Ma clase 3

Señal es el fenómeno físico que contiene una información ¿Cómo realizar la descripción matemática de la señal?... ¿Cómo representar una señal con “irregularidades”?

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Dr. Héctor Garcés Guzmán

¿Cuál será la función si la señal tiene discontinuidades?

No todas las señales continuas en tiempo son funciones continuas

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FUNCIONES SINGULARES CONTINUAS EN EL TIEMPO

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Dr. Héctor Garcés Guzmán

Hay diversas definiciones del escalón unitario

1 t  0 u t    0 t  0 1 t  0 u t    0 t  0 1 t  0 u t    0 t  0  1 t 0  u t   1 / 2 t  0  0 t0 

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La función signo es

1 , t  0    sgnt   0 , t  0   2 ut   1 1 , t  0   

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La función rampa es t t , t  0  rampt      u d  t ut  0 , t  0  

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La función rectángulo unitario es 1   1 , t   2    1  1 rectt    , t   2  2 1   0 , t   2   

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La función triangulo unitario es

1  t , t  1  trit     0 , t  1  

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La función impulso unitario es

 t   lim  a t  a 0

donde a(t) es una función de área unitaria

a 1 , t  a 2  a t    0 , t  a  2 Matemáticas Avanzadas

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Como interpretar el limite

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Una secuencia uniformemente espaciada de funciones impulso unitario es combt  



  t  n

n  

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La función sinc unitario es

sin t  sinct   t En algunos texto también se pueden encontrar las siguientes definiciones sinct  

sen t  sen t  Sa t   t t

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Si bien la función sinc tiene un dominio infinito, se puede limitar y repetir N veces obteniéndose La función Dirichlet

drclt, N  

sin Nt  N sin t 

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Para N impar la función Dirichlet es la suma uniforme de funciones sinc, en Matlab se incluye una función similar con el comando diric sen Nx / 2 N sen x / 2 drclt , N   diric 2t , N 

diric x, N  

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FUNCIONES SINGULARES DISCRETAS EN EL TIEMPO

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Secuencia unitaria (versión DT del escalón unitario)

1 , n  0 un    0 , n  0

Rampa unitaria

n , n  0  n rampn      um  1 0 , n  0   m

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La función rectángulo DT es

1 , n  N w  rect N w n   , N w  0 , N w an integer 0 , n  N w  rect NW n  un  NW   un  NW  1

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Función impulso unitario (Delta Kronecker)

1 , n  0  n    0 , n  0

A diferencia del impulso unitario CT, el DT si es una función ordinaria, pero mantiene la propiedad de muestreo 

 An  n xn A xn  0

0

n

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Función combo DT

comb N 0 n  



 n  mN  0

m

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Las funciones se pueden combinar usando las operaciones básicas de: suma, resta, multiplicación y división. Estos son algunos ejemplos

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TRANSFORMACIÓN DE SEÑALES

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Las señales se modifican al transformarlas mediante un cambio de escala en amplitud o tiempo, además por un desplazamiento en el tiempo.

gt   Agt 

t t a

t  t  t0

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Una función puede cambiarse por medio de transformaciones múltiples

t  t0  gt   Ag  a  El orden de las transformaciones es importante t a

t  ttt 0 t  t0  gt   Agt   Ag Ag a   a  amplitude scaling, A

t

t a

t  t  t0  gt   Agt  Agt  t0   Ag  t 0  Ag a   a  amplitude scaling, A

ttt 0

t

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Ejemplo de transformaciones múltiples

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Ejemplo de transformaciones múltiples

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Al igual que las funciones CT, las DT se modifican al transformarlas mediante un cambio de escala en amplitud, tiempo o un desplazamiento en el tiempo.

Pero hay algunas interesantes diferencias.

El cambio de escala en amplitud y el desplazamiento en tiempo es igual para señales CT y DT, sin embargo el desplazamiento en tiempo en señales DT tiene la limitante que el corrimiento tiene que ser un numero entero.

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En el cambio de escala en el tiempo al igual que CT hay dos casos: compresión expansión

n  Kn n n K

K un numero entero > 1

A diferencia de CT en compresión se pierde información, i.e. diezmar (decimate), por lo contrario en expansión habría la necesidad de interpolar valores

n is defined.  K   n is not defined.

For all n such that n/K is not an integer, g  K   For all n such that n/K is an integer, g 

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Compresión en el tiempo

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Compresión y expansión en el tiempo  3n  gn  10 exp  n / 4sen  u t   16 

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ACTIVIDAD Resolver los siguientes problemas

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