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Los modelos de Programación Lineal son ampliamente utilizados como herramientas de apoyo a la toma de decisiones tanto por sus propiedades que facilitan su resolución, como así también su pertinencia a distintos problemas de naturaleza real. La programación lineal utiliza un modelo matemático para descubrir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata de planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas alternativas de solución. Las ventajas más evidentes son: • Fácil aplicación y fácil de entender • Se puede combinar con otros métodos Dentro de las desventajas del método tenemos que: • -Sólo permite analizar variaciones de un parámetro a la vez (lo que no es realista). • No utiliza información como las distribuciones de probabilidad del parámetro a sensibilizar (si se dispone de esa información, el método no permite aprovecharla). • No entrega distribución de probabilidades de los indicadores de rentabilidad.
➢ Historia de la programación lineal ➢ Modelo de la programación de la programación lineal ➢ Planteamiento de modelos • • • •
Función objetivo Variables de decisión Restricciones Ejemplo
➢ Clasificación de planteamientos ➢ Planteamiento de modelos • Ejemplos
➢ Método gráfico • Ejemplo
➢ ¿Sabías qué? ➢ Conoce más a los creadores ➢ Referencias
El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria. Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947,John Von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático de origen ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Kantoróvich, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituye un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área. El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de 70, 70!); el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones factibles que deben ser revisadas.
Un problema de Programación Lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) la función: Max ó Min z = F (x1, x2, ..., xn) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn sujeto a: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn ≤ = ≥ b a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn ≤ = ≥ b2 . . . am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn ≤ = ≥ bm x1, x2, …, xn ≥ 0 A la función z = F (x1, x2, ..., xn) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn se le denomina función objetivo o función criterio. Los coeficientes c1, c2, ..., cn son números reales y se llaman coeficientes de beneficio o coeficientes de costo. Son datos de entrada del problema. x1, x2, ..., xn son las variables de decisión (o niveles de actividad) que deben determinarse. Las desigualdades ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn ≤ bi, con i = 1, ..., m se llaman restricciones. Los coeficientes aij, con i = 1, ..., m y j = 1, ..., n son también números reales conocidos y se les denomina coeficientes tecnológicos. El vector del lado derecho, es decir los términos bi, con i = 1, ..., m, se llama vector de disponibilidades o requerimientos y son también datos conocidos del problema. Las restricciones xj ≥ 0 con j = 1, ..., n se llaman restricciones de no negatividad. Al conjunto de valores de (x1, x2, ..., xn) que satisfacen simultáneamente todas las restricciones se le denomina región factible. Cualquier punto dentro de la región factible representa un posible programa de acción. La solución óptima es el punto de la región factible que hace máxima o mínima la función objetivo.
El primer paso para la resolución de un problema de programación lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un modelo matemático, estos son: ● Función Objetivo ● Variables ● Restricciones FUNCIÓN OBJETIVO La función objetivo tiene una estrecha relación con la pregunta general que se desea responder. VARIABLES DE DECISIÓN Similar a la relación que existe entre objetivos específicos y objetivo general, se comportan las variables de decisión respecto a la función objetivo, puesto que estas se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta fundamental. RESTRICCIONES Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de decisión.
Ejemplo Un autobús que hace el recorrido Cali-Buga, ofrece asientos para fumadores al precio de 10.000 pesos y a no fumadores al precio de 6.000 pesos. Al no fumador se le deja llevar 50 Kg. de peso y al fumador 20 Kg. Si el autobús tiene 90 asientos y admite un equipaje de hasta 3.000 Kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de asientos de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio?
Además, debe considerarse que, por políticas de la empresa, deben ofrecerse como mínimo 10 asientos para pasajeros no fumadores.
Planteamiento: Definición de variables:
x = Cantidad de asientos reservados a fumadores. y = Cantidad de asientos reservados a no fumadores.
Función objetivo:
Planteamiento
Características del planteamiento
Planeación de Producción
Consiste en observar qué es lo que se va a producir, se caracteriza por maximizar a la función objetivo, aunque también se puede minimizar, también porque al menos una de las restricciones es menor o igual.
Modelo de Dietas
Modelo de Mezclas
Problema Tipo Mochila
Problema de Asignación de Horarios
Problema de Asignación
Problema de Transporte
Consiste en minimizar la función objetivo que es referente a costos, también al menos una de las restricciones es mayor o igual, e incluye una sola mezcla. Consiste en minimizar la función objetivo que es referente a costos, al igual que el modelo de dietas, también al menos una de las restricciones es mayor o igual, e incluye más de una mezcla. Consiste en escoger un conjunto de artículos de determinado peso para ocupar un espacio (mochila) de acuerdo a una capacidad dada. Se caracterizan por manejar una sola restricción y maximización en su función objetivo, además es un modelo binario. El problema consiste en minimizar el número de personas que cubran con horarios determinados. Cada periodo de tiempo es considerado como una restricción. Es un caso especial del problema de transporte en el que los asignados son recursos destinados a la realización de tareas. Los asignados pueden ser personas, máquinas, vehículos, plantas y períodos de trabajo. Aquí la función objetivo es maximizada, se trata de un modelo binario. Recibe su nombre ya que muchos problemas involucran determinar la manera más óptima de transportar bienes. El objetivo es determinar la cantidad de bienes que se envían de cada fuente a cada destino. La función objetivo se minimiza ya que se refiere al costo total de transporte, se tienen dos conjuntos de restricciones: oferta y demanda.
Problema de Transbordo o Traspaso
Es un problema general del transporte donde existirรกn ademรกs nodos de paso, la idea para encontrar la soluciรณn รณptima es transformarlo a un problema de transporte. La funciรณn objetivo es minimizada y se trata de un modelo entero.
Modelo de Cobertura de Conjuntos
La funciรณn objetivo se minimiza, se trata de un modelo binario, se trata de usar lo menos posible las variables, con lo que se pretende abarcar la mayor cantidad de espacio.
Problema de Asignaciรณn de Capital con Un Horizonte
Este es un modelo parecido al de tipo mochila, nada mรกs que aquรญ se asigna capital, cada periodo del horizonte nos define las restricciones; se trata de un modelo binario.
Problema de Asignaciรณn de Capital
Es un caso particular del problema del tipo mochila, donde se busca la mejor asignaciรณn en inversiones para conseguir la mayor ganancia y al igual que este tipo sรณlo tienen una funciรณn objetivo.
Tipo de planteamientos: â?– PlaneaciĂłn de producciĂłn: El planteamiento de planeaciĂłn de producciĂłn cuenta con la funciĂłn objetivo maximizar ya que es un planteamiento en el cual se busca maximizar las ganancias que se dan por la producciĂłn de autos.
â—? Ejercicio 1: La Ford produce dos tipos de auto: Fiesta y Focus que se deben procesar a travĂŠs de dos departamentos. El depto. 1 tiene 70 horas disponibles y el segundo departamento tiene 58 horas disponibles. La fabricaciĂłn de un Fiesta requiere 4 horas en depto. 1 y 2 horas en depto. 2. Cada Focus requiere 2 horas en el depto. 1 y 4 horas en el depto. 2. La utilidad del fiesta es $40,000 y del Focus $60,000. ÂżCuĂĄntos coches se deben producir?
Planteamiento: xđ?‘–= NĂşmero de autos a producir del tipo đ?‘– = {đ??šđ?‘–đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž, đ??šđ?‘œđ?‘?đ?‘˘đ?‘ } FunciĂłn Objetivo:
Grafica:
Soluciรณn: x1= 13 x2= 8 z= 1000000 La soluciรณn quiere decir que se van a fabricar 13 autos Fiesta y 8 Focus los cuales van a producir una ganancia de 1,000,000.
● Ejercicio 2: Una compañía de autos fabrica automóviles y camiones. Cada uno de los vehículos debe pasar por el taller de pintura y por el de ensamble Si el taller de pintura pintara sólo camiones, entonces podría pintar 40 por día. Si el taller de pintura sólo pintará autos entonces podría pintar 60 vehículos diarios. Si el taller de ensamble se destinará sólo a ensamblar autos entonces podría procesar 50 por día y si sólo produjera camiones procesaría 50 por día. Cada camión contribuye con 300 dólares a la utilidad y cada auto contribuye con 200 dólares. Plantear modelo.
Planteamiento: x1= Número de camiones a producir. x2= Número de automóviles a producir. Función objetivo:
Grafica:
Solución: x1= 40 x2= 0 z= 12000 La solución nos quiere decir que se van a producir 40 camiones y ningún automóvil, con lo cual se establece que los camiones son los que se van a vender más, por 40 unidades más que los automóviles, con lo que se cumplen las restricciones y se va a generar una ganancia de $12,000, solo que se tendrán que dejar de producir automóviles.
❖ Mezclas El modelo de mezclas se minimiza la función objetivo, la cual se refiere a los costos y en el cual se busca que se cumplan los requerimientos mínimos de los nutrientes necesarios.
● Ejercicio 1: Doña Tencha, la dietista del Hospital Lomas Verdes, es responsable de la planeación y administración de los requerimientos alimenticios. Ella analiza a los pacientes que tienen una dieta especial que consta de dos fuentes alimenticias. Al paciente no se le ha restringido la cantidad de los dos alimentos que puede consumir, sin embargo, se deben satisfacer los siguientes requerimientos mínimos: 1000 unidades del nutriente A, 2000 del B y 1500 del C. Cada onza de la fuente alimenticia 1 contiene 100 unidades del nutriente A, 400 del B y 200 del C, cada onza de la fuente alimenticia 2 contiene 200 unidades de A, 250 del B y 200 del C. La fuente alimenticia 1 vale $6.00 por libra y la 2 cuesta $8.00 por libra. Plantear modelo.
Planteamiento: x1 = onzas de fuente alimenticia 1 x2 = onzas de fuente alimenticia 2 Función objetivo:
Grafica:
Soluciรณn: x1 = 5 x2 = 2.5 z = 3.125 El resultado nos dice que se necesitan 5 onzas de la fuente alimenticia 1 y 2.5 onzas de la fuente alimenticia 2 para cubrir los requerimientos de nutrientes, con el menor costo posible.
● Ejercicio 2: Este es un problema de mezclas ya que se están mezclando los comerciales durante los programas de comedia con los comerciales durante los partidos de fútbol. Una empresa fabrica automóviles y camiones. La compañía opina que sus clientes más idóneos son hombres y mujeres de altos ingresos. Para llegar a estos grupos, se ha emprendido una ambiciosa campaña publicitaria por TV y se decidió comprar comerciales de un minuto en dos tipos de programas: programas de comedia y juegos de fútbol. Cada comercial en programas de comedia lo ven 7 millones de mujeres de altos ingresos y 2 millones de hombres de altos ingresos. Dos millones de mujeres de altos ingresos y 12 millones de hombres de altos ingresos ven cada comercial en juegos de fútbol. Un anuncio de un minuto en los programas de comedia cuesta 50,000 dólares y un comercial de un minuto en el juego de fútbol cuesta 100,000 dólares. A la empresa le gustaría que por lo menos 28 millones de mujeres de altos ingresos y 24 millones de hombres de altos ingresos vieran los comerciales.
Planteamiento: x1 = minutos de comerciales durante programas de comedia x2 = minutos de comerciales durante partidos de fútbol Función objetivo:
Grafica:
Solución: x1 = 12 x2 = 0 z = 600000 Con la resolución de este planteamiento vemos que para que se alcancen las metas de televidentes con la menor cantidad de dinero posible, es necesario que sean transmitidos 12 minutos de comerciales durante programas de comedia y ningún minuto de comerciales durante partidos de fútbol, además 56 millones mujeres extra, verán el comercial y pero solamente 24 millones de hombres, que era el requerimiento mínimo, verán el comercial.
❖ Asignación de horarios Sus restricciones son ≥ ≥≥ Escriba aquí la ecuación. Las restricciones son las personas Las variables son las personas a contratar
También conocido como Entero Puro Planteamiento de horarios
Se minimiza Las variables son entera
● Ejercicio 1: Un alumno de cuarto semestre de MAC comprende que “solo el trabajo y nada de diversión hace a una persona aburrida”. Como resultado quiere distribuir su tiempo disponible de alrededor 10 hrs. Al día, entre estudio y diversión. Calcula que el juego es dos veces más importante que el estudio. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, comprende que, si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas. Plantear el modelo que maximice su satisfacción tanto en el estudio como en el juego. Plantear modelo.
Planteamiento: x1 = horas de juego x2 = horas de estudio Función objetivo:
Grafica:
Soluciรณn: x1 = 4 x2 = 6 z = 14 Los resultados nos dicen que el alumno le debe de dedicar 4 horas al juego y 6 horas al estudio para obtener la mรกxima satisfacciรณn que le permite su restricciรณn de contar con 10 horas diarias y terminar sus tareas.
El método gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal, muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) . Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima).
Ejemplo: Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.
OBJETIVO: Maximizar el ingreso total. VARIABLE DE DECISIÓN: Cantidad de auditorías (X1). Cantidad de liquidaciones (X2). RESTRICCIONES: Tiempo disponible de trabajo directo Tiempo disponible de revisión Número máximo de liquidaciones.
Planteamiento:
La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.
¿Sabías que?... Los orígenes del desarrollo de la programación lineal se encuentran en los trabajos del matemático estadounidense de origen húngaro John Von Neumann (19031957) acerca de la teoría de los juegos. No obstante, se considera auténticos impulsores de esta técnica al soviético Leónid Kantorovich (1912- 1986) y al estadounidense de origen ruso Wassily Leontief (1906), ambos galardonados con el premio Nobel de Economía, aunque en años diferentes y por desarrollos matemáticos distintos. Fue alrededor de la Segunda Guerra Mundial en que se iniciaron los primeros pasos hacia la búsqueda de modelos matemáticos que resolvieran los problemas de optimización, uno de estos modelos surge con el fin de resolver los problemas de asignación de recursos por parte de la fuerza aérea estadounidense. George B. Dantzig, miembro del proyecto SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs) de la fuerza aérea de E.U., fue quien diseñó el método simplex de solución en 1947, modelo que sigue siendo ampliamente utilizado hasta nuestros días El desarrollo de la programación lineal es considerado por mucha gente como uno de los avances científicos más importantes de la segunda mitad del siglo XX. De hecho, una proporción importante de todo el cálculo científico que se lleva a cabo por computadoras se dedica al uso de la programación lineal y a técnicas íntimamente relacionadas, estimándose en un 25%, de acuerdo a un estudio de la IBM
GEORGE BERNARD DANTZIG
(8 de noviembre de 1914 – 13 de mayo de 2005) George Bernard Dantzig Ourisson nació el 8 de noviembre de 1914 en Portland, en el estado de Oregon de los Estados Unidos de América. Hijo de Tobías Dantzig, matemático ruso, y Anja Ourisson, lingüista francesa especializada en idiomas eslavos. Estudió en las escuelas Powell Junior High School y Central High School. Desde su infancia comenzó a mostrar un especial interés por la geometría, instigado también por su propio padre, quien le proponía complicados problemas de geometría proyectiva. Fue un profesor, físico y matemático estadounidense, conocido por desarrollar el método simplex y es considerado como el “padre de la programación lineal”. Recibió muchos honores, tales como la Medalla Nacional de Ciencia en 1975 y el premio de Teoría John von Neumann en 1974. Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias, la Academia Nacional de Ingeniería y la Academia Americana de Artes y Ciencias. Obtuvo su licenciatura en Matemáticas y Física en la Universidad de Maryland en 1936, su grado de máster en Matemáticas en la Universidad de Míchigan, y su doctorado en la Universidad de California, Berkeley en 1946. Recibió además un doctorado honorario de la Universidad de Maryland en 1976.
NACIMIENTO DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL Cuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, Dantzig interrumpió sus estudios en Berkeley para unirse a las Fuerza Aérea de los Estados Unidos como jefe de la Rama de Análisis de Combate de los Cuarteles Centrales Estadísticos, lo cual lo llevó a lidiar con las logísticas de la cadena de abastecimiento y gestión de cientos de miles de ítems y personas. Este trabajo proporcionó los problemas del “mundo real” que la programación lineal vendría a resolver. George Dantzig se doctoró en Berkeley en 1946. Inicialmente iba a aceptar un puesto como profesor en Berkeley, pero fue persuadido por su esposa y colegas del Pentágono para volver a las Fuerzas Aéreas como consejero matemático de la USAF. Fue ahí, en 1947 donde por primera vez presentó un problema de programación lineal, y propuso el Método Simplex para resolverlo. En 1952 se convirtió en investigador matemático en la Corporación RAND, en cuyos ordenadores comenzó a implementar la programación lineal. En 1960 fue contratado por su alma máter, donde enseñó ciencias de la computación, convirtiéndose en presidente del Centro de Investigación de Operaciones. En 1966 ocupó un cargo similar en la Universidad de Stanford. Se quedó en Stanford hasta su retiro en los años 90. Además de su trabajo significativo en el desarrollo del método simplex y la programación lineal, Dantzig también hizo avances en los campos de la teoría de la descomposición, análisis de sensibilidad, métodos de pivot complementarios, optimización a gran escala, programación no lineal, y programación bajo incertidumbre. El primer ejemplar del SIAM Jornal on Optimization en 1991 fue dedicado a él.
JOHN VON NEUMANN
John Von Neumann nació el 28 de diciembre de 1903 en Budapest, Hungria, y murió el 8 de febrero de 1957 en Washington D.C., USA. Su verdadero nombre es János Neumann En 1911, Von Neumann entró en el Lutheran Gymnasium En 1921, Von Neumann completó su educación en el Lutheran Gymnasium. Su primera publicación matemática, escrito conjuntamente con Fekete su tutor en la Universidad de Budapest, fue publicado en 1922. Von Neumann recibió su doctorado en matemáticas de la universidad de Budapest, en 1926, con una famosa tesis sobre teoría de conjuntos. Publicó una definición de número ordinal a la edad de 20 años, definición que todavía se usa. Una de las teorías axiomáticas de conjuntos aceptadas hoy día es llamada la teoría de Von Neumann, Bernays, Gödel. Entre 1926 y 1929 fue profesor de matemáticas en la Universidad de Berlín, y en Hamburgo entre 1930 y 1933. También estudió en Göttingen entre 1926 y 1927. Por aquella época ya era reconocido como un gran matemático. En 1932, publicó Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica. Fue el fundador de la Teoría de Juegos. Demostró el teorema del minimización y en 1944 publicó, junto con Oskar Morgenstern, el famoso libro Teoría de juegos y del comportamiento económico. Von Neumann fue uno de los pioneros de las Ciencias de la Computación e hizo importantes contribuciones al desarrollo del diseño lógico o de programación. Creó la arquitectura de los computadores actuales, propuso la adopción del bit como medida de la memoria de los ordenadores, y resolvió el problema de la obtención de respuestas fiables con componentes no fiables (bit de paridad). Murió a los 53 años de cáncer de próstata, se cree que a causa de la exposición a la radiactividad en Los Álamos.
LUDWING VON BERTALANFFY
Karl Ludwig Von Bertalanffy (nacido el 19 de septiembre de 1901 en Viena, Austria y fallecido el 12 de junio de 1972 en Búfalo, Nueva York, Estados Unidos) fue un biólogo y filósofo austríaco, reconocido fundamentalmente por su teoría de sistemas. Estudió con tutores personales en su propia casa hasta sus 10 años, a partir de entonces fue a la escuela teniendo un nivel muy aventajado para su edad que le permitió acabar con honores su escolaridad. Estudió historia del arte, filosofía y biología en la Universidad de Innsbruck y de Viena y, en ésta última finalizó el doctorado en 1926 leyendo su tesis doctoral sobre la psicofísica y Gustav Fechner. En 1937 fue a vivir a Estados Unidos gracias a la obtención de una beca de la Fundación Rockefeller, donde permaneció dos años en la Universidad de Chicago, tras los cuales vuelve a Europa por no querer aceptar declararse víctima del nazismo. Fue uno de los primeros en tener una concepción organicista de la biología y consideró al organismo como un sistema abierto, dotado con unas propiedades específicas capaces de poderse estudiar por la ciencia. Esta concepción dentro de una Teoría General de la Biología fue la base para su Teoría General de los Sistemas. Hizo el boceto de esta teoría en un seminario de Charles Morris en la Universidad de Chicago en 1937 y posteriormente en lecturas que hizo en Viena. Pero la publicación se tuvo que posponer a causa del final de la Segunda Guerra Mundial. Se desarrolló ampliamente en 1969 al publicar un libro titulado con el nombre de la teoría.
En 1939 trabajó como profesor en la Universidad de Viena, donde permaneció hasta 1948. Al año siguiente emigró a Canadá para continuar sus investigaciones en la Universidad de Ottawa hasta 1954. Después se traslada a Los Ángeles para trabajar en el Mount Sinai Hospital desde 1955 hasta 1958. Impartió clases de biología teórica en la canadiense Universidad de Alberta en Edmonton de 1961 a 1969. Desde esa fecha y hasta su fallecimiento trabajó como profesor en el Centro de biología Teórica de la Universidad Estatal de Nueva York en Búfalo, de 1969 a 1972.
Teoría General de Sistemas La Teoría General de Sistemas fue, en origen una concepción sistemática y totalizadora de la biología (denominada “organicista”), bajo la que se conceptualizaba al organismo como un sistema abierto, en constante intercambio con otros sistemas circundantes por medio de complejas interacciones. Esta concepción dentro de una Teoría General de la Biología fue la base para su Teoría General de los Sistemas. Bertalanffy leyó un primer esbozo de su teoría en un seminario de Charles Morris en la Universidad de Chicago en 1937, para desarrollarla progresivamente en distintas conferencias dictadas en Viena. La publicación sistemática de sus ideas se tuvo que posponer a causa del final de la Segunda Guerra Mundial, pero acabó cristalizando con la publicación, en 1969 de su libro titulado, precisamente Teoría General de Sistemas. Von Bertalanffy utilizó los principios allí expuestos para explorar y explicar temas científicos y filosóficos, incluyendo una concepción humanista de la naturaleza humana, opuesta a la concepción mecanicista y robótica. Ludwing Von Bertalanffy murió el 12 de junio de 1972 en Búfalo, Estados Unidos.
Referencias Electrónicas: ● ● ● ● ● ●
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Luis Barrios. (2005). Programación lineal. 07/09/2018, de Descartes 2D Sitio web: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/prog_lineal_lbc/i ntroduccion_pl.htm Anónimo. (2018). Programación lineal. 07/09/2018, de Wikipedia Sitio web: https://es.wikipedia.org/wiki/Programación_lineal Bryan Salazar. (2016). Programación lineal. 07/09/2018, de Ingeniería industrial Sitio web: https://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingenieroindustrial/investigación-de-operaciones/ejercicios-de-programacion-lineal/ Juan Antonio Torres y Luis Ángel. (sin año). Clasificación de planteamientos. 07/09/2018, de --- Sitio web: https://sites.google.com/site/optimizacionlineal2404/inicio Bryan Salazar. (2016). Método gráfico. 07/09/2018, de Ingeniería Industrial Sitio web: http://www.cva.itesm.mx/biblioteca/pagina_con_formato_version_oct/apaweb.html Anónimo. (sin fecha). Solución de problemas de programación lineal del método gráfico. 07/09/2018, de --- Sitio web: http://www.itlalaguna.edu.mx/academico/carreras/industrial/invoperaciones1/UIb.HT ML SCRIBD,(s.f.), Biografía, George Bernard Dantzig, https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:40y307nnDjkJ:https://scri bd.zxcv.website/doc/260894109/George-BernardDantzig+&cd=1&hl=es&ct=clnk&gl=mx&client=firefox-b Vida y obra de Karl Ludwig Von Bertalanffy, 9 de agosto de 2017, Organizaciones Luis. URL: https://organizacionesluislc.blogia.com/2010/082501-vida-y-obra-de-karlludwing-von-bertalanffy.php Bertalanffy. Recuperada de http://www.psicotelefono.com/biografiaspsicologia/bertalanffy.htm Enrique R. Aznar. All Rights Reserved, Biografía de John Von Neuman,2017, Recuperada de: https://www.ugr.es/~eaznar/von_neumann.htm
Imágenes: ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
anónimo. (s.f.). Auditoría de cuentas. 07/09/2018, de ACR Sitio web: http://www.audianauditores.com/auditoria/empresaauditoradecuentas.html [Imagen de GEORGE BERNARD DANTZIG]. Recuperado de http://news.stanford.edu/news/2005/may25/gifs/Dantzig.jpg [Foto de Ludwig Von Bertalanffy, sin título o descripción del trabajo], Recuperado de http://www.emcsr.net/wp-content/uploads/2012/03/LvB_Album_7.jpeg [Foto de John Von Neumann, sin título o descripción del trabajo], Recuperado de https://i.pinimg.com/236x/15/e1/50/15e15034777ff73e46290799a2540950--john-vonneumann-the-machine.jpg anónimo. (2009). Historieta dibujada. 14/09/2018, de deposhitphotos Sitio web: https://mx.depositphotos.com/107727712/stock-illustration-hand-drawn-cartoon-tvaudience.html anónimo. (2012). Los alimentos. 14/09/2018, de Menudospeques Sitio web: https://www.menudospeques.net/recursos-educativos/canciones/alimentacion/ anónimo. (2013). Ford Focus. 14/09/2018, de Motor pasion Mexico Sitio web: https://www.motorpasion.com.mx/ford/ford-focus-se-mantiene-como-el-auto-masvendido-a-nivel-mundial Ford. (2018). Fiesta. 14/09/2018, de Ford Sitio web: https://www.ford.mx/autos/fiesta/2018/ anónimo. (S.F). Recuperado de: http://comopintarunauto.info/blog/wpcontent/uploads/2017/03/como-pintar-un-carro-profesionalmente.jpg anónimo. (S.F). Recuperado de: https://orientacion.universia.edu.pe/imgs2011/imagenes/shuttersto2016_10_27_214032.jpg