 5 h)  g2 ? (2w)3 ? [(2w)6]2 ? g32 5

Convierte cada número en potencia de 2 y reduce a su mínima expresión. b) 85 4 [23 ? (22)4] 5 c) 165 ? [ 643 4 85]2 ? 20 5 a) (162)4 ? (323)2 5

d) 49 4 43 ? 25 5

Pensamiento crítico Un centro de ayuda pretende repartir 103 paquetes de harina de maíz precocida entre 1002 personas. Responde: a) ¿Cómo se puede representar esta situación en una expresión aritmética con potencias? b) ¿La cantidad de paquetes de harina a repartir es suficiente para el número de personas? ¿Por qué? c) ¿Qué medidas se pudieran tomar para repartir los paquetes de harina a todas las personas?

% 100 MAIZ

HARINA

DE MAIZ

% 100 MAIZ

HARINA

DE MAIZ

HARINA

DE MAIZ

oPeracioNes comBiNaDas coN PoteNcias eN Z

Tema 5

Ecuaciones en Z Actívate Si a un número se le resta 50 y se obtiene 23, ¿cómo sabes cuál es el número?

Solución de una ecuación en Z

Una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores de una o varias incógnitas. Una ecuación de primer grado con una incógnita puede ser escrita en la forma general ax 1 b 5 c, donde a, b y c son números enteros (a  0) y x es la incógnita de la ecuación. La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para la cual se cumple la igualdad. Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución. Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se adiciona, se sustrae, se multiplica o se divide a ambos lados de la igualdad las cantidades que sean necesarias para que la incógnita quede despejada. En la práctica, estas operaciones pueden efectuarse de manera directa. En algunos casos se aplican las propiedades de adición y multiplicación para eliminar signos de agrupación.

Ejemplo 1 Resolver la ecuación 3x 1 1 5 x 2 5.

Zoom Grado de una ecuación en Z El grado de una ecuación es el mayor exponente con el que aparece la incógnita. Por ejemplo, 3x 1 6 5 x 2 9 es una ecuación de primer grado; x2 2 3x 5 10 es de segundo grado; y x3 2 x2 2 4x 5 2 4 es de tercer grado.

Procedimiento

1. Se agrupan en el primer miembro de la ecuación todos los términos que contienen a la incógnita y en el segundo miembro todos los términos constantes. 2. Se dividen ambos miembros entre 2, pues al dividir 2x 4 2 el resultado es x y la incógnita queda despejada.

3x 1 1 5 x 2 5 3x 2 x = 2521 2x 5 26

x 5 23

Ejemplo 2 Resolver la ecuación 3(x 21) 1 2(x 1 2) 2 7 5 3(2x 13) 2 4x. Procedimiento

Números enteros

3x 23 1 2x 1 4 2 7 5 6x 1 9 2 4x 3x 1 2x 2 6x 1 4x 5 9 1 3 2 4 1 7 3x = 15

x=5

1. Se aplica la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. 2. Se agrupan en el primer miembro los términos que contienen la incógnita y en el segundo miembro las constantes; y se calcula la suma. 3. Se divide ambos miembros entre 3 para despejar la incógnita.

Resolución de problemas mediante ecuaciones en Z

Conexos con... Física

Algunos problemas de la cotidianidad se pueden resolver utilizando ecuaciones.

Ejemplo La edad de Carlos dentro de cinco años será igual al doble de su edad actual. ¿Qué edad tiene Carlos? Procedimiento

1. Se escriben los datos en forma de expresión algebraica. Para ello, la interrogante del problema se expresa como incógnita.

Edad actual de Carlos: x Edad de Carlos dentro de 5 años: x + 5 El doble de la edad de Carlos: 2x

2. Se representa el problema en forma de ecuación. 3. Se resuelve la ecuación.

x 1 5 5 2x 2 2x 1 x = 25 → 2 x 5 25 → (21) ? 2x 5 25 ? (21) x55

La dinámica La dinámica estudia los movimientos de los cuerpos. Por ejemplo, un cohete de fuegos artificiales describe cierta trayectoria, recorre una determinada distancia y llega hasta una altura máxima. Esta altura máxima se calcula a través de una ecuación de segundo grado.

Respuesta: la edad actual de Carlos es 5 años.

Actividades 1

Para realizar en el cuaderno

Resuelve las siguientes ecuaciones. e) 26(2x 2 4) 5 5(3x 2 6) a) 3x 1 5 5 2x 2 8 f ) 5(2x 2 4) 5 24(x 2 2) b) x 2 6 5 3(x 1 4) g) 5(x 2 2) 5 2(x 1 7) c) 2(x 1 6) 5 5x 2 3 h) 23x 1 16) 5 5x 2 40 d) 24(x 2 3) 5 x 1 7

i) 4x 1 5 2 2x 1 6 5 3x 2 4 j) 3x 2 1 5 11 k) 20 5 x 4 5 l) 2x 2 3 5 13

Resuelve cada situación mediante ecuaciones. 3x 2 2 d) El perímetro del triángulo a) Tres números consecutivos suman 48. es 69 cm, ¿cuánto miden los lados? ¿Cuáles son los números? 2x 1 1 b) Dentro de 12 años, la edad de Ana será e) El triple de un número disminuido 68 años menos que el triple de su edad en 2 equivale a 10. ¿Cuál es el número? actual. ¿Qué edad tiene actualmente? f ) Andrea tiene 16 años, su hermano 14 años c) Pedro vende cada día 3 libros más que el y su padre 40 años. ¿Cuántos años han de día anterior. Si vende 40 libros en 5 días, pasar para que la edad del padre sea la suma ¿cuántos vendió el primer día? de las edades de sus hijos?

Pensamiento crítico

Juana estaba resolviendo una ecuación y escribió lo que se encuentra a la derecha. Responde. a) ¿Qué error cometió Juana? ¿Cómo lo sabes? b) ¿Qué piensas de los errores que se cometen en la vida cotidiana?

27m 1 10 5 2 39 27m 5 239 2 10 m 5 249 4 7 m57

Ecuaciones en Z

Actividades de refuerzo

Para realizar en el cuaderno

Comprensión 1 Completa con el signo ,  o 5 según corresponda. 212 d) 9 u26u a) 8 b) u5u 2 u25u e) 212 ? 2 215 4 3 c) 16 u28u f ) 210 ? 3 u26u ? 5

Efectúa las operaciones combinadas. a) 2 ? 45 1 16 ? [42 2 3 ? (25 1 5)] 5 b) 16 2 4 ? [5 2 ( 2 1 10)]2 5 c) [3 ? (16 1 15 2 29)4] 1 4 1 12 5 d) (30 4 5)3 2 (190 4 10)2 1 (45 4 43) 5 e) (3 000 4 1 500)4 4 (102 2 96) 5 8

Ordena de mayor a menor. a) 2; 21; 12; 28; 5 d) 27; 212; 0; 21; 7; 24 9 Comprueba que se cumple la propiedad b) 15; 16; 23; 21; 6 e) 0; 29; 218; 24; 27 conmutativa en las operaciones. c)1; 10; 2; 210; 25 f ) 1; 21; 2; 22; 3; 23 a) (23) 1 (2 2) 5 f ) (24) ? 3 000 5 3 Escribe cinco números que pertenezcan b) (215) ? 6 5 g) 2 ? (210) 5 a cada conjunto numérico. c) (21) 1 80 5 h) (25) ? (23) 5 c) Z2 d) Z a) N b) Z1 d) 25 1 12 5 i) 10 1 (22) 5 4 Determina el valor absoluto del resultado e) (225) ? (22) 5 j) 0 1 (2100) 5 de las operaciones. 10 Comprueba que se cumple la propiedad a) 29 2 12 5 d) (215) + (216) 5 asociativa en las operaciones. b) 5 ? 18 5 e) 3 ? (26) 5 a) 16 1 12 2 5 5 d) (245) 1 12 1 (23) 5 c) (23) ? 5 4 15 5 f ) [(26) 4 (22)] ? (29) 5 b) 13 ? (22) ? 6 5 e) (212) ? (23) ? 2 5 5 Efectúa las adiciones y sustracciones c) 15 1 (21) 1 10 5 f ) 15 ? (240) ? 3 5 combinadas. 11 Aplica la propiedad distributiva para efectuar a) 29 1 5 2 3 2 2 2 8 1 16 2 55 5 las operaciones. b) (215) 1 (216) 2 (235) 1 160 5 a) 22 ? (2 5 1 3) 5 d) [(216) 1 (25)] ? 12 5 c) [4 1 (23 2 7)] 2 89 5 b) 3 ? [15 1 (22)] 5 e) (5 1 8)[(22) 1 (25)] 5 d) 150 2 85 1 78 2 [16 1 9 2 (215)] 5 c) (10 1 11) ? (212) 5 f ) (16 23)(15 114) 5 e) 16 1 16 215 2 22 1 (232) 5 12 Reduce cada operación a su mínima 6 Efectúa las multiplicaciones y divisiones expresión. combinadas. a) [55 ? 8 ? 53]2 4 [162 ? 53]40 5 a) 45 ? 6 4 3 5 b) [210 4 (22)6 ]3 ? [163 4 (24)5]2 5 b) (3 ? 5 ? 18) 4 (5 ? 9)5 c) 5 ? [352 ? (25)2 ? (25)3? 7]2 5 c) [4 ? (100 1 25)] 1 4 5 d) [203 ? 5 ? 22] 4 (5 ? 4)2 5 d) (38 4 2) ? (190 4 10) ? (45 4 15) 5 e) [(23)0 ? (23)8 ? (23)6 ? (23)5]4 5 e) 25 ? 10 1 1 500 4 3 2 100 1 (24) 5 f ) (710 4 7)6 ? (105 ? 24 ? 2)3 5 7 Calcula las potencias. 13 Resuelve cada ecuación. e) (219)3 5 i) 224 5 a) (225)0 5 a) 25x 2 10 5 10x 1 80 f ) 64 5 j) 105 5 b) 26 5 b) 5x 2 4 1 50 5 2 5x 1 23 1 32 0 2 2 469 g) (29) 5 k) 1 5 c)(298) 5 c) 2 6 1 12 2 4x 1 x 5 2 2x 1 5x 2 2 3 d) 16 5 h) 0 5 l) 15 5 d) 2x 4 3 5 4

Números enteros

Análisis y aplicación 14 Teniendo en cuenta que a, b y c son números enteros tales que: • Están formados por dígitos de 0 a 9 • Ninguno de los dígitos que forma cada número se repite • a tiene cuatro cifras, b tiene cinco y c tiene seis, • La primera cifra de cada número es distinta de cero Calcula: a) E l mayor valor para la suma a 1 b 1 c b) El menor valor para la suma a 1 b 1 c 15 Responde:

a) ¿ Qué signo tiene la décima potencia de un número negativo? b) ¿Qué signo tiene la novena potencia de un número negativo? c) ¿Qué signo tiene la potencia 1 225 de un número negativo? 16 Lee

el planteamiento y responde: El producto de tres números enteros es 16. No todos tienen el mismo signo y sus valores absolutos son distintos. a) ¿ Cómo plantearías la primera frase del problema? b) ¿Cómo debe ser la distribución de los signos de los números? c) ¿ Cuáles pueden ser esos números? d) ¿Hay una única solución?

Opinión y síntesis 17 Lee el planteamiento y responde: Andrés y Martha resolvieron, cada uno por separado, la ecuación 2(x 1 2) 2 5(x 1 1) 1 1 = 12. A continuación se muestran los dos procedimientos:

2(x + 2) 2 5(x 1 1) 1 1 5 12 2x 1 4 2 5x – 5 1 1 5 12 23x 5 12 2 4 1 5 2 1 23x 5 12 x 5 24 2(x + 2) 2 5(x 1 1) 1 1 5 12 2x 1 4 2 5x – 5 1 1 5 12

23x 5 12 2 4 1 5 2 1

23x 5 12

x 5 24

2(x 1 2) 2 5(x 1 1) + 1 = 12 2x 1 4 – 5x - 5 1 1 = 12 2x 2 5x = 12 2 4 + 521 23x = 12 x = 12 1 3 x = 18

2(x 1 2) 2 5(x 1 1) + 1 = 12 2x 1 4 – 5x - 5 1 1 = 12 2x 2 5x = 12 2 4 + 521 23x = 12 x = 12 1 3

x = 18

a) ¿Quién resolvió la ecuación correctamente? b) ¿ Hubo algún error? ¿Cuál? Explica. c) ¿ Qué debe hacer una persona al darse cuenta de que ha cometido un error?

Conexos con... Economía La economía es la ciencia social que se encarga de estudiar el comportamiento de una población en lo relativo a la producción y la distribución de sus bienes y servicios. Su objetivo principal es analizar los estados del proceso que llevan los recursos y encaminarlos hacia una repartición correcta. • Lee la prensa nacional o local y busca algún estudio económico relacionado con los bienes de producción de Venezuela. Indica para qué crees que un o una economista usa la Matemática. Números enteros

Estrategia de resolución de problemas Ensayo y error El método de ensayo y error consiste en experimentar con los datos del problema, eligiendo operaciones aceptables que proporcionen resultados que se vayan aproximando cada vez a la respuesta que se quiere. Ejemplo resuelto Se desea medir un terreno rectangular cuyo largo excede la medida del ancho en un metro. Si el área es 132 m2, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? 1. Se representa un gráfico que ilustre los datos del problema. b=a+1

5b?a

2. Se reemplaza la expresión de b en la fórmula de área del rectángulo. A 5 (a 1 1) ? a 3. Se sustituye el valor dado del área del rectángulo en la fórmula y se aplica la propiedad distributiva: 132 5 (a + 1) ? a → 132 5 a2 + a → a2 + a 5 132. 4. Se resuelve la ecuación aplicando el método del ensayo y error. Para ello, se prueba con números enteros y fáciles de operar, hasta encontrar como resultado 132. • Para a 5 1 → 12 + 1 5 1 + 1 5 2. El resultado está lejos de 132. • Para a 5 5 → 52 + 5 5 25 + 5 5 30. El resultado también es lejano a 132. • Para a 5 10 → 102 + 10 5 100 + 10 5 110. Este resultado es próximo a 132. • Para a = 11 → 112 + 11 = 121 + 11 = 132. Se encontró un valor de a que satisface la igualdad: el valor de a es 11. 5. Se sustituye el valor encontrado de a en b para hallar su valor.

b = a + 1 = 11 + 1 = 12. Entonces, el rectángulo mide 11 m de ancho y 12 m de largo.

Olga y Eduardo visitaron la hacienda de su abuelo. Durante su estancia vieron un corral con conejos y gallinas. Eduardo dijo haber contado 18 animales en total y Olga afirma haber contado un total de 50 patas. ¿Cuántos conejos había en el corral? Irene y Diana tienen, cada una, una cantidad de monedas igual al cuadrado y al cubo de cierto número, respectivamente. Si juntas tienen 576 monedas, ¿cuántas tiene Irene? Números eNteros

Luis compró un bloc de dibujo y una caja de colores y pagó por ambos Bs. 120. Si el precio de la caja de colores es el triple que el del bloc, ¿cuánto costó la caja de colores?

Al calcular el valor de (a + a) ? a2, una estudiante olvidó los paréntesis, y obtuvo por resultado 350. ¿Cuál será el resultado verdadero a partir de este error?

Problemas

Idea para la acción

Trazo de la trayectoria hacia los sitios más frecuentados

Propósito: trazar la ruta desde la casa hasta los sitios más frecuentados usando un eje de coordenadas sobre un mapa de Internet. 1

Documentación • Investiguen en Internet en qué consiste un mapa interactivo, cómo se utiliza y cómo pueden imprimir el mapa de la localidad donde viven. • Documéntense acerca de la dirección exacta de las calles, avenidas y sectores donde se encuentren sus casas y colegio. • Tomen nota de todos los datos recabados.

Planiﬁcación • Escriban cuáles son las rutas que toman desde sus casas hasta los sitios que más frecuentan. • Formúlense preguntas como: ¿cuáles son las rutas más usadas? ¿Cuáles nunca usan? ¿Cómo trazarán esas rutas? ¿Incluirán puntos intermedios? ¿Qué deben destacar en el mapa, además del sitio y sus casas? • Planifiquen dónde será el punto de encuentro para usar el mapa interactivo en una computadora con acceso a Internet.

Preparación de materiales • Hagan una lista de los materiales que necesitan, como una computadora con acceso a Internet, impresora, papel para imprimir, regla graduada, lápiz y marcadores, entre otros. • Tengan a mano la dirección de cada integrante del equipo.

Puesta en acción • Impriman el mapa que hayan encontrado en Internet con la ubicación del colegio. En la misma imagen impresa, señalen la casa de cada integrante del equipo. • Ubiquen un punto de referencia y tracen ejes de coordenadas para generar un plano cartesiano sobre el mapa. • Ubiquen las coordenadas de los lugares señalados tomando en cuenta un valor del eje horizontal y uno vertical. Luego tracen con rectas, la trayectoria que describe cada integrante del equipo para llegar desde su casa hasta los lugares previstos.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

Evaluación • Comparen el sistema de coordenadas con el de otros equipos. • Háganse preguntas como: ¿se pueden incluir otras localidades en el mapa? ¿Cómo se puede hacer esta actividad a una escala mayor? Números eNteros

U6 LOGROS eSPeRadOS • Identificar fracciones algebraicas. • Calcular sumas, diferencias, productos y cocientes de fracciones algebraicas. • Reconocer el uso de las fracciones algebraicas en los fenómenos físicos y en las experiencias cotidianas.

FRACCIONES ALGEBRAICAS ¿Cómo se desplazan los cometas en el espacio? Las fracciones algebraicas son expresiones fraccionarias en las que el numerador y el denominador son polinomios. Una de las expresiones más básicas de una fracción algebraica es 1 con x 0. Particularmente esta fracción representa x una función hiperbólica, como las trayectorias que describen los cometas en el espacio. Las fracciones algebraicas describen funciones llamadas hipérbolas, que consisten en una sección cónica que genera dos curvas opuestas cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Sección cónica

Focos Curvas hiperbólicas

Idea PaRa La accIÓN

Al ﬁnal de esta unidad compararán la rentabilidad que se obtiene al colocar cierto capital de dinero en bancos diferentes.

126

Fracciones algebraicas

Sección cónica

Comparación de la rentabilidad de dinero colocado en bancos diferentes

Para reﬂexionar y debatir ¿Sabes qué es un cometa? ¿Qué conoces acerca de los cometas? ¿Conoces algún movimiento astral que esté relacionado con ecuaciones matemáticas? ¿Qué relación crees que guarda la dinámica de los movimientos de los objetos o cuerpos con la matemática?

Un cuerpo celeste, por ejemplo un cometa, que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el Sol, describe una órbita hiperbólica, teniendo como foco al Sol, y luego sale nuevamente del sistema solar.

R A L O S

Mercurio SOL Foco

Tierra

Saturno

Venus

Marte

Júpiter

Urano

Neptuno © editorial santillana, s.a.

Cometa

Órbita hiperbólica

Paolo Ruffini Fue un matemático muy reconocido por sus aportes en el cálculo de raíces de fracciones algebraicas. Ruffini creó un método que lleva su nombre, para calcular las raíces de los polinomios que están divididos entre binomios de la forma (x – a). Fracciones algebraicas

127

Tema 1

Fracciones algebraicas Actívate ¿Qué condición debe cumplir el denominador de una fracción? ¿Por qué?

Fracciones algebraicas

Recuerda

Las fracciones algebraicas son aquellas en las que tanto en el numerador como en el denominador hay un polinomio. Las fracciones 4xx 11 , con 4x 1 ; x x 3x 6 con x  2 y x  22 son algebraicas. x  1; x x 1 x 4 2

En todos los casos, el polinomio del denominador no puede ser cero, por eso se hace la aclaratoria de los valores que no puede tomar x. Al igual que en las fracciones numéricas, dos fracciones algebraicas son equivalentes si el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda fracción.

Ejemplo 1 Verificar si las fracciones Procedimiento

a c y son b d

equivalentes si a ? d 5 b ? c. 20 Por ejemplo, 16 5 es equivalente a . 4

x2 4x 3 x 3 y son equivalentes. x2 2x 1 x 1

1. S e multiplican las fracciones en cruz. 2. S e comparan ambos resultados.

Dos fracciones

x 2 4x 3 x 2 2x 1

x 3 x 1

(x2 1 4x 1 3) ? (x 1 1) 5 x3 1 x2 1 4x2 1 4x 1 3x 1 3 5 x3 1 5x2 1 7x 1 3 (x2 1 2x 1 1) ? (x 1 3) 5 x3 1 3x2 1 2x2 1 6x 1 x 1 3 5 x3 1 5x2 1 7x 1 3 Ambos resultados son iguales.

2 Respuesta: las dos fracciones son equivalentes, es decir x 2 4x 3 5 x 3 .

x 2x 1

Comprobar que Procedimiento

x 6 x2 7x 6 son equivalentes. y 3 2 x 1 x x2 x 1

Se multiplican las fracciones en cruz y se comparan los resultados.

(x 1 6) ? (x3 1 x2 2 x 2 1) 5 x4 1 x3 2 x2 2 x 1 6x3 1 6x2 2 6x 2 6 5 x4 1 7x3 1 5x2 2 7x 2 6 (x2 2 1) ? (x2 1 7x 1 6) 5 x4 1 7x3 1 6 x2 2 x2 2 7x 2 6 5 x4 1 7x3 1 5x2 2 7x 2 6

Respuesta: la fracciones son equivalentes, es decir x2 6 y x 1

128

Fracciones algebraicas

Son iguales

x 2 7x 6 son equivalentes. x x2 x 1 3

Ejemplo 2

x 1

Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas Hay dos maneras de obtener una fracción equivalente a otra: •P or amplificación: multiplicando tanto el numerador como el denominador de la fracción por un mismo polinomio no nulo. •P or simplificación: dividiendo tanto el numerador como el denominador de la fracción entre un mismo polinomio no nulo.

Ejemplo 1 Obtener por amplificación una fracción equivalente a la fracción racional x 5 . x 3 Procedimiento

1. Se multiplica tanto el numerador como el denominador por un polinomio no nulo. En este caso se usó x 2 5.

x 5 ^x 5h^x 5h ^x 3h^x 5h x 3 x 2 25 x 8x 15

2. Se aplican productos notables.

Ejemplo 2 Obtener por simplificación una fracción algebraica equivalente a Procedimiento

x2 4x 4 . x2 4

^x 2h2 x 2 4x 4 2 ^x 2h^x 2h x 4

1. Se factorizan los polinomios del numerador y denominador de la fracción. 2. Se simplifica la fracción.

^x 2h2 x 2 ^x 2h^x 2h x 2

La simplificación de fracciones algebraicas se aplica frecuentemente, ya que su objetivo es obtener otra fracción equivalente, pero más sencilla. Para simplificar una fracción se factorizan el numerador y el denominador.

Actividades 1

Para realizar en el cuaderno

Determina cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes. x 5 x 2 25 y 2 a) x 5 x 6x 5 2x 1 2x2 x y 2 b) x 1 x x y 1 y 1 y c) y 5 y 5

x2 1 x2 1 y d) x 1 x 1 2 x 5x 6 x 2 y e) x 1 x 1 2 f ) x 3 y x 2 3 x x 1 x x

Simplif ica cada fracción. 8 2 a) 3 x 9 5 c) x 2 1 5 e) 4 x 2 8 x 4 5 6 x 12 x 1 x 1

2 g) 2 ^x 2h y 2 ^x 3 x 2h x 3 x 2 2 x 1 x 1 h) y x x 2 i) x y 2 x x 1 x x

4x2 1 5 2x 1

x2 9 5 x 3

2x3 2x x2 5x 6 5 i) 5 x 3 x2 1

x 2 7 x 10 x2 4x 3 x 3 25 x 5 h) 5 j) 2 5 2 2 x 9 x 20 x 1 x 25 Fracciones algebraicas

129

Tema 2

Adición y sustracción de fracciones algebraicas Actívate ¿Cuáles reglas se deben seguir para hallar la suma o la diferencia de fracciones?

Adición de fracciones algebraicas Para hallar la suma de fracciones algebraicas se aplican los mismos principios que en la adición de números racionales: si las fracciones tienen igual denominador se mantiene el mismo denominador y se calcula la suma de los numeradores; si tienen diferentes denominadores, se usa el método del mínimo común múltiplo. Para calcular el mínimo común múltiplo se factorizan los polinomios que haga falta y se escogen los términos comunes con su mayor exponente.

Ejemplo 1 Efectuar

x 3x . x 1 x 1

Procedimiento

Se coloca el mismo denominador y se efectúa la suma de los términos de los numeradores.

x 3x x 3x 4x x 1 x 1 x 1 x 1

Ejemplo 2 Calcular

1 1 . x 3 x 2

Procedimiento

1. S e halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.

m.c.m. 5 (x 2 3)(x 1 2)

2. S e sigue el mismo procedimiento que en la adición de números racionales.

^x 2h ^x 3h 2x 1 ^x 3h ^x 2h ^x 3h ^x 2h

Ejemplo 3 Efectuar

3x x 2 . x 4 x 2x 8 2

Procedimiento

2. S e efectúa la adición usando el m.c.m.

2 2 3x ^x 4h x ^x 2h 3x 12x x 2x ^x 2h^x 2h^x 4h ^x 2h^x 2h^x 4h

130

Fracciones algebraicas

4x 2 16x ^x 2h^x 2h^x 4h

1. S e factorizan los polinomios y se obtiene el mínimo común múltiplo.

x2 2 4 5 (x 2 2)(x 1 2) x 2 2x 2 8 5 (x 1 2)(x 2 4) m.c.m. 5 (x 2 2)(x 1 2)(x 2 4) 2

Pistas de simulación de choques Las pistas de simulación de choques ayudan a estimar los daños que pueden ocurrir en un accidente automovilístico. Por medio de ecuaciones especíﬁcas, que denotan las velocidades en los vehículos, estas ecuaciones pudieran tomar forma de fracciones algebraicas.

Suponiendo que la velocidad de este vehículo al chocar contra el muro x es de x 1 .

Suponiendo que la velocidad de este vehículo al chocar contra el muro es de 2x . x 5

x x 1

2x x 5

x x 1

2x x 5

Al producirse un choque entre dos vehículos que se aproximan al mismo punto en línea recta, la velocidad de impacto de ambos vehículos equivale a la suma de las velocidades con la que se desplazaba cada uno. Es decir, el impacto que recibe cada vehículo equivale al que recibiría si chocara contra un muro a la suma de las velocidades de ambos. x 2x x 1 x 5 x ^x 5h 2x ^x 1h ^x 1h ^x 5h

x 2x x 1 x 5

x 2 5x 2x 2 2x ^x 1h ^x 5h

3x 2 7x ^x 1h ^x 5h

Entonces, al chocar, ambos vehículos experimentan una velocidad de choque de

^x 1h^x 5h

adición y sustracción de Fracciones algebraicas

131

Sustracción de fracciones algebraicas La sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador se efectúa hallando la diferencia de los numeradores de las fracciones, y manteniendo el mismo denominador. Para efectuar la sustracción entre dos fracciones con diferentes denominadores se obtiene el mínimo común múltiplo entre los denominadores y se obtiene la diferencia del mismo modo que como se hace en la sustracción de números racionales.

Ejemplo 1 Efectuar

2 3 . x 5 x 5

Procedimiento

Se usa el mismo polinomio como denominador y se sustraen los polinomios de los numeradores.

2 3 2 3 1 1 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5

Ejemplo 2 Calcular

x 3 . x 3 2x 1

Procedimiento

1. S e halla el mínimo común múltiplo de los denominadores. 2. S e sigue el mismo procedimiento que en la sustracción de números racionales.

m.c.m. 5 (x 2 3)(2x 2 1) 2 3 2 3 1 1 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 2 2x 4x 9 ^x 3h^2x 1h

Ejemplo 3 Efectuar

x 2x . 2 x 5x 6 x 36 2

Procedimiento

2. S e efectúa la sustracción usando el m.c.m.

132

Fracciones algebraicas

x2 2 5x 2 6 5 (x 1 1)(x 2 6) x2 2 36 5 (x 1 6)(x 2 6) m.c.m. 5 (x 1 1)(x 2 6)(x 1 6) 2 2 x ^x 6h 2x ^x 1h x 6x 2x 2x ^x 1h^x 6h^x 6h ^x 1h^x 6h^x 6h

x 2 4x ^x 1h^x 6h^x 6h

1. S e factorizan los denominadores de las fracciones y se obtiene el mínimo común múltiplo.

Actividades

Para realizar en el cuaderno

Calcula cada adición de fracciones algebraicas. x 1 x 1 x 1 x 1 1 i) 2 2 e) a) x 1 x 1 x 3 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 2x x 2 3 8 2x 1 5 f) b) j) x 1 2x 1 x 11 x 11 x 1 x 1 1 2 3 2 x 1 g) 2 c) k) x 1 x 1 2x 5 2x 5 x 3 x 9 3 3 x x x 1 l) h) 2 d) x 1 x 1 x 3 x 1 2x 6 x 6x 9

Efectúa cada sustracción de fracciones algebraicas. ap p 2 1 2 2x 3 a) 2 e) i) 2 2 2x 1 2x 3 2x 1 x a p a 2 3 x 1 x x x f) j) 6 8 b) 2 2 x x 2 2x x x 3 x 1 x 5 x 5 x 4 x 1 12 x 5 x 1 1 x 2 x 2 g) c) k) 2 x x 3 2x 1 x 3 x x 2 x 2 q x 1 1 5 8 2 d) h) 2 2 l) x 2 q 6 x 4x 4 q 36 p 3 p 9

Resuelve las operaciones combinadas de fracciones algebraicas. ap 2 a 2p ap x 1 1 1 1 1 b) 2 2 c) 2 a) 2 2 3 3 p a x x 1 x p a p a x x 2 x x

Halla la solución a cada planteamiento. b) Un tanque se llena a razón de 1  de agua a) El peso de un tren de pasajeros está dado x por minuto, pero este tanque tiene un hueco por la ecuación x 1 . Si al tren se le añade x que libera agua a razón de 1  por un vagón que representa la octava parte x 1 minuto. ¿Cuál es la ecuación que representa de su peso, ¿cómo representas la suma el estado del tanque? ¿Según tu criterio entra de pesos? ¿Y cuál sería el resultado? o sale más agua del tanque? ¿Por qué? 2

Pensamiento crítico Una fábrica de carros prueba sus vehículos en pistas de choques antes de venderlos al público. Para ello somete dos a una colisión de frente a dos velocidades distintas. Responde: a) ¿Cuál es la velocidad resultante cuando chocan ambos carros? b) ¿Es la misma velocidad para ambos? ¿Por qué? c) ¿Es importante hacer pruebas de este estilo con los vehículos antes de venderlos? ¿Por qué?

1 x2

x 1 x2 Adición y sustracción de fracciones algebraicas

133

Tema 3

Multiplicación y división de fracciones algebraicas Actívate ¿Cómo se multiplican las fracciones? ¿Y cómo se dividen? ¿Crees que de la misma forma se multiplican y se dividen las fracciones algebaricas?

Multiplicación de fracciones algebraicas Para multiplicar dos fracciones algebraicas se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. Si los productos obtenidos son productos notables se aplican las fórmulas correspondientes.

Ejemplo 1 Efectuar

3x 1 1  2x . x11 x21

Procedimiento

Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador, aplicando productos notables y propiedad distributiva.

2x ? s3x 1 1d 6x2 1 2x 5 2 sx 1 1dsx 2 1d x 21

Ejemplo 2 Calcular

a2 2 ab  a3 1 a2b . ab 2 b2 ab2 1 b3

Procedimiento

1. S e multiplican los numeradores y los denominadores. 2. S e factoriza el numerador y el denominador de modo que se pueda simplificar la fracción y el resultado sea más sencillo.

sa2 2 abdsa3 1 a2bd a5 1 a4b 2 a4b 2 a3b2 5 2 3 2 5 a2b3 2 ab4 1 ab4 2 b5 sab 1 b dsab 2 b d a3 ? sa2 2 b2d a5 2 a3b2 a3 5 5 b3 a2b3 2 b5 b3 ? sa2 2 b2d

Ejemplo 3

2 2 Calcular x2 1 8x 1 7  x 1 3x  2 x 2 5 . x 1 10x 1 21 x11 x 2 3x 2 10

1. S e multiplican las fracciones algebraicas.

sx2 1 8x 1 7dsx2 1 3xdsx 2 5d 5 sx 2 3x 2 10dsx 1 1dsx2 1 10x 1 21d

2. S e factorizan el numerador y el denominador, y se simplifican los factores comunes entre ellos.

sx 11dsx 1 7d ? x ? sx 1 3dsx 2 5d 5 sx 1 2dsx 2 5dsx 1 1dsx 1 3dsx 1 7d x x12

134

Fracciones algebraicas

Procedimiento

División de fracciones algebraicas El cociente de dos fracciones algebraicas se calcula multiplicando la primera fracción por el inverso de la segunda.

Ejemplo 1 Resolver

2 ? sx 1 1d . x11 4 x13 x22

Procedimiento

1. Se escribe la división como una multiplicación de la primera fracción por el inverso de la segunda y se halla el producto. 2. Se simplifica la fracción.

x13 x11 2 ? sx 1 1d x11 4 5 ? x22 x22 x13 2 ? sx 1 1d sx 1 1dsx 1 3d 5 2 ? sx 2 2dsx 1 1d x13 5 2 ? sx22d

Ejemplo 2 Efectuar

x22100 4 x2 2 3x 270 . x 2x2 1 14x

Procedimiento

1. Se transforma la división en una multiplicación y se multiplican. 2. Se factorizan los polinomios y se simplifican los factores comunes.

Actividades

x2 2 100 x ? 2 5 2 2x 1 14x x 2 3x 270 sx2 2 100d ? x 5 s2x2 1 14xdsx2 2 3x 270d x 1 10 sx 1 10dsx 2 10d ? x 2x  sx 1 7dsx 2 10dsx 1 7d 5 2  sx 1 7dsx 2 7d

Para realizar en el cuaderno

Calcula cada producto de fracciones algebraicas. x 3x2y3 a2 1 ab b2 a2 2 2ab 1 b2 5 d) 5 a) ? 2 ? 3 3 ? a 2b b y x21 ab 2 b 1

2x 1 2 x ? 5 2 4x 1 2x x 1 3 x2 1 2x 2 80 x2 2 9x 2 10 ? 5 x2 2 100 x2 2 4x 2 32

x2 2 25 x2 2 5x 1 6 6x 5 ? ? 2 2x 2 4 3x 2 15 x 2 x 2 30

4 2 x x2 2 5x 2 6 5 ? x11 16 2 x2

Efectúa cada división entre fracciones algebraicas. 3x 1 3 x11 x2 2 2x 1 1 x21 m2 1 2m 2 15 5 e) a) 4 5 c) 4 2 4 sm 2 3d 5 2x 1 1 4x 1 2 x11 x 21 m b)

a2 2 1 a11 x2y x3 2 y3 5 4 5 d) 4 2x 2a a 2

x2 1 x 2 2 x2 1 4x 1 4 4 5 x3 2 x x2 1 x

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

135

Tema 4

Operaciones combinadas con fracciones algebraicas Actívate En la expresión “dos veces mi edad más la de mi hermano” están presentes dos operaciones. ¿Cuáles son y cuál debe efectuarse primero?

Operaciones combinadas con fracciones algebraicas En ocasiones se presentan situaciones en las que se debe resolver operaciones combinadas entre fracciones algebraicas. La forma de resolver estas operaciones depende de si estas presentan o no, signos de agrupación: • Si las operaciones combinadas no contienen signos de agrupación, se resuelven primero las multiplicaciones y las divisiones y luego las adiciones y sutracciones. • Si contienen signos de agrupación, se efectúan primero las operaciones que estén agrupadas, comenzando siempre con las más “internas”.

Ejemplo 1 Efectuar

2a2b a 2xy 12ay4b . 2 1 ? 2b3 b 6xy2 xy

Procedimiento

1. C omo no hay signos de agrupación, se efectúa primero la multiplicación. 2. S e resuelven simultáneamente la adición y la sustracción usando el m.c.m. 3. S e factoriza y simplifica la fracción algebraica resultante en caso de ser posible.

2a2b 12ay4b 2axy 2 1 3 2 2b xy 6bxy

212a2bxy2 2 2ab2xy 1 72ay5b4 6xy2b3 12aby ? s2axy 2 bx 1 6y4b3d 5 6xy2b3 2a ? s2axy 2 bx 1 6y4b3d 5 xyb2 5

Ejemplo 2 Calcular

10 . 6 x15 4 2 1 x12 x2 1 4x 1 4 x 2 25

1. S e factoriza cada polinomio y se efectúa la división. 2. S e simplifica la primera fracción algebraica y se efectúa la adición. 3. S e efectúan las operaciones.

136

Fracciones algebraicas

x15 6 10 1 4 5 2 sx 2 5d sx 1 5d sx 1 2d x12 10 6 ? sx 2 5dsx 2 5d 1 5 2 x12 sx 1 2d sx 1 5d 6 ? sx 2 5d 1 10 6 ? sx 2 5d 1 10 ? sx 1 2d 5 5 x12 sx 1 2d2 sx 1 2d2 6x 2 30 1 10x 1 20 16x 2 10 5 2 sx 1 2d sx 1 2d2

Procedimiento

Ejemplo 3

x x2 2 4 1 4 2 1 . 2 x 29 x 2x26 x23

Efectuar

Procedimiento

1. Como hay un signo de agrupación, se efectúa la operación en el paréntesis. Para ello se factoriza cada polinomio. 2. Se efectúa la división. 3. Se efectúa el producto notable.

Actividades

s s

sx 1 2dsx 2 2d x 1 5 1 4 sx 2 3dsx 1 2d sx 1 3dsx 2 3d x23 sx 1 2dsx 2 2d x1x13 5 4 sx 2 3dsx 1 2d sx 1 3dsx 2 3d 2x 1 3 sx 1 2dsx 2 2d 4 5 sx 1 3dsx 2 3d sx 2 3dsx 1 2d sx 1 2dsx 2 2dsx 1 3dsx 2 3d 5 sx 2 3dsx 1 2ds2x 1 3d

sx 2 2dsx 1 3d x2 1 x 2 6 5 2x 1 3 2x 1 3

Para realizar en el cuaderno

Efectúa cada operación combinada sin signo de agrupación. x mx 4x x2y x x1y x2y 1 a) 1 f) ? 5 ? ? 5 y n xy x y xy2 xy 1

a2 3ax2 4 4 1 5 2 b 9bx 6abx

2a2b ab2 2a 2 2b ? 2 5 2 2 a1b a 2b a2b

8mn4 mn mn ? 5 4 4 6 5 3 m n mn

h) x 2 y 1

4xy3 2x4 2a2 20 2 4 5 5 4 3 2 1 a y 10x y ax5

5y sx 1 yd2 2 5 sx 1 yd2 x1y

2 2 j) 16xy 2 5y 5 3x xy

x 5 ? sx 1 yd y3 2 5 ? 2x2y2 xy y

sa 1 bd2 12 ? sa 1 bd a2b 4ab 4 5 1 ? a ab b a1b

Efectúa cada operación combinada con signo de agrupación.

s xx 12 xyy 1 x xy1 y 2 xy 2x y d ? x 492 y 5 3 4x 2 9 5 a1b a2b m 2 5m 2 25 1s 5 g) s 4 s1 2 ? 1 b) d d d5 x 21 3x 1 1 x 2 3 a2b a1b m 2 25 a a x 2 16 1 xy a21 4s 1 5 h) ?s 1 1 1d 5 c) d a21 a11 x 2 8x 1 16 x 24 x24 a 2 2a 1 1 x 1 1 5x 2 5 x 1x x 24 x 12 x1y d) s 4 4 5 5 i) s 1 ? x 2 1 3x 2 3 d x 2x22 x 2x 26 x 2 2x 2 24 d s x d 10 ? s4x 1 2d 3 16x 3xy 16x 2 4 1 e) s ? 2 5 j) s ? 1 5 d d 4x 2 2 4x 2 2 3y 5 2

4mn 6m 5m3 4 5 ? 2n2 3x nq

Operaciones combinadas con fracciones algebraicas

137

Actividades de refuerzo

Para realizar en el cuaderno

Comprensión 1 Designa tantas variables como sea necesario y escribe los siguientes enunciados en expresiones algebraicas. a edad de Pedro hace 5 años entre la edad a) L de Pedro dentro de 8 años. a suma de las edades de Pedro y Juan entre b) L el triple de la resta de sus edades. c) La diferencia de los cuadrados de p y q entre la suma de p y q. d) El cociente entre el área de un cuadrado de lado a y el área de un rectángulo de lados a y b. e) El cociente entre la suma de las edades de los padres de los hermanos Laura y Ramón, y la diferencia entre las edades de Laura y Ramón.

a) La mínima expresión para F1 1 F2. b) La mínima expresión para F1 2 F2. c) La mínima expresión para F1 ? F2. d) La mínima expresión para F1 4 F2. e) ¿Son F1 y F2 equivalentes? 5

ax 1 ay ax

sx 1 yd x2 1 xy

x 1 xy x2

x x1y

x 1 xy x3

x 2y x2 2 xy

x A5x1y ? A 5 6 ? sx 1 yd 2y

Relaciona cada fracción algebraica de la izquierda con el o los valores que anulan el denominador. x23 x24

x52

22x x2 2 4

x54

x18 x2 2 7x 1 10

x 5 22

x2 sx 2 ydsx 1 1d

x 5 25

138

Fracciones algebraicas

Este terreno agrícola será urbanizado y dividido en n lotes iguales. Escribe la fracción algebraica que represente el área de cada lote. 450 m

200 m

x23 2

Expresa algebraicamente y de forma simplificada la longitud indicada con el signo de interrogación.

Identif ica las fracciones algebraicas equivalentes y. a la fracción x 1 x a)

x2 2 y2 : x 2 2xy 1 y2 2

Responde: si

3 2xy .

a) ¿Cuál es el valor de b) A partir de la figura anterior, ¿cuál es el valor de

x5y

1 x y

Análisis y aplicación 4 Calcula y responde. y y F2 5 Dadas F1 5 xx 1 2y

Halla el m.c.m. entre los denominadores de las fracciones 3 4 , 285 y 10 . 8mn 35m n 10m2n3

Completa según corresponda.

Psxd Qsxd

1 2 Psxd

1 1 Psxd

Qsxd

5 4x 2 2 6x 1 3 4x 2 2 x21 x13 10 Completa

la tabla según se indica.

Fracción algebraica

Doble

Cuadrado

Inverso

Expresión

2 1 3 x 1 x2 ? x 5 x

y x

-1

a21

Opinión y síntesis 11 Lee la información y luego responde. En física, usualmente se trabaja con diversos tipos de sistemas de medición. Por ejemplo, la velocidad de una partícula o móvil se suele medir en km/h (kilómetros por hora) o en m/s (metros por segundo). Para transformar de una unidad a otra se efectúan operaciones entre expresiones algebraicas. Por ejemplo, 10 km/h a m/s, se efectúa así: Como 1 km = 1 000 m y 1 h = 3 600 seg, km 1 000 m 10 se tiene: 10 h 3 600 s 10 000 m 100 m 2, 7 m . 3 600 s 36 s s a) ¿Qué puedes decir sobre las fracciones 10 km/h y 2,7 m/s? ¿Por qué? b) ¿ Qué operaciones entre fracciones se observan en el procedimiento? c) A partir del procedimiento observado deduce una forma análoga para transformar de m/s a km/h. d) ¿ Qué beneficios te trae realizar este tipo de actividades?

Conexos con... Economía Cuando se posee cierto capital, es posible hacer inversiones que permitan obtener ganancias o intereses. Un tipo de interés es el interés simple (I), que depende del tiempo (t) de la inversión, del capital inicial (C) y de la tasa de interés (i) dada en porcentaje. La fórmula para calcularlo es la expresión algebraica I = C ? i ? t y a partir de esta, se puede despejar cualquiera de las variables. • Responde: ¿qué expresión algebraica permite calcular cuánto tiempo debe durar una inversión para generar un monto específico de intereses? Fracciones algebraicas

139

Estrategia de resolución de problemas Elegir la incógnita En ocasiones, un planteamiento matemático involucra algún o algunos valores desconocidos que se desean hallar. Para encontrar los valores desconocidos de estos planteamientos se asigna una incógnita a dichos valores y se plantea una ecuación. Ejemplo resuelto

Carlos y Martha trabajan juntos en una empresa, pero Martha gana Bs. 10 más que Carlos por cada hora trabajada. Si ambos tienen una jornada diaria de 8 horas y Martha gana Bs. 250 en un día, ¿cuánto gana Carlos por hora? ¿Cuánto gana Carlos semanalmente? 1. Se extrae la información dada en el planteamiento. • Martha gana Bs. 10 por hora más que Carlos. • Ambos trabajan 8 horas diarias. • Martha gana Bs. 250 en un día. 2. Se identifica en el planteamiento el dato que no se conoce y que se desea conocer (la incógnita), y se le asigna una variable. x • Lo que gana Carlos por hora 3. Se plantea una igualdad que permita relacionar toda la información descrita, conocida y desconocida. A partir de esta igualdad se despeja la incógnita y se hallan los valores solicitados. Martha gana 8 ? (x 1 10) en un día Martha gana x 1 10 por hora 8 ? (x 1 10) 5 250 8x 1 80 5 250 8x 5 170 x 5 21,25 Carlos gana Bs. 21,25 por hora. 4. Luego se calcula que en una semana hay 5 días laborables, por lo tanto 8 ? 5 5 40 horas de trabajo. Entonces, Carlos gana 21,25 ? 40 5 650 bolívares semanales.

Una torre tiene 15 pisos y 5 sótanos. Si el último sótano se encuentra a una profundidad bajo tierra de 215 m, ¿cuánto mide la torre completa contando los sótanos?

El producto de dos números enteros es 214 y uno de ellos excede al otro en 9. ¿Cuánto vale la suma de los cuadrados de dichos números?

Un número aumentado en su doble es igual a sí mismo disminuido en 5. ¿Cuál es el número?

140

Fracciones algebraicas

Gabriela presentó un examen de 20 preguntas. Por respuesta correcta obtenía 10 puntos y por respuesta incorrecta, 24 puntos. Si Gabriela resolvió todas las preguntas, de las cuales 13 están correctas, ¿qué puntaje obtuvo?

La edad de José Manuel es el triple de la edad de Martha. Si la suma de sus edades es de 60 años, ¿cuál es la edad de cada uno?

Pedro tiene 12 años más que Laura. Si Laura cumplirá 40 dentro de 13 años, ¿cuántos años tiene Pedro?

Problemas

Idea para la acción

Comparación de la rentabilidad de dinero colocado en bancos diferentes

Propósito: comparar la rentabilidad que se obtiene al colocar dinero en bancos diferentes. 1

Documentación • Busquen información referente al interés simple y su uso en la vida cotidiana. Para ello, pueden formularse preguntas como: ¿qué son los intereses? ¿Qué beneficios aportan? ¿Cómo se calculan? ¿Qué datos se deben tener para calcular el interés simple en una situación? • Consulten, en las páginas web de diversas instituciones bancarias, cuál es la tasa de interés que brindan según los tipos de cuentas que ofrecen. • Documéntense acerca de los procedimientos que se usan para insertar fórmulas y hacer cálculos en programas de hojas de cálculo. Para ello, pueden descargar un tutorial de Internet, ver videos o leer la sección de “ayuda” del programa.

Planiﬁcación • Supongan que invertirán un capital. Decidan cuánto dinero invertirán. • Decidan, con base en qué tipo de préstamo compararán, la rentabilidad del capital que deseen invertir y cuánto tiempo invertirán el capital. • Escojan las tasas de interés de 3 bancos distintos sobre las que formularán la misma situación.

Preparación de materiales • Dispongan de una computadora que tenga instalado el programa de cálculo con el cual trabajarán. • Tengan a la mano la fórmula del cálculo de intereses, así como las tasas de intereses de cada banco escogido.

Puesta en acción • Diseñen la hoja de cálculo para el vaciado de la información. Hagan una tabla por cada banco. • Introduzcan los datos de capital, tiempo y tasa de interés de los bancos, así como la fórmula adecuada para el cálculo del interés. • Comparen los resultados obtenidos y formulen conclusiones sobre la rentabilidad del dinero.

Evaluación Háganse preguntas como: ¿están correctos los resultados? ¿Podrían obtenerse los mismos resultados escribiendo la tabla de otra forma, por ejemplo, intercambiando las filas por las columnas? ¿Cómo se puede mejorar esta herramienta de cálculo? Fracciones algebraicas

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Matemática 2º año

Matemática 2

año

Matemática 2

año