2.2. BASES TEÓRICAS 2.2.1 ESTUDIO CINEMÁTICO DEL ROBOT SCARA Un robot SCARA (RRPR), como el mostrado en la figura 2.1, es un robot que posee cuatro articulaciones con ejes paralelos entre sí, de las cuales tres de ellas son de tipo rotoide y una de tipo prismática, en donde esta última se encuentra diseñada para que la herramienta del robot realice un movimiento continuo y que además permita controlar la altura del brazo del actuador. La cuarta articulación de tipo rotoide cumple la función de proporcionar un grado de orientación al Punto Central de la Herramienta (TCP).
Articulación 2
Articulación 1
Articulación 3
Articulación 4
Figura 2.1. Modelo Virtual del Robot SCARAUC, detalle de sus articulaciones (Dibujo tomado del modelo virtual creado en RoboWorks 2.0 Full). Fuente: Elaborado por E. Adrián y A. Castañeda. (2011)
El autómata posee un volumen de trabajo de forma toroidal de sección rectangular tal como es mostrado en la figura 2.2 y a su vez presenta un plano de trabajo que se halla ilustrado en la figura 2.3, este plano se encuentra limitado por la morfología del robot y por la longitud de sus eslabones. 8
Figura 2.2 Volumen de Trabajo del Robot SCARAUC Fuente: Elaborado por E. Adrián y A. Castañeda. (2011)
Figura 2.3 Vista de Planta del Volumen de Trabajo del Robot SCARAUC Fuente: Elaborado por E. Adrián y A. Castañeda. (2011)
En adelante se procederá a realizar los estudios Cinemático Directo, Inverso, Diferencial y el estudio de las singularidades del robot SCARAUC a partir del cálculo Cinemático Diferencial del mismo. 9
2.2.2 ESTUDIO CINEMÁTICO DIRECTO Al realizar el estudio de cinemática directa, lo que se busca obtener son las variables de posición y orientación del elemento terminal del manipulador, en función de la posición de cada una de las articulaciones. Es decir, dada una posición inicial del efector final de un robot, se desea determinar su posición final luego de aplicar movimientos de traslación y rotación que dependen únicamente de la configuración particular de la articulación, por lo tanto la labor a realizar es hallar la matriz de transformación T que permite obtener el resultado de las rotaciones o traslaciones efectuadas por cada articulación. Esta matriz depende de unos parámetros denominados parámetros de Denavit - Hartenberg (D-H). Se dibuja un modelo funcional del robot SCARA con la incorporación de la herramienta final y la articulación adicional, tal como se muestra en la figura 2.4, donde se representa cada articulación del robot, sus conexiones y dimensiones, luego se definen los sistemas de coordenadas como se muestra en la figura 2.5, lo que permite describir el movimiento relativo de sus eslabones a través de los parámetros de D-H.
Lb
Lc
La Ld
Figura 2.4 Diagrama Funcional del robot SCARAUC Fuente: Elaborado por E. Adrián y A. Castañeda. (2011)
10
Lb Z0
Lc Z1 X2 X1 Z2 X3
La Z3
X0
Ld X4
Z4
Figura 2.5 Sistema de Coordenadas Generalizadas para el Robot SCARAUC Fuente: Elaborado por E. Adrián y A. Castañeda. (2011)
En la tabla 2.1 se muestra el resultado de la deducción de los parámetros de D-H. En ella se identifica el número de articulaciones y el valor del parámetro correspondiente. Los parámetros representados son: El parámetro “a” es la distancia normal que existe entre los ejes articulares Zi-1 y Zi con respecto al eje Xi, el parámetro “” es el ángulo de torsión que existe entre ejes Zi-1 y Zi con respecto al eje Xi, el parámetro “” representa la distancia angular que existe entre los eje normales Xi-1 y Xi con respecto al eje Zi-1, este ángulo es variable en las articulaciones rotoides y es constante en las articulaciones prismáticas y el parámetro “d” que representa la distancia lineal que existe entre los ejes normales Xi-1 y Xi con respecto al eje Zi-1, el cual permanece constante en articulaciones rotoides y variable en las articulaciones prismáticas.
11
Tabla 2.1 Parámetros Denavit – Hartenberg.
Articulación
d
a
α
q
1
q1
La
Lb
0°
1
2
q2
0
Lc
180°
2
3
0
q3
0
0°
d3
4
q4
Ld
0
0°
4
Fuente: Elaborado por E. Adrián y A. Castañeda. (2011)
La matriz de transformación T se obtiene a través de la pre-multiplicación sucesiva de las matrices de paso homogéneas
como se muestra en la ecuación (2.1), en donde los
elementos de la matriz de paso están en función de los parámetros obtenidos en la tabla 2.1, tal como se muestra en la ecuación (2.2).
(2.1)
[
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
]
(2.2)
Ahora se obtendrán las cuatro matrices de paso homogéneas por sustitución de los parámetros correspondientes a cada articulación. 12
[
( (
) )
( (
) )
( (
[
( (
) )
[
) )]
[
( ) ( )
( (
) )
( (
( (
]
) )]
) )
]
Luego, al multiplicar las cuatro matrices de paso homogéneas obtenemos como resultado la siguiente Matriz de Transformación Homogénea:
[
( (
) )
( (
) )
( (
) )
( ) ( )]
La anterior operación da como resultado la Matriz de Transformación T, que incluye una sub-matriz para describir la orientación (Matriz de Rotación), la Posición (Vector de Traslación), la perspectiva (que en nuestro caso corresponde a un vector nulo) y el factor de escalado (igual a uno) [1]. [
] 13
La Matriz de Rotación está compuesta de tres vectores que son usados para modelar la rotación del TCP con respecto a un sistema de coordenadas móvil, los cueles son: el vector Normal ⃗⃗ (
), el vector Slide ⃗ (
) y el vector Approach ⃗ (
)y
para la posición del TCP con respecto al sistema de referencia escogido para la base del robot, el vector de Translación ⃗ (
). Quedando así la matriz de Transformación
Generalizada en la Ecuación (2.3) [2].
[
]
(2.3)
En los resultados obtenidos anteriormente tenemos que el vector de Translación que determina la posición del TCP en el robot SCARAUC es el siguiente:
( (
) )
( ) ( )
2.2.2.1 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS En la figura 2.6, se observa el significado geométrico de los resultados obtenidos en las coordenada Px y Py del Vector de Traslación del robot SCARAUC. El ángulo 2 se mide desde el eje del radio Lb hasta el eje que corresponde al radio Lc; así la proyección de Lc (Pcx y Pcy) hacia cualquiera de los ejes coordenados debe tomar en cuenta que su inclinación es de 1+2 grados. 14
Lc
Art 2 de la Braz o
2
Pcy
2
Py
Pcx
Pby
Br a
zo
de
Lb
la
Ar t
1
Lc
1
1 Lb
Pbx
Px
Figura 2.6 Análisis geométrico de los resultados de la cinemática directa Fuente: Elaborado por E. Adrián y A. Castañeda. (2011)
Así, que si Pcx y Pbx son las proyecciones en el eje X de los radios de las circunferencias descritas por los eslabones del brazo robot y Pcy, Pby las proyecciones en el eje Y dadas por: (
(
) (
)
) (
)
Entonces las coordenadas resultantes finales en X y en Y, vienen dadas por la sumatoria de las proyecciones de Lb y Lc en los ejes correspondientes:
( (
) )
( ) ( )
15
2.2.2.2 REPRESENTACIÓN DE LA ORIENTACIÓN Debido a que en el robot SCARAUC se realizará la implementación de una cuarta articulación como se observa en la figura 2.1, se dotará al autómata con la característica de poder proporcionar a un objeto, por lo menos una coordenada de orientación, es decir que dicha articulación tendrá una función similar a la que cumple una muñeca en un humano. Para lograr esta representación mínima de la orientación es necesario usar los ángulos de Euler RPY, Roll (), Pitch (θ) y Yaw (ψ). Estas variables junto con las coordenadas X, Y y Z determinadas anteriormente, comprenden un conjunto de seis variables independientes conocidas como espacio operacional del robot, que facilitan el estudio de trayectorias (Variación de la posición y la orientación en el tiempo) del efector final a través de la relación que estas guardan con los parámetros articulares [1]. A fin de poder relacionar la sub-matriz de orientación con los ángulos de Euler es necesario recurrir a la matriz de rotaciones puras sucesivas generada con los ángulos RPY, de la forma: (
) (
) (
)
[
]
(2.4) La sub-matriz de orientación del robot SCARAUC:
[
( (
) )
( (
) )
]
(2.5)
Igualando miembro a miembro conseguimos las relaciones de los ángulos RPY:
16
2.2.3 ESTUDIO CINEMÁTICO INVERSO En la Cinemática Inversa, se quiere ubicar al TCP en el punto del espacio que se desee y para lograr esto es necesario conocer que movimientos de traslación y rotación de las articulaciones del robot nos permitirán llegar hacia tal punto. Esto puede generar que existan distintas trayectorias o caminos que puedan posicionar el TCP en el lugar seleccionado. Es decir, que se desea buscar la expresiones de 1, 2, d3 y 4 a partir de las posiciones en el plano del TCP en la trayectoria. Para conseguirlo, se parte de la ecuación (2.1) de la matriz de Transformación y se pre-multiplica por las matrices inversas que la componen para así hallar una igualdad que permita obtener un sistema de ecuaciones a partir del cual se determine una solución [3]: (
)
(2.6)
Realizando el cálculo de la inversa de las matrices de paso a utilizar en la ecuación (2.6) resulta:
( (
)
[
) (
)
( (
) )
]
17
Sustituyendo en la ecuación (2.6) las matrices de paso y la matriz de transformación T en su forma general tal como la ecuación (2.3), queda como resultado la siguiente expresión: Para simplificar las expresiones se realizará la siguiente sustitución: ( )
( )
(
)
[
]
( [
) (
( (
)
) )
]
Igualando término a término en la columna de posición se obtienen las siguientes ecuaciones: (2.7) (2.8) (2.9) (
)
(2.10)
18
De donde se obtiene directamente el parámetro d3 de la ecuación (2.9):
Para 1 y 2 se requiere de un cálculo más laborioso. Partiendo del siguiente sistema de ecuaciones formado por (2.7) y (2.8):
Elevando al cuadrado y sumando ambas ecuaciones se obtiene lo siguiente: (
)
(
(
)
)
( (
)
(
(
)
)
(
(
)
)
)
(
)
(
(
)
(
)
Simplificando términos y despejando 2: (
)
(
) (
)
(
) (
( )
(
(
) (
)
( )
(
)
) (
)
)
(
(
)
)
(
)
)
Para buscar una ecuación para el parámetro 1, partimos del mismo sistema de ecuaciones:
19
Reacomodando los términos:
Dividiendo estas últimas ecuaciones para eliminar S1 y reordenando: (
) (
(
) ((
( )
(
(
)
)
(
)
) ) )
(
)
( ( (
)
(
) )
( (
)
(
) )
)
Ahora por último, para buscar el parámetro 4 se realizará a partir de la ecuación (2.10): (
)
(
)
(
)
20
Finalmente el conjunto de ecuaciones resultantes:
(
(
(
( (
)
(
(
) )
) )
( (
)
) (
)
)
)
2.2.4 ESTUDIO CINEMÁTICO DIFERENCIAL La Cinemática Diferencial permite conocer la relación entre las velocidades de las articulaciones y la velocidad del efector final. Esta relación se encuentra descrita a través de una matriz denominada Matriz Jacobiana, la cual expresa las velocidades, lineal y rotacional del efector final, como funciones de las velocidades de cada una de las articulaciones. El estudio Cinemático Diferencial se realiza a través del cálculo de la matriz Jacobiana, que permite obtener las velocidades instantáneas de las articulaciones respecto del TCP [3], tal que: ̇ ̇ ̇
[ ] ̇ ̇
̇ [ ] ̇ ̇
(2.11)
21
Donde x, y, z son las ecuaciones de posición que definen donde está ubicado el TCP y es un ángulo de Euler que nos permite conocer la orientación del mismo. q1 = 1 q2 = 2 q3 = d3 q4 = 4 La matriz J corresponde a:
J [
x
x
x
x
θ y
θ y
d y
θ y
θ z
θ z
d z
θ z
θ
θ
d
θ
θ
θ
d
θ
(2.12)
]
Dado que ya se obtuvieron las ecuaciones de x, y, z, del cálculo de cinemática directa, se procede a construir la Jacobiana a partir de estas ecuaciones:
( (
) )
( ) ( )
22
Derivando parcialmente estas ecuaciones, resulta la tabla 2.2, de derivadas parciales: Tabla 2.2. Derivadas parciales de la posición y orientación respecto a las articulaciones.
(
) (
(
(
)
)
)
(
)
(
)
Fuente: Elaborado por E. Adrián y A. Castañeda. (2011)
Finalmente sustituyendo cada uno de estos términos obtenemos la matriz Jacobiana:
[
( (
) )
( (
)
(
)
(
) )
] (2.13)
De la misma manera puede hallarse la Jacobiana inversa que se usa para obtener la posición final instantánea en función de la velocidad de las articulaciones.
[
]
(2.14)
Donde:
23
( (
)
)
( )
( (
)
(
)
) ( )
( (
)
)
( )
(
)
( )
)
( )
(
(
) ( )
( ) (
)
( )
( ) (
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
( ) (
)
( )
( ) (
)
( )
2.2.4.1 DETERMINACIĂ“N DE LAS SINGULARIDADES Una vez encontrada la Jacobiana se procede a obtener su determinante, conocido como el Jacobiano [3]:
24
|
( (
) )
(
( (
)
(
)
(
)
)
(
)
)
(
|
)
(
) (2.15)
Igualamos a cero para determinar los valores que generan singularidades en el determinante:
(
)
(
)
(
)
(
)
Se buscan los valores de 1 y 2 que permiten que esta igualdad se mantenga. 1 no tiene restricciones ya que corresponde a la rotación que existe en la base. Por lo cual se procede a verificar los límites de 2. Para 2 = 0: (
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
De donde se verifica la igualdad. Para 2 = π: (
) (
(
(
) )
( (
)
) )
Comprobándose que los términos son iguales. Esto implica que los límites de trabajo del robot están definidos para los valores de 2 = 0 y 2
π.
25