PROBABILIDA D
EXPERIENCIAS EDUCATIVAS 201 2
EL ARTE DE CUANTIFICAR LA INCERTIDUMBRE
HERNÁN GUILLERMO GONZÁLEZ URÁN
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¿Suerte o Azar? Es muy posible que desde que el hombre apareció en la Tierra y a medida que avanzaba como ser racional, empezó un arduo proceso investigativo en el que analizar y cuantificar la incertidumbre juega un papel muy importante en su evolución. Para ello el hombre tuvo seguramente que hacer una gran diferencia entre SUERTE y AZAR.
Trataré en pocos renglones de establecer desde mi punto de vista dicha diferencia, usaré dos definiciones tomadas de diccionarios comunes:
SUERTE: Encadenamiento de los sucesos, considerado fortuito o casual. AZAR: Es una cualidad presente en algunos fenómenos o situaciones que hace que algunos hechos ocurran de forma fortuita e impredecible.
A partir de estas definiciones trataré de separar los significados explicando que el azar es una cualidad de los sucesos que hace que impredeciblemente ocurra un hecho determinado, por ejemplo ganarse una lotería. La suerte es un proceso mediante el cual utilizamos el azar para justificar sucesos que ocurren en un momento dado, por ejemplo me gane la lotería porque tenía mi camisa azul.
Con este libro se pretende identificar el azar como un elemento inmensurable para cuantificar e interpretar muchos sucesos utilizando para ello la Probabilidad, una herramienta matemática que permite cuantificar y predecir sucesos en la vida cotidiana.
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COMBINATORIA UNIDAD 1
DEFINICIONE S BÁSICAS
Estadística-Definición-Aplicación-Clases Población-Muestra-Variables-Datos Factorial Permutación Variación Combinación
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TE EXPLICO… NÚMEROS DE LA BIBLIA La Biblia es el libro por excelencia que guía al mundo católico.
ESTADÍSTICA: Ciencia especializada que se encarga de la recolección, organización, análisis e interpretación de datos, con miras a extraer conclusiones, dar recomendaciones y predecir posibles resultados en un proceso de investigación científica
Pero ¿Qué contiene en números la Biblia? La Biblia contiene 3`566.480 letras, 773.693 palabras, 31.102 versículos, 1.189 capítulos y 66 libros. El capítulo más largo es el Salmo 119 y el más corto es el Salmo 117. El versículo 8 del Salmo 118, está en el centro de la Biblia. El nombre más largo se encuentra en el capítulo 8 del libro de Isaías. La conjunción “y” está 46.277 veces. El capítulo 37 del libro de Isaías y el 19 de la 2ª de Reyes son muy parecidos.
El versículo más largo es el 9º del capítulo 8 de Ester y el más corto está en Éxodo 20:13. En el libro de Ester, no se menciona el nombre de Dios. En la Biblia se encuentra Sabiduría, inteligencia, santidad, paz y amor. Curiosidades Bíblicas
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APLICACIONES: la Estadística interviene en todas las ramas del saber, se utiliza para realizar proyecciones futuras o pronósticos, para cuantificar resultados, para generalizar resultados en una investigación y es una herramienta fundamental en procesos de calidad y toma de decisiones. INDIVIDUO: de estudio.
es un elemento que porta información sobre el fenómeno objeto
POBLACIÓN: es el conjunto universal formado por todos aquellos elementos que se requiere estudiar. POBLACIÓN FINITA: es aquella de la cual se conoce el número exacto de individuos que la conforman. POBLACIÓN INFINITA: población de la cual no se conoce el número exacto de individuos. MUESTRA: es un subconjunto de la población, debe ser representativa con respecto al total de individuos de la población. MUESTREO: son las diferentes técnicas que el investigador utiliza para recoger la información. Los tipos de muestreo más utilizados son:
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Muestreo por conglomerados (cuando la población se encuentra subdividida de manera natural, por grupos con características diferentes) Muestreo por estratificación ( se divide previamente la población en grupos o clases homogéneos en cuanto a características propias del estudio) Muestreo aleatorio simple (al azar, se escogen individuos de forma indiscriminada) Muestreo sistemático (se usa para poblaciones muy grandes o hay que analizarlas a través del tiempo) Muestreo de probabilístico (es aleatorio simple, pero elegido con técnicas de probabilidad, con reposición del individuo o sin reposición) CENSO: conteo que se hace de una población finita. Es una investigación en la cual intervienen todos los individuos de la población. PARÁMETRO:
es la medida de una característica de una población.
VARIABLE ESTADISTICA: es una característica medible o tangible en cada individuo, que puede tomar valores diferentes para uno. VARIABLE: CUALITATIVA: denotan atributos, características o cualidades del individuo. Son aquellas características que describen cualidades. (Ej. color de ojos) CUANTITATIVA: denotan atributos numéricos del individuo. Son aquellas características que describen cantidades. (Ej. Número de hijos) CUANTITATIVAS DISCRETAS: proviene de contar, son aquellas características que se pueden representar con números enteros. (Ej. Edad) CUANTITATIVAS CONTINUAS: son características que se pueden medir, puede tomar valores fraccionados. (Ej. Estatura) DEPENDIENTES: son aquellas características que dependen de otras. INDEPENDIENTES: no dependen de otras.
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VARIABLE
CUANTITATIVA
DISCRETA
CUALITATIVA
CONTINUA
CONJUNTO: Clase, colecciĂłn o agrupamiento de elementos, que puede ser determinado por extensiĂłn (cuando se nombran todos sus elementos) o por comprensiĂłn (cuando se nombra la caracterĂstica de los elementos). Los conjuntos se nombran con letras mayĂşsculas y sus elementos con letras minĂşsculas. o đ??´ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
por extensiĂłn
o đ??´ = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘‘Ăđ?‘”đ?‘–đ?‘Ąđ?‘œ} = {đ?‘Ľâ „0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 9, đ?‘Ľ ∈ đ?‘ } por comprensiĂłn ďƒź CONJUNTO FINITO: conjunto al que se le pueden contar sus elementos. ďƒź CONJUNTO INFINITO: no podemos contar sus elementos. o đ??ľ = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘˘đ?‘› đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘›đ?‘˘đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘ đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž đ?‘ đ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;} finito o đ??ś = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;} infinito
ďƒź CONJUNTO VACIO: conjunto que no tiene elementos, no existen elementos que cumplan la caracterĂstica determinada. ďƒź CONJUNTO UNIVERSAL: es el conjunto formado por todos los elementos que cumplen la condiciĂłn dada.
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SUBCONJUNTO: es cada uno de los conjuntos que pueden formarse con los elementos de un conjunto. CARDINAL DE UN CONJUNTO: indica el número de elementos que tiene el conjunto y se denota n(A). ARREGLO: es cada una de las formas en que podamos colocar los elementos de un conjunto. Por ejemplo 378 es un arreglo y 873 es otro arreglo de los mismos números.
Resuelve…
DESEMPEÑO: Identificar los conceptos y definiciones básicas necesarios para Estadística
TALLER 1: Resuelve los siguientes ejercicios teniendo en cuenta la lectura. En Colombia, la empresa Colanta, tiene en el municipio de Don Matías un número alto de asociados que suman entre todos 1500 vacas lecheras. La cooperativa desea estudiar la calidad de la leche producida en dicho municipio del norte de Antioquia, para ello analiza al azar la leche de 525 vacas de la región y recopila datos sobre: cantidad de litros por vaca, calidad de la leche en cuanto a pureza, peso de la lactosa por litro de leche entre otros. De acuerdo al texto, señala con una X la respuesta correcta a las siguientes preguntas: 1. Para el estudio de la calidad de la leche en Don Matías, Colanta uso: a. Censo b. Muestreo c. Censo y muestreo d. Ninguno de los dos procesos 2. La población objeto de estudio corresponde a: a. Las vacas lecheras del norte de Antioquia b. 525 vacas de Don Matías
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c. Todas la vacas lecheras d. 1500 vacas de Don MatĂas Las 525 vacas estudiadas corresponden a: a. Un individuo b. Una muestra c. Una poblaciĂłn estadĂstica d. Una poblaciĂłn. La cantidad de litros por vaca es: a. Una variable cualitativa b. Una variable cuantitativa continua c. Una variable cualitativa continua d. Una variable cuantitativa discreta Es una variable cualitativa: a. El nĂşmero de vacas de Don MatĂas b. El peso de la lactosa por litro de leche c. La cantidad de litros por vaca d. La pureza de la leche de vaca El conjunto universal en la lectura corresponde a: a. Una muestra de vacas de Don MatĂas b. La leche de las 1500 vacas de Colanta en Don MatĂas c. 525 vacas que usa en la investigaciĂłn d. Todas las vacas de los asociados en Don MatĂas Por comprensiĂłn, el conjunto de las vacas de asociados en Don MatĂas es : a. đ?‘‰ = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘?đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ??śđ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ž} b. đ?‘‰ = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘™đ?‘’đ?‘?â„Žđ?‘’ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘?đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ??śđ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ž} c. đ?‘‰ = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘?đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ??śđ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘Ś đ??ˇđ?‘œđ?‘› đ?‘€đ?‘Žđ?‘ĄĂđ?‘Žđ?‘ } d. đ?‘‰ = {đ?‘Ľâ „đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘™đ?‘’đ?‘?â„Žđ?‘’ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘?đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ??śđ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘Ś đ??ˇđ?‘œđ?‘› đ?‘€đ?‘Žđ?‘ĄĂđ?‘Žđ?‘ }
FACTORIAL:
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El factorial de un entero positivo K, es la multiplicaciĂłn de K y todos los nĂşmeros enteros positivos menores que K. Se representa K!, que se lee factorial. đ?‘˜! = 1 đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľ ‌ đ?‘Ľ đ?‘˜
Ejemplos: {
3! = 1đ?‘Ľ2đ?‘Ľ3 = 6 5! = 1đ?‘Ľ2đ?‘Ľ3đ?‘Ľ4đ?‘Ľ5 = 120
PERMUTACIĂ“N: Es un arreglo que consiste en cambiar de puesto todos los elementos de un conjunto, puede ser SIMPLE Ăł CON REPETICIĂ“N. Se reconocen por las siguientes caracterĂsticas:
PERMUTACIÓN SIMPLE: • Importa el orden. • Hay puesto para cada elemento. • No hay elementos repetidos.
PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN: • Importa el orden. • Hay puesto para cada elemento. • hay elementos repetidos
El nĂşmero total de permutaciones que se pueden hacer con los
n elementos de un
conjunto estĂĄ dado por:
P. Simple
đ?‘ƒđ?‘› = đ?‘›!
P. con RepeticiĂłn
đ?‘ƒđ?‘› =
�! �1 !. �2 ! ‌ �� ! Pågina 9
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Generalmente importa el orden en todo aquello que signifique fila (filas, nĂşmeros, palabras, equipos de juego, entre otros).
Ejemplo 1: ÂżCuĂĄntos nĂşmeros de tres cifras diferentes se pueden hacer con los nĂşmeros 5,7 y 9?
SOLUCIĂ“N: ďƒź Importa el orden (puesto que es una fila de nĂşmeros) ďƒź Hay puesto para cada uno (tres dĂgitos 5,7 y 9, para tres puestos) ďƒź No se puede repetir (cifras diferentes) Como cumple las tres condiciones es una permutaciĂłn simple y su soluciĂłn es đ?‘ƒ3 = 3! = 3đ?‘Ľ2đ?‘Ľ1 = 6 ÂżCuĂĄles son?
579
597
759
795
957
975
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Ejemplo 2: ÂżCuĂĄntas palabras de once letras se pueden hacer con la palabra REFERENCIAS?
SOLUCIĂ“N: ďƒź Importa el orden (puesto que es una fila de letras) ďƒź Hay puesto para cada uno (11 letras para 11 puestos) ďƒź Se puede repetir (hay letras repetidas como la E) Como cumple las tres condiciones es una permutaciĂłn con repeticiĂłn y su soluciĂłn es 11!
đ?‘ƒ11 = 3!đ?‘Ľ2! =
11đ?‘Ľ10đ?‘Ľ9đ?‘Ľ8đ?‘Ľ7đ?‘Ľ6đ?‘Ľ5đ?‘Ľ4đ?‘Ľ3đ?‘Ľ2đ?‘Ľ1 3đ?‘Ľ2đ?‘Ľ1đ?‘Ľ2đ?‘Ľ1
= 11đ?‘Ľ10đ?‘Ľ9đ?‘Ľ8đ?‘Ľ7đ?‘Ľ5đ?‘Ľ4đ?‘Ľ3đ?‘Ľ1 = 3.326.400
Se pueden hacer 3`326.400 palabras con las 11 letras de REFERENCIAS.
VARIACIĂ“N: Es un arreglo que consiste en cambiar de puesto todos los elementos de un conjunto, puede ser SIMPLE Ăł CON REPETICIĂ“N. Se reconocen por las siguientes caracterĂsticas:
VARIACIÓN SIMPLE: • Importa el orden. • No hay puesto para cada elemento. • No hay elementos repetidos.
VARIACIÓN CON REPETICIÓN: • Importa el orden. • No hay puesto para cada elemento. • hay elementos repetidos
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El nĂşmero total de variaciones de r elementos que se pueden hacer con n elementos de un conjunto estĂĄ dado por:
V. Simple đ?‘‰đ?‘&#x;đ?‘› =
V. con RepeticiĂłn
đ?‘›! (đ?‘› − đ?‘&#x;)!
đ?‘‰đ?‘&#x;đ?‘› = đ?‘›đ?‘&#x;
Ejemplo 3: ÂżCuĂĄntos nĂşmeros de tres cifras diferentes se pueden hacer?
SOLUCIĂ“N: ďƒź Importa el orden (puesto que es una fila de nĂşmeros) ďƒź No hay puesto para cada uno (10 dĂgitos para tres puestos) ďƒź No se puede repetir (cifras diferentes) Como cumple las tres condiciones es una variaciĂłn simple y su soluciĂłn es đ?‘‰310 =
10! 10! 1đ?‘Ľ2đ?‘Ľ3đ?‘Ľ4đ?‘Ľ5đ?‘Ľ6đ?‘Ľ7đ?‘Ľ8đ?‘Ľ9đ?‘Ľ10 = = (10 − 3)! 7! 7đ?‘Ľ6đ?‘Ľ5đ?‘Ľ4đ?‘Ľ3đ?‘Ľ2đ?‘Ľ1 đ?‘‰310 = 720
Se pueden hacer 720 nĂşmeros de 3 cifras diferentes
Ejemplo 4: ÂżCuĂĄntos nĂşmeros de tres cifras se pueden hacer?
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SOLUCIĂ“N: ďƒź Importa el orden (puesto que es una fila de nĂşmeros) ďƒź No hay puesto para cada uno (10 dĂgitos para tres puestos) ďƒź Se puede repetir (no dice cifras diferentes) Como cumple las tres condiciones es una variaciĂłn con repeticiĂłn y su soluciĂłn es đ?‘‰310 = 103 = 1000 Se pueden hacer 1000 nĂşmeros de 3 dĂgitos (del 000 al 999).
ATENCIĂ“N ÂżExistirĂĄ otra forma de resolver los anteriores problemas? ÂżSe te ocurre alguna?
COMBINACIĂ“N: Es un arreglo que consiste en cambiar de puesto todos los elementos de un conjunto. Se reconocen por la siguiente caracterĂstica:
COMBINACIÓN: • No importa el orden.
El nĂşmero total de combinaciones de r elementos que se pueden hacer con n elementos de un conjunto estĂĄ dado por: COMBINACIĂ“N đ??śđ?‘&#x;đ?‘› =
đ?‘›! (đ?‘› − đ?‘&#x;)! ∗ đ?‘&#x;!
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No importa el orden en todo aquello que signifique grupo (comitĂŠs, grupos de personas, equipos de trabajo, entre otros).
Ejemplo 5: ÂżCuĂĄntos comitĂŠs de 5 personas se pueden hacer con 10 personas?
SOLUCIĂ“N: ďƒź No importa el orden (puesto que es una grupo) Luego es una combinaciĂłn y se resuelve asĂ
đ??ś510 =
10! 10! 10đ?‘Ľ9đ?‘Ľ8đ?‘Ľ7đ?‘Ľ6đ?‘Ľ5đ?‘Ľ4đ?‘Ľ3đ?‘Ľ2đ?‘Ľ1 = = (10 − 5)! đ?‘Ľ5! 5! đ?‘Ľ5! 5đ?‘Ľ4đ?‘Ľ3đ?‘Ľ2đ?‘Ľ1đ?‘Ľ5đ?‘Ľ4đ?‘Ľ3đ?‘Ľ2đ?‘Ľ1
đ??ś510 = 252 Se pueden hacer 252 comitĂŠs de 5 personas con un grupo de 10 personas.
DESEMPEĂ‘O: Interpretar y resolver problemas en los que se involucran permutaciones, variaciones y combinaciones.
TALLER 2:
Resuelve los siguientes problemas de anĂĄlisis combinatorio.
1. Una persona tiene 10 vehĂculos que debe parquear en una fila para ser lavados, Âżde cuĂĄntas maneras puede hacerlo si solo caben 7 vehĂculos en la fila?.
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2. Una lotería tiene 4 dígitos y se juega con una serie de tres dígitos. a. Si una persona compra un billete de la lotería, que posibilidad tiene de ganar? b. Si el billete cuesta $12000, se vendieron todos los billetes menos uno, nadie se gano la lotería, pero la empresa debe pagar el 30% de impuesto, ¿cuánta plata le queda a la empresa? 3. En un zoológico hay 15 tigres, 19 leones, 11 elefantes y 12 micos. ¿De cuántas maneras se pueden agrupar 4 animales para una foto si: a. Se eligen indistintamente
b. Se elige una de cada clase
c. Se eligen dos micos y dos
d. Se eligen un león y tres
tigres e. Si se elige mínimo 2 micos
elefantes f. Si se elige máximo un león
4. ¿Cuántos números de seis cifras diferentes se pueden hacer si deben ser impares que comiencen por tres? 5. Un famoso restaurante tipo buffet tiene un menú que consta de 15 entradas, 12 legumbres, 4 bebidas y 5 postres, Cuántas comidas diferentes puede ordenar una persona si debe consumir una de cada una de las anteriores. 6. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra
PARALELEPIPEDO?
7. De cuántas formas diferentes se pueden filar 7 mujeres y 9 hombres en una de cinco puestos si: a. puede integrarse indistintamente b. puede integrarse únicamente con hombres c. puede integrarse mínimo con 2 mujeres d. debe integrarse máximo con tres mujeres 8. ¿Cuántos números de máximo 3 dígitos diferentes se pueden hacer? 9. ¿Cuántos números de mínimo 8 dígitos diferentes se pueden hacer?
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10. ¿Cuántos números de máximo 5 dígitos se pueden hacer? 11. ¿Cuántos números de mínimo 4 dígitos se pueden hacer? 12. ¿De cuantas maneras puede un técnico de voleibol (6 jugadores) organizar en la cancha sus 25 jugadoras?
ATENCIÓN
13. ¿Cuántos equipos de béisbol (9 jugadores) puede un técnico mandar a la cancha si posee 18 jugadores? 14. ¿De cuantas maneras se pueden organizar 21 personas en un equipo de fútbol (11 jugadores)?
En Matemáticas, cuando trabajamos con conjuntos y con silogismos lógico:
15. Cuántas placas de carro se pueden hacer en Colombia a. Sin repetir letras b. Sin repetir números c. Sin repetir ni letras ni números d. Si no hay condiciones e. Repitiendo las letras o los números, pero no ambos.
“ó” significa unión (suma)
“y” significa intersección (producto).
Selección múltiple con única respuesta 16. ¿Cuántas selecciones de 3 billetes pueden hacerse si se tiene un billete de $50.000, uno de $20.000, uno de $10.000, uno de $5000 y uno de $2000? a. 75 b. 60 c. 10 d. 24 17. El número total de formas en que puede una persona organizar en su billetera 3 billetes si tiene un billete de $50.000, uno de $20.000, uno de $10.000, uno de $5000 y uno de $2000? a. 75 b. 60 c. 10 d. 24 18. El número de ternas que se pueden formar con 9 candidatos es: a. 362.880 b. 504 c. 84 d. 3
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19. Para ir al mundial de fútbol del 2014 en Brasil, la selección Pekerman dispondrá de 25 jugadores, 23 de campo y dos arqueros. El número de equipos diferentes que podrá Pekerman hacer, teniendo en cuenta que los arqueros no pueden ocupar otro puesto en el campo, los demás pueden ocupar cualquier puesto en el campo menos el de arquero y además, Falcao García siempre debe estar en el campo es: a. 12.870 b. 4368 c. 25.740 d. 8736 20. El equipo de Ultimate del colegio participa en 12 partidos en el año del campeonato intercolegiado. El número de maneras en que el equipo puede obtener 7 victorias es: a. 3`991.680 b. 5040 c. 479`001.600 d. 792 21. Siete personas se encuentran para ir al cine, al encontrarse, cada uno saluda de mano al otro, el número de saludos de mano que se dan en total es: a. 49 b. 5040 c. 42 d. 21 22. En un accidente de tránsito en Colombia, el automóvil que lo causo, se dio a la fuga. Un hombre que vendía perros en el lugar del hecho, dijo a la policía de tránsito que la placa del automóvil tenia las letras MGU, y alcanzó a leer que el primer número de la placa era 7, pero no alcanzó a ver los otros dos números, sin embargo por la forma de los números está completamente seguro de que los tres eran diferentes, el número de vehículos que la policía tendrá que inmovilizar para revisarlos es: a. 100 b. 72 c. 36 d. 68
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