COLEGIO PRIVADO MIXTO PERPETUO SOCORRO
Nombre:
Grado:
Héctor Manolo Ramos Gutiérrez
6: To Perito Contador
Cátedra:
Matemática
Catedrático:
Víctor Eduardo Muños Roche
Ciclo Lectivo: Trabajo:
2015 Portafolio Digital de los siete temas de Algebra.
Índice Introducción
1
Justificación
2
Multiplicación y división de Polinomios
3
Multiplicación de un polinomio por un escalar
3.1
Operando con los coeficientes Multiplicación de un polinomio por un monomio
4 4.1
División de polinomios
6
Teorema del resto
7
Divisiones sintéticas
7.1
Mapa conceptual de la multiplicación y división de polinomios
8
Producto Notable (Cuadrado de la suma de dos cantidades, cuadrado de la diferencia entre cantidades, cubo de dos cantidades y producto de la suma por la diferencia de dos términos). 9 El cuadrado de la suma de dos cantidades
10
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
10.1
La regla para el cuadrado.
10.2
Cubo de dos cantidades
10.3
El cubo de la diferencia de dos cantidades
11
La regla general del cubo de la diferencia dedos cantidades expresa
11.1
Producto de la suma por la diferencia de dos términos
12
Objetivos
12.1
Problemas de aplicación
12.2
Mapa conceptual de productos notables
13
Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita La igualdad
14 14.1
Regla general
16
Verificación
17
Mapa conceptual de ecuaciones
18
Problemas de aplicación de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.
19
Ecuaciones que no tienen solución
20
Mapa conceptual de problemas de ecuaciones con incógnitas
21
Ecuaciones enteras de primer grado con dos incógnitas
22
Soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas
22.1
Mapa conceptual de ecuaciones con dos incógnitas
25
Ecuaciones enteras de primer grado con tres incógnitas.
26
Mapa conceptual de ecuaciones con tres incógnitas
30
Ecuaciones cuadráticas Factorización Simple
31 31.1
Fórmula Cuadrática
32
Mapa conceptual de ecuaciones cuadráticas
33
Conclusiones
34
Recomendaciones
35
Referencias
36
Introducción
La Multiplicación
y división de polinomios son operación en la que dos
expresiones dan como resultado un producto, denomina factores. Los productos notables son ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. El Cuadrado de la suma de dos cantidades elevadas al cuadrado Equivale a multiplicar el binomio por sí mismo y se tendrá un resultado satisfactorio dentro de la operación algebraica. Una Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se representan por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v. La igualdad es la expresión de dos cantidades o expresiones algebraicas que tienen el mismo valor. Cualquier término de la ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo es muy importante saber si el signo es positivo o negativa para que se interlacen unos a otros. La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
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Justificación Los procedimientos matemáticos sirven para realizar una operación determinando las variable o constantes de proseos que dan como resultado un factor común que es divisible o multiplicado en distintas formas y se rigen por ciertas regla que contribuyen a una mejor ordenación de cada numero o letra que se utilicen para hallar el resultado de un producto. Toda operación matemática tiene factores determínales que complica a la hora de hacer los procedimientos y sirve para que las personas utilicen sus habilidades y destrezas que posen al realizar la operación determinado el resultado correcto. Para que un proceso matemático sea más fácil se debe de ordenar dependiendo la operación que se realice se puede por su denominador o exponente que ayudara para que las personas no cometan errores durante su procedimiento matemático de una ecuación. Los recursos que se pueden utilizar para ser más fácil la operación matemática es observar y determinar el grado de dificultad que tiene el conjunto de numero y utilizar la lógica que requiera el proceso.
2
Multiplicación y división de Polinomios
Multiplicación de polinomios: Es la operación en la que dos expresiones denominadas “multiplicando” y “multiplicador” dan como resultado un “producto”. Al multiplicando y multiplicador se les denomina “factores”. La multiplicación consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la segunda o primera cantidad.
Por ejemplo: (6)*(5) = 6 + 6 + 6 + 6 + 6
= 30
(7)*(8) = 7+7+7+7+7+7+7+7 = 56
o bien
(6)*(5) = 5+5+5+5+5+5
= 30
o bien
(7)*(8) = 8+8+8+8+8+8+8
= 56
Multiplicación de un polinomio por un escalar: Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes que posee el polinomio se multiplica por el escalar k. Si el polinomio es:
Y lo multiplicamos por k:
Dando lugar a:
Ejemplo: Partiendo del polinomio:
3
Lo multiplicamos por 3,
Operando con los coeficientes:
Y tenemos como resultado:
esta operación también puede expresarse del siguiente modo:
Que es la forma aritmética para hacer la operación. Multiplicación de un polinomio por un monomio. Partiendo de un polinomio P(x), y un monomio M(x), el producto P(x)*M(x) es un polinomio que resulta de multiplicar los coeficientes del polinomio por el del monomio, y sumar a los grados del polinomio el del monomio, veamos: Si el polinomio es:
y el monomio es:
el producto del polinomio por el monomio es:
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Agrupando t茅rminos:
El producto de exponentes de la misma base, es la base elevada a la suma de los exponentes:
Que es el resultado del producto.
Ejemplo: Partiendo del polinomio:
y del monomio:
La multiplicaci贸n es:
aplicando la propiedad distributiva de la multiplicaci贸n:
Realizando las operaciones:
Esta misma operaci贸n, se puede representar de esta forma:
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Donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio M(x)
División de polinomios División: Son Operación en la que dos expresiones denominadas “dividendo” y “divisor” dan como resultado un “cociente”.
La división se regula por las siguientes leyes de los signos:
La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:
Tal que:
Dividendo = divisor × cociente + resto El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
Ejemplo: Veamos un ejemplo para:
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que para la realización de la división representamos:
Como resultado de la división finalizada:
Teorema del resto: El resto
de la división de un polinomio
por un binomio de
forma es el valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo "x" por el opuesto de "a" (es decir, por ). Formalmente puede expresarse como:
Por ejemplo, si y el binomio divisor es Entonces el resto será
, y se obtiene el resto:
Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta. Divisiones sintéticas Para obtener el cociente y residuo de una división de un polinomio entero en x entre un binomio de la forma x+a, sin efectuar directamente la operación completa, se emplea el método de Divisiones sintéticas, también conocido como regla de Ruffini.
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Mapa conceptual La división de polinomios Son Operación en la que dos expresiones denominadas “dividendo” y “divisor” dan como resultado un “cociente”.
Método de Divisiones sintéticas, también conocido como regla de Ruffini.
La multiplicación consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la
Es la operación en la que dos expresiones denominadas “multiplicando se multiplican para hallar el resultado.
segunda o primera
cantidad.
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Producto Notable (Cuadrado de la suma de dos cantidades, cuadrado de la diferencia entre cantidades, cubo de dos cantidades y producto de la suma por la diferencia de dos términos). Productos notables: Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente. Se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. Expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable). Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Cuadrado de la suma de dos cantidades: elevar al cuadrado a + b Equivale a multiplicar este binomio por sí mismo y tendremos (a + b)2= (a + b) (a + b) Veamos la multiplicación a+b a+b
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a2 + ab ab + b2 a2 + 2ab + b2 Por esta razón es que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
El cuadrado de la suma de dos cantidades:
es igual al cuadrado de la primera
cantidad más el duplo (doble) de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la
segunda cantidad. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades que se expresa
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
En este caso se verifica casi lo mismo que en la suma de cuadrado, la diferencia es el signo del segundo término que será negativo. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Elevar (a – b) equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma. a-b a-b a2 - ab - ab + b2 a2 - 2ab + b2 Por esta razón (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
La regla para este caso es: El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo (doble) de la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.
Cubo de dos cantidades. Elevar una expresión de la forma a - b al cubo, es multiplicarla por si misma tres veces (a b) (a - b) (a - b) Que también puede ser igual a (a - b)2 (a - b)
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(a - b)2 (a - b) = (a2 - 2ab + b2) (a - b) = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 El cubo de la diferencia de dos cantidades, que se expresa (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Podemos observa que esta diferencia de cuadrado es muy parecida a la suma de cuadrado, en realidad es asĂ, son casi iguales, solo que en esta los signos se van alternando, un positivo y un negativo. La regla general del cubo de la diferencia dedos cantidades expresa lo siguiente: La diferencia del cubo de dos cantidades es igual, al cubo de la primera; menos el triplo (menos tres veces) la primera cantidad al cuadrado por la segunda; mas el triplo (mas tres veces) la primera cantidad por la segunda al cuadrado; menos la segunda cantidad al cubo. Veamos su aplicaciĂłn.
Resolver los siguientes problemas 1) (x - y)3 Aplicando la regla tenemos: La primera cantidad al cubo (x)3 Menos tres veces la primera cantidad al cuadrado por la segunda -3 (x)2 (y) Mas tres veces la primera cantidad por la segunda al cuadrado 3 (x) (y)2
Ejemplo: 1. (4x - 3)2 a) El cuadrado de la primera cantidad es (4x)2= (4x)(4x)= 16x2 b) El doble producto de ambas cantidades es 2 (4x) (3)= (8x) (6)= 48x c) El cuadrado de la segunda cantidad es (3) 2= (3) (3)= 9
Producto de la suma por la diferencia de dos tĂŠrminos. Objetivos:
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Explicar y ejemplificar cómo se realiza el producto de la suma por la diferencia de dos términos. Definir los principales problemas de aplicación que se presentan en la resolución del presente producto notable.
El producto de la suma por la diferencia de dos términos sería: ( 8x +3) (8x – 3), expresión que es igual a (8x-3)(8x+3) debido a la conmutatividad de la multiplicación, a este tipo de expresiones también se les conoce como binomios conjugados. E este producto notable es posible realizarlo mediante la multiplicación de polinomios o por medio de la siguiente regla: a) Primero se saca el cuadrado del primer término b) Se resta el cuadrado del segundo término.
Ejemplos 1.- (5x +9) (5x – 9)= 25x^2 -81 a) Primero se saca el cuadrado del primer término:
(5x)^2= (5x) (5x) = 25x^2
b) Se resta el cuadrado del segundo término.
(9)^2 =(9).(9) = 81
2.- ( a + 2b^3) (a -2b^3) = a + a ( c + d) + cd a) Primero se saca el cuadrado del primer término:
(a)^2= (a)(a) =a^2
b) Se resta el cuadrado del segundo término.
(2b^3)^2 =(2b^3).(2b^3) = 4b^6
Problemas de aplicación. Puedes resolver estos problemas, mediante el uso del producto de la suma por la diferencia de dos términos. 1) Calcular el área de un rectángulo, cuya base es (2x +1) y cuya altura es (2x –1). 2) Calcular el área de un rectángulo cuya base es (3x^2+2y) y cuya altra es (3x-2y).
Compruebe los resultados Realice la multiplicación para verificar si el producto notable es correcto. (x+y)(x-y) = ? El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a: El cuadrado del primer término: (x)2, El cuadrado del valor absoluto del segundo término: -(y)2.
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Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Mapa Conceptual
Ejemplo:
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades que se expresa (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
El Cubo de dos cantidades elevadas a una expresión de la forma a - b al cubo, es multiplicarla por si misma tres veces (a - b) (a - b) (a - b)
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización de términos de una operación.
Producto Notable (Cuadrado de la suma de dos cantidades, cuadrado de la diferencia entre cantidades, cubo de dos cantidades y producto de la suma por la diferencia de dos términos).
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Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que se pueden escribir de la siguiente forma:
1. ax + b = 0 Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero. Estas ecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente. La igualdad es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. Ejemplos:
3x2 = 4x + 15.
a = b + c.
Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las incógnitas se representan por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v. Así,
5x + 2 = 17
Es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x, y esta igualdad solo se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor x = 3. En efecto, si sustituimos la x por 3, tenemos:
5(3) + 2 = 17, o sea: 17 = 17. Si damos a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es verdadera. La igualdad y2 – 5y = - 6 es una ecuación porque es una igualdad que solo se verifica para y = 2 e y= 3. En efecto, sustituyendo la y por 2 tenemos: 22 – 5(2) = - 6 4
– 10 = - 6
-
6=-6
Si hacemos y = 3, tenemos: 32 – 5(3) = - 6 9 – 15 = - 6 -6=-6
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Si damos a y un valor distinto de 2 o 3, la igualdad no se verifica. Identidad es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella. Así,
(a – b)2 = (a – b) (a – b) a2 - m2 = (a + m) (a – m)
Son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las letras a y b en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo. El signo de identidad es ≡, que se lee “idéntico a”. Así, la identidad de (x + y)2 con x2 + 2xy + y2 se escribe (x + y)2 ≡ x2 + 2xy + y2 y se lee (x + y)2 idéntico a x2 +2xy + y2. Miembros se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha. Así, en la ecuación
3x – 5 = 2x – 3
El primer miembro es 3x – 5 y el segundo miembro 2x – 3. Términos son cada una de las cantidades que están conectadas con otras por el signo + o , o la cantidad que está sola en un miembro. Así, en la ecuación 3x – 5 = 2x – 3 Los términos son 3x, - 5, 2x y – 3. No se debe de confundir los miembros de una ecuación con los términos de la misma. Miembro y término son equivalentes solo cuando en un miembro de una ecuación hay una sola cantidad. Así, en la ecuación 3x = 2x + 3 Tenemos que 3x es el primer miembro de la ecuación y también es un término de la ecuación. Despejar consiste en pasar las variables de un lado de la ecuación al otro (preferiblemente el izquierdo) luego hacer la reducción de términos y resolver.
Reglas para despejar
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Cualquier término de la ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo (muy importante). Sea la ecuación 5x = 2a – b Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste y tendremos: 5x + b = 2a –b + b Y como – b + b = 0, queda
5x + b = 2a
Donde vemos que – b, que estaba en el segundo miembro de la ecuación dada, ha pasado al primer miembro con signo +. Términos iguales con signos iguales en distinto miembro de una ecuación, pueden suprimirse. Así, en la ecuación
x + b = 2a + b
Tenemos el termino b con signo + en los dos miembros. Este término puede suprimirse, quedando x = 2a Porque equivale a restar b a los dos miembros. Cambio de signos los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros de la ecuación por – 1, con lo cual la igualdad no varía. Así, en la ecuación
- 2x – 3 = x – 15
Multiplicamos ambos miembros por – 1, para lo cual hay que multiplicar por – 1 todos los términos de cada miembro, tendremos: 2x + 3 = - x + 15, Que es la ecuación dada con los signos de todos sus términos cambiados.
Regla general Se efectúan las operaciones indicadas si las hay. Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas. Se reduce términos semejantes en cada miembro. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.
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Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
Ejemplo (1) Resolver la ecuación x + 17 = 21 Se resta 17 a los dos miembros de la igualdad, porque es el número que se necesita eliminar para que la variable quede sola, y después se efectúan las operaciones. X + 17 – 17 = 21 – 17 X+0=4 X=4 Por lo tanto, la solución de la ecuación x + 17 = 21, es x = 4, porque es el valor que hace verdadera la igualdad. Verificación La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto. La verificación se realiza sustituyendo en los miembros de la ecuación dada la incógnita por el valor obtenido, y si este es correcto, la ecuación dada se convertirá en identidad. Así, en el caso anterior, haciendo x = 4 en la ecuación dada tenemos: 4 + 17 = 21 21 = 21 Solución La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es siempre un solo valor de la variable. En algunos casos se puede conocer la solución por simple inspección, por ejemplo, para la ecuación 7 - x = 4 es fácil deducir que la solución es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin embargo, en la mayoría de los casos es necesario seguir un procedimiento algebraico para encontrar la solución, sobre todo si la ecuación contiene fracciones y/o radicales. La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como x = n donde n es la solución. Cuando la ecuación tiene esa forma se dice que la variable está despejada . Procedimiento para encontrar la solución Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dos miembros de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y las propiedades de las operaciones inversas. Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un número, se multiplican por un número, se dividen entre un número, se elevan a la misma potencia o se obtiene su raíz enésima la igualdad se mantiene. Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, se multiplica y se divide por el mismo número o se eleva a una potencia n y se obtiene su raíz enésima al mismo tiempo ese miembro permanece inalterado y la igualdad se mantiene.
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Mapa Conceptual
Procedimiento s y soluciones de problemas de Incógnitas.
La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto.
Ejemplo: de ecuaciones de una incógnita
5x + 2 = 17
Las incógnitas se representan por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v.
Ejemplos: a = b + c.
3x2 = 4x + 15.
Una ecuación de primer grado con una incógnita es siempre un solo valor de la variable.
La igualdad es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.
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Problemas de aplicación de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita. Un problema de ecuaciones consiste en buscar una determinada cantidad entre un conjunto de entidades del mismo tipo que además satisfaga las llamadas condiciones del problema. La resolución del problema es un procedimiento que determina cual es el único valor del problema. Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 2
3x - 2y = x + 1 Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita normalmente la x).
Por ejemplo: 2
x +1=x+4 Se dicen que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).
Ejemplos : 1 - 3x = 2x - 9. 3(x-1) = 4 - 2(x+1) x - 3 = 2 + x. x/2 = 1 - x + 3x/2 Son estas últimas las ecuaciones que vamos a resolver en esta lección. Solución numérica y gráfica Ejercicio 1. Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3(x-1) = 4 - 2(x+1). Como ya sabrás, resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta. En el ejemplo podemos probar con un valor: x = 2, llegaríamos a 3 = -2, luego no es cierto, x = 1 llegaríamos a 0 = 0, que sí es cierto, luego hemos encontrado una solución de la ecuación. Veremos más adelante que en algún caso puede haber más soluciones. Numéricamente se resuelve "despejando" la x, o sea realizar las operaciones indicadas e ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = Número. Así en el ejemplo se procede:
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3x - 3 = 4 - 2x - 2 (atención al signo cuando haya paréntesis) 3x + 2x =3 + 4 - 2; 5x = 5; x = 5/5; x = 1 que es la solución que ya habíamos encontrado antes. La ecuación tiene solución. Pero: ¿Qué significa gráficamente esta solución? La línea recta dibujada en rojo representa gráficamente a la ecuación. Cambia los valores de x en la ventana inferior. El valor de x donde la recta corta al eje X será la solución de la ecuación (observa que es x = 1) Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio siguiente: 3x + 1 = x - 2. - Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros: 3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1, que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma" Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2: 2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 que es la solución. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando". En ecuaciones más complicadas puede ocurrir también: - Que haya operaciones indicadas con paréntesis. Se realizan lo primero (como hicimos en el ejercicio 1) - Que en la ecuación hay denominadores. En este caso lo primero será hacer denominador común para ambos miembros, con lo que se podrán suprimir los denominadores y continuar con los pasos anteriores (ver el ejercicio 3). Ejemplo: Para resolver la ecuación:
y suprimiendo los denominadores ya estamos como en el caso anterior: 2(x - 2) - 3(x + 3) = 5(1 - 2x) ECUACIONES QUE NO TIENEN SOLUCIÓN Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación: x - 3 = 2 + x. Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x. Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.
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Mapa Conceptual Pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".
Una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
Numéricamente se resuelve "despejando" la x, o sea realizar las operaciones indicadas e ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = Número.
Por ejemplo: Un problema de ecuaciones consiste en buscar una determinada cantidad entre un conjunto de entidades del mismo tipo.
3x - 2y = x2 + 1 Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita normalmente la x).
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Problemas de aplicación de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.
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Ecuaciones enteras de primer grado con dos incógnitas Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones las cuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor de cada una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera: Ax + By = C Donde (x; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro del conjunto de los naturales. Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o más incógnitas se puede utilizas todas las propiedades ya anteriormente estudiadas.
Ejemplo #01. 3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuación debemos tomar en cuenta lo siguiente: Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a (0) y la sustituimos en la ecuación y comenzamos a resolver: Tomamos como Y= 0 3X + 6(0) = 3 , Dicha multiplicación se nos hace 0 y obtenemos 3X = 3
ahora dividimos ambos miembros entre 3
3X / 3 = 3 / 3 X =1 Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación y hallamos el valor de Y despejando: 3(1) + 6Y = 3 3 + 6Y = 3 -3 + 3 + 6Y = 3 - 3 Restamos en ambos miembros el opuesto del término independiente y obtenemos: 6Y = 0 Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha división nos da 0 de tal manera que Y = 0/ 6 Y = 0 y así hallamos en valor de Y.
Soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas Una ecuación de primer grado con dos incógnitas soluciones. Para cada valor que le asignemos a la variable variable , despejándola en la ecuación:
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tiene infinitas
, podemos encontrar un valor de la
Además, las parejas de soluciones coordenadas, forman una recta.
, representadas como puntos, en unos ejes de
Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones:
Forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El conjunto de ecuaciones:
Forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema. Por ejemplo:
Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas.
El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe). Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales.
Resolviendo sistemas: Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos: Método de sustitución Lo que debemos hacer: 1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
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2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. 3.- Resolver la ecuación resultante. 4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada. Ejemplo: Resolver
Se despeja x en la segunda ecuación: x = 8 – 2y Se sustituyen en la primera ecuación: 3(8 – 2y) – 4y = – 6 Operando: 24 − 6y − 4y = − 6 24 – 10y = – 6 − 10y = − 6 − 24 − 10y = − 30 e resuelve: y=3 Se sustituye este valor en la segunda: x + 2(3) = 8 x+6=8 x=8–6=2 Solución del sistema: x = 2, y = 3 Método de reducción: Lo que debemos hacer: 1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos. 2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita. 3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones. 4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante. 5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.
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Método de sustitución lo que debe hacer es despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
Sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son todos los valores elevados a 1.
Ejemplo:
2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. Se le llama sistema de ecuaciones a un conjunto cualquier termino o tetras de una operación de ecuaciones
La ecuación se expresa de la siguiente manera: Ax + By = C
Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones en las cuales presentan dos variables.
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Ecuaciones enteras de primer grado con tres incógnitas. Una ecuación con tres incógnitas es de primer grado, cuando dos o más términos lo conforman al conjunto de número y letras en donde su mayor exponente es la unidad o también llamado raíz a la terna de valores de los términos.
Para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se procede de este método:
1) Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas (lo más sencillo es eliminarla por suma y resta) y con ellos se obtiene una ecuación con 2 incógnitas. 2) Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina entre ellas la misma incógnita que se eliminó antes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas. 3) Se vuelve el sistema formado por las ecuaciones con dos incógnitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas. 4) Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita.
Ejemplo: Resolver el sistema. x + 4y – z = 6 2x + 5y – 7z = -- 9 (2) 3x – 2y + z = 2 (3)
(1)
Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la x. Multiplicando la ecuación (1) por 2, se tiene: 2x + 8y – 2z = 12
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-- 2x – 5y + 7z = 9 ----------------------3y + 5z = 21 (4) Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas. Vamos a combinarla con (1) para eliminar la x. Multiplicando (1) por 3 tenemos: 3x + 12y – 3z = 18 --3x + 2y – z = -- 2 -------------------------14y – 4z = 16 (5) Dividiendo entre 2: 7y – 2z = 8 Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incógnitas que hemos obtenido (4) y (5), y formamos un sistema: 3y + 5z = 21 (4) 7y – 2z = 8 (5) Resolvemos este sistema. Vamos a eliminar la z multiplicando (4) por 2 y (5) por 5: 6y + 10z = 42 35y – 10z = 40 -------------------41y = 82 y=2 Sustituyendo y = 2 en (5) se tiene: 7(2) – 2z = 8 14 – 2z = 8 – 2z = -- 6 z=3 Sustituyendo y = 2, z = 3 en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene: x + 4(2) – 3 = 6 x=1, y=2, z=3 R. x+8–3=6 x=1 Resolver el sistema.
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z – 4 + (6x – 19) / 5 = -- y 10 – (x – 2z) / 8 = 2y – 1 4z + 3y = 3x – y Quitando denominadores: 5z – 20 + 6x – 19 = -- 5y 80 – x + 2z = 16y – 8 4z + 3y = 3x – y Transponiendo y reduciendo: 6x + 5y + 5z = 39 (1) – x – 16y + 2z = -- 88 (2) – 3x + 4y + 4z = 0 (3) Vamos a eliminar x. Combinamos (1) y (2) y multiplicamos (2) por 6: 6x + 5y + 5z = 39 –6x – 96y + 12z = -- 528 -------------------------------– 91y + 17z = -- 489 (4) Combinamos (2) y (3). Multiplicando (2) por 3 y cambiándole el sino: 3x + 48y – 6z = 264 – 3x + 4y + 4z = 0 -------------------------52y – 2z = 264 Dividiendo por 2: 26y – z = 132 (5) Combinemos (4) y (5): – 91y + 17z = -- 489 26y – z = 132
(4) (5)
Multiplicando (4) por 2 y (5) por 7: – 182y + 34z = -- 978 182y – 7z = 924 -------------------------27z = -- 54
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z = -- 2 Sustituyendo z = --2 en (5): 26y – (-- 2) = 132 26y + 2 = 132 26y = 130 y=5 Sustituyendo y = 5, z = -- 2 en (3): – 3x + 4(5) + 4(-- 2) = 0 –3x + 20 – 8 = 0 – 3x = -- 12 x=4 El modo más sencillo y que creemos al alcance de los alumnos, de hallar el valor de una determinante de tercer orden es aplicando la regla de Sarrus. 1) Resolver por la regla de Sarrus. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales y tenemos: Ahora trazaremos tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha, como se indica a continuación: Ahora se multiplican entre si los tres números por que pasa cada diagonal. Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el signo cambiado. Así, en este caso tenemos: -- 6 –12 – 10 +30 +1 – 24 = -- 9 Valor de la determinante dada. Detalle de los productos: De izquierda a derecha: 1x2x3=6 (-- 4) x (--1) x (--3) = -- 12
5 x (--2) x 1= -- 10
De derecha a izquierda: (--3) x 2 x 5 = -- 30 cambiándole el signo +30 1 x (--1) x 1 = -- 1 cambiándole el signo +1 3 x (--2) x (--4) = 24 cambiándole el signo –24
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Mapa Conceptual Hallar el valor de una determinante de tercer orden es aplicando la regla de Sarrus.
Ejemplo:
3y + 5z = 21 7y – 2z = 8
Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera .incógnita.
. Ejemplo:
x + 4y – z = 6 2x + 5y – 7z = -- 9 3x – 2y + z = 2
Procedimiento y métodos de ecuaciones.
Una ecuación con tres incógnitas es de primer grado, cuando dos o más términos lo conforman al conjunto de número y letras en donde su mayor exponente es la unidad o también llamado raíz a la terna de valores de los términos.
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Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales. . 2
9x + 6x + 10 3x2 - 9x -6x 2 + 10
Ejemplo: a = 9, b = 6, c = 10 a = 3, b = -9, c = 0 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0 (x ) (x )=0
a=1 b=2 c=-8 [x ·x = x2]
(x + ) (x - ) = 0 Hay que buscar dos números que multipliquen y de el valor de c y que a la vez sumen y el valor sea igual a b. en este caso, dos números cuyo producto sea 8 y que estos mismos números sumen 2 (x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8 x+4=0
x–2=0
x+4=0 x=0–4 x = -4
x–2=0 x=0+2 x=2
Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
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Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x – 8 = 0 x2 + 2x = 8
[Ya está en su forma donde a = 1.] [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2 + 2x + 1 = 8 + 1 x2 + 2x + 1 = 9 (
) (
) =9
Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ± x+1= ±3 x = -1 ± 3
[Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3 x=2
x = -1 – 3 x = -4
Fórmula Cuadrática: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas: En esta a=2, b=5 y c= Aquí hay una un poco más complicada:
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La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios.
Mapa Conceptual
Hay tres formas de hallar las raíces o los valores de la variable de las ecuaciones cuadráticas: 1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática.
Todo cuadrado es la elevación de potencia de un término que hay que hallar, el valor constante de un problema que representa la variante de ecuaciones de un conjunto de números.
Ejemplo:
2
9x + 6x + 10 2
3x - 9x 2
-6x + 10
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.
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a = 9, b = 6, c = 10 a = 3, b = -9, c = 0 a = -6, b = 0, c = 10
Conclusiones
1. Las multiplicaciones y divisiones de polinomios son operaciones algebraicas que sirven para dar un valor positivo o negativo de dos expresiones denominadas multiplicado y multiplicador todo producto al realizar el procedimiento da como resultado el factor que consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la segunda o primera cantidad. La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética.
2. El Productos notables es el nombre que recibe las multiplicaciones con expresiones algebraicas que a través de la operación se detecta ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.
3. Las ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita son todas aquellas que se pueden describir la variable de los números reales de diferentes ecuaciones que se identifican verificando que la variable no tenga exponente.
4. Una ecuación cuadrática es una ecuación de números reales en donde se halla la raíz cuadrada de los valores de la variable aplicando la factorización de convertir un producto de binomios.
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Recomendaciones 1. Todo procedimiento que se realice dentro de las operaciones algebraicas da resultados factorizables de productos positivos entre lazando los componentes de un número hacia otro, en donde constan de variable que se pueden multiplicar.
2. Los productos notables cuadrados de la suma de dos cantidades se deben de realizar factorizando el primer digito, elevado a la potencia que corresponda a la ecuación del conjunto de datos.
3. Los problemas de aplicación de ecuaciones de primer grado con una incógnita son procesos que conlleva un procedimiento que determina cual es el único valor del producto.
4. Las ecuaciones de primer grado con tres incógnitas es un procedimiento fácil solo hay que ir sustituyendo los valores de cada letra o número es decir de primer grado, cuando dos o más términos lo conforman al conjunto de número y letras en donde su mayor exponente es la unidad o también llamado raíz a la terna de valores de los términos.
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Referencias «Polinomio», Diccionario de la lengua española (22. ª Edición), Real Academia Española, 2001. Etimología de algebra. Etymology of "polynomial"» Compact Oxford English Dictionary Binomios conjugados. El nombre clásico e histórico es "diferencia de cuadrados" Multiplicación del primer miembro. Luego tantear y poner como el cuadrado de un trinomio Aritmética elemental de Enzo Gentile hay un problema con su respectiva sugerencia Wentworth, George; y Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co., ed. Elementos de Álgebra (2a edición). Boston, USA. p. 456. ISBN. Weisstein, Eric W. «Ecuación lineal». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Weisstein, Eric W. «Ecuación lineal». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en ingles). Wolfram Research. Algebra Abstracta ISBN 0-201-64052-X George Pólya: How to Solve It, Princeton, algebra 1945. ISBN 0-691-08097-6. Pólya, George (1965). Cómo Plantear y Resolver Problemas de algebra. Editorial Trillas. ISBN 96824-0064-6. Autor: José Antonio Salgueiro González - I.E.S. Bajo Guadalquivir - Lebrija (Sevilla) Algebra. Manual de matemática (1985) Tsipkin, Editorial Mir, Moscú; traducción de Shapovalova; pg. 150. historia del álgebra, Red Escolar, México, 2008. Text by: Melissa Murrias and Dra. Luz M. Rivera Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Ecuación cuadrática» (en inglés), Enciclopedia of Matemáticas, Springer, ISBN 978-1556080104 Weisstein, Eric W. «Ecuación cuadrática». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Birkhoff-Mc. Lane: Álgebra moderna, . Adrian Albert: Álgebra superior ISBN 968-18-4041-0 Adrian Albert. Álgebra superior Dolciani, Berman, Freilich: Álgebra moderna estructura y método. ISBN 968-439-024-6 Hoffmann. Historia de la matemática Birkhoff- Mac Lane. Álgebra moderna Otto Bekken. Una breve historia del álgebra.
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