7 ideas clave el desarrollo de la competencia matemática

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32-2 ideas clave. El desarrollo de la competencia matemática reflexiona sobre la diferencia entre dos maneras distintas de enfocar la enseñanza de las matemáticas: de conocimiento

las matemáticas

como área

del currículo de la educación y/o las matemáticas

como competencia

clave o básica para el aprendizaje.

A la vez, se

dan pistas para entender qué se pretende con la aplicación de la nueva propuesta de la Unión Europea del año 2006 que propone la competencia matemática como una de las ocho competencias clave para el aprendizaje a lo largo de toda la vida. De estructura clara, además de las ideas que propone desarrollo

de la competencia

matemática,

el libro

para el

incide en la

importancia de la innovación y el cambio para mejorar la capacitación docente. las ideas clave planteadas ayudan a responder a preguntas tales como: • ¿Cuál es la razón que justifica la presencia de las matemáticas en el currículo? •

¿Por qué debe centrarse la enseñanza de las matemáticas en el desarrollo de la competencia matemática y qué debemos enten-

der por competencia matemática? • ¿Cuál es el cambio metodológico necesario para pasar de la situación actual a otra en la que la finalidad sea el logro de •

la competencia matemática? ¿Qué papel desempeñan los docentes y su formación en los cambios que hay que realizar, y en qué dirección debería caminar la formación de los docentes de matemáticas?

ISBN 978-84-7827-630-1


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Colección Ideas Clave Director de la colección: Antoni Zabala Serie Didáctica de las Matemáticas

© Jesús M.a Goñi Zabala © de esta edición: Editorial GRAÓ, de IRIF,S.L. C! Francesc Tarrega, 32-34. 08028 Barcelona www.grao.com

1.a edición: julio 2008

ISBN: 84-7827-630-1 D.L.: B-3l.990-2008

Diseño: Maria Tortajada Carenys Impresión: Imprimeix Impreso en España

Quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción o a!,.,.,ace~"~ e":o total o parcial de la presente publicación, incluyendo el diseño de la portada, así como la transmisión dea

~ 5~" :::c' cualquier

medio, tanto si es eléctrico, como químico, mecánico, óptico, de grabación o bien de fotocopia. s~ """ :c- zacón escrita de los titulares del copyright.


"fUOr e:ยก.a uf:ยก'Jew :faawas

aJfN



índice Presentación

11

7 preguntas

sobre el desarrollo

de la competencia

matemática

y

7 ideas clave para responderlas

,.

La enseñanza de las matemáticas a los currículos que propone

14

sólo tiene sentido asociada

y promueve

La enseñanza de las matemáticas

• El currículo escolar de matemáticas Un breve recorrido • El equilibrio

17

se concreta en el currículo escolar como propuesta

17

social.

histórico

19

se pierde y no se recupera. Una época de crisis

estructural

en la enseñanza de las matemáticas

28

• La situación en España. El fracaso de la enseñanza de las matemáticas • Un futuro

incierto.

nueva propuesta

:1.

en la educación obligatoria La competencia para organizar

matemática

como una

el currículo escolar

37

En resumen

38

En la práctica

40

Los usos sociales de las matemáticas

son los que deben definir

de su enseñanza y no la epistemología El sabio, el profesional

los objetivos

de esta ciencia

y el ciudadano

41 41

• Los matemáticos

y la enseñanza de las matemáticas

42

• Los profesionales

y la enseñanza de las matemáticas

51

• La enseñanza de las matemáticas

3.

33

y la ciudadanía

56

En resumen

67

En la práctica

68

El objetivo

de la enseñanza de las matemáticas

de la competencia

matemática

De área de conocimiento

a competencia

• La Unión Europea y las competencias

escolares es el desarrollo 69

clave clave

69 70


• La competencia educación

matemática

como una propuesta

para una

inclusiva

• La competencia • Los contextos

77

matemática

y el conocimiento

de uso de las matemáticas

el currículo de matemáticas • Las competencias

84

y el uso de la tecnología.

de competencia

matemática

• Los ámbitos de uso de las matemáticas a la hora de organizar

89

y su importancia

el currículo de matemáticas

relativa

según

las diversas etapas educativas

4.

81

y su relevancia para

por competencias

matemáticas

Una última definición

de las matemáticas

91

En resumen

103

En la práctica

104

La educación

matemática

se basa en la comunicación

y debe ir más allá de la mera instrucción transmisora

105

Instrucción

105

versus educación

• Información,

conocimiento

• La comunicación

y comunicación

como fundamento

106

de la educación

111

• El análisis de las situaciones de enseñanza-aprendizaje desde un enfoque • La instrucción

comunicativo

en matemáticas

115 y la educación

matemática

119

En resumen

122

En la práctica

123

Las tareas a realizar son la clave para el desarrollo El triángulo

comunicativo

de los aprendizajes

y los procesos de enseñanza-aprendizaje

125 125

• Los criterios en los que hay que basarse para la selección de las tareas

128

• La tipología

132

de tareas y su relación con los aprendizajes

• Ejercicios

134

• Experiencias

137

• Juegos

,

• Problemas

143 ,

146

• Investigaciones • Actividades

de síntesis y elaboración

155 de la información

158

En resumen

164

En la práctica

166


~ ~

La evaluación

de las competencias

determinará

el currículo

de matemáticas

167

La sensación de déja

vu cuando se habla de reforma en enseñanza.

El currículo evaluado

168

• La evaluación

en matemáticas

como motor del cambio

• La evaluación

de la competencia

169

matemática

173

En resumen

184

En la práctica

186

-:¡. ~ La competencia

profesional

de los docentes de matemáticas

es el factor más importante

para la mejora de su enseñanza

187

El factor humano • El enfoque de gestionar

187

comunicativo,

la función

docente y la competencia

el currículo

• La formación

189

inicial de los docentes de matemáticas

• Los nuevos marcos legales para la formación El postgrado

de formación

• El paso de la formación • La formación

continua

del profesorado

del profesorado de secundaria

inicial a la vida profesional de los docentes de matemáticas

194 de secundaria. 203 215 218

En resumen

226

En la práctica

229

Para saber más

230

Glosario

232

Referencias biblográficas

235



Presentación La enseñanza

de las matemáticas

ha sido una de mis dedicaciones

profesionales

desde

hace ya más de 35 años. Mi preocupación

didáctica

me inicié como profesor

de niños y niñas de unos diez u once años. La

de matemáticas

cara de asombro e incomprensión sorprendió

empezó en los años setenta, cuando

que ponían cuando yo intentaba

algo me

y me hizo darme cuenta de que era posible que supiera algo de matemáti-

cas, pero desde luego no las sabía enseñar. La situación yo ponía todo mi interés,

me irritaba

pero daba igual. Hablaba en un lenguaje

y, a pesar de que ellos también

lo intentaban,

que no sabía enseñar,

aunque

supiera y supiera explicar,

que ellos aprendieran,

y esa socrática

ignorante

explicarles

y me dolía porque que no era el suyo

la cosa no iba bien. Entonces comprendí no sabía cómo hacerla

para

idea me hizo mucho bien. Verme y reconocerme

me situó en una nueva realidad:

no sabía enseñar y necesitaba

aprender

a

hacerla. Desde entonces he intentado he aprendido contramos

algo, pero sobre todo

a enseñar por diversos caminos y de todos ellos

he aprendido

que en la enseñanza

ante el último esfuerzo, siempre es el penúltimo.

de que el próximo resolverán

aprender

esfuerzo será el definitivo,

los problemas

en mi caso, no ha sido así. He descubierto la misma o mayor proporción enseñanza y el aprendizaje

Siempre nos alienta la ilusión

que alcanzaremos

como el azucarcillo

nunca nos en-

a atisbar la cima, que se

se deshace en el agua. Pero, por lo menos

que en la mayoría de los casos he errado en

con la que he acertado y que los problemas

humanos -y la

desde luego lo son- pueden cambiar de forma,

pero no ter-

minan nunca. Detrás de cada curva del camino siempre hay otra más. Ésa debe ser la condición

humana:

convicción

equivocarse

para aprender,

y de ese vino debemos

destilar

nuestra

de no desfallecer.

Este libro contiene tal y como el título

las que considero ideas clave para la enseñanza de las matemáticas

del libro y la colección sugiere. Es recomendable,

pero no imprescin-

dible, que estas ideas se lean en el orden en el que están escritas porque su alineamiento guarda un cierto orden lógico que las hace más inteligibles

si se leen en el orden expuesto.

Es una serie con su propia ley. Las siete ideas que se exponen en este texto pueden agruparse en tres temáticas:

PRESENTACiÓN

11


1. El currículo de matemáticas

(ideas clave 1, 2 Y 3).

2. El desarrollo

del currículo (ideas clave 4, 5 Y 6).

3. La formación

de los profesores de matemáticas

En mi opinión,

son las temáticas

quiera reflexionar

más importantes

(idea clave 7).

que debe abordar cualquier

sobre la enseñanza y el aprendizaje

de las matemáticas.

escrito que El currículo,

porque sin él no hay enseñanza por mucho que se diga otra cosa, y creo poder defender que no existe enseñanza de las matemáticas

fuera de su concreción

colares, por lo menos una enseñanza de las matemáticas

en los currículos es-

que nos interese socialmente.

El

desarrollo del currículo, porque necesitamos nuevos diseños y espero poder aportar alguna idea que ayude a concretar sulten operativas. de su formación

las ideas generales del currículo

La formación depende

de profesores,

el famoso factor

en líneas de trabajo

que re-

porque sin docentes no hay enseñanza y

humano,

factor que es insustituible

en cual-

quier cuestión educativa. Al ir escribiendo

este libro he descubierto

que bastantes de las ideas que se exponen

en él no son de uso exclusivo para la enseñanza de las matemáticas brimiento

debe citarse como un mérito o un demérito

inevitable

un progresivo

desplazamiento

y no sé si este descu-

de este texto, pero me ha resultado

hasta ideas más generales porque, en el fondo,

pienso que la enseñanza de las matemáticas, fuera del halo que las rodea y de los intereses de quienes se creen que tienen

la exclusiva capacidad

para hablar de ellas, no se dife-

rencia tanto

de otras áreas del conocimiento

no justifican

la excesiva separación que suele ser habitual

tiones. Las matemáticas serie de problemas

son un producto

humano y que las diferencias,

que existen,

cuando se abordan estas cues-

de la cultura humana en el que se plantean

relativos, fundamentalmente

a la cuantificación,

una

y en el que el inte-

lecto humano utiliza todas sus capacidades sin que ello suponga, desde mi punto de vista, la existencia de un pensamiento vistos como profesionales

de la educación, tienen

(sustancia) y «de matemáticas» cando más tiempo

ni específico, ni especial. Los profesores de matemáticas,

como circunstancia,

a la circunstancia

generales.

como sustantivo

y parece difícil hablar de algo dedi-

que a la sustancia.

Temo que a ciertos profesores de matemáticas sulten excesivamente

la palabra «profesor»

algunas de las ideas aquí escritas les re-

Lo siento, pero no veo la manera de evitarlas

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

porque,


como ya he dicho antes, a los profesores de matemáticas fesores. Que dichas ideas sean generales que abarcan un ámbito de experiencia Los profesores

de matemáticas

los veo ante todo como a pro-

no quiere decir que no sean prácticas, pero sí

profesional

más amplio donde yo veo al docente.

seguro que entienden

la importancia

de la perspectiva

para poder apreciar las cosas, mi ánimo ha sido Ilevarles a otra colina para que vean lo que no ven habitualmente

desde donde están.

No sé siquiera si leerán esta introducción tiene la palabra letal: «matemáticas». cación que no sean profesores gustaría mucho que siguieran de la educación,

asustados por el titulo

Si lo hicieran, invitaría a los profesionales

de matemáticas adelante,

tendo

de la edu-

a no quedarse en esta introducción.

Me

porque es necesario que todos los profesionales

sobre todo los que no son especialistas en la enseñanza de las matemá-

ticas, pierdan el miedo y, si se me permite, ellos también

de este libro que con-

el respeto por las matemáticas,

y piensen que

tienen algo que decir en esta cuestión, porque una de las falacias que pre-

combatir

en este libro es que la enseñanza

de las matemáticas

matemáticos o, siendo muy generosos, de los de «ciencias». Esimprescindible de la enseñanza de las matemáticas

sea cosa de los para la mejora

y del aporte que ésta puede y debe hacer al desarro-

llo social que se rompa ese aislamiento

y que la enseñanza de las matemáticas,

junto con el lenguaje está considerada

como un pilar de los currículos escolares en todas

la edades, deje de estar fuera del debate social y político guardianes

para quedar en manos de los

de un saber arcano al que miramos con tanto respeto como indiferencia.

que las matemáticas

sean un bien cultural

char, hace falta que comprendamos

se entienda

para todos, como hoy en día es habitual

que todos estamos llamados a aprenderlas

sobre su valor social como herramienta

al servicio de una educación

que el currículo de matemáticas

Para escu-

y a opinar

mejor. Mientras

no

es una cuestión que debe estar sometida

debate social y político y se piense que dicho currículo temáticas,

área que

al

es asunto de los expertos en ma-

no creo que podamos avanzar gran cosa.

Cada una de las ideas clave de este libro está acompañada desarrollar

la idea en cuestión de forma imaginativa.

narrativa,

sé que no es valiosa como fundamentación

pero creo firmemente

de una metáfora que intenta

Soy un gran aficionado epistemológica

a este tipo de

de lo que se afirma,

en el valor didáctico de este tipo de discurso. Conozco las limitacio-

nes de esta manera de describir las cosas y los riesgos de exageración

o manipulación

PRESENTACION

que


lleva consigo este tipo de analogías cuando se usan de manera descuidada o desaforada. Sin embargo, el pensamiento incalculable

metafórico

y la narrativa a él unida es una herramienta

de valor

para acercar a la mayoría de las personas cuestiones que en su expresión abs-

tracta y formal son inaccesibles. Creo con total seguridad que lo que se puede perder en precisión conceptual

se gana con creces en fuerza comunicativa.

Me gustan las metáforas y las

imágenes que sugieren y pienso que narrar las cuestiones que no se pueden ver por medio de lo que sí se puede percibir es el recurso didáctico por excelencia. De ahí mi esfuerzo. La mayoría de los docentes son mujeres y éste es un hecho sociológico intentado

compaginar

del texto que facilite

el término

«profesorado»

para referirme

sin distinción

Casi estoy tentado

una lectura más fluida.

habitualmente

En este sentido

y los de «profesores»

o «docentes»

de decir, como dicen los autores de novelas, que este texto lo encon-

ván en casa de los abuelos. Que ese manuscrito

lo firmaban

revolviendo

en un arcón del des-

otros autores: los compañeros,

los profesores, profesoras, alumnos y alumnas con quienes he trabajado

literario,

utilizo

a los profesores y las profesoras.

tré ya escrito. Ya sabéis el hallazgo de un viejo manuscrito

vida profesional,

He

un uso respetuoso del lenguaje que reconozca esta realidad con la

necesaria economía genérico

indiscutible.

a lo largo de mi

y que lo único que he hecho ha sido pasarlo a limpio. Es un buen recurso

aunque ya algo manido, que sirve para reconocer mi deuda con todos ellos.

Éste es un libro de divulgación ideas, aparecen expresamente

y sólo citaré a aquellos autores cuyos textos, que no

citados en el texto. Me disculpo, por lo tanto,

al resto de autores y personas de los que soy deudo, y como compensación

de no citar

les ofrezco mi

agradecimiento.

7 preguntas sobre el desarrollo de la competencia matemática y 7 ideas clave para responderlas 1. ¿Cuál es la razón que justifica Idea clave 1:

enseñanza

la presencia de las matemáticas

de las matemáticas

promueve.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

en el currículo?

sólo tiene sentido asociada a los currícu-


2. ¿Desde qué perspectiva

deben definirse

las finalidades

que deben ser logradas por la

enseñanza de las matemáticas? Idea clave 2: los usos sociales de las matemáticas de su enseñanza y no la epistemología

3. ¿Por qué debe centrarse petencia matemática? Idea clave 3: El objetivo la competencia

son los que deben definir

los

de esta ciencia.

la enseñanza de las matemáticas

¿Qué debemos entender

en el desarrollo

por competencia

de la enseñaza de las matemáticas

de la com-

matemática?

escolares es el desarrollo

de

matemática.

4. ¿Por qué hay que ir más allá de la instrucción

en matemáticas,

hacia una educación ma-

temática? Idea clave 4: la educación la mera instrucción

matemática

se basa en la comunicación

de

transmisiva.

5. ¿Cuál es la clave en el cambio metodológico tuación

y debe ir más

actual a otra en la que la finalidad

que hay que realizar para pasar de la si-

sea el logro de la competencia

Idea clave 5: las tareas a realizar son la clave para el desarrollo

6. ¿Qué palanca de las que disponemos

matemática?

de los

es la más eficaz para inducir con rapidez cambios

en los currículos de matemáticas? Idea clave 6: la evaluación

7. ¿Qué papel juegan

de las competencias

los docentes y su formación

cabo? ¿En qué dirección debería ir la formación Idea clave 7: la competencia importante

determinará

profesional

el currículo de matemáticas.

en los cambios que deben llevarse a

de los docentes de matemáticas?

de los docentes de matemáticas

es el factor

para la mejora de su enseñanza.

PRESENTACION



La enseñanza de las matemáticas sólo tiene sentido asociada a los currículos que propone y promueve Las dos caras de una moneda El hombre de la naturaleza

lo es todo para sí; él es la unidad numérica, el entero absoluto,

que no tiene relación más que consigo mismo o con sus semejantes. una unidad fraccionaria que determina

el denominador

El hombre civilizado es

y cuyo valor expresa su relación con el

entero que es el cuerpo social. (Rousseau, Emilio o de la educación)

La enseñanza de las matemáticas se concreta en el currículo escolar La enseñanza de las matemáticas se concreta en el currículo escolar y éste no es otra cosa que la selección histórica de los aprendizajes que se consideran socialmente relevantes en un determinado momento como consecuencia del consenso entre los intereses sociales que pugnan por influir er él. Es una afirmación que recoge lo esencial de lo que se quiere decir en esta primera idea clave que, aunque sea la primera, es la que mejor recoge la tesis fundamental de este texto. La enseñanza de las matemáticas sólo tiene sentido social si sejustifican los aprendizajes que prcmueve, y debe ser analizada y valorada desde el sentido social de dichos aprendizajes. Enseñanz:: y aprendizaje se funden, así, en el currículo. Por lo tanto, hablar de la enseñanza de las matemát-

IDEA CLAVE

1

17


cas implica situarse en el contexto del currículo escolar. Utilizaré el término «escolar» en este texto para referirme a cualquier institución educativa de cualquier nivelo etapa. Desde este punto de vista es tan escolar la enseñanza primaria como la universitaria. No podemos hacer abstracción de esta realidad social para pasar a hablar en general de la enseñanza de las matemáticas, como si ésta fuera un ente de razón no corpóreo y como si esa enseñanza no estuviera unida, constreñida y condicionada por la institución escolar en cuyo seno se desarrolla; como si los fines de una y otra se pudieran entender de manera separada. La enseñanza de las matemáticas se da en la escuela y es esta institución social la encargada de organizar, promover, evaluar y concretar ese aprendizaje.

Esrealmente una imagen muy tópica y ha sido mil veces usada, pero comparar la situación que queremos describir a una moneda puede resultar interesante y clarificador. Una moneda tiene dos caras, pues bien, enseñanza y aprendizaje son las dos caras del currículo, que es la moneda, y nunca mejor dicho porque el valor social de las matemáticas, su importancia en el sistema educativo, se deriva del hecho de ser una propuesta de currículo altamente valorada y muy influyente en la selección social que hace la escuela. Es decir, muy valiosa económicamente.

Además, qué sentido tiene hablar de valor económico de algo

fuera del sistema monetario que regula esos valores. La escuela es la institución social que regula los aprendizajes y especialmente el de las matemáticas, y lo hace por medio del currículo.

He comenzado este texto con una afirmación que puede parecer evidente, pero no lo es. Llevamos muchos años, ya demasiados, en los que la preocupación de los expertos en educación matemática no ha sido la reforma del currículo escolar de matemáticas, tampoco ha sido la de los docentes, por supuesto. A pesar de que la Administración sí que ha mareado al personal varias veces con esta cuestión, lo ha hecho maquillando una y otra vez una propuesta obsoleta que se ha mostrado ineficaz como palanca para producir los cambios que, paradójicamente,

todo el

mundo reclama. La atención se ha centrado en otros ámbitos y la mejor prueba de ello es que el currículo escolar de matemáticas apenas se ha modificado y, lo que es peor, no existen alternativas que hagan plausible su reforma en breve plazo. Lo más lejos a lo que hemos llegado es a considerar como modelo para el debate, que no para la práctica, una propuesta norteamericana de currículo que tiene las cuatro letras más citadas en los documentos que sobre currículo de matemáticas se han escrito en España: NCTM (National Council of Teachers of Mathematics).

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


Ni siquiera un tsunami mediático de la intensidad y el impacto del informe PISAha conseguido que, por ahora, se cuestione un currículo que se resiste a toda alternativa contra viento y marea. Este texto quiere construir un discurso sobre la necesidad de un replanteamiento del currículo escolar desde una perspectiva social, y de ahí que haya comenzado con esta idea.

El currículo escolar de matemáticas como propuesta social. Un breve recorrido histórico Como indica S. Kemmis en el prólogo

al libro de Carr (1995), la inter-

pretación de las cuestiones educativas conviene enfocarlas desde una visión triple que combine los aspectos históricos, sociales y políticos. Es la única manera de escapar del positivismo

dogmático

y su ahistoricismo.

Por esta razón creo necesario hacer una breve aproximación a los cambios que se han producido

histórica

en los currículos que han guiado la

enseñanza de las matemáticas. La enseñanza

de las matemáticas

ha ido evolucionando

mente, en cada tiempo y lugar ha tomado

histórica-

una forma diferente

que se

correspondía, en todos los casos, a las finalidades que socialmente se iban estableciendo

para dicha enseñanza.

Dicho de otra manera, las mate-

Las ma'terrláticas se han enSeñi¡do enseñan en escolar del

máticas que se han enseñado y se enseñan en el medio escolar no han sido ni son las matemáticas que en un determinado corpus de esa ciencia, es decir las matemáticas fesionales

del momento,

debe ser conocida aprendizajes

momento

forman el

de los matemáticos

pro-

sino que son la parte que se considera

que

debido

a la relevancia

que tienen

socialmente

los

asociados a las matemáticas.

La ruptura entre las «matemáticas» ñan» se produce históricamente turas antiguas protoeuropeas gran diferencia

que se ense-

en la cultura griega. En el resto de cul(asirios, persas, egipcios ...) no existía una

entre las matemáticas

señaban, porque el colectivo

y las «matemáticas

que se conocían y las que se en-

que las «hacía» y el que las «enseñaba»

IDEA CLAVE

1

19


era el mismo: la casta de funcionarios-sacerdotes,

y porque además la

enseñanza era endémica, es decir, se dirigía a perpetuar

la posición so-

cial y los privilegios de estas castas, de manera que era sistemáticamente negada al resto de la población.

Las matemáticas

antiguas

griega,

anteriores

fundamentación

a la cultura

un conocimiento

o por establecer,

conocimiento

práctico

sin

teórica y se enseñaba así, tal cual. No existía la con-

ciencia de que lo que se enseñaba pertenecía tablecido

eran, en las culturas

práctico

se enseñaba

para resolver

Todavía hoy en día utilizamos una manera intuitiva,

como la transmisión

los problemas

el término

pragmática

al corpus de un saber es-

de la vida social.

«babilónica»

y utilitarista

de un

para calificar

del conocimiento

ma-

temático. En la Grecia del periodo

clásico esta unidad

mente, por una parte, las matemáticas

se rompe definitiva-

se constituyen

en una ciencia

teórica (Pitágoras) cultivada por los filósofos y, por otra, aparece la educación «popular»

en la polis, en la que se extiende

saber práctico que antes era propiedad tras los filósofos

griegas aprenden momento

El colapso

de los matemáticos

ideológica nocimiento ropea.

mundo

una relación

grecorromano

esco-

de depen-

avatares sociales. y la supremacía

del cristianismo en la Edad Media frenan el desarrollo del comatemático

Los reductos

precisamente,

y lo desvían de la educación

de cultura

por haber cultivado

precisamente

en la cultura eu-

que son los conventos

no destacan,

en exceso un saber, el matemático,

que se asociaba a una cultura terrenal deraba

de este

y las matemáticas

mutuas según los diferentes

del antiguo

de las polis

en las escuelas. A partir

lares estarán separadas e irán manteniendo dencia o independencia

una ciencia que cul-

de Euclides, los ciudadanos

cálculo aritmético

las matemáticas

el

de las castas sacerdotales. Mien-

griegos hacen de las matemáticas

minará en la síntesis deductiva

y democratiza

el polo opuesto

y pagana, cultura que se conside lo que se debía promover

como ideal educativo. Si a este hecho añadimos la desaparición

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

de la es-


cuela popular, podemos afirmar que el desarrollo del conocimiento temático

se detiene y su enseñanza institucionalizada

ma-

se estanca o re-

trocede. Como es bien sabido, será la eclosión del Islam en los pueblos árabes (siglo

VIII)

y su expansión hacia Occidente lo que pondrá a éstos en con-

tacto con los restos de la cultura helénica y permitirá, tensión del conocimiento en Occidente

matemático

además de la ex-

a nuevos campos, la recuperación

de gran parte del saber matemático

griego de la época

clásica. Habrá que esperar al despertar cia al Renacimiento matemáticas

de las culturas europeas que se aso-

para que esta situación

cambie radicalmente.

Las

recuperan su puesto en la cultura europea y rápidamente

vuelven a tener un lugar privilegiado

en ella. En este momento

rico se produce un hecho capital para el futuro su enseñanza:

la unión entre el desarrollo

mental y las matemáticas.

de las matemáticas

y de

de la nueva ciencia experi-

A este respecto se puede citar el ya conocido

texto de Galileo (1564-1642), en su obra 11Saggiatore. las matemáticas

histó-

en la base de la «nueva filosofía»,

tado, pero es muy significativo

para comprender

Este texto sitúa

ha sido mil veces cipor qué las matemá-

ticas van a ocupar una relevancia social que hasta entonces no tenían: La Filosofía está escrita en este vasto libro que siempre

está abierto

ante

nuestros ojos: me refiero al universo; pero no puede ser leído hasta que hayamos aprendido

y nos

el lenguaje

hayamos familiarizado

que está escrito. Está escrito en lenguaje gulos, círculos imposible

y

otras figuras geométricas,

entender

El desarrollo paralelamente

matemático,

una sola palabra.

de la «nueva filosofía»

la aparición del maquinismo

letras son trián-

es humanamente

1623)

y del capitalismo

se produce

los procesos producti-

de una nueva tecnología

El desarr<ollo <mueva

(ciencia experirnental) relaciona las ticas con

(ciencia experimental)

al éxito que tiene para mejorar

vos. Sirve de base al desarrollo

y las

sin las cuales

(Galileo,

con las letras en

que permitirá

de carácter industrial.

de poder (la militar, producción de bienes, el desarrollo de nuevos medios

de transporte,

Las

IDEA CLAVE

1


matemáticas,

que en épocas anteriores

para el desarrollo

económico

losofía, empiezan

a verse, precisamente,

no tenían

un interés especial

de la sociedad y se asociaban más a la ficomo la base de ese desarro-

llo por la relación que guardan con las ciencias experimentales Galileo son su lenguajeperimental

y por las aplicaciones

ofrece para el desarrollo

-según

que la nueva ciencia ex-

de las máquinas y efectos de todo

tipo. Efectos que se relacionan con las esferas de poder como son la militar, la producción

de bienes, el desarrollo

de nuevos medios de trans-

porte, etc. La relación entre la ciencia experimental

y las matemáticas

se esta-

blece en esa época, aunque hoy, por falta de visión histórica, se considere algo que pertenece a la manera de ser de ambas. Hay que señalar que esta relación

no existía en el mundo clásico y que es, sin lugar a

dudas, una de las características del pensamiento cuestión muy importante rrículo de matemáticas, que sea cuestionada

contexto

la estructura

Ésta es una

del actual cu-

porque la asociación que hoy en día se hace, sin

crítica mente, de que el aprendizaje

máticas es socialmente tífico y tecnológico

para comprender

moderno.

importante

de las mate-

porque es la base del desarrollo cien-

es una idea que nace en los siglos xv Y XVI, en el

social de la Europa precapitalista.

derna, donde las haya, porque

Es decir, es una idea mo-

nace como uno de los vectores fuerza

que sustenta el nuevo modelo social que se comienza a gestar en estos para sociebasada en la ¡<razón la ciencia», tralnsfllrITle el viejo es necesario que las masas pO!lul¡lres accedan a la educación él c0I10cimiientos básicos

máticas,

de matede

lado el adoctrinamiento religioso.

años. Años en los que se data, precisamente,

los inicios de la era mo-

derna. El movimiento tamente

ilustrado

de los siglos

esta relación y la teorizará

XVII

y

XVIII

aportando

que la «nueva sociedad» que los ilustrados

comprenderá

perfec-

otra nueva idea: para

diseñan y anuncian,

dad que estará basada en la «razón y la ciencia», transforme

socieel viejo

mundo, es necesario que las masas populares accedan a la educación y que ésta, dejando de lado el adoctrinamiento conocimientos

religioso, les proporcione

básicos de ciencia y de matemáticas.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


Las palabras

de Jovellanos

(1744-1811)

al respecto

son muy elo-

cuentes: 2.

o

a los labradores

Instruyendo

El segundo medio de acercar las ciencias al interés consiste en la instrucción de los labradores.

Sería cosa ridícula quererlos sujetar a su estudio, pero no

lo será proporcionar/os

a la percepción

de sus resultados,

y he

aquí nuestro

deseo. La empresa es grande por su objeto, pero sencilla y fácil por sus medios. No se trata sino de disminuir mejor decir, de multiplicar

la ignorancia

y perfeccionar

ó por

de los labradores,

los órganos de su comprensión.

Sociedad no desea Dara ellos sino el conocimiento

La

de las Drimeras letras,

esto es que seDan leer. escribir v contar. iQué espacio tan inmenso no abre este sublime pero sencillo conocimiento instrucción,

a las percepciones del hombre!

Dues. tan necesaria a todo individuo

Dara perfeccionar

Una las fa-

cultades de su razón v de su alma. tan Drovechosa a todo Dadre de familia para conducir

los negocios

todo gobierno

para mejorar

de la vida civil v doméstica el espíritu

v tan imDortante

v el corazón de sus individuos,

que desea la Sociedad y la que bastará para habilitar

a

es la

al labrador,

así como

a las demás clases laboriosas, no sólo para percibir más fácilmente

las subli-

mes verdades de la religión

y la moral sino también las sencillas y palpables

de la física, que conducen

a la perfección

sultados,

los descubrimientos

del aparato

de sus artes. Bastará que los re-

de las ciencias más complicadas

se desnuden

y jerga científica y se reduzcan a claras y simplicísimas propor-

ciones, para que el hombre

más rudo las comprenda

su percepción

se hayan perfeccionado.

(El subrayado

no está en el texto original.)

El texto es transparente.

(Jovellanos,

«<. ..

el conocimiento

cientí-

que sepan leer, escribir y contar ... ») están

de la razón individual

la extensión y rización del conocimiento científico servirá para liberar a todos los seres humanos de las oscuras fuerzas de la

que le mueven a la acción comunicativa

de escribir. El sentido de lo que dice es diáfano:

en la base del desarrollo

1984-1994).

Pocas veces un autor habla de manera tan clara

y precisa sobre las intenciones

fico y la alfabetización

cuando los medios de

(<< •••

perfeccionar

ción y liberar las fuerzas de la naturaleza para ponerlas al servicio del desarrollo económico y social.

las fa-

IDEA CLAVE

1

23


cultades de la razón y de su alma ... ») y de la mejora de la producción agrícola

(<< ••.

tan provechosa a todo padre de familia para conducir los

negocios de la vida civil y doméstica ... »). El movimiento ilustrado piensa que la extensión y popularización del conocimiento científico servirá a una doble finalidad: liberar a todos los seres humanos de las oscuras fuerzas de la superstición y liberar las fuerzas de la naturaleza para ponerlas al servicio del desarrollo económico y social. El liberalismo hará suyas estas ideas porque ya se sabe que lo propio del liberalismo es liberar. Esta doble finalidad estará asociada a la enseñanza y la popularización de las ciencias en todos los planteamientos educativos promovidos por el pensamiento los XVIII

Y XIX.

ilustrado

del

XVII

y

Y tendrá

XVIII,

culminación en las constituciones liberales de los siglos

XVIII

su

Y XIX. La

educación de las masaspopulares es una prioridad estratégica para los revolucionarios que derrocan el «antiguo régimen» y la ciencia y su lenguaje, las matemáticas, son una parte fundamental dentro de esa educación. Por lo tanto, la enseñanza de las matemáticas se convierte en una necesidad social porque se anuncia que desarrollará en la población los aprendizajes que le permitirán comprender los fundamentos de la nueva sociedad a la vez que le hará útil para el desarrollo económico. Desarrollo que se anuncia como progreso económico y moral y que se pretende que esté sostenido en el propio desarrollo de la ciencia. Estasideas las oiremos miles de veces en otros labios y otras plumas: el desarrollo económico es la base del bienestar social, y el desarrollo económico se basa en los avances de la ciencia. Ergo el bienestar social se basa en los avances de la ciencia. Hay que aclarar que para este momento histórico «ciencia» era ya sinónimo de ciencia experimental. Lasconstituciones políticas que dan cuerpo a los nuevos estados liberales que van surgiendo en los últimos años del siglo el siglo

XIX

XVIII

y durante

en el ancho del mundo recogen en sus ordenamientos estas

EL DESARROlLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


ideas. La primera

constitución

española,

la que surgió

de las cortes

de Cádiz (1812), recoge esta idea de manera explícita y dice: Art. 366. En todos los pueblos de la Monarquía se establecerán

escuelas de

primeras letras, en las que se enseñará a los niños a leer, escribir y contar, y el catecismo de la religión católica, que comprenderá

también una breve

exposición de las obligaciones civiles.

A nadie se le oculta que cuando en este texto se dice «contar» se hace referencia

a los rudimentos

la alfabetización titución

de la aritmética.

Obsérvese que junto

y la enseñanza de la religión

este artículo de la cons-

de Cádiz de 1812 sitúa las matemáticas

escolar, lugar que ya no abandonará

con

en la base del currículo

hasta nuestros días.

La historia posterior es bien conocida, las «cuatro reglas», es decir los algoritmos

de la suma, resta, multiplicación

en el eje de la enseñanza de las matemáticas

y división,

se convertirán

en la escuela elemental.

No debe olvidarse que la prueba de ingreso en la enseñanza secundaria, anteriormente

a la implantación

1970), consistía, precisamente,

de la LGE (Ley General de Educación,

en aplicar el algoritmo

Ésa, y no otra, era la prueba que superamos años sesenta accedíamos al bachillerato,

de la división.

los escolares que en los

que conviene recordar que se

comenzaba con diez años. Una cosa son las ideas, otra su plasmación en leyes positivas y otra, bien distinta, la sociedad

que pretenden

su capacidad para ir transformado

regular.

Normalmente,

pasa bastante

tiempo desde que se enuncia una idea hasta que ésta es recogida en los ordenamientos

legales y otro período,

esas normas logran modificar dos tardaron

tiempo,

la realidad social. Las ideas de los ilustra-

más de un siglo, en convertirse

gales y éstas han tardado su integridad.

no siempre menor, hasta que

mucho

tiempo

en poder

en normas leaplicarse

Puede decirse que el deseo de 1812 de alfabetizar,

componente

de enseñanza de las matemáticas

la población

sólo se hizo realidad,

más elementales,

en

normas han

con su

tiempo

a toda

integridad.

en en su

en España, en los años setenta del

IDEA CLAVE

1

25


siglo xx, Y no debe olvidarse que es precisamente que se produce la industrialización

masiva, cuando surge la Ley Gene-

ral de Educación, ley que viene a romper una inercia educativa

setenta 50n claves para comcomo ullas enunciadas en los

en esos años, en los

XVIII

gan a su arrollo en

y

XIX

120 años (Ley Moyano,

de casi

1857). La LGE y los años setenta del siglo xx son

claves para comprender

cómo unas ideas enunciadas

en los siglos

XVIII

lle-

des-

y

XIX

llegan a su pleno desarrollo en la sociedad española, en una forma,

sociedad

¡ñola, aunque en forma que no se demasiado él la

todo hay que decirlo, que no se parece demasiado a lo que soñaron los ilustrados visionarios tiguo régimen»

y los revolucionarios

que lucharon contra el «an-

para instaurar una nueva sociedad basada en la «razón

y la ciencia». Sin embargo, durante todos esos años, casi siglo y medio, fue consolidándose

una manera de organizar

la enseñanza de las matemáticas,

una versión del currículo, que con razón podemos llamar la versión moderna del currículo de matemáticas, que se adaptaba perfectamente

a la

estructura social que la sostenía. Puede reducirse al siguiente esquema: •

Enseñanza primaria:

rudimentos

de aritmética,

(sobre todo métrica). Ésta es la matemática •

Enseñanza secundaria:

extensión

medida y geometría

que se enseñaba a todos.

del cálculo aritmético

tipos de números (reales), álgebra y más geometría mentos de estadística y probabilidad.

a nuevos

métrica y rudi-

Ésta es la matemática

que se

enseñaba y se enseña a los que aspiraban y aspiran a ir a la universidad o a integrarse en estudios profesionales •

El currículo se reducía a los contenidos prensivo, preponderando

de grado medio o alto.

y el aprendizaje

era no com-

la aplicación mecánica de las reglas de cálculo.

Durante todos estos años ha existido la creencia de que currículo era igual al temario

y que saber equivalía a saber enseñar. Por lo tanto,

bastaba con dominar

los contenidos

que venían en el temario

para

poder ser docente.

Son ideas ingenuas propias de estadios poco evolucionados cias de la educación,

26

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

pero establecidas

durante

de las cien-

años y estables en las


mentes de algunos docentes aún hoy en día. Estasideas se consolidan como parte de la cultura docente y se establecen como el marco a través del cual «ven» las cosas los colectivos que acceden a la enseñanza, sobre todo, a la secundaria. Fraguarán y causarán una visión pétrea e inmovilista de la enseñanza, que se une a los propios intereses corporativos de los docentes para dar lugar a un muro rocoso, estable e instaurado. Se argumenta que las matemáticas son importantes porque enseñan a razonar, aunque la práctica real de su enseñanza tenga poco que ver realmente con el desarrollo de esta capacidad. Asentado el valor de este principio y sin otra justificación que la declaración acrítica de su relevancia, se promueve y defiende como necesaria la enseñanza de las matemáticas; da igual que esa enseñanza promueva aprendizajes de valor social o no lo haga, que esté en el origen del efecto excluyente

que

son importantes porque razonar, práctica de enseñanza

que ver realmente (011 el de~¡arlrollo

de esta (a~)a(ida,d.

de las matemáticas y que sea la responsable de que muchos estudiantes sean centrifugados por el sistema educativo, da igual, aquí lo importante es aprender a pensar. Esta idea, retrógrada donde las haya, porque nadie que yo sepa ha explicado con claridad qué es eso de pensar en genérico o abstracto, es defendida con prestancia por los mismos que reclaman para su trabajo un valor social que no se molestan en justificar, bien porque nunca han pensado en estas claves, o bien porque, en el fondo, lo desprecian. A lo mejor no lo saben, pero la Ley de Calidad del 2002 puso en negro sobre blanco la siguiente «perla»: «el objetivo de la enseñanza de las matemáticas es el desarrollo de la abstracción». Pueseso es precisamente lo que hay que combatir, la tendencia idealista de pensar que algo es valioso porque lo encarnamos «nosotros», el colectivo de los que sabemos, apelando eso sí a la ciencia, esta vez con mayúsculas,como tótem tribal objeto del tabú que impide la crítica. Afirmar el valor de algo desde posturas corporativistas con independencia del valor social que tiene es el lastre que arrastra-

que

tiene

(on los aprendizajes socialmente relevantes

mos en la educación matemática, lastre que hay que dejar atrás para

27


avanzar hacia una visión más social de la enseñanza. Superar esta fase para comprender cialmente

que el currículo tiene que ver con los aprendizajes

relevantes

es algo en camino y no logrado

emitir un juicio de valor, miramos al conjunto

todavía

so-

si, para

de los docentes que im-

parten clases de matemáticas.

El equilibrio se pierde y no se recupera. Una época de crisis estructural en la enseñanza de las matemáticas El currículo

existente

era socialmente

todas las personas dominaran

estable porque

los rudimentos

tanto para la vida diaria como la profesional, todas las personas dominaran los rudimentos de

uso de las matemáticas

conseguía

matemáticos

que

necesarios

en trabajos en los que el

se reducía a sencillos cálculos con números y

medidas. Por otra parte, la enseñanza secundaria, a la que ya no accedía una parte importante cación

primaria,

posteriores

del alumnado

servía para «clasificar»

estudios universitarios;

a los estudiantes

la edupara los

los «mejores» estaban destinados

los estudios de ciencias e ingenierías, más atractivos

que había comenzado

a

que son los que siempre han sido

para las clases medias, y a los menos «brillantes»

desviaba hacia otro tipo de estudios menos exigentes. gentes de la sociedad, aquellos que tienen

se les

Los grupos diri-

más capacidad para influir

en las decisiones políticas, estaban de acuerdo con esta manera de organizar la enseñanza de las matemáticas librio

era

perfecto.

matemáticas

Nadie

discutía

y parecía que, por fin, el equiel rol

preponderante

de las

ni en el currículo ni en la selección social que se hacía por

medio del mismo. Sin embargo,

como sucede la mayoría de las veces, la estabilidad

dura mucho tiempo. condición

humana.

del siglo xx cuando

El

éxito es efímero y la calma no es duradera

Es precisamente el modelo

en la

en los años de la segunda mitad

de producción

industrial,

que era la

base del desarrollo económico de las sociedades europeas del

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

no

XIX

y prin-


cipios del xx, entra en crisis debido al propio desarrollo tecnológico cambios que éste introduce época comenzamos postindustrial;

en el sistema productivo.

a hablar de la era postindustrial

la crisis de la modernidad

modelo de producción

industrial.

casi dos siglos había conseguido pente se encuentra venía despertar. institución

A partir de esa y de la economía

un poco más tarde se acuñará el término

nismo» para nombrar

«posmoder-

que estaba asociada al

La escuela elemental, materializar

y los

que después de

el sueño moderno,

de re-

con que ese sueño era una pesadilla de la que con-

Es bastante lógico, visto así, que la escuela, que es una

moderna

creada

para el desarrollo

derna, tenga muchas dificultades

de la sociedad

mo-

para adaptarse a una situación que al-

tera las bases sobre las que se creó. Hasta tal punto que se puede llegar a poner en duda en qué medida la escuela moderna va a poder dejar de serio para ser otra cosa. Si hay que poner datos y fechas que nos sirvan de referencia, mos citar por lo menos dos: el primer vuelo tripulado

pode-

de un satélite

ruso en 1961 y las revueltas en mayo del 1968 en París. Una de las consecuencias del paseo por el espacio de los primeros astronautas ternativas

soviéticos fue la aparición a la enseñanza

escuela elemental. existente

de la primera de las propuestas al-

de las cuatro

reglas fundamentales

De manera brusca se tomó conciencia

entre las matemáticas

que, según los «expertos»,

que se enseñaban

en aquellos

dades occidentales

en cuestiones tecnológicas

broma que, precisamente,

que podemos

minara «matemáticas

modernas».

calificar

parecían

mantenían

y científicas.

la primera propuesta

culo de matemáticas

del desfase

en la escuela y las

momentos

rias para recuperar el retraso que supuestamente

en la

necesalas socie-

Parece una

de cambio en el currí-

de posmoderna

se deno-

Paradojas de la vida y traiciones

del

lenguaje. Lo que se pretendía,

con el fin de recuperar

de las sociedades occidentales

el retraso tecnológico

con relación a la entonces denominada

IDEA CLAVE

1

29


Unión Soviética, eran, no lo olvidemos, fabetizar tender

a toda la población las matemáticas.

significó,

los años de la guerra fría, era al-

en una manera lógico-estructural

Todos sabemos que ese intento

sin duda, el inicio de una situación

dura en la actualidad.

El equilibrio

la sociedad moderna enseñanza

aquella época y no se ha vuelto

fracasó, pero

de desequilibrio

que per-

que existía entre las necesidades de

y los aprendizajes

de las matemáticas

de en-

matemáticos

que promovía

en la escuela moderna a recuperar.

se rompió

la en

Desde entonces, vivimos

en una situación de crisis crónica que se caracteriza por el divorcio entre las propuestas sucesivas que los expertos hacen en nombre de las nuevas necesidades sociales, por un lado, y las prácticas escolares, por otro, que faltas de alternativas tiendo

reales siguen el camino que conocen insis-

una y otra vez, de manera pertinaz,

existieran

dos realidades,

en recorrerlo.

Es como si

dos planos paralelos, dos universos sin cone-

xión, uno de papel en el que todo es liviano, posible y donde el exceso es bendecido

y la mesura aborrecida,

pesado e imposible

de terribles

calamidades.

de los años setenta del siglo xx fracasó por basarse

en un análisis ingenuo

e incorrecto

señanza, por hacer demasiado

de las funciones

de la psicología

sociales de la en-

caso a los «matemáticos»

de las que sabían muy poco y por desconocer mentales

donde todo es

de alterar y donde el más mínimo cambio es salu-

dado con la advertencia Si la propuesta

y otro de ladrillo

del aprendizaje,

en cuestiones

las nociones

su derrumbe

supuso una

vuelta a lo básico (back to the basíc) y tuvo como resultado cimiento

y la inmunización

el fortale-

de las posturas resistentes a los cambios.

Los años noventa trajeron

la propuesta

como eje del currículo de matemáticas. capaz de convertir,

más ele-

de resolución

de problemas

Esta propuesta tampoco

ha sido

con honrosas excepciones, el «papel» en «ladrillo».

Es decir, las propuestas sobre papel de los expertos pocas veces se han convertido

en cambios en los ladrillos que son las acciones en las aulas

de los centros. La realidad

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

es que, después de más de quince años, la


práctica de la enseñanza de las matemáticas pocas variaciones,

y la descripción

en el aula ha sufrido muy

que hemos hecho de las matemáti-

cas anteriores a los años setenta permanece escasamente alterada en la secundaria y el bachillerato.

Estamos en el año 2008 y hay que señalar

que la enseñanza actual de las matemáticas

en la mayoría de las aulas

de secundaria sigue basándose en un modelo de enseñanza transmisor que se centra

en los contenidos,

poniendo

siempre se ha hecho, en la aplicación

especial

énfasis,

como

mecánica de los algoritmos

de

cálculo. Pero si ya en los años setenta del siglo xx existía un desfase entre los aprendizajes

que promovían

las matemáticas

y las necesidades socia-

les, la distancia entre esos dos polos no ha hecho otra cosa más que aumentar. Hay que tener en cuenta que desde dichos años hasta nuestros días los cambios desarrollo

tecnológicos

y sociales

de las tecnologías

movimientos

migratorios,

han sido muy grandes:

de la información,

la aparición

del

XIX

al pasado de nuestro recorrido

los

de nuevas formas de producción

social y un largo etc. Cambios de tal magnitud que la sociedad industrial

la globalización,

el

que han hecho evidente

y primera mitad del siglo xx pertenece

histórico y tiene poco que ver con la so-

ciedad actual. Resumiendo, la enseñanza de las matemáticas, tal y como la conocemos, está organizada sociedad

moderna,

pero ese tipo

Dicho de manera más sintética, actualidad

para responder de sociedad

a las necesidades de la pertenece

al pasado.

la enseñanza de las matemáticas

en la

responde a las necesidades de una sociedad que es ya anti-

gua: la sociedad moderna. Esta situación

me trae a la mente la imagen de un barco que, atra-

cado en la rivera de un río, descansa de noche esperando que se haga la luz para continuar

su viaje. En la mitad de la noche rompe las ama-

rras y, debido a la oscuridad y a la suave corriente del río, el movimiento que arrastra el barco se hace imperceptible

para la tripulación

y los pa-

sajeros. Cuando se hace la luz el barco está ya lejos del lugar escogido

IDEA CLAVE

1

31


para descansar, navega lentamente

por el centro de la corriente

que

lo lleva río abajo. Podría ponerme trágico y decir que los que guían la nave miran a popa y no observan que se encuentran

a escasos metros

de una cascada que los desmenuzará;

pero eso es seguramente

ceso literario

de manera muy literal.

que no debe entenderse

En todas las épocas, pero fundamentalmente matemáticas

un ex-

en la era moderna,

las

escolares se han enseñado por su valor social en el currí-

culo y no por su valor epistemológico bien diferentes

como ciencia. Son dos cuestiones

como nos hemos esforzado

en diferenciar.

Las mate-

máticas no se enseñan, ni se han enseñado, por su valor como ciencia, sino por su aportación considerado

a los aprendizajes

relevantes en cada momento

que socialmente

viene del uso que en la sociedad se determina nocimiento

matemático

y, sobre todo,

que se va a hacer del co-

de la parte del mismo que se

desea socializar, diríamos socializar masivamente ciedades modernas.

Por lo tanto,

echar es que las matemáticas

porque son importantes

desarrollar

la inteligencia

jetivan

de superiores.

la primera

en el caso de las so-

ilusión que hay que des-

están en el currículo

obligatoria

se han

histórico. Esta relevancia pro-

de la enseñanza

en sí mismas o porque sirven para

o ciertas formas de razonamiento

que se ad-

No están y nunca han estado por esa razón.

La educación está regida por intereses políticos que son el reflejo de los equilibrios

de poder que se establecen en la sociedad. La educación

no está regida por criterios científicos y en consecuencia

las matemáti-

cas no se enseñan por motivos científicos, sino sociales, es decir, políticos. No existe forma de posicionarse con relación al currículo de matemáticas que se enseña en la escuela obligatoria

sin asumir que tras esa po-

sición hay una opción política. La escuela moderna organizó el currículo de matemáticas intentado

de la escuela obligatoria

desde los intereses que hemos

describir, y las tensiones actuales provienen

del desequilibrio

que se produce cuando los intereses sociales cambian, pero no lo hacen las instituciones

que se crearon para cumplirlos.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


la situación en España. El fracaso de la enseñanza de las matemáticas en la educación obligatoria No resulta nada fácil conocer cuál es la tasa de fracaso en matemáticas en la educación

obligatoria.

No lo es, porque ni siquiera es fácil saber

cuál es la tasa de fracaso en la educación informes,

no siempre coincidentes,

y las autoridades

consejerías de los gobiernos autónomos) cuestión utilizan subterfugios

obligatoria.

Existen diversos educativas (MEC y

lejos de ayudar a clarificar esta

varios para no arrojar luz sobre la misma.

De todas maneras, decir que la tasa de fracaso en la educación obligatoria en España en la actualidad

(2008) está por encima del 25% es si-

tuarse en una postura nada arriesgada y tal vez algo optimista. A continuación

he seleccionado

algunos datos sobre el fracaso es-

colar en España:

La tasa de fracaso escolar en España se sitúa en el 30% En nuestro país, casi tres de cada diez alumnos repiten curso 12-09-2006 CADENASER.COM Según un informe de la OCDE sobre los principales indicadores del sistema educativo que se ha hecho público hoy, España registra una tasa de fracaso escolar del 30%, una de las más altas de nuestro entorno. Además, casi tres de cada diez alumnos españoles tienen que repetir curso. Fue nte: www.cadenaser.com/articulo/sociedad/tasa/fracaso/escolar/Espana/situalcsrcsr por/20060912csrcsrsoc5/Tes/

Por lo que este dato si es cierto, ya que los datos sobre tasas de fracaso no coinciden

según las distintas

El Ministerio de Educación ha actualizado en España. Estaba estancado

fuentes,

es demoledor.

los datos sobre el fracaso escolar

desde hace tres años -(28,9% en 2002; 28,7%

IDE~:_~. =-

.

33


Fuente: Nota de prensa de Expansión y empleo.com, 23 de agosto de 2007.

En la misma nota de prensa puede verse el gráfico

que muestra la fi-

gura 1: Figura 1

Da~.,.".iadín_,,1os. hI"'~"fft~ liIi2Nt ••

~.elwadóI~~

~."lIrili6I~ .2S-it._~.~~~ lf2S-it•• ~.~"~~.--' • 2t-24 ••

ltlS-it._ •••••

__

Ili_1IiW.

t!lfIulOIlII!iIIML

••

~ ~ ~

AvMI

•••• bII

Fuente: www.expansionyempleo.com/edicion/expansionyempleo/formacion/ arrolla/1 015691.html

Las matemáticas tribuye

34

son en la actualidad

al denominado

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

es/des-

el área del currículo que más con-

fracaso escolar. La mayoría de los alumnos que


no logran el graduado seguir dominar

en la educación

los aprendizajes

en septiembre

fracasan por no con-

exigidos en matemáticas.

Según Isabel Causo, secretaria profesional

primaria

general

de educación

y formación

del año 2000:

En el último informe delINeE del año 1998, en referencia a las materias básicas de aprendizaje, un promedio del 25% de los alumnos de 14 años «se sitúa en el límite de la distribución con resultados claramente insatisfactorios», y «el 33% de los alumnos de 16 se sitúa en el límite inferior de la distribución, con resultados muy alejados de los mínimos aceptables». (http://comun¡dad-escolar.cnice.mec.es/661/docum.html)

Como puede verse, no resulta nada fácil saber cuáles son los datos reales sobre las «tasas de fracaso en matemáticas», como el porcentaje

de estudiantes

que, en el área de matemáticas, educación obligatoria

definido

este fracaso

que no logran alcanzar los objetivos se señalan para la finalización

de la

(ESO) antes de los 18 años. Pero por los datos de

los que disponemos puede estimarse que este fracaso abarca a más de un tercio de la población Resulta hiriente

escolarizada.

observar que mientras

lugar a dudas, el que mayor importancia nuestra educación,

se cronifica

este problema,

hasta convertirse

en una lacra, la res-

con responsabilidad

es tibia e indiferente.

decir que la gran mayoría

de las investigaciones

ñanza de las matemáticas

se hacen en España obvian

adoptando

un corte academicista

cologicista,

que poco o nada ayuda a remediar

en

Por citar algu-

adoptar

de tendencia

que sobre la ense-

mente psi-

esta cuestión. La inves-

que tiene su enseñanza

una actitud de falsa neutralidad,

esta cuestión

mayoritaria

acerca de la enseñanza de las matemáticas

hacia el mayor problema

área

que es, sin

nos ejemplos que avalan lo que considero una gran desidia, creo poder

tigación

dos para

matemáticas en educación obligatoria

tiene para el devenir social de

puesta del colectivo de personas e instituciones la enseñanza de las matemáticas

No resulta nada fácil conocer cuál es la tasa de fracaso en mate· máticas, definido éste como el porcentaje de estudiantes que lo· gran los objethlos

opta por no mirar escolar queriendo

sin querer comprender

La investigación acerca de la enseñanza de las matemáticas opta por no querer comprender que lo urgente no es descubrir los mecanismos por medio de los cua· les se aprende, sino las consecuencias sociales que tiene enseñar matemáticas tal y como se enseñan en la actualidad.

que lo

IDEA CLAVE'

35


urgente

no es descubrir

los mecanismos

aprende (si es que existen en realidad), que tiene enseñar matemáticas Algunos •

por medio de los cuales se

sino las consecuencias sociales

tal y como se enseñan en la actualidad.

datos para avalar lo que afirmo:

De los siete grupos de trabajo ñola de Investigación

que tiene la SEIEM (Sociedad Espa-

sobre la Enseñanza de las Matemáticas),

guno de ellos aparece explícitamente

nin-

como un grupo dedicado

a

cuestiones de currículo o a los problemas de fracaso que estamos comentando . •

Si se lee el programa

de su IX simposio celebrado

La Laguna, Tenerife, del 4 al 7 de septiembre probar

ni en los trabajos

de matemáticas

(www.uco.es/in-

).

De los nueve epígrafes que organizan presentado

ex-

ni en las ponencias anunciadas

de los grupos de investigación.

formacion/webs/seiem

de

de 2007, se puede com-

que este tema no se trata y que no existen referencias

presas al currículo

en Universidad

las comunicaciones

que se han

en las JAEM celebradas en Granada en el mes de julio de

2007, ni uno solo de ellos hace referencia lativas al currículo

de matemáticas

explícita a cuestiones re-

ni al fracaso escolar en esta ma-

teria. (http://thales.cica.es/jaem/).

Estamos mirando a otro lado mientras la nave se aleja cada vez más de la orilla y, enfrascados versitaria»

como estamos en construir

que no depende de la utilidad

una «carrera

uni-

social de lo que investigamos,

sino del valor académico de lo que indagamos, valor que, dicho sea de paso, acreditan en una especie de espiral diabólica, Academia

los académicos de la

no nos damos cuenta de que la distancia a la orilla aumenta

y de que la marea nos aleja de la sociedad a la que decimos servir. Las únicas publicaciones de matemáticas

sobre propuestas

que se han publicado,

alternativas

con cierta pretensión

dad, en España en la última década son las traducciones

El DESARROllO

DE LA COMPETENCIA

MATEMÁTICA

de currículo de totali-

del inglés de


las propuestas de NCTM realizadas por el grupo Thales, versiones que se pueden

conseguir

en: http://thales.cíca.es/documentos/estanda

res.pdf Es cierto que la Administración

ha promovido

nuevos currículos en

estos años, pero los currículos oficiales son de una amplitud

tal que sólo

enuncian líneas generales de actuación que deben ser completadas terpretadas

para llegar a ser propuestas

interpretación editoriales. ritario

se ocupan, mayoritariamente, Los currículos que promueven

en el medio escolar responden

e in-

Los currkulos que promueven las editoriales de uso

de acción en clase, y de esa

mayoritario en el medio escolar

se diga lo que se diga, las

responden a llna visión tra!díl:ioI1al

las editoriales

de uso mayo-

a una visión tradicional

del cu-

rrículo, visión que ya hemos descrito. En esas estamos en medio de la indiferencia

de las personas e instituciones

que deben tomar la inicia-

tiva. Tenemos matemáticas

que reaccionar

y comprender

es una cuestión

que la enseñanza

en la que los factores

sociológicos

concreción

en los currículos escolares son fundamentales.

frentamos

con valentía

y celeridad

de las y su

Si no nos en-

a esta cuestión, no actuaremos

Es preciso comprender que la enseñanza de las matemáticas

so-

bre la raíz de los males que acucian a la enseñanza de las matemáticas en el medio escolar. escolares

SOI1

Un futuro incierto. La competencia matemática como una nueva propuesta para organizar el currículo escolar En estos últimos años estamos asistiendo al nacimiento sión de una nueva idea que aparece en el horizonte de ser una alternativa gastado, agotado

a este currículo

y anacrónico.

llo de competencias

con la pretensión

que nosotros tildamos

Me refiero a la propuesta

como eje organizador

en esa propuesta tiene la competencia de citar entre los acontecimientos

y rápida exten-

de des-

del desarro-

del currículo y al lugar que

matemática.

No podemos dejar

recientes el impacto

que las prue-

bas de evaluación internacionales, tipo PISA, están teniendo en el replan-

IDEA CLAVE

1

37


teamiento El tipo de competenda matemática que se erige como modelo

de las estrategias

de que es razonable .

a este tipO

d

e prue

de enseñanza de las matemáticas.

mantener b

una actitud

A pesar

recelosa y prudente

frente

,d" . as, que a veces parecen mas campanas me latlcas

en estebas tipocontradICe de pr~e-

que otra cosa ' no puede negarse que el tipo de competencia

radicalme?te lo que ha sido habitual hasta ahora.

tica que se erige como modelo en este tipo de pruebas contradice dicalmente

lo que ha sido habitual

matemára-

hasta ahora y que tanto he criticado

en esta idea clave. ¿Estamos frente las anteriores

a otra idea destinada

a fracasar como lo hicieron

y a perecer ante la terquedad

ción, la escolar, que parece indiferente

e inercia de una institu-

a todo lo que se mueve a su al-

rededor?

¿Será sólo papel, más papel y únicamente

contrario

nos encontramos

el tiempo

las actuales propuestas

de un cambio

ante un vector fuerza

real y profundo

papel, o por el

que cambiará

con

curriculares?

¿Estamos a las puertas

en la enseñanza

de las matemáticas?

Gran parte de este libro está destinado por esta razón me excuso de contestarla

a responder

a esta pregunta

y

en este momento.

En resumen Para terminar con esta idea clave quiero resumir lo que he intentado podemos seguir insistiendo en enseñar matemáticas sin reflexionar

desarrollar en ella: no acerca de los aprendiza-

jes que promueven y el uso social que de los mismos debe hacerse. Dicho de otra manera, no podemos obviar por más tiempo una reflexión acerca del sentido social que tienen en la actualidad

los aprendizajes que el currículo de matemáticas promueve en la educación, tanto

obligatoria

como postobligatoria,

para seguir pensando que las matemáticas tienen un valor

intrínseco indiscutible y que su enseñanza es algo no cuestionable

por obvio y necesario. Es

una postura idealista, poco social y bastante esotérica afirmar que las matemáticas son importantes

por sí mismas, como componente

ineludible

del currículo escolar obligatorio,

re-

servando para ellas el privilegio de desarrollar un tipo especial de pensamiento cuyo valor está fuera de toda crítica y al que sólo tienen acceso unos cuantos iniciados.

38

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


La enseñanza los aprendizajes ñanza-aprendizaje tiendo

de las matemáticas

está en crisis porque

que la sociedad actual demanda. para situarse únicamente

una y otra vez que las matemáticas

justifican

su aprendizaje

que se pretenden-

no se corresponde

con

Perder de vista esta dualidad

ense-

bajo el punto de vista de la enseñanza repiposeen valores educativos

es perder de vista lo sustantivo

intrínsecos

que

en educación -los fines sociales

para poner en su lugar lo accesorio -los medios que se invocan para

lograrlos-.

IDEA

c~:='

39


La enseñanza de las matemáticas medio damente

escolar

debería

en el

vación

ser profun-

renovada, sobre todo, en los

niveles de la enseñanza

secundaria

Esta renovación

es responsabilidad

las instituciones

públicas, pero debería

de los movimientos

a los

que agrupan

motivados

por la mejora de

de

Resulta interesante pensar que la época en la que la preocupación

paso a otro momento

que, superando

dedicación

el corto plazo y los in-

a los profesionales

mayor era la

didáctica de las matemáticas

de

la enseñanza. Es necesaria una mirada

tereses corporativistas,

regido por una

de esta manera no

sólo un cambio de nombre,

de la enseñanza en

debe dar

al currículo de las matemá-

ticas, entendiendo

vuelva a situar

sino una

un nuevo escenario.

apuesta por una visión más integral del

Es del interés de los docentes que im-

proceso de enseñanza en su conjunto.

parten matemáticas renovar el currículo

clave

la enseñanza de las matemáticas.

ser reclamada por los profesionales

aparezca

como una de las preocupaciones

docentes

y

superiores . •

de las enseñanzas

Las matemáticas

y su enseñanza serán

porque a la larga nos situará en una po-

parte de la escuela, de eso no creo que

sición más ajustada a los nuevos roles

haya dudas, pero lo que la escuela lle-

sociales. No adaptarse

gue a ser dependerá

en parte de la ca-

luego, la mejor forma de sobrevivir.

pacidad

la enseñanza

Conviene que se fomente

las matemáticas

ción sobre el currículo

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA

no es, desde

la investiga-

y que la reno-

MATEMÁTICA

de adecuar

sociedad actual.

de

a las necesidades de la


Los usos sociales de las matemáticas son los que deben definir los objetivos de su enseñanza y no la epistemología de esta ciencia El cubismo El hombre, dicen, es un animal racional. No sé por qué no se haya dicho que es un animal afectivo o sentimental.

Yacaso lo que de los demás animales le diferencia

sea más el sentimiento

que no la razón. Más veces he visto razonar a un gato que reir o llorar. Acaso llore o ría por dentro, pero por dentro, acaso también

el cangrejo resuelva ecuaciones de segundo grado. (Unamuno,

Del sentimiento

trágico de la vida)

El sabio, el profesional y el ciudadano La primera gatoria

idea clave desarrollada

debe estar justificada

mueven y que no se justifica tener como ciencia.

de ninguna

En esta segunda

y beneficiarse

de las matemáticas

en la escuela obli-

desde el uso social que se hacen de los aprendizajes

que se hace de las matemáticas aprendizajes

afirma que la enseñanza

que se pro-

manera por el interés propio que las matemáticas

idea clave quiero

y cuáles son los grupos

pueden

dar un nuevo paso: ¿cuál es el uso social humanos

que se pueden

asociar a esos

de ellos?

IDEA CLAVE

2


Con este fin he identificado tres tipos de grupos humanos que en mi opinión hacen un uso muy distinto del conocimiento matemático y que tienen, en consecuencia, visiones e intereses diferentes, aunque se refieran a lo mismo. Cuando se habla de «matemáticas» no todas las personas que usan ese término tienen las mismas referencias ni asocian esa palabra a los mismos significados. Si esto es cierto, ¿qué significado le damos a las matemáticas en el contexto escolar?, ¿significa lo mismo el término «enseñanza de las matemáticas» para un matemático o científico que para un profesional o para el simple ciudadano?, ¿podrá tener un único significado o deberemos comprender que la misma realidad puede y debe entenderse de manera distinta?, ¿qué se entiende por matemáticas cuando hablamos de enseñanza de las matemáticas, y quiénes entienden qué? Estos interrogantes son tratados en esta idea clave.

El cubismo es una buena referencia para lo que quiero decir. El cubismo nos representa en un mismo plano perspectivas que desde una visión «normal» no pueden verse a la vez. Es decir, no se puede «ver» a la vez un objeto desde diferentes puntos de vista, pero sí dibujarlo. Lo mismo sucede con los conceptos, sobre todo si son complejos, como son las matemáticas y su enseñanza porque estamos convencidos de que éste es un concepto polisémico, donde los haya, cuya asignación de significado depende mucho de la perspectiva desde la que se mire. La visión que tienen unos colectivos y otros es radicalmente distinta y por esta razón conviene que intentemos, como hace el cubismo, una composición que

105

integre a todos.

Los matemáticos y la enseñanza de las matemáticas Preguntar a un matemático Las matemáticas son, para los matemáticos, una parte del saber humano y tienen sentido en sí mismas, se cultivan y desarrollan para ampliar lo que sabemos y para avanzar en el conocimiento de lo que no sabemos de los objetos matemáticos.

sinsentido

porque para él son un objeto de conocimiento

en sí mismo,

cuya validez no se justifica por el uso social que se hace de dicho conocimiento. Las matemáticas son, para los matemáticos,

una parte del saber

humano y tienen sentido en sí mismas, se cultivan y desarrollan pliar lo que sabemos y para avanzar en el conocimiento

para am-

de lo que no sa-

bemos de los objetos matemáticos. Tal vez los matemáticos profesionales actuales sean, junto con los artistas, el colectivo que más se acerca al ideal de filósofo

42

por el interés social de las matemáticas es un

que etimológicamente

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

quiere decir 'amante del saber'.


Pocas cosas representan nitud intelectual

mejor esa actitud que el sentimiento

que llega a conmover

a los matemáticos

de ple-

cuando ob-

servan la fórmula:

e

pi i

+

Pensar que en una misma fórmula,

1

=O

y de manera tan sencilla, se rela-

cionan los tres números clave de las matemáticas zamiento

en la piel a todos

matemática.

aquellos

produce un cierto eri-

que tienen

una sensibilidad

Seguro que habrá quienes citarán esta fórmula

prueba irrefutable esta emoción

de la existencia de un ser supremo.

no es la utilidad

de esa fórmula,

misma para ser aplicada en la resolución

Lo que produce

ni la capacidad

de algún problema,

propia sencillez y su capacidad de sintetizar poco espacio. El minimalismo

como una

tanto conocimiento

de la sino su en tan

ha estado siempre de moda entre los ma-

temáticos. A los matemáticos

no les disgusta que los objetos que ellos manejan

sean usados socialmente, sea e invierten la utilidad

bastante tiempo

dedica al desarrollo

orgullosos

pero no encuentran

su trabajo.

del conocimiento

El matemático matemático,

para saber más acerca de los objetos

piedades con absoluta independencia

de su trabajo

es un sabio que se es un sabio que

matemáticos

demia delimitan

justitir:¡ue

su

y sus pro-

por la Academia.

de manera

dentro del modelo Las reglas de la Aca-

los criterios de verdad y estos criterios son la guía que

deben seguir los matemáticos nas, el matemático

objetos que manejan sean socialmente, encuentran social la razón

del valor de uso de sus descubri-

es hacer matemáticas

de ciencia que está establecido

de

en ese uso so-

mientos. Su interés es ajeno a todo tipo de afán utilitarista, que el objetivo

de que asi

en convencer a los no matemáticos

de sus descubrimientos,

cialla razón que justifique

trabaja

de hecho se muestran

se convierte

en el trabajo.

En las sociedades moder-

en un profesional

(los matemáticos

afi-

IDEA CLAVE

2

43


cionados

tipo

cuentra

Fermat

su acomodo

hace mucho

en la universidad,

mentalmente,

un trabajo

conocimiento

matemático,

matemáticos

donde

de investigación

que en-

desarrollará,

ligado

que será validado

funda-

al desarrollo

por la Academia

del de los

desde criterios que no tienen nada que ver con el uso so-

cial de sus descubrimientos. aplicación

que han desaparecido)

Algunos de esos descubrimientos

social y otros no, pero que la tengan

tendrán

o no la tengan

hace más valiosos desde el punto de vista de los matemáticos

no los

profesio-

nales. Toda esta reflexión que considero

capital:

es previa al planteamiento

de una cuestión

¿deben ser los matemáticos

que trabajan

las universidades

a quienes

les corresponda

que ha de tomar

el currículo

determinar

de las matemáticas

¿son estos sabios las personas más indicadas estas preguntas conviene

los matemáticos

des son los que determinan máticas de la enseñanza afirmar

no universitaria.

que, en un porcentaje

razones que puedo

profesionales

en la actualidad

aducir

en la enseñanza?,

no explicitada

que

de las universida-

los currículos

de mate-

¿Es esto cierto? Creo poder

muy elevado

para justificar

la dirección

para hacerla? Detrás de

parece esconderse una afirmación

justificar:

en

de casos, es así. Las tres

esta afirmación

son las si-

guientes:

1. Los profesores que enseñan matemáticas en educación secundaria han sido alumnos de los matemáticos universitarios y han aprendido de ellos las matemáticas que enseñan. Esbien conocida la importancia que tiene el modelado en la construcción del estilo de enseñanza de los docentes, estilo que está impregnado de creencias valorativas acríticas y no explicitadas sobre el valor de las matemáticas.

Como es bien sabido, la mayoría de los docentes enseñan como les han enseñado a ellos y no como les han dicho que deben enseñar. Por lo que EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


resulta inútil

pretender

formar

a los futuros

parando

la parte de la formación

cimiento

de la que trata de su didáctica.

docentes «después». Se-

en la que aprenden

el área de cono-

Es decir, que la ecuación

Conocimiento del área + Metodología de enseñanza = competencia didáctica

Es radicalmente la que aprenden

falsa. Puede afirmarse, en cambio, que la manera en los contenidos

del área condicionará

forma en la que enseñarán a sus futuros

estudiantes.

totalmente

la

Es un terrible

cír-

culo vicioso que se repite una y otra vez, en cada ocasión en la que los estudiantes enseñaron

se convierten

en docentes copiando

a los maestros que les

la materia que imparten.

Además, las influencias

que reciben de los docentes universitarios

que les enseñan matemáticas

no son complementadas

por otras visiones diferentes,

debido

inicial con la capacidad de construir tinto

del que habitualmente

maestros universitarios.

un modelo de función los futuros

docente dis-

profesores

en sus

Si a esto se le añade el escaso impacto que tiepermanente,

al sistema educativo,

para comprender

a la ausencia de una formación

observan

nen las políticas de formación incorporan

ni contrastadas

una vez que los docentes se

tenemos motivos más que suficientes

la escasa capacidad crítica de los profesores y las ra-

zones que explican sus modos de actuación, tación de los matemáticos

universitarios

modos en los que la imi-

es crucia!.

2. Laspruebas de selectividad para el ingreso en la universidad son sin duda el referente curricular máximo para los profesores de bachillerato, y estas pruebas suelen estar preparadas por los matemáticos universitarios. Es muy recomendable revisar qué tipo de preguntas se hacen en la selectividad para tener una idea de qué significa «currículo» en estas edades.

IDEA CLAVE

2


En la figura

2 pueden

verse dos de los ítems (de un total

de las pruebas de selectividad para la materia:

matemáticas

aplicadas en la comunidad

de cuatro) de Madrid

aplicadas a las ciencias sociales, durante

las pruebas de acceso celebradas en junio de 2007. Sobra cualquier mentario

acerca del valor de estos contenidos

co-

para aquellos estudian-

tes que se vayan a dedicar al estudio de las ciencias sociales. Figura 2

l1l

UNIVERSIDADES

eiJ!.~O t.:, •• , ••.•. ~

.J

l1{·····l

PRUEBA

PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID

DE ACCESO

A ESTUDIOS

UNIVERSITARIOS

(LOGSE)

CU RSO 2006·2007

MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SOCIALES 11

OPCIÓN A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a:

3x + 2y - 2z '" 3 2x+ 2y+ +az '" 8 { x~2v z '" o (a) Discutir el sistema para los distintos valores de a. (b) Resolver el sistema para a '" 4. Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Dada la función real de variable real definida por: (x~ 3)2

f(x)"'x+3 (a) Determinar las asíntotas de la función. (b) Calcular sus máximos y mínimos y determinar sus intervalos de crecimiento.

Alguien

con sentido del humor y que guste del esperpento

como ma-

nera de reírse de lo que somos podría comparar estos ítems con los que conocemos por estar liberados del proyecto PISA. En la figura 3 se muestra un ejemplo de ítem liberado de PISA obtenido yecto PISA (2003).

46

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

de la publicación

Pro-


Figura 3

La juventud

se hace más alta

La estatura media de los chicos y las chicas de Holanda en 1988 está representada en el siguiente gráfico: Altura

(cm)

190 Estatura

media de

los chicos en 1998

180

Estatura 170

media de

las chicas en 1998

160 150 140 130

10

Pregunta 4: Crecer Desde 1980 la estatura

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Edad (al'\os)

M150Q01-0 19 2,3 cm, hasta alcanzar los 170,6 cm. ¿Cuál era la estatura media de las chicas de 20 años en 19807 media de las chicas de 20 años ha aumentado

Respuesta: """" ""."""""""""."""".

La diferencia

cm.

de edad entre

los que deben responder

a una de esas

pruebas y los que lo deben hacer a la otra es de tres años. Además, debemos hacer constar que hay ítems en la prueba de PISA bastante más elementales

que el que hemos seleccionado.

Los que, en cambio, se lo tomen en serio podrían pensar que se trata de dos áreas diferentes. competencia

Desde luego si una de esas pruebas mide la

matemática,

¿qué es lo que mide la otra?, ¿y cuál de las

dos lo hace?, porque las dos miden cosas bastante diferentes. Los otros dos ítems (véase la figura 4 en la página siguiente) son dos problemas ad hoc que tienen que ver con conocimientos y estadística. Conocimientos

de probabilidad

más cercanos a las necesidades de los estu-

IDEA CLAVE

2

47


diantes en susfuturos estudios, pero que curiosamente puntúan menos que los ejercicios que nada o poco tienen que ver con la aplicación que harán de los mismos en la universidad. Figura 4 Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos) Según cierto estudio, el 40% de los hogares europeos tiene contratado el acceso a internet, el 33% tiene contratada la televisión por cable, y el 20% disponen de ambos servicios. Se selecciona un hogar europeo al azar. (a) ¿Cuál es la probabilidad

de que sólo tenga contratada la televisión por cable?

(b) ¿Cual es la probabilidad

de que no tenga contratado ninguno de los servicios')

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la Isla Barataria es ua variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media 35 años y una desviación típica de 5 años. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 hombres de dicha isla. Sea X la media muestral de la edad de casamiento. (a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X" (b) ¿Cuál es la probabilidad entre 36 y 37 años?

de que la edad media de casamiento de la muestra esté comprendida

Estaspruebas suelen estar diseñadas por los profesores universitarios de los departamentos

de matemáticas de la universidad y se convierten

para la mayoría de docentes de bachillerato y, de igual manera, para sus estudiantes en el referente

máximo en los dos años del bachillerato

LOGSE actual. La presión que reciben, de este modo, los profesores de bachillerato es transmitida con escasa amortiguación

a sus compañe-

ros de secundaria. Esta presión deforma el currículo de la enseñanza obligatoria de manera visible en el segundo ciclo de la ESOy de manera más amortiguada

en el primero. El golpe en el cristal no rompe sola-

mente el lugar golpeado, sino que se transmite a través del cristal hasta puntos bien lejanos de aquel que recibió el impacto. Esuna buena imagen del efecto que la selectividad tiene en el currículo no universitario. Esrealmente sorprendente que no se haga nada para poner remedio a esta situación y que, año tras año, se sigan repitiendo los mismos tipos de pruebas. Esta situación se parece a la que producen las lluvias mon-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


zónicas en ciertos países, todo el mundo sabe que van a llegar, todo el mundo dice que será un desastre, pero todo el mundo espera que sea otro el que haga algo para remediarlo.

Cuando llegan las lluvias sucede

el desastre, pero cuando baja la inundación todos se olvidan hasta el próximo monzón. Es una desidia injustificable un momento, selectividad

puede verse claramente universitaria,

porque a poco que se piense

que la reforma de las pruebas de

si se hace en la dirección correcta, resultaría

mucho más eficaz para cambiar el currículo de matemáticas que todos los intentos de reforma didácticos puestos en marcha en las últimas décadas. Intentos que fracasan una y otra vez cuando armados con los martillos de cartón-piedra,

que son las buenas razones educativas, se intentan

demoler las posiciones de poder adquiridas y consolidadas por la rutina. El currículo más cercano al currículo real-el que concreta lo que aprenden los estudiantes-

es el currículo evaluado. Pues bien, el currículo de

matemáticas, según esa lógica, se reduce al cálculo algebraico necesario para responder a las dos primeras preguntas y a las fórmulas aplicables para resolver esos pseudoproblemas.

Eso es el currículo, aunque en los de-

cretos del BOE y en los proyectos curriculares se diga otra cosa. En las clases de matemáticas de bachillerato se dedican las mejores horas de estudio a conseguir el necesario dominio

de cálculo para aprobar este examen.

Lo más gracioso o triste, según se mire, es que mientras en los periódicos, televisiones, radios, revistas, etc. se habla de PISA, en las clases se prepara la selectividad. ¿Qué piensan los matemáticos que preparan las pruebas de selectividad de los ítems de PISA? Me gustaría saberlo.

3. Las administraciones públicas y las editoriales confían a los matemáticos con formación universitaria la redacción de las propuestas curriculares que se hacen en la enseñanza obligatoria y postobligatoria, y no parece necesario argumentar mucho para que se reconozca el valor de las normas legales y la influencia metodológica que se deriva de la utilización de los

IDEA CC

, _


libros de texto en el medio escolar. Son, sin lugar a dudas, ambos, pero más los segundos que los primeros los documentos que más condicionan el currículo escolar. Pienso que son argumentos suficientes para mantener que la capacidad de normativa y liderazgo de los matemáticos en las cuestiones relacionadas con los currículos no universitarios es muy alta.

Me parece interesante,

para terminar

con este largo excurso sobre la re-

levancia y posición de poder de los académicos universitarios ción al currículo,

introducir

La investigación

en este texto la siguiente

ha demostrado

nir su conocimiento

cómo se ha animado

centivos sutiles pero omnipresentes mejorar sus prerrogativas

y sus

la visión de las matemáticas

Una serie de in-

a rendirse solíci-

credenciales,

de «conocimiento

por los académicos universitarios.

Volvamos, una vez justificado

y acreditación.

y académicos

ha impulsado a los educadores, ávidos de

profesionales

ante las definiciones

a las preguntas

a los profesores a defi-

curricular en términos abstractos, formales

a cambio de esta tus, recursos, territorialidad

formuladas

cita:

sobre la historia social de las disciplinas de la escuela secun-

daria británica

tamente

con rela-

valioso» tal como fueron

(Goodson, 1995, p. 33)

el porqué concedemos tanta relevancia a que tienen los matemáticos

universitarios,

que hemos dejado sin respuesta. ¿Deben ser los mate-

máticos que trabajan

en las universidades

quienes determinen

ción que tiene que tomar el currículo de matemáticas no universitaria?

¿Es razonable que mantengan

la direc-

en la enseñanza

esta influencia?

Vaya utilizar para explicar mi manera de ver las cosas en esta cuestión el conocido método de demostración denominado

reductío ad absurdum.

Supongamos que opto por el «sí», por las respuestas afirmativas.

En este

caso el modelo de matemáticas que tiene la Academia de los matemáticos deberá ser el polo al que dirigir nuestras brújulas y la dirección que marcará por donde deben ir nuestros pasos. Pero esta opción, nos lleva a

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


una paradoja. Afirmamos, cación obligatoria

por una parte, que el objetivo básico de la edu-

es la formación

de todos -los ciudadanos-

y, por otra,

que esa educación debe estar dirigida por los que la miran desde la óptica de unos pocos, óptica que tiene por objeto la formación

precisamente de

esos pocos: los académicos. Éste, y no otro, fue concretamente que se cometió cuando se intentó, «matemáticas

el error

por medio de lo que se denominaron

modernas», cambiar los currículos escolares siguiendo

el

diagnóstico que hicieron los matemáticos sobre el atraso que suponía seguir enseñando en la escuela las matemáticas que ya no eran las matemáticas de los matemáticos

del momento,

perdón por el trabalenguas.

Pocas veces se ha actuado con menos sentido común influidos por el halo cientifista que acompaña a los expertos universitarios, pero es que además esta falta de sentido común vino acompañada compatible

por dosis de elitismo poco

con una visión inclusiva y social de las matemáticas. Si la res-

puesta afirmativa

nos lleva a una situación inaceptable por paradójica, lo

más razonable será optar por la respuesta negativa. Por lo tanto, debemos concluir que la decisión acerca de la dirección hacia la que debe organizarse ñanza no universitaria matemáticos

el currículo

de matemáticas

de la ense-

debe ser objeto de un debate social en el que los

universitarios

tendrían que participar,

la última palabra ni de la posibilidad supone su control de la selectividad rrículos de matemáticas

de utilizar universitaria.

en la educación

en la «arena» del debate político

pero no disponer de

la ley del embudo

que

El debate sobre los cu-

obligatoria

debe mantenerse

general al que estamos todos invita-

dos, porque no es una cuestión académica la que se dilucida, sino una cuestión social y, por ende, del interés de todos los ciudadanos.

Los profesionales y la enseñanza de las matemáticas Si dejamos a un lado a los matemáticos se dedican

al cultivo

de las matemáticas

y a otro tipo de científicos

que

como ciencia, cabe pregun-

IDEA CLAVE

2


tarse qué otros sectores profesionales versitaria,

utilizan

las matemáticas.

las carreras de ingeniería tíficos; en segundo

o académicos, con formación En primer

uni-

lugar se sitúan, sin duda,

de diversos tipos y niveles y los estudios cien-

lugar, los estudios de ciencias sociales, y en último

lugar, los estudios humanistas y artísticos. ¿Cómo influye esta distribución del uso posterior de los estudiantes

del conocimiento

de secundaria

todos conocida: priorizando

matemático

y bachillerato?

los conocimientos

La respuesta

dejando

en segundo

y estudios de cien-

lugar los que se usan en los

estudios de ciencias sociales y haciendo con las humanidades lo mismo que éstas hacen con las matemáticas: Si la aritmética

es el lenguaje

del comercio

mejor dicho el cálculo algebraico,

que se aprende en pri-

independencia

obligatoria).

del valor matemático

porque es el lenguaje

en secundaria (el

ocupa junto con el estudio

de los números reales la mayor parte del currículo años de la enseñanza secundaria

de los dos últimos

Pero este lenguaje,

con

que tiene, se considera importante

en el que se expresan las ciencias experimenta-

les y las materias que se estudian en ingeniería.

Podemos ver, de esta

manera, que la enseñanza

de las matemáticas

caminada prioritariamente

a lograr que los estudiantes

conocimientos

y las artes

ignorarlas.

maria, el álgebra es el de las ciencias que se aprenden álgebra,

es de

que tienen su aplicación

más directa en el mundo de las diversas ingenierías cias experimentales,

en los currículos

que sólo aplicarán

en secundaria

está en-

consigan unos

aquellos que estudien carreras cien-

tíficas o técnicas. Es cierto que los currículos de secundaria también cluyen temas de estadística estudiantes

y probabilidad

que cursen estudios

que son útiles para los

de ciencias sociales, fundamental-

mente, y de ciencias humanas y artísticas, tangencialmente, levancia

de estos estudios,

importancia

el tiempo

que tienen en la evaluación

es mucho menor que la que tienen carreras técnicas.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

in-

que se dedica

pero la rea ellos y la

y selección de los estudiantes,

los que están relacionados

con las


Esta asociación de las matemáticas he comentado

con la ciencia experimental

que

en la primera idea clave como una de las características

de la sociedad industrial

se muestra con toda su fuerza

en este con-

texto. El segundo ciclo de la enseñanza secundaria es el lugar en el que se materializa

esta ley no escrita, pero sutilmente

implícita

yoría de los mecanismos de evaluación de los estudiantes: matemáticas

de los científicos

desees en la universidad;

y los técnicos,

en la ma-

si dominas las

puedes estudiar

pero si no las dominas no puedes estudiar ca-

rreras científicas o técnicas. Esdecir, que si sabes «matemáticas» estudiar

lo que quieras, pero si no sabes «matemáticas»

cuencia, esta visión de las matemáticas mientos que se aplicarán

en la formación

siste en el rigor metodológico por su ausencia, se adueña

universitaria

y las demostraciones del currículo

ñanza en el que se está decidiendo

puedes

no. En conse-

en la que se priman los conoci-

técnicos, que ya no es una visión de los matemáticos

la enseñanza obligatoria,

lo que

de científicos

y

porque no se in-

brillan precisamente

en el segmento

si un estudiante

de la ense-

logra o no superar

es decir, en los últimos cursos de la misma.

Lo que quiero enfocar con nitidez y poner en duda para que sea objeto de consideración tificada

la prioridad

matemático

y debate son las siguientes cuestiones: ¿está jusque se da a esta manera de ver el conocimiento

-lenguaje

científico

ría y ciencia experimentaldaria obligatoria?

al servicio de los estudios de ingenie-

en la parte final

de la enseñanza

secun-

¿Se es realmente consciente de las consecuencias que

tiene esta manera de organizar

el currículo en la selección de los estu-

diantes? ¿Qué se piensa de la cuota de responsabilidad asumir esta forma de organizar

que tiene que

el currículo en el fracaso escolar en la

educación secundaria obligatoria? Decir que se quiere potenciar que promover

unas matemáticas

ñanza obligatoria,

una escuela inclusiva, decir que hay para «todos» y defender,

una visión del aprendizaje

en la ense-

de las matemáticas

sitúa a los técnicos y científicos como el referente

que

ideal de ese currículo

IDEA CLAVE

2


es una contradicción

a veces no percibida

que confía a la didáctica

que ésta no puede resolver y que tiene como consecuencia tasas de fracaso. La didáctica metodología

de las matemáticas,

de su enseñanza, ha mejorado

cadas, pero se muestra incapaz de afrontar mos porque

las bases psicologicistas

para resolver un problema aprendizaje, temáticas

como la

mucho en las últimas déla situación

que comenta-

en las que se basa son ineficaces

que no tiene que ver con los procesos de

es alto y los intentos

y no podemos

real altas

entendida

sino con el desfase social del currículo.

parecen haber tenido

lo

El fracaso en ma-

que se han hecho para disminuirlo

mucho éxito. Es un problema

acabar con él diciendo

no

social importante

simplemente

que a los adoles-

centes de hoy no les interesa nada y que no están dispuestos a hacer el mínimo

esfuerzo.

El fracaso escolar en matemáticas

nuestro sistema educativo,

pero no parece preocupar

que dicen que «eso ha existido siempre», tratando social como si fuera una enfermedad davía no se ha inventado

es una lacra de demasiado

a los

este grave problema

crónica y maldita contra la que to-

la vacuna.

Además, podemos considerar como fracaso los aprobados de los que terminan

por odiarlas y consideran

que dejaron

su experiencia

atrás. Los estudios de matemáticas

tor de la población

como una pesadilla

dejan en un gran sec-

la sensación amarga de que las matemáticas

no son

«para mí», u otras versiones menos negativas del mismo sentimiento: las matemáticas son pesadas, aburridas, rutinarias, incomprensibles, ¿Existen otros colectivos,

más allá de los formados

máticos y los científicos e ingenieros, temáticas

les pueda aportar

uso creciente,

por los mate-

a los que el aprendizaje

de las ma-

algo? Sí que existen. Para empezar está el

no siempre bien enfocado,

áreas de conocimiento

etc.

de las matemáticas

que no son las estrictamente

en otras

científicas: las cien-

cias de la salud, las ciencias sociales y jurídicas, las humanidades,

el arte,

etc. Todas ellas están ahí y de su desarrollo se ocupa una parte creciente de los estudiantes

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

universitarios,

aunque una visión un tanto miope del


valor del conocimiento

las sitúe en un segundo lugar con relación a lo

que, de manera directa y un tanto

reduccionista,

se denomina

cias» sin adjetivos. Todas estas ciencias usan conocimiento y lo hacen de manera creciente,

«cien-

matemático

pero, a pesar de ello, las partes de las

matemáticas (estadística, probabilidad ...) relacionadas con estos temas son en la mayoría de las propuestas curriculares algo menor que se supedita a las matemáticas temáticas

necesarias para las ciencias experimentales.

de los profesionales

ciencias experimentales

universitarios

están infravaloradas

que no se dedican

La conclusión

que podemos

a las

si se utiliza como criterio

de valor el uso social que se hace de ese conocimiento fesional.

Las ma-

en el medio pro-

extraer de estos argumentos

es

clara: el currículo de los últimos cursos de la enseñanza secundaria obligatoria debería destinar más tiempo y espacio a los conocimientos temáticos

que se utilizan

Las matemáticas

ma-

en los estudios no científicos.

no pueden ni deben ser un obstáculo,

que hay que salvar, algo que tengo que aprobar

una barrera

porque es condición

para poder avanzar. La escuela no puede ser una carrera de obstáculos en la que sólo los mejores llegan al final, porque el conocimiento, pecialmente desarrollo

el matemático,

debe ser una herramienta

personal y la integración

trecha que sirve fundamentalmente

al servicio del

social, y no un cedazo de malla espara seleccionar.

Las matemáticas

son, sin duda, una palanca de gran valor tanto para el desarrollo nal como el social, y no sólo el económico. hacer un esfuerzo para que el conjunto conciencia

de esta realidad,

es-

perso-

Por lo tanto, tenemos que

de la ciudadanía

pueda tomar

pero para ello es necesario que las mate-

máticas dejen de ser la espada de Damocles que pende sobre sus cabezas o esa odiosa materia escolar que es la más difícil de aprobar. máticas debieran

Las mate-

estar en el «haber» de nuestro libro de contabilidad

personal, pero por desgracia muchas veces están en el «debe». Las matemáticas de «mamporrero»

han aceptado,

no sé si a su pesar o no, la condición

de la selección social de los estudiantes

en la educa-

IDEA CLAVE

2

F

d


ción obligatoria,

y lo pagan con el desprecio, el desinterés, cuando no

con el rechazo total,

de todos aquellos que no salen bien parados en

esta selección.

La enseñanza de las matemáticas y la ciudadanía La línea argumental

seguida hasta el momento

enseñanza de las matemáticas lidad propedéutica

parece sugerir que la

en la escuela obligatoria

que se justifica

tiene una fina-

por el valor de los conocimientos

que se adquieren en la escuela para los estudios posteriores, sean estos de un tipo u otro. Sin embargo, como hemos visto en la primera idea clave, ésta no era la principal cuando promovieron elementales XVIII

motivación

que tenían

que se incorporaran

parte de las clases populares que promover

era no sólo conveniente,

máticas a los currículos de la escuela elemental

El razonamiento

había que convertir religioso

entre otras razones, por esta

que se publicitaba

era, más o menos, que por el fanatismo

social la enseñanza de las matemáticas

y de la ciencia

Es cierto, por otra parte, que el interés que

de las masas populares

que permitiría

analfabetos

que pondrían

en las sociedades mo-

libres. En esta

suscitaba la educación

cultores

de las mate-

en sociedades de ciudadanos

juega un papel primordial.

las condiciones

misma del desarrollo

a las masas populares dominadas

y la ignorancia

transformación

y promovida,

por

algo que había

de toda la sociedad. La incorporación

dernas ha estado justificada

XVIII

Los ilustrados del

de la ciencia y de las matemáticas

benéfica mente, sino la condición

moral y económico

del

las matemáticas a los estudios

y que se enseñaran a toda la población.

pensaban que el aprendizaje

creencia.

los ilustrados

liberar la fuerza de trabajo

para convertirlos la maquinaria

en trabajadores

de los agri-

alfabetizados

del entramado

industrial.

No

servía para nada despojar a la Iglesia y a la aristocracia

del control

de

la producción

a funcionar

era visto como una de

de bienes económicos si a la vez no se conseguía que los

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


que hacían funcionar

el sistema antiguo

pasaran a hacer lo propio con

el nuevo. La sociedad moderna nace con esta contradicción: valores que se enuncian

para liberar a la gran mayoría de la población

del peso del fanatismo,

la intolerancia

sometidos por las clases dirigentes tablecer y robustecer

y la ignorancia

del antiguo

que ven en el capitalismo

industrial

el espacio de desarrollo

de las nuevas clases di-

y en el modo

de producción

social.

La conversión de las masas de agricultores fue la condición

a las que estaban

régimen, sirven para es-

los intereses económicos

rigentes,

res alfabetizados

los mismos

analfabetos

para el desarrollo

en trabajado-

de las sociedades

industriales y una de las razones clave para la creación de la escolaridad obligatoria

y para la inclusión de las matemáticas

en los currículos de

manera universal. Sin embargo, desde entonces ha llovido bastante y la sociedad actual tiene

poco que ver con la sociedad

de trabajadores tindustrial

alfabetizados

y el desarrollo

aprendizajes

industrial

numéricamente.

de la tecnología

que necesitaba

masas

Nuestra sociedad es pos-

ha convertido

en banales los

de cálculo numérico escrito que eran el corazón de la pro-

puesta curricular

anterior,

que como ya hemos indicado

se basaba en conocimientos mación han convertido

en este texto

que las actuales tecnologías

en obsoletos.

saria para que el sistema económico

La alfabetización

de la infor-

numérica nece-

actual funcione

y para que las

masas populares sean parte activa del mismo no necesita depender una enseñanza escolar de las matemáticas versión cuya intensidad

formativa

principios

del

XX,

para el desarrollo

fruto

Defender

los actuales currí-

de las necesidades sociales del siglo

en la escuela obligatoria económico

o, en todo caso, no de una

y peso en el currículo se corresponda

con el que ha tenido y tiene actualmente. culos de matemáticas,

como condiciones

y social en el siglo

XXI

porque el sistema productivo

XIX

y

necesarias

es un anacronismo.

A pesar de ello, si bien las necesidades de formación dores han cambiado

de

de los trabaja-

se ha transformado

IDEA CLAVE

2


radicalmente,

la otra cara del prisma, la que enuncia las ideas sobre las

que se basa la participación

política en la sociedad, es la misma: la ciu-

dadanía. Nuestro modelo de organización

social, que se puede sinteti-

zar en el sistema democrático

de participación

que sigue viendo al individuo

como un ciudadano

beres individuales

son reconocidos

delegada, es un modelo

en normas legales positivas que se

resumen, en lo esencial, en las constituciones forman

parte dichos ciudadanos.

hace que los ciudadanos de los parlamentos

de los Estados de los que

El sistema de participación

deleguen

y gobiernos.

cuyos derechos y de-

su capacidad

legislativa

y gobiernos?

periódicas que se convocan para elegirlos, y estas vo-

taciones están condicionadas

por la «opinión»

nen del uso que hacen los partidos delegación

en manos

¿ Cómo se vertebra la relación entre las

masas populares que delegan su poder y los parlamentos Por las votaciones

delegada

que los ciudadanos

políticos

y sus dirigentes

tiede la

de poder que implica el voto. A su vez, y ya llegamos

final de este laberinto,

de la conformación

de la opinión

pan primordialmente

los medios de comunicación,

al

pública se ocu-

que se convierten

en el elemento clave de la construcción de la opinión pública y, por ende, de la intermediación

entre el poder político delegado y los ciudadanos

que delegan ese poder. ¿Y qué tiene que ver todo esto con el currículo de matemáticas flexione litud

de la enseñanza obligatoria?

bastante; porque cabe afirmar con un grado alto de verosimi-

que

hoy en día no es posible

ciudadanía sin una competencia nera informada tización,

concebir

matemática

el pleno

que permita actuar de ma-

condición

necesaria

para el uso pleno

el uso de conocimientos

deberían

de la ciudadanía,

matemáticos.

ser el núcleo del currículo

danos como el más importante La alfabetización

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

de los objetivos

matemática

Estos cono-

de matemáticas

miramos desde el prisma social que coloca la formación

gatoria.

uso de la

y responsable en el medio social. Hoy en día la alfabe-

incluye también cimientos

Pues, a poco que se re-

si las

de los ciuda-

de la enseñanza obli-

y científica de todas las personas


se convierte de esta manera en una necesidad para la igualdad de oportunidades

en el siglo

A continuación,

XXI,

como lo ha sido en los siglos anteriores.

algunos ejemplos

de lo que quiero

nemos, lo que no parece una exageración,

decir. Si supo-

que hoy en día la lectura de

la prensa escrita es una forma básica de acceso a la información, algunos

ejemplos

de la necesidad de usar conocimiento

para la correcta interpretación

vemos

matemático

de las noticias:

Cada año hay en España 150.000 personas que cumplen 65 años. El grupo de españoles con 85 y más años crecerá un 80% en las dos próximas décadas. Y el de 20 a 34 años perderá casi un tercio de sus efectivos. Teniendo en cuenta la implacable

correlación

entre edad y dependencia,

con derecho en el futuro

la cifra de españoles

a recibir las ayudas del SAAD se dispara cada día.

El 32% de las personas mayores de 65 años tiene algún tipo de discapacidad, frente

Fuente:

al 5% del resto de la población.

www.elpaís.es.

580 trabajadores

9 de julio de 2007.

murieron

en la primera

mitad

del año por accidentes

la-

borales Un total

de 580 trabajadores

cinco primeros

fallecieron

en accidente

laboral

durante

los

meses del año, según datos del Boletín de Estadísticas Labo-

rales (BEL) que elabora el Ministerio

de Trabajo y Asuntos Sociales.

De esta cantidad, 419 perdieron la vida en su puesto de trabajo, un 14,1% menos que en igual periodo de 2006, en tanto que 161 fallecieron

en el trayecto de su

casa al trabajo o viceversa (accidentes 'in itinere'), con un descenso del11 %. En conjunto, jornada

de enero a junio se registraron

de trabajo

462.217 accidentes con baja en

y 48.085 siniestros 'in itinere'.

Los primeros se redujeron

un 3,9% respecto a 2006, mientras que los segundos cayeron un 4,6%.

Fuente:

www.elmundo.es.

18 de agosto de 2007.

IDEA CLAVE

2


Pero éstos no son más que un par de ejemplos entre los miles que se pueden encontrar todos los días en la prensa escrita. Existe ya suficiente literatura

al respecto y son varios los autores que han puesto de mani-

fiesto la importancia

de la prensa para aprender

matemáticas:

Fernán-

dez y Rico (1992), Corbalán (1991) e Irizo y López (1992) entre otros. De todas maneras me gustaría hacer una observación tentativas

que se han hecho para relacionar

a la mayoría de las

la enseñanza de las mate-

máticas y la prensa escrita. La mayoría de estos autores han intentado buscar en la prensa contextos y, sobre todo¡ ejemplos para justificar enseñanza de las matemáticas,

pero en mi opinión

el camino que hay

que recorrer es el inverso al que señalan. Lo relevante danos es la correcta

interpretación

prensa y no las matemáticas

de la información

matemático¡

lo que garantiza

portante

a entender

la información.

en la

pero esto no avala que

de esa información.

y orden de relevancia.

es la información¡

contenida

es que se enseñen las mate-

máticas que son útiles para la comprensión cuestión de prioridad

para los ciuda-

como tales¡ es cierto que para comprender

la prensa deben usar conocimiento se enseñen matemáticas¡

la

y las matemáticas

Es una

Para el ciudadano

lo im-

son útiles porque ayudan

Es decir que para la perspectiva

del ciuda-

dano las matemáticas son un medio y no un fin. Desde la perspectiva de los matemáticos¡

en cambio, la información

der matemáticas, para referenciar

porque

funciona

el conocimiento

sugerir y defender

es útil porque ayuda apren-

como un buen modelo

matemático.

es precisamente

La idea que me gustaría

la inversa: el conocimiento

mático es un medio y no un fin¡ el fin último

es la integración

cipación social, por lo tanto tenemos que aprender poder ser ciudadanos

puede entenderse

y no las matemáticas.

son visiones antagónicas

Si la prensa es un medio de comunicación de la opinión

pública,

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

Internet

matey parti-

matemáticas

de pleno derecho porque lo importante

activo y crítico de la ciudadanía

que sirve

para

es el uso

Como fácilmente

de una misma cuestión. básico en la conformación

es hoy en día otro canal fundamental


para obtener

información.

5 en la página siguiente web. La comprensión a utilizar

Anuncios similares al que muestra la figura pueden verse en cualquier

de la información

conocimiento

matemático

Poder transformar

o página

que este anuncio exige obliga

de diverso tipo, y esta compren-

sión es necesaria para que la «propaganda» formación.

periódico

propaganda

pueda convertirse en información

en in-

es, sin lugar

a dudas, una de las necesidades sociales a las que más pueden contribuir las matemáticas, puladores

porque muchos de los efectos nocivos, por mani-

de la propaganda,

incapacidad

de comprender

decir exactamente

se basan la mayoría

de las veces en la

los mensajes de los anuncios. ¿Qué quiere

«descuento

acompañante

hasta 500/0»?

Poner más ejemplos es tan sencillo como innecesario. nocimiento

matemático

mente reconocida. población

básico es hoy en día una necesidad universal-

A pesar de ello, existe un sector importante

escolar que fracasa en el aprendizaje

la educación

El uso de co-

obligatoria.

de la

de las matemáticas

en

Estamos, sin lugar a dudas, en una situación

que podemos calificar de crisis en la enseñanza de las matemáticas

y lo

peor de la cuestión es que comienza a ser una crisis que corre el riesgo de convertirse

en crónica, en endémica.

La crisis en la enseñanza de las matemáticas paña en la extensión de la enseñanza obligatoria que se da, de manera decidida,

tiene su origen en Esa las clases populares

en los años setenta del siglo xx con la

Ley General de Educación y, de manera explosiva y traumática, años noventa estudiantes

del mismo siglo con la LOGSE. La tipología

que acceden a la secundaria

nada que ver con la de los estudiantes

teriores a 1970. En este cambio sociológico la mayoría de las disfunciones

no tiene

de los años an-

hay que situar el origen de

creadas en la enseñanza de las matemá-

ticas en estos últimos años. ¿Qué tipo de aprendizajes socialmente

social de los

en los años noventa de bachillerato

en los

matemáticos

son

necesarios para estos adolescentes que llegan a las aulas en

oleadas sin ningún tipo de filtro

selectivo? ¿Cómo hacer compatibles

IDEA CLAVE 2


o

Figura 5

1

y descuento acompañante hasta

[ID&~©~[b@[?¿]& B 5'"

I

D5*S

W

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I

ESENCIAS DE EGIPTO 7n.

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LUCES DE ALEJANDRIA 7n.

lile!. ABUSIMBEL y

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EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

19/05/2008

BARCEL.ONA

BASE 20

y gastos

de anulación

27.€

Propinas

35€a

para grupos


unos currículos que sirven a la vez para los estudiantes hacia la universidad

que se dirigen

y para aquellos que no lo harán? ¿Qué hacer con

todos aquellos estudiantes

que no se corresponden

con el perfil ade-

cuado? No hemos sido capaces de responder insistiendo

a estas preguntas

y seguimos

en unos currículos que estaban pensados, sobre todo a par-

tir de los catorce años, para una situación tuados ya en una etapa postobligatoria seleccionados universidad.

se preparaban

en la que los estudiantes

si-

de la enseñanza y previamente

para estudios científicos

o técnicos en la

Esa realidad ya no existe, ese mundo ya no es el nuestro,

ese paisaje pertenece

al pasado; pero seguimos aplicando

currículos, y la sensación de crisis se agudiza

mientras

los mismos

la parálisis ate-

naza al currículo. La solución atolladero

a esta crisis, en la medida en que sea posible salir del

en el que estamos, debería plantearse

amplia que combinase en la proporción la misma para todos los estudiantes, desarrollo

con una perspectiva

adecuada, y seguramente

las tres miradas comentadas

no en en el

de esta idea clave.

Las matemáticas del ciudadano Todos los estudiantes

deben ser alfabetizados

matemáticamente

para

poder convertirse en ciudadanos activos en sociedades socialmente complejas y científica

y tecnológicamente

lado, extender la oblígatoriedad,

avanzadas, esto implica, por un

que no la comprensividad,

ñanza hasta los dieciséis o los dieciocho años (actualmente a considerar obligatoria

un ciclo de dos años posterior

de la enseya se tiende

a la enseñanza secundaria

como deseable para toda la población,

el objetivo

de dismi-

nuir el fracaso escolar para el 2010 en Europa se cifra en esa edad yen el 15%) y, por otro, avanzar esa alfabetización aritmética

a contenidos

tualmente

se consideran

de los rudimentos

más amplios, pero que no abarquen propedéuticos

de la

los que ac-

en la secundaria obligatoria.

IDEA CLAVE

2


El Consejo Escolar del Estado también bligatorias,

destacando

la necesidad de incrementar

y Formación Profesional.

en Bachillerato mejora

se ha fijado en las Enseñanzas Posto-

van dirigidas

secundaria

Red de Centros de Segunda Oportunidad sin el nivel de educación secundaria

para la juventud laboral.

superior,

las propuestas

reduciendo

del Bachillerato

el desequilicreando

para atraer a la población

superior.

de

de 18 a 24 años al-

y los estudios académicos,

brio de los estudios profesionales

mación Profesional

En este sentido,

a que el 85% de las personas

cance el nivel de educación

tar la flexibilidad

las tasas de titulación

También se propone

una

adulta aumen-

y de los sistemas de acceso y de la For-

con el fin de ofrecer una Formación Profesional atractiva

y adecuada a las características y necesidades del mundo

(Consejo Escolar del Estado, reunión del 28 de julio de 2007)

Para lograr estos objetivos

es necesaria una reforma

del currículo de matemáticas

en profundidad

en la enseñanza secundaria y sobre todo

en el segundo ciclo de la misma. El actual currículo es fuente

de exclu-

sión. Es una ilusión, mil veces negada por la realidad, que la solución a la actual crisis en esta cuestión pueda provenir

de un refinamiento

di-

dáctico.

Las matemáticas del profesional Una proporción

elevada de los estudiantes completarán

grados universitarios

o estudios profesionales

En las sociedades avanzadas este porcentaje 80% del total de la población. profesionalización

de nivel medio y superior. puede suponer más de un

Las matemáticas

que se estudian en la

de los estudiantes deberían adecuarse mejor a los fu-

turos perfiles profesionales y ajustar sus contenidos de los mismos. No parece lógico que las matemáticas ingenieros

se conviertan

a un uso más amplio de los científicos e

en el metro con el que medir a todos los jóve-

nes que aspiran a los estudios universitarios, el uso que harán de las matemáticas

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

sus estudios con

y no lo es porque no es ése

en sus futuras profesiones.


El sector de la población

que debe seguir formándose

cas más allá de los años en los que termine sulta de esta manera ampliado

la educación obligatoria

re-

hasta el punto que puede hablarse de la

necesidad de una segunda alfabetización jetivo de esta segunda alfabetización sino el profesional.

en matemáti-

masiva en matemáticas.

El ob-

matemática ya no es el ciudadano,

Esdecir, la persona que va a prepararse para ejercer

una profesión que necesita una formación de tipo medio o alto. La inmensa mayoría de los profesionales

de cualquier orden (economistas, médicos,

educadores, psicólogos, abogados, enfermeras, contables ... ) necesitan competencias

matemáticas

labor, y el número de estos profesionales tes que se preparan

maestros, empresarios, para desarrollar

es mayor que el de estudian-

para las carreras de orientación

Hay que considerar seriamente

su

la conveniencia

científico-técnica.

de incorporar

estudios

de matemáticas en los dos primeros años de todos los grados universitarios, porque no es aceptable la escasa competencia, podido comprobar con un título

personalmente

universitario,

en algunos casos he

que esta competencia es incompatible

que actualmente

tienen

los egresados uni-

versitarios de los estudios «que no son de ciencias», ni es compatible una formación

con

que les prepare para una sociedad en la que la compe-

tencia matemática

es clave para el aprendizaje

a lo largo de toda la vida.

La enseñanza de las matemáticas ha desdeñado a estos colectivos y tiende a considerar que les basta con «menos matemáticas» que necesitan son «otras matemáticas», precisan más matemáticas

sin pensar que lo

la mayoría de los profesionales

que las que aprenden,

pero necesitan otras

matemáticas distintas a las que se les proponen. Dentro del amplio sector de estudiantes

que se preparan

para estu-

dios de nivel medio y superior, existen intereses y necesidades diferentes con relación a la formación

matemática

tanto, no se trata de que algunos aprendan mundo científico-tecnológico) se aprenden

que deben recibir. Por lo matemáticas

(orientadas

y otros no, sino que las matemáticas

deben diversificarse

para atender

al

que

a los intereses formati-

IDEA CLAVE

2


vos de los estudiantes

según éstos se vayan orientando

sas ramas profesionales oferta

educativa

hacia las diver-

a las que aspiran a llegar. La flexibilidad

deberá ser, por lo tanto,

un elemento

de la

clave que ha-

bria que considerar en este segmento de edad y no debería mantenerse la actual primacía que tienen las partes de las matemáticas profesionales matemáticas

del ámbito

científico-tecnológico.

debe diversificarse

que usan los

La enseñanza

para atender de manera más adecuada

a las necesidades de los estudiantes

de todos los tipos de estudios, por-

que es un error pensar que sólo necesitan saber matemáticas diantes que se dirigen

de las

los estu-

hacia los estudios de ciencias e ingenierías.

mayoría de los universitarios

que cursan grados no científicos

ponen de la competencia

matemática

profesional

social actual.

en el contexto

La

no dis-

necesaria para su desempeño

Las matemáticas de los matemáticos Sólo un reducido

número

de estudiantes

máticas como su destino de dedicación de los estudiantes

se encamina

social. Un porcentaje

que entran en la universidad

años. Ya he expresado

muy bajo

eligen estos estudios.

Además, es un colectivo cuya cuantía está disminuyendo mante en los últimos

hacia las mate-

de manera alar-

mi idea sobre la conve-

niencia de una reforma en la oferta universitaria

en esta cuestión. Pienso

que debería estudiarse la posibilidad

de ofertar un grado en ciencias que

fuera polivalente

el acceso a un postgrado

nalizador

y que permitiera

para dedicarse a la enseñanza tanto de matemáticas

profesiocomo de

ciencias en secundaria, y que a la vez fuera la puerta de estudios de postgrado

donde se especializaran

los estudiantes

de manera más específica a las matemáticas. mática de los matemáticos

que deseasen dedicarse En consecuencia,

la mate-

debe ser estudiada en el mundo universita-

rio y por aquellos estudiantes que decidan embarcarse en esa aventura. Sobre esta cuestión creo que son los matemáticos

de la Academia

que tienen que hablar y por esta razón no diré nada.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

los


En resumen Las matemáticas

están en el currículo de la enseñanza obligatoria

Esta presencia e imposición

sólo puede justificarse

de manera obligatoria.

si se argumenta

suficientemente

terés social de actuar de esta manera. Ese interés no puede ser, en la educación toria,

formar

población,

matemáticos

ni formar

porque

científicos

es algo que sólo afecta a una ínfima

e ingenieros,

tuyen ni de lejos la mayoría de esa población. matemáticas

tienen

plejas y tecnológica

para un desempeño y científicamente

sencia de las matemáticas

mente, o de manera principal, estar justificadas

de la ciudadanía

de la enseñanza

tipo de matemáticas» aquellas matemáticas

las matemáticas

gatoria

un filtro

obligatoria,

años de los grados universitarios,

la pre-

no avala, desde

en esos niveles educativos.

Sola-

que sean útiles a este fin pueden Estamos lejos de

de los últimos cursos de la enseñanza obli-

selectivo, una dificultad

servicio de los fines sociales más arriba establecidos. de matemáticas

consti-

en sociedades com-

avanzadas. Pero si esto sirve para justificar

esa situación y en la actualidad

dida de los currículos

parte de esa

aunque son más, tampoco

como parte del currículo de la enseñanza obligatoria.

son más una barrera,

obliga-

La razón está sin duda en el interés que las

completo

en el currículo

luego, la presencia de «cualquier

porque,

el in-

que una herramienta

Si no se acomete una reforma

de la secundaria,

del bachillerato

al

deci-

y los primeros

será muy difícil salir de esta situación.

IDEA CLAVE

2


Sería interesante

extender

el debate

de la competencia

necesaria

sobre el currículo de matemáticas dando

ámbito

(o preprofesional)

cabida en el mismo a otros profesionales

y tendría que considerar

que no sean los académicos universita-

cia de ajustar el currículo de matemá-

rios, con el fin de recoger una visión más

ticas a las ramas de los futuros

social de lo que es importante

universitarios.

aprender.

Matemáticas para todos supone necesa-

riamente otras matemáticas. •

los actuales

currículos

de matemáticas

educación

cen-

dicados anteriormente

debería

desde los criterios porque

una de las prioridades

y social. Esto marca un criterio

dad de expertos e investigadores

claro a

no se

de la comunien la

enseñanza de las matemáticas.

la hora de dilucidar cuáles deberían ser •

Deberíamos

proponer

un cambio cul-

tural entre los docentes de matemáti-

la educación obligatoria. La enseñanza de las matemáticas educación postobligatoria

in-

ajustan a los mismos. Ésta debería ser

de la competen-

que habría que lograr en

de

de enseñanza

cia necesaria para los ámbitos personal

los objetivos

grados

un análisis sistemático

en la

obligatoria

la convenien-

Convendría

La enseñanza de las matemáticas

trarse en el desarrollo

profesional

para el

en la

preuniversi-

taria debería centrarse en el desarrollo

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

cas para herramienta

que

las consideren

una

al servicio del desarrollo

de los estudiantes.


El objetivo de la enseñanza de las matemáticas escolares es el desarrollo de la competencia matemática El viento y los veleros A causa de su malformación y de la lentitud de su inteligencia, sacaron a Michael del colegio tras un corto período de prueba, y lo entregaron a Huis Norenius en Faure, donde, a costa del Estado, pasó el resto de su infancia en compañia de otros niños desafortunados y con problemas aprendiendo a leer, escribir, contar, barrer, frotar, hacer camas, fregar platos, tejer cestas, carpintería y jardinería. (Coetzee, Vida y época de Michael K.)

De área de conocimiento a competencia clave El aprendizaje de las matemáticas necesarias para la integración social y el desarrollo profesional son un fin social que no debe verse supeditado a una utilización de las matemáticas que con fines selectivos se convierta en un obstáculo para muchos jóvenes. El estado actual de la enseñanza de las matemáticas, centrado en la adquisición de contenidos de dudosa utilidad para los fines sociales más arriba indicados, promueve que las matemáticas sean vistas como un filtro seleccionador, una especie de embudo que sólo succiona a los «mejores», que actúa más como una barrera que como una oportunidad que hay que aprovechar.

IDEA CLAVE

3

69


En estos últimos años estamos asistiendo a la aparición de un nuevo discurso sobre los fines sociales de la educación, discurso que se concreta en los planes europeos para la educación que parten de los acuerdos de la cumbre de Lisboa de la UE y de sucesivas propuestas que se han ido haciendo para armonizar los currículos de enseñanza de los países de la UE. Entre los planes europeos destacan los pactos para la creación del Espacio Europeo de Educación Superior y el acuerdo sobre competencias del parlamento europeo. Esta idea clave la dedico a explicar este discurso y a analizar sus luces y sombras. Las matemáticas aparecen en el actual currículo de la LOE dos veces, una como área de conocimiento y otra como competencia clave. Tal vez pocas cosas reflejen mejor la situación actual que esta duplicidad donde cambio e inmovilismo se cruzan sin que se sepa bien con qué carta quedarse. Porque no es lo mismo proponer las matemáticas como un corpus de conocimiento que hay que aprender, donde la lógica interna de la materia es la columna vertebral sobre la que debe girar el currículo, que hacerlo como competencia, donde entran otras variables como son su uso o aplicación y los contextos en los que se utiliza y donde el orden de organización del currículo puede ser, por lo tanto, bien diferente.

¿Estamos en una encrucijada;

tenemos ante nosotros un

cruce de caminos y deberemos optar por uno u otro? ¿O por el contrario daremos una de cal y otra de arena, pondremos una vela a Dios y otra al diablo y evitaremos decantamos por una u otra vía hasta que deje de llover, se despeje el paisaje y se vea claro por dónde ir? Las matemáticas como área de conocimiento son algo bastante conocido, por esta razón, dedico esta idea clave a presentar las matemáticas como una competencia clave, valga la repetición. Espero que estas reflexiones ayuden a responder a las preguntas que he dejado sin respuesta en el párrafo anterior.

La Unión Europea y las competencias clave Desde la cumbre de Lisboa celebrada en el año 2000, la Unión Europea viene promoviendo de manera activa políticas educativas con la finalidad de ir construyendo un marco europeo común de referencia. En esa fecha se pusieron en marcha una serie de comisiones que han ido tra-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


bajando, celebrando

diferentes

puestas. Todos esos trabajos, ahora, el 26 de septiembre

reuniones y elaborando que no vamos a detallar,

dirigida a todos los estados miembros, titulada

tribuir

permanente,

al desarrollo

adaptada

culminan,

de 2006. En esa fecha el Parlamento

peo y el Consejo de la Unión Europea aprobaron

el aprendizaje

sucesivas pro-

Competencias clave para europeo,

de una educación de calidad, orientada

a las necesidades de la sociedad europea.

para conal futuro

y

Este marco de re-

clave, que son las siguientes:

Comunicación

en la lengua materna.

Comunicación

en lenguas extranjeras.

Competencia

matemática

Euro-

una «recomendación»

un marco de referencia

ferencia establece ocho competencias

por

y competencias

básicas en ciencia y tec-

nología. •

Competencia

digital.

Aprender

Competencias

Sentido de la iniciativa

Conciencia y expresión culturales.

a aprender. sociales y cívicas.

Las competencias

y espíritu de empresa.

clave pretenden

ser los ejes que deben estructurar

los currículos en las diversas etapas del sistema educativo que tendría que ser el armazón del sistema educativo ponen como competencias A cada país miembro

para desarrollar

le corresponde

dentro

europeo.

de lo Se pro-

a lo largo de toda la vida.

desplegar estas competencias

den-

tro de su propio sistema educativo

y así lo vienen haciendo diferentes

países europeos con fecha anterior

y posterior

a esta resolución.

En el anexo I del decreto de mínimos de la LOE (Decreto 1513/2006 del 7 de diciembre de 2006) se adecuan las competencias

clave europeas

y se definen

de los currícu-

ocho competencias

los en las diferentes competencias

comunidades

clave para el desarrollo autónomas

Las competencias clave deben estructurar los currículos las diversas etapas sistema educativo

se

proponen como competencias que hay que llar a lo

del estado español. Estas toda la

son las siguientes:

IDEA CLAVE :;

..,~ I ;


1. Competencia

en comunicación

lingOística.

2. Competencia matemática. 3. Competencia en el conocimiento 4. Tratamiento

y la interacción con el mundo físico.

de la información

y competencia

5. Competencia

social y ciudadana.

6. Competencia

cultural y artística.

7. Competencia

para aprender

8. Autonomía

e iniciativa

digital.

a aprender.

personal.

A su vez, cada una de las autonomías cias en los decretos que regulan

está recogiendo

estas competen-

los nuevos currículos para sus respec-

tivas comunidades. El resto de países europeos competencias

clave, aunque

mas no son coincidentes

está incluyendo la velocidad

en sus currículos estas

y la forma

final de las mis-

en todos sus aspectos. De todas maneras, lo

que nos interesa señalar es que en todos los casos aparece la denominada competencia

matemática,

ciada a otra (en general tecnológico).

ya sea de manera independiente

a la que se refiere

al mundo

De manera que queda bien establecido

nomina competencia

matemática

constituye

o aso-

científico

y

que lo que se de-

uno de los ejes organiza-

dores de los currículos europeos. ¿Qué hay detrás de esta iniciativa? la competencia matemática aparece en los currículos de todos los países europeos de manera independiente o asociada a otra competencia.

toridades

¿Qué motivos impulsan a las au-

políticas europeas a introducir

estos cambios en la estructura

de los currículos y a situar lo que denominan

competencia

matemática

como uno de los ejes del currículo de la enseñanza obligatoria? esto algo que ver con la intención social que en la actualidad

de resolver los problemas

debe contribuir

de calidad, orientada

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MA TEMATICA

sea incluir en estas

texto:

La presente Recomendación

y formación

de orden

tienen los sistemas educativos europeos? Tal

vez lo más directo para contestar estos interrogantes páginas el siguiente

¿Tiene

al desarrollo

al futuro y adaptada

de una educación

a las necesidades de


la sociedad europea, apoyando y completando

las acciones que los Estados

miembros emprendan con el fin de garantizar que sus sistemas de educación y formación iniciales pongan a disposición de todos los ióvenes los medios necesarios para desarrollar las comoetencias vida adulta. v que constituvan

clave que los oreoaren oara la

una base para el aorendizaie

comolementa-

rio v la vida laboral. así como que los adultos puedan desarrollar y actualizar sus competencias aprendizaje

clave mediante

permanente.

(Parlamento

una oferta coherente

y completa de

Europeo, 2006, p. 6)

(El subrayado no está en el texto originaL)

Queda claro que lo que se pretende

es una alfabetización

sea la base del desarrollo social y económico conseguir

europeo. Lo que se intenta

es que «todos los jóvenes» logren un nivel de competencia

que los «prepare para la vida adulta, y que constituya aprendizaje

masiva que

complementario

mi interpretación,

una base para el

y la vida laboral», en consecuencia, según

estamos frente a una visión del currículo que prima

los aspectos de inclusión social por encima de cualquier ración. En definitiva,

lo que se pretende

otra conside-

es que los sistemas educativos

dejen de ser un obstáculo para el desarrollo social, anclados como están en una obsesión academicista, y sirvan como base del nuevo orden económico. El propio informe

muestra esta necesidad:

El estudio de Maastricht sobre educación y formación profesionales pone de manifiesto

de 2004

un considerable desfase entre los niveles de formación

exigidos por los nuevos puestos de trabajo y los alcanzados por la mano de obra europea. Dicho estudio muestra que más de una tercera parte de la mano de obra europea

(ochenta millones de personas) está poco cualifi-

cada, mientras que las estimaciones indican que, de aquí a 2010, casi el 50% de los nuevos puestos de trabajo exigirá cualificaciones

de nivel superior,

algo menos del 40%, enseñanza secundaria superior y tan sólo el 15%, aproximadamente,

será adecuado para trabajadores que dispongan

rización básica. (Parlamento

de escola-

Europeo, 2006, p. 4)

IDEA CLAVE

3


Con la finalidad

de adecuar el sistema educativo

ciales, se promueve

un cambio en la estructura

a las necesidades so-

del currículo que se con-

creta, en lo que a nosotros atañe, en cambiar de paso para considerar que las matemáticas

deben dejar de ser un área de conocimiento

pasar a ser una de las competencias

para

clave que debe ser desarrollada

todos, no sólo por algunos, a lo largo de todos los estudios.

por

Estamos

donde estamos porque la conciencia del desajuste entre las necesidades sociales y lo que el sistema educativo las decisiones políticas.

construye

ha llegado al nivel de

Esa toma de conciencia,

si bien hay que decir

que algunos países se muestran

mucho más dinámicos que otros en el

despertar

ha impulsado

de esta sensibilidad,

por parte de las instituciones La aparición

como ejes organizadores

rrículo ni es del todo novedosa ni neutral ológico. Lo que se denomina

profesional

de decisiones

políticas que se ocupan de la educación.

de las competencias

ya viene utilizándose

la toma

«currículo

del cu-

desde el punto de vista ide-

por competencias»

es algo que

en España desde los años noventa en la enseñanza

y ocupacional,

y desde luego es una corriente

que llega

a la enseñanza desde el mundo de la empresa, como ha sucedido con otras propuestas

de reforma.

De hecho esta propuesta

ha levantado

suspicacias, cuando no oposiciones declaradas, en ciertos sectores educativos con la acusación manifiesta

de poner el sistema educativo

«al

servicio de los intereses económicos del mercado». Negar que el viento que mueve las velas viene de esa dirección hecho casi todos los textos europeos promovido

esta propuesta

sistema educativo

que han precedido,

y

nos hablan de la necesidad de acomodar

el

económica

nión el quid de la cuestión está en distinguir

y social. En mi opi-

entre mercado y sociedad,

que el sistema educativo viva de espaldas a las

necesidades sociales si éstas están determinadas las opiniones

de

justificado

a la nueva realidad

porque nadie pretenderá

es negar una realidad,

por el libre juego de

políticas expresadas por los cauces institucionales,

es decir

por medio del debate político propio de las democracias europeas, aun-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


que es legítimo¡ y me atrevería a decir necesario¡ que no se confundan esas necesidades con los intereses del beneficio lógica empresarial

capitalista,

porque

económico

la educación

propio de la

no puede organi-

zarse según ese tipo de lógica. La educación debe servir a fines sociales más generales que los que sustentan Este matiz es importante

los fines del mercado económico.

y no debemos olvidarlo

porque una transla-

ción mecánica y poco cuidadosa de la manera de pensar que sirve para organizar

la producción

de bienes según la manera de hacer del mer-

cado no servirá para organizar mente una caricatura

una educación¡ a no ser que se tenga en

de lo que este término

En los años cincuenta

representa

del siglo xx ya hubo un intento

esto por parte de los autores norteamericanos luego se denominó

modelo tecnológico

en realidad. algo similar a

promotores

de organización

de lo que

del currículo.

La Ley General de Educación de 1970 se sirvió de este modelo propia reforma curricular. distinto y la industria similar:

Eran otros tiempos, el sistema productivo

era el sector emergente,

llevar a la educación

lo hizo porque se confundió

pero el intento

lo que funcionaba

dustrial. Todos sabemos que eso no funcionó,

ni el modelo de producción

secuencia¡ también

in-

y creemos saber que no

resucitar esta manera de ver las de un modelo

Lo que sucede es que ahora ni el sector industrial

que seguir, la producción

el viento

fue muy

en la producción

cosas y en vísperas, si no ya en el alba¡ de la reaparición

emergente

era

hacer coches en cadena con enseñar. Po-

demos estar a las puertas de intentar

neotecnológico.

para su

es el

en serie es el modelo que habría

de bienes es mucho más sofisticada y¡ en con-

lo son los modelos de su organización.

sopla en una dirección

se suele poder elegir la dirección

y a uno le toca pilotar

Pero cuando un velero¡ no

en la que sopla el viento,

pero sí se

puede, en cambio, decidir hacia dónde se quiere navegar y no es necesario que ambas direcciones coincidan El piloto tiene a su disposición binan adecuadamente¡

ni que se opongan

linealmente.

un abanico de direcciones que si se com-

pueden

hacer que el barco navegue en la di-

IDEA CLAVE

3


rección que decida el piloto con independencia En mi opinión,

el mundo educativo

se encuentra

milar, porque la sociedad, en concreto ciencia de que el sistema educativo social y económico,

y desea introducir

de cómo sople el viento. en una situación

la europea, está tomando

si-

con-

es una rémora para el desarrollo cambios en el mismo de cara a

conseguir una mayor adecuación entre ambos sistemas. El viento sopla en esa dirección y debemos contar con ello para pilotar el velero que es el sistema educativo.

No podemos seguir pensando que el sistema edu-

cativo es un sistema autorreferente, reses, muchas veces corporativos

ni que es el sistema a cuyos inte-

aunque se tilden de otra cosa, deben

inclinarse los demás. Nunca ha sido así, aunque se diga otra cosa, y difícilmente

lo será en el futuro;

pero eso no quiere decir que debamos

plegar las velas y renunciar a navegar, porque si lo hacemos, la corriente arrastrará el barco; lo que quiere decir es que debemos elegir el rumbo y organizar

el velero para que navegue en esa dirección.

La dirección

del viento no la podemos elegir, pero aquella en la que queremos navegar sí. Para ello necesitamos una revisión del concepto de competen-

cia que, superando una visión que sólo mira al desempeño profesional ligado a un perfil determinado, y contenga

las competencias

contemple

a la persona en su conjunto

que son necesarias para su desarrollo

per-

sonal, social, cultural, etc. Necesitamos además una visión de las necesidades sociales que vaya más allá de la lógica defienda

una visión social solidaria y equitativa.

nos del concepto de competencia

y que

Necesitamos apropiar-

para darle un sentido más amplio por-

que la escuela necesita una reforma reforma

economicista

urgente,

pero la dirección

de esa

no puede quedar en manos de los grupos que analizan la rea-

lidad social desde la óptica del mercado. No es fácil saber cómo pilotar ese velero que es el sistema educativo con sensibilidad educación.

social y un sentido de los valores que debe priorizar

Intentaré

la competencia

y por eso necesitamos marineros

no perder de vista estas ideas en la concreción

matemática

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

que trabajaré

a continuación.

la de


La competencia matemática como una propuesta para una educación inclusiva Resulta evidente tencia»

que desentrañar

de manera general

el significado

excede los objetivos

Existe literatura

abundante

desea. Dejando

de lado esa cuestión

«compe-

de este documento.

al respecto' y puede ser consultada

trarnos en el descubrimiento

si así se

previa, vamos a intentar

aden-

de las claves que nos ayuden a comprender

qué es eso que denominamos El informe

del término

competencia matemática.

que hemos citado en el apartado

ción de lo que la UE considera competencia

3.1 nos da una defini-

matemática:

La comDetencia matemática es la habilidad Dara desarrollar v aDlicar el razonamiento matemático con el fin de resolver diversos Droblemas en situaciones cotidianas. Basándose en un buen dominio del cálculo, el énfasis se sitúa en el proceso y la actividad, aunque también en los conocimientos. La competencia matemática entraña -en distintos grados- la capacidad y la voluntad de utilizar modos matemáticos de pensamiento (pensamiento lógico y espacial) y representación (fórmulas, modelos, construcciones, gráficos y diagramas). (Parlamento

Europeo, 2006)

(El subrayado no está en el texto original.)

El proyecto

PISA de evaluación

de «competencia dio de evaluación. matemática

matemática»

ya utilizaba

en el año 2003 el término

como base para su archiconocido

Este documento

da una definición

estu-

de competencia

que es la siguiente:

Capacidad de un individuo para identificar y comprender el papel que las matemáticas juegan en el mundo, realizar razonamientos bien fundados y utilizar e involucrarse en las matemáticas de manera que satisfagan las ne-

1. En la dirección de Internet: http://cisne.sim.ucm.es/search*spi-S6/X?SEARCH=Competencias+educaci%

C3%B3n de la Universidad Complutense puede consultarse una

completa bibliografía sobre las competencias en el ámbito educativo.

IDEA CLAVE

3


cesidades de la vida del individuo como ciudadano

constructivo,

compro-

metido y reflexivo. (lNCE, 2004, p. 12)

Podemos añadir a esta escueta definición tensa para caracterizar

algo más ex-

el sentido que le se le da a este término:

El término «competencia

matemática»

funcional del conocimiento y de manera

una explicación

matemático

variada, reflexiva

se ha escogido para enfatizar el uso en numerosas y diversas situaciones

y basada en una compresión

profunda.

para que este uso sea posible se requiere una gran canti-

Por descontado,

dad de conocimientos y destrezas matemáticas

básicas, y tales destrezas for-

man parte de nuestra definición de competencia.

(...)

(..,) Del mismo modo, la competencia matemática no debe limitarse al conocimiento de la terminologia, datos y procedimientos

matemáticos, aunque, ló-

gicamente, debe incluirlos, ni a las destrezas para realizar ciertas operaciones

y cumplir con determinados métodos. La competencia matemática comporta la combinación

creativa de estos elementos

en respuesta a las condiciones

que imponga una situación exterior. (lNCE, 2004, p. 18)

Las preguntas

que consideramos

tos son las siguientes:

pertinentes

una vez leídos estos tex-

¿qué hay en común y qué existe de constitutivo

en estas definiciones?,

¿qué es lo esencial de estos textos? En mi opi-

nión, las notas constitutivas

de este término

que se pretende

definir

son los siguientes: •

El énfasis en la aplicación el razonamiento

matemático»

petencia matemática del conocimiento •

La importancia

de las matemáticas:

«desarrollar

en la primera cita, «El término

se ha escogido para enfatizar

matemático»

y aplicar com-

el uso funcional

en el último texto.

de las situaciones o los contextos a los que las mate-

máticas deben aplicarse: «con el fin de resolver diversos problemas en situaciones cotidianas»

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

en un documento,

«que satisfagan las ne-


cesidades de la vida del individuo como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo» en el otro documento.

Por lo tanto, podemos concluir que la aplicación del conocimiento (razonamiento,

esquemas de pensamiento) a los contextos definidos por

las situaciones socialmente relevantes forma el núcleo común a estas propuestas. Existen algunas diferencias de matiz que pueden ser relevantes para un estudio comparativo entre ambas propuestas, pero es algo que no deseo destacar en este momento. Ahora mismo, lo que nos interesa es buscar las señas de identidad comunes que nos ayuden a definir con precisión qué podemos entender por competencia matemática. La «utilización del conocimiento matemático en contexto de uso social» parece constituir una buena síntesisde los puntos comunes a ambas propuestas y con esta síntesis nos quedamos por el momento. Para avanzar un poco más e intentar una aproximación analítica más precisa sobre este concepto (competencia matemática) ya acotado previamente, lo mejor es ir directamente al certero análisis que hace el proyecto PISA. En la versión inglesa del documento titulado: Learning for Tomorrow's world, p.25, puede leerse lo que se muestra en la figura 6: Figura 6

Literacy in Pisa: what is measured The assesssment areas covered by PISA are defined in terms of: • the content os structure of knowledge that students need to acquiere in each assessment area (e.g .. familiarity

with mathematical

concepts);

• the processes that need to be performed (e.g., pursuing a certain mathematical • the situations in wich students encounter mathematical

argument); and

problems and relevat knowledge and

skills are applied (e.g., making decisions in relation to one's personallife,

or unserdtanding

world affairs).

Una traducción de este texto puede ser la siguiente:

IDEA CLAVE

3


1. El contenido o estructura de conocimiento que el estudiante necesita adquirir en cada área evaluada. 2. Los procesos que necesitan ser puestos en acción. 3. Las situaciones en las que los estudiantes encuentran problemas matemáticos y donde los conocimientos y destrezas relevantes son aplicados.

Si comparamos

estos tres ejes con los elementos

niciones anteriores, •

El contenido

podremos ver que coinciden

matemático

llama «conocimiento •

comunes de las defiperfectamente:

es lo que en las definiciones

anteriores

matemático».

Los procesos se concretan

en las definiciones

anteriormente

como «desarrollar,

aplicar, resolver, ... » y hacen claramente

cia a la utilización

del conocimiento.

Lo que aquí se llama contexto tuaciones»,

se

en las definiciones

dadas referen-

se hace como «si-

«vida diaria».

Podemos adelantar «competencia

ya una primera

matemática».

rencia a la competencia

definición

sintética

Siempre entendiendo

matemática

matemáticos

que hacemos refe-

que debe formar

escolar de todas las personas y no a la competencia (cuestión que no tengo intención

del término

parte del bagaje matemática

de los

de dilucidar).

Competencia matemática = Uso de conocimiento matemático para resolver problemas (situaciones) relevantes desde el punto de vista social.

Si comparamos habitual

estos tres ejes estructurales

a la hora de organizar

mero de ellos, el eje denominado considerarse

los currículos, «contenido

novedoso. Tradicionalmente,

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

con lo que ha venido siendo podemos ver que el primatemático»,

no puede

los currículos de matemáti-


cas se han organizado aritmética,

siguiendo

los llamados «bloques de contenidos»:

medida, geometría,

la distinción

álgebra, etc., aunque cabe señalar que

en bloques que se hace en el citado proyecto PISA está ale-

jada de esta división tradicional. Tampoco el segundo eje, que en el proyecto PISA se denomina ceso», es totalmente

nuevo ya que desde hace algunas décadas se habla

en los currículos de matemáticas de problemas,

de lenguaje

matemático

y resolución

es decir del uso que se hace de los contenidos

ticos desde un punto de vista psicológico. más habitual

«pro-

matemá-

Tal vez en nuestro medio sea

hablar de capacidades para referirse a esta cuestión, pero

en el fondo estamos hablando

de lo mismo, de las operaciones

les que hay que realizar para el uso del conocimiento Por esta razón pienso que el realmente

menta-

matemático.

novedoso en este caso es el

tercero de los ejes, el que hace referencia a las situaciones, que también y de forma más general llamamos «contexto».

Lo que realmente

especial y novedoso al concepto de competencia hace en él al contexto

otro que intenta el desarrollo la perspectiva

es la referencia que se

social. De manera que la diferencia

rrículo que se basa en la transmisión

hace

del conocimiento

de las competencias

del uso social de ese conocimiento

entre un cumatemático

matemáticas

y

está en

y en relevancia

del

mismo para la inclusión social de las personas.

La competencia matemática y el conocimiento de las matemáticas En muchas ocasiones no resulta suficiente siste un determinado finición

afirmativa

diferencia

término,

considerarse

explicar en qué con-

complementar

que intenten

dedicar un espacio a determinar

Por esta razón, considero en qué se diferencian

La razón última

de elegir

una de-

decir en qué se

de otros que, de manera equivocada,

como sinónimos.

y «conocimiento».

y es conveniente

con notas aclaratorias

tal término

intentar

podrían

conveniente

«competencia»

esta contraposición

es

IDEA CLAVE

3


la convicción personal de que todavía se considera que la finalidad última del currículo es transmitir conocimiento,

postura radicalmente

distinta al objetivo de desarrollar competencias. Conviene, por lo tanto, explicar claramente qué no es competencia porque creo que, de esta manera, nos podremos hacer oír por los que sólo entenderán cuando alguien les diga que algo no es una competencia. Se puede decir, de manera sencilla, que conocimiento es elaboración de la información y, como he dicho más arriba, competencia es el uso de ese conocimiento en un contexto. Como puede verse es algo totalmente distinto. Podemos, por lo tanto, afirmar que competencia matemática no equivale a conocimiento matemático: 1. Las competencias no son en sí mismas conocimientos,

habilidades o actitu-

des, aunque movilizan, integran, orquestan tales recursos. (Perrenoud,2004)

Una gran parte del conocimiento matemático que aprenden los actuales estudiantes de la enseñanza obligatoria no es utilizado por ellos en ningún contexto, ni en el momento del aprendizaje ni en momentos posteriores al mismo. Si ésta es una afirmación que puede mantenerse en lo relativo a la enseñanza de las matemáticas en general, cobra una especial relevancia si tenemos en cuenta los contenidos de la enseñanza secundaria obligatoria. Este conocimiento suele resultar bastante efímero y en contadas ocasiones dura más allá de lo exámenes ad hoc que se utilizan para evaluarlo. Si algo ha puesto de manifiesto el programa PISA,es la escasarelación entre el conocimiento matemático que se imparte en el medio escolar y las competencias matemáticas que este proyecto evalúa. Confundir conocimiento, que es el producto de la elaboración de la información que se recibe, con competencia, que es el uso de ese conocimiento en un contexto, es el error sobre el que se funda uno de los malentendidos más dañinos para la correcta comprensión y poste-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


rior aplicación de lo que significa situar las competencias

como ejes ver-

tebradores

evaluar y, pos-

del currículo.

teriormente,

Y lo que es aún peor significa

clasificar a los estudiantes por el conocimiento

que son capaces de aprender y no por la competencia

matemático

matemática

que

son capaces de desarrollar. Existe una opinión

muy extendida

que defiende

guien ponga en acción un conocimiento tanto,

en todo caso el conocimiento

esta afirmación docentes)

innegable

a la competencia.

De

se deduce que a nosotros (los

nos toca enseñar conocimiento

garán otros de pedir a los estudiantes

que no tiene y que, por lo

es anterior

por evidente,

que es difícil que al-

y que después ya se encar-

que pongan

en práctica lo que

les hemos enseñado (no se sabe quiénes son esos otros, aunque se intuye que se refiere al mundo profesional).

Esta argumentación,

que pa-

rece pura lógica, tiene un punto débil porque no se aclara qué significa «antes» y «después». Da la impresión tesis afirman

que es necesario acumular

ble» antes de ponerlo •

Es imposible

«todo el conocimiento

esta posi-

en práctica, cuando se sabe que:

saber todo

pretenderlo •

de que los que defienden

lo que hace falta

antes de actuar y que

es la mejor manera de no hacer nunca nada .

Que conocimiento

y práctica

interactúan

dialécticamente

favore-

ciéndose mutuamente.

Es decir, que la puesta en práctica de los conocimientos bilidad cognitiva de los mismos y el conocimiento competencia!.

Por lo tanto,

que conocimiento

refuerza la esta-

mejora el desempeño

no existe un «antes» y un «después», sino

y competencia coexisten y se refuerzan de forma posi-

tiva si se sabe combinarlos adecuadamente.

Las teorías de la acción refle-

xiva afirman taxativamente

que la reflexión sobre la acción (competencia)

es fuente de conocimiento,

que a su vez puede guiar la acción para hacer

que ésta sea más eficiente.

Estamos en la situación que ejemplifica

fectamente

per-

el cuento del huevo y la gallina. ¿Qué fue antes el huevo o la

IDEA CLAVE

3


gallina? ¿Qué es antes el conocimiento

o la competencia? No tiene ningún

sentido plantear las cosas así. Lo que hay que hacer es reflexionar el conocimiento

sobre

necesario para la práctica y sobre las prácticas que gene-

ran conocimiento,

utilizando

una lógica dialéctica y no secuencial, por-

que las cosas en esta cuestión no son lineales, sino circulares o más bien similares a las espirales, que vuelven y avanzan a la vez. Debemos dejar bien establecido no son la misma cosa y que guardan circular y no de dependencia

que conocimiento

y competencia

entre sí una relación dialéctica

lineal jerárquica

y

(primero el conocimiento

teórico y luego la práctica). Así pues, situar las competencias como eje del currículo y no los contenidos (conocimiento)

implica que deberán trabajarse

léctica y no secuencial) los conocimientos de las competencias

(de manera dia-

necesarios para el desarrollo

elegidas, es decir que deberán justificarse

tenidos escogidos en base a las competencias

los con-

que tengan que desarro-

llarse. Y, aunque es cierto que no pueden existir el uno sin el otro, en el caso del currículo por competencias de dirección finalista,

a éstas les corresponde

mientras que el conocimiento

a lo necesario para llegar a los fines establecidos ser un fin. El conocimiento competencias,

es indispensable

pero no, lógicamente,

sólo aquel que sirve para el desarrollo una cuestión de prioridad

el papel

debe supeditarse

porque ha dejado de

para el desarrollo

todo el conocimiento de las competencias

de las

posible, sino elegidas. Es

estratégica.

los contextos de uso de las matemáticas y su relevancia para el currículo de matemáticas por competencias El

término

«contexto»

es un tanto confuso y puede entenderse

puntos de vista no coincidentes.

desde

Tal vez por esta razón convenga con-

cretar, por medio de ejemplos, a qué me refiero cuando hablo de contexto en estas ideas clave.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


El proyecto

PISA cita cinco contextos

de uso de las matemáticas:

1. Personal. 2. Educativ02• 3. Profesional. 4. Público. 5. Científico.

Introducir

los contextos

como eje organizador

tribución

más interesante,

que aporta el denominado

del currículo

es la con-

desde el punto de vista del diseño curricular, «currículo

por competencias».

Esto quiere

decir que habrá que desarrollar

las competencias

precisas para poder integrarse

de manera plena y activa en estos con-

textos.

En consecuencia,

deberán

trabajarse

matemáticas

los contenidos

que sean

que sean

necesarios para este desarrollo

y no otros. La dirección

vendría desarrollar

no apunta, por lo tanto, a la epistemo-

el currículo

logía de las matemáticas,

ni al desarrollo

en la que con-

del pensamiento

matemático,

ni a la abstracción, sino al uso social de esos conocimientos las personas que se educan, entendiendo turales de desarrollo

por «social» los ámbitos

na-

de las personas en nuestra sociedad.

Lo que sucede es que estos contextos ni el mismo significado

por parte de

no tienen la misma relevancia

para todas las edades ni para todas las personas.

Es decir, dicha relevancia

es distinta

a la edad de seis años, a la de ca-

torce, a la de veinte o a la de 35, por citar algunas edades. Y tampoco es lo mismo tener veinte años y trabajar des almacenes que estar estudiando

de dependiente

para «trabajador

en unos gransocial» o «inge-

2. No me parece claro hablar de contexto educativo porque creo que si hablamos de currículo escolar, lo educativo es precisamente el contexto que engloba a todos los demás. Desde la escuela, y no desde la familia, ni las instituciones sociales, ni los centros de trabajo, ni los centros de investigación, trabajaremos competencias que pueden aplicarse en el resto de contextos: personal, profesional, público (social) y científico (académico).

IDEA CLAVE

3


niero». Los contenidos matemáticos, lo que sabemos de las matemáticas, no son pues los que determinan el currículo, sino la necesidad que tienen las diferentes personas en los distintos momentos de su vida de usarlos en los contextos sociales en los que viven. De todas maneras existen contextos que se aplican de manera general a todas las personas y otros que no. Por una parte, todos tenemos que actuar en el contexto privado o familiar y en el público o social, y desde este punto de vista podemos hablar de competencias de nivel básico, que son precisamente aquéllas necesarias para desenvolverse en estos contextos (no confundir el término «competencia de nivel básico» con el de «competencia básica», usado a veces como sinónimo de competencia clave). Por otra parte, está el mundo profesional donde no todos hacemos el mismo uso de las matemáticas. Las matemáticas que forman parte de los conocimientos necesarios para el desempeño profesional no deberían formar parte de las competencias obligatorias

para toda la población, porque no son utilizadas por

todos. Ésta es una distinción clave para encarar la resolución del fracaso escolar, porque mientras es razonable que se exijan en la educación que es para «todos» las competencias que «todos» debemos utilizar (ámbito personal y público), es poco razonable que se exijan las que no debemos utilizar todos (terreno educativo, profesional y científico). Sigo en este instante la terminología que utiliza PISA,aunque ya indicaré en su momento mi consideración de que sería bueno reformular y definir con mayor precisión el significado de estos términos. Conviene recordar que el propio conocimiento matemático no es neutro con relación a esta cuestión y que se pueden identificar con facilidad partes del mismo que se usan en casi todos los contextos, así como otras partes cuyo uso está mucho más extendido en unos contextos que en otros. Por poner un ejemplo: el cálculo aritmético básico se utiliza, prácticamente, en todos los contextos de uso de las mate-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA


máticas, pero el álgebra, en cambio, está muy unida al uso que se hace de las matemáticas en el contexto científico. Y esta distinción es importante

porque nos marca un criterio claro para poder decidir

qué competencias son relevantes para formar parte ineludible de los currículos de la enseñanza obligatoria y cuáles no lo son. El problema que tenemos en este momento es que sólo disponemos de unos enunciados generales de qué son las competencias matemáticas, y que todavía no han llegado a manos de los educadores mejores propuestas operativas que concreten esta generalidad

en objetivos y

tampoco las tareas escolares que sustituyan a las actuales. A falta de esta concreción, lo que sí tenemos es mucha retórica y bastante palabrería en los diferentes niveles y escalones del sistema educativo. Además habrá que ir un poco más allá, porque no será suficiente con ejemplificar qué queremos decir cuando hablamos de competencia matemática (PISA puede ser un buen ejemplo), sino que tendremos que indicar la manera de ordenar las competencias matemáticas por niveles, como ya se ha hecho con las competencias linguísticas en el marco de la Unión Europea, y señalar, posteriormente, niveles consideramos «obligatorio» educación obligatoria.

cuál de esos

para todos los estudiantes en la

La evaluación y la consiguiente selección de

estudiantes no pueden depender sólo de decir que se desarrollen competencias matemáticas, sino más bien de que seamos capaces de determinar los ámbitos de su aplicación que son exigibles a todos los estudiantes, y de identificar

con claridad los niveles de logro que

deben ser capaces de conseguir en los mismos. En la actualidad distamos mucho, por desgracia, de ser capaces de identificar esas competencias yesos niveles. Proclamar que queremos una enseñanza de las matemáticas para «todos los estudiantes» y proponer que el núcleo de esa enseñanza lo constituyan conocimientos cuyo uso social es más bien escaso es una contradicción

irresoluble.

Por más que nos empeñemos en

IDEA CLAVE

3


desarrollar

didácticas

muy elaboradas

fracaso en el aprendizaje el problema

de las matemáticas

en «cómo se enseña»,

sobre todo en «qué se aprende». el agotamiento

para resolver didáctica

es fundamental

del

porque

mucho tiempo,

fun-

sino «en qué se enseña»

y

Ésta es la razón que explica, en mi

de lo que podemos

los problemas

el problema

no se resolverá;

no está, como se ha creído durante

damentalmente

opinión,

y sofisticadas,

llamar la «vía didáctica»

del fracaso escolar en matemáticas.

para la buena enseñanza,

La

pero es poco útil

cuando lo que se necesita es un cambio de rumbo de calado, porque la didáctica

no indica el rumbo,

que éste ha sido ya elegido.

sino cómo colocar

La didáctica

las velas una vez

se dedica a estudiar

los me-

dios y nunca los fines. Aceptar que la «competencia del conocimiento desarrollo currículo

matemática»,

matemático

en los contextos

de la persona y su integración escolar en la educación

matemático»,

«razonamiento

matemático»

organizarse

para el

activa-

de la que se deriva de considerar

las «formas de pensar matemáticas»,

que lo sustantivo

Esta aceptación

trata de buscar las matemáticas

no son las matemáticas,

sino el uso

hay que poner el conono se

en el medio social o natural como si el

para aprender

que se trata es de interpretar,

el

también

al servicio de su uso social y no viceversa. Por lo tanto,

medio fuera un pretexto

el

como los hitos en torno a los cuales debe

social que de ellas se hace y, en consecuencia, cimiento

relevantes

supone defender

la enseñanza de las matemáticas.

supone entender

como el uso

en el medio social, es el eje del

obligatoria

mente una postura bien diferente «conocimiento

entendida

modificar,

matemáticas,

sino que de lo

adecuar el medio para su buen

uso social y usar el conocimiento

matemático

que sea preciso para ese

fin. Así entendida,

matemática

es una competencia

la competencia

todos porque es condición no solamente

de desarrollo

una competencia

lo mismo definir

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

el currículo

personal e integración

para

social y

para los científicos o los técnicos. No es considerando

las matemáticas

como un


«área de conocimiento» diferencia

que hacerlo como una «competencia

fundamental

clave». La

hay que buscarla en el énfasis social que se

pone en la segunda opción, énfasis o acento que no existe en la primera.

las competencias matemáticas y el uso de la tecnología. Una última definición de competencia matemática En mi opinión

a las definiciones

que sobre competencia

hemos dado les falta un elemento logía. Si aceptamos,

como se propone

es «uso de conocimiento

tra, se caracteriza

fundamental:

no podemos obviar que el uso

de los casos utilizando

instrumentos,

y mucho más en una sociedad que, como la nuespor el uso de la tecnología

para casi todas las accio-

nes de relevancia social. Tal vez la manera de iluminar poner

un simple ejemplo.

Supongamos

esta cuestión sea

que necesitamos

media de una serie de datos porque estamos haciendo tadístico,

la tecno-

en este texto, que competencia

en contexto»,

de algo se hace en la mayoría es decir: tecnología;

estructural

matemática

llegados a ese momento

tenemos

calcular

la

un estudio es-

diversas opciones y cada

una de ellas exige la puesta en acción de competencias

diferentes,

por-

que no es lo mismo calcular esa media con papel y lápiz que hacerlo con calculadora

no científica,

cerlo usando el ordenador

hacerlo con calculadora

científica

o ha-

y una hoja de cálculo. Podría suceder que

fuésemos capaces de hacer ese cálculo utilizando

un tipo de tecnolo-

gía y no otra. Esfácil que alguien considere esta cuestión un tanto obvia y en consecuencia anecdótica,

pero en mi opinión

del uso de conocimiento tecnología

en contextos

que en ese contexto

no lo es. Si estamos hablando

de relevancia social, el uso de la

social se considera más eficiente

una cuestión menor, porque precisamente

del uso eficiente

no es

de la tec-

nología adecuada depende en gran medida el valor social de esa com-

IDEA CLAVE

3


petencia. Esperfectamente imaginable que en el mundo profesional la competencia de hacer estudios estadísticos utilizando el papel y el lápiz como medio de cálculo no sea considerada como una competencia de alto valor. Ésta es una cuestión de mucha importancia para el currículo escolar de matemáticas porque el uso de la tecnología en el aprendizaje de las matemáticas es un asunto sin resolver y que tiene mucho que ver con los ámbitos sociales de uso de las matemáticas y, por lo tanto, con los criterios de obligatoriedad de ciertos aprendizajes, criterios que deben ayudamos a deslindar con claridad qué es eso que llamamos «matemáticas para todos». No parece razonable que estemos proponiendo como uno de los ejes del currículo la competencia digital (competencia 4 en la propuesta europea y parte de la competencia 4 en la propuesta de la LOE),y luego no la tengamos en cuenta cuando nos planteamos el desarrollo de la competencia matemática. La competencia matemática es una competencia que se cruza con otras, entre ellas la digital -entendida como el uso de lastecnologías de la información-, y de ese cruce se derivan consecuencias importantes. Así pues, la competencia matemática debería definirse como: El uso de conocimiento matemático en contextos de relevancia social utilizando en cada caso la tecnología más eficiente. En muchas ocasiones la tecnología más eficiente será el lápiz y papel, pero en otros muchos casos lo serán la calculadora o el ordenador. En matemáticas existen contextos (el profesional y el científico) en los que el uso eficiente del conocimiento exige la utilización de tecnología (calculadora, ordenador) y otros (personal) en que los modos más eficientes son meramente orales, esto es la excepción que confirma la regla. Ésta es una cuestión que no deberemos olvidar a la hora de definir los niveles básicos de las competencias exigibles para «todos»; porque el logro de la competencia exigirá, en ocasiones, el uso de la tecnología que sea apropiada al caso.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


Los ámbitos de uso de las matemáticas y su importancia relativa a la hora de organizar el currículo de matemáticas según las diversas etapas educativas El proyecto PISA cita cinco ámbitos de uso de las matemáticas:

personal,

educativo,

de anali-

profesional,

zar el significado

público y científico.

de esta elección,

Con la intención

simplificar

en la medida

de lo

posible y, sobre todo, clarificar qué se quiere decir cuando se citan estos contextos,

con la precaución

original y recogiendo vemos a proponer

de no deformar

demasiado

la propuesta

todo lo sustantivo que hay en la misma, nos atrelos siguientes

para su consideración

estructural

ámbitos

de uso de las matemáticas

en el currículo:

+ Personal - familiar Con este ámbito

pretendemos

abarcar los espacios más cercanos a la

persona, los que ocupan su vida con los seres que forman su círculo más próximo.

Resulta evidente

tencia matemática, de escolaridad

que, en lo que hace referencia

este ámbito es muy importante

y que, aun siendo siempre

peso según se aumenta La digitalización

una

matemática

serie

de

cambios

más elemental.

y programar

que

el que funciona

tecnológi-

afectan

a la competencia en el uso habi-

de displays o pantallas que permiten

dichos aparatos. En todas esas pantallas se usan

miten elegir un programa

para guardar

va perdiendo

en los hábitos de vida do-

Estos cambios se concretan

números y medidas (las más habituales

durante

importante,

de la gran mayoría de los instrumentos

tual, ya desde edad muy temprana, controlar

en los primeros años

la edad de los escolares.

cos que se usan en el hogar ha introducido mésticos

a la compe-

son las de tiempo)

que nos per-

de TV, saber qué hora es, controlar el microondas

un programa,

o el horno, programar

llamar por teléfono,

programar

el tiempo el vídeo la calefac-

IDEA CLAVE

3


ción, etc. Esta tendencia

a sustituir elementos de control mecánicos por

otros basados tan sólo en la electrónica

digital

va a ir en aumento,

de manera que en las próximas décadas el uso de números y medidas numéricas para el control algo «normal»

de los aparatos domésticos

en las sociedades tecnológicamente

el mando de la TV sea un caso que ejemplifica

se convertirá

en

avanzadas. Tal vez

y resume perfectamente

lo que estamos diciendo. Es cierto que el desarrollo para el uso de estos aparatos

de la competencia

matemática

se suele conseguir

necesaria

de manera bastante

«natural»,

es decir sin que medie un entrenamiento

nalmente,

y que la mayoría de niñas y niños son capaces de hacer fun-

cionar

estos aparatos

digamos

mejor,

incluso,

que sus propios

abuelos. ¿Quiere esto decir que no debemos

competencias

competencias

intencio-

padres y no considerar

las

de este ámbito como algo que forma parte del currículo

escolar por obvio e innecesario,

tencional?

dirigido

y que debemos

centrarnos

en otras

que no se van a desarrollar si no media un aprendizaje

Es un debate interesante

in-

porque la respuesta «no» es, desde

luego, obvia. Sin querer zanjar la cuestión, sí conviene añadir un elemento para la reflexión:

el aprendizaje

desarrolla de manera «natural» tipo de tecnología,

de este tipo de competencias

si el medio familiar

hecho que sucede actualmente

hogares de las sociedades tecnológicamente ría no son todos y no debemos olvidar

se

está dotado de este en la mayoría de los

avanzadas, pero la mayo-

a los niños y niñas que, prove-

nientes de sectores sociales con escasas rentas, no tienen acceso a este tipo de tecnología.

Por lo tanto,

la función

compensatoria

cuela debe ejercer para que la igualdad de oportunidades

que la esno sea papel

mojado implica que se sea sensible a esta cuestión y que se asegure que todos los niños y niñas tengan acceso a este tipo de tecnología, en el hogar o en la escuela. Además, es anacrónico teniendo

contextos

con tendencia

de aprendizaje

a un bucolismo

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

que se sigan man-

tecnológicamente

un tanto trasnochado,

ya sea

atrasados,

y que no se usen


los actuales a la hora de trabajar

los aspectos más básicos y elementales

de las matemáticas.

Social El

uso social de las matemáticas,

de vida también

si entendemos

llamado «público»,

por «social» el contexto

«comunitario»

es, sin lugar a dudas, la razón más importante considerar

la inclusión

de la enseñanza lo cotidiano

obligatoria

obligatoria.

que puede aducirse para

de las matemáticas

El uso del conocimiento

está tan extendido

manera tan ubicua y estructural el aire cuando está quieto,

o «interpersonal»,

y forma

en el currículo matemático

parte de nuestra cultura

pasa inadvertido.

Queda fuera de lugar, de

pretender

realizar

haustivo del uso que se hace del conocimiento social. Pero a modo de recordatorio

un inventario

matemático

en el deporte,

en el consumo, en el tráfico

reguladores,

en las tecnologías

municación,

en la salud, en los transportes

de la información,

uso de las

y sus códigos

en los medios de co-

y en un inacabable

La crisis en la enseñanza de las matemáticas

etc.

en la edad obligatoria

proviene del hecho de que mientras el uso social de las matemáticas

extremos

inimaginables

mismas no ha variado,

ex-

en el medio

sirvan estos ejemplos:

matemáticas

hasta impregnar

de

que en muchos casos, como sucede con

nuevo por obvio e innecesario,

ha extendido

en

se

casi todas las actividades sociales y hasta

hace bien poco, la enseñanza manteniéndose

escolar de las

insensible a estos cambios so-

ciales y a las consecuencias que los mismos tienen en la vida de las personas que se están educando. los contextos

de aplicación

En muchas de las tareas de matemáticas,

brillan

precisamente

es que cuando aparece algún contexto,

en muchos casos, resulta ana-

crónico cuando no cómico. Las tecnologías biado radicalmente

por su ausencia, pero

de la información

el uso social que se hace del conocimiento,

versión escolar de la enseñanza de las matemáticas

han campero la

parece no haber to-

mado nota de este cambio cuando diseña el currículo de la enseñanza

IDEA CLAVE

3


obligatoria;

no solamente

mientos matemáticos letos, sino porque matemáticas

porque ha cambiado

tradicionales,

ha abierto

dejando algunos totalmente

nuevos contextos

de aplicación

en el mundo de la vida social que no se contemplan.

este contexto

donde se puede ejemplificar

relación entre conocimiento entender

el valor de los conoci-

la prioridad

de las Esen

de manera paradigmática

y competencia,

de aquellos

obso-

la

porque es donde se puede

contenidos

cuyo peso en la vida

social es básico y necesario sobre aquellos en los que es accesorio y prescindible. Como ya hemos dicho, aunque repetirlo petencia matemática

no nos va a cansar, la com-

para integrarse en el medio social y ser un agente

crítico y activo en el mismo es la razón de mayor peso que se puede poner sobre la mesa a la hora de argumentar sencia de las matemáticas

la necesidad de la pre-

en los currículos de la enseñanza obligatoria.

La competencia

matemática

rrículos

porque

sirva para desarrollar

miento,

ni porque ayude a razonar o porque sirva para desarrollar

pensamiento

abstracto

y psicologicista

no es un eje estructural formas

(LOCE), ni por ninguna

de los nuevos cu-

superiores

como conocimiento, de oportunidades

porque es condición

el

razón de tipo idealista

que se pudiera aducir. La competencia

en los currículos de la enseñanza obligatoria,

de pensa-

matemática

está

como competencia

y no

del desarrollo

de la igualdad

en nuestro medio social. Y esto es algo que no de-

beríamos olvidar cuando evaluamos a nuestros estudiantes

al finalizar

la educación obligatoria.

Profesional El contexto

profesional

es aquel que está relacionado

con el trabajo

de

las personas. En las sociedades actuales se considera que todas las personas deben aspirar a tener una actividad laboral, por lo tanto este contexto tiene, en principio, población.

aspiraciones de ser universal con relación a la

Aspiramos a dejar atrás, en la historia,

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

el tiempo

en el que


las personas dependían función

profesional.

de por vida de otras que sí desarrollaban

Hoy en día la aspiración

social normal es «traba-

jaD>, porque una persona que no consigue un trabajo remunerado

difícilmente

la podremos

una

considerar

adecuadamente

ciudadano

activo de

plenos derechos. Esto lo sabemos todos y no es necesario insistir. Así pues, el que denominamos

contexto profesional

contexto muy importante

a partir de la edad en la que terminada

cación obligatoria

las diferentes

lidas profesionales

que les permitirán

Según la siguiente

o, si se prefiere, laboral es un

resolución,

personas se van orientando

la edu-

hacia las sa-

integrarse en el medio laboral.

citada anteriormente:

(.. .) casi el 50% de los nuevos puestos de trabajo exigirá cualificaciones de nivel superior, algo menos del 40%, enseñanza secundaria superior y tan sólo el 15%, aproximadamente, será adecuado para trabajadores que dispongan de escolarización básica. (Parlamento Europeo, 2005)

Por lo tanto,

si nos atenemos a estos datos, podemos afirmar

un 90% de la población

necesitará para el desarrollo

sional estudios de nivel superior

profesional

guirse en la educación

tobligatoria

quiere decir como mínimo

matemática

obligatoria.

de la que puede conse-

En mi opinión,

el contexto más importante

lo es el profesional.

ñanza la finalidad

así como en la

es el social, en la pos-

Si en la etapa obligatoria

de la educación matemática

de las competencias

que permitiesen

de la ense-

debiera ser el desarrollo

la plena integración

de una per-

sona en el medio social general, en la etapa postobligatoria, lo que dure, la finalidad permitiesen

su-

de grado medio. Así pues, un 90% de la pobla-

ción necesita más competencia

educación obligatoria

de su vida profe-

(50%) o de nivel de la secundaria

perior (40%), en nuestro sistema educativo un módulo

que casi

debiera ser desarrollar

la integración

dure ésta

las competencias

que

laboral de esas mismas personas. Y esta afir-

mación vale tanto para aquellas personas que vayan a acceder a «puestos de trabajo

que exigirán

cualificaciones

de nivel superior»,

como a

IDEA CLAVE

3


aquellas que lo hagan a «puestos que exigirán cualificaciones

de ense-

ñanza secundaria superior». Las cualificaciones

y las competencias

para la incorporación

a ellas asociadas, necesarias

al mundo del trabajo,

por los niveles que hemos distinguido

son diversas no solamente

hasta ahora -nivel superior o uni-

versitario y nivel de secundaria superior-,

sino porque incluso dentro de

cada uno de esos niveles existen profesiones ferente

del conocimiento

mación diferenciada.

matemático

y precisan, por lo tanto,

de for-

Resulta evidente que las cosas deben hacerse paso

a paso y que nadie puede pretender cundaria

que hacen un uso muy di-

que en los primeros años de la se-

superior y, sobre todo, en el caso de los que estudian

bachi-

llerato se pueda ofertar

un currículo a la carta, porque para empezar ni

siquiera los estudiantes

de esas edades tienen una visión clara de hacia

qué profesión

dirigen sus pasos. Una sugerencia

podría ser estudiar la conveniencia

que cabría considerar

de utilizar en el bachillerato

las mis-

mas ramas que se van a usar en los grados universitarios: •

Artes y humanidades.

e

Ciencias.

e

Ciencias de la salud.

e

Ciencias sociales y jurídicas.

Ingeniería

o

alguna

y arquitectura.

otra agrupación

de las mismas. La idea consiste concreta-

mente en que o bien se oferten

matemáticas

o bien, en los centros más pequeños, creo que debe defenderse guir

desarrollando

hacer orientándola

antes se llamaban y jurídicas

las más afines; pero

matemática,

hacia los desempeños

laborales

tienen

aunque

que selo deben

a los que se diri-

un error pensar que los estudiantes

de «letras» (artes y humanidades,

en la clasificación

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

se agrupen

que todos los estudiantes

la competencia

gen. Es decir que considero

para las diversas ramas,

que

ciencias sociales

de las ramas) dejen de aprender

mate-


máticas en sus estudios de bachillerato día no existe desempeño petencia matemática, competencias

profesional

y grado universitario.

que no tenga que ver con la com-

y por esta razón ha sido elegida como una de las

clave que debemos desarrollar

A este respecto

Hoy en

a lo largo de toda la vida.

hay que decir que las enseñanzas

profesionales,

tanto las de grado medio como las de superior, son un ejemplo que hay que tener en cuenta. En estas enseñanzas hace ya algunos años que se ha abandonado jan solamente

la idea de enseñar matemáticas aquellas competencias

perfiles profesionales

en general y se traba-

que están relacionadas

para los que forman

los correspondientes

los. Por supuesto, este modelo no vale para el bachillerato pecialización

profesional

«profesionales»,

módu-

porque la es-

que existe en las enseñanzas denominadas

como si el resto no lo fueran, no existe en el bachille-

rato, que tiene que tener una vocación de formación Iivalente. Sin embargo,

más general y po-

una cosa es que el bachillerato

deba mantener

una posición más amplia con relación a las competencias y otra muy distinta nocimientos

con los

es que su currículo,

en su conjunto,

matemáticas se nutra de co-

que tienen un claro sesgo academicista y que en lo tocante

a lo profesional

casi todo se oriente al ámbito científico-tecnológico.

La actual reforma de las universidades ropeo de Educación Superior obligará inscribirse en una de las siguientes dica el MEC (2006, apartado

a las titulaciones

universitarias

ramas de conocimiento

a

según lo in-

26):

Ciencias.

Ciencias de la salud.

Ciencias sociales y jurídicas.

Ingeniería y arquitectura.

Artes y humanidades.

Esta elección supondrá

para adecuarse al Espacio Eu-

que, con independencia

del título

elegido den-

tro de una rama, una cuarta parte (60 créditos ECTS) de los 240 crédi-

IDEA CLAVE

3


tos que pide el grado deberá ser común a todas esastitulaciones. Por lo tanto, dicha elección marca ya un camino de diferenciación del currículo en el ámbito profesional que debería ser tenido en cuenta tanto para la construcción de la oferta curricular del bachillerato como para la organización de los exámenes de selectividad. Si la gran reforma que hay que realizar en la enseñanza obligatoria es asegurar que todos los ciudadanos puedan desarrollar las competencias que permitan su plena integración social, amén del logro del equilibrio personal, el gran esfuerzo que se debe realizar para llevar el lenguaje de las competencias a la enseñanza secundaria postobligatoria y a los grados universitarios consiste en considerar el contexto profesional como el espacio de referencia natural. En esta dirección hay que hacer más de una propuesta. He aquí un par de ellas. •

Los currículos de la secundaria postobligatoria deberían adecuarse progresivamente

a los ámbitos denominados «ramas de conoci-

miento» definidos por la reforma universitaria. • Todos los grados universitarios, no sólo los de los ámbitos de «ciencias» y «arquitectura e ingeniería», deberían contener propuestas de matemáticas en sus currículos.

En los colfege norteamericanos

(lo más parecido que existe a nivel

no europeo de lo que será el grado en nuestras universidades) tal y como cuenta Rosovsky (1990) existe lo que se denomina core currículum, esta parte central o nuclear del currículo ocupa una cuarta parte del total del currículo del grado (bachellor) y está formado por materias entre las que se encuentran las matemáticas. En la página web de la Universidad de Harvard y refiriéndose

a esta cuestión

puede leerse: The Care Curriculum far undergraduate quirement

and a philasaphy.

dergraduates

educatian at Harvard is bath a re-

The requirement

can be simply stated.

Un-

must devate almast a quarter af their studies ta courses in

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


the following areas of the program: Foreign Cultures, Historical Study, Literature and Arts, Moral Reasoning, Quantitative Reasoning, Science, and Social Analysis. (http://my.harvard.edu/icb/icb.do ?keyword=core) El currículo central o nuclear para la educación de pregraduado es tanto un requerimiento como una filosofía. El requerimiento puede ser sencillamente especificado: los estudiantes de pregrado deben dedicar al menos una cuarta parte de sus estudios a cursos en las siguientes áreas del programa: culturas extranjeras, historia, literatura

y arte, razonamiento moral,

razonamiento cuantitativo y análisis social.

Resulta evidente que lo que aquí se llama «razonamiento cuantitativo» hace referencia a las matemáticas. Dicho de otra manera hay que comprender que las competencias matemáticas necesarias para el buen desempeño profesional deben diversificarse, pero a su vez extenderse, hacia las ramas de conocimiento de las que suelen estar ausentes en los currículos universitarios. En la universidad si «eres de letras» puedes ser un analfabeto matemático e incluso tenerlo a gala, pero esta situación es un desatino porque no existen en la actualidad profesiones de nivel superior que no hagan uso de conocimiento matemático y que no necesiten para su correcto desempeño competencias matemáticas. El grado universitario se convertirá en el futuro cercano en la finalización de los estudios de la mayoría de la población. Recordemos que los objetivos europeos son que para el 2010 el número de quienes logren este nivel seasuperior al 50%. Y esto implica que no se pueda contemplar la reforma de los currículos preuniversitarios si no se hace a la vez con los universitarios,

que en esta nueva jerga llamaremos de

pregrado. La profesionalización de una gran parte de la población mediante el logro del grado universitario implica que debe extenderse la educación matemática a todas las ramas de conocimiento,

porque

desde el punto de vista del contexto profesional ésta va a ser un refe-

IDEA CLAVE

3


rente esencial. ¿Qué significa, sino, que la competencia matemática haya sido definida por la Unión Europea como una de lascompetencias clave que debemos desarrollar a lo largo de toda la vida?

Científico-académ

ico

Entendemos por contexto científico-académico

el ámbito mayorita-

riamente universitario -ya que existen instituciones no universitarias que se dedican a la investigación- dedicado al cultivo y desarrollo del conocimiento y la investigación con independencia de la aplicación que se haga del mismo en el medio social. A veces a este ámbito se le denomina ámbito de la investigación y se desea adjetivarlo de la «investigación pura». Es evidente, y no creo que sea necesario insistir mucho en ello, la importancia que tiene este contexto para el desarrollo humano, social y económico. La investigación tanto pura como aplicada es condición

imprescindible

para la innovación

y para la

resolución de muchos de los problemas sociales actuales. Ésta es una cuestión fuera de duda en mi opinión, pero en este texto hablamos, fundamentalmente,

de currículo y lo que no queda claro es qué rela-

ción debe tener este contexto con el currículo en las distintas edades. Como ya he dicho y justificado con anterioridad, la dependencia que existe en los niveles preuniversitarios de las personas que trabajan en este contexto o ámbito, o que han sido formadas en él de manera casi exclusiva, es excesiva. En la página web de la Organización de Estados Iberoamericanos (www.oei.es/noticias/spip.php?article532)

en la que se cita el informe

COTEC2007, puede leerse: Al comparar el empleo en 1+0 con respecto al total de la población activa, España ha mejorado este ratio al igual que Francia, Italia y Polonia, pero todavía esta lejos de países como Alemania y Francia. También se observa que el ratio de España es superior al de Italia desde el año 2000, situándose en 2004 en el 8,8 por mil.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


Es decir que según estos datos un 0,9% de la población fesionalmente

a la investigación

ellos son investigadores,

en España, pero solamente

versitarios

7, según la Conferencia

de Rectores de

Españolas (CRUE), el número total de profesores

de las universidades

(aproximadamente

un 62% de

o sea un 0,5% del total de la población.

Tal como muestra la figura las Universidades

se dedica pro-

públicas españolas

un 0,2% de la población

ronda

uni-

los 80.000

española).

Figura 7

~ Información

académica,

productiva

y financiera

de las Universidades

Públicas de España

3.8. RECURSOS HUMANOS Personal docente ciales

e Investigador

(P.D.!.) en Universidades

Públicas presen-

FUNCIONARIO Efectivos CONTRATADO TOTALP.D.1. % Efectivos 3,426 1S,92 15,781 4,444 13,19 19,86 16,417 7,971 23,66 20,29 20,44 100,00 34,933 100,00 84,168 10,888 24,223 10,846 10,17 13,334 32,32 13,51 30,16 28,60 7,420 24,34 11,347 5,062 13,033 6,958 20,85 10,86 16,23 9,459 49,235 RAMAEfectivos DE

Fuente: www.ujaen.es/serv/gerencia/íma

ges/webestud

íocrue04/ímages/

03%20nacio-

nal.PDF

Los datos se refieren al año 2002, pero en estos últimos años las variaciones en el número de profesores universitarios En España existen universidades menor presencia en el territorio

han sido casi inexistentes.

privadas, pero disponen de mucha

y de menor número de profesores. Po-

demos estimar su incidencia en algo menos del1 0% si se compara la privada con la universidad

pública. En pocas palabras, podemos estimar en

unas 100.000 las personas que se dedican a la profesión de profesor universitario.

Si las sumamos a las otras 100.000 que aproximadamente

investigadores

son

(aunque aquí estamos sumando dos veces a las mismas

IDEA CLAVE

3


personas p-orque una gran parte de los docentes universitarios vestigadores

profesionales)

tendremos

pone un 0,5% de la población todos los que comienzan ámbito científico-académico. impresionante

un total de 200.000, lo que su-

española. Por lo tanto,

a estudiar,

son in-

de 100, que son

99,5 no pertenecerán

Pero lo más impactante

nunca al

no es eso, lo más

es que de los que llegarán a superar el nivel universita-

rio (algo más de un 50% de la población

según las estimaciones

euro-

peas ya citadas) un 99% no se dedicará ni a la docencia e investigación universitaria cualquiera

ni a la investigación

profesional.

Las cifras están ahí para

que desee comprobarlas.

Ahora es cuando creo que se puede comprender supone el academicismo

del sistema educativo.

el sinsentido

que

¿Qué sentido tiene or-

denar el currículo desde un ámbito que no será nunca alcanzado por la inmensa mayoría

de la población

a la que se destina

la vez que decimos, voceamos y repetimos tanto demagógica

mayoría

académicos

necesita

considerar tan importante será utilizada

otras

de manera machacona y un

anteriores

para organizar

competencias?

el currículo

parte de la población?

son todavía muchísimo

cimos a los académicos del ámbito científico

si la in-

¿Qué sentido

una manera de ver las matemáticas

por una ínfima

los porcentajes

a

ese eslogan de «escuela para todos»? ¿Por qué de-

bemos seguir criterios mensa

la educación,

tiene

que sólo

Obsérvese que

menores si los redu-

o matemático.

¿Quiere esto decir que este ámbito es irrelevante y que carece de valor social porque a él se dedican, relativamente,

pocas personas? Ya he dicho

que no es ésa mi opinión, porque la cantidad de personas que se dedican a una labor no es criterio suficiente

para determinar

misma. De hecho es un ámbito fundamental que intento

el valor social de la

para el desarrollo social. Lo

poner en cuestión no es eso, sino su función

de polo atra-

yente del currículo escolar, su valor para servir de norte al que dirigirse, su pretensión

de regular los contenidos

que hay que aprender y su ten-

tación de imponer su manera de ver las cosas sobre el resto de ámbitos.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


En resumen Las matemáticas dicionalmente

escolares están en el camino que va de ser un área de conocimiento asentada en el currículo a una competencia

clave que hay que desarrollar

a lo largo de toda la vida. Éste es un cambio de perspectiva lugar central que ocupaba el corpus de conocimiento social que se hace de dicho conocimiento. temología

mienta para el desarrollo

para situarlo en el uso deja de ser la epis-

de esos conocimientos

como herra-

y académico de los ciudadanos.

bien el concepto de

competencia matemática,

de manera cuidadosa y a ser cautos y responsables a la hora de señalar los fines

de la educación obligatoria

matemática

que debe vehicularse

como postobligatoria.

He intentado

ciales sobre qué es la competencia del conocimiento

matemático

social y profesional.

de la escuela

recoger qué se dice en los documentos

matemática

y creo poder concluir que se trata del uso

de uso del conocimiento

de las competencias

social es el más importante

gatoria y el profesional

ofi-

señalando

debe jugar en esta cuestión.

se hace desde esta óptica

como

tanto

necesario para el pleno desarrollo de la persona en el medio

He indicado que los contextos

que el contexto

en el currículo,

También he añadido algún nuevo matiz a esas definiciones

el papel que la tecnología

máticas

matemático

personal, social, profesional

Esta nueva visión nos obliga a justificar a definirlo

radical porque desplaza el

De manera que lo relevante

del área para pasar a serio la importancia

tra-

a la postobligatoria.

competencia

necesaria

son la mayor aportación

al diseño del currículo,

en lo que hace referencia También he intentado

para

los distintos

que

y he señalado a la escuela obli-

señalar que las mate-

desempeños

profesionales

deberían estar presentes en ámbitos de estudio de los que se las destierra con excesiva premura, y que la cuestión no debe enfocarse en si se necesitan más o menos matemáticas, sino en el tipo de matemáticas

que se necesitan. He usado la metáfora

leros para señalar la necesidad de situarse en el momento tica y adocenada, continuar

aprovechar

lo positivo

actual, pero no de manera acríque tienen

estas ideas para

tras el ideal de una educación que mire hacia las necesidades sociales desde va-

lores de solidaridad queremos

sino sabiendo

del viento y los ve-

y equidad.

No elegimos hacia dónde sopla el viento,

pero sí adónde

ir.

IDEA CLAVE

3


Los currículos de matemáticas debe-

mismos varía con las edades de los es-

rían organizarse teniendo en cuenta

tudiantes y en función de que la edu-

los tres ejes que se marcan en el pro-

cación sea obligatoria o no lo sea.

yecto PISA: contenidos, procesos (ca-

Convendría que los ámbitos de uso

pacidades) y contextos (ámbitos). Las

fueran un organizador clave en el cu-

nuevas propuestas de currículo no deberían hacerse sin esta referencia.

rrículo, porque ésta es la idea novedosa que

La enseñanza de las matemáticas de-

curriculares basadas en competencias.

bería dejar de centrarse en los con-

aportan

las propuestas

Enseñar trabajando con un currículo

tenidos matemáticos para organizarse,

organizado desde la competencia ma-

desde el uso que se hace de la misma,

temática nos situará mejor frente a las

en los distintos contextos de aplicación

evaluaciones externas, es por lo tanto

social. Lo que enseñamos es valioso

una estrategia interesante.

porque sirve para el desarrollo perso•

La competencia matemática hay que

nal, social. profesional y académico.

trabajarla a lo largo de toda la vida

Los contenidos de matemáticas que

y, por lo tanto, debería pensarse en la

hay que trabajar

en los currículos

posibilidad de extender su enseñanza

deben ser elegidos por su valor para

a otros ámbitos y edades. No debe con-

el desarrollo de la competencia matemática en todos susámbitos, teniendo

templarse como algo cuyo campo de acción se reduce a la educación obli-

en cuenta que la importancia de los

gatoria.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


da La educación matemática se basa en la comunicación y debe ir más allá de la mera instrucción transmisora La inducción electromagnética Todo empezó por un número equivocado, el teléfono sonó tres vecesen la mitad de la noche y la voz al otro lado preguntó por alguien que no era él. Mucho más tarde, cuando pudo pensar en las cosasque le sucedieron, llegaría a la conclusión de que nada era real excepto el azar. (Auster, Ciudad de cristal)

Instrucción versus educación Existe una institución internacional denominada ICMI (Internacional Comission for Mathematical Instruction: www.mathunion.org/ICMII)

una de cuyas actividades es organizar congresos cada cua-

tro años llamados ICME (Internacional Congress on Mathematical Education). El octavo de estos congresos se celebró en Sevilla en el año 1996 y fue organizado por la sociedad andaluza de profesores de matemáticas, más conocida por Thales. Es por lo tanto, una institución bien conocida entre los docentes de matemáticas. Lo que me interesa en estos momentos es resaltar las dos letras finales de esos acrósticos, es decir la «1»de instrucción y la «E» de educación. La instrucción parece reducirse al aprendizaje de los contenidos de una materia, en este caso matemáticas, mientras que la educación hace referencia a un mundo más amplio donde valores, sentimientos, ética,

IDEA CLAVE

4


etc. parecen ecos inevitables. Mi pregunta es: ¿cuál de estas letras tenemos en mente cuando nos referimos a la enseñanza de las matemáticas escolares, la «1»o la «E»? Esdecir, ¿qué finalidad tiene la enseñanza de las matemáticas en el medio escolar, instructiva o educativa? ¿Qué diferencia ambas posturas? ¿Qué consecuencias tiene mirar el currículo desde uno u otro de esos puntos de vista? Esta idea clave pretende responder a esas preguntas de manera inequívoca: la enseñanza de las matemáticas tiene como finalidad el desarrollo de la educación matemática.

Información, conocimiento y comunicación Para poder responder a las preguntas anteriores y establecer sólidamente qué entendemos

por educación matemática debemos desbrozar un ca-

mino que, a menudo, se encuentra lleno de maleza. Usamos, la mayoría de las veces, términos ambiguos para hablar de cuestiones relativas a la educación. Así, es habitual leer en los textos pedagógicos términos como: «información», «conocimiento»,

«competencias», «instrucción», «educación»,

etc. mezclados con un cierto desorden y con una tendencia una tanto laxa con relación a su significado, a su generalidad,

sinonimia o antinomia.

Se

usan, pero no siempre se sabe qué se quiere decir cuando se escriben o se dicen. Pienso que es necesario un cierto esfuerzo reflexivo para poder ordenar las ideas, y en consecuencia los términos, con la intención de ajustarlos a un uso más claro desde el punto de vista semántico. Comenzaré estimulos sensoriales que somos capaces de recoger acepción procesar y

por distinguir

información y conocimiento por un lado

e información y comunicación por otro. Llamaré información al conjunto sona (o máquina)

y que pueden ser recogidos por su sistema sensorial

ya sea de manera natural

o con ayuda de recursos tecnológicos.

maré percepción al procesamiento usa-

permite

de estímulos que recibe una per-

humano de esa información

Lla-

que nos

acceder a la conciencia de su existencia. En muchos casos es la

segunda de estas acepciones la que es tomada formación.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

como definición

de in-


La distinción privativa

entre información

de la psicología

se ha evidenciado

ha sido una cuestión

hasta que las máquinas

de procesar la información tinción

y percepción

que son capaces

se han hecho populares, con lo que esta dismás a la vez que ha adquirido

tancia social. Los seres humanos,

mayor impor-

igual que no somos conscientes del

trasvase de oxígeno a la sangre en los pulmones,

ni de las órdenes que

el cerebro envía al corazón para que se contraiga

y relaje de manera cí-

clica y rítmica, no distinguimos

entre información

y percepción

porque

sólo somos conscientes de lo segundo.

Lo primero que imaginamos y nos preguntamos cuando vemos a un humanoide es de qué manera captará la luz y el sonido. Porque es evidente que sin sensores no existe robot. Información, en el sentido más estricto y materialista, es «eso» que incide en los sensores.

Cuando una cámara digital

saca una instantánea,

la memoria de la cámara es información, en este caso numéricos.

lo que se guarda en

es decir, un conjunto

Para poder «ver» la fotografía

cado es necesario un doble procesamiento

que hemos sa-

de la información,

parte el que tiene que hacer la propia cámara para convertir numéricos

en píxeles iluminados

para interpretar

esas señales y formar

en esa expresión

por una esos datos

y el que tiene que hacer el cerebro

crean en las personas poco habituadas se traduce

de datos,

la imagen. Las cámaras digitales a su uso una cierta ansiedad que

tan ingenua:

«Sí, sí, muy moderno

todo

eso, ¿pero la foto dónde está?». Para esas personas acostumbradas saber que las fotos se «guardan»

a

en el carrete y luego se «ven» en

papel, la cámara digital es un objeto un tanto sospechoso porque nadie sabe dónde «está» la foto. En lo seres humanos, casi me atrevería a decir en los seres vivos, el procesamiento

de la información

medio se hace de manera automática

y natural.

que se recibe del

Por esta razón es im-

IDEA CLAVE

4


posible separar la información no procesada de la información procesada, solamente la aparición de máquinas que procesan información nos permite entender esta distinción. De todas maneras para los fines que nos proponemos, esta distinción es poco importante y no diferenciaremos entre información en bruto e información ya procesada (percepción), sino que utilizaremos de manera indistinta ambos términos. Debemos, pues, dejar establecido que llamaremos información a los estímulos sensoriales que somos capacesde recoger (en su doble acepconodlmientoY

ción de dato sin procesar y dato percibido) y tecnologías de la información (TI) a los instrumentos que usamos para manipular la información. Podemos avanzar ahora en dos direcciones: el conocimiento y la comunicación. Conocimiento es la elaboración que hacemos de la información que recibimos y que nos permite construir esquemas cognitivos diversos. Por lo tanto, el conocimiento es consecuencia del procesamiento de la información que hace nuestro cerebro y, por ende, es algo intrínseco y personal que no depende solamente de la información que recibimos, sino que, aunque se basa en ella, depende también de las características del cerebro que la procesa: conocimientos previos, interés, estilo cognitivo, edad, etc. Por lo tanto, cabe afirmar que conocimiento no es información porque con la misma información diferentes personas elaboran conocimiento diferente. Así como todos los seresvivos disponen de un sistema de apropiación de la energía que proviene del medio en el que viven y que llamamos metabolismo, existe un sistema de apropiación de la información al que me atrevo a denominar metabolismo cerebral. Lasfunciones del metabolismo son dos: convertir la materia que ingerimos en tejidos vitales y transformar la energía que recibimos en energía disponible para el funcionamiento

de nuestro cuerpo. La

función del metabolismo cerebral es, en cambio, única: convertir la información que recibimos en esquemas cognitivos. Por esta razón, con-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


sideramos ilusorio querer transmitir conocimiento entre seres humanos. Hacerlo supondría situarnos en el trasplante de tejidos, es decir de partes de la persona que ya han sido «elaboradas» por el metabolismo humano.

El

conocimiento es algo propio e interno a cada persona y en

consecuencia intransferible, lo que se puede intercambiar entre seres humanos de manera directa y no inducida (de esta distinción hablaremos más adelante) es información. Resulta imposible cuantificar la cantidad de información que recibe una persona en un solo día, es decir el número de datos de todo tipo que recibe su sistema sensorial. Pensemossimplemente en la cantidad de información visual yauditiva que contiene una película. ¿Qué queda de ella en el espectador? Desde luego que la mayoría de las personas serían incapaces de describir cada uno de los planos que «han visto» o cada una de las notas «que han oído» en la banda sonora. Pero sí podrán hacer una sinopsis o resumen de la película cuando al salir del cine se encuentren con otra persona que les pregunte acerca de su opinión. La sinopsis, el resumen, lo que «queda» es el conocimiento. Obsérvese que diferentes personas harán sinopsis distintas de la misma película. Aunque sin información no se pueda construir conocimiento, recibir mucha información no equivale a construir mucho conocimiento, en primer lugar porque la cantidad de información que podemos procesar es limitada, en segundo lugar porque podemos dejarnos atravesar de forma pasiva por la información -la expresión popular de «por una oreja me entra y por la otra me sale» es muy i1ustrativa de lo que queremos decir-, y en tercer lugar porque el procesamiento de la información depende de lo que ya sabemos, como ya he indicado anteriormente.

Los ciudadanos de las sociedades actuales son los seres

humanos más «informados» de toda la historia de la humanidad, esdecir los que más información

han recibido si se les compara con los de

otros tiempos históricos, pero eso no hace, necesariamente, que ten-

IDEA CLAVE 4


gan más conocimiento o que sean más sabios. De hecho, se empieza a hablar de «sobreinformación» como un mal de la sociedad actual que dificulta más que ayuda a la construcción del conocimiento, porque la opinión pública cree conocer lo que pasa solamente porque está informada de lo que ocurre. No existe relación conocida de causa-efecto entre la cantidad de información que se recibe y el conocimiento que se construye y si existe alguna correlación, no queda claro que sea positiva en todos los casos. La información es cuantificable y hoy en día tiende a invadirlo todo, pero el conocimiento todavía no lo es y en todo caso es reducido. Cualquier joven de hoy que está en las aulas de la ESOha recibido mucha más información que la que recibió Newton en toda su vida, pero es evidente que, desde luego, con relación al mundo físico sabe menos. Hace unas décadas era impensable que se produjera un trasplante de órganos entre seres humanos. Hoy en día esta técnica ha avanzado mucho y se puede extraer un pulmón de un ser humano para ponérselo a otro. Con el pulmón adquirido

se recibe el sistema de

intercambio entre oxígeno y dióxido de carbono y todas sus características ya sean buenas o malas. Pero el que recibe este órgano tiene la conciencia de seguir siendo él mismo con el pulmón de otro. ¿Qué pasaría si algún día se pudiera trasplantar

un cerebro humano?

¿No sucedería lo contrario de lo que sucede ahora? Es decir que el cuerpo receptor sería el envase del cerebro trasplantado

y no al

revés como sucede cuando se trasplantan «otros})}} órganos humanos. Éste no es un libro de ciencia ficción y si hemos hecho esta digresión, es para hacer comprender el sinsentido de mantener, si se es preciso en el lenguaje, la idea de que es posible la transmisión directa, no inducida, del conocimiento. El conocimiento es un producto del cerebro como la bilis lo es del hígado o la sangre de la médula espina!. Mientras no se puedan trasplantar cerebros no se podrá transmitir conocimiento,

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

incluso en ese caso es problemático

afirmarlo


porque lo que en realidad se habrá producido es un trasplante de «cuerpo» (menos cerebro), con lo que propiamente es imposible trasplantar un cerebro a otro cuerpo y, por lo tanto, el conocimiento almacenado en él. El personaje de Frankenstein ejemplifica el rechazo al horror que supone imaginar siquiera que se cambie el cerebro de un ser humano a otro. Espero haber establecido con claridad que información y conocimiento son conceptos diferentes. La información son los datos que recibimos y el conocimiento

son esquemas permanentes que guar-

damos.

la comunicación como fundamento de la educación Veamos, ahora, qué entendemos por comunicación. La información es algo direccional, es decir que camina en una dirección determinada, tiene un origen y un destino. Al medio por el que camina se le suele llamar canal de comunicación, utilizando el símil del canal de agua que lleva este líquido de un lugar a otro. Por esta razón suele ser clásico hablar de emisor, receptor y canal como los tres elementos básicos en el flujo de la información. La comunicación humana es, en cambio, bidireccional o, como suele decirse a menudo, interpersonal; es decir exige que dos seres humanos intercambien información. Ésta es la primera gran diferencia, pero no es suficiente ni la única. Esnecesario, además, que se asigne un sentido a la información recibida para que pueda hablarse de comunicación. Y más estrictamente, es imprescindible que los sentidos o significados que atribuyan ambos interlocutores a la información recibida estén en sintonía. Sin sintonía de significados no hay comunicación, al igual que tampoco la hay sin intención, que es previa. Esdecir que dos máquinas pueden intercambiar información, pero eso no quiere decir que se comuniquen en el sentido más auténtico de este término.

IDEA CLAVE

4


Conviene leer con atención las siguientes líneas porque definen con claridad a qué nos referimos cuando hablamos de comunicación. Son palabras de Giddens en una cita que hace Habermas. La generación

de descripciones

de actos por los actores cotidianos

no es

algo accesorio a la vida social en tanto que práctica en curso, sino que es parte absolutamente

esencial de la producción

de esa vida e inseparable de ella,

puesto que la caracterización que lo otros hacen de sus intenciones y de las razones que tienen para hacerla es lo que posibilita la intersubjetvidad, medio de la cual tiene lugar la transmisión del propósito (Habermas,

por

de comunicarse.

1981, pp. 153-154)

Enesta cita queda bien claro: «la caracterización de sus intenciones y de las razones que tiene para hacerlo es lo que hace posible la intersubjetividad, por medio de la cual tiene lugar la transmisión del propósito de comunicarse». Como puede leerse en este texto, la comunicación nace de la intención de decir algo -emisor- a alguien -receptor-, esa intención nos lleva a enviar información que es recibida por nuestro interlocutor.

El re-

ceptor de la misma la interpretará buscando la intención que supone que contiene la información que le hemos enviado. En la mayoría de los casossuelen ser necesarios varios intercambios recíprocos de información, tanto verbal como no verbal, para que se establezca la sintonía entre las intenciones del emisor y la interpretación del receptor; que normalmente insiste hasta asegurarse de que ha «comprendido»

lo

que se le quiere decir. La diferencia entre lo «que se dice» y lo que «se quiere decir» es la diferencia entre información y comunicación. Se parece un poco al caso del dial de la radio que debemos ir moviendo hasta que el receptor, en este caso de las ondas de la radio, sintoniza con el emisor (cuando la frecuencia de las ondas coincide) y ese molesto ruido que se produce cuando no hay sintonía se convierte en música o palabras con sentido.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


El

propio Habermas dice:

Finalmente,

el concepto

de acción comunicativa

de al menos dos sujetos capaces de lenguaje con medios verbales

o

res buscan entenderse nar de común concepto

y acción

extra verbales) una relación sobre una situación

acuerdo

sus planes

de definiciones

a la interacción

que entablan

interpersonal.

(ya sea Los acto-

de acción para poder así coordi-

y

de acción

aquí central, el de interpretación,

negociación

se refiere

con el/o sus acciones.

se refiere primordialmente

El a la

de la situación susceptibles de consenso. En este

modelo de acción el lenguaje ocupa, como veremos, un puesto prominente. 1981, p. 124)

(Habermas,

Cuando una persona dice que no logra comunicarse diciendo

con otra, no está

que no le habla o no le oye, se queja de que no consigue que

la intención

que le anima a hablar o, incluso, a callar sea captada por

su interlocutor. el intercambio

En muchos casos esta sintonía no logra establecerse, y de información

no consigue dar lugar a un nexo comu-

nicativo entre las personas. Siguiendo el símil que hemos utilizado la radio, habría ruido pero no comunicación:

para

las frecuencias de emisión

y recepción no coincidirían. En una comparecencia

pública del ministro

de cultura,

César Anto-

nio Molina, el 29 de agosto del 2007, haciendo referencia

a su disputa

con Rosa Regás sobre la dimisión

de ésta al frente de la Biblioteca

Na-

cional, y según dice el corresponsal

en Madrid del Diario Vasco, el mi-

nistro

he dicho lo que ella dice que he

dicho».

dijo: «En ningún Como puede

donde la incomunicación La comunicación nos obligan

momento

verse estamos

en un laberinto

comunicativo

parece evidente.

humana contiene claves todavía no descubiertas que

a aceptar que la realidad es bastante

que los reduccionismos razón el uso del término

positivistas

o tecnológicos

«tecnologías

más compleja pretenden.

de la comunicación»

de /0

Por esta

es un abuso

del lenguaje. Si fuéramos precisos y usáramos estos términos con correc-

IDEA CLAVE

4


ción, debiéramos hablar de «tecnología información

la que se mide (en

de la información»,

porque es la

bytes y sus múltiplos), se guarda, se ma-

nipula, se envía, se compra y vende, y no desde luego la comunicación. No vendría mal un ejemplo para demostrar la importancia que le queremos dar al nexo comunicativo. cena, por cierto bastante habitual:

Imaginemos

que tiene y

la siguiente es-

un profesor o profesora

recibe a sus

estudiantes después de las vacaciones estivales: es el primer día de clase del nuevo curso. Después de un breve saludo y de preguntarles

por las va-

caciones, pide silencio y les dice: «Bueno, para repasar las matemáticas del curso pasado os voy a poner en la pizarra unas divisiones. Tenéis veinte minutos para hacerlas». Según el esquema que voy siguiendo esas palabras son «información»

para los estudiantes.

Protestarán un poco, algu-

nos dirán que les falta esto o aquello, pero tras resolver estas turbulencias un silencio se apoderará tentando

de la clase, donde cada estudiante

recordar y aplicar el algoritmo

el curso anterior.

estará in-

de la división que le enseñaron

Los esquemas de actuación que cada alumno pone en

marcha para intentar

hacer la división son el conocimiento

que tiene y

que intenta aplicar, los errores que cometa son fallos de ese esquema de actuación que se supone que luego serán corregidos con la intención ir mejorándolo. tudiantes

de

Al finalizar la tarea el docente podrá comprobar si sus es-

«saben» o no hacer divisiones, es decir si poseen o no ese co-

nocimiento.

¿Pero qué ha pasado con la comunicación?

han «entendido»

los estudiantes? Lo que los estudiantes han entendido

no es desde luego el algoritmo lo debían aplicar-,

de la división -se supone que lo sabían y

sino que «para repasar las matemáticas

saber aplicar el algoritmo lo realmente importante aritméticos».

¿Qué es lo que

basta con

de la división», o dicho de otras manera «que en matemáticas es saber ejecutar los algoritmos

El docente no «ha dicho eso», pero todos lo «han enten-

dido» porque es lo que «quiere decir» con lo «que dice». ¿Y cómo puede ser que los alumnos entiendan

lo que el docente no ha dicho? La razón

es bien sencilla, todos los seres humanos saben de manera intuitiva

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

que


la comunicación

es algo distinto a la información.

Todos sabemos inter-

pretar desde que nacemos «qué quiere decir» hasta el más mínimo gesto que percibimos. En la sociedad actual la información el conocimiento

es ubicua, está en todas partes;

es ya más escaso porque no todo lo que se recibe se ela-

bora; la comunicación

es algo que falta si se hace caso a las quejas de

muchas personas. Se da, pues, la paradoja formación

puede llevar a la sociedad de la incomunicación,

personas que vivían antiguamente podían estar más comunicadas. ingenuidad facilitar

de que la sociedad de la iny que las

en sociedades menos informadas

Esta paradoja

de pensar que es suficiente

nos sirve para evitar la

con extender

la información

o

el acceso a la misma para que las personas estén mejor comu-

nicadas.

El análisis de las situaciones de enseñanza-aprendizaje desde un enfoque comunicativo No me gustaría que los lectores empezaran sófica de este texto les aleja demasiado

a pensar que la deriva filo-

de sus intereses educativos

ales, y antes de que se sientan muy apartados preocupan

re-

de las cuestiones que les

quisiera mostrar el interés de este tipo de enfoque

para la

propia práctica profesional. El fenómeno llamado inducción electromagnética es una buena metáfora para lo que queremos explicar (figura 8): Figura 8. Una de las experiencias

1 "[

Primario

de Faraday

Júdeo_

~ Secundario

IDEA CLAVE

4


El científico inglés Faraday (1791-1867) da nombre a un experimento que él mismo realizó en 1831, por medio del cual se puede comprobar que: si el flujo magnético que atraviesa un aro de material conductor varía, se produce un flujo eléctrico en dicho aro. En su conocido experimento mostró que al cerrar el interruptor de circuito primario, se producía un flujo eléctrico en el secundario. Este flujo cesaba al poco rato. Si se desconectaba el interruptor, volvía a aparecer el flujo eléctrico, pero en el sentido contrario. Lo curioso e interesante es que se podía «inducir» corriente eléctrica desde un circuito a otro sin que estuvieran físicamente unidos. Estametáfora nos sirve para caracterizar la transmisión del conocimiento y señalar que en el caso de la comunicación humana sucede algo similar; es decir que si el conocimiento no se puede transmitir directamente, sí se puede inducir por medio de la comunicación. Podemos hablar, de esta manera, de transmisión inducida del conocimiento porque los flujos de información (flujo magnético) inducen comprensión de significados (corriente eléctrica). Con todas las prevenciones necesarias, el paralelismo entre estos dos fenómenos es grande y muy ilustrativo de lo que quiero decir al hablar de inducción del conocimiento.

Vayamos ahora a analizar una situación de enseñanza-aprendizaje lizando estas ideas. Supongamos tentemos docente

la siguiente

hacer el análisis comunicativo propone

a sus estudiantes

uti-

situación en un aula e in-

de lo que sucede en ella: un

que «hagan unas divisiones». Vea-

mos de qué manera podemos analizar esta situación desde un enfoque comunicativo

de este proceso de inducción

del conocimiento:

La situación que vamos a analizar comienza con las palabras del docente pidiendo

a sus estudiantes

que hagan las divisiones.

Si esas divisiones están escritas en la pizarra, sólo hay que copiarlas antes de comenzar formularan

la actividad.

algunas preguntas

Bien pudiera

antes de comenzar: «¿con cuántos deci-

males hay que calcular el resultado?,

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

ser que los estudiantes

¿hay que hacerlas todas o las co-


rregiremos

de una en una?»; pero es una situación muy simple y no pa-

rece que se necesiten muchas más explicaciones

para saber qué quiere

el docente que hagan. Los estudiantes •

Algunos

comienzan

a realizar sus propias actividades.

lo hacen rápidamente

y en silencio. Éstos interactúan

con el profesor o profesora, ya «saben» y apenas aprenden. los esquemas de acción correctamente tenerse. miento

Puede que se aburran,

pero el éxito apacigua

pero resulta gratificante

un éxito para los estudiantes,

Utilizan

y avanzan en la tarea sin de-

con la mejora de la autoestima.

instructiva,

poco

La actividad

ese senti-

ha sido poco

para el docente.

La considera

aunque puede que no para todos. El

docente puede «entender»

que esos estudiantes necesitan retos más

complejos y puede tenerlo

en cuenta o no. Los estudiantes

den» que para el docente ya es suficiente

«entien-

y, si no les propone

otra

cosa, saben que con quedarse como están les irá bien. La comunicación establecida

hace que compartan

y que los sentimientos

recíprocos

sentirá satisfecho y sus estudiantes •

el significado

resulten

positivos,

interpretan

aunque se equivoquen, de acción y a ajustarlos vez y la inducción una actividad dificultades

correctamente

y el nexo comuni-

qué deben

están dispuestos a modificar progresivamente.

funciona.

Este grupo

que les permite

aprender.

de los estudiantes

ayuda, se sentirá estimulado

se

alguno pide ayuda al profe-

sor porque se ha atascado. Este grupo aprende funciona,

el docente

valorados .

Otros dudan y resoplan pero trabajan,

cativo

de sus acciones

hacer y,

sus esquemas

Lo intentan

una y otra

ha convertido

la tarea en

El docente

y sentirá

y gratificado.

«entiende»

las

el deseo de prestarles Los estudiantes

«sien-

ten» que el docente espera un poco más de ellos y saben que deben esforzarse.

Sienten que avanzan, que mejoran,

dos y valorados. ción funciona,

El nexo comunicativo pero puede romperse

se sienten motiva-

está establecido o fortalecerse

y la induc-

según actúen

IDEA CLAVE

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ambas partes. Esun grupo en el que la labor didáctica del docente es clave. •

Otros no hacen nada pero disimulan o copian de suscompañeros, lo más probable esque no recuerden qué deben hacer y tampoco estén dispuestos a «comunicarse» con el docente por razones varias: les cuesta trabajar, les cuesta concentrarse, se sienten a disgusto en el grupo ... La tarea no se ha convertido en actividad y lo que hacen (copiar o poner algo para disimular) no les sirve para aprender. La tarea se ha pervertido y la actividad resultante es puro activismo inútil. Además, el estudiante pretende engañar al docente, es decir que le envía información para que interprete, por la apariencia, lo contrario de lo que realmente es. Puede conseguir el engaño y equivocar al docente sobre sus intenciones, pero en todo caso la perversión de la tarea hace que el trabajo

sea inútil.

La inducción

comunicativa no funciona. No se comparten los significados de las acciones y, en consecuencia, los esquemas de actuación de los estudiantes no se modifican. El docente, en cuanto descubra el engaño, «entenderá» que el estudiante ni sabe ni quiere aprender y «sentirá» rabia y decepción, sentimientos que no favorecerán la comunicación. El estudiante, cuando sea descubierto, «entenderá» que está actuando mal y sentirá «verguenza». No ha existido auténtica comunicación y el flujo de sentimientos ha resultado negativo y desmotivador. •

Otros no hacen nada abiertamente y se dedican a molestar a sus compañeros. Directamente se niegan a convertir la tarea en actividad y no se preocupan en disimularlo. Los estudiantes de este grupo no aprenden porque se niegan explícitamente

a la comu-

nicación cognitiva, aunque su actitud sí está enviando un mensaje cargado de intenciones. El docente «entenderá» que no saben, que no quieren aprender y que desafían su autoridad en clase, se sentirá cuestionado y agredido y si esta situación se prolonga, deses-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


peranzado y deprimido. Los estudiantes según sea la actitud del docente sabrán si el desafío a la autoridad ha hecho mella en él. En todo caso se sienten incomprendidos, marginados, olvidados y despreciados. Esrealmente interesante observar cuántas cosassuceden en una clase en una de las situaciones más sencillas que pueden darse. Como puede verse en este análisis, la visión comunicativa nos permite observar y analizar el sentido de los flujos de información que se producen en la clase más allá de la mera visión que analiza las conductas y se centra únicamente en los aspectos cognitivos. Creo que es una manera de analizar el hecho educativo que permite abordar de manera más completa y compleja la «realidad» y, además, lo hace desde una mirada más profunda, abarcando aspectos sustanciales para comprender la acción humana en su integridad y no solamente la conducta de los sujetos. Resulta interesante observar que las actitudes forman parte de la comunicación de manera tan evidente que sin su presencia y significado resultaría imposible entender todo lo que está presente en el hecho comunicativo, por lo que la pretensión de separar lo cognitivo de lo emocional, la instrucción de la educación, resulta un intento inútil.

La instrucción en matemáticas y la educación matemática Independientemente de la voluntad de las personas la interacción humana essiempre educativa porque escomunicativa, y querer separar los aspectos meramente cognitivos de los emocionales, afectivos, ideológicos, valorativos y éticos es imposible; porque sin esos acentos que modulan y dan sentido a la información ésta no es entendible. A veces lo más difícil de entender es el acento de la persona que habla, pero no

IDEA CLAVE

4


hay nadie que hable sin acento. Pretender educación

es similar a pretender

o de excesiva egolatría.

como un hecho meramente

a aplicar el algoritmo

instructivo,

cativo, una compleja maraña de significados,

y muchachas, el algoritmo

sentimientos,

de la educación

y «sentido»

normas, etc.

de esos muchachos

irá formando

progresiva

y paula-

su personalidad.

El análisis comunicativo que disponemos educativa,

en un hecho edu-

de la división es una anécdota, mientras que

lo que han «entendido» tinamente

Lo que se

enseñar y aprender

de la división, se ha convertido

Si lo miramos desde la cronología

de la

hablar sin acento y ya sabemos que

eso es una muestra de ingenuidad pretendía

separar la instrucción

de la acción es la mejor herramienta

actualmente

digo actualmente

para el análisis certero de la «realidad» porque siempre esperamos poder encon-

trar modos mejores de estudiar que nuestro

acercamiento

conviene ser prudente.

de la

y pongo

a la misma

realidad

entre comillas por-

es siempre

Pero estas prevenciones

algo

relativo

y

no deben oscurecer la

idea clave que quiero presentar en estas líneas: la educación es un acto comunicativo

cargado de intenciones,

La instrucción

en matemáticas

de las matemáticas chos, conceptos,

considerando

algoritmos,

que se puede transmitir

significados

pretende

y sentimientos.

ocuparse de la enseñanza

que éstas forman

un conjunto

de he-

normas, etc. que está bien organizado

y recoger directamente,

y

igual que se da un ob-

jeto a alguien. Pretende, además, que sea algo aséptico y neutral y que no tenga ningún punto de tangencia la supuesta asepsia de la instrucción matemática es una falacia que por ser

aceptada sin crítica es doblemente

para así del ámbito educativo ficación

ideológica

con la esfera de los valores. Se se-

que está sometido

para considerarse

a controversia

y justi-

como algo válido en sí mismo e

inmune a la crítica. Pero esta supuesta asepsia de la instrucción mática es una falacia que por ser aceptada

mate-

sin crítica es doblemente

peligrosa. Si estas apreciaciones

son justas en su enunciado

general, lo son en

mayor grado, si cabe, en lo que se refiere a la enseñanza de las mate-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


máticas, que son vistas primordialmente

como un proceso instructivo

carente de olor y sabor como el agua destilada. tra toda evidencia reflexiva, se empecina mente

ciegamente

mejorará

hemos intentado educación,

Pero si insistimos, con-

en seguir transitando

en separar instrucción

la enseñanza exponer

de educación,

de las matemáticas

y argumentar,

el conocimiento

por ese camino que

porque,

difícil-

como ya

separar la instrucción

de la comunicación,

de la

lo que se entiende

de

lo que se siente, lo que se dice de lo que se quiere decir, en definitiva la ría del mar, es simplemente

imposible. Los estudiantes que se sienten

mal en las clases de matemáticas

nunca aprenderán

matemáticas.

experiencia

nos dice, y los datos lo corroboran,

estudiantes

que se sienten mal en las clases de matemáticas,

Y la

que son demasiados los demasia-

dos los que perciben que eso no es para ellos y demasiados los que ven en las matemáticas

una barrera.

No es mi intención

decir, ni siquiera sugerir, que aprender

ticas, incluso las más necesarias para los usos habituales, los estudiantes

puedan lograr sin esfuerzo y tampoco

de las razones para comprender temáticas

esté en el currículo

matemá-

sea algo que

digo que la única

el fracaso de la enseñanza de las ma-

o en la forma en la que se presenta.

Es

decir, creo saber que los docentes ni son los únicos responsables de la situación

ni los protagonistas

máximos de esta historia.

existen otras personas e instituciones

que tienen

En mi opinión,

mucho que hacer y

que decir para que esta situación tenga solución. Creo saber que existen otros muchos factores exógenos que condicionan

e influyen

decisi-

vamente en la situación que padecemos. Es decir que estamos frente a un problema

con muchas ramificaciones

plistas no llevan a ninguna

en las que las posturas sim-

parte. Pero éste es un documento

centes y nosotros tenemos que arreglar

la parte que nos corresponde.

El desahogo que supone pensar que la responsabilidad es de otros casi nunca resuelve el problema, convertirse

para do-

de lo que pasa

y el desahogo de hoy suele

en la pesadilla de mañana.

IDEA CLAVE

4


En resumen La idea clave desarrollada cación matemática

es que la finalidad

y no la mera transmisión

llamarse instrucción

matemática.

cuando se establece, a compartir un conjunto

de la enseñanza de las matemáticas es la edu-

indisociable

de datos, reglas y algoritmos,

eso que suele

La educación se basa en la comunicación

que nos lleva,

esquemas de acción, sentimientos

y solidario.

y valores que forman

La educación forma parte del proceso comunicativo

y, por lo tanto, no es una mera transmisión

de información;

humana lo relevante

en sí, sino el sentido o significado

no es la información

porque para la comunicación

tende inducir por medio de la misma. Separar de manera artificial siderar que basta con asegurar educativo

el flujo

o pensar que el acto educativo

que ha lastrado, tradicionalmente, es comunicativo,

por lo tanto,

perspectiva

para conseguir

que se dé un acto

es algo que se da en otros contextos es un error

únicamente

instructivo.

Todo acto humano

Y es en la compleja maraña

humana donde todo encaja como un puzzle y cobra sentido. Debemos,

defender

mera instrucción,

estos dos procesos y con-

la enseñanza de las matemáticas.

aunque se pretenda

de la comunicación

informativo

que se pre-

activamente

la primacía de la educación

como la única forma

general

e integral

matemática,

a la

de poder actuar en el medio escolar desde una

que entienda

al ser humano

no como algo escindido

partes, sino como una unidad de relaciones complejas que interactúan

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

frente

necesariamente.

en


Los currículos rían

de matemáticas

organizarse

educativa de manera

desde

una

y no solamente

para desarrollar

visión

matemática.

instructiva,

que se tengan

los aspectos actitudinales,

debe-

en cuenta éticos y so-

mas tienen

Es un esfuerzo

transmisión

inútil

para el desarro-

porque

es un conocimiento tecnología

la mera

actual

sino que produce chazo por parte Comprometerse

no solamente

obsoleto

que la

con

en

son la manera

que tenemos de enseñar matemáticas si esta enseñanza se entiende

como un

acto educativo.

de datos y procedimien-

tos de cálculo,

Proporcionar

información

es necesario,

facilitar la elaboración del conocimiento

hace innecesario,

es formativo

alejamiento

competencias es educativo. Son tres pasos

y re-

de los estudiantes. en el diálogo comuni-

cativo con los estudiantes desde claves educativas mismo

para los que participan

el diálogo comunicativo

llo de la educación matemática

que se establecen

los estudiantes y el sentido que las mis-

ciales. •

Las relaciones

una buena educación

es el camino

e interpretar el sentido del

más adecuado

y potenciar el desarrollo de

distintos que implican funciones docentes bien diferenciadas.

Los tres constitu-

yen pautas que hay tener en cuenta a la hora de planificar y llevar a cabo la acción educativa en el aula.

IDEA CLAVE

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Las tareas a realizar son la clave para el desarrollo de los aprendizajes La dieta y el metabolismo Empezó por las tiras de papel. Me dio una que tendria unos tres palmos y me dijo: Coge unas tijeras y corta esta tira en tres partes ... Me disponía ya a cortar, cuando mi hermano me detuvo: Espera que aún no he terminado.

Córtala en tres partes,

pero de un solo tajo. Ya. (Perelman, Problemas y experimentos

recreativos)

El triángulo comunicativo y los procesos de enseñanza-aprendizaje Si consideramos bien establecido que la educación matemática exige la creación de un nexo comunicativo, a exponer y justificar esa idea hemos dedicado la idea clave anterior, las preguntas que de manera natural nos asaltan son las siguientes: ¿cómo se crea un ambiente o situación que permita la creación del nexo comunicativo?, ¿cuáles son las condiciones y elementos constitutivos del acto comunicativo capaces de inducir conocimiento matemático? Ésta es una cuestión muchas veces planteada y a la que la didáctica responde en la actualidad proponiendo un esquema de actuación que suele llamarse el triángulo didáctico.

IDEA CLAVE

5


El

triángulo didáctico puede representarse gráficamente por medio del esquema que muestra

la figura 9: Figura 9. Situación de enseñanza-aprendizaje

Enseñanza

CURRíCULUM

Este triángulo recoge tres componentes estructurales (los tres vértices), tres relaciones (los lados) y está dibujado sobre un fondo en el que pueden leerse las palabras «contexto» y «currículum». Los vértices o elementos estructurales son, sin orden preestablecido, el docente, el estudiante y la tarea (en realidad el binomio tarea + actividad). Las relaciones que mantienen esos elementos entre sí están representadas por los tres lados. El contexto es algo sobre lo que ya hemos hablado, subrayando su importancia para el desarrollo de las competencias, y el «currículum» es el concepto inclusivo que recoge el resto de cuestiones educativas. Bien, éste no es un libro sobre la teoría del currículo y por esta razón no me voy a entretener en desarrollar con detalle el significado de los elementos y relaciones citados, pero sí voy a recoger un elemento que considero decisivo para desarrollar lo que propongo

en esta idea clave: la importancia

de la tarea como elemento

capaz de organizar el proceso comunicativo que está en la base de la educación en general y de la educación matemática en particular. Defender la necesidad de orientar el currículo hacia una estructura que lo organice en competencias no significa cambiar solamente los fines de la educación matemática, ni termina al escribir los objetivos de otra manera, sino que implica, además de esos cambios, aceptar también otro

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


tipo de modificaciones en la manera de organizar la enseñanza. El cambio fundamental que hay que realizar es comprender que la tarea es el elemento que permite construir el nexo comunicativo entre los docentes y los estudiantes, es decir que el binomio tarea + actividad es el elemento por medio del cual se puede realizar la inducción del conocimiento. La tarea es el circuito primario y la actividad el secundario si volvemos, por un momento, a la metáfora de la inducción electromagnética. No se trata, por lo tanto, de transmitir información solamente, sino que hay que inducir conocimiento, lo que implica acción por parte de los actores de la acción comunicativa: docentes y estudiantes. Esasacciones son las que denominamos tarea y actividad. Si los fines educativos se concretan en la transmisión del conocimiento -fin ilusorio donde los haya-, la metodología de enseñanza se basa en la exposición oral del docente (ayudada o no de soporte escrito), una explicación que se suele completar con ejercicios ad hoc para comprobar hasta qué punto el estudiante ha asimilado la información que se le ha dado. Los libros de texto que se utilizan, sobre todo en secundaria, siguen este esquema, por esa razón primero se da una explicación de un tema y luego aparecen ejercicios para «comprobar» si los estudiantes han asimilado lo que se les ha explicado. Se trata de transmitir información ya elaborada y sintetizada al máximo con la creencia de que esa información ya es conocimiento preparado para ser almacenado en la memoria de los estudiantes. Una didáctica para el desarrollo de la competencia matemática, o sea una didáctica que considere la comunicación como el eje de su organización, debe pivotar sobre el doble concepto de tarea-actividad porque es a través de este espejo de dos caras como se puede establecer el nexo comunicativo que estamos proponiendo como fundamento y explicación de la educación matemática. Lo que el docente propone hacer al estudiante y los motivos que tiene para hacerlo son el inicio del acto comunicativo, lo que el estudiante entiende que debe hacer y luego, en el mejor de los casos, hace es el motor de su aprendizaje. Lo que el docente entiende que está haciendo el estudiante es lo que le permitirá en todo caso reforzar el nexo comunicativo y variar sus propios esquemas de acción para mejorar la enseñanza, lo que el estudiante entiende que quiere decir lo que el docente hace después de ver lo que él ha hecho ... ; este trabalenguas sirve para señalar el carácter interactivo del hecho comunicativo que siempre se basa en el análisis de lo que «hace» el «otro» (hablar es una forma de hacer). Sin embargo, toda esa interacción informativa cargada de sentido y que es interpretada de manera automática por los actores de la comunicación es la que realmente puede inducir conocimiento. La conversación, relación dialógica que se establece

IDEA CLAVE

5


entre docente y estudiante al hilo de la tarea (enseñanza) propuesta, es lo que el estudiante transforma en actividad (aprendizaje) y lo que asegura el nexo comunicativo.

También el docente

aprende de esta comunicación y si está atento a las señales que le envía el estudiante, puede aprender mucho tanto de su propia manera de actuar como de la necesidad o conveniencia de ir modificando sus propias estrategias con el fin de asegurar que la comunicación que tenga que establecer sea más productiva desde el punto de vista educativo. La relación entre tarea y actividad es similar a la imagen de Alicia y el espejo, situación en la que un personaje se puede imaginar situado a ambos lados del cristal a la vez. ¿Qué es lo real y qué su imagen? De cada lado del espejo se ve lo mismo, pero de manera distinta. Para el docente que promueve la tarea, eso es lo real; él ve lo que sucede al otro lado del espejo que es el estudiante, para él la actividad está en el espejo. Pero para el estudiante todo sucede exactamente al revés, lo real para él es la actividad y la tarea está en el espejo. Objeto e imagen forman así para cada uno de los observadores dos realidades complementarias, aunque cada uno de ellos las vea desde perspectivas diferentes. La relación entre tarea y actividad es de este tipo, son dos partes de una misma realidad vistas desde puntos diferentes. Lo que para el estudiante es trabajo que debe realizar y fuente de aprendizaje, para el docente es trabajo que debe proponer y proyecto de enseñanza.

Los criterios en los que hay que basarse para la selección de las tareas La tarea es la propuesta cente a un estudiante, educando, estudiante,

de trabajo

que le hace, normalmente,

un maestro

un tutor a un tutorizado, aprendiz,

que él entiende

educando,

a un aprendiz,

un educador

etc. La actividad

tutorizado,

un doa un

es lo que hace el

etc. para responder

a lo

que se le pide que haga. La tarea es el haz y la activi-

dad es el envés de la misma hoja que es el proceso de enseñanza-aprendizaje. Por medio de la tarea-actividad en su desarrollo

se transmiten

es donde tiene lugar la inducción

Esto no es otra cosa que la repetición lantado

en el punto anterior

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

los significados

y

del conocimiento.

de lo que ya habíamos ade-

de esta idea clave, pero conviene

recor-


darlo porque es básico para lo que sigue. La pregunta a continuación

es la siguiente:

que nos hacemos

¿si como sugiere el triángulo

tivo la selección de las tareas es una de las funciones

comunica-

básicas de los do-

centes, según qué criterios debe hacerse esta selección? Antes de contestar

a esta pregunta

táfora que en mi opinión la hora de seleccionar quiere

refleja fielmente

tareas. La metáfora

la de un cocinero

consumado

la función

Metáfora

del profesor sermoneador,

una me-

de un docente a

es la del cocinero

con alma de dietista.

oponer a la visión habitual ble, retórico

me gustaría presentar

o si se

que quiero

orador infatiga-

y espadachín de la palabra.

El cocinero debe, en primer lugar, pensar qué comida va a preparar. Los criterios que puede seguir son gastronómicos o dietéticos, sobre esta cuestión volveremos más adelante. En segundo lugar, debe prepararla y presentarla al comensal de la manera más atractiva posible. En el momento en el que el plato está en la mesa es al comensal a quien le corresponde degustar esa comida. Si lo miramos desde el punto de vista dietético, se supone que podrá extraer de la misma la energía y los nutrientes necesarios para asegurar su salud, es decir que esperamos que le siente bien en el sentido de que sea nutritiva. Si lo miramos desde el punto de vista gastronómico, esperamos que se sienta bien y disfrute. Como seve que «le siente bien» y que «sesienta bien}} son cosasdistintas, pero complementarias. Seguramente, es difícil separar esos dos aspectos, aunque sean claramente diferenciables desde un punto de vista teórico. La labor de un docente con relación a la propuesta de tareas es muy similar, debe elegir entre el amplio abanico de posibles trabajos aquellos que en su opinión sean, si se me permite la expresión, «dietéticamente adecuados al metabolismo intelectual de sus estudiantes» y luego debe presentarlos de la manera lo más atractiva posible, es decir, siguiendo con este juego de palabras, con un toque de «gastronomía intelectual».

IDEA CLAVE

5


Pero, lo que resulta evidente en todo caso es que la relación entre cocinero y comensal se produce por medio de la comida que prepara el primero y de-

gusta el segundo. El cocinero se relaciona con el comensal por medio de la comida, en muchos casos los cocineros y comensales no llegan a conocerse, pero existe una relación dietético-gastronómica

del tipo que hemos rela-

tado.

Entre el docente y el estudiante se produce una relación similar si sustituimos comida preparada por tarea y comida digerida por actividad. Por medio de la tarea-actividad se relacionan docente y estudiante y a través de ella se construye el nexo comunicativo. Siguiendo esta metáfora dos de las principales tareas a las que un docente debe hacer frente son: •

La selección cuidadosa de las tareas que va a proponer.

Una adecuada presentación a sus estudiantes.

Selección y presentación de tareas constituyen, por lo tanto, el inicio del acto comunicativo y el sustituto natural de la verborrea explicativa que acompaña a la función docente en muchos casos. Ha quedado bien establecido, eso espero, que el binomio tarea + actividad es el medio para el desarrollo del proceso comunicativo, por ende educativo, entre el estudiante y el docente. Bien. Sin embargo, si la finalidad del proceso comunicativo es inducir conocimiento y desarrollar competencias, ¿qué criterios podemos seguir para proponer tareas y organizar la enseñanza? En este punto se me permitirá que vuelva a contestar con otra metáfora: la de las semillas y la planta. La semilla contiene, en principio, la información necesaria para desarrollar la planta, es, por decirlo así, una planta en potencia. Pero para que esta posibilidad se concrete en una planta sana es necesario que se den unas condiciones ambien-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA


tales que permitan

su desarrollo,

ciones mínimas de supervivencia y esto es importante

porque

en ausencia de unas condi-

la semilla no se desarrollará.

Además,

para el símil que estamos desarrollando,

cada se-

milla puede «llegar a ser» un cierto tipo de planta y no otro. Con las tareas sucede algo similar. Las tareas contienen que permite inducir conocimiento forman

en actividades

cuada, si la humedad

todo depende

tarea + actividad.

la insolación y el

previos son los adecuados, si la motivación los medios

apropiadas,

es de esperar que el aprendizaje

el conocimiento.

materiales,

las condiciones

llas son plantas en potencia

se producen.

es la debida,

ambientales

son

ni las plantas se des-

Por eso decimos que las semi-

y las tareas germen

algo necesario e imprescindible,

Si los

se produzca y se induzca

En ausencia de esas condiciones

ni los aprendizajes

Siguiendo

Si la tierra es la ade-

es de esperar que la planta se desarrolle.

si la ayuda,

arrollan

de las condiciones

es la debida, si la temperatura,

viento son apropiados, conocimientos

y desarrollar competencias si se trans-

con sentido,

en las que «crezca» el binomio

el germen

del aprendizaje.

Son

pero no suficiente.

con el símil, hay que destacar que cada semilla produce

una clase de planta y lo mismo sucede con las tareas, cada tipo de tarea es capaz de activar un tipo de aprendizaje.

Porque, así como no existe

alimento

necesarios para una buena

que contenga todos los nutrientes

dieta ni hay semillas universales que según se rieguen den una u otra planta, den perejil o albahaca, tampoco paces de contener

en potencia

cesarios para el desarrollo

existen tareas universales ca-

la variedad

armónico

entera de aprendizajes

ne-

de la persona. Por eso conviene

que estudiemos los diferentes tipos de tareas que existen y la relación que tiene cada una de ellas con los aprendizajes rios para un desarrollo Por lo tanto,

armónico

que consideramos

de la educación

antes de seguir adelante

necesa-

matemática.

conviene que dejemos esta-

blecidas algunas ideas básicas. Estas ideas las podemos exponer en la siguiente

lista:

IDEA CLAVE

5


El binomio

tarea + actividad

es el medio a través del cual se esta-

blece el nexo comunicativo •

La correcta comprensión transformación

entre los estudiantes

de las intenciones

de la tarea en actividad

y el docente.

mutuas y la consecuente permiten

la inducción

del

conocimiento. •

La tarea es la realidad que vive el docente y la actividad

la que vive

el estudiante. •

Con la misma propuesta llarán distintas

de tareas, diferentes

actividades

y activarán

estudiantes

diferentes

desarro-

aprendizajes

de-

bido a los factores propios de cada uno de los sujetos que aprende. •

La tarea contiene

el germen de los aprendizajes

germen se desarrolle y fructifique, diciones metodológicas •

posibles. Que este

o no lo haga, depende de las con-

en las que se concrete.

No existe una tarea capaz de contener

todos los aprendizajes

nece-

sarios para una educación armónica como no existe una comida que contenga

todos los nutrientes

importante

ni una semilla universal.

Por eso es

estudiar los tipos de tareas que hay que realizar y su re-

lación con los tipos de aprendizajes

que pueden suscitar.

La tipología de tareas y su relación con los aprendizajes Como hemos indicado en el punto anterior, es una labor importante

la clasificación de las tareas

porque es la manera que tenemos de relacio-

nar los medios que vamos a utilizar -propuesta actividades-

con los aprendizajes

de tareas/realización

de

que deseamos suscitar. En consecuen-

cia, no nos interesa una clasificación

cualquiera,

sino aquella que nos

permita agrupar las tareas que vamos a proponer

bajo el criterio de ser-

vir para el desarrollo El proyecto aprendizajes

de aprendizajes

del mismo tipo.

PISA, OCDE (2004, pp. 40 Y 41), clasifica de las matemáticas

a mayor dificultad:

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

los tipos de

en tres niveles que ordena de menor


Nivel de reproducción.

Nivel de conexión

Nivel de reflexión.

En el denominado cuya resolución rutinarios,

(relación).

«nivel de reproducción» implica la utilización

la manipulación

consideran

aquellas tareas

de procedimientos

y algoritmos

de expresiones y fórmulas y la realización de

cálculos. Creo que son tareas que en nuestro medio podrían ser descritas por el término

«ejercicios» y que por desgracia constituyen

parte de la alimentación matemático

escolar en matemáticas,

la mayor

el tipo de catering

más servido en nuestros centros educativos.

El denominado información,

«nivel de conexión»

la identificación

tes y la utilización

implica la interpretación

de los elementos

matemáticos

de la

pertinen-

de relaciones entre los diversos conceptos matemá-

ticos. Supone una superación

del nivel anterior

deben actuar con mayor autonomía

porque los estudiantes

y mostrar una comprensión

de su

propia acción superior al nivel anterior. El denominado de pensamiento problemas.

«nivel de reflexión» (producción)

implica la utilización

creativo aplicado fundamentalmente

a la resolución de

Supone además la capacidad de justificar

rrectamente Cualquier

y argumentar

los caminos seguidos en la resolución de las tareas. clasificación

sobre el grado de dificultad

zajes y sobre la relación entre este grado de dificultad ciadas es problemática, clasificaciones

co-

ya que los factores

de los aprendiy las tareas aso-

que inciden

en estas

son muchos, y es muy difícil hacer una disección clara de

implica de pensamiento creativo aolícado fundala

los mismos, pero estimo que la propuesta del proyecto PISA que he descrito es sencilla y práctica y por esta razón, además de por estar ajustada a lo que entiendo sidero interesante

es un buen análisis de las operaciones cognitivas, conrecogerla y utilizarla.

Por otra parte vaya

intentar

hacer un pequeño

llas tareas que creo que tienen más tradición

resumen de aque-

escolar ya tratar de rela-

IDEA CLAVE

5


cionar este tipo de tareas con los niveles ya citados del proyecto con la intención

manifiesta

PISA,

de mostrar la relación que pueden guardar

entre ellos. •

Ejercicios .

Experiencias.

Juegos.

Problemas.

Investigaciones .

Actividades

de síntesis y elaboración

de la información.

Ejercicios Los ejercicios entendidos

como aquellas tareas en las que los estudian-

tes deben aplicar lo que se les ha enseñado recientemente también

descritas en el nivel de reproducción

procedimientos

y algoritmos

nes y fórmulas

y la realización

docentes y los estudiantes equivocarnos

rutinarios,

de PISA (utilización

la manipulación

de

de expresio-

de cálculos) son bien conocidos por los

de matemáticas.

que constituyen

y que están

Podemos decir sin miedo a

la mayor parte de la alimentación

esco-

lar. En algunos casos son casi el único tipo de tarea que se hace, porque muchas de las tareas denominadas

problemas

sino que son ejercicios disfrazados

de problemas.

La red está inundada de worksheets quier tipo de algoritmo.

Aunque,

en los que se puede aplicar cual-

La dirección de Internet:

worksheet.php4?option=add1 den encontrar

no lo son en realidad,

www.rhlschool.com/

no es más que una de las miles que se pue-

en cualquier buscador de Internet.

la verdad sea dicha, para ese viaje no es necesario ni orde-

nador ni conexión

de banda ancha. La pizarra se ha utilizado

toda la

vida para poner ejercicios, y han existido versiones muy conocidas de este tipo de tareas que se han convertido el punto de inundar

en best seller escolares hasta

las estanterías de las grandes superficies donde se

pueden conseguir a la vez que se hace la compra o se contrata

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

un viaje.


Ejercitarse en matemáticas es necesario y no creo que debiéramos centrar el debate sobre esta cuestión, porque resulta evidente que sin construir de manera adecuada las habilidades (competencias de nivel bajo) que son necesarias como recurso en cualquier momento no resultará fácil dominar competencias de rango superior. El problema de la correcta aplicación de los ejercicios en la educación matemática como tarea de enseñanza no essencillo y ha dado lugar a muchas discusiones y a bastantes desencuentros. En la dirección de Internet: http://ensino.univates.br/-chaet/Materiais/Manifiesto.pdf

puede leerse un sim-

pático manifiesto escrito por el claustro de profesores y profesoras de colegio público Aguamansa de la Orotava (Tenerife) contra el abuso que supone centrar el currículo escolar en la enseñanza de los aprendizajes de los algoritmos de cálculo escrito. Es un documento interesante porque dice cosas muy sensatas con bastante gracia. Sin embargo, hay que señalar que se abusa de la utilización de los ejercicios hasta convertirlos, siguiendo la metáfora que hemos usado, casi en un plato de uso diario y, lo que es peor, único: «como el pan nuestro de cada día dánoslo hoy». Estamos frente a una dieta pobre que abusa de un nutriente, pero que nos deja hambrientos de otros que son igualmente necesarios. El currículo escolar es algo finito y limitado, además la tendencia a introducir nuevos contenidos curriculares, unida a la disminución del tiempo que los estudiantes pasan en las escuelas, ha llevado a agrias disputas sobre el tiempo que debe dedicarse a cada área en el horario escolar. Si el tiempo es limitado y dedicamos mucho a un tipo de tarea, es evidente que quedará poco tiempo para el resto,

La utilización abusiva de ejercicios hace del

por lo tanto en esta cuestión lo relevante no es solamente el tiempo que se emplea para hacer ejercicios, sino el tiempo o peso relativo que se les da dentro del currículo; porque este porcentaje no nos dirá solamente qué se hace (ejercicios), sino qué no se podrá hacer por falta de tiempo. Estautilización abusiva de ejercicios hace del aprendizaje de las matemáticas una actividad rutinaria y tediosa, y esto es uno de los

IDEA CLAVE

5


factores que explica el rechazo que algunos estudiantes, los menos dotados utilización

para esta área, sienten

masiva de ejercicios

nica de reglas y algoritmos ponsable

de la imagen

matemáticas

y no siempre

por las matemáticas.

en los que prima la aplicación

memorizados que para

sin comprensión

muchos

estudiantes

Esta mecá-

es la restienen

y está en el origen de muchas de las actitudes

las

negativas

suscitadas. Debe comprenderse,

además, que la tecnología

actual ha conver-

tido en obsoletas muchas, por no decir casi todas, las competencias ciadas a estos aprendizajes

porque

ya no se usan ni en el contexto

personal, ni en el social y, mucho menos, en el profesional. ejemplo claro del tipo de conocimiento

matemático

de cualquier tipo,

es el asociado al cálculo escrito. Obsérvese con atención, que digo expresamente

mente cálculo escrito con cantidades fiero al cálculo oral o estimativo del desarrollo de competencias

Si existe un

que ha dejado de

ser útil como base para el desarrollo de competencias

malentendidos,

aso-

para evitar

cálculo escrito y más precisa-

grandes. Es decir que no me re-

que sigue siendo necesario como base básicas en los diferentes

contextos antes

citados. Conviene señalar que el dominio mentalmente,

del cálculo escrito se hace, funda-

por medio de ejercicios y que el tiempo

que se dedica

a este tipo de tarea consume la mayoría del tiempo escolar destinado aprender matemáticas. Hay que comprender tión y tomar decisiones que limiten de tareas. Es una cuestión importante, ello deben ser decisiones cuenta que los aprendizajes

la importancia

el uso indiscriminado

y colegiadas

que se promueven

suficiente

de este tipo y por

que tengan

dependen

que se hacen y que abusar de los ejercicios impedirá, tinar el tiempo

de esta cues-

por no decir trascendental,

consensuadas

en

de las tareas

lógicamente,

a otro tipo de tareas y en consecuencia

logro de otros tipos de aprendizajes

a

desal

más necesarios. Para muchos ex-

pertos estas son cuestiones menores que no reclaman mucha atención,

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


en mi opinión es una cuestión capital que mientras no se aborde en profundidad bloqueará cualquier intento de mejora en la enseñanza de las matemáticas.

Experiencias La palabra «experiencia» sugiere, inmediatamente, experimento y se asocia al aprendizaje basado en la observación de fenómenos. Se ha discutido mucho sobre si las matemáticas son o no una ciencia experimental. Diversas escuelas han mantenido posiciones distintas, pero a nosotros lo que nos interesa no es«qué son las matemáticas», sino «qué es lo que los estudiantes deben aprender de las matemáticas», por esta razón obviaremos ese interesante debate. Existe un gran consenso sobre la relevancia de la experimentación como vía de aprendizaje, sobre todo en la infancia, entre los psicólogos que han estudiado el aprendizaje. Por lo tanto, parece conveniente que nos planteemos la necesidad de estudiar qué se puede aprender en matemáticas por medio de la experimentación. Además no estamos planteando algo que no tenga una cierta tradición en la historia de la enseñanza de las matemáticas, porque desde los inicios del siglo xx casi todas las renovaciones en los métodos de enseñanza en general y de las matemáticas en particular han estado asociadas a propuestas en las que la experimentación

ha ocupado un lugar muy

importante. Por otra parte, en los años setenta y ochenta existió una corriente que impulsó decididamente la utilización de material didáctico para la enseñanza de las matemáticas y, aunque se puedan mostrar ciertas reticencias con relación a una utilización abusiva y universal de estos denominados «materiales didácticos» (regletas, ábacos, material multi base...), no podemos desdeñar absolutamente su utilización ni deberíamos concluir que la experimentación no debe ocupar ningún lugar en la enseñanza de las matemáticas.

IDEA CLAVE

5


Según Piaget: En el caso de las nociones lógico-matemáticas,

suponen

un juego de ope-

raciones que son abstraídas, no de los objetos percibidos, sino de las acciones ejercidas sobre los objetos. (Piaget, 1969)

Las matemáticas, sicos de

sobre todo las relacionadas con los conceptos más bá-

cantidad y operación, se aprenden por interiorización

de las

acciones que se hacen sobre los objetos.

Por lo tanto,

manipulación

pero no por las propiedades

observables

ocupan

un lugar nuclear,

en ellos (ciencia experimental),

pueden hacerse sobre los mismos: juntarlos,

los objetos y su

sino por las acciones que separarlos, añadir o quitar

otros, etc. De esta manera se piensa que para que la acción sea interiorizada

y convertida

en operación

(representación

ción) es necesario que se actúe sobre los objetos. cuenta, de todas maneras, que sin operación lo tanto, la mera manipulación el origen de la construcción final de la construcción.

Hay que tener

la manipulación

es pues el origen y no el

para poder «imaginar»

ciones y sublimar su uso, es decir para poder sustituir

aunque

Entendiendo

en su construcción

previo a operar-

está en

Hay que tener en cuenta, además, que no todos

los sujetos necesitan el mismo tiempo

operaciones.

en

no hay matemáticas y, por

no es suficiente, de la operación,

mental de la ac-

que matemáticas

puede entenderse

dizaje de las matemáticas

las acciones por

es operación

las personas necesiten la importancia

tiene la experimentación.

esas ac-

y no acción -

actuar como paso que para el aprenLa experimenta-

ción en matemáticas sirve para conectar los objetos matemáticos

con los

objetos reales y las acciones que sobre ellos hacemos, de manera que desarrolla y fortalece

la intuición y facilita la comprensión.

tablecer

con la realidad

conexiones

y facilita

Sirve para es-

que se establezcan

rela-

ciones con otros objetos matemáticos

y es, sin duda, un tipo de tarea

fundamental

pierdan ese halo de abstracción

para que las matemáticas

que las hace tan inaccesibles para ciertas personas. Muchas personas se

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


sorprenden

cuando se les habla de taller o laboratorio

de matemáticas

porque ese tipo de lugar y las tareas que se asocian al mismo parecen naturales

para trabajar

las ciencias experimentales,

pero no las mate-

máticas. Se suele decir que para hacer matemáticas

basta con tiza y pi-

zarra o papel y lápiz, y es cierto, pero eso no quiere decir que se puedan hacer matemáticas

solamente

las manipulaciones

que podemos hacer con ellos nos pueden y deben

enseñar muchas matemáticas. para desarrollar imaginación.

con esos recursos, también

Pero, las experiencias

otro aspecto capital

peculiar en este contexto,

son importantes

de la educación

Utilizo la palabra «imaginación»

los objetos y

matemática:

la

de una manera un tanto

me refiero a la capacidad de representar

por

medio de imágenes, o dibujos, los objetos sobre los que trabajamos. este sentido la imaginación der matemáticas,

es una capacidad fundamental

para apren-

porque los conceptos que se usan en ellas tienen

nivel de abstracción

En

un

muy elevado y si no se es capaz de establecer me-

táforas o de representarlos

imaginativamente,

resulta muy complicado

para muchas personas acceder a su comprensión. La imaginación,

como forma de representación

visual, es una capaci-

dad que se desarrolla por medio de tareas en las que la observación y manipulación de objetos materiales y su representación por medio de dibujos, diagramas o croquis ocupan el lugar central. Escrucial que desarrollemos esta vía de acceso imaginativa

a las matemáticas si las queremos hacer ac-

cesibles a las personas, que son la mayoría, que se desenvuelven

mucho

mejor en este mundo que en el de las ideas platónicas, que como sabemos utilizaban

los conceptos matemáticos

como ejemplo de los niveles más

altos de abstracción, es decir los menos contaminados Vaya

intentar

poner un ejemplo de lo que quiero decir:

Todos sabemos que el concepto oría elemental

por la experiencia.

de número primo es básico dentro

de la te-

de los números y forma parte de los currículos de matemáti-

IDEA CLAVE

5


cas de la enseñanza elemental. Lo más habitual es que ese concepto se enseñe por medio de una definición abstracta y muy repetida en los libros de texto: «Número primo es el que tiene sólo dos divisores: el mismo y la unidad». Bien, si un muchacho o muchacha tiene que «comprender» esta definición -descartamos que el aprendizaje se reduzca a una repetición mecánica de la definición-,

deberá relacionar el nuevo concepto número

primo con el concepto de divisor, pero éste es otro concepto abstracto que a su vez le remite a los conceptos de división, multiplicación,

resto ... Lo más

seguro es que se pierda en esa maraña, no sea capaz de establecer esas relaciones y se refugie en la memorización de esa definición. Si preguntamos a una persona adulta y con un nivel de cultura media qué le sugiere el concepto de número primo, veremos que o dice que ya no se acuerda o intentará buscar en su memoria la definición que aprendió en su día. Eserecuerdo suele estar ya borrado o en todo caso muy difuminado, en la inmensa mayoría de los casos podemos afirmar que ese concepto no está activo. La definición que memorizaron se ha ido olvidando y en la memoria sólo queda la conciencia de que se estudió. Sin embargo, es posible y bastante fácil asociar este concepto a una experiencia ya una imagen. Para ello podemos recurrir a una tradición que se remonta a las matemáticas griegas y que consiste en representar los números como conjuntos de puntos agrupados según diferentes formas geométricas (esta manera de estudiar los números se atribuye a la escuela pitagórica) y extraer de esasformas geométricas las correspondientes propiedades para esos números: son los denominados números figurados. Además basta con disponer de unos montoncitos de alubias o garbanzos para poder «manipular los números». Los números rectangulares son aquellos que pueden formarse juntando filas (o columnas) del mismo número de unidades (garbanzos, alubias). Cuando decimos filas (columnas) queremos decir más de una. Ejemplos de números rectangulares son los siguientes:

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA


----------- ---- ------Los números 6, 8 Y 12 son números rectangulares porque pueden formarse juntando filas (columnas) de cantidades iguales. La tarea que podemos proponer es la siguiente: coger 7 garbanzos y mirar si se puede formar con ellos un «rectángulo». Bien, la persona a la que le encargamos la tarea puede pasar un rato intentándolo, pero pronto podrá observar que es imposible. 7 garbanzos sólo se pueden poner como «una fila» de 7 garbanzos, si se intenta completar con esta cantidad más de una fila siempre sobra o falta alguna unidad. Le podemos decir entonces a esa persona que los números se clasifican en dos tipos: rectangulares -los que están formados por más de una fila de cantidades iguales- y los que no lo son. Parece fácil comprender que toda cantidad será, pues, c1asificable como rectangular o no rectangular. Puesbien, tradicionalmente a los números no rectangulares se les ha llamado primos o primeros (que es lo mismo) porque no puede formarse más de una fila con ellos, pero, aunque esto seaya un poco más difícil de entender, juntando filas o columnas de números primos se pueden ir generando todos los demás y por esta razón se les llama primeros o primos, porque son los que se encuentran en la primera (luego repetidos también en las otras) fila o columna.

En esta tarea estamos relacionando

conceptos:

rectángulo, fila, co-

lumna y primo y además nos hemos servido de material manipulativo o imágenes (rectángulo)

que los representan.

Igualmente,

hemos utili-

zado expresiones lingOísticas: «tiene más de una fila de cantidades iguales», «si es rectángulo

no es primo»,

«12 no es primo

porque

es

IDEA CLAVE

5


rectángulo»;

«7 es primo porque no es rectángulo»,

las cuales se van estableciendo abstractos),

los objetos

Este trabajo

de conexión

etc. por medio de

las conexiones entre los conceptos (entes

(mundo

real) y sus representaciones

entre el mundo

icónicas.

real, su representación

sual) y los conceptos abstractos de las matemáticas

(vi-

es lo que llamamos

«experiencia». Otro ejemplo

de lo que queremos decir cuando hablamos de expe-

riencia en matemáticas

es el siguiente:

¿Cuánto vale la suma de los tres ángulos de un triángulo? La respuesta es bien conocida y existe una elegante demostración matemática que lo prueba. Pero es también, si así se desea, una cuestión experimental. Basta con dibujar un triángulo cualquiera sobre una cartulina, recortar los ángulos de las tres esquinas y colocarlos uno aliado del otro (haciendo coincidir los lados) para ver que en todos los casosse forma un ángulo llano. Resulta claro que esta experiencia no «prueba» nada, pero es extraordinariamente didáctica y ayudará a fijar esta propiedad de los triángulos en los esquemas cognitivos de los estudiantes. Es«matemáticamente» débil pero «didácticamente» poderosa porque nos permite imaginar, es decir utilizar imágenes para construir, los nexos de relación que hay entre los objetos abstractos que manejamos. Lasimágenes guardadas nos permitirán recordar los nexos existentes entre los objetos que han sido utilizados, con lo que la estabilidad de los mismos en la memoria es mucho mayor. Debemos recordar que la memoria a largo plazo se organiza por relaciones con sentido entre los conceptos y que desde esta perspectiva este tipo de nexos establecidos son más efectivos si se les puede dotar de un soporte «imaginativo».

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


Tal vez el exponente

más ejemplar

de la relevancia de este tipo de ta-

reas para la enseñanza de las matemáticas apuesta por lo que se ha denominado (RME), www.fi.uu.nl/fisme/en. 1990), el instituto

Realistic Mathematics Education

Tras la estela de Hans Freudenthal

que lleva su nombre

landesa de Utrecht

sea la escuela holandesa y su

y está dirigido

está situado

actualmente

(1905-

en la ciudad ho-

por Jan De Lange.

Conviene recordar que este profesor es uno de los máximos responsables del diseño del ya varias veces citado proyecto cuela holandesa fundamental

de enseñanza

PISA. La llamada es-

de las matemáticas

es un referente

para cualquier propuesta de enseñanza de las mismas que

no quiera olvidar la relevancia de la cuestión que estamos planteando. No quiero

sugerir

que esta escuela holandesa

puesta de aprendizaje la propuesta

de las matemáticas

reduzca toda su pro-

a una cuestión experimental,

que hace es mucho más holistica e integral.

todo caso, un comentario

más amplio y pormenorizado,

pongo del espacio suficiente que la aportación

Merecería, en pero no dis-

para hacerla y si la cito ahora, no es por-

de esa escuela se reduzca, ni mucho menos, a esta

cuestión, sino porque es una de las escuelas que con mayor ahínco ha trabajado

este aspecto, entre otros.

Para finalizar

con este apartado,

quería simplemente

indicar

este tipo de tareas es básico en la enseñanza de las matemáticas cial para el desarrollo

de lo que hemos llamado «competencias

medio» según la clasificación

que y cru-

de nivel

que de las mismas hace PISA.

Juegos También los juegos son un tipo de tarea con tradición de las matemáticas.

Aunque

que se le asignan rápidamente son tan subjetivas,

éste es un término connotaciones

son difíciles de determinar.

en la enseñanza

un tanto confuso por-

lúdicas que, siendo como Hay niños y niñas que

dicen que les encanta «hacer sumas» y esa tarea no es desde luego un juego.

Me gustaría

precisar un poco más qué entiendo

por «juego»

IDEA CLAVE

5


cuando uso este término

en el contexto

de la enseñanza de las mate-

máticas. Los juegos, en mi opinión,

tienen dos características

básicas:

Están sujetos a una serie de reglas o normas que hay que respetar.

Tienen por finalidad

«ganar».

Por esta razón el parchís es un juego como lo es el Tetris, y en cambio «ver la tele» no lo es, aunque sea muy divertido.

Hay personas a las que

jugar no les divierte nada, por desgracia cada día más. No es éste el lugar para señalar las ventajas educativas de los juegos, por lo que me ceñiré a las ventajas

que tienen

para la educación

como buscan ganar, obligan al jugador

matemática.

Los juegos,

a elegir de las acciones posibles

la «mejor», esta elección no es siempre ni segura ni sencilla y es por esta razón que se habla de estrategia cuando se habla de juegos. Los juegos permiten

poner en acción operaciones

cognitivas

de grado

medio y

superior y obligan a los aprendices a tomar decisiones de manera autónoma promoviendo

de esta manera la creatividad

Un sencillo ejemplo

de juego matemático

y la iniciativa.

en el sentido que aquí le

queremos dar es el siguiente. (Damos una versión simplificada para no extendernos

del juego

demasiado):

Dos jugadores lanzan alternativamente un dado y deben colocar la cifra resultante en uno de los siguientes huecos, gana el jugador que consigue escribir más cifras. .........

= múltiplo de 2

...................................

= múltiplo de 3

...................................

= múltiplo de 5

Supongamos que los valores que dan los dados son: 2, 3, 1,2, 5,6,2,4

Y 3.

Supongamos que me sitúo en el lugar del primer jugador. El primer 2 lo puedo escribir en cualquier lugar porque todos los espacios están huecos.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


Pero, si lo escribo en la posición de las unidades del número que debe ser igual a múltiplo de 2 ya me aseguro que cualesquiera que sean los valores que salgan posteriormente los podré poner en las decenas y centenas de ese número, con lo que me aseguro que podré escribir dos cifras en las siguientes dos jugadas. Bien, pero eso también sirve para mi compañero de juego. ¿Qué haré, escribiré esacifra para asegurarme la siguiente tirada o me arriesgaré a colocarla en otro lugar para forzar a no poner a mi compañero? Supongamos que me decido por lo primero. El segundo jugador tiene que poner un 3 y puede hacerlo donde quiera, aunque no debiera pensar, porque es erróneo, que ponerlo en el lugar de las cifras del número que debe ser múltiplo de 3 asegura que ese número sea múltiplo de 3, etc.

No nos podemos entretener

en este texto a estudiar con detenimiento

las posibles jugadas y su valor estratégico, pero todo el razonamiento existe detrás de cada jugada tiene un alto valor formativo

en matemá-

ticas si se «juega bien», Si se compara el tipo de operaciones que debe poner en acción una persona que se enfrenta

que

mentales

a esta situación

con el de aquella que «hace sumas» de manera mecánica, resultan evidentes la diferencia

de complejidad

entre ambos tipos de operaciones y

las consecuencias que esas diferencias tienen para los aprendizajes

que

activan un tipo y otro de tarea. Por esta razón proponer juegos para trabajar cuestión optativa, lajar la tensión

matemáticas

no es una

es algo que puede hacerse, algo que se hace para re-

que crea hacer muchos ejercicios, algo que se les pro-

pone a los estudiantes

que ya han terminado

No es algo que se haga para que se diviertan resto de tareas «importantes» no es un añadido

las tareas obligatorias. los alumnos al finalizar

el

(concepto inútil e infantil donde los haya),

deseable, pero sí imprescindible.

Los juegos son un

tipo de tarea que debe realizarse por su valor formativo

y porque no

existe otro tipo de tarea capaz de activar este tipo de aprendizajes.

Es

IDEA CLAVE

5


una parte no prescindible

de la dieta, un nutriente

una dieta no será nunca una dieta equilibrada

necesario, porque

si le falta un nutriente.

y todos sabemos que la falta de nutrientes básicos en la dieta es el origen de ciertas enfermedades. Si los clasificamos considerando ñalar el grado de dificultad lo más atinado

los niveles que indica PISA para se-

de los procesos cognitivos puestos en juego,

sería colocarlos entre los niveles 2.0 y 3.0, porque en al-

gunos casos la realización miento productivo

de juegos

implica

la utilización

de pensa-

y creativo, lo que es seguro es que en todos los casos

supera el nivel de la mera reproducción.

Problemas La competencia la definición

matemática,

descrita en las líneas anteriores

que se da de la misma en el proyecto

nirse como «la capacidad de utilizar el conocimiento

siguiendo

PISA, puede defimatemático

en un

contexto». Por otra parte, si se consulta el diccionario pañola

de la Real Academia

Es-

vvww.rae.es, pueden obtenerse las siguientes acepciones a la

hora de dar con una definición

de problema:

problema. (Dellat.

problema,

y éste

del gr. TTPóBAf)Q).

1. m. Cuestión que se trata de aclarar. 2. m. Proposición 3. m. Conjunto

o dificultad

de solución

de hechos o circunstancias

dudosa. que dificultan

la consecución

de

algún fin.

4. m. Disgusto, preocupación. 5. m. Planteamiento

U. m. en pl. Mi hijo sólo da problemas.

de una situación

tenerse a través de métodos

cuya respuesta desconocida

debe ob-

científicos.

De todas esas acepciones la 5.a es la que mejor se adapta a la definición que solemos dar de «problema»

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

en matemáticas,

aunque

la 1.a y


la

2.a

están también

cita expresamente nimo del término

cerca. Conviene observar que en la S.a acepción se la palabra «situación»,

«contexto»

petencia.

Si combinamos

problema

como una tarea,

competencia

matemática

mas de matemáticas.

que hemos utilizado ambas

definiciones

podemos

equivale

llegar

para definir

a la conclusión

exigente,

sinó-

la com-

y consideramos

a la capacidad

Es una conclusión

parte, que sitúa la tarea denominada actividad

la podemos considerar

el

de que

de resolver problepero lógica por otra

«problema»

en el corazón de la

matemática.

Tal vez el mejor modo de explicar el papel que juegan los problemas entendidos

como tareas realizables

cas sea utilizar

una parábola,

en la enseñanza de las matemáti-

pero no una parábola

matemática,

sino

narrativa.

Imaginemos a un atleta que se prepara para competir en una prueba atlética de medio fondo. Parece obvio afirmar que su objetivo es lograr el máximo rendimiento posible el día en que deba correr la prueba. ¿Cómo se entrena? La mayoría de los atletas, desde hace ya algunos años, utiliza lo que se denomina entrenamiento fraccionado; éste consiste en entrenar diversos factores que influyen en el rendimiento final de manera separada. Un atleta de medio fondo debe ser resistente, rápido, flexible, potente y buen estratega. Por eso un día se dedicará a hacer carrera continua para mejorar su resistencia aeróbica, otro a hacer series de longitud media para mejorar su resistencia muscular, otro a hacer series cortas para mejorar la rapidez y deberá entrenar en el gimnasio para mejorar su elasticidad y potencia. Como puede verse tiene bastante trabajo, el tipo de tareas que debe realizar esvariado y abundante. El entrenador de ese atleta es la persona encargada de organizar la carga de trabajo que debe realizar y dosificarla de manera adecuada para que el desarrollo de todos esos factores se haga de manera armónica. Si insiste mucho en la resistencia, el atleta puede per-

IDEA CLAVE

5


der velocidad, pero si insiste mucho en la velocidad, puede perder resistencia. La potencia puede estar reñida con la elasticidad si se insiste demasiado en trabajar la fuerza, y así sucesivamente. Por ello, todo eso debe hacerse en un tiempo determinado porque la capacidad de asimilación de la carga de trabajo es limitada y el atleta necesita descansar y recuperarse antes de volver a entrenar. Sin embargo, todo se hace para que el día de la prueba su rendimiento sea óptimo. Por esta razón los atletas compiten varias veces antes de participar en lo que consideran su prueba más importante y lo hacen porque, además de tener los factores citados en altos niveles de logro, es necesario ser un buen estratega para conseguir el máximo rendimiento. Hay que saber situarse, hay que saber vigilar a tus rivales, hay que controlar el miedo a perder y conseguir que no te paralice, hay que saber dónde y cuándo atacar, hay que controlar la ansiedad, etc.

¿Qué tiene que ver todo eso con la enseñanza de las matemáticas

y la

resolución de problemas? El paralelismo es evidente. La prueba la podemos asimilar

a los problemas,

porque

si el objetivo

miento es lograr el máximo rendimiento

de todo

el entrena-

en la prueba atlética, el obje-

tivo de la enseñanza de las matemáticas es lograr el máximo rendimiento en la resolución de problemas. Dicho de otra manera, la performance a la que se dirige todo el entrenamiento máximo rendimiento

para desarrollar

matemático.

realizar

¿Cuál es la tarea más

que mejor sintetiza todas las demás y pone en juego la com-

petencia matemática

en su sentido más general? Los problemas.

quiere decir que hay que estar todos los días haciendo matemáticas

su competencia

La respuesta ya la hemos dado con anterioridad:

tareas en las que usen conocimiento importante

es conseguir el

posible en la resolución de problemas.

¿Qué deben hacer los estudiantes matemática?

en matemáticas

¿Esto

problemas

de

en clase? No. ¿Esto quiere decir que hay que combinar

di-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


ferentes tipos de tareas para conseguir desarrollar necesarios para la performance hacer problemas

es precisamente

precisamente

la pregunta

a la que debe responder

este libro diciendo

se concreta en el currículo eso, la determinación

realizar y la propuesta tudiante

a mejorar

su forma

ridad la carga de trabajo mejoraremos

años considerando

el currículo.

que la enseñanza

de la carga de trabajo

Por

de las es

que hay que

de las tareas que llevan al es-

de manera armónica

y organizada.

el currículo y no determinemos

que deben realizar

en la educación

Ésta

escolar, porque el currículo

de la combinación

eso, mientras no redefinamos

mente

además de los factores

Sí. ¿Cómo debe hacerse esta combinación?

esta razón he empezado matemáticas

final? Sí. ¿Esto quiere decir que hay que

como tarea para desarrollar

básicos la estrategia?

los factores básicos

los estudiantes,

matemática.

Por

con cladifícil-

Llevamos muchos

el tema del currículo escolar y su reforma como algo

menor, despreciando

esta cuestión y acusando a las editoriales,

verdad es que la investigación nula, y las propuestas

pero la

sobre el currículo es escasa, por no decir

alternativas

a las creadas por las editoriales

bri-

llan por su ausencia. Por supuesto que ésta es una pregunta única y en la que la intuición juegan

que no tiene una respuesta

del docente y su experiencia

un papel fundamental,

ya que los estudiantes

como lo son los atletas, y hay que adaptar

pedagógica son distintos,

el entrenamiento

racterísticas personales. Pero en todo caso necesitamos,

a las ca-

con urgencia,

propuestas de currículo que supongan una respuesta enunciada al nivel de la carga de trabajo Existe una amplia

que deben realizar los estudiantes. bibliografía,

muchas monografías

diversas revistas sobre la metodología ción de problemas. tión

disponible

pueden

al efecto en cualquiera

han abundado

que hay que seguir en la resolu-

Éste no es un libro para profundizar

y los interesados

y artículos en

consultar

la abundante

de las publicaciones

en esta cuesbibliografía que sobre esto

en las últimas décadas. De todas maneras voy a intentar

IDEA CLAVE

5


proponer

algunos consejos que creo que pueden ser de ayuda en esta

cuestión. En primer lugar, hay que decir que es imposible que se aprenda a resolver problemas si no se plantean

en clase, es decir, si no se dispone de

una colección de problemas y si no se dedica el suficiente cerlos. Porque, aunque problemas

tiempo

parezca una broma, para aprender

a ha-

a resolver

lo primero es hacer problemas en clase. Y estimo que puede

afirmarse de manera responsable que no está muy claro qué tipo de tarea es un problema

y qué tipo no lo es.

En los años noventa temática

del pasado siglo, cuando la marea de la «ma-

moderna» aflojaba,

apareció como alternativa

tradicional

de las matemáticas

el epígrafe

de problem

propusieran matemáticas, estrategias mientos

que se reconocía

solving y que pretendía

y resolvieran

problemas

de resolución

no solamente

como corazón

sino que además se enseñaran

heurísticos

situaciones.

un movimiento

a la enseñanza bajo

que se

del currículo

de

de manera explícita

las

que los acompañan,

es decir los procedi-

de los que nos servimos para enfrentarnos

Pienso que esta manera de enfocar el currículo

a esas

es actual-

mente válida, pero como casi siempre sucede en las cuestiones escolares es aconsejable

que esté matizada

sectarios. Me explicaré.

Si entendemos

ción en la que debemos

tomar

que el abanico de posibilidades

alguna

y alejada

de extremismos

que un problema decisión

es una situa-

no evidente,

a las que debemos hacer frente

variar mucho de unas situaciones

resulta puede

a otras, en algunos casos las posibi-

lidades de elección pueden estar muy limitadas

y en otros casos pue-

den resultar muy amplias. Además, en el momento

en el que vamos a

tomar esa decisión podemos saber si los caminos que hay que escoger están bien delimitados

o no lo están. Todo esto hace que el problema

como tarea capaz de desarrollar

competencias

tenga un valor didáctico

muy dispar de unos casos a otros. Voy a poner ejemplos quiero decir.

1:lU

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA

de lo que


Supongamos que unos estudiantes están en clase y su profesor les ha explicado

«la regla de tres» como procedimiento

tuaciones de proporcionalidad una proporción

aplicable a ciertas si-

en las que se conocen tres elementos de

y se desea encontrar

el cuarto. Imaginemos

que en ese

contexto se les propone un problema y que además el docente dice explícitamente

que debe resolverse aplicando lo explicado. En este caso re-

sulta evidente

que el margen de elección del estudiante

bien claro lo que tiene que hacer y la dificultad

es nulo, está

consiste únicamente

en

recordar qué debe hacer y en hacerlo. Si el docente no dice expresamente que debe aplicarse ese procedimiento, -clasificando

pero lo dice el libro que utilizan

los problemas y poniéndolos

miento explicado-,

a continuación

la situación es casi la misma. Nos encontramos

a lo que podemos denominar problemas-ejercicio

utilizar un determinado

una fórmula,

concepto, etc. o lo que es lo mismo frente a si-

tuaciones cerradas en las que la posibilidad

de tomar decisiones autóno-

mas es casi nula. Si nos guiamos por la utilización de los libros de texto de los problemas

Esta clase de problemas

que hacen la mayoría

como tareas, hay que señalar

que la gran mayoría de las tareas identificadas

como problemas son de

marca el nivel más elemental

puede asociarse a la resolución de situaciones y es tangencial cicios en los que se refiera al nivel de complejidad

ascendente

para representar

que

a los ejer-

de las operaciones

mentales que hay que poner en juego. Si utilizáramos orden vertical

frente

o problemas ad hoc, es

decir problemas preparados para aplicar un procedimiento,

este tipo.

del procedi-

una imagen de

la dificultad,

estaríamos

frente a las tareas situadas en el nivel inferior de esa escala. Existen, en cambio, otras situaciones donde las posibilidades

de elec-

ción son mayores y donde el camino que hay que seguir no está pautado. Los problemas,

en este sentido,

tener mayor o menor apertura, calificativo

son como los ángulos,

por eso se atribuye

pueden

a los problemas

el

de «abiertos» o «cerrados», aunque sería más correcto decir

«más abiertos»

o «más cerrados».

Por ejemplo,

si proponemos

a un

IDEA CLAVE

5

151


grupo de estudiantes que calculen la altura de una torre que es accesible en su parte superior, les estamos proponiendo un problema bastante abierto porque podrán: •

Estimar su altura descomponiéndola en los elementos de los que esté hecha y midiendo o estimando el valor de dichos elementos (piedras, losas, vigas, pisos, etc.).

Estimar esa altura comparándola con edificios cercanos cuya altura sea más fácil de estimar o medir.

Utilizar la sombra de la torre para obtener su altura por proporcionalidad.

Utilizar los casosde resolución de triángulos.

Lanzar un objeto desde la torre, medir el tiempo que tarda en llegar al suelo y luego obtener la altura.

·

Usar un altímetro. [...]

Incluso podrían utilizar varios de estos caminos y luego promediar los resultados. Podrían ... ¿Qué harán? En esa indeterminación reside precisamente el interés de este problema, en la necesidad de tomar decisiones y de comprender las limitaciones y errores que se asumen cuando se toman. Entre estos dos extremos: «problemas ángulo cero» (en los que no hay posibilidad de elección) y «problemas ángulo lleno» (donde el rumbo es totalmente incierto) existe todo un abanico de aperturas. La idea que deberíamos recoger es que es necesario que los estudiantes trabajen problemas de diferente grado de apertura como parte de esa dieta sana que les queremos proponer. Esdecir que la propuesta curricular que se les haga debe contener problemas de diverso grado de apertura entendiendo que hacer solamente problemas ad hoc no responde a lo que entendemos como una adecuada propuesta de problemas como tareas.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


El proyecto

PISA, que ya hemos comentado

este documento,

ha generado

a qué debemos entender currículo

en diferentes

alguna pequeña confusión

como problema

partes de

con relación

en matemáticas

dentro

del

escolar. La mayoría de los ítems que conocemos de PISA son

situaciones

problemáticas

matemático;

en las que es necesario usar conocimiento

bien, eso es lo que hemos definido

como problema,

hasta

ahí todo va bien. Sin embargo, existe una cuestión, no menor, que tiene que ver con el tipo de conocimiento

matemático

que es necesario uti-

lizar para resolverlos, porque en muchos casos es muy elemental y tiene poco que ver con los currículos de matemáticas se pasa la prueba: quince años. Algunos solver problemas plicando

es plantear

en las edades en las que

docentes consideran

tareas de este tipo, mientras siguen ex-

los temas tradicionales

en los currículos de esa edad. Con lo

que se genera la falsa idea de que los problemas ocurrente

tipo acertijo,

aprendiendo

que re-

son un tipo de tarea

donde no es necesario utilizar

lo que estamos

y que, visto así, tienen poco que ver con las matemáticas

escolares. Una de dos, o los currículos escolares tratan temas cuya aplicación a situaciones en las que se trabajan,

contextuales

no se pueda abordar

en las edades

o los problemas, que me atrevería a llamar «tipo

PISA», generan el espejismo de que «problema»

es algo que no tiene

que ver con lo que se trata en clase. Hay que intentar polos que se encuentran

bastante

acercar estos dos

alejados en la realidad

del trabajo

en las aulas. Según lo veo, en la elección de problemas que hay que trabajar en las aulas como parte del currículo

de matemáticas

acercarse lo máximo

a los contenidos

matemáticos

que en caso contrario

habrá que preguntarse

niencia de que tales temas sigan formando

habrá que

habituales,

seriamente

por-

por la conve-

parte del currículo en esas

mismas edades. Lo que no tiene mucho sentido es disociar en exceso un polo del otro y hacer pensar a los estudiantes de otras cosas distintas de las que forman

que los problemas tratan

parte de los contenidos

que

aprenden.

IDEA CLAVE

5


Por lo tanto, problema

lo primero es disponer de una colección de tareas tipo

en las que el grado de apertura

aplicable

esté relacionada

bajan habitualmente.

sea variable

con los contenidos

En segundo

curriculares

que nos permita

proponer

diverso e incluso una construcción tiendo

de una situación

una clasificación

de los

tareas de un orden de dificultad

de la propia tarea que permita,

determinada,

en cuanto a la dificultad

que se tra-

lugar, habrá que elegir algunas de

ellas para Ilevarlas a clase, aquí es importante problemas

y la temática

niveles de resolución

y complejidad

buscar. Hay que reservar, también,

par-

diferentes

de las soluciones que hay que

en el horario

escolar un hueco fijo

para esta tarea y actuar de manera sistemática en el uso de ese tiempo. Los procedimientos

heurísticos que hay que seguir y los protocolos

que hay que utilizar son cuestiones importantes

y constituyen

visible del iceberg que es el flujo de información

que se debe ordenar,

expresar y coordinar tenso, importante

durante la resolución del problema.

y muy trabajado

señanza de las matemáticas

en la literatura

la parte

Es un tema ex-

pedagógica

y por esta razón no incidiremos

de la en-

más en él.

En cambio, sí creo que hay que decir algo sobre un tema menos tratado, pero no menos importante: lución de problemas de problemas no tienen que ver con lo cognitivo y sí, muchas veces, con lo emocional (ansiedad, miedo, ideas negativas, frustración, etc.).

problemas es directamente proporcional a la angustia que se es capaz de soportar hasta que se resuelve.

miedo,

ideas negativas,

etc.). Muchos de los bloqueos que se producen cialmente nitivo

en la resolución

de problemas

trabajada,

tualmente

pero muy importante

por no recordar

resolver problemas

Es una cuestión

poco

como pude leer en la intro-

de problemas,

exactamente

es directamente

y espe-

no tienen que ver con lo cog-

porque

de un libro sobre resolución

frustración,

en matemáticas

y sí, muchas veces, con lo emocional.

ducción Hay que tener en cuenta que la capacidad de resolver

(ansiedad,

la gestión de la emoción en la reso-

que no cito tex-

cuál es, la capacidad

proporcional

de

a la angustia que se

es capaz de soportar hasta que se resuelven. Sólo el que no se desanima a la primera puede resolver problemas,

sólo el que resiste a la frustra-

ción y hace de los fracasos acicates puede resolver problemas.

Porque

lo normal es equivocarse y lo anormal acertar. Hay que enseñar a los es-

154

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


tudiantes

a gestionar

y controlar

esos sentimientos

y a dominar

nico que se apodera de uno cuando debe enfrentarse y el riesgo de equivocarse

a lo desconocido

es muy alto. Tenemos que hacerles ver que

ese hueco que se abre ante ellos es una oportunidad, se puede convertir

el pá-

en satisfacción,

que de sus errores aprenderán

que el riesgo

que lo más normal es equivocarse y

más que de sus aciertos, que las máqui-

nas no se equivocan y por eso no aprenden, y que nosotros no estamos esperando

que indagar es aventurarse

a que se equivoquen

para reñir-

les, sino que los esperamos para prestarles nuestra ayuda. Mientras constituyan

en la dieta habitual una tarea habitual,

de los estudiantes el desarrollo

los problemas

de la competencia

no

mate-

mática será escaso. Mientras el grado de apertura de los problemas que se plantean

sea bajo, el desarrollo

escaso. Mientras

de la competencia

los conocimientos

el desarrollo

Mientras

de la competencia

docentes y estudiantes

lugares desconocidos la competencia

hemos clasificado

habitualmente matemática

en el cu-

será escaso.

no pierdan el miedo a adentrarse

en

en busca de soluciones creativas, el desarrollo

de

matemática

Los problemas

será escaso.

son tareas capaces de desarrollar como competencias

competencias

que

del 3.er nivel. No hay muchas ta-

reas que lo sean y de ahí el interés añadido que tiene proponerlas tareas habituales

será

que hay que aplicar a los proble-

mas estén muy alejados de los que se trabajan rrículo,

matemática

como

hemos clasificado como competencias del tercer nivel.

en nuestros currículos escolares.

Investigaciones Es habitual

hablar de «investigación»

máticas. En su parte enunciativa de un problema como preguntas.

como un tipo de tarea en mate-

no es fácil distinguir

una investigación

porque en la mayoría de los casos ambos se enuncian De hecho podríamos

considerarlos

tes. Existe, a pesar de lo dicho, una diferencia su aplicación didáctica y es la siguiente:

tareas equivalen-

de matiz relevante

el problema

para

hace o debe hacer

IDEA CLAVE

5

1


referencia

a una situación

contextual

gación prescinde en principio pregunta:

«real», mientras

de esa situación.

que la investi-

Por ejemplo,

si alguien

«¿Qué es mejor cuando nos van a hacer un descuento en una

compra, que nos lo hagan antes de cargar ellVA o que primero nos carguen el IVA y luego nos hagan el descuento frente

a un «problema»

porque

puede darse en un contexto

sobre el total?

Estamos

se supone que es una situación

real. Pero si alguien pregunta:

«¿Es cierto

que todos los números capicúas de cuatro cifras son múltiplos estamos, si seguimos la distinción

que propongo,

frente

que

de 11?»,

a una investi-

gación porque en este caso el contexto se ha esfumado, aunque la pregunta

persista. Es como la sonrisa del gato de Cheshire que perdura

cuando el gato se esfuma. Sin embargo,

las estrategias o procedimien-

tos heurísticos y los tipos de esquemas que hay que poner en juego para buscar la manera de resolver esas cuestiones son bastante similares. A pesar de ello, hay personas que consideran que las investigaciones son menos prácticas y sólo están destinadas quienes les gusten las matemáticas. de la siguiente tiente

Sus argumentos

manera: resolver problemas

de aplicación

a aquellos

social que tienen,

estudiantes

se pueden resumir

es importante

porque

por la ver-

los descuentos

e im-

puestos nos interesan a todos; los números capicúas y los múltiplos 11 son cosas de los matemáticos No soy de esa opinión las investigaciones

y, en principio,

de

sólo les interesa a ellos.

por varias razones. La primera es de tipo práctico,

permiten

desarrollar

competencias

gico que luego se pueden aplicar a los problemas recta, y en esto reside una parte, no desdeñable, Porque lo que los problemas

de tipo estraté-

de manera más di-

de su valor didáctico.

tienen de riqueza, en cuanto que nos si-

túan frente al valor real de lo que aprendemos, textual

a

en cuanto ocultan o contaminan

lo tienen de ruido con-

la estructura

hay o puede haber tras ellos. Las investigaciones

matemática

que

son, desde este punto

de vista, más pobres pero a la vez más «limpias» yeso permite trabajar con mayor rapidez. Teniendo

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

en cuenta que el tiempo

es una variable


fundamental en el currículo escolar, este argumento no es una cuestión menor desde el punto de vista de la gestión del currículo, donde la variable tiempo es fundamental. La segunda razón por la que discrepo es de otro tipo y no sé cómo calificarla porque decir «humanista» me parece un poco excesivo. La podría expresar diciendo que a todos los estudiantes se les debe ofrecer la oportunidad de explorar, en la medida de sus posibilidades, las propiedades de los elementos matemáticos y las de las estructuras que forman. Ofrecer caminos y abrir puertas es bastante diferente de considerar algo como condición y barrera; por esta razón hay que dar cauce, también en la educación obligatoria, al talento matemático, porque tratar la diferencia no se reduce a ocuparse de los que no pueden seguir el ritmo de la mayoría, sino más bien a poner al alcance de todos aquello que mejor se adapta a susnecesidades,también a las de aquellos que quieren y pueden aprender más matemáticas. Las investigaciones nos permiten vislumbrar el apasionante mundo de la matemática de los matemáticos y es, salvando la diferencia, como la poesía en los cursos de lengua. No parece razonable eliminar la poesía de los cursos de lengua argumentando que para la comunicación social no es imprescindible. Existen testimonios de muchos matemáticos que encontraron en este tipo de cuestiones planteadas en el medio escolar el origen de su deseo de aprender matemáticas, y cuando hablamos de matemáticas para todos, debemos hacerlo también para aquellos que tienen un gran talento o disposición para las matemáticas como ciencia. Singh (1997) pone en boca de Andrew Wiles, matemático inglés que ha demostrado el teorema de Fermat, lassiguientes palabras (el problema al que se refiere Andrew Wiles es la conjetura de Fermat, que siguiendo la clasificación que aquí hemos hecho lo catalogaríamos como una investigación): Me encantaba resolver los problemas en la escuela. Me los llevaba a casae inventaba otros por mi cuenta. Pero el mejor problema lo descubri en la biblioteca municipal. (QCDE, MEC, 2004)

IDEA CLAVE

5


El descubrimiento menor

y cultivo

desde una perspectiva

las matemáticas,

del talento

social e inclusiva

es una de las funciones

no sea, desde luego,

matemático

el ideal educativo

no es algo

de la enseñanza

de esa enseñanza, para proponer

de

aunque

a todos

los

estudiantes. Desde el punto de vista de las operaciones en juego,

investigaciones

aplicación

social que puede hacerse de las competencias

arrollan

son tareas similares.

por medio de las mismas, son diferentes.

Desde la

que se des-

En todo caso estamos

con «estándares de procesos» o capacidades del 3.·r nivel si

trabajando tomamos

y problemas

mentales que se ponen

como referencia

la clasificación

del proyecto

PISA que esta-

mos utilizando.

Actividades de síntesis y elaboración de la información La educación

matemática

una comprensión

no puede considerarse completa

significativa

de los conceptos matemáticos

de las relaciones que guardan entre sí. La competencia uso del conocimiento procedimientos

matemático,

de manera necesaria. La propia definición

de la terminología,

que, lógicamente,

matemática,

el

de los

sino que los incluye

de competencia

matemática

PISA así lo indica.

(...) Del mismo modo, la competencia nocimiento

básicos y

no excluye la comprensión

y conceptos que se deben utilizar,

que viene en el proyecto

si no existe

matemática

no debe limitarse al co-

datos y procedimientos

matemáticos,

aun-

debe incluir/os, ni a las destrezas para realizar ciertas

operaciones y cumplir con determinados

Es cierto que las matemáticas

métodos. (QCDE, MEC, 2004, p. 18)

son un área de conocimiento

compara con otras como son las ciencias sociales o naturales,

que, si se maneja

menos cantidad de términos y utiliza y produce mucha menos información textual. Además dispone, al igual que la música, de un código ex-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


presivo propio que denominamos

lenguaje formal y que sirve de modo

de expresión de las relaciones tanto matemáticas

como científicas.

Representación formal mediante la escala musical:

~

~I':JOorJOOI':J

Representación formal de la circunferencia cuyo centro está en las coordenadas (a, b) y tiene de radio el valor «r»: (x-a)2+ (y-b)2= r2 Representación formal de la conocida fórmula de Einstein sobre la relación entre masa destruida (m) y energía (E) liberada: E

=m

c2

Es tan grande el valor de simplificación,

concisión y precisión de este

tipo de lenguaje que llega a no utilizarse otra forma expresiva más que la formal,

hasta el punto de casi eliminar

en matemáticas.

el resto de modos expresivos

Pero resulta que lo que es bueno para quien ya sabe

y encuentra

así una manera ideal para la expresión de su pensamiento

es negativo

para quien aprende y no puede acceder al significado

que se quiere decir. Es una cuestión de incomunicación de comprensión elimina,

del código

utilizado.

casi del todo, los términos

por la dificultad

Este tipo de expresión

modos expresivos diferentes y complementarios:

clusivo del lenguaje posibilidad

en una dificultad

formal

formal

y conceptos que suelen expresarse

de manera escrita, y lo que debía ser una ventaja -disponer

icónico, etc.- se convierte

de lo

de varios

verbal, escrito, formal,

por el predominio

casi ex-

sobre los demás. Lo que es un avance, la

de expresar de manera rápida y sintética las ideas matemá-

ticas, se puede convertir en una barrera si se produce un abuso en el uso exclusivo de este tipo de lenguaje.

IDEA CLAVE

5


A largo plazo, este predominio perjudicial

para la enseñanza

soluto, a que se trabajen cesos generales

del lenguaje

de las matemáticas

otras competencias

de aprendizaje.

de lo que quiero

hay que leer y comprender selectividad

muy

y no ayuda, en ab-

podemos

con los procitar el daño

lectora de los textos matemáticos

los textos usados en otros contextos. y contundente

resulta

relacionadas

En concreto

que produce en la comprensión

formal

y de

Si alguien desea un ejemplo claro

decir, sirva de ejemplo

el texto

que

para poder realizar con éxito la prueba de

que hemos recogido en la idea clave 2 de este mismo libro

(p. 46). Sabemos, por experiencia

y por los resultados

de las evaluaciones

que se realizan, que la comprensión

lectora es una competencia en la que

las prestaciones

son bajas, por lo tanto

aplicamos

de los estudiantes

más en esta dirección

aumentando

se destina tanto a la interpretación

deberiamos

la carga de trabajo

de textos que contengan

ción relacionada con las matemáticas como a la comprensión

que

informade los con-

ceptos básicos que se utilizan

para «hablar y escribir» en matemáticas.

Los docentes que «eliminan»

los libros para no perder tiempo

textos e ir directamente

leyendo

a los ejercicios, los docentes que nunca escriben

en la pizarra otra cosa que fórmulas,

los docentes que no trabajan

las

relaciones entre los conceptos para ir derechos «al grano» (los algoritmos de cálculo), los docentes que «no pierden el tiempo» sus estudiantes

a hacer esquemas, croquis o mapas conceptuales

boran, aunque no lo quieran, diante

en sacar de la carga de trabajo

las tareas que le permitirían

matemáticas

y la comprensión

creo que conviene

considerar

tareas en la dieta habitual Supongamos

enseñando

mejorar

de las

Por estas razones

la necesidad de introducir

este tipo de

de los estudiantes.

que queremos trabajar

siguientes

términos

que se utilizan

perficie»,

«plano»,

«figura»,

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

cola-

del estu-

la comprensión

lectora en general.

a

la relación existente

habitualmente

«polígono»,

entre los

en geometría:

«cuadrilátero»,

«su-

«rectán-


gula», «rombo» términos

y «cuadrado».

con una imagen,

caso, podemos estos términos

Podemos relacionar

cada uno de estos

pero además, y esto es lo relevante

preguntarnos

por las relaciones

en este

lógicas que guardan

entre sí. En este tipo de tareas, lo que nos interesa tra-

bajar es la relación lógica entre estos conceptos más que la imaginación. La relación lógica entre los conceptos se basa en su extensión, en la mayor o menor generalidad relacionan.

En realidad,

de los términos

la lista de términos

es decir

que se comparan

y

que he dado ya está or-

denada de mayor a menor grado de generalidad,

aunque no en todos

los casos porque

que rombo

rectángulo

versa. Podríamos suponer, punto, que los términos

no es más general

ni vice-

no lo voy a hacer para no alargar más este

no estuvieran

Para empezar debemos preguntarnos

ordenados

según este criterio.

lo siguiente: ¿cuál de esos tér-

minos es el más general, cuál es el que incluye a todos los demás? La respuesta es el concepto de superficie. una superficie, de los términos puede definir menos general,

Los demás indican tipos o partes de

las figuras son parte de una superficie, de la lista. El término porque

hacerlo

supone

o más particular,

ponerlo

de una lista no se

en relación

con otro

pero que no existe por lo menos en

esa lista. Por esta razón, deberemos a considerar que es un término

más general

así como el resto

limitarnos

a apelar a la intuición

que no necesita definición

y

(en realidad

una superficie es el límite entre el interior y el exterior de un cuerpo geométrico,

pero nosotros

partir de esta aceptación apoyo imaginativo

no hemos puesto en la lista ese término). intuitiva

de un término

A

al que sí podemos dar

para reforzar su carácter intuitivo

(podemos apelar

a la imagen del mar en calma, a la de una sábana ...), puede empezar a funcionar

la máquina

ción de una superficie

lógica. Podemos definir limitada

«figura»

como una por-

por una línea. Podemos definir

«figura

plana» como una porción de plano limitada por una línea o como aquella figura

contenida

demos mostrar

en un plano ... Las relaciones así definidas

en un diagrama

que representa

las po-

la mayor o menor

IDEA CLAVE

5


extensión

de los conceptos ordenándolos

de arriba hacia abajo, como

puede verse en el cuadro 1. Cuadro 1

FIGURA PLANA

! Polígono

!"" Cuadrilátero

Rombo

Rectángulo

L Cada flecha indica una relación comunicativo

Cuadrado

entre conceptos

y establece un nexo

entre ellos. No podemos detenemos

pero sí cabe señalar que su estabilidad estén bien establecidos,

J

a estudiarlos

significativa

depende

todos, de que

es decir del número y el valor semántico de los

nexos que seamos capaces de establecer entre los conceptos aquí reunidos. Las relaciones semánticas entre los conceptos

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

se asemejan a la


red eléctrica

de una ciudad,

miles de bombillas

red invisible,

pero que se adivina

que se pueden ver cuando se aterriza

en las

en una ciu-

dad por la noche. Estas relaciones son de un gran valor cuando alguien debe leer y comprender

un texto

que las contiene;

porque

la com-

prensión del mismo se acelera en la medida en la que los términos asocian rápidamente

a un significado

y se ralentiza

se

hasta hacerse im-

posible cuando se no se asocian o se hace muy débilmente. Siguiendo con el ejemplo que estamos desarrollando, nificado

veamos el sig-

de las relaciones 7, 8, 9,10 Y 11:

7. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y cuatro ángulos. 8. Un rectángulo es un cuadrilátero con lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos. 9. Un rombo es un cuadrilátero con los cuatro lados iguales y los ángulos opuestos iguales. 10. Un cuadrado es un cuadrilátero con los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales. 11. Un cuadrado es un rectángulo con los cuatro lados iguales. 12. Un cuadrado es un rombo con los cuatro ángulos iguales.

El

establecimiento

trabajo produce

específico

de estas relaciones no se produce si no se hace un de síntesis y elaboración

sin este esfuerzo

ñado de un refuerzo

reflexivo

No se

que puede y debe estar acompa-

visual, pero que no puede reducirse al mismo so

pena de menoscabar la comprensión La intuición

de la información.

es la puerta,

largo plazo sólo contiene,

del significado

pero la lógica es el almacén,

la memoria

de manera estable y sin deterioro,

conceptos cuyos nexos de significado Los demás se deterioran

de estos conceptos.

rápidamente

están sólidamente dejando

a

aquellos

establecidos.

un vago recuerdo

de

haber «oído» alguna vez hablar de ellos.

IDEA CLAVE

5


Por otra parte, la comprensión

lógica de los conceptos es condición

necesaria para una correcta expresión de los mismos y es la manera más eficaz de evitar el balbuceo habitual tienen

que explicar

habitual

en estos casos, y no solamente

es la perífrasis, el rodeo y el circunloquio.

nexos establecidos

no son firmes ni estables, el lenguaje

pierde precisión y capacidad comunicativa galimatías.

La comprensión

no es solamente condición además, condición

cada vez que

algo que tenga que ver con los conceptos

máticos. La estrategia los estudiantes,

entre los estudiantes

significativa

mateentre

Cuando los que se utiliza

y puede convertirse

en un

de los conceptos matemáticos

de su estabilidad

en la memoria, sino que es,

de una buena expresión de los mismos. Son dos ám-

bitos clave en la educación de cualquier

persona y creo poder decir que

la carga de trabajo de los estudiantes en este ámbito es más bien escasa. Parece razonable

pedir que se aumente

tareas en la dieta de los estudiantes. sis y elaboración el desarrollo pretexto

la proporción

La realización

de este tipo de

de tareas de sínte-

cumple de esta manera una labor fundamental

de la competencia

matemática

para

y no debe olvidarse con el

del carácter práctico de esta materia.

Si clasificamos

las tareas de síntesis y elaboración

niveles de dificultad deberíamos

que estamos utilizando

en función

de los

(los tres niveles de PISA),

decir que lo más lógico sería situarlas entre los niveles 2.°

y 3.° de esa clasificación. Lejos desde luego de los niveles meramente

re-

productivos.

En resumen El logro de un aprendizaje está unido a la realización de las tareas relacionadas con él. Espor lo tanto una ilusión pasar el tiempo haciendo un tipo de tareas y esperar que se logren aprendizajes no relacionados con ellas. Las tareas contienen

los gérmenes de los aprendizajes y

dan lugar a éstos si encuentran las condiciones necesarias para germinar y crecer. El triángulo

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


didáctico nos explica de qué manera una tarea se convierte en actividad y cómo de manera inductiva se puede generar conocimiento

en otra persona. Por lo tanto, organizar la dieta de

los estudiantes, entendida como la carga de trabajo que deben realizar, carga que está compuesta por las tareas que hay que convertir en actividades y por los tiempos que se deben utilizar en cada uno de los tipos en los que las podemos clasificar, es la única manera de inducir de forma intencional

los aprendizajes que deseamos que nuestros estudiantes construyan. En

pocas palabras y una vez más, la clave en esta cuestión es el currículo entendido

como pro-

puesta de tareas que hay que realizar y como concreción de la carga de trabajo de los estudiantes. Disponemos en la actualidad en matemáticas

de una buena tipología

y de una variada tipología

e interactúan.

(PISA)

de tareas. Tenemos además suficiente

mación sobre cómo se cruzan estos dos elementos relacionan

de niveles de aprendizaje

infor-

básicos del currículo, es decir cómo se

Lo que no tenemos son propuestas de currículo alternativas

ofrezcan al sistema educativo

una carga de trabajo

bien estructurada

que

con relación a estos

parámetros y que sea aceptada socialmente como pauta general para la evaluación en matemáticas. Falta, para empezar, la conciencia de la importancia ciarlo explícitamente

como problema

nadie propondrá

soluciones, y es por esta razón que

lo señalo una y otra vez, con el peligro de resultar reiterativo tuarlo como el problema ticas. En mi opinión, matemáticas,

más importante

de esta situación. Sin enun-

pero con la voluntad

de si-

para la mejora de la enseñanza de las matemá-

mientras no se aborde de manera decisiva la cuestión del currículo de

seguiremos como el coche que una vez que ha hundido

en la arena blanda cuanto más acelera más se hunde. Pasará el tiempo, ción de docentes y estudiantes

aumentará,

pero no mejorarán

las ruedas tractoras el nivel de frustra-

los resultados de los apren-

dizajes en matemáticas.

IDEA CLAVE

5


Decir que se desarrollan los aprendiza-

que el que ocupan en la actualidad. La

jes relacionados con las tareas que se

experimentación es una buena vía para

realizan es expresar algo obvio, pero a

el inicio del estudio de las matemáticas.

vecesolvidado. No podemos decir que el objetivo fundamental

Lo mismo debemos decir de juegos, investigaciones, simulaciones con orde-

para el des-

arrollo de la competencia matemática

nador, etc. No es posible trabajar todo

es la capacidad para resolver proble-

el amplio abanico de competencias

mas y luego no dedicar a este tipo de

matemáticas haciendo solamente o

tarea el tiempo necesario.

mayoritaria mente ejercicios. La enseñanza de las matemáticas

Disminuir el tiempo destinado a reali-

aumentar el tiempo que se destina a la

debe contener una propuesta para la elaboración de la información mate-

realización de otros tipos de tareas

mática, realizando esquemas, mapas

debe ser uno de los objetivos de todo

conceptuales, carteles, etc. La com-

plan de reforma de la enseñanza de las matemáticas.

de una buena educación matemática

Las experiencias, entendidas como la

y paso imprescindible para mejorar la

lectura y la observación de la realidad,

escasa capacidad de nuestros estu-

deben ocupar en la enseñanza de las

diantes de utilizarla

matemáticas un lugar más importante

municativa.

zar ejercicios y problemas ad hoc para

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

prensión de los conceptos es condición

de manera co-


La evaluación de las competencias determinará el currículo de matemáticas Los injertos en los árboles Pensó en buscar alguna recomendación; no quería decirle nada a su padre, y se fue a casa de su tío Iturrioz a explicarle lo que pasaba. Iturrioz le preguntó: - ¿Sabesalgo de química? -Muy poco. -¿No has estudiado? - Sí,pero se me olvida todo enseguida. - Esque hay que saber estudiar. Salir bien en los exámenes es cuestión nemotécnica, que consiste en aprender y repetir el mínimum de datos hasta dominarlos ...; pero en fin, ya no es tiempo de eso, te recomendaré, vete con esta carta a casa del profesor. Andrés fue a ver al catedrático que le trató como a un recluta. El examen que hizo unos días más tarde le asombró por lo detestable; se levantó de la silla confuso, lleno de verguenza. Esperó, teniendo la seguridad de que saldría mal; pero se encontró con gran sorpresa, que le habían aprobado. (Baraja, El árbol de la ciencia)

IDEA CLAVE

6


La sensación de déja vu cuando se habla de reforma en enseñanza. El currículo evaluado Si existe alguna idea que se repita en los diversos foros profesionales que se ocupan de la enseñanza de las matemáticas, ésa es la dificultad, por no decir imposibilidad, de conseguir cambios de calado en las propuestas curriculares que se desarrollan en los centros educativos. Las sucesivas reformas y propuestas de cambio se asemejan a las olas que chocan contra un rompeolas, llegan furiosas pero tras chocar con el muro quedan amortiguadas y, lo que es peor, suelen provocar que las siguientes pierdan fuerza, los habitantes de las zonas costera s las llamamos «las contraolas». Escasi seguro que algún día se caerá ese muro, pero a la marcha que vamos no parece que vayamos a estar para contarlo. Por eso las preguntas del millón entre los que promocionan estos cambios son las siguientes: ¿qué se debería hacer para suscitar cambios estructurales en las prácticas educativas de las matemáticas?, ¿qué hay que hacer para innovar en la enseñanza de las matemáticas y que esa innovación sea aceptada como nueva pauta social? Podemos analizar lo que se ha hecho para ver qué ha funcionado y qué no. Una estrategia que hemos seguido hasta la extenuación ha sido intentar convencer, con argumentos casi irrebatibles, de la conveniencia, de la necesidad, de la urgencia y del carácter benefactor de los cambios que se proponían. Quienes nos dedicamos a estos menesteres hemos depositado una confianza excesiva en el valor de los argumentos racionales como factor de cambio en el comportamiento de las personas y hemos llegado a pensar, de manera un tanto ingenua, que nos rebaten porque no tienen razones para hacerla y que faltos de razones se avendrán a aceptar las nuestras como base de sus propias acciones. Se han escrito miles y miles de páginas con argumentos favorables a los cambios educativos, se han organizado innumerables cursos de formación para docentes, se han celebrado cientos y cientos de conferencias, simposios y congresos en los que se ha repetido machaconamente esta idea, pero el muro sigue en pie. Estimo que esta estrategia está agotada y que, si bien es necesario informar a los docentes y explicar suficientemente los cambios que se proponen y las razones que existen para ello, esperar que estas explicaciones supongan cambios de calado en el comportamiento de docentes e instituciones educativas es un brindis al sol. Esun camino prácticamente agotado como motor principal para la innovación en la enseñanza de las matemáticas. Se ha dicho, con razón, que es necesario mejorar la formación inicial de los docentes -hablaré de esta cuestión de manera específica en otro apartado-, pero la verdad es que no se ha hecho

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


mucho en los últimos años. Se ha dicho, también con razón, que habría que mejorar los materiales de los que disponen los docentes. Sin embargo, esa mejora se ha concretado en que los libros de texto tienen más fotos y se imprimen ahora a todo color, provistos de toda clase de alardes tipográficos e ilustraciones de lujo. Se ha dicho, una vez más con razón, que hay que investigar más acerca de los procesos de aprendizaje y que de esa investigación obtendremos ideas renovadoras para construir propuestas de enseñanza innovadoras, pero pocas de las consecuencias de dichas investigaciones se han incorporado a la práctica educativa en el aula. Casi todo se ha dicho y se ha hecho, pero el muro sigue en pie y sólo se observan unas cuantas grietas superficiales donde nacen unas hierbas que huelen muy bien, pero que no parece que pongan en peligro la estabilidad del muro.

La evaluación en matemáticas como motor del cambio En este panorama en el que los expertos predican en el desierto y los docentes preparan

la selectividad,

llega PISA y produce un terremoto

diático mayor que si se hubiera derrumbado

la torre de la ciudad italiana

cuyo nombre coincide con el del proyecto de evaluación por la OCDE. Hay que decir que el terremoto cosa, pero ha conseguido,

me-

promocionado

es más mediático

que otra

por lo menos, que el muro tiemble

un poco.

Los políticos temen, odian y aman los titulares

de prensa de los periódi-

cos de mucha tirada, porque saben que son uno de los factores clave en la conformación

de la opinión

blicado, casi publicitado, mero de los informes segundo, publicado ha abierto

pública. Los resultados de PISA se han pu-

en todos los medios de comunicación. PISA llamó la atención

de muchos medios, el

a finales del año pasado (4 de diciembre

cabeceras de muchos medios de comunicación

fila. Hoy en día, PISA ha dejado de ser una referencia en educación y se está convirtiendo

Si el pri-

en un referente

de 2007), de primera

para los expertos social que los res-

ponsables políticos ya no pueden obviar. Hasta el punto de que las administraciones

autonómicas

han organizado

sus propias muestras con

IDEA CLAVE

6

1


la esperanza, no siempre cumplida

por razones estadísticas evidentes,

de salir algo mejor parados que los demás. El mensaje que han transmitido ido calando en la opinión

los medios de comunicación

y que ha

pública es que «vamos mal», que «estamos a

la cola» y que algo habrá que hacer para salir de esta situación. Como sucede con las elecciones siempre hay algún dato que demuestra que todos tienen razón, quienes critican y quienes defienden vas, pero la sensación generalizada

las políticas educati-

es la de que no vamos por el mejor

camino. Lo que no había conseguido la bonhomía de los argumentos novadores, lo que no había logrado preparación

profesional

la denuncia expresa de la falta de

de los docentes, lo que no habían removido

altas tasas de fracaso en la educación obligatoria del periódico informando

re-

las

lo consigue un titular

de que en una determinada

evaluación «vamos

mal». Consigue que los políticos responsables del sistema educativo piensen que algo habrá que hacer para no seguir saliendo mal en los periódicos. Bienvenida

sea esa reacción si al final sirve para que pongan en

marcha planes eficaces con el fin de cuartear el muro y, sobre todo, para mostrar de manera eficiente

la idea clave de este apartado:

ción es la palanca más poderosa para promover el punto de apoyo que pedía Arquímedes De lo dicho en las líneas anteriores logran

la evalua-

cambios curriculares, es

para mover el mundo.

parece deducirse que lo que no

otras acciones puede conseguirse

cambiando

las formas

de

evaluación. Al igual que los girasoles miran al sol y se mueven a su compás, las acciones educativas

miran a la evaluación

y se adecuan a los

fines que ésta valora. Pero bien mirado esto no es nada extraño, que la evaluación

es la parte del currículo que mayores consecuencias

sociales tiene y, como venimos repitiendo

una y otra vez en este texto,

ya es hora de que despertemos de la ilusión psicologicista todología aceptemos

por-

de que la me-

de enseñanza es la llave para el cambio curricular

y de que

que el sistema sólo se moverá cuando las fuerzas sociales

que lo mantienen

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

lleguen a la conclusión de que no se adecua a los in-


tereses que defienden.

La evaluación

que el sistema promueve

es la clave para la selección social

y, por lo tanto,

la palanca para cambiar

las

prácticas educativas. Ésta es, en mi opinión, la conclusión, nada novedosa por otra parte, a la que puede llegarse después de ver las peregrinaciones a Finlandia3 de los responsables educativos

españoles en los úl-

timos años. Estamos de estreno en lo que se refiere a nuevos currículos porque este curso 2007-2008 es el primero en el que se ha puesto en marcha la LOE. Como sabemos esta ley incluye un anexo donde se desarrollan serie de competencias

clave, y una de ellas es la competencia

tica. Bien, las autoridades

del ministerio

de las consejerias autonómicas «evaluaciones obligatoria,

de diagnóstico»

comenzando

una

matemá-

de educación y los responsables

ya han anunciado

que se van realizar

en varios de los niveles de la enseñanza

por cuarto curso de educación

primaria

y el

segundo curso de educación secundaria. Se llamarán «evaluaciones

de

diagnóstico»

ya

porque

que su objetivo

no contarán

declarado

es mostrar los puntos débiles y fuertes en el

logro de la citada competencia. oportunidad

como nota para los estudiantes,

Estamos, sin duda, frente

a una gran

para inducir cambios de calado en la educación

tica, pero una oportunidad

es eso, una oportunidad,

matemá-

y dependiendo

de

cómo se actúe los resultados serán positivos o negativos.

Una oportu-

nidad es un riesgo o un riesgo puede ser una oportunidad,

es decir algo

ambivalente.

Si las evaluaciones

tas de competencias

matemáticas

cación en los diferentes aplicación autónoma los contenidos, contrario

a propues-

en las que se tenga en cuenta su aplide uso y se prime la comprensión

frente al memorismo

reforzándolo

es el país que mejores

ediciones

responden

y la utilización

y

mecánica de

resultarán un buen ariete para derribar el muro, en caso

estaremos

3. Finlandia distintas

contextos

de diagnóstico

para las próxima

resultados

ha obtenido

décadas. Debere-

en las pruebas PISA en las

celebradas.

IDEA CLAVE

6


mos estar muy atentos a la propuesta licen estas pruebas, porque

por medio de la cual se materia-

de su concreción

va a depender

en gran

medida en qué dirección se va a mover el currículo de matemáticas

en

los próximos años. La otra gran cuestión La universidad está inmersa en un reforma debido a requerimientos de incorporación ai Espacio Europeo de

pendiente

el ingreso en la universidad. función

directiva

veles inferiores

es el examen de selectividad

Ya he argumentado

que cumple la universidad a la hora de condicionar,

con anterioridad

y su influencia

casi determinar,

analogía

y de la conveniencia

desarrollada

que si no se reforma

de su reforma.

en el párrafo anterior, la selectividad,

el currículo

debido

Siguiendo

social de con la

sólo queda volver a decir

será muy difícil arañar siquiera el

muro de las malas prácticas establecidas. en un proceso de reforma

la

en los ni-

de matemáticas. Ya me he posicionado acerca de la importancia esta prueba

para

La universidad

a los requerimientos

está inmersa para su incor-

poración al Espacio Europeo de Educación Superior, proceso que tiene en el año 2010 su fecha clave. En este contexto sario que se replantee cambiar

su nombre,

la función

de la selectividad

es nece-

empezando

que es poco social, para pasar a convertirla

unas pruebas de ingreso que deberían petencias

de reforma

que la universidad

tener para su incorporación

considera

marcar con claridad que los estudiantes

por en

las comdeben

a estos estudios.

Como resumen de este epígrafe me gustaría contar la metáfora del injerto. El fruto que da un árbol depende de la rama final en la que se desarrolla y no de las anteriores. Hoy en día casi todos los árboles frutales están injertados y comparten un tronco de un tipo de árbol con ramas de otro tipo. El fruto que dan depende de la rama injertada y no de las anteriores. Así, con un tronco común un árbol puede dar frutos diferentes. Con la evaluación sucede algo parecido, por mucho que los objetivos apunten a las competencias, por mucho que se escojan los contenidos adecuados y se desarro-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


Ilen las tareas pertinentes, si se evalúa otra cosa al final, en esa lucha entre fuerzas contrapuestas, siempre gana la evaluación porque es la que socialmente tiene más relevancia.

A la larga se impone ese dicho que afirma: «lo que no se evalúa se devalúa». Además los aprendizajes

evaluados son útiles socialmente

que sirven para aprobar y continuar inútiles

desde este punto

los aprendizajes

en el sistema y los no evaluados son

de vista. Las consecuencias

son evidentes: por decantación

por-

de todo

esto

en el tiempo las tareas relacionadas con

que sirven para seleccionar socialmente

se imponen,

cristalizan y quedan; no así el resto de tareas, que son las que no sirven para avanzar en el sistema educativo. cuencia los estudiantes,

rápidamente

Porque los docentes, y en conseclasifican las tareas en dos clases:

las que sirven para la selección social que hace el sistema y las que no sirven. Enseguida

el docente

dedica la mayor parte del tiempo

mejor parte de éste a las tareas «importantes», para la evaluación,

y la

es decir a las que sirven

y deja en un segundo y último

lugar las «prescindi-

bles», aquellas que no se usan con este fin. Estas últimas se realizan si queda tiempo.

Lo que sucede es que a medida

cada vez queda menos tiempo tiempo

para los tiempos

La evaluación para orientar conseguirá

que pasan los cursos

y esas tareas se convierten

en un pasa-

muertos.

es el componente

del currículo que más fuerza tiene

la dirección en la que debe ir éste. En consecuencia, no se

reorientar

el currículo si no se reforma

la evaluación.

La evaluación de la competencia matemática En estos últimos

años se ha hablado

ternas. Su impacto atención

mediático

mucho de las evaluaciones

ha conseguido

en este escenario elegantemente

que centremos

iluminado

ex-

nuestra

y nos olvidemos

IDEA CLAVE

6


de que la evaluación es decir la evaluación aprendizaje.

más importante

es la que sucede en las aulas,

que está ligada al propio proceso de enseñanza-

Hay que señalar que el futuro

pero también

que, por el momento,

es incierto

los cambios que se han producido

en el diseño de las pruebas de evaluación logrado

que se alteren

realizadas

no han

muchas de las prácticas de evaluación

que se

siguen en las aulas. Conviene, gañar por las apariencias modos habituales

ciones externas diática

que nos pueden

que no nos dejemos eninducir

utilizados

cuidadosamente

internacionales,

diseñados

a pensar que los

por los docentes

en su forma y objetivos

que está acompañando

evaluaciones

externa

por lo tanto,

de evaluación

aulas se corresponden

e imprevisible,

con los de las evalua-

por expertos.

a la difusión

en las

La ola me-

de los resultados olvidar

la eva-

luación que se realiza en las aulas, al hacer de la comparación

entre

los puntajes obtenidos

tipo PISA, está haciendo

de las

la noticia,

para convertirla

además en el único

foco de atención. No deberíamos matemáticas

olvidar, sin embargo,

hacen no depende

ciones, sino de las calificaciones

que la selección social que las

del resultado

de ese tipo de evalua-

escolares, que se atienen a una lógica

no siempre coincidente

y en muchos casos claramente

tamos, en mi opinión,

pasando mucho tiempo

luaciones que salen en la prensa y agobian

contrapuesta.

hablando

de esas eva-

a los políticos y poco, en

cambio, de la que se lleva a cabo en el aula, la que es eficazmente cisa, selecciona

y orienta

a los estudiantes.

selectiva en unos casos y orientadora

Este tipo

con los que efectúa su trabajo

la hace más determinante

pre-

de evaluación

en otros se realiza en las aulas día

a día fuera de los focos de los medios de comunicación, y la invisibilidad

Es-

y más relevante

pero el silencio

es precisamente

lo que

socialmente.

Veamos la manera de describir algunas de las ideas básicas que hay que tener en cuenta en la evaluación mática.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

escolar de la competencia

mate-


Para empezar aportar

evidencias.

conviene

decir que evaluar

Los anglosajones

competencias

implica

(Ascher, 1990) lo llaman perfor-

mance based assessment por oposición a test based assessment, es decir evaluación

basada en evidencias (actuaciones)

por oposición

a evalua-

ción basada en test. Las evidencias deben mostrar, lógicamente, es capaz de «hacer» lo que la competencia ello es necesario actuar correctamente es decir demostrar

que se

en cuestión enuncia. Para

en el contexto

correspondiente,

que se es capaz de aplicar lo que se sabe para resol-

ver una situación problemática de paso un buen ejemplo

en un contexto

nes que se consideran

Dicho sea

de lo que quiero decir son los ítems que co-

nocemos de PISA, donde frente piden que los estudiantes

determinado.

a otro tipo de tareas priman

apliquen

problemáticas.

las matemáticas

las que

a diversas situacio-

Dicho así parece sencillo, pero lo

sencillo no es casi nunca simple. En primer

lugar, no se trata

solamente

algo, sino que se debe demostrar, determinado tudiantes

contexto.

de probar

que se conoce

además, que se sabe aplicar en un

Resulta relevante

poder comprobar

que los es-

son capaces de «hacer cosas» con lo que saben y que esas

acciones deben llevarse a cabo en el contexto tación obliga a elegir con cuidado

solicitado.

Esta consta-

las tareas que se vayan a usar para

evaluar. En la actualidad

se utilizan,

zados y los problemas aprendizajes

en exceso, los ejercicios descontextuali-

ad hoc como tareas para la evaluación

matemáticos,

un buen ejemplo

de los

de este tipo de pruebas

de evaluación es el examen de selectividad ya citado en la segunda idea clave de este libro. Enunciado

en positivo,

estas ideas es que hay que aumentar tareas (problemas,

investigaciones,

relación más clara con los contextos

la consecuencia

directa de

el peso relativo de todas aquellas experiencias ... ) que guardan de uso del conocimiento

una

matemá-

tico y con los niveles superiores de capacidades que hay que poner en juego, al mismo tiempo

que se debe disminuir

el peso que se concede

IDEA CLAVE

6


a los ejercicios. Una correcta selección de tareas a la hora de calificar a los estudiantes es una de las palancas más eficaces para reorientar

el cu-

rrículo en la dirección de enseñar y evaluar el uso de las matemáticas no el mero conocimiento

mecánico de algoritmos,

y

por complejos y so-

fisticados que éstos sean. Habrá quienes al leer estas líneas esbocen una sonrisa y piensen: «pero si la gran mayoría de los estudiantes capaces de hacer los ejercicios dice, eso es lo más elemental, evaluación tiendo».

que les proponemos si nos atreviéramos

tareas de nivel superior, Es una buena objeción.

que se proponen

a proponer

para la

Lo que sucede es que los ejercicios el tipo de pensamiento

mecánica y rutinaria

algoritmos ... ), pero sumamente

y, según aquí se

el fracaso sería mayor; no lo en-

son sencillos considerando

se debe utilizar (aplicación

no son

que

de reglas, ejecución de

laboriosos, es decir que para resolver-

los hay que aplicar, en la mayoría de las ocasiones, decenas de pasos en los que hay que utilizar esas reglas. Basta con cometer un error en uno de esos pasos para que todo el ejercicio se desmorone

como un casti-

llo de naipes. Además desde el lugar de la cadena en el que se comete el error en adelante todos los pasos «bien hechos» no sirven para nada. ¿ Cuántos pasos hay que dar y cuántas reglas hay que aplicar para hacer un cálculo entre fracciones algebraicas de los que suelen ser habituales en los currículos de 4.° de la ESO? Los ejercicios son difíciles por ser muy laboriosos y porque un fallo en cualquier el resultado,

no porque supongan

eslabón de la cadena invalida

la utilización

de pensamiento

com-

plejo. La mejor muestra de lo que digo, la mejor prueba de la inutilidad de estos aprendizajes matemáticas ordenadores,

y del sinsentido de basar en ellos la evaluación en

es que todo ese tipo de tareas las pueden ejecutar hoy los y querer competir

con los ordenadores

en lo único que

éstos hacen bien, en calcular rápido y sin errores, es una tontería. los docentes saben que si se disminuyera culos, los resultados, entendidos aumentarían;

la laboriosidad

Todos

de estos cál-

como número de respuestas correctas,

pero en la mayoría de los casos eso queda para las prue-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


bas de recuperación. sofisticación

Confiar la evaluación

suficiente

de los ejercicios

en matemáticas

al grado de

para que no todos

los estu-

diantes puedan con ellas parece la divisa de algunos currículos, es una estrategia

útil para seleccionar, pero estéril para desarrollar

tencia en matemáticas.

Confundir

la compe-

lo complejo con lo laborioso es el ma-

lentendido

en el que se basa esta incorrecta selección de tareas para la

evaluación.

Si se aceptaran estos cambios y se alterara el tipo de tareas

que se proponen

como forma de evaluación,

no solamente se produci-

ría un cambio positivo en los resultados de los estudiantes, sino que además en el caso de que fuera necesaria una discriminación con relación al talento

matemático,

orientadora

éste sería mucho más detectado

y

valorado. Basta con observar las pruebas de evaluación, nes, que hoy son habituales

por no decir exáme-

en la gran mayoría de los centros educati-

vos de secundaria para observar que se siguen estas líneas de actuación más bien selectivas. Los ejercicios «difíciles» naria de reglas y algoritmos

siguen constituyendo

menes que realizan los estudiantes. su laboriosidad,

de mera aplicación

ruti-

el núcleo de los exá-

Se seleccionan, especialmente,

por

por el número de pasos que incluyen, que en el fondo

son siempre los mismos, ya que las reglas que hay que aplicar para el cálculo

numérico

aplicarlas

o algebraico

son pocas. Lo que cuenta

una y otra vez sin cometer

tiempo determinado.

lado con anterioridad

errores y hacerlo además en un

Corrección y rapidez se convierten,

en los únicos criterios de evaluación

utilizados,

en corrección

es poder

de esta forma,

pero como ya he seña-

y rapidez es imposible

competir

con el cálculo que hacen las máquinas. ¿Qué tipo de competencia temática

buscamos actuando

En segundo lugar, la evaluación sión de un juicio valorativo cia aportada. relacionada

Pertinencia

ma-

de esta manera? de una competencia

sobre la pertinencia quiere

supone la emi-

y calidad de la eviden-

decir que la evidencia

esté bien

con la acción solicitada, es decir que sea una acción exitosa

IDEA CLAVE

6


con relación

a la cuestión

la pertinencia grado

de las respuestas

y calidad

casos pertinencia

Pero esto no es suficiente

y debe

puede

de éstas, y lo complejo

de calidad

condiciona

planteada.

interactúan

estar

proviene

matizada

de que

hasta tal punto

porque por

el

en muchos

que una de ellas

a la otra.

Pongamos

Si alguien

un ejemplo:

escucha que dentro

y estamos a 22 de febrero

de nueve días es el cumpleaños

de 2008, viernes, podrá intentar

de un amigo

calcular que 22 y

9 son 31, pero que como febrero

tiene 28 días le sobran 3; podría,

tanto, concluir que el cumpleaños

de su amigo será el 3 de marzo. La verdad

es que se ha equivocado y que febrero

porque se le ha olvidado

que el año 2008 es bisiesto

no tiene 28 días, sino 29. Es decir que la respuesta no es co-

rrecta, pero de ahí no podemos deba ser calificada troducir

algunos

deducir

que su competencia

con un cero. Para interpretar matices y aplicar criterios

algo más complejos.

ha sido capaz de hacerse cargo de la situación

gundo

lugar, de relacionar

la situación

en cuestión

tencia en cálculo porque

matemática

Es evidente

las operaciones

mos evaluar adecuadamente

La respuesta pone

a cualquier

la realización

una para der que

que

la respuesta

no es lo mismo

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA

la competencia

de bastantes

operaciones

en varias

perti-

«dentro

de

compe-

bien, pero ha cobien

podemos y debemos

ir

de ia respuesta si quere-

matemática.

matemática

sea incorrecta; fallar

y, en se-

el resto de operaciones

de la incorrección

cuestión

linguística

las ha realizado

que no y que, por lo tanto,

más allá de la mera constatación

planteada

«sumar 9». Ha demostrado

un error. ¿El error invalida totalmente

realizadas?

En primer

con la operación

nente, es decir, ha sido capaz de pasar de la expresión nueve días» a la operación

matemática

esa respuesta, hace falta in-

lugar,

metido

por lo

por sencilla

que sea su-

y basta con que se falle en pero

resulta

de las partes

fácil

compren-

que suponen

la


compleja tarea de buscar la solución a una cuestión matemática, por sencilla que parezca, que hacerla en una y que tampoco es igual que el fallo se cometa en algo que se considere básico que en algo que no lo sea. Dicho de otra manera, no hay que evaluar mirando solamente qué se hizo mal, sino que es necesario mirar tanto lo que se ha hecho mal como lo que se ha hecho bien. En una palabra evaluar competenciasdebe ir más allá de constatar la corrección o incorrección de una respuesta y exige su interpretación desde parámetros que denominamos «criterios de evaluación». No debemos olvidar que evaluar viene de valor y que el valor es normalmente cuestión de grado, es decir que se puede decir que algo vale más o menos, pero pocas veces que sí vale o que no vale nada de manera radical y absoluta. En definitiva, el valor es una variable continua y no discreta. Evaluar competencias implica la elaboración de criterios de evaluación. Loscriterios de evaluación hacen referencia a las competencias de manera individualizada, es decir que cada competencia tiene sus propios criterios de evaluación. En mi opinión, uno de los fallos en los diseños curriculares tanto de la LOGSEcomo de la LOEes que las competencias y los criterios de evaluación se enuncian como dos listas sin que en ningún momento se articule la relación que existe entre los elementos de un listado y los del otro. Esta presentación parece sugerir que la relación entre las competencias y los criterios de evaluación es algo no establecido, con lo que no se sabe muy bien a qué atenerse a la hora de utilizarlos. Además, este tipo de presentación también parece insinuar que los criterios de evaluación son una concreción de objetivos más generales, es decir otro tipo de objetivos más concretos, haciendo de esta manera confusa una relación que debiera ser clara. Según Sanmartí (2007), los criterios de evaluación son «normas de actuación que permiten la valoración de la misma». No son por lo tanto, en la opinión de esta autora, otro tipo de objetivos, sino las normas que permiten su calificación. Me parece una definición excelente que

IDEA CLAVE

6


sirve para deslindar con claridad la diferencia dizaje, competencias En mi opinión,

en su caso, y criterios de evaluación.

cada competencia

terios de evaluación, que permitirán grado se ajusta la actuación

evaluación.

debe disponer de sus propios cricalificarla

del evaluado

que sucede es que, normalmente, que proponer

entre objetivos de apren-

interpretando

al desempeño

esperado.

para evaluar una competencia

Lo hay

una tarea, lo que lleva a asociar la tarea con el criterio de

Es una tendencia

fácil de comprender

porque nos inclina-

mos a evaluar lo que podemos observar, pero lo realmente no es la competencia, intención

hasta qué

observable

sino la tarea que se solicita que se realice con la

de valorar la competencia.

Voy a intentar

clarificar estas cues-

tiones. Supongamos que queremos evaluar una competencia y que podemos proponer

o bien una tarea en la que sólo intervenga

o bien una tarea en la que, aunque puedan intervenir aislar o identificar

con suficiente

esa competencia, otras, podamos

claridad la competencia

que vamos a

evaluar. En este caso, que es el más sencillo, los criterios de evaluación que corresponden

a la competencia

rios de evaluación

de la tarea. Voy a poner un ejemplo.

que proponemos

se pueden considerar

como criteImaginemos

la tarea que muestra la figura 104 como forma de eva-

luación. Supongamos también

que la competencia

«la correcta interpretación

que queremos valorar es:

de la información

tablas». En este caso los criterios de evaluación

estadística contenida

en

pueden hacer referen-

cia a: •

El número de preguntas

4. Esta tarea

ha sido obtenida

idioma=c&ud=l

&tipobus=l.

acertadas.

de

la pagina

www.eustat.es/eskola/tareas.asp?

Página que forma parte de una propuesta de tareas basadas

en los datos que el Instituto Vasco de Estadística pone a disposición de aquellas personas que deseen usarlas.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


Figura 10 La Población en la C.A. de Euskadi

2004

2.111.078 2.079.210 2.128.801 2.116.240 1.034.703 1.015.970 1.040.746 2.120.384 1.063.240 1.032.231 1.078.847 1.088.055 1.036.715 1.081.537 1.083.669

• Para comenzar vamos a coger un trozo de toda la tabla de población y vamos a ver cómo se leen los datos. • Observa, con atención, la siguiente tabla y responde a las preguntas.: • ¿Cuántos habitantes hay en la C.A.de Euskadi en el año 2004? ¿Cuántos de ellos son mujeres y cuántos hombres? • ¿Qué ha sucedido con la población en la C.A. de Euskadi: ha aumentado o disminuido entre los años 2000 y 2004? • ¿Qué hay, según los datos del año 2004, más hombres o mujeres en la C.A. de Euskadi? • ¿La tendencia al crecimiento de la población ha sido constante o ha habido años en los que la población ha descendido? • ¿En todos los años que muestra la tabla el número de mujeres ha sido superior al de hombres? • Si desde el año 2004 la población ha seguido creciendo de manera similar, ¿qué puedes decir de manera estimativa sobre la población actual? ¿ Estará ya sobre los dos millones y medio de personas o todavía no?

La importancia de los errores cometidos en la interpretación

de los

datos.

La combinación de ambos criterios nos permitiría, si así lo deseáramos, crear una escala de calificación de la tarea y por ende de la competencia. Estamos en el caso de una tarea sencilla en la que la competencia fundamental

que se debe utilizar es la interpretación

de la informa-

ción, lo que nos permite definir unos criterios claros y sencillos para calificar la tarea y la competencia. Sin embargo, las cosas no son siempre tan sencillas y muchas veces es difícil, o no muy interesante, proponer tareas en las que se evalúe una única competencia. En estos casos la evaluación es algo más compleja. Primero habrá que identificar las competencias que consideremos que interactúan en la tarea y a continuación indicar los criterios de evaluación de cada una de esascompetencias. Pongamos un ejemplo de lo que quiero decir. Imaginemos que elegimos como tarea de evaluación la siguiente:

IDEA CLAVE

6


Tenemos una diana. Hemos lanzado ya dos dardos y hemos logrado las puntuaciones de 7 y 17 puntos. ¿A partir de qué valor conseguiremos pasar de 30 puntos al lanzar el dardo por tercera vez?

Ésta es una tarea bastante conocimientos

más compleja

que hay que utilizar

En primer lugar, se debe interpretar y entender

lo que se pregunta,

que la anterior,

aunque

se reduzcan a la aritmética

los

básica.

de manera correcta la información

¿qué se quiere

decir cuando se dice

«pasar de 30»?, ¿qué quiere decir «a partir de qué valor»? Podríamos poner más ejemplos para señalar que la correcta interpretación formación

no es una cuestión menor. En segundo

borar un plan. Aquí hay diferentes

posibilidades

de la in-

lugar, hay que elay todas las que nos

lleven a la solución correcta, sea por un camino u otro, deben ser bienvenidas. Explicaré un par de ellas, las que a mí se me ocurren, aunque seguro que puede haber otras, son: •

Dividir el problema puntuación

en dos partes, la primera destinada

a calcular la

que tenemos y la segunda a calcular la diferencia

30, para los valores mayores que el obtenido

la puntuación

hasta

final será

superior a 30. •

Descontar de 30 primero

uno de los valores (cualquiera

de ellos) y

luego el otro, para los valores mayores que el obtenido

la puntua-

ción será superior a 30. Además, hay que poner en marcha el plan establecido

e ir escribiendo

fórmulas

que lo desarrollan.

correctamente

los dibujos,

textos

y

No nos olvidemos de que habrá que re-

alizar una serie de cálculos y de que este trabajo

deberá realizarse

sin cometer errores. Por último, se tendrá que escribir el resultado y comprobar

que es el adecuado. En esta tarea se ponen en juego mu-

chas competencias separada utilizando

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA

y cada una de ellas debe ser evaluada de manera sus propios criterios de evaluación,

así:


La interpretación

de la información

var a la correcta comprensión

debe ser pertinente

de la situación

y debe lle-

y de las operaciones

necesarias suma y/o resta en cada caso. •

La expresión del camino de resolución rrecta la notación

y debe informar,

dos en la resolución

debe utilizar

de manera co-

con claridad, de los pasos segui-

del problema.

Los cálculos deben hacerse sin cometer errores.

La respuesta debe estar correctamente

escrita, debe responder

a lo

que se pregunta.

Por medio de estos criterios

de evaluación

podemos calificar

las dife-

rentes partes de este problema y ajustar mejor la calificación que damos. En estos casos es necesario identificar

las diversas competencias

que

se desea evaluar, y enunciar criterios de evaluación para cada una de las competencias

que se vayan a poner en juego en la tarea. De esta ma-

nera la tarea recibirá tantas calificaciones como competencias se tengan que desarrollar,

cada una de esas calificaciones

se obtendrá

la parte de la tarea en la que se supone que interviene diente competencia.

La valoración

ducirse directamente

de la media aritmética

las competencias

valorando

la correspon-

de la tarea, como tal, no puede dede los valores asociados a

y exige tomar decisiones con relación a, por lo menos,

dos cosas: •

El peso relativo competencias

La conveniencia

o porcentual

en la calificación

que debe darse a cada una de esas final.

de exigir un valor mínimo en cada una de las com-

petencias implicadas en una tarea para que calificaciones

los criterios de

inferiores

evaluación

a este valor mínimo no supongan

que el mínimo exigido no sea cu-

bierto.

se asocian

a una competencia y no a una tarea,

aunque ésta sea para

Por lo tanto, los criterios de evaluación

se asocian a una competencia

no a una tarea, aunque la tarea sea imprescindible

y

la cornpetencia,

para evaluar la com-

IDEA CLAVE

6


petencia

porque

sin actuación

tarea se pueden obtener damos identificar

no existe modo de valorarla.

tantas calificaciones

en su realización.

son subcompetencias

de otra competencia

más general, tendrá

poque

que es la

razón. En ese caso

decidir, tal y como ya he explicado

riores, de qué manera combinaremos competencia

como competencias

Hay quien puede argumentar

que está asociada a la tarea, y seguramente sólo nos quedaría

De una

en líneas ante-

las calificaciones

de cada sub-

para obtener la calificación global. Pero eso son cuestiones

excesivamente

técnicas para ser resueltas de manera pormenorizada

en un texto de estas características.

En resumen La evaluación el currículo, muestran modelador

es la palanca más poderosa de la que disponemos es el punto de apoyo que pedía Arquímedes

la influencia

social de las evaluaciones

hay que mejorar

tado da el fruto que corresponde bilidad

para mover el mundo.

internacionales

del currículo que tiene la prueba de selectividad.

desea innovar en el currículo,

cuando

pudiendo

cambios en las evaluaciones de diagnóstico

hacerlo

las medidas

se

El árbol injer-

Se pierde mucha credi-

necesarias para introducir próximo

las evaluaciones

las líneas que van a seguir los nuevos cu-

para ver cómo se desarrollan.

si bien las evaluaciones

viven, la evaluación de vista, forma

que es la evaluación.

que van a marcar, seguramente,

que se ajusta el currículo,

tipo PISA y el gran peso

los procesos de evaluación.

no se toman

Lo de-

Por lo tanto, si realmente

oficiales. Tenemos en el horizonte

rrículos. Habrá que estar atento Sin embargo,

al injerto,

para inducir cambios en

externas son importantes

como referencias a las

como los seres vivos se ajustan al nicho ecológico

en el que

es algo que se da en las aulas todos los días y que, desde este punto

parte del proceso de enseñanza-aprendizaje.

día se llama «un currículo por competencias» evaluar. Para evaluar la competencia

lo que hoy en

implica adoptar ciertas medidas a la hora de

matemática

ten evidencias de lo que saben hacer (performance

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

Desarrollar

es necesario que los estudiantes

apor-

based assessment por oposición a test


based assessment). Una vez aportada la evidencia hay que valorarla y calificarla, para ello es necesario disponer

de lo que denominamos

criterios

de evaluación,

que nos sirvan para indicar la calidad de la respuesta obtenida. tencia, tarea y evaluación,

con los criterios de evaluación

es decir normas

De esta manera, compe-

correspondientes,

se convierten

en una tríada inseparable para el desarrollo del currículo y en el esquema más simple y significativo

que podemos encontrar

para su desarrollo.

IDEA CLAVE

6


La evaluación es la palanca más ade-

manera

cuada para la innovación curricular y,

según un modelo previo y conocido en

por lo tanto, no hay nada más práctico

el que se intercalasen diferentes tipos

que innovar en evaluación para inno-

de tareas de manera equilibrada.

var en el currículo. •

matemáticas discutan y acuerden los

tareas que se van a destinar a la eva-

criterios que van a seguir a la hora de

luación y es recomendable que los res-

calificar a los estudiantes, y estambién

ponsables de la gestión del currículo

muy interesante que se lo transmitan a su alumnado.

mación. No hay labor más práctica

La evaluación en matemáticas debe

tro educativo que gestionar la evalua-

calificar el proceso seguido y no solamente el resultado obtenido. Debe va-

ción.

lorar

Hay que construir pruebas de evalua-

muestran y no solamente los fallos que se realizan.

para gestionar el currículo de un cen-

ción que vayan más allá de los ejercicios de aplicación y de los problemas ad hoc. •

Es muy práctico que los docentes de

Conviene seleccionar con cuidado las

en el centro dispongan de esta infor-

que éstas se organizaran

las

competencias

que

se

Hay que abrir paso a nuevas formas de evaluación tipo portafolio

no sola-

Convendría consensuar pruebas mo-

mente en la enseñanza primaria, sino

delo en el ciclo (primaria) y en el de-

también en la secundaria y postobli-

partamento del área (secundaria) de

gatoría.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


La competencia profesional de los docentes de matemáticas es el factor más importante para la mejora de su enseñanza Los fractales y las escalas ¿ Cuánto mide /a costa de Bretaña? (Mandelbrot,

Los objetos fracta/es)

El factor humano La calidad de la enseñanza, entendida como la adecuación de ésta a los fines sociales que determinan las instituciones legitimadas para hacerla, depende de muchos factores. Algunos de ellos ya los he citado: buenos currículos, buenos materiales, sistemas de evaluación coherentes, etc.; pero si hay un factor que, en mi opinión, es especialmente decisivo, éste es la competencia profesional de los docentes. La educación se basa en la comunicación humana y se construye sobre la relación que establecen entre sí los seres humanos, por lo tanto el resto de cuestiones que acompañan esa relación, siendo importantes, son siempre secundarias porque son medios que se pueden sustituir por otros. El «factor humano» es, por lo tanto, la clave sobre la que descansa el proceso comunicativo y por ende la educación. El factor humano es lo sustantivo en la comunicación, el resto de cuestiones

IDEA CLAVE

7


son circunstancias necesarias y facilitadoras, pero circunstancias al fin y al cabo. Todos los intentos que se hagan para debilitar la función nuclear de los docentes en el proceso comunicativo sólo servirán para disminuir la calidad de la educación y la capacidad de ésta para suscitar valores en los educandos. En el ámbito que nos ocupa, la educación matemática, la persona encargada de diseñar, liderar, mantener, sostener, promover, animar y desarrollar esta comunicación es el docente. Resulta evidente que la comunicación es cosa de dos o más y que sin la disposición del «otro» sería imposible, pero estimo que en un proceso como el de la enseñanza de las matemáticas esperar que esta relación sea horizontal, si se entiende por horizontalidad que tanto el docente como el estudiante compartan exactamente las mismas funciones de manera recíproca, es una ilusión y una base falsa. Por esta razón, creo poder afirmar que la responsabilidad del docente en cuanto a los fines de la comunicación, a la forma de organizarla y desarrollarla es mayor que la que tiene, que también la tiene, el estudiante. El mayor peso, responsabilidad y autoridad para establecer y llevar a buen fin el proceso comunicativo es del docente. En consecuencia, disponer de «buenos» docentes de matemáticas es imprescindible para poder esperar un futuro mejor en esta cuestión. Para poco valdrán los esfuerzos que se hagan por mejorar el resto de los factores que influyen en la calidad de la enseñanza si no van acompañados de políticas eficaces para mejorar las competencias tanto humanas, de las que últimamente se habla poco, como profesionales de los docentes que se tienen que encargar de la educación matemática de los estudiantes. En estos últimos años, en los que la tecnología de la información lo invade todo, estamos asistiendo al intento de sustituir la relación entre humanos por la relación entre personas y máquinas; es un intento peligroso porque es goloso para las administraciones que gestionan el sistema educativo. Formar a los docentes en activo es muy caro, da unos resultados poco previsibles y, además, en muchos casos resulta decepcionante: lo que se consigue no se parece mucho a lo que se programa. La tentación de invertir en sistemas «inteligentes» que podamos gestionar directamente sín tener que estar mediados por unas personas que no controlamos y de cuya pericia e interés dudamos es muy grande. Además, son sistemas muy limpios porque no están contaminados por los intereses personales, la manías de cada uno, la manera de hacer de fulano, la visión del currículo de zutano, el corporativismo de todos ellos, etc. Pero es un camino equivocado que no nos llevará a una mayor calidad educativa porque la educación dependerá siempre de intenciones, valores, creencias, sentimientos, manías, hábitos, es decir de lo que es propio de la comunicación humana. Se mire por donde se mire, se haga lo que se haga, al final el factor humano es el que más

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


condiciona la educación. No sé si es una maldición o una bendición que esto sea así, pero sí creo saber que es parte de nuestra condición como seres humanos.

El enfoque comunicativo, la función docente y la competencia de gestionar el currículo En este texto, tal y como he expuesto en la idea clave 4, he defendido

enfoque comunicativo como base para una co-

lo que he denominado rrecta comprensión gumentos

de lo que es la educación

expuestos

se deduce que de la capacidad

tenga para establecer tudiante

depende

nexos de comunicación

fundamentalmente

De los ar-

que un docente

significativa

con un es-

la calidad del proceso de ense-

ñanza y, por ende, de la educación construye.

matemática.

matemática

Es lo que en el punto anterior

que se propone

de este mismo capítulo

y

he lla-

mado «factor humano». Si esto es así, y a fundamentarlo la derivación

he dedicado ya bastantes páginas,

lógica de esa afirmación

de la enseñanza de las matemáticas la capacidad de un docente adecuadas; interpretar estudiantes;

mular calidad

el significado

evaluar su trabajo

la comunicación de la enseñanza

nexo comunicativo.

depende,

para planificar,

ayudarlas y estimularlos

lorar, regular,

me lleva a concluir que la calidad

entre

fundamentalmente,

buscar y proponer

de tareas

de los mensajes que recibe de los en la realización

de las tareas; va-

y proponer

caminos de mejora; esti-

los estudiantes,

en pocas palabras

depende

de la capacidad

para alimentar

la el

Por lo tanto, un docente debe ser capaz de realizar

con éxito esas labores y por pura coherencia

hay que afirmar que debe

ser una persona capaz «de hacer», porque lo que constitutivo bajo es: hacer hacer. Los alumnos aprenden

de su tra-

cuando hacen y los docen-

tes enseñan cuando hacen hacer a los estudiantes.

Los dos hacen, sólo

IDEA CLAVE

7


que cosas distintas. A las personas cuya función social es saber hacer las llamamos profesionales ya su pericia competencia, por eso podemos y debemos enfocar la formación profesionales

de los docentes como una formación

que deben adquirir

competencias.

mación de docentes es una formación

de

Por esta razón, la for-

destinada

a profesionales

deben saber «qué hacer» y no a sabios que dominen

solamente

que las

materias de enseñanza y las teorías generales de las ciencias de la educación. Porque, aunque nocimiento

algunos

epistemológico

piensen lo contrario,

y conocimiento

la suma de co-

pedagógico

no produce

competencia docente. La competencia docente está unida a la resolución de los problemas

que la práctica presenta y no se produce por acumu-

lación yuxtapuesta

de conocimiento.

mos en su comprensión,

Esta distinción

nos resultará

camino deberemos tomar para formar

es clave y si falla-

imposible

comprender

adecuadamente

a los docentes.

Resulta innecesario, por evidente, reconocer que la competencia cente, es decir, la posibilidad señanza, es imposible

de gestionar

si se desconocen

enseñar, por lo tanto ese conocimiento

servir de coartada

suficiente.

para posponer

tencias que hay que trabajar

do-

con éxito el proceso de enlos contenidos

que hay que

es necesario, pero también

que señalar que como saben los matemáticos no es siempre una condición

qué

una condición

necesaria

Esta evidencia tampoco

ni minusvalorar

en la formación

hay

debe

el resto de compe-

del profesorado,

porque

como ya he dicho, y no me cansaré de repetir, un docente es un profesional de la enseñanza y no un sabio de la correspondiente nocimiento.

Si de mí dependiera,

deben tener

los docentes

funcione

adecuadamente

esta competencia

para garantizar la denominaría

área de co-

profesional

que

que el nexo comunicativo

competencia para la gestión

del currículo, porque creo que es una competencia algo más amplia que la que tradicionalmente

hemos llamado competencia didáctica.

La mejora de la competencia

para la gestión del currículo

máticas por parte de los docentes es, en mi opinión,

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

de mate-

el factor clave en


cualquier proceso que quiera atender a la mejora de la enseñanza, pero debe quedar claro que no es el único. Un docente es una persona y un profesional trabajo

que trabaja en una institución

social, que es la escuela, y su

no puede reducirse a una labor únicamente

de adecuación metodológica

de contenidos

cativos de los que el docente

didáctica,

es decir

que responden a fines edu-

es una mera correa de transmisión.

El

hecho de que en esta idea clave deje de lado otros tipos de competencias para centrarme

en la que he denominado

gestión del currículo,

como competencia

de

no quiere decir que no las considere necesarias,

sino que éste no es el lugar más apropiado

para desarrollarlas

con el de-

talle que merecens. Debe entenderse para la gestión

con claridad

del currículo,

cia que hay que desarrollar con cualquier tudiarse tante

competencia,

solamente

y no a un saber abstracto

inicial de los docentes

la dificultad

en instituciones

educativa

ción retórica

en la especulación

a la formación

del profesorado,

y especulativa

profesional,

a gala estar, alejadas de

y refugiadas

teórica.

En lo

no venimos

estos aspectos de la competencia

práctica como ejes de la formación.

la

que, por lo menos hasta el

la práctica

que haya primado

bas-

de organizar

como una formación

han estado, ya veces han tenido

una tradición

que pueda es-

Ésta es una afirmación

momento,

que hace referencia

a una competen-

en la práctica, como sucede por otra parte

pone en evidencia

dado que se desarrolla

hablo de competencia

me estoy refiriendo

de manera teórica.

radical porque

formación

que cuando

Venimos,

que ha dejado

de y la

más bien, de una tradi-

los problemas

de la prác-

tica para después.

5. La propuesta

de competencias

docentes del SBL (Stichting

holandés (www./erarenweb.nf) contiene sonales, pedagógicas, colaboración

del área y su enseñanza, de colaboración

con entidades

Beroepskwaliteit

los siguientes tipos de competencias:

sociales y de autorreflexión

Leraren) interper-

con los compañeros,

y formación

de

permanente.

IDEA CLAVE

7


Los fractales son una maravilla que reproducen

de la geometría,

iba a decir de la naturaleza,

las mismas formas a diferentes

escalas. Es una imagen que

nos puede venir muy bien en este contexto

para mostrar

que supone pedir que se organice

el currículo

para los estudiantes

petencias, cuando ni la formación

de los docentes que deben gestionar

currículo

ni la de sus profesores

siguen esas pautas. La mínima niveles que organizan gestionarlo

universitarios coherencia

encargados

por comese

de esa formación

exige que las distintas

el currículo y la formación

se organicen

la incoherencia

escalas o

de las personas que deben

según una lógica similar. Esdecir que lo que se pre-

pare a un nivel de la escala se reproduzca

en los demás. Lo que quiero decir

es que lo que se pretende que se produzca a una escala debe estar presente en las que la sustentan,

so pena de errar en la estructura

y debilitar

todo el edi-

ficio formativo.

Esta manera fractal de ver los problemas esta cuestión.

Es decir que necesitamos

vertir en competencia competentes

resulta de especial interés en estudiantes

lo que aprenden, y para ello precisamos docentes

para promover

la competencia

darle otra vuelta a la espiral necesitamos paces de promover

competencias

en los estudiantes.

programas

en los formadores

centes para que éstos a su vez sean competentes la gestión del currículo nerar aprendizajes Mientras petentes

y puedan afrontar

y competencias

sigamos pensando

profesional

cátedras universitarias,

ca-

de los futuros

do-

a la hora de desarrollar

la tarea profesional

mente con cursos teóricos no habremos entendido

Es necesario incorporar

universitarios

que es posible formar

en la formación

Y para

de ge-

en sus estudiantes.

de la reforma que se plantea y perderemos un nuevo enfoque

que puedan con-

docentes

impartidos

desde las

el significado

la oportunidad

com-

profundo

de construir

de los docentes.

de manera decidida a los procesos formati-

vos estas ideas. No son tan nuevas (Schbn, 1998; Carr, 1995 y otros) y tal

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


vez vestidas con un nuevo ropaje terminológico vuelvan a la plaza como innovaciones

de última hora, que suelen ser tan poco rebatidas

como escasamente incorporadas a los planes formativos de las instituciones encargadas de ponerlas en marcha, por simples y coherentes y por subversivas de los intereses corporativistas de quienes las deben poner en práctica. No es pensar en fractal organizar la formación

de los docentes

pensado únicamente en la lógica interna de las temáticas que hay que tratar, en la de los bloques de contenidos que las desarrollarán y en los créditos que corresponden a cada departamento

universita-

rio. No es pensar en fractal dejar el prácticum para «luego», una vez que, guiados «antes» por teóricos que desconocen la práctica educativa, se haya aprendido qué es lo que se debe aplicar. Pensar en fractal es organizar la formación de los docentes desde procesos que puedan asegurar la correcta relación entre la práctica profesional y la teoría que la debe sustentar, pensar en fractal es crear contextos formativos donde docentes con experiencia en el área y la etapa correspondiente, estudiantes en el inicio de su formación profesional, profesorado novel en activo y profesores universitarios trabajen de manera conjunta contrastando

de manera reflexiva los problemas

que la práctica diaria contempla a la luz de las teorías educativas que se compartan. Pensaren fractal es aplicar en todos los niveles formativos la misma lógica de priorizar, para el desarrollo profesional, la práctica reflexiva como eje organizador de todo el entramado educativo y no solamente en algunos de ellos. Hay una última cuestión que no podemos dejar pasar por alto al referimos a las competencias docentes para la enseñanza, se trata del carácter cooperativo de esa función y de la importancia que éste tiene tanto para la gestión del currículo como para la definición de los procesos de formación que se quieran poner en marcha. Si miramos el

IDEA CLAVE

7


currículo, como lógicamente debe hacerse, desde la perspectiva del estudiante, no puede concebirse como un agregado de propuestas inconexas realizadas por distintos docentes, porque el alumno sólo podrá construir algo con sentido si el conjunto de los estímulos que recibe lo tiene y ese conjunto es, desde la óptica del estudiante, la unión de las propuestas que le hacen, por una parte, el resto (anterior y posterior) de docentes de la misma área (matemáticas) a lo largo de sus años de escolarización y, por otra, los docentes de otras áreas que comparten el curso en el que se encuentra el estudiante en un determinado momento. Este carácter incompleto que tiene la acción de cada docente vista de manera aislada obliga a reflexionar sobre la importancia que, para el desarrollo de la educación y de la preparación de los docentes, tiene la toma de conciencia de esta cuestión por parte de los profesores. Obliga, así mismo, a considerar la importancia de la comunicación entre los docentes no solamente de la misma área, lo que ya resulta dificultoso muchas veces, sino también de diferentes áreas; porque el currículo visto de manera sincrónica es la suma de los estímulos que recibe el alumno desde las diversas áreas que conforman la propuesta del plan de estudios. Esta consideración debe tenerse en cuenta a la hora de plantear la formación de los docentes porque esta comunicación intra y extra departamental

sólo será posible si

se comienza a vivir como práctica desde los inicios de la formación, que es donde se construyen el lenguaje que permite esa colaboración y los hábitos de trabajo que la facilitan.

La formación inicial de los docentes de matemáticas La formación inicial del profesorado está necesitada de una reforma urgente y profunda, pero la de los docentes de ciencias y de matemáticas aún más. El diagnóstico más extendido, dicho de una manera un tanto simple, es: «Losdocentes de primaria no saben matemáticas y los

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


de secundaria6 no saben enseñarlas». La solución parecería obvia si no fuera porque en educación casi ninguna cuestión lo es: «enseñemos más matemáticas a los que aspiran a ser docentes de primaria y cómo enseñarlas a los de secundaria». Sin embargo, los problemas son mucho más complejos y requieren de un replanteamiento más radical y estructural. Por lo que hace referencia al proceso de formación inicial de los futuros maestros y maestras y enfocándolo únicamente desde la vertiente de los contenidos de matemáticas que hay que dominar, cabe decir que, aceptando las críticas que se puedan realizar sobre las deficiencias que se dan en el conocimiento de los objetos matemáticos por parte de los que aspiran a ser maestros y maestras, parece muy poco realista pensar que en la formación inicial de un docente de primaria, que en principio debe trabajar contenidos epistemológicos de diferentes áreas, se exija un nivel en su formación equivalente al de un profesor que se prepara para impartir solamente una o varias áreas normalmente relacionadas entre sí. Mucho más todavía cuando las nuevas propuestas en competencias clave tienden a difuminar las diferencias entre las áreas, consideración a la que hay que añadir que la importancia de los contenidos en el proceso formativo es menor en primaria que en secundaria. Por lo tanto, la clave hay que buscarla en el buen aprovechamiento de los estudios de bachillerato y en el refuerzo que pueda hacerse de éstos en los primeros cursos de la formación en los grados de educación. Pretender que los futuros docentes de primaria consoliden sus conocimientos de las áreas tomando parte en los grados de otras disciplinas es irrealizable de momento. El dominio de los contenidos matemáticos puede y debe mejorarse, pero en todo caso existe tiempo destinado a realizarlo

6. Utilizaré en el desarrollo de esta idea clave el término «secundaria» para referirme a los estudios comprendidos entre la finalización de la enseñanza primaria y el inicio de los estudios universitarios.

IDEA CLAVE

7


y no es, desde luego, el mayor de los déficits que se pueden constatar. Otra cosa es la preparación, cundaria,

en el dominio

de quienes aspiran a ser docentes en se-

de los contenidos

de las disciplinas que deben

enseñar. Aquí sí que parece necesario, como viene siendo habitual,

que

los aspirantes a docentes en estos niveles dispongan

uni-

versitaria

de formación

en el corpus de las disciplinas correspondientes,

matemáticas. universitaria

Lo que no parece tan evidente que deben recibiry,

deben cursar. Lo más inmediato,

en este caso

es el tipo de formación

en consecuencia, el tipo de grado que aunque como veremos no creo que sea

lo mejor, sería pensar que deberían cursar un grado equivalente a la actual licenciatura

en matemáticas.

¿Por qué digo que no es lo mejor? Por

varias razones: •

El sistema educativo, ticular, funcionan impartir

en general, y la educación secundaria, en par-

mejor con un profesorado

más de una materia,

en un área de conocimiento inconveniente

polivalente

que pueda

por lo que la excesiva especialización para ser docente en estos niveles es un

y no una ventaja, porque no facilita

la comunicación,

sino más bien todo lo contrario. •

En la actualidad,

y así parece que será en el futuro,

abastecer de profesores accede la casi totalidad tudiado

de matemáticas de la población

un grado en matemáticas,

exclusivamente,

física o química o bio-

los estudios de ciencias a los jóvenes

que aspiran a ingresar en la universidad

porque el número

en este tipo de estudios está disminuyendo

mente, éste es un problema peos. En general,

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

es mejor que

u otra materia afín.

Hay que hacer más atractivos

matricula

en

si van a dar clase de mate-

quienes sólo han estudiado

logía o ingeniería

a la que

porque quienes se matriculan

máticas los que no las han estudiado

a una secundaria

con personas que hayan es-

estos estudios son pocos; por lo tanto,

no las impartan

no se puede ya

que se

progresiva-

grave en la mayoría de los países euro-

los estudios

muy especializados,

costosos en


esfuerzo y sin una salida profesional aquellos que son más polivalentes fesional

clara, son menos solicitados que y tienen dibujada

más nítida.

Todas estas razones me llevan a proponer de construir

que se estudie la posibilidad

un grado en ciencias que fuera equivalente

Sciences, tan normal en el mundo anglosajón. de formación

que la repetición

Para aspirar al postgrado

de la actual licenciatura

al nivel de grado. La tendencia

sidades de considerar antigua

al Bachelor of

de profesor de secundaria este tipo de grado polivalente

sería más adecuado temáticas

una salida pro-

licenciatura

en ma-

instalada en nuestras univer-

el nuevo grado como un trasunto,

sin más, de la

es un error que pone en riesgo las potencialidades

de la actual reforma universitaria

para resolver ciertos problemas como

el que el que cito. Pero, la formación

inicial de los docentes no puede reducirse a la for-

mación en el área de conocimiento

y debe abarcar más ámbitos, esto ya

lo sabemos. Entonces, ¿dónde reside la dificultad, camos cuando, suponiendo contenidos

que los aspirantes a docentes conocen los

de las materias que deben impartir,

blema de su formación

dónde nos equivo-

nos enfrentamos

en el resto de competencias

al pro-

profesionales

uni-

das a su futura labor docente? Todos somos conscientes de que la actual formación

inicial de los docentes dista mucho de ser una formación

que

prepare para el ejercicio de esa profesión. En mi opinión,

lo que no va bien en la formación

centes de primaria,

inicial de los do-

y muchísimo menos en secundaria, es el proceso de

preprofesionalización,

es decir el proceso formativo

por el que una per-

sona comienza, la mayoría de las veces a una edad muy temprana, los dieciocho y los veinte años, el camino de la progresiva su destino

profesional:

ser enseñante

o docente.

entre

asunción de

En la formación

ini-

cial de los docentes se hace excesivo hincapié, y no me estoy refiriendo a los contenidos

de matemáticas,

sino al resto de las materias del cu-

IDEA CLAVE

7

1


rrículo formativo la preparación previamente

(psicología, sociología, pedagogía,

didáctica, etc.), en

teórica como si almacenar toda esta información

fuera

necesario al desembarco en la playa que es la práctica real

en el aula: una mochila

que hay que llenar

con todos

los recursos

que se estiman necesarios para cuando haga falta. Lo que sucede es que cuando llega el desembarco

en la playa, además de estar mareado por

el oleaje que son los procesos por los que un aspirante tro, esa mochila

pesa tanto

y es tan incómoda

que la mayoría de los

docentes noveles se la quita de encima, la abandona poder moverse con agilidad

en un ambiente

llega a un cen-

rápidamente,

para

que percibe complicado.

La mochila pesa, es una rémora y no una ayuda. Esta relación

de prelación

entre teoría y práctica es un obstáculo,

una rémora, un peso que deteriora denominado

el desarrollo

de preprofesionalízación

inicio y crea una cultura procesos formativos

y lo hiere mortalmente.

que se repetirá

posteriores,

de ese proceso que he

mecánicamente

porque se transmite,

Marca el

en todos los de manera im-

plícita, la idea de que existe algo previo a la acción que es la teoría y, por desgracia, a la adquisición de esa teoría se asocia el concepto de formación. Posteriormente

los profesores actuarán en el medio educativo

y muchas veces lo harán dando la espalda, ignorando teorías, pero eso no parece tener importancia.

o soslayando esas

Esdecir, crearán sus pro-

pias teorías para la acción, pero lo harán fuera del circuito formativo, chas veces sólo las contrastarán

con sus compañeros

manera informal y estarán fuertemente

o compañeras

mude

condicionadas por las culturas do-

minantes en los centros, que no son otra cosa que las pautas de conducta que de manera histórica y por medio de un proceso de sedimentación han ido instaurando

se

como forma de hacer frente a los problemas de la

profesión. ¿Pero qué es al fin y al cabo una teoría sino esas pautas organizadas en corpus que se pueden sintetizar y generalizar? Los profesionales temáticas,

de la educación,

son profesionales

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

en este caso los docentes de ma-

de la educación

antes que otra cosa, son


expertos de alto nivel y no pueden ejercer correctamente sin formación cuestionarse

teórica.

Esto no se puede poner en duda. Lo que debe

es de qué manera se apropian

la teoría en su función tas de actuación

profesional;

de ella y qué sentido tiene

es decir cómo construyen

que regirán su vida profesional

esta construcción

su profesión

la relación

dialéctica

las pau-

y qué peso tiene en

que debe darse entre teoría y

práctica. Todas las personas, y más los profesionales, zando esquemas o pautas de comportamiento

actuamos

utili-

que hemos aprendido,

y esta manera de actuar la podemos llamar teórica porque en principio es generalizable,

es decir que frente a situaciones similares tenderemos

a actuar de manera similar. Esas pautas las podemos denominar ría que guía nuestra práctica. Visto así toda actuación mediada, condicionada, dispone el docente.

profesional

El problema

orías aprendidas en los años de formación

dominantes integrarse:

está

consiste en observar de qué manera, esas teorías para

la acción. La respuesta ya la hemos sugerido en líneas anteriores.

en pautas de actuación,

nadas por ineficaces,

teo-

por las teorías explícitas o implícitas de las que

cuándo y por medio de qué mecanismos se construyen

a convertirse

la

universitaria

Las te-

no llegan nunca

se dejan de lado y son abando-

y su lugar es ocupado

por las pautas que son

en las culturas de los centros en los que los docentes deben los comentarios

otros miembros

de los compañeros

de la comunidad

hora de organizar

el currículo,

el que se organiza

escolar, las rutinas establecidas

la manera de encarar los conflictos,

trucos para tratar con la dirección, ción de los materiales,

sobre las actuaciones de

los padres o los estudiantes,

los tipos de pruebas de evaluación,

a la los

la elec-

el modo en

el poder de decisión en un centro y cómo resistirse

a éste, las maneras que se siguen en las relaciones con los estudiantes, los modos de vestir y un largo etc. Todas estas pautas conforman cultura

que constituye

profesionales,

la fragua

donde se moldean

y no debemos olvidar

esa

las competencias

que no son otra cosa que los pa-

trones que hay que seguir a la hora de encarar los conflictos

que la ac-

IDEA CLAVE

7


ción diaria nos trae como el pan nuestro de cada día. La cultura profesional de los centros se convierte modelan

las competencias

de esta manera en la forja donde se

docentes.

Por otra parte, una de las características de una actuación nal es precisamente

el no ser intuitiva

diada por el saber profesional

o espontánea,

de la enseñanza de las ma-

de la respuesta que un estudiante

máticas resulta radicalmente e información

sino el estar me-

que es de tipo general, es decir teórico.

El análisis que puede hacer un profesional temáticas

profesio-

da a una tarea de mate-

distinto e infinitamente

más rico en matices

que el que pueda hacer una persona que no sea profe-

sional en esta cuestión y que aplique su inteligencia tiva y espontánea,

y lo que decimos

enseñanza de las matemáticas tipo de profesional

de manera intui-

para los profesionales

de la

lo podríamos repetir para cualquier otro

de la enseñanza. La actuación profesional

es, pues,

una actuación mediada por modelos y esquemas teóricos, si no, no sería profesional. Conocemos estas ideas desde hace tiempo, utilizarlas

de manera coherente

modelos de formación tencionados,

en la formación

pero somos incapaces de de los docentes. En los

actuales en nuestro país, incluso en los mejor in-

lo que se hace es dar a los estudiantes

pédica de las materias

que se consideran

pedagogía

y métodos),

(su historia

una visión enciclo-

fundamentales:

didáctica

psicología,

general y específica del

área, sociología, etc. Una vez que ya «saben» todo eso se supone que les toca, en el mejor de los casos de manera bien tutorizada, realidad como si realmente

aplicarlo a la

la relación entre teoría y práctica fuera de

tipo lineal y deductivo. Además, para señalar bien esa diferencia, tituciones

que se ocupan de una y otra cosa son diferentes:

corre a cargo de la universidad

iluminada

la teoría

y la práctica de las escuelas, aunque en

este segundo caso exista una intervención trucción

las ins-

de la universidad.

La cons-

de las teorías ligadas a la acción educativa y la de la práctica por esas teorías no se realizan según esta lógica de un «antes»

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA


y un «después», sino que si fuera necesario utilizar

una metáfora

geo-

métrica para describir esa relación, la más cercana sería la de una espiral que pone de manifiesto Voy a poner algunos deben dominar mente

el carácter dialéctico de esta relación. ejemplos.

No es razonable

todas las teorías sociológicas

en un aula en la que conviven

tamentos

sociales, culturales,

que se

para actuar responsable-

estudiantes

idiomáticos,

suponer

de diferentes

etc. Es precisamente

es-

al revés,

porque en las aulas existen este tipo de cuestiones y muchas veces son origen

de dificultades,

necesitaremos

reflexionar

manera en la que las teorías sociológicas

sobre ellas y ver la

nos pueden ayudar a tomar

decisiones adecuadas, porque los docentes no son estudiosos de la sociología, sino profesionales

de la educación y ésta tiene una vertiente

de acción que no se lleva bien con la dilación de las respuestas que hay que dar. Ya sabemos que los estudiosos dudan, y deben dudar, los profesionales contemplación experto

han de actuar y la acción tiene unos tiempos no tiene.

en planificación

la hora de programar

No es razonable curricular

pero que la

pensar que hay que ser un

para actuar de manera adecuada a

una secuencia de enseñanza-aprendizaje.

Seguiré

con el ejemplo: no es razonable

pensar que un docente debe ser un ex-

perto en planificación

antes de comenzar a planificar

curricular

sión de enseñanza-aprendizaje

y que para ello necesita un módulo

entero en el que se le explique

cómo se hace esa planificación.

cisamente al revés, porque solamente saber realmente que trabaja

que le dará la institución

rrectamente, reflexión

de manera

cuando podrá com-

y qué debe saber para Ilevarla a cabo co-

es entonces y no antes cuando puede sentir el valor de la

teórica.

aprendizaje

en la

y tendrá que adecuar su manera de actuar

en esta cuestión a esa situación, es en ese momento prender qué es planificación

Es pre-

cuando comience su trabajo va a

el nivel de autonomía

para planificar,

una se-

No es razonable

que históricamente

estudiar

todas las dificultades

se han catalogado

sensata en una situación

que implique

de

antes de actuar adaptar

las pro-

IDEA CLAVE

7


puestas educativas generales a casos particulares,

cuando surja ese pro-

blema en la práctica deberá resolverse y para ello deberá recurrirse a la iluminación tudiante

teórica correspondiente.

Llenar la cabeza de un joven es-

con teorías sociológicas, pedagógicas,

didácticas y psicológicas

no le hará estar más armado frente a las dificultades sí le inducirá a pensar, erróneamente,

que esas teorías no tienen ningún

valor para ayudarle a resolver los problemas La formación tradicción

de la práctica, pero

que se le plantean.

inicial de los docentes está, así, atrapada

en una con-

que no somos capaces de resolver: no sabemos cómo supe-

rar una tradición

academicista

que a su vez se subdividen

atomizada

en áreas de conocimiento

en materias aisladas, porque fuera de ese

árbol no somos capaces de identificar

dónde nos situamos nosotros, me

refiero a los docentes universitarios,

y es, además, una formación

fesional que se imparte ejercerse.

y

competencias

fuera de los contextos

ya hemos repetido,

blar

de

para

inicial de los docentes.

como una formación

de su aplicación

referirme

a ha-

a los estudios

Es decir que deberíamos

que va preparando

de

es una cosa ex-

Es por esta razón que me he atrevido

preprofesionalización

formación

reales en los que debe

una y otra vez, que el desarrollo

fuera de los contextos

traña por ser complicada.

pro-

de

enfocarla

a los jóvenes que llegan a estos

estudios para iniciarse en su labor de docentes, que es ante todo una

Esta formación debería organizarse pensando en los intereses de quienes la reciben y no sólo de quienes la imparten.

profesión.

Ellos y ellas no son todavía

quiriendo

hábitos,

profesionales,

pautas de conducta,

ción que les vayan preparando

actitudes

progresivamente

hay que organizarla

y estrategias

de ac-

para esa labor a la que

aspiran. Y sobre todo, aunque suene algo ingenuo, que esa formación

pero deben ir ad-

deberíamos

pensar

desde los intereses de quienes

la reciben y no sólo desde los de quienes las imparten. Cifrar en esta formación de las competencias la formación

inicial la esperanza de una mejora radical

profesionales

de los docentes es una ilusión vana,

inicial no puede ser otra cosa que, como su nombre

dica, el inicio de un camino de profesionalización

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

in-

que debe ser com-


pletado con otras fases. Esperar que un muchacho o muchacha que ingresa en la universidad

con dieciocho, diecinueve o veinte años, en mu-

chos casos, pueda convertirse

en un profesional

cuatro o cinco años de estudios universitarios lisis mínimamente

de la educación

con

es algo que cualquier aná-

serio debe cuestionar.

Los nuevos marcos legales para la formación del profesorado de secundaria. El postgrado de formación del profesorado de secundaria Disponemos ya, en estos momentos, currículos de formación del postgrado

para los profesores

des a la hora de organizar

de secundaria.

en la actual reforma

en el

universitaria

que se concede a las distintas

es

universida-

planes de estudios propios y, por lo tanto, la

de los textos obligatorios.

grado de generalidad

Se publicaron

y

de 2007. ¿Qué podemos decir de ellos?

que llama la atención

el alto grado de autonomía

generalidad

los

de los grados para los docentes de primaria

BOE el pasado 29 de diciembre Lo primero

de los decretos que regularán

Estos documentos

tan amplio que es difícil posicionarse,

son de un porque la

lectura que puede hacerse de éstos no es unívoca y el análisis no podrá realizarse hasta que alguien no redacte una propuesta concreta de formación. Mientras tanto habrá que aplazar la opinión. Por lo que hace referencia

al postgrado

de formación

de profeso-

rado de secundaria, que tiene una relación más directa con la formación de lo que podemos

entender

cuencia de matemáticas,

como profesores

de área y en conse-

sabemos que éste será de sesenta créditos

ECTSque, para los no expertos en el currículo universitario, dicar que suponen paración tercio,

un año o su equivalente

universitaria.

de dos semestres de pre-

De los sesenta créditos,

entre dieciséis y veinticuatro

hay que in-

aproximadamente

deben destinarse

un

a prácticas, es

IDEA CLAVE

7


decir entre cuatrocientas

y seiscientas horas de prácticas de las 1.500

horas que supone el postgrado. Las condiciones

de acceso al postgrado

son las siguientes:

4.2. Condiciones de acceso al Máster Para el ingreso en el Máster se establece como requisito de acceso la acreditación del dominio de las competencias relativas a la especialización que se desee cursar, mediante la realización de una prueba diseñada al efecto por las Universidades, de la que quedarán exentos quienes estén en posesión de alguna de las titulaciones universitarias que se correspondan con la especialización elegida. Asimismo, habrá de acreditarse el dominio de una lengua extranjera equivalente al nivel B1 del Marco Común Europeo de Referencia para las Lenguas, de acuerdo con la Recomendación N° R (98)6 del Comité de Ministros de Estados Miembros de 17 de octubre de 2000. (MEC, 2007)

Al ministerio

le gusta el misterio, ¿qué será eso de «las competencias

lativas a la especialización lo dice, seguramente

re-

que se desee cursar»? Se supone, aunque no

por obvio, que un postgrado

viene después de un

grado. Lo que despista es que no cita de manera específica ningún tipo de grado, por lo que alguien bilita para este postgrado dominan

las competencias

podría concluir que cualquier

siempre y cuando alguien demuestre relativas a la especialización

cursar. Los responsables universitarios esas competencias» efecto» ya tienen

o determinar,

que se desee

en su caso, «la prueba diseñada a tal

nes, pero no se citan en este borrador BOE. ¿Serán las universidades

que se

que deban descubrir «cuáles son

un nuevo rompecabezas.

des? ¿Podrán ser diferentes

grado ha-

Se habla de especializacio-

ni en la norma publicada

las que deberán definir

de unas universidades

en el

esas especialida-

a otras? ¿Podrán ser

muy generales abarcando

varias áreas, tipo «profesor/a

cas, ciencias y tecnología»,

o deberán ser específicas, tipo «profesor

matemáticas

para la secundaria superior»?

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

de matemátide


En toda

la reforma

universitaria

mas que la harían muy divertida portantes

actual hay muchos de estos enig-

si no fuera porque jugar con cosas im-

es poco serio. Da la impresión

actual huye de los conflictos

de que la política

educativa

como los gatos de las duchas frías, y qué

mejor manera de evitar los conflictos flictivas a otros. Con el pretexto

que traspasar las decisiones con-

de la autonomía,

el ministerio

se saca

de encima muchas patatas calientes que se las endosa a las universidades. Puede que así haya menos conflictos, vayan mejor. formación 1.

También disponemos

o competencias

pero no es seguro que las cosas

de unos objetivos generales de esa

que hay que lograr, son los siguientes:

Conocer los contenidos curriculares de las materias relativas a la especialización docente correspondiente, así como el cuerpo de conocimientos didácticos en torno a los procesos de enseñanza y aprendizaje respectivos. Para la formación profesional se incluirá el conocimiento de las respectivas profesiones.

2.

Planificar, desarrollar y evaluar el proceso de enseñanza y aprendizaje potenciando procesos educativos que faciliten la adquisición de las competencias propias de las respectivas enseñanzas, atendiendo al nivel y formación previa de los estudiantes así como la orientación de los mismos, tanto individualmente como en colaboración con otros docentes y profesionales del centro.

3.

Buscar, obtener, procesar y comunicar información (oral, impresa, audio visual, digital o multimedia), transformarla en conocimiento yaplicar/a en los procesos de enseñanza y aprendizaje en las materias propias de la especialización cursada.

4.

Concretar el currículo que se vaya a implantar en un centro docente participando en la planificación colectiva del mismo; desarrollar y aplicar metodologías didácticas tanto grupa les como personalizadas, adaptadas a la diversidad del alumna do.

5.

Diseñar y desarrollar espacios de aprendizaje con especial atención a la equidad, la educación emocional y en valores, la igualdad de de-

IDEA CLAVE

7


rechos y oportunidades

entre hombres y mujeres, la formación ciu-

dadana y el respeto de los derechos humanos que faciliten la vida en sociedad, la toma de decisiones y la construcción de un futuro sostenible. 6.

Adquirir estrategias para estimular el esfuerzo del alumno y promover su capacidad para aprender por sí mismo y con otros, y desarrollar habilidades de pensamiento y de decisión que faciliten la autonomía, la confianza e iníciativa personales.

7.

Conocer los procesos de interacción y comunicación en el aula, dominar destrezas y habilidades sociales necesariaspara fomentar el aprendizaje y la convivencia en el aula, y abordar problemas de disciplina y resolución de conflictos.

8.

Diseñar y realizar actividades formales y no formales que contribuyan a hacer del centro un lugar de participación y cultura en el entorno donde esté ubicado; desarrollar las funciones de tutoría y de orientación de los alumnos de manera colaborativa y coordinada; participar en la evaluación, investigación y la innovación de los procesos de enseñanza y aprendizaje.

9.

Conocer la normativa y organización institucional del sistema educativo

y modelos de mejora de la calidad con aplicación a los centros de enseñanza. 10. Conocer y analizar las características históricas de la profesión docente, su situación actual, perspectivas e interrelación con la realidad social de cada época. 11. Informar y asesorar a las familias acerca del proceso de enseñanza y aprendizaje y sobre la orientación personal, académica y profesional de sus hijos. (MEC, 2007)

Estos fines generales se desarrollan

siguiendo

una serie de módulos a

los que se asocian, a su vez, una serie de objetivos que son los que muestra el cuadro 3.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


Cuadro 3

12-16

Conocer las características de los alumnos, sus contextos sociales y motivaciones. Comprender el desarrollo de la personalidad de estos alumnos y las posibles disfunciones que afectan al aprendizaje. Elaborar propuestas basadas en la adquisición de conocimientos, destrezas y aptitudes intelectuales y emocionales. Identificar y planificar la resolución de situaciones educativas que afectan a alumnos con diferentes capacidades y diferentes ritmos de aprendizaje. Conocer los procesos de interacción y comunicación en el aula y en el centro, abordar y resolver posibles problemas. Conocer la evolución histórica del sistema educativo en nuestro país. Conocer y aplicar recursos y estrategias de información, tutoría y orientación académica y profesional. Promover acciones de educación emocional, en valores y formación ciudadana. Participar en la definición del proyecto educativo y en las actividades generales del centro atendiendo a criterios de mejora de la calidad, atención a la diversidad, prevención de problemas de aprendizaje y convivencia. Relacionar la educación con el medio y comprender la función educadora de la familia y la comunidad, tanto en la adquisición de competencias y aprendizajes como en la educación en el respeto de los derechos y libertades, en la igualdad de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres y en la igualdad de trato y no discriminación de las personas con discapacidad. Conocer la evolución histórica de la familia, sus diferentes tipos y la incidencia del contexto famiHaren la educación. Adquirir habilidades sociales en la relación y orientación familiar.

24-30

Conocer el valor formativo y cultural de las materias correspondientes a la especialización y los contenidos que se cursan en las respectivas enseñanzas. Conocer la historia y los desarrollos recientes de las materias y sus perspectivas para poder transmitir una visión dinámica de las mismas. Conocer contextos y situaciones en que se usan o aplican los diversos contenidos curriculares. En formación profesional, conocer la evolución del mundo laboral, la interacción entre

IDEA CLAVE

7


sociedad, trabajo y calidad de vida, así como la necesidad de adquirir la formación adecuada para la adaptación a los cambios y transformaciones que puedan requerir las profesiones. En el caso de la orientación psicopedagógica y profesional. conocer los procesos y recursos para la prevención de problemas de aprendizaje y convivencia, los procesos de evaluación y de orientación académica y profesional. Conocer los desarrollos teórico-prácticos de la enseñanza y el aprendizaje de las materias correspondientes. Transformar los currículos en programas de actividades y de trabajo. Adquirir criterios de selección y elaboración de materiales educativos. Fomentar un clima que facilite el aprendizaje y ponga en valor las aportaciones de los alumnos. Integrar la formación en comunicación audiovisual y multimedia en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Conocer estrategias y técnicas de evaluación y entender la evaluación como un instrumento de regulación y estimulo al esfuerzo. Conocer y aplicar propuestas docentes innovadoras en el ámbito de la especialización cursada. Analizar críticamente el desempeño de la docencia, de las buenas prácticas y de la orientación utilizando indicadores de calidad. Identificar los problemas relativos a la enseñanza y aprendizaje de las materias de la especialización y plantear alternativas y soluciones. Conocer y aplicar metodologias y técnicas básicas de investigación y evaluación educativas y ser capaz de diseñar y desarrollar proyectos de investigación, innovación y evaluación.

16-24

Adquirir experiencia en la planificación, la docencia y la evaluación de las materias correspondientes a la especialización. Acreditar un buen dominio de la expresión oral y escrita en la práctica docente. Dominar las destrezas y habilidades sociales necesarias para fomentar un clima que facilite etaprendizaje y la convivencia. Participar en las propuestas de mejora en los distintos ámbitos de actuación a partir de la reflexión basada en la práctica. Para la formación profesional, conocer la tipologia empresarial correspondiente a los sectores productivos y comprender los sistemas organizativos más comunes en las empresas. Respecto a la orienta-

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


ción, ejercitarse en la evaluación psicopedagógica, el asesoramiento a otros profesionales de la educación, al alumnado ya las familias. Estascompetencias, junto con las propias del resto de materias, quedarán reflejadas en el Trabajo fin de Máster que compendia la formación adquirida a lo largo de todas las enseñanzas descritas.

Fuente: www.safil.infoldocumentoslmasterprof.pdf

Con estos mimbres se pueden hacer muchas cestas diferentes. rece indicar que en esto, como en casi toda esta reforma

Todo pa-

universitaria,

va a haber un amplio cauce para la autonomía y que, en consecuencia, van a coexistir

diversos modos de acceso a este postgrado.

puede haber muchas propuestas distintas que se organicen estas bases. En mi opinión

la política

universitaria

dazos y ahora estamos en la banda de la autonomía

Es decir que respetando

camina dando banextrema, como en

otras épocas hemos estado en la de la banda de su absoluta ausencia. Porque, y esto es relevante, esos títulos van a tener validez por lo menos en el territorio

español (deberíamos

esperar que también

en otros pa-

íses de la Unión Europea) y corremos el riesgo de que la competición entre universidades

no se centre en ver quién lo hace mejor, sino en

ver quién atrae a más estudiantes

y para ello pone condiciones

menos

exigentes.

Si la administración

pública no toma cartas en el asunto ni

abandona

la desidia y pasividad actual para pasar a ser un agente ac-

tivo que ponga controles y garantías en el acceso a la función

docente,

podemos estar ante un nuevo fraude. La autonomía

universitaria

a partir de estos previos es muy grande

y puede dar lugar a planes formativos

muy diferenciados,

y esto es una

realidad que debemos empezar a encarar con todas sus consecuencias. Pensar que la autonomía, entre instituciones

con la hipotética

formativas,

cia de las condiciones

competitividad

va a ser beneficiosa

que conlleva

con independen-

objetivas en las que ésta puede desarrollarse

es

IDEA CLAVE

7


una falacia. La autonomía para construir currículos sirve para poco si no se dan otras condiciones que confluyan de manera sinérgica con la libertad de acción, porque como todos sabemos el sistema educativo es precisamente un sistema, y en una estructura de este tipo no se puede alterar el valor de una variable y esperar que no cambie el conjunto del sistema. Entiendo que esta norma no prohíbe que las universidades promuevan convenios con los centros educativos, ni con la Administración que los gestiona, de cara a ir ensayando nuevas formas de formación más centradas en la práctica profesional, pero desde luego no lo promueve explícitamente y mucho me temo que no va a ser esa la mayor preocupación de las instituciones universitarias cuando haya que concretar este postgrado en cada una de las universidades. Sospecho que la preocupación más extendida será saber qué facultad o escuela se «quedará» con esetítulo y a quién le tocará impartir cada uno de los módulos que ese proyecto de norma enuncia. Y las que actúen asíy no establezcan el marco formativo que hemos pergeñado en líneas anteriores van a poder dar el mismo título que las que se preocupen en organizarlo. Si miramos la ausencia de prohibición, podemos estar contentos porque lo que no está prohibido se puede hacer. Depende ahora de que seamos capacesde hacerlo. Si miramos, en cambio, la ausencia de propuestas actualizadas, podemos estar preocupados porque lo que no es obligatorio no hay por qué hacerlo y muchos no lo harán.

El

fallo bá-

sico que observo en esta norma es que sólo se habla en ella de una de las tres patas fundamentales en la formación inicial de los docentes: la universidad, pero la norma se olvida de manera flagrante de las otras dos: los centros educativos y la Administración. Los centros educativos y la Administración no son solamente importantes en la formación continua de los docentes, sino que también lo son en la inicial y en el período de inducción. Formación inicial, período de inducción y formación

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


continua

son tres elementos

gidos por instituciones

que no pueden ir separados ni estar diri-

diferentes

que no mantienen

entre sí relaciones

estructurales con respecto a estas responsabilidades; porque la carrera profesional debe entenderse como un continuo que comienza en la formación inicial y se extiende a las posteriores, y porque desde dicha formación hay que poner los cimientos de ese camino, cimientos que no pueden ser establecidos solamente por una de las tres instituciones implicadas. Para que la autonomía

promueva buenos planes de formación

versidad de propuestas sea enriquecedora, terno al propio proceso formativo se vean premiados. nistración,

si la Admi-

que es la empresa que emplea a la mayoría de los docentes,

bien estructuradas,

que incorporan

la autonomía

sitiva y todos tenderemos extendido

empleadores

todo

por pruebas de acceso

generará una espiral competitiva

po-

a hacerlo lo mejor posible. Esdecir si tener un

por una universidad

ciertas condiciones,

no es suficiente

para ejercer y los

que el acceso a la función

y si éstas son razonablemente

irá por buen camino. universitaria

profesores a sus plantillas exi-

garantizados

se esfuerzan en garantizar

cente implique

acreditación

ex-

garantice que quienes mejor lo hagan

gen de éstos niveles de formación

gentes,

hace falta que alguien

Lo que quiero decir es fácil de entender:

y el resto de instituciones

título

y la di-

Pero si en cambio

doexi-

poseer una

permite el acceso directo a la función docente

sin ninguna garantía externa al proceso, como de lo que se tratará es de tener un título y no necesariamente

las competencias asociadas a él, que

por cierto nadie evaluará, la espiral competitiva versidades competirán

a ver quién da el mismo título en menos tiempo

y con menos exigencias. tualidad

será negativa y las uni-

Esta espiral negativa

ya se produce

en el caso del CAP; las universidades compiten,

en la ac-

y lo estudiantes

lo exigen, a ver quién da más por menos. Las que procuran el título con menos exigencias tendrán rimientos,

más éxito que las que lo dan con más reque-

es decir, a quienes trabajan

se les castiga y las consecuencias

de esta política son nefastas para la calidad de la formación.

IDEA CLAVE

7


Al estudiar qué sucede con esta cuestión en otros países europeos?, puede verse que, a pesar de que la situación es diversa, en muchos casos (como Francia y Alemania) tamente

para la función

ocupa de garantizar plea se incorporan

la titulación

y acreditación

Estado el que se

instituyendo

para ello los me-

necesarios. También en Inglaterra

estas competencias,

se realiza sobre la institución

igualmente

aunque el sistema de

que acredita o por medio de sis-

que los citados de Francia y Alemania,

garantizan

las competencias

similar en el panorama de la contratación paña y éste es el momento

de introducir

carando un proceso de reforma

requeridas.

pero que

No se atisba nada

de los futuros docentes en Escambios, cuando se está en-

de la formación

de los docentes. Si no

se lleva a cabo ahora, será difícil poder hacerlo en un futuro La conclusión que yo saco de estas reflexiones cierto y que todo va a depender agentes promotores

direc-

con las que las personas que em-

al sistema educativo,

existen formas de garantizar

temas más abiertos

no habilita

docente y que es el propio

las competencias

canismos de formación

control

universitaria

cercano.

es que el futuro

es in-

de la visión que sobre éste tengan

los

en estos procesos. De todas maneras y si se me per-

mite un desahogo, quisiera decir que los bandazos que se están dando en la política educativa

de este país son de traca valenciana.

Podemos

pasar de una política a su opuesta con un cambio de ministra cambie no ya el régimen

político,

bierno, que sigue funcionando educativo

desde un férreo

desde un autonomismo días y sin explicarlo.

sino ni tan siquiera

el propio

como si fuera igual gestionar

centralismo

hiperliberal

sin que

de tipo jacobino

go-

el sistema

que hacerlo

tipo Friedman, y todo eso en unos

Groucho Marx se encontraría

a gusto en este club

porque no lo aceptarían.

7. Estos datos forman

parte de un estudio

López Goñi, estamos realizando formación

de los docentes

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

que, bajo la dirección

de la doctora

para estudiar de manera comparada

de secundaria

en Europa.

Irene

las estrategias

de


Bien, siendo positivo que no optimista, apuntarme

me parece más interesante

a la idea de que esta norma no prohíbe que las universida-

des establezcan convenios con la Administración de invertir

y los centros con el fin

la lógica que se ha seguido hasta ahora en la formación

cial. Dictar teoría pedagógica, dad para a continuación supuestamente,

psicológica y sociológica

en la universi-

hacer unas prácticas descafeinadas

y digo supuestamente

suele ser así, se apliquen

que sabemos actualmente

en las que

porque todos sabemos que no

estos conocimientos

aplicar un modelo formativo

«en el aula» es volver a

ya fracasado además de obsoleto

sobre la formación

del profesorado.

por lo Es vol-

ver a la estrategia que ya ha fracasado en el CAP. Las competencias fesionales se desarrollan universidad,

resolviendo

problemas

pro-

y éstos no están en la

sino en los centros; en consecuencia,

nal que se desarrolla

ini-

la práctica profesio-

en los centros debe ser el núcleo de la formación

y no las teorías. Esto no quiere decir que se pueda ejercer la función docente sin preparación

teórica,

lo que quiere decir es que esa prepara-

ción debe surgir de la dialéctica

que nace cuando se debe reflexionar,

buscar pautas e indagar soluciones a los problemas sional plantea. saber profesional

que la vida profe-

Es decir que el camino de la construcción hay que comenzar a desarrollarlo

inicial, porque en caso contrario lle nunca. Los planteamientos inicial y la continua puedan ser diferentes

lo más probable

formativos

reflexiva

del

desde la formación es que no se desarro-

que deben regir la formación

deben ser los mismos, es una ilusión pensar que sin entrar en oposición.

Tal vez la nueva estructura

de los créditos

ECTS), un poco de imaginación

universitarios

y la colaboración

(créditos

de las instituciones

que deben liderar estos procesos lleguen a confluir y nos podamos valer de la falta de concreción

de la norma para plantear

ción más profesionalizadora.

un tipo de forma-

Veamos, los sesenta créditos que compo-

nen el postgrado suponen una carga de 60 x 25 = 1.500 horas de trabajo para los estudiantes,

esta horas incluyen tanto la parte presencial (asis-

IDEA CLAVE

7


tencia a clases, seminarios, presencial,

aquí podrían

reuniones

en la universidad ... ) como la no

estar las horas que deberían

diantes en los centros. No existe ninguna

pasar los estu-

norma legal que diga cómo

deben repartirse esas horas entre esas dos modalidades formativas y, por lo tanto, existe si así lo desean los que diseñen estos planes formativos amplio cauce a la discrecionalidad, ciente tiempo

de manera que se dispone de sufi-

como para que los diseños formativos

trarse en la reflexión

un

que quieran cen-

sobre la práctica basada en la experiencia

escolar

sean posibles. La idea básica sería la siguiente: juntar todas las horas no presenciales con las horas del módulo de prácticum para convertirlas

en

horas de prácticum real, y promover desde los módulos que hay que impartir un tipo de formación venio,

de manera

separadamente

centrada en la práctica en centros con con-

que el prácticum

no fuera

algo

que se hiciera

de los módulos, sino como parte de ellos. Unos sencillos

cálculos nos permiten

obtener,

siguiendo

esta propuesta y suponiendo

que se destinan veinte créditos al prácticum, el número de horas que de esta manera se podrían destinar a la parte práctica de la formación:

Prácticum 20 créditos: 20 x 25 = 500 horas.

Tiempo no presencial del resto de créditos: 40 x 15 = 600 horas (lo más habitual es pensar que del tiempo total del estudiante 1/3 debe ser presencial y 2/3 no presencial).

Si restamos de esas600 horas, 100 horas para entregas de trabajos, exámenes, redacción de informes, etc., nos quedarían 500 horas que sumadas a las otras 500 de las que dispone el prácticum

harían un total de 1.000 horas de

trabajo, que en jornadas de 8 horas son 125 días.

No está mal si se organiza nemos mucha imaginación entre los formadores

4

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

bien. Es absolutamente y tengamos

universitarios

una actitud

necesario que destide horizontalidad

y los tutores de la práctica en los cen-


tros. Imaginación

para crear nuevas propuestas de formación

la práctica y la reflexión guiada acerca de ésta constituyan ceso de formación,

y horizontalidad

anime a los formadores

para construir

tanto de la universidad

construir un ambiente de colaboración enriquecimiento y beneficio

docentes universitarios que acogerán

todos los que participan

una relación

que

como de las escuelas a y

crear un clima de colaboración

una cooperación

fructífera

encargados de la formación

a los estudiantes,

el eje del pro-

que sirva para el conocimiento

mutuos. Esfundamental

recíproco que permita

en las que

colaboración

en ella obtengan

entre los

inicial y los tutores

que debe permitir

que

beneficios para sus propias ca-

rreras docentes a la vez que deberían ser encargos recompensados. La administración participación ministración

pública tiene la llave de la despensa y es crucial su

en esta cuestión. Volvemos al triángulo y escuelas como el lugar geométrico

darse la formación

universidad,

Ad-

en el que tiene que

de los docentes.

El paso de la formación inicial a la vida profesional La diferencia

entre un egresado universitario,

de formación

incluyendo

su postgrado

como docente en el caso de los docentes de secundaria,

y la misma persona cinco años después de iniciar su labor docente desde el punto de vista de las competencias ese período

se va forjando

profesionales,

la personalidad

profesional

según se acomoda y respira la cultura profesional tarse. Este proceso está absolutamente circunstancias

desfavorables

realiza de manera totalmente

es,

abismal. En del docente

a la que debe adap-

descuidado y dejado al albur de

en la mayoría de los casos. Este proceso se autodidacta

y en él el factor más influ-

yente resulta la cultura escolar del centro o centros en los que se produce el citado favorables

proceso

de profesionalización.

al cambio y a la innovación,

Si estas culturas

son

lo que no sucede en la mayoría

de los casos, el docente novel podrá «aprender» su profesión de manera

IDEA CLAVE

7

¿ "15


totalmente

diferente,

hecho que no sucederá si la cultura escolar que

lo recibe es reacia a esta manera de hacer. Éstas son cosas conocidas desde hace años, Marcelo (1994) y otros autores han señalado esta realidad con un gran aporte de pruebas y con una argumentación

difícil de rebatir.

Los primeros pasos en la función

docente son decisivos para determinar

la dirección en la que trabajarán

los futuros

profesores. Por lo tanto, la puesta en marcha de programas

que diseñen, desarrollen ción profesional, universitario

en un medio educativo

profesionales

según se enfrenta

mas que la práctica le plantea, para mejorar las competencias temáticas.

procesos de induc-

es decir los procesos por medio de los cuales un titulado

se integra

competencias

y evalúen los denominados

y va construyendo

sus

y «resuelve» los proble-

es el único camino realista y eficiente de los docentes que deben enseñar ma-

Cabe señalar, además, la urgencia de poner en marcha este

tipo de programas a incorporarse

por la masiva afluencia de nuevos docentes que van

en los próximos años al sistema educativo.

La puesta en marcha de estos programas exige que el triángulo mado por escuela, Administración

for-

y universidad funcione al unísono, bien

coordinado y con objetivos compartidos y comunes. Por desgracia esta relación y coordinación

es más un deseo que una realidad. La realidad es

que estas tres instituciones

trabajan,

vazada, sin nexos institucionales comunes.

en esta cuestión, de manera desla-

claros y sin objetivos compartidos.

Y, en

estas circunstancias es muy difícil avanzar hacia los tipos de programas formativos

que estamos proponiendo.

ría basar la estructura formativa. fuera equilátero

Desde luego lo mejor es que el triángulo

de un egresado al sistema educativo

en la mayoría de los casos mediante Lo más habitual

ten a las listas que habilita aportar

en el que se debe-

y no escaleno, que según acabo de leer, significa cojo.

La incorporación

profesional.

Esel triángulo

los títulos

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

un programa

no se realiza

de iniciación a la vida

es que los aspirantes a docentes se apunla Administración

universitarios

sin otra condición

que

prescritos, en algunos casos que per-


sonalmente

he podido comprobar

tarse a estas listas de sustitución. dos y comienzan es el principal,

se llega a no exigir el CAP para apunCuando hay una vacante son requeri-

a dar clases sin otro requisito.

La Administración,

por no decir único, empleador,

no impone

quisito que no sea el aval de las citadas titulaciones entrar en un aula y comenzar es cuando

ningún

universitarias

repara

a enseñar. Sólo bastantes años después

la Administración

se ocupa

cuando se presentan a la oposición. •

que

de «examinarlos»,

es decir

No podemos dejar de señalar que:

La superación

de la oposición

poco tiene que ver con el logro de las

competencias

necesarias para desempeñar

la función

docente.

Llega ya muy tarde porque puede darse el caso, y de hecho se da, de profesores que pasen muchos años ejerciendo

la labor docente antes

de presentarse a una oposición.

Por lo tanto,

puede afirmarse

de los egresados aterrizaje

responsablemente

universitarios

de emergencia

dan el peor horario,

que la incorporación

al sistema educativo

sin tren de aterrizaje.

se asemeja a un

Llegan, los saludan, les

los grupos más difíciles y adelante.

Lo peor de todo es que este tipo de fallo estructural ción de los docentes ya está denunciado

hace tiempo y hay que indicar

al respecto que diversos autores, como Marcelo con gran acierto

la importancia

para la formación

profesional

en la forma-

de este período

(1994), han señalado como determinante

de los nuevos docentes. También

sabe-

En muchos países

mos que en muchos países se trata de manera especial a los «nuevos»

se trata de manera especial a los

o «noveles» y que existen planes especiales para su incorporación

y

tema educativo

o programas

profesores

existen planes

para lo que los anglosajones

induction period-. Lo sabemos, pero en nuestro medio edu-

cativo apenas hay iniciativas en este sentido. La universidad nistración,

<<nuevos})

-año o años de prácticas con horario especial y tutori-

zación (Francia y Alemania), denominan

al sis-

que son las instituciones

esta cuestión,

llamadas a tomar

y la Admi-

el liderazgo

están ocupadas en asuntos más importantes

en

y siempre

IDEA CLAVE

7


dejan para mañana las cuestiones menores. Pasa el tiempo y todo sigue igual, los gobiernos y los equipos rectorales cambian y cuando llegan los nuevos siempre hay problemas

más acuciantes que resolver.

Además, existe una clara dejación de la Administración

de responsabilidades

por parte

al no realizar ningún tipo de control sobre los do-

centes que incorpora al sistema educativo. ¿Se imagina alguien que una empresa incorporase

a profesionales

en el que se apuntasen

de nivel medio o alto en el orden

a la lista de empleo, simplemente

por traer un

título? Pues siempre hay un lugar para la sorpresa en el mundo, porque eso es precisamente de profesionales

lo que hace la Administración

con los docentes. Lo

de grado medio o alto no lo digo yo, lo dicen todas las

proclamas oficiales que aseguran de manera rimbombante

que el fu-

turo del país está en la educación y luego la dejan en las manos de quienes emplean sin ningún filtro El paso de la formación

ni control

propio.

inicial al desempeño

como docentes está totalmente

descuidado.

de la vida profesional

Esta carencia es una de las

causas de muchos de los problemas que se dan en el sistema educativo. Por una parte, la incorporación parte de la Administración, garantiza

se hace sin las debidas garantías

que emplea a personas cuya idoneidad

y, por otra parte, el aterrizaje

en el puesto de trabajo

por no

es pe-

noso. Penoso es, desde luego, una manera delicada para adjetivar

un

inicio de vida profesional

en

malas condiciones

que se hace sin ayuda y, normalmente,

«ambientales»,

es decir de manera precaria (contra-

tos de sustitución)

y con los horarios

tiempo

las triquiñuelas

y conocen

vemos todos, lo que falta es voluntad

y grupos que quienes ya llevan

del sistema no quieren.

Verlo,

lo

para cambiarlo.

la formación continua de los docentes de matemáticas Cuando hablamos de formación destinada

8

continua

nos referimos

a los docentes que ya están en ejercicio.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

a la formación

En esta misma co-


lección se ha publicado mación permanente

recientemente

del profesorado

en esta cuestión (Imbernón, Me limitaré,

un libro que versa sobre la fory esto me excusa de extenderme

2007).

por lo tanto,

a cuestiones que atañen más específica-

mente a los docentes de matemáticas y, sobre todo, a los de secundaria. En las últimas

décadas las administraciones

públicas

mucho dinero y recursos a este tipo de formación. tantes comunidades

autónomas

han destinado

De hecho, en bas-

existe una red de formación

diversos nombres según la comunidad

autónoma

que toma

correspondiente

(CAP,

CEP... ) y que está separada y, la mayoría de las veces, incomunicada la universidad, ción continua

una de cuyas funciones

más importantes

es la forma-

de los docentes. La LOGSE y los años noventa

marcaron,

sin duda, un hito en esta cuestión con planes masivos de formación neralista

(pedagógica)

humanos

de todo

en los que se invirtió

tipo.

Si analizamos

los cambios de las prácticas educativas formación, bernón

relacionando

con los recursos invertidos

Creo que es un título

en

En el libro de Im-

que se titula que sintetiza

«Mucha perfec-

lo que quiero decir sobre esta cuestión.

Con relación a la formación

continua

ticas creo que existen, seguramente rales que me gustaría comentar. por medio de la formación

a desarrollar

das básicamente

El primero proviene de querer corregir

continua

competencias

en la formación

nados a mejorar competencias

de los profesores de matemá-

entre otros, cuatro fallos estructu-

los fallos de la formación

Muchos de los cursos que se programan tienden

este esfuerzo

es más bien decepcionante.

poco cambio».

ge-

mucho dinero y recursos

(2007) que he citado existe un capítulo

formación, tamente

el resultado

de

inicial.

para los docentes en ejercicio

que deberían

haber sido asegura-

inicial, por ejemplo,

aquellos desti-

linguísticas, de uso de la tecnología,

la programación,

etc. Es preferible

inicial a trabajar

lo que podríamos

de

dedicar más tiempo en la formación denominar

competencias instru-

mentales que hacerlo en el momento en que lo que se exige es entreIDEA CLAVE

7

9


namiento en la práctica (formación continua). Estetipo de competencias deberían estar aseguradas básicamente en la formación inicial y tendrían que dejar de ocupar un lugar central en la formación continua de los docentes; porque hacerlo en la etapa inicial asegura la existencia de lenguajes y pautas comunes para todos los docentes, algo que es muy difícil de conseguir en el período de la formación continua, que siempre es por su propia estructura más fraccionada. Siempre será necesario completar la formación inicial en estas competencias básicas, pero lo fundamental debería estar asegurado por la formación inicial porque en caso contrario se tiene una sensación de estar comenzando siempre y de no salir jamás de los previos imprescindibles para poder empezar a desempeñar la función docente de manera responsable y profesional. Esmuy difícil, costoso y desafortunado querer corregir los fallos de la formación inicial en la formación continua. El segundo fallo estructural es que existe un despiste muy grande con relación a la función de los docentes y, en consecuencia, con la formación que necesitan para la gestión del currículo del área. No sabemos si realmente esperamos que los docentes sean agentes activos en la concreción final del currículo, ni qué quiere decir exactamente esto en términos de formación y tiempo destinado a estas tareas, o si nos conformamos con que sean consumidores inteligentes de propuestas curriculares ya construidas o si aceptamos que sigan de manera acrítica y lineal/os libros de texto. Éstaes una cuestión capital en la formación de los docentes de matemáticas y me esforzaré en decir por qué no es lo mismo capacitar a un docente para que desarrolle una competencia didáctica que hacerlo para que desarrolle una competencia curricular. En el primero de los casosel docente no tiene responsabilidad directa ni sobre los fines de la enseñanza ni sobre los contenidos que hay que impartir, su responsabilidad profesional se limita a saber enseñar lo que otros han decidido que enseñe. En el segundo caso sí la tiene, de eso se trata precisamente la competencia para gestionar el currículo,

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


es decir debe estar preparado componentes

para tomar

decisiones sobre todos los

del currículo y, como esto no puede hacerse sin constric-

ciones previas, debe saber cuáles son éstas y qué nivel de decisión y preparación ha de asumir. ¿Pueden los docentes de secundaria, por poner un ejemplo, cuestionar

el programa

que imparten?

Si escuchamos a los

profesores de estos niveles, dirán que no. Si leemos los textos oficiales que definen

el currículo,

ten esas variaciones,

hay que decir que sí, no solamente

sino que además se aconsejan.

se permi-

¿Por qué se dan

estas contradicciones? La LOGSE, en teoría, liberó a los docentes de la obligación un programa

cerrado y definido

por la Administración.

de seguir

Sin embargo,

el

control social, como ya hemos explicado hasta la saciedad en este libro, y la inercia les impiden actuar con esa libertad. enfrentan

al mismo embudo

que es la evaluación

si se une esa realidad a la comodidad mos porque

nadie nos empuja decididamente

prácticamente

de la selectividad

de seguir haciendo

tuación es la que tenemos hoy en día: libertad programas

Porque al final todos se y,

lo que hacía-

a hacer otra cosa, la side currículo en teoría y

iguales en todos los centros. Ésta es una de

las paradojas más curiosas de la enseñanza de las matemáticas veles de secundaria y bachillerato

en los ni-

y donde mejor se ve la ley de hierro

que supone el control social. Por lo tanto,

si prácticamente

en todos los centros se dan los mis-

mos temas y los fines a los que se encamina la enseñanza son idénticos, ¿para qué queremos formar docentes en la compleja tarea de gestionar el currículo, tal y como se ha dicho y repetido

desde las directrices ofi-

ciales? Si ésa es la realidad y no somos capaces de cambiarla o no lo son quienes tienen señar a construir

la llave de la puerta, ¿para qué invertir currículo

volver a la tradición la metodología

tiempo

en en-

a quienes nunca van a hacerlo? ¿Debemos

didáctica y centrar la formación

de los docentes en

de enseñanza tal y como se ha hecho durante

o debemos insistir en considerar al docente como un profesional

décadas con un

IDEA CLAVE

7


nivel de autonomía

suficiente

como para tomar

decisiones curricula-

res? No lo sé, pero lo que sí creo saber es que no han servido de mucho las respuestas excesivamente disponible

en tiempos,

de los docentes

optimistas

que han obviado

las motivaciones

la dedicación

y las competencias

que en teoría deberían

de partida

dedicarse a estas cuestiones,

pero que en la práctica no lo hacían porque no podían, no querían o no sabían hacerlo. Muchas de esas respuestas no han tenido condiciones

reales en las que trabajan

en cuenta las

los docentes, así como tampoco

su preparación

previa y su disposición

No es suficiente

con decir que algo sería deseable si no se dan ni se pro-

porcionan

las condiciones

a ocuparse de estas cuestiones.

para que el desarrollo

de lo que deseamos

sea posible. Ésta es una cuestión no resuelta que está lastrando, opinión,

muchos de los esfuerzos destinados

a la formación

centes, porque al no tener claros los fines formativos rias direcciones

en mi

de los do-

o al apuntar en va-

a la vez se dispersan los esfuerzos, se va y se viene y

todo esto genera confusión en un cuerpo docente ya cansado y un poco mareado.

Sin aclarar cuál es la función

del currículo,

es muy difícil organizar

de los docentes en la gestión

bien su formación.

El tercero de los errores proviene de no unir formación una manera clara y efectiva,

y de considerar

y práctica de

la formación

como algo

previo a la acción con la idea, intencionada

o no, de diferirla.

se han elaborado

en los centros, pero no me

programas

de formación

refiero a eso, sino a que la mayor parte de la formación lada a proyectos

Ya sé que

no está vincu-

de acción, sino que se considera como una cuestión

previa que se estira en el tiempo

de manera indefinida,

nemos sectores del profesorado

en formación

con lo que te-

continuada

o perma-

nente a la vez que sus prácticas permanecen

inalteradas.

tiempo,

sobre las competencias

a la salida de una charla informativa

clave de la LOE, una profesora muy interesante!, petencias».

ahora nos tendrán

Esa mentalidad

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATlCA

con la que me encontré

Hace poco

me dijo: «iAh,

que formar sobre esto de las com-

es la que hemos fomentado

y ahora nos


vuelve a golpear como un bumerán. Ya tenemos por delante unos años de formación

en «eso de las competencias»

porque

«¿cómo quieren

que hagamos cosas para las que nos estamos formados?». ción es algo previo y desligado que nos «tienen

La forma-

de la acción de mejora o cambio, algo

que dar» y no «algo que vamos a lograr» ni algo ne-

cesario para ese proceso de mejora o cambio. Creo que se despilfarran los recursos en formación

y, si juzgamos

la bondad de este esfuerzo por

las mejoras que se dan y los cambios que se inducen, el resultado despierta

no

muchas ilusiones.

Habría que distinguir formativos.

Es evidente

tuaciones y contextos

con nitidez

que hay que informar

de los

a los docentes de las si-

en los que deben moverse y de las normas lega-

les y consejos pedagógicos

en los que deben situarse. Pero pensar que

a base de sesiones informativas la práctica educativa

los esfuerzos informativos

vamos a inducir mejoras y cambios en

es un espejismo. La formación

debe incidir en la

mejora y cambio de las prácticas escolares, de lo que «se hace en el aula», y no puede quedarse siempre a las puertas de ese recinto. La formación de los docentes,

la que puede permitir

petencias profesionales,

no puede estar separada de los proyectos que

en esa dirección

se organicen.

La formación

algo externo a ella. Llevamos ya demasiado

la mejora de sus com-

es parte de la acción y no tiempo

con las cuestiones

previas necesarias para la acción y esta actitud de dejar para mañana lo que podemos hacer hoy hace inútil

por recurrentes

bemos potenciar

que sea necesaria para la mejora

toda la formación

los esfuerzos. De-

de la acción, pero sólo la que esté unida a dicha mejora. Ya sé que ese nivel es difícil de equilibrar

y que es solamente

una forma de decirlo,

pero lo que sí está claro es que desligar la formación supeditarla

es la mejor forma de convertir

dependientes tónomos,

de la acción y no

a los docentes en personas

de los expertos que dan cursos y en profesionales

es decir en docentes que no desarrollarían

nera independiente

y tampoco mejorarían

su trabajo

ni aprenderían

no aude ma-

según fuesen

IDEA CLAVE

7


desempeñando su labor. Formación y acción educativa deberían ser el haz y el envés de la misma hoja. El cuarto de los errores es, en mi opinión, no distinguir con claridad procesos de mejora (calidad) y procesos de cambio (innovación).

No es

lo mismo formar para hacer mejor lo que ya hacemos que formar para cambiar lo que hacemos. Durante esta última década los centros educativos han hecho un esfuerzo real y estimable, en muchos casos, para mejorar los procesos que aseguran su funcionamiento

diario. La cali-

dad como horizonte ha estado en el punto de mira de las administraciones públicas, que han invertido abundantes recursos económicos para potenciar esta estrategia de mejora de los centros. Muchos de estos esfuerzos han estado liderados por personas e instituciones relativamente ajenas, en su desempeño profesional, al mundo de la educación, y esto se nota en una cierta preponderancia de las cuestiones relacionadas con la gestión de los centros, en oposición a las pedagógicas. De todas maneras, no es mi intención en este momento hacer una crítica de los presupuestos tecnocráticos en los que se ha basado este movimiento, sino mostrar que, a veces sin damos cuenta, esta visión que prima hacer bien las cosas, propósito que en principio nadie puede despreciar, nos impide ver que la situación actual pide cambios e innovación y no solamente calidad. La calidad se basa en el uso de procedimientos, porque la mayoría de las estrategias para la mejora de los procesos se basa en la utilización de protocolos de actuación que los organizan, ordenan y estructuran en pasosque se pueden seguir, controlar y verificar. Por lo tanto, en este tipo de estrategia la formación debe centrarse, fundamentalmente, en el desarrollo de herramientas de tipo procedimental y en el entrenamiento

para su uso. No es una cuestión menor porque la in-

existencia de protocolos bien establecidos y comunes a los docentes que colaboran en la misma institución dificulta mucho la comunicación y la posterior toma de decisiones que son las que pueden promover

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


mejoras. Porque, aunque en sí no sea innovador,

resulta evidente

es mejor hacer bien lo que se realiza que hacerlo de cualquier perdiendo funcionar

inútilmente

que

manera

fuerzas y energías en cuestiones que deberían

como un mecanismo

bien engrasado.

lado esta cuestión despreciándola

como parte de un pasado tecnocrá-

tico ya superado, si los profesionales este campo, enseguida

de la educación

será rellenado.

parte de los procesos de formación en manos de profesionales

No se puede dejar de

nos retiramos

de

De hecho ya sucede así y gran

unidos a procesos de calidad están

que no provienen

del mundo de la educa-

ción. Pero si sólo hacemos «calidad», si sólo nos dedicamos a hacer bien lo que se supone que hacíamos regular, no solamente novando,

sino que probablemente

reforzaremos

no estaremos in-

formas de hacer que

desearíamos cambiar. Por esta razón, calidad es una cosa e innovación otra y las condiciones

para que se pueda desarrollar

una u otra estra-

tegia son bien diferentes. La innovación

busca cambiar

lo que hacemos proponiendo

maneras de hacerlo. Tanto su desarrollo

como la formación

nuevas

de las per-

sonas que deben llevar a cabo este proceso es distinta y se basa en principios diferentes;

porque

la innovación

que se consideran

problemáticas,

las, sino con la de sustituirlas

implica identificar

situaciones

pero no con la intención

de mejorar-

por otras. Los cambios tecnológicos

son

claros ejemplos de lo que quiero decir: la fotografía

digital

mejora de la fotografía

radical porque es

un modo diferente

que cambia todo

imágenes y la industria tipo de formación

del carrete, es una innovación

contempla

el proceso de obtención

que está a su servicio. La innovación

más basada en las estrategias

blemas y en la búsqueda en el momento

no es una

de alternativas

exige otro

de resolución

a la situación

de las

de pro-

tal y como se

previo a la innovación.

Pero, en todo caso, la formación

no puede ni debe ser algo previo a

la acción, sino más bien una parte de ella. Debemos partir de la idea de que todos podemos mejorar lo que tenemos o innovar hacia otras for-

IDEA CLAVE

7


mas de hacer las cosas con lo que ya sabemos, porque para comenzar disponemos

de los previos necesarios. Una vez que hemos identificado

qué queremos

mejorar o cambiar, si necesitamos formación,

ésta será

la que sea necesaria en el propio proceso de mejora o cambio y no algo previo a su inicio. No tiene mucho sentido dar formación profesionales

con independencia

generalista

a

de los proyectos de mejora o cambio

en los que estén inmersos; porque la capacidad para innovar se fragua resolviendo

problemas.

blemas y actuando

Esta pericia sólo se logra tratando

en las vías que nos llevan a su solución. En la actua-

lidad pasamos tanto tiempo nos disponemos

preparándonos

a actuar la situación

para la acción que cuando

se ha modificado

que hay que comenzar de nuevo a preparamos La formación

con los pro-

continua

de cursos generalistas

de tal manera

para la nueva situación.

de los docentes de matemáticas

debería huir

en los que docentes que no comparten

nes reales que pueden mejorar o cambiar trabajan

situacio-

sobre cuestiones ge-

nerales de la educación, para centrarse en atender a aquellos grupos de docentes que de manera cooperativa jora o innovación. que disponen

por procesos de me-

Los recursos tanto materiales como personales de los

las instituciones

centes deberían

se decanten

dar prioridad

encargadas

de la formación

a este tipo de formación

restantes. Téngase en cuenta que el trabajo para hacer frente a los problemas

de los do-

relegando

en equipo de los docentes

educativos es una característica

manera de ser de éstos, forma de ser que invalida duales por muy intensos y meritorios

las

de la

los esfuerzos indivi-

que parezcan ser.

En resumen El factor humano sos educativos. fesorado

es clave en cualquier

Resultará inútil

bien formado

situación y mucho más cuando se trata de proce-

cualquier

y motivado.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA

intento

La educación

de mejora que no se base en un proes una cuestión entre humanos y las


personas responsables de liderar este proceso son los docentes. Pretender señanza de las matemáticas bado el grado

sin analizar

universitario,

mejorar

la en-

los procesos que llevan a un joven, recién aca-

a convertirse

en docente

es un sinsentido

condenado

al

fracaso. Bien, pero estas consideraciones

que parecen ser puro sentido común chocan con tra-

diciones, rutinas, inercias e intereses que retrasan sine díe y obstaculizan las reformas necesarias en la formación universitaria

se están abordando

del profesorado.

la realización

En estos momentos

nuevos planes de formación

de

de reforma

para los docentes de las dis-

tintas etapas educativas, y entre esas reformas la que más atañe a los próximos docentes de matemáticas fesorado

es la que se corresponde

de secundaria,

mular los objetivos condiciones

bachillerato

y formación

que hay conseguir

y cooperación

garantizadora

de formación

postgrado

no están bien resueltas y que provienen

comentada

que debería ser complementado

fesionales en el sistema educativo.

las

Existen

de la escasa copúblicas. Por

abre un campo

con una postura más

por parte del Estado, que al fin y al cabo es el responsable

tencia docente de las personas que contrata

for-

a la vez que regulan

de cómo debe ser el curriculo.

que se observa en la propuesta

de las universidades

del pro-

Estos planes intentan

existente entre la universidad y las administraciones

un lado, la escasa regulación a la iniciativa

postgrado

profesional.

en el citado

de ingreso y dan algunas indicaciones

dos cuestiones que en mi opinión ordinación

con el futuro

de la compe-

y paga para que cumplan su labor como pro-

Esas garantías no han aparecido

por el momento

y no

hay visos de que así vaya a ser, aunque sorpresas más grandes ya ha habido. Por otra parte, el desarrollo

de un currículo

por competencias

les que estén capacitados

para suscitar su desarrollo,

asunto de las competencias

docentes y su adquisición.

exige unos profesiona-

y pone a su vez en la palestra He utilizado

la metáfora

tales para dar cuenta de esta situación y de los desajustes que se producen entiende arrollo

la formación

profesional.

formación

de los frac-

cuando no se

de los docentes como algo unido a la propia práctica de su descomo algo previo lleva a la larga a la formación

para la

y a entrar en una espiral de cursos que aplaza la acción y el compromiso

de me-

jora sin horizonte distinguiendo vindicar

el

La formación

conocido.

Defiendo

en el texto la necesidad de unir formación

y acción

las acciones que buscan la calidad de las que buscan la innovación,

para re-

que ambas se hagan desde parámetros

educativos,

aunque

los fines de unas y

IDEA CLAVE

7


otras sean distintos. esté supeditada

En todo caso necesitamos la formación

a la lógica de ésta.

Ésta es la última ciendo que el futuro

idea y constituye

trabajar

del desarrollo

es una actividad

digna, porque bien ejercida es una palanca poderosa para

como toda actividad

individual

solidaria, libre y abierta. La enseñanza de

humana y bastante más que algunas otras, es una

política en el sentido más profundo

la relación entre el bienestar

como no puede ser de otra ma-

de nuestra sociedad y que la enseñanza de las

por una sociedad más justa, equitativa,

las matemáticas, actividad

las últimas líneas de este libro. Quisiera acabar di-

de la enseñanza de las matemáticas,

nera, está unido al futuro matemáticas

necesaria para la acción y que

de este término,

y el colectivo.

el de la preocupación

Bien, estamos en un momento

cambio y debemos avanzar sin miedo hacia los nuevos tiempos,

por de

porque enseñar mate-

máticas sigue siendo una necesidad social y la condición del bienestar social de la gran mayoría de nuestros conciudadanos.

EL DESARROLLO

DE

LA COMPETENCIA

MATEMATICA


La mejor inversión

la que puede hacerse para mejorar competencia

la

docente del profesorado

de matemáticas.

ble del profesor

que tiene

e indescifrable

próximo

para acercar-

y la carrera profe-

sional propiamente

dicha, son impor-

La formación

los proyectos

continua

de los profeso-

debe estar unida a

de mejora e innovación

y debe complementarse

más

tareas y ayu-

a la labor docente

res de matemáticas

tencias profesionales

que hace crecer a sus estu-

diantes proponiéndoles

un saber

nos a las posturas de un docente

el inicio

tantes y deberían estar bien enlazadas.

Conviene que nos ale-

jemos de la posición distante e inaccesi-

extraño

fases, la inicial preprofesional,

y la más eficaz es

con compe-

docentes.

Los profesores de matemáticas

pueden

dándoles en su desarrollo.

incidir

La carrera docente es una carrera pro-

estudiantes

fesional

que hay que desarrollar

son una de las creaciones más impor-

lo largo

de toda

la vida.

a

Todas sus

mucho en la educación porque

de sus

las matemáticas

tantes de la cultura humana.

IDEA CLAVE

7


BOLADO, G. (2001): «Del Ministerio de Instrucción Pública y Bellas Artes a la Cartera de Educación, Cultura y Deporte: 100 Ministros para un centenario». Revista de educación,

324, pp. 113-142. (Ejemplar dedicado a: «la sociología de la educación.

Balance y perspectivas»). Esun documento editado por el Ministerio de Educación y Ciencia con motivo de la conmemoración de los 100 años de dicho ministerio. Resulta interesante su enfoque porque ayuda a conocer y comprender los avatares por los que el sistema educativo español ha pasado a lo largo de todo el siglo xx. BOYER.C.B. (1986): Historia de la matemática.

Madrid. Alianza Editorial.

Esun libro clásico de historia de las matemáticas, en el cual se repasa toda la historia de dicha disciplina desde sus orígenes babilónicos, griegos y romanos. Considero que para los no especialistas es más bien un libro de consulta que no de lectura, dada la extensión y profundidad de sus explicaciones. GALllEO, G. (1623): 1/Saggiatore.

(Trad. cast.: El ensayador. Madrid. Sarpe, 1984.)

Es un texto clásico en el que Galileo expone sus teorías sobre la cinemática, que como se sabe fue el gran aporte de Galileo a la ciencia. Esun texto clásico y famoso, entre otras cosas, por contener la archiconocida cita sobre la relación entre la

I

ciencia experimental y las matemáticas. Esun libro para especialistas en ciencias o I estudiosos de la filosofía de las ciencias.

IFRAH,G. (1997): Historia universal de las cifras. Madrid. Espasa. Esun libro muy interesante, en el cual el autor repasa la historia de los sistemas de numeración utilizados en las diversas culturas a lo largo de toda la historia de la humanidad. Es un libro que conviene consultar cuando se desee información de este tipo porque la que contiene es abundante, clara y acompañada de muchas ilustraciones muy interesantes.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


NEGROPONTE, N. (1999): El mundo En este libro, el autor reflexiona tienen

los cambios producidos

claro y directo previsiblemente

donde

derivados de la digitalización

sobre las consecuencias que para el orden social por la digitalización

el autor

se producirán

digital. Barcelona. Ediciones B.

de la información.

explica con rotundidad en la sociedad debido

Es un libro

las transformaciones

que

a los cambios tecnológicos

de la información.

PARA SABER MAs


Visión del currículo que prima los contenidos de las áreas cu-

ACADEMIClSMO

rriculares sobre cualquier otra referencia a la hora de organizar el currículo.

Trabajo que realiza el estudiante, normalmente a petición de

ACTIVIDAD

un docente, como parte del proceso de aprendizaje.

Capacidad de usar conocimiento en un contexto para hacer

COMPETENCIA

frente a situaciones problemáticas utilizando la tecnología más adecuada en cada caso.

COMPETENCIA O BÁSICA

CLAVE

Competencia que hay que desarrollar como parte de cualquier estudio que se realice en los diferentes currículos que cursa una persona en su formación a lo largo de toda su vida.

COMPETENCIA

Capacidad de usar el conocimiento matemático en los contextos

MATEMÁTICA

apropiados para hacer frente a situaciones problemáticas utilizando la tecnología más adecuada en cada caso

COMUNICACiÓN

Intercambio de información entre interlocutores que asignan sentido a las interacciones que forman parte de dicha comunicación.

CONOCIMIENTO

Elaboración de la información que se concreta normalmente en pautas o esquemas de acción.

CONTEXTO

Lugar o ámbito de aplicación del conocimiento, así podemos hablar de un contexto familiar, social, profesional. etc.

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMATICA


CRÉDITOS

ECTS

Sistema de medición

de créditos para la homologación

estudios universitarios

en el Espacio Europeo de Educación Su-

perior. El crédito ECTSsupone entre veinticinco de carga de trabajo

de los

y treinta

horas

para los estudiantes.

CRITERIO

Norma que se aplica para valorar

DE EVALUACiÓN

de una respuesta en una tarea.

EVIDENCIA

Aporte material del logro de algo. En el caso de evidencias aso-

la calidad de la producción

ciadas a los procesos de aprendizaje,

aporte

material

que

prueba el logro de ese aprendizaje.

GRADO

UNIVERSITARIO

Primer ciclo de los estudios universitarios

en el marco del Es-

pacio Europeo de Educación Superior. En España la mayoría de los grados suponen superar 240 créditos ECTS,subdivididos

INFORMACiÓN

en cuatro años de estudios.

Inputs de todo tipo que recibe el sistema nervioso y que sirven de base para la elaboración

PISA

Programme

for International

grama de evaluación busca evaluar

del conocimiento.

Student Assessment (PISA). Pro-

internacionalliderado

las competencias

(lengua, matemáticas,

por la OCDE que

en diversas áreas temáticas

ciencias ... ) a la edad de quince años en

los países de la OCDE.

PSICOLOGICISMO

Exceso que se produce aprendizaje

al observar el proceso de enseñanza-

casi exclusivamente

desde una óptica psicológica,

dejando de lado otras consideraciones (científicas, pedagógicas, sociológicas ... ) que son necesarias para una visión equilibrada.

GLOSARIO


Labor que propone, normalmente un docente a un estudiante, dentro del contexto de un proceso de enseñanza.

Esquema de tres componentes COMUNICATIVO

tarea/

actividad) que se utiliza para analizar las propuestas de enseñanza-aprendizaje.

234

(docente, estudiante,

EL DESARROLLO DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA


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de los títulos de profesor

por lo que se establecen los re-

universitarios

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de ESO y bachillerato,

que habiliten

formación

el

profesio-

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235


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Espasa-Calpe .


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