Cuaderno Digital Algebra Lineal
Jos茅 Angel Guedez C.I.: 14.932.555 Secci贸n: Z1
introducción La gran diversidad de necesidades del ser humano, en cada uno de los ámbitos requiere emplear técnicas y métodos matemáticos que den una solución rápida y exacta. Una de las herramientas que ha tenido gran aplicación son las matrices, las cuales nos dan una solución optima a un sistema de ecuaciones lineales previamente obtenidas de un planteamiento del problema. La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos, etc.
Ejercicios Algebra Lineal 2 -1 0 2 A= 3 2 , B= 4 -2
1. Dadas las matrices:
a)A + B
Calcular si es posible:
b) 3AC
1 4 3 y C= 2 -1 1
c)CB y CtB
d)(4A+B)C
Respuestas: a)A + B Lo primero que debemos verificar, es que las matrices tengan la misma dimensión, y como la matriz A es de orden 2 al igual que la matriz B, entonces procedemos a efectuar la suma. Para sumar matrices, la resultante es la suma aritmética de los elementos de las matrices originales. 0 2 2 1 2 -1 2+0 (-1)+2 A+B= + = = 4 -2 7 0 3 2 3+4 2+(-2) 2x2
b) 3AC Dos matrices son multiplicables, si el numero de columnas de la primera matriz coincide con el numero de filas de la segunda matriz. En este caso A2x2 C2x3 si se pueden multiplicar. =
Vamos a comenzar aplicando propiedad asociativa a A y C para luego multiplicar la resultante por el escalar 3 3AC = 3 = 3
x
x
2 -1 3 2
x
1 4 3 2 -1 1
0 3 5 11 10 11
=3
= 3x0
x
2x1 + (-1)x2 2x1 + (-1)x(-1) 2x3 + (-1)x1 3x1 + 2x4
3x3 3x5 3x11 3x10 3x11
3x4 + 2x(-1)
=
0 9 33 30
15 33
c)CB y CtB Primero comprobamos que CxB sean multiplicables: C2x3 diferente
3x3 + 2x1
≠
2x3
B2x2 al ser
Comprobamos quede CtCxB,alpara ello de debemos la traspuesta C el N° de columnas numero filas decalcular B, esta operación No de es Posible. intercambiando las posiciones de sus elementos: 1 2 C= 1 4 3 4 -1 = Ct 2 -1 1 3 1 3x2
Ahora comprobamos si CtxB son multiplicables: Ct3x2 1 2 CtxB = 4 -1 3 1
x
B2x2, si es posible
=
1x0 + 2x4 1x2 + 2x(-2) 8 -2 0 2 = 4x0 + (-1)x4 4x2 + (-1)x(-2) = -4 10 4 -2 3x0 + 1x4 3x2 + 1x(-2) 4 4
3x2
d)(4A+B)C Primero procedemos a resolver el producto del escalar “4” por la matriz A 2 -1 = 8 -4 3 2 24 8 Luego aplicamos propiedad distributiva:
4A = 4
x
(4A+B)C = (4AxC + BxC) = =
8 -4 24 8
0 36 20 4 -2 2 + = 40 88 80 0 18 10
x
1 4 3 + 0 2 2 -1 1 4 -2
4 34 22 40 106 90
Calcular si es posible:
a)ABC
1 4 3 2 -1 1
2x3
2 -1 0 5 A= 3 2 , B= 4 -2
2. Dadas las matrices:
x
b)Ct B-A
1 2 8 y C= 2 -1 1 c)A2, B2 y C2
Respuestas: a)ABC Una vez constatado que el orden de las matrices es compatible para realizar la multiplicación (como se demostró en el ejercicio 1b), procedemos a resolverla utilizando la propiedad asociativa: 2 -1 0 5 ABC = (A x B) x C = 3 2 x 4 -2 =
20 20 -20 30 5 75
x
1 2 8 2 -1 1
=
-4 12 8 11
x
1 2 8 2 -1 1
2x3
b)Ct B-A Primeramente debemos calcular la traspuesta de la matriz C (Ct) y el producto del escalar por la matriz B.
1 2 2 -1 = Ct 8 1
C= 1 2 8 2 -1 1
B =
3x2
x
0 5 0 = 4 -2 2
-1
2x2
Una vez calculadas Ct y B, podemos evidenciar que la resultante del producto de estas no puede restársele la matriz A ya que son de diferente orden, por lo tanto: Ct B-A = No es posible c)A2, B2 y C2 Para resolver potencia de matrices, es estrictamente necesario que sean matrices cuadradas, o sea que posea el mismo numero de filas que de columnas. 2
2 -1 2 -1 A2 = = 3 2 3 2 B2 =
0 5 4 -2
x
2
0 5 = 4 -2
2 C2 = 1 2 8 = 2 -1 1
x
2 -1 = 3 2
1 -4 12 1
0 5 4 -2
20 -10 -8 24
=
2x2
2x2
No es posible
2x3 ≠
3. Dadas las matrices:
3 A= 0 -6
6 3 9 8 2 1
1 2 3 y B= 2 -4 2 , Se pide: 8 5 9
a) Calcular AB y BA, ¿coinciden los resultados?. b) Calcular (A + B)2 y A2 + 2AB + B2, ¿coinciden los resultados?. c) Calcular A2 - B2 y (A + B)(A - B), ¿coinciden los resultados?. Respuestas: a) Calcular AB y BA, ¿coinciden los resultados?. 3 AB = 0 -6
6 3 9 8 2 1
x
1 2 3 39 -3 48 2 -4 2 = 82 4 90 8 5 9 6 -15 5 3x3
1 2 3 BA = 2 -4 2 8 5 9
6 3 -15 30 22 9 8 = -6 -20 -24 2 1 -30 111 73
3 0 -6
x
3x3
AB ≠ BA, entonces los resultados no coinciden b) Calcular (A + B)2 y A2 + 2AB + B2, ¿coinciden los resultados?. (A + B)2 Primeramente resolvemos A+B y la resultante la elevamos a la potencia 2: 3 A + B = 0 -6
6 3 1 2 3 4 9 8 + 2 -4 2 = 2 2 1 8 5 9 2
8 6 5 10 7 10 3x3
Entonces:
2
4 (A + B)2 = 2 2
8 6 4 5 10 = 2 7 10 2
8 6 5 10 7 10
x
4 2 2
8 6 5 10 7 10
44 = 38 42
114 111 121
164 162 182 3x3
A2 + 2AB + B2 Podemos empezar resolviendo cada uno de los componentes de la ecuación de forma individual, los sustituimos y finalmente realizamos la suma: 3 A2 = 0 -6
6 3 9 8 2 1
x
3 0 -6
6 3 9 8 2 1
-9 78 6 = -48 97 80 -24 -16 -1
3x3
Tomando el valor de Ab obtenido en el ejercicio “a” anteriormente resuelto, tenemos que: 2AB = 2
x
39 -3 48 78 -6 96 82 4 90 = 164 8 180 6 -15 5 12 -30 10 3x3
1 2 3 B2 = 2 -4 2 8 5 9
x
1 2 3 29 9 34 2 -4 2 = 10 30 16 8 5 9 90 41 115
3x3
Ahora sustituimos las resultantes para resolver la ecuación:
-9 78 6 78 -6 96 29 9 34 98 81 136 A2 + 2AB + B2 = -48 97 80 +164 8 180 + 10 30 16 = 126 135 276 -24 -16 -1 12 -30 10 90 41 115 78 -5 124 Se concluye que (A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2, por lo tanto no son coincidentes. 4. Mediante operaciones elementales transformar A en una matriz escalonada equivalente y calcular el rango de A. 1 4 -1 a) A = 7 0 1 1 0 -11
3 1 b) A = 1 3 5 -2
-3 d) A = 6 4
8 4 c) A = 5 3
5 1 4 -7 -2 -5 -1 -1 0
Respuestas: Haciendo uso de las 3 operaciones elementales; 1)cambiar entres si dos filas (columnas, 2)multiplicar una fila (columna) por un numero real distinto de cero y 3)sumar a una fila (columna) otra fila (columna) multiplicada por un numero real. Procederemos a calcular el Rango de cada una de las matrices dadas obteniendo a su vez matrices escalonadas equivalentes, hasta conseguir el numero de filas (columnas) que son linealmente independientes: 1 4 -1 a) A = 7 0 1 1 0 -11 Primero obtendremos ceros en las posiciones a2,1 y a3,1, multiplicando la fila 1 (F1) por un numero real y luego sumar el resultado a cada fila correspondiente: 1 4 -1F2→F2-7F1 1 4 -1 1 4 -1 0 -28 8 0 -28 8 A =7 0 1 F3→F3-F1 F3→28F3-4F2 1 0 -11 0 -4 -10 0 0 -312
≈
≈
Rango A = 3 3x3
Finalmente el cero en la posición a3,2 se obtiene multiplicando la fila 3(F3) por un numero real (28) y luego restarle la fila 2(F2) multiplicada por otro numero real (4). 3 1 b) A = 1 3 5 -2 Para la resolución de esta matriz, utilizaremos el mismo método para calcular el rango que en el ejercicio anterior, pero adaptándonos a los valores de la matriz actual, quedando de la siguiente manera:
3x3
3 1 F2→3F2-F1 3 1 3 0 8 0 A = 1 3 F3→3F3-5F1 F3→8F3-11F2 5 -2 0 -11 0
≈
c) A =
≈
1 8 0
≈
3 1 0 8
Rango A = 2 2x2
8 4 5 3
Resolvemos: A =
8 4 8 4 5 3 F2→8F2-5F1 0 4
≈
-3 d) A = 6 4
2x2
Rango A = 2
5 1 4 -7 -2 -5 -1 -1 0
Resolvemos: -3 A = 6 4
5 1 4F2→F2+2F1 -3 5 1 4 -3 -7 -2 -5 0 3 0 3 0 F3→3F3+4F1 -1 -1 0 0 17 1 16 F3→3F3-17F2 0
≈
≈
5 3 0
1 4 0 3 3 -3
Rango A = 3 3x3
5. Sabiendo que las siguientes matrices tienen inversa, calcularla mediante operaciones elementales. 2 1 3 3 -1 2 b) B = -1 4 0 c) C = 5 1 1 1 1 0 2 4 6 Para obtener las matrices inversas, es necesario utilizar una matriz identidad en bloque con la matriz original, esto para transformarla mediante las operaciones elementales a una matriz identidad, lo que nos daría como resultado que la matriz identidad inicial se convierta en la matriz inversa de la matriz original. Veamos: 5 4 a) A = 1 8
Bloque 1
5 4 a) A = 1 8
Sabiendo que: A-1 = A
Bloque 2
I
Debemos hacer que la matriz A, en el boque 1, se vuelva una matriz identidad, para ello hacemos lo siguiente: A =
5 4 1 0 1 8 0 1
≈
1 8 5 4
F1↔F2 Se intercambian filas
0 1 1 8 0 1 1 0 F2→F2-5F1 0 -36 1 -5
≈
≈
F2→ - F2
1
8
0
1
0
- -5
1
≈
1
0
0
1
-39
F1→F1-8F2
-
-39
Entonces tenemos que: A-1 = -
5
5 2x2
2 1 3 b) B = -1 4 0 1 1 0 En este caso procedemos a aplicar la operaciones elementales necesarias para , como en el caso anterior, llevar la matriz B a una matriz identidad, dando como resultado la matriz inversa de la matriz B (B-1) en el bloque inicialmente correspondiente a la matriz identidad. 2 1 3 B-1 = -1 4 0 1 1 0
F1→F1+F3
≈
F3→F3+ F2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 3 1 0 -1 0 5 0 0 1 1 0 0 3 1
1 1 0 -1 4 0 F1↔F2 2 1 3
≈
F1→F1-F3
≈
≈
1 0 0 00 5 0 0 1 1 0 0 3 1 0
B-1 =
F2→ F2
≈
F3→ F3
0 0 1 0 1 1 1 0 -2
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
-
-
-
0 -
3 -1 c) C = 5 1 2 4
0 0 1 F2→F2+F1 1 1 0 0 1 0 0 5 0 F3→F3-2F1 1 0 0 0 -1 3
3x3
2 1 6
Aplicando operaciones elementales tenemos; 3 -1 2 C-1 = 5 1 1 2 4 6
1 0 0 0 1 0 0 0 1
F2→5F1-3F2
≈
F3→2F1-3F3
3 -1 2 1 0 0 F1→F3-14F1 -42 0 -42 -14 0 -3 0 -8 7 5 3 0 0 -8 7 5 3 0 F3→14F2-8F3 0 -14 -14 0 0 -3 0 0 210 70 42 42
≈
F1→F1
≈
F3→F3
F1→- F1
≈
F2→ F2 F3→-F3
-3 0 -3 -14 0 -3 0 -8 7 5 3 0 0 0 15 5 3 3 1 0 0 0 1 0
0 -
F1→3F3+15F1
≈
F2→7F3-15F2
-45 0 0 0 9 0 120 0 -40 -24 21 0 0 15 5 3 3
-
0 B-1 =
0 0 1
-
3x3
6) Use el método de Gauss-Jordan para resolver cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales 1) x1 + 2x3 = 6 2) 3x1 + 2x2 - x3 + 5x4 = -2 - 3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 - 2x1 + 3x2 - 5x3 + 2x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 1 - x1 - 2x2 + 3x3 = 8 - x2 + x3 - x4 = -2 3) 4x1 3x1 5x1 4x1
+ x2 - x3 + x4 = 1 - 2x2 + 2x3 - 3x4 = 2 + x2 - x3 + 2x4 = -1 - 1x2 + x3 - 3x4 = 4
4) 2x1 + x2 + 2x3 + x4 = 5 4x1 + 3x2 + 7x3 + 3x4 = 8 - 8x1 - x2 - x3 + 3x4 = 4 6x1 + x2 + 2x3 - x4 = 1
En esta oportunidad se nos pide resolver cada uno de los ejercicios propuestos por el método de Gauss-Jordan , para ello vamos a utilizar los coeficientes de cada incógnita (llamémoslos C) conjuntamente con los términos independientes de cada ecuación (llamémoslos T) para formar una matriz aumentada (C|T), que mediante el uso de la operaciones elementales entre filas (columnas) hasta reducir el primer bloque a una matriz identidad quedándonos en el segundo bloque el resultado de las incógnitas en cada caso. Comencemos: 1) x1 + 2x3 = 6 - 3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 - x1 - 2x2 + 3x3 = 8 De este sistema de ecuaciones, la matriz aumentada quedaría: x1 x2 x3
T
1 0 2 6 F2→3F1+F2 1 0 2 6 0 4 12 48 -3 4 6 30 F3→F1+F3 0 -2 5 14 -1 -2 3 8
≈
≈
F3→F2+F3
1 0 2 6 0 4 12 48 0 0 11 38
F2→F2
≈
F3→F3
1 0 2 6 0 1 3 12 0 0 1
x1 x2 x3
T
F1→F1-2F3
1 0 0 -
F2→F2-3F3
0 1 3
≈
Entonces los resultados serian: X1 = -
X3 =
X2 =
0 0 1 2) 3x1 + 2x2 - x3 + 5x4 = -2 - 2x1 + 3x2 - 5x3 + 2x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 1 - x2 + x3 - x4 = -2 La matriz aumentada de estas ecuaciones quedaría; x1 x2 x3 x4 T
3 -2 1 0 F1→9F3-5F1
≈
F2→17F3-5F2 F4→4F3-5F4
2 3 1 -1 -15 0 0 0
-1 -5 1 1
5 2 1 -1
0 -65 0 0
-2 0 F2→2F1+3F2 1 F3→F1-3F3 -2
≈
3 0 0 0
2 13 -1 -1
-1 -17 -4 1
5 16 2 -1
-2 -4F1→F1+2F3 -5 F3→F3-F4 -2F4→F2+13F4
≈
0 -18 33 -45 0 F1→3F1-18F4 0 -195 0 -29 -31 -5 3 -3 F2→3F2-29F4 0 0 0 -3 138F3→F3+F4 0 0
≈
3 0 0 0
0 0 -2385 0 0 -4095 -5 0 135 0 -3 138
0 13 0 0
-9 -17 -5 -4
F1→- F1 F2→- F2
≈
F3→- F3 F4→- F4
9 -12 16 -4 3 -3 3 -30 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Entonces los resultados de las incógnitas serán: X1 = 43 3) 4x1 3x1 5x1 4x1
X2 = 21
X3 = -27
+ x2 - x3 + x4 = 1 - 2x2 + 2x3 - 3x4 = 2 + x2 - x3 + 2x4 = -1 - 1x2 + x3 - 3x4 = 4
X4 = -46
Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3 Ecuación 4
La matriz aumentada de estas ecuaciones quedaría; x1 x2 x3 x4 T
4 3 5 4
1 -2 1 -1
-1 2 -1 1
1 -3 2 -3
1 2 -1 4
4 1 -1 0 11 -11 1 -1 F3→5F1-4F3 0 2 -2 F4→F1-F4 0
F2→3F1-4F2
≈
1 15 -3 4
-44 0 0 4 16 1 F1→F2-11F1 0 11 -11 15 -5 -5 0 0 48 94 9 F3→F2-11F3 0 0 0 -14 23 -3 F4→2F2-11F4 0
≈
0 0 0 1
43 21 -27 -46
Si traducimos el resultado anterior obtenido, nos queda que las ecuaciones dadas inicialmente serán equivalentes a las siguientes ecuaciones: -44x1 11x2 48x4 -14x4
+ 4x4 = 16 - 11x3 + 15x4 = -5 = 94 = 23
Ecuación 1 (equivalente) Ecuación 2(equivalente) Ecuación 3(equivalente) Ecuación 4(equivalente)
Resolviendo X4 en las ecuaciones 3 y 4 tenemos que: 48x4 = 94 x4 =
-14x4 = 23 x4 = -
Al ser distintos los valores de X4 en dos ecuaciones diferentes del sistema, como lo son la ecuación 1 y la ecuación 2, podemos decir que este sistema de ecuaciones es INCOMPATIBLE , por lo tanto no tiene solución. 4) 2x1 + x2 + 2x3 + x4 = 5 4x1 + 3x2 + 7x3 + 3x4 = 8 - 8x1 - x2 - x3 + 3x4 = 4 6x1 + x2 + 2x3 - x4 = 1 La matriz aumentada de estas ecuaciones quedaría; x1 x2 x3 x4
2 1 2 1 5 2 F2→2F1-F2 4 3 7 3 8 0 -8 -1 -1 3 4 F3→4F1+F30 6 1 2 -1 1 F4→3F1-F4 0
≈
F1→ - F1 F2→ F2
≈
F3→ - F3 F4→ F4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 -1 3 2
2 -3 7 4
1 -1 7 4
-1 -4 F1→F4+F1 7 43 -2 -15F2→F2-7F4 1 6 F3→2F4+F3
≈
5 2 F1→F2-F1 2 0 24 F3→3F2+F30 14 F4→2F2-F4 0
1 0 0 0
≈
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 -1 0 0
2 1 -3 6
Entonces los resultados de las incógnitas serán: X1 = 2
X2 = 1
X3 = -3
X4 = 6
-1 -3 -2 -2
0 7 -4 F1→F3-2F1 -1 2 0 4 30 F2→3F3-2F2 0 2 18 F4→F3-F4 0
≈
0 2 0 0
0 4 0 14 -2 4 0 2
16 86 30 12