Reken Glossy by henk van boven

01-2013

Rekenen op Stenden Eenmalige uitgave van Stenden Hogeschool (School of Education) 1

REKENEN

OP STENDEN

Inhoudsopgave Op Stenden kun je rekenen 12 Rekenen gaat niet alleen meer volgens Bartjens. Een rondreis langs de Stendenlocaties

7 Als je deelt, krijg je meer Editorial, Ingrid Janssen

Rekenen met zout

8 Meer leeropbrengsten met Miertje Maniertje Interview met Marloes Sterk

Internationale rekenaars zetten NS op het goede spoor

18 Op een onbewoond (reken)eiland

11 Wacht niet op een dyscalculieverklaring bij het behandelen van rekenproblemen Interview met Ceciel Borghouts

20 Buiten rekenen

Rekenen op Youtube

28 Goed rekenonderwijs begint met kijken naar kinderen Interview met Wil Oonk

Rekenen op Stenden Gedachtenvol oefenen 30

En verder... Opleiding tot rekencoรถrdinator (advertentie) 27 Volgens Bartjens (advertentie) 31

Minder fouten door gedachtenvol Gedachtenvol oefenen. oefenen Mini-lesjes en oefenen met relaties tussen sommen

Levend rekenen. Skateboards in de klas 56 Master Special Educational Needs (advertentie) 61 Eindeloos experimenteren met repeterende breuken 62 Oplossingen breinkrakers 65 Rekenen op het web 65

35 Gedachtenvol oefenen. Werken aan een houdingsverandering

50 Scholen in Noordoost Drenthe rekenen zich sterk. Interview met An te Selle en Francien Garssen

40 Praktijkscholen van Stenden Pabo Meppel ontdekken de kracht van gedachtenvol oefenen

REKENEN OP STENDEN

Colofon

53 Als je niet kunt rekenen, ben je de klos Interview met Maarten Dolk

len van

et de .door h

erv

n en aringe

en... inzicht

Als je deelt, krijg je meer ‘Vijf voor twaalf voor het rekenonderwijs’, kopte het Dagblad van het Noorden op 19 november 2012. Met deze rekenglossy willen wij als pabo’s van Stenden laten zien hoe wij het rekenonderwijs op de basisscholen een impuls kunnen geven. Wij doen dat door aandacht te vragen voor:

• de actualiteit van het rekenonderwijs (kennisbasis en dyscalculie); • de verandering van de rekendidactiek; • de kracht van het gedachtenvol oefenen en van het levend rekenen; • het nut van wetenschappelijk onderzoek voor de praktijk in de basisschool; • het nascholingsaanbod van Stenden op het gebied van rekenonderwijs. Wij gaan ervan uit dat goed rekenonderwijs begint met goed getrainde leerkrachten en met goed kijken naar kinderen. Rekenonderwijs kan heel leuk zijn - ook voor de leerkracht en ook voor zwakke rekenaars. Stenden wil zijn ervaringen graag delen met het primair onderwijs. Wij doen dat vanuit onze maatschappelijke opdracht, maar vooral ook vanuit de overtuiging dat door het delen van ervaringen en inzichten de opbrengsten van het rekenonderwijs vermenigvuldigd worden. Wat ons betreft is het geen vijf voor twaalf, maar drukken wij met deze rekenglossy de stopwatch opnieuw in. Ingrid Janssen, Head of School of Education

REKENEN OP STENDEN

Meer leeropbrengsten

met Miertje Maniertje Een rij van witte kaarten met steeds zes zwarte stippen vormen een spoor door de klas van groep 1 / 2 en lijken naar de kast te voeren. Van welk dier is het spoor? Welk dier heeft zes poten? En waar heeft het zich verstopt? Het is Miertje Maniertje, het hulpje van juf Marloes, stagiaire op basisschool de Eshorst in Beilen.

zwarte handpop) is de verbindende schakel die de kinderen ‘maniertjes’ leert om snel getallen en structuren te herkennen. Het praten via de mier blijkt een didactische vondst. “Miertje denkt dat jullie de les van gisteren vergeten zijn!”. De hele klas in koor: “Neehuhh!”

Onderwijs ontwerpen vanuit de beginsituatie Marloes Sterk (22) van Stenden Pabo De Eekhorst uit Assen heeft een serie van vijf ‘rekenlessen’ uitgevoerd om de kleuters om te leren gaan met ruimtelijke getalstructuren en zo een betere basis voor het rekenonderwijs in groep 3 te leggen. De lessenserie is gebaseerd op een proefschrift uit 2009 van Fenna van Nes, Young Children’s Spatial Structuring Ability and Emerging Number Sense. De lessen zijn voor de website Leraar24 eerder uitgevoerd door Merel Sprong. De theorie komt erop neer dat expliciete aandacht voor ruimtelijke en numerieke structuren bij het jonge kind leidt tot betere rekenprestaties.

Voor Marloes maakt de lessenserie deel uit van het derdejaars thema ‘Onderwijs ontwerpen vanuit de beginsituatie’. Uitgaande van een wetenschappelijk onderzoek of experiment moeten de studenten een lessenserie ontwerpen die aansluit bij de beginsituatie van de leerlingen in hun stageklas. In het verslag dat zij hierover maken, beschrijven zij de beginsituatie, de opzet van de lessenserie, de theorie die erachter zit en de eindsituatie. Uiteraard reﬂecteren zij op het verloop van de lessen en formuleren zij conclusies of aanbevelingen naar aanleiding van het experiment. >

Getallen en structuren herkennen Voor de lessenserie heeft Marloes, die voorafgaande aan de pabo de mbo-opleiding voor onderwijsassistent heeft gedaan, zelf met veel liefde de materialen gemaakt. In de lessen werkt ze achtereenvolgens met grote, zachte dobbelstenen, met eierdozen, met kralenkettingen van ‘playmais’, met torens van grote duplo blokken (‘mierenhopen’) en met kaarten met bloemen. Leerlingen leren structuren te herkennen en leren te vertrouwen op wat ze zien. Een ‘vier’ op een dobbelsteen kun je zo herkennen als ‘vier’, daarvoor hoef je de stippen niet steeds opnieuw te tellen. En met de kralenkettingen leren de leerlingen structuren te herkennen, na te maken en te voorspellen. Miertje Maniertje (een zelfgemaakte,

Miertje Maniertje helpt om getalstructuren te herkennen

REKENEN OP STENDEN

En achteraf constateerde de school dat de kinderen op de verwante onderdelen boven verwachting scoorden op de cito-toets.

De opzet van de lessenserie heeft Marloes dus ‘uit de boeken’, maar zij heeft alle materialen zelf ontworpen (“duurzaam”), heeft bedacht om de kralen met ‘playmais’ te maken, waardoor de structuren goed en blijvend zichtbaar gemaakt kunnen worden en heeft het initiatief genomen een Miertje-Maniertjehoek in de klas in te richten. Vooral het maken van de kralenkettingen was erg populair, ook bij de stoere jongens. Na twee dagen was de voorraad playmais al op. “Juf, kun je geen nieuwe kopen?”

Opbrengstgericht onderwijs is niet saai Marloes vond het prachtig om te doen. “Ik vind het heerlijk om voor de klas te staan!”. De kinderen vonden “Miertje Maniertje” het leukste onderdeel van de hele stage. Ook de vaste leerkracht van de groep noteerde: “Gedurende de hele les waren de kinderen betrokken en enthousiast”. En achteraf constateerde de school waar de lessenserie is uitgevoerd dat de kinderen op de verwante onderdelen boven verwachting scoorden op de cito-toets. Begeleidend pabodocent Francien Garssen concludeert: “Opbrengstgericht onderwijs hoeft niet saai te zijn en begint al in de kleutergroep!” ■

Wacht niet op een dyscalculieverkaring bij het behandelen van rekenproblemen! In juni 2011 plofte bij alle basisscholen in

Waarom dit protocol?

Nederland een groen boekje op de mat: het

“In de jaren vijftig dook de term dyscalculie voor het eerst op. Daarna was het een paar decennia stil, maar sinds een jaar of vijf heeft iedereen het over dyscalculie. Er was een complete spraakverwarring over wat dyscalculie nu eigenlijk was. Scholen en begeleidingsdiensten gingen er allemaal op een verschillende manier mee om. Dyscalculieverklaringen schoten als paddenstoelen de grond uit. De minister drong aan op eenduidigheid en het terugdringen van de uitval bij het rekenonderwijs. Dat was de aanleiding om Mieke van Groenesteijn, Christien Janssen en mij te vragen een protocol op te stellen.”

Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie. Wat moeten scholen daarmee en hoe zit het nu precies met dyscalculie? Een gesprek met één van de auteurs, Ceciel Borghouts.

Wat is de kern van het protocol? “Achter de titel van het boekje (Ernstige RekenWiskundeproblemen en Dyscalculie) schuilt een heel program. Wij gaan ervan uit dat er een continuüm is van zeer goede rekenaars aan de ene kant tot kinderen met rekenproblemen, ernstige rekenproblemen en dyscalculie aan de andere kant. Kinderen met dyscalculie zijn dus geen aparte diersoort. Inhoudelijk is er geen verschil is tussen ernstige rekenproblemen en dyscalculie. Er is alleen een gradueel verschil. Het gaat ook niet alleen om problemen met automatiseren. De problemen kunnen op meerdere terreinen liggen.” Wij gaan ervan uit dat problemen ontstaan als de leerkracht niet goed afstemt op de ondersteuningsbehoefte van de leerling. Als je (te) lang niet goed afstemt, ontstaan er ernstige problemen. Zodra een rekenprobleem ontstaat, moet er dus worden ingegrepen. Wanneer bij ernstige rekenproblemen een half jaar deskundige begeleiding plaatsvindt met nauwelijks resultaat, dan spreken wij van dyscalculie. In die zin zou je met enige overdrijving kunnen zeggen dat een dyscalculieverklaring ook een brevet van onvermogen voor de leerkracht is. Het lukt niet (meer) om goed af te stemmen. “Nee, het is dus geen routekaart naar een dyscalculieverklaring. Sommigen vinden dat jammer. Het is een pleidooi voor beter rekenonderwijs en voor goed kijken naar kinderen. Een heel klein rekenprobleem in groep drie, een haarscheurtje, >

Ceciel Borghouts (1961) volgde na het VWO eerst de Academie voor Lichamelijke Opvoeding. Zij stond een paar jaar voor de klas als docente Lichamelijke Opvoeding. Na een studie orthopedagogiek, was ze werkzaam voor een School-, Advies- en Begeleidingsdienst. Inmiddels is ze ruim twintig jaar

REKENEN OP STENDEN

actief binnen de rekenwereld, als ontwikkelaar van rekenmethodes, als adviseur van scholen bij het verbeteren van hun rekenonderwijs en als diagnosticus bij het onderzoeken en begeleiden van kinderen met rekenproblemen. Zij is verbonden aan het Freudenthal Instituut in Utrecht, waar zij in

samenwerking met de I-Pabo de opleiding voor rekencoördinator verzorgt. Daarnaast heeft zij haar eigen adviesbedrijf Borghouts Rekenadvies (www.borghoutsrekenadvies.nl). Zij is een van de auteurs van het ERWD protocol.

“Uiteindelijk is het voor de leerkracht niet meer werk, maar minder. Nature of Nurture?

kan in groep vijf of zes een enorme barst van een rekenprobleem worden, als het probleem niet goed wordt aangepakt en als de leerkracht geen of onvoldoende interventie(s) pleegt. Dat is de kern van het protocol. Het rekenonderwijs afstemmen op de behoeften van de leerling. Groepjes maken. Kijken naar je leerstof. Leerkrachten toetsen zich suf, maar ze doen er te weinig mee. ”

Wat moeten scholen ermee? “Teams zouden op basis van dit protocol naar hun onderwijs kunnen kijken: welke winst kunnen wij nog boeken in de preventie? Daarvoor kan een één- of tweedaagse training op basis van het protocol een prima start zijn. Het gaat om het ontwikkelen van een visie op rekenonderwijs. Met behandelen van rekenproblemen, moet je niet wachten op een dyscalculieverklaring! Rekencoördinatoren - voor zover nog niet wegbezuinigd - zouden hier het voortouw in moeten nemen. Uiteindelijk is het voor de leerkracht niet meer werk, maar minder. En het wordt vooral leuker!”

Tijdens het gesprek wordt duidelijk dat er in rekenland een richtingenstrijd gaande is. Het is de strijd tussen Nature en Nurture. Zijn rekencapaciteiten aangeboren of worden zij vooral verklaard door de invloed van de omgeving? Worden ernstige rekenproblemen en dyscalculie verklaard door ‘kindfactoren’ of door rekenonderwijs dat niet adaptief genoeg is? Ceciel Borghouts neemt een middenpositie in en betreurt de tegenstelling. Natuurlijk spelen altijd ook kindfactoren een rol. Maar de kunst is om steeds weer te kijken wat dit kind nodig heeft om verder te komen. Ceciel Borghouts wil de kracht bij het onderwijs leggen. De leerkrachten zijn de enigen bij wie het kind nog kans heeft om verder te komen in zijn rekenontwikkeling. Die mogen het niet opgeven! Zij heeft eens als antwoord op een artikel met de titel ‘Een kind met dyscalculie, in iedere klas heb je er wel een’ een artikel geschreven met de titel ‘Een kind met dyscalculie, ik heb er nog nooit een gezien’. “En dat is ook echt waar. Alle kinderen met toch zeer ernstige rekenproblemen die op mijn pad zijn gekomen kon ik weer behoorlijk vooruit helpen.”

Nog veel onduidelijkheden Het is duidelijk dat Borghouts toe zou juichen dat er extra geld zou komen voor de begeleiding met kinderen waarbij we spreken van dyscalculie en dat een dyscalculieverklaring recht zou geven op die extra begeleiding, net zoals dat nu met dyslexie het geval is. Maar ze ziet het er niet van komen. En ze onderstreept nog maar eens dat er wetenschappelijk nog veel onduidelijkheden zijn. “Extra toetstijd voor dyscalculie? Geen onderzoeksgegevens dat het helpt! Vaker het gebruik van een rekenmachine toestaan? Geen bewijs dat het helpt, behalve bij de automatiseringsopgaven dan. Bovendien: het mág niet. Niet bij de Citotoetsen en niet bij de rekentoetsen die vanaf volgende jaar in het middelbaar en voortgezet onderwijs worden afgenomen”. >

breinkraker 1

Verplaats twee lucifers zodanig dat je geen vijf vierkanten hebt, echter vier vierkanten.

Antwoorden op pagina 65

En het wordt vooral leuker!”

“Ik ben op zoek naar wat ze wel kunnen, niet naar een verklaring.”

Ik praat met een optimist… Borghouts begint te stralen. “Er zit zoveel emotionaliteit rond rekenen. Vrouwen die zeggen ‘dat doet mijn man altijd’, erg vind ik dat. Als ik onderzoek doe met kinderen, vinden ze rekenen op het eind altijd leuk. Ik ben op zoek naar wat ze wel kunnen, niet naar een ‘verklaring’. Je hebt te dealen met de mogelijkheden van elk kind. En ieder kind kan beter leren rekenen”. ■

Hoe verder met het ERWD-protocol? Ceciel Borghouts verzorgt trainingen op maat: van oriëntatie van één dagdeel (Wat betekent het protocol voor onze school?) tot tweedaagse trainingen en ook meerjarige begeleidingstrajecten. www.borghoutsrekenadvies.nl

Ook Stenden Hogeschool verzorgt een Workshop ERWD (Ernstige Reken en Wiskunde problemen en Dyscalculie). De workshop duurt 2 x 2 uur en vindt plaats op de eigen basisschool of op een locatie van Stenden Hogeschool. De kosten bedragen €75 per persoon bij minimaal zes deelnemers. Inlichtingen Lumius T (058) 244 1550 E lumius@stenden.com

REKENEN OP STENDEN

Op Stenden kun je rekenen

Rekenen gaat niet meer

alleen volgens Bartjens Het onderwijs is de laatste jaren ingrijpend veranderd. In de basisscholen hebben het krijtje en het zwarte schoolbord plaats gemaakt voor digiborden en computers. Ook het onderwijs op de pabo’s is veranderd. Competenties zijn niet meer weg te denken, maar kennis blijft als noodzakelijk bestanddeel van die competenties onveranderd belangrijk. Wat opvalt bij een rondgang langs de pabo’s van Stenden Hogeschool is de prominente rol van onderzoek en van nieuwe media, ook in het rekenonderwijs. Wij nemen u mee op een reis door Noord-Nederland. In Emmen doen wij een rekeneiland aan. In Assen en in Emmen wordt gerekend met zout. In Groningen zien wij hoe het rekenen wordt verbonden met de directe omgeving van de school. In Meppel hebben wij een internationale ontmoeting. En in Leeuwarden worden de hoorcolleges via Youtube gegeven. Met bijdragen van Rob van ’t Veer, Crista Casu, Henk Stapert, Frits Barth en An te Selle

REKENEN OP STENDEN

Op Stenden kun je rekenen

Rekenen met zout Een koude voorjaarsochtend in Emmen. Op de parkeerplaats van Stenden staat de Zoutbus van AKZO. Ruim honderd tweedejaarsstudenten van Pabo Assen en Emmen starten de themaweek ‘De krachtige leeromgeving’. Gedurende deze week bereiden zij de grote eindopdracht ‘Rekenen met zoutkristallen’ voor, een uitdagende rekenochtend voor respectievelijk 250 Assense, en 150 Emmense scholieren uit de groepen 5-6 van basisscholen. Een hele ochtend lang zijn de leerlingen enthousiast in de weer met verschillende activiteiten die te maken hebben met rekenen en kristallen.

Voorbereiding en uitvoering in handen van…

Rekenen met zoutkristallen, hoe gek wil je het hebben? Je moet er even opkomen, maar zo raar is het niet. Ons woord ‘salaris’ is immers afgeleid van het Latijnse woord voor zout: het ‘salarium ‘was oorspronkelijk het zoutrantsoen dat de Romeinse soldaten meekregen als ze onderweg waren. En leg een zoutkristal maar eens onder de microscoop. Je ziet prachtige meetkundige vormen. Het is het vijfde jaar dat Stenden zo’n rekenochtend organiseert. Vond het evenement oorspronkelijk alleen in Assen plaats, het afgelopen jaar werd het voor het eerst ook in Emmen georganiseerd. Een uitbreiding naar de andere locaties van Stenden is voorzien voor begin 2013.

Een zakje met zout Rekendocenten Rob van ’t Veer (49) en Crista Casu (42) hebben het project samen bedacht. Maar de voorbereiding, vormgeving en uitvoering zijn helemaal in handen van de tweedejaars pabostudenten, die het project uitvoeren als onderdeel van het thema ‘De krachtige leeromgeving’. De studenten openen de ochtend met een toneelstuk, die de leerlingen terugbrengt in de Romeinse tijd. Daarna gaan de leerlingen in kleine groepjes langs een carrousel van verschillende activiteiten. Ze verdiepen zich in de eigenschappen van kristallen. Zij maken een koepel van vijf- en zeshoeken. Ze maken zelf modellen van kristallen met satéprikkers en spekjes. Ze ontwerpen kunststof kristallen met de 3D-printer in het geavanceerde My Concept, het lab van de afdeling Techniek van Stenden. Zij ontwerpen een zoutloper en verdiepen zich zo spelenderwijs in het tijdmeetsysteem. En in het winkeltje ontwerpen ze een metriek zoutstelsel om te betalen met zakjes zout. ‘Dat wordt dan twee zout en drie decizout’. >

… tweedejaars studenten

“Routinematige handelingen leiden nauwelijks tot hersenactiviteit”

Wij hebben de hele morgen nog niet gerekend! De kinderen zijn enthousiast en lijken de tijd te vergeten. Een leerling vraagt ongerust: “Wij moesten toch gaan rekenen, maar wij hebben de hele morgen nog niet gerekend”. Rob van ’t Veer: “Ondertussen zijn ze de hele ochtend met hoeveelheden, verhoudingen en meten bezig geweest. Dat maakt het nu zo mooi!” “Waarom wij dit project doen? Allereerst omdat wij het zelf zo leuk vinden. Maar ook om de kinderen te laten ervaren dat rekenen vooral te maken heeft met alledaagse dingen. Wij willen de studenten laten zien hoe je onderwijs ontwerpt en hoe je een krachtige leeromgeving creëert. En de leerkrachten ervaren inspiratie voor enthousiasmerende en uitdagende rekenactiviteiten naast de methode”. ■

REKENEN OP STENDEN

De zoutbus

Op Stenden kun je rekenen

Op een onbewoond Pabo 3 studenten van de Stenden Pabo in Emmen doen mee aan een project â&#x20AC;&#x153;Anders lerenâ&#x20AC;? op basisschool de Delftlanden in de gelijknamige wijk van Emmen.

Wij en de wereld

Techniek

Mens en Maatschappij

Natuur en Milieu

Geschiedenis

(reken)eiland… In de ochtend worden de basisvaardigheden aangeboden en

• Wij en de wereld

hebben de leerlingen individuele leertaken. In de middag gaan

• Techniek

de leerlingen thematisch werken.

• Mens en Maatschappij • Natuur en Milieu

Er zijn verschillende eilanden waaruit de leerlingen mogen

• Geschiedenis

kiezen. Zo is er een rekeneiland, een taaleiland, een wereldeiland, een moet-je-doen-eiland, een natuureiland

Een voorbeeld. Binnen het thema ‘Wij

en een ontdekeiland. Op die eilanden gaan de kinderen zelf

en de wereld’ werkt groep 3 aan het

dingen ontdekken. De leerkrachten coachen de leerlingen in

onderwerp Emmen. Er is post voor de

de verschillende eilanden. De resultaten van het leerproces en

leerling, maar de postbode weet de weg

de leeropbrengsten krijgen een plaats in het portfolio van de

niet. De leerling ontwerpt een routekaart

leerling.

voor de postbode. De routekaart wordt gepost in een speciale brievenbus op school. Als de leerling

Boeiend onderwijs voor avontuurlijke kinderen

een juiste route heeft getekend, ontvangt die een kaart van de postbode.

■

Basisschool de Delftlanden wil boeiend onderwijs bieden voor avontuurlijke kinderen! In het rekeneiland wordt de leerlingen een rijke leeromgeving aangeboden. De leerkracht is hierbij de coach die de leerlingen in hun leerproces begeleidt, waarbij ontdekkend leren, samenwerken en verantwoordelijkheid belangrijke uitgangspunten zijn. Binnen de thema’s ontwerpen de studenten rekenactiviteiten voor de groepen 3 tot en met 8. Gedurende het jaar komen de volgende thema’s aan bod:

breinkraker 2

Op een feest waren vijftien kinderen: jongens en meisjes. Toen de helft van de jongens naar huis was gegaan, bleven er nog tien kinderen over. Hoeveel jongens en meisjes waren oorspronkelijk op het feest?

Antwoorden op pagina 65

REKENEN OP STENDEN

Op Stenden kun je rekenen

Buiten rekenen ‘De wereld als speelveld’, dat is een van de thema’s uit het eerste jaar van de Pabo’s van Stenden. Als onderdeel van dat thema krijgen studenten de opdracht om geïntegreerde lessen te geven over Wereldoriëntatie en Rekenen. Daarbij moeten zij zo veel mogelijk werken aan de hand van de leerlijnen voor meten en meetkunde.

Voor de kinderen op de stageschool kan dat resulteren in een opdracht als deze.

Hoe hoog is deze boom? Reken uit op twee manieren en leg beide manieren uit.

Zo’n opdracht is ook voor de studenten geen gesneden koek, legt docent Henk Stapert (58) uit. De eerstejaars krijgen daarom van de docenten Rekenen, Wiskunde en Didactiek een practicum om hun inspiratie te geven voor omgevingsgerichte opdrachten, om zelf te oefenen met de bijbehorende rekenvaardigheden en om na te denken over de didactiek. De studenten krijgen natuurlijk opdrachten die op hun niveau liggen. Henk Stapert en zijn collega’s zochten voorbeelden in de directe omgeving >

van de school. Hiernaast drie voorbeelden uit de binnenstad van Groningen. Wat hebben de studenten nu van dit practicum geleerd? Henk Stapert komt bijna vingers te kort om de redenen op te sommen: “Zij hebben geleerd dat rekenen op straat ligt en dat het hartstikke leuk kan zijn als je niet alleen maar uit het rekenboek rekent. Zij hebben vooral ook leren nadenken, zij hebben naar hun omgeving leren kijken door een meetkundebril en zij hebben geleerd om de juiste vragen te stellen. Zij hebben zich gerealiseerd dat je rekenen ook nodig hebt bij bijvoorbeeld biologie (de hoogte van een boom) en aardrijkskunde (plaatsbepaling).” ■

Hoeveel zakken van 25 kg potaarde passen er in deze pot?

REKENEN OP STENDEN

Wat kost het schoonmaken van de ramen van deze uitbouw van de Remonstrantse kerk. De glazenwasser moet een offerte maken. Help hem mee. Hij wil € 1,00 per vierkante meter verdienen.

één ton?

Als je deze ton vol zou gooien met 1-euromunten, zou deze afvalton dan € 100.000 kunnen bevatten?

Op Stenden kun je rekenen

Internationale rekenaars zetten NS op het goede spoor Internationale Pabo In samenwerking met partners uit Zweden, Denemarken en Noorwegen heeft Pabo Meppel een nieuwe specialisatie ontwikkeld: ‘Leraar basisonderwijs, Specialisatie Internationaal’. Een Europese primeur. Deze studie wordt sinds september 2012 aangeboden onder de naam ITEPS (International Teacher Education for Primary Schools). ITEPS richt zich in het bijzonder op de vaardigheden en uitdagingen die horen bij het werken op een internationale school, maar leidt even zo goed op voor het reguliere Nederlandse diploma Leraar Basisonderwijs. De opleiding werkt met onderdelen van de belangrijkste lesprogramma’s die in internationale scholen worden gebruikt en besteedt uitgebreid aandacht aan het wereldburgerschap en het lesgeven in een multiculturele klas. Onderwijservaring doen de studenten niet alleen op in Nederlandse scholen, maar ook in geselecteerde, internationale scholen in het buitenland. De studenten zijn verplicht een half jaar onderwijs te volgen bij een van de partners in Scandinavië, waar ook stages worden gelopen. De voertaal is Engels. Met deze specialisatie speelt Stenden in op de toenemende vraag uit het werkveld naar internationale leraren. Voor meer informatie kijk op: www.iteps.eu.

Internationalisering is niet meer weg te denken uit het hoger onderwijs. Voor Stenden hogeschool is internationalisering een speerpunt, ook voor de pabo’s. Sommige studenten lopen zelfs stage in een township in Zuid-Afrika. De Pabo uit Meppel doet regelmatig mee aan internationale uitwisselingsprojecten. Het is voorjaar 2012. In de mooie, natuurlijke tuin van Pabo Meppel zitten de ooievaars al weer op hun post. Wij nemen een kijkje binnen. Zes nationaliteiten Er heerst een zinderende sfeer. Wij horen veel verschillende talen, hoewel Engels de voertaal is. Meer dan vijftig studenten uit Turkije, Polen, Zweden, Denemarken, Duitsland en Nederland zijn op dinsdagochtend gestart met twee weken leren van en met elkaar. Leren over onderwijs en ontwerpen van onderwijs. Onderwijs waarbij het verbindende element naast “Math” (wiskunde), het European Railway System is en waarbij het gaat om het oplossen en ontwerpen van grotere reken-wiskundige problemen.

Onderwijs ontwerpen en uitvoeren De eerste week zijn de studenten hoofdzakelijk in en om Pabo Meppel aan het werk. Hierbij wordt er samengewerkt in verschillende samenstellingen en verschillende nationaliteiten, tijdens hoor- en werkcolleges. Elk dagdeel laat een reken- of wiskundedocent uitt ee u een van a de landen a de de stude studenten te

222

kennismaken met zijn of haar expertise, steeds in relatie met het ontwerpen van onderwijs dat in de tweede week centraal staat. Op de eerste donderdagmiddag maken de studenten kennis met de school en de groep waar ze in de tweede week les gaan geven. Zodoende kunnen ze met een eerste beeld van een school/groep kinderen in Nederland starten met het ontwerpen van onderwijs. De studenten uit de verschillende landen gaan samen rekenonderwijs maken en dat gedurende drie dagen uitvoeren, zodat er tijd is om een en ander te optimaliseren. Er is steeds gekozen voor groepen van zes om zodoende alle landen samen te laten smelten. Voor het lesgeven splitsten deze groepen zich op in drietallen. Op deze manier is er nadien een goede uitwisseling van praktijkervaringen mogelijk. Verschillende scholen in en om Meppel verlenen hun medewerking. Voor de studenten een mooie ervaring, maar voor de >

kinderen en hun leerkracht is het spannend. Ze krijgen immers les in het Engels en gaan werken aan een groot rekenprobleem.

“Wij hebben genoten van de ontdekkingen die ze deden” Rekendocent Douwe-Jan Douwes van Stenden vertelt hoe hij het ervaren heeft: “Wij hebben genoten van het leren van de studenten, van de ontdekkingen die ze deden. Studenten hebben genoten van elkaar, van de verschillen binnen onderwijs in de diverse landen. Kinderen hebben genoten van het werken aan grote wiskundige problemen in tweetallen en dan ook nog in het Engels. Leerkrachten in het basis- en voortgezet onderwijs hebben genoten van de motivatie om zich in het Engels proberen uit te drukken en van de intensiteit van het oplossen van de voorgelegde problemen.” Organisator An te Selle noemt het een groot succes. “Wij gaan vaker meedoen aan zo’n Intensive Programme, zoals zo’n Europese uitwisseling heet. Volgend jaar gaan wij met een groep studenten uit Meppel naar Nürnberg.” ■

REKENEN OP STENDEN

Samenwerken over grenzen heen

Op Stenden kun je rekenen

Rekenen op Youtube

Frits Barth

In zijn lessen Rekenen-wiskunde& didactiek aan de Stenden pabo’s van Leeuwarden, Groningen en Emmen maakt Frits Barth (62) regelmatig gebruik van digitale media. Zo geeft hij een aantal van zijn hoorcolleges vorm via korte videoclips, die op Youtube te bekijken zijn. Waarom geef je die hoorcolleges niet gewoon in de collegezaal? “Tot ruim vijf jaar geleden deed ik dat op die manier, maar er kwamen vanwege roosterproblemen vaak weinig studenten opdagen en dat werd mede voor mij de aanleiding om te gaan experimenteren met een digitaal informatieaanbod. Ik zie enorm veel mogelijkheden op dat gebied en daarnaast heeft het leren door mensen binnen en buiten de schoolmuren - in het bijzonder dat door kinderen - me altijd gefascineerd. Wat is er mooier dan het observeren hoe mensen nieuwe kennis en vaardigheden opdoen en gaan gebruiken? Zeker wanneer dat gebeurt met behulp van digitale media.” Maar waarom videoclips op Youtube, leren ze daar iets van? je hebt zo toch geen contact met je studenten? “Leren is een complex proces en kan op allerlei manieren en met behulp van diverse middelen. Als je een college aan een grote groep studenten in de zaal geeft, is er nog enige, zij het beperkte interactie tussen docent en studenten mogelijk. Die interactie is er niet bij het bekijken van een clip. Het bekijken Reacties van studenten

‘Ik vond de ﬁlmpjes echt fantastisch!’ ‘De ﬁlmpjes waren helder en duidelijk. Ik heb daar veel van geleerd.’

van zo’n clip doe je meestal in je eentje en het voordeel is dan wel dat je je veel beter kunt concentreren op wat je ziet en hoort. Daarnaast kun je zo’n clip bekijken wanneer jij dat wilt en ook nog meer dan één keer”. Maar tijdens een college kun je vragen stellen, dat kan niet bij een videoclip. “Dat is waar, maar in het geval van videoclips kunnen de studenten die vragen stellen tijdens de werkcolleges en practica, die ze daarnaast krijgen. Verder stel ik zelf in een clip soms een of meer vragen aan de studenten om ze tot nadenken te stemmen. Komen ze er dan nog niet uit, dan kunnen ze me altijd nog even individueel vragen stellen”. Hoe zien die clips er dan uit, krijgen de studenten een docent in beeld die, staande voor een bord, uitleg geeft? “Ik maak presentaties in Prezi, die ik als ‘screen-recordings’ opneem, waarna ik mijn tekst als een voice-over bij de beelden inspreek. Die presentaties bevatten PowerPointachtige dia’s, maar ook videofragmenten van basisschoolsituaties. Ik heb er voor gekozen om zelf niet in beeld te komen, dat heeft mijns inziens geen meerwaarde en bovendien maakt het de clips onnodig groot qua bestandsgrootte. Als voorbeeld wil ik de clip over handelingsgericht werken1) noemen, daarin geef ik uitleg over de aanpak van handelingsgericht werken zoals die in het Protocol ernstige reken-wiskundeproblemen en dyscalculie2) wordt beschreven.” Dus geen hoorcolleges meer in een zaal en alleen nog maar clips op Youtube? “Nee, zeker niet! Ik geloof in een veelkleurig palet als het gaat om het onderwijzen en leren. Dat houdt dat het leren en onderwijzen met behulp van videoclips slechts één van >

Reacties van studenten

‘Het is ﬁjn dat je tijdens de clips zelf kan bepalen welk onderdeel je wel beluistert en welk onderdeel je over kan slaan omdat je het bijvoorbeeld al weet.’

veel mogelijke aanpakken is. Denk bijvoorbeeld maar aan probleemgestuurd onderwijs en projectonderwijs, het zijn onderwijsvormen die op Stenden veelvuldig worden toegepast.” Niet onbelangrijk: wat vinden de studenten van het leren met behulp van videoclips? “Zo lang ik deze aanpak hanteer, heb ik iedere keer de studenten in een enquête gevraagd naar hun ervaringen en iedere keer waren die overwegend positief.” Kun je daar iets meer over vertellen? “De studenten gaven de laatste keer, in april van dit jaar, aan dat ze zeer tevreden waren over de presentaties via Youtube. Op de vraag wat ze liever willen, hoorcolleges in de collegezaal of de inhoud van die colleges in videoclips op Youtube, geeft ruim 80 % van de respondenten aan de laatste mogelijkheid te prefereren. Ruim 80 % van deze studenten gaf ook aan dat de inhoud van de clips zeer helder gepresenteerd werd. Gevraagd naar een cijfer voor de module gaf ruim 60 % van de respondenten een 8.” Is dit de toekomst? “Een dergelijke uitkomst geeft me vertrouwen om op deze voet voort te gaan, niet als dé weg naar goed onderwijs, maar als één van de vele wegen die daarheen leiden. Dit experimenteren met andere onderwijsleervormen motiveert me enorm. Eigenlijk ben ik mijn hele loopbaan al bezig met het ontwerpen en onderzoeken van onderwijsleersituaties en leeromgevingen. Daarbij hanteer ik altijd als stelregels dat ten eerste dit experimenteren nooit ten koste van de studenten mag gaan en ten tweede dat ik hun inbreng en commentaar op de vernieuwingen altijd uiterst serieus neem. Ik merk ook dat mijn professionaliteit groeit door deze onderzoekende houding. Ik houd mijn studenten dan ook voor dat zij later ook hun onderwijs moeten blijven vernieuwen. Dat motiveert jezelf, het houdt je scherp en het draagt sterk bij aan je professionele ontwikkeling. Een simpel advies is verder: kijk goed naar (het leren van) kinderen, ik ben nog regelmatig verbaasd over wat kinderen ook op vroege leeftijd al kunnen en kennen. Zo startte ik laatst voor de anderhalf jaar oude Norah een telspelletje op de iPad. Ze heeft nog weinig tot geen idee van hoe het tellen in zijn werk gaat, maar ik stond versteld van de snelheid waarmee ze zich de niet heel eenvoudige bediening van het spelletje eigen maakte. Na één keer voordoen, pakte ze dat direct op. Juist zulk soort onverwachte (re)acties maken het fenomeen leren zo geweldig interessant. Als ik die interesse kan losmaken bij studenten is dat een prachtig resultaat, dat naast de andere beroepsvaardigheden, bijdraagt aan hun ontwikkeling van student tot reﬂectieve leraar.” ■ 1) RW&D 3.3-3.D. Handelingsgericht werken: www.youtube.com/watch?v=QQ-S640dCzM 2) Groenestijn, M. van, C. Borghouts & C. Jansen (2011). Protocol ernstige Rekenwiskundeproblemen en dyscalculie. Assen: Van Gorcum.

REKENEN OP STENDEN

Rekencoördinator Inleiding De post-HBO opleiding tot coördinator rekenen is een product van Het Landelijk Platform Nascholing Primair Onderwijs (LPNPO). Deze gecertiﬁceerde opleiding is door een landelijke werkgroep in samenwerking met het Freudenthal Institute for Science en Mathematics Education (FIsme) ontwikkeld. De opleiding is in 2011 geactualiseerd en gereviseerd. Naast de bestaande inhouden als didactiek en leerlijnen van reken-wiskundeonderwijs sluit de opleiding nu ook aan op actuele ontwikkelingen als:

en vaardigheden. Een centrale vraag is steeds: hoe pas ik het geleerde toe in mijn eigen school? In de tweede helft van de opleiding blijven gecijferdheid en vakdidactiek belangrijke pijlers van de opleiding, maar nu meer in relatie tot collegiale consultatie en rekenbeleid. De aandacht verschuift naar de ontwikkeling van de gehele school. Centrale vragen zijn dan:

• wat hebben mijn collega´s nodig om hun rekenonderwijs te verbeteren?

• hoe kan ik hen ondersteunen? • hoe enthousiasmeer ik mijn team voor rekenwiskundeonderwijs?

• de referentieniveaus rekenen; • resultaatgericht werken, rekenbeleidsplannen en • •

rekenverbetertrajecten; rekenen in de een-zorgroute (handelingsgericht werken); het protocol Ernstige Reken-WiskundeProblemen en Dyscalculie (ERWD).

Doel De post-HBO opleiding tot coördinator rekenen heeft tot doel leerkrachten te scholen voor de taak van coördinator rekenen in de eigen basisschool of op bovenschools niveau. Een coördinator bewaakt en bevordert de inhoudelijke kwaliteit van het onderwijs in reken-wiskunde. Door een van de teamleden deze taak te laten vervullen – en de opleiding te laten volgen – komt het rekenwiskundeonderwijs op een hoger niveau. In de opleiding is veel aandacht voor taken als: • het ondersteunen van collega’s in hun dagelijkse onderwijs bij het realiseren van interactief, rijk en uitdagend rekenenwiskundeonderwijs; • het informeren van collega’s over de nieuwste ontwikkelingen, ideeën en materialen; • het initiëren en medevormgeven van kwaliteitszorg en schoolbeleid op het gebied van het onderwijs in rekenenwiskunde; • het enthousiasmeren van collega’s voor het vak rekenen/ wiskunde; • het onderzoeken en stimuleren van resultaatgerichtheid van het rekenonderwijs.

Inhoud Al tijdens de opleiding werkt de deelnemer aan de verbetering van de kwaliteit van het reken-wiskundeonderwijs op de eigen school. Vandaar dat de betrokkenheid van de schoolleiding van belang is. Ook voert de deelnemer activiteiten uit in de eigen school die horen bij de taak. De deelnemers ontwikkelen zich als coördinator rekenen op de volgende terreinen:

• • • •

gecijferdheid; vakdidactiek; collegiale consultatie; onderzoek en ontwikkeling van rekenbeleid.

• hoe zet ik onderzoek in om vragen naar bijvoorbeeld verhoging van resultaat te kunnen beantwoorden?

• hoe komen we als school tot een helder rekenbeleid?

Studiebelasting Deze post-HBO opleiding heeft een belasting van 200 studiebelastingsuren. De studiebelasting is onder te verdelen in: • 50 uur contacttijd; • 150 uur zelfstudie, portfolio en praktijkopdrachten. Naast het bijwonen van de 15 bijeenkomsten moeten er ook huiswerkopdrachten uitgevoerd worden.

Duur De opleiding duurt 1½ jaar. De 15 bijeenkomsten worden ongeveer eens per maand gepland. In overleg kan er een aanpassing gemaakt worden in de tijdstippen van de contacttijd. De 15 bijeenkomsten kunnen ook aangeboden worden in 8 studiedagen.

Kosten De kosten van de opleiding zijn € 2.195,- per persoon. Als een schoolbestuur een groep deelnemers aanmeldt, kan de opleiding tegen een gereduceerd tarief worden aangeboden.

Afronding Elke deelnemer bouwt een portfolio op met uitwerkingen van praktijkopdrachten en ontwikkeling van het rekenonderwijs op de eigen school. Het portfolio en de feedback van de docent(en) dienen als basis voor de assessments. Hierin toont de deelnemer de eigen ontwikkeling op het terrein van de speciﬁeke competenties aan.

Contactgegevens Lumius Postbus 1298 8900 CG Leeuwarden T (058) 244 1550 E lumius@stenden.com I www.lumius.nl

In de eerste helft van de opleiding ligt de nadruk op ontwikkeling van de persoonlijke competenties. Interactieve presentaties, practica en praktijkopdrachten zijn gericht op versterking van de eigen gecijferdheid en verdieping van de vakdidactische kennis

REKENEN OP STENDEN

Goed rekenonderwijs begint

Wil Oonk

Wil Oonk (1940) was leraar basisonderwijs, docent wiskunde in het voorgezet onderwijs, pabodocent en cursusleider van een parttime lerarenopleiding voor wiskunde. Hij promoveerde in 2009 aan de Universiteit van Leiden op het onderwerp ‘Met theorie verrijkte praktijkkennis in de lerarenopleiding voor het vak rekenen-wiskunde & didactiek’. Tegenwoordig is hij gastonderzoeker aan het Freudenthal Instituut en geeft mede leiding aan een landelijke opleidersgroep. Wil Oonk is coauteur van Reken Vaardig en redactielid van het tijdschrift Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk.

Woensdagmiddag op basisschool Op ‘e hichte (Op de hoogte) in Scharnegoutum, onder de rook van Sneek. De school is uit. In de hal staan de werkjes voor Moederdag te wachten. In de bibliotheek annex personeelskamer tref ik Wil Oonk, eindredacteur van de wiskundemethode Rekenenwiskunde in de praktijk voor de pabo en Frits Barth, rekendocent bij Stenden en een van de tien auteurs van de boekenserie. Zij hebben ‘s ochtends ﬁlmopnames gemaakt tijdens de rekenlessen. Wat hebben rekendidactiek en video met elkaar te maken?

Dertig kerninzichten Het heeft alles te maken met de opzet van de methode Rekenen-wiskunde in de praktijk. Opleidingen die deze methode gebruiken, hebben naast de boeken de beschikking over een grote hoeveelheid ﬁlmpjes. Studenten ontdekken op die manier hoe kinderen op de basisschool leren en welke rol hun leraar daarbij speelt. Er zijn inmiddels drie boeken in gebruik: een boek voor het rekenwiskundeonderwijs van de onderbouw en van de bovenbouw en het boek Kerninzichten. In het laatstgenoemde boek wordt in dertig kerninzichten beschreven wat de belangrijkste inzichten zijn die leerlingen van de basisschool moeten verwerven. Een boek over handelingsgericht werken is in de maak. Oonk: “ Wij gaan letterlijk uit van de praktijk door opnames van het rekenwiskundeonderwijs als uitgangspunt voor reﬂectie te gebruiken. Hoe zorg

met kijken naar kinderen

Vincent, een leerling uit groep 4 die hoog scoort in het Cito-leerlingvolgsysteem, wordt gevraagd het aantal puzzelstukjes te berekenen van een puzzel van 6 bij 7 stukjes. V = Vincent I = Interviewer V: (Leest de opdracht voor) Uit hoeveel stukjes bestaat de puzzel? I: Vertel maar en denk maar hardop. V: Ik doe eerst deze rand, dat zijn er 6 en deze rand, dat zijn er 7, dus dan doe ik 7x6...... I: Hoeveel komt daar uit? V: Eh...doe ik eerst 5x6...weet ik... en dan doe ik eerst 5x7 die is makkelijker, dan kom je eerder bij 6x7 ...dan doe ik eerst 6x5 wel...en dat is 30 plus dan nog 5...en dan kom je uit op 35...en dan doe ik er nog...eh...7 bij...en dan kom je uit op...eh... tweeën...eh...42.

je er nu voor dat kinderen die dertig kerninzichten verwerven, bijvoorbeeld het inzicht hoe je handig referentiematen bij het meten kunt gebruiken? De manier waarop dat gebeurt en de theorie erachter, hangen wij op aan de praktijk. Beelden van de onderwijspraktijk zijn daarbij essentieel. Als je het boek gebruikt, krijg je een voucher die je toegang verschaft tot de website met de videoclips.” Barth: “Die clips kunnen op diverse manieren in het opleidingsonderwijs worden ingezet, onder meer als startpunt van een onderwerp. Een voorbeeld: In een clip over procenten als gestandaardiseerde verhouding komt een leerling in beeld die verschillende procentopgaven oplost. Aan die beelden is veel te ontdekken voor studenten: wat moet je als leerling weten en beheersen om deze opgaven te kunnen oplossen? Hoe presteert deze leerling bij die opgaven, etc. Een dergelijke clip kan dan ook veel leeractiviteiten bij studenten oproepen.”

REKENEN OP STENDEN

Als de interviewer daarna vraagt waarom je alleen maar de randen (van 7 en 6 stukjes) hoeft te gebruiken om te weten hoeveel stukjes de hele puzzel bevat, wijst Vincent onmiddellijk één voor één de 7 rijen van 6 stukjes in de puzzel aan als verklaring. De praktijksituatie van maar enkele minuten is uitdagend en leerzaam voor studenten in meerdere opzichten. Ze worden onder andere uitgedaagd de simpel lijkende maar niet zo eenvoudige redeneringen van Vincent te volgen door gerichte observatie en ook om kennis, inzichten en vaardigheden van Vincent te plaatsen op een leerlijn. Ze maken kennis met vraagtechnieken en er wordt van hen verwacht dat ze vermoedens kunnen uitspreken over een (hypothetisch) leertraject voor Vincent. Zo te zien gaat hij bijvoorbeeld ﬂexibel om met rekenstrategieën, maar kan hij kennelijk de tafels van vermenigvuldiging – in ieder geval die van

’Theorie beklijft door praktijkverhalen’ Kenmerkend voor de methode is dat de theorie is opgehangen aan de praktijk. “Met theorie verrijkte praktijkkennis”, noemt Oonk dat. “In onze boeken wordt de theorie vertegenwoordigd door lijsten met theoretische begrippen. Die begrippen komen terug in de praktijkvoorbeelden en onze reﬂecties daarop, in de kantlijn en in de index van de boeken; verder ook in de peilingen, aan het begin en aan het einde van elk hoofdstuk. De beginpeiling is bedoeld om studenten meteen ervan bewust te maken om welke theoretische begrippen het in dat hoofdstuk gaat. Er wordt hun dan bijvoorbeeld gevraagd: “Weet je wat ‘ankerpunt’ betekent en kun je er een praktijkverhaal bij vertellen?” Bij de eindpeiling moeten ze aangeven of dat begrip hun beter bekend is geworden en of zij er een praktijkverhaal bij kunnen vertellen waarin het begrip betekenis krijgt. >

zes – nog niet memoriseren. Het is een vaak voorkomend verschijnsel: goede rekenaars zoals Vincent die allerlei strategieën kunnen toepassen, ook bij grotere vermenigvuldigingen, maar de tafels nog onvoldoende kennen, tegenover sommige zwakke rekenaars die de tafels van vermenigvuldiging feilloos beheersen maar niet in staat zijn die in te zetten bij het handig rekenen. Uiteraard is het streven dat leerlingen zowel het memoriseren als het handig rekenen op het voor hen hoogste niveau leren beheersen. Als deze praktijksituatie van Vincent onder goede leiding bediscussieërd wordt met studenten, kan het een ‘praktijkverhaal’ voor hen opleveren waarin de hiervoor genoemde theorie kan beklijven; het zal leiden tot het verwerven van ‘met theorie verrijkte praktijkkennis’.

Praktijksituatie

Frits Barth (62), rekendocent bij de Opleiding tot Leraar basisonderwijs van Stenden Hogeschool in Leeuwarden en mede-opsteller van de Kennisbasis Rekenen en Wiskunde, is een van de auteurs van Rekenen-wiskunde in de praktijk. Dictafoon en videocamera behoren tot zijn standaarduitrusting. Hij heeft niet alleen tientallen opnames voor de methode gemaakt, maar biedt ook een deel van zijn eigen hoorcolleges in de vorm van Youtubeﬁlmpjes aan zijn studenten aan. Oplossingsmethoden tot 100 (6:55 min) Deze clip laat de oplossingsmethoden voor het optellen en aftrekken tot 100 zien. http://www.youtube.com/watch?v=NszdM1lYeFE Diagnostisch gesprek (4:37 min) Een korte toelichting op de vorm en inhoud van een diagnostisch gesprek met een voorbeeld van een diagnostische toets uit Maatwerk Rekenen. http://www.youtube.com/watch?v=4UPVvRXSK6Q Handelingsgericht werken (4:12 min) In deze clip wordt in het kader van handelingsgericht begeleiden het handelingsmodel uit het Protocol ERWD besproken. http://www.youtube.com/watch?v=QQS640dCzM

Dat geeft henzelf een idee van ‘ik ben verder gekomen. Ik weet nu meer’. Uiteindelijk is het de bedoeling dat er een cognitief netwerk bij die studenten ontstaat dat de samenhang tussen de begrippen geeft. Die samenhang ontstaat door de praktijkverhalen, maar onder andere ook door de bijbehorende colleges van de opleider, bijvoorbeeld over de leerlijn tellen bij jonge kinderen. Die theorie beklijft door de praktijkverhalen”. Op de bij de boeken behorende website zijn voor de opleider lessuggesties, powerpointpresentaties en uitwerkingen beschreven.

breinkraker 3

De broers Alexander en Bernard staan op 2 kilometer afstand van elkaar. Ze wandelen elkaar tegemoet met een snelheid van 5 km/uur. Hun hond rent heen en weer van de een naar de ander met een snelheid van 15 km/uur. Hoeveel meter heeft de hond afgelegd als de broers elkaar ontmoeten?

In bedrijf A werken negen personen. Hun gemiddelde leeftijd is 25 jaar. In bedrijf B werken elf personen met een gemiddelde leeftijd van 45 jaar. Bedrijf A en B fuseren. Niemand wordt ontslagen. Wat wordt de gemiddelde leeftijd van het personeel in het nieuwe bedrijf?

Driehoeksommen

Leren is reflecteren De ideeën achter de methode zijn gebaseerd op het onderzoek dat Wil Oonk heeft gedaan aan de universiteit Leiden. Via zijn werk als wiskundedocent op de pabo van Amsterdam en als ontwikkelaar en onderzoeker bij onder meer het toonaangevende Freudenthalinstituut, raakte hij betrokken bij het MILE-project, een multimediaproject om de kwaliteit van de opleiding tot leraar basisonderwijs te verbeteren. Dat wekte bij hem nieuwsgierigheid naar de vraag op welke manier studenten leren en welke rol hun eigen reflectie daarbij speelt. “Toen ben ik gaan onderzoeken hoe studenten theorie en praktijk verbinden en hoe je hun vermogen om te reflecteren kunt meten en in beeld kunt brengen”. Veertig jaar nadat hij als onderwijzer in het basisonderwijs begon, heeft Wil Oonk een onverminderde passie voor het basisonderwijs. Hij is ervan overtuigd dat theorie voor (aanstaande) leraren basisonderwijs alleen betekenis krijgt door de koppeling met de praktijk en dat kennisverwerving begint met kijken naar kinderen. “Eigenlijk zouden de drie hoofdvakken op de pabo (taal, rekenen en onderwijskunde) veel meer samen moeten werken. Een geïntegreerde aanpak van theorieverwerving werkt in het voordeel van vooral ook die vakgebieden. Ook mijn Reflectie Analyse Instrument (RAI) kun je bij de andere vakken toepassen.” ■

2 11

8 7

11 9

In de bovenstaande driehoeken worden steeds getallen in twee cirkels opgeteld en de uitkomst in het tussenliggende vierkantje gezet. In de eerste is het voorgedaan. Probeer jij bij de andere driehoeken de cirkels en vierkanten eens te vullen met de juiste getallen. Antwoorden op pagina 65

Volgens Bartjens Artikelen en nieuws over de didactiek en praktijk van rekenonderwijs Volgens Bartjens is de combinatie van een tijdschrift en een website, vol met informatie en inspiratie voor reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Volgens Bartjens is voor bestemd voor basisschoolleerkrachten, pabostudenten, schoolbegeleiders, opleidingsdocenten, onderzoekers en verder voor iedereen die zich inzet voor nog beter reken-wiskundeonderwijs voor kinderen van 4 tot 14 jaar. Volgens Bartjens wordt uitgegeven door de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde Onderwijs (NVORWO) en Koninklijke Van Gorcum BV.

Het tijdschrift Het tijdschrift Volgens Bartjens biedt lesideeën en -verslagen, stellingen, meningen en standpunten, informatie over lesmaterialen, studiedagen en actuele ontwikkelingen, puzzels, raadsels en rekenproblemen, interviews en columns, onderzoeksresultaten van vakspecialisten, ervaringen van abostudenten. pabostudenten.

REKENEN OP STENDEN

In Volgens Bartjens vindt u antwoorden op vragen zoals: • Hoe ga ik om met verschillen tussen leerlingen? • Hoe geef ik interactief onderwijs in een klas vol verschillende leerlingen? • Hoe maak ik mijn onderwijs concreet? • Wat zijn goede computerprogramma’s? • Kunnen zwakke rekenaars zelf oplossingsmanieren construeren?

De website Op de www.volgens-bartjens.nl vindt u als abonnee, behalve de digitale versie van het blad: • een digitaal archief om te zoeken in oude nummers • artikeluitbreidingen • achtergrondinformatie • lesmateriaal • agenda met evenementen en nascholingscursussen • informatie over de NVORWO • antwoorden op de puzzels in het blad • links voor verdere verdieping of praktische id ideeën.

Gratis Rekenkalender 2013 bij een abonnement op Volgens Bartjens Na de succesvolle introductie in 2012 verschijnt in 2013 weer de Volgens Bartjens Rekenkalender. Als u nu een abonnement neemt op Volgens Bartjens ontvangt u gratis de Rekenkalender! Proﬁteer nu van deze actie en vul het abonneeformulier in op www.volgens-bartjens.nl en gebruik de kortingscode STENDEN2012. Deze actie loopt tot 31 januari 2013 en is niet geldig in combinatie met een studentenabonnement.

Gedachtenvol oefenenen

Minder fouten door Herkent u dit? U kijkt rijtjes opgaven van uw kinderen na en merkt dat ze regelmatig antwoorden geven die volkomen onlogisch zijn: 36 + 18 = 24 (het antwoord kan nooit lager dan 36 zijn) of 489 – 167 = 522 (het antwoord kan niet hoger dan 489 zijn). Het lijkt wel of uw kinderen bewerkingen met getallen uitvoeren, zonder na te denken!

Rendement verhogen

“Routinematigexx handelingen leiden nauwelijks tot xx hersenactiviteit”xxxxx

Afbeelding 1

Als bovenstaand voorbeeld voor u herkenbaar is, dan bent u niet de enige. Veel kinderen reﬂecteren niet tijdens het oefenen. Zij beginnen links bovenaan met een rijtje opgaven en gaan bijna gedachteloos de opgaven bij langs. Voor bepaalde aspecten van het rekenonderwijs, zoals het automatiseren, is het belangrijk dat kinderen niet te veel en te lang nadenken tot ze tot een antwoord komen. Maar veel van de oefenstof in methodes is juist bedoeld om kinderen getalinzicht te laten verwerven en

vlot te leren rekenen met behulp ván relaties. Bij dit soort oefenstof is het belangrijk dat kinderen reflectief bezig zijn en na blijven denken. Dat oefenen is niet gedachteloos maar zit vol met gedachten: gedachtenvol oefenen. Gedachtenvol oefenen is een manier om het rendement van het oefenen te verhogen. Uit recent hersenonderzoek blijkt dat routinematige handelingen nauwelijks leiden tot hersenactiviteit. Het is dus te verwachten dat leerlingen die routinematig sommen maken, zonder verbanden te leggen en zonder te reflecteren, weinig zullen verbeteren door oefenactiviteiten. Dit ‘gedachteloos’ oefenen kan met vrij eenvoudige middelen omgezet worden in gedachtenvol oefenen, waarin kinderen meer bewust zijn, meer nadenken en meer reflecteren.

Een voorbeeld: gedachtenvol oefenen in groep 4 Laten we eens kijken naar een opgave uit Pluspunt voor groep 4 (afbeelding 1). De oefening komt uit een fase waarin het belangrijk is dat kinderen oefenen met de relaties tussen verschillende tafelproducten. Het gebruiken van deze relaties is belangrijk voor het uiteindelijke automatiseren van de tafels. De kans is echter groot dat kinderen de relaties die in deze opgave zitten niet uit zichzelf zien en dus ook niet gebruiken. In dit stadium van het leren van de tafels is dat niet wenselijk. Het is juist de bedoeling dat er gewerkt wordt aan de opbouw van een rijk relatienetwerk dat de kinderen kan helpen om uiteindelijk vlotter te >

gedachtenvol oefenen gaan automatiseren en memoriseren. Juf Gertie vroeg zich af hoe ze kinderen zélf meer bewust kon maken van de vele relaties die in deze oefening verwerkt zitten. Zij koos voor de volgende opdracht: “Voordat je deze sommen gaat maken, geef je sommen die elkaar kunnen helpen dezelfde kleur. Straks wil ik dat je kan vertellen hoe die sommen elkaar kunnen helpen.” Zij formuleert deze opdracht bewust op deze manier. Zij verwacht dat haar kinderen zich gaan oriënteren op de opgave: wat zijn dat eigenlijk voor opgaven die daar staan? Welke ken ik al en welke opgaven weet ik dan eigenlijk ook? Bovendien weet ze, dat als ze aankondigt dat kinderen de relaties ook moeten verwoorden, ze nog meer nadenken

tijdens het zoeken van de relaties. Gertie verwacht dat haar kinderen relaties zullen vinden en benoemen zoals: 4x3 is het dubbele van 2x3, 10x3 het dubbele van 5x3 (eerste rijtje). In haar voorbereiding ziet ze zelf dat het tweede rijtje heel veel mogelijkheden tot het zien en bespreken van relaties geeft: 5x5 en 3x5 is samen 8x5, 4x5 is de helft van 8x5. Ook hoopt ze dat kinderen de relatie tussen het eerste (x3) en het laatste rijtje (x6) zullen ontdekken en verwoorden.

maken. De antwoorden zijn (dus) ingevuld na het zoeken en benoemen van de relaties tussen de verschillende opgaven.

In afbeelding 2 is representatief leerlingenwerk te zien. Gertie koos ervoor om na de bespreking van de gevonden relaties (gekleurde vakjes) de kinderen alle opgaven te laten

• Zoek vier tweetallen sommen die

Opdrachten en resultaten In een pilot met leerkrachten binnen het HaVERproject1, zijn meerdere opdrachten bedacht en uitgeprobeerd die op eenvoudige wijze ingezet kunnen worden bij allerlei oefenrijtjes. Hier ziet u enkele voorbeeldopdrachten:

voor jou bij elkaar horen. Schrijf op waarom deze sommen bij elkaar horen. Reken deze uit. >

Afbeelding 2

REKENEN OP STENDEN

• Je kunt niet alle sommen af krijgen.

De leerkrachten van CONOD (Christelijk Onderwijs Noord en Oost Drenthe) die aan de ontwikkeling van deze opdrachten meewerkten, ontdekten dat hun kinderen bewuster gingen rekenen, meer gebruik maakten van relaties en dat het aantal ‘domme’ fouten zoals 36 + 18 = 24 , 489 – 167 = 522 drastisch verminderde.

Begin met de rode / groene pen met de sommen die je makkelijk kunt maken. Ga, als ik de bel laat horen, met de blauwe pen verder.

• Schrijf drie makkelijke en drie moeilijke sommen in je schrift. Schrijf op waarom je die makkelijk/ moeilijk vindt. Of: vertel aan je buurkind waarom je die makkelijk/ moeilijk vindt. Reken nu acht sommen uit in een door jou gekozen volgorde. (In de nabespreking interessant om te kijken of er sommen zijn die het ene kind makkelijk vindt en een ander kind moeilijk.)

oefenen uitgewerkt. Na ieder artikel volgt een verslag van een project waarin Stenden geprobeerd heeft het basisonderwijs mee te nemen in deze ontwikkeling. Het sluitstuk van deze serie over gedachtenvol oefenen is een interview met Maarten Dolk, oud-lector van Stenden hogeschool en mede-ontwikkelaar van het gedachtenvol oefenen. ■

Verder lezen In dit dossier over gedachtenvol oefenen treft u twee artikelen aan die eerder verschenen zijn in ‘Volgens Bartjens’, tijdschrift voor rekenwiskundeonderwijs in de basisschool. In deze artikelen vindt u nog een aantal voorbeelden van gedachtenvol

HaVER staat voor: Handig, Verstandig en Effectief Rekenen. Dit was een project van het Freudenthal Instituut waarin Stenden hogeschool en Hogeschool Helicon meewerkten. FRANCIEN GARSSEN

breinkraker 6

Hoeveel vierkanten zitten er in het vierkant? a. 13 b. 14 c. 19 d. 21 e. 23

Een dóóóóodvermoeide slak Er was eens een slak in een diepe put van wel 20 meter gevallen. Gelukkig had hij zich niet bezeerd, maar hij wou er toch wel heel graag uit. Elke dag klom hij met veel moeite 3 meter omhoog. Maar als hij ‘snachts doodmoe in slaap viel, gleed hij ongemerkt steeds 2 meter naar beneden. Na hoeveel dagen was hij ééééindelijk uit de put? Antwoorden op pagina 65

Gedachtenvol oefenenen

Gedachtenvol oefenen Werken aan een houdingverandering In reken-wiskunde boeken staan veel rijtjes met sommen. Deze rijtjes staan er niet voor niets; ook bij rekenen is het belangrijk dat kinderen veel oefenen. Maar hoe worden deze rijtjes vaak gemaakt? Hoeveel leren kinderen van deze rijtjes, hoe bewust of ‘gedachtenvol’ zijn ze bezig? Gedachtenvol oefenen kan leerlingen meer ondersteunen. In dit artikel geven de auteurs u ideeën hoe u de leerlingen eerst kunt laten denken voordat ze gaan oefenen. De ideeën in dit artikel zijn in het HaVERproject1) ontstaan en in de klas uitgeprobeerd.

Praktijkervaring ‘Een paar weken geleden was ik in de bouwmarkt voor de aanschaf van 25 rollen glaswol. De glaswol was in de aanbieding. In plaats van €19,99 moest ik nu €18,49 voor een rol betalen. Bovendien had ik een bon uitgeknipt waarmee ik nog eens 15% extra korting kreeg. Bij de servicebalie maakte ik een afspraak voor de bezorging, onze bestelling werd ingevoerd en ik moest €477,25 (incl. €15,00 bezorgkosten) afrekenen. Ik reageerde daarop vrij direct met ‘Dat kan niet’. De jongen die me hielp keek verschrikt op zijn scherm en begon de aantallen te controleren ‘25 rollen, toch?’. Toen ik bevestigend knikte was zijn reactie: ‘Nou, ik heb alles goed ingevoerd, hoor’. Ik vroeg hem even met mij mee te denken. ‘Die glaswol kost normaal bijna 20 euro per rol. Ik koop 25 pakken, dus dat is 500 euro. Als ik 15% bereken, dan zou daar 75 euro afgaan. Dat is 425 en met bezorgkosten kom ik dan op 440 euro. Maar die rollen kosten nu niet eens 20 euro, dus moet het bedrag nog lager zijn dan 440 euro.’ Ik had niet het idee dat de jongen tegenover mij dit verhaal helemaal kon volgen. In ieder geval bleek dat niet uit zijn reactie, want nadat hij nog een tijd naar het computerscherm had gekeken zei hij: ‘Nou, het klopt wel hoor, want ik heb alles goed ingevoerd.’

Rekenhouding In een tijd waarin we steeds meer rekenwerk aan computers en rekenmachines overlaten, is het belangrijk om dit gedachtenvol te blijven doen. De jongen uit de bouwmarkt vertrouwde volledig op zijn computer. Kennelijk was hij niet in staat of niet van plan om mijn gedachtegang te volgen want hij bleef volharden in zijn aanpak: ingevoerde gegevens controleren. Als hij de ingevoerde getallen op hun waarde had geschat en beter naar de bewerkingen had gekeken, had hij kunnen ontdekken dat er toch ergens iets fout was gegaan. Dit kritisch kunnen beoordelen van het rekenwerk van een computer of een rekenmachine vraagt om bepaalde inzichten en vaardigheden en om inzet van een relatienetwerk. Het vraagt vooral ook om een bepaalde houding. Een houding waarin je ook naar getallen en bewerkingen kijkt, in plaats van je te beperken tot het uitvoeren van procedures. In dit artikel zullen we ingaan op het bevorderen van een houdingverandering bij het maken van oefenrijtjes. Het gaat daarbij om een houding waarin kinderen eerst naar de getallen kijken en naar de relaties tussen verschillende opgaven, voordat ze antwoorden gaan zoeken. We beschrijven een voorbeeld uit de praktijk waarin geprobeerd wordt om deze verandering bij kinderen te bewerkstelligen. Het bevorderen van deze houdingverandering kan er voor zorgen dat kinderen niet alleen gericht zijn op het vinden van het antwoord van afzonderlijke opgaven. Het helpt kinderen bij het leggen van relaties tussen bewerkingen. Het stelt hen ook in staat om gebruik te maken van deze relaties. >

Aanbieding €19,99 €18,49

REKENEN OP STENDEN

Informatie verzamelen over de houding van kinderen Voor je aan het werk gaat met de houding van kinderen is het belangrijk om hier als leerkracht zicht op te krijgen. Dat kan je doen door goed naar kinderen te luisteren, hen te observeren tijdens hun werk en hen vragen te stellen tijdens het werken. In de groep 8 van juf Anneke verzamelden we houdingsinformatie via een schriftelijke toets. We gaven de kinderen uit Anneke’s groep de opdracht de sommen uit ﬁguur 1 te maken:

Wat kun je leren van het werk van leerlingen? Na bestudering van het twee pennenwerk konden we een viertal uitspraken doen over de rekenhouding bij het maken van oefenrijtjes: 1. Het overgrote deel van de kinderen (elf van de vijftien) maakte de opgaven in de aangegeven volgorde. Ze leken niet de tijd en/of de vrijheid te nemen om alle sommen te bekijken voordat ze aan de slag gingen. In ieder geval vertaalden ze dat niet naar een zelfgekozen volgorde van oplossen. 2. Er lijkt onder veel kinderen het beeld van rekenen te bestaan dat je de keus hebt tussen uit je hoofd rekenen of cijferend oplossen. Er werd heel weinig gebruik gemaakt van handig rekenen. Uit een analyse van de uitwerkingen blijkt dat tussenantwoorden nauwelijks werden genoteerd.

Figuur 1

De rijtjes zijn zo samengesteld dat het heel veel mogelijkheden tot handig, verstandig, effectief rekenen geeft. Er staan opgaven tussen die de meeste leerlingen uit groep 8 vrij vlot kunnen maken. Er zijn opgaven waarbij handig rekenen heel voor de hand liggend is, maar er zijn ook opgaven waarbij dit minder het geval is. Er zitten verschillende opgaven in die met dezelfde strategie zijn op te lossen en opgaven die onderling gerelateerd zijn (zoals 80x11 en 80x33). In een volgend nummer zullen we nog verder ingaan op het werken met twee pennen. In dit geval lieten we de twee pennen vooral gebruiken om te onderzoeken of kinderen de opgaven op volgorde, van linksboven naar rechtsonder maakten of niet.

3. Vooral de kinderen die de sommen in volgorde hadden opgelost, gebruikten overwegend cijferende aanpakken. Ook een opgave als 25x999 waarin handig rekenen erg voor de hand liggend lijkt, werd door 2/3 van de kinderen cijferend opgelost. De opgaven 80x11 en 100x25 werden soms cijferend uitgerekend maar bij het merendeel van de kinderen ontbrak hierbij een bewerking op papier. Kennelijk zijn deze uit het hoofd uitgerekend. Handige strategieën kwamen sporadisch voor. Van de vier kinderen die de opgaven niet op volgorde hadden opgelost, gebruikten drie kinderen waarschijnlijk handige strategieën. Ze maakten namelijk geen cijferende uitwerkingen maar noteerden ook nauwelijks tussenantwoorden. 4. De kinderen leggen weinig tot geen relaties tussen opgaven. >

Francien Garssen

Figuur 2: Eérst met de zwarte pen pen, daarná met groen

Elf van de vijftien kinderen legden bijvoorbeeld geen relatie tussen de opgaven 75x484 en 0,75x484. Dit werd onder andere zichtbaar door een volledige cijferende uitwerking van beide opgaven (ﬁguur 2). Ook na het oplossen van beide opgaven werd er geen verband gelegd. Antwoorden als 75x484 = 36510 en 0,75x484 = 323 bleven ongecorrigeerd naast elkaar staan. Een uitzondering hierop vormt Leo, bij wie het gebruik van de twee pennen goed zichtbaar maakt wat er is gebeurd. Leo rekent eerst 75x484 onder elkaar uit. Hierbij maakt hij een notatiefout. Hij schrijft 42 in plaats van 24. Daardoor komt hij op een verkeerd antwoord. Later maakt hij (met een groene pen) 0,75x484 door 75x484 opnieuw uit te rekenen. Dit keer zonder notatiefout. Dit is vermoedelijk de aanleiding om het eerdere antwoord te corrigeren. Hoewel ze een uitzondering vormen zitten er in deze klas ook kinderen die de opgaven niet in een vaste volgorde aanpakken. Er zijn kinderen die de kenmerken van de getallen gebruiken om mee te rekenen. Er zijn ook kinderen die gebruik maken van de relaties tussen verschillende opgaven. En van deze kinderen en van hun aanpak kan je als leerkracht gebruik maken bij het bewerkstelligen van een houdingverandering.

REKENEN OP STENDEN

Werken aan een houdingverandering. Een praktijkvoorbeeld Anneke besluit om de volgende week de kinderen nog eens precies dezelfde opgaven voor te leggen. Ze verandert een paar dingen waarvan ze verwacht dat die de kinderen zullen stimuleren keuzen te maken in de volgorde van oplossen. Om te beginnen heeft ze de opgaven kriskras op het papier gezet, zoals te zien in ﬁguur 3 (volgende pagina). Ze verwacht dat, nu er geen dwingende structuur in rijtjesvorm aanwezig is, de kinderen eerder de vrijheid zullen nemen om te kiezen met welke opgave ze zullen beginnen. Verder gebruikt Anneke een driestappen aanpak. Eerst vraagt ze de kinderen naar de opgaven te kijken, dan laat ze de kinderen enkele minuten met de zwarte pen werken en vervolgens maken ze het werk met de groene pen af. Ze verwacht dat de startopdracht ‘Kijk een tijdje naar de opgaven’ de kinderen zal aanzetten om beter naar de sommen te kijken. In de tijd dat de kinderen naar de opgaven kijken, observeert Anneke wat er gebeurt. Ze ziet dat de meeste kinderen heel vluchtig naar het blaadje kijken, sommige kinderen kijken nog even naar de (lege) achterkant en al snel zitten alle kinderen om zich heen te kijken. Als ze ziet dat de kinderen de opgaven niet echt gaan bestuderen vraagt Anneke om de zwarte pen te pakken en te beginnen. Terwijl de kinderen aan het werk zijn, loopt Anneke rond. Ze ziet al snel dat de meeste kinderen nu met de opgave 3x7 beginnen, terwijl deze helemaal onder aan het papier staat. Ze is blij dat de vorm waarin ze de opgaven heeft >

ook een aantal kinderen zeggen dat ze zich door andere kenmerken hebben laten leiden. ‘25x999 dat is eigenlijk gemakkelijk als je eerst 25x1000 doet’ en ‘800x12 lijkt wel moeilijk, maar 8x12 , nou dan weet je dat 2x12 dat is 25 en dan is het eigenlijk 4x25’. Als Anneke het gevoel heeft dat alle kinderen zich bewust zijn geworden van de redenen achter de gekozen volgorde, vindt ze dat het tijd is voor de volgende stap: een klassikale bespreking.

Klassikale bespreking

Figuur 3

gezet kennelijk uitlokt dat niet alle kinderen links bovenin beginnen, maar eerst een makkelijke opgaven maken. Als de snellere leerlingen ongeveer de helft van de sommen hebben gemaakt, geeft Anneke het teken om van pen te wisselen. Na een tijdje vraagt Anneke om de pen neer te leggen. Lang niet alle kinderen hebben dan alle opgaven gemaakt, maar dat vindt Anneke in dit geval niet belangrijk. Zij heeft als doel de kinderen in gesprek te brengen over de volgorde van oplossen en andere keuzes die kinderen hebben gemaakt bij het maken van de opgaven. Doordat de kinderen met twee verschillende kleuren hebben gewerkt, kan Anneke hen de volgende opdracht geven: ‘Ga elkaar in tweetallen uitleggen met welke sommen je bent begonnen, en vooral: waarom met die som?’. Terwijl de kinderen elkaar -met behulp van hun blaadje- vertellen hoe ze tot een bepaalde volgorde zijn gekomen, loopt Anneke rond en luistert naar de gesprekken. Ze leert uit deze gesprekken dat veel kinderen zich hebben laten leiden door de grootte van de getallen; ‘het is gemakkelijker uitrekenen met getallen met twee cijfers dan met drie cijfers’. Een aantal kinderen vertelt dat ze de opgaven met de breuken overslaan omdat ze breuken moeilijk vinden. Anneke hoort

Ze vraagt de kinderen eerst een aantal opgaven te noemen die ze uit hun hoofd kunnen uitrekenen. Daarna focust Anneke het gesprek al snel op relaties tussen opgaven. Zij haakt in op Theo die inbrengt dat ‘Nou ehh….. 75x484, het antwoord daarvan en 0,75x484 dat is twee nullen minder. Want als je het 10x doet, 0,75 dan heb je 7 en als je het 100x doet is het 75, dus moeten er twee nullen achter.’ Om de andere kinderen te helpen om deze gedachtegang te volgen gebruikt Anneke een projectie van het werkblad op het digitale schoolbord. Ze omcirkelt de opgaven waar Theo naar verwijst en ze trekt een lijn tussen deze twee cirkels. Hiermee wil ze laten zien dat het gesprek gaat over de relatie tussen deze twee opgaven. Vervolgens vraagt ze andere kinderen om in hun eigen woorden te vertellen wat Theo heeft gedacht. ‘Kun jij vertellen wat de gedachte van Theo is, Sarien?’ Sarien: ‘Nou hij heeft 75x484 gedaan en dat is bijna hetzelfde als 0,75x484 maar dan met twee nullen minder’ Anneke laat regelmatig kinderen herhalen wat een ander heeft gezegd of gedacht. Dit doet ze omdat ze het belangrijk vindt dat kinderen goed naar elkaar luisteren. De kinderen in de klas van Anneke weten dit langzamerhand en gaan elkaar daardoor ook vaker vragen stellen. Als je niet begrijpt wat een ander kind vertelt, kun je het immers ook niet navertellen. Nu Theo een relatie tussen verschillende opgaven heeft ingebracht, vraagt Anneke de kinderen om nog eens goed te kijken of ze nog meer opgaven zien die met elkaar te maken hebben. Mark staat te springen om zijn idee te vertellen: ‘Die 100x25 en die 25x999 die hebben eigenlijk met elkaar te maken. Want die 100x25 daar doe je dan een 0 bij en dat is dan 1000x25. En 25x999 dat is alleen maar eh…… 25 meer, nee….mìnder.’ En Annet: ‘Nou, 80x11 en 80x33 want als je 80x11 hebt, dan kan je ook gewoon x3 doen’. Anneke koppelt terug naar de opgave 25x999 door Marks strategie te benoemen. ‘Mark gebruikt 25x1000 om 25x999 uit te rekenen. Hij rekent eerst een beetje teveel uit en doet er dan weer iets van af. Zien jullie meer opgaven die je ook op die manier kunt uitrekenen?’ Anneke stelt telkens vragen die de kinderen weer op een andere manier naar dezelfde opgaven laat kijken. Marion: ‘Je kan 80x11 ook wel zoiets doen want dan doe je 80x10 en dan nog 80 erbij, maar dat doe ik niet zo want ik ken de tafel van 11 gewoon uit mijn hoofd’ Joke: ‘446x51, als je eerst 446x50 doet en dan 446 erbij’. >

Sommen maken met twee kleuren

Anneke is ook nog benieuwd naar het effect van deze bespreking van een aantal handige strategieën op de kinderen. Ze vraagt daarom of er kinderen zijn die bepaalde opgaven nu anders zouden aanpakken als ze deze nog eens zouden krijgen. Door deze vraag lukt het haar om iets van de rekenhouding van deze kinderen boven tafel te krijgen. Julia weet het wel ‘25x999’. Een aantal kinderen legt uit waarom zij zullen blijven cijferen. Rob: ‘Nou ja, je gaat meestal toch cijferen want dat ben je gewend’ en Annet: ‘Nou, en bij cijferen dan zie je de getallen op papier en je vergeet niet... want heel vaak als je een getal hebt en je schrijft dat niet op, dan vergeet je er weer eentje. Het is heel moeilijk om die getallen, in je hoofd net als op papier te onthouden.’

Terug- en vooruitblik Anneke heeft een stap gezet om een houdingverandering te bewerkstelligen door: • een situatie te creëren waarin kinderen ervaren dat je niet altijd bovenaan hoeft te beginnen met rekenen; • kinderen met elkaar over hun aanpakken te laten praten; • een klassikale bespreking te houden waarin alle kinderen nadachten over relaties tussen opgaven; • kinderen te laten reﬂecteren op hun eigen aanpakgedrag tot nu toe. Ze kan nu bewuster situaties gaan creëren waarin kinderen ontdekken dat er nog een middenweg is tussen uit het hoofd rekenen en cijferen. Ook hebben de kinderen een gemeenschappelijke ervaring waarop Anneke terug kan komen. Zo kan ze nu bijvoorbeeld vragen om uit een rijtje uit het boek twee opgaven te kiezen die je niet-cijferend kan oplossen. In de nabespreking kan ze dan focussen op het noteren van tussenantwoorden. Verder neemt Anneke zich voor om bij oefenen in tabelvorm kinderen opdrachten

REKENEN OP STENDEN

te geven die ze meer laten nadenken over de relaties tussen de kolommen en de rijen. Hierbij kan ze terug verwijzen naar de relaties die kinderen zagen tussen de opgaven. Een cultuurverandering is moeilijk en kost veel tijd, maar Anneke heeft met haar groep een stap vooruit gemaakt.

Eerst denken, dan doen In het HaVER-project zoeken wij naar een aantal eenvoudige opdrachten die leraren bij oefenrijtjes kunnen benutten waarmee het oefenen gedachtenvol wordt. In dit artikel beschreven we hoe je kunt peilen in hoeverre de kinderen in je groep al gedachtenvol oefenen. Gedachtenvol oefenen vraagt om een bepaalde houding. Een houding waarin wordt gedacht voordat wordt gedaan. We lieten in dit artikel zien hoe je de eerste stappen op weg naar gedachtenvol oefenen zou kunnen zetten. ■ Francien Garssen is werkzaam bij Stenden hogeschool 1)

HaVER staat voor: Handig, Verstandig en Effectief Rekenen. Dit is een project van het Freudenthal Instituut waaraan ook Stenden hogeschool en Hogeschool Helicon meedoen.

Gedachtenvol oefenenen

HĂŠ meester, als je kijkt naar die som in het eerste rijtje en die in het tweede, dan zie je dat het precies dezelfde som is, maar dan andersom.

Praktijkscholen van Stenden Pabo Meppel ontdekken de kracht van ‘gedachtenvol oefenen’ “Moet je kijken. Sven, leerling van groep 7, zit te rekenen alsof hij snoept eet”. Jeroen Wouter, rekencoördinator op O.B.S. De Dissel in Ruinerwold wijst naar een jongen met blosjes op zijn wangen. Sven, bepaald geen rekentijger, gaat helemaal op in zijn rekenopgaven. Dit is leuk! Jeroen is verrast. Hij heeft vele andere geluiden over Sven vernomen in de afgelopen jaren. Sven mag zelf kiezen met welke som hij gaat beginnen. Hij maakt eerst de sommen met een groene pen, en als de juf haar pieper afgaat, mag hij verder met een blauwe pen. Juf Sabrina, student van Pabo Meppel, vindt het goede antwoord belangrijk. Ze is echter nog veel meer geïnteresseerd in de reden waarom hij met welke sommen is begonnen en waarom hij bepaalde sommen makkelijk of juist moeilijk vindt.

Studenten ervaren gedachtenvol oefenen aan den lijve

Opbrengstgericht werken – een project van de PO-raad

Juf Sabrina is één van de dertig studenten van Pabo Meppel die op haar praktijkschool intensief met de kinderen “gedachtenvol oefent”. De start is tijdens de rekenlessen op de opleiding gelegd. Daar heeft zij met haar medestudenten aan den lijve ervaren hoe je “gedachtenvol” kunt oefenen. Ze begon net als vele medestudenten gewoon bovenaan de opgaven één voor één te maken, ook al luidde de opdracht: “Maak alleen die sommen waarvan het antwoord gelijk of meer is dan 1000”. Er was één medestudent die eerst de opgaven scande en vervolgens kriskras de opgaven ging maken. Waarom had ze dat zelf eigenlijk niet gedaan? Het zelf ervaren verraste haar en maakte haar nieuwsgierig naar hoe het kinderen dan zou vergaan. Zou een groep 4 leerling anders aan het werk gaan dan een groep 7 leerling? Wat zou er veranderen met het maken van de rijtjes ‘snel en vlug’, ‘reken uit’, ‘even handig rekenen’ als je elke week één of twee keer gedachtenvol gaat oefenen? Welke relaties gaan kinderen leggen, wat kun je doen om kinderen naar de getalswaarde te laten kijken?

In studiejaar 2011-2012 heeft An te Selle van Pabo Meppel (Stenden) samen met leerkrachten van O.B.S. Commissaris Gaarlandt Nijeveen, O.B.S. De Dissel in Ruinerwold, O.B.S School B in Steenwijk en O.B.S De Sprinkels in Heerenveen een module “gedachtenvol oefenen” voor de pabostudent ontworpen. Het betreft een vorm van oefenen die leidt tot hogere opbrengsten. Deze samenwerking is een project dat wordt gesubsidieerd door de PO-raad, die op deze wijze de verbinding tussen opleiding en basisscholen voor opbrengstgericht werken wil stimuleren. Met dit project heeft Stenden drie doelen:

Juf, als ik de bovenste som uitreken,dan hoef ik de rest niet meer te doen. Kijk, 2+3=5, 3+3 = 6, 4+3 = 7, er komt er gewoon steeds een bij.

• de opbrengsten van het handelen van de studenten verhogen; • in bovengenoemde vier basisscholen het “gedachtenvol oefenen” introduceren; • alle andere praktijkscholen van de derde jaarsstudenten informeren over “gedachtenvol oefenen”. De nieuw ontworpen module wordt in het nieuwe curriculum van de Stenden pabo’s opgenomen en uiteindelijk ook beschikbaar gesteld voor andere pabo’s in het land. Op de vier projectscholen wordt het gedachtenvol oefenen schoolbreed ingevoerd in het rekenonderwijs. Tot slot zal ook samen met betrokkenen en belanghebbenden in het studiejaar 2012-2013 verder gewerkt worden aan een bronnenboek met interventies die geschikt zijn om de rijtjes in de methode ‘gedachtenvoller’ te benaderen. Het bronnenboek bevat ook vragen die geschikt zijn om te stellen en werkvormen die aanzetten tot samen leren tijdens het gedachtenvol oefenen. > An te Selle

REKENEN OP STENDEN

Derdejaars studenten als ambassadeurs Hoewel de kern van het project gevormd wordt door vier basisscholen die volgend jaar het gedachtenvol oefenen schoolbreed gaan invoeren, zijn alle studenten van het derde studiejaar van Stenden Pabo Meppel betrokken bij het project. Zij hebben zich allemaal vanaf april intensief beziggehouden met ‘gedachtenvol oefenen’, zowel in de opleiding als in de praktijk. Het heeft ogen doen openen. Zoals student Petra zegt: “Ik denk dat ik uit mezelf nooit zo met de rijtjes aan de slag was gegaan”. Petra heeft vijf keer met haar groep 7 van O.B.S. Het Spectrum in Hoogeveen gedachtenvol geoefend. Ze heeft bij de ‘plus- en minrijtjes’ met twee verschillende pennen laten werken, ze heeft bij een mix van vermenigvuldigen en delen de drie makkelijkste sommen en drie moeilijkste sommen een stip laten geven en daarna 8 andere sommen laten maken. Of zoals in het kinderwerk te zien is, alle sommen laten doorstrepen waarvan het antwoord kleiner is dan 10. Daarna hebben de kinderen de andere sommen gemaakt. De kinderen in de groep van Petra gingen verschillend aan het werk. Inciana zag meteen wanneer een antwoord kleiner was dan 10, ze keek goed naar de getallen. Haar klasgenootje Wendy rekende elke som uit en kwam er dan achter dat het antwoord kleiner dan 10 was en dus de som doorgestreept mocht worden.

In de nabespreking geeft Petra Inciana een beurt. Zij vertelt dat ze ziet dat bij 402 – 397 dat 397 erg dicht bij de 400 ligt, dus dat het antwoord nooit meer dan 10 kan zijn. Daarna geeft Petra de beurt aan enkele kinderen die de sommen eerst hadden uitgerekend voodat ze een streep zetten. “Dit ging goed, ze vertelden steeds hoe ze aan de getallen konden zien dat het antwoord nooit hoger dan 10 kon zijn”.

Kinderen hebben baat bij gedachtenvol oefenen Maaike loopt stage in groep 3 op O.B.S. Het Slingertouw in Heerenveen en heeft ervaren dat het in deze groep ook prima mogelijk is om gedachtenvol te oefenen. Samen met Lisa, die stage loopt in een andere groep 3 op deze school, heeft ze vijf keer gedachtenvol oefenen uitgevoerd.

“Ik ben er trots op dat ik in korte tijd verbetering heb bereikt” Petra heeft hierna de kinderen in tweetallen enkele sommen die uitgerekend zijn, aan elkaar laten vertellen. Petra is erg trots op de kinderen en ook op zichzelf. “Als ik terug kijk op het gedachtenvol oefenen, ben ik er trots op dat ik in een korte periode verbetering heb bereikt. De kinderen kijken ‘gedachtenvoller’ naar de getallen. Er is natuurlijk nog veel meer uit te halen, maar er is een begin. Ook mijn mentor is er helemaal enthousiast over. En de leerkracht van groep 8, waar de kinderen volgend schooljaar heen gaan, heb ik ook ingelicht over het gedachtenvol oefenen. Ik hoop dat ze er mee verder gaat.”

Zo hebben zij de kinderen drie moeilijke en drie makkelijke sommen laten kiezen.

En ze lieten kinderen met verschillende kleuren werken op een kriskrasblad en relaties leggen. Maaike over het project: “Het waren interessante opdrachten, waar ik tijdens mijn loopbaan veel aan zal hebben. Hoe je de activiteiten opbouwt en uitvoert. Na de gegeven les de resultaten bekijken en evalueren. Hieruit conclusies trekken voor de volgende keer en daar weer mee aan de slag gaan. Ik wil in mijn verdere loopbaan zeker nog veel meer doen met gedachtenvol oefenen. Ik heb gemerkt aan een aantal kinderen in de klas dat >

“Toekomstmuziek is misschien nog dat het gedachtenvol oefenen ook in andere vakgebieden gaat doorwerken”

Jeroen Wouter

ze baat hebben bij de verschillende opdrachten van gedachtenvol oefenen. Door het maken van deze opdracht heb ik geleerd dat je goed gaat nadenken over hoe je het wiskundige aspect het beste kunt aanpakken. Hierbij houd je rekening met je doel en de literatuur die je hebt gebruikt. Aan deze opdracht heb ik met veel enthousiasme gewerkt”. Ook de andere studenten zijn ronduit enthousiast over deze aanpak en geven aan dat ze zelf nu anders tegen de rijtjes en het rekenonderwijs aankijken. Allard Tabak: “Ik kijk nu zelf anders naar de rijtjes ‘snel en vlug’ en ‘reken uit’. Ik bereid mijn lessen bewuster voor. Voordien liet ik kinderen de rijtjes maken en keek ik het werk na. Waarom komt dit pas in Pabo 3 aan de orde? Ik had dit veel vroeger willen hebben”

REKENEN OP STENDEN

Basisscholen positief over gedachtenvol oefenen Het project wordt in de basisscholen positief onthaald. Jeroen Wouter van der Vlist, O.B.S. De Dissel, Ruinerwold: “Eerlijk gezegd was ik eerst sceptisch. Oh jee, dat komt er ook nog bij. Het is echter in plaats van. Het is heel mooi om te zien hoe de verschillende kinderen rekenen. En uiteindelijk lijkt het me dat het ook tijdwinst gaat opleveren! “ Ingrid Bakker, O.B.S. Het Slingertouw Heerenveen. “Ik zou het ﬁjn vinden dat onze basisschool zich het gedachtenvol oefenen eigen maakt en dat het onderdeel wordt van ons rekenonderwijs. Toekomstmuziek is misschien nog dat het gedachtenvol oefenen ook in andere vakgebieden gaat doorwerken”. ■

Gedachtenvol oefenenen

Gedachtenvol oefenen Mini-lesjes en oefenen met relaties tussen sommen In reken-wiskunde boeken staan veel rijtjes met sommen. Deze rijtjes staan er niet voor niets, want bij rekenen is het belangrijk dat kinderen veel oefenen. Maar hoe worden deze rijtjes vaak gemaakt? Hoeveel leren kinderen van deze rijtjes, hoe bewust of ‘gedachtenvol’ zijn ze bezig? Gedachtenvol oefenen kan leerlingen meer ondersteunen. In dit artikel geven de auteurs u ideeën om leerlingen éérst te laten denken en dán te laten oefenen. De ideeën in dit artikel zijn in het HaVER-project 1) ontstaan en in de klas uitgeprobeerd.

Praktijkervaring Thijs is op de computer aan het oefenen met keersommen zoals 6 x 14 = 3 x… Hij vraagt Saskia, een stagiaire die in de klas rondloopt, om hulp: ‘Ik wil een getal vinden,’ zegt hij, ‘dat keer 3, als uitkomst 84 heeft’. Saskia kijkt naar de krabbels die Thijs in zijn schrift heeft gemaakt. Ze wacht of Thijs zelf verder gaat. Als hij stil blijft en hoopvol naar haar kijkt, zegt ze: ‘Thijs, ik denk dan aan zakjes knikkers. Je hebt hier 6 zakjes met 14 knikkers. En nu doe ik al die knikkers in slechts drie zakjes. Dan wil ik weten hoeveel knikkers in elk zakje zit.’ Thijs kijkt even voor zich uit en mompelt langzaam: ‘3 zakjes, uh… de helft van de zakjes.’ Luider en meer zelfverzekerd gaat hij verder ‘dus in de zakjes zitten nu twee keer zoveel knikkers. 6 x 14 is dan uh… hetzelfde als 3 x 28.’ Deze som is gericht op het oefenen van handig rekenen. Als Thijs zonder deze interventie tot het goede antwoord was gekomen, hadden we vermoedelijk gedacht dat hij de relatie tussen 6 x 14 en 3 x 28 doorziet. Hij had echter bijvoorbeeld 6 x 14 kunnen uitrekenen en het antwoord 84 door 3 kunnen delen. Het gesprekje met Saskia brengt aan het licht dat hij zich niets bij de opgave voorstelde. Door de zakjes met knikkers heeft Thijs de relatie tussen de sommen 6 x 14 en 3 x 28 betekenis gegeven en kon hij de opgave maken zonder veel rekenwerk.

Relaties inzetten bij handig rekenen Thijs wilde de opgave via uitrekenen aanpakken. Op zich een goede aanpak. Het is hier echter niet de meest handige en het leidt niet tot een verbetering van het getalbegrip. Na Saskia’s interventie ziet Thijs ook een andere aanpak: 6 zakjes van 14 knikkers, dan heb je de helft van de zakjes, dus twee keer zoveel knikkers in elk zakje. Leerlingen kunnen deze strategie ook in andere situaties inzetten om sommen handig aan te pakken. Neem bijvoorbeeld de opdracht 2,5 x 14. In eerst instantie vinden leerlingen het nogal moeilijk om dit handig en snel op te lossen. Wanneer ze de relatie met 5 x 7 (= 2,5 x 14) leggen, is deze opgave heel eenvoudig op te lossen is. Eigenlijk gebruikt Thijs de associatieve eigenschap en het ‘verdubbelen en halveren’. Je zou zijn denken als volgt kunnen opschrijven: 6 x 14 = (3 x 2) x 14 = 3 x (2 x 14) = 3 x 28. Met ‘verdubbelen en halveren’ kan je zonder rekenen laten zien dat ‘6 x 14’ en ‘3 x 28’ gelijkwaardig zijn. We hoeven de som niet uit te rekenen om dit te laten zien. We kunnen op deze manier ook uitleggen dat (6 x 14) + 3491 gelijkwaardig is met (3 x 28) + 3491. Als we de gelijkwaardigheid van de twee objecten via een redenering zien en niet via het uitrekenen van beide expressies maken we een stap van rekenen naar algebra. Handig rekenen vraagt om goed naar getallen te kijken en relaties tussen de getallen te onderzoeken. Het voorbeeld van Thijs laat ook zien dat handig rekenen en oefenen goed samen gaan. In dit artikel gaan we in op een manier om in de klas aan oefenen te werken en tegelijk over relaties tussen getallen en relaties tussen bewerkingen na te denken.

Gerichte aandacht voor relaties - het gebruik van minilesjes Een miniles is een korte gezamenlijke activiteit van ongeveer 10 minuten waarbij kinderen een samenhangende serie sommen in een redelijk tempo gaan oplossen. De sommen in een minilesje zijn steeds aan elkaar gerelateerd doordat ze bijvoorbeeld handig op te lossen zijn met een bepaalde strategie, of omdat de ene som juist helpt om de volgende som op te lossen. Deze strategie of handige aanpak wordt echter niet vooraf aan de kinderen verteld. Het is juist de bedoeling van een miniles dat kinderen redenen gaan zien om die strategieën of handige aanpakken te gaan gebruiken en dat ze uitgelokt worden daarover te gaan praten. Je maakt dit – als leerkracht – mogelijk door iedere opgave apart aan de orde te stellen. Na elke som moeten de leerlingen kunnen uitleggen hoe ze tot het antwoord zijn gekomen en waarom hun aanpak klopt. Daarom vraag je na elke som een of twee kinderen te vertellen hoe ze de opgave hebben opgelost, je noteert deze aanpak van de leerling zo

FotograямБe Jasper Oostlander

REKENEN OP STENDEN

inzichtelijk mogelijk op het bord. Je probeert je visualisering te laten aansluiten bij een (denk)model dat de leerlingen al eerder hebben ontwikkeld. Deze visualisering helpt aan de ene kant de aanpak te verantwoorden (doordat de leerlingen kunnen ‘zien’ waarom het werkt) en tegelijkertijd vormt het een lage drempel om er met begrip over te praten. Bovendien worden hiermee de achterliggende relaties die vaak worden toegepast concreter en zichtbaar gemaakt voor leerlingen die anders moeilijk mee kunnen doen aan de bespreking. Ook ondersteunt de visualisering leerlingen om over de relaties tussen de opgaven na te denken. Om zo’n interactie te ondersteunen worden de leerlingen steeds gestimuleerd met het hoofd te rekenen. Ze worden aangemoedigd op een kladblad aantekeningen te maken die hun helpen. Natuurlijk kunnen en mogen ze dan een meer algoritmische aanpak hanteren, maar ze worden ook gestimuleerd om naar de getallen kijkend een handige aanpak te gebruiken.

Een praktijk ervaring met een miniles Voorbereiding Karin, leerkracht in groep 5, had de leerlingen opgaven laten maken waarbij steeds het verschil gelijk blijft. Denk aan sommen als 95 – 50; 94 – 49; 93 – 48; 92 – 47; 91 – 46 en 90 - 45. Tijdens het bekijken van kinderwerk ontdekte ze dat veel kinderen elke opgave opnieuw hadden uitgerekend. Daarbij werden ook veel fouten gemaakt. Doordat die leerlingen de relatie tussen de opgaven niet opmerkten, functioneerden de eerste en de laatste opgave niet als controle op het totale rekenwerk. Ze besluit een aantal keren een minilesje te geven om de relatie tussen zulke opgaven voor het voetlicht te brengen. Het eerste minilesje ziet er zo uit:

70 - 35 71 - 36 72 - 37 69 - 34 79 - 44

De Miniles Karin schrijft 70 - 35 op het bord en vraagt de kinderen het uit te rekenen. Ze hebben al vaker met een minilesje gewerkt en weten dat het helpt als ze eerst naar de getallen kijken. Ze weten ook dat ze het probleem op een voor hen handige manier mogen aanpakken. Ze maken op papier notities, ze moeten straks namelijk wel kunnen vertellen hoe ze het opgelost hebben. Dit noteren hoeft echter niet netjes, het gaat er immers om dat ze het straks zelf nog weten. Het gaat er ook om dat ze niet alles in het hoofd hoeven uit te rekenen. Tussenresultaten mogen ze best opschrijven.

Karin kijkt rond, terwijl de leerlingen nadenken, een deel van het rekenwerk of tussenantwoorden opschrijven en tekeningen maken. Ze ziet dat Johan de getallen onder elkaar zet en cijferend de aftrekking maakt. Hij doet het goed, maar Marijke maakt bij deze aanpak een rekenfout. Saskia, Chelsea en Fleur tekenen een getallenlijn. Dat doen meer kinderen maar deze drie kinderen halen 5 in kleine stapjes er af. Als zo goed als iedereen het af heeft, zegt Karin: ‘Laten we eens luisteren naar twee kinderen die vertellen wat ze gedaan hebben. Saskia, begin jij?’ ‘Ik heb een getallenlijn getekend en er eerst 30 afgedaan. Toen heb ik er nog 5 afgehaald en dat is 35’, zegt Saskia tegen de klas. Karin tekent op een getallenlijn wat ze Saskia hoort zeggen. ‘Ja, dat heb ik ook in mijn schrift’ en Saskia houdt haar schrift omhoog. ‘Dat deed ik ook’, zegt Namir, ‘maar ik deed die vijf stapjes in een keer.’ Karin tekent een nieuw boogje om het idee van Namir te laten zien en kijkt naar Saskia. Deze twijfelt even en zegt opeens, ‘Ja natuurlijk, dat kan ook.’ Karin besluit hier vandaag niet op door te gaan. Dat laat ik volgende week nog eens terugkomen, denkt ze. Jeroen krijgt als tweede de beurt. ‘Ik weet dat 35 de helft is van 70, dus is het 35’. Karin is verrast door de opmerking van Jeroen en beseft meteen dat dit een kans is om meer leerlingen anders naar de som te laten kijken. Ze beseft ook dat veel kinderen deze aanpak niet in een keer door hebben. Daarom vraagt ze ‘Wie kan in eigen woorden vertellen hoe Jeroen de som heeft opgelost?’ Mike doet dit even snel, het blijkt dat hij ook deze manier van Jeroen heeft ingezet. Emma zegt het ook in eigen woorden ‘35 en 35 is 70, hè’. Ook hier beseft Karin dat Emma niet in de gaten heeft dat de beide jongens het toch net anders doen. Een minilesje duurt kort, Karin gaat daarom snel verder en schrijft op het bord onder 70 – 35 de som 71 – 36. Juist door de eerdere som te laten staan biedt ze de kinderen de mogelijkheid om de relatie te zien. Alle kinderen gaan meteen weer aan de slag. Karin loopt intussen rond en blijft bij Iwan staan. Ze ziet dat hij in zijn schrift de relatie met de eerdere som heeft gelegd. Ze laat hem daarom als eerste vertellen hoe hij het doet. ‘Ik kijk naar de vorige’ zegt hij. Karin vraagt onmiddellijk verduidelijking, ze weet dat lang niet alle kinderen weten waar Iwan naar kijkt. ‘Vertel eens meer, wat zie je dan wanneer je dat doet?’ ‘Het is eentje meer en er gaat ook eentje meer af- dan is het antwoord weer 35.’ Ook bij Iwan’s uitleg, schrijft ze mee op het bord. Afbeelding 1

Aan de denkende gezichten ziet ze dat niet iedereen Iwan’s uitleg begrepen heeft, laat staan dat ze het in eigen woorden kunnen vertellen. Ze vraagt daarom aan de klas: ‘Wie kan in eigen woorden vertellen hoe Iwan de som heeft opgelost?’ Jasper legt de strategie van Iwan uit. Karin had bij het rondlopen gezien dat Jasper in eerste instantie anders had aangepakt. Hij had er eerst 6 afgehaald en vervolgens 30. Karin is tevreden dat Jasper zo snel weet te volgen wat Iwan heeft gedaan. Terwijl Jasper praat, wijst Karin mee op de getallenlijn (afbeelding 2). ‘Je haalt één van 71 en één van de 36 af, dan krijg je 70 – 35. Omdat je aan beide kanten hetzelfde doet blijft het antwoord uh… kijk die sprong van 71 naar 36 en 70 naar 35 is even groot.’ Karin wijst naar beide bogen en ziet veel kinderen knikken. Iwan straalt. ‘Dat is wat ik deed,’ zegt hij. ‘71 – 36 is even veel als 70 – 35’ zegt Karin, ‘en dus gelijk aan 35’ en ze schrijft 35 achter de som. Afbeelding 2

Karin zet de derde opgave op het bord: 72 – 37. Ze loopt weer rond en merkt dat sommige kinderen de relatie tussen de sommen proberen te gebruiken. Ook ziet ze dat anderen dit niet doen. Ze besluit om Sanne een beurt te geven. Sanne heeft de som -net als de vorige twee- weer helemaal opnieuw uitgerekend. Sanne zegt: ‘Ik doe er eerst 7 af en dan nog eens 30 eraf. Dat is dan 35.’ Karin zet de oplossing van Sanne op een nieuwe getallenlijn, terwijl ze ondertussen Sanne om verduidelijking vraagt. ‘Je doet er eerst 7 af, waar kom je dan?’ ‘65’. ‘Okay, dus je landt op 65. En dan haal je er nog 30 af, waar land je dan?’ ‘65 – 30 = 35’. Afbeelding 3: 72 – 35 via rijgen

Karin wil Sanne’s aanpak waarderen, en tegelijkertijd wil ze de leerlingen ook over de relaties tussen de sommen laten nadenken. Daarom vraagt ze alle kinderen: ‘Wat valt jullie op?’ Corien reageert direct: ‘Er komt weer 35 uit.’ Omdat er verder geen andere reactie of verklaring komt, vraagt Karin: ‘Is dat toeval, of hadden we dit nu van te voren kunnen zien? Hadden we nu zonder deze som uit te rekenen dit kunnen weten? Ga maar in tweetallen hierover praten.’

REKENEN OP STENDEN

Karin kiest bewust voor dit ‘praten-in-tweetallen’, omdat hiermee meer kinderen tegelijk praten en denken. Tessa vertelt daarna: ‘Ik weet dat het weer eentje meer en eentje minder is, dan moet het dus 35 worden. Of als ik naar de eerste som kijk, weet ik dat het twee meer en twee minder zijn’. Karin schrijft en tekent mee op het bord (afbeelding 4) Afbeelding 4

De laatste twee opgaven die ze gepland had, 69 - 34 en 79 44, gaan niet meer lukken. Karin houdt zich strikt aan de tijd die ze voor deze miniles heeft uitgetrokken; de tien minuten zijn om. Om de onderlinge relaties tussen opgaven als 70-35, 7136 en 72-37 te kunnen benoemen en te gebruiken bij het oplossen ervan, heeft Karin de leerlingen laten nadenken over deze relaties en er de leerlingen mee laten oefenen. Karin weet ook dat nog niet alle leerlingen deze relaties hebben begrepen. Ze besluit morgen nog een keer met het herkennen en gebruiken van deze relaties aan de slag te gaan in een miniles. Ze heeft de opgaven al in haar hoofd: 90 – 45, 92 – 46 en 89 – 44. Ze neemt zich ook voor over een week opgaven zoals ‘70-35 = 72-37 waar of niet waar?’ en ‘71- 36 = 69 – 30 waar of niet waar’ aan de orde te stellen en dan de vraag te stellen: Kunnen we dit weten zonder alles uit te rekenen?

De rol van de leerkracht Een gerichte interventie van de leerkracht helpt om niet alleen de antwoorden maar ook de relaties tussen de opgaven aan de orde te laten komen. Natuurlijk zijn er verschillende manieren om dat te doen. Karin heeft er in dit mini-lesje enkele gebruikt: • kinderen denktijd geven; • oplossingen van kinderen op het bord tekenen en beschrijven; • kinderen in eigen woorden laten navertellen wat een ander kind heeft verteld; • ‘praten-in-tweetallen’.

Een andere interventie is om leerlingen expliciet te vragen een opdracht op een speciﬁeke manier te bekijken: ‘Overleg met je buur hoe je de volgende opgave handig kunt oplossen?’of ‘Kun je de volgende opgave net zo oplossen als Iwan? Probeer het samen uit te zoeken’.

Afsluiting: de kracht van een miniles Kenmerkend voor de miniles is gedurende een korte tijd werken aan een klein aantal aan elkaar gerelateerde opgaven. Hoewel de nadruk bij een minilesje ligt op het gezamenlijk doordenken van rekenstrategieën, worden deze sommen steeds eerst door de kinderen individueel opgelost. In de bespreking en de visualisering van iedere opgave op het bord ligt het accent op de ontwikkeling van die rekenstrategie en het ondersteunen van het getalbegrip. Door opgave voor opgave te maken en te bespreken kunnen kinderen inzichten verwerven die ze direct in de volgende opgave kunnen toepassen en zich op die manier snel eigen kunnen maken. Hierbij staat voorop dat elke miniles één bepaalde relatie als focus heeft, waardoor niet elke aanpak centraal komt te staan. Juist het gesprek over de onderliggende relatie tussen de opgaven maakt het mogelijk het getalbegrip van de leerlingen te ondersteunen. Een belangrijke meerwaarde heeft de miniles voor de minder sterke rekenaars. Het som voor som aan de orde stellen en bespreken en visualiseren zorgt dat de minder sterke rekenaar kan instappen. Ze kunnen meteen iets proberen en ervaren.

Fotograﬁe Jasper Oostlander

Eerst denken, dan doen In het HaVER-project zoeken wij naar een aantal eenvoudige opdrachten die leraren bij oefenrijtjes kunnen benutten waarmee het oefenen gedachtenvol wordt. In dit artikel beschreven we hoe je in een miniles met de kinderen kunt oefenen en tegelijk hen over relaties tussen getallen en relaties tussen bewerkingen kunt laten nadenken. Gedachtenvol oefenen vraagt om een bepaalde houding. Een houding waarin wordt gedacht voordat wordt gedaan. A N T E S E L L E , N I S A F I G U E I R E D O E N M A A RT E N D O L K

Noot: 1. HaVER staat voor: Handig, Verstandig en Effectief Rekenen. Dit is een project van het Freudenthal Instituut waaraan ook Stenden hogeschool en Hogeschool Helicon meedoen. Literatuur Dolk, M. & Fosnot, C.T. (2004). Addition and Subtraction Minilessons, Grades PreK-3 (CD-Rom). Portsmouth NH: Heinemann. Fosnot, C. T., & Dolk, M. (2001). Young Mathematicians at Work (Vol I): Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. Portsmouth NH: Heinemann. Fosnot, C. T. & Uittenbogaard, W. (2007). Minilessons for Early Addition and Subtraction. Context for Learning Mathematics. Portsmouth NH: Heinemann.

breinkraker 8

Welk ﬁguur klopt niet?

Pindakaasvloer Het Rotterdamse museum Boijmans van Beuningen heeft de befaamde pindakaasvloer van Wim T. Schippers gekocht. Hoeveel potten pindakaas van 0,3 liter heb je nodig voor een pindakaasvloer van 2 m × 3 m met een laagdikte van 5 cm?

Gratis SMS’jes In een klas zitten 15 leerlingen. Een lerares heeft 125 gratis sms’jes. Zij geeft alle meisjes hetzelfde aantal sms’jes en houdt dan 6 sms’jes over (de jongens krijgen niks). Hoeveel jongens zitten er in die klas?

Hieronder staan vijf sommen. Welk getal krijg je als je de vijf uitkomsten bij elkaar optelt? 200 x 78 = 400 x 39 = 624 x 25 = (40 x 312) + (20 x 156) = 26 x 600 =

Welk getal hoort op de eerste plaats te staan? ….… 15 – 29 – 44 – 73 - 117

Antwoorden op pagina 65

REKENEN OP STENDEN

Scholen in Noordoost Drenthe Het rekenonderwijs moet beter, vonden en vinden ze op het Ministerie van Onderwijs. Binnen Stenden werd al langere tijd gehamerd op het belang van de bewustwording van de leerkrachten als het om rekenen gaat. En op de noodzaak van een rekencoรถrdinator op iedere school. De onderwijsgroep CONOD (Christelijk Onderwijs Noordoost Drenthe), met elf basisscholen in de provincie vertegenwoordigd, wilde graag meedoen. Via een subsidie voor een rekenverbetertraject vonden de drie partijen elkaar. Wij praten met de begeleiders van Stenden, An te Selle (rekendocent Pabo Meppel) en Francien Garssen (rekendocent pabo De Eekhorst uit Assen).

rekenen zich sterk Wat hield het rekenverbetertraject precies in? Het begeleidingstraject liep van begin 2009 tot medio 2011. Het was gericht op leerkrachtgedrag en had als doel rekenzwakke scholen te veranderen in rekensterke scholen en rekensterke scholen nog beter maken. Om scholen van elkaar te laten leren werd ervoor gezorgd dat er zowel rekenzwakke scholen als rekensterke scholen meededen. Het traject kende twee sporen: • een training waarin de leerkrachten

De uitvoering op de eigen school wordt geëvalueerd

bewust werden gemaakt van het

trainingsdag begon de transfer naar

effect van hun handelen op het

de praktijk van de leerkrachten. Zij

gedrag van leerlingen;

gingen onderwijs ontwerpen voor hun

• het opleiden van rekencoördinatoren voor alle deelnemende scholen.

groep, waarbij ze zich lieten inspireren door de manier waarop ze zelf aan hun rekenprobleem hadden gewerkt en door

Het ene spoor bestond uit een serie

het handelingsrepertoire dat ze uit het

trainingen waarin leerkrachten bij

gedrag van de cursusleiders hadden

elkaar werden gezet op grond van

afgeleid. De verschillende vormen

de jaargroep waarin ze lesgaven. De

van gedachtenvol oefenen maakten

scholing werd tijdens werktijd gedaan,

deel uit van dit repertoire (zie ook de

op een centrale locatie, in een luxe

artikelen over Gedachtenvol oefenen

omgeving. Het eerste uur van iedere

in dit nummer: ‘Werken aan een

scholingsdag bestond uit het oplossen

houdingsverandering’ en ‘Minilesjes en

van een wiskundig probleem op het

werken aan relaties tussen getallen’).

eigen niveau van de leerkrachten. In

De uitvoering op hun eigen school van

deze fase mochten ze nog niet aan

het in de cursus ontworpen onderwijs,

de kinderen denken. De oplossing

werd zo mogelijk opgenomen of er

van het probleem werd per tweetal

werd uitvoerig verslag van gedaan. Dit

gepresenteerd, bijvoorbeeld in de

was steeds weer de input voor een

vorm van een posterpresentatie. Tot

intensieve bespreking in de volgende

slot werd op het probleem en de

bijeenkomst.

oplossingsstrategie gereﬂecteerd. De

Het andere spoor bestond uit de

centrale vraag van de cursusleiders was

opleiding van rekencoördinatoren, voor

dan steeds: “Wat was het effect van

iedere school één. Met als doel om

mijn handelen op jou?”

rekenen binnen de school duurzaam op

Vanaf het tweede uur van iedere

de kaart te zetten en het gedachtegoed

REKENEN OP STENDEN

achter de trainingen binnen de scholen

op het effect dat hun handelen heeft

Wat nemen de cursisten mee naar

te verspreiden. Alle leerkrachten

op de leerlingen. Het denken van de

hun school? Een greep uit de

raken door deze opzet meer en

kinderen was de kern van wat wij

reacties.

meer doordrongen van de manieren

deden. Ook het feit dat het ontwerp

waarop je goed rekenonderwijs kunt

door de cursisten zelf werd uitgevoerd

bevorderen. En wat is er mooier dan

en vervolgens werd nabesproken, vaak

wanneer er in ieder team een collega

aan de hand van een video-opname,

‘Ik had geleerd me te laten leiden

is die het rekenen in zijn portefeuille

heeft heel goed gewerkt.

door de handleiding van de methode,

heeft en een rol speelt bij het maken

‘Rekenen kan echt heel leuk zijn!’

maar heb nu ervaren dat er veel meer

van het (reken)beleid en dit onderwerp

Hebben jullie er zelf ook iets van

inbrengt in de ‘bouwvergaderingen’?

geleerd?

mogelijkheden zijn….’ ‘Ik heb accenten verlegd. Van

Wat was het resultaat van het traject?

Nou en of! Wij zijn ons ook bewuster

uitleg naar vragen. Van correctie

geworden van ons eigen handelen. Wij

naar feedback. Van antwoorden

Zowel het schoolbestuur als de

hebben die methodieken vervolgens

naar berekening en betekening’.

leerkrachten waren zeer enthousiast

toegepast in onze lessen voor de

Betekening? ‘Ja, je helpt de leerlingen

over het begeleidingstraject. Aan het

studenten van de Pabo.

vaak enorm door hen een tekening of

begin van het traject waren vijf van de

schets van het rekenprobleem te laten

elf scholen rekenzwak, aan het einde

Hebben alle scholen in het Noorden deze

van het traject geen een meer.

training inmiddels gevolgd?

Wat waren de succesfactoren?

Was het maar waar! Wij zouden niets liever willen. Tot dusver weten wij ons

Een belangrijke verklaring voor het

nog onvoldoende in de kijker te spelen.

succes ligt in de omstandigheden

Hopelijk gaat dat nu veranderen door

waarin de training gegeven werd.

de nauwere samenwerking met Lumius,

Onder werktijd, zes maanden lang

de tak van Stenden die training,

een volle dag per maand, op een

onderzoek en advies verzorgt! Wij

centrale en representatieve locatie.

kunnen zorgen voor een mooi aanbod

Maar nog belangrijker was ons

om leerkrachten de focus te laten

inziens de didactische aanpak, waarbij

leggen op het denken van de kinderen

wij systematisch uitgingen van

door over hun eigen ontwerpen en

rekenproblemen op het niveau van de

handelen na te denken.

leerkrachten en voortdurend focusten Ook geïnteresseerd in zo’n begeleidingstraject voor uw school? Neem contact op met: Lumius T (058) 244 1550 E lumius@stenden.com

maken!’

■

Als je niet kunt rekenen, “Als je niet kunt rekenen, doe je jezelf te kort bij de hypotheker, neem je een abonnement met belachelijk veel belminuten om die iPhone te ‘krijgen’ en begrijp je niet waarom er ‘Geld lenen kost geld’ staat bij de advertentie voor die auto die je pas over een jaar hoeft te betalen. En als er nog zoveel mensen zijn, die dat niet door hebben, betekent dat er nog veel meer en veel beter rekenonderwijs moet komen!” >

REKENEN OP STENDEN

Als je niet kunt rekenen, Aan het woord is Maarten Dolk (59), onderzoeker bij het Freudenthal Instituut in Utrecht en voormalig lector Geïnspireerd Leren bij Stenden Hogeschool, Hogeschool Zuid en Helicon. Wij spreken met hem over het belang van het rekenonderwijs, over de opbrengsten van het lectoraat Geïnspireerd Leren, over ‘gedachtenvol oefenen’ en over de stand van het rekenonderwijs in Nederland. Van 2002 tot 2010 was Maarten Dolk lector Geïnspireerd Leren. Hoewel hij zelf wiskundige is, bestond de kenniskring rond de lector uit docenten van verschillende disciplines van de drie samenwerkende hogescholen. Wat heeft het lectoraat opgeleverd?

Het lectoraat heeft het denken over nascholing veranderd “In de eerste plaats heeft het lectoraat bijgedragen aan de wetenschappelijke oriëntatie van de deelnemende docenten. Een aantal mensen is gestimuleerd om een proefschrift te schrijven. Voor zeker de helft van de leden van de kenniskring geldt dat ze zich binnen hun school hebben ontwikkeld van stille luisteraar tot actieve meeprater. In de tweede plaats heeft het lectoraat het denken over nascholing veranderd. HAVER (het project HAndig en VErstandig Rekenen) is daar een mooi voorbeeld van. Wij hebben een model van nascholing ontwikkeld, dat tot enthousiasme in de school leidt en dat – vermoedelijk – tot beter onderwijs leidt. Dit model behelst zowel de nascholing van de leraar als het neerzetten van een structuur in de school. Een ander uitvloeisel van het lectoraat is dat onderzoek via studenten in de basisschool komt. Wij noemen dat ontwerpend onderzoeken en onderzoekend

Maarten Dolk is in 1952 in Rotterdam geboren. Hij herinnert zich het frontale onderwijs op de basisschool als ‘individueel’ onderwijs. “De meester legde tien minuten voor het bord iets uit en daarna zat je een uur alleen aan je tafeltje sommetjes te maken. Tot mijn verbazing ging ik aan het einde van de rit naar de HBS en het jongetje naast mij naar de LTS, terwijl ik geen idee had dat er zo’n verschil tussen ons zat. Wij kenden elkaar alleen van de speelplaats”. Na de HBS was de studie wiskunde een voor de hand liggende keuze. Maarten Dolk gaf kortstondig les in het voortgezet onderwijs, maar raakte al gauw verzeild op de Stichting Opleiding Leraren (wat nu de Faculteit Educatie van Hogeschool Utrecht is). Als wiskundige wilde hij graag een bredere onderwijskundige achtergrond, maar de studie pedagogiek stelde hem wat dat betreft teleur. Gelukkig kreeg hij een subsi-

die om bij het IVLOS te promoveren op ‘onmiddellijk onderwijsgedrag’. “Wat bepaalt dat een leraar in de klas een bepaald gedrag vertoont? Er gebeurt iets in de klas en hij moet ogenblikkelijk reageren. De leraar kan niet zeggen: Kom morgen maar terug, ik zoek het even uit”. Je hebt al gedrag getoond voor je het weet. Hoe kan je zorgen dat dat gedrag bewust wordt en dat je dat kunt verbeteren en verﬁjnen op grond van nieuwe inzichten? En hoe kun je dat gedrag tot routinematig gedrag maken?”. Tijdens en na zijn promotie was hij ook aan het Freudenthal Instituut verbonden als docent en onderzoeker. Van 2002 tot 2010 was Maarten Dolk lector Geïnspireerd Leren voor drie samenwerkende hogescholen (Stenden, Zuyd en Helicon). De lectoren zijn als het ware de ‘professoren’ van het hoger beroepsonderwijs.

ontwerpen. Op die manier leren de studenten zelf iets, maar brengen ze ook kennis over. Het is een mooie manier om invulling te geven aan de scriptie”. Het model van nascholing waar Dolk op doelt, is bijvoorbeeld toegepast bij de scholen die deel uitmaken van CONOD (Christelijk Onderwijs Noordoost Drenthe), zie ook het artikel ‘Scholen in Noordoost Drenthe rekenen zich sterk’.

Succesvol rekenverbetertraject “Het Ministerie van Onderwijs stelde subsidie beschikbaar voor rekenverbetertrajecten, die sterke en zwakke scholen samen tot verbetering moesten brengen. De aanpak lag in het verlengde van HAVER. Wij wilden geen nieuwe methode maken, maar als het ware schrijven in de marge van de bestaande methode. Samen met het bovenschools management van CONOD zijn wij tot een model gekomen om alle leraren van die scholen te betrekken bij het rekenonderwijs. Wij zijn begonnen om leraren die in dezelfde groepen lesgeven samen te nemen en met die leerkrachten wiskundige activiteiten te doen. Wij lieten ze zien hoe wij die voorbereiden en hoe wij anticiperen op wat er in de les kan gebeuren. Van daaruit wordt dan doorgepraat over wat er in hun klas zou kunnen gebeuren. Anticiperend en reﬂecterend lesgeven dus”. >

ben je de klos Gedachtenvol oefenen = automatische piloot uitzetten

Er is te weinig respect voor de leraar

In het project met CONOD ging het om de professionalisering van leerkrachten. Een belangrijk middel dat daarvoor werd ingezet was ‘gedachtenvol oefenen’. Dolk legt uit: “In het Nederlandse rekenonderwijs moeten kinderen heel veel rijtjes sommen maken. Kinderen zetten dan de automatische piloot aan en maken sommetjes zonder heel diep na te denken. Dat is nooit de bedoeling van de auteurs geweest, maar het gebeurt wel op die manier! Wat wij wilden is - gebruikmakend van dat rijtje - de leraar net dat steuntje te geven dat de kinderen ertoe brengt over de sommetjes na te denken. Een extra stap in het oefenen. Vol gedachten oefenen”. Wij stelden ons de vraag hoe je het rekenen zo op kon zetten, dat de kinderen niet meteen naar de antwoorden gaan, maar dat je ze ook goed naar de getallen laat kijken. Wij zetten ze een beetje op het verkeerde been, om ze te dwingen na te denken. Dus als er 30 vermenigvuldigsommetjes stonden, vroegen wij ze om bijvoorbeeld alleen de sommen maken met een antwoord onder de 400. Bij de nabespreking ging het dan om de vraag: ‘Hoe wist je dat het antwoord onder de 400 lag?’ Wij ontwikkelden met leraren allerlei varianten daarop. Wij probeerden van sommetjes maken denkend rekenen te maken. Met respect voor het boek kleine varianten op het boek maken. Geen taak waar je een hele avond mee bezig was, maar iets wat de leerkracht in vijf minuten kan bedenken”. De vraag stelt zich bijna zelf. Wat vindt Dolk van het huidige rekenonderwijs in Nederland?

“Dat maakt onderwijs alleen maar moeilijker in een tijd dat er te weinig respect is voor de leraar. Dat blijkt uit de manier waarop kranten en politici spreken over het onderwijs en uit het gemak waarmee ze zeggen dat de leraar niet goed is opgeleid. Zonder daarbij te vermelden waarvoor die leraar precies opgeleid moet zijn. Niemand analyseert de verzwaring van het beroep van leraar. Ik vat dat samen onder de kop ‘leraartje pesten’. De nadruk op meer feiten in het onderwijs past niet bij de kennismaatschappij. Echt opleiden voor een kennismaatschappij is veel moeilijker dan iedereen die er iets over roept, denkt. Ik daag iedereen uit om zelf eens les te geven. Dat uurtje dat Rutte voor de klas staat is sympathiek. Het is jammer dat hij zelf zo weinig de spreekt over de zwaarte en moeilijkheid van het beroep en zo de status van leraren niet verdedigt”.

Meer theorievorming “Rekenonderwijs waar de nadruk ligt op het geven van een antwoord op een sommetje is niet voldoende. Rekenonderwijs waarbij wordt gewerkt aan theorievorming, zou heel goed zijn. Dat laatste gebeurt te weinig, wereldwijd”. Kennisbasis en referentieniveaus zijn maar een deel van het verhaal, zo maakt de onderzoeker duidelijk. “Er zou meer nadruk moeten liggen op het doordenken van de wiskundige theorie. Ik zou willen dat de kinderen thuis kwamen en zeiden: ‘Wij hebben het gehad over de vraag of 23 x 37 hetzelfde is als 37 x 23’ en niet met de dooddoener: ‘Ik heb sommetjes gemaakt’. Het is niet of-of maar en-en”.

REKENEN OP STENDEN

Je moet kinderen niet alleen trucjes leren Wat vindt Maarten Dolk ten slotte van het realistisch rekenen? “De vraag die Freudenthal zich ooit stelde is wat de volgorde is tussen toepassing en theorie. Van oudsher kreeg je eerst de theorie en daarna pas de toepassing. Freudenthal stelde voor dat om te draaien en te beginnen met de toepassing. De bedoeling was dat kinderen, geleid door hele goede contexten en een leraar die ze stevig ondersteunt, hun eigen theorie maken of de theorie die al bestaat reconstrueren. Deze leertheorie zit perfect in elkaar, maar wordt door scholen in Nederland niet goed toegepast. Als mensen zeggen ‘Realistisch rekenen werkt niet’, bedoelen ze “Zoals het in Nederland gaat, werkt het niet’. Ik geloof niet dat wij realistisch rekenen moeten afrekenen op de manier waarop dat in Nederland gaat. Als wij realistisch rekenen echt willen toepassen, moeten wij het onderwijs verbeteren. Als je kinderen alleen maar trucjes leert, leer je ze nooit om naar getallen te kijken”. ■

Het Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education is een onderzoeksinstituut van de Universiteit Utrecht. Het heeft als doel de kwaliteit van het onderwijs in rekenen, wiskunde, informatica en natuurwetenschappen te bevorderen, met name in het primair en het secundair onderwijs.

Het instituut is genoemd naar Hans Freudenthal (1905 – 1990) een Duits-Nederlandse wiskundige en pedagoog, die wordt beschouwd als de grondlegger van het realistisch rekenen.

Levend rekenen: skate Wat telt nou echt bij het rekenwiskundeonderwijs? Het lijken de opbrengsten te zijn op de eenzijdige testen die we afnemen aan onze kinderen. De makers van ‘Dat telt’ laten een ander geluid klinken: opbrengsten deﬁniëren ze vanuit werkdoelen, die zijn gekoppeld aan rekengenres en rekenwiskunde-situaties in de klas en daarbuiten. Levend rekenen is het devies. Er wordt daarbij geput uit vier brongebieden: het leven van de klas en het kind, de actualiteit, de andere vakken en de wiskunde. Voor scholen die willen werken vanuit het perspectief van het kind en zijn situatie en die tegelijkertijd de kerndoelen serieus nemen, ontwikkelde de werkgroep levend rekenen op basis van bovenstaande uitgangspunten een aantal leerlijnen met brevetten. Vlaamse en Nederlandse pedagogische georiënteerde vernieuwingsscholen hebben hiermee een stevige basis gelegd voor de ontwikkeling van hun levend rekenwiskundeonderwijs.

‘Dat telt’ is de titel van een boek over levend rekenwiskundeonderwijs op de basisschool en bevat behalve achtergrondinformatie over levend rekenen ook leerlijnen, brevetten en veel inspirerende voorbeelden. Het boek werd in 2010 geschreven door een werkgroep onder leiding van Stendendocent Jimke Nicolai.

Waarom levend leren? Binnen modern onderwijs circuleren verschillende aanduidingen voor het leren van kinderen. Ontdekkend, functioneel, natuurlijk, interactief leren. Ontdekkend leren; het kind als een jonge onderzoeker die tastender-, spelender-, lerender- en werkenderwijs probeert zicht te krijgen op zijn leven en zijn wereld. Functioneel leren benadrukt dat kinderen weten waarmee ze bezig zijn en waarom ze doen wat ze doen, dat ze zinvol bezig zijn.

Natuurlijk leren gebeurt vanuit de natuurlijk behoefte om te kunnen wat anderen ook kunnen. Interactief leren benadert het leren als een communicatieproces tussen het lerende kind en de leeromgeving (onderwijsruimte, leraar, kinderen, leergebieden).

Skateboards voor de klas. Levend rekenen in de bovenbouw. Dit artikel is een uitwerking van de leerlijn onderzoek & experiment voor de bovenbouw. De aanleiding voor Levend Rekenen in dit artikel is de belangstelling van de kinderen voor skateboards. Er is al langere tijd de wens om voor het buitenspelen als groep een eigen skateboard te hebben. Maar welk type gaan we kopen? Het spreekt vanzelf dat de klasse!kas van de groep voor de kosten van deze investering aangesproken zal worden. >

Waarom levend leren? Omdat het de essenties van ontdekkend, functioneel, natuurlijk en interactief leren bundelt; onderstreept dat leren ingebed is in het groeps- en schoolleven; laat zien dat je leert voor het leven en dat je je hele leven blijft leren; accentueert dat leren moet leven, dus spannend en uitdagend kan zijn; duidelijk maakt dat het leven zelf onze leerschool is. Levend leren is net zo echt als het leven zelf. Leren schrijven is even echt als leren lopen. Je kunt er

iets mee: iets noteren dat je niet wilt vergeten. Je gaat gedichten maken omdat je je verwondering wilt uitdrukken. En levend rekenen? Je berekent de oppervlakte van een stukje tuin, omdat je plantuien moet kopen. Je leert geldbedragen optellen en aftrekken omdat je klasse!kas moet kloppen. En als je een skateboard aan wilt schaffen blijk je gemiddelden te moeten berekenen. Leren gaat ergens over, het is niet doen alsof, het is echt, het leeft.

boards in de klas De leraar vraagt de kinderen (hun) skateboard(s) mee te brengen naar school. ‘We kunnen dan uitzoeken waar we op moeten letten als we er eentje voor de klas gaan kopen’. De volgende dag resulteert dat in een ﬁks park ‘planken’ onder het bord in de klas. De leraar brengt in de kring in dat er onderzocht moet worden welke plank nu het beste is. Hij presenteert zonder veel omhaal van woorden 5 punten voor de bespreking: 1 2 3 4 5

hoe onderzoeken kiezen van de onderzoeksmethode onderzoek uitvoeren volgorde vaststellen van goed naar slecht kiezen welke we gaan aanschaffen.

De kinderen werken de eerste dag per tafelgroep uit welke onderzoeksmethode ze voorstaan. Ze krijgen per groepje een aantal planken en er wordt gevraagd een kort verslag te maken volgens dit schema:

Namen van ons groepje:

...............................................................................

Bedoeling: van ................ skateboarden de beste uitzoeken. Zo deden we het: .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. .............................................................................................................................. Resultaat: skateboard nummer ................ was de beste.

Het verloop van het onderzoek ging zoals te verwachten. Eerst werd er buiten wat gerommeld met en op de planken. De kinderen proberen van alles uit. Sommigen gingen naar binnen om daar onderzoek te doen naar bijvoorbeeld het gewicht van de plank. De leraar loopt langs en wijst soms kinderen op de (on) eerlijkheid van hun onderzoek. Aan het eind van de 45 minuten worden de verslagjes bij de leraar ingeleverd. Deze vormen de basis voor de volgende stap in het onderzoek. ‘Ik heb jullie verslagjes gelezen en de manieren op een papier gezet. We moeten straks een manier hebben om eerlijk uit ongeveer 16 planken de beste te kiezen. Als een andere klas onze manier zou volgen zou er hetzelfde uit moeten komen. Dan is het pas echt eerlijk’. Het gesprek in de kring gaat over eerlijk en oneerlijk onderzoek. Over smaak valt moeilijk te twisten. Je vindt iets ﬁjn en cool of juist niet. En dat is heel persoonlijk. De kinderen werken in tweetallen samen aan de volgende opdracht (zie blad hiernaast). Vind je deze onderzoeksmethode wel of niet eerlijk. Leg uit waarom je dat vindt. >

REKENEN OP STENDEN

Namen:

............................................................

Dit vinden wij er van: 1. Kind A gaat op de plank zitten. Kind B duwt. De anderen tellen hoe lang het duurt voor de eindstreep is bereikt.

2. Je weegt de planken. De lichtste is het best.

............................................................ ............................................................

3. iedereen tiktakt er op en zegt wat hij of zij er van vindt. Dat geef je een cijfer.

............................................................ ............................................................ ............................................................

4. De plank zet je op een heuveltje. Telkens dezelfde bestuurder. Er is van te voren een route uitgezet. Welke plank komt het verst?

5. Je let op hoe het skateboard eruit ziet: Goede wielen? Goede beschermers? Goede lagers? Goede antislip? Goed remblok?

............................................................ ............................................................ ........................................................... ............................................................ ............................................................ ............................................................ ...........................................................

6. Je let erop hoe lang de wielen draaien als je ze een draai geeft. Telkens geeft hetzelfde kind de wielen een zet. De wielen die het langst draaien zijn het beste.

7. Je gaat op de plank steppen over een lijn om te kijken of je de plank goed onder bedwang kunt houden.

............................................................ ............................................................ ............................................................

Skateboardonderzoek

Eindplaats

Gemiddelde

Testresultaten skateboardonderzoek

Totaal punten

Aantal malen getest

skateboard

Dit is een fase om afstand te nemen van het eigen onderzoek en na te denken over de onderzoeksmethoden van andere leerlingen. De resultaten vormen de basis van een gesprek over de onderzoeksaanpak die wordt gekozen. De leraar zegt: “We gaan punt voor punt langs. Luister heel goed naar elkaar. Geen zaken herhalen”. De bespreking wordt strak geleid. Alle manieren worden met een +, - of +/- beoordeeld. Het resultaat wordt uiteindelijk dat ieder tweetal zoveel mogelijk op een scateboard gaat doen in de tijd die beschikbaar is bij werkplantijd: tiktakken, steppen, sturen/omdraaien. Voorts wordt het uiterlijk beoordeeld. Er worden cijfers gegeven van 1- 10. Per plank wordt het gemiddelde berekend. De eigen plank wordt niet beoordeeld. De leraar heeft voor het onderzoek de volgende dag dit formuliertje beschikbaar.

Skateboardonderzoek

Namen: ........................................................

PLANK nummer: ............. Tiktakken Steppen Sturen / omdraaien Uiterlijk: wielen, lagers, beschermers, antislip, remblok

Score 1-10 ...................................................................... ...................................................................... ......................................................................

Totaal

......................................................................

Gemiddeld

......................................................................

decimale getallen worden opgeteld en vervolgens moeten ook daar weer gemiddelden over worden berekend. Toepassing van rekenkundige kennis en vaardigheid. Gecontroleerd met de rekenmachine. Bewust worden alle kinderen ingezet om deze ‘oefening’ uit te voeren. Maar eigenlijk is de echte rekendidactische winst al eerder ingeboekt: leerlingen ervaren de waarde en beperking van cijfers en getallen. Maar voor de kinderen telt iets anders. Welke plank gaan we nu kopen? Het resultaat: DAT TELT! ■

Van de vier cijfers die ze toekenden moest het gemiddelde worden bepaald. Dat leverde wel eens moeilijkheden op bij sommige kinderen. De leraar kijkt welke kinderen hij hiervoor extra begeleiding wil geven op een ander moment. Alle scorebriefjes worden per plank verzameld. Per skateboard worden tenslotte door een paar leerlingen alle beoordelingsformulieren samengevoegd op een totaaloverzicht testresultaten. Om de totaalscores te berekenen moeten

De beschrijving van dit onderzoek past in de vierde fase van de leerlijn ‘onderzoek en experiment’ van Dat Telt. In die leerlijn komt bijvoorbeeld het ontwikkelen van een meetinstrument aan de orde. ‘Eerlijk meten’, staat centraal. Dat komt bij het bepalen van het beste skateboard ook nadrukkelijk aan de orde. De kinderen ervaren dat cijfers

REKENEN OP STENDEN

en getallen kracht en macht hebben. Maar dat gemiddelden ook kunnen ‘vertekenen’ (in de uitwerking van de leerlijn wordt gesproken over ‘de beperking van gemiddelden’) leren ze in dit onderzoek ook.

Nicolai J. ea (2010) DAT TELT, bouwstenen voor levend rekenwiskundeonderwijs. Freinetbeweging Nij Beets. Zie www.freinet.nl Voorbeelden van levend rekenen. Zie www.rekenhoek.nl. Zelf ontwerpen van levend rekenen. Zie http://www.levendleren.nl/ html/werkplaats.html

Voor visieontwikkeling, advies, ontwerp en materialen kunt u contact opnemen met: www.levendleren.nl info@levendleren.nl 06 12549966.

breinkraker 13

1 tegen 100 Een deelnemer aan de quiz ‘1 tegen 100’ bezat 4000 euro aan prijzengeld. Toen moest hij 3 keer achterelkaar een escape kopen. De eerste keer kostte dat 25% van het prijzengeld. De tweede keer 50% en de derde keer 75%. Welk percentage van zijn prijzengeld hield hij over?

Welk ﬁguur komt niet voor in de tekening? a. Cirkel b. Vierkant c. Rechthoekige driehoek d. Gelijkbenige driehoek e. Gelijkzijdige driehoek?

Lege cirkels Plaats in de lege cirkels de getallen die ontbreken. Je kunt kiezen uit 1 tot en met 16. Elk getal mag maar één keer voorkomen. De optelling op de zes lijnen moet steeds 34 zijn.

16 14 Antwoorden op pagina 65

Een masteropleiding tot Reken- en wiskundespecialist Master Special Educational Needs Goed rekenonderwijs dat leidt tot betere rekenprestaties is uitdagend en aantrekkelijk voor iedere leerling. Goed onderwijs begint bij talentontwikkeling van alle leerlingen en bij pedagogischdidactisch handelen dat gebaseerd is op ‘wat werkt’. Scholen hebben invloed op rekenprestaties. Op sterke rekenscholen waar leerlingen goed presteren en vaardig zijn in rekenen en wiskunde, leren leraren van leerlingen Vorderingen van leerlingen worden in kaart gebracht en geanalyseerd. De uitkomsten daarvan worden gebruikt om het onderwijs te verbeteren. Kortom: school en leraar maken samen het verschil. Vormgeven aan goed rekenwiskunde-onderwijs betekent dat leraren in toenemende mate in staat zijn adequaat in te spelen op uiteenlopende onderwijsbehoeften van leerlingen. Dat kan in de groep of schoolbreed vragen oproepen, als: Sluit mijn onderwijs aan bij de rekentalenten van mijn leerlingen? Worden de gestelde didactische doelen dit schooljaar gehaald? Deze leerling valt uit op rekenen, wat kan er aan de hand zijn? Welke mogelijkheden zijn er om leerlingen extra te ondersteunen met rekenen/wiskunde? En hoe organiseer ik dat op mijn school? Hoe zetten wij in onze school een dyscalculieprotocol op? Hoe voer ik een diagnostisch rekengesprek? U krijgt als professional handvatten om uw onderwijskundige competenties verder te ontwikkelen, zodat u uitgroeit tot onderwijsexpert op het gebied van rekenen en wiskunde. Het analyseren van resultaten, het borgen van de kwaliteit van het rekenen wiskunde-onderwijs, het didactisch handelen, de leerlingenzorg en de geplande onderwijstijd worden in onze leerroutes beschouwd als kritische succesfactoren voor hoge rekenen wiskunde-opbrengsten. De opleiding tot rekenen wiskunde specialist maakt deel uit van de opleiding master SEN. Deze opleiding wordt door middel van een intensieve samenwerking met Christelijke hogeschool Windesheim op Stenden uitgevoerd en levert een bijdrage aan de ontwikkeling tot expert met als focus de speciale onderwijszorg op het niveau van de leerling, de klas en de schoolorganisatie. In het proﬁel Onderwijsexpert in rekenen wiskunde-innovatie is de leerroute Reken- en wiskundespecialist/dyscalculie opgenomen.

Leerroute Reken- en wiskundespecialist/dyscalculie U leert tegemoetkomen aan de speciﬁeke onderwijsbehoeften van leerlingen met rekenen wiskundeproblemen en verdiept zich in verschillende theorieën die u aan uw praktijk leert koppelen. Met de inzichten die u ontwikkelt, versterkt u uw didactische en pedagogische kwaliteiten en uw professioneel handelen. Voor wie? Leraren en zorgspecialisten in het primair, voortgezet en speciaal onderwijs en beroepsonderwijs

REKENEN OP STENDEN

Hoe ziet de leerroute eruit? U ontwikkelt een onderzoekende houding waarmee u een krachtige en rijke leeromgeving voor rekenen en wiskunde kunt creëren. U leert denken vanuit de mogelijkheden van leerlingen met (ernstige) reken-, wiskunde- en dyscalculieproblemen. Daarbij werkt u samen met leerlingen, ouders, collega’s en andere betrokkenen. U onderzoekt de onderwijsbehoeften van leerlingen met (ernstige) rekenwiskundeproblemen of dyscalculie. Door de theorie te relateren aan de context (uw praktijk) schept u een passend en stimulerend orthodidactisch klimaat voor alle leerlingen. U vormt een effectieve leeromgeving van individueel niveau naar groeps- en schoolniveau. U initieert kwaliteitsverbetering op het gebied van leerstofaanbod, leraargedrag, trendanalyses en bewaking en borging van rekenbeleid in uw organisatie. Speciﬁeke informatie U kunt deze leerroute ook via e-learning volgen. Programma leerroute Reken- en wiskundespecialist/dyscalculie Dialogen rond onderwijsbehoeften Rekenhulp: rekengesprekken en rekeninterventies Rekenwiskunde: van rekenen naar wiskunde Master kennistoets (zelfstudie) Dyscalculie in de vakken: ernstige rekenen wiskundeproblemen in de school Rekendynamiek: een aanzet tot verandering in rekenen wiskundeonderwijs Leerlijn praktijkgericht onderzoek Leerlijn studieloopbaanbegeleiding In deze leerroute verricht u praktijkgericht onderzoek dat in het teken staat van vormgeven aan goed rekenonderwijs voor alle leerlingen.

Titel M SEN Na afronding van de opleiding hebt u de wettelijke graad Master in Special Educational Needs. De titel wordt afgekort tot M SEN en staat dan achter uw naam. Algemene gegevens Lesdag: Woensdagmiddag/avond Duur studie: 2 jaar Locatie: Stenden hogeschool Leeuwarden Kosten: Wettelijk collegegeld (€ 1.835,-) Aanmelden U kunt zich tot 1 september 2013 aanmelden via www.studielink.nl U wordt student van Christelijke hogeschool Windesheim en volgt de lessen op Stenden hogeschool, lesplaats Leeuwarden. Meer informatie Telefoonnummer: 058 244 1550 E-mail: oso@stenden.com www.oso-windesheim.nl

Eindeloos experimenteren Een rekenmachine is al jaren gemeengoed in het dagelijks leven en kan dus ook in het onderwijs niet ontbreken. Het apparaatje met al die knoppen vraagt natuurlijk om wiskundig experimenteren. Dat gebeurt jammer genoeg niet zo vaak in het basisonderwijs – in ieder geval niet met opzet. Daar is de rekenmachine vooral de rekenhulp voor gevallen waarin de getallen niet zo mooi zijn of hij wordt gebruikt om het rekenwerk na te kijken.

Laten we eens even meezoeken met Joris. We onderzoeken 329,83333333333333333333333333 en noteren het repeterende deel voor het gemak tussen schuine strepen 0,8/3/; /3/ betekent dat het cijfer ‘3’ zich oneindig vaak herhaalt. We richten ons op dat deel achter de komma: 0,8/3/ dus. In het bijzonder bekijken we het repeterende deel, al die drieën. Hoe krijg je dat voor elkaar? Kan je aan de hand van dit repeterende kommagetal nagaan welke deling uitgevoerd kan zijn?

We schetsen zomaar een situatie in groep 8. Leerlingen controleren hun rekenwerk met een rekenmachine. Joris heeft niet zoveel zin meer. ‘Als je toch een rekenmachine hebt waarom moest het dan eerst zonder?’ denkt hij. Bij het controleren van de som ‘19794 : 6 = 3299’ toetst hij ongeïnspireerd wat in. Een rekenmachine laat snel zien of het antwoord goed is… tenminste als je de goede knoppen indrukt. Dat gaat gemakkelijk mis. Joris typt per ongeluk 1979 : 6 en ziet een heel lang antwoord verschijnen: 329,8333333333333333333333333. Hij veert op. Dat is nog eens leuk! De deling klopt natuurlijk niet. Het antwoord is dan ook niet wat hij in zijn schrift had staan. Maar opeens ontdekt hij wel een bijzonder getal! Een getal met een staart van allemaal drieën. Hij vergeet waarmee hij bezig was en roept opgewekt: ‘Juf kom eens kijken wat ik heb!’ De juf reageert al even enthousiast ‘Dat is een leuk getal zeg. Hoe kom je daar aan? Welke deelsom heb je eigenlijk ingetypt?’Joris is blij met deze aandacht van de juf, maar helaas weet hij geen antwoord op de laatste vraag. Joris’ juf vraagt door: ‘Zou je dat kunnen achterhalen?’

Welke deling kan leiden tot 0, 8/3/? Hoe zou u dat aanpakken? Denk, voor u verder leest, even na over de vraag. Pak er gerust even een rekenmachine bij. Er staan allemaal drieën in het repeterende deel, wellicht kunnen we daar iets mee. We kunnen – met de rekenmachine in de hand – wat slim proberen: 1 : 3 geeft 0,33333333333333333333333. Dat lijkt al behoorlijk, het getal van Joris had alleen nog een ‘8’ als eerste cijfer na de komma. We wijken even uit naar 8,/3/ door de komma even te verschuiven. Maar dat is gewoon 8 ofwel . Als we nu weer delen door tien dan schuift de komma weer netjes terug. gedeeld door 10 dat is ofwel . Het kan ook anders: 0,8/3/ is 0,5 + 0,/3/. Anders gezegd: het is + en dat is makkelijke breukensom met als antwoord . Onze Joris heeft de smaak te pakken. Hij is de sommen in zijn schrift helemaal vergeten. Hij maakt ook andere repeterende kommagetallen en probeert te achterhalen welke breuken of delingen passen (zie kader). Weet u raad met de sommen van Joris? We noteren ze hier in verkorte notatie. Zoek op een efﬁciënte manier een bijbehorende deling of breuk bij de volgende getallen. 0,/1/ 0,/19/ 0,2/4/ 0,/123/ Nog meer uitdaging: Bedenk een aanpak die in alle gevallen werkt. Antwoorden: 1/9; 19/99; 11/45; 41/333

met repeterende breuken We laten het rekenwerk aan u. Want volgens de in 2009 verschenen kennisbasis reken-wiskunde voor de pabo mogen we verwachten dat u als leraar basisonderwijs dit weet. In die kennisbasis staat namelijk: ‘Kennis die niet geheel tot de leerstof van de basisschool behoort, maar waar de startbekwame leerkracht wel over beschikt (onder meer met het oog op de doorlopende leerlijn van PO naar VO) betreft het kunnen omrekenen van (minder gebruikelijke) breuken in kommagetallen en omgekeerd en de notatie van repeterende breuken’ (Van Zanten, Barth, Faarts, Van Gool, & Keijzer, 2009, p. 70).

329,8

Gelukkig zijn er verschillende initiatieven die maken dat we steeds meer greep krijgen op de kennisbasis en het opleidingsonderwijs dat maakt dat studenten die kennisbasis verwerven. Deze initiatieven zijn in het leven geroepen om opleiders te ondersteunen bij het implementeren van de kennisbasis binnen de eigen opleiding. Het landelijke netwerk van lerarenopleiders rekenen-wiskunde van het zogenoemde Panama-project, de onderzoeksgroep van ELWIeR (Expertisecentrum Lerarenopleiding Wiskunde en Rekenen) en het rekenlectoraat van de Hogeschool iPabo zijn daar voorbeelden van. Door te proﬁteren van elkaar kan de schaarse ontwikkeltijd efﬁciënt benut worden. Netwerken met korte communicatielijnen maken het mogelijk dat resultaten van onderzoek snel beschikbaar zijn voor de werkvloer van de opleiding en ook aansluiten bij de vragen die daar leven. ■

33333

We mogen verwachten dat leraren beschikken over een behoorlijke kennisbasis, onder andere op het gebied van breuken. Bijvoorbeeld behoort iedere startbekwame leerkracht te weten dat er een relatie is tussen de getallen en 0,66 maar hij weet ook dat deze twee getallen niet precies hetzelfde zijn. Dergelijke kennis is bijvoorbeeld van belang met het oog op de doorgaande leerlijnen in de richting van het voortgezet onderwijs. Daarbij gaat het niet alleen om de doorgaande rekenleerlijnen maar ook de lijnen die doorlopen in de richting van de wiskunde. Het formele rekenen met breuken vormt bijvoorbeeld een belangrijk fundament voor algebraïsche onderwerpen.

Maar er is nog een ander belangrijk aspect van het rekenonderwijs waarbij de breuken minder doel op zich zijn maar eerder gezien kunnen worden als middel. We citeren voor een tweede keer de kennisbasis. ‘(…) een startbekwame leerkracht moet [over de volgende kennis en vaardigheden] beschikken om adequaat reken-wiskundeonderwijs te kunnen realiseren: • het zelf beschikken over voldoende rekenvaardigheid en gecijferdheid; • rekenen-wiskunde betekenis kunnen geven voor kinderen; • oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen kunnen realiseren; • wiskundig denken van kinderen kunnen bevorderen.‘ (p. 35/36).

33333

Verder lezen Van Zanten, M., Barth, F., Faarts, J., Van Gool, A., & Keijzer, R. (2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs. Den Haag: hbo-raad. www.ﬁsme.science.uu.nl/panama/ www.elwier.nl www.ipabo.nl/sf.mcgi?2529&cat=376 www.kennisbasispabo.nl/ RONALD KEIJZER A N N E K E VA N G O O L

Over de auteurs Ronald Keijzer is als lector rekenen-wiskunde verbonden aan de Hogeschool iPabo. Daarnaast is hij projectleider van het ELWIeR-project en betrokken bij de landelijke toetsing van de kennisbasis. Anneke van Gool jarenlang docent rekenen-wiskunde en didactiek geweest aan de Fontys Pabo in Tilburg en werkt momenteel voor Malmberg aan Rekenblokken. Daarnaast is zij betrokken bij het Panamaproject.

Iemand die dat in huis heeft, heeft weinig moeite met passende wiskundige redeneringen. Zo’n leraar weet ook raad met het probleem dat Joris’ experimenteren oproept en kan Joris uiteraard stimuleren om van zijn zoektocht te leren. Studenten moeten deze kennis en vaardigheden verwerven op de pabo en dat is niet altijd eenvoudig. Zeker niet als daar de eis aan toegevoegd wordt dat ze hieraan zelfs plezier moeten beleven; hetzelfde plezier in rekenen-wiskunde dat zij later moeten overdragen op hun leerlingen. Zoals de juf van Joris zo mooi deed.

REKENEN OP STENDEN

Antwoorden Breinkrakers

Rekenen op het web Verbeteren en onderhouden rekenvaardigheid

Vanaf ﬁguur 2 draait het ﬁguur per stap 45 graden met de klok mee. De stip verandert van wit in zwart en vice versa en de donkere en gestreepte vlakken wisselen van plaats. Nummer 1 zou er als volgt uit moeten zien:

5 meisjes en 10 jongens.

De hond legt 3000 meter af.

Gemiddelde leeftijd in gefuseerde bedrijf is 36 jaar.

Lesideeën en materialen 9

1000 potten

10 8 jongens 2

11 11 14

7 5

17 21

8 18

200 x 78 = 200 x 78 = 15.600 400 x 39 = 200 x 78 = 15.600 624 x 25 = 200 x 78 = 15.600 (40 x 312) + (20 x 78) = 200 x 78 = 15.600 26 x 600 = 200 x 78 = 15.600 Totaal 1000 x 78 = 78.000

7 12

15 33

11 9

12 14 6

• www.rekenbeter.nl Elke dag vier opgaven, waarvan de vierde een doordenker is. • www.beterrekenen.nl Net als www.beterspellen een test op de drie niveaus : 1F, 2F en 3F.

Elke dag even oefenen is een heel goede manier om de rekenvaardigheid te onderhouden of te verbeteren. Elke dag oefenen maakt rekenﬁt. Ga naar een van deze sites en ontvang een viertal opgaven in je mailbox.

23 vierkanten

13 9,375 5% of 9 3/8

Ben je op zoek naar lesideeën of lesmaterialen? Wil je in plaats van het methodeboek anders rekenen met je groep? De volgende websites bieden vele suggesties en ook een aantal uitgewerkte lesmaterialen, om kinderen aan te zetten tot denken en redeneren en tot het oplossen van rekenproblemen. • www.volgens-bartjens.nl • www.rekenhoek.nl • www.rekenweb.nl (Grote rekendag / speciaal onderwijs / materialen / rekenspelen / lessuggesties. • www.leraar24.nl • www.nieuwsrekenen.nl

Leerlijnen en achtergrond informatie

14 gelijkzijdige driehoek (e) 15 7

Een doodvermoeide slak: 18 dagen en 17 nachten.

11 15

3 16

6 2

11 14

REKENEN OP STENDEN

Wil je meer achtergrondinformatie of weten hoe het verdere verloop van een leerlijn is? Wil je meer kennis krijgen over de referentieniveaus? De volgende websites bieden je veel informatie en van daaruit klik je zo door naar nog meer relevante informatiebronnen. • • • • •

www.kennisbankrekenen.nl http://tule.slo.nl/ www.taalenrekenen.nl www.kinderenlerenrekenen.nl www.ﬁ.uu.nl/rekenlijn/

Colofon Rekenen op Stenden is een eenmalige uitgave. Januari 2013. Uitgave Stenden Hogeschool (School of Education), naar een idee van Petra Krajenbrink (‘Maak een boekje’) Redactie Frits Barth, Francien Garssen, Ton Gelmers, An te Selle Projectcoördinatie, interviews en eindredactie Willem Bakker Communicatieadvies Cocq Ouwerkerk Met medewerking van Ceciel Borghouts, Henk van Boven, Crista Casu, Maarten Dolk, Nisa Figueiredo, Anneke van Gool, Marijke de Jager, Ingrid Janssen, Ronald Keijzer, Erik op den Kelder, Jimke Nicolai, Wil Oonk, Henk Stapert, Marloes Sterk, Rob van ’t Veer en Van Gorcum Uitgeverij. Met dank aan Uitgeverij Van Gorcum. De artikelen ‘Gedachtenvol oefenen. Werken aan een houdingverandering’ en ‘Gedachtenvol oefenen. Mini-lesjes en oefenen met relaties tussen sommen’ zijn eerder gepubliceerd in het tijdschrift Volgens Bartjens, respectievelijk in nummer 3 en 5 van jaargang 2009/2010. De Nederlandse Jenaplanvereniging. Het artikel ‘Levend rekenen: skateboards in de klas’ is in een iets andere vorm eerder verschenen in het tijdschrift Mensenkinderen. tijdschrift voor en over Jenaplanonderwijs, jaargang 27, nummer 132, mei 2012. Fotograﬁe Willem Bakker, Frits Barth, Ceciel Borghouts, Crista Casu, Francien Garssen, Jasper Oostlander, Henk Postma, Henk Stapert, Marloes Sterk en An te Selle Re(d)actieadres education@stenden.com onder vermelding van ‘Rekenglossy’ Druk Graﬁsch Service Desk, Canon Business Services, ‘s-Hertogenbosch Vormgeving Canon Business Services, ‘s-Hertogenbosch, Klaas de Vries Oplage 1000 exemplaren Digitale Nieuwsbrief Ter begeleiding van deze uitgave wordt drie keer een digitale nieuwsbrief uitgebracht. In december 2012, januari 2013 en maart 2013. Deze Nieuwsbrief is verspreid onder ruim 5000 basisscholen en andere instanties, die een relatie hebben met het primair onderwijs in de provincies ten Noorden van de grote rivieren. Gun het blad een tweede leven Deze glossy is een product van liefdewerk en mooi papier. Uitgezonderd de eindredacteur, de ontwerper en de drukker, heeft iedereen belangeloos en zonder toegekende uren aan dit project meegewerkt. Gun het blad daarom een tweede leven als u het uit heeft en geef het door aan een collega. © All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo-copying, recording or otherwise, without the prior written permission of the Publisher.

01-2013

ekenen nen o Eenmalige e u uitgavee van Stenden Hoge gesschoo sc ol (Schooll of Educat Education) a ion) 68