Collection
CALAO
Mathématiques Enseignement commun
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Nouveau
programme
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STMG - ST2S STHR
Manuel numérique
CALAO_MATHS_Tle-CV-v7.indd 2
24/01/2020 14:22
ÉC
SP IM EN
Collection
CALAO
Mathématiques Enseignement commun
T
IM EN
Fakhreddine Ghommid Cédric Climent
Lycée Blaise Cendrars, Sevran
Marie-Sophie Cuttaz
Lycée François Mauriac, Bordeaux
erm Séries
STMG - ST2S STHR
SP ÉC
Christophe Jolibert
Nouveau
programme
Lycée Albert Claveille, Périgueux
Olivier Pinçon
Lycée Alfred Kastler, Talence
Nathalie Teulié
Lycée Alfred Kastler, Talence
Grégory Viateau Lycée Louis de Foix, Bayonne
Relecteurs pédagogiques : Damien Sollier et Alain Vidal.
Manuel numérique
CALAO_MATHS_Tle-CV-v7.indd 2 9782017100409_.indb 1
24/01/2020 12:42 14:22 20/03/2020
Adaptations maquettes, schémas et composition : STDI. Couverture et maquette intérieure : Anne-Danielle Naname – Laurine Caucat. Édition : Sylvie Geinguenaud. Fabrication : Yoann Le Berre. Préparation de copie : Muriel Villebrun.
SP ÉC
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Recherche iconographique : Élise Pailloncy (couverture) et Marie-Christine Petit.
© Hachette Livre 2020 58 rue Jean Bleuzen – 92178 Vanves Cedex. ISBN : 978-2-01-710040-9
0,800 kg éq. CO2
L’usage de la photocopie des ouvrages scolaires par les enseignants est strictement encadré. Enseignants, dans quel cadre pouvez-vous réaliser, pour vos besoins pédagogiques, des COPIES D’EXTRAITS DE MANUELS SCOLAIRES pour vos élèves ? Grâce aux différents accords signés entre le Centre français d’exploitation du droit de copie, votre établissement et le ministère de l’Éducation nationale : • Vous pouvez réaliser des PHOTOCOPIES d’extraits de manuels (maximum 10 % du livre) ; • Vous pouvez diffuser des COPIES NUMERIQUES d’extraits de manuels dans le cadre d’une projection en classe (au moyen d’un vidéoprojecteur ; TBI-TNI ; tablette ; ordinateur ; etc.) ou sur l’intranet de votre établissement tel que l’ENT (maximum 10 % du livre dans la limite de 4 pages consécutives). N’oubliez pas d’indiquer les références bibliographiques des manuels scolaires utilisés. Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L.122-4 et L.122-5, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usages privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de droit de copie (20, rue des Grands-Augustins – 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par l’article L.335-2 du Code de la propriété intellectuelle.
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Fonctions exponentielles Paroles de professeurs, paroles d’auteurs ! Le parc gÊologique Zhangye Danxia en Chine est connu pour les couleurs de ses rochers rÊsultant de 24 millions d’annÊes de dÊpôt de grès et d’autres minÊraux. La dÊcouverte de la radioactivitÊ au XXe siècle a fait Êvoluer la gÊologie en permettant de dater prÊcisÊment les roches. Les calculs font appel aux fonctions exponentielles.
Exercice 42, p. 53
DiversitÊ de l’activitÊ mathÊmatique
Nous avons, pour cela, fait appel, dès que possible, aux outils informatiques Ateliers algorithmiques et numÊriques pour introduire ou rÊinvestir de multiples manières les concepts mathÊmatiques • Pratique de l’algorithmique et de la programmation Évolution du SMIC 1 • Utilisation d’un tableur ou d’un logiciel Dans le fichier tableur C02_Atelier1, ont ÊtÊ saisies les valeurs du taux d’inflation annuel de gÊomÊtrie dynamique et du taux d’Êvolution du SMIC par rapport à l’annÊe prÊcÊdente (source : Insee). Les cellules contenant des • Des pages dÊdiÊes à Python et au tableur taux sont au format pourcentage. vont aider les Êlèves à être autonomes CAPACITÉ • Organiser une feuille de calcul
ATELIER
20 min
1
Tableur
Pour l’enseignant
Chercher • Communiquer
Que signifie ÂŤÂ 1,52Â %Â Âť dans la cellule B2Â et ÂŤÂ 2Â %Â Âť dans la cellule C5Â ? 2
Calculer
Diaporama
Se prĂŠparer Avec des contextes variĂŠs
a. Quelle formule, que l’on pourra recopier vers la droite, faut-il saisir dans la cellule B3 pour dÊterminer le coefficient multiplicateur correspondant au taux donnÊ dans la cellule B2 ? atism b. Quelles formules faut-ilise saisir dans lesom cellules C4eset E4 pour calculer le coefficient mulEt aujourd’hui ? et rÊv r ses aut tiplicateur global, puis le taux moyen d’Êvolution du SMIC de 2010 à 2018 ? maths Dans l’histoire des On utilisera le nombre d’annÊes donnÊes dans la cellule J2. Le modèle exponentiel estc.encore utilisÊles aujourd’hui. On recopie formules deslignes 4 dans les lignes 6 et 7. Questions ash 3 etPour chaque question, Ainsi, au 1er janvier 2019, laQuelle Franceformule compteobtient-on 66,9 mil- dans la cellule E7 ? L’Êtude de la dynamique des populations s’appuie trouver lions d’habitants, avec un taux de croissance annuel la ou les bonnes rÊponses. notamment sur le modèle de croissance exponentielle estimÊ à 0,4 %. On 3peut Calculer modÊliser la population publiÊ par l’Êconomiste britannique Thomas Malthus • Communiquer L’une des trois courbes reprÊsentÊes ci-dessous est la la rÊponse. courbe française par une suite gÊomÊtrique et1prÊvoir ainsi en 1798. On parle de croissance ou dÊcroissance Quels rÊsultats vont s’affi cher dans les cellules E4 et E7 ? Commenter reprÊsentative de la fonction x ! 10 x . Laquelle ? le nombre d’habitants au bout de n annÊes, mais exponentielle lorsque la croissance est proportionnelle à la er a. La rouge. b. La verte. c. La bleue. pour estimer la population française au 1  juilpopulation existante, c’est-à -dire lorsque le taux de croissance let 2023 ou au 1er octobre 2025, on utilise une est constant. Une telle situation peut être modÊlisÊe par une fonction exponentielle. suite gÊomÊtrique ou une fonction exponentielle. CAPACITÉS • Écrire
3
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(histoire, sciences, Êconomie, vie quotidienne) parce que nous voulons montrer que les mathÊmatiques sont vivantes et utiles • Dans l’ouverture des chapitres • Mais aussi dans de nombreux 4 exercices et activitÊs Évolution concentration 2 Exercice d’une 2, p. 48 3 d’acide lors d’une rÊaction
ATELIER
30 min
41
Des automatismes acquis pour aborder sereinement les problèmes
une fonction simple en Python • InterprÊter un algorithme
2
Lors d’une rĂŠaction chimique, la concentration c d’acide dans une 1 solution (en mmol.L−1) est donnĂŠe en fonction du temps t ĂŠcoulĂŠ (en minute) par : c = 5 Ă— 0,8 t . −3
−2
−1
0
1
2
3
1 Calculer Calculer la concentration initiale d’acide. Un livret d’automatismes, en tête d’ouvrage, 2 Écrire une fonction Python telle quedela la commande 2 D’après la reprÊsentation fonction va permettre un travail tout au long de l’annÊe c(t)Raisonner renvoie la valeur de la concentration c à un instant t.
SP ÉC
Python
Des activitÊs rituelles avec des questions flash dans chaque chapitre : en ouverture et dans les exercices d’Êchauffement
f 4 ci-contre, que peut-on conjecturer ? a. L’image de 1 est 0. 3 La fonction ci-contre renvoie un b. L’antĂŠcĂŠdent de 10 est 1. temps t appelĂŠ temps de demic. L’Êquation f ( x ) = 3 n’admet pas de solution. rĂŠaction. infĂŠrieure Ă 0,04 mol.L−1. Automatismes D. 22, D. 23 1 a. Chercher • Communiquer a. −1 Écrire 0une fonction perObserver cette fonction pour comprendre son fonctionnement, mettant de dĂŠterminer, Ă puis donner une dĂŠfinition du temps de demi-rĂŠaction. 0,01 minute près, au bout de b. Ă€ l’oral Calculer • ReprĂŠsenter DĂŠterminer ce temps de demi-rĂŠ- 103,2 combien de temps la solution 3 102,5 = ? 4 =n’est ? plus dangereuse. action Ă la seconde près.2 0,5 0,5 5 2,8 a. 10 + 10 b. 10 Ă— 10 10 b. DĂŠterminer ce temps en Tester en environnement Python 5 avec le ďŹ chier a. 10 6 b. 10 0,4 c. 10 −0,4 c. (10 0,5 ) Automatisme C. 11 minute et en seconde. C02_Atelier2.
Faire le point sur l’essentiel
riĂŠtĂŠs DĂŠfinitions et prop
Un cours très complet et pÊdagogique 58
Nous avons choisi de montrer sa construction au fur et à mesure, à l’image de notre pratique pÊdagogique en classe Il Êtait important de rÊsumer ce cours complet dans un essentiel avec : • un schÊma bilan pour les Êlèves qui ont une mÊmoire plus visuelle • une auto-Êvaluation, un petit rituel avant de passer aux exercices
10 9 8 7 6 �f 5 Calculer • Raisonner 4 On admet que la solution n’est 3 plus dangereuse lorsque la 2 concentration d’acide devient 1
Logarithme dĂŠcimal : log
5 Un salariÊ est employÊ pour effectuer une tâche. Le premier mois, son employeur le paye 1 000 ₏ puis, chaque mois qui suit, il l’augmente de 1 %. a. Le troisième mois, il reçoit 1 020 ₏. ThÊorème fondamental b. Le troisième mois, il reçoit 1 020,10 ₏. DÊfinition Variations Valeurs remarquables des12 %. logarithmes c. En une annÊe, la somme versÊe par l’employeur augmente de Automatisme B. 4
log(b) est l’unique solution de 10 x = b (b > 0)
log(1) = 0 log(10) = 1
La fonction log est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[
log(a) + log(b) = log(ab) oĂš a > 0 et b > 0
6 On place un capital de 10 000 ₏ à intÊrêts composÊs. Le taux d’intÊrêt mensuel est de 1 %. Comment peut-on calculer la somme capitalisÊe en fin de mois ? a. 10 000 × 1,01log(10n) =b.n 10 000 × 0,99 ConsÊquences ConsÊquence c. 10 000 × 0,01 ConsÊquences
62 = x • 10log(x) • log(x) = log(y) ⇔x=y
10 x = b ⇔ x = log(b)
log(x) < log(y) â&#x2021;&#x201D; x < y
1 â&#x20AC;˘ log( ) = â&#x2C6;&#x2019;log(b) b a â&#x20AC;˘ log( ) = log(a) â&#x2C6;&#x2019; log(b) b
â&#x20AC;˘ log(an) = n log(a) a > 0, b > 0 et n entier log(10 x ) = x
s
CapacitĂŠ La mise en avant des 6 compĂŠtences mathĂŠmatiques dans : Je suis capable deâ&#x20AC;Ś
Les exercices de perfectionnement Ă&#x160;tre prĂŞt pour le bac Les ateliers algorithmiques et numĂŠriques
Je mâ&#x20AC;&#x2122;entraĂŽne avecâ&#x20AC;Ś
x C1 â&#x20AC;˘ RĂŠsoudre des ĂŠquations, dâ&#x20AC;&#x2122;inconnue x, du type a = b
C2 â&#x20AC;˘ RĂŠsoudre des ĂŠquations, dâ&#x20AC;&#x2122;inconnue x, du type
xa = b
C3 â&#x20AC;˘ RĂŠsoudre des inĂŠquations, dâ&#x20AC;&#x2122;inconnue x, du type a x < b
a C4 â&#x20AC;˘ RĂŠsoudre des inĂŠquations, dâ&#x20AC;&#x2122;inconnue x, du type x < b
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r le thÊorème fondamental des logarithmes
EXERCICES RĂ&#x2030;SOLUS
EXERCICE RĂ&#x2030;SOLU
EXERCICES RĂ&#x2030;SOLUS
Ă&#x20AC; VOTRE TOUR
1 et 2 p. 65 2, p. 67
1 et 2 p. 67
3
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Pour travailler en autonomie La plateforme d’entraînement Une série d’essais a donné les résultats suivants. 2,4
Compression (MPa)
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23
25
1. Représenter sur un même graphique ces séries chronologiques en plaçant en abscisse le temps de séchage et en ordonnée les résistances. Comment semblent évoluer ces résistances ? 2. On peut lire dans certains ouvrages que l’on peut prendre pour valeur approchée de la résistance à la traction le dixième de la résistance à la compression. Est-ce le cas ici ? Cette plateforme gratuite et disponible en ligne, propose plus de 150 exercices interactifs autocorrigés 16 s’entraîner Afin d’analyser les accidents de la route dans lespour sur toutes les capacités quels les poids lourds sont et les automatismes du programme. impliqués, l’institut technique d’accidentologie a réalisé le graphique suivant. À découvrir sur calao.reussirenmaths.fr
Départementales – 17 % Locales – 30 % Autoroutes – 11 % Nationales – 59 %
1 200
0
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600
800
1. Quel temps a nécessité sur cet ordinateur le Pour animer les cours calcul de u (500 ) ? Des 2. Le temps dediaporamas calcul de u ( n ) est-il proportionnel des questions flash à n ? 3. Créer une fonction u de telle façon que la commande u(n) renvoie le terme de rang n d’une suite l’enseignant géométrique de premier terme 1 Pour et de raison 3, Diaporama puis saisir les commandes Python précédentes. Le nuage obtenu a-t-il la même allure que celui-ci ?
5
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11
2
matismes et réviser ses autoAjustement
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Se préparer
400
affine d’un nuage de points
Questions flash Pour chaque question, 1. De 2006 à 2011, sur quel type de route le trouver la ou les bonnes réponses. une série de mesures aux bornes 18 On effectue nombre de poids lourds impliqués a-t-il été : d’une pile associée à une résistance variable que a. le plus faible ? y 1 Les points du graphique ci-contre l’on reporte sur un graphique. La tension U est 3 b. le plus important ? appartiennent à la droite d’équation : 2 exprimée en volts (V) et l’intensité I en milliam1 a. y = −2x −1 2. Quel a été, approximativement, le nombre total 0 pères (mA). −2 −1 1 2 x d’accidents impliquant un poids lourd :b. y = − x − 1 −1 Automatisme D. 28 U (V) c. y = 2x − 1 a. en 2008 ? b. en 2012 ? 1,6 1,4 3. En déduire l’évolution du nombre total de ces 1,2 accidents (en pourcentage) entre 2008 et 2012.
16
ce car-
e phase ne deron esti-
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800
0,00016 0,00014 0,00012 0,00010 0,0008 0,0006 0,0004 0,0002 0,0000
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1 600
quence relevée phases onné le ur.
Nombre d’accidents avec PL impliqué par type de voirie
20
uage »).
25
2,3
07
) sur le
20
2
20
rs de x i terpré-
15
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06
) dans
10
1,4
20
i
5
0
20
,7 45,2
0
Traction (MPa)
20
3 17,4
Temps (jour)
En saisissant les lignes de commandes ci-dessous, on obtient le graphique suivant.
1 0,8 Python 0,6 Une fonction Python renvoie, en saisissant la 2 nuages de points 0,4 suivants, lequel n’est pas associé commande u(n), le terme de rang n Parmi d’unelessuite à une fonction usuelle ? 0,2 arithmétique. La fonction ci-contre permet de
Pour 17 l’algorithmique et la programmation
Des fichiers Python pour faciliter la réalisation y des activités détermineret sonexercices temps d’exécution (en secondes). x
a.
Tester en environnement Python avec le fichier C05_Ex.17.
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10
I (mA)
1. Proposer une relation entre la tension U et l’intensité I aux bornes de cette pile. x x b. c. 2. Quelle serait la tension pour une intensité de 1 mA ? 3. Pour quelle intensité la tension serait-elle nulle ?
5 • Séries statistiques4à deux variablesdes quantitatives 117 3 La droite passant par les points La moyenne valeurs de de coordonnées ( −5 ; 1) et (2 ; 8 ) la liste [ −12 ; 10 ; 5 ; −3 ] est : a pour équation : 30 a. égale à . 4 a. y = 6 x + 1 28/02/2020 b. égale à 0. b. y = x + 6 c. la médiane. Automatisme D. 29 c. x = −5
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Rabats : utilisation des calculatrices • Casio • NumWorks • Texas Instruments
Sommaire
1
Suites numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Cours/Méthodes 1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Faire le point sur l’essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ateliers algorithmiques et numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Être prêt pour le bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Cours/Méthodes 1 Définition de la fonction exponentielle de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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2
2 Sens de variation et représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Propriétés algébriques des fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4 Application au calcul du taux moyen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
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Faire le point sur l’essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Ateliers algorithmiques et numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Être prêt pour le bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
Fonction logarithme décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Cours/Méthodes 1 Définition du logarithme décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2 Sens de variation de la fonction logarithme décimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3 Propriétés algébriques du logarithme décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Faire le point sur l’essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Ateliers algorithmiques et numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Être prêt pour le bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4
Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Cours/Méthodes 1 Fonction inverse, sa dérivée et ses variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2 Comportement aux bornes de l’ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . 90 Faire le point sur l’essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Ateliers algorithmiques et numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Être prêt pour le bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6
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5
Séries statistiques à deux variables quantitatives . . 108 Cours/Méthodes 1 Nuage de points d’une série statistique à deux variables . . . . . . . . . . . 110
2 Ajustement affine d’un nuage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Faire le point sur l’essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Ateliers algorithmiques et numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Être prêt pour le bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6
Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 Cours/Méthodes 1 Formule des probabilités totales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Variables aléatoires discrètes finies
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Cours/Méthodes 1 Espérance d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
SP ÉC
7
IM EN
Faire le point sur l’essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Ateliers algorithmiques et numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Être prêt pour le bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3 Loi binomiale et coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4 Triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Faire le point sur l’essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Ateliers algorithmiques et numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Être prêt pour le bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Thèmes d’étude • Optimisation linéaire et régionnement du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 • La méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 • Simulation de marches aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 • Initiation aux graphes et ordonnancement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Comme au bac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Méthodes • Réussir les évaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 • Utiliser des notations sur les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 • Utiliser le langage Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 • Utiliser un tableur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Corrigés des exercices* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 *Les exercices corrigés sont signalés par un numéro sur fond blanc. 7
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EN
IM
Ã&#x2030;C
SP
Automatismes A Proportions et pourcentages 1
Calculer, appliquer, exprimer une proportion sous différentes formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2
Calculer la proportion d’une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
B Évolutions et variations Passer d’une formulation additive à une formulation multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4
Appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5
Calculer un taux d’évolution, l’exprimer en pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6
Interpréter un indice base 100, calculer un indice et calculer le taux d’évolution entre deux valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7
Calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8
Calculer un taux d’évolution réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
9
Reconnaître une situation contextualisée se modélisant par une suite géométrique dont on identifie la raison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
ÉC
IM
EN
3
C Calcul numérique et algébrique
SP
10 Effectuer des opérations et des comparaisons entre des fractions simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 11 Effectuer des opérations sur les puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 12 Passer d’une écriture d’un nombre à une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 13 Estimer un ordre de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 14 Effectuer des conversions d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 15 Résoudre une équation ou une inéquation du premier degré et résoudre une équation du type : x 2 = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 16 Déterminer le signe d’une expression du premier degré et d’une expression factorisée du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 17 Isoler une variable dans une égalité ou une inégalité qui en comporte plusieurs . . . . . . . . . . .15 18 Effectuer une application numérique d’une formule utilisée dans une autre discipline . . . . . .16 19 Développer, factoriser, réduire une expression algébrique simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 20 Calculer la dérivée d’une fonction polynômiale de degré inférieur ou égal à 3 . . . . . . . . . . . . .17 21 Calculer le coefficient directeur de la tangente en un point à une courbe à l’aide de la dérivée 18 1
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Automatismes D Fonctions et représentations 22 Déterminer graphiquement des images et des antécédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 23 Résoudre graphiquement une équation et une inéquation du type : f ( x ) = k, f ( x ) < k . . . .20 24 Déterminer le signe d’une expression factorisée du second degré à l’aide d’une image mentale de la courbe représentative de la fonction correspondante . . . . . . . . . .22 25 Déterminer graphiquement le signe d’une fonction ou son tableau de variations . . . . . . . . . .23 26 Exploiter une équation de courbe (appartenance d’un point, calcul de coordonnées) . . . . . . .25 27 Tracer une droite donnée par son équation réduite ou par un point et son coefficient directeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
EN
28 Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
IM
29 Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
E Représentations graphiques de données chiffrées
ÉC
30 Déterminer graphiquement le coefficient directeur d’une tangente à une courbe . . . . . . . . . .29 31 Lire un graphique, un histogramme, un diagramme en barres ou circulaire, un diagramme en boîte ou toute autre représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
SP
32 Passer du graphique aux données et vice versa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
2
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Automatismes A Proportions et pourcentages 1
Calculer, appliquer, exprimer une proportion sous différentes formes
Calculer et exprimer une proportion
5. Calculer une proportion en utilisant les données suivantes. Au 1er janvier 2018, le parc automobile français se compose de 32,7 millions de véhicules particuliers et de 6,8 millions de véhicules utilitaires.
Soit E un ensemble ayant N éléments et A une partie de E ayant n éléments : card (E ) = N et card ( A ) = n. n La proportion de A dans E est : p = . N E
A
Appliquer une proportion Si p est la proportion de A dans E, alors : card ( A ) = p × card (E ). E
A
A
×p
A
Comme A ⊂ E, alors : card ( A ) ! card (E ) et p ∈[ 0 ; 1].
Exemples : 3 3 • 4 de 140 est égal à 4 × 140 = 105. 30 • 30 % de 50 est égal à 100 × 50 = 15.
IM
Exemple : Dans une classe de 35 élèves, il y a 21 filles. La 21 proportion de filles est : p = . 35 On peut l’exprimer sous trois formes : 21 3 • sous forme fractionnaire : 35 = 5 ; • en écriture décimale : 0,6 ; • en pourcentage : 60 %.
EN
×p
SP
ÉC
6. Calculer les proportions suivantes. 4 2 b. 40 % de 120 c. de 450 a. de 60 5 3 d. 65 % de 280 e. 5 % de 42
1. Dans chaque cas, exprimer la proportion de la partie par rapport au tout sous forme fractionnaire, décimale et en pourcentages. a. Dans une classe de 32 élèves, 24 sont demi-pensionnaires. b. Une entreprise possède 20 véhicules dont 12 utilitaires. c. Sur 600 clients ayant testé un produit, 492 le recommanderaient à leurs amis. 2. Compléter les égalités suivantes. 20 1 3 a. = b. 0,42 = … % c. = … % 100 … 8 5 … 13 d. ≈ … % e. 66,7 % ≈ f. = …% 6 3 20 3. Classer les proportions dans l’ordre croissant : 3 2 3 ; ; 65 % ; ; 68 %. 5 3 4 4. Calculer le pourcentage correspondant à : a. une baisse de 3 € sur un parfum à 48 € ; b. une hausse de 5 centimes sur une baguette à 1,25 €.
7. Déterminer le nombre d’adultes et de mineurs de chaque sexe dans l’association suivante. Elle est composée de 240 personnes dont un tiers de femmes. Trois quarts des femmes et 70 % des hommes sont des adultes. Calculer un effectif total Card ( A ) Card (E ) = p E A
A ×p ÷p
Un refuge animalier accueille 136 chiens qui représentent 85 % des animaux du refuge. 136 = 160. Le nombre d’animaux est : 0,85 8. Dans un hôpital travaillent 1 862 infirmières qui représentent 22 % du personnel. Calculer l’effectif du personnel. A • Proportions et pourcentages
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Automatismes
9. Un candidat a été élu avec 18 956 voix, ce qui représente 52 % des votants. Calculer le nombre de votants.
14. Calculer la proportion en pourcentages. 3 2 b. de 45 %. a. 20 % de . 5 3 3 15. Dans une entreprise, on compte de femmes et 5 1 parmi celles-ci, sont à temps partiel. Calculer la 5 proportion de femmes à temps partiel dans l’entreprise. Donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
C⊂B⊂ A Si p1 est la proportion de B dans A et p2 est la proportion de C dans B, alors : p = p1 × p2 est la proportion de C dans A.
A
B
C
IM
Calculer la proportion d’une proportion
ÉC
2
16. Lors d’une élection, le taux de suffrages exprimé s’élève à 60 % des personnes inscrites. Le candidat élu a obtenu 55 % des suffrages exprimés. Calculer le pourcentage de personnes ayant voté pour le candidat élu par rapport à l’ensemble des personnes inscrites. 2 17. Un fabricant de calculatrices représente des 5 ventes de calculatrices en France dont 35 % de ses calculatrices sont des calculatrices graphiques. Calculer le pourcentage de calculatrices graphiques de ce fabricant par rapport à l’ensemble des ventes de calculatrices en France.
EN
10. a. Sur 12 matchs joués en Coupe du monde, Zinedine Zidane en a perdu un seul. Calculer son pourcentage de défaites dans cette compétition (à 1 % près). b. Diego Maradona a joué 21 matchs de Coupe du monde. Il a gagné 57 % de ces matchs. Calculer le nombre de matchs qu’il a gagné. c. Pelé a gagné 12 matchs de Coupe du monde, soit 92 % des matchs qu’il a disputés dans cette compétition. Calculer le nombre de matchs de Coupe du monde qu’il a joué.
SP
Exemple : 3 Dans un lycée, il y a des élèves en série tech5 nologique. 2 Parmi les élèves en série technologique, sont 3 des filles. 2 3 2 3 2 de est égal à × = . 3 5 3 5 5 2 des élèves du lycée sont des filles en série tech5 nologique.
B Évolutions et variations 3
Passer d’une formulation additive à une formulation multiplicative
Augmenter un nombre de a % revient à le mula ⎞ tiplier par ⎛⎜ 1+ . ⎝ 100 ⎟⎠ Diminuer un nombre de a % revient à le multia ⎞ plier par ⎛⎜ 1− . ⎝ 100 ⎟⎠ a%
11. Calculer. Présenter le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 1 1 5 3 2 3 b. de . c. de . a. de . 3 2 6 10 7 4 12. Calculer. Présenter le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 3 1 2 3 2 2 b. de . c. de . a. de . 8 6 5 5 9 9 13. Calculer. Présenter le résultat sous la forme d’un pourcentage. a. 10 % de 35 %. b. 25 % de 80 %. c. 1 % de 90 %. 4
Valeur initiale
Valeur a finale × 1 + 100
a% Valeur initiale
Valeur a finale × 1 − 100
Exemples : • Augmenter de 25 % revient à multiplier par 1,25. • Diminuer de 8 % revient à multiplier par 0,92. 18. Compléter les phrases suivantes. a. Augmenter de 3 %, c’est multiplier par … b. Augmenter de 150 %, c’est multiplier par … c. Diminuer de 0,5 %, c’est multiplier par … d. Diminuer de 92 %, c’est multiplier par …
B • Évolutions et variations
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Automatismes
20. Décrire l’évolution donnée par une multiplication. a. La population d’un pays augmente de 1,1 %. b. Un prix diminue de 40 %. c. Une production augmente de 25 %. d. Seulement 20 % de la population de koalas a survécu aux incendies.
4
Appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou initiale a%
Valeur a finale × 1 + 100
Valeur initiale
28. Un placement financier rapporte 4 % par an. Au bout de 5 ans, Loïc dispose de 973,32 €. Par quel calcul retrouve-t-on son investissement initial ?
Valeur a finale × 1 − 100
Calculer un taux d’évolution, l’exprimer en pourcentage
On reprend le schéma d’évolution :
IM
Valeur initiale
27. Sur une île vivent 2 400 tortues. On admet que la population de tortues diminue de 10 % par an. Calculer le nombre de tortues au bout de trois ans.
5
On reprend les schémas d’évolution : a%
26. Deux clients bénéficient chacun de 12 % de remise dans un grand magasin. a. Le premier effectue pour 68 € d’achat. Combien va-t-il payer avec la remise ? b. Le second a payé 80,08 €. Combien aurait-il payé sans la remise ?
EN
19. Indiquer le coefficient multiplicateur correspondant à chaque évolution. a. Hausse de 40 % b. Baisse de 4 % c. Hausse de 0,2 % d. Baisse de 38 %
SP
ÉC
Exemples : • Un loyer mensuel de 620 € augmente de 2 %. Il passe à : 620 × 1,02 = 632,40. • Un article coûte 36,80 € après une remise de 20 %. Or, baisser de 20 %, c’est multiplier par 1− 0,20 = 0,8. On divise par 0,8 pour retrouver la valeur initiale. 36,80 Le prix initial était de : = 46 €. 0,8
21. Un ordinateur coûte 520 €. Calculer son prix après une réduction de 15 %. 22. Un article coûte 350 €. Son prix augmente de 10 % puis diminue de 15 %. Quel est son nouveau prix ? 23. Madame France devait toucher une retraite mensuelle de 845 €. Calculer sa retraite après une baisse de 2 %. 24. Le nombre d’habitants d’une commune augmente de 5 % par an. Ils étaient 22 260 en 2019. Calculer le nombre d’habitants en 2018 et en 2020. 25. En 2017, un musée a eu 27 540 visiteurs. C’est 10 % de moins qu’en 2016 et 20 % de plus qu’en 2018. Calculer le nombre de visiteurs en 2016 et en 2018.
Taux d’évolution Valeur initiale
Taux d’évolution = CM =
× CM
Valeur finale
Valeur finale − Valeur initiale Valeur initiale
Valeur finale et taux (% ) = CM × 100 − 100 Valeur initiale
Exemple : Au 1er janvier 2020, le SMIC mensuel est passé de 1 521,22 € à 1 539,42 €.
•
Calcul avec la formule du taux d’évolution : 1539,42 − 1521,22 ≈ 0,012 ≈ 1,2 %. 1521,22
•
Calcul avec le coefficient multiplicateur : 1539,42 CM = ≈ 1,012 et 1,012 × 100 − 100 = 1,2. 1521,22 Le SMIC a augmenté de 1,2 %. 29. Dans chaque cas, donner le taux d’évolution. a. Vi = 30 et Vf = 42 b. Vi = 50 et Vf = 40 c. Vi = 80 et Vf = 120 d. Vi = 8 et Vf = 5 30. Dans chaque cas, donner le taux d’évolution. a. CM = 1,75 b. CM = 0,28 c. CM = 1,001 B • Évolutions et variations
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5
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Automatismes
31. Calculer le taux d’évolution correspondant aux cas suivants. Arrondir à 0,1 % près. a. Le personnel d’une agence immobilière est passé de 10 à 6 personnes. b. Le gazole est passé de 1,25 € à 1,40 € en un an. c. Pendant les soldes, le prix d’un meuble passe de 500 € à 410 €. d. Le nombre d’adhérents d’un club de rugby est passé de 246 à 281.
Interpréter un indice base 100, calculer un indice et calculer le taux d’évolution entre deux valeurs
ÉC
6
SP
On affecte la valeur 100 à une date de référence. L’indice à la date n est le quotient : Valeur à la date n I ( n) = × 100. Valeur à la date de référence En pratique, on calcule les indices par proportionnalité. En enlevant 100 à l’indice de la date n, on lit directement le taux d’évolution en pourcentages entre la date de référence et la date n. I ( n) − 100 = taux évolution en %. Exemple : On propose un indice pour suivre l’évolution mondiale des ventes de smartphones en prenant pour base 100 en 2010. Année
2010
2013
2016
Ventes en millions
305
1 019,4
1 473,4
Indice
100
L’indice des ventes de smartphones en 2013 est : 1 019,4 I (2013 ) = × 100 ≈ 334,2. 305 6
Année
1990
2000
2010
2017
Population France
58,5
60,9
65
67,1
…
100
…
…
79,4
82,2
81,8
82,7
…
100
…
…
Indice France
Population Allemagne
Indice Allemagne
IM
33. De 2015 à 2016, le nombre de licenciés à la fédération française de football est passé de 2 135 193 à 2 106 972. Calculer le taux d’évolution correspondant.
34. a. Compléter le tableau suivant.
EN
32. Une automobile neuve vaut 15 890 €. Au bout d’un an, elle ne vaut plus que 12 870 € et au bout de deux ans, 11 320 €. Calculer le pourcentage de décote la première année et la deuxième année.
1473,4 × 100 ≈ 483,1. 305 De 2010 à 2013, les ventes de smartphones ont augmenté de 234,2 % (calcul : 334,2 − 100). Le taux d’évolution des ventes de smartphones de 2013 à 2016 peut être calculé à partir des valeurs ou des indices : 1473,4 − 1 019,4 483,1− 334,2 ≈ ≈ 44,5 %. 1 019,4 334,2
En 2016, on a : I (2016 ) =
Les populations sont en millions d’habitants. b. Interpréter les indices en 2017. c. Comparer les taux d’évolution des populations françaises et allemandes de 2010 à 2017. 35. L’indice de référence des loyers (IRL) a été fixé à 100 en 1998. En 2017, il est égal à 126,46 et en 2018, à 128,45. Calculer le pourcentage d’augmentation des loyers au cours des périodes suivantes. a. De 1998 à 2018. b. De 2017 à 2018. 36. On considère l’indice des prix à la consommation (IPC) en France et aux États-Unis. Cet indice permet de mesurer l’inflation. Année
2013
2015
IPC France
99,45
100
IPC USA
232,96 237,02 245,12 255,66
IPC USA aligné France
…
100
2017
2019
101,23 104,27 …
…
a. Déduire du tableau l’année de référence pour la France et celle pour les États-Unis. b. Calculer l’inflation en France de 2015 à 2019. c. Afin de comparer l’inflation dans les deux pays, on décide d’aligner l’IPC américain sur le français en prenant une base 100 en 2015. Compléter la dernière ligne du tableau. d. Comparer l’inflation dans les deux pays.
B • Évolutions et variations
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Automatismes
Calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives
• Pour une succession de n évolutions, on détermine les coefficients multiplicateurs CM1, CM2, CM3 …, CMn de chacune de ces évolutions. •
Puis, on détermine le coefficient multiplicateur CMg de l’évolution globale entre la première valeur et la dernière : CMg = CM1 × CM2 × CM3 × … × CMn.
• Enfin, une fois CMg connu, on détermine le taux t de l’évolution globale : CMg = 1+ t donc t = CMg − 1. × CM1
V0
× CM2
V1
…
Vn–1
42. Indiquer le taux d’évolution global dans chacune des évolutions suivantes. a. Une augmentation de 20 % suivie d’une diminution de 50 %. b. Deux augmentations successives de 20 %. c. Deux diminutions successives de 50 %. d. Une baisse de 40 % suivie d’une hausse de 50 %.
8
× CMn
V2
41. À l’approche de la sortie de sa console nouvelle génération, un vendeur brade l’ancien modèle en baissant successivement deux fois de 10 % le prix de l’ancien modèle. Calculer le taux global d’évolution du prix de cette console ancienne génération.
Vn
Après une évolution de taux t, pour revenir à la valeur de départ, on doit appliquer une évolution, dite réciproque, afin de revenir à la valeur de départ. Le taux d’évolution réciproque t ′ est obtenu en effectuant les étapes suivantes : • on détermine le coefficient multiplicateur CM de l’évolution initiale : CM = 1+ t ; • puis on détermine le coefficient multiplicateur 1 CM′ de l’évolution réciproque : CM′ = ; CM • enfin, on détermine le taux d’évolution réciproque t ′ : CM′ = 1+ t ′ donc t ′ = CM′ − 1.
IM
× CMg
Calculer un taux d’évolution réciproque
EN
7
SP
ÉC
Exemple : Lors des deux premiers mois de l’année 2019, le prix d’un smartphone a successivement baissé de 10 % puis de 20 %. −10 Baisse de 10 % : CM1 = 1+ = 0,9. 100 −20 Baisse de 20 % : CM2 = 1+ = 0,8. 100 Le coefficient multiplicateur de l’évolution globale est : CMg = CM1 × CM2 = 0,9 × 0,8 = 0,72. Le taux d’évolution global est donc : 0,72 − 1 = −0,28, et le prix du smartphone a donc baissé de 28 % sur la période de deux mois.
37. Un article subit une baisse de 40 % puis de 20 %. Calculer le taux global de réduction. 38. Une valeur subit une hausse de 20 % puis une baisse de 10 %. Calculer le taux d’évolution global. 39. Après un incident diplomatique au MoyenOrient, le prix du baril du pétrole a d’abord augmenté de 10 % puis il a subi une hausse de 50 %. Calculer le pourcentage global d’augmentation du prix du baril après ces deux hausses. 40. Lors des soldes d’hiver, un vêtement, lors des première et deuxième démarques, a subi deux baisses successives de 10 % et de 30 %. Calculer le taux d’évolution global du prix de ce vêtement.
Taux d’évolution Valeur initiale
× CM ÷ CM
Valeur finale
Taux d’évolution réciproque
Exemple : Une paire de chaussures de sport se vend mal chez un marchand. Celui-ci décide donc de baisser son prix de 60 %. Les ventes de ces chaussures grimpent alors et le marchand veut rétablir le prix d’origine. Quel taux d’évolution doit-il appliquer pour cela ? −60 Baisse de 60 % : CM = 1+ = 0,4. 100 1 1 = = 2,5. Évolution réciproque : CM′ = CM 0,4 Taux d’évolution réciproque : t ′ = CM′ − 1 = 1,5. Le vendeur doit augmenter le prix de 150 %. B • Évolutions et variations
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Automatismes
43. Après une baisse de 50 %, par combien doit-on multiplier pour revenir à la valeur de départ ? 44. Un article soumis à une taxe de 20 % coûte 50 € toutes taxes comprises. Déterminer le prix hors taxe.
2. Dans un centre de soins pour des oiseaux victimes de la pollution, on prévoit que 30 % des oiseaux présents au 1er janvier d’une année le seront encore l’année suivante et que 120 oiseaux supplémentaires sont accueillis chaque année.
45. Quel est le taux d’évolution réciproque d’une hausse de 100 % ?
3. La production d’une entreprise augmente de 1 000 objets par an. 4. Une entreprise décide de verser une prime annuelle de 300 € à chaque ingénieur. Il est prévu que la prime augmente tous les ans de 10 %.
46. La production mensuelle d’une entreprise a augmenté de 20 %. Déterminer le taux d’évolution pour revenir à la valeur de départ.
5. La population d’une ville augmente de 2 % par an et 200 nouveaux habitants s’y installent tous les ans.
Reconnaître une situation contextualisée se modélisant par une suite géométrique dont on identifie la raison
7. Chaque année, 90 % des abonnés à un magazine renouvellent leur abonnement annuel et il y a 400 nouveaux abonnés.
ÉC
Les situations pouvant être modélisées par une suite géométrique sont celles dans lesquelles une grandeur varie de façon géométrique, c’est-à-dire que chaque nouvelle valeur de cette grandeur est obtenue en multipliant la précédente par un même nombre.
SP
Exemple : Un laboratoire fait des recherches sur le développement d’une population de bactéries et observe que le nombre de bactéries a été multiplié par 3 toutes les heures à partir du début de l’étude. Ici, les termes de la suite sont les nombres de bactéries alors que le rang correspond au nombre d’heures écoulées depuis le début de l’étude. Comme la valeur triple chaque heure, cela signifie que la suite est géométrique de raison 3. On note un le nombre de bactéries n heures après le début de l’étude et u0 ce nombre au début de l’étude. On a alors pour tout entier naturel n : un+1 = 3un. ( un ) est donc une suite géométrique de raison 3.
48. Parmi les situations décrites ci-dessous, préciser lesquelles peuvent être modélisées à l’aide d’une suite géométrique dont on précisera la raison. 1. Le 1er janvier 2019, un capital de 500 € est placé sur un compte à intérêts composés au taux annuel de 2 %. 8
8. Le loyer d’un locataire, initialement de 850 €, augmente de 40 € chaque année.
IM
9
6. Le chiffre d’affaires d’une entreprise augmente de 3 % par an.
EN
47. Un pantalon est soldé 20 %. Le prix soldé est 80 euros. Calculer le prix initial de ce pantalon.
C Calcul numérique et algébrique 10 Effectuer des opérations et des comparaisons entre des fractions simples Forme irréductible
a Soit a et b deux réels avec b ≠ 0. La fraction est b dite irréductible si a et b sont premiers entre eux, c’est-à-dire que les seuls diviseurs communs à a et à b est 1. Exemples : Donner la forme irréductible des fractions sui63 60 vantes : et . 231 105 63 3×3×7 3 60 2 × 2 × 3 × 5 4 = = = = 231 3 × 7 × 11 11 105 3×5×7 7 Rappel : si l’on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction qui lui est égale. a, b et c étant des réels avec b ≠ 0 et a a×b a÷c c ≠ 0 : = = . b b×c b÷c
C • Calcul numérique et algébrique
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Automatismes
49. Donner la forme irréductible des fractions sui78 121 60 vantes : ; et . 21 55 144
5 3 − − 4. 14 10 Un multiple commun à 14 et 10 est 70 car : 140 = 14 × 5 = 10 × 7. 5 3 5×5 3 × 7 4 × 70 − −4 = − − 14 10 14 × 5 10 × 7 1× 70 25 − 21− 280 276 = =− . 70 70
•
Comparaison de fractions Pour comparer deux fractions : • les réduire au même dénominateur ; • comparer leur numérateur.
14 −77 et . 15 65 14 −77 77 14 −77 > 0 et = − < 0 donc > . 15 65 65 15 65 Comparer
53. Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 4 5 1 2 3 b. + + a. −2 + + 5 6 2 3 4 1 5 5 7 c. −2 + − d. − +1 8 16 16 24
IM
•
52. Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 11 25 1 1 b. − + a. − 12 12 3 4 1 −3 5 c. 3 − d. + 4 10 7
EN
Exemples : 7 50 • Comparer 8 et 56 . On réduit au même dénominateur, le dénominateur commun est ici égal à 56 : 7 7 × 7 49 50 = = et . 8 8 × 7 56 56 49 50 7 50 < donc < . Comme 49 < 50, 56 56 8 56
Calculer
ÉC
Rappel : a −a a a et b étant deux réels avec b ≠ 0, − = = . b b −b
SP
50. Comparer les fractions suivantes. 40 7 29 −50 et . b. et . a. 60 15 15 56 100 5 300 45 c. et . d. − et . 17 40 6 6 51. Comparer les fractions suivantes. 14 21 19 11 et . b. et . a. 70 105 13 −7 10 120 22 3 c. et . d. et . 110 8 121 10 Addition de deux fractions
Pour ajouter deux fractions : • on réduit au même dénominateur ; • on ajoute les numérateurs entre eux. Exemples : 1 15 16 • 3+ 3 = 3 . Remarque : si les fractions sont déjà au même dénominateur, on ajoute simplement les numérateurs.
Produit de deux fractions Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux. a, b, c et d étant des réels avec b ≠ 0 et d ≠ 0 : a c a×c × = . b d b×d 2 −8 2 × ( −8 ) 16 × = =− Exemple : 3 5 3×5 15
54. Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 4 35 50 10 × b. × a. 105 8 100 100 8 49 1 2 3 c. × d. × × 7 40 2 3 4 3 27 25 e. × × 35 5 −9 55. Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 1 2 1 2 5 3 b. − + × a. + × 7 7 5 3 6 10 −1 3 5 1 45 + × c. d. 1− × 4 4 6 10 10 2 2 −1 e. + × 9 81 2 C • Calcul numérique et algébrique
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Automatismes
58. Écrire les nombres suivants sous la forme d’une seule puissance. 4 3 × 2−3 b. a. 32 × 93 × 25−4 85 2 −3 c. 4 × 2 × 16 d. 1003 × 0,01−2 × 107
Quotient de deux fractions Pour diviser deux fractions, on multiplie le numérateur par l’inverse du dénominateur. a, b, c et d étant des réels avec b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0 : a b = a × d = a × d. c b c b×c d Remarque : c d Pour c ≠ 0 et d ≠ 0, l’inverse de est égal à . d c 2 2 3 6 Exemple : 7 = × = 5 7 5 35 3
EN
12 Passer d’une écriture d’un nombre à une autre Un même nombre positif peut avoir plusieurs écritures : • une écriture décimale : 0,0009 qui se lit « neuf dix-millièmes » ; 9 • une écriture fractionnaire : 10 000 ; • une écriture scientifique : 9 × 10 −4 de la forme a × 10 n, où a ∈[1; 10[ et n ∈ℤ.
ÉC
IM
56. Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible. 6 1 15 1 3 9 −4 b. 7 c. : d. 2 e. : a. 35 3 −1 25 2 4 7 5 14 3 8
59. Écrire les nombres suivants sous la forme d’une seule puissance. 23 × 7 4 − 24 × 7 3 1011 − 1010 b. a. 9 54 4 2 3 c. (105 − 1) (105 + 1) + 1 d. (2a ) × 16 −1 × ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ⎝a ⎠
11 Effectuer des opérations sur les puissances
SP
Soit a un réel non nul : a 0 = 1 et a1 = a et pour n facteurs tous égaux à a !#######"#######$ n n ! 2, a = a × a × a × … × a . 1 Pour m entier relatif, a −m = m . a Pour tous réels non nuls a et b et pour tous entiers relatifs n et m : an a n × a m = a n+m = a n−m am ( a n )m = a n×m et ( a × b )n = a n × b n. Exemples : 3 4 × 32 • 33 = 34+2−3 = 33 3 • (22 × 35 ) = 26 × 315
10
53 × 5−12 512
61. Pour chacun des nombres suivants, donner leur écriture décimale, puis scientifique. a. Dix mille. b. Un milliard huit cent mille. c. Un millième. d. Un centième de millionième. 62. Écrire les nombres suivants en écriture décimale. a. 9,31× 10 −4 b. 7,32 × 10 −3 4 b. 6,02 × 10 c. −3,45 × 10 4 63. Donner les résultats en écriture scientifique. a. 2 × 10 8 × 5,5 × 10 6 b. 2,5 × 103 × 5 × 10 8 5 2 × 10 3 × 103 × 5 × 102 c. d. 8 × 1012 10 −8
57. Écrire les nombres suivants sous la forme d’une seule puissance de 5. 3 b. 5−1 × (58 ) a. 5 × 513 × 5−15 c.
60. Écrire les nombres suivants sous la forme d’une fraction irréductible. a. 2,5 b. 0,45 c. 0,6 d. 5,25 e. 0,86 f. 3,75
5
1 d. ⎛⎜ ⎞⎟ × (12 + 13 )2 ⎝ 5⎠
64. Donner l’écriture scientifique des grandeurs suivants. a. Vitesse de la lumière : 300 000 000 m.s−1 b. Masse d’un grain de poussière : 0,000 000 000 753 kg.
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13 Estimer un ordre de grandeur Un ordre de grandeur d’un nombre s’obtient en arrondissant généralement à 1 ou 2 chiffres significatifs (les chiffres différents de 0). Utiliser des ordres de grandeurs permet de mieux interpréter la grandeur d’un nombre, de faire des comparaisons et d’effectuer des calculs rapides, en particulier pour des vérifications.
14 Effectuer des conversions d’unités Unités de longueur 1 km = 1 000 m ; 1 hm = 100 m ; 1 dam = 10 m. Ainsi 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm. Le tableau de conversion comporte une colonne par unité :
ÉC
IM
Exemples : • Selon l’INSEE, le salaire moyen annuel net en 2016 en France s’élève à 29 304 €. On retiendra plus facilement un ordre de grandeur : 29 000 €. • La distance Terre-Soleil est de l’ordre de 150 000 000 kilomètres, 1,5 × 10 8 km en écriture scientifique.
69. Associer à chaque grandeur de la colonne de gauche son ordre de grandeur dans la colonne de droite. 1. Population de l’Amérique latine en 2019 2. Diamètre de l’univers a. 5 × 10 −6 observable (en m) b. 6,5 × 10 8 3. Masse d’une fourmi (en kg) c. 2,3 × 1011 4. Âge de la Terre (en années) d. 8,8 × 1026 5. Budget de la France en 2019 e. 10 −9 (en euros) f. 4,5 × 10 9 6. Temps que met un microprocesseur pour effectuer une opération (en secondes)
EN
65. 1. Calculer les premières décimales des nombres suivants. 2 5 1 3 5 b. c. d. e. a. 3 3 8 5 6 2. En déduire l’écriture en fraction irréductible des nombres. a. 1,666… b. 2,333… c. 0,875
SP
66. Donner un ordre de grandeur des nombres suivants, avec 2 chiffres significatifs, puis en écriture scientifique. a. 7 413 952 b. 0,000 423 c. 828,196 67. Choisir la bonne réponse en justifiant à l’aide d’un ordre de grandeur. 1. 4 258 × 4 802 = ? a. 198 916 b. 16 053 916 2. 1,582 × 10 −7
a. 2,142 × 10 −7
+ 5,6 × 10 −8
=? b. 7,182 × 10 −7
c. 20 446 916 c. 7,182 × 10 −15
68. Donner un ordre de grandeur du résultat avec un chiffre significatif. a. Quel est le pourcentage de femmes dans une association comptant 16 284 femmes et 34 821 hommes ? b. Estimer la raison d’une suite géométrique dont des termes consécutifs sont 82 ; 241,9 ; 713,605. c. Convertir la vitesse d’un satellite géostationnaire, 3 074 m/s en km/h. d. Combien de jours met un marcheur effectuant 22 kilomètres par jour pour parcourir les 2 507 kilomètres séparant Paris de Saint-Pétersbourg ?
km
hm
dam
5,
2
5
m
dm
cm
mm
0
2
7
0 0,
Exemples : • 5,25 km = 5,25 × 1 000 m = 5 250 m • 27 mm = 27 ÷ 1 000 m = 0,027 m Pour les très petites longueurs, on utilise le micromètre (μm) et le nanomètre (nm) : 1 µm = 10 −6 m et 1 nm = 10 −9 m 70. Compléter les conversions suivantes. a. 30,4 m = … mm b. 2,4 cm = … m c. 600 000 m = … km d. 0,017 km = … mm e. 6 m + 56 km = … m f. 1,2 hm + 525 m + 5 200 cm = … dam 71. Exprimer en mètre les longueurs suivantes. a. Le rayon d’une balle de ping-pong de 3,8 cm. b. La distance d’un marathon, soit 42,195 km. c. Le rayon de l’atome d’hydrogène 0,25 × 10 −7 mm. d. La distance Terre-Soleil de 150 000 000 km. C • Calcul numérique et algébrique
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72. Convertir les longueurs suivantes. a. L’épaisseur d’un cheveu de 75 µm en cm. b. Le diamètre d’une molécule d’oxygène de 0,292 nm en mm.
dam3
Exemples : • 0,82 m3 = 820 dm3 = 820 L = 820 000 cm3 • 250 mL = 250 cm3 = 250 000 mm3
0
0
0
0
0, 0
0
5
8
dm2 5
0
cm2 0
mm2
0
ÉC
Exemples : • 20 ha = 20 hm2 = 200 000 m2 • 585 000 cm2 = 0,005 85 hm2
SP
73. Compléter les conversions suivantes. a. 1 020 mm2 = … m2 b. 8 450 750 m2 = … km2 c. 5 × 109 mm2 = … m2 d. 25 380 m2 = … ha
74. Convertir les aires suivantes. a. La superficie de la planète Mars de 144,8 millions de km2 en hm2. b. La superficie de la mer Méditerranée de 2,5 millions de km2 en m2. c. L’aire d’une carte mémoire SD de 0,00056 m2 en mm2. d. L’aire d’un terrain constructible de 2 500 m2 en hectare. Unités de volume 1 km3 = 1 000 000 000 m3 ; 1 m3 = 1 000 dm = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3. Le tableau de conversion comporte trois colonnes par unité. Les volumes s’expriment aussi en litres : 1 L = 1 dm3 = 1 000 cm3 ; 1 mL = 1 cm3 ; 1 cL = 10 cm3 ; 1 dL = 100 cm3. 12
75. Compléter les conversions suivantes. a. 0,094 m3 = … cm3 b. 8 400 cm3 = … L c. 912 800 cm3 = m3 d. 20 cL = … mm3
EN
2
0
m2
mm3
76. Convertir les volumes suivants. a. La cylindrée d’un moteur de moto, estimée à 0,675 L en cm3. b. La quantité contenue dans une cuve de 1 m3 en mm3. c. Le volume de la pyramide du Louvre de 9 073,5 m3 en litre.
IM
dam2
cm3
2 5 0 0 0 0
1 km2 = 100 hm2 = 100 × 100 dam2 = 1 000 000 m2 ; 2 1 m = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 ; 1 hectare (1 ha) = 1 hm2 = 100 ares (100 a). Le tableau de conversion comporte deux colonnes par unité (on va de 100 en 100). hm2
dm3
0, 8 2 0 0 0 0
Unités d’aire
km2
m3
77. À l’oral Calculer et expliquer la démarche. a. Combien faut-il de cuillères à soupe de 10 cm3 pour transvaser 1 litre de sirop ? b. Le volume de l’océan Atlantique est d’environ 330 000 000 km3. Combien de cannettes de 33 cL cela représente-t-il ? Donner le résultat en écriture scientifique. c. Quel est le nombre de litre dans 1,2 × 10−9 m3 ? Unités de masse 1 g = 1 000 mg = 0,001 kg ; 1 kg = 1 000 g ; 1 t = 1 000 kg = 1 000 000 g. t 0,
5
0
kg
hg dag
g
dg
cg
0,
0
0
2
3
0
0
0
0
0
mg
Exemples : • 0,002 3 kg = 2,3 g = 230 cg • 0,5 t = 0,5 × 1 000 kg = 500 kg = 500 000 g 78. Compléter les conversions suivantes. a. 48,2 kg = … g b. 474 mg = … g c. 427 560 g = … t d. 0,004 t = … g
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Automatismes
79. Exprimer en kilogramme les masses suivantes, et utiliser l’écriture scientifique. a. La masse d’une boule de bowling de 7 258 g. b. La masse de l’atome d’hydrogène de 160 × 10 −29 g. c. La masse de la toiture du stade de France de 13 000 tonnes. d. La masse d’une truffe de 91,208 g.
Exemples : • 80 km.h−1 signifie 80 km en 1 h, ou 80 km en 3 600 s, soit 80 000 m en 3 600 s. 80 × 1 000 ≈ 22,2 en m.s−1. En résumé : 1× 3 600 • 5 m.s−1 signifie 5 m en une seconde, ou 3 600 fois plus en 1 h. Or, 5 × 3 600 = 18 000, soit 18 000 m en 1 h, soit 18 km en 1 h. 5 × 3 600 = 18 en km.h−1. En résumé : 1× 1 000
Unités de temps 1 h = 60 min = 60 × 60 s = 3 600 s
EN
83. a. La vitesse d’un hélicoptère est de 360 km.h−1. Convertir la vitesse en m.s−1. b. La vitesse d’un sprinter est de 10 m.s−1. Convertir la vitesse en km.h−1. 84. a. Un lièvre peut courir à 60 km par heure. Calculer la distance en mètre qu’il parcourt en une seconde. b. Dans une éolienne, la vitesse v à l’extrémité des pales est de 60 m.s−1. Convertir la vitesse en km.h−1.
ÉC
IM
Exemples : • 1 jour = 24 h = 1 440 min = 86 400 s • Par convention, 1 an = 365 jours = 8 760 h • 3,52 h = 3 h + 0,52 h = 3 h + ( 0,52 × 60 ) min = 3 h 31,2 min = 3 h 31 min + ( 0,2 × 60 ) s = 3 h 31min 12 s • 10 000 s = (2 × 3 600 + 2 800 ) s = 2 h + ( 46 × 60 + 40 ) s = 2 h 46 min 40 s
SP
80. Exprimer les durées en h, min et s. a. 185 min b. 36 000 s c. 3,333… h d. 60 000 s e. 17/4 h f. 25/3 h
81. Exprimer en fraction d’heures les durées suivantes. a. 3 h 15 min b. 20 min c. 1 h 06 min d. 2 h 50 min e. 1 min f. 1 h 10 min 82. a. La Coupe du monde de football a lieu tous les quatre ans. Convertir cette période en jour. b. Le record de durée en apnée statique sans inhalation d’oxygène préalable, détenu par le Français Stéphane Mifsud est de 695 s. Convertir ce record en minute. c. Le temps de téléchargement d’un gros fichier est de 46,1 heures. Convertir ce temps en jour, heure et minute. Unités de vitesse Les vitesses sont le plus souvent données en km/h ou en m/s. On écrit aussi km.h−1 ou m.s−1
15 Résoudre une équation ou une inéquation du premier degré et résoudre une équation du type : x2 = a Résoudre une équation du premier degré : • On commence par regrouper dans un même membre les termes « en x » et les termes « sans x » ; pour cela, on peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres de l’équation, on obtient une équation équivalente. • Puis on simplifie : on peut multiplier ou diviser par un même nombre non nul les deux membres de l’équation, on obtient alors une équation équivalente. Exemple : Résoudre : 2x − 5 = 4 x + 10. 2x − 5 = 4 x + 10 2x − 5 − 4 x + 5 = 4 x + 10 − 4 x + 5 On retranche 4 x et on ajoute 5. −2x = 15 On réduit dans chaque membre. −2x 15 = On divise par −2. −2 −2 15 x=− On vérifie que cette solution convient. 2 15 La solution est − . 2 C • Calcul numérique et algébrique
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85. Résoudre les équations suivantes. a. −x + 11 = 4 x − 12 b. 7 − 5x = 4 c. 3x − 5 = 2x − 1 d. 7 − 5x = 1− 4 x
Résoudre une équation du type x 2 = a : • si a > 0, l’équation x 2 = a admet 2 solutions opposées : a et − a ; • si a = 0, l’équation x 2 = 0 admet une solution : 0 ; • si a < 0, l’équation x 2 = a n’admet pas de solution.
86. Résoudre les équations suivantes. 1 1 b. x + 11 = 3 a. x + 5 = x − 12 2 3 3 1 1 1 7 c. x − = −5x + d. 2t − = t + 4 3 4 3 3
Exemples : Résoudre les équations suivantes : • x 2 = 25 Les solutions sont 5 et −5. • x 2 + 5 = 0 ⇔ x 2 = −5 < 0 L’équation n’a pas de solution. • 2x 2 − 72 = 0 ⇔ 2x 2 = 72 ⇔ x 2 = 36 L’équation a deux solutions 6 et −6.
91. Résoudre les équations suivantes. a. x 2 + 5 = 0 b. x 2 − 121 = 0 1 c. 2 ( x 2 + 1) = 2 d. x 2 = 8 2
IM
Pour résoudre une inéquation du premier degré, on suit la même méthode que pour résoudre une équation du premier degré. Une seule règle est différente : multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un nombre strictement négatif change le sens de l’inéquation.
EN
87. Résoudre les équations suivantes. a. 2 ( x − 5) + 3x = 9x − 1 b. 11− 3 ( x − 4 ) = 2 (5x − 4 ) c. 0,5y + 1 = 2y − 3 d. 11,8t + 1 = 2,8t + 10
On réduit dans chaque membre.
SP
⇔ −4 x > 14 −4 x 14 < ⇔ −4 −4
ÉC
Exemple : Résoudre 3x − 6 > 7x + 8. ⇔ 3x − 6 − 7x + 6 > 7x + 8 − 7x + 6 On retranche 7x et on ajoute 6. On divise par −4 < 0 donc on change le sens de l’inéquation.
7 2 7 L’intervalle solution est ⎤⎥ −∞ ; − ⎡⎢ . 2⎣ ⎦ ⇔ x<−
88. Résoudre les inéquations suivantes. 1 b. x − 5 ! −7 a. 2x − 7 ! −5x 2 c. −5x + 1< 11x − 13 d. 2x − 5 ! 6x + 1 89. Résoudre les inéquations suivantes. 1 5 1 x b. + 8 > 2x + 3 a. t + ! t + 1 3 3 2 2 c. x − 0,5 < 0,5x + 1,5 d. 3x − 5 ! −7x + 5 90. Résoudre les inéquations suivantes. a. 2 ( x − 5) + x ! −3 ( x − 5) b. 2 ( x + 1) > ( x + 1) (2x − 5) − 2x 2 x +1 x − 3 c. < 2 3 14
92. Résoudre les équations suivantes. a. 9x 2 = 1 b. 1− 25x 2 = 0 1 c. 4 x 2 − 36 = 0 d. t 2 = 9 9 93. Résoudre les équations suivantes. b. 3x 2 − 6 = 0 a. 100t 2 = 1 2 c. 25x + 1 = 0 d. 5 ( x 2 − 5) = −25
16 Déterminer le signe d’une expression du premier degré et d’une expression factorisée du second degré Déterminer le signe de ax + b (avec a et b des réels et a ≠ 0) • On commence par résoudre l’équation b ax + b = 0 ⇔ ax = −b ⇔ x = − . a • On regarde le signe de a. • On conclut en utilisant un tableau de signes : Si a < 0 Si a > 0
ax + b
b +∞ a 0 +
−
−∞
x
−
−∞
x ax + b
+
b +∞ a 0 −
−
En résumé : x ax + b
−∞ Signe de −a
b a 0
−
+∞ Signe de a
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97. Déterminer le signe des expressions suivantes. a. ( −x + 5) ( 4 x − 2) b. ( −x + 3 ) ( x − 2)
Exemples : • Déterminer le signe de A ( x ) = −x + 4. −x + 4 = 0 ⇔ x = 4 De plus a = −1< 0 x A( x )
−∞
4
+∞
+
0
−
17 Isoler une variable dans une égalité ou une inégalité qui en comporte plusieurs Isoler une variable dans une égalité
Déterminer le signe de B ( x ) = 3x − 6. 3x − 6 = 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2 De plus a = 3 > 0
•
B( x )
−∞
2
+∞
−
0
+
IM
Déterminer le signe d’une expression factorisée du second degré Soit a, x1 et x2 trois réels, a ≠ 0. On veut déterminer le signe de a ( x − x1 ) ( x − x2 ) . • On résout a ( x − x1 )( x − x2 ) = 0 ⇔ x = x1 ou x = x2. • On range les valeurs x1 et x2 par ordre croissant. • On dresse un tableau de signes. • On conclut en appliquant la règle des signes.
EN
x
Exemple : La vitesse moyenne v d’un objet en mouvement d est donnée par la formule v = où d représente t la distance parcourue et t le temps écoulé. Connaissant la vitesse et le temps, on peut calculer la distance parcourue. En multipliant les deux membres de l’égalité par t, on obtient : d = v × t. On peut également isoler le temps t en divisant les deux membres par v dans cette dernière relation : d t= . v
ÉC
98. Isoler la variable écrite en bleu. n a. p = b. U = RI c. P = ρgV N
x
SP
Exemple : Déterminer le signe de C ( x ) = −2 ( x − 5) ( x + 1). C ( x ) = 0 ⇔ −2 ( x − 5) ( x + 1) = 0 ⇔ x = 5 ou x = −1 et −1< 5. −∞
−1
5
+∞
−2
−
−
x−5
−
−
0
+
x+1
−
0
+
0
+
C ( x)
−
0
+
0
−
−
94. Déterminer le signe des expressions suivantes. 1 b. A ( x ) = x + 1 a. A ( x ) = −5x + 10 3 1 c. A ( x ) = 4 x d. A ( x ) = − x + 4 2 95. Déterminer le signe des expressions suivantes. a. A ( x ) = 5x + 100 b. B ( x ) = 2x c. C ( x ) = 1− 5x 96. Déterminer le signe des expressions suivantes. a. −4 ( x − 5) ( x − 1) b. 2 ( x − 5) ( x + 1)
99. Isoler la variable écrite en bleu. π×D×N b. V = a. F = qE 1 000 π × A2 × C × n c. V = 4 100. Isoler la variable écrite en bleu. b×h 1 c. E = mV 2 a. V = L × l × h b. A = 2 2
101. La recette (en €) pour la vente de x produits est donnée par la formule R = 9x − 30. Exprimer x en fonction de R. 102. Isoler la quantité écrite en bleu. C a. CTM = T b. Bénéfices = P × Q − CT q Production en valeur c.Production en volume = × 100 Indice des prix Revenu nominal d. Pouvoir d’achat = × 100 Indice des prix 103. Le taux d’évolution entre une valeur initiale Vi V − Vi et une valeur finale Vf est : t = f . Vi a. Exprimer Vf en fonction de t et Vi. b. Exprimer Vi en fonction de t et Vf . C • Calcul numérique et algébrique
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107. Calculer les grandeurs suivantes. a. PTTC = PHT (1 + TVA) avec PHT = 20 € et TVA = 0,2. b. La vitesse en km.h−1 d’une personne qui parcourt 800 mètres en 6 minutes. 1 c. L’énergie cinétique E = mv 2 d’un solide de masse 2 m = 10 g et de vitesse v = 0,1 m.s−1.
Isoler une variable dans une inégalité On procède de même que dans une égalité, mais attention au signe lors d’une multiplication ou division ! Exemple : Pour isoler t dans l’inégalité at + b > c, il faut connaître le signe de a. Si a > 0, at + b > c ⇔ at > c − b c−b ⇔t> a Si a < 0, at + b > c ⇔ at > c − b c−b ⇔t< a
EN
109. Calculer le temps mis par une voiture roulant à 100 km/h pour parcourir 10 000 m. d On rappelle la formule t = . v
ÉC
105. Isoler la variable écrite en bleu sachant que toutes les variables utilisées sont positives. a a c b. > a. < k b b d a c b c. > d. a + < d b d c
SP
106. Le prix d’une commande de n articles coûtant chacun c (en €) est : c × n + p où p représente les frais de port. On dispose d’un budget maximal b (en €). Donc : c × n + p ! b. a. Isoler n dans cette inégalité. Combien d’objets pourra-t-on acheter ? b. Isoler c. À quelle question cette nouvelle inégalité permet-elle de répondre ?
18 Effectuer une application numérique d’une formule utilisée dans une autre discipline Exemples : Soit f ( x ) = −x 2 + 3x − 4. On veut calculer f ( −3 ), image de −3 par la fonction f . Attention : −x 2 signifie « on prend x, on élève au carré, puis on prend l’opposé du résultat ». Conseil : effectuer le plus de calculs possibles de tête. Ainsi f ( −3 ) = −9 − 9 − 4 = −22 car le carré de −3 est 9 et 3 × ( −3 ) = −9. 16
19 Développer, factoriser, réduire une expression algébrique simple
IM
104. Isoler la variable écrite en bleu. a. 4 x + p < y b. −2x + p > y x+y <k c. mx + p < y d. 2
108. Calculer le taux de marge sur coûts variables T et le seuil de rentabilité d’un produit dont le prix de vente est de 4,60 €, le coût variable unitaire 0,60 € et les coûts fixes 0,50 € : Prix de vente − Coût variable unitaire T= Prix de vente
Développer Transformer un produit en une somme en utilisant la distributivité Identités remarquables ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2
( a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b2
Réduire Écrire une expression en regroupant les termes de même degré et en simplifiant. Exemples : • (3x + 5)2 = (3x )2 + 23 × 5 + 52 = 9x 2 + 30x + 25
• ( x − 2)(3x − 1) = x 2 − 6x + 9 + 3x 2 − x − 6x + 2 = 4 x 2 − 13x + 11
−2 ( x + 3 ) ( x − 5) Commencer à distribuer −2 sur le premier facteur = ( −2x − 6 ) ( x − 5) = −2x 2 + 10x − 6x + 30 = −2x 2 + 4 x + 30
•
110. Développer et réduire les expressions suivantes. a. 3 ( x + 5) b. x (3 + x ) c. −2 (2 + x ) d. 2x ( x − 4 )
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111. Développer et réduire les expressions suivantes. a. 3 (2x − 5) b. x (3 + x ) c. −2x (2 + 2x ) d. −4 ( −2x + 4 ) 112. Développer et réduire les expressions suivantes. a. (7x + 8 )2 b. ( 4 x + 2)2 c. (3x − 7 )2 2 2 d. ( 4 x − 7 ) e. ( 6x − 1) f. (2x + 3 ) (2x − 3 )
120. Factoriser chaque expression. a. 3 ( x − 2) + ( x − 2) ( x + 3 ) b. 2 ( x − 2) ( y + 1) − (2y + 1) ( x − 2) c. ( x − 2)2 − 3 ( x − 2) d. ( x − 4 )2 + 3 ( x − 4 ) ( x + 3 )
20 Calculer la dérivée d’une fonction polynômiale de degré inférieur ou égal à 3
Factoriser
ÉC
SP
Cas particuliers : • Mettre x en facteur : ax 2 + bx = x ( ax + b ). • Différence de deux carrés : ( A)2 − ( B )2 = ( A + B )( A − B )
114. Pour chaque expression, indiquer le facteur commun. a. 5x + 5y b. 3x + xy c. x 2 + 2x 115. Factoriser chaque expression. a. x 2 − 4 x b. ( x + 1)2 + (3x + 2) ( x + 1) 2 c. (2x + 1) + (3x + 2) (2x + 1) 116. Factoriser chaque expression et indiquer si c’est une différence de deux carrés. a. x 2 − 81 b. 4 x 2 − 25 c. x 2 − 2x + 1 117. Factoriser chaque expression. a. (3x + 1) (5x + 3 ) + (3x + 1) (2x + 2) b. (7x − 3 ) ( x + 1) + (7x − 3 ) (2x + 2) c. ( x − 2) (2x + 3 ) − ( x − 2) (2x + 2) d. ( x − 3 ) ( x + 1) + ( x + 1)2 118. Factoriser chaque expression. a. ( x + 1) (2x + 1) + ( x + 1) ( x + 2) + 3 ( x + 1) b. (7x − 3 )2 + (7x − 3 ) ( x + 2)
f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d = ax 3 + bx 2 + cx + d × 1, où a, b, c et d sont des réels, est une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3. Soit f ′ la fonction dérivée de f, on a : f ′ ( x ) = a × 3x 2 + b × 2x + c × 1+ d × 0.
IM
Transformer une somme en produit. Exemple : (2x + 1)(3x + 2) + (2x + 1)( 4 x + 3 ) = (2x + 1)[(3x + 2) + ( 4 x + 3 )] = (2x + 1)[3x + 2 + 4 x + 3 ] = (2x + 1) (7x + 5)
119. Factoriser chaque expression. a. (5x + 11) ( 4 y − 1) + (5x + 11) (3y + 2) b. ( 8x − 2) (2 − x ) + (2 − x ) ( x + 3 ) c. (2x − 1) (2 + x ) + 3 (2 + x ) d. (5x + 2) (2x + 1) − (5x + 2) ( x + 3 )
EN
113. Développer et réduire les expressions suivantes. a. (3x + 5) ( x − 1) b. (3x + 6 ) (3x − 6 ) − ( x + 1)2 c. ( x − 1)2 − ( x + 3 ) (2x − 1) d. 4 (2x − 3 ) (5 − 3x ) e. −3 ( −x − 2) (3x + 5)
c. ( a − 3 ) ( x + 1) − ( a − 3 ) (2x + 2) d. ( x − 3 ) ( x + 1) − ( x − 3 ) ( x − 1)
121. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a. f ( x ) = 4 x − 2 b. g ( t ) = 6t 2 − 3t + 1 2 c. h ( x ) = −2x + 6x − 3 d. k ( t ) = 2t 3 − t 2 + 3t − 1 122. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a. u ( x ) = −x 3 + 2x 2 + 3x − 1 b. v ( x ) = 2x 3 − 6x 2 c. f ( t ) = 5t 2 + t 3 − 3 d. g ( x ) = 6x 3 + 2x 2 − 5 123. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. 1 3 2 1 b. g ( x ) = x 2 − x + 3 a. f ( t ) = t 2 − t 5 − 2 7 3 7 3 x c. h ( t ) = t 2 − 2t + 1 d. u ( x ) = − + 3 4 4 124. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. x3 a. u ( x ) = + 0,5x 2 − 3x + 6 3 5 b. v ( x ) = 0,3x 3 + x 2 − 0,25x + 0,75 6 t2 c. f ( t ) = − + 2t − 3 2 t2 d. h ( t ) = 0,25t 3 + − 10t − 1 7 C • Calcul numérique et algébrique
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125. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a. f ( x ) = ( x − 2) ( x + 3 ) b. g ( t ) =
2t 2
c. h ( x ) = (2 − 3x )
3x 3
2
d. v ( t ) =
128. Dans chacun des cas suivants, déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a.
(3 − 4t ) + (1− 4 x )2
a. f ( x ) = 2x 2 − 2, a = 2
126. Calculer la dérivée des fonctions suivantes. a. f ( x ) = 5 ( x − 3 )2 + 3 1 1 b. g ( t ) = 0,75t 3 − 0,6t 2 ⎛⎜ t − ⎞⎟ ⎝ 2 3⎠ c. h ( x ) = (2x − 3 )2 (3x + 5) 1 2 d. v ( t ) = ⎛⎜ t 2 − 3⎞⎟ ⎛⎜ t + ⎞⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ 3⎠
EN
2. La dérivée de g ( x ) = x 2 (3x + 2) est : a. 6x b. 9x 2 + 4 x c. 2x (3x + 2) d. 3x 2 + 2x
SP
ÉC
3. Parmi les fonctions proposées, quelle est celle qui a pour dérivée : t ! 3t 2 − 2t ? a. f ( t ) = 3t 3 − 2t 2 b. g ( t ) = t 3 − 2t 2 t3 c. h ( t ) = t 2 ( t − 1) d. u ( t ) = − t 2 2
21 Calculer le coefficient directeur de la tangente en un point à une courbe à l’aide de la dérivée On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I, C f sa courbe représentative et a ∈I. Le coefficient directeur de la tangente à C f au point d’abscisse a est f ′ ( a ). Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = 3x 2 − 6x + 9. On note C f sa courbe représentative. On cherche le coefficient directeur de la tangente à C f au point d’abscisse 3. • On détermine d’abord l’expression de la dérivée f ′ de f : f ′ ( x ) = 3 × 2x − 6 × 1+ 0 = 6x − 6. • On calcule f ′ (3 ) : f ′ (3 ) = 6 × 3 − 6 = 12. • On conclut : le coefficient directeur de la tangente à C f au point d’abscisse 3 est : f ′ (3 ) = 12. 18
h. f ( x ) = 5x 2 − 2x + 11, a = 0
D Fonctions et représentations 22 Déterminer graphiquement des images et des antécédents
IM
127. QCM Pour chaque question, une seule réponse est exacte. 3x 2 1. La dérivée de f ( x ) = + 5x − 0,5 est : 2 6 a. 6x + 5 b. x + 4,5 3 c. 2x + 5 d. 3x + 5
b. f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 5, a = −1 1 2 c. f ( x ) = x 2 + , a = 5 5 5 3 3 d. f ( x ) = x + , a = 3 x e. f ( x ) = 6x 2 + x − 7, a = 1 1 1 2 f. f ( x ) = x 3 − x 2 + , a = 3 3 3 3 g. f ( x ) = x 2 + 2, a = 2
Soit f une fonction dont la représentation graphique dans un repère est notée Cf . La courbe ainsi tracée a pour équation : y = f ( x ) . L’image de a par f est l’ordonnée du point de Cf d’abscisse a. Un nombre, lu sur l’axe des abscisses, admet au plus une image par f . Image de a
b
a
Image de b y = f (x)
Un nombre, lu sur l’axe des ordonnées, peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s) par f . Les antécédents de c sont les abscisses des points de Cf qui ont pour ordonnée c. y = f (x) Antécédents de c c
D • Fonctions et représentations
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129. On considère la courbe représentative de la fonction f définie sur R. Observer le graphique et compléter les phrases suivantes.
1. Observer le graphique et compléter les phrases suivantes avec la précision permise par le graphique. a. Les antécédents de 3 par h sont … . b. Les antécédents de 1 par h sont … .
4 3 2 1 −1 0
1
2
3
4
2. Donner un nombre qui n’a pas d’antécédent par f.
1. L’image de 1 par f est … .
3. Donner un nombre qui a trois antécédents par f.
2. Les antécédents de 3 par f sont … .
4. Donner des valeurs approchées des antécédents de 0 par f.
3. L’image de −1 par f est … . 4. f (2) = …
133. On dispose de la représentation graphique d’une fonction f définie sur [ −3 ; 4 ].
−2 −1 0 −1
J
0
Ι
1 2 3
1. Déterminer l’image de 1 par f.
ÉC
1. Déterminer graphiquement les images suivantes. a. L’image par g de 3. b. L’image par g de 0. c. L’image par g de −2. d. L’image par g de 4.
6 5 4 3 2 1
IM
130. On considère la courbe représentative d’une fonction g définie sur R.
EN
5. 3 a la même image par f que … .
2. 3 possède-t-il des antécédents par g ? Si oui, combien ?
2. Déterminer l’image de 2 par f.
3. Donner le nombre d’antécédents de 6 par g.
4. Déterminer le(s) antécédents de 3 par f.
3. Déterminer le(s) antécédent(s) de 1 par f. 5. Déterminer le(s) antécédent(s) de −2 par f.
131. On considère une fonction f définie sur R. Regrouper les affirmations qui traduisent le même résultat.
134. Vrai ou faux ? On dispose de la représentation graphique d’une fonction f définie sur R. Pour chaque phrase, déterminer si elle est vraie ou fausse.
SP
4. Donner un antécédent de 4 par g.
1. L’image de 2 par f est 4. 2. (4 ; 2) est un point de C f . 3. Un antécédent de 4 par f est 2.
10
4. Un antécédent de 2 par f est 4.
5
5. f ( 4 ) = 2. 132. On dispose de la représentation graphique d’une fonction h définie sur [ −1,2 ; 9 ].
5
10
15
20
25
1. L’image par f de 10 est 5,5.
4
2. 10 possède au moins trois antécédents par f.
2 −2 0
−5 0 −5
3. L’image de 0 par f est négative. 2
4
6
8
4. L’image de 20 par f est 7,5. 5. Un antécédent de 9 par f est 5. D • Fonctions et représentations
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Automatismes
On dispose de la représentation graphique d’une fonction f définie sur [ −3 ; 3 ].
135. On dispose de la représentation graphique d’une fonction f définie sur [ −6 ; 6 ]. Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions. 2 −6
−4
−2
0
4
2
6
−2
1. L’image de 2,5 est : a. 4 c. 1,8
b. 2,5 d. 2
2. L’antécédent de −1… a. n’existe pas. c. est 0.
b. est −1. d. est 0,6.
3. 2 a pour antécédents : a. −2,5 ; −1,5 ; 1,5 et 2,5. b. −5 ; −3 ; 3 et 5. c. 2,6 d. 1,5 et 2,5.
1. Déterminer le(s) antécédents de 1 par f. 2. Déterminer l’image de 5 par f. 4. 4 possède-t-il des antécédents ? Si oui, combien ? 5. 2 possède-t-il des antécédents ? Si oui, combien ? 6. Donner un réel qui a la même image par f que 3.
23 Résoudre graphiquement une équation, une inéquation du type : f ( x) = k, f ( x) < k, …
IM
136. On dispose de la représentation graphique d’une fonction g définie sur [ −3 ; 9 ]. Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions.
EN
3. Déterminer le(s) antécédents de 3 par f.
2 0 −2
4
2
6
1. Déterminer l’image de 5 par g.
2. Déterminer le(s) antécédent(s) de 0 par g. 3. Déterminer le(s) antécédents de 2 par g. 4. Répondre par vrai ou faux. a. 1 et 5 ont des images opposées. b. 3 possède deux antécédents par g. c. −2 et 1 ont le même nombre d’antécédents. 137. QCM Pour chaque affirmation, une seule réponse est exacte. y
1
20
−1
0 −1
2
k
1 −2 x1 −1 0
1 x2 2 x3 x
• •
Tracer la droite d’équation y = k. Marquer les points d’intersection de la courbe avec la droite. • Les solutions sont les abscisses de ces points d’intersection. S = { x1 ; x2 ; x3 }. • Si la courbe et la droite n’ont pas de point d’intersection, alors cette équation n’a pas de solution. On note S = ∅.
138. La courbe ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie sur [ −5 ; 3 ]. y 3 2 1
2
−2
y
8
SP
−2
ÉC
4
Résoudre graphiquement : f ( x ) = k. La courbe représentative de la fonction f est donnée ci-dessous.
1
2
x
−5 −4 −3 −2 −1 0
1
2
3
x
D • Fonctions et représentations
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Automatismes
Résoudre graphiquement les équations suivantes. a. f ( x ) = −1 b. f ( x ) = 0 c. f ( x ) = 2 d. f ( x ) = 3
• •
Les solutions de l’inéquation f ( x ) ! k sont les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée est supérieure ou égale à k. (en bleu) Dans l’exemple : S = ]−∞ ; x1 ] ∪ [ x2 ; +∞[.
139. La courbe ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie sur [ −5 ; 5].
Les solutions de l’inéquation f ( x ) ! k sont les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée est inférieure ou égale à k. (en rouge) Dans l’exemple : S = [ x1 ; x2 ].
•
y 3 2 1 1
2
3
4
5
x
Résoudre graphiquement les équations suivantes. a. f ( x ) = −1 b. f ( x ) = 0 c. f ( x ) = 3 d. f ( x ) = 5 140. La courbe ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie sur [ −5 ; 5].
1
1 −1 0 −1 −2
2
3
4
5
x
SP
1
−3
1. Avec la précision permise par le graphique, résoudre les équations suivantes. a. f ( x ) = −3 b. f ( x ) = 0 c. f ( x ) = 1 d. f ( x ) = 2 2. Déterminer le nombre de solutions de l’équation f ( x ) = k, lorsque : a. k ∈[ −1; 0 ] b. k ∈[2 ; 3[
1
2
3
4
5
x
−2
ÉC
2
−2
2
−5 −4 −3 −2 −1 0 −1
3
−3
y
3
IM
y
141. La courbe ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie sur [ −5 ; 5].
EN
−4 −3 −2 −1 0
−4
Tracer la droite d’équation y = k.
Résoudre graphiquement les inéquations suivantes. a. f ( x ) ! 0 b. f ( x ) ! 0 c. f ( x ) ! 2 d. f ( x ) ! 2 142. La courbe ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie sur R. On admet que :
• f ( x ) > 0 pour tout x ∈R. • f est croissante sur ]−∞ ; 0 ] et
[ 0 ; +∞[.
décroissante sur
y 5 4
Résoudre graphiquement : f ( x ) ! k , … La courbe représentative de la fonction f est donnée ci-dessous.
3 2 1
y −2
k 1 x1
0
1
x2
x
−1 0
1
2
x
Avec la précision permise par le graphique, résoudre les inéquations suivantes. a. f ( x ) ! 4 b. f ( x ) < 1 c. f ( x ) ! 0 d. f ( x ) > 0 D • Fonctions et représentations
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Automatismes
24 Déterminer le signe d’une expression factorisée du second degré à l’aide d’une image mentale de la courbe représentative de la fonction correspondante
Lorsque x1 = x2 , on a : Allure de la courbe représentative : x0 −
Une forme factorisée du second degré est un polynôme qui peut s’écrire sous la forme : f ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) où a est un réel non nul et x1 et x2 sont les racines du polynôme f . Deux cas se présentent :
+
+ Axe des abscisses
x1 − x2
On en déduit le tableau de signes : −∞
x1
+
0
Signe de f ( x )
−
x2
+∞
0
+
SP
Lorsque x1 = x2 , on a : Allure de la courbe représentative : +
+
+
Axe des abscisses
x0
−∞
•
+
−
+
0
Axe des abscisses −
On en déduit le tableau de signes : x Signe de f ( x )
22
−∞
x1
−
0
+
−
0
−
143. Toutes les fonctions proposées sont définies sur R. Pour chacune d’entre elles, donner le tableau de signes. a. f ( x ) = 2 ( x − 3 ) ( x + 1) b. g ( x ) = −3 ( x − 5) ( x − 2) 1 c. h ( x ) = ( x + 3 )2 2 2 7 1 d. k ( x ) = ⎛⎜ x − ⎞⎟ ⎛⎜ x − ⎞⎟ 3⎠ 3⎝ 2⎠ ⎝ 144. Toutes les fonctions proposées sont définies sur R. Pour chacune d’entre elles, donner le tableau de signes. a. f ( t ) = −2,5 ( t − 0,3 ) ( t − 0,25) 5 b. g ( t ) = 2 ( t + 2,3 ) ⎛⎜ t + ⎞⎟ ⎝ 2⎠
(
Cas où a < 0 : On supposera que x1 < x2. Allure de la courbe représentative : x1 + x2
+∞
x0
2
)
d. k ( t ) = t − 2 ( t + 2) +∞
x0
Signe de f ( x )
Signe de f ( x )
3 c. h ( t ) = −5 ⎛⎜ t − ⎟⎞ ⎝ 2⎠
On en déduit le tableau de signes : x
−∞
x
ÉC
x
On en déduit le tableau de signes :
EN
Cas où a > 0 : On supposera que x1 < x2. Allure de la courbe représentative :
−
IM
•
−
Axe des abscisses
x2
+∞
0
−
145. Pour chaque fonction, déterminer son signe sur l’intervalle I proposé. I = ]−3 ; 1[ a. f ( x ) = 2 ( x − 1) ( x + 3 ) I = [2 ; +∞[ b. g ( x ) = −3 ( x + 1) ( x − 2) 2 1 4 1 c. h ( x ) = ⎛⎜ x − ⎞⎟ ⎛⎜ x − ⎞⎟ I = ⎤⎥ −∞ ; ⎤⎥ 3⎝ 2⎠ ⎝ 5⎠ 2⎦ ⎦ 1 2 2 d. k ( t ) = 0,7 ⎛⎜ t + ⎞⎟ ⎛⎜ t − ⎞⎟ I = ⎥⎤ ; +∞ ⎡⎢ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎦3 ⎣ 146. Pour chaque fonction, déterminer son signe sur l’intervalle I proposé. 3 I = ]−∞ ; 0 ] a. f ( x ) = − ( x − 2) ( x − 6,5) 4 b. g ( x ) = 0,75 ( x + 0,5) ( x + 0,25) I = ]−∞ ; −1[ 5 2 5 5 c. h ( t ) = − ⎛⎜ t − ⎞⎟ ⎛⎜ t − ⎞⎟ I = ⎥⎤ ; +∞ ⎡⎢ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 7 7 3 ⎦2 ⎣
D • Fonctions et représentations
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Automatismes
1. On considère la fonction g dĂŠfinie sur â&#x201E;? par g ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;2 ( x â&#x2C6;&#x2019; 1) ( x â&#x2C6;&#x2019; 3 ) et C g sa courbe reprĂŠsentative. a. Le point de C g dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse 2 est au-dessous de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses. b. Le point de C g dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse 4 est au-dessous de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses. 2. On considère la fonction f dĂŠfinie sur R par f ( t ) = 7 ( x â&#x2C6;&#x2019; 5) ( x + 3 ) et C f sa courbe reprĂŠsentative. a. Le point de C f dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse 2 est au-dessous de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses. b. Le point de C f dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse 4 est au-dessous de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses.
x Signe de f ( x )
â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
â&#x2C6;&#x2019;2
+
0
Ă&#x2030;C
1. Le tableau de signe de f ( x ) est le suivant.
25 DĂŠterminer graphiquement le signe dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction ou son tableau de variations
â&#x2C6;&#x2019;
1
+â&#x2C6;&#x17E;
0
+
SP
2. Le point de C f dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse 3 est au-dessus de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses. 3. Si x â&#x2C6;&#x2C6;[ â&#x2C6;&#x2019;2 ; â&#x2C6;&#x2019;1] alors f ( x ) ! 0.
4. f ( x ) < 0 si et seulement si x â&#x2C6;&#x2C6; ]â&#x2C6;&#x2019;1; 1[ .
149. QCM Pour chaque question, une seule rĂŠponse est exacte. 1. f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;3 ( x â&#x2C6;&#x2019; 5) ( x + 2) a. Si x â&#x2C6;&#x2C6; ]0 ; 3[ alors f ( x ) < 0. b. Si x â&#x2C6;&#x2C6; ]â&#x2C6;&#x2019;5 ; 2[ alors f ( x ) ! 0. c. Si x â&#x2C6;&#x2C6;[2 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ alors f ( x ) ! 0. d. Si x â&#x2C6;&#x2C6; ]â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; â&#x2C6;&#x2019;2] alors f ( x ) ! 0. 1 1 2. g ( x ) = 2,5 â&#x17D;&#x203A;â&#x17D;&#x153; x â&#x2C6;&#x2019; â&#x17D;&#x17E;â&#x17D;&#x; â&#x17D;&#x203A;â&#x17D;&#x153; x + â&#x17D;&#x17E;â&#x17D;&#x; â&#x17D;? 3â&#x17D; â&#x17D;? 7â&#x17D; 1 1 a. Si x â&#x2C6;&#x2C6; â&#x17D;Ąâ&#x17D;˘ â&#x2C6;&#x2019; ; â&#x17D;¤â&#x17D;Ľ alors g ( x ) ! 0. â&#x17D;Ł 3 7â&#x17D;Ś 1 1 b. Si x â&#x2C6;&#x2C6; â&#x17D;Ąâ&#x17D;˘ ; â&#x17D;¤â&#x17D;Ľ alors g ( x ) ! 0. â&#x17D;Ł7 3 â&#x17D;Ś 1 c. Si x â&#x2C6;&#x2C6; â&#x17D;¤â&#x17D;Ľ â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; â&#x2C6;&#x2019; â&#x17D;¤â&#x17D;Ľ alors g ( x ) ! 0. 7 â&#x17D;Ś â&#x17D;Ś 1 â&#x17D;Ą â&#x17D;¤ d. Si x â&#x2C6;&#x2C6; â&#x17D;Ľ â&#x2C6;&#x2019; ; 0 â&#x17D;˘ alors g ( x ) ! 0. â&#x17D;Ś 7 â&#x17D;Ł
Pour dĂŠterminer graphiquement le signe dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction, on dĂŠtermine sur quels intervalles la fonction f prend des valeurs positives, et sur lesquels elle prend des valeurs nĂŠgatives.
â&#x20AC;˘ f ( x ) > 0 quand la courbe reprĂŠsentative de
f
â&#x20AC;˘ f ( x ) < 0 quand la courbe reprĂŠsentative de
f
est au-dessus de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses.
IM
148. Vrai ou faux ? Pour chaque phrase, dĂŠterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la rĂŠponse. Soit f la fonction dĂŠfinie sur R par f ( x ) = ( x â&#x2C6;&#x2019; 1) ( x + 2) â&#x2C6;&#x2019; ( x â&#x2C6;&#x2019; 1) et C f sa courbe reprĂŠsentative.
1 3. h ( x ) = ( x + 3 ) ( x â&#x2C6;&#x2019; 2) 2 a. Si x â&#x2C6;&#x2C6;[ â&#x2C6;&#x2019;3 ; 3 ] alors h ( x ) ! 0. b. Si x â&#x2C6;&#x2C6; ]â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; â&#x2C6;&#x2019;3[ alors f ( x ) ! 0. c. Si x â&#x2C6;&#x2C6; ]â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; 2] alors h ( x ) ! 0. d. Si x â&#x2C6;&#x2C6; ]2 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ alors f ( x ) ! 0.
EN
147. Vrai ou faux ? Pour chaque phrase, dÊterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la rÊponse.
est en dessous de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses.
â&#x20AC;˘ Les points dâ&#x20AC;&#x2122;intersection de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses et de la courbe reprĂŠsentative de f sont tels que f ( x ) = 0. On rĂŠunit ces rĂŠsultats dans un tableau de signes. Si on connaĂŽt le tableau de signes dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction, on peut rĂŠsoudre des inĂŠquations du type f ( x ) > 0.
Exemple : DĂŠterminer le signe de la fonction f reprĂŠsentĂŠe ci-contre. Les abscisses des points dâ&#x20AC;&#x2122;intersection de Cf et de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses sont x1, x2 et x3 donc : f ( x1 ) = f ( x2 ) = f ( x3 ) = 0.
đ?&#x2019;&#x17E;f x1
x2
x3
Sur ]â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; x1[ â&#x2C6;Ş ] x2 ; x3 [, Cf est situĂŠe en dessous de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses donc f ( x ) < 0.
Sur ] x1 ; x2 [ â&#x2C6;Ş ] x3 ; +â&#x2C6;&#x17E;[, Cf est situĂŠe au-dessus de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses donc f ( x ) > 0. On rĂŠsume ces informations dans le tableau de signes ci-dessous : x f ( x)
â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
x1
â&#x2C6;&#x2019;
0
x2 +
0
â&#x2C6;&#x2019;
x3
+â&#x2C6;&#x17E;
0
+
D â&#x20AC;˘ Fonctions et reprĂŠsentations
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23
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Automatismes 150. La fonction f dĂŠfinie sur [ â&#x2C6;&#x2019;4 ; 5] est reprĂŠsentĂŠe ci-dessous.
153. Soit g une fonction dĂŠfinie sur ]â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; 2[ â&#x2C6;Ş ]2 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ dont la courbe reprĂŠsentative est donnĂŠe ci-dessous. Dresser son tableau de signes.
6 4 3 2 1
đ?&#x2019;&#x17E;f
4 2 â&#x2C6;&#x2019;4
â&#x2C6;&#x2019;2
0 â&#x2C6;&#x2019;2
4
2
â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;4
â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;6
đ?&#x2019;&#x17E;g
1 2 3 4 5 6
â&#x2C6;&#x2019;8
IM
151. Soit f une fonction dĂŠfinie sur R dont la courbe reprĂŠsentative est donnĂŠe ci-dessous. Dresser son tableau de signes.
Ă&#x2030;C
30 20 10 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;2 0 â&#x2C6;&#x2019;20 â&#x2C6;&#x2019;30
2 4 6 8 10 12
SP
â&#x2C6;&#x2019;6
Pour dĂŠterminer graphiquement le sens de variations dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction, on dĂŠtermine sur quels intervalles la fonction f est croissante, et sur lesquels elle est dĂŠcroissante. En lisant le graphique de droite Ă gauche : â&#x20AC;˘ Lorsque la courbe est ÂŤ descendante Âť, la fonction est dĂŠcroissante. â&#x20AC;˘ Lorsque la courbe est ÂŤ ascendante Âť, la fonction est croissante.
EN
DĂŠterminer le signe de f ( x ).
On rĂŠunit ces rĂŠsultats dans un tableau de variations. Exemples : â&#x20AC;˘ La fonction f dĂŠfinie sur R est reprĂŠsentĂŠe ci-dessous. 3 2 1
152. La fonction k dĂŠfinie sur [ â&#x2C6;&#x2019;3 ; 4 ] est reprĂŠsentĂŠe ci-dessous. 1 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2019;&#x17E;k
1 2 3 4
â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;6 â&#x2C6;&#x2019;7 â&#x2C6;&#x2019;8 â&#x2C6;&#x2019;9
DĂŠterminer le signe de k ( x ).
24
0 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;4
đ?&#x2019;&#x17E;f
1
2
3
4
5
6
7
8
La fonction f est croissante sur ]â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; 5[ et dĂŠcroissante sur ]5 ; +â&#x2C6;&#x17E;[. On rĂŠsume ces informations dans le tableau suivant. On y fait figurer lâ&#x20AC;&#x2122;image de 5 qui est 3. x f
â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
5
+â&#x2C6;&#x17E;
3
â&#x20AC;˘ Dresser le tableau de variations de la fonction f dĂŠfinie sur [ â&#x2C6;&#x2019;2 ; 3 ] dont la courbe reprĂŠsentative est donnĂŠe page suivante.
D â&#x20AC;˘ Fonctions et reprĂŠsentations
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Automatismes
156. Dresser le tableau de variations de la fonction f dĂŠfinie sur R \ {4 } dont la courbe reprĂŠsentative est donnĂŠe ci-dessous.
4 3 2 1
â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;6 â&#x2C6;&#x2019;7 â&#x2C6;&#x2019;8 â&#x2C6;&#x2019;9 â&#x2C6;&#x2019;2
x
15 10 5
1 2 3
â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 â&#x2C6;&#x2019;10 â&#x2C6;&#x2019;15
â&#x2C6;&#x2019;1
2
f
2
3
4
5
6
7
8
9
3
â&#x2C6;&#x2019;9
Le plan est muni dâ&#x20AC;&#x2122;un repère orthogonal. La courbe reprĂŠsentative dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction f est lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des points de coordonnĂŠes ( x ; f ( x )) oĂš x est un ĂŠlĂŠment de lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble de dĂŠfinition de la fonction f. On dit aussi que lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation de la courbe reprĂŠsentative de f est y = f ( x ).
IM
â&#x2C6;&#x2019;1
1
26 Exploiter une ĂŠquation de courbe (appartenance dâ&#x20AC;&#x2122;un point, calcul de coordonnĂŠes)
â&#x2C6;&#x2019;3,5
4,5
đ?&#x2019;&#x17E;f
EN
đ?&#x2019;&#x17E;f
Ă&#x2030;C
154. Dresser le tableau de variations de la fonction g dĂŠfinie sur [ â&#x2C6;&#x2019;3 ; 2] dont la courbe reprĂŠsentative est donnĂŠe ci-dessous.
5
SP
đ?&#x2019;&#x17E;g
â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 â&#x2C6;&#x2019;5
1
2
155. Dresser le tableau de variations de la fonction g dĂŠfinie sur R dont la courbe reprĂŠsentative est donnĂŠe ci-dessous.
1 7 x â&#x2C6;&#x2019; . Les 3 3 points suivants appartiennent-ils Ă DÂ ? 2 b. B â&#x17D;&#x203A;â&#x17D;&#x153; 5 ; â&#x2C6;&#x2019; â&#x17D;&#x17E;â&#x17D;&#x; a. A ( 0 ; â&#x2C6;&#x2019;2) â&#x17D;? 3â&#x17D; c. C (1; â&#x2C6;&#x2019;2) d. D ( â&#x2C6;&#x2019;5 ; â&#x2C6;&#x2019;4 )
15 10 5
â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 â&#x2C6;&#x2019;5
157. La courbe C a pour ĂŠquation y = x 3 â&#x2C6;&#x2019; x 2. Les points suivants appartiennent-ils Ă CÂ ? a. A (1; 0 ) b. B ( â&#x2C6;&#x2019;1; 0 ) c. C (2 ; 12) d. D ( â&#x2C6;&#x2019;3 ; â&#x2C6;&#x2019;36 ) 158. La droite D a pour ĂŠquation y =
20
đ?&#x2019;&#x17E;g
Exemple : 1 Soit la fonction f dĂŠfinie sur R par f ( x ) = x 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 2 et Cf sa courbe reprĂŠsentative. Le point A de coordonnĂŠes (2 ; 1) appartient Ă Cf 1 car : f (2) = Ă&#x2014; 22 â&#x2C6;&#x2019; 1 = 1. 2 3 Le point B de coordonnĂŠes â&#x17D;&#x203A;â&#x17D;&#x153; â&#x2C6;&#x2019;1; â&#x2C6;&#x2019; â&#x17D;&#x17E;â&#x17D;&#x; nâ&#x20AC;&#x2122;apparâ&#x17D;? 2â&#x17D; 1 1 tient pas Ă Cf car : f ( â&#x2C6;&#x2019;1) = Ă&#x2014; ( â&#x2C6;&#x2019;1)2 â&#x2C6;&#x2019; 1 = â&#x2C6;&#x2019; . 2 2
1
â&#x2C6;&#x2019;10
2
3
4
5
159. Soit f la fonction dĂŠfinie sur R par : f ( x ) = 5 ( x â&#x2C6;&#x2019; 1) ( x + 2) et Cf sa courbe reprĂŠsentative. DĂŠterminer les coordonnĂŠes des points dâ&#x20AC;&#x2122;intersection de Cf avec lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses et des ordonnĂŠes. D â&#x20AC;˘ Fonctions et reprĂŠsentations
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25
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Automatismes
On souhaite construire une droite, dans un repère orthogonal. Si lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite dâ&#x20AC;&#x2122;une droite est x = a oĂš a â&#x2C6;&#x2C6;R, alors sa reprĂŠsentation graphique est une droite verticale passant par le point ( a ; 0 ) .
164. Vrai ou faux ? Soit f la fonction dĂŠfinie 5 4 sur R par : 3 1 f ( x ) = x ( x + 1) ( x â&#x2C6;&#x2019; 3 ) 2 2 đ?&#x2019;&#x17E;f 1 dont la courbe reprĂŠsentative Cf est donnĂŠe ci-contre. â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 1 2 3 â&#x2C6;&#x2019;1 Pour chaque phrase, dĂŠterâ&#x2C6;&#x2019;2 miner si elle est vraie ou â&#x2C6;&#x2019;3 fausse. Justifier la rĂŠponse â&#x2C6;&#x2019;4 par un calcul. â&#x2C6;&#x2019;5 a. Cf coupe lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses Ă lâ&#x20AC;&#x2122;origine du repère et au point dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse 3. b. Le point E (2 ; â&#x2C6;&#x2019;3 ) est un point de Cf . c. Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;5 a pour solution {â&#x2C6;&#x2019;2 ; 3}. d. Cf coupe lâ&#x20AC;&#x2122;axe des ordonnĂŠes au point dâ&#x20AC;&#x2122;ordonnĂŠe 3. 26
Axe des (a ; 0) abscisses
â&#x20AC;˘
Ă&#x2030;C
SP
163. Soit D la droite dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation : y = â&#x2C6;&#x2019;2x + 1. ComplĂŠter les coordonnĂŠes suivantes. b. B ( 0 ; â&#x20AC;Ś ) â&#x2C6;&#x2C6;D a. A (2 ; â&#x20AC;Ś ) â&#x2C6;&#x2C6;D 1 c. C ( â&#x20AC;Ś ; 1) â&#x2C6;&#x2C6;D d. E â&#x17D;&#x203A;â&#x17D;&#x153; â&#x20AC;Ś ; â&#x17D;&#x17E;â&#x17D;&#x; â&#x2C6;&#x2C6;D â&#x17D;? 2â&#x17D;
x=a
â&#x20AC;˘
Si lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite dâ&#x20AC;&#x2122;une droite est y = mx + p oĂš m â&#x2C6;&#x2C6;R et p â&#x2C6;&#x2C6;R, alors sa reprĂŠsentation graphique peut sâ&#x20AC;&#x2122;obtenir de plusieurs façons : â&#x20AC;&#x201C; Ă lâ&#x20AC;&#x2122;aide dâ&#x20AC;&#x2122;un tableau de valeurs : x
valeur Ă choisir
valeur Ă choisir
y = mx + p
valeur Ă calculer
valeur Ă calculer
IM
162. La courbe C a pour ĂŠquation : y = â&#x2C6;&#x2019;2 ( x â&#x2C6;&#x2019; 5) ( â&#x2C6;&#x2019;x + 1). a. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ordonnĂŠe du point de C ayant pour abscisse 0. b. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ordonnĂŠe du point de C ayant pour abscisse 1. c. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;abscisse du point ou des points de C ayant pour ordonnĂŠe 0. d. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;abscisse du point ou des points de C ayant pour ordonnĂŠe 10.
27 Tracer une droite donnĂŠe par son ĂŠquation rĂŠduite ou par un point et son coefficient directeur
EN
160. Soit g la fonction dĂŠfinie sur R par : g ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;x (2x â&#x2C6;&#x2019; 5) ( â&#x2C6;&#x2019;x + 4 ) et Cf sa courbe reprĂŠsentative. DĂŠterminer les coordonnĂŠes des points dâ&#x20AC;&#x2122;intersection de Cf avec lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses et des ordonnĂŠes. 1 161. La courbe C a pour ĂŠquation : y = . x a. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ordonnĂŠe du point de C ayant pour abscisse 3. b. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ordonnĂŠe du point de C ayant pour abscisse â&#x2C6;&#x2019;1. c. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;abscisse du point de C ayant pour ordonnĂŠe 3. d. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;abscisse du point de C ayant pour 1 ordonnĂŠe . 3
â&#x20AC;&#x201C; en plaçant le point A ( 0 ; p ) puis en construisant un autre point B : on part de A, on se dĂŠcale vers la droite de k unitĂŠs oĂš k > 0 puis on se dĂŠcale verticalement de k Ă&#x2014; m unitĂŠs. Le dĂŠcalage se fait vers le haut si m > 0 et vers le bas si m < 0. B
y = mx + p
kĂ&#x2014;m p
A k
1 0
1
â&#x20AC;˘ Si on connaĂŽt un point et le coefficient directeur, on utilise la mĂŠthode prĂŠcĂŠdente. 165. ReprĂŠsenter sur un mĂŞme graphique les droites ayant les ĂŠquations rĂŠduites suivantes. a. d1 : y = x + 3 b. d2 : x = 5 c. d3 : y = 2x â&#x2C6;&#x2019; 5 d. d 4 : y = 3x 166. ReprĂŠsenter sur un mĂŞme graphique les droites ayant les ĂŠquations rĂŠduites suivantes. a. d1 : y = â&#x2C6;&#x2019;3x â&#x2C6;&#x2019; 2 b. d2 : x = â&#x2C6;&#x2019;3 1 x c. d3 : y = x + 1 d. d 4 : y = + 2 2 2
D â&#x20AC;˘ Fonctions et reprĂŠsentations
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Automatismes
• Si la droite ( d ) est sécante avec l’axe des ordonnées, alors son équation réduite est de la forme : y = ax + b. y
IM
169. Représenter sur un même graphique les droites suivantes. a. d1 passant par A (1; 2) et ayant pour coefficient directeur m = 1. b. d2 passant par B ( −1; 3 ) et ayant pour coefficient directeur m = 2. c. d3 passant par C ( −2 ; −1) et ayant pour coefficient 1 directeur m = . 4 c. d 4 passant par D ( −2 ; −2) et ayant pour coefficient directeur m = −2.
28 Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite
ÉC
(d)
SP
170. Représenter sur un même graphique les droites suivantes. a. d1 passant par A (2 ; 0 ) et ayant pour coefficient directeur m = −1,5. b. d2 passant par B ( −0,5 ; 2) et ayant pour coefficient 1 directeur m = . 3 1 c. d3 passant par C ⎛⎜ −3 ; − ⎞⎟ et ayant pour coeffi⎝ 3⎠ 2 cient directeur m = − . 3 1 1⎞ ⎛ d. d 4 passant par D ⎜ ; ⎟ et ayant pour coefficient ⎝ 4 6⎠ directeur m = 0,25. 171. Représenter sur un même graphique les droites d1 et d2. x a. d1 : y = − 2, pour déter- x 7 14 7 miner deux points apparte- y = x − 2 7 nant à d1, compléter le tableau ci-contre. 2x + 1 , pour déter- x b. d2 : y = 1 4 3 miner deux points apparte- y = 2x + 1 3 nant à d2 , compléter le tableau ci-contre.
1 0 −1−1
1
b
x+
a y= a=
b
Δx
Δy x
Δy Δx
Le nombre a est le coefficient directeur de la Δy droite ( d ). Il vérifie a = . Δx Le nombre b est appelé ordonnée à l’origine de la droite ( d ). C’est l’ordonnée du point d’intersection de la droite ( d ) avec l’axe des ordonnées. Si la droite ( d ) est paral- y lèle avec l’axe des ordonnées, alors son équation réduite est de la forme : x = c. 1 Le nombre c est l’abscisse 0 −1 commune à tous les points de la droite ( d ).
•
x=c
168. Représenter sur un même graphique les droites ayant les équations réduites suivantes. 2x 1 4 − 2x + b. d2 : y = a. d1 : y = 5 2 3 1 c. d3 : y = x + 0,5 d. d 4 : y = −2,5x + 3 4
172. Représenter les droites ci-dessous en déterminant les coordonnées de deux points à coordonnées entières. x 1 a. d1 : y = − 1 b. d2 : y = x + 2 3 5 2 − 3x 1− 3x c. d3 : y = d. d 4 : y = 5 4
EN
167. Représenter sur un même graphique les droites ayant les équations réduites suivantes. a. d1 : y = 3 − 2x b. d2 : y = 2 x 1 x −3 c. d3 : y = − d. d 4 : y = 4 3 4
1
c
x
173. Déterminer graphiquement les équations réduites des droites ( d1 ), ( d2 ), ( d3 ), ( d 4 ) et ( d5 ). y (d4)
(d1)
(d5) (d2)
1 0
x
1 (d3)
D • Fonctions et représentations
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27
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Automatismes
29 Déterminer l’équation réduite d’une droite à partir des coordonnées de deux de ses points
174. Déterminer graphiquement les équations réduites des droites ( d1 ), ( d2 ), ( d3 ), ( d 4 ) et ( d5 ). y (d3)
(d1)
A ( x A ; yA ) et B ( xB ; yB ) sont deux points distincts.
(d2)
(d5)
• Si x A ≠ xB , alors la droite ( AB) est sécante avec l’axe des ordonnées et son équation réduite est y − yA de la forme : y = ax + b avec a = B . xB − x A • Si x A = xB alors la droite ( AB) est parallèle à l’axe des ordonnées et son équation réduite est de la forme x = c avec c = x A = xB.
1 0
x
1 (d4)
y
IM
(d3) 1 0
x
1
ÉC
(d1)
SP
(d2)
176. Déterminer graphiquement les équations réduites des droites ( d1 ), ( d2 ) et ( d3 ). a. y (d3)
5 0 (d1)
b.
x
1 (d2)
y (d3)
(d1)
10 0
2
(d2) 28
1. Équation réduite de la droite ( AB ) : x A ≠ xB , l’équation réduite de la droite ( AB ) est de la forme : y = ax + b. y − yA 7 − ( −1) 8 a= B = = =2 xB − x A 5−1 4
EN
175. Déterminer graphiquement les équations réduites des droites ( d1 ), ( d2 ) et ( d3 ).
Exemples : A (1; −1), B (5 ; 7 ) et C (1; 3 ) .
x
A (1; −1) ∈( AB ) donc yA = ax A + b ⇔ −1 = 2 × 1+ b ⇔ b = −3 La droite ( AB ) a pour équation y = 2x − 3. 2. Équation réduite de la droite ( AC ) : x A = x C = 1 donc la droite ( AC ) a pour équation x = 1.
177. On considère les points A ( 0 ; 5), B (2 ; 3 ) et C ( −1; 3 ). Déterminer l’équation réduite des droites suivantes. a. ( AB ) b. ( AC ) c. (BC ) 178. Déterminer l’équation réduite des droites suivantes. a. ( d1 ) passant par A (3 ; −3 ) et B ( 6 ; −1). b. ( d2 ) passant par C ( −2 ; 2) et D (1; 5). c. ( d3 ) passant par E ( −5 ; −1) et F (1; 2). 179. Déterminer l’équation réduite des droites suivantes. 7 11 7 5 a. ( d1 ) passant par K ⎛⎜ ; ⎞⎟ et L ⎛⎜ ; ⎞⎟ . ⎝3 3 ⎠ ⎝ 3 3⎠ 1 −7 11 13 b. ( d2 ) passant par G ⎛⎜ ; ⎞⎟ et H ⎛⎜ ; ⎞⎟ . ⎝6 3 ⎠ ⎝6 3⎠ −1 7 5 7 c. ( d3 ) passant par P ⎛⎜ ; ⎞⎟ et Q ⎛⎜ ; ⎞⎟ . ⎝ 7 11⎠ ⎝ 7 11⎠
(
)
(
)
180. Soit les points A 2 ; 3 2 et B 0 ; 5 2 . Déterminer l’équation réduite de la droite ( AB ).
D • Fonctions et représentations
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Automatismes
3. f â&#x20AC;˛ est la dĂŠrivĂŠe de f. a. f â&#x20AC;˛ ( 0 ) = â&#x2C6;&#x2019;2 b. f â&#x20AC;˛ (1) = â&#x2C6;&#x2019;6 c. f â&#x20AC;˛ ( 0 ) = â&#x2C6;&#x2019;2 d. f â&#x20AC;˛ (1) = 0. 4. Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation de la tangente en B est : a. y = 8x â&#x2C6;&#x2019; 18 b. y = â&#x2C6;&#x2019;8x + 14 c. y = 2x â&#x2C6;&#x2019; 6 d. y = 2x â&#x2C6;&#x2019; 12 183. On dispose de la reprĂŠsentation graphique Cf dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction f. DĂŠterminer les nombres dĂŠrivĂŠs suivants avec la prĂŠcision permise par le graphique.
IM
y Soit f une fonction dont T la reprĂŠsentation graa phique, dans un repère B orthogonal, est Cf . Î&#x201D;y Pour lire le coefficient A directeur de la tangente Ta Î&#x201D;x đ?&#x2019;&#x17E;f Ă Cf au point dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse a, il suffit de se positionner au point A ( a ; f ( a )), puis x 0 a on choisit un autre point de Ta  : B. Le coefficient de directeur m de Ta est le coefficient directeur de ( AB ) : Î&#x201D;y yA â&#x2C6;&#x2019; yB yB â&#x2C6;&#x2019; yA m= = = Î&#x201D;x x A â&#x2C6;&#x2019; xB xB â&#x2C6;&#x2019; x A
1. Le coefficient directeur de la tangente en A est : 1 a. 2 b. â&#x2C6;&#x2019;2 c. â&#x2C6;&#x2019;8 d. â&#x2C6;&#x2019; 8 2. Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation de la tangente en C est : a. x = 0 b. y = 0 c. x = â&#x2C6;&#x2019;6 d. y = â&#x2C6;&#x2019;6
EN
30 DĂŠterminer graphiquement le coefficient directeur dâ&#x20AC;&#x2122;une tangente Ă une courbe
Ă&#x2030;C
181. On dispose de la reprĂŠsentation graphique C f dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction f. DĂŠterminer le coefficient directeur des tangentes aux points suivants. a. Au point A. b. Au point B. y
SP
5
5 4 3 2 1
â&#x2C6;&#x2019;1 0
đ?&#x2019;&#x17E;f 1
2
3
4
5
6
â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;5
4 3
đ?&#x2019;&#x17E;f
A
2
B
a. Le nombre dĂŠrivĂŠ de f en â&#x2C6;&#x2019;1. b. Le nombre dĂŠrivĂŠ de f en 1. c. Le nombre dĂŠrivĂŠ de f en 4.
1
184. Vrai ou faux ? Pour chaque phrase, dÊterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la rÊponse.
1 â&#x2C6;&#x2019;1 0
2
x
3
182. QCM Pour chaque question, une seule rĂŠponse est exacte. On dispose de la reprĂŠsentation graphique Cf dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction f. đ?&#x2019;&#x17E;f
2 â&#x2C6;&#x2019;0,5 0 A 0,5 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;6
1
1,5
2
2,5 B
C
â&#x2C6;&#x2019;8
On dispose de la reprĂŠsentation graphique Cf 4 dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction f. f â&#x20AC;˛ est la 3 dĂŠrivĂŠe de f. C 2 a. Le coefficient directeur de la tangente au đ?&#x2019;&#x17E;f 1 point dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse â&#x2C6;&#x2019;1 est 0. A B b. Le coefficient direcâ&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 1 teur de la tangente au â&#x2C6;&#x2019;1 point B est 2. c. f â&#x20AC;˛ ( â&#x2C6;&#x2019;3 ) = 2. d. Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation de la tangente en A est y = 2x + 6. D â&#x20AC;˘ Fonctions et reprĂŠsentations
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Automatismes E Représentations graphiques de données chiffrées
a. Quelle est l’origine du repère et que représente une graduation sur l’axe horizontal ? b. Quel a été l’indice des prix au 1er janvier 2018 ? c. Y a-t-il eu des périodes où l’indice des prix a été plusieurs fois le même ?
31 Lire un graphique, un histogramme, un diagramme en barres ou circulaire, un diagramme en boîte ou toute autre représentation
186. On s’intéresse à l’offre de logement en France métropolitaine. Répondre aux questions par une lecture graphique.
Lire un graphique représenté dans un repère
Exemple : La répartition des premières naissances selon l’âge de la mère en France métropolitaine.
11 000 000 10 000 000
9 000 000 8 000 000 7 000 000
IM ÉC
2010
15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 Âge de la mère
Source : INSEE.
12 000 000
L’origine est à (15 ; 0 ). À chaque âge de la mère en années, on peut lire la proportion de premières naissances. Par exemple, en 2010, 8 % des premiers bébés ont une mère âgée de 28 ans. En 1967, c’était 4 %. 185. Le graphique suivant donne l’indice des prix à la consommation harmonisé en France pour l’ensemble des ménages (base 2015). Répondre aux questions par une lecture graphique.
30
5 000 000 4 500 000 4 000 000 Population 3 500 000 Parc
a. Pourquoi a-t-on deux graduations verticales ? b. Lire les données correspondant à l’année 1990 et les interpréter. c. Dans les années 1960, on parlait de « crise du logement » : comment ce phénomène se traduit-il sur le graphique ? 187. Le graphique ci-dessous donne l’évolution des taux de réussite au baccalauréat de 1995 à 2018 par série. Répondre aux questions par une lecture graphique. 95
Voie générale Voie technologique Voie professionnelle Total baccalauréat
90 85
91,0 88,5 88,2 82,8
80 75
1er Janvier 2016
1er Janvier 2017
1er Janvier 2018
1er Janvier 2019
1er Janvier 2020
99 20 0 20 1 03 20 05 20 07 20 09 20 1 20 1 1 20 3 1 20 5 1 20 7 18
97
19
19
95
70
19
108 106 104 102 100 98 96 94 1er Janvier 2015
5 500 000
6 000 000 3 000 000 1960197019801990 2000 2010 2020
1967 1989 2007
SP
12 10 8 6 4 2 0
En %
Évolution de la population et du parc de logements Population Logements 13 000 000 6 000 000
EN
On regarde : • l’origine (visible ou non) ; • les unités de graduations sur chaque axe ; • le type de graphique (nuage de points, segments, courbe, etc.) ; • la signification des données.
a. En quelles années le taux de réussite au baccalauréat technologique a-t-il été supérieur à celui des autres baccalauréats ? b. Un nuage de points aurait-il été davantage adapté pour représenter ces données ? Justifier.
E • Représentations graphiques de données chiffrées
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Automatismes
188. La proportion de bacheliers dans une génération (sessions 1950-2016) est représentée par le graphique suivant. Répondre aux questions par une lecture graphique. 78,8
La répartition des salariés par secteur dans cette entreprise est donnée ci-dessous. Production 40 %
Service 45 %
(%)
Service : 45 %
Baccalauréat général Baccalauréat technologique Baccalauréat professionnel Total baccalauréat
70,0 60,0
Conception : 15% Production 40 %
Conception 15%
50,0 40,0 30,0
10,0 0,0 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2016
10 %
ÉC
IM
a. En 2010, et avec la précision permise par le graphique, quelle a été la proportion de bacheliers technologiques ? b. En quelle année la part de bacheliers dans la population française a-t-elle été pour la première fois supérieure à 50 % ?
EN
189. Voici un histogramme de distribution des vitesses des vents en un lieu donné. Répondre aux questions par une lecture graphique.
20,0
SP
Histogramme, diagramme en barre ou circulaire
Des données continues peuvent être représentées par un histogramme. On répartit les données en classes : l’aire des rectangles est proportionnelle à l’effectif. Exemples : La répartition des salaires dans une entreprise est donnée ci-dessous.
Vitesse (m/s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a. Avec la précision permise par le graphique, quelle a été la proportion des vitesses des vents comprises entre 1 et 2 m/s ? b. L’affirmation suivante est-elle correcte : « La vitesse médiane des vents a été inférieure à 2 m/s. » ? 190. La part de l’énergie produite en France en 2016 est représentée ci-dessous. Répondre aux questions par une lecture graphique. 8,6 %
3,9 % 1,6 % 12,0 % 1,6 %
1 bloc = 20 employés 100 40
Année 2016 80
60 60
Éolien Solaire Hydraulique Bioénergies Nucléaire Thermique à combustible fossile
0 20 2
1
40 1 0 50 1 0 60 1 0 70 1 0 80 0
72,3 %
On peut lire que 80 salariés ont un salaire mensuel compris entre 1 700 et 1 800 euros. On peut représenter des données par un diagramme circulaire ou un diagramme en barre.
a. Les énergies renouvelables sont l’éolien, le solaire, l’hydraulique et les bioénergies.Quelle est la part des énergies renouvelables en France en 2016 ? b. On annonce que la part de l’énergie éolienne augmentera de 10 % en 5 ans : quelle serait alors la nouvelle part de cette énergie ? E • Représentations graphiques de données chiffrées
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192. On considère le diagramme suivant trouvé sur un site Internet.
Diagramme en boîte Ce type de graphique permet de visualiser la répartition d’une population. La population est partagée en quatre parties de mêmes effectifs par trois paramètres : le 1er quartile, la médiane et le 3e quartile.
Recettes de l’État (2017)
Taxe sur les carburants (TIPCPE) : 5,3 % 16,2 milliards
Exemple : Entreprise A
Impôt sur le revenu : 23,9 % 73,4 milliards
a. Proposer un type de graphique adapté à la représentation des proportions et un second à celui des montants exprimés en milliards d’euros. b. La valeur proposée pour le montant de l’impôt sur les sociétés est-elle cohérente avec le pourcentage proposé et le montant total annoncé ?
ÉC
IM
EN
0 40 0 1 60 0 1 80 0 2 00 0 2 20 0 2 40 0 2 60 0 1
0
20 1
00
80
0
Salaires nets (en €)
1
Total 298,5 milliards
Impôt sur les sociétés : 9,6 % 29,4 milliards
Entreprise B
Dans l’entreprise A, 50 % des salaires mensuels nets sont compris entre 1 350 € et 2 000 € et un quart au-dessus de 2 000 €. Dans l’entreprise B, environ 50 % des salaires mensuels nets sont compris entre 1 400 € et 2 200 €. La moitié des salaires sont aussi supérieurs à 1 800 €.
TVA : 48,7 % 149,4 milliards
Autre : 12,5 % 38,6 milliards
193. On considère l’histogramme suivant et le tableau associé, donnant les temps de visite de 100 personnes lors d’une exposition.
SP
191. Le graphique suivant présente la répartition d’une clientèle A suivant le nombre X de factures, de 100 à 2 000 factures annuelles. La graduation est en centaines.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819 20
a. Lire la médiane et l’interpréter. b. Lire le 3e quartile et l’interpréter. c. Construire le diagramme en boîte d’une clientèle B telle que : Xmin = 3, Xmax = 17, Me = 12 et les quartiles Q1 = 10 et Q3 = 17. Comparer.
32 Passer du graphique aux données et vice versa Chacun des graphiques rencontrés dans l’automatisme 31 présente des données chiffrées lisibles grâce aux informations mises en valeur. À partir de données chiffrées, on peut choisir une ou plusieurs représentations, certaines plus adaptées ou plus lisibles que d’autres.
32
Temps de visite (minute) 10 30 50 70 90 110 130 150 170 190 Temps de visite (en min)
Nombre de visiteurs
[10 ; 30[ [30 ; 60[ [ 60 ; 90[ [90 ; 120[ [120 ; 180[
25
Total
100
25 20 15 15
a. Expliquer pourquoi les rectangles correspondant aux classes [10 ; 30[ et [30 ; 60[ n’ont pas la même hauteur. b. Construire un diagramme en boîte à moustaches correspondant à la répartition des visiteurs selon le temps passé à parcourir l’exposition.
E • Représentations graphiques de données chiffrées
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EN
IM
Ã&#x2030;C
SP
Programme (extraits du programme officiel*) 1. Lignes directrices pour l’enseignement Développement des six compétences mathématiques et de l’aptitude à l’abstraction L’activité mathématique contribue à développer les six compétences mentionnées ci-dessous : • chercher, expérimenter, émettre des conjectures ; • modéliser, réaliser des simulations numériques d’un modèle, valider ou invalider un modèle ; • représenter, choisir un cadre (numérique, algébrique, géométrique…), changer de registre (algébrique, graphique…) ; • raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective ; • calculer, appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes ; • communiquer un résultat par oral ou par écrit, expliquer une démarche.
Activités algorithmiques et numériques
2. Programme Vocabulaire ensembliste et logique
IM EN
Tout au long du cycle terminal, les élèves sont amenés à : • écrire une fonction simple en langage Python ; • interpréter un algorithme donné ; • compléter, améliorer ou corriger un programme informatique ; • traduire un algorithme en langage naturel ou en langage Python ; • décomposer un programme en fonctions ; • organiser une feuille de calcul.
SP ÉC
Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondants : ∈, ⊂, ∩, ∪ ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Pour le complémentaire d’un sous-ensemble A de E, les deux notations A des probabilités, ou la notation E \ A sont utilisées, la seconde permettant de préciser l’ensemble contenant. Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves s’exercent : • à utiliser correctement les connecteurs logiques « et », « ou » ; • à identifier le statut d’une égalité (identité, équation) et celui de la ou des lettres utilisées (variable, indéterminée, inconnue, paramètre) ; • à utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ; • à distinguer une proposition de sa réciproque ; • à utiliser à bon escient les expressions « condition nécessaire », « condition suffisante », « équivalence logique ».
Algorithmique et programmation La pratique de l’algorithmique et de la programmation se poursuit en classe terminale en continuité avec la classe de première. On peut utiliser le langage Python ou le tableur. Le programme vise la consolidation des notions de variable, de liste, d’instruction conditionnelle et de boucle ainsi que l’utilisation des fonctions. Capacités attendues
• Variables :
• Listes :
– utiliser un générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1 pour simuler une loi de Bernoulli de paramètre p ; – utiliser la notion de compteur ; – utiliser le principe d’accumulateur pour calculer une somme, un produit.
– générer une liste (en extension, par ajouts successifs, en compréhension) ; – manipuler des éléments d’une liste (ajouter, supprimer…) et leurs indices ; – itérer sur les éléments d’une liste.
• Fonctions : – identifier les entrées et les sorties d’une fonction ; – structurer un programme en ayant recours aux fonctions.
• Sélection de données : – traiter un fichier contenant des données réelles pour en extraire de l’information et l’analyser ; – réaliser un tableau croisé de données sur deux critères à partir de données brutes.
8
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Commentaires
• Les notions relatives aux types de variables et à l’affectation sont consolidées. Comme en classe de seconde, on utilise le symbole « ← » pour désigner l’affectation dans un algorithme écrit en langage naturel. • L’accent est mis sur la programmation modulaire qui permet de découper une tâche complexe en tâches simples. • La génération des listes en compréhension et en extension est mise en lien avec la notion d’ensemble. Les conditions apparaissant dans les listes définies en compréhension permettent de travailler la logique. • Afin d’éviter des confusions, il est recommandé de se limiter aux listes sans présenter d’autres types de collections. Automatismes (voir cahier des automatismes)
SP ÉC
Analyse
IM EN
Les capacités attendues [dans le sommaire du cahier des automatismes, à part dans la couverture] n’ont pas vocation à faire l’objet d’un chapitre d’enseignement spécifique car les notions qui les sous-tendent ont été travaillées dans les classes antérieures. Elles relèvent d’un entraînement régulier sur l’ensemble du cycle terminal, par exemple lors de rituels de début de séance, sous forme de « questions flash » privilégiant l’activité mentale. Les différents thèmes proposés doivent être travaillés tout au long des deux années et la présentation par blocs thématiques ne signifie pas, bien au contraire, qu’il faille les aborder les uns après les autres. Les modalités de mise en œuvre doivent être variées et prendre appui sur différents supports : à l’oral, à l’écrit, individuellement ou en groupe, utilisant des outils numériques de vidéoprojection, de recensement instantané des réponses… En classe terminale, le travail sur les automatismes se poursuit. Au-delà d’une plus grande rapidité dans l’exécution des tâches, il s’enrichit à travers : • une complexification des variables didactiques comme par exemple la nature des nombres utilisés (entiers, fractions 4 ou paramètres) dans la factorisation de x 2 − 9, x 2 − et 4 x 2 − k 2 ; 9 • l’enchaînement de plusieurs automatismes ; • des changements de registre comme la détermination du signe de −2( x − 1)( x − 3 ) à partir d’une image mentale de la courbe représentative de la fonction correspondante ; • l’automatisation de quelques connaissances ou procédures relatives aux notions installées en classe de première comme, par exemple, le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction, la reconnaissance d’une situation contextualisée se modélisant par une suite géométrique…
Cette partie du programme consolide et approfondit les notions sur les suites abordées en classe de première. Elle élargit la gamme des fonctions permettant d’étudier des phénomènes évolutifs continus. Ainsi, le passage du discret au continu à partir des suites géométriques permet d’introduire les fonctions exponentielles de base a qui modélisent des phénomènes continus dont l’évolution relative instantanée est constante. La résolution d’équations du type 10 x = b permet de déterminer des durées d’évolution non entières et d’introduire la fonction logarithme décimal. Dans le cadre d’une démarche inductive, les outils numériques, notamment les grapheurs ou les logiciels de géométrie et de programmation, aident à la construction des objets mathématiques ou à l’illustration de leurs propriétés, lesquelles sont ensuite admises ou généralisées. Suites numériques Contenus
• Suites arithmétiques – moyenne arithmétique de deux nombres ; – expression en fonction de n du terme de rang n ; – somme des n premiers termes d’une suite arithmétique ; notation ∑.
• Suites géométriques à termes positifs : – moyenne géométrique de deux nombres positifs ; – expression en fonction de n du terme de rang n ; – somme des n premiers termes d’une suite géométrique ; notation ∑.
Capacités attendues – Prouver que trois nombres sont (ou ne sont pas) les termes consécutifs d’une suite arithmétique ou géométrique. – Déterminer la raison d’une suite arithmétique ou géométrique modélisant une évolution. – Exprimer en fonction de n le terme général d’une suite arithmétique ou géométrique. – Calculer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique ou géométrique. – Reconnaître une situation relevant du calcul d’une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou géométrique.
Commentaires
• Le calcul de valeurs acquises, lors de placements à intérêts composés à taux constant avec versements réguliers, fournit une situation relevant du
calcul d’une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. • Le lien est fait entre les suites arithmétiques (respectivement géométriques) et l’expression « croissance linéaire » (respectivement « croissance exponentielle ») du langage courant. • La notation ∑ est travaillée sur des exemples variés (somme de carrés, de cubes, d’inverses…). Programme
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Situations algorithmiques Écrire en langage Python une fonction qui calcule la somme des n premiers carrés, des n premiers cubes ou des n premiers inverses ; établir le lien entre l’écriture de la somme à l’aide du symbole ∑, et les composantes de l’algorithme (initialisation, sortie de boucle, accumulateur, compteur).
Fonctions exponentielles Contenus
• Les fonctions x !
ax
Capacités attendues
( a > 0 ) comme modèle continu d’évolution relative constante :
– définition de la fonction x ! a x pour x positif comme prolongement à des valeurs non entières 1 positives de la suite géométrique ( a n )n∈ℕ ; extension à ℝ − en posant a − x = x ; a – sens de variation selon les valeurs de a ; – allure de la courbe représentative selon les valeurs de a ; ax n – propriétés algébriques : a x+ y = a x a y ; a x+ y = y ; a nx = ( a x ) pour n entier relatif ; a 1 – cas particulier de l’exposant pur calculer un taux d’évolution moyen équivalent à n évolutions n successives.
– Connaître et utiliser le sens de variation des fonctions de la forme x ! ka x , selon le signe de k et les valeurs de a. – Connaître les propriétés algébriques des fonctions exponentielles et les utiliser pour transformer des écritures numériques ou littérales. – Calculer le taux d’évolution moyen équivalent à des évolutions successives.
Commentaires
• Les propriétés algébriques de la fonction x ! a x sont admises, par extension des propriétés des puissances entières. Le lien est fait avec les suites géométriques.
• Le parallèle est fait entre le sens de variation de la fonction x ! a x et celui des suites géométriques. • Le calcul du taux d’évolution moyen se fait dans des contextes variés (taux mensuel équivalent à un taux annuel, évolution moyenne d’une popuSituations algorithmiques
IM EN
lation sur une période…).
Intercaler entre deux points déjà construits un troisième point ayant pour abscisse (respectivement pour ordonnée) la moyenne arithmétique (respectivement géométrique) des abscisses (respectivement des ordonnées) des deux points initiaux.
Fonction logarithme décimal Contenus
Capacités attendues
Commentaires
SP ÉC
– Définition du logarithme décimal de b pour b > 0 comme l’unique solution de l’équation 10 x = b ; notation log. – Sens de variation. – Propriétés algébriques : log ( ab ) = log ( a ) + log ( b ) , log ( a n ) = nlog ( a ) a et log ⎛⎜ ⎞⎟ = log ( a ) − log ( b ) pour n entier naturel, a et b réels ⎝ b⎠ strictement positifs.
– Utiliser le logarithme décimal pour résoudre une équation du type a x = b ou x a = b d’inconnue x réelle, une inéquation du type a x < b ou x a < b d’inconnue x réelle ou du type a n < b d’inconnue n entier naturel. – Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme décimal pour transformer des expressions numériques ou littérales.
1
• La formule du logarithme d’un produit, qui peut être démontrée ou admise, permet de prouver les propriétés suivantes : log ⎛⎜⎝ b ⎞⎟⎠ = −log ( b ) ,
a log ⎛⎜ ⎞⎟ = log ( a ) − log ( b ) et, pour de petites valeurs de n, log ( a n ) = nlog ( a ). ⎝ b⎠
• a La recherche d’un nombre d’annuités comme celle d’un taux moyen fournissent des exemples de résolution d’équations de la forme a x = b ou x = b.
• La valeur du logarithme décimal d’un nombre strictement positif permet d’obtenir son ordre de grandeur et de déterminer, dans le cas d’un entier
strictement positif, le nombre de chiffres de son écriture décimale. • Le travail sur le logarithme décimal peut être l’occasion de représenter une série statistique ou une fonction dans un repère logarithmique ou semi-logarithmique, notamment pour les élèves des séries STI2D et STL.
Fonction inverse Contenus
Capacités attendues
– Comportement de la fonction inverse aux bornes de son ensemble de définition. – Dérivée et sens de variation. – Courbe représentative ; asymptotes.
Commentaires
– Étudier et représenter des fonctions obtenues par combinaisons linéaires de la fonction inverse et de fonctions polynomiales de degré au maximum 3.
1
• Le calcul de la dérivée de la fonction x ! x permet de réinvestir la définition du nombre dérivé à partir du calcul du taux de variation. • Les élèves des séries STI2D et STL ont déjà calculé la dérivée de la fonction inverse en classe de première dans le cadre de l’enseignement de spé-
cialité de physique-chimie et mathématiques. • La fonction inverse permet d’aborder des situations contextualisées de prix unitaire ou de coût moyen.
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• Le comportement de la fonction inverse aux bornes de son ensemble de définition est mis en lien avec, d’une part, l’ordre de grandeur d’inverses de petits ou grands nombres, d’autre part, l’allure de la courbe. • Aucune définition de l’asymptote n’est attendue ; on s’en tient à une approche intuitive.
Statistique et probabilités Alors que le programme de la classe de première est consacré, dans sa partie relative aux statistiques, à l’étude de couples de variables catégorielles, celui de la classe terminale aborde l’étude de variables quantitatives, représentées par des nuages de points. On procède à la recherche d’ajustements pertinents, affines ou non, de ces nuages, dans le but de réaliser des interpolations ou des extrapolations. La notion de probabilité conditionnelle, introduite en classe de première, est formalisée et permet de définir l’indépendance de deux événements. De même, la répétition de n épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli, déjà connue des élèves, mène à la définition des coefficients binomiaux et de la loi binomiale. Des activités de programmation, au tableur ou en langage Python, permettent d’automatiser certains calculs et d’obtenir des résultats inaccessibles à la main. Séries statistiques à deux variables quantitatives Contenus
Commentaires
– Représenter un nuage de points. – Déterminer et utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler des valeurs inconnues. – Représenter un nuage de points en effectuant un changement de variable donné 1 1 (par exemple, u 2 , , , log ( y ), etc.) afin de conjecturer une relation de linéarité entre t n de nouvelles variables.
IM EN
– Nuage de points associé à une série statistique à deux variables quantitatives. – Ajustement affine.
Capacités attendues
• Les ajustements affines peuvent être réalisés graphiquement « au jugé ». L’appréciation de leur qualité peut faire l’objet d’une discussion au sein de la classe. • La méthode des moindres carrés est présentée : recherche d’une droite d’équation y = ax + b réalisant le minimum de ∑ ( yi − ( axi + b )) pour le i nuage de points ( x i , yi ) .
SP ÉC
2
• Les situations ou contextes réels, en lien notamment avec les enseignements de spécialité, sont privilégiés : – données issues des domaines de la santé, de l’économie, de la gestion, des sciences sociales, etc. ; – mesures expérimentales de grandeurs liées par une relation linéaire en physique-chimie (intensité et tension ; droite d’étalonnage d’une concentration ; etc.), en biotechnologies ou en sciences de l’ingénieur dans tous les domaines (industriels, génie civil…). • Les élèves sont entraînés à exercer leur esprit critique sur la pertinence, au regard des données et de la situation étudiée, d’une modélisation par ajustement affine et sur les limites des extrapolations faites dans ce cadre. Situations algorithmiques
• Automatiser le calcul de ∑ ( yi − ( axi + b ))2 . i
• Rechercher un couple ( a, b ) minimisant cette expression parmi un ensemble fini de couples proposés par les élèves ou générés par balayage, tirage
aléatoire, etc.
Probabilités conditionnelles Contenus – Conditionnement par un événement de probabilité non nulle. – Indépendance de deux événements de probabilités non nulles. – Formule des probabilités totales pour une partition de l’univers.
Capacités attendues – Construire un arbre de probabilités associé à une situation aléatoire donnée. – Interpréter les pondérations de chaque branche d’un arbre en termes de probabilités, et notamment de probabilités conditionnelles. – Faire le lien entre la définition des probabilités conditionnelles et la multiplication des probabilités des branches du chemin correspondant. – Utiliser un arbre de probabilités pour calculer des probabilités. – Calculer la probabilité d’un événement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l’univers.
Commentaires
• L’indépendance de deux événements repose sur la définition suivante : pour un événement A de probabilité non nulle, B est indépendant de A si PA (B) = P (B ). On démontre que la propriété d’indépendance est symétrique lorsque A et B sont de probabilités non nulles. • La formule des probabilités totales est mise en relation avec l’arbre. Elle est démontrée dans le cas d’une partition de l’univers en deux ou trois événements, la notion de partition d’un ensemble étant présentée sans formalisme. Programme
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Variables aléatoires discrètes finies Contenus – Espérance d’une variable aléatoire discrète. – Loi binomiale B ( n, p ) ; espérance. ⎛ n⎞ – Coefficients binomiaux ⎜ ⎟ ; triangle de Pascal. ⎝ k⎠
Capacités attendues – Calculer l’espérance d’une variable aléatoire discrète dans des cas simples et l’interpréter. ⎛ n⎞ – Calculer des coefficients binomiaux ⎜ ⎟ à l’aide du triangle de Pascal pour n ! 10. ⎝ k⎠ – Reconnaître une situation relevant de la loi binomiale et en identifier le couple de paramètres. – Lorsque la variable aléatoire X suit une loi binomiale : - interpréter l’événement { X = k } sur un arbre de probabilité ; - calculer les probabilités des événements { X = 0} , { X = 1}, { X = n} , { X = n − 1} et de ceux qui s’en déduisent par réunion ; - calculer la probabilité de l’événement { X = k } à l’aide des coefficients binomiaux.
Commentaires
• La loi binomiale formalise le travail fait en classe de première sur la répétition d’épreuves indépendantes selon une même loi de Bernoulli. La valeur de l’espérance est admise. • Pour des valeurs de n inférieures ou égales à 4, comme en classe de première, la représentation de l’arbre permet de dénombrer les chemins et de calculer les probabilités correspondantes.
Situations algorithmiques
IM EN
• Pour des valeurs de n plus grandes, l’arbre sert d’image mentale et le nombre de chemins associés à l’événement est donné ou déterminé à l’aide du triangle de Pascal. n • Le coefficient binomial ⎛⎜⎝ k ⎟⎠⎞ est défini comme le nombre de chemins associés à l’événement { X = k } dans un arbre représentant un schéma de Bernoulli de taille n. n n −1 n −1 • La formule de Pascal ⎛⎝⎜ k ⎠⎟⎞ = ⎛⎝⎜ k − 1⎞⎠⎟ + ⎛⎝⎜ k ⎞⎠⎟ est établie à partir d’un raisonnement sur le nombre de chemins dans l’arbre. • Générer un triangle de Pascal de taille n donnée. • Représenter par un diagramme en bâtons la loi de probabilité d’une loi binomiale ( n, p) . Faire le lien avec l’histogramme des fréquences observées des 1 lors de la simulation de N échantillons de taille n d’une loi de Bernoulli de paramètre p faite en classe de première.
• Calculer l’espérance ∑ xi pi d’une variable aléatoire suivant une loi de probabilité donnée ; cas particulier d’une variable aléatoire suivant la loi binomiale B ( n, p ) .
• Représenter graphiquement l’espérance de lois binomiales B ( n, p) à p fixé et n variable, à n fixé et p variable puis faire le lien avec l’expression
SP ÉC
admise de l’espérance.
Thèmes d’étude
L’étude des thèmes proposés ci-après s’appuie sur la résolution de problèmes. Elle privilégie la modélisation ou la simulation tout en mobilisant des contenus et des capacités figurant au programme. Les apports théoriques sont limités au strict nécessaire et introduits au fil des situations proposées. Liste indicative de thèmes :
• optimisation linéaire et régionnement du plan ; • méthode de Monte-Carlo ; • simulation de marches aléatoires ; • initiation aux graphes ; ordonnancement.
* Bulletin officiel spécial du 25 juillet 2019.
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Épreuves de mathématiques au baccalauréat 1. Organisation de l’évaluation • Quelle que soit la voie technologique choisie,
l’évaluation comprend trois épreuves communes de
contrôle continu (dites E3C) : – deux épreuves écrites passées aux deuxième et troisième trimestres de l’année de première ; – une épreuve écrite passée à la même période que les autres épreuves de contrôle continu de l’année de terminale.
Remarque : En tenant compte de la progression arrêtée par l’équipe pédagogique, l’épreuve de la classe de terminale évalue une très large part des capacités attendues inscrites dans le programme de la classe de terminale.
• Les épreuves visent à évaluer la maîtrise par le candidat des contenus, compétences et capacités attendues figurant au programme de l’enseignement commun de mathématiques du cycle terminal.
• Durée de chaque épreuve : 2 heures (20 minutes pour la première partie) • Les épreuves communes de contrôle continu pour l’enseignement de mathématiques dans la voie techno• Elles sont composées de deux parties :
IM EN
logique sont écrites. Elles peuvent nécessiter, le cas échéant, l’accès à un ordinateur disposant d’un tableur et d’un environnement de programmation en Python.
SP ÉC
– la première partie consiste en un test de maîtrise des automatismes figurant au programme. Il est composé de questions flash indépendantes et à réponses rapides, le cas échéant sous forme de QCM. Les feuilles-réponses sont ramassées sitôt le test terminé. Le test peut nécessiter selon les sujets un dispositif de visualisation collective (diaporama) et un environnement informatique individuel (questionnaire entièrement dématérialisé) ; – la seconde partie est composée de trois exercices indépendants les uns des autres. Ils abordent des domaines divers du programme de mathématiques. Certains exercices peuvent requérir l’usage d’un outil numérique (tableur ou environnement de programmation en Python).
• La calculatrice est interdite pour la première partie de l’épreuve. Pour la seconde partie, chaque sujet précise si l’usage de la calculatrice, dans les conditions précisées par les textes en vigueur, est autorisé.
• Notation : chaque épreuve est notée sur 20 points. La première partie est notée sur 5 points, la seconde partie est notée sur 15 points.
2. Préparation dans ce manuel • Le cahier des automatismes à part, et ses nombreux exercices. • De nombreux exercices proposant l’usage des outils numériques. • Les questions flash pour ouvrir chaque chapitre. • Une évaluation pour clore chaque chapitre avec un test sur les automatismes et trois ou quatre exercices. • Deux évaluations en fin de manuel.
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Méthode Réussir les évaluations 1 Comprendre la question à travers le verbe utilisé Consigne
Action à réaliser
Conclure Démontrer Déterminer Donner Dresser un tableau En déduire que Établir Étudier Interpréter Justifier Modéliser Résoudre Résoudre graphiquement Tabuler
Donner un résultat approché avec la précision demandée. À partir de ce qui est observé, faire une supposition sur un résultat ou une propriété (sans la démontrer). Rassembler les différents résultats obtenus pour répondre au problème énoncé au début de l’exercice. Partir de ce que l’on a (les hypothèses et les propriétés et définitions du cours) pour arriver au résultat énoncé en construisant et en rédigeant son raisonnement. Faire le lien entre les données de l’énoncé et les savoir-faire du cours pour trouver la réponse en l’argumentant. Lire et obtenir le résultat directement dans l’énoncé ou sur un graphique, un tableau, etc. Construire et compléter le tableau correspondant (valeurs, signes et variations). Utiliser les résultats précédents pour justifier la réponse. Obtenir le résultat indiqué par un raisonnement à préciser. Mettre en place des méthodes ou un raisonnement que l’on résume en général dans un tableau (de signes, de variations, etc.). Remettre dans le contexte de l’énoncé (situation concrète) le résultat obtenu. Prouver un résultat donné en s’appuyant sur ses connaissances. Transformer une situation concrète en un énoncé mathématique. Trouver toutes les solutions en expliquant la méthode et en détaillant les calculs. Trouver toutes les solutions à l’aide du graphique et donner l’ensemble solution. Mettre dans un tableau (table ou tableur) de la calculatrice ou d’un logiciel.
IM EN
Arrondir à… près Conjecturer
SP ÉC
2 Méthodologie du QCM ou du Vrai ou faux Le questionnaire à choix multiples (QCM)
Le « Vrai ou faux ? » Vrai/Faux
QCM
Une seule réponse correcte
Les mauvaises réponses sont-elles pénalisées ? –
Faut-il justifier ?
Repérer dans l’énoncé le nombre de bonnes réponses (utilisation de l’article « la » ou « la ou les ») –
Une ou plusieurs bonnes réponses
Si oui, faire attention à chacune de ses réponses
Sinon, répondre à toutes les questions !
– Chercher LA bonne réponse
Éliminer toutes les mauvaises réponses
Vérifier que les autres propositions sont fausses
Vérifier que la proposition restante est correcte
Examiner toutes les propositions une par une pour voir si elles sont correctes
Réponse VRAIE
Réponse FAUSSE
Justification éventuelle appuyée par un calul, une propriété ou un théorème
Justification éventuelle par un contre-exemple (éventuellement numérique) ou en démontrant le résultat contraire
3 La rédaction Clarté du raisonnement
Rédaction
Citer les résultats de cours utilisés
Définitions, propriétés, théorèmes
– Utiliser des conjonctions de coordination et des liens logiques
– Écrire ce que l’on a
Qualité de la rédaction
–
donc, et, or, d’où… –
si… alors, ainsi, comme, puisque, en effet, implique : ⇒, équivalent à si et seulement si implique : ⇔)
Hypothèses, données de l’énoncé
ATTENTION ! La démonstration d’une équivalence nécessite souvent de faire la démonstration d’un résultat et de sa réciproque.
Réponses justifiées Faire des phrases simples mais complètes (sujet-verbe-complément) Mettre en valeur le résultat
14
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20/03/2020 12:43
MĂŠthode Utiliser des notations sur les nombres 1 Les nombres ont ĂŠtĂŠ regroupĂŠs en ensembles Les nombres complexes (â&#x201E;&#x201A;)
2 â&#x2C6;&#x2019; 4i
Les nombres rĂŠels (â&#x201E;?)
i
Ď&#x20AC;
i
log 7
Les quotients dâ&#x20AC;&#x2122;entiers â&#x201E;&#x161; 1 Les nombres dĂŠcimaux đ?&#x201D;ť 3 3,1416 Ă&#x2014; 10â&#x2C6;&#x2019; 3
2
â&#x2C6;&#x2019;3 7
â&#x2C6;&#x2019;3 5
0,33
Les entiers relatifs (â&#x201E;¤) Les entiers â&#x2C6;&#x2019;2 naturels (â&#x201E;&#x2022;) 3 â&#x2C6;&#x2019;106 0
15 100
IM EN
2 Les valeurs approchĂŠes et arrondis
Exemple : Soit le nombre A = 10,281. Encadrement au dixième ou Ă 10 â&#x2C6;&#x2019;1 près : 10,2 < 10,281< 10,3. 10,3 est le plus proche de 10,281. On dit que 10,3 est lâ&#x20AC;&#x2122;arrondi au dixième de A. On note : A â&#x2030;&#x2C6; 10,3. Remarque : Toute valeur comprise entre 10,2 et 10,3 est une valeur approchĂŠe de A Ă 10 â&#x2C6;&#x2019;1 près.
SP Ă&#x2030;C
3 Les nombres se regroupent en intervalle
Exemples : â&#x20AC;˘ [2 ; 4 ] : ensemble de tous les nombres rĂŠels x tels que 2 ! x ! 4. On note ĂŠgalement x â&#x2C6;&#x2C6;[2 ; 4 ]. â&#x2C6;&#x2019;1
0
1
2
3
4
5
6
5
6
â&#x20AC;˘ ]2 ; 4[ : ensemble de tous les nombres rĂŠels x tels que 2 < x < 4. â&#x2C6;&#x2019;1
â&#x20AC;˘
0
1
2
3
4
Des intervalles Ă connaĂŽtre Lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle ]0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ Â est lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des nombres rĂŠels x tels que x > 0. â&#x2C6;&#x2019;2
â&#x2C6;&#x2019;1
0
1
2
3
4
5
â&#x20AC;˘ Lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [ 0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ est lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des nombres rĂŠels x tels que x ! 0. â&#x20AC;˘ Lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle ]â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; 0[ est lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des nombres rĂŠels x tels que x < 0. â&#x20AC;˘ Lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle ]â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; 0 ] est lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des nombres rĂŠels x tels que x ! 0. RĂŠunion dâ&#x20AC;&#x2122;intervalles La rĂŠunion de deux intervalles I et J est lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des nombres qui appartiennent Ă au moins un des deux intervalles et se note I â&#x2C6;Ş J. Exemple : [ 0 ; 4 ] â&#x2C6;Ş ]1; 5[ = [ 0 ; 5[.
[0 ; 4]â&#x2C6;Ş]1 ; 5[
0
1
2
3
4
5
MĂŠthode â&#x20AC;˘ Utiliser des notations sur les nombres
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15
20/03/2020 12:43
Pour l’enseignant Diaporama
Se préparer matismes et réviser ses auto Questions flash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses. 1 De sa création en 2014 jusqu’en 2019, une entreprise a vu son chiffre d’affaires augmenter de 5 % par an. Le taux d’évolution du chiffre d’affaires entre ces deux années est égal à : a. 1,055 − 1 b. environ 28 % c. 25 % Automatisme B. 7
1
IM EN
1 5 2 Soit ( un ) une suite définie pour tout entier naturel n par : un = − n + . 2 3 On a : 5 10 b. u−2 = 9 c. u10 = − a. u0 = 3 3 Automatisme C. 10
SP ÉC
v0 = 3 ⎧ 3 Soit ( v n ) une suite définie pour tout entier naturel n par : ⎨ . v n+1 = −2v n + 5 ⎩ On a : b. v2 = −1 c. v3 = −9 a. v1 = −1 4 Les premiers termes d’une suite ( un ) sont représentés ci-contre. On a : a. u0 = 5 b. u2 = 1 c. u5 = 4
y
5 4 3 2 1 0 –1
1 2 3 4 x
5 Parmi les suites définies ci-dessous, déterminer la ou les suites arithmétiques. a. La suite ( un ) telle que, pour tout entier naturel n : un = 4n − 6. ⎧ v0 = 3 . b. La suite ( vn ) telle que, pour tout entier naturel n : ⎨ ⎩vn+1 = vn + 5 c. La suite ( wn ) telle que, pour tout entier naturel n : wn = n2 + n − 6.
6 Parmi les suites définies ci-dessous, déterminer la ou les suites géométriques. a. La suite ( un ) telle que, pour tout entier naturel n : un = 4n − 6. ⎧⎪ v0 = 2 b. La suite ( vn ) telle que, pour tout entier naturel n : ⎨ 1 . v = v ⎩⎪ n+1 3 n w0 = 2 ⎧ . c. La suite ( wn ) telle que pour tout entier naturel n : ⎨ ⎩ wn+1 = 2wn + 1 16
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20/03/2020 12:43
Suites numériques
SP ÉC
IM EN
La population de Hong Kong est passée de 2 millions en 1951 à environ 7,5 millions en 2019. Les suites géométriques permettent de modéliser cette évolution.
s maths Dans l’histoire de
Et aujourd’hui ?
Aujourd’hui, les suites sont utilisées pour préCarl Friedrich Gauss (1777-1855) a apporté de voir des comportements nombreuses contributions en mathématiques et en complexes, aussi bien physique. Dès l’âge de 10 ans, il trouva comment en théorie du chaos, que calculer la somme S des 100 premiers entiers naturels dans l’étude des fractales en ajoutant deux à deux les termes : 1+ 100 = 101 ; (image ci-contre), dans le cadre 2 + 99 = 101 ; 3 + 98 = 101 ; … ; 100 + 1 = 101. de la numérisation informatique des données et En additionnant tous ces termes, il obtient 2S. Or, entre 1 de leur traitement (moteur de recherche sur 100 × 101 et 100, il y a 100 nombres, donc S = = 5 050. C’est Internet, deep learning en intelligence artifi2 le calcul de la somme des termes d’une suite arithmétique. cielle, etc.). 17
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20/03/2020 12:43
Construire le cours Activité
1 Suites arithmétiques A. Exprimer un montant au bout de n versements Pour s’acheter une trottinette électrique à 850 €, Delphine a une somme initiale de 50 € et économise, chaque semaine, les 40 € qu’elle gagne en donnant des cours. On appelle un le montant (en €) économisé la nième semaine et on note u0 = 50.
1 Quelle est la nature de la suite ( un ) ? Calculer alors u3.
À retenir
2 Pour calculer tous les termes de la suite jusqu’à obtenir 850, on cherche un lien entre n et un. a. Conjecturer une expression de un en fonction de n. b. Selon cette formule, au bout de combien de semaines Delphine pourra-t-elle acheter une trottinette ? Propriété Soit ( un ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Pour tout entier naturel n, on a : un = u0 + nr.
PLUS GÉNÉRALEMENT Pour tous entiers naturels n et p : un = u p + ( n − p ) r.
IM EN
Activité
Remarques : • Pour tout entier naturel n non nul : un = u1 + ( n − 1) r. • Si les termes d’une grandeur peuvent être modélisés par une suite arithmétique, on parle de croissance linéaire. B. Mettre en évidence les liens entre trois termes consécutifs et la moyenne arithmétique On considère une suite arithmétique ( un ) de raison inconnue mais dont on connaît quelques termes. 1 Déterminer la raison de cette suite et compléter le tableau.
n
10
11
12
13
14
15
16
2 Plus généralement, si on connaît les valeurs de un et de un+2
un
13
…
18
…
…
…
28
SP ÉC
Activité
À retenir
pour un entier n, que vaut la raison r ? En déduire que : un+1 =
un + un+2 . 2
Propriété Trois nombres x, y et z sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique si la moyenne arithmétique du plus petit et du plus grand x+z est égale au troisième, soit = y. 2
RAPPEL Soit a et b deux nombres réels. La moyenne arithmétique de deux a+b réels a et b est égale à 2 .
C. Calculer la somme des premiers entiers On veut exprimer simplement la somme des n premiers entiers naturels : S n =
∑k = 0 + 1+ 2 + … + n.
k=0
1 Compléter le tableau suivant.
+
n
Sn
=
0
+
1
+
2
+
…
n−2
+
n −1
+
n
Sn
=
n
+
n −1
+
n−2
+
…
2
+
1
+
0
S n + S n = 2S n
=
…
+
…
+
…
+
…
…
+
…
+
…
2 En déduire les expressions de 2S n puis de S n en fonction de n.
À retenir
Propriété n ( n + 1) . 2 k=0 Et si ( un ) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 : n u +u ∑ uk = u0 + u1 + u2 + … + un = 0 2 n × ( n + 1). k=0 n
Pour tout entier naturel n, on a : ∑ k = 0 + 1+ 2 + … + n =
POINT NOTATION Σ précise la somme des termes. Ainsi : 5
∑ k 2 = 12 + 22 + 32 + 4 2 + 52 = 55. k=1
Remarque : La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale à : premier terme + dernier terme × nombre de termes. 18 2
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20/03/2020 12:43
Acquérir les méthodes EXERCICE RÉSOLU
1
1 Méthode
Exprimer en fonction de n le terme général d’une suite arithmétique Soit ( un ) la suite définie par u0 = 5 et un+1 = un + 2. a. Exprimer un en fonction de l’entier naturel n. b. Calculer u50 et u65.
Identifier la raison de la suite et son premier terme.
2 Méthode
Résolution
a. ( un ) est la suite arithmétique de raison r = 2 et de premier terme u0 = 5. 1 Donc on sait que, pour tout entier naturel n : un = u0 + nr = 5 + 2n. 2 b. u50 = 5 + 2 × 50 = 105 et u65 = 5 + 2 × 65 = 135.
2
3 Méthode On remplace n dans le terme général un = u0 + nr par le rang cherché.
IM EN
EXERCICE RÉSOLU
3
Appliquer la propriété : pour tout entier naturel n, un = u0 + nr .
Résolution
SP ÉC
Prouver que trois nombres sont (ou ne sont pas) les termes consécutifs d’une suite arithmétique a. Les nombres 23, 35 et 47 sont-ils les termes consécutifs d’une suite arithmétique ? 1 2 2 b. La suite ( v n ) est telle que : v23 = − , v24 = − et v25 = − . 3 5 3 La suite ( v n ) est-elle arithmétique ?
23 + 47 = 35 donc ces nombres sont les termes consécutifs d’une 2 suite arithmétique. 4 Remarque : 35 − 23 = 47 − 35 = 8 ce qui indique que ce sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 8. a.
1 2 − +⎛− ⎞ v +v 1 3 ⎝ 3⎠ b. 23 25 = = − ≠ v24 2 2 2 La suite n’est pas arithmétique. 4
4 Méthode Calculer la moyenne arithmétique du plus petit nombre et du plus grand nombre, puis la comparer avec le troisième nombre.
Remarque : v24 − v23 ≠ v25 − v24 .
À votre tour !
Voir aussi exercices 1 à 13, p. 24
1 Soit ( un ) et ( v n ) deux suites arithmétiques de raisons respectives 3 et −1 de premiers 1 termes : u0 = 5 et v1 = . 3 a. Exprimer un et v n en fonction de l’entier n pour n ! 1. b. Calculer u120 et u150. 2 Soit ( wn ) la suite arithmétique telle que w0 = −11 et w2 = 3. a. Calculer la valeur de w1. En déduire la raison de cette suite. b. Exprimer wn en fonction de l’entier naturel n. En déduire la valeur de w15. 1 • Suites numériques
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19
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Construire le cours Activité
2 Suites géométriques à termes positifs A. Modéliser l’évolution d’une population par une suite géométrique On s’intéresse à l’évolution de la population d’un village depuis 2014. Année
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
Population
1 054
926
1 021
1 000
…
…
…
1 À l’aide du tableau, justifier que l’évolution de cette population ne peut pas être modélisée par une suite géométrique. 2 Suite à l’implantation d’un site industriel en 2017, la population augmente de 10 % par an. On modélise le nombre d’habitants au 1er janvier de l’année (2017 + n) par une suite ( un ). On pose u0 = 1 000. a. Déterminer u1, u2 et u3, puis compléter le tableau. On arrondira les résultats à l’unité. b. Quelle est la nature de cette suite ? Conjecturer une expression de un en fonction de n.
Propriété Soit ( un ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. Pour tout entier naturel n, on a : un = u0 × q n.
PLUS GÉNÉRALEMENT Pour tous les entiers naturels n et p, on a : un = u p × q n− p.
IM EN
À retenir
3 Calculer u0u2 et u1u3 et comparer avec u1 et u2.
SP ÉC
Activité
À retenir
Remarques : • Pour tout entier naturel n non nul : un = u1 × q n−1. • Si les termes (strictement positifs) d’une grandeur peuvent être modélisés par une suite géométrique, on parle de croissance exponentielle si q > 1 et de décroissance exponentielle si 0 < q < 1.
RAPPEL Soit a et b deux nombres réels positifs. La moyenne géométrique de a et b est égale à ab .
Propriété Trois nombres positifs x, y et z sont des termes consécutifs d’une suite géométrique si la moyenne géométrique du plus petit et du plus grand est égale au troisième nombre, soit xz = y. B. Exprimer en fonction de n la somme des premières puissances On étudie la suite géométrique ( un ) de premier terme u0 = 1 et de raison q avec q ≠ 1. n
La somme de ses (n + 1) premiers termes est : S n =
k=0
1 Compléter le tableau suivant.
−
Sn
=
qS n
=
S n − qS n
=
1 …
∑ q k = 1+ q + q2 + … + q n.
+
q
+
q2
+
+
q
+
q2
…
q n−1
+
qn
+
…
q n−1
+
qn
+
q n+1
+
…
+
…
+
…
…
+
…
+
…
2 En déduire une expression réduite de S n − qS n puis exprimer S n en fonction de n.
À retenir
Propriété n
1− q n+1 . 1− q k=0 Si ( un ) est une suite géométrique de raison q avec q ≠ 1, et de premier terme u0 : n 1− q n+1 ∑ uk = u0 + u1 + u2 + … + un = u0 1− q . k=0
Pour tout entier naturel n et pour tout réel q ≠ 1 : ∑ q k = 1+ q + q 2 + … + q n =
20
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Acquérir les méthodes EXERCICE RÉSOLU
1
Exprimer en fonction de n le terme général d’une suite géométrique Soit ( un ) une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u0 = 5. a. Exprimer un en fonction de n. b. Calculer u7 et u11. Résolution
a. D’après la propriété du cours (p. 20), comme ( un ) est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme u0 = 5, alors, pour tout entier naturel n, on a : un = u0 × q n = 5 × 2 n . 1 = 640 et u11 =
EXERCICE RÉSOLU
2
5 × 211
= 10 240.
2
Identifier la raison de la suite et son premier terme puis appliquer la propriété du cours : pour tout entier naturel n, un = u0 × q n (terme général).
2 Méthode On remplace n dans le terme général par le rang cherché.
IM EN
b. u7 =
5 × 27
1 Méthode
Prouver que trois nombres sont (ou ne sont pas) les termes consécutifs d’une suite géométrique
a. 132, 264 et 528 sont-ils les termes consécutifs d’une suite géométrique ?
Résolution
SP ÉC
b. La suite ( v n ) est telle que v11 = 12, v12 = 24 et v13 = 58. La suite ( v n ) est-elle géométrique ?
a. 132 × 528 = 264 donc ces nombres sont des termes consécutifs d’une suite géométrique. 3 264 528 Remarque : = ce qui indique que ce sont trois termes consécutifs 132 264 d’une suite géométrique.
3 Méthode Calculer la moyenne géométrique du plus petit nombre et du plus grand nombre et comparer avec le troisième.
b. v 0 × v2 = 12 × 58 ≈ 26,4 ≠ v1 donc cette suite n’est pas géométrique. 2 24 58 Remarque : ≠ donc la suite n’est pas géométrique. 12 24
À votre tour !
Voir aussi exercices 14 à 25, p. 25
1 Soit ( un ) une suite géométrique de raison 5 et de premier terme : u0 = 5. a. Exprimer un en fonction de l’entier n pour n ! 1. b. Calculer u12. 2 Soit ( wn ) la suite géométrique à termes positifs telle que : w0 = 81 et w2 = 144. a. Calculer la valeur de w1. En déduire la raison de cette suite. b. Exprimer wn en fonction de l’entier naturel n. En déduire la valeur de w15. 1 • Suites numériques
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Faire le point sur l’essentiel priétés Définitions et pro Suite arithmétique (un) de raison r et de premier terme u0
Suite géométrique (vn) de raison q et de premier terme v0
Pour passer d’un terme au suivant : vn+1 = qvn
un+1 = un + r
Pour tout entier naturel n, on a : un = u0 + nr
Σk = 0 + 1 + 2 + … + n =
k=0 n
Σu
k
k=0
vn = v0 × qn Pour tout réel q ≠ 1, on a :
n(n + 1) 2
= u 0 + u 1 + u 2 + … + un u +u = 0 n × (n + 1) 2
n
Σq
k
= 1 + q + q2 + … + q n =
IM EN
n
k=0 n
Σv
k
1 – qn+1 1–q
= v0 + v1 + v2 + … + vn = v0
k=0
1 – qn+1 1–q
Termes consécutifs :
SP ÉC
Trois nombres x, y, z sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique si x+z =y 2
Trois nombres réels positifs x, y, z sont des termes consécutifs d’une suite géométrique si xz = y
Capacités
Je suis capable de…
C1 • Exprimer en fonction de n le terme général d’une suite arithmétique ou géométrique
C2 • Prouver que trois nombres sont (ou ne sont pas) les termes consécutifs d’une suite arithmétique ou géométrique C3 • Calculer la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique ou géométrique
C4 • Déterminer la raison d’une suite arithmétique ou géométrique modélisant une évolution C5 • Reconnaître une situation relevant du calcul d’une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou géométrique
Je m’entraîne avec… EXERCICES RÉSOLUS
1, p. 19 et 21
EXERCICES RÉSOLUS
2, p. 19 et 21
EXERCICES CORRIGÉS
10, p. 24 et 22, p. 25
EXERCICES
13, p. 24 et 25, p. 25
EXERCICES
32, p. 26 et 46, p. 28
22
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20/03/2020 12:43
Pour l’enseignant Diaporama
Réponses page 201
ion Auto-évaluat
Questions flash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses.
1 ( un ) est une suite arithmétique de raison −3 et de premier terme u0 = 12. b. un = 12 − 3n a. u5 = −27
c. un = −3n + 12
2 ( vn ) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme v0 = 5. 10
a. ∑ vk = 165 k=0
20
b.
∑ vk = 500
c. vn = 5 × 2 n
k=0
et de premier terme w0 = 5. b. wn = 5 + 2n a. w3 = 40
c. wn = 5 × 2 n
On considère les trois nombres suivants : x = 30, y = 51 et z = 86,7. a. La moyenne arithmétique de x et z est égale à y. b. La moyenne géométrique de x et z est égale à y. c. x, y et z peuvent être trois termes consécutifs d’une suite géométrique.
SP ÉC
4
IM EN
3 ( wn ) est une suite géométrique de raison 2
1
5 ( xn ) est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme x0 = 5. 12
a.
∑ xk ≈ 9,999
12
b.
k=0
6
1
∑ xk ≈ 2 × 12 × 5
k=0
c. xn = 5 ×
1n 2
Une entreprise augmente chaque mois sa production de 300 objets. Le nombre d’objets produits peut être modélisé par : a. une suite arithmétique de raison 300. b. une suite géométrique de raison 300. c. une suite qui n’est ni arithmétique ni géométrique.
Vrai ou faux ? Pour chaque proposition, déterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
1 La moyenne géométrique de 1,05 et 1,45 est égale à 1,25.
2 La moyenne arithmétique de 1,05 et 1,45 est égale à 1,25.
3 Le chiffre d’affaires annuel d’une entreprise baisse de 2 % par an. Il peut être modélisé par une suite géométrique de raison 0,98.
4 Le nombre de bactéries double toutes les heures. Il peut être modélisé par une suite géométrique de raison 2. 1 • Suites numériques
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π%π ∈ ∈%
Exercices
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6 Soit ( t n ) la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme : t 0 = −1. a. Exprimer t n pour tout entier naturel n. b. Calculer t35 et t64.
Échauffement 1 Suites arithmétiques Automatismes
1
Questions flash
8 Soit ( z n ) la suite arithmétique de raison −4 et de premier terme z 0 = 15. Calculer z100 et z55. 9 a. Calculer la somme des 500 premiers entiers 500
non nuls ∑ i . i=1
b. Calculer la somme des entiers de 35 à 150 :
IM EN
Q1. Soit ( un ) la suite arithmétique de raison 3 telle que : u7 = 2. Déterminer u9. 1 Q2. Soit ( v n ) la suite arithmétique de raison 7 1 telle que : v16 = . Déterminer v17 . 2 1 Q3. Soit ( wn ) la suite arithmétique de raison 3 telle que : w11 = 8. Déterminer w5. Q4. Soit ( x n ) la suite arithmétique de raison −2 telle que : x10 = 8. Déterminer x7 . Q5. Compléter cette suite logique : −5 ; −2 ; 1; 4 ; … ; … ; … .
2 7 Soit ( wn ) la suite arithmétique de raison et de 3 15 premier terme : w0 = . 3 a. Exprimer ( wn ) pour tout entier naturel n. b. Calculer w20 et w30.
150
∑ k.
k=35
10 On considère la suite ( un ) arithmétique de raison 3 et de premier terme : u0 = 5. a. Exprimer un pour tout entier naturel n. En déduire u15. 2 Déterminer la moyenne arithmétique de A et B 15 dans chacun des cas suivants. b. Calculer : S = ∑ ui = u0 + u1 + … + u15. 1 3 i=0 a. A = 5 et B = 15. b. A = et B = − . 3 7 11 On considère la suite ( v n ) arithmétique de raison c. A = 105 et B = −205. −2 et de premier terme : v 0 = 4. a. Exprimer v n pour tout entier naturel n. 3 a. Soit ( un ) la suite arithmétique de raison 3 En déduire v40. et de premier terme : u0 = 2. Calculer u1, u2, u3, u4 40 et u6. b. Calculer : S = ∑v k . k=0 b. Soit ( v n ) la suite arithmétique de raison −8 et de premier terme : v 0 = 28. Calculer v1, v2, v3, v4 12 On considère la suite ( un ) arithmétique telle que : et v6. u3 = 5 et u14 = 39. c. Soit ( wn ) la suite arithmétique de raison 3 et a. Déterminer le nombre de termes entre u3 et u14. 1 14 de premier terme : w0 = . Calculer w1, w2, w3, w4 b. Calculer : S = ∑ ui = u3 + u4 + … + u14 . 7 et w6. i=3
SP ÉC
Automatisme C. 10
13 Une personne qui n’a aucune pratique sportive décide au cours d’un mois de 30 jours de faire chaque jour 5 minutes de sport de plus que le jour précédent. On modélise cette situation par une suite ( t n ) telle que t 0 = 0 et où t n est le temps passé par cette personne à faire du sport le nième jour. a. Déterminer t1 et t2. b. Déterminer la nature de la suite ( t n ). 5 Pour chacune des suites, préciser si elle est arithc. Exprimer t n en fonction de n. métique et, si oui, indiquer sa raison. d. Déterminer le temps passé a. Pour tout entier n : un = 2 ( n − 5) + 3n. à faire du sport le trentième jour. b. Pour tout entier n : v n = n 2 + n − 1. 30 c. Pour tout entier n : wn = −4 + 3n. e. Calculer ∑ t k puis interpréter ce résultat.
4
QCM On donne les premiers termes u0, u1, u2, u3 et u4 d’une suite ( un ). Dans quels cas peut-elle être arithmétique ? a. 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16. b. 28 ; 21 ; 14 ; 7 ; 0. 1 1 1 1 1 c. 5,2 ; 5,6 ; 6 ; 6,4 ; 6,8. d. ; ; ; ; . 2 3 4 5 6
k=1
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2 Suites géométriques à termes positifs
Automatismes
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Questions flash Q1. À quelle évolution est associé le coefficient multiplicateur 1,16 ? Q2. Quel est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 2 % ? Q3. Soit ( un ) la suite géométrique de raison 5 3 telle que u7 = . Déterminer u9. 4 Q4. Soit ( v n ) la suite géométrique de raison 3 1 telle que : v 6 = . Déterminer v9. 2 Q5. Compléter cette suite géométrique : 1; −2 ; 4 ; −8 ; … ; … ; … .
15
2 20 Soit ( wn ) la suite géométrique de raison et de 3 15 premier terme : w0 = . 3 a. Exprimer wn pour tout entier naturel n. b. Calculer w10 et w15. 21 Soit ( z n ) la suite géométrique de raison −4 et de premier terme : z 0 = 5. Calculer le terme z10. 22 On considère la suite ( un ) géométrique de raison 3 et de premier terme : u0 = 5. a. Exprimer un pour tout entier naturel n. En déduire u7.
IM EN
Automatismes B. 5, C. 10, C. 11
19 Soit ( t n ) la suite géométrique de raison 2 et de premier terme t 0 = −1. a. Exprimer t n pour tout entier naturel n. b. Calculer t12 et t20.
7
SP ÉC
Déterminer la moyenne géométrique de A et b. Calculer : S = ∑ ui = u0 + u1 + … + u7 . B dans chacun des cas suivants. i=0 a. A = 1,5 et B = 2. b. A = 1,06 et B = 0,98. 23 On considère la suite ( v n ) géométrique de raison c. A = 1,5 et B = 3. −2 et de premier terme : v 0 = 4. a. Exprimer v n pour tout entier naturel n. 16 a. Soit ( un ) la suite géométrique de raison 2 En déduire v10. et de premier terme : u0 = 3. Calculer u1, u2, u3, u4 10 et u6. b. Calculer : S = ∑ v k . b. Soit ( v n ) la suite géométrique de raison −1 et de k=0 premier terme : v 0 = 5. Calculer v1, v2, v3, v4 et v6. 24 On considère la suite ( un ) géométrique de raison 1 c. Soit ( wn ) la suite géométrique de raison et de 1,15 telle que : u3 = 5. 2 premier terme : w0 = 1. Calculer w1, w2, w3, w4 et w6. a. Déterminer le nombre de termes entre u3 et u14. 17 QCM b. Exprimer un pour tout entier naturel n. En déduire u14. On donne les premiers termes u1, u2, u3, u4 et u5 14 d’une suite ( un ). Cette suite peut-elle être une S = c. Calculer : ∑ ui = u3 + u4 + … + u14 . suite géométrique ? i=3 a. 1 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12. b. 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81. 9 27 81 25 Le salaire annuel d’embauche d’un employé est de c. 2 ; −3 ; ; − ; . d. 1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125. 2 4 8 20 000 €. Son contrat prévoit une augmentation annuelle de 2 %. 18 a. La suite ( un ) est définie pour tout entier n par : On note : u0 = 20 000 et, pour tout n ! 1, un le n+1 un = 3 × 2 . Est-elle géométrique ? Si oui, précisalaire annuel au bout de n années. ser son premier terme et sa raison. a. Déterminer u1 et u2. b. La suite ( vn ) est définie pour tout entier n par : b. Déterminer le lien entre un+1 et un. Que peut-on v n = 5n. Est-elle géométrique ? Si oui, préciser son en déduire pour la suite ( un ) ? premier terme et sa raison. c. Exprimer un en fonction de n. c. La suite ( wn ) est définie pour tout entier n par : d. Si l’employé reste dans la même entreprise 1 wn = n . Est-elle géométrique ? Si oui, préciser son pendant 10 ans, déterminer son salaire annuel au 2 bout de la dixième année. premier terme et sa raison. 1 • Suites numériques
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Exercices
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Entraînement 1 Suites arithmétiques 26 Dans une station-service, lors des trois derniers mois de l’année 2019, le prix du litre de gasoil a évolué de la manière suivante. Mois Prix (en €)
Octobre
Novembre
Décembre
1,491
1,503
1,515
L’évolution de ce prix peut-elle être modélisée par une suite arithmétique ? Si oui, laquelle ?
STMG
Une entreprise place un capital de 10 000 € à intérêts simples. Le montant des intérêts est calculé sur le capital initialement placé et le taux d’intérêt s’élève à 2 %. On note C n le capital acquis au bout de n années. On a : C 0 = 10 000. 1. Calculer le montant des intérêts annuels. 2. Préciser C1 et C2 . 3. Déterminer la nature de la suite (C n ). 4. Exprimer le terme général C n en fonction de n. 5. Déterminer le montant du capital placé au bout de 10 ans.
32 La cloche d’une église sonne toutes les heures : 1 coup à 1 h 00, 2 coups à 2 h 00… Un villageois se plaint du bruit. Pour tout entier naturel n non nul, on note ( un ) le nombre de coups à la nième heure. 1. Préciser u1, u2, u3 et u4. 2. Déterminer la nature de la suite ( un ). 3. Combien de tintements le villageois entend-il 28 Chaque somme S est la somme de termes succesen une journée ? sifs d’une suite arithmétique ( un ). Calculer S. a. S = 1+ 2 + 3 + … + 202 b. S = 2 + 4 + 6 + … + 202 c. S = 1+ 3 + 5 + … + 201
SP ÉC
IM EN
27 Un apiculteur s’inquiète pour sa population d’abeilles. Il l’évalue la première année à 10 000, la deuxième à 9 250, et la troisième à 8 200. Peut-il modéliser l’évolution du nombre d’abeilles avec une suite arithmétique ?
29 On considère la suite ( un ) arithmétique telle que u8 = 78 et u607 = 3 935.
1. Déterminer le nombre de termes entre u8 et u607. 33 Cédric s’est inscrit au marathon de Paris et il 607 souhaite organiser sa préparation. Dans son pro2. Calculer : S = ∑ ui = u8 + u9 + … + u607. gramme d’entraînement hebdomadaire, il prévoit i=8 une séance unique. Quatre mois avant le départ (on considérera que cela revient à 16 semaines), 30 Soit ( un ) la suite arithmétique de raison 4 et de lors de sa première semaine de préparation, il premier terme u2 = −2. court 15 kilomètres. Chaque semaine, il augmente Rappel la distance parcourue de 1,5 kilomètre. Pour n entier naturel non nul, on note un la distance Si une suite arithmétique ( un ) de raison r est de parcourue pendant la séance de la nième semaine. premier terme u2, alors, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a : 1.a. Préciser u1, u2, u3. un = u2 + ( n − 2) r. b. Déterminer la nature de la suite ( un ). 2. Pensez-vous que Cédric sera prêt pour le mara1. Exprimer en fonction de l’entier naturel n, la thon de Paris (42,195 km) ? n somme : S n = ∑ uk . 3. Quelle distance aura-t-il parcourue pendant k=2 ses quatre mois d’entraînement ? 2. Existe-t-il un entier naturel n tel que Rappel S n = 160 ? Si une suite arithmétique a pour terme initial u1, alors On pourra utiliser le tableau de valeurs de la calcupour tout n ! 1: un = u1 + ( n − 1) r. latrice graphique. 26
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Vrai ou faux ? 2. Déterminer la moyenne géométrique de 1,2 et 1,15. Pour chaque proposition, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. 3. En déduire l’évolution moyenne associée à 1 1 deux hausses successives, une première de 20 %, 1. La moyenne arithmétique de et est égale 2 3 1 une seconde de 15 %. à . 4 2. Le terme général d’une suite arithmétique ( un ) 38 1. Quels sont les coefficients multiplicateurs associés à une baisse de 30 % et à une baisse de de raison 5 et de premier terme u0 = −3 est 25 % ? un = 5 − 3n. 2. Déterminer la moyenne géométrique de 0,7 et 3. Une suite arithmétique ( v n ) de raison −3 et 1 de 0,75. de premier terme v 0 = a pour terme général : 3 3. En déduire l’évolution moyenne associée à 1 v n = − 3n. deux baisses successives, une première de 30 %, 3 une seconde de 25 %. 4. Si ( wn ) est une suite arithmétique de raison −2 et de premier terme w0 = 7, alors : w10 = −13. 39 Chaque somme S est la somme de termes succes5. Si ( x n ) est une suite arithmétique de raison 2 et sifs d’une suite géométrique ( un ). Calculer S. 15 de premier terme x 0 = 7, alors : ∑ x k = 315 . a. S = 1+ 2 + 4 + … + 2 048 k=0 3 3 3 b. S = 3 + + + … + 6. Dans la feuille de calcul ci2 4 8 192 contre, qui donne les premiers c. S = 2 + 6 + 18 + … + 13 122 termes d’une suite arithmétique, la formule saisie dans la cellule B3 40 STMG puis étirée vers le bas est =B2+1,5. Une entreprise place un capital de 10 000 € à inté7. Avec le script suivant, l’exécution rêts composés de 3 %. Dans un placement à intéde terme(4) renvoie la valeur 8 : rêts composés, les intérêts acquis sont recalculés chaque année sur le capital de l’année précédente. Soit C n le capital acquis au bout de n années. On a C 0 = 10 000. 1. Préciser C1 et C2 . 2. Déterminer la nature de la suite (C n ). 3. Exprimer le terme général C n en fonction de n. 4. Déterminer le montant du capital placé au bout Suites géométriques de 10 ans. à termes positifs
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IM EN
34
35 Dans une ville, le prix du m3 d’eau a augmenté 41 En 2018, les dépenses de fonctionnement d’une entreprise s’élevaient à 12 500 €. Depuis, elles de la façon suivante : il coûtait 3,20 € le 1er janer diminuent de 5,5 % par an. Le responsable veut vier 2018, 3,36 € le 1 janvier 2019 et 3,55 € le savoir à partir de quelle année les dépenses de 1er janvier 2020. 3 fonctionnement seront inférieures à 10 000 € Peut-on modéliser l’évolution du prix du m d’eau si la baisse se poursuit avec la même évolution par une suite géométrique ? annuelle. Pour tout entier naturel n, on note d n les dépenses 36 Dans un laboratoire, on introduit initialement de fonctionnement de l’entreprise pour l’année 1 000 g de bactéries dans une cuve de milieu (2018 + n). nutritif. Le jour suivant, la masse de bactéries est de 1 150 g et le troisième jour de 1 322,5 g. 1. Préciser d0, d1 et d2. L’évolution de la masse de bactéries peut-elle être 2. Déterminer la nature de la suite ( d n ). modélisée par une suite géométrique ? 3. Exprimer le terme général d n en fonction de n. 37 1. Quels sont les coefficients multiplicateurs associés à une hausse de 20 % et de 15 % ?
4. Conclure en utilisant la calculatrice graphique. 1 • Suites numériques
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Exercices
ici de 1,5 %. Soit C n le capital acquis au bout de n années et : C 0 = 10 000. 1. Préciser C1 et C2 . 2. Déterminer la nature de la suite (C n ). 3. Exprimer le terme général C n en fonction de n. 4. Déterminer le montant du capital placé au bout de 7 ans.
Entraînement 42 Un atelier fabrique 250 paires de lunettes par semaine. Au 1er janvier 2019, il reçoit une commande de 7 500 pièces pour début juin. Le chef d’atelier compte réaliser cette commande en 24 semaines.
SP ÉC
IM EN
46 Léna place un capital de 20 000 € à intérêts composés de 1,1 %. Dans un placement à intérêts composés, les intérêts acquis s’ajoutent au capital placé et ils sont recalculés chaque année sur le capital de l’année précédente. Soit C n le capital acquis au bout de n années et C 0 = 20 000. 1. Préciser C1 et C2 . 2. Déterminer la nature de la suite (C n ). 3. Exprimer le terme général C n en fonction de n. 1. Ce délai est-il suffisant ? Justifier la réponse. 4. Déterminer le montant du capital placé au bout 2. Le chef d’atelier décide d’augmenter la producde 15 ans. tion chaque semaine de 5 %. On note ( un ) le nombre de lunettes produites la nième semaine et 47 Un jour donné, la pression atmosphérique à l’altion a : u0 = 250. tude 0 est égale à 1 000 hectopascals (hPa) et a. Calculer u1 et u2. diminue de 1 % pour une élévation en altitude de b. Déterminer la nature de la suite ( un ). 100 m. On note un la pression à n centaines de c. Exprimer le terme général un en fonction de n. mètres d’altitude, où n est un entier naturel. 3. Conclure. 1. Déterminer la pression atmosphérique à 100 m et à 200 m d’altitude. 43 Traduire les sommes suivantes en utilisant la nota2. Établir un lien entre un+1 et un. tion Σ. Plusieurs réponses sont possibles. 3. Quelle est la nature de la suite ( un ) ? a. 12 + 22 + 32 + … + 132 4. Exprimer un en fonction de n. b. 32 + 4 2 + 52 + … + 1032 5. En déduire la pression au sommet du Mont-Blanc 1 2 3 101 c. + + + … + ce jour-là. On prendra 4 800 m comme altitude. 2 3 4 102 d. e. f. g.
13 + 23 + 33 + … + 253 1× 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + … + 25 × 26 3 + 7 + 11+ … + 47 3 + 6 + 12 + … + 3 072
44 Écrire sans la notation Σ les expressions suivantes. 15 15 1 b. ∑ ( −3 + 2k ) a. ∑ 2 j j=2 k=0 27
c.
∑ (( −1)i (1+ i )) i=0
45
10
d.
∑ (2 × 3 t ) t=2
STMG
Une entreprise place un capital de 10 000 € à intérêts simples : le montant des intérêts est calculé sur le capital initialement placé. Les intérêts sont
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Étienne vient d’acheter un lave-linge très perfectionné à 1 500 € qu’il décide d’assurer. En cas de défaillance, l’assureur rembourse l’appareil mais il applique une décote de 12 % par an sur la valeur de l’appareil. On note an la valeur remboursable du lave-linge lors de la nième année. On a a0 = 1500. 1. Calculer a1 et a2. 2. Établir un lien entre an+1 et an pour tout entier naturel n. 3. Quelle est la nature de la suite ( an ) ? 4. Exprimer an en fonction de n. 5. À partir de quelle année, la valeur remboursable du lave-linge d’Étienne sera-t-elle inférieure à 100 € ?
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Vrai ou faux ?
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1. Un capital de 5 000 € est placé sur un compte à intérêts simples au taux d’intérêt annuel de 4 %. Cette situation peut être modélisée par une suite géométrique de raison 1,04. 2. Le nombre de moineaux baisse de 20 % par an dans une région. Une association décide de réintroduire 200 moineaux chaque année. Cette situation peut être modélisée par une suite arithmétique de raison 200.
On considère la suite ( v n ) définie pour tout entier naturel n par : Python
v0 = 6 ⎧ ⎨ ⎩ v n+1 = ( n + 1) v n − n + 1 1. Calculer v1, v2 et v3. 2. Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ? 3. Compléter le script suivant afin qu’il renvoie v n pour n donné.
SP ÉC
IM EN
3. La masse d’ordures ménagères baisse de 10 % 52 Partie A par an. Cette situation peut être modélisée par En France, depuis 2016, les ventes de véhicules une suite géométrique de raison 1,1. hybrides ont fortement augmenté. Le tableau ci-dessous donne le nombre de véhicules hybrides 4. La production d’une entreprise augmente de vendus en France par année. manière hebdomadaire de 200 objets produits. Cette situation peut être modélisée par une suite 2016 2017 2018 Année arithmétique de raison 200. Nombre de véhicules 7 420 11 010 15 350 5. Le nombre d’abonnés d’un youtubeur aughybrides vendus mente tous les mois de 15 %. Cette situation peut être modélisée par une suite arithmétique de rai1. Déterminer le pourcentage d’évolution entre son 15. 2016 et 2017, puis entre 2017 et 2018. 6. Le loyer annuel d’un appartement subit une 2. Déterminer la moyenne géométrique de 1,48 hausse de 320 € tous les ans. Cette situation peut et 1,39. être modélisée par une suite arithmétique de rai3. Quel est le taux annuel moyen d’évolution son 320. entre 2016 et 2018 ? 7. Au 1er janvier d’une année, Enzo place 1 000 € Partie B à intérêts composés sur un compte dont le taux annuel est égal à 2 % et au 1er janvier de chaque On suppose qu’à partir de 2018, les ventes de année suivante, il place 200 € sur ce compte. Cette voitures hybrides augmentent de 43 % par an et situation peut être modélisée par une suite géoque cette évolution va se poursuivre. On modémétrique de raison 1,02. lise par la suite ( un ) l’évolution des ventes où la partie entière de un représente le nombre de voi50 On considère la suite ( un ) définie pour tout entier tures hybrides vendues au cours de l’année naturel n par : (2018 + n). u = 3 ⎧ 1.a. Que vaut u0 ? 0 ⎨ u = 2u − n + 2 b. Calculer u1 et u2. ⎩ n+1 n 1. Calculer u1, u2 et u3. 2. Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ? 3. Calculer u2 en utilisant la calculatrice graphique. Rabats pour l’utilisation de la calculatrice
2.a. Quelle est la nature de la suite ( un ) ? b. Exprimer un en fonction de n. 3. Selon ce modèle, combien de véhicules hybrides seront vendus en 2023 ? 1 • Suites numériques
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Exercices Entraînement 53 On cherche à savoir si la quantité d’énergie produite par l’éolien terrestre atteindra ses objectifs pour 2023 définis dans le cadre de la programmation pluriannuelle de l’énergie (en mégawatt ou MW). Année
2016
2017
2018
Électricité produite par l’éolien terrestre 11 755 13 550 15 000 (en MW)
Objectifs 2023 23 500
2. On étudie maintenant le contrat 2. a. On note v1 la valeur du salaire annuel de la 1re année, v2 sa valeur la 2e année, etc. Déterminer v1, v2 et v3. b. Écrire la relation entre v n et v n+1. c. Quelle est la nature de la suite ( v n ) ? d. Exprimer v n en fonction de n. Rappel
Lorsqu’une suite géométrique a pour terme initial v1, son terme général est donné par : vn = v1 × q n−1.
e. Calculer v15. 3. On peut maintenant comparer les deux contrats. a. Expliquer pourquoi le contrat 2 proposera un salaire plus intéressant à long terme. b. Python On souhaite déterminer l’année à partir de laquelle le salaire annuel du contrat 2 deviendra supérieur à celui du contrat 1. Compléter la fonction ci-contre afin qu’elle réponde à notre problème.
IM EN
Partie A 1. Déterminer le pourcentage d’évolution de la quantité d’électricité produite par l’éolien terrestre entre 2016 et 2017, puis entre 2017 et 2018. 2. Déterminer la moyenne géométrique de 1,11 et 1,15. 3. Quel est le taux annuel moyen d’évolution de la quantité d’énergie produite entre 2016 et 2018 ?
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Partie B On considère qu’à partir de 2018, l’énergie renouvelable produite par l’éolien terrestre augmente en moyenne de 13 % par an et que cette évolution va se poursuivre jusqu’en 2030. On note un le nombre de MW produits par l’éolien terrestre au cours de l’année (2018 + n). 1. Que vaut u0 ? 2. Calculer u1 et u2. 3. Quelle est la nature de la suite ( un ) ? 4. Exprimer un en fonction de n. 5. Conclure sur les objectifs annoncés. 54
STMG
Tester en environnement Python avec le fichier C01_Ex.54. c. Grâce à la calculatrice, déterminer l’année à partir de laquelle le contrat 2 dépassera l’autre contrat. d. On sait donc que le salaire annuel du contrat 2 dépassera celui du contrat 1. Toutefois, les premières années, le contrat 1 propose un salaire annuel supérieur. Bahiya ne souhaite rester que 15 ans dans cette entreprise. En cumulant les salaires de ces quinze années, quel contrat Bahiya a-t-elle intérêt à choisir ?
Pour un emploi où elle compte rester 15 ans, Bahiya se voit proposer deux contrats de travail : • un contrat 1 prévoyant 21 000 € de salaire annuel net et une augmentation annuelle de 1 000 € ; L’unité d’intensité du son est le décibel (dB). • un contrat 2 prévoyant 18 000 € de salaire annuel 55 Une source sonore émet un son d’intensité de net et une augmentation annuelle de 8 %. 100 dB. On veut connaître l’efficacité d’une iso1. On commence par étudier le contrat 1. lation phonique. a. On note u1 la valeur du salaire annuel de la Pour cela, on note u0 = 100 et, pour tout entier 1re année, u2 sa valeur la 2e année, etc. Déterminer n ! 1, on note un l’intensité du son mesuré après la u1, u2 et u3. traversée de n plaques d’isolation, sachant que b. Écrire la relation entre un et un+1. chaque plaque absorbe 10 % de l’intensité sonore c. Quelle est la nature de la suite ( un ) ? qui la traverse. d. Exprimer un en fonction de n. Déterminer le nombre n de plaques nécessaires pour que l’intensité soit inférieure ou égale à 1 dB. e. Calculer u15. 30
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56 Une légende raconte que le roi des Indes, qui s’ennuyait terriblement, demanda au sage Sissa de lui trouver une distraction. Le roi fut très heureux lorsque Sissa lui proposa le jeu d’échecs. En récompense, le souverain proposa à Sissa de réaliser l’un de ses souhaits. Ce dernier demanda alors à son roi du riz : 1 grain sur la 1re case d’un échiquier, 2 sur la 2e case, 4 sur la 3e, et ainsi de suite, en doublant le nombre de grains à chaque nouvelle case. Le but de l’exercice est de déterminer le nombre de grains de riz que devra fournir le souverain au sage Sissa.
IM EN
c. Exprimer un en fonction de n. 2. Calculer la quantité de liquide restant dans la bouteille au bout de sept jours (on donnera le résultat arrondi au dixième). 3. Déterminer au bout de combien de jours la bouteille contiendra moins de 25 cl.
Pour tout entier naturel inférieur ou égal à 64, on note un le nombre de grains déposés sur la nième case. Ainsi, on a : u1 = 1, u2 = 2, u3 = 4… On rappelle qu’un échiquier contient 64 cases.
SP ÉC
1. Expliquer pourquoi ( un ) est une suite géométrique.
58 L’iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine en très petites quantités, mais il peut être dangereux lorsque les doses sont importantes. On s’intéresse à un échantillon de noyaux d’iode 131 comportant 106 noyaux au début de l’observation. Le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3 %. On note un le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de n jours. On a donc : u0 = 10 6 . 1. Calculer u1 puis u2. 2. Exprimer un+1 en fonction de un. En déduire la nature de la suite ( un ). 3. Exprimer un en fonction de n. 4. Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié. Cette durée s’appelle la demi-vie de l’iode 131.
2. En déduire le terme général un en fonction de n. On rappelle que, lorsqu’une suite géométrique démarre à u1, son terme général est donné par un = u1 × q n−1. 3. Calculer le nombre de grains de riz sur la dernière case de l’échiquier.
4. En calculant le nombre total de grains que devra lui déposer le souverain sur l’échiquier, montrer que Sissa s’est montré très malin !
57 Dans un laboratoire de chimie, un stagiaire utilise un liquide dont l’évaporation est importante. À l’origine, il y a 75 cl de liquide dans la bouteille. Le stagiaire referme mal cette bouteille et on considère alors que 5 % du volume de liquide est perdu chaque jour par évaporation. On note un la quantité de liquide, exprimée en centilitres (cl), présente dans la bouteille au bout de n jours. Ainsi : u0 = 75.
5. Python Compléter l’algorithme suivant qui détermine le temps de demi-vie de l’iode 131 en fonction de la quantité initiale a de noyaux présents au début de l’observation.
1.a. Calculer u1 et u2. b. Exprimer un+1 en fonction de un. Quelle est la nature de la suite ( un ) ?
Tester en environnement Python avec le fichier C01_Ex.58. D’après un sujet d’examen. 1 • Suites numériques
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Exercices
1. Calculer Calculer la somme disponible : • le 2 janvier 2020 ; • le 2 janvier 2021.
Perfectionnement 59 Les abonnés à une chaîne YouTube
2. Raisonner • Calculer Montrer que la suite ( un ) n’est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique. 3. Modéliser Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 = 1,015un − 1500. 4. Raisonner On pose : v n = un − 100 000 pour tout entier naturel n. a. Montrer que ( vn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b. En déduire l’expression du terme général de v n en fonction de n, puis en déduire que, pour tout entier naturel n : un = −90 000 × 1,015n + 100 000.
IM EN
Un youtubeur compte 35 000 abonnés à sa chaîne au 1er janvier 2019. Au cours de l’année 2019, il constate que, chaque mois, il perd 20 % des anciens abonnés mais qu’il en gagne 500 nouveaux. Pour n ! 1, on note un le nombre d’abonnés au 1er du nième mois, le premier mois étant le mois de janvier 2019.
SP ÉC
1. Calculer Préciser u1 et calculer u2 et u3. 2. Raisonner • Calculer La suite ( un ) est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? 3. Modéliser Exprimer un+1 en fonction de un. 4. Raisonner a. On introduit la suite ( un ) définie pour tout entier n par v n = un − 500. Démontrer que la suite ( vn ) est géométrique. Préciser la raison et son premier terme. b. Exprimer v n en fonction de n et en déduire un. 5. Calculer Déterminer le nombre d’abonnés au 1er janvier 2020. 60 Évolution d’un compte bancaire Au 1er janvier 2019, Amélie ouvre un compte dans une banque et y dépose 10 000 €. Ce compte constitue un placement à intérêts composés au taux annuel de 1,5 %. À partir de 2020, chaque 1er janvier, Amélie retire 1 500 €, après versement des intérêts. Pour tout entier naturel n, on note un la somme d’argent disponible sur le compte d’Amélie au 2 janvier de l’année (2019 + n). Ainsi : u0 = 10 000.
5. Calculer Calculer la somme disponible sur le compte le 2 janvier 2024. 6. Modéliser • Raisonner • Calculer Python Il semble que le capital d’Amélie fonde comme neige au soleil ! La fonction Python compte ci-dessous permet de déterminer en quelle année Amélie n’aura plus d’argent sur ce compte.
Tester en environnement Python avec le fichier C01_Ex.60. a. Compléter les lignes 5 et 6 du programme. b. Compléter le tableau ci-dessous en y ajoutant le nombre de colonnes nécessaires aux résultats de l’exécution de la fonction Python compte. On arrondit les résultats à l’unité. u
10 000
…
………
n
0
1
………
c. En conclure à quelle date le compte d’Amélie sera débiteur.
32
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61 Flocon de Koch
Histoire des sciences
F0
F1
a. Quelles formules ont été saisies dans les cellules B3, D3 et F3 puis étirées vers le bas ? b. Quel résultat retrouve-t-on dans la colonne B ? c. Quelle conjecture peut-on émettre quant à l’évolution des termes des suites ( ln ) et ( pn ) quand n devient de plus en plus grand ? Cela paraît-il cohérent ?
IM EN
Le flocon de Koch, inventé par Helge von Koch (1870-1924), est une forme obtenue par une méthode récurrente : à chaque étape, on obtient un nouveau flocon plus complexe. Le premier flocon est un triangle équilatéral de côté 1. Le deuxième est obtenu en divisant chaque côté en trois segments de même longueur et en construisant un nouveau triangle équilatéral à l’extérieur et sur chaque côté, au niveau du segment central. On répète la manœuvre autant de fois que nécessaire. On note Fn le flocon obtenu après n étapes ; F0 est le triangle équilatéral de départ.
5. Chercher • Raisonner • Modéliser Tableur On veut connaître le comportement de chacune des grandeurs étudiées précédemment quand n devient de plus en plus grand. Pour cela, on les a regroupées dans une feuille de calcul (ci-dessous les captures des premières et des dernières lignes du fichier). Le fichier tableur C01_Ex.61 peut être téléchargé.
F2
SP ÉC
1. Raisonner Pour tout entier naturel n, on note cn le nombre de côtés du flocon Fn . a. Donner c0, c1 et c2. b. Établir une relation de récurrence liant, pour 62 tout entier naturel n, cn+1 et cn . c. En déduire la nature de la suite ( cn ), puis l’expression de son terme général cn en fonction de n. 2. Calculer • Chercher a. Calculer le nombre de côtés de F10, F50 et F100. b. Quelle conjecture peut-on émettre sur l’évolution du nombre de côtés des flocons quand n devient de plus en plus grand ? 3. Chercher • Raisonner À chaque étape, le flocon est constitué de côtés de même longueur. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur d’un côté du flocon Fn . a. Donner une relation de récurrence entre ln+1 et ln et en déduire la nature de la suite ( ln ). b. Exprimer ln en fonction de n. 4. Chercher • Raisonner • Calculer Pour tout entier naturel n, on note pn le périmètre du flocon Fn . a. À l’aide des parties précédentes, exprimer pn en fonction de n. b. Quelle est la nature de la suite ( pn ) ?
Carbon Dating
In English
Carbon has several forms – or “isotopes” – among which carbon 14. This element is radioactive, and its radioactivity decreases over time at a perfectly regular rate, after the death of animals or plants. Scientists use it as a “chronometer” to estimate the age of very varied objects: works of art, rocks, fossils… Living organisms naturally contain carbon 14. When they are alive, they all contain the same proportion of C14, but after their death, the C14 rate decreases by 1.24% per century. Let Q0 be the amount of C14 in an organism at the time of death. Let Qn be the amount of C14 of this organism after n centuries. 1. Determine the nature of the sequence (Qn ). 2. Find the explicit rule of Qn. 3. Determine the percentages of the initial proportion of carbon 14 contained in the tissue after 1,000 years, 2,000 years and 10,000 years. 4. A fossil contains only 10% of carbon 14. Give an estimate of its age. 5. A Cro-Magnon human skeleton contains 5% of the initial carbon 14. How old is he? 1 • Suites numériques
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Ateliers algorithmiques et numériques
ATELIER
1
Un programme Python sur les sommes à corriger
20 min
CAPACITÉ • Écrire en langage Pyth on une fonction qui calcule la somme des n premiers carrés et des n premiers cubes Situation algorithmique
En langage Python, la fonction somme ci-dessous permet de calculer la somme des n premiers entiers, pour un entier n choisi par l’utilisateur. 14
Exemple : somme(14) affiche la valeur de ∑ i . i=1
Python
La variable « s » est initialisée à la valeur 0 et contiendra les valeurs successives de la somme
Le compteur « i » de la boucle joue le même rôle que celui du symbole Σ
IM EN
En sortie de boucle, la fonction renvoie la somme totale qui est contenue dans la variable « s »
SP ÉC
Comme dans le symbole Σ, le compteur « i » est incrémenté (augmenté de 1). À chaque incrémentation, la boucle effectue un tour de plus au cours duquel la variable « s » se voit ajouter un terme supplémentaire de la somme
On souhaite écrire une fonction en Python qui calcule la somme des carrés des entiers jusqu’à un certain entier choisi par l’utilisateur. Elsa, une apprentie programmatrice, propose la fonction ci-contre (à retrouver dans le fichier Python C01_Atelier1). 1
Calculer
a. Quel résultat renvoie somme_carre(3) ? 3
b. Calculer « à la main » : ∑ i 2 = 12 + 22 + 32. i=1
Comparer avec le résultat précédent.
2
Chercher • Modéliser
Modifier la fonction Python d’Elsa afin qu’elle réponde au problème et tester à nouveau somme_carre(3).
3
Modéliser • Calculer
a. Écrire une fonction somme_cube, similaire à la précédente et permettant cette fois de calculer la somme des n premiers cubes, où n est un entier naturel non nul. b. Donner la valeur renvoyée par somme_cube(12). 34
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20/03/2020 12:43
ATELIER
2
Python
Termes consécutifs d’une suite arithmétique ?
20 min
CAPACITÉ • Corriger un programm e infor
matif
L’objectif de cet atelier est d’automatiser le test permettant de vérifier si trois nombres sont les termes consécutifs d’une suite arithmétique. Pour cela, on crée une fonction Python mettant en jeu la propriété du cours : trois nombres sont les termes consécutifs d’une suite arithmétique si la moyenne arithmétique du plus petit et du plus grand est égale au troisième nombre. 1
Raisonner • Calculer
Déterminer si les triplets suivants sont ou ne sont pas des termes consécutifs d’une suite arithmétique : (3 ; 6 ; 9), (130 ; 146 ; 157), (2098 ; 2162 ; 2226) et (1,1 ; 1,2 ; 1,3).
2
Chercher • Calculer
IM EN
La fonction Python du fichier C01_Atelier2 est proposée pour automatiser cette tâche.
SP ÉC
a. Tester cette fonction avec les triplets de la question 1.
b. Les résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus précédemment ?
3
Calculer • Chercher
Ce constat s’explique par le fait qu’en langage Python, les sommes et produits de nombres entiers donnent des valeurs exactes, mais pas les nombres flottants. Ainsi, on a par exemple :
Utiliser le langage Python, p. 188
Un test d’égalité peut être considéré faux par Python… alors qu’il est vrai ! Pour en tenir compte, modifier le script précédent comme précisé ci-dessous.
a. Tester les triplets suivants : (1,1 ; 1,2 ; 1,3), (1,35 ; 1,36 ; 1,57), (12,5 ; 112,51 ; 212,52). b. Vérifier par le calcul que les résultats obtenus sont cohérents.
1 • Suites numériques
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20/03/2020 12:43
Ateliers algorithmiques et numériques
Tableur
Choix du meilleur placement d’argent
45 min
CAPACITÉS • Organiser une feuille de calcul. • Compléter un programme
En 2019, Marouane a gagné une prime d’intéressement d’un montant de 5 000 €. Il souhaite placer cet argent avec l’objectif d’atteindre un capital de 10 000 €. Une banque lui propose un placement à intérêts composés au taux annuel de 2 %. 1
Modéliser • Calculer
Marouane utilise un tableur pour évaluer l’évolution de son capital. Il obtient la feuille de calcul ci-contre où les montants sont ceux au 1er septembre de chaque année, date à laquelle il perçoit des intérêts. a. Quelles formules a-t-il entrées dans les cellules A3 et B3 puis étirées vers le bas, afin d’obtenir ces résultats ? b. Compléter le fichier tableur C01_Atelier3(1) pour obtenir la feuille ci-contre. c. Déterminer l’année à laquelle Marouane atteindra ou dépassera son objectif. 2
Raisonner • Calculer
IM EN
ATELIER
3
Tableur
Python
SP ÉC
Pour tout entier naturel n, on note un son capital après n années, soit au 1er septembre de l’année (2019 + n). a. Expliquer pourquoi ( un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison. b. En déduire une expression de un en fonction n. 3
Modéliser • Calculer • Communiquer
Marouane décide finalement de mettre son capital sur un compte courant (donc sans intérêts), le 1er septembre 2019, et d’y verser chaque mois 15 €. a. Quelle somme verse-t-il chaque année sur son compte ? b. Dans le fichier C01_Atelier3(1) complété à la question 1, ajouter une colonne qui calcule l’évolution du capital de Marouane sur son compte courant. Au 1er septembre de quelle année atteindra-t-il son objectif de 10 000 € ? c. Quelle est la meilleure stratégie ? 4
Modéliser • Calculer
À partir de quelle année le placement à intérêts composés devient-il le plus intéressant ? Pour répondre à cette question, compléter la fonction Python ci-contre (fichier C01_Atelier3(2)). Exécuter le programme pour obtenir l’année cherchée. 36
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20/03/2020 12:43
ATELIER
4
Python
40 min
Fibonacci et les couples de lapins
CAPACITÉS • Compléter un programm e. • Interpréter un algorithme
Histoire des sciences
Le mathématicien Leonardo Fibonacci (v. 1175 à Pise - v. 1250) est surtout connu pour la suite de Fibonacci dont les applications sont nombreuses. On retrouve notamment ses termes dans une spirale logarithmique (ci-contre). Les propriétés remarquables de cette suite ont inspiré des romanciers, comme Dan Brown et son fameux Da Vinci Code.
34
55 8 53 11 2
Fibonacci aurait eu l’idée de cette suite pour évaluer l’évolution d’une population de lapins répondant aux règles suivantes : • au mois 0, il y a uniquement un couple de lapins ; • les lapins ne peuvent se reproduire qu’à partir du deuxième mois de leur existence ; • chaque mois, tout couple en âge de procréer donne naissance à un nouveau couple ; • les lapins ne meurent jamais. On peut schématiser la situation comme suit.
Lapin à maturité sexuelle Jeune lapin
21
1er mois
IM EN
Reproduction Couple identique au mois précédent
13
2e mois
3e mois 4e mois 5e mois
SP ÉC
6e mois
Le nombre de couples de lapins peut être modélisé par la suite de Fibonacci ( Fn ) définie par : F0 = 0, F1 = 1 et Fn+2 = Fn+1 + Fn pour tout entier naturel n. 1
Calculer
Calculer F2, F3, F4. Cette suite est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ?
2
Calculer • Modéliser • Communiquer
On se propose d’en apprendre davantage sur cette suite à l’aide de la fonction Fibo (à retrouver dans le fichier Python C01_Atelier4). a. Exécuter cette fonction pour calculer F5, F10, F30, F50. b. En utilisant cette fois une liste Python, écrire une fonction permettant d’afficher tous les termes de F0 jusqu’à Fn pour un entier n donné. Il semble que les termes de la suite ( Fn ) soient de plus en plus grands. Dans le même module Python, recopier le programme ci-contre et l’exécuter. Quel résultat obtient-on ? L’interpréter. c. Modifier ce programme pour qu’il donne le rang de la suite à partir duquel les termes de la suite deviennent plus grands qu’un seuil donné « s ». L’utiliser pour calculer à partir de quel rang les termes deviennent supérieurs à 1 000 000. 1 • Suites numériques
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37
20/03/2020 12:43
Être prêt pour le BAC
E3C
Compétences mobilisées Exercices Chercher Modéliser Représenter Raisonner 64
B.2.b
A.1.c et 5.
65
B.4
B.1, 2 et 3
66
B.2.a
B.1.a et 2.b
67
A.5
A.3
(à traiter sans calculatrice)
Première partie
Automatismes
63
Questions flash Q1. 7, 3, −1 et −5 peuvent-ils être les termes consécutifs d’une suite arithmétique ? 1 1 Q2. 3, 1, et peuvent-ils être les termes 3 9 consécutifs d’une suite géométrique ?
Le nombre de renards dans le parc régional à la fin de l’année (2019 + n) est modélisé par un. On a donc : u0 = 1240. On estime à 15 % par an la baisse du nombre un et on suppose que cette évolution restera identique pour les années à venir. Les résultats seront arrondis à l’unité. Partie A 1. Montrer qu’à la fin de l’année 2020, la population de renards sera de 1 054.
SP ÉC
IM EN
Q3. ( un ) est une suite arithmétique de raison 1 1 et de premier terme u0 = . Calculer u25. 5 3 Q4. ( v n ) est une suite géométrique de raison 1 et de premier terme v 0 = 64. Calculer v15. 2 Q5. Calculer 3 + 6 + 9 + … + 30. Q6. Calculer la moyenne arithmétique de 125 et 245. Q7. Calculer la moyenne géométrique de 4 et 9. Q8. ( hn ) est une suite géométrique telle que : h5 = 6 et h6 = 54. Quelles peuvent être les raisons possibles ? Q9. Une usine produit 1 000 puces par semaine. Chaque semaine, la direction augmente cette production de 100 puces. Peut-on modéliser cette situation par une suite arithmétique ou géométrique ? Si oui, préciser la raison et le premier terme. Q10. Un capital de 5 000 € est bloqué pour 20 ans. Chaque année, il rapporte 3 % d’intérêts composés. La banque prélève 20 € de frais de gestion. Peut-on modéliser cette situation par une suite arithmétique ou géométrique ? Si oui, préciser la raison et le premier terme.
B
Calculer Communiquer A.1 et 2.a A.5 et B.2.c A.4, B.2.c et B.1 A.3 et B.4 A.1 et 2 B.4 A.1 et 2, A.3 B.1.b, c et d A.1, 2 et 4
Seconde partie
(calculatrice autorisée)
2.a. Calculer u2. b. Exprimer un+1 en fonction de un. c. En déduire la nature de la suite ( un ) et préciser sa raison et son premier terme. 3. Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à la fin de l’année 2024. 4. Des scientifiques considèrent que les renards roux vont disparaître du parc à partir du moment où leur nombre deviendra strictement inférieur à 100. À partir de quelle année l’espèce de renards présents dans le parc sera-t-elle en situation d’extinction ?
Partie B Les responsables du parc introduisent chaque année 30 renards à partir de fin 2020. On note v n le nombre de renards présents dans le parc à la fin de l’année (2019 + n). On a : v 0 = 1 240. 1. Calculer v1. 2. Tableur En utilisant un tableur, on obtient le tableau ci-dessous. Quelle formule, à recopier vers la droite dans la plage D3:R3, faut-il saisir dans la cellule C3 ?
64 Suites numériques Dans un parc régional, la population de renards roux était de 1 240 individus à la fin de l’année 2019.
3. En utilisant votre calculatrice graphique, déterminer le nombre de renards en 2045. D’après un sujet d’examen.
38
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20/03/2020 12:43
65 Suites numériques
66 Suites numériques
On s’intéresse au nombre de scooters vendus par un concessionnaire qui propose principalement deux modèles (M1 électrique et M2 à essence).
Le diabète de type 1 est une maladie qui apparaît le plus souvent durant l’enfance ou l’adolescence. Les individus atteints par cette maladie produisent très peu ou pas du tout d’insuline, une hormone essentielle pour l’absorption du glucose sanguin par l’organisme. Le nombre d’enfants français atteints de diabète de type 1 a été relevé au cours des trois dernières années. 2017 2018 2019
Année
Nombre d’enfants diabétiques 18,3 de type 1 (en milliers d’individus) 2018
2019
M1
172
180
M2
344
331
20
Partie A 1. Déterminer le taux d’évolution entre 2017 et 2018, puis entre 2018 et 2019. 2. Calculer la moyenne géométrique de 1,038 et de 1,053. 3. Déduire le taux moyen annuel d’évolution entre 2017 et 2019.
IM EN
Année
19
Partie A 1. Déterminer le taux d’évolution du nombre de ventes de modèles M1 entre 2018 et 2019.
SP ÉC
2. Déterminer le taux d’évolution du nombre de ventes de modèles M2 entre 2018 et 2019.
3. Le concessionnaire annonce à son concurrent que le nombre de ventes a augmenté de 0,45 % entre 2018 et 2019. Cette affirmation est-elle vraie ? Partie B On modélise le nombre de ventes de scooters M1 par une suite ( un ) où un est le nombre de scooters M1 vendus en (2019 + n). Ces ventes augmentent de 4,7 % par an. On modélise le nombre de ventes de scooters M2 par une suite ( v n ) où v n est le nombre de véhicules M2 vendus en (2019 + n). On considère que ces ventes baissent de 3,8 % par an. On arrondira les résultats à l’unité.
Partie B Des études récentes permettent de supposer que le nombre d’enfants diabétiques augmente de 4,5 % par an à partir de 2019 en France. On modélise cette évolution par une suite ( un ), en notant un le nombre d’enfants diabétiques en France (en milliers d’individus) pour l’année (2019 + n). Ainsi u0 = 20. 1.a. Calculer u1. b. Donner la nature de la suite ( un ) et préciser sa raison. c. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n. d. Calculer le nombre d’enfants atteints de diabète de type 1 dans le monde en 2025.
3. Exprimer un en fonction de n, puis v n en fonction de n.
2.a. Python Compléter l’algorithme afin qu’il affiche la première valeur de n à partir de laquelle un ! A. Tester en environnement Python avec le fichier C01_Ex.66.
4. Dans ces conditions, en quelle année les ventes du modèle M1 vont-elles dépasser celles du modèle M2 ?
b. Déterminer suite(25). Interpréter ce résultat dans le cadre de l’exercice.
1. Déterminer u0 et u1 puis v0 et v1.
2. Déterminer la nature de la suite ( un ) ainsi que celle de ( v n ).
1 • Suites numériques
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20/03/2020 12:43
Pour l’enseignant Diaporama
Se préparer matismes et réviser ses auto Questions flash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses. 1 Soit la suite géométrique ( un ) de premier terme u0 = 2 et de raison 3. Alors : a. u6 = 2 × 3 × 6 b. u6 = 724 c. u6 = 1458
2
3
2
2
1
1
0
1
2
3
b. 0
3 2 1
1
2
3
c.
0
1
SP ÉC
a.
3
IM EN
2 La représentation graphique des premiers termes de la suite géométrique définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = un × 1,5 est :
2
3 Étant donné deux entiers n et p, on a : a.
10 n
× 10 p
= 10 n× p
8n b. p = 8 n− p 8
c.
b. 0,25
c.
4 Le nombre 2−3 est égal à : a. −23
3
(23 )5 = 23 × 26 43
1 23
5 La moyenne géométrique de a et c est égale à b si : a. a = 5 ; b = 11 ; c = 24,2. b. a, b et c sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. c. a, b et c sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique.
6 Trois évolutions successives à des taux respectifs de 2 %, 5 % et 3 % sont à peu près équivalentes à une évolution à un taux de : a. 10 % b. 10,1 % c. 10,3 % Automatisme B. 7
40
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20/03/2020 12:43
Fonctions exponentielles Le parc géologique Zhangye Danxia en Chine est connu pour les couleurs de ses rochers résultant de 24 millions d’années de dépôt de grès et d’autres minéraux. La découverte de la radioactivité au XXe siècle a fait évoluer la géologie en permettant de dater précisément les roches. Les calculs font appel aux fonctions exponentielles.
SP ÉC
IM EN
Exercice 42, p. 53
s maths Dans l’histoire de
Et aujourd’hui ?
Le modèle exponentiel est encore utilisé aujourd’hui. Ainsi, au 1er janvier 2019, la France compte 66,9 milL’étude de la dynamique des populations s’appuie lions d’habitants, avec un taux de croissance annuel notamment sur le modèle de croissance exponentielle estimé à 0,4 %. On peut modéliser la population publié par l’économiste britannique Thomas Malthus française par une suite géométrique et prévoir ainsi en 1798. On parle de croissance ou décroissance le nombre d’habitants au bout de n années, mais exponentielle lorsque la croissance est proportionnelle à la pour estimer la population française au 1er juilpopulation existante, c’est-à-dire lorsque le taux de croissance let 2023 ou au 1er octobre 2025, on utilise une est constant. Une telle situation peut être modélisée par une fonction exponentielle. suite géométrique ou une fonction exponentielle. Exercice 2, p. 48 41
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20/03/2020 12:43
Construire le cours Activité
1 Définition de la fonction exponentielle de base a Modéliser une population de loups Le 1er janvier 2000, 100 loups vivaient dans une réserve canadienne et leur population double tous les 10 ans. Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de centaines de loups n décennies après le 1er janvier 2000. Ainsi u0 = 1. 1 a. Quelle est la nature de la suite ( un ) ? Exprimer un en fonction de n pour tout entier naturel n. b. Écrire le calcul de u1 puis de u3, et interpréter ces résultats.
IM EN
2 a. Quel calcul permet de connaître le nombre de loups au 1er janvier 2015 ? Le tester avec la calculatrice. b. En déduire un calcul du nombre de loups au 1er janvier 2030. Le résultat obtenu est-il cohérent ? c. Proposer l’expression d’une fonction f permettant d’estimer le nombre de loups x années après le 1er janvier 2015, x étant un nombre réel. d. Déterminer, selon ce modèle, le nombre de loups au 1er janvier 2012, puis au 1er juillet 2025. Atelier 3, p. 59 pour prolonger
Définition Soit a un nombre réel strictement positif. La fonction exponentielle de base a est définie pour tout réel positif x comme prolongement de la suite géométrique ( a n )n∈ℕ. Cette définition s’étend aux réels x négatifs en 1 posant : a − x = x . a
SP ÉC
À retenir
3 Ce modèle vous semble-t-il pertinent ?
Casio
INFO CALCULATRICE La valeur de a x s’obtient avec une calculatrice. Rabats de couverture TI
NumWorks
À retenir
Activité
2 Sens de variation et représentation graphique Conjecturer un sens de variation Étant donné un réel strictement positif a, conjecturer le sens de variation de la fonction x ! a x. Tester cette conjecture en représentant (sur la calculatrice, en Python ou avec un logiciel de géométrie dynamique) la fonction x ! a x pour différentes valeurs de a. Propriétés (admises) Soit a un nombre réel strictement positif. Comme la suite géométrique associée, la fonction exponentielle de base a est : • strictement croissante si a > 1 ; • strictement décroissante si 0 < a < 1.
Propriétés (conséquences) • Pour tout réel a > 0 et tout réel x, on a : a x > 0.
•
Pour tous réels x et y : − si a >1, alors a x < a y ⇔ x < y ; − si 0 < a <1, alors a x < a y ⇔ x > y ; − si a ≠ 1, alors a x = a y ⇔ x = y. Suite (an) avec a > 1 Fonction x ax avec a > 1 (ici a = 1,4) (an)
Suite avec 0 < a < 1 Fonction x ax avec 0 < a < 1 (ici a = 0,6)
6 5 4 3 2 1 −3 −2 −1 0
1
2
3
4
5
42
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Acquérir les méthodes EXERCICE RÉSOLU Trouver le sens de variation des fonctions de la forme x ! ka x Donner le sens de variation des fonctions suivantes définies sur ℝ. b. x ! −0,5 × 4 x a. x ! 3 × 1,2 x c. x ! 1,3 × 0,8 x d. x ! −5 × 0,4 x Résolution
a. La fonction x ! 1,2 x est croissante sur ℝ car 1,2 > 1. 3 est positif donc x ! 3 × 1,2 x est aussi croissante sur ℝ. 2
1 Méthode
1
On détermine d’abord le sens de variation de x ! a x selon la valeur de a.
b. La fonction x ! 4 x est croissante sur ℝ car 4 > 1. 1 −0,5 est négatif donc x ! −0,5 × 4 x est décroissante sur ℝ. 2
2 Méthode • Si k > 0, x ! ka x a le même sens de variation que x ! a x . • Si k < 0, x ! ka x a le sens de variation contraire à x ! a x .
c. La fonction x ! est décroissante sur ℝ car 0 < 0,8 < 1. 1,3 est positif donc x ! 1,3 × 0,8 x est décroissante sur ℝ. 2
1
1
SP ÉC
d. La fonction x ! 0,4 x est décroissante sur ℝ car 0 < 0,4 < 1. −5 est négatif donc x ! −5 × 0,4 x est croissante sur ℝ. 2
1
ax
IM EN
x
0,8 x
À votre tour !
x kax k>0 k
k
x kax k<0
Voir aussi exercices 5 à 8, p. 48
1 Déterminer le sens de variation des fonctions définies sur ℝ par : a. x ! 2 × 0,75 x b. x ! −1,5 × 2,8 x 2 Déterminer le sens de variation des fonctions définies sur ℝ par : a. t ! −0,1× 1,25t b. t ! −12 × 0,56 t 3 Le nombre d’individus, en milliers, d’une population de bactéries est donné en fonction du temps t en heures par la fonction f définie sur l’intervalle [ 0 ; 50 ] par : f ( t ) = 25 × 1,62t . a. Quel est le sens de variation de la fonction f ? b. À l’aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien de temps le nombre de bactéries dépassera le milliard. 2 • Fonctions exponentielles
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43
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Construire le cours des fonctions exponentielles Généraliser les formules sur les exposants entiers 1 Simplifier les expressions suivantes, pour a réel strictement positif : a5 3 a 4 × a 3 ; a 2 × a −3 ; 8 ; ( a 4 ) . a Python 2 Quelles formules la copie d’écran Python ci-contre permet-elle de conjecturer ? Propriété (admise) Soit un réel strictement positif a, deux réels x et y et un entier relatif n. Alors : ax n a x+ y = a x a y a x− y = y a nx = ( a x ) a
IM EN
À retenir
Activité
3 Propriétés algébriques
Calculer un taux moyen d’évolution des inscriptions
De 2017 à 2020, l’inscription à une école de danse a subi trois augmentations annuelles, de 16 %, 15 % puis 20 %.
SP ÉC
Activité
4 Application au calcul du taux moyen
1 Vérifier que la moyenne arithmétique de 16, 15 et 20 est égale à 17. Les trois hausses précédentes sont-elles équivalentes à trois hausses successives de 17 % ? 2 Justifier qu’au cours de ces 3 ans, le prix de l’inscription a été multiplié par 1,6008. 3 Justifier que l’équation x 3 = 1,6008 admet pour solution 1
x = 1,6008 3 .
À retenir
4 En déduire le taux d’évolution annuel moyen, à 0,01 % près, correspondant à ces trois hausses. Définitions • Lors de n évolutions successives à des taux t1 , t2 ,…, tn entre une valeur V0 et une valeur Vn, on appelle taux d’évolution moyen le taux noté tM , qu’il faut appliquer n fois successivement à la valeur V0 pour obtenir la valeur Vn . × (1 + t1) × (1 + t2)
V0
V1
V2
× (1 + tn)
V…
Vn–1
Propriété • Calculer un taux moyen revient à résoudre une équation du type : x n = CM où CM > 0 est le coefficient multiplicateur global et n un entier naturel.
cœfficients multiplicateurs
Vn
• × (1 + tM)n : cœfficient multiplicateur global
•
Le taux moyen t M est donc tel que :
Cette équation a pour 1
solution : x = CM n .
(1+ t M )n = (1+ t1 )(1+ t2 )…(1+ tn ) .
44
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Acquérir les méthodes EXERCICE RÉSOLU Calculer un taux moyen Le tableau ci-dessous donne le taux d’évolution annuel du cours en bourse des actions d’une entreprise. Année Taux
2016
2017
2018
2019
+4,1 %
−5,8 %
+3,2 %
+3,9 %
a. Déterminer le taux d’évolution annuel moyen de ces actions entre 2016 et 2019 à 0,1 % près. b. Une autre action passe sur cette même période de 36,20 € à 38,88 €. Déterminer son taux d’évolution annuel moyen à 0,1 % près. Résolution
1
donc x ≈ 1,0515 4 ≈ 1,0126. Le taux d’évolution annuel moyen est de 1,3 %.
3
SP ÉC
b. Le prix de l’action a été multiplié en 4 ans par : 38,88 ≈ 1,074. 1 36,20 Son coefficient multiplicateur annuel x vérifie donc : x 4 ≈ 1,074. 1 ≈ 1,074 4
1 Méthode
IM EN
a. Augmenter de 4,1 % revient à multiplier par 1,041, diminuer de 5,8 % revient à multiplier par 0,942… En 4 ans, la valeur des actions est multipliée par : 1,041× 0,942 × 1,032 × 1,039 ≈ 1,0515. 1 Le coefficient multiplicateur annuel x vérifie : x 4 ≈ 1,0515 2
x ≈ 1,018 Le taux d’évolution annuel moyen est de 1,8 %.
À votre tour !
On calcule d’abord le coefficient multiplicateur global CM.
2 Méthode On résout x n = CM pour trouver le coefficient multiplicateur sur une période.
2
3 Méthode On en déduit le taux moyen.
3
Voir aussi exercices 14 à 19, p. 49
1 En 3 ans, le nombre d’adhérents à un parti politique a augmenté annuellement de 8 %, puis de 14 % et enfin de 10 %. Quel est le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’adhérents de ce parti à 0,1 % près ? 2 En 5 ans, le tarif annuel d’une complémentaire santé pour une famille de 4 personnes est passé de 1 650 € à 1 846 €. Quel est le taux d’évolution annuel moyen de ce tarif à 0,1 % près ? 3 La rémunération d’un livret A est fixée à 0,75 % par an. Quel est son rendement mensuel à 0,01 % près ? 4 Le tableau ci-dessous donne le taux annuel d’évolution de l’indice de référence des loyers en France au premier trimestre. Année Taux
2016
2017
2018
2019
+0,06 %
+0,51 %
+1,05 %
+1,70 %
Quel est, à 0,01 % près, le taux annuel d’évolution moyen de cet indice ? 2 • Fonctions exponentielles
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45
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Faire le point sur l’essentiel priétés Définitions et pro ax
Fonction exponentielle de base a : x
Sens de variation
Propriétés algébriques
La fonction x ax est définie comme prolongement de la suite géométrique (an) aux réels positifs. 1 Si x est négatif, on pose a−x = x . a
La fonction exponentielle de base a est strictement croissante si a > 1 et strictement décroissante si 0 < a < 1.
ax+y = axay ax ax−y = y a anx = (ax)n
Représentation graphique
• Si a > 1, alors ax < ay ⇔ x < y. • Si 0 < a < 1, alors ax < ay ⇔ x > y. • Si a ≠ 1, alors ax = ay ⇔ x = y.
IM EN
Définition
× (1 + t1)
Suite6(an) avec a > 1 Fonction x ax avec a > 1 Suite5(an) avec 0 < a < 1 Fonction x ax 4 avec 0 < a < 1
V0
V1
SP ÉC
3
× (1 + t2)
× (1 + tn) : cœfficients multiplicateurs
V…
Vn–1
Vn
× (1 + tM)n : cœfficient multiplicateur global
2
(1 + tM)n = (1 + t1) (1 + t2) … (1 + tn)
1
−3 −2 −1 0
V2
Calcul du taux moyen
Pour calculer le taux moyen, on résout xn = CM, qui a pour
1
2
3
4
5
1
solution x = CM n .
Capacités
Je suis capable de… C1 • Connaître et utiliser le sens de variation des fonctions de la forme x ! ka x , selon le signe de k et les valeurs de a
C2 • Connaître les propriétés algébriques des fonctions exponentielles et les utiliser pour transformer des écritures numériques ou littérales
C3 • Calculer le taux d’évolution moyen équivalent à des évolutions successives
Je m’entraîne avec…
EXERCICE RÉSOLU
EXERCICES
p. 43
9 à 13, p. 49
EXERCICE RÉSOLU
p. 45
46
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20/03/2020 12:43
Pour l’enseignant Diaporama
Réponses p. 202
ion Auto-évaluat 1
Questions flash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses.
6,25 −1,5 = ? 1 b. 6,251,5
a. 0,064
2
1 c. 15
8
−
2 3
a. −4
=?
1 4
b.
c. 4
t
a.
2
2
1
1
1
−1 0
1
2
3
La fonction x ! −2 × 1,6 x : a. est croissante sur ℝ. b. est décroissante sur ℝ. c. change de sens de variation.
6
1
2
3
−1 0
c.
1
2
3
La fonction t ! 3 × 0,75 t est : a. croissante sur ℝ. b. positive sur ℝ. c. positive sur ]0 ; +∞[ et négative sur ]−∞ ; 0[.
5
Soit un réel a strictement positif. Alors on a : a. a5 ×
7
−1 0
b.
SP ÉC
4
2
IM EN
3
⎛ 3⎞ La fonction t ! ⎜ ⎟ admet pour représentation graphique : ⎝ 4⎠
(
1
)
2 a 0,7
b. a2 × ( a 0,4 )
2
( a2,5 )4 = ?
a6,4 6 c. ( a 0,6 )
Une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 10 % est presque équivalente à deux hausses de : a. 3,9 % b. 5 % c. 10 %
Vrai ou faux ? Pour chaque proposition, déterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Des économistes modélisent la valorisation d’une action d’une entreprise par la fonction f définie sur [ 0 ; 3 ] par f ( t ) = 24 × 0,82t , où t est le temps écoulé en années depuis une date initiale fixée.
1 La fonction ff est décroissante. 2 La valeur d’une action au bout d’un an et trois mois est 18,54 €. 3 La valeur d’une action va baisser de 54 % en trois ans. 2 • Fonctions exponentielles
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47
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π%π ∈ ∈%
Exercices
2 Sens de variation
Échauffement
et représentation graphique Automatismes
1 Définition de la fonction
5
exponentielle de base a Questions flash
4
Q1. Calculer : 160,75 ; 2430,2 ; 27 3 . 1 1 Calculer : 2,0736 4 ; 125 3 ;
Questions flash Pour les questions Q1 à Q4, donner le sens de variation de la fonction. x x ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 021 ⎞ x ! Q1. x ! ⎜ Q2. ⎝ 2⎠ ⎝ 2 020 ⎟⎠
Automatismes
1
Plus d’exercices sur https://calao.reussirenmaths.fr
Q3. x ! 3 × 0,54 x Q4. x ! −105 × 4,8 x Q5. Associer chaque courbe à sa fonction. f : x ! 1,5 x g : x ! 1,5− x h : x ! −1,5 x k : x ! −1,5− x
25−0,5.
3 2 1 −2 −1 0 −1 −2
1
2
3
IM EN
Q2. Q3. Compléter : si a x = 10, alors a − x = ... . Q4. Quel est le taux d’évolution annuel d’une quantité qui évolue suivant la formule q ( t ) = 50 × 0,93 t ou t est le temps en année ? Q5. Pour chaque proposition, préciser si elle est vraie ou fausse. a. Le nombre 2,3−3,8 est un nombre positif. b. 1 0240,1 est un entier.
7 Déterminer le sens de variation des fonctions définies sur ℝ par : x 1 ⎛ 4⎞x ⎛ 5⎞ a. x ! × ⎝ ⎠ b. x ! 2 × ⎝ ⎠ 3 5 4 x 7 ⎛ 2 020 ⎞ c. x ! − × ⎜ 12 ⎝ 2 019 ⎟⎠
SP ÉC
2 Au 1er janvier 2019, la France compte 66,9 millions d’habitants. On estime son taux de croissance annuel à 0,4 %. Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de millions d’habitants en France au 1er janvier de l’année 2019 + n et on admet que la suite ( un ) est une suite géométrique. 1.a. Donner la raison de la suite ( un ). b. Exprimer un en fonction de n. 2.a. Proposer l’expression d’une fonction f permettant d’estimer le nombre d’habitants en France x années après le 1er janvier 2019, x étant un nombre réel. b. Déterminer, selon ce modèle, le nombre d’habitants au 1er janvier 2022, au 1er juillet 2023 et au 1er octobre 2025.
6 Déterminer le sens de variation des fonctions définies sur ℝ par : b. t ! 9,85 × 0,95t a. t ! −2 × 1,4 t c. t ! 0,8 × 2,25t
3 Lors du test d’un produit antibactérien, le nombre de bactéries (en million) dans une solution est donné en fonction du temps t (en heure) par la fonction n définie sur [ 0 ; 5] par n ( t ) = 98 × 0,84 t . 1. Déterminer la quantité de bactéries initiale, puis au bout de 3 heures et demie. 2. Quel est le taux d’évolution horaire du nombre de bactéries ? 4 Résoudre à l’aide d’un outil numérique les équations : a. x 2,25 = 19 683 b. 4 x = 128
8
QCM Choisir la bonne proposition. Justifier la réponse. 1. L’ensemble des nombres ayant une image par la fonction x ! 0,5 x est : c. ]−∞ ; +∞[ . a. ℝ. b. [ 0 ; +∞[ . x 2. La fonction x ! 1,64 est : a. croissante sur ℝ. b. décroissante sur ℝ. c. décroissante sur ]−∞ ; 0[ puis croissante sur ]0 ; +∞[ . 3. L’équation 0,2 x = k admet : a. aucune solution. b. toujours une solution. c. une solution si k > 0. 4. On suppose que l’équation 2 x = k possède une solution. Alors : a. cette solution est forcément positive. b. cette solution ne peut pas être nulle. c. cette solution peut être négative.
48
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4 Application au calcul du taux moyen
3 Propriétés algébriques
des fonctions exponentielles
Automatismes
Automatismes
9
14
Questions flash
Q1. Dans les équations suivantes, quel calcul permet d’obtenir la valeur de x ? a. x 3 = 5,832 b. x 4 = 0,656 1 Pour les questions Q2 à Q3, déterminer les coefficients multiplicateurs associés aux taux. Q2. a. +5 % b. −12 % c. +0,1 % Q3. a. −2 % b. +58 % c. −0,5 % Q4. À quel pourcentage d’augmentation, à 0,1 % près, correspondent trois hausses de 3 % ? Q5. Choisir la bonne réponse. Une baisse de 10 % suivie d’une baisse de 20 % est équivalente à une baisse de : a. 30 % b. 15 % c. 28 %
Q1. Simplifier les expressions suivantes, puis calculer leurs valeurs : 5
A=
32−0,3
× 320,7 ;
B=
94 −
1 4
.
9 Pour les questions Q2 à Q4, écrire sous la forme d’une seule puissance : 3,54,8 Q2. A = 23,1 × 21,4 ; B = . 3,53,6 Q3. A = (54,3 ) ; B = (105,1 ) . 2
3
5 −3,7 1,26,4 ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ Q4. A = ⎝ ⎠ × ⎝ ⎠ ; B= . 3 3 1,28,1
IM EN
Q5. Simplifier les expressions suivantes : a 2,8 2 . A = ( x 3,5 ) × x 3 ; B = ( a1,1 )3
Questions flash
SP ÉC
10 Écrire sous la forme d’une seule puissance de 2 : 25 3 a = 21,5 × 2−3 ; b = (24,5 ) ; c = 23 × 4 2 ; d = . 4
15 Compléter les phrases suivantes. a. Une multiplication par 4,096 est équivalente à … multiplications par 1,6. b. Une multiplication par … est équivalente à 4 multiplications par 1,2. c. Une multiplication par 0,168 07 est équivalente à 5 multiplications par … .
Méthode
Pour écrire sous la forme d’une seule puissance de 2 le réel c = 23 × 4 2 , on procède ainsi : (1) écrire 4 sous la forme d’une puissance de 2 ; (2) appliquer les formules du cours en respectant l’ordre des priorités.
11 Écrire sous la forme d’une seule puissance de 3 : 3 4,6 3 0,8 a= × 5 ; b = 33,15 × 92,2 × 27 0,4 . 2 (31,3 ) 3
16 Résoudre sur [ 0 ; +∞[ les équations suivantes : a. x 2 = 0,518 4 b. x 4 = 0,008 1 c. x 4 = 6,859 d. x 5 = 7,593 75 17 Déterminer le nombre décimal t solution des équations suivantes, puis l’exprimer en pourcentage. a. (1+ t )3 = 1,092 727 b. (1+ t )2 = 0,960 4 c. (1+ t )4 = 0,062 5 d. (1+ t )3 = 2,352 637
18 Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmenté de 38 % en trois ans. Calculer l’augmentation annuelle moyenne à 0,1 % près. 12 Simplifier les expressions suivantes, puis calculer leurs valeurs : Méthode 6 ⎛ −1⎞ a = 51,7 × 51,3 ; b = ⎜ 2 3 ⎟ ; Pour calculer le taux moyen, on procède ainsi : ⎝ ⎠ (1) calculer le coefficient multiplicateur CM c = 4 −0,7 ×
1 4
; d = 0,3
6 4,5 × 62,3
( 61,6 )3
.
13 Simplifier les expressions suivantes : 2 ⎛ a3 ⎞ 2 A = ⎜ 1,5 ⎟ ; B = ( x 1,2 × x ) ; ⎝a ⎠ C=
t 4,2
2 t 2,8 ) ( × ;
t 8,1
a 2 × ( a −1 ) D = −2,5 . a × a6 3
correspondant à une hausse de 38 % ; (2) résoudre x 3 = CM pour trouver le coefficient multiplicateur annuel ; Automatisme B. 3 (3) en déduire le taux moyen.
19 La taxe foncière en France a augmenté en moyenne de 21,26 % en cinq ans, de 2008 à 2013. Déterminer son augmentation annuelle moyenne à 0,1 près. 2 • Fonctions exponentielles
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Exercices
Méthode
Entraînement
Pour déterminer un seuil, on peut procéder ainsi : (1) entrer la fonction f dans la calculatrice graphique, puis entrer en dessous une deuxième fonction constante égale à 100 ; (2) régler la fenêtre graphique : X va de 0 à 12 (on peut utiliser le zoom automatique pour régler Y) ; (3) chercher le point d’intersection des deux courbes à l’aide de l’outil de résolution numérique, puis convertir la partie décimale en jours.
1 Définition de la fonction exponentielle de base a
IM EN
20 1. L’évolution d’une quantité q est donnée suivant un temps t par q ( t ) = 20 × 0,85t . a. Quelle est la valeur de q ( 0 ) ? b. Quel est le taux d’évolution de la quantité q 24 Un réseau social est sur le déclin. Le nombre de par unité de temps ? milliers de ses utilisateurs est modélisé par une 2. Mêmes questions avec q ( t ) = 18,5 × 1,62t . suite géométrique ( un ), dont on a calculé les premiers termes dans une feuille de calcul. n repré21 D’après Wikipedia, un phénomène est à croissente le nombre d’années écoulées depuis le sance exponentielle lorsque « la croissance […] de 1er décembre 2008. la population est proportionnelle à la population existante ». Expliquer pourquoi la fonction x ! 24 × 1,15 x modélise une croissance exponentielle.
SP ÉC
1.a. Donner le premier terme et la raison de cette 22 Au 1er janvier 2019, la population lettone est estisuite. mée à 1 917 512 habitants. Elle diminue de 1 % b. Quelle formule a-t-on pu entrer dans la cellule par an. C2 et recopier vers la droite ? 1. On la modélise par une suite en notant un le 2. On propose de prolonger cette suite en une nombre d’habitants en Lettonie au 1er janvier de fonction f du type : f ( x ) = k × a x . l’année (2019 + n), pour tout entier naturel n. a. Donner les valeurs des réels k et a. a. Déterminer la nature de la suite ( un ), et en b. Calculer, selon ce modèle, le nombre d’utilisadéduire l’expression de un en fonction de n. teurs du réseau social au 1er mars 2012. b. Combien d’habitants peut-on prévoir en Lettoc. Déterminer, à l’aide d’une calculatrice granie au 1er janvier 2050 selon ce modèle ? phique, à quelle date le réseau social comptera 2. On décide de prolonger la suite ( un ) en une moins de 5 millions d’utilisateurs. fonction définie sur ℝ par f ( t ) = ka t telle que, pour tout entier naturel n, f ( n ) = un. 25 La pression atmosphérique est égale à 1 013 hPa a. Donner les valeurs des réels k et a. (hectoPascal) au niveau de la mer, et diminue de b. Déterminer, selon ce modèle, le nombre d’habi12 % à chaque fois que l’on monte de 1 000 m. tants en Lettonie au 1er septembre 2020. Il s’agit d’une décroissance exponentielle. c. Calculer f ( 8,25) et interpréter le résultat. d. Même question avec f ( −1,5). 23
Le nombre de joueurs à un jeu vidéo en milliers est modélisé par la fonction f définie sur [ 0 ; 12] par f ( x ) = 65 × 1,05 x où x est le nombre de mois écoulés depuis le lancement du jeu. Au bout de combien de temps (en mois et jour) atteindra-t-on 100 millions de joueurs ?
On peut la modéliser par une fonction P de l’altitude h en milliers de mètres vérifiant : P ( h ) = ka h . 1. Déterminer les constantes k et a. 2. Calculer la pression à 5 500 m d’altitude à 1 hPa près.
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26 En 1984, l’aquarium de Monaco a introduit 28 STL accidentellement en Méditerranée la Caulerpa La température T (en °C) d’une tasse de café que taxifolia, dite « algue tueuse ». Celle-ci prolifère l’on laisse refroidir après l’avoir sortie d’un four rapidement, détruisant la flore et la faune locales. à micro-ondes diminue en fonction du temps t La superficie occupée par cette algue est donnée (en minute) suivant la formule : (en m2) par la fonction f définie sur [ 0 ; 12] par : T ( t ) = 21+ 65 × 0,9 t . f ( t ) = 4,198 t où t représente le temps écoulé (en 1. Quelle est la température du café à sa sortie du année) depuis le 1er juillet 1984. four, puis au bout de 5 minutes ? 1. Donner, dans des unités appropriées, la superfi2. Combien de temps doit attendre une personne cie occupée par l’algue tueuse le 1er juillet 1984 ; qui aime boire son café à 55 °C ? er er le 1 juillet 1996 ; le 1 janvier 1991. 3. Quelle semble être la température de la pièce ? 2. À quelle date la superficie occupée a-t-elle atteint un hectare ? 29 1. Compléter les tableaux de valeurs suivants. 3. Ce modèle peut-il être encore valable en 2021 ? Justifier votre réponse. x −0,5 −0,25 0,25 0,5 ax
27
0,25
ST2S
…
2
…
SP ÉC
IM EN
L’évolution d’une tumeur cancéreuse comporte x −2,6 0 2,6 une phase de croissance exponentielle. Sa vitesse x … … 8 192 b d’évolution est représentée par le temps de doublement du nombre de cellules de la tumeur. Elle 2. Déterminer les réels a et b à l’aide d’un outil dépend du type de cancer et du patient. La tumeur numérique. est détectable à partir de 1 g, elle contient alors 109 cellules et on considère que le cancer est irré- 30 Au 1er juillet 2019, la population mondiale était de versible lorsque la tumeur dépasse 1 kg. 7,7 milliards. On admet qu’elle augmente à un Dans le cas d’un cancer du sein, on suppose que le taux annuel de 1,1 % et on la modélise par une nombre de cellules cancéreuses est donné par la suite en notant un la population mondiale n années t après le 1er juillet 2019 pour tout entier naturel n. fonction f définie sur [ 0 ; +∞[ par f ( t ) = 2 90 où t Ainsi : u0 = 7,7. représente le temps écoulé (en jour) depuis l’apparition de la première cellule cancéreuse. 1.a. Déterminer le nombre de cellules cancéreuses au bout de 720 jours, puis au bout de 5 ans. b. Quel est le temps de doublement de cette tumeur ?
1. Quelle est la nature de la suite u ? Exprimer un en fonction de n pour tout entier naturel n. On prolonge la suite u en une fonction définie sur ℝ par : f ( t ) = ka t .
2. Python On utilise une fonction Python pour déterminer à quel moment le cancer est détectable. Tester en environnement Python avec le fichier C02_Ex.27.
3. Calculer, selon ce modèle, la population mondiale au 1er juillet 1990, puis au 1er janvier 2011.
a. Que représente la variable tdt dans cette fonction ? b. Comment modifier la fonction detectable pour qu’elle renvoie le nombre de jours à partir duquel le cancer est irréversible, une fois qu’il a été détecté ? 3. Déterminer par la méthode de votre choix après combien de jours le cancer est détectable, puis après combien de jours il devient irréversible.
2. Déterminer les valeurs de k et de a pour que f prenne les mêmes valeurs que la suite u sur ℕ.
4. Algo On propose t←0 d’utiliser un algoh ← 1 / 365 rithme pour calculer Tant que …………… : la date à laquelle la population mondiale t←t+h atteindra 10 milliards Fin Tant que d’habitants. a. Compléter la ligne « Tant que… ». b. Python Suite à l’exécution en Python de cet algorithme, la valeur de t est égale à : 23.893150684927186. À quelle date correspond cette valeur ? 2 • Fonctions exponentielles
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Exercices
37 Résoudre sur ℝ les inéquations : b. 1,4 5x+1 < 1,4 16 a. 0,683x ! 0,68 6
Entraînement
⎛ 6⎞ c. ⎝ ⎠ 7
2 Sens de variation
et représentation graphique
31 On a représenté une fonction f du type x ! ka x. Déterminer les valeurs de k et de a par lecture graphique.
−4 x
6 −8 !⎛ ⎞ ⎝ 7⎠
−x
3 2 1 −2
2 1 0
⎛ 3⎞ >⎜ ⎝ 2 ⎟⎠
4
3
−1
3x+1
38 On a représenté ci-dessous les fonctions f et g définies par : f ( x ) = 2,9 x et g ( x ) = 0,35 x .
4
−2
⎛ 3⎞ d. ⎜ ⎝ 2 ⎟⎠
1
−1
0
1
2
3
1. Quelle est la courbe représentative de f ? Justifier ce choix.
2
2. Résoudre graphiquement l’équation : f ( x ) = 4. L’utilisation de la calculatrice graphique permet d’obtenir une solution approchée à 0,01 près. 3. Déterminer graphiquement l’ensemble des réels x tels que : f ( x ) ! 4 et g ( x ) ! 4.
Vrai ou faux ? Pour chaque proposition, déterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. 1. Pour tout réel x > 0, on a : 0,8 x > 1. 2. 0,50,8 < 0,6 0,8 . 39 La concentration en mmol.L−1 d’un produit lors 3. Si x ! 2, alors : 0,5 x ! 0,25. d’une réaction chimique est donnée en fonc4. Si x < −1, alors : 2 x < 0,5. tion du temps t en minutes par la formule c ( t ) = 50 × 0,82t . 33 Résoudre sur ℝ l’inéquation : 0,8 x > 0,83 . Méthode
SP ÉC
IM EN
32
Pour résoudre une inéquation du type a x > a b , on procède ainsi : (1) donner le sens de variation de la fonction x ! a x ; (2) utiliser le fait qu’une fonction croissante conserve le sens des inégalités et qu’une fonction décroissante change le sens des inégalités.
1. Déterminer la concentration initiale. 2. Quel est le sens de variation de la fonction c ? 3. Déterminer, à l’aide d’un outil numérique, le temps de demi-réaction, c’est-à-dire le temps au bout duquel la concentration du produit a diminué de moitié.
34 Soit la fonction f définie sur ℝ par : f ( x ) = 1,01x . 1. Quel est le sens de variation de f ? 2. Résoudre sur ℝ l’inéquation : 1,01x > 1,013,5. 35 Soit la fonction f définie sur ℝ par : f ( x ) = 0,33 x . 1. Quel est le sens de variation de f ? 2. Résoudre sur ℝ l’inéquation : 0,33 x ! 0,331,8 . 36 Soit la fonction f définie sur ℝ par : f ( x ) = 4 x . 1. Quel est le sens de variation de f ? 2. Calculer f (3,5). 3. En déduire les solutions sur ℝ de l’inéquation : 4 x ! 128.
40
STMG
L’offre o et la demande d pour un produit (en milliers d’unités) sont modélisées par deux fonctions du prix de vente x (en €). Pour tout x ∈[ 0 ; 10 ], on a : o ( x ) = 1,3 x − 1 et d ( x ) = 10 × 0,8 x . 1. Calculer o (2), d (2) et interpréter les résultats. 2. Déterminer le sens de variation des fonctions o et d.
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3. On donne leurs reprĂŠsentations graphiques. 12 10 đ?&#x2019;&#x17E;d 8 6 4 2 đ?&#x2019;&#x17E; o 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a. Donner, par lecture graphique, le montant de lâ&#x20AC;&#x2122;offre correspondant Ă un prix de vente de 5 â&#x201A;Ź. b. Utiliser ce graphique pour dĂŠterminer le prix dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquilibre, oĂš lâ&#x20AC;&#x2122;offre est ĂŠgale Ă la demande. 4. Reprendre la question 3.b avec la calculatrice graphique pour donner un rĂŠsultat au centime près. ST2S
IM EN
41
42 Le zircon contient deux variĂŠtĂŠs dâ&#x20AC;&#x2122;uranium qui se transforment en deux variĂŠtĂŠs de plomb avec le temps. Ainsi la proportion dâ&#x20AC;&#x2122;uranium 235 transformĂŠ en plomb 207 est donnĂŠe par la fonction f vĂŠrifiant : f ( t ) = 1â&#x2C6;&#x2019; 0,371 5t . Et la proportion dâ&#x20AC;&#x2122;uranium 238 transformĂŠ en plomb 206 est donnĂŠe par : g ( t ) = 1â&#x2C6;&#x2019; 0,857 2t . Le temps t est en milliards dâ&#x20AC;&#x2122;annĂŠes. En 1956, le gĂŠochimiste Clair Patterson a ĂŠtabli lâ&#x20AC;&#x2122;âge de la Terre en mesurant la proportion dâ&#x20AC;&#x2122;uranium transformĂŠ en plomb dans une mĂŠtĂŠorite. 50 % de lâ&#x20AC;&#x2122;uranium 238 et 98,84 % de lâ&#x20AC;&#x2122;uranium 235 sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠtaient transformĂŠs en plomb. 1. PrĂŠciser le sens de variation des fonctions f et g. 2. Calculer f ( 0,7 ) . Pourquoi dit-on que la demi-vie de lâ&#x20AC;&#x2122;uranium 235 est de 700 millions dâ&#x20AC;&#x2122;annĂŠes ? 3. Quel est, Ă 100 millions dâ&#x20AC;&#x2122;annĂŠes près, lâ&#x20AC;&#x2122;âge de la Terre ?
SP Ă&#x2030;C
On injecte Ă un patient une dose de 40 mg dâ&#x20AC;&#x2122;antiinflammatoire. On admet que la quantitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;antiinflammatoire (en mg) prĂŠsente dans le sang est donnĂŠe par la fonction q dĂŠfinie sur [ 0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ 3 PropriĂŠtĂŠs algĂŠbriques par : q ( t ) = 40 Ă&#x2014; 0,68 t oĂš t est le temps ĂŠcoulĂŠ (en des fonctions exponentielles heure) depuis lâ&#x20AC;&#x2122;injection. 1. Quel est le sens de variation de la fonction q ? 43 Vrai ou faux ? 2. On peut procĂŠder Ă une deuxième injection Pour chaque ĂŠgalitĂŠ ou phrase, dĂŠterminer si elle lorsque la quantitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;anti-inflammatoire dans le est vraie ou fausse. Justifier la rĂŠponse. sang devient infĂŠrieure Ă 2 mg. 1 6 â&#x17D;&#x203A; 1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x17D;&#x17E; On donne la reprĂŠsentation graphique de q ainsi a. 53 Ă&#x2014; 253 = 58 b. â&#x17D;&#x153; 5 2 Ă&#x2014; 5 3 â&#x17D;&#x; = 5 â&#x17D; â&#x17D;? 3 que la tangente T Ă sa courbe au point dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse 6. â&#x17D;&#x203A; t 3 Ă&#x2014; 1 â&#x17D;&#x17E; = t 3,8 c. â&#x17D;? t 2,2 â&#x17D; 60 d. Les fonctions f et g dĂŠfinies sur â&#x201E;? par : 5 f ( t ) = 2t Ă&#x2014; 21,5t et g ( t ) = (20,5t ) sont ĂŠgales. 40
20
0
44 Simplifier les expressions suivantes, puis calculer leurs valeurs. 2 8 â&#x2C6;&#x2019; 5 A = ( 0,3 0,4 ) ; B = 1,25 3 Ă&#x2014; 1,25 3
T
2
4
6
8
10 12 14
1 C=â&#x17D;&#x203A; â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;? 3â&#x17D;
â&#x2C6;&#x2019;
3 5
1 Ă&#x2014;â&#x17D;&#x203A; â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;? 3â&#x17D;
â&#x2C6;&#x2019;
2 5
;
7 0,4 D = 3,50,6 Ă&#x2014; â&#x17D;&#x203A; â&#x17D;&#x17E; â&#x17D;? 2â&#x17D;
a. Indiquer, avec la prĂŠcision permise par le gra45 Simplifier les expressions suivantes. phique, la quantitĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;anti-inflammatoire prĂŠsente 4 1,1 2 a 2,8 Ă&#x2014; ( b1,3 ) 3 â&#x17D;&#x203A; a â&#x17D;&#x17E; dans le sang au bout de 2 heures. A = ( a 2,1b ) Ă&#x2014; â&#x17D;&#x153; 0,2 â&#x17D;&#x; ; B = â&#x17D;?b â&#x17D; ( a1,1b2,2 )2 b. Au bout de combien de temps peut-on procĂŠ2 2 der Ă une deuxième injection ? C = ( a 0,8 + b 0,2 ) + ( a 0,8 â&#x2C6;&#x2019; b 0,2 ) 3. Reprendre les deux questions prĂŠcĂŠdentes 46 Soit la fonction f dĂŠfinie sur [ 0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ par : en utilisant la calculatrice graphique. f ( x ) = x 3,5 â&#x2C6;&#x2019; x 2,5. 4. DĂŠterminer, avec la prĂŠcision permise par le 1. Montrer que : f ( x ) = x 2,5 ( x â&#x2C6;&#x2019; 1). graphique, le coefficient directeur de la tangente T et interprĂŠter ce rĂŠsultat. 2. En dĂŠduire le tableau de signe de la fonction f. 2 â&#x20AC;˘ Fonctions exponentielles
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Exercices
4 Application au calcul du taux moyen
Entraînement
54 47 Résoudre sur ]0 ; +∞[ l’équation x 0,2 = 2. Méthode
Pour résoudre cette équation sur ]0 ; +∞[ , on procède ainsi : (1) chercher un entier n tel que 0,2 × n = 1, 1 ce qui revient à n = ; 0,2 (2) élever les deux membres à la puissance n n et utiliser ( x a ) = x na .
48 Résoudre sur ]0 ; +∞[ les équations suivantes. a. x 0,25 = 4 b. x 0,1 = 3 d.
55 Un placement financier rapporte 1,25 % par an. Quel est son rendement mensuel à 0,01 % près ? 56
= 10
49 Résoudre sur ]0 ; +∞[ les équations suivantes. a. x −0,2 = 3
b. x
c. x −0,25 = 5
d.
−
1 6
1 − x 4
=2 = 1,5
c.
!3
d.
2 x3
<4
51 Compléter le tableau de valeurs sans calculer la valeur de a. Les résultats seront donnés à 10−4 près. x
−2
ax
…
57
SP ÉC
50 Résoudre sur ]0 ; +∞[ les inéquations suivantes. a. x 0,5 < 5 b. x 0,2 ! 2 1 x5
ST2S
Les dépenses courantes de santé de la Sécurité sociale s’élevaient à 181 424 millions d’euros en 2012 et à 202 404 millions d’euros en 2017 (source : Direction de la recherche, des études de l’évaluation et des statistiques ou DREES). 1. Calculer le taux d’évolution de ces dépenses de 2012 à 2017 à 0,01 % près. 2. Déterminer le taux d’augmentation annuel moyen correspondant à 0,01 % près.
IM EN
c. x 0,5 = 2,5
1 x3
Vrai ou faux ? Pour chaque proposition, déterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. 1. Une hausse de 10 % suivie d’une hausse de 50 % est équivalente à deux hausses de 30 %. 2. Quatre hausses de 5 % valent mieux qu’une hausse de 20 %. 3. Un taux annuel de 6,2 % est similaire à un taux mensuel de 0,5 %.
0
2
3
4
5
…
1,44
1,728
…
…
STMG
En mars 2015, on comptait 5 948,1 milliers de chômeurs en France métropolitaine et en mars 2019, ce nombre avait augmenté pour atteindre 6 562,1 milliers (source : Pôle emploi). 1. Calculer le taux d’évolution du chômage sur cette période à 0,1 % près. 2. En déduire le taux d’évolution annuel moyen à 0,1 % près.
52 Soit x un réel positif. 1. Calculer 160,5.
58 Le nombre d’adhérentes à un club de basket a aug2 2. Simplifier ( x 0,5 ) . menté lors des trois der3. Proposer une autre écriture de x 0,5 . nières années de 2,5 %, puis de 4,1 %, et enfin de 3,8 %. Calculer le taux 53 On modélise l’évolution de la population de la d’évolution annuel moyen. ville de Nohouaire depuis 2010 par la fonction p, x
avec : p ( x ) = 12 × 218 . p ( x ) est la population en milliers d’habitants en (2010 + x ) . 1. Quelle était la population en 2010 et en 2020 ? 2. En quelle année, selon ce modèle, la population dépassera-t-elle 20 000 habitants ? 3. Montrer que : p ( x + 18 ) = 2 × p ( x ). Interpréter ce résultat.
Méthode
Pour calculer un taux moyen, on procède ainsi : (1) calculer les coefficients multiplicateurs pour chaque année, puis le coefficient multiplicateur global CM sur la période (ici, 3 ans) ; (2) résoudre x 3 = CM pour trouver le coefficient multiplicateur annuel ; (3) en déduire le taux moyen.
54
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59 1. Une action baisse de 20 % une année, puis de 80 % l’année suivante. Quel est le pourcentage de baisse annuel moyen ? 2. Quel est le taux d’évolution moyen correspondant à une hausse de 60 %, suivie d’une baisse de 60 % ?
On applique la fonction ci-dessous à la liste [3.6, 3, −1, 5.9].
60 Compléter le tableau indiquant le taux moyen tM correspondant à n évolutions successives aux taux indiqués (t1, t2…). n
t1
t2
t3
t4
tM
−2 %
+0,9 %
4
+5 %
−3 %
+4 %
3
+8 %
−10 %
+6 %
Tester en environnement Python avec le fichier C02_Ex.63. 1. Que contient la liste cm ? 2. Quelle est la valeur de p à la dernière ligne ? 3. Donner et interpréter le résultat renvoyé par la fonction.
…
2
+6 %
+4 %
4
+12 %
−15 %
+6 %
+9 %
…
4
−2 %
−6 %
+4 %
−1 %
…
3
+50 %
−35 %
+50 %
…
+8 %
+5 %
…
+15 %
−9 %
+6 %
…
+2,9 %
Date
−0,9 %
CAC 40 −9,04 % +0,55 % −6,31 % −1,55 % −7,73 %
06/10
07/10
08/10
09/10
10/10
IM EN
3 4
…
64 Voici les variations quotidiennes du CAC 40 dans la semaine du lundi 6 au vendredi 10 octobre 2008.
SP ÉC
Les taux seront donnés à 0,01 % près. 61 Le 1er janvier 2019, on a placé 5 000 € sur un 1. Vérifier que le CAC 40 a perdu 22,16 % au compte avec un rendement annuel de 2 %. Les cours de cette semaine de 2008. intérêts produits sont calculés au moment du 2. Quel a été le pourcentage moyen de baisse retrait en tenant compte du nombre exact de quotidienne durant cette semaine de 2008 ? jours. La somme d’argent disponible au bout de 3. Lundi 13 octobre 2008, le CAC 40 est passé de x années est donnée par : s ( x ) = k × a x où k et a 3 176,49 à 3 531,50 points, signant ainsi la plus sont des réels à déterminer. forte hausse en une journée de son histoire. 1. Déterminer k et a. Calculer le pourcentage de hausse correspondant, 2. Quelle somme d’argent sera disponible le puis le taux moyen d’évolution par jour sur cette 8 avril 2019 ? Et le 15 novembre 2022 ? période de 6 jours. 3. Calculer le taux mensuel de ce placement à 0,01 %. 65 STMG Tableur 4. Calculer de deux façons différentes la somme Ouvrir le fichier tableur econd’argent disponible le 1er juillet 2019. Quel résulgen-taux-inflation issu du site tat est le plus fiable ? de l’Insee contenant les taux d’inflation en France et calculer l’inflation annuelle moyenne sur les dix 62 Maurice investit dans un produit financier rappordernières années et sur les dix années précédentes. tant 2,8 % annuellement. Commenter. 1. Son capital aura-t-il doublé en 20 ans ? 2. Au bout de combien de jours aura-t-il doublé ? 66 STMG Tableur Ouvrir le fichier tableur econ3. Quel taux annuel, à 0,01 % près, faudrait-il gen-part-pib-ue issu du site pour que le capital de Maurice double en 20 ans ? de l’Insee contenant le produit intérieur brut (PIB) des pays de la zone euro. 63 Python Le tableau suivant donne l’évolution de la 1. Calculer le taux d’évolution annuel moyen du température moyenne relevée à Paris en juillet PIB de la France et de l’Allemagne sur les cinq par rapport à la décennie précédente (source : dernières années. Commenter ces résultats. Infoclimat). 2.a. Étendre le calcul à tous les pays de la zone euro. Décennie 1980-1989 1990-1999 2000-2009 2010-2019 b. Quel est le pays dont l’économie s’est le plus +3,6 % +3 % −1 % +5,9 % Taux développée sur les cinq dernières années ? 2 • Fonctions exponentielles
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20/03/2020 12:44
Exercices
modéliser le nombre d’abonnés par une fonction f du type x ! ka x où x est le nombre d’années écoulées depuis le 1er septembre 2020. a. Modéliser Déterminer les valeurs de k et a. b. Raisonner Donner la valeur de f ( −2) sans utiliser de calculatrice. Modéliser Déterminer, selon ce modèle, le c. nombre d’abonnés prévu le 25 décembre 2020. d. Représenter Déterminer, à l’aide de la calculatrice graphique, à quelle date le nombre d’abonnés dépassera les 60 000 selon ce modèle.
Perfectionnement 67 L’invasion des lapins en Australie
Algo
69 Résolution numérique d’équation
Python
En langage Python, la fonction resoudre cidessous renvoie un encadrement de la solution de l’équation a x = b sur un intervalle [ x1 ; x2 ].
IM EN
En 1859, Thomas Austin, un fermier australien, lâche sur ses terres deux douzaines de lapins importés d’Angleterre. Les lapins, sans prédateurs naturels en Australie, se développent de manière exponentielle, leur population doublant tous les quatre mois causant une terrible crise agricole et écologique. On modélise le nombre de lapins par une fonction f définie sur [ 0 ; 7 ] par : f ( t ) = ka t où t est le nombre d’années écoulées depuis l’introduction des lapins. 1. Chercher • Modéliser a. Déterminer les valeurs de k et de a. Justifier. b. Déterminer le nombre de lapins un an après leur introduction, puis 6 ans et demi après.
SP ÉC
2. Raisonner • Calculer Tableur On utilise une feuille de calcul automatisé pour suivre cette modélisation mois par mois.
a. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C1, que l’on pourra recopier vers la droite, pour afficher les valeurs de t correspondant aux différents mois ? b. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule B2 et recopier vers la droite ? 3. Modéliser • Calculer Combien de mois après leur introduction la population de lapins dépassera-telle les 10 000 individus ? 68 Abonnement à un site Internet Un site Internet comptait 46 400 abonnés le 1er septembre 2018 et 51 156 abonnées le 1er septembre 2020. 1. Calculer Déterminer le taux de croissance annuel moyen du nombre d’abonnés de 2018 à 2020. 2. Le directeur du site suppose que la croissance va se poursuivre au même rythme et décide de
Tester en environnement Python avec le fichier C02_Ex.69.
1.a. Raisonner Pourquoi doit-on utiliser l’instruction « if a > 1: » ? b. Raisonner Lors d’un appel de cette fonction, on obtient :
Quelle équation souhaitait-on résoudre et sur quel intervalle ? 2. Chercher Quelle instruction appelant la fonction resoudre permet alors d’obtenir des résultats plus précis ? 3.a. Raisonner • Communiquer Décrire le fonctionnement de la fonction suivante.
b. Modifier la fonction resoudre afin qu’elle renvoie un encadrement de la solution de l’équation x a = b sur un intervalle [ x1 ; x2 ].
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70
Caffeine in the human body
a. Raisonner Justifier que la fonction f est croissante. b. Modéliser • Calculer Déterminer la concentration de bactéries dans la culture au bout de 2 h 30 de croissance exponentielle, puis à la fin de la phase de culture. 2. Après 24 h de culture, ayant détecté une infection au Staphylococcus aureus, on introduit un puissant antibiotique. On admet que la concentration de bactéries, en milliers de bactéries par mL, est alors modélisée par la fonction g définie sur [24 ; 42] par : g ( x ) = −1 613x 2 + 82 633x − 622 702. a. Raisonner • Calculer Étudier les variations de la fonction g. Au bout de combien de minutes après l’introduction de l’antibiotique la population de bactéries commence-t-elle à diminuer ? b. Modéliser • Raisonner L’antibiotique est jugé bien dosé s’il tue au moins 99 % des bactéries en 18 h. Cet antibiotique est-il bien dosé ? c. Représenter Représenter sur un graphique l’évolution de la population de bactéries durant les trois phases : latence ; croissance exponentielle ; élimination.
In English
The human body eliminates caffeine at a rate of 11% per hour. Therefore, the amount of caffeine in the body x hours after drinking a cup of coffee can be modelled by the function: c ( x ) = ka x .
73 Croissance d’une population
SP ÉC
71 Indonésie versus États-Unis
IM EN
1. Modéliser • Raisonner • Communiquer Find the values of k and a after someone drinks a cup of coffee containing 152 mg of caffeine. Explain your answer. 2. Calculer How much caffeine is left in the body two hours and a half after drinking the cup? 3. Représenter • Calculer Find the half-life of caffeine, meaning how long it takes to eliminate half of the caffeine. Give the result in hours and minutes.
En 2016, l’Indonésie compte 264 905 894 habitants et les États-Unis 327 163 096 habitants. Le taux de croissance annuel de la population indonésienne est de 1,3 % contre 0,8 % aux États-Unis. Chercher • Modéliser • Représenter • Raisonner • Calculer • Communiquer
Si ces croissances se maintiennent, en quelle année l’Indonésie aura-t-elle plus d’habitants que les États-Unis ?
Python
Une population de p0 habitants augmente à un taux annuel de 5 %. Une fois qu’elle a doublé, elle n’augmente plus qu’à un taux de 2 %. Modéliser • Représenter • Raisonner
Écrire une fonction Python telle que la commande population(p0, n) renvoie la population au bout de n jours.
74 À la conquête du Nouveau Monde D’un navire parvenu au Nouveau Monde débarquent 4 souris. Un an après, les souris, qui se reproduisent de manière exponentielle, sont 34.
72 Action d’un antibiotique On prélève du sang sur un patient souffrant d’une infection bactérienne. Les bactéries, trop petites, sont indétectables dans le sang et on les met en culture pendant 24 h. 1. On observe une phase de latence de 12 h pendant laquelle les bactéries s’adaptent au milieu, suivie d’une phase de croissance exponentielle de 12 h durant laquelle le nombre de bactéries par mL de sang est modélisé par une fonction f définie sur [12 ; 24 ] par : f ( x ) = 0,008 × 2,8 x .
Chercher • Modéliser • Raisonner • Calculer • Communiquer
Combien de souris seront présentes deux ans et demi après le débarquement ? 2 • Fonctions exponentielles
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Ateliers algorithmiques et numériques
ATELIER
1
Tableur
20 min
Évolution du SMIC
CAPACITÉ • Organiser une feuille de calcu
l
Dans le fichier tableur C02_Atelier1, ont été saisies les valeurs du taux d’inflation annuel et du taux d’évolution du SMIC par rapport à l’année précédente (source : Insee). Les cellules contenant des taux sont au format pourcentage. 1
Chercher • Communiquer
Que signifie « 1,52 % » dans la cellule B2 et « 2 % » dans la cellule C5 ? 2
Calculer
3
Calculer • Communiquer
IM EN
a. Quelle formule, que l’on pourra recopier vers la droite, faut-il saisir dans la cellule B3 pour déterminer le coefficient multiplicateur correspondant au taux donné dans la cellule B2 ? b. Quelles formules faut-il saisir dans les cellules C4 et E4 pour calculer le coefficient multiplicateur global, puis le taux moyen d’évolution du SMIC de 2010 à 2018 ? On utilisera le nombre d’années données dans la cellule J2. c. On recopie les formules des lignes 3 et 4 dans les lignes 6 et 7. Quelle formule obtient-on dans la cellule E7 ?
ATELIER
2
Python
SP ÉC
Quels résultats vont s’afficher dans les cellules E4 et E7 ? Commenter la réponse.
Évolution d’une concentration d’acide lors d’une réaction
30 min
CAPACITÉS • Écrire une fonction simple en Python • Interpréter un algorithme
Lors d’une réaction chimique, la concentration c d’acide dans une solution (en mmol.L−1) est donnée en fonction du temps t écoulé (en minute) par : c = 5 × 0,8 t . 1 2
Calculer
Calculer la concentration initiale d’acide.
Écrire une fonction Python telle que la commande c(t) renvoie la valeur de la concentration c à un instant t. Raisonner
3 La fonction ci-contre renvoie un temps t appelé temps de demiréaction. a. Chercher • Communiquer Observer cette fonction pour comprendre son fonctionnement, puis donner une définition du temps de demi-réaction. b. À l’oral Calculer • Représenter Déterminer ce temps de demi-réaction à la seconde près. Tester en environnement Python avec le fichier C02_Atelier2.
4
Calculer • Raisonner
On admet que la solution n’est plus dangereuse lorsque la concentration d’acide devient inférieure à 0,04 mol.L−1. a. Écrire une fonction permettant de déterminer, à 0,01 minute près, au bout de combien de temps la solution n’est plus dangereuse. b. Déterminer ce temps en minute et en seconde.
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ATELIER
3
Construction de la courbe représentative de la fonction x ! a x
55 min
CAPACITÉ • Intercaler entre 2 poin ts déjà construits un 3e point ayant pour abscisse (resp. pour ordonnée) la moyenne arithmétique (resp. géométrique) des abscisses (resp. des ordonnées) des deux points initiaux
On considère la suite ( un ) définie pour tout entier naturel n par : un = 2n . On note A n le point d’abscisse n. Ainsi A 0 ( 0 ; 1) représente u0. On s’appuie sur cette propriété pour intercaler des points dans la représentation graphique de la suite ( un ). Les questions 1 à 3 peuvent être traitées de différentes façons : papier, tableur, Python, géométrie dynamique.
Situation algorithmique
POINT MATHS Trois nombres sont les termes consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si celui du milieu est égal à la moyenne géométrique des deux autres. Chap. 1, p. 20
2
Représenter Représenter graphiquement les quatre premiers termes de la suite ( un ). Calculer • Représenter
IM EN
1
3
Python
4
SP ÉC
a. Construire entre A 0 et A1 le point A 0,5 ayant pour abscisse la moyenne arithmétique des abscisses de A 0 et de A1, et pour ordonnée la moyenne géométrique des ordonnées de A 0 et de A1. 1 1+ 2 b. Construire le point A1,5, situé entre A1 et A 2 , d’abscisse et 2 d’ordonnée u1 × u2 , puis construire A 2,5 suivant le même principe. c. Appliquer la même technique pour intercaler six nouveaux points : A 0,25, A 0,75 … A 2,75 . Calculer • Représenter
Pour chaque point construit A x de coordonnées ( x ; y ), placer un 1 point A − x de coordonnées ⎛ −x ; ⎞ . 2 ⎝ y⎠ Raisonner
1 Méthode Deux nombres positifs a et b ont pour moyenne a+b et pour arithmétique 2 moyenne géométrique ab .
2 Méthode On utilise : a − x =
1 . ax
a. Écrire en Python les fonctions moyenneArithmetique(a, b) et moyenneGeometrique(a, b) renvoyant les moyennes arithmétiques et géométriques de deux nombres a et b. b. Compléter dans les lignes de code ci-contre : • la ligne 9 où x représente l’abscisse d’un point à intercaler entre les points d’abscisses absc[i] et absc[i+1] ; • la ligne 12 où y représente l’ordonnée d’un point à intercaler entre les points d’ordonnées ordo[i] et ordo[i+1] ; • la ligne 19 où absc est la liste égale à [0, 1, 2, …, n] ; • la ligne 20 où ordo est la liste des valeurs de un correspondantes avec un = a n. 5
Raisonner • Communiquer
Expliquer pourquoi l’appel de trace(2) dans un interpréteur Python renvoie le schéma ci-contre.
Tester en environnement Python avec le fichier C02_Atelier3. 2 • Fonctions exponentielles
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59
20/03/2020 12:44
Être prêt
E3C
pour le BAC
Compétences mobilisées Exercices Chercher Modéliser Représenter Raisonner Calculer Communiquer 76 B.2.a B.1 A.4 A.3 et B.2 A.1 et A.2 B.2.c B
77 78
B.2
(à traiter sans calculatrice)
Première partie
Automatismes
75
Questions flash Q1. Calculer : (50,5 ) . 4
Q2. Calculer : 21,2 × 22,8. x2 Q3. Simplifier : 4,5 . x × x −6,5 Q4. Simplifier : ( t 1,25 ) × t −6. 4
Q5. Déterminer le sens de variation de la fonction définie sur ℝ par : x ! 0,2 × 1,02 x .
7 8 t t !− ×⎛ ⎞ . 5 ⎝ 5⎠ Q7. Résoudre l’équation : x 0,25 = 3. Q8. Résoudre l’équation : x 0,5 = 7.
SP ÉC
Q9. Quel est le taux global d’augmentation équivalent à deux hausses de 20 % ?
Q10. Quel est le taux d’évolution moyen correspondant à une hausse de 80 % suivie d’une baisse de 20 % ?
Seconde partie
B.1
A.3 et B.2
A
A.4 et B.2
A.1
A.2 et A.4
Partie B On s’intéresse à l’évolution de la quantité d’antigènes, d’une part, et de la quantité d’anticorps, d’autre part, présents dans le sang d’une personne infectée par des bactéries pathogènes, dans les jours qui suivent la contamination. On admet que : • la quantité d’antigènes présents dans le sang en UA (unité arbitraire) en fonction du temps (en jour) écoulé depuis la contamination est représentée par la fonction f, étudiée dans la partie A ; • la quantité d’anticorps dans le sang en UA en fonction du temps (en jour) écoulé depuis la contamination est représentée par la fonction g définie sur [3 ; 15] par : g ( x ) = 0,009 × 1,89 x .
IM EN
Q6. Déterminer le sens de variation de la fonction définie sur [ 0 ; +∞[ par :
A.1 et A.3
(calculatrice autorisée)
76 Dérivées & Fonctions exponentielles
Partie A On considère la fonction f définie sur l’intervalle [ 0 ; 15] par : f ( x ) = −0,16x 3 + 2,22x 2 − 3,784 8x + 30.
La personne est considérée comme guérie lorsque la quantité d’anticorps présents dans le sang est supérieure à la quantité d’antigènes présents dans le sang.
1.a. Quelles quantités d’antigènes et d’anticorps sont présentes dans le corps 6,5 jours après la contamination ? Arrondir à l’unité. b. Au bout de combien de temps la quantité d’antigènes est-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité en UA ?
2. Python On décide d’utiliser un programme Python pour déterminer le temps de guérison. a. Écrire les fonctions antigene(x) et anticorps(x) renvoyant les quantités d’antigènes et d’anticorps présentes dans le corps au bout de x jours. b. Compléter la fonction estgueri, qui détermine, par balayage, au bout de combien de jours la personne est guérie.
1. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer f ′ ( x ) pour tout réel x de l’intervalle [ 0 ; 15]. 2. Vérifier que : f ′ ( x ) = ( x − 8,3 ) ( −0,48x + 0,456 ) . 3. Étudier le signe de la dérivée f ′ puis les variations de f. 4. Donner le maximum de la fonction f sur [ 0 ; 15] (arrondi à l’unité) et la valeur pour laquelle il est atteint.
c. Quelle valeur peut-on prendre pour h afin de déterminer au bout de combien de temps, à une heure près, la personne sera considérée comme guérie ? Justifier ce choix. d. Déterminer le temps de guérison, à une heure près. D’après un sujet de bac.
60
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20/03/2020 12:44
1. Par lecture graphique, déterminer : a. le nombre d’objets connectés au bout de 4 ans et demi ; b. au bout de combien de temps le nombre d’objets connectés dépasse les 100 milliards. 2. Déterminer avec précision le mois au cours duquel le nombre d’objets connectés atteint 150 milliards.
77 Suites & Fonctions exponentielles Partie A
78 Pourcentages & Fonctions exponentielles Partie A Le tableau suivant, extrait d’une feuille automatisée de calcul, fournit le nombre d’abonnements à Internet en très haut débit, en France, du premier trimestre 2015 au premier trimestre 2017. La plage de cellules C3:E3 est au format pourcentage arrondi à l’unité. Tester sur tableur avec le fichier C02_Ex.78.
IM EN
En 2015, l’IDATE (Institut de l’audiovisuel et des télécommunications en Europe) estimait à 42 milliards le nombre d’objets connectés dans le monde avec une prévision de croissance de 14 % par an jusqu’en 2025. On considère la suite ( un ) où un modélise le nombre d’objets connectés (en milliards) au 1er décembre (2015 + n ), n désignant un entier naturel. On admet que u0 = 42 et que le nombre d’objets connectés augmente chaque année de 14 %.
SP ÉC
1. Calculer u1 et u2. Arrondir à 0,001. Interpréter ces deux résultats. 2. Justifier que la suite ( un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison. 3. Exprimer un en fonction de n. En déduire une estimation du nombre d’objets connectés en 2025. 4. Ce modèle peut-il être prolongé raisonnablement jusqu’en 2050 ? Justifier la réponse. Partie B Pour estimer à n’importe quel instant t le nombre de milliards d’objets connectés, on admet qu’on peut modéliser ce nombre par la fonction g définie sur [ 0 ; 10 ] par : g ( t ) = 42 × 1,14 t où t est le nombre d’années après le 1er décembre 2015. La courbe 140 représentative 130 120 de la fonction g 110 100 est donnée 90 ci-contre. 80 70 60 50 40 30 20 10 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1. Tableur Choisir, parmi les propositions suivantes, la formule à saisir dans la cellule C3 d’un tableur afin d’obtenir par recopie vers la droite les taux d’évolution annuels des abonnements à Internet très haut débit : =(C2–B2)/C2 =(C2–$B$2)/$B$2 =(C2–B2)/B2 =(B2–C2)/C2 2. Quelle est la valeur affichée dans la cellule E3 ? 3. Calculer à 0,1 % près le taux de croissance annuel moyen du nombre d’abonnements à internet en très haut débit du premier trimestre 2015 au premier trimestre 2018. Partie B On admet que le nombre d’abonnements, (en millions), en France à Internet très haut débit du 1er mars 2015 au 1er mars 2020, est modélisé par la fonction définie sur [ 0 ; 5] : f ( x ) = 3,56 × 1,282 x où x représente le nombre d’années écoulées depuis le 1er mars 2015.
1. Calculer, selon ce modèle, le nombre d’abonnements au 1er septembre 2018 au millier près. 2. À quelle date le nombre d’abonnements dépassera-t-il 10 millions ? D’après un sujet de bac. 2 • Fonctions exponentielles
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20/03/2020 12:44
Pour lâ&#x20AC;&#x2122;enseignant Diaporama
Se prĂŠparer matismes et rĂŠviser ses auto Questions ďŹ&#x201A;ash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes rĂŠponses. 1 Lâ&#x20AC;&#x2122;une des trois courbes reprĂŠsentĂŠes ci-dessous est la courbe reprĂŠsentative de la fonction x ! 10 x . Laquelle ? a. La rouge. b. La verte. c. La bleue. 4
3
3
1 â&#x2C6;&#x2019;3
â&#x2C6;&#x2019;2
â&#x2C6;&#x2019;1
0
1
2
3
IM EN
2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
SP Ă&#x2030;C
2 Dâ&#x20AC;&#x2122;après la reprĂŠsentation de la fonction f ci-contre, que peut-on conjecturer ? a. Lâ&#x20AC;&#x2122;image de 1 est 0. b. Lâ&#x20AC;&#x2122;antĂŠcĂŠdent de 10 est 1. c. Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation f ( x ) = 3 nâ&#x20AC;&#x2122;admet pas de solution. Automatismes D. 22, D. 23
3 102,5 = ? a. 10 2 + 10 0,5 c.
(
)
5 10 0,5
b. 10 0,5 Ă&#x2014; 10 5
Automatisme C. 11
4
â&#x2C6;&#x2019;1
0
103,2 =? 102,8 a. 10 6 b. 10 0,4
đ?&#x2019;&#x17E;f
1
c. 10 â&#x2C6;&#x2019;0,4
5 Un salariĂŠ est employĂŠ pour effectuer une tâche. Le premier mois, son employeur le paye 1 000 â&#x201A;Ź puis, chaque mois qui suit, il lâ&#x20AC;&#x2122;augmente de 1 %. a. Le troisième mois, il reçoit 1 020 â&#x201A;Ź. b. Le troisième mois, il reçoit 1 020,10 â&#x201A;Ź. c. En une annĂŠe, la somme versĂŠe par lâ&#x20AC;&#x2122;employeur augmente de 12 %. Automatisme B. 4
6 On place un capital de 10 000 â&#x201A;Ź Ă intĂŠrĂŞts composĂŠs. Le taux dâ&#x20AC;&#x2122;intĂŠrĂŞt mensuel est de 1 %. Comment peut-on calculer la somme capitalisĂŠe en fin de mois ? a. 10 000 Ă&#x2014; 1,01 b. 10 000 Ă&#x2014; 0,99 c. 10 000 Ă&#x2014; 0,01 62
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20/03/2020 12:44
Fonction logarithme décimal
SP ÉC
IM EN
Les distances entre les objets célestes ont différents ordres de grandeur. Comment représenter sur un même graphique Mars, le Soleil et la galaxie Andromède ?
s maths Dans l’histoire de
Et aujourd’hui ?
Les logarithmes ont de nombreuses appliJohn Napier (ou Neper), qui cations en acoustique, a développé les logarithmes au e pour visualiser les XVII siècle, est aussi connu pour cours de la bourse, en les bâtons de Neper, ancêtres des sismologie, astronomie, calculatrices. Sur les 10 premiers etc. Ils ont permis à l’arbâtons, on note les tables de tiste Pablo Carlos Budassi de multiplication (de 0 à 9). Les nombres représenter l’univers observable depuis notre sont inscrits dans un carré, le chiffre des système solaire sous la forme de la carte dizaines au-dessus de la diagonale et celui des unités au-dessous. e logarithmique ci-dessus. Sur le 11 bâton, sont inscrits les chiffres de 1 à 9. Pour calculer 263 × 6, on choisit les bâtons 2, 6 et 3, et on place le 63 11e bâtonnet à côté. On effectue alors l’opération : 263 × 6 = 1 578.
2 6 3 02 06 03 04 12 06 06 18 09 08 24 12 10 30 15 12 36 1 2+3 6+1 8 14 =5 42 =7 21 16 48 24 18 54 27
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x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
20/03/2020 12:44
Construire le cours Activité
1 Définition du logarithme décimal Prévoir l’évolution d’une population de bactéries Dans un laboratoire, 100 bactéries sont mises en culture. Leur population est multipliée par 10 toutes les heures. On modélise cette population par la fonction f définie sur ℝ par f ( x ) = 10 x où x s’exprime en heure et f ( x ) en centaine d’individus. 1
Représenter graphiquement la fonction f.
namique Géométrie dy
2 Résoudre graphiquement les équations suivantes et interpréter les réponses. b. f ( x ) = 10 c. f ( x ) = 0,1 a. f ( x ) = 1
Définitions • Soit b un nombre réel strictement positif. L’unique solution de l’équation 10 x = b, d’inconnue x, s’appelle le logarithme décimal de b, et se note log ( b ) . On a alors : x = log ( b ).
Propriétés • 10 x = b ⇔ x = log ( b)
3 b 2
IM EN
•
Automatisme D. 23
La fonction qui, à tout réel b > 0, associe l’unique solution de l’équation 10 x = b s’appelle la fonction logarithme décimal. Elle est notée log. log : ]0 ; +∞[ → ℝ b ! log ( b )
•
Pour tout réel b strictement positif : 10 log( b) = b.
•
log (10 ) = 1 et log (1) = 0.
1
y=
10 x −1
0
log(b) 2
SP ÉC
À retenir
3 a. Au bout de combien d’heures obtient-on 40 000 bactéries ? b. Peut-on obtenir, à des instants différents, 100 000 bactéries ?
Activité
2 Sens de variation de la fonction logarithme décimal Comparer des logarithmes décimaux 1
Comparer log ( a ) et log ( b ) dans les cas suivants. a. a = 0,01 et b = 0,1 b. a = 1 et b = 10 c. a = 100 et b = 10 000 À l’oral
mique
na Géométrie dy 2 a. • Représenter la fonction f définie sur ℝ par : f ( x ) = 10 x . Appelons Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal. • Créer un curseur b, prenant les valeurs 0,01 à 20 avec un incrément (pas) de 0,01. • Tracer la droite ( d ) d’équation y = b et construire A, le point d’intersection de Cf et ( d ). • Créer le point M de coordonnées ( b ; x A ) : saisir M = ( b, x ( A )), afficher sa trace et animer le curseur. b. Que pouvez-vous conjecturer pour les variations de la fonction log ?
À retenir
3 a. Supposons que 0 < b ⩽ 1. Que pouvez-vous en déduire pour log ( b ) ? b. Donner une condition sur b qui permet d’affirmer que log ( b ) > 0. Propriétés • La fonction log est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
1
y = log(x)
Démonstration dans l’ex. 21, p. 72
• • •
Pour tout réel x strictement positif et tout y réel : y = log ( x ) ⇔ 10 y = x. Pour tout x de ]0 ; 1[ , on a : log ( x ) < 0 et, pour tout x >1, on a : log ( x ) > 0. Pour tous x et y réels strictement positifs : log ( x ) = log ( y ) ⇔ x = y et log ( x ) < log ( y ) ⇔ x < y.
0 −1
1
2
3
4
−2
64
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Acquérir les méthodes EXERCICE RÉSOLU
1
Résoudre des équations du type 10 x = b où b est un réel strictement positif ou du type log( x ) = a avec a réel Résoudre les équations suivantes. b. 10 x = 0,02 c. log ( x ) = 5 a. 10 x = 2 On donnera la valeur exacte et, si besoin, une valeur approchée arrondie au millième. 1 Résolution
a. x = log (2) 2 ≈ 0,301 3 b. x = log ( 0,02) 2 ≈ −1,699 c. x = 105 4 EXERCICE RÉSOLU
1 Méthode Arrondir au millième signifie que l’on attend une valeur approchée avec 3 chiffres après la virgule.
2 Méthode Utiliser la définition de la fonction logarithme décimal : log ( b ) est l’unique réel x tel que 10 x = b.
3
2
3 Méthode La touche log de la calculatrice permet d’obtenir une valeur approchée du résultat.
IM EN
Résoudre une équation du type 10 t = b Une souche de la bactérie Escherichia coli voit sa population multipliée par 10 toutes les heures. On modélise cette évolution par la fonction p définie par p ( t ) = 10 t , où t est le temps (en heure). À t = 0, il y a une bactérie. Déterminer le temps nécessaire pour que la population atteigne les 500 individus. Donner le résultat en heure à 10 −2 près. Résolution
4 Méthode Utiliser la propriété : y = log ( x ) ⇔ 10 y = x .
SP ÉC
Résoudre p ( t ) = 500 ⇔ 10 t = 500 ⇔ t = log (500 ) 2 log (500 ) ≈ 2,70 3 La population de bactéries atteint les 500 individus au bout de 2,70 h. EXERCICE RÉSOLU
3
Résoudre des inéquations comportant des logarithmes décimaux Résoudre les inéquations suivantes. b. x log ( 0,99 ) ! 10 a. x log (5) ! 3 Résolution
3 a. x > log (5)
5
À votre tour !
10 b. x ⩾ log ( 0,99 )
5 Méthode Si x ∈ ]1; +∞[ : log ( x ) > 0.
6 Méthode Si x ∈ ]0 ; 1[ : log ( x ) < 0.
6
Voir aussi exercices 1 à 10, p. 70
1 Résoudre les équations suivantes. a. 3 × 10 x − 18 = 0 b. 2,5 log ( t ) + 10 = 0
c.
2 Résoudre les inéquations suivantes. a. x log (2,3 ) ! 5 b. t log ( 0,56 ) > −2,3
c.
2 =3 log ( x )
log ( x ) ⩾3 log ( 0,01) 3 Le niveau sonore (en décibel dB) émis par un TGV à pleine vitesse qui passe à une distance d (en m) est : L = 120 − 20 log ( d ). Sachant qu’on ne peut construire un hôpital à côté d’une ligne de TGV que si le bruit est inférieur à 60 dB, quelle est la distance minimale entre un hôpital et une ligne de TGV ? 3 • Fonction logarithme décimal
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Construire le cours Activité
3 Propriétés algébriques du logarithme décimal A. Calculer avec des logarithmes et des puissances de dix 1 a.
En utilisant votre calculatrice, compléter le tableau ci-dessous.
x log ( x )
100
1 000
10 000
106
0,01
10−3
10−7
…
…
…
…
…
…
…
b. Conjecturer une formule permettant de calculer directement log (10 n ) où n est un entier relatif. 2 a. Utiliser cette formule pour compléter le tableau ci-dessous. 100
1 000
0,01
109
10−5
100
10 000
10−5
106
0,001
10−3
log ( a ) + log ( b)
…
…
…
…
…
…
log ( a × b)
…
…
…
…
…
…
a
10
b
IM EN
Propriétés • Pour tout entier naturel n, on a : log (10 n ) = n. • Pour tout réel x, on a : log (10 x ) = x. Démonstration dans l’ex. 23, p. 72 • Propriété fondamentale des logarithmes Pour tous réels strictement positifs a et b, on a : log ( ab) = log ( a ) + log ( b).
SP ÉC
À retenir
b. Quelle nouvelle formule pouvez-vous conjecturer ? Cette formule s’appelle la propriété fondamentale des logarithmes.
Activité
Remarque : On dit que le logarithme transforme les produits en sommes.
B. Utiliser la propriété fondamentale pour découvrir d’autres propriétés 1 En utilisant la propriété fondamentale des logarithmes, exprimer en fonction de log ( a ), où a est un réel strictement positif, les quantités suivantes : a. log ( a 2 ) b. log ( a 3 ) c. log ( a 4 ) d. log ( a 5 ) Conjecturer une formule générale pour log ( a n ) où n est un entier naturel.
À retenir
1 2 Soit b un réel strictement positif. En remarquant que 1 = b × , déterminer une expression de b ⎛ 1⎞ log ⎝ ⎠ en fonction de log ( b ). Automatisme C. 10 b ⎛ a⎞ 3 En déduire une expression de log ⎝ b ⎠ en fonction de log ( a ) et log ( b ) où a et b sont deux réels strictement positifs. Propriétés a et b sont deux réels strictement positifs, n un entier naturel et x un réel. • log ( a n ) = n log ( a ) • log ( a x ) = x log ( a )
•
⎛ 1⎞ log ⎝ ⎠ = −log ( b ) b
•
⎛ a⎞ log ⎝ ⎠ = log ( a ) − log ( b ) b
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Acquérir les méthodes EXERCICE RÉSOLU
1
Transformer des expressions numériques en utilisant les propriétés algébriques du logarithme décimal Écrire A, B et C en n’utilisant que des combinaisons linéaires des nombres log (2) et log (3 ). A = log (16 ) ; B = log (1 024 ) ; C = log (72). Résolution
A = log (24 ) = 4 log (2) 1 B = log (210 ) = 10 log (2) EXERCICE RÉSOLU
2
C = log (32 × 23 ) 2 = log (32 ) + log (23 ) = 2 log (3 ) + 3 log (2)
Résolution
a. log ( x 0,2 ) = log (211 ) 3 0,2 log ( x ) = 11log (2) 1 log ( x ) = 55 log (2) log ( x ) = log (255 ) 1 x = 255 3
3
2 Méthode Pour a > 0 et b > 0, log ( ab) = log ( a ) + log ( b) .
b. log (2 x ) > log (3 ) 4 x log (2) > log (3 ) 1 log (3 ) x> log (2)
3 Méthode x = y ⇔ log ( x ) = log ( y)
4 Méthode Si 0 < x < y, alors log ( x ) < log ( y).
SP ÉC
EXERCICE RÉSOLU
• Pour a > 0 et n entier : log ( a n ) = n log ( a ). • Pour a > 0 et x réel : log ( a x ) = x log ( a ).
IM EN
Résoudre des équations du type x a = b et des inéquations du type a x < b Résoudre l’équation et l’inéquation suivantes : a. x 0,2 = 2 048 b. 2 x > 3
1 Méthode
Résoudre une inéquation du type a x > b En 2019, la population mondiale est estimée à 7,637 milliards d’habitants. Or, depuis les années 2000, elle augmente en moyenne de 1,4 % par an. Si cette évolution ne change pas, au cours de quelle année la population mondiale aura-t-elle doublé ? Résolution
Population en 2019 + n : 7,637 × 1,014 n Il suffit de résoudre : 7,637 × 1,014 n > 7,637 × 2. 1,014 n > 2 ⇔ n log (1,014 ) > log (2) 1 4 log (2) 5 ⇔ n> log (1,014 ) log (2) Or ≈ 49,86. log (1,014 ) Donc la population mondiale aura doublé en : 2019 + 50 = 2069.
À votre tour !
5 Méthode Pour tout x > 1 : log ( x ) > 0.
Voir aussi exercices 11 à 19, p. 71
1 Exprimer le plus simplement possible les nombres suivants. ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ a. log (25) − log (15) b. log (21) + 2 log (7 ) c. log ⎝ ⎠ + log ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ 3 x 2 a. Résoudre l’inéquation suivante : 2 < 10. b. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : 0,76 n ! 0,05. 3 Une voiture a été achetée 18 500 € et perd chaque année 20 % de sa valeur. Une voiture n’est plus cotée lorsque son prix est estimé à moins de 500 €. Au bout de combien d’années cette voiture ne sera plus cotée ? 3 • Fonction logarithme décimal
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Faire le point sur l’essentiel priétés Définitions et pro
Logarithme décimal : log
Variations
Théorème fondamental des logarithmes
La fonction log est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[
log(a) + log(b) = log(ab) où a > 0 et b > 0
Valeurs remarquables
log(b) est l’unique solution de 10 x = b (b > 0)
log(1) = 0 log(10) = 1
Conséquences
log(10n) = n
10 x = b ⇔ x = log(b)
Conséquence
log(x) < log(y) ⇔ x < y
SP ÉC
• 10log(x) = x • log(x) = log(y) ⇔x=y
IM EN
Définition
Capacités
Je suis capable de…
x C1 • Résoudre des équations, d’inconnue x, du type a = b
C2 • Résoudre des équations, d’inconnue x, du type
xa = b
C3 • Résoudre des inéquations, d’inconnue x, du type a x < b
a C4 • Résoudre des inéquations, d’inconnue x, du type x < b
s C5 • Utiliser le théorème fondamental des logarithme er form trans et les propriétés qui en découlent pour ales littér des expressions numériques ou
Conséquences 1 • log( ) = −log(b) b a • log( ) = log(a) − log(b) b • log(an) = n log(a) a > 0, b > 0 et n entier log(10 x ) = x
Je m’entraîne avec… EXERCICES RÉSOLUS
EXERCICE RÉSOLU
EXERCICES RÉSOLUS
À VOTRE TOUR
EXERCICES RÉSOLUS
1 et 2 p. 65 2, p. 67
1 et 2 p. 67
3, p. 67
3, p. 65 et 1, 3 p. 67
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Pour l’enseignant Diaporama
Réponses page 202
ion Auto-évaluat
Questions flash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses.
log (10 7,2 ) = ? a. 7,2 b. log (7,2) c. 10 7,2
1
2
3
L’équation 1,6 x = 1,03 a pour solution : ? log (1,03 ) log (1,6 ) c. a. 0,64375 b. log (1,6 ) log (1,03 )
⎛ a3 ⎞ log ( a ) + log ( b2 ) − log ⎝ −2 ⎠ = ? b 2 a. −log ( a ) b. log ( a 4 b4 )
⎛ a4 ⎞ c. log ⎝ 4 ⎠ b
IM EN
La figure 1 est représentée avec une échelle logarithmique en ordonnée, la figure 2 avec une échelle logarithmique en abscisse. Que peut-on affirmer sur les fonctions représentées ?
4
figure 2
figure 1
y
y 100
2
10
SP ÉC
1 0
1
1
0 1
2 x
10
100
x
a. La fonction représentée sur la figure 1 est x ! 10 x . b. La fonction représentée sur la figure 1 est x ! log ( x ). c. La fonction représentée sur la figure 2 est x ! log ( x ).
5
La fonction logarithme décimal est : a. croissante sur ]0 ; +∞[. b. positive sur ]0 ; +∞[. c. définie pour tout x ! 0.
Vrai ou faux ? Pour chaque proposition, déterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
1 Si des nombres sont en progression géométrique, alors leurs logarithmes sont en progression arithmétique.
3 Le nombre d’années nécessaires au doublement d’un
capital placé à intérêts composés au taux annuel de 10 % log (1,1) s’obtient avec : . log (2 )
2 Si on place un capital à intérêts
4 Dans un repère semi-logarithmique où l’échelle loga-
composés au taux annuel de 4,5 %, alors ce capital va doubler en 16 ans.
rithmique est en abscisse, si une fonction est représentée par une droite, alors son expression est de la forme a log ( x ) + b . 3 • Fonction logarithme décimal
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Ď&#x20AC;%Ď&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2C6;%
Exercices
Plus dâ&#x20AC;&#x2122;exercices sur https://calao.reussirenmaths.fr
Calculer le pH des liquides suivants. a. Un jus de citron dont la concentration en ions hydronium est de 0,005Â mol.Lâ&#x2C6;&#x2019;1. b. Du lait dont la concentration en ions hydronium est de 3,16Â Ă&#x2014;Â 10â&#x2C6;&#x2019;7Â mol.Lâ&#x2C6;&#x2019;1. c. Du sang humain dont la concentration en ions hydronium est de 4,42Â Ă&#x2014;Â 10â&#x2C6;&#x2019;8 mol.Lâ&#x2C6;&#x2019;1.
Ă&#x2030;chauďŹ&#x20AC;ement 1 DĂŠfinition du logarithme dĂŠcimal Automatismes
1
Questions ďŹ&#x201A;ash RĂŠsoudre les ĂŠquations suivantes. Q1. 10 x = 2 Q2. 10 x = 3,25 Q3. 10 x = 7,28 Q4. Proposer une ĂŠquation qui donne comme unique solution log (3 ).
2 Sens de variation de la fonction logarithme dĂŠcimal
Automatismes
6
Q1. Comparer les nombres suivants : log (102) et log (25). Q2. MĂŞme question avec log (256 ) et log (29 ). Q3. MĂŞme question avec log (103,6 ) et 3,7. Q4. MĂŞme question avec log ( 0,125) et log ( 0,26 ). Q5. ComplĂŠter : x ! 25 â&#x2021;&#x201D; log ( x ) â&#x20AC;Ś log (25).
4
7
SP Ă&#x2030;C
3 RĂŠsoudre les ĂŠquations suivantes. a. 4,5 Ă&#x2014; 10 x = 3 Ă&#x2014; 10 x + 1 b. 3,4 Ă&#x2014; 10 x = 5 Ă&#x2014; 102x c. 10 x + 4 Ă&#x2014; 10 x â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0
IM EN
Q5. Donner une valeur approchĂŠe au millième de log (5). 2 RĂŠsoudre les ĂŠquations suivantes. a. 5 Ă&#x2014; 10 x = 3,375 b. 3,2 + 2 Ă&#x2014; 10 x = 4,5 Ă&#x2014; 10 x c. â&#x2C6;&#x2019;17,3 + 10 x = 5 â&#x2C6;&#x2019; 3 Ă&#x2014; 10 x
Dans une calculatrice, on a implantĂŠ un programme LOG qui renvoie le logarithme dĂŠcimal de quatre valeurs. Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcran de la calculatrice est reproduit ci-dessous. Quelles sont les valeurs dont on a affichĂŠ le logarithme ? prgmLOG
1.079181246 0.6989700043 1.892094603 â&#x20AC;&#x201C;0.638272164 Fait
5 AbrĂŠviation du terme ÂŤ potentiel hydrogène Âť, le pH prĂŠcise si un milieu est acide, neutre ou basique. Lâ&#x20AC;&#x2122;aciditĂŠ dĂŠpend en effet de la concentration en ions hydronium H3O + qui se calcule en fonction du pH ainsi : + â&#x2C6;&#x2019;pH â&#x17D;Łâ&#x17D;ĄH3O â&#x17D;¤â&#x17D;Ś = 10 .
Questions ďŹ&#x201A;ash
Donner le signe des nombres suivants. â&#x17D;&#x203A; 7â&#x17D;&#x17E; b. log ( 0,25) c. log â&#x17D;? â&#x17D; a. log (2,5) 10
8
ComplĂŠter en utilisant le symbole > ou <. a. log (23 ) â&#x20AC;Ś log (102 ) b. log ( 0,125) â&#x20AC;Ś log (5 Ă&#x2014; 10 â&#x2C6;&#x2019;3 )
9
Ranger les nombres suivants dans lâ&#x20AC;&#x2122;ordre croissant : log (2,7 ) ; log ( 0,203 ) ; log (10 â&#x2C6;&#x2019;2 ) ; log ( 0,21) ; log ( 0,05) ; log (2,5 Ă&#x2014; 10 â&#x2C6;&#x2019;2 ).
10
Associer Ă chaque reprĂŠsentation graphique sa fonction. f1 ( x ) = x log (3,4 ) + 2 f2 ( x ) = x log ( 0,5) + 2 f3 ( x ) = x log (2,3 ) + 2 4
đ?&#x2019;&#x17E;3
3
đ?&#x2019;&#x17E;2
2 1 â&#x2C6;&#x2019;1 0
đ?&#x2019;&#x17E;1 1
2
3
4
5
70
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3 Propriétés algébriques
1. Quel est le nombre de bactéries au début de l’expérience ? 2. Compléter le tableau ci-dessous :
du logarithme décimal
Automatismes
11
Questions flash
Temps (en h)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Q1. Exprimer en fonction de log (2) et log (3 ) 27 les nombres : log ( 6 ) ; log (18 ) ; log ⎛ ⎞ . ⎝ 4⎠ Q2. Simplifier les expressions suivantes : log (10 ) ; log (10 000 ) ; log ( 0,001) ; log (10 −3 ) ; log (102 × 105 ) ; log ( 0,001× 0,1).
Nombre de bactéries (en million)
…
…
…
…
…
…
…
17 Lorsqu’on exprime le niveau d’intensité sonore L (en décibel, dB) en fonction de l’intensité sonore I (en W/m2), on obtient la caractéristique ci-dessous.
On place une somme de 2 000 € à intérêts composés au taux annuel de 5,5 %. Les trois affirmations sont-elles vraies ou fausses ? Q3. La somme disponible dans 5 ans est 2 000 × 1,055 × 5. Q4. Pour déterminer l’année à partir de laquelle la somme aura doublé, on peut résoudre : 1,055n = 2. Q5. La solution de l’équation précédente ⎛ 2 ⎞ est log ⎜ . ⎝ 1,055 ⎟⎠
IM EN
L niveau d’intensité sonore (en dB) 140 120 B 100 80 60 40 A 20 0 10−12 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 I intensité sonore (en W/m2)
13
SP ÉC
12 Exprimer en fonction de log (5) et log (3 ) les nombres suivants. ⎛ 5⎞ a. log (5 × 9 ) b. log ⎝ ⎠ c. log (53 ) 9 Simplifier les expressions suivantes. a. log (105 ) b. log (10 −9 ) ⎛ 103 ⎞ ⎛ 10 −2 ⎞ c. log ⎝ −2 ⎠ d. log ⎝ −2 ⎠ 10 10
1. L’un des axes est gradué avec une échelle logarithmique. Lequel ? 2. Lire les coordonnées de A et de B sur le graphique. 3. Le niveau d’intensité sonore L est-il une fonction affine de l’intensité sonore I ? 4. L’une des trois expressions ci-dessous caractérise le lien entre l’intensité sonore I et le niveau d’intensité sonore L. À l’aide des coordonnées de A et B, déterminer laquelle. a. L = 10 log ( I ) + 120 b. L = 8 000 I c. L = 10 log ( I )
14 Exprimer en fonction de log ( a ) et log ( b ) les nombres suivants. 18 Python On propose la fonc⎛ a2 ⎞ 3 −5 6 3 log ( a ) ; log ( a ) ; log ⎝ 3 ⎠ ; log ( a b ). tion Python ci-contre. b 1. Déterminer la valeur 15 Résoudre les équations. Donner la valeur exacte de exacte de somme(32). la solution puis une valeur approchée à 10 −2 près. 2. Comment utiliser la fonction somme pour 5 c. 5,5 x = 12 a. x 2,2 = 2 048 b. x 12 = 7,2 obtenir la plus petite valeur de n telle que somme(n) soit supérieure à 5 000 ? 16 Des chercheurs ont mesuré l’évolution d’une 3. Déterminer, par le calcul, la valeur de n correspopulation de bactéries en fonction du temps. pondante. Bactéries (en million) Tester en environnement Python 40 30 avec le fichier C03_Ex.18. 20
101
19 Déterminer le plus petit entier n qui vérifie chaque inégalité. a. 0,99 n ! 0,75 b. 2,3 n ! 5 000 n
100
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3 3,5 Temps (h)
⎛ 121 ⎞ c. 1− ⎝ ! 0,99 125 ⎠ 3 • Fonction logarithme décimal
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Exercices
2 Sens de variation de la fonction
Entraînement
logarithme décimal
1 Définition du logarithme décimal
a
1
2
3
4
5
6
7
p
…
…
…
…
…
…
…
IM EN
Propriétés du cours (2, p. 64) 21 Démonstration Démontrons que la fonction log est croissante sur ]0 ; +∞[. 20 La loi de Benford est largement utilisée pour détecter des fraudes fiscales, comptables, etc. Elle 1. Compléter la phrase suivante : repose sur la fréquence d’apparition des différents 10 x ! 10 y ⇔ ….. ⩽ ….. car ….. chiffres dans les valeurs numériques. Ainsi Benford 2. Déterminer la solution de : 10 x = a où a est un a constaté que, dans une liste de données statisréel strictement positif. tiques, le premier chiffre non nul est 1 dans plus 3. Soit a et b deux réels strictement positifs tels du tiers des observations. Puis le 2 est plus fréque a ⩽ b, démontrer que : log ( a ) ! log ( b ). quent que le 3, etc. La probabilité d’obtenir 9 n’est Que pouvez-vous en déduire pour la fonction log ? que de 0,046. De façon générale, la loi donne comme fréquence théorique p d’apparition du premier chiffre a d’un 22 La densité optique D d’un milieu est donnée par : D = −log T , où T désigne le facteur de transmis1⎞ ⎛ nombre : p = log ⎝ 1+ ⎠ . sion du milieu (0 < T ⩽ 1). a On considère la fonction f définie sur ]0 ; 1] par : 1. Compléter le tableau afin de déterminer la fréf ( x ) = −log ( x ). quence (en %) d’apparition des différents chiffres non nuls en utilisant la loi de Benford. 1.a. Tracer la courbe représentative de f. 8
9
…
…
1er chiffre
2. Construire le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; 1].
SP ÉC
2. On veut savoir si la loi de Benford s’applique aussi avec certaines séquences de nombres particuliers. Dans la liste des 2 000 premières puissances de 2, on a compté le nombre de fois où chaque chiffre apparaît en premier.
b. Placer sur les axes du graphique les grandeurs D et T.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Nombre 602 354 248 194 160 602 354 248 194 d’apparitions
3. En utilisant la courbe, déterminer : a. la densité optique d’un milieu dont le facteur de transmission est de 0,4 ; b. le facteur de transmission lorsque la densité optique est égale à 1. 4. Retrouver par le calcul les résultats de la question 3.
Est-ce que cette distribution des chiffres est compatible avec la loi de Benford ? 3. Pour aller plus loin Python On propose la fonction prem_chiffre ci-dessous.
3 Propriétés algébriques du logarithme décimal
Propriétés du cours (3, p. 66) 23 Démonstration Démontrons que, pour tous a et b réels strictement positifs, on a : log ( ab ) = log ( a ) + log ( b ).
a. Expliquer l’expression str(2**i). b. Expliquer l’expression int(res[0]). c. Que fait la deuxième boucle for ? d. Expliquer ce que fait cette fonction. e. Tester en environnement Python avec C03_Ex.20 et comparer le résultat avec le tableau de la question 2.
1. Compléter l’égalité ci-dessous : 10 x × 10 y = … 2. Déterminer la solution de 10 x = a où a est un réel strictement positif. 3. Déterminer deux expressions pour 10log( a ) × 10log( b ). 4. En déduire le théorème fondamental des logarithmes.
72
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đ?&#x2019;&#x17E;1
2
đ?&#x2019;&#x17E;4
0 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;4
SP Ă&#x2030;C
4
IM EN
24 Ă&#x2030;crire sous la forme log ( A ), oĂš A est un nombre 29 Soit f la fonction dĂŠfinie sur ]0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ par : rĂŠel que lâ&#x20AC;&#x2122;on prĂŠcisera, les nombres suivants : f ( x ) = log (1+ 10 x ). a. log (2) + log (7 ) â&#x2C6;&#x2019; log (5) 1. ComplĂŠter le tableau de valeurs ci-dessous : b. log (3 ) â&#x2C6;&#x2019; 2 log (5) x 0 0,5 1 2 5 10 15 20 c. log (3 ) + log (7 ) d. 3 log (7 ) â&#x2C6;&#x2019; 7 log (3 ) â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś f ( x) â&#x20AC;Ś e. log (12) â&#x2C6;&#x2019; log ( 4 ) + 2 log (3 ) 2. ReprĂŠsenter la fonction f. 25 Ă&#x2030;crire sous la forme log ( A ), oĂš A est un nombre 3. Par quelle fonction peut-on donner une rĂŠel que lâ&#x20AC;&#x2122;on prĂŠcisera, les nombres suivants avec a approximation de f ? et b deux nombres rĂŠels strictement positifs. 4. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle sur lequel lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcart entre a. log ( a ) â&#x2C6;&#x2019; 2 log ( b ) les deux fonctions est infĂŠrieur Ă 10 â&#x2C6;&#x2019;2 . b. log ( a ) â&#x2C6;&#x2019; log ( a 2b ) + 2 log ( b ) c. 3 log ( b ) â&#x2C6;&#x2019; 2 log ( a ) + 5 log ( ab ) 30 1. Un premier capital de 6 000 â&#x201A;Ź est placĂŠ Ă intĂŠrĂŞts composĂŠs au taux de 9 %. 26 ( un ) est une suite gĂŠomĂŠtrique de premier terme Au bout de combien dâ&#x20AC;&#x2122;annĂŠes ce capital aura-t-il u0 et de raison q. On sait que 32u6 = 243u11. doublĂŠÂ ? TriplĂŠÂ ? DĂŠterminer la valeur de q. 2. Un capital de 9 000 â&#x201A;Ź est placĂŠ le mĂŞme jour au taux de 6 %. 27 Soit les fonctions f, g, h et k dĂŠfinies sur ]0 ; 10 ] par : Au bout de combien dâ&#x20AC;&#x2122;annĂŠes la valeur du premier f ( x ) = log ( x ) ; g ( x ) = log (10 Ă&#x2014; x )  ; capital aura-t-elle dĂŠpassĂŠ le second ? h ( x ) = log (1 000 Ă&#x2014; x )  ; k ( x ) = log ( 0,01Ă&#x2014; x ). 1. On a tracĂŠ la courbe reprĂŠsentative des quatre 31 STMG fonctions. Associer chaque courbe Ă sa fonction. La production dâ&#x20AC;&#x2122;une entreprise diminue de 6 %
đ?&#x2019;&#x17E;3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 đ?&#x2019;&#x17E;2
2. Quelle transformation gĂŠomĂŠtrique associe la courbe reprĂŠsentative de la fonction f Ă chacune des reprĂŠsentations graphiques des fonctions g, h et k ? 3. Donner lâ&#x20AC;&#x2122;expression algĂŠbrique de chacune des fonctions g, h et k en fonction de f ( x ). 28
On considère les fonctions f, g, h et i dĂŠfinies sur ]0 ; 10 ] par : f ( x ) = log ( x ) ; g ( x ) = log ( x 2 ) ; h ( x ) = log ( x 4 ) ; i ( x ) = log ( x â&#x2C6;&#x2019;1 ). 1. Dans un mĂŞme repère orthogonal, tracer les reprĂŠsentations graphiques de ces diffĂŠrentes fonctions. UnitĂŠs : 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnĂŠe. 2. Donner lâ&#x20AC;&#x2122;expression algĂŠbrique de chacune des fonctions g, h et i en fonction de f ( x ).
32
par an. En combien dâ&#x20AC;&#x2122;annĂŠes sera-t-elle divisĂŠe par 2Â ?
Harpagon a placĂŠ une somme de 24 000 â&#x201A;Ź, Ă intĂŠrĂŞts composĂŠs au taux annuel de 3,5 %. Quelque temps après, il dĂŠcide de clĂ´turer ce compte alors que le solde est de 40 208,37 â&#x201A;Ź. Le but de lâ&#x20AC;&#x2122;exercice est de dĂŠterminer le nombre dâ&#x20AC;&#x2122;annĂŠes dâ&#x20AC;&#x2122;existence du compte. Python
1. ComplĂŠter lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme incomplet ci-dessous afin quâ&#x20AC;&#x2122;il rĂŠponde au problème. S â&#x2020;? 24000 Nâ&#x2020;?0 Tant que â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś. S â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś. â&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Śâ&#x20AC;Ś.. Fin Tant que 2. DĂŠterminer le nombre dâ&#x20AC;&#x2122;annĂŠes dâ&#x20AC;&#x2122;existence du compte. 3. Traduire lâ&#x20AC;&#x2122;algorithme en langage Python et lâ&#x20AC;&#x2122;implanter dans un ĂŠditeur Python. Comparer le rĂŠsultat obtenu avec celui de la question 2. 3 â&#x20AC;˘ Fonction logarithme dĂŠcimal
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Exercices
3. Déterminer le taux par quinzaine équivalent à un taux annuel de 10 %.
Entraînement Pour les exercices où le nombre d’annuité n’est pas un entier, on utilise la définition suivante : une année commerciale est une année de 360 jours, ou de 12 mois de chacun 30 jours, ou de 24 quinzaines de jours. 33
36
STMG
Un capital de 15 500 € est placé à intérêts composés pendant 4 ans et demi. Un deuxième capital de 16 480 € est lui aussi placé à intérêts composés durant 5 ans et 3 mois au taux annuel de 6 %. Quel doit être le taux de placement du premier capital pour que les capitaux en fin de placement soient identiques ?
STMG
à savoir
IM EN
On place un capital de 10 000 € à intérêts composés au taux annuel de 0,8 %. 37 STMG 1. Déterminer le capital acquis après 3 années. Un capital d’un même montant est placé à inté2. Montrer que le capital acquis après le 1er mois rêts composés sur deux comptes différents : est de 10 006,64 €. • le compte A est rémunéré à 6,5 % par an, le capital y est placé pendant 4 ans et demi ; Méthode le capital reste sur le compte B pendant 5 ans • Si un capital C augmente de t par an, alors le capital n et 9 mois. t ⎞ ⎛ obtenu après n années est : C ( n ) = C × ⎝ 1+ . 100 ⎠ Déterminer le taux d’intérêt annuel du compte B chap. 1 (suites numériques), p. 27 pour que les capitaux en fin de placement soient identiques. Arrondir à 10 −2 près. Pour un seul mois, il faut prendre une fraction d’année, 1 . Le capital à la fin du premier mois est : 12 1/12 t ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ C ⎜ ⎟ = C × ⎝ 1+ . ⎝ 12 ⎠ 100 ⎠
38
STMG
SP ÉC
3. Quel est le capital acquis après 5 ans et 4 mois ?
34 On place un capital de 12 000 € à intérêts composés au taux annuel de 5 %. 1. Déterminer le capital acquis au bout de 6 ans 5 mois et quinze jours. Méthode
Dans une année commerciale, il y a 360 jours.
Un capital de 15 500 € est placé à intérêts composés, au taux annuel de 1,2 %. Quelle doit être la durée du placement (exprimée en années, mois et jours) pour que le capital final soit de 21 049,94 € ?
2. En déduire les intérêts acquis pendant cette 39 Le livret A est un placement dont le taux de rémunération est fixé par l’État. Jusqu’au 31/12/2020, période. ce taux s’élève à 0,75 %. 3. On a acquis 2 205,64 € d’intérêts. Pendant Les intérêts sont calculés par périodes pleines de combien de temps le capital est-il resté placé ? 15 jours et déterminés de manière automatique par l’établissement bancaire le 31 décembre de 35 STMG chaque année. Un capital d’un même montant est placé à intéLe 1er janvier 2019, un livret A contient 18 250 €. Par rêts composés sur deux comptes différents : la suite, on ne dépose plus d’argent sur ce compte. • le compte A avec un taux d’intérêt annuel de t % ; 1. Quelle somme sera disponible le 1er janvier • le compte B avec un taux mensuel de t ′ %. 2022, puis le 15 juillet 2025 ? Le capital au bout d’une année est le même sur les 2. On suppose que la somme reste sur le livret A, deux comptes. sans retrait ni apport extérieur. Donner la date à 12 1. Prouver que 1+ t = (1+ t ′ ) . partir de laquelle le solde disponible dépassera 2. Déterminer le taux mensuel équivalent à un 22 950 €, sous réserve que le taux de rémunérataux annuel de 8,5 % (arrondir à 10 −3 près). tion reste inchangé à 0,75 %. 74
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Python
Une balle rebondissante tombe d’une hauteur de 150 m. La hauteur atteinte par la balle diminue de 30 % à chaque rebond.
1. Pour une photo numérique sous-exposée, seules 128 intensités lumineuses peuvent être captées. À combien de stops cela correspond-il ?
1. Déterminer la hauteur du troisième rebond de cette balle.
2. Un fichier RAW a une précision de 10 bits. Quel est le nombre de stops correspondants ?
2. Au bout de combien de rebonds la hauteur du rebond de la balle est-elle de 4 m ?
3. Une caméra vidéo standard a une dynamique d’image de 5,5 stops. Combien d’intensités lumineuses différentes capte-t-elle ?
3.a. On considère que la balle est immobile dès que la hauteur du rebond est inférieure à 1 mm. Au bout de combien de rebonds la balle est-elle considérée comme immobile ? b. Déterminer la distance totale parcourue par la balle avant d’être considérée comme immobile.
4. Les écrans de télévision de dernière génération ont une dynamique d’image de 16 stops. Combien d’intensités lumineuses différentes peuvent-ils afficher ? 5. Le nombre d’intensités lumineuses du monde réel est de l’ordre de 100 000 000. À combien de stops cela correspond-il ?
SP ÉC
IM EN
4. On veut déterminer le nombre de rebonds effectués par la balle avant d’avoir atteint un trajet total de d mètres, d étant inférieur à la distance obtenue en 3.b. 42 N est un entier naturel non nul. On propose la fonction trajet ci-dessous. Le but de l’exercice est de trouver une méthode permettant de déterminer le nombre de chiffres de son écriture décimale.
a. Compléter le script. b. Prévoir ce que va retourner la commande : trajet(495). Tester en environnement Python avec le fichier C03_Ex.40.
41
La dynamique d’une image est la capacité d’une image numérique à restituer les échelles d’intensités lumineuses du monde réel. On exprime souvent la dynamique en utilisant les stops. En imagerie numérique, le pixel le plus sombre (noir) correspond à 0 et le pixel le plus clair (blanc) correspond à 255. Il existe ainsi 256 intensités lumineuses, ce qui se traduit en unités informatiques par 8 bits de précisions (256 = 28 ). Le nombre de stops est : log (256 ) = 8. log (2)
1. N = 10 203 a. Encadrer N entre deux puissances de 10 consécutives. En déduire un encadrement de log ( N ) entre deux entiers consécutifs. b. En déduire la valeur arrondie par excès à l’unité près de log ( N ) . Comparer ce résultat avec le nombre de chiffres de N. Rappel
C’est une valeur approchée d’un nombre, supérieure à celui-ci, la plus proche possible et avec la précision demandée.
2. N possède 23 chiffres. a. Encadrer N entre deux puissances de 10 consécutives. En déduire un encadrement de log ( N ) entre deux entiers consécutifs. b. Donner la valeur arrondie par excès à l’unité près de log ( N ) . Quelle valeur retrouve-t-on ? 3. Déduire des questions précédentes une méthode pour déterminer le nombre de chiffres de chaque entier naturel non nul lorsque celui-ci est donné sous une forme décimale. 4. Utiliser la méthode précédente pour déterminer le nombre de chiffres des entiers suivants : a. 749 ; b. 5658 ; c. 2 0192 020. 5. Le plus grand nombre premier connu à ce jour est un nombre de Mersenne qui s’écrit : 282 589 933 − 1. Combien possède-t-il de chiffres ? 3 • Fonction logarithme décimal
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Exercices
44 On souhaite créer un algorithme qui permette de déterminer à 0,01 près le plus petit réel x tel que : 10 x ! 32,27. Pour cela, on propose les algorithmes ci-dessous. 43 Soit x un réel strictement positif. Le but de l’exercice est de déterminer un ordre de grandeur de x. 1. x = 23,54 et y = 569,47. a. L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. Ainsi ou l’ordre de grandeur de 3 × 103 est 103, celui de 6 × 103 est 104 et celui de 5 × 107 est 108. Donner l’ordre de grandeur de x et y.
Entraînement
b. À l’aide de la calculatrice, déterminer log ( x ) . Conjecturer un lien entre log ( x ) et l’ordre de grandeur de x. Vérifier votre conjecture avec y. 2. x = 5,4517.
IM EN
À l’aide de la calculatrice, déterminer a. l’ordre de grandeur de x et log ( x ) . b. La conjecture émise à la question 1 est-elle vraie ? 3. Supposons que x soit écrit en notation scientifique : x = a × 10 n où a ∈[1; 10[ et n est un entier relatif. a. Donner l’ordre de grandeur de x en fonction de la valeur de a.
ou
1. Parmi les algorithmes proposés, déterminer celui qui permet de répondre à la question lorsqu’on demande d’afficher x.
2. Résoudre algébriquement l’inéquation 10 x ! 32,27 sans avoir recours à un algorithme.
SP ÉC
b. Python Afin de déterminer l’ordre de grandeur 45 Charles Francis Richter, sismologue américain d’un réel strictement positif, on propose la fonc(1900-1985), créa en 1935 une échelle afin de tion grandeur ci-dessous. classer les séismes. Ceux-ci y sont classés selon leur magnitude M. Depuis, d’autres échelles ont été créées avec différents types de magnitudes. Ici, on considère la magnitude liée à l’énergie. L’énergie E (en joule, J) libérée lors d’un séisme de magnitude M est : log ( E ) = 4,5 + 1,5M . Expliquer la ligne 5. Aide
En Python, log 10 est la fonction logarithme décimal, on peut aussi noter log ( x, 10 ) . int permet de tronquer (couper) la valeur d’un nombre à l’unité.
4. En déduire une méthode mettant en lien l’ordre de grandeur d’un réel strictement positif et son logarithme décimal. 5. En déduire l’ordre de grandeur des deux nombres suivants. a. 2,26102 b. 365,2562 019 Télécharger le fichier C03_Ex.43 pour tester en environnement Python.
1. a. Déterminer l’énergie libérée par le séisme de Sumatra (Indonésie), le 24/12/2004, sachant que sa magnitude est de 9,3.
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c. Déterminer la valeur de log (21× 76 ) et montrer que 21 × 76 = 103,20303. d. Pour finaliser le calcul, on cherche le réel de [1; 10[ ayant pour mantisse 0,20303.
b. L’explosion de la bombe atomique Little Boy, lâchée sur Hiroshima le 6 août 1945, a dégagé une énergie de 6,3 × 1013 J. Exprimer l’énergie dégagée par le séisme de Sumatra en fonction de celle dégagée par Little Boy. 2. Classer les séismes ci-dessous, en fonction de l’énergie dégagée (du plus grand au plus petit). • Haïti, le 12/01/2010, séisme d’une magnitude de 7 ; • Montendre (près de Bordeaux), le 20/03/2019, séisme d’une énergie de 7,08 × 1011 J ; • Katmandou (Népal), le 25/04/2015, séisme 355 fois plus énergétique que Little Boy. 3. Compléter la phrase suivante : « Entre un séisme de magnitude 4 et un séisme de magnitude 8, l’énergie dégagée est multipliée par … ». Histoire des sciences
En groupe
En déduire la valeur de 21 × 76 et vérifier avec la calculatrice. 2. Reprendre la méthode précédente pour calculer 15 × 24. Pour conclure, on utilise l’extrait de la table cidessous.
IM EN
46
On trouve 1,596. D’où log (1,596 ) = 0,20303.
SP ÉC
Avant l’avènement des ordinateurs et des calculatrices, les élèves utilisaient des tables de logarithmes pour faire des calculs.
47
1. On veut calculer 21 × 76 en utilisant les tables de logarithmes. a. Donner l’écriture scientifique de 21 et de 76. b. Lorsqu’un réel x est noté sous forme scientifique : x = a × 10 n
où a ∈[1; 10[ et n entier relatif. On dit que log ( a ) est la mantisse et n la caractéristique de log ( x ) . Les tables de logarithmes ne donnent que les mantisses. Ainsi la mantisse de log (21) est 0,32222. Déterminer la mantisse de log (76 ). En déduire les valeurs de log (21) et de log (76 ).
Triple its Capital
In English
The amount of capital, invested at compound interest, is given by: n t ⎞ ⎛ C n = Ci ⎜ 1+ ⎝ 100 ⎟⎠ where C n is the amount of capital invested at the end of n years, Ci is the initial capital and t is the rate expressed as a percentage. 1. Calculate the rate at which a capital of €3,000 would have to be invested in order to be doubled after 10 years. 2. With the previous rate, calculate the number of years it would take for the capital to be triple the initial capital. 3 • Fonction logarithme décimal
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Exercices Perfectionnement 48 Coût d’un crédit immobilier Mme Dumont souhaite emprunter 175 000 € pour acheter une maison. Le banquier lui propose un crédit à taux fixe de 1,2 % par an. Mme Dumont peut rembourser 675 € tous les mois. Elle calcule le nombre d’annuités nécessaires pour rembourser cet emprunt.
IM EN
1. Calculer Pour déterminer un taux mensuel, connaissant le taux annuel du crédit immobilier, les banques utilisaient jusqu’au 1/10/2016 la méthode dite « proportionnelle » : le taux mensuel est égal au douzième du taux annuel. Déterminer le taux mensuel du crédit proposé par le banquier.
1. Prenons un diapason qui émet le La de la troisième octave, noté La3. Sa fréquence est de 440 Hz (Hertz). On note fn la fréquence du La de l’octave n où n est un entier naturel non nul. a. Chercher • Modéliser Que vaut f3 ? Montrer que f4 = 880 Hz. b. Chercher • Représenter Déterminer l’expression de fn+1 en fonction de fn et en déduire l’expression de fn en fonction de n. c. Raisonner • Communiquer L’oreille humaine ne peut pas percevoir des sons ayant une fréquence supérieure à 20 000 Hz. Déterminer le numéro de l’octave du La le plus aigu que peut percevoir l’oreille humaine. 2. Dans la gamme tempérée, chaque octave est divisée en 12 demi-tons égaux : Do, Do#, Ré, Ré#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si. Le rapport des fréquences de deux demi-tons est noté r. a. Représenter En déduire que r est solution de l’équation r 12 = 2 et exprimer log ( r ) en fonction de log (2). b. Calculer Déterminer la fréquence du Si en fonction de log (2), puis l’arrondir à 10 −2 près. 3. Deux sons de fréquences F1 et F2 ( F1 > F2 ) sont séparés par un nombre S de savarts tel que : F S = 1 000 log ⎛⎜ 1 ⎞⎟ . ⎝ F2 ⎠ a. Chercher • Modéliser • Communiquer Déterminer le nombre de savarts contenus dans une octave, puis entre deux demi-tons. On proposera une valeur exacte et une valeur arrondie à l’unité. b. Représenter • Communiquer Déterminer la mesure en savarts de la différence entre les fréquences d’un Do et d’un Mi d’une même octave.
SP ÉC
2. Chaque mois, Mme Dumont rembourse les intérêts et une partie du capital initial. a. Modéliser Déterminer les intérêts dus le premier mois. En déduire que le nouveau capital à rembourser est 174 500 €. b. Représenter • Raisonner Recommencer le calcul pour le deuxième mois.
3. Représenter • Calculer On peut montrer que, si C 0 est le capital initialement emprunté, C n le capital restant à rembourser après n mois, t le taux mensuel de crédit et m le montant de la mensualité, on a : (1+ t )n − 1 C n = C 0 (1+ t )n − m . t En déduire le nombre de mois nécessaires pour 50 Astronomie rembourser le crédit immobilier de Mme Dumont. 4. Modéliser • Communiquer Déterminer le coût réel du crédit. 49 Intervalles en musique La « hauteur » d’un son est liée à sa fréquence. À une fréquence faible correspond une note grave ; à une fréquence élevée correspond une note aiguë. Lorsqu’on multiplie la fréquence d’une note par 2, on obtient une note de même nom, une octave au-dessus.
Histoire des sciences
Au IIe siècle avant J.-C., Hipparque a classé les étoiles, des plus brillantes en première grandeur à celles, à peine visibles à l’œil nu, en sixième grandeur. Une étoile de première grandeur est cent fois plus éclatante qu’une étoile de sixième grandeur. Par la suite, avec l’apparition de lunettes astronomiques, de nouvelles étoiles non visibles à l’œil nu ont été ajoutées. Norman Robert Pogson (1829-1891) a remplacé le terme grandeur par celui de magnitude (m) et établi la formule : m = k log ( E ) + k ′ .
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SP ÉC
IM EN
1. Chercher • Représenter Calculer k sachant que la 52 Bon vent ! propriété d’Hipparque est conservée par la forL’échelle de Beaufort, qui mesure la force du mule de Pogson, à savoir : si E1 est l’éclat d’une vent, comporte 13 degrés (de 0 à 12). Le degré étoile de magnitude 1 et E6 celle d’une étoile de Beaufort B est lié à la vitesse moyenne du vent v E1 (en km.h–1) par : magnitude 6, alors = 100. v2 E6 B3 = . 9 2. L’étoile de Véga (constellation de la Lyre) est très brillante, elle a été choisie pour étalonner la magnitude des autres étoiles. On a fixé sa magnitude à 0. Notons E0 son éclat apparent. a. Modéliser Exprimer k ′ en fonction de E0. b. Calculer En déduire une expression simplifiée de m en fonction de E et E0. 3.a. Calculer La magnitude du Soleil est −26,7 et celle de la Lune est −12,7. Déterminer leur éclat en fonction de E0. 1. Calculer b. Modéliser Que peut-on dire d’une étoile qui a a. Calculer le degré Beaufort, arrondi à l’unité, une magnitude négative ? pour une vitesse v = 90 km.h−1. 4. Représenter • Raisonner Sirius, une étoile de la b. Calculer la vitesse du vent v (en km.h–1) corresconstellation du Grand Chien, a un éclat qui est pondant à un vent de force 10 Beaufort. 3,9 fois supérieur à celui de Véga. Déterminer sa 2. Raisonner magnitude. Démontrer que la relation entre B et v peut 5. Chercher • Représenter Le télescope Hubble est s’écrire : capable de trouver des étoiles de magnitude 30. 3 log ( v ) = × log ( B ) + 0,477. Calculer le rapport entre l’éclat d’une étoile de 2 magnitude 30 et celui de Véga. 3. Représenter 6.a. Représenter • Communiquer Compléter la Si on représente, dans un repère log-log, v en foncphrase suivante : « Si la différence de magnitude tion de B, quelle est l’allure de la représentation entre deux étoiles est 10 alors leur éclat est …… ». graphique ? b. Chercher • Calculer Prouver que si m et m ′ sont 4. Calculer les magnitudes de deux étoiles d’éclats respectifs a. À l’aide de la calculatrice, entrer dans la liste L1 E et E ′ , alors : E > E ′ ⇔ m < m ′ . les valeurs de B allant de 1 à 12. Obtenir dans L2 les valeurs de log ( B ), puis dans L3 celles de 51 La fonction logarithme Python log ( v ). Chercher • Raisonner • Communiquer b. Quelle instruction doit-on saisir pour faire calEn langage Python, la fonction logarithme décimal culer les valeurs de v dans L4 ? se trouve dans la bibliothèque math et se note 5. Calculer Compléter le tableau ci-dessous. log10. Remarque : on peut aussi utiliser log ( x, 10 ). 1 1 1 1 On veut calculer : Pn = × × × … × où n est 2 3 4 n un entier naturel supérieur à 2. Pour cela, on propose les fonctions ci-dessous.
Si on saisit dans la console produit(7) ou produit_ bis(7), on obtient le même résultat. Expliquer pourquoi.
Degré Terme Beaufort générique
v (en km.h–1)
Observations
6
Vent frais
39 à 49
Des lames se forment ; crêtes d’écume blanches plus étendues
3
Petite brise
…
Très petites vagues, écume d’aspect vitreux
…
Tempête
5
Bonne brise
Très grosses lames à longues crêtes en 88 à 102 panache ; déferlement en rouleaux intense et brutal …
Vagues modérées, allongées ; moutons nombreux
3 • Fonction logarithme décimal
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Ateliers algorithmiques et numériques
ATELIER
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Des petites et des grandes valeurs sur un même graphique
CAPACITÉ • Représenter une série statistique dans un repère logarithm ique
25 min
Pour illustrer un article sur l’évolution de la population de la Gironde, un journaliste souhaite proposer un graphique avec les données suivantes. Population municipale en 2019
Population municipale en 1990
Bordeaux
252 040
210 336
Le Bouscat
23 869
21 538
La Brède
4 192
2 846
Guillos
450
372
Coubeyrac
70
108
Commune Tableur
ATELIER
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1
a. Dans le fichier tableur C03_Atelier1, ont été saisies les valeurs du tableau. Insérer un graphique sous la forme d’un diagramme en colonnes. b. Pourquoi ce graphique ne permet-il pas de visualiser correctement les données ?
2
a. Reprendre ce graphique en utilisant une échelle logarithmique. Pour cela, sélectionner l’axe vertical, faire un clic droit, choisir : formater l’axe puis échelle logarithmique . b. Cette nouvelle échelle paraît-elle mieux adaptée ? Justifier la réponse. c. Expliquer en une phrase quel graphique illustrerait le mieux l’article.
3
a. Comment l’axe vertical du graphique est-il gradué avec l’échelle logarithmique ? b. Expliquer et vérifier l’affirmation suivante : « Sur cette échelle, deux points espacés d’une même distance représentent des valeurs dans le même rapport. »
20 min
Représenter
SP ÉC
Représenter
Communiquer
Comparer des données économiques
En groupe
CAPACITÉ • Représenter une série statistique dans un repère logarithmique
On dispose d’un tableau de données brutes, sur l’évolution entre 1915 et 2019 de l’indice Dow Jones. Celui-ci est calculé à partir des valeurs boursières des grandes entreprises américaines et donne ainsi une indication de la santé économique des États-Unis. Ces données ont été saisies dans le fichier C03_Atelier2. 1
Tableur
IM EN
Source : INSEE, recensement de la population.
Chercher • Raisonner (émettre des conjectures)
En utilisant ces données, déterminer quelle a été la plus grave des deux crises, entre celle de 1929 et celle de 2008. On caractérise ici une crise par l’effondrement de la valeur des actions.
2
Représenter • Communiquer
Pouvez-vous identifier d’autres crises économiques ? Les relier à des périodes historiques.
80
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ATELIER
3
40 min
Construire une échelle logarithmique
CAPACITÉ • Comprendre et utiliser un repère semi-logarithmique
Une entreprise vend des capteurs de distance laser à longue portée, capables de mesurer des distances allant de 1 m à 500 m. Pour communiquer, elle veut représenter sur un graphique les relevés de telles distances. Pour cela, elle doit utiliser une échelle logarithmique. On souhaite représenter les données de cette entreprise en utilisant un axe d’une longueur de 200 mm. 1
Relevé : distance réelle (en m)
5
10
20
50
100 150 200 250 300 500
Distance sur un graphique semi-log (en mm, arrondi à 10–2 près)
1
Représenter
Afin de placer les points d’abscisse log ( x ) où x représente la distance réelle, on établit une situation de proportionnalité entre log ( x ) et la longueur de l’axe choisie (ici 200 mm). a. Montrer que la distance, en mm, associée au relevé de 300 m, est, à 10 −2 prés, 183,56 mm. b. Compléter la fonction echelle_log ci-contre afin que, connaissant la distance réelle x, elle renvoie l’arrondi, à 10 −2 près, de la distance en mm à reporter sur l’axe logarithmique. c. Implanter cette fonction dans un éditeur Python ou ouvrir le fichier C03_Atelier3. 1 Compléter la seconde ligne du tableau. Construire, sur papier, l’échelle logarithmique et placer les 11 valeurs.
2
SP ÉC
IM EN
Python
200
Utiliser le langage Python, p. 193
Représenter
1 Méthode En langage Python, la fonction logarithme décimal se nomme log10, il est nécessaire d’utiliser la bibliothèque math pour l’importer.
Déterminer les distances réelles lorsque les différents relevés sont associés aux points P, M et N placés sur l’échelle logarithmique ci-dessous. P
1
Tableur
3
N
M
10
100
Calculer
À l’aide d’un tableur, on souhaite représenter les cinq premiers termes de la suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 1. Appelons cette suite u. Ainsi u0 = 1. a. Déterminer les valeurs puis afficher le diagramme sous forme d’un nuage de points. b. Sélectionner l’axe des ordonnées et choisir Formater l’axe, puis Échelle logarithmique. On obtient ainsi un graphique semilogarithmique. 2 Observer la forme du nuage de points.
2 Méthode Dans un graphique semi-logarithmique, un des axes est gradué selon une échelle logarithmique et l’autre axe avec une échelle linéaire. Les deux cas suivants sont possibles. 103 102 101 100
Échelle logarithmique
6 b 5 + = ax g(y) 4 o l : (d ) 3 Q(1 ; 10) P(5 ; 30) 2 1
0 1 2 Module ou décade
Échelle linéaire
R(2,5 ; 300)
3
4 5 6 Échelle linéaire
P(30 ; 5)
(d ) : y Q(10 ; 1)
0 100 101 Module ou décade
(x) + b
= a log
R(300 ; 2,5)
102
103 Échelle logarithmique
3 • Fonction logarithme décimal
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81
20/03/2020 12:44
Ateliers algorithmiques et numériques
ATELIER
4
En groupe
Troisième loi de Kepler
On dispose du tableau ci-dessous donnant la période sidérale* (P) des planètes du système solaire ainsi que la longueur (L) du demi-grand axe de la trajectoire elliptique de chaque planète. *Période sidérale : temps au bout duquel une planète se retrouve dans la même position par rapport aux astres environnants.
1
CAPACITÉ • Illustrer un phénomè ne physique à l’aide du log
Neptune Mercure Venus Terre Mars Jupiter
Uranus
Saturne
Pluton
Modéliser
Ouvrir le fichier C03_Atelier4 avec la feuille de calcul ci-contre et insérer un graphique donnant la période sidérale en fonction de la longueur du demi-grand axe. a. Peut-on conjecturer un lien entre les deux valeurs à partir de cette représentation ? b. Modifier l’échelle des deux axes en prenant une échelle logarithmique. Que peut-on conjecturer comme type de lien entre les grandeurs, à l’aide de cette nouvelle représentation graphique ? c. En déduire une formule reliant log ( P ) et log ( L ). 1 2
SP ÉC
IM EN
Tableur
30 min
Modéliser • Communiquer
La troisième loi de Kepler (Johannes Kepler, astronome allemand, 1571-1630) s’énonce de la façon suivante : « Le carré de la période sidérale d’une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de la trajectoire elliptique de la planète. ». Est-ce que cette propriété est conforme aux calculs précédents ?
1 Méthode Un graphique logarithmique ou log-log comporte deux échelles logarithmiques. Des points de coordonnées ( x ; y ) sont alignés s’ils vérifient une relation du type log ( y ) = a log ( x ) + b où a et b sont deux nombres réels. Échelle logarithmique Q(10 ; 2 000)
1 000
100
P(100 ; 20)
10
1
1
10 100 1 000 Échelle logarithmique
82
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20/03/2020 12:44
45 min
La première table de logarithmes
Histoire des sciences
CAPACITÉ • Utiliser les propriétés algébriques du logarithme dans un cadre historique
ATELIER
5
Extrait de Introduction à l’analyse infinitésimal, Léonard Euler (mathématicien suisse, 1707-1783). Dans le texte, le f se lit s. Il s’agit d’un « s long ».
1
Chercher
a. Préciser ce que Euler propose de calculer. Justifier la réponse à l’aide d’une citation issue du texte ci-dessus. b. Expliquer pourquoi Euler sait que log (5) est compris entre 0 et 1.
( ) ( )
2 Méthode
4
4 Méthode
Calculer • Communiquer
Afin d’automatiser le calcul, on utilise une feuille de tableur. Reproduire le tableau ci-dessous, et compléter les cellules E2 et F2
4
.
a. Dans la cellule A3, on saisit : =SI(E2<5;E2;A2). Expliquer ce que permet cette formule 5 . b. Dans la cellule C3, on saisit : =SI(E2<5;F2;C2). Expliquer ce que permet cette formule. c. En vous inspirant des réponses a et b et de la question 3, compléter les cellules B3 et D3. Puis compléter les cellules E3 et F3 et tirer la ligne 3 vers le bas. d. Comparer les résultats obtenus avec ceux d’Euler. e. La valeur approchée de log (5) proposée par Euler est-elle conforme à celle calculée avec le tableur ? Python
1 Méthode log ( a n ) = n log ( a )
3 On pose A = 1 et B = 10. Les résultats sont ici arrondis à 10 −7 près. a. Calculer À l’aide de la calculatrice, calculer A × B et en déduire un encadrement de log (5) en utilisant le résultat de la question 2 3 . b. On note C = AB , calculer C × B et en déduire un nouvel encadrement de log (5). c. Où retrouve-t-on ces valeurs dans le texte d’Euler ?
SP ÉC
Tableur
IM EN
2 a = a × a avec a un réel strictement positif. En déduire l’expression de log a en fonction de log ( a ) 1 , puis donner l’expression de log ab en fonction de log ( a ) et log ( b ) 2 .
5
Pour aller plus loin
Proposer l’algorithme utilisé en langage naturel et l’implanter dans un éditeur Python 6 . Penser à utiliser une liste pour afficher les approximations successives.
Rappel : ab = a × b.
3 Méthode Si 0 < x < y alors log ( x ) < log ( y).
• La moyenne arithmétique de 2 nombres a et b est : a+b . 2 • La moyenne géométrique de 2 nombres a et b est : a × b.
5 Méthode Syntaxe du « si » Utiliser un tableur, p. 197
6 Méthode Traduire les conditions « si » : les calculs sont effectués tant que l’écart entre les deux approximations est supérieur à une précision proposée par l’utilisateur. Créer une liste pour les valeurs de A et une liste pour les valeurs de B. 3 • Fonction logarithme décimal
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83
20/03/2020 12:44
Être prêt
E3C
pour le BAC
Compétences mobilisées Exercices Chercher Modéliser Représenter Raisonner 46 1. 2.6. 4. 1.a.
47 49
4.a.b.
Automatismes
53
Questions flash Q1. Montrer que : ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ log ⎝ ⎠ + log ⎝ ⎠ + log ⎝ ⎠ = a log ( b ) 2 3 4 où a et b sont des réels à déterminer. Q2. Compléter : Si log ( x ) = 5 alors x = …
Q5. f ( x ) = 3 log ( x ). Calculer f (103 ).
Q6. Compléter : Si L = 20 log ( G ) alors G = …
Q8. Déterminer le réel c tel que : log (5) − 2 log (3 ) = log ( c ) .
Q9. Résoudre dans ℝ : 0,8 x ! 0,5.
Q10. Déterminer le réel c tel que : log ( ab 2 ) + 2 log ( a ) − 3 log ( b ) = log ( c ) .
Seconde partie
(calculatrice autorisée)
54 Suites numériques & Logarithme décimal À la naissance de Lalie, sa famille ouvre un livret naissance en déposant 150 € et y dépose chaque année 150 €. Ce livret est à intérêts composés, le taux d’intérêt est de 0,72 % par an. 1. Montrer qu’après le premier anniversaire, la somme disponible sur le livret est de 301,08 €. 2. Déterminer la somme disponible aux 2 ans de Lalie. Arrondir la somme en centimes. 3. Python Afin de déterminer le capital disponible après le nième anniversaire de Lalie, on propose le script ci-contre
2.a.b.
1.d.
2.
1.3.a.
2.
4.c.e.
1.3.c.
4.d.e.
55 Suites numériques & Logarithme décimal
SP ÉC
Q7. f ( x ) = 2 × 10 x . Calculer f (2 log (3 )).
3.a.b.4.d.
1.e. 3.b.
IM EN
Q3. Compléter : Si 10 x = 7,2 alors x = … Q4. Compléter : C = 10 − P . Si C = 0,2 alors P = …
1.c.
Communiquer 7.
où round(c,2) signifie que le nombre c est arrondi au centième. Le compléter afin d’obtenir le capital cherché. 4. Soit C n le capital disponible au nième anniversaire de Lalie. On a : C 0 = 150 et C1 = 301,08 €. Expliquer pourquoi on peut écrire : C n = 150 × 1,0072n + 150 × 1,0072n−1 + … + 150. 5. Déterminer une expression simplifiée de C n. 6. Le permis de conduire coûte environ 1 800 €. Lalie aura-t-elle assez d’argent sur son compte pour payer son permis à ses 18 ans ? 7. Quel âge aura Lalie lorsque la somme sur son livret dépassera les 4 000 € ?
(à traiter sans calculatrice)
Première partie
1.b.2. 3.c.
48
Calculer 3.5.
Pour sa retraite, M. Ratinet veut placer 10 000 € sur un compte bloqué (le détenteur d’un tel compte ne peut pas retirer de l’argent avant un certain délai).
1. Sa banque lui propose un compte rémunéré au taux annuel de 3,75 %. Les intérêts sont des intérêts composés, donc, dans le calcul du nouveau capital, on prend en compte les intérêts de l’année passée. Si besoin est, les sommes d’argent seront arrondies à 10 −2 près. a. Déterminer le capital présent sur le compte au bout d’un an. b. Montrer qu’au bout de deux ans, le capital est de 10 764,06 €. c. Tableur Afin de suivre l’évolution du capital, M. Ratinet décide d’utiliser un tableur. Quelle formule a-t-il saisie en B3 pour qu’en tirant vers le bas, les différents capitaux apparaissent ? d. On note C n le capital sur le compte l’année n. Ainsi C 0 = 10 000 et C1 = 10 375. Déterminer l’expression de C n en fonction de n. e. M. Ratinet souhaite partir à la retraite lorsqu’il aura 22 500 €. Dans combien d’années pourra-t-il partir ? 2. Finalement, M. Ratinet décide de faire jouer la concurrence et, pour cela, il se rend dans une autre banque qui lui propose aussi un compte bloqué au taux mensuel de 0,31 %. A-t-il intérêt à choisir cette nouvelle banque ?
84
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20/03/2020 12:44
56 Logarithme L’écriture scientifique d’un nombre réel positif est de la forme a × 10 n où a ∈[1 ; 10[ est la mantisse et n, un entier relatif, est l’exposant. 1. La partie entière d’un réel x est l’entier inférieur le plus proche. On la note ⎣ x ⎦ . Ainsi ⎣2,52 ⎦ = 2. À l’aide de la calculatrice, compléter le tableau ci-dessous : x
0,002 3
123,45
0,24
3 500
log ( x )
…
…
…
…
Écriture scientifique de x
…
…
…
…
⎢⎣log ( x ) ⎥⎦
…
…
…
…
n
1
2
3
5
6
7
d n − d0
…
…
…
…
…
…
2.a. Construire le nuage de points ( n ; d n − d 0 ) correspondant. On prendra 1 cm pour une unité en abscisse et 1 cm pour 200 millions de km en ordonnée. b. Déterminer graphiquement une valeur de d 4 . 3. Afin de proposer une lecture plus précise, on décide de construire le nuage de points dans un repère semi-logarithmique. Cela revient à construire les points de coordonnées ( n ; log ( d n − d 0 )). On obtient le tracé ci-dessous. 10 000
57 Logarithme
SP ÉC
IM EN
2. Comparer les deux dernières lignes du tableau. Que peut-on conjecturer comme propriété ? 3.a. Soit x un réel strictement positif donné sous forme scientifique : x = a × 10 n. Exprimer n en fonction de x et a. b. On sait que a ∈[1 ; 10[. En déduire un encadrement de x entre deux puissances de 10 consécutives puis la valeur de ⎣log ( x ) ⎦ . Énoncer la propriété ainsi démontrée. c. En déduire l’exposant dans la notation scientifique de 7,1250 puis de 82,352 019.
Toutes les valeurs seront arrondies à 10 −2 près. 1. Compléter le tableau ci-dessous.
Histoire des sciences
L’astronome allemand Johann Elert Bode (17471826) a remarqué qu’il existe une relation entre les distances moyennes des planètes au Soleil et leur rang compté à partir du Soleil, sous réserve de ne pas associer l’une des sept planètes connues au XVIIe siècle au rang 4.
Planète
Rang n
Distance d n au Soleil (en millions de km)
Mercure
0
57,91
Vénus
1
108,2
Terre
2
149,6
Mars
3
227,9
Jupiter
5
778,3
Saturne
6
1 429
Uranus
7
2 875
1 000
100
10
0
1
2
3
4
5
6
7
a. Décrire le nuage de points. b. On décide d’approximer ce nuage de points par la droite passant par les points de rangs 1 et 7. Déterminer les coordonnées des points de rangs 1 et 7 dans le repère semi-logarithmique et en déduire une relation entre log ( d n − d 0 ) et n. c. En déduire que : d n = 25,7 × 10 0,29n + 57,91. Cette formule est la loi de Bode. 4.a. Calculer la distance moyenne au Soleil de la planète numérotée 4. b. Le 1er janvier 1801, Giuseppe Piazzi (17461826), astronome et mathématicien italien, découvre Cérès (un gros astéroïde, rebaptisé planète naine en 2006), entre Mars et Jupiter. Numérotée 4, Cérès est à une distance moyenne du Soleil de 413,69 millions de km. Déterminer l’écart, en pourcentage, entre la distance calculée et la distance réelle. c. Neptune est à une distance moyenne du Soleil de 4 504 millions de km. Résoudre l’équation 4 504 = 25,7 ×10 0,29x + 57,91. Comment interpréter le résultat dans le cadre de l’exercice ? d. Quelle erreur commet-on en considérant que la planète 8 est Neptune ? 3 • Fonction logarithme décimal
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8
85
20/03/2020 12:44
Pour lâ&#x20AC;&#x2122;enseignant Diaporama
Se prĂŠparer matismes et rĂŠviser ses auto Questions ďŹ&#x201A;ash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes rĂŠponses. 1 DĂŠterminer par lecture graphique, lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite de la droite D.
4
đ?&#x2019;&#x;
2
2 DĂŠterminer par lecture graphique lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite de Dâ&#x20AC;˛.
0 â&#x2C6;&#x2019;2
đ?&#x2019;&#x;â&#x20AC;˛ 2
4
6
8
4
â&#x2C6;&#x2019;4
3
A ( x ) = 4 ( x â&#x2C6;&#x2019; 5)2 â&#x2C6;&#x2019; 49 peut aussi sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcrire : a. A( x ) = 4 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 149 b. A( x ) = 4 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 40 x + 51 c. A( x ) = ( 2x â&#x2C6;&#x2019; 17 )( 2x â&#x2C6;&#x2019; 3 )
1 4 B ( x ) = 3x â&#x2C6;&#x2019; 5 + peut aussi x sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcrire : 3x â&#x2C6;&#x2019; 4 a. B ( x ) = x b. B ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;1 3x 2 â&#x2C6;&#x2019; 5x + 1 c. B ( x ) = x
SP Ă&#x2030;C
Automatisme C. 19
IM EN
Automatisme D. 28
5 La fonction dĂŠrivĂŠe f â&#x20AC;˛ de la fonction f dĂŠfinie pour tout rĂŠel x par f ( x ) = x 3 â&#x2C6;&#x2019; 6x 2 â&#x2C6;&#x2019; 15x + 10 est dĂŠfinie par : a. f â&#x20AC;˛ ( x ) = 3x 2 â&#x2C6;&#x2019; 12x â&#x2C6;&#x2019; 15 b. f â&#x20AC;˛ ( x ) = 3x 2 â&#x2C6;&#x2019; 12x â&#x2C6;&#x2019; 25 c. f â&#x20AC;˛ ( x ) = 3 ( x â&#x2C6;&#x2019; 5 )( x + 1)
Automatisme C. 20
6 La fonction dĂŠrivĂŠe g â&#x20AC;˛ de la fonction g dĂŠfinie pour tout rĂŠel x par g ( x ) = 4 x 2 + 12x â&#x2C6;&#x2019; 5 est dĂŠfinie par : a. g â&#x20AC;˛ ( x ) = 8 x + 7 b. g â&#x20AC;˛ ( x ) = 8 x + 12 c. g â&#x20AC;˛ ( x ) = 4 ( 2x + 3 )
7 On donne ci-contre le tableau de signes de la dĂŠrivĂŠe dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction f dĂŠfinie sur R. Que peut-on affirmer sur la fonction f ? a. Elle est dĂŠcroissante sur ]â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; â&#x2C6;&#x2019;4 ] et sur [ 3 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ . b. Elle est dĂŠcroissante sur ]â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; â&#x2C6;&#x2019;4 ] â&#x2C6;Ş [ 3 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ . c. Son tableau de variations est donnĂŠ ci-contre.
x f â&#x20AC;˛( x)
x
â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;
â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
â&#x2C6;&#x2019;4 0
â&#x2C6;&#x2019;4
3 +
0
3
+â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;
+â&#x2C6;&#x17E;
f
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20/03/2020 12:45
Pour la sculpture Ouverture au monde (1973), au bord du lac Léman (port d’Ouchy, Lausanne), Angel Duarte s’est inspiré d’objets mathématiques complexes comme l’hyperboloïde ou le paraboloïde hyperbolique. L’hyperbole que l’on obtient lors de la représentation graphique de la fonction inverse est liée à ces objets mathématiques
SP ÉC
IM EN
Fonction inverse
s maths Dans l’histoire de Le nom « fonction » a été inventé par Leibniz (1646-1716) qui en donna la première définition. Mais c’est à Dirichlet (1805-1859) que l’on doit la définition moderne de la notion de fonction. La fonction inverse, à l’instar des fonctions affines ou polynomiales, est considérée comme une fonction de référence, un élément de base pour construire des fonctions plus complexes.
Et aujourd’hui ? Les fonctions sont largement utilisées dans les problèmes d’optimisation, notamment en économie où l’on cherche à minimiser des coûts ou à maximiser des recettes ou des bénéfices. On retrouve d’ailleurs la fonction inverse dans les calculs de prix unitaire ou de coût unitaire moyen.
87
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20/03/2020 12:45
Construire le cours Activité
1 Fonction inverse, sa dérivée et ses variations Définir géométriquement la fonction inverse et utiliser le taux de variation pour exprimer sa dérivée
2
Dans un repère orthonormé du plan, on a construit un rectangle OABC d’aire 1, avec les points de coordonnées suivantes : O ( 0 ; 0 ), A ( a ; 0 ), C ( 0 ; f ( a )) et B ( a ; f ( a )) où a est un réel non nul et f une fonction à déterminer.
1 C(0 ; f (a)) 0 −2 −1 O 0
1 a. Montrer que : si a > 0, alors a × f ( a ) = 1. b. On admet que cette égalité reste vraie lorsque a < 0. Est-elle aussi vérifiée si a = 0 ? c. En déduire une expression de la fonction f et son domaine de définition.
−1
B 1
2
3
A(a ; 0)
IM EN
2 Soit a et h deux nombres réels non nuls et f la fonction définie ci-dessus. f (a + h) − f (a) 1 a. Démontrer que : =− . h a (a + h) b. Lorsque h tend vers 0, en déduire l’expression de f ′ ( a ) en fonction de a.
Définition La fonction inverse est la fonction f définie sur R* = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ par : 1 f (x) = . x
SP ÉC
À retenir
1 3 On vient de démontrer que pour tout réel x non nul : f ′ ( x ) = − 2 . x En déduire les variations de la fonction f.
À retenir
Remarque : Pour que la fonction f soit définie, il faut que le dénominateur soit différent de 0, c’est-à-dire que x ≠ 0. On dit que 0 est la valeur interdite. Propriété La fonction inverse est dérivable sur R*. 1 • Pour tout réel x ≠ 0, f ′ ( x ) = − x 2 . • Pour tout réel x ≠ 0, x 2 > 0 donc f ′ ( x ) < 0.
Propriété La fonction inverse est strictement décroissante sur l’intervalle ]−∞ ; 0[ et sur l’intervalle ]0 ; +∞[ (mais pas sur R* qui n’est pas un intervalle).
x f ′( x)
−∞ −
0
+∞ −
f
À retenir
Propriété 4
•
La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole.
•
Elle admet l’origine du repère comme centre de symétrie.
2 −4
−2
0
2
4
−2 −4
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20/03/2020 12:45
Acquérir les méthodes EXERCICE RÉSOLU Étudier les variations d’une fonction obtenue en combinant la fonction inverse avec une fonction affine 36 Soit h la fonction définie sur R* par : h ( x ) = 9x + 1+ . x a. Déterminer h ′ ( x ) . (3x − 6 )(3x + 6 ) b. Montrer que pour tout réel x non nul, on a : h ′ ( x ) = . x2 c. En déduire les variations de h.
1 Méthode On utilise le tableau de dérivées.
Comparer vos résultats aux graphiques donnés par votre calculatrice.
d.
f ( x)
f ′( x)
k ( k ∈R )
0
x
1
x2
2x
x3
3x 2
1 x
−
Résolution
x
−2
−∞
0
−
3x + 6
−
0
+
+
0
−
h′ ( x )
−
On en déduit les variations de h et h (2) = 37. x h′ ( x ) h
−
0
+
−2
−∞
+
0
−
4
+∞
2
SP ÉC
3x − 6
0
+
+
+
après avoir calculé : h ( −2) = −35 0
−
1 x2
2 Méthode Utiliser les formules de dérivation : ( k × u )′ = k × u ′ et ( u + v )′ = u ′ + v ′ , où u et v sont deux fonctions dérivables et k ∈R.
IM EN
1 a. Pour tout nombre réel x non nul : h ( x ) = 9x + 1+ 36 × . x La dérivée de h s’écrit : 1 36 h ′ ( x ) = 9 × 1+ 0 + 36 × ⎛ − 2 ⎞ = 9 − 2 . 1 2 ⎝ x ⎠ x 36 9x 2 − 36 b. Pour tout réel x non nul : h ′ ( x ) = 9 − 2 = . x x2 2 Or, 9x 2 − 36 = (3x ) − 62 = (3x − 6 ) (3x + 6 ). 3 (3x − 6 )(3x + 6 ) Donc pour tout nombre réel x non nul, h ′ ( x ) = . x2 2 c. On étudie le signe de h ′ ( x ) . Comme x est toujours positif, cela revient à étudier le signe de (3x − 6 ) (3x + 6 ), qui est un produit de facteurs du premier degré qui s’annule pour x = 2 et x = −2. On en déduit le tableau de signes suivant.
+∞
2
−
0
+
−35
37
3 Méthode On reconnaît une identité remarquable dans l’expression finale : ( a − b )( a + b ) = a2 − b2 .
4 Méthode Sur un intervalle I : • si la dérivée f ′ est positive, alors f est croissante sur I ; • si elle est négative, alors f est décroissante sur I.
d. On obtient à la calculatrice graphique (−10 ! X ! 10 et −100 ! Y ! 100). La courbe est conforme au tableau de variations précédent.
À votre tour !
Voir aussi exercices 1 à 9, p. 94
x 36 − . 4 x − ( x + 12) ( x − 12) a. Montrer que pour tout réel x non nul : f ′ ( x ) = . 4 x2 b. Déterminer le sens de variation de f.
1 Soit f la fonction définie sur R* par : f ( x ) = −
2 Une entreprise produit un médicament. Le coût unitaire moyen de production pour 9 x centaine de litres de médicament produit par jour est donné par : C ( x ) = x + 4 + x (en millier d’euros), x variant entre 1 et 10. a. Déterminer le coût unitaire moyen minimal. b. Pour quelle quantité de médicaments ce coût minimal est-il atteint ? 4 • Fonction inverse
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Construire le cours ActivitĂŠ
2 Comportement aux bornes de lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble de dĂŠfinition Conjecturer le comportement de la fonction inverse quand x prend des valeurs de plus en plus grandes ou de plus en plus proches de 0 1 Soit f la fonction dĂŠfinie par f ( x ) = pour tout x â&#x2C6;&#x2C6;R*. x 1 a. ComplĂŠter le tableau de valeurs ci-dessous. x
1
5
10
100
1Â 000
10 6
f ( x)
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
b. Quelle conjecture peut-on Êmettre sur le comportement de f ( x ) quand les valeurs prises par x sont de plus en plus grandes ? 2 a. ComplÊter le tableau de valeurs ci-dessous. 1
1 2
f ( x)
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
1 5
1 10
1 100
1 1 000
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
IM EN
x
b. Quelle conjecture peut-on Êmettre sur le comportement de f ( x ) quand les valeurs prises par x sont de plus en plus proches de 0 tout en restant positives ?
PropriĂŠtĂŠs â&#x20AC;˘ Lâ&#x20AC;&#x2122;inverse dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre x est dâ&#x20AC;&#x2122;autant plus proche de 0 que les valeurs prises par x sont grandes. On dit alors que la limite de la fonction inverse quand x tend vers +â&#x2C6;&#x17E; 1 est ĂŠgale Ă 0 et on note : lim = 0. xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; x â&#x20AC;˘ Lâ&#x20AC;&#x2122;inverse dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre x est dâ&#x20AC;&#x2122;autant plus grand que les valeurs de x, tout en restant positives, sont proches de 0. On dit alors que la limite de la fonction inverse 1 quand x tend vers 0, tout en restant positif, est ĂŠgale Ă +â&#x2C6;&#x17E; et on note : lim = +â&#x2C6;&#x17E;. xâ&#x2020;&#x2019;0 x
SP Ă&#x2030;C
Ă&#x20AC; retenir
3 En utilisant les rÊsultats prÊcÊdents, que peut-on conjecturer sur le comportement de f ( x ) quand les valeurs prises par x sont de plus en plus proches de 0 tout en restant nÊgatives ?
x>0
â&#x20AC;˘
1 1 Avec des notations analogues, on a : lim = 0 et lim = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;. xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x xâ&#x2020;&#x2019;0 x x<0
â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
x
+â&#x2C6;&#x17E;
0
f
+â&#x2C6;&#x17E;
0 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
0
Ă&#x20AC; retenir
DĂŠfinition f (x) est de plus
â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘
On dit que la droite dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation y = 0 (axe des abscisses) est une asymptote horizontale Ă C f en +â&#x2C6;&#x17E; et en â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;. De mĂŞme, on dit que la droite dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation x = 0 (axe des ordonnĂŠes) est une asymptote verticale Ă Cf.
4 en plus grand đ?&#x2019;&#x17E;f se rapproche 2 de plus en plus de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses
â&#x2C6;&#x2019;4
â&#x2C6;&#x2019;2
0 â&#x2C6;&#x2019;2
2
4
đ?&#x2019;&#x17E;f se rapproche de plus en plus de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses
â&#x2C6;&#x2019;4
90
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AcquĂŠrir les mĂŠthodes 1
EXERCICE RĂ&#x2030;SOLU
Ă&#x2030;tudier le comportement aux bornes du domaine de dĂŠfinition 4 Soit k la fonction dĂŠfinie sur ]0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ par : k ( x ) = 3 â&#x2C6;&#x2019; . x Ă&#x2030;tudier le comportement de cette fonction quand les valeurs prises par x deviennent : a. de plus en plus grandes ; b. de plus en plus proches de 0 par valeurs positives. RĂŠsolution
a. On calcule les valeurs de k ( x ) pour x de plus en plus grand. x
10
50
100
1Â 000
10Â 000
k( x)
2,6
2,92
2,96
2,996
2,9996
Donc lim k ( x ) = 3.
1 MĂŠthode Pour ĂŠtudier le comportement dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction en +â&#x2C6;&#x17E; (respectivement â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;), dĂŠterminer des images de grandes valeurs de x (resp. de petites valeurs de x).
1
xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;
b. En 0, par valeurs positives, on calcule les valeurs suivantes. 1
0,5
0,1
k( x)
â&#x20AC;&#x201C;1
â&#x20AC;&#x201C;5
â&#x20AC;&#x201C;37
Donc lim k ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;.
2
EXERCICE RĂ&#x2030;SOLU
0,001
â&#x20AC;&#x201C;397
â&#x20AC;&#x201C;3Â 997
2 MĂŠthode
2
xâ&#x2020;&#x2019;0 x>0
0,01
IM EN
x
Pour ĂŠtudier le comportement dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction en 0 par valeurs positives (respectivement par valeurs nĂŠgatives), dĂŠterminer des images de valeurs de x proches de 0 tout en restant positives (resp. nĂŠgatives).
xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;
xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
SP Ă&#x2030;C
Conjecturer graphiquement le comportement dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction aux bornes de son ensemble de dĂŠfinition Soit f la fonction dĂŠfinie sur R* par : 8 1 f ( x ) = x + 1+ . đ?&#x2019;&#x17E;f x 4 Sa courbe reprĂŠsentative est donnĂŠe ci-contre. Quelles conjectures peut-on ĂŠmettre sur : â&#x2C6;&#x2019;8 â&#x2C6;&#x2019;4 0 8 4 â&#x2C6;&#x2019;4 lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ) et lim f ( x ) ? xâ&#x2020;&#x2019;0 x>0
xâ&#x2020;&#x2019;0 x<0
RĂŠsolution
On observe : lim f ( x ) = +â&#x2C6;&#x17E; ; lim f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; lim f ( x ) = +â&#x2C6;&#x17E; et lim f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;. xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;
xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
xâ&#x2020;&#x2019;0 x>0
Ă&#x20AC; votre tour !
xâ&#x2020;&#x2019;0 x<0
Voir aussi exercices 10 Ă 14, p. 95
Pour chacune des fonctions suivantes, dĂŠfinies sur R*, ĂŠtudier le comportement en 0 par valeurs positives, en 0 par valeurs nĂŠgatives, en +â&#x2C6;&#x17E; et en â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;. 3 x
1
f (x) =
4
f ( x ) = x2 â&#x2C6;&#x2019; 3 +
2 x
1 x
2
f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;4 +
5
f ( x ) = x 3 â&#x2C6;&#x2019; x + 1+
3
f (x) = x â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019;
3 x
4 x 4 â&#x20AC;˘ Fonction inverse
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91
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Faire le point sur lâ&#x20AC;&#x2122;essentiel priĂŠtĂŠs DĂŠfinitions et pro
Fonction inverse f (x) =
1 dĂŠfinie sur â&#x201E;?* x
Sens de variation
DĂŠrivĂŠe Pour tout rĂŠel x â&#x2030; 0, f â&#x20AC;˛ (x) = â&#x20AC;&#x201C;
1 x2
f â&#x20AC;˛ (x)
+â&#x2C6;&#x17E;
0 â&#x2C6;&#x2019;
â&#x2C6;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E;
0
IM EN
x2 > 0 donc f â&#x20AC;˛ (x) < 0
â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
x
f
â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
0
Courbe reprĂŠsentative
SP Ă&#x2030;C
â&#x20AC;˘ Cette courbe est une hyperbole. 1 1 â&#x20AC;˘ lim = 0 ; lim = +â&#x2C6;&#x17E; xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; x xâ&#x2020;&#x2019;0 x â&#x20AC;˘ lim
1
xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x
x>0
= 0 et lim
xâ&#x2020;&#x2019;0 x<0
1 = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x
f (x) est de plus
4 en plus grand
đ?&#x2019;&#x17E;f se rapproche 2 de plus en plus de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses
â&#x20AC;˘ Cette hyperbole prĂŠsente deux asymptotes d'ĂŠquations : y = 0 et x = 0.
â&#x2C6;&#x2019;4
â&#x2C6;&#x2019;2
0 â&#x2C6;&#x2019;2
2
4
đ?&#x2019;&#x17E;f se rapproche de plus en plus de lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses
â&#x2C6;&#x2019;4
CapacitĂŠs Je suis capable deâ&#x20AC;Ś C1 â&#x20AC;˘ Ă&#x2030;tudier les variations dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction obtenue par combinaison linĂŠaire de la fonction inverse et de fonctions polynomiales de degrĂŠ maximum 3
C2 â&#x20AC;˘ Ă&#x2030;tudier le comportement aux bornes ue de lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble de dĂŠďŹ nition dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction obten se par combinaison linĂŠaire de la fonction inver  3 et de fonctions polynomiales de degrĂŠ maximum
Je mâ&#x20AC;&#x2122;entraĂŽne avecâ&#x20AC;Ś
EXERCICE RĂ&#x2030;SOLU
EXERCICES RĂ&#x2030;SOLUS
p. 89
1 et 2, p. 91
92
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20/03/2020 12:45
Pour l’enseignant Diaporama
Réponses page 203
ion Auto-évaluat 1
Questions flash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses.
La dérivée de la fonction g définie sur R* par g ( x ) = 3 + a. g ′ ( x ) =
3x 2 − 2 x2
b. g ′ ( x ) = −
3
c. g ′ ( x ) = 3 −
8 La fonction f définie sur R* par f ( x ) = 5 − est : x a. croissante sur [ 0 ; +∞[. b. décroissante sur ]0 ; +∞[. c. croissante sur ]0 ; +∞[.
On reprend la fonction f de la question 2. Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, les valeurs de f ( x ) deviennent : a. de plus en plus grandes. b. de plus en plus proches de 5. c. de plus en plus proches de 0.
a.
SP ÉC
La courbe représentative de la fonction f de la question 2 est :
4
2 x2
IM EN
2
2 x2
2 est : x
b.
10
5
−15 −10 −5 0 −5
5
5 10 15
c. 20 15
10
10
5
−15 −10 −5 0 −5
5
5 10 15
−5 0
5
L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction f de la question 2 au point d’abscisse 1 est : a. y = 8 x − 3 b. y = 3x + 8 c. y = 8 x − 11
Vrai ou faux ? Pour chaque proposition, déterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
1 La dérivée de la fonction ff définie sur R* par 1 −4x 3 + 1 est : f ′ ( x ) = . x x2 2 L’équation réduite de la tangente en 1 à la courbe représentative de la fonction inverse est : y = −x + 2. f ( x ) = −2x 2 + 3 −
3 La fonction g définie sur R* par g ( x ) = −x + est décroissante sur R*.
4 Avec la fonction g définie au 3, les valeurs
de g ( x ) deviennent extrêmement petites lorsque les valeurs prises par x sont petites. 4 • Fonction inverse
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1 x
93
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Ď&#x20AC;%Ď&#x20AC; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2C6;%
Exercices
Plus dâ&#x20AC;&#x2122;exercices sur https://calao.reussirenmaths.fr
Ă&#x2030;chauďŹ&#x20AC;ement 1 Fonction inverse, sa dĂŠrivĂŠe et ses variations
Automatismes
1
Questions ďŹ&#x201A;ash
x
â&#x2C6;&#x2019;5
â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
f â&#x20AC;˛( x)
+
f
â&#x20AC;Ś
0
+â&#x2C6;&#x17E;
1 â&#x2C6;&#x2019;
+
0
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
5 On donne dans le repère ci-dessous la courbe Cf reprĂŠsentant une fonction f. 6 T4 đ?&#x2019;&#x17E;f â&#x2C6;&#x2019;6
f
+â&#x2C6;&#x17E;
1 â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
SP Ă&#x2030;C
f â&#x20AC;˛( x)
â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
2
â&#x2C6;&#x2019;4
â&#x2C6;&#x2019;2
0 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;4
Q5. ComplĂŠter le tableau suivant avec le signe de f â&#x20AC;˛ ( x ) . x
4
Tâ&#x2C6;&#x2019;2
IM EN
Q1. DĂŠterminer la dĂŠrivĂŠe de la fonction f dĂŠfinie sur R par : f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;2x + 4. Q2. DĂŠterminer la dĂŠrivĂŠe de la fonction g 1 3 dĂŠfinie sur R par : g ( x ) = x 2 + x â&#x2C6;&#x2019; . 7 7 Q3. DĂŠterminer la dĂŠrivĂŠe de la fonction h 1 dĂŠfinie sur R par : h ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;4 x 3 + x 2 + 4 x â&#x2C6;&#x2019; 5. 3 Q4. ComplĂŠter le tableau suivant avec les variations de f.
4 Soit f une fonction dont 2 T1 la courbe reprĂŠsentative est donnĂŠe dans le repère 0 T5 2 4 6 8 â&#x2C6;&#x2019;2 ci-contre. đ?&#x2019;&#x17E;f 1. DĂŠterminer graphique- â&#x2C6;&#x2019;4 ment : f (1), f (5) , f â&#x20AC;˛ (1) et â&#x2C6;&#x2019;6 f â&#x20AC;˛ (5) . â&#x2C6;&#x2019;8 2. En dĂŠduire lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation â&#x2C6;&#x2019;10 rĂŠduite des tangentes en 1 et en 5 Ă la courbe reprĂŠsentative de f. Automatismes D. 22, D. 28
2
2 Calculer les dĂŠrivĂŠes des fonctions suivantes dĂŠfinies sur R*. 1 a. f ( x ) = x + x 1 b. f ( x ) = 3x â&#x2C6;&#x2019; 2 + x 1 2 c. f ( x ) = x + x 1 2 d. f ( x ) = 3x â&#x2C6;&#x2019; 5x + 2 + x 1 e. f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;2x 3 + 4 x 2 + 1+ x 3 Calculer les dĂŠrivĂŠes des fonctions suivantes dĂŠfinies sur R*. 2 3 a. f ( x ) = b. f ( x ) = 2x + x x 2 2 c. f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;3x â&#x2C6;&#x2019; x 4 2 d. f ( x ) = 7x â&#x2C6;&#x2019; 2x + 6 + x 1 e. f ( x ) = x 3 â&#x2C6;&#x2019; 5x 2 + x â&#x2C6;&#x2019; x
2
4 T1
6
8
1. DĂŠterminer graphiquement : f ( â&#x2C6;&#x2019;2), f (1), f ( 4 ), f â&#x20AC;˛ ( â&#x2C6;&#x2019;2), f â&#x20AC;˛ (1) et f â&#x20AC;˛ ( 4 ) . 2. En dĂŠduire lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite des tangentes Tâ&#x2C6;&#x2019;2, T1 et T4 .
6 DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite de la tangente Ă la courbe de la fonction inverse au point dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse â&#x2C6;&#x2019;1 et au point dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse 2. 7 Dans chacun des cas suivants, dĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite de la tangente Ă la courbe reprĂŠsentative de f au point dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse a, a ĂŠtant un rĂŠel donnĂŠ. 1 a. f ( x ) = 3 + ; a = 1. x 1 b. f ( x ) = 2x + ; a = â&#x2C6;&#x2019;1. x 1 2 c. f ( x ) = 4 x â&#x2C6;&#x2019; 2x + ; a = 2. x 8 Ă&#x2030;tudier les variations des fonctions suivantes dĂŠfinies sur R*. 1 1 b. g ( x ) = 2 â&#x2C6;&#x2019; . a. f ( x ) = 3 + . x x 1 9 Soit f la fonction dĂŠfinie sur R* par : f ( x ) = x + . x 1. Calculer f â&#x20AC;˛ ( x ) . 2. Montrer que pour tout rĂŠel x non nul : ( x â&#x2C6;&#x2019; 1)( x + 1) f â&#x20AC;˛(x) = . x 3. Après avoir ĂŠtudiĂŠ le signe de f â&#x20AC;˛ ( x ) , dresser le tableau de variations de f.
94
9782017100409_.indb 94
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2 Comportement aux bornes
12 Soit f une fonction dont la courbe est reprÊsentÊe dans le repère ci-contre.
de lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble de dĂŠfinition Automatismes
10
x>0
Q4. lim f ( x ) = 0
4
xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;
oĂš f est la fonction dont la courbe reprĂŠsentative est donnĂŠe ci-contre.
đ?&#x2019;&#x17E;4
4 2
2
â&#x2C6;&#x2019;2
đ?&#x2019;&#x17E;2
4
â&#x2C6;&#x2019;6
â&#x2C6;&#x2019;4
â&#x2C6;&#x2019;4
â&#x2C6;&#x2019;2 0 â&#x2C6;&#x2019;2
2
4
â&#x2C6;&#x2019;4
đ?&#x2019;&#x17E;1
â&#x2C6;&#x2019;2 0
đ?&#x2019;&#x17E;3
Q5. Pour la fonction f reprĂŠsentĂŠe ci-dessus, on a : lim f ( x ) = +â&#x2C6;&#x17E;. xâ&#x2020;&#x2019;0 x>0
â&#x2C6;&#x2019;4
1 13 Les fonctions f, g, h et k dĂŠfinies par f ( x ) = 1â&#x2C6;&#x2019; , x 1 1 1 et k ( x ) = sont g ( x ) = 1+ , h ( x ) = â&#x2C6;&#x2019; x +1 x +1 x reprĂŠsentĂŠes dans le repère ci-dessous. Associer Ă chaque courbe ci-dessous la fonction qui lui correspond.
IM EN
â&#x2C6;&#x2019;2 0
2
2. Conjecturer le comportement de la fonction f en +â&#x2C6;&#x17E;, en â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; et en 0.
2 â&#x2C6;&#x2019;4
4
1. Conjecturer lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble de dĂŠfinition de la fonction f.
Questions ďŹ&#x201A;ash Pour chaque proposition, dĂŠterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la rĂŠponse. Q1. Lâ&#x20AC;&#x2122;inverse dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre infiniment grand est infiniment petit. Q2. Lâ&#x20AC;&#x2122;inverse dâ&#x20AC;&#x2122;un nombre infiniment petit est un nombre rĂŠel proche de 0. 1 Q3. lim = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;. xâ&#x2020;&#x2019;0 x
6
4
2
6
â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;4
SP Ă&#x2030;C
14 On veut tracer la courbe reprĂŠsentative de la fonction g dĂŠfinie sur R* par : 2 g( x) = 3 â&#x2C6;&#x2019; . 11 Associer Ă chaque limite la courbe de la fonction x oĂš elle est vraie. 1.a. ComplĂŠter le tableau de valeurs cia. lim f ( x ) = 3 b. lim f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; dessous en utilisant la calculatrice graphique. xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; c. lim f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; xâ&#x2020;&#x2019;1 x>1
d. lim f ( x ) = +â&#x2C6;&#x17E; xâ&#x2020;&#x2019;2 x>2
e. lim f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;1 7 5 3
2 7 5 3
â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;3 0 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;7
3 5
4
â&#x2C6;&#x2019;3 0 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;7
7 5 3
â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;3 0 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;7
g( x)
â&#x20AC;&#x201C;1Â 000 â&#x20AC;&#x201C;500 â&#x20AC;&#x201C;200 â&#x20AC;&#x201C;100 â&#x20AC;&#x201C;50 50 100 200 500 1Â 000 â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
3
3 5 7
5
3 5
7 5 3
â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;3 0 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;7
3 5
x
â&#x20AC;&#x201C;1
â&#x20AC;&#x201C;0,5
â&#x20AC;&#x201C;0,1
â&#x20AC;&#x201C;0,01
0,01
0,1
0,5
1
g( x)
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
b. Que peut-on en dĂŠduire pour le comportement de g en 0Â ? 3. Recopier et complĂŠter le tableau de valeurs ci-dessous.
7 5 3
â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;3 0 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;7
2.a. ComplĂŠter le tableau de valeurs cidessous en utilisant la calculatrice graphique.
3 5
x
â&#x20AC;&#x201C;8
â&#x20AC;&#x201C;4
â&#x20AC;&#x201C;2
â&#x20AC;&#x201C;1
g( x)
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;&#x201C;0,5 0,5 â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
1
2
4
8
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
4. Dans un repère orthonormĂŠ dâ&#x20AC;&#x2122;unitĂŠ 1 cm, tracer la courbe reprĂŠsentative de la fonction g. 4 â&#x20AC;˘ Fonction inverse
9782017100409_.indb 95
â&#x20AC;Ś
b. Que peut-on en dĂŠduire pour le comportement de g en +â&#x2C6;&#x17E; et en â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ?
xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;
1
x
95
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Exercices EntraĂŽnement 1 Fonction inverse, sa dĂŠrivĂŠe et ses variations
15 Dans chacun des cas suivants, dĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite de la tangente Ă la courbe reprĂŠsentative de f en son point dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse a (a rĂŠel donnĂŠ). 4 a. f ( x ) = 5 + ; a = â&#x2C6;&#x2019;1. x 5 b. f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019; ; a = 2. x 4 c. f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;2x + 3 + ; a = 1. x 2 d. f ( x ) = 3x + 7 â&#x2C6;&#x2019; ; a = 3. x
19 DĂŠmonstration Soit a un nombre rĂŠel non nul. On ĂŠtudie f la fonction dĂŠfinie sur R par : f ( x ) = x 2 + 3 et g la fonction dĂŠfinie sur R* par : 2 g ( x ) = . On veut dĂŠmontrer que les courbes x reprĂŠsentatives de f et de g admettent des tangentes parallèles en un point dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse a Ă dĂŠterminer. 1. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite de la tangente T au point dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse a de la courbe reprĂŠsentative de f. 2. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite de la tangente T â&#x20AC;˛ au point dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse en a de la courbe reprĂŠsentative de g. 3.a. DĂŠmontrer que le nombre rĂŠel a est solution de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation : a 3 = â&#x2C6;&#x2019;1. b. DĂŠterminer la valeur de ce nombre a. 4. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite des tangentes T et T â&#x20AC;˛.
SP Ă&#x2030;C
IM EN
16 Dans chacun des cas suivants, dĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite de la tangente Ă la courbe reprĂŠsentative de f en son point dâ&#x20AC;&#x2122;abscisse a. 2 a. f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;2x 2 + 3x â&#x2C6;&#x2019;  ; a = â&#x2C6;&#x2019;2. x 20 Soit f la fonction dĂŠfinie sur R* par : 4 2 2 2 b. f ( x ) = x â&#x2C6;&#x2019; x +  ; a = â&#x2C6;&#x2019;1. 9 3 3 x f ( x ) = 4 x + 1+ . x 4 2 2 c. f ( x ) = x 3 â&#x2C6;&#x2019; x +  ; a = 1. 1. Montrer que pour tout rĂŠel x non nul : 7 7 x (2x â&#x2C6;&#x2019; 3 )(2x + 3 ) 17 On donne dans le repère ci-dessous la courbe Cf f â&#x20AC;˛( x) = . x2 reprĂŠsentative dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction f. 2. Pour tout rĂŠel x non nul, ĂŠtudier le signe de 1. DĂŠterminer f ( 4 ), f (12) , f â&#x20AC;˛ ( 4 ) et f â&#x20AC;˛ (12). f â&#x20AC;˛ ( x ). 2. En dĂŠduire lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite des tangentes T4 3. En dĂŠduire les variations de la fonction f. et T12. T4
21 Soit g la fonction dĂŠfinie sur R* par : 0 4 6 8 10 12 14 16 2 1 g ( x ) = x + 10 â&#x2C6;&#x2019; . â&#x2C6;&#x2019;4 T12 x đ?&#x2019;&#x17E;f â&#x2C6;&#x2019;6 1. Montrer que pour tout rĂŠel x non nul : â&#x2C6;&#x2019;8 x2 + 1 g ( x ) = . â&#x20AC;˛ â&#x2C6;&#x2019;10 x2 2. Pour tout rĂŠel x non nul, ĂŠtudier le signe de 18 On donne ci-dessous la courbe Cf reprĂŠsentative g â&#x20AC;˛ ( x ). dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction f. 3. En dĂŠduire les variations de la fonction g. 1. DĂŠterminer f ( â&#x2C6;&#x2019;3 ), f ( 0 ), f (2) , f â&#x20AC;˛ ( â&#x2C6;&#x2019;3 ), f â&#x20AC;˛ ( 0 ) et f â&#x20AC;˛ (2) . 22 Soit h la fonction dĂŠfinie sur R* par : 2. En dĂŠduire lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite des tangentes Tâ&#x2C6;&#x2019;3, 2 h( x) = x â&#x2C6;&#x2019; 5 + . T0 et T2 . x 1. Montrer que pour tout rĂŠel x non nul : T0 6 4 2
Tâ&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;6
â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2019;&#x17E;f
â&#x2C6;&#x2019;2
0 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;4
T2 2
4
6
hâ&#x20AC;˛ ( x ) =
( x â&#x2C6;&#x2019; 2 )( x + 2 ) .
x2 2. Pour tout rĂŠel x non nul, ĂŠtudier le signe de hâ&#x20AC;˛ ( x ). 3. En dĂŠduire les variations de la fonction h.
96
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23 Soit f la fonction définie sur R* par : 3 4 f ( x ) = x 2 − 7x − . 2 x 1. Déterminer f ′ ( x ) . 2. Montrer que pour tout réel x non nul : ( x − 2)( x − 1)(3x + 2) f ′( x) = . x2 3. En déduire les variations de f.
b. Démontrer que pour tout réel x non nul : 3x 4 − 3 f ′(x) = . x2 c. Étudier les variations de f.
SP ÉC
IM EN
28 1. Développer : ( x − 3 ) ( x + 3 ) et ( x − 5) ( x + 5) . 2. Développer : ( x 2 − 9 ) ( x 2 − 25) . 3. Soit f la fonction définie sur R* par : 1 7 225 f ( x ) = x 3 − 34 x + − . 3 24 1. Résoudre l’équation : 2x − 3 = 0. On appellera 3 3 x a. Déterminer f ′ ( x ) . a la solution de cette équation. En donner une –2 valeur approchée à 10 près. b. Étudier le signe de f ′ ( x ) . c. En déduire les variations de f. 2. Soit p la fonction définie sur R* par : 18 p ( x ) = 6x 2 − 15 + . 29 1. Soit g la fonction définie sur R par : x a. Montrer que pour tout réel x non nul : g ( x ) = x 2 + x + 1. 6 (2x 3 − 3 ) a. Dresser le tableau de variations de g. . p′ ( x ) = x2 b. En déduire que g admet un minimum que l’on b. Dresser le tableau de variations de p. déterminera et donner le signe de g ( x ) . 2. Soit h la fonction définie sur R par : 25 1. Soit g la fonction définie sur R par : h ( x ) = x 2 − x + 1. g ( x ) = 2x 2 + x + 1. En utilisant la méthode de la question 1, détermia. Dresser le tableau de variations de g. ner le signe de h ( x ). b. En déduire que g admet un minimum que l’on 3. Soit f la fonction définie sur R* par : déterminera et en déduire le signe de g ( x ) . 1 1 f ( x ) = x 3 + x + 10 − . 2. Soit h la fonction définie sur R* par : 3 x 1 f x . ( ) a. Déterminer ′ 2 h ( x ) = x − x + 1+ . x b. Montrer que pour tout réel x non nul : a. Déterminer h ′ ( x ) . g( x) × h( x) f ′( x) = . b. Montrer que pour tout réel x non nul : x2 ( x − 1) g ( x ) c. Étudier les variations de f. h′ ( x ) = . x2 c. Dresser le tableau de variations de h. 26 Soit f la fonction définie sur R* par : 112,5 f ( x ) = 0,5x 2 + 9,5x + 10,5 + . x 1. Déterminer f ′ ( x ) . 2. Montrer que pour tout réel x non nul : ( x + 7,5)( x + 5)( x − 3 ) f ′( x) = . x2 3. Dresser le tableau de variations de f. 27 1. Montrer que pour tout x réel : x 4 − 1 = ( x − 1) ( x + 1) ( x 2 + 1) . 2. Étudier le signe de x 4 − 1. 3. Soit f la fonction définie sur R* par : 3 f ( x ) = x3 + . x a. Calculer f ′ ( x ) .
30
Advertising Campaign
In English
A company launches an advertising campaign to promote a product. For x campaign weeks ( x ! 1), the company estimates that p ( x ) percent of the target population will be aware of 80 the existence of this product: p ( x ) = 92 − . x 1. Calculer Determine the percentage of the target population who will know about the product after one week and after five weeks. 2. Calculer What is the derivative of p ( x )? 3. Représenter Determine the variations of the function. Interpret this result in the context of the exercise. 4. Raisonner The company believes its campaign will be successful if it reaches at least 95 percent of the target population. Will it reach its goal? 4 • Fonction inverse
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97
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Exercices
a. Calculer C ′ ( x ). b. Démontrer que pour tout x de [20 ; 80 ] : 400 C ′ ( x ) = 2 ( x + 35) ( x − 35) . x c. En déduire le tableau de variations de B. d. En déduire le coût unitaire moyen minimum.
Entraînement 31
STMG
Une entreprise, spécialisée dans les fours industriels, peut en fabriquer entre 20 et 80 selon les années. Soit x le nombre de fours fabriqués annuellement.
2. On appelle CT la fonction représentant le coût total de production pour x fours. Déterminer CT ( x ).
Partie A Lectures graphiques 1. La représentation graphique donnée ci-dessous est celle d’une fonction C définie sur l’intervalle [20 ; 80 ]. Pour toutes les valeurs entières de x, C ( x ) est le coût de production unitaire moyen (en €).
3. Un four est vendu 40 000 €. On appelle R la fonction représentant la recette pour x fours produits et vendus. Déterminer R ( x ). 4.a. Montrer que pour tout x de [20 ; 80 ] : B ( x ) = −400x 2 + 40 000x − 490 000. b. Étudier les variations de B sur [20 ; 80 ]. c. Comparer aux résultats obtenus aux questions A.2.
36 000 32 000 24 000 20 000
10
20
30
40
50
60
IM EN
28 000
70
80
SP ÉC
a. Quel est le coût de production unitaire moyen lorsque 25 fours sont produits puis lorsque 70 sont produits ? b. Quelles productions correspondent à un coût unitaire de 32 500 € ? c. Quel est le coût unitaire moyen de production minimum ? À quelle production correspond-il ?
32
2. La représentation graphique donnée ci-dessous est celle d’une fonction B définie sur l’intervalle [20 ; 80 ]. Pour toutes les valeurs entières de x, B ( x ) est le bénéfice (en €) de x fours vendus. On admet alors que tous les fours produits ont été vendus. a. Quelles productions assurent un bénéfice supérieur ou égal à 350 000 € ? b. Quelle production 500 000 assure un bénéfice maximum ? Quel est 400 000 300 000 ce bénéfice ? c. Quel bénéfice est 200 000 obtenu lorsque la pro100 000 duction vise le coût unitaire moyen mini0 20 40 60 80 mum ?
STMG
Partie A Chaque semaine, une entreprise de détergent liquide estime que le coût de production (en euros) peut être modélisé par une fonction C donnée par : C ( x ) = x 2 + 60x + 121 où x est le volume de détergent (en m3), x ∈[1; 30 ]. Soit f la fonction représentant le coût moyen de production par m3 de détergent produit. 1. Montrer que pour tout x ∈[1; 30 ] : 121 . f ( x ) = x + 60 + x 2.a. Calculer f ′ ( x ) . b. Montrer que pour tout x ∈[1; 30 ] : ( x − 11)( x + 11) f ′(x) = . x2 3. Dresser le tableau de variations de f. 4. Quel est le coût moyen de production minimal ? Pour quelle quantité de détergent est-il obtenu ?
Partie B Par le calcul 1. En fait, l’expression de la fonction C, représentant le coût unitaire moyen est donnée pour 490 000 tout x de [20 ; 80 ] par : C ( x ) = 400x + . x 98
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Partie B Le dĂŠtergent est vendu Ă 110 â&#x201A;Ź/m3 et on suppose que toute la production est vendue. Le bĂŠnĂŠfice est donnĂŠ par la fonction B. 1. Montrer que pour tout x â&#x2C6;&#x2C6;[1; 30 ] : B ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;x 2 + 50x â&#x2C6;&#x2019; 121. 2. Ă&#x2030;tudier les variations de B sur [1; 30 ]. 3. Quel est le bĂŠnĂŠfice maximal ? Pour quelle quantitĂŠ de dĂŠtergent est-il obtenu ?
4.a. Quelle quantitĂŠ doit-on produire pour atteindre un coĂťt total de fabrication de 20 000 â&#x201A;ŹÂ ? b. Pour quelle quantitĂŠ de produit le coĂťt total de fabrication est-il minimal ? Ă&#x20AC; combien sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlève alors ce coĂťt ? 35 Un transporteur souhaite minimiser le coĂťt de carburant dâ&#x20AC;&#x2122;un trajet de 1 000 km en fonction de la vitesse moyenne v du camion. La consommation en carburant, exprimĂŠe (en L ¡ hâ&#x20AC;&#x201C;1) est donnĂŠe en fonction de v (en km ¡ hâ&#x20AC;&#x201C;1) par : 256 v 2 , C (v) = + 30 750 v variant entre 0 et 120 km ¡ hâ&#x20AC;&#x201C;1. Le prix dâ&#x20AC;&#x2122;un litre de carburant est de 1,5 â&#x201A;Ź. 1. Exprimer en fonction de v la durĂŠe t du trajet. 2. Montrer que lâ&#x20AC;&#x2122;expression P ( v ) reprĂŠsentant le coĂťt en carburant du trajet est : 12 800 P(v) = + 2v. v 2 ( v â&#x2C6;&#x2019; 80 ) ( v + 80 ) 3.a. Montrer que : P â&#x20AC;˛ ( v ) = . v2 b. Ă&#x2030;tudier les variations de P sur ]0 ; 120 ]. c. En dĂŠduire la vitesse moyenne de conduite que va conseiller le transporteur au camionneur.
)(
)
SP Ă&#x2030;C
(
IM EN
33 On souhaite fabriquer des boĂŽtes parallĂŠlĂŠpipĂŠdiques de 2 cm volume 500 cm3 en minimiy x sant la matière pour les fabriquer. La hauteur des boĂŽtes doit ĂŞtre de 2 cm, les autres dimensions sont notĂŠes x et y, x > 0 et y > 0. 1. En utilisant le volume dâ&#x20AC;&#x2122;une boĂŽte, exprimer y en fonction de x. 2. Montrer que lâ&#x20AC;&#x2122;aire totale S de toutes les faces 1 000 peut sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcrire : S ( x ) = 500 + 4 x + . x 3. Montrer que : 4 x â&#x2C6;&#x2019; 250 x + 250 Sâ&#x20AC;˛(x) = . x2 4. Dresser le tableau de variations de S sur ]0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[. 5. Donner les dimensions arrondies au millimètre 36 Un producteur de poules pondeuses ayant le label ÂŤ plein air Âť souhaite construire un enclos avec près. une longueur de clĂ´ture minimale. La rĂŠglementa34 Le coĂťt total de fabrication (en milliers dâ&#x20AC;&#x2122;euros) de tion lâ&#x20AC;&#x2122;oblige Ă prĂŠvoir 5 m2 par poule et il souhaite x tonnes dâ&#x20AC;&#x2122;un produit est donnĂŠ par : avoir 6 000 poules dans son bâtiment ayant libre18 ment accès Ă lâ&#x20AC;&#x2122;extĂŠrieur. f ( x ) = 2x + pour x â&#x2C6;&#x2C6; ]0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ . x y 1. Calculer f (1) et f ( 9 ) puis interprĂŠter les rĂŠsultats. 2. Calculer f â&#x20AC;˛ ( x ) et montrer que : x 2( x â&#x2C6;&#x2019; 3)( x + 3) f â&#x20AC;˛(x) = . x2 3.a. Ă&#x2030;tudier le signe de f â&#x20AC;˛ ( x ) pour tout rĂŠel x de ]0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ et dresser le tableau de variations de f. Lâ&#x20AC;&#x2122;enclos est reprĂŠsentĂŠ en rouge. b. Parmi les deux courbes ci-dessous, laquelle 1. DĂŠterminer la surface minimale que doit avoir reprĂŠsente la fonction f ? lâ&#x20AC;&#x2122;enclos. 2. Exprimer y en fonction de x. 30 30 đ?&#x2019;&#x17E;f đ?&#x2019;&#x17E;f 3. On note l ( x ) la longueur de la clĂ´ture en fonc25 25 tion de x. Montrer que : 20 20 15
15
10
10
5
5
0
5
10
15
0
5
10
(
)(
)
2 x â&#x2C6;&#x2019; 15 000 x + 15 000 x2 4. Ă&#x2030;tudier les variations de l sur ]0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ . 5. En dĂŠduire les dimensions de lâ&#x20AC;&#x2122;enclos, arrondies au dixième de mètre. lâ&#x20AC;˛( x ) =
4 â&#x20AC;˘ Fonction inverse
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99
20/03/2020 12:45
Exercices EntraĂŽnement
2 Comportement aux bornes
de lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble de dĂŠfinition
5 000
SP Ă&#x2030;C
IM EN
37 Une entreprise produit de lâ&#x20AC;&#x2122;huile essentielle de 38 Vrai ou faux ? fleur dâ&#x20AC;&#x2122;oranger. On note x le nombre de litres proPour chaque proposition, dĂŠterminer si elle duit au cours dâ&#x20AC;&#x2122;une journĂŠe, x variant entre 60 est vraie ou fausse. Justifier la rĂŠponse. et 140. Le coĂťt de production pour x litre dâ&#x20AC;&#x2122;huile 1. Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcran de calculatrice essentielle de fleur dâ&#x20AC;&#x2122;oranger est modĂŠlisĂŠ par la ci-contre est un tableau fonction f dĂŠfinie sur [60 ; 140] par : 2 de valeurs de la foncf ( x ) = x â&#x2C6;&#x2019; 120x + 9 216. tion f dĂŠfinie sur R* par : La recette pour x litre est modĂŠlisĂŠe par la fonc1 f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019; x 2 + 1. tion g dĂŠfinie par : g ( x ) = 80x. x 2. Ă&#x20AC; la calculatrice, avec 1. DĂŠterminer le prix dâ&#x20AC;&#x2122;un litre dâ&#x20AC;&#x2122;huile essentielle. une fenĂŞtre XMIN = â&#x2C6;&#x2019;5, 2. Les courbes reprĂŠsentatives de f et g sont reprĂŠXMAX = 5, YMIN = â&#x2C6;&#x2019;5 sentĂŠes ci-dessous. et YMAX = 5, la courbe reprĂŠsentative de la 12 000 fonction g dĂŠfinie par : 1 11 000 g( x ) = x3 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;4 x 10 000 â&#x2C6;&#x2019;2 est donnĂŠe ci-contre. 3. La fonction h reprĂŠ9 000 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 1 2 3 â&#x2C6;&#x2019;2 sentĂŠe ci-contre est â&#x2C6;&#x2019;4 8 000 dĂŠcroissante sur R*. 7 000 4. Pour tout rĂŠel x â&#x2030; 0 : h â&#x20AC;˛ ( x ) < 0. 5. lim h ( x ) = +â&#x2C6;&#x17E;. 6 000 C xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;
39 Dans le repère ci-contre ont 6 ĂŠtĂŠ reprĂŠsentĂŠes la courbe 4 000 đ?&#x2019;&#x17E;2 4 reprĂŠsentative dâ&#x20AC;&#x2122;une fonc3 000 tion ainsi que celle de sa 2 40 50 60 70 80 90 100 110 120 180 140 đ?&#x2019;&#x17E;1 dĂŠrivĂŠe. ReconnaĂŽtre quelle 4 6 2 courbe reprĂŠsente la fonc- â&#x2C6;&#x2019;2 0 a. Associer chaque courbe reprĂŠsentative Ă sa â&#x2C6;&#x2019;2 tion et quelle courbe reprĂŠfonction. sente sa dĂŠrivĂŠe. â&#x2C6;&#x2019;4 b. DĂŠterminer, par lecture graphique, sur quel intervalle lâ&#x20AC;&#x2122;entreprise rĂŠalise un bĂŠnĂŠfice. 40 On a reprĂŠsentĂŠ ci-contre 6 la courbe reprĂŠsentative c. Par lecture graphique, dĂŠterminer pour quelle dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction g. valeur de x le bĂŠnĂŠfice semble ĂŞtre maximal. 4 Conjecturer par lecture 3. Le coĂťt moyen de production est donnĂŠ par la 2 graphique : fonction C dĂŠfinie sur [60 ; 140] par : a. lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble de dĂŠfinition f (x) â&#x2C6;&#x2019;2 0 4 2 C(x) = . de g ; â&#x2C6;&#x2019;2 x b. les limites aux bornes de a. Montrer que pour tout rĂŠel x de [60 ; 140] : son ensemble de dĂŠfinition. ( x â&#x2C6;&#x2019; 96 )( x + 96 ) f â&#x20AC;˛(x) = . 6 x2 41 MĂŞme exercice que le 4 b. Dresser le tableau de variations de la fonction C prĂŠcĂŠdent avec la courbe sur [60 ; 140]. reprĂŠsentative de la fonc2 tion h. c. En dĂŠduire la valeur de x pour laquelle le coĂťt â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;2 0 2 4 moyen de production est minimal. D
â&#x2C6;&#x2019;2
100
9782017100409_.indb 100
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42 Dans cet exercice, on donne un tableau de valeurs pour chaque fonction. 1. La fonction f est dĂŠfinie sur R* par : 1 f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;2x 2 + 10 â&#x2C6;&#x2019; . x DĂŠterminer le comportement de f pour x prenant des valeurs très grandes. x
1
5
10
f ( x)
7
40,2
â&#x20AC;&#x201C;190,1
100
đ?&#x2019;&#x17E;1
8 6 đ?&#x2019;&#x17E;2
4 2
â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2019;&#x17E;3 â&#x2C6;&#x2019;4
1Â 000
1
2
3
â&#x2C6;&#x2019;6
â&#x20AC;&#x201C;19Â 990 â&#x2C6;&#x2019;2 Ă&#x2014; 10 6
2. La fonction g est dĂŠfinie sur R* par : 44 Le but de cet exercice est de tracer les courbes 1 g ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;3x + 10 â&#x2C6;&#x2019; . reprĂŠsentatives des fonctions f et g dĂŠfinies sur x 2 3 R* par : f ( x ) = et g ( x ) = 4 â&#x2C6;&#x2019; . DĂŠterminer le comportement de g pour x prenant x x des valeurs très proches de 0 par valeurs nĂŠgatives. 1. ComplĂŠter le tableau de valeurs ci-dessous. x
â&#x20AC;&#x201C;1
â&#x20AC;&#x201C;0,5
â&#x20AC;&#x201C;0,1
â&#x20AC;&#x201C;0,01
â&#x20AC;&#x201C;0,001
g( x)
x
â&#x20AC;&#x201C;5 â&#x20AC;&#x201C;4 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;0,5 â&#x20AC;&#x201C;0,2 0,2 0,5 1
14
13,5
20,3
110,3
1 010
f ( x)
â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
2
4
5
â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś
IM EN
â&#x20AC;Ś
SP Ă&#x2030;C
2. Ă&#x20AC; lâ&#x20AC;&#x2122;aide dâ&#x20AC;&#x2122;un tableau de valeurs, construire les 3. La fonction h est dĂŠfinie sur R* par : courbes reprĂŠsentatives des fonctions f et g. 4 h ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;2x 3 â&#x2C6;&#x2019; . x DĂŠterminer le comportement de h pour x prenant 45 QCM Soit g une fonction dĂŠfinie sur R* par : des valeurs très petites. 2 g ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;x 2 + . x â&#x20AC;&#x201C;1 â&#x20AC;&#x201C;10 â&#x20AC;&#x201C;100 x 6 2 000,4 2 Ă&#x2014; 10 6 h( x ) Sa courbe reprĂŠsentative est donnĂŠe ci-dessous. Pour chaque question, choisir la bonne proposi4. La fonction j est dĂŠfinie sur R* par : tion. Justifier la rĂŠponse. 1 1. Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite de j ( x ) = 10 â&#x2C6;&#x2019; . x la tangente en â&#x20AC;&#x201C;1 est : 4 DĂŠterminer le comportement de j pour x prenant a. Tâ&#x2C6;&#x2019;1 : y = â&#x2C6;&#x2019;x â&#x2C6;&#x2019; 3. 2 des valeurs très grandes. đ?&#x2019;&#x17E;g b. Tâ&#x2C6;&#x2019;1 : y = â&#x2C6;&#x2019;3. Tâ&#x2C6;&#x2019;2 c. Tâ&#x2C6;&#x2019;1 : x = â&#x2C6;&#x2019;3. x 1 10 100 100 1 000 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;2 0 4 2 9 9,9 9,99 9,999 9,9999 j ( x) 2. Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite de â&#x2C6;&#x2019;2 Tâ&#x2C6;&#x2019;1 la tangente en â&#x20AC;&#x201C;2 est : â&#x2C6;&#x2019;4 5. La fonction k est dĂŠfinie sur R* par : a. Tâ&#x2C6;&#x2019;2 : y = â&#x2C6;&#x2019;2x â&#x2C6;&#x2019; 5. 1 7 k ( x ) = x2 + 3 â&#x2C6;&#x2019; . b. Tâ&#x2C6;&#x2019;2 : y = x + 2. x 2 2 DĂŠterminer le comportement de k pour x prenant c. Tâ&#x2C6;&#x2019;2 : y = x + 2. 7 des valeurs très proches de 0 par valeurs positives. 3. lim g ( x ) = ? x
1
0,5
0,1
0,01
0,001
k( x)
3
1,25
â&#x20AC;&#x201C;6,99
â&#x20AC;&#x201C;97
â&#x20AC;&#x201C;997
xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E;
a. 0
b. +â&#x2C6;&#x17E;
c. â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;
4. lim g ( x ) = ? 43 Les fonctions f, g et h reprĂŠsentĂŠes ci-dessous sont dĂŠfinies par : 1 1 3 f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;3 + , g ( x ) = 2 â&#x2C6;&#x2019; et h ( x ) = 2x + 1+ . x x x Associer Ă chaque courbe la fonction qui lui correspond.
xâ&#x2020;&#x2019;0 x<0
a. 5. a. b. c.
0 b. +â&#x2C6;&#x17E; c. â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; La dĂŠrivĂŠe de la fonction g est : positive sur ]â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; ; 0[ nĂŠgative sur ]â&#x2C6;&#x2019;1; +â&#x2C6;&#x17E;[ nĂŠgative sur ]â&#x2C6;&#x2019;1; 0[ â&#x2C6;Ş ]0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ 4 â&#x20AC;˘ Fonction inverse
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101
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Exercices 350
Perfectionnement
đ?&#x2019;&#x17E;
250 150
46 CoĂťt moyen et coĂťt marginal
đ?&#x2019;&#x;
50
Une entreprise fabrique chaque semaine une quantitÊ q (en tonnes) de produit chimique. Elle produit entre 10 et 100 tonnes par semaine. Le coÝt total de q tonnes est donnÊ par la fonction dÊfinie sur [10 ; 100 ] par : C ( q ) = 3q 2 + 40q + 2 700.
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
Raisonner â&#x20AC;˘Â Communiquer â&#x20AC;˘Â ReprĂŠsenter
Une règle ĂŠconomique affirme que le coĂťt moyen unitaire est minimal lorsquâ&#x20AC;&#x2122;il est ĂŠgal au coĂťt marginal. Cette règle sâ&#x20AC;&#x2122;applique-t-elle ici ?
SP Ă&#x2030;C
IM EN
47 Le verrier de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŽle de Murano Partie A CoĂťt moyen unitaire Le coĂťt moyen unitaire est le coĂťt moyen dâ&#x20AC;&#x2122;une Ă&#x20AC; Murano, un artisan verrier a calculĂŠ que le tonne de produit lorsque q tonnes sont produites. coĂťt de production (en euros) de x vases est On appelle CM la fonction reprĂŠsentant le coĂťt donnĂŠ par : C ( x ) = x 2 + 30x + 400. Il cherche Ă C (q) fabriquer un nombre de vases maximal avec un moyen unitaire : CM ( q ) = . q coĂťt unitaire moyen le plus faible possible. 1. Raisonner DĂŠmontrer que pour tout rĂŠel q de 2 700 . [10 ; 100 ] : CM ( q ) = 3q + 40 + q 2. Calculer a. Calculer CMâ&#x20AC;˛ ( q ). b. DĂŠmontrer que pour tout rĂŠel q de [10 ; 100 ] : 3 ( q â&#x2C6;&#x2019; 30 ) ( q + 30 ) . CMâ&#x20AC;˛ ( q ) = q 3. ReprĂŠsenter Dresser le tableau de variations de Partie A CM. 1. Calculer â&#x20AC;˘Â ModĂŠliser ModĂŠliser Quel est le coĂťt moyen uni4. a. Calculer C ( 0 ) et en dĂŠduire les frais fixes de taire minimal ? Pour quelle quantitĂŠ de produit lâ&#x20AC;&#x2122;artisan. chimique est-il atteint ? b. Quel est le coĂťt de production de 20 vases ? c. Pour 20 vases, calculer le coĂťt moyen de proPartie B CoĂťt marginal duction dâ&#x20AC;&#x2122;un vase. Ce coĂťt est appelĂŠ coĂťt unitaire Le coĂťt marginal est le supplĂŠment de coĂťt engenmoyen pour 20 vases fabriquĂŠs. drĂŠ par la production dâ&#x20AC;&#x2122;une tonne de produit sup2. Raisonner On note f ( x ) le coĂťt unitaire plĂŠmentaire, câ&#x20AC;&#x2122;est-Ă -dire : moyen pour x vases fabriquĂŠs. Pour une producCm ( q ) = C ( q + 1) â&#x2C6;&#x2019; C ( q ). tion dâ&#x20AC;&#x2122;au moins un vase ( x ! 1), exprimer f ( x ) en ModĂŠliser Calculer Cm (20 ). InterprĂŠter ce 1. fonction de x. rĂŠsultat avec les donnĂŠes de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠnoncĂŠ. 3. Calculer â&#x20AC;˘Â ModĂŠliser On admet que le coĂťt 2. Calculer DĂŠmontrer que pour tout rĂŠel q de moyen unitaire (en euros) pour x vases fabriquĂŠs [10 ; 100 ] : Cm ( q ) = 6q + 43. peut sâ&#x20AC;&#x2122;exprimer en fonction de x comme suit : 3. DĂŠterminer C â&#x20AC;˛ ( q ). Quelle est la diffĂŠrence 400 f ( x ) = x + 30 + . entre Cm ( q ) et C â&#x20AC;˛ ( q ) ? x Remarque : En pratique, on assimile le coĂťt margia. Calculer f â&#x20AC;˛ ( x ) . ( x â&#x2C6;&#x2019; 20 )( x + 20 ) nal de production Ă la dĂŠrivĂŠe du coĂťt total. . b. Montrer que : f â&#x20AC;˛ ( x ) = x2 Partie C Comparaison du coĂťt marginal c. Ă&#x2030;tudier le signe de f â&#x20AC;˛ ( x ) et en dĂŠduire les et du coĂťt moyen variations de f. d. Combien de vases doit produire lâ&#x20AC;&#x2122;artisan pour La courbe C reprĂŠsentant le coĂťt moyen unitaire que le coĂťt moyen unitaire soit minimal ? Donner et la droite D reprĂŠsentant le coĂťt marginal sont ce coĂťt. donnĂŠes sur le graphique ci-après. 102
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4. Calculer â&#x20AC;˘Â ModĂŠliser a. ComplĂŠter le tableau. On arrondit les rĂŠsultats Ă lâ&#x20AC;&#x2122;unitĂŠ. x
5 10 15 20 30 40 50 100 200 500 1Â 000 10Â 000
f ( x)
â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
b. En dÊduire le comportement de f ( x ) lorsque x devient très grand. InterprÊter le rÊsultat.
SP Ă&#x2030;C
IM EN
Partie B Python Le verrier souhaite fabriquer chaque jour au moins 20 vases mais se fixe comme objectif de ne pas dĂŠpasser 100 â&#x201A;Ź de coĂťt unitaire moyen. On propose le script Python suivant afin de dĂŠterminer la quantitĂŠ de vases maximale Ă produire pour respecter cet objectif. Tester en environnement Python avec le ďŹ chier C04_Ex.47. Ce script renvoie la valeur 64. 1. Calculer Calculer f ( 64 ). 2. Chercher Quelle modification faut-il apporter au script afin quâ&#x20AC;&#x2122;il remplisse correctement son rĂ´le ? 3. Raisonner â&#x20AC;˘Â ModĂŠliser Quel est le nombre maximal de vases que lâ&#x20AC;&#x2122;artisan peut produire tout en respectant son objectif ?
2. ModĂŠliser Quelle situation apporte le plus de satisfaction Ă CĂŠdric ? 3. Calculer Comparer S ( x, y ) et S ( y, x ). Traduire cette comparaison avec les donnĂŠes de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠnoncĂŠ. 4. ReprĂŠsenter On appelle courbe dâ&#x20AC;&#x2122;indiffĂŠrence de niveau k lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des points M( x, y ) tels que S ( x, y ) = k , k correspondant Ă un niveau de satisfaction de CĂŠdric. a. VĂŠrifier que la courbe dâ&#x20AC;&#x2122;indiffĂŠrence de niveau 5 5 a pour ĂŠquation : y = . Quelle est la nature de x cette courbe reprĂŠsentative ? b. Dans un repère orthogonal dâ&#x20AC;&#x2122;unitĂŠ graphique 1 cm sur lâ&#x20AC;&#x2122;axe des abscisses et 2 cm sur lâ&#x20AC;&#x2122;axe des ordonnĂŠes, tracer les courbes dâ&#x20AC;&#x2122;indiffĂŠrence de niveau 30 et de niveau 70. Voici quelques courbes dâ&#x20AC;&#x2122;indiffĂŠrence.
10
8
đ?&#x2019;&#x17E;20
đ?&#x2019;&#x17E;30 đ?&#x2019;&#x17E;50 đ?&#x2019;&#x17E;60
đ?&#x2019;&#x17E;70
6
4
đ?&#x2019;&#x17E;5
đ?&#x2019;&#x17E;10
2
48 Niveau de satisfaction
et courbes dâ&#x20AC;&#x2122;indiffĂŠrence
CĂŠdric achète rĂŠgulièrement des livres et il va rĂŠgulièrement au cinĂŠma. On appelle x le nombre de livres quâ&#x20AC;&#x2122;il achète chaque annĂŠe et y le nombre de sĂŠances de cinĂŠma auxquelles il assiste. Comme il aime autant aller au cinĂŠma que lire un livre, on ĂŠvalue son niveau de satisfaction avec la fonction S dĂŠfinie par : S ( x, y ) = xy, x et y ĂŠtant strictement positifs. Plus ce nombre, sans unitĂŠ, est grand, plus CĂŠdric est satisfait.
1. Calculer Quel est le niveau de satisfaction de CÊdric dans chaque situation ? a. Il achète 3 livres et va 2 fois au cinÊma. b. Il achète 1 livre et va 4 fois au cinÊma.
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5. Calculer â&#x20AC;˘Â Raisonner CĂŠdric consacre un budget annuel de 100 â&#x201A;Ź pour le cinĂŠma et la lecture. On considère quâ&#x20AC;&#x2122;un livre de poche coĂťte 5 â&#x201A;Ź et quâ&#x20AC;&#x2122;une place de cinĂŠma coĂťte 6 â&#x201A;Ź. a. Peut-il acheter 6 livres et aller 8 fois au cinĂŠma ? b. Lorsque CĂŠdric dĂŠpense son budget maximal, justifier que x et y doivent vĂŠrifier : 5x + 6y = 100. c. On admet que cette ĂŠquation peut ĂŞtre reprĂŠsentĂŠe graphiquement par une droite D. Montrer 5 100 que D a pour ĂŠquation rĂŠduite : y = â&#x2C6;&#x2019; x + . 6 6 6. ReprĂŠsenter Tracer cette droite dans le graphique prĂŠcĂŠdent. 7. Communiquer â&#x20AC;˘Â ModĂŠliser Avec ce budget de 100 â&#x201A;Ź, CĂŠdric peut-il avoir un niveau de satisfaction de 30 ? Si oui, pour quelles valeurs de x et de y ? MĂŞme question avec le niveau de satisfaction 70. 4 â&#x20AC;˘ Fonction inverse
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103
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Ateliers algorithmiques et numĂŠriques
ATELIER
1
15 min
CAPACITĂ&#x2030; â&#x20AC;˘ ModiďŹ er une fonction simp
le en Python
On a tracĂŠ ci-contre les courbes reprĂŠsentatives des fonctions f et g x3 2 dĂŠfinies sur ]0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ par f ( x ) = et g ( x ) = . 3 x 1
Python
Ă&#x2030;quation et balayage
Raisonner
Justifier graphiquement que lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation f ( x ) = g ( x ) admet une seule solution ι sur ]0 ; 3 ]. Donner un encadrement entre deux entiers consĂŠcutifs de celle-ci.
2
đ?&#x2019;&#x17E;g 2
1
đ?&#x2019;&#x17E;f
0
2
1
Raisonner â&#x20AC;˘Â Calculer
20 min
Comportement asymptotique
SP Ă&#x2030;C
ATELIER
2
IM EN
La fonction balayage du fichier Python C04_Atelier1 permet dâ&#x20AC;&#x2122;obtenir une valeur approchĂŠe Ă 0,01 près de la solution de cette ĂŠquation. a. Modifier la fonction ÂŤÂ balayage  afin quâ&#x20AC;&#x2122;elle donne une valeur approchĂŠe de Îą avec une prĂŠcision donnĂŠe. b. Donner une valeur approchĂŠe de Îą Ă 10â&#x20AC;&#x201C;5 près.
CAPACITĂ&#x2030; â&#x20AC;˘ Ă&#x2030;tudier et reprĂŠsenter une fonction obtenue par combinaison linĂŠaire de la fonction inverse et dâ&#x20AC;&#x2122;une fonction polynom iale
5 On considère la fonction f dĂŠfinie sur [ 0 ; +â&#x2C6;&#x17E;[ par : f ( x ) = 3 â&#x2C6;&#x2019; . Le but de lâ&#x20AC;&#x2122;atelier est dâ&#x20AC;&#x2122;observer x son comportement en lâ&#x20AC;&#x2122;infini et de rĂŠaliser un programme qui donne des valeurs seuils de x. 1
ReprĂŠsenter
Tracer la courbe reprÊsentative de la fonction avec un logiciel de gÊomÊtrie dynamique ou la calculatrice. Quel comportement de la fonction f peut-on observer lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes ? 2
Calculer â&#x20AC;˘Â Raisonner
ComplĂŠter le tableau suivant. x
10
100
500
1Â 000
5Â 000
10Â 000
100Â 000
1Â 000Â 000
f ( x)
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
Lâ&#x20AC;&#x2122;observation faite Ă partir de la courbe est-elle confirmĂŠe ? Python
3
Calculer â&#x20AC;˘Â Raisonner â&#x20AC;˘Â ModĂŠliser
On admet maintenant que la conjecture de la question 2 est correcte et que : lim f ( x ) = 3. xâ&#x2020;&#x2019;+â&#x2C6;&#x17E; Utiliser le programme Python du fichier C04_Atelier2. a. ExĂŠcuter le programme, donner le rĂŠsultat et lâ&#x20AC;&#x2122;interprĂŠter. b. Le modifier afin quâ&#x20AC;&#x2122;il donne le premier entier x Ă partir duquel f ( x ) est proche de 3 avec une prĂŠcision donnĂŠe. c. DĂŠterminer avec ce programme Ă partir de quel entier x les valeurs de f ( x ) sont proches de 3 Ă 0,0001 près.
104
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20/03/2020 12:45
ATELIER
3
30 min
Tangentes communes
CAPACITÉ • Déterminer graphiqu ement le coefficient directeur d’une tangente à une cour be
Géométrie dynamique
Cet atelier a pour but de rechercher parmi les tangentes de la courbe de la fonction carré s’il en existe une qui soit aussi tangente à la courbe de la fonction inverse. 1
Représenter
Dans un logiciel de géométrie dynamique, tracer les courbes des fonctions carré et inverse, puis suivre les étapes suivantes. • Créer un curseur a allant de –10 à 10 (incrément : 1). • Créer un point A=(a, a^2) où a est le curseur précédemment créé. • Tracer la tangente en A à la courbe de la fonction carrée. • Faire glisser le curseur jusqu’à obtenir une tangente commune aux deux courbes. • Placer un point B à l’intersection de la courbe de la fonction inverse et de la tangente. Lire l’équation de la tangente et les coordonnées des points A et B ainsi obtenus. 2
3
Calculer
30 min
Limites infinies
SP ÉC
ATELIER
4
Les résultats obtenus à la question 2 confirment-ils les conjectures graphiques de la question 1 ?
IM EN
a. Déterminer par le calcul l’équation de la tangente en A à la courbe de la fonction carré. b. Déterminer de même l’équation de la tangente en B à la courbe de la fonction inverse.
Modéliser • Communiquer
CAPACITÉ • Étudier le comporteme nt d’une fonction obtenue par combinaison linéaire de la fonction inverse et d’une fonction polynom iale de degré 3
3 On considère la fonction définie sur R* par : f ( x ) = x 3 − 2x 2 − x − 6 + . On souhaite x étudier le comportement de cette fonction aux bornes de son ensemble de définition. 1
Calculer • Raisonner
a. Avec la fonction table d’une calculatrice, compléter les tableaux suivants. x f ( x) x f ( x)
10
100
500
1 000
2 000
5 000
10 000
…
…
…
…
…
…
…
–10
–100
–500
–1 000
–2 000
–5 000
–10 000
…
…
…
…
…
…
…
b. En déduire une conjecture sur le comportement de la fonction en −∞ et en +∞.
Tableur
2
Calculer • Raisonner
On considère la feuille de calcul du fichier C04_Atelier4. a. Quelles formules doit-on saisir dans les cellules A3 et B2 puis reproduire par recopie vers le bas afin d’obtenir ces résultats ? Utiliser un tableur, p. 196
b. Quel comportement de la fonction illustre cette feuille de calcul ? c. Refaire sur le même modèle une feuille de calcul permettant d’observer le comportement de la fonction lorsque x est proche de 0 tout en restant négatif. Émettre une conjecture sur celui-ci. 4 • Fonction inverse
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105
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Ă&#x160;tre prĂŞt pour le BAC
E3C
 CompÊtences mobilisÊes Exercices Chercher ModÊliser ReprÊsenter Raisonner A.2 et 3, 50 A B.3 51 B.1 et 2 B.1 et 2 52
Première partie
(Ă traiter sans calculatrice) Automatismes
49
3.d
1, 2.a
2.b, 3.a
Calculer
Communiquer
B.1 et 2 A 3.b et c
(calculatrice autorisĂŠe)
Seconde partie 50 Fonction inverse
Questions ďŹ&#x201A;ash
Une entreprise fabrique des ordinateurs. Lorsquâ&#x20AC;&#x2122;elle produit x centaines dâ&#x20AC;&#x2122;ordinateurs, on sait que : â&#x20AC;˘ le coĂťt de fabrication comprenant la maindâ&#x20AC;&#x2122;Ĺ&#x201C;uvre et la matière première est 30x (en centaines dâ&#x20AC;&#x2122;euros) ; 1 000 â&#x20AC;˘ le coĂťt dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠtude est : 10x + x (en centaines dâ&#x20AC;&#x2122;euros) ; â&#x20AC;˘ le coĂťt total est la somme des coĂťts de fabrication et dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠtude. Pour ĂŠtudier le coĂťt total, on introduit les fonctions g et h dĂŠfinies sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [1; 10 ] par : 1 000 g ( x ) = 30x et h ( x ) = 10x + oĂš les valeurs x entières de x reprĂŠsentent le nombre dâ&#x20AC;&#x2122;ordinateurs produits. On a reprĂŠsentĂŠ ci-dessous D la courbe reprĂŠsentative de g et H celle de h.
IM EN
Q1. Lire 3 graphiquement T 2 lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite 1 de la tangente T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 en 3 Ă la courbe â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2019;&#x17E;f reprĂŠsentative â&#x2C6;&#x2019;3 de la fonction f. Q2. Ă&#x2030;tudier le sens de variations de la 1 fonction g dĂŠfinie sur R* par : g ( x ) = 2 â&#x2C6;&#x2019; . x Q3. Soit h la fonction dĂŠfinie sur R par : 2 h ( x ) = â&#x2C6;&#x2019; x 3 + 5x 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 x + 2. 3 DĂŠterminer h â&#x20AC;˛ ( x ) . Q4. Calculer le coefficient directeur de la tangente en 1 Ă la courbe reprĂŠsentative de
SP Ă&#x2030;C
1 la fonction g dĂŠfinie sur R* par : g ( x ) = 2 â&#x2C6;&#x2019; . x Q5. DĂŠterminer le signe de : A ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;3x (2x â&#x2C6;&#x2019; 8 ) ( x + 5) .
Q6. Soi m la fonction dĂŠfinie sur R* par : 1 m ( x ) = 2x 2 + 5x â&#x2C6;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x2019; . x DĂŠterminer m â&#x20AC;˛ ( x ). 2 đ?&#x2019;&#x17E;f Q7. Soit f la fonction dĂŠfinie â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;2 0 2 4 sur R* par : â&#x2C6;&#x2019;2 3 f (x) = 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 . â&#x2C6;&#x2019;4 x Elle est reprĂŠsentĂŠe ci-dessus. DĂŠterminer le comportement de f ( x ) quand x prend des valeurs de plus en plus grandes. Q8. DĂŠterminer le comportement de la fonction f de la question prĂŠcĂŠdente quand x se rapproche de 0, par valeurs positives. Q9. Ă&#x2030;tudier le sens de variation de la fonction h 5 1 dĂŠfinie sur R* : par h ( x ) = â&#x2C6;&#x2019; x + . 2 3x Q10. DĂŠterminer lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite de la tangente T en 1 Ă la courbe reprĂŠsentative de la fonction g dĂŠfinie sur R* par : 2 3 1 g( x ) = x3 â&#x2C6;&#x2019; x2 + . 3 2 x
â&#x201E;&#x2039;
800 600 400 200 0
đ?&#x2019;&#x; 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Partie A Ă&#x2030;tude graphique Les rĂŠsultats seront lus graphiquement avec la prĂŠcision permise par le graphique. 1. ComplĂŠter le tableau suivant. x
2
5
10
CoĂťt de fabrication
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
CoĂťt dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠtude
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
CoĂťt total
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
â&#x20AC;Ś
2. Donner la valeur de x pour laquelle les deux coĂťts sont identiques. 3. Combien doit-on produire dâ&#x20AC;&#x2122;ordinateurs pour que le coĂťt dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠtude devienne strictement infĂŠrieur Ă celui de fabrication ?
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20/03/2020 12:45
taire (ici, une paire de chaussures supplémentaire). Partie B Recherche d’un coût total minimum On estime que C ′ est une bonne approximation de On introduit la fonction f définie sur [1; 10 ] par : ce coût marginal. La rentabilité est censée être 1 000 f ( x ) = 40x + . atteinte pour une production telle que le coût marx ginal est égal au coût moyen unitaire. Par lecture 1. Calculer f ′ ( x ) et vérifier que : sur le graphique de la partie A, retrouve-t-on la 40 ( x − 5) ( x + 5) f ′( x) = . quantité à produire de la question 1 ? x2 2. Étudier le signe de f ′ ( x ) et en déduire le 52 Série statistique à deux variables tableau de variations de f sur [1; 10 ]. & Fonction inverse 3. Pour quel nombre d’ordinateurs le coût total est-il minimal ? Donner ce coût minimal. Une entreprise a relevé au cours des huit derniers mois les prix de vente (au kg) et les quan51 Fonction inverse tités achetées (en millier de tonnes) d’un de ses produits. Partie A Étude mathématique Prix de vente (en €) xi
1
Quantités achetées (en milliers de tonnes)
18 17,9 17,6 17,3 17,4 17,2 16,8 17
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
IM EN
On considère les fonc- 100 tions C et f définies 80 sur [5 ; 50 ] par : C ( x ) = x 2 + 16x + 256 60 C(x) 30 et f ( x ) = . x 20 On donne ci-contre la courbe représentative 0 de la fonction f.
10 20 30 40 50
SP ÉC
1. Calculer C ′ ( x ) et représenter la courbe représentative de C ′ dans le repère précédent. 256 2. Montrer que : f ( x ) = x + 16 + . x ( x − 16 )( x + 16 ) 3. Montrer que : f ′ ( x ) = . x2 4. En déduire le signe de f ′ ( x ) puis les variations de f. Reporter les résultats dans un tableau de variations. Partie B Application économique
Une entreprise, qui fabrique des chaussures, fait une étude sur sa production journalière, qui est comprise entre 5 et 50 paires de chaussures. Le coût total de production (en €), de x paires de chaussures est donné par C ( x ). Le coût moyen unitaire (en €) pour x paires de chaussures est donc donné par f ( x ). L’entreprise considère que son activité est rentable lorsque sa production correspond au coût moyen unitaire minimal. 1. En utilisant la partie A, donner la quantité de paires de chaussures que doit produire quotidiennement l’entreprise pour être rentable. 2. En économie, on appelle coût marginal le coût engendré par la production d’une unité supplémen-
1. Représenter le nuage de points de coordonnées ( xi ; yi ) correspondant à cette série statistique dans un repère orthogonal, avec pour unités graphiques : • sur l’axe des abscisses, 1 cm pour 0,10 €, en commençant à 1 € ; • sur l’axe des ordonnées, 1 cm pour 0,10 millier de tonnes, en commençant à 16,8 milliers de tonnes. 2.a. Tracer la droite D d’équation y = −1,6x + 19,6 dans le repère précédent. b. Cette droite permet-elle de réaliser un ajustement affine de la série statistique ? Si oui, déterminer les quantités achetées si le prix de vente est fixé à 2 €. 3. Le coût de production (en millier d’euros) pour fabriquer q milliers de tonnes de produit est : q2 C (q) = 4 + q + . 4 Pour que l’entreprise soit rentable, on admet que sa capacité de production mensuelle est comprise entre un et vingt milliers de tonnes. a. Déterminer U ( q ) le coût unitaire de production d’un millier de tonnes de produit A pour une production q (en millier de tonnes). ( q − 4 )( q + 4 ) b. Montrer que : U ′ ( q ) = . 4q 2 c. Étudier les variations de U. d. L’entreprise décide de choisir le niveau de production qui minimisera son coût unitaire. Déterminer cette production. 4 • Fonction inverse
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107
20/03/2020 12:46
Pour l’enseignant Diaporama
Se préparer matismes et réviser ses auto Questions flash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses. y 3 2 1
1 Les points du graphique ci-contre appartiennent à la droite d’équation : a. y = −2x − 1 b. y = − x − 1 Automatisme D. 28 c. y = 2x − 1
0 1 2 x
IM EN
−2 −1 −1
5
2 Parmi les nuages de points suivants, lequel n’est pas associé à une fonction usuelle ? y
y
SP ÉC
y
x
a.
b.
3 La droite passant par les points de coordonnées ( −5 ; 1) et (2 ; 8 ) a pour équation : a. y = 6 x + 1 b. y = x + 6 Automatisme D. 29 c. x = −5
x
c.
x
4 La moyenne des valeurs de la liste [ −12 ; 10 ; 5 ; −3 ] est : 30 a. égale à . 4 b. égale à 0. c. la médiane.
5 Si le coût C de production de N objets vérifie la relation C = 100N + 20, alors : 1 C − 20 b. N = − C + 20 c. N = a. N = 100C + 20 100 100 Automatisme C. 10
108
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20/03/2020 12:46
Séries statistiques à deux variables quantitatives
SP ÉC
IM EN
Les Maldives sont un des pays les plus vulnérables au réchauffement climatique. Les statistiques sont cruciales pour prévoir l’évolution du climat. Elles permettent d’établir des corrélations entre différentes grandeurs comme la température, les précipitations, la teneur en CO2 de l’atmosphère, le niveau d’industrialisation, etc.
s maths Dans l’histoire de Jusqu’au XVIIIe siècle, les statistiques n’étaient développées que pour la collecte de données (production agricole, collecte de l’impôt, nombre d’habitants, etc.). Elles servirent d’abord à prévoir le montant de rentes et à calculer des assurances, puis à étudier des trajectoires en astronomie, notamment avec la méthode des moindres carrés développée par Karl Friedrich Gauss.
9782017100409_.indb 109
Et aujourd’hui ? L’étude de séries statistiques est désormais omniprésente. Il s’agit principalement de travailler sur des séries chronologiques pour déceler des relations empiriques entre des grandeurs, par exemple, la résistance de nouveaux matériaux et la durée de vie des composants utilisés dans les appareils du quotidien. L’intelligence artificielle nécessite aussi l’utilisation de séries statistiques.
109
20/03/2020 12:46
Construire le cours Activité
1 Nuage de points d’une série statistique à deux variables Représenter l’évolution d’un prix au cours du temps Un comparateur de prix sur Internet a étudié l’évolution du prix d’un jeu vidéo dans une grande enseigne suivant le temps écoulé (en mois) après sa sortie. Le résultat de l’enquête peut être visualisé à l’aide du graphique ci-contre. 1 Quel est le prix de vente de ce jeu vidéo à sa sortie ?
70 60 50 40 30 0
Prix
Mois 1
4
3
2
5
6
2 Au cours des six premiers mois, quel est approximativement son prix le plus haut et quel est le plus bas ? 3 Donner la tendance générale d’évolution de ce prix. Si elle se poursuit, à quel prix peut-on estimer le jeu au 7e mois de sa sortie ?
• •
X
x1
x2
Y
y1
y2
IM EN
Définitions Soit deux variables quantitatives X et Y étudiées sur un même ensemble d’individus. On les représente dans un tableau dans lequel sont consignées N séries de relevés de valeurs. …
xN
…
yN
2 Ajustement affine d’un nuage de points Activité
y
Dans un repère du plan, le nuage de points associé à cette série statistique (ou à ce tableau statistique) est l’ensemble des points de coordonnées ( xi , yi ), où l’entier naturel i prend toutes les valeurs comprises entre 1 et N. Si la variable X correspond à des dates, la série est dite chronologique.
SP ÉC
À retenir
Atelier 1, p. 124 pour un prolongement
Interpoler et extrapoler une distance de freinage
Un constructeur automobile procède à des tests de freinage sur un prototype de véhicule. Il relève, pour chaque vitesse, la distance nécessaire à son véhicule pour s’arrêter sur route mouillée et obtient les données suivantes. 1 Proposer une équation de droite passant « au plus près » de chacun des points du nuage. 2 À l’aide de cette équation, estimer la distance de freinage nécessaire pour une voiture qui roule à 80 km/h puis à 130 km/h.
yi xi
x
Vitesse (km/h) 50
70
90 110
25
50
70
Distance (m) 140 120 100 80 60 40 20 0
95
Distance de freinage (m)
Vitesse (km/h) 20 40 60 80 100 120
À retenir
Définitions
•
•
Déterminer un ajustement affine d’une série statistique de deux variables revient à trouver une fonction affine qui exprime de façon approchée les valeurs y prises par Y en fonction de celles de x prises par X. Une droite d’ajustement d’un nuage de points est une droite passant « au plus près » du nuage de points associé à cette série.
y
4
y = 0,5x + 2,5
2 −2
0
2
4
6
x
110
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20/03/2020 12:46
Acquérir les méthodes 1
EXERCICE RÉSOLU
2014 2015 2016 2017 2018
Année
0 1 2 3 4 Rang de l’année xi Représenter un nuage de points ; Nombre d’habitants déterminer et utiliser un ajustement affine 15,2 15,25 15,4 15,5 15,55 yi (en milliers) Le tableau ci-contre donne l’évolution de la population d’une région du monde. 1 Méthode a. Représenter cette série statistique par un nuage de points et tracer • Bien identifier ce qui doit une droite d’ajustement de ce nuage, dont on donnera une équation. être placé en abscisse et b. En utilisant cet ajustement, quel serait le nombre d’habitants de en ordonnée. cette région du monde en 2020 ? • Repérer les plus petites
et plus grandes valeurs pour choisir l’échelle.
Résolution
a. 1 2 Une équation réduite de la droite est : y = 0,1x + 15,2. 3 b. 2020 correspond au rang 6. On détermine le nombre d’habitants par y lecture graphique ou on le calcule : 16 y = 0,1 × 6 + 15,2 = 15,8. 15,8 On trouve environ 15,8 milliers 15,6 15,4 d’habitants. 15,2
2
EXERCICE RÉSOLU
0
1
2
4
3
Effectuer un changement de variable On donne un tableau de valeurs et deux représentations graphiques d’une série statistique. L’une des données est modifiée à l’aide du changement de variable ui = x i2.
0
(1)
50
y 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000
100
x
0
3 Méthode
2 000
5
6
Lire l’ordonnée à l’origine et la pente ou calculer celle-ci : y − yA m= B . xB − x A
x
xi
10
20
ui = xi2
100
400
yi
47
197
SP ÉC
y 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000
On trace une droite qui passe « au plus près » des points (plusieurs solutions possibles).
IM EN
15
2 Méthode
40
50
80
100
1 600 2 500 6 400 10 000 827
1 240 3 202 5 000
(2)
10 000 u
6 000
a. Pour quel graphique un ajustement affine semble-t-il pertinent ? b. On admet que l’ajustement affine choisi pour la série donne : y = 0,5u + 2. Exprimer y en fonction de x. Résolution
a. Les points du nuage (2) sont moins dispersés autour d’une droite que ceux du (1). Un ajustement affine est donc plus pertinent pour le (2). b. On sait que : ui = x i2. On remplace donc u par x 2 dans : y = 0,5u + 2. On obtient : y = 0,5x 2 + 2.
À votre tour !
Voir aussi exercices 1 à 10, p. 114-115
1 Représenter le nuage de points associé à la série statistique ci-contre.
xi
−1
0
5
7
10
y 8
yi
3
−2
7
3
−1
6
2 Proposer un ajustement affine du nuage de points ci-contre en précisant l’équation de droite choisie. 1 3 Pour l’étude d’une série statistique ( x i ; yi ), avec le changement de variable ti = , yi on obtient l’ajustement affine : t = 2x + 1. Exprimer y en fonction de x.
4 A
E D C B
2 0
2
4
6x
5 • Séries statistiques à deux variables quantitatives
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111
20/03/2020 12:46
Faire le point sur l’essentiel priétés Définitions et pro Série statistique à deux variables
Tracer un nuage de points dans un repère adapté
Déterminer un ajustement d’un nuage de points
y 800 600
50 55 60 65 70 75 80 85 x
Ajustement affine par une approche graphique
Ajustement affine par la méthode des moindres carrés (calculatrice, tableur, Python, etc.)
IM EN
400
y
3 2 1
−2 −1 0 −1
SP ÉC
Lire un graphique et décrire la forme d’un nuage de points
1
2
3 x
Effectuer un changement de variable pour aboutir à un ajustement affine
Capacités Je suis capable de…
Je m’entraîne avec…
C1 • Représenter un nuage de points
EXERCICE RÉSOLU
1, p. 111
C2 • Déterminer et utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler des valeurs inconnues
EXERCICE RÉSOLU
1, p. 111
EXERCICE RÉSOLU
2, p. 111
C3 • Représenter un nuage de points en effectuant un changement de variable donné afin de conjecturer une relation de linéarité entre de nouvelles variables 112
9782017100409_.indb 112
20/03/2020 12:46
Pour l’enseignant Diaporama
Réponses page 204
ion Auto-évaluat
Questions flash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses.
À quel tableau correspond le graphique ci-contre ? a.
1
C 50 40 30 20 10
2
Lequel des ajustements proposés en bleu est affine ? a. 4
0
1
2
3
C
0
1
2
3
3,5
q
10
37
22
0
23
q
10
37
22
0
23
C
0
1
2
3
3,5
q
0
1
2
C
10
37
22
3
4 q
2 1 −1 0
b.
1 2 3 4 5 6
b.
IM EN
c.
5 4 3 2 1
3
3,5
0
23
0
1 2 3 4 5
c.
5 4 3 2 1
La droite d’ajustement d’un nuage de points : a. doit passer par tous les points du nuage. b. peut ne passer par aucun point du nuage. c. doit passer au minimum par deux points du nuage.
SP ÉC
3
À l’aide d’un ajustement affine, on estime qu’un prix (en €), noté y, évolue annuellement selon la relation y = 1,12x + 2 où x représente le rang de l’année (en prenant le rang 0 pour 2020). Selon ce modèle, une estimation du prix en 2025 est : 5−2 a. 7,60 €. b. ≈ 2,68 €. c. 2 €. 1,12
4
0
5
1 2 3 4 5
On considère un nuage de points de coordonnées ( xi ; yi ) et on pose ti = 10 yi . Si un ajustement affine du nuage de points ( xi ; ti ) est pertinent, alors : a. Les points de coordonnées ( xi ; yi ) sont à peu près alignés. b. On peut trouver une relation entre xi et yi . c. On a inutilement compliqué le problème.
Vrai ou faux ? Pour chaque proposition, déterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
1 On peut proposer un ajustement affine pour n’importe quel nuage de points.
2 Quelle que soit la méthode employée, on obtient le même ajustement affine.
3 À partir d’un ajustement affine d’une série chronologique, on peut prévoir l’avenir.
4 Avec la méthode des moindres carrés appliquée
à deux points A ( −1; 2 ) et B (5 ; 4 ), on obtient exactement l’équation réduite de la droite (AB). 5 • Séries statistiques à deux variables quantitatives
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113
20/03/2020 12:46
π%π ∈ ∈%
Exercices
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5 Le botaniste Edgar Anderson a relevé les caractéristiques de 150 iris de trois variétés différentes (Iris setosa, Iris versicolor et Iris virginica), qui ont été exploitées par le biologiste et statisticien Ronald Fisher.
Échauffement 1 Nuage de points d’une série statistique à deux variables
Automatismes
1
Questions flash Une série statistique est en partie donnée par un tableau et en partie par un nuage de points. xi
−4
−2
−1
a
1
2,5
b
4
5
yi
−3
a
2
1
2
b
1
5
−1
En s’intéressant uniquement à la longueur et à la largeur des sépales, on obtient la représentation graphique suivante.
y 3 2 1 −2 −1 0 −1
4
3
2
5
Largeur des sépales (cm)
4,5
x
Q5. Python En langage Python, quel type de variable permet de stocker l’ensemble des valeurs x i ?
2 Représenter dans un repère du plan le nuage de points de la série statistique suivante. −3
yi
1
3,5
3
2,5
2
1,5
1
SP ÉC
Q1. Quelles sont les valeurs des nombres a et b dans le tableau ? Q2. Deux points du nuage n’apparaissent pas sur le graphique. Pour quelle raison ? Q3. Les points d’abscisses 1, 3 et 5 sont-ils alignés ? Q4. Même question pour les points d’abscisses −4, 1 et 4.
xi
Iris setosa Iris versicolor Iris virginica
4
IM EN
1
0
3
5
8
−1
−2
5
7
3 1. Compléter la dernière ligne du tableau suivant. xi
−2
0
1
3
5
yi
1
−1
−2
5
10
ui = 1/ yi
…
…
…
…
…
2. Représenter dans un repère du plan les points Mi de coordonnées ( x i ; ui ) pour i variant de −2 à 5. 4 Représenter dans un repère du plan le nuage de points de la série statistique suivante. Quantité qi
0
100
500
1 000 2 000
Prix unitaire pi (en €)
0
3
2,80
2,50
2,20
S’agit-il d’une situation de proportionnalité ?
4
4,5
5
5,5
6
6,5
Longueur des sépales (cm) 7
7,5
8
8,5
9
9,5
1. L’un de ces iris présente des sépales de plus de 4 cm de large. À quelle variété appartient-il ? 2. Si la longueur des sépales d’un de ces iris est supérieure à 7,5 cm, à quelle variété appartient-il ? 3. Existe-t-il des dimensions à partir desquelles il n’est pas possible de distinguer l’appartenance à l’une des trois variétés ?
6 Sur le graphique ci-dessous, est représenté le nombre de cigarettes vendues en France en fonction du nombre de meutes de loups recensées en France entre 1995 et 2017 (sources : Observatoire français des drogues et toxicomanies et ministère de la Transition écologique et solidaire). Comment peut-on décrire l’évolution de la vente de cigarettes à partir de ce graphique ? Pour autant, peut-on penser qu’il y ait un rapport entre ces faits ? Milliards de cigarettes vendues
90 80 70 60 50 0
5
10
15 20 25 30 35 40 Nombre de meutes de loups en France
114
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2 Ajustement affine
d’un nuage de points Automatismes
7
Questions flash Trois séries statistiques sont représentées ci-dessous par leur nuage de points.
Série 1
Série 2
Série 3
10 À l’aide d’un ballon-sonde, on a relevé la pression atmosphérique (en hectopascal de symbole hPa), à différentes altitudes.
SP ÉC
IM EN
Q1. Pour quelle série un ajustement affine semble-t-il pertinent ? Q2. Pour quelle série un ajustement par une fonction du second degré semble-t-il pertinent ? Q3. Quel est le coefficient directeur d’une droite passant par les points de coordonnées ( 0 ; 2) et (3 ; 5) ? Préciser son équation. Q4. Quelle est l’ordonnée du point d’abscisse 3 1 de la droite d’équation y = x + 1 ? 6 Q5. Quelles sont les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation 1 y = x + 1 avec l’axe des abscisses ? 2 Et avec l’axe des ordonnées ?
9 1. Représenter dans un repère du xi yi plan le nuage de points associé à −2 4 la série statistique ci-contre. −1 8 1. Tracer la droite d’équation 0 12 y = 2x + 10 dans ce repère. L’ajus2 16 tement du nuage par cette droite 3 16 paraît-il satisfaisant ? Dans le cas 5 20 contraire, en proposer une autre dont on précisera l’équation réduite. 2. En utilisant cette équation, déterminer : • l’ordonnée du point de la droite d’ajustement ayant pour abscisse 1 ; • l’ordonnée du point de la droite d’ajustement ayant pour abscisse 10 ; • l’abscisse du point de la droite d’ajustement ayant pour ordonnée 7.
8 Le tableau ci-dessous donne le nombre de véhicules électriques neufs immatriculés en France de 2014 à 2018 (source : Avere-France). Année
Rang de l’année xi
Nombre de milliers de véhicules yi
2014
0
10,5
2015
1
17,3
2016
2
21,7
2017
3
24,9
2018
4
31
1. Représenter dans un repère le nuage de points associé à cette série chronologique. 2. Proposer un ajustement affine de ce nuage. 3. Si on suppose que ce modèle d’ajustement reste valable plusieurs années, combien de véhicules neufs auraient été immatriculés en 2020 ? À partir de quelle année dépasserait-on 50 000 véhicules neufs immatriculés ?
Altitude ai (en km)
Pression Pi (en hPa)
ui = log ( Pi )
0
1 000
…
5
540
…
10
270
…
15
120
…
20
60
…
30
10
…
1. Représenter le nuage de points Mi ( ai ; Pi ) de cette série statistique dans un repère du plan. Un ajustement affine semble-t-il être pertinent ? 2. Compléter la dernière colonne du tableau précédent. 3. Représenter le nuage de points de coordonnées ( ui ; ai ) dans un repère du plan. 4. À l’aide de la calculatrice, proposer un ajustement affine de ce nuage. 5. On considère désormais qu’on a la relation : a = −15u + 56. Exprimer alors l’altitude a en fonction de la pression P, puis la pression P en fonction de l’altitude a. 5 • Séries statistiques à deux variables quantitatives
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115
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Exercices Entraînement 1 Nuage de points d’une série statistique à deux variables
11 Le nuage de points ci-dessous indique, pour quelques pays, l’espérance de vie à la naissance selon le PIB (produit intérieur brut) par habitant (source : statistiques de l’OCDE sur la santé, 2017).
Luxembourg
Féd. de Russie Inde
14
110 000
100 000
90 000
80 000
70 000
60 000
50 000
40 000
30 000
20 000
PIB par habitant (dollar US)
SP ÉC
1. Dans quel pays l’espérance de vie à la naissance est-elle la plus élevée ? Et dans quel pays est-elle la plus faible ? 2. Dans quel pays le PIB par habitant est-il le plus élevé ? Et dans quel pays est-il le plus faible ? 3. Critiquer l’affirmation suivante : « Plus le PIB par habitant est élevé, plus l’espérance de vie est élevée. »
12 1. Représenter dans un même repère du plan les nuages de points des séries chronologiques suivantes donnant l’âge moyen au premier mariage des hommes et des femmes en France métropolitaine. 1980
1990
2000
5,2 11,5 7,1
9,3 17,4
Revenu yi
9
16,1 30,3
25,7 45,2
20
IM EN
Brésil
10 000
0
Espagne Japon Suisse Italie France Royaume-Uni Suède Grèce Autriche Portugal Allemagne Turquie États-Unis Pologne Chine
3
1. Représenter le nuage de points Mi ( x i ; yi ) dans un repère du plan. 2. Calculer la valeur moyenne x des valeurs de x i et la valeur moyenne y des valeurs de yi . Interpréter ces valeurs. 3. Placer le point G de coordonnées ( x ; y ) sur le graphique (il est appelé « point moyen du nuage »).
Espérance de vie (année) 86 84 82 80 78 76 74 72 70 68 66
Volume des ventes xi
Années
1970
2010
Hommes
22,6
23
25,6
28
30
Femmes
24,7
25,1
27,6
30,2
31,8
ST2S
Dans un centre de médecine du sport, la fréquence cardiaque d’une jeune sportive a été relevée toutes les 30 secondes lors de différentes phases d’un exercice physique. Ces relevés ont donné le graphique ci-dessous, obtenu avec un tableur.
180 160 140 120 100 80 60 40 20
0
Fréqence (en battement/min)
Temps (en min) 2
4
6
8
10
12
14
16
1. Lire la valeur maximale de la fréquence cardiaque relevée et la valeur minimale. 2. Lors de l’exercice physique, il y a eu une phase d’échauffement, une phase d’effort et une dernière de récupération. À quelle durée peut-on estimer chacune de ces phases ?
2. Décrire l’évolution de ces données. Les âges moyens au premier mariage des femmes 15 Dans un laboratoire, des semblent-ils se rapprocher de ceux des hommes ? ingénieurs étudient la résistance à la compression et à 13 Un vendeur de fruits et légumes relève sur plula traction (en mégapascal, sieurs jours le volume de ses ventes (en centaines MPa) d’un nouveau béton de kilogrammes) et le revenu issu de ces ventes selon son temps de séchage (en centaines d’euros). (en jour). 116
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Une série d’essais a donné les résultats suivants. Temps (jour)
0
5
10
15
20
25
Traction (MPa)
0
1,4
1,9
2
2,3
2,4
Compression (MPa)
0
15
18
21
23
25
En saisissant les lignes de commandes ci-dessous, on obtient le graphique suivant.
1. Représenter sur un même graphique ces séries chronologiques en plaçant en abscisse le temps de séchage et en ordonnée les résistances. Comment semblent évoluer ces résistances ? 2. On peut lire dans certains ouvrages que l’on peut prendre pour valeur approchée de la résistance à la traction le dixième de la résistance à la compression. Est-ce le cas ici ?
0,00016 0,00014 0,00012 0,00010 0,0008 0,0006 0,0004 0,0002 0,0000
16 Afin d’analyser les accidents de la route dans lesquels les poids lourds sont impliqués, l’institut technique d’accidentologie a réalisé le graphique suivant.
Départementales – 17 % Locales – 30 % Autoroutes – 11 % Nationales – 59 %
1 200 800
12
11
20
10
20
09
20
08
20
07
20
06
20
05
20
20
20
04
0
400
600
800
1. Quel temps a nécessité sur cet ordinateur le calcul de u (500 ) ? 2. Le temps de calcul de u ( n ) est-il proportionnel à n ? 3. Créer une fonction u de telle façon que la commande u(n) renvoie le terme de rang n d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3, puis saisir les commandes Python précédentes. Le nuage obtenu a-t-il la même allure que celui-ci ?
SP ÉC
400
200
IM EN
1 600
Nombre d’accidents avec PL impliqué par type de voirie
0
2 Ajustement affine
d’un nuage de points
1. De 2006 à 2011, sur quel type de route le 18 On effectue une série de mesures aux bornes nombre de poids lourds impliqués a-t-il été : d’une pile associée à une résistance variable que a. le plus faible ? l’on reporte sur un graphique. La tension U est b. le plus important ? exprimée en volts (V) et l’intensité I en milliam2. Quel a été, approximativement, le nombre total pères (mA). d’accidents impliquant un poids lourd : U (V) a. en 2008 ? b. en 2012 ? 1,6 1,4 3. En déduire l’évolution du nombre total de ces 1,2 accidents (en pourcentage) entre 2008 et 2012. 17
Une fonction Python renvoie, en saisissant la commande u(n), le terme de rang n d’une suite arithmétique. La fonction ci-contre permet de déterminer son temps d’exécution (en secondes). Python
Tester en environnement Python avec le fichier C05_Ex.17.
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
2
4
6
8
10
I (mA)
1. Proposer une relation entre la tension U et l’intensité I aux bornes de cette pile. 2. Quelle serait la tension pour une intensité de 1 mA ? 3. Pour quelle intensité la tension serait-elle nulle ? 5 • Séries statistiques à deux variables quantitatives
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117
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Exercices
À l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel, 2. donner un ajustement affine de cette série par la méthode des moindres carrés. 3. Selon ce modèle, quel est l’indice de prix en 2012 et en 2019 ? 4. Quelle est alors l’évolution des prix, exprimée en pourcentage, entre ces deux indices ?
Entraînement 19 On teste en laboratoire la sensibilité d’un matériau à la chaleur. La mesure de sa dilatation en fonction de plusieurs températures est donnée ci-dessous. Longueur (en mm) Température (en °C)
50,01 50,00 50,00 49,98 50,01 10
15
20
25
22
30
1. Ce matériau semble-t-il sensible aux températures comprises entre 10 °C et 30 °C ? 2. À l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel, représenter cette série : a. en plaçant en abscisse la température et en ordonnée la longueur ; b. en plaçant en abscisse la longueur et en ordonnée la température.
Afin d’étudier une série statistique avec Python, on la stocke à l’aide des deux listes suivantes : X=[1,3,5,7,13,20] et Y=[21,13,7,10,9,15]. 1. Quelles sont les valeurs contenues dans X[0], Y[0], X[5] et Y[5] ? 2. Compléter le script pour obtenir le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite passant par le premier point et le dernier point du nuage de points associé à cette série statistique. Python
IM EN
X=[1,3,5,7,13,20] Y=[21,13,7,10,9,15] m=(Y[5]-Y[0])/(……………) p=……………………………….
3. Dans chacun des cas, quel est l’ajustement affine obtenu par la méthode des moindres carrés obtenus à la calculatrice ou avec un logiciel ?
Année
SP ÉC
20 Le chiffre d’affaires annuel d’une entreprise (en 23 On considère la série statistique suivante. milliers d’euros) a été relevé au cours de ses cinq 5 10 15 20 25 xi premières années d’existence. Rang de l’année xi
Chiffre d’affaires yi
2016 2017 2018 2019 2020 0
1
2
3
4
315,6 489,9 579,3 763,5 874,5
1. Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage de points Mi ( x i ; yi ) (avec 1! i ! 5) de cette série statistique. 2. On ajuste ce nuage de points par la droite
(M1M5 ). Déterminer une équation de cette droite
d’ajustement (arrondir les coefficients au dixième). 3. Si la tendance se poursuit, répondre aux deux questions suivantes. a. Quel chiffre d’affaires peut-on prévoir pour 2024 ? b. À la fin de quelle année le chiffre d’affaires dépassera-t-il deux millions d’euros ? 21 L’évolution du prix des médicaments en France, en prenant pour indice la base 100 en 2013, est donnée ci-contre. 1. Représenter dans un repère adapté le nuage de points associé à cette série.
Année
Indice
2013
100
2014
96,3
2015
92,4
2016
89,3
2017
86,9
yi
11
24
35
51
67
30 78
1. Représenter ce nuage de points dans un repère orthogonal. 2. Placer dans ce repère le point moyen G de coordonnées ( x ; y ) où x et y sont les moyennes des valeurs de x i et de yi . 3. On note G1 le point moyen des trois premiers points du nuage et G2 le point moyen des trois derniers points. Déterminer les coordonnées de ces deux points et les placer dans le repère. 4. Déterminer l’équation réduite de la droite ( G1G2 ). Cette droite est appelée droite de Mayer du nuage. Passe-t-elle par le point G ? Tracer cette droite dans le repère précédent.
24 QCM Choisir la bonne proposition. Justifier la réponse. On considère le nuage de points M1 (1; 16 ), M2 (3 ; 13 ) et M3 (5 ; 4 ). 1. Le point moyen de ce nuage est : a. le point de coordonnées (3 ; 10 ). b. le point M2. c. le point de coordonnées (3 ; 11).
118
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2. a. b. c.
La droite (M1M3 ) a pour équation : y = 4 x + 16 y = −3x + 19 y = −2,93x + 17,7
1. Peut-on injecter ce produit au cours des deux premières heures ? 2. Représenter le nuage de points de coordonnées
( ti ; yi ) dans un repère.
3. La droite d’ajustement obtenue par la calculatrice : a. passe par l’un des trois points. b. est parallèle à la droite (M1M2 ). c. passe par l’origine du repère.
Absorbance A
0,155 0,320 0,465 0,630 0,935
Concentration C (en mg/L)
5
10
15
20
3. Déterminer une équation d’une droite d’ajustement de ce nuage. 4. On admet que, pendant les quatre heures suivant la préparation du produit, le nombre y de milliards de noyaux radioactifs encore présents dans le produit peut être modélisé par la relation : y = −26t + 7 900 où t est le temps (en minute) écoulé depuis que le produit a été préparé. a. Selon ce modèle, une fois que le produit est prêt, combien de temps faut-il attendre afin de l’injecter au patient ? b. On apprend qu’au bout de 240 minutes, il y a, en fait, 3 100 milliards de noyaux radioactifs dans le produit préparé. Cette information remet-elle en cause le modèle proposé ?
IM EN
25 On cherche à déterminer la concentration en caféine d’une boisson par mesure d’absorbance. Pour cela, on utilise un faisceau laser et on mesure l’atténuation de la lumière émise après traversée du liquide. Pour les besoins de l’expérience, plusieurs solutions dont on connaît la teneur en caféine sont testées et on obtient la série de valeurs suivante.
On prendra pour unités : • 20 minutes en abscisse ; • 400 milliards de noyaux radioactifs en ordonnée.
30
1. Représenter ces données à l’aide d’un nuage de points dans un repère du plan.
SP ÉC
2. Un ajustement affine semble-t-il ici pertinent ? Exprimer le cas échéant la valeur C de la concentration en caféine en fonction de la valeur A de 27 Vrai ou faux ? Pour chaque proposition, déterminer si elle est l’absorbance. vraie ou fausse. Justifier la réponse. 3. On mesure pour une boisson contenant de la caféine une absorbance de 0,5. Quelle est alors sa 1. Si une suite ( un ) est arithmétique, le nuage de concentration en caféine ? points de coordonnées ( n ; un ), pour les valeurs entières de n comprises entre 1 et 10, s’ajuste parfaitement par une droite. 26 ST2S Un protocole d’imagerie médicale nécessite l’injec2. Les ajustements affines, obtenus à la calculation chez le patient d’une dose de produit radioactrice, des deux nuages de points ci-dessous (qui tif qui ne doit pas contenir plus de 2 600 milliards sont à coordonnées entières) sont différents. de noyaux radioactifs. On dispose du tableau suivant qui donne le nombre de milliards de noyaux 3 3 radioactifs présents dans le produit préparé en 2 2 fonction du temps t, exprimé en minute. 1 1 Temps ti (en minute)
Nombre de milliards de noyaux radioactifs yi
0
8 000
20
7 400
40
6 800
60
6 300
80
5 800
100
5 400
120
4 900
0 −1
1
2
3
4
0 −1
1
2
3
3. Un ajustement affine d’un nuage de points de coordonnées ( x i2 ; yi ) permet d’obtenir un ajustement du nuage de points ( x i ; yi ) par une parabole. 4. Comme le coefficient directeur de la droite d’équation y = 2,3x + 15 est positif, cette droite ne coupe pas l’axe des abscisses. 5 • Séries statistiques à deux variables quantitatives
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4
119
20/03/2020 12:46
Exercices Entraînement 28 Le tableau suivant regroupe le nombre d’attaques de pirates contre des navires dans le monde entre 2012 et 2017 (source : Statista, 2020) et le nombre de naissances de garçons se prénommant Kevin en France au cours de la même période.
29 Dans une salle de concert, un relevé de niveaux d’intensités sonores issus d’un générateur de sons a été effectué en plusieurs endroits. Les mesures effectuées ont été consignées dans le tableau ci-dessous et représentées à l’aide d’un tableur (fichier C05_Ex.29).
Nombre xi Nombre yi d’attaques de pirates de naissances de Kevin
Année 2012
2 975
279
2013
264
213
2014
245
224
2015
246
208
2016
191
192
2017
180
167
IM EN
1.a. Comment a globalement évolué le nombre d’attaques de pirates entre 2012 et 2017 ? b. Même question pour le nombre de naissances de garçons se prénommant Kevin ?
2. Le graphique suivant montre le nuage de points associé à ces séries statistiques, ainsi qu’une équation de la droite d’ajustement de ce nuage obtenue par la méthode des moindres carrés. 300 250 200 150 100 50 0 150
SP ÉC
( xi ; yi )
y = 0,7714x + 30,871
200
250
300
Ce graphique semble-t-il indiquer un lien entre les valeurs x i et yi ? Peut-il y avoir une relation de cause à effet ?
Un ajustement affine ne semblant pas pertinent, un changement de variables est envisagé. 1. Compléter le tableau ci-dessous. ui = log ( xi )
… … … … … … … … … …
Intensité sonore si 97 85 73 66 59 53 55 52 55 49 (en dB)
2. Représenter le nuage de points ( ui ; si ) dans un repère, puis en proposer un ajustement affine. 3. En déduire une expression de l’intensité sonore en fonction de la distance. 4. À partir de l’expression trouvée, déterminer l’intensité sonore attendue à une distance de 8 mètres, puis de 30 mètres.
REMARQUE Des quantités peuvent évoluer de la même façon (on dit qu’elles sont corrélées) sans avoir de lien de causalité. Par exemple, dans les communes qui abritent des cigognes, le taux de natalité a parfois été plus élevé que dans l’ensemble du pays. Les cigognes apportent-elles pour autant les bébés ? C’est pour cela qu’on appelle « effet cigogne » la tendance à confondre corrélation et causalité !
120
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20/03/2020 12:46
30 Le tableau ci-dessous donne le nombre de véhicules particuliers de moins de 15 ans dans le parc automobile français entre 2015 et 2019 (en millions de véhicules). Source : www.statistiques. developpement-durable.gouv.fr. Année xi
2015 2016 2017 2018 2019
Nombre de voitures yi 32,53 32,32 32,07 32,01 32,03 (en millions)
1. Représenter le nuage de points de coordonnées ( x i ; yi ) dans un repère. Un ajustement affine semble-t-il ici pertinent ? 2. On décide d’ajuster ce nuage de points par une fonction du second degré. Un tableur fournit la courbe d’ajustement d’équation suivante : y = 0,0464 x 2 − 187,42x + 189 181. y = 0,0464x2 − 187,42x + 189 181
2015
2016 2017
2018
20 10 0 −10 −20 −30 −40 −50
IM EN
32,60 32,50 32,40 32,30 32,20 32,10 32,00 31,90 2014
a. Quels sont les rôles des lignes 4 et 5 de ce programme ? b. Quels sont les rôles des lignes 6 et 7 de ce programme ? c. À l’exécution de ce programme, le graphique suivant est affiché :
2019 2020
SP ÉC
Quel serait, selon ce modèle, le nombre de véhicules de moins de 15 ans du parc automobile français en 2020 ? En quelle année retrouverait-on le même nombre de véhicules qu’en 2016 ?
8
10
12
14
16
18
On considère que la droite passant par les points de coordonnées (10 ; −10 ) et (16 ; −39 ) constitue un bon ajustement du nuage de points ( x i ; ti ) (en bleu sur le graphique) avec : ti = ui − 0,2x i2. Donner l’équation réduite de cette droite et en déduire une expression du coût unitaire moyen d’une tonne d’engrais en fonction de la masse x produite.
31 Une entreprise a noté les valeurs du coût total de production C ( x ) d’un engrais en fonction de la 32 Vrai ou faux ? masse x produite. Le tableau ci-dessous donne les Pour chaque proposition, déterminer si elle est valeurs x i de masse d’engrais produite et celles vraie ou fausse. Justifier la réponse. yi = C ( x i ) des coûts totaux de production corresOn considère les deux listes suivantes : pondants, pour i entier variant de 1 à 6. X = [5, 7, 8.2, 9, 20, 11, 4, 7, 15, 17] Y = [5, 5, 6, 9, 10, 11, 7, 9, 5, 3] xi (en tonnes) 8 10 12 14 16 18 yi (en centaines d’euros) 122 100 110 145 196 308 Coût unitaire moyen y ui = i xi
…
…
…
…
…
…
1. Le programme suivant permet de calculer les coordonnées (x_G ; y_G) du point moyen du nuage de points de coordonnées ( X [ i ] ; Y [ i ]) pour i variant de 0 à 9.
1. Compléter la dernière ligne de ce tableau. 2. Représenter le nuage de points ( x i ; ui ) associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. Unités : 0,5 cm pour une tonne en abscisse et 0,05 cm pour une centaine d’euros en ordonnée. Un ajustement affine semble-t-il ici pertinent ? 3. Python Afin d’ajuster au mieux cette série statistique, des essais ont été automatisés à l’aide du programme Python C05_Ex.31.
2. Le point de plus petite ordonnée est le point de coordonnées ( X [ 9 ] ; Y [ 9 ]). 3. En utilisant la commande plot(X,Y), les points affichés seront alignés avec l’origine du repère. 5 • Séries statistiques à deux variables quantitatives
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121
20/03/2020 12:46
Exercices
34 Prédictions d’une population
Perfectionnement 33 La recherche en compétition
Tableur
Le tableau suivant donne la population d’une ville entre les années 1985 et 2015. Tableur
La dynamique de la recherche scientifique se mesure par le nombre d’articles publiés. Dans le tableau ci-dessous sont donnés les nombres (en milliers) d’articles scientifiques publiés aux États-Unis, dans l’Union européenne et en Chine.
Année
Rang de l’année x
Population en milliers d’habitants y
1985
0
18
1990
5
21
1995
10
25
2000
15
30
2005
20
36
2010
25
42
2015
30
50
1. Représenter Représenter graphiquement le nuage de points associé à ce tableau et déterminer un ajustement affine de cette série statistique. 2. Calculer Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2023.
IM EN
Ces données ont été représentées par un nuage de points à l’aide d’un tableur (fichier C05_Ex.33).
SP ÉC
700 600 500 États-Unis 400 Union 300 européenne 200 Chine 100 0 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
3. Modéliser L’allure du nuage incite à chercher un ajustement par une fonction f définie sur [ 0 ; +∞[ par : f ( x ) = a10 bx où a et b sont des réels. Déterminer a et b tels que : f ( 0 ) = 18 et f (30 ) = 50. On donnera une valeur de b arrondie au millième. 4. Calculer Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2018, à un millier près.
5. Représenter Tracer la courbe représentative de 1. Chercher En s’appuyant sur le graphique et si f sur le graphique de la question 1. les tendances se poursuivent, le nombre de publications scientifiques chinoises dépassera-t-il celui 6. Communiquer La population en 2018 était de des États-Unis ? Si oui, en quelle année ? 55 000 habitants. Lequel des deux ajustements précédents vous semble le plus pertinent ? Justi2. Raisonner Par la méthode des moindres carrés, fier ce choix. on a obtenu les équations suivantes afin d’ajuster les différents nuages de points : • pour l’Union européenne : y = 19,51x − 38 651 ; 35 20 ans de record du monde Le tableau ci-dessous retrace l’évolution sur vingt • pour les États-Unis : y = 8,2x − 16 071 ; pour la Chine : y = 18,74 x − 37 363. ans du record du monde du 100 m en athlétisme • chez les hommes. À partir de ces équations, répondre aux questions suivantes. Rang de Temps en Athlète Année a. Quel pays a le plus fort taux d’accroissement l’année (xi) seconde (yi ) annuel de publications scientifiques ? Le plus bas ? Carl Lewis 1988 0 9,92 b. Si ces tendances se poursuivent, la Chine Carl Lewis 1991 3 9,86 publiera-t-elle plus d’articles scientifiques que Leroy Burrell 1994 6 9,85 l’Union européenne ? Donovan Bailey 1996 8 9,84 c. En 2016, le nombre de publications a été de Maurice Greene 1999 11 9,79 409 000 pour les États-Unis, de 614 000 pour Asafa Powell 2005 17 9,77 l’Union européenne et de 426 000 pour la Chine. Asafa Powell 2007 19 9,74 Ces valeurs confirment-elles les tendances suggéUsain Bolt 2008 20 9,69 rées par les ajustements proposés ? 122
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20/03/2020 12:46
1.a. Calculer le taux d’évolution du temps du record du monde du 100 m en athlétisme chez les hommes entre 1988 et 2008. Arrondir le résultat à 0,01 %. b. Sur les vingt années, montrer que le temps du record du monde à l’épreuve du 100 m en athlétisme chez les hommes a baissé chaque année en moyenne de 0,117 %. 2. Une représentation du nuage de points associé à la série statistique à deux variables ( x i ; yi ) est : 10 9,8 9,6 9,4 9,2 9
y
0
5
10
15
x
20
Parmi les formules suivantes, laquelle a permis, en la saisissant dans la cellule B3 et en la recopiant vers la droite, de compléter le tableau de valeurs ? • formule 1 : =LOG10($B$2-118) ; • formule 2 : =LOG10(B2-118) ; • formule 3 : =LOG10(B3-118). 3. Représenter Représenter dans un repère adapté le nuage de points ( ei ; yi ). 4. Raisonner En proposer un ajustement affine et exprimer y en fonction de l’épaisseur e. 5. Calculer En déduire une expression du nombre de désintégrations n en fonction de l’épaisseur d’aluminium e.
SP ÉC
IM EN
a. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 10 −4 . On retient comme ajustement affine la droite ∆ d’équation : y = −0,01x + 9,91. b. En utilisant ce modèle d’ajustement, à quel temps peut-on estimer le record du monde du 100 m chez les hommes en 2009 ? 37 c. En août 2009, Usain Bolt a couru le 100 m en 9,58 s. Calculer le pourcentage d’erreur commise lors de l’ajustement par rapport au temps réel du record. Commenter ce résultat.
2. Calculer Pour tenir compte de l’allure de ce nuage, on effectue un changement de variable en posant y = log ( n − 118 ) et on complète le fichier tableur C05_Ex.36.
36 Protection contre
la radioactivité
Algo
Tableur
Pour mesurer la protection des rayonnements radioactifs issus d’une source de Césium par des feuilles d’aluminium, on procède à un comptage des particules désintégrées au cours d’une même période en fonction de l’épaisseur des feuilles d’aluminium choisies. Épaisseur ei (en mm)
0
0,1 0,2 0,4 0,6 0,8
1
2
Nombre de 1 525 767 486 271 194 155 131 119 désintégrations ni
On représente dans un repère le nuage de points correspondant. 2 000 1 500 1 000 500 0
0,5
1
1,5
2
2,5
1. Chercher Un ajustement affine de ce nuage semble-t-il pertinent ?
Greenhouse Effect
In English
Carbon dioxide is the most important of the long-lived greenhouse gases responsible for Earth’s natural greenhouse effect. Without greenhouse gases, Earth’s average surface temperature would be near 0°F instead of close to 60°F. Since the start of the Industrial Revolution in the mid-1700s, global carbon dioxide amounts have risen more than 45 percent. Carbon dioxide (parts per milion)
Total concentration
400 2017 global 380
concentration (405,0)
360 340
3 2 1
0 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 20152017
Adapted from the American Meteorological Society’s State of the Climate in 2017, this graph shows monthly average carbon dioxide amounts for 1980-2017 (red line) along with the yearly average rate of change (green line). Which was in 1980 the average of atmospheric carbon dioxide? 1. Modéliser • Représenter Construct the regression line of the global atmospheric carbon dioxide on years. 2. Calculer How much is the increase of atmospheric carbon dioxide for every year? 5 • Séries statistiques à deux variables quantitatives
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4
123
20/03/2020 12:46
Ateliers algorithmiques et numériques
ATELIER
1
20 min
CAPACITÉ • Déterminer et exploiter un ajustement affine
Fréquentation d’un parc de loisirs
Le service marketing d’un centre de loisirs a étudié l’évolution de la fréquentation annuelle entre 2015 et 2019. Année Rang de l’année xi Nombre de visiteurs yi (en million)
1
2015
2016
2017
2018
2019
0
1
2
3
4
1,47
1,49
1,6
1,74
1,91
Représenter • Raisonner • Communiquer
• Saisir dans la calculatrice les valeurs de xi et yi (menu STATS pour les calculatrices Texas Instruments et Casio ; menu régression pour NumWorks).
IM EN
Rabats de couverture
Casio
SP ÉC
Texas
NumWorks
• Faire afficher à l’écran le nuage de points de cette série statistique. • Expliquer en quoi un ajustement affine peut sembler pertinent. Texas
2nde graph stats
2
graphe
Casio
NumWorks
GRPH1
Sélectionner l’onglet graphique
La calculatrice fournit le « meilleur » couple de valeurs a et b pour l’équation y = ax + b.
Communiquer
Quel ajustement affine (ou « régression linéaire ») propose la calculatrice ? Texas
2nde stats menu CALC puis RégLin(ax+b) L1,L2
3
INFO
Méthode des moindres carrés, dans l’atelier 2
Casio
NumWorks
CALC X
Sélectionner l’onglet graphique
Calculer • Chercher
a. Si ce modèle d’évolution restait valable jusqu’en 2025, quel serait le nombre de visiteurs cette année-là ? b. Selon ce modèle, à partir de quelle année la fréquentation annuelle atteindra au moins trois millions de visiteurs ? 124
9782017100409_.indb 124
20/03/2020 12:46
CAPACITÉS • Déterminer et utiliser un ajustement affine n • Automatiser le calcul de y − ax ( ∑ i ( i + b )) 2
Comparer la qualité de deux ajustements affines
?? min
On décide de représenter graphiquement le nuage de points associé à la série statistique ci-contre.
1
Situation algorithmique
X
−1
1,5
3,5
4
6
8
Y
1
0,5
1,5
4
4
5
5
Chercher • Modéliser
Trois élèves proposent pour ajustement affine trois droites différentes, d’équations respectives : y = 0,4 x + 1, y = 0,5x + 0,75 et y = 0,6x.
4
a. L’une d’elles semble-t-elle donner un meilleur ajustement que les deux autres ?
1
b. Proposer un ajustement qui semble encore meilleur.
−2 −1 0 −1
3
y = 0,4x + 1
y = 0,5x + 0,75
2 y = 0,6x 1
2
3
4
5
6
7
Raisonner • Communiquer
8
9 10
−2
Pour estimer la qualité d’un ajustement affine, on utilise la méthode dite des moindres carrés. Pour cela, on calcule la somme des carrés des écarts entre les ordonnées des points du nuage et des points de la droite. Il s’agit ensuite de minimiser cette somme.
5
a. Expliquer pourquoi le carré de l’écart des ordonnées entre le point d’abscisse x i de la droite d’équation y = ax + b et un point de coordonnées ( x i ; yi ) du 2 nuage de points s’exprime par : ( yi − ( ax i + b )) .
1
SP ÉC
2
i=1
IM EN
ATELIER
2
4
y = ax + b
3 2
−2 −1 0 x1
1
x2
2
3
x3
4
5
…
6
7
8 9 10 x6
b. On veut écrire une fonction Python, appelée qualite, qui renvoie n
la somme ∑ ( yi − ( ax i + b )) = ( y1 − ( ax1 + b )) + … + ( yn − ( ax n + b )) , 2
2
2
i=1
lorsqu’on donne en paramètres des valeurs pour a et b. Python
Décrire ce que fait le script ci-contre saisi dans le fichier C05_ Atelier2. À l’oral
PYTHON ur ») len(liste) (de l’anglais length, « longue . liste e d’un urs vale de bre nom renvoie le Utiliser le langage Python, p. 189
c. Exécuter cette fonction en l’appliquant aux équations de la question 1. Selon ce critère, quelle est la droite qui donne le meilleur ajustement ?
5 • Séries statistiques à deux variables quantitatives
9782017100409_.indb 125
125
20/03/2020 12:46
Ateliers algorithmiques et numériques
Tableur
Autonomie d’un prototype de véhicule électrique
30 min
CAPACITÉ • Organiser une feuille de calcul
Des tests d’autonomie sur un banc d’essais ont conduit à établir les résultats suivants, où l’on a mesuré l’autonomie d’un prototype de véhicule électrique en fonction de sa vitesse, à chaque fois supposée constante.
1
Vitesse (km.h−1)
Autonomie (km)
30
295
50
190
70
130
90
105
110
90
130
72
Représenter
IM EN
ATELIER
3
2
SP ÉC
Saisir ces données dans un tableur et insérer un graphique (nuage de points ou diagramme XY). Un ajustement affine semble-t-il pertinent ? Calculer • Raisonner
Compte tenu de la forme de ce nuage de points, on décide d’effectuer un changement de variable. a. Ouvrir le fichier C05_Atelier3 et le compléter pour obtenir le tableau ci-dessous.
b. Quelle formule faut-il saisir dans la cellule B2 pour obtenir, par recopie vers la droite jusqu’à la cellule G2, les inverses de chacune des vitesses ?
c. Afficher le nuage de points ( ui ; yi ). À l’aide du menu contextuel (« clic droit » de la souris sur le nuage de points), ajouter une courbe de tendance en cochant « afficher l’équation ». En arrondissant les résultats à l’unité, montrer que la relation obtenue entre l’autonomie du 8 671 véhicule et sa vitesse est : y = + 9. v 3
Calculer
a. Selon cette relation, quelle serait l’autonomie de ce prototype pour une vitesse de 80 km.h−1 ? b. À quelle vitesse faudrait-il rouler pour parcourir 500 km ? 126
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20/03/2020 12:46
ATELIER
4
45 min
Le meilleur prix
CAPACITÉ • Étudier une série stati stique à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamiqu
Géométrie dynamique
Représenter • Chercher • Calculer
Une entreprise propose un tout nouveau produit et se trouve ainsi en situation de monopole sur le marché. Elle est alors libre de fixer ses prix et s’appuie, pour cela, sur une étude statistique. Celle-ci a recensé les coûts par jour C ( q ) (en €) de fabrication selon la quantité q de produit fabriqué.
e
q
C ( q)
0
4 000
10
11 000
30
15 500
50
19 200
60
22 700
80
40 000
90
50 100
1 Dans un logiciel de géométrie dynamique, saisir les données du tableau dans le menu tableur. Sélectionner alors les deux premières colonnes et afficher le nuage de points correspondant en cliquant sur Statistiques à deux variables.
Cliquer ensuite sur l’icône phique).
IM EN
Choisir un modèle d’ajustement par un polynôme dont on précisera le degré. (copier vers le gra-
2 Une seconde étude a conduit à estimer que la quantité q de produit pouvant être vendue par jour dépend du prix p unitaire de vente selon la relation : q = 100 − 0,08 p.
SP ÉC
a. Exprimer p en fonction de q. Quel serait alors le prix de vente unitaire à fixer si l’on voulait vendre 80 unités ? b. Montrer que le produit de la vente de q objets par jour, que l’on note V ( q ), est : V ( q ) = 1250q − 12,5q 2. Représenter la courbe représentative de la fonction V ainsi définie sur le graphique précédent. 3 Représenter graphiquement la courbe représentative de la fonction R définie sur l’intervalle [ 0 ; 100 ] par : R ( x ) = V ( x ) − C ( x ).
Déterminer avec le logiciel pour quelle quantité d’objets vendus le bénéfice réalisé est maximal. Quel prix unitaire l’entreprise a-t-elle intérêt à fixer ? 5 • Séries statistiques à deux variables quantitatives
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127
20/03/2020 12:46
Être prêt
E3C
Compétences mobilisées Exercices Chercher Modéliser Représenter Raisonner 39
pour le BAC Première partie
3.c
40 41
3
(à traiter sans calculatrice) Automatismes
38
3.c
1, 3.b
3.c
5
2, 4
5
1, 3, 5
1, 2, 3, 4
1, 3
1
(calculatrice autorisée)
Le tableau ci-dessous présente l’évolution du prix (en €) du paquet de 20 cigarettes de la marque la plus vendue en France, ainsi que celle du nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus en France, exprimé en milliard et arrondi au centième (source : Baromètre de la santé, Institut de veille sanitaire). Année Prix xi du paquet de 20 cigarettes de la marque la plus vendue en France (en €)
IM EN
Q3. Quelles sont les coordonnées du point d’intersection de la droite d’équation y = 2x + 5 avec l’axe des abscisses ? Q4. On ajuste le nuage de points ci-dessous par une parabole, représentant la fonction f définie sur l’intervalle [1; 5] par : f ( x ) = ( x − 1) ( x − 5).
3 2 1 1
SP ÉC
y
2
3
4
5
Dresser le tableau des variations de la fonction f sur l’intervalle [1; 5]. Q5. Donner une expression de f ′ ( x ) où f ′ est la dérivée de la fonction f définie à la question Q4. Q6. Quel est le coefficient directeur de la tangente à la parabole de la question Q4 en son point d’abscisse 3. Q7. Donner les solutions de l’inéquation 2 − 5x > 0 sous la forme d’un intervalle. Q8. Donner le tableau de signes sur R du produit (1− 5x ) (2 + 2x ). Q9. Un prix subit deux augmentations successives de 10 % chacune. Quelle est l’augmentation totale ? Q10. Donner les solutions de l’équation 16 − 25x 2 = 0.
x
1, 4
39 Séries statistiques
Q1. Donner le coefficient directeur de la droite passant par les points de coordonnées ( −1; 4 ) et (5 ; −1). y 2 Q2. Donner l’équation 1 réduite de la droite passant par les points x 0 1 de coordonnées ( 0 ; 1) −1 et (1; −2) représentée −2 ci-contre.
0
Communiquer
2
Seconde partie
Questions flash
4
Calculer
3.b
Nombre total yi de paquets de 20 cigarettes vendus en France (en milliard)
2004 2007 2010 2013 2016 5
5,13 5,65 6,7
7
2,75 2,75 2,74 2,38 2,25
1. Déterminer la baisse en pourcentage, arrondie à 0,1 %, du nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus en France entre l’année 2004 et l’année 2016. 2. Représenter à l’aide d’un nuage de points les données du tableau. 3. On choisit comme droite d’ajustement du nuage de points la droite ( d ) d’équation : y = −0,255x + 4,08. 4. On suppose que cette droite modélise le nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus en France en fonction du prix d’un paquet de 20 cigarettes de la marque la plus vendue en France. a. Représenter cette droite sur le graphique précédent. b. Le ministère de la Santé a souhaité que le prix de vente d’un paquet de 20 cigarettes de la marque la plus vendue soit de 10 € en 2020. Estimer, selon le modèle proposé, le nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus en 2020. c. Déterminer le prix minimum d’un paquet de 20 cigarettes de la marque la plus vendue qui, selon le modèle proposé, permettrait de passer sous la barre d’un milliard le nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus. Préciser la méthode employée.
128
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20/03/2020 12:46
40 Séries statistiques
41 Séries statistiques
Un fabricant a mis au point une machine permettant de fabriquer des blocs de glace (utilisables sur les bateaux de pêche par exemple). L’épaisseur des blocs de glace fabriqués dépend du temps de congélation. On obtient le tableau ci-dessous. Temps de congélation ti (en heure)
1
Épaisseur de la glace yi (en cm)
2
4
8
12
18
26
4,0 8,0 11,0 16,5 20,5 24,5 28,5
On pose : x i = log ti . 1. Compléter le tableau ci-dessous. (Les valeurs seront arrondies au dixième.) xi
…
…
…
Épaisseur yi de la glace (en cm)
4
8
11 16,5 20,5 24,5 28,5
…
…
…
Frais publicitaires xi (en milliers d’euros)
2. Représenter le nuage de points de coordonnées ( xi , yi ) dans un repère orthogonal.
SP ÉC
À l’aide de la calculatrice, donner une 3. équation de la droite d’ajustement ( d ) obtenue par la méthode des moindres carrés sous la forme : y = ax + b où les coefficients a et b seront arrondis à 10 −2 . 4. Pour la suite de l’exercice, on prend comme modèle d’ajustement la droite ( d ) d’équation : y = 7,4 x + 2,5.
a. Tracer cette droite ( d ) dans le repère précédent. b. Déterminer, selon ce modèle d’ajustement, et à l’heure près, le temps nécessaire pour fabriquer un bloc de glace de 32 cm d’épaisseur.
1,9 2,4 1,5 0,9 2,3 1,7
Fréquentation yi (en 190 250 170 150 210 180 milliers de clients)
Le nuage de points de coordonnées ( x i ; yi ) est représenté ci-dessous. 250
Fréquentation yi
200 150
IM EN
…
Le service marketing d’un centre commercial veut évaluer l’impact des frais engagés en publicité, par mois, sur le nombre de clients. Pour cela, ce service s’appuie sur les données ci-dessous, relevées sur une période de 6 mois.
100 50 0
0,5
1
1,5
2 2,5 3 Frais publicitaire xi
On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite d’équation : y = 58,3x + 87,6.
1. On estime que, pour 4 000 € de frais publicitaires engagés, la fréquentation s’élèverait à 321 000 clients. Vérifier la cohérence de l’estimation annoncée. 2. Python Compléter le script Python suivant afin que la commande clients(n) renvoie le nombre de clients estimés pour n euros d’investis en frais publicitaires. def clients(n) : return …………… 3. Quel est le montant des frais publicitaires devant être engagés pour espérer 400 000 clients au cours d’un mois ? Proposer un script Python qui renvoie le montant des frais à engager en fonction du nombre de clients espérés. 4. Le centre commercial décide d’engager 5 000 € pour la campagne publicitaire du prochain mois. Lors du bilan, on dénombre 330 000 clients ayant fréquenté le site au cours de ce mois. Comment peut-on analyser ce résultat ? 5 • Séries statistiques à deux variables quantitatives
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129
20/03/2020 12:46
Pour l’enseignant Diaporama
Se préparer matismes et réviser ses auto Questions flash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses. 1 Dans un lycée, un sondage est réalisé pour connaître le loisir préféré des élèves de Terminale. Sport
Cinéma ou séries
Lecture
Total
Filles
35
32
11
78
Garçons
30
31
11
72
Total
65
63
22
150
6
IM EN
On choisit au hasard de façon équiprobable un élève de Terminale. La probabilité qu’on ait choisi une fille qui préfère le sport est : 7 a. 0,52 b. 0,23 c. 30
SP ÉC
2 La probabilité que l’élève préfère le sport sachant qu’il s’agit d’une fille est : 35 35 35 b. c. a. 150 78 65
3 On lance un dé. Soit A l’événement : « Obtenir une face paire » et B l’événement : « Obtenir un multiple de 3 ». A ∩ B est l’événement : a. « Obtenir un multiple de 6 » b. {2 ; 3 ; 4 ; 6} c. {6}
4 On lance deux fois de suite un dé équilibré et on s’intéresse à la somme des deux dés. Déterminer la probabilité d’obtenir 9 : 1 4 5 a. b. c. 18 36 6
5 On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. La probabilité que ce soit une figure rouge est : 3 35 6 a. b. c. 13 52 52
6 Parmi les salariés d’une entreprise, 20 personnes sont des cadres dont 11 femmes. L’entreprise emploie 100 salariés dont 40 hommes. On rencontre un salarié de cette entreprise. La probabilité que cette personne soit cadre, sachant que c’est une femme est : 11 11 a. b. 0,55 c. 100 60
130
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20/03/2020 12:46
Probabilités conditionnelles
SP ÉC
IM EN
Dans le village de Kodinhi, en Inde, vivent environ un millier de jumeaux sur une population totale d’environ 15 000. Alors que la moyenne nationale des naissances gémellaires est de 1 pour 100, elle est de 10 pour 100 à Kodinhi. Les probabilités conditionnelles sont un outil pour les généticiens, médecins, écologistes et anthropologues qui cherchent à éclaircir ce mystère.
s maths Dans l’histoire de
Et aujourd’hui ?
Si les probabilités sont communément associées aux jeux de hasard, elles ont des applications dans de nomLe chevalier de Méré, à la cour de Louis XIV, se breux domaines comme la génétique, la physique demandait s’il valait mieux parier sur l’apparition d’un quantique, l’industrie ou la finance. En médecine, 6 en lançant 4 fois un dé ou d’un double 6 en lançant e les probabilités conditionnelles, et plus précisé24 fois deux dés. Mais il fallut attendre le XVII siècle ment le théorème de Bayes, représentent un outil pour que Blaise Pascal calcule ces deux probabilités : précieux pour évaluer l’efficacité d’un vaccin ou environ 0,513 pour le premier pari et 0,491 pour le d’un test et pour aider au diagnostic de cersecond. À cette époque, de nombreux mathématiciens taines maladies. se penchèrent sur les probabilités et Christian Huygens écrivit le premier livre sur le sujet Raisonnement sur les jeux de hasard (1657). 131
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Construire le cours Activité
1 Formule des probabilités totales Construire un arbre de probabilités avec des probabilités conditionnelles Un épicier veut connaître les préférences de ses clients. Pour cela, il a compté le nombre de sachets de 1 kg d’oranges et de mandarines biologiques et non biologiques vendus en un mois. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-contre. On prend un sachet au hasard acheté par un client. On considère les événements : O « Le sachet contient des oranges », M « Le sachet contient des mandarines », B « Les giques », B « Les fruits du sachet ne sont pas biologiques ».
Sachet d’oranges Biologiques
30
30
60
Non biologiques
50
90
140
Total
80
120
200
fruits du sachet sont biolo-
1 a. Déterminer la probabilité que le sachet contienne des oranges puis celle qu’il contienne des oranges biologiques. b. Le sachet choisi est un sachet d’oranges. Déterminer la probabilité qu’elles soient biologiques. c. Montrer que : P ( O ∩ B ) = P ( O ) × PO (B ).
O
IM EN
P(M) = …
M
B B
PM(B) = … …
B
Définition Soit n ∈N \ {0 ; 1} et soit A1, A 2 , … et A n des événements d’un univers Ω de probabilités non nulles. Ces événements forment une partition de l’univers Ω si : • ils sont disjoints deux à deux : pour tous les entiers distincts i et j de {1 ; 2 ; … ; n}, alors : A i ∩ A j = ∅ ;
SP ÉC
À retenir À retenir
B
PO(B) = … …
P(O) = …
2 a. Compléter l’arbre ci-contre. b. Montrer que : P (B ) = P ( O ) × PO (B ) + P (M) × PM (B ). Propriétés Dans un univers, soit A et B deux événements. • Si P ( A ) ≠ 0, la probabilité conditionnelle P ( A ∩ B) de B sachant A est : PA (B ) = . P (A) • Si P (B) ≠ 0, la probabilité conditionnelle P ( A ∩ B) de A sachant B est : PB ( A ) = . P (B ) • Si P ( A ) ≠ 0 et P (B) ≠ 0, alors on a : P ( A ∩ B ) = PA (B ) P ( A ) = PB ( A ) P (B ).
Sachet de Total mandarines
•
n
A1 ∪ A 2 ∪…∪ A n = ∪ A i = Ω. i=1
Remarque : A et A forment une partition de l’univers Ω.
Propriété Soit n ∈N \ {0 ; 1}. A1, A 2 , … A n sont des événements de probabilité non nulle formant une partition de l’univers Ω. B est un événement. La formule des probabilités totales s’écrit : n
P (B ) = P ( A1 ) PA1(B ) + P ( A 2 ) PA2 (B ) + … + P ( A n ) PA n (B ) = ∑ P ( A i ) PA i (B )
À retenir
i=1
Trois règles • La somme des probabilités issues d’un même nœud est égale à 1. • La probabilité d’un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités portées par les branches de ce chemin. • La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à sa réalisation.
A1
PA1(B)
PA1(B)
P(A1) P(A2)
A2
PA2(B)
PA2(B)
B B B B
P(A3) A3
PA3(B)
PA3(B)
B B
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Acquérir les méthodes EXERCICE RÉSOLU
1 Méthode La somme des probabilités issues d’un même nœud est égale à 1.
IM EN
Construire un arbre pondéré et utiliser la formule des probabilités totales Un grossiste en appareils ménagers est approvisionné par trois marques de gaufriers, notées M1, M2 et M3. La moitié des appareils de son stock provient de M1, un huitième de M2 et le reste de M3. 13 % des gaufriers de la marque M1, 5 % de ceux de la marque M2 et 10 % de ceux de la marque M3 sont rouges. On choisit au hasard un appareil dans le stock. On considère les événements Mi : « L’appareil provient de la marque Mi » et R : « L’appareil est rouge ». a. Déterminer P (M2 ) . b. Donner PM1(R ) , puis déterminer PM1(R ) . c. Déterminer la probabilité P (M1 ∩ R ). d. Construire un arbre pondéré représentant cette situation. e. Calculer la probabilité que l’appareil soit rouge. Résolution
2 Méthode Utiliser la propriété : P ( A ∩ B ) = PA (B ) P ( A ) = PB ( A ) P (B ).
3 Méthode
SP ÉC
a. M1, M2 et M3 sont trois événements disjoints qui forment une partition de l’univers du choix des marques donc : P (M1 ) + P (M2 ) + P (M3 ) = 1. 1 1 1 8 − 4 −1 3 P (M3 ) = 1− ( P (M1 ) + P (M2 )) = 1− ⎛ + ⎞ = = . ⎝ 2 8⎠ 8 8 b. D’après l’énoncé, 13 % des appareils de la marque M1 sont rouges, ce qui se traduit par : PM1(R ) = 0,13. PM1(R ) + PM1(R ) = 1 donc PM1(R ) = 1− 0,13 = 0,87. 1 c. P (M1 ∩ R ) = PM1(R ) × P (M1 ) = 0,13 × 0,5 = 0,065.
2
d. 5 % des appareils de la marque M2 sont rouges, donc 95 % ne le sont pas. De même, 10 % des appareils de la marque M3 sont rouges, donc 90 % ne le sont pas. 1 e. M1, M2 et M3 forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales : P (R ) = P (M1 ) PM1(R ) + P (M2 ) PM2 (R ) + P (M1 ) PM1(R ) . 3 1 1 3 P (R ) = × 0,13 + × 0,05 + × 0,1 = 0,10875. 2 8 8
Appliquer la formule des probabilités totales : P (B ) = P ( A1 ) PA1(B ) + P ( A 2 ) PA2 (B ) + P ( A 3 ) PA3 (B ) . M1
0,13 0,87
1 2 1 8
M2
0,05 0,95
3 8 M3
0,1 0,9
À votre tour !
R R R R R R
Voir aussi exercices 1 à 8, p. 138-139
75 % des étudiants d’une université peuvent venir étudier en bus. Parmi eux, un quart d’entre eux prend aussi la voiture, et parmi ceux qui n’ont pas accès aux bus, 90 % viennent en voiture. On choisit au hasard un étudiant et on considère les événements suivants : • B : « L’étudiant peut aller sur le campus en bus » ; • V : « L’étudiant vient étudier en voiture ». On note B et V les événements contraires. a. Faire un arbre de probabilités modélisant cette situation. b. Calculer la probabilité que l’étudiant vienne en voiture. 6 • Probabilités conditionnelles
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20/03/2020 12:47
Construire le cours Activité
2 Indépendance de deux événements Construire un arbre de probabilités pour un jeu conditionné par un lancer de dé Une étude est réalisée auprès de 100 employés d’une entreprise afin de savoir s’ils préfèrent habiter en ville ou à la campagne. Les résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous. Ville
Campagne
Total
Hommes
22
33
55
Femmes
18
27
45
Total
40
60
100
On interroge un des salariés au hasard. On considère les événements suivants : • H : « La personne interrogée est un homme » ; • V : « La personne interrogée préfère la ville ». 1 Montrer que : P ( V ) = PH ( V ). On dit alors que l’événement V est indépendant de l’événement H.
IM EN
2 a. Comparer P ( V ∩ H) et P ( V ) × P (H). b. Soit A et B deux événements d’un même univers tels que : P (B ) = PA (B ) et P ( A ) ≠ 0. Montrer que : P ( A ∩ B ) = P ( A ) P (B ).
À retenir
SP ÉC
À retenir
3 a. Montrer que : P ( V ) = PH ( V ). Que peut-on dire des événements H et V ? b. Soit A et B deux événements tels que : P (B ) = PA (B ) d’un même univers Ω avec P ( A ) ≠ 0. En utilisant la formule des probabilités totales, démontrer que : P ( A ∩ B ) = P ( A ) P (B ). En déduire que : P (B ) = PA (B ).
Définition Soit A et B deux événements d’un même univers tels que : P ( A ) ≠ 0. L’événement B est indépendant de l’événement A si PA (B ) = P (B ) .
Propriétés Soit A et B deux événements d’un même univers tels que : P ( A ) ≠ 0 et P (B ) ≠ 0.
•
Si B est indépendant de A, alors A est indépendant de B. On dit alors que A et B sont indépendants.
•
A et B sont indépendants si et seulement si P ( A ∩ B ) = P ( A ) P (B ).
•
Si A et B sont indépendants alors A et B, A et B et A et B le sont aussi.
REMARQUES • Si A et B sont indépendants, la réalisation ou non de l’événement A n’a pas d’influence sur l’événement B. • Ne pas confondre deux événements indépendants avec deux événements incompatibles (dont l’intersection est vide). • Des tirages successifs peuvent être réalisés de manière indépendante : c’est le cas des tirages avec remise.
134
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20/03/2020 12:47
Acquérir les méthodes EXERCICE RÉSOLU Construire un arbre et interpréter une probabilité conditionnelle 2 % d’une population est contaminée par un virus. Un test de dépistage est tel que : • la probabilité qu’une personne • la probabilité qu’une personne contaminée présente un test posinon contaminée présente un test tif est de 0,96 ; négatif est de 0,94. On fait passer un test à une personne choisie au hasard. On note V l’événement : « La personne est contaminée par le virus » et T l’événement : « Le test est positif ». a. Préciser les valeurs des probabilités P ( V ), PV ( T ), PV ( T ). b. Faire un arbre représentant cette situation. c. Calculer P ( V ∩ T ) et P ( T ). d. Déterminer la probabilité que la personne soit atteinte du virus sachant que son test est positif. Interpréter ce résultat. e. Justifier que V et T ne sont pas indépendants. a. 2 % de la population est contaminée, donc P ( V ) = 0,02. La probabilité qu’une personne contaminée présente un test positif est de 0,96, donc PV ( T ) = 0,96. La probabilité qu’une personne non contaminée présente un test négatif est de 0,94, donc PV ( T ) = 0,94. 1
c. P ( V ∩ T ) = P ( V ) PV ( T ) = 0,02 × 0,96 = 0,0192. 2 V et V forment une partition de l’univers, donc, d’après la formule des probabilités totales, on a : P ( T ) = P ( V ) PV ( T ) + P ( V ) PV ( T ) = 0,02 × 0,96 + 0,98 × 0,06 = 0,078. P ( T ∩ V ) 0,0192 d. PT ( V ) = = ≈ 0,25 P (T ) 0,078 Dans seulement 25 % des cas, la personne est réellement contaminée par le virus lorsqu’elle a un test positif. e. PT ( V ) ≠ P ( V ) donc V et T ne sont pas indépendants.
À votre tour !
Utiliser : P ( A ) = 1− P ( A ) .
3
V
T
0,96 0,04
0,02 0,98
SP ÉC
b. P ( V ) = 1− P ( V ) = 1− 0,02 = 0,98 PV ( T ) = 1− PV ( T ) = 1− 0,96 = 0,04 PV ( T ) = 1− PV ( T ) = 1− 0,94 = 0,06
1 Méthode
IM EN
Résolution
V
T T
0,06 0,94
T
2 Méthode Utiliser la propriété : A et B sont indépendants si P ( A ∩ B ) = P ( A ) P (B ).
3 Méthode A et B sont indépendants si PA (B ) = P (B ) .
Voir aussi exercices 9 à 13, p. 139
1 Dans une agence de location, les véhicules présentent un défaut d’éclairage dans 10 % des cas et un défaut de freinage dans 5 % des cas. On suppose que les deux défauts sont indépendants l’un de l’autre. On choisit un véhicule au hasard. Déterminer la probabilité de l’événement A : « Le véhicule présente au moins l’un des deux défauts ». 2 La loi de probabilité d’un dé truqué à six faces a Faces 1 2 3 4 été reportée dans le tableau ci-contre. 0,4 0,1 0,15 0,1 Probabilités On considère les événements A : « Obtenir une face paire » et B : « Obtenir une face inférieure ou égale à 4 ». a. A et B sont-ils indépendants ? b. Dans le cas d’un lancer de dé équilibré, les événements A et B sont-ils indépendants ?
5
6
0,2
0,05
6 • Probabilités conditionnelles
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Faire le point sur l’essentiel priétés Définitions et pro Soit A et B deux événements d’un même univers
Arbre pondéré
Probabilités conditionnelles
La somme des probabilités sur les branches est égale à 1. PA(B)
A
B PA(B) + PA(B) = 1
PA(B)
P(A)
• Si P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0 :
B
P(A ∩ B) = PA(B)P(A) = PB(A)P(B).
PA(B)
A
B
B
Formule des probabilités totales n
P(Ai)PAi(B)
SP ÉC
Σ i=1
Indépendance
PA(B) + PA(B) = 1
PA(B)
P(B) =
IM EN
P(A) + P(A) = 1 P(A)
P(A ∩ B) . P(A) P(A ∩ B) • Si P(B) ≠ 0, PB(A) = . P(B) • Si P(A) ≠ 0, PA(B) =
• A et B sont indépendants si PA(B) = P(B). • A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A)P(B). • Si A et B sont indépendants, alors A et B, A et B et A et B le sont aussi.
P(B) = P(A)PA(B) + P(A)PA(B) dans le cas ci-dessus.
Capacités
Je suis capable de…
C1 • Construire un arbre de probabilités associé à une situation aléatoire donnée
C2 • Interpréter les pondérations de chaque branche d’un arbre en termes de probabilités, et notamment de probabilités conditionnelles
C3 • Faire le lien entre la définition des probabilités conditionnelles et la multiplication des probabilités des branches du chemin correspondant C4 • Utiliser un arbre de probabilités pour calculer des probabilités
C5 • Calculer la probabilité d’un événement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l’univers
Je m’entraîne avec… EXERCICES RÉSOLUS
p. 133 et 135
EXERCICES RÉSOLUS
p. 133 et 135
EXERCICES RÉSOLUS
p. 133 et 135
EXERCICES RÉSOLUS
p. 133 et 135
EXERCICE RÉSOLU
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Pour l’enseignant Diaporama
Réponses page 205
ion Auto-évaluat
Questions flash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses.
Dans un vignoble, 35 % des pieds de vigne sont touchés par le mildiou et 65 % par l’oïdium. Tous les pieds sont atteints par l’un des deux parasites, mais un pied ne peut pas être touché par les deux en même temps. Pour protéger sa vigne, le vigneron utilise de la « bouillie bordelaise ». On estime à 85 % son efficacité sur le mildiou et à 95 % sur l’oïdium. On choisit un pied de vigne au hasard et on note M l’événement : « Le pied est touché par le mildiou » et E l’événement : « Le produit est efficace sur le parasite ».
L’arbre de probabilités représentant cette situation est : a. b. M
85 15
35 65
M
95
2
4
M
0,85 0,15
0,35
E E
0,65
M
0,95 0,05
E
SP ÉC
5
E
c.
E
IM EN
1
a. P (M) = 0,65 b. PM (E ) = 0,85 c. PM ( E ) = 0,05
La probabilité que le pied soit touché par l’oïdium et que le produit soit efficace sur celui-ci est : a. 0,95 b. 0,65 c. 0,6175
E
E
0,15
E
0,85
E
M
0,35 0,65
E
M M
0,95 0,05
3
P (M ∩ E ) = ? a. 0,15 b. 0,0975 c. 0,0525
5
La probabilité que la bouillie bordelaise soit efficace sur le pied de vigne choisi est : a. 0,915 b. 1,8 c. 0,65
M
Vrai ou faux ? Pour chaque proposition, déterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. A
On considère l’arbre de probabilités ci-contre.
0,68
0,2
B B
1 La probabilité de B sachant A est égale à 0,8. 2 PA (B ) = 0,32 3 La probabilité de A ∩ B est égale à 0,08.
B
A 0,4
B
4 P (B ) = 0,616 5 Les événements A et B sont indépendants. 6 • Probabilités conditionnelles
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20/03/2020 12:47
π%π ∈ ∈%
Exercices
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4 1. Compléter l’arbre ci-dessous. 2. Donner la probabilité de A, celle de B sachant A, puis celle de B sachant A et P ( A ∩ B ).
Échauffement 1 Formule des probabilités totales
A
Automatismes
1
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses. Pour les questions Q1 et Q2, on considère A et B deux événements d’une même expérience aléatoire.
…
IM EN
Pour les questions Q3 à Q5, on considère deux événements C et E et l’arbre pondéré ci-dessous : E 0,1
0,55
E E
0,3
C
SP ÉC
E
Q4. P ( C ∩ E) = 0,7.
Q3. PC (E) = 0,9.
Q5. P (E) = 0,63.
3
A
Grâce à l’arbre ci-contre, donner les probabilités : P ( A ) , PA (B ), PA ( B ) et PA ( B ). À l’oral
0,8
0,6 0,4
0,2
A
0,5 0,5
B
B
B B
Grâce à l’arbre ci-dessous, donner les probabilités : P ( A ) , P (B ), P ( C ), PA (E) et PB ( E ). À l’oral
A
0,5 0,5
E E
0,1 0,4
B
0,3 0,7
0,5 C
0,65 0,35
F1
E E
B B B
D D
F2
D D
F3
D D
2. Déterminer la probabilité que la puce choisie ait un défaut. 3. Sachant que la pièce a un défaut, déterminer la probabilité qu’elle vienne du fournisseur F3.
6 Une urne contient 3 boules rouges, 2 boules vertes et 2 boules noires. On tire successivement 2 boules de l’urne. On considère les événements R : « La boule tirée est rouge », V : « La boule tirée est verte » et N : « La boule tirée est noire ». 1. Compléter l’arbre de probabilités ci-dessous. R
V
E E
…
B
5 Une entreprise achète des puces électroniques auprès de trois fournisseurs F1, F2 et F3 : 30 % chez F1, 20 % chez F2. Certaines puces présentent des défauts : 5 % des puces venant de F1, 3 % de celles venant de F2 et 10 % des puces de F3. On choisit une puce au hasard. Soit les événements Fi : « La puce vient du fournisseur i » et D : « La puce a un défaut ». 1. Compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
Q2. Si A et B sont incompatibles, alors A et B sont deux événements contraires.
C
A
0,993
Q1. P ( A ) + P ( A ) = 1.
2
…
0,12
Questions flash
0,635
N
R V N R V N R V N
2. Déterminer la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
138
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20/03/2020 12:47
7 Au début des années 2000, Internet n’était pas aussi populaire et une étude sur l’intérêt accordé à Internet sur un échantillon de 2 000 personnes a donné les résultats suivants. Intéressé par Internet ?
Oui
Non
Total
Moins de 30 ans
560
…
700
De 30 à 60 ans
…
…
…
Plus de 60 ans
…
510
600
800
…
2 000
Total
2 Indépendance de deux événements Automatismes
9
I …
I
… … …
A1 A2 A3 A4 A5
A1 … …
A2
… A3
… …
I
… …
I
… …
I
10 Soit deux événements A et B tels que P ( A ) = 0,3 et P (B ) = 0,5. Déterminer la probabilité de P ( A ∪ B ) I dans chacun des cas suivants : I a. A et B sont indépendants. b. A et B sont incompatibles. I
SP ÉC
…
… … …
Soit A et B deux événements d’une même expérience aléatoire tels que P ( A ) ≠ 0. Pour chaque proposition, déterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Q1. Si A et B sont indépendants, alors : P ( A ∪ B ) = P ( A ) P (B ). Q2. Si A et B sont indépendants, alors : P ( A ∩ B ) = P ( A ) P (B ). Q3. Si A et B sont indépendants, alors : PA (B ) = P ( A ). Q4. Si A et B sont tels que PA (B ) = 0,3 et P (B ) = 0,3, alors A et B sont indépendants. Q5. On tire successivement et sans remise 2 boules d’une urne contenant 3 boules rouges et 5 boules noires. Ces deux tirages sont indépendants.
IM EN
1. Compléter ce tableau. 2. On choisit une personne interrogée au hasard. On note A1 l’événement : « La personne a moins de 30 ans », A2 l’événement : « La personne a entre 30 et 60 ans » et A3 l’événement : « La personne a plus de 60 ans ». On note I l’événement : « La personne est intéressée par Internet ». À l’aide tableau, compléter les arbres de probabilités suivants.
Questions flash
A6
11 Soit deux événements A et B tels que P ( A ) = 0,7, 8 Une agence de voyages ne propose que trois P (B ) = 0,5 et A ∪ B est l’événement certain. destinations : les Antilles françaises, Cuba et les Les événements A et B sont-ils indépendants ? Maldives. Elle souhaite évaluer le niveau de satisfaction de ses clients. Elle sait que : 12 Soit deux événements indépendants A et B tels que • 9 % des clients partent aux Maldives et 98 % P ( A ) = 0,3 et P ( A ∪ B ) = 0,65. Déterminer P (B ) . d’entre eux sont satisfaits de leur séjour ; • 79 % des clients partent aux Antilles et 95 % 13 À la sortie d’une usine, les montres peuvent préd’entre eux sont satisfaits ; senter un défaut (noté D1) sur le bracelet et un • 12 % des clients partent à Cuba et 93 % d’entre défaut (noté D2) sur le cadran. Une montre est eux sont satisfaits. dite défectueuse si elle présente au moins l’un des On note : deux défauts. On prélève une montre au hasard • M l’événement : dans la production d’une journée. « Le client est parti On note A l’événement : « La montre présente le en vacances aux défaut D1 » et B l’événement : « La montre préMaldives » ; sente le défaut D2 ». On connaît les probabilités • C l’événement : « Le client est parti à Cuba » ; de ces événements : P ( A ) = 0,02 et P (B ) = 0,01. • A l’événement : « Le client est parti aux Antilles » ; On suppose que ces deux événements sont indéS l’événement : « Le client est satisfait ». pendants. • 1. Déterminer la probabilité que la montre pré1. Construire un arbre de probabilités corresponsente les deux défauts. dant à cette situation. 2. Déterminer la probabilité que la montre n’ait 2. On interroge un client au hasard. Déterminer la aucun défaut. probabilité qu’il ne soit pas satisfait de son séjour. 6 • Probabilités conditionnelles
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Exercices
18 75 % des clients d’un restaurant sont des familles. Parmi celles-ci, 17 % payent leur addition avec des chèques-vacances, 76 % payent leur addition par carte bancaire et les autres règlent en liquide. 1 Formule des probabilités totales Parmi les autres clients, seulement 5 % utilisent les chèques-vacances, 80 % une carte bancaire et 14 À l’oral Traduire chaque probabilité de l’arbre ponles autres du liquide. déré ci-dessous. On choisit au hasard une table et ses (ou son) D client(s). 0,2
Entraînement
E
0,3 0,5
F
0,3 0,2
B
D
0,1 0,45 0,45
E F
0,5 C
D
0,3 0,7
7 10 1 5
…
1 3
B …
A
D B
…
2 9
C
D
2. Déterminer P ( A ∩ B ), P ( A ∩ D) et P ( C ). …
A
16 1. Compléter l’arbre ci-contre. 2. Déterminer P ( A ∩ B ), P ( A ∩ B ) et P ( B ).
0,25
0,4 …
0,45
A
L F
B C
C
SP ÉC
3 5
1. Compléter l’arbre pondéré suivant traduisant la situation.
E
15 1. Compléter l’arbre ci-dessous. A
On note : • F l’événement : « Les clients sont une famille » ; • C l’événement : « Les clients payent en chèques-vacances » ; • B l’événement : « Les clients payent en carte bancaire » ; • L l’événement : « Les clients payent en liquide ».
IM EN
A
B
B
L F
B C
2. Décrire par une phrase l’événement F ∩ B puis en calculer la probabilité. 3. Calculer la probabilité que les clients choisis payent avec des chèques-vacances. 4. Les clients choisis ont payé en chèques-vacances. Calculer la probabilité que ces clients soient une famille.
B
… B
17 En vous aidant de l’arbre de probabilités ci-dessous, calculer les probabilités suivantes. a. P ( C ∩ D) b. P ( C ∩ D) c. P (D). C
0,64
0,12 0,88
0,36
C
0,91 0,09
D D D D
140
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19 Un refuge de la Société protectrice des animaux (SPA) compte 450 animaux dont 60 % de chiens et 30 % de chats. Lors d’une journée « portes ouvertes », 50 % des chiens, 60 % des chats et 80 % des autres animaux sont adoptés.
1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation. 2. Calculer P (F ). 3. On choisit un élève au hasard. Déterminer la probabilité que l’élève soit en série générale sachant qu’il s’agit d’une fille.
1. Compléter le tableau suivant. Chiens
Chats
Autres
Total
Adoptés
…
…
…
…
Non adoptés
…
…
…
…
Total
…
…
…
…
21
A …
… … …
B
B
D
… …
A
B
C
… … …
C
… …
D
…
D
1. Sachant que la première boule tirée est rouge, la probabilité que la seconde boule tirée soit noire est :
… …
a.
A
4 7
b.
2 3
c.
1 2
2. La probabilité de tirer 2 boules rouges est :
A A
A
SP ÉC
…
… …
C
Pour chaque question, choisir la bonne proposition. Justifier la réponse. Pour les questions 1 et 2, on considère un sac contenant 4 boules noires et 3 boules rouges. On tire successivement et sans remise 2 boules de l’urne.
IM EN
2. On choisit la fiche d’un animal au hasard. On considère les événements A : « L’animal a été adopté », B : « L’animal est un chien », C : « L’animal est un chat » et D : « L’animal n’est ni un chien ni un chat ». Utiliser le tableau pour compléter les arbres de probabilités suivants.
QCM
A
A
20 Un lycée propose à ses élèves de Seconde la série générale et les séries technologiques STMG et STL. À la rentrée 2019, la répartition des élèves de Première était la suivante : • 70 % des élèves sont en série générale et parmi ceux-ci, 44 % sont des garçons ; • 22 % sont en STMG et parmi ceux-ci, 76 % sont des garçons ; • 8 % sont en STL et parmi ceux-ci, 68 % sont des filles.
On interroge au hasard un élève de Première et on note : • G l’événement : « L’élève interrogé est en Première générale » ; • M l’événement : « L’élève interrogé est en Première STMG » ; • L l’événement : « L’élève interrogé est en Première STL » ; • F l’événement : « L’élève interrogé est une fille ».
a.
1 7
b.
1 3
c.
2 5
Pour les questions 3 à 5, on considère l’arbre pondéré ci-dessous qui représente une situation où A et B sont deux événements. A
B
7 10
3 5
B B
A 2 7
B
3. La probabilité de B sachant A est : a.
2 5
b.
5 7
c.
2 7
c.
2 7
4. La probabilité de B ∩ A est : a.
2 5
b.
5 7
5. La probabilité de B est : a.
2 5
b.
51 50
c. environ 0,71
6 • Probabilités conditionnelles
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141
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Exercices
On choisit au hasard une des personnes interrogées. On considère les événements D : « La personne interrogée est sensible au développement durable » et T : « La personne interrogée trie les déchets ».
Entraînement 22 Dans une association culturelle, un quart des femmes et un tiers des hommes sont dans l’orchestre. On sait également que 30 % des membres de l’association sont dans l’orchestre. On choisit au hasard un membre et on note : • F l’événement : « Le membre choisi est une femme » ; • O l’événement : « Le membre choisi est dans l’orchestre ».
1. Déterminer PD ( T ) . 2. Déterminer PT (D) . Méthode
Faire un arbre pondéré et utiliser la formule des probabilités totales.
1. Déterminer P (F ) . Méthode
Faire un arbre pondéré et poser x pour P (F ).
SP ÉC
IM EN
2. On choisit un membre parmi les musiciens de l’orchestre. Quelle est la probabilité que ce musicien soit une femme ?
23 En France, pour chaque naissance, la probabilité qu’il s’agisse d’un garçon est 0,51. 1. Un couple souhaite avoir deux enfants. On suppose que les sexes des enfants sont indépendants l’un de l’autre. Quelle est la probabilité que ce couple ait 2 garçons puis celle qu’elle ait 2 filles ?
2. Un autre couple souhaite avoir 3 enfants. Quelle est la probabilité d’avoir 3 garçons ? 24
STMG
Un sondage est réalisé par une mairie pour connaître les habitudes de ses administrés sur le traitement des déchets. 80 % des personnes interrogées se déclarent sensibles au développement durable, mais parmi elles, seulement 75 % trient leurs déchets. 70 % des personnes interrogées déclarent trier leurs déchets.
25 Le jardinier d’une ville souhaite planter des bulbes de tulipes. Le pépiniériste annonce que 90 % des bulbes ont un pouvoir germinatif et que, dans chaque lot, il y a 40 % de fleurs jaunes, 25 % de fleurs rouges, 20 % de fleurs orange et 15 % de fleurs blanches. On choisit un bulbe au hasard et on note : • G l’événement : « Le bulbe germe » ; • R l’événement : « La fleur est de couleur rouge » ; • J l’événement : « La fleur est de couleur jaune » ; • B l’événement : « La fleur est de couleur blanche ». 1. Dessiner un arbre de probabilités. 2. Déterminer la probabilité d’obtenir une tulipe rouge. 3. Le jardinier souhaite réaliser un massif contenant 50 tulipes rouges. Combien doit-il planter de bulbes ? Méthode
Déterminer la probabilité d’obtenir une tulipe rouge.
142
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20/03/2020 12:47
SP ÉC
IM EN
26 Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous On interroge une personne au hasard. forme de fractions irréductibles. On considère les événements D : « La personne Un jeu consiste à lancer un dé cubique équiinterrogée est daltonienne » et H : « La personne libré puis à tirer une boule dans une urne. Si on interrogée est un homme ». obtient 6 au lancer du dé, on tire une boule dans Méthode l’urne A ; si on obtient un nombre impair, on tire Faire un arbre pondéré et déterminer la probabilité dans l’urne B ; dans les autres cas, on tire dans PH (D). l’urne C. L’urne A contient 1 boule rouge et 5 boules vertes ; l’urne B contient 2 boules rouges et 8 boules vertes ; l’urne C contient 3 boules rouges et 29 Pour embaucher ses cadres, une entreprise fait 11 boules vertes. appel à un cabinet de recrutement. Celui-ci effectue une première sélection sur dossier. 40 % des On considère les événements suivants : dossiers reçus sont validés et transmis à l’en• I : « Obtenir un nombre impair » ; treprise. Les candidats sélectionnés passent un • S : « Obtenir 6 » ; premier entretien à l’issue duquel 70 % d’entre • A : « Obtenir 2 ou 4 » ; eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués • R : « La boule tirée est rouge » ; à un ultime entretien avec le directeur des res• V : « La boule tirée est verte ». sources humaines qui recrute 25 % des candidats rencontrés. 1. Représenter un arbre pondéré correspondant à On choisit au hasard le dossier d’un candidat. cette situation. On considère les événements suivants : 2. Déterminer la probabilité de tirer une boule • D : « Le candidat est retenu sur dossier » ; rouge. • E1 : « Le candidat est retenu à l’issue du premier 3. Déterminer la probabilité que la boule proentretien » ; vienne de l’urne A sachant qu’elle est rouge. • E2 : « Le candidat est recruté ». 27 1. Andrew a révisé 15 des 25 thèmes pour préparer une épreuve orale. Lors de cette épreuve, l’étudiant tire deux sujets au hasard, puis choisit un des deux sujets. Quelle est la probabilité qu’Andrew soit interrogé sur un thème qu’il ne maîtrise pas ?
2. 75 % des étudiants ont préparé l’épreuve écrite. Si un étudiant a préparé l’examen, il a 85 % de chance de réussite à l’examen et 15 % s’il ne l’a pas du tout préparé. On interroge au hasard un étudiant. a. Quelle est la probabilité qu’il réussisse son examen ? b. Quelle est la probabilité pour un étudiant ayant réussi l’examen de l’avoir préparé ?
28 Samia a lu dans un article qu’il n’existe pas de femmes daltoniennes. En utilisant les informations données ci-dessous, confirmer ou infirmer cette affirmation. Dans la population française, il y a environ 48 % d’hommes et 4 % de daltoniens. Parmi les hommes, on estime à 8 % le nombre de daltoniens.
1.a. Compléter l’arbre pondéré ci-dessous. E2 E1 D
E2 E1
D
b. On note F l’événement : « Le candidat n’est pas recruté ». Démontrer que la probabilité de l’événement F est égale à 0,93. 2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Leurs dossiers sont étudiés indépendamment les uns des autres. Déterminer la probabilité qu’au moins l’un des cinq amis soit recruté. 3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 ? 6 • Probabilités conditionnelles
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Exercices
1. Grâce au tableau précédent, recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-contre.
Entraînement 30 J’habite dans une ville où il pleut un jour sur trois. S’il pleut, il y a une chance sur deux que le trafic soit dense et une chance sur quatre qu’il le soit quand il ne pleut pas. Si le trafic est dense et s’il pleut, j’arrive en retard dans un cas sur deux. La 1 probabilité que j’arrive en retard est de s’il ne 16 pleut pas et si le trafic n’est pas dense. Dans tous les autres cas, la probabilité que je sois en retard 1 est de . 8 On considère les événements suivants : • P : « Il pleut » ; • D : « Le trafic est dense » ; • R : « Je suis en retard ». On choisit un jour au hasard.
2. Calculer la probabilité que la personne choisie ait entre 25 et 49 ans et soit au chômage.
C …
… … …
A1 A2 A3
… …
… … …
A1 A2 A3
3. Quel pourcentage des Français en âge de travailler la catégorie des 15-24 ans représente-telle ? 4. On choisit au hasard une personne en âge de travailler ayant entre 15 et 24 ans. Quelle est la probabilité que celle-ci soit au chômage ?
IM EN
5. Pour une personne en âge de travailler, pensez-vous que l’âge et le fait d’être au chômage sont indépendants ? Justifier votre réponse.
1. Représenter un arbre correspondant à cette situation.
2. Déterminer la probabilité que j’arrive en retard.
2 Indépendance de deux événements
32
STMG
SP ÉC
3. Si j’arrive en retard, déterminer la probabilité 33 Dans chacun des cas suivants, déterminer si A et B qu’il pleuve. sont indépendants. a. P ( A ) = 0,7, P (B ) = 0,5 et P ( A ∪ B ) = 0,8. 31 Démonstration b. P ( A ) = 0,7, P (B ) = 0,4 et P ( A ∪ B ) = 0,82. Démontrer la formule des probabilités totales c. P ( A ) = 0,4, P (B ) = 0,5 et P ( A ∩ B ) = 0,2. dans le cas n = 2. 34 Vrai ou faux ?
Le tableau ci-dessous présente la répartition par classes d’âges des Français (en âge de travailler) au chômage et en activité. Part en pourcentage chez les chômeurs
Part en pourcentage chez les actifs
15-24 ans
22,1 %
9,6 %
25-49 ans
56,9 %
60,7 %
21 %
29,7 %
Plus de 50 ans
On estime par ailleurs le taux de chômage à environ 8,5 % actuellement en France. On choisit un Français en âge de travailler au hasard. On note : A1 : « La personne choisie appartient à la catégorie 15-24 ans » ; A 2 : « La personne choisie appartient à la catégorie 25-49 ans » ; A 3 : « La personne choisie a plus de 50 ans » ; C : « La personne choisie est au chômage ».
On considère l’affirmation suivante : « Si A et B sont deux événements indépendants avec P (B ) ≠ 0 et P (B ) ≠ 1, alors P ( A ∩ B ) = PB ( A ) ». Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
35 Soit A, B et C trois événements tels que : • A et B sont indépendants ; 2 • P ( A ) = 5 ; 3 • P ( A ∪ B) = 4 ; 1 • P (C) = 2 ; 1 • P ( A ∩ C ) = 10 ; 7 • P (B ∩ C ) = 24 . 1. Déterminer P (B ) et P ( A ∪ C ). 2. Les événements A et C sont-ils indépendants ? Et les événements B et C ?
144
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36
II a observé que, chaque jour de classe, la probabilité de R est égale 0,05 et que celle de B est égale à 0,1. Lorsqu’au moins l’un des deux événements se produit, Stéphane est en retard au lycée, sinon il est à l’heure. 1. Calculer la probabilité qu’un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que le bus soit en retard. 2. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l’heure au lycée un jour donné de classe. 3. Au cours d’une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On suppose que tous les jours sont indépendants les uns des autres. Déterminer la probabilité que Stéphane soit à l’heure tous les jours de la semaine.
QCM
SP ÉC
IM EN
Pour chaque question, choisir la bonne proposition. Justifier la réponse. 1. On considère une expérience aléatoire avec deux événements A et B tels que P ( A ) = 0,8 et P ( A ∩ B ) = 0,56. La probabilité de B sachant A est : a. 0,448 b. 0,7 c. 0,24 2. On considère une expérience aléatoire avec deux événements incompatibles A et B tels que P ( A ) = 0,5 et P (B ) = 0,4. Alors P ( A ∪ B ) = ? a. 0,4 b. 1,3 c. 0,9 3. On considère une expérience aléatoire avec deux événements A et B tels que P ( A ) = 0,6 et P ( A ∩ B ) = 0,3, alors PA (B ) = ? a. 0,75 b. 0,12 c. 0,9 4. On considère une expérience aléatoire avec deux événements A et B tels que P ( A ) = 0,4, P (B ) = 0,25 et PA (B ) = 0,5. La probabilité de A sachant B est : a. 1 b. 0,25 c. 0,8 39 Après avoir accouché de jumelles en 2009, l’épouse 5. On lance un dé cubique équilibré. On considère du tennisman Roger Federer a donné naissance à les événements M : « Le numéro est un multiple des jumeaux en 2014. « Encore des jumeaux… de 3 » et I : « Le numéro est inférieur ou égal à 3 ». C’est un miracle » a-t-il annoncé sur les réseaux sociaux. Est-ce vraiment un miracle ? a. Les événements M et I sont incompatibles. Dans la population générale, la probabilité pour b. Les événements M et I sont indépendants. une femme qui tombe enceinte d’avoir des c. Les événements M et I ne sont pas indépenjumeaux est d’environ 1 %. Les naissances sont dants. indépendantes les unes des autres. Y a-t-il vraiment une chance sur 10 000 de vivre deux gros37 Une urne opaque contient 2 boules noires et sesses gémellaires ? 9 blanches, toutes indiscernables au toucher. On
tire successivement 2 boules de cette urne. On note A l’événement : « La première boule tirée est noire » et B l’événement : « La deuxième boule tirée est noire ». 1. Le tirage est réalisé sans remise. a. Faire un arbre pondéré représentant cette situation. b. Déterminer la probabilité de tirer deux boules de même couleur. 40 Lors de la saison 2018/2019, un supporter du club 2. Le tirage est réalisé avec remise. de football des Girondins de Bordeaux observe les a. À l’oral Justifier que A et B sont indépendants. résultats de son équipe. Ils sont donnés dans le b. Faire un arbre pondéré représentant cette tableau suivant. situation. Ce supporter a-t-il raison de penser que gagner à l’extérieur et gagner à domicile sont des événec. Déterminer la probabilité de tirer deux boules ments indépendants ? de même couleur. 38 Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux événements indépendants : • R : « Il n’entend pas son réveil sonner » ; • B : « Son bus est en retard ».
À domicile
À l’extérieur
Défaites
5
12
Nuls
6
5
Victoires
8
2
6 • Probabilités conditionnelles
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Exercices
positif dans 99 % des cas ; si une personne n’est pas malade, il est positif dans 0,1 % des cas. On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité qu’une personne soit malade, sachant que le test est positif. On estime que ce test est efficace pour une population donnée lorsque cette probabilité est supérieure à 0,95.
Perfectionnement 41 Diagramme de Venn Soit A, B et C trois événements tels que : • A et C sont indépendants ; • B et C sont indépendants ; • A et B sont incompatibles ; 2 3 • P ( A ∪ C ) = 3 ; P (B ∪ C ) = 4 11 et P ( A ∪ B ∪ C ) = . 12 Le but de l’exercice est de déterminer P ( A ) , P (B ) et P ( C ). Soit a la probabilité de l’événement A, b la probabilité de l’événement B et c la probabilité de l’événement C.
Modéliser • Représenter
Que pensez-vous de l’efficacité de ce test ? Méthode
Déterminer la probabilité d’être malade sachant que le test est positif.
44 Loterie Une urne opaque contient 10 boules blanches et n boules rouges (n ∈N*), toutes indiscernables au toucher. Un jeu consiste à tirer successivement deux boules de l’urne, de façon équiprobable. Pour toute boule blanche tirée, le joueur gagne 2 points et pour toute boule rouge tirée le joueur perd 3 points. Soit X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur.
SP ÉC
42 Qui va laver la vaisselle ?
IM EN
1. Chercher • Représenter Traduire l’énoncé par un diagramme de Venn. 2. Raisonner Démontrer que : 11 = a + b + c − ac − bc. 12 3. Communiquer Conclure.
Mattéo, Anne, Irène et Line partent faire du camping ensemble. Pour la corvée de vaisselle, ils décident de tirer au sort avec des allumettes : celui qui tire l’allumette la plus courte fait la vaisselle. Line est mécontente car elle affirme qu’en tirant toujours la dernière, elle a plus de chance de faire la vaisselle. Chercher • Représenter
Lui donnez-vous raison ? Méthode
Calculer la probabilité que Line perde dans plusieurs cas de figure.
43 Efficacité d’un test Dans la population française, une maladie touche une personne sur 10 000. Un responsable d’un grand laboratoire pharmaceutique vient promouvoir son nouveau test de dépistage : si une personne est malade, le test est
1. Représenter Représenter ce jeu par un arbre pondéré. 2. Modéliser Déterminer les valeurs prises par X, puis la loi de probabilité de X. 3. Calculer Montrer que l’espérance de X est égale à : −6n + 40 E (n) = . n + 10
4. Raisonner Pour quelles valeurs de n l’espérance du joueur est-elle strictement positive ?
45 Jeu sur Internet Un site Internet propose un jeu : • si le joueur gagne une partie, la probabilité 2 qu’il gagne la partie suivante est ; 5 si le joueur perd une partie, la probabilité • 4 qu’il perde la partie suivante est . 5 Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par Gn l’événement « l’internaute gagne la nième partie » et on note Pn la probabilité de l’événement Gn. L’internaute gagne toujours la première partie donc P1 = 1.
146
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20/03/2020 12:47
46 Entreprise bénéficiaire ?
SP ÉC
En 2019, une entreprise voit le jour et réalise une étude pour évaluer sa viabilité dans le temps. Elle estime que lorsqu’elle réalise des bénéfices une année, elle restera bénéficiaire l’année suivante dans 90 % des cas, et que lorsqu’elle est déficitaire une année, elle réalisera des bénéfices l’année suivante dans 40 % des cas. B n est l’événement : « L’entreprise réalise des bénéfices l’année 2019 + n ». On note bn = P (B n ). En 2019, l’entreprise estime qu’elle aura autant de chance d’être bénéficiaire que d’être déficitaire.
1. Calculer Donner la valeur de b0. 2.a. Représenter Dresser un arbre de probabilités traduisant la situation entre les années 2019 et 2020, faisant intervenir les événements B 0 et B1. b. Calculer En déduire la probabilité que l’entreprise réalise des bénéfices en 2020. 3. Représenter • Calculer L’arbre de probabilités 47 généralise la situation entre les années (2019 + n) et (2019 + n + 1). Bn
…
… …
bn
Bn
a. Compléter l’arbre ci-dessus. b. En déduire que pour tout entier naturel n, on a : bn+1 = 0,5bn + 0,4. 4. Tableur Raisonner • Calculer Avec un tableur, on a créé une feuille de calcul permettant de calculer les premiers termes de la suite ( bn ). Le fichier tableur C06_Ex.46(1) peut être téléchargé. a. Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule B3, puis étirée vers le bas ? b. Quelle conjecture peut-on émettre sur l’évolution des termes de la suite ( bn ) ? Interpréter ce résultat. 5. Raisonner • Calculer • Modéliser On considère la suite ( un ) définie pour tout entier naturel n par : un = bn − 0,8. a. Démontrer que ( un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b. Exprimer un en fonction de n puis démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : bn = −0,3 × ( 0,5)n + 0,8.
IM EN
1. Modéliser Déterminer P3 . On pourra s’aider d’un arbre pondéré. Gn+1 Gn Modéliser Com2. pléter l’arbre pondéré Gn+1 ci-contre. 3. Raisonner Montrer Gn+1 que, pour tout n entier Gn naturel non nul : Gn+1 1 1 Pn+1 = Pn + . 5 5 4. Raisonner • Calculer Pour tout n entier naturel non nul, on pose : 1 un = Pn − . 4 a. Montrer que ( un ) est une suite géométrique de 1 raison et de premier terme u1, à préciser. 5 b. Déterminer pour tout n entier naturel non nul, l’expression de un puis celle de Pn en fonction de n. c. Quel est le comportement de Pn pour des valeurs de n de plus en plus grandes ?
… …
Bn+1
Bn+1 Bn+1 Bn+1
c. En déduire b15 et interpréter le résultat. 6. Python Modéliser On considère la fonction Python ci-contre. Lorsqu’on exécute la commande rang(0.5,0.01), la valeur renvoyée est 5. Quel résultat déjà observé dans les questions précédentes ce programme permet-il de retrouver ? Tester en environnement Python avec le fichier C06_Ex.46(2).
Cookies or muffins?
In English
John and Meghan made cookies and muffins at Jane’s tea. John’s box contains 6 cookies and 5 muffins when Meghan’s contains 12 cookies and 3 muffins. Jane chooses a box and a cake randomly. What is the probability that it is a muffin? 6 • Probabilités conditionnelles
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147
20/03/2020 12:47
Ateliers algorithmiques et numériques 30 min
ATELIER
1
CAPACITÉ • Écrire une fonction simp le en Python et compléter un programme
Modéliser un jeu
Deux joueurs s’opposent : le premier lance deux dés cubiques équilibrés et additionne le total des points obtenus. Si ce total est différent de 7, il rejoue et additionne le total des deux dés suivants à la première somme, et ainsi de suite pendant 5 tours. S’il obtient 7, il perd la partie. C’est ensuite au deuxième joueur de lancer les dés. À la fin du tour, celui qui a la somme la plus importante a gagné.
Python
1
Chercher • Communiquer
2
Modéliser • Calculer
POINT PYTHON L’instruction randint(a,b) permet d’ob tenir un nombre entier au hasard entre a et b. Utiliser le langage Python, p. 194
IM EN
a. Comment peut-on simuler le résultat obtenu par le lancer d’un dé en utilisant le langage Python ? b. Quel est le moyen de simuler le résultat de la somme dans un lancer de deux dés ? Peut-on le modéliser en utilisant randint(2,12) ?
En complétant le programme C06_Atelier1 (ci-dessous), écrire une fonction qui renvoie le score du joueur 1. Tester la fonction ainsi obtenue.
3
Le but de cette première ligne est d’importer la fonction randint Initialisation de la somme
SP ÉC
Utilisation de la boucle for Condition du jeu
ATELIER
2
50 min
Loi de Hardy-Weinberg
Chercher • Modéliser
a. Écrire une fonction comparant deux nombres a et b. Ne pas oublier le cas où a = b. b. Écrire un programme simulant le jeu de l’énoncé. Le tester plusieurs fois.
CAPACITÉ • Modéliser et réaliser une simulation numérique
Dans les cas simples, un gène sur un chromosome peut avoir deux allèles A et a. Pour chaque individu, chaque gène est présent en deux exemplaires, l’un provenant du père, l’autre de la mère. Il y a donc trois génotypes possibles : AA, aa et Aa. On étudie l’évolution des proportions des différents génotypes. On considère que les couples de parents sont formés au hasard. Partie A : Génotype de l’enfant Dans cette partie, on considère que chaque parent transmet à l’enfant un gène A ou a de manière équiprobable. On choisit au hasard un enfant. 1
A
Représenter • Calculer
On veut déterminer les différents génotypes possibles et leurs probabilités pour un enfant dont les deux parents ont pour génotype Aa. a. Compléter l’arbre de probabilités ci-contre. b. Quels sont les différents génotypes ? c. Préciser alors la probabilité de chacun des génotypes. 148
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A a
a
A a
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2
3
Raisonner
Déterminer le génotype d’un enfant dont les deux parents ont pour génotype : a. AA ; b. aa.
Calculer • Raisonner
L’un des parents a pour génotype AA, l’autre aA. Quels sont les génotypes possibles et leurs probabilités ? Utiliser si nécessaire un arbre de probabilités. Parent 1
Partie B : Génotype des parents Dans la population, on note p la proportion de génotype AA, q de génotype Aa et r celle de génotype aa. On choisit au hasard et de manière indépendante successivement deux parents. 1
AA
4
Calculer
Calculer
SP ÉC
Déterminer la probabilité qu’un enfant ait : a. un parent AA et un parent aa ; b. un parent Aa et l’autre AA. 5
AA Aa aa
aa
AA Aa aa
Représenter
Compléter le tableau suivant. Probabilités Probabilités conditionnelles du génotype de l’enfant des génotypes parents aa AA Aa
IM EN
Déterminer la probabilité qu’un enfant ait deux parents : a. AA ; b. aa ; c. Aa. 3
Aa
Représenter • Raisonner
Compléter l’arbre ci-contre. 2
Parent 2 AA Aa aa
Génotypes parents AA
AA
AA
Aa
AA
aa
Aa
Aa
Aa
aa
aa
aa
p2
1
0
0
Raisonner • Calculer
a. Montrer que la probabilité p1 que l’enfant ait un génotype AA est égale à : 1 1 2 p1 = p2 + pq + q 2 = ⎛ p + q ⎞ . ⎝ 4 2 ⎠
c. Montrer que la probabilité r1 que l’enfant ait un génotype aa est égale à : 1 1 1 2 r1 = r 2 + rq + q 2 = ⎛ r + q ⎞ . ⎝ 2 4 2 ⎠
b. Montrer que la probabilité q1 que l’enfant ait un génotype Aa est égale à : 1 1 q1 = 2 ⎛ p + q ⎞ ⎛ q + r ⎞ . ⎝ ⎠ 2 ⎠⎝2
d. Calculer p1, q1 et r1 en considérant : p = 0,2, q = 0,5 et r = 0,3.
Partie C : Étude sur plusieurs générations 1 Tableur
Calculer • Modéliser
Télécharger le fichier C06_Atelier2. a. Saisir des formules dans les cellules B3, C3 et D3 afin de déterminer p1, q1 et r1 et obtenir le résultat ci-contre. b. Vérifier que les résultats de la première génération sont cohérents avec ceux de la partie B. c. Étirer vers le bas les formules saisies pour faire apparaître les résultats jusqu’à la 15e génération. 2
Chercher
Faire varier les valeurs de p, q et r. Quelle conjecture peut-on émettre concernant la répartition des génotypes sur plusieurs générations ? Cette conjecture s’appelle la loi de Hardy-Weinberg. 6 • Probabilités conditionnelles
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149
20/03/2020 12:47
Être prêt
E3C
Compétences mobilisées Exercices Chercher Modéliser Représenter Raisonner
pour le BAC Première partie
1, 2, 3 1, 3.a
Q8. Un lot de 100 dés contient 20 dés pipés 1 (la probabilité d’apparition du 6 est égale à ). 2 Les autres dés sont équilibrés. On lance au hasard un dé. Calculer la probabilité de l’événement S : « On obtient 6 ». Q9. Parmi les employés d’une entreprise qui compte 60 % de femmes dont un cinquième travaille à temps partiel, on choisit au hasard un salarié. Déterminer la probabilité que ce salarié soit une femme et travaille à temps partiel.
B 2 9
3
B
Q10. On considère A et B deux événements incompatibles tels que : P ( A ) = 0,6 ; P (B ) = 0,7 et P ( A ∩ B ) = 0,5. Les événements A et B sont-ils indépendants ?
IM EN
Q3. On considère l’arbre de probabilités ci-contre. Déterminer P (R ).
2, 3.b et c
5
Q1. Dans un lycée où 60 % des élèves sont des garçons, 30 % des filles et 70 % des garçons mangent à la cantine. On choisit un élève de ce lycée au hasard. Déterminer la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine.
A
5
1
50
Questions flash
1 5
1, 2, 3, 4
2
51
A
5
1
2
(à traiter sans calculatrice)
Q2. On considère l’arbre de probabilités ci-contre. Déterminer la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé.
Communiquer
1
4
Automatismes
48
Calculer
49
5 6
B B
A
35 100
R
1 10
R
1 2
C
45 100 20 100
R
R
R
Q4. Soit C et D deux événements tels que : 1 5 P ( C ∩ D) = et P ( C ∩ D) = . 2 13 Déterminer P (D).
Q5. On considère A et B deux événements 1 3 indépendants tels que : P ( A ) = et P (B ) = . 3 5 Déterminer P ( A ∪ B ). Q6. On considère A et B deux événements 1 1 incompatibles tels que : P ( A ) = et P (B ) = . 2 3 Déterminer P ( A ∪ B ). Q7. Dans une usine, on utilise conjointement deux machines M et N. Pour une période donnée, leurs probabilités de tomber en panne sont respectivement 0,01 et 0,008. De plus, la probabilité de l’événement « La machine N est en panne sachant que M est en panne » est égale à 0,4. Quelle est la probabilité d’avoir les deux machines en panne au même moment ?
(calculatrice autorisée)
49 Probabilités conditionnelles
SP ÉC
B
Seconde partie
R
D’après le Centre régional d’information et de prévention du sida et pour la santé des jeunes d’Ile-de-France, « l’incitation au dépistage est aujourd’hui l’un des piliers de la prévention de l’infection à VIH. […] En France, on estime que, parmi les 150 000 personnes infectées par le VIH, environ 20 % ignorent leur séropositivité et que “plus de 60 % des transmissions sexuelles du VIH sont le fait de personnes qui ne connaissent pas leur statut sérologique”. (rapport Morlat, 2013) » Une des solutions pour le dépistage est l’autotest VIH vendu en pharmacie sans ordonnance. Il existe deux types d’autotest : • un test salivaire avec une spécificité de 98 % et une sensibilité de 92 % ; • un test sanguin avec une spécificité de 99,9 % et une sensibilité de 98 %. La spécificité est la capacité à donner un résultat négatif lorsque l’infection n’est pas présente et la sensibilité est la capacité à donner un résultat positif lorsque l’infection est présente. (www.lecrips-idf.net/miscellaneous/ decryptage-autotest-VIH.htm) On prendra 65 millions comme nombre de personnes résidant en France métropolitaine en 2019.
150
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20/03/2020 12:47
1. Déterminer la proportion en pourcentage de la 51 Probabilités conditionnelles population française infectée par le VIH. On arron& Variables aléatoires dira le résultat à 10–3. Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est 2. On interroge au hasard une personne venant aperçu que si la maladie est diagnostiquée sufd’acheter un autotest dans une pharmacie. On fisamment tôt chez un animal, on peut le guénote M l’événement : « La personne est infectée rir ; sinon, la maladie est mortelle. Un test est par le VIH » et P : « L’autotest donne un résultat mis au point et essayé sur un échantillon d’anipositif ». maux dont 1 % est porteur de la maladie. On Compléter l’arbre de probabilités ci-dessous. obtient les résultats suivants : • si un animal est porteur de la maladie, le test P M est positif dans 85 % des cas ; • si un animal est sain, le test est négatif dans P 95 % des cas.
M
P
IM EN
P
3.a. Déterminer la probabilité d’avoir un autotest positif. b. Déterminer la probabilité que l’autotest salivaire se trompe. 4. En utilisant la même méthode, déterminer la probabilité que l’autotest sanguin se trompe.
SP ÉC
5. Expliquer pourquoi en France seul l’autotest sanguin est vendu en pharmacie.
50 Probabilités conditionnelles
Un salarié va tous les jours au travail en voiture. Sur le trajet, il y a 2 feux qui ne sont pas synchronisés. La probabilité que le premier feu soit vert est 0,4. Le deuxième feu est vert pendant 45 secondes et son cycle dure 110 secondes.
1. Expliquer en une phrase pourquoi les deux feux peuvent être considérés comme indépendants. 2. Déterminer la probabilité que le deuxième feu soit vert. 3. Déterminer la probabilité que les deux feux soient verts à l’approche du salarié. 4. Déterminer la probabilité que le salarié ait besoin de s’arrêter aux deux feux. Justifier votre réponse.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note M l’événement : « L’animal est porteur de la maladie » et P l’événement : « Le test est positif ».
1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation. 2. On choisit un animal au hasard. Déterminer la probabilité que son test soit positif. 3. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 € et le coût de l’abattage d’un animal malade non dépisté par le test est de 1 000 €. Un animal sain et ayant un test négatif est vendu 250 €. On suppose que le test est gratuit et que les soins sont 100 % efficaces sur les animaux malades. Soit X la variable aléatoire égale à la recette par animal subissant le test. a. Déterminer la loi de probabilité de X. b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X. c. Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle recette l’éleveur peut-il espérer ? D’après un sujet de bac. 6 • Probabilités conditionnelles
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151
20/03/2020 12:47
Pour l’enseignant Diaporama
Se préparer matismes et réviser ses auto Questions flash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses. 3
4
⎛ 1⎞ × ⎛ 3 ⎞ 1 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ = ? ⎛ 1 3⎞ a. ⎜ × ⎟ ⎝ 4 4⎠ 34 47
b.
3 12 × 12 16
7
Automatisme C. 11
IM EN
c.
7
2 10 × 0,52 × 0,53 = ? a. 0,3125 b. 10 × 0,55 c. 10 × 0,255
O
C
I
Total
33
12
8
53
40 13 B 3 Le tableau ci-contre donne la répar73 25 tition suivant l’âge et le poste occupé Total dans une entreprise. On choisit un salarié au hasard, on note les événements : • A : « Le salarié a moins de 35 ans » ; • B : « Le salarié a plus de 35 ans » ; • O : « Le salarié est un ouvrier » ; • C : « Le salarié est un contremaître » ; • I : « Le salarié est un ingénieur ». 33 a. La probabilité de l’événement A est . 53 33 b. La probabilité de l’événement O ∩ A est . 114 73 + 53 c. La probabilité de l’événement O ∪ A est . 114
8
61
16
114
SP ÉC
A
5 Une urne contient 3 boules vertes et 4 boules rouges. On choisit une boule au hasard, et on note sa couleur. On appelle « Succès » l’événement « La boule tirée est verte » et « Échec » l’événement « La boule tirée est rouge ». On peut affirmer : 3 a. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p = . 4 3 b. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p = . 7 c. On a une chance sur deux que la boule tirée soit rouge.
4 Une expérience aléatoire est représentée par l’arbre pondéré suivant. A 0,4
0,6
B
0,4
A
0,6
B
0,4
A
0,6
B
La probabilité du chemin A-B est : a. 0,4 × 0,6 b. 0,4 + 0,6 c. égale à la probabilité du chemin B-A.
6 On lance deux fois une pièce de monnaie bien équilibrée. La probabilité d’obtenir deux fois « Face » est : 3 1 1 a. b. c. 4 2 4
152
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20/03/2020 12:47
Variables aléatoires discrètes finies
SP ÉC
IM EN
Plus la date de la prévision météorologique est éloignée, plus les données sont incertaines et imprécises. Que pouvons-nous prévoir en météorologie pour les jours, semaines ou même les mois à venir ? Et avec quelle fiabilité ?
s maths Dans l’histoire de
Et aujourd’hui ?
Dans de très nombreux domaines (épidémiologie, biométrie, mathématiques financières, big data, Dans l’Égypte antique et etc.), on s’intéresse à des événements aléatoires : il en Mésopotamie, on jouait déjà est impossible de prévoir à l’avance leur résultat et à des jeux de hasard, par exemple lorsqu’ils sont répétés dans des conditions idenavec des dés en terre cuite. tiques, leurs résultats peuvent être différents. Par On a découvert que certains dés exemple, en transmission du signal, on étudie des avaient été volontairement pipés, systèmes qui émettent soit un 0 soit un 1 avec ce qui montre que la notion d’équiprobabilité était connue. e un risque P que le chiffre soit mal reçu. Mais l’étude des probabilités est vraiment née au XIII siècle, avec l’apparition de la notion de risque, notamment pour les contrats commerciaux et le transport maritime. 153
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20/03/2020 12:47
Construire le cours Activité
1 Espérance d’une variable aléatoire discrète Calculer le gain espéré à un jeu de dé Dans un jeu, on lance un dé équilibré. Le joueur : • gagne 5 points si le 6 sort ; • gagne 1 point si le 3, le 4 ou le 5 sort ; • perd 5 points si le 1 ou le 2 sort. 1 Que peut-on dire du slogan utilisé pour ce jeu : « Davantage de gagnants que de perdants » ?
IM EN
À retenir
2 On note G le gain (nombre de point) à chaque lancer : il peut être positif ou négatif. Exemple : {G = 5} correspond à l’événement « Le joueur gagne 5 points » dont la probabilité 1 est : P ( G = 5) = . 6 Calculer P ( G = 1) et P ( G = −5). Définitions 3 Attiré par le slogan, un joueur décide de jouer 60 fois. Il Le tableau ci-dessous représente peut donc espérer obtenir 10 fois chaque face. Calculer le la loi de probabilité d’une variable gain total dans cette situation. aléatoire X. En déduire le gain moyen « espéré » par partie. A-t-il x1 x2 xn … xi intérêt à jouer à ce jeu ? P ( X = xi )
p1
p2
pn
…
L’espérance de X est le nombre : E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + … + x n pn
SP ÉC
4 Le gain moyen « espéré » est appelé « espérance de G ». On la note E ( G ). Vérifier que : E ( G ) = 5 × P ( G = 5) + 1× P ( G = 1) + ( −5) × P ( G = −5).
Activité
2 Loi binomiale
Du schéma de Bernoulli à la loi binomiale
Un magasin propose à ses clients sa nouvelle carte de fidélité. On suppose que la probabilité qu’un client l’accepte est de 0,4. Lorsqu’un client se présente à la caisse, il peut l’accepter ou la refuser. On appelle S le succès « Le client accepte la carte » et E l’échec « Le client refuse la carte ». 1 Cette expérience aléatoire correspond à une épreuve de Bernoulli. Indiquer son paramètre p.
À retenir
2 n clients se présentent à la caisse, chacun fait son choix indépendamment des autres. On obtient n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On suppose que n = 2. S Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur … le nombre de clients qui accepteront la carte. 0 1 2 xi a. Recopier et compléter l’arbre ci-contre. … … … P ( X = xi ) b. Recopier et compléter le tableau. E … c. Calculer l’espérance E ( X ) de la variable aléatoire X. d. Calculer le produit n × p. Quelle remarque pouvez-vous faire ? Définitions La répétition de façon identique et indépendante de n épreuves de Bernoulli de paramètre p donne un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès obtenus suit alors la loi binomiale de paramètres n et p.
…
E
…
E
…
S
…
E
Propriété (admise) Soit une variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres n et p. L’espérance mathématique de X, notée E ( X ), vérifie : E ( X ) = n × p.
154
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20/03/2020 12:47
Acquérir les méthodes EXERCICE RÉSOLU
1
Reconnaître une loi binomiale Une urne contient 10 boules dont 4 vertes, toutes indiscernables au toucher. On tire 3 boules successivement avec remise. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 3 boules ainsi défini, associe le nombre de boules vertes obtenues. Montrer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. En préciser ses paramètres. Résolution
On effectue la répétition de 3 épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes, avec une probabilité p de succès (« La boule est verte ») égale à 0,4. X suit la loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,4. 1 EXERCICE RÉSOLU
Retrouver la répétition de n épreuves de Bernoulli de paramètre p.
2
IM EN
Calculer une probabilité avec une loi binomiale On pose X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n = 2 et p = 0,3. a. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation. b. Calculer les probabilités P ( X = 2), puis P ( X = 1). Résolution S 0,3
E
0,7
0,3
S X=2
0,7
E X=1
0,3
S X=1
0,7
E X=0
b. P ( X = 2) = 0,32 = 0,09 P ( X = 1) = 2 × 0,31 × 0,71 = 0,42
2 Méthode
2
SP ÉC
a.
EXERCICE RÉSOLU
xi
3
1 Méthode
P ( X = xi )
La probabilité du succès est p. La probabilité de l’échec est 1− p.
0
3
4
7
0,2
0,3
0,1
0,4
Calculer une espérance Le tableau ci-dessus représente la loi de probabilité d’une variable aléatoire X. On pose Y une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,4. Calculer les espérances E ( X ) et E (Y ). Résolution 4
E ( X ) = ∑x i pi = 0 × 0,2 + 3 × 0,3 + 4 × 0,1+ 7 × 0,4 = 4,1
3
i=1
E (Y ) = n × p = 5 × 0,4 = 2
À votre tour !
3 Méthode Utiliser la formule du calcul de l’espérance adaptée à chaque situation.
3
Voir aussi exercices 1 à 7, p. 160-161
1 On lance un dé à 6 faces bien équilibré. On perd 6 points si le 6 sort, on gagne 5 points dans les autres cas. Quelle est l’espérance de gain ? 2 Le dimanche matin, 30 % des clients d’une boulangerie achètent des chouquettes. Le dimanche 10 janvier, à 10 h 00, trois clients entrent dans le magasin. On pose X la variable aléatoire qui compte le nombre d’achats de chouquettes. On suppose que les clients choisissent indépendamment les uns des autres. a. On admet que X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres. b. Calculer la probabilité qu’une seule personne achète des chouquettes. 7 • Variables aléatoires discrètes finies
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155
20/03/2020 12:47
Construire le cours Découvrir les coefficients binomiaux Une entreprise produit des machines pour l’industrie. Son directeur affirme que seulement 40 % des machines auront besoin d’un entretien au cours des cinq prochaines années. Un chef d’entreprise achète quatre de ces machines. On pose X la variable aléatoire qui, à tout ensemble de quatre machines, associe le nombre de machines qui nécessiteront un entretien dans les cinq ans. On appelle « succès » l’événement « la machine nécessitera un entretien ». 4 1 En utilisant un arbre, donner le nombre de chemins à 2 succès parmi 4. On le note ⎛⎜ ⎟⎞ . ⎝ 2⎠ 2 En déduire P ( X = 2). 4 4 4 4 3 Recopier et compléter ⎛⎜ ⎟⎞ = … ; ⎛⎜ ⎟⎞ = … ; ⎛⎜ ⎟⎞ = … ; ⎛⎜ ⎟⎞ = … ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ Propriété (admise) Soit n un entier naturel et k un entier naturel ( k ! n ). ⎛ n⎞ Le coefficient binomial ⎜ ⎟ est le nombre de chemins correspondant à k ⎝ k⎠ succès dans un arbre représentant un schéma de Bernoulli à n épreuves. ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n⎞ = n ; ⎜ ⎟ = 1. Cas particuliers : ⎜ ⎟ = 1 ; ⎜ ⎟ = n ; ⎜ ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ n − 1⎟⎠ ⎝ n⎠
SP ÉC
Activité
4 Triangle de Pascal
Propriétés Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors :
IM EN
À retenir
Activité
3 Loi binomiale et coefficients binomiaux
n P (X = k) = k pk (1 − p)n–k
k ( k ! n) 0
Construire un triangle de Pascal
⎛ n⎞ Dans le tableau ci-contre, le coefficient ⎜ ⎟ est situé à l’intersection de la ligne n ⎝ k⎠ et de la colonne k. Certaines valeurs sont déjà données. 2 3 1 Par lecture du tableau, donner la valeur ⎛⎜ ⎞⎟ , puis ⎛⎜ ⎞⎟ . ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠
0 n
1
2
3
4
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
4
1
1
?
1
À retenir
4 2 On souhaite déterminer le coefficient binomial ⎛⎜ ⎟⎞ correspondant au nombre de chemins à 2 succès ⎝ 2⎠ dans un schéma de Bernoulli à 4 épreuves. a. Si on commence par un succès, combien reste-t-il d’épreuves et de succès à réaliser ? ⎛ 3⎞ Il y a donc ⎜ ⎟ chemins qui commencent par un succès. ⎝ 1⎠ ⎛ …⎞ b. En utilisant la même méthode, compléter : Il y a ⎜ ⎟ chemins qui commencent par un échec. ⎝ …⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ …⎞ c. Compléter ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = … + … = … Placer cette valeur dans le tableau. ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ …⎠ d. Quel procédé permet de passer de la ligne 3 à la ligne 4 ? Terminer le tableau. Propriété Pour tout n entier naturel ( n ! 2) et k entier naturel (1! k < n ), on a : ⎛ n ⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎜⎝ k ⎟⎠ = ⎜⎝ k − 1⎟⎠ + ⎜⎝ k ⎟⎠ Dans le triangle de Pascal, chaque coefficient (sauf dans la première colonne et la diagonale) s’obtient en ajoutant le coefficient au-dessus de lui avec le coefficient à gauche de ce dernier.
156
9782017100409_.indb 156
20/03/2020 12:48
Acquérir les méthodes EXERCICE RÉSOLU
1
Calculer une probabilité à l’aide des coefficients binomiaux X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,2. ⎛ 10⎞ ⎛ 10⎞ a. Recopier et compléter : ⎜ ⎟ = … ; ⎜ ⎟ = … ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ b. En déduire la probabilité des événements : { X = 0} et { X = 1}. Résolution
⎛ 10⎞ ⎛ 10⎞ a. ⎜ ⎟ = 1 ; ⎜ ⎟ = 10 ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠
1 Méthode
1
b. P ( X = 0 ) = 0,810 ≈ 0,11 10−1 ⎛ 10⎞ P ( X = 1) = ⎜ ⎟ × 0,21 × (1− 0,2) = 10 × 0,2 × 0,8 9 ≈ 0,27 ⎝ 1⎠ EXERCICE RÉSOLU
2
On utilise les cas particuliers : ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎜⎝ 0⎠⎟ = 1 ; ⎜⎝ 1⎠⎟ = n.
2
2 Méthode
1 1
Utiliser la formule donnant P ( X = k ).
1
1 3
1
6
4
IM EN
Calculer des coefficients binomiaux 1 2 avec le triangle de Pascal 1 3 Le début du triangle de Pascal est donné ci-contre. 1 4 Recopier et compléter : ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎜⎝ 0⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 1⎠⎟ = … ; ⎜⎝ 2⎠⎟ = … ; ⎜⎝ 3⎠⎟ = … ; ⎜⎝ 4 ⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 5⎠⎟ Résolution
3 Méthode
1
Compléter le triangle de Pascal jusqu’à n = 5.
=…
4 Méthode
⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎜⎝ 0⎟⎠ = 1 ; ⎜⎝ 1⎠⎟ = 5 ; ⎜⎝ 2⎠⎟ = 10 ; ⎜⎝ 3⎠⎟ = 10 ; ⎜⎝ 4 ⎟⎠ = 5 ; ⎜⎝ 5⎠⎟ = 1 3
SP ÉC
Déterminer les coefficients ⎛ n⎞ binomiaux ⎜ ⎟ à l’aide ⎝ k⎠ du triangle de Pascal et utiliser la formule donnant P ( X = k ).
EXERCICE RÉSOLU
3
Calculer une probabilité à l’aide des coefficients binomiaux On pose X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,25. Arrondir les résultats à 0,001. Calculer les probabilités suivantes : a. P ( X = 3 ) b. P ( X ! 1) Résolution
⎛ 5⎞ a. P ( X = 3 ) = ⎜ ⎟ × 0,253 × 0,752 = 10 × 0,253 × 0,752 ≈ 0,088 4 ⎝ 3⎠ b. P ( X !1) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) = 0,755 + 5 × 0,25 × 0,754 ≈ 0,633
À votre tour !
5 Méthode L’événement { X ! 1} est constitué de la réunion des événements { X = 0} et { X = 1}. 5
Voir aussi exercices 8 à 13, p. 161
1 Un automobiliste a 6 feux tricolores sur son trajet. La probabilité qu’un feu soit vert est de 0,4 et on considère que la couleur de chaque feu est indépendante de celle des autres. Calculer la probabilité que (arrondir les résultats à 0,001) : a. tous les feux soient verts ; b. au moins 5 feux soient verts ; c. aucun feu ne soit vert. 2 On effectue successivement cinq tirages, avec remise, d’une boule dans une urne contenant 3 boules rouges et 7 boules vertes. Toutes les boules sont indiscernables. On note X le nombre de boules vertes obtenues. Calculer la probabilité des événements : a. { X = 3} ; b. { X ! 4 }. 7 • Variables aléatoires discrètes finies
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157
20/03/2020 12:48
Faire le point sur l’essentiel priétés Définitions et pro Espérance
Loi binomiale de paramètres n et p
E(X) = x1p1 + … + xn pn =
n
Σ xi pi i=1
Espérance d’une loi binomiale
Cœfficients binomiaux n k
E(X) = n × p
Triangle de Pascal
Cas particuliers
n
0
1
2
3
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
n =n 1
n =n n − 1
n =1 n
SP ÉC
0
4
n =1 0
IM EN
n n − 1 n − 1 = + k k − 1 k k
Nombre de chemins correspondant à k succès dans un arbre représentant un schéma de Bernoulli à n épreuves
1
n P (X = k) = k pk (1 − p)n–k
Capacités
Je suis capable de…
ètres C1 • Reconnaître la loi binomiale et identifier les param
Je m’entraîne avec… EXERCICE RÉSOLU
1, p. 155
EXERCICE RÉSOLU
3, p. 155
EXERCICE RÉSOLU
1, p. 157
EXERCICE RÉSOLU
2, p. 157
EXERCICE RÉSOLU
3, p. 157
C2 • Calculer l’espérance d’une variable aléatoire discrète C3 • Calculer l’espérance d’une loi binomiale
C4 • Calculer les probabilités des événements particuliers : { X = 0}, { X = 1} , { X = n − 1} ou { X = n}
C5 • Calculer des coefficients binomiaux ⎛ n ⎞ ⎝⎜ k ⎠⎟ à l’aide du triangle de Pascal C6 • Calculer la probabilité de l’événement { X = k } à l’aide des coefficients binomiaux 158
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Pour l’enseignant Diaporama
Réponses page 206
ion Auto-évaluat 1
Questions flash
Pour chaque question, trouver la ou les bonnes réponses.
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p. Si on sait que n = 5 et que l’espérance de X est égale à 2,5, alors : 5 2,5 b. p = c. p = 5 × 2,5 a. p = 2,5 5
2
On lance une pièce bien équilibrée trois fois de suite. On note X la variable aléatoire qui, à chaque série de 3 lancers, associe le nombre de « Pile » obtenus. On gagne si on obtient au moins une fois « Pile » dans une série de 3 lancers. Pour obtenir la probabilité de gagner, on peut calculer : a. P ( X ! 1) b. P ( X ! 1) c. 1− P ( X = 0 )
4
Si X suit une loi binomiale
IM EN
⎛ 8⎞ ⎛ 8⎞ On sait que ⎜ ⎟ = 56 et ⎜ ⎟ = 70. ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ On peut dire que : ⎛ 9⎞ ⎛ 9⎞ b. ⎜ ⎟ = 126 a. ⎜ ⎟ = 126 ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠
3
⎛ 16 ⎞ c. ⎜ ⎟ = 126 ⎝7⎠
3 , 10 alors l’espérance E ( X ) vérifie : 5×3 5×3 a. E ( X ) = b. E ( X ) = 10 5 × 10 de paramètres n = 5 et p =
SP ÉC
c. E ( X ) = 1,5
Un joueur tourne une roue contenant cinq secteurs identiques, dont deux sont gagnants. Il joue trois parties de suite. La variable aléatoire qui, à chaque série de trois parties, associe le nombre de parties gagnantes suit une loi binomiale de paramètres : 2 2 2 a. n = 3 et p = b. n = 3 et p = c. n = 5 et p = 5 3 3
5
6
Si X suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,2, alors on a (les valeurs approchées sont arrondies à 0,01) : a. P ( X = 3 ) ≈ 0,07 b. P ( X = 5 ) = 0,25 c. P ( X ! 1) ≈ 0,74
Vrai ou faux ? Pour chaque proposition, déterminer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
1 Au tir à l’arc, une joueuse touche la cible une fois sur trois. Si on lui laisse trois chances, elle est sûre de réussir au moins une fois.
2 Si X suit une loi binomiale de paramètres n = 6 et p = 0,5, alors P ( X = 3 ) = 0,5.
3 On lance un dé trois fois de suite et on note N la variable aléatoire qui, à chaque série de
trois lancers, associe le nombre de faces paires obtenues. On peut dire que N suit une 1 loi binomiale de paramètres n = 3 et p = . 2 4 Au début d’une partie d’un jeu de cartes, chaque joueur reçoit 5 cartes. La variable aléatoire qui, à chaque distribution de 5 cartes ainsi définie, associe le nombre d’as obtenus par un joueur, suit une loi binomiale de paramètres n et p, avec n = 5. 7 • Variables aléatoires discrètes finies
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π%π ∈ ∈%
Exercices
Plus d’exercices sur https://calao.reussirenmaths.fr
Échauffement 1 Espérance d’une variable aléatoire discrète
Automatismes
1
Questions flash Q1. Le tableau suivant représente la loi de probabilité d’une variable aléatoire X. xi
P ( X = xi )
0
2
4
10
0,3
0,1
0,25
0,35
Calculer E ( X ), l’espérance de X. Q2. Le tableau suivant représente la loi de probabilité d’une variable aléatoire X. P ( X = xi )
–2
0
1
x
0,3
0,4
0,2
0,1
Déterminer x pour que E ( X ) = 0,4. Q3. On s’intéresse à un jeu dont le gain suit la variable aléatoire X, représentée par le tableau suivant : xi
P ( X = xi )
2 Loi binomiale
Automatismes
IM EN
xi
3 Une entreprise fabrique des brioches de poids standard 700 g. Si une brioche pèse entre 700 g et 720 g, elle est vendue au prix de 3 €. Sinon, elle est vendue dans des magasins à prix cassés à 2 € si elle pèse plus de 720 g et à 1,50 € si elle pèse moins de 700 g. 80 % des brioches ont une masse comprise entre 700 g et 720 g, 15 % une masse inférieure à 700 g et 5 % une masse supérieure à 720 g. On note X la variable aléatoire qui, à chaque brioche tirée au hasard, associe son prix de vente. 1. Quelles sont les valeurs prises par X ? 2. Déterminer la loi de probabilité de X. Présenter les résultats dans un tableau. 3. Calculer E ( X ), l’espérance de la variable aléatoire X. Interpréter ce résultat.
–5
1
10
100
0,8
0,1
0,09
0,01
SP ÉC
Ce jeu est-il favorable au joueur ? Q4. On lance deux pièces équilibrées, une de 1 €, l’autre de 2 €. Pour chaque pièce, si le côté face sort, on gagne le nombre de points correspondant à la valeur de la pièce, sinon on ne gagne ni ne perd rien. On note G la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de points gagnés. Calculer l’espérance de G. Q5. Une urne contient 5 boules rouges et 1 boule verte. Un joueur choisit une boule au hasard. Si elle est verte, il gagne 5 points, sinon il perd sa mise. Quelle doit être la mise de départ x pour que le jeu soit équitable ?
4
2 Un jeu consiste à lancer un dé bien équilibré. Si le résultat est : • 1, 2 ou 3, alors on perd 2 points ; • 3 ou 4, alors on ne perd ni ne gagne rien ; • 6, alors on gagne 3 points. On pose G la variable aléatoire qui, à chaque lancer, associe le gain (positif ou négatif) du joueur. 1. Compléter le tableau qui –2 0 3 gi représente la loi de probabiP ( G = gi ) … … … lité de la variable aléatoire G. 2. Calculer E ( G ). Que peut-on remarquer ?
Questions flash
Pour les questions Q1 et Q2, on pose X le nombre de succès. X suit une loi binomiale. Déterminer ses paramètres n et p. Q1. On lance cinq fois de suite un dé bien équilibré. Le succès est l’événement S : « Le résultat est au moins égal à 5. » Q2. On lance six fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. Le succès est l’événement S : « Obtenir face. » Q3. Y suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,37. Calculer E (Y ). Q4. On lance un dé à six faces bien équilibré. On gagne si le résultat est un multiple de 3. On joue trois fois de suite. Quelle est la probabilité de gagner au moins une fois ? Q5. Écrire sous forme d’une fraction 3 2 ⎛ 2⎞ × ⎛ 1⎞ A = 10 × irréductible : ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ .
5 Une urne contient 10 boules … N X=… N dont 4 noires. On tire, successi- 0,2 … N X=… vement et avec remise, 2 boules de l’urne. On suppose que N … N X=… chaque boule a la même pro- … … N X=… babilité d’être choisie. On note : • N la boule choisie est noire et N la boule choisie n’est pas noire ; • X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules noires ainsi obtenues. 1. X est une loi binomiale. Déterminer ses paramètres n et p.
160
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10 Une machine fabrique en grande quantité des gants de protection. 95 % des gants sont conformes. On 6 Sachant que X suit une loi binomiale de paramètres : prélève un gant au hasard 1 n = 3 et p = . dans la production journa3 1. Calculer les probabilités : lière, puis on remet la pièce dans la production. On effectue un total de huit prélèvements d’un gant. a. P ( X = 0 ) b. P ( X = 1) c. P ( X = 2) Calculer la probabilité de l’événement : « Les huit 2. Calculer l’espérance E ( X ) de la loi X. pièces prélevées sont conformes ». 7 On effectue, successivement et avec remise, deux tirages d’un jeton dans une urne contenant 4 Triangle de Pascal trois jetons verts et sept jetons rouges. Le succès Automatismes est l’événement S : « Le jeton est vert. » 11 Questions flash 1. On pose X la variable aléatoire qui, à chaque Pour Q1 à Q3, on étudie le début k ( k ! n) prélèvement, associe le nombre de succès. du triangle de Pascal ci-contre. 0 1 2 3 4 a. X suit une loi binomiale, déterminer ses para⎛ 4⎞ 0 1 Q1. Compléter : ⎜ ⎟ = … mètres n et p. ⎝ 1⎠ 1 1 1 b. Donner l’ensemble des valeurs prises par X. ⎛ 4⎞ Q2. Compléter : ⎜ ⎟ = … n 2 1 2 1 2.a. Représenter la situation avec un arbre pondéré. ⎝ 2⎠ 3 1 3 3 1 b. Calculer : P ( X = 0 ) , P ( X = 1) et P ( X = 2). ⎛ 5⎞ Q3. Calculer : = … 4 1 4 6 4 1 ⎜⎝ 3⎠⎟ 3. Calculer l’espérance E ( X ) de cette loi.
3 Loi binomiale et coefficients
Automatismes
8
Q4. Continuer le triangle jusqu’à la ligne n = 7. Q5. Soit X la loi binomiale de paramètres n = 7 et p = 0,25. Comment obtenir P ( X = 3 ) ?
SP ÉC
binomiaux
IM EN
2. Compléter l’arbre pondéré de la page 160. 3. Calculer : P ( X = 0 ) , P ( X = 1) et P ( X = 2).
Questions flash
Pour Q1 à Q3, on note X la loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,2. Q1. Déterminer le nombre de chemins ⎛ 3⎞ à un succès. Compléter : ⎜ ⎟ = … ⎝ 1⎠ Q2. Calculer : P ( X = 1). Q3. Calculer : P ( X = 0 ). Pour Q4 et Q5, on note X la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,2. ⎛ 10⎞ ⎛ 10⎞ Q4. Compléter : ⎜ ⎟ = … ; ⎜ ⎟ = … ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ Q5. Comment peut-on obtenir P ( X = 0 ) ? Et P ( X = 1) ?
9 On dispose d’un dé, bien équilibré, à six faces. Lors d’un lancer, on appelle succès l’événement « Le dé affiche le 6 » et échec les autres cas. On lance successivement et à deux reprises un tel dé. 1. Représenter l’arbre de probabilité. 2. Déterminer le nombre de chemins comportant : a. Aucun succès. b. Un seul succès. c. Deux succès. ⎛ …⎞ ⎛ …⎞ ⎛ 2⎞ 3. Compléter : ⎜ ⎟ = 1 ; ⎜ ⎟ = … ; ⎜ ⎟ = … ⎝2 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 0⎠
9 9 9 9 12 ⎛⎜ ⎟⎞ = 36 ; ⎛⎜ ⎟⎞ = 84 ; ⎛⎜ ⎟⎞ = 126 ; ⎛⎜ ⎟⎞ = 126. ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 5⎠ 1. En utilisant les valeurs précédentes, calculer : ⎛ 10⎞ ⎛ 10⎞ ⎛ 10⎞ a. ⎜ ⎟ b. ⎜ ⎟ c. ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝4⎠ ⎝ 5⎠ 9 ⎛ ⎞ ⎛ 10⎞ 2. Quelle est la valeur de ⎜ ⎟ ? Et de ⎜ ⎟ ? ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ 13 On lance 5 fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note F la variable aléatoire qui, à chaque expérience ainsi définie, associe le nombre de « Face » obtenus.
1. F suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres. 2. Réaliser le triangle de Pascal jusqu’à n = 5. 3. Calculer P ( F = 3 ) . Interpréter ce résultat. 4. Calculer la probabilité que le côté « Face » apparaisse au moins trois fois. 7 • Variables aléatoires discrètes finies
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Exercices
18
Entraînement 1 Espérance d’une variable aléatoire discrète
Gain (en euros)
14 Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous. xi
P ( X = xi )
STMG
Pour financer leur voyage scolaire, des élèves ont organisé une tombola et vendu 400 billets. Le nombre de billets gagnants est résumé dans le tableau ci-dessous.
0
10
20
30
40
0,3
0,1
0,3
0,2
0,1
Nombre de billets
15 Soit Y une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous. –1
0
1
5
P (Y = yi )
3 9
2 9
2 9
1 9
1 9
20
10
1
2
5
10
Gain gi
P ( G = gi )
0
10
20
50
100
…
…
…
…
…
2. Calculer l’espérance E ( G ). 3. Interpréter ce résultat. 4. Quel est prix minimum d’un billet de tombola que les élèves devront fixer, s’ils ne veulent pas perdre d’argent ?
IM EN
–3
50
Les autres billets sont perdants. Loïc achète un billet. On note G la variable aléatoire, qui au choix d’un billet, associe le gain correspondant. 1. Compléter le tableau :
Calculer l’espérance E ( X ).
yi
100
Calculer l’espérance E (Y ).
16 Au cours d’un jeu, Paul tire une carte « chance ».
19
CHANCE
SP ÉC
Lancer un dé à six faces. Si le 6 sort, avancer de 5 cases. Si c’est le 4 ou le 5, avancer de deux cases. Dans les autres cas, reculer de trois cases.
D est la variable aléatoire, qui, à chaque lancer de dé, associe le déplacement (positif ou négatif). 1. Compléter le tableau suivant qui représente la loi de probabilité de la variable aléatoire D. di
P ( D = di )
–3
2
5
…
…
…
Le script ci-dessous permet de calculer l’espérance d’une variable aléatoire X. Tester dans un environnement Python avec le fichier C07_Ex.19. La liste contient les valeurs prises par X, la liste les probabilités correspondantes. Python
1. Expliquer le but de la ligne 2. 2. Compléter les lignes 6 et 7. 3. On effectue les opérations ci-dessous.
2. Calculer E ( D ), l’espérance de la variable aléatoire D. Interpréter ce résultat. 17 Le graphique ci-dessous est la représentation de la Quel résultat s’affichera ? loi d’une variable aléatoire X. 1. Lire P ( X = 0 ) . 0,25 0,25 20 Une entreprise fabrique des téléphones portables. 2. Calculer : 0,2 0,2 0,2 Pendant la période de garantie, le fabricant doit a. P ( X ! 2) effectuer les réparations à ses frais. Une étude sur 0,15 0,15 b. P ( X ! 1) 0,1 0,1 les téléphones vendus permet d’affirmer que : 0,1 3. Calculer • 10 % auront uniquement un problème de bat0,05 l’espérance E ( X ). terie ; 0 0 1 2 3 4 5 • 5 % auront uniquement un problème d’écran ; 162
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• 2 % auront un problème de batterie et un pro-
blème d’écran ; • 3 % seront jugés non réparables. Dans les autres cas, le client n’utilisera pas la garantie de son téléphone. Les coûts pour l’entreprise sont de 20 € pour un problème de batterie, 40 € pour un problème de d’écran et 100 € si le téléphone ne peut être réparé et qu’il doit être remplacé. On note X la variable aléatoire qui, à chaque téléphone vendu, associe son coût de réparation. 1. Déterminer la loi de probabilité de X, en complétant le tableau suivant. xi
P ( X = xi )
0
20
40
60
100
…
…
…
…
…
22 Le maire d’une ville a décidé de réaliser un référendum sur l’éventuel aménagement d’un parc. Les résultats sont les suivants : 63 % pour et 37 % contre. On prélève au hasard deux bulletins de vote. Le nombre de participants est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage au hasard et avec remise de deux bulletins de vote. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de deux bulletins, associe le nombre de bulletins « Pour ». 1. Quelle est la loi suivie par X ? Déterminer ses paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, on ait : a. Aucun « Pour ». b. Exactement un « Pour ». 3. Déduire de la question 2 la probabilité que, dans un tel prélèvement, on ait au plus un « Pour ».
SP ÉC
IM EN
2.a. Interpréter à l’aide d’une phrase l’événement : { X > 0}. b. Calculer cette probabilité. 3.a. Calculer l’espérance E ( X ) de la variable aléatoire X. Que représente cette valeur pour l’entre- 23 Lors d’un match de basket, un tireur a obtenu la prise ? possibilité d’exécuter trois lancers francs. b. Un téléphone vendu à 250 € a un coût de fabriLa probabilité qu’il réussisse un lancer est égale cation de 200 €. Quel est le bénéfice espéré pour à p = 0,7. On suppose que cette probabilité reste l’entreprise, par téléphone vendu, après ses évenidentique et ceci indépendamment du résultat tuels frais de garantie ? précédent. Soit S l’événement « le lancer est réussi » et E l’événement « le lancer est manqué ».
2 Loi binomiale
… S X=… 21 On répète deux fois de S suite, de manière identique … … E X=… et indépendante, la même expérience à deux issues : … S X=… E le succès S et l’échec E. La … probabilité du succès est … E X=… p = 0,7. 1.a. Calculer la probabilité q de l’échec. b. Recopier et compléter les branches de l’arbre pondéré ci-dessus. 2. On note X la variable aléatoire, qui, à chaque expérience, associe le nombre de succès. a. Sur l’arbre, indiquer à l’extrémité de chaque chemin la valeur de X. b. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ? c. Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses paramètres. 3. Calculer, puis interpréter chaque résultat à l’aide d’une phrase : a. P ( X = 1) b. P ( X = 2) c. P ( X ! 1)
1. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré. 2. On note X la variable aléatoire qui, à chaque série de trois lancers francs, associe le nombre de succès. a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres n et p. b. Interpréter concrètement les événements : { X = 0} ; { X = 2} ; { X ! 2} ; { X ! 2}. c. L’équipe du tireur reprendra l’avantage au score s’il réussit au moins deux tirs. Calculer la probabilité que l’équipe reprenne l’avantage. 7 • Variables aléatoires discrètes finies
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Exercices Entraînement
3 Loi binomiale et coefficients binomiaux
SP ÉC
IM EN
24 Dans un centre de maintenance de matériel inforRAPPEL matique, les pannes sont classées en deux caté⎛ n⎞ Le coefficient binomial ⎜⎝ k ⎟⎠ est le nombre de gories : chemins correspondant à k succès dans un arbre • dans 20 % des cas, les pannes sont « lourdes » tant un schéma de Bernoulli de taille n. représen et nécessitent l’intervention de personnels spécialisés ; • dans les 80 % restants, les pannes sont « légères » 26 L’arbre ci-contre représente S S et peuvent être traitées immédiatement. un schéma de Bernoulli de Un technicien prélève quatre appareils à réparer E S taille n = 3 dans lequel S est dans le stock dont on admet qu’il est assez imporS E un succès et E un échec. tant pour que le choix d’un appareil puisse être E assimilé à un tirage avec remise. 1.a. Combien y a-t-il de S S On note X la variable aléatoire qui, à chaque lot de chemins à 2 succès ? E quatre appareils ainsi choisis, associe le nombre de E b. En utilisant le résultat pannes « lourdes ». précédent, compléter : S E 1. Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses para3 ⎛ ⎞ E ⎜⎝ …⎠⎟ = … mètres. 2.a. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre 2. Compléter : pondéré. ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜⎝ 0⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 1⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 2⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 3⎟⎠ = … b. Calculer la probabilité que tous les appareils aient une panne « légère ». S S c. Calculer la probabilité qu’un seul appareil ait 27 L’arbre ci-contre représente S E une panne lourde. un schéma de Bernoulli de E S S E taille n = 4. d. Interpréter l’événement { X ! 2}. Calculer sa S S S est un succès et E un échec. probabilité. E E E S 3. Calculer l’espérance de la loi X. Interpréter ce 1.a. Combien y a-t-il de E résultat. chemins à 2 succès ? S S S b. En utilisant le résultat E E S 25 STMG – ST2S précédent, compléter : E E En 2018, en France, il y a eu parmi les naissances, S S ⎛ 4⎞ E ⎜⎝ …⎠⎟ = … 51,2 % de garçons et 48,8 % de filles. Un pédiatre E E S a trois rendez-vous pour des enfants nés en 2018. E 2. Compléter : On note X la variable aléatoire qui, pour trois ren⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ dez-vous, associe le nombre de filles ayant une ⎜⎝ 0 ⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 1⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 3 ⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 4 ⎟⎠ = … consultation avec ce pédiatre. Le nombre de naissances en France est suffisam28 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binoment important pour que l’on puisse assimiler miale de paramètres n = 6 et p = 0,4. ces trois rendez-vous à un tirage avec remise de ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ On admet que : ⎜ ⎟ = 15 et ⎜ ⎟ = 20. trois enfants nés en 2018. Les résultats seront à ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ arrondir à 0,001 près. Calculer les probabilités suivantes. 1.a. X est une loi binomiale, déterminer ses paraa. P ( X = 2) b. P ( X = 3 ) mètres n et p. b. Donner l’ensemble des valeurs prises par X. 29 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi bino2. Interpréter les événements : miale de paramètres n = 7 et p = 0,2. a. { X = 0} b. { X = 3} c. { X ! 1} ⎛ 7⎞ ⎛ 7⎞ On admet que ⎜ ⎟ = 21 et ⎜ ⎟ = 35. 2 ⎝ ⎝ 3⎠ ⎠ 3. Calculer la probabilité que ce pédiatre ait pour Calculer les probabilités suivantes. ces trois rendez-vous : b. P ( X = 3 ) a. P ( X = 2) a. Exactement deux filles. b. Que des garçons. 164
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IM EN
30 Une urne contient 20 boules, 6 rouges et 14 vertes. 32 Un jeu consiste à lancer n fois un dé bien équilibré à six faces. X est la variable aléatoire qui, à chaque On effectue 6 tirages successifs avec remise d’une série de n lancers, associe le nombre de 6 obtenus. boule dans l’urne. Le succès est l’événement : « La X suit une loi binomiale de paramètres n et p. boule tirée est rouge ». On note R la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement, associe le nombre 1. On suppose que n = 3. de boules rouges obtenues. a. Déterminer le paramètre p de la loi X. 1. Sans réaliser l’arbre, répondre aux questions : ⎛ 3⎞ b. Recopier et compléter : ⎜ ⎟ = … ⎝ 0⎠ a. Combien y a-t-il de chemins à 0 succès, à c. Interpréter à l’aide d’une phrase l’événement : 1 succès, à 5 succès et à 6 succès ? { X = 0}. b. Compléter : d. Calculer P ( X = 0 ) . ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ ⎜⎝ 0⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 1⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 5 ⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 6⎟⎠ = … 2. Dans cette question, n est un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 1. 2. La loi R suit une loi binomiale. Déterminer ses ⎛ n⎞ paramètres n et p. a. Compléter : ⎜ ⎟ = … ⎝ 0⎠ 3. Calculer la probabilité à 0,01 près : b. En déduire P ( X = 0 ) en fonction de n. a. De n’obtenir aucune boule rouge. 3. Python Compléter le script Python, qui affiche la b. D’obtenir exactement une boule rouge. valeur P ( X = 0 ) pour une valeur de n donnée.
SP ÉC
31 Un joueur lance n fois une pièce de monnaie bien équilibrée. F est la variable aléatoire qui, à chaque série de n lancers, associe le nombre de fois qu’il a 4. On donne le script ci-dessous. obtenu le côté face. On admet que F suit une loi binomiale de paramètres n ( n ! 1) et p = 0,5. Les résultats sont à arrondir à 0,001 près. 1. Interpréter l’événement : { F ! 2}. 2. On suppose que n = 4. Télécharger le fichier C07_Ex.32 pour le a. Calculer P ( F = 0 ), puis P ( F = 1). tester dans un environnement Python. b. En déduire la probabilité d’obtenir au moins a. Que permet-il de calculer lorsqu’on donne un deux fois « Face » lors de 4 lancers successifs. réel x compris entre 0 et 1 ? 3. On suppose désormais que n est un entier b. Après avoir implanté ce naturel quelconque avec n ! 1. script, on obtient le résultat a. Calculer en fonction de n : P ( F = 0 ) puis ci-contre. Que peut-on en déduire sur le jeu de dé ? P ( F = 1). 33 La variable aléatoire X suit la loi binomiale de b. Démontrer que P ( F ! 1) = (1+ n ) 0,5n . paramètres n = 8 et p = 0,4. 4. Le joueur souhaite déterminer le nombre miniQuel graphique représente la variable aléatoire X ? mal n de lancers, pour que la probabilité qu’il Justifier votre choix en effectuant au moins un calcul. obtienne au moins deux fois le côté face soit supérieure ou égale à 0,999. Graphique 1 Graphique 2 0,4 0,4 a. Montrer que cette condition est équivalente à : 0,3 0,3 P ( F ! 1) ! 0,001. 0,2 0,2 b. Algo Pour déterminer le nombre minimal de 0,1 0,1 lancers, le joueur a réalisé l’algorithme ci-dessous. 0
N ←1 Tant que (1 + N ) × 0,5 N > 0,001 N ← N +1 Fin du tant que Afficher N Réaliser le programme et l’exécuter.
0,3
012345678 Graphique 3
0 0,4
0,225
0,3
0,15
0,2
0,075
0,1
0
012345678
0
012345678 Graphique 4
012345678
7 • Variables aléatoires discrètes finies
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Exercices
4 Triangle de Pascal
Entraînement
36 Compléter le triangle de Pascal jusqu’à la ligne n = 10. 34 Une société commercialise, en grande quantité, des ampoules LED basse consommation et longue k ( k ! n) durée. 98 % de ces ampoules ont une durée de 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fonctionnement au moins égale à 20 000 h. 0 1 Les ampoules sont vendues par lot de 10. On 1 1 1 note X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 10 ampoules, associe le nombre d’ampoules dont 2 la durée de fonctionnement est au moins égale à 3 20 000 h. La quantité d’ampoules est suffisam4 ment importante pour que l’on puisse assimiler le n 5 choix d’un lot à un prélèvement au hasard et avec 6 remise de 10 ampoules. 7 8 9
IM EN
10
SP ÉC
1. Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses paramètres. 2. Recopier et compléter : ⎛ 10⎞ ⎛ 10⎞ ⎜⎝ 9 ⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 10⎟⎠ = …
37 Dans une grande enseigne de vente d’appareils électroménagers, une étude a montré que 32 % des clients ont accepté de prendre une prolongation de garantie à 5 ans. On choisit au hasard huit clients ayant effectué un achat. Le nombre de ventes est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque groupe de huit clients ainsi choisis, associe le nombre de clients ayant souscrit à cette prolongation de garantie. Les résultats seront arrondis à 10–4 près. 1.a. Quelle est la loi de probabilité de Y ? b. En déduire le nombre moyen de prolongation de garantie dans un groupe de huit clients. 2.a. Réaliser un triangle de Pascal jusqu’à la ligne n = 8. ⎛ 8⎞ b. En déduire ⎜ ⎟ . ⎝ 3⎠
3. En déduire les probabilités (arrondir à 0,001) : a. P ( X = 9 ) b. P ( X = 10 ) c. Interpréter les résultats précédents. 4. En déduire la probabilité (à 0,001 près) qu’un lot de 10 ampoules contienne au moins 9 ampoules dont la durée de fonctionnement sera au moins égale à 20 000 h.
35
Kate’s Playlist
In English
Kate has 80 songs in her mobile. 20 of them are her favorite. She listens to 4 songs in a random way. The number of favorite songs she listens to is called X. The choice of a song is independant of the others. So a song can be chosen several times. 1. What does the event { X = 4 } mean? 2. Calculate the probability of the event { X = 4}.
3. Calculer P (Y = 3 ) . Interpréter ce résultat. 4.a. Calculer P (Y = 0 ), puis P (Y = 1). b. En déduire que P (Y ! 1) ≈ 0,2178. c. Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux prolongations de garantie dans un groupe de huit clients.
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SP ÉC
IM EN
38 Une société de livraison de colis réussit, pour les 40 Une entreprise commande 150 composants colis pris en charge avant 10 h, à les livrer dès électroniques. Le fournisseur indique que la prole lendemain avec une probabilité de 0,75. Un babilité qu’un composant soit défectueux est de commerçant dépose avant 10 h, sept colis pour 0,025. Le fonctionnement d’un composant est ses clients. On note X la variable aléatoire qui, à indépendant du fonctionnement des autres comchaque lot de sept colis, associe le nombre de colis posants. La production est suffisamment imporlivrés dès le lendemain. On admet que X suit une tante pour que l’on puisse assimiler ce choix de loi binomiale. 150 composants à un tirage avec remise. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 1. Déterminer les paramètres n et p de la loi X. 150 composants, associe le nombre de compo2. Calculer la probabilité des événements suivants. sants défectueux. A : « Tous les colis arriveront le lendemain. » Les résultats seront arrondis à 10–4. B : « Au moins un colis n’arrivera pas le lende1. Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses paramain. » mètres. 3.a. Compléter le triangle de Pascal jusqu’à la ⎛ 7⎞ 2. Déterminer la probabilité qu’il n’y ait aucun ligne n = 7. En déduire ⎜ ⎟ . ⎝ 5⎠ composant défectueux dans le lot. b. Calculer la probabilité de l’événement C : 3. En utilisant la calculatrice, calculer les probabi« Exactement deux colis n’arriveront pas le lendelités suivantes. main. » a. La probabilité qu’il y ait exactement 4 compo4.a. Interpréter l’événement { X = 4 } . sants défectueux. b. Calculer la probabilité P ( X = 4 ). b. La probabilité qu’il y ait au plus 5 composants défectueux. 39 Une classe de 35 élèves se présente au CDI. Le documentaliste sait que la probabilité qu’un élève Aide choisisse de travailler sur un ordinateur est de 0,6. CASIO : Menu STAT, F5 DIST , F5 BINM On considère que chacun des élèves décide de traPour calculer P ( X = 4 ) Pour calculer P ( X ! 5) vailler sur ordinateur indépendamment des autres choisir F1 Bpd choisir F2 Bcd élèves. Dans cet exercice, les résultats seront donnés en utilisant le menu « loi binomiale » de la calculatrice. Arrondir à 10–3 près. distrib
TI 83 : 2nde var Pour calculer P ( X = 4 ) choisir :
Pour calculer P ( X ! 5) choisir :
NumWorks
1. Calculer la probabilité que : a. Moins de 20 élèves souhaitent travailler sur un ordinateur. b. Au moins 25 élèves souhaitent travailler sur un ordinateur. c. Exactement 21 élèves souhaitent travailler sur un ordinateur. 2. Le documentaliste dispose de 18 ordinateurs. Quelle est la probabilité qu’il réussisse à satisfaire toutes les demandes ?
Binomiale, puis ; Pour calculer P ( X = 4 )
Pour calculer P ( X ! 5)
7 • Variables aléatoires discrètes finies
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Exercices
42 Avec deux dés
B
37 %
9 %
Rhésus −
6 %
7 %
1 %
Les résultats sont à arrondir à 0,001 près.
Partie A 1. Compléter le tableau qui dénombre toutes les possibilités. Dé 2 Dé 1
AB
1
1
2
3
4
2
IM EN
A
36 %
O Rhésus +
La compatibilité sanguine entre deux individus se détermine à l’aide de deux systèmes : • ABO qui permet de déterminer les quatre groupes sanguins O, A, B et AB selon la présence des antigènes A et B ; • le rhésus, positif ou négatif, selon la présence de l’antigène D. La répartition des groupes sanguins en France est donnée dans le tableau ci-dessous :
41 Au centre de transfusion sanguine
On lance deux dés tétraédriques (4 faces), un dé vert numéroté 1 et un dé rouge numéroté 2. Les deux dés sont supposés bien équilibrés. On note S la somme des faces obtenues.
Perfectionnement
3 %
2
1 %
1. Quelle est la probabilité qu’une personne prise au hasard soit du groupe O ?
SP ÉC
2. Dans un centre de transfusion sanguine, neuf personnes se présentent pour donner leur sang. On note X la variable aléatoire qui, à chaque groupe de neuf personnes, associe le nombre de personnes du groupe O. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Préciser ses paramètres. b. Construire le triangle de Pascal jusqu’à la ligne n = 9. 3. En utilisant le triangle de Pascal, calculer : a. La probabilité d’avoir exactement quatre personnes du groupe O. b. La probabilité d’avoir au moins quatre personnes du groupe O. 4. Ce centre de transfusion manque de sang du groupe O rhésus négatif. Le médecin a besoin qu’au moins une personne sur les neuf présentes soit du groupe O–. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque groupe de neuf personnes, associe le nombre de personnes du groupe O–. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par Y ? Préciser ses paramètres. b. Quelle est la probabilité que le médecin obtienne satisfaction ?
3 4
2. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire S ? 3 3. Démontrer que P ( S = 4 ) = . 16 4. Donner la loi de probabilité de cette variable aléatoire S. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. si P ( S = si )
4 3 16
5. En déduire les probabilités des événements : a. A : « La somme des dés est égale à 5. » b. B : « La somme des dés est inférieure ou égale à 7. » c. C : « La somme des dés est au moins égale à 6. » d. D : « La somme des dés est égale à 1. » 6. Calculer l’espérance de la loi S. Interpréter ce résultat. Partie B Un jeu consiste à lancer deux dés tétraédriques. Un lancer est gagnant si la somme des faces est égale à 5. On admet que la probabilité P de gagner est égale à 0,25. Fanny décide de jouer 4 fois de suite à ce jeu. Soit N la variable aléatoire qui, pour 4 parties jouées, associe le nombre de parties gagnées par Fanny.
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1.a. Calculer l’espérance E ( N ). b. Quel commentaire peut faire Fanny avant de jouer ? 2.a. Calculer la probabilité que Fanny perde toutes ses parties. b. En déduire la probabilité que Fanny gagne au moins une fois.
ter tout problème lors de l’attribution, il doit en préparer quelques-unes pour les gauchers. Dans la population française, on considère qu’il y a 12,7 % de gauchers. On désigne par X le nombre de gauchers dans ce groupe. On suppose que X suit une loi binomiale de paramètres n et p. 1. Déterminer les paramètres n et p de la loi X. 2. Le professeur décide de ne préparer aucune machine pour gaucher. a. Calculer la probabilité qu’il n’y ait aucun gaucher dans cette classe. b. En déduire la probabilité qu’il y ait un problème lors de l’attribution. 3. Le professeur décide finalement de préparer une seule machine pour gaucher. a. Calculer P ( X ! 1). b. En déduire la probabilité qu’il y ait un problème lors de l’attribution.
43 QCM
IM EN
Léna prend le bus chaque matin pour se rendre au lycée. Son bus roule à 40 km/h en moyenne sur un trajet de 4 km. Sur son parcours, il y a huit arrêts de bus. À chaque fois, la probabilité pour que le bus s’arrête est de 0,75 ce qui lui fait perdre 1 minute.
45 À la compta
SP ÉC
On pose X la variable aléatoire qui, à chaque trajet, associe le nombre de fois que le bus s’arrêtera sur le trajet de Léna. On admet que X suit une loi binomiale. Pour chaque question, indiquer la bonne réponse.
1. La loi X suit la loi binomiale de paramètres : a. n = 4 et p = 0,75 b. n = 4 et p = 0,25 c. n = 8 et p = 0,75 d. n = 8 et p = 0,25 2. Si le bus n’effectue aucun arrêt sur ce parcours, la durée du trajet sera de : a. 6 min b. 10 min c. 8 min d. 16 min 3. L’espérance de la variable aléatoire X est : a. 1 b. 2 c. 3 d. 6 4. Le temps de parcours moyen pour que Léna se rende au lycée est de : a. 8 min b. 10 min c. 12 min d. 14 min 5. Léna n’a que 11 min pour effectuer son trajet lorsqu’elle monte dans le bus. La probabilité pour qu’elle soit à l’heure est de (à 0,01 près) : a. 0 b. 0,21 c. 0,32 d. 0,89 44 Nombre de gauchers Un professeur d’atelier souhaite préparer ses machines pour un groupe de 10 élèves de Terminale technologique. Il a suffisamment de machines pour tout le monde. Mais pour évi-
On s’intéresse aux factures dans un service de comptabilité. À la fin d’une semaine, toutes les factures sont vérifiées avant leur expédition. Lors de ce contrôle, la probabilité qu’une facture choisie au hasard ne comporte aucune erreur est de 0,95. On prélève au hasard sept factures pour vérification. Le nombre de factures est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de sept factures. On note N la variable aléatoire qui, à chaque lot de sept factures, associe le nombre de factures correctes.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par N ? Préciser ses paramètres. ⎛ 7⎞ 2.a. Recopier et compléter : ⎜ ⎟ = … ⎝ 5⎠ (On pourra utiliser le triangle de Pascal.) b. En déduire la probabilité que, dans un tel prélèvement, exactement cinq factures soient correctes. 3. Calculer les probabilités : a. P ( N = 6 ) b. P ( N = 7 ) 4.a. Interpréter concrètement l’événement : { N ! 6}. b. En utilisant les résultats de la question 3, calculer la probabilité de l’événement { N ! 6}. 7 • Variables aléatoires discrètes finies
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Ateliers algorithmiques et numériques
ATELIER
1
Python
30 min
Simulation d’un schéma de Bernoulli
CAPACITÉ • Interpréter un algorithme donné
Le fichier Python C07_Atelier1 permet de simuler le résultat de n épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes avec une probabilité de succès p. Le résultat est une liste où le succès est noté 1 et l’échec 0. 1
Chercher • Raisonner
a. Expliquer l’action de l’instruction random(). b. Si p est un réel compris entre 0 et 1, quelle est la probabilité de l’événement random()<p ? c. Expliquer le résultat suivant :
ATELIER
3
La fonction proba ci-contre estime la probabilité d’obtenir k succès sur un échantillon de grande taille. a. Quelle est la taille de l’échantillon ? b. Que fait l’instruction sum(ber(n,p)) de la ligne 15 ? c. Utiliser ce programme du fichier Python C07_Atelier1(2) lorsque n = 3, p = 0,5 et k = 2. Comparer avec le résultat du 2.c.
4
Un joueur lance à 10 reprises un dé à 6 faces. Quelle instruction permet d’estimer la probabilité d’obtenir exactement deux fois la face 6 ? Quelle est cette estimation ?
20 min
Modéliser • Calculer
Calculer
IM EN
Modéliser • Calculer a. Effectuer une simulation de trois épreuves de Bernoulli, avec une probabilité de succès égale à 0,5. Combien y a-t-il de succès ? b. Recommencer dix fois la question a. Noter à chaque fois le nombre de succès obtenu. À l’aide de cet échantillon de taille 10, estimer la probabilité d’obtenir exactement 2 succès. c. En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité d’obtenir exactement 2 succès. Comparer avec le résultat précédent.
SP ÉC
2
2
Espérance d’une loi binomiale
CAPACITÉ • Compléter un programm e et interpréter un algorithme
Les fonctions ber et proba de l’atelier 1 sont déjà implantées dans le fichier Python C07_Atelier2. On s’intéresse à la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètres n et p. 1
Modéliser • Calculer
a. Compléter le script de la fonction esp qui permet d’estimer l’espérance de la variable aléatoire X. b. En déduire une estimation de l’espérance de la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,3.
Python
2
Représenter • Raisonner
Le script ci-contre permet d’afficher le graphique de l’espérance de X en fonction de n ( 0 ! n ! 9 ), pour une valeur p fixée (avec 0 < p < 1). a. Implanter ce script dans Python, puis donner des valeurs à p. Que dire des graphiques obtenus ? b. Comment caractériser l’évolution de l’espérance par rapport à celle de n lorsque p est fixé ? 170
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20/03/2020 12:48
ATELIER
3
Python
40 min
Triangle de Pascal
CAPACITÉ • Générer un triangle de Pascal de taille donnée
Le triangle de Pascal, permet de déterminer les valeurs des coeffi⎛ n⎞ cients binomiaux ⎜ ⎟ , avec n et k entiers naturels ( k ! n ). ⎝ k⎠ ⎛ n ⎞ ⎛ n − 1⎞ ⎛ n − 1⎞ La propriété du cours ⎜ ⎟ = ⎜ + avec n et k entiers ⎝ k ⎠ ⎝ k − 1⎟⎠ ⎜⎝ k ⎟⎠ naturels (n ! 2 et 1! k < n), se traduit par : « Dans le triangle de Pascal, un coefficient (sauf le premier et le dernier de chaque ligne) est égal à la somme du coefficient juste au-dessus de lui et de celui qui est à sa gauche ». 1
k= 0
1
n=0
1
n=1
1
1
n=2
1
2
n=3
1
n=4
1
2
3
4
1 1 1
Calculer
Compléter les lignes « n = 3 » et « n = 4 » du triangle. 2
Calculer • Communiquer
Modéliser • Calculer
SP ÉC
3
IM EN
La fonction lignesuivante permet de passer d’une ligne du triangle à la ligne suivante. Ouvrir le fichier Python C07_Atelier3(1), puis effectuer l’opération : . a. Que constatez-vous ? b. Quelle instruction faut-il effectuer pour obtenir la ligne « n = 4 » du triangle ?
La fonction pascal permet de construire un triangle de Pascal jusqu’à la ligne n. a. Expliquer le but des lignes suivantes : et .
b. Ouvrir le fichier Python C07_Atelier3(2). Utiliser ce script pour construire un triangle jusqu’à la ligne « n = 6 ». En déduire la valeur ⎛ 6⎞ du coefficient ⎜ ⎟ . ⎝ 3⎠ 4
Chercher • Calculer
Lors d’une initiation au tir à l’arc, les participants tirent successivement cinq flèches. On suppose que la probabilité de toucher la cible est de 0,7 et que chaque lancer est indépendant des autres lancers. Soit N le nombre de fois que la cible sera atteinte lors des cinq lancers. On admet que N suit une loi binomiale. a. Déterminer les paramètres de la loi N. b. Calculer la probabilité que la cible soit atteinte exactement trois fois.
7 • Variables aléatoires discrètes finies
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Ateliers algorithmiques et numériques
ATELIER
4
Python
Simulation de la probabilité d’un achat
50 min
CAPACITÉ • Représenter par un diag ramme en bâtons la loi de probabilité d’un e loi bino
miale
Un funiculaire qui permet de transporter 20 personnes. Il est toujours plein en période touristique. Un marchand de glaces estime que la probabilité qu’une personne, ayant pris le funiculaire, lui achète une glace est de 0,1. Chaque touriste fait son choix indépendamment de celui des autres. 1
Calculer • Raisonner
2
Calculer • Raisonner
IM EN
Dans le fichier Python C07_Atelier4, le programme permet de simuler un groupe de 20 personnes avec la fonction echantillon ci-contre. Exécuter ce programme avec echantillon(20,0.1) et expliquer le résultat.
3
SP ÉC
On souhaite obtenir la fréquence des personnes qui achètent une glace dans un échantillon de taille 20. a. Implanter le script ci-contre, puis l’exécuter. Lors de l’exécution du script, le résultat suivant s’affiche : b. Interpréter le résultat. Modéliser
La fonction liste_frequences(n,p,N) affiche les fréquences d’achats de glaces pour N groupes de n personnes avec une probabilité d’achat p. En une semaine, le funiculaire effectue 700 trajets. Quelle instruction permet d’afficher une liste qui simule les fréquences d’achats de 700 groupes de 20 personnes ? 4
Calculer • Modéliser • Communiquer
Afin d’obtenir un graphique, implanter le script ci-contre puis l’exécuter. Voici un exemple de graphique obtenu pour 700 groupes (à gauche) et le diagramme en barres des probabilités pour la loi binomiale de paramètres 0,3 n = 20 et p = 0,1 (à droite). a. Que pensez-vous de l’allure des 0,2 deux graphiques ? b. À l’aide du graphique de gauche, 0,1 estimer le nombre de groupes où il y a eu un seul achat (fréquence achat 0 0 1 dans le groupe : = 0,05). 20 c. A l’aide du graphique de droite, estimer la probabilité d’avoir un seul achat. d. Ce résultat permet-il de prévoir le résultat de la simulation du b ? Justifier la réponse par un calcul.
1 2 3 4 5 6 7 8
172
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ATELIER
5
Simulation de la probabilité d’un achat
30 min
CAPACITÉ • Calculer l’espérance d’une variable aléatoire
Une vendeuse de vélo a étudié sur une longue période le nombre de ventes X réalisées par jour, ce qui lui permet d’admettre que X suit la loi de probabilité ci-dessous.
Tableur
1
Calculer • Raisonner • Communiquer
2
Calculer • Raisonner • Communiquer
IM EN
a. En utilisant la formule du cours, calculer l’espérance de la variable aléatoire X. b. Interpréter le résultat précédent. c. L’instruction =SOMMEPROD(B1:G1;B2:G2) permet d’obtenir directement ce résultat. Utiliser le fichier tableur C07_Atelier5. Insérer cette formule dans la cellule C4 et vérifier le résultat trouvé en a.
SP ÉC
Sur une période de 20 jours, la probabilité que cette vendeuse ne vende aucun vélo un jour donné est de 0,1 et ceci indépendamment des jours précédents. Ainsi le nombre de jours Y où elle ne fait aucune vente suit une loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,1. a. Choisir la bonne formule. Pour compléter la colonne B, on saisit en B4 la formule : (1) =LOI.BINOMIALE(A4;A2;B2;FAUX) (3) =LOI.BINOMIALE(A4;A$2;B$2;FAUX) (2) =LOI.BINOMIALE(A4;A2;B2;VRAI) (4) =LOI.BINOMIALE(A4;A$2;B$2;VRAI) b. Compléter la cellule B4 et la recopier vers le bas jusqu’à la cellule B24. c. En utilisant l’instruction SOMMEPROD vue dans la question 1, calculer dans la cellule D3 l’espérance de la loi binomiale. Quel résultat s’affiche ? Ce résultat était-il prévisible ? d. Calculer les probabilités P (Y ! 0 ), P (Y ! 1) et P (Y ! 2). e. Interpréter ces résultats.
3
Chercher • Calculer • Communiquer
On souhaite compléter la colonne C du tableur afin d’obtenir les probabilités P (Y ! k ), pour k entier naturel allant de 0 à 20. a. Quelle formule écrire en C4, avant de la copier vers le bas jusqu’à la ligne C24 ? b. Quelle valeur s’affiche en C24 ? Interpréter ce résultat.
7 • Variables aléatoires discrètes finies
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173
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Être prêt
E3C
Compétences mobilisées Exercices Chercher Modéliser Représenter Raisonner
pour le BAC
47 48
B.1
4.b
(à traiter sans calculatrice) Automatismes
46
Questions flash Q1. Voici la loi de probabilité d’une variable aléatoire X. Calculer E ( X ), l’espérance de X. xi
1
2
3
4
P ( X = xi )
1 4
1 4
1 4
1 4
–5
–2
0
x
0,1
0,4
0,3
0,2
5
1
3.d
3.a et 3.b
2.c et 4.a
(calculatrice autorisée)
47 Variables aléatoires discrètes Une chaîne de magasins d’alimentation, décide d’organiser deux jeux à l’intention de ses clients. Arrondir les résultats à 10–3. Partie A Le premier jeu consiste à faire tourner trois roues sur un écran. Chaque roue contient huit symboles différents dont un seul est le logo du magasin. Chaque symbole a la même probabilité de sortie. Ainsi la probabilité qu’une roue choisie s’arrête sur le logo du 1 magasin est p = . Les symboles affichés par les 8 roues sont indépendants les uns des autres. On pose X le nombre de logos du magasin obtenu après avoir fait tourner les trois roues.
IM EN
P ( X = xi )
A.1
Seconde partie
Q2. Voici la loi de probabilité d’une variable aléatoire X. Déterminer x pour que E ( X ), l’espérance de X, soit égale à −0,7. xi
Communiquer A.3.c A.2.a, A.3, A.2.b, et A.4.b B.2 et B.3 B.2 et B.3 1.b et 1.c 3.c 2.b
1.a et 2.a 1.b et 1.c
49
Première partie
A.1
Calculer
SP ÉC
Pour les questions Q3 à Q5, un commercial contacte trois de ses clients pour leur présenter de nouveaux produits d’assurances. La probabilité qu’un client soit intéressé est 1 de . On suppose que la réponse de chaque 3 client est indépendante de celle des autres. On note X la variable aléatoire associée au nombre de clients intéressés. Q3. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Déterminer ses paramètres. Q4. Calculer P ( X = 1). Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. Q5. Calculer l’espérance de la loi X. Q6. Y est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,1. Calculer P (Y = 3 ) . Q7. En réalisant un triangle de Pascal, compléter : ⎛ 5⎞ ⎛ 4⎞ ⎜⎝ 2⎠⎟ = … ; ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = … Q8. Compléter : ⎛ 9⎞ ⎛ 9⎞ ⎛ 9⎞ ⎛ 9⎞ ⎜⎝ 0⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 1⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 8⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 9⎟⎠ = …
Q9. Z est une variable aléatoire qui suit une loi 3 binomiale de paramètres n = 8 et p = . Calculer 4 l’espérance E ( Z ) de la variable aléatoire Z. Q10. On lance une pièce de monnaie bien équilibrée trois fois de suite. Calculer la probabilité d’obtenir exactement une fois « Face ».
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Déterminer ses paramètres. 2. Calculer P ( X = 0 ) . Interpréter ce résultat. 3. Un client gagnera 10 € s’il obtient deux logos du magasin et 100 € s’il en obtient trois. Dans les autres cas, il ne gagnera rien. a. Calculer la probabilité qu’il gagne 10 €. b. Calculer la probabilité qu’il gagne 100 €. c. Un client affirme que la probabilité de ne rien gagner est supérieure à 0,95. Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la réponse. 4. Calculer l’espérance de la loi X. Interpréter ce résultat. Partie B Le client dispose d’une seconde chance. La lecture de son ticket de caisse par une machine peut lui faire gagner un bon d’achat. Le montant Y (en €) du bon d’achat est une variable aléatoire. On donne la loi de probabilité de la variable aléatoire Y dans le tableau suivant. yi
P (Y = yi )
0
1
2
5
0,7
0,1
0,1
0,05
10
Lorsque le client ne gagne pas, on considère que le bon d’achat est de 0 €.
174
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La dernière valeur correspondant à P (Y = 10 ) dans ce tableau a été effacée. 1. Calculer cette valeur manquante. 2. Calculer P (Y ! 2). Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. 3. Calculer l’espérance E (Y ) de la variable aléatoire Y. Que représente cette valeur ? 48
Python
a. Que représente la variable S ? b. L’exécution donne le résultat : . Interpréter ce résultat. 3. Afin d’obtenir un meilleur résultat, l’entraîneur utilise une loi binomiale. On admet que X le nombre de membres volontaires suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,65. a. Réaliser un triangle de Pascal jusqu’à la ligne n = 5. b. Recopier et compléter : ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎜⎝ 3⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 4 ⎟⎠ = … ; ⎜⎝ 5⎟⎠ = … c. Calculer les probabilités : P ( X = 3 ), P ( X = 4 ) et P ( X = 5). Arrondir à 10–4. d. En déduire P ( X ! 3 ) . Interpréter ce résultat.
Variables aléatoires discrètes
49 Variables aléatoires discrètes
& Suites numériques Un jeu annonce que 10 % des tickets sont gagnants. Un joueur en achète dix. On admet que le nombre de tickets est assez important pour que le choix d’un ticket puisse être assimilé à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants parmi dix ainsi choisis.
IM EN
L’entraîneur d’un club de ping-pong souhaite former une équipe pour participer à une compétition. Il demande à n membres du club. D’après son expérience, la probabilité qu’un membre accepte de s’inscrire est de 0,65. On suppose que chaque membre répond indépendamment des autres.
Aide
SP ÉC
1. Afin de simuler le nombre de volontaires, l’entraîneur réalise le programme Python ci-contre. Il est possible de tester ce programme en environnement Python avec le fichier C07_Ex.48.
L’instruction random(), donne un nombre aléatoire dans l’intervalle [ 0 ; 1[ .
a. Que représente la variable S ? b. L’exécution de cette fonction avec n = 5 donne le résultat ci-contre. Interpréter ce résultat. c. Si on exécute à nouveau . Est-on sûr d’obtenir à nouveau la réponse 3 ? Si non, quelles sont les réponses possibles ? 2. Seuls 5 membres n’ont pas encore donné leur réponse et, parmi eux, il doit y avoir au moins trois volontaires pour former une équipe. Afin d’évaluer ses chances, l’entraîneur décide de réaliser 1 000 simulations de cette situation, à l’aide du programme suivant :
1. La loi X suit une loi binomiale. Déterminer ses paramètres n et p. 2. Combien de tickets gagnants peut-il espérer obtenir ? ⎛ 10⎞ 3.a. Recopier et compléter : ⎜ ⎟ = … ⎝ 0⎠ b. En déduire P ( X = 0 ) . Arrondir à 0,001. c. Interpréter ce résultat. d. Ce joueur affirme qu’il est sûr de gagner au moins une fois. Que penser de cette affirmation ? 4.a. Interpréter l’événement { X ! 1}. b. Démontrer que P ( X ! 1) = 1− ( 0,9 )10 . Arrondir à 0,001. 5. Python Le joueur souhaite savoir combien de tickets il devra acheter s’il veut avoir une probabilité d’obtenir au moins un ticket gagnant, supérieur ou égal à 0,99. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants parmi n choisis. On admet que : P (Y ! 1) = 1− ( 0,9 )n . a. Recopier et compléter le script Python ci-contre afin d’obtenir la réponse attendue. b. Faire fonctionner ce programme après l’avoir éventuellement adapté. Conclure à l’aide d’une phrase. 7 • Variables aléatoires discrètes finies
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Thèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠtude
THĂ&#x2C6;ME
1 Optimisation linĂŠaire et rĂŠgionnement du plan Partie A. RĂŠgionnement du plan Un entrepreneur doit effectuer des travaux de peinture et dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlectricitĂŠ sur un chantier avec un budget par jour de 600 â&#x201A;Ź pour le matĂŠriel et de 1 000 â&#x201A;Ź pour la main-dâ&#x20AC;&#x2122;Ĺ&#x201C;uvre. Les travaux nĂŠcessitent chaque jour : â&#x20AC;˘ pour la peinture, 50 â&#x201A;Ź de matĂŠriel et 150 â&#x201A;Ź de main-dâ&#x20AC;&#x2122;Ĺ&#x201C;uvre par peintre ; â&#x20AC;˘ pour lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlectricitĂŠ, 100 â&#x201A;Ź de matĂŠriel et 100 â&#x201A;Ź de main-dâ&#x20AC;&#x2122;Ĺ&#x201C;uvre par ĂŠlectricien. Par ailleurs, chaque ouvrier doit disposer dâ&#x20AC;&#x2122;une camionnette et lâ&#x20AC;&#x2122;entrepreneur en possède sept.
IM EN
On note x le nombre de peintres embauchĂŠs par jour et y le nombre dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlectriciens embauchĂŠs par jour. Lâ&#x20AC;&#x2122;entrepreneur constate, par exemple, quâ&#x20AC;&#x2122;il ne peut pas embaucher 1 peintre et 6 Êlectriciens. Les coĂťts en matĂŠriel sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlèveraient alors Ă Â : 50 + 6 Ă&#x2014; 100 = 650 â&#x201A;Ź.
SP Ă&#x2030;C
Mise en inĂŠquations du problème Exprimons en fonction de x et y les contraintes de budget : 1 â&#x20AC;˘ pour le matĂŠriel, le coĂťt peut sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcrire 50x + 100y donc 50x + 100y ! 600, soit y ! 6 â&#x2C6;&#x2019; 2 x ; â&#x20AC;˘ pour la main-dâ&#x20AC;&#x2122;Ĺ&#x201C;uvre, le coĂťt peut sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcrire 150x + 100y donc 150x + 100y ! 1 000, soit y ! 10 â&#x2C6;&#x2019; 1,5x. La contrainte due aux camionnettes se traduit par : x + y ! 7, soit y ! 7 â&#x2C6;&#x2019; x. Enfin, le contexte de lâ&#x20AC;&#x2122;exercice et la nature de x et y imposent : x ! 0 et y ! 0. RĂŠsolution graphique â&#x20AC;˘ On cherche tous les couples de nombres entiers ( x ; y ) correspondant aux nombres de peintres et dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlectriciens pouvant ĂŞtre embauchĂŠs un jour donnĂŠ. 1 â&#x20AC;˘ On trace la droite D1 dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation y = 6 â&#x2C6;&#x2019; 2 x. 1 1 â&#x20AC;˘ Les solutions de lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation y ! 6 â&#x2C6;&#x2019; 2 x sont les couples de coordonnĂŠes des points situĂŠs en dessous de la droite. 2
â&#x20AC;˘ On colore alors la partie ne convenant pas.
10 8 6
đ?&#x2019;&#x;â&#x20AC;˛
4 2 0
2
4
6
8 10 12
1 MĂŠthode Pour tracer une droite dont on connaĂŽt lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation : â&#x20AC;˘ calculer les coordonnĂŠes de deux points ; â&#x20AC;˘ placer ces points ; â&#x20AC;˘ tracer la droite qui les relie.
2 MĂŠthode La droite dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation y = ax + b partage le plan en deux demi-plans. Les solutions dâ&#x20AC;&#x2122;une inĂŠquation de la forme y ! ax + b sont les coordonnĂŠes des points situĂŠs au-dessus de la droite dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation y = ax + b et les solutions de lâ&#x20AC;&#x2122;inĂŠquation y ! ax + b sont ceux situĂŠs en dessous.
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â&#x20AC;˘ On
rĂŠpète ce procĂŠdĂŠ pour chaque inĂŠquation. Pour cela, on trace les droites đ?&#x2019;&#x;2 : y = 10 â&#x2C6;&#x2019; 1,5x et D3 : y = 7 â&#x2C6;&#x2019; x. On pense aussi Ă utiliser les axes des abscisses et des ordonnĂŠes pour traiter les inĂŠquations x ! 0 et y ! 0. On obtient le rĂŠsultat ci-contre.
10 đ?&#x2019;&#x;2 8 6 4
Conclusion Les couples cherchĂŠs sont dans la partie non coloriĂŠe. Par exemple, les couples (3 ; 3 ), (5 ; 1) et (2 ; 5) sont solutions. On en dĂŠduit que lâ&#x20AC;&#x2122;entrepreneur peut embaucher dans une journĂŠe, par exemple, 3Â peintres et 3Â ĂŠlectriciens ou 5Â peintres et 1Â ĂŠlectricien.
đ?&#x2019;&#x;3 đ?&#x2019;&#x;1
2 0
2
4
6
8 10 12
Partie B. Optimisation Lâ&#x20AC;&#x2122;entrepreneur rĂŠalise par jour un bĂŠnĂŠfice de 30 â&#x201A;Ź sur le travail de chaque peintre et de 40 â&#x201A;Ź sur celui de chaque ĂŠlectricien. On note B le bĂŠnĂŠfice total que lâ&#x20AC;&#x2122;entrepreneur rĂŠalise par jour. On souhaite trouver le nombre de peintres et dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlectriciens Ă embaucher chaque jour afin que lâ&#x20AC;&#x2122;entrepreneur rĂŠalise un bĂŠnĂŠfice maximal.
SP Ă&#x2030;C
IM EN
Mise en ĂŠquation du problème En fonction de x et y, on a : B ( x ; y ) = 30x + 40y. Par exemple, pour 3 peintres et 3 Êlectriciens, le bĂŠnĂŠfice sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlève Ă Â : B (3 ; 3 ) = 30 Ă&#x2014; 3 + 40 Ă&#x2014; 3 = 210 â&#x201A;Ź. Pour un bĂŠnĂŠfice de k â&#x201A;Ź, on a alors la condition : k 3 30x + 40y = k soit y = â&#x2C6;&#x2019; x. 5 40 4 que 4 ReprĂŠsentation graphique GĂŠomĂŠtrie dynami d200 3 Pour dĂŠterminer le bĂŠnĂŠfice maximal, Ă lâ&#x20AC;&#x2122;aide dâ&#x20AC;&#x2122;un logiciel de gĂŠomĂŠtrie d 2 140 k 3 dynamique, on trace la droite d k : y = â&#x2C6;&#x2019; x. On fait varier un curseur k 1 40 4 qui est positif (il sâ&#x20AC;&#x2122;agit du montant du bĂŠnĂŠfice). Les droites ainsi obtenues 0 1 2 3 4 5 6 7 sont parallèles entre elles. Ci-contre, on a reprĂŠsentĂŠ les droites d140 et d200. On peut conjecturer que câ&#x20AC;&#x2122;est pour 2 peintres et 2 Êlectriciens, et uniquement dans ce cas, que lâ&#x20AC;&#x2122;entrepreneur atteint 140 â&#x201A;Ź de bĂŠnĂŠfice. De mĂŞme, on observe que, pour atteindre un bĂŠnĂŠfice de 200 â&#x201A;Ź, il peut soit embaucher 4 peintres et 2 Êlectriciens, soit 5 Êlectriciens et aucun peintre. Une fois vĂŠrifiĂŠ que la droite d k passe bien par le nĹ&#x201C;ud du quadrillage, on obtient la valeur de k correspondant au bĂŠnĂŠfice maximal ainsi que le nombre de peintres et dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlectriciens Ă embaucher pour lâ&#x20AC;&#x2122;atteindre.
10 đ?&#x2019;&#x;2 8 6 4
đ?&#x2019;&#x;3 k = 260
đ?&#x2019;&#x;1
2 0
2
4
6
8 10 12
Conclusion Ainsi, on peut conclure que le bĂŠnĂŠfice maximal pouvant ĂŞtre atteint en une journĂŠe par lâ&#x20AC;&#x2122;entrepreneur sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlève Ă 260 â&#x201A;Ź. Pour cela, il devra embaucher 2 peintres et 5 Êlectriciens.
Ă&#x20AC; votre tour ! Le script en Python ci-contre permet de trouver ce bĂŠnĂŠfice maximal. Expliquer comment. Est-on assurĂŠ quâ&#x20AC;&#x2122;il fournit une unique solution ? Thèmes dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠtude
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Thèmes d’étude
Présentation
Histoire des sciences
La méthode de Monte-Carlo est une méthode algorithmique qui consiste à calculer des quantités en utilisant des procédures aléatoires. C’est une technique probabiliste. Elle trouve son origine dans les expériences de Georges Louis Leclerc de Buffon (1707-1788) sur l’utilisation du hasard pour calculer de façon approchée le nombre π (aiguilles de Buffon). Mais elle n’a pris une réelle importance qu’avec le projet Manhattan et les calculs nécessaires à l’élaboration de la première bombe atomique. Son nom, donné en 1947 par Nicholas Metropolis, fait allusion aux jeux de hasard pratiqués au casino de Monte-Carlo. Cette méthode est utile en mathématiques pour calculer des aires quand les méthodes « classiques » ne s’appliquent pas (aire d’un domaine complexe ou non délimité par une fonction, etc.). Elle trouve aussi des applications en physique pour étudier le mouvement de particules, les équations de la chaleur, etc., et sur des questions financières, comme la gestion du risque.
IM EN
THÈME
2 La méthode de Monte-Carlo
PRÉREQUIS • Fonctions exponent ielles et probabilités
Partie A. Calcul d’une aire
On veut calculer l’aire A du domaine sur [ 0 ; 1] situé sous la courbe d’une fonction f, où f est la fonction carré.
SP ÉC
Python
Principe • Prendre au hasard N points de coordonnées x et y comprises entre 0 et 1. • Avec un compteur S, déterminer le nombre de points (en rouge) situés sous la courbe représentative de f ; • Calculer la probabilité de prendre au hasard un point sous la courbe de f : aire sous la courbe A P= = = A. aire du carré de côté 1 1 S La fréquence est donc une valeur approchée de A. N Application 1. Afin d’obtenir un nombre conséquent de points, on automatise le calcul à l’aide d’un script en Python. a. Compléter la fonction monte_carlo afin qu’elle permette de déterminer une valeur approchée de A avec le tirage d’un nombre N de points, choisi par l’utilisateur. b. Compléter le fichier Python Theme02(1). L’utiliser pour compléter le tableau ci-dessous. N monte_carlo(N)
1 000
10 000
1 000 000
…
…
…
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
1 2. La valeur exacte de A est . Modifier la fonction précédente afin qu’elle renvoie l’erreur commise en rem3 plaçant la valeur exacte de A par l’approximation obtenue avec la méthode de Monte-Carlo. 3. Que pensez-vous de l’affirmation suivante : « Multiplier la taille de l’échantillon par 100 permet de diviser l’erreur par 10. » ? 178
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Partie B. En maths financières
STMG
Principe Plus la rentabilité fluctue autour de sa valeur moyenne R, plus le risque est élevé. Pour évaluer ce risque, on commence par mesurer la rentabilité moyenne. Celle-ci est estimée avec la méthode de Monte-Carlo à p artir 1 N de quelques valeurs, sur N « dates » d i choisies aléatoirement par I N = ∑ R ( d i ) où R ( d i ) désigne la N i=1 rentabilité de l’actif à la date d i. Par le même procédé, on peut estimer la dispersion autour de cette valeur moyenne en mesurant l’écart type 1 N 2 R ( di ) − R ) . ( ∑ N i=1
défini par la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
4 600 4 400 4 200 4 000 3 800 3 600 3 400 3 200 3 000
IM EN
Application Le graphique ci-contre représente l’indice de clôture d’un actif financier sur 500 jours. 1. Relever quelques indices de clôture « au hasard » (on pourra éventuellement utiliser un algorithme donnant des nombres aléatoires entre 1 et 500) et évaluer la valeur moyenne obtenue avec la méthode Monte-Carlo. 2. Comparer avec la valeur moyenne affichée. 3. Estimer par le même procédé le risque de cet actif en mesurant l’écart type par la méthode de Monte-Carlo.
Indice de clôture Valeur moyenne
0
100 200 300 400 500
Partie C. Calculer une température avec l’équation de la chaleur
SP ÉC
Principe On considère une tige de 10 cm, d’extrémités A et B, que l’on modélise par un segment [ AB ]. On chauffe la tige à son extrémité A de façon à obtenir en A, une température de 80 °C, et en B, de 20 °C. On cherche à évaluer la température en un point quelconque de la tige. Pour cela, on prend un point M sur [ AB ] qui se déplace aléatoirement de 1 cm vers la gauche ou vers la droite et on s’arrête lorsqu’on arrive en A ou en B. On répète plusieurs fois cet algorithme et on compte le nombre de fois où l’on arrive en chacun des points. La température au point de départ est alors estimée par : 80 × nombre d’arrivées en A + 20 × nombre d’arrivées en B nombre de répétitions Application 1. Mettre en place l’algorithme décrit précédemment. 2. Faire une étude de l’équation de la chaleur d’une plaque rectangulaire dont on connaît les températures aux quatre coins.
À votre tour ! Le temps moyen mis lors d’un marathon est de 0,5 4 h 15. La probabilité p que le temps d’un coureur, 0,4 x2 pris au hasard, soit ce temps moyen ± 1h, c’est-à− 1 0,3 f (x) = 2,7 2 dire qu’il soit compris entre 3 h 15 et 5 h 15, est 2π 0,2 égale à l’aire (hachurée) située sous la courbe de la 0,1 x2 1 − fonction f définie sur ℝ par : f ( x ) = 2,7 2 . −3 −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 2π Utiliser la méthode de Monte-Carlo pour déterminer une valeur approchée de p. Pour cela, on prend des points au hasard dans le rectangle vert (−1! x ! 1 et 0 ! y ! 0,5) et on commence par calculer son aire. Thèmes d’étude
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Thèmes d’étude
THÈME
3 Simulation de marches aléatoires
PRÉREQUIS • Probabilités • Variables aléatoires • Loi binomial
e
Présentation Le but de ce thème est d’étudier des phénomènes de marches aléatoires. Une modélisation mathématique permet d’expliquer certains phénomènes naturels comme le mouvement brownien (déplacements de particules soumises à des chocs avec d’autres particules, dans un liquide ou un gaz). Plus généralement, on peut penser à une marche aléatoire à chaque fois qu’une grandeur est soumise à une multitude d’actions indépendantes. En économie, par exemple, le cours de la bourse varie en fonction des actions d’une multitude de personnes, prenant leurs décisions indépendamment les unes des autres.
Python
IM EN
Partie A. Marche aléatoire à une dimension
SP ÉC
Sur un axe gradué, on considère un point mobile M. Au départ, M a pour abscisse 0, puis il se déplace de manière aléatoire d’une unité vers la gauche ou vers la droite. On suppose que la probabilité d’un déplacement, dans un sens ou dans l’autre, est égale à 0,5. 1. La fonction deplacement du script ci-contre modélise un déplacement aléatoire du point mobile M. Si le résultat est 1 (respectivement −1), le point M se déplace à droite (resp. à gauche). Expliquer pourquoi dans ce programme les résultats 1 et −1 sont équiprobables. Ouvrir le fichier Python Theme03(1) contenant ce programme. 2. Compléter la fonction trajet, qui retourne la liste des abscisses du point mobile M après n déplacements aléatoires.
3. La fonction graph affiche le graphique des positions successives du point mobile M après n déplacements. Implanter ce script et effectuer des simulations de marches aléatoires en prenant de valeurs différentes pour n. 4. On suppose maintenant que n = 10. On pose N la variable aléatoire, qui, à tout trajet de 10 déplacements aléatoires, associe le nombre de déplace20 n = 1 500 ments vers la droite. 10 a. La variable aléatoire N suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres. 0 b. Soit X la variable aléatoire qui, après tout trajet de 10 déplacements −10 aléatoires, associe l’abscisse du point mobile M. On rappelle qu’au départ, −20 le point mobile M a pour abscisse 0. −30 • Si N = 3, quelle sera alors la valeur de X ? Expliquer. 0 400 800 1 200 • Démontrer que : X = 2N − 10. c. On souhaite calculer la probabilité de l’événement E : « Le point M se retrouve à sa position d’origine après un trajet de 10 déplacements ». • Compléter : P (E) = P ( X = … ) = P ( N = … ). En déduire P (E). 5. On se place dans la situation d’un trajet de n déplacements avec une probabilité d’un déplacement vers la droite égale à p où le réel p appartient à l’intervalle ]0 ; 1[. 180
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a. Modifier la fonction deplacement afin qu’un appel à deplacement(p) simule un déplacement vers la droite avec une probabilité p. b. Faire de même avec les fonctions trajet et graph, qui deviendront trajet(n,p) et graph(n,p). c. On souhaite simuler les variations du cours de la bourse un jour de baisse. On admet que ce jour-là, la probabilité qu’une opération réalisée soit un achat n’est que de 0,4. On admet que si l’opération réalisée est un achat, alors le cours de la bourse augmente, et si c’est une vente, alors le cours baisse. Effectuer des simulations de cette situation sur un grand nombre d’opérations. Simulation avec : n = 200 et p = 0,4
Indice CAC 40 le 31 janvier 2020
0 :0
0 :0
0 :0
0
5 −5 −15 −25 −35
18
16
14
:0 12
10
:0
0
5 895 5 878 5 859 5 841 5 823 5 805 5 799
0 25 50 75 100125150175200
IM EN
d. On souhaite prévoir l’évolution d’un indice boursier après 500 opérations où la probabilité d’achat est de 0,4. On pose A la variable aléatoire, qui, après 500 opérations, associe le nombre d’achats. On admet que A suit une loi binomiale de paramètres n = 500 et p = 0,4. • Calculer l’espérance de la variable aléatoire A. Interpréter ce résultat. • En déduire l’espérance du nombre de ventes sur cette période. • Un jour donné, cet indice est égal à 5 853. 0n admet que l’indice augmente de 3 après un achat et baisse de 3 après une vente. Quelle est la valeur espérée de cet indice après 500 opérations dans cette situation ?
Partie B. Marche aléatoire à deux dimensions
Python
SP ÉC
Dans un repère, on considère un point mobile M à coordonnées entières. Au départ, ce point mobile est confondu avec l’origine du repère, puis il se déplace de manière aléatoire d’une unité : soit vers la gauche, vers 1 la droite, vers le haut, vers le bas avec une probabilité de . 4 Notation : Un déplacement est caractérisé par une liste de deux entiers relatifs, le premier correspond au déplacement horizontal, le second au déplacement vertical. Ainsi, un déplacement de 3 unités vers la droite et de 2 unités vers le bas est caractérisé par la liste [3 ; −2]. 1. a. Ouvrir le fichier Python Theme03(2) avec le script de la fonction deplacement2D, qui simule le déplacement du point mobile M. b. Tester cette fonction. c. Quels résultats renvoie-t-elle ? Interpréter chacun des résultats. 2. La fonction graph2D affiche le graphique des positions successives du point mobile M après n déplacements. Implanter ce script et effectuer des simulations de marches aléatoires en prenant des valeurs différentes pour n.
20 0 −20 −40 n = 10 000 −60 −30 −10 10
30
40
3. La marche aléatoire peut être soumise à des contraintes supplémentaires, par exemple : a. On souhaite que le point mobile M ne fasse jamais de retour en arrière : si le point M est à l’étape k, il lui est interdit, pour l’étape suivante, de retourner à la même position qu’à l’étape (k − 1). Compléter le script trajet2D_bis(n) pour que la marche aléatoire respecte cette condition. b. Modifier la fonction deplacement2D pour que les déplacements se fassent avec les probabilités suivantes : vers le haut : 0,5 ; vers la gauche : 0,2 ; vers le bas : 0,1 ; vers la droite : 0,2. Thèmes d’étude
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181
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Thèmes d’étude
THÈME
4 Initiation aux graphes et prolongement Partie A. Initiation aux graphes C
Un peu de vocabulaire
356
Le graphe ci-contre répertorie des itinéraires entre plusieurs villes françaises : Aire-sur-Adour, Bordeaux, Cherbourg-en-Cotentin, Clermont-Ferrand, Lyon, Montpellier, Paris, Strasbourg et Toulouse. Les villes sont les sommets du graphe. Les segments reliant les villes sont les arêtes. Puisque ces arêtes sont associées à des poids (des distances en km), il s’agit d’un graphe pondéré. Il n’est pas orienté car chaque arête peut être parcourue dans les deux sens. Un graphe avec des sens uniques ou des temps de parcours différents dans les deux sens serait un graphe orienté.
P
699
S
490
716
425 491
584
CF
489
L
167
373
B
378 467 245
156
157
A
305
243
T
M
SP ÉC
IM EN
Lecture du graphe 1. Quel est le chemin le plus court entre Montpellier et Cherbourg-en-Cotentin ? Entre Aire-sur-Adour et Strasbourg ? Sur les arêtes noires, la vitesse moyenne est 110 km/h, sur les vertes 95 km/h et sur les rouges 75 km/h. 2. Reproduire ce graphe en pondérant chaque arête par le temps de parcours au lieu de la distance. 3. Quel est le trajet le plus rapide : • entre Montpellier et Cherbourg-en-Cotentin ? • entre Aire-sur-Adour et Strasbourg ?
À votre tour !
1 Effectuer des recherches sur l’algorithme de Dijkstra, puis l’appliquer pour déterminer le plus court chemin entre les sommets A et I du graphe ci-contre.
B 300
A
80
C 150
310
280
E
60 110
F
70
H
190 260 90 50
G
D
40
100
I
2 Modéliser par un graphe pondéré une situation de votre choix, des distances ou durées de parcours entre différents lieux ou des coûts de trajets (vols entre des aéroports) par exemple, puis déterminer le plus court chemin à l’aide de l’algorithme de Dijkstra.
Partie B. Graphe d’ordonnancement Présentation Un graphe d’ordonnancement est un graphe pondéré orienté représentant des tâches, leurs durées d’exécution et les contraintes liées à l’ordre d’exécution de ces tâches. Les grandes étapes de la rénovation d’un service hospitalier sont représentées par le tableau des contraintes ci-contre ou le graphe d’ordonnancement page suivante. Les contraintes sont les tâches qui doivent être terminées pour commencer la tâche en cours. Les durées sont en semaines.
Tâches
Durées
Contraintes
Choix des entreprises
8
Déménagement du service
5
Gros œuvre
12
C-D
Électricité
3
G
Sanitaire
5
G
Finition
6
G-S
Réinstallation
4
E-F
182
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E
R
3
C
12
8
S
G
5
12 5
6 5
12
D
F
On complète le graphe précédent en indiquant sous chaque tâche en bleu la « date de début au plus tôt » et en rouge la « date de début au plus tard ». C 0
0
8 5
D
G 8
8
12
S
R
5
31 31
20 20 12
3
3
5
6 F 25 25
IM EN
0
12
E 20 28
SP ÉC
1. Que signifient les deux « 20 » indiqués en bleu sous les sommets E et S ? 2. Au bout de combien de semaines la phase de réinstallation pourra-t-elle commencer ? 3. Que signifient le « 20 » en rouge sous le sommet S et le « 28 » en rouge sous le sommet E ? 4. Déterminer le chemin critique, le chemin pour lequel tout retard pris sur l’une des tâches retarde la fin du projet.
À votre tour !
On pourra rechercher des informations sur la méthode des potentiels métra (MPM) employée ici. 1 Construire un graphe d’ordonnancement associé au tableau de contraintes ci-contre répertoriant les processus liés à une création d’entreprise. Les durées sont en jours.
2 Déterminer le chemin critique et la durée totale nécessaire avant les premières ventes. 3 Si la tâche C prend un mois de retard, est-ce que les premières ventes seront repoussées ? 4 Quel retard maximal peut-on accepter sur la tâche B sans que les premières ventes ne soient retardées si les autres tâches n’ont pas de retard ?
Tâches
Descriptif
Durées
Contraintes
A
Rédaction des statuts
30
B
Location du local
40
C
Recherche des équipements
90
D
Emprunts financiers
45
A
E
Installation des équipements
45
B-C
F
Recherche du personnel
120
A
G
Embauche du personnel technique
40
E-F
H
Embauche du personnel commercial
20
D-F
I
Achats de matière première
40
H
J
Autorisation de mise sur le marché
120
H
K
Premières productions
100
G, I
L
Premières ventes
20
J-K
A-D
5 Présenter sur cet exemple les notions de marges totales et de marges libres après avoir effectué des recherches sur Internet. Thèmes d’étude
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183
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Comme au bac
E3C
Ă&#x2030;valuation 1 (Ă traiter sans calculatrice)
Première partie
Automatismes (5 points)
Questions ďŹ&#x201A;ash 32 2 Ă&#x2014; (105 ) . 2 Q2. Au dĂŠpart dâ&#x20AC;&#x2122;une course Ă pied, 70 % des participants ont moins de 30 ans, dont 30 % sont mineurs. Quelle est la proportion des mineurs au dĂŠpart de cette course ? Q3. Donner une forme factorisĂŠe de lâ&#x20AC;&#x2122;expression : 64 â&#x2C6;&#x2019; 25x 2 . Q4. ReprĂŠsenter Ă main levĂŠe dans un repère la courbe reprĂŠsentative de la fonction f dĂŠfinie sur â&#x201E;? par : f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;3 ( x â&#x2C6;&#x2019; 1) ( x + 2). Q5. Donner le tableau de signe sur â&#x201E;? de : f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019;3 ( x â&#x2C6;&#x2019; 1) ( x + 2). y Q6. On a reprĂŠsentĂŠ ci-contre la courbe 3 reprĂŠsentative de la 2 dĂŠrivĂŠe g â&#x20AC;˛ dâ&#x20AC;&#x2122;une 1 fonction g sur lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [ â&#x2C6;&#x2019;1; 3 ]. Les 1 2 3 x â&#x2C6;&#x2019;1 0 â&#x2C6;&#x2019;1 points de la courbe â&#x2C6;&#x2019;2 marquĂŠs dâ&#x20AC;&#x2122;une croix sont Ă coordonnĂŠes â&#x2C6;&#x2019;3 entières. Sur quel(s) intervalle(s) la fonction g est-elle dĂŠcroissante ? Q7. La production dâ&#x20AC;&#x2122;une entreprise augmente tous les mois de 2 %. On dĂŠcide de modĂŠliser cette production par une suite. Donner la nature et la raison de cette suite. Q8. On dĂŠcide dâ&#x20AC;&#x2122;ajuster le nuage de points ci-dessous par la droite passant par le point M1 de coordonnĂŠes ( 0 ; 5) et le point G de 19 11 coordonnĂŠes â&#x17D;&#x203A; ; â&#x17D;&#x17E; . â&#x17D;? 4 4â&#x17D; Quelle est lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation rĂŠduite de cette droite ?
0
1
2
3
4
5
6
STMG 45 %
7
Ă&#x20AC; partir de ce diagramme en boĂŽte, que peut-on affirmer ? a. Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcart interquartile vaut 5. b. La moyenne vaut 4. c. Environ la moitiĂŠ des effectifs se trouve dans lâ&#x20AC;&#x2122;intervalle [3,5 ; 5].
SP Ă&#x2030;C
IM EN
Q1. Donner lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcriture scientifique de
Q9. Dans un lycĂŠe, les 180 ĂŠlèves de la voie techno- STI2D/STL 30 % logique sont rĂŠpartis comme indiquĂŠ sur le diagramme ST2S circulaire suivant. Combien y ?% a-t-il dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠlèves en ST2S ? Q10.
y 5
M1 M2
4
M3
3
G
2 1 0
M5
M4 1
2
3
4
5
6
7
8
M6 9
x
(calculatrice autorisĂŠe)
Seconde partie
Exercice 1 (5 points) Une entreprise produit chaque jour jusquâ&#x20AC;&#x2122;Ă 10 kilomètres de longueur de bande de tissu en coton. Le coĂťt total de production (en â&#x201A;Ź) de x kilomètres de bande de tissus est donnĂŠ par : C ( x ) = 15x 3 â&#x2C6;&#x2019; 120x 2 + 500x + 750 pour x â&#x2C6;&#x2C6;[ 0 ; 10 ]. La courbe reprĂŠsentative de la fonction C ainsi que les droites dâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquations respectives y = 400x et y = 680x figurent dans le repère ci-dessous. y 9 000 8 000 4 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 đ?&#x2019;&#x17E; 1 000 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 x
1. Expliquer, au vu de ce graphique, pourquoi lâ&#x20AC;&#x2122;entreprise ne peut pas rĂŠaliser de bĂŠnĂŠfice si elle vend son tissu au prix de 400 â&#x201A;Ź du kilomètre. 2. DĂŠterminer graphiquement, avec la prĂŠcision permise par le graphique, pour quelles quantitĂŠs produites et vendues, cette entreprise rĂŠalise un bĂŠnĂŠfice si elle vend son tissu au prix de 680 â&#x201A;Ź du kilomètre.
184
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En France, le temps moyen quotidien, en heure, passé par une personne devant un écran d’ordinateur, de tablette ou de smartphone est donné dans le tableau suivant. 2013 2014 2015 2016 2017
SP ÉC
Rang de l’année xi
0
1
2
3
4
Temps (en h) passé devant un écran yi
2,78
3,27
3,52
3,77
3,97
Le nuage de points de coordonnées ( x i ; yi ) est donné ci-dessous : y 5 4 3
def suite_u() : liste_valeurs = [] for n in range(…………) u = ………… liste_valeurs.append(u) return liste_valeurs D’après un sujet de bac.
Kevin possède un lecteur MP3, dans lequel il a stocké 90 morceaux de jazz et 110 morceaux de musique classique. Un tiers des 90 morceaux de jazz est composé par des auteurs français. Un dixième des 110 morceaux de musique classique est composé par des auteurs français. Kevin lance une lecture aléatoire sur son lecteur MP3. On admet que cela revient à choisir un morceau de musique de manière équiprobable. On note : • J l’événement : « Le morceau de musique écouté est un morceau de jazz » ; • C l’événement : « Le morceau de musique écouté est un morceau de musique classique » ; • F l’événement : « L’auteur du morceau de musique écouté est français ». 1. Quelle est la probabilité que le morceau de musique soit du jazz ?
2 1 0
c. Python Recopier et compléter la fonction Python suivante pour qu’elle renvoie, après exécution, la liste des 10 premières valeurs de un :
Exercice 3 (5 points)
Exercice 2 (5 points)
Année
a. Quelle est la nature de la suite ( un ) ? Exprimer alors un en fonction de l’entier naturel n. b. D’après ce modèle, en quelle année devait-on dépasser les 5 heures quotidiennes passées devant un écran ?
IM EN
3. Le coût moyen de production CM mesure le coût par unité produite. On considère la fonction CM définie sur l’intervalle ]0 ; 10 ] par : C(x) CM ( x ) = . x a. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10 ], on a : 30 ( x − 5) ( x 2 + x + 5) CM′ ( x ) = . x2 b. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10 ], x 2 + x + 5 > 0. En déduire le signe de CM′ ( x ) sur l’intervalle ]0 ; 10 ] et dresser le tableau des variations de la fonction CM sur l’intervalle ]0 ; 10 ]. c. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum ? Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ? D’après un sujet de bac.
1
2
3
4
5
6
7 x
1.a. Proposer une équation d’une droite d’ajustement de ce nuage de points. b. En utilisant cet ajustement, en quelle année devrait-on dépasser les 5 heures quotidiennes passées devant un écran ? 2. D’après une étude, le temps moyen quotidien passé devant un écran devait augmenter de 5 % chaque année à partir de 2017. On note un le temps moyen quotidien (en h) passé devant un écran l’année (2017 + n). On a donc : u0 = 3,97.
2. Sachant que Kevin a écouté un morceau de jazz, quelle est la probabilité que l’auteur soit français ? 3. Calculer la probabilité que le morceau de musique écouté par Kevin soit un morceau de jazz composé par un auteur français. 4. Quelle est la probabilité que le morceau écouté soit composé par un auteur français ? 5. Afin d’écouter trois morceaux de musique, Kevin lance trois fois une lecture aléatoire. Calculer la probabilité qu’il ait écouté au moins un morceau de jazz. Comme au bac • Évaluation 1
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Comme au bac
E3C
Évaluation 2 (à traiter sans calculatrice)
Première partie
Automatismes (5 points)
Questions flash
Par ailleurs, la droite (AB) est tangente à la courbe représentative de f en son point d’abscisse 2. y 6
Q1. À quel pourcentage correspond une baisse de 9 € sur un produit à 45 € ? Le tableau suivant recense l’évolution de l’indice des prix d’un article en prenant comme base 100 l’année 2018.
5 4 3
Année
2018
2019
2020
2
Indice
100
105
Y
1
Prix
60
X
66
Q2. Quelle est dans ce tableau la valeur de X ? Q4. Les premiers termes d’une suite ( un ) sont représentés dans le repère semi-logarithmique suivant, par les points de coordonnées ( n ; un ). 10 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10
−1 0
1
2
3
4
5
x
Q9. Quelles sont les coordonnées du point B ? Q10. Donner l’équation réduite de la tangente (AB).
Seconde partie
0
SP ÉC
1
A
IM EN
Q3. Quelle est dans ce tableau la valeur de Y ?
B
1
2
3
4
5
6
7
Choisir la bonne réponse : a. Cette suite est arithmétique de raison 100. b. Cette suite est arithmétique de raison 10. c. Cette suite est géométrique de raison 100. d. Cette suite est géométrique de raison 10. Q5. Convertir 20 m/s en km/h.
Q6. Si P = RI 2 , exprimer R en fonction de P et de I . Q7. Développer et réduire l’expression : ⎛ 2x + 3 ⎞ ⎛ 2 − 3x ⎞ . ⎝ ⎠ 2⎠ ⎝ 3 Q8. Factoriser : 25x 2 − 3. Dans le repère suivant, on a représenté la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 5] par : 1 f ( x ) = x + , le point A de coordonnées ( 0 ; 1) x et le point B de la courbe représentative de f d’abscisse 2.
(calculatrice autorisée)
Exercice 1 (5 points) Sur un parcours donné, la consommation y d’une voiture est donnée en fonction de sa vitesse moyenne x par le tableau suivant. x (en km/heure)
80
90
100
110
120
y (en litre/100 km)
4
4,8
6,3
8
10
1. La consommation est-elle proportionnelle à la vitesse moyenne ? Justifier la réponse. 2. Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique ( x i ; yi ) dans un repère orthogonal du plan. On prend : 2 cm pour 10 km/h sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 1 litre sur l’axe des ordonnées. 3. Donner l’équation réduite d’une droite d’ajustement de ce nuage de points. En utilisant cet ajustement, estimer la consommation aux 100 km de la voiture pour une vitesse de 130 km/h. 4. En effectuant le changement de variable z = log ( y ), on admet qu’une droite d’ajustement obtenue par un logiciel pour les cinq points ( x ; z ) du nuage a pour équation : y = 0,0102x − 0,2206.
186
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a. Écrire y sous la forme : y = A × 10 Bx où A et B sont deux nombres dont on donnera un arrondi à 10 −4 . b. En utilisant ce résultat, estimer la consommation aux 100 km de la voiture, pour une vitesse de 130 km/h. Cette valeur semble-t-elle plus proche de la consommation réelle que celle obtenue à la question 3 ? Expliquer ce choix.
Exercice 2 (5 points) L’évolution de la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde entre fin 2011 et fin 2017 est résumée dans le graphique ci- dessous (en gigawatt). Puissance (GW)
400
405
229
200
177 138
100
71
101
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise. L’atelier A fabrique 60 % des stylos, et parmi ceux-là, 5 % possèdent un défaut de fabrication. De plus, 1 % des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l’atelier B. Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l’entreprise. On considère les événements suivants : • A : « Le stylo a été fabriqué par l’atelier A » ; • B : « Le stylo a été fabriqué par l’atelier B » ; • D : « Le stylo possède un défaut de fabrication ».
20
17 20
16 20
15
SP ÉC
20
14 20
13 20
12 20
11 20
10 20
18
Année
0
Exercice 3 (5 points)
IM EN
305
300
def decuple() : n=0 p = ……… while p…………… : n = ……………. p = ……………. return(2017+n)
1. Calculer le pourcentage d’augmentation annuel entre 2016 et 2017. 2. On se propose d’estimer la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dans les 15 ans à venir si le taux de croissance annuel reste constant et égal à 33 %. On note Pn la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde (en GW) à la fin de l’année (2017 + n). On a ainsi : P0 = 405. 3. Calculer P1 puis P2. 4. Quelle est la nature de la suite ( Pn ) ? Préciser sa raison. 5. Exprimer Pn+1 en fonction de Pn , puis Pn en fonction de l’entier naturel n. 6. Estimer la puissance solaire photovoltaïque (en GW) installée dans le monde fin 2025 (arrondir à l’unité). Quel est alors le pourcentage global d’évolution entre fin 2017 et fin 2025 ? 5. Recopier et compléter le script Python suivant, pour que l’exécution de la commande decuple() renvoie la fin de l’année à partir de laquelle la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde aura été multipliée par au moins 10.
1. Donner les probabilités P ( A ), P ( B ), PA ( D ) et P ( B ∩ D ). On pourra s’appuyer sur un arbre de probabilités que l’on complétera au fur et à mesure pour répondre aux questions suivantes. 2. Calculer la probabilité qu’un stylo provienne de l’atelier A et possède un défaut de fabrication. En déduire que la probabilité qu’un stylo possède un défaut de fabrication est de 0,04. 3. On prélève un stylo au hasard dans l’atelier B. Quelle est la probabilité qu’il possède un défaut ? 4. On suppose désormais que 4 % des stylos possèdent un défaut de fabrication. L’entreprise confectionne des paquets contenant chacun 25 stylos. Le fait qu’un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos. On note X la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi binomiale. 5. Le directeur de l’entreprise affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ? Comme au bac • Évaluation 2
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187
20/03/2020 12:49
Méthode Utiliser le langage Python 1 Environnement de travail EduPython Lancer le programme écrit dans l’éditeur ➀
Interrompre un programme en cours d’exécution
Éditeur : permet de saisir des programmes (scripts, fonctions).
Console : saisie d’instructions simples, lecture des résultats, lancement des fonctions et des programmes écrits dans l’éditeur. Résultat obtenu en lançant le programme écrit dans l’éditeur ➁
2 Éléments de base
Opérations Addition Soustraction
Symbole
Exemple
+
25 + 33 = 58
-
25 − 33 = −8
*
25 × 33 = 825
SP ÉC
Multiplication
IM EN
Opérations et calculs Toutes les illustrations ont été réalisées dans la console, symbolisée par l’invite de commande : >>>
**
253 = 15 625
/
23 ≈ 7,66667 3
Reste dans la division entière
%
23 = 7 × 3 + 2
Quotient dans la division entière
//
23 = 7 × 3 + 2
Langage naturel
Langage Python
n ← n +1
n = n +1
Puissance Division
Avec Python
Affectation et affichage Consigne
La variable n prend la valeur n + 1
Exemple
Pour afficher un résultat, on peut soit appeler la variable à afficher (exemple précédent), soit demander son affichage en utilisant la fonction print. Consigne La variable x prend la valeur 3. Affecter à x la valeur x + 0,1 puis afficher le résultat.
Langage naturel
Instructions dans l’éditeur
Après lancement du script
x ←3 x ← x + 0,1 Afficher x
Entiers et flottants • Fonction int (pour integer, « entier » en anglais). Par défaut, les nombres qui se notent sans virgule sont considérés comme des entiers pour Python. La fonction int tronque les nombres à l’unité. 188
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20/03/2020 12:49
Méthode • Les
flottants avec float (floating point number, « nombre à virgule flottante » en anglais) représentent des décimaux et, par défaut, ils se notent avec un point. Ainsi 1.0 est considéré comme un flottant. Ils représentent les réels pour Python et non pas comme un entier.
Listes • Les listes avec list peuvent contenir des objets de types différents. Elles se notent entre crochets avec la virgule comme séparateur. • Une liste enregistrée directement au clavier est une liste en extension. • La numérotation des termes d’une liste commence à 0 si on la parcourt de gauche à droite. La numérotation se fait à l’aide de nombres négatifs si on la parcourt de droite à gauche. • La fonction len (length, « longueur » en anglais) renvoie la longueur de la liste. Consigne
Action
Résultat
Créer la liste des chiffres pairs en utilisant une liste en extension
Afficher l’avant-dernier terme de la liste Afficher la longueur de la liste
IM EN
Afficher le 3e terme de la liste
• Il existe des listes « toutes faites », elles s’obtiennent grâce à la fonction range. range(n) permet d’obtenir les entiers de 0 inclus à n exclu. Consigne
SP ÉC
Créer la liste des entiers de 0 à 8
Action
Résultat
Créer la liste des entiers de 2 à 8
Créer la liste des entiers de 1 à 9 en ne prenant qu’un entier sur 2
• Une liste peut être vide, dans ce cas, on ne note que les crochets : • On peut ajouter des éléments à une liste. Consigne
Action
Résultat
Créer, en extension, la liste des trois premières lettres de l’alphabet Ajouter 1, à la fin de la liste Insérer k en 2e position
• On peut concaténer deux listes, c’est-à-dire créer une liste à l’aide des éléments de deux listes qui seront regroupés en une seule liste.
• On peut supprimer un élément d’une liste. Consigne
Action
Résultat
Créer en extension la liste {a ; b ; c ; a ; d } Supprimer le 3e terme de la liste Supprimer la première apparition du a
Méthode • Utiliser le langage Python
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189
20/03/2020 12:49
Méthode • Certaines fonctions sont spécifiques aux listes de nombres. Consigne
Action
Résultat
Créer en extension la liste {8 ; 10 ; 2 ; 18 ; 15 ; 7} Afficher le maximum Afficher le minimum Faire la somme de tous les termes Ranger la liste dans l’ordre croissant
• De nombreuses fonctionnalités (méthodes) sont disponibles en Python pour manipuler les listes. Certaines peuvent être utiles en statistiques et probabilités. Consigne
Action
Résultat
Créer en extension la liste {P ; P ; P ; F ; P ; F}
Afficher le nombre d’apparition de l’élément P
IM EN
Afficher le rang d’apparition du premier F
SP ÉC
Chaînes de caractères • Les chaînes de caractères str (character string en anglais) se notent entre guillemets : " " ou ' '. • On peut affecter à une variable une chaîne de caractères. Il faut être vigilant sur la syntaxe, comme le montre l’exemple ci-contre. • Parcourir une chaîne de caractères : comme pour les listes, la numérotation des caractères d’une chaîne de caractères commence à 0. On peut lire une chaîne de caractère en commençant par le dernier caractère mais dans ce cas, on utilisera une numérotation négative. • La longueur d’une chaîne de caractères est donnée par la fonction len (length, « longueur » en anglais). Consigne
Action
Résultat
Créer la variable mot qui prend comme valeur « bonjour » Afficher le premier caractère Afficher le dernier caractère Afficher la longueur de la chaîne de caractère
Si une chaîne de caractère est composée de plusieurs mots, séparés par des espaces, ceux-ci sont comptés comme des caractères.
3 Fonctions Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = 2x + 3. • Cette fonction peut être écrite en Python avec l’instruction def. L’indentation est de 4 espaces ou une tabulation.
Nom de la fonction
• Une fonction peut avoir plusieurs entrées (paramètres) ou aucune. • Plusieurs types de sorties sont possibles :
Entrée
Indentation (décalage)
Deux points (introduit un bloc d’instructions)
Sortie
– Une fonction peut renvoyer un résultat (return), qui pourra être réutilisé (dans une autre fonction par exemple). Cette écriture sera privilégiée car elle permet de faire de la programmation modulaire (découper une tâche complexe en plusieurs tâches simples).
190
9782017100409_.indb 190
20/03/2020 12:49
Méthode Syntaxe :
– Une fonction peut ne pas envoyer de résultat, et, par exemple, se contenter de l’afficher (print). Consigne
Résultat
Écrire une fonction, fonc, qui connaissant deux entiers renvoie leur produit Que renvoie l’instruction fonc (5, −3 ) ? Que renvoie l’instruction fonc (2, 4 ) + fonc ( −1, 3 ) ?
Affichage d’un message d’erreur La fonction renvoie un résultat. En sortie, on obtient un nombre qui peut être utilisé.
Commenter
La fonction ne renvoie pas de résultat. En sortie, on n’obtient qu’un affichage, il ne peut donc pas être utilisé.
IM EN
On peut prévoir plusieurs affichages intermédiaires (print) mais, dans ce cas, seul le résultat renvoyé (return) est réutilisable dans un autre programme.
4 Tests et instructions conditionnelles Égalité
Différence
!
!
==
!=
>=
<=
>
<
Et
Ou
Non
>
<
and
or
not
Un test d’égalité renvoie un booléen (True ou False) : True (vrai) si le test est vérifié et False (faux) si le test ne l’est pas. Deux conditions if … else
Plusieurs conditions if … elif …. else
n est un nombre entier. Si n est un multiple de 2, ajouter 1, sinon ajouter 2.
n est un nombre entier. Si n est un multiple de 2, ajouter 1, sinon si n est un multiple de 3 mais pas de 2, ajouter 2, sinon ajouter 3.
SP ÉC
Une seule condition : if
n est un nombre entier. Si n est un multiple de 2, ajouter 1.
5 Boucles Boucles bornées Compteur • Une boucle est bornée si le nombre d’exécutions des instructions est connu au préalable. Il s’agit d’une boucle pour (for) : Pour … allant de … à … Le compteur (i) va de 0 à n − 1, la boucle s’exécute n fois Exemple : Soit ( Dn ) la suite donnant la masse (en kg) des déchets non recyclés émis par un restaurant en (2018 + n). En 2018, la masse de déchets non recyclés était de 2 350 kg. Le restaurateur souhaite diminuer de 5 % par an la masse de déchets non recyclés. Compléter le script suivant pour qu’à la fin de son exécution la variable D contienne la masse de déchets non recyclés en 2025. 2025 − 2018 = 7 donc le compteur n compte 7 tours de boucles for, donc va de 0 à 6. Diminuer de 5 % c’est multiplier par 0,95. Méthode • Utiliser le langage Python
9782017100409_.indb 191
191
20/03/2020 12:49
Méthode • Utilisation d’un accumulateur : écrire une fonction
fact qui prenant en entrée un entier non nul n renvoie en sortie le produit des entiers allant de 1 à n. Pour cela, on utilise une variable (accumulateur) P qui accumule les produits successifs. i prend les valeurs de 1 à n
Initialisation de l’accumulateur à 1, pas à 0, car ici on fait des produits pas de sommes
Incrémentation de l’accumulateur par produits successifs
Boucles non bornées Une boucle est non bornée si elle s’exécute tant qu’une condition est réalisée. Il s’agit d’une boucle tant que : Tant que ….. alors …….
IM EN
La condition est un booléen, on reste dans la boucle tant que la condition a la valeur True (vrai)
SP ÉC
Exemple : En 2018, la population d’une ville est de 15 000 habitants. Chaque année, la population augmente de 1 000 habitants. Afin de déterminer au bout de combien d’années la population dépassera les 30 000, on propose le script suivant.
Contrairement à la boucle pour (for) où le compteur est automatiquement incrémenté, dans le cas d’une boucle tant que (while) il faut incrémenter le compteur
N est le nombre d’années depuis 2018 N est un compteur U est la population l’année 2018 + N U est un accumulateur Condition
6 Instructions sur une liste Listes en compréhension Une liste est créée en compréhension lorsque les instructions de construction sont données dans la liste elle-même. On se rapproche de l’écriture mathématique des ensembles, mais dans un ensemble, il n’y a pas d’ordre alors que dans une liste, il y a un ordre. Consigne
Action
Résultat
Liste en compréhension sans condition : déterminer la liste des images par la fonction f défine par f ( x ) = 2x − 3 lorsque x prend les valeurs 0 ; 1 ; 3 ou 5. Mathématiquement : { f ( x ) où x ∈{0 ; 1; 3 ; 5}} Liste en compréhension avec condition : déterminer la liste des images positives par la fonction f défine par f ( x ) = 2x − 3 lorsque x prend les valeurs 0 ; 1 ; 3 ou 5. Mathématiquement : { f ( x ) > 0 où x ∈{0 ; 1; 3 ; 5}}
192
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20/03/2020 12:49
Méthode Itérer sur les éléments d’une liste
La variable c prend successivement toutes les valeurs de la liste Consigne
Résultat en itérant sur la liste
Résultat en utilisant une liste en compréhension
Écrire un script qui permette de ne garder que les nombres impairs de la liste {1; 5 ; 8 ; 7 ; 2 ; 5 ; 12 ; 13 ; 15 ; 6}
Dans chaque cas, l’appel de la variable res renverra la liste des résultats souhaités.
7 Bibliothèques ou modules
IM EN
Un module est une sorte de bibliothèque (un regroupement de fonctions prédéfinies) qui une fois importée permet d’accéder à de nouvelles fonctions. Il en existe beaucoup : math, random, matplotlib.pyplot, cmath… Importer un module
Nom du module (bibliothèque) à utiliser
N’appeler que les fonctions du module (bibliothèque) qui seront nécessaires à l’exécution du script
SP ÉC
Importer toutes les fonctionnalités du module
Ajouter un préfixe(alias) devant chaque fonction spécifique du module
Le module (bibliothèque) math Fonction
Signification
log10
Fonction logarithme décimal log (Chapitre 3)
e
Nombre e
log
Fonction logarithme népérien ln
exp
Fonction exponentielle : x ! e x
sqrt
Fonction racine carrée x ! x (Chapitre 5)
pi
Nombre π
cos
Fonction cosinus, d’un angle en radians
sin
Fonction sinus, d’un angle en radians
Utilisation
Méthode • Utiliser le langage Python
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193
20/03/2020 12:49
Méthode Le module (bibliothèque) random Ce module contient des fonctionnalités spécifiques aux scripts utilisant des nombres aléatoires. Fonction
Signification
Utilisation
random()
Renvoie un flottant de [ 0 ; 1[
randint(a, b) où a et b sont des entiers
Renvoie un entier compris entre a et b (les deux valeurs sont incluses)
uniform(a, b) où a et b sont des flottants
Renvoie un flottant de [ a ; b ]
IM EN
Exemple : Simuler une loi de Bernoulli de paramètre p : écrire une fonction Bernoulli qui prend en entrée la valeur du paramètre p, et qui simule la réalisation d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p.
Renvoie True si test ∈[ 0 ; p[ et False si test ∈[ p ; 1[
Le module (bibliothèque) matplotlib.pyplot
• Il
permet de faire du graphisme plan. Les fonctionnalités du module sont précédées du préfixe plt (plt.show, plt.plot, etc.).
Fonction plt.plot plt.grid() plt.axis('equal') plt.scatter
SP ÉC
• Pour visualiser le graphique il peut être nécessaire de cliquer sur l’icône : • L’affichage ne peut se faire que si le script se termine par plt.show().
plt.xscale('log') ou plt.yscale('log')
Signification
Trace des nuages de points ou des courbes représentatives Affiche le quadrillage
Impose un repère orthonormé Affiche un nuage de points
Affiche une échelle logarithmique sur l’axe des abscisses (xscale) ou sur l’axe des ordonnées (yscale)
Exemples : 1. Afficher la courbe représentative de la fonction x ! x 2 pour x allant de −1 à 4.
Liste des abscisses Liste des ordonnées Tracé en noir (k) en tirets (--)
2. Afficher les cinq premiers termes de la suite définie par : un = 1,5n.
Marques (marker) en forme d’étoiles ('*'), de couleur rouge ('r') 194
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20/03/2020 12:49
Méthode 8 Lexique Python Ajouter un élément en fin de liste.
cmath
Module pour les complexes.
count
Compte le nombre d’apparition d’un élément dans une liste.
def
Permet de créer une fonction.
del
Efface un élément d’une liste connaissant son indice.
False
Faux (booléen).
float
Flottant
for
Pour (boucle bornée).
from … import
Permet d’importer un module.
in
Dans.
index
Affiche le rang d’apparition de la première occurrence d’un élément d’une liste.
insert
Insérer un élément donné à une place donnée dans une liste.
int
Entier (ou tronque à l’unité).
len
Longueur (d’une liste ou d’une chaîne de caractères).
list
Liste.
math
Module des fonctionnalités mathématiques de base (sqrt, log10, etc.).
matplotlib.pyplot
Module graphique (plt.show, plt.plot, plt.scatter, etc.).
max
Maximum (d’une liste numérique).
print random remove return sort str
SP ÉC
min
IM EN
append
Minimum (d’une liste numérique).
Afficher (n’est pas réutilisable par la suite). Module des fonctionnalités de l’aléatoire (random, randint, etc.). Effacer la première occurrence d’un élément dans une liste. Renvoie un résultat (s’utilise pour des fonctions : def … return …). Classe une liste dans l’ordre croissant. Chaîne de caractère.
sum
Somme des termes d’une liste numérique.
True
Vrai (booléen).
while
Tant que (boucle non bornée).
Méthode • Utiliser le langage Python
9782017100409_.indb 195
195
20/03/2020 12:49
Méthode Utiliser un tableur 1 Fonctionnalités de base Effectuer un calcul dans une cellule Une formule est toujours précédée du signe =. On entre le calcul dans la cellule de son choix puis on presse Entrée. Repérer les cellules et recopier une formule • Une cellule est repérée par son adresse : C2 signifie colonne C ligne 2. • Pour recopier une formule, on utilise le Copier/Coller ou le Copier/Glisser (en étirant la cellule à l’aide de la poignée de recopie du coin inférieur droit).
Exemples : Tester avec le fichier Tableur1.
IM EN
La recopie d’une formule vers la droite entraîne la modification de la colonne d’une adresse utilisée dans cette formule ; une recopie vers le bas entraîne la modification de la ligne de cette adresse. Pour qu’une adresse de cellule ne soit pas modifiée par recopie, on utilise le symbole $.
SP ÉC
1. On entre =B1*2+5 dans la cellule B2. En recopiant cette formule vers la droite dans la plage de cellules C2:E2 on obtient les formules :
B1 devient C1, puis D1, …
2. On entre =B1*$B$4+5 dans la cellule B2. On recopie cette formule dans les cellules C2 à E2. On obtient :
L’adresse B1 est modifiée par recopie, mais pas l’adresse $B$4. • On dit que B1 est une adresse relative et $B$4 une adresse absolue.
196
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20/03/2020 12:49
Méthode Modifier le format d’affichage des résultats « Format de cellule » (après clic droit) permet de modifier le format d’affichage des nombres des cellules sélectionnées, afin d’afficher des résultats en pourcentage ou en euro par exemple, et de choisir le nombre de décimales. Utiliser la fonction SI La fonction =SI(Condition ; Valeur si vraie ; Valeur si faux) teste la condition spécifiée et renvoie une valeur si elle est vérifiée, une autre valeur si elle ne l’est pas. La formule =SI(B2>25;"Oui";"Non") a été entrée en B3 et recopiée dans les cellules C3 à E3. Elle affiche Oui si le nombre situé dans la cellule au-dessus est supérieur à 25, et Non dans le cas contraire.
2 Pourcentages
Exemple :
IM EN
Utiliser le format de cellule « Pourcentage » Si une cellule est au format Pourcentage, le tableur convertit automatiquement les nombres en pourcentage.
SP ÉC
La ligne 3 est au format Standard. La ligne 3 est au format Pourcentage. En convertissant 0,35 en pourcentage, le tableur affiche 35 %. La valeur enregistrée dans la cellule B3 reste égale à 0,35 et pas à 35. Comme en mathématiques, 35 % = 0,35. Calculer une proportion Avec les effectifs dans les cellules B1 à D1, on effectue le total des effectifs dans la cellule E1 (par exemple) puis on calcule la proportion du premier effectif avec =B1/$E$1 dans la cellule B2 et on recopie cette formule vers la droite.
La ligne 2 est au format Pourcentage. Calculer un taux d’évolution • Pour une évolution d’une valeur par rapport à la précédente, on n’utilise pas le symbole $ afin que le tableur reprenne à chaque fois la valeur précédente. On entre dans la cellule de la nouvelle valeur (ici C3), puis on recopie vers la droite, la formule =(C2–B2)/B2. • Pour une évolution par rapport à une valeur de référence : on utilise le symbole $ afin de bloquer l’adresse de la cellule contenant la valeur de référence. On entre dans la cellule C4, puis on recopie vers la droite, la formule : =(C2–$B$2)/$B$2.
Les lignes 3 et 4 sont au format Pourcentage avec 0 décimale.
Méthode • Utiliser un tableur
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197
20/03/2020 12:49
Méthode Utiliser un tableur 3 Statistiques Représenter un nuage de points On entre les valeurs x i dans une ligne, les valeurs yi dans la ligne suivante. On sélectionne ces valeurs puis on clique sur le bouton « insérer un nuage de points ». Tester avec le fichier Tableur2.
SP ÉC
IM EN
Effectuer un ajustement d’un nuage Un clic droit sur le nuage de points permet d’ajouter une courbe de tendance, ce qui revient à effectuer un ajustement du nuage. On peut choisir entre divers ajustements : exponentielle, affine (appelé linéaire), logarithmique… Une option permet d’afficher l’équation de la courbe.
4 Fonctions
Afficher un tableau de valeurs • On entre la valeur initiale de x dans la cellule B1, puis =B1+1 dans la cellule C1 (on peut remplacer +1 par le pas choisi). On recopie cette formule vers la droite. • On entre ensuite l’expression de la fonction dans la cellule B2 en remplaçant x par B1, et on recopie cette formule vers la droite. Exemple : On étudie la fonction f ( x ) = 5 × 1,2 x .
Tester avec le fichier Tableur3. Tracer la courbe d’une fonction On sélectionne les lignes 1 et 2 puis on insère un graphique du type nuage de points avec courbes lissées.
198
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20/03/2020 12:49
Méthode 5 Suites Calculer les termes d’une suite définie par récurrence On entre le premier terme de la suite dans la cellule B2, la formule de récurrence dans la cellule C2, puis on recopie cette formule vers la droite. • Cas d’une suite arithmétique de raison R : on entre =B2+R dans la cellule C2. • Cas d’une suite géométrique de raison R : on entre =B2*R dans la cellule C2. Exemple : Soit une suite géométrique de terme initial u0 = 20 et de raison R = 1,2.
Tester avec le fichier Tableur4. On obtient la représentation graphique de la suite en sélectionnant les lignes 1 et 2 et en insérant un graphique type nuage de points (sans relier les points).
SP ÉC
Calculer la somme des termes d’une suite On entre =SOMME($B$2:B2) dans la cellule B3 ou =B3+C2 dans la cellule C3. On obtient par recopie vers la droite :
IM EN
Calculer les termes d’une suite définie par une formule explicite On procède comme avec une fonction.
6 Sélection de données
Utiliser la fonction NB.SI La fonction =NB.SI(Plage ; Critère) compte le nombre de cellules vérifiant un critère donné dans la plage de cellules spécifiée. Exemple : La formule =NB.SI(B1:F2;"<1,70") entrée dans la cellule F3 permet d’obtenir le nombre de personnes de moins de 1,70 m. Réaliser un tableau croisé de données sur deux critères On dispose, dans une feuille de calcul automatisée, de données concernant des lots fabriqués dans une unité de production. En voici un extrait ci-contre. Ces données ont été saisies dans le fichier Tableur5. Le bouton « tableau croisé dynamique » du menu « Insertion » permet de regrouper ces données suivant des critères aux choix et d’effectuer divers calculs.
Méthode • Utiliser un tableur
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199
20/03/2020 12:49
Méthode Exemple : • On sélectionne Chaîne de montage comme étiquette de ligne, Pièces produites et Pièces défectueuses. On obtient le nombre total de pièces produites et de pièces défectueuses par chaîne de montage.
SP ÉC
IM EN
Un double-clic sur l’entête d’une colonne permet de modifier les calculs effectués ou d’afficher les résultats en pourcentage par exemple.
• On sélectionne Chaîne de montage comme étiquette de ligne, Pièces défectueuses et Protocole utilisé comme étiquette de colonnes. On obtient le nombre total de pièces défectueuses selon deux critères : la chaîne de montage et le protocole utilisé.
200
9782017100409_.indb 200
20/03/2020 12:49
Corrigés
14 Q1. 1,16 est le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 16 %. Q2. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse 2 de 2 % est égal à : 1− = 0,98. 100 75 ⎛ 3 ⎞ Q3. u9 = ⎜ = × 52 ⎟⎠ 4 ⎝ 4 27 ⎛ 1 3⎞ Q4. v9 = ⎜ = × (3 ) ⎟⎠ 2 ⎝ 2 Q5. 16 ; –32 ; 64.
Chapitre 1 Se préparer 1. a et b
2. a et c
3. a et c
4. b
5. a et b
6. b
Auto-évaluation QCM 1. b et c car un = u0 + nr = 12 − 3n = −3n + 12. 10
5 + 5 + 10 × 2 = 165. 2. a car ∑ v k = 11× 2 k=0
17 La réponse est b et c. 3 6 = 3 et = 2 ≠ 3 donc cette suite ne peut pas être 1 3 géométrique. 3 9 27 81 = = 3 donc cette suite pourrait être b. = = 1 3 9 27 géométrique de raison 3. 81 9 27 3 2 4 c. − = =− = 8 donc cette suite pourrait 27 9 2 −3 − 2 4 3 être géométrique de raison − . 2 8 27 d. = 8 et ≠ 8 donc cette suite ne peut pas être 1 8 géométrique.
a.
3. a et c car wn = −5 × 2n et w3 = −5 × 23 = −40. 4. b et c car x × z = 51. 1 13 1− ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2⎠ ≈ 9,999. 5. a car ∑ x k = 5 × 1 k=0 1− 2 6. a
Vrai ou faux ? 1. Faux : 1,05 × 1,45 ≈ 1,23. 1,05 + 1,45 = 1,25. 2 2 = 0,98. 3. Vrai : 1− 100 4. Vrai.
Exercices
1 Q1. u9 = 8 ( = u7 + 6 )
9 ⎛ 1 1 1 =v + = + ⎞ 14 ⎜⎝ 16 7 2 7 ⎟⎠ 1 Q3. w5 = 6 ⎛⎜ = w11 − 6 × = 8 − 2⎞⎟ ⎝ ⎠ 3
Q2. v17 =
22 a. Pour tout entier naturel n :
SP ÉC
2. Vrai :
IM EN
12
Q4. x7 = 14 ( = x10 − 3 × ( −2)) Q5. 7 ; 10 ; 13.
4 Les cas sont : b et c.
un = 5 × 3 n et u7 = 5 × 37 = 10 935. 1− 3 8 b. S = × 5 = 16 400. 1− 3
1 1 + 5 2 3 = . 34 1. Faux : 2 12 3. Vrai. 5. Faux : 15
∑ xk =
k=0
2. Faux : un = −3 + 5n. 4. Vrai : w10 = 7 − 2 × 10.
x 0 + x15 7 + 7 + 2 × 15 × 16 = × 16 = 352. 2 2
6. Vrai. 7. Faux (il renvoie 4).
37 1. Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de
20 = 1,2. 20 % est : 1+ a. 1− 0 = 0 et 4 − 1 = 3 ≠ 1 100 donc la suite n’est pas arithmétique. Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 15 b. 21− 28 = 14 − 21 = 7 − 14 = 0 − 7 = −7 15 % est : 1+ = 1,15. 100 donc ces termes peuvent être les termes d’une suite arithmétique de raison −7. 2. 1,2 × 1,15 = 1,38 ≈ 1,17 c. 5,6 − 5,2 = 6 − 5,6 = 6,4 − 6 = 6,8 − 6,4 = 0,4 3. L’évolution moyenne est une hausse d’environ 17 %. donc ces termes peuvent être les termes d’une suite 4 arithmétique de raison 0,4. 49 1. Faux : arithmétique de raison 5 000 × = 200. 100 1 1 1 1 2. Faux : ni arithmétique ni géométrique. d. − ≠ − donc la suite n’est pas arithmétique. 3 2 4 3 3. Faux : géométrique de raison 0,9. 10 a. Pour tout entier naturel n, un = 5 + 3n 4. Vrai. 5. Faux : géométrique de raison 1,15. alors u15 = 5 + 3 × 15 = 50. 6. Vrai. u +u 55 b. S = 0 15 × 16 = × 16 = 440. 7. Faux : ni arithmétique ni géométrique. 2 2 Corrigés
9782017100409_.indb 201
201
20/03/2020 12:50
Corrigés
32 1. Faux. 2. Vrai : attention à ne pas confondre avec 0,8 0,5 < 0,8 0,6 qui est faux. 3. Faux : si x ! 2, alors 0,5 x ! 0,52 . 4. Vrai : si x < −1, alors 2 x < 2−1, donc 2 x < 0,5.
Chapitre 2 Se préparer 1. c
2. b
3. b et c
4. c
5. a et c
6. c
35 1. 0 < 0,33 <1 donc f est strictement décroissante sur ℝ.
Auto-évaluation
6
43 a.
= 3 1 ⎛ c. Faux : ⎜ t 3 × 2,2 ⎞⎟ = t 2,4 . ⎝ t ⎠
QCM 1. a et b 4. b
2. b 5. b
3. a 6. a et c
7. a
2. Faux.
Exercices
3. Faux.
1
62 1. En 20 ans, le capital est multiplié par 1,02820 ≈ 1,74, donc il ne double pas. x 2. On doit résoudre l’équation : 1,028 365 = 2. On peut utiliser une calculatrice graphique. Le capital double au bout de 9 162 jours. 3. On doit résoudre l’équation : (1+ t )20 = 2, soit : t = 21/20 − 1 ≈ 0,0353 ≈ 3,53 %.
3 1. Quantité de bactéries initiale : n ( 0 ) = 98 millions. Au bout de 3 heures et demie : n (3,5) ≈ 53,2 millions.
2. Le taux d’évolution horaire du nombre de bactéries est égal à −16 %.
5 Q1. Elle est croissante.
SP ÉC
Q2. Elle est décroissante. Q3. Elle est décroissante. Q4. Elle est décroissante. Q5. f : courbe bleue ; g : courbe rouge ; h : courbe jaune ; k : courbe verte. 2. a.
3. c.
9 Q1. A = 320,4 = 4 ; B =
4. c.
6 94
= 27. Q2. A = 24,5 ; B = 3,51,2 . Q3. A = 58,6 ; B = 1015,3. 2 1,3 Q4. A = ⎛⎜ ⎞⎟ ; B = 1,2−1,7. ⎝ 3⎠ Q5. A = x 10 ; B = a −0,5.
10 a = 2−1,5 ; b = 213,5 ; c=
×(
)
=
23
1 ⎛ 1 − ⎞ b. Vrai : ⎜ 5 2 × 5 3 ⎟ = 5. ⎝ ⎠ d. Vrai.
IM EN
1
2 22
59 .
2. Vrai : quatre hausses de 5 % reviennent à une hausse de 21,55 % environ. 3. On peut accepter les deux réponses, vrai ou faux, si la justification est correcte.
4
Q2. 2,0736 4 = 1,2 ; 125 3 = 5 ; 25−0,5 = 0,2. Q3. Si a x = 10 alors a − x = 0,1. Q4. Taux d’évolution de −7 %. Q5. a. Vrai. b. Vrai.
23
× 253
54 1. Faux : 1,1× 1,5 = 1,65 et 1,3 × 1,3 = 1,69.
1 Q1. 16 0,75 = 8 ; 243 0,2 = 3 ; 27 3 = 81.
8 1. a.
Faux : 53
44 A = 0,32 = 0,09 ; B = 1,25−2 = 0,64 ; C = 3 ; D = 3,5.
Vrai ou faux ? 1. Vrai.
S = [1,8 ; +∞[
2. 0,33 x ! 0,331,8 ⇔ x ! 1,8
× 24
25 = 27 ; d = 2 = 23 . 2
14 Q1. a. x = 5,8321/3 .
b. x = 0,65611/4. Q2. a. 1,05. b. 0,88. c. 1,001. Q3. a. 0,98. b. 1,58. c. 0,995. Q4. 1,033 = 1,092727, ce qui correspond à une hausse de 9,3 %. Q5. c. car 0,9 × 0,8 = 0,72.
18 Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de 38 % est CM = 1,38. x 3 = 1,38 ⇔ x = 1,381/3 ⇔ x ≈ 1,113. L’augmentation annuelle moyenne est donc égale à 11,3 %.
Chapitre 3 Se préparer 1. b
2. b
3. c
4. b
5. b
6. a
Auto-évaluation QCM 1. a
2. b
3. a
4. a et c
5. a
3. Faux.
4. Vrai.
Vrai ou faux ? 1. Vrai.
2. Vrai.
Exercices 1 Q1. x = log (2) Q3. x = log (7,28 ) Q5. log (5) ≈ 0,699
Q2. x = log (3,25). Q4. 10 x = 3
6 Q1. log (25) < log (102)
Q2. 256 = 28 et log (28 ) < log (29 ) d’où log (256 ) < log (29 ) . Q3. log (103,6 ) = 3,6 comme 3,6 < 3,7 alors log (103,6 ) < 3,7. Q4. log ( 0,125) < log ( 0,26 ) Q5. x ! 25 ⇔ log ( x ) ! log (25)
202
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8 a. 23 < 102 ⇔ log (23 ) < log (102 )
Chapitre 4
b. 5 × 10 −3 = 0,005 et comme 0,125 > 0,005 alors log ( 0,125) > log (5 × 10 −3 ).
Se préparer
11 Q1. log ( 6 ) = log (2 × 3 ) = log (2) + log (3 ) log (18 ) = log (2 × 32 ) = log (2) + 2log (3 )
1. D : y = −x + 4.
2. D′ : y =
3. b et c
5. a et c
4. c
3 x − 3. 4 6. b et c
7. a et c
27 log ⎛⎜ ⎞⎟ = log (27 ) − log ( 4 ) = log (33 ) − log (22 ) ⎝ 4⎠ = 3log (3 ) − 2log (2)
Auto-évaluation
Q2. log (10 ) = 1 ; log (10 000 ) = 4 ; log ( 0,001) = −3 ; log (10 −3 ) = −3 ; log (102 × 105 ) = 7 ; log ( 0,001× 0,1) = −4.
1. b 8 2. c car pour tout réel x de ]0 ; +∞[ , g ′ ( x ) = 2 > 0. x 3. b. On a : f (1 000 ) = 4,992 et f (10 000 ) = 4,9992. 4. a car f est croissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ . 5. c. On a : f (1) = −3 et f ′ (1) = 8 donc T1 : y = 8 ( x − 1) − 3 = 8x − 11.
QCM
Q3. Faux, c’est 2 000 × 1,0555. Q4. Vrai car 2 000 × 1,055n = 2 × 2 000 ⇔ 1,055 n = 2. Q5. Faux car
13 a. log (105 ) = 5
Vrai ou faux ? 1 −4 x 3 + 1 1. Vrai : f ′ ( x ) = −4 x + 2 = . 2
x x 1 , h (1) = 1 et h ′ (1) = −1 x donc T1 : y = −1( x − 1) + 1 = −x + 2.
IM EN
1,055n = 2 ⇔ nlog (1,055) = log (2) log (2) ⇔n= . log (1,055)
2. Vrai : si h ( x ) =
b. log (10 −9 ) = −9
1 < −1< 0 x2 donc g est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ . 4. Faux : g ( −100 ) = 99,99, g ( −1 000 ) = 999,999.
⎛ 103 ⎞ ⎛ 10 −2 ⎞ c. log ⎜ −2 ⎟ = log (105 ) = 5 d. log ⎜ −2 ⎟ = log (1) = 0 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
3. Faux. Pour tout réel x de R*, g ′ ( x ) = −1−
2 ×7⎞ 14 = log ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 5 ⎟⎠ ⎝ 5⎠
SP ÉC
24 a. log (2) + log (7 ) − log (5) = log ⎛⎜
3 b. log (3 ) − 2log (5) = log (3 ) − log (52 ) = log ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 25 ⎠ c. log (3 ) + log (7 ) = log (3 × 7 ) = log (21)
⎛ 73 ⎞ d. 3log (7 ) − 7log (3 ) = log (7 3 ) − log (37 ) = log ⎜ 7 ⎟ ⎝3 ⎠ ⎛ 343 ⎞ = log ⎜ ⎝ 2 187 ⎟⎠
Exercices
1 Q2. g ′ ( x ) = 2x + . 7 2 Q3. h ′ ( x ) = −12x 2 + x + 4. 3
1 Q1. f ′ ( x ) = −2
Q4.
f ′( x)
e. log (12) − log ( 4 ) + 2log (3 ) = log (3 × 22 ) − log (22 ) + 2log (3 ) = 3log (3 )
16 480 × 1,065,25
x ⎞ = 15 500 × ⎛⎜ 1+ ⎝ 100 ⎟⎠
4,5
x ⎞ 4,5 16 480 × 1,065,25 = ⎛⎜ 1+ ⎝ 100 ⎟⎠ 15 500 x ⎞ ⎛ 16 480 ⎞ ⇔ log ⎜ × 1,065,25 ⎟ = 4,5log ⎛⎜ 1+ ⎝ 100 ⎟⎠ ⎝ 15 500 ⎠ ⎛ 16 480 ⎞ log ⎜ × 1,065,25 ⎟ ⎝ 15 500 ⎠ x ⎞ ⇔ = log ⎛⎜ 1+ ⎝ 100 ⎟⎠ 4,5 ⎛ log⎛⎜ 16 480 ×1,065,25 ⎞⎟ ⎝ 15 500 ⎠ ⎜ 4,5 10
Donc x = ⎜ ⎜⎝
soit un taux de 8,5 %.
⎞ ⎟ − 1⎟ × 100 ≈ 8,50 ⎟⎠
+
0
+∞
1 −
+
0
f
Q5.
36 On cherche x tel que :
−5
−∞
x
−∞
x f ′( x)
.
+∞
1 +
−
0 2
f
10 Q1. Vrai : l’inverse d’un nombre infiniment grand est un nombre proche de 0. Q2. Faux.
Q3. Faux : lim
x→0 x>0
1 = +∞. x
Q4. Vrai (ce n’est qu’une conjecture). 1 Q5. Faux : lim = −∞. x→0 x x>0
20 1. Pour tout réel x non nul : f ′(x) = 4 −
9 4 x 2 − 9 (2x − 3 ) (2x + 3 ) = = . x2 x2 x2 Corrigés
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203
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Corrigés
Exercices 3 3 et 2x + 3 = 0 ⇔ x = − . 2 2
2 et 3. 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1,5
−∞
x 2x − 3
−
2x + 3
−
f ′( x)
0
+
0 −
+
+
−
0
+
0
3 1.
+
−
Q2. Fenêtre inadaptée. Q3. Non. Q4. Oui.
+∞
1,5
−
1 Q1. a = 0 et b = 3.
+
0
−11
f
13
26 1. Pour tout x de R* : f ′ ( x ) = x + 9,5 −
xi
−2
0
1
3
5
yi
1
−1
−2
5
10
ui = 1/ yi
1
−1
−0,5
0,2
0,1
2.
1 0,5
112,5 x 3 + 9,5x 2 − 112,5 = . x2 x2
−2
0 −0,5 −1
( x + 7,5)( x + 5)( x − 3 ) = ( x + 7,5)( x 2 + 2x − 15) Pour tout x de R* : f ′ ( x ) =
( x + 7,5)( x + 5)( x − 3 ) x2
3. −∞
−7,5
x + 7,5
−
x+5
−
x−3
−
f ′( x)
−
−5 +
0
−
0
− +
0
0
0
3 +
+
+
−
−
0
+
−
−
0
+
−47,625
Q2. La série 3. 5−2 = 1. Q3. Coefficient directeur : 3−0 Équation : y = x + 2. 1 3 Q4. × 3 + 1 = 6 2 1 Q5. Pour l’axe des abscisses, y = 0, soit : 0 = x + 1 et 2 x = −1. D’où les coordonnées ( −1; 0 ) . Pour l’axe des ordonnées, on prend x = 0. D’où les coordonnées ( 0 ; 1) .
+
+
SP ÉC
81
8 1.
38 1. Vrai.
35 30 25 20 15 10 5 0
2. Vrai. 3. Faux : h n’est pas décroissante sur R*. 4. Vrai car h est décroissante sur ]0 ; 1[. 5. Faux, on ne sait pas si x > 0 ou x < 0.
45 1. b.
2. b.
3. c.
4. c.
5. c.
Chapitre 5 Se préparer 1. a
2. b
3. b
4. b
5. c
Auto-évaluation 2. b
3. b
4. a
5. b
Vrai ou faux ? 1. Vrai, même si ce n’est pas toujours pertinent. 2. Faux : voir par exemple l’un des exercices traités. 3. Faux : voir par exemple activité 1 du cours. 1 7 4. Vrai : on obtient y = x + . 3 3
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
2. Par la méthode des moindres carrés, on trouve : y = 4,86x + 11,36. Tout autre ajustement graphique cohérent convient. 3. En 2020, le rang est de 6 : 4,86 × 6 + 11,36 = 40,52, soit une estimation de 40 520 véhicules. 50 − 11,36 . On a 4,86x + 11,36 > 50 pour x > 4,86 50 − 11,36 Et ≈ 7,95. 4,86 On prend comme rang 8, soit l’année 2022.
13 1.
QCM 1. c
4
4 Q1. La série 1.
+∞
+
−47
f
.
2
IM EN
= x 3 + 9,5x 2 − 112,5
x
Q5. Une liste.
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
204
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3 + 5,2 + 11,5 + 7,1+ 9,3 + 17,4 ≈ 8,9 6 9 + 16,1+ 30,3 + 20 + 25,7 + 45,2 ≈ 24,4. et y = 6 Le vendeur a vendu en moyenne 890 kg de fruits et légumes pour un revenu moyen de 24 400 €. 3. Placé sur le graphique.
Exercices
2. x =
21 1.
100 98 96 y = −3,32x + 6 782,8 94 92 90 88 86 84 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
1 Q1. Vrai. Q2. Faux : des événements incompatibles ne sont pas nécessairement contraires. Q3. Vrai. Q4. Faux : P (C ∩ E ) = P (C ) PC ( E ) = 0,45 × 0,3 = 0,135. Q5. Vrai : P ( E ) = P (C ) PC ( E ) + P (C ) PC ( E ) = 0,55 × 0,9 + 0,135 = 0,63.
6 1. 3 7 2 7
2. Par la méthode des moindres carrés, on obtient : y = −3,32x + 6 782,78.
Se préparer 2. b
3. a et c
4. b
5. c
6. c
Auto-évaluation QCM
2 7 N
1. b 2. a, b et c. Il suffit de lire les probabilités dans l’arbre. 3. c car P (M ∩ E ) = P (M) × PM ( E ) = 0,35 × 0,15 = 0,0525. 4. c. Il s’agit de : P (M ∩ E ) = P (M) PM (E ) = 0,65 × 0,95 = 0,6175.
5. a. P (E ) = P (M) PM ( E ) + P (M) PM (E ) = 0,915 grâce à la formule des probabilités totales.
Vrai ou faux ?
1. Faux : PA ( B ) = 1− PA (B ) = 1− 0,68 = 0,32. 2. Faux : PA (B ) = 1− PA ( B ) = 1− 0,4 = 0,6. 3. Faux : P ( A ∩ B ) = P ( A ) PA (B ) = 0,2 × 0,68 = 0,136. 4. Vrai : P (B ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = 0,136 + 0,48 = 0,616.
5. Faux : P (B ) ≠ PA (B ) donc A et B ne sont pas indépendants.
1 3
1 2 1 3
1 6
1 2 1 6
1 3
V N R V N R V N
3 1 2 1 2 1 5 2. × + × + × = 7 3 7 6 7 6 21
9 Q1. Faux : P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ) P (B ) ≠ P ( A ) P (B ) .
SP ÉC
Chapitre 6 1. c
V
IM EN
3. −3,32 × 2012 + 6 782,78 = 102,94. En 2012, l’indice des prix trouvé est 102,94. −3,32 × 2019 + 6 782,78 = 79,7. En 2012, l’indice des prix trouvé est 79,7. 4. L’évolution est de (79,7 − 102,94 ) / 102,94 ≈ −0,2258 soit une évolution d’environ −22,6 %.
R
R
1 3 1 3
1 1 Contre-exemple : P ( A ) = et P (B ) = . 2 2 Q2. Vrai. Q3. Faux : PA (B ) = P (B ) qui n’est pas nécessairement égal à P ( A ) . Q4. Vrai : PA (B ) = P (B ) donc A et B sont indépendants. Q5. Faux.
11 A ∪ B est l’événement certain donc P ( A ∪ B ) = 1. P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) donc P ( A ∩ B ) = 0,2. P ( A ∩ B) PB ( A ) = = 0,4 ≠ P ( A ) P (B ) donc A et B ne sont pas indépendants.
15 1. A
7 10
3 5
1 5
2 5
1 3
A
4 9
B 1 10
C D B
2 9
C D
3 7 21 2. P ( A ∩ B ) = P ( A ) × PA (B ) = × = 5 10 50 3 1 3 P ( A ∩ D ) = P ( A ) × PA (D ) = × = 5 5 25 3 1 2 2 P ( C ) = P ( A ) × PA ( C ) + P ( A ) × PA ( C ) = × + × 5 10 5 9 67 = 450 Corrigés
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205
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Corrigés 21 1. b.
2. a.
3. b.
4. c.
3. Vrai. On réalise 3 épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes, avec une probabilité de succès égale 1 à . 2 4. Faux. Il n’y a pas de remise. Les tirages ne sont pas indépendants.
5. c.
27 1. La probabilité qu’Andrew ne maîtrise aucun des deux 15 14 7 × = = 0,35. 25 24 20 2. a. En notant T : « L’étudiant a préparé l’examen » et R : « L’étudiant a réussi l’examen ». thèmes est :
0,85
T
0,15
0,75 0,25
R
1 Q1. E ( X ) = 0 × 0,3 + 2 × 0,1+ 4 × 0,25 + 10 × 0,35 = 4,7
R
Q2. E ( X ) = 0,4 ⇔ −2 × 0,3 + 0 × 0,4 + 1× 0,2 + x × 0,1 = 0,4 ⇔ −0,4 + 0,1x = 0,4 ⇔ 0,1x = 0,8 ⇔ x = 8 Q3. E ( X ) = −5 × 0,8 + 1× 0,1+ 10 × 0,09 + 100 × 0,01 = −2 L’espérance est négative, le joueur n’a pas intérêt à jouer à ce jeu. Q4. E ( G ) = 0 × 0,25 + 1× 0,25 + 2 × 0,25 + 3 × 0,25 = 1,5 L’espérance de G est 1,5. 1 5 5 5 Q5. 5 × + x × = 0 ⇔ x = − ⇔ x = −1 6 6 6 6 La mise devra être de 1 point.
R
0,15
T
Exercices
0,85
R
b. PR ( T ) =
P (R ∩ T ) ≈ 0,94 P (R )
P A ∩ B ) 0,56 36 1. b. car PA (B ) = ( = = 0,7. P (A) 0,8
IM EN
D’après la formule des probabilités totales : P (R ) = P ( T ) PT (R ) + P ( T ) PT (R ) = 0,675.
2. c. car P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B ) = 0,5 + 0,4 − 0 = 0,9. P ( A ∩ B) 0,3 3 = = = 0,75. P (A) 1− 0,6 4
4. c. car PB ( A ) =
PA (B ) P ( A ) 0,5 × 0,4 = = 0,8. P (B ) 0,25
2 1.
SP ÉC
3. a. car PA (B ) =
5. b. car M = {3 ; 6} et I = {1; 2 ; 3} 1 1 donc P (M) × P ( I ) = et P (M ∩ I ) = . 6 6
38 1. P (R ∩ B ) = P (R ) P (B ) = 0,95 × 0,1 = 0,095
2. P (R ∩ B ) = P (R ) P ( B ) = 0,95 × 0,9 = 0,855 3. Les jours de la semaine étant supposés indépendants les uns des autres, la probabilité que Stéphane soit à l’heure tous les jours de la semaine est égale à 0,8555.
Chapitre 7 2. a et b
3. b
−2
0
3
P ( G = gi )
3 6
2 6
1 6
3 2 1 −3 −1 +0× +3× = = . 6 6 6 6 2 L’espérance est négative, ce jeu n’est pas équitable.
2. E ( G ) = −2 ×
1 1 Q2. n = 6 ; p = . 3 2 Q3. E (Y ) = n × p = 100 × 0,37 = 37
4 Q1. n = 5 ; p = .
2 3 19 Q4. p = 1− ⎛⎜ ⎞⎟ = , ⎝ 3⎠ 27 19 la probabilité de gagner au moins une fois est de . 27 3 2 3 × 12 2 1 10 × 2 80 80 Q5. A = 10 × ⎛⎜ ⎞⎟ × ⎛⎜ ⎞⎟ = . = 5 = 3 2 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 243 3 ×3 3
7 1. a. n = 2 et p = 0,3.
Se préparer 1. c
gi
4. a et c
5. b
6. c
b. X prend les valeurs 0, 1 ou 2. 2. a. S
Auto-évaluation 1. b
0,7
2. b et c
Vrai ou faux ?
3. b
0,7
0,3
QCM 4. a et c 3
5. a
6. b et c
2 1. Faux. La probabilité est : 1− ⎛⎜ ⎞⎟ ≈ 0,704. ⎝ 3⎠ 2. Faux car ⎛ 6⎞ P ( X = 3 ) = ⎜ ⎟ × 0,53 × 0,53 = 20 × 0,56 = 0,3125. ⎝ 3⎠
0,3
E
0,3 0,7
S E S E
b. P ( X = 0 ) = = 0,49 P ( X = 1) = 2 × 0,3 × 0,7 = 0,42 P ( X = 2) = 0,32 = 0,09. 3. E ( X ) = n × p = 2 × 0,3 = 0,6 0,7 2
206
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20/03/2020 12:51
8 Q1. ⎛⎜ 3⎞⎟ = 3
17 1. P ( X = 0 ) = 0,15
⎝ 1⎠ Q2. P ( X = 1) = 3 × 0,2 × 0,82 = 0,384 Q3. P ( X = 0 ) = 0,83 = 0,512 ⎛ 10⎞ ⎛ 10⎞ Q4. ⎜ ⎟ = 1 et ⎜ ⎟ = 10 ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ Q5. P ( X = 0 ) = 0,810 P ( X = 1) = 10 × 0,2 × 0,8 9
9 1.
S 1 6 5 6
E
1 6 5 6
2. a. P ( X ! 2) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2) = 0,45 b. P ( X ! 1) = 1− P ( X = 0 ) = 0,85 3. E ( X ) = 0 × 0,15 + 1× 0,2 + 2 × 0,1+ 3 × 0,25 + 4 × 0,2 + 5 × 0,1 E ( X ) = 2,45.
22 1. La variable aléatoire X suit la loi binomiale de para-
E
1 6 5 6
S E
⎛ 4⎞ Q2. ⎜ ⎟ = 6 ⎝ 2⎠
⎛ 5⎞ Q3. ⎜ ⎟ = 10 ⎝ 3⎠
Q4. 5 10 10 5
1
6 15 20 15 6
1
Q5.
1 1
7 21 35 35 21 7
1
⎛ 7⎞ P ( X = 3 ) = ⎜ ⎟ × 0,253 × 0,754 = 35 × 0,253 × 0,754 ⎝ 3⎠
12 1. a. ⎛⎜ 10⎟⎞ = ⎛⎜ 9⎞⎟ + ⎛⎜ 9⎞⎟ = 84 + 36 = 120 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ 10⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 9⎞ b. ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 126 + 84 = 210 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ 10⎞ ⎛ 9⎞ ⎛ 9 ⎞ c. ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 126 + 126 = 252 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 4 ⎠
⎛ 9⎞ ⎛ 10⎞ ⎛ 9⎞ ⎛ 9⎞ 2. ⎜ ⎟ = 9 ; ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 36 + 9 = 45. ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1⎠
14 E ( X ) = 0 × 0,3 + 10 × 0,1+ 20 × 0,3 + 30 × 0,2 + 40 × 0,1 = 17
⎛ 3⎞ b. ⎜ ⎟ = 3 ⎝ 2⎠
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ 2. ⎜ ⎟ = 1 ; ⎜ ⎟ = 3 ; ⎜ ⎟ = 3 ; ⎜ ⎟ = 1. ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠
28 ⎛⎜ 6⎞⎟ = 15 et ⎛⎜ 6⎞⎟ = 20. ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠
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1
26 1. a. Il y a 3 chemins à 2 succès.
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2. a. « Aucun succès » : un seul chemin. b. « Un seul succès » : exactement deux chemins. c. « Deux succès » : un seul chemin. ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 3. ⎜ ⎟ = 1 ; ⎜ ⎟ = 2 ; ⎜ ⎟ = 1. ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 0⎠
11 Q1. ⎛⎜ 4 ⎟⎞ = 4 ⎝ 1⎠
mètres n = 2 et p = 0,63. 2. a. P ( X = 0 ) = 0,37 2 = 0,1369. La probabilité qu’on n’ait aucun « Pour » est de 0,1369. b. P ( X = 1) = 2 × 0,63 × 0,37 = 0,4662 La probabilité qu’on ait exactement un « Pour » est de 0,4662. 3. P ( X ! 1) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) = 0,1369 + 0,4662 = 0,6031. La probabilité qu’on ait au plus un « Pour » est de 0,6031.
S
⎛ 6⎞ a. P ( X = 2) = ⎜ ⎟ × 0,4 2 × 0,6 4 = 15 × 0,4 2 × 0,6 4 ⎝ 2⎠ = 0,31104 ⎛ 6⎞ b. P ( X = 3 ) = ⎜ ⎟ × 0,4 3 × 0,63 = 20 × 0,4 3 × 0,63 ⎝ 3⎠ = 0,27648
37 1. a. Y suit une loi binomiale de paramètres n = 8 et p = 0,32. b. E (Y ) = n × p = 8 × 0,32 = 2,56 2. a. Ligne 8 : 1
8 28 56 70 56 28 8
1
⎛ 8⎞ b. ⎜ ⎟ = 56 ⎝ 3⎠
⎛ 8⎞ 3. P (Y = 3 ) = ⎜ ⎟ × 0,323 × 0,685 = 56 × 0,323 × 0,685 ⎝ 3⎠ ≈ 0,2668 4. a. P (Y = 0 ) = 0,68 8 ≈ 0,0457 ; P (Y = 1) = 8 × 0,32 × 0,687 ≈ 0,1721. b. P (Y ! 1) = P (Y = 0 ) + P (Y = 1) ≈ 0,0457 + 0,1721 P (Y ! 1) ≈ 0,2178 c. P (Y ! 2) = 1− P (Y ! 1) ≈ 1− 0,2178 ≈ 0,7822
Corrigés
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