Forstandens slibesten by Hans Christian Hansen

Papers from DCN No 16

January 2002

Fra forstandens slibesten til borgerens vĂŚrktĂ¸j regning og matematik i folkets skole 1739-1958 af H.C. Hansen Aalborg Seminarium Januar 2002

Fra forstandens slibesten til borgernes værktøj – regning og matematik i folkets skole 1739-1958 Af H.C. Hansen, Aalborg Seminarium, januar 2002

Papers from DCN No 16 ISSN: 1399-1795 ISBN: 87-91131-04-9

Publisher: DCN Dansk Center for Naturvidenskabsdidaktik Aalborg Universitet. Denmark. Printed by: UNI.PRINT, Aalborg Universitet

Distribution: Dansk Center for Naturvidenskabsdidaktik Fredrik Bajers Vej 7B DK - 9220 Aalborg East, Denmark Tel.: (+45) 9635 9780 Fax: (+45) 9815 6542 E-mail: natdidak@dcn.auc.dk http://www.dcn.auc.dk

Editor and Editorial Board: Editor: H. C. Hansen Director, dr.scient DCN

Editorial Board: Professor Ole Skovsmose Associate Professor Birthe Lund DCN

Information to Authors: Articles for publication in the DCN series should be in Danish, Swedish, Norwegian or English. Manuscripts should be sent in a single paper copy or via email to DCN. All margins should be 2,54 cm, with a binding margin of 1 cm. Larger papers and reports of 20 or more pages will be printed in A4, and should be written in 12 points. Smaller papers will be printed in A5, and should be written in 14 points.

Forord

Dette arbejde over folkeskolematematikkens historie er blevet udført over de sidste to år, hvor jeg var leder af Dansk Center for Naturvidenskabsdidaktik (DCN), mens jeg havde orlov fra Aalborg Seminarium. Tanken om at vi burde få skrevet historien om matematikundervisningen på alle niveauer i 1900-tallet blev fostret af den danske WMY2000-komite i forbindelse med planlægningen af Unesco’s Matematikverdensår. I januar 2000 havde så mange interesserede forfattere meldt sig, at projektet med at skrive matematikundervisningshistorien fra 1. klasse til universitetet og voksenuddannelserne kunne igangsættes ved et møde på DTU. For øjeblikket er vi et team på 10 forfattere, der har sat sig som mål at udgive en samlet fremstilling af matematikundervisningen i 1900-tallet, inden vi i sommeren 2004, afholder ICME-10, verdenskongressen om matematikundervisning, i København. Jeg har været en af de mere privilegerede af forfatterne, idet arbejdet som leder af DCN i perioder gav mig tid til studier af folkeskolematematikken 1900-1957, der er mit særlige ansvarsområde i forfatterteamet. Derfor har jeg allerede nu et foreløbigt manuskript klar. Det skal senere koordineres med bidragene fra de øvrige forfattere, og det skal forkortes en del, før det kan indgå i den samlede fremstilling. Når jeg ønsker at udgive mit arbejde nu, så skyldes det kun i mindre grad, at det er naturligt som et led i den almindelige afrapportering af landsnetværket DCN. Det afgørende har været, at matematik på seminarierne efter den nye læreruddannelse har ”Skolefagets begrundelse… og historiske udvikling” som et centralt kundskabsområde. Og der findes faktisk ikke dokumenterede fremstillinger af folkeskolefagets historiske udvikling før skoleloven af 1958 og ”Den ny Matematik” i 1960’erne. Det har haft den beklagelige bivirkning, at der er en udbredt opfattelse af, at matematikog regneundervisningen i første halvdel af 1900-tallet har været ”traditionel” eller ”tankpasserpædagogik”. Og det er en sandhed med store modifikationer, som det vil fremgå af dette skrift. Ja, man kan vel sige, at de fleste grundlæggende matematik-didaktiske temaer har været grundigt belyst og gennemdiskuteret allerede i de første årtier af 1900-tallet. Så skønt der skal mere forskning til, før den helt dækkende historie kan skrives om skolematematikken i første halvdel af 1900-tallet, har jeg følt mig tilskyndet til at udgive mit bud allerede nu. Og da regneundervisningen før 1900 også savner beskrivelse, har jeg tilføjet et længere kapitel om regneundervisning fra 1739 til 1900. Skriftet vil bl.a. blive sendt til alle mine matematikkolleger rundt om på landets seminarier. Det er nok for omfattende til direkte at blive brugt i undervisningen, men jeg håber, at det kan informere og inspirere seminarielærerne. En kortere udgave henvendt til lærerstuderende vil indgå i en fagdidaktik i serien ”Matematik i læreruddannelsen”, der udsendes på Gyldendal i sommeren 2002. Undervejs i arbejdet har jeg nydt godt af diskussioner med hele forfatterteamet, ikke mindst fra resten af forfattergruppen omkring folkeskole og seminarier: tidligere fagkonsulent Ole Haahr og tidligere rektor Hans Nygaard Jensen samt fra universitetsgruppen, lektor Ole G. Jørsboe, der mindst af alle har noget ansvar for de restende kiks mellem forskellige tiders retskrivning. Mellem møderne i forfatterteamet har jeg nydt godt af interesse og løbende kommentarer fra kolleger på DCN: professor Ole Skovsmose og ph.d.-studerende og medlem af forfatterteamet Lene Østergaard Johansen samt fra min kollega lektor Per Nytrup på Aalborg Seminarium. Jeg har haft megen glæde af Marianne Holmers gennemlæsning af det færdige

iii

manuskript. DCN’s fuldmægtig Anne-Marie Petersen har som altid været og forlægger på skriftserien med professionel bistand fra Bente Vestergaard, hvad angår layout og korrekturlæsning. Endelig en tak til DCN’s formand, dekan Finn Kjærsdam, der stillede mig frit med hensyn til, hvad jeg ville bruge min forskningstid til og DCN’s kursuslektor (og nuværende leder) Birthe Lund, hvis ansættelse i august 2000 i det hele taget gav mig noget rum til forskning.

H.C. Hansen Hasseris November 2001

INDHOLDSFORTEGNELSE FORORD

INDLEDNING

1: REGNEFAGET FØR 1900

REGNEFAGETS START REGNING EFTER 1814 SCHNEEKLOTHS REGNEPÆDAGOGIK CHR. HANSEN S REGNEBØGER HANSENS KONKURRENTER ANSKUELSESMATERIALERNES HISTORIE I 1800-TALLET MATEMATIK I FOLKETS SKOLE? Matematik i latinskolen til 1800 Skolematematik i Oplysningstiden

2: OPTAKT TIL ALMENSKOLELOVEN AF 1903 FOLKESKOLEN LÆRD SKOLE OG REALSKOLE TANKEN OM ENHEDSSKOLEN ALMENSKOLELOVEN GENNEMFØRES 1903

6 10 13 19 21 23 26 26 28

32 33 34 37 38

3: DEBATTEN OM MATEMATIK I MELLEMSKOLEN OMKRING 1903 H VILKEN MATEMATIK I MELLEMSKOLEN ? BELYSNING FRA GYMNASIE- OG UNIVERSITETSSIDEN BELYSNING FRA FOLKESKOLE- OG SEMINARIESIDEN H VORDAN KAN MATEMATIK UDVIKLE FORSTANDEN? DET EUKLIDISKE IDEAL UDMØNTNINGEN AF IDEALET I JUELS ARITMETIK EUKLIDISK ELLER ANSKUELIG GEOMETRI?

4: REGNEUNDERVISNINGEN I FOLKESKOLEN 1900-1920 KLØFTEN MELLEM TEORI OG PRAKSIS DET STYRSKE C IRKULÆRE SITUATIONEN 1905 DEN FØRSTE MODERNE REGNEBOG FOR BØRN FORMÅLET IFØLGE EN AUTORITATIV HÅNDBOG BØRNS LÆRING I REGNING REGNEMETODIK OG KLASSEUNDERVISNING UDBYTTET AF REGNEUNDERVISNINGEN ”SINKERNE” LÆNGSEL TILBAGE TIL CHR. HANSENS SYSTEM I TINGENE LAD OS FÅ ”SLET = -23” TILBAGE

5: FÆRDIGHEDSBØLGEN, REGNING I GRUNDSKOLEN 1920-37 FRA 1920’ERNE: VÆGTNING AF FÆRDIGHEDER FORSKERNES KRITIK AF FORMALDANNELSEN REGNELÆRERNES BUD PÅ ÆNDRINGER DEN ”NY” REGNING OG REFORMPÆDAGOGIKKEN DEN NY REGNEBOG VED FRIIS-P ETERSEN M. FL. KARAKTERISTIKA VED D EN NY R EGNEBOG Anskuelsen som udgangspunkt Koncentrisk organisering af stoffet Brøker som eksempel

41 41 41 44 46 48 51 54

60 60 62 64 65 68 70 72 73 75 76 78

79 79 80 82 84 86 87 89 90 91

S YSTEMET FOR LANDSBYSKOLEN BØRNENES NY R EGNEBOG ARVIN OG NYE REGNEMATERIA LER L YKKEDES FÆRDIGHEDSFOKUSERINGEN ? WINNETKATEKNIKKEN OG GRUPPEARBEJDE

93 94 97 99 101

6. ERFARINGS- OG VIRKELIGHEDSGEOMETRI ANSKUELSESGEOMETRIENS FORHISTORIE OG STATUS ANNO 1900 ERFARINGSMETODEN I GEOMETRIUNDERVISNINGEN KRITIK AF DET EUKLIDISKE IDEAL OG DETS ROLLE I DEN LOGISKE SKOLING BONNESENS GEOMETRI AFPRØVET HJELMSLEVS VIRKELIGHEDSGEOMETRI HJELMSLEVS KONSTRUKTION AF EN EUKLIDISK GEOMETRI VIRKELIGHEDSGEOMETRIENS BETYDNING FOR SKOLEN 1930-58 EN REALISTISK GEOMETRIUNDERVISNING

7. ARITMETIK OG REGNING I MELLEMSKOLEN, 1903-58 TIDLIGE FORSØG PÅ FUSION ARITMETIKKENS GRUNDLA G Addendernes Orden skal være ligegyldig ARITMETIKKENS UDVIKLI NG TIL 1935 REGNING I M ELLEMSKOLEN TIL 1935 EN AUTORITATIV REGNEDIDAKTIK 1924 Er radikalt anskuelighedskrav Koncentrisk stofbehandling Sammentænkning af regning og aritmetik Færdighed Tilnærmet regning 1935: EN MERE REALISTISK UNDERVISNING ER MELLEMSKOLEKSAMEN FOR LET?

106 106 109 111 113 114 117 118 121

126 126 127 129 129 131 135 136 137 137 138 139 140 142

8. DEN FRIE MELLEMSKOLE

144

GULDFUGL ELLER GØGEUN GE? FORGÆVES REFORMFORSØG I 1920’ERNE DEN FRIE MELLEMSKOLE 1937 MATEMATIKKENS MULIGE ROLLE I DEN FRI MELLEM DAGLIGLIVETS REGNING DEN UNGE PIGES REGNEBOG DEN FRIE MELLEMS SKÆBNE Kort om skolens strukturudvikling efter 1958

145 148 150 151 153 156 158 159

9. REAL- OG PRÆLIMINÆREKSAMEN 1903-1958

162

EN GAMMEL REALSKOLES OVERGANG TIL MELLEM- OG REALSKOLE KRAVENE TIL REALEKSAMEN OG PRÆLIMINÆREKSAMEN Realeksamen januar 1910 Almindelig forberedelseseksamen Januar 1910 Realeksamen juni 1910 EKSAMEN BLIVER FORUDSEELIG OG LETTERE REFORMER I 1935 DE ANDRE ”REALEKSAMINER” EFTER 1935 BRUG AF LÆREBØGER GENNEM ET HALVT ÅRHUNDREDE Kolding latin- og realskole med grundskole

162 163 165 165 166 167 169 171 172 172

10. LØB TANKENS SLIBESTEN TØR? FORFATTERENS INDLEDNING TALEN OM FORMALDANNELSE FORSTUMMEDE OMKRING 1920 NOGLE FORSVAR FOR MATEMATIK SOM FORMAL DA NNELSE I 1930’ERNE DEN SIDELØBENDE UDVIKLING I E NGLAND, USA OG TYSKLAND KLAFKIS OMDEFINERING AF FORMALDANNELSESBEGREBET FORMALDANNELSE I LOVEN AF 1958 OG DEN NY MATEMATIK LEVER FORMALDANNELSESTANKEN ENDNU ?

LITTERATUR OG KILDER

174 174 174 176 178 180 182 184

188

BØGER LOVE, ANORDNINGER, BEKENDTGØRELSER, BETÆNKNINGER OG OFFICIELLE VEJLEDNINGER

TIDSSKRIFTARTIKLER SKOLEBØGER OG ANMELDELSER

PERSONREGISTER

188 189 189 190 194

200

vii

Indledning Vi har hjemmeservice en time om ugen, og vores servicearbejder har i kampen for at gøre rent mellem papirdyngerne på mit kontor ikke kunnet undgå at bemærke, at jeg arbejdede med regnefagets historie. Hans første spontane reaktion var: ”Gud, hvor kedeligt”. Denne reaktion er måske eksemplarisk og kan forklare, hvorfor regnefagets historie er så sparsomt beskrevet. Historieskrivning er jo en huma nistisk aktivitet, og af alle vinkler man kan lægge ned over skolens historie, af alle emner man kunne tage op, er regning måske ikke det mest tillokkende for en humanist. Og skønt regning og skolematematik i en vis forstand er elementære og velafgrænsede vidensområder i forhold til så mange andre skolefag har humanister ofte en slags respekt for fagene, der bidrager til at holde dem på afstand. 1 Da Danmarks Lærerforening i anledning af 150-året for Skoleloven af 1814 udgav ”Af landsbyskolens saga” (245 sider), blev der da plads til fire sider om regnebogens historie. Men selv på så begrænset plads synes overbibliotekar Poul Müller dog, at han måtte vedgå, at han ikke var regnespecialist – uden noget lignende forbehold over for dansk og religion, som han skriver langt mere om. I den lige så store bog ”Skolebøger i 200 år”2 holder historikeren Palle Lauring sig til 1½ side om regnebøger. Derfor har historieskrivningen for regning-matematik stort set været en opgave for matematiklærere og -studerende med de særlige briller, som de måske ser verden med. Med det nære forhold mellem universitet og gymnasium har det især været gymnasiummatematikken, der har været behandlet. På det område er det endda blevet til en enkelt doktorafhandling i 1896 af adjunkt ved Odense Katedralskole, S.A. Christensen. Titlen til trods, drejer ”Matematikkens Udvikling i Danmark og Norge i det 18. Aarhundrede” sig først og fremmest drejer sig om matematikundervisning på latinskoler og universitetet, men der er også lidt om borgerskoler. Historien for gymnasiefagets vedkommende fortsættes i 1927 af matematikeren Fr. Fabricius-Bjerre med pædagogikums opgaven ”Matematikkens stilling i den højere skole fra 1850 til vore dage”. Aspekter af den nyere historie er behandlet i specialeopgaver som Helle Pilemann: ”Retorik eller realitet? Anvendelser af matematik i gymnasiets matematikundervisning i perioden 1903-88”.3 Jeg har ikke kunnet opspore tilsvarende sammenhængende dokumenterede fremstillinger af historien om regning og matematik i folkeskolen. I læreruddannelsen har vi siden 1970 haft stor glæde af en snes sider om ”Skiftende synspunkter for faglig målsætning” 4 i Håndbog i Regning som det mest velegnede materiale til at dække folkeskolefagets historie op til 1958. Heri fremsættes de vigtige teser om en formaldannelsesperiode 1900-1920 og en færdighedsperiode 1920-40, dog uden dokumentation. En kortere men nyere fremstilling gives af Tage Werner med ”Matematik – fra taltræning til problemløsning” i Vagn Oluf Nielsen: Skolefag i 100 år, 1995. Det står bedre til med perioden 1958-70, hvor ”Den ny Matematik” og reaktionerne på den fremkaldte et behov for en samtidshistorie med tilbageblik, hvilket resulterede i

Undtagelsen, der bekræfter reglen, er skolehistorikeren, professor Gunhild Nissen (RUC), der omkring 1990 var primus motor i det humanistiske forskningsråds femårsprojekt ”Matematikundervisning og demokrati”, hvor jeg selv havde den fornøjelse at deltage, i øvrigt som den eneste med en historisk tilgang til ”matematik og demokrati” (se Nissen 1994). 2 Skovgaard-Petersen (red) 1970 3 IMFUFA-tekst nr. 325 1996 (vejleder Mogens Niss) 4 Bollerslev, Peter og Kristian Skaarup: Håndbog i Regning 1, Gyldendal 1970, s. 12-33.

udgivelser som ”Den ny matematik i Danmark” 5 og oversigtsartikler som Eva Rønn (1986): ”Matematikundervisningen i folkeskolen 1958-1975”. Tiden siden 1970 ligger stadig som levende minde hos mange aktive lærere, men det gør det kun endnu vigtigere at få denne historie skrevet, mens der endnu er mulighed for at interviewe nøglepersoner som lærere og elever. Jeg vil derfor konkludere, at der er et stort behov for at få skrevet historien om regning og matematik i folkeskolen. Og behovet er lige så stort for mange af de andre uddannelsesniveauer, som systemet nu har forgrenet sig i. Endelig er vi altså nogen, der synes, at det også kunne være lærerigt at skrive historien på tværs af institutionerne. Den sidste, der prøvede på dette, var professor Poul Heegaard i sin rapport6 til ICMI, den internationale matematikundervisnings-kommission, i 1912. Skønt Heegaard egentlige opgave var at skrive en samtidsberetning om den totale matematikundervisning i Danmark, undlader han dog ikke at trække trådene langt tilbage i tiden. Min ambition med nærværende arbejde var i udgangspunktet at beskrive udviklingen af fagene regning og matematik i folkeskolen fra 1900 til 1958, det vil sige fra det Styhr’ske cirkulære og mellemskolens indførelse til Skoleloven af 1958 og mellemskolens nedlæggelse. Men det blev dog snart klart, at jeg var nødt til at tage en del forhistorie med for bevare udviklingsperspektivet, først tilbage til Skoleloven af 1814, da den på mange måder regulerede grundskolen helt frem til loven af 1937. Og da den dominerende regnebog i 1814 var Cramers, der udkom i 1735, blev historien rykket endnu længere tilbage. Jeg har dog begrænset mig til et enkelt kapitel om historien om regning før 1900. Mit arbejde med dette over de sidste to år har ikke været styret af bevidste teorier. Jeg har sat lid til, at mine mange år som matematiklærer på forskellige niveauer, lærebogsforfatter, matematiker og ikke mindst seminarielærer, gjorde mig til en god klangbund for, hvad der måtte være vigtigt at få med i historien. Så meget mere som målgruppen ikke mindst er andre seminarielærere og lærerstuderende. Hvis noget fik klangbunden til at gå i resonans, hvis jeg f.eks. fik lyst til at gå i dialog med nogle af mine længst afdøde kolleger efter læsning af, hvad de havde skrevet, så har jeg taget det med. Eller hvis jeg tænkte, at dette kunne være godt at fortælle videre og få dialog om i en time på seminariet. En sådan udvælgelsesteknik kunne snart resultere i en enorm bog. Så jeg valgte to tidsskrifter, der udkom gennem næsten alle de betragtede år: Vor Ungdom og Matematisk Tidsskrift A. ”Vor Ungdom” dækker bredt den pædagogiske debat om børn og unge. Det var således i mange år kun her, man kunne læse Det Pædagogiske Selskabs årsberetning. Og Vor Ungdom er klart hovedkilden til debatten om skolereformerne – ikke mindst hele debatten omkring indførelsen af mellemskolen i 1903 og den frie mellemskole i 1937. Alligevel var ”Vor Ungdom” ikke så alment orienteret, at man ikke også kunne have en fagdidaktisk debat omkring matematik og regneundervisníng. Matematisk Tidsskrift A dækker den fagdidaktiske debat omkring matematik på alle niveauer uden dog at gå helt ned i den elementære regneundervisning i grundskolen. Jeg forestillede mig, at de to tidsskrifter tilsammen kunne fortælle mig en historie, der ikke overså markante udviklinger. 7 På baggrund af indholdsfortegnelserne udvalgte og kopierede 5

Bollerslev, Peter (red): Den ny matematik i Danmark – en essaysamling, 1979. Se Heegaard (1912) 7 Havde jeg haft mere tid, ville jeg have fulgt dette op med at læse udvalgte år af ”Folkeskolen” og ”Den Danske Realskole” – ikke for at gøre historien mere fyldig, men for at se om noget her fik mig til at ændre på historien. 6

jeg alt, hvad der ved en overfladisk betragtning kunne være relevant for historien om matematik og regning i folkeskolen til og med realeksamen. På dette materiale byggede jeg skelettet til historien op. I næste fase fulgte jeg disse tidsskrifters anmeldelser af skolebøger til at udvælge nogle til nærmere undersøgelse. Her gik jeg især efter de bøger, der markerede en ny tendens. Så sommetider omtaler jeg bøger, der måske ikke fik den store gennemslagskraft i skolen, men som dog kom med væsentligt nyt i indhold eller metode. Gennem besøg på Danmarks Pædagogiske Bibliotek (Magasinet) opdagede jeg, hvor dominerende enkelte systemer med mange udgaver var på hylderne. Disse bøger har også fået en særlig grundig behandling. Som resultat af dette arbejde opstod noget teori – ikke den store sammenhængende teori, men nogle begreber, der kunne fungere som en hat for kompleksiteten i visse tidsperioder. Nogle af disse begreber er lånt fra andre som ”formaldannelsesperioden” og ”færdighedsperioden” i den danske regneundervisning. Andre materialiserede sig selv ud fra materialet: det euklidiske ideal, anskuelses- og virkelighedsgeometri, ”opdagermetoden” og den ”ny” regning. Jeg var længe i tvivl om det rette ord for udviklingen i regning og matematik fra 1937 til 1958, men endte med at kalde den for ”realistisk”. Dette refererer ikke til ordets filosofiske betydning, men til den dagligdags betydning, idet ”realistisk” kan dække både over det stærke anvendelsespræg, der kom over undervisningen og over, at man blev mere realistisk i forhold til hvad børn faktisk kunne kapere af stof. Med et ord kan således de to mest karakteristiske elementer for udviklingen fanges ind. Arbejdet resulterede også i teori på den negative måde, at jeg blev klar over, at nogle af de begreber, vi naturligt bruger om undervisningens historie, kan være farlige eller misvisende at bruge. Således har jeg bestræbt mig for ikke at bruge begrebet ”traditionel undervisning”, fordi det forsimpler fortiden på en måde, der ikke er belæg for. Jeg er nået til det standpunkt, at hvis man endelig vil bruge ordet, så skal det snarere være til at karakterisere dele af undervisningen til enhver tid frem for at karakterisere undervisningen i en bestemt periode i fortiden. Dette støttes også af min erfaring som seminarielærer siden 1972. På et hold nye lærerstuderende er der altid flere, der refererer til traditionel regneundervisning, som den de selv fik i skolen, og hvis begrebet skulle karakterisere en historisk periode, så halter logikken et eller andet sted. Jeg bruger enkelte gange ”traditionel undervisning” om tiden før 1840’erne, men det skyldes måske mest, at jeg ikke kender nuancerne så godt så langt tilbage i tiden. Det er så at sige lige som med Middelalderen. Jo mere historieforskningen gravede frem fra Middelalderen, desto mindre ”mørk” blev den, og desto mere nuanceret blev man nødt til at udtrykke sig omkring Middelalderen. Først sent i arbejdet har jeg læst en del almene pædagogiske og skolehistoriske afhandlinger og sekundær litteratur for at få rammerne i orden og eventuelle nye perspektiver frem. Jeg har søgt efter andre landes faghistorier. Det gjorde det klart for mig, i hvor stort omfang vores udvikling får inspiration fra Preussen/Tyskland helt op i 1900-tallet, samt at vi har gennemgået nogle af de samme faser som i England. Jeg har dog ikke haft ambition om i større omfang at kortlægge, hvorfra vi fik vores ideer.8 Det har mere drejet sig om at få forståelse for og ord på nogle af udviklingstendenserne i Danmark ud fra tilsvarende udenlandske erfaringer. 8

Der er den uheldige tradition blandt lærebogsforfattere (inklusive mig selv), ikke mindst i regning og matematik, at man ikke skriver et kuk om sine kilder. Det er faktisk en platonisk arrogance at bilde nogen ind, at man har en direkte kanal til de evige ideers verden – uden nogen mellemmænd.

Den virkelige vanskelighed ved at skrive om undervisningens historie er børnene. Hvordan belyser vi resultatet af det, som politikerne, embedsmændene, pædagogerne og lærebogsforfatterne, ofte med stort engagement, har sat i værk i en given tid. Vi kan være heldige at have nogle beskrivelser fra menige lærere om undervisningen og livet i skolen, men hvordan oplevede eleverne det, og hvad fik de ud af det? Det er jo i sidste ende, det eneste der tæller, og bortset fra resultater af eksamener og prøver, er der så få kilder, der kan fortælle os noget om det. Og kilderne 9 bliver endnu færre, når det drejer sig om et enkelt fag. Regning/matematik er ikke det fag, der skrives de klareste erindringsbilleder om, og episoder med regnelærere drejer sig naturligt nok om personen, pædagogen og ikke om læreren som fagmand og fagdidaktiker, som i denne erindring fra 1960’erne: ”Regnetimer oplever jeg som et nødvendigt onde. Jeg sidder og sveder nervøst, bange for at dumme mig. Jeg har svært ved at forstå de matematiske begreber, og af skræk for kammeraternes hån og lærerens opgivende hovedrysten tier jeg oftest med min usikkerhed. Nu skal vi have den nye lærer, og i al hemmelighed håber jeg, at han vil kunne lære mig at regne. Timerne tilrettelægges ganske vist på samme måde som alle de foregående matematiktimer, men alligevel rummer de en forskel. Første del af timen består af hovedregning, hvor vi mundtligt skal regne et stykke fra bogen efter tur. Som sædvanlig regner jeg på forhånd ud hvilket stykke, der bliver mit, og gør mig klar. Min tur kommer. Jeg klarer det rimeligt og indkasserer et anerkendende smil. Turen går videre til Jørgen, der er ekstremt dårlig til regning og tilligemed en rod, pjækker meget og egentlig hellere vil ud af fiske sammen med sin far. Jørgen bliver bedt om at regne et stykke. Han forstår ikke stykket. Hr. Pedersen forklarer, men stadig udebliver forståelsen. Så konverterer Pedersen stykket til at handle om salg af fisk. Et lys tændes i øjnene på eleven, og han regner uden problemer næste stykke, som ligeledes bliver oversat til at handle om fisk. Klassen jubler, der er morsomt, at Jørgen kan regne alt, når det bare drejer sig om fisk. Med sædvanlig værdighed maner Pedersen til ro, og timen går videre. Sidste del af timen bliver nyt stof gennemgået med henblik på de næste hjemmeopgaver. Jeg forstår ikke problematikken. Idet jeg skæver over mod vinduerne, hvor Anette og Elsebeth sidder og skriver breve til drengene bagved, stikker jeg forsigtigt en finger i vejret. Læreren spørger mig, hvori mit problem ligger. Da jeg ikke er i stand til at konkretisere det, tager han forklaringen en gang til, idet han denne gang prøver en anden metode. Spørger om det hjalp. Jeg ser fortvivlet på ham og nikker, men Pedersen gennemskuer mig og siger, at kun de dumme holder op med at spørge til de forstår det…..I de følgende regnetimer udvikler jeg mig til den nok mest spørgende elev i klassen. Jeg lærer at lade hånt om mine kammeraters stønnen, som så langsomt aftager. Regning er stadig vanskelig, men jeg begynder at opleve en glæde ved at tumle med problemer. Jo vanskeligere des sjovere”.10 Når en sådan erindring kan være vanskelig at bruge til historisk dokumentation, skyldes det ikke blot, at vore erindringer konstrueres her og nu – og farves af vort liv og erfaringer siden hændelsen. Den her betragtede erindring er faktisk tidløs, som fx skildringen af barnets usikkerhed og frygt for at blive til grin kammeraternes øjne. Og den anvendte lærebog behøver ikke være 9

Det gælder således, når man gennemlæser samlinger af erindringer som forfattererindringerne i Elbrønd-Bek, Bo og Hans Vejleskov (red): Husker du vor skoletid?, 1988 eller Pedersen, Ole (red): Derfra vor verden går – Skoleminder gennem 60 år, KVAN 2001. 10 Astrid Bjørnø Hansen: Verden er udenfor, kapitel 16 i Ole Pedersen (2001), her side 249f.

karakteristisk for 60’erne. Noget kunne tyde på, at den var 30. oplag af en halvhundrede år gammel regnebog. Den anskuelige regnepædagogik var allerede stærkt fremhævet af undervisningsministeriet og pædagoger omkring 1900, men heller ikke ukendt år 1800. I sidste ende er det en erindring om en sympatisk og pædagogisk lærerpersonlighed, der sandsynligvis var mere udbredt i 1960’erne end i år 1900, men det ved vi faktisk heller ikke med sikkerhed. Erindringen er imidlertid et stærkt argument for dialog og gensidige forsøg på forståelse mellem lærer og elev. Jeg har fundet og medtaget enkelte sådanne erindringer om undervisning. Ikke så meget for deres historiske kildeværdi, men fordi de kan minde mig selv og læseren om det væsentlige. Ingen nok så store pædagogiske filosofier, revolutionerende lærebøger, superpædagoger eller bevillinger til computere betyder en forskel, hvis ikke eleven oplever denne forskel. Det har hverken været muligt eller ønskeligt at skrive denne beretning om matematikundervisningens historie rent kronologisk. Mellemskolen havde fra sin start i 1903 en noget anden kultur og debat end folkeskolen. Så skønt mellemskolen efterhånden blev betragtet som en del af folkeskolen, så er historien om mellemskolen skrevet i særlige kapitler: 3, 6, 7 og 9, mens den øvrige folkeskole siden 1900 er beskrevet i kapitel 4, 5 og 8. Ønsker man i første omgang kun at læse om en af disse skoleformer, kan det anbefales at læse de indledende resuméer i de kapitler, der overspringes. Sammenhængen og spændingen mellem de to grene af folkeskolen behandles i kapitel 2 og 8, mens kapitel 10 er min mere personlige refleksion over det forunderlige faktum, at troen på matematikkens formaldannende virkning forsvandt omkring 1920 uden, at det satte sig klare spor i fagets rolle og indhold i mellemskolen. Det forunderlige ligger i, at fagets rolle som ”tankens slibesten” var hovedbegrundelsen for overhovedet at medtage det i mellemskolens fagrække ved behandlingen i folketinget i tiden op til 1903. Jeg prøver i kapitlet at følge, hvorledes formal dannelse i matematik udvikler sig op gennem 1900-tallet, og kommer herved til at se kompetence-begrebet som vor tids forsøg at gøre fagets rolle til andet og mere end material dannelse.

1: Regnefaget før 1900 Resumé: Regning som folkeskolefag opstår først i 1739 med Kristian den Sjettes Forordning,

hvorefter omkring en tiendedel af børnene modtog regneundervisning. Med loven af 1814 blev regning gjort obligatorisk for alle, men blev dog ikke et fag med fast timetal. Regneundervisningens udvikling følges via de store lærebogsforfattere: Søren Mathiesen (16531740), Christian Cramer (1699-1764), der begge havde faglige metoder og regnings anvendelse i erhvervslivet i fokus. Hans Schneekloth (1812-82) repræsenterer derimod med sit opgør mod udenadslæren, en tidlig reformpædagogik i regneundervisningen, hvor der lægges vægt på barnets egen udvikling af me toder. Chr. Hansen (1830-1910) var den effektive regnelærer, der med sit lærebogssystem totalt dominerede regneundervisningen fra 1880. Baseret på Pestalozzis pædagogik blev der fra tidligt i 1800-tallet lagt vægt på anskuelsesmateriale i regneundervisningen, men et par skoleerindringer viser, at det er tvivlsomt om reformtankerne og anskuelsesmaterialerne nåede ned til den enkelte elev. Afslutningsvis ser jeg på den tidlige kamp i Oplysningstiden for at gøre matematik til et fag for børn. Inspireret af tyskeren Chr. Wolff førte C. Cramer kampen på dansk grund, dog uden klar gennemslagskraft i samtiden eller i 1800-tallet.

Regnefagets start Den første kendte regnebogsforfatter i verden var ægypteren Ahmose fra ca. 1550 f. Kr., der dog nærmest kopierede sin såkaldte Rhinds Papyrus efter ældre værker med unavngivne forfattere. På titelbladet til hans regnebog læser man: ”Korrekt metode til at beregne, til at fatte meningen med alle ting, det skjulte.. og alle hemmeligheder”. 11 På den tid var er ikke anden matematik end regning. Med den ægyptiske notation for tal og senere med romertallene var selve udregningerne besværlige, skønt man udviklede algoritmer (regneopstillinger) til multiplikation (som fordobling-halveringsmetoden), der delvis kompenserede for den upraktiske talnotation. Først med indførelsen af de i dag anvendte arabertal fremkom der regnebøger, hvis algoritmer minder om nutidens. Størst indflydelse i Renæssancen havde de tyske regnemestre,12 der bl.a. med symbolerne ”+” og ”-” fortrængte den italienske notation ”p” og ”m”. Den mest indflydelsesrige blandt dem var Adam Riese (1492-1559), hvis bog ”Die Coss” fra 1524 i regnebogslitteraturen betegner det store spring fra romertal til arabertal og fra det strukturerede regnebræt til den friere skifertavle.13 Fra gammel tid var regning således en vanskelig kunst, og de ældste danske regnebøger syntes ofte mere at skulle fremhæve regnemesterens geni end at hjælpe eleverne til at regne. Regnemester og klokker ved Trinitatis Kirke i København Søren Mathiesen (1653-1740) mente nok, at disse gamle regnebøger var ”gjorte i en god mening”, men han fandt dem fulde af unyttige opgaver, der var så snedige og indviklede, at selv læreren havde svært ved at løse dem.

Gay Robins & Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus, London 1990, s. 11. Vi ser i det følgende på den folkelige tradition, mens latinskolernes regnebøger i stort omfang byggede videre på en bog af Gemma Fris fra 1540 med titlen ”Aritmeticae practicae methodus facilis”. Latinskolernes regnebøger er gennemgående på latin helt op til år 1800. Se S. A. Christensen (1895) s. 7 ff. 13 Carl B. Boyer: A history of Mathematics, 1989, s. 315. Boyer nævner det interessante, at de tyske regnebøger havde Pascals trekant på forsiden – 100 år før Pascal ”opfandt” den. 12

For at bedre på situationen udgav han derfor i 1681 Compendium Aritmetica, der blev genoptrykt mange gange i hundrede år og endda udkom i en omarbejdet udgave i forbindelse med skoleloven af 1814. Af kendte medarbejdere på systemet kan nævnes astronomen, professor Chr. Horrebow, der efter Mathiesens død stod for ”første og anden formerede og forbedrede Edition” af Mathiesens regnebog. Mathiesens regnebog omhandler:14 1. Regning: De fire regningsarter med hele tal og brøker samt reguladetri,15 altså forholdsregning. 2. Algebra: Regnereglerne for de fire regningsarter, inkl. negative tal, udtrykt med bogstaver. Kvadratrods- og kubikrodsuddragning, alt sammen vist gennem eksempler og uden forklaring. Ligninger af første og anden grad. Ligningerne anvendes blandt andet til opgaver i blandingsregning. 3. Geometri: Regulære polygoners areal. 4. Som tillæg eksempler på hvorledes man laver breve og formularer med regnemæssigt indhold. Man bemærker, at regnebogen med sin formularsamling klart retter sig mod det praktiske liv. Det er måske derfor Mathiesens Regnebog ofte forveksles16 med hans Regnekonst. I udgaven af ”En let Aritmetica eller Regne-Konst” fra 1750 læses på titelbladet: ”En let Aritmetica eller Regne-Konst, hvor udi findes Alle Slags Udregninger, ikke alleene til Lettelse ved den daglig handel udi Kiøb og Sal, enten Prisen er liden eller stor, men endog gandske beqvem og nyttig for folk, af alle Slags Conditioner. Her hos er én kort Extract, over de fornødenste Ting i Regne-Konsten, hvor ved man i én kort Tiid kand ledsages til den rette Brug; Førfattet og til Trykken befordret af Søfren Matthisen”.17 Som det fremgår af dette lille forord var denne bog, Regnekonst, mere en håndbog for handelsfolk end en egentlig skolebog. Efter Kristian den Sjettes Forordning af 1739 skulle lærere tilbyde skrivning og regning som valgfag i skolerne, hvis de på nogen måde magtede det, og hvis forældrene var parate til at betale de 8 skilling om måneden, som denne undervisning kostede per elev. Her fik altså for første gang i danmarkshistorien den bredere befolkning en chance for at stifte bekendtskab med regning i skolesammenhæng. Skønsmæssigt valgte omkring hver tiende elev regning. Det blev Chr. Cramers regnebog, der blev den støtte mange lærere havde brug for i dette nye skolefag. Den udkom første gang i 1735 og fik stor udbredelse i hundrede år – 22. oplag kom i 1867. Titelbladet for 1816udgaven (19. oplag) lyder:

De følgende oplysninger er hentet fra S. A. Christensen (1895) s. 15-17. Regula de tribus (reglen om de tre) er reglen om, hvorledes opgaver af følgende generelle type løses” Hvis a enheder koster c kroner, hvad koster da b enheder af samme produkt?”. Reglen giver svaret: (c/a)*b. Altså: find først (ved division) ud af, hvad 1 enhed koster og gang derefter op til det ønskede antal enheder. 16 For eksempel er der hos Poul Müller (se følgende note) sat en forkert illustration om Mathiesens Regnebog. 17 Citatet og de indledende oplysninger er taget fra Poul Müller: Af almuedrengens skoletaske. I ”Af landsbyskolens sage” udgivet af Danmarks Lærerforening, Universitetsforlaget i Aarhus 1964. 15

Aritmetica Tyronica eller grundig Veiviisning, practice, at lære alle fornøden Huus- og Handels-Regning, fremsat ved en nye og fordeelagtig Læremaade, efter hvilken en Lærer lige saa let og lige saa snart kan øve og examinere mange som faa disciple. Til Nytte og Tieneste for alle, men i Særdeleshed Fædrelandets Skoler, af Christian Cramer”. Regneundervisningen ifølge Cramer var helt mekanisk og skriftlig, men bogen var renset for de mest kunstige anvendelser af reguladetri fra Mathiesens regnebog. Der blev lagt stor vægt på orden og et næsten kunstnerisk skriftligt udtryk i elevernes blækregningsopgaver. Elevernes arbejdsbøger, de såkaldte cifferbøger, blev da også ofte opbevaret af familierne i mange generationer. Det var med en senere tids udtryk elevens portefølje i valgfaget regning, det synlige bevis på at man kunne regne smukt og rigtigt.

Cramers regnebog 18 Cramer lægger stor vægt på regler, man skal følge. Således gives på side 22 syv generalregler ”efter hvilke en Regula De-Tri kan og bør giøres og en Discipel bør lære udenad, og stricte tilholdes at følge”. Senere side 43 skriver Cramer, at eleven ved hver fejl han begår, ”henvises til den generalregel, han har overtrådt. Men den Lærer, som ei tilholder sine Discipler at lære General-Reglerne udenad, og strikte forbinder dem at følge samme, han røber sig selv, at han ei forstaaer at informere”. Bogen er klart ikke skrevet for de mindste børn, idet hver af regningsarterne kun bliver behandlet på en side hver. Man må forstå disse sider som en slags diagnostisk prøve, der skal afgøre, om man er klar til at gå i gang med selve den praktiske regning i bogen. De sværeste opgaver på dette indgangsniveau er: 1140019x100432 = 114494388208 og tilsvarende 114494388208: 100432 = 1140019. Nu skal man ikke tro, at Cramer underkender behovet for begynderundervisning, men: ”I en skolebog at skrive om de fire Specier, nytter intet for Børn, thi de kan ei læse sig til noget”. Hele dette indledende arbejde overlades således til læreren. 18

1867-udgaven, 22. oplag, næppe meget forandret fra tidligere udgaver.

Læreren, der i landbyskolen kunne være enelærer for op til 100 børn, blev godt hjulpet af, at der var facit angivet i slutningen af hver opgave, så eleven selv kunne kontrollere svaret. Dette kunne selvfølgelig friste til former for snyd. Derfor var der rundt om i bogen sæt på fire opgaver, der først kunne regnes på normal vis med facit angivet. Derefter kunne læreren gå rundt og tildele hver elev et nummer 1,2,3,4… Eleven vidste da, at dette betød at han i hver opgave skulle forøge sidste tal med nummeret – dog således, at der i hver anden opgave skulle formindskes med samme nummer. Herved fik alle eleverne individuelle opgaver, hvor de ikke kunne skrive af efter hinanden eller facitlisten. Fidusen var nu, at læreren kunne bede eleverne lægge svarene på de fire opgaver sammen, og de ville alle få den samme kontrolsum, der var oplyst i facitlisten. Herved blev lærerens rettearbejde igen stærkt lettet. Efter indledningen om de fire regningsarter følger en liste over de gamle måleenheder: penge i både guld og sølv, fx 16 skilling = 1 mark, 4 mark = 1 sletdaler, 6 mark= 1 rigsdaler; grov vægt (1 skippund = 20 Lispund = 320 Pund) samt guld og sølvvægt (1 pund = 2 mark= 16 unzer= 32 lod = 128 qvintiner ); alenmål fx 1 alen= 2 fod = 24 tommer, hvor hver tomme er 12 strå ; vareantal fx 1 læst øl = 12 tønder, 1 tønde=136 potter medmindre der er tale om salt, hvor en tønde er 144 potter, 1 stort hundrede = 2 skok, 1 skok= 3 snese, 1 snes = 20 stk; vinmål (1 fad= 24 ankre, 1 anker = 38 potter, 1 pot = 4 pægle). Efter et par sider, hvor der regnes simple stykker med benævnte tal, kan Cramer gå i gang med det centrale i hans bog, Reguladetri, som er ”en regel af tre bekiendte Tal, ved hvis Hielp det fierde, som er ubekiendt, opsøges. Den forreste og bageste Sætning skal bestaae af det, som er eller kan blive til lige Navn; Spørgsmaalet staaer altid bag udi. Facit skal altid have navn af det Mellemste. Almindelig regel om den lange Maade. Efter at for og bag er gjort til lige navn, multipliceres det mellemste og Bageste med hinanden; det Udkommende divideres med det Forreste, saa er Qvotienten Facit”. Fx: Hvis 2 æbler koster 8 skilling, hvad koster da 7 æbler? ”For” og ”bag” har her lige navn, nemlig ”æbler”, og spørgsmålet står sidst, som det skal, for at reguladetrireglen kan komme i omdrejninger. Vi multiplicerer derfor det mellemste – de 8 skilling – med det bageste 7 og får 56. Dette udkommende divideres nu med det forreste 56:2, og facit bliver 28 skilling. Hvis første og sidste ikke har lige navn – altså samme benævnelse, skal et sådant fremskaffes. For eksempel hvis vi ved, hvad 1 fad koster og skal finde prisen på 36 ankre. Cramer går grundigt til værks. Over otte sider udvikles metoden for det tilfælde, at ”første” er 1 (fx ”Hvis 1 æble koster…”). Undertilfældene er 1) lige navn for og bag 2) større navn bag end for 3) mindre navn bag end for 4) lige og mindre navn 5) større, lige og mindre navn. Herefter følger tilsvarende detailundersøgelser, når 1 står midt i eller bagest, indtil alle tilfælde er dækket, så også almene opgaver som den følgende kan løses: Hvis 8 Lod koster 5 Mark og 8 Skilling, hvad koster da 33 Pund 2 lod og 1 Qvint? (side 44). På side 47 – 64 tages fat på ”De brudne Tal”, brøkerne, og alle regneregler anføres uden nærmere forklaring. Herefter kan Cramer gennemgå reguladetri for brudne tal over side 6580, så eleverne kan regne: Hvis 2/3 Pund koster 4 16/19 Rigsdaler, hvad koster da 14¾ Pund? Reguladetrikapitlerne afsluttes med Regula dupla directa, hvor man lærer af 5 tal at finde det sjette: 6 heste spiser på 4 uger 12 tønder havre, hvor meget kan da 200 heste fortære på 1 år? Herefter er eleven så udstyret med metoder til at gå i gang med praktiske opgaver (side 85 – 166): Huusholdnings- og daglig Haandterings-Exempler, Rentes Regning, RabatRegning, Rente af Rente, Terminers Reduction, Thara-Regning (altså Netto=Brutto-Tara), Commisions-Regning, Om Arv og Skifter, Selskabs-Regning, Banqverot-Regning, SkibsParters Regning, Havarie eller Søe-Skades-Regning, Assecuranze-Regning, Vinden og 9

Taben, Baratto eller Byttens Regning, Wexel-Regning (30 sider inkl. Wexel (valutahandel ) mellem Danmark og Hamborg, Kiøbenhavn og Amsterdam, Danmark og England (Indirekte eller middelbar over Hamborg), Wexels Arbitrage). Til sidst i bogen er der lidt om areal og rumfangsberegning, inkl. metoder til uddragning af kvadratrod og kubikrød, samt et par sider om landmåling.

Regning efter 1814 Med skoleloven af 1814 blev regning en obligatorisk aktivitet i børneskolen ved siden af læsning, skrivning og religion. Og som en naturlig konsekvens måtte lærerne være regnekyndige, jf. § 47 i loven: Enhver, som attraaer at beskikkes til Skolelærer paa Landet, men dog ikke har nydt Undervisning ved noget af Os allernaadigst auctoriseret Skolelærer-Seminarium, bør i det mindste… forstaae at regne de 4 Specier (regningsarter) og regula de tri”. I den tilhørende undervisningsvejledning blev hovedregning fremhævet: ”Under Regneøvelserne søger Læreren tillige at vænne Børnene til at gøre Beregninger i Hovedet uden Hielp af Tavle og Skrift”. Dette var alt i alt et for stort krav for de fleste af de gamle landsbylærere, der sjældent havde nogen seminarieuddannelse bag sig. Derfor måtte de hjælpe sig, som de bedst kunne ved at købe ”opløsninger” til Cramers regnebog, dvs. ikke blot facitlister men fyldige regneopstillinger til hvert enkelt stykke. Men mange af seminaristerne forsøgte sig som regnebogsforfattere til det nye store marked efter 1814-loven. En af de første var lærer ved Borgerskolen i Kerteminde, H.C. Nielsen, der udgav sit system mellem 1810 og 1820. Hans bøger var langt bedre tilpasset undervisningen af små børn end Cramers regnebog. Dels startede han med det helt enkle – således måtte man i første klasse ikke gå højere end 10 i regnestykkerne – og dels lagde han vægt på anskuelse af tallene. På dette område vedgik han sig klart inspiration fra den schweiziske pædagog Johann Heinrich Pestalozzi (1746-1827), der, som tidligere også Comenius (1592-1670), fremhævede anskuelsesprincippet som grundlaget for al læring. Anskuelsesprincippet springer i øjnene allerede fra titelbladene på hans regnebøger. Og inde i hans hovedregningsbog er der en helsides kopi af Pestalozzis Tælletavle.

Skoleloven af 1814 havde eksplicit nævnt hovedregning som en vigtig aktivitet i regnetimerne, men der manglede velegnede hovedregningsbøger. Så Nielsens første publikationer er ”Materialer til Underviisning i Hoved-Regning”, hefte 1-3, fra 1815. De blev trykt efter opmuntring fra den tilsynsførende ved Kertemindes skoler, amtsprovst Lütken, der havde set materialet afprøvet i amtets skoler med stor succes. Fra Forerindringen til hefte 1 får man et klart indtryk af Nielsens didaktiske overvejelser. Han slår først fast, at tavleregning (altså skriftlig regning) og hovedregning er to sider af samme sag. Tavleregning er jo blot en række hovedregninger opstillet efter et særligt system. Den der prøver at lave tavleregning ud fra faste mekaniske regler bliver en slave af disse regler og vil blive dybt forvirret, når nogle af reglerne en dag glemmes:” Nei! Til at blive en god Tavle-Regner, udfordres dyb Indsigt i Talsystemet, i maaderne, hvorpaa Størrelser kan forbindes, adskilles og sammenlignes, og et hurtigt Blik paa deres indbyrdes Forhold; men just dette giver Hoved-Regningen langs snarere og i en højere Grad end den blotte TavleRegning; – Erfaring beviser det”.19 Hvad angår begrundelsen for hovedregning i skolen nævner Nielsen først nyttesynspunktet. Hvor mange i ”huuslige og borgerlige Stillinger” kan klare sig uden tavleregning, er der næppe nogen, der kan ”opfylde deres Kalds-Pligter, eller sørge tilbørlig for deres egen Velfærd” uden brug af elementær hovedregning. Men Nielsen lægger også stor vægt på hovedregningens formaldannende muligheder: ”Om man endog blot betragter Hoved-Regning, som Forstandsøvelse, saa bliver den dog en Saa af største Vigtighed i vore Skoler; thi der gives neppe nogen hensigtsmæssigere Øvelse til at udvide Børnenes Sieleevner, end just denne. Opmærksomheden skærpes Indbildningskraften vækkes … Hukommelseøves… Tænkeevnen udvikles, i det Barnet betragter Spørgsmaalet fra flere Sider, og søger Methoden, hvorpaa det lader sig besvare, og Dømmekraften forbedres saavel ved det Valg, Barnet har at giøre mellem flere Opløsningsmaader, som og ved de Misgreb og falske Slutninger, det saa ofte giør, og strax derpaa saa tydeligt kommer til at erkjende”. 20 Nielsens lærebøger udmærker sig i øvrigt ved at være blandt de tidligste timeopdelte regnebøger, der dukker op igen og igen i regnebogens senere historie. I første del af hovedregningsbogen, er timerne endda delt op i fjerdedelstimer.21 Læreren advares imod at gå videre end det planlagte, hvilket han nemt kan være fristet til, hvis han lader sig styre af de dygtigste elever. Nej, hvis man når stoffet igennem, begynder man forfra på samme stof: ”De svagere maa med”. Tre år senere udgiver H.C. Nielsen også en tavleregning: Lærebog i Regnekonsten. I modsætning til Cramers regnebog gennemgår denne regnebog nøje de fire regningsarter, men følger i øvrigt på mange måder opdelingen fra Cramer både i kapiteloverskrifter og helt ned til formuleringerne af regler i reuladetri. Som eksempel kan vi se, hvorledes han behandler subtraktion fra side 27, hvor man ”lærer at finde et Tal, der er lige saa stort som det overblevne af to givne Tal, af hvilke det Mindre drages fra det Større”. Reglen er: ”Fradragning begyndes med Eenere i Subtrahendus, og fortfares med ethvert Ziffer i samme. Forekommer et større Ziffer i Subtrahendes end det Modsvarende i Minuendus, da laanes 1 fra nærmeste Minuend-Ziffer, der tælles for 10 til det Ziffer, hvorfra den større Subtrahendus skulle drages”. En kort og præcis beskrivelse af subtraktionsalgoritmen. Men som der frem19

Nielsen (1815) hefte 1, s. 8. Nielsen (1815) hefte 1, s. 10f. 21 Det fremgår ikke, om dette er med henblik på tavleregning i den øvrige tid, men det åbner i al fald op for dette. 20

går af hovedregningsbogen, så forestiller Nielsen sig ikke, at denne algoritme skal læres og huskes rent mekanisk uden indledende forståelse. Over de næste tredive år udkom ikke mindre end 65 nye regnebøger, der ofte bekrigede hinanden indbyrdes i skoletidsskrifterne. 22 Den særligt danske vinkel i denne forfatterstrid synes ikke at være blevet beskrevet. Men vi ved, at den samme periode i Preussens regneundervisning er blevet kaldt en ”Sturmund Drangperiode”, en kamp mellem ”Denkschulung”-fløjen og tilhængerne af ”Praktisches Rechnen”, altså mellem formal og material dannelse.23 Regneundervisningens formaldannende virkning var tidligt fremhævet i netop Preussen, hvor Christian Wolff24 skriver i sin ”Rechnenkunst” (1728): ”Man frage die Schüler allezeit, warum sie dieses so oder so machen, damit sie nicht alleine den Grund der Rechnung einsehen, sonder auch angewöhnt werden, nichts ohne Grund von jemand anzunehmen, ingleichen in allem, was sie sehen und hören, um seine Grund sich bekümmern”. 25 Forestillingen om regning som forstandens slibesten blev yderligere styrket omkring 1800 af Pestalozzi, der føjede anskuelsesundervisning til som et metodisk hjælpemiddel. Der kan også findes spor af denne kamp i den danske debat i samme periode, og jeg vil i et følgende afsnit skildre Schneekloths forsvar for en formaldannelse baseret på anskuelse og elevens aktivitet. Efter bombardementet af København og Statsbankerotten i 1813 var tiden dog ikke til udgiftskrævende reformer, så på den måde fik 1814-loven en dårlig start. På den pædagogiske front blev skolen ramt af noget af en katastrofe i form af ”den indbyrdes undervisning”, der dominerede i 1820’erne og 30’erne – sandsynligvis fordi pædagogikken var så økonomisk, hvad angår lærerudnyttelse. Under dette system fungerede læreren som officer med ældre elever som korporaler med hver sin gruppe af mindre børn, der blev ekserseret gennem store tabeller og tavler rundt om på væggene. ”Ved idelig mekanisk gentagelse terpede de større elever stoffet ind i de mindre under lærerens kommando, idet de læste ”opad vægge og nedad stolper””.26 Hvis man i det hele taget tør bruge ordet dannelse i denne forbindelse, så var det materialdannelsesfløjen der vandt i den grad i disse år. Det var ikke blot Grundtvig (første højskole 1844) og Christen Kold (første friskole 1852), der gjorde oprør mod terpeskolen. Med folkestyrets gennembrud i 1849 kom der et naturligt krav om, at skolen skulle gøre almuen i stand til at deltage i landets styre. Imidlertid var regning fredet i det meste af denne kritik, skønt Grundtvig havde sine udfald mod især den formalistiske tankegang i matematik. Festskriftet i anledning af 1814-lovens 100-års jubilæum fremhæver således regning som det eneste fag hævet over kritik i midten af 1900-tallet: ”Regningen blev drevet med Iver og var vel nok det Fag, hvor der blev naaet de bedste Resultater, selv om den mærkelig Færdighed i Regning, der fandtes hos Almuen, ikke alene kunde tilskrives Skolen, men for en stor Del Naturbegavelse og praktisk Øvelse. Der lyder derfor ogsaa de færreste Klager over dette Fag; mest fra de Lærere, der saa, at Regningen under de dengang givne Forhold i Skolen egentlig var det eneste Fag, hvor Elevens 22

Müller s. 111. Fortegnelsen over disse bøger findes i Rugaard ”Skole-biblioteket” fra 1847. Den preussiske udvikling er beskrevet i Michael Sauer: ”Es schärfet den Menschen Verstand..” i Z. f. Päd, årg. 1991, nr. 3, s. 371-395. 24 Christian Wolff (1697-1754), filosof, elev af Leibniz, professor i Halle. 25 Sauer s. 381. 26 G.J. Arvin: Folkeskolen – folkets skole, 1951, s. 38. 23

Selvtænkning kunde sættes i Virksomhed, og som derfor beklagede den ensidige Mekanisme, der beherskede det. I Fyrrerne begyndte der at komme Regnebøger (f. eks. Schneekloths), der byggede paa den pestalozziske Lære om Anskuelighed i Talforholdene. Men trangen til en Reform føltes som sagt ikke saa stærkt på Regneundervisningens Omraade, at disse Bøger foreløbig kunde virke nogen Omvæltning”.27 Fra seminariernes side havde der hele tiden været stærk kritik af den indbyrdes undervisning, der da også klingede helt ud efter midten af århundredet. Den fremtrædende seminariumforstander L.C. Müller skrev således om tilstanden omkring 1850: ”Vort Skolevæsen har paa mange Steder fremkaldt en Vantro, død Rettroenhed og ligegyldighed for alt aandeligt i Stedet for levende Kristendom og Fædrelandskærlighed, Træghed og Dumhed i Stedet for Lærelyst og Oplysning”. Kritik af hele fagrækken – kun af regning ”lære de fleste Jyder langt mere, end de behøvede”.28 Om de nu er et skulderklap til regnelærerne eller en konstatering af, at pensum skød over bondebørnenes behov, får stå hen, men der kaldtes altså ikke efter en reform af regneundervisningen.

Schneekloths regnepædagogik Hans Schneekloth (1812-82) er eksemplarisk for det reformpotentiale af regneundervisningen, der var tilstede i midten af 1800-tallet. Samtidig illustrerer han også, hvor stærk en kraft der lå i traditionen. Hans første arbejde var således en ”forandret og forøget” udgave af Cramers nu mere end hundrede år gamle regnebog, som han udgav som 28-årig, da han var lærer ved Sct. Petri Skole. Schneekloth havde så stor respekt for Cramers regnebog, at han gik om bord omarbejdelsen med en vis ”Ængstelighed”, men han syntes dog, at den ny tids forhold gjorde ”betydelige Forandringer nødvendige; og dog skulde disse være af den Beskaffenhed, at den nye Udgave kunde bruges ved Siden af de ældre, at endog de Skoler, som endnu staae paa samme Trin som for 50 Aar siden, ikke for Forandringernes Skyld skulde behøve at give Slip paa Cramers Regnebog”.29 Man mærker senere i forordet, at Schneekloth har større mål end blot at videreføre Cramers traditionelle regneundervisning. Således har han udeladt alle Cramers ”opløsninger”, altså de standardiserede regneopstillinger og -metoder, som han kalder ”den gamle Mechanisme”. ”Om ogsaa mange Lærere endnu finde Behag i Brugen af den gamle Mechanisme, og lade de Fremskridt, som Videnskaben overhovedet har gjort, gaae forbi uden at efterlade Spor ved deres Undervisning; saa gives der dog ogsaa allerede mange, som hylde en mere aandsdannende Methode, som ombytte Mechanisme og dødt Regelværk med Grundighed og selvvirksom Udvikling”. Dette var en hård kritik af en lærebog, som man har fået til opgave at genudgive i bearbejdet form, og reformen kunne ikke gennemføres helt med Cramers bog som forlæg. For klart at vise, hvorledes man kan ”ombytte Mechanisme og dødt Regelværk med Grundighed og selvvirksom Udvikling”, udgiver Schneekloth året efter sine ”Opgaver til Hovedregning”. Allerede på titelbladet fremgår det, at opgaverne kun er ”samlede og ordnede” af Schneekloth. Og hans kilder er fra det tyske (preussiske) skolevæsen, der netop i 1830’erne havde gennemført store pædagogiske reformer, for siden omkring 1850 igen at dyrke udenadslæren.

Holger Rützebeck: Arbejdet og dets vilkaar i den danske folkeskole gennem 100 Aar. I Den danske Folkeskole gennem hundrede aar 1814-1914, festskrift udgivet af Danmarks Lærerforening 1914, s.150. 28 L.C. Müller: Om Undervisningen i vore Almueskoler. Her efter Rützebeck s. 161. 29 H. Schneekloth: Facitliste til Christian Cramers Regnebog, København 1840, forordet.

Den almene pædagogiske inspiration havde han fået fra den tyske pædagog Adolf Diesterweg, 30 der igen havde ladet sig inspirere af de store pædagoger som Pestalozzi og Comenius. Opgavestoffet havde han hentet fra lærebogsforfattere som Sass, Friedmann, Arendt og J. v. Essen, ”thi jeg vilde ikke give noget Ringere end det Bedste jeg kjendte. Hans tanker i forordet er en dansk bearbejdelse af Diesterwegs pædagogiske filosofi, og kan således stå for tidens progressive europæiske syn på regneundervisning. Da bogen nu var en om hovedregning, var det indledningvis vigtigt for Schneekloth at understrege hovedregningens forrang for (men samtidig tætte forhold til) skriftlig regning: ”Al Regning foregaar i Aanden”. Men ”ligesom Ordet forholder sig til Tanken, og Bogstaven til Ordet, saaledes forholder sig Talord til Talforestilling, og Ziffer til Talord. Ligesom Bogstaven er intet uden Ordet, Ordet intet uden Begrebet, saaledes er Zifferet intet uden Talordet og Talforestillingen”. 31 Når forestilling, ord og symbol hænger så tæt sammen, så er der i princippet også kun én måde at regne på, og ikke to, som den traditionelle opdeling i hovedregning og tavleregning havde udviklet. Schneekloth gør opmærksom på, at allerede den europæiske regnebogs grundlægger Adam Riese tildels regnede uden cifre. ”Men de følgende Aarhundreder satte Hoved- og Zifferregning imod hinanden som to i deres Væsen forskjellige Ting, og opfandt dem slendrianske Mechanismus, der har været saa fordærvelig for Aandsdannelsen og den livsfrie Udvikling af Tænkekraften. Slendrianismus er den aand- og tankeløse Fremvandren paa den engang banede Vei. Mechanismus er Bevægelsens System, hvis Kraft ligger udenfor Bevægelsen. Mekanisk Regning er det altsaa, naar man uden Indsigt og Bevidsthed gaaer frem efter uforstaaede og foreskrevne Regler. Enhver, der bruger denne Fremgangsmaade, er følgelig en Maskine; men Mennesket skal ikke være nogen Maskine; thi det hører til de organiske Skabninger. At afrette et Barn til bevidstløs Regnen, til en Leg med døde Ziffre, er at lænkebinde eller dræbe dets Aand; det er et intellektuelt Drab”.32 Derfor må han tage afstand fra den konkurrerende regnebogsforfatter, seminariumlærer Meyer, der mente, at ”Sandheden ligger i Midten” mellem det mekaniske og det eftertænksomme.

- Sig mig, hvad kan man slutte om to Størrelser, der ere lige store med en og samme tredje? – At … At … de inte er større end hverandre og heller ikke mindre. – Nu snakker Du hen i Taaget. Kan Du Nr. 17 besvare mig dette Spørgsmaal? – At … naar to Størrelser er lige store med en og samme tredje saa er de indbyrdes lige store! – Fuldkommen rigtigt. Flink Dreng den Nr. 17, det er en lille Jokumsen, Søn af Kirkeværgen, De veed. –

Adolf Diesterweg (1790-1866), seminarierektor i Berlin. H. Schneekloth: Opgaver til Hovedregning”, Kjøbenhavn 1841, indledningen s.1. 32 Schneekloth, 1841,s.2. Hans kraftige formulering var typisk for ham, som det fremgår af opslaget i Personalhistorisk Leksikon: ”Han var fyrig og sværmerisk, af et glødende Temperament, altid rede til at tage Kampen op, men overmaade doktrinær og temmelig skarp i Debat”.

Schneekloth var ikke alene om at kritisere den hovedløse udenadslæren. Urmager og tegner Fritz Jürgensen (1818-63) ramte hovedet på sømmet med denne overhøringssituation fra Gyssebogen, der blev tegnet i 1843, men først udgivet i 1920. Selv en skriftlig regning med cifre kan udføres eftertænksomt: ”Skal f. ex. Tallet trehundrede og tre og tredive tages fire Gange, og Regneren tænker ved hint på 333 og ved dette på 4, saa gaaer han mekanisk og aandløst frem, naar han i Tankerne sætter de 4 under de 333 og opererer: 4 Gange 3 er 12, 2 op og 1 i Mente; - 4 Gange 3 er 12 og 1 er 13, 3 op og 1 i mente o.s.v. Men han kan ogsaa gaae frem med Eftertanke: 4 Gange 300 = 1200; 4 G. 30 = 120; 1200 og 120 = 1320 o.s.v. Forestillingen af Ziffre fører altsaa ikke nødvendigvis til Mechanismus”. 33 Dette er en af de tidligste fremhævelser i dansk regnebogslitteratur af, at man også i skriftlig regning kan udregne resultatet på flere måder, og finde en passende måde ved eftertanke. At hovedregningsmetoder således kan anvendes i den skriftlige regning betyder imidlertid ikke, at stoffet inden for de to regneområder skal være sammenfaldende. Da hukommelsen er langt mere begrænset end papiret eller tavlen til at fastholde tallene og udviklingen i regningerne, må hovedregningen foregå inden for et talmæssigt langt mindre område, kun omfattende de ”lettere og almindelige Regnetilfælde”. Da desuden der er store individuelle variationer på hukommelsens og forstandens kapacitet, kalder hovedregning i endnu større omfang end skriftlig regning på det, en eftertid har kaldt (undervisnings-) differentiering. Schneekloth udtrykker det således: ”Hvad der falder den Ene let at udregne i Hovedet, er for den Anden meget vanskeligt om ikke umueligt. Læreren maa altsaa ved Underviisning i Hovedregning meget nøie kjende sine Elever, for at kunne behandle Enhver efter hans forskjellige Evner. Mindre begavede Disciple kan han gjerne af og til tilstede en indskrænket Brug af Skrivematerialer endogsaa ved Hovedregning, naar han seer, at Opløsningen af forviklede Opgaver ellers vilde blive for vanskelig”. 34 Men når nu hovedregning kan være så vanskelig for nogle, hvorfor så i det hele taget lægge så stor vægt på hovedregning. Schneekloth fremhæver to meget vigtige formål. Han nævner nytteaspektet først: ”Hvor ofte træffer ikke det Tilfælde, at man ved Kjøb eller Salg er nødt til at udregne noget paa Stedet, uden at kunne tage Skrivematerialier til Hjælp. Dette veed Enhver, og Ingen vil vel derfor betvivle Nytten og Vigtigheden af Underviisning i Hovedregning selv i lavere Skoler”. Men formaldannelsesaspektet synes vigtigere for Schneekloth: ”Nødvendigere synes det at gjøre opmærksom paa, hvorledes Øvelse i Hovedregning tillige kan blive et fortrinligt Dannelsesmiddel for Sjælekræfterne. Hvo der ved et eller andet Forehavende, det være nu hvilket det vil, tydeligt tænker sig den Nytte, han ved sine Bestræbelser kan stifte, og er sig det Formaal tydeligt bevidst, som han maa stræbe at opnaa, og derhos tillige indseer Midlet og Maaden, hvorved hiin Nytte og dette Formaal kan realiseres, vil saameget mindre feile ved Valget og Anvendelsen af den hensigtsmæssige Midler”. Bemærk her, at han her henviser til overvejelser og valg i forbindelse med nytte-formålmåder-midler i fuld almindelighed. Han lægger hermed op til et noget mere ambitiøst dannelsesmål for hovedregningen end mange andre tilhængere af regningens formaldannende potentiale. I argumentationen for at hovedregning faktisk har et så stort potentiale, starter han i en mere begrænset formaldannelse, der dog snart bredes fuldt ud: ”At Hovedregningen øver Hukommelsen er af sig selv indlysende. Regneren maa under Beregningen ikke blot erindre Opgavens Indhold, men ogsaa beholde flere enkelte fundne Re33 34

Schneekloth, 1841, s. 3. Schneekloth, 1841, s. 4.

sultater nærværende i Tankerne, førend han kommer til Maalet. Men det beskjæftiger ogsaa Forstanden; thi hvad andet har man vel ved Udforskelsen af Opgavens Mening og ved den hele Beregning at gjøre, end at sammenligne, dømme og slutte d.v.s. at tænke. Regneren har i Almindelighed Valget blandt flere Veie, paa hvilken han kan naae Maalet: han har saaledes, ved at opdage og udfinde den bedste iblandt dem, Leilighed til at øve sit Vid og Skarpsind. Han er fremdeles nødt til at fæste sin hele Opmærksomhed paa sin Gjenstand, og vænner sig derved til at fixere sine Tanker, hvorfor da ogsaa Hovedregning isærdeleshed er gavnlig for saadanne Børn, der have en ustadig Aand, og hvis opmærksomhed ikke længe kan dvæle ved én og samme Gjenstand, navnlige ogsaa for vore, for det meste Modedannelsen hyldende, Pigeskoler. Hovedregning kan endelig, ligesaavel som Beskjæftigelse med andre Dele af Mathematikken, paa en ganske fortrinlig Maade vænne til ordentlig og consekvent Tænkning”.35 Det er påfaldende, hvorledes Schneekloth gennem en mere beskeden hukommelsestræning når formaldannende højder for hovedregningen for afslutningsvis, næsten som en tilføjelse, at komme med fagets potentiale til at fremme logisk (ordentlig og consekvent) tænkning. Som vi senere skal se, var det næsten udelukkende den logiske tænkning, der i starten af 1900tallet var det formaldannende mål for regneundervisningen. Schneekloth når videre omkring og må derfor placeres i kulminationen for den formaldannende vision for regneundervisningen. For at dette formaldannelsesværk kan lykkes, er det nødvendigt at anvende den rette undervisnings-metode, -form og -midler. Jeg omtaler sidst i kapitlet de af Pestalozzi inspirerede anskuelsesmidler, som Schneekloth lægger en altafgørende vægt på: ”Hermed er Hovedgrundsætningen for den elementare Regneunderviisning, som overhovedet for enhver Green af Elementarunderviisningen, fremhævet: Anskueligheden. Den fordrer ikke blot, at de første Talforestillinger skulle vindes ved sandselig (indre ved ydre Midler foranlediget) Anskuelse, men at alle Operationer skulle føres tilbage til oprindelige reen anskuelig Erkjendelse, og den forkaster alle i Spidsen stillede almindelige Begreber, alt Regelværk, enhver positiv Forskrift. Ja det er ikke engang nødvendigt, at Eleverne bringe de enkelte Tilfælde ind under almindelige Regler, opstille Ordformler36 derover: thi de bidrage intet til de enkelte Tilfældes klarere Opfattelse og Behandling; men de medføre hos Elever, der have Sky for Tænkning og Tilbøjelighed til mechanisk Fremgangsmaade, Fare for, at Reglen gjøres til en Æselbro.37 Men naar endogsaa Læreren giver Regelen, istedetfor at lade den fremlyse af enkelte Exempler, hvori den allerede stikker, saa gjælder ogsaa her det Ord, som Becker siger om en vis, vidt udbredt Underviisningsmaade i Sprog: ’Kun det er Eleven vanskeligt, hvad Lærereren vil give ham. Hvad han anskuer, forstaaer og begriber han let. Definitioner og Forklaringer fordunkler kun den levende Klarhed, forvirrer Eleven og forvandler hans Aands frie Leg til et Møiefuldt Arbejde.’ – Eleven skal fra først af kun lære at kjende, bedømme og behandle Enkeltheder, det Specielle; han skal under Veiledning selv finde Operationerne og opsvinge sig til det Almindelige, hvor det er nødvendigt, for at han i 35

Schneekloth, 1841, s. 5f Her må Schneekloth tænke på sådan noget som ”Kvadratet på en toleddet størrelse er kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt”. 37 Ifølge ODAS, Ordbog over det danske sprog, 1970, er ”æselbro” en nedsættende betegnelse for en særdeles let anvendelig metode til tilegnelse af kundskaber og færdigheder især anvendt af mindre kloge (”æsler”) eller flittige. Ordbogen ved ikke hvorfra det stammer, men jeg mener, at det refererer til illustrationen til sætning 5, bog I hos Euklid. Illustrationen minder faktisk om en primitiv æselbro. Udtrykket (på latin ”pons assinorum”) bruges i litteraturen om denne illustration f.eks. hos Henry Miller og under ”ass” i Concise English Dictionary,1994. 36

Reglernes og Begrebernes Gebet overalt kan staae fast paa Anskuelsens faste Grund: thi Indsigten i Lovene for Tallet, afhænger ikke af de Tanker og Indsigter, som Andre have skabt sig, men af dem, som ere opstaaede i os selv. Andres Viden er for os en fremmed og død Viden; vort er kun det, som Aandens Liv har fremavlet i os selv. Med Hukommelsen kunne vi opfatte Ord, Phraser, Regelværk, mechanisk kunne vi følge givne Forskrifter og allenfals frembringe et rigtigt Facit; men at tænke, lærer man deraf aldrig, og til Aandsfrihed fremvoxer man aldrig ved en saadan slavisk forkuende Maneer. Naar der derfor nogetsteds og paa nogen Maade ved en god aandsdannende Regneundervisning er Tale om brugelige Sædvaner, om Regler og udvortes Væsen overhovedet, saa optræder det bestandig først efter fuldkommen opnaaet Indsigt i Faget, og bliver behandlet som noget Ydre. Aandsdannelse skal overalt være Hovedformaalet ved Undervisningen i Almueskolen: derfor indrømmer man Eleven fri Bevægelighed; det er godt, naar han selv baner sig sin Vei, selv udtænker sig egne Opløsningsmaader; det er bedre at finde ti Opløsningsmaader paa én Opgave, end at behandle ti Opgaver paa én og samme Maade”.38 Det er i dette lange citat påfaldende så stærkt Schneekloth står for den position, der i vor tid kaldes pædagogisk konstruktivisme og i sin spidformulering findes i den nugældende læseplans henstilling om at lade børnene udvikle egne regnealgoritmer. Det bliver helt klart, hvis vi samler de centrale klip fra citatet: ”han (eleven) skal under Veiledning selv finde Operationerne og opsvinge sig til det Almindelige”. ”Andres Viden er for os en fremmed og død Viden; vort er kun det, som Aandens Liv har fremavlet i os selv”. ”Det er godt, naar han (eleven) selv baner sig sin Vei, selv udtænker sig egne Opløsningsmaader”. Det er tankevækkende, at tilsvarende påstande fremsættes af regnepædagoger op gennem 1900-tallet baseret på en ny tids undervisningserfaringer og vidt forskellige referencer til pædagogiske filosoffer og psykologer. Der er altså tale om en meget levedygtig tradition inden for regneundervisningen. Men hos Schneekloth skal der mere til end blot denne pædagogiske konstruktivisme for, at faget kan få de ønskede formaldannende virkninger. For det er ikke nok, at eleven løser opgaverne, ”men ogsaa siden efter Opgavernes Opløsning holde dem (eleverne) til nøie at opgive39 deres Fremgangsmaade og Grundene til Samme. Netop ved dette Sidste kan Underviisning i Hovedregning gjøres saa dannende for en tydelig og regelmæssig Tænkning og til en fortrinlig Øvelse i Udtrykket”. Dette krav om sprogligt udtryk og eftertanke må dog ikke sættes ind for tidligt, da det i så fald kan virke vildledende og afskrækkende. Det gælder i det hele taget, at man ikke må forcere udviklingen og stofbehandlingen: ”Gøres her Spring og iler man for hurtigt hen over disse første Øvelser, saa opholder dette kun den senere Underviisning, og istedetfor at vinde Tid, vil man kun tabe den, idet man seet sig nødsaget til, bestandigt at vende tilbage til sine første elementære Øvelser”.40 Hvad angår selve formen for undervisningen i hovedregning, så er der ingen tvivl om Schneekloths anbefaling: ”Denne maa ingen anden være, end den sokratisk-cathechetiske,41 hvis Øiemed er gradeviis at føre Eleven, naar han skal opnaae Indsigt i visse Sandheder, fra det Bekjendte til det Ubekjendte, fra det Lettere til det Sværere, og lede ham til, at de allerede (i hans Sjæl forhaanden værende) tillærte Forestillinger og Begreber, selv at udlede og finde nye Sandheder og Sætninger”. Afslutningsvis i sin indledning til ”Opgaver til Hovedregning” filosoferer Schneekloth over, om der ikke i den pædagogiske interaktion mellem lærer og 38

Schneekloth, 1841, s, 7f. I betydningen ”udtrykke”. 40 Schneekloth, 1841, s. 10. 41 Denne sokratiske dialogmetode, som Platon levendegjorde gennem sine skrifter, beskrives senere i forbindelse med Thyra Eibes geometriundervisning i starten af 1900-tallet.

elev kunne findes nogle basale operationer i analogi med, at al regning bygger på de fire regningsarter. Og det lykkes ham faktisk at finde netop fire pædagogiske operationer ved at analysere den typiske situation, hvor der er brug for en lærer, nemlig hvor eleven ikke straks kan løse en opgave. Det er da lærerens opgave ved passende spørgsmål at lede eleven til at løse opgaven. Der er i det væsentlige to mulige årsager til at eleven ikke kan løse opgaven: ”1) Eleven forstaar ikke Opgaven efter den Realindhold 2) Han kan ikke finde Tilknytningspunkter mellem den søgte Størrelse og det Givne” I det første tilfælde må lærere støtte eleven til at forstå opgaven og den virkelighed den refererer til, altså en rent ”logisk-grammatisk” virksomhed for læreren. Først i det andet tilfælde bringer læreren dialogen ind på regnemæssige, aritmetiske forhold, for at få eleven til at finde frugtbare sammenhænge mellem det givne og det søgte. Dette giver to grundoperationer for læreren at foretage. ”Nu er Lærerens Forretning til Ende, eller gaar over i sin Modsætning: Eleven bliver selvvirksom, Læreren derimod modtager, bliver receptiv d.e. Eleven nævner nu Tilknytningspunkterne og de deraf fremgaaende Forestillinger, der fører ham til Opløsningen. Dette er Elevens opløsende Virksomhed, hans Raisonnement, Opløsningen. Nu er intet tilbage uden Udregningen. Det er til sidste Stykke af den hele Virksomhed; vi kan kalde det den udregnende Virksomhed”. 42 Så det ser ud til, at lærer og elev skiftes til at være virksomme, men i virkeligheden er de begge selvvirksomme hele tiden, da ”den saakaldte Modtagelighed er Selvvirksomhedens Begyndelse, er sammes nederste Potens”. Det er i forordet til hovedregningsbogen, at Schneekloth klarest giver udtryk for sin regnepædagogik, men han udgav også i de følgende år ”praktisk Regnebog I-II” til brug for drenge- og pigeskoler. Senere blev han optaget af sit arbejde som redaktør af månedsskriftet ”Skolens Reform” og leder af Schneekloths Skole. Jeg bedømmer selv Schneekloth til at være 1800-tallets største regnedidaktiker. Han gjorde ikke blot op med den traditionelle mekaniske udenadslæren i regning. Han kom også med begrundede alternativer, fremhævede fagets formaldannende potentialer, der kunne komme til udfoldelse, hvis den sokratiske metode blev benyttet til at lede barnets konstruktion af egen viden. Man kan således på fagets vegne beklage, at han ikke fik flere år som regnedidaktiker. Men spørgsmålet er, om det ville have haft nogen effekt. Som tidligere fremhævet var der almindelig tilfredshed med netop regneundervisningen i skolen på den tid. Og Schneekloths regnebøger kom aldrig op på en brøkdel af det salg, som blev Chr. Hansens knap så ”reformpædagogiske” regnebøger til del.

Schneekloth, 1841, s. 13

Chr. Hansens regnebøger Fra omkring 1860 blev Chr. Hansens (1830-1910) system helt dominerende på regnebogsmarkedet. I 1880 blev de således benyttet på 87% af de skoler, der svarede på en spørgeskemaundersøgelse foranstaltet af Danmarks Lærerforening. Hvor Cramers regnebog var en håndbog, der kunne bruges både i skolen og i det praktiske liv, var Chr. Hansens bøger afstemt efter niveauer, aktivitetsformer og professioner. Og hvor Schneekloths bøger, især hovedregningsbogen, var fyldt med pædagogiske overvejelser, havde Chr. Hansen meget knappe forord. Hvor Schneekloth var den vidtfavnende pædagog og skolemand, var Chr. Hansen først og fremmest regnelærer og regnebogsforfatter. Men han kunne derfor producere et omfattende, næsten altdækkende regnebogssystem. Stammen i systemet bestod af ”Tabeller og c. 1600 Hovedregningsopgaver”, Hovedregningsopgaver I-III samt Tavleregningsopgaver I-III, hvor disse sidste blot er skriftlig selvstændig regning, idet tavlerne, der refereres til, er børnenes små skifertavler. Hertil kom Tavleregningsopgaver IV for seminarier, Geometriens praktiske Anvendelse for fx landbrugsskoler, Handelsregnebog for handelsskoler samt i den anden ende Billedregnebog for Smaabørn. Eksempler på den anbefalede brug af disse bøger:43 Almueskolen: Tavleregning I-II, Tabeller og Hovedregningsopgaver I-II. Borger- og Realskoler: Tavleregning I-III, Tabeller og Hovedregningsopgaver I-II Seminarier: Tavleregningsopgaver III og IV, Hovedregningsopgaver II og III. Det er tvivlsomt, om børnene elskede dem lige så meget som lærerne. Således må man fortolke overbibliotekar Poul Müllers kommentar: ”Hans bøger, kendt og lidet elsket af gene-

Se fx omslaget på Tavleregnings-Opgaver II, 1882 (20 udgave, 195.000 eksemplarer).

rationer, har da også givet anledning til den ordsproglige talemåde: ”Det er vist ikke efter Chr. Hansens regnebog””. 44 Men når en elev i landbyskolen klarede Chr. Hansens regnebøger helt igennem, så var der til gengæld fest på den lille skole. Lars Larsen-Ledet45 fortæller i ”Mit livs Karrusel”: ”Allerede første dag, da den lille skal indføres i regnekunsten, føler han og degnen hinanden på tænderne. Degnen skriver Lars tallene for fra 1 til 10, hvorpå drengen går ned på sin plads, spytter, tørrer med en foragtelig gestus af albuen tallene ud og skriver et 15-cifret tal, som han forelægger degnen med de ord: Kan do løhs det? Så må degnen frem med Chr. Hansens brune regnebog (Tavleregning I). Det kastes ud til overvejelse, om purken ikke vil starte med begyndelsen. Drengen bladrer lidt i bogen og fastslår: De æ wes kon for bette bøhn – hvor til degnen sagtmodig replicerer: Ja, ja – så kan du begynde, hvor du har lyst. Larses ry som regnegeni var slået fast fra starten. Han triumferede siden ved at nå alle tre dele af Chr. Hansens blå regnebog (Tavleregning II) igennem. Det blev fejret som en mærkedag i skolens historie. Kun to gange var en elev nået så vidt, og lærer Petersen havde for længst opgivet at følge med”.46 System Hansen var en sællert. Den store succes skyldtes måske Chr. Hansens særlige læggen vægt på hovedregning. Hans ”Regnetabeller og 1600 Hovedregningsopgaver” begyndte således at udkomme i 1861, men med 82. udgave fra 1942 var oplaget oppe på i alt en million sekshundrede og syv og tres tusinde. At netop hovedregningen47 var systemets særkende, skriver Chr. Hansen selv i et forord et par år efter, at systemet var blevet anbefalet og autoriseret af undervisningsministeriet i 1874: ”Fremdeles bedes bemærket, at disse Regnebøger ere anbefalede af mange af Landets Lærere, og ved disse rosende Udtalelser af Fagmænd er det fremhævet, at det er et Fortrin, der væsentlig udmærker denne Opgavesamling, at der i den findes et særskilt lettere (hefte?) til Indøvelse ved Hovedregning forud for Anvendelse af (i ?) mere sammensatte Opgaver paa Tavlen. Derved opnaas en lettere, friere og klarere Opfattelse hos Eleven, og Arbejdet lettes i høj Grad for Læreren i de store Skoler, idet Tavleregningen gaar let for Eleven, naar kun Hovedregningsopgaverne ere grundigt gennemgaaede”.48 Man fornemmer således, at det er den pædagogisk ide med hovedregningen, at den bidrager til en grundlæggende forståelse for tavleregningens mere komplicerede opgaver og mere mekaniske opstillinger. Men færdighed og sikkerhed var også mål for hovedregningen. Således anbefaler Chr. Hansen, at disse lettere opgaver i hovedregning ”indøves med Barnet, indtil dette besidder fuldkommen Sikkerhed i at regne disse”. Og med dette mener han faktisk alle børnene: ”ny Opgaver indøves ikke, før ethvert Barn i Afdelingen49 har opnaaet fuldkommen Færdighed. Der erholdes herved en fast Grundvold i enhver Regningsart, og denne er aldeles nødvendig i Regneundervisningen”. 50

Müller s. 111. Udtrykket har dog været brugt om alle dominerende regnebøger lige siden Adam Riese. Journalist og afholdsagitator, 1881-1958 46 Albert Johansen: Den lille skoles litterære eftermæle. I Af Landsbyskolens saga, 1964 s. 228. 47 Hans vigtigste konkurrent på dette område var N. Femmer: Hovedregning, der udkom første gang omkring 1850, med 12. udgave i 1902. I forordet til ”Svar og Opløsninger” 1854 kan Femmer ikke anbefale lærere uden den rette ”Livlighed” at benytte bogen;”thi Børnene vilde falde i Søvn over den, istedenfor at lære Hovedregning; thi morsom er den rigtignok ikke”. Denne form for beskedenhed syntes Chr. Hansen ikke at have lidt under. 48 Forordet til Chr. Hansen: Hovedregningsopgaver I til Regning med Brøk, 6. Udgave, januar 1876. 49 Landsbyskolens store klasser var ofte inddelt i afdelinger for at muliggøre fælles instruktion. 50 Forordet til Facitliste til Regne-Tabeller og c. 1600 Hovedregningsopgaver, dec. 1900. 45

Her lægges op til den traditionelle ”individuelle undervisning”, 51 der dominerede før klasseundervisningens gennembrud i starten af 1900-tallet. Hver enkelt barn blev hørt i dagens eller ugens stof. Hovedregningen skulle ikke blot skabe klarhed og forståelse, før børnene gik over til det selvstændige skriftlige arbejde. Hovedregningsbøgerne kunne også bruges til en tidlig form for stoflig undervisningsdifferentiering: ”Idet Hovedregningsopgaverne saaledes slutte sig til Tavleregningsopgaverne, opnaaes tillige den Fordel, at Læreren kan lade et Barn, der arbejder tungt fremad i Tavleregningsbogen, gjennemgaa Hovedregningsopgaverne ogsaa som Øvelse i Tavleregning; herved opnaas for Barnet en langt større Udvikling og Modenhed, Lysten stiger, naar det ser, at det med Lethed kan løse Opgaverne, op paa denne Maade maa ethvert mindre begavet Barn i Skolen helst udelukkende befatte sig med Hovedregningsopgaverne”.52

Hansens konkurrenter Selv om Chr. Hansen dominerede det samlede regnebogsmarked i slutningen af 1800-tallet så havde han dog værdige konkurrenter.

Ikke at forveksle med den nyere udgave af dette begreb, hvor der faktisk er tale om ”individuel læring”. Svagheden i det gamle system var at kun en enkelt elev var ”på”, og resten kunne slappe mentalt af, indtil det blev deres tur. 52 Forordet jan 1876.

Joakim Larsen53 startede sin karriere som lærebogsforfatter i 1878 med ”Hovedregning med hele Tal”, ”Regneopgaver for Begyndere” samt ”Tavleregnings opgaver”. Men det blev først med ”Regnebog til Skolebrug Hefte 1 til 3” fra 1888, at systemet kunne begynde at konkurrere med Chr. Hansens system. Larsens regnebog nåede ca. 13 oplag med det sidste omkring 1940. Bøgerne så på overfladen mere moderne ud end Chr. Hansens, idet de var skrevet i moderne skrift frem for Hansens gotiske skrift. Hvert hefte var holdt på tre ark papir, 48 sider, hvilket gav en overskuelig og økonomisk størrelse. Hvert hefte var i to afsnit, så systemet i alt kom til at svare til 6-7 års skolegang. Det hele tog sig overskueligt og overkommeligt ud: I 1.afsnit: Addition og subtraktion 1-10, 1-20 og endelig 1-100 I 2. afsnit: Multiplikation, division og blandede opgaver 1-100 og 1-1000 II 1. afsnit: Regning med tal indtil 100.000 II 2. afsnit: regning med tal ”indtil Millionen”. III 1. afsnit: Brøker, decimalbrøker og reguladetri III 2. afsnit: Multiplikation og division med brøker, procent- og rentesregning, delingsregning, fladers og legemers beregning samt blandede opgaver. Men det var nu ikke, fordi ny pædagogik umiddelbart sprang ud af siderne. Således er bogen for første klasse fyldt med nøgne talopgaver uden illustrationer på nær nogle dominobrikker på første side. I et senere forord får vi dog en pædagogisk begrundelse for dette: ”Ligesom de første Øvelser i hver Afdeling helst skal foretages med benævnte Tal, selv om de i Bogen for at spare Plads er anført med ubenævnte og evt. støttes ved Anskuelsesmidler og Tegning”.54 Det var Joakim Larsen (og sikkert forlaget med) me get magtpåliggende at holde hver bog på de 48 sider, og dette er muligvis årsagen til bogens relative succes. Hertil kommer, at der er ansatser til en spiral organisering af stoffet, Således er der allerede i bogen for første klasse forøvelser til multiplikation (I s. 18): ”Hvor mange Ben have 7 Børn? 5 Heste? 3 Fluer?” Og der er enkelte gode referencer til børneverdenen (II s. 18): ”Når man hver Uge lægger 25 Øre i Sparebøssen, hvor længe er man da om at sammenspare 12½ Kr.?”. En anden konkurrent var højskoleforstander N. Andersen fra Saksild ved Odder. Han startede med at lave regnebøger for Folkehøjskolen i 1872, fulgt op to år efter af ”Regnebog for Borger- og Almueskoler”. Denne bog nåede allerede i 1908 under navnet ”Regnebog for Folkeskolen” sit 21. oplag, det første efter metersystemet, bearbejdet af sønnen A. J. Andersen, lærer ved Kommuneskolen i Odder. Derefter nåedes endnu 21 oplag af meterudgaven med det sidste i 1951 og uforandret helt op til 19 meterudgave fra 1940. På seminarie- og realskoleområdet var V. Bertelsen55 ikke blot en konkurrent, men sandsynligvis mod århundredets slutning markedsførende. Bertelsens ”Regnebog for Seminarier og Realskoler” udkom engang i 1870’erne med 4. udgave i 1883 og 13. udgave i 1914. Jeg har læst erindringer om kampen med de sværeste opgaver i Bertelsens bog, men efter en seminariereform i 1894 blev regning gjort til et 1. dels fag med mere begrænset pensum, så Bertelsen fulgte op med en ny udgave i 1895, hvor de sværeste opgaver blev fjernet til fordel for en del nye og lettere opgaver. 53

Joakim Larsen (1846-1920), dansk skoleadministrator og -historiker. 1895-1900 formand for Danmarks Lærerforening, 1898-1911 skoledirektør i Frederiksberg Kommune. Udgav dansk skolehistorie (1536-1898), læse- og regnebøger. 54 Forord til ”Facitbog” 1907. 55 Bertelsen var omkring 1880 lærer ved Lyngby Seminarium, og i 1904 var han skoleinspektør.

Anskuelsesmaterialernes historie i 1800-tallet Chr. Hansen refererer ikke i sine pædagogiske forord til anskuelsesmaterialer, men de har været en selvfølgelig ting for den seminarieuddannede lærer at bruge på den tid. I Tavleregning I illustreres da også alle tal og alle indledende regneeksempler med prikker for enere og sorte kvadrater for tiere. Ved introduktion af gange lægges prikkerne i rektangler for at give en geometrisk illustration, tiendedele og hundreddele illustreres ved linealer, ved vægt er der billeder af de almindelige lodder til en skålvægt, 1 ar er vist som et kvadrat på 100 kvadratmeter, 1 kubikmeter er illustreret som en terning med 1000 kubikdecimeter. Hans anskuelige fremgangsmåder afspejler sig i benævnelserne for regneoperationer, der er dagligdagsord i modsætning til fx Cramers latinske benævnelser: Sammenlægning (Cramer: addition), Fradragning (subtraktion), Deling (Division), men han kan dog ikke undgå det latinske siden hen i begreber som minuend og dividend. 56 Man kan imidlertid ikke kalde lærebogsforfatteren Chr. Hansen for en frontfigur inden for anskuelsesundervisning og brugen af konkrete materialer i regneundervisningen. Hans tidlige forgænger H.N. Bache er næsten mere radikal. Han foreslår nemlig i modsætning til Chr. Hansen helt at holde talsymbolerne ude af den indledende hovedregning, hvor Chr. Hansen, til en vis grad tvunget af bogmediet, starter alle sine opgaver med talsymboler. Bache foreslår i sin Undervisningsmethode i Hoved- og Tavleregning fra 1822: “Da Børn snarere tænke paa Taltegnet, dets Figur og Navn, end paa dets Værdi, bør de ingenlunde begynde med at kende Ciffrene og deres Brug. Den symbolske Regning, med Talstørrelsernes Tegn, er et højere Trin, og læres med lethed, efter et Kursus er gennemgaaet uden Tegn. Den rene Regning uden Ciffre, er den egentlige og sande Hovedregning”.57 “Begyndere maa lære at tælle og regne ved hjælp af lutter virkelige Ting. Ved saaledes at behandle sanselige Genstande faar de interesse for Regning og en tydelig forestilling om, hvad Tallene indeholder, og Talbegrebernes Tydelighed er Grundvolden for al Regning”.58 Denne læggen vægt på forståelse og anskuelse var udbredt blandt tidens fremmeste regnepædagoger i Europa. Det bedste udtryk for tidens reformpædagogik fremgår må ske bedst af et tysk skoleblad, hvor der så tidligt som i 1836 ironisk var angivet seks regler for “hvorledes man kan undervise slet i regning”. Altså allerede i 1836 ville i al fald nogle tyske regnelærere kalde følgende for slet pædagogik: 1. “Hvis man har 4 ugentlige Regnetimer, tager man den ene til Teori, den anden til Hovedregning og de to øvrige til Tavleregning. Hver af de tre Ting har sin særlige Gang: Hovedregning har intet til fælles med Tavleregning; og Teorien tager intet Hensyn til nogen af de Andre. 2. Ved Teorien bygger man ikke paa Anskuen, men paa abstrakte Begreber; man bruger heller ikke almindelige forstaaelige Udtryk, men fremmede, der har en fornem Klang.

De store reformatorer (sprogrensere) hvad angår danske hverdagsinspirerede begreber til erstatning for latinske i regning, matematik og fysik var H.C. Ørsted (1777-1851) og højskolemanden Poul la Cour (18461908). Se H.C. Hansen: Poul la Cour, 1985, s. 129f. 57 Her efter indledningsvignet til Friis-Petersen, Gehl og Jessen: “Regneundervisningen i andet skoleår”, 1919. 58 Her efter indledningsvignet til Friis-Petersen m.fl:“Landsbyskolens Regnebog – lærerens bog”, 1924.

Størstedelen af Tiden anvender man paa det, der er uden Nytte. Ved en Undervisning, af hvilken Børnene intet skal lære, er en udførlig Proportionsteori særlig at anbefale. 3. Ved Hovedregning søger Læreren at forebygge den Mulighed, at Børnene ved Slutninger og selvfunden fremgangsmaade løser Opgaven. Man indretter Hovedregningen saaledes, at den i Grunden kun er en Regning med Cifre. Skal Lærlingen udføre en Division i Hovedet, vænner man ham til ligesom at skrive Dividend og Divisor i Luften foran sig. 4. For dog at opnaa Skin af, at Undervisningen i Hovedregning har baaret udmærkede Resultater, indøver man visse Kunststykker, hvis Anvendelse let kan imponere den Ukyndige. 5. Ved Tavleregning giver vi hvert Barn en Regnebog og lader det efter en Fremgangsmaade, som vi ikke har forklaret, men blot vist, regne paa det Sted i Bogen det er kommet til. Den Bog der indeholder Løsningerne, bliver i vore Hænder, og naar Eleven har regnet en halv Time, saa sammenligner vi hans Facitter med dem, der staar i vor Bog. Med et; Rigtigt! eller et: Galt! bliver hver Ting let afgjort, og de, som vi tilraaber: Galt! maa selv se, hvorledes de kan blive færdige med Opgaven. Det kalder vi at lede Børnene til Selvvirksomhed; de maa søge, saa vil de finde. 6. Et særlig virksomt Middel til at hindre alle Fremskridt i Regning har man i Valget af de Opgaver, man giver Eleverne. Frem for alt bør man vælge rigtig store Tal, om hvilke Børnene ingen Forestilling kan gøre sig, Benævnelser, som er helt fremmede for dem, og lade Opgaverne handle om Ting, som de ikke forstaar. Ved dette Middel vil man i intet Tilfælde undgaa at naa Maalet: at undervise, uden at Børnene lærer at regne”.59 Denne satiriske fremstilling af regneundervisning anno 1836 kan dels stå som et billede af, hvordan undervisningen faktisk blev bedrevet af mange regnelærere, og dels fortælle os, hvor langt fagets frontløbere allerede tidligt i 1800-tallet var kommet. Denne stærke læggen vægt på det virkelige, sanselige og anskuelige blandt de fremmeste pædagoger fra starten af 1800-tallet er i stort omfang inspireret af Pestalozzi, der så kraftigt fremhævede anskuelsesprincippet som grundlaget for al læring. Således stammer de plastikregnepenge, vi finder i skolerne i dag, indirekte fra Pestalozzis forsøgsskole (1805-25) i Yverdon. Her var den tyske pædagog Karl von Raumer på besøg i 1809-10 og så, hvorledes Pestalozzi anskueliggjorde de hele tal med streger på tavlen. von Raumer syntes, at børnene skulle have noget mere farverigt og skinnende i hænderne i dette arbejde med tal: ”Han fremstillede derfor sine Regnepenge af hvidt og gult Metal i forskellige Størrelser. De små hvide betegnede Enere, de større Tiere og de største Hundreder. Hertil slutter sig gule Metalpenge i fire Størrelser, de mindste betegner Tusinder, de større Titusinder osv.”60 Også den kugleramme, der lige siden har været anvendt som anskuelsesmiddel i skolerne blev indført til Europa i starten af 1800-tallet. Oldtidens abacus havde inspireret til 59

Her efter J.F. Johansen: Regneundervisningen de første 4-5 skoleår, en håndbog for lærere og lærerinder, København 1909, s. 23. 60 Fr. Thomassen: Anskuelsesmateriel ved regneundervisningen, Vor Ungdom 1905, s.481.

forskellige typer af regnebrætter, der lige siden havde været anvendt som en slags maskiner til regning. Langt senere var den i Rusland blevet udviklet til ”kugleramme”: ”I sin simpleste Udgave består den af en firkantet Træramme med 10 Ståltråde, befæstede i Rammen med lige store Afstande, hver bærende 10 lige store Kugler”.61 Efter krigen mod Rusland i 1812 havde de franske tropper taget nogle af disse kuglerammer med hjem, og da den åbenbart var svaret på behovene i den almene regneundervisning, der blev indført overalt i disse år, spredte den sig ganske automatisk i Europa. ”Intet anbefalende Ord af en fremragende Pædagog har ledsaget den; men den var der og bredte sig fra Sted til Sted, og den kom netop i rette Øjeblik. Thi i Elementarskolen begyndte i første Fjerdedel af forrige Aarhundrede Trangen til Hjælpemidler, især i Regneundervisningen, at ytre sig. Man trængte til et bekvemt og billigt Apparat, der kunne lette Elevernes Sanseliggørelsen af Tallene og med Glæde greb man til Kuglerammen, der kunne laves af enhver Landbysnedker for en billig Penge. Før Metodikerne endnu havde faaet Lejlighed til i Lærebøgerne at gøre Opmærksom paa Regnerammen, havde den fast Fod indenfor Skolens Døre, ja ogsaa i Familierne, hvor den blev benyttet som et slags belærende Legetøj”.62 Så man kan roligt påstå, at den anskuelsesundervisning, der senere blev så stærkt anbefalet i 1900-tallets undervisning, havde det materielle grundlag i orden, i al fald i regnefaget. Men det var nu først og fremmest kuglerammen, der var det foretrukne udstyr i århundredets første halvdel – selvfølgelig suppleret med naturligt forhåndenværende genstande i klasseværelset og ting medbragt af børnene. En række nye anskuelsesmaterialer hører dog starten af 1900-tallet til. Skønt man i 1875 på internationalt plan blev enige om at indføre metersystemet til afløsning af det omfattende nationalt individuelle gamle målesystem, var det først i 1907, man i Danmark ved lov gik over til metersystemet i almindelig handel.63 Dette gav straks behov for en række nye anskuelsesmidler. Således udgav flere forlag i 1909 illustrative metertavler, der i stort format angav de nye længde-, flade-, rumfangs- og vægtmål samt betydningen af de græske og latinske forstavelser (fx deka- og deci-). I en anmeldelse af disse anskuelsesmidler slås selvfølgelig fast: ”at en metertavle ingenlunde overflødiggør meterstok, sønderdelt decimeterterning, vægtskål og gramlodder; dens egentlige formål er at opfriske erindringen om de målinger og vejninger, som børnene foretog første gang, de fik noget at vide om meter, liter og kilogram”. 64 På overfladen er det, der adskiller 1900-tallets regnebøger fra tidligere tiders, måske allermest den konsekvente brug af metersystemet i modsætninger til virvaret af gamle enheder og underenheder. På grund af inertien i hele systemet af lærebøger tog det lidt tid før de gamle enheder blev totalt udluget, skønt det allerede i anmeldelsen af metertavlerne 1909 blev anført: ”De nederst paa Siden (Tavlens Bagside) meddelte Overgangstal mellem nogle af Metersystemets og de tidligere her i Landet benyttede Enheder burde have været udeladt, da den opvoksende Slægt intet har at gøre med Fortidens Maalsystem”. 65 På dette område var Chr. Hansen en tidlig pioner, idet hans Tavleregning fra midten af 1890’erne kunne fås i en meterudgave, fx 1897-udgaven af Tavleregningsopgaver I, ”omarbejdet efter Metersystemet, 56de Udgave (i alt trykt i 840.000 Eksemplarer), 2den Udgave efter Metersystemet (5000 Eksemplarer)”. 61

samme s. 481. samme s. 482. 63 Se fx under Metrologi i Den store danske encyklopædi. 64 V. Trier: Litteraturanmeldelser, Matematisk Tidsskrift 1909, s.125. 65 Samme s. 125. 62

Ved slutningen af dette kapitel om udviklingen fra 1739 til 1900 medgår jeg gerne, at jeg har været optaget af tidlige moderne tanker og materialer. Dette kan give fremstillingen en skævhed, for landsbyskolelæreren havde måske hverken tid, fagligt overskud eller praktisk mulighed med sine mange børn i klasserne for at realisere de nye muligheder. Måske tegner direktøren for Århus kommunale skolevæsen Chr. Buur et mere realistisk billede med sin erindring af regneundervisningen i Assing Skole, hvortil han kom som 6-årig i 1870: ”Regning indebar jo så mange Gaader, som smaa Drenge ikke fik nogen Forklaring paa, ganske simpelt fordi det ansaas for Tidsspilde at forklare Børn Ting, som de ikke var store nok til at forstaa. Saa kom Gangeregning, naar den lille Tabel var lært, og endelig Division, som vi nok benyttede det latinske Navn paa. – Naa, vi rensede propert vor Skiffertavle med Spyt og et Trøjeærme, regnede Siden fuld og stillede oppe hos Degnen for at blive hørt. Vi var paa omtrent lige saa mange Steder i Regnebogen, som vi var Elever, og han holdt sig klogelig ved sin skraa Pult, som aabnede sig med en Klap og aabenbarede et Rum med forskellige til Undervisnings og Morals Fremme tjenende Redskaber, bl.a. et Stykke Reb, der kaldtes en Tamp. – Viste det sig, at en ikke kunde magte sine ”Stykker”, saa blev vedkommende sat tilbage, det sædvanlige udtryk for den Beskæmmelse at maatte begynde et efter Degnens Skøn passende Antal Sider foran i Regnebogen. Det passerede heldigvis ikke for mig nogensinde. Jeg regnede løs og kom snart helt hen til Division, hvis Stykke dannede en lang Hale paa Tavlen, saa der ikke blev Plads til saa mange. For at økonomisere med Pladsen anbragte jeg saa alle Kvotienterne i øverste Hjørne til højre paa Tavlen. Degnen kunde ikke straks følge mine Dispositioner og spurgte, hvad det var jeg have staaende der i Hjørnet, hvortil jeg som sandt svarede: Det er æ Ganger. Degnens livligere Associationer fik ham til at gøre en spøgefuld Bemærkning om at sadle sin Ganger – eller saadan noget. Jeg forstod ham ikke – naturligvis – men var dog klar over, at han gjorde Nar”.66 Så selv om 1800-tallet var fyldt med moderne pædagogiske tanker, også på regnedidaktikkens område, og lod disse tanker udmønte i velegnede materialer og regnebøger, så kunne den enkelte elevs oplevelse af regneundervisningen måske godt minde om hans oldefars oplevelser i 1700-tallet. Dette svælg mellem en tids bedste teori og samme tids udbredte praksis forsvandt desværre ikke nytårsdag år 1900.

Matematik i folkets skole? Matematik omtales ikke i forbindelse med skoleloven af 1814. I regnebøgerne kunne der optræde opgaver med areal og rumfang, men disse dele af geometrien har altid været så nært knyttet til regning, at de vel af de fleste opfattes som regning. Så matematik indgik ikke i almindelige børns skolegang før 1903. Matematik i latinskolen til 1800 Faktisk tog det også lang tid, før matematikken fik nogen rolle i latinskolerne. Chr. IV havde ganske vist indført aritmetik og geometri i latinskolen med sin forordning i 1604, men der havde siden da været perioder, hvor faget udelukkende bestod af almindelig regning. Først med Chr. VI’s Forordning af 17. April 1739 blev det af latinskolerne krævet, at der skulle være regning på dansk i de nedre klasser, aritmetik på latin i de mellemste og geometri ligeledes på latin i de øverste klasser. 66

Buur, Christian: Om at tage i Part, Vor Ungdom 1934/35, s. 12. Han fortsætter med at fortælle om, hvordan hans moder havde lært at ”tage i Part” af sin regnelærer i 1840’erne, og fortsætter derefter bagud til Cramers Regnebog, hvor det var en af de regnetekniske finesser.

Der var dog to alvorlige problemer i forbindelse med anordningens gennemførelse: manglende bøger og manglende faglærere. Det var ikke nogen nem sag at få nogle af de teologisk uddannede lektorer i latinskolerne erstattet med matematikere. Eksamensprotokollerne viser da også i endnu en lille snes år næsten udelukkende nuller, den laveste karakter, i faget geometri. 67 Hvad lærebøger angår lysnede det lidt her i oplysningstidens århundrede. Da Euklids Elementer næsten havde samme betydning for matematikken som Bibelen havde for kristendommen, så var det vigtigt med en god latinsk udgave af Elementerne. En sådan skrev professor J.F. Ramus 68 i 1737 – fulgt op af en skoleudgave ”Euclidis Elementa geometriae planae libris VI comprehensa” 69 i 1740. Euklids ”egen” fremstilling var for kanonisk til, at der kunne laves ændringer i teksten i skoleudgaven. Men han gav bedre struktur og oversigt ved hjælp af forskellige skrifttyper og indførelse af figurer med hjælpelinjer på hensigtsmæssige steder i fremstillingen. 70 I 1744 lavede Ramus’ adjunkt, E. G. Ziegenbalg, 71 en dansk oversættelse af Ramus’ latinske udgave af Elementerne. Det er i sit forord til denne danske udgave, at Ramus priser Elementerne så højt, at man kunne tvivle om der nogensinde burde skrives geometribøger på en anden måde: "Der have adskillige Mathematici og Mathematum Studiosi foretaget sig at vilde vise os en kortere Maade at lære Matematikken end af disse Euclidis Elementer: Hvad de hermed have udrettet, kand her ikke tales meget om: thi med faa Ord at sige, da ere Euklidis Elementer det ældste og eneste Dokument, hvorpå al Matematik er grundet, og de beholder nok den Priis og Berømmelse, som de hidindtil udi to Tusinde Aar have haft". Så smukt dette end lød, var det beklagelige faktum, at latinskoleeleverne over en kam fik nul i geometri til eksamen i århundredets midte. I forbindelse med det store reformprogram af skolevæsenet omkring 1800, havde der også fra 1790 til 95 siddet en kommission, der især skulle lave udkast til en reform af universitetet og latinskolerne. I sin betænkning – ved formanden, hertugen af Augustenborg – priser kommissionen matematikken for dens formaldannende kvaliteter: ”Mathematikken er, især for sin store indflydelse paa Sjæleevnernes 67

S. A. Christensen (1895) s. 20ff. J.F. Ramus (1686-1769) var fra ca. 1720 til 1769 professor i matematik ved Universitetet, hvor han underviste i matematikkens grundlag bl.a. efter sin latinske oversættelse. Han bedrev også megen praktisk matematik og skrev bl.a. ”Historisk og physisk Fortællelse om de forunderlige Nordlyses Natur og Oprindelse” (Christensen 1895, s. 214). 69 Som det fremgår, omfatter dette de 6 første bøger af Elementerne. S. A. Christensen vurderer dog, at man kun har kunnet nå 1. og evt. 2. bog i latinskolen. Resten har man måtte læse på universitetet. 70 Christensen (1895) s. 40. 71 E. G. Ziegenbalg (1716- 1758), professor ved Universitetet fra 1747 til sin død i 1758. Han skrev ikke meget i matematik men få afhandlinger i fysik, metorologi og zoologi som fx: ”En mærkværdig Egenskab funden hos Snegle”. 68

Dannelse, en af de vigtigste Skolevidenskaber. Alt tidligt kunde dens Elementer bibringes Drengene; dog tror jeg, man maatte i Begyndelsen indskrænke sig til den rene Mathematik. Siden maatte ogsaa foredrages Begyndelsesgrundene af den anvendte”. 72 Til at nå den rette formaldannende virkning var intet bedre end geometrien med ”euclidisk Strenghed”. 73 Kommisionens forslag blev efter nogle forsøgsår påbudt i alle latinskolerne fra 1801. Det er imidlertid ikke latinskolens historie, jeg her søger at beskrive,74 men spørgsmålet om 1700-tallets fornyede interesse for bl.a. geometrien i latinskolerne fik afsmitning på det lavere skolesystem, folkets skole. Skolematematik i Oplysningstiden Det lå i Oplysningstidens program, at oplysning om de væsentligste ting burde være tilgængelig for alle. For professor i Halle, Christian Wolff (1679-1754) var matematikken blandt de emner, der var væsentlige for alle.75 Thi matematikken er ”en Videnskab at udregne og udmaale alt, hvad som tælles eller maales kand”. Således starter forordet til den danske oversættelse (1741) af hans matematiske hovedværk: ”Kort Begreb af den første Grund til alle Mathematiske Videnskaber: Den første Deel indeholder den pure Mathematik som bestaar udi Regnekunsten, Geometrien, Trigonometrien og Algebra”. Og jeg har tidligere citeret Wolff for en stærk bekendelse til matematikkens formaldannende potentiale. Der er altså hele to typer af grunde til at udbrede kendskabet til matematik, nytten og dannelsen. Hvis man imidlertid vil gøre geometri tilgængelig for ungdommen i almindelighed, så nytter det ikke at formidle den på Euklids manér, altså gennem den aksiomatisk-deduktive metode. Man må i stedet gå praktisk og eksperimentelt til værks: Denne Maade at begynde af Praxi var ogsaa vel den tienligste at bruge til Ungdommens Underviisning i Skolerne, fordi de herved i Almindelighed blive opmuntrede til meere Fliid og Villighed at lære de Ting, som hører til Theorien, der ellers i Førstningen synes for dennem saa tung og ufornøden at lære. Men førend man gik til Beviisningerne var det ikke utjienligt, at Ungdommen blev underviist om at opsette Figurer efter de udi Lære-Reglerne fremsatte Conditioner og derhos ved Instrumenter at forsøge om det og in praxi rigtig intreffer, hvad der var forestillet: Og i hvorvel dette er ikkun Mechaniske Prøver, som ej kand agtes for noget grundig Beviis, saa hielper de dog dennem meget baade til at forstaae saadanne Reglers rette Indhold, som og til at gaae behændig og rigtig frem udi deres Foretagende”.76

Christensen (1895) s. 54. Dette stod ikke direkte i kommissionens betænkning, men blev resultatet i læseplanerne i fx København og Christiania (Oslo)., Christensen 1895 s. 56. S. A. Christensen er selv (i 1895) et barn af sin tid, formaldannelsens sensommer, når han (s. 54f) skriver om kommisionsformandens interesse for matematikken: ”ligesom han også har en rigtig Opfattelse af dens Betydning som Skolefag, og naar man ser hen til den Betydning, som matematikken har paa Sjæleevnernes Udvikling, bliver det klart, at Bogstavregning rettest henvises til Regning, baade fordi Eleverne ere Børn og fordi den Udvikling endnu stod langt tilbage for Geometrien, hvor man havde Euclids logiske System at bygge paa, medens man endnu i Artimetikken kun sjældnere indlader sig paa egentlig Bevisførelse. Derfor maa ogsaa den egentlige Aritmetik staa tilbage for Geometrien”. 74 Tråden tages op i kapitlet om ”Debatten om Matematik i Mellemskolen i 1903”, hvor der søges tilbage i latinskolens matematikpensum efter 1850- og 1871-forordningerne for at søge inspiration til muligt pensum for mellemskolen. 75 Men det var der meget, der var for Wolff, som det fremgik af hans ”Vernünftige Gedanken”, der bl.a. omfattede ”Formuftige tanker om Gud, verden og menneskets sjæl, tillige om alle ting overhove det”. 76 Wolff, Chr. (1741) forordet. Dette er skrevet af oversætteren, der ikke oplyser sit navn. 73

Dette er imidlertid oversætterens mening, og skønt han nok har noget af det fra Wollf, så afspejler det sig ikke rigtig i Wollf’s bog, der ikke på nogen måde kan kaldes eksperimentel i moderne forstand. Dertil styres hvert eneste af elevens trin for stærkt. Der er da heller intet der tyder på, at Wollfs bog blev en succes som lærebog for unge. Når den alligevel omtales her, er det fordi den inspirerede flere danske lærebogsforfattere og blandt disse Christian Cramer, hvis regnebog, jeg tidligere har omtalt. Cramer var ikke som Wolff oplysningsfilosof, men han var vor vigtigste oplysningspraktiker i 1700-tallet, ikke mindst når det drejede sig om at gøre matematik og regning tilgængelig for ungdommen. 77 Allerede tidligt i sin karriere markerede et stærkt engagement i oplysning for folket. I 1722 var han netop startet som skoleholder i Århus, da han blev involveret i byens helt dominerende sag i disse år, nemlig sagen om natmandens børns skolegang. Den tids natlige renovationsarbejdere havde et noget mere beskidt arbejde end tilfældet er i dag, og skolekammeraterne mente i al fald, at natmandens børn stank i skolen. Men myndighederne fastholdt, at børnene havde ret til skolegang. Så de stakkels børn opnåede at tømme flere skoler totalt for elever indtil Cramer, som eneste skoleholder, tog frivilligt imod dem i sin skole. I 1728 tog han studentereksamen og fortsatte derefter som skoleholder. Fra 1741 var han desuden klokker78 og alterdegn ved domkirken. I 1754 indsendte han til kongen ”Betænkninger om Kiøbstæd Skoelers Tilstand og Forbedring”. Han forslag lignede på mange punkter dem, der blev gennemført tres år senere med skoleloven af 1814. Når det drejer sig om matematik i folkets skole, var han også langt forud for sin tid: ”Spørger man: Hvorfor Mathematiquen iblant os hidindtil har havt saa faa Elskere? Saa kan man med Sandhed sige: Fordi den har havt saa faa Kiendere”.79 Matematikken havde været forbeholdt de få, der kunne læse latin, så derfor havde den brede befolkning ingen anelse om, hvad den gik glip af. Det ville Cramer lave om på gennem sin produktion af lærebøger i regning og matematik. Siden udgivelsen af regnebogen i 1735 havde han udgivet en Aritmetik i 1744, den første danske differentialregning i 1748, mens hans geometri, Geometria tyronica, først udkom i 1768 efter hans død. Den danske titel på geometrien var ”Maale-Konst for Børn eller Begyndere”. Det med ”børn og begyndere” er blevet overstreget i mit eksemplar,80 hvilket måske er en minianmeldelse af bogen. Men den var klart henvendt til købstadsskoler som Cramers egen skole i Århus. Begrundelsen for at indføre matematik i skolen følger direkte af Cramers beskrivelse af matematikkens væsen: ”Mathematiquen er en Videnskab om alle Tings Størrelse, og da alle Ting lader sig maale, saa er intet i Verden, hvor den jo kan anvendes, og have sin Brug og Nytte; Den er alle Stænders Forebedrer, de fleeste Videnskabers, Konsters og Haandværkers Befordrer, og en stor Hielperinde til mange Rigers Floer”.81 Dette nyttesynspunkt henvises læseren til at få uddybet i den danske udgave af Chr. Wolff eller i forordet til Ziegenbalgs Euklidoversættelse. Da Cramer har børn som målgruppe og da han er inspireret af Wolff, bliver hans begrundelse dog lidt anderledes:” Jeg, som 77

Således skriver Chr. Buur og Joakim Larsen i Personalhistorisk Leksikon: ”Cramer har mere end nogen anden Lærebogsforfatter i 18. Aarh. arbejdet for Regningens og Matematikkens Fremgang her i Landet”. 78 Det er tankevækkende, at begge vore store tidlige regnebogsforfattere var klokkere. Men det passer godt med det oldgamle begreb ”musica” der omfattede både musisk harmoni og brøkregning, der også indgik sammen i den klassiske dannelsespakke quadrivium (aritmetik, geometri, astronomi og musik). 79 Chr. Cramer: Geometria Tyronica, 2. udgave, Aalborg 1770, forordet side 3. Bogen er udgivet af sønnen H.C. Cramer, men forordet er signeret Chr. Cramer. 80 Lånt på Askov Højskoles bibliotek, afdelingen for sjældne bøger. 81 Altså (økonomiske) blomstring. Cramer 1770, s. 6.

skriver kun for Børn og Begyndere, vil kun erindre dem den Nytte og Fordel, de har at vente af Mathetis pura,82 og fornemmelig recommenderer dem Aritmeticam og Geometriam, med Forsikring, at de derved giøres beqvemme til, bedre at lære og fatte andre Ting, især hvilken af de øvrige Videnskaber, deres Stand ved tilvoxende Aar udkræver, enten de blive Geistlige eller Verdslige, Civile eller Militaire, til Lands eller til Vands”. Det er med andre ord formaldannelsen, han her fremdrager, idet det vel er den eneste gavn gejstlige kan have af matematikken. ”Den har giort os skikkede til Eftertanke, ufortrædne i Flittighed… den har lært os at giøre rette Fornufts-Slutninger… og vi kan læse Aviserne med Nytte”. 83 Der er dog hos Cramer en ligeværdig balance mellem denne formaldannelse og den indholdsbestemte materialdannelse, altså den direkte nytte af det indlærte stof og fagets metoder. Det sidste vil ikke blot være nyttigt ved overgang til latinskolen: ”De som kom til Søen, vare langt nærmere ved at fatte Styrmands-Konsten. Og hvad Fordeel var det ikke for de fleeste professioner, om Drenge vare forud øvede i Maal og Tegning, hvis mangel opfylder landet med Fuskere? Og Kiendere veed best, hvori Fordeelen er for Krigs-Mænd og Land-Mænd”. 84 Så for Cramer er der ingen tvivl om, at der er stærke pædagogiske begrundelser for at give børn matematikundervisning. Men han er – inspireret af Wolff – godt klar over, at strukturen aksiom-bevis-teorem fra Euklids Elementer nok ikke vil kunne overføres til undervisning for børn. Han laver så sin egen udgave af Wolffs forslag om at starte med praksis. Han kalder det den praktiske eller den mekaniske læremåde. Det vil en moderne læser måske opfatte som to modsatte metoder, men for Cramer hænger de sammen. Børnene skal ganske vist eksperimentere med nøjagtige tegninger af geometriske objekter og situationer. Men samtidig skal de lære rent mekaniske metoder til kvadratrodsudregning, decimal- og trekantberegning. Det praktiske (eller mekaniske) bevis for en geometrisk sammenhæng fremkommer da ved, at tegning og beregning giver samme resultat, når de bruges på samme geometriske situation. Dette i modsætning til de egentlige beviser eller demonstrationer, ”som flyde af Theorien ved Fornufts-Slutninger”.85 Da hele Cramers geometribog eksemplificerer denne metode med praktiske beviser, kunne man tro, at han kunne afbryde sit forord for at komme i gang med sagen. Men der er en sidste part, han skal have taget i ed først, nemlig skoleholderne. Han er godt klar over, at meget få af dem nogensinde har set geometri og endnu færre geometri efter den her foreslåede metode. Så de får en mellemting mellem en opsang og en opmuntring. Matematikken er så vigtig for almuen, at skolemestrene er forpligtede til at sætte sig ind i den, og det er ikke så svært, når man følger Cramers metode – hævder Cramer. Så er der problemet med de forskellige tegneredskaber og måleudstyr. Han går nøje ind på forhandlere og priser, så man fornemmer, at her er noget, der måske vil være for dyrt for mange skoler. Mod slutningen af forordet er det, som om han tvivler på, om han kan få geometrien indført i købstadsskolerne. For han begynder at blive politisk. Problemet med at få kvalificerede lærere bør klares ved at enhver latinskole også skal være et seminarium, ”hvorfra landet kunde forsynes med duelige Kiøbstæd-Skoleholdere”.86 Og magistraten i købstæderne burde indrette skolerne efter Cramers ”Betænkninger om Kiøbstæd Skoelers Tilstand og Forbedring”, som han også skitserede i 2. oplag af regnebogen. Endelig er det vigtigt, at ”Vedkommende meere see paa det almindelige Bedste, end paa Egennytte; thi da kan de og lettelig see, at almindelige Mands ungdom bliver forsømt, og dens Tid spildt; Og da skulde

Altså den rene matematik som aritmetik, algebra og geometri. Cramer 1770 s. 6-7. 84 Cramer 1770, s. 8. 85 Cramer 1770, s. 10. 86 Cramer 1770, s. 17. 83

de, som gode Patrioter, ej holde Forbedringen umuelig, men lettelig finde paa Middel og Maade til at legge Grunden”. Alt i alt blev det et noget krævende forord, og så vidt vides blev geometrien kun indført i få skoler og da kun private realskoler. Når jeg alligevel har medtaget historien om Cramers kamp for indførelse af matematik i folkets skole, så er det fordi han var den første talsmand for dette synspunkt. Det sejrede til sidst, først med mellemskolens indførelse i 1903 og siden med skoleloven af 1975, hvor matematik blev et fag for alle – skønt det da ikke blev lige efter Cramers geometri.

2: Optakt til Almenskoleloven af 1903 Resumé: Skolesystemet før 1903 var opdelt efter stænder, og mobiliteten mellem skoleformer var vanskelig. Med den ny folkeskolelov i 1899 stykkedes folkeskolen med nye fag, flere timer og bedre forhold for lærerne koblet med krav om lærereksamen. I det videregående skolesystem tog latinskolen kun imod omkring 1% af en årgang, og for at komme den vej måtte barnet tidligt vælge latinskolens forberedelsesklasser eller en privat forberedelsesskole. Derimod oplevede realskolerne en stærk vækst efter indførelsen af Almindelig Forberedelseseksamen i 1881. Der var op mod 1900 ti gange så mange realskoler som latinskoler. Disse realskoler havde imidlertid også deres problemer, idet to ud af tre faldt fra før eksamen. Og de der gik ud i det praktiske liv efter almindelig forberedelseseksamen, blev af nogle arbejdsgivere dømt for ”uskikkede til praktisk virksomhed”. Ikke mindst et fag som matematik blev en underlig amputeret størrelse for de mange, der forlod realskolen i konfirmationsalderen. De havde sikkert haft mere ud af den regning, de kunne have fået i folkeskolens øvre klasser. Med parlamentarismens indførelse i Danmark i 1901 syntes det klart for de fleste, at et moderne demokratisk samfund burde have et sammenhængende skolesystem – en enhedsskole. Det ville øge det generelle uddannelsesniveau, og det ville fremme den sociale forståelse mellem stænderne. Andre lande som Norge havde allerede vist vejen, så det burde også kunne gennemføres i Danmark. Med Almenskoleloven af 1903, kunne børn så efter en optagelsesprøve i 4. eller 5. klasse starte i den fireårige mellemskole, afslutte skolegangen med mellemskoleeksamen, tage et år mere for at få realeksamen eller gå over i en af det nye gymnasiums tre linjer. Hermed blev matematik et fag for mange børn, dog kun i den ene af folkeskolens to grene. Op gennem 1800-tallet var skolen i grove træk organiseret efter de forskellige standes behov. Almuens børn nøjedes med almueskolen og i byerne offentlige gratis borgerskoler – i folkemunde kaldet fattigskolen, borgerstandens børn gik i private borgerskoler eller senere realskoler, og akademikernes børn gik i den lærde skole, latinskolen. Op mod år 1900, hvor parlamentarismen snart blev indført, hvor husmænd og arbejdere fik stigende politisk indflydelse, og hvor alle begyndte at opfatte uddannelse som noget samfundet med fordel kunne investere i, var der almindelig enighed om at forbedre skolesystemet og især at skabe større enhed i dette opsplittede system. “I Aarhundredets sidste Aartier har en hastig økonomisk Udvikling skabt forholdsvis Velstand i Lag, som tidligere hørte til Fattigklassen, og saaledes ved at højne Livsvilkaarene højnet det sociale Niveau. Arbejderstanden er vokset i Velstand, Borgerstanden i Dygtighed og Indflydelse; samtidig er der hos alle borgerlige Partier – uanset deres politiske Opfattelse – fremvokset et borgerligt Frisind og en dyb Forstaaelse for Oplysningens store Betydning for den personlige Udvikling og Dygtiggørelse til Livets Gerning. Alt dette i Forening har virket til at højne det danske Skolevæsens borgerlige Afdelinger. Den borgerlige Betalingsskole er bleven til Realskole, den fattige Friskole er højnet til Borgerskole... Man har indset, at Skoleudgifter omsættes i andre Værdier, den opvoksende Slægts legemelige og aandelige Sundhed, arbejdsdygtige moralske Individer, der som Voksne i rigt Maal tilbagebetalte Samfundet, hvad deres Opdragelse har kostet, ved deres større Erhvervsevne, deres inderligere Borgersind og deres højere moralske Værd”.87 87

Georg Bruun: Skolens Enhed, Vor Ungdom 1901, 519.

Folkeskolen Der var især behov for forbedringer på folkeskolens område, der ganske vist havde udviklet sig noget i hovedstadsområdet, men “Folkeskolen udenfor Hovedstaden, og da især Landsbyskolen staar med væsentlig samme Organisation som i vore Bedsteforældres Tid, og da denne ordning (loven af 1814) paa mange Punkter kun var en Virkeliggørelse af de Tanker, der allerede fandtes i Kristian den Sjettes Forordning af 1739, har vor Skoleordning et aldeles forældet Præg”, 88 mener skoleinspektør Joakim Larsen i sit foredrag i Det Pædagogiske Selskab i 1895. Han vurderer det lovforslag om en ændring af folkeskolens forhold, som regeringen netop havde fremlagt, og som med nogle ændringer blev vedtaget i 1899. Det var ikke de stor pædagogiske visioner, regeringen havde fremlagt, men de helt jordnære ting omkring lærernes aflønning, klassekvotienter, undervisningstid og -fag, der stod på dagsordenen. Landsbylærernes løn blev endnu i princippet afregnet efter 1814-lovens naturalieøkonomi (“6 Td. Rug og 10 Td Byg in Natura, 25 Td. Byg efter Kapiteltakst, Furage til 2 Køer og 6 Får, Bolig, Brændsel og Have”). Det havde været slemt sidst i 90'erne, hvor byg var faldet i pris, hvis man da ikke var ansat på Vestkysten, hvor en del af lønnen blev omregnet til torsk og kuller samt anpart i strandingsgods. Dette forældede system foreslog regeringen nu omregnet til pengeløn plus en klækkelig forhøjelse en gang for alle på omkring 13%, idet dog fri bolig og brændsel skulle bevares som naturalieydelser. Desuden skulle lønnen nu stige i forhold til anciennitet. Til gengæld kunne herefter ingen beskikkes til lærerembeder uden lærereksamen, og lærerne kunne påregne noget mere arbejde som følge af andre dele af lovforslaget. Ifølge skoleloven fra 1814 skulle der oprettes en ny klasse, når børnetallet for en lærer oversteg 80, hvilket dog ikke havde hindret forekomsten af børnetal per lærer på 100 elever. Men hen mod 1900 var klassekvotienten i københavnske skoler typisk på omkring 35, hvilket også blev regeringens udspil i lovforslaget. Man var godt klar over, at 30 ville være mere passende med den i skolerne anbefalede mere individuelle pædagogik, men man fandt det økonomisk uoverkommeligt at sætte den så langt ned. Alligevel ville denne lavere klassekvotient betyde, at en typisk landsbyskole nu ville nå op på tre klassetrin frem for to, hvorved læreren ville få mere jævnaldrende børn at undervise i hver klasse. Joakim Larsen antyder i sit foredrag, at det da også var på høje tid med denne forbedring: “Betegnende for den Hurtighed, hvormed Reformer gennemføres i vor Folkeskole er det, at den 3-Klasse-Deling af en Landsbyskole, der nu kan ventes at blive almindelig, hvor man ikke faar en endnu fyldigere Klasseordning, blev foreslaaet af Biskop Balle allerede i 1789. Den store Skolekommision turde (i 1814) af økonomiske Hensyn ikke foreslaa mere end 2 Klasser, da man herved kunne nøjes med 1 Lærer ved hver Skole. Naar man nu, efter et Aarhundredes Forløb, skrider til at virkeliggøre Balles Tanke – kan man ikke ret vel beskyldes for Hastværk89.” Ministeriet ønskede også i lovforslaget at udvide fagrækken, der siden 1814 havde bestået af religion, læsning, skrivning, retskrivning, regning, sang og gymnastik for drenge, med historie, geografi og naturkundskab i alle skoler og desuden i købstæderne håndarbejde og gymnastik for piger.

Foredrag ved Joakim Larsen om Det nye Skolelovsforslag, Det Pædagogiske Selskabs årsberegning fra 189596, aftrykt i Vor Ungdom 1896, her side 154f. 89 Samme side 171.

Vi ser, at matematik i folkeskolen i denne nye lov ikke omfatter matematik i anden form end regning. Dog åbnes der mulighed for frivillige fag, hvoraf sløjd og tegning for en moderne betragtning kunne indeholde elementer af regning og matematik. Nu var der ikke megen udvikling i at udvide fagrækken, medmindre også undervisningstiden blev forøget. Lovforslaget er forsigtigt, når det drejer sig om en udvidelse af den undervisningspligtige alder, der på den tid var fra det fyldte 7. år til konfirmationen eller alternativt det 13. år. Børnenes arbejdskraft havde på den tid stor økonomisk betydning for mange forældre, så enhver udvidelse af undervisningspligten ud over konfirmationen ville møde modstand i vide kredse. Så selv den lille foreslåede udvidelse med op til et halvt år ved skolestart og afslutning i det skolehalvår, i hvilket barnet har fyldt 14 år, var dristigt. Hvad angår den ugentlige undervisningstid tør lovforslaget kun at sætte den op i købstæderne – til 21 timer plus valgfag. På landet ville det være et ømtåleligt forslag at stille, da man ikke kunne forlange, at en lærer skulle undervise meget mere end 36 timer om ugen, og hvis han skulle kunne klare to klasser, kunne der kun blive 18 timer til hver klasse. Lovforslaget fastsætter derfor “mindst 18 Timer om Ugen i Gennemsnit af Aaret”, hvorefter spørgsmålene om hel- og halvdagsskole, vinter- og sommerskole, hverdags- eller hverandendagsskole trygt overlades til kommunernes skolekommissioner og sogneråd. Som man kunne forvente, fandt folketinget ved de efterfølgende behandlinger forslaget noget dyrt for kommuner og stat, og man påpegede, at det ville være svært så hurtigt at skaffe de ekstra lærere, der ville blive behov for. 90 Men loven i barberet udgave kunne dog vedtages i 1899.

Lærd Skole og Realskole Den lærde skole hed ikke uden grund latinskolen, da den havde sit udspring i middelalderens katolske kloster- og katedralskoler. Efter Reformationen blev der i 1537 oprettet små latinskoler i alle købstæder med den hovedopgave at uddanne vordende præster. Først i starten af 1800-tallet blev latinskolen omdannet til en bredere humanistisk forskole til universitetsstudier og matematik kom med på skemaet. Med den Madvigske skoleordning af 1850, der flyttede eksamenretten fra universitetet til de enkelte latinskoler, styrkedes matematikkens rolle i det endnu ugrenede fælles forløb over 8 år i latinskolerne. Naturvidenskabens og teknikkens stærke vækst i disse gjorde det dog naturligt at overveje en særlig naturvidenskabelig retning på latinskolerne. Den kom med den Hall’ske skoleordning i 1871, hvorefter latinskolen blev 6-årig med en grendeling i en sproglig-historisk og en matematisk-naturvidenskabelig retning efter den 4. klasses såkaldte hovedeksamen. Disse moderniseringer af latinskolen kunne dog ikke ændre på det faktum, at mange forældre foretrak at sende deres børn i de mere nutidsorienterede realskoler. Op mod år 1900 havde realskolen næsten fortrængt latinskolen i Danmark. Der var da kun 12 statsskoler (“latin- og realskoler”), omkring 20 private latin- og realskoler mod 120 kommunale og private rene realskoler, hvoraf 30 var rene pigeskoler og 20 rene drengeskoler.91 SkovgaardPetersen konkluderer i sin afhandling om optakten til 1903-loven: ”Latinskolernes plads i hele dette kompleks var perifer”.92 Kun 1% af en fødselsårgang93 gik i latinskolen, og skolerne var så at sige ikke i kontakt med det øvrige skolesystem.

Joakim Larsen beretter om 2. behandling af lovforslaget på et senere møde i Det Pædagogiske Selskab, Vor Ungdom 1896, side 339-351. 91 P. Voss: Vor høier Læreruddannelse, Vor Ungdom 1901, s. 200. Disse statistiske oplysninger havde han fået af undervisningsinspektør for realskolerne, F. Rönning. 92 Skovgaard-Petersen (1976), s. 72.

Realskolen fik blandt andet sin styrke ved, at fire forskellige slags forberedelseseksaminer, præliminæreksaminer, i 1881 blev slået sammen til en enkelt Almindelig Forberedelseseksamen, der som den daværende undervisningsminister sagde, skulle “afslutte Forberedelsen til almindelig borgerlig Dannelse og tjene som Forprøve til forskellige Specialstudier”.94 Denne almindelige forberedelseseksamen (præliminæreksamen, realeksamen) krævedes derefter af dem, der ville indstille sig til adgangseksamen ved den polytekniske læreanstalt, til medhjælpereksamen ved den farmaceutiske læreanstalt og for dem, der ville være forstmænd, landinspektører, dyrlæger, tandlæger og danske jurister. Den var også et krav ved ansættelse ved postvæsenet, toldvæsenet, telegrafvæsenet og jernbanen. Da der endvidere var ganske få seminarier åbne for kvinder, benyttede disse ofte den almindelige forberedelseseksamen til at skaffe sig en stilling som lærer. 65% af de kvindelige eksaminander blev således lærere. Realskolen så sig selv som skolen for livet i kontrast til latinskolens dyrkelse af de døde klassiske sprog. 95 Det var derfor ikke underligt, at borgerskabet svigtede borgerskolerne til fordel for realskolerne, og antallet af private og kommunale realskoler efter 1881 blev firedoblet fra 25 til 100 på kun 15 år. Man kunne nu tro, at fremtiden tegnede lys for realskolen op mod år 1900. Men i virkeligheden stod realskolen overfor nogle ganske alvorlige problemer og udfordringer: 1) I 1897 var der 130 realskoler i landet, men der var kun omkring 900 elever, der aflagde almindelig forberedelseseksamen – et gennemsnit på 7 per skole. Dette betyder, at mindst 2/3 af eleverne forlod realskolen uden eksamen96 – de fleste efter 2. realklasse i konfirma tionsalderen, der var den traditionelle grænse for indtræden på arbejdsmarkedet fx i en elevplads. Deres udbytte af undervisningen var meget amputeret og tilfældigt. 2) Der var alligevel for mange, der fik almindelig forberedelseseksamen, set i forhold til indtaget på de videregående professionsrettede uddannelser og behovet for nye medarbejdere i etaterne. I 1895 satte man således beståelseskravet til eksamen op fra 45 til 65 i samlet pointsum af alle eksamenskaraktererne uden anden begrundelse end behovet for at regulere tilgangen til de videregående uddannelser.97 3) Den almindelige forberedelseseksamen skulle udover adgangseksamen være en almindelig dannelseseksamen. Det blev den ikke, fordi hele undervisningen i den grad var eksamensfikseret, og fordi de fleste faldt fra undervejs. 4) Den del af eksaminanderne, der kom direkte ud i praktisk erhverv, opfattedes som sløvede og initiativløse: “Klagerne over Præliminaristernes Uduelighed til praktisk Virksomhed og den ofte forekommende Slaphed i deres Viljesliv lyder efterhaanden saa stærkt, at de ikke kunne lades upaaagtede” – “Forklaringen af, at Præliminaristerne er saa uskikkede til

Skovgaard-Petersen (1976) gør dog på side 82 opmærksom på, at man nok nærmere må sige godt 2% af en drengeårgang, idet piger næsten ikke var repræsenterede i disse skoler. Først i 1875 havde kvinder fået adgang til universitetsstudier med den klausul, at de ikke kunne påregne offentlig embede i forlængelse heraf. 94 C.A.Lyngby: Realskolen og almindelig forberedelseseksamen, foredrag i Det Pædagogiske Selskab februar 1899, Vor Ungdom 1900, s. 88. 95 Georg Bruun: Almindelig forberedelseseksamen, Vor Ungdom 1897, s 510. 96 Georg Bruun, side 518-19. 97 Samme side 524.

praktisk Virksomhed, haves i Skolens Ligegyldighed for den praktiske Udvikling”. 98 Realskolens selvopfattelse som “Skolen for Livet” var således stærkt udfordret. 5) Det slog tilrejsende, at lærerne ved denne “lille embedseksamen”, som realeksamen også kaldtes, ifølge folkeskoleloven fra 1899 blot skulle være seminarieuddannede. På seminarierne undervistes der således ikke i realskolesprogene tysk, engelsk og fransk. 99 Undervisningsinspektøren syntes dog, at problemet var løst forsvarligt gennem lærernes tillægseksaminer og ministeriets jævnlige inspektion. Matematikken blev på lige fod med en del andre fag en underligt amputeret størrelse for de mange realister, der forlod skolen i utide fx efter anden realklasse. Men netop på grund af matematikkens naturlige progression, hvor frugterne af et møjsommeligt tilegnet grundlag høstes i de efterfølgende år, var de tidligt udmeldte elevers udbytte særlig reduceret i dette fag. Hvis man havde vidst, at de ville forlade skolen efter 2 år, ville man nok have givet dem noget mere praktisk regning i disse år. Rektor for Kolding Latin- og Realskole Georg Bruun sammenlignede fravalget af borgerskole til fordel for et par år i realskolen: “De ville faa mindre praktisk Regning, fordi de skulle have Matematik, og deres matematiske Undervisning vil gøre dem mere Skade end Gavn. Der er vel intet Fag, hvori det staar saa sørgerligt til i Mellemklasserne som i dette, fordi der skal arbejdes med Elever, som ikke kunne følge med. Der er intet Fag, hvor mange Elever i den grad tvinges til at nøjes med den halve forstaaelse og derved systematisk ledes til Uklarhed og Fordummelse. En saadan Undervisning maa virke demoraliserende, fordi den efterhaanden sløver disse Elevers Mod til at tage Arbejde op og ødelægger deres Lyst til Undervisningern, saa at der skabes Ulyst baade mod Faget og Skolen”.100 Også realskolebestyrer C.A. Lyngbye er inde på samme vurdering. Han synes, at der bør være helt særlige grunde til, at et fag som matematik får lov at optage cirka en femtedel af undervisningstiden i realskolen, og han kan ikke få øje på dem: “Med al Anerkendelse af Matematikkens udviklende og formende Betydning – ogsaa for de Elever, der savner Anlæg – tør man fastslaa, at kun den mindste Del af de Unge naar frem til selvstændigt Arbejde og virkelig Tilegnelse og Glæde ved Arbejdet paa den Maade, vi i de øvrige Fag tør gøre Regning paa. Derfor sløves Interessen for Faget i saa mange Tilfælde, derfor er det paaviselige Udbytte ofte saa kummerligt. Dette er Kendsgerninger, der vil blive staaende og ikke tabe i Betydning ved Paastande om, at Lærerne ikke er duelige nok og Børnene ikke flittige nok. Mange med mig mene, at den egentlige praktiske Regning, knyttet som den er til Livets Omsætningsforhold og mangehaande praktiske Spørgsmaal, yder et fortrinligt Materiale til at udvikle klar og stringent Tænkning, selv om der ikke kræves det matematiske Bevis”.101

Samme s. 521, opfattelsen styrkes af skolebestyrer Lyngbye, Vor Ungdom 1899 side 92 og Vor Ungdom 1901 side 415. Der kan findes paralleller til dette i uddannelseseksplosionen i udviklingslandene i nyere tid, hvor eleverne også synes at få en ”white collar”- mentalitet, hvor man ikke ønsker at få snavsede fingre og sved på panden som ”blue collar”-arbejder. 99 P. Voss op. cit. S. 200. Her var det en nordmand, der havde studeret danske skoleforhold. 100 Georg Bruun, 1897, s. 527. 101 C.A. Lyngbye Realskolen og almindelig forberedelseseksamen, foredrag i Det Pædagogiske Selskab februar 1899, Vor Ungdom 1900, s. 96.

Lyngbye foreslår derfor en reduktion i det formelle matematiske pensum til fordel for en fyldigere undervisning i regning. Men problemet var jo, at realskolen skulle afslutte med den almindelige forberedelseseksamen, hvor kravene i matematik var store og gjort endnu større, fordi man nu var begyndt at hæve pointtallet som led i en adgangsbegrænsning til videregående studier. Så kunne man selvfølgelig hævde, at de elever, der ikke kunne følge med, måtte søge over i en anden skole. Men her var problemet, at realskolen på det nærmeste totalt havde udkonkurreret borgerskolerne, så der var ingen anden ungdomsskoleform at vælge, da alternativet med latinskolen for de fleste ville være at komme fra asken ind i ilden.

Tanken om Enhedsskolen Den almindelige forståelse af uddannelsens betydning både for demokratiet, erhvervslivet og nationens konkurrenceevne havde sat tanken om en enhedsskole på dagsordenen i de sidste årtier af 1800-tallet. Der var især to positive aspekter, som blev fremdraget: 1) Enhedsskolen ville tillade enhver at starte i nærmeste børneskole og så alt efter interesse og evne at vælge sig opad i et forgrenet system, hvad enten man nu ville være student eller lærling. Barriererne mellem institutionerne skulle fjernes og overgangene gøres lette og naturlige. 2) Ved rent fysisk at lade børn fra de forskellige sociale klasser gå i samme skole kunne megen gensidig forståelse og respekt opnås til gavn for demokratiet og den fælles dannelse. Det første punkt kunne der være almindelig enighed om, bortset fra at den praktiske udmøntning kunne skabe almindelig brødnid mellem de eksisterende uddannelsesinstitutioner. For i det eksisterende system kunne det være overordentlig vanskeligt at komme på en latinskole, hvis man var startet i en anden skoleform end latinskolernes forberedelsesklasser eller tilsvarende målrettede privatskoleforløb.102 Det andet punkt kunne være mere kontroversielt, da der naturligvis i det eksisterende standsopdelte undervisningssystem var opstået stærke fordomme mellem skoleformerne. Men der var dog fortilfælde, hvor eksperimentet var lykkedes. I skoleloven fra 1814 havde man samlet rige bønderbørn og fattige husmandsbørn i samme skoler: “Gaardejere og Husmandsbørn sad Side om Side paa Skolebænken, her lærte de hinanden at kende, de legede sammen, de fik fælles Interesser, Sympatier og Forstaaelse. Den fælles Barndom skabte de bedste Forudsætninger for Fællesskab i Manddomsgerningen, baade den politiske og den økonomiske. Den fælles Folkeskole paa Landet er en af de nødvendige Forudsætninger for, at den danske Landbostand i de sidste 20 Aar i Fællesskab har kunnet samles i fuld Forstaaelse og finde Former for det store Fællesskab i Landbrugets Erhverv, som maaske er Danmarks største Bedrift i det 19de Aarhundrede”.103 Enhedsskolen var blevet indført i Nordamerika, Schweiz, mange tyske byer og i Norge, så tanken kunne realiseres. Omkring 1900 var der også ved at ske en opblødning i overgangen mellem skoleformerne i Danmark. Borgerskoleeksamen blev ofte accepteret som adgang til 3. realklasse. Folkeskolen var begyndt at undervise i fag, der ligestillede den med borgerskolen. Og det hele ville kunne indpasses i den lærde skole, hvis man kunne blive enige om at fjerne fransk og latin fra de lavere klasser i den lærde skole eller alternativt indføre dem i de andre skoleformer.

102 103

Se fx side 60 i Skovgaard-Petersen (1976). Georg Bruun: Skolens enhed, Vor Ungdom 1901, s. 518.

Ifølge Georg Bruun var der i 1901 blot to hovedhindrindringer tilbage for enhedsskolen: “Bourgeoisiets Forkærlighed for Særskolen og Arbejderstandens økonomiske Forhold, der hindrede mange Hjem i at lade Børnene anvende al deres Tid paa Skolegang”. 104 Georg Bruun mener, at borgerskabet ikke bør frygte omgang med arbejdernes “simplere” børn: “Der er utvivlsomt mange uartige Børn i Folkeskolen, men der er ogsaa mange uartige Børn fra de mere velhavende Hjem. Fine Klæder dækker ikke altid over fine Tanker. At fattige Børn som helhed skulle være værre end Børn fra velhavende Hjem er ubeviseligt. Der er grimme Børn fra begge Slags Hjem, men der er ogsaa gode Børn. Der er maaske mere Raahed, Grovhed, Brutalitet hos fattige Børn, men der er til Gengæld mere Næsvished, mere raffineret Tankegang og forloren Vittighed, mere sleven Raahed hos ikke faa af de “finere” Børn”.105 Hertil kom så det rent materielle, at folkeskolen i de senere år var blevet af en sådan kvalitet i bygninger, hygiejne og udstyr, at kun de færreste borger- og realskoler af de private midler kunne finansiere noget lignende. Hvad angår arbejdernes behov for at lade børnene arbejde frem for at gå i skole, var der håb forude dels i kraft af arbejderklassens forøgede velstand og dels ny lovgivning på vej, der ville vanskeliggøre børns arbejde i fabrikkerne før det fyldte 14. år. Endelig kunne man lokke forældrene til at holde børn i skolen gennem gratis bøger, skolebespisning og måske skoleuniformer, så det simpelthen ikke kunne svare sig at holde børnene i arbejde i stedet. Fremtidsudsigterne for en enhedsskole så derfor gunstige ud. Der var dog lige en mere intern hindring, ifølge Georg Bruun: “Det er i virkeligheden Latinen, som i næste Omgang vil komme til at afgøre, om Enhedsskolen skal rykke sin Virkeliggørelse et Skridt nærmere”. 106 Allerede ved latinskolereformen i 1871 havde man overvejet, om man ikke kunne nedlægge de nederste 4 klasser af den otteårige lærde skole (fra barnets 10. til 18. år). Når man kun vovede at skære de to nederste klasser fra, skyldtes det indlæringen af latinen, som man anså for optimalt at starte i senest i 12-årsalderen, så der blev 6 år til et fuldstændigt latinkursus. Dette dogme skulle der rokkes ved, hvis enhedsskolen skulle kunne indføres.

Almenskoleloven gennemføres 1903 Nu var kernen i Almenskoleloven, der var til forhandling i folketinget i 1902, at børn efter 4. eller 5. klasse efter en optagelsesprøve kunne få adgang til en fireårig mellemskole, afsluttende med mellemskoleeksamen. Herefter kunne barnet vælge at forlade skolesystemet, søge optagelse i et treårigt gymnasium, eller fortsætte endnu et til realeksamen. Derfor fandt man på den løsning, at indrette et tilbud i latin i 4. mellem. Det ville ganske vist blive obligatorisk for dem der søgte ind på de sproglige grene i gymnasiet, men man undgik altså at gøre dette fag obligatorisk. Der var stærke følelser og principper på spil her, hvor socialdemokraterne gik så vidt som at foreslå latin afskaffet i det sproglige gymnasium, mens ”klassikerne” så faget som indgangen til hele vores kultur. Men faget blev altså et tilbud ”uden for den sædvanlige Fagkreds”. Under 2. behandlingen107 af lovforslaget blev udvalget presset til at fjerne dette indskud, der ikke havde nogen reel betydning. Men klassikerne så gerne, at latin hørte med til den sædvanlige fagkreds, selvom faget var frivilligt. Der var selvfølgelig langt større principper på spil, men denne lille brik var vigtig. De større principper anfægtede ikke lovens vedtagelse, men udtrykte fx bekymring omkring hele den 104

Georg Bruun op. cit. S. 522-23. Bruun s. 524. 106 Bruun s. 537 107 Rigsdagstidende 55. årgang, 13. Dec. 1902, 2. Beh. af Lovf. om højere Almenskoler m.m., spalte 2063. 105

nye struktur. Den bekymring, der blev udtalt af Harald Holm (1848-1903) under førstebehandlingen af lovforslaget, skulle komme igen mange gange i mellemskolens levetid fra til 1958: ”For det første gaar Forslaget ud paa at erklære, at den danske Folkeskole kun er god nok til 11 Aars Alderen. Det er jo den første Paragraf i Forslaget, der slår dette fast. Det vil sige for de gode Hoveder. Det er en utrolig Vægt, der i dette Forslag lægges paa de gode Hoveder. Saa maa de over i noget, man kalder Mellemskolen. Hvis Hovederne ikke ere gode nok til at gaa videre, maa de nøjes med det”. Holm ville alligevel godt bøje sig for lovens ide om et sammenhængende skolesystem, for det var bedre, end det man havde i forvejen, ”men jeg ønsker, at Folkeskolen skal faa Lov at gøre sin Gerning uforstyrret, og jeg mener, at de andre Skoler, lærde Skoler, Realskoler, Handelsskoler osv., hvad de alle sammen hedde, maa indrette sig efter Folkeskolen og bygge paa det, der er givet i den. Det maa ikke være dem, der bestemmer, hvorledes hele vort Undervisningsvæsen skal ordnes fra øverst til nederst. Men det er i Virkeligheden det, der her er sket”. 108 Undervisningsminister I.C. Christensen kan imidlertid ikke forestille sig, at en så talmæssigt begrænset overbygning på folkeskolen skulle smitte stærkt tilbage på skolen: ”I Aaret 1901 dimmiteredes 369 Studenter her i Landet og 11-1200 Realister. Det er ganske vist store Tal, men i Forhold til den store Masse af skolepligtige Børn, som vi have her i Landet, er det kun én Realist eller Student i Forhold til 220-30 Børn. Naar man nu ved, at den almindelige Folkeskole paa Landet har en 60-70 Elever, vil det sige, at det i en kommune med 3-4 saadanne Skoler kun bliver en eneste om Aaret, der gaar denne Vej og bliver præliminarist eller Student. Er der nu nogen, der i Virkeligheden tror, at Folkeskolens Lærere skulde være fristede til at indrette deres Undervisning med hensyn til denne ene, som om Aaret bliver rykket ud af en Kommune med 4 Skoler”.109 Ministerens tal giver et klart billede af situationen i 1901, men hans prognose om at en lille kommune kun skulle aflevere en elev om året til det videregående system skulle blive grundigt modsagt af udviklingen. Mellemskolen blev kvantitativt en langt større succes, end han havde forestillet sig. Derfor blev man også tidligt nødt til at forholde sig til de bekymringer, der under lovforslagets behandling var blevet udtrykt af Holm med flere. Men ”Lov om højere Almenskoler m.m.” kunne vedtages den 24. april 1903, og hermed var matematikken kommet ind i en af folkeskolens to grene.

108 109

Rigsdagstidende, 28. oktober 1902, spalte 666. Rigsdagstidende, 28. oktober 1902, spalte 678.

3: Debatten om Matematik i Mellemskolen omkring 1903 Resumé: Principielt stod man frit i valget af pensum i matematik i mellemskolen, men traditionen fra latinskolen havde stor indflydelse. Der var enighed på tværs af skoleformerne om, at faget først og fremmest var formaldannende og specielt velegnet til udvikling af forstanden. Derimod var der stor debat om det euklidiske ideal, altså den aksiomatisk-deduktive fremstilling, der var kendt fra Euklid, var den bedste måde at fremme formaldannelsen på. Denne debat hang sammen med forskelligt syn på fagets natur. Var det grundlæggende et formelt fag, eller kunne det nærmere betragtes som et naturfag, der studerede blandt andet rummet omkring os. Fronterne illustreres med polemikken mellem Tuxen og Pingel i 1884, Thyra Eibes og Johs. Mollerups forsvar for det euklidiske ideal omkring 1903 og reaktionerne herpå bl.a. i Pædagogisk Selskab. Idealet blev udmøntet i C. Juels aritmetik, der var organiseret efter Peanos aksiomer, og et første eksempel på integration af regning og aritmetik. På Euklids eget felt, geometrien, synes udviklingen dog snart præget af et naturfagligt syn på geometri, hvor anskuelse og opdagelse kom til at være det centrale i al fald i begynderundervisningen. Læseplaner og undervisningsvejledninger lod det dog i stort omfang op til lærerne selv at beslutte, hvilke af de to veje geometrien burde følge.

Hvilken matematik i mellemskolen? Det var ikke nogen enkel sag at bestemme, hvor megen matematik og hvilken, der skulle indgå i mellemskolens pensum. På den ene side var der ikke nogen som helst tradition for matematik udover regning i folkeskolen. På den anden side var matema tikpensum i realskole og lærd skole i det væsentlige fastlagt ud fra kravene til videregående uddannelser. Det var naturligvis fristende at overtage læseplaner fra den lærde skoles første fire klasser. Man kunne så tage den såkaldte 4. Klasses Hovedeksamen som udgangspunkt for kravene til Mellemskole- og Realeksamen. Men den nye mellemskole skulle jo netop være en selvstændig almendannende i sig selv afsluttet skoleform. Som overlærer ved Odense Katedralskole S. A. Christensen110 skriver i Vor Ungdom i 1903: “Da Mellemskolen skal være en selvstændig, afsluttende Barneskole, vil man ikke kunne finde de passende Fordringer i de forskellige Fag blot ved at subtrahere et vist Pensum fra Fordringerne til Realeksamen eller fjerde Klasses Hovedeksamen”.111 Så sandt dette end var, hverken kunne eller ville mange se bort fra kravene til disse eksamener. De elever, der skulle gå op til den nye realeksamen året efter mellemskoleeksamen, havde jo ganske den alder, der svarede til de gamle eksamener. Og stoffet til disse eksamener havde været prøvet på børn igennem en del år.

Belysning fra gymnasie- og universitetssiden Matematik havde fået en stærk placering i den 8-årige latinskole efter den såkaldte Madvigske skoleordning fra 1850. Spurgte man mere sprogligt disponerede elever og sproglærerne, ville de mene, at der simpelthen var for meget matematik, mens aftagere som universitet og læreanstalter gerne så et højere matematisk niveau. Den naturlige løsning på dette dilemma kom med den Hall’ske skoleordning i 1871, hvorefter latinskolen blev 6-årig med en grendeling i en sproglig-historisk og en matematisk110

Dr. phil i 1895 på afhandlingen “Matematikkens udvikling i Danmark og Norge i det 18. århundrede”, rektor ved Nykøbing Katedralskole i 1909. 111 S.A. Christensen: Matematikkens, særlig geometriens stilling i mellemskolen, Vor Ungdom 1903, s. 732.

naturvidenskabelig retning efter den 4. klasses såkaldte hovedeksamen. I 1882 var der kun 15%, der valgte den matematiske retning, men allerede i 1902 var det tæt på halvdelen. 112 De, der valgte den sproglige vej, kunne således i en alder svarende til 10. klasse i dag, nøjes med et mere begrænset matematikpensum end tidligere. Jeg citerer de relevante paragraffer i læseplanen op til 4. klasses hovedeksamen, da dette indhold fik stor indflydelse på pensum i den mellem- og realskole, der blev indført i 1903: ”Matematik og regning. Undervisningen i aritmetik begynder i 1. klasse og fortsættes igennem alle fire klasser, saaledes at der meddeles: Læren om addition og subtraktion, multiplikation og division, potensopløftning og roduddragning med de derunder forekommende udviklinger af positive og negative, hele og brudne, rationale og irrationale, reelle og imaginære størrelser; hovedsætninger om tallenes egenskaber; decimalbrøker, proportioner og progressioner; logaritmer med deres praktiske anvendelser hvorunder sammensat rentesregning; ligninger af 1. og 2. grad, de første saavel med én som med flere ubekendte. Undervisningen i geometri skal i 1. klasse indledes med en paa betragtninger af materielle former støtte abstraktion af de første geometriske begreber, saaledes at disciplen derved føres til saadan klar opfattelse af legemers, fladers og linjers inddeling af deres frembringelsesmaade og beskaffenhed, som uden geometriske beviser ad anskuelsens vej ved iagttagelse af og forsøg med legemlige former kan opnaas. Derefter meddeles et plangeometrisk kursus af det i skolerne hidtil sædvanlige omfang. Undervisning i regning slutter sig til den matematiske undervisning med saadanne opgaver, som kan tydeliggøre matematikkens anvendelse i det praktiske liv, derunder ogsaa beregningen af arealer og volumener, de første støttede til plangeometriens læresætninger, de sidste uden matematiske beviser”.113 Hertil kom et videregående pensum for matematikerne i latinskolens 5. og 6. klasse. Med dette pensum efter 1871 fandt latinskolens matematik snart et roligt leje: ”tidsrummet 18821903 har været meget roligt, ingen nye skolelove af betydning, slet ingen for matematikken, en tilsyneladende død tid, hvor Julius Petersen beherskede skolen med sine lærebøger og sin stilling i undervisningsinspektionen”. 114 Matematikprofessor Julius Petersen efterfulgte Steen i undervisningsinspektionen fra 1888 og hans lærebogssystem, som han startede i 1958, blev næsten kanon for latinskolen. At det var knap så velegnet i den nye mellemskole fremgår af Politikens nekrolog ved hans død: ”Adskillige af de smaa Lærebøger benyttes rundt på hele Kloden, og det er i højeste Grad sandsynligt, at der stadig sidder smaa Skoledrenge af den ene eller anden Kulør (hvide, gule, sorte osv.) og grubler over et eller andet ”man ser let”. Thi den udmærkede Matematikers egen hurtige Hjerne og hans Ønske: at gøre Børnene saa korte og koncise som muligt, har ikke sjældent forledt ham til at springe nogle formentlig ganske selvfølgelige Mellemled over, netop med den citerede Bemærkning ”man ser let”. For alle de smaa grublende Drenge 112

Ifølge Skovgaard-Petersen (1976, s. 86) skyldtes væksten ikke en generel opmuntring fra skolernes side, Således synes følgende advarsel i et skoleprogram ikke usædvanligt: ”Vi anmode imidlertid Forældrene om aldrig at lade deres Børn gaa den mathematiske Vej, medmindre disse røbe særlige Anlæg for Mathematik. Mangen Dreng, som fulgte godt med i Mathematik og Naturlære i de lavere Klasser, har naar han kom op i de øverste Klasser, bittert fortrudt, at han i sin Tid valgte just den Linje”. 113 Fabricius-Bjerre, 1927, s. 67f. 114 Fabricius-Bjerre, 1927, s. 71.

under de vekslende Breddegrader maa det være en Trøst, at naar de ikke altid straks kan ”se let”, deler de Skæbne med disse famøse Ords egen Ophavsmand, thi det hændte virkelige ved en Forelæsning over Ligningernes Teori, at Jul. Petersen ikke selv kunde opdage, hvad det var, man let saa”.115 Latinskolen kunne altså via sin læseplan komme til at præge det kommende matematikfag i mellemskolen, mens det var knap så klart, om latinskolens bøger direkte kunne anvendes. Så kunne man tænke sig, at den fagdidaktiske debat om latinskolens matematikundervisning kunne have elementer, der kunne være af betydning for mellemskolen. Her er problemet imidlertid, at der, måske på grund af Jul. Petersens dominans, ikke var synderlig fagdidaktisk debat i denne skoleform op mod 1900-tallet. Jeg har måtte gå helt tilbage til 1884, for i Vor Ungdom at finde en relevant latinskoledebat. Da udspandt der sig en meget principiel diskussion af betydning for matematikken i den senere mellemskole. Det var polemikken i 1884 mellem lederen af N. Zahles Artiumskursus S. L. Tuxen116 og den klassiske filolog og geolog V. Pingel 117 om matematikkens rolle i en almen dannelse. Tuxens hovedsynspunkt var, at: ”matematikken som Undervisningsfag, i modsætning til Naturvidenskaben udelukkende har sin Betydning ved at forme og udvikle den abstrakte Tænkeevne, og jeg har søgt at begrunde denne som bekendt ingenlunde ny Tanke ved en Henvisning til, at dens Objekter er abstrakte Tankefostre, og at dens Metode er den rene, af Erfaringen uafhængige Analyse, foretagen paa Basis af Identitetsprincippet”.118 Faget er altså rent abstrakt, og det er netop ”den matematiske Bevisførelses rent analytiske Karakter”, der har formaldannende værdi. ”Jeg har fundet dens dannende Betydning i, at den som intet andet Fag er i stand til at udvikle en klar, stringent Tankegang, samtidig med at den, gjort til det centrale Fag i vore Skoler, kun kunne give en i højeste Grad ensidig Forstandskultur”.119 Pingel derimod hævdede, at matematik var en særlig form for naturfag, hvor andre sanser og aktiviteter var lige så vigtige som den analytiske tænkeevne: ”Det er jo nemlig saaledes, at der overalt i Naturens Fænomener er ligesom en bunden Matematik tilstede, som den menneskelige Tanke isolerer og frigør og udfolder til en Videnskab, der fører sit eget Liv adskilt fra Naturen”... ”Det er altsaa urigtigt, naar han siger, at Matematikken kun former Tænkeevnen, men ikke beriger den med Erfaringsstof”.120 “Det er jo ogsaa noksom bekendt, at Geometrien ikke naar sine Resultater ved at fordybe sig i Figurernes Begreb saaledes, som dette viser sig for den abstrakte Tanke, men ved at afbilde dem for den sanselige Anskuelse og delende, sammenføjende, drejende og forskydende at experimentere med disse Billeder paa en maade, der er nær beslægtet med Fysikerens Behandling af de ham underlagte Naturgenstande. Den geometriske Undersø115

Bjarne Toft: Julius Petersen (1839-1910) – Matematikeren og mennesket, Odense Universitets Årsberetning 1991, s. 58-76. 116 S.L. Tuxen, 1850-1919, cand. philol. 1875, dr. phil. 1896, 1880-88 leder af N. Zahles kvindelige artiumskursus, 1888-94 af det Femmer’ske lærerindeseminarium. 1901-05 formand i bestyrelsesrådet for ”De forenede Latin- og Realskoler…”. 1906-18 undervisningsinspektør for de højere almenskoler. 117 Victorinus Pingel, 1834-1919, dansk skolemand og politiker (radikale venstre), klassisk filolog og geolog, 1871-83 lærer ved Metropolitanskolen. ”Hans kontakt med arbejderbevægelsen fik i 1883 ministeriet til at afkræve ham et løfte om tilbageholdenhed i agitation, – da han nægtede, blev han afskediget fra sin stilling, dog med pension”. Medlem af folketinget for Venstre 1884-1891. (Skovgaard-Petersen 1976, s.134). 118 Tuxen: “Mathematikken og naturvidenskaben som dannelsesmidler”, Vor Ungdom 1884, s. 394. 119 Tuxen 1884, s. 399. 120 V. Pingel : Gjensvar til Kand. S.L. Tuxen., Vor Ungdom 1884, s. 312.

gelse ender ganske vist i den abstrakte Formel; men den bevæger sig sin længste tid paa Anskuelsens Grund, og her er netop det Matematikkens Æggehvidestof, som Hr. Tuxen forlanger, at jeg skal fremlægge”.121 Vi står her med to markant forskellige syn på matematikkens natur og opgave i skolen. Da polemikken under overfladen drejede sig om græsks rolle i det sproglige gymnasium, kan man måske sige det på den måde, at Tuxen opfattede matematikkens sprog som ren grammatik, mens Pingel så det som et levende sprog med al den udvikling, der præger disse. Pingel mener på dette grundlag, at matematikundervisningen ikke kun er ensidigt forstandsudviklende, som Tuxen hævder, men også gennem anskuelsen og sin kontakt med naturen og naturvidenskab kan bidrage til æstetisk og etisk-religiøs opdragelse. Han tillægger altså matematikken et bredere almendannende formål. Men nok så interessant for udviklingen af matematikundervisningen i 1900-tallet fremhæver han matematikerens opdagelsesproces og sætter den i sammenhæng med undervisning. En ting er de to dog enige om, og det er, at matematikken i høj grad er forstandsudviklende. Denne konklusion støttes også af professorerne i pædagogik på universitetet. Således er filosofiprofessor S. Heegaard122 er i overensstemmelse med formaldannelsesprogrammet i sin ”Opdragelseslære”: ”I Henseende til Forstandens formelle Udvikling udmærker Matematikken sig ved en Alsidighed, som søger sin Lige blandt de forskellige Lærefag…Hvad der gælder om Matematikken i den hele og store, gentager sig ved dens Begyndelsesgrunde, som meddeles i Almueskolens Regneundervisning”.123 Også Heegaards efterfølger Kristian Kroman124 anså matematikken og naturvidenskaberne som de mest velegnede fag til at udvikle elevernes tænkning. Skovgaard-Petersen skriver om det i sin doktorafhandling om mellemskolens start: ”De matematisk-naturvidenskabelige fag fandt en fortaler (Kroman) i den videnskabelige pædagogik, dvs. den pædagogik, der kæmpede for at finde anerkendelse som videnskabelig disciplin. Denne pædagogik, der i høj grad ville bygge på fysiologi og psykologi og selv benytte naturvidenskabelige metoder, førte et formaldannende forsvar for de matematisk-naturvidenskabelige fag: gennem dem ville eleverne – i ”selvvirksomhed” – blive vænnet til systematisk tænkning til brug ikke blot inden for denne fagkreds, men i forbindelse med alle de impulser og forestillinger, der rullede ind over moderne mennesker. Det er vanskeligt i dansk pædagogisk litteratur at pege på noget indlæg, der så dygtigt som Kromans har argumenteret for formaldannende synspunkter”.125 Vi kan konkludere, at universitetet og den lærde skole synes enige om, at matematikken som skolefag først og fremmest skulle begrundes ud fra dets formaldannende virkning.

Belysning fra folkeskole- og seminariesiden Skønt man ikke havde haft erfaringer med matematik i folkeskolen, kunne man forestille sig at almene pædagogiske overvejelser over mål og metoder i denne skole skulle få betydning 121

Pingel 1884, s. 313. Sophus Heegaard, 1835-84, professor i filosofi fra 1875, ministeriets eksaminator i pædagogik ved lærereksamen fra 1878. I 1880 skrev han en lærebog i pædagogik: i to bind: ”Om opdragelse”. 123 S. Heegaard: Opdragelseslære, 1893, s 299. Sandsynligvis blot en ny udgave af ”Om opdragelse”. 124 Kristian Kroman, 1846-1925, lærereksamen 1865, magister i filosofi med psykologi som speciale i 1874, dr. phil. 1877. Hans filosofiske hovedværk fra 1882 var ”Vor Naturerkendelse. Bidrag til Mathematikkens og Fysikkens Theori”. Professor i filosofi 1883-1922. Kultusministeriets pædagogiske konsulent 1886-1909. 125 Skovgaard-Petersen 1976, side 141. 122

for matematikken i mellemskolen. Sådanne betragtninger gør seminariumforstanderen for Ranum Statsseminarium, N.A. Larsen, 126 sig i forbindelse med den nye folkeskolelov i 1899.127 Med dette udgangspunkt i barneskolen, når han næsten samme konklusioner som latinskolens og universitetets folk. Men undervejs når han frem til nogle klare pointer, der afgrænser matematikkens formaldannende rolle til netop forstandsudviklingen. Han starter med en kort liste over, hvilke evner og anlæg hos barnet undervisningen potentielt kan udvikle: 1. Barnets hukommelse og evne til mekanisk læren 2. Barnets følelse og fantasi 3. Barnets forstand. Ad. 1: Tanken bag den første anskuelse er ifølge Larsen at forsyne barnet med forestillinger, som det senere i livet kan få brug for. ”De, der er ivrige for denne Slags Undervisning, er i Reglen saadanne, der lægger Vægt paa at opdrage Barnet til Lydighed mod Autoriteten og Respekt for det bestaaende, og Vejen er ogsaa rigtig nok, thi det Barn, der opdrages ved Udenadslæren og Hukommelsesarbejde, bliver vant til at tage Tingene i Verden, som de er, og ikke ræsonnere over, om alt er, som det burde være”.128 Ad 2: Larsen opremser meget ondt, der opstår af denne første anskuelse. Man kunne så tro, at han havde noget mere til overs for den anden, “den psykologiske og historiske Modsætning til den forrige gaar ud paa, at det først og fremmest er Følelse og Fantasi, der skal paavirkes”. Hvis man skal udvikle barnets personlighed og selvstændighed, er det her, der skal sættes ind, og lærerens virkemiddel kan være den levende og følte fortælling, der åbner op dybt i elevens person. Men også her skal man være på vagt: “Thi om end det er godt at naa til det dybeste i Mennesket, saa er det dog en mislig Sag direkte at lægge an derpaa; en af vor Tids pædagogiske Synder er netop den Maade, hvorpaa man i denne Henseende paavirker de Unge. Som om man ingen tro havde til Sandheden eller ikke mente, at den er interessant nok, skal al god Undervisning holdes oppe derved, at den undervisende lægger al sin Individualitet, d.v.s. sin Følelse ind i den. Fordringen til aandelig Paavirkning er blevet spændt til sit yderste”129 også i kirken, hvor præsterne ikke tør holde sig til evangeliet, men straks lægge deres egen personlighed og følelse ind i det. Men “det lyder ogsaa til Læreren: fremstil ikke den objektive Sandhed, men læg din Individualitet ind i Undervisningen, og saa glemmes det ofte, at jo mere vi brede os med vor Individualitet, desto mere optræder vi som de brutale og vilkaarlige mod andres Individualitet, glemmer, at den eneste Form, under hvilken en Lærer skal lægge sin Individualitet ind i sin Undervisning, er derved, at han holder af sine Disciple”. Ad 3: “Hvad nu dette Syn paa Skolen angaar, at dens Hovedopgave skulle bestaa i at deltage i et stort Vækkelsesarbejde, da maa man huske paa, at det, som Barnet har Krav paa at faa Underretning om, er den givne Verden og ikke et enkelt Menneskes Følelser”.130

126

N.A. Larsen (1860-1946), cand. theol. 1888, forstander for Ranum Seminarium 1896 og for Jelling Seminarium 1899. Kulturministeriets konsulent i sager vedrørende folkeskolen 1903-1930. 127 N.A. Larsen : Om folkeskolen, særlig landsbyskolens stilling i Danmark, Vor Ungdom 1899, side 346-371. 128 Side 360. 129 Side 362. 130 Side 363.

“Den tredje Anskuelse gaar ud paa, at Skolens egentlige Gerning er at udvikle Barnets Forstand. Hvor ringe en Plads end Naturfag indtage i Skolen, blive disse dog tilligemed Regning og Matematik de vigtigste Fag, da det er i dem, at streng logisk Tænkning bedst er mulig. Den Undervisning, der rettes mod dette Formaal, forener i sig de gode Egenskaber, der kunne findes hos de to førnævnte Retninger. Mennesket med den udviklede Erkendelse har nemlig i lige Grad Tillid til sig selv og Liberalitet overfor anderledes Tænkende, han har i lige Grad Lyst til at træde i et personligt Førstehaandsforhold til enhver Sag og Sans for Lov og Orden og Lydighed... At udvikle et Menneskes Forstand er aldrig farligt; Frihedsfølelse og Retssans udvikles med det samme; men at basere sin Undervisning væsentlig paa Hukommelsen eller væsentlig paa Følelsen er farligt; thi det fører til at danne Trællesind eller tøjlesløs Vilkaarlighed”.131 Selv om Larsen har nævnt matematikken som et af de fag, der kunne fremme forstandsudviklingen, så mener han dog, at de elementære fag regning, skrivning og især læsning er de passende midler i folkeskolen. Af hele hans argumentation følger, at han ville se positivt på matematikken som virkemiddel for forstandsudvikling på et passende højere skoletrin fx i den mellemskole, man var ved at indrette fire år efter, han skrev sit indlæg. Og på det tidspunkt var Larsen blevet kulturministeriets konsulent for folkeskoleområdet med den deraf følgende indflydelse på udviklingen. Som før, hvor vi nærmede os mellemskoletrinnet fra gymnasiesiden, ser vi at troen på matematik og i dette tilfælde regning som noget centralt til forstandens udvikling er stor, og vi ser, at forstandsudvikling i al fald hos denne seminarieforstander står højt hævet over for megen udvikling af hukommelse, følelse og fantasi. Og der er slet ingen omtale af fagets rolle til udvikling af ordentlighed, flid og udholdenhed, som andre tidligere havde set for formaldannende mål for faget. Det synes altså op mod 1903 ret udbredt enighed om, at matematik er med i fagrækken først og fremmest, fordi det bedst af alle fag kan udvikle netop tænkeevnen.

Hvordan kan matematik udvikle forstanden? Det er påfaldende, at ingen i den faglige debat op mod almenskoleloven, hverken i Vor Ungdom eller i Matematisk Tidsskrift, på nogen måde refererer til Grundtvigs da 60 år gamle fyndige påstand: ”Den logiske Svaghed lader sig, trods de stærkeste Modgrunde og daglig Erfaring lettelig indbilde, at der i Grammatikken eller i Mathematikken findes et Universalmiddel, hvorved den, skønt paa en for os ubegribelig Maade, i tidens Længde lader sig helbrede”.132 Derimod syntes Platon at stå uantastet med sit to tusinde år gamle formulering i “Staten”, stiftelsesdokumentet for formaldannelsesteorierne: “Men har du nu yderligere betænkt, at de, der af naturen er skikkede til at anstille beregninger, de bliver raske til at opfatte så at sige alle kundskaber, medens de langsomme, dersom de bliver oplærte og øvede heri, selv om de ikke har nogen anden fordel deraf, alligevel alle sammen gør fremskridt, så at de bliver mere raske til at opfatte, end de var før?”.133 Allerede i den almene Betænkning om Undervisningen for Mellemskolen fra 1903 slås det fast, at den væsentligste begrundelse for at medtage matematik i fagrækken er fagets store formaldannende potentiale: ”De positive Kundskaber, som Mellemskolens elever kunne faa ved matematikundervisningen, ere et nødvendigt Grundlag for en solid og frugtbringende Undervisning i natur131

Side 363. N.F.S. Grundtvig: Værker i udvalg, 4. bind, København 1943, side 203. 133 Platon: Staten, Kbh. 1975, side 279. 132

fagene. Men ellers have de ikke synderlig Værdi for andre Elever end dem, der skulle fortsætte deres Skolegang i Realklassen eller i Gymnasiet, eller som senere komme til at dyrke tekniske eller naturvidenskabelige Studier; de aritmetiske Sætninger kender jo for største Delen fra Regneundervisningen, og af de geometriske Læresætninger er der vel ikke stort andre end Sætningerne om Arealberegning, der have direkte Nytteværdi”. Denne materialdannende begrundelse er så beskeden og svag, at hvis den stod alene, så var det vel mest naturligt at nedlægge faget og lægge nogle af dets timer ind under naturfag. ”Men af desto større Værdi er den Udvikling, som Elevens Evner kunne faa ved den matematiske Undervisning; det er denne, der giver Faget en fremskudt Plads blandt Almenskolens Undervisningsmidler, som Undervisningen derfor altid maa tage Sigte paa”.134 Da vejledningen til gennemførelse af læseplanen for matematik og regning udkom 1. juli 1904, startede den da også med “Regning er et i højeste Grad forstandsudviklende Fag, og et overordentligt vigtigt Nyttefag”, medens den tilsvarende påstand for matematik er knap så kategorisk: ”Matematikundervisningens væsentligste Formaal er at udvikle Elevernes Evne til ud fra bestemte opgivne Forudsætninger at drage sammenhængende logiske Slutninger og give disse et kort og klart Udtryk” – dog straks fulgt op af “dernæst skal den bidrage til at fremkalde Elevernes Selvvirksomhed”. 135 Man kan bemærke, at formuleringen for matematikkens vedkommende henviser til en generel evne uden at henvise til, at indholdet for at opnå denne evne skal være af matematisk art. Det åbner for så vidt op for en diskussion af, om matematikundervisningen med fordel kunne hente sit indhold i andre tekster og virkelighedsområder, hvilket selvfølgelig ikke har været forfatterens mening. Og det åbner i al fald op for en diskussion af, om man skulle vælge indholdet helt anderledes end traditionelt, hvis man ville opnå denne forstandsudvikling. Det var dog først et par år efter anordningens udstedelse, at den nyudnævnte rektor for Borgerdydskolen, senere professor i geometri, T. Bonnesen136 som den første satte fingeren på det ømme punkt: “Og heldigt er det for Matematiklæreren, at de paastaaede Resultater er af en saa fin, aandelig Natur, at det kun vanskeligt kan kontrolleres, om de er opnaaede eller ej, og endnu vanskeligere, om de naas bedre ved den matematiske end ved andre mulige Fremgangsmaader”.137 Påstanden om, at den i matematikken lærte logiske tanke kan overføres til andre livsområder, udfordres ikke synderligt i debatten forud for mellemskolens start. Den nyklækkede doktor i plangeometriens aksiomer, Johannes Mollerup, berører dog problemet: “I henseende til den direkte Nytte staar Matematikken langt tilbage for moderne Sprog, Geografi og Historie. Matematikkens Berettigelse til at indtage den fremragende Plads i Skolen, der altid villigt er bleven den tildelt, søger jeg derimod i, at den, omtrent alene, varetager en uundværlig Udvikling af Elevernes logiske Evne, idet den forbereder dem til Ræson134

Her efter Dam, 1912, side 73-74. Matematisk Tidsskrift 1904, side 82. 136 Tommy Bonnesen f. 1873, efter at have afbrudt sin skuespillerkarriere blev han i 1902 dr. phil. på ”Analytiske Studier over ikke-euklidisk Geometri”, rektor ved Borgerdydskolen 1906-18, professor i geometri ved Den polytekniske Læreanstant 1917. 137 T. Bonnesen: Geometrisk-pædagogiske betragtninger, Matematisk Tidsskrift 1906, side 11. 135

nementer, der dagligt forefalder i Livet. De Mennesker, der forlader Skolen i 15-16 Aars Alderen, skal kunne læse en Avis, især kunne forstaa den politiske Del deraf, de skal kunne føre en forstandig Samtale og kunne forstaa et uvidenskabeligt Foredrag. Men hertil udfordres der en meget betydelig kritisk Evne, og det er for denne Evnes Udviklings Skyld, at jeg tror, at Matematikundervisningen kan spille en Rolle. Jeg er mindre sikker paa at den gør det”.138 Mollerup betragter her dagliglivet og borgerens deltagelse i demokratiet som målet og lader matematikkens formaldannende virkning være midlet. Selv en markant kritiker af matematikkens formaldannelsesideal, højskolemanden Poul la Cour (1846-1908), synes at være enig i synspunktet om overføringsværdi/risiko fra matematik til dagligliv og aviser. I et forsvar for sin egen historisk-genetiske metode gør han op med Euklids Elementer, der gennem tiden havde været grundbogen for geometriundervisning med formaldannende effekt. La Cour skriver i 1885, at man i Sverige lader eleverne følge Euklid slavisk, og skønt Euklid selv i sit berømte svar til kong Ptolemæus havde sagt, at “der ikke i Mathematikken gives nogen Kongevej”, så har man i Danmark nu “et helt Net af sådanne Veje, ja snarere hurtige Jernbaner”, der fører eleverne gennem Euklid frem til målet, formaldannelsen. Og så kommer punktet, hvor la Cour midt i sin kritik synes at anerkende overføringsværdien: “Ja, ikke alene i Skolen taler han, ogsaa i Forretningslivet, fra Sagførernes Ordstrøm, ud af Redaktørernes Spalter, ja endogsaa ud af Dagbladenes Kundgørelser. Vi kan lære Formalisme nok i vore Dage, uden at vi behøver at have særlige Timer deri i Skolen”. 139

Det euklidiske ideal La Cour fortsætter: ”I vore Dage, da der vides så meget, at vor Ungdom ville gå fra Forstanden, om den blot skulle vide lidt af hvert det, som vides, og da det derfor gælder om, at vi ikke tilkaster vore Børn en Navneklud med den Ordre, at de skal iføre sig den, men hjælper dem til en helstøbt åndelig Klædedragt, der passer for et virkeligt Menneske, da må en Forfatter som Euklid finde sig i, at vi ikke kan lade ham være en af Timelærerne på vor Skole, hvor højt vi end skatter ham”.140 Nu tilbage til 1903 og til Johannes Mollerup. Han var ikke sikker på, at matematikken ville komme til at spille den påtænkte forstandsudviklende rolle, men hans konklusion er modsat la Cours. Han finder netop fejlen i, at man nu i Danmark var begyndt at afvige fra og pædagogisere Euklid. ”Jeg tænker især paa undervisningen i Geometri, der alt for ofte lider under, at man ikke opstiller det System af Grundsætninger, hvorfra man ved et endeligt Antal Slutninger naar til Sætningerne”..”Alt for ofte træder en fysisk Sansning til Hjælp, naar vi mangler Grundsætningerne og jeg overdriver næppe, naar jeg mener, at de fleste Elever ikke rigtig ved, hvad et geometrisk Bevis er – i den Grad benytter vi Anskuelse i stedet for Ræsonnement”.141 Han kender godt argumenterne, der går på, at ægte og nøjagtige beviser går hen over hovedet på eleverne, men mener godt det kan lade sig gøre, når man tager sig tid, men så må man blot dække så meget mindre stof: ”thi de skal blot lære at ræsonnere saa skarpt og nøjagtigt som muligt, medens det derimod er ligegyldigt, om de naar saa eller saa vidt, og om 138

Johannes Mollerup: Om undervisning i matematik, Matematisk Tidsskrift 1903, side 33. Poul la Cour: Om historisk undervisning i matematik og fysik, Verdandi 1885, side 99. 140 Verdandi 1885, side 99. Alligevel tildeles Euklid dog 50 sider i la Cours alternative lærebog Historisk Matematik. Euklid var uomgængelig også fra et mere kulturhistorisk synspunkt. 141 Mollerup 1903, s.34. 139

de kender den eller den Sætning” 142 – en klokkeklar bekendelse til formaldannelsen frem for materialdannelsen, der netop ville se på hvilket stof, der blev nået. ”Skønt vi desværre foreløbig mangler en Lærebog i Geometri, der opstiller et System af Grundsætninger, kan Matematiklærerne dog uden særlig Vanskelighed sætte sig ind i disse Ting. Et grundigt Studium af Euklids Elementer143 er allerede en meget stor hjælp”144 og han henviser til den nye oversættelse af de første fire bøger af Elementerne ved Thyra Eibe (1903). Skønt Mollerup står i en tyndt befolket formalistisk yderpol med folk som Pingel med den naturalistiske tilgang til matematik og de mange anskuelses-pædagoger i modsatte poler, så står han dog i hovedstrømmen med hensyn til selve troen på forstandsudvikling gennem matematik. Julius V. Pio reagerer i Matematisk Tidsskrift på Mollerups euklidiske fordring, men kun på geometriens område. Hvis man i stedet brugte det euklidiske ideal (definitioner, grundsætninger og beviser, der ikke refererer til anskuelsen) på regnereglerne, så ville der være mere fornuft i det. For han er enig med Mollerup i, at det er gennem beviserne, at elevernes logiske sans udvikles. Der er blot det problem, at geometrien i starten af mellemskolen er noget nyt for eleverne og de derfor har brug for anskuelsen for at leve sig ind i området. Regning kender de derimod fra skolen, så derfor er det langt mere til barnets tarv at indføre beviser i forbindelse med regneregler, som man gør det i aritmetik: “I Aritmetikken træffer (eleven) en Række Sætninger, som han kender og er fortrolig med som Regneregler. Deres Rigtighed føler han sig overbevist om, han synes oftest, at de er selvfølgelige. Nu stilles han over for den Opgave at bevise dem. Her kræves Forsigtighed; der maa gaas varsomt frem, Skridt for Skridt: det hele maa sættes i System. Der maa nøje skelnes mellem, hvad der virkelig er bevist, og, hvad der blot kendes forud som Resultat. Her er med andre ord den bedst mulige – og netop den rette – Plads for en Undervisning, der er beregnet paa at udvikle Elevernes Evne til at tænke logisk og kæde Sætning til Sætning i streng sammenhængende Følgeorden”.145 Geometrien derimod er ny for eleverne, og nyt stof tilegnes ikke gennem beviser: “Geometriundervisningen bør i langt videre Udstrækning end hidtil almindeligt benyttes til at vænne Eleverne til selvstændig Iagttagelse, naturligvis i nøje Forbindelse med dertil knyttet logisk Tænkning!” “Lær Eleverne at lukke deres Øjne op – for ved Iagttagelse og gennem Anskuelse at føres til de Beviser, som de nu nøjes med at lære udenad! Lad kun den “fysiske Sansning” træde ordentlig til Hjælp”.146 Pio er dog et godt eksempel på, hvor stærkt det euklidiske ideal stod i skoledebatten, for han skriver derefter: “lad mig tage et Eksempel – blandt mange! Drejer det sig om at bevise, at en “Skraalinie er desto længere, jo mere den afviger fra den Vinkelrette”, da kan man – i Stedet for at klemme denne Sætning ind i System – passende se det således”, hvorefter følger

142

Mollerup 1903, s. 35. End ikke Mollerup anbefaler Euklid i ren udgave som direkte lærebog til børnene. På dette område var Danmark blevet et noget afvigende land. England havde fastholdt Euklid, nærmest motiveret af nødvendigheden af fælles stof med henblik på de centralt rettede skriftlige opgaver til afgangseksamen (Matematisk Tidsskrift 1902, side 69). La Cour påstod, at Sverige fastholdt Euklid slavisk, og det bekræftes af en nordmands beretning fra en studietur i Sverige (Vor Ungdom 1886, side 500-522). 144 Mollerup 1903, s. 36. 145 Jul. V. Pio: Lidt mere om undervisning i matematik, Matematisk Tidsskrift 1903, s. 70. 146 Pio 1903, side 72. 143

et bevis147 på 15 linier, som ikke enhver mellemskoleelev ville kunne læse, men som rigtignok gennem indførelse af en passende cirkelbue bliver lettere end de gængse beviser inklusive Euklids. Set fra et mere radikalt anskuelsessynspunkt drejer det sig om en stige, der læner mod en vandret sidegren på et træ. Spørgsmålet er, hvad der sker, hvis vi trækker foden af stigen længere ud. Den radikale anskuelsesundervisning ville sige, at selvfølgelig bliver stigestykket fra stigefoden op til grenen længere – Punktum. 148 Sagen synes at være, at Pio, trods sin egen bekendelse til anskuelsesundervisning, ikke tør drage den konsekvens, at mange af de mest elementære egenskaber i geometri er umiddelbart og anskueligt indlysende. Den skyldes muligvis en opfattelse af, at den formaldannende værdi af undervisningen ligger i beviserne. Derfor ønsker han blot at gøre beviserne mere anskuelige og forståelige for børnene – ikke at fjerne dem, skønt det, de skal bevise, er umiddelbart anskueligt indlysende for børnene. Denne tolkning stemmer overens med hans argument for især at indføre beviserne i regnestoffet, hvor børnene i forvejen forstår og indser rimeligheden i regnereglerne. Så derfor er der på dette område også overskud til at bevise dem i strengere forstand. Jeg vil lige præcisere min149 brug af “det euklidiske ideal” i undervisningen til dette, at man beviser alle de sætninger, man medtager i undervisningen fra grunden af, uden huller i argumentationskæden og uden væsentlig brug af anskuelse undervejs i beviserne. Derefter kan man hævde, at Mellemskolen af 1903 i praksis prøvede at leve op til det euklidiske ideal, skønt Euklids Elementer yderst sjældent anvendtes som lærebog. Det blev især inden for aritmetikken, at det euklidiske ideal blev praktiseret, skønt det ikke klart fremgår af indholdet i aritmetik ifølge den kongelige anordning af 1904 (læseplanen ): B. Aritmetik. I Tilknytning til den forudgaaende Regneundervisning gennemgaas Læren om Addition, Subtraktion, Multiplikation og Division med hele og brudne Tal (herunder Decimalbrøk), positive og negative Tal; om Potensopløftning med positiv hel Eksponent; om Primtal (et Tals Opløsning i Primfaktorer) og et Tals Delelighed med 2,3,4,5,9,og 11; om ligefrem og omvendt proportionale Størrelser, om Ligninger af første Grad med en og flere Ubekendte. Af Læren om Rodstørrelser medtages kun Kvadratrod. Det vises ved Eksempler hvorledes Grænserne for en irrational Kvadratrod kan indsnævres, saa meget det skal være; dernæst indøves den sædvanlige Metode til Kvadratrodsuddragning af hele Tal og Decimalbrøker, saaledes at Metodens Rigtighed dog kun paavises gennem Eksempler, endelig medtages Sætningerne om Kvadratrodsuddragning af et Produkt og af en Kvotient samt om Multiplikation og Division af Kvadratrødder. Fremdeles Løsning af kvadratiske Ligninger med Talkoefficienter, uden dog nogen Formel kræves lært udenad. Heraf kan man ikke umiddelbart se noget “euklidisk ideal”, medmindre man vil lægge vægt på, at der står “Læren om” og at der nogle steder står “vises ved Eksempler” og “paavises gennem Eksempler”. Thi herved kunne underforstås, at det øvrige indhold bevises mere generelt, så meget mere som dette var traditionen i den lærde skoles middelskole, 150 og det 147

Pio side 73. J.F. Johansen: Regneundervisningen, 1909, side 19: “Medens matematikeren beviser, at en “vinkelret” fra et punkt til en linie er kortere end en skrålinie fra samme punkt, så ser barnet dette umiddelbart”. 149 Samtiden brugte ikke dette begreb, så det er teknisk at regne for et analytisk begreb opfundet til lejligheden. Det har med sine historiske rødder og reference til den formaldannelse, som man også tidligere tillagde arbejdet med Euklid, mere fylde og flere medbetydninger end det neutralt beskrivende ”aksiomatisk-dedektive form”. 150 Altså skolen op til 4. klasses hovedeksamen. 148

blev underforstået således af lærerne og lærebogsforfatterne. Netop den inerti, der lå i middelskolens aritmetikbøger, fik betydning for, at det euklidiske ideal blev endog meget fremherskende i mellemskolen. Undervisningsvejledningen for matematik i mellemskolen indledes med det tidligere citerede omkring “udvikle elevernes evne til ud fra bestemt opgivne forudsætninger at drage sammenhængende logiske slutninger... og klargøre for dem forskellen mellem almengyldige sætninger og specielle regler”. Om den indledende aritmetikundervisning hedder det først, at den sættes i gang senere end den mere anskuelige geometri og strækker sig over de to sidste år af Mellemskolens fire år med 2 eller evt. 3 timer om ugen. ”Da de fleste Sætninger om Regning med numeriske (positive) Tal jo er bekendte fra Regneundervisningen – mange af dem ogsaa fyldestgørende godtgjorte ved denne – vil man i den indledende Undervisning i Aritmetik i Henhold til Ordningens Bestemmelse om, at denne skal meddeles i tilknytning til den forudgaaende Regneundervisning, kunne nøjes med at kodificere.151 Sætningerne, fremsætte de almindelige Formler for dem og bevise de Hovedsætninger inden for hvert Afsnit, hvoraf de andre mere eller mindre umiddelbart er afledede”.152 Her er den euklidiske fordring klart på spil. De vigtigste sætninger og regneregler skal bevises. Præcist på hvilket grundlag er ikke præciseret, men man forstår, at læreren eller måske nærmere lærebogsforfatterne skal danne et grundlag af “kodificerede” sætninger, hvis rigtighed er indlysende ud fra regneundervisningen. Herudfra bevises så de øvrige sætninger.

Udmøntningen af idealet i Juels aritmetik C. Juels “Ren og anvendt Aritmetik” fra 1902 var en af de bøger, der kunne blive tale om at benytte i mellemskolen, fordi den netop søgte at knytte aritmetikken sammen med regning, og fordi den vovede at bevise sine sætninger gennem eksempler, hvilket skulle kunne øge forståelsen. Herved afveg den fra de meget udbredte bøger af Julius Petersen. 153 Af forordet fremgår sigtet: “Endnu i Begyndelsen af det forrige Aarhundrede bevarede den elementære Aritmetik sin oprindelige Karakter af Læren om Regning med Tal. Denne forbindelse mellem Aritmetik og Regning er senere i væsentlig Grad gaaet tabt ved Bestræbelserne for at opnaa nøjagtige Beviser, noget der da ogsaa i Aarhundredets sidste Halvdel er blevet fuldstændig opnaaet. Den foreliggende Lærebog ønsker som sit Endemaal: uden at opgive den indvundne Nøjagtighed paa en fornyet Maade at bringe Forbindelsen mellem Teori og Anvendelse til Veje”.154 Selv om C. Juel ville genoprette forbindelsen mellem regning og aritmetik, og selv om han ville tillade sig at bevise gennem gode eksempler, så bestræbte han sig klart på at leve op til den euklidiske ideal. Af de “nøjagtige Beviser” han henviser til, var de nyeste fundet af den 151

Nudansk ordbog: kodificere = samle og ordne noget i en særlig orden, især retsregler om et bestemt emne. Undervisningsvejledning af 26. maj 1904. Her efter Matematisk Tidsskrift 1904 side 85. 153 Ved hans død i 1910 skrev redaktionen af Matematisk Tidsskrift i en nekrolog om hans omfattende og elegante lærebogssystem, der i hovedsagen blev skrevet mellem 1863 og 1878:” Først henimod Aarhundredskiftet begyndte man at faa Øjet op for, at det fortrinlige ved disse Lærebøger var mere indlysende for Lærerne end for Eleverne. I hvert fald galdt det om Aritmetikken og Geometrien, som skulle gennemgaas paa et forholdsvis tidligt Alderstrin, at den store Kortfattethed og de udeladte Mellemled i Tankegangen ikke egnede sig rigtigt for Børn. Disse Bøger var fortræffelige, naar hele Pensum skulle repeteres kort forinden Eksamen, men skulle Eleverne bruge dem til gennem Læsning at tilegne sig nyt Stof, maatte man kræve en bredere Fremstillingsform. Dette Krav, der kom særlig stærkt frem ved den ny Skoleordnings Ikrafttræden, formaaede Jul. Petersen ikke at bøje sig for” (M.T. 1910 s. 74f). 154 C. Juel: Ren og anvendt aritmetik, Det Nordiske Forlag 1902, forordet. 152

italienske matematiker Guiseppe Peano (1858-1932) og drejede sig netop om den første start på opbygningen af regning med de naturlige tal, altså de positive hele tal. Peano havde vist, at man kunne definere regneoperationerne og bevise alle regnereglerne for de naturlige tal ud fra nogle ganske få antagelser, som var i den grad indlysende, at enhver ville acceptere dem som et grundlag, der ikke yderligere behøvede bevis. Juel valgte at bygge tallæren op på Peanos 5 aksiomer. 155 De første fire kunne Juel fange i en enkelt sætning, lad os kalde det Juels aksiom: Man kan lægge én til ethvert Tal i den naturlige Talrække og faar derved et aldeles bestemt Tal, der er forskelligt fra alle de tidligere.156 Det sidste såkaldte induktionsaksiom behøvede Juel ikke, da han ville tillade sig at bevise gennem eksempler. Bogen ville givetvis være blevet for svær, hvis han havde medtaget dette aksiom og de tilhørende induktionsbeviser. Han oversætter hele det besværlige apparat for induktionsbeviser til “Paa den Maade kan man blive ved lige saa længe man vil, saa man i alle Tilfælde maa have...” Her 100 år senere kan man sætte spørgsmålstegn ved den pædagogiske værdi i at bevise noget, børnene klart har indset på forhånd. Men accepterer man det euklidiske ideal, må man beundre Juels evne til at oversætte Peanos beviser til mellemskoleniveau. Kort gennemgang af Juels indledning til de naturlige tal: Af Juels aksiom fremgår, at der er et tal, der kaldes “én”. Det skrives 1. Da vi kan lægge 1 til ethvert naturligt tal, kan vi lægge 1 til 1. Dette skrives 1 + 1, der ifølge Juels aksiom er et nyt tal, som vi kan kalde “to” og skrive 2. At 1+1 er 2 skrives 1+1=2, en såkaldt ligning med et lighedstegn “=”. På samme måde kaldes 2 +1 for 3 osv. Af Juels aksiom fremgår ikke umiddelbart, hvad man skal forstå ved 3 + 2. Men 2 skal blot skrives som enere, så vi får 2 + 1 + 1, der altid læses og udregnes i rækkefølge, så vi først udregner 2+1 = 3 og derefter 3+1 = 4. Vi kan også sige, at vi tæller 2 frem fra 3. På den måde får vi fastlagt den såkaldte sum (+) af to tal. Processen at finde summen kalder vi addition, og de to tal kaldes addender. I regnestykker, hvor der indgår mere end to tal, kan man få brug for parenteser “()”, der er et sammenfatningstegn, således at 2 + (4 + 3) betyder, at 4+3 skal behandles som et enkelt tal, altså 7, i den videre beregning. Herefter kan vi bevise, at man kan sætte og hæve parenteser i sumberegninger uden, at det ændrer resultatet. Altså f.eks.: (3+6)+4 = 3 + (6+4), idet en analyse af meningen med de to udtryk viser, at man i begge tilfælde skal tælle 10 frem fra 3, så resultatet bliver 13. “Paa samme Maade kan man bære sig ad, naar man ombytter de her staaende Tal med vilkaarlige Tal”. 155

1. Nul er et tal. 2. Hvis a er et tal, så er efterfølgeren til a et tal. 3. Nul er ikke efterfølger af noget tal. 4. To tal med samme efterfølger er selv ens. 5(induktionsaksiomet): Hvis en mængde tal M indeholder nul og efterfølgeren til ethvert tal i M, så er ethvert tal med i M. 156 Juel s. 6.

“For nu at betegne, at en Regel som den, der er udtrykt i den ovenstaaende Ligning, er gyldig, hvilke Tal der end indsættes, benytter man sig i Aritmetikken af Bogstaver eller Bogstavtal, som Tegn for vilkaarlige Tal og skriver: (a+b) + c = a+ (b+c).” For at markere vigtigheden af denne sætning og for at kunne referere til den senere kalder vi den Sætning (1). Additionens ombyttelighedsregel Man kan ud fra definitionen af addition se følgende ved almindelig tælling i talrækken: 1+2=2+1, 1+3 = 3+1, 1+4 = 4+1, 1+5 = 5+1 Her kan Juel ikke skrive “o.s.v.”, fordi det ikke fremgår af noget af det tidligere, at 1+6 skulle være lig med 6+1. Det kan godt være, at børnene ved det fra deres regneundervisning, men det er ikke bevist, og hele hans pædagogik bygger på det euklidiske ideal, hvor man ikke pludselig må henvise til anskuelsen og f.eks. begynde at tale om æbler, man lægger sammen. Derfor fortsætter Juel: “Udfører man denne Regning et tilstrækkeligt stort Antal Gange, faar man Indtrykket af, at man i alle Tilfælde maa have a + 1 = 1 + a. Dette er ogsaa virkelig rigtigt, men det er karakteristisk for Matematikken, at man for at have Lov til der at opstille Paastanden i Almindelighed først maa bevise, d.v.s. godtgøre, at den er en følge af tidligere Sætninger og Forudsætninger”.157 Således motiveret kan børnene læse videre og se, hvorledes man beviser 6+1 = 1+6: “ifølge Sætning (1) har man nu (1+5) + 1 = 1 + (5 + 1), altsaa, da vi ved Prøve har fundet 1+5 = 5 + 1: 6+1 = 1+6 Endvidere har man paa samme Maade: (1+6) + 1 = 1 + (6+1) altsaa, da vi allerede har bevist 1+6 = 6 +1: 7+1=1+7 Paa den Maade kan man blive ved saa længe man vil, saa at man i alle Tilfælde maa have: a+1 = 1+a, som vi kalder Sætning 2”. For at vise at addendernes orden altid er ligegyldig, skal Juel i gang med at udskifte 1 i denne ligning med 2, så 3 o.s.v., hvis han vil følge Peanos fremstilling. Det gør han: “a+2 = (a+1) + 1 = 1 + (a+1) = 1+(1+a) = 2+a dernæst a+3 = (a+2) + 1 = 1 + (a+2) = 1+(2+a) = 3+a Paa denne maade kan man blive ved, saa længe man vil, saa man i alle tilfælde maa have a+b = b+a” Juel lever til fulde op til det euklidiske ideal i denne fremstilling, hvor der ikke er væsentlige huller i den logiske argumentation, og han bruger endog mindre anskuelse og dagligdags erfaringer undervejs, end Euklid selv gjorde. I den væsentlige henviser han blot til den af børnene kendte tælleproces, og det er han nødt til, da han skal klare sig uden det vanskelige induktionsaksiom, og da han skal skrive forståeligt for børn.

157

Juel side 9.

Nu havde han i sit forord lovet, at han ville genforene aritmetik med regning, og det sker allerede på side 13: “Man har naturligvis ikke dannet Regningsarten Addition for at have Regler for Tælling i en Talrække. Man har derimod omvendt ved Hjælp af Tælling i en Talrække dannet sig Regningsarten Addition, fordi denne er meget nyttig i Anvendelser. Det var jo det praktiske Forlangende om at faa en Mængde af Genstande betegnet paa en nøjagtigere Maade end det kunne ske ved f. eks. at sige “der er mange” eller “der er faa”, der ledede til at opstille Tal i Talrækken. Efter at denne nu en Gang for alle er opstillet, kan man ved Hjælp deraf tælle Antallet af Genstande i en vilkaarlig Mængde. Nu viser det sig, at man faar det samme Antal, i hvilken Orden end Genstandene er opstillede og i hvilke Afdelinger man ved Tællingen har opdelt Mængden. Denne Erfaringssætning er ingen ren matematisk Sætning; den er derimod nødvendig for at kunne anvende Matematik paa Tingene uden for os”. Når man sådan rent fysisk lægger mængder sammen i virkeligheden, så tilfredsstilles, hvad der svarer til ombyttelighedsreglen og parentesreglen, hvilket netop gør matematikken så velegnet i praktiske opgaver. Man bemærker, hvor nøje Juel adskiller den logisk sikre matematiske verden fra den virkelige verden – model fra anvendelse, som man senere har udtrykt det. Han skriver det ikke, men det er klart, at matematikken ville stå, selv om verden skulle begynde at opføre sig underligt. 2+2 ville stadig være 4, selv om to æbler lagt sammen med to æbler af en eller anden mærkelig grund skulle resultere i tre æbler. Alligevel var det en markant nyhed, at Juel koblede aritmetik og regning sammen i en bog, hvor aritme tikken i den lærde skoles middelskole i den grad havde været ren matematik ubesmittet af anvendelser. Juel skrev sin bog året før Almenskoleloven blev vedtaget, og den synes rettet mod 4. klasses hovedeksamen på den lærde skole, hvor man havde aritmetik i 2 timer om ugen i fire år. Den virker overvældende for det mere reducerede timetal i mellemskolen, hvilket også er samtidige anmelderes indtryk. For at give et indtryk af omfanget kan nævnes, at aritmetikken er mere omfattende end, hvad man normalt vil forlange af lærerstuderende i linjefaget matematik i dag, 100 år senere. Dette kunne selvfølgelig sige mere om vor tid end om Juels bog – men den var omfattende.

Euklidisk eller anskuelig geometri? Der skete således det i Danmark, i Mellemskolen, at man prøvede at realisere det euklidiske ideal i aritmetikken, hvorimod geometrien blev dyrket under indtryk af nyere pædagogiske ideer og opfattelser af barnets natur. Vi har nævnt L.V. Pio som tilhænger af en mere anskuelig geometri, men der var mange på den position. S.A. Christensen giver også i 1903 sit bud på matematikken og især geometrien i den nye mellemskole: “Formaalet med Undervisningen i Matematik er dobbelt, dels at skaffe Eleverne den formelle Dannelse, der udvikles gennem de korrekte Følgeslutninger, dels at give dem visse positive Kundskaber for Livet. Nu er det imidlertid en Kendsgerning, at det ofte er vanskeligt at faa Elever til at indse Nødvendigheden af et Bevis, særlig paa Begynderstadiet, og naar Sagen er kendt forud”. 158 Derfor kan han ikke tilslutte sig det euklidiske ideal: ”At medtage hvad der kræves for at have Systemet fuldstændigt, ville baade trætte Eleverne og gøre dem bange for Faget og

158

S.A. Christensen: Matematikkens, særlig geometriens stilling i mellemskolen, Vor Ungdom 1903, side 733.

tage saa lang Tid, at man ikke ville naa ret vidt med Tilegnelsen af de positive Kundskaber til Skade for Matematikundervisningen”.159 Christensen vil således give kundskaber for livet større vægt på bekostning af det euklidiske ideal. Man kunne nå videre, hvis man var parat til at opfatte geometrien som en erfaringsvidenskab. Og hvis man ville følge denne vej, hvorfor så ikke begynde med rumgeometri frem for plageometri: “Da vi nu ved den nye Skoleordning staar overfor noget nyt, kunne jeg have lyst til at foreslaa, at vi netop nu kaster alt det gamle bort og bygger noget nyt op i Stedet for at lappe paa det gamle, idet man altid der vil føle sig bunden af Traditionen Jeg maa da først bemærke, at jeg finder det unaturligt at sondre, som vi gør mellem Plangeometri og Rumgeometri, saa Eleverne intet lærer af den sidste Del. Vi gør straks Geometrien vanskelig og mindre forstaaelig for Eleverne ved at begynde med Plangeometrien, hvorved vi forlanger en stærk Abstraktion fra Virkeligheden”.160 Tidligere startede man geometriundervisningen med et kursus, hvor eleverne blev bekendte med de almindeligste former i rummet. “Det er imidlertid ikke moderne mere; det fik Navn af at være uvidenskabeligt og derfor ubrugeligt”. Men det gav sig heller ikke ud for at være videnskabeligt. I det hele taget vil fuldstændige beviser for rumgeometriske sætninger være for krævende, “men ved at gaa noget bort fra det logisk fuldendte System og gaa ud fra, at Geometrien er en Erfaringsvidenskab, kan vi komme uden om Vanskelighederne”. 161 Og skulle det komme dertil, at man får brug for en sætning, som hverken erfaringen eller det systematiske bevis gør klar, så er ulykken vel ikke så stor. Christensen gør opmærksom på, at man allerede i gymnasiet har enkelte sætninger, hvor man kun antyder beviset: “Jeg mener, at man ingen Skade gør ved paa denne Maade at lette Eleverne; man har alligevel tilstrækkeligt lange Rækker fast sammenkædede Sætninger, hvorigennem Tankeevnen udvikles og skærpes, og som tillige kan give tilstrækkeligt Stof til Opgaveregning. Særlig nærer jeg ingen Frygt, naar det drejer sig om Sætninger, hvis Rigtighed er indlysende for Eleverne, og hvor et Bevis ikke væsentlig bidrager til at klare Forståelsen”.162 Man kunne forvente større troskab mod det euklidiske ideal hos Thyra Eibe, der netop havde nyoversat163 Euklids Elementer til dansk. Hun var bedt om at lægge sine tanker frem i Pædagogisk Selskab i 1902. Ikke overraskende mente hun, at det euklidiske ideal bedst kunne realiseres inden for geometriundervisningen. I aritmetikken fandt hun især de første beviser i uegnede for mindre børn, og i modsætning til de tidligere nævnte debattører inddrager hun børns måde at tænke på i diskussionen: ”Børnene kan meget godt drage en enkelt Slutning,

159

Christensen 1903, s 734. Christensen side 735. 161 Christensen side 736. 162 Christensen side 737. 163 Det store arbejde med i det hele taget af rekonstruere Euklids oprindelige skrift på originalsproget var netop blevet udført af professor i græsk J.L. Heiberg (1854-1928). Han selv mente ikke, at tidens forjagede elever ville kunne bruge Euklid i ren aftapning. ”Men den, der kun lægger Vægt paa at faa Tænkningen matematisk skolet, han finder netop, hvad han ønsker, i ”Elementerne” langsomt og omhyggeligt gennemførte Beviser, der hvad Tankeskarphed og systematisk Bygning angaar, ikke er overtrufne endnu den Dag i Dag. I vore Latin- og Realskoler, hvor alt er lagt an paa at løse Opgaver og komme igennem Eksamenspensummet, har Euklid intet at gøre.” (Anmeldelse af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1900, side 110).

160

men ikke samle flere under ét – der er i alt fald vanskeligt for dem. De kan overhovedet ikke have meget i Hovedet paa en Gang, og det er de tit nødte til i aritmetiske Beviser”.164 Derimod kommer de lettere ind paa geometriske beviser: ”De har Figurer, Linjer, Vinkler, Punkter at holde sig til, de kan paa Figurerne skrive, hvad de ved og efterhaanden kan slutte sig til, saaledes, at de har det lige for Øjnene; der er ikke noget der skal huskes”.165 “For det andet har de geometriske Sætninger den Fordel, at Børnene ikke i Forvejen kender dem. Det er, ligesom de mere trænger til Bevis end i Aritmetik, hvor det alt sammen kun fører til noget, de i Forvejen ved.” Desuden er der kortere fra praksis til teori i geometri, så man meget snart kan lade børnene bevise mindre sætninger selv, hvor der i aritmetikken i lange perioder ikke er sådanne muligheder for selvstændigt arbejde. Når man underviser børn efter Euklid, skal man, ifølge Eibe, i begyndelsen ikke være for fordringsfuld med den formelle side, “naar blot Meningen er god. Jeg indleder ganske vist Undervisningen med at lære Eleverne de 35 Definitioner, som min Bog begynder med. Jeg havde i Begyndelsen tænkt, at man kunne ikke lære saadanne 35 Definitioner ud i et, men det har vist sig, at Børnene slet ikke fandt det kedeligt”.166 Hvordan fik hun eleverne til at tilegne sig de ofte ret lange beviser hos Euklid. Her syntes hun inspireret af den sokratiske metode, der i Sverige blev udviklet specielt til undervisning i Euklid af A. M. Kjelldahl (1829-65). Kjelldahls princip bestod i, ved passende spørgsmål at lade eleven så meget som muligt selv finde sandheden, og var op mod år 1900 totalt dominerende i Sverige.167 Hun beskriver den således i sin egen undervisning: ”Man opdrager dem bedst til at udtrykke sig rigtigt ved at gennemgaa de geometriske Beviser paa den Maade, at man skiller dem ad i deres enkelte Led, stiller et præcist Spørgsmaal om hvert Led og forlanger et præcist Svar. Hvis man f.eks. gennemgaar Sætningen om, at i en ligebenet Trekant er Grundvinklerne lige store, kan man begynde med at spørge, hvad det vil sige at en Trekant er ligebenet, faa Eleverne til at svare, at de to Ben er lige lange, faa dem til at angive det paa Figuren ved at give den samme Betegnelse, faa dem til at sige, hvilken Hjælpelinie der skal til, osv. osv.... Man kunne maaske sige, at et Bevis falder fra hinanden ved paa denne Maade at udstykkes, men man kan da endelig lade en enkelt gentage det Hele”.168 Thyra Eibe vil kun anvende denne metode i starten, for ellers bliver den for kedelig og uselvstændig for børnene. Skal begreberne virkelig tilegnes, kender hun intet bedre middel end konstruktionsopgaver: ”For det første opnaas der ved Konstruktionsopgaverne, at selve ordene “Median”, “Halveringslinie”, “Højde”, “Diagonal” osv. ikke længere er som et fremmed Sprog; de anvender dem uden at tænke paa, at der er noget mærkeligt ved dem. Dernæst faar Børnene det ind i sig, at en ret Linje ikke bliver til noget andet, fordi den forlænges, at en Vinkel ikke bliver større, fordi dens Ben forlænges o. Lign... De lærer at skelne mellem, hvad der er givet, og hvad ikke”.169

164

Thyra Eibes foredrag i Pædagogisk Selskab, dettes årsberetning for 1900-02, trykt i Vor Ungdom 1903, side 92. 165 Eibe 1903, side 92. 166 Eibe 1903, side 94. 167 Elling Holst: Matematikundervisningen i den sve nske skole, Vor Ungdom 1886, s. 419. 168 Eibe 1903, side 94. Metodens brug i Sverige var studeret af nordmanden Elling Holst (note 38), der fandt den betænkelig:”Jeg har ovenfor udtalt, at efter min opfatning drager læreren læsset, og i virkeligheden tror jeg, at det kun er tilsyneladende, eleven opdager sætningen eller finder hjælpelinien, hvorpå det kommer an. Som oftest er det - og det er just metodens vei – lærerens velrettede spørgsmål, der trykker på den rette knap”. 169 Eibe 1903, side 95.

I forlængelse af Eibes foredrag havde Pædagogisk Selskab placeret en tidlig reformpædagog, skolebestyrer Frederiksen170 fra Ordrup for at få nogen debat om geometrien: “Det, jeg har at sige, er ret revolutionært. Hvad mine Tilhørere her faar at høre, synes de maaske slet ikke om”.171 Frederiksen lægger ud med påstanden om, at matematikken er kommet ind i skolen ad en forkert vej, nemlig fordi matematikken har fået større og større betydning i verden, altså i kraft af ydre påbud: ”Jeg hævder fast og bestemt, at dette er splittergalt. Jeg siger udtrykkelig uden at vige et Haarsbred for nogensomhelst Indvending: intet Fag maa komme ind i Børneskolen ad den Vej. Jeg vil bede om, at vi betragter dette som givet, at ind i Børneskolen kommer et Fag ikke ad anden Vej end med Barnet. Vi spørger: naar vaagner Barnets Trang til at kende noget til de Ting, som vi foreløbig indbefatter under Navnet Matematik, og da begynder vi med Matematik. Og hvorledes Matematik saa skal læres, og hvad der skal undervises i af det, man kalder Matematik, bestemmes ikke efter de kommende Ingeniør- eller Maskinisteksamener eller hvad andet Mennesket kommer til at bruge Matematik til. Det bestemmes udelukkende ud fra dette Synspunkt: hvad kan Børnene modtage, hvorved vil de vokse, hvilke Sjæleevner kan sættes i Bevægelse gennem dette Fag”.172 Frederiksen er enig med Eibe i, at man lader børn starte med geometri den frem for aritmetik, men hans begrundelse er anderledes: ”Det er nemlig ikke Klarhed og Logik, som Børnene trænger til. Et Barn kan ikke leve af Klarhed og Logik”. Derfor skal man ikke tilrettelægge undervisningen efter det euklidiske ideal, men “naar hele den nyere Pædagogik i alle Fag gaar i Retning af at lære Børnene at se, at faa Erfaring, at føre dem ud i Livet og lade dem lidt efter lidt samle alle Enkeltheder i Grupper og under visse Synspunkter, saa maa Matematikken ogsaa gaa den Vej. Naar Talen er om Geometri, da er min Hovedpaastand den, at det gælder om at lære Børnene at se sig frem Stykke for Stykke, at maale sig frem, at arbejde med det Stof, der ligger for i den Verden, de lever i. Og derfor skal vi ikke begynde med Plangeometri, men med det vi videnskabeligt kalder Stereometri ”.173 Han er således langt mere enig med Christensen end med Eibe. Geometrien skal behandles som en erfaringsvidenskab, hvorfor rumgeometri må komme først. Det er børnene selv, der gennem egen aktivitet og udforskning skal systematisere erfaringerne. Vi skal ikke komme med Euklid og pådutte dem, at en linje hverken har bredde eller tykkelse, og punktet ingen udstrækning har: “jeg beder Dem saa bønligt at sætte Dem ind i, hvad det vil sige at skulle forklare et Barn noget, som slet ingen Udstrækning har”.174 Det kan næppe overraske, at når det drejer sig om prøvestenen for grundholdningerne til geometriundervisning – sætningen om skrålinier – så er Frederiksen på anskuelsesholdets side: “Og nu det at skulle bevise, at naar to Linjer afviger ulige meget fra den Lodrette, saa er den størst, som ligger længst ude – ja, jeg har tydeligt for mig hvorledes det gik os i min Tid; Gud naade os, dersom vi kom og sagde, at vi kunde se det – i synderlighed naar begge Linjer viger ud til samme Side, kunne vi se det -, vi fik daarlige Karakterer, vi maatte ikke stole paa vore Øjne, der skulle matematisk Bevis til”.175 170

H.C. Frederiksen, 1840-1921. Biografien hos Skovgaard-Petersen 1976, s.154 lyder:” F. begyndte i 1873 sin skole i en villa i Ordrup; i 1887 fik den eksamensret som latin- og realskole. En del af eleverne boede som ”fosterbørn” hos H.C.F. Han skabte en ”personlig skole”, hvor eleverne – drenge og piger – skulle vokse op som i et godt grundtvigsk hjem. ”Friser” som han kaldtes på skolen, er model for Gunnar Jørgensens elskelige rektor i Flemming-bøgerne – ”Prøv med Kærlighedens stærke Arm”. Skolen overgik i 1908 til Ernst Kaper. 171 Det pædagogiske selskabs årsberetning 1900-1902, trykt i Vor Ungdom 1903, her side 97. 172 Samme årsberetning 1900-1902, side 98. 173 Samme årsberetning 1900-1902, side 98. 174 Samme årsberetning 1900-1902, side 99. 175 Samme årsberetning 1900-1902, side 100

Ved denne debataften i Det Pædagogiske Selskab synes deltagerne overvejende at være på anskuelsesholdet i forhold til geometriundervisningen. Vi lader en af deltagerne, kandidat Heckscher, udtrykke den overvejende stemning: “Der synes at være Enighed om at begynde med Geometri, men frk. Eibes Grunde tiltaler mig ikke. Det kan være meget rigtigt at begynde med Geometri, men Grunden dertil er, at man der mere kan benytte Anskuelsesmetoden; og alle Mennesker er jo snart enige om, at man skal støtte sig til Anskuelse. – Frk. E. er alt for euklidisk. Euklid kan være morsom for Læreren, men for Eleverne er hans System et fuldstændig Kalejdoskop… Matematikken maa serveres saaledes, at der er Sammenhæng. Konstruktioner er brilliante, fordi de støtter det centrale i Matematikundervisningen: Elevernes selvstændige Arbejde – jeg er enig med Hr. F. i Grundssynspunktet. Men jeg kan dog ikke indse, at det deraf skulle følge, at man begyndte med Stereometri; er der noget, Drenge holder af, er det Tegning. Jeg synes heller ikke, Hr. F. har ret i, at man ikke maa bevise noget det første Aar; det maa man gerne, naar blot det ikke er noget selvindlysende. Akkurat det samme gælder Aritmetik”.176 I den efterfølgende debat i Vor Ungdom er det faktisk kun Johs. Mollerup, der fastholder, at denne opblødning af det sammenhængende geometriske bevissystem er en katastrofe: “Hr. Frederiksen gør gældende, at Smaabørn ikke maa bevise Sætninger, de kender i Forvejen, eller som forekommer dem umiddelbart indlysende. Dette er en Erklæring, der er saa tiltalende tydelig og principiel, at det er en ren Fornøjelse. Det er saaledes umiddelbart indlysende, at den rette Linie er den korteste Vej mellem to Punkter, og at to Skraalinier, der afviger ligemeget fra den Vinkelrette, er lige store – jeg holder mig til Hr. Frederiksens Eksempler. Ja vel ! Det er fysisk indlysende, ens Øjne og ens Erfaring siger en det sikkert nok. Men naar Læreren har lært Børnene, at Beviset for en Sætning er den logiske Tilbageførelse af Sætningerne til de tidligere og derfra til Grundsætningerne, til hvilke de to nævnte ikke hører, saa vil de ikke finde Sætningerne matematisk indlysende, men tværtimod betragte Opgivelsen af Beviserne som en latterlig Kapitulation”.177 Naturligt nok henviser Mollerup til Juels bog som et eksempel på, at det euklidiske ideal kan gennemføres og det kan gøres på en forståelig måde, idet han dog erkender, at bogen er lovlig omfattende. Hvis man vil undersøge hvilken af disse didaktiske positioner, der slog officielt igennem ved mellemskolens indførelse, kan man passende se på geometriafsnittet i læseplanen for mellemskolen fra 1904: C. Geometri, Undervisningen heri skal omfatte følgende Afsnit af Plangeometrien i elementær Fremstilling: den rette Linies og Planens Grundegenskaber, rette Liniestykkers Lige- og Uligestorhed samt Maaling, parallelle Linier; Trekanter (Kongruens, Lige- og Uligestorhed af Sider og Vinkler, Skraalinier), Firkanter (Trapez, Parallelogrammer); Cirklen (Stilling til en ret Linie, to Cirklers indbyrdes Stilling), Vinklers Afhængighed af Cirkelbuer); Arealer af Polygoner (Cirklens Længde og Areal skal være bekendt, men kræves ikke udledt matematisk); Sætningen om Sidernes Proportionalitet i ensvinklede Trekanter (Beviset føres kun for det Tilfælde, hvor Siderne er kommensurable) med nogle af de sædvanlige Anvendelser til Beregning af Liniestykkers Længde, derunder Sætninger om den retvinklede Trekant. Der skal helt igennem lægges særlig Vægt paa Løsning af simple Konstruktionsopgaver, hvorhos Eleverne indøves i at udføre den herhen hørende Tegning ordentlig og nøjagtig.

176 177

Samme årsberetning 1900-1902, side 106. Johs. Mollerup: Om mellemskolens matematikundervisning, Vor Ungdom 1903, side 438.

Forslagene om at starte med den virkelighedsnære rumgeometri slog åbenbart ikke igennem i læseplanen, og som før med aritmetikken synes man af undtagelserne at kunne tolke planen tæt på det euklidiske ideal. For når der enkelte steder står “kræves ikke udledt matematisk” og “Beviset føres kun for det Tilfælde...”, så kan det nemt tolkes som et krav om nøjagtige beviser i det øvrige stof – ligesom formuleringer som “rette Liniestykkers Lige- og Uligestorhed” næppe lægger op til en anskuelsesundervisning, hvor de kan klares på to minutter. Ministeriets folk har dog klart været påvirket af den pædagogiske debats udvikling i retning af anskuelsesundervisning, for allerede i undervisningsvejledningen en måned senere hedder det: “I 2den Klasse vil da efter den indledende Undervisning – som ikke maa gøres for vidtløftig, og som skal tjene til gennem Betragtning af simple Rumformer (hvor man helst maa henholde sig til sædvanlige Brugsgenstande som er Eleverne vel kendte fra det daglig Liv), og gennem Tegning at gøre Eleverne fortrolige med de Objekter, hvormed Geometrien arbejder, og at fremdrage Grundegenskaber ved disse, som det maa anses for nødvendigt paa dette Trin at nævne – kunne gennemgaas....”178 I betragtning af, at denne indskudte bisætning dels omhandler noget, der ikke er nævnt i læseplanen, og dels fylder en tredjedel af, hvad der skrives om geometri, må den unægtelig påkalde sig interesse. Ministeriet synes i et kompromis at have bøjet sig for anskuelighedsfløjen, dog på en sådan måde at det ikke fremgår af selve læseplanen. Således kan både tilhængere af det euklidiske ideal og anskuelighedsfolkene arbejde under den nye læseplan. Er det ikke det, man kalder en typisk dansk løsning? Vejledningen fortsætter “– kunne gennemgaas Elementerne af Læren om rette Linier, deres indbyrdes Stilling (Vinkler, Parallellisme), og de simpleste af dem dannede Figurer, Trekanter og Firkanter, i det Omfang, Anordningen bestemmer. I 3dje Klasse vil som noget nyt passende kunne læses Arealbestemmelse af Polygoner (særlig Trekanter og Firkanter), samt de anordnede Sætninger om Cirklen. I 4de Klasse gennemgaas Proportionalitetssætningen og den Anvendelser og i Tilknytning hertil udvalgte Hovedpunkter af de foregaaende Klassers Pensum. – Der bør fra første Færd lægges megen Vægt paa Figurtegning, ogsaa inden den egentlige Konstruktionslære er begyndt, hvilket forøvrigt bør ske saa tidligt som muligt, idet Eleverne efterhaanden som de afledede Egenskaber ved den rette Linie og Cirklen (“geometriske Steder”) udfindes, straks bør øves i at anvende dem til at løse lette Konstruktionsopgaver. Kun for de mest fundamentale Opgaver bør kræves nogen egentlig Diskussion; derimod maa man som Regel forlange, at Eleven giver alle de forskellige Løsninger, som de valgte Værdier af de givne Stykker kunne faa”. Man kan konkludere, at ministeriet i et vist omfang har bøjet sig for anskuelsefløjen, men har skrevet læseplanen, så en Thyra Eibe godt kan undervise efter sin Euklidoversættelse. Det danske kompromis lader det i stort omfang være op til lærerne at udvikle fagets retning i tiden fremover.

178

Vejledning til gennemførelse af anordning af 26. maj 1904, 1. juli 1904, aftrykt i Matematisk Tidsskrift, her side 85.

4: Regneundervisningen i folkeskolen 1900-1920 Resumé: Der er en overraskende modernitet i debatten om regneundervisningen i det første årti af 1900-tallet, hvilket giver anledning til nogle overvejelser om gabet mellem teori og praksis i undervisningen til enhver tid. Visse formuleringer af regnelærerinde Johanne Lütken og seminarielærer J.F. Johansen kunne lyde moderne på et lærerværelse den dag i dag, bortset fra at den gamle vin nu er kommet på nye flasker, således at vi udleder vore principper fra vor tids hyldede pædagoger og psykologer. Nøgleordene var barnets motivation, erfaring og forslag i centrum, udføre handlinger, induktionsprincippet, anskuelighed, sproget som anskuelsemiddel, og på den metodiske side: klasseundervisning. I selve året 1900 udkom på Gyldendal den første regnebog, som man kan kalde moderne: Børnenes Regnebog. Den havde spiral organisering af stoffet, mange repræsentationsformer, gode illustrationer og godt layout. Men en samtidig viceinspektør synes dog endnu i 1905, at undervisningsmidlerne halter slemt efter den nødvendige udvikling. I løbet af det første årti havde imidlertid alle skolebogsforlag ”moderne” regnebøger. Der fandtes retningslinier for regneundervisningen i det Styhrske Cirkulære fra 1900, hvor hovedformålet var at få børnenes forstand udviklet. Men da man fra 1917 begyndte af måle de faktiske resultater af regneundervisningen viste det sig, at færdighederne lå ret lavt, samtidig med at antallet af børn, der blev henvist til hjælpeklasser voksede. Formaldannelsesfilosofien stod for fald, og der begyndte at komme krav om reformer, der fremmede færdighederne.

Kløften mellem teori og praksis Man hører ofte i vore Dage Klager over, at de Unge ikke kan regne, og der føjes til: “Da fik vi en anderledes Færdighed i vore Dage”. Det kan heller ikke nægtes, at det netop var det, man fik ved den gammeldags Regneundervisning; man spildte ikke Tiden med at lade Børnene selv finde paa en Fremgangsmaade, men regnede et, højst to Stykker paa den store Tavle, slog Reglen fast, og saa lod man den regne Stykke efter Stykke af samme Slags... til de var sikre. Saa kom Omslaget. Børnene skulle lære at tænke, og det var Regningens eneste Maal – alt det mekaniske var af den Onde. Der burde have været citationstegn omkring denne indledning, for den er skrevet af lærerinde Johanne Lütken i 1905 i en artikel om regneundervisning. 179 Hun skriver ikke, hvornår omslaget kom, men mon ikke hun tænker på 1840’erne og folk som Hans Schneekloth, som jeg har omtalt i kapitel 1. Lütken skriver ikke klart, om hun synes, at faget igen er blevet for mekanisk. Men man kan godt opfatte Chr. Hansens regnebøger som noget mekaniske i deres fremstilling – det gjorde man i al fald i samtiden og ikke mindst, når man siden hen mindedes gamle dage. Endnu i 1910 kan man i en anmeldelse af netop en Lütkens håndbog for regnelærere læse: ”Paa Regneundervisningens omraade er der for Tiden stærkt Røre, man kræver den mekaniske Regning underbygget med mere Forstaaelse”.180 Og jeg vil taksere 1910 som et toppunkt for en bølge præget af prioritering af forståelse kombineret med formaldannelse. Skulle læseren i sit indre have dateret indledningscitatet til nutiden, så er det forståeligt. I mørke stunder kan man endog få den tanke, at avantgarde-pædagogikken er konstant ligesom den faktiske undervisning er konstant, men at der er et svælg imellem de to: teori og praksis. Men man kan ikke på forhånd udelukke, at forskellen på den progressive pædago179 180

Johanne Lütken: Regneundervisning, Vor Ungdom 1905, s. 449. Wilster, Henrik: anmeldelse af Johanne Lütken: Regning i Skolen, Vor Ungdom 1910, s.135-138.

giske teori og daglig praksis i 1903 er større end forskellen på praksis 1903 og praksis år 2000. Den er i al fald større end forskellen på progressiv pædagogisk teori 1903 og toneangivende pædagogik 2000. Som det fremgår af følgende sammenstilling, er forskellen på de sidste kategorier ikke stor i tilfældet regning.

Johanne Lütken 1905

Vejledende læseplan 1995/2001

Idealet for Regneundervisningen skulle være, at Børnene lærte at bruge deres medfødte sunde Fornuft, fik den udviklet – men ikke forkvaklet ved lange Forklaringer og bundne Opstillinger og Regler – og fik Lejlighed til at prøve forskellige af dem selv og Læreren foreslaaede Fremgangsmaader og til at vælge den simpleste. De skulle gennem en ensartet, sammenhængende Undervisning ledes til at gøre Fremskridtene selv og gaa uden Spring fra det ene til det andet, og saa skulle de have lov til at tumle med Opgaver, der er saa lidt abstrakte som muligt, men referere sig til, hvad der sker omkring Børnene – det de har Interesse for.181

“Undervisningen bygger på de mange forudsætninger, som eleverne har, når der begynder i skolen”. 1.-3.kl: “Den enkelte elev skal have mulighed for at udvikle egne metoder til antalsbestemmelse ved addition og subtraktion”. 3.-7.kl: “I arbejdet med de naturlige tal udvikler eleverne fortsat egne beregningsmetoder. Standardiserede regneopstillinger indføres, hvis det for eleven er en forenkling af arbejdet.” “Eleverne bygger videre på deres forskellige faglige erfaringer ved at deltage i lege, spil og undersøgelser på skolen i og dens omgivelser”.

Dette, at fortiden i nogle kilder tager sig så moderne ud, er noget af en fristelse og i al fald en stor udfordring for den, der vil skrive historien om et undervisningsfag som matematik/regning. Man skulle tro, at skolens hverdag ikke kunne være upåvirket af de fremmeste pædagogers tanker og i al fald måtte følge officielt vedtagne retningslinier. Men her udmærker Danmark sig ved en særlig frihedstradition og især metodefrihedstradition, der gør det vanskeligt at slutte fra papir til praksis. Det blev udtrykt klart af undervisningsministeriets departementschef A. Barfod forud for skoleloven af 1937: “Hertil er i Rigsdagsudvalget føjet en yderligere Anvisning paa i alle Klasser at lægge mest mulig Vægt paa Elevernes Selvvirksomhed. Bestemmelsen er efter mit Skøn ligesaa uskadelig som overflødig. Vinder et pædagogisk System frem i det praktiske Skoleliv, vil det præge Folkeskolen, selvom ingen Lovbestemmelse kræver det fulgt. Vinder den paagældende Teori ikke Fodfæste i Skoleverdenen, nytter det intet, at den paabydes af Loven, og jo færre pædagogiske Anvisninger der gives fra oven, fra Lovgivningsmagten eller Centraladministrationen, des bedre”.182 Det Barfod her refererer til er overordnet set den bevægelse, der opstod i starten af 1900-tallet under navnet reformpædagogik og ofte forbindes med den amerikanske pædagog John Deweys skrifter om erfaringspædagogik og demokrati i skolen: ”Det at lære skulle være en aktiv proces med udgangspunkt i barnets egne erfaringer, interesser og initiativer, og

181 182

Lütken s.449f. A. Barfod: Det borgbjergske reformkompleks. I Det danske skolelovsforslag, V.U. 1935-36, side 153.

undervisningen skulle være præget af demokratiske tanker om elevmedbestemmelse". 183 Johanne Lütken var en tidlig talskvinde for sådanne tanker i regneundervisningen. Men som Barfod så klart udtrykte det, så kan en sådan reformpædagogik ikke indføres fra oven via lov, og processen med dens indførelse har varet hele århundredet, idet nye navne og retningbetegnelser har været knyttet til fænomenet, og modstrømninger har også været på færde. På den alsidige teolog Christiern Pedersens 184 tid, omkring 1500, bebrejdede man de gamle lærere (hørere) deres måde at gribe pædagogikken an på, men de svarede: ”Jeg haffuer saa køftt min lerdom og visdom. Jeg vil och saa selge hannem igen”. 185 Og tendensen til at undervise som man selv blev undervist har alle dage være sejlivet. Derfor, og fordi ikke alt nyt er godt nyt, vil der ofte gå flere generationer før majoriteten af lærere får flyttet deres undervisning i ny retning. Chr. Hansens regnebøger må have solgt i hundredtusindvis efter 1900 før fx ”Regnetabeller og 1600 Hovedregningsopgaver” toppede med 1,7 millioner i 1942. Dette bør holdes ”i mente” i den følgende beskrivelse af fornyelserne i regneundervisningen.

Det Styhrske Cirkulære I skoleloven af 1814 var der ikke angivet nogen fagrække eller fastsat noget timetal for lovens forskellige aktivitetsområder: religion, skrivning og læsning, regning, sang, historie, geografi og gymnastik. Det kom først med folkeskoleloven af 24. marts 1899 og det efterfølgende cirkulære udstedt af kultusminister H.V. Styhr den 6. april 1900. Det var første gang i historien, at ministeriet havde sat sig for at ”fremsætte nogle Bemærkninger dels om det Maal, hvortil der paa Skolens forskellige Trin bør naas i hvert Fag, hvortil for visse Fags vedkommende er knyttet nogle Bemærkninger om den Vej, ad hvilken dette Maal vil kunne naaes, dels om det Antal ugentlige Timer, som ved Timeplanens Lægning bør paaregnes til de enkelte Fag”.186 Cirkulæret, der blot var vejledende, er særlig kendt for indførelsen af Anskuelsesundervisning187 som et særligt fag, hvilket satte sig spor i serier af vægtavler omhandlende: Fra Hus og Hjem, Fra Mark, Skov og Strand, Fra By og Land, Fra andre Lande, Foraaret, Sommeren, Efteraaret og Vinteren. Formålet med denne anskuelsesundervisning var ikke først og fremmest det faglige materielle indhold i anskuelsen, men den formelle dannelse, arbejdet gav mulighed for: ”Ved Samtaler…søges Barnets Sansning og Forestillingsliv opdraget”. Regning, der var tildelt 3 ugentlige timer i alle skoleår (4 i 6-7. klasse i købstæderne), var det fag, der var stærkest præget af formaldannelsesfilosofien: ”Ved Regneundervisningen skal der tages Sigte paa, at Børnenes Forstand udvikles og de vænnes til Energi og Udholdenhed i deres Tænkning, samtidig med at de opnaa den i det praktiske Liv saa værdifulde Regnefærdighed”.188 Forfatteren til afsnittet om regning i cirkulæret var efter al sandsynlighed regnebogsforfatter og skoledirektør Joakim Larsen. Han anbefalede her samme koncentriske opbygning som han selv anvendte i sine lærebøger: ”Hvad stoffets Ordning angaar, anbefales det at gaa frem i kredse, saaledes at man begynder med en mindre, for Børnene overskuelig Talkreds, 183

Reformpædagogik-opslag i Den store danske Encyklopædi, bind 17, 2000. Christiern Pedersens (1475-1554), gejstlig, der især en kendt for ”Peder Laales Ordsprog”. 185 Her efter H. Bahne Jensen: Den unge lærer, kortfattet haandbog i ny skolepraksis, 1930, s. 10. 186 Det Styrske Cirkkulære, indledende afsnit. 187 Faget var allerede vel beskrevet af lærerinde Kirstine Frederiksen (1845-1903), der havde argumenteret stærkt for faget i ”Anskuelsesundervisning, Haandbog for Lærere”, 1889. 188 Her og i det følgende citeres fra cirkulæret fra Uddannelseshistorie 2000, 34. årbog fra Selskabet for Dansk Skolehistorie, her s. 66. 184

inden for hvilken alle Taloperationer foretages, og saa efterhaanden, som Børnene kunne magte det, udvider Kredsen”. Og der skulle lægges vægt på forståelse eller ”virkelig færdighed”, som det hed i cirkulæret, ved at give hovedregning forrang frem for skriftlig regning. Selve læseplanen er ganske kort og refererer til de tre trin, der var naturlige på en landsbyskole, hvor endnu 60% af Danmarks skolebørn gik: ”Første Trin (1-3. klasse, også kaldet forskole) De fire Regningsarter med Tal indtil 1000. Regningen anskueliggøres, og der begyndes med benævnte størrelser. Andet Trin (4-5. klasse) De fire Regningsarter med større Tal og de forskellige almindelige Benævnelser. Anvendelse af Decimalbetegnelser ved tidelte Størrelser og Regning med ensbenævnte Brøker. Simple Opgaver i Forholdsregning. Tredje Trin (6-7. klasse) Forholdsregning og dens Anvendelse(derunder procentregning). De fire Regningsarter med Brøk. Decimalbrøk. Det anbefales i de ældste Klasser at anvende nogle Timer til et kortfattet Kursus i Anskueliggørelse og Beregning af geometriske Forhold ved Hjælp af et Sæt stereometriske Figurer”. Cirkulæret var kun vejledende for skoledirektionernes udarbejdelse af undervisningsplaner, men dets principper om formaldannelse, forståelse og koncentrisk organisation af stoffet spores hos mange senere lærebogsforfattere, der således bidrog til at føre cirkulæret ud i livet. Minister Styhr var ikke elsket og beundret af sin samtid,189 og han gik af sammen med regeringen tre uger efter udsendelsen af cirkulæret. Men det Styhrske cirkulære fik en lang levetid – ja det fortsatte endnu fire år efter den næste skolelov fra 1937. Og der kom ikke noget afløsende cirkulære om folkeskolens undervisning. For ”Ministeriet er imidlertid af den Anskuelse, at en ny almindelig Bekendtgørelse om Undervisningen i Folkeskolen til Erstatning for disse tildels forældede Bestemmelser vil være unødvendig og uheldig, idet der ikke bør gøres noget Forsøg paa at lede Undervisningen ad bestemte Baner, naar blot det foreskrevne Maal naas”.190 Og således stod situationen ved den næste skolelov af 1958, hvorefter der så fremkom en værdig afløser til Styhrs cirkulære, nemlig den Blå Betænkning fra 1960-61. Det skal afslutningsvis fremhæves, at skønt det kun var cirkulæret, der direkte kom med vejledende retningslinier for faget regning, så var det selve folkeskoleloven af 1899 med tilføjelser fra 1904, der flyttede noget – også for et fag som regning. Med loven steg de statslige tilskud til folkeskolen fra to millioner kroner til fire på blot et par år. Lærernes lønforhold blev bragt i orden, der blev oprettet lærerråd, og der blev bygget nye og større skoler. Var loven mild i sine krav til undervisningens indhold og organisering, så var den streng i sit krav om, at de lokale skoledirektioner skulle udarbejde en undervisningsplan, der bl.a. omfattede de enkelte undervisningsfags timetal. Alt dette var med til at styrke fagene

189

Viggo Hørup i Politiken 1. nov. 1899: ”Hr. Styhr, den Biskop, som herren for at tugte vort ’Fædreland har gjort til Kirke- og Undervisningsminister”. 190 Her efter Uddannelseshistorie 2000, s. 102. Citatet er vel det klareste udtryk for den metodefrihed, der har været hyldet i folkeskolen gennem hele århundredet.

som grundelementer i skolen, og dermed til at give et fag som regning sin særlige kultur – på godt og ondt.

Situationen 1905 Viceskoleinspektør H. Chr. Johannesen tager i 1905 temperaturen på regneundervisningen i grundskolen i Danmark : ”I al Almindelighed kan man vel sige, at Maalet er det samme alle steder: Iklædte Opgaver med hele Tal og Brøker i alle Regningsarter i Hoved og paa Tavle, Decimal-Forholds-Procentregning samt Flade- og Legemers Beregning, men Vejen, der fører til disse smukke Maal er yderst forskellige, og lige saa forskellige er de opnaaede Resultater paa denne lange besværlige Vej, hvis hele Længde kun naas af de færreste og tilmed ofte i vaklevorne, uselvstændige Skridt, uden Sikkerhed i Tilegnelse og uden Behændighed i Talbehandlingen”.191 ”Undersøger vi derefter Skolens vigtigste Læremiddel næst efter Kridt og Skoletavle, nemlig Regnebøgerne, da erfarer vi snart, at paa dette Omraade staar vi trods Planer og Bestemmelser langt tilbage. Masser af Steder bruges endnu de gamle kendte Regnebøger med de nøgne abstrakte Tal, ordnede i de retlinede Regningsarters Kolonner. En stor Del nyere er kommet, men undersøger vi dem nøjere viser det sig, at en Mængde af dem er dannet over den samme gamle Form, som vi stiftede Bekendtskab med paa Skolebænken for 3040 Aar siden… ganske vist ”laver” vel nok de fleste Lærere en del Opgaver selv, navnlig til Brug ved given Foranledning, men kun faa er saa behændige og opfindsomme, at de kan undgaa at tage sin Tilflugt til en Regnebog, og uvilkaarligt kommer den Bog, han søger Hjælp hos, til at give Ramme, Indhold og Fremgangsmaade ved Undervisningen; uundgaaeligt bliver det, hvor Børnene selv benytter Regnebog”.192 Johannesen skriver sin artikel på baggrund af en artikel i februarnummeret af Vor Ungdom 1905, hvor lærer Chr. Hansen193 fra Roskilde har kritiseret den danske regneundervisning for at gå efter rette linjer, hvor han anderledes har fundet kvalitet i den hollandske koncentriske metode, hvor ethvert nyt område i regning tages op, så snart barnet har modenhed hertil, og så vender man eller tilbage til det gang på gang de følgende år på højere niveau som i en spiral.194 Den kritiserede danske lineære metode går på, at man tror, at man kan gøre et emne færdigt en gang for alle gennem et længere forløb. Selv om Johannesen godt kan se fejl i den danske praksis, mener han dog, at man nogle steder, fx i den nu ti år gamle undervisningsplan for Frederiksberg og København har benyttet den koncentriske metode: ”1. klasse: ”Talrækken fra 1-20 behandles i de fire Regningsarter. Undervisningen drives i Begyndelsen fortrinsvis mundtlig. Talbegrebet indprentes først ad den umiddelbare Anskueligheds Vej, idet man som Anskuelsesmiddel benytter virkelige Genstande, Punkter, Streger, Kors o. lign, som tegnes paa Klassetavlen…” 2. klasse.: ”Talkredsen udvides til 100 og behandles alsidig i de 4 Regningsarter med ensbenævnte eller ubenævnte Tal”.195

191

H.C. Johannesen: Regneundervisning og regnebøger for folkeskolen., Vor Ungdom, s. 402. Johannesen s. 404. 193 Her er ikke tale om forfatteren til Chr. Hansens regnebogssystem, der netop ikke er koncentrisk i sin opbygning. 194 Den hollandske metode var mere radikal end anbefalingen i Det Styhrske Cirkulære, der blot lod regningsarterne opbygges spiralt gennem voksende talstørrelser. 195 Johannesen s. 403.

192

Der fortsættes de følgende år med større og større tal, indtil brøkregningen begynder i 5. klasse, så Johannesen synes at hovedstadens skolevæsen på dette punkt er i overensstemmelse med den hollandske koncentriske princip. Han synes ligeledes, at man lever op til det metodiske krav om anskuelighed i undervisningen: ”Ligeledes paalægges det Lærerne at arbejde med Anskuelsesmidler, hvilket ogsaa gøres i rigt Maal, med Mønter, Tændstikker og Lignende, hvortil kommer Skolernes Anskuelsesapparater, Kuglerammer, smaa Klodser, enkelte og sammensatte, hvor man ser Størrelsesforholdet mellem Enere, Tiere og Hundreder anskueliggjort. Ogsaa den gode Idé at lege ”gaa i Butikker” er velkendt i de kbh. Skolers Regnetimer med smaa Børn.” ”Til Forstaaelse af Brøksbegrebet har de allerfleste Skoler Anskuelsesmidler, ”Brøksapparater”, der i høj Grad letter Opfattelsen af de simpleste Manipulationer med Brøker; men i Holland paabegyndes Behandlingen af de simple Former langt tidligere end hos os; og paa dette Punkt har vi sikkert meget at lære. Det kulørte Kridt har heller ikke fundet den Anvendelse hos os, som det fortjener”.196 Men han medgiver, at den lærer, der er overladt alene til en tilfældig lærebog, ofte er på Herrens Mark:” En af de nyeste Udkomne, kun lidt omformede Antikviteter, udgivet af Madsen Vorgod og J. Gr. Pinholt, har saa ny en Dato som 1903. I 1’ste Del indeholder de første 21 Sider lutter Tal uden en eneste Benævnelse. Tallenes Størrelser er svimlende: Hundreder af Millioner. De fra Fædrene nedarvede Principper er fulgte med rørende Omhu uden noget Sted at vove sig uden for de gammelkendte banede Veje”.

Den første moderne regnebog for børn Viceskoleinspektør Johannesen synes dog, at Børnenes Regnebog ved J.V. Petersen og P. Rasmussen fra Gyldendalske Boghandel 1900-1904 har inddraget ikke blot den koncentriske metode, men i det hele taget en del resultater fra den internationale eksperimentalpædagogik: ”Man forbavses muligvis ved paa Titelbladet af de to første Hefter at finde Ordet Tegninger. Saadanne er nemlig ikke almindelige i Regnebøger. Men her illustreres hvert Talbegreb af en hvid Tegning paa sort Grund, svarende til Kridt paa Skoletavlen. De er et Bevis paa, hvorledes Anskuelighedsprincippet er trængt frem til alle Grene af Undervisningen”.197 ”Børnenes Regnebog198 og den hollandske grundlæggende Undervisning skiller sig efter mit Skøn kun fra hinanden deri, at Bogen straks begynder med Talskrivning, medens Hollands Lærere først tager fat paa Tallene efter 5 Maaneders Forløb. Jeg tror, at den hollandske Fremgangsmaade paa dette Punkt raader over store Fordele”. ”Tallenes Størrelse er holdt indenfor Rimelighedens Grænser. I tredje Hefte naar dog Enkelte til Millioner. Efter min Mening burde disse være udeladt, da Børnene paa dette Alderstrin ingen virkelig Forstaaelse har af dem”.199 Alt i alt vurderer Johannesen, at man her står med et system, der mere end noget andet herhjemme er bygget i overensstemmelse med den moderne pædagogiks krav. 200 Så hvis

196

Samme 403. Samme s. 405. 198 Børnenes regnebog var ikke direkte inspireret af den hollandske metode. I slutordet til regnebogen for 1. klasse skriver forfatterne faktisk deres kilder, som er: J. Nicolaisen: Regneundervisningen, Royal. English Aritmetics, V. Brouet: Lecons et devous d’arimétique samt M-J. Lefranc: Artimetique et calcul mental. 199 Samme 407. 197

ellers lærerne kunne vælge frit og holde sig fri af de antikverede bøger, var der håb for det ny århundredes regnemetodik.

Ser vi Børnenes Regnebog I, 201 virker den i det ydre moderne ved at være en bog specielt for 1. klasse. Den er smukt illustreret med træsnit af Nora Mortensen, og det er påfaldende i forhold til ældre bøger som Chr. Hansens, at siderne har et harmonisk layout, hvor tekstopgaver, illustration og nøgne talopgaver indgår i en helhed. Og vel at mærke udgør sekvenserne af nøgne talopgaver kun 10-15% af en gennemsnitssides areal. Den ydre modernitet genfindes i den didaktiske tilrettelæggelse. For hvert tal der introduceres, startes med en reference til tegningen på siden, dernæst talordet, så en stregrepræsentation af tallet og endelig symbolet for tallet. Tallets spændvidde fremhæves ved i en

200

Også R. Amdrup og N. Skarvig: Uglebogen, hefte 1-8, Hagerup 1908 er organiseret efter den koncentriske metode, ”kun på et enkelt punkt har forfatterne ikke vovet at tage skridtet fuldt ud, idet regning med brøk er opsat til 5. skoleår, og kun enkelte beregninger med brøkdele af et antal er gået forud” (Johanne Lütken; Anmeldelse, Matematisk Tidsskrift A. 1909 s. 20). 201 Jakob V. Pedersen og P. Røtting: Børnenes Regnebog I, 2. udgave, 1907. De følgende citater er taget fra denne udgave.

række tekstopgaver (der i starten læses op af læreren),202 hvor tallet placeres i en tælleremse og rekonstrueres af barnet med streger, før barnet selv prøver at skrive det. Dernæst vises, hvordan tallet kan fremkomme som resultat af en række opgaver fra alle fire regningsarter og refererende til forskellige repræsentationer af tallet i virkeligheden. Til sidst på siden om tallet kommer så nogle nøgne talopgaver fra alle fire regningsarter samt ligninger. Som eksempel på hvordan, bogen arbejder koncentrisk med opbygningen af regningsarterne, kan følgende udpluk fra siden om tallet 12 gives: 3. Povl tjener 2 Kr. om Dagen; hvor meget i 6 Dage? 5. Hvor mange Kyllinger er der i en Flok, naar de tilsammen har 12 Ben? 7. Af et Dusin Blommer spiser Henrik selv 7 og giver sin Søster Resten; hvor mange faar Søsteren? 5+7 = , 12 = 5 + , 12-7 =, 12 - ? = , 6 x 2 = , 12:2= , 3 x 4 = , 12 : 4 =,

7 = 12 - , 7 + ? = 12

I slutningen af bogen for 1. klasse kommer ogsaa brøkerne med i den koncentriske opbygning: s.35: 20. Hvad er Halvdelen af 8, 18, 14, 16, 6, 19? 21. Tag Tredjedelen af 3, 18, 15, 12, 6, 9 24. Find Forskellen mellem Femtedelen af 15 og Tredjedelen af 12! s. 38. 17. Af 20 Kirsebær giver jeg Kristian Femteparten og Niels dobbelt saa mange; hvor mange Kirsebær faar hver? s. 39: 39. Af 9 Paar Duer sælger jeg Sjetteparten. Hvor mange Duer har jeg tilbage? Børnenes Regnebog dækkede alle 8 skoleår i folkeskolen, og var fra omkring 1905 autoriseret af direktionen for borger- og almueskolevæsenet i København. 203 Bøgerne udkom også i en barberet udgave som Folkeskolens Regnebog beregnet især for landsbyskoler, fx Folkeskolens Regnebog I for Forskolen (1901), dækkende 1-3. klasse i én bog. Den gennemløbende forfatter var Jakob V. Pedersen, der allierede sig med enten P. Røtting (bog I, VII, VIII) eller P. Rasmussen (II-VI), indtil han selv fra 1930 skrev afløseren Børnenes nye Regnebog. Med sine mange oplag er bogen en slags termometer på, hvorledes en lærebogsforfatter reagerer på nye strømninger og krav i tiden. Man lagde lidt umoderne ud med de gamle målesystemer i de tidlige udgaver for efter Meterreformen i 1907 at gå totalt over til det moderne målesystem. 202

På det område er Henrik Wilster, lærer ved de Forenede Kirkeskoler i København mere konsekvent i sin senere (1911) Regnebog for Folkeskolen, der starter med 3. klasse, idet ”mange (maaske endog de fleste) anser det jo nemlig for unyttigt at give Børnene Regnebog i Hænde de første Skoleaar”. Wilster havde dog også dækket begynderundervisningen ind med ”Regnebog for Barneskolen” (1907, men ganske lignende Børnenes Regnebog) for de lærere der måtte føle behovet. Men her gør han mere klart end i ”Børnenes Regnebog” rede for at bogen først skal bruges i sidste halvdel af første skoleår: ”Paa dette Standpunkt vil Børnene have opnaaet saa megen Læsefærdighed, at de ved Vejledning og Støtte af Læreren mere eller mindre fulkomment kan fatte Meningen af opgaverne, hvortil jo ogsaa Billederne til Dels skulde hjælpe” (forordet). 203 Med Undervisningsplanen for Københavns Kommuneskoler af 4. december 1907 gøres den koncentriske opbygning obligatorisk, fx skal begreberne halv, tredjedel og fjerdedel nu anskueliggøres allerede i første klasse og de tilsvarende symboler ½, 1/3 og ¼ benyttes i delingsregning i 2. klasse.

Strukturmæssigt holdt man sig i de første 15 år til den gamle opdeling i hovedregning og tavleregning. Men sikkert ikke mindst under indtryk af Ernst Kaper (1874-1940) indtænktes fra omkring 1915 klasseundervisning i bøgernes struktur, der nu blev: mundtlige øvelser, klasseøvelser, selvstændige øvelser. Kaper skrev som 29-årig sin kendte bog ”Den daglige Undervisnings Form”, hvor han fremhævede den grundigt forberedte klasseundervisning, der kunne holde hele klassen i ånde på en gang. Efterhånden som han først blev rektor 1908 og siden borgmester for bl.a. skolevæsenet i København 1917 fik han mulighed for at føre sine skoletanker ud i livet i større format. Vi vender senere tilbage til hvorledes Børnenes ny Regnebog fra 1930 afviger dramatisk fra de tidligere udgaver under indtryk af tidens krav om færdighed og på overfladen ligner en genopstanden Chr. Hansens Regnebog.

Formålet ifølge en autoritativ håndbog I 1909 udkom århundredets første håndbøger for regnelærere, idet faglærerinde Johanne Lütken udgav sin ”Regning i Skolen. Hjælpebog for Regnelærere”, der på 135 sider beskrev regning fra første klasse til 4. mellem, og seminarielærer J.F. Johansen sin ”Regneundervisningen, de 4-5 første Skoleaar, en Haandbog for Lærere og Lærerinder” på 320 sider. Begge blev vel modtaget, men især den sidste fik rosende omtale: ”Alt i Alt har den kostet Aars og atter Aars Arbejde. Udbyttet svarer dertil. Den vil være et fortræffeligt Hjælpemiddel først og fremmest for den unge Lærer”.204 I sin håndbog om regneundervisning de 4-5 første skoleår205 fra 1909 starter seminarielærer J.F. Johansen med overvejelser over formålet med regneundervisning. Han starter med delvis at tage afstand fra den Herbartske skoleretning, hvor sædelig opdragelse er regneundervisningens egentlige formål. Han medgiver, at god regneundervisning kan bidrage til at udvikle sans for orden, nøjagtighed og redelighed. ”Men det turde dog være uomtvisteligt, at Regneundervisningen yder sit væsentligste Bidrag til Opdragelsen paa det Intellektuelles og ikke paa det Sædeliges Omraade”.206 Fra et praktisk skolestandpunkt ser han derfor to formål med regneundervisningen: “1) Børnene skal lære at udføre de Regninger, uden hvilke de ikke kan klare sig i det Samfund, de skal leve i. 2) Gennem Regneundervisningen skal deres Sans for og Evne til at gøre rigtige Slutninger vækkes og udvikles. Med lidt andre Ord: De skal lære at sætte Pris paa rigtig Tænkning og paa selv at kunne tænke rigtigt”. Hvor alle tilslutter sig det første formål, kniber det lidt mere med det sidste, som han derfor giver en uddybende behandling. Historisk set har det fra Platons tid altid være matematikken, der havde den forstandsudviklende rolle, men han mener, at vi faktisk har matematik i børneskolen – bare under navnet regning. Da mange mennesker ikke får anden berøring med matematik end gennem regneundervisningen i grundskolen, er det så meget vigtigere, at de får del i det tankeudviklende potentiale i regneundervisning. “Menigmand lever nu under helt andre Vilkaar end tidligere; han kommer paa mange Punkter i Berøring med Kulturen og gør næsten overalt sin Indflydelse gældende. Han har

204

H.C. Johannessen: Håndbøger for lærere i regning, Vor Ungdom 1911, s. 44. J.F. Johansen: Regneundervisningen de første 4-5 skoleår, en håndbog for lærere og lærerinder, København 1909. 206 Johansen s.1 205

derfor ret til at kræve, at man vækker og udvikler hans Sans for rigtig Tænkning og grundige Undersøgelser, ligesom han har Pligt til at søge at faa denne Sans udviklet”.207 Selvfølgelig kan børnenes logiske sans udvikles i andre fag, men regning er det eneste fag, hvor “selv et 6 aars Barn ved umiddelbar eller middelbar Anskuen kan se helt til Bunds”, det kan slutte, ”altsaa med fuld Sikkerhed indse, at naar der tages 1 Æble fra 3 Æbler, bliver der 2 tilbage; og dermed er den Opgave fuldstændig behandlet”.208 “Gaar man til den organiske Natur, bliver Forholdene endnu mere indviklede, og gaar man til Aandslivets Foreteelser bliver de overordentlig indviklede – skal man paa disse Omraader øve Nøjagtighed i Tænkning, maa man tumle med en saadan Mængde af Forudsætninger og Betingelser, at Børn slet ikke kan følge med. Matematikken (Ordet taget i sin videste Betydning) kan derimod paa ethvert Trin give tilstrækkelig simple og – hvad der ingenlunde er mindre vigtigt – passende svære Opgaver for Tænkningen, Opgaver, som tillige har den Egenskab, at der kan gives dem en nøjagtig Behandling”.209 Blot skal man her være klar over, at det “i egentlig Forstand slet ikke lærer os det mindste om Virkeligheden. Derfor kan man være en ypperlig Matematiker og Regner og dog en Stymper i Livets forskellige Forhold”. De resultater, vi når frem til ved matematik og regning, er aldrig mere sande end de forudsætninger, vi gik ud fra. ”Heraf følger, at en udpræget matematisk Opdragelse vil være meget ensidig og uheldig. Kun gennem Iagttagelser og Erfaringer fra sit eget indre Liv og fra Omverdenen, den levende saavel som den døde, bliver man fortrolig med Virkeligheden og naar til det Grundlag, der bliver bærende i ens Liv”.210 Men selv på tænkningens område har matematikken kun en begrænset pædagogisk opgave. “Matematikken skaber hverken Opdagere og Opfindere eller dygtige Mennesker; men den kan hjælpe dem. Det er altsaa ikke den skabende, men den kontrollerende Tænkning, der udvikles gennem Regneundervisningen. Man vil maaske synes, at dette er noget fattigt”. Men det er dog vigtigt. “Mister Geniet Evnen til at kontrollere sin Fantasi, er det med det samme forvandlet til en Stakkel. De virkelig store Praktikere, Videnskabsmænd og Kunstnere har foruden den skabende tillige i udpræget Grad besiddet den kontrollerende Evne”.211 Læst et århundrede senere bliver man slået af, at en sådan tilhænger af formaldannelsesteori fra teoriens sensommer har et så nuanceret forhold til matematikkens formaldannende virkning. 212 Ved at afgrænse virkningen til den kontrollerende logiske tænkning og netop ikke til den skabende, placerer han sig som klar modpol til vor tids progressive matematikpædagogik, der lægger stor vægt på matematikkens kreative potentiale. Både hans og vor tids positioner er dog baseret på pædagogisk grundsyn mere end på undersøgelser af matematikkens faktiske pædagogiske virkninger. 207

Johansen s. 3 Johansen s. 4 209 Johansen s. 4 210 Johansen s. 6 211 Johansen s. 6. 212 John Locke (1632-1704), der er den nyere tids ophavsmand til formaldannelsesteorien med særligt henblik på matematikken, var dog også opmærksom på begrænsningerne i formaldannelsens virkeområde: ”Vi ser hyppigt, at mænd, der er klarhjernede og logisk tænkende, når det gælder at afslutte en handel, ræsonnerer på en fuldkommen stupid måde, når man taler med dem om religiøse spørgsmål”. (Grue Sørensen: Opdragelsens Historie 2, 1966, s. 89f.).

208

Med sit syn på matematikkens tankeudviklende potentiale, må Johansen tage afstand fra udenadslæren: “Man skal ikke lade sig skuffe af, at Børn kan dresseres til rent mekanisk at udføre visse Regninger hurtigt. Saa snart man lader disse hvile nogen Tid eller gaar lidt uden for Rammen, kommer Maskineriet i Ulave”. Men selvfølgelig skal der lægges vægt paa færdighed i talbehandling. ”Forstaaelsen, Indsigten, Evnen til at opfatte Kernen i hver enkelt Opgave og til at besvare det stillede Spørgsmaal maa udvikles sammen med Evnen til at behandle al. Men omvendt – Udviklingen af den sidste Evne er en nødvendig Betingelse for at Regneundervisningen kan blive i egentlig Forstand tankeudøvende.213

Børns læring i regning Johansen bygger bl.a. på W. Preyer:214 Die Seele des Kindes fra 1882. Børn får ifølge Johansen forståelsen af én og to i månederne efter deres to års fødselsdag, mens tre er langt vanskeligere og kommer langt senere og ikke kan påregnes forstået ved skolestart. Børnene kan ofte tælleremsen langt op, når de starter i skolen, men har sjældent forståelse af mange af tallene: “At tælle i Betydning af at finde Antallet af Enere i en given Mængde (Æbler, Streger o.s.v.) er noget ganske Andet; det kan mange Børn slet ikke naar de kommer i Skole”. “Barnet maa efterhaanden erfare,215 hvad der menes, derved at det eller Læreren eller begge i forening foretager Handlinger, hvortil der knyttes simple Forklaringer”. Ord alene slår ikke til. “Børn bryder sig ofte grumme lidt om, at Ord og Virkelighed skal svare til hinanden”. Deres opmærksomhed kan tabes i overgangen mellem ord og virkelighed. “Det er derfor nødvendigt, at smaa Børn ikke blot tænker paa d.v.s. forestiller sig de Handlinger, der nævnes i Opgaverne; de maa, i Begyndelsen ofte, senere af og til, virkelig udføre disse handlinger”.216 Når lærerstuderende i dag skal argumentere for denne pædagogik, vil de ofte referere til Jean Piaget, men det var først i 1930'erne, at Piaget blev opmærksom på, at barnets aktivitet var det væsentlige i læringsprocessen. 217 Og argumenterne for at mindre børn faktisk skal udføre handlinger frem for blot at tænke sig dem udført, vil være baseret på Piaget’s skift fra den før-operationelle fase til den konkret-operationelle fase, der sker lige omkring skolealderens start. Men Piaget’s tanker på dette område var foregrebet af mange praktiske pædagoger og blandt disse Johansen. Til gengæld satte Piaget disse erfaringer ind i en større sammenhængende teori. Mens barnets handlinger således er det centrale i skolestarten, bruger Johansen “anskuelighed” som nøgleordet for den senere undervisning: ”Naar mange Mennesker har vanskeligt ved at tænke rigtigt, er Grunden ofte den, at de ikke formaar at anskueliggøre sig de Ting, det drejer sig om; ja de tænker muligvis slet ikke paa at foretage en saadan Anskueliggørelse, men leder i stedet for i Hukommelsen efter Formler, Remser eller andre Brokker, som de mener skal hjælpe dem. Det ender da ofte med, at det “staar stille i Hovedet” paa dem d.v.s. med øjeblikkelig Fjollethed – Vejen er ogsaa saa gal som vel muligt. Kun gennem skarpe

213

Johansen s. 7. William Preyer var en af børnepsykologiens grundlæggere, men var også ivrig fortaler for naturfagenes betydning i skolen, hvilket han bl.a. udtrykker i skriftet ”Naturwissenshaft und Schule”. 215 Jeg har for oversigtens skyld skrevet Johansens ved kursiv fremhævede ord med fede typer. 216 Johansen s. 10-12. 217 “Piaget’s study of infancy convinced him that thought derived from the child’s action, and not from his language”. H. Ginsburg og S. Opper: Piaget’s theory of the intellectual development, 1969, s.7. 214

Anskuelsesbilleder naar Tanken til rigtige Resultater. “Anskuelsesløs Tænken er en filosofisk Fiktion”.218 Denne misere skyldes først og fremmest skolen, der har søgt at hælde en “urimelig Mængde Sager i Hukommelsen, som man saa appellerer til baade i Tide og Utide”. Alle normalt udviklede mennesker kan lære at regne fornuftigt – “naar saa Mange finder det at regne uhyre vanskeligt, ligger det – i al fald særdeles ofte – i, at de ikke har faaet Evnen til levende at anskueliggøre sig Opgavernes Indhold udviklet. Dette kan og bør Skolen sørge for; men det lykkes kun, naar den tager Sigte derpaa fra første Begyndelse”.219 Johansen gør opmærksom på, at det er relativt til barnets udvikling, hvad der er anskueligt, fra pinde, sten og nødder over kridtstreger på tavlen til lyden “fire” og “tre Gange to” og endelig til de skrevne symboler 3,4,5. Disse sidste er også anskuelsesmidler for den, der kender deres betydning i forvejen. Men gang på gang må man gribe tilbage til et tidligere anskuelsesmiddel, “til umiddelbar Anskuen af Genstande eller Billeder af saadanne”. 220 Johansen finder også en begrundelse for dette i den historisk-genetiske metode:221” Først gennem lange Tiders Syslen med praktiske Ting er Menneskeslægten naaet frem til abstrakt Tænkning og Regning. Vore børn maa gaa den samme Vej. Det er den eneste sikre og naturlige”. Som et sidste princip for børns læring fremhæver Johansen erfaringspædagogik eller induktionsprincippet, der står i grel modsætning til matematikkens ideal om deduktion ud fra aksiomer: ”Medens Matematikeren ikke lader sig fuldt overbevise, før det logiske Bevis er helt i Orden, saa lader Børn sig ikke blot lettest overbevise af, at en Regel i følge Erfaring altid passer, men i mange Tilfælde og til at begynde med som godt som i Alle, lader de sig kun overbevise ad denne Vej”. “Børn lærer forholdsvis hurtigt at generalisere, af Overensstemmelse mellem en række Enkelttilfælde at uddrage almengyldige Regler. Selvfølgelig bør man passe paa ikke at vænne dem til forhastet Induktion; lejlighedsvis kan man lade dem opdage, at man derved kan komme paa gale Veje”.222 Sproget er et vigtigt anskuelsesmiddel, men forudsætningen er et klart og anskueligt sprog: Vi maa stræbe henimod, at det for alle bliver en lidelse at føre en tale, som hverken de selv eller andre kan forstaa. Vi maa vænne børnene til baade at yde og kræve stærk anskuelighed i det sproglige udtryk. ”Simple, jævne og klare Udtryk paa det danske Sprog inklusive Dialekter og ikke “et hjemmelavet Pluddervælsk”. Hvis man selv som lærer lever op til dette kan og skal man også forlange af børnene, at de i ord kan gøre rede for de slutninger, de betjener sig af. Men man bør dog aldrig forlange det udtrykt rigtigt, der ikke er forstået. 223 De sproglige formuleringer bliver således ikke målet i sig selv. Hvis et barn ikke kan svare på spørgsmålet “Hvorledes dividerer man en Brøk med et helt Tal?”, så er problemet ikke stort, hvis barnet til gengæld altid kan dividere en konkret brøk med et givet tal. Så er de

218

Johansen s. 15, slutcitatet er fra professor Kromans “Vor naturerkendelse”. Johansen s. 16. 220 Johansen s. 17 221 Danmark havde en af pionererne for denne metode, højskolelærer Poul la Cour (1846-1908), der havde brugt den i sin ”Historisk Mathematik” fra 1881. At han var internationalt anerkendt pioner fremgår af, at det var ham der skrev artiklen om ”Mathematischer Unterricht nach dem historisch-genetischen Princip” i Handbuch der Pädagogik 1906. Hvor han var inspireret af Grundtvigs universalhistoriebegreb, var den måske ivrigste danske agitator for denne metode, filosoffen Oscar Hansen (1856-1938) inspireret af den engelske udviklingsfilosof Herbert Spencer (1820-1903), der havde fået sin inspiration fra biologiske studier lige som hans samtidige Charles Darwin. 222 Johansen s. 20 223 Johansen s. 23 219

små “remsemestre”, der kan lire remsen af sig uden at kunne anvende reglen rigtigt, dårligere stillet. Det er ifølge Johansen netop den vigtige skillelinje mellem regning og matematik. “Naar jeg kort skal karakterisere Børneskolens Regning bliver det saaledes: Ved denne begynder man med Enkeltheder, og man fortsætter med saadanne uden ligefremme Sammenstillinger for at uddrage almengyldige Ekstrakter. Man lader Kundskaben gaa “direkte over til Evne” (Spencer) uden at bruge Sætningen som Mellemled”.224 I matematik tager man derimod udgangspunkt i sætninger: definitioner og aksiomer og ender med sætninger: teoremer. Den slags matematik vil Johansen nødig have blandet sammen med regneundervisningen: “Matematiske Sætninger glemmes, selv om de er aldrig saa berømte. End ikke den pythagoræiske Læresætning undgaar altid denne Skæbne. – Børn skal opdrages til at blive selvhjulpne Mennesker. Dette er af største Betydning baade af Hensyn til deres Karakterudvikling og for deres senere Færd i Livet. Der skal hos dem skabes en Forventning om, at de, selv om Sætninger og Formler er borte, tit kan klare sig med sund Sans, nogen Omtanke og lidt Taalmodighed”.

Regnemetodik og klasseundervisning Seminarielærer Johansens overvejelser over regnefagets metodik forekommer på mange måder moderne. Læseren kan more sig med at finde tidlige gode formuleringer på nyere pædagogiske slagord som motivation, barnets medbragte erfaringer, zonen for nærmeste udvikling, stillasering og den konkret-operationelle fase: “Al Regning bestaar for en væsentlig Del i at føre det Nye, man kommet til at staa overfor, tilbage til noget allerede Kendt. Naar noget Nyt skal tages op, er det derfor rigtigt først gennem nogle Eksempler at gøre det nærværende, som der skal bygges paa. Efter denne Forberedelse gaas der lige løs paa Udviklingen af det Nye. Man vælger en simpel, gennemsigtig Opgave, stiller den klart og tydeligt og fremhæver skarpt det Maal, man skal naa. Dette maa dog ikke ligge for fjernt; man maa derfor ofte vælge et foreløbigt Maal d.v.s. tage Vejen i flere Skridt. Det første Eksempel, tit endnu flere, maa ofte anskueliggøres ved ydre Midler. Men efterhaanden maa den indre Anskuelse træde i stedet for den ydre d.v.s. Fantasien maa vænnes til at klare denne Side af Sagen alene”.225 Et stykke henne i denne proces kan det så komme på tale at nedskrive indsigten, at forme loven som en sætning. “Denne Udvikling af det Nye maa ikke ske gennem Foredrag; et saadant formaar Børn ikke at følge. De skal ved hensigtsmæssige Spørgsmaal ledes til selv at finde Løsningen af hver enkelt Opgave. Man maa her betjene sig af det mindst mulige antal Ord; ellers forsvinder Kernen mellem disse. Fremkalder det første Spørgsmaal ikke Svar, maa man prøve at omforme det, om muligt gøre det simplere, eller se at komme ind paa Opgaven fra en anden Side. Ofte maa man ændre selve Opgaven, saa den bliver lettere, hvilket kan ske ved at man vælger mindre, mere gennemsigtige Tal eller ved at man henter dens Indhold fra et mere kendt Omraade”. “Naar den første Opgave eller de første Opgaver ved hjælp af saadanne Spørgsmaal er blevet løst, maa Børnene ved tilsvarende Opgaver øves i selv at gøre rede for de Slutninger,

224 225

Johansen s. 25 Johansen s. 25

de benytter. Først naar de er i stand til at udtrykke disse i Ord, har de forstaaet hele Sagen”.226 “Det hænder tit, at Børn kører i staa ved noget, man synes de dog har haft en god Forstaaelse af. Aarsagen hertil vil enten være, at Indøvelsen har været mangelfuld, eller man har undladt at gentage den tilstrækkeligt mange Gange med tilstrækkelig smaa Mellemrum”..”Uden Gentagelser af denne Art, tit mange, kommer Børn til at arbejde alt for usikkert og tungt, og som følge deraf uden Lyst”.227 At dette alligevel ikke er skrevet i vor tid, fremgår af, at der i den grad er tale om klasseundervisning, hvor læreren hele tiden styrer forløbet. Og det selvstændige opgaveregning er individuel, mens gruppearbejde ikke forekommer i Johansens bog. Man skal dog her erindre, at klasseundervisning228 var et stort fremskridt i forhold til den gamle individuelle undervisning (individuel høring af hver enkelt elev), der var udbredt før 1900. Johansen gør meget ud af at beskrive denne nye klasseundervisning, men den er kort og klart beskrevet af rektor for Kolding Latin- og Realskole Georg Bruun229 i 1906, hvor han for alvor indførte den på skolen: ”Klasseundervisning vil bevirke, at en Elev altid er oppe. Den gamle Høringsmetode tillod i Virkeligheden en Elev kun at være halvt opmærksom i den Tid, han ikke blev hørt. Derimod kræver en gennemført Klasseundervisning anspændt Opmærksomhed hos eleven i hele undervisningstimen. De praktiske Demonstrationer, som nu i stigende Grad afløser Høremetoden, fængsler uvilkaarligt, og selv i Fag, som er lærefag, medfører den nye Undervisningsform, at Lærerens Undervisning, Samtale og Forklaring i lige Grad rettes til alle Elever, og at hver Enkelt af disse stedse maa være forberedt paa Spørgsmaal”.230 Johansen er klar over klasseundervisningens svagheder. Den kan hindre ”flinke børn i at naa saa vidt, som de kunde, naar de passede sig selv eller arbejdede sammen med Ligemænd”. Men hvis man i udpræget grad overlader børn til selvstændigt arbejde vil den dygtighed de opnår få et fattigt præg. ”Der vil være meget, de slet ikke faar med; deres Forestillingskreds bliver snæver og deres Tankegang stiv og ubevægelig”. 231 Den mangel på undervisningsdifferentiering, der ligger i klasseundervisning, må læreren så indhente ved at differentiere opgaverne både i skriftlig og mundtlig regning. Klasseundervisningen er ”saa lidt som andre menneskelige ordninger fuldkommen”, men det er dog ifølge Johansen og hovedparten af hans samtidige det bedste skolen kan byde på. Og sådan forblev det i praksis det meste af 1900-tallet på alle niveauer i skolesystemet.

Udbyttet af regneundervisningen Fra 1917 afholdt undervisningsministeriet prøver i dansk og regning for 14-årige på tværs af skoleformerne. Disse prøver afslørede ikke overraskende, at niveauet i regning lå noget lavere i landsbyskolen (7,7) end på mellemskolen (10,4). Måske var det mere overraskende, 226

Johansen s. 30 Johansen s. 31 228 Den senere skoleborgmester, Ernst Kaper (1874-1940), var den stærkeste danske eksponent for klasseundervisningen, som han efter svensk inspiration havde beskrevet i sin bog fra 1903 ”Den daglige Undervisnings Form”. Fra 1908 var metoden obligatorisk i den pædagogiske uddannelse for gymnasiumskolen. 229 Georg Bruun, f. 1861, rektor 1901-1929, formand for Gymnasieskolernes Lærerforening 1916-23. 230 Indbydelsesskrift til Afgangs- og Aarsprøve 1906, Kolding Latin- og Realskole, rektors indledning. 231 Johansen s. 43. 227

at landbyskolen (7,7) klarede sig på niveau med købstadsskolen (7,7), og at de kommunale mellem- og realskoler (11,9) klarede sig bedre end både de private mellemskoler (9,3) og mellemskolerne knyttet til gymnasier (10,2). Karaktererne i parentes angiver den gennemsnitlige præstation i prøven for 1918 målt med 0-15-skalaen. Disse elever, der stod ved udgangen af den skolepligtige alder, fik stillet følgende 3-timersprøve, hvor der blev lagt vægt på opstilling og fuldstændig udregning: I. En slagter solgte i en Uge ti Oksekroppe, der vejede 245,5 Kg, 256,8 Kg, 195,6 Kg, 304 Kg, 284,75 Kg, 318,75 Kg, 265,25 Kg, 295,5 Kg, 184,7 Kg og 192,5 Kg. Hvor meget Kød solgte han i alt, og hvor meget kostede alt Kødet, naar 1 Kg regnes til 2 kr. 8 øre? II. En Mand efterlod sig ved sin Død 70500 kr. Efter at hans Gæld som beløb sig til 3867 kr. 76 Øre, var betalt, skulle Resten deles lige mellem 19 Arvinger. Hvor meget fik Enhver af disse? III. En Mand køber en Byggegrund af Form som et Rektangel, 48 ¾ m lang og 36 m bred, og gav 2 Kr. 40 Øre for hver Kvadratmeter. Paa Grunden byggede han et Hus, der kostede 9578 Kr. 64 Øre. Forskellige Udgifter udgjorde 619 Kr. 86 Øre. hvor meget kostede Ejendommen i det hele? IV. En Mand købte en Ejendom for 65400 Kr. Omkostninger ved Handelen udgjorde 3 2/5 Pct af Købesummen. Han lod Ejendommen istandsætte, hvad kostede 776 Kr. 40 Øre. Han solgte den saa for 74100 Kr. Hvor mange Pct. tjente han? Der blev givet 15 for fire rigtige opgaver, 12 for 3, 8 for 2 og 4 for en enkelt rigtig opgave. Visse manglende udregninger blev accepteret, hvis facit var korrekt, hvorimod karakteren blev reduceret, hvis alle mellemregninger var udeladt.

Totalt antal Skoleform Skoler Elever Mellemskole 47 941 Folkeskole 273 2762

Antal elever regnet opg. opg1 opg2 opg3 opg4 53% 81% 60% 41% 34% 59% 42% 24%

Antal elever regnet antal opgaver 4 3 2 1 0 28% 21% 17% 21% 11% 15% 15% 18% 20% 32%

Det foruroligende her er først og fremmest, at 11% i mellemskolen og 32% i folkeskolen ikke har regnet nogen af opgaverne korrekt ud. En del af disse kan dog godt sammenlagt have fået en karakter, der svarer til 1 eller flere korrekte opgaver, idet karakteren 0=slet ”kun” er givet til 9% i folkeskolen og 1% i mellemskolen. Generelt kniber det med at gange decimaltal sammen (opg. 1) og med procentregning (opg. 4), men mon ikke også 7. klasses børn i dag ville have svært ved at udregne 3 2/5% af 65400 uden lommeregner.

Prøven afslørede de oven nævnte forskelle på skoleformerne, men også inden for den enkelte skoleform var der store variationer. Den købstadsskole (Kbh.), der klarer sig bedst, har et gennemsnit på 12,7 mens den dårligste ligger på 2,7. For landsbyskolernes vedkommende bliver variationen stor mellem de meget små skoler, hvor der kun i gennemsnit er 6 elever i 14. årsalderen. Derfor er det rimeligere at se på variationen mellem provstier (a ca. 10 skoler). Her er variationen fra 9,8 til 5,4. Vendsyssel som helhed ligger på 7,8 lidt under det sydligere Jylland fra Ringkøbing til grænsen, hvor gennemsnittet er 8,5, men her nærmere vi os den almindelige statistiske variation.

”Sinkerne” De 32% folkeskoleelever, der slet ikke havde nogen opgaver rigtige i 1918-prøven, inkluderer også børn med handicaps af forskellig art. Det var kun få steder som i København, at man kunne indrette særlige klasser for disse børn. Og disse særlige klasser var ikke altid en hjælp for barnet, når man blandede de ”værdige” dumme med de ”uværdige” dumme, ”nemlig de frække, dovne og vanartede. Det var et problem, for nok var sinkerne langsomme, men de var ikke uden evner til at lære unoder”.232 Den ledende skolelæge i København, Poul Hertz, undersøgte i 1906 de 89 elever, der gik i de seks sinkeklasser på Sct. Hansgades skole. Det viste sig, at alle mulige fysisk, socialt og psykologisk betingede indlæringsvanskeligheder var samlet her. Af disse 89 elever var nemlig tre åndeligt og legemligt sunde, to ganske åndsvage, en fuldkommen åndssløv, 12 legemligt sunde men yderst svagt begavet, 15 fra overordentlig fattige hjem, 26 dårligt ernæret, fire havde lungetuberkulose og var sat tilbage på grund af forsømmelse, to led af ufrivillig vandladning, ti af nervøs uro, 29 af polypper og øresygdomme, 25 var tunghøre og 21 nærsynede. 233 Det er ikke opgaven her at komme ind på de mange tiltag, der var nødvendige for at hjælpe på disse vidt forskellige indlæringshandicaps, da de næppe har noget at gøre med regnepædagogik. Jeg har blot villet gøre opmærksom på, at der kan være mange årsager til at så stor en del af folkeskoleeleverne i ovenstående undersøgelse ikke regnede nogen af opgaverne rigtigt. Når jeg i det følgende især fokuserer på fagdidaktiske overvejelser og lærebøger, så skyldes det simpelt hen afgrænsningens nødvendighed. Men selve det faktum, at antallet af hjælpeklasseelever i den københavnske folkeskole steg fra 1,5% i 1908 til 11,3% i 1914234 har selvfølgelig også stimuleret til overvejelser om omlægning af regneundervisningen og reform af hele skolestrukturen, herunder indirekte kritik af mellemskolen. I undersøgelsen fra 1906 var 21 kommet i sinkeklasse, fordi de var nærsynede. Karl Bjarnhof (1898-1980) havde også problemer med synet allerede i skolen, før der blev konstateret grå stær. Det gav ham problemer med regnelæreren, men han undgik dog at komme i sinkeklassen, selv om han kom fra et fattigt arbejderhjem. Regnelæreren hed Vesterstrøm og havde skrevet nogle stykker op på tavlen, som klassen nu skulle regne. Karl kunne ikke rigtig se, hvad der stod, så han spurgte sin sidemand Paulus: ”- Jeg kan ikke se tallene, hviskede jeg. Sig mig, hvad der står deroppe. - Det er, fordi du er dum, hviskede Paulus. Du er så dum, at du snart ikke kan se ud af øjnene. - Stille, råbte lærer Vesterstrøm og smækkede med linealen i katederet.. Så var vi stille. Paulus regnede. Jeg gjorde ingenting. 232

Ning de Coninck-Smith: For barnets skyld – byen, skolen og barndommen 1880-1914, doktorafhandling 2000. 233 Samme s. 172. 234 Samme s. 170.

- Du kunne godt tage og sige mig, hvad der står, hviskede jeg, da der var gået tid. Bare det første stykke. Jeg kan sagtens regne det. Paulus svarede ikke. Han sad bare og passede sit og regnede. Så kom jeg altså ingen vegne. Om lidt skulle vi op og vise stykkerne, så fik lærer Vesterstrøm at se, at jeg ingenting havde bestilt. Jeg rykkede mig ud og ind på sædet. Jeg hviskede til Paulus igen. Men Paulus ville ikke svare. Kan duksen hente mig en smørepind, sagde lærer Vesterstrøm pludseligt. Jeg var ikke klar over, hvad en smørepind var. Jeg var heller ikke klar over, hvorfor duksen skulle hente en sådan en, Lidt efter kom han tilbage med spanskrøret, som han havde lånt i klassen ved siden af. Lærer Vesterstrøm kaldte på mig. - Kom her op, sagde han. Vi skal se, om vi ikke kan lære dig at holde mund i timerne. Jeg rejste mig og gik derop. Jeg var frygtelig bange. Jeg var bange for at få klø af spanskrøret. Havde det været øretæver, ville jeg ikke have været helt så bange, men jeg havde aldrig prøvet spanskrør. De sagde alle sammen, det var slemt, hvis man ikke fik tid til at tage noget i bukserne….. Jeg var så bange. Jeg var så bange, at jeg tissede i bukserne, endnu før han havde slået første gang. Jeg var så angst, at jeg glemte at mærke, om det gjorde ondt. Men jeg tissede i bukserne. Ikke så meget, at de andre opdagede det. Deet var kun mig selv, der følte det varme ned ad lårene. - Se så, sagde lærer Vesterstrøm. Så kan duksen bringe smørepinden ind igen og sige tak for lån. Den har gjort sin virkning. Ikke sandt, sagde han til mig. Vi to har forstået hinanden. Du bliver og regner færdig, når de andre går hjem, og for fremtiden holder du mund, ikke ? - Jo sagde jeg”.235 Da Karl kom tættere på tavlen, kunne han nemt regne stykkerne.

Længsel tilbage til Chr. Hansens system i tingene Det var nu ikke kun ministeriets undersøgelse, der afslørede dårlig talfærdighed i folkeskolen. Overlærer J.K. Jensen fra Nakskov medgiver, at resultatet er skuffende:” Utilfredsheden er ikke ubegrundet. Beviserne for Kritikkens Berettigelse er for talrige. For nylig har jeg saaledes haft Lejlighed til at se Resultaterne af Prøverne ved en Handelsskole over for de Elever, som i Efteraaret eller sidste Foraar blev udskrevet af Folkeskolen. De stillede Opgaver maa siges at være lette – af den Slags, man i Almindelighed tumler med i en Købstadfolkeskoles 5. Klasse. Selvfølgelig havde enkelte Elever klaret sig udmærket, men de allerflestes Præstationer var under al Kritik. Gennemsnitskarakteren for 28 Elever laa mellem ”mdl+” og ”tg-”, og noget Lignende har jeg set som Resultat af Prøver baade ved Handelsskoler og tekniske Skoler andre Steder”.236 Årsagerne til miseren finder Jensen både inden for og uden for skolen: ”Der er i vore Dage alt for meget, der lægger Beslag paa Børnenes Interesser. Fodboldkampene og de andre i mere eller mindre Grad uhyggelige ”Hanekampe” paa Sportspladserne optager Børnene i en saadan Grad, at det tit i lange Perioder næsten er umuligt at vinde deres Opmærksomhed for alvorligt Skolearbejde. De mange Indtryk fra Gaden, Havnen, Banegaarden og fremfor Alt

235 236

Karl Bjarnhof: Stjernerne blegner. I Bo Elbrønd-Bek (red): Husker du vor skoletid, 1988. J.K. Jensen: regneundervisningen i folkeskolen, Vor Ungdom 1924, s. 382.

Biografteatrene, hvor Børnene jo helst skal være Tilskuere en Gang om Ugen, har gjort dem saa overfladiske, at det ene Indtryk som oftest straks bortvejres af det andet”.237 På den interne front er det først og fremmest optagelsesprøven til mellemskolen, der har forceret regneundervisningen, så man kommer til at tilsidesætte ”de middel- og tungtbegavede Børns Tarv – Dette gælder i alle Fag. Men navnlig gælder det i Regning, hvor Folkeskolens Maal er sat saa højt, og hvor Arbejdet for at naa dette Maal med Mellemskoleaspiranterne maa foregaa i et saa forceret Tempo, at en meget stor Part af de øvrige Elever overhovedet ikke evner at følge med”.238 Som en tredje årsag fremdrager Jensen manglende systematisk planlægning i læseplanerne: ”For at kunne tilegne sig de paa de forskellige Klassetrin forekommende nye Stof kræves som Forudsætning, at det paa de forudgaaende Trin gennemgaaede er fuldt tilegnet”. Endelig angriber Jensen selve målet i regnepædagogikken, forstandens skærpelse, i al fald sådan som det kommer til udtryk i skolebøgerne: ”man lægger alt for tidligt Hovedvægten paa at tvinge Eleverne til at tænke sig om, hvorfor Opgaverne i Reglen ogsaa er ordnet saaledes, at to paa hinanden følgende ikke kan regnes paa samme Maade. – Afveksling er godt; men det kan overdrives, og mange Regnebogsforfattere har haft en for stærk Tilbøjelighed til Overdrivelse i saa Henseende. Og saa er Opgaverne ofte formet alt for kunstigt. Der er i de allerfleste Regnebøger syndet groft med de mange indviklede Spekulationsopgaver, der intet som helst har med det virkelige, praktiske Liv at bestille”.239 Han længes tilbage til noget af det, der var i de gamle regnebøger fra sidst i 1800-tallet, fx Chr. Hansens, som han selv lærte regning fra: ”Jeg husker det Liv og den Kappestrid, der raadede i Regnetimerne, da jeg gik i Skole. Vi regnede hovedsageligt paa Regler og Remser, og det skortede selvfølgelig meget ofte paa Forstaaelsen i Øjeblikket. Men det gav Færdighed, og vi fik efter Chr. Hansens Regnebog lært at regne, saaledes at vi aldrig glemmer det. – Desværre er det mere, end der med Sandhed kan siges om det overvældende Flertal af de i vore dage benyttede Regnebøger”.240 Han kræver ændringer i konservativ retning af regnepædagogikken. De mest markante er: ”Der skal drives omfattende Øvelser i Udenadtælling: Frem- og Tilbagetælling i Forbindelse med Additions- og Subtraktionstabellerne og Rækketælling i Forbindelse med Multiplikations- og Divisiontabellerne. Der er nemlig med Hensyn til Tabellerne, at det skorter i Nutidens Skole”. ”Læreren bør aldrig lade sig nøje med Usikkerhed, Snak eller ”andre Ord”. Eleverne har godt af at vænne sig, ikke blot til Fart og Præcision, men ogsaa til at beskæftige sig med Realiteterne i en bestemt Form”. ”Imidlertid vil ikke engang den mest gennemførte faglige Disciplin kunne fritage os for at skulle gentage. Selvfølgelig skal de forskellige Forklaringer repeteres atter og atter og ikke blot tilfældigt, som det ofte er Tilfældet – men ligefrem systematisk”.241

237

Samme s. 383. Samme s. 384. 239 Samme, s. 385 240 Samme s. 386 241 Samme s. 394 238

Lad os få ”Slet = -23” tilbage Disse dårlige slutresultater fra folkeskolen kom til at spille centralt ind i debatten om skolens og regnefagets fremtid fra starten af tyverne og en lille snes år frem. Når jeg har ladet en ”konservativ” regnelærer komme så stærkt til orde med sine kommentarer til situationen, skyldes det, at der kan spores en konservativ modbølge i 1920’ernes regnepædagogik. At der skulle nye boller på suppen markeres med genindførelsen af Ørsteds karakterskala i 1919: Karakterskalaens udvikling 242 Skala/år Ørsted 1850 1906 Ørsted 1919 1943 (Ørsted+7) 1963 13-skala

ug 8 8 8 15 13

mg 7 6 7 14 8

g 5 5 5 12 6

tg 1 4 1 8 5

mdl -7 3 -7 0 03

slet -23 0 -23 -16 0

Som det fremgår var man i starten af ”Barnets Aarhundrede” blevet så human/blødsøden, at talværdien for Ørsted-karakteren ”slet” var blevet forøget fra –23 til 0. Hvis det havde fristet nogen til at droppe et enkelt fag, så blev der i al fald sat en stopper for det med genindførelsen af slet = -23, der kunne trække en i øvrigt middelgod elev ned under dumpegrænsen, når gennemsnittet skulle regnes ud. 13-skalaen er sat ind til støtte for dem, der ikke kender det gamle system, skønt den netop ikke bør oversættes til de gamle betegnelser.

242

Karakterskala, opslag i Den Danske Encyklopædi. Skemaet afspejler ikke hele udviklingen, idet der sommetider optræder lokale varianter.

5: Færdighedsbølgen, regning i grundskolen 192037 Resumé: Perioden fra 1920 til 1937 præges på overfladen af regnebøger, der er time opdelt og har stor vægt på lange rækker af rene ensartede talopgaver i færdighedsregning. Den pædagogiske baggrund er, at formaldannelsesteorien er faldet efter stærke angreb fra psykologerne, hvilket illustreres med Axel Dams disputats fra 1912. Men også den stærke læggen vægt på måling fx udtrykt gennem mi nisteriets målinger af 14-åriges regnefærdigheder, der afslører svage regnefærdigheder, medvirker sammen med erhvervslivets udtalte krav om sikkerhed i det elementære til at sætte færdighedskravet øverst på den politiskpædagogiske dagsorden. Derimod synes 1920’ernes reformpædagogik ikke at påvirke regnefaget før omkring 1937 og indførelsen af den frie mellemskole. Jeg kalder hele bevægelsen for den ”ny” regning, og går i dybden i beskrivelsen af århundredets mest solgte system Den ny Regnebog fra Gjellerup, der for eftertiden står som typen af den gammeldags timeopdelte regnebog. Dette ry skyldes dens lange levetid fra 1918 til op i 1960’erne, men da den udkom var den på mange måder metodisk moderne. Børnenes nye Regnebog (1930) fra Gyldendal tillader en sammenligning med samme forfatters Børnenes Regnebog fra 1900, og står som det mest typiske eksempel på færdighedsbølgen. Som den eneste af de undersøgte systemer viser Arvins ”Regnebog for Folkeskolen” sig direkte påvirket af reformpædagogikken (Maria Montessori). Dette var også første regnebog med forlagsformidlede materialer integreret i bogen. I 1930’erne fik regneundervisningen en vigtig inspiration fra forsøgene i Winnetka ved Chicago. Winnetka-teknikken kommer til udtryk i danske lærebøger som ”Individuel taltræning” fra 1939-41.

Fra 1920’erne: vægtning af færdigheder I 1922 åbnede Det Danske Luftfartsselskab sin første rute. I 1923 fik Danmark sin første færdselslov. Fra ca. 3000 biler før krigen 1914-18 var tallet i 1920 vokset til 18.000 og passerede i 1929 de 100.000. Den store produktion af biler over hele verden var muliggjort ved samlebåndsteknikken, hvor bilerne langsomt, men sikkert blev ført frem til hundredvis af arbejdere, der hver var ekspert i at udføre sin specielle detalje på bilen og kun den. Midt i 20'erne samlede Fordfabrikkerne i København således omkring 50.000 biler om året. Dette princip fra den moderne industri måtte få indflydelse på industriens efterspørgsel efter kvalifikationer hos de nye årgange, der forlod folkeskolen. Og måske lå der også en tillokkende pædagogisk metafor i princippet. Bl.a. direktøren for Købmandsskolen, Marius Vibæk havde efterlyst sikkerhed i almindelige færdigheder. Han fandt, at man i regning lagde for lidt vægt på taltræning: ”Erhvervslivet kræver, at lærlingen kan tumle enkle talforbindelser med absolut sikkerhed”. 243 Og man lyttede til erhvervslivet i disse år, hvor arbejdsløshedsprocenten i fx 1927 var helt oppe på 22%. Man lyttede ikke mindst, fordi der også fra psykologernes side var blevet sat spørgsmålstegn ved hele formaldannelsesteorien.

243

A.R. Schacht: En praktisk mellemskole, 1971, s. 59.

Forskernes kritik af formaldannelsen244 Det kan ikke undre, at formaldannelsesteoriens tale om, at man gennem fag generelt kunne optræne en række evner, var uspiselig for den nye psykologiske retning ”Behaviorismen”. For denne retning, der opstod omkring 1. verdenskrig245 interesserede sig kun for observerbare ting som stimuli og reaktioner, mens psykologiske konstruktioner af indre størrelser såsom ”evner” måtte henvises til deres oprindelse i folkloren og i al fald betragtes med største skepsis af den nye eksperimentelle videnskab. Behaviorisme var dog så ny en retning i 1920, at den næppe kan forklare opgøret med formaldannelsen i Danmark på denne tid. Tidligere psykologiske skoler var imidlertid kommet til samme konklusion. For i virkeligheden byggede formaldannelsesteorien i sin stærke udgave på en da forældet psykologisk retning kaldet ”evnepsykologien” eller ”fakultetspsykologien”. Evnepsykologerne havde opdelt sjælelivet i en række adskilte evner som tænkeevne, hukommelse og forestillingsevne. Disse evner var ofte (for frenologerne) placeret et bestemt sted i hjernen og var af en usammensat natur. Derfor var det næsten indlysende, at hvis man trænede en evne som tænkeevnen med vanskelige matematiske opgaver, så måtte den vokse og blive stærkere – lige såvel som musklerne voksede gennem træning. Og da den enkelte evne som fx tænkeevnen var usammensat, så kunne den opnåede styrke selvfølgelig overføres til andre tankeudfordringer inden for andre fag og i dagliglivet. Det var næsten en logisk konsekvens af evnepsykologien, at formaldannelse var mulig. Det drejede sig blot om at finde de rette midler. Med evnepsykologiens fald som acceptabelt arbejdsgrundlag for en psykolog, burde al tale om formaldannelse i form af evnetræning også falde, indtil nye argumenter var fundet. Dette mente filosoffen og pædagogen Axel Dam (f. 1868) i sin doktordisputats fra 1912: ”Om Muligheden af formel Opdragelse af de intellektuelle Evner”. Han bekendte sig som tilhænger af associationismen, 246 men gør i sin afhandling rede for, at konklusionerne ikke afhænger kritisk af bekendelse til denne retning. Formaldannelsen problematiseres i samme øjeblik, man forlader evnepsykologiens forestilling om, ”at disse Evner er faste Enheder, irreduktible, psykiske Fakta”. 247 Men da nu dagligsproget og de praktiserende pædagoger stadig bruger evnebetegnelser som iagttagelsesevne, hukommelse, fantasi, tænkning og vilje, må den pædagogiske forsker også holde fast ved dem, hvis hans forskning skal have en chance for at ændre pædagogisk praksis. Og for Axel Dam er det stadig en smuk og ambitiøs vision at stile mod udviklingen af disse evner hos eleverne. Man skal blot kende og holde fast ved den nye erkendelse, at disse evner hver for sig er uhyre sammensatte. Vi kan derfor ikke mere på forhånd gå ud fra, at en forøgelse af logisk tankegang omkring fx ligningsløsning kan overføres på den logiske tankegang, der er nødvendig for at læse en tekst. Ja, vi kan faktisk ikke vide, om den kan overføres på den logiske tankegang, der er nødvendig i geometriske beviser. Det hele må behandles og undersøges forfra, nu da ”logisk tænkeevne” ikke mere er en udelelig evne. Vi

244

Jeg benytter udtrykket ”formaldannelse” for den ret så entydige teori, der opstod omkring 1800, dominerede omkring skolelovene 1899-1903, for at tabe terræn fra omkring 1910. ”Formal dannelse” (i to ord ) bruger jeg om den senere mere søgende og ikke entydige bestræbelse på dog at bibeholde en dannelse, som er i modsætning til material dannelse. Efterhånden opstår dog mere præcise afløsende begreber som ”overføring af øvelse” og ”kategorial dannelse” og på det seneste ”kompetencer”. 245 Den amerikanske psykolog John B. Watson skitserer behaviorismens grundlag i 1913 og indfører selve skolebetegnelsen i sin bog fra 1919: ”Psychology from the Standpoint of the Behaviorist”. 246 Associationspsykologi: ”Psykologisk skole som studerer forestillinger, hukommelse og indlæring ud fra den forældede opfattelse, at sjælelivet består af forestillinger i form af faste enheder.” (Gyldendals psykologisk pædagogisk ordbog, 10. udgave 1995). 247 Dam 1912, s. 16.

skal altså passe meget på, når vi bruger evnebetegnelserne, for ikke igen at falde i de gamle misforståelser.248 For at kunne starte undersøgelsen på et klart grundlag, præciserer Dam den gamle opdeling i materiel opdragelse og formel opdragelse, idet han definerer formel opdragelse som negationen til den materielle (det umiddelbart indlærte indhold). Den formelle opdragelse omfatter derefter alle ”saadanne Forbedringer i Individets Funktioner: 1) som er en Frugt af Arbejdet med tidligere indøvet Materiale, 2) men som ikke skyldes simpel Reproduktion af dette Materiale, 3) idet det viser sig i større Energi eller Skarphed (af Evnerne) i Behandlingen af nyt Materiale”. Faktisk laver han her det spring, der så meget nemmere lader sig følge i den engelsksprogede litteratur, hvor man ikke har et begreb, der dækker formaldannelse og derfor skifter den gamle ”faculty training” (evnetræning) ud med ”transfer of training” (overføring af øvelse). Dam bruger ordet ”overføring” om sin udgave af formal dannelse, og hans reference til evner i en parentes ovenfor er der blot for at forbinde hans nye definition med den gamle og kan uden videre slettes. Hans definition lægger med andre ord op til en eksperimentel afprøvning af, om formel opdragelse i denne nye betydning – nemlig overføring af øvelse – er mulig. Der var allerede før 1912 psykologer, som havde foretaget sådanne eksperimenter. Man lader forsøgspersoner træne på et materiale og undersøger så bagefter, om de er bedre til at håndtere et nyt materiale end personer, der ikke har fået den indledende træning. Men som man næsten kan forestille sig, så er det svært at bekræfte eller afkræfte muligheden for formal dannelse ad denne eksperimentelle vej. Enhver kan ud fra sit teoretiske udgangspunkt fortolke forsøgsresultatet, så det kommer til at stemme med teorien. Hvis der fx synes at være en klar overføring af øvelse hos forsøgspersonerne, så kan man straks indvende, at det nye materiale, de prøvede på, havde materielle ligheder med øvelsesmaterialet, således at der faktisk kun er tale om material dannelse. Dam konkluderer derfor, at spørgsmålet om formaldannelse ikke på baggrund af de eksisterende eksperimenter i litteraturen kan afgøres. Men, siger han, da evnepsykologien af alle er erkendt at være en udlevet teori, har vi ingen teori, der gør formaldannelse sandsynlig. Derfor påhviler bevisbyrden dem, der hævder formaldannelsens mulighed, og da eksperimenterne ikke kan hjælpe her, står formaldannelsen meget svagt. Han er selv tilbøjelig til at forklare alle eksempler på tilsyneladende formal dannelse ved overførelse af materielle elementer. Det gælder således i de forsøg, der påviser, at man kan udvikle evnen kaldet fantasi: ”Påstanden om, at et Fag udvikler ”Fantasien”, indeholder da intet andet umiddelbart indlysende, end at de Forestillinger, Faget indfører i Bevidstheden, afgiver et Materiale, hvoraf der kan opbygges Forestillingskombinationer, som den ikke er i Stand til at opbygge, der mangler dette Materiale”.249 Kun på den måde kan et fag være med til at opbygge fantasien, og så afhænger det endda meget af elevens egenart, fx af medfødt begavelse og lyst til det konkrete emne. Når fagene tidligere sloges med formaldannelsen som våben for at få en fremtrædende plads i

248

Dam anfører ”Begavelse” som eksempel på et ord, der ikke snyder os. Vi ville (s. 22) studse over blandt skolens mål at se: ”at gøre børnene mere begavede”. Men hvis man læser skolens da gældende mål og lægger evnemålene sammen, så står der faktisk netop det. 249 En meget klar og plausibel påstand, som man kunne have glæde af at læse i forbindelse med det i år 2000 gældende fagmål om at ”fremme (børnenes) fantasi”.

skolen, så beroede det hele på en misforståelse. Er elektricitetslæren250 bedre til formel dannelse end den græske tragedie ”Antigone”. Ja, det afhænger ifølge Dam først og fremmest af elevens begavelse og lyst til de to emner. Hvis man vil fremme overføring af øvelse, så må man lade eleven tilegne sig det materiale inden for et fag, det har størst chance for at få nytte af i en ny situation. Det kræver altså en grundig analyse af faget at fremme overføring af øvelse. Man kan også med fordel give eksempler på, hvorledes geniale opdagelser rent historisk har fundet sted. Altså give eksempler på hvorledes nogle mennesker har kunnet overføre viden – fx ved analogi – til et nyt område. Og så skal man lade barnet få sikkerhed inden for et begrænset stof frem for overfladisk kendskab til et større stof: ”Næst efter Vished i Viden er Vished om ens Uvidenhed det bedste for den, der skal lære noget”. 251 Jeg tror, at dette var noget, regnebogsforfatterne i 1920’erne ville have taget helt til sig, hvis de havde læst Dams bog. Hvad angår de hævdede formaldannende virkninger af undervisningen i regning og matematik, så mener Dam også, at det her igen er elevens medfødte begavelse og lyst til emnerne, der er afgørende. Nogle forstår simpelthen bedre ”halvkvædet vise”, og de vil derfor vise tegn på at kunne overføre matematisk forståelse til en ny type opgave. Men det beviser jo ikke, at det var den forudgående indlæring af matematik, der gav dem denne overføring. Den gav dem måske blot noget stof, der kunne overføres. Da lysten er af så stor betydning i sådanne overføringssammenhænge, er det helt galt at udsætte den elev, der har svært ved den logiske tankegang og derfor ulyst til faget matematik, for netop dette fag som slibesten for hans forstand: ”Dersom det matematiske Stof er (blevet) ham særlig modbydeligt, fordi han deri er mest stymperagtig, var det jo muligt, at hans Glæde ved logisk rigtige Tankeoperationer bedre lod sig vække gennem andet Stof, der i Forvejen havde hans Interesse. Matematik er jo ikke det eneste Omraade, hvorpaa der kan tænkes logisk”. 252 I det hele taget har Dam et godt øje til matematikken. Han citerer blandt andet matematikeren W. Hamilton for følgende: ”Ingen af vore intellektuelle Studier tjener til at opdyrke et ringe Antal Evner paa en mere ensidig maade end matematikken”. 253 Denne gennemgang af Dams disputats tjener blot det formål at vise, at formaldannelse som pædagogisk filosofi var trængt i tiden omkring første verdenskrig. Og denne svækkelse var en af årsagerne til, at en meget færdighedsorienteret regneundervisning kunne komme til at dominere. Det var dog næppe den akademiske verdens overvejelser, der her var afgørende. Givetvis har de praktiserende læreres erfaringer med elever og deres præstationer haft nok så stor betydning.

Regnelærernes bud på ændringer En praktiserende regnelærer, Axel Nørby fra Silkeborg, skriver i 1929 i rubrikken “Skolens daglige liv og arbejde” i Vor Ungdom: “Erhvervslivets Anke over Ungdommens Usikkerhed i den elementære Regning og de eksperimentelle Forsøgs fremhævelse af den store Forskel paa Børns Begavelse tyder paa, at der 250

Dam 1912 s. 87. Dam 1912 s. 82. 252 Dam 1912, s. 98. 253 Ed. Review 1836, s. 419. Her efter Dam 1912, s. 96. 251

maa lægges andre Principper til Grund, hvis Arbejdsvilkaarene og dermed Resultaterne skal forbedres. Vanskeligheden ved Arbejdets Planlæggelse skyldes Forskellen paa Begavelse; men Erhvervslivets krav om Sikkerhed i det elementære letter Sagens Løsning. Dette medvirker forhaabentlig til at fæstne den Tanke, at Barnet staar bedre rustet for Livet som Mester paa et lille Omraade end som fusker i alt”. Målet må derfor være at give alle børn sikkerhed og hurtighed i elementær regning, som den bruges i det praktiske liv. “For at dette Maal kan naas, maa Hukommelsesstoffet – Tabellerne, Mønt og Metersystemets Navne og Forhold samt de fire Regningsarter med ubenævnte Tal – ved ustandselig Gentagelse indprentes til Fuldkommenhed...Ved stadig Træning i det elementære Stof maa Børnene opøves til at yde det mest mulige Arbejde i den kortest mulige Tid”. “Brøkteknik og Forholdsregning er typisk for det Stof, der tages med af Sædvane uden at have Tilknytning til det praktiske Liv. Man har villet hævde, at det er tankeudviklende for Barnet at arbejde dermed. Denne Udvikling gælder dog ikke Barnets Tænkning i Almindelighed, men kun den særlige, som kræves til Løsning af disse Opgaver”.254 En af forfatterne til det, der skulle blive det dominerende lærebogssystem i 40 år, Ernst Gehl, gik ind i diskussionen om den manglende regnefærdighed i 1921. Han tror som flere andre, at den ”mekaniske færdighed var større for 25 år siden, end den er nu”. 255 Han foreslår i den forbindelse en bølgemodel for tidernes skift mellem vægt på færdighed og forståelse, en fascinerende tanke: 256 ”Sagen er vel imidlertid den, at man ved Regnefærdighed maa forstaa saavel mekanisk Færdighed som Forstaaelse af de foreliggende Opgaver. Som det imidlertid gaar med saa mange Forhold her i Livet, at disse følger Bølgebevægelsen, saaledes gaar det ogsaa med Regneundervisningen, idet man snart har lagt Vægt paa den ene Side af Regnefærdigheden: den mekaniske, snart paa den anden: Forstaaelsen. Det rigtigste ville dog maaske være at følge den gyldne Middelvej. Spørgsmaalet bliver nu dette: Er vi inde paa denne Vej? Hertil vil jeg for mit Vedkommende mene, at Tendensen gaar i den Retning. Jeg tror nemlig, at vi, efter at der tidligere er lagt særligt Vægt paa den mekaniske Side, kom ind i en Periode, hvor Forstaaelsen kom til at spille en for stor Rolle paa Bekostning af Talfærdighed; nu er der imidlertid meget, der tyder paa, at man er ved at revidere sine Anskuelser angaaende Regneundervisningen”.257 Var bøgerne i ”den mekaniske færdighedstid” præget af rene rækker af tal, var de til ge ngæld i den netop forløbne ”forståelsestid” præget af bogstaver, af alt for mange iklædte tekstopgaver. Prisen har været et fald i regnefærdighed og dermed kan tekstopgaverne ikke udfylde deres mission. Den gyldne middelvej må både udvikle barnets talfærdighed og forståelse på samme tid: ”Uden Talfærdighed taber Børnene nemlig Lysten til Regning og 254

Axel Nørby: Regneundervisning, Vor Ungdom 1929, s. 214 Ernst Gehl: Om regning, Vor Ungdom 1921 s. 204. 256 Vi kan prøve at konstruere en bølgemodel ud fra oplysningerne i dette kapitel sammenholdt med kapitel 1 og 4: Forståelsestoppene vil da ligge i 1814, 1850 og 1910, mens færdighedstoppene (eller dalene) var i 1830, 1880 og så igen i 1930. Som matematiklærer må man selvfølgelig prøve at ekstrapolere i denne model, hvorved vi når frem til en færdighedstop i 1980, hvilket med god vilje kan identificere reaktionen på den ny matematik fx ”Why Johnny can’t add”. Næste færdighedstop kan herefter forventes i 2030, men tingene går jo lidt hurtigere i vores tid, så måske kommer den, før vi ved af det. Prognosen er selvfølgelig for sjov, og lommeregneren har i al fald ændret på færdighedsdiskussionen. 257 Samme. 255

faar for lidt Tid til at gennemtænke Opgaven; uden Forstaaelse kan Regning ikke blive det tankeøvende Fag, som det burde (jf. ”Haandbog i Regneundervisning” af seminarielærer J.F. Johansen)”.258 Løsningen kunne være Systemet ”Den Ny Regnebog”, som Ernst Gehl var medforfatter på: ”Ved at gennemføre Regnetimerne efter en bestemt lagt Plan saaledes som det er gjort i de af Fr. Friis-Petersen, Ernst Gehl og J.L.W.Jessen udgivne ”Lærernes” Bøger, der knytter sig til ”den ny Regnebog” I,II og III, opnaar man, at det Tilfældighedens Præg, som kan komme ind i Regneundervisningen afhjælpes, og at der kommer Fasthed, Bestemthed og Orden i Arbejdet, at der tages ligelig Hensyn til begge Sider af Regnefærdigheden”.

Den ”ny” regning og reformpædagogikken 1920’erne i den danske pædagogiks historie er kendt som en nytænkningens periode. Men det synes ikke, som om regneundervisningen i grundskole eller i mellemskolen blev synderligt præget af denne nytænkning. Regneundervisningen syntes underkastet andre interessegrupper og var desuden mere præget af en autonom pædagogik – en regnelærerpædagogik. Mere positivt udtrykt kan man med nogen ret hævde, at regneundervisningen allerede havde været igennem sin reformperiode i starten af århundredet. For kort at give indtryk af den pædagogiske reformiver i 1920’erne lader vi skoleinspektør Sofie Rifbjerg fortælle: ”Den pædagogiske bølge, som skyllede ind over landet i tyverne, kom ikke fra autoriteterne, men snarere som en protest mod dem. Kampen gjaldt en befrielse af børnene, en ændring af skolen, så at børnene ikke alene skulle få mulighed for at bruge deres legemlige kræfter, men også alle deres åndelige kræfter, ikke blot hukommelse og efterligning, men tænkning, konstruktive ideer, fantasi, følelse og vilje”.259 Blandt de nye tanker var Montessori-Metoden (udgivet på dansk i 1917), der lagde stor vægt på barnets frihed og det selvstændige arbejde. Også John Dewey, Decroly og A.S. Neill var blandt de udenlandske inspiratorer. Den afgørende impuls kom fra den tyske professor Peter Petersen (1884-1952), der i 1923 holdt fire pædagogiske forelæsninger i København: 1. Den gamle skole i profil, 2. Grundlaget for en ”Ny opdragelse” inden for en nyeuropæisk kulturbevægelse 3. Billeder fra den nye opdragelse og 4. En profil af den nye skole og dens verdensanskuelse. Det pædagogiske selskab fulgte foredragene op med en studiekreds, der senere blev omdannet til foreningen ”Den frie Skole”.260 På det praktiske plan inspirerede disse foredrag i Vanløseforsøget 1924-28, hvor man fik lov at eksperimentere med frie klasser med vægt på individuelt arbejde og gruppearbejde, under den klare betingelse at man efter 4 år (i fjerde klasse) skulle være nået til samme niveau som de sædvanlige klasser. Københavns skoleborgmester Ernst Kaper, der var klasseundervisningens teoretiker og ivrigste talsmand, havde naturligvis ikke haft de helt store forventninger til dette forsøg. Så da det viste sig, at eleverne efter fire år ikke kunne klare standpunktsprøverne på samme niveau som normale klasser, blev forsøget mod mange protester stoppet. Man kan i det hele taget spørge, om disse reformtanker fik indflydelse på skolevæsenet, når de politiske skoleledere ofte var skeptiske. Grue-Sørensen skriver i Opdragelsens Historie fra 1966: ”Det spørgsmaal melder sig nu ogsaa, hvilken indflydelse de har haft paa skoleudviklingen som helhed, ikke blot stedvis. Her maa man sikkert sige, at ændringerne i det praktiske ikke har været saa store, som reformatorerne har tilsigtet… Der er med andre ord kommet mere afveksling ind i skolelivet, men om flere af disse i det ydre iøjnefaldende 258

Samme s. 205. Sofie Rifbjerg: Kort rids af den moderne opdragelses historie i Danmark. I Gudrun Aspel (red.) m. fl. :Pædagogiske perspektiver belyst gennem Anne Marie Nørvigs person og samtid, 1963, s. 73. 260 Rifbjerg s. 78. 259

træk maa det ogsaa bemærkes, at de ikke er et direkte udslag af pædagogiske reformtanker, men lige saa meget skyldes tekniske fremskridt”.261 Specielt regneundervisningen stod ikke i fokus for reformatorerne. I det omfang at regneundervisningen var præget af frit og selvstændigt arbejde med barnet i centrum synes inspirationen at været kommet tidligere end i denne 1920’er reformbevægelse. Den særlige modbølge, der nu kom i regneundervisningen, med vægt på færdigheder og gentagelse-øvelsegentagelse i regning synes i al fald på ingen måde at kunne forklares ud fra reformpædagogikken, 262 hvorimod man nok kan forestille sig Kapers glæde over en gennemført klasseundervisningsbog som Den ny Regnebog. I en artikel i 1926 tager Kaper afstand fra den individualistiske skole til fordel for den lærercentrerede skole, hvor det først og fremmest er lærerens ansvar at meddele eleverne en række elementære kundskaber og færdigheder: ”Disse simple og enkle Kundskaber og Færdigheder naas imidlertid kun ved undervisningsmæssig Gentagelse og atter Gentagelse, paa visse Omraader indtil Mekanisering, og Ophobning af et vist Kvantum fast Hukommelsesstof er allerede af den Grund en Nødvendighed, fordi der skal bygges videre derpaa som en uundværlig Forudsætning for den næste Part af det medborgerligt nødvendige Stof”.263 Som illustration af, at ikke al pædagogik var reformpædagogik i 1920’erne, kan vi følge Gregers, der startede i skolen i 1920. Gregers mødte op på skolen på Duevej fuld af lærebegærlighed, men det blev dog kun til disciplinering den første dag, hvor læreren sagde: ”Ja, kære drenge, nu er I altså kommet i skole, og der er meget I skal lære. Først og fremmest disciplin, men det kommer jo efterhånden. Mit navn er Hr. Simonsen, og jeg skal være jeres klasselærer. Det betyder, at jeg skal undervise jer i de fleste fag i 1. klasse. Jeg har her en protokol, og hver morgen råber jeg jeres navne op for at konstatere, om alle er mødt”.264 ”Det var den dag, som jeg havde set hen til med så store forventninger, og så fik vi ikke en gang lov til at være der i én time, oplevede ikke et frikvarter. Værst af alt: Jeg fik ikke brug for mit tornyster. Slukøret luskede jeg langsomt hjem. For mig var første skoledag en dundrende fiasko. Næste dag var betydelig bedre. Vi fik de lovede bøger uddelt, og fik besked på at lægge ”bind” om bøgerne til næste dag. Bøgerne skulle skånes for slid. I 1. time skulle vi have regning. Læreren tegnede et smukt éttal på tavlen, og nu skulle vi skrive en side fuld af lige så smukke ettaller. Det var let. Så gik det videre med de øvrige tal til klokken ringede til frikvarter”. Gregers fik difteritis i foråret 1920 og gik glip af flere måneders undervisning, men: ”Jeg slap godt gennem første klasse. Ikke en eneste gang stiftede jeg kendskab med ”MesterErik”, og jeg fik ikke én svedetime. Lykken var nok bedre end forstanden”. I de sidste to skoleår havde Gregers Hr. Riber i regning og sang:

261

Knud Grue-Sørensen: Opdragelsens historie III, 1966, s. 279 Derimod havde reformpædagogikken indflydelse på indretningen af den frie mellemskole, der blev indført i 1937 og som vi siden vender tilbage til. Som en aflægger heraf blev regnefaget fra 1937 mere orienteret mod det praktiske livs behov, en strømning, der naturligvis også påvirkede grundskoleklasserne. Men da det mest naturligt knyttes til historien om den frie mellemskole, medtages denne strømning ikke i dette kapitel. 263 Ernst Kaper: De pædagogiske Theorier og Skolens Praksis, Vor Ungdom 1926, s. 242f. 264 Frerslev, Gregers: Drengesind og lærerluner – skoleliv i København i 20’erne, Foreningen Danmarks Folkeminder, 1990, s. 45f. 262

”Regnetimerne kedede mig intenst. Måske var der en brist i mine hjerneceller, de var ikke kodet til talbehandling. Matematik var noget volapyk for mig. Derimod var jeg ret kvik til geometri og stereometri, men enhver har sine fordele. Så blev Hr. Ribers syg og var borte i 2-3 måneder. Man sagde, at han havde fået blindtarmsbetændelse. Som regnelærer fik vi i stedet overlærer Oluf Andersen. Det blev en ren farce, da vi opdagede, hvor nærsynet han var. Når han skulle se, hvad der stod i en bog, skubbede han altid brillerne op i panden, holdt bogen 5-6 centimeter fra øjnene og stirrede intenst på indholdet. Altid var han meget vred, så gal som en køter, der har fået rabies. Når han i mundtlig regning stillede en elev et spørgsmål, forlangte han det rette svar omgående og præcist. Fik han ikke det, blev han aldeles ustyrlig. Altid havde han spanskrøret ved hånden, og så vankede der tørre tærsk”. Så børnene var glade over at få lærer Ribers hjem igen: ”Hr. Ribers var vores lærer i sang og regning i resten af skoletiden. Hans største interesse var hans arbejde som organist. Oftest foregik en regnetime ved, at han skrev to svære regneopgaver op på tavlen. Opgaverne skrev han af efter et hefte, og kommanderede: - Alle som sidder på højre side af bænken, regner det stykke til højre, og alle på venstre side regner det til venstre. Så kan I ikke kigge hos hinanden. De som ikke er færdige ved timens afslutning, bliver her bagefter og regner færdigt. Nu vil jeg overhovedet ikke forstyrres. Så satte han sig til katederet med en nodebog og nodepapir og skrev noder af i hele timen. Han levede i tonernes verden og glemte alt andet”.265 Gregers’ lærere synes efter det foreliggende erindringsmateriale ikke synderlig påvirkede af reformpædagogik. – Gregers Frerslev gik ud af syvende klasse og kom i lære hos en bogbinder. Efter en arbejdsløshedsperiode fik han fast arbejde i tyve år, og endte som selvstændig med 20 ansatte. Som pensionist kom han på skrivekursus og skrev sine erindringer.

Den ny regnebog ved Friis-Petersen m.fl. En lærer udtrykker det således i 1929: ”At Folkeskolen befinder sig i en vanskelig Stilling i Øjeblikket fremgaar klart af de to tilsyneladende uforligelige Hovedkrav, der stilles til dem: 1) Større hensyn til Barnets frie Initiativ. 2) Større Sikkerhed i det elementære i Hovedfagene: Modersmaalets Brug, Regning og Skrivning”. 266 På det tidspunkt havde nogle regnebogsforfattere allerede et bud på krav nr. 2, mens hensynet til barnets frie initiativ ikke kom højt på regnepædagogernes dagsorden før efter skoleloven af 1937. Reaktionen på kravet om bedre færdighedspræstationer i folkeskolens regneundervisning kom med en bølge, vi kan kalde ’den ”ny” regning’, hvor gåseøjnene markerer, at den på visse punkter så gammeldags ud. Den ”ny” regning er et sammensat fænomen, idet det på overfladen kan ligne en tilbagevenden til gammeldags regnebøgers uafbrudte sider af nøgne talopgaver, men dog langt bedre didaktisk tilrettelagt og baseret på langt større indsigt i barnets natur. Systemet ”Børnenes Regnebog” på Gyldendal, som vi har omtalt som det første moderne regnebogssystem, var sen til at omstille sig til ”ny regning”, idet ”Børnenes nye Regnebog” først udkom i 1930. Det skyldes sikkert, at man her holdt fast i den gamle hovedforfatter fra systemets start i år 1900, Jakob V. Pedersen. Men nok også at man syntes 265 266

Frerslev s. 135. Simonsen, Steffen: En Deling af skolens Arbejdsstof: Øvestof og Læsestof. Vor Ungdom 1929, s. 147-148.

at det eksisterende system ”Børnenes Regnebog” havde mange kvaliteter, som var blevet videreudviklet hen ad vejen. En radikal ændring blev dog nødvendig, hvis man skulle leve op til nye krav, som Københavns skolevæsen stillede i sine læseplaner sidst i 1920’erne. Så var Julius Gjellerups Forlag langt tidligere ude med systemet ”Den ny Regnebog”, der synes dominerende fra 1920’erne til skoleloven af 1958, hvis man skal dømme efter antal oplag eller hyldemeter på Danmarks Pædagogiske Bibliotek. Forfatterne var: 1. Fr. Friis-Petersen, 1918 Regne- og matematiklærer ved Mellem og Realskolen på Forchhammersvej, 1928 Viceskoleinspektør i København. 2. Ernst Gehl, 1918 Cand. phil., lærer ved Københavns Kommuneskoler, 1928 skoleinspektør i København. 3. J.L.W. Jessen, 1918 Mag. scient, lærer i regneundervisningsmetodik ved Statens Lærerhøjskole. 4. H.P.H. Novrup, førstelærer på en landbyskole. 5. Thorkild Jensen, 1929 skoleinspektør i København. De lavede forfatterteams omkring de forskellige elementer i systemet med Friis-Petersen som den gennemgående person. Da han endvidere lå alfabetisk først, forbindes hans navn ofte med systemet, der efterhånden omfattede følgende med forfatterne angivet ved numrene ovenfor: 1,2,3: Den ny regnebog I-VIII, I 1918-1959 uændret gennem 18. oplag, VIII også identisk fra 1925 til 1953, så systemet gennemgik ikke nogen særlig udvikling i sin levetid. 1,2,3: Købstadsskolens Ny regnebog I-VIII, 1928 - 1965 1,2,4: Landsbyskolens regnebog Række A: Den toklassedelte skole (+ Lærerens bog 1924,25) 1. hefte= 1. kl hold A, altså svarende til 1. klasse 2. hefte= 1. kl. Hold B og C, altså svarende til 2. og 3. klasse 3. hefte = 2 kl. Hold A og B, altså svarende til 4. og 5. klasse 4. hefte = 2. kl. Hold C og D, altså svarende til 6. og 7. klasse Række B: Den fireklassedelte skole, 1. oplag 1926, 12. oplag 1954 1,2,3,5: Hovedstadens Regnebog 1-8 klasse (1930-1962, udarbejdet efter den ny undervisningsplan for Københavns Skolevæsen, tegninger af Sikker Hansen) 1,3: Mellemskolens ny Regnebog I-IV udkom omkring 1920. 1,3: Realklassens regnebog, 1918, 12. oplag 1950, uforandret, selv eksempler på eksamensopgaver er i 1958 kun medtaget til 1917. 1,3: Regnebog for Seminariernes Præparandklasse udkom omkring 1920. Da ”Den ny Regnebog” blev så dominerende i skolen i 30-40 år, giver jeg i det følgende en detaljeret beskrivelse af karakteristika ved systemet

Karakteristika ved Den ny Regnebog Timeopdeling, klasseundervisning med elevdifferentiering. Det var opbygget med et fast program for klasseundervisning i hver enkelt af årets 180 timer. En typisk time vil starte med samlet klasseundervisning i hovedregning og tælle- eller tabeltræning. Senere i timen tages fat på tavleregning, som er skriftlig regning med vægt på 87

opstilling eller regnealgoritmerne, hvad enten det sker fælles på tavlen eller med individuelle øvelser på lille tavle eller papir. Den nødvendige undervisningsdifferentiering fremkommer ved, at tavleregnings-opgaverne har stigende sværhedsgrad: “Hver Time gennemføres efter en bestemt forud lagt Plan, der opstiller et bestemt Maal for Timens Arbejde, og dette tilstræbes naaet gennem en Række ensartede Opgaver, der er ordnede efter stigende Vanskelighed. Der skabes derved lige saa gode Arbejdsvilkaar for de daarligere Regnere som for de flinkere. Disse hæmmes ikke, og det undgaas, at en Del slæber bag efter. Alle Klassens Elever arbejder i hver Time med de samme Problemer, kun at Opgaverne er afpassede efter enhver Elevs Tarv. Men det skal understreges, at hver Regnetime begynder med en ny “Time” i Bogen”. 267 Følgende princip sikrer, at alle i klassen kan regne nogle af de individuelle skriftlige opgaver: ”..det maa nøje paases, at der bydes Børnene Opgaver, som de uden større Vanskelighed kan regne ved egen Hjælp. Opgaverne maa derfor være af nøjagtig samme Slags som dem, der er behandlede ved den mundtlige Gennemgang med hele Klassen”.268 Eksempel på en time, 101. time i anden klasse (med kommentarer til læreren): I. Korøvelser a) Fremadtælling og Tilbagetælling med 10 og 20 med forskelligt Udgangstal. b) Multiplikation af Tiertallene med 2 (Benyt Kuglerammen, Tiere, Pindebundter): 2*10, 2*20, 2*30, 2*40, 2*50 c) Korregning. Stykkerne skrives paa Klassetavlen. 30+10+20+6+4+7 2*30+10+10+7+4+6 40+10+10+5+6+6 2*15+20+10+5+6+2 50+10+30+9+3+2 2*20+20+20+7+5+6 30+20+20+8+5+4 2*25+10+10+8+4+5 II. Mundtlig Regning 1) Paa de tre store Tomatplanter i Drivhuset talte jeg, at der var 23, 24 og 17 Tomater. Hvor mange var det i alt? (Opstilling og Udregning paa Klassetavlen) 2) Der var 4,5 og 2 modne Tomater paa dem; dem plukkede jeg af. Hvor mange var det? Hvor mange blev der tilbage i alt? 3) Den ene Vinstok havde tre Grene, og paa den hang der 27, 35 og 26 Vindrueklaser; hvor mange var det i det hele? (Opstilling og Udregning paa Klassetavlen). 4) En af Vindrueklaserne indeholdt 48 Vindruer, hvoraf 25 var modne. Hvor mange var saa umodne? 5) Jeg købte tre store Tomater hos Frugthandleren. Den største kostede 35 øre, de to andre 28 og 25 øre. Hvor meget fik jeg tilbage, naar jeg betalte med en Krone? III Skriftlig Regning Nr. 1 og 2 regnes paa Klassetavlen. 1) I vores Have er der tre smaa Pæretræer. Paa det største er der 35 Pærer og paa de to andre 24 og 15. Hvor mange er det i alt? 2) Karl rystede tre gange Blommer ned af et Træ, og der faldt 31, 24 og 9 Blommer. Hvor mange var det i det hele? 267 268

Friis-Petersen, Gehl og Jessen: Regneundervisningen i det fjerde skoleaar, 1921, Indledningen s.1. Friis-Petersen, Gehl og Jessen: Regneundervisningen i det første skoleår, Indledningen punkt 8.

3) 23+24+16 4) 19+27+22 5) 28+13+25

6) 23+21+39 7) 18+37+25 8) 29+13+43

9) 22+34+16 10) 23+32+28 11) 28+44+11

Forfatterne fremhæver, at forudsætningen for klasseundervisningen er, at det hele gribes meget metodisk an: “Det har været vores Hensigt ved Udarbejdelsen af denne Haandbog ved den grundlæggende Regneundervisning at skabe et Undervisningsmiddel, som kan være til virkelig Støtte til Gennemførelsen af en metodisk Regneundervisning i det første Skoleaar. Vi har her ordnet og afpasset Undervisningsstoffet efter Børnenes Udviklingstrin, og vi har ikke veget tilbage for at lade det metodiske i Behandlingen komme stærkt frem gennem Tilrettelæggelsen i de mindste Enkeltheder. Time for time lægger vi Stoffet frem”. 269 Det var især denne næsten samlebåndsinspirerede nøje planlægning, der splittede anmelderne. Seminarielærer Johansen lægger da også i sin anmeldelse ud med ”Det er klart, at et Værk, der søger at spænde saa vidt, maa fremkalde en række Indvendinger og Betænkeligheder, som slet ikke vil melde sig ved en almindelig Regnebog, der kun indeholder Opgaver, som det overlades til den enkelte Lærer at benytte paa sin Maade”. 270 ”Det foreliggende Regnebogsværk er et udpræget Barn af sin Tid. Dets Forfattere maa have haft en stærk Tro paa, at det baade var muligt og heldigt at fastlægge alle Enkeltheder forud – for lange Tidsrum og for mange Skoler. Som Barn af Tiden vil det falde i en Mængde Læreres Smag. Hos andre vil der sikkert opstaa Tvivl. De vil spørge, om det virkelig er muligt at forme et næsten helt stift Apparat saaledes, at det kan passe for forskellige Skoler, for forskellige Lærere og under foranderlige Vilkaar. Alt Liv betegner Foranderlighed og Udvikling (om end ikke altid Fremskridt); selv om det byder Ligheder, saa byder det ogsaa Forskelle. – En Regnebog, der kun giver en ordnet Opgavesamling kan bruges paa mange Maader. I det foreliggende Værk maa man følge Forfatterne Time for Time, Skridt for Skridt. Af et saadant Værk maa man næsten kræve Fuldkommenhed. Er der grebet Fejl vil det være vanskeligt at forebygge Følgerne heraf”. 271 Kommunelærer H. Andersen er knap så bekymret i sin anmeldelse: ”I ”Regneundervisningen i det første Skoleaar” er nedlagt et solidt omhyggeligt Arbejde; den faste Plan og den praktiske Udformning, den rige Detaljering og den Behændighed, hvormed der manøvreres med Anskuelsesmidler, barnlige Emner, alskens Legetøj m.m. vidner om, at det er erfarne og øvede Lærere, der staar bag ved, og naar man af og til hører Røster hæve sig for, at saadanne Bøger har deres Svaghed i deres Styrke ved at dræbe Initiativet hos den Enkelte saa kunne man maaske dertil svare: ”Ved man ikke, hvad man vil, kan man kun have Gavn af dem; og ved man hvad man vil, kan man først rigtig benytte dem med Udbytte””. 272 Anskuelsen som udgangspunkt Det var en selvfølge for tiden, at der byggedes på anskuelse. I ovenstående eksempel på en time i anden klasse gives der således gode muligheder for børnene at danne sig billeder af situationen, så tallene knyttes til noget anskueligt fra børnenes univers. Hvor der i 2. klasse knyttes an til anskuelse i fantasien, startes der i første klasse med direkte fysisk tilstedeværende anskuelse: ”Ved den allerførste Undervisning maa man knytte Optællingsøvelserne til Genstandene i selve Skolestuen eller til Tegninger paa Skoletavlen. 269

Samme, forordet. J.F. Johansen: Et regnebogsværk for folkeskolen, Vor Ungdom 1925, s. 263. 271 Samme s. 272-73. 272 H. Andersen: Fr. Friis-Petersen m.fl.: Regneundervisningen i det første Skoleår. metodisk Håndbog. Vor Ungdom 1918, s. 525.

270

Senere kan man gaa over til Ting som Børnene ikke har for Øje, f.eks. Æbler, Blomster, Heste, Dukker. Man kan da knytte navnet til Kugler, Pinde, Fingre, Streger paa Skoletavlen eller lignende. Endelig kan man senere paa Aaret gaa over til Regning med rene Tal. Men dette maa ikke gøres, før man er sikker paa, at Børnene altid med Talnavnet forbinder Forestillingen om et bestemt Antal”.273 Som overgang mellem konkrete antal og talnavn benytter forfatterne især Domino-talbilleder. Sammenligner man med Børnenes Regnebog fra århundredets start, er anskuelsesfasen nu stærkere fremhævet med en klar markering af en langsom bevægelse fra det helt nære, konkrete til det konkret tænkte for ”senere paa Aaret (at) gaa over til Regning med rene Tal”. Koncentrisk organisering af stoffet Så snart der er mulighed for det, arbejdes der med nye dele af regnestoffet, og derefter vendes ofte tilbage til det igen på højere og højere vanskelighedsniveau, således at flere regningsarter behandles i hver time. Dette koncentriske princip ses tidligt i første skoleår, hvor fx den mundtlige regning i 62. time omfatter alle regningsarter: 1) 7 Svaler var paa Vej til de varme Lande. Først mødte de 3 Svaler, som fulgte med, og derefter 3 til. Hvor stor var Flokken saa? 2)Af de 13 Svaler døde 2 af Anstrengelse; hvor stor var Flokken nu? - Senere døde 2 til. Hvor mange var der saa ? 3) Paa 3 Telefontraade sad der 4 Svaler paa hver. Hvor mange var det i det hele? 4) Af de 12 Svaler var der lige mange Hanner og Hunner. Hvor mange Par kunne der blive af dem ?274 Således omfatter det koncentriske princip somme tider den enkelte time, men mere overordnet går det på årets gang – således fx i tredje klasse, hvor hovedvægten i timerne er således: Addition eller sammenlægning; time 11-17, 46-59, 123-129 Subtraktion eller fratrækning: time 18-25, 60-74, 130-142 Multiplikation eller gangning: time 26-33, 81-100, 143-150 Division eller ligedeling: time 34-40, 101-120, 151-160. Progressionen går her på talstørrelsen, idet der frem til time 45 arbejdes med hundreder, så med få tusinder frem til time 120, hvorefter tallene kan være op til 1 mio. Hvortil kommer i tredje klasse nye afsnit om tallæsning og talskrivning, måling af længder, måling og vejning samt afslutningsvis nogle blandede opgaver. Dette betegner flere spiraler per år end i den koncentriske opbygning i Børnenes Regnebog, hvor den tilsvarende bog for tredje klasse indeholder: addition (s. 4-11), subtraktion (s. 11-18), multiplikation (s. 19-25), division (s.25-33) samt blandede opgaver (s.33-40, bogens sidste side). Men sammenligningen er ikke helt fair, da Børnenes Regnebog ikke er noget script, som læreren skal følge time for time.

273

Friis-Petersen, Gehl og Jessen: Regneundervisningen i det første skoleår, 1918, indledningen. Her efter 2. udgave 1934. 274 Friis-Petersen, Gehl og Jessen: Regneundervisningen i det første skoleår, 1934, s. 72f. Kildehenvisninger i det følgende sker i teksten ved henvisning til klassetrin og “time”, da systemet er uforandret gennem alle oplag fra 1918 til 1965.

Brøker som eksempel Også brøkerne blev som i Børnenes Regnebog behandlet på denne koncentriske måde. Men vi giver her en mere udførlig gennemgang af opbygningen, idet princippet siden har været fastholdt, og fordi gennemgangen afslører, hvorledes optagelsesprøven til mellemskolen kommer til at gribe uhensigtsmæssigt ind i en konsekvent pædagogik. Vi starter i 115. time i første skoleår. 3) Naar vi skærer et Æble midt over, saa faar vi 2 Halve Æbler. Naar Kaj og Ellen skal dele et Æble, hvor meget faar de saa hver? – Hvor meget kan hver faa, naar de skal dele 3 Æbler? 4 Æbler? 5 Æbler? Allerede i 119 time dækkes de kendteste småbrøker i den fælles mundtlige regning: 5) Karen har 12 Pebermynter. Hvor mange spiser hun, naar hun spiser Halvdelen? Tredjedelen? Fjerdedelen. Hvor mange har hun tilbage, naar hun har spist Halvdelen? Tredjedelen? Fjerdedelen? Brøkerne indgår ikke i den tilhørende skriftlige regning, da der på dette niveau kun arbejdes med de mundtlige dagligdagsudtryk for brøker. Men der startes dog en tilsvarende regneproces i det skriftlige, idet der startes med korøvelser, hvor sammenhængen mellem regningsarterne understreges: 4+4+4 5+5+5 3*4 3*5 12:3 15:3 fulgt op af individuelle skriftlige regneopgaver: 3*4 3*5 ......... 2*8 12:3 15:3 16:2 12:4 15:5 16:8 I 2. klasse vendes ofte tilbage til simple brøker i mundtlig regning, fx i 80. time: 5) Hvor meget er Fjerdelen af 12 M? af 16 M? af 32 M? af 20 M? af 40 M? af 80 M? Først i tredje klasse indføres symbolerne for de simple brøker i den mundtlige regning fx i 34. time: Hvor mange Minutter er ½ Time? 1/3? 1/4? 1/5? 1/6? 1/10 Time? I slutningen af tredje klasse kommer brøkerne med i den skriftlige regning – først med deres fulde ord og til allersidst som symbol: 175. Time, Tavleregning 6): Anders har 2 Kr. 40 Øre. For Femtedelen af Pengene køber han 2 Appelsiner; hvad koster de? 180. Time, Tavleregning 7): Hvor meget er 1/7 af 6594 Meter? Hvor brøkerne således til og med 3. skoleår blot optræder som signal til division indføres de som abstrakte tal i slutningen af 4. klasse: ”I femte Afsnit grundlægges den egentlige Brøkregning. Dette Afsnit er væsentligst medtaget af Hensyn til Optagelsesprøven til Mellemskolen”. 275 275

Friis Petersen, Gehl og Jessen: Regneundervisningen i det fjerde Skoleaar 1921, Indledningen s. 4.

Lige før starten på dette brøkafsnit når man i den mundtlige regning frem til brøkopgaver af en noget større sværhedsgrad: 145. Time 4) 2/3 af 15 Kr. + 4/5 af 15 Kr.; 3/5 af 75 Kr. - 3/4 af 60 Kr. I 161. time indføres abstrakte brøker ved hjælp af et enhedslinjestykke, der opdeles i to, fire og otte lige store dele, der får betegnelserne 1/2, 1/4 og 1/8. 2) Udregn ved Hjælp af Brøklinien 1/4 + 3/4, 1/2 + 1/4,...,1/4 + 1/8 8) 1/4 + 1/8 + 1/2 Herefter går det hurtigt med henblik på optagelsesprøven til mellemskolen: 162. Time Tavleregning 9) 1/2 + 1/6 + 1/6 11) 5/6 af 18 Kg 522 g + 2/3 af 14 Kg 118 + 1/6 af 9 Kg 165. Time Tavleregning 5) Sæt den manglende Tæller til i følgende Tilfælde: 3/4 = ?/16; 1/2 = ?/8; 7/8 = ?/16; 13/8 = ?/16 7) Forkort følgende Brøker 2/4, 6/8,...,14/16 169. Time Hovedregning 1) Omregn til uægte Brøk: 2½, 5 3/5, 8 7/8,.., 10 11/12 180. Time 9) 607 3/20 + 82 7/20 - 476 17/20 10) 15/16 af 144 Dusin + 16/17 af 204 Dusin + 17/18 af 90 Dusin Lærerens bog indeholder desuden et tillæg med opgaver ved optagelsesprøven til 1. mellemskoleklasse. Og heraf fremgår det klart, hvorfor progressionen i brøkregning nødvendigvis måtte være så stærk i slutningen af 4. klasse. Kravene i brøkregning i optagelsesprøven til mellemskolen, maj-juni 1921, stk. 3 var nemlig ikke ubetydelige: En Høker havde fire Bøtter Smør, der indeholdt 17 9/20 Kg, 18 3/20 Kg, 21 7/20 Kg og 23 1/20 Kg. Han solgte 3/8 af Smørret for 5,90 Kr. pr. Kg; for Resten fik han 12 øre mindre pr. Kg. Hvor meget fik han for alt Smørret? Hvor meget tjente han paa Smørret, naar han havde købt det for 448 Kr.? Efter at en del af klassen er rykket op i mellemskolen bliver der i Den ny Regnebog for 5. klasse plads til en roligere og mere pædagogisk gennemgang af brøker. I de første timer skal børnene selv være aktive med foldninger af brøkstrimler, og cirklen kommer med som en repræsentation for brøker. Alle fire regningsarter behandles både i efteråret og igen i en runde i foråret, idet der dog ikke medtages bruden multiplikator og bruden divisor. I det hele taget er brøkregningen, her fra 1922 og fremefter, neddæmpet i forhold til tidligere: “Indførelsen af Metersystemet i Maal og Vægt har ganske naturligt medført, at Decimalbrøken og Regning med Decimalbrøk har faaet langt større Betydning, saavel i det praktiske Liv som i Skolen, mens den Stilling, Brøkregningen tidligere har haft, maa blive en helt anden. Ud fra dette Synspunkt har vi i Brøkregningen indskrænket Regningen til Brøker med smaa Nævnere, og vi har derfor heller ikke medtaget Bestemmelsen af største fælles Maal og mindste fælles Fold (Nævner) for flere Tal; paa den anden Side har vi givet Decimalsbrøksregningen en langt mere fremtrædende Plads”.276 276

Friis-Petersen, Gehl og Jessen: Regneundervisningen i 5. skoleår, 1922, indledningen s. 4.

I Den ny Regnebog for 5 klasse dækkes således alle fire regningsarter for decimalbrøker i efteråret og igen i foråret. Grundlaget er lagt allerede i 4. klasse, hvor decimalbrøker bliver indført før brøker: “Regning med Decimalbrøk danner en saa naturlig Udvidelse af Regning med hele Tal, at der ikke er nogen Grund til at lade et Kursus i Brøk gaa forud”. 277 I stedet knyttes decimalbrøkerne til metersystemet:”1 cm er en Hundrededel af 1 M og kan skrives 0,01 M. 10 Cm er 10 Hundrededele af 1 M og kan skrives 0,10 M..... Vi ser paa Maalestokken, at 10 Hundrededele er lig med 1 Tiendedel og at 100 Hundrededele er lig 1 Hel”.278 Hvor man i 5. klasse kun lærte at gange og dividere brøker og decimalbrøker med hele tal, medtages i 6. klasse først decimalbrøker og senere brøker som multiplikatorer og divisorer, fulgt op af forholdsregning og grundlæggende procentregning samt lidt om areal og rumfang. Disse emner fortsætter i 7. klasse, hvortil kommer fremmed mønt og kvadratrodsuddragning. Johansen er i sin anmeldelse kritisk overfor dette sidste emne:” Om den viste Fremstilling vil falde Børn og Lærere saa let, som Forfatterne mener, turde være tvivlsomt. Derimod ved vi fra gamle Dage, at mange Børn kan indøves i Kvadratrodsuddragningens Teknik. Det er dog et Spørgsmaal, om den Tid, en almindelig Folkeskole bruger hertil, er vel anvendt”. 279 Bogen for 8. klasse nåede de færreste elever, da skolepligten kun gik til og med 7. klasse. Her fortsattes med vanskeligere opgaver i rente-, delings- og blandingsregning samt som noget nyt sammensat rentesregning, aktier og obligationer.

Systemet for landsbyskolen Gjellerups system “Den ny regnebog” kom i flere forskellige parallelle udgaver. “Købstadens ny Regnebog” med samme forfattergruppe afviger kun meget lidt fra hovedsystemet, hvorimod “Landsbyskolens Regnebog” nødvendigvis måtte være noget anderledes indrettet. Ser man f.eks. på en landsbyskole med en enkelt lærer, der skal klare undervisningen i alle 7 skoleår, så bliver en to-klassedeling den eneste mulighed for at gennemføre klasseundervisning. For nu at tilpasse “Den ny Regnebog” til denne skoleform havde forfattergruppen erstattet byskolelæreren Ernst Gehl med landbyskolelæreren førstelærer H.P.H. Novrup. Dette nye forfatterteam foreslår i Lærerens bog til Landsbyskolens Regnebog for den toklassedelte skole, at de to klasser opdeles i hold således: 1. klasse opdeles i hold A (1. skoleår) og hold B og C (2. og 3. skoleår) 2. klasse opdeles i hold A og B (4. og 5. skoleår) og hold C og D (6. og 7. skoleår) I 1. klasse får hold A selvstændig undervisning. Hold B og C får fælles hovedregning og mundtlig regning, men forskellig tavleregning. I et totimersmodul for klassen starter læreren med hovedregning for hold A i den første halve time, hvorefter tavleregningen igangsættes, så den kan fortsætte som individuel skriftlig regning i anden time. Herved frigøres læreren til at starte hovedregning for hold B og C og indlede tavleregningen for begge grupper, der så regner videre i hver sine skriftlige opgaver. De fortsætter denne individuelle regning i starten af næste dobbelttime, hvor læreren er beskæftiget på hold A. Til brug for denne undervisning udgav Gjellerup et hefte for hold A og et fælles hefte for hold B og C, men altså med særskilte skriftlige opgaver for de to hold. De byggede fagligt og metodisk på samme princip som hovedsystemet “Den Ny Regnebog”, og der var i vidt 277

Regneundervisningen i 4. skoleår, 1921, indledningen s 4. Samme s. 60, svarende til 92. time i Den ny Regnebog for 4. klasse 92. time. 279 J.F. Johansen: s. 272.

278

omfang tale om ren ombrydning fra hovedsystemet, især for hold A’s vedkommende. Tilsvarende kom der to hefter for 2. klasse.280 Den samme pædagogiske linje gennemsyrer systemet i alle dets udgaver, men man mærker en særlig tone i Lærerens Bog til Landsbyskolens Regnebog – sandsynligvis er det landsbyskolelærer Novrups særlige bidrag. Således starter indledningen med et lille citat: ”På dette du stedse bør agte. Kræv ej mer end Barnet kan magte” (Johanne Fischer, Augustenborgkurset 1924). Og til slut i lærervejledningen tages tråden op igen: “1. Man maa ikke byde Børnene for vanskelige Opgaver. Naar saa mange Børn allerede tidligt i deres Skoletid stagnerer i Regning og sakker agterud, saa ligger det næsten altid i, at der er stillet Krav til dem, som de ikke har kunnet magte; de Opgaver, der er givet dem, har været for svære. Dette medfører, at de taber Modet, og at deres Arbejdslyst svækkes. Kan de magte Opgaverne, saa vokser deres Arbejdslyst, og deres Selvtillid øges. Vi har ved at ordne Opgaverne efter stigende Vanskelighed inden for hver Time søgt at tage Hensyn til de forskellige Elever”. Også et andet punkt ligger forfatterne stærkt på sinde: “2. Ved en god Undervisning maa Læreren arbejde det nye Stof igennem ved Klasseundervisning. Men her er der den Fare, at det bliver Læreren, der gør det største Arbejde. Skal man imidlertid have et godt Resultat ud af Regneundervisningen, saa gælder det i første Linie om, at Eleverne lærer at arbejde selv. Gennemgangen af det nye Stof maa ikke tage mere end højst en Fjerdedel af Timen.”

Børnenes ny Regnebog Sidder man og gennemblader Gyldendals system, Børnenes Regnebog fra starten af århundredet og Børnenes nye Regnebog fra 1930 vægrer man sig ved at tro, at de har samme forfatter, nemlig Jakob V. Pedersen, 281 der i mellemtiden var blevet skoleinspektør. Hvor de nøgne talopgaver arealmæssigt fyldte omkring 15% af 1900-udgaven fylder de 85% af 1930udgaven, og så er en hel del af den til oversblevne tekst endda instruktion til læreren, jf. illustrationen, hvor side 15 i hver af udgaverne er vist. Hvis forfatteren til det, vi har kaldt den første moderne regnebog, skal bedømmes ud fra 1930-udgavens ydre form, vil man således i dag taksere ham som en meget traditionel regnebogsforfatter. Da bogen udkom i 2. udgave i 1935 var den i ”helt ændret Form”. ”Erfaringen viser, at den største Vanskelighed ved den første Undervisning i Regning, ligger i at faa Additions- og Subtraktionstabellen lært. For at overvinde denne Vanskelighed er der overalt i Bogen indsat Tabeløvelser, og af samme Grund er Opgaverne opstillet dels i vandret, dels i lodret Linie, saa at de samme Opgaver gentages under afvekslende Former”.

280

Hefterne hed “Landsbyskolens Regnebog 1-4 Hefte. Tilsvarende hefter fandtes for den fireklassedelte skole med to lærere. De udkom alle i starten af 1920'erne 281 P. Røtting var medforfatter på Børnenes Regnebog I fra 1900, men Jakob V. Pedersen var dog den, der tegnede systemet og eneste gennemgående forfatter på langs i systemet.

Ændringen består i endnu nogle procents reduktion af tekstopgaver, hvorved halvdelen af de 8 små illustrationer forsvinder, til fordel for plads til på hver side at kunne have halvdelen af talopgaverne i lodret opstilling. Desuden starter nu hver side med tabeløvelser. Bevæggrundene til det markante skift fra Børnenes Regnebog til Børnenes nye Regnebog må findes i den almene udvikling, der er beskrevet i kapitlets indledning. Den direkte foranledning282 synes at være ”Undervisningsplan for Københavns Kommuneskoler af 21. December 1929”, som Pedersen direkte henviser til i forordet til bog II (1930): ”I Overensstemmelse med Læseplanen er her først og sidst lagt Vægt paa at udvikle Færdigheden i at kunne behandle Tal”. Hvis man læser kommunens undervisningsplaner fra sidst i 20’erne opdager man nye forklaringer på prioriteringen af færdigheder.283 Kommunen havde kørt med den samme læseplan lige siden 1907, men den læseplan var faktisk tænkt for en A-række af klasser omfattende ca. to tredjedele af eleverne, mens der skulle have været lavet en særlig og mere beskeden læseplan for en B-række omfattende den svagere tredjedel. Denne B-række blev dog aldrig blev dog aldrig oprettet, og i stedet fik man den i forrige kapitel beskrevne vækst i antallet af hjælpeklasser. Efter krigen valgte man imidlertid at forsøge at fastholde de svagere elever i den normale skole. Nu kan man ikke sådan rent pædagogisk heraf deducere, at der må lægges større vægt på færdighedstræning i en sådan enhedsskole. Men det er en nærliggende konklusion efter en hurtig praktisk-pædagogisk overvejelse. I al fald lægges der i læseplanen helt op i 6.-7. klasse meget stor vægt på færdighed: ”Formaalet er dels at udvikle Elevernes Færdighed i Talbehandling, idet saavel Hurtigheden som Sikkerheden tages i Betragtning, dels at opøve dem i 282

For regnebøgerne for skoler uden for København: ”Regning i Folkeskolen” fastholder mere af den gamle koncentriske opbygning og alle illustrationerne, ligesom der i lærervejledningen (1935) lægges overordentlig stor vægt på illustrationer, anskuelighed, praktisk manipulation med genstande, regnehistorier med mere. 283 Oplysningerne i det følgende er fra ”Undervisningsplan for 6. og 7. Klasse i Københavns Kommuneskoler, 23. marts 1927”.

at løse ”iklædte” Opgaver af ikke alt for sammensat Art, navnlig saadanne, som har Tilknytning til den Regning, der forekommer i det daglige Liv”.284 Al tale om formaldannende regning er forsvundet, og hurtige og sikre færdigheder er et hovedmål, der dog også er et middel til at klare det daglige liv. Der skal stadig arbejdes med hovedregning: ”dette bør der drives paa med i stadig tilbagevendende Arbejde for at øve Eleverne op til den størst mulige Hurtighed og Sikkerhed”. Der var således givet klare signaler om prioriteringen af færdighedstræning i Københavns Kommunes læseplan. Men hvis vi igen vender os mod Børnenes Regnebog, så kunne der være gode grunde til at bevæge sig bort fra den megen tekst specielt i Børnenes Regnebog I, da børnene jo i starten ikke kan læse, så det alligevel bliver læreren, der skal læse det meste op undervejs i en fælles hovedregningsundervisning. Men det forklarer ikke, hvorfor også de følgende bøger også prioriterer de nøgne tal opgaver. Det, der i bog I tabes i anskuelighed og tilknytning til børnenes hverdagserfaringer, hentes dog delvis hjem ved anbefalingen af arbejde med forskellige anskuelsesmidler, som kugleramme (”vistnok det bedste Hjælpemiddel”), talbrikker og papirmønter (”saa at der kan købes og sælges”)285 Endvidere foreslår Pedersen en række gymnastikøvelser til at gå sammen med rækketællingsøvelserne (efter anbefaling fra gymnastikinspektøren Else Thomsen): ”Fingerslag mod Bord, Skulder og Isse. Der tælles 1-2-3, 4, 5, 6 o.s.v. f. eks til 24. Derefter Haandklap paa 3-6-9 o.s.v. f. eks til 24. Senere Haandklap paa 24-21, 18-15 o.s.v.” Men selv om ”den første Regneundervisning bør være anskuelig”, så gælder det dog om ”at føre saa mange af Børnene som muligt til at kunne regne uden Anvendelse af Anskuelsesmidler”. Og hertil er midlet gentagelse, specielt de af bogens opgaver, ”der ligger inden for Tabellernes Område, maa gentages atter og atter”. ”Også Rækketællingsøvelserne bør gentages saa ofte, at de kan foretages uden Betænkningstid. I første Klasse bør enhver Regnetime omfatte Rækketællinger”.286 Ser man på systemet ”Børnenes nye Regnebog” som helhed forkaster det ikke de grundlæggende ideer fra Børnenes Regnebog. Men kravet om færdighed og princippet om gentagelse og atter gentagelse får en helt dominerende plads, især i den indledende undervisning. Derfor får bøgerne et præg af side op og side ned med opgaver af ens type. Side 6 i bog II indeholder således 150 opgaver, hvor et encifret tal trækkes fra et tocifret. Prioriteringen af færdighed i talbehandling kommer i Børnenes nye Regnebog til at gå ud over det koncentriske princip, fx omtales brøkdele som ”halvdelen” slet ikke i bog I og II. Den ”ny” Regnings krav om færdighed slog således endnu kraftigere igennem i Børnenes nye Regnebog end i Den ny Regnebog. Jakob V. Pedersen skriver i en håndbog for unge lærere, at færdighed er altafgørende i regning. Og hvorledes nås den? ”Kun gennem Øvelser og Gentagelser, næsten i det uendelige, i de første Skoleaar og senere ved Tabeløvelser”.287 Det betyder dog ikke, at det skal fortsætte på samme måde gennem hele folkeskolen. Samtidig med at det faglige grundlag vedligeholdes op gennem skolen, skal de store elever i regnetimerne ”tillige kunne føle Tidens Puls og skimte Hovedlinierne i det Samfund, hvori de lever”, og de skal i stigende grad kunne arbejde selvstændigt. 288 284

Undervisningsplan af 23. marts 1927, s. 12. Disse citater er fra forordet til 1930-udgaven af Børnenes nye Regnebog. 286 Alle ovenstående citater er fra samme forord fra 1930. 287 Jakob V. Pedersen: Det praktiske Livs Regning”. I H. Bahne Jensen: Den unge Lærer, 1930, s. 85. 288 Pedersen s. 94 og 95.

285

Arvin og nye regnematerialer Hvor ingen af de to nævnte systemer under færdighedsbølgen i regneundervisningen bærer markante præg af påvirkninger fra reformpædagogikken stiller situationen sig noget anderledes for ”Regnebog for Folkeskolen 1-5” fra Aschehougs Forlag 1930. Systemet har ganske vist de klare karakteristika af at tilhøre ”den ny regning”: Meget stor vægt på færdigheder289 og timedelt opbygning med hovedregning, mundtlig regning og tavleregning i hver time. Men systemet bære også stærkt præg af den ene af forfatterne G. J. Arvin (1880-1962), der i 1930 var skoleinspektør på Skolen på la Coursvej. Arvin var læreruddannet og cand. mag. i matematik og naturvidenskab. Fra 1920 var han lærer i matematik og fysik på Danmarks Lærerhøjskole, hvis rektor han blev i 1939. Han var meget optaget af reformpædagogikken og ikke mindst Maria Montessori (1870-1952). Det kan klart spores i ”Regnebog for Folkeskolen”. Lægen Maria Montessori fik sine grundlæggende pædagogiske erfaringer med åndsvage og utilpassede unge. Hendes mest succesfulde middel havde været ”videnskabeligt” manipulativt læringsmateriale, der i vidt omfang var selvkorrigerende. Børn kunne derfor arbejde med det uden særlig meget instruktion og materialet var så struktureret, at det selv kunne ”fortælle”, når der blev gjort fejl. Børnene kunne derfor i stort omfang arbejde selvstændigt med indlæringen. 290 Det blev Arvin, der først ”oversatte” Montessoris materialer til dansk regneundervisning, og disse materialer er dybt integreret i ”Regnebog for Folkeskolen”, der således er det første danske lærebogssystem med egne konkrete materialer tilknyttet. Ser vi på materialet til 1. klasse, så er enheden det basale: et kvadrat, der er så stort at det kan ses af hele klassen, gerne lavet i træ med en trækugle i midten. Helt i Montessoris ånd kan man både se og føle enheden. Enhederne lægges i forlængelse af hinanden for at danne andre talstørrelser – dog ikke mere end fem, sandsynligvis fordi øjet ikke med sikkerhed kan overskue flere. Ved tal større end fem lægges de overskydende i en ny række, således at fx en tier består af to gange fem enheder. Herved fremkommer en standard for børnenes første ”talbilleder”, lidt a la Dominobrikker. Børnene laver dem selv i mindre format, et billede for hvert tal, hvis ikke skolen har indkøbt ”Arvins Talbilleder”. I Montessoris ånd holdes der fast ved ét hovedanskuelsesmiddel, der dog ikke behøver at være enerådende: ”Den rette Brug af de tidligere omtalte Talbilleder tilfredsstiller de forskellige Typer af Børn, og derfor anvendes disse som Hovedanskuelsesmiddel, samtidig med at det dog anbefales lejlighedsvis at

289

F.eks. angives slutmålet efter 5 års skolegang i lærervejledningen for 4.-5. klasse i klart afgrænsede færdighedstermer (Arvin 1933, s. 36): 1) at have absolut Sikkerhed i den lille Tabel… 2) at have en klar Forstaaelse af Titalssystemet… 3) at have Færdighed i de fire Regningsarter og øvelse i smuk Opstilling 4) at kende Benævnelserne: Dus., Stk., Sn., Aar, Maaned, Uge, Døgn, Time, Minut, Sek. og Rækkerne km, hm, m, dm, cm,mm, kg, hg, g, hl, l, dl. 5) at kende Opstillingsmønstrene for a) Omsætningsøvelser med Benævnelser b) de fire Regningsarter med benævnte Tal c) de tre Hovedtyper af Forholdsregning I oplyst noget om 1, spurgt om flere (her ganges) II Oplyst noget om flere, spurgt om 1 (her deles) III Oplyst noget om 1, spurgt om antallet (her maales.) 290 Om Montessori se Grue-Sørensen (1972) III, s. 260-278.

fremstille Talværdierne ved hjælp af Midler som Kugler, Pinde eller andre Ting – først og fremmest Fingrene”.291

Vejledning 1. klasse s. 12 De kendte talsymboler, arabertallene, kobles tidligt på disse anskuelige talbilleder. Men det er talbillederne, der bruges, når børnene skal finde og huske ”gode venner”, altså tal der tilsammen giver 5 eller 10. Selv efter de første tre måneder i første klasse skal børnene stadig bruge disse talbilleder eller lave tilsvarende prikker i deres regnebøger. Hen mod jul går man i gang med ”Arvins Regnebræt”, hvor enhederne nu er sat sammen til stænger af alle længder fra 1 til 10, og hvor der er ti 10’ere. Ved hjælp af regnebrættet illustreres alle tal op til 100. Det er let at måle sig frem til hvor langt der er fra et givet tal op til nærmeste hele tier, for barnet kan blot prøve sig frem til det tal, der rent fysisk ”fylder op”. Tilsvarende kan fratrækning illustreres rent fysisk. Sidst i første klasse drejer det sig dog om at nå hovedmålet: ”tabellen lært til fuldkommenhed” og færdighed i simple regnestykker. Her kommer et nyt materiale ind, udviklet af en anden af forfatterne: ”Haastorps Tabelstok”. To strimler med alle tallene fra 1 til 10 lægges langs hinanden med tal over for tal. Dette giver straks en række tabeløvelser, der ændrer sig, når den ene strimmel forskydes i forhold til den anden. Fidusen er selvfølgelig at eleven selv kan konstruere tabeløvelser samt, at der spares plads i regnebogen.

Additionstavlen side 51

291

Arvin, G. J, H. Haastorp, S.F. Thorborg og A. Kaalund-Jørgensen: Vejledning til Regnebog for Folkeskolen – for Forældre og Lærere, 1. Hefte, 1930, s. 12.

Men det apparat, der virkelig sparer plads i regnebogen er ”Additionstavlen”. Her kan der skydes hele femten sådanne talstrimler ind. Og man kan afdække på langs, således at man efter behov kan generere alle mulige næsten tilfældige regnestykker med op til 6 cifre i hvert tal og altså op til 15 tal at lægge sammen. Man må sige, at ”Regnebog for Folkeskolen” her kom med et smart alternativ til de andre færdighedsorienterede regnebøger. For hvorfor skrive side op og side ned med nøgne regnestykker, når man kan få en lille ”maskine” til at generere alle de øvelser, man kan ønske sig. Og barnet kan endda få en oplevelse af selv at bestemme, hvilke stykker der skal regnes. På de følgende klassetrin kunne man afdække således på langs i ”Additionstavlen”, at de fx genererede 15 opgaver hvor et tocifret tal skulle ganges med et encifret. Det var næsten som i en senere tids programmerede undervisning på computer, blot med den forskel, at barnet ikke kunne kontrollere sit svar. Denne regneundervisning i første klasse er sikkert i stort omfang tro mod inspirationen fra Montessori. Det forekommer mig dog ud fra lærervejledningen, at der er langt mere klasseundervisning og lærerstyring, end der burde være i forhold til hendes ideal om prioriteringen af elevens selvstændige arbejde. Inspirationen fra Montessori er klar på materialesiden, men også i sådan noget som troen på barnet som et ordensmenneske. Når børnene har arbejdet med deres talbilleder, skal de lægges ”i seng”, altså i deres æske, inden det ringer: ”og det skal gøres på en pæn og ordentlig Maade: Tieren maa vente til sidst, for han er så stor. Eneren og nieren passer godt til at ligge sammen i Bunden af Æsken. Børnene tager Nieren i den ene Haand og Eneren i den anden og lægger dem ned i Æsken, idet vi alle siger: 9 og 1 er 10. Nu kommer endelig Tieren og holder sammen paa hele Familien. Naar han er langt ned, lægger vi laaget paa Æsken og siger Godnat til dem alle. Det er en lærerig, men vanskelig Historie, som i de første Timer tager lang Tid, men saadanne Ordningsøvelser interesserer Børnene og sætter dem i stærk Aktivitet”. 292 I 4. og 5. klasse kommer et nyt anskuelsemateriale i brug ”Kubikcentimeterstængerne”, der er en rumlig udgave af Arvins Regnebræt. Men nu er enheden en kubikcentimeter, og der er stænger for hvert tal op til 10. Disse bruges til areal- og rumfangsforståelse. De blev senere meget populære i plasticalderen, hvor de under navnet centicubes endnu er et meget yndet undervisningsmiddel. Alt i alt er ”Regnebog for Folkeskolen” stærkt fokuseret på optræning af færdigheder ligesom de andre samtidige regnebøger, men den udmærker sig altså ved at bygge konsekvent på strukturerede materialer og inspiration fra Montessori. Der lægges stor vægt på forståelse, men det er kun et grundlag for at udvikle færdigheder. På den afsluttende side i bogen for 4. klasse er der dog ”lidt Spøg”, 7 udfordrende opgaver, der ikke umiddelbart kan løses ud fra de tillærte færdigheder. For eksempel klassikeren: ”3 Mænd, den ene vejer 100 kg, og de to andre hver 50 kg, skulde over en Aa. En Baad laa ved Bredden, men den kunne kun bære 100 kg ad Gangen. Hvordan klarede de den?”

Lykkedes færdighedsfokuseringen? Jeg har omtalt tre af lærebogssystemerne fra ”den ny regning”, og især giver en detaljeret gennemgang af det dominerende lærebogssystem ”Den ny Regnebog”, der satsede stærkt på opøvelse af færdigheder gennem en systematisk og veltilrettelagt timeopdeling. Da systemet begyndte at udkomme allerede i 1918, hvor vi har en af de første undersøgelser af færdigheds-niveauet i folkeskolen, kan det være på plads at undersøge, om færdighedsniveauet i regning synes at have hævet sig frem til starten af 1930’erne. 292

Arvin 1930, s. 14.

Da folkeskolen ikke havde afgangsprøver efter 7. klasse, må vi igen ty til ministeriets prøver i udvalgte områder af landet. I marts 1932 testede man 2114 børn eller skolerne i fire herreder, der som ved tilsvarende undersøgelse i 1918 repræsenterede forskellige skoleformer og landsdele: Gentofte kommune, Musse Herred (Maribo amt), Gjern Herred (Aarhus amt) samt Horns Herred (Hjørring amt). I hvert af disse områder deltog alle elever – i alle skoleformer – hvis 14-års fødselsdag faldt inden for et halvt år fra prøvedatoen, groft svarende til elever i 7. klasse. De fik stillet følgende 7 opgaver (ved hver er angivet procentdelen, der havde denne opgave rigtig):293 1. (41%) Skriv 8 m 7 cm som cm. 3 Snese 18 Æg som Æg. 5278 l som hl og l. 29 kg 75 g som g. 15 Aar 7 mdr. som Mdr. 4630 cm som m og cm. 2. (39%) 65,3 – 56,37= 278,42 * 86= 5½ + 8 1/3 + 6 + 3 ¾ = 3. (76%) Under et Ophold i Odense købte en Mand forskellige Varer, nemlig Kolonialvarer for 29 Kr. 50 Øre, Brevpapir for 85 Øre, en Hammer for 3 kr. 75 Øre, Lærred for 36 Kr., Kamferdraaber for 75 Øre, Reb for 9 Kr. 65 Øre, et Par Sko til 24 Kr., Kjoletøj for 64 Kr. 45 Øre, et Par Briller til 17 Kr. og Græsfrø for 8 Kr. 35 Øre. Hvor meget betalte Manden for disse Varer? (Kun Pengesummerne, ikke Varernes Navne skrives ned paa Papiret.)

4. (46%) Tre Børn arvede 4350 Kr. De maatte betale 4% i Arveafgift til Staten. Hvor mange Penge fik hver? 5. (54%) En Mand købte et Hus for 15.500 Kr. Omkostningerne ved Handelen maatte han betale med 3% af Købesummen. Hvor meget maatte han betale i alt for Huset? 6. (11%) Find Overfladen af en Mursten, der er 24 cm lang, 10 cm bred og 5,6 cm tyk! 7. (29%) 293

Alle procentangivelserne i det følgende er fra (undervisningsinspektør) F.C. Kaalund-Jørgensen: De ministerielle Prøver i Folkeskolen 1932, Vor Ungdom 33/34, s. 55-65.

100

Et Efteraar købte en Gartner 504 Rosenbuske for 44 Øre Stykket. I Vinterens Løb gik Syvendedelen af Buskene ud. Om Foraaret solgte Gartneren Resten saaledes, at han tjente 54,72 kr. ved Handelen. Hvor meget fik han for Rosenbuskene? Hvor meget fik han for hver Rosenbusk? En direkte sammenligning med prøven fra 1918 er af mange grunde urimelig, men umiddelbart synes der ikke at være en markant fremgang. Det står rimeligt godt til med kolonneaddition (opg 3), men regnefærdighed i videre forstand er der ikke tale om (opg. 2). Den simpleste form for procentregning kan klares af halvdelen (opg. 4 og 5 ). Til gengæld går det helt galt, hvis opgaven ikke lige er af de bedst kendte typer (opg 7 og 6). At færdighederne oftest var meget mekanisk rettet mod typeopgaver fremgår måske bedst af, at der i opgave 6 var flere, der havde fundet det korrekte rumfang end den overflade, de faktisk var spurgt om. Med god vilje kan man kalde dette fænomen for ”god færdighed” – dog på stærk bekostning af forståelse. Landsbyskolernes gennemsnit (8,6) lå en karakter (ca. en halv opgave) under købstadskolernes (9,6) på 15-skalaen, hvor 9 svarede til ”godt”, hvilket fx blev givet for alle fire første opgaver rigtige og resten ubesvarede. Gentofte (10,26) bidrog meget til at trække købstadsskolerne dette stykke op, idet fx købstadskolerne i Musse og Gjerns herred kun lå på 9,0. I Gjern lå landsbyskolerne endda lidt over købstadsskolerne. Piger (9,22) ligger markant over drenge (8,92), selv om Gentofte trækker den anden vej med piger på 10,02 mod drengenes 10,51. Der er dog ikke tale om et specielt regnefænomen, idet piger i både genfortælling og skrivning ligger en hel karakter over drenge, igen med Gentofte der trækker lidt den anden vej.

Winnetkateknikken og gruppearbejde Inden for rammerne af klasseundervisning og tidens læggen vægt på opøvelse af færdigheder var Den ny Regnebog et ypperligt hjælpemiddel. Men i al sin velstrukturerethed forudsatte bogen at man kunne føre alle eleverne samtidigt fremad i stoffet time for time med mulighed for differentiering i de sidste opgaver i hver ”time”. I virkeligheden lærer børn i forskelligt tempo, og der kan være megen spredning i samme klasse – ja flere års. Dette kunne tale for en mere individuel undervisning – et synspunkt, der slog stærkt igennem i Danmark her i 1930’erne. Reformpædagogikken havde flere forskellige bud, som udtrykt af skoleborgmester Ernst Kaper i 1937– vist med en smule ironi i stemmen: ”Næst ’Individualisme’ og ’Gruppe’ og ’Emner’ er ’Samlemappen’ og ’Arbejdsheftet’ – det lystbetonede Arbejdshefte, blevet de didaktiske modeord”. 294 Nu var det ikke så ligetil at se, hvorledes disse modeord kunne udmøntes i en regneundervisning, der i den grad stilede mod talfærdighed. Derfor var der interesse for, hvordan man i udlandet klarede denne udfordring. Blandt mange forsøg var Winnetkaplanen nok den, der kunne tale mest til en regnelærer. Dr. Carleton Washburne havde siden 1919 været skoledirektør i Winnetka nær Chicago og indrettet undervisningen efter det, der på dansk kom til at hedde Winnetkateknikken. Planen og de pædagogiske principper bag blev for alvor kendt i Danmark i 1937, da Anne Marie Nørvig oversatte Washburnes bog ”Adjusting the School to the Child” til ”Winnetka-teknikken”.

294

Ernst Kaper: Den moderne Skole, Vor Ungdom 1937/38, s. 116.

101

Winnetka-forsøgene blev først og fremmest kendt for en metode til individuel undervisning, skønt Washburne kun anbefalede denne individuelle undervisning (kaldet Winnetkateknikken) til det skolestof, som alle børn havde brug for at lære i samme grad:” De Fag, som vi ønsker hvert Barn skal beherske, maa individualiseres. Der gives ingen anden virkningsfuld Maade, hvorpaa man faar vidt forskellige Børn til at naa en fælles Standard. Men de Fag, hvor Børnene uden Skade kan variere, eller hvor vi ønsker at udnytte deres forskelle, maa være fælles. Vi kalder dem ”Gruppearbejde og produktivt Arbejde””.295 Regning var et af de fag, hvor børnene i høj grad skulle nå samme minimums standard, så her gjaldt den individuelle undervisning. Minimumsmålet var: 1) Børnene skal kunne de 390 grundlæggende kendsgerninger296 og de mest brugte måleenheder. 2) Øvelse i de fire elementære regningsarter med hele tal, brøk og decimaltal, indbefattet procent. 3) Øvelse i at anvende disse kendsgerninger og regningsarter på situationer fra det daglige liv. Den individuelle undervisning skulle først og fremmest foregå ved spil, lege og konkurrencer baseret på kort, hvor der på den ene side stod et spørgsmål og på den anden et svar. Måske var det vigtigste konkurrenceelement, at man kunne prøve at overgå sine egne tidligere præstationer inden for et område, men der var også konkurrencer i grupper. Hyppige prøver var et vigtigt element. Målet var at 100 af de elementære kendsgerninger kunne besvares 100% rigtigt på 3 minutter. Når det kom til brøk og decimaltal blev der ikke sat en hastighedsstandard, ”fordi der gives meget faa Livssituationer, hvor Hurtighed i disse Operationer er nødvendig”.297 Der gives ikke en dårlig karakter for prøver med fejl. Eleven får blot lov at øve de fejlagtige svar, indtil hun synes hun er moden til at blive testet med en ny udgave af samme prøve. Så i princippet bestås alle prøver med 100% rigtige, hvorefter eleven kunne gå videre til næste udfordring. For at kunne sætte ind med de rette udfordringer på rette tidspunkt undersøgte man i staten Illinois, hvornår børn mest fordelagtigt kunne tage fat på at lære en ny regneproces.298 I USA, hvor intelligenstest var og er almindelige, korrigerede man børnenes biologiske alder til en intelligensalder, og fandt bl.a. følgende:

295

Carleton Washburne: Winnetka-teknikken, 1937, s.10. Dvs alle fire typer tabeller i området 0-9, for divisions vedkommende alle divisioner der går op i intervallet fra 0:1 til 81:9. 297 Washburne s. 24. 298 ”Minimumsalderen for et givet stof er den, hvor ¾ af børnene kan ventes at klare en repetitionsprøve 6 uger efter afslutningen af indlæringen med 80 procents rigtighed eller mere” (Washburne s. 37). 296

102

Resultater af syvmandskomiteens undersøgelse til at bestemme den bedste alder, i hvilken de forskellige trin i regning kan indøves (Illinois 1920’erne). Stof/ regneproces Addition med facit 10 og derunder Subtraktion – de 50 letteste Lettere kollonneaddition (3 rækker, 3 cifre) Vanskeligere kollonneaddition (4 rækker, 4 cifre) Forståelse af decimaler Division af decimalbrøk med encifret divisor Division af decimaler Addition af ensbenævnte brøker Addition af uensbenævnte brøker

Alder fundet ved forsøg Min 6,5 6,7 8,3 10,8 10,6 11,4 13,0 9,10 12,7

Max. 7,4 8,3 10,1 11,4 11,11299 12,2 13,11 11,1 12,7

For en moderne dansk læser dufter dette måske for meget af behaviorisme og amerikansk videnskabelighed. Men undersøgelsen påviste klart, at en hel del regneprocesser med fordel kunne udsættes 1-2 år i forhold til den gængse norm i skolerne. Således anbefalede undersøgelsen, at addition af uensbenævnte brøker, der oftest blev behandlet i femte klasse, burde udsættes til slutningen af 7. klasse. Tilsvarende plejede man at tage fat på division med flercifret divisor i 3. klasse, hvor undersøgelsen anbefalede 5. klasse. Washburne slutter afsnittet om regning i sin bog med ”..med forholdsvis Lethed vil vi Lærere kunne faa Held til at tilpasse Regneplanen til Børnene i Stedet for forgæves at prøve at tvinge Barnet ind i Regneplanen” i god overensstemmelse med titlen på hans bog ”Adjusting the School to the Child”. Og det var måske et af de vigtigste resultater af Washburnes bog, undersøgelserne i Illinois og tilsvarende danske erfaringer, at man erkendte, at man ofte havde været for ivrige og ambitiøse med at indføre nyt stof for tidligt i undervisningen. Så meget havde reformpædagogikken præget hele skolen, at man fandt det rigtigst at indrette undervisningen efter klassens læringspotentiale. Fx læser man i 1936-forordet til Mellemskolens Regnebog I : ”13. Udgave af ”Mellemskolens Regnebog” foreligger hermed i stærkt omarbejdet Form. Det har vist sig, at Bogen i sin tidligere Form har været for svær for en stor Del af Mellemskolens nuværende Klientel. Stoffet vil derfor i denne Udgave blive fordelt saaledes, at det bliver lettere tilgængeligt”.300 En af de regnelærere i Danmark, der blev inspireret af Washburnes bog var senere skoleinspektør Torben Gregersen. Han skriver om resultatet i ”Skolebøger i 200 år”, hvor han omtaler betydningen af Anne Marie Nørvigs oversættelse: ”Men mest indtryk gjorde dog de begyndermaterialer, som Washburne og hans medarbejdere udgav: Individuel Arithmetic Series til begynderregning og…”. Her var endelig et materiale, der var trindelt (enhver vanskelighed blev behandlet for sig), selvinstruerende og selv-kontrollerende. Det satte gang i nogle studiekredse i de københavnske kommunelærerforeninger og resulterede i to udvalg – et for dansk og et for regning: ”I regning arbejdede man på at kombinere den danske foreteelse øvebogen – et hefte på 2432 sider hvor stykkerne var stillet op, og eleven kunne skrive resultatet – med det ame299 300

Dette betyder 11 år og 11 måneder. Jakob V. Pedersen og P. Røtting: Mellemskolens Regnebog, 1936, forordet.

103

rikanske princip, hvor et par års ”pensum” var samlet i en tyk bog, hvor eleverne måtte regne på ”foldepapir”, hvorved resultaterne kom til at stå på det udfoldede papir ligesom i facitlisten, som stod bag i bogen. Resultatet af de danske anstrengelser blev E. Floris, Torben Gregersen, R. Mejlsing og Holger Rasmussen: Individuel Taltræning 1.-12. Hæfte (Nyt Nordisk Forlag 1939-41) med tilhørende tabelkort, prøveblokke og facitlister, dækkende de første tre skoleårs daværende pensum, senere udvidet med Hæfte O,A og B og materialer for 4. og 5. skoleår under medvirkning af G. Velsing-Rasmussen”.301

”En typisk side fra ”Individuel Taltræning” fx side 156 fra Skolebogen i 200 år ”Individuel taltræning” blev udgivet, før J.F. Skinner videreudviklede behaviorismen i 1940’erne – før computer og programmeret undervisning var på dagsordenen – og betegnede i et par årtier grænsen for rent færdighedsudviklende materialer til regneundervisning. Og så vidt jeg kan bedømme det havde færdighedsbølgen hermed toppet for denne gang. Disse årtier (1920-40) med stor vægt på færdighedstræning, står måske ikke for en nutidig iagttager som den mest spændende periode i regneundervisningens historie. Men dels havde tiden, som jeg har beskrevet, sine tvingende grunde til at fokusere på færdigheder. Og dels er det en universel sandhed, som selv lommeregneren ikke har kunnet fjerne, at mange af de højere mål for regneundervisning realiseres meget dårligt, hvis barnet hele tiden må erkende og kæmpe med alvorlige huller i elementære regneoperationer og -begreber. Som vi skal se i et følgende kapitel om den praktiske mellemskole, stod der også en del højere mål på regnepædagogernes dagsorden, således ønsket om at integrere regnefaget med hverdag, samfund og skolens øvrige. Også i Winnetka var færdighedstræningen blot et forstadium til vigtigere ting. Og den meget individuelle arbejdsform, der krævedes til færdighedstræningen, var kun en blandt flere arbejdsformer.

301

Gregersen, Torben, Vagn Skovgaard-Petersen, Palle Lauring og Per Krarup: Skolebøger i 200 år, 1970, 245 sider, her side 155ff.

104

Gruppearbejdet, der var centralt i Winnetka, blev bragt ind i den danske pædagogiske debat i 1930’erne – ikke mindst af den progressive pædagog og dr. phil. Sigurd Næsgaard: ”Gruppen som Arbejdsform og som individualiseret Fællesskab er værdifuldere end andre Undervisningsformer, der enten tilstræber det enkelte Individs Udvikling eller Udviklingen af Fællesskabet. Gruppen er en Syntese af disse to Bestræbelser, den tilfredsstiller den moderne Forstaaelse af Opdragelsen”.302 Som forudsagt af Næsgaard blev det denne form for individualiseret fællesskab, der i sidste ende skabte en ny og meget anvendt bro mellem klasseundervisningen og det individuelle arbejde. Men den har som så mange andre broer været længe om at blive bygget færdig.

302

Sigurd Næsgaard: Gruppe-Arbejdet i Skolen, Vor Ungdom 1935/36, s. 256.

105

6. Erfarings- og virkelighedsgeometri Resumé: De første årtier af 1900-tallet er for geometriundervisningen i folkeskolen de frugtbareste i hele århundredet. Fagets didaktik blev gennemdrøftet, og det stod tidligt klart, at der fra et fagligt synspunkt kun var to farbare veje. Man kunne opretholde det euklidiske ideal og bygge geometrien aksiomatisk-deduktivt op. Eller man kunne opfatte geometrien som en naturvidenskab, hvor man opdagede sammenhængene gennem eksperimenter. Rektor Bonnesen udgav allerede i 1904 sin ”Geometri for Mellemskolen”, og han beskrev senere i detaljer den ”erfaringsmetode” som bogen byggede på. Gennem erfaringer skulle eleven nå så langt frem som muligt, for først derefter at gå over til at deducere nye resultater ud fra den omfattende mængde ”aksiomer”, som erfaringsmetoden havde frembragt. Heller ikke professor Hjelmslev ville bevise indlysende sætninger: ”Der er Sætninger nok, der trænger til Bevis”. Han gik dog skridtet videre og opbyggede en hel ”Virkelighedsgeometri”, der som aksiomer to eksistensen af kvadreret papir og normalklodser. Denne geometri var på mange måder i modstrid med den klassiske geometri, som han betragtede som en halvdårlig model af virkeligheden. Hans påstand om, at en tangent har et lille linjestykke fælles med en cirkel, var stærk kost for nogle, men mange anså hans geometri for den eneste holdbare. De prøvede at lave udgaver af den, der var mere spiselige for børn. I 1926 kommer Fabricius-Bjerre med en god oversigt over de mange geometritilgange fra århundredets start, men også han vælger at tilslutte sig virkelighedsgeometrien. Fra omkring 1935 opstår en mere realistisk tilgang til geometrien, således at der lægges større vægt på anvendelser og tages større hensyn til, hvad børn faktisk kan forstå. Der kommer efterhånden en accept af, at man må slække på den fag-fagdidaktiske konsekvens for at lave brugbare lærebøger. Den realistiske tilgang støttes af undervisningsinspektørernes betænkning fra 1935, der også foreslår trigonometri indført i mellemskolen. Jeg fokuserer på nytænkningen i kapitlet. Dette afspejler kun i nogen grad den faktiske udvikling i skolen, hvor mange lærere foretrak bøger, der var mere tro mod det euklidiske ideal. Den rummelige danske skolelovgivning gav plads for disse forskellige tilgange.

Anskuelsesgeometriens forhistorie og status anno 1900 Det er svært at forestille sig, at geometrien skulle være opstået af andet end anskuelige former og praktiske problemer. Går man til begrebets sproglige rod synes det da også at omhandle jordmåling. Men geometri blev først rigtig en sammenhængende videnskab med Euklid, og hans aksiomatisk-deduktive fremstilling i ”Elementerne” var et så stort spring fremad, at den blev stående som normen for faget i totusinde år. Så da man for omkring 200 år siden igen begyndte at tale om en geometriundervisning byggende på anskuelse og tegneeksperimenter, så oplevedes det som en ny tanke, der så sandelig måtte kæmpe med en etableret opfattelse af geometri som skolefag. Således havde Christian Cramer svært ved at trænge igennem med sin endog kun moderat eksperimenterende geometri i slutningen af 1700-tallet. 303 På det mere generelle pædagogiske plan ser vi spiren til den nye udvikling hos J.J. Rousseau (1712-78) og hans tanker om naturen som læremester. Han skriver faktisk også om geometri i sit pædagogiske hovedværk ”Emile” fra 1762: ”Jeg har sagt, at geometrien oversteg børns 303

Se afslutningen af kapitel 1.

106

fatteevne; men det er vor egen skyld. Vi forstår ikke at børns metode er en anden end vor, og at det som for os bliver til den kunst at tænke logisk for dem kun bliver den kunst at se”.304 Det er den logiske vej, der er for vanskelig for børn; den anskuelige eksperimenterende vej er derimod farbar: ”Tegn nogle nøjagtige figurer, sammenhold dem med hinanden, læg den ene oven på den anden og undersøg forholdet mellem dem. De vil lære hele den elementære geometri ved at gå fra iagttagelse til iagttagelse, uden at der bliver spørgsmål hverken om definitioner eller opgaver eller nogen anden bevisform end den simple at lade tegningerne dække hinanden. Jeg vil ikke indlade mig på at lære Emile geometri, det er ham der skal lære mig den; jeg vil søge efter de geometriske forhold, og han vil finde dem; for jeg vil søge dem på en sådan måde, at han må finde dem”. Nu er det ikke godt at vide om matematiklærerne i 1800-tallet lod sig inspirere af Rousseau, men det forekom også nogle af dem klart, at forud for logikken skulle børnene lære den ”kunst at se”. I 1858 havde professor Steen i “Hovedformerne i Rummet” lagt iagttagelse til grund for indledningen til arbejdet i rumgeometri. Højskolelærer Poul la Cour havde i sit opgør med Euklid været inde på noget af det samme i sin “Historisk Matematik” fra 1881. At det da havde været ny pædagogisk tænkning ses af, at la Cour er registreret som den matematiske sprogrenser, der først foreslog “kasse” for den geometriske form, der tidligere havde været benævnt “retvinklet retstående parallelepipedum”, “samfældig” for “kongruent”, “jævnløbende” for “parallel”, “terning” for “cubus” og “rumlære” for “rumgeometri”.305 I år 1900 skrev professor Poul Heegaard sin “Rumanskuelse – forberedende Øvelser”, hvor de fleste af grundideerne i anskuelsesgeometrien er fremstillet. 306 Han starter sit lille hefte med eksperimentelle definitioner på “den rette linje”. Den kan anskues ved den udspændte snor, der imidlertid er for grov som prøvesten for en stållineals retlinethed. “Hvis man vil tilfile Staallinealer nøjagtigt, sammenligner man under Filingen 3 Linealer med hinanden; lad os kalde dem A, B og C. Først lægges Randene af A og B mod hinanden, og ved at holde dem mod Lyset ser man, hvor der er “banker”, som skulle bortfiles. Har man saaledes opnaaet, at A og B slutter nøje op til hinanden, selv om B forskydes eller vendes”, kunne man tro, at A og B maatte være retlinede. Men A og B kunne begge være formet som Cirkelbuer, der ogsaa kan glide tæt mod hinanden. Derfor skal man tildanne C på samme måde som B. ”Hvis nu Randene af A og B er buede, vil Fejlen komme dobbelt frem, hvis B og C lægges mod hinanden. Ved fortsat bortfilen og korrigeren opnaas til sidst, at de ved alle 3 Prøver slutter op til hinanden; saa er de retlinede”.307 Selvfølgelig havde Heegaard medtaget tegninger, der viste de forskellige situationer der kunne opstå med A, B og C. Derefter følger den tilsvarende håndværksmæssige beskrivelse af, hvorledes man laver en plan flade. Her kan man ikke se alle bulerne, så man er nødt til at smøre den ene plade med en blanding af olie og rød okker, så den kan sætte mærker, hvor den berører den plade, den lægges sammen med. Men ellers var metoden den samme som for den rette linje. Heegaard dækker på 23 sider de vigtigste begreber fra elementær plan- og rumgeometri ind – støttet af gode illustrationer og en enkelt “folde-ud-trekant”. Fremstillingen er tæt med be304

Rousseau (1997) s. 64. H.C. Hansen: Poul la Cour, grundtvigianer, opfinder og folkeoplyser, 1985, s.129f. 306 Hans målgruppe var sproglige studenter, der i de to sidste klasser “har ondt ved at nå den klarhed og sikkerhed i rumlig anskuelse, som på så mange punkter er en nødvendig betingelse for et godt udbytte af undervisningen i fysik, særlig astronomi” (forordet). 307 Poul Heegaard: Rum-anskuelse, Forberedende øvelser,1900, s. 2. Her citeret efter et eksemplar som forfatteren tilsendte la Cour “med højagtelse”. 305

107

greber, og abstraktionsniveauet hæver sig her og der noget over det anskuelige: “Lad os forlænge en Halvcirkels Diameter AB til et Punkt P, og lad os trække Tangenten til Halvcirklen. Drejes hele Figuren 360 Grader om ABP, beskriver den en Kugleflade og en omskreven ret cirkulær Kegleflade, der berører Kuglefladen langs en Cirkel” 308 meddeles således uden illustration. Men alligevel er heftet fyldt med gode anskuelsesideer: • • • •

•

• •

•

Projektion: en regndråbes projektion på en vandret plan. Planers afstand: hvor stor er afstanden mellem loft og gulv? Legemer: Af hvilke legemer er et skilderhus i hovedtrækkene sammensat? Summen af de polygonvinkler, der ligger om en bestemt hjørnespids på en rumlig figur (polyeder), er mindre end 360 grader: Lad os nemlig tænke os en model af polyedret klistret sammen af karton, og lad os udskære den samling polygoner, der ligger om hjørnespidsen; hvis vi nu klipper kartonet op langs en kant og sluttelig udfolder polygonerne i en plan, vil der komme til at mangle en vinkel i, at polygonerne udfylder planen helt omkring vinkelspidsen. Altså må summen af polygonvinklerne være mindre end 360 grader. Sfærisk afstand: Hvis en damper sejler ad den korteste vej fra Yokohama over det stille Ocean til det punkt på Amerikas vestkyst, der har samme geografiske bredde (omtrent San Franscisco), skal damperen ikke, som folk i reglen tror, sætte kursen lige mod øst følgende breddecirklen, men først gå i mere nordlig retning, senere i sydlig retning, hele tiden følgende storcirklen, der forbinder de to punkter. For at anskueliggøre dette, kan man spænde en elastik stramt ud på en globus så at den forbinder Yokohama med San Francisco”. Keglefladen: Et cirkelformet stykke filtrerpapir foldes to gange sammen, så at det danner et udsnit på 90 grader; heraf dannes så en kegleflade, som har tre lag papir på den ene halve side og et lag på den anden. Retlinede flader: Hvilken form skal et stykke blik have, der skal bøjes sammen til den krumme del af en kegleformet spand? Ellipsen: En cylinder skæres også af en plan i en ellipse. Eks. Når der skal laves et knæ på et kakkelovnsrør, stikkes røret ned i vand under en vinkel på 45 grader; når røret så tages op af vandet, slås en kridtstreg på grænsen mellem den befugtede del. Overfiles røret langs stregen, kunne de to dele sammenføjes under en ret vinkel. Hyperbel: Anbringer man et lys midt i et cylindrisk paprør, vil dette på en lodret væg kaste en skygge, som er begrænset af en hyperbelbue.

Elleve år senere vedgår Heegaard i en brevveksling med sløjdinspektør Aksel Mikkelsen, at netop faget sløjd kan give et vigtigt bidrag til denne geometriske anskuelse: ”Sløjden lægger et for Matematikundervisningen meget nyttigt Stof i en interesseret og forstaaende Lærers Haand. Selve Formningen af Træet udvikler den geometriske Anskuelsesevne: man undersøger, om en Kant er retlinet ved at sigte hen ad den, om en Flade er Plan ved at forsøge, om man overalt kan lægge en retlinet Kant (Høvlens) op mod Fladen; Eleverne bliver fortrolige med Begreberne vinkelret og parallel og med de stereometriske Grundformer, Terning og retvinklet Parallelepipedum. Ogsaa de mange Regninger og Konstruktioner, som hører med til Planlæggelsen af Sløjdarbejde, trækker adskillige aritmetiske og geometriske Problemer ned fra de abstrakte Højder, hvor de ellers let kommer til at svæve. Sløjdundervisningen kan

308

Heegaard (1900), s. 16.

108

altsaa her arbejde Haand i Haand med de Bestræbelser, man nu til dags gør sig inden for Matematikundervisningen selv, for at denne skal blive saa konkret som muligt”.309 Skal man tro Heegard her i 1911, så var den konkrete anskuelsesundervisning allerede et accepteret middel hos matematiklærerne. Kan dette spores i geometribøgerne for mellemskolen – og hvor tidligt? En af de nye bøger var Bonnesens ”Geometri for Mellemskolen” fra 1904.

Erfaringsmetoden i geometriundervisningen Anskuelsesundervisning var en anerkendt pædagogik og metodik for mange af skolens fag i starten af 1900-tallet. Rektor T. Bonnesen var den, der klarest beskrev, hvorfor og hvordan anskuelsespædagogikken skulle indføres i geometriundervisningen: “Hvilket Maal man end sætter sig med Undervisningen i Geometri, er det uomtvisteligt, at fremfor alt maa de geometriske Sætninger eller med et maaske tydeligere Udtryk det fysiske Indhold af de geometriske Sætninger tilegnes af Eleverne. Og dette maa forstaas saaledes, at det ikke er tilstrækkeligt, at Eleven lærer en eller anden underligt lydende Sætning udenad med dens Bevis, men først og fremmest maa en Figur, der simpelt og tydeligt udtrykker Sætningens Indhold, staa for hans Øje. Ordlyden af en geometrisk Sætning glemmes let og bliver sikkert glemt af den, der ingen brug har for den, men i Almindelighed udtrykker den abstrakte Sætning et saa simpelt Faktum, at det bliver muligt at fastholde dette ved en simpel, omend maaske speciel Figur, ved hjælp af hvilken den almindelige Sætning hurtigt rekonstrueres”.310 Som eksempel bruger han: ”Arealerne af to ligedannede Trekanter forholder sig som Kvadraterne paa et Par ensliggende Sider”. Bevisrækken for denne sætning er så lang, at selve sætningen vil fortone sig i elevens bevidsthed. Derfor skal læreren tidligt sørge for, at sætningen vil hos eleven fremkalde billedet af en stor trekant opdelt i små: ”Han maa saa tit se, at en Trekant indeholdes 4 Gange i en anden med dobbelt saa store Sider, at dette Billede straks skyder sig frem for hans Blik, naar han har brug for Sætningen. Dette sikre Kendskab til Sætningen opnaas imidlertid bedst derved, at man lader Eleven finde Sætningen i de simple Tilfælde og i saa mange Tilfælde, at den kommer til at staa med det selvopdagedes Klarhed og Sikkerhed. Naar dette er opnaaet, gaar man ved Opgaver (’konstruer en Trekant ligedannet med og halvt saa stor som en given’) over til at klargøre nødvendigheden af et almindeligt Bevis, og først da føres dette Bevis”. For Bonnesen kan anskuelsespædagogikken altså ikke stå alene, men må kobles med “opdagermetoden”. Når sagen således ligger klar på det anskuelige eksempelniveau gennem elevens egen tilegnelse, kan beviser komme på tale. “Hvad her er sagt er ikke nyt. De fleste Lærere giver sikkert saadanne Eksempler, og mange gaar ogsaa den omtalte opdagende Vej. Men det er derimod ikke almindeligt, at denne Metode gennemføres systematisk. Med denne Metode mener jeg ikke blot “Opdagermetoden”. Der er mange om end ikke tilstrækkeligt mange Lærere, der, naar en ny Sætning gennemgaas, leder deres Elever til at opdage Sætningerne og navnlig til at opfinde Beviserne. Men det, der her særlig skal fremhæves, er, hvad jeg kunne kalde Erfaringsmetoden,

309 310

Brevveksling om sløjd og matematik, Vor Ungdom 1911, s.381. T. Bonnesen: Geometrisk-pædagogiske betragtninger, Nyt Tidsskrift for matematik A, 1906, s. 1.

109

som har til Maal at gøre Eleven bekendt med den geometriske Sætnings Indhold paa omtrent samme Maade, som anvendes i Fysikken”.311 Det, der gør Bonnesen til en central pædagog i århundredets geometriundervisning, er, at han sammentænker anskuelsesundervisning med opdagermetoden. Anskuelige geometriske figurer lavet af læreren fører ikke automatisk til forståelse hos eleven. Og vi har tidligere omtalt, at opdagermetoden kunne drives som “gæt, hvad læreren tænker!”, hvor eleven nærmest blev dresseret til at opdage, hvad læreren nu gerne ville have som svar. Bonnesen præciserer sin pædagogik ved hjælp af begrebet “erfaringsmetoden”: “Det er altsaa Anskuelsen, som særligt ved Begynderundervisningen skal spille den afgørende Rolle. Men jeg foretrækker at bruge udtrykket Erfaringsmetode for Anskuelsesmetode, fordi det udtrykker noget mere. Ved Anskuelsen lærer Eleven at orientere sig paa Figuren og at gøre et første Overslag over, hvorledes Forholdene vel kan være. Erfaringsmetoden driver han videre til en eksperimentel Undersøgelse og til en positiv Bekræftelse eller Benægtelse af det formodede. Anskuelsen lærer Eleven: saaledes kan det være. Matematikken: saaledes maa det være. Erfaringen saaledes er det. Begynderen tror paa Anskuelsen, forstaar ikke Matematikken, men overbevises og forstaar ad Erfaringens Vej”. Bonnesen kritiserer tidligere geometribøgers (som Julius Petersens) brug af anskuelses- og erfaringspædagogik på to punkter: - de går ikke helt ned til den basale fysiske erfaring - de blander logik og anskuelse Vil man erfare, at vinkelsummen i en trekant er lig med to rette (180 grader), så skal man klippe de tre vinkler ud af en papirtrekant og lægge dem rent fysisk sammen. Først senere skal man bruge formuleringer som “vi tænker os de tre Vinkler lagt sammen”. Han opfordrer sine fagkolleger til at prøve det “og De vil faa se, hvad Virkning Opdagelse, Anskuelse og Erfaring gør paa Eleverne, og hvor megen virkelig Opfattelse af Sætningen, de tidligere fik”. At blande logik og anskuelse kommer i let i konflikt den euklidiske fordring om at bygge strengt logisk på så få erfaringer som muligt, men Bonnesen ser ingen anledning til i begyndelsen af spare på erfaringerne: “Lader man Eleven begynde at arbejde eksperimentelt, d.v.s. lader man dem selv tegne Figurerne, udmaale dem eller klippe dem ud og sammenligne dem, alt efter Sætningernes forskellige Natur, vil man hurtigt faa at se, med hvilken Lyst de arbejder, hvorledes deres Interesse vækkes, saaledes at de selv opstiller nye Formodninger og prøver deres Rigtighed, og hvorledes de geometriske Fænomener derved fæstnes i deres Bevidsthed”.312 I den forbindelse advarer han imod en for tidlig aritmetisering af geometrien, fx af arealbegrebet: “Geometrien handler snart ikke mere om haandgribelige Figurer, som man kan tage at føle paa, klippe i Stykker, omforme, men de repræsenteres ved Tal... og bliver derfor let tom Abstraktion for Eleven, og denne Abstraktion repræsenteres endda ofte med et Bogstav”.313

311

Bonnesen 1906, s. 3 Bonnesen 1906, s. 7 313 Bonnesen 1906, s.9 312

110

Bonnesens sammenfatter disse overvejelser i en programerklæring: “I Geometriundervisningen skal Anskuelsen ikke være et Hjælpemiddel, som til Tider anvendes for at indsmugle de geometriske Gætninger i en tungt arbejdende Hjerne, der ikke straks kan finde sig til rette med de geometriske Abstraktioner, men Hvilket Maal man end sætter Geometriundervisningen, hvad enten denne kun har praktisk Anvendelse for Øje, eller den ønsker at være et led i Hjernens Opdragelse, maa den geometriske Anskuelse, den geometriske Erfaring lære Eleverne Geometriens Sætninger at kende saaledes, at de forstaar, at det er virkelige, fysiske paaviselige Sandheder, Sætningerne udsiger”.314

Kritik af det euklidiske ideal og dets rolle i den logiske skoling “Naar den elementære Matematik indtager en hidtil temmelig urokket Stilling inden for enhver art af højere Skoler i alle Lande, ligger det i, at man tillægger den Egenskab at kunne udvikle en ikke ganske lille Kreds af værdifulde aandelige Evner315.” Det er her Bonnesen fortsætter med bemærkningen om, at det er heldigt for matematiklærerne, at disse evner har en så fin åndelig natur, at det kun vanskeligt kan kontrolleres, om de er opnået eller ej. Han vil ikke benægte, at udviklingen af den logiske tænkning måske er det vigtigste pædagogiske mål for matematikundervisningen. Men vi opnår ikke dette smukke mål ved blot at lade eleven tilegne sig systematisk logisk fremstillede tekster som fx Euklids Elementer, specielt ikke i den bredere og demokratiske mellemskole: “Men nu, da den højere Dannelse ikke forbeholdes en aandelig Elite, som følger Trang til den og søger den ad mere eller mindre krogede Veje, men udbydes paa aandsdemokratisk Maade til de flest mulige – nu ved man meget vel, at selve Euklid ikke blot ikke er det bedste Undervisningsmiddel overfor dygtige Hjerner, men ogsaa, at han lettelig vil prelle af paa den “normale” Hjerne. Ikke desmindre bevarer Matematikken i forskellige tillempede Skikkelser sin Stilling i Skolen som det bedste Middel til Udvikling af den logiske Evne”. Bonnesen går over til at betragte spørgsmålet “Er Matematik da Logik?”, og konkluderer, at matematikeren er ikke mere logiker end enhver anden videnskabsmand. Når matematikken så alligevel står “med den rent logiske Deduktions Glorie” blandt de andre videnskaber, beror det på forskellige omstændigheder. “Matematikeren er for det første ret utilbøjelig til selv at inddrage nye Erfaringsomraader til matematisk Behandling”. For det andet tager de matematiske produkter “sig så bestikkende rent logisk ud”. Men disse produkter afspejler slet ikke, hvorledes matematikeren faktisk arbejder: “Ved mange Forsøg med specielle Eksempler, ved dristige Spring i Tanken, ved sindrig Kombination af Muligheder, som til en Begyndelse kan synes hinanden temmelig fjerntliggende, lykkes det da Matematikeren at finde de almindelige Love han søger, og nu først udarbejdes den logiske Begrundelse, idet alle tænkelige Tilfælde tages i Betragtning; og ved dette Arbejde fordres det af Matematikeren, at han saa vidt muligt gaar tilbage til de simpleste Grundprincipper og Definitioner. Jo mere denne sidste Bestræbelse krones med Held, jo mere lykkes det i almindelighed Matematikeren at skjule, ved hvilken Art af Opfindsomhed det er lykkes ham at løse sit Problem, og her har vi Grunden til, at Matematikerens Psykologi er saa vanskelig tilgængelig, og at Matematikeren som saadan synes at være Logiker i en mere potenseret Grad end andre Videnskabsdyrkere”.316

314

Bonnesen fremhæver sine pointer med kursiv, som jeg gengiver med fede typer. Bonnesen 1906, s. 11 316 Bonnesen 1906, s. 13

315

111

Vi får således i den færdige matematik, som eksemplificeret hos Euklid, en nærmest omvendt fremstilling af matematikken i forhold til den faktiske udviklingshistorie hos den enkelte matematiker og i matematikhistorien. Her mener Bonnesen i lighed med fx Poul la Cour langt tidligere, at man skal følge den historiske vej i undervisningen, nu blot med vægten på den enkelte matematikers opdagelseshistorie: “Den samme Vej, som Matematikeren har maattet gaa for at finde sig til Rette i den matematiske Labyrint, maa ogsaa følges af vore Elever, selv om mangt et Fejltrin bliver unødvendigt ved lærerens Vejledning”. Og alle eleverne kan være med i den første eksperimentelle anskuelsesfase, og “langsomt, næsten umærkeligt føres Eleven fra den eksperimentelle til den matematiske Opdagermetode”. “Men hvor langsomt denne Overgang end sker, og hvor omhyggeligt Læreren end lægger alt til rette, vil der være dem, som mener, at de kun ved Bedrageri er blevet ført ind i fremmede Egne, hvor de intet har at gøre. De, der føler sig hjemme i den ny Tankeverden, kan der finde en intensiv Opdager- og Skaberglæde i det smaa; de andre derimod trives ikke, og Rejsens møje har været spildt”.317 Hvor matematiklærerne ofte vil svare, at det kun kræver almindelig sund fornuft og tænkeevne at komme med ind i den nye tankeverden, er Bonnesen parat til at sætte et spørgsmålstegn. “Det maa erindres, at en Opgave, som stilles med det Formaal at undersøge, om den matematiske Metode er gaaet op for Eleverne, af det langt overvejende Flertal af Elever lades ubesvaret eller løses ganske utilfredsstillende, det er kun de simpleste og mest direkte Anvendelser, som Flertallet formaar at gøre. Men til disse Anvendelser vil man kunne komme ad en langt simplere Vej end den matematiske, nemlig ad Erfaringens og Anskuelsens”. Bonnesen vil ikke benægte, at matematikken bidrager til værdifuld logisk træning, men spørgsmålet er, hvor ma nge der kan være med ud over den direkte erfarings område. “Vi fordrer – omend i det smaa – af vore Elever en rent matematisk Interesse og Evne, som ikke findes hos Elevernes Flertal, men som er nødvendig ikke blot ved den selvstændige matematiske Opgaveløsning, men ogsaa til Forstaaelse og tilfreds Tilegnelse af det logiske System, hvorpaa den højere Skole hidtil har lagt Vægt”. 318 Specielt i formålet for mellemskolens matematikundervisning er udviklingen af den logiske tænkevne fremhævet. Derfor er en diskussion af metoder til at forbinde de faktiske elever med målet så påtrængende. Bonnesen forestiller sig en dialog mellem en elev og matematiklæreren, der netop har fremhævet fagets særlige rolle i “ud fra bestemt opgivne Forudsætninger at drage sammenhængende logiske Slutninger”, som vejledningen foreskriver. Eleven er dog ikke overbevist, og “det er ham ikke nok, naar Kurset er endt, at blive sendt Hjem med den Besked, at han nu tænker langt bedre, end han ville have gjort uden matematisk Dressur, thi for Sandheden heraf har han intet Maal”. Derfor spørger han direkte læreren om, hvorfor han skal lære matematik. Først kommer læreren galt af sted ved at henvise til ligningers anvendelser, men her kan eleven i forvejen godt løse problemerne ved hjælp af regning. Så henviser læreren til, hvor smukt nye sætninger i geometri kan bevises på basis af andre simplere sætninger. Men her kan eleven sige, at de nye sætninger jo faktisk er ret indlysende ud fra rent anskuelige metoder, der ikke har meget med logik at gøre. 317 318

Bonnesen, 1906, s. 15 Bonnesen, 1906, s. 16.

112

“Man gaar da et Skridt videre, og belærer ham om, at ligesom vi i disse enkelte Eksempler har været i stand til at udlede Resultatet ad logisk Vej, kun støttende os paa, hvad der i forvejen er erkendt som rigtigt, saaledes er det i hele Matematikken vor Opgave kun at benytte Tænkningen til Beviset for Sætningen, medens saadanne urene Elementer som Maaling, Anskuelse, Figurbetragtning ingen Rolle spiller, saaledes, at Matematikken fremtræder som en rent logisk Lærebygning, og som saadant er det, at den – som intet andet – er i stand til at udvikle Tænkeevnen. Med den Forklaring vil det i almindelighed være lykkedes – om end ikke at tilfredsstille, saa dog – at gøre flertallet af elever matte”.319 Man kunne tro, at Bonnesen med denne dialog ville nå frem til at forkaste den systematiske matematiske lærebygning i undervisningen til fordel for erfaringsgeometrien, men intet kunne ligge ham fjernere. Det drejer sig blot om at blive længe nok i erfaringsgeometrien til, at grundlaget for den systematiske geometri står lysende klart. “Der bør derfor i Løbet af Undervisningen, og vel naturligst ved dens Begyndelse, samles et Erfaringsmateriale, hvorpaa der skal bygges; der bør skarpt og klart gøres rede for Forskellen paa Erfaringsmetoden og den logiske Deduktion; naar de to Metoder stadig gaar Haand i Haand, kommer de gensidigt til at belyse hinanden, og Fordelen ved den matematiske Fremgangsmaade vil netop herved blive Eleven langt tydeligere, end hvis man ensidigt holder sig til denne”.320 Han opsamler disse sidste overvejelser i en sidste tese: “Hvis Geometriundervisningen skal have til Maal at udvikle Elevernes Tænkeevne, ikke blot saaledes som det kan ske gennem Opgaveløsning, men ved Hjælp af en systematisk Lærebygning, bør denne opbygges paa et System af Postulater, og disse bør ikke overfladisk opremses, men Eleverne maa gøres fortrolig med dem med samme Omhu, som bliver de øvrige Sætninger til del”. Når han således når frem til en – ganske vist betinget – positiv tese omkring den aksiomatiske geometriundervisning i forlængelse af en lærer-elev-dialog, der syntes at pege på en ren erfaringsgeometri, står han tilbage med et problem. Det kommer da også i afslutningen: ”Endnu bliver det store Spørgsmaal tilbage, om der ikke bør drages en Skillelinie inden for Skolen mellem dem, der med udbytte kan lære Matematik, og dem, der kun spilder Tiden dermed”.

Bonnesens geometri afprøvet Bonnesen udmøntede sine tanker i sin ”Geometri for mellemskolen”, 1904. 321 Og det spørgsmål man straks må stille sig, er om andre lærere med held kunne gennemføre denne pædagogisk stærkt begrundede, men også stærkt krævende undervisning. Jeg blev derfor glad over at se mellemskolelærer C. Petersen skrive om sådanne erfaringer i 1908:322

319

Bonnesen 1906, s. 18. Bonnesen 1906, s. 14. 321 I V. Triers anmeldelse ankes over, at Gyldendal ikke har angivet noget udgivelsesår: ”Bogen udkom i maj 1904. Det er hensynsløst mod al fremtidig litterær forskning at udlade udgivelsesåret”. Matematisk Tidsskrift 1904 s. 48. – Jeg er enig, idet jeg i et halvt år troede, at bogen var fra 1908. 322 Petersen, C.: Min Undervisning i Geometri efter Dr. Bonnesens Lærebog for Mellemskolen, Mat. Tidskr. 1908, s. 43-46. Det skal bemærkes, at Petersen var vikar for Bonnesen selv i dette ”forsøg”, så det afspejler ikke 320

113

Det gik godt med det eksperimentelle arbejde og opdagelsesfasen, men så viste metodens svagere sider sig, idet ”der hos Eleverne kom en Tilbøjelighed til at ville løse geometriske Opgaver alene ad Maalingens Vej, og derved reducere Geometrien til en Række eksperime ntelle Sætninger”. Det var ikke helt nemt for Petersen at føre dem tilbage til bevisets vej, og han opdagede, at bogens fagdidaktiske opbygning faktisk tvang ham ud i en helt ny lærerrolle: ”Bogen tvinger Læreren til under Gennemgangen at staa i det nøjeste Samkvem med Eleverne. Der hører en stærk Træfsikkerhed til at gennemføre en Undervisning af denne Art, og Læreren maa stadig være klar over sit Maal og sine Midler; en Gennemgang, hvor Læreren ikke paa Forhaand er ganske nøje ind i Enkelthederne, forfejler let”. Man har dog indtryk af, at det gik rimelig godt for Petersen og hans elever: ”Skulle jeg sammenholde mine Indtryk og Resultater med, hvad jeg tidligere har naaet i min Undervisning efter andre Bøger, maa jeg hævde, at Eleverne gaar med Glæde til deres Geometritimer, og de arbejder med Fornøjelse og Interesse, fordi de straks mærker, hvad de skal naa til; de anspores af alt dette, som de finder paa egen Haand, og tilegner sig det med Oplevelsens hele Friskhed, og det vil komme til at høre til Undtagelserne, naar en Dreng ikke følger med. Interessen er her lige saa stærkt vakt, og Opfindsomheden gør sig lige saa stærkt gældende, som hos en Dreng, der efter Timers Arbejde har lavet en Mølle, som skal stilles op for Vinden”.

Hjelmslevs virkelighedsgeometri Professor Hjelmslev drog den fulde matematiske konsekvens af erfaringsgeometrien, idet han lavede en “virkelighedsgeometri”, der holdt sig tæt på erfaringsgrundlaget. Det særlige ved hans virkelighedsgeometri er, at den er systematisk og konsekvent opbygget, og at den ikke som Bonnesens på et tidspunkt forlader erfaringsgrundlaget for at blive en idealiseret deduktiv geometri a la Euklid. Anskuelsen og virkeligheden er både metode og slutmål. Hjelmslev skriver første gang om sine tanker i 1913 i en artikel “Om Grundlaget for den praktiske Geometri”. Han er klart under indflydelse af, at det nu var lykkedes den tyske matematiker David Hilbert at formalisere geometrien fuldstændig, altså skrive beretningen således, at han aldrig havde behov for nogen tegning. “Den Formalisering, som Grækerne begyndte, men paa mange Punkter ikke magtede at fuldføre, er i vore Dage blevet fuldstændig gennemført; men først i den allernyeste Tid, ved Overgangen til det 20de Aarhundrede. Det er lykkedes den videnskabelige Geometri helt at frigøre sig fra Erfaringsgrundlaget”. 323 Men det er den praktiske geometri, de fleste har brug for, og man kan ikke vide, om den rene videnskabelige geometri dur til at beskrive arbejdet med konkrete former og tegninger på papir. Jo, faktisk ved vi, at den ikke dur. I den rene geometri kan der mellem to punkter tegnes én og kun én ret linje. Hvis man i den praktiske geometri har to punkter, der ligger en millimeter fra hinanden, vil man se lige så mange forskellige linjer tegnet mellem dem, som der er folk, der prøver på det. Og tegner man i praksis en tangent til en cirkel, vil man opdage, at tangenten og cirklen har et fælles stykke på flere millimeter – afhængig af cirklens radius-, hvor man i den rene geometri lærer, at de kun har et enkelt punkt fælles. Men ikke blot geometrien er en idealisering af virkeligheden. Det samme gælder det meste af gymnasiematematikken, især funktionslæren (analysen), således at disse idealiserede funktioner kan

hvor galt det kan gå, når en sådan undervisning pludselig indføres i en klasse, der har haft anderledes traditionelle lærere i de tidligere år. 323 J. Hjelmslev: Om grundlaget for den praktiske geometri, Matematisk Tidsskrift A 1913, s. 44.

114

give anledning til ganske urimelige fænomener 324 (“patologisk-matematiske”), der strider ganske mod erfaringen med praktiske kurver. Teori og praksis svarer altså ikke til hinanden. Hjelmslev sætter sig derfor det mål at skrive matematikken om: ”Man maa bygge hele Matematikken op paa Grundlag af Erfaringen alene. Den Erfaringsvidenskab, den praktiske Matematik, som man derved kommer til, vil nøjagtig indeholde det, som Anvendelserne kræver, idet alle dens Begreber til at begynde med maa have en rent erfaringsmæssig Afgrænsning, saaledes at man først, naar det viser sig hensigtsmæssigt, gaar over til den formelle Matematik. Man skal ikke begynde med Abstraktion men ende med den”.325 I artiklen fra 1913 skitserer han så, hvorledes virkelighedsgeometrien kan opbygges. Han følger Heegaard i definitionerne på ret linje og plan – definerer dem altså ud fra den måde, hvorpå man i industrien laver linealer og retteplaner ved at file tre samtidig, til de alle flugtede med hinanden. På samme måde defineres den rette vinkel ved hjælp af kiler. Hvis vi har tre kiler, hvoraf vilkårlig to altid passer sammen, når de skubbes mod hinanden på en plan flade, så er kilerne rette. Ved hjælp af disse definitioner kan vi lave rette klodser og med dem som byggestene arbejde os videre op i rumgeometrien. I artiklen indskrænker han sig imidlertid til plangeometrien: “Og nu er saa at sige den eneste Kendsgerning, som man behøver at tilegne sig som Grundlag for den praktiske Elementærgeometri, den, at der eksisterer kvadreret Papir”.326 Ved hjælp af en kalke 327 af kvadratnettet kan man så eksperimentelt finde de basale sætninger fra elementærgeometrien: “Overalt finder man nu, at de fra den formelle Geometri velkendte Sætninger, ogsaa alle de euklidiske Grundsætninger, kun med den Tilføjelse, at de gælder med den Tilnærmelse, som Maalenøjagtigheden tilsteder”. “Man vil maaske finde, at det er en let Sag at gøre Geometrien færdig i en Fart, hvormed vi her har set den rulle forbi os, naar vi saaledes paa én Gang tager alt det eksperimentelt, som Euklid gennem møjsommelige Ræsonnementer maa arbejde sig frem til fra sine Forudsætninger. Til en saadan Betragtning vil jeg for det første svare: Nuvel ! Hvad skal man med alle disse Beviser for Ting, som ofte er mere selvfølgelige end de Grundsætninger, hvorpaa Beviserne bygger”. Lad os eksperimentere os frem så langt som muligt og først bruge beviser, når de er det nødvendige værktøj til at komme videre: “Der er Sætninger nok, der trænger til Bevis”. Ikke blot hævder Hjelmslev, at hans “aksiom” om, at der findes kvadreret papir, er det bedste grundlag at bygge geometriundervisningen op på, “men det er ogsaa i rent videnskabelig Forstand langt at foretrække for det euklidiske, idet det Forudsætninger rent logisk set er mindre omfattende, og dets Rækkevidde derfor væsentlig større end det euklidiske System”. 328 Og alle problemerne omkring parallelaksiomet hos Euklid er forsvundet, fordi “vi ikke har opstillet nogen Fordring om, at Planen eller den rette Linje skal kunne forlænges i det Uendelige” “Endvidere: vi har ingen Fordring opstillet om, at 2 vilkaarlige Punkter bestemmer en ret Linje. Og denne Fordring er jo ogsaa i sine yderste Konsekvenser en af de i praktisk Forstand allerværste Forudsætninger, man nogensinde har indført i Geometrien, idet den vel nok kan give Anledning til de største Fejl”.

324

“Idet man i en endelig del af planen har fremstillet plane lukkede kurver uden dobbeltpunkter), som hverken har tangenter eller buelængde eller begrænser noget areal af bestemt størrelse”, s.46 325 Hjelmslev, s. 50. 326 Hjelmslev, s. 51. 327 Tegning på gennemsigtigt papir som fx pergamentpapir. 328 Hjelmslev, s. 54.

115

Det kunne være sjovt, hvis man kunne have set nogle af landets mellemskole- og gymnasielærere, mens de læste denne artikel af Hjelmslev i 1913. Det må have været chokerende læsning for mange, fordi det stred mod meget af det, de fortalte eleverne i timerne. Afslutningvis kommer han ind på konstruktionsopgaverne, hvor han direkte angriber de hellige klenodier: passer og lineal. “Spørgsmaalet om, hvorvidt en Opgave kan løses ved sædvanlig Konstruktion med Passer og Lineal, har i Praksis kun ringe Interesse; det, som det kommer an paa, er at man finder et godt brugbart Resultat, og ikke om det er fundet ved disse eller hine Hjælpemidler”. Vinkler (angivet ved cirkelbue) tredeles således let, idet man skønsmæssigt indstiller passeren på ca. en tredjedel af cirkelbuen og prøver om man ved at afsætte den tre gange når fra start til slut af cirkelbuen. Hvis man ikke når helt frem, giver man passeren lidt ekstra åbning og prøver igen. På et minut har man således tredelt vinklen, hvor det i den rene geometri er et af højdepunkterne, at man ikke kan tredele en vilkårlig vinkel med passer og lineal Hjelmslevs system udkom som skolebøgerne “Elementær Geometri I-IV” fra 1917 til 1923. Det var dog kun den første bog og starten af anden, der var så elementær, at den egnede sig til mellemskolen. Resten var beregnet for det matematiske gymnasium og omfattede også analytisk geometri, differential- og integralregning, alt under titlen “Elementær geometri”. I den første, mellemskolebogen, følger han planen fra 1913. Med normalklodsen og det kvadrerede papir opbygges den praktiske geometri, altså den empiriske undersøgelse af tegneplanen. Dog således, at eksperimentet forlades, når argumenter baseret på tidligere eksperimenter hurtigt kan føre til et nyt resultat. Da tegneplanen er endelig – typisk et stykke papir – kan og vil han ikke traditionelt definere parallelle linjer som sådanne, der ikke skærer hinanden ligegyldigt hvor langt de forlænges. For Hjelmslev er to linjestykker parallelle, hvis de står vinkelret på samme tredje linie, altså hvis de er indeholdt i modsatte sider af et rektangel. Og et rektangel er selvfølgelig en sideflade af en normalklods, hvorefter teorien for parallelle linjer kan bygges op på normalklodsen, som er fyldt med anskueligt erfaringsmateriale – svarende til tidligere tiders (Euklids) aksiomer. Man kan forestille sig, at matematiklærere har fundet starten af bogen inspirerende, men at hovedparten så er stået af, hvor tangenter til cirklen defineres: ”Foruden saadanne rette Linier, som deler Cirklen i adskilte Stykker, og saadanne, som falder helt uden for Cirklen, vil der ogsaa være Linjer, som følger den paa en kortere sammenhængende Strækning, saaledes at der paa denne Strækning ikke er nogen Forskel paa Cirklen og den rette Linje, medens Linjen i øvrigt falder helt uden for Cirklen. En saadan Linje kaldes en Tangent.” I det eksemplar329 af bogen, hvorfra der citeres, er der håndskrevne kommentarer af (antageligvis) en matematiklærer. For ham bliver det først for meget, da den tilsvarende definition kommer i starten af bog II, hvor han to gange på samme side skriver “sludder” i margin. Det sker bl.a. ved definitionen på et tangentplan til en kugleflade, hvor der står: ”Denne Plan indeholder et sammenhængende Stykke af Kuglefladen, men falder ellers helt uden for Kuglen”. 330 Det næste “sludder” står, hvor kuglen puttes i et kræmmerhus (kegleflade): ”Man siger, at Keglefladen og Kuglen rører hinanden langs denne Parallelcirkel; men de to Flader har i øvrigt et smalt Bælte fælles langs Cirklen”. Men det er ikke sludder. Man kan bare prøve at påføre kuglen et tyndt lag sod, før man tangerer den med et retteplan. Ved en kugle af fodboldsstørrelse vil soden afsætte et mærke 329

Det indbundne eksemplar af alle fire bøger, der findes på Danmarks Pædagogiske Bibliotek på Danmarks Pædagogiske Universitet. 330 Elementær Geometri II, 1919, s. 29.

116

på størrelse med en femøre på retteplanet. Tangentplanet og kuglefladen falder faktisk sammen over et område, og det er denne virkelighed, Hjelmslev vil beskrive i geometrien. Havde der været tale om teoretisk geometri – euklidisk geometri, da ville tangentplanet kun have haft et punkt fælles med kuglefladen. Hvor den klassiske matematiklærer ville forklare eleverne, at det, vi tegner i geometri, kun er en grov tilnærmelse til den rene geometri, ofte med undertone af, at det er knap så fint og sandt, har Hjelmslev det modsatte synspunkt. For ham er den teoretiske geometri en grov halvdårlig model af de faktiske forhold i virkeligheden. Store dele af de fire geometribøger afviger dog ikke så meget fra traditionelle fremstillinger, efter at grundlaget er sat op på alternativ vis. Blot beviser han aldrig ting, der er anskueligt indlysende. Her og der giver hans fremstilling dog mere elementære beviser, fx hvor kuglens overflade og rumfang skal bestemmes uden at bruge integralregning: Overfladen deles op i små bælter som ved et æg i en æggedeler med mange strenge. Da disse små bælter er dele af kegleflader beviser han let og elementært på få linjer formlen (4Βr 2 ) for kuglens overflade. Og tilsvarende ved rumfang. Et tilstrækkeligt lille kvadrat på kuglens overflade er plant ifølge ovenstående, hvorfor vi kan placere en pyramide på det med toppunkt i centrum, således at radius bliver pyramidens højde. Deler vi hele overfladen op i disse små kvadrater, bliver kuglens rumfang summen af alle pyramidernes rumfang. Men da pyramidens rumfang er en tredjedel højde (r) gange grundfladen og den samlede grundflade for alle disse pyramider er 4Βr2, må rumfanget kunne udtrykkes ved formlen 4/3Βr3.

Hjelmslevs konstruktion af en euklidisk geometri Er geometrien anskueligt bygget op, sparer han til gengæld ingen anstrengelse for at bygge de reelle tal nøjagtigt op efter de nyeste videnskabelige normer ved hjælp af uendelige decimalbrøker.331 Også kontinuerte funktioner defineres efter normal videnskabelig norm, skønt man efter hans artikel fra 1913 kunne have ventet noget i stil med “en funktion er kontinuert, hvis dens geometriske graf kan tegnes med blyant i sammenhængende streg”. Han bygger altså den såkaldt analytiske geometri (hvor cirkler og rette linier defineres ved hjælp af ligninger) op efter moderne videnskabelige principper og afviger næppe meget fra andre lærebøger på dette område. I denne analytiske geometri skabes da for første gang i Hjelmslevs system den euklidiske rene geometri. Derfor må han i bog III til at forberede en sammenligning mellem denne rene geometri og den praktiske geometri fra første bog. Det sker i et kapitel om “Den geometriske Målings Teori”, hvor ”fiksering” indføres. Inden for et givet erkendelsesområde vælger man sig en målenøjagtighed, der selvfølgelig er forskellig fra landmåling til opmåling af bakterier i mikroskop. Men med den valgte målenøjagtighed kan man fiksere et linjestykkes længde, altså måle det – udtrykke længden i et tal, der ikke er entydigt bestemt på grund af måleunøjagtigheden. Man kan også fiksere vinkler og alle andre målelige ting i den praktiske geometri. Efter at dette nye apparat er stillet op, kan Hjelmslev begynde at sammenligne den rene analytiske geometri med den praktiske geometri og nå frem til sætninger som følgende: “Et Linjestykke kan altså fikseres ved en Ligning af første Grad” (altså y=ax+b). På samme måde kan alle de kendte former i den praktiske geometri fikseres således, at de fra den analytiske geometri kendte ligninger kommer til at passe som fikseringer af geometriske former. 331

De nyeste var nok de såkaldte Dedekindsnit, men de ville nok have været for fagligt krævende for gymnasieeleverne.

117

I slutningen af den tredje bog kan han så endelig gå i gang med den rene geometri og de klassiske konstruktioner med passer og lineal: “Den analytiske Geometri fremtræder helt igennem som en idealiseret Form for den praktiske Geometri. To punkter bestemmer én og kun én ret Linje; to Linjer er enten parallelle eller ogsaa har de ét og kun ét Skæringspunkt; en ret Linje og en Cirkel har 2,1, eller 0 fælles Punkter..... Alt i Modsætning til, men dog i Forbindelse med, tilsvarende Kendsgerninger inden for den praktiske Geometri, hvor alle Bestemmelser afhænger af Fikseringer, dels af Skæringspunkter og Forbindelseslinjer, dels af Maaltal”. “Det er gennem de foregaaende Undersøgelser bevist, at der eksisterer en saadan simplificeret og idealiseret Geometri. Og vi har set, hvorledes denne idealiserede Geometri kan bruges som Hjælpemiddel til at beherske den virkelige Geometri, saaledes at den paa en vis Maade kan træde i Stedet for denne”.332 I Hjelmslevs fremstilling bliver den idealiserede geometri hermed en ren konstruktion, der er fremkommet ved hjælp af konstruktionen af de reelle tal og koordinatsystemet, men inspireret af virkelighedsgeometrien. Han har således afplatoniseret geometrien, der på ingen måde fremtræder som en på forhånd givet idéverden. Dette betyder også, at han i slutningen af fjerde bog kan demontere Zenons paradokser på en ny måde. Zenon filosoferede sig i den græske oldtid frem til, at bevægelse var en umulighed. Thi for at nå fra et sted til et andet skulle man først tilbagelægge halvvejen og dernæst halvvejen af den resterende vej og så fremdeles. Vejen bliver således sammensat af uendeligt mange stykker af længde 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 o.s.v. og altså umulig at gennemløbe. Idéen er den samme i historien om Achilleus, der aldrig kan indhente skildpadden. Her skriver Hjelmslev “Svaret paa disse Paradokser er, at den omtalte Uendelighed af Vejlængder i Virkeligheden ikke eksisterer. Tallene eksisterer, men Vejlængderne ikke”. 333 Tallene til hører den idealiserede geometri, men svarer efterhånden som de bliver meget små, ikke til noget i virkelighedsgeometrien. 334

Virkelighedsgeometriens betydning for skolen I 1926 skriver Fr. Fabricius-Bjerre en lille afhandling om “Matematikkens Stilling i den højere Skole”.335 Heraf fremgår det, at Hjelmslevs samlede system ikke er slået igennem. På det matematiske gymnasium bruges Hjelmslev således “praktisk set ikke”,336 men FabriciusBjerre synes, at bog I eller den i 1926 udkomne “Den lille Geometri” er anvendelige i me llemskolen. “I Skolen (Mellemskolen) kan Virkelighedsgeometrien anvendes uden videre. Undervisningen heri adskiller sig ikke principielt fra Undervisning i elementær Fysik. Eksperimenterne bliver mere ensformige end i Fysikken, oftere bruges logisk Slutning, fordi det Omraade af Virkeligheden V.G. undersøger, er meget lille; til Gengæld undersøges Omraadet overordenligt grundigt. Eleverne staar med fast Grund under Fødderne, deres Tegninger forestiller ikke, men er de Figurer, om hvilke Sætningerne udtales.

332

Elementær Geometri III, 1921, s. 180. Elementær Geometri IV, 1923, s. 87-88. 334 Det samme gælder for differenskvotienter, der i klassisk matematik nærmer sig differentialkvotienter. Hos Hjelmslev har sådanne grænseovergange kun praktisk mening, hvis de geometriske størrelser )x og )y fra et vist trin i grænseovergangen kan fikseres med sådanne tal, at differenskvotienten bliver lig differentialkvo tienten. 335 Matematisk Tidsskrift A, 1927, s. 57-104. 336 Fabricius-Bjerre, s. 97. 333

118

Det er saaledes V.G.’s Force, at den lærer Børnene Kendsgerninger, der omhandler virkelige Ting. Hverken Læreren eller Eleverne behøver gaa paa Akkord med Sandheden. Ethvert Udsagn kan kontrolleres og bliver kasseret, hvis det ikke stemmer med de faktiske Forhold. Men det er V.G.’s Svaghed, at dens Resultater ikke fremkommer i samme elegante Eorm som den abstrakte Geometris. Sætningernes begrænsede Gyldighed forhindrer den formelle Simpelhed. Det er en naturlig Følge af, at V.G. er en Real- og ikke en Formalvidenskab”.337 Fabricius-Bjerre slår fast, at man lige så godt kan lære at tænke i virkelighedsgeometri som i abstrakt geometri: ”man lærer lige saa godt at slutte rigtigt ved at bruge sin Forstand paa virkelige som paa uvirkelige Ting”. Spørgsmålet bliver da, hvilken geometri “skal vi nu foretrække, den simplere Abstraktionsgeometri eller den rigtigere Virkelighedsgeometri”. Netop dette, at virkelighedsgeometrien er sand inden for sit anvendelsesområde og ikke fyldt med kompromisser som den abstrakte geometri, har gjort valget let for virkelighedsgeometriens forkæmpere, men netop dette, “den bevidste Overgang til en Realvidenskab er sikkert det, der jager mange fra V.G.” “Det bliver snarere en Følelsessag end en Forstandssag. Personligt hælder jeg til V.G.’s Side; jeg tror, baade Lærer og Elever er bedst tjente med at staa paa den objektive Sandheds Grund, selv om de saa maa give Afkald paa lidt af den formelle Simpelhed”.338 Fabricius-Bjerre giver også et overblik over alternativerne: ”De vigtigste geometriske Lærebøger til Mellemskolen er skrevet af Bonnesen, Foldberg, Eibe, Hjelmslev, Pihl og Rasmussen og af Jul. Petersen (ved C. Hansen). Fra Indholdets Side kan man ikke vente at finde større Forskel, derimod er de fra Formens Side ret forskellige. Jul. Petersen og Foldberg indfører paa sædvanlig Maade de abstrakte Begreber: Punkt, ret Linje og Plan og beviser ved de almindelige, halvt anskuelige, halvt formelt logiske Metoder de Sætninger om Trekanter, Firkanter, Cirkler o.s.v., som udgør Indholdet af den elementære Geometri. I Modsætning hertil begynder Thyra Eibe sin Geometri med 35 Definitioner og 4 Forudsætninger. Hendes Lærebog er stærkt paavirket af Euklids Elementer, af hvilke hun har givet en dansk Oversættelse. Beviserne er meget skematisk opstillet, og det maa forudsættes, at Læreren selv giver Skelettet Kød og Blod. Prof. Bonnesens Bog adskiller sig overordentlig meget fra de foregaaende. Der tages stærkt hensyn til de virkelige Figurer, og der opstilles ikke mindre end 16 Erfaringssætninger fra: at Linjestykket AB er lig med Linjestykket BA og til at Vinkelsummen i en Trekant er to rette. Ud fra disse Sætninger bevises enten ved Iagttagelse eller ved Slutning de øvrige Sætninger...” “Pihl og Rasmussen har haft den utvivlsomt fortrinlige Ide at forme Lærebogen som “geometriske Øvelser” i Smag med de Øvelsesbøger, der danner Grundlaget for de sædvanlige fysiske og kemiske Elevforsøg”. 339 Herefter følger så et par sider om Hjelmslevs virkelighedsgeome tri, som FabriciusBjerre altså vælger at tilslutte sig. I sin argumentation for at noget dog kan tale for den abstrakte geometri, er Fabricius-Bjerre så uforsigtig at skrive: “Spørgsmålet: Sandhed – ikke Sandhed, er ikke det eneste afgørende i Skolen”, hvilket får rektor V.A.C. Jensen til at fare i pennen: ”Hvis ikke vi skal tilstræbe Sandhed, hvad skal da være Rettesnoren for vor Undervisning?” 340 Jensen er varm tilhænger af virkelighedsgeometrien netop, fordi den er 337

Fabricius-Bjerre s.88 Fabricius-Bjerre s. 89 339 Fabricius-Bjerre s. 85 340 V.A.C. Jensen: Virkelighedsgeometri-Abstraktionsgeometri, Matematisk Tidsskrift A, 1928, s.6. 338

119

sand: Århundreders erfaring har vist os, at virkelighedsgeometrien er sand inden for mindre afstande og inden for målenøjagtigheden. For abstraktionsgeometriens vedkommende er sagen derimod “hurtig klaret, dens Sandheder er absolutte, fordi vi – lidt paradoksalt Udtrykt – paa Forhaand bestemmer, at de skal være det”.341 Da endvidere virkelighedsgeometrien – ifølge Jensens erfaring som matematiklærer – ikke synes sværere for eleverne, kan han ikke se, at der findes gode argumenter for abstraktionsgeometrien. At dømme efter debatten og de anvendte lærebøger ser det dog ikke ud til, at virkelighedsgeometrien kom til at dominere mellemskolens geometriundervisning. Derimod var tegning i alle dens afskygninger meget dominerende i skolen bl.a. fordi det var et selvstændigt skolefag, der senere udviklede sig til formning. Men man lagde vægt på nøjagtige tegninger i mange andre fag. Således blev det i 1925 i de københavnske lærerforeninger drøftet, om mellemskolen overanstrengte sine elever netop på grund af de mange tegninger: ”Det blev drøftet om det kunne være rimeligt at kræve geometriske Tegninger udført med Tusch, og om man ikke forlangte for meget Tegnearbejde til Fag som Fysik og Geografi”. 342 Hvordan skal vi så i dag vurdere betydningen af Hjelmslevs virkelighedsgeometri. Den var først og fremmest et konsekvent opgør med den abstrakte geometri som “Sandheden”. Mange lærere benyttede ikke Hjelmslev, men de måtte bøje sig for argumentet for, at den var mere sand – målt op mod den nære virkelighed – end Euklids Elementer. Hjelmslev markerede hermed et holdbart yderpunkt i et spektrum af forskellige metoder til at fremstille geometrien, hvor det andet lige så holdbare yderpunkt var en rent aksiomatisk geometri. I dette spektrum var der frihed til lærebogsforfatternes og lærernes udfoldelse, og jeg vurderer, at de første tyve år af århundredet var de mest frugtbare og fornyende inden for skolens geometri-undervisning i det hele taget i 1900-tallet. Der synes således ikke at komme væsentlige nye fagdidaktiske synspunkter frem fra 1920 til omkring 1960, da den “Ny matematik” kom på dagsordenen. 343 Hvorfor fremkom virkelighedsgeometrien da i disse årtier? En medvirkende årsag var anskuelsesprincippet, der slog bredt igennem i undervisningen fra 1900. Men den interne nødvendighed i matematikken var vel en større drivkraft for en matematikprofessor som Hjemslev. Op mod 1900 var matematikken blevet formaliseret. Man var klar over, at der var flere konsistente geometrier end den af Euklid foreslåede.344 Man var i stigende grad blevet utilfreds med Euklids blanding af anskuelse og logisk deduktion, kulminerende med Hilberts nye bud på en rent aksiomatisk geometri. Det var dog indlysende, at en tilfredsstillende moderne aksiomatisk geometri ville være for svær og uegnet for mellemskoleundervisning. Derfor var det nærliggende at lave en konsekvent gennemført virkelighedsgeometri. 341

Jensen s. 7. A.R. Schacht: En praktisk mellemskole, 1971, s. 56. 343 Og da var det egentlig kun gammel vin på nye og bedre flasker. På mængdelæren opbyggede især lærerne på DLH’s Matematiske Institut aksiomatiske geometrier, der perfektionerede den euklidiske yderpol. Professor Bent Christiansen lavede omkring 1970 et materiale til folkeskolens sidste klasser, der dels udviklede den eksperimentelle tegnegeometri og dels satte den op mod en ren aksiomatisk geometri. Faglig set var det kronen på det værk, man havde arbejdet med siden 1900. Problemet var blot, at man ingen vegne nåede i den aksiomatiske geometri, der ofte blev hængende i kombinatoriske endelige geometrier, og selv i Lærerhøjskolens noter sjældent nåede frem til noget der ikke i forvejen var anskueligt ret indlysende. Med enhedsskolens endelige indførelse i 1975, synes det som om man opgav hele denne gamle fagdidaktiske diskussion og gik i gang med en mere børnecentreret pædagogisk dagsorden. 344 Vi ved ikke, om solformørkelsen i 1919 har stimuleret Hjelmslev. Men det var ved den lejlighed, at Einsteins almene relativitetsteori blev bekræftet ved observation, og det således blev endelig påvist, at rummet ikke retter sig efter Euklids geometri over store afstande. Det kan i al fald ikke være kommet på tværs af Hjelmslevs virkelighedsprojekt. 342

120

1930-58 En realistisk geometriundervisning Hvor debatten om skolegeometri som aksiomatisk-deduktiv contra anskuelig erfaring i århundredets første årtier overvejende var præget af matematikere, blev den senere udmøntning i lærebøger efter 1930 præget af mellemskolens lærere, der i højere grad inddrog praktiske erfaringer med børn. Disse lærebogsforfattere i 1930’erne byggede oven på den faglige afklaring af forskellige former for erfarings- og virkelighedsgeometri, som matema tikerne havde nået til, men deres bøger er præget af en større realisme, både hvad angår det praktisk mulige med de givne elever i mellemskolen, og hvad angår stoffets anvendelse i realistiske situationer. Vi ser nærmere på Friis-Petersen, Thorkild Jensen og J.L.W. Jessens ”Mellemskolens ny Geometri” fra Gjellerup, 1930, E. Juul og E. Rønnau ”Geometri for Mellemskolen” fra 1931 samt S. Frederiksens ”Geometri for Mellemskolen” fra 1933. ”Melleskolens ny Geometri” er præget af noget af den samme faste strukturering, som de næsten samme forfattere har i Gjellerups system for folkeskolen ”Den ny Regnebog”: et par sider med stof, som læreren kan gennemgå på tavlen, følges op af en række ”øvelser ved klassetavlen” og afsluttes med nogle ”selvstændige elevøvelser”. I forordet kan man læse, at bogen dækker det stof, der kræves gennemgået efter den kgl. anordning fra maj 1904, men ”vi har begrænset det så meget som muligt”. For i virkeligheden kunne læseplanen fra 1904 tolkes på mange måder, og den havde tidligere været tolket ud fra en traditionel opfattelse af, hvad der var solid almendannelse i geometri. Så Mellemskolens ny geometri var realistisk i synet på mange læreres behov på en fast strukturering af timerne og på, hvad eleverne kunne nå frem til at forstå og beherske. At den samtidig byggede videre på erfaringsgeometriens grundlag ses af formuleringer som: ”Da den rette Linie AC, der forbinder A og C, er kortere end den brudte Linie ABC, har vi følgende Sætning om Siderne i en Trekant: Enhver af Siderne i en Trekant er mindre end Summen af de to andre”.345 ”Om Trekantens Vinkler gælder følgende Sætning: Summen af Vinklerne i en Trekant er 180 Grader. Dette kan vises paa følgende Maade: Vi tegner en Trekant paa et Stykke Karton og klipper den ud. Derefter klipper vi Vinklerne af og lægger dem ved Siden af hinanden, saa at de faar Toppunkt fælles, saaledes som det er vist paa Figuren. Vi ser da, at Vinklerne tilsammen udgør en lige Vinkel eller 180 Grader”.346 Fra et matematikfagligt synspunkt er bogen ikke så tilfredsstillende som Bonnesens erfaringsgeometri, idet det ikke fremgår, hvad der findes af erfaringens vej, og hvad der bevises i formel forstand. Men forfatterne har givetvis vurderet, at denne nuance alligevel gik hen over hovedet på de fleste elever. De har dog klart et ønske om at overstå erfaringerne i begyndelsen af bogen, hvorefter argumenterne begynder at ligne klassiske beviser, idet de dog til enhver tid tillader argumenter med at flytte figurer til dækning af hinanden. Denne ambition om alligevel at ville ”bevise” fører til, at sætninger, der er åbenlyse klare erfaringer, så alligevel ”bevises”: ”67: Det geometriske Sted for de Punkter, som har en given Afstand a fra en given Linie L, er de to Linier, som er parallelle med L i Afstanden a. 345 346

Friis-Petersen m. fl: Melleskolens ny geometri, 1930, s. 13. Samme s. 14

121

(Bevis:) Vi tegner de to Linier l1 og l2 parallelle med L i Afstanden a. Da parallelle Linier overalt har samme Afstand, vil ethvert Punkt i l1 og l2 opfylde den stillede Betingelse. Og l1 og l2 indeholder alle de Punkter, der har Afstanden a fra L; thi for de vilkaarlige Punkter A1 og B1 uden for l1 og l2 har vi AA1 = a + x, altsaa AA1 > a, og BB1 = a – y, altsaa BB1 < a. 347 Beviset, der er næsten identisk med Thyra Eibes, er forståeligt ud fra en tilhørende tegning, men spørgsmålet er, om beviset giver eleven mere, end hvad han i forvejen har via umiddelbar erfaring. Det bør nævnes, at det tilsvarende bevis hos Bonnesen er tre gange så langt, 348 så forfatterne af ”Mellemskolens ny Geometri” har sikkert oplevet, at de leverede en forenkling. Forskellen er, at Bonnesen nøje skelner mellem erfaring og bevis, og derfor nøje beviser det, som han ikke tager som erfaring. Tilsvarende passer det her givne bevis til Thyra Eibes aksiomatiske opbygning a la Euklid. Men i en bog uden så nøje skelnen mellem erfaring og bevis, kommer beviser for klart anskuelige påstande til at virke mere kunstige. Igen har forfatterne valgt det realistisk opnåelige bevis fremfor det klare valg mellem erfaringssætning og strengt bevis. Dette er også bedømmelsen i C.C. Andersens anmeldelse i Matematisk Tidsskrift: ”Det forekommer mig, at man maa vælge én af to Veje; enten at undervise i abstrakt Geometri eller benytte Virkelighedsgeometrien. Den første Form bliver ikke let; vi ved jo alle, hvor svært det er for Eleverne at abstrahere; men det kan vel nok gøres nogenlunde tilfredsstillende af en tilstrækkelig dygtig Lærer. Den anden Form skulle paa Forhaand synes langt naturligere. Naar denne Geometri ikke benyttes meget endnu, er Grundene sikkert mange; bl.a. vil jeg tro, at dens Tanker falder adskillige Lærere for fremmedartede, og maaske har Lærebogen heller ikke endnu faaet den Form, der er helt egnet for Eleverne. Imidlertid – en af de to Veje maa man gaa; en Sammenblanding kan blive af skæbnesvanger Betydning for Elevernes Forstaaelse af Faget. Mellemskolens ny Geometri er i Virkeligheden en saadan Sammenblanding”. 349 ”Det maa dog indrømmes, at Mellemskolens ny Geometri giver en særdeles letfattelig og detaljeret Fremstilling af Mellemskolens Geometripensum – parret med et godt Opgavemateriale; men den omgaar rigtignok de fleste Vanskeligheder, og det gaar dog ikke an”. Der er hård og detaljeret kritik i anmeldelsen, men nærlæser man ovenstående, så står der også, at en konsekvent geometriundervisning er for krævende for de fleste lærere og elever, hvorimod Mellemskolens ny Geometri er et realistisk bud på noget, der kan lade sig gøre i den faktiske skole. Poul Mogensen er mere uforbeholdent positiv i sin anmeldelse af Juul og Rønnau’s geometribog, der lider af dne samme inkonsekvente blanding af idealiseret og observeret geometri, af erfaringer og beviser. De uldne områder dækkes ind af formuleringer som ”Mellem to Punkter kan der tegnes en ret Linje” (ikke ”én og kun én ret Linje”) og ”To rette Linjer, der danner et Kryds, har et Punkt fælles” (ikke ”netop ét Punkt”). Men som Mogensen skriver: ”Hvad man maa forlange af en Begynderbog, er, at den først gør eleverne fortrolige med de geometriske Objekter og nogle udvalgte Egenskaber hos disse og saa paa et vist Trin gaar over til Bevisførelse, saa logisk, som Hensyntagen til Barnenaturen tillader”.350 Bogen 347

Samme s. 58 Bonnesen: Geometri for Mellemskolen, 1904, s.103. 349 C.C. Andersen: Anmeldelse af ”Mellemskolens ny geometri”, Matematisk Tidsskrift A, 1930, s. 60-62. 350 Poul Mogensens anmeldelse i Matematisk Tidsskrift A 1931, s.140. 348

122

er ikke revolutionerende i sit stofvalg og ”af praktiske Anvendelser findes praktisk talt intet. Kun en brækket Antennemast”. Men der anvendes i udstrakt grad foldnings- og symmetriargumenter, hvilket gør overgangen fra erfaringsfasen til bevisfasen meget naturlig. Først og fremmest finder han dog bogen pædagogisk veltilrettelagt. Og der er næppe tvivl om, at denne bog skrevet af to adjunkter var velkommen ikke mindst på mellemskolerne knyttet til gymnasier. S. Frederiksens geometri er også realistisk i den forstand, at undervisningen kan gennemføres med de faktiske børn i mellemskolen, og den bygger igen stærkt på erfaringspædagogik: ”Under Udarbejdelsen af denne Geometri har Hensynet til den praktiske Undervisning været afgørende, og det har derfor været Formaalet at gøre den baade letanvendelig og tiltrækkende for Børn. Geometrien er bygget op paa Erfaringssætninger, hvis gyldighed bekræftes gennem simple Øvelser, og overalt i Bogen er elevens egne Tegninger eller selvudførte Forsøg Udgangspunkt for den logiske Bevisførelse”.351 Karakteristisk for Frederiksens bog er, at han skriver udsagnsord for elevens aktivitet med kursiv: ”Du erfarer da, at …”. Beviserne er ofte aktivitetsprægede, således beviset for den ovenfor refererede sætning om det geometriske sted for de punkter der ligger i afstanden a fra en given linje L: ”Tegn i et vilkaarligt punkt af L en Normal, og afsæt a til begge Sider. I de derved fremkomne Punkter A og B tegnes nye Normaler l1 og l2. Du faar derved to Linier l1 og l2, som begge er parallelle med L. Vi vil vise: 1) at ethvert Punkt paa l1 og l2 har Afstanden a til L. 2) at intet Punkt udenfor l1 og l2 har Afstanden a til L. 1) P1 er et tilfældigt Punkt paa l1 og l 2. Forklar nu, hvorfor P1C = a. 2) P2 og P3 er to vilkaarlige Punkter uden for l1 og l2. P2D er er Normalen til L. Da ED=a er P2D<a. Hvad ved du om Afstanden fra P3 til L?352. Måske kommer det bevis, som læreren sammen med eleverne finder frem til her, til at ligne beviset hos Friis-Petersen og hos Thyra Eibe, men der synes lukket af for udenadslæren og åbnet op for tankeaktivitet. Frederiksens geometribog er også udpræget realistisk i den mere gængse forstand, at han lægger vægt på anvendelser inden for børnenes erfaringsområder: ”En særlig vægt er dernæst lagt paa Udarbejdelsen af mange lettere Eksempler paa anvendt Geometri fra Børnenes eget Erfaringsomraade (Spejderliv, Sløjd, Haandværk, Korttegning, Landmaaling o.s.v.)”.353 Hvor en tidlig pioner inden for anskuelsesgeometrien som Heegård lagde vægt på anvendelser, er det, som om de senere pionerer inden for erfarings- og virkelighedsgeometri som Bonnesen og Hjelmslev begrænsede erfaringsverdenen til tegneplanen, og mere brugte den som udgangspunkt for en erkendelse, der havde sætninger og øvelser af klassisk tilsnit som endemål – uden at vende tilbage til anvendelser i en mere omfattende virkelighed. Dette synes Frederiksen at være den første, der gør for mellemskolegeometriens vedkommende. Her er sikkert tale om inspiration fra reformpædagogikken og de udviklingsarbejder, der blev udført forud for indførelsen af den praktiske mellemskole, jvf. kapitel 8. Bogen synes at leve op til sin hensigtserklæring i forordet at dømme efter følgende øvelser: Billedkonstruktion ved samlelinse (s.71). Tilskæring af korkplader i et loftværelse med skrå vægge (s.71). Arealer af virkeligt forekommende landområder med rette og kurvede 351

S. Frederiksen: Geometri for mellemskolen, 1933, forordet. Samme s. 54 353 Samme, forordet 352

123

begrænsninger (s.88). Undersøg ved hjælp af Sjællandskortet, hvor længe du regner med at cycle øen rundt? (s.90). Prøv, om du kan forklare, hvordan man kan bestemme højden af et tårn ved hjælp af universalapparatet og en nøjagtig udført konstruktion (s.94). En spejder vil finde højden af et træ….(s.95). Et træ er 9 m højt. en dreng er 90 cm høj (fra fod til øje). 1) Find ved konstruktion, hvor langt han skal stå fra træet for at se det under en synsvinkel af 90 grader, idet du udfører din tegning i målestoksforholdet 1:1000. 2) Find derefter den samme afstand ved beregning, og sammenlign resultaterne (s.102). En meter er bestemt som en 40 milliontedel af jordkuglens omkreds. 1) Hvor lang bliver derefter en jordradius? 2) Et bjerg ligger ved en kyst og er 3000 m højt. Fra et skib ser man netop toppen af bjerget i horisonten. Find afstanden fra skibet til bjergets top (s.118). I anmeldelsen i Matematisk Tidsskrift roses bogen for at lægge op til elevernes selvvirksomhed gennem brugen af flytninger og gennem de praktiske anvendelser, men som ved de to andre just omtalte bøger falder kritikken på inkonsekvensen i at udvikle en idealiseret geometri på baggrund af erfaringer: ”En Bog, der som denne ikke dyrker Virkelighedsgeometri (i Hjelmslevsk Forstand) og dog vil bygge Lærebygningen op paa Erfaringer, gjort af Eleverne, kommer naturligvis ud i en uhjælpelig Modstrid; man kan nu en gang ikke foretage Eksperimenter med Idealer”.354 Disse nye geometribøger faldt godt i tråd med Betænkning af 10/9 1935 om Faget Regning og Matematik i Mellemskolen. Betænkningen var på flere måder realistisk355 – først og fremmest realistisk i sine krav til eleverne, men også fagligt mere realistisk – i betydningen praktisk – end Anordningen af Maj 1904. Om formålet for geometriundervisningen skrives: I Geometri bør man udvikle Elevernes Anskuelsesevne gennem en Betragtning og Beskrivelse af simple geometriske Figurer og at give dem Indsigt i Figurernes Egenskaber og Størrelsesforhold, endvidere at lære dem at fremstille en Figur af opgivne Stykker. Samtidig med, at der lægges Vægt paa det erfaringsmæssige, søger man at vække Elevernes Trang til Bevisførelse, saaledes at de naar til at kunne indse de geometriske Sætningers Almengyldighed. 356 Bemærk, hvor meget erfaringsfløjen blandt geometrilærerne er blevet tilgodeset med ord som: udvikle anskuelsesevne, betragtning, vægt på det erfaringsmæssige. Euklidfløjen lukkes ikke ude her, skønt der ved nærlæsning ikke står noget om krav til bevisførelse. Det er en trang, man kan søge at vække hos eleverne. Og om eleverne når til indsigten om sætningernes almengyldighed gennem bevisførelse eller ved erfaringer, synes formålet heller ikke at tage klar stilling til. I sine bemærkninger til bekendtgørelsen skriver C.C. Andersen da også: ”Det vil heraf ses, at der er givet Rum for forskellige Undervisningsformer, kun ikke for den, der grundlægger Undervisningen rent abstrakt”. 357 Betænkningen foreslår på indholdssiden den retvinklede trekants trigonometri indført i geometripensum, hvilket C.C. Andersen støtter: ”At Trigonometrien er af stor videnskabelig og praktisk Betydning, er almindelig anerkendt, ligesom det fra mange Sider anerkendes, at særlig den retvinklede Trekants Trigonometri er saa simpel og anskuelig, at den kan gen354

Rubinstein: Anmeldelse af S. Frederiksen: Geometri for Mellemskolen, Matematisk Tidsskrift A, 1933 s. 4346. 355 Både her og i kapitlet om aritmetikken i mellemskolen kalder vi denne betænkning og hele udviklingen i mellemskolen for realistisk – i ordets mere dagligdags betydning. Dette bør ikke forveksles med fílosofisk realisme, der tildeler geometriske former en særlig og fundamental eksistens i en (platonisk) idéverden. 356 Her efter C.C. Andersen: Nogle Bemærkninger om moderne Undervisning i Regning og Matematik i Mellemskolen, Vor Ungdom 1938/39 s.30. 357 Samme

124

nemgaaes i Mellemskolen. Men derimod hævdes det fra forskellig Side, at det næppe vil være muligt at naa dette Stof af tidsmæssige Grunde”. 358 Skønt der netop gennem betænkningen blev slækket på kravene, så der skulle være plads, synes skeptikerne dog at have fået ret. Kun en enkelt geometribog før 1958 synes at have medtaget noget trigometri, Jacob Jensen og Einer Torsting: Geometri for Mellemskolen fra 1939. De nye tendenser til at blande erfaringsgeometri med abstrakt geometri, som introduceredes af de tidligere nævnte geometribøger i 1930 og 1935, fortsatte i mellemskolens levetid. Men det samlede lærebogsudbud holdt stadig muligheden for et renere valg åbent. Således udkom fx Thyra Eibes Euklidinspirerede ”Geometri for Mellemskolen” i ottende oplag endnu i 1946. Og i 1940 udgav Vilh. A.C. Jensen med sin ”Geometri for Mellemskolen” en ren virkelighedsgeometri, der var lettere læselig end Hjelmslevs oprindelige. Bogen fik en god anmeldelse i Matematisk Tidsskrift: ”I det hele maa Bogen betegnes som en værdifuld Forøgelse af vor Lærebogslitteratur, idet det er lykkedes Forfatteren at skabe et System, der begynder paa en for Eleverne naturlig og begribelig Maade, og som har kastet den Spændetrøje, der hedder Kongruenssætninger, og erstattet den med en letforstaaelig Anvendelse af Flytninger. Indgaaende Kendskab til saadanne Systemer er endnu forbeholdt en ret snæver Kreds af Danmarks Lærere, og ethvert Forsøg paa at udbrede det til videre Kredse maa hilses med Glæde. Saadan hilses denne Bog”.359 Også Jensens og Torstings bog var en virkelighedsgeometri, der dog kom i hænderne på en anmelder, der for en gangs skyld dømte virkelighedsgeometrien på dens egne præmisser. Han anholdt, at visse sætninger var formuleret for stærkt, for i virkeligheden gælder mange af geometriens traditionelle sætninger ikke alment. Der burde være indført et ”i almindelighed” i sådanne sætninger som: (I almindelighed) gaar der ikke en Cirkel gennem tre Punkter der ligger paa Linje. (I almindelighed) er enhver Side i en Trekant mindre end Summen af de to andre. For der kan i virkelighedens tegnegeometri godt tegnes en cirkel gennem tre nærliggende punkter på en ret linje. Og i en lille trekant med to meget små vinkler vil den lange side i virkeligheden være lige så stor som summen af de to andre. Og her er vi måske fremme ved en forklaring på, at virkelighedsgeometrien efterhånden blev glemt i den senere udvikling af skolegeometrien. Matematikere og matematiklærere har en forkærlighed for kategoriske påstande og vil nødig til at indføje et ”i almindelighed” i matematikkens sætninger – og måske allernødigst over for begyndere, der skal have en indføring i matematikkens kultur og væsen.

358 359

Samme s. 32 P. Rubinstein: Vilh. A.C. Jensen: Geometri for Mellemskolen, Matematisk Tidsskrift A, 1941, s. 41-43.

125

Aritmetik og regning i Mellemskolen, 1903-58 Resumé: I læseplanen fra 1904 var matematik og regning anført som to selvstændige fag med hver sit timetal. Men allerede C. Juels aritmetik fra 1902 satte fusionen af de to fag på den didaktiske dagsorden, hvor den forblev levende frem til 1958. En betænkning fra 1935 anbefalede en sammentænkning, hvilket straks førte til Andersens og Sørensens ”Regning og Aritmetik for Mellemskolen”. Allerede i 1904 var de to hovedtilgange til aritmetikkens grundlag godt fremstillet i lærebøger: Juels opbygning på tælletal (ordinaltal) og Bonnesens opbygning på mængdetal (kardinaltal). Bonnesen markerede sig ved at fremhæve betydningen af flere repræsentationer af vanskelige begreber som fx negative tal. J. Hjelmselv kom i 1925 med en særlig faglig klar – men knap så pædagogisk farbar – opbygning af aritmetikken baseret på ”enheden”, der især tillod klare beviser for brøkregningens regler, mens Jessen og Smith gjorde aritmetikken attraktiv for eleverne ved at indføre ligninger meget tidligt. Regnefaget i mellemskolen fik allerede i 1903 sin egen lærebog af Albert Svendsen, mens Foldberg og Johnsen i 1909 kom med en egentlig systematisk og noget regelbunden lærebog. Det timeopdelte ”script” for regnetimerne kom med Friis-Petersen og Jessen i 1917. Set med vor tids øjne var Pihl og Ring de mest moderne – ikke mindst fordi Pihl gør så nøje rede for de pædagogiske overvejelser i ”Undervisningsvejledning i Regning for Mellemskolen” fra 1924, hvor der lægges stor vægt på elevens aktive erfaren, eksperimenteren og selvstændige begrebsudvikling samtidig med, at han understregede lærerens forpligtelse til at gå ind i elevens begrebsverden. Betænkningen fra 1935 førte til en mere realistisk undervisning – altså både mere praktisk og mere realistisk i forhold til det pædagogisk mulige med de givne elever. ”Skæve” opgaver forsvandt fra Mellemskoleeksamen, som nogle nu fandt for let.

Tidlige forsøg på fusion Det var inden for geometrien, at de store pædagogiske slag blev ført i århundredets første årtier. Når det ikke skete i samme omfang for de to andre hovedområder i mellemskolens matematikpensum: aritmetik og regning, så skyldtes det selve disse emners natur. Regning var nemlig i forvejen anskuelsesdelen af aritmetikken eller aritmetikkens erfaringsgrundlag. Eller man kunne omvendt sige, at aritmetikken var regning på et højere abstraktionsniveau, hvor tallene og regningsarterne blev gennemgået mere dybtgående og derfor naturligvis ifølge det euklidiske ideal. På overfladen var markøren for aritmetik, at man regnede med vilkårlige tal, angivet ved bogstaver a, b, c eller sidst fra alfabetet x, y, z, når det drejede sig om såkaldte ubekendte, der kunne bestemmes ud fra ligninger. Da man således allerede havde en veludviklet anskuelsesaritmetik i form af regning, og da alle indså det pædagogiske nyttige heri, fik man naturligvis ikke den samme debat om anskuelse og erfaringspædagogik inden for aritmetik og regning. Dette betød dog ikke, at disse emner var hævet over pædagogisk debat. En nærliggende didaktisk position var at kræve, at de to emner blev behandlet sammen, da de i stort omfang omhandlede det samme erkendelsesområde. Vi har i kapitel 3 set, at professor C. Juel med sin ”Ren og anvendt Aritmetik” fra 1902 var en ivrig tilhænger af dette synspunkt. Ganske vist har Juel mange iklædte aritmetikopgaver, hvor det klart drejer sig om at anvende teorien for teoriens skyld:

126

74. Af en Garnison paa 3520 Mand er der 3 gange saa mange Artillerister som Kavallerister og 4 Gange saa mange Infanterister som Artillerister. Hvor mange Mand var der af hver Slags? 224. En Mand, der ejer 10000 Kr., har skaffet sig en aarlig Indtægt af 448 kr. ved Indkøb dels af 5% Obligationer til Kurs 105, dels af 4% til Kurs 95. Hver Obligations Paalydende er 200 Kr. og Kurtagen er 8 Kr. p.M. Hvor mange Obligationer af hver Slags har han købt, og hvor meget beholder han kontant tilbage. 148. Prisen for en usleben Diamant antages at være proportional med Kvadratet af dens Vægt. Naar nu en saadan Diamant til Værdi af 1000 Kr. deles i to Dele, hvoraf den enes Vægt er 3/7 af den andens, hvad er da den samlede Værdi af de to Stykker?360 Her er især den sidste opgave underlig set fra et anvendelsessynspunkt, idet diamanten taber i værdi ved at blive delt. Men her må man igen erindre, at ren regning var et tankeudviklende fag, hvor man ofte stillede praktisk set ganske unyttige problemer op. Så i stedet vil jeg fremhæve, at Juel faktisk også behandler mere virkelighedsnære problemstillinger omfattende det meste af det naturlige regnestof i mellemskolen: 154. En Mand indsætter en Kapital paa 7525 Kr. fra den 11’te Juni til den 30te Oktober i en Bank, der giver 3½ % Rente pro Anno; hvor meget kan han hæve i Rente? 166. København havde den 1. Februar 1880 ca. 255000 Indbyggere og den 1. Februar 1901 omtrent 378000. Hvor mange havde den den 1. August 1890 under Forudsætning af jævn Tilvækst. Det mest markante ved Juels sammentænkning af aritmetik og regning var dog, at alle de bagvendte opgaver fra rentes-, delings- og forholdsregning blev løst helt naturligt ved ligninger. Set ud fra nutidens synspunkt, hvor vi lægger stor vægt på matematikkens anvendelse, vil vi bedømme dette som et stort fremskridt. Men igen må man tage i betragtning, at dels var tidens pædagogiske formål med regneundervisning i stort omfang den logiske tænknings udvikling og dels var regnefaget dækket af særlige regnelærere, der ofte ikke underviste i aritmetik og ofte havde deres egen undervisningskultur. Derfor tog gruppen af regnelærere kun i begrænset omfang Juels tanker til sig. Som det skrives i en hyldestartikel fra 1925 i anledning af Juels 70-årsdag: Desværre er de fremsatte Synspunkter ikke trængt igennem ved Seminarieundervisningen, takket være Regneundervisningens Konservatisme; man arbejder som for 30 Aar siden med indviklede og kunstige Opgaver.361 Forfatteren til disse ord lider dog af lidt erindringsforskydning, for Juel havde medtaget mindst lige så mange ”indviklede og kunstige” opgaver som den traditionelle regnelærer, men han valgte altså at løse dem på den lette måde med ligninger.

Aritmetikkens grundlag Der var stor enighed om, at aritmetikken skulle bygges op efter det euklidiske ideal. Hvor regneundervisningen kunne bygge på anskuelse, skulle aritmetikken bygges systematisk og logisk op på et fast fundament af aksiomer eller grundlæggende regneregler. Vi har vist, 360 361

Fra opgavesamlingen bag i C, Juel: Ren og anvendt aritmetik, 1902. H. Jepsen: Professor, Dr. phil C. Juel, Matematisk Tidsskrift A 1925, s.1.

127

hvorledes Juel valgte at bygge læren om tal op på tælleremsen efter inspiration fra Peano. Ved at vælge den vej kunne Juel i stort omfang holde ans kuelsen ude i den første opbygning, for så meget stærkere at komme tilbage og vise, hvorledes denne abstrakte konstruktion af tal og regningsarter kunne anvendes i virkeligheden senere. Tommy Bonnesen vælger en anden vej i sin Aritmetik for Mellemskolen, 1904. 362 Han er i den grad tilhænger af anskuelses- og erfaringsmetoden, at han nødvendigvis sammen med eleven må bygge erfaringsgrundlaget op, før det kan formaliseres i nogle aksiomer, som den videre udvikling kan baseres på. Han vælger derfor det faglige fundament, der ligger tættest på elevens erfaringsverden. Hvor Juel bygger op på tælleremsen (ordinaltal), bygger Bonnesen talbegrebet op på mængder (kardinaltal). Han betragter oldtidsbonden, der skal holde styr på, om al kvæget er kommet hjem til gården. Bonden rækker en ny finger op for hvert stykke kvæg, der passerer, og ser så, om han ender med netop den finger, der markerer, at al kvæget er kommet hjem. Erfaringen fra denne historie ligger ikke langt fra børnenes erfaring med mængder, og Bonnesen formaliserer indsigten: ”En Samling Individer indeholder ligesaa mange Individer som en anden Samling… naar man til ethvert Individ i den ene Samling kan lade svare et og kun et Individ i den anden Samling og omvendt”. 363 Hvis et sådant forsøg på sammenparring mellem samlingerne lader nogen til overs i den ene samling har den per definition flere individer. Herved kan vi i en vis forstand tælle uden at råde over en tælleremse. Og vi kan af erfaringens vej nå frem til: ”Antallet af Individer i en Samling er uafhængig af den Orden, hvori de tælles”. Skønt det kan lade sig gøre at holde øje med antallet af kvæg med fingersystemet, især hvis man er flere om det og fx andenmanden rækker en finger op, hver gang førstemanden har brugt alle sine ti fingre, er det dog hensigtsmæssigt at tælle ved hjælp af nogle navne: en, to, tre,… eller nedskrevne symboler 0,1,2,3,…. Og man kan nøjes med ti symboler, hvis man bruger samme system som bønderne, der holder mandtal med fingrene. Således fremkommer titalssystemet, og 24 og 256 får mening. Talrækken kan fortsættes uden grænse, og man kommer aldrig til et tal, man har haft i forvejen. Dette er udviklingen i bogens første kapitel, der ender med: ”Aritmetik er Læren om Tallene og om de Regler, hvorefter man regner”. 364 Idet nu tallene er koblet til samlinger, kan addition let indføres: ”Ved Summen af to Samlinger af Individer forstaas den Samling, som faas, naar de to Samlinger føjes sammen til én”. 365 At to føjes til tre giver fem, hvilket skrives 2+3=5, og Bonnesen når hurtigt (side 11) frem til metoder til at kunne lægge store tal sammen. Der er jo tale om repetition af stof fra grundskolen, blot i en fastere systematisk opbygning. De negative tal blev ikke gennemgået i grundskolen, så her var den pædagogiske udfordring større. Bonnesen søger at skabe et erfaringsgrundlag gennem fire forskellige repræsentationer af noget, der ligner negative tal: 1. ”I en Forening kan nye Medlemmer kun optages efter Afstemning mellem de gamle. Denne Afstemning foretages paa den Maade, at hvert Medlem i en Kasse nedlægger en hvid Kugle,

362

Også denne bog af Bonnesen er udgivet uden årstal på titelblad. Bonnesen : Aritmetik for mellemskolen, 1904, s. 4. 364 Bonnesen s. 7 365 Denne måde at bygge talbegrebet op på kom stærkt igen omkring 1970, men med stærk understregning af, at der var tale om mængder og elementer fremfor samlinger og individer. Mængdelæren havde da et bredere sigte. 363

128

hvis han stemmer ”ja”, en sort, hvis han stemmer ”nej””. Der arbejdes med, hvorledes kuglerne ophæver hinanden, og ”+” indføres. 2. Bogholderi: Gæld og fordringer skal opgøres i en status, ”+” indføres og det erfares, at addendernes orden er ligegyldig i denne repræsentation. 3. Tovtrækning, nogle drenge trækker i den højre ende, andre i den venstre. Hvad bliver slutresultatet? 4. ”Hvis man først gaar 8000 Alen mod Nord og derpaa 8000 Alen mod Syd, har man i alt gaaet 16000 Alen, men, hvis der spørges om, hvor langt man befinder sig fra sit Udgangspunkt, er Svaret 0 Alen. Dette vil vi skrive: 8000 Al. m. Nord + 8000 Al. m. Syd = 0 Al.” På baggrund af disse erfaringer indføres de negative tal: (-1) som det, der lagt til 1 giver 0. (-2) = (-1) + (-1), (-3) = (-1) + (-1) + (-1), o.s.v. Desuden formaliseres en erfaring fra eksemplerne, og den gøres til et krav for de nye tal: Addendernes Orden skal være ligegyldig På det grundlag kan alle additionsstykker med hele tal udføres. Anmelderen i Matematisk Tidsskrift er særlig begejstret for denne behandling af de negative hele tal,” som vel nok er det vanskeligste af hele Aritmetikken, når det drejer sig om Fremstilling for Begyndere”. 366 Tidligere har lærere også fundet på repræsentationer af negative tal, især gældsrepræsentationen. Men at se fire repræsentationer direkte trykt i en lærebog var ikke hverdagskost. Bonnesen har således fået behandlet et af de svære områder af aritmetikken, endnu før han går over til bogstavregning i kapitel 4. Dette kapitel går med at motivere nytten af bogstavregning gennem traditionelle gådeagtige opgaver, der er svære at løse og gennemskue, hvis man ikke sætter dem op i en ligning. De følgende kapitler i bogen følger den kgl. anordning om aritmetik fra 1904, idet der dog er medtaget 11 sider med anvendelser: Forhold, delingsregning, procent, rente, proportionale størrelser, omvendt proportionale størrelser, sammensat forhold. Som hos Juel er der altså tale om en større integration med regning, end der er lagt op til i den kgl. anordning.

Aritmetikkens udvikling til 1935 Mellemskolens aritmetikbøger kunne variere i forhold til det grundlag, de byggede på som fx tælletal hos Juel og mængdetal hos Bonnesen, og de kunne variere i deres læggen vægt på integration af regning og anvendelser. Men selve hovedstoffet med ligninger, potens, delelighed, primtal, største fælles mål, brøker, decimalbrøk og kvadratrod var ret veletableret og kaldte ikke i sig selv på nye udgivelser. Derfor skriver anmelderen i Matematisk Tidsskrift da også i 1906 om J. V. Pios: Aritmetik for Mellemskolen: ”Dette er, saavidt vides, den ottende af de Lærebøger i Aritmetik, som i de sidste Par Aar er udkommet til brug for Mellemskolen. Man har da Lov til paa Forhaand at stille sig tvivlende overfor det Spørgsmaal, om den har noget virkelig nyt at byde Læserne, og efter Gennemlæsningen kommer man til det Resultat, at Tvivlen er velbegrundet; hverken Indhold eller Fremstilling bærer vidne om, at Forfatteren har haft noget paa Hjerte, som kunne kræve Udgivelsen af en ny Lærebog”.367 366 367

V. Trier, anmeldelser, Matematisk Tidsskrift A, 1904, s. 58. V. Trier: Anmeldelser, Matematisk Tidsskift A, 1906, s. 54.

129

Da J.L.W. Jessen og O.A. Smith i 1916 udgav deres Aritmetik for mellemskolen I-III på Gjellerup, blev deres tidlige behandling af ligninger betragtet som noget godt nyt. Ligningerne blev indført lige efter addition og subtraktion: ”Dette er et heldigt pædagogisk Greb, thi det er en almindelig Erfaring, at Løsning af Ligninger plejer at interessere Eleverne, og meget af den nødvendige Øvelse i at reducere Udtryk opnaas lige saa godt ved Rodprøverne som ved at reducere Udtryk, der ikke har andet Formaal”.368 Man kan sige, at motivation her kom ind som en medbestemmende faktor i stoffets organisering. Med ligningerne følte eleven virkelig at være kommet i besiddelse af et nyt og nyttigt værktøj, hvor bogstavregningen i sig selv næppe på samme måde har været oplevet så meningsfyldt. Da J. Hjelmslev i 1925-26 udgav sin Elementær Aritmetik I-II, var der sikkert mange, der forventede en Virkelighedsaritmetik i stil med hans meget radikale Virkelighedsgeometri. Men igen må det fremhæves, at aritmetikken per definition er et mere teoretisk systematisk fag byggende oven på virkelighedsfaget regning, så en Virkelighedsaritmetik gav ikke rigtig mening. Hjelmslev går da heller ikke så langt ned i det anskuelige og konkrete, som Bonnesen gjorde i sin aritmetik, men der er alligevel et klart gennemført bindeled til den anskuelige virkelighed, nemlig ”enheden”. Som han skriver i forordet: ”Tallene er Tegn, som indføres til Beskrivelse af Tingenes Mængde eller Størrelse. Alle Egenskaber ved Tallene og alle Regler om deres Brug maa fremgaa af den Maade, hvorpaa de saaledes er indført. En Lærebog i Aritmetik for Begyndere skal derfor umiddelbart handle om benævnte Tal. Denne Tanke, som alle har tænkt, men ingen har udført, skal her være Vejen til Maalet”.369 Tonen slås an allerede fra første start: ”Ligningen 3+5 = 8 betyder altsaa i Virkeligheden, at 3E + 5E = 8E, idet Bogstavet E forestiller den enkelte Tings Navn (Enheden)”.370 E bliver bindeleddet til virkeligheden. Der gives små opfordringer til eleven om selv at konkretisere dette til forskellige kendte enheder, men i øvrigt står E snart alene uden fortolkningsforslag. ”3*5 = 15 udsiger altsaa i Virkeligheden 3(5E) = 15 E … eller ”3 Enheder af Størrelsen 5””. Parentesen bruges altså til at markere en større enhed, idet det, der står i parentesen, skal opfattes som en ny samlet enhed. Det er næppe overraskende, at styrken i denne tankegang med at tage udgangspunkt i enheden viser sig stærkest i behandlingen af brøker: ”Når Enheden deles i 7 lige store Dele, betegnes hver af disse med E/7”. Gennem anskuelse ses nu at fx 2(E/7) = (2E)/7 og (E/7)/2 = E/14, og på det grundlag bygges hele brøkregningslæren næsten aksiomatisk op. Og det på en sådan måde, at fremstillingen på et hvert trin kan gøres anskuelig, hvis læreren eller eleverne føler behov for det. Han er dog så kort i formen, at jeg tvivler på, at alle lærere kan følge ham. Skønt Hjelmslev ofte styrer lærer og elev ad den specielt planlagte vej gennem stoffet, lader han også til tider eleven selv finde vejen frem:

368

H. Jepsen: Litteraturanmeldelser, Nyt Matematiks Tidsskrift 1917, s. 17. J. Hjelmselv: Elementær aritmetik, første bog, 1925, forordet. 370 Hjelmslev I, s. 5. 369

130

”Skal man se, hvilken Rest man faar, naar man dividerer et 2-cifret Tal 10a+b med 3, kan man først fradrage 9a (thi deri gaar 3 op). Saa bliver der a+b til Rest. Altsaa: ved Division af 3 op i et 2-cifret Tal faas samme Rest som ved Division i Tværsummen (d.e. Summen af Cifrene). Reglen udvides derefter let til et 3-cifret Tal …. Derefter et 4-cifret Tal o.s.v. Ved Division med 9 gælder samme Regel. Hvilken regel gælder der ved Division med 2 eller 5?”371 Styrken ved Hjelmslevs Aritmetik er, at den lever op til det euklidiske ideal samtidig med, at den knytter an til virkeligheden ved hele tiden at bygge på enheden. Den dygtige lærer vil derfor på et hvert trin i en mere formel fremstilling kunne gribe tilbage til anskuelige illustrationer af, hvad der er på færde i beviset. Men det er også Hjelmslevs svaghed. Såvel hans Virkelighedsgeometri som hans Aritmetik kræver, at læreren er fagligt hævet over stoffet og uhildet af egen skolegang, der oftest var præget af mere formalistisk matematik. Det var store krav at stille til seminarieuddannede lærere med 3 års uddannelse dækkende næsten alle skolefag. Hans bøger synes da også kun at være kommet i få oplag, øjensynlig kun et enkelt for aritmetikkens vedkommende.

Regning i Mellemskolen til 1935 I starten af århundredet var både regning og matematik i formaldannelsens tjeneste. Som beskrevet i kapitel 4 skulle børnene lære at tænke i disse timer. Men samtidig var der omkring århundredskiftet en meget stærk fremskridtstro, der ikke var blind for, hvorledes disse fag samt naturvidenskab havde skabt ”Menneskeåndens Sejre”, hvilket netop var titlen på en bog fra 1904: “I løbet af de sidste halvandet hundrede Aar er vort Herredømme over Naturens Kræfter øget mere end tidligere Aartusinder. Vi har lært paa trods af Tyngdekraften at hæve os op i Luften højt over Bjergenes Toppe. Vi har tæmmet Lynstraalen og foreskrevet den dens Bane. Det sorte Kul, som gemmes i Jordens indre, har vi tvunget til at arbejde og lyse for os. Skibene driver vi med uimodstaaelig kraft stik imod vind og strøm… Vore Maskiner udfører i Minutter Arbejder, som tidligere krævede Timer eller Dage.” Men udviklingen ”har tillige grebet dybt ændrende ind i det offentlige og private Liv og derved skabt nye og vanskelige Opgaver for Samfundet og den enkelte, Opgaver, hvis Løsning kræver stadig nye Fremskridt”.372 Denne fremskridtstro og denne dynamik i industrisamfundet måtte også sætte sig igennem i nye krav til indholdet i skolens fag, større vægt på realfag fremfor klassisk dannelse og ikke mindst yderligere udvikling af matematik og naturfagene med henblik på fagenes anvendelse. Den gamle formaldannelsesteori havde dog endnu stærkt fodfæste i århundredets start. Som vi har set, var matematikken udset til at udvikle den logiske tænkeevne, og fagets lillebroder regning havde længe haft samme mål. I Anordningen af maj 1904 blev indholdet i regneundervisningen i mellemskolen fastlagt. Det er dog ikke muligt af fravriste denne korte indholdsbeskrivelse noget pædagogisk syn:

371 372

Hjelmslev I, s. 22. Poul la Cour og Helge Holst: Menneskeåndens sejre, Kbh. 1904, indledningen.

131

“a. Regning. Efter at Reglerne for Regning med almindelig Brøk og Decimalbrøk – herunder Reglerne for Bestemmelsen af to tals største fælles Maal (Forkortningstallet) og for flere Tals mindste fælles Mangfold (Generalnævneren) – er lærte og tilbørligt indøvede, gennemgaas efterhaanden enkelt og sammensat Forholdsregning (Reguladetri), Procentregning, simpel Rentesregning, Delingsregning, Blandingsregning, Beregning af ganske simple Arealer og Rumfang. Endelig øves Eleverne i at føre simpelt Regnskab”.373 De pædagogiske begrundelser kom langt klarere frem i undervisningsvejledningen, der udkom et par måneder senere: “A. Regning Regning er baade et i højeste grad forstandsudviklende og et overordentligt vigtigt Nyttefag; ved Undervisningen bør der drages Omsorg for, at begge disse Sider af Faget hver for sig kan komme til deres fulde Ret. Paa den ene Side gælder det altsaa om at bibringe Eleverne en virkelig Forstaaelse af de forskellige Regler og Metoder, der bringes i Anvendelse, og at vænne dem til ved Opgavernes Løsning at klare sig med de givne Forudsætninger og at ræsonnere forstandigt ud fra disse; paa den anden Side om, at Eleverne tilegner sig Reglerne og Metoderne paa en saadan Maade, at de kunne anvende dem med Lethed og Sikkerhed, ligesom ogsaa Eleverne opnaa en antagelig Regnefærdighed, Færdighed i Talbehandling baade med og uden skriftlige Hjælpemidler. Den sidstnævnte form for Regning, den saakaldte Hovedregning, bør, da det jo er af Vigtighed for alle Mennesker at kunne løse lette Opgaver med simple Tal hurtigt og sikkert uden Nedskrivning, øves stadigt ved den daglige Undervisning gennem alle Klasser.” Så beskrives, hvorledes den vejledende timeplans 22 timer til regning og matematik bør fordeles over årene med en lille overvægt til regning. ”I 3dje og 4de Klasse fortsættes med mere sammensatte Opgaver, hvortil Emnerne hentes fra saa mange Omraader af det praktiske Liv som muligt, og Lejligheden benyttes da til at gøre Eleverne bekendte med saadanne hyppigt forekommende tekniske Udtryk fra Forretningslivet, som det maa sige at have Betydning for saa godt som alle Mennesker at kende: Aktie, Obligation, Kurs, Veksel, Diskonto, Forsikring og deslige, og give dem lidt Besked om de Omsætningsforhold, hvortil disse Begreber er knyttede.” De forudsætninger, man kunne arbejde på grundlag af, var beskrevet i kravene til regning i optagelsesprøven til mellemskolen: ”Han maa kunne den lille Tabel med Sikkerhed, være godt hjemme i de fire Regningsarter med benævnte og ubenævnte hele Tal og kunne anvende dem i simpel Forholdsregning. Han maa ogsaa have begyndt paa Regning med lette Brøker og kende lidt til Decimalbetegnelsen. Hovedregning maa han kunne udføre sikkert og nogenlunde hurtigt med mindre Tal”.374 Den tidligere nævnte aritmetikbog af Juel fra 1902 dækkede i stort omfang det krævede regnepensum, men kunne dog ikke helt gøre det ud for en regnebog til mellemskolen. Men i 1904 kom Johannes Mollerup med et bud på en integreret bog for mellemskolen: ”Lærebog i Regning og Aritmetik I-II”. Mollerup havde allerede året før agiteret for, at regning og aritmetik burde være et fælles fag ”og man har imødeset Resultatet af hans Bestræbelser med den Interesse som et nyt Forsøg altid har Krav paa. Desværre maa det straks siges, at Forsøget efter Anmelderens Mening ikke er lykkedes, og det uagtet Forfatteren – hvad der er 373

Her citeret efter Matematisk Tidsskrift 1904, side 63. Dette er professor Gertz’ mere mundrette formulering, der pensles lidt nøjere ud i det officielle cirkulære. M. Cl. Gertz: Om skolereformen, Vor Ungdom 1903, side 112. 374

132

bekendt for alle, der har fulgt ham og hans Virksomhed – hverken mangler matematiske Kundskaber, selvstændig Synsmaade eller Interesse for Begynderundervisning. Hvad der har skortet ham paa, er først og fremmest Evnen til at udtrykke sig klart og rammende og til at fremstille Stoffet saaledes, at det lader sig tilegne og fæstne i Elevernes Bevidsthed. Og dette er Resultatet af saavel sproglig som typografisk Ubehjælpsomhed”.375 Da endvidere ministeriets undervisningsinspektør i matematik straks forbød brug af bogen på statsskolerne, 376 må man konkludere, at tanken om integration af aritmetik og regning kom dårligt fra start. Både Juel og Mollerup havde vist, at det ud fra et fagligt synspunkt var naturligt og muligt at sammentænke aritmetik og regning. Men spørgsmålet var, om det var muligt at integrere de to forskellige pædagogiske verdener bag de to fag, hvor aritmetikken havde været de universitetsuddannede matematikeres gebet, mens regning byggede på en lang tradition i seminarie- og folkeskoleverdenen. I alle tilfælde blev det en regnelærer, Albert Svendsen, der på Gjellerup kom først med en regnebog for den nye mellemskole: ”Ny regnebog for mellemskolen I-II (1903), III (1905)”. Og den blev anderledes vel modtaget i Matematisk Tidsskrift end Mollerups bog: ”I forordet gøres der rede for de pædagogiske Principper, hvorefter Bogen er udarbejdet; man glæder sig her over den Vægt, der tillægges Hovedregning, og over det Krav at ’Kundskaben, saasnart den er optaget, skal gaa over til en Evne’. Bliver dette Ideal gennemført, tør man jo haabe paa, at de fremtidige Studenter, som har gennemgaaet Mellemskolen, kan lægge ½ og ? sammen uden at bruge den urimelige Tid og omstændelige Refleksion over Metoden som nutildags bringer Matematik- og Fysiklærerne i de højere Klasser til Fortvivlelse”.377 I anmeldelsen af bog III fortsættes rosen fra den tidligere anmeldelse med ”skal blot tilføjes, at et par ypperligt udførte, helsides, farvetrykte Billeder af en Obligation og en Aktie med tilhørende Kuponsark vil bidrage til at vække elevernes Interesse for og forstaaelse af Pengeomsætningsforhold, hvorom her er Tale”.378 Det siger sig selv, at fra et anskuelsespædagogisk synspunkt var det et stort fremskridt, at disse nye finansieringsemner kunne illustreres optimalt. Sandsynligvis er her tale om de første farveillustrationer i en regnebog. I en anden anmeldelse finder kommunelærer M.P. Nielsen bogen lidt for ”moderne”. Det benyttede koncentriske princip, der kan være godt nok i begynderundervisningen, synes han ikke egner sig for mellemskoletrinet: ”Eleverne forvirres ved en saadan Adskillelse og Sammenblanding”. Sammenblandingen opstår bl.a. ved, at der lægges mere vægt på regning i dagliglivet end på længere systematiske fremstillinger: ”Forfatteren gaar sine egne Veje og søger ved andre Fremgangsmaader, ved en anden Ordning af Stoffet, ved Valg af Opgaver at føre Børnene til Forstaaelse af de Regneopgaver, der kan forekomme i det daglige Liv. Om disse Veje er mere formaalstjenlige end de gamle og prøvede, vil vise sig”.379 Ud fra disse anmeldelser, må man taksere Albert Svendsen til at være større tilhænger af fagets praktiske nytte end af dets forstandsudviklende mission. De lærere, der foretrak en regnebog med de formodede forstandsudviklende opgaver, kunne imidlertid vælge en anden af de nye regnebøger, der kom sammen med mellemskolens indførelse: Henrik Wilsters 375

V. Trier: Litteraturanmeldelser, Matematisk Tidsskrift A, 1904, s. 73. Samme s. 79. 377 V. Trier: Litteraturanmeldelser, Matematisk Tidsskrift A 1903, s. 115. Man bedes bemærke, at gymnasielærernes fortvivlelse over eleverenes startniveau i gymnasiet synes at have gamle rødder. 378 V. Trier: Litteraturanmeldelser, Matematisk Tidsskrift 1905, s 117. 379 Vor Ungdom 1905, s. 453.

376

133

”Regnebog for Mellemskolen” på Haases Forlag. Her er der mere ligevægt mellem nytte og forstand, men der var rigeligt med ganske upraktiske anvendelser,380 der kun kunne retfærdiggøres ud fra formaldannelsesfilosofien: 3,39,9: En grøft gøres lige bred overalt, men graves i forskellig Dybde, idet 1/3 bliver 1½ m dyb, ¼ bliver 1 1/3 dyb, ¼ bliver 1 1/6 og Resten kun ¾ m dyb. Hvilken Dybde kunde man lige saa godt have givet hele Grøften381? 3,55,4a: Med 1/50 + 1/75 af min Løn betaler jeg min Skat, 72 Kr. Hvor stor er Skatteprocenten? Hvor stor en min Løn? 4,52,60: En terning af Granit har en Overflade paa 1536 cm2. Hvor meget vejer den, naar Vægtfylden er 2½? Opgaverne med A, B og C, der graver grøfter i forskelligt tempo, mangler heller ikke; ej heller de bagvendte aldersberegninger: for ti år siden var jeg dobbelt så gammel som min lillebror. Men der også en rigdom af praktiske nyttige opgaver, og som en anmelder skriver: ”Eleverne vil i Regnehæfterne have en hel Haandbog at søge Oplysninger i om mange Forhold, særlig vedrørende Geografi og Fysik”. 382 Wilster har på fantasifuld vis søgt talmæssige oplysninger om alt muligt, hvoraf noget givetvis har appelleret til børnenes fantasi: 3,69,64: Suezkanalen har en længde af 160 km, og naar den paabegyndte Udvidelse er fuldført, vil kanalen have en Bredde i Vandspejlet af 100 m, en Bundbredde af 63 m og en Vanddybde af 9 m. Hvor mange m3 rummer da Kanalen? 3,67,52: Et Fingerbøl rummer 2000 Kubikmillimeter. Naar dette Fingerbøl fyldes med Blod, hvoraf hver Kubikmillimeter indeholder 5 Millioner Blodkorn, a) hvor mange Blodkorn er der da i Fingerbøllet? b) hvor mange Aar behøver man til at tælle dem, hvis man kan tælle 50.000 om Dagen? 3,49,18: Et Lokomotivs smaa Hjul har en Diameter paa 1 Meter, de store Hjul en Diameter paa 2,8 Meter. Hvor mange Omdrejninger gør de smaa Hjul mere end de store paa Strækningen København-Helsingør, 44 km? 4,54,82: En Dreng har en Slynge, hvis Snore er 70 cm lange. Han lægger en Sten i Slyngen og svinger denne rund i jævn Fart og saa hurtigt, at de sidste 5 Omdrejninger, før Stenen kastet, udføres paa 2 Sekunder. Med hvilken hastighed forlader Stenen Slyngen? 4,63,51: Lad os tænke os en Snor langt omkring Jorden langs Ækvator. Lad dernæst denne Snor blive 6 m længere. På hvor høje Pæle maatte da Snoren anbringes for at blive udspændt?” Der er endda ansatser til humor (selvironi) i enkelte af opgaverne: 380

Eksemplerne er anført således 4,52,60 betyder opgave 60 på side 52 i hæfte 4 (1921). For hæfte 3’s vedkommende benyttes 1924-udgaven. Disse formaldannende opgaver forsvandt således ikke i de senere udgaver, selv om hele det psykologiske grundlag for farmaldannelsen da var undergravet. 381 Her ville en søn af en grøftegraver let komme til at svare ¾ m, men den går nok ikke. I 3,38,8 er det et længere stykke vævet tøj, der udsættes for op til 25% skæv afskæring til hver side i bredden:”Hvor bredt kunde man lige saa godt have gjort hele stykket?”. Her nytter det heller ikke at tænke for praktisk over det ødelagte stof. 382 Vor Ungdom 1905, s. 456.

134

4,69,85: En rejsende Professor opdager, at hotelsengen er for kort. ”Maaske jeg kan ligge paa skraa!” tænker han, maaler straks Sengens Længde, 165 cm, og Bredde, 88 cm, og udbryder efter et Øjebliks Betænkning: ”Naar jeg lægger mig paa skraa, har jeg 7 cm mere Plads end jeg behøver!” Hvor høj var Professoren? Det næste markante bud på mellemskolens regneundervisning kom med P.T. Foldberg og S.N. Johnsen: Lærebog i Regning for Mellemskolen, med tilhørende samling hovedregningsopgaver, Gyldendal 1909. Den anmeldes i Matematisk Tidsskrift som den første egentlige lærebog i regning, altså lærebog med systematisk deduktiv fremstilling. Dette er dog sket på bekostning af børnene, mener anmelderen, seminarielærer J.F. Johansen: Fremgangsmaaden er den – ogsaa fra Matematikken – kendte: Der begrundes og fremsættes en Række Regneregler, Sætninger, som skal huskes, saaledes at de kan anvendes ved Løsningen af de forskellige Opgaver. Antallet af opstillede Regler er betydeligt. Forfatterne viser sig altsaa ret upaavirkede af de Bestræbelser, der gaar ud paa i praktisk Regning at bringe ”Reglernes” Antal saa langt ned som muligt, saaledes at Børnene i udstrakt Grad tvinges til at regne ved en Analyse af de enkelte Opgaver og Regninger og ikke ved Hjælp af huskede Regler, hvis Rigtighed de ikke længere har nogen Mening om – om de nogen Sinde virkelig har haft det.383 Som det fremgår af omtalen af J.F. Johansen i kapitel 4, strider denne regelorienterede regneundervisning direkte mod Johansens egen induktive pædagogik. Han har en mistanke om, at forfatterne har valgt denne struktur for at det skal blive så meget lettere senere i mellemskolen at gå i gang med aritmetikken, men ”det kan kun inden for meget snævre Grænser gaa at forme Undervisningen paa de lavere Trin efter Kravene paa de højere. Det maa være Aritmetikundervisningen, der ordnes paa Grundlag af Regneundervisningen, og ikke omvendt”.384 Man mærker igen spændingen mellem regning og matematik: ”Enkelte af de anstillede Betragtninger og enkelte af Beviserne hører hjemme paa et senere Alderstrin end det, de i Bogen er bestemt for. Denne Ejendommelighed hænger muligvis sammen med, at det volder vanskelighed at give Aritmetikundervisningen den rigtige Form og Plads i Mellemskolen”, mener Johansen. For den mere uøvede og usikre regnelærer kom der et godt tilbud i 1917 med Friis-Petersen og J.L.W. Jessen: Mellemskolens Ny Regnebog I-IV, hvis sidste bind da blev udsendt. Bøgerne var i lighed med forfatternes bøger for grundskolen timeopdelt, således at der forelå en slags script for lærerens tilrettelæggelse af hver enkelt time. I anmeldelsen i Matematisk Tidsskrift fremhæves følgende: ”Orden og Plan” samt ”Ro og Støthed i Undervisningen, som ikke mindst den unge og uøvede Lærer vil vide Forfatterne Tak for”. 385

En autoritativ regnedidaktik 1924 Når redaktør af Matematisk Tidsskrift og fagkonsulent i matematik, H.J. Pihl 386 i 1924 udgav en undervisningsvejledning i regning for mellemskolen, så kunne den godt opfattes som en autoriseret vejledning. Hertil var den dog for tæt knyttet til hans og L. Rings Regnebog for 383

J.F. Johansen: Litteraturanmeldelser, Matematisk Tidsskrift 1909, s. 123. Samme s. 124. 385 L. Balling: Litteraturanmeldelser, Matematisk Tidsskrift A, 1917. s.129. Man kan få et indtryk af stilen ved at læse om de samme forfatteres folkeskolebøger i kapitel 5. 386 F. 1880, cand. mag. 1905, lærer ved Ordrup Gymnasium 1905, Fagkonsulent for gymnasierne 1919-29, redaktør for M.T. 1919-24, rektor ved Rønne Statsskole 1929. 384

135

Mellemskolen, hvis første bind udkom på Gyldendal i næsten 10 år tidligere. Ved dens udgivelse i 1915 havde en anmelder savnet en fast struktur i bogen: ”Opgaver i Forholdsregning findes spredt rundt i Bogen, Begrebet Forhold er grundigt gennemgaaet og Forholdsdeling, men det ville dog vist være heldigt, om det man i Almindelighed mener med Forholdsregning havde faaet sit særlige Afsnit. At dette mangler, hænger maaske sammen med, at Forfatterne trods Regneregler intet Steds har angivet bestemte Opstillingsmaader. Saadanne behøver nemlig ikke at gøre Skade og vil ikke gøre det, hvis der arbejdes med denne Bogs strenge Krav til Forstaaelse”.387 Anmelderen havde klart gerne set lidt mere af den klare struktur som hos Friis-Petersen og Jessen, men det ville have været imod hele systemets filosofi, som det fremgik nu i 1924 af Pihls undervisningsvejledning. Et radikalt anskuelighedskrav Han lægger heri ud med nogle almindelige principper. Det første og vigtigste er kravet om anskuelighed, som hos Pihl har fået en mere omfattende og radikal betydning, der er på linje med reformpædagogikkens aktivitetskrav og Bonnesens erfaringsgeometri: ”Vi mener hermed ikke blot, at de Begreber som udledes, skal illustreres, anskueliggøres ved Tegning o.l.; men at Tilrettelægningen af Stoffet og Behandlingen deraf er en saadan, at Eleverne ud fra selvstændige Iagttagelser selv foretager Begrebsudviklingen, selv danner de Regler, som skal indøves”.388 Helt konkret betyder dette for arbejdet med en division som ¾ : 5 = 3/20, at det ikke er nok at påvise rigtigheden ved hjælp af divisionsprøven (altså ¾ = 5 * 3/20). Heller ikke selv om man bagefter anskueliggør det ved at tage ¾ af et rektangel og opdele det i 5 lige store dele, der indses at blive paa 3/20: ”Kravet om Anskuelighed i Stofbehandlingen i den Forstand, hvori det her er taget, fordrer at Eleverne selv, forend de endnu kender nogen Sætning om Brøks Division, gennem Figurbetragtninger besvarer Spørgsmaal som: Hvad er ¼ af ? ? 1/5 af ¼ ? 1/5 af ¾? Ud fra en række Iagttagelser af denne Slags danner de en Erfaringssætning om, hvorledes en Brøk kan deles i flere lige store Dele. Denne Erfaringssætning kan senere formuleres og bevises matematisk, idet den indordnes systematisk i Lærebygningen”. ”Vi ser altsaa, hvorledes Kravet om Anskuelighed som det grundlæggende Princip medfører, at Eksperimentet skydes i Forgrunden og danner Udgangspunktet ved Begrebsdannelser”.389 Pihl begrunder ikke dette synspunkt ved henvisning til aktuelle pædagogiske tænkere som John Dewey. Han konstaterer blot, at det er den måde, den menneskelige erkendelse har vandret og stadig må vandre. Desuden vil en mere direkte vej med definition og logisk deduktion ”hurtigt vise sig ikke at kunne gøre regning paa elevernes forstaaelse”.

387

Signe Tørsleff: Litteraturanmeldelser, Matematisk Tidsskrift 1915, s. 93. H.J. Pihl (under medvirkning af L.J. Ring): Undervisningsvejledning i regning for mellemskolen, Gyldendal 1924, s. 10. 389 Pihl 1924, s. 11 388

136

”Hertil kommer, at Maalet ikke blot er en Indøvelse i at bruge Begreberne, Regnereglerne, paa en rigtig Maade; men at det stadig gælder om at opøve Elevernes Evner til at erkende, og er dette indrømmet, vil man indse Nødvendigheden af stadig at bygge paa Elevernes selvstændige Iagttagelse. Gør man dette til et bærende Princip ved Stofbehandlingen, skaffer man Eleverne den Skaberglæde, der er en af de væsentlige Betingelser for, at deres Interesse vækkes og vedligeholdes, ved siden af at man stadig appellerer til deres Fantasi og derigennem udvikler denne”.390 Koncentrisk stofbehandling Pihls andet almindelige princip er, at stofbehandlingen skal være koncentrisk: ”De enkelte Afsnit i Stoffet skal med andre Ord ikke behandles færdigt i én Klasse, men Klasse for Klasse tages op til fornyet Behandling, der med Hensyn til dybtgaaende og systematisk Behandling kræver større og større Modenhed af Eleverne. Udvidelsen af Stoffet skal fra Klasse til Klasse foregaa i koncentriske Ringe”.391 Princippet om koncentrisk undervisning var på dette tidspunkt (1924) slået igennem i folkeskolens regneundervisning, 392 jf. kapitlerne om regneundervisningen i folkeskolen. Det koncentriske princip kunne imidlertid godt komme i konflikt med ønsket om en mere systematiske behandling af stoffet i mellemskolen, men Pihl stod fast på princippets forrang: ”Som Modsætning skal blot peges paa den ikke usædvanlige Praksis, at Eleverne i 1. Mellemskoleklasse hele Skoleaaret beskæftiger sig næsten udelukkende med Brøkregning og herunder tumler med saa vanskelige Problemer som Primtal, største fælles Maal, mindste fælles Fold o.s.v., lutter Ting, som Børn paa dette Alderstrin ganske savner Betingelser for at tilegne sig ad fornuftsmæssig Vej”.393 Sammentænkning af regning og aritmetik Pihls tredje princip, der følger logisk af de to foregående, er, at regning og aritmetik på begynderstadiet i mellemskolen skal opbygges som ét fag. ”Som Forholdene almindeligvis er, drives Regning og Aritmetik som to forskellige Fag, der ikke sjældent er i Hænderne paa forskellige Lærere. Ofte drives Regningen efter rent mekaniske Principper. Eleverne faar vel Besked om, hvorledes de forskellige Regneoperationer skal udføres; men Begrundelserne henlægges til Aritmetikundervisningen. Følgen heraf er, at det formaldannende Element i Undervisningen træder i Baggrunden til Skade baade for Regning og Aritmetik, til skade for Regning, idet rent mekaniske Fremgangsmaader skaber Usikkerhed, blandt andet ved at give Anledning til Forveksling af Regneregler, og til Skade for Aritmetikken, idet det viser sig ugørligt at interessere Eleverne for en

390

Pihl 1924, s. 11 . Det er påfaldende så sammenfaldende disse overvejelser er med den nuværende formål for matematikundervisningen i folkeskolen, hvor vi i stk. 2 kan læse: ”Undervisningen tilrettelægges, så eleverne opbygger matematisk viden og kunnen ud fra egne forudsætninger. Selvstændigt og i fællesskab skal eleverne erfare, at matematik både er et redskab til problemløsning og et kreativt fag. Undervisningen skal give eleverne mulighed for indlevelse og fremme deres fantasi og nysgerrighed” 391 Pihl 1924, s. 12 392 Når Bollerslev m.fl.: Håndbog i regning I, ca. 1970, på side 29 fremstiller det som om det koncentriske princip først slog igennem i 1960’erne, skyldes det nok, at forfatterne fokuserer på de mange nye emner: mængdelære, statistik, sandsynlighedsregning og edb, der nu kom med i pensum og indgik i den koncentriske behandling. Men inden for det dengang gældende pensum synes princippet i stort omfang gennemført allerede i 1920’erne, og faktisk allerede i Børnenes Regnebog fra 1900. 393 Pihl 1924, s. 13

137

rationel Opbygning af Regneoperationerne paa et Tidspunkt, hvor de længe forinden har været vænnet til rent mekaniske Fremgangsmaader”.394 Pihl mener, at aritmetik først skal udskilles som selvstændigt fag, ”hvor Talen er om Indførelse af negative Tal, der i hvert fald hidtil ikke har fundet naturlig Anvendelse i praktisk Regning”. Disse tre overordnede principper, især det første, medfører ”at den foredragsmæssige Form under Gennemgangen i det væsentlige betegner Spild af Tid og Kræfter…, idet en Form som denne ikke stiller saadanne Krav til Elevernes Opfindsomhed og Omtanke, der gør det muligt for dem virkeligt at tilegne sig de nye Ting”.395 Som alternativ foreslår Pihl spørgemetoden, der har urgamle rødder (Sokrates) og som vi har omtalt i forbindelse med Thyra Eibes geometriundervisning. Nu kan denne metode drives med forskellig grad af indirekte styring af elevens svar, og Pihls tolkning hører til blandt de mere åbne: ”han skal spørge paa en saadan Maade, at Elevens Omtanke vækkes, og den manglende Forstaaelse bliver bragt til Veje. Heri ligger da ogsaa, at Læreren maa føle en Forpligtelse til at gaa ind paa Elevens Tankegang, naar denne uden alt for urimelige Omveje kan føre til Løsningen af den foreliggende Opgave. I Almindelighed kan det siges, at det er meget lærerigt for en Klasse at se en og samme Opgave løst paa forskellige Maader, og ønsker Læreren at indprente en bestemt Fremgangsmaade overfor en foreliggende Opgave, er det ingenlunde skadeligt, om Opgaven i Forvejen er regnet paa en anden og mere besværlig Metode”.396 Jeg har ovenfor påpeget, hvor meget Pihl ligger på linje med de nugældende bestemmelser for matematik, og der kan da også trækkes interessante paralleller mellem det netop citerede og så den mest omstridte formulering i den gældende læseplan fra 1996: ”I arbejdet med de naturlige tal udvikler eleverne fortsat egne beregningsmetoder. Standardiserede regneopstillinger indføres, hvis det for eleven er en forenkling af arbejdet”.397 Færdighed Når Pihl tager afstand fra alt for mekaniske fremgangsmåder i undervisningen, så betyder dette ikke, at han vil slække på færdighedskravet. I kapitel 5 så vi, at kravet om regnefærdighed, ”gentagelse og atter gentagelse”, blev fremført med styrke i 1920’erne. Pihl lægger også stor vægt på færdighed og træning både i hovedregning og i den selvstændige skriftlige regning. ”Evnen til at kunne tumle med Tal uden Anvendelse af Blyant eller Kridt er nu en Gang af uvurderlig Betydning i det praktiske Liv, og de Erfaringer der er gjort med Hensyn til Mellemskoleelevers Evne i denne Henseende, synes at tyde paa, at der endnu mangler en Del i, at Skolen paa dette Punkt løser sin Opgave tilfredsstillende. Man maa nu her gøre sig klart, at Evnen til at foretage Talregninger i Hovedet i ikke ringe Grad beror paa en Træning, og man bør derfor i Undervisningen systematisk arbejde hen til, at en saadan Træning opnaas og vedligeholdes hele Mellemskolen igennem.398 Han foreslår derfor, at hver time indledes med op til 5 minutters ren taltræning, en vane der skal grundlægges i 1. mellem, da det er sværere at motivere eleverne for det siden hen. Han kan dog ikke anbefale træning i den store tabel, da det dels er ”et trælsomt Arbejde” og dels skaber usikkerhed og ufrihed, når eleven står over for beregninger, hvor den store tabel ikke umiddelbart kan bruges. 394

Samme Pihl 1924, s. 14. 396 Pihl 1924, s. 15. 397 Læseplaner folkeskolens fag, Undervisningsministeriet 1996, s. 79. 398 Pihl 1924, s. 15.

395

138

De få minutters taltræning går så over i den øvrige mundtlige regning, hvor der arbejdes med nye ting, og hvor elevernes kreativitet kommer til udfoldelse i dialog med læreren. Den skriftlige regning har derimod til formål at indøve skriftlig talfærdighed (som ofte er forskellig fra den mundtlige), nøjagtighed og orden. Der må ikke optræde problemer og vanskeligheder i den skriftlige regning, som ikke allerede er behandlet i den mundtlige: ”Inden man overlader et Stof til Elevernes selvstændige Bearbejdelse, maa man gennem mundtlig Regning have sikret sig, at saa godt som alle Elever har tilegnet sig en virkelig Forstaaelse af det omhandlede Stof”. 399 Han benytter altså ordet ”selvstændig” i en lidt mere oprindelig form, end vi gør i dag, hvor det har overtoner af kreativitet og problemløsningsaktivitet i sig. Det er ikke, fordi han underkender disse sidste, men de er altså henlagt til den mundtlige regning og til dialogen i klasseundervisningen. Således skriver han i indledningen til afsnittet om de fire regningsarter: ”Inden vi gaar over til den faglige Behandling, skal vi blot endnu gøre opmærksom paa, at der helt igennem bør lægges særlig Vægt paa, at Eleverne selv formulerer Sætningerne og udleder Beviserne”.400 Tilnærmet regning Hvad angår det faglige indhold er Pihl fornyende derved, at han giver en grundig behandling af regning med tilnærmede tal: ”Eleverne er gennem Matematik og Skolens i nogen Grad abstrakte Regneopgaver blevet vænnet til at betragte Tallene, som fuldstændig dækkende den Side af Begrebet, de i øjeblikket opererer med, og ikke som et tilnærmet Udtryk derfor. Gennem Eksempler maa vi søge at skabe en Forestilling om, hvorledes Regneresultatet paavirkes af den Unøjagtighed, visse af vore Tal kan være behæftet med”.401 Han medtager derfor begreberne eksakte tal, tilnærmede tal, absolut fejl og relativ fejl samt reglerne for, hvorledes man kan bestemme fejlene på summer, differenser, produkter og brøker. Anmelderen i Matematisk Tidsskrift er især begejstret for dette afsnit om regning med tilnærmede tal: ”Dette Afsnit vil være af megen Værdi for et Samarbejde mellem Fysik- og Regneundervisningen, og dets Betydning strækker sig udover Mellemskolen, ja det vil være af størst Betydning for Gymnasiets Fysikundervisning”. 402 Men anmelderen er i øvrigt begejstret for Pihls almindelige principper og finder dem ”slaaende rigtige og egnet til at tjene som Rettesnor for enhver Regneundervisning i Mellemskolen”. Da nu Pihl havde medtaget nyt stof i mellemskolen, kunne man have forventet, at han havde peget på en nærliggende nedskæring. Ifølge hans eget andet princip skulle aritmetik og regning tænkes som ét fag i begynderundervisningen. Hvorfor tog han ikke springet, som allerede Juel foreslog med sin Ren og anvendt Aritmetik fra 1902? Så kunne regnemetoderne omkring de mere indviklede og ”tilbagegående” beregninger i forholds-, delings- og blandingsregning undværes og erstattes med aritmetiktimernes ligningsløsning. Han skriver ikke noget eksplicit om det, men man kan forestille sig, at han på baggrund af sit stærke forsvar for den praktiske nødvendighed af hovedregning, har syntes, at disse typer regning burde kunne laves som hovedregning i hverdagen. Og hertil ville ligninger egne sig dårligt. 403

399

Pihl 1924, s. 17. Pihl 1924, s. 61. 401 Pihl 1924, s. 118. 402 L. Christiansen: Litteraturanmeldelser, Matematisk Tidsskrift A 1924, s. 133. 403 Der var stadig regnelærere der fandt, at netop disse vanskelige beregninger i høj grad var forstandsudviklende, men dette hævder Pihl nu ikke. 400

139

1935: en mere realistisk undervisning Betænkning af 10/9 1935 om Faget Regning og Matematik i Mellemskolen vil jeg kalde realistisk. Den var først og fremmest realistisk i sine krav til eleverne, men også fagligt mere realistisk i betydningen praktisk end Anordningen af Maj 1904. Endelig var den realistisk i den forstand, at den gav plads for en virkelighedsanknytning a la Hjelmslev i geometri og aritmetik. Ifølge betænkningen er formålet med undervisningen i regning ”at lære Eleverne med Sikkerhed og Færdighed at udføre Talregninger saavel skriftligt som mundtligt og at anvende denne Færdighed paa ikke for sammensatte Opgaver, der i saa vid Udstrækning som muligt bør have Tilknytning til det praktiske Liv”.404 Hvor ”forståelse” var det først fremhævede ord i 1904, er det nu ”Sikkerhed og Færdighed” – en udvikling, der allerede havde været på vej en lille snes år i grundskolen. Nu kommer forståelse mere som en eftersætning: ”Eleverne bør kunne give en Redegørelse for Regnereglerne”. Og tilknytningen til det praktiske liv er nu kommet op i formålsparagraffen, hvor det i 1904, hvor faget ikke havde en decideret formålsparagraf, stod noget nede i vejledningen. På indholdssiden er der da også kommet et nyt punkt med: ”Opgaver af statistisk Art”. I den tilhørende korte vejledning uddybes dette med, ”at Eleverne skal opnaa at blive fortrolige med et Tabelværk (f. eks. fra Statistisk Aarbog), saaledes at de kan finde Gennemsnitstal, procentvis Stigning eller Fald o.l.”.405 Formålet for aritmetikundervisningen har nu i 1935 mere præg af en tilføjelse til formålet for regning, idet der står: ”Formaalet for Undervisningen er at klargøre Regnereglernes almindelige Karakter, idet den Indsigt i Regnereglerne, som Eleverne har erhvervet gennem Regneundervisningen, overføres paa Bogstavudtryk. Der kræves saaledes ikke en strengt systematisk Fremstilling”.406 Intet sted i betænkningen står der noget, der ligner de mere matematisk ambitiøse mål og krav fra 1904: ”udvikle Elevernes Evne til ud fra bestemte opgivne Forudsætninger at drage sammenhængende logiske Slutninger” og ”bevise407 de Hovedsætninger inden for hvert Afsnit, hvoraf de andre mere eller mindre umiddelbart er afledede”. Når der ikke mere kræves en systematisk fremstilling af aritmetikken, er den nærliggende tolkning af de to formål tilsammen, at man med fordel kunne tænke på regning og aritmetik som et sammenhængende fag. Det er da også den konklusion, lektor C.C. Andersen drager i sine bemærkninger til bekendtgørelsen i Vor Ungdom 1938: ”Sammensmeltningen af Regning og Aritmetik har vist sig at være meget frugtbar og har i de forløbne Aar faaet en stor Mængde Tilhængere.” Og han viser hen til Hjelmslev og H.J. Pihl som de vigtigste kilder til, hvorledes denne brobygning bedst kan foretages. Som eksempel på, hvorledes denne sammensmeltning kan udmøntes, giver han et argument for, at faktorernes orden er ligegyldig. Hvor det traditionelt i en aritmetikundervisning blev vist med et eksempel som 4*7=7*4, der undervejs kom til at omfatte opskrivning af fire rækker med 7 ettaller i hver række, fremhæver han, at indsigten let fremkommer ved at betragte arealet af et flisegulv på syv gange fire fliser. Reglen hopper således automatisk ud af regneundervisningen. Sammensmeltningen vil endvidere skærpe børnenes sans for tal og vænne dem til at lave vurderinger og overslag – og endelig vil den være tidsbesparende: ”En Sammensmeltning af Regning og Aritmetik, maa da anses for baade hensigtsmæssig og udviklende, og da 404

Betænkning vedrørende Undervisningen i Mellem- og Realskolen m.v. afgivet af Undervisningsinpektøren for Mellem- og Realskolerne og Undervisningsinspektøren for Gymnasieskolerne, Kbh.,10. sept. 1935, s. 40 405 Betænkningen af 10. sept. 1935, s. 42. 406 Samme 407 Mine fremhævelser for at pointere forskellen.

140

det ikke er Meningen senere paany at ”bevise” alle Regler ved Hjælp af Bogstaver, men kun at overføre Reglerne paa Regning med disse, maa Metoden ogsaa anses for at være tidsbesparende”.408 Selve pensum i aritmetik blev ikke afgørende ændret med betænkningen, men i kraft af formålsformuleringen måtte pensumbeskrivelsen tolkes på en anden måde. Som noget nyt anbefales det, at afhængigheden mellem to variable belyses ved grafisk afbildning. 409 Dette betød dog ikke, at det fulde koordinatsystem skulle indføres, men blot kvadratnettet (første kvadrant), og dette var altså mere et hjælpemiddel end egentligt eksamenspensum. Den nye betænkning gjorde ikke de tidligere lærebøger ubrugelige, men der var klart et marked for et nyt system, der udnyttede friheden og mulighederne i den nye betænkning. Netop C.C.Andersen og J. Damgaard Sørensen kunne på Schultz forlag udgive en ny ”Regning og Aritmetik for Mellemskolen I” allerede måneden efter betænkningen, og de øvrige tre bind udkom derefter med en måneds mellemrum. I følgeskrivelsen til frieksemplarer skriver forlaget: ”Princippet har her overalt været at gøre det hele saa lidt abstrakt som muligt, at ”bevise” Regnereglerne ud fra bestemte Ta-leksempler og blot betragte Bogstavsproget som et sammenfattende og simpelt Udtryksmiddel”.410 Bogen fik straks anmelderroser: ”selv store Forventninger skuffes ikke” – ”en virkelig Berigelse af vor Skolebogslitteratur”.411 Særlig fremhæves den konsekvente brug af den koncentriske metode, der griber helt tilbage til grundskolen, så skoleformerne kommer til at hænge sammen. På den anden side finder anmelderen det også heldigt, at regneopgaverne er ordnet efter typer: ”Forfatterne deltager i den Henseende i en almindelig Svingning inden for Regnepædagogikken. Den berettigede Reaktion mod Systemet ”Chr. Hansens Regnebøger” har en Overgang ført Undervisningen lovlig langt ud til den modsatte Side; men i de sidste Aar er der en voksende Erkendelse af, at hvis god og sikker Forstaaelse skal opnaas, er Gentagelse af Tankegangen uden afledende Sidespring nødvendig”. En længere række opgaver af samme faglige type kan dog blive lidt monoton, hvis ikke de omhandler varierende emner fra virkeligheden: ”Paa dette Punkt har Forff. ydet det fremragende; deres Bøger rummer en Rigdom af instruktive, morsomme, stærkt afvekslende Opgaver, der har Tilknytning til det praktiske Liv”. 412 Bøgerne fremhæves også for de statistiske opgaver og grafiske fremstillinger, men der er visse faglige svagheder. Regnereglerne overføres uden videre fra de positive til de negative tal, hvilket dog har anmelderens forståelse: ”det skyldes jo sikkert den Opfattelse, som muligvis er rigtig, at en fortsat Kulegravning af den elementære Aritmetiks Problemer ikke er formaalstjenlig i Barneskolen”. Tilsvarende berøres uendelige decimalbrøker så at sige ikke, og anmelderen nikker: ”Der er næppe Grund til at beklage Amputationen af dette Emne, som alle Dage har været et svagt Punkt i den elementære Undervisning”. 413 Bemærk hvor realistisk anmelder Poul Mogensen er i sin vurdering af, hvad der kan lade sig gøre på det givne skoleniveau – endnu et argument for min etikette for tiden efter 1935: ”en mere realistisk undervisning”. Men som overalt i denne matematikundervisningshistorie, skal man medtænke hele skolesystemets inerti – ændringerne sker langsomt. Selv om der kom ny bekendtgørelse og en fremragende bog skræddersyet til denne, betyder det 408

C.C. Andersen: Nogle Bemærkninger om moderne Undervisning i Regning og Matematik i Mellemskolen, Vor Ungdom 1938/39, s. 28. 409 Betænkningen af 14. September 1935, s 42. 410 Følgeskrivelse fra J.H. Schultz Forlag 31. oktober 1935, 411 Matematisk Tidsskrift A, 1936, s.14-19, anmeldt af Poul Mogensen. 412 Samme s. 17 413 Samme

141

ikke, at alle hopper med på det nye. Den første hindring er nok, at mange lærere bibeholder mange elementer fra deres egen skoletid i deres undervisning. Men så gjorde sig også det gældende, at der fandtes en særlig subkultur af ”regnelærere”, der måske havde overladt aritmetikken til yngre mere teoretisk funderede lærere – på visse skoler måske endda akademisk uddannede. Tilsvarende kunne disse ”matematiske” aritmetiklærere have et særligt ønske om at holde aritmetikkens sti ren for ”uvedkommende” regnestof. Endelig kunne man af pædagogisk overbevisning mene, at ren aritmetik gav det bedste fundament for senere matematikundervisning. I al fald klingede en bog som J.L.W. Jessen og O.A. Smith’s Aritmetik for Mellemskolen I-III fra 1916 ikke ud med det samme. Endnu i året for næste skolelov 1958 udkommer 22. oplag. Hvad nu hvis man var tilhænger af opdelingen i regning og aritmetik, men fandt Jessens og Smiths bog lidt gammeldags eller direkte som C.C. Andersen fandt den ”i mange Retninger en uheldig Bog, specielt fordi den bestandig springer over, hvor Gærdet er lavest”.414 Efter Andersens mening er der ikke tvivl om, hvad aritmetiklæreren anno 1943 burde gøre. Blandt de to nyere aritmetikbøger finder han, ”at den ene kendetegner et Fremskridt i saavel faglig som pædagogisk Henseende”, hvorimod den anden betegner ”et i alle Maader alvorligt Tilbageskridt”. Den gode bog, V.A.C. Jensen og H.C. Christiansen: Aritmetik for Mellemskolen, var en børnevenlig udgave af den tankegang, der prægede Hjelmslevs aritmetik: ”Af Enkeltheder skal nævnes: Fremstillingen af Læren om negative Tal ved modsatte Enheder" – meget smukt gennemført. Læren om Kvadratrod ud fra Definitionen: √a er Siden i det Kvadrat, hvis Areal er a – en udmærket Vej at gaa i Mellemskolen. Læren om uendelige Decimalbrøker: faglig elegant og let tilgængelig”.415

Er mellemskoleksamen for let? I lyset af de stærke krav om en forøgelse af talfærdigheden i skolen havde undervisningsinspektørerne 416 i deres betænkning fra 1935 ønsket at foreslå en særlig prøve i færdighedsregning (”talbehandling”) ved Mellemskoleeksamen. Men de var blevet frarådet at fremsætte forslaget officielt af deres fagkonsulenter: ”Der indvendes, at Prøven intet viser om Elevernes Intelligens og Forstaaelse af Faget, og det anføres, at Erhvervslivets Mænd ikke har noget Ønske om en saadan Talfærdighed. Den kan hurtigt erhverves i det praktiske Liv gennem daglig Træning”.417 Denne historiske markering fra erhvervslivet af, at det også kunne blive for meget med den ”ny” regnings dyrkelse af færdigheden betød, at den ”ny” regning ikke slog så stærkt igennem i mellemskolen. Hvad angår den skriftlig eksamens indretning, tilstræbte undervisningsinspektørerne i deres betænkning fra 1935 blot at knæsætte den tolkning der gennem tiden havde udviklet sig af den gamle eksamensbekendtgørelse af 3. august 1906: ”Der forelægges to eller flere Opgaver, som kræver simple Anvendelser af de indøvede Regneregler. Det bemærkes, at det er blevet Praksis at give to skriftlige Opgaver i Regning. Ved den skriftlige Prøve i Aritmetik og Geometri forelægges to Opgaver, som kræver simple Anvendelser af Sætninger og Metoder fra hele det læste Pensum; den ene af disse skal være en Konstruktionsopgave, ved hvis Bedømmelse der ogsaa tages Hensyn til Tegningens Udførelse, den anden en Beregningsopgave eller en Ligning.” 414

C.C. Andersen anmeldelse af ”To Lærebøger i Aritmetik for Mellemskolen”, Vor Ungdom 1943, s. 29f. Samme 416 Efter indstilling fra et bredere sammensat udvalg, nedsat 31, marts 1932 – så ønsket har sikkert været ret udbredt. 417 Betænkning vedrørende Undervisningen i Mellem- og Realskolen m.v. afgivet af Undervisningsinpektøren for Mellem- og Realskolerne og Undervisningsinspektøren for Gymnasieskolerne, Kbh., 1935, s. 43. 415

142

Hvad angår de to mundtlige prøver slås fast, at prøven i regning i det væsentlige er en prøve i hovedregning. For at give et indtryk af mellemskoleeksamen efter de nye bekendtgørelser i forlængelse af undervisningsinspektørernes betænkning fra 1935, anføres her den centralt stillede skriftlige prøve fra 1940. Mellemskoleeksamen i maj-juni 1940 Regning 1. En dansk Købmand køber i England 600 m Klæde for 4 sh 11 d pr. m, hvortil kommer 12 pCt i Forsendelsesomkostninger og Told. Beregn købmandens samlede udgifter i danske Penge, naar 1 Pund = 20 sh = 240 d = 22,40 Kr. Ved Salget af Klædet faar han i alt 4229,12 Kr. ind. Hvor mange pCt (1 Dec.) tjener han? Hvor meget faar Købmanden pr m (hele Øre), naar han før Salget har maattet kassere 17 m? 2. P køber en rektangulær Grund ABCD, hvor AB=48,5 m og BC=112,6 m, for 2,70 Kr. pr. m2. Hvor mange m2 er Grunden, og hvad er Købsprisen for den? Langs Siderne AB og BC anlægges et Læbælte, som overalt er 2,1 m bredt, hvilket koster 70 Øre pr. m2. Hvor mange m2 gaar der med til Læbæltet, og hvad koster det? Resten af Grunden anlægges som Have, hvilket koster 65 Øre pr. m2. Hvor mange m2 er Haven, og hvor store er P’s samlede Udgifter (Købsprisen for Grunden samt Anlæg af Læbælte og Have)? Hvor mange pCt (1 Dec.) er de samlede Udgifter større end Købsprisen for Grunden? Matematik 1. Find x af Ligningen 5/(1+x) – 3x/(2-x) = 7/3 og gør Prøve. 2.Konstruer en indskrivelig Firkant ABCD, hvor < A = 82½°, <B= 60° og AB=BC=5 cm. Find <C og <D, de Vinkler, hvori <A og <C deles af Diagonalen AC, samt de Vinkler, hvori <B og <D deles af diagonalen BD. Sammenligner man med tidligere mellemskoleprøver, vil man ikke finde nogen påfaldende forskel, men tidligere kunne der nu og da optræde nogle ”skæve” opgaver. Der var dem, der hævdede, at eksamen nu var blevet for let og især for gennemskuelig. Den rutinerede lærer kunne forberede eleverne til eksamen med nogen sikkerhed for høj karakter. Blandt kritikerne var gymnasierektor og matematiklærer Einer Torsting. Han indsamlede i 1944 statistik fra mellemskoleeksamen ved ti københavnske gymnasieskoler omfattende i alt 19 klasser og fandt følgende fordeling. 418

143

m dl

tg-

tg+

m g-

m g+

35 30 25 20 15 10 5 0 ug

Andel elever %

Karakterfordeling i regn-mat mellemskoleeksamen 1944

Karakter

Med en middelværdi omkring mg+ (9-10 i den moderne skala) og median på næsten ug(11), fandt han ikke denne skriftlige prøve særlig velegnet som kriterium på eksaminandernes matematiske anlæg – og da slet ikke til at afgøre, om man skulle vælge at blive ”matematiker” i gymnasiet. Og problemet var reelt nok, da flere af disse ug-børn fra Mellemskoleeksamen havde svært ved at tilfredsstille kravene i den matematiske gymnasium. Den gode nyhed var selvfølgelig, at eleverne (altså dem der ikke var faldet fra undervejs i mellemskolen) gennemgående klarede sig så godt ved en eksamen af sværhedsgrad som den fra 1940 (gengivet ovenfor). Men Torsting mistænkte lærerne for at træne eleverne i at regne typeopgaver svarende til de for gennemskuelige eksamensfordringer – uden at de fik tilsvarende egentlig forståelse og virkelig kundskab. I al fald syntes han, at det måtte være en devaluering af mellemskoleeksamen, når gennemsnittet var blevet så højt. Disse kommentarer fra en højt estimeret rektor og matematiklærer viser noget om det spændingsfelt, mellemskolen eksisterede i. For mange forældre synes den var for krævende og svær, ligesom optagelsesprøven til mellemskolen virkede for hård, når deres lille Peter ”dumpede”.

144

8. Den frie mellemskole Resumé: Der var fra starten meget, der talte imod eksamensmellemskolen. Den var tænkt som en forskole til gymnasium og realeksamen, men burde være en naturlig overbygning på folkeskolen. Med et frafald i forskellige mellemskoler fra 20-80%, måtte den siges at være en dårligere overbygning end den fortsatte folkeskoles 6. til 8. klasse, skønt denne skole var blevet drænet for de mere ”åndslivlige” elever. Og så var der den lille embedseksamen, optagelsesprøven til mellemskolen, hvor børn i 11-årsalderen blev sorteret for livet. På den anden side skabte mellemskolen en ny middelklasse, og arbejderklassen og kvinderne fik i høj grad andel i denne sociale opstigning. Så end ikke da socialdemokratiet fik flertal sammen med de radikale i 1935, ville man afskaffe mellemskolen. I stedet skulle der skabes en ligeværdig eksamensfri mellemskole, hvilket skete med 1937-loven. Der er givet, at den eksamensfrie mellemskole byggede på de bedste reformpædagogiske tanker og værdifulde forsøgsarbejder. Men det kom aldrig til at gå rigtig godt. Forældrene ville have deres børn i mellemskolen, hvis det på nogen måde kunne lade sig gøre. Ingen troede rigtig på forestillingen, om at de praktisk begavede og de bogligt begavede havde brug for hver deres skoleform, og forestillingen om de to begavelser blev endda modbevist af psykologer. Så den frie mellemskole blev forladt af forældre, elever og lærere. Men den nåede at bringe udvikling til matematikog regnefaget. I forsøgsarbejderne forud for 1937 havde man påvist, at der fandtes meget frugtbare og regneholdige temaer, hvoraf omtales klimaet, mosen og sundhedslære. Den frie mellem krævede også nye regnebøger, der var langt mere virkeligheds-, dagligdags- og erhvervsrettede. Markante bøger var ”Dagliglivets Regning” fra 1937, ”Den unge Piges Regnebog” fra 1945 og ”Regnebog for den eksamensfri Mellemskole” fra 1948. Man kan med god ret hævde, at vor tids matematikundervisning har hentet næsten lige så meget inspiration fra den eksamensfrie mellemskole som fra eksamensmellemskolen.

Guldfugl eller gøgeunge? Mellemskolen var blevet indført lige efter Systemskiftet, hvor parlamentarismen blev knæsat i Danmark. Og man forventede af mellemskolen, at den skulle bidrage til et lignende socialt systemskifte, hvor mange flere børn – også fra de mindre privilegerede klasser – skulle kunne få en eksamen, der gav adgang til videre studier eller gode jobs. Vurderet i dette lys var Mellemskolen en succes. Nu var Mellemskoleprøven ikke i sig selv en anerkendt eksamen, så for at få et statistisk udtryk for mobiliteten, må man betragte de derefter følgende eksaminer som realeksamen og studentereksamen samt den efterhånden knap så betydningsfulde præliminæreksamen. Fra 1908 til 1940 steg studentertallet med 200%, realisterne med 500%, mens antallet af præliminarister var uforandret, alt sammen per million indbyggere.419 Pigernes andel af eksaminerne steg fra 23% til 46%, så man nærmede sig ligestilling på dette område. Og hvor arbejderklassen ved århundredets start måtte nøjes med 17% af eksaminerne, var de i 1940 nået op på 31%. Bøndernes andel af eksaminerne var halveret fra 18% til 10%, hvilket dog skal sammenholdes med deres store repræsentation på højskoler og landbrugsskoler. De øvre socialklasser af akademikere, selvstændige og overordnede funktionærer bibeholdt gennem perioden en (svagt faldende, men klar) overrepræsentation blandt eksaminanderne, således at chancen for eksamen i 1940 for deres børn var godt tre gange større end for et arbejderbarn.

419

Disse og følgende statistiske oplysninger er taget fra Jacob Jensen: Statistiske strejflys over virkningerne af almenskoleloven af 1903, Vor Ungdom 1939/40, s. 5 -10.

145

Men arbejderbørnenes eksamensprocent lå ikke langt under deres procentdel af befolkningen. 420 Når Mellem- og Realskolen således frembragte en uddannelseseksplosion og bidrog til social mobilitet, hvorfor var den da under konstant angreb hele første halvdel af århundredet, indtil den blev nedlagt med Skoleloven af 1958? Som antydet i overskriften fik folkeskolen med mellemskolen en guldfugl, der efter mange folkeskolelæreres mening udviklede sig til at være en gøgeunge, der syntes at vippe den normale folkeskole ud af den lune rede. Guldfugl var den, fordi den gav alle bogligt interesserede og kvalificerede folkeskoleelever helt nye muligheder efter grundskolen, men også spændende nye arbejdsudfordringer for folkeskolens lærere. Ganske vist skulle statsskolerne fortrinsvis ansætte akademisk uddannede lærere på mellemskolen, men efter få år lå denne skoleform, der jo før 1903 havde været basisskole på den lærde skole, nu typisk som en kommunal skole i tæt forbindelse med den øvrige folkeskole. Og lærerne var ganske overvejende seminarieuddannede. Mellemskolen blev fælles arbejdsmark for akademikere og seminarister, men også til tider fælles slagmark, hvilket man kan mærke dønninger af helt frem til i dag. 421 Det hele var kommet så pludseligt. Helt op mod 1900 sad Universitetet tæt på styringen af den lærde skole. Men forud for Almenskoleloven af 1903 havde regeringen Deutzner og kultusminister I.C. Christensen ganske holdt Universitet som institution uden for forhandlingerne.422 Sideløbende hermed var gymnasielærerne, der efter ordningen af 1883 nu havde taget skoleembedseksamen, i stigende grad blevet en selvstændig profession, der i stigende grad gjorde sig fri af universitet i deres meningsdannelse.423 Også folkeskolelærerne oplevede en professionsidentitet i forlængelse af 1899-lovens krav om lærereksamen for alle lærere. I Mellemskolens første årtier havde universitetsfolk og gymnasiefolk stor indflydelse på det faktiske faglige indhold, ikke mindst gennem deres lærebøger. Men fra omkring 1920 anså mange kommuner og Danmarks Lærerforening den som deres skole, og man fortolkede dens værdi ud fra folkeskolens og børnenes behov, mens først universitetet og snart også gymnasiet fortonede sig som fjernere og sekundære mål. Dette måtte give spændinger. Allerede i 1904 var enkelte lærere bekymrede over gøgeungeeffekten, når de nu skulle have en eksamensskole ind i folkeskolen. Lærer Christensen Dalsgaard er således bekymret over, at ministeriet kræver både en skriftlig og en mundtlig prøve i matematik ved Mellemskoleeksamen: “Dette er en betænkelig Ting. For selve Prøven har det endda mindre Betydning, ja er egentlig det retfærdigste, men der er Fare for, at Kravet om mundtlig Prøve vil virke tilbage paa Undervisningen, som derved kan forme sig til en skrækkelig Ekserceren i Hovedregning med alle dens “Nemheder” og Smutveje og Fif og Humbug m.m.”. 424 Men Christensen Dalsgaards virkelige bekymring går på de “alt for urimeligt store Fordringer for at bestaa Mellemskoleeksamen”. “Saa vidt jeg har forstaaet Almenskolelovens Fædre ret, saa var det deres Tankegang, at saa mange som muligt, ja helst alle Mellemskolens Elever, skulle føres frem til det endelige Maal. 420

Jacob Jensen anfører nogle forbehold på dette punkt. Specielt skal det bemærkes, at den gode arbejderrepræsentation skyldes realeksamen og i kun lille grad studentereksamen. 421 I en back-to-basics kampagne i de tre stiftstidender og Jyske Vestkysten omkring 30 september 2000 med overskrifter som “Matematikundervisningen på katastrofekurs”er det overvejende gymnasiefolk, der føres som vidner mod “katastrofekursen” i folkeskolen. 422 Rektor Georg Bruun giver et intimt indblik ind i skabelsesprocessen i et tilbageblik: “Almenskoleloven af 24. april 1902, Vor Ungdom 1928, side 195. 423 Se Skovgaard-Petersen 1976, s. 190ff vedrørende denne professionalisering. 424 Christensen Dalsgaard: En lille nødvendig reform, Vor Ungdom 1904, side 234.

146

Men en absolut Betingelse herfor er det, at enhver Elev, som gaar Skolen igennem, faar sit Afgangsbevis, godt eller daarligt, som han nu er til, og at Rejection ikke gives. Ak, hvor vil det ikke tynde ud i Rækkerne i det sidste Aar, og navnlig op mod Eksamen: de dovne, de modløse, de tungt begavede, de ugidelige, en hel skare vil klogeligt salvere sig i tide og ikke udsætte deres gode Navn og Rygte for den Forulempelse, som muligt kunne følge”.425 Nu skulle man tro, at noget af den dårligdom, Dalsgaard frygtede, ville blive uaktuel på grund af den ikke helt nemme optagelsesprøve til mellemskolen. Statistikken skulle dog give Dalsgaard ret, skønt begrundelserne skulle blive knap så personlige. I 1910 skabtes det nye ord ”Mellemskoleproletariat” som et samlebegreb for problemstillingen. 426 Rektor for Kolding Latin og Realskole Georg Bruun prøvede at samle en statistik om problemets omfang og fik svar fra de 33 af 40 kommunale mellemskoler. I følge undersøgelsen nåede 60% af dem, der startede i 1. mellem, frem til mellemskoleeksamen. Bruun finder det ikke tilfredsstillende, men fremhæver, at det dog er bedre end i den gamle realskole tyve år tidligere, hvor kun 40% nåede frem til eksamen. “De væsentligste, stadig tilbagevendende Angreb paa den kommunale Mellemskole er, at den berøver Folkeskolen dens dygtigste Elever, saa de egentlige Folkeskoleklassers intellektuelle Niveau sænkes, og at Mellemskolen ikke magter at føre de Elever, som den har lokket fra Folkeskolen, til en ordentlig Afslutning, men slipper det store Flertal i 14 Aarsalderen, saa at de gaar ud af Skolen med et tarveligere Resultat, end hvis de var blevet i de egentlige Folkeskoleklasser”.427 Hans forklaring på problemet er:” Mellemskolen blev væsentlig planlagt og ordnet af Lærdskolens Lærere med de Forudsætninger som disse medbragte fra deres egen Undervisning og deres egne Elever, og denne Mellemskole var tænkt som en Underbygning til Gymnasiet og Realklassen. Saa greb Folkeskolen hurtigt denne Skoleform som en Overbygning til Folkeskolen og stillede derved Folkeskolen nye Opgaver, uden at gøre sig klar, at Forudsætningerne med Hensyn til Lærere og Elever var helt andre. Man gik til det ny hurtigt, begejstret, fuld af store Forventninger, uden at agte paa de advarende Røster. I løbet af faa Aar oprettedes talrige kommunale Mellemskoler i Forbindelse med Folkeskolen. Man gik ved disse Skoler oftest ud fra den fejle Forudsætning, at enhver Lærer i Folkeskolen egnede sig til Undervisning i Mellemskolen. Forældrene, som ikke rigtigt forstod hvad Mellemskolen betød, og som ofte troede, at Mellemskoleeksamen gav samme Ret som alm. Forberedelseseksamen, var, saa snart der oprettedes 1ste Mellemskoleklasse ved Folkeskolen, ivrige for at faa deres Børn optagne i denne, selv om de allerede var for gamle til denne Afdeling. Mellemskolens Klasse fyldtes eller overfyldtes med Elever, som tit slet ikke egnede sig til denne Form af Undervisning”.428 Bruun finder det derfor forkert at angribe mellemskolens princip, når det er misbrug af princippet, der er tale om. Han henviser direkte til forfejlet ledelse af nogle skoler. Nogle skoler har nemlig gennemførelsesprocenter nede på omkring 20-30 %, mens andre ligger oppe på 70-80%, hvorved gennemsnittet på de 60 fremkommer. Medicinen er således bedre ledelse og bedre lærere, hvortil Bruun føjer en udvidelse af undervisningspligten til det 15. år, hvilket ville forhindre elever i 3. mellem i at gå ud på arbejdsmarkedet.

425

Samme side 235. Georg Bruun: Den kommunale mellemskole, Vor Ungdom 1911, side 361. 427 Bruun side 361. 428 Bruun side 363.

426

147

Forgæves reformforsøg i 1920’erne Efter Første Verdenskrig blev der så i 1919 nedsat en Skolekommision til at se på problemet, men da dette ikke var så nemt at afgrænse, blev der tale om et meget bredt kommissorium: “Der nedsættes en Kommission med det Hverv at tage hele det samlede Skolevæsens Forhold – pædagogisk, økonomisk og administrativt – op til Overvejelse og Drøftelse samt til at udarbejde Forslag til omordning heraf”. 429 Kommissionen barsler med en betænkning i 1923, hvori Mellemskolen foreslås afskaffet ud fra de begrundelser, der er nævnt ovenfor. Der er dog ikke i kommissionen enighed om, hvordan folkeskolen derefter skal indrettes. Et flertal foreslår en enhedsskole i hele den undervisningspligtige alder, altså til og med 7. klasse, med en overbygning af tre realklasser (meget svarende til den senere skolelov af 1958). I den forbindelse nævnes matematik som et nødvendigt tilbud i enhedsskolens ældste klasser. Man er er klar over, at “særlig fremmede Sprog og Matematik ikke kan udsættes til efter Udløbet af den undervisningspligtige Alder, uden at man enten udskyder Tidspunktet for den højere Skoles Afgangseksaminer i væsentlig Grad eller nedsætter det Maal, der skal være naaet ved disse Afgangseksaminer”.430 I diskussionen i Vor Ungdom er der ikke megen ros til kommissionen. Mellemskolen ønskes opretholdt. Direktøren for Århus Skolevæsen, Christian Buur, finder især kommissionsflertallets betragtninger over det høje almene niveau i den foreslåede enhedsskole for optimistiske. Man tænker sig, at de elever, der ikke vælger matematik og sprog i de ældste klasser, vil have et så meget bedre fundament i de almene fag som dansk og regning. Her henviser skoledirektøren til Statens Prøver i Dansk og Regning, hvor man på samme alderstrin med identiske prøver fandt et gennemsnit på mg (11,9) i regning i de kommunale mellemskoler, mens det i de almindelige folkeskoleklasser, hvor man ikke havde sprog og matematik, kun opnåede et gennemsnit på g- (7,7).431 I debatten indgår det nye begreb “undervisningsbetingelser”.432 Undervisningsbetingelser omfatter først og fremmest barnets evner samt alder, modenhed og flid, men også hjemmets forhold, herunder ikke mindst økonomien og hjemmets fysiske indretning. Formanden for Københavns Kommunelærerforening Thorkild Jensen433 slår fast, at der er enighed om: “Maalet er at føre hver enkelt Elev saa langt frem, som Elevens samlede Undervisningsbetingelser tillader”.434 Han konstatere med beklagelse, at to elever med de samme evner ikke nødvendigvis har de samme undervisningsbetingelser. Den ene fra det velstillede hjem kan få perfekte arbejdsbetingelser i hjemmet “og den anden fra et fattigt Arbejderhjem, hvor en stor Familie maa klumpe sig sammen i en lille Lejlighed, hvor Ernæringen er mangelfuld, Ro et ukendt Begreb; hvor Barnet maa hjælpe til at skaffe Udkommet, saa Hvilen bliver for ringe. Enhver kan se, at disse to Børn, ens udrustede fra Naturens Haand, ikke har samme Undervisningsbetingelser”.435 Her skal man som lærer sætte alle pædagogiske sejl til og som borger arbejde for social udvikling. Men han kan ikke se, at man ved at fjerne mellemskolen skulle kunne løse problemet. Han konstaterer, at mellemskolen har været en succes. I begyndelsen af reformen klagede Universitetet over, at de studerende ikke var så gode som i gamle dage. Og gymnasiet

429

Lov af 21. februar 1919 om Nedsættelse af en Skolekommision, her efter Vor Ungdom 1924, side 350. Betænkningen, her efter Chr. Buur: Skolekommisionens betænkning, Vor Ungdom 1924 side 139. 431 Buur side 145. 432 Med lidt af samme funktion som “kulturel kapital” bruges i dag. 433 Thorkild Jensen f. 1888, lærereksamen fra Blaagaard Seminarium 1909, formand for Københavns Kommunelærerforening 1922-29. 434 Thorkild Jensen: Bør mellemskolen bevares?, Vor Ungdom 1924, side 351. 435 Jensen side 352. 430

148

lod kritikken gå videre til mellemskolen. “Imidlertid er Klagerne forstummede i de sidste Aar”. “Naar vi da skal vælge imellem vor nuværende Mellemskole og de Forslag, Kommisionen møder med, synes jeg, vi skal stemme for den nuværende Skoleordning. Den er god for de Elever, som forlader Skolen med Mellemskoleeksamen, fordi de har faaet en fyldig og god Skoleuddannelse; den er god for de Elever, som forlader Skolen med Realeksamen, fordi de ved en roligt fremadskridende, fyldig Undervisning har naaet en Eksamen, der kvalificerer til Ansættelse under Stat og Kommune; og den er god for de Elever, der gaar over i Gymnasiet, idet dette klogt og dygtigt har indrettet sig paa at arbejde oven paa Mellemskolen, Og endelig maa jeg sige, naar jeg tænker paa, fra hvem Angrebene mod Mellemskolen kommer; den er en Ære for vor Folkeskole, for hvem den betegner den yderste Udvikling, idet den viser, hvad Folkeskolens egne Folk kan naa med Folkeskolens egne Børn Alt i alt: Den dygtiggør Eleverne, den tilfredsstiller Hjemmene, den virker til Gavn for vort Lands Befolkning. Altsaa bør den bevares”.436 Og sådan blev det. Der kunne ikke samles politisk flertal for at gennemføre nogen af kommissionens forslag i 1920’erne. Var status quo således den mindst ringe løsning og den eneste politisk mulige, så forsvandt de gamle kritikpunkter dog ikke. Ved Almenskolelovens 25-årsjubilæum i 1928 var det naturligt at gøre status. Formanden for Danmarks Lærerforening, Carl Dige, havde mere end sin københavnske kollega fornemmelse for, hvad der rørte sig i lærerkredsene i provinsbyerne og ude på landsbyskolen, og hans skudsmål til mellemskolen blev derfor mere kritisk. Han fremhæver gøgeungeeffekten: 437 “Hidtil havde Folkeskolen i Byen som paa Landet levet sit eget Liv med sit eget Maal. Den nye Skole søgte ikke alene at skaffe sig Indflydelse opefter, den ville ogsaa have Indflydelse nedefter, og den fik det, Eksamensterperi, forceret Undervisning, endog undertiden med Manuduktører, den for Børnenes Udvikling saa uheldige Jagen efter Karakterer fandt Vej ned til endog de yngste Klasser, Børnenes Undervisning blev indstillet paa Optagelsesprøven til denne Skole”.438 Så opremser han ellers skavankerne: 1. Den sociale skævhed, de ulige undervisningsbetingelser for Jørgen Hattemagers søn og Kong Salomons søn. 2. For lidt fritid til mellemskoleeleverne. “Mange vil mene, at naar 6 af Barnets Dagtimer medgaar til teoretisk Undervisning og Opøvelse, saa burde Resten af Tiden overlades det til naturlig og fri Udfoldelse i Forhold til det virkelige Liv, som det oplever det i Arbejdsfællesskab med Forældre og Søskende, i Leg og Samliv med Kammerater, i Natur og Folkeliv”. 3. Det er for tidligt at skille børnene ad i 11-årsalderen. Udvælgelsesproceduren er tvivlsom, ”for ingen kan i den Alder med ret megen Sikkerhed fastslaa Barnets Evner og Anlæg”. 4. De mange, der dropper ud af mellemskolen, ville have haft større glæde af at blive i den almindelige folkeskole.

436

Jensen side 357. Gymnasierektor Georg Bruun bruger i 1928 en smukkere metafor: “Folkeskolens udviklingslinie skærer gymnasieskolens udviklingslinie, og da folkeskolens linie er den stærkeste, vil den optage gymnasieskolens linie i sig og bestemme den fælles retning, som en flod optager en bæk og derefter fortsætter sit løb”, Vor Ungdom 1928, s. 204. 438 Carl Dige: Betragtninger ved et 25 års jubilæum, Vor Ungdom 1928, side 191.

437

149

5. “De tilbageblevne kom til at savne den opkvikning, Opdragelse og Spore, der ligger i at dele Skoleliv med mere Aandslivlige, i Skolearbejde med mere paagaaende og interesserede jævnaldrende”. 6. Ny social splittelse. På landet havde den fælles skolegang før 1903 skabt et særligt fællesskab på tværs af social status: “De velbegavede Unge fra de mest stabile Hjem paa en Egn var Grundlaget for Ungdoms- og Aftenskoler og ledede de Unges Foreninger og Samliv, men mange af disse Unge havde nu gaaet i en finere Skole med Matematik og Sprog; de kunne ikke saa godt gaa med til noget, der laa under det Plan, de nu engang var vænnet til at leve i”.439 “Var Mellemskolen i sine ydre Virkninger demokratisk for Byskolen, saa blev den mange Steder det modsatte for Landsbyskolen”. Der var klart elementer i denne kritik, som måtte røre den socialdemokratiske undervisningsminister (1929-35) Borgbjerg. Men som vi viste i den statistik, der indledte dette kapitel, var mellemskolen ikke så socialt skæv, at den ikke fungerede som en vigtig social løftestang for arbejderklassens børn. Så den socialdemokratiske uddannelsespolitiske kurs var ikke helt nem at fastlægge.

Den frie mellemskole 1937 Ved valget i 1935 fik socialdemokratiet stor fremgang og kunne sammen med de radikale mønstre 82 mandater mod oppositionens 67. Dermed var et flertal sikret for at kunne gennemføre en skolereform. Den gennemførende undervisningsminister blev den radikale Jørgen Jørgensen, men lovforslaget kaldtes dog Det Borgbjergske Reformkompleks efter den gamle undervisningsminister. I et møde i pædagogisk selskab i december 1934 afslørede Borgbjerg, at der ikke ville blive tale om den revolution, som en del gymnasiefolk havde frygtet: “Ministeren udtalte, at spørgsmålet om et gymnasium bygget oven på den afsluttede udelte folkeskole havde kostet ham og hans parti store overvejelser, man at han var kommet til det resultat, at en differentiering af eleverne, der finder sted ved passende alder, ikke gjorde noget brud på enhedsskolen. Denne udtalelse – som gymnasieskolen er ministeren meget taknemmelig for – falder smukt i tråd med, at ministeren er stiller af forslaget om en differentieret folkeskole”, 440 fortæller gymnasiets undervisningsinpektør Højbjerg Christensen. Eksamensmellemskolen skulle ikke nedlægges, men der skulle i stedet oprettes en ligeværdig og ligeledes fireårig eksamensfri mellemskole. Hvor eksamensskolen sigtede på realklasse eller gymnasium, skulle den eksamensfri mellemskole føre over i erhverslivet, i fagskoler og tekniske skoler. Undervisningspligten turde man dog ikke fra centralt hold udvide fra det 14. til det 15. leveår, men man gav kommunerne ret til at vedtage en sådan udvidelse. Nok så vigtigt hævedes i landsbyskolen det magiske timetal på 18, der gjorde det muligt for en lærer at klare to klasser, til 24 ugentlige timer i gennemsnit over hele folkeskoleforløbet. Dette kunne blive dyrt at gennemføre, men departementchef Barfod vurderede, at det på kort sigt ville blive modsvaret af det faldende fødselstal.441 Derimod ville der blive udgifter til at skabe bedre fysiske rammer for den eksamensfri mellemskole, et særligt rentetilskud til oprettelse af nye sløjdlokaler, skolekøkkener, idrætspladser og skolehaver.

439

Dige side 193. A. Højbjerg Christensen: Dansk skolepolitik i de sidste 15 år, Vor Ungdom 1935/36, side 161. 441 A. Barfod: Det danske skolelovsforslag, Vor Ungdom 1935/36, side 153. 440

150

På den pædagogiske front byggede den fri mellemskole på forsøgsarbejder bl.a. i København, hvor viceskoleinspektør Th. Nørlyng havde været en af foregangsmændene. Han udgjorde også sammen med statskonsulenten F.C. Kaalund-Jørgensen og skoleinspektør Hans Kyrre det udvalg, der i årene 1933-36 udarbejdede betænkningen ”Den praktiske Mellemskole”. Nørlyng forklarer den nye skoles filosofi med, at det bærende grundprincip er lærerens autoritet: • • • • • • •

“Men i denne Autoritetsskole maa der være kraftige Islæt fra den fri Skole - og fra den personlige Skole, det vil sige rigelig Plads for Elevernes fri Arbejde og for Lærerens personlige Udfoldelse gennem Fortælling og Foredrag. Det skal være en Skole, hvor Samfundets Krav om elementære Færdigheder og Kundskaber sker fyldest, en pligtens Skole, ikke for den sure Pligt, men for den Pligtfølelse, der vokser ud af sund Arbejdsglæde. Det skal være en Skole, hvor der tages vide Hensyn til den legemlige Udvikling gennem Sport og Legemsøvelser, ved Indøvelse og Oplæring i hygiejniske Vaner. Det skal være en Skole, hvor Haandens Arbejde har en fremskudt Plads, for Barnets Udviklings Skyld, for Arbejdsglædens Skyld, Det skal være en Skole, hvor Kundskabsmeddelelsen foregaar væsentlig gennem frit Arbejde – men med Træning i Mindstefordringer. Det skal være en Skole, hvor det bedste af vort danske Kulturstof bevares, men hvor Børnene oplæres til en levende Forstaaelse af Nutidens Samfundsliv og Arbejdsliv, indstilles og forberedes til Arbejdet i Studiekredse og Biblioteker. Endelig skal den eksamensfri Mellemskole være et Arbejdssted, hvor alle normale Folkeskoleelever samles, de svagere med de flinkere – til gensidig Udvikling af Samfølelse og Hjælpsomhed, i Forstaaelse af, at Kammeraterne ikke skal bedømmes efter, hvad de kan yde, men efter den Iver og Omhu, hvormed de yder det, de formaar”.442

Matematikkens mulige rolle i den fri mellem Regning var blandt den fri mellemsfag, hvorimod matematik kun blev nævnt som en mulighed: “I den eksamensfri 4 aarige Mellemskole kan yderligere i de sidste Aar paa Undervisningsplanen optages Tysk, Engelsk og Matematik”. 443 Men alligevel blev den frie mellemskole et udviklingsværksted for en type aktiviteter, der med eftertidens bredere matematikbegreb absolut var af matematisk karakter. Det kunne fx ske i den store gruppe fag, der var slået sammen til kulturfag, og hvor undervisningen i stort omfang skulle foregå som emneundervisning. Allerede i forarbejderne i de københavnske forsøg påpeges klart, hvordan regning/matematik kan komme ind i disse emnearbejder: “Danmarks Klima. Klassen har i Oktober Maaned hver Morgen ofret et Minut paa Vejriagttagelse. En Dreng har aflæst Termometret, en anden Barometret, en tredje har iagttaget Vindretningen og Vindstyrken, en fjerde har maalt Nedbøren.

442

Th. Nørlyng: Den eksamensfri mellemskole, Vor Ungdom 1934/35, s. 262. § 19 stk. 3. Dette skulle vise sig at være en uheldig formulering, for med den stoppedes i 1950 en længe velfungerende ordning på Nyborg Skole, hvor man i en særlig brobyggerklasse i den frie mellemskole også gav undervisning i disse fag fra starten. Men ministeriet tolkede da bestemmelsen således, at der ikke måtte undervises i disse videregående fag i de første år på den fri mellem.(Nyborgforsøget, Vor Ungdom 1950, s. 161-176). 443

151

Og hvert Barn har dagligt noteret Iagttagelserne i sit Hefte, hvor ogsaa usædvanlige Vejrbegivenheder, der er indtruffet i Maanedens Løb, er optegnet, ligesom der er indsamlet Billleder, som Bladene har bragt om disse Begivenheder. Nu er Maaneden slut, og Resultatet af Iagttagelserne gøres op. Gennemsnitstemperaturen udregnes; der tælles op, hvor mange Dage Vinden har blæst fra Sydvest og andre Verdenshjørner, hvor stor Nedbøren har været, hvor mange Dage Solen har skinnet o.s.v. Paa kvadreret Kapir indtegner derefter hver Elev Temperaturkurven og Lufttrykkurven med blaat og rødt, saa de faar et Billede af Temperatur- og Barometersvingningerne i Maanedens Løb. Saa ræsonneres der over, hvilken Sammenhæng der er mellem Barometersvingningerne og Vejret, og det viser sig, at Stormdagene netop passer med det dybe Barometerfald. Paa Grundlag af Iagttagelserne skriver Eleverne derefter en Stil om Vejret i Oktober”.444 Nu er det ikke sådan, at den slags ideer kun blev udklækket i forsøgsklasser. Nørlyng fortæller om en ældre kollega i en normalskole, der i 1935 prøvede på denne måde at gøre regneundervisningen emneorienteret: “Den første bestod i nøjagtige Opmaalinger fra en nordsjællandsk Sandflugtsmose – med Angivelse af Muldlagets, Sandlagets og Tørvelagets Tykkelse. Desuden: Tørvegravens Dimensioner, den oplagte Tørvemasses Maal, Oplysninger om de to Tørvegraveres Arbejdstid og Arbejdsløn, Tørveprocent m.m. Det var en Opgave fra det daglige Arbejdsliv. Den taler for sig selv, viser Princippet”. “Den anden Opgave var følgende: Læreren omdelte Elevernes Helbredskort, hvorpaa bl.a. stod anført Elevernes Højdetilvækst og Vægtforøgelse gennem 6 Aar. Eleverne indstregede nu hver to Skemaer og paaførte Vægt- og Højdetal samt Aarstallene. Derefter tegnede de Kurverne, der anskueligt viste Eleverne deres legemlige Udvikling gennem 6 Aar. Jeg behøver næppe at kommentere denne fortrinlige Opgave. Det vil straks ses, hvad der kan bringes ud af den i en Sundhedslære-Time. Det er blot et Eksempel blandt mange paa den Interesse og Vilje til Fornyelse, der er levende hos mange danske Lærere”.445 Dette svarer meget godt til skolekonsulent Kaalund-Jørgensens opfattelse af regnings rolle i den fri mellem: “Til Regning afsættes ligeledes bestemte Timer. Der vil under Kulturfagsgruppens Behandling ofte være Brug for Beregninger eller praktiske Udregninger, Statistik o.l., der indgaar som Led i Fremstillingen. Det samme er Tilfældet under de manuelle Fag, der omtales om lidt. Men ligesom i Dansk maa Grundfærdighederne holdes ved lige, idet man dog ogsaa her tilstræber den størst mulige Forenkling og lægger Hovedvægten paa de Færdigheder og Regningsmaader, som hører Dagliglivet til (Taltræning, Regnskab, Kalkuler etc.), medens de Dele, der nærmest har teoretisk Interesse, træder i Baggrunden”. 446 En anden af den frie mellems pionerer, senere inspektør ved Vigerslev Allés Skole, A. R. Schacht, havde ikke helt samme positive erfaring med matematikken i sit forsøgsarbejde. Efter det første forsøgsår skriver han således: ”Regning var jeg mindre godt tilfreds med. Jeg syntes, vi havde trænet flittigt, og nogle standpunktsprøver, som vi havde holdt midt i året viste, at vi lå over gennemsnit. Men de iklædte opgaver var ikke gået særlig godt. Det var kun

444

Nørlyng side 264. Nørlyng side 266-67. 446 F. C. Kaalund-Jørgensen: Den praktiske mellemskole, Vor Ungdom 1935/36, side 170f. 445

152

sjældent, vi havde haft brug for eller lejlighed til at regne i tilslutning til andet skolearbejde, sådan som jeg havde tænkt mig det muligt”. 447 I 1935 var der mange klasser med i forsøgsarbejdet. I et notat om resultaterne skriver viceskoledirektør Nystad: “Regning: Der undervises efter den almindelige Plan. I dette Fag er der ingen Plads til Eksperimenter”.448 Her var man sikkert under indtryk af erhvervslivets kritik nogle år tidligere. Så på den ene side var der i den eksamensfrie mellemskole åbnet op for at bruge matematikken som et anvendt sprog i kulturfagene, men på den anden side ville man nødigt slække på færdighedskravene. Schacht, der i øvrigt var progressiv i sin pædagogik, valgte derfor at lægge vægt på traditionel færdighedstræning i regning: ”I regning, hvor klassen stod svagest efter det første aar, gik jeg i 7. og 8. klasse over til at bygge opgavesæt i taltræni ng saadan op, at de fra gang til gang udformedes helt ens, men med andre tal, hvorved eleverne ligesom kom til at konkurrere med sig selv. Vort arbejde med regning gav i hver fald til sidst et tilfredsstillende resultat”. 449 Ja, måske tilfredsstillende i en afsluttende prøve i regnefærdighed, men næppe tilfredsstillende for hele den pædagogik, som den frie mellemskole byggede på. Man sporer således allerede i de sidste forsøgsarbejder, før loven om den frie mellem trådte i kraft, at der var uløste pædagogiske problemer. Schacht og flere af forsøgslærerne i København var heller ikke glade, da den frie mellem blev sat i gang allerede fra 1938. Man havde gerne ført forsøgsarbejdet til ende først. 450

Dagliglivets regning Men kunne regning ikke altid finde plads som værktøj i kulturfagene, så kunne regnebøgerne drejes i en mere realistisk retning. I 1937 var de fleste bind af ”Dagliglivets Regning 1-8” udkommet med skoleinspektør Albert Christensen som hovedforfatter. 451 Formålet med at udgive dette nye system var at justere regneundervisningen efter ”de retningslinier, som de sidste års pædagogiske drøftelser af faget regning har angivet”. Men det karakteristiske for systemet var, at man havde lyttet til ”de ønsker, der fra erhvervenes side har været fremført over for skolen om en mere praktisk indstilling i færdighedsfagene. Det har således været udgiverne magtpåliggende at udarbejde et øvelsesstof i så nær tilknytning til det daglige livs forhold som muligt”. 452 Systemet var endnu præget af den færdighedsbølge, som jeg har omtalt som ”ny regning”, og det bekendte sig i forordet til ”fasthed i tilegnelsen”. Princippet med en timeopdelt regnebog var dog ikke så stift som i ”Den Ny Regnebog”. Men der var stadig en spalte på hver side til timedelt ”Daglig Træning”, mens den anden spalte med skriftlige opgaver gav bedre mulighed for en glidende overgang mellem timerne, idet de ”flinkere regnere” henvistes til tillægget med opgaver fra dagliglivet bag i bogen Det er dog karakteristisk for systemet, at skønt der især i bøgerne for de første klasser er mange rene talstykker, så er der lagt stor vægt på tekstopgaver med problemer fra hverdagen overalt i bøgerne.

447

A.R. Schacht: En praktisk mellemskole, 1971, s. 77. Schacht s. 81. 449 Schacht s. 110. 450 Schacht s. 125. 451 De øvrige gennemløbende forfattere er overlærer, senere skoleinspektør Oluf Hansen, kommunelærer, senere viceinspektør, Ejner Mortensen. Viceskoleinpektør Flemming Møller var i starten ”medvirkende” men blev senere ligeværdig medforfatter. I udgaverne fra 1950’erne medvirker senere seminarierektor Holger Paaskesen. 452 Citat fra Forordets start, der er fælles for alle klassetrin og alle udgaver. 448

153

I bogen for 8. klasse finder vi således i kapitlerne om procentregning og areal/rumfang opgaver om beregning af sagførersalærer, kommuneskat, forsikringspræmier, glarmesterregning for et helt hus, elektricitetsudgifter, jordopgravning i forbindelse med en cylindrisk brønd, praktisk anvendelse af vægtfylde. De sidste tre fjerdele af bogen er viet til emner fra dagligdagen under kapiteloverskrifterne: hjemmets verden, skolens verden, værksted og arbejdsplads, gård og vang, disk og lager, dagens marked. I et tillæg er der uddrag fra Danmarks Statistik som baggrund for friere øvelser bl.a.: antal lejligheder i byerne fordelt efter antal værelser; folketal, ægteskaber, skilsmisser, fødte og døde over en tyveårig periode samt statistik over færdselsuheld. Andre samtidige regnebogssystemer lagde også vægt på dagliglivets regning, erhvervsliv og samfund. Det, der karakteriserer ”Dagliglivets Regning”, er, at man har anstrengt sig ekstra for at gøre opgaverne aktuelle og nærværende for eleverne.453 Således træffer man uhyre sjældent de i øvrigt meget kendte ”regnebogspersonligheder” A, B og C. 454 Aktørerne er i stedet angivet ved navne eller professioner. Ligeledes er der ingen rester af formaldannende opgaver tilbage, altså opgaver der ved deres vanskelighed mere tjener til at ”øve tankemusklen” end til at løse et praktisk problem.

453

Th. Petersen udgav i 1937 ”Regning i Folkeskolens 8. Klasse”, det sidste skud på den gamle stamme ”Børnenes Regnebog” fra Gyldendal. Bogen når måske endnu videre omkring i praktiske anvendelser end ”Hverdagslivets Regning” (fx medtages mange kostberegninger), men opgaverne har ikke det samme nærvær og i næsten alle er subjektet anonymt eller regnespørgsmålet er skrevet i passiv form, som i de gamle regnebøger. Gevinsten ved passivformen, er at der kan medtages flere opgaver, da de ikke fylder så meget. 454 En af de få steder er på side 120 i bogen for 8. klasse, 1957-udgaven.: ”Fem arbejdere påtager sig at oprense en hovedgrøft på 850 m for 600 kr. Ved arbejdets afslutning opmåler de, hvor langt et stykke hver har oprenset: A 178 m, B 154 m, C 166 m, D 187 m og E resten. Hvor meget skal de hver have af betalingen?” Hvis der havde været navn, kød og blod (og Stauning) på disse arbejdere ville de nok have krævet 120 kr. hver.

154

Ser man f.eks. på opgaverne for 3. klasse, så er der bevidst medtaget nogle, der foregår i børnenes verden og nogle, der fortæller samtidshistorie, hvor andre regnebøger længe holdt fast ved tidsløse regneopgaver. 1-24:455 Arvid har 3 Bøger med Richsbilleder. I den ene er der 225 Billeder, i den anden 285 og i den tredje 175. Hvor mange i alt? 4-22: Lise har 265 Nipsenaale. Nina har kun 143. Hvor mange har Lise flere end Nina? 4-51: Sidste Aar var paa 365 Dage. Heraf var de 129 Helligdage og Fridage. Hvor mange Skoledage? 7-2: I Eva-Biografen er der Plads til 265 paa 1. Plads, 280 paa 2. Plads og 125 paa Balkonen. Hvor mange besøgende kan der være i alt? 7-8: Onkel og Tante sparer sammen til en Radio, der koster 400 Kr. De har allerede 125 Kr…. 21-93: Et Radioapparat staar til 240 Kr. Det kan faas paa Afbetaling, naar man straks betaler 1/10 af beløbet…. 10-58: Henning opførte ”Fyrtøjet” paa sit Dukketeater. Far, Mor, Faster Lise, Morbror Carl og Tante Lotte betalte hver 15 Øre…. 20-75: Jørgens Far spiller paa 1/8 i Lotteriet. I sidste Trækning kom Nummeret ud med 1000 Kr. Hvor mange Penge vandt han? 25-8: Rigmor tæller Pengene i sin Sparebøsse. Der er 191 Øre. Hun vil købe en Dukke til 95 Øre. Resten af Pengene faar hun Lov til at solde for i de 6 Dage, hun skal med Far og Mor paa Landet…Hvor mange Penge kan hun bruge daglig? 25-9: Ole havde 260 Kugler i sin Pose, da han kom i skole. I 10-Frikvarteret tabte han 38 Kugler, i 11-Frikvarteret 16 Kugler…… 38-39: Da Bodil blev konfirmeret, blev Festen holdt ude. Der var dækket til 24, og Regningen lød paa 14 kr. for hver…. 49-4: Bent har til sin Konfirmation faaet 120 Kr. Han faar Lov at købe et Telt til 18 Kr., en Rygsæk til 12 Kr. og et Fotografiapparat til 35 Kr. Resten af Pengene bliver sat i Banken… 39-40: Erik morede sig med at løbe Skøjtebanen 15 Gange rundt. hvor mange blev det, naar Banen var 185 m? 40-13: I Skolen blev der sidste Eksamen uddelt 27 Ure i Flidspræmier. Hvert Ur kostede 45 Kr….. 44-112 (daglig træning): Klara har Blegsot og skal tage 2 Piller 3 Gange daglig. Nu faar hun en ny Flaske med 150 Piller i. (et eksempel på en opgave, hvor der ikke stilles spørgsmål). 50-11: Povl har laant en spændende Bog paa 190 Sider; men han maa kun beholde den i 4 Dage. Den første Dag læser han 43 Sider…. 50-12: En Spejdertrop havde sparet 150 Kr. sammen til en 8 Dages Tur. De købte et Telt til 22 Kr. Hvor mange Penge kunne de saa bruge om Dagen? 54-26: Paa sin Fødselsdag gav Else Flødeboller til hele Klassen, 30 Børn i alt. Hver Flødebolle kostede 10 Øre… Dagliglivets Regning udmærker sig ved at revidere priser og tariffer til aktuelt niveau i nye oplag af bogen fx i 1957. Systemet overser ikke pigernes særlige erfaringsverden, men er selvfølgelig præget af at arbejdslivet uden for hjemmet var mandsdomineret.

455

Dette betyder opgave 24 på side 1 i Dagliglivets Regning 3. Del, 1937. I enkelte af opgaverne medtager jeg ikke hele teksten. ”Dagliglivets Regning” undlader i øvrigt som det første system, at skrive selve regnespørgsmålet i opgaver, hvor dette er indlysende.

155

Den unge piges regnebog De fleste lærere i den frie mellem vedblev at foretrække en solid, færdighedspræget metodisk regneundervisning efter de dominerende systemer som fx Gjellerups ”Den ny Regnebog” eller den noget mere praktisk orienterede ”Dagliglivets Regning”. De lærere, der var mest grebet af den pædagogiske vision for den praktiske mellemskole, ville dog nok søge efter nogle mere tematisk tilrettelagte regnebøger. Jeg fremdrager i det følgende to af disse.456 Ingrid Slots og Johs. Bjerres ”Den unge Piges Regnebog” udkom i 1945, og var så vidt vides den første regnebog, der tog særligt hensyn til pigernes særlige univers: ”Tallenes Behandling i Regningsarterne, som Brøker, Procent o.s.v. er den samme, ligegyldigt hvad vi regner med. Men som vi møder Tallene i det praktiske Liv, fremtræder de oftest i en saa kompliceret ”Indpakning”, at det kan volde ikke ubetydeligt Tankearbejde blot at bringe dem ud deraf. Derfor maa ”Udpakningen” opøves lige saa vel som selve Talbehandlingen. For de forskellige Fag og Specialer er der udarbejdet Regnebøger og Opgavesamlinger, men mærkeligt nok er der hidtil næsten intet Hensyn taget til den særlige Iklædning, som de fleste Kvinder under deres Arbejde i et Hjem vil møde Tallene i” .457 Den første halvdel af bogens 69 sider helliges en repetition af det gængse regnestof op til 7. klasse, idet der dog gives en særlig behandling af valgmetoder under forholdsregning og pristal gennemgås under gennemsnitsregning. I anden halvdel gives blandede opgaver af særlig interesse for målgruppen. I nogle af disse opgaver kan man opleve det realistiske, men for skoleverdenen anno 1945 ret ukendte, at spørgsmålet stilles, før alle informationer er meddelt, samt at der skal hentes data i andre opgaver eller tabeller. 140: Af 1 l Kærnemælk kan ma n faa 150 g Skørost. Hvor meget Mælk skal man bruge for at faa 1 kg Ost? 142: 1 Person bruger daglig 30 g Havregryn. a) Hvad beløber Forbruget sig til pr. Maaned, naar man køber en Pakkevare til 93 Øre pr. kg? b) Hvor meget sparer man, hvis man i Stedet køber Grynene i løs Vægt til 35 Øre pr ½ kg ? 145: I en Familie paa 5 Personer koger Husmoderen Kartoflerne færdig i Høkasse. Hun sparer herved 27 l Gas pr. Gang. Hvor meget beløber Besparelsen sig til paa et Aar, naar hun koger Kartofler 340 Gange, og Gasprisen er 20 Øre pr Kubikmeter? 151: Renholdelse af hvidskuret Køkkenbord paa 4 m tager daglig 20 Minutter. Renholdelse af linoleumsbeklædt Bord af samme Størrelse tager 3 Minutter. Hvor meget spares Aarlig ved at have linoleumsbeklædt Bord frem for det hvidskurede, naar Arbejdskraften beregnes til 70 Øre pr. Time. 159: Et Rugbrød paa 2 kg kan udskæres i 50 Skiver. Hvad kommer en Rundtenom med Ost til at koste, naar der til hver medgaar 7 g Smør til 4,30 Kr. pr. kg og 35 g Ost til 3,40 pr. kg ? Rugbrødet koster 60 Øre. 212: Naar et voksent Menneskes daglige Behov for Energi og Specialnæringsstoffer er anslaaet til følgende Mængder: Energi 3000 kal., Æggehvidestof 70 g, Kalk 750 mg, Fosfor 1 g, 456

Sådanne bøger var ikke skrevet udelukkende for den frie mellem, men havde også bud til aften-, ungdoms-, efter- og højskoler. 457 Ingrid Slots og Johs. Bjerres ”Den unge piges regnebog”, 1945, forordet.

156

jern 10 mg, A-vitamin 3000 int. A-enheder, B1-vitamin 300 int. B-enheder og C-vitamin 30 mg Ascorbinsyre eller 600 int. Enheder, hvor mange Procent af det daglige Behov faar da et Medlem af Familierne Christensen og Jørgensen dækket gennem de beregnede Middage. (Her skal både hentes data i tidligere opgaver og i en næringsmiddeltabel bag i bogen.) 216: En Familie kommer hjem efter 14 Dages bortrejse og opdager, at de før Afrejsen har glemt at slukke 2 elektriske Lamper, den ene mærket 26 Watt, den anden 57 Watt. Hvor dyr bliver Forglemmelsen? Elektricitet koster 40 øre pr. kWh. 246: Til en Stue, der er 5 m lang og 3,4 m bred, skal der købes Gulvtæppe. Hvad kommer Tæppet til at koste, naar Løberen er 68 cm bred og koster 11,25 kr. pr. m? 249: I en Beboelsesejendom med 6 Lejligheder er de samlede Varmeudgifter for en Vinter 2800 Kr. Ved Aflæsningen viste Lejlighedernes Varmemaalere henholdsvis 104, 93, 72, 80, 97 og 114 Streger. Hvor meget skal hver af de 6 Lejligheders indehavere betale i Varmebidrag? 260: I 1941 fødtes i København 15776 Børn, heraf uden for Ægteskab 2304, i Provinsbyerne 20084, heraf uden for Ægteskab 1946, i Landkommunerne 35446, heraf 1902 uden for Ægteskab. Hvor mange Procent af de hvert Sted fødte Børn er født uden for Ægteskab? 277: Else laaner 2000 Kr til Uddannelse. De første 2 Aar betaler hun kun Rente, men derefter skal Gælden foruden de stadige Rentebetalinger afdrages med 200 Kr. aarlig. Første Afbetaling ved Begyndelsen af det tredje Aar. Pengene forrentes med 4½ % p.a. hvor mange Penge kommer hun til at betale i alt for sit Laan? Tilsvarende kom der regnebøger, der henvendte sig mere til drengenes verden, f.eks. Henry Holm m.fl.: Regnebog for den eksamensfri Mellemskole, Skolen for Ufaglærte samt Aften- og Efterskoler fra 1948. Her gives først på 8 sider en oversigt over det vigtigste regnestof med tabeller og formler. Så følger 20 opgavegrupper, hvor første halvdel er ren færdighedstræning. Anden halvdel knytter sig gennem alle 20 opgavegrupper til et indlagt sæt tegninger af et hus: beliggenhedsplan, tværsnit af huset, planer af kælder, stueetage og tagetage. Gennem opgavegrupperne erhverves grunden, lægges fortov, anlægges have, udgraves og støbes kælder. Der bliver indrettet værksted i kælderen og købt inventar, hvis det ikke laves i værkstedet ud fra indkøbte dele. Den fremtidige lys-, brændsels-, vand- og gasregning skal beregnes så godt som muligt. Der skal beregnes indkøb af fliser til havegang, tørresnore til fru Hansen, linoleum til spisestuegulvet, gulvtæppe til spisestuen, malerarbejde, tapet og hvidtning af lofter. Gardiner. Den øvrige lakering af gulvene klarer de selv, men hvor mange dåser fernis skal de købe? Bogen afrundes med 25 ekstraopgaver vedrørende familien Hansens boligøkonomi. Og endelig er der som i ”Den unge Piges Regnebog” facitliste til alle spørgsmål. Der satses på elevernes egen motivation og på at frigøre læreren til mere vigtigt arbejde end at kontrollere elevernes besvarelser. Det er klart, at besættelsesårene 1940-45 hæmmede udviklingen af materialer til den frie mellemskole. Men ved udgangen af 40’erne var skolen godt forsynet med passende regnebøger til at støtte den særlige pædagogik i denne skoleform. Men det blev ikke regnefaget, der kom til at afgøre skoleformens fremtid.

157

Den frie mellems skæbne Nøgleordet var ligeværdighed mellem den frie mellem og eksamensmellemskolen, såvel mellem eleverne som mellem lærerne i de to skoleformer. Hertil var forestillingen om to begavelser: de bogligt begavede og de praktisk begavede, velegnet. Det er velkendt, at man kan finde stærkt bogligt begavede med ti tommelfingre på hver hånd, ligesom man kan finde gudsbenådede praktikere, der aldrig lærte at læse og regne godt. Men generelt holdt teorien om de to begavelser ikke – ifølge skolepsykolog Henning Meyer. I en række artikler i Folkeskolen i 1938 gjorde han op med denne forestilling. Danske, norske og engelske undersøgelser havde alle vist, at de, der havde let ved skolearbejdet med bøger, også var de dygtigste i sløjdsalen og håndarbejdsstuen:” Børnene i den eksamensfri Mellemskole er ikke den praktiske Del af de Børn, der forlader Folkeskolen. De er baade i praktisk og teoretisk Henseende tilbage i Forhold til Børnene, der kommer i Eksamensmellemskolen, men i praktisk Henseende er Forskellen blot ikke saa stor som i teoretisk Henseende”. 458 Efter Meyers vurdering deles børnene efter grundskolen således efter almindelig intelligenskvotient, og han mener, at forskellen på de to skoleformers intelligensniveau er meget stor. Derfor skal der lægges vægt på håndens fag og gymnastik, mens man skal holde sig fra den sværeste brøkregning og procentregning. 459 Der var da heller ikke givet metodiske trylleord i den undervisningsvejledning, der udkom et par år senere: ”Med hensyn til Metode hersker der fuld Frihed. Det overlades ganske til den enkelte Lærer at bestemme, om han overvejende vil drive Klasseundervisning, eller om han i højere Grad vil anvende individuel Undervisning. Hver Lærer maa søge at finde den Arbejdsform, der stemmer med hans Natur, og hvorved han mener bedst at kunne afpasse Klassens Standpunkt som Helhed efter de enkelte Børns Evner og Modtagelighed”. 460 End ikke emneundervisningen blev gjort til noget krav. Da så den frie mellem skulle udvikles i praksis, kom krigen 1940-45, hvor dagsordenen blev bestemt af helt andre forhold. Efter krigen lå der igen reformer i luften: ”Det ligesom lå i luften, at reformer af skolen først og fremmest skulle gælde den eksamensfri mellemskole. Så ung den var, havde den lidt mest i de vanskelige år. I modsætning til eksame nsmellemskolen havde den ingen traditioner, og ingen personer var sat til at værne om den og sørge for dens vækst. En undervisningsvejledning, der var tænkt som en støtte for den, var mager og lidet egnet til at bygge noget nyt og stærkt på”. 461 Skoleformens fremmeste talsmand, statskonsulenten for folkeskolen, var svækket i årene efter krigen p.g.a. beskyldninger om ”tyskervenlighed” og blev tvunget til afgang i 1949. Den nye statskonsulent viste sig at være kritisk over for den frie mellem. Samtidig gik elevtallet i eksamensskolen op og tilsvarende ned i den eksamensfri skole: ”Begge skoleformer måtte lide herunder: EM blev ligesom udvandet. FM blev ugleset”.462 Alt ifølge Schacht, der i sin bog fra 1971 prøver at forstå, hvorfor det gik så galt for den skoleform, der gennem livet havde stået hans hjerte nærmest. Undervisningsminister Hartvig Frisch samlede i sommeren 1949 en række fremtrædende skolefolk for at drøfte problemerne. Efter at have ridset problemfeltet op sluttede ministeren af med: ”Det er vel ikke for meget sagt, at ikke alle de lyse forhåbninger blev opfyldt, det kan selv en udenforstående som jeg se af den offentlige drøftelse, der føres om den praktiske mellemskoles forhold til eksamensmellemskolen”.. ”Hertil føjede ministeren nu 6-7 udtryk, 458

Henning Meyer, her efter Schacht s. 100. Schacht s. 101 460 Undervisningsvejledning for den eksamensfri folkeskole”, s. 9- her efter Schacht s. 127. 461 Schacht s. 132 462 Schacht s. 134 459

158

som var blevet brugt nedsættende om FM. Dette gjorde på mig et pinligt indtryk”, 463 skriver Schacht i sit referat fra mødet. Jørgen Jørgensen, der som minister havde gennemført 1937loven og som skulle komme til at gennemføre den næste lov, havde udtrykt det direkte og offentligt: ”Folkeskolen betragtes af mange som en sinkeskole, og det må erkendes, at det er pædagogisk uheldigt at sortere børn ved 11-årsalderen. Den nuværende skoleform bidrager væsentligt til at uddybe forskellen mellem børnene”.464 Schacht hæfter sig ved et indlæg, der forklarer fiaskoen ud fra læreruddannelsen. Den frie mellem var blevet indført uden, at man ændrede læreruddannelsen, så lærerne kunne blive bedre udrustede til at klare de nye udfordringer. Men den nye statskonsulent for folkeskolen Alfred Andressen ramte nok sømmet på hovedet:” Eksamensskolen, som den er nu, er en god skole, men det må erkendes, at folkeskolen har slagside. Den eksamensfri mellemskole har ikke formået at skabe den balance, man tilstræbte. Den er forladt af børn, forældre og lærere. Skal der skabes balance, må vi finde frem til en ordning, der ikke spalter skoleformen. Vi må have en fælles grundskole, en fælles mellemskole, der differentierer, og siden realskole og gymnasium”. 465 Altså i store træk samme løsning som den store skolekommision var kommet til i 20'erne, men der skulle gå endnu et lille årti, før det blev til lov. Schacht har klart svært ved at forlige sig med den praktiske mellemskoles forlis: “Børnene i den eksamensfri mellemskole havde fortjent en god skole, deres egen skole. De fik den i virkeligheden aldrig”. Han har ret i, at skolen byggede på mange gode pædagogiske tanker og flot forsøgsarbejde, men den danske demokratiske tradition, der kun blev styrket på grund af krigen, havde det ikke godt med en så radikal deling af elever i 11-årsalderen. Havde forestillingen om bogligt begavede og praktisk begavede som to forskellige grupper i børneflokken holdt vand, var det måske gået alligevel. Men først og fremmest faldt den frie mellemskole, fordi for få stærke forældre og lærere troede på den. De stemte med benene og forlod den. Kort om skolens strukturudvikling efter 1958 Politiske beslutningsprocesser tager tid, når det drejer sig om store projekter som broer over bælterne og enhedsskolen. Skønt den store skolekommission allerede i 1923 var kommet med forslag om en ægte enhedsskole, blev den dog ikke gennemført i 1937, og forud for loven af 1958 havde der været ti års livlig debat, hvor mange nye strukturforslag havde været på bordet. Disse var styret af tre hovedsynspunkter:466 ”Det ene var et konservativt synspunkt, et ønske om at bevare den delte struktur, og essentielt udtryk for en akademisk, elite-orienteret tankegang. Danmarks intelligens måtte ikke- til skade for landet – hæmmes i sin udvikling”. Det var lærerorganisationerne, både for gymnasiernes og folkeskolens, og Det konservative Folkeparti, der førte dette synspunkt frem. ”Det andet var et socialt udligningssynspunkt. Grundtanken var, at der burde ske en ændring, der fremmede en social udligning i byen, på landet og imellem land og by”. Det var det socialdemokratiske synspunkt, der især fremførtes af undervisningsminister Julius Bomholt. I starten ville han godt forhandle med de konservative, hvis blot der blev taget større sociale hensyn inden for den delte skole.

463

Schacht s. 135 Schacht s. 137. Det var med andre ord gået, som spået af Harald Hold i 1902 (se kapital 2). 465 Schacht s. 138 466 Som i det følgende citeres fra Henning Bregnsbo: Kampen om skolelovene af 1958, en studie i interesseorganisationers politiske aktivitet, Odense University Press 1971, Sammenfatning og konklusion side 205ff. 464

159

”Det tredje synspunkt var præget af grundvigske højskoletanker. Også tilhængerne af dette synspunkt mente, at der burde ske en ændring bort fra det akademiske, eliteorienterede skolesystem i retning af et større menneskeligt fællesskab indenfor en udelt skoles rammer. Den udelte barneskole var af positiv værdi i sig selv”. Dette synspunkt førtes frem af højskolefolk og Det radikale Venstre, men der var sympati for forlaget helt ind i Venstre og Socialdemokratiet. ”Det var tilhængerne af disse 3 hovedsynspunkter, der under lovgivningsprocessens forløb, forhandlede, polemiserede, intrigerede, propaganderede, lavede splittelsesforsøg, handlede, købslog o.s.v."467 I sidste ende blev der lavet et kompromis skoleloven af 1958, der tilgodeså alle parter, idet resultatet efter forgodtbefindende kunne tolkes som en sejr for hvert synspunkt. Der var således 113 stemmer for mod kun 31 imod.

Med skoleloven af 1958 skulle børnene holdes på samme skole til 7. klasse, hvorefter der kunne vælges mellem en realafdeling (1.-3. real) og hovedskolen (8.-10. kl.). Men allerede i 6. klasse skulle børnene på større skoler deles i boglige og i almene klasser, således at der alligevel blev en slags mellemskole ud af 6.-7. boglig klasse + 1.-2. real. Delingen skulle ske på baggrund af skriftlige prøver i dansk og regning i 5. klasse. Hermed havde tilhængerne af det konservative synspunkt tilsyneladende sikret sig, at de bogligt begavede børn ikke blev holdt tilbage i deres udvikling. Men her kom en klausul på tværs: Forældrene kunne efter afstemning beslutte, at børnene skulle blive sammen i udelte 6.7.-klasser, hvilket snart skete i stigende omfang i løbet af 1960’erne, således at enhedsskolen fra 1.-7. klasse i realiteten var gennemført omkring 1970. Hermed var første trin mod den sammenhængende enhedsskole fuldført, og socialdemokraterne og den udelte skoles tilhængere kunne dermed betragte 1958 loven som en sejr for deres synspunkter. Næste trin kom med udvidelse af undervisningspligten til 9 år i 1972 og folkeskoleloven af 1975, hvor den niårige enhedsskole blev indført på bekostning af realklasserne. Dog kunne 467

Samme side 207.

160

eleverne stadig deles pĂĽ niveauer i matematik, fysik og fremmedsprog i folkeskolens ĂŚldste klasser. Sidste trin mod enhedsskolen kom med loven af 1993, hvor denne delingsmulighed blev ophĂŚvet.

161

9. Real- og præliminæreksamen 1903-1958 Resumé: Med almenskoleloven af 1903 videreførtes en ækvivalent til den gamle realeksamen i form af den nye realeksamen, der nu kun eksaminerede i ét års stof mod tidligere fire. Til gengæld kunne man ikke indstille sig til den nye realeksamen uden først at have taget mellemskoleeksamen. Kravene til eksamen svarede til læseplanen af 16. nov. 1906. Hvis man ville gå ”ind fra gaden” og indstille sig til realeksamen, så måtte man tage den såkaldte præliminæreksamen, der eksaminerede i flere års stof. Det var tanken, at præliminæreksamen snarest skulle udfases efterhånden, som det nye system kom i gang, men det skete ikke før 1958, og præliminæreksamen forblev i mange år et vigtigt springbræt for den landlige befolkning. Vi følger, hvorledes en af de gamle realskoler, Bogø private Realskole, blev omdannet henover 1903-reformen. Selv om den nye realeksamen skulle være ækvivalent med præliminæreksamen, kan man dog på de skriftlige matematikeksaminer se markante forskelle, fx i sættene fra januar 1910. Allerede i juni 1910 kom opgavekommisionen for skade at lave for svære opgaver til realeksamen, men fra 1911 kom en tid med mere ensartede og forudsigelige opgaver. En statistik fra 1920 afslører, at topkarakteren ”ug” var den hyppigste ved matematikprøven, samt at præstationerne ved eksamen generelt var bedre end årskaraktererne. Fordelingen ved præliminæreksamen var endnu mere skæv, således at tre gange så mange fik ug end nogen anden karakter. I en tid, hvor ”normalfordeling” blev et kendt begreb, bekymrede de skæve fordelinger ved eksamen nogle. Ved reformerne i 1935, blev der lagt ekstra vægt på sikkerhed i færdigheder samt på fagets anvendelser i det praktiske liv – og eksamenskravene blev præciseret. Den største ændring skete i geometri, hvor der kun var mundtlig eksamen, og som for øvrigt forblev et valgfag. Her blev trigonometri et stort nyt område, der samtidig overflødiggjorde de klassiske ækvivalenter som kordeberegning og Ptolemæus’ Sætning. I 1935 blev det vurderet, at der stadig var brug for præliminæreksamen, og også den særlige realeksamen for piger, den såkaldte pigeskoleeksamen fik lov at fortsætte frem til 1958 på de få skoler, der ønskede dette. Tilsammen havde de tre former for realeksamen en vigtig social rolle som ”den lille mands studentereksamen” Kapitlet afsluttes med en oversigt over Kolding Latin- og Realskoles valg af lærebøger fra folkeskole til realskole over perioden 1907-1960, hvilket dokumenterer stor trofasthed over for én gang valgte systemer.

En gammel realskoles overgang til mellem- og realskole Efter almenskoleloven af 1903 blev realklassen en etårig uddannelse bygget oven på mellemskoleeksamen og afsluttende med realeksamen. Realeksamen blev samtidig ophøjet til afløser for den tidligere almindelige forberedelses- eller præliminæreksamen. Der var imidlertid stærke kræfter i gang for at bevare de gamle eksaminers særpræg. Så da det i 1904 blev bestemt, at den almindelige forberedelseseksamen kun ville blive ophævet med fire års varsel – blev resultatet, at den faktisk først blev nedlagt nogle år efter skoleloven af 1958. Den fælles almindelige forberedelseseksamen fra 1881, der var en vej ind på læreanstalterne og til etaterne, havde medført oprettelse af hundrede realskoler, der måtte se deres unikke særpræg forsvinde efter loven af 1903. Vi ser i det følgende på udviklingen af Bogø private Realskole henover 1903. Skolen var blevet oprettet på foranledning af folketingsmand C. Berg, 468 men var under ledelse af Anna og Christian Wad, der markedsførte denne landlige kostskole på helse og hygiejne: ”Vort Ønske og Haab er, at de hos os maa føre en sund 468

C. Berg, 1829-91, en af Venstres ledere.

162

og frisk Tilværelse i levende Følelse af, at vi ønske at holde Luften ren om dem baade i moralsk og i fysisk Forstand”. Efter vækning kl. 6.10 blev eleverne holdt i ånde med vekslende undervisning og lektielæsning frem til en times fritid kl. 18. Om aftenen lektielæsning, oplæsning eller sport. Sengetid kl. 9 for forberedelsesklassen, 9.30 for I og II klasse, 10 for III og IV klasse. Matematikundervisningen i fx III klasse omfattede før 1903: 3 timers regning, 4 timers aritmetik, 2 timers geometri samt 1 times geometrisk tegning, og ca. det samme på de andre klassetrin, idet dog geometrien først startede i II klasse med en enkelt time om ugen. Pensum i aritmetik var over alle fire år Julius Petersens Aritmetik I og II, og i geometri bestod den afsluttende eksamen ligeledes i Julius Petersens Geometri. Det anføres i 1888, at man i II klasse benyttede Spencers: Populær Geometri: ”Denne lille i Fjor udkomne Bog har vist sig som et ypperligt Hjælpemiddel til at fremme Forstaaelsen af Geometri”.469 Den forsvinder dog snart ud af geometriundervisningen igen, skønt timetallet i geometri forøges med to timer. Man tør gætte. at undervisningsinspektør Julius Petersen var en sådan autoritet, ikke mindst med henblik på eksamen, at elevernes fulde opmærksomhed skulle samles om hans Geometri.470 I begynderregning anvendtes Meyers Praktisk Regnebog I-II samt Femmers Hovedregnings-opgaver, der udkom første gang midt i 1800-tallet. Til de ældre klasser benyttedes Bertelsens regnebog og i de første år også Chr. Hansens endnu populære regnebog. Efter skoleloven af 1903 valgte man på Bogø Realskole gradvis at nedlægge de gamle realklasser nedefra og samtidig oprette mellemskoleklasser samt den nye etårige realklasse. I Meddelelser fra skolen fra 1908 slås fast, at realeksamen ”rangerer fuldkomment med almindelig Forberedelseseksamen (”Præliminæreksamen”), idet den giver Adgang til ganske de samme Veje; dens fortrin skulle være, at den tillader mere naturlige Arbejdsmetoder, saa at en Del Terperi falder væk, og at der lægges mere Vægt paa Forstaaelsen og mindre paa Hukommelsen”.

Kravene til realeksamen og præliminæreksamen De formelle krav til realeksamen var fastsat i den kgl. anordning af 16. november 1906. Matematikfagene var her praktisk regning og aritmetik, idet geometri blev et valgfag. Det bør bemærkes, at skønt man i 1906 var i en tid, hvor formaldannelsen endnu rådede både blandt pædagoger og mange politikere, kom der dog til at stå praktisk regning. Det hed det ikke i det oprindelige lovforslag i 1902. Det var først under 2. behandlingen, at det lovforberedende udvalg foreslog ”regning” ændret til ”praktisk regning”. 471 Denne ændring skyldes vel først og fremmest, at det alle dage havde været realskolens ambition at være real, altså nyttig, praktisk og tæt på den aktuelle virkelighed. Men det kan også være, at der var tale om lidt af en afværgedagsorden. Fordi udvalget bag almenskoleloven arbejdede samtidigt på gymnasiets indretning, og her havde der været krav fremme om, at regning skulle være et obligatorisk fag i gymnasiet. Der var blevet fortalt chokerende historier fra folketingets talerstol om, hvor dårligt matematiske studenter kunne regne i hovedet. Således hævdede venstremedlemmet Oscar Hansen, doktor i filosofi og pædagogiklærer, at kun en ud af ti studenter kunne udregne 11 x 11 i hovedet. 472 Andre mente ikke, det stod så galt til, og derfor blev 469

Meddelelser om Bogø private Realskole ved Anna og Chr. Wad, 1888 s. 11. Alle andre oplysninger om skolen er også fra Meddelser fra de forskellige år fra 1888-1920. 470 Retfærdighedsvis må nævnes, at dele af Spencer så bliver brugt i 1-timesfaget Geometrisk Tegning, hvor i øvrigt Buchwald og Steenbergs Konstruktionsbog I og II blev anvendt. 471 Rigsdagstidende 55, 13. Dec. 1902, spalte 2063, hvor ordfører Ottosen meddeler denne ændring. 472 Rigsdagstidende 55, 29. oktober 1902, spalte 725. Oscar Hansen: ”Det er ikke noget, jeg staar her og siger paa det vilde. Hvis de vilde undersøge Dr. Alfred Lehmanns videnskabelige Værk om Pulsslagets Ændringer under Aandsanstrengelser, vil De der gøre Bekendskab med en hel Suite af unge Akademikere, dygtige og

163

regning ikke et gymnasiefag. Men man kan levende forestille sig, at disse diskussioner har ført til, at man så i al fald ville holde fanen højt i realskolen og derfor kom på begrebet ”praktisk regning”. Pensum omfattede: a) Fortsatte øvelser i praktisk regning, særlig handelsregning, med større og mere kombinerede opgaver end i mellemskolen. Tillige indøves i umiddelbar tilknytning til den i algebraen lærte teori den praktiske anvendelse af logaritmer (4-cifrede mantisser) og brugen af rentetavler. b) Ligninger af 2den grad, deres almindelige løsning, sætningerne om røddernes sum og produkt; enkelte simple eksempler på ligninger af højere grad, der kan løses som kvadratiske ligninger, og på ligninger, der indeholder kvadratrod. Ligninger med flere ubekendte (symmetriske ligninger, én ligning af 2den grad sammen med én eller flere af 1ste grad). Potens og rod med rationale eksponenter (der bør ikke kræves regning med imaginære tal), Briggske logaritmer og deres anvendelse i regning. Udledelse af formlen for sammensat rentesregning samt af sumformlerne for differens- og kvotientrækker med simple eksempler på anvendelser (derunder enkelte ganske simple eksempler på annuiteter). Alt således, at det læste, så meget som forholdene og tiden tillader det, anvendes i praktiske opgaver. Der må også i den udstrækning, tiden tillader det, lægges vægt på en nøjagtig, klar og koncis fremstilling af teorien”.473 På Bogø Realskole anvendtes (1908) i mellemskolens regne- og matematikundervisning Pedersen og Røttings Mellemskolens Regnebog, i geometri Foldbergs Geometri for Mellemskolen efterfulgt i 4. mellem af Julius Petersens Lærebog i Geometri for Mellemskolen sammen med Buchwald og Steenbergs Konstruktionsbog for Mellemskolen II. I aritmetik anvendtes Foldbergs Aritmetik for Mellemskolen. I Realklassen benyttedes ligeledes Foldbergs: Regning og Algebra for Realklassen. Med udgivelsen af Friis-Petersen og Jessens Regnebog for Mellemskolen I-IV skiftes der i regning over til dette system, således at det bruges i hele mellemskolen på Bogø Realskole fra 1918. Som det vil fremgå af det følgende kunne realeksamen synes lettere end almindelig forberedelseseksamen. Det skyldes dog først og fremmest, at realeksamen forudsatte deltagelse i de forudgående års undervisning, altså fx mellemskoleeksamen. Til den almindelige forberedelseseksamen kunne enhver derimod indstille sig så at sige fra gaden, og den prøvede derfor i det fulde pensum fra flere år, og så havde den endelig et mere teoretisk tilsnit stammende fra denne eksamens oprindelse på læreanstalterne. I realklassen krævedes den teoretiske matematik således behandlet ”alt således, at det læste, så meget som forholdene og tiden tillader det, anvendes i praktiske opgaver”, og det holdt opgavekommissionen sig efterrettelig i gode år som fx januar 1910.

flittige Studenter, der paa deres Omraader i Vikeligheden give Anledning til store og gode Forventninger, men naar han siger til dem: hvor meget er 13 x 17, saa sidde de og arbejder med hjernen og sige saa til Slut: Maa vi ikke være fri, thi det kunne vi ikke”. 473 Her efter forordet til matematik og regning for realklassen af J.L.W. Jessen og O.A. Smith, 1959 (attende oplag).

164

Realeksamen januar 1910 Regning og matematik. 1. En Grosserer i København køber 320 Yards klæde i London for 5 sh. pr. Yard. Omkostningerne er 12 pCt. Hvor mange Kroner maa han tage for Meteren, dersom han vil tjene 25 pCt.? 1. sh. = 0,90 Kr.; 11 Yards = 10 m. 2. En mand indsætter i 10 Aar hver 1ste Juli en Sum på 500 Kr. i en Sparekasse, der giver 3½ pCt p.a.; samtidig med den første Indbetaling indsætter han et vist Beløb og i det Øjeblik, den sidste Indbetaling sker, har dette med Renter og Renters Renter naaet samme Størrelse som den, hvortil de 10 indsatte Summer er vokset. Hvor stor er det omtalte Beløb? 3. Fra et Luftskib falder et Projektil, der i Løbet af t sekunder falder 4,9t2 Meter. Idet Projektilet rammer Jorden, eksploderer det, og knaldet naar Luftskibet 16 4/5 Sekund efter, at Projektilet blev udkastet. Naar nu Lyden forplantede sig 343 Meter i Sekundet, hvor lang Tid har da Projektilet brugt om at naa Jorden? Find, hvor højt Luftskibet var over Jorden.

Her er der – efter den indledende regneopgave – klart tale om at prøve eksaminandens evne til at bruge algebraen i en (konstrueret) praktisk situation. Hvis man ser på det tilsvarende sæt til almindelig forberedelseseksamen, udfolder der sig et langt mere teoretisk virkelighedsfjernt univers, hvor kun regneopgaverne refererer til virkeligheden.

Almindelig forberedelseseksamen Januar 1910 474 Aritmetik 1. Idet α og β er Rødder i Ligningen Ax2+Bx + C = 0 skal man, uden at løse Ligningen, finde Værdien af (α2 + β2 )/ (α2-αβ +β2 )

2. Find x af ligningen log x3 + log 3√ (1/x) + log 3√ (x ) · log (1/x) 3 = 1 2/3 3. I et fircifret Tal er de to første Cifre lige store, og de to sidste Cifre er også lige store. Find Tallet, naar der tillige er givet, at det er 176 Gange saa stort som det tocifrede Tal, hvormed det ender. 474

Disse eksamenssæt findes hvert år frem til midt i 1930’erne i Matematisk Tidsskrift, her 1910 s. 19-22.

165

Geometri 1. Konstruer et Trapez ABCD af <A, den ene af de parallelle Sider CD samt Siderne BC og AD. 2. Det ene Skæringspunkt mellem to lige store Cirkler med Centrene B og C betegnes ved A og deres Skæringspunkter med BC ved P og Q, saaledes at P ligger mellem Q og C. Bevis, at PA er Mellemproportional mellem PB og PQ. 3. Paa et givet Kvadrats Sider tegnes fire Kvadrater lige store med det givne, og Midtpunkterne af de yderste Kvadratsider forbindes i Rækkefølge. Bevis, at den af Forbindelseslinierne dannede Firkant er et Kvadrat, og find dettes Areal, naar det givne Kvadrats Side er 1 cm. Regning 1. Hvor mange pCt steg Indbyggerantallet i en By i 1899, naar det var 45600 den 1ste Januar 1899 og 47538 den 1ste januar 1900? I hvilket Aar vil Byen have 100 000 Indbyggere, hvis Indbyggerantallet hvert Aar forøges lige saa mange pCt som i 1899? 2. En cylindrisk Betonblok, hvis Diameter og Højde henholdsvis er 21 m og 0,75 m, hviler paa runde, i Jorden nedrammede Granpæle, hvis Tværsnit er Cirkler med en Diameter paa 25 cm. Naar der nu paa Betonblokken desuden hviler en Vægt paa 3 300 000 kg, og Pælenes Bæreevne er 30 kg. pr. cm2 af deres Tværsnit, hvor mange Pæle maa der da mindst anvendes? 1 m3 Beton vejer 1500 kg. Rumfanget af en Cylinder er (Α/4)d2h, idet d er Diameteren og h Højden. Α = 22/7.

Allerede i juni 1910 gik opgavekommissionen for vidt med sværhedsgraden til realeksamen, hvilket førte til stærke beklagelser fra ”De højere Almenskolers Lærerforening”. I en resolution finder foreningen således, at sættet er ”en Hindring for en forsvarlig Undervisning i Realklassen”.475 Realeksamen juni 1910 1. En Kapital giver i et vist Antal Dage til 4 pCt. p.a. Renten 18 Kr.; en anden Kapital, der er 300 Kr. større end den første, giver i et Antal Dage, der er 45 mindre end det forrige, til samme Rentefod Renten 15 Kr. Find Kapitalerne og Dageantallene. 2. Beregn ved Anvendelse af Logaritmer Udtrykket √ (b/a – a/b)⋅ 4√ (a3b2 + 5a2b3) for a = 0,0135 og b=0,0173 3. Salgsprisen for en Vare maa sættes til 1 kr. 35 Øre pr. Kg, for at der kan tjenes 50 pCt. Efter at 21/40 af Varepartiet er solgt til denne Pris pr. kg, nedsættes Prisen pr. kg for Resten 475

Matematisk Tidsskrift 1911, s.74.

166

af Partiet med 20pCt. Hvor mange pCt kommer Fortjenesten ved hele Salget da til at udgøre? Grunden til, at lærerne beklagede sig over dette sæt, er sikkert, at opgave 1 udsender et signal om at være en rentesregningsopgave, men er faktisk to ligninger med to ubekendte, endog af anden grad. Og opgave 2 giver møjsommelige logaritmeberegninger, medmindre man reducerer bogstavudtrykket, før beregningen startes. I den tredje opgave vil mange fejlagtigt tro, at fortjenesten for restpartiet er 30%, hvilket der faktisk ikke står i opgaven. Ministeriet vil dog ikke bebrejde opgavekommisionen noget, idet opgaverne falder inden for en ”naturlig tolkning af kravene” i den kgl. anordning af 1906. Årsagen til, at opgaverne har været for vanskelige, må derefter findes i, at timetallet i realklassen er for lavt i forhold til kravene, og ministeriet vil have sin opmærksomhed henvendt herpå, ”naar Eksamenskravene ved Lejlighed skal revideres, idet man, uden på Forhaand at ville binde sig til noget bestemt Standpunkt i saa Henseende, nærmest vil være sindet at foretage en Reduktion af det nu krævede Pensum”. 476 Dette var godt embedsmandsarbejde, idet man fik støttet sin opgavekommission samtidig med, at den fik et vink med en vognstang om at ændre praksis, hvis den ville undgå en ny læseplan for realklassens matematikundervisning.

Eksamen bliver forudseelig og lettere I en kritisk tilbageskuende vurdering fra 1919 af ”De matematiske opgaver ved Mellemskoleeksamen og Realeksamen” fortæller tidens mest produktive regnebogsforfatter Fr. FriisPetersen da også, at der skete et skift efter 1910: ”De Opgavesæt, som hidindtil er givet i Regning og Matematik til Realeksamen, falder i to Perioder, første Periode strækker sig fra Juni 1908 til Januar 1911, anden periode fra Marts 1911 til Dato”. Den første periode var præget af en overvægt af matematik i eksamenssættet: ”i anden periode (fra Marts 1911) har der i Opgavesættene regelmæssigt været 2 opgaver i Regning og 1 Opgave i Matematik. Med hensyn til den matematiske Opgaves Plads (Nummer) i Sættet er det siden Marts 1914 blevet en fast Regel, at den sættes som Nummer 3, medens den før den Tid skiftede Plads i Sættene. Man maa hilse Udviklingen med Tilfredshed. Men også Opgavernes Indhold er blevet mere og mere tilpasset efter Eksaminandernes Standpunkt, og det praktiske Livs Fordringer”.477 Man kan i al fald ikke sige, at karakterfordelingen ved den skriftlige eksamen i 1920 syntes urimeligt hård. 478 Og da slet ikke når man sammenligner den med de samme elevers årskarakterer i samme år.

476

Matematisk Tidsskrift 1911, s.75. Fr. Friis Petersen: De matematiske Opgaver ved Mellemskole-Eksamen og Realeksamen – en kritisk Vurdering. Matematisk Tidssskrift 1919, s. 49. 478 R. H. Pedersen: Om Hyppighedsfordelingen af Aars- og Eksamenskarakterer, Vor Ungdom 1924, s.79. 477

167

20 15 10 5 slet+

mdl-

mdl

mdl+

tg-

tg+

mg-

mg+

ug-

0 ug

Procentdel elever

Realeksamen 1920, mat-regn

15 10 5

mdl

mdl+

tg-

tg+

mg-

mg+

ug-

0 ug

Procentdel elever

Årskarakter skr. regn-mat 1920

Karaktererne i skriftlig regning ved den almindelige forberedelseseksamen havde en endnu markantere sammenhobning omkring ug: ”Den her fundne Hyppighedsfordeling for skriftlig Regning ved Forberedelseseksamen og skriftlig Regning og Matematik ved Realeksamen er saa afvigende fra den sædvanlige, at den ikke vil kunne godkendes”,479 mener R.H. Pedersen. Og sandt er det jo, at disse eksaminer og specielt almindelig forberedelseseksamen er dårlige indikatorer på spredningen blandt de dygtigste elever.

168

slet+

mdl-

mdl

mdl+

tg-

tg+

mg-

mg+

ug-

50 40 30 20 10 0 ug

Procentdel elever

Alm. Forberedelseseksamen , skr. regn. 1920

Reformer i 1935 Der havde ikke været krav om nogen radikal reform af realeksamen forud for undervisningsinspektørernes betænkning i 1935, og ændringerne er da også moderate for de matematiske fags vedkommende. Som noget nyt var der en formålsformulering: ”Formålet for Undervisningen er: I Regning at lære Eleverne at behandle saadanne Opgaver, som har Tilknytning til det praktiske Liv, og at indøve dem i at udføre de i Opgaverne forekommende Beregninger med Sikkerhed og Færdighed. I Matematik at gøre Eleverne fortrolige med de matematiske Betragtningsmaader med særligt Henblik paa disses praktiske Anvendelse. Undervisningen skal omfatte Regning og Aritmetik og kan tillige omfatte Geometri”.480 Som typiske udtryk for 1930’erne fremhæves færdighedskravet (”med Sikkerhed og Færdighed”) samt en stærk fremhævelse af, at hovedformålet for matematikken er dens praktiske anvendelse. Men når det kommer til indholdet, er det næsten identisk med anordningen fra 1906. Indholdslisten skal dog læses med inspektørernes kommentar in mente: ”Det har været os magtpaaliggende at knytte Undervisningen saa nær til det praktiske Liv som muligt og give Undervisningsstoffet en saadan Begrænsning, at der bliver Tid til en sikker og nøjagtig Tilegnelse, samtidig med, at vi har anset det for formaalstjenligt gennem vore Forslag at give en udførlig Definition af Rækkevidden af de enkelte Punkter”. Når indholdsbestemmelsen for regning faktisk er større og mere detaljeret end i 1906, så er der samtidig givet et signal til lærebogsforfattere og opgavekommision om, at indholdet hverken er større eller mindre. Dette betød faktisk i forhold til nogle af de tidlige lærebøger og ”skæve” eksamenssæt stillet af opgavekommissionen, at der var tale om en lettelse for eleverne. ”I. Regning De i Mellemskolen behandlede Afsnit uddybes og anvendes paa mere sammensatte Opgaver. Af nyt Stof medtages Anvendelsen af Tabeller: Kvadratrodstabeller, 4-cifrede Logaritmetavler og Rentetabeller; udførligere Behandling af ret Prisme, Omdrejningscylinder, Pyramide og Pyramidestub, Omdrejningskegle og Omkrejningskeglestub samt Kugle." Indholdet for aritmetik var dog næsten identisk med tidligere, nu blot pindet ud i en nummereret liste, hvis sidste punkt var nyt i forlængelse af indførelsen af grafisk afbildning i mellemskolen: ”Det i Mellemskolen indledede Afsnit om grafisk Afbildning fortsættes med Anvendelse paa udtryk som y = xn (n hel og pos.) og y = 10x”. 481 Der havde været fremsat ønsker om at gøre valgfaget geometri obligatorisk for realklassen, men skolerne kunne stadig, efter 1935, frit vælge. om de ville medtage det. Hvis de gjorde det, ville timetallet for matematikfagene samlet blive øget fra 5 til 7 timer. Da det ikke indgik i kravene til realeksamen, var der kun mundtlig prøve i geometri. Det anbefalede indhold var:

479

Samme s. 71. Betænkning vedrørende Undervisningen i Mellem- og Realskolen m.v. afgivet af Undervisningsinpektøren for Mellem- og Realskolerne og Undervisningsinspektøren for Gymnasieskolerne, Kbh., 1935, s. 63. 481 Betænkningen s. 64.

480

169

”III Geometri

1) Ligedannede Figurer. Fremstilling af Figurer i forskellige Maalestoksforhold. Forholdet mellem Arealerne af ligedannede Figurer. Anvendelser paa Konstruktionsopgaver og Beregningsopgaver. 2) Trigonometri. De trigonometriske funktioner (sin, cos og tg) af spidse og stumpe Vinkler. Trekantens Opløsning. Beregninger, der kan henføres til Bestemmelse af Sider og Vinkler i en Trekant. Beregning af Radierne i en Trekants omskrevne og indskrevne Cirkel. Formler for Arealet af en trekant….samt arealerne af simple Figurer begrænsede af rette Linier og Cirkelbuer. Praktiske Anvendelser af Trigonometri”. 482 De krævede formler for trekantsareal omfattede bl.a. den såkaldte sinusformel og Herons formel. Her er virkelig tale om en markant ændring, idet trekantsberegninger og trigonometri er stærkt fremhævet i forhold til den klassiske geometri. I anordningen fra 1906 var trigonometrien indskrænket til de retvinklede trekanter og havde mere karakter af en tilføjelse til geometrien, hvor den nu stod centralt. Det var derfor efter 1935 muligt at skrive geometribøger for realklassen, hvor trigonometri og de mange nærliggende praktiske anvendelser stod helt centralt. En sådan geometribog var A. Nygaard og S. Vester-Petersen: 483 Geometri for Realklassen, fra 1950. Disse forfattere havde taget skridtet i retning af ”geometri med tal” fuldt ud og startede derfor med 8 sider om koordinatsystemet og grafisk afbildning. Dette indgik ikke i bestemmelserne for faget geometri, men var kommet ind under den obligatoriske aritmetik i 1935. Og da de skulle bruge koordinatsystemet til at definere de trigonometriske funktioner for stumpe vinkler, var det et velbegrundet valg at starte med koordinat-systemet. Samtidig blev eleverne præsenteret for første flig af analytisk geometri (den rette linjes ligning) og fik lejlighed til at se kurver i en praktisk sammenhæng. Andet kapitel i ”Geometri for Realklassen” bestod af 18 sider trigonometri, der førte helt frem til generelle formler for trekantsberegning, de såkaldte sinus- og cosinusrelationer. Den mere klassiske geometri ”Ligedannethed” kommer nu som et sidste kort kapitel på 6 sider, hvor ”ensvinklede trekanter er ligedannede” bevises med udgangspunkt i geometrisk multiplikation (forstørrelse) og eleverne i øvrigt lærer at konstruere en polygon ligedannet med en given. En matematisk puritaner ville nok falde over det uheldige i, at trigonometrien bygges op uden adgang til sætningen: ”ensvinklede trekanter er ligedannede”. Men det skyldtes, at realklassen byggede videre på mellemskolens pensum, hvor en ækvivalent sætning var gennemgået: ”Når to trekanter er ensvinklede er de tilsvarende sider proportionale”. Trigonometrien byggede derfor alligevel på et solidt fundament, så sætningerne ikke blev postulater. Det fremgår ikke af forordet, hvorfor forfatterne disponerer således med kapitlerne. Men man kan forestille sig, at de tidligt har villet lade realskoleeleverne komme i gang med det nye magtfulde værktøj som trigonometrien er. Trigonometriens praktiske oprindelse og formål benyttes ikke i selve fremstillingen, hvilket der dog delvis rådes bod på i den afsluttende opgavesamling med opgaver som: 22. En broklap, der er 18 m lang, drejes ved oplukningen 72,5 grader. Hvor højt løftes dens yderste punkt?

482

Indholdsbestemmelserne er på s. 63f i Betænkningen. A. Nygaard, adjunkt ved Århus Katedralskole og S.Vester-Petersen, inspektør ved Ryomgaard Realskole (1949). 483

170

41. Et skib C ligger for anker. Inde på kysten udmåles en basislinie AB = 300m. Sigtelinierne AB og AC danner en vinkel på 78,3 grader, og sigtelinierne BA og BC danner en vinkel på 69,2 grader. Beregn skibets afstand fra A og B. 42. Et fyrtårn, der hæver sig 34 m over havet, ses fra en båd under en vinkel på 1,2 grader. Beregn bådens afstand fra fyret.

De andre ”realeksaminer” efter 1935 Med hensyn til Almindelige Forberedelseseksamen (præliminæreksamen) så skulle den egentlig have været faset ud ved reformen i 1903, hvor der var 168 skoler, der forberedte (typisk gennem fire ”realklasser”) til den. Nu ved reformen i 1935 virkede den noget antikveret med kravet om eksamen i fire års pensum på en gang. Dette lagde op til en stærkt eksamensfikseret undervisningsform, som tiden var ved at løbe fra. Men der var åbenbart behov for den, idet 45 skoler i Jylland og 25 på Øerne endnu forberedte til denne eksamen. Dels var disse præliminærskoler et naturligt valg for mange børn fra landsbyskolen, og de gav også en chance til dem, der oprindeligt var blevet fejlsorteret ved optagelsesprøven til mellemskolen eller senere ønskede at gå en boglig vej (a la vor tids HF- eller studenterkurser). Enkelte kommuner som Frederikshavn havde indrettet en ”mellemskoleklasse” i 6.-8- klasse med henblik på, at man herfra kunne gå på et toårigt præliminærkursus.484 Så det var i praksis en fleksibel eksamen, der i sit indhold stadig var styret af en kgl. anordning fra 1895. Ved reformen i 1935 valgte man dels at udstyre skolerne med et forslag til normaltimeplan og dels at harmonisere eksamen med mellem- og realeksamen. Bl.a. skulle man som ved disse eksaminer nu have lov at medregne en årskarakter i det endelige resultat, så selve eksamen ikke blev så meget ”knald eller fald”. Undervisningsinspektørernes forslag til eksamenskrav for matematikfagene var næsten identisk med foreningsmængden af mellem- og realeksamen med enkelte præciseringer af det videregående geometristof, fordi der var skriftlig eksamen i modsætning til realeksamens mundtlige. Således krævedes bl.a. ”Beregning af Vinkler og Sider i en Trekant, naar tre Stykker er givne”.485 Selv om trigonometri som noget nyt blev optaget i pensum, var der nok reelt tale om en lettelse, idet en del af det klassiske geometristof nu kunne udelades: ”Sætningerne om et Punkts Potens med Hensyn til en Cirkel samt den ptolemæiske Sætning vil uden Brud paa Sammenhængen kunne udelades” sammen med gamle sætninger om vinklers og siders afhængighed, to linjestykker med irrationalt forhold og en del klassiske kordeberegninger. 486 I aritmetik blev læren om imaginære tal helt sløjfet, og det blev indskærpet, at der i talteorien ikke krævedes bevis for primfaktoropløsningens entydighed eller for, at der er uendeligt mange primtal. Pigeskoleeksamen kunne også virke lidt antikveret her i 1935 med tilbud om en realeksamen indrettet for piger, der fik et år mere til skolegangen end ved den normale realeksamen. Eksamenskravene var mere fleksible. Således kunne pigeskolerne i de to sidste skoleår fravælge matematik til fordel for husgerning og skræddersyning, hvilket dog devaluerede deres eksamen med henblik på optagelse i gymnasiet. Her var mere tale om et tilvalg end et 484

Alle disse oplysninger er fra Betænkningen s. 79f. I 1949 havde Nygaard og Vester-Petersen udgivet deres ”Geometri for Præliminæreksamen”, der omfattede dette trekantsberegningsstof. Deres geometri for realskolen fra året efter synes at være en ren delmængde af denne større bog, der desuden omfattede mellemskolestoffet. 486 Betænkningen s. 109 485

171

fravalg, for der var intet, der tydede på, at piger som køn betragtet havde sværere ved matematik end drenge, snarere tværtimod. 487 Pigeskoleeksamen blev tilbudt på 5 københavnske gymnasier i 1935 og den blev fortsat ved reformen med få ændringer, men muligheden for at kunne fravælge matematik blev opretholdt. 488 Pigeskoleeksamen døde langsomt ud og nævnes ikke i skoleloven fra 1958. Da realklassen efter 1903 kun var 1-årig oven på den fireårige mellemskole, var den store fagdidaktiske debat og udvikling mere knyttet til mellemskolen. Og det ligger i sagens natur, at en 1-årig skoleform, der afsluttes med en omfattende eksamen, nødvendigvis blev meget eksamensfikseret. Så meget mere må det understreges, at realeksamen vel var det vigtigste springbræt opad i socialklasse for generationerne fra 1900 til 1960. Eller som det skrives i Encyklopædien: ”Realeksamen blev ofte kaldt ”den lille mands studentereksamen” og bidrog til et højere uddannelsesniveau for betydelige samfundsgrupper”.489

Brug af lærebøger gennem et halvt århundrede Det fremgår ikke af fremstillingen af de enkelte lærebøgers fremkomst, hvor trofaste skolerne har været over for et system, der faldt i lærernes (og måske boginspektorens) smag. For at give indtryk af dette følges herunder udviklingen på Kolding latin- og realskole, der frem til 1918 også havde en grundskole. Fra skolens start i 1880, da den var Realskolen efter den gamle ordning dominerede Julis Petersens bøger: Geometri og ”Aritmetik og Algebra” suppleret med Steens Algebra i de højere klasser. Efter skoleloven af 1903 var man faktisk længe tro mod Julius Petersens System, idet de bøger, der herunder tilskrives professor C. Hansen faktisk var videreudviklinger af Julius Petersens bøger. Kolding latin- og realskole med grundskole Niveau/år Realklasse

1907 ikke i gang

Mellemskole geometri Mellemskole aritmetik Mellemskole regning

Julius Petersen: Geometri Julius Petersen : Aritmetik Pedersen & Røtting: Regnebog for mlsk Wilsters Regnebog II-IV Joakim Larsens Regnebog I-III

Folkeskoleklasser

1909 Julius Petersen: Plangeometri for gy+real Pio: Aritmetik for Realklassen Foldberg: Geometri for mlsk Pio: Aritmetik for Mellemskolen udelukkende Pedersen & Røttings Regnebog for Mellemskolen I-IV Joakim Larsens Regnebog I-III

Kolding latin- og realskole med grundskole Niveau/år Realklasse

1918 (grundskolen ophører) 1925 C. Hansen: Aritmetik og geometri Jessen & Smith: Regn og Mat for Realkl. for spr. gymnasium Friis-Petersen & Jessen: Realkl. Regnebog C. Hansen: Arit og geo for spr. gym

487

Jf. resultaterne fra statens prøver i regning for 14-årige andetstedt i dette arbejde og se Leif Busk: Om Fællesopdragelse og Fællesundervisning, Vor Ungdom 1940, 63-69. Om indførelsen af pigeskoleeksamen se A.H. Thyssen: Pigeskoleeksamen og almindelig Forberedelseseksamen, Vor Ungdom 1908, s. 132-135. Et historisk perspektiv fra starten af århundredet gives af I.F.H i Meddelelser om danske skoleforhold 1899-1900. Den højere Pigeskole, Vor Ungdom 1901, s. 12-24. For overvejelser i forbindelse med kvindernes erhvervelse af valgret i 1915 se Skram, Henriette: Bør Ændringen af Kvindens retslige Stilling her i Landet kræve en Omdannelse af Barne- og Ungdomsskolen for Pigebørn, Vor Ungdom 1915, s. 301-323. 488 Man kan undre sig over dette i så moderne en tid, som 1930’erne var, men det skyldes hele forhistorien om kampen for pigernes skolegang. Se Hilden, Adda og Anne-Mette Kruse: Pigernes skole, KLIM 1989. 489 Den Store Danske Encyklopædi, bind 16, 2000: opslaget ”realeksamen”.

172

Mellemskole geometri Mellemskole aritmetik Mellemskole regning Folkeskoleklasser

C. Hansen: Geometri C. Hansen490: Aritmetik Pedersen og Røtting: Regnebog Joakim Larsens Regnebog I-III

C. Hansen: Geometri C. Hansen: Aritmetik Pedersen og Røtting: Regnebog nedlagt

Kolding latin- og realskole Niveau/år Realklasse

1930 uforandret

1940 do

Mellemskole geometri

Pihl & Rasmussen C. Hansen i 3.+4. mel. Pihl & Ring Pihl & Ring: Regnebog

1950 C.C. Andersen & Damgaard Sørensen: Regning og Aritmetik for realklassen Juul & Rønnov: Geo. for realklassen Juul & Rønnov: Geo. for Mellemskolen

do do

Pihl & Ring Pihl & Ring

Mellemskole aritmetik Mellemskole regning

Kolding latin- og realskole Niveau/år Realklasse Mellemskole geometri Mellemskole aritmetik Mellemskole regning

1960 uforandret uforandret C.C. Andersen & Damgaard Sørensen C.C. Andersen & Damgaard Sørensen + lidt Pihl & Ring.

490

Professor Carl Hansen, død 1910, videreførte Julius Petersens system af lærebøger i modereat moderniseret udgave.

173

10. Løb tankens slibesten tør? Forfatterens indledning Da jeg havde skrevet de foregående kapitler, slog det mig, at det var underligt med den formaldannelse, der pludselig forsvandt. Hvordan kunne man satse hele introduktionen af matematik i mellemskolen i 1903 på fagets forstandsopøvende effekt, og så bibeholde faget selv om tænksomme folk godt var klar over, at formaldannelsesteorien i sin oprindelige udgave ikke kunne holde? Dette afsluttende kapitel er skrevet i en lidt friere og mere søgende stil, hvor jeg også bringer mine egne meninger på banen – lidt mere essayagtigt om man vil. Samtidig prøver jeg at bringe diskussionen op mod vor tid. Og jeg vil forbeholde mig retten til senere at blive klogere på denne vanskelige diskussion. Det hele ville være meget lettere at tale om, hvis jeg brugte det p.t. mest anvendte ord omkring matematikundervisning, nemlig kompetence. Men dels omgår jeg måske herved et reelt problem ved at bruge et ord, der ikke gør modstand. Jeg mener også, at jeg er mere tro mod det historiske afsæt, der motiverer kapitlet ved at tale om material- og formaldannelse. Derfor har jeg forbudt mig selv at skrive ”kompetence” en eneste gang i resten491 af kapitlet.

Talen om formaldannelse forstummede omkring 1920 Det er slående, at der efter 1920 tales meget lidt om den formaldannende virkning af regning og matematik, der i starten af 1900-tallet var den væsentligste begrundelse for undervisning i disse fag. Styhrs cirkulære fra 1900 havde meldt rent ud med formaldannelse: ”Ved Regneundervisningen skal der tages Sigte paa, at Børnenes Forstand udvikles og de vænnes til Energi og Udholdenhed i deres Tænkning, samtidig med at de opnaa den i det praktiske Liv saa værdifulde Regnefærdighed”.492 Betænkningen for mellemskolen fra 1903 mente nærmest, at der ingen materiel dannelse var at hente i faget matematik, med mindre man skulle bruge det til videre studier. Så matematikken var kun medtaget for den almindelige evneudviklings skyld: ”Men af desto større Værdi er den Udvikling, som Elevens Evner kunne faa ved den matematiske Undervisning; det er denne, der giver Faget en fremskudt Plads blandt Almenskolens Undervisningsmidler, som Undervisningen derfor altid maa tage Sigte paa”.493 Der kan heller ikke spores modstand mod disse synspunkter blandt lærerne og fagdidaktikerne i århundredets første årti. Først med Axel Dams disputats i 1912 sættes der for alvor spørgsmålstegn ved formaldannelsens mulighed. Det lå i alle de nye forsøg på at skabe en videnskabelig psykologi, at en generel evnetræning ikke kunne accepteres, før den blev positivt bevist. Og her var den nye psykologis strenge krav om eksperimenter med kontrolgrupper, der ikke fik ”behandlingen”, en vanskelig test at bestå for traditionelle forestillinger. I USA toppede angrebet på formaldannelsen med Edward L. Thorndike, der lige siden 1900 havde brugt sådanne kontrolgrupper. Disse eksperimenter, der ikke kunne påvise nogen generel evneopøvelse, viste også, at øvelse og gentagelse, hvor eleven fik positiv respons på rigtige svar, var en langt sikrere vej til færdigheder i elementær regning. Den danske færdighedsorientering i 1920’erne har sikkert også hentet inspiration fra Thorndikes bøger ”The 491

idet jeg dog afslutningsvis ser på KOM-projektet med de briller, som denne historiske tilgang giver mig. Her og i det følgende citeres fra cirkulæret fra Uddannelseshistorie 2000, 34. årbog fra Selskabet for Dansk Skolehistorie, her s. 66. 493 Her efter Dam, 1912, s. 73-74. 492

174

Psychology of Aritmetic” (1922) og ”The Psychology of Algebra” (1923), hvor hans tanker blev direkte udmøntet på de matematiske fag. Thorndike siger ikke, at overføring (transfer of training) er umulig. Men den forekommer kun, hvis der er identiske elementer, der direkte kan overføres fra træningssituationen til den nye situation – ganske som Dam skrev 494 i 1912. Men det var ikke kun psykologerne, som tog formaldannelsen af dagsordenen. Også den pædagogiske dagsorden skiftede. De fremmeste pædagoger blev optaget af de nye tanker om reformpædagogik. Og her var det ikke noget enkelt fag, der skulle være en skabelon for barnets udvikling, men udgangspunktet var i selve barnet. Barnet skulle have lov at bruge alle sine legemlige og åndelige kræfter: tænkning, fantasi, konstruktive ideer, følelse og vilje. I dette projekt fik fagene en tilbagetrukket rolle, og derfor blev det uinteressant at tale om formaldannende virkninger af fag som matematik eller latin. Så meget mere som formaldannelsesargumenter netop var blevet brugt mere som forsvar for fag end for børn. Hvad angår faget regning, gik faget ind i en bølge, hvor færdigheder blev højest prioriteret. Årsagerne til denne prioritering er flere, og sandsynligvis er formaldannelsens fald ikke den vigtigste. Samfundsudviklingen, samlebåndstænkning og de heraf formulerede krav fra erhvervslivet er en anden vigtig årsag. Endelig er det omkring 1. Verdenskrig og med udgangspunkt i USA og Frankrig, at testning bliver det store dyr i åbenbaringen, 495 ikke mindst intelligenstest og færdighedstest. Også i Danmark afholdt undervisningsministeriet fra 1917 test af 14-åriges færdigheder i dansk og regning. Det var ikke mindst de her konstaterede dårlige resultater i regning, der fik erhvervslivet til at tage færdighedskravet på dagsordenen. Men der lå også en gammel tradition i regneundervisningen for, at færdighederne var det centrale, så det var ikke svært for myndighederne at få regnelærerne til igen at fokusere på færdigheder i dette fag. For regnings vedkommende fortrængte færdighedskravet således uden større sværdslag de mere ambitiøse, men tilsyneladende urealistiske mål, der lå i formaldannelsen. Så meget mere påfaldende er det, at Mellemskolen kunne holde stand. Selvom den væsentligste grund for at give børn matematikundervisning, altså formaldannelsen, forsvandt, kunne Mellemskolens matematiktimetal, -læseplan og -eksamen fortsætte i det væsentlige uforandret hele vejen op til 1958. Det må forekomme ubegribeligt 496 for enhver uhildet betragter. Nu er jeg ikke selv nogen uhildet betragter, og jeg tror, jeg begriber det. Jeg ved fra matematiklæreren i mig selv, at denne indbyggede lærer har svært ved at opgive troen på formalt dannende potentialer i matematikken. Og jeg tror, at mellemskolelærerne fra 1920 til 1958 også havde svært ved det. For mit eget vedkommende har jeg dog så meget styr på min indbyggede matematiklærer, at han ikke fastholder troen på generel evneopøvelse, men sørger for at udtrykke det i en ny tids mere acceptable og rimelige termer. Jeg vil derfor i det følgende spore, hvordan mine kolleger i fortiden klarede og forklarede formaldannelsens fald. Kilderne er 494

Thorndike var før ude med sine ideer end Dam, der kun henviser til Thorndike et enkelt sted, men klar er inspireret af den nye amerikanske psykologi. 495 En af mødrene til den amerikanske testningstradition inden for regning Agnes I. Rodgers havde sagt det således i 1918: ”We can scarcely grasp the full significance of the introduction of scientific measurement in education”. She saw testing as a means of controlling ”the human machine” so that it woould be more efficient. (Grouws (1992) s. 16 ) 496 Og dog er det vel ikke afgørende for værdien af mellemskoleeksamen, at formaldannelsesteorien holder. Lad os et øjeblik tænke, at den er total falsk: at fx evner er 100% arv. Så kan Mellemskoleeksamen nemt opretholde sin betydning gennem, at den sortere dem, der har denne arv, fra dem, der ikke har den. Eksaminanden får således alligevel den samme eller større ”kulturelle kapital”, som den formaldannelsen ville have givet – sådan rent sociologisk.

175

imidlertid ret få, så jeg bliver også nødt til at tage afstikkere til udlandet for at skaffe mig et billede på reaktionen.

Nogle forsvar for matematik som formal dannelse i 1930’erne Det var ikke således, at regning-matematik blev et mindre skolefag som konsekvens af den manglende formaldannende virkning. Men for lærere, der kunne huske, at formaldannelsen var fagets hovedberettigelse få årtier tidligere, må det have vanskeligt at acceptere den nye situation. En af dem, der forsvarede en slags formaldannende virkning af matematik hele sit liv, var rektor Einar Torsting. I 1936 er han ikke så sikker i sin tro, som folkene i starten af århundredet. Han synes dog, det er vigtigt at beskæftige sig med betingelserne for fagenes ”åndsdannende” kvaliteter og muligheder: ”Jeg siger udtrykkelig: ”betingelser for”, idet det hele jo ikke er så mekanisk, at blot man beskæftiger sig med disse fag, så har man resultatet; bl.a. beror det jo på beskæftigelsens intensitet og på det pågældende menneskes evne til at arbejde med netop den slags emner. Det er absolut ikke min mening at hævde matematikkens og fysikkens enestående betingelser, men kun at påvise, at her er betingelserne tilstede”.497 Han hævder 1) at arbejdet med matematik og naturvidenskab vil modvirke tilbøjelighed til for hurtige generalisationer, ”hvilket medfører fordomme, som altid vil være hæmmende over for sand åndsdannelse”. 2) at ”beskæftigelsen med matematik (og fysik) vil medføre en oplevelse af denne klarhedens værdi og fylde én med afsky for alle flertydige og udflydende begreber”. Dette er efter min vurdering en væsentlig og muligvis sand formaldannende virkning, især i længerevarende uddannelser. Det er dog et spørgsmål, om dette er en attråværdig dannelse. Den er en af årsagerne til det, der senere blev kaldt kløften mellem ”de to kulturer”,498 den matematisk-naturvidenskabelige og den humanistiske. Et par år senere fremdrager han endnu en formaldannende virkning af matematik, idet han citerer professor Harald Bohr: ”Man fremhæver undertiden, at matematikkens betydning ligger i, at man af den lærer at tænke rigtigt. Forholdet er snarere det omvendte: At det kan være nyttigt at se, at man selv inden for en så idealiseret og forenklet tankebygning som den matematiske så overordentlig nemt kan slutte forkert. Den erkendelse kan være af stor nytte for mennesker, når de senere giver sig til at tænke over mere komplicerede problemer; de vil efter sådanne værdifulde erfaringer kunne møde mange ting i livet med sundere skepsis. Det er vanskeligt at lære mennesket at tænke rigtigt, men måske er det muligt at få mennesker til at begribe, hvor nemt det er at tænke forkert”.499 Her tror jeg igen, at Torsting og Bohr her ret i, at denne formalt dannende effekt af matematiske studier forekommer. Men jeg er bange for, at virkningen kun forekommer hos ret få. 497

Einer Torsting: Matematikkens og fysikkens åndsdannende betydning, Vor Ungdom 1935/36 s. 321-328. C. P. Snow (1905-80) skrev i 1959 ”The two Cultures and the Scientific Revolution”, hvori han advarede mod denne kløft, men han var nu mest kritisk overfor humanisternes manglende erkendelse af naturvidenskaben som kulturfænomen. 499 Harald Bohr i Politiken d. 22. april 1937. Her efter Einer Torsting: Børn og Matematik, Vor Ungdom 1937/38, s. 338f. 498

176

For man skal være ret ferm til at slutte korrekt i matematiske beviser, før man rigtig kan erkende en fejlslutning. Og så er der også det problem, at man i det praktiske liv bliver nødt til at slutte, at tage en beslutning og handle, selv om de tilgængelige informationer og sammenhænge er ganske utilstrækkelige til at lave en egentlig deduktiv slutning. Matematikkens ideale beviskrav kan sjældent overføres på sådanne situationer, og hvis man faktisk overfører dem, kan det måske resultere i handlingslammelse. Skal man kort sammenfatte Torsting og Bohrs forsvar for formaldannelseseffekter ved matematikundervisning her i 1930’erne må man sige, at de fremhævede effekter er langt mere beskedne end den tro på matematik som ”tankens slibesten”, der var fremherskende 30 år tidligere og havde rødder langt tilbage i tiden. De anførte citater er det eneste, jeg har kunnet finde i de afsøgte tidsskrifter fra perioden 1920-50. Det tyder på, at forestillingen om, at matematik kan give en general evnetræning, der virker langt ud over faget, mere eller mindre opgives af fagfolk fra 1920’erne. I hvert tilfælde forsvinder ordene ”formal dannelse” i den gamle stærke betydning som ”evnetræning” fra den pædagogiske debat i Danmark. Men jeg tror ikke, at visionen og ambitionen bag ordene blev glemt. De måtte blot afvente nye begreber og teorier for igen at blive udtrykt. Det er et helt andet spørgsmål, om menigmand stadig tillagde matematikken en evnetrænende betydning. En del politikere i folketinget gjorde i al fald. I forbindelse med forhandlingerne om skoleloven af 1937 udtaler en konservativ politiker, overretssagfører500 H. F. Ulrichsen, sin helhjertede støtte til matematikken i mellemskolen netop, fordi faget træner hjernen: ”Med hensyn til Arbejdet i Mellemskolen vil jeg gerne tilføje, at jeg er meget lidt fornøjet med den ellers fornuftige københavnske Skoledirektørs udtalelse om, at Matematik burde væk fra mellemskolen. For det første er det min Erfaring, at Matematik aldeles ikke er vanskelig for mellemskolebørn, det er saamænd ikke den højere Matematik, de lærer, og med den store Interesse for de tekniske Fag, er det naturligt, at Mellemskolens Børn faar noget matematisk Begreb; matematik er jo et Fag, der træner Hjernen, og i vor Tid, hvor man lægger saa megen Vægt paa Træning af legemet, er det naturligt, at man ogsaa lægger nogen Vægt paa Træning af Hjernen”.501 Tankerne om formaldannelse lå også – så at sige i hi – i Mellemskolens bøger og eksaminer, der oprindeligt var præget af formaldannelse, og forblev mere eller mindre uforandrede det meste af perioden frem til mellemskolens udfasning i 1958. Så forestillingen om matematisk formaldannelse har i en vis forstand overlevet i mellemskolens væv og muskler.502 I bredere forstand overlevede den formale dannelse uden problemer skoleloven af 1937. Det gælder helt op i det overordnede formål: ”Folkeskolens Formål er at fremme og udvikle Børnenes Anlæg og Evner, at styrke deres Karakter og give dem nyttige Kundskaber”. De to første formål klart formale, mens kun det sidste er et materielt formål. Den eksamensfrie 500

Torsting (1937, s 339) referer en tysk undersøgelse, hvor netop jurister mener at have fået stor overføringsværdi fra matematik til juraen. 78% af de adspurgte jurister mente, at den matematiske skoling havde haft betydning for dem på et ikke-matematisk område – og man må gætte, at dette område er juraen. 501 H.F. Ulrichsen under 1. Behandling af Finanslov for 1938-39, Folketingets Forhandlinger 18/11 1937, spalte 1275. 502 Læsere, der er mere bevandret, end jeg selv er, i Pierre Bourdieus begrebsverden, kunne her forsøge sig med ”mellemskolens habitus”.

177

mellemskole bygger indirekte på den gamle formaldannelse via503 Georg Kerschensteiners såkaldte ”arbejdsskole”, der var en vigtig inspiration for denne nye mellemskole.

Den sideløbende udvikling i England, USA og Tyskland Det var ikke kun i Danmark, at formaldannelsens sol var for nedadgående. I England fremhævede den store matematikpædagog Perry i 1901, at matematikken var et indlysende vigtigt redskab til ”brain development” og til ”producing logical ways of thinking”. 504 Men allerede i 1931 er den tids førende engelske matematikpædagog C. Godfrey langt mere tøvende: ”When it is said that mathematics develops the memory, the logical and reasoning faculty, the power of generalisation, develops all these powers as applied not only to mathematics but also general activities – Well, I hope that it may all be true, but I have not met with a proof”.505 En af grundene til, at talen om formaldannelse forstummede i England, er, at de ikke har et godt ord for begrebet. De var nødt til at være mere eksplicitte og tale om ”brain development” eller ”faculty training” (evnetræning), hvor det er langt lettere at opretholde den tyskskandinaviske mere pædagogiske forestilling om forskellige former for ”dannelse” (Bildung) under den moderne psykologis hastige vækst. Snart skulle imidlertid et nyt ord komme til at stå stærkt i den engelsksprogede psykologiske forskning: ”transfer of training” (overføring af øvelse). Det er dog et meget specifikt begreb, der lægger op til psykologiske eksperimenter, hvoraf så vidt vides ingen har påvist transfer fra træning i matematisk stof til helt andre tilværelsesområder. I USA var det ikke alle, der støttede Thorndikes og behaviorismens synspunkter. Charles H. Judd lavede så tidligt som 1908 eksperimenter, der tydede på, at overføring af til en vis grad var mulig. Han ville dog på ingen måde påstå, at et fag som matematik blot i kraft af sit indhold kunne føre til overføring. Det hele afhang i høj grad af stoffets og undervisningens organisering: ”The real problem of transfer is a problem of so organizing training that it will carry over in the minds of students into other fields. There is a method of teaching a subject so that it will transfer, and there are other methods of teaching the subject so that the transfer will be very small. Mathematics as a subject cannot be described in my judgement as sure to transfer. All depends upon the way the subject is handled”.506 Judd’s forskning levede dog ikke op til de samme videnskabelige idealer som Thorndikes, så psykologerne fulgte i Thorndikes fodspor, mens matematikpædagogerne syntes, Judd’s resultater svarede bedre til deres egne oplevelser fra matema tikundervisning. 507 Det synes at gælde det generelt menneskelige, at en matematiklærer vil foretrække at tro på noget, der giver faget større mening og større betydning. Og dette synes at gælde uafhængigt af tid og sted.

503

Det er i al fald min gamle kollega Andreas Striibs bedømmelse (1996, s. 14): ”Lidt summarisk kan det hævdes, at tilhængerne af arbejdsskoletankerne byggede på en formaldannelsesteori”. 504 Orton, Anthony og Geoffrey Wain (red): Issues in Teaching Mathematics, London 1994, s. 15. 505 Orton (red) 1994, s. 16. 506 Her efter: Grouws, A. Douglas (ed, 1992): Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, overview s. 11. 507 Grouws (1992) s. 10.

178

Man kan næsten gætte, at tanken om formaldannelse holdt længst ud i Tyskland, hvorfra begrebet ”formale Bildung” oprindeligt kom. Endnu i 1928 fremfører Gustav Rose i ”Die Schulung des Geistes durch den Mathematik- und Rechnenunterricht” et stærkt forsvar for matematikkens formalt dannende potentialer. Rose var godt rustet til denne opgave med arbejdserfaringer fra Institut für experimentelle Psychologie i Göttingen efterfulgt af ti års virksomhed som matematiklærer. Bogen blev udsendt i serien ”Beihefte zur Zeitschrift für Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Unterricht” med et stærkt anbefalende forord af tidens fremmeste tyske matematikdidaktiker W. Lietzmann, så den kan tages som et udtryk for en hovedstrømning i den tyske matematikdidaktik anno 1928. For Rose er der ikke tvivl om, at forstandsudviklingen er den fornemmeste opgave for matematikundervisningen. 508 Men gribes undervisningen rigtigt an, har den også virkninger på hukommelsen, fantasien, følelserne og viljen. Hans hovedargument for i matematikundervisningen at lægge vægt på formaldannelsen er, at materialdannelsen (indholds- og færdighedselementerne) glemmes så hurtigt i modsætning til den formale dannelses blivende virkning. Hans bog må derfor læses som en vejledning i, hvordan man i praksis fremmer den formaldannende virkning i matematikundervisningen. Dette afspejles i kapitelinddelingen, der går på psykologiske evner (iagttagelsesevne, forestillingsevne, association, hukommelse, apperception, opmærksomhed, interesse, fantasi, den almene tænkeproces, dømmekraften) og de centrale matematiske processer (begrebsdannelse, defineren, systematiseren, analogidannelse, induktion, deduktion, bevisprocessen og endelige det matematiske sprog). Man kan dog ikke læse Rose anderledes end, at han gør op med formaldannelse i klassisk forstand, for så vidt angår matematikundervisning. For det første påstår han kun tøvende og aldrig eksplicit, at evneopøvelsen er generel, så den strækker sig langt ud over matematikundervisningens univers. Han foretrækker da også efterhånden i bogen, at tale om ”funktionsskoling” 509 fremfor formaldannelse. For det andet slår han fast, at selve undervisningsmetoden er fuldstændig afgørende for, at de ønskede formaldannende virkninger kan fremkomme. Han gør detaljeret rede for, at en docerende undervisning efter Euklid er direkte skadelig for formaldannelse.510 Man skal kort sagt undervise i geometri efter den erfaringsmetode, som Bonnesen gjorde sig til talsmand for i Danmark tyve år tidligere, hvis man vil fremme formaldannelse. Det er altså ikke det matematiske stof, der har virkning, men metoden, processen, arbejdet som matematiker i det små. Skal projektet lykkes, må læreren ifølge Rose:511 1) kende og værdsætte matematikkens udvikling. Som en første grov approksimation vælges altså at lade eleverne følge den vej gennem stoffet, som matematikerne har fulgt gennem historien.

508

Rose, Gustav (1928) s. 111: ”Von sämtlichen Seelenkräften geniesst das Denken dis grösste Wertschatzung, und zu seiner Ausbildung trägt der Mathematik Unterricht in bedeutendem Masse bei. Ja, man geht nicht zu weit, wenn man die Ausbildung des Verstandes als die vornehmste Aufgabe des M.U. ansieht, denn die unerbittliche Logik der M. besitzt eine starke erzieherische Kraft”. 509 Virker ordet fremmed for læseren, kan man tænke på et mere nutidigt udtryk som ”opøvelse af kompetencer”. 510 Han tager på side 114 den østrigske videnskabsfilosof Ernst Mach (1838-1916) i ed til dokumentation:”Das Euklidische System war eher geeignet, ängstliche, sterile pedanten als fruchtbare produktive Forscher zu erziehen”. 511 Min punktopdeling dannet ud fra udsagn forskellige steder i Roses bog.

179

2) tage børnene som de er, bygge videre på deres faktiske forudsætninger og ikke komme med den sædvanlige klagesang: ”Man hört so oft ein Klagenlied, wie unbegabt unsere Jugend für die Mathematik ist”. 512 3) kende til børne- og ungdomspsykologi samt desuden iagttage børnenes arbejdsmetoder herunder ikke mindst deres fejl, som der kan læres meget af. 4) tage udgangspunkt i børnenes hverdagssprog og kun langsomt indføre matematikkens kunstsprog. 513 5) erkende, at der ikke er noget, der hedder ”matematikblindhed”, ligesom der er ”farveblindhed”. Folk, der tror, at de mangler det matematiske ”gen”, har simpelthen et hul i deres viden og færdigheder, som læreren som en anden pædagogisk læge må se at få diagnosticeret og helbredt. 514 6) kende til og kunne formidle gode arbejdsmetoder og problemløsningsstrategier. 515 Den bedste metode er her at afbryde eleverne i deres arbejde med et problem og afæske dem en analyse af deres måde at gribe problemet an på. 516 Af denne punktopstilling fremgår, at Rose får omdefineret formaldannelsesprojektet på en måde, der havde udviklingspotentiale, uden han dog lover sikre resultater. Prisen, han betaler, er imidlertid, at den evneopøvelse, hans metode når frem til, ikke nødvendigvis kan komme til udfoldelse uden for matematikkens eget univers. Han har intetsteds dokumentation for, at evnerne kan overføres, og han påstår det heller ikke eksplicit noget sted. Jeg synes dog, han har ført et godt forsvar for at bibeholde ”formal dannelse” som et frugtbart begreb inden for matematikdidaktikken, i al fald på en tid, hvor det andet alternativ var materiel dannelse. Der er ingen tvivl om, at et videre arbejde med at udvikle matematikundervisning på lignende ambitionsniveau som i formaldannelsens dage ville nyde godt af en passende begrebs-afklaring af denne polarisering mellem material og formal dannelse. Og det blev igen en tysker, der kom med en passende afklaring og et nyt teoretisk begreb.

Klafkis omdefinering af formaldannelsesbegrebet Midt i 1950’erne skrev tyskeren Wolfgang Klafki 517 sin doktorafhandling ”Das pädagogische problem des Elementaren und die Theorie der kategorialen Bildung”. Klafki belyser heri hele formaldannelsesbegrebets historie fra Pestalozzi og frem til tiden omkring 1950, hvor nogle af hans landsmænd havde forsøgt på at revitalisere formaldannelsesbegrebet. Klafki synes dog ikke, at de har klaret opgaven tilfredsstillende. Ganske vist undgår de reference til almene evner, men de har brug for dog at omtale ”noget”, der bliver udsat for dannelse. Og her vælger de så begrebet ”kræfter”, hvilket dog ifølge Klafki 518 fører dem ud i det gamle morads. For kræfterne forbliver et postulat. Ingen har nogensinde set en kraft, der ikke viste sig gennem et konkret indhold. Og intet tyder således på, at digterisk fantasikraft har meget at

512

Rose s. 5. ”Vor allen Dingen muss man im Anfangsunterricht – ich denke dabei besonders an die Geometrie – volkommen auf die strenge mathematische Ausdrucksweise verzichten und dann langsam und mit Geduld die Alltagssprache des Kindes überführen in die ”Kunstsprache” der Mathematik”, Rose s. 177. 514 Rose s. 15. 515 Rose s. 14. Århundredets bedste bog om problemløsningsstrategier ”How to solve it” blev skrevet i 1944 af George Polya på Stanford University. 516 ”Sie müssen berichten, wie sie das Problem angefasst haben, aus welchem Grunde sie sich für diesen oder Jenen Lösungsweg entschieden haben, und wie der Lösungsweg verlaufen ist” (Rose s. 16). 517 W. Klafki, født 1927. Hans afhandling blev forsvaret i 1957, og den blev forlagsudgivet i 1959. Jeg bruger 1964-udgaven. 518 Klafki (1964) s. 296ff. 513

180

gøre med den matematiske fantasikraft. Skulle man bibeholde kraft-metaforen, så ville man komme op på hundredvis af kræfter. Klafki foreslår nu, at man lader indhold og kraft smelte sammen – at man ophæver polariseringen mellem material og formal dannelse: ”Intet erkendt eller oplevet sagsforhold på den objektive side udløser en subjektiv formal ”kraft” eller er øvelsesmateriale for en sådan. Det er derimod selv en ”kraft” (i overført betydning), hvis – og kun hvis – det åbner et stykke af verden og stiller det til rådighed”.519 Heldigt valgt indhold kan altså åbne 520 noget af verden for eleven, men eleven må samtidig åbne sig for indholdet, hvis det skal lykkes for eleven at danne en ”kategori”, der også for fremtiden kan begribe dette udsnit af verden. Man kunne her frygte, at Klafki bliver i det gamle morads, og blot er kommet med et tredje forslag om dette ”noget”, der skal dannes: Evne, kraft og nu kategori. Men kategorien kan kun dannes ud fra stoffet – indholdet – og man må forstå ham således, at kategorien på ingen måde eksisterede, før den blev skabt ved, at eleven åbnede sig for stoffet, og stoffet således åbnede sig for eleven. Denne proces kalder han ”kategorial dannelse”, og han slipper herefter for at døje med formal og material dannelse, der er smeltet sammen i det nye begreb. Og hvad så? – kunne man spørge. 521 Men, hvis man som jeg og mange andre matematiklærere fornemmer, at man gik glip af noget pædagogisk vigtigt, da man opgav tanken om formal dannelse til fordel for en ren material dannelse, så må man hilse muligheden for at tale om den forenende kategoriale dannelse velkommen. Det der derefter trænger sig på, er selvfølgelig spørgsmålet om, hvorledes stof og metoder skal vælges for at bidrage til den kategoriale dannelse. En metode til at finde stof til kategorial dannelse var allerede beskrevet før Klafkis afhandling, nemlig Wagenscheins eksemplariske læring. Eksemplarisk kan i den forbindelse erstattes med: mønstergyldig, typisk, paradigmatisk, repræsentativ og prægnant. 522 Det ligger i alle disse ord, at kan man finde stof af den slags, så må det have store muligheder for at bidrage til en kategorial dannelse – eller ”tranfer of training”, hvis man foretrækker det begreb. Spørgsmålet er så, hvordan man finder det eksemplariske stof eller de eksemplariske arbejdsformer. Jeg har selv megen tiltro til at gå tilbage til den historiske opdagelse eller dannelse af stoffet for at få inspiration, altså en bekendelse til den historisk-genetiske metode. Men efterhånden som man opdager ”genesen” hos de børn eller studerende, man underviser, så ændrer valget sig, hvis man opdager noget, der synes endnu mere eksemplarisk. Hvis man lader det eksemplariske gå på metoderne, som vi har set Bonnesen gøre i sin geometrididaktik, og som også anbefales i Gustav Roses punkt 1 og 6, så var der her i 50’erne kommet en anbefalelsesværdig bog på markedet. George Polya havde skrevet sin ”How to solve it” i 1945, men det var først med en ny udgave i 1957, at mange fik øjnene op for denne vejledning i problemløsningsstrategier i matematikken. Disse strategier var ikke noget, han havde opfundet, men han havde samlet dem på en overskuelig og overbevisende måde fx: Prøv at løse et simplere lignende problem. Prøv at generalisere din løsning. Inden for naturvidenskaberne og matematikken er der imidlertid en anderledes radikal måde at udpege eksemplarisk stof på, hvilket måske springer klarest i øjnene, når vi bruger 519

Klafki (1964), s. 298. Det tyske ord ”erschliessen” har en dobbeltbetydning af både ”åbne” og ”nyttiggøre”, der ikke helt kommer med i min danske oversættelse. 521 ”Er det ikke bare materielle elementer der overføres, som hævdet af Judd og Dam?” (retorisk spørgsmål). 522 Bemærk de mange gode synonymer. Det, sammenholdt med at ”kategorisk dannelse” ikke danner tillægsord har betydet, at man i praktisk matematikdidaktik foretrækker netop ”eksemplarisk” fremfor Klafkis ordforråd, der nok mere bruges at folk, der har didaktik som et videnskabeligt arbejdsområde. 520

181

synonymet mønstergyldig. For selve naturlovene er mønstergyldige for en lang række specifikke tilfælde, hvor disse love er i funktion. Man kunne altså lade sig inspirere af de dybeste sandheder og sammenhænge i selve videnskaberne. Det var denne vej, man slog ind på i løbet af 1960’erne, men da var ikke de tyske pædagoger, man i første omgang lod sig inspirere af.

Formaldannelse i loven af 1958 og den ny matematik Folkeskoleloven af 1958 var på indholdssiden på mange måder blot en revision af loven af 1937. Formålet ”at fremme og udvikle børnenes medfødte evner og anlæg, at styrke deres karakter og give dem nyttige kundskaber” var ordret det samme. Kravet om at udvikle børnenes evner kunne godt friste til at se på fagenes formaldannende kvaliteter. Men i den efterfølgende undervisningsvejledning, Den Blå Betænkning fra 1960, er enhver reference til formaldan-nelse fjernet fra formålet for regning 1.-7. skoleår, hvor hovedsagen er ”at bibringe eleverne kundskaber og færdigheder” og i 8.-9. klasse suppleres dette med arbejde ”med emner og opgaver fra familie-, samfunds- og erhvervslivet”. Først i de sidste formål for realklassernes matematikundervisning har klart beholdt mindelser om klassisk formaldannelse: ”3. at udvikle elevernes evne til kritisk at bedømme et ræsonnements holdbarhed; 1. at opøve elevernes evne til at give en tankegang et præcist sprogligt udtryk”. Her tales om generelle mål, der ikke specielt refererer til matematik og derfor må tolkes som refererende til generel udvikling af evner. Imidlertid skulle formaldannelsesvisionen snart få en langt mere indholdsbegrundet opblomstring under en efterfølgende reform i 1960’erne og i første del af 1970’erne. Den går populært under navnet ”Den Ny Matematik”, New Math. Da reformen var motiveret af behovet for avanceret teknik og naturvidenskab, var det naturligt at læne sig til den pædagogiske bølge, der hed ”videnskabcentreret læseplanstænkning”: Lad os tage de stærkeste og mest fundamentale ideer og metoder fra videnskaben og udvikle dem pædagogisk og børnevenligt til undervisningsforløb i skolen. Dette synspunkt, der for så vidt godt kunne udledes at de tyske arbejder, blev især den amerikanske pædagog Jerome S. Bruner talsmand 523 for med sin bog ”Uddannelsesprocessen” fra 1960 (dansk oversættelse 1971). Bruner mente, at man på den måde kunne bibeholde nogle af de pædagogiske gevinster som den forkastede formaldannelsesteori havde stillet i udsigt: ”Bogstaveligt talt alt de seneste årtiers bevismateriale vedrørende indlæring og overføring har tydet på, at medens den oprindelige teori om formaldannelse var dårligt underbygget for så vidt den angår opøvelse af evner, er det en fastslået kendsgerning, at massiv generel overføring kan opnås ved passende indlæring, endog i så høj grad, at det at lære noget ordentligt under optimale betingelser fører til, at man ’lærer at lære’ ”.524 Men det er altså ikke et hvilket som helst indhold, der har denne gavnlige virkning. Det skal gerne ligge dybt i kernen af et fags væsen. Det var her Bruners påstand, ”at det grundlæggen523

Bruner skriver bogen som formand for et udvalg på 35 videnskabsmænd og pædagoger, der i 1959 havde haft møde om, hvordan uddannelsen i de naturvidenskabelige fag i USA kunne forbedres. Så selv om tankerne normalt tillægges Bruner, tegner de en større kreds. 524 Bruner, Jerome: Uddannelsesprocessen, Kbh. 1971, s. 17.

182

de i et fag kan man på en eller anden måde undervise i på et hvilket som helst alderstrin”.525 Selvfølgelig kunne man ikke gøre det færdigt på en enkelt klassetrin, så Bruner relancerer den spirale organisering af undervisningen i en mere radikal form, hvor selv avancerede videnskabelige begreber i passende indpakning behandles tidligt i skoleforløbet. Det var ikke blot indholdssiden, der skulle præges af videnskabens daværende stade. Eleven skulle også i videst muligt omfang selv være videnskabsmand: ”Den skoledreng, der lærer fysik, er fysiker, og det er lettere for ham at lære fysik ved dette arbejde som fysiker end ved at gøre noget andet”. 526 Også i matematik skulle der lægges vægt på opdagelsesmetoden, og som hjælpemiddel skulle eleverne undervises i heuristik, altså problemløsningsstrategier a la Polya, herunder også den elementære at komme med frugtbare gæt. På den ene side er dette blot en gentagelse af den progressive matematikpædagogik, som jeg har beskrevet den i århundredets start eller den matematiske formaldannelse, som den allerede i 1928 blev forsvaret af Rose. På den anden side, og det er det nye, efterlyses det dybe indhold i fagene. Her var det Bruners forslag, at man skulle bede de bedste hoveder i hvert fag komme med forslag. Og videnskabsfaget matematik var netop i disse år stærkt afklaret med hensyn til det dybe indhold. Fra 1930’erne frem til 1950’erne var det lykkedes at indordne store dele af matematikken under et strukturalistisk synspunkt. Man havde påvist, at det meste matematik blot var et specialtilfælde af mere generelle strukturer. Den pædagogiske øvelse, der nu gik i gang, svarede lidt til den gang Newton påviste at en stor klasse af faldproblemer, som det frie fald, kugler på et skråplan samt planetbevægelser, teoretisk set blot var eksempler på tyngdelovens virkning. Den pædagogiske konsekvens af Newtons opdagelse var, at man i al senere fysikundervisning har behandlet tyngdeloven så tidligt som pædagogisk muligt, fremfor at bruge årevis på tyngdelovens forskellige eksemplificeringer. Når det drejer sig om matematik, er det dog vanskeligere kort at forklare og forstå, hvad disse generelle strukturer er. Vi vil senere i en bog om hele matematikundervisningen i Danmark i 1900-tallet beskrive, hvorledes denne Ny Matematik kom til at virke i det danske skolevæsen, og jeg vil ikke her gå ind på nuancerne. 527 I hovedsagen drejede det sig om på passende vis at oversætte dele af den strukturmatematik baseret på mængdelære, der var blevet dominerende i den videnskabelige verden, til børneundervisning. Dette projekt var en af grundene til, at det var let for mig som nyuddannet matematiker at blive ansat på Marselisborg Seminarium i 1972. Til gengæld var jeg også meget tidligt kritisk over for Den Ny Matematik, især som den blev udmøntet i nye lærebøger for seminarierne. I 1976 holdt jeg, til fortrydelse for nogle af mine kolleger, et foredrag på matematisk institut i Århus med titlen: ” Den aksiomatiske fejltagelse – Seminariernes matematikundervisning”. Men jeg var langt fra alene med denne kritik. Skoleloven af 1975 blev fulgt op med en læseplan for matematik i 1976. Her er direkte referencer til Ny Matematik stærkt nedtonet. Dog nævnes under 3.-5. klassetrin: ”Grundbegreber fra mængdelæren indføres for at hjælpe eleverne til en mere klar tankegang og en mere smidig udtryksform”, hvilket er noget af en påstand på lige fod med 1903-lovens formaldannende begrundelser for at indføre matematik i skolen. Det kan dog også læses som en nedtoning af mængdelæren, hvis man forstår det således, at den kun indføres i det omfang den hjælper ”eleverne til en mere klar tankegang og en mere smidig udtryksform”. I al fald 525

Bruner s. 23. Bruner s. 24. 527 Se fx Bollerslev (1979) om den ny matematik og Skovsmose (1981) om de sideløbende strømninger op til 1980. 526

183

følte direktoratet sig tilskyndet til i forbindelse med udsendelsen i 1980 af ”Folkeskolens afsluttende prøver i skriftlig regning/matematik” at understrege, at logikkens og mængdelærens symboler ikke ville blive benyttet i opgaveformuleringerne. Hermed var mængdelæren reelt taget af folkeskolens obligatoriske dagsorden. Man må nok konkludere, at Den Ny Matematik ikke var nogen succes som indholdsreform betragtet. Den oprindelige vision om, at kendskabet til de grundlæggende strukturer ville give eleverne et generelt værktøj med stor overføringsværdi til nye begreber og problemer indenfor matematikken, blev ikke realiseret. Den Ny Matematik havde imidlertid også en side, der vedrørte metoder, arbejdsformer og processer, og her må reformen siges at have haft langt større succes. Det afspejler sig i, at ”problemløsning” har været med i formålet for skolens matematikundervisning siden 1976 – et begreb, man alt efter gemyt kan tolke som formal dannelse i større eller mindre grad.

Lever formaldannelsestanken endnu? Hele reformiveren omkring den ny matematik havde som vigtig sideeffekt, at man overalt fik professionelle, typisk universitetsansatte, matematikdidaktikere. Vel var antallet af praktisk anvendelige resultater ikke direkte proportionalt med antallet af publikationer, som disse forskere producerede. Men hele det teoretiske grundlag for matematikdidaktikken er blevet udforsket og udbygget, og mange nye begreber er konstrueret og sat i relation til praksis. ”Transfer of training” har haft en central plads i en del af denne forskning og debat, skønt det aldrig har været en debat, hvor folk har været enige. L. S. Schulmann kaldte i 1970 ”tranfer of training” for ”the most important single concept in any educational relevant theory of learning”.528 Forskerne har nok kunnet være enige om, at begrebet er vigtigt. Det der splitter, er spørgsmålene om, hvor langt overføring er mulig og hvilke midler der muliggør stor overføring. Der er næppe nogen, der vil anfægte Thorndikes basale påstand om, at ”gode” elementer kan overføres fra det ene til det andet. Det har man jo gjort lige siden Cramers Regnebog, hvor Reguladetri er en teknik med stor overføring til en stor klasse af fænomener. Der er næppe tvivl om, at en genopstanden Cramer ville kunne udregne prisen på 8 computere, hvis han fik oplyst prisen på 20 computere til 90.000 kroner. Og det til trods for, at han ikke ville vide, hvad en computer eller en krone var for noget. De for skolebørn kendte formler: (a+b)n = an + bn og √(a + b) = √a + √b er også klare beviser på, at børn konstant søger at overføre viden, men i disse tilfælde desværre med et galt resultat. Men det er ikke blot materielle indholdsmæssige elementer, der kan overføres. Der har siden Gustav Rose i stigende omfang været satset på at overføre principper og strategier. De aktuelt mest ambitiøse projekter inden for området er: CASE, Cognitive Acceleration through Science Education, og CAME, Cognitive Acceleration through Mathematics Education. Folkene omkring disse projekter satser på ”long-term far transfer”. ”Transfer” har vi set på, men de søger altså at gøre den varig, ”long-term”, og vidtrækkende, ”far”. ”Because of the enormous educational potential of such transfer, the notion of ”long-term far transfer” has become something of a Holy Grail for cognitive psychologists”.529 I en af baggrundsbøgerne for projekterne afsøger forfatterne systematisk tidligere projekter i deres jagt på signifikante ”overføringer”. Her kan man bl.a. læse om de skuffende resultater af Polyas teknikker som basis for en sådan overføringstræning. Men det står endnu 528 529

Her citeret efter Douglas (1992) s. 11. Adey, Philip og Michael Shayer: Really raising Standards, London 1994.

184

værre til i forsøg på at lære folk problemløsning i al almindelighed. En af de helt store navne inden for dette felt, E. de Bono med bøger som ”Teaching Thinking”, synes således ikke at have produceret teknikker, der fører til signifikante resultater på forsøgskurser. Men der har også været forsøg, der har været delvis vellykkede – hvor der har været en vis overføring af træning inden for et område til et nærliggende område – eller hvor nogle i en gruppe havde glæde af forløbet. Ved nu at kombinere erfaringerne fra en sådan række delvise succeser og putte dem ind i en model, der bygger kraftigt på Jean Piagets stadieteori, kom arbejdsgruppen så frem til det træningsprogram, der indgår i CASE. Selvfølgelig er der også trukket stærkt på fagets folk som fysikere og fysiklærere. Et eksempel på et træningselement er variabelkontrol, hvilket fx trænes i forbindelse med pendulforsøg, hvor eleverne skal prøve at finde frem til hvilke variable, der har indflydelse på et penduls svingningstid: snorens længde, loddets vægt, udsvingets størrelse. I selve den dialogfase, hvor læreren og eleven sammen udvikler forståelse af situationen, trækkes der stærkt på inspiration fra den længst afdøde russiske psykolog Vygotsky. Det forbavsende er nu, at der er påvist en stærk, meget signifikant overføring i disse træningsprogrammer under CASE. Først og fremmest overføring inden for science, men også overføringer længere ud. Og de synes at have dækket sig godt ind over for forventningseffekter og tilsvarende potentielle kritikpunkter. Det tilsvarende matematikprojekt CAME er ikke kommet så langt endnu, men hvis der faktisk har været positiv overføring i et Scienceprojekt som CASE, er det sandsynligt, at noget tilsvarende kunne ske i CAME. Hele dette arbejde, der nyder stor respekt i England, viser, at den gamle vision om formal dannelse er sejlivet. Lever formaldannelsestanken så endnu i de aktuelle formål og læseplaner for matematik i folkeskolen i Danmark. Selve begrebet ”problemløsning” signalerer en formel form for dannelse snarere end en materiel, men formuleringen er forsigtig i de gældende formål, hvor eleverne skal ”erfare, at matematik … er et redskab til problemløsning”. 530 Her hævdes faktisk ikke noget om formaldannende virkninger. Det gør der til gengæld i forlængelsen heraf, hvor matematikundervisningen skal ”fremme børnenes fantasi og nysgerrighed”. Jeg synes, det gør mit liv som matematiklærer mere spændende, at vi har den formulering. Men dybest set indeholder den påstande, vi har meget lidt belæg for. Det er her tankevækkende, at kulturministeriets konsulent i sager vedrørende folkeskolen fra 1903-1930, N.A. Larsen, så klart priste netop forstandsudviklingen og advarede mod fantasiudviklingen. 531 I dag er vi til gengæld, måske belært af historien, meget tilbageholdende med påstande om udviklingen af tænkning. Der hævdes intetsteds i formål eller læseplan, at børnene bliver bedre til at tænke i matematiktimerne. Der hævdes derimod et særligt børnesyn, nemlig at børnene er gode til at tænke og finde på:532 • • •

Eleverne udvikler forståelse af matematikken og dens tilblivelse gennem deres selvstændige medvirken ved opbygningen af de faglige begreber (s. 29). I arbejdet med de naturlige tal udvikler eleverne fortsat egne beregningsmetoder (s. 30). Gennem ræsonnementer og efterprøvning udvikler de metoder til at finde løsningen til en ligning (s. 34).

530

Faghefte 12 (1995/2001), Formålet stk. 2. Se kapitel 3, afsnittet ”Belysning fra folkeskole- og seminariesiden”. Han ville dog næppe i det hele taget have ment, at matematik, der først og fremmest var forstandens slibesten, kunne bruges til at fremme fantasi. 532 I al fald, hvis man opfatter dette som påstande fremfor ønskværdige scenarier. Sidetallene i parentes er fra Klare Mål, Faghæfte 12 for Matematik, Uddannelsesstyrelsen 2001.

531

185

Dette meget positive syn på barnet, har jeg engang udtrykt således i et foredrag om geometriundervisningens udvikling: Før 1900 var Euklid svaret. Ved den ny matematikreform fra 1960 var svaret ”Euclid must go”, og geometriundervisningen skulle gribes an på et helt andet grundlag. Vor tids løsen er ”Barnet er selv Euklid”, et nysgerrigt, søgende, kreativt og konstruerende individ. Det kan også udtrykkes således: Barnet er kompetent og udvikler stadig sine kompetencer. Der er gode chancer for, at vi vil udtrykke os således i den nærmeste fremtid, efterhånden som KOM-projektet fremlægger sine resultater. Arbejdsgruppen bag projektet Kompetenceudvikling og Matematiklæring, der ledes af Mogens Niss fra RUC, søger at beskrive matematikundervisningen på alle niveauer i kompetencetermer. Hvis de, som alt tyder på, får held med dette projekt, er der gode chancer for, at resultaterne efterhånden vil blive implementeret i læseplaner. Mit perspektiv på projektet skal være, at se det som sidste led i 100 års forsøg på at beskrive en mere almen dannelse end den rent materielle. Jeg har beskrevet udviklingen frem til Klafki med ud fra det ”noget”, der skal udvikles: evner, kræfter, kategorier. Og nu kan vi tilføje nyeste bud: kompetencer. At det ikke er urimeligt at se kompetencer i forlængelse i denne række af bærere af en ikke-materiel dannelse, fremgår af en af Niss’s tidlige beskrivelser af kompetencebegrebet: ”Naturligvis vil der i omgangen med og udøvelsen af et hvilket som helst fagområde være behov for at udvikle og aktivere nogle almene kompetencer, der ikke er specifikke for det pågældende fagområde, men som har relevans i forhold til mange forskellige felter. Det drejer sig om kompetencer af næsten personlighedsmæssig art, såsom evnen til at ræsonnere logisk, evnen til at samarbejde med andre, evnen til udholdenhed over for krævende opgaver og mod til at give sig i kast med udfordringer, evnen til at finde vej i ustrukturerede situationer, sproglig formuleringsevne osv., osv.”533 Det fremgår her, at i al fald ”personlige kompetencer” er ”evner til”. Dette betyder selvfølgelig ikke, at evnepsykologien hermed er på dagsordenen igen, men det retfærdiggør at betragte kompetencebegrebet i forlængelse af rækken af bærerne af ikke-materiel dannelse: evner, kræfter, kategorier og kompetencer. I starten af KOM-projektet var der flere,534 der bemærkede, at projektet syntes at bevæge sig i formaldannende retning. Dette skyldtes dog i høj grad selve rækkefølgen af opgaver, som arbejdsgruppen ville løse. I første omgang var det hensigten at beskrive matematikfaget i sådanne kompetencetermer, at det blev muligt at sammenligne på langs i hele uddannelsessystemet. I den forbindelse var pointen netop at konstruere disse kompetencer, således at de i højt omfang var fri af det materielle (faglige) indhold, der varierer på langs i systemet. Det resulterede i: matematisk tankegangskompetence, ræsonnementskompetence, repræsentationskompetence, symbol- og formalismekompetence, hjælpemiddelskompetence, kommunikationskompetence, modelbygningskompetence og problembehandlingskompetence. Først i næste, p.t. igangværende, fase skulle indholdskomponenterne kobles på.

533

Notat om ”Kompetencer og uddannelsesbeskrivelse”, 21. september 1999. Mogens Niss udtalte ved den lejlighed, at der var tale om et arbejdspapir, der er under konstant udvikling. 534 Fx ved diskussionerne på DCN’s majkonference 2001, hvor projektets sekretær, Tomas Højgaard Jensen, fortalte om den aktuelle udvikling.

186

Hvis jeg skal se på KOM-projektet med de historiske briller, vil jeg mene, at det nu drejer sig om at komme med et godt svar på Bonnesens humoristiske bemærkning om formaldannelsen: “Og heldigt er det for Matematiklæreren, at de paastaaede Resultater er af en saa fin, aandelig Natur, at det kun vanskeligt kan kontrolleres, om de er opnaaede eller ej, og endnu vanskeligere, om de naas bedre ved den matematiske end ved andre mulige Fremgangsmaader”. Projektet har allerede i sit kommissorium taget højde for dette ved at sætte evalueringen på dagsordenen: Hvordan måler man den matematiske kompetence? 535 Da man i starten af 1900tallet begyndte at måle på formaldannelsen, opdagede man, at den var svær at få øje på. Og det endte med, at behaviorismen faktisk gav, den på evnepsykologien baserede, formaldannelse nådesstødet. Ved at medtænke målingen af de matematiske kompetencer, skulle man nu 100 år senere være bedre rustet mod et sådant angreb. Men Mogens Niss er godt klar over, at en alt for omfattende liste over matematiske delkompetencer med tilhørende måleudstyr, kunne fastfryse faget lige så meget, som det tidligere er blevet det af detaljerede indholdslister. Han kalder dette for ”behaviorismefælden”, fordi ”dette ville føre ud i en sammenhængsløs kollektion af enkeltfrosne færdigheder, som i princippet kunne måles og vejes, uden at man tilnærmelsesvis ville have indfanget det, som hele øvelsen går ud på, nemlig faglighed og ekspertise. Derved ville vi blive fanget i ”behaviorismefælden”, hvor man nok kan identificere og beskrive mangfoldige elementer af ydre adfærd, men ikke sige noget væsentligt om den bagvedliggende sammenhæng”. 536 Denne ”bagvedliggende sammenhæng” kan måske tjene som et søgende fællesbegreb for de sidste 100 års bestræbelser på finde mere end blot den materielle dannelse i matematik. Der er ingen tvivl om, at ”kompetencer” i dag er et alment accepteret begreb for denne ”bagvedliggende sammenhæng”. Det spændende spørgsmål er nu, om det bedre end tidligere begreber kan udvikle matematikundervisningen og i praksis føre til mere værdifulde resultater.

535

En oversigt over kommissoriet findes i Gymnasieskolen nr. 7, 2001 s. 10 eller på projektets hjemmeside http://mmf.ruc.dk/~thj/kom/, hvoraf også projektets aktuelle status fremgår. 536 Niss, 21. sept. 1999, s. 7.

187

Litteratur og kilder Bøger − Adey, Philip og Michael Shayer: Really raising Standards, London 1994. − Arvin, G. J.: Folkeskolen – folkets skole. 1951. − Aspel, Gudrun (m.fl. red.): Pædagogiske perspektiver belyst gennem Anne Marie Nørvigs person og samtid, 1963. − Allerup, Peter m.fl.: Regning/matematik i folkeskolen, bind 1, synspunkter på et fag i forandring, Danmarks Pædagogiske Institut 1976. − Bilfeldt, Preben m. fl.: Dansk skolelovgivning, 1964. − Blaksteen, Magnus m.fl.: Folkeskoleloven 1993 – med temaartikler og kommentarer, Kommuneinformation 1995. − Bollerslev, Peter (red): Den ny matematik i Danmark – en essaysamling, 1979. − Boyer, Carl B. og Uta C. Merzbach: A history of mathematics, 2. udgave, Wiley & Sons 1989. − Bregnsbo, Henning: Kampen om skolelovene af 1958, en studie i interesseorganisationers politiske aktivitet, Odense University Press 1971. − Bruner, Jerome: Uddannelsesprocessen, Kbh. 1971. − Bundgaard, Svend: Tallene og den abstrakte Algebras Grundbegreber, Gjellerup 1942. Anm. af Børge Jessen i Mat. Tidskr. A 1942 s. 82-85:” Den har Bud til alle Matematikinteresserede, og i første Linie til alle Matematiklærere”. Kimen til Den ny Matematik i Danmark. − Christensen, S.A.: Matematikkens udvikling i Danmark og Norge i det 18. Aarhundrede, en matematisk-historisk undersøgelse, doktorafhandling, Odense 1895. − Dam, Axel: Om Muligheden for formel Opdragelse af de intellektuelle Evner – en psykologisk-pædagogisk undersøgelse, doktorafhandling, Kbh. 1912. − De Conninck-Smith, Ning: For barnets skyld, Byen skolen og barndommen 1880-1914, 2000. − Degnbøl, Leif: Skoleloven af 1899 og det ”Sthyr’ske” cirkulære 6. april 1900. Uddannelseshistorie 2000, 34. årbog fra Selskabet for Dansk Skolehistorie, aug. 2000, 70-108. − Elbrønd-Bek, Bo og Hans Vejleskov (red): Husker du vor skoletid?, 1988 − Flindt, Henrik E.: Lærebog i Regning, en udvikling af Regnekunstens Grundsætninger. Kbh. 1895. Nyanbefales af V. Bredsdorff i Mat. Tidskr A 1919 s. 25-28. − Fosgerau, Gert og Finn H. Christiansen: Midt i matematikken. Kvan 1992. − Gregersen, Torben, Vagn Skovgaard-Petersen, Palle Lauring og Per Krarup: Skolebøger i 200 år, Kbh.1970. − Frerslev, Gregers: Drengesind og lærerluner – skoleliv i København i 20’erne, Foreningen Danmarks Folkeminder, 1990. − Grouws, A. Douglas (ed): Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 1992. − Grue-Sørensen, K: Opdragelsens historie 1-3, 7. oplag, 1972. − Hansen, H.C.: Poul la Cour - grundtvigianer, opfinder og folkeoplyser, Askov 1985. − Haue, Harry, Erik Nørr og Vagn Skovgaard-Petersen: Kvalitetens vogter, Statens tilsyn med gymnasieskolerne 1848-1998, Undervisningsministeriet 1998.

188

− Heegaard, Poul: Der Mathematikunterricht in Dänemark, udgivet på foranledning af IMUK (ICMI), den internationale matematikundervisningskommission, København, Basel og Genf 1912. − Hilden, Adda og Anne-Mette Kruse: Pigernes skole, KLIM 1989. − Jensen, Erik: I fordums tid. Fortællinger fra de første hundrede år af Lærerhøjskolens historie, Kbh. 1999. − Howson, Geoffrey: A history og mathematics education in England. Cambridge U.P. 1982. − Johannessen, H. Chr.: ”Haandbøger for Lærere i Regning”. I: Vor Ungdom 1911, 42-46. − Johansen, Albert (red): Af landsbyskolens saga, udgivet af Danmarks Lærerforening, Århus 1964. − Johansen, J.F.: Regneundervisningen de 4-5 første Skoleaar – en Haandbog for Lærere og Lærerinder, Kbh. 1909. Anm. af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1910, s. 13-15. − Klafki, Wolfgang: Das pädagogisdche Problem des Elementaren und die Theorie der kategorialen Bildung (med omfattende dannelseshistorie), Göttinger Studien Zur Pädagogik, 4. udgave 1964 (1. udg. 1959). − Lütken, Johanne: Regning i Skolen. Hjælpebog for Regnelærere, Lehmann & Stage 1909. Anm. af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1910, s. 11f. − Nellemann, Aksel H.: Den danske skoles historie, 1966. − Nielsen, Vagn Oluf (red) : Skolefag i 100 år, 1995. Heri Tage Werner: Matematik – fra taltræning til problemløsning. − Nissen, Gunhild og Morten Blomhøj (red): Hul i kulturen, Spektrum 1994. − Pedersen, Ole (red): Derfra vor verden går – Skoleminder gennem 60 år, KVAN 2001. − Pihl, H.J.: Undervisningsvejledning i Regning for Mellemskolen, Gyldendal 1924. Anm. af L. Christiansen i Mat. Tidskr. A 1924, s. 131-134. − Polya, George: How to solve it, Open University Set Book, 1957. − Rose, Gustav: Die Schulung des Geistes durch den Mathematik- und Rechnenunterricht (Eine psychologische Analyse), Leipzig 1928, 183 sider. − Rousseau, Jean-Jacques: Emile, eller om opdragelsen (oversat af Kristen D. Spanggaard, forkortet udgave), Borgen 1997. − Schacht, A.R.: En praktisk mellemskole, 1971. − Skovsmose, Ole: Alternativer i matematikundervisningen, 1981. − Striib, Andreas: Undervisning. Klim 1996. − Thomson, Robert: Psykologiens historie, 1969. Dansk oversættelse af ”The Pelican History of Psychology”, 1968. − Wilkens, Cl.: Grundtræk af Pædagogikken, 3. udgave, Kbh. 1895.

Love, anordninger, bekendtgørelser, betænkninger og officielle vejledninger Hovedlovene for folkeskolen kan hentes elektronisk fra Danmarks Pædagogiske Bibliotek på http://dpb.dpu.dk og så følge sporet: /ress/skolelove/folkeskole. − Anordning af 29. juli 1814 for Almue-Skolevæsenet paa Landet i Danmark − Anordning af 29. juli 1814 for Almue-Skolevæsenet i Kiøbstæderne i Danmark Kiøbenhavn undtagen.

189

− Lov om forskellige Forhold vedrørende Folkeskolen af 24. marts 1899 - med endelig udgave 29. marts 1904. − Det Styhr’ske cirkulære af 6. april 1900. Uddannelseshistorie 2000. 34. årbog for Selskabet for dansk skolehistorie, 2000, 61-69 − Lov om højere Almenskoler m.m. (bl.a. mellemskoleloven) 24. april 1903. − Kgl. Anordning af 26. maj 1904 om Matematik- og Regneundervisningen i Mellemskolen (”læseplanen”), Mat. Tidsskr. 1904, s. 63. − Vejledning af 1. Juli 1904 til Gennemførelse af Kgl. Anordning af 26. maj 1904, afsnittet om regning og matematik, Mat. Tidsskr. 1904, 82-86. − Kgl. Anordning af 16. November 1906 vedr. pensum for realklassen. − Undervisningsplan for Københavns Kommuneskoler, 23. marts 1927 og 21. december 1929. − Betænkning vedrørende Undervisningen i Mellem- og Realskoler og i Skoler, der forbereder til Pigeskoleeksamen og til almindelig Forberedelseseksamen, afgivet af Undervisningsinspektøren for Mellem- og Realskolerne og Undervisningsinspektøren for Gymnasieskolerne, Kbh. 1935. − Lov om Folkeskolen, 18 maj 1937. − To ministerielle Skrivelser om Realeksamen i matematik, Mat. Tidsskr. A 1911, 73-75. − Lov om ændringer af lov om folkeskolen, 17. juni 1958 (1958 loven). − Undervisningsvejledning for folkeskolen, ”Den blå betænkning I”, betænkning nr. 252, Undervisningsministeriet 1960.

Tidsskriftartikler − Barfod, A: ”Det Borgbjergske Reformkompleks”. I: Det danske Skolelovsforslag, Vor Ungdom 1935/36, 145-155. − Bomholt, Jul.: ”Skole og Samfund”. I: Vor Ungdom 1951, 1-11. − Bonnesen, T.: ”Geometrisk-pædagogiske Betragtninger”. I: Mat. Tidsskr. 1906, 1-20. − Bruun, Georg: ”Almindelig Forberedelseseksamen”. I: Vor Ungdom 1897, 510-530 − Bruun, Georg: ”Skolens Enhed”. I: Vor Ungdom 1901, 517-541. − Bruun, Georg: ”Den kommunale Mellemskole”. I: Vor Ungdom 1911, 361-369. − Bruun, Georg: ”Almenskoleloven af 24. April 1903”. I: Vor Ungdom 1928, 195-205. − Busk, Leif : ”Om Fællesopdragelse og Fællesundervisning”. I: Vor Ungdom 1940, 6369 − Buur, Christian: ”Skolekommissionens Betænkning”. I: Vor Ungdom 1924, 137-146. − Buur, Christian: ”Om at tage i Part (minder fra gamle regnebøger)”. I: Vor Ungdom 1934/35, 12-15. − Christensen, S.A.: ”Matematikens, særlig Geometriens Stilling i Mellemskolen”. I: Vor Ungdom 1903, 732-740. − Christiansen, R.: ”Den første Regneundervisning”. I: Vor Ungdom 1915, 287-298 − Dalsgaard, Christensen: ”En lille nødvendig Reform”. I: Vor Ungdom 1904, kommentarer til læseplan for matematik side 233-235. − Dam, Axel: ”Om Opdragelsen af de formelle Sjæleevner”. I: Vor Ungdom 1898, 68-81. − Dige, Carl: ”Betragtninger ved et 25 Aars Jubilæum. Jubilaren er Almenskoleloven af 1903”. I: Vor Ungdom 1928, 189-194.

190

− Eibe, Thyra: ”Den første Undervisning i Matematik, referat af foredrag i Det Pædagogiske Selskabs Aarsberetning 1900-1902”. I: Vor Ungdom 1903, 92-107. − Erslev, Hans: ”Almueskolen og Fagdannelsen”. I: Vor Ungdom 1879, 370-377. − Fabricius-Bjerre, Fr.: ”Matematikkens stilling i den højere skole fra 1850 til vore dage. Kursusarbejde ved prøven i teoretisk pædagogik”. I: Matematisk Tidssskrift . A 1927, 57-104. − Friis-Petersen, Fr.: ”De matematiske Opgaver ved Mellemskole-Eksamen og Realeksamen en kritisk Vurdering”. I: Matematisk Tidssskrift A 1919, s. 49ff − G., J.: ”Notits om brugen af Euklid i engelske skoler”. I: Matematisk Tidsskrift, 1902, 68-70. − Geerts, M. Cl.: ”Om Skolereformen”. I: Vor Ungdom 1903, især side 112. − Gehl, Ernst: ”Om Regning”. I: Vor Ungdom 1921, 204-207. − Hald, H.A.: ”Folkeskole og Mellemskole”. I: Vor Ungdom 1914, 245-256. − Hansen, Chr.: ”Fordringerne i Regning ved Optagelsen i Mellemskolen”. I: Vor Ungdom 1906, 271-285. − Hansen, L.: ”Sansningens og den abstrakte Tænknings nødvendige Samarbejde ved Regning”. I: Vor Ungdom 1930/31, 13-27, 79-91, 261-271, 308-325. − Hjelmslev, J.: ”Om Grundlaget for den praktiske Geometri”. I: Matematisk Tidssskrift A. 1913, 41-58 − Hjelmslev, J.: ”Geometriens naturlige Grundlag”. I: Matematisk Tidssskrift A 1916, 617. − Hoffmann, Anton: ”Konkret og abstrakt matematik som skolefag (norske erfaringer)”. I: Vor Ungdom 1913, 145-165. − Holmsen, A.: ”Et par ord om vore nuværende lærebøger for middelskolen”. I: Vor Ungdom 1889, 483-490. − Holst, Elling: ”Mathematikundervisningen i den svenske skole”. I: Vor Ungdom 1886, almindelige betragtninger 415-422, undervisningen i geometri 500 –522. − Høirup, Johannes: ”Nyborgforsøget og den eksamensfrie mellemskole”. I: Vor Ungdom 1950, 161-176. − Højbjerg Christensen, A.: ”Det Borgbjergske Reformkompleks. II Dansk Skolepolitik i de sidste 15 Aar”. I: Vor Ungdom 1935/36, 155-161. − I.F.H:. ”Den højere Pigeskole”. I: Meddelelser om danske skoleforhold 1899-1900, Vor Ungdom 1901, 12-24. − Ingerslev, Nanna: ”Lidt om Regnetabeller”. I: Vor ungdom 1921, 159-161. − Jensen, Jakob: ”Statistiske Strejflys over Virkningerne af Almenskoleloven af 1903”. I: Vor Ungdom 1939/40, 5-10. − Jensen, J.K.: ”Regneundervisningen i Folkeskolen”. I: Vor Ungdom 1924, 382-395. − Jensen, Thorkild: ”Arbejdsskolen”. I: Vor Ungdom 1924, 6-13 − Jensen, Thorkild: ”Bør Mellemskolen bevares”. I: Vor Ungdom 1924, 350-357. − Jensen, V.A.C.: ”Virkelighedsgeometrien som Skolefag”. I: Mat. Tidskr. A 1927, 1-10. − Jensen, V.A.C.: ”Virkelighedsgeometrien-Abstraktionsgeometri”. I: Mat. Tidsskr. A 1928, 6-8. − Johannessen, H. Chr.: ”Regneundervisning og Regnebøger for Folkeskolen”. I: Vor Ungdom 1905, 402-407. − Johansen, J.F.: ”Undervisningsvejledning i Regning for Mellemskolen” af H.J. Pihl under Medvirkning af L.J. Ring (anmeldelse). I: Vor Ungdom 1925, 376-379.

191

− Kaalund-Jørgensen, F.C.: ”De ministerielle Prøver i Folkeskolen 1932”. I: Vor Ungdom 1933/34, 55-65. − Kaalund-Jørgensen, F.C.: ”Det Borgbjergske Reformkompleks. III Den praktiske Mellemskole”. I: Vor Ungdom 1935/36, 162-172. − Kaalund-Jørgensen, F.C: ”Pædagogisk Nytaar, Betragtninger ved Aarsskiftet Januar 1937”. I: Vor Ungdom 1936/37, 289-299. − Kaper, Ernst: ”Om Kundskaber og Almendannelse”. I: Vor Ungdom 1913, 212-225. − Kaper, Ernst: ”De pædagogiske Theorier og Skolens Praksis”. I: Vor Ungdom 1926, 239-246. − Kaper, Ernst: ”Den moderne Skole”. I: Vor Ungdom 1937/38, 104-116. − Kyrre, Hans: ”400 Aars Dansk Skoleudvikling, Kirkeordinansen 1537- Maj-skoleloven 1937”. I: Vor Ungdom 1937/38, 306-319. − Larsen, Joakim: ”Det nye Skolelovsforslag. Det Pædagogiske Selskab 1895-96, 2. Møde”. I: Vor Ungdom 1896, 154-178. − Larsen, Joakim: ”Diskussion af Skolelovsforslaget, på 6. møde i det Pædagogiske Selskab”. I: Vor Ungdom 1896, 339-351. − Larsen, N.A.: ”Om Folkeskolens, særlig Landsbyskolens Stilling i Danmark”. I: Vor Ungdom 1899, 346-371. − Larsen, N.A.: ”De ministerielle skriftlige Prøver”. I: Vor Ungdom 1917, 219-229. − Larsen, N.A.: ”Skriftlige prøver i Børneskolen 1917”. I: Vor Ungdom 1917, 601-609. − Larsen, N.A.: ”Skriftlige prøver i Børneskolen 1918”. I: Vor Ungdom 1918, 477-486. − Larsen, N.A.: ”Skolekommisionen og den Opgaver”. I: Vor Ungdom 1919, 173-183. − Larsen, N.A.: ”Om Nedsættelse af en stor Skolekommision”. I: Vor Ungdom 1918, 369375. − Larsen, N.A.: ”Folkeskolens Udvikling”. I: Vor Ungdom 1924, 94-100. − Lauritzen, C.J.C.: ”Skal Aritmetik eller Geometri læres først i Skolen”. I: Mat. Tidsskr. 1904, 9-13. − Lütken, Johanne: ”Nogle ord om moderne Fordringer til Regneundervisning og Regnebøger”. I: Vor ungdom 1905, 449-451. − Lyngbye, C.A.: ”Realskolen og alm. Forberedelseseksamen. Foredragsreferat i Det Pædagogiske Selskabs Aarsberetning”. I: Vor Ungdom 1900, 88-101. − Matematisk Tidsskrift udgivet af Dansk Matematisk Forening, generalregister 19091952, København 1954. − Meyer, Henning: ”Nogle Standpunktsprøver i de fire Regningsarter”. I: Vor Ungdom 1926, 51- 84. − Mikkelsen, Aksel: ”Brevveksling om Sløjd og matematik”. I: Vor Ungdom 1911, 378382. − Mollerup, Johannes: ”Om Mellemskolens Matematikundervisning”. I: Vor Ungdom 1903, 436-441. − Mollerup, Johannes: ”Om Undervisning i Matematik”. I: Matematisk Tidsskrift 1903, 33-76. − Mollerup, Johannes: ”Bemærkninger til en anmeldelse”. I: Matematisk Tidssskrift A 1904, s. 110-115. − Mollerup, Johannes: ”Aritmetik- og Regneundervisningen i Mellemskolen. Svar til Hr. H. Wilster”. I: Vor Ungdom 1904, 368-372. − Mortensen, L.: ”Vor Folkeskoles Opgaver og Muligheder”. I: Vor Ungdom 1929, 337343. 192

− Niss, Mogens: Kompetence og uddannelsesbeskrivelse, notat 21. september 1999. − Næsgaard, Sigurd: ”Fra Undervisning til Læren”. I: Vor Ungdom 1928, 260-267. − Næsgaard, Sigurd: ”Gruppe-Arbejdet i skolen”. I: Vor Ungdom 1935/36, 252-256. − Nørby, Axel: ”Regneundervisning”. I: Vor Ungdom 1929, 213-215. − Nørlyng, Th.: ”Den eksamensfri Mellemskole”. I: Vor Ungdom 1934/35, 259-267. − Olsen, J.: ”Nogle Bemærkninger angaaende Realskolen og Folkeskolen”. I: Vor Ungdom 1901, 413ff. − Ording, N.: ”Den kommunale mellem- og Realskole”. I: Vor Ungdom 1913, 74-82. − Ottosen, K.: ”Vil det være muligt, at Almueskolen paa Landet nogen Sinde kan udvikles til at blive et med det øvrige Skolevæsen sammenhængende led?”. I: Vor Ungdom 1888, 417-424. − Pedersen, N.P.: ”Geometri i Folkeskolen”. I: Vor Ungdom 1912, 313-318. − Pedersen, R.H.: ”Om hyppighedsfordelingen af Aars- og Eksamenskarakterer”. I: Vor Ungdom 1924, 69-79. − Petersen, Andreas: ”Almindelig Forberedelseseksamen- Realeksamen, historisk oversigt”. I: Vor Ungdom 1913, 173-184. − Petersen, C.: ”Min Undervisning i Geometri efter Dr. Bonnesens Lærebog for Mellemskolen”. I: Matematisk Tidssskrift 1908, s. 43-46. − Pingel, V.: ”Gjensvar til Kand. S. L. Tuxen”. I: Vor Ungdom 1884, 308-316. − Pingel, V.: ”Nogle Ord om Mathematikkens Stilling mellem Videnskaberne”. I: Vor Ungdom 1985, 212-220. − Ring, L.J.: ”Forbindelsen mellem Regning og den elementære Aritmetik i Skolen”. I: Matematisk Tidssskrift 1924, 2- 13. − Rønn, Eva: Matematikundervisningen i folkeskolen 1958-1975. Uddannelseshistorie 1986, 66-94. − Sauer, Michael: ”Es schärfet des Menschen Verstand…”. Die Entwicklung des Rechnenunterrichts in der preussischen Volsschule. I: Z.f.Päd. Jg. 1991, nr. 3, 371395. − Schacht, A.R.: ”Emneundervisning”. I: Vor Ungdom 1939/40, 127-135. − Simonsen, Steffen: ”En Deling af skolens Arbejdsstof: Øvestof og Læsestof”. I: Vor Ungdom 1929, 147-148. − Skram, Henriette: ”Bør Ændringen af Kvindens retslige Stilling her i Landet kræve en Omdannelse af Barne- og Ungdomsskolen for Pigebørn”. I: Vor Ungdom 1915, 301323. − Suhr, Laurits: ”Arbejdsskolen”. I: Vor Ungdom 1923, 158-165. − Sunesen, S. C.: ”København-London og omvendt”. I: Vor Ungdom 1924, 125- 136. − Sørensen, H.C.: ”Om Brugen af Matematikkens historie (særlig i Mellemskolen) og om Forholdet mellem Matematikken og andre Fag (Historie og Fysik)”. I: Vor Ungdom 1931/32. − Sørensen, N: ”Om Afgangen fra Mellemskolen”. I: Vor Ungdom 1910, 164-167. − Thomassen, Fr. : ”Anskuelsesmateriel ved Regneundervisningen”. I: Vor Ungdom 1905, 478-485. − Thyssen, A.H. : ”Pigeskoleeksamen og almindelig Forberedelseseksamen”. I: Vor Ungdom 1908, 132-135 − Tobies, Renate: „Felix Klein und die Anwendungen der Mathematik. Friedrich-SchillerUniversität“. I: Wissenschaftliche Zeitschrift. Naturwissenschaftliche Reihe, Bind 37, nr. 2, 259-270. 193

− Toft, Bjarne: ”Julius Petersen (1839-1910) – matematikeren og mennesket”. I: Odense Universitets Årsberetning 1991, s. 58-76 − Torsting, Einer: ”Matematikkens og fysikkens åndsdannende betydning”. I: Vor Ungdom 1935/36, 321-328. − Torsting, Einer: ”Børn og Matematik”. I: Vor Ungdom 1937/38, 333-341. − Torsting, Einer: ”Opgaverne i regning og matematik ved mellemskoleeksamen som kriterium på matematisk begavelse”. I: Vor Ungdom 1940, 253-255. − Tuxen, S.L.: ”Mathematikken og Naturvidenskaben som Dannelsesmidler (Gjensvar til Dr. V. Pingel)”. I: Vor Ungdom 1884, 391-407 − Tuxen, S. L.: ”Vor Skole og dens Fremtid”. I: Vor Ungdom 1911, 169-190. − Voss, P.: ”Om en organisk forbindelse mellem den høiere og den lavere almenskole”. I: Vor Ungdom 1885, 385-405. − Voss, P.: ”Vor høier læreruddannelse. III Danmark”. I: Vor Ungdom 1901, 200-201. − Wad, Anna og Christian: ”Bogö private Realskole”. I: Årsskrifterne 1888-1920 − Wilster, Henrik: ”Anmeldelse af Johanne Lütken: Regning i Skolen”. I: Vor Ungdom 1910, s.135-138. − Wissing, Lisbeth: ”Matematik som demokratisk kompetence”. I: Gymnasieskolen nr. 7 2001, side 8-10.

Skolebøger og anmeldelser Her er på ingen måde tale om en liste over alle skolebøger fra første halvdel af 1900-tallet, men udelukkende dem jeg har set på eller læst anmeldelser om i forbindelse med dette arbejde. Alle bøgerne incl. alle deres udgaver fylder på Danmarks Pædagogiske Bibliotek ca. 60 hyldemeter. − Amdrup, R. og N. Skarvig: Uglebogen, Regnebog for Folkeskolen, Hefte 1-8. Hagerup 1908. Anm. af J. Lütken i Matematisk Tidssskrift A 1909, s. 20f. − Andersen, C.C. og J. Damgaard Sørensen: Regning og Aritmetik for Mellemskolen I-IV. Schultz 1935. Anm. af P.Mogensen i Matematisk Tidssskrift A 1936, s. 14-19:”selv store Forventninger skuffes ikke”. − Andersen, N.: Regnebog for Borger- og Almueskoler. 1ste Del, Jacob Erslevs Forlag, 1874 − Andersen, N.: Regnebog for Borger- og Almueskoler, Realskoler, Folkehøjskoler o.a., 1882. − Andersen, N. ved A.J. Andersen: Regnebog I for Folkeskolen, 40. Udgave 1944. − Appel, Jacob og Poul la Cour: Regnebog 1-4. hefte, udgivet af Foreningen for høj- og landbrugsskoler, 1893. − Arvin, G. J, H. Haastorp, S.F. Thorborg og A. Kaalund-Jørgensen.: Regnebog for Folkeskolen 1-5, H. Aschehoug & Co. Dansk Forlag 1930-31. − Arvin, G. J, H. Haastorp, S.F. Thorborg og A. Kaalund-Jørgensen.: Vejledning til Regnebog for Folkeskolen – for Forældre og Lærere, Aschehoug 1930-33. − − Bertelsen, V.: Regnebog for Seminarier og Realskoler, 4. Oplag, Wilhelm Priors Forlag 1882 − Bjerre, Johs. og Ingrid Slot: Den Unge Piges Regnebog, Nyt Nordisk Forlag Arnold Busck, 1945.

194

− Bonnesen, T: Aritmetik for Mellemskolen, Gyldendal u. udgivelsesår 1904. Anmeldt af V. Trier Trier i Matematisk Tidssskrift A 1904, s.56-59. − Bonnesen, T: Geometri for Mellemskolen, Gyldendal u. udgivelsesår 1904. Anmeldt af V. Trier i Matematisk Tidssskrift A 1904, s. 48-56. − − Cadorius, Ingeborg; Anton Fisker, V. Herlev og L.P. Olsen: Regnebogen; Lærerens Bog I-II, Elevens Bog I-III, Gyldendal 1916. Anm. af Knud Meyling i Matematisk Tidssskrift A 1917 s. 68f: ”turde forvente at indtage en fremtrædende plads”. − Cramer, C.: Aritmetica tyronica eller grundig Veiviisning, practice, at lære alle fornøden Huus- og Handels-Regning, 1735. Her efter 22. oplag 1867. − Cramer, C: Algebra tyronica eller Regnebogs anden Part, 1744 − Cramer, C.: Algebraisk Nullo Regning eller Tydelig Differentialregning, pjece på 6 sider, 1748. − Cramer, C.: Geometria tyronica eller Maale-Konst for Børn og Begyndere, 1768. Her efter 2. oplag ved Authors Søn og Arving, Aalborg 1770. − Christensen, Albert, Oluf Hansen, Ejner Mortensen og Flemming Møller: Dagliglivets Regning I-VIII, 1 udgave 1935-38. − Christensen, S. A.: Lærebog i Geometri for Mellemskolen, Hempelske Boghandel 1904. Anmeldt (gennemrettet) af J. Hjelmslev i Mat. Tidskr. A 1905, s. 75-79. − Christiansen, H. Chr., H. Jepsen og O.A. Smith: Aritmetik og Algebra til almindelig Forberedelseseksamen I-II. Gyldendal 1939. Anm. af Jakob Jensen i Mat. tidskr. A 1940 s. 82 f: ” Jeg finder det ærgerligt og urimeligt, at et Triumvirat, der repræsenterer saa megen faglig Dygtighed og Erfaring, ikke har skænket os et Værk med færre Pletter”. − Cronfelt, Simeon: Lærebog i Aritmetik og Algebra for Realskolen. Jacob Erslevs Forlag 1916. Anm. af Wildschutz-Jessen i Mat. Tidskr. A 1917 s. 66f.: ”rolig vel afvejet Form…meget omfangsrig”. − Cronfelt, S: Lærebog i Aritmetik og Algebra for Mellemskolen, Hasselbalch 1924. Anm. af N.V. Due i Mat. Tidskr. A 1925 s. 70f:” der præsenteres straks noget nyt, nemlig Indførelsen af de negative Tal”. − − Eibe, Thyra: Plangeometri med 450 Opgaver til Brug for I-IV Klasse i Latin- og Realskoler og I-II Klasse på Seminarier, Gyldendal 1900. Anm. af V. Trier (”hvad Jul. Petersen har antydet, har Frk. Eibe udført, hvad P. har underforstaaet, har Frk. E. tilføjet”) i Mat. tidskr. 1900, s. 106-109. − Eibe, Thyra: Geometri for Mellemskolen med 530 Opgaver, Gyldendal 1908. En bearbejdning (reduktion) af bøgerne I-IV fra 1900. Amn. I Mat. Tidskr. A 1909 s. 19f. − Eibe, Thyra: Geometri til Brug for Undervisning til Real-, Pigeskole og Studentereksamen, Gyldendal 1911. Anm. af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1912 s. 54f. − Eibe, Thyra: Aritmetik for Mellemskolen, Gyldendal 1912. Anm. af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1913 86-89: ”Hele Bogen igennem er alt Definition, Sætning, Bevis eller Opgave”. − Euklids Elementer I-IV, oversat af Thyra Eibe, Gyldendal 1897-1900. Anmeldt af V. Trier i Mat. Tidsskr. A, 1900, 109-111. V-VI, 1904. VII-IX, X, XI-XIII, 1912. Anm. af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1913, 12ff. − Foldberg, P.T.: Lærebog i elementær Plangeometri 1902-03. De to første bind meget positivt anmeldt af J. Mollerup i Mat. Tidskr. A 1903, s. 77-80. 195

− Foldberg, P.T.: Geometri for Mellemskolen, med en Samling af 240 opgaver. Schubothe 1904. Anmeldt af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1904, s.118. − Foldberg, P.T.: Ny Aritmetik for Mellemskolen, Schubothe 1905. Anm. stærkt positivt af V. Trier i Mat. Tidskr. 1906 s. 27f. − Foldberg, P.T.: Regning og Algebra for Realklassen, Schubothe 1907. Anm. af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1908, s. 89-91 − Foldberg, P.T.: Geometri for Realklassen, Schubothe 1907. Anm. af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1908, s. 92-93. − Foldberg, P.T.og S.N. Johnsen: Lærebog i Regning for Mellemskolen med en Samling Hovedregningsopgaver, Gyldendal (G.B.N.F.) 1909. Anm. af J.F. Johansen i Mat. Tidskr. A 1909 s. 122-124. − Foldberg, P.T.: Aritmetik for Realskolens første Klasser, Gyldendal 1911. − Frederiksen, S.: Geometri for Mellemskolen. Jespersen og Pio 1933. Anm. af Rubinstein i Mat. Tidskr. A 1933 s. 43-46:”man kan nu en Gang ikke foretage Eksperimenter med Idealer”. − Friis-Petersen, Fr. og J.L.W. Jessen: Mellemskolens ny Regnebog I-IV, Gjellerup 1917. Anm. af L. Balling i Mat. Tidskr. A 1917 s. 128f.:” vil skabe Ro og Støthed i Undervisningen”. − Friis-Petersen, Fr. og J.L.W. Jessen: Realklassens regnebog, Gjellerup 1918. Anm. af L. Balling i Mat. Tidskr. A 1918 s. 15:”anbefales alle Lærere”. − Friis-Petersen, Fr., Ernst Gehl og J.L.W. Jessen: Regneundervisningen i det første Skoleaar. − Methodisk Haandbog, Jul. Gjellerup 1918, 187 s. Anmeldt af H. Andersen i Vor Ungdom 1918 s. 524f. − Friis-Petersen, Fr., Ernst Gehl og J.L.W. Jessen: Den ny regnebog I -VIII, Jul. Gjellerup, 1918-24. Anmeldt af J.F. Johansen i Vor Ungdom 1925, 263-273. − Friis-Petersen, Fr., Ernst Gehl, H.P.H. Novrup og J.L.W. Jessen: Landsbyskolens regnebog, 8 hefter, 1924-26 − Friis-Petersen, Fr., Ernst Gehl og J.L.W. Jessen: Købstadsskolens Ny regnebog I – VIII, omkring 1928. − Friis-Petersen, Fr., Ernst Gehl, Thorkild Jensen og J.L.W. Jessen: Hovedstadens Regnebog 1-8 klasse, omkring 1930. − Friis-Petersen, Fr. og J.L.W. Jessen: Regnebog for Seminariernes Præparandklasse, 1920. − Friis-Petersen, Fr., Th. Jensen og I. L. W. Jessen: Mellemskolens ny Geometri, 1930. Anm. i Mat. Tidskr. A 1930 s. 60-62. − Heegaard, Poul: Rum-Anskuelse, Det Nordiske Forlag 1900. Anmeldt af V. Trier i Mat. Tidskr. A, s1901, s. 46-48. − Hjelmslev, J.: Elementær Geometri. Første Bog. Gjellerup 1916. Anm. af Olug Kragh i Mat. Tidskr. A 1916 s. 94-100:” Det er en fuldstændig Nyskabning i vor matematiske Lærebogslitteratur”. II 1921, III 1922. Anm. af V. Bredsdorff i Mat. Tidskr. A 1921 s. 13-16, 1922 s. 37-42:”en revolution”. − Hjelmslev, J.: Elementær Aritmetik - første bog 1925, anden bog 1926. Anm. af C.C. Andersen i Mat. Tidskr. A 1926 s. 88-91 − Hjelmslev, J.: Den lille Geometri. Udarbejdet til Mellemskolen, under Medvirkning af Vera Andersen,. Gjellerup 1926. Anm. af C.C. Andersen i Mat. Tidskr. A 1926 s.83-

196

88.”En Vanskelighed bliver tilbage, og det er, at Bogen kræver en Lærer, der virkelig forstår den”. − Jensen, Jacob og Einer Torsting: Geometri for Mellemskolen. Gjellerup 1939. Anm. af Fabricius-Bjerre i Mat. tidskr. A 1940 s. 57f.:”kort og klar fremstilling”. − Jensen, N.A.: Geometri for Mellemskolen. Gyldendal 1930. Anm. af P. Mogensen i Mat. tidskr. A 1932 s. 12-15: ”advare stærkt imod den”. − Jensen, Thorkild og J.L.W. Jessen: Mellemskolens ny Geometri, Gjellerup 1930. − Jensen, Vilh. A. C.: Geometri for Mellemskolen. Arnold Busck 1940. Anm. af Rubinstein i Mat. Tidskr. A 1941 s. 41-43:” begynder paa en for Eleverne naturlig og begribelig Maade”. − Jensen, Vilh. A. C. og H. Chr. Christiansen: Aritmetik for Mellemskolen. Nyt Nordisk Forlag 1942. Anm. af C.C. Andersen i Vor Ungdom 1942/43 s. 29: ”Fremskridt i saavel faglig som pædagogisk Henseende”. − Jessen, J.L.W. og O.A. Smith: Aritmetik for Mellemskolen I-III + Regnehefter til Aritmetik I-VIII. Gjellerup 1916. Anm. af H. Jepsen i Mat. Tidskr. A 1917 s.17-19: ”Vor matematiske Litteratur er blevet beriget med en særdeles god Bog”. − Jessen, J.L.W. og O.A. Smith: Matematik og Regning for Realklassen. Gjellerup 1918. Anm. af J.M. Laustrup i Mat. Tidskr. A 1918 s. 16-18:”Eleven føres lige ind i det virkelige Liv, som det rører sig paa Børsen og paa Kontorerne”. − Juel, C: Ren og anvendt Aritmetik, Det Nordiske Forlag 1902. Anmeldt af E. C. Valentiner i Mat. Tidskr. A 1902, s. 74ff. − Juul, E. og E. Rønnau: Geometri for Mellemskolen, Munksgaard 1931. Anm.af P. Mogensen i Mat. Tidskr. A 1931 s. 138-144:” en virkelig Berigelse af vor Lærebogslitteratur”. − Kirkeskov, A.H.N.: Ungdomskolens Regnebog 1-3. Regnetabeller og Regneregler samt en Bygningstegning. Hasselbachs Forlag 1916. Første regnebog til unddomsskolen, Anm. af Wildschutz-Jessen i Mat. Tidskr. A 1917 s.69-71:” omhandler netop netop saadanne Ting fra det daglige Liv, som de kan faa med at gøre”. − Larsen, Joakim: Hovedregning – Opgaver med hele Tal. Kbh. 1878 − Larsen, Joakim: Regneopgaver for Begyndere. Kbh. 1878. − Larsen, Joakim: Tavleregningsopgaver. Kbh. 1878 − Larsen, Joakim:: Regnebog til Skolebrug, 1.-3. Hefte. Thanning og Appel, 1888. 13. oplag ca. 1940. − Lauritzen, C.J.C.: Geometri for Mellemskolen, Gyldendal 1905. Anm. af V. Trier (”Uoverensstemmelse mellem Forf’s Evne og Vilje”) i Mat. Tidskr. A m1906 s. 49-54. − Laustrup, I. Møller og A. Stampe Rasmussen: Mellemskole-Aritmetik. Aschehoug 1942. Anm i Vor Ungdom 1942/43 af C.C. Andersen:”diletantisk Arbejde, der aldrig burde være udsendt”. − Lundsgaard, Erik: Regnestokken. Kortfattet Vejledning til Indøvelse i den Brug. Gjellerup 1919. Anm. I Mat. Tidskr. A 1919 s. 56: ”Lige saa fortrinligt et Hjælpemiddel Regnestokken kan være i tekniske Skoler… lige så uheldig vil den virke i Skolerne ved at mekanisere Regningen i en Grad, som ikke er helt pædagogisk forsvarlig”. − Lütken, Johanne: Regnebog for Seminarier 1. Del. Lehmann & Stage 1916. Anm. af J.F. Johansen i Mat. Tidskr. A 1917 s. 67f. − Mollerup, Johannes: Ny Lærebog i Regning og Aritmetik I-II. Schubote 1904. Anmeldt af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1904, s. 73-80. Forbudt på statsskolerne samme år. 197

− Nielsen, G. Schmidt; J.Utoft Sørensen og J.L.W. Jessen: Lærebog i Matematik for Seminarier I (artimetikdelen) Gjellerup 1941. Udarbejdet efter Bekendtgørelse af 29. Febr. 1940, hvor analytisk geometri bliver seminariestof. Anm. af C.E. Christoffersen i Mat. Tidskr. A 1942 s. 70f. − Nielsen, G. Schmidt; J.Utoft Sørensen og J.L.W. Jessen: Lærebog i Matematik for Seminarier II (geometridelen), Gjelllerup 1942. Anm. af C.E. Christoffersen i Mat. Tidskr. A 1942 s.84f. − Nielsen, H.C.: Materialer til Underviisning i Hoved-Regning, hefte 1-3, Kiøbenhavn 1815. − Nielsen, H.C.: Lærebog I Regne-Konsten, Kiøbenhavn 1818. − Nielsen, H.P.: Geometri med Symmetribegrebet som Udgangspunkt, Gjellerup 1912. Anm. af Joh. Mollerup i Mat. Tidskr. A 1914, 31-33:”Den abstrakte Metode, der nu har regeret over os fra Euklid til vore Dage, er vel (hermed) endelig kulmineret”. − Pedersen, Jakob V. og P. Røtting: Børnenes Regnebog I-II, Gyldendal 1900. Udgave til klasseundervisning 1918. − Pedersen, Jakob V.: Regnebog for Købstadsskolen 4. til 7. Klasse. Gyldendal 1918. − Pedersen, Jakob V og Th. Petersen: Regning i Folkeskolen, Lærerens bog 1 og 2, Gyldendal 1935. − Petersen, Julius: Methoder og Theorier til Løsning af geometriske Konstruktionsopgaver, 4. udgave, Kbh. 1896. 6. udgave ved C. Hansen, Schønberg 1912. − Petersen, Julius: Kortfattet Aritmetik og Algebra til Brug i Mellemskolen, Schønberg 1904. Anmeldt: ”Han har ikke husket, at også Matematikundervisning i visse Henseender er Forvandlingens Lov undergivne” af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1904 s. 117f. − Petersen, Julius: Lærebog i Plangeometri for Mellemskolen. Schønberg 1905. Anmeldt (”Men for Mellemskolen passer denne bearbejdelse ikke”) af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1905 s.115-117. − Petersen, Julius: Aritmetik og Algebra til Brug i Mellemskolen, 3. omarb. udgave ved C. Hansen, Schønberg 1911. Anm. af V. Trier: ”Helt uforstaaligt er det, at man benytter Jul. Petersens Navn som Forfatternavn til Bøger, hvis Tankegang og Fremstillingsform man dristig tør paastaa, at han ikke ville have godkendt”. − Petersen, Th.: Regning i Folkeskolens 8. Klasse, Gyldendal 1937. Afslutningen på ”Regning i Folkeskolen I-VII”, skrevet af Jakob V. Pedersen og Th. Petersen. − Pihl, H.J. og Laur. Ring: Regnebog for Mellemskolen I, Gyldendal 1915. Anm. af Signe Tørsleff i Mat. Tidskr. A 1915 s. 92-93. II 1916 anm. 1916 s. 129. − Pihl, H.J. og H. Rasmussen: Geometriske Øvelser II, 2, udgave. Gyldendal 1924. Anm. af S. Kristensen i mat. Tidskr. A 1924 s. 100 f − Pio, Jul. V.: Aritmetik for Mellemskolen + 400 aritmetiske Opgaver, V. Pios Forlag. Anm. som ligegyldig af V. Trier i Mat. Tidskr. A 1906, s. 54f. − Schneekloth, Hans: Christian Cramers Regnebog, forandret og forøget af H.S. 1840. − Schneekloth, Hans: Opgaver til Hovedregning. Gyldendal 1841. − Schneekloth, Hans: Praktisk Regnebog 1. og 2. Del, Gyldendal 1841-42, 4. udgave 1861.

198

− Smith, O.A.: Matematik og Regning for Realklassen, Gjellerup 1914. Anm. af Wildschütz-Jensen i Mat. Tidskr. A 1914, s 87-90: ”skrevet meget klart og forstandigt”. Se også Jessen. − Svendsen, Albert: Ny Regnebog for Mellemskolen, 1.-3. Hefte, Jul. Gjellerups Forlag 1903-05. Meterudgave i 1909. Anmeldt af Trier i Mat. Tidskr. 1903 s.115f og af M.P. Nielsen i Vor Ungdom 1905, 451ff. − Wilster, H.: Regnebog for Mellemskolen. 1.-4. Hefte, Lehmann & Stages Forlag, færdigudgivet 1905. Anmeldelse af M.P. Nielsen i Vor Ungdom 1905, 454ff. − Wilster, H: Regnebog for Barneskolen. Hefte 1-3, Lehman & Stages Forlag, 1907. Anmeldelse af H.A. Svane i Vor Ungdom 1907, 321f. − Wilster, H: Regnebog for Folkeskolen, hefte 1-3, dækkende 3.-8. klasse. Lehmann & Stage, 1911.

199

Personregister A

Adey, Philip · 184;188 Ahmose · 6 Amdrup, R. · 66;194 Andersen, C.C. · 122;124;140142;173;196;197 Andersen, H. · 89;196 Andersen, N. · 22 Arvin, G.J. · vii;12;97-99;188;194

Dam, Axel · 47;80-82;174;180;188;190 Darwin, Charles · 71 de Coninck-Smith, Ning · 75 Decroly · 84 Degnbøl, Leif · 188 Dewey, John · 84;136 Diesterweg, Adolf · 14 Dige, Carl · 149;150;190

Bache, H.N. · 23 Barfod, A. · 61;150;190 Berg, C. · 162 Bertelsen, V. · 22;194 Biskop Balle · 33 Bjarnhof, Karl · 76 Bjerre, Johs. · 118;119;194 Bohr, Harald · 176 Bollerslev, Peter · 1;2;137;183;188 Bomholt, Julius · 159;190 Bonnesen, Tommy · 47;106;109-113; 119; 122;123;126;128-130;179;181;190;194 Bono, E. de · 184 Borgbjerg · 150 Boyer, Carl B. · 6;188 Boyer, Carl. B. · 6;188 Bregnsbo, Henning · 159;188 Brouet, V. · 65 Bruner, Jerome · 182;188 Bruun, Georg · 32;35;36-38;73; 146; 147;149;190 Buur, Chr. · 26;29;148;190

Eibe, Thyra · 49;55-59;119;123;190;195 Euklid · 16;41;48-50;53;55-58; 106;107; 111115;120;122; 179;185;191;198 F Fabricius-Bjerre, Fr. · 1;42;106;118;119;191;196 Femmer, N. · 20;43 Floris, E. · 104 Foldberg · 119;126;135;172;195;196 Foldberg, P.T. · 119;126;135;172;195;196 Frederiksen, H.C. · 57 Frederiksen, S. · 121;123;124 Frerslev, Gregers · 85;86;188 Friis-Petersen, Fr. · vi;23;84;86-90;92; 121; 123;126;135;136;164;167;172;191;196 Frisch, Hartvig · 158 G Gehl, Ernst · 23;83;84;87-93;191;196 Gregersen, Torben · 103;104;188 Grue-Sørensen · 84;85;97;188 Grundtvig · 12;46

C Christensen Dalsgaard · 146 Christensen, Albert · 153 Christensen, I.C. · 39;146 Christensen, S.A. · 1;41;54 Christiansen · 188;190;195;197 Christiansen, Bent · 120 Christiansen, H.C. · 142 Christiansen, L. · 139;189 Comenius · 10;14 Cramer, Christian · 6;8;9;11;13;23;29;30;106;184;195;198

H Hamilton, W. · 82 Hansen, Astrid Bjørnø · 4 Hansen, C. · ii;119;172;173;198 Hansen, Chr. · vi;18-23;25;60; 62;64; 66; 68;76;77;141;163 Hansen, H.C. · i-iii;v;23;107 Hansen, Oluf · 153;195 Hansen, Oscar · 71;163

200

Heckscher, kandidat · 58 Heegaard, Poul · 2;44;107;108;115;189;196 Heegaard, S. · 2;44;107;108;115;189;196 Heegaard, Sophus · 44 Heiberg, J.L. · 55 Hertz, Poul · 75 Hjelmslev, J. · 106;114-120;123; 130;131;140;191;195;196 Holm, Harald · 39 Holm, Henry · 157 Holst, Elling · 56;131;191 Horrebow, Chr. · 7 Højbjerg Christensen · 150;191 Hørup, Viggo · 63 Haastorp, G.J.H. · 98;194

Larsen-Ledet, Lars · 20 Lauring, Palle · 1;104;188 Lehmann, Alfred · 189;197;198 Locke, John · 69 Lyngbye, C.A. · 36;37;192 Lütken, Johanne · 11;60-62;66; 68;189; 192;194;197 M Madsen Vorgod · 65 Mathiesen, Søren · 6 Mejlsing, R. · 104 Meyer, Henning · 14;158;192 Mikkelsen, Aksel · 192 Mogensen, Poul · 122;141;194;196;197 Mollerup, Johannes · 47;48;49;58;132;133;192;195-198 Montessori, Maria · 79;84;97;99 Mortensen, Ejner · 153;195 Mortensen, Nora · 66 Müller, L.C. · 13 Müller, Poul · 1;7;12;19;20 Møller, Flemming · 153;195;197

J Jensen, J.K. · 76 Jensen, Jacob · 125;145;146 Jensen, Thorkild · 87;121;148;196 Jensen, Tomas Højgaard · 186 Jensen, V.A.C. · 119;142 Jensen, Vilh. A.C. · 125 Jessen, J.L.W. · 23;84;87-92;121;126; 130; 135;136;142;164;172;188;195-198 Johannesen, H. Chr. · 64;65 Johansen, J.F. · iv;20;24;50;60;68-73;84; 89;93;135;189;191;196;197 Johnsen, S.N. · 135;196 Judd, Charles H. · 178;180 Juel, C. · 51;52;53;54;126-129;132; 133; 139;197 Juul, E. · 121;122;173;197 Jürgensen, Fritz · 15 Jørgensen, Jørgen · 150;159

N Neill, A.S. · 84 Nicolaisen, J. · 65 Nielsen, H.C. · 10;11 Nielsen, Vagn Oluf · 1 Niss, Mogens · 1;185-187;192 Novrup, H.P.H. · 87;93;196 Nygaard, A. · iv;170;171 Nystad viceskoledirektør · 153 Næsgaard, Sigurd · 105;192 Nørby, Axel · 82;83;192 Nørlyng, Th. · 151;152;193 Nørvig, Anne Marie · 101

K Kaper, Ernst · 57;68;73;84;85;101;192 Klafki, Wolfgang · 180;185;189 Kold, Christian · 12 Kroman, Kristian · 44 Kyrre, Hans · 151;192 Kaalund-Jørgensen, F.C. · 98;100;151;152;191;192;194

P Peano, Guiseppe · 52;128 Pedersen, Christiern · 62 Pedersen, Jakob V. · 66;67;86;94;96;103;198 Perry · 177 Pestallozzi, Johann Heinrich · 10;12;14;16;24;180 Petersen, C. · 113 Petersen, J.V. · 65 Petersen, Julius · 42;43;51;110;163;164;172;173;193 Petersen, Peter · 84

L la Cour, Poul · 23;48;49;71;97;107;112;131;188;194 Larsen, Joakim · 22;29;33;34;62;172;173 Larsen, N.A. · 45;185

Phil, H.J. · 119;126;135-140;173; 189; 191;198 Piaget, Jean · 70 Pilemann, Helle · 1 Pingel, V. · 41-44;49;193;194 Pinholt, J. Gr. · 65 Pio, Julius V. · 49;50;54;172;196;198 Platon · 17;46 Preyer, W. · 70 Preyer, William · 70 Paaskesen, Holger · 153

Spencer, Herbert · 71;72;163 Styhr, H.V. · 2;63;190 Svendsen, Albert · 126;133 Sørensen, J. Damgaard · 141;194 T Thorndike, Edward L. · 174 Torsting, Einer · 125;143;175-177;193; 194;196 Trier, V. · 25;55;129;133;189;194-198 Tuxen, S.L. · 41;43;44;193;194

R U

Ramus, J.F. · 27 Rasmussen, H. · 198 Rasmussen, Holger · 104 Rasmussen, P. · 65;67 Riese, Adam · 6;14;20 Rifbjerg, Sofie · 84 Ring, L. · 126;136;173;191;193;198 Rodgers, Agnes I. · 175 Rose, Gustav · 178-182;184;189 Rousseau, J.J. · 106;107;189 Rubinstein, P. · 124;196 Rønn, Eva · 2;193 Rønnau, E. · 121;122;197

Undervisningsminister · 39;63;158 V Velsing-Rasmussen, G. · 104 Vester-Petersen, S. · 170;171 Vibæk, Marius · 79 von Raumer, Karl · 24 W Wad, Anna og Christian · 162;163;194 Washburne, Carleton · 101-103 Watson, John B. · 80 Werner, Tage · 1;189 Wilster, Henrik · 60;67;134;192;194;198 Wolff, Chr. · 6;12;28;29;30

S Sauer, Michael · 12;193 Schacht, A.R. · 79;120;152;153;158;159;189;193 Schneekloth, Hans · 6;13-19;60;198 Schulmann, L.S. · 183 Shayer, Michael · 184;188 Skarvig, N. · 66;194 Skinner, J.F. · 104 Skovsmose · ii;iv;183;189 Skram, Henriette · 172;193 Skaarup, Kristian · 1 Slot, Ingrid · 194 Smith, O.A. · 126;130;142;164;172;188;195;197;198 Snow, C.P. · 176

Z Zenon · 118 Ziegenbalg, E.G. · 27 Ø Ørsted · 23;78