173560451 gibbons mi primer curso de teoria de juegos by Guillermo Dimas

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CONTENIDO

PrefadQ

1 Juegos estc1ticos ron informaci6n completa 1.1 Team b4sica: lonna

1.1 .C Fundamentaci6n y definici6n del equilibrio de Nash 1.2 Aplicaciones 1.2.A Modelo de duopolio de Coumot 1.2.B Modelo de duopolio de Be nand 1.2.e Arbritraje de Olel ta final 1.2.0 El problema de los ejidos

8 15 15 21 23

1.3 Teoria avanzada: Estrategias mixtas Yexistenda de equilibrio 1.3.A Esbategias mixtas 1.3.8 Existencia del equilibrio de Nash 1,4 [«turas adiciona1es 1.5 Ejercidos

29 29 33 47 48

1,6 Referencias

d.inAmicos con informaci6n ',l.A Teorla: Indu<Yi6n haria amis 2.1 .B El

2.2

con informaci6n

VI I COtmNlDO

22,C Aranceles y oompetencia internadonal iml¥f... ta

22 ,0 Tomros

2.3.C Colusi6n entre duopolistas de Coumot

101

2,3,P Salarias de e6denda

106

2.4

25 II" luras adidanaJPCl 2.6 Epcicios 2 ,7 Referendas

]29

130 139

143 3.1.A Un ejemplo: Competencia a 1a Coumot bajo informad6n asim~11 ira

3.2 Aplicadones 3.2.A Revisi6n de las estrategias mixtas 32B Hna SlIhasta

144

152 152 155

3.2.C Una subasta doble 3.3 E1 prindpio de reve1ad6n

159

3.4 Ia luras adicionales

169

3.5 E!rddos 3,6 Referendas

169 172

164

185

ma..

CONmIIDO I

4.2.B Settalizaci6n en el mercado de trabajo 4.2.C Inversi6n empresarial y estructura de capital

192 2Cfl

4 2 D PnHtica monebuia

210

4.3 Otras aplicaciones del equilibrio bayesiano @fecto 4.3.A Juegos oon parleteo (cheap-tolk gt!mes) 4.3.8 Negociaci6n sucesiva hajo informad6n asinu!trica

213 213 221

4.3.C La reputaci6n en el dilema de los Fa 50S repetido fiojtamen te

227

4.4 Refinamientos 4.6 Ejercicios

249

4.7 Referenrjas

257

Iodice ana Iftiro

261

PREFACIO

La teona de juegos es el estudio de problemas de decisi6n multi personales. Tales problemas se plantean frecuentemente en economia. Como es bien sabido, por ejemplo, en situaciones de oligopolio se dan tfpicamente problemas de este tipo (cada empresa debe tener en cuenta 10 que haran las demas). Pero muchas otras aplicaciones de teona de juegos surgen en ca mpos ajenos a la organizad6n industrial. A nivel micro econ6mico, muchos modelos de intercambio (como los de negociaci6n y de 5ubasta) utilizan teona de juegos. A un myel de agregaci6n intennedio, y en el campo de la economia laboral 0 de la economia financiera se utiliza la teona de juegos en modelos de comportamiento de las empresas en los mercados de factores, 0 para dilucidar problemas de decisi6n multipersonales dentro de eUas: varios trabajadores compitiendo por un ascenso, varios departamentos compitiendo por unos mismos recurso5. Finalmente, al nivel mas alto de agregaci6n, en el campo de la economia internacional, se utiliza en modelos en los que los paises compilen (0 coluden) en sus decisiones arancelarias y, en general, en una polilica econ6mica exterior; o en macroeconomia, para analizar los resultados de l.:"l poUlica monetaria cuando el gobiemo y los agentes que detenninan los salarios 0 los precios se comportan estratt?gicamente.

Este libro esta concebido para presentar la teona de juegos a quienes mas tarde ronstruiran (0, al menos, consumiran) los modelos de la teom de juegos en los wbitos aplicados de la econonUa. Se han procurado resa1tar en ellas aplicaciones de la teona, tanto al menos como la propia teona, por tres razones. En primer lugar, porque las aplicaciones ~yudan a ensenar la leona. En segundo lugar, porque las aplicaciones ilustran el proceso de construcci6n de modelos; es decir, el proceso de traduccion de la descripci6n informal de una determinada situaci6n a un problema formal de teona de juegos para ser analizado. En teJcet lugar, porque las diversas aplicaciones permiten romprobar que problemas simiJares surgen en mas diferentes del aruilisis econ6mico, y que los mismos instrumentos de leona de juegos pueden apHcarse en cada situaci6n. Para

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·,,

x / PREFACIO subrayar el amplio alcance potencial de los juegos los ejemplos habituales de organiz.aci6n industrial han sido sustituidos en gran medida por aplicaciones en el ambito de la economia laboral. de la macroeconomia y de atros campos aplicados del ancilisis econ6mico.1 Discutiremos cuatro tipos de juegos: juegos estaticos ron informaci6n completa. juegos dinamicos con infonnaci6n completa, juegos estaticos con infonnaci6n incompleta y juegos dinamicos con informaci6n incornpleta. (Un juego tiene informaci6n incompleta sj un jugador no conoce las ganancias de otro jugador, como ocurre en una subasta ruanda uno de los licitadores no sabe cu.anto esti dispuesto a pagar otTo licitador poe el bien subastado.l Conespondiendo a estas ruatro clases de juegos habra cuatro nociones de equilibrio: equilibrio de Nash, equilibria de Nash perfecto en subjuegos, equilibrio bayesiano de Nash y equilibria bayesiano perfecto. Existen dos maneras (relacionadas) de entender estos conceptos de equilibrio. Prirnero, se pueden entender como sucesiones de conceptos de equilibrio cada vez mas poderosos, donde las definidones mas poderosas (es dectr, mas restrictivas) constituyen intentos de eliminar equHibrios poco plausibles permitidos por nociones de equilibrio mas debiles. Veremos, por ejemplo, que el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos es mas poderoso que eJ equilibrio de Nash, y que el equilibrio bayesiano perfecto es a su vez mis poderoso que el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos. Segundo, puede afirmarse que el concepto de equilibrio relevante es siempre el equilibrio bayesiano perfecto (0 quiz.cis un concepto de soluci6n alln mas poderoso), aunque este es equivaJente al equilibrio de Nash en juegos estiiticos con informad6n completa, equivalente a la perfecci6n en subjuegos en juegos dinamicos con informad6n completa (y perfecta) Yequivalente al equilibrio bayesiano de Nash en juegos est;iticos con informad6n incompleta. Este libro puede utilizarse de dos formas. A los estudiantes de economia de primer ana de doctorado, muchas de las aplicaciones les seran ya familiares, por 10 que la parte de teorfa de juegos se puede cubrir en medio semestre, deja.ndo muchas de las aplicaciones para ser estudiadas fuera de clase. A los estudiantes de licendatura, conviene presentarles la teoria un poco mas despacio, y cubrir en claSe virtualmente todas las aplicaciones. El pletlE:quisito matematico fundamental es el calculo dj. ferendal en una variable; los rudimentos de probabilidad y aruUisis se introducen a medida que se necesitan. 1 Una buena fuenle de ap1kadones de teorla de ;u.egos en el ambito de la organi7.aci6n industrial es TtorW dt III organi2Jlcwn indus/rilll, de Ttrole (Ariel, 1990).

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P"",do I XI

Aprendf teorla de juegos con David Kreps, John Roberts YBob WUson durante mi. estudios de doctorado, y con Adam 8randemburger, Drew Fudenberg y Jean Tirole mas adelante. A elias debo la parte teOrica de este libm. EI ~nfasis en las aplicaciones y obos aspectos del estilo pedag6giro del libm, en cambio, se los debo en gran parte a los estudiantes del departamento de economIa del M.LT. quienes, de 1985 a 1990. inspiraron y

moJdearon los cursos que han culminado en este libra. Estoy muy agradecido a todos estos amjgos par las ideas que han compartido conmigo y el estimulo que siempre me han otorgado, as( como por los numerosos comentarios utiles al borrador del libro que he recibido de Joe Fanell,

Milt Harris, George Mailath, Matthew Rabin, Andy Weiss y varios criticos an6nimos. Finalmente, me com place reconocer los consejos y apoyo que he recibido de Jack Repcheck de Princeton University Press y 1a ayuda 6nanciera de una beca Olin en economfa del National Bureau of Economic

Research.

I I I

1. JUEGOS ESTATICOS ,

CON INFORMACION COMPLETA

En este capitulo consideramos juegos simples de la siguiente forma : primero los jugadores fonnan decisiones simuitaneamente; a continuaci6n I'cciben sus ganandas, que dependen de la combinaci6n de acciones que acaban de elegir. Dentro de la clase de estos juegos estaticos (0 de decisi6n simuitcinea), restringimos nuestra atenci6n a los juegos con informaciOn compfda . Es door, la funci6n de ganancias de cada jugador (1a funci6n que determina la ganancia de cada jugadoT a partir de la combinaci6n de acciones e1egidas por los jugadores) es conocida poT los jugadores. Estudiamos los juegos dimimicos (0 de toma de decisiones sucesivas) en los capftulos 2 y 4, Y los juegos con infonnaci6n incompleta (juegos en los cuales algUn jugador no es~ seguro de la funci6n de ganancias de otTO jugador, como ocurre en una subasta en la cuallo que cada licitador estoi dispuesto a pagar por eJ bien subastado es desconocido por los otros licitadores) en los capftulos 3 y 4. En la secci6n 1.1 entramos en las dos cuestiones basicas de la teona de juegos: c6mo describir un juego y c6mo resolver el problema de teona de juegos resultante. Con este fin describimos los instrumentos que utiliz..aremos para ana1izar los juegos estaticos con informaci6n complcta, y sentaremos las bases de la teeria que utilizaremos para analizar juegos mas ricos en capitulos posteriores. Definimos tambien la repl'CSl.nlacwn en forma I,onnal de un juego y la noc:i6n de estrategia estrictamente domitu1.@. Demostramos que algunos juegos pueden resolve, se mediante la aplicad6n de la idea de que los jugadores rationales no utiHun estrategias

estrictamente dominadas, pero tambien que en otros juegos este enfoque da lugar a predicciones muy imprecisas sobre el desarrollo del juego (algunas veces tan imprecisa como la afirmaci6n de que UC'I,alquier rosa puede ocurrir"). Despues, definimos el equilibrio de Nash, un roncepto de soluci6n que da pie a predicciones mucho mas precisas en una c1ase de juegos muy amplia.

2 / jUECOS ESTAncos CON INTORMAa6N COMPlEI'A (c. 1)

En la secci6n 1.2, utilizando los instrumentos desarroUados en la secci6n previa, analizamos cuatro aplicaciones: el modelo de competencia imperfecta de Coumot (1838), 01 modolo do competencia imperfecta do Bertrand (1883), ol modolo de arbitraje de oferta final de Farber (1980) y el problema do los ejidos (discutido por Hume (1739) y otros). En cada aplicaci6n, en primer lugar tTaducimos la descripci6n informal del problema a una repfcsentaci6n en la forma normal del juego y despues hallamos su equilibrio de Nash. (Cada una de estas aplicaciones tiene un unico equilibrio de Nash, pero discutimos ejemplos en los cuales esto no ocurre.)

En la secci6n 1.3 volvemos a la teolia. En primer Iugar definimos la noci6n de estrategill mixta, que interpretamos en terminos de la falta de ccrteza de un jugador con respecto a 10 que otro jugador bani. Seguidamentc, enunciamos y discutimosel teolEDladc Nash (1950), elcualgarantiza que un equilibrio de Nash (que puede incluir cstrategias mixtas) existe en una amplia clase de juegos. Puesto que plesentamos primero 1a teorfa basica en la secci6n 1.1, las aplicaciones en la secci6n 1.2 y, finalmente, mas teoria en la secci6n 13, resulta evidente que el conocimiento de la teoria induida en la .secci6n 13 no constituye un requisito para entender las aplicaciones de la secd6n 1.2. Por otra parte, 1a idea de estrategia mixta y la existencia de equilibrio aparecen (ocasionalmente) en capitulos poste-nores. Cada capitulo conduye con ejerdoos, sugetencias de lectwa adicional y referencias.

1.1 Teona basica: Juegos en forma normal y equilibrio de Nash 1.1.A Represenbci6n de los juego5 en forma normal

En la replcsentaci6n de un juego en forma normal cada jugador elige de forma simultilnea una estrategia, y la combinaci6n do las estrategias olegidas por los jugadores determina la ganancia de cada jugador. Vamos a ilustrar la repl (5 : ntaci6n en forma normal con un ejemplo cl;isico, el del diltmJl de los prtSOS. Dos sospechosos son aueslados y acusados de un delito. La policfa no tiene evidencia suficiente para condenar a los sospechosos, a menos que uno confiese. La polida encierra a los sospechosos en coldas separadas y les explica las conse<uencias derivadas de las decisiones que {onnen. Si ninguno confiesa, ambos ser.ln condenados por un delito menor y sentenciados a un mes de ccircel. Si am~ confiesan,

COl ynghtcd rnat( nal

TeoriA bdsica: Jllqos tn fo,mBI nomlld y tqllilibrio dt NlJsn / 3

seran sentenciados a seis meses de carcel. Finalmente, si uno confiesa y el otro no, el que confiesa sera puesto en libertad inmediatamente y el olIO sera sentenciado a nueve meses en prisi6n, seis por el delito y tres mas por obstrucci6n a la justicia. El problema de los presos puede repicsentarse mediante la siguiente matriz binaria. (Como matriz, una matriz binaria puede tener un numero arbitrario de filas y columnas; binaria se refiere al hecho de que en un juego de dos jugadores hay dos numeros en cada casilla, las ganancias de los dos jugadores). PIC50 2

Callarse Conlesar Calla r.;e

- 1, - 1

- 9,0

Coniesar

0, - 9

- 6, -6

Preso 1

El dilema de los presos En este juego, cada jugador cuenta con dos estratcgias posibles: confesar y no confesar. Las ganancias de los dos jugadores cuando eligen un par concreto de estrategias aparecen en la casilla cOiiEspondiente de la matriz binaria. Por convenci6n, la ganancia del Uamado jugador-fila (aqut el. preso 1) es la primera ganancia, seguida por la ganancia del jugadorcolumna <aqui el preso 2). Por eso, si por ejemplo el preso 1 elige callar y el preso 2 elige confesar, el preso 1 recibe una ganancia de -9 (que representa nueve meses en prisi6n) y el preso 2 lecibe una ganancia de 0 (que. representa la inmediata puesta en libertad). Ahora abordamos el caso general. La nlt"'p''''tsentacidn tn fortffQ nannal de un juego especifica: (1) los jugadores en .1 juego, (2) las estra.egias de que dispone cada jugador y (3) la gananda de cada jugador en cada cornbinaci6n posible de estrategias. A menudo discutUEUlOS juegos con un numero n de jugadores, en los cuales los jugadores estan numerados de 1 any un jugador arbitrario es denominado jugador i. Sea Sj el conjunto de cstrategias con que cuenta el jugador i Olamado espacia de estrategias de i), y sea "; un elemento arbitrario de este conjunto. <Ocasionalmente escribiremos Sj E Sj para indicar que la cstrategia Sj es un elemento del conjunto 5,,) Se" ( S1, ... ,.sOl) una combinaci6n de estrategias, una para

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4 / JUECOS esrAncos CON INlQR.IolACI6N COMPlETA (C. 1)

cada jugador, y sea llj 1a funci6n de ganancias del jugador i: U';(" I ,' .. ,6,,) es la ganancia del jugador i si los jugadores eligen las estrategias (" 1, ... ,8 n ). Compilando toda esta informaci6n tenemos:

Definicion. LA reprt:smtlJd6n m forma norm-III de un juego con n jugadores esptcifica los tspacios de estrategias de los jugadores 51 , ... ,5 n y 5115 funciones de ganancias UI ,' . . ,Un . Denotamos este jUtgo con G = {51,' .. ,5,,; tJ l ,' .. ,Un} .

• Aunque hemas indicado que en un juego en forma normal los jugadores eligen sus estrategias de forma simuJtanea, esto no significa que las partes aettien necesariamente de fonna simultanea. Es suJiciente que cada parte elija la acci6n a seguir sin conacer las decisiones de los demas, como serfa aquf eJ caso si los presos tomasen una decisi6n en mementos arbitrarios en sus celdas separadas. Ademas, aunque en este cap(tulo utilizamos juegos en forma normal para rep.. ~tar soJamente juegos estc\tiros en los cua1es los jugadores acruan todos sin conacer las decisiones de los demas jugadores, veJel1los en el capitulo 2 que las representacioncs en forma normal pueden dane en juegos con tomas de decisi6n sucesivas, pera tambihl que una altemativa, la representaci6n en forma extensiva del juego, es a menudo un marco de trabajo mas ronveniente para analiz.ar los aspectos dinAmicos de los juegos. 1.1.B Elimiucion iterativa de estrategiu estrictam.ente dominildal Despu~ de describir un modo de representar un juego, ahora vamos a

esbozar una fonna de resolver un problema de tooria de juegos. Empezamos con el dileirul de los presos, parque es facil de resolver utilizando Unicamente la idea de que un jugador rational no utilium1 una estrategia estridamente dominada. En el dUema de los presos, si un sospechoso va a confesar, selia mejor para el otro ronfesar y con ello ir a la carcel seis meses, en lugar de callarse y pasar nueve meses en prisi6n. Del mismo modo, si un sospechoso va a callarse, para el otm seria mejor confesar y con el..1o set puesto en libertad inmediatamente en lugar de cal1arse y permanecer en prisi6n durante un meso Asf, para el preso i. la estrategia de callarse esta dominada par la de ronfesar: para cada estrategia que e1 preso j puede elegir, la ganancia del prisionero i es menor 51 se calla que si confiesa. (1..0 mismo ocurrirla en cualquier matriz binaria en la cual las ganancias 0, -1, - 6 Y -9 fueran reemplazadas par las ganancias T ,R,P e I respectivamente,

CCOVflqhlcd malen;

Toom btisiCIJ: Jutg05 m frn'PlDI normal y tqllilibrio dt Nash I 5

siempre que T > R > P > /, para plasmar las ideas de ganancias de tentad6n, recompensa, penalizad6n e ingenuidad. De forma INS general:

Definicion. En el juego en forma normal G = {81,·. · ,5 n ; 11.1, ... ,Un} , sean si y si' posibles estrategias del jugador i (por ejemplo, s~ y s~' son elementos de 8 j ) . La estrategia s~ estd estrictamente domin4d4 por lil estrategia si' si pora cadD combinad6n posible de las estrategias de los restantes jugadores 10 ganancia de i por utilizar s; es estrictamente menor que la ganancia de i por utilizaT s~': U; (SI , ... ,8' _1 ,8 ~ 'S ' +I , .. . ,Sn ) < Uj(8 1,' .. ,8 j_ l _8" ,8.+ 1, ... ISn)

(DE)

para cada (SI,' .. ,8; _ 1,8;+ 1,' .. ,Sn) que puede seT construida a partir de los espa· des de estrategias de los otros jugadores 8 1, ... ,8, _I,8 i + l , .. . ,sn _ Los jugadores rationales no utilizan estrategias estrictamente dominadas, puesto que bajo ninguna conjetura que un jugador pudiera fonnarse sobre las estrategias que elegiriln los demas jugadores serfa 6ptimo utilizar tales estrategias. 1 Asi, en el dilema de los presos, un jugador racional elegira confesar, por 10 que (confesar, confesar) sera el resu1tado al que lle-gan dos jugadores rationales, incluso cuando (confesar, confesar) supone unas ganandas peores para ambos jugadores que (callar, callar>. Como el dilema de los presos tiene mUltiples aplicaciones (que induyen la ca· rrera de armamentos y el problema del poliz6n en la provisi6n de bienes publicos) trataremos variantes del juego en los capftulos 2 y 4. Por ahora nos centraremos mas bien en si la idea de que jugadores racionales no uti· lizan estrategias estrictamente dominadas puede condum a la soluci6n de otros juegos. Consideremos el juego abstracto de la figura 1.1 .1.2 EI jugador 1 tiene dos estrategias y el jugador 2 tiene 3: 5 , = {alta, baja} y s,. = {izquierda, centro, derecha} . Para el jugador 1, ni alta ni baJa est~n estrictamente 1 Una cuesti6n complementaria tambi~n tieM inte,~5: si no existe UN conjetura que el Jug.do r i pued. for 'hllr5e sobre bo, ntnItrsia, de los demb jugadoru, que NiS" 6pdmo d t'gir la e5trategia 6j, ,podemos conduir que debe existir otra estraregta que domine estrictamente a 'I? I...t respue5ta esafirm.ltiva, siempiYque adoptemosdefinicioneslldecuadl5 de "ronjeturll" y de "otra estrategia", tmnino$que incluyen La idea de estrlllegia5 mixtasque inltodurimnos en la 5eCd6n 1.3.A. 2 I...t mayor parte de este libTO considen apliaciones econ6micas mas que: ejEmplos abstract05. tanto porque las aplicad ones son de inte,ls par sf mismas como porque, para muchos lectores, las aplicadones son II menudo un modo util de expliar la ~rla subyacente. Sin embargo, cuando inboduzcamos algurw ideas te6ricas Wsicas, recurriremos II ejemplos ab9t1actos sin una inte'p.et.lci6n econ6mica du«ta.

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dominadas: alta es mejor que baja si 2 elige izquierda (porque 1 es mayor que 0), pen:> baja es mejoT que alta si 2 elige derecha (porque 2 es mayoT que cero). JUgadOT 2

Izquierda Centro Derecha Alta

1,0

1,2

0,1

Baja

0,3

0,1

2,0

Jugador!

Figura 1.1.1

Sin embargo, para el jugador 2, derecha es13 estrictamente dominada por centro (porque 2 es mayor que 1 y 1 es mayor que 0), por 10 que un jugadoT Tacional 2 no elegir.! derecha. Asf, si el jugadoT I sabe que el

jugador 2 es radonal, puede eliminar derecha del espacio de estrategias del jugador 2. Esto es, si el jugador 1 sabe que el jugador 2 es radona!, puede comportarse en el juego de la figura 1.1.1 como si cstuviera en el juego de la figura 1.1.2. JugadOT 2

Izquierda Centro Alta

1,0

1,2

Baja

0,3

0,1

JUgadOT 1

Figura 1.1.2 En la figura 1.1.2, baja esta ahora estrictamente dominada poT alta

para el jugador 1, asi que si el jugador 1 es meional (y el jugador 1 sabe que el jugador 2 es rational, por 10 que se aplica el juego de la 6gura 1.1.2) no elegir' baja. POT eso, si el jugador 2 sabe que el jugador 1 es radonaL y el jugadOT 2 sabe que el jugadOT I sabe que el jugadOT 2 es racional (poT 10 que el jugadOT 2 sabe que se aplica la figura 1.1.2), el jugadOT 2 puede eliminaT baja del espacio de estrategias del jugadOT 1, quedando el juego como indica la 6gura 1.1 .3. Pero ahora, izquierda esUi estrictamente dominada por centro para el jugador 2, quedando (alta, centro) como el tEsu1tado del juego. I

CI ,yrl 'lted matena'l

TtoriD basiOJ: Jurgos m fa /nidi normal ytquilibrioth Nash / 7

Jug_dor 2 lzquierd.a Centro Jug_dor 1

Altai 1,0

I 1,2 I

Figur_ 1.1.3

Este proceso se denomina elimil1aci6n iteratim de las estrategiJJs estrictamente dominadas. Aunque est.i basado en la atractiva idea de que los jugadores racionaJes no utilizan estrategias estrictamente dominadas, el proceso presenta dos inconvenientes. En primer lugar, cada paso requiere un supuesto adicional sobre 10 que los jugadores saben acerca de la racionalidad del otro. Si queremos ser capaces de aplicar el proceso para un m.imero arbitrario de pasos. necesitamos supcmer que es informacion del dominio publico que los jugadores son racionales. Esto es, necesitamos suponer no s610 que todos los jugadores son racionales, sino tambi~n que todos los jugadores saben que todos los jugadores son racionales. y que todos los jug_dOlES saben que tod05 los jugadores saben que todos los jugadores son racionales, y as! ad infinitum (v~ase la definici6n formal de inIormaci6n del dominic publico en Aumann (1976». La segunda desventaja de la eliminaci6n iterativa de estrategias estrictamente dominadas es que el proceso conduce a menudo a una predicci6n imprecisa sobre el desanollo del juego. Por ejemplo, coMidereDlos el juego de I_ figura 1.1.4. En este juego no hay estrategias estriclamente dominadas para ser eliminadas. (Puesto que no hemos fundamentado este juego en absoluto. al lector puede parecerJe arbitrario 0 inc1uso patol6giro. Para una aplicaci6n econ6mica en el mismo sentido, vease el caso de ties o mas empresas en el modelo de Coumot inc1uido en la secci6n t .2A.) Puesto que todas las estrategias en el juego sobreviven a 1a e1iminaci6n iterativa de las estrategias estrictamente dominadas. el piOceSO no pel ulile ninguna predicci6n sobre el desanoUo del juego.

e D

A 0,4 4,0 5,3

M 4,0 0,4 5,3 B 3,5 3,5 6,6 Figura 1.1.4

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8 / JUEGOS fSTATICOS CON II\'l'ORMAa6N COMPUTA (c. 1)

A continuaci6n abordamos e1 equilibrio de Nash, u.n concepto de soluci6n que da lugar a predicciones mucho rm.s pil:dsas en una c1asc de juegos muy amplia . Demostramos que el equilibrio de Nash es un concepto de soluci6n mas poderoso que la eliminaci6n iterativa de las estrategias estrietamente dominadas. en el sentido de que las estrategias de los jugadores en un equilibrio de Nash siempre sobreviven a la eliminaci6n iterativa de las estrategias estrictamente d ominadas, cosa que no OCUrTe a la inversa. En los capitulos siguientes argumentaremos que, en juegos mas ricos, incJuso el equilibrio de Nash da lugar a predicciones demasiado imprecisas sobre el desarrollo del juego, poT 10 que definiremos nociones de equilibrio 3u.n m.is poderosas, mas adecuadas para estos casos.

1.1.C Fundamenlacion y definicion del equilibrio de Nash Una manera de fundamentar la de6nici6 n del equilibrio de Nash es el argumento de que si la tooria de juegos ofrece una soluci6n uniea a un deterrninado problema, esta soluci6n debe ser un equilibrio de Nash en el siguiente sentido: Supongamos que la toona de juegos hace una linica predicci6n sobre las estrategias e1egidas por los jugadores. Para que esta predicci6n sea conecta es necesario que cada jugador es t~ dispuest'o a elegit la estrategia predicha por la teoria. Po r ello, In estrategia predieha de cadn jugador debe ser la mejor respuesta de cada jugador a las estrategias predichas de los otros jugadores. Tal predicci6n puede denominarse estrattgicamenteestable 0 self.-enforc.ing, puesto que ninglin jugador va a querer desviarse de la estrategia predicha para~ . Llamal'e l1los a tal predicci6n equilibrio de Nash: Definicion. En el juego en forma nonnal de n jugadores. G = { SI • ... •Sn;UI , ... ,,,,"}, las tStrategias "i, .. . .s ~) fo rman un equilibrio de Nash si, parD raM jugador i , "i es lD mejor respuesta del jugador i (0 al menos una de elias) a iDs

estrategias dt los otros n - 1 jugadores, (8i , ... •81_1"';.1 ' ... ,8~) : (EN)

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10 / JUEGOS ESTATJCOSCON lNfQftMAo6N COMPLETA (C. 1)

Un par de estrategias satisface la condici6n (EN) si la estrategia de cada jugador es la mejor respuesta a la del otto, es derir, si ambas gananCas estan subrayadas en la casilla COl iEspondiente de la matriz binaria. Por ella (B,D) es eJ Unico par de estrategias que satisface (EN). La mismo ocurre para <confesar, confesar) enel dilema de los presos y para (alta, centro) en la 6gura 1.1.1 . Estos pares de estrategias son los Unicos equilibrios de Nash de estos juegos.'

leD A 0,'1. '1. ,0 5,3

M '1.,0 a,i 5,3

B 3,5 3,5 M Figura 1.1.5 A continuaci6n tratamos la relaci6n entre el equilibrio de Nash y la eliminaci6n iterativa de las estrategias estrictamente dominadas. Reecrdemos que las estrategias de equilibrio de Nash en el dilema de los presos yen la figura 1.1 .1-<conlesar, conl...r) y (alta, centro) respectivament. son las (micas estrateg;as que sobreviven a la eliminaci6n iterativa de las estrategias estrictamente dominadas. Este lcsultado puede generalizarse: si la e1iminaci6n iterativa de las estrategias estrictamente dominadas elimina todas las estrategias menos las estrategias ("i, ... ,,, ~), estas estrategias constituyen el Unico equilibrio d. Nash del juego. (Vea5O.1 apffidice para una demostraci6n de esta afirmaci6n.) Sin embargo, puesto que la e1iminad6n iterativa de las estrategias estrictamente dominadas con frecuencia no elimina ~s que una combinaci6n de estrategias, es del maximo intets e1 hecho de que el equilibrio de Nash sea un concepto de soluci6n mH pcderoso que la eliminaci6n iterativa de las estrategias estrictamente dominadas en el siguiente sentido: si las estrategias "i, .. .'''~ ronstituyen un equilibrio de Nash, sobreviven a la eliminaci6n iterativa de las estrategias estrjctamente dominadas (veast apendice para una demostraci6n), pero pueden existir estrateg;as que sobrevivan a la eliminaci6n iterativa de estrategias estrictamente dominadas pelO que no formen parte de ning(m 4 Esta aIirnv.d6n e COl ,ectal indusosi no limiwws nut'Stn. .. tmci6n.l equilibrio de Nash en eib .~ puns, pioN Jto que en atos juegos no exi*n equilibrios d~ Nash en ub atqpas

mlxtu. Waseel ejuclcio 1.10.

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12 / JUEGOS fSTATfCOS CON lNfORMA06N CQMPLETA. (c. 1)

Pat

6pera Boxeo 6pera

2,1

0,0

Boxeo

0,0

1,2

Chris

lA batnlla de los seXDS Ambos, (6pera, 6pera) y (boxeo, boxeo) son equilibrios de Nash. Hemos argumentado antes que si la teona de juegos ofrece una unica so1uci6n a un juego, 6ta debe ser un equilibria de Nash. Este argumento ignora 1a posibilidad de juegos en los cuales la teoria de juegos no ofrece una soluci6n Unica. Tambi~n hemos argumentado que si se llega a un acuerda sabre romo comportarse en un juego, las estrategias establecidos en eI acuerdo deben ser un equilibrio de Nash, pero este argumento, al igual que el anterior, ignora la posibilidad de juegos para los coales no se aJcance un acuerdo. En algunos juegos con mUltiples equUibrios de Nash sobresaJe un equilibrio como la soluci6n mcis atractiva del juego. (Grnn parte de la teona de los capftulos posteriores constituye un esfuerzo para identificar este equilibrio mas atractivo en diferentes dases de juegos.l Asf, la existencia de multiples equilibrios de Nash no es un problema en sf mismo. Sin embargo, en la batalla de los sexos, (6pera, 6pera) y (boxeo, boxeo) parecen iguaJrnente atractivos, 10 que indica que pueden existir juegos para los males la teona de juegos no ofrece una soluci6n Unica y en los que no se llegan. a ning(m acuerdo.6 En tales juegos, el equilibrio de Nash pierde gran parte de su atractivo como predicci6n del juego.

6 En 1a secd6n 13.8 desCiibimO$ un b!'a!' equilibrio de Nash (que incluye estrategias mixw) en la baall. de 10$ sexas. AI contrario que (6pua.6pm1) y (boxeo,boxeo), e5te letceJ equilibrio ohece ganancias si.mit:ric&s, COUIO se pndria esperar de la soIuci6n unk•• un juego simetrico. Par otro lado, e1 teJeft equilibrio e5 tambi~ lneficien~, 10 cuaJ puede influir en contra dlt que SIt 1ltgue a un acuerdo para alcanzarlo. Cualquiera que sea nUe5lro juico sobre los equilibrios de Nash en ta NAna de 106 .sexos, la cue5ti6n sigue en pie: pueden existir ~. egos pua los cuall!tl t. teeN fa de juegos no ofruca una 501ud6n unka y para 10& que no se IWgue a nI.ngdn acuerdo.

COl ynghtcd rnal( nal

TtoniJ btisiCJI: I"egos trl fonnill normJll Y tquilibrio dt Nash I 13

Apendice

Este a~dice contiene demostradones de las dos proposiciones siguientes, que fueron enunciadas de manera informal en la secci6n lot.C. Saltarse estas demostraciones no impediri de forma sustancial la comprensi6n del resto del libra. Sin embargo, para aquellos lectores no acostumbrados a la manipuJad6n de definiciones formales y a la construro6n de demostraciones, el dominic de estas demostraciones ronstituye un vaIioso ejercicio. Proposicion A. En el juego en forma nOnnDl con n jugadores G = {51' . .. ' S,,;Ut, . .. ,u"} , si ta e/iminacion iteratiua de las estrategias estrictRmente dom;· naw eUmina todas las estrategias menDS las (si , ... , s~), estas ultimas estrategias

cmlstituyen ellitlico equilibrio de Nash del juego. Proposicion B. En eI juego en forma normal con n jugadores G = {SI, . .. ,S,,; 'Ul , ... ,'U" } , si las estrategias (sj , . .. ,s ~) fomum un equilibrio de Nash, entonces sobreviven a la eliminaciOn iterativa de los estrategias estrictamente dominadas.

Puesto que la proposici6n B es m<is loci! de demostrar, comenzamos por ella para entrar en materia. EI argumento es por contradicci6n. Esto es, vamos a suponer que una de las estrategias en un equilibrio de Nash es eliminada por eliminaci6n iterativa de las estrategias estrietamente dominadas, y despues demostraremos que llegariamos a una contradicci6n si este supuesto ocurriera, demostrando as{ que el supuesto debe ser falso, Supongamos que las estrategias (si , . .. ,s~) forman un equilibrio de Nash del juego en fonna nonnal G = {51, .. . ,S,,; U I , ... ,Un}, pero supan-

gamos tambi~n que (tal vez despues de que algunas estrategias distintas de (si, . .. ,s~) hayan sido eliminadas) s; es la primera de las estrategias (si, . . . ,s~) en ser eliminada por ser estrictamente dominada. Entonees, debe existir una estrategia ..~' que no ha side aun eliminada de 5. que domina estrictamente a .;. Adaptando (DE) tenemos

(1.1 .1)

para cada (" I, ' .. ,Si_I,Si+l, . .• ,Sn) que puede ser construida a partir de las estrategias que no han sido aun eliminadas de los espados de estrategias de los ohos jugadores. Puesto que ..; es la primera de las estrategias de

Copynglltcd matenal

14 / jur:cas ESTAncos CON lNfORMAa6N COMPtErA (C. 1)

equilibrio en ser eliminada, las estrategias de equilibrio de otros jugadores no han sido eliminadas, por 10 que una de las consecuencias de (1.1 .1) es (1 ,1.2) Pem (1.1.2) os contradicha por (EN): . j debe ser una mejor respuesta a ' tir ' una es trategla '" " I' " " "1- 1''';+1' ' ' ' ,"n , por I0 que no pu ede exlS "i que domine estrictamente a "i . Esta rontradicci6n rompleta la demostraci6n. Despu6 de haber demostrado Ia pmposici6n 8 hemos ya demostrado parte de la proposici6n A; 10 Unico que nos queda demostrar es que si la eliminaci6n iterativa de estrategias estrictamente dominadas e1imina todas las estrategias excepto ("i, ... '''~)' estas estrategias fonnan un equi· librio de Nash. Por la proposici6n B cualesquiera otros equilibrios de Nash habrlan sobrevivido tambibl. por 10 que este equilibrio debe ser uniro. Suponemos aqu! que G es finito. EI argumento es nuevamente por contradicci6n. Supongamos que la eliminaci6n iterativa de estrategias estrictamente dominadas elimina lodas las estrategias excepto ("i, ... ,., ~), petO estas estrategias no forman un equilibrio de Nash. Entonces debe existir un jugador i y alguna estra· tegia factible "i en Si tal que (EN) no se cumpla. pero ", debe haber sido estrictamente dominada por alguna otra estrategia si en alg1in punto del PIOCeso. Los enunciados formaJes de estas dos observaciones son: existe en Sj tal que (

(1 ,1.3)

y e.xiste ,,~ en el conjunto de estrategias del jugador i que queda en algfut punto del proceso tal que (1 ,1.4)

para cada (" 1, ... •" ;-1,",+1, .. . ....n) que puede ser construida a partir de las estrategias que quedan en los espacios de estrategias de los otros jugadores en ese punto del proceso. Puesto que las estrategias de los otros jugadores (si. · .. "'i- I"'i+1 , ... ... ~) nunca son eliminadas, una de las implicaciones de (1 ,1.4) es

I •

(1.1.5)

•

COpy rig lied rnatcn:1 I

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18 / Jl/BXlS mAncos CON INRJRMAo6N COMPLETA (c. 1)

tentaci6n de aumentar la producci6n queda reducida justa 10 preciso para que cada empu sa decida no hacerlo, a1 darse cuenta de que con ello caera el piCcio de equilibrio de mercado. Vhse el ejercicio 1.4 para un an.ilisis de romo la pu sencia de un mimero n de oligopolistas afecta al dilema planteado en equilibrio por la tentaci6n de aumentar la producci6n y el temor a reducir el predo de equilibrio de mercado. En vez de hallar de fonna algebraica el equilibrio de Nash del juego de Coumot, se podria hallar grificamente del modo siguienle: la ecuaci6n (1.2.1) proporciona la mejor respuesla de I. emp" -a i • la estrategia de equilibriode la empresa j, q; . Un razonamiento analogo conduce a la mejor respuesta de la emprcsa 2 a cualquier estrategia arbitTaria de la empresa 1, y la mejor respuesta de la emplESa 1 a cualquier estrat'egia arbitraria de la empresa 2. Suponiendo que la estrategia de la empresa I cumple ql < a - c, la mejor respuesta de la empresa 2 es

del mismo modo, si qz es menor que a - c, la mejor respuesta de la empresa les

(O, QsC)

(0, (. _ c) / 2)

«(jo _ C) / 2, 0)

(jo-c, O)

Figura 1.2.1

COl ynghtcd rnat( nal

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22 / JUECai E5TATICOSCON lNfORMA06N COMPLETA (c. I)

confusiones, puesto que existen diferencias entre los juegos de DEi hand y Coumot y en el comportamiento de equilibrio en estos juegos, petO no existe diferencia en el concepto de equilibrio utilizado en ambos juegos. En ambos el concepto de equilibrio utilirndo es eI equilibria de Nash definido en

la secci6n anterior. ConsidereOlos el cago de productos diferenciados. (Para el caso de productos homogeneos vease eI ejucido 1.7.) Si las emptE9S 1 y 2 eligen los plcdos PI Y P2 rcspectivamente, la cantidad demandada a la empicsa i por los ronsumidores es

donde b > 0 refleja hasta qu~ punto eI produclo de la empresa i es un sustituto del producto de la emploa j. (Esta es una fund6n de demanda irreal, pueslo que la canlidad demandada del producto de I. empresa i es positiva inclll50 ruando la empusa i fija un piecio arbitrariamente alto, siempre que la empiesa j tambien fije un precio suficientemente alto. Como se vm, el problema 5610 tiene sentido si b < 2.) Como en la discusi6n del modelo de Coumot, suponemos que no existen costes fijos de producci6n y que los costes marginates son constantes e iguales a c, donde c < a y las cmplEY'S deciden (por ejemplo, eligen los predos) simuJtaneamente. Como antes, Ja primera tarea en el proceso de haUar e1 equilibrio de Nash es traducir el problema a un juego en forma normal. Tenemos dos jugadores nuevamente. Sin embargo, esta vez las eslTategias de que dispone cada emph -a son los difaerttes precios que pueden fijar, en vez de las diferentes cantidades que pueden producir. Vamos a suponer que los precios negativos no son factibles, pero que cua1quier predo no negativo 10 es; por ejeillplo, no existe ninguna restricci6n a los precios

exp,esados en centimos. AsL e1 espacio de eslralegias de cad. empresa puede ser nuevamente replucntado como 8, = (0,00), los nfuneros reales no negativos, y una estrategia tfpica 3j es ahora la decisi6n de un precio Pi ~ O. Vamos a suponer nuevamente que la funci6n de ganancias de cada emp" -a es simplemente su beneficio. EJ beneficio de la empresa i ruando elige el precio Pi y su rival elige el predo Pj es 1rj(p j ,Pj) = qi(Pi,Pj )[Pi - c) = (a - Pi + bpjlLPi - c).

Asi, el par de precios (Pi ,Pi) constituye un equilibrio de Nash si para cada

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Apliau:icmts I 25

{ w. +2 W. }= F (W. +2 W.)

Prob{w,elegtdo } = Prob x < y

Prob{ w.elegido} = 1 _ F

(w. ; w.) .

Asi, el acuerdo salarial esperado es w,' Prob{w.elegido}+w.· Prob{w.elegido} =

w. F(w, ;w.) +w. ' [1- F(w. ;w' )] .

Supcmemos que la empresa quiere minimizar el salario esperado impuesto por el <trbitro y el sindicato quiere maximizarlo. Si e) par de ofmas (w; ,w:> ha de constituir un equilibrio de Nash del juego entre la emplcsa y el sindicato, tv; debe ser una soluci6n del2

. .F(w.+w:) ..[1- F(w, + w:)] 2 + w. 2

~:nwe

y w; debe ser una soluci6n de

~ w;.

F(w:;w.) +w. ' [1- F(w:;w.)] .

Asi, e1 par de ofertas salariales (w; ,w;) debe sec una soluci6n de las condiciones de primer orden de estos problemas de optimizaci6n:

(tv: _ tv;> . ~f (tv;

;w: )= (tv; ;w; ) F

(w; _w;). ~f (w: ;w:) [1- F(w; ;w:)] . =

(Posponemos la consideraci6n de si estas condiciones de primer orden son suficientes.) Puesto que los thminos de 1a izquierda de estas condiciones de primer orden son iguales, los t~os de la derecha deben asimismo ser iguaJes, 10 que implica que \2 A1 formulM Los problemas de optimizaci6n de la mtph " y el sindiQto hernos supuesto que Ia oferta de Ia empil5a es tMfIOr que Ja oferta delsindicato. Es inJnE',diato demostrar qUt' esta desiguaJdad 5e debe cumplir en equi[jbrio.

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26 / JUEGOS fSTAncos CON 1NR)ttMAa6N COMPUTA (C. 1)

(1.2.2) esto es, la oiel ta media debe ser igual a la mediana del acuerdo preferido por eJ 'rbitro. Sustituyendo (Ill) en cualquiera de las conditiones de primer orden obtenemos

u ,= . • • ( au ....... )' I

w· -

(I .2.3)

'2'

esto es, la distancia entre las oCe tas debe ser igual a la inversa del valor de la funci6n de densidad evaJuada en ]a mediana del acuerdo preferido por el arbitro. Consideremos elsiguiente ejeutpl0, que ofrece un resultado de est.itica comparativa que resulta intuitivamente atractivo. Supongamos que el acuerdo preferido por el arbitro se distribuye nonnalmente con media m y varianza u'l, en cuyo m oo la funci6n de densidad es f( x} =

"2~'" exp { - Z!' (x - m)' } .

(En este ejemplo, se puede demostrar que las condiciones de primer orden

anteriormente dadas son suficientes.) Puesto que una distribuci6n normal es sim~b ica con respecto a su media, la mediana de la distribuci6n es igual a su media, ffl. Por 10 tanto, (1.2.2) se convierte en wI!:• + W,•

-- m

Y (I.2.3) se convierte en

w; - w== f(~) = ./21fu2, por 10 que las ofertas de equilibrio de Nash son

w; =m +VT

w; =m-V T ·

As!, en equilibrio, las ofertas de las partes se centran alrededor de la esp"'.nza del acuerdo preferido por eJ 6rbitro (es decir, m), y la distantia entre las ofertas aumenta con la incetidumbre de las partes aceJca del acuerdo preferido por eJ arbitro (es decir, .,-') .

•

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Teon'o oVQnzada: Estrattgins mixtas IJ uistmcia dt tquilibrio I 29 I

max Gv(G) - Gc,

O<G<oo

para la cualla condici6n de primer orden es (1.2.7)

La comparaci6n entre 0 .2.6) y (1.2.7) mueslTa" que G· > G" : en el equilibria de Nash se crian demasiadas cabras com parada con el 6ptimo sociaL La condici6n de primer orden (1 .2.5) refleja los incentivos que tiene un aldeano que ya esta criando g. cabras pero considera aftadir una mois (0, de forma mas precisa, una pequei\a fracci6n de una mas). El valor de la cabra adicional es v (g; + g=- i ) Y su coste es c. El dana a las cabras ya existentes del aldeano es V' (gi + g:j) por cabra, a 9iV' (gi + g~) en total. Los recursos comunales estan sobreutilizados porque cada aJdeano considera s610 su propia situaci6n, y no el e(ecto de sus decisiones sabre los otros aldeanos; de aquIla presencia de G· v'(G·)/ n en (1.2.6), pero de O··v'(O··) en (1 .2.7).

1.3 Teoria avanzada: Estrategias mixtas y existencla de equilibrio

l.3.A Estrategias mixtas En la secci6n I.I.e hemos definido Si como el conjunto de estrategias con que cuenta el jugador i , y la combinaci6n de estrategias (si ,s~) como un equilibrio de Nash si, para cada jugador i, iff es la mejor respuesta del jugador i a las estrategjas de los otros n - 1 jugadores: I

• •

para cada estrategia 8, en St. SegUn esta definici6n no existe ningim equilibria de Nash en el siguiente juega conocido como el juego de. las monedas (mDtching pennies). stoque v < o. Del mismo modo, 0 > v (G-) > tlIC U ), pM dO que ti' < O. F"lNlmente, G- I n < G-- . AR, eJ temuno de la izquierdJI de ( 1.26) t'5 estrictamenle mayor que el thmino de 1. izquirerda de (1.27), 10 cual n imposiblt' dado que ambos son igua1es II (elO. 13 Supongamos, a la Invetsa,que a - $" a u . EnIona!5 v(a· ) ~ v(G··), p\'

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30 I JLIEGOS ESTATlcos CON lNR:>ilMAo6N COMPtETA (c. 1)

Jugador 2 Cara Cruz Cara -1,1 1, - 1 Jugador 1 Cruz 1,- 1 - 1,1

El jutg. de las monedas En este juego el espacio de estrategias de cada jugador es {cara, cruz} , La historia que expJica las ganancias en Ia matriz binaria es la siguiente: imaginemos que cada jugador tiene una moneda y debe elegir mostru una cua de la moneda, Si las dos monedas coinciden, esto es, ambas muestran la misma cara, el jugador 2 gana la moneda del jugador 1. Si las caras de las monedas no roinciden entonces el jugador 1 gana la moneda del jugador 2. No existe ning1l.n par de estrategias que pueda cumplir (EN), puesto que si las estrategias de los jugadores coinciden (cara, cara) o (cruz, cruz), e1 jugador 1 prefiere cambiar su estrategia, mientras que si las estrategias no coinciden (cara,cruz) 0 (cruz, cara>' es el jugador 2 quien prefiere cambiar su estrategia. El rasgo distintivo de este juego es que a cada jugador Ie gustarla adivinar la jugada del otro y que el otro no adivinase la suya. Versiones de este juego tambi&l se dan en el p6quer, el bPisbol, en las batallas y en otras situaciones. En el p6quer, la cuesti6n wloga es con qu~ frecuencia tira.rse un farol: si se sabe que el jugador i nunca se lira faroles, sus oponentes pasarin siempre que i apueste de forma agICsiva, haciendo que a i Ie oonvenga tirarse un faro! de ruando en cuando. Por otra parte, tirarse faroles con demasiada bec::uencia constituye una estrategia perdedora. En bt!isboI, supongamos que ellanzador puede lanzar Ia bola o bien de forma r4pida 0 bien describiendo una curva, y que el bateador puede darle a cualquiera de elias si (y s610 si) la prev~ coiiectamente. De forma similar, en una batalla, podemos suponer que los atacantes pueden elegir entre dos objetiv06 (0 dos rutas, como por tierra 0 por mar), y que la defensa puede rechazar cua1quiera de los dos ataques si (y 5610 si) 45te es previsto de forma conecta. En cualquier juego en el cua1 a cada jugador Ie convenga adivinar Ia jugada del otro y que el otro no adivine Ia suya, no m.te ning1l.n equilibrio de Nash (al menos tal como este concepto de equilibrio se defini6 en la secci6n 1.1.0, porque la so1ud6n de tal juego induye necesariamente

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34 / }UICOS mAncos CON INfORMAo6N CO~PLETA (c. 1)

cada jugador ruenta con dos estrategias puras tiene un equilibrio de Nash (que posiblemente incluya estrategia s mixtas). FinaJmente, enunciamos y discutimos el teorema de Nash (1950), que garantiza que cualquier juego finito (es decir, qmIquier juego con un nUmero finito de jugadores, cada uno de los cuales cuenta con un n1imero finito de estrategias puns) tiene un equilibrio de Nash (que posiblemente incluya estrategias mixtas). Recordemos que la definici6n de equilibrio de Nash dada en la secci6n 1.1.C garantiza que la estrategia pun de cada jugador eonstih.lye una mejor respuesta a las estrategias puras de los restantes jugadores. Para ampliar 1a definici6n de modo que incluya estrategias mixtas, necesitamos simplemente que la estrategia mixta de cada jugador sea una mejor respuesta a las estrategias mixtas de los otros jugadores. Puesto que cualquier estrategia pura puede ser reptesentada como la estrategia que asigna una probabilidad cera a todas sus otras estrategias puras, esta definici6n ampliada induye a la anterior. La forma de hallar la mejor respuesta del jugador i a una estrategia mixta del jugador j se basa en 1a inteq>retaci6n de la estrategia mil<ta del jugador j como representaci6n de la incertidumbre del jugador i sobre 10 que had el jugador j. Continuamos con el juego de las monedas como ejemplo. Supongamos que el jugador 1 eiCe que el jugador 2 elegira cara con probabilidad q y cruz con probabilidad I - q; esto es. I supone que 2 elegit. 1a estrategia mixta (q,1 - q). Baja este supuesto, las ganancias esperadas del jugador I son q . ( - I) + (1 - q) . I = 1 - 2q eligiendo car. y q·1 + (1 - q) . (-I) = 2q - I eligiendo cruz. Puesto que I - 2q > 2q - I si Y 5610 si q < 1/ 2, 1a mejor respuesta en estrategias puras del jugador 1 es cara si q < 1/ 2 Ycruz si q > 1/ 2, y el jugador I sera indilerente entre eara y cruz si q = 1/ 2. Nos quedan por considerar las estrategias mixtas del jugador 1. Sea (r,1 - r) 1a estrategia mixta en 1a cuaI e1 jugador I elige cara con probabilidad r. Para cada valor de q entre cern y uno, ca1cuJamos elOos) valor(es) der, denotado(s) por r" (q) tal que (r.l-r) sea una mejor respuesta del jugador I a (q,1 - q) del jugador 2. Los lesultados se recogen en 1a 6gura 1.3.3. La ganancia esperada del jugador I aI elegir (r,1 - r) cuando 2 elige (q,1 - q) os

rq ·( -1)+r(1-q) ·1 +(1-r)q .1 +(1- r)(1-q) ·(-1) = (2q-I)+r(2 -4q), (1.3.1)

donde rq es 1a probabilidad de (eara, cara). r(1 - q) la probabilidad de

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38 / JUECOS fSTATlOOS CON L'l'fORMAa6N CO!o(J>l£T.... (c. 1)

de cada jugador ts una mejor respuesta a la estralegia mixla del olro jugador: (13.4) y (135) deben cumplirse.

,,•. •............•.••. •.••

(Cara) 1

• ••• • •• •

, •

!•

• • •,• •

, ••

•

..........._.......... ..•

(Cruz)

1/ 2

(Cara)

(Cruz)

Figuro 1.3.4 r (Cara) 1

•

, ••

i •

112

,-..-.-.. ---.-- .. - .... -..... !

i, q'(r) •• •

• ••• •• •

• ••"

(Cruz)

l" . . . . . ._

_- - ' - - - _

1 (Cruz)

(Caro)

Figura 1.3.5 A continuad6n, aplicamos esta definid6n al juego de las monedas y a

I. bat.n. d.los sexos. Para ello. utilizamos 1a representaci6n gratica de 1a

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42 / JLJEGa>ESTAnCOSCON INFORMA06NCOMPl£TA (c. 1)

JugadoT 2 Izquierdo Derecha Alta

%, -

Y, -

Baja

W,-

JUgOdOT 1

Figura 1.3.8 En el caso (i) para el jugador 1 alta domina estrictamente a baja, y en el case (ii) baja domina estrictarnente a alta. Recordemos de la secd6n previa que una estrategia es estrictamenle dominada si y s610 si no existe una conjetura que eJ jugador i pudiera formarse (sobre las estrateg:ias que elegWn los demas jugado....) tal que hidera 6ptimo e1egir ' ;. As!, si (q,l - q) es una eslTategia mixta del jugadOT 2, donde q es la probabilidad de que 2 e1ija izquierda, en eI caso (i) no existe un valOT de q tal que baja sea 6ptima para el jugador 1, Y en el caso (li) no existe un valor de q tal que alta sea 6ptima. Si (r,l - r) denota una estrategia mixta del jugador 1 en la que r es la probabilidod de que 1 clija alta, podemos TepIESentaT las couespondencias de mejor respuesta para los casos (i) y (ii) como en la 6gura 1.3.9. (En estos d05 casoslas conespondendas de mejor respuesta son de hecho funciones de mejor respuuta, puesto que no existe un valor de q tal que el jugadoT 1 tenga mUltiples mejores respuestas.) r

(Alta) 1 ~...=..

_=.= ....=...=...=....=...=... =_..= ...

r (Alta) 1 ~========,

•

-'Baja)

+------

(Baja)

r'(q) - """ " " " " - - ' " ' ' ' '

...•.....

1 q

Ozquierda)

(Derocha)

1 q

(1zquierda)

(Derecha) Usn (jiJ

Figun 1.3.9

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46 / JUEGOS FSTATICOS CON lNRJRMAa6N COMPI..ETA (C. 1)

de los n jugadores del modo siguiente: ronsideramos una combinaci6n arbitraria de estrategias mixtas <Pt , ... ,Pn). Para cada jugadOT i derivamos Ia mejor I1!Spuesta(s) de i _las estr_tegi_s mixtas de los olTos jug_dores (PI, ... ,Pi -I ,Pi+I , · .. ,Pn). Construimos a continuaci6n el conjunto de todas las combinaciones posibles de <licha mejor respuesta para cada jugador. (Formalmente derivamosla collespondencia de mejor respuesta de cada jugador y luego constntimos el producto cartesiano de estas n cOiiespondencias individuales.) Una combinaci6n de estrategias mixtas (Pi , ... ,p~) es un punto 5;0 de esta coiicspondencia si (Pi, . .. ,p;) pertenece al conjunto de todaslas combinaciones posibles de las mejores respuestas de los jugadores a (pi, ... ,p~) . Es decir, para cada i, pi debe seT la mejor (0 una de las mejores) respuesta(s) del jugador i a (Pi , .. · ,PI-I ,pi+l ' " .,p~), pero esto es precisamente la afirmaci6n de que (Pi, ... , p~) es un equilibrio de Nash. Con ello, completamos Ia primer. etapa. La segunda etapa utiliza e1 hecho de que I. cOliespondencia de mejor respucsta de cada jugador es continua, en un sentido adecuado del

tmruno. E1 papel de I_ continuid_d en e1 teorema de punto fijo de Brouwer puede observ.rse modificando I(x ) en I. figur. 1.3.13: si f( x ) es discontinua, no tiene necesariamente un punto tijo. En la figura 1.3.14, porejEmplo, f (%) > % para toda % < xl, pero J(x') <:r! para x > x'. 17

If------,

, ?

••J

......., •••

fl;zl

. •

Figura 1.3.14 'Para ilustrar las diferencias entre I(x ) en la figura 1.3.14 y la couespondencia de mejor respuesta de un jugador, consideremos e1 caso (iii) 17 El valor de / (%/) Ie india con ~I dm.do neg:o. El drcu.Io bIAnco indica qur f(%' l no induyente valor. La linN. discmtinUl!e induye 6nkamente para indicar que ambos drrulos R d&n CUAndo:a: e ~ ; no indk:a vakMes adiciona~ de f Ir).

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50 I JUECOS I5TAncas CON INJOR.."lAa6N COMPL£TA (c. I)

un programa electoral (es decir, un punto en la linea entre x = 0 y :t = 1). Los volantes observan el programa de los candidatos y luego cada votante vota por el candidato cuyo programa se acerque mas a su posici6n en e1 especho. SL por ejempla, hay dos candid_tos y eligen programas = 0.3 YX2 = 0,6, tooos los votantes a la izquierd.a de:t = 0,45 votan al candidato 1, Y todos los que est.tn a 1a derecha votan al candidato 2.. y eJ candidato 2 gana la elecci6n con un 55 par dento de los votos. Supongamos que a los candidatos 5610 les importa ser elegidos; en realidad, su programa no les inteiWd. para nada. Si hay d05 candidatos, icial es el equilibrio de Nash con estrategias puras? Si hay hcs candidatos, indfquese un equilibrio de Nash con estrategias puras. (Supongamos que cuando varios candidatos eligen el mismo programa, los votos obtenidos por ese programa se dividen a partes iguales, y que los empates entre los que consiguen m~s votos se resuelven a cara 0 cruz.) Vease Hotelling (1929) paTa un primer modelo

similar. 1.9 tQu~ es unaestrategia mixta en unjuego en forma normal? t Qu~es un equilibrio de Nash con estrategias mixtas en un juego en forma nonnal? 1.10 Demuesliese que no existen equilibrios de Nash con estrategias mixlas en los bes juegos en forma nonnal anaHz.ados en la secci6n 1.1: El dilema de los presos, el de la figura 1.1.1 Yel de I_ figura 1.1 .4.

1.11 HaU... el equilibria de Nash can estrategi_s mixtas del juega del ejercicio 1.2. 1.12 H.tllese el equilibrio de Nash con estrategias mixtas del siguiente juego en forma normal:

A 2,1 0,2

B 1,2 3,0 1.13 Dos emprC : is ona:en un puesto de trabajo cada una. Supongamos que (par rarones que no d.iscutimos aquf. pelO que se refieren al grado de importancia de que se ocupe el puesto) las empresas ofrecen salarios diferentes: la empresa i ofrece el salario W i, donde (1 / 2)tut < llI2 < 2tL11, . lmaginemos que hay dos trabajadores, cada uno de los cuales 5610 puede

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54 I JUECOS olNAMIcos CON INFORMAo6N COMPLETA (c. 2)

dor 2 toma su decisi6n ron 10 que roncluye e1 juego. El juego de la granada pertenecea esta dose, como el modelo de duopotiodeStackelberg (1934) y el modele de Leontief, (1946) de determinaci6n de salarios y myel de em· pJeo en una empresa ron fume implantati6n de un sindicato. Definimos el resultado por inducci6n hacia arras y consideramos brevemente su relaci6n con el equilibriode Nash (posponiendo la discusi6n de esta relaci6n hasta la secci6n 2.4). Resolvemos los modelos de Stackelberg y Leontief, utilizando este criterio. Derivamos tambi~n un resultado aniUogo para el modelo de negociaci6n de Rubinstein (1982), aun ruando ese juego tiene una sucesi6n potencialmente infinjta de tiradas y, por tanto, no pertenece ala clase de juegos ronsiderada.

En la secci6n 2.2 ampliamos la elase de juegos analizada en Ia secci6n anterior. primero ambos jugadores 1 y 2 deciden simultineamente, acto seguido los jugadores 3 y 4 observan las decisiones de 1 y 2 Y finaLmente, los jugadores 3 y 4 dedden simultmeamente con 10 que conduye el juego. Como ya se explicara en la secd6n 2.4, la simultaneidad de las decisiones signifiea en este contexto que estos juegos son de informaci6n imperfecta. Definimos el result.de pe.freto en subjwegos de tales juegos, que es la extensi6n natural de la inducti6n haoa arras. Resolvemos los modelos de Diamond y Dybvig (1983) de p4nico bancario, un modelo de aranceles y de competencia internacional imperfecta y el modele de los tomeos de Lazear y Rosen (1981), utiJizando este criterio. En la secci6n 2.3 estudiamos los jllegos repetidos, en los cuales un grupo determinado de participantes juegan repetidamente un detetIltinado juego, habiendo observado los resultados de las anteriores rondas del juego antes de iniciar la siguiente. El tema del anAlisis es que las arnenazas y las promesas (cre(bJes) sobre el comportamiento futuro pued.en afec!ar el comportamiento pi"" nte. Definimos el ,",uilibrio de Nash perfecto en subjuegos para juegos iepetidos y 10 re1acionamos con los resultados de la inducci6n hacia alris y de la perfecci6n en subjuegos definidos en las secciones 2.1 y 2.2. Enunciamos y demostramos el teorema de tradici6n oral para juegos iepetidos infinitamente y analizamos el modelo de Fried· man (1971) de colusi6n entre duopolistas de Coumot, el de Shapiro y Sti..,glitz (1984) de salarios de efioencia y eI de politica monetaria de Sarro y Gordon (1983). En la secd6n 2.4 pir tor litamos las he.tiamientas neeesarias para analiZa! en general un juego d.in4mico con informaci6n completa. ya sea con informaci6n perfecta 0 imperfecta. Definimos la representaci6n de un juego en forma extensiva y 1a relacionamos ron la reptesentaci6n en fonna

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58 / JU£GOS DINAMlcos CON lNfORMACION COMfl£fA (C. 2)

jugador Il"eve que si el juego llega ola segundo etapa el jugodor 2 elegira I ', 10 que Ie proporrionara una ganancia de 1. La elecci6n del jugador I en la primera etapa es, por tanto, entre una ganancio de 2 por medio de I o una ganancia de 1 a trave de D , de f01D1a que 1 es 6ptimo. I

o 2

Este argumento establea! que eI resultado por inducci6n h_cia alris eo que el jugodor I escoge I en 10 primera etapa y se _caba el juego. Aun cuando el usc de la inducci6n hada atr.is establece que el juego se acaba en Ia primera etapa, una parte impot tante del argumento trata de 10 que ocurrirfa si eI juego no se ocabase en esta primera etapa. En Ia segundo etapa, por ejemplo, cuando eI jugador 2 preve que si el juego llega _ I_ ten::era etapa el jugador 1 elegini l", 2 est4 suponiendo que 1 es racional.

Este supuesto puede paiCcel inconsistente con el hecho de que 2 tiene 10 oportunidod de decidir en 10 segundo etapa s610 si I se desvfo del lesultado obtenido par inducci6n hacia atnls. Es decir, puede palea!r que si 1 juega Den la primera etapa, 2 no puede suponer en la segund_ etapa

que 1 sea racional, pero esto no es asi: si 1 juega D , en la primera etapa esta claro que no puede ser informaci6n del dominic pUblico que los dos jugadores sP'n racionales, peto existen razones para que 1 escogiera D que no contradicen eI supuesto de 2 de que 1 es racional.3 Una posibilidad ~ que sea informaci6n del dominio pUblico que eI jugador 1 es radonal J Rewcdeu .... de 11 dj"'''i6n.d'E'' elimirw:i6n iterativade las strateg.iueMriCWnente

dominadas (m" le:c!6n 1.1.8), que es inIotuwrn del dominic pUblico que los jugadoro son radonaln si todo. to. jupdores mn raciona1es, y Ii todo. los jugadores saben que todos los jug.dOlu son Tllcionales Ysi todm,105 jtlgadorU sabrn que tod.oe los jugadOiE'S sabeo que todoe b jugMOtu mn rKionaln, etc. lid infinitum_

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62 I JUEC.()5 DlNMtlCOS CON INfORMAo6N COMPLETA (c. 2)

empresas deciden simultaneamente.s Por 10 tanto, que la empresa 1 sepa que la empreu 2 conoce ql va en contra de la emplE sa 2.

2.1.C Salarios y nivel de empleo en una empren. con fuerte implantaci6n sindical En e1 modelo de Leontief, (1946) de relaci6n entre una empresa y un tinico sindicato (es decir, un sindicato que tiene el poder de monopoHo de ofrecer la fuerza de trabajo a la emprcsa), el sindicato tiene poder exclusivo sobee los salarios, pem la empresa tiene el control exclusivo del nivel de empleo. (Conc1usiones cualitativamente similares emergen en un modele mois realista en el cual la emph=a y el sindicato negocian los salarios. pem la empresa retiene el poder exclusivo sobre el nivel de empleoJ La fund6n de utilidad del sindicato es U(w,L), donde w es el salano que el sindicato pide a la empresa y L es el nivel de empleo. Supongamos que U(w,L) es creciente en los dos argurnentos w y L. La funci6n de bene6cios de la emp.... es .(w,L) = R(L) - wL, donde R(L) son los inl9es05 que Ia emp.esa obtiene si emplea L trabajadores (y toma de lonna 6ptima las collespondientes decisiones de producci6n y de estrategia de mercado). Supongamos que R(L) es credente y c6ncava.

Supongamos que el desarrollo temporal del juego es: (I) el sindicato ~'.. ec:ttua una demanda salarial, w; (2) la emp" ' a observa (y acepta) W y es' coge entonces el nivel de empleo, L ; (3) las ganandas son U(w,L) y . (w,L). Podemos decir baslontes cosas sobre el resultado por inducci6n hacia atras de este juega, aun sin habet supuesto ninguna forma fundonal concreta de U(w,L) y R(L), pero no podemos calcuiar 01 resultado explidtamente. En primer lugar caracterizamos la mejor respuesta de la empresa en la etapa (2), L"(w), a una demanda salarial arbitraria por parte del sindicato en la etapa (I), w. Dado w,la emp.... escoge el nivel L"(w) quesoludona

max ,(w,L) = max R(L) - w L, L~

L ~O

5 Estaes un ejemplo de la afinnaci6n hecN en La secci6n 1.1.A:. eon un juegoen Ioima , .... o ..J lea jugadoru ucogm sus ut..tepas simulttl\Ua\tl\te, peiO eUo no Implia necuariamenle que «fUm simul~te: n su6cin\te con que cada uno tome 5U dedsi6n sin wnoc::er las dKisiDnd de los demh Vi. . la Ie .ci6n 2.4.A ~a. mbdiscusi6n tobre HtI. cuesti6n.

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70 I JUEGOS OfNAM1cos CON lNRJRMAOOO COMPLETA (C. 2)

Analizaremos el siguiente juego sencillo, al cual (sin mucha inspi. raci6n) Uamaremos juego en dos etapas con informaci6n perfecta pero incompleta: 1. Los jugadores 1 y 2 escogen simulhineamente las acdones al Y a 2 de los conjuntos factibles Al y A2 respectivamente. 2. Los jugadores 3 y 4 observan e1resultado de la primera etapa, (a"a2), y escogen entonces simulUneamente las acciones a3 Y<4 de los conjuntos factibl .. A3 y ~ respectivamente. 3. Las ganancias son 14(a l ,a2,a),a4) para ; = 1,2,3,4.

Muchos problemas econ6micos se ajustan a esta descripci6n.8 Tres ejemplos (que d iscutih:liIos mas adelante con mayor detalle) son los ~nicos bancarios, los aranceles y la competencia internacional imperfecta y los tomeos (por ejemplo, la lucha entre varios vicepresidentes de una empresa por ser el proximo presidente). Otros problemas econ6micos pueden mo-delarse si pemtitimos una mayor complepdad, ya sea anadiendo mas jugadores 0 pel mitiendo que los jugadores jueguen en mas de una etapa. Podria induso haber menos jugadores: en algunas oplicociones los jugadores 3 y 4 son los jugadores 1 y 2; en otras bien el jugador 2 0 el 4 no aparece. Resolvemos un juego de esta clase utiliz.ando un enfoque paleddo al de la inducd6n hacia atras, pero esta vez, el primer paso que damos cuando nos movemos hacia atras desde el final del juego exige la IE50luci6n de un juego real (el juego simultaneo entre los jugadores 3 y 4 En la segunda etapa, dado el resultado de la primera etapa) en vez de resolver un problema de optimizaci6n para un Unico individuo como en la secci6n anterior. Para no complicar las casas: supondremos en esta secci6n que para cada icsultado factible de la primera etapa, (at,a2), el juego que qued. pendiente en 1a segunda etapa entre los jugadores 3 y 4 tiene un Unico equilibrio de Nash que denominamos (aj(al,a2.),a;(al,a2}). En la secci6n 2.3.A (sobre juegos icpetidos) consideramos las consecuencias de prescindir de este supuesto. Si los jugadores 1 y 2 prevt!n que eI comportamiento en la segunda etapa de los jugadores 3 y 4 vendra dodo por «';<a"a2),a;(a"a2)), 10 interacci6n entre los jugadores 1 y 2 en la primera etapa se conaeta en el siguiente juego de decisiones simultaneas: 8 Como en la ! !cci6n antmor, los conjuntos de acciones flIctibles de los fugadores 3 y 4 en ].a wgunda etaptl, A) Y A., podrfan depender del resu1tado de Ia primera etapa (IlI ,Ol). En particular, pocIrfan existir valor'e'S (01.02) que finalizaran el tuego.

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74 / JUEGOS DlNAMJcos CON .lNR)RMAa6N COMPUTA (c. 2)

ernpresa i exporta e, aJ pals j ruando el gobiemo j ha establecido W\a tasa arancelaria de tj, la empH -a i debe pagar t je; al gobiemo j . EI desarrollo temporal del juego es el siguiente: Primero, ambos g<>biemos escogen simultineamente las tasas arancelarias t l Y t2. En segundo lugar, las empn: sas observan las tasas arancelarias y escogen simultjneamente las cantidades para el consumo interne y para la exportaci6n, (hl,t l) y (I"2..e2)' En teJCfI lugar, las ganancias son los bencficios de 1a empresa i y el bienestar total del gobiemo i, donde eJ bienestar total del pafs i es la suma de los excedentes de los consumidores9 del pafs i, los beneficios recibidos por la empicsa i y el inglCSO arancelario que el gobiemo i recauda de la empJcsa j : 'If;(t;,tj,h,.ei,hj ,f j) =[4 - (hi + ei )]h i + [a - (el + !li Bej

- c(h; + e,) - t je"

Wi (ti,tj,~,e;,hj,ej ) =2 fJ1 + 'lfi(4,tj ,~,e;,hj,ej) + tiej '

Supongamos que los gobiemos han escogido los aranceles t, y t,. Si (hi "'i,"2";) es un equilibrio de Nash del juego (de dos men:ados) restante entre las empresas 1 y 2 entonces, para cada i , (hi ,ei) debe solucionar

Como 'lfi(ti,tj,hi,e;,hj,ej) puede escribirse como la suma de los benefidos de la empn53 i en el meicado i (los cua1es son funci6n de hi y ej Unicamente) y los beueficios de la emprtH3 i en el mercado j (los cuales son funci6n de ei, hj y t j Unicamente), el problema de optimizaci6n en los dos mercados para la emprca i se simplifica al separarse en dos problemas, uno para cada mercado: hi debe solucionar

max hi[a - (hi + ej) - c), h.~O

y ei debe solucionar

•

, ~ un consuznjdor (OO ,pra un bien a un piecio p cuando habria tstado dispu~5tO a JlISl1 WI valor v, se ~ de un excedmte de v - p. O.da Ia C'U.rVJI de d~. imren.a P,IOi) • a. - 0 1. si Ia cantidad vtndUh m el me:.u.do i 1!5 Q i . pued~ d~illostnrse que ~I e:xcedmt~ agrepdo del conswnidor n (1 /~ .

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•

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78 I JUEGOS DINAMICOS CON lNRJRMAo6N COMPLETA (C. 2) lante la posibilidad de que, dados los salarios elegidos por el capataz, los trabajadores prefieran no participar en el tomeo y acepten en cambio una ofetta de empleo alternativo.} Fmalmente, las ganancias de los jugadores son las establecidas anteriormente. Dado que 10 que se produce <y por tanto tambi~n los salarios) es funci6n no 5610 de las decisiones de los jugadores sino tambi~ de los tel minos de ruido i1 y i 2, operaremos con las ganancias espe:t adas de los jugadores. Supongamos que el capataz ha e1egido los salarios W A Y Wo . Si el par de esfuerzos (ej,"i) es un equilibria de Nash del juega restante entre los tTabajadores, para cada i, ei ha de maximizar el salario esperado del trabajador i menos la desutilidad del esJuerzo: e; debe ser una soluci6n dell

max wA Prob{ u,(e,) > Yj (ej)} +WB Prob{y,(",)!S Yj (ej)} - g(",)

e,2,O

(2.2.4)

= (W A - WB) Prob{ y,(e,) > Yj (ej)} + W B - g(e;),

donde Yi(e/ ) = ei + ii . La condici6n de primer orden de (2.2.4) es (W A - WB )

' () 8 Prob(y;(e;) > y;(ej)} 8 = 9 ej . e;

(2.2.5)

Es decir, el tTabajador i escoge ei de forma que la desutilidad marginal de un esfuerzo exba, g'(e;), sea igual a1 beneficia m.ugina1 de ese esfuerzo adicionaJ, que es el produdo de 10 que se gana en ulario por veneer en el tomeo, W A - W B, Y el aumento m.ugina1 de la probabilidad de ganar. Par la regia de Bayes,12 11 AI uolbir (2.2.4), lUpufimoil que 1a funci6n de denskt ad de.l nUdo I(d et tal que e1 suc£so en e.l que 106 trabfljadores producen exactamente 10 m1smo ~ con plObabilldad (tloO y, por tanto, no es r.of:CP ruioronsiderarloen 1a funci6nde utilid.ld espe.:rada del trabaJador i. CMU formabne:hte, suponemGS que 1a fund6n de de:nsidad I(d es no at6mica.) En UN de I cipci6nWlllpie:ta del tOiiiC!O, Mria utura.i (petoO innecesario) npecificar que: el ganadO!'. ddmnina a eva 0 0'\lZ., 0 00 que en este modele resulta equiva1e.nte) que: ambos lrabajitdotes

l'Kibe:n (lOA'" WB )/2. U La regia de &yes plOpotdonr. una f6iDlula pua P(A jB ), la pt...o.bilidad (condidonAl) de: que un IUCftO A ocurra dado que e:I SIX 0 B M ot'I.UTido. Sean /,(A), P(B) Y P(A,B) Iu pz...o.billdades (a priot l)(£I d«ir, w probabUidade:santes de que tanto A u"n'\O B NyU! teNdo y opcctun.V1ad de:ocurrir) de: que A ocurr.. B ocurra y de que: amboll A y B ocurnn re:spedivJ.md,te. La regia de Bayes ncable.ce que P(A IB ) • P(A,B )/P(8). &to £I, la probmilidad rondicional de: A dado B a igual a].a pu.babi1iclad de: que ambos A y B ocu.m.n divic:tida par la pt~biUd&d a priori de que B ocuna.

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86 / JUEGOS olNAMicos CON INFOR.MAo6N COMPlETA (C. 2)

I, C, D, ?, Q,

I, 1.1 5,0 0.0 0,0 0,0 C, 0,5 4,4 0.0 0,0 0,0

DI 0,0 0,0 3,3 0,0 0.0

P, 0,0 0,0 0.0 4,1 0,0 Q I 0,0 0,0 0.0 0,0

Figura 2.3.5

Para acercamos a la soluci6n de este problema de renegociaci6n, con· sideremos el juego dela figura 2.3.5, que es aUn Iruls artificial que el juego de la figura 2.3.3. Una vez mis, nuestro interes en este juego es mas expositivo que econ6miro. Las ideas que estamos desanollando para tratar el tema de la renegociaci6n en este juego artificial se pueden aplicar tambi&t a la renegociaci6n en jueg05 infinitamente repetidos; v~ase Farrell y Maskin (1989), por ejemplo. En este juego de etapa se anaden las estrategias Pi y Qi al juego de etapa de la figura 2.3.3. Fx;sten cuatro equilibrios de Nash con estrategias purasdel juegode etapa: (I"I,), (D"D,) y ahora tamb i~n (P,,?,) y (Q" Q,). Como antes, los jugadores prefieren un.inimemente (D"D,) a (/,,1,). M~s importante aUn, no hay ning{m equilibrio de Nash (x ,y ) en la figura 2.3.5 tal que los jugadores prefieran urulnimemente (x,y) a (P, ,?,), (Q"Q, ) 0 (D1 ,Dz.). Decimos entonces que (Dl,Dz) domina en el sentido de Pareto a (I"I,), y que (P,,?,), (Q"Q,) y (D"D,) est~n en la frolllera de Parelo de las ganancias de los equilibrios de Nash del juego de etapa de la figura 2.3.5. Supongamos que el juego de etapa de la figura 2.3.5 se jueg. dos veces, habiendo los jugadores observado eliesultado de la primera ronda antes de que empiece la segunda. Supongamos adidonalmente que los jugadores prev~n que el resultado de la segunda etapa sent el siguiente: (D"D,) si el resultado del. primera etapa es (C" C,); (P" P,) si eI resultado de 1a primera etapa es (C w), donde w puede ser cualquier rosa menos " c,; (Q"Q, ) si e1.esultado dela primera etapa es (x,C,), donde x puede 50r cualquier rosa menos C, y ( Dl ,Dz) si el resultado de la primera etapa es (v,:), donde y puede ser cualquier rosa menos C1 y z puede ser cualquier cosa menos c,. Entonees « C"G,),(D"D,» es un result.do perfecto en subjuegos del juego repetido po"!ue cada jugador obtien. 4+3 aI jugar C;

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, 90 I JUECOS DINMocos CON INFORMAo6N COMPI..£TA. (c. 2)

Supongamos que eI jugador i empieza el juego repetido infinitamente cooperando y sigue cooperando en cada juego de etapa siguiente si y 5610 si ambos jugadores han cooperado en cada ronda previa. Formalmente, la estrategia del jugador i es: Jugar D, en la primera etapa. En la t-eima etapa, si el resultado de todas las t - 1 etapas anteriores ha side (D 1.D2) entonces jugar D i ; en caso rontrario, jugar Ii.

•

, ,

•

Esta estrategia es un ejemplode la estrategin del disparador (trigger strategy), llamada asf porque el jugador i coope1a hasta que alguien deja decooperar. 10 que desencadena la decisi6n de no volver a cooperar nunca mas. Si ambos jugadores adoptan la estrategia del disparador, el resultado del juego repetido infinitamente seni (Dl ,D2) en cada etapa. Veremos primero que si 6 esti 10 sufidentemente cerra de uno, el hecho de que los dos jugadores adopten esta estrategia constituye un equilibria de Nash del iuego repetido infinitamente. Vetemos a continuaci6n que este equilibrio de Nash es perfecto en subjuegos, en un sentido que se precisad m~s adelante. Para demostrar que la adopci6n de la estrategia del disparador por parte de los dos jugadores es un eqllilibrio de Nash del fuego repetido infinitamente, supondremos que el jugador i ha adoptado la estrategia del disparador y demostraremos a continuaci6n, siempre que 6 est~ 10 suficientemente cerca de uno, que adopw esta estrategia es tambiffi la mejor respuesta del jugador j. Dado que eJ jugador i juganl I , para siempre cuando el resultado de a1guna ronda difiera d. (D"D,), la mejor respuesta del jugador j es efectivamente jugar I j para siempre cuando eJ ,esultado de alguna etapa diliera de (D"D,). Queda por delerminar Ja mejor respuesta del jugador i en la primera etapa y en cualquier etapa tal que los resultados anteriores hayan sido (Dl,Dl)' Jugar I j proporcionarfa una ganancia de 5 en esta etapa, peto desencadenaria la no coopetaci6n del jugador i (y, por tanto, tambihl del jugador j) en 10 sucesivo, de forma queJa gananciaencadaetapa futurasena 1. Como 1+5+5'+ ... = 1/ 0 -5), el valor piCschte de esta sucesi6n de ganancias es

5+ 6 . 1+ 5 . 1+ .. . =5+

_ . 1 6 Altemativamente, jugar V j proporcionaria una gananciade4enesta etapa y conducirla a enctamente la misma elecci6nentre Ij y Dj en la siguiente etapa. t Jamemos V aI valor piE:~nte de la sucesi6n infinita de ganancias

, I

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94 / JUEGOS DINAMICOS CON INFOR.MACJ6N COMPL£TA (C. 2 )

al juego original G(oo,6). Como en el caso con horizonte ji"ito, eristen la,llos subjuegos que emp~JJn en to dapa t + 1 de G(00,6) como posibles /ristorios del juego hasla fa elapa t. Observese que la t-esirna etapa de un juego repetido no es por SI misma un subjuego del juego repetido (suponiendo que t < Ten el caso finito). Un subjuego es una parte del juego original que no s610 empieza en un momento en que la historia del juego hasta entonces es inionnaci6n del domino pUblico entre todos los jugadores, sino que tambien induye todas las decisianes posteriores a ese momento en el juego originaL Analizar la t..esima etapa aisladamente serla equivalente a considerar la t...esima etapa como la etapa 6nal del juego lepetido. Tal analisis podrfa llevarse a cabo pero no serla relevante para el juego repetido original. Estamos ahora preparados para la definici6n de equilibrio de Nash perfecto en subjuegos, la cual depende a su vez de la definici6n de equilibrio de Nash. Esta ultima no ha cambiadodesde e1 capitulo 1, pero ahora apleciamos la complejidad potencial de la estrategia de un jugador en un juego dinamico: en cualquier juego, un equilibrio de Nash es una colecci6n de estrategias. una para cada jugador, tal que la estrategia de cada jugOldor e5 la mejor respucsta a las estrategias de los dem.is jugadorcs. Definicion. (Selten 1965): Un equilibrio de Nasir es perfecto en subjuegos

si las estrategias de los jugadores constituyen un equilibrio de Nash e71 cada

subjuego. El equilibria de Nash perfecto en subjuegos es un refi'lamie1lto del equilibrio de Nash. Es dedr, para 50r perfecto en subjuegos, las estrategias de los jugadores deben ser primero un equilibrio de Nash y pasar luego una prueba adkional. Para demostrar que el equilibrio de Nash en las estrategias del disparador del dilema de los presos repetido infinitamente es perfecto en subjuegos, debemos demosttar que las estrategias del disparador constituyen un equilibrio de Nash en cada subjuego de este juego repetido infinitamente. Recordemos que cada subjuego de un juego repetido infinitamente es ido!ntico al juego completo. En el equilibrio de Nash en las estrategias del disparador del dilema de los presos repetido infinitamente, estos SUbjueg06 pueden agruparse en dos clases: (i) subjuegos en los que todos los .esultados de las etapas anteriores han sido (D"D,), y (ii) subjuegos en los que el resultado de al menos una etapa anterior difiere de

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I I ,

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102 / JUEGOS DlNAMICOS CON NRJRMA06N COMPl£TA (C. 2)

costes fijos. Las empu ·as escogen sus cantidades simultaneamente. En el Unico equilibrio de Nash. cada empresa produce una cantidad (a - c)/ 3, a la que llamaremos la cantidad de Coumot y denotaremos por qe. Dado que en equilibrio la cantidad agregada, 2(a - e)/ 3 es mayor que la cantidad de monopolio, qm (a - c) / 2, ambas empresas estarfan mejor si cada una produjera la mitad de la cantidad de monopolio. q, = qm / 2. Consideremos el juego repetido infmitamente basado en este juego de etapa de Coumot, cuanda las dos empresas tienen el misma factor de descuento 6. Calculemos ahara los valores de 6 para los que, cuanda las dos empresas juegan la siguiente estrategia, llegamos a un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos de este juego repetido infinitamente:

Producir la mitad de 1a cantidad de monopolio. qm/ 2. en el primer periodo. En el t-esimo periodo, producir q... /2 si ambas empresas han producido qm / 2 en cada uno de los t - 1 periodos anteriores; en case contrario, producir la cantidad de Coumot, qe' Puesto que e1 argumento es paralelo aJ dado para e1 dilema de los presos de la secci6n anterior, seremos breves en la discusi6n. El bene£i.cio que obtiene una empitsa cuando ambas producen qrn / 2 es (a _ e)2 / 8, que denotaremos por 11" m/2. HI beneficio de una ernpresa cuanda ambas producen qe es (a - c)2/ 9, que denotaremos por 1I"e. Fmalmente,si la empn -a i va a producir qm / 2 en este periodo, la cantidad que maximiza los bene£i.cios de la empresa j en este periodo es una soluci6n de

~x (a- qj - ~qm -c) qj La soluci6n es qj = 3(a - e)/ S, con un beneficio de 9(a - c)2/ 64, que denotamos mediante "lTd (lid" por desviaci6n). Por tanto, que las dos empicsas jueguen la estrategia del disparadar expuesta anteriormente es un equilibria de Nash siempre que

1 _ 6 . 2 irm ~ 1fd + 1 _ 6 . ire ,

(2.3.2)

an;iloga a (2.3.1) en el anillisis del dilema de los presos. Sustituyendo los valores de 11' m, 1fd Y 1fe en (2.3.2) obtenemos que 6 2: 9/ 17. Por las mismas razones que en la secci6n anterior, este equilibrio de Nash es perfecto en subjuegos.

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106 / JUEGOS DfNAMICOS CON tNFORMA06N COMPLETA (c. 2)

Rotemberg y Saloner (1986 y ejetcicio 214) estuctian la colusi6n en el cicio econ6mico, peiiilitiendo que la intersecci6n con el eje de abcisas de la fund6n de demanda fluctUe aleatoriamente de un periodo aI otto. En cada periodo, todas las emplE.Si!IS observan la inteisecci6n con el eje de abcisas de la funci6n de demanda en ese periodo antes de tomar dec:isiones; en otras aplicaciones, los jugadores observan otras variables de estado al principio de cada periodo. EI incentivo a desviarse de una estrategia pactada depende tanto del valor de la demanda en este periodo como de los posibles valores de la demanda en periodos futuros. CRotemberg y Saloner suponen que la demanda no esta correlacionada serialmente, de forma que esta Ultima consideraci6n es independiente del valor presente de la demanda, pelO otros autores posteriormente han reJajado este supuesto.) Green y Porter (1984) estudian la colusi6n ruando las desviaciones no se pueden detectar perfectamente: en vez de observar Jas cantidades escogidas por la otra empresa, cada empresa observa tan s610 el precio

de equilibrio del mercado, que cada periodo Iedbe sacudidas debidas a una perturbaci6n aleatoria inobservable. En este contexto, las empIC!YIS no pueden distinguir cuAndo un precio de equilibrio bajo se debe a que una 0 mas empresi'S se han desviado de la estrategia pactada 0 a que ocu.rri6 una perturbaci6n adver5a. Green y Porter examinan los equili· brios con estrategias del disparador tales que cualquier pretio por debajo de un mvel critico dispara un periodo de pena1izaci6n durante el cua! las empa -as juegan sus cantidades de Coumot. En equilibrio, ninguna empresa se desvia. No obstante, una pelturbad6n especialmente mala

puede hacer que el precio caiga por debajo del nivel critico, desencadenando un periodo de peualizaci6n. Como algunas penalizaciones ocurren accidentalmente, las peJla1izaciones infinitas del tipo considerado en el anaJisis de las estrategias del disparador no son 6ptimas. Estrategias de dos fases del tipo anaHzado por Abreu podr£an parecer prometedoras; efectivamente, Abreu, Pearre y Stacchetti (1986) demuestTan que pueden

ser 6ptimas.

2.3.D &Iarios d. eficienru En los modelos de salarios de eficiencia, 10 que producen los trabajadores de una emplE sa depende del sa 1ario que la emplesa paga. En el con· texto de los palSes en vias de desarrollo, esto se explicaria porque unos salarios mas altos podrlan conducir a una mejor nutrici6n; en 10s pafses

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110 I JUEGOS DINA.\fICOS CON L"'lFORMAOON COMJ>l.ETA (C. 2)

I-pO

(I- b )

w ~ WI) + 5(1 _ p) e = WI) + 1 + 6(1 _ p) e

(2 .3.5)

Por tanto, para inducir un esfuerzo, la emph n debe pagar no s610 WO + e para compensar al trabajador por renunciar a la oportunidad de trabajar como independiente y por la desutilidad del esfuerzo, sino tambi~n por la prima salarial (1 - c)e/8(1- pl. Naturalmente, si p estci cerca de uno (es derir, si no esforzarse es diffcilmente detectable), la prima salarial debe ser exbeDtadamente alta para inducir un esfuerzo. Si p = 0, por otra parte, esforzarse es la decisi6n 6ptima del trabajador si (2.3.6)

anaJogamente a (2.3.1) y (2.3.2) en los casas con supervisi6n perfecta de las dos secciones anteriores, (2.3.6) es eqwvalente a

1 -6 ) 6 e, (

w· > WI) + 1 +

que efectivamente es <2.3.5) con p = O. Induso si (2.3.5) se rumple, de forma que 1a estrateg.ia del trabajador sea la mejor respuesta a la estrategia de la empresa, a la empJesa tiene

tambim que merecerlela pena pagar w·. Dada Ia estrategia del trabajador, el problema de la empiESa en el primer periodo se concreta en escoger entre: (1) pagar w = w·, induciendo con ello al esfuerzo y amenazando con despedir al trabajador si en algtin momento la producci6n es baja, y recibiendo portanto la ganancia y -tv· en cada periodo; y (2) pagar w = 0, induciendo can ella al trabajador a escoger tTabajar como independiente, y lecibiendo de esta forma una gananda iguaI a cera en cada periodo. Par tanto, la estrategia de la emplEsa es una mejor respuesta a la del traba;ador si

(2.3.7) RecordemosquEsup11simosquey- e > wo (esdecir, que para el trabajador es eficiente estarempleado por la empicsa yesforzarse). Necesitamos una condici6n mas fuerte si estas estrategias han de formar un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos: (2.3.5) y (2.3.7) implican

1-.

y - . ~ WI) + 6(1 _ p) e,

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114 I JUEGOS DlNAMIcos CON INFORMAa6N COMPUTA (C. 2)

es la que sera ronfirmada en 10 sucesivo por la autoridad moneta ria, de forma que 1r.(r.C ) = ~c, y por tanto ~c = tr, . Cuando los empresarios mantienen esta expectativa 'If' = 1f., el coste marginal en que incurre la autoridad monetaria a1 fijar "If ligeramente poT encima de iT, compensa exactamente el beneficio marginal de la inflaci6n imprevista. En este resultado perfecto en subjuegos, se espera que la autoridad monetaria cree inflaci6n y asl 10 haee, pero estaria mejor si pudiera comprometerse a no crear inflaci6n. Efectivamente, si los empresarios tuvieran exptctativas racionales (es decir, 1r = Jr e), una inflaci6n cero maximiza la ganancia de la autoridad monetaria (esdecir, W(?f, 7rc ) = _ cr z _(b _ l)2 y .2 ruanda 1r = 1r e , de forma que '/f = 0 es 6ptimo). Consideremos ahora el juego repetido infmitamente en el que ambos jugadores tienen el mismo factor de descuento 6. Derivaremos condiciones bajo las cuales 1f = lfC = 0 en cada periodo de un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos que incluya las sigujentes estrategias. En el primer periodo, los empresarios mantienen la expectativa rr C = O. En periodos sucesivos mantienen la expectativa 1r C = 0 siempre y ruando todas las expectativas anteriores hayan sido 1t C = 0 Y todos los niveles de inflaci6n anteriores hayan side efectivamente 1r = 0; en case contrario, los empresanos mantienen la cx.pcctativa .,.. .. "'" lIr.. (la e.xpectativa racional e n el jucgo

de ""'pa). De forma similar, la autoridad monetaria fija • = 0 siempre y cuando la expectativa presente sea ~e = 0, todas las expectativas anteriores hayan sido ?f C = y todos los nive1es de inflaci6n anteriores hayan sido efectivamente .,.. = 0; en case cootrario, la autoridad monetaria fija .,.. = rr ·(.,.. C) (50 mejor respuesta a las expectativas de los empresarios, tal como se indica en (2.3.8)). Supongamos que los empresarios mantienen la expectativa ~~ = 0 en el primer periodo. Dada la estrategia de los empresarios (es dedr, la forma en que los emprcsarios actualizan sus expectativas despues de observar el nivel verdadero de inflaci6n), la autoridad monetaria puede restringir su atenci6n a dos decisiones: (1) if = 0, 10 que conducira a .,..e = 0 el periodo siguiente y, por tanto, a la misma decisi6n por parte de la autoridad monetaria en el siguiente pe:riodo; y (2) ?f = ir-(O) utilizando (2.3.8),loque conducira a .,..e = 'Ir .. en 10 sucesivo, en cuyo case la autoridad mohetaria encontrara que es 6ptimo en 10 sucesivo escoger ir = 'If, . En consecuencia, fijar '/f = 0 en este pe:tiodo resulta en la ganancia W(O,O) por periodo, mientras que fijar no = 1t-(0) en este periodo resulta en la ganancia W(.,..·(O),o) en este periodo, pero W('Ir"lf,) en 10 sucesivo. Por 10 tanto, la estrategia de la autoridad monetaria es la mejor respuesta

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118 I JUECOS DINAMICOS CON lNFORMA0 6N COMPlETA (C. 2)

con informaci6n completa Sl pemtitieramos que las estrategias de un ju· gador dejaran sin especifkar sus acciones en algunas contingencias. Para que el jugador j calcule una mejor respuesta a la estrategia del jugador i, puede que j necesite considerar romo actuana i en todas y cada una de las contingencias, no s610 en las contingencias que i 0 j creen que es posihJe que se den. En el juego de la figura 2.4.1, el jugador 2 puede tomar dos acciones, pero posee cuatro estrategias. puesto que hay dos contingencias diferentes (conoetamente. despues de observar que el jugador 1 escoge I y despues de observar que e1 jugador 1 escoge D) en las que podria cool:sponder actuar a1 jugador 2.

£strategia 1: Si el jugador 1 juega I, entonces jugar 1'; si el jugador 1 juega D, entonces jugar 1', 10 que denotamos por ([',[ ' ). Estrategia 2: Si el jugador 1 juega I , entonces jugar I '; si el jugador 1 juega D, entonces jugar D', 10 que denotamos por (I', D'). Estrategia 3: Si el jugador 1 juega I, entonces jugar D'; si el jugador 1 juega D, entonces jugar 1',10 que denotamos por (D' .l' ). EstrategiG 4: Si e1 jugador 1 juega 1. entonces jugar D'; si el jugador 1 jucga D, cntonces jugar D ' , 10 que denotamos por (D' ,D' ). El jugador 1, sin embargo, tiene dos acciones pero s610 dos estrategias: jugar I Yjugar D. La rawn poria cual el jugador 1 sOlo tiene dos estrategias es que s610 hay una contingencia en la que pudiera cOJlcsponder jugar al jugador 1 (conoctamente. la primera jugada, que cOllcsponde at jugador 1), de forma que el espacio de estrategias del jugador 1 es equivalente al espacio de actiones AI = {I,D} .

Jugador 2 (f',I') (I' ,D') (lY,l' ) (D',D' ) I

3,1

1,2

2,1

0,0

2,1

0,0

JugadoT 1

Figura 2.4.2 Dados estos espacos de estrategias de los dos jugadores, es irunediato derivar la iepicscntaci6n en forma normal del juego a partir de su repre-

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122 / JUECOS DlNAMICOSOON lNFORMAo 6N COMPLETA (C. 2)

conjunto de informaci6n con mas de un elemento.19 Por tanto, la represen· taci6n en forma extensiva de un juego de decisiones simultaneas (como el dilema de los presos) es un juego con informaci6n imperfecta. De forma similar, los juegos en dos etapas estudiados en la secci6n 2.2.A poseen informaci6n imperfecta porque las decisiones de los jugadores 1 y 2 son simultaneas, como tambien 10 son las decisiones de los jugadores 3 y 4. De forma mas general, un juego diMmiro con informad6n completa pem imperfecta puede reprcsentarse en fonna extensiva utilizando conjuntos de informaci6n con mas de un e1emento para indicar 10 que cada jugador sabe <y no sabe) cuando Ie cOllcsponde jugar, tal como hemos hecho en la figura 2.4.4. 2.4.8 Equilibrio de Nosh perfecto en 5ubjuegos En la secci6n 2.3.B dimosla definici6n general del equilibrio de Nash perfecto en subjuegoo. Sin embargo, aplicamos la definici6n s610 a juegos repetidos porque definimos los conceptos de es!rategia y subjuego s6lo para los juegos repetidos. En la secci6n 2.4.A dimos la definici6n general de estrategia. Pnesentamos ahora la definici6n general de subjuego, despue; de 10 cual pocliemos aplicar la definici6n de equilibrio de Nash perfecto en subjuegos a los juegos dinlimicos con iniormaci6n completa en general. Recordemos que en la secci6n 2.3.8 definimos infonnalmente un subjuego como la parte del juego que queda por jugar empezando en cuaJ· quier momenta en el que la historia completa del juego hasta entonces sea infonnaci6n del dominic publico entre todos los jugadores, y dimos una definici6n {onnal en el caso de los juegos repetidos que entonces estabamos considerando. Ofl ecemos ahora una definici6n formal para juegos dinamicos con informaci6n completa en general, en terminos de la reprcsentaci6n e]l forma extensiva del juego.

Definicion. Un subju.ego en un juego en fonn4 extensiva 19Fsta caracterizaci6n de Ia infonNd6n perfecta e imperfect. en t&minos de conjuntos de informad6n con uno 0 mU e!:enoeltos es.ti restringicb a los jul!gos con informad6n completa porque, como verfthOS en el Clpitulo 4, la (epu! mtaci6n en forma extensin de un juego con informaci6n perfecb pe,u incomplt'ta tiene un conjunto de informaci6n con mb de un eJemento. En este capftulo, sin embargo, restringi.mos nuestTa atenci6n a 1a infOi lhaci6n compleU.

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126 / JUECOS OL~A.\iICOSCON INFORMAa6N CO~IPt..ETA (C. 2)

soluciona. Finalmente, (aj,R,(a,» es un equilibrio de Nash p"'que las estrategias de los jugadores son mejor respuesta la una a 10 o tm: aj es una mejor respuesta a R2(al). es decir, at maximiza UI(ol ,R 2(at», y R2(ol) es una mejor respuesta a es decir, R2(aj) maximiza u 2(a.1,o2)· Los argumentos son an.i1ogos para los juegos considerados en la secci6n 2.2.A, de forma que nos ahorramos los detalles.

0-;,

Oe.tinicion. £" el juego en dos etapas con informtlci6n comptcta pero in/perfecta definido en In seccion 2.2.A, el resullado perfecto en slIbj llegos es (aj .ni,aj (o. j , ail, a; (a j ,0;»,peroe/equilibrio d. Nosh perfecto en .ubju.go. es (uj ,0; (a, ,a,),

,a;

a;(o. l,0-2»·

En este juego, el par de acciones ("l(aj ,o;),a;(a; ,0;» es el equilibrio de Nash del subjuego que juegan por separado los jugadores 3 y 4 (concretamente, el juego que queda despue. de que los jugadores 1 y 2 escogen (aj,o;», mientras que ("l(a,,,,,),a,(a,,a,» es una estratogia del jugador 3 y una estrategia para e1 jugador 4. es decir unos planes de acci6n completos que describen una respuesta a cada par de movimientos factibles de los jugadores 1 y 2. En este juego, los subjuegos ronsisten en la lnteracd6n en la segunda etapa entre los jugadores 3 y 4, dadas las acciones tornadas por los jugadores 1 y 2 en la primera ronda. Tal y como exige el equilibrio de Nash periecto en subjuegos, el par de estrategias <a.j(Ot,a,.),a;<al,Cl2» especifica un equilibrio de Nash en cada uno de esto subjuegos, Conduimos esta secci6n <y este capitulo) con un ejemplo que ilustra el tema prinopal del capItulo: 1a periecci6n en los subjuegos e1imina los equilibrios de Nash que se basan en promesas 0 amenazas que no son creibles. Recordemos el juego en forma extensiva de la figura 2.4.1. Si hubimmos encontrado este juego en la secci6n 2.l.A, 10 habriamos resuelto por inducci6n hacia atris del siguiente modo: si eI jugador 2 akanza el node de decisi6n que sigue a la decisi6n I del jugador 1, la mejor respuesta de 2 es jugar D' 00 que proportiona una ganancia d e 2) en vez de jugar l' (que proporciona una ganancia de 1). Si 2 alcanza el nodo de decisi6n que sigue a la derisi6n D del jugador 1, la mejor respuesta de 2 . es jugar l' (10 que proporciona una ganancia de 1) en vex de jugar D' (que proporriona una ganancia de 0). Dado que el jugador 1 puede resolver el problema del jugador 2 tanto como el propio jugador 2, el problema de 1 en la primera ronda se conCleta en esroger entre I (que conduce a una ganancia de 1 por parte del jugador 1 despu~ de que 2 juege D')

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130 I JUEGOS OlNAMICOS CON /NFOR.\tAOON COM PLETA (C 2)

Fermndez y Glazer (1991), con la caracteristica nueva de que eI sindicato debe decidir si convoc:ar 0 no una huelga d espuk de que el sindkato 0

Ia emp,.,.. rechacen una oferla. Existen mUltiples equilibrios perfectos en subjuegos eficientes que incorpoTan, a su vez, equilibrios perfectos en subjuegos ineficientes (es door, que induyen huelgas), aun ruando haya infonnaci6n completa. Ellibro de Osborne y Rubinstein (1990) examina muchos modelos de negociaci6n en teoria de juegos, los reladona con el enfoque axiomatico de Nash sobre la negociaci6n y utili.7.a los modelos de negociaci6n como base de la teona del mercado. Seccwn 2.2: Sobre los panicos bananos, vease Jacklin y Bhattacharya (1988) . EI libro de McMiUan (1986) examina las primeras apticacion.. de teoria de juegos a la economia internadonal; vCase un tTabajo mas reciente sobre Ia deuda exterior en Bulow y Rogoff (1989). Sobre los tomeos, con.sl1ltese un modele en el que los trabajadores pueden tanto aumentar su producci6n como sabotear la de los demas, en l.azear (1 989; ejercicio 2.8). V~ase en Rosen (1986) el lema de los premios necesarios para manteneT los incentivos en una sucesi6n de torneos en los que los peTdedores en una etapa no pasan a la siguienle. SecciDn 2J: Benoit y Krishna (1985) analizan juegos repetidos finitos. Sobre la renegociaci6n en los juegos repetidos finites, consUltese Benoit y Krishna (1989), y en los juegos repetidos infinitos v.a5O el articulo panonlmico de Farrell y Maskin (1989). Tirole (1988, capitulo 6) examina modelos diNmicos de oligopolio. Ellibro de Akerlof y Yellen (1986) recage algunos de los trabajos mas importantes sobre salarios de eficienda y ofrece una introducci6n integIadora, Sabre politica monetaria, v~se en Ball (1990) un resumen de los hechos estilizados, una revisi6n de los modelos existentes y un modele que explica la tTayectoria tempoTal de la inflaci6n. Stcci6n 2.4: Vease un t:ratamiento formal de los juegos en fo nna extensiva en Kreps y Wilson (1982), y un enfoque mas verbal en Kreps (1990, capitulo 11).

2.6 Ejercicios 2.1 Supongamos que un padre y un hljo participan en eJ siguiente juego,

analizado originalmente plr Becker (1974). Primero el hip toma una acci6n, A, que resulta en un ingJl ;0 para ~l , JH(A), yen un ingreso para el padre, I p( A) . (Pensemos en IH(A) como el ingJeso del hijo, neto de cualquier coste de la acci6n A .) En segundo lugar, el padre observa los

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Ejtrddos I 135

resultado perfectO en subjuegos. Demueshwc que los salarios, nivel de empleo y benefidos (y, por tanto, tambi.n la utilidad del sindicato y el excedente del consumid or) aumentan ruando los aranceles desaparecen. Vease otros ejemplos en la misma Unea, en Huizinga (1989).

2.10 EI juego de decisi6n simultanea que a continuad6n se describe se juega dos veces, habi~dose observado el resultado de 1a primera etapa antes de que empiece la segunda. No hay descuento. La variable x es mayor que 4, de fonna que (4, 4) no es una gananda de equilibrio del juego jugado una sola vez. ,Para que valores de x es la siguiente estrategia (jugada por ambos jugadores) un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos?

Jugar Qi en la primera etapa. Si el resultado de la primera etapa es (Q"Q,1. jugar P, en la segunda etapa. Si el resultado de la primera etapa es (y,Q,) donde y t Q" jugar R; en la segunda etapa. Si el resultado de la primera etapa es (Q I,Z) donde z 'I Q2, jugar Si en la segunda etapa. Si el resultado de la primera etapa es (y,z) donde y t Q, y z t Q" jugar P, en la ..g.mda etapa.

5, 0,0

2.2

x,O

-10 ,

O,X

4,4

- 1,0 0.0

0,0

0.0

0.2

0,0

5, 0, - 1 0, - 1 - I , - 1 2,0 2.11 EI juego de decisi6n simulLinea que a continuaci6n se describe se juega dos veces, habiendose observado el resultado de la primera etapa antes de que ernpiece la segunda. No hay descuento. , Puede alcanzarse en la primera etapa la gananda (4, 4) en un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos con estrategias puras? En caso afinnativo, especiffquense las estrategias que 10 pel Illiten. En caso negativ~, demu6tIE:Se por qui! no.

l e D A 3,1 0.0 s,o M 2,1 1.2 3,1 B 1.2 0,1 4,4

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, i

140 I JUEGOS DL"'i.t\ UCOS CON INFORMACI6

COMPUTA (c. 2)

- . 1988. "On the Theory of Infinitely Repeated Games with Discounting: Econometrica 56:383-96. ABREU , D., D. I'EARCE, Y E. SrACCHEIll. 1986. "Optimal Cartel Equilibria with Imperfect Monitoring." Journal of Economic Theory 39:251-69. A DMAll, A ., Y M . PERRY. 1991.

"Joint Projects without Commitment."

•

Review of Economic Studies 58:259-76. AKERLOF, G., Y j . YELLEN, eds. 1986. Efficiency Wage Models of tl .. Labor Market . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press.

BAll, l. 1990. "Ttme-Consistent Policy and Persistent Changes in ln ~ flation." National Bureau of Economic Research Worlcing Paper #3529 (December). BARRO, E., Y D. GoRDON. 1983. "Rules, Discretion, and Reputation in a Model of Monetary Policy." jounuJ! of Monetary EcotlOmics 12: 101 ~21. BECKER., G. 1974. "A Theory of Social Interactions," /o umal of Political

Economy 82:1063-93. BENOIT. J~P.. Y V. Krishna. 198.5. "Ftnite1y Repeated G ames," Econometrica

53:905-22. - . 1989, "Renegotiation in Finitely Repeated Games." Harvard Business School Working Paper *89-004. BUCHANAN, j . 1975. "The Samaritan' s Dilemma." In Altruism, Morality, and Economic Theory, E. Phelps, ed. New York: Russell Sage Foundation. BULOW, j ., Y K. ROGOFF. 1989. "Sovereign Debt Is to Forgive to Forget?" America" Economic Review 79:43- SO.

DIAMOND, D.; Y P. DYBVlC. 1983. "Bank. Runs, Deposit lnsurance, and Liquidity." lournal of Political Economy 91 :401-19.

EsPlNOSA, M., Y C. RHEE. 1989. "Efficient Wage Bargaining as a Repeated Game: Quarterly lou"",I of Economics 104:565-88.

FARREll.,J., YE. MAsKIN. 1989. "Renegotiation in Repeated Games." Games and Economic Il<havior 1:327-«1. FERNANDEZ, R, y J. GLAZER. 1991. "Striking for a Bargain Between Two Completely lnfonned Agents." American Economic Review 81:240-52.

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144 / JUEGOS ESTAncos CON flI.''FOflMAa6N INCOMPLETA (C. 3)

conc)Ce el producto marginal de un trabajador y el trabajador conoce las oportunidades altemativas de que dispone}, Analizamos un juego de intercambio lJamado subasta doble: el vended.oT anuncia un predo de venta y el compradoT anunda simult.ineamente un predo de compra; el intercambio Hene lugar al piedO media si el ultimo es mayor que el primero. En la secci6n 3.3 enunciamos y demostramos el Principio de revelacion, e indicamos brevemente c6mo puede aplicarse a1 diseii.o de juegos ruanda los jugadores tienen informaci6n privada.

I, I

3.1 Teoria: Juegos bayesianos estaticos y equilibrio bayesiano de Na.h 3.1.A Un ejemplo: Competenda a la Coumot bJ.jo informacion uimel! iQ Consideremos un modelo de duopolio de Coumot con demanda inversa dada por P(Q) = a - Q, donde Q = q, + 'Il es la cantidad a8'egada en el men:ado. La funci6n de oostes de Ia emp""'" 1 es C, ('II) = cq,. Sin embargo. la funci6n de oostes de Ia <mp" 'a 2 eo (;'(1'2) = CAQ2 con probabilidad 8 y C2(q-z) "" CO'll con probabilidad 1 - 9, donde Co < CA - Ademas, la informaci6n es asimetrica: la emph sa 2 conace 50 funci6n de costes y la de la empieJa 1, peto la etnpiesa 1 5610 canace su funci6n de costes y que el coste marginal de la empiCsa 2 es CA ron probabilidad 8 Y CB ron probabilidad 1-8. (La emp"" 2 podria sernueva enel sector 0 haber desarrollado una nueva tecJlologfa.) Todo esto es infonnact6n del dominio pUblico: la empresa 1 sabe que la emp.. sa 2 cuenta con mejor informad6n, y la empresa 2 sabe que la empJesa 1 10 sabe, y asl sucesivamente. Naturalmente, ta emp.. sa 2 quem elegir una cantidad difeteitte (y presumiblemente menor) si su coste marginal es alto que si es baja. Por su parte, la empl( sa 1 deberia preYer que la empJC:sa 2 puecle ajustar su cantidad al coste de la manera indicada. Sean qi(CA) y qi(cs) las cantidades elegidas en funci6n de sus costes, y sea qi la cantidad eJegida por Ia,emp" sa 1. Si 01 coste de Ia emp'esa 2 es alto, eta olegiri qi(cA) tal que sea una soluci6n de

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150 I JUEGOS ESTAn cos CON lNfU(t'AACI6N INCOMPLElA (c. 3)

Pi{L iltj) para cada ti en Ti o Como ya indicamos, vamos a suponer a

menudo que los tipos de los jugadores son independientes, en cuyo caso PiCt-i) no depende de ti, pem se obtiene a partir de Ja distribuci6n a priori p(t). En este caso, los otros jugadores conocen la conjetura de i sobre sus tipos. 3.1.C Definicion del equilibrio bayesiano de Nash Ahera queremos definir el concepto de equilibria de los juegos bayesianos eshiticos. Para ello, necesjtamos definir primero los espacios de estrategias de los jugadores en dicho juego. Recordemos de las secdones 2.3.8 y 2.4.8 que la estrategia de un jugador es un plan de acci6n completo. que establece una acd6n factible para cada contingencia en Ja que el jugador podria tener que actuar. Dada la secuencia temporal del juego es~tico bayesiano en el cual el azar comienza el juego eligiendo los tipos de los jugadores. una estrategia (pura) del jugador i debe establecer una acci6n posible para cadlz uno de los tipos posibles del jugador i.

De1i.nici6n. En el juego bayesiano estdtico G = (A \•... ,A,,; Tl ,' .. ,T,, ; Pl •. .. , Pn; Ul "",U'n) , una ed.,.tdegi. del jllglldor i es una funcion ~; (t,) donde, para

cada tipo ti en Ti l B.-(ti) detelm;na la aeewn del conjunto fac tible A i que et tipo ti eiegiria si el alar dete.minara que el jugador es de este lipo. A1 rontrario que en los juegos (tanto estaticos como dinamicos) con informad6n completa, en un juego bayesiano, los espacios de estrategias no se dan en la representaci6n en forma normal del juego, sino que se construyen a partir de los espacios de tipos y acciones. El conjunto de posibles estrategias (puras) del jugador i, Si, es el conjunto de todas las fundones posibles ron dominic T j y recorrido Ai . Por ejemplo, en una estrategia de separaci6n, cada tipo ~ en Ti elige una acci6n diferente aj de Ai. Por el contrario, en una estrategia de agrupocion, todos los tipos eligen la misma acci6n. Esta distinci6n entre estrategias de separaci6n y deagrupaci6n es importante para la discusi6n de los juegos dincimicos con informaci6n incompleta del capftulo 4. lntroducimos la distinci6n aqui 5610 para ayudar a describir Ia gran variedad de estrategias que pueden construirse a partir de un determinado par de espacios de tipos y acciones, T; y Ai. Puede parecer innecesario exigir que la estrategia del jugador i deter· mine una acci6n factible para cada uno de los tipos posibles del jugador

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156 / jUECOS EST ATICOS CON L'lFQRMAo6N lN~Pl£TA (C. J )

es una funci6n b,(Vi) que determina la puja que elegiria cada uno de los tipos (cs declr, vaioraciones) de i . En un equilibrio bayesiano de Nash.la estrategia b\ (tit) del jug.dor 1 es una mejor respuesta a la estrategia b,(u,) del jugador2 y viceversa. Formalmente, el parde estrategias (bl ( IIt ),bz(vz» constituye un equilibrio bayesiano de Nash si. para cada Vi en [0.11. bi(Vi) es una soluci6n de

I ,

max(v; - b,) Prob{ b; > b,(vj ) f + 2( v; - b,) Prob{ b; = bj ( vj)}.

Simplificamos la exposici6n buscando un equilibrio lineal: b\ (v\) = a l + Cl vt ybz(V2) = Q,2 + C2t12· N6teseque'lOestamoslimitandolosespacios

de estrategias de los jugadores para inc1uir s610 estrategias lineaJes. sino que estamos permitiendo que los jugadores elijan estrategias arbitrarias y nos preguntamos si existe un equilibrio lineal Resulta que, puesto que las valoraciones de los jugadores estan uniiormemente distribuidas, no s610 existe un equilibrio lineal sino que este es Unico (en un sentido que precisaremos). Veremos que bi(Vj) = v;/2. Es declr, cada jugador entrega una puja igual a )a mitad de su valoraci6n. Tal puja refleja el dilema fundamental at que se enirenla cualquier partidpanle en W\a subasta de este tipo: cuanto mas alta sea la puja mcis posibilidades tiene de ganar;

cuanto mas haja sea la puja, mayor sera la ganancia si gana. Supongamos que el jugador j adopta la estrategia bj(vj ) = aj + Cj V j ' Para un valor dado Vi la mejor respuesta del jugador i es una soluci6n de

donde hemos utilizado el hecho de que Prob{b, = bj(vj) } = 0 (puesto que bj(vj ) = aj + CjVj Y V j esta uniformemente distribuida, tambien 10 esta bj }. Puesto que no liene sentido que el jugador i puje por dehajo de la puja minima del jugador j y serla tonto por parte de i pujar por encima del m.iximo del jugador i, tenemos que a j :5 bj :5 a j + Cj, por 10 que

Prob{ bj' > a j + CjVj} = Frob { V j <

b. - a.J } = b' -aJ' . I

Por 10 tanto, la mejor respuesta del jugador i es 0;(";) =

{(V; + aj)/2 si aj

Vi ~ a j ,

Si Vi <aj.

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ApiiarimtS / 163

V. = v,+(1 / 4)

Intercambio

Figun 3.2.3 Comparemos las figuras 3.2.1 Y 3.2.3 (las descripciones de los pares

de valoraciones para los cuales el intercambio ocurre en los equilibrios de preda unko Y sim~trico respectivamente). En ambos casas se da el intercambio posible mas valioso (concretamente v, = 0 y V. := 1). Pero at equilibria de predo Unico Ie faltan algunos intercambios valios05 (como v, = 0 y Vb = X - l , donde l es pequeno, y logra algunos intercambios que casi no valen nada (como v. = x - l Y V" = :t + d . Por el (ontrario, at equilibrio lineal Ie faltan todos los intercambios que casi no valen nada pero logra todos los intercambios de valor al menos 1/ 4. Esto sugiere que el equilibria lineal puede dominar los equilibri05 de plecio Unico en t~rminos de las ganancias esperadas de los jugadores, pero tambibl. plantea la posibilidad de que los jugadores pudieran estar indllso mejor

en un equilibria alternativo. Myerson y Satterthwaite (1983) demuestran que, para distribucion.. uniformes de las valoraciones como las consideradas aqw.. el equilibria lineal consigue ganancias espe1adas mayores que ningdn 0110 equilibrio bayesiano de Nash en subasta duble (incluyendo equilibri05 mUltiples).

Esto significa que no existe un equilibrio bayesiano de Nash en subasta doble tal queel intercambioocurra si y s610 si es eficiente (es declr, si y5610

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I I

I ,

I I

£jerddos I 169

3.4 Lecturas adicionales Myerson (985) ofrece una introducci6n mi1s deta1lada a los juegos bayesianos, el equilibria bayesiano de Nash y al principia de revelaci6n. Consilltese McAlee y McMillan (1987) pa'" un examen de la literatura sobre subaSlas, induyendo una introducci6n a la maldici6n del ganador. Bulow y Klemperer (1991) extienden el modele de subastas de la secci6n 3.2.B para dar una interesante explicaci6n de los panicos y de los hundimientos rationales en los (digamosl mercados de valores. Sobre el ernpleo bajo infonnaci6n asimetrica constiltese Deere (1988), quienanaliza un modele dimimico en el ella] el trabajador va encontrandose con distintas empresas a 10 largo del tiempo, cada una con su pmpio producto marginal conocido de forma privada. Para aplicadones del principia de revelaci6n consu]tese Baron y Myerson (1982) sobre la regulaci6n de un monopolio con costes desconocidos, Hart (1983) sobre los rontratos implIcitos y el pam involuntario y Sappington (1983) sobre la teorfa de la agenda.

3.5 Ejercicios 3.1 lQu~ es un juego bayesiano estatico? ,Que es una estrategia (pun) en tal juego? i.Qu~ es un equilibria bayesiano de Nash (con estrategias puras) en dicho juego?

3.2 Consideremos un duopolio de Coumot que opera en un mercado con demanda inversa P(Q) = a· - Q, donde Q = ql + (f2 es la cantidad aglEgada en el mercado. Ambas empresas tienen unos costes totales de Ci(qi) = cql, pero la demanda es incierta: es alta (0 = aA) con probabilidad y baja (a = as) con probabilidad 1 AdemAs, Ia informaci6n es asimetrica . La empresa 1 sabe si la demanda es alta 0 baja, pero la empicsa 2 no 10 sube. Todo esto es infonnaci6n del dominio publico. las des emp" as eligen cantidades simul~neamente. , Cuales son los espados de estrategtas de las dos emplEsas? Haganse supuestos sabre GA, /ln, eye de manera que todas las cantidades de equilibrio sean positivas. ,Cui1I es el equilibrio bayesiano de este juego?

3.3 Consideremos el siguiente modele de duopoliode Bei b and con informaci6n asimemca y productos difelenciados. La demanda que se dirige ala empiesa i es q;(p;,Pj) = a - Pi - bi' Pj . Los costes son cero para ambas

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Rt:(tmu;i4s / 173

- . 1973. "Games with Randomly Disturbed Payoffs: A New Rationale (or Mixed Strategy Equilibrium Points." inlenIDlional 'ounIDI of Game Theory 2:1-23. HART, O. 1983. ~Optimal Labour Contracts under Asymmetric Information ." Review of Economic Studies 50:3-35.

MCAFEE, P. Y j . MCMILLAN. 1987. "Auctions and Bidding." 'ournal of Economic Literaturf 25:699-738. MYERSON, R. 1979. "[ncentiveCompatability and the Bargaining Problem." Econometrica 47:61 -73. - . 1981. "OptimaJ Auction Design." Mathematics of Operations Research 6:58-73.

- . 1985. "Bayesian Equilibrium and Incentive Compatibility: An lntroduction." ln Social Gools and Social Organization. L. Hurwicz, D.Schmeidler, y H. Sonnenschein, eds. Cambridge: Cambridge University Press. MVERSON, R. , Y M. SATTERHWAITE. 1983. "Efficient Mechanisms for Bilateral Trading." Jounlal of Economic Tlreory 28:265-81 . SAPPING ION, D. 1983. "Limited Liability Contracts between Principal and Agent. " JOllnwl of Economic Theory 21 :1-21.

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178 / JUEGOS DLNMUCOS CON lNFOIt~o6N L'KOMPUTA (c. 'I)

• •

1 3

c o· 2 1

o o

Figun 4.1.1 Utilizando la representad6n en forma normal de este juego dada en La figura 4.1.2. observamos que existen dos equilibrios de Nash con estrategias puras, (/,//) y (D,fY) . Para determinar si estos equilibrios de Nas h son perfectos en subjuegos utilizamos la representaci6n en forma extensiva para definjr los subjuegos del juego. Puesto que un juego es definido de modo que comienza en un nodo de decisi6n, que no es mas que un conjunto de informaci6n con un Unico clemento (aunque no es el primer nodo de decisi6n del juego), el juego de Ia figura 4.1.1 no tiene subjuegos. Si un juego no tiene subjuegos. el requisito de perfecci6n en subjuegos (conaetamente que las estrategias de los jugadores constituyan un equilibrio de Nash en cada subjuego) se cumple de forma trivial. Por tanto. en cualquier juego que no tenga subjuegos la definici6n de equilibrio de Nash perfecto en subjuegos es equivalente a la definici6n de equilibrio de Nash, por 10 que en la figura 4.1.1 tanto (I ,l ' ) como (D,D' ) son equilibrios de Nash perfectos en subjuegos. No obstante, (D,D' ) depende cJaramente de una amenaza que no [csu1ta Cicible: si llega cl tumo del jugador 2, jugar [' domina a jugar D', por 10 que el jugador 1 no deberia verse inducido a jugar D por la amenaza del jugador 2 de jugar D' si llega a mover. Jugador 2

Jugador 1

2,1

0,0

0,2 0,1

1,3

! II

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184 1 JU£GOS DIN.\MJCOS CON INR)RMAo6N INCOMPlETA (c. 4)

p = 1; si la estrategia de 2 es D , la conjetura de 3 debe seT p = O. Pero si

la conjetura de 3 es p = Lei requisito 2 fuerza a que La estrategia de 3 sea 0 ', con 10 que las estrategias (L,I,/' ) Yla conjetura p = 0 no satisfacen los requisitos 1 a 4. Como segunda ilustraci6n del requisito 4, supongamos que la figura 4.1.4 se modifica como muestra 1.1 figura 4.1 .5. EI jugador 2 dispone ahora de una tercera acci6n posible, L' que termina el juego. (Para simplificar ignoramos las ganancias en este juego.) Como antes, si la estrategia de equilibrio del jugador 1 es L. el conjunto de inforrnaci6n del jugador 3 esta fuera de la trayectoria de equilibrio, pero ahora el requisito 4 puede no detenninar La conjetura de 3 a partir de La estrategia de 2. Si la estrategia de 2 es L', el requisito 4 no pone restricciones en la conjetura de 3, }'Em si la estrategia de 2 es jugar [ con probabilidad q) . D con probabilidad '12 y L' con probabilidad 1 - ql - </2, donde ql + tn > 0, el requisito 4 dicta que la conjetura de 3 sea p = 'I1 / (ql + '12). Para conduir esta secc:i6n, relacionamos de modo informaJ el equilibrio bayesiano perfecto con los conceptos de equilibrio presentados en los capitulos anteriores. En un equilibrio de Nash, la estrategia de cada jugador debe .ser una mejor respuesta a las estrategias de los otros jugadores, par 10 que ningUn jugador elige una estrategia estrictamente dominada. En un equilibrio bayesiano perfecto. los requisitos 1 Y2 equivalen a eldgir que La estrategia de ningl1n jugador est~ estrictamente dominada comenundo en cua)quier ronjunto de informaci6n. (Vcase la secci6n 4.4 para una definici6n formal de dominancia estricta comenzando en un conjunto de inlormaci6n.) EI equilibrio de Nash y el equilibrio bayesiano de Nash no comparten esta caracterlstica en conjuntos de informaci6n situados men de la trayectoria de equilibrio, como los conjuntos de infonnaci6n que no estan contenidos en ninglin subjuego. El equilibrio bayesiano perfecto tapa estos agujeros: los jugadores no pueden amena?1r con jugar estrategias estrictamente dominadas a) comienzo de cualqwer conjunto de informaci6n fuera de la trayectoria de equilibrio. Como indicamos anteriormente, una de las virtudes del concepto de equilibrio bayesiano perfecto es que hare expUcitas las conjeturas de los jugadores para imponer no 5610 los requisitos 3 y 4, smo tambibl otros requisitos (sabre ronjeturas fuera de La trayectoria de equilibrio). Puesto que eJ equilibrio bayesiano perfecto no per mite que el jugador i juegue una estrategia estrictamente dominada comenzando en un conjunto de informaci6n fuera de la trayectoria de equilibrio, tal vez no sea razonable que el jugador j crea que el jugador i jugari tal estrategia. Sin embargo, puesto

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lu~ dt snuJljzacUfn / 189

rua.ndo se aplica at emisor. EI receptor, por el contrano, elige una acci6n despues de observar el mensaje del emisor perc sin conocer el tipo de este, por 10 que la elecci6n del receptor se da en un conjunto de infonnaci6n con mas de un elemento. (Existe un conjunto de informaci6n de esa dase para cada mensaje que pudiera elegir el emisor y cada uno de estos conjuntos de informaci6n tiene un node para cada tipo que pudiera haber determinado el azar.) Aplicando el requisito 1 al receptor obtenemos:

Requisito 1 de senaHzacion. Despufs de observar cua/quieT mensnjt fflj de M , el receptor debe fo rmarse luta co"jelura sobre que lipo5 podrian llIlher envindo mJ • DenotemOSe5ta conjetura con la distribud6n de probabilidad Il {t j lm j ), dOllde I,(ti/ m j ) ~ 0 para cada t j en T y

L j.t(t j Imj ) = 1. t , ET

Dados el mensaje del emisor y la conjetura del receptor, es inmediato caracterizar la acci6n 6ptima del receptor. Aplicando el requisito 2 al receptor obtenemos :

, •

Requisito 2R de seii~iz.adon. Para cnda m j 1m M , la accwn del receptor a -(mj) debe maximizar la utilidad esperada del receptor dada 10 cOlljetura J,l(t il m j ) sobre que tipos paddon hnber tmviado m j. Es decir, a "(ntj) es IIna soludan de

El requisito 2 tambien se aplica aI emisor. pero este tiene informaci6n completa (y por tanto una conjetura trivial), y ademas decide solamente al principio del juego, por 10 que el requisito 2 es simplemente que la estrategia del emisor sea 6ptima dada la esrrategia del receptor.

Requisito 2Ede senali zaci6n. Paracado t i en T .el mensajedel emisorm-(t;) debe maximizar la uti/idad del emisor dada la estrategia del receptor a·(mj ). Es dedr, m·(ti) es una soluda" de

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JutgOS dr snialiZlld6n / 193

3. Dos empresas observan la educaci6n del trabajador (perc no su capacidad) y entonces Ie hacen ofertas saJariaJes de (orma simultanea." 4. El trabajador acepta la oferta salafial mas alta, lanzando una moneda en caso de empate. Sea w ei salaria que acepta el trabajador.

Las ganandas son las siguientes: W - c(1),e) es la del trabajador, donde c(,."e) es el coste en el que incurre un trabajador con capacidad f1 para obtener una educad6n e; Y(l},e) - w es la de la empresa que emplea al trabajador, donde Y(1J,e) es Ja producci6n de un trabajador con capaddad '/ que ha obtenido una educaci6n e; y eero es la de la empresa que no emplea aJ trabajador. Vamos a centramos (aqui en derto modo y mas en la secci6n4.4) en un equilibria bayesiano perfecto en el cual las empresas interpretan 1a educaci6n como una senal de capacidad y, en ronsecuencia, ofrecen un mayor salafia al trabajador con mas educaci6n. La ironia del trabajo de Spence (1973) es que los salarios pueden aumentar con la educaci6n induso si la educaci6n no tiene efeeto alguno sabre la productividad (es deciT, induso si la producci6n del trabajador con habilidad '1 es Y(71), independientemente de e). EI trabajo de Spence (1974) generaliza el argumento al incluir la posibilidad de que la producd6n aumente no s610 con la capacidad, sino tambjen con la educadon; 1a conclusi6n anaJoga es entonces que los salarios aumenian con la educaci6n mas de 10 que puede expHcarse poT el efecto de la educaci6n en la productividad. 5eguimos este enfoque mas generaJ.5 Es un hecho bien establecido que los salarios son mayores {en promedio} para los trabajadores con mas aftos de escolaridad (por ejemplo, vease Mincer (1974)). Este hecho invita a interpretaT la variable e como los anos de escolaridad. En un equilibrio de separaci6n podriamos pensaT que un trabajador con capacidad baja tiene una educaci6n de grado medio y que un trabajador con capacidad alta tiene una educaci6n universitaria. Desgraciadamente, interpmar e como los altos de escolaridad plant(!3 cuestiones dinamicas que no tratamos en el juego simple en 1-4, como la posibiUdad de que una empJesa haga una oferta salarial despues ~ La presencia de dos emp" 5lS en el pa~ del receptor deja este juego ligeramt':nte fuefa de Ia dase de juegos anallzada en 1.1 sccci6n previa, pero vhse Ia discusi6n que pn;.u:de a 101 eruad6n (4.2.1) . .5 Formaimente. suponemos que rrabajadores ron aha capacidad son mU productivos (es decir, y(A,e) > y{B,e) para toda cl, 't que Ia educaci6n no reduce Ia productividad (es dedr, lIt ('l,c) ~ 0 para cada ' I y cada e, donde J/e('l,e) es Ia product1vldad marginaJ de la educad6n para un tTaba,iador de capaddad Tj con una educadoo c).

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J~ dt sdfali.uo6n / 197

Curvas de indiferenda para capacidad PI

y(n ,t)

~ ...............••.. • • •

<"In) Figura 4.2.4

Ahara volvemos (de forma pennanente) al supuesto de que la capaci-

dad del trabajador es iniormaci6n privada. Esto abre la posibilidad de que un trabajador con capacidad baja pueda tratar de pasar por un trabajador d. capacidad alta. Pued. n plant. ..'.' dos casas. La figura 4.2.5 describe el caso en el que Ie resulta demasiado cam a un trabajador con capacidad baja adquirir una educaci6n e"(A), incluso si esto pezmitiera engafiar a las empresas y hacer que Ie pagaran el salario w · (A). Es dear, en la figura 4.2.5, w '(B ) - clB,c' (B)} > w'(Al - cIB,c'(A)} . I,

I, w

y(A,t)

..................... -.................... ..... .. -:. •• •• ••

,• ,,• ,, w -(B )

• ••

........... .

•• •• •• ••

•• •• •

, ' (8)

Figura 4.2.5

y(B,t)

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202 I JUECOS D!N A.~ CON 1NfORMAa6N INCOMPL£TA (C. 4)

•

I'(A lo) = { ~

para 0 < 0"(;1 )

para 0 ~ o"(A ).

(4.2.6)

La estrategia de las emplMas es entonces

_ {Y(B .o) ( ) 10 0 y(;I,e)

para ~ < e·(A) para e ~ e'(A).

(4.2.7)

Puesto que 0' ( ;1 ) es la mejor respuesta del trabajador con capacidad alta a la funci6n de salanos w = y(A ,e), tambim es la me;or respuesta aquf. Con respecto al trabajador de baja capacidad. o' (B) es la mejor respuesta de dicho trabajador ruando la funci6n de sa!arios es w = y(B ,o), de manera que w ' ( B) -c( B,o'(B)lesla mayor ganancia queel trabajador puede lograr de entre todas las elecciones de e < ~ · (A ) . Puesto que las CUTvas de indiferencia del trabajador de baja capacidad tienen mayor pencliente que las del trabajador de alta capacidad, w ' ( A) - c( B,<'(A)1 es la mayor ganancia que puede conseguir aqul un trabajador de baja eapacidad de entre todas las e1ecciones de 0 ~ o'(A ). Por tanto, o"(B ) es la mejor respuesta de un trabajador de baja capacidad, puesto que w '(B ) - c[B ,o'(8)] > w "(A) - clB,o' (Al] en el easo en que no hay envidia. A partir de aquf ignoramos el case en e1 que no hay envidia. Como sugerimos anterionnente, la figura 4.2.6 (e1 case con envidia) es tMs inteif sante. Ahora el trabajador con capacidad alta no puede ganar el salario

alto 10(0) = y( A,e) simplemente eUgiendo la educaci6n o"(A) que e1egirla hajo informaci6n completa. En su lugar, para set\aJizar su capacidad, el trabajador con capacidad alta debe elegiT e. > e·(A), como muestra la figura 4.28, puesto que el trabajador COli capacidad baja imitarj cualquier valor de ~ entre ~ ·( A ) y ~. si hacerlo Ueva a las emprf -as a (Jeer que tiene eapacidad alta . Formalmente, eI equIIibrio natural bayesiano perfecto de separad6n induyeahora Ia esbategia [0(8) = , "(8),« A) = e.] del trabajador y las conjeturas de equilibrio I'[A le'(B)] = 0 y I'[A I, .] = I Y los salarios de equilibrio w [, '(B)] = w'(B) y w(,.) = y(A ,o.) de las emp'esos. £ote es el tlnico comportamiento en equilibrio que sobrevive al refinamiento que aplicaremos en la secci6n 4.4.

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206 I JlJEC05 OINMClC05 CON 1NfORMAa6N tNCOMPLETA (Co 4)

Para un valor determinado de ell, si (4.2.9) da que WII < y(A,e,,), entonces (4.2.10) determina el valor Unico de 1t que constituye un equilibrio hfurido en el cual el trabajador con capacidad baja esroge aleatoriamente entre e- (B ) y ell, mientras que si WII > y(A ~lI). no existe ninglin equilibria hfurido que induya ell . 1

•

,,,i

, y(1I~)

+ (1 - r) y{B.t)

Figura 4.2.9

La figura 4.2.9 ilustra de forma implicita el valor 11" consistente con e1 valor indicado de ell . Dado e", el salario WIl es una soluci6n de (4.2.9), por 10 que el punto (ell ,wll) esta en la curva de indiferencia del trabajador con baja capacidod que pasa par el punta (e°(B},wO( B)) . Dado w. < y(II ... }, la probabilidad r es una soLuci6n de r . y(A,ell) + (1 - r) . y(B, ell) = WII. Esta probabilidod es Ia conjetura en equilibrio de las emp""', par 10 que (402.8) significa que ~ = q(l- r) /r (1 - q). La 6gura tarnbi&l muestra que 1. restricci6n w,." < y{A ,e:,.,,) es equivalente a ell < e., donde e. es la educaci6n elegida por el trabajador con capacidad alta en el equilibrio de separaci6n

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Otnzs Gplicadonn dd tqwilibrio baytsiarw jJt'ftt 'QI 213

4.3 Otras aplicadones del equilibrio hayesiano perfecto 4.3.A Juegos con putoteo (chrll.p.tll.lk gJlmrs)

Los juegos con parlo.eo son a",Hogos a los juegos de seilalizaci6n, pero en aquellos juegoslos mensajes del emisor consisten en un mem parloteo (carente de coste alguno, que no es vinculante, y tuyo contenido son declaraciones no verificables). Tal parloteo no puede ser informativo en el juego de seftalizaci6n de Spence: un trabajador que simpJemente anunciara "mi capacidad es alta" no seefa crefdo. Sin embargo, en otros contextos, este tipo de cornunicaci6n previa puede ser informativo. Como e;emplo sencillo, consideremos las posibles intcrpretaciones de la frase "sube la balsa"? En aplicaciones con mayor interts econ6mico, Stein (1989) demuestra que las meras declaraciones de la autoridad monetaria pueden ser informativas aunque no puedan ser demasiado piecisas, y Matthews (1989) estudia c6mo una amenaza de veto por parte del presidente de los Estados Unidos puede influir en la forma como se aprueba el presupuesto en el CongIC~ norteamericano. Adema.s de analizar el efeclo del parloteo en un contexto detemlinado, uno tambitn puede preguntarse c6mo disei\ar contextos para aprovechar esta forma de comurucaci6n. En este sentido, Austen-Smith (1990) demuestra que, en algunos casas, debates entre legisladores que acruan segUn su propio interts acaban mejorando eI valor social de Ia legislaci6n que se aproeba, y Farrell YGibbons (1991) demuestran que, en algunos casos, la implantaci6n sindical en una empiesa mejora el bienestar social (a pesar de la distorsi6n que erea en el mvel de empleo dcscrita en la secci6n 2.1.C) porque fadlita Ja comunicaci6n entre la fuerza de 'Tahajo y la direcci6n. El parloteo no puede sec infonnativo en el modele de Spence porque todos los tipos del emisor tienen las mismas preferencias en relaci6n con Jas posibles aedones del receptor. todos los trabajadores pre6el'en salarios altos, independientemente de su capaddad. Para ver por qut tal uniforrnidad de prefelencias entre los tipos del emisor vida el parloteo (en el modelo de Spence y mas en general), .upongamos que existiera un equilibrio con estTategias puras en el cual un subconjunto de los tipos del

' En U. veni6nen inglHde:llibro, 1Ji frutque origi.naJ.mt:nte .~eI "fhy,looI:OIo!! for 0.1 INsr, que puede tnduru. como "jCuidado con Hoe autobU.st'" 0 como "IEspen He autobU.s!" •

dependimdo del contexto. La fn.seque,..,.....ltrosinduimosaquf es UNde wmuchas fUSHm castellano que puede ieRe. slgni5ados toOlpletamente dildEnte dependlmdodel rontu:to. tsta" u. kiell q~eI.utor qu.iete bOpi(E)r. (N . de los T.).

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DIms ap/iCllciontS dd tqwilitnio brlyesumo pil!edo / 217

Como en nuestra discusi6n anterior sobre las condiciones necesarias para que el parloteo sea informativo, hemos escogido las ganancias del receptor de forma que prefiera la acd6n baja (08) cuando el tipo del emisor es bajo (ts) y la acci6n alta cuando el tipo es alto. Para ilustrar la primera condici6n necesaria, supongamos que los dos tipos del emisor tienen las mismas preferencias respecto de las acciones: :z; > z e y > w, por ejemplo, de forma que los dos tipos prefieren as a a,.. Entonces, a los dos tipos les gustaria que el receptor creyera que t = ts, por 10 que el receptor no puede crEer tal afirmaci6n. Para ilustrar la tercera condici6n necesaria, supongamos que las preferencias de los jugadores son totalmente opuestas: z > :z; e y > w, de forma que el tipo bajo del emisor prefiere la acci6n alta y el tipo alto la baja. Entonces, a to Ie gustaria que el receptor creyera que t -= tA l Y a t,. Ie gustarfa que creyera que t = tB, por 10 que el receptor no puede acer ninguna de estas afirmaciones. En este juego con dos tipos y dos acciones. el Unico caso que cumple la primera y la tercera condiciones nec:esarias es :r: > z e 'Y ~ w (los intel eses de los jugadores estan perfectamentc alineados en el sentido de que, dado el tipo del emisor, los jugadores coinciden en la acti6n que deberia tomarse) . Formalmente, en un equilibrio bayesiano pel fecto de separaci6n de este juego con parloteo, la estrategia del emisor es [m(tB) = tB,m(tA) = tAl, las conjeturas del receptor son ~(tB l t.) = 1 Y ,,(tB[tA) = 0, y I. estrategia del receptor es [a('B) = a • .a(tA) = aAl. Para que estas estrategias y conjeturas formen un equilibrio, cada tipo del emisor, tj, debe preferir decir la verdad, induciendo con ella Ia acci6n ai, a mentir, induciendo con ella aj. Por 10 tanto, un equilibrio de separaci6n existe si y 5610 si :r: ~ z e y ~ w. Nuestro segundo ejemplo es un caso especial del modele de Crawford y Sobel. Ahora, los espados de tipos, mensajes y actiones son continuos: el tipo del emisor se distribuye unifonnemente entre cero y uno (fonnaimente, T = [0,11 y p(t) = 1 para todo tenT); el espado de mensajes es el espado de tipos (M = 11; y el espacio de acciones es el intervalo de cero a uno (A = 10,l11. La fund6n de ganandas del receptor es U .(t,.) ~ - (0 - t)2, Y la del emisor es U .(t,o) ~ -Ia - (t + b)J2, de forma que cuando el tipo del ernisor es t.la acci6n 6ptima delleceptor es Q -= t, pero la acci6n 6ptima del emisor es a = t + b. Por 10 tanto, difaentes tipos del emisor tienen dife:tentes prefelbtcias respecto de las acciones del receptor (INs ph:cisamente, tipos altos prefieiEn acciones altas), y las preferendas de los jugadores no son completamente opuestas (mas precisamente, el panimetro b > 0 mide la similitud de las preferendas de

Co~yn~r1tcd malenal

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222 / )UEGOS DtNAMlCOS CON INR>RMAOON L'lCOMP\..ETA (e. 4)

por parte de la emplcs? de los nuevos productos en fase de planificad6n. Simplificamos e1 analisis suponiendo que w,. = 71' 8 = O. EI juego de negodaci6n dura des periodos como maximo. En eI primer periodo, (1 sindicato realiza una oferta salana!. 101. Si la empiCScl ilcepta esta ofel ta el juego concluye: la ganancia del sindicato es WI Y la de la empresa 'If" - W I ' (Estas ganancias son los valores presentes de las sucesiones de salarios y beneficios [netosl que los jugadores acumulan a 10 largo de la duraci6n del contralo que se est.1i negociando, normalmente bes anos en Estados Unidos.) Si la empiC5a rechaza esta aferta. enton·

ces el juego pasa al segundo periodo. El sindicato realiza una segunda oferta salariat 'W2. Si la empresa acepta la oferta, los valores presentes de las ganancias de los jugadores (medidos en el primer periodo) son 61V2 para el sindicato y 6(11'" - W2) para la empJCsa. donde 6 refleja tanto el

descuento como la corta vida de 10 que queda de contrato despu~ del primer periodo. Si la empH -a rechaza la segunda oferta del sindicato, el juego finaliza y las ganancias son ceo para ambos jugadores. Un m~ delo mas rea1ista podrla pet mitir que la negociaci6n continuara hasta que una olert. fuera a"""tada, 0 podria obligar a las partes a someterse a una decisi6n arbitral vincu1ante despu~ de una hue1ga prolongada. Aqui sa· crificam06 realismo para ganar claridad. (V~ Sobel Y Takahashi 119831 y eJ ejercicio 4.12 para un anaIisis con horizonte infinito.) Definir y hallar un equilibrio bayesiano perfecto es algo complicado en este modelo, pclO la soluci6n eventual es simple e intuitiva. Empezamos, por 10 tanto, esbozando eI Unico equilibrio bayesiano perfecto de este juego.

• La oiem salarial del sindicato en el primer periodo es

•

(2- 6>' = 2(4 _ 36) " • .

1I'i=~= 2- 6 ...... 2- 6

4- 36

la empresa acepta wi; en caso contrario, la empresa recha.za wi. • Si su oferta es rechaz.ada en el primer paiooo, e1 sindicato actualiza su COfIjetura sobre los beneficios de la empresa: el sindicato crtt que 'If se distribuye uniformemente en (O,Kil. • La ore ta salaria! del sindicato en eI segundo periodo (condicionada a que wi sea rechazada) es

Copyng lied rnatcn':l

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236 I JUECOS DlNAMJcos CON INFORMAo6N lNC'OMPUTA (c. " )

Hasta ahora hemos demostrado que el jugador columna no tiene incentivos para desviarse cooperando basta el periodo t, - 1 Y dejando de cooperar en e1 periodo t, dado que se jugara el equilibrio cooperativ~ en el juego de continuaci6n que empieza en el periodo t + 2. Mas en general. el jugador columna podria cooperar hasta el periodo t - 1, no cooperar en los periodos tat + $ Y volver a cooperar en el periodo t + 6 + I. Hay tres casos que son triviales: (]) si t + s = T (es decir, si el jugador columna nunca coopera despues de no haberlo hecho en el periodo t), la ganancia es a en e1 periodo t y cero en 10 sucesivo, que es menor que (4.3.5); (2) 5i t + $ + 1 = T, la gananda del jugador columna de taT es a + h, peor que en 0), y (3) 5i t + s + 1 = T - l.la ganancia del jugador columna de taT es a + b + PC1, que es menor que (4.3.5). Quedan por considerar los valores de s para los que t + s + 1 < T - 1. AI igual que en el caso anterior con 6 = O. existe un equilibrio cooperativo en el juego de continuaci6n que empieza en el periodo t + s + 2; supongamos que se juega estc equHibrio. Entonces, la ganancia del jugador columna en los periodos taT por jugar esta desviaci6n es

a + b + IT - (, . . + 2) - 11 + p + (1 - p)b + pa. que es, de nuevo, menor que (4.3.5).

4.4 Refinamientos del equilibria bayesiano perfecto En la secci6n 4.1 definimos un equilibrio bayesiano perfecto como las estrategias y las conjeturas que satisfacen los requisitos 1 a 4. y observamos que en tal equilibrio ninguna cstrategia de ninglin jugador puede estar estrictamente dominada a partir de ningfut conjunto de informaci6n. Ahora consideramos dos requisitos adidonales (sobre conjeturas fuera de la trayedoria deequilibrio), el primero de los cuales formaliZa la idea siguiente: puesto que un equilibrio baycsiano perfecto impide que el jugador i jue-gue una estategia estrictamente dominada a partir de algUn conjunto de informaci6n. no es razonable que el jugador ; crea que i utiljzara esa estrategia. Para conoetar mas esta idea, consideremos el juego de la figura 4.4.1. Existen dos equilibrios bayesianos perfectos en estrategias puras: (/ ,F,p = 1) Y <D.D',p S 1/ 2)9 La caracteristica clave de este ejemplo es que para 'Deriv.,. IJI repiCktltad6n en fo..na normal r.vela que existft\ en este juego dOl equllibriosde Nuh conestrlttogW puns: U.t'l y (D.U ). Puetoque no nay 5Ubju~ en la forma

•

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RqiMmUmtos dt l tqllilihrio bQytSilno pt,1«to I 241

en lugar de 0 y 1 como en la figura 4.4.2. Ahara [([,l).{u,d),p = O, 5,q) es un equilibrio bayesiano perfecto de agrupaci6n para cu.alquier valor de q, por 10 que [(I,l),(u,d),p = 0,5,q = O[ es un equilibrio bayesiano perfecto que satisface el requisito 5 de senalizaci6n. En algunos juegos, existen equilibrios bayesianos perlectos que parecen poco razonables y sin embargo satisfacen el requisito 5. Una de las areas de investigaci6n mas activas en teona de juegos se ha preocupado de las dos siguientes cuestiones: (i) cuAndo es un equilibrio bayesiano perfecto poco razonable y (li) que requisito adidonal puecle afiadirse a la definid6n de equilibrio para eliminar estos equilibrios que no son ra~ zonables. Cho y Kreps (1987) hideron una contribuci6n original y muy influyente en esta Area. Vamos a conduir esta secci6n discutiendo tres aspectos de su trabajo: (1) el juego de sei\alizaci6n "cerveza y quiche", que ilustra c6mo rimos equilibrios bayesianos perfectos que no son ra~ zonabJes pueclen satisfacer el requisito 5 de sefializaci6n; (2) una versi6n mas fuerte (pero de ninguna manera la mas fuerte posible) del requisito 5 de sei\alizad6n, Uamada el criterio intwWooi y (3) la aplkad6n del criterio intuitivo aJ juego de sefializaci6n en el Mercado de trabajo de Spence. I ,I

Cobardica

Ipl

Quiche

0,-1

c.r.....

,, ,, ,, ,, 3,0 ,, ,, Receptor ,, ,,

0,5

Aur

,, , ,

0, 5

Duelo :,

,, ,

Iql ,, ,, ,, No 2.0 ,,, ,, ,, Receptor ,, ,,

•• •

:, Oueto

1,·1

, ,•

Quiche 2,0

0,1

Cerveu

Malas pulgas

[I - q)

3,0

FiguraU.3 En el juego de sc:i\alizaci6n "cerveza y quiche", el emisor es uno de los dos tipos: I, = "cobardica" (con probabilidad O. 1) Y t, = "malas puIgas" (con probabilidad 0,9) . E1 mensaje del emisor es su elecci6n de cerveza

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246 / JUEGOS IXNAMtOOSCON tr-.'RJRMACIOO INCOMPLETA (C. 4)

y (A ,t)

Y (A", )

_....__.. _ __ _-.................-_...... ...

q Y (A ,,)

...

••• ••

y ( B,,)

•

••• • •

w " (B)

,, ,• •

........•.... •

,•••

••• •• •

•• •

•

!• , "( B)

Figur. U.S

Suponemos ahora que q es alta. como se indica en la figura 4.4.6. Como antes, los equilibrios hfuridos en los que eI tipo con capaddad baja se comporta aJeatoriamente no pueden satisfacer el requisito 5 de sei\alizaci6n, petO ahora los equilibrios de agrupaci6n y equilibrios hfbridos en los que el tipo con capaddad alta se comporta aleatoriamente pueden satisfacer este requisito si la agrupaci6n se da en un punta (educaci6n. salario) de la tcgi6n sombreada de la figura. Sin embargo, estos equilibrios no pueden satisfacer el requisito 6 de sef\alizaci6n. Considetefil05 e1 equilibrio de agrupaci6n en eo mostrado en la figura 4.4.7. Lase1eccionesdeniveldeeducaci6n e > tf estandominadasenequiIibrio para e1 tipo con baja capacidad porque induso el salario m.1s alto que podria pagarse a un trabajador con educaci6n e, concretamente y(A,e), da un punto (educaci6n, salano) per debajo de la curva de indiferencia del trabajadar con baja capacidad que pasa por el punta de equilibria (eo,wo)' Las e1ecciones de nlvel de educaci6n entre e' y elf no estan dominadas en equilibria para 01 tipo con capacidad alta. Sin embargo, si esta elecci6n convence a las empiesas de que e1 trabajador tiene capacidad alta, estas onoceriln e1 salario y(A,e), 10 que harA que e1 trabajador con capacidad alta est~ mejor que en eI equilibria de agrupaci6n indicado. Por 10 tanto,

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4.2 Deiiluesbcsc que no existe ningUn equilibrio bayesiano perfecto con estrategias puras en el siguiente juego en forma extensiva. ,eual es el equilibrio bayesiano perfecto con estrategias mixtas? D

11 - pI

(pI

D-

4.3 a. Describase un equilibrio bayesiano perfecto de agrupad6n en el que los dos tipos del emisor juegan Den el siguiente juego de senalizaci6n.

1.2

""'

•

/ 0,1

0,5 3,0

2,0

Receptor

Azar

Receptor

b. El siguiente juego de seIializaci6n con hes tipos empieza con una jugada del azar, que no aparece en e1arbol y que determina uno de los bes tipos con igual probabilidad_ Descr1base un equilibrio bayesiano perfecto de agrupaci6n en el que los hes tipos del emisor juegan I .

Copvrl

ted matena

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Rr/m'ftOO / 257

(ll) detenitfnese si el equilibrio puede ser sustentado par conjeturas que

satisfagan el requisito 6 de sefializaci6n Cel criterio intuitivo).

4.7 Referencias AUSTEN-SMITH, D. 1990. "Information Transmission in Debate." American

Jounlal of Political Science 34:124-52. AXELROD, R. 1981 . "The Emergence of Cooperation Among Egoists."American Political Science Review 75:306-18. BALL, L. 1990. "lime-Consistent Policy and Persistent Changes in In-

flation." National Bureau of Economic Research Working Paper 113529 (December) . BARRO, R. 1986. "Reputation in a Model or Monetary Policy with incomplete Infonnation." Journal of Monetary Economics 17:3-20. BHATTACHARYA, S. 1979. '1mperfect Information, Dividend Policy, and

the ' Bird in the Hand' Fallacy: Bell Journal of Economics 10:259-70. CHO. J.-K . y D. KREPs. 1987. "Signaling Games and Stable Equilibria: Qilarterly JounlD.l of Economics 102:179-222. CHo, I.-K, y J. SOBa. 1990. "Strategic Stability and Uniqueness in Signaling Games:' Journal 0/ Economic Theory 50:381-413. CRAMION, P., YJ. TRACY. 1992. "Strikes and Holdouts in Wage Bargainin!rTheory and Data ." American Economic Review 82:100-21 .

CRAWFORD, V., Y J. SOBEl. 1982. "Strategic Infomation Transmission: Econometrica 50:1431-51. DYBVtG, P., YJ. ZENDER. 1991. "Capital Structure and Dividend Irrelevance with AsymmetriC Information ." Review of Financinl StudiLs 4:201 -19. FARRELL, J., y R. GmBONS. 1991. "Union Voice." Mimeo, Cornell University.

FUoENBERG, D., Y J. TIROLE. 1991. "Perfect Bayesian Equilibrium and Sequential Equilibrium: /oul7UIl of F.conomic Theory 53:2.36-{,Q. HARSANYt, J. 1%7. "Games with Incomplete Information Played by Bayesian Players, Parts I, D, and ill: Mll1wg<mrn1 5ciena 14:159 82, 32G-34, 486 502.

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INDICE ANALInco I

Abrw, D., 28.. 104, J.Q6 acuerdo. 10M romo jugar un juego

Axelrod. R.o228 Ball, L . 130. 248 8anm, D., l!o!! Barro, R.. ~ 112, 210 bataUa de k» 5eXOS. ta: con infwmaci6n incompleta. 153-54 ejemplo de juego con mllltiples equilimo. de Nash. 11·12 tjemplo de equilibi io de Nub ('On estrategias mixtas. 1W, 40-45, 152

posibiUdad de que no haya acuerdo, 12n6, 59 rtiad6n con d equilibrio de Nash, 9,12 Admati, A., III agrupad6n. equilibria de, v6rst agrupadOn parcW. equilibrio de; Nyniano pe.f«to, equilibria;

agrupaci6n etntegia de agrupKi6n. fttratrgia de, lSO. 188 bat",J", ubategias mixtas m. 31

v6ast tambiln bayFTieno peifecto. equilibrio; agrupKi6n. equilibria de agrupad6n parcW. equilibria de

bay$ano, jurgo, 143,n6ty t.",biirI

inf0rmaci6n incompleta. ju ego con; InIonnaci6n incomplda bayeslano de Nash, equilibria

en el juego de Crawford y ~. 2B Mos con pariotl!O. 216 v6rst tambiln bayesiano pt"rlKto. equilibrio Akerlof, G .. m amenaus y promesas, c. edibilidad de

compatibilidad deincentivot, 161 ddinido. 148-52 ~ 3 .]..,1.8. 169=112

tjeiddo 4.6. 249 en el principo de nwlad6n. 165 en" bltalla de los teXOI con informad6n incompleta. 153-55 en IUbasta doble, 159 en ."be_Qt, 155 IitnjtadonesdeL 174 linNl. en suhMta. ISS-57 lint...t. m .. ·basg dob&e. 159 61 predo Unico, en wbam dobIe.. 160 rdaci6n con el equllibrio bs)\( ' j'no petfed"", 175-76 I~, en I"ba . ., 157·58, 166-67,

~. 53. 5S. 8S. 87. 126

ara~es. juego de los, 7J.77

ejercicio 2.9. 134-35 arbi tTajr convencional. 23 ronlmido inIormativo de las ofertu.

48 ofet1aS lllaria)es de equillbrio de Nash en ole t.l final. 2.l-21 irboI del. juego. 56, 11~17,n1rtw tllmbibr forma extmstVAo juego en AumaM, R., l. 32n14. 35n15

Austtn-Smith. D.,

m 248

•

157n3,

262 / 1NcK:E ANAl1nco

tI6Ist t.mbim hl.yesiano. jutgo; infOl"'ll\ad6n inconlpleta.; hl.y.dano PUMtu. equilibria bayesl.ano di.nimko, )u!go. t'6uc ~ juego de; comunic.aci6n pm.ia. ju~o con; hl.yestano pelfecto, equilibrio; reputa~ seNlizaci6n, iueso de lNiyesiano esUtiro. juego ej.... cicic» 3.1=3.8. Ui9.. ln mecanismo directo. 165 n:ptuehtaci6n en forma normal de, 146-50 subuta, ISS-57 subuta doble. 159 64 P6I5t t.mbiin bayeslano de Nash, equilibrio; principio de n:velaci6n hIIyestano perfecto, equilibria construcd6n Informal del, 129

definici6n del, 182 definid6n del, en ju ~p con porloi<o, 215 ddinici6n del, en ju!gos de 5d\I1Izad6n. 190

ejmidco llt,;. U. U. ' .11).4. IS, 48, 249. 252., 253, 2S3-S6 en eI diluna de b pi nos ,eF etido finitJ.mmte con inforuaci6n

asimftrica. 127.. 36 en juc:gos dirWnlCOl con lnfOiUwf6n rompleta pelO imperfecta. I71-85 en !gos dlnimicoe: con informa,ci6n incompleta, 175-76 en negociaci6n sucniva con informac:i6n .simlblca. 221 ..27 mmamientOl del, 2J.-'i l'

;\1

Mst tlImbiirr negodaci6n,. juego de la: conjeturu; parloteo, jv egos con.: hlbrido, oquilibrio; .grupoci6n parrial. equilibria de; agrupad6n. equilibria de; refiN.miento; requisitos ~ oepu>d6n. oquilibrio de; """,,.0, oquilibrio; _ Juego de Ia; Fa fa10 en SUbjuegOl, equilibria de Nash

~yesiano perfecto hJbrido. equilibrio

.;.mao u. 253 en sd\ali z aci6n en eJ mercado de trahlljo, 2fh.2f1l

lNiyesjAno perfecto con estntegUs mixW, equilibrio e;el cicio ~ 2SO hIIyesiano perfecto de agrupaci6n. oquilibrio definici6n de, en juegos de seNlizad6n, l 90 eje:tcici05 i.l. 4,4, 4.16. 250. 251, 256 ejtllLplo de, 191 en juegos ron parlateo. 215-16 en un juego de seftalizad6n de estructura de capital, 208-10 en un juego de sd\alizaci6n en poUtica monetaria, 210 en seftAllzad6n en el merado de trabajo, lA9-201

bayesiano perfecto de separaci6n, equilibria definid6n de. en juegos de

_190 ejahplo de. 192 <jm;icio U. 251 en juegOl con parlat@(), 21Z en un juego de set\llizaci6n en eil1"o!l cado de trabaJo. 199-204

en un jurgo de aefWizaci6n en estructura de capital, 208 en un juego de teftalizaci6n en poUtica monetaria, 211 .. 12 Becker", G .• lJO blisbol. estrategia5 mLxtas en el, JO. 4{1 Benoit. J,-P., lJO BertrInd, J., 2. 15n I Betband, equilibrio de, 6On4 Bel Ii and, juego de duopolio de, 21 , 23-59 con informaci6n .sim&ica: e;eldcio 3.3, 1(,9.70

""""'s<n"'_

ron prod""'" 1.7.49 en juegos repetidos: ejerricios 2.13, 2.14. 136 w:a:se tnrbibt duopolio, juego de

." I

•

fNotct ANALit 100 I 263 Bhattacharya.

s.. no, 248

Brandl!r'lburg~. A.. 47 Brouw~. teooe.... de punto fiJode. 45

BuchanAn,J.• 131

Bulow, J.• 112. llD.l.ld

89·90, 101 · 102. 228n6

en )urge» 'epetida.linltaaoU.te con informad6n comp. SZ..M tI6ast WItbiirI .tpetido. Juego ~o. equilibria. 35n15 correspondmcia de mr:jot i ii pur.tI 001110 fund6n de nwojot mpub" ,

colusi6n

42..43

en tI duopollo de Coumot dirVimico, IOI- I06 en modelos diNmicos de duopolio. 10S- 10 v6ut 'Ilmbiht n!~do. juego compatibilldad de inantivos, 164 65 competencia intl!madonal, 2D

ronjotunu en conjuntof de inIormaci6n ron uno

ddiruda,. J6

de " jugadom. 47 inte.xaiones de. 39, 41 repreKRtacionn grific:u de, 35, J8. 4 2 ......

Coumot, A., 2. 11 Coumot. juego de duopoUo/ ollgopollo

ymUdeune~to. l79

con Wonnad6n asim~ 143, 144:146. aI', lSI

en equilibria bayesiano

ron informad6ncrooom-,pleta.I5-21 ,

perfecto.ISI . l85 ftt juLgOi bayesianos estIiticos, 148

59 R 75-1'6, 145-146

m 1"riinI.ntient05 del equilibria blyesiano perfecto. n" 47 tllmhiln InIormadOn impel fecta; informaci6n inmmpleta conjunto de lnfonnad6n con mil de un demento. ~ 129,

"""Sf'

176, ~ l.8!i drlirudo. con e~~~um,p1os. m.n

eje<ddo u, l6!I e;MkV» U .. l.6, 48 49 eja dcio z.J5. 11'6 en jt' I gas ~, 101-106 Db., IIImbibt julgo deduopoUo Cournot, equllibrio de, 6On4 Cramton,. P., 248

Crawfo.d, V., 177, 214, 2S3 c.edibllidad en 101 juegoe clbWnk:oa, 53 u!,w t.mbiln uroa.u •• y pioo..,.'"

en Ia definki6t. de infoe •• o.aci6n lmpmecta. 121

Criterio intWdvo, rl 'Y l1!qwsHo Ii de

en La definid6n de infonnACi6n pHfecta. 121 o6ut tllmbibl con)etuns; nodo de decisiOn; lrayectoria de equllibrio; Inlomad6n lmperfecta; informaci6n

ChAtte.ju. K., 159 Cho, L· K . 177, 243, 249

.......-

Inwmplda contin·,ftd6n. fuego de, 176, 235

<jel' idos

m. m 254, 2S6

I!r\ eI dilema de los ph *01 "tpttklo

o.sgupta, P. 48 dedsi6n" beoila de 1a.. uni,frmte. multi-peJiCAi&l., 61

infinit:a.me:nte con inIotnollci6n

Dme. D., 1M

asimltria. 221-36 en d medea de ularic» de

Diamond. D.,

e6dencI.a..lC11·I08 en juesos .epttlodos infinit&mente.

a 73

dilena de 101 ph _ . eI

cwpaid6nen. 89-91, m . 2J6 equillbrio de Nash en. 10

264 I INooa ANALInco estnotegjo del ~ .... !ill estrategia del Tali6n en. 228

ubateg!u domlnad&s en. , ganana. de lex:: VJI en. 8t.a2 .epetido finitamente. 80-82 IEF etido finlW!'oel.te con lnfonnad6n asirMtric:a. '127-36 NpttidO infinita.mente. 87-90, QQ.95 iep,esEfllad6n en MhI. otensin d~. 120 'EpilSElllaci6n en fomlA normal de, 213 dilema dellllrMritano, 131 dWmico, juego

ron infotnloki6ro completa ptiO Impof«ta, ZQ. 120-121 con info. mtd6n compJeta y pafecta. 55 con infotmv''''", lncolnpleta, 176 etra.tegia en. 91, 117 o6tst bmIbiIn inducri6n haria atrts; fow .. extenslViI, Juego en; bayesiano pe iecto, equilibria; l'tpttiJo, juego; po fE<:to a1lUbjutgOS, equlIibrio de Null disparador (tri"tr), tstra~ del. ~ 95. 99, 100, lO6.. u6w t.mbiin itpEtidO. juego dorninadA. Utiiltegia. WIi$C ntric:tammte dominada, tStrategia duopolio, ~o de,""'''' Bu band. juego de duopolio de; Cownot. juego de duopoli%ligopolio dE';

supervbliln impElMlA, juep con; Stackelbei g. jutgo de duopollo de; variables de estado. juego con

0ybvIg. P.54, 73, "'"

tjidos, tI problema de los, 27·28 tliminad6n ilt'rlltiva de 2Ebiltegias ntrictamentedominadas; ~ 1].1 5

en ;.' egos de oligopolio de Coumot. 19-21 t ' ..... t.".wm tsbk."taJrIil.te

dornifwd.a, utJ.tegia

equilibrio. tJlast' bl.y. liano de: Nash. equilibrio; bayesiAno prrt'KIO. equilibrio; de agrupad6n. equl.librio; de $EparKi6n. equilibrio; hibrido, equilibria; lineaL equllibrio; Nash. equllibrio de; pnft'Cto en subjuegos, equilibrio de Nash; agrupaci6n pa.rdal equlllbrio de: espacio de estratqi.a.s tje. dcio& U. U. l6!l en equilibrio lineal, 15>56. 160 en eJ juegode duopoliode Be.hand,

21 en eJ juego de duopolio de

Coumot. I5 m juegos ron infonnaci6n compldA.

3 HI jueg05 dlnamicos con infonnad6n

rompleta. 118 en juegoe esUlttk.,,,,,,, ron inIormKi6n

COb"lpleti. 92 en jucgw estilttk.,,,,,,, ron inf0rmtci6n

inromplN. 1'1M1 m subl:Stu, 155

oitIM tmftbilrt foe "oa extmsiva, juego en; fui ",a normal. juego m uf I do de tipos en eJ juego de Coumot con infonnad6n as~. 147 en jLKgos bl.yesian08estttiw6, 147-48 en I. bataJla de to. lex05 con inform.IId6n incompleta. 153 Espinosa. M., 67. 129. 137 esUtico, ~o con informad6n complm. 1.:2 con Wonnad6n incompleta. 143 oUSt'tlntbiin bare dano de Nash. equilibrio; Nash. equilibrio de; forma normal. ju ~go m ; etapil. juego

d. ntrategja. ObM' conjrtura; eJ palo Y la unahoria, esttategUi de; equilJ.1mo; mixta. estl'lllteg:ia; pun. estrat~; £: b icWroesite dominada, estrategU;

disparador, estra~ de estrictamente dominlda, est'iteg:ia

definid6n de, S v6I5c I.mbibi eUminaci6n itenotiv. de t5trategias estrictame:nte dominadas etilpa. juq;o de ron mUltiples equilibrios de Nul\. 82-87 de decislones sucesivu, 109. 111 en eI teorema de Friedman, 92 en juegos repetidos infinitamente, ~ I

9'-92 l"n juegos repetidos infinitamente con inforrTUlci6n complm. 82 en juegos re:petidos Infinitamente con Infonnad6n incompleta, 221 Mot tllmbibi .epetido, juego expectativas en un juego .epttido de poUtica monetaria. 112·115 oh" tlJmbiirt exF !Ctativas racionaJes ElCpecl:ativas racionaJes, J

factor de decuento, 66. 16fl1 declO de valOiei Nj05 del, 99, Im. )Q6

en juegot .epetidc» Infinltamente, 93. 97 Fal bel . H.. i. 2J farol . en p6quer. 30 FaiTdl. J., 86, 120, 213, 248 Femindez. R . 129 finilO, juego: ~ 45. 181nl. V6tstu.mbiln .epetido finitamente. juego l~ extmsJva. juegoen.. ~ 11>111

. 138-39

rdaci6n ron Ia lonna normal. 119 vi.ast tambibr nodo de dedst6n; conjufllO de lnIonnad6n; forma nomW. ju ego en forma normal, rgo en: definici6nde, pull un ;'ego con

inIormaci6n rou.pIeta. 3. f

definid6n de, pua un ;urgo estttico ron ~ lncompM!ta, 146-15(1

ejercicios 2,21. 2 n 138-39

ej.... O:kio ....l.249 nolaM6etcon ~ep en Ioc ..... extet\$lva. JJ8-J9 transaipd6n del enunciado lnfonnaJ de un problema a un. 1>16. 21·22153, ISS (J ,y tambibt foJ UI.I extensiva. juego

Friedman, J., 15n I, 54, 96, 101 Friedman. teonoma de, 88 demostrad6n del, W, 99-101 enunciado del. 96 fi"",)lera de Pareto. 81 Fudmberg., D., ~ 1811\3 fund6n de rroejoe' rnpunh, 35-31 como COrmlpondmc:il de meJor

respuesta, f2'H como estntqia,. 125 en eI juego de duopoUo de Coumot. 11·21 , 39 en eI juego de los aranc.!.r I , 15 fundones de pnandas. en jurge» bayesianosest61icoe, 146, 149 en juegoe estitkol ron inIoeuwWn completa. f

gananc:i.a factible, 95 gAfW'da rr.edlo, 96 gananda de le!!i va, W, 2!8. ganandu, informAd6n del domlnio pUblico5Obre Iu, 111, 143 determinados par. db.tegi... 2 espuadOi a partir de estrategias mixtas, J6 inca tidu.mbruobre 101.143, 146-141 trh., tambibi ganmda factilHe; gananda media; (PonancUI de • ! II . va Gibbons. R.. 48, 213. 248 GlnM, J.• 129

Gordon. D.. K 112 g:nnada.;' Ego de 1a ameNza' nocnO-I E7 end, 5J...54 . , -~ "6 como ,.nge con UliOi Ut'''''' rou.plda y pefa:ta. 55 ejuddo 1.21. 138-39

ma..

266 / lNota! ANAL111CO viGk' umbi/n .mehan. y piOnlif us GnIE~'.n. E.. .106

Hall. R . 159, 171 IUrdIn. G.,V.• 'Z7 Hananyi.J .• 31. 148. 152. 176

Hut. 0 .• 168 hJbrido. . . . . . .. 188 hfbrldo, equilibrio, ph, bayaiano perfecto. equilibria; hlbrida. estrategfa hip6tesis de r.cion.lidad. en lnducci6n hada 57·59 Hotelling. H .• SO Huizinga. H .• 1lS Hume. 0 .. Z. Xl

.tru.

Ignoranda de jug"''' anted0l6. 120-21 p . ,§t tltmbibi lnformad6n impaf«ta inducd6n haria .tri.s en equilibria bay, 'i.no pcfeclo. las en equilibria de Nuh F declO en sut;uegol, 124. 129 en Juegos diN.mlcoI con infonnaci6n cOd,pleta y JXifata. 56 en juc:gos diN.micos con infonnad6n incomplda. c:jaddo J.8.. 171-n, hip6V 51. subyk'ft\teI de. 57·59 o6tst tltmbiln resultado por inducci6n hada.trU inducci6n h.ria adeWo~. 243 InIcnnadoIn

en teaM de fa decisiOn UN- frente • multipLISonal. 61 v6tv t.mbiht inIon:nId6r, asimI:trIca; informad6n WClIpleta; inIonnad6n impa fc:<:ta; infonNci6n inCOUipleta; infOin .ci6n pafecta; inlom,aci6t. pri.....

. • ...... d " , ".uvbo . ~ . wOlm c:ja...;.;v.. g. 3.3. l69! ejo'tido 4.12, 254 en eI diJeina de b pi !IN' ItFztido finilai:nmte. m . 2.16

m d modrio de duopolio de Coumot. 14, 146 en d moddo de negodac:i6l'l sucesiv• • 22.1·27 o6tst tltmbibt inIormad6n incOlllP\eu; inf0rmaci6n privada

info. maci6n comp)eta. L 143. tiasc umbim informad6n incompleb infonnacilm complebl y perfecta. juego

con. 55. ~ IfImbihr lnducri6n hacia atri.s; 'Epetido. juego; perfecto m subjuegos, equilibrio de N.sh inIormaci6n complebl pLiO imperfKta. juego ron. 'ZD. 120-121 en dOl etapas, 92. 117 a s'et IfImbiin lnIo'lilad6n impEl fata.; bayP d'ne .,. • ...mfa_to. equilibrio; .q;etido, jufgo; po fato en subju Egos. equilibria de Nash inIormad6n del dominic p6blko, Z en el juego de duopolio de Coumot con inIonnad6n asimitrica. 1M en ;.Fg\llScon infonnad6n complda y PUh:cta. 117. 143 sobi t La radonalid.d de los

Jugado. :r. l.. S6-59 sobre las fundones de ganand.u de los jugadOi 6 . 1 inCO.iI-;aci6n imperfecta

definida, 53 en el juego de los 'T1Inceles. 73-77 en el juego de los pmicos bancmOi. 71-73 en e1 juego de:: tOIllEO. 77-tJ) en jupgos .epe:tidos finjtamen~. 80-87 en juegos 'Epc:tidOS infinitammte, 87-105 juegOl dinimkos con. ZO o6tst IfImbibt infor'mad6n ... ",mupleta pao irnpafecta. juego~ infonnaci6n incoihpleta; ronjunto de infonnad6n; hi) : !I,no JIf!i fecto. ,-, "' ..."t .............; uuOln.toun paecta; peJecto en subjuc:gos, equilibria de Nuh 1nI", n .."" 2UI"p • " ' "... Io:w -

_.........

dud., mit Ia nldonalldad CO~o,

kakutanl. leotan. de, 45, 47

53.1

Kennon. J., 248

en juESO' con JMrkJteo. 213-21 en Ia mnte.p.l!fN'i6n del equilibrio de Nash con ubalegias minas, 40,

K1empe.e.. . P.• l.6!i KMRW (Krrps. Mlllg.,,'OlJI,... Robe ts,

152·55 en los jutgos de seftalizad6n. 185-213, ,...... '7 en un ~o estitim, 146-150 tI6:Ist tllrnbih! informaci6n asimftrica;

b.yesiano de Nash, equilibrio; informad6n completa; lnformad6n lmperfecta; bayeslano pmecto. equilibria; informaci6n privada; ~tad6n; principia de rewlaci6n

informad6n incompleta, ju~o con, 143, 176, v61st tQmbiin bayeiano. juego; b..ytliano de Nash. equilibrio; JMrloteo. jurgos con; infcmnad6n incompleta; bayelano perfecto, equilibria; sdlalizaci6n. juego de InCOI 1I1J1ci6n perlectl

dtftnlda.. 53. 121 juego dinjmico con.. Sf tJ6tst t4mbibt inducci6n h.ada ahil; dinAmko con inf0rmad6n romplm y perfl!Cb. ;uego; lnf0nnaci6n imperfeda; pt:.fecto en .u~. equilibria de Nash infonnaci6n privada dixfulndo juegOl con, 164

eje.cidos 3,6-3.8, 171

en IUbutu, 155-58

en subastas dobles. 159 64 v61:5t tllmbiin informad6n as~ca; bayulano de Nash..

equilibria; 1nfonnod6n Inoomplota; bayesiano perfecto. equll1brio; prindp~ de reYmci6n

Wibon) moddo de. 229-34 KDhlmg. E., 24J

Klfps. D,. 48, 115n111.

uo.. 177, 180,

228, 241 , 243 Krishna, V" 130

J UA"1U'. E., ~ 71, llIl 134. 159. 111

leland, H,. 248 Leontid', W., ~ 55, 62

McAfee, P.• lfB McMilUn.I., l30.1.6i Mapuf. N., 177. 186.208 Maskin. E., 48, 86. 2I.l3Il

maw bi.n&.ria. 3 M.tthews,

s.. m 248

mecanismo dLecto, 165 compatibilidlld de incft'ttivos. 165 decir la vtrdad en, 166-68 par. subasUi dob~. 166 tJ6l5t I.mbibr principlo de mre:lad6n mensaje dominado. o6IJt requisito .5 de sd\I,1i z ad6n me.+"je domirv.do en equillbrio,.n6rsr requWto 6 de IeftAliudlm Mel teN, J.-F.• 243 MilgJOIlI, P., 177, 228. & 248 Mincer, J., l!3 mixta, estntq:\1 dd'inid6n de, 32

139 l;e,ddo ~ 110-71

eje ddo t.Z. lSI ejrrcicios 1.9-1 .14. SUit mnteJptebld6n de, 40 rf,v,lAmbim Nash. equilibrio de; Nuh.teotenl1 de; pura, ub.tegia; csbltegi.a

'gode1M(" gtrltb"FUJa), 29: ('()jiespondmda de mrJoa H..ZpU ~Ita

1JUW:! \ ;

Kakutani. S .• ol5

268 / iNOK:E ANALfnco en el. 3S equili'brio de Nash con tsbalegiu miJI:w en d . 37·39 ~lrah!giaa mixtas en d . 39

ga.nandu esptl adas en eI. 33 siendo mU listo en d. 30: Montgomezy, J.• 51

Myen. 5.. 177. 186. 208 Myerson. R.,

w.. 164. 166. 1.62

rdaci6n con eliminaci6n

iterativa de estratq;ias estrictamente domlnadas, lO=ll, 12· 15. 19-2.1 v6asc tllmbim blyesi&no de Nash. equilibrio; convmio; diminaci6n imativa de e5lrategiu estricUmente dominadas; bayuiano peri!Cto. equilibrio; pel fecto en SUbjueg05. equilibrio de Nash Nash. t!!Olema de, 33. 45, 124

d~&d6ndel~7

Nash, J., l,.. 11 . 45 Nash, equillbrio de con amenazas 0 ppn,OHmn ,e~',,'S increibles,53, 126-J22 con estrategias mixtas, 10n4, 37-15 ddinici6n de. con estra.tegias mixtu, 37 definki6n de. con e5tralegW puns. 8. ejemplo5 de. 9-10 ejerddo 2.2J. 138-39 t:judcioe 1~J.8. 48 t9 en d juego de arbitraje de ofma final, 23-26

en d ;...ego de doopolio de Be. band., 21 en d juf!go de duopotio de Cournot. I~ 19 en el juego de Ia moneda. 37-39 en e1 jutgo de los pinia» bancuios,

n·n en juegoe en d08 etapu con infonn.ad6n coa.p&et.a pelO

Imperfedil, 7O=7J. Z!. 76, 78-79 en juegof .epetidos en dOl etapas, 81 ,

""" en juegos repetidoI infinitaaoEllte, 90-91. 99. 1m. 109-1 II, 114-15 existmcia de, en j\' eg05 finitoe, 33 45 fundamentKi6n del. ~ lim.ilac;''- : I del, 177 mUitipla. 11, no exhlepida con 7FLategias puns.

extensi6n del, 47 negociaci6n con homonte finito, tuego de I. con infonnad6n asizr.lbka. 221·27 e;erocio 2. 19• 138 ejtscici05 • .10-4.14. 253-56 Ksultado por inducd6n haria abis

del~

negu;aci6n con horizonte infinito, ~o

de" ejertic.ios !J.. 2.20. 131 , 138 mcltado por inducri6n hada atrb de Rubinstein. 68 69 N:gorlad6n de Rubinstein, juego de lao

st. 55. 66. 88, 11 7 eje.dcios ~ 2.19, 2.20, 131 . 138 niAo mimado, leOIema del lJO nodo de deci5i6n enjuegolenformaextensiva. 117, 119-21. V6rst ttmtbiin conjeturu; informaci6n imperfecta; conjunto de informaci6n; nodo tennina1 nodo tenninaI en juegosen forma extensiVI, 117 en subjuegos. 125n19 n{ pst t#1fIbthJ nodo de decisi6n; fat Ii La extensiva. juego en Noldeke, G., 194

OIIbome, M.. 130

22 reinta pzet»d6n con UI:.at.gias

mixtu, 40, I52·155

p&Io Y Ia unahoria, estra.tegi.t del lOS,

IJl6

I ,

p'nkoe bincario&, Jueso de a . m. 71 ·1) ejerocio 139 parioteo. juego ron (cJwp-talk JIImtl. ITl.

ptobabil!d ad

de que R acabe un;' ·go Itpetido. gn

21}21.

distribuci6n. 241111 en estJ1Ittgias mixtu, 31 funci6n de den,ldad,23nl0 tW$r t.mbiht ~ de Bayes conjetun problema de tfOlia de); I p. f punta fip. teoitUUl del. 45-47

equilibria bayeiano perfu:to en, 177,

pun. etrategi.l:

2 13-21

des&lTOUo tmlpcul de. 215 ojerncioo U. U. Us. 253, 256 equilibria de agrupaci6n parcial en.

215

definid6n de, 93, 117

v6tst tambiin bayeiano, juego; bay~iano perfecto. equilibrio; smalizaci6n, juego de

eit'l<icio 2.18, 138 eju ddos hl.. 3.J.. 169-70 en jueg05 baymanousdticos. 151·52 en juegOl de ~ci6n. 188 en;uegoe dlNmlcot con lnfonnad6n

Pearce, D., l2nt4, 16 penaliuci6n. 87 daeocadmamiento arodmtal de una, 1Jl6 mbfuertecrdble. 98.1()4..1OS WRst tilmbiin palo y La zanahorla, tlb"alrgia del; supervisi6n imperfecta.. jutgos con.; disparador. estnltegia del pel feeto en 5Ubjueg05. equllibrio de

Nash. 57, 89-91. 99, 124-126 ddinici6n de, ii; ej!.dcios 2.10-2..13. 2.19.2 n 135-36. 138-39

-tne t"mbiin Inducri6n haria atri.s, resu)tado por inducd6n hacia atris; Nash. equilibrio de; rnwtadopafecto en SUbjueg05; bayesiano perfecto. equilibrio

Perry. M., 132 p6qu~. 30

Porter. R., lJl6. predicd6n en teoria de jueges. ~ 9 equillbrio de Nash como. 1. 8 por inducdOn had! abis, 56-59 PP~.'~hdergut. 133

c..

principia de revelaci6n en eI di'Ll'oo de ,,,N.S, 164-165; tnundadg formal del. 166 o6tst tmrtbibt meanismo di:t ecto, compatibilldad de incentivce;

i.nfOi lhac.i6n prtvacta

complem. 93 en juegoe iepetidOll con Infcowm..ci6n completa, 93 u6rK t"mbibl estr&tegia; mixta.

.....top Pylo. 0 .. 248

racionalWhd sucesiva, 17'9

muwruenlo de. equilibria bay, 1"\0 pel !«to, 177.194. 199. ;z:Q2.:t16. 248 del equilibria de Nash. 84 eJuddo f .16. 2S6 "8ia do ..ye. 149n2, 180, 204n6 idliEgodId6n" 86-86. 11

iept:tido finitan"..... te, juego: con WoI'tNd6n compieta. 80-87 deflnid6n, 82 dilema de los PP"u",;,. .. con Wormaci6n

incompLeta,227-36 ,""~ci'.a'''' it liiegon ....on · m un. .>&1 ' A7

lei etido tnflnitamn\te, Ju ~SO. trl· IOI

dtftnido. 92 ....l<gia dol ""pando< on, .. ottatepa en. 93

_ .....

subjuego en. if wnbfbt pnanc:ia me ita coopa.-'.f,u; coi.rfl6n; f..tor de de5CU61to; pnanda factible;

w·,..

270 I fNotcr ANAt1nco tradid6n oral, ttomna de: ganancia de .' 7 rva; puf«:to en subjuegos, equilibrio de Nuh; disparador, etrategia del lep,n . 7ttaci6n de un juego .eptexhtaci6n en lomla 7

en et;1' go de los parucos t.nc:arios, 71 en el juego de 10$ aranceles, 76 en et ; 7Ego de salarios de eficiencia, Ifll en juEgos dinimkos con infonnaci6n cornpleta pero imperfecta, 71 en juegos Icpetidos en dOl mpu. ~

ex~va, 115-116

83-84

fcp.exhtaci6n en (07 Uia nonnaJ. K

~ncond~uWbriodeN~

146-150 Wilst' tRmbibt (Otola extellsiva. juego en; fOiDta normaL juegoen reputaci6n wu.puaci6n con d teoIen .. de tradid6n ora], 228-30 en el dllema de kIs p'tlOS .epetido finitamente, 227-36 rf'st't4mbiin inIonnaci6n inc:ompleta; Xf dido finitan......w, fuego; •epetido infinitamente, juego requisito S de selIaliz.ad6n (para refinamiento del equilibrio bayesiano pafato). 240. 24.3, 245-46

po fecto en subjuegos. 12~127 v6rse tllmbihl ~wtado por indu0:i6n it...;. atris; pelfecto en subjuegos. equilibrio de Nash resuJtado por inducd6n had' ahis. 5& ejen:icios 2.1-2.5. JW32 en d juego de duopolio de Strielbug. 60 en d juego de negociaci6n con b'eS periodO$, 67 en eI juego de salarios y rovel de empleo, 65 en juegos de etapa. 83nl U en juegos de negoci.aci6n con horizonte infinito. 68-69 en juegos dirWniroe ron infonnad6n pekd:. Y(ompleta. 56 Mrs." tmnbiln equilibrio de Nash pofec:tom subjuegos Rhee, c., 65. 129, 137 Roberts. J.•117, 228. 241. 248 Rogoff, K., 112. 130, 248 R(lsm.S., ~ 17, 1JO Rotembe:tg.J., 1Q6" I36

ejerdcio Y§, 256 requisito ~ para mtrwniento del equilibrio bayesiano pet fttto, 239 requisito 6 de sdIalizad6n (pwi n!fuwniento del equilibria bayniano pof«to). 243-44. u.s .7 ejelcido i.16, 2S6

requisites L 2R. 2E.. 3 de 5Cf\alizaci6n (para equilibrfo bayesLano pafecto en juegos de aeiWizaci6n), 188-90, 23706 aplicacionesde, 196, 198-99, 201·204 en juegos con parlolzo. 215 ~"" ~ paB <qUillbrio boy..w.o perfec:to, 1'l1Hl'i 188 'Ml, 199, 225-26,

Rubinstein. A., 130 Rubinstein. juego de negociad6n de la, 54,55. 66.88. 11 7 e;eroru:. 2 3, 2.19,' 2Q 131 , 138

216 reswtado, wn,parado ron equilibria, 126 uS,., tlImbiin ruultado por inducdOfl hada atrts; resultado pafectoen subjuege» multado pence_to en subjuegos ~ ?t..?9. 133-134

en el jtugo de €tIpa de poUtica monetaria, 113

salarios de riic:iencia, juego de 105, 1Ofj-11 2

ejetcicio 2.17. 136

sa1a.rios Y mvel de empleo m una emp• .. , con fuente implantaci6n aindka1, 62

fNDoa ANAl1nco I 271 en un juego repetido. ejmiclo 2.16, 137 s.loner. G .• I06, 136 Samuebon. W., 159, 254 Sopplngton. D., l6!! Satterthwaite, M ., 1.63

5<MnJanan. J., 48

.secutndal, equilibrio. 181nl , v6zst t.mbibT hlyesiAno peaf«to. equilibrio 5eltm, R . 2!.. 124 sefta.l.iud6n.)ucgos de: 176-n, 181 ddinici6n de, 185-92 t;e.ddOi 4.3-4.7. 2:;0.5)

en d djJema de los pit 101 .tpetido en d duopolio de Cou.mot .tpttido infiniwnente, 105

en eI. juego de poUtic:a monetaria. 115 en e1 modeio de aalarioe de didencia. III en el teomna de tndid6n oral. 101 v6ast tQmbihl inducci6n l...·b_his continuad6n. juego de; perfecto en subjuegoe;, equilibr 10 de Nash sup«Visi6n lmpufecta. julP C.'OIl. 1~106. 106et12

ju~o de estruc:tura de capital.

207·210 juego de mercado de trabajo. 192·20'7 juego de poUtica rnone1aria, 210-213 minanUentos dol oqui1ibrio blyahno ~ fecto en. ZJ9-24B vb st tmsbiln barf dlno, juego; COlhunicaci6n previa. jurgo con; bayesiano pel fedO. tqullibrio septnd6n. equilibrio de. nfrry bayesiano pei fecto. equilibrio Shabd. A .• 68 Shapiro, c..:M. 107 Sobel. J.• 66, 177, 214, 248. 249, 253 Spence. A.M., 177, 186, 192. 10'l..95 Stacchdti, E., l!li Stackelbeag. H. von, 15nl StxkeJbetg. tquilibrio de, 60, 61ni Stackrlberg. juego de duopollo de. 55,59 62.117

infinhamente. 93

.;.mao 2.6. 133 v6zst I.mbiht duopolio. jut:go de

Staiger, D., 129 Stein. J.• 248 Stiglil2, J., 51. 101

duobtecando, 155-159 doble. 159-164 mntapi't'l»Ci6rl en eI rr.... ,.·1o de

...."'J<'-_u l7l-n subjuego defWd6n en ju~gw en ftwUIoI bleilsiv., 123-24

dftinJd6n en juegos i epetidOCl finita e

Sutton, J., 68

T_hI, I. 66, 177, 254 Tali6n (Tit for r.t), CIb.tqia dd. en d dilema de k» pi e..,. i EJA!tidO, 22Ihl2

"po en el jueso de IdWizad6n de estructura de capital. 186 en el ju !go de Id'Ializ.ad6n de poUtica

monetaria. 186 en el juego de tefta Hnd6n en d merado de tnt-jot 186 en Imge» t-yai&not tltf.tkoe, 147. 148 en jufige» COft puloteo, 214 enju!ge»deRft.Hzad6n,l8S en fUOOtas, 155 vhvt"",lMn infonNd6n lnc:ompieu TlJOie, I., x. tn 181n3 toiiW!O, 10, 17-80

e;ucido U 134 Tracy, I .. 248 tndlcl6n oraI.leo:ten. de. 5t. 88n16 n6tsr c.mbim Friedman. teoIeu .. de traytctuil de equilibrio detinid6n cit.2tG-13 conjrtwu en mnJuntOl de inIooUIoId6n en ... 180 con)etwu en conjuntOI de informad6n fumI de I&. 182 tIi'4Jl" t.mbiIrt t-y' ·,no Fbftcto,

m / !NDtCE ANAl1nco equllibrio; rdinamiento; pEl fecto e\ subjucgos. equillbrio de Nash

valor pi ! I mte. 89 Van DamJne. E.. 194 nriabJes de (s'y!o. juego ron. 105-106 Yicbrs. J.• 171, 186, 210

Wilson. R.. I1Sn17. lJO. 117, 180, 228, 248

YeUen. ,., 130

Zender. J.• ~

Este libro presenta una de las herramientas mas poderosas de analisis econ6mico moderno a una amplia audiencia: no s610 los que se especializan en teoria de juegos pura, sino tambl a los que vayan a utilizar los model os de teoria de juegos campos aplicados del analisis econ6mico. Para poner de el am plio alcance potencial de la teoria, las aplicaciones de areas muy dispares, como la organizaci6n industrial, la nomia laboral, la macroeconomia, la economia financiera 0 economia internacional. "Una introducci6n excelente a la teoria de juegos: clara, cc y lien a de ejemplos". David Kreps, Stanford University. "Esta excelente integraci6n de teoria y de practica es 10 que el mundo desea encontrar en un libro de este tipo". - : Rosen, Stanford University. "Para aquellos investigadores y estudiantes que quieran el uso de los poderosos instrumentos de la teoria de juegos, magnifico libro de Gibbons constituye el lugar perfecto empezar". N. Gregory Mankiw, Harvard University. "Este libro es fundamental, tanto para estudiantes como para investigadores que quieran dominar la teoria de juegos aplicada" - .James Poterba, MIT.

Robert Gibbons es profesor en MIT.

Antoni Bosch

0 editor

www.antonibosch.com

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