Matematicas financieras con mathematica issuu by Héctor Adrián Guerrero Martínez

Matemáticas Financieras con Mathematica Un enfoque moderno (Material Didáctico)

Elsy L. Gómez Ramos y Héctor A. Guerrero Mtz.

a Z. Xรณchitl.

CONTENIDO pág.

Acerca del Libro

Capítulo 1

Instrucciones básicas en Mathematica

viii

1.1 Generar un documento

1.2 Inserción de celdas

1.3 Manejo de símbolos

1.4 Limpiar memoria

1.5 Guardar

1.6 Obtener ayuda

Sección I: Operaciones con un flujo de efectivo

Capítulo 2

Interés y Descuento Simple

2.1 Interés

2.2 Monto

2.3 Principal

2.4 Tiempo y conversión

2.5 Tasa

2.6 Descuento Simple

Ejercicios propuestos

Gómez y Guerrero

Capítulo 3

Interés Compuesto

3.1 Valor futuro

3.2 Capitalización

3.3 Valor Presente

3.4 Tasa

3.5 Tiempo

3.6 Lo Nuevo en Mathematica

Ejercicios propuestos

Tema especial: tasa efectiva

Sección II: Operaciones con múltiples flujos de efectivos

Capítulo 4

Anualidades

4.1 Anualidad vencida

4.2 Anualidad anticipada

4.3 Perpetuidades

4.4 Anualidades especiales

4.5 Lo Nuevo en Mathematica

Ejercicios propuestos

Tema especial: criterio del valor actual neto

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Sección III: Instrumentos financieros Capítulo 5

Bonos

5.1 Precio de compra de un bono cupón cero

5.2 Precio de compra de un bono con cupones

5.3 Tasa de rendimiento de un bono con cupones

5.4 Lo Nuevo en Mathematica

Ejercicios propuestos

Tema especial: bono ajustado a la inflación

Anexos 1. Soluciones de ejercicios propuestos

100

2. Problemas difíciles* 3. Utilizando el Wolfram Alpha para la solución de problemas de matemáticas financieras 4. Exámenes propuestos 5. Exámenes resueltos

112 122 142 149

Formulario

161

Referencias

167

vii

ACERCA DEL LIBRO En la actualidad, el manejo de un software es indispensable para cualquier disciplina, ya que genera un vínculo entre un caso particular y los grandes avances computacionales. Para el caso de las Ciencias Sociales, existen múltiples asignaturas que requieren de un manejo sofisticado de un software no sólo para diversificar los métodos de aprendizaje, sino para cubrir los requerimientos del campo laboral. En específico, la enseñanza de las Matemáticas Financieras requiere del manejo de múltiples formulaciones, por lo que es susceptible a implementar los adelantos computacionales ad hoc para la comunidad estudiantil. Por ello aprender de manera introductoria el manejo de un software permite al alumno, al menos tres ventajas: 1) adquirir habilidades de interacción (usuariosoftware), 2) generar conocimiento más allá de la enseñanza tradicional, y 3) fomentar la creatividad. En este caso, el software que se ha seleccionado es Mathematica 10.0, debido a que es una herramienta especializada en cálculos matemáticos que integra diversos mecanismos de ayuda para el usuario, además de contar con un ambiente accesible. Asimismo, desde el 2010, Mathematica ha implementado diversos comandos especializados para este tipo de asignaturas, así como diversas plataformas compatibles tanto para computadoras como para teléfonos y otros dispositivos. Mathematica cuenta también con importantes avances en temas ambientales, geográficos, económicos y otros, así como en sus líneas tradicionales como estadística, calculo estocástico, algebra lineal, entre otras. El libro “Matemáticas Financieras con Mathematica: un enfoque moderno” es una guía completa sobre el manejo de estos comandos especializados exclusivo para computadoras. El libro cuenta con cinco

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

capítulos: uno introductorio (sobre el manejo del software) y cuatro sobre la asignatura de Matemáticas Financieras. En el primero se exponen los mecanismos básicos de acceso, de funcionamiento y de ayuda para el usuario. En el segundo se muestran los temas de interés simple y descuento simple. En el tercero se presenta el tema de interés compuesto. En el cuarto se detallan los diferentes tipos de anualidades. Y, en el quinto se expone el manejo de bonos. Todos los capítulos (del 2 al 5) incluyen ejercicios propuestos, junto con el manejo de gráficos (capítulos 2 y 3), tablas (capítulos 4) y series de tiempo (capítulo 5), además de temas especiales (excepto el capítulo 2) y problemas difíciles (anexo 1). El distintivo que se muestra a lo largo de estas páginas, es que existe cierta preferencia por el manejo de la programación de los ejercicios, pero sin relegar el uso de comandos especializados expuestos en el apartado: Lo Nuevo en Mathematica. Para el capítulo 2, este apartado se omite, pues irónicamente para resolver problemas de interés simple es necesario combinar comandos, los cuales se estudian por separado en el capítulo 3. Por ende, el manejo de esta combinación se incorpora al final del libro, en el anexo 2: problemas difíciles, junto con otros retos para el lector. Por su parte, en el anexo 3, se incorpora una breve guía de cómo utilizar la herramienta del Wolfram Alpha y en los anexos 4 y 5 se incorporan exámenes propuestos con sus respectivas soluciones sin la utilización del Mathematica 10.0 o del Wolframa Alpha con el fin evaluar el conocimiento del alumno. La información contenida en este libro referente al manejo con Mathematica 10.0, está basada, principalmente del menú de ayuda del software, mientras que parte del manejo con gráficos y tablas se utiliza como referencia el libro “Schaum´s Outline of Theory and Problems of Mathematica” de Eugene Don (2001). Sin embargo, en diversos casos se

Gómez y Guerrero

ha incorporado y ordenado la información de acuerdo a nuestra propia experiencia tanto con el manejo del software como en la enseñanza de esta asignatura, así todos los ejemplos y ejercicios son propuestos por los autores y, en consecuencia, también el mecanismo de la triple formulación de muchos de los ejemplos (tradicional, programada y con comandos), lo que permite al lector cotejar los resultados, visualizar el campo de acción de cada comando y minimizar errores. En cuanto, a la teoría se toma como referencia el libro “Matemáticas Financieras” de Héctor Manuel Vidaurri (2008). Finalmente, el libro está dirigido a jóvenes que no cuentan con un entrenamiento previo tanto en Matemáticas Financieras como en lenguajes computacionales.

Los autores.

CAPITULO 1 INSTRUCCIONES BASICAS EN MATHEMATICA Introducción De acuerdo al grado de interacción con el usuario se tienen dos tipos de software: los que emplean comandos y los que requieren de la programación de las tareas. Los primeros resultan altamente accesibles y, por tanto, se requiere de un conocimiento mínimo para llevar a cabo la aplicación. Mientras que, los segundos resultan altamente especializados y, por consiguiente, se requiere de un conocimiento amplio. Para el caso de Mathematica, este se sitúa en medio de estos extremos. Lo anterior no significa que la programación se pueda sustituir por comandos, ya que solo se debe medir en términos de accesibilidad. Los ejemplos que se muestran en este libro son con Mathematica 10.0, lo que significa que si se ejecutan con versiones anteriores podrían existir diferencias importantes. También es importante considerar que Mathematica es un software altamente sensible, por lo que se requiere de un uso adecuado de símbolos y de más instrucciones. Con la idea de facilitar su manejo, se acostumbra el empleo la letra Courier New en negritas para señalar las instrucciones (inputs) y en Courier New los resultados (outputs) -es solo para efectos didácticos y no tiene que ver con el manejo del software-, por ejemplo, si la entrada es 2 + 1, y la salida es 3 se presenta como sigue: 2+1 3 Existen diversas opciones para generar instrucciones en Mathematica, ya sea desde el teclado, comandos u otros recursos; sin embargo, para 1

Gómez y Guerrero

propósitos de este libro sólo se presentan aquellas instrucciones más simples o comunes. No obstante, en la pestaña de Ayuda (Help) se presentan todas las opciones que se pueden realizar bajo esta versión.

1.1 Generar un documento Desde la pantalla principal de Mathematica selecciona generar un Nuevo Documento (New Document), y posteriormente selecciona Hoja de Trabajo (Notebook).

Figura 1 Pantalla principa l

De forma inmediata, Mathematica te genera una Hoja de Trabajo.

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Figura 2 Hoja de Trabajo

Si deseas abrir otro documento desde la Hoja de Trabajo inicial escoge la pestaĂąa Archivo (File), selecciona Nuevo (New), y posteriormente Hoja de Trabajo (Notebook).

Figura 3 Abrir otra hoja de trabajo

Gรณmez y Guerrero

1.2 Inserciรณn de celdas Las celdas son bloques de procesamiento, las cuales sirven para introducir instrucciones o presentar resultados. En Mathematica 10 es necesario especificar el tipo de entrada, por lo que debes situarte en el signo de mรกs (+), el cual te pide Selecciona tu Tipo de Entrada (Choose how to enter input).

Figura 4 Tipo de entrada

Si seleccionas Entradas con Lenguaje Wolfram (Wolfram Language Inputs), te permitirรก introducir una amplia gama de instrucciones para resolver cualquier problema.

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Figura 5 Seleccionar entrada

Al hacer una simple operación en Mathematica, los corchetes que se encuentran en el extremo derecho de la pantalla representan la celda de entrada (In), la celda de salida (Out) y otro que agrupa la operación. Para generar la celda de salida, presiona al mismo tiempo la tecla Enter ( ) y Shift ( ).

Figura 6

Celdas

Gómez y Guerrero

1.3 Manejo de símbolos Mathematica cuenta con una amplia gama de símbolos básicos y especiales que se pueden emplear seleccionando la pestaña Paletas (Palettes) y escoger Asistente Matemático Básico (Basic Math Assistant). Para acceder a otros caracteres selecciona la pestaña de Avanzados (Advanced) o Comandos Básicos (Basic Commands).

Figura 7 Signos matemáticos

Para crear operaciones complejas con subíndices, superíndices y otros selecciona Establecer Escritura (Typesetting). Para seleccionar algún símbolo sólo se hace doble clic del lado derecho del mouse.

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Figura 8 Establecer escritura

1.4 Limpiar memoria En Mathematica se puede limpiar la memoria de dos formas. La primera es seleccionar la pestaña Evaluación (Evaluation), escoger Quitar Kernel (Quit Kernel) y Local. La segunda es escribir Limpiar (Clear) y presionar al mismo tiempo Enter  y Shift . Sin embargo, si se requiere solo modificar algunos valores se recomienda la segunda forma; en caso contrario, se debe utilizar la primera.

Gómez y Guerrero

Figura 9 Pestaña Evaluación

Para el caso de la segunda opción, donde se utiliza Limpiar (Clear) se debe especificar entre corchetes [] el símbolo que se desea cambiar su valor, para que el resto de la operación no tenga ningún cambio.

Figura 10 Limpiar memoria

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1.5 Guardar Para guardar un archivo en Mathematica es necesario seleccionar la pestaña Archivo (File), escoger Guardar Como (Save As) y se continua con el procedimiento de forma habitual. Si sólo se guarda para continuar trabajando en el mismo libro, entonces selecciona Guardar (Save).

Figura 11 Guardar archivo

1.6 Obtener ayuda Mathematica a través de la pestaña Ayuda (Help) y seleccionar Documentación Wolfram (Wolfram Documentation) despliega el menú agregado por tema.

Gómez y Guerrero

Figura 12 Obtener ayuda

El tema afín para este libro es Datos y Cálculos Financieros (Financial Data & Computation), selecciona el subtema Cálculos Financieros (Financial Computations), y posteriormente selecciona Cálculos sobre el Valor del Tiempo (Time Value Computations).

Figura 13 Ayuda por temas

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Para el caso de requerir asistencia sobre una función u otro recurso, selecciona la pestaña Ayuda (Help), y posteriormente dirígete a la opción Encontrar Función Seleccionada (Find Selected Funtion).

Figura 14 Ayuda definida

CAPITULO 2 INTERES Y DESCUENTO SIMPLE

Introducción Toda persona, así como, toda empresa en algún momento puede pedir o invertir dinero. En caso de pedir un préstamo a nivel empresarial, este podría reflejarse en la adquisición de nueva maquinaria, inmuebles, capacitación o en el diseño de nuevos productos. Por ello es indispensable la valoración de las diversas opciones que tiene una empresa para contratar un préstamo, ya que podría implicar serias repercusiones al tomar una decisión errónea. Por ejemplo, un negocio que pide (invierte) dinero, tiene que pagar (recibir) un costo (beneficio) por hacer (dejar) uso (de utilizar) del (el) dinero. A ese costo (beneficio) pagado (recibido) se le conoce como: interés. En este sentido, existen tres tipos de tasas de interés: la activa, la pasiva y la preferencial. La tasa de interés activa es aquella que se cobra por los préstamos, la tasa de interés pasiva es aquella que se otorga por las inversiones, y la tasa de interés preferencial es aquella que se utiliza en los préstamos/inversiones entre instituciones financieras y/o gobiernos. Sin embargo, estos tipos de tasas solo reflejan “la procedencia” (emisor o receptor), pero para reflejar la disponibilidad (en términos de tiempo), en el mundo de los negocios, se clasifican en dos tipos de interés: simple y compuesto. Generalmente, el primero se aplica a un préstamo o inversión de corto plazo, y el segundo a obligaciones de largo plazo. Otra forma de mostrar esta relación es a través del capital (cantidad solicitada o ahorrada), ya que en el interés simple el capital es invariable, mientras que en el interés compuesto es modificado en cada periodo, pues a este se le adjudican los intereses del periodo anterior. En otras palabras, el interés simple es la “versión simplificada” del interés compuesto. Por su lado, el descuento simple implica que el prestamista descuente los intereses 12

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

generados por el uso del dinero de forma adelantada al prestatario, pero que al igual que en el interés simple, el principal es invariable a lo largo del tiempo.

Finalmente, el capítulo cuenta con seis apartados, y ejercicios propuestos. Adicionalmente, se incorpora el manejo de gráficos en barra (simple y compuesto) para una mejor ilustración de los temas.

2.1 Interés

Definiciones

Interés: beneficio obtenido de una inversión financiera durante cierto periodo o pagada por el otorgamiento de un préstamo. En otras palabras, es la cantidad ganada o pagada por el uso del dinero.

Interés simple: tipo de interés que mantiene invariable al principal.

Fórmula

(2.1)

Gómez y Guerrero

Mathematica es un software extremadamente sensible, por lo que se requiere de un uso adecuado de los símbolos e instrucciones. Para efectos de este capítulo se emplean los siguientes:

▪

Punto y coma (;) se emplea para definir el valor de un símbolo o para separar instrucciones.

▪

Coma (,) se utiliza para definir diversos valores a un símbolo.

▪

BarCharts[] se utiliza para ejecutar el gráfico de barra.

▪

ChatLabels{} se aplica para etiquetar a las barras del gráfico.

▪

ChatStyle se aplica para modificar el diseño del gráfico.

▪

ChartLayout “Stacked” se utiliza para ejecutar el gráfico de barra

compuesto.

Ejemplo 1 Encuentra el interés simple de un préstamo de $5,000 por 2 años a una tasa del 10% anual.

Datos: Principal= 5,000 tasa=10% (0.10) tiempo= 2 Interés=?

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

En Mathematica

Principal= 5000; tasa=0.10; tiempo= 2; Interes=Principal*tasa*tiempo

1000

Ejemplo 2 Encuentra el interés simple de un préstamo de $2,400 a 15 años con una tasa del 8.5% anual.

Datos: Principal= 2,400 tasa=8.5% (0.085) tiempo= 15 Interés=?

En Mathematica

Principal= 2400;

Gómez y Guerrero

tasa=0.085; tiempo= 15; Interes=Principal*tasa*tiempo

3060

2.2 Monto

Definición Monto: es la cantidad finalmente ganada o pagada por el uso del dinero, que incluye los intereses más el dinero invertido o prestado (principal). Este término, se suele emplear únicamente para el cálculo del interés simple, mientras que para el interés compuesto se define como valor futuro.

Fórmulas

(2.2)

(2.3)

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Ejemplo 3 Encuentra el monto del ejemplo 2 utilizando ambas fórmulas (2.2 y 2.3).

Datos: Principal= 2,400 tasa=8.5% (0.085) tiempo= 15 Interés=3060 Monto=?

En Mathematica

Principal= 2400; tasa=0.085; tiempo= 15; Monto=Principal(1+tasa*tiempo)

5460

Ejemplo 4

GĂłmez y Guerrero

Encuentra el monto cuando el principal es de $60,000 a 4 aĂąos con las siguientes tasas anuales: 7.5%, 10%, 12% y 15% (usa la fĂłrmula 2.2). Grafica los resultados en Mathematica.

Datos: Principal= 60,000 tasas=7.5% (0.075), 10% (0.10), 12% (0.12) y 15% (0.15) tiempo= 4 Monto=?

En Mathematica

Principal= 60000; tasa={0.075,0.10,0.12,0.15}; tiempo= 4; Monto=Principal(1+tasa*tiempo)

{78000.,84000.,88800.,96000}

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Figura 15. Cálculo del interés simple con diferentes tasas

2.3 Principal Definición Principal: cantidad de dinero invertida o prestada. También, puede ser visto como la aportación que queda sujeta a la generación de intereses. 19

Gómez y Guerrero

Fórmula

(2.4)

Ejemplo 5 Encuentra el principal si el interés es de $270 con una tasa del 3.5% anual por 2 años.

Datos: Interés=270 tasa= 3.5 % (0.035) tiempo= 2 Principal= ?

En Mathematica

Interes=270; tasa=0.035; tiempo=2;

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Principal=Interes/(tasa*tiempo)

3857.14

Ejemplo 6 Encuentra el principal si el interés es de $500 con una tasa del 8% a 4 años.

Datos: Interés=500 tasa= 8% (0.08) tiempo= 4 Principal= ?

En Mathematica

Interes=500; tasa=0.08; tiempo=4; Principal=Interes/(tasa*tiempo)

1562.5

Gómez y Guerrero

2.4 Tiempo y conversión

Definiciones

Tiempo: periodo transcurrido en que el dinero es invertido o prestado. El tiempo puede ser exacto(365 días) u ordinario (360 días). El tiempo ordinario es el más utilizado por las instituciones financieras cuando prestan dinero, debido a que genera un interés ligeramente más alto1, por ello, también se le conoce como la regla del banquero.

Conversión: método para generar la misma unidad de tiempo entre el plazo y la tasa de interés. Debido a que, si la tasa de interés es uno por ciento por año, el tiempo debe de expresarse en años o en la parte fraccional o decimal de un año, y viceversa.

Fórmula

(2.5)

Esto no es cierto cuando el periodo es muy corto, por ejemplo, del 2 de febrero al 3 de marzo.

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Ejemplo 7 Calcula cuantos años se requieren para que una inversión de $9,200 a una tasa del 4.5% anual generen los siguientes intereses $600, $1,800 y $3,200. Grafica los resultados en Mathematica (diferenciando el principal y el interés).

Datos: Interés=600, 1,800 y 3,200 tasa=4.5% (0.045) Principal= 9,200 tiempo= ?

En Mathematica

Interes= {600,1800,3200}; tasa=0.045; Principal=9200; tiempo==Interes/(Principal*tasa)

Gómez y Guerrero

{1.44928,4.34783,7.72947}

Figura 16. Principal e interés a través del tiempo

Ejemplo 8 Encuentra el principal (fórmula 2.4) de un préstamo a 21 meses con una tasa del 6% anual y con un pago de $140 de interés.

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Datos: Interés=140 tasa=6% (0.06) tiempo= 21 meses (21/12=1.75 años) Principal= ?

En Mathematica

Interes= 140; tasa=0.06; tiempo=(21/12); Principal=Interes/(tasa*tiempo)

1333.33

Gómez y Guerrero

2.5 Tasa

Definición

Tasa: porcentaje pagado (cobrado) por (el uso) dejar de hacer uso del dinero en un periodo de tiempo determinado. Esta se determina en base al grado de riesgo tanto de la economía (condiciones de mercado) como de aquel que invierte o pide prestado.

Fórmula (2.6)

Ejemplo 9 Encuentra a que tasa un préstamo de $1,500 generó un interés de $200 por 1 año y medio.

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Datos: Interés=200 Principal= 1,500 tiempo=1.5 tasa= ?

En Mathematica

Interes= 200; Principal=1500; tiempo=1.5; tasa=Interes/(Principal*tiempo)

0.0888889

Ejemplo 10 Encuentra la tasa que generó un interés de $420 de un préstamo de $900 por 5 años y medio. Genera el resultado en porcentaje en Mathematica.

GĂłmez y Guerrero

Datos: InterĂŠs=420 Principal= 900 tiempo=5.5 tasa= ?

En Mathematica

Interes= 420; Principal=900; tiempo=5.5; tasa=(Interes/(Principal*tiempo))*100

8.48485

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

2.6 Descuento simple

Definiciones

Descuento: intereses requeridos por adelantado. Descuento simple: deuda que requiere del cobro de intereses por adelantado;

por

consiguiente,

solicitado

(principal) se transforma en la cantidad prometida a pagar (monto). Tasa de descuento: tasa que solicita el prestamista para el otorgamiento de un préstamo que caracteriza al descuento simple. Tasa de rendimiento: tasa a la que realmente se otorga el préstamo, la cual es mayor que la tasa de descuento. Valor efectivo: cantidad recibida por el solicitante del préstamo.

Fórmulas

GĂłmez y Guerrero

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

Ejemplo 11 Encuentra el valor efectivo de un prĂŠstamo solicitado de $5,000 a 21 meses con una tasa del 2.7% anual.

Datos:

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Tasa de descuento= 2.7% (0.027) Monto= 5000 tiempo= 21 meses (1.75 aĂąos) Valor Efectivo=?

En Mathematica

tasad= 0.027; Monto=5000; tiempo=1.75; Descuento==(Monto*tasad*tiempo); ValorE==Monto-Descuento

4763.75

Ejemplo 12 Calcula la tasa de rendimiento del ejemplo anterior.

Datos: Valor efectivo= 4,763.75 Monto= 5000

GĂłmez y Guerrero

tiempo= 21 meses (1.75 aĂąos) 0.028 = 2.8% anual

tasa de rendimiento=?

En Mathematica

tasad= 0.027; Monto=5000; tiempo=1.75; Descuento=(Monto*tasad*tiempo); ValorE==Monto-Descuento; tasar==(Monto-ValorE)/(ValorE*tiempo)

0.028339

Ejemplo 13 Encuentra el monto si se requiere recibir $30,000 para pagar a 4 semanas con una tasa de descuento del 26% anual.

Datos: Valor efectivo= 30,000 tiempo= 4 semanas (28 dĂas) tasa de rendimiento= 26% (0.26) 30619.18

Monto= ? 32

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

En Mathematica

tasad=(0.26/360); tiempo=28; ValorE=30000; Monto==ValorE/(1-(tasad*tiempo))

30619.2

Gómez y Guerrero

Ejercicios propuestos

1. Calcula el interés simple de un préstamo de $ 72, 000 a 6 años con una tasa del 12.5% anual. R= $54,000 2. Encuentra el interés simple de un préstamo de $1,000 a 20 años con una tasa del 7.5% anual. R= $1,500 3. Determina el monto cuando el principal es de $750 a 10 años con una tasa del 3% anual. R= $975 4. Calcula el monto de una inversión cuando el principal es de $4,500 a 2 años con las siguientes tasas anuales: 5%, 12%, 13.5% y 14%. R= $4,950; $5,580; $5,715 y $5,760 5. Determina el principal si los intereses son de $800 con una tasa de 6.5% anual durante 2 años. R= $6153.85 6. Determina el principal cuando los intereses son de $250 con una tasa del 10.5% anual durante 5 años. R=$476.19 7. Determina en cuanto tiempo un principal de $2,500 con una tasa del 8% anual genera un interés de $300. R= 1.5 años 8. Determina en cuanto tiempo un principal de $5,000 con una tasa del 3.75% anual genera un interés de $620. R= 3.30 años 34

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

9. Encuentra a que tasa un principal de $1,200 genera un interés de

$400 durante 2 años y medio. R= 13.33% 10. Encuentra a que tasa un principal de $980 genera un interés de $120 durante 3 años y medio. R= 3.49% Insert chapter three text here. Insert chapter three text here. Insert chapter three text here. Insert chapter three text here.

CAPITULO 3 INTERES COMPUESTO Introducción La cierta simplicidad del cálculo del interés simple, permite mostrar el comportamiento de la tasa de interés, del tiempo y del monto sobre un principal “estático”. Sin embargo, en la realidad existen otras formas que permiten generar un mayor beneficio o costo sobre el uso del dinero, por ejemplo, ¿qué pasaría si el principal no se mantuviera constante? Para el caso específico del interés compuesto, el principal varía porque a este se le adjudican los intereses generados sobre un periodo dado. La suma del principal y los intereses generan el “nuevo principal” para el siguiente periodo. Esta cualidad vertida en el principal (valor presente) es lo que define al interés compuesto. Naturalmente, los cálculos se engrosan y, por ende, los principios también. Si se considera el interés compuesto como una escalera, entonces el interés simple es el primer escalón. Bajo esta lógica, se debe mantener el criterio de frecuencia de tasa y tiempo. Pero aquí la referencia para la homogenización serán los periodos de capitalización, que son aquellos lapsos de tiempo entre una adjudicación de intereses y otra. Por un lado, están aquellos que son muy frecuentes que se les denomina capitalización continua (anexo 2), mientras que en el otro extremo esta la capitalización anual. Entre estos extremos se encuentra la capitalización diaria, semanal, quincenal, mensual, bimestral, trimestral, cuatrimestral y semestral, que se estudian a lo largo de este capítulo. Los ejemplos aquí expuestos se trabajan únicamente con la primera letra de cada concepto o con la más representativa, ya que esto permite agilizar los cálculos, sobre todo al momento de incorporar la capitalización en los ejemplos. 36

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Finalmente, el capítulo cuenta con seis apartados, ejercicios propuestos, y un tema especial: tasa efectiva (tasa de capitalización devengada anualmente). Adicionalmente, se incorpora el manejo de gráficos línea para una mejor ilustración de los temas.

3.1 Valor futuro Definiciones Valor futuro: término para referirse a la cantidad resultante de un préstamo o inversión (valor presente) y al interés compuesto generado durante un periodo de tiempo determinado. Este concepto es equivalente al monto cuando se emplea el interés simple.

Interés compuesto: tipo de interés que se incorpora al préstamo o inversión (capital) durante determinados periodos de tiempo.

Fórmula

(3.1)

Gómez y Guerrero

Para efectos de este capítulo se utilizan las siguientes instrucciones:

▪

ListPlot[] se emplea para generar un gráfico de línea.

▪

DataRange{} se aplica cuando se desea especificar el rango de

la información en el gráfico. ▪

PlotMarkers{} se aplica cuando se desea marcar de una forma

específica cada valor del gráfico. ▪

JoinedTrue se aplica para unir los valores del gráfico.

▪

Solve[x2=25,x] {{x-5},{x5}} se emplea para resolver

una operación de una variable seleccionada. ▪

Dobles corchetes [[]] se emplean para seleccionar un periodo.

▪

InverseFunctionsTrue se aplica cuando se emplean

funciones inversas. ▪

TimeValue[s,r,n]se emplea para resolver cálculos en interés

compuesto (valor del activo, tasa, tiempo). ▪

EffectiveInterest[r,q] se emplea para generar una tasa

efectiva (tasa nominal, periodos)

Ejemplo 14 Calcula el valor futuro de $1 después de 15 años con las siguientes tasas anuales: 1.5%, 4%, 6%, 8%, 9.5% y 12.5%. En Mathematica genera el cálculo para cada año. Grafica los resultados.

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Datos:

VP= 1 i= 0.015, 0.04, 0.06, 0.08, 0.095 y 0.125 t= 15 VF=?

2.39

3.90

5.85 En Mathematica

VP=1; i=0.015;

Gรณmez y Guerrero

t={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}; VF=VP(1+i)t

{1,1.015,1.03022,1.04568,1.06136,1.07728,1.09344,1 .10984,1.12649,1.14339,1.16054,1.17795,1.19562,1.2 1355,1.23176,1.25023}

VP=1; i=0.04; t={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}; VF=VP(1+i)t

{1,1.04,1.0816,1.12486,1.16986,1.21665,1.26532,1.3 1593,1.36857,1.42331,1.48024,1.53945,1.60103,1.665 07,1.73168,1.80094}

VP=1; i=0.06; t={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}; VF=VP(1+i)t

{1,1.06,1.1236,1.19102,1.26248,1.33823,1.41852,1.5 0363,1.59385,1.68948,1.79085,1.8983,2.0122,2.13293 ,2.2609,2.39656}

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

VP=1; i=0.08; t={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}; VF=VP(1+i)t

{1,1.08,1.1664,1.25971,1.36049,1.46933,1.58687,1.7 1382,1.85093,1.999,2.15892,2.33164,2.51817,2.71962 ,2.93719,3.17217}

VP=1; i=0.095; t={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}; VF=VP(1+i)t

{1,1.095,1.19903,1.31293,1.43766,1.57424,1.72379,1 .88755,2.06687,2.26322,2.47823,2.71366,2.97146,3.2 5375,3.56285,3.90132}

VP=1; i=0.125; t={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}; VF=VP(1+i)t

{1,1.125,1.26563,1.42383,1.60181,1.80203,2.02729,2 .2807,2.56578,2.88651,3.24732,3.65324,4.10989,4.62 41

Gómez y Guerrero

363,5.20158,5.85178}

ListPlot[{{1,1.015,…},{1,1.04,…},{1,1.06,…},{1,1.0 8,…},{1,1.095,…},{1,1.125,…}},DataRange{0,15},Pl otMarkers{"1.5%","4%","6%","8%","9.5%","12.5%"}, AxesLabel{"t","VF"},JoinedTrue]

Figura 17. Valor futuro de $1 con diferentes tasas a través del tiempo

3.2 Capitalización Definiciones

Capitalización: adjudicación del interés compuesto al capital. 42

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Periodos de capitalización: frecuencia de tiempo (fracción), donde se realiza la adjudicación del interés compuesto al capital.

Fórmula

(3.2 )

Ejemplo 15 Calcula el valor futuro de una inversión de $7,000 con una tasa del 4.5% capitalizable cada bimestre por 4 años.

Datos: VP= 7,000 i= 0.045 t= 4 n=6 VF=?

Gómez y Guerrero

En Mathematica

VP=7000; i=0.045; t=4; n=6; k=n(t); VF=VP(1+i/n)k

8374.89

3.3 Valor presente

: texto….. Definiciones

Valor presente: término para referirse a la cantidad original solicitada de un préstamo o invertida durante un periodo de tiempo determinado. Este concepto es equivalente al principal cuando se emplea el interés simple.

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Fórmula (3.3)

Ejemplo 16 Calcula el valor presente de una inversión de $14,000 a 5 años con una tasa del 5% anual.

Datos: VF=14000 i= 5% (.05) t= 5 10,969.4 VP=?

En Mathematica

VF=14000;

Gómez y Guerrero

i=0.05; t=5; Solve[VF==VP(1+i)t,VP]

Ejemplo 17 Calcula el valor presente de una inversión de $3,000 a 3 años con una tasa del 6% compuesta semestralmente.

Datos: VF=3000 i= .06 t= 3 2512.4

n=2 VP=?

En Mathematica

VF=3000; i=0.06; t=3;

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

n=2; k=n(t); Solve[VF==VP(1+i/n)k,VP]

3.4 Tasa Definición Tasa: porcentaje pagado (cobrado) por (el uso) dejar de hacer uso del dinero en un periodo de tiempo determinado. Esta se determina en base al grado de riesgo tanto de la economía (condiciones de mercado) como de aquel que invierte o pide prestado.

Fórmula (3.4)

Gómez y Guerrero

Ejemplo 18 Calcula la tasa anual con un valor presente de $32000 a 5 años con un valor futuro de $51536.4.

Datos: VF=51536.4 VP=32000 t= 5 i= ?

0.1 o 10%

En Mathematica

VF=51536.4; VP=32000; t=5; Solve[VF==VP(1+i)t,i][[5]]

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Ejemplo 19 Calcula la tasa anual con un valor presente de $1,000 a 3 años con un valor futuro de $1,249.72.

Datos: VF=1249.72 VP=1000 t= 3 i= ?

En Mathematica

VF=1249.72; VP=1000; t=3; Solve[VF==VP(1+i)t,i][[3]]

Gómez y Guerrero

3.5 Tiempo Definición Tiempo: periodo transcurrido en que el dinero es invertido o prestado, el cual puede ser exacto (365 días) u ordinario (360 días).

Fórmula (3.5)

Ejemplo 20 Calcula el tiempo requerido para que el valor presente de $2,000 a una tasa del 4.5% anual genere un valor futuro de $4,200.

Datos: VF=4200 VP=2000 i= .045 50

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

t= ?

En Mathematica

VF=4200; VP=2000; i=.045; Solve[VF==VP(1+i)t,t,InverseFunctionsTrue]

Ejemplo 21 Calcula el tiempo requerido para que el valor presente de $1,600 a una tasa es del 4% compuesta cuatrimestralmente genere un valor futuro de $1,951.664.

Datos: VF=1,951.664 VP=1600 i= .04 n=3

Gómez y Guerrero

t= ?

En Mathematica

VF=1951.664; VP=1600; i=.04; n=3; k=n(t); Solve[VF==VP(1+i/n)k,t,InverseFunctionsTrue]

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

3.6 Lo Nuevo en Mathematica

Ejemplo 22 Empleando el comando TimeValue[s, r, n] réplica los ejemplos 14- 16, 18 y 20.

•

Ej. 14

TimeValue[1, 0.015, 15]

TimeValue[1, 0.04, 15]

TimeValue[1, 0.06, 15]

TimeValue[1, 0.08, 15]

TimeValue[1, 0.095, 15]

Gómez y Guerrero

TimeValue[1, 0.125, 15]

•

Ej. 15

TimeValue[7000, 0.045/6, 24] 8374.89

•

Ej. 16

TimeValue[14000, 0.05, -5]

•

Ej. 18

FindRoot[TimeValue[3200, r, 5]==51536.4,{r, 5}] {r0.1}

•

Ej. 20

Solve[TimeValue[2000, 0.045, n]==4200, n] {{n 16.8557}}

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Ejercicios propuestos

Calcula el valor futuro de $22, 000 con una tasa del 5% anual durante 17 años. R= $50,424.4

Calcula el valor futuro de una inversión de $7, 000 con una tasa del 14% capitalizable semestralmente por 5 años. R= $13,770

Calcula el valor presente de un préstamo de $20, 000 con una tasa del 3.4% anual por 12 años. R= $13,390

Calcula el valor presente de un préstamo de $39, 000 con una tasa del 7% capitalizable cada trimestre por 10 años. R= $19,484

Calcula la tasa de interés con un valor futuro de $20,000, un valor presente de $13,390 y un vencimiento a 12 años. R= 3.39 %

Calcula la tasa de interés con un valor futuro de $1,200, un valor presente de $700 y un vencimiento a 8 años. R= 6.9 %

Calcula el tiempo para un valor futuro de $100,000, un valor presente de $80,000 y una tasa del 7% anual. R= 3.2 años

Calcula el tiempo para un valor futuro de $14,000, un valor presente de $9,000 y una tasa del 5.5% capitalizable cada semestre. R= 8.1 años

Gรณmez y Guerrero

Tema especial TASA EFECTIVA

Encuentra la tasa efectiva correspondiente a una tasa nominal del 7% compuesta mensualmente.

EffectiveInterest[.07, 1/12]

0.0722901

Encuentra la tasa efectiva correspondiente a una tasa nominal del 5% compuesta continuamente.

EffectiveInterest[.05, 0]

0.0512711

Encuentra las tasas efectivas correspondientes a las siguientes tasas nominales compuestas trimestralmente: 5%, 7%, 9% y 10%.

EffectiveInterest[{.05,.07,.09,.1}, 1/4]

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

{0.0509453,0.071859,0.0930833,0.103813} Insert chapter four text here. Insert chapter four text here. Insert chapter four text here. Insert chapter four text here. Insert chapter four text here. Insert chapter four text here.

CAPITULO 4 ANUALIDADES Introducción Hasta ahora los temas vistos se basan en la dinámica de un sólo flujo de efectivo, por lo que para una deuda (inversión) esta se liquida (invierte) en una sola exhibición. Las razones de adoptar esta opción pueden ser porque no hay forma de asegurar los pagos futuros o porque simplemente el prestatario (o inversionista) lo decida así. Pero si existe la posibilidad de realizar múltiples pagos (de igual cuantía y frecuencia) para que la deuda (inversión) se pueda liquidar (incrementar) a una tasa dada, entonces hablamos de: anualidades. Por tanto, el término anualidad refiere a la capacidad de realizar múltiples pagos, aunque no necesariamente anuales, es decir, los pagos pueden ser mensuales, trimestrales, semestrales, etc., y así brindar facilidad al prestatario (inversionista) de cumplir con su objetivo. El capítulo principalmente se centra en la dinámica de los pagos, es decir, si estos se realizan al inicio o al final de los periodos (anticipadas o vencidas), además de calcular el valor del monto y el valor actual de las anualidades. Asimismo, se incluyen las anualidades perpetuas (pagos infinitos) y las especiales (pagos crecientes). Estas últimas se definen como especiales, debido a que relajan alguna característica propia de las anualidades, en este caso, son los pagos de igual cuantía. Finalmente, el capítulo cuenta con cinco apartados, ejercicios propuestos, y un tema especial: criterio del valor actual neto (auxiliar para determinar si una inversión es o no rentable). Adicionalmente, se incorpora el manejo de tablas para una mejor ilustración de los temas. En el anexo 2, se incorpora el tema de amortización, el cual permite identificar la cuantía 58

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

del pago para liquidar una deuda, así como la tabla de amortización que muestra el desglose del pago entre intereses y capital a través del tiempo.

4.1 Anualidad vencida

Definiciones Anualidad vencida: tipo de anualidad que se distingue por rentas (o pagos) realizados al final de cada periodo. Renta: pago efectuado en igual frecuencia y cuantía.

Fórmulas

(4.1)

(4.2)

Valor Actual

Gómez y Guerrero

Para efectos de este capítulo se utilizarán las siguientes instrucciones:

▪

N[Solve[]]se emplea para generar un valor numérico.

▪

Annuity[p,t,q]se usa para resolver cálculos de anualidades vencidas (pagos fijos de una anualidad, tiempo y periodos).

▪

AnnuityDue[p,t,q]se emplea para cálculos de anualidades anticipadas

▪

PaddedForm[{n,f}]se usa para que las salidas puedan tener un formato (espacios entre los dígitos, número de decimales).

▪

TableForm[]se usa para ordenar datos o para introducir etiquetas en la tabla.

▪

TimeValue[Cashflow[{C0,C1,C2,…,Cn},r,n] se usa para introducir cantidades diferentes para cada periodo ({flujos de efectivo}, tasa, tiempo).

Ejemplo 23 Calcula el monto de la anualidad vencida con una renta de $1000 a una tasa del 5% anual durante 10 años. En Mathematica realiza el cálculo para cada año.

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Datos: R=1000 i= 5% (.05) t=10 M= ?

En Mathematica

R=1000; i=.05; t={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; N[M=R*(((1+i)t-1)/i)]; table=Table[{t,M},{1}]; TableForm[table,TableHeadings>{None,{"AÃ±os","Monto"}}]

Gómez y Guerrero

Tabla 1. Monto de una anualidad durante 10 años

Años 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Monto 1000. 2050. 3152.5 4310.13 5525.63 6801.91 8142.01 9549.11 11026.6 12577.9

Ejemplo 24 Con los datos del ejemplo anterior encuentra el monto de la anualidad cuando la tasa de interés es convertible trimestralmente, mensualmente y semanalmente. En Mathematica realiza el cálculo para cada año con las diferentes frecuencias.

Datos: R=1000 i= 5% (.05) n=4, 12 y 52 t=10 M= ?

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

En Mathematica

R=1000; i=.05; a=PaddedForm[R(((1+i)t-1)/i),{5,2}]; b=PaddedForm[R(((1+i/4)4t-1)/(i/4)),{5,2}]; c=PaddedForm[R(((1+i/12) 12t-1)/(i/12)),{5,2}]; d=PaddedForm[R(((1+i/52) 52t-1)/(i/52)),{5,2}]; tt=PaddedForm[t,2];

Gómez y Guerrero

table=Table[{tt,a,b,c,d},{t,1,10}]; Style[TableForm[table,TableHeadings>{None,{"Años","Anual", "trimestral","Mensual","Semanal"}},TableSpacing>{2}],{Purple}]

Tabla 2. Monto de una anualidad a diferentes frecuencias durante 10 periodos

Ejemplo 25 Calcula el valor actual de una anualidad cuando la renta es de $500 a una tasa del 9% anual durante 20 años.

Datos:

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

R=500 i= 9% (.09) t=20 C= ?

En Mathematica

R=500; i=.09; t=20; N[C==R((1-(1+i)-t)/i)]

C==4564.27

Ejemplo 26 Calcula el valor actual de una anualidad cuando la renta es de $3,000 a una tasa del 6.5% convertible cuatrimestralmente durante 15 aÃ±os.

Datos: R=3,000 i= 6.5% (0.065) n=3 t=15

Gรณmez y Guerrero

C= ?

En Mathematica

R=3000; i=.065; n=3; t=15; k=n(t); N[C==R((1-(1+i/n)-k)/(i/n))]

C==85 688.3

4.2 Anualidad anticipada

Definiciรณn

Anualidad anticipada: tipo de anualidad que se distingue por rentas (o pagos) realizados al inicio de cada periodo.

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Fรณrmulas

(4.3)

(4.4)

GĂłmez y Guerrero

Ejemplo 27 Calcula el monto de la anualidad cuando la renta es de $1,200 y la tasa es del 3% anual durante 10 aĂąos.

Datos: R=1200 i= 3% (0.03) t=10 M= ?

En Mathematica

R=1200; i=.03; t=10; N[M==R(1+i)(((1+i)t-1)/i)]

M==14169.4

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Ejemplo 28 Utiliza los datos del ej. 23 cuando la tasa es convertible trimestralmente (ej. 24).

Datos: R=1000 i= 5% (0.05) t=10 n=4 M= ?

En Mathematica

R=1000; i=.05; t=10; n=4; k=n(t); N(M==R(1+i/4)(((1+i/4) k-1)/(i/4))]

M==52133.2

Gómez y Guerrero

Ejemplo 29 Encuentra el valor actual cuando la renta es de $200 y la tasa es del 7.5% anual durante 15 años.

Datos: R=200 i= 7.5% (0.075) t=15 C= ?

En Mathematica

R=200; i=.075; t=15; N[C==R(1+i)((1-((1+i)-t))/i)]

C==1897.83

Ejemplo 30 Calcula el valor actual de la anualidad cuando la renta es de $4000 con una tasa del 2.5% convertible mensualmente durante 5 años. 70

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Datos: R=4000 i= 2.5% (0.025) t=5 n=12 C= ?

En Mathematica

R=4000; i=.025; t=5; n=12; k=n(t); N[C==R(1+i/n)((1-((1+i/n)-k))/(i/n))]

C==225855

GĂłmez y Guerrero

4.3 Perpetuidades

Definiciones

Perpetuidades: tipo de anualidad que se distingue por nĂşmero de rentas (o pagos) infinitos. Valor descontado: refiere al valor presente de la anualidad dada una tasa fija.

FĂłrmula

(4.5)

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Ejemplo 31 Calcula el valor descontado de una anualidad perpetua cuando la renta es de $100 a una tasa del 6.5%.

Datos: R=100 i= 6.5% A= ?

En Mathematica

R=100; i=.065; A=R/i

A==1538.46

Gómez y Guerrero

4.4 Anualidades especiales

Definición

Anualidades especiales: tipo de anualidad que se distingue por flexibilizar algún criterio que define a una anualidad. En este caso, refiere a que las rentas no son uniformes, sino que estas se incrementan en un porcentaje fijo.

Fórmulas

(4.6)

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

(4.7)

Ejemplo 32 Calcula el monto de la anualidad cuando la renta es de $100, la tasa de rendimiento es del 7%, el periodo de es 10 aÃ±os y la renta crece un 10%.

Datos: R=100 i= 7% ip=10% t=20 M=?

GĂłmez y Guerrero

En Mathematica

R=100; i=.07; ip=.10; t=20; N[M==R(((1+ip)t-(1+i)t)/(ip-i))]

M==9526.05

Ejemplo 33 Calcula el valor actual de la anualidad cuando la renta es de $5000, la tasa de rendimiento es del 9%, el periodo de es 15 aĂąos y la renta crece un 10%.

Datos: R=5000 i= 9% ip=10% t=15 C=?

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

En Mathematica

R=5000; i=.09; ip=.10; t=15; N[C==R(((1+ip)t *(1+i)-t-1)/(ip-i))]

C==73406.8

4.5 Lo Nuevo en Mathematica

Ejemplo 34 Utilizando el comando TimeValue[Annuity[p, t],r, n] réplica todos los ejemplos anteriores.

•

Ej. 23

TimeValue[Annuity[1000, 10], 0.05, 10] 12577.9

•

Ej. 24

TimeValue[Annuity[1000, 40], .05/4, 40] 77

Gómez y Guerrero

51489.6

TimeValue[Annuity[1000, 120], .05/12, 120] 155282.

TimeValue[Annuity[1000, 520], .05/52, 520] 674258.

•

Ej. 25

TimeValue[Annuity[500, 20], .09, 0] 4564.27

•

Ej. 26

TimeValue[Annuity[3000, 45], .065/3, 0] 85688.3

•

Ej. 27

TimeValue[AnnuityDue[1200, 10], .03, 10] 14169.4

•

Ej. 28

TimeValue[AnnuityDue[1000, 40], .05/4, 40] 78

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

52133.2

•

Ej. 29

TimeValue[AnnuityDue[200, 15], .075, 0] 18970.83

•

Ej. 30

TimeValue[AnnuityDue[4000, 60], .025/12, 0] 225 855

•

Ej. 31

TimeValue[AnnuityDue[100, Infinity], .065, 0] 1538.46

•

Ej. 32

TimeValue[Annuity[100x1.10#-1&, 20], .07, 20]

9526.05

•

Ej. 33

TimeValue[Annuity[5000x1.10#-1&, 15], .09, 0]

Gómez y Guerrero

73706.8 Ejercicios propuestos

1. Calcula el monto de una anualidad vencida cuando la renta es de $15, 000, una tasa del 6% anual y un periodo de 12 años. R= $253,049 2. Encuentra el monto de una anualidad vencida cuando la renta es de $7, 000, una tasa del 6% convertible semestralmente y un periodo de 10 años. R= $188,093 3. Calcula el valor actual de una anualidad vencida cuando la renta es de $40,000, una tasa del 3.5% anual y un periodo de 6 años. R= $213,142 4. Calcula el valor actual de una anualidad vencida cuando la renta es de $3, 000, una tasa del 5% convertible trimestralmente y un periodo de 20 años. R= $151,160 5. Calcula el monto de una anualidad anticipada cuando la renta es de $500, una tasa del 7.5% anual y un periodo de 30 años. R= $55,577.2 6. Calcula el monto de una anualidad anticipada cuando la renta es de $1,500, una tasa de 8% convertible mensualmente y un periodo de 12 años. R= $363,168 7. Calcula el valor actual de una anualidad anticipada cuando la renta es de $7,000, una tasa del 10% anual y un periodo de 25 años. R= $69,893.2

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

8. Calcula el valor actual de una anualidad creciente cuando la renta es de $200, una tasa del 6% anual y de crecimiento del 10%, y un periodo de 10 aÃ±os. R= $2,241.66

G贸mez y Guerrero

Tema especial

CRITERIO DEL VALOR ACTUAL NETO

Encuentra el valor actual neto que tiene una inversi贸n inicial de $10,000 y que produce los siguientes flujos de efectivo: 6 000, 5 000, 4 000, 3 000, 2 000 y 1 000. Considere una tasa del 9% anual.

TimeValue[Cashflow[{-10 000, 3000, 2000, 1000}], .09, 0]

6000,

5000,

4000,

6823.13 El resultado es positivo y, por consiguiente, se considera rentable el proyecto de inversi贸n. Sin embargo, si se cambia la inversi贸n inicial a $18, 000.

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Figura 18. Anรกlisis del valor actual neto con una inversiรณn inicial de $18,000

TimeValue[Cashflow[{-18 000, 3000, 2000, 1000}], .09, 0]

6000,

5000,

4000,

-1176.87

El resultado es negativo y, por tanto, se rechaza el proyecto. Insert chapter five text here. Insert chapter five text here. Insert chapter five text here. Insert chapter five text here. Insert chapter five text here. Insert chapter five text here. Insert chapter five text here. Insert chapter five text here.

CAPITULO 5 BONOS Introducción Gran parte de los instrumentos de deuda emitidos por un Gobierno Federal son a través de bonos, los cuales permiten cubrir obligaciones por parte del emisor, por ejemplo, iniciar o continuar con proyectos de inversión o saldar deudas. Estos instrumentos tienen como características generales que el emisor es el prestatario, que los vencimientos sean a corto, mediano y largo plazo, y que los rendimientos sean bajos en comparación con otros instrumentos (mercado de capitales). Una razón de esta última, radica en el nivel de riesgo asociado al emisor es muy baja y, por tanto, el rendimiento también lo es. Otra razón es el plazo, ya que a menor plazo menor tasa de interés. Lo anterior no significa que este tipo de instrumentos no sean atractivos, sino que más bien, son una alternativa para un inversionista adverso al riesgo o para quien decide formar un portafolio que incluya todo tipo de instrumentos que le brinde liquidez y buenos rendimientos. En cuanto a las características particulares de los bonos refiere a la pertinencia o no de pagar cupones (pagos periódicos de igual magnitud que realiza el emisor al tenedor del instrumento durante la vigencia del bono). Los bonos que pagan cupones (generalmente semestrales) se les conoce como bonos con cupones (el valor nominal del bono se paga al final del periodo), y los que no pagan cupones se les conoce como bonos cupón cero (se liquida en una sola exhibición). Debido a que los bonos se pueden comprar o vender en cualquier momento, el precio de compra se realiza a descuento. En este capítulo se omite el apartado dedicado a la programación en Mathematica, por lo que solo se incorpora el método de cálculo tradicional y de comandos especializados, que se encuentran en el apartado: Lo Nuevo en Mathematica. 84

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Finalmente, el capítulo cuenta con cuatro apartados, ejercicios propuestos, y un tema especial: bono ajustado a la inflación (donde la inflación es un determinante para el precio de compra del bono), además se incorpora el manejo de series de tiempo económicas y financieras desde Mathematica. En el anexo 2, se incorpora el tema mercado secundario (las negociaciones ya no se realizan entre los emisores e inversionistas, sino entre los tenedores de los instrumentos y otros inversionistas), en el cual se calcula el precio de compra de un bono dada una tasa de interés deseada.

5.1 Precio de compra de un bono cupón cero

Definiciones

Precio de compra: precio al que el inversionista adquiere un bono dado un rendimiento. Valor facial: valor nominal del bono. Fecha de vencimiento: tiempo de espera para el pago nominal del bono.

Fórmula

Gómez y Guerrero

(5.1) Para efectos de este capítulo se utilizan las siguientes instrucciones:

▪

FinancialBond[{parameters},{ambient parameters}]

se emplea para calcular el precio de un bono con el pago del principal a la fecha del vencimiento (parámetros y parámetros ambientales) FinancialBond[{“FaceValue”,”Coupon”,”Maturity”,”CouponInterva l”},{ ambientparams}] (valor facial, tasa de cupón, fecha de

vencimiento, intervalos de pago cupón) FinancialBond[{params},{“InteresRate”,”Settlement”}]

(tasa de interés, fecha de colocación) •

CountryData[“tag”,”property”] se emplea para obtener un

dato oficial de algún país o región (tag).

DateListPlot[CountruData[“tag”{{“property”},{”dates”] }}]] se emplea para obtener una serie de tiempo de algún país o región.

Ejemplo 35 Determina el precio de compra de un bono cupón cero con un valor facial de $100, una tasa de rendimiento del 4% y con un de vencimiento a 15 años.

Datos:

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

F=100 i= 4% t=15 P=?

Si se desea obtener el dato más reciente sobre la deuda del Estado (en dólares americanos) para México, entonces:

CountryData[“Mexico”,”GovermentDebt”]

$1.33708x1011

Pero si se requiere una serie de tiempo, entonces: DateListPlot[CountryData[“Mexico”,{{”GDP”},{1990,2 015}}]]

Figura 19. Producto Interno Bruto (PIB), nominal México

G贸mez y Guerrero

Cifras en d贸lares americanos.

5.2 Precio de compra de un bono con cupones

Definiciones

Cup贸n: pagos regulares que recibe el inversionista. Tasa de cup贸n: rendimiento otorgado por el bono.

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Fórmula

(5.2)

Ejemplo 36 Determina el precio de compra de un bono que genere un rendimiento del 8%, con un valor facial de $1,000, con un vencimiento a 20 años y una tasa cupón del 6%.

Datos: F=10 00 ic= 6%

GĂłmez y Guerrero

t=20 i= 8% P=?

Ejemplo 37 Determina el precio de compra de un bono que genere un rendimiento del 15% con un valor facial de $1,000, con un vencimiento a 30 aĂąos y con cupones semestrales a una tasa del 10%.

Datos: F=10 00 ic= 10% n=2 t=30 i=15 % P= ? P

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Ejemplo 38 Determina el precio de compra de un bono que rinda un interés del 5% con un valor facial de $1,000, una fecha de vencimiento al 31 de diciembre del 2050 y una fecha de colocación al 31 de diciembre del 2016. El bono tiene cupones semestrales a una tasa del 4%.

Datos: F=1000 ic= 4% n=2 t=34 i=5% P= ?

5.3 Tasa de rendimiento de un bono con cupones

Definición Tasa de rendimiento: interés otorgado al inversionista por la adquisición del bono.

Gรณmez y Guerrero

Fรณrmulas

(5.3)

5.4)

(5.5)

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Ejemplo 39 Determina la tasa de interés implícita de un bono con un valor facial de $1,000, un precio de compra de $650, con un vencimiento a 20 años y cupones semestrales a una tasa del 9.5%.

Datos: F=1000 P=650 ic= 9.5% t=20 n=2 i= ?

Gรณmez y Guerrero

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

5.4 Lo Nuevo en Mathematica

Ejemplo 40 Utilizando el comando FinancialBond[{params},{ambientparams}] réplica del ejemplo 35 al 39.

•

Ej. 35

FinancialBond[{“FaceValue”→.100,”Coupon”→0,”Maturi ty”→.15},{“InteresRate”→ 0.04,”Settlement”→ 0} 55.5265

•

Ej. 36

FinancialBond[{“FaceValue”→.1000,”Coupon”→.06,”Mat urity”→.20},{“InteresRate”→ 0.08,”Settlement”→ 0} 803.637

•

Ej. 37

FinancialBond[{“FaceValue”→.1000,”Coupon”→.10,”Mat urity”→.30,”CouponInterval”→ 1/2},{“InteresRate”→ 0.15,”Settlement”→ 0} 671.015

•

Ej. 38 95

Gómez y Guerrero

FinancialBond[{“FaceValue”→.1000,”Coupon”→.04,”Mat urity”→{2050,12,31},”CouponInterval”→.1/2},{“Inter esRate”→.0.05,”Settlement”→{2016,12,31}}] 837.30

•

Ej. 39

FindRoot[FinancialBond[{“FaceValue”→.1000,”Coupon” →.095,”Maturity”→.20,”CouponInterval”→ 1/2},{“InteresRate”→ y,”Settlement”→ 0}]==650,{y,.1}]

{y→0.150841}

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Ejercicios propuestos

Calcula el precio de compra de un bono cupón cero con un valor facial de $100, una tasa de rendimiento del 5% y con un vencimiento a 20 años. R= $37.68

Calcula el precio de compra de un bono que genere un rendimiento del 10%, con un valor facial de $100, con vencimiento a 10 y con una tasa cupón del 7.25%. R= $82.86

Calcula la tasa de interés de un bono con un valor facial de $1000, un precio de compra de $1500, con vencimiento a 15 y con una tasa cupón del 8%. R= 3.6%

Gómez y Guerrero

Tema especial

BONO AJUSTADO A LA INFLACIÓN

Encuentra el precio de compra de un bono ajustado a la inflación con un valor a la par de $1,000 y cupones anuales. La tasa cupón inicial es del 6%, y se incrementara un 3% anualmente. El valor de rembolso del bono es de $1,500 con un vencimiento a 15 años. FinancialBond[{“FaceValue”→ 1500, “Coupon”→ (0.06×1000×1.03 #1-1 &), “Maturity”→ 15}, {“InterestRate”→ 0.08, “Settlement”→ 0}]

1083.5

Si se desea obtener información acerca de la tasa de inflación en México, entonces: DateListPlot[CountryData[“Mexico”,{“InflationRate” ,All}], Filling→Bottom,Joined→True,{FillingStyle→Purple} ]

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Figura 20. Tasa de inflación México 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 1980

1990

2000

ANEXO. 1 SOLUCIONES DE EJERCICIOS PROPUESTOS CapĂtulo 2 1.Principal=72000; tasa=0.125; tiempo=6; Interes=Principal*tasa*tiempo

54000

2.Principal=1000; tasa=0.075; tiempo=20; Interes=Principal*tasa*tiempo

1500

3.Principal=750; tasa=0.03; tiempo=10; 100

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Monto=Principal(1+tasa*tiempo) 975

4.Principal=4500; tasa={0.05,0.12,0.135,0.14}; tiempo=2; Monto=Principal(1+tasa*tiempo)

{4950.,5580.,5715.,5760}

5.Interes=800; tasa=0.065; tiempo=2; Principal=Interes/(tasa*tiempo)

6153.85

6.Interes=250; tasa=0.105; tiempo=5; 101

Gรณmez y Guerrero

Principal=Interes/(tasa*tiempo) 476.19

7.Interes=300; tasa=0.08; Principal=2500; tiempo=Interes/(Principal*tasa)

1.5

8.Interes=620; tasa=0.0375; Principal=5000; tiempo=Interes/(Principal*tasa)

3.30

9.Interes=400; Principal=1200; tiempo=2.5; 102

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

tasa=Interes/(Principal*tiempo)*100

13.33

10.Interes=120; Principal=980; tiempo=3.5; tasa=Interes/(Principal*tiempo)*100

3.49

CapÃtulo 3

1.VP=22000; i=0.05; t=17; VF=VP (1+i)t

50424.4

TimeValue[22000, 0.05, 17] 103

Gรณmez y Guerrero

50424.4

2.VP=7000; i=0.14; n=2; k=n(t); t=5; VF=VP (1+i/n)k

13770.1 TimeValue[7000, 0.14/2, 10] 13770.1

3.VF=20000; i=0.034; t=12; Solve[VF==VP (1+i)t,VP] 13390.1 TimeValue[20000, 0.034, -12] 13390.1 104

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

4.VF=39000; i=.07; n=4; k=n(t); t=10; Solve[VF==VP (1+i/n) k,VP] 19484.4 TimeValue[39000,0.07/4,-40] 19484.4

5.VF=20000; VP=13390.1; t=12; Solve[VF==VP (1+i)t,i][[12]] {i→ 0.033999} FindRoot[TimeValue[13390.1, r, 12]==20000,{r, 12}] {r→ 0.033999}

6.FindRoot[TimeValue[700, r, 8]==1200,{r, 8}]

105

Gómez y Guerrero

{r→ 0.0696961} 7.VF=100000; VP=80000; i=.07; Solve[VF==VP (1+i)t,t,InverseFunctions->True] {{t→ 3.29808}} Solve[TimeValue[80000, 0.07, n]==100000,n]

8.VF=14000; VP=9000; i=.055; n=2; k=n(t); Solve[VF==VP (1+i/n) k,t,InverseFunctions->True] {{t→ 8.14328}} Solve[TimeValue[9000, 0.055/2, n*2]==14000,n]

106

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

CapÃtulo 4 1.R=15000; i=.06; t=12; N[M=R*(((1+i)t-1)/i)] 253049 TimeValue[Annuity[15000, 12], 0.06, 12] 253049

2.R=7000; i=.06; t=10; n=2; k=n(t); N[M=R*(((1+i/n)k-1)/(i/n))] 188093 TimeValue[Annuity[7000, 20], 0.06/2, 20] 188093

107

Gรณmez y Guerrero

3.R=40000; i=.035; t=6; N[C==R((1-(1+i)-t)/i)]

C==213142

TimeValue[Annuity[40000, 6], 0.035, 0] 213142

4.R=3000; i=.05; t=20; n=4; k=n(t); N[C==R((1-(1+i/n)-k)/(i/n))] C==151160 TimeValue[Annuity[3000, 80], 0.05/4, 0] 151160

108

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

5.R=500; i=.075; t=30; N[M==R(1+i)(((1+i)t-1)/i)] 55577.2 TimeValue[AnnuityDue[500, 30], 0.075, 30] 55577.2

6.R=1500; i=.08; t=12; n=12; k=n(t); N[M==R(1+i/n)(((1+i/n) k-1)/(i/n))] 363168 TimeValue[AnnuityDue[1500, 144], 0.08/12, 144] 363167.66

7.R=7000; i=.10; 109

Gómez y Guerrero

t=25; N[C==R(1+i)((1-((1+i)-t))/i)] C==69893.2 TimeValue[AnnuityDue[7000, 25], 0.10, 0] 69893.2

8.R=200; i=.06; ip=.10; t=10; N[C==R(((1+ip)t*(1+i)-t-1)/(ip-i))] C==2241.66 TimeValue[Annuity[200×1.10#-1&, 10], 0.06, 0] 2241.66

Capítulo 5 1.FinancialBond[{“FaceValue”→ 100, “Coupon”→ 0, “Maturity”→ 20}, {“InterestRate”→ .05, “Settlement”→ 0}] 37.6889

110

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

2.FinancialBond[{“FaceValue”→ 100, “Coupon”→ 0.0725, “Maturity”→ 10, “CouponInterval”→ 1/2}, {“InterestRate”→ 0.10, “Settlement”→ 0}]

82.8645

3.FindRoot[FinancialBond[{“FaceValue”→ 1000, “Coupon”→ 0.08, “Maturity”→ 15, “CouponInterval”→ 1/2}, {“InterestRate”→ y, “Settlement”→ 0}]==1500,{y, .1}]

{y→ 0.0364365}

111

Gómez y Guerrero

ANEXO. 2 PROBLEMAS DIFÍCILES

Capítulo 2 Interés simple

Monto Del problema 1 al 4 se utilizan los datos del ejemplo 4.

1.TimeValue[60000,EffectiveInterest[.075,4],4]

78000 2.TimeValue[60000,EffectiveInterest[.10,4],4]

84000 3.TimeValue[60000,EffectiveInterest[.12,4],4]

88000 4.112

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

TimeValue[60000,EffectiveInterest[.15,4],4]

96000

Principal El problema 5 se basa en los datos del ejemplo 8.

5.TimeValue[1473.3,EffectiveInterest[.06,21/12],21/12]

1333.33

CapÃtulo 3 Tiempo continuo

Valor Futuro El problema 1 se basa en los datos del ejemplo 15.

1.TimeValue[7000,EffectiveInterest[.045,1/6],4]

113

Gรณmez y Guerrero

8374.89 Con base en el problema anterior, calcula el monto en tiempo continuo.

2.TimeValue[7000,EffectiveInterest[.045,1/Infinity], 4]

8380.52

Valor presente El problema 3 se basa en los datos del ejemplo 17.

3.TimeValue[3000,EffectiveInterest[.06,1/Infinity],2]

2660.76

114

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Capítulo 4 Amortización

1.Suponga que se adquiere una deuda de $40 000 y se requiere amortizar por medio de pagos mensuales durante 5 años. Encuentre el pago mensual si la tasa de interés es del 30% capitalizable mensualmente.

Solve[TimeValue[Annuity[pmt,5,1/12],EffectiveInter est[.30,1/12],0]==40000,pmt]

{{pmt→1294.14}} En la tabla A1, se muestra como el pago mensual (columna 3) cubre el interés del periodo (columna 4) y el resto se destina al principal (columna 5). La amortización (columna 2) es el saldo de la deuda al restar el pago del principal en el periodo.

115

Gรณmez y Guerrero

Tabla A1. Tabla de amortizaciรณn

116

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

2.Suponga que se adquiere una deuda de $70 000 y se requiere amortizar por medio de pagos semanales durante 2 años. Encuentre el pago mensual si la tasa de interés es del 8% capitalizable semanalmente.

Solve[TimeValue[Annuity[pmt,2,1/52],EffectiveInter est[.08,1/52],0]==70000,pmt]

{{pmt→728.87}} En la tabla A2, se muestra como el pago semanal (columna 3) cubre el interés del periodo (columna 4) y el resto se destina al principal (columna 5). La amortización (columna 2) es el saldo de la deuda al restar el pago del principal en el periodo.

117

Gรณmez y Guerrero

Tabla A2. Tabla de amortizaciรณn

118

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Continuaciรณn

119

Gรณmez y Guerrero

Continuaciรณn

120

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Capítulo 5 Mercado secundario

El problema 1 se basa en los datos del ejemplo 37.

Encuentre el precio de recompra de un bono que rinda un rendimiento deseado del 16% con un vencimiento a 20 años.

FinancialBond[{“FaceValue”→.1000,“RedemptionValue” →red,”Coupon”→.10,”Maturity”→.20,”CouponInterval”→ 1/2},{“InteresRate”→ 0.16,”Settlement”→0}==671.01,red]

Si se utiliza la misma tasa deseada (15%) y el mismo vencimiento (30 años) del ejemplo 37, el resultado será el valor facial (1000).

FinancialBond[{“FaceValue”→.1000,“RedemptionValue” →red,”Coupon”→.10,”Maturity”→.30,”CouponInterval”→ 1/2},{“InteresRate”→ 0.15,”Settlement”→0}==671.01,red]

121

Gómez y Guerrero

ANEXO. 3 UTILIZANDO EL WOLFRAM ALPHA PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS

1. Antecedentes

El Wolfram Alpha fue lanzado públicamente el 18 de mayo de 2009 por su fundador, el científico Stephen Wolfram, reconocido por sus investigaciones en física de partículas, autómatas celulares y álgebra computacional. Y aunque en un principio se creía que era un motor de búsqueda como el de Google, la realidad es que se catalogó más como un buscador de conocimiento computacional que utiliza el lenguaje natural. Lo cual quiere decir que nos permite realizar preguntas concretas y el programa nos devolverá la respuesta exacta, en vez de una lista de posibles enlaces satisfactorios como ocurre con los buscadores comunes.

Esta exactitud es posible gracias a la capacidad de transformar el lenguaje natural en lenguaje matemático mediante nuevos algoritmos para recuperar la documentación buscada. Mediante los modelos de conocimiento completados con datos y algoritmos que representen un conocimiento del mundo real, el programa es capaz de responder a nuestras preguntas exactamente, a pesar de no haber sido programado para contestar a dichas preguntas en concreto.

De esta manera, las preguntas que podemos hacerle al programa pueden ser de gente e historia, datos y fechas, arte y diseño, palabras y linguística, datos socioeconómicos, unidades y medidas, cultura y medios, análisis de datos y estadísticos, dinero y finanzas y música. 122

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Además, dicho programa no solo es un buscador de conocimiento computacional, sino que también incorpora muchas de las funciones de su programa antecesor: Wolfram Mathematica, liberada en 1987; por lo que podemos hacer cálculos de algebra, algebra lineal, cálculo, física, química, estadística, etc. y si contamos con la versión de paga, podemos incluso obtener las soluciones paso a paso de alguna ecuación. Lo mejor de todo, es que este programa es posible utilizarlo en el celular, tableta y/o por computadora.

Dentro de estas funciones, se ha integrado completamente el soporte para muchas de las herramientas usadas en finanzas clásica y moderna. Estas capacidades incluyen la valoración de instrumentos financieros, el valor avanzado del tiempo de los cálculos de dinero (matemáticas financieras) y gráficos avanzados financieros con una biblioteca de indicadores técnicos. Además, proporciona acceso inmediato a una gran variedad de datos financieros y económicos, y contiene herramientas de importación y exportación financiera para trabajar con datos externos.

2. Conociendo la aplicación

Para poder empezar a utilizar Wolfram Alpha, es necesario seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Desde el explorador buscamos Wolfram Alpha y/o mediante el celular, en la aplicación de Google Play y/o en la Appstore a través de iTunes, buscamos Wolfram Alpha y/o simplemente Wolfram.

123

Gómez y Guerrero

Figura A1

Desde el explorador

Desde Google Play

iTunes

Paso 2: Una vez que se encontró la aplicación de Wolfram Alpha, procedemos a utilizar la aplicación, en el caso de que lo hagamos por la computadora2 y/o comprar la aplicación, si es que queremos utilizarla en nuestro celular.

Se puede volver uno en suscriptor Pro por $4.75 dólares al mes en el caso de ser estudiante o educador y/o $5.49 dólares al mes si se factura todo el año y/o $6.99 si se cobra mensualmente. Así mismo, se encuentra la opción premium por un costo de $9.99 dólares al mes si se factura todo el año y/o $12 si se cobra mensualmente.

124

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Figura A2

Paso 3: Una vez en la aplicación, podemos utilizarla como buscador de conocimiento y/o en diversos ámbitos de las matemáticas, tales como: algebra, algebra lineal, estadística, cálculo y por supuesto matemáticas financieras:

Figura A3

Para poder comenzar a utilizar el Wolfram Alpha para la solución de problemas de matemáticas financieras, es necesario introducir el comando que deseamos utilizar:

125

Gómez y Guerrero

Figura A4

3. Comandos, ejemplos y resultados I.

Para el caso de querer realizar cálculos con el interés simple, es necesario introducir el comando: SIMPLE INTEREST

buscador

figura

inmediatamente, nos aparecerá una pantalla que dice: “Asumiendo que "Interés simple" se refiere a una fórmula”. Una vez que nos encontramos en esa pantalla podemos hacer los cálculos deseados, tomando en cuenta que necesitamos introducir los datos de entrada en cuestión: a. Para el cálculo del Valor Presente: Valor futuro, Tasa de interés y Tiempo. b. Para el cálculo del Valor Futuro: Valor presente, Tasa de interés y Tiempo. c. Para el cálculo de la Tasa de interés: Valor futuro, Valor presente y Tiempo. d. Para el cálculo del Tiempo: Valor futuro, Valor presente y Tasa de interés.

126

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Figura A5

Ejemplo 1. Rigoberto pidió restado $12,000 a pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es del 36% anual simple, ¿Qué monto deberá pagar? (Vidaurri, 2012)

Solución: En el Wolfram Alpha en la opción de cálculo de valor futuro debemos de introducir la siguiente información, a partir de los datos proporcionados: En Present value: $12000, Interest rate: 36/12 y en Interest periods: 4, con lo cual nos arrojará un resultado de $13,440.

II.

Para el caso querer realizar cálculos con la tasa efectiva de interés, es necesario introducir el comando: EFFECTIVE INTEREST RATE e inmediatamente, nos aparecerá una

127

Gómez y Guerrero

pantalla para introducir los datos y hacer los cálculos deseados: a. Tasa efectiva de interés: Tasa de interés nominal y periodos compuestos. b. Tasa de interés nominal: Tasa efectiva de interés y periodos compuestos. c. Periodos compuestos: Tasa efectiva de interés y tasa nominal de interés.

Figur a A6

Ejemplo 2. ¿Cuál es la tasa efectiva del dinero invertido a una tasa nominal del 21.4% capitalizable en forma trimestral? (Vidaurri, 2012).

Solución: En el Wolfram Alpha introducir en nominal interest rate: 21.4 y en compounding periods: 4, dándonos de resultado: 23.18%

128

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

III. Para el caso querer realizar cálculos con el interés compuesto,

COMPOUND

necesario INTEREST

introducir e

comando:

inmediatamente,

nos

aparecerá una pantalla para introducir los datos y hacer los cálculos deseados: a. Valor presente: Valor futuro, Tasa de interés, Tiempo y Frecuencia compuesta. b. Valor futuro: Valor presente, Tasa de interés, Tiempo y Frecuencia compuesta. c. Tasa de interés: Valor futuro, Valor presente, Tiempo y Frecuencia compuesta. d. Tiempo: Valor futuro, Valor presente, Tasa de interés y Frecuencia compuesta.

129

Gómez y Guerrero

Figura A7

Ejemplo 3. Luis recibió una herencia de medio de millón de pesos y quiere invertir una parte de este dinero en un fondo de jubilación. Piensa jubilarse dentro de 25 años y para entonces desea tener $12,000,000 en el fondo. ¿Qué parte de la herencia deberá invertir Luis ahora, si el dinero estará ganando una tasa de interés compuesto cada mes del 13.25% anual? (Vidaurri, 2012).

Solución: En el Wolfram Alpha debemos seleccionar la opción future value y anotar: $12000000, en interest rate: 13.25/12, en interest periods: 300 y en compounding frequency: monthly, dándonos como resultado: $445,107.66

IV. Para el caso de querer realizar cálculos con las anualidades, es necesario introducir el comando: ANNUITY e 130

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

inmediatamente, nos aparecerá una pantalla para introducir los datos y hacer los cálculos deseados:

Figura A8

a. Valor presente: Tasa de interés, tiempo y pago periódico. b. Tasa de interés: Valor presente, número de periodos, pagos por periodo y pago periódico. c. Pagos por periodo: Valor presente, Tasa de interés, Tiempo, Pago periódico y tasa de crecimiento del pago periódico. d. Tasa de crecimiento del pago periódico: Valor presente, Tasa de interés, Tiempo y Pago periódico. e. Tiempo: Valor presente, Tasa de interés, Pagos por periodo, Pago periódico y Tasa de crecimiento del pago periódico. f. Pago periódico: Valor presente, Tasa de interés, Número de periodos, Pagos por periodo, Tasa de crecimiento del pago periódico.

131

Gómez y Guerrero

Nota: Independientemente del cálculo de anualidad que vayamos a hacer, la opción por default de la aplicación es, la de "asumiendo valor presente", pero también tendríamos la opción de utilizar la de valor futuro. De igual forma, podemos incluir a nuestro cálculo los pagos por periodo y la tasa de crecimiento de los pagos periódicos, según sea el caso.

Ejemplo 4. El papá de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria. Planea depositar $2,000 en una cuenta de ahorro al final de cada mes durante los próximos 8 años. Si la tasa de interés es del 9% anual, ¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años? (Vidaurri, 2012).

Solución. Al ser la anualidad vencida 3, debemos escribir el comando annuity, con las opciones de calcular valor futuro, asumir anualidad y asumir valor futuro e introducir en interest rate: 9/12, number of periods: 96, payments per period: 1; periodic payment: $2000; obteniendo como resultado: $279,700

Para el caso querer realizar cálculos con la amortización, es necesario introducir el comando: AMORTIZATION e

En el caso de que la anualidad fuera anticipada, se debe utilizar el comando: annuity due e insertar los datos siguientes: tasa de interés: 9/12, número de periodos: 96, pagos por periodo: 1, pago periódico: $2000 y tasa de crecimiento del pago periódico: 0; con lo cual obtendremos un valor futuro de $281,800.

132

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

inmediatamente, nos aparecerá una pantalla para introducir los datos y hacer los cálculos deseados:

Figura A9

a. Tasa fija en la hipoteca: Cantidad del préstamo, Periodo, Tasa anual en porcentaje e intervalo del pago que puede ser diario, semanal, mensual, trimestral, semestral y anual.

Nota: Otras opciones que se pueden utilizar son: tasa ajustable, auto préstamo y capital e interés.

Ejemplo 5. Un préstamo de $18 000 se amortizará por medio de 6 pagos mensuales iguales. Calcule el abono mensual si la tasa de interés es de 34% capitalizable mensualmente (Vidaurri, 2012).

Solución. En el Wolfram Alpha debemos elegir la opción Asumming Loan e introducir los datos siguientes: Loan amount: $18,000, Loan period: 0.5 133

Gรณmez y Guerrero

yr, Annual percentage rate: 34, Payment interval: monthly. Con lo cual obtendremos un resultado de $3304.42 para el pago mensual.

VI. Para el caso querer realizar cรกlculos con el valor presente neto, es necesario introducir el comando: NET PRESENT VALUE e inmediatamente, nos aparecerรก una pantalla para introducir los datos y hacer los cรกlculos deseados:

134

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Figura A10

a. Flujo inicial de efectivo, Flujo de efectivo 1, Flujo de efectivo 2, ..., Flujo de efectivo n y Tasa de descuento.

Nota: De igual forma tenemos las siguientes opciones adicionales: Valor presente y futuro (utilizando fechas), Valor presente y futuro (Compuesto continuo), Valor presente y futuro (Compuesto continuo utilizando fechas) y Valor presente de la anualidad.

Ejemplo 6: Alejandro está vendiendo un departamento y recibe la siguiente oferta de Armando: Darle un anticipo de $100,000 y el saldo en dos pagarés de $71,430 cada uno a 6 y 10 meses de plazo. Si Alejandro puede invertir al 1.2% mensual con capitalización mensual, ¿Cuál alternativa la conviene más? (Vidaurri, 2012).

135

Gómez y Guerrero

Solución: En el Wolfram Alpha debemos insertar la siguiente información: Initial cash flow $100,000 y en casflow 6 y 10 las cantidades de $71,430 y finalmente en discount rate 1.2%. Lo cual nos arrojará un resultado de $229,900.

VII. Para el caso querer realizar cálculos con la tasa real de retorno, es necesario introducir el comando: REAL RATE OF RETURN e inmediatamente, nos aparecerá una pantalla para introducir los datos y hacer los cálculos deseados:

Figura A11

a. Tasa nominal de retorno y Tasa de inflación.

136

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Ejemplo 7: Supongamos que nos ofrecen una tasa de retorno del 12%, pero la tasa de inflación sumó 4.5%, ¿Cuál es la tasa real de retorno?

Solución: En el Wolfram Alpha debemos insertar la siguiente información: en nominal rate of return: 12% y en inflation rate: 3%, dándonos como resultado una tasa real de retorno del 8.738%.

VIII. Para el caso querer realizar cálculos con los bonos, es necesario

introducir

comando:

BONDS

inmediatamente, nos aparecerá una pantalla para introducir los datos y hacer los cálculos deseados, asumiendo un precio del vínculo entre los pagos de cupones, se puede calcular el precio, el valor aparente, la tasa cupón y el rendimiento anual.

Para el caso del precio, los datos de entrada son:

a. Fecha de liquidación, fecha de vencimiento, valor aparente, tasa cupón y rendimiento anual.

137

Gómez y Guerrero

Figura A 12

Ejemplo 8: Determina el precio de compra de un bono que genere un rendimiento del 15% con un valor facial de $1,000, con un vencimiento a 30 años y con cupones semestrales a una tasa del 10% (Gómez y Guerrero, 2017).

Solución: En el Wolfram Alpha debemos ejecutar el comando Bond Price e insertar la siguiente información: maturity: 30, face value: $1000, yield to maturity: 15, coupon rate: 10 con un coupon frequency: semi-annual, con lo cual obtendremos un total value de $671.01

138

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

IX. Para el caso querer realizar cálculos con la depreciación, es necesario introducir el comando: DEPRECIATION e inmediatamente, nos aparecerá una pantalla para introducir los datos y hacer los cálculos deseados: a. Valor del activo, Vida del activo, Método de depreciación (acelerado, línea recta, saldo decreciente, saldo decreciente doble, saldo decreciente con vida limitada y suma de dígitos de los años) y fecha de compra.

También se pueden incluir datos como: comienzo del año fiscal, valor de salvamento, tasa de descuento, factor de depreciación y tasa impositiva.

Figura A 13

Ejemplo 9: Supongamos un bien con valor de $100,000 y una vida útil de 15 años que queremos depreciar por el método de depreciación acelerada.

Solución: En el Wolfram Alpha debemos de introducir los siguientes datos: asset value: 100,000, asset life: 15 yr, depreciation 139

Gómez y Guerrero

method: accelerated y en purchase date: la fecha de compra del bien, para este caso se dejó el 1 de agosto de 2017. Y la aplicación nos arrojará la siguiente tabla (figura 14) en la que se muestra la depreciación del bien año con año, el valor en libros y la columna de incentivo fiscal, que permite a ciertos contribuyentes de ciertos países restar la cantidad del crédito que han acumulado del total que deben al estado.

140

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Tabla 1

141

Gómez y Guerrero

ANEXO. 44 EXAMEN 1 MATEMATICAS FINANCIERAS ALUMN@: __________________________________________________ Valor de cada pregunta de la teoría 1 pt.

1.- Una tasa efectiva de interés es una tasa periódica expresada en forma anualizada:

VóF

2.- Dos tasas no son equivalentes cuando producen los mismos intereses actuando sobre el mismo capital durante el mismo tiempo: VóF 3.- Siempre son mejores las tasas de interés que se capitalizan con mayor frecuencia en el año: VóF 4.- La longitud del periodo de capitalización de la tasa de interés no influye en la acumulación o en el descuento: VóF 5.- Cuando el plazo de la inversión es inferior al periodo de capitalización, el modelo de interés simple no produce mayores rendimientos que el modelo de interés compuesto: V ó F

Las preguntas de este anexo fueron tomadas del libro de Vidaurri, 2008.

142

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Valor de cada pregunta de la práctica 2.5 pts.

6.- ¿En cuánto tiempo un capital de $50,000 produce interés de $2,000, si se paga una tasa de interés del 15% anual? 7.- Un capital de 8 700 pesos produce intereses a una tasa del 25% convertible cada mes. ¿En cuánto tiempo la inversión llegará a 11 873.15 pesos?

143

Gómez y Guerrero

EXAMEN 2 MATEMATICAS FINANCIERAS ALUMN@: __________________________________________________

Valor de cada pregunta 3.33 pts.

1.- Una persona tiene una deuda que debe saldarse de la siguiente forma: $9,000 en este momento y $13,800 dentro de 2 meses. Si desea saldar completamente su deuda el día de hoy, ¿Cuánto deberá pagar, si la tasa de interés es del 24% anual capitalizable cada mes?

2.- El 1 de abril de 2003 se efectuó un depósito de $18,000 en un banco que pagaba el 20% de interés capitalizable cada mes. El 1 de octubre de 2004 se depositaron $31,000 en la cuenta y ese mismo día la tasa de interés cambio al 15% capitalizable cada quincena. ¿Cuál fue el saldo el 1 de noviembre de 2006, si la tasa de interés volvió a cambiar el 1 de enero de 2006 al 9% capitalizable cada mes?

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

el dinero se mantendrá en la cuenta hasta que la niña cumpla 18 años, edad en que estará por ingresar a la universidad. ¿Qué cantidad de dinero habrá en la cuenta dentro de 18 años? Suponga que la tasa de interés es del 10% capitalizable cada bimestre.

145

Gómez y Guerrero

EXAMEN 3 MATEMATICAS FINANCIERAS ALUMN@: __________________________________________________

Valor de cada pregunta 3.33 pts.

1.- ¿Cuál es el valor de contado de una casa que compró la familia López en la colonia Fuentes del Pedregal hace 15 años, si realizaban pagos anticipados de 30,000 pesos mensuales, con una tasa de interés del 28% capitalizable mensualmente.

2.- Una persona pide prestado la cantidad de $10,000 pesos que se van a amortizar a través de seis pagos mensuales vencidos. Si la tasa de interés es de 28% capitalizable mensualmente. Encontrar de cuanto es el abono mensual y calcular la tabla de amortización.

3.- ¿Cuál es el valor de salvamento de un horno para la elaboración de pan que costó $175,000, se deprecia $22,150 cada año y su valor con la inflación aumenta 7.2% anual? La vida útil del horno se considera de 7 años.

146

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

EXAMEN DE RECUPERACION-EXTRAORDINARIO MATEMATICAS FINANCIERAS ALUMN@: _________________________________________________

Valor de cada pregunta 1.66 pts.

1.- ¿En cuánto tiempo un capital de $50,000 produce interés de $2,000, si se paga una tasa de interés del 15% anual?

2.- Un capital de 8 700 pesos produce intereses a una tasa del 25% convertible cada mes. ¿En cuánto tiempo la inversión llegará a 11 873.15 pesos?

3.- Raquel desea jubilarse en este año y cree que una mensualidad de $10,000 durante los siguientes 20 años será suficiente para vivir bien. ¿Cuánto dinero debe tener en su fondo de retiro para poder retirar la cantidad deseada, sabiendo que éste le paga el 12% anual capitalizable cada mes?

Gómez y Guerrero

interés cambio al 15% capitalizable cada quincena. ¿Cuál fue el saldo el 1 de noviembre de 2006, si la tasa de interés volvió a cambiar el 1 de enero de 2006 al 9% capitalizable cada mes?

5.- El día de su nacimiento una niña recibió por parte de sus abuelos $50,000 para que sean utilizados en su educación universitaria. El mismo día en que nació la niña su padre le abrió una cuenta de inversión a su nombre, donde depositó el regalo de sus abuelos junto con $1000 que piensa depositar, a partir de este momento, cada bimestre durante 15 años. Después de transcurrido ese tiempo, los depósitos serán suspendidos pero el dinero se mantendrá en la cuenta hasta que la niña cumpla 18 años, edad en que estará por ingresar a la universidad. ¿Qué cantidad de dinero habrá en la cuenta dentro de 18 años? Suponga que la tasa de interés es del 10% capitalizable cada bimestre.

6.- Una persona pide prestado la cantidad de $10,000 pesos que se van a amortizar a través de seis pagos mensuales vencidos. Si la tasa de interés es de 28% capitalizable mensualmente. Encontrar de cuanto es el abono mensual y calcular la tabla de amortización.

148

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

ANEXO. 55 EXAMEN 1 RESUELTO MATEMATICAS FINANCIERAS

1.- Una tasa efectiva de interés es una tasa periódica expresada en forma anualizada:

VóF

6.- ¿En cuánto tiempo un capital de $50,000 produce interés de $2,000, si se paga una tasa de interés del 15% anual?

Ibidem.

149

Gómez y Guerrero

52000 52000 1 1 292 n  ( 50000 ) * 360  96 ; n  ( 50000 ) * 365   97.33 0.15 0.15 3

7.- Un capital de 8 700 pesos produce intereses a una tasa del 25% convertible cada mes. ¿En cuánto tiempo la inversión llegará a 11 873.15 pesos? M log  C n   p log 1   

   i   p 

 11873.15   log  8 700   n  1.2567381   0.25  12 log 1   12   

150

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

EXAMEN 2 RESUELTO MATEMATICAS FINANCIERAS

C

13,800

 $13,264.13 2  0.24  1   2   $9,000  $13,264.13  x x  $22,264.13 2

 0.24  M  13264.13 * 1    $13,800 2  

151

Gómez y Guerrero 18

 0.25  M  $18,000* 1    $24,237.4557 12   $24,237.4557  $31,000  $55,237.4557 30

 0.15  M  $55,237.4557* 1    $66,590.2273 24   10

 0.09  M  $66,590.2273* 1    $71,756.46 12  

3.- El día de su nacimiento una niña recibió por parte de sus abuelos $50,000 para que sean utilizados en su educación universitaria. El mismo día en que nació la niña su padre le abrió una cuenta de inversión a su nombre, donde depositó el regalo de sus abuelos junto con $1000 que piensa depositar, a partir de este momento, cada bimestre durante 15 años. Después de transcurrido ese tiempo, los depósitos serán suspendidos pero el dinero se mantendrá en la cuenta hasta que la niña cumpla 18 años, edad en que estará por ingresar a la universidad. ¿Qué cantidad de dinero habrá en la cuenta dentro de 18 años? Suponga que la tasa de interés es del 10% capitalizable cada bimestre.

152

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA 108

 0.10  M 1  50,000* 1   6  

 $298,028.05

  0.10  90    1  1  6    1  0.10   $209,024.05 M 2  1,000* 0.10   6    6   18

 0.10  M 3  209,024.05 * 1    $281,456.1 6   M Total  M 1  M 3  $579,484.23

  0.10  90    1  1  108 18 6   0.10   0.10   0.10     M  50,000* 1    1,000* 1   * 1    0.10   6  6   6     6  

153

Gómez y Guerrero

EXAMEN 3 RESUELTO MATEMATICAS FINANCIERAS

n=180

 1  (1  i )  n 1  A  R 1   i  

i=2.3 R=30,000

A=$1,295,009.07

Fecha

Pago

Interés

mensual

sobre saldo

Amortización

Saldo

10,000

insoluto Al momento de

154

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

operación Fin del mes 1

1,805.39

233.33

1,572.06

8,427.94

Fin del mes 2

1,805.39

196.65

1,608.74

6,819.2

Fin del mes 3

1,805.39

159.11

1,646.28

5,172.92

Fin del mes 4

1,805.39

120.70

1,684.69

3,488.23

Fin del mes 5

1,805.39

81.39

1,724.00

1,764.23

Fin del mes 6

1,805.39

41.17

1,764.23

0.00

832.36

10,000

Totales:

Fin de año

Depreciación

anual

acumulada

160,000

25,600

134,400

43,200

68,800

91,200

155

Valor en libros

Gรณmez y Guerrero

45,600

114,400

45,600

160,000

0.00

156

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

EXAMEN DE RECUPERACION-EXTRAORDINARIO RESUELTO MATEMATICAS FINANCIERAS

1.- ¿En cuánto tiempo un capital de $50,000 produce interés de $2,000, si se paga una tasa de interés del 15% anual? 52000 52000 1 1 292 n  ( 50000 ) * 360  96 ; n  ( 50000 ) * 365   97.33 0.15 0.15 3

2.- Un capital de 8 700 pesos produce intereses a una tasa del 25% convertible cada mes. ¿En cuánto tiempo la inversión llegará a 11 873.15 pesos?  M log  C n   p log 1   

   i   p 

 11873.15   log  8 700   n  1.2567381   0.25  12 log 1   12   

Gómez y Guerrero

4.- El 1 de abril de 2003 se efectuó un depósito de $18,000 en un banco que pagaba el 20% de interés capitalizable cada mes. El 1 de octubre de 2004 se depositaron $31,000 en la cuenta y ese mismo día la tasa de interés cambio al 15% capitalizable cada quincena. ¿Cuál fue el saldo el 1 de noviembre de 2006, si la tasa de interés volvió a cambiar el 1 de enero de 2006 al 9% capitalizable cada mes? 18

0.25   M  $18,000* 1    $24,237.4557 12   $24,237.4557  $31,000  $55,237.4557 0.15   M  $55,237.4557* 1   24  

 $66,590.2273

0.09   M  $66,590.2273* 1   12  

 $71,756.46

158

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA 108

 0.10  M 1  50,000* 1   6  

 $298,028.05

  0.10  90    1  1  6    1  0.10   $209,024.05 M 2  1,000* 0.10   6    6   18

 0.10  M 3  209,024.05 * 1    $281,456.1 6   M Total  M 1  M 3  $579,484.23

Fecha

Inicio

Pago

Interés

Amortización

Saldo

mensual

sobre saldo

10,000

1,805.39

233.33

1,572.06

8,427.94

operación Fin del mes 1

159

Gรณmez y Guerrero

Fin del mes 2

1,805.39

196.65

1,608.74,

6,819.20

Fin del mes 3

1,805.39

159.11

1,646.28

5,172.92

Fin del mes 4

1,805.39

120.70

1,684.69

3,488.23

Fin del mes 5

1,805.39

81.39

1,724.00

1,764.23

Fin del mes 6

1,805.39

41.17

1,764.23

0.00

832.36

10,000.00

Totales:

160

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Formulario

Interés Simple

Interés Compuesto

;

161

Gรณmez y Guerrero

Donde:

Tasa efectiva

Donde:

162

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Anualidades Vencidas

Anualidades Anticipadas

Donde:

163

Gรณmez y Guerrero

Perpetuidades

Anualidades Especiales (crecientes con porcentaje fijo)

Donde:

164

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Bonos

Donde:

165

Gรณmez y Guerrero

Donde:

166

MATEMATICAS FINANCIERAS CON MATHEMATICA

Referencias

Don, Eugene, (2001). Schaum´s Outline of Theory and Problems of Mathematica. McGraw-Hill. Vidaurri, Héctor, M. (2008). Matemáticas Financieras. Ed. 4ª, Cengage Learning. Wolfram Mathematica: Modern Technical Computing. http://www.wolfram.com/mathematica/new-in-8/built-in-financialcomputations/

167

ACERCA DE LOS AUTORES Elsy L. Gómez Rmos es profesora en la UAM Iztapaapa y Héctor A. Guerrero Mtz. es profesor en la UAM Xochmico.

168