Algebra lineal i 2013 by Higinio Cruz

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA)

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

NOTAS DE CLASE

ÁLGEBRA LINEAL I Profesor: Víctor G. Osorio Vidal 2011-I

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

ÍNDICE GENERAL Prólogo 1. Preliminares Funciones …………………………………………………………………. Leyes de composición interna y externa ………………………………… Conjuntos R n y C n …………………………………………………….. Grupos y campos ………………………………………………………….

1 1 2 2 2

2. Espacios vectoriales Espacios vectoriales ……………………….……………………………… Ejercicios ………………………………………………………………….. Subespacios ……………………………………………………………….. Ejercicios ………………………………………………………………….. Operaciones con subespacios ……………………………………………… Ejercicios ……………………………………………………………...…… Independencia y dependencia lineal – Base y dimensión de un espacio vectorial ………………………..……….. Ejercicios ………………………………………………………………...…

7 7 14 16 19 20 25

3. Transformaciones lineales y temas afines Transformaciones lineales ……………………………………………..…. Núcleo e imagen de una transformación lineal …………………..……….. Ejercicios ……………………………………………………………..…… Composición de transformaciones lineales ……………………………….. Transformaciones lineales inversibles ………………………..…………… Espacio vectorial de las transformaciones lineales ………………………... Espacio dual de un espacio vectorial …………………………………….... Segundo espacio dual obidual de un espacio vectorial ……………………. Anuladores ………………………………………………………………… Dual de una transformación lineal …………………………………………

48 48 53 61 63 63 67 71 76 78 81

4. Matriz asociada a una transformación lineal Coordenadas o componentes de un vector ………………………………… Matriz asociada a una transformación lineal ……………………………... Matriz cambio de base ……………………………………………………. Fórmulas de transformación de coordenadas ……………………………… Matrices semejantes ……………………………………………………….. Ejercicios …………………………………………………………………..

83 83 84 96 99 103 105

26 44

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Determinantes Formas n-lineales ……………………………………………………….…. Función determinante ……..……………………………………………… Adjunta de una matriz ………………………………………………..…… Regla de Cramer ……………………………………………………...…... Ejercicios ……………………………………………………………………

110 114 115 126 131 133

6. Producto interno y ortogonalidad Producto interno …………………………………………………………… Ejercicios …………………………………………...……………………… Ortogonalidad – conjunto ortogonal – conjunto ortonormal ……………… Proceso de ortogonalización ………………..……………………………… Ejercicios ……………………………………………………………...……

139 139 147 147 153 159

7. Valores y vectores propios Valores y vectores propios de una transformación lineal …………...……. Valores y vectores propios de una matriz …………………………...……. Polinomio característico …………………………………………………… Polinomio anulador y polinomio minimal ………………………………… Ejercicios ………………………………………………………………….. Teorema de Cayley-Hamilton ……………………………………………..

161 161 165 172 175 177 179

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Prólogo El Álgebra Lineal es un curso básico en la formación de los estudiantes de ciencias, ingenierías, economía y ciencias administrativas. El material que pongo a disposición de los estudiantes que cursan la asignatura de Álgebra Lineal corresponde a las Notas de Clase entregadas a mis alumnos de la Facultad de Ciencias Matemáticas y Facultad de Educación (Especialidad de Matemática y Física) de la Universidad Nacional de San Marcos a través de Chamilo que es una solución de software libre, licenciada bajo la GNU/GPLv3, de gestión del E-learning o aprendizaje electrónico, desarrollada con el objetivo de mejorar el acceso a la educación y el conocimiento globalmente. La dirección es http://campus.chamilo.org/. Para finalizar agradeceré a mis colegas y alumnos por las sugerencias y críticas que tengan a bien hacer llegar a la siguiente dirección vosoriov@unmsm.edu.pe. EL AUTOR

iii

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

PRELIMINARES El presente capítulo tiene dos objetivos. El primero es recordar definiciones y resultados que se supone el estudiante ha adquirido en los cursos que son prerrequisitos. El segundo objetivo es dar a conocer algunos conceptos sin entrar en detalle, ya que es necesario para la mejor comprensión de los capítulos siguientes. 1. FUNCIONES DEFINICIÓN 1.1.- Sean X e Y dos conjuntos cualesquiera; llamaremos producto cartesiano de X por Y al conjunto denotado por:

X  Y   ( x, y ) / x  X  y  Y  DEFINICIÓN 1.2.- Dados X, Y conjuntos; diremos que R es una relación de X en Y si y solo si R es un subconjunto de X  Y . DEFINICIÓN 1.3.- Sean X, Y conjuntos; f : X  Y es una aplicación o función de X en Y si y solo si f es una relación de X en Y y además satisface: ( x, y )  f  ( x, z )  f  y  z

Si ( x, y )  f entonces y  f (x) , y se denomina valor de f en x ó imagen de x según f. DEFINICIÓN 1.4.- Sea f : X  Y una función. a) f es inyectiva si y solo si se cumple:

x1 , x 2  X : f ( x1 )  f ( x 2 )  x1  x 2 o equivalentemente, x1 , x 2  X : x1  x 2  f ( x1 )  f ( x 2 ) .

b) f es suryectiva si y solo si f ( X )  Y ; es decir, para todo y  Y , existe x  X tal que f ( x)  y . c) f es biyectiva si y solo si es inyectiva y suryectiva. DEFINICIONES 1.5 a) Sea f : X  Y y A  X , llamaremos imagen de A según f al conjunto denotado por: f ( A)  { y  Y / y  f (a ), a  A } .

b) Sea f : X  Y y B  Y , llamaremos pre-imagen o imagen inversa de B según f al conjunto denotado por:

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------f

1

( B )  { x  X / f ( x )  b, b  B } .

DEFINICIÓN 1.6.- Sean f : X  Y , g : Y  W funciones, llamaremos función composición de g con f ó f seguida de g a la función denotada por: g  f : X  W tal que ( g  f )( x)  g  f ( x) 

2. LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y EXTERNA DEFINICIÓN 2.1.- Sea un conjunto A   , llamaremos ley de composición interna definida en A a toda aplicación  de A  A en A.

 : A A  A (a1 , a 2 )   (a1 , a 2 )  a1  a 2 Es decir el resultado de operar dos elementos de A sigue estando en A. DEFINICIÓN 2.2.- Sean A,  dos conjuntos (  se denomina conjunto de operadores o escalares). Llamaremos ley de composición externa definida en A y con operadores en  , a toda aplicación  de   A en A.

 :  A  A ( , a )   ( , a )    a 3. LOS CONJUNTOS R n Y C n Sea R el conjunto de número reales, C el conjunto de los números complejos y n un número entero positivo. Denotaremos por: R n  { x  ( x1 ,  , x n ) / n  uplas ordenadas , x i  R,  i  1, 2,  , n }

sean x  ( x1 ,  , x n ) , y  ( y1 ,  , y n )  R n diremos que x  y si y solo si xi  y i para todo i  1, 2,  , n . De manera análoga denotaremos: C n  { z  ( z1 ,  , z n ) / n  uplas ordenadas , z i  C ,  i  1, 2,  , n }

4. GRUPOS Y CAMPOS DEFINICIÓN 4.1.- Sea un conjunto G   , si en G definimos una ley de composición interna T, diremos que el objeto (G , T ) es un grupo si satisface las siguientes condiciones: G1) (a T b)T c  a T (b T c) para todo a, b, c  G . G2) Existe e  G tal que para todo a  G se cumple que a T e  e T a  a 2

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------G3) Para todo a  G , existe a   G tal que a T a   a  T a  e . Si además de las tres condiciones se cumple: G4) a T b  b T a para todo a, b  G . Se dice que (G , T ) es un grupo conmutativo o grupo abeliano.

NOTAS: (1) e se denomina elemento identidad o nulo del grupo. (2) El elemento a  relativo a la propiedad G3) recibe el nombre de elemento inverso de a. EJEMPLO 4.1.1.- ( Z ,  ), (Q,  ), ·( R,  ), ( R  {0} , · ) donde "+" y "." denotan la adición y multiplicación usuales, son grupos conmutativos. EJEMPLO 4.1.2.- El conjunto de las matrices de componentes reales de orden m  n denotada por R mn con la operación usual de suma de matrices es un grupo

abeliano.

(a i j ), (bi j )  R mn / (a i j )  (bi j )  (a i j  bi j ) donde 1  i  m y 1  j  n . EJEMPLO 4.1.3.- Sea n un número entero positivo, denotemos por Z n  [a ] / a  Z  , donde [a ] designa a la clase de restos módulo n que contiene al número a. Definimos en Z n una operación ˆ tal que: ˆ : Z n  Z n

 [a], [b]



 [a ] ˆ [b]  [a  b]

donde + es la adición usual en Z. ( Z , ˆ ) es un grupo conmutativo. EJEMPLO PARTICULAR.- Sea n  3 , Z 3  [0] , [1] , [2]  . ˆ [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1]

DEFINICIÓN 4.2.- Sea un conjunto K   , definimos en K dos leyes de composición internas: Adición: :K  K  K ( a , b)  a  b

Diremos que el objeto ( K , , ·) es un campo si y solo si satisface las siguientes condiciones: K1) (a  b)  c  a  (b  c) para todo a, b, c  K . K2) Existe 0  K tal que a  0  0  a  a para todo a  K . 0 es llamado elemento nulo o cero. K3) Para todo a  K , existe un elemento de K que se llama opuesto de a o inverso aditivo de a que denotaremos por  a y es tal que: a  ( a )  ( a )  a  0 . K4) a  b  b  a para todo a, b  K . K5) (ab) c  a (bc ) para todo a, b, c  K . K6) Existe e  K tal que a e  e a  a para todo a  K . e es llamado elemento idéntico o identidad. K7) Para todo a  0 elemento de K, existe un elemento también en K llamado opuesto de a o inverso de a con respecto a la multiplicación que se denota por a 1 y es tal que: a a 1  a 1 a  e .

K8) a b  b a para todo a, b  K . K9) a (b  c)  a b  a c y (a  b) c  a c  b c para todo a, b, c  K . OBSERVACIONES: (1) ( K ,  ) es un grupo aditivo conmutativo. (2) ( K  {0}, ·) es un grupo multiplicativo conmutativo. (3) El elemento 0 que cumple K2), y e que cumple K6) son únicos. (4) El inverso aditivo y multiplicativo ( K3), K7)) de cada elemento es único. (5) a 0  0 para todo a  K . (6) a b  0 entonces a  0 ó b  0 . Esta propiedad se expresa diciendo que K no tiene divisores de cero. EJEMPLO 4.2.1.- (Q, , ·), ( R, , ·), (C , , ·) donde "+" y "." son las operaciones usuales de adición y multiplicación son campos.

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------EJEMPLO 4.2.2.- Sea Z p  [ a ] / a  Z  , [a ] como se vio en el ejemplo 4.1.3. representa la clase de restos módulo p donde p es primo. Definimos en Z p las [a ] ˆ [b]  [a  b]

operaciones:

[a ] ˆ [b]  [a · b]

donde "+" y "."· son las operaciones usuales de adición y multiplicación. ( Z p , ˆ , ˆ. ) es un campo. NOTA.- Si p no es primo la afirmación anterior no es verdadera. En efecto, consideremos: Z 4  [0], [1], [2], [3]  y construyamos la tabla siguiente:

ˆ [1] [ 2] [3]

[1] [2] [3] [1] [2] [3] [ 2] [ 0] [ 2] [3] [2] [1]

de la tabla podemos observar que [2]  [0] pero; sin embargo, no tiene inverso multiplicativo, es decir no cumple K7) de la definición 4.2. EJEMPLO 4.2.3.- Consideremos el conjunto Q ( 2 )  { a  b 2 / a, b  Q } . Si sobre Q ( 2 ) se definen las operaciones Adición

(a  b 2 )  (c  d 2 )  (a  c)  (b  d ) 2

Multiplicación

(a  b 2 )·(c  d 2 )  (ac  2bd )  (ad  bc) 2





Probar que Q ( 2 ), , · es un campo. PRUEBA: Sólo probaremos la condición K7) de la definición 4.2.; las restantes condiciones no ofrecen dificultad. Sea a  b 2  0 donde (b  0) , debemos probar que existe c  d 2 tal que ( a  b 2 ) (c  d 2 )  1 .

Sabemos que ( a  b 2 ) (c  d 2 )  ( a c  2bd )  (b c  a d ) 2  1  1  0 2 De donde:

a c  2bd  1

(1)

bc  a d  0

(2)

despejando c de (1) y (2) respectivamente tenemos:

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------c

1 2bd a

(3)

c

ad b

(4)

d

b 2b  a 2

igualando (3) y (4), obtenemos: 2

y reemplazando el valor de d en (4), resulta:

c

a a  2b 2 2

Luego: cd 2 



a b 2  2 2 a  2b a  2b 2 2

Q( 2 ) es un campo.

EJEMPLO 4.2.4.- El conjunto Z ( 2 )  { a  b 2 / a, b  Z } con las operaciones de adición y multiplicación definidas en el ejemplo 4.2.3. no es un campo. La verificación es inmediata.

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

ESPACIOS VECTORIALES

En el cálculo elemental se estudia funciones reales de una variable real; es decir, funciones cuyo dominio y rango son R o subconjuntos de R. Para esto es necesario conocer las propiedades de números reales. Una situación muy similar se presenta en el álgebra lineal; los objetos realmente importantes son las transformaciones lineales que son un tipo particular de funciones cuyo dominio y contradominio son conjuntos dotados de una estructura muy importante: los espacios vectoriales. Es por lo tanto, la intención de este capítulo dar los conceptos y propiedades básicas de los espacios vectoriales. 1. ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN PRELIMINAR.- Dado un conjunto V   , un campo ( K , ,  ) (que puede ser los reales R o los complejos C ), se define una ley de composición interna en V  : V V  V ( x , y)  x  y llamada adición y se define una ley de composición externa en V con escalares en el campo K  : K V  V (a, x)  ax denominada multiplicación por escalares. Diremos que el objeto (V , , K , ) es un espacio vectorial sobre el campo K si y solo si verifica las siguientes condiciones: V1 )

( x  y )  z  x  ( y  z ) para todo x, y , z  V .

V2 )

Existe   V tal que x      x  x , para todo x  V . El elemento  se denomina neutro aditivo o cero.

V3 )

Para todo x  V , existe y  V tal que x  y  y  x   . El elemento y se denomina opuesto de x y se denota por y   x .

V4 )

x  y  y  x para todo x, y  V .

V5 )

a(bx)  ( a  b) x para todo a, b  K , para todo x  V .

V6 )

(a  b)  x  a x  b x para todo a, b  K , para todo x  V .

V7 )

a ( x  y )  ax  ay para todo a  K , para todo x, y  V .

V8 )

Existe 1  K llamado elemento idéntico multiplicativo tal que 1 x  x . Para todo x  V ,

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------OBSERVACIONES: a) Un conjunto V   para que sea espacio vectorial sobre un campo K debe tener definidas dos operaciones “adición” y “multiplicación por un escalar”; las cuales deben cumplir las ocho propiedades arriba mencionadas. En caso que no cumpla con alguna de ellas no es un espacio vectorial. b) A los elementos de V se les llaman vectores y el elemento neutro aditivo  recibe el nombre de vector nulo. c) Si K  R , V es llamado espacio vectorial real y si K  C , V se denomina espacio vectorial complejo. d) En lo que sigue de las notas si no se dice lo contrario en lugar de denotar la adición de vectores con el símbolo “  ” simplemente denotaremos con “+”, haciendo la diferencia según el contexto cuando se trata de la suma de vectores ( x  y ) o la suma de escalares (a  b) ; el símbolo “  ” se usará más adelante

para denotar la suma directa. Omitiremos escribir el símbolo “” que denota la ley de composición externa, simplemente con la yuxtaposición se entenderá la multiplicación de un vector por un escalar haciendo la diferencia según el contexto cuando se trate de la multiplicación de un vector por un escalar (ax) o la multiplicación de dos escalares (ab). Con las precisiones hechas en d), la definición de espacio vectorial se puede enunciar formalmente como sigue: DEFINICIÓN 1.1.- Dados un conjunto V   , un campo K, una ley de composición interna “+” en V llamada adición y una ley de composición externa “·” definida en V y con operadores o escalares en K denominada multiplicación por escalares. Diremos que V es un K- espacio vectorial o que V es un espacio vectorial sobre el campo K si y solo si se verifican las siguientes condiciones: V1) ( x  y )  z  x  ( y  z ) para todo x, y , z  V . V2) Existe   V tal que x      x  x , para todo x  V . El elemento  se denomina neutro aditivo o cero. V3) Para todo x  V , existe y  V tal que x  y  y  x   . El elemento y se denomina opuesto de x y se denota por y   x . V4) x  y  y  x para todo x, y  V . 8

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------V5) a (b x)  (a b) x para todo a, b  K , para todo x  V . V6) (a  b) x  ax  bx para todo a, b  K , para todo x  V . V7) a( x  y )  ax  ay para todo a  K , para todo x, y  V . V8) Existe 1  K llamado elemento idéntico multiplicativo tal que 1x  x . Para todo x V ,

EJEMPLO 1.1.1.- Sea V  R n  { ( x1 ,  , x n ) / xi  R,  i  1, 2,  , n } y K  R . Dados x  ( x1 ,  , x n ) , y  ( y1 ,  , y n )  R n y a  R , definimos: x  y  ( x1  y1 ,  , x n  y n ) a x  (a x1 ,  , a x n ) ( R n , , R, ·) cumple las condiciones de espacio vectorial. En efecto: V1) Sean x, y, z  R n ( x  y )  z  [ ( x1 ,  , x n )  ( y1 ,  , y n ) ]  ( z1 ,  , z n )  ( x1  y1 ,  , x n  y n )  ( z1 ,  , z n )  [ ( x1  y1 )  z1 ,  , ( x n  y n )  z n ]  [ x1  ( y1  z1 ),  , x n  ( y n  z n ) ]  ( x1 ,  , x n )  ( y1  z1 ,  , y n  z n )  x  ( y  z)

V2) Existe   (0,  , 0)  R n / x      x  x , para todo x  R n . V3) Para todo x  R n , existe y   x  ( x1 ,  ,  x n ) tal que x  y  y  x   . V4) Sean x, y  R n x  y  ( x1 ,  , x n )  ( y1 ,  , y n )  ( x1  y1 ,  , x n  y n )  ( y1  x1 ,  , y n  x n )  yx

V5), V6), V7) y V8) se verifican análogamente.



el conjunto de funciones

definida en los reales y con valores reales, y K  R . Sean f , g  F

y a R

definimos: ( f  g ) ( x)  f ( x)  g ( x) para todo x  R (a f )( x)  a f ( x) para todo x  R

La cuaterna (F , , R, ·) es un espacio vectorial. Verificaremos sólo las condiciones V2) y V3), las demás quedan como ejercicio para el lector. V2) Existe   F

definida como  ( x)  0 para todo x  R (función cero) y

cumple f      f  f para todo f  F . V3) Para todo f  F , existe un opuesto que definimos como: ( f )( x)   f ( x) tal que f  ( f )   f  f   .

EJEMPLO 1.1.3.- R no es un espacio vectorial sobre K  C . Pues si a  C y x  R , no siempre se cumple que axa  R ; es decir, no es una ley de composición

externa. EJEMPLO 1.1.4.- Sea K un campo, construyamos el conjunto: K n  ( k1 ,  , k n ) / k i  K , i  1, 2,  , n 

para x  ( k1 ,  , k n ), y  ( k '1 ,  , k ' n )  K n y c  K , definimos: x  y  (k1  k '1 , , kn  k 'n ) cx  (ck1 ,  , ck n ) ( K n , , K , ·) es un espacio vectorial.

EJEMPLO 1.1.5.- Denotemos por:

 x / x  (a 0 , a1 ,  , a n , ) donde los a i  K , son todos ceros, excepto un  K   número finito de elementos (números)   Sean x  (ai ), y  (bi )  K y c  K . Definimos: x  y  (a 0  b0 , a1  b1 ,  , a n  bn ,  ) cx  (ca 0 , ca1 ,  , ca n ,  ) se deja al lector verificar que ( K  , , K , ·) es un espacio vectorial.

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------EJEMPLO 1.1.6.- Consideremos P[x] el conjunto de las funciones polinomiales en la indeterminada x de grado menor o igual que n (n  Z  ) sobre el campo de los números reales. Sean: p ( x)  a 0  a1 x    a n x n , q ( x)  b0  b1 x    bn x n  P[ x] y   R Definimos: p ( x )  q ( x )  ( a 0  b0 )  ( a1  b1 ) x    ( a n  bn ) x n

 p ( x )   a 0   a1 x     a n x n

P[ x], , R, ·

es un espacio vectorial. La verificación es análoga en el ejemplo

1.1.2. NOTA.- Si se considera el conjunto de todos los polinomios de grado igual a

n (n  Z  ) con las mismas operaciones, no constituye un espacio vectorial sobre R, pues la adición para este conjunto no es una ley de composición interna.

EJEMPLO 1.1.7.- Sea K un campo, consideremos: I m  {1,  , m },

I n  {1,  , n}

P  {1,  , m}  {1,  , n}  { (i, j ) / 1  i  m  1  j  n }

es decir P  I m  I n (producto cartesiano de I m por I n ). Definimos:

m n

  a11  a1n       A : P  K / A (i, j )  a i j  K , A         a m1  a mn    A: P  K

(1, 1)  a11 (1, 2)  a12 



(1, n)  a1n 



(i , j )  a i j



(m, n)  a mn

K mn recibe el nombre de conjunto de matrices de orden m  n sobre el campo K. Sean A, B  K mn y   K . Definimos la: 11

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Adición

ci j  ( A  B ) (i, j )  A(i, j )  B (i, j )  a i j  bi j

ci j  ( A) (i, j )   A(i, j )   a i j

Multiplicación :

Fácilmente se verifica que K mn con las operaciones definidas arriba es un espacio vectorial sobre K.

EJEMPLO 1.1.8.- Dado el sistema lineal homogéneo:

a 11 x1  a 12 x 2    a 1 n x n  0 







a m 1 x1  a m 2 x 2    a m n x n  0

con coeficientes en R. Sea S  { ( x1 ,  , x n ) /( x1 ,  , x n ) es solución del sistema } S con las operaciones usuales de adición y multiplicación por escalares es un espacio vectorial sobre R.

EJEMPLO 1.1.9.- Sean V1 , V 2 espacios vectoriales sobre el campo K y consideremos el conjunto:

V  { (v1 , v 2 ) / v1  V1  v 2  V2 } para (v1 , v 2 ), (v'1 v' 2 )  V y a K . Definimos:

(v1 , v 2 )  (v'1 v' 2 )  (v1  v'1 , v 2  v' 2 ) a (v1 , v 2 )  (a v1 , a v 2 ) V con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial sobre K. EJEMPLO 1.1.10.- Sea f : (1, 1)  R (R un espacio vectorial sobre R con las operaciones usuales) tal que:  x si x  0  f ( x)  1  x x  si x  0 1  x Es fácil mostrar que f así definida es una biyección. Para x, y  (1, 1) y a  R definimos: x y  f

1

 f ( x) 

ax  f

1

af ( x) 

f ( y)

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------demostrar que (1, 1) con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial sobre R. SOLUCIÓN Sólo verificaremos las condiciones V1) y V7) las restantes se dejan al lector para que las verifique. V1 ) ( x  y )  z  f

1

 f

1

 f

1

(( f ( x)  f ( y ))  f ( z ))

 f

1

( f ( x)  ( f ( y )  f ( z )))

1

 f  f

( f ( x  y )  f ( z )) (f(f

1

( f ( x)  f ( y )))  f ( z ))

( f ( x)  f ( f

1

(( f ( y )  f ( z ))))

( f ( x)  f ( y  z ))

 x  ( y  z)

V7) (a  b) x  ax  bx para todo a, b  R y para todo x  (1, 1) . ax  bx  f

1

 f

1

 f

1

(af ( x)  bf ( x))

 f

1

((a  b) f ( x))

( f (ax)  f (bx)) (f(f

1

(af ( x))))  f ( f

1

(bf ( x))))

 ( a  b) x

PROPOSICIÓN 1.2.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial. Entonces se tiene: i)

El elemento  es único.

ii) 0 x   para todo x  V . iii) a    para todo a  K . iv) Si ax   , entonces a  0 ó x   . v) ( a ) x  (ax ) para todo a  K y para todo x  V . PRUEBA.- Solamente, a modo de ilustración, probaremos i) y v). Prueba de i) Supongamos que exista  ' V tal que x   '   ' x  x para todo x  V . Haciendo x   tenemos que:

   '   '  

(1)

 '     '   ' de (1), (2) y V4) finalmente se tiene:

(2)

 '.

Prueba de v):  (ax)  ax  

por V3)

0x

por ii)

 (a  a) x

por suma de opuestos en K

 (ax )  ax   ax  ax

  (ax)  ax

por V6)

por la ley de cancelación.

EJERCICIOS 1. Sean V  R 2 y K  R . Averiguar si R 2 con las operaciones definidas a continuación es un espacio vectorial sobre R. a)

( x1 , y1 )  ( x 2 , y 2 )  ( x1  x 2 , 0) y a ( x, y )  (ax, 0)

b) ( x1 , y1 )  ( x 2 , y 2 )  ( x1  x 2 , y1  y 2 ) y a ( x, y )  (ax, 0) (las operaciones que aparecen en el segundo miembro de las igualdades, tanto en a) como en b) son la adición y multiplicación usuales). 2. En R 3 con la operación usual de adición y la multiplicación definida como:  a  R; ( x, y, z )  R 3 : a ( x, y, z )  (ax, ay, 2az ) averiguar si R 3 es un espacio vectorial sobre R. 3. Sean V  R  (el conjunto de los números reales positivos) y K  R . Se definen las operaciones de adición y multiplicación por escalar como sigue:  x, y  R  : x  y  xy a  R;  x  R : a  x  xa Averiguar si R  con las operaciones definidas anteriormente es un espacio vectorial sobre R. 4. Sean V=R y K=R; se define la operación de adición como sigue:  x, y  R : x  y  máx{x, y}

Si la multiplicación por escalar es la usual de números reales, averiguar si R con las operaciones antes definidas es un espacio vectorial. 14

 a  R,  x  Z : a  x   a  x donde  a  denota el máximo entero; esto es

 a  k  k  a  k  1 ;  k  Z Por ejemplo

2,75  4   2,75 4  (2)(4)  8 ,  2,15  3    2,15 3  (3)(3)  9 ¿Cuáles de las condiciones de espacio vectorial no se verifican?. 6. Sea el conjunto Q ( 2 )  { a  b 2 / a, b  Q } . Se define: ( a  b 2 )  (c  d 2 )  ( a  c )  (b  d ) 2

 (a  b 2 )   a   b 2 ¿Es ( Q ( 2 ), , K , ·) un espacio vectorial?, Si: (a) K  Q ( 2 ) , (b) K  Q y (c) K  R . 7. Demostrar ii), iii) y iv) de la proposición 1.2. 8. En el conjunto R 2 se definen la adición y la multiplicación como sigue:



 x  ( x1 , x 2 ) , y  ( y1 , y 2 )  R 2 : x  y  ( x13  y13 ) 3 , ( x 23  y 23 ) 1

1 3



 a  R ;  x  ( x1 , x 2 )  R 2 : a  x  (ax1 , ax 2 ) Averiguar si R 2 con las operaciones arriba definidas es un espacio vectorial. 9. En un grupo aditivo V

se da la siguiente definición. Para x  V y para

cualquier entero positivo n, se define el producto nx inductivamente por 1x  x

nx  (n  1) x  x

Para un entero negativo n, se define nx  (( n) x ) ,

donde  n es un entero y por consiguiente ( n) x está bien definido. Denotando por

el conjunto de todos los enteros, demostrar que la aplicación

Z V  V (n, x)  nx

verifica las siguientes propiedades:

n( x  y )  nx  ny

(m  n) x)  mx  nx

( mn) x  m( nx )

1x  x

¿Es V un espacio vectorial?. La respuesta es obvia. 15

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------2. SUBESPACIOS DEFINICIÓN 2.1.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial cualesquiera. Diremos que W, un subconjunto de V diferente del vacío es un subespacio si y solo si (W , , K , ·) con las operaciones definidas para V es por sí mismo un espacio

vectorial. NOTA.- El conjunto { } y V son subespacios vectoriales de V, denominados subespacios triviales; cualquier otro subespacio es llamado subespacio propio. Nótese además que el elemento neutro aditivo de W es el mismo que el de V. TEOREMA 2.2.- Sea V un K-espacio vectorial un espacio vectorial y W un subconjunto de V diferente del vacío. W es un subespacio vectorial de V si y solo si: i)

Para todo x, y  W , x  y  W .

ii) Para todo a  K , para todo x  W , ax  W . PRUEBA ) Es obvio ) Por hipótesis tenemos que se cumple i) y ii), probaremos que W es un K-espacio

vectorial. V1) ( x  y )  z  x  ( y  z ) para que x, y, z  W . Se verifica: x, y, z  W  V y en V se cumple V1). V2) Existe   W / x      x  x para todo x  W . En efecto, sea: y  W  (1) y   y  W (por ii))  y  ( y )    W por i)).

V3) Para todo x  W , existe  x  W tal que x  ( x)   x  x   en virtud de i) y ii). Análogamente se puede verificar que (W , , K , ·) cumple las condiciones restantes del espacio vectorial. EJEMPLO 2.2.1.- Sea V  R 2 y consideremos:

  x W  ( x1 , x 2 )  R 2 /( x1 , x 2 )  (0, 0) ó 2  a , x1  0 y a  constante x1   W es un subespacio vectorial de V. EJEMPLO 2.2.2.- Sea F el R-espacio vectorial de todas las funciones reales de variable real, consideremos: 16

es un subespacio vectorial de F. En efecto, tenemos que C   ya que   C , pues  : R  R tal que  ( x)  0 para que x  R es una función continua. Las otras condiciones se cumplen en virtud de las propiedades de funciones continuas. EJEMPLO 2.2.3.- Sea ( R 3 , , R, ·) y dados u  (1, 3, 0) y v  (2, 0, 1) elementos de R 3 . Construimos: W  {w  R 3 / w  u  a (v  u ), a  R } W no es un subespacio de R 3 , pues es fácil verificar que cero no pertenece a W. EJEMPLO 2.2.4.- Sea V  F el R-espacio vectorial de todos las funciones reales de variable real. Averiguar si el conjunto definido como: W  { f  F / f (a  b)  f (a )  f (b)  f ( a )   f (a )}

es un subespacio vectorial. SOLUCIÓN Haciendo uso del teorema 2.2. tenemos que W  V por definición y además W   pues la función cero pertenece a W. Veamos si cumplen las condiciones i) y

ii) del teorema. i)

f , g  W entonces: f (a  b)  f (a )  f (b)  f ( a )   f (a )

(1)

g (a  b)  g (a )  g (b)  g ( a )   g (a )

(2)

Sumando las igualdades de (1) y (2) miembro a miembro f (a  b)  g (a  b)  ( f (a )  f (b))  ( g (a )  g (b)) 

f ( a )  g ( a )   f ( a )   g ( a )

agrupando convenientemente y usando la definición de suma de funciones, tenemos: ( f  g )(a  b)  ( f  g )(a )  ( f  g )(b)  ( f  g )( a )   ( f  g )(a )

luego f  g  W . ii)   R, f  W entonces:

  R, f (a  b)  f (a )  f (b)  f ( a )   f (a )

(3)

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------multiplicando las igualdades de (3) por  y de la definición de producto de una función por un escalar tenemos: ( f )(a  b)  ( f )(a )  ( f )(b)  ( f )( a )   ( f )(a )

luego  f  W . De i) y ii) W es un subespacio vectorial. EJEMPLO 2.2.5.- Sea V  C  { f : R  R / f es continua} y consideremos: W1  { f  C /  10 f (t ) dt  0 } W2  { f  C /  10 f (t ) dt  1}

W1 es un subespacio vectorial, W2 no es un subespacio pues no se cumplen las

condiciones del teorema 2.2. En efecto, tomemos f : R  R tal que f (t )  1 , entonces f  W2 ya que  10 dt  1 , pero f  f  W2 pues  10 ( f (t )  f (t )) dt  2  1 . EJEMPLO 2.2.6.- Sea V  R nn el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n  n sobre el campo R. Definimos:

S  { A  R nn / a i j  a j i ; i,  j } T  { A  R nn / ai j  a j i ; i,  j } Los elementos del conjunto S se denominan matrices simétricas, y a los elementos de T se les llaman matrices antisimétricas. Los conjuntos S y T con las operaciones heredadas de ( R nn , , R, ·) son subespacios vectoriales.

EJEMPLOS 2.2.7.- Sea C nn  {(ai j ) / ai j  C } el espacio vectorial de las matrices de componentes complejas sobre el campo R. Definimos:

H  {( ai j )  C nn / ai j  a j i ; 1  i, j  n } H es un subespacio de C nn .

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

EJERCICIOS 1. Sea el espacio vectorial ( R 2 , , R, ·) . Averiguar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales: a)

U  { ( x, y )  R 2 / x  y  0 }

W  { ( x, y )  R 2 / xy  0 }

S  { ( x, y )  R 2 / x  2 y }

T  { ( x, y )  R 2 / x  2 y  1}

2. Sea el espacio vectorial ( R 3 , , R, ·) . Averiguar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales: a)

U 1  { ( x, y , z )  R 3 / x  z }

U 2  { ( x, y, z )  R 3 / x 2  y 2  z 2  1}

U 3  { ( x, y , z )  R 3 / x  y }

U 4  { ( x, y , z )  R 3 / 2 x  y  z  0 }

U 5  { ( x, y , z )  R 3 / x  y  z }

3. Sea el espacio vectorial (F , , R, ·) , donde F  { f : R  R } (ver el ejemplo 1.1.2.). Averiguar cuáles de los siguientes subconjuntos de F son subespacios vectoriales. a)

W1  { f  F / f (1)  0 }

W2  { f  F / f (0)  f (1) }

W3  { f  F / f (0)  f (1)  0 }

W4  { f  F / f ( x )  0 }

W5  { f  F / f (1)  0 }

f (0)  f (1)   W6   f  F / f (1 / 2)   2  

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------g)

W7  { f  F / f ( x 2 )  ( f ( x )) 2 }

W8  { f  F / f (3)  1  f (5) }

W9  { f  F / f (1)  0  f (1)  0 }

W10  { f  F / f (1)  0  f (1)  0 }

4. Sea el espacio vectorial (C 2 , , R, ·) . Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales: a)

S1  { ( z , u )  C 2 / z 2  u 2  0 }

S 2  { ( z , u )  C 2 / Re( z )  Re(u ) }

S 3  { ( z , u )  C 2 / Im( z )  0  Re( z  u )  Im( z ) }

S 4  { ( z , u )  C 2 / Im( z )  Im(u )  0 }

5. Analizar si ( R 2 , , R, ·) es un subespacio de ( R 3 , , R, ·) . 6. Sea ( R 22 , , R, ·) el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden

2  2 de entradas reales sobre R y A  R 22 una matriz particular. Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales: a)

T1  { B  R 22 / AB  BA }

T2  { B  R 22 / AB  BA }

T3  { B  R 22 / BA  0 }

3. OPERACIONES CON SUBESPACIOS PROPOSICIÓN 3.1.- Sea Wi iI una familia de subespacios de (V , , R, ·) . Si W   Wi iI

entonces, W es un subespacio de V. PRUEBA W  V por definición y además es no vacío ya que   Wi i  I , entonces   W .

Sean x, y  W  x, y  Wi i  x  y  Wi i  x  y W .

ii) Sean a  K , x  W  a  K  x  Wi i  ax  Wi i  ax  W .

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------EJEMPLO 3.1.1.- Sea ( R 3 , , R, ·) y consideremos: W1  { ( x, y, z )  R 3 / x  y  0 } W2  { ( x, y , z )  R 3 / 2 x  z  0 } W1  W2  { ( x, y, z )  R 3 / x  y  0  2 x  z  0 } es un subespacio de ( R 3 , , R, .) DEFINICIÓN 3.2.- Sean W1 , W2 subespacios de (V , , R, ·) . Definimos: W  { x  V / x  x1  x 2 , x1  W1  x 2  W2 }

W se denota por W  W1  W2 y se le llama suma de subespacios W1 y W2 .

PROPOSICIÓN 3.3.- La suma de dos subespacios de V es un subespacio vectorial de V. PRUEBA Sea W1  W2  { x V / x  x1  x 2 , x1 W1  x 2 W2 }, W1  W2  V por definición y además es diferente del vacío pues   W1  W2 ya que se puede escribir

     ( es elemento de W1 y de W2 ). i)

x, y  W1  W2 , debemos probar que x  y  W1  W2 . x  x1  x 2 , x1  W1  x 2  W2 y  y1  y 2 , y1  W1  y 2  W2 x  y  ( x1  y1 )  ( x 2  y 2 )  W1  W2 pues x1  y1  W1  x 2  y 2  W2 .

ii) a  K , x  W1  W2 , debemos probar que ax  W1  W2 . x  x1  x 2  ax  ax1  ax 2  W1  W2 pues ax1  W1  ax 2  W2 .

Luego W1  W2 es un subespacio vectorial. EJEMPLO 3.3.1.- En ( R 3 , , R, ·) consideremos los subespacios: W1  { ( x, 0, z )  R 3 / x, z  R } y W2  { (0, y, z )  R 3 / y, z  R } Tenemos:

(u , v, w)  R 3 /(u , v, w)  ( x1 , 0, z1 )  (0, y 2 , z 2 );  W1  W2    ( x1 , 0, z1 )  W1 y (0, y 2 , z 2 )  W2  

(0, v,

como

(u , v, w)  (u , 0,

1 1 w)  (0, v, w) 2 2

donde

(u , 0,

1 w)  W1 2

1 w)  W2 . 2

DEFINICIÓN 3.4.- Sean V un espacio vectorial sobre K , W1 y W2 subespacios de V. Diremos que V es la suma directa de los subespacios W1 y W2 y denotaremos por: V  W1  W2 .

Si y solo si: i)

V  W1  W2

ii) W1  W2  { } EJEMPLO 3.4.1.- En ( R 2 , , R, ·) consideremos los subespacios: W1  { ( x, y )  R 2 / y  x } y W2  { ( x, y )  R 2 / y   x } R 2  W1  W2 . En efecto: i)

Cualquier vector (u , v)  R 2 se puede expresar como:

(u , v)  (

1 1 1 1 (u  v), (u  v))  ( (u  v), (v  u )) 2 2 2 2

es decir que R 2  W1  W2 . 1 1 1 1 Obsérvese que ( (u  v), (u  v))  W1 y ( (u  v), (v  u ))  W2 . 2 2 2 2 ii) Probaremos ahora que W1 W2  { (0, 0) } . { (0, 0) }  W1  W2 se cumple siempre.

Sea ( x, y )  W1  W2  ( x, y )  W1  ( x, y )  W2  x  y  x   y  x  y  0  ( x, y )  { (0, 0) } . Luego W1 W2  { (0, 0) }

 W1 W2  { (0, 0) } . De i), ii) y la definición 3.4 se tiene: R 2  W1  W2

V p el conjunto de las funciones pares ( f ( x)  f ( x)) y Vi el conjunto de las funciones impares ( f ( x)   f ( x)) . Afirmamos que V  V p  Vi . En efecto: i)

Debemos probar que V  V p  Vi . Esta condición se satisface del hecho que cualquier función de R en R se puede escribir como:

f ( x)  Nótese que

1 1 ( f ( x)  f ( x))  ( f ( x)  f ( x)) 2 2

1 1 ( f ( x)  f ( x)) es una función par, y ( f ( x)  f ( x)) es una 2 2

función impar. ii) Probaremos que V p  Vi  { } . Sea f  V p  Vi  f  V p  f  Vi  f ( x)  f ( x), x  R  f ( x)   f ( x), x  R  2 f ( x)  0, x  R  f  

De i), ii) y definición 3.4. tenemos que: V  V p  Vi

EJEMPLO 3.4.3.- Sea V el espacio vectorial de las matrices cuadradas sobre el campo R; y consideremos: U  { A  V / A  A T } conjunto de las matrices simétricas. W  { A  V / A   A T } conjunto de las matrices antisimétricas. Demostrar que V  U  W . i)

Demostraremos que V  U  W . Sea A una matriz cuadrada arbitraria de orden n. Siempre es posible expresar A como: A

1 1 ( A  AT )  ( A  AT ) 2 2

Sólo nos falta hacer ver que: a)

1 ( A  AT )  U y 2

1 ( A  AT )  W 2

Probando a)



 



1 T A  AT 2



1 T ( A  A) 2



1 ( A  AT ) 2



Probando b)

1 1 ( ( A  AT ))T  ( A  AT )T 2 2



 



1 T A  AT 2



1 T ( A  A) 2

1   ( A  AT ) 2

Luego satisface la condición i). ii) Demostraremos que U  W  { } . Sea A  U  W  A  U  A  W  A  AT  A   AT  A   . Luego U  W  { } . De i), ii) y de la definición 3.4 se tiene: V  U W

OBSERVACIÓN 3.5.- La definición de suma de espacios puede ser generalizada para una familia finita de subespacios. En efecto la suma de los subespacios W1 , W2 ,  , Wn de (V , , K , ·) es el conjunto: n n  W   Wi  v  V / v   wi  wi  Wi ; i  1, 2,  , i 1 i 1 

 n 

W es un subespacio de (V , , K , ·) . Además si tales subespacios tienen como único elemento común al vector cero, es decir si para todo i  j se tiene que

Wi  W j  { } , entonces diremos que W es la suma directa y escribiremos: W  W1  W2    Wn

R 4 . Definimos: W1  {v  R 4 / v  av1  bv 2 ; a, b  R }

W2  {v  R 4 / v  av3 ; a  R } i)

Calcule W1  W2

ii)

Hallar un vector de R 4 tal que no pertenezca a W1 .

iii) Si consideramos W3  {v  R 4 / v  av1  bv 2  cv3 ; a, b, c  R } . ¿Cuál es la relación que existe entre W1 y W3 ? 2. Dados U y W subespacios de V. Demostrar que U  W es un subespacio de V si y solo si U  W ó W  U . 3. Extendemos la definición de suma a subconjuntos arbitrarios no vacíos (no necesariamente subespacios) S y T de un espacio vectorial V definiendo S  T  {s  t / s  S  t  T }

Demostrar que esta operación satisface: i)

S T T  S

ii)

S  { }  { }  S  S

ii)

( S1  S 2 )  S 3  S1  ( S 2  S 3 )

iv)

S V  V  S  V

4. Demostrar que para todo subespacio vectorial W de V se tiene que W  W  W . 5. Dados U, W y T subespacios de un espacio vectorial V. Demostrar: (U  T )  (U  W )  U  (T  W )

6. Sean U, V y W subespacios de ( R 3 , , R, ·) donde: U  { ( x, y, z ) / x  y  z  0 } , V  { ( x, y, z ) / x  y } y W  { (0, 0, z ) / z  R }

Calcular U  V , U  W y V  W .

Decir en cual de los tres casos anteriores de la parte a) la suma es directa.

7. Dada la recta L1  { ( x, y )  R 2 / y  5 x } . Hallar otra recta L2 tal que R 2  L1  L2

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------4. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL – BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL DEFINICIÓN 4.1.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial y A  {v1 , v 2 ,  , v n } un subconjunto de V diferente del vacío, llamaremos combinación lineal (c.l.) de elementos de A a todos los vectores de la forma: n

a v i 1

i i

 a1v1  a 2 v 2    a n v n , donde ai  K y vi  A .

Diremos que v  V es una combinación lineal de los elementos de A si existen escalares a1 , a 2 ,  , a n  K tal que: n

v   a i vi , vi  A i 1

EJEMPLO 4.1.1.- Dado v1  (1, 1, 0) y v 2  (1, 2, 2) vectores del espacio vectorial ( R 3 , , R, ·) .

Averiguar

los

vectores

u  (0, 1, 3), w  (1, 0,  2)

son

combinaciones lineales de v1 y v 2 . SOLUCIÓN Para u: Si u fuera combinación lineal de v1 y v 2 se podría escribir u  a1v1  a 2 v 2 para a1 , a 2  R .

(0, 1, 3)  a1 (1, 1, 0)  a 2 (1, 2, 2)  (a1 , a1 , 0)  (a 2 , 2a 2 , 2a 2 )  (a1  a 2 , a1  2a 2 , 2a 2 ) a1  a 2  0    a1  2a 2  1  2a 2  3 

(1) ( 2) (3)

de (3) a 2  3 / 2 y reemplazando dicho valor en (2) se tiene a1  2 . Sustituyendo dichos valores en la ecuación (1) se tiene: 

1 0 2

( )

luego para u no existen números reales a1 , a 2 tales que u  a1v1  a 2 v 2 . En consecuencia u no es c.l. de v1 y v 2 . Para w: w  b1v1  b2 v 2 (1, 0,  2)  b1 (1, 1, 0)  b2 (1, 2, 2)

 b1  b2  1    b1  2b2  0  2b2  2 

(1' ) ( 2' ) (3' )

de las ecuaciones (2’) y (3’) resulta b1  2 y b2  1 reemplazando dichos valores en (1’) satisface la ecuación. Luego existen

b1  2

y b2  1 tal que

(1, 0,  1)  2(1, 1, 0)  (1, 2, 2) ; entonces w es combinación lineal de v1 y v 2 .

EJEMPLO 4.1.2.- Dado el espacio vectorial (F , , R, ·) y considerando definidas como f (t )  sen t , g (t )  cos t y h(t )  t 2 . Hallar todos los

f , g, h F

números reales tales que af  bg  ch   . SOLUCIÓN

af  bg  ch   (af  bg  ch)(t )   (t )  0 af (t )  bg (t )  ch(t )  0

a sen t  b cos t  c t 2  0

(1)

a cos t  b sen t  2c t 2  0

(2)

derivando (1)

nuevamente derivando (2)  a sen t  b cos t  2c  0

(3)

En las ecuaciones (1), (2) y (3) para todo t  0 se tiene: b0

(1’)

a0

(2’)

 b  2c  0

(3’)

de (1’), (2’) y (3’) concluimos que los únicos números reales que satisfacen la ecuación af  bg  ch   son: abc0

DEFINICIÓN 4.2.- Sean V un espacio vectorial sobre un campo K y A  {v1 ,  , v n } un subconjunto de V diferente del vacío, definimos el conjunto: L{ A}  { v  V / v es combinación lineal de elementos de A}.

PROPOSICIÓN 4.3.- El conjunto L{A} definido en 4.2. es un subespacio de V. 27

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------PRUEBA Tenemos que A  {v1 ,  , v n } es un subconjunto de V diferente del vacío. L{ A}  V por definición y L{A}   puesto que A   , existe por lo menos un elemento vi  A para i entre 1 y n que se puede escribir como: vi  0v1    0vi 1  vi  0vi 1    0v n i)

Sean v, u  L{ A} , entonces mostraremos que v  u  L{A} . v  L{A} , entonces existen escalares a1 ,  , a n  K tal que n

v   a i vi

(1)

i 1

u  L{A} , entonces existen escalares b1 ,  , bn  K tal que n

u   bi vi

(2)

i 1

de (1) y (2) n

i 1

v  u   ai vi   bi vi   (ai  bi )vi   ci vi

donde ci  ai  bi .  v  u  L{A}

ii)

Sea a  K , v  L{ A} hay que mostrar que av  L{A} . v  L{A} entonces existen escalares a1 ,  , a n  K tal que n

i 1

v   ai vi  av  a  ai vi   a (ai vi )   (aa i )vi   bi vi

donde bi  aai  av  L{A}

luego L{A} es un subespacio de V y es llamado subespacio generado por A. EJEMPLO

4.3.1.-

espacio

vectorial

( R 3 , , R, ·)

A  {(1, 2,  1), (3, 0, 1)} , hallar el subespacio L{A} .

SOLUCIÓN L{ A}  {( x, y, z )  R 3 /( x, y, z )  a (1, 2,  1)  b (3, 0, 1); a, b  R } ( x, y, z )  a (1, 2,  1)  b (3, 0, 1)  (a  3b, 2a,  a  b)

consideremos

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 a  3b  x    2a y  a  b  z 

(*)

en el sistema (*) eliminando a y b

a

y 2

y  3b  x  2  y b z 2 

(1) ( 2)

multiplicando (2) por  3 y sumando con (1), resulta x  2 y  3 z  0 .  L{ A}  {( x, y, z )  R 3 / x  2 y  3 z  0 } que es un plano en R 3 que pasa por el origen. EJEMPLO 4.3.2.- En el espacio ( R 3 , , R, ·) averiguar si los conjuntos: A  {(0, 1, 1), (2, 1,  3), (2, 5, 1)} y B  {(1, 1,  1), (1, 2, 4), (1, 0,  2)} generan el

mismo subespacio. SOLUCIÓN i) L{ A}  {( x, y, z )  R 3 /( x, y, z )  a (0, 1, 1)  b(2, 1,  3)  c(2, 5, 1) ; a, b, c  R } ( x, y, z )  a (0, 1, 1)  b(2, 1,  3)  c(2, 5, 1)  (2b  2c, a  b  5c, a  3b  c)

 x  2b  2c    y  a  b  5c  z  a  3b  c 

(1) ( 2) (3)

eliminando a, b y c (2)-(3)

y  z  4b  4c

(4)

y ahora multiplicando (1) por 2 y restando (4) resulta:

2x  y  z  0

Luego L{ A}  {( x, y, z )  R 3 / 2 x  y  z  0 } ii)

L{B}  {( x, y, z )  R 3 /( x, y, z )  a (1,1,  1)  b(1, 2, 4)  c(1, 0,  2) ; a, b, c  R } ( x, y, z )  a (1, 1,  1)  b(1, 2, 4)  c(1, 0,  2)  (a  b  c, a  2b,  a  4b  2c)

x  a  b  c    y  a  2b  z   a  4b  2c 

(1' ) ( 2' ) (3' )

eliminando a, b y c

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------y  z  2a  2b  2c

(2)-(3)

( 4' )

y ahora multiplicando (1) por 2 y restando ( 4' ) resulta: 2 x  y  z  0 Luego L{B}  {( x, y, z )  R 3 / 2 x  y  z  0 } De i) y ii) L{ A}  L{B} . Es decir, A y B generan los mismos subespacios. PROPOSICIÓN 4.4.- Sea el espacio vectorial (V , , K , ·) , A  {v1 ,  , v n } un subconjunto de V diferente del vacío y Wi iI la familia de todos los subespacios tales que A  Wi , para todo i  I . Entonces:

L{ A}  Wi iI

PRUEBA i)

Probaremos L{ A }   Wi . iI

Sea v  L{A} , entonces existen escalares a1 ,  , a n  K tal que v   a j v j ; j 1

v j  A, j  1,  , n . Pero como A  Wi , i  I  v j  Wi , i  I , j  1,  , n n

 v   a j v j ; v1 ,  , v n  Wi , i  I



j 1

v  Wi ; i  I



v   Wi iI

 L{ A}  Wi . iI

ii)

Ahora verificaremos que

W

 L{A} .

iI

A  L{A} . En efecto, para v j  A ; j  1,  , n se puede escribir siempre v j  0v1    0v j 1  1v j  0v j 1    0v n ; j  1,  , n .

 A  L{ A}  L{ A}  Wi 0 para algún i 0  I

 Wi  Wi 0  L{ A}  Wi  L{ A} iI

iI

Luego de i) y ii) L{ A}  Wi . iI

NOTA.- La proposición 4.4. también se puede enunciar diciendo que L{A} es el menor de todos los subespacios que contienen a A. DEFINICIÓN 4.5.- Un subconjunto diferente del vacío, de vectores {v1 , v 2 ,  , v n } de un espacio vectorial V sobre un campo K, se dice que es linealmente independiente (l.i.) si y solo si:

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n

a v

i i

i 1

   ai  0 ; i  1,  , n

Si {v1 , v 2 ,  , v n } no cumple esta condición diremos que {v1 , v 2 ,  , v n } es linealmente dependiente (l.d.); es decir n

a v i 1

i i

  y a i  0 para algún i entre 1 y n

EJEMPLO 4.5.1.- En

R 3 , e1  (1, 0, 0), e2  (0, 1, 0)

e3  (0, 0, 1)

son

linealmente independientes. EJEMPLO 4.5.2.- En R 3 , v1  (1, 2,  3), v 2  (2,  1, 1) y v3  (1, 8,  11) son linealmente dependientes, pues 3v1  (2)v 2  (1)v3   .

 1 0   0 1   0 0   0 0   EJEMPLO 4.5.3.- En R 22 ,   ,  ,  ,    son linealmente   0 0   0 0  1 0   0 1   independientes EJEMPLO 4.5.4.- En F , el espacio vectorial de las funciones sobre R, {e t , e 2t } es linealmente independiente. En efecto, sea la combinación lineal: ae t  be 2t  0

(1)

ae t  2be 2t  0

(2)

derivando (1) obtenemos: y resolviendo (1) y (2) resulta a  b  0 . PROPOSICIÓN 4.6.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial. a)

Un vector v  V es linealmente independiente. si y solo si v   .

Si v1 , v 2 ,  , v n son linealmente independientes, entonces v1 , v 2 ,  , v m donde 1  m  n también son linealmente independientes.

PRUEBA a)

)

Asumamos que v es linealmente independiente en V.

Por el absurdo supongamos que v   , entonces av   , a  K . En particular si elegimos a  1 , tenemos que 1v   , lo cual es una contradicción con el hecho de que v es linealmente independiente. Luego v   . )

Ahora asumiendo que v   . av    a  0 ó v  

i 1

 a i vi   a i vi 

a v

i  m 1

i i



 ai  0 , para todo i  1,  , n por ser v1 ,  , v n linealmente independientes.  ai  0 , para todo i  1,  , m para los v1 ,  , v m , pues m  n



v1 ,  , v m son linealmente independientes.

Dado un espacio vectorial (V , , K , ·) , hemos definido el concepto de linealmente independiente, para un subconjunto S finito diferente del vacío. Extenderemos ahora esta definición cuando S es un subconjunto cualquiera de V. DEFINICIÓN 4.7.- Sean (V , , K , ·) un espacio vectorial, S  V , diremos que S es linealmente independiente si todo subconjunto finito de S es linealmente independiente. PROPOSICIÓN 4.8.- Sean S y S ' subconjuntos de V tal que S  S ' . Entonces: i) Si S ' es linealmente independiente, entonces S también lo es. ii) Si S es linealmente dependiente también lo es S ' . PRUEBA. Queda como ejercicio. EJEMPLO 4.8.1.- Sea P [x] el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en R e indeterminada x. S  {1, x, x 2 ,  , x n , } es linealmente independiente. DEFINICIÓN 5.9.- Dado un espacio vectorial V sobre un campo K, llamaremos base de V a todo subconjunto no vacío S de V que cumple las siguientes condiciones: i)

S es linealmente independiente.

ii)

L{S }  V

EJEMPLO 4.9.1.- El conjunto {e1 , e2 , e3 } es una base para el espacio vectorial ( R 3 , , R, ·) , donde e1  (1, 0, 0), e2  (0, 1, 0) y e3  (0, 0, 1) . EJEMPLO 4.9.2.- El conjunto {e1 , e2 ,  , en } es una base para el espacio vectorial ( R n , , R, ·) , donde e1  (1, 0,  , 0), e2  (0, 1,  , 0) ,..., en  (0, 0,  , 1) son n-uplas.

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 1 0   0 1   0 0   0 0   EJEMPLO 4.9.3.- El conjunto   ,  ,  ,    es una base   0 0   0 0  1 0   0 1   para el espacio vectorial ( R 22 ,  R ,.) . EJEMPLO 4.9.4.- Hallar una base para S  {( x, y, z )  R 3 / 2 x  y  2 z  0 } subespacio de ( R 3 , , R, ·) . SOLUCIÓN S  {( x, y, z )  R 3 / 2 x  y  2 z  0 }  {( x,  2 x  2 z , z ) / x, z  R }  {( x,  2 x, 0)  (0,  2 z , z ) / x, z  R }  { x(1,  2, 0)  z (0,  2,1) / x, z  R }  L {(1,  2, 0), (0,  2,1)}

El conjunto {(1,  2, 0), (0,  2,1)} es una base para S, pues: i)

Es linealmente independiente.

ii)

S  L {(1,  2, 0), (0,  2,1)}

PROPOSICIÓN 4.10.- Un conjunto de elementos {v1 ,  , v n } del espacio vectorial V sobre un campo K forman una base si y solo si v  V , v puede ser expresado de forma única como combinación lineal de v1 ,  , v n . PRUEBA ) Asumamos que v1 ,  , v n es una base. Sabemos que  v  V , v puede ser

expresado como una combinación lineal de v1 ,  , v n . Supongamos que v se puede n

i 1

expresar de dos formas, es decir v   ai vi   bi vi   (ai  bi )vi   , pero como v1 ,  , v n son linealmente independientes: ai  bi  0, i  1,  , n  ai  bi , i  1,  , n ) Recíprocamente, asumamos que v1 ,  , v n tiene la propiedad que v  V , v

puede ser expresado de una única forma como combinación lineal de los v1 ,  , v n . Por lo tanto es L {v1 ,  , v n }  V .

i 1

 ai vi     0vi , entonces, por la unicidad ai  0 para todo i  1, , n . Luego {v1 ,  , v n } forma una base. LEMA 4.11.- Sea S  {v1 ,  , v n } un conjunto de generadores para el espacio n

vectorial (V , , K , ·) . Sea   v  V tal que v   ai vi , si ai  0 para algún i, i 1

entonces V  L{S i } , donde S i  ( S  {v})  {vi } , ( S i  {v1 ,  , vi 1 , v, vi 1 ,  , v n } ). PRUEBA Sea u  V un elemento arbitrario, mostraremos que u se puede expresar como una combinación lineal de elementos de S i . n

Por hipótesis:

V  L{S }  u   bi vi

(1)

i 1

Además tenemos que: n

i 1

j i

  v   a i vi  v   a j v j  a i vi  vi 

1 v   (  a j / a i )v j ai j i

(2)

reemplazando (2) en (1)

1  u  b1v1    bi  v   ( a j / ai )v j     bn v n j i  ai   (b1  (bi a1 / ai ))v1  (b2  (bi a 2 / ai ))v 2    (bi / ai )v    (bn  (bi a n / ai ))v n denotando c1  b1  (bi a1 / ai ), c 2  b2  (bi a 2 / ai ),  , ci  bi / ai ,  , c n  bn  (bi a n / ai ) tenemos u  c1v1  c 2 v 2    ci v    c n v n

 V  L{S i } PROPOSICIÓN 4.12.- Sean (V , , K , ·) un espacio vectorial S  {v1 , v 2 ,  , v n }  V y S '  {u1 , u 2 ,  , u m }  L{S } . Si S ' es linealmente independiente, entonces m  n .

Sea u  V1  u1   ai vi i 1

Suponemos que a1  0 (reordenando si fuera necesario) y por el lema anterior L{u1 , v 2 , v3 ,  , v n }  V1 . Ahora sea   u 2  V1  u 2  b1u1  b2 v 2    bn v n  bi  0, i  2 ; pues de suponer lo contrario resultaría u 2  b1u1 que es una contradicción ya que u 2 es linealmente independiente. Suponemos que b2  0 (reordenando si fuera necesario) y aplicando nuevamente el lema anterior tenemos que: L{u1 , u 2 , v3 ,  , v n }  V1 Afirmación m  n Por el absurdo, supongamos que m  n , entonces el proceso anterior se podría seguir inductivamente hasta obtener L{u1 , u 2 ,  , u n }  V1 ; pero si m  n , entonces m  n  1  u n 1 por estar en V1 sería combinación lineal de u1 , u 2 ,  , u n , lo que es una contradicción con el hecho de que {u1 , u 2 ,  , u n } son linealmente independientes. Dicha contradicción proviene de haber supuesto que m  n . COROLARIO 4.12.1.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial. Si S  {v1 ,  , v n } y S '  {u1 ,  , u m } son bases del espacio vectorial V, entonces n  m . PRUEBA i) Si S es base de V, entonces L{S }  V . Por otra parte, S '  V  L{S } y S ' es linealmente independiente por ser base de V, en virtud de la proposición 5.12. resulta que m  n . ii) Análogamente, S ' base de V  L{S '}  V . Como S  V  L{S '} y S linealmente independiente por ser base de V, aplicando nuevamente la proposición 5.12. resulta que n  m . De i) y ii) se sigue que m  n . NOTA.- Del corolario podemos observar que si V tiene una base infinita, entonces cualquier otra base tiene un número infinito de elementos.

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------DEFINICIÓN 4.13.- Llamaremos dimensión de un espacio vectorial V sobre un campo K, al número de elementos de cualquiera de sus bases. NOTACIÓN.- Denotamos por “ dim K V ” y se lee “dimensión de V sobre el campo K”. OBSERVACIÓN 4.13.1. (1) Si V tiene como único elemento el vector nulo, convenimos que la dimensión de V es cero. Es decir dim K { }  0 . (2) Si V tiene una base infinita, la dimensión de V denotaremos por dim K V   . EJEMPLO 4.13.2.- El conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una R base para R 3 , entonces dim R R 3  3 .

EJEMPLO 4.13.3.- El conjunto {(1, 0,  , 0), (0, 1,  , 0),  , (0, 0,  , 1)} es una K base para K n , entonces dim K K n  n . EJEMPLO

4.13.4.-

Sea

V  { p (t )  a 0  a1t  a 2 t 2  a3 t 3 / a 0 , a1 , a 2 , a3  R}

dim R V  4 , pues {1, t , t 2 , t 3 } es una R base para V.

EJEMPLO 4.13.5.- Dado (C n , , R, ·) . ¿Cuál es la dimensión de C n sobre R? SOLUCIÓN

C n  {( z1 , , z n ) / z j  C , j  1, , n} z j  C donde z j  a j  ib j y podemos escribir: z j  (a j  i 0)  (0  ib j ) Afirmamos que: B  {(1, 0,  , 0), (i, 0,  , 0), (0, 1,  , 0), (0, i,  , 0),  , (0, 0,  , 1), (0, 0,  , i )}

es una base. En efecto i)

B es linealmente independiente.

ii)

L{B}  C n , pues cualquier ( z1 ,  , z n )  C n se puede escribir como: ( z1 ,  , z n )  a1 (1, 0,  , 0)  b1 (i, 0,  , 0)    a n (0, 0,  ,1)  bn (0, 0,  , i )  (a1  ib1 ,  , a n  ibn )

donde z j  a j  ib j para todo j  1,  , n . Luego dim R C n  2n .

Si S  {u1 ,  , u m }  V donde m  n , entonces S es linealmente dependiente sobre K.

ii)

Si S  {u1 ,  , u m }  V donde m  n , entonces S es L{S }  V .

iii) Si S  {u1 ,  , u m }  V es linealmente independiente sobre K, entonces S es una base para V. iv) Si S  {u1 ,  , u m }  V genera V. Entonces S es una base para V. PRUEBA.- Queda como ejercicio. LEMA 4.15.- Sea S  {v1 ,  , v m } un subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorial V sobre un campo K. Si   v  V es un vector tal que v  L{S } , entonces S '  {v1 ,  , v m , v} también es linealmente sobre K. PRUEBA Sea a1v1  a 2 v 2    a m v m  av  0 . Afirmamos que a  0 . Pues si suponemos que a  0 tenemos que: v  (a1 / a )v1  (a 2 / a )v 2    (a m / a )v m  v  L{S } lo cual es una contradicción ya que por hipótesis v  L{S } .  a  0 y como a1    a m  0 , resulta que S ' es linealmente independiente.

TEOREMA 4.16.- (Completación de bases) Sea V un espacio vectorial sobre un campo K, tal que dim K V  n , W subespacio de V y {v1 ,  , v m } es base de W. Entonces se cumple: i)

m  n.

ii)

Si m  n , entonces existen v m 1 ,  , v n  V tal que {v1 ,  , v m , v m 1 ,  , v n } es una base para V.

PRUEBA i)

Sea {u1 ,  , u n } una base para V. Entonces V  L{u1 ,  , u n } , pero L{u1 ,  , u n }  {v1 ,  , v m } y en virtud d la proposición 5.12. podemos implicar que m  n ya que {v1 ,  , v m } al ser base, es linealmente independiente.

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------ii)

Si m  n , entonces W  V , luego existe v m 1  V tal que v m 1  W  v m 1  L{v1 ,  , v m }  por el lema 5.15. {v1 ,  , v m , v m 1 } es l.i. Si L{v1 ,  , v m , v m 1 }  V , entonces la prueba finaliza. En caso contrario, si L{v1 ,  , v m , v m 1 }  V , existe v m 2  V tal que v m  2  L{v1 ,  , v m , v m 1 } , entonces nuevamente en virtud del lema 5.15. {v1 ,  , v m , v m 1 } es l.i. Si L{v1 ,  , v m , v m 1 , v m  2 }  V , entonces la demostración concluye. En caso contrario seguimos el proceso anterior. Pero por hipótesis la dim K V  n , entonces existirán sólo un número finito v m 1 , v m  2 ,  , v m  p  V tal que {v1 ,  , v m , v m 1 ,  , v m  p } es l.i. y además

genera V. COROLARIO 4.16.1.- Sea W un subespacio de un espacio vectorial V sobre K. V W

 dim K W  dim K V

COROLARIO 4.16.2.- Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo K y W un subespacio propio de V. Entonces existe un subespacio U propio de V tal que: V  W  U PRUEBA Hay que demostrar la existencia de U y además i)

V  W U

ii)

W  U  { }

Como V es de dimensión finita, sea dim K V  n . Consideremos {w1 ,  , wm } , donde m  n es una base para U  V . Entonces por el teorema de completación de bases

existen u1 ,  , u n  m  V tal que {w1 ,  , wm , u1 ,  , u n  m } es una base para V, así definida U  V . Nos resta probar que L{w1 ,  , wm , u1 ,  , u n  m }  W  U  V i) Sea v V  como {w1 ,  , wm , u1 ,  , u n  m } es una base para V, podemos escribir: m

nm

i 1

v   ai wi   bi u i m

nm

i 1

donde v   a i wi  W y

b u i

U

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- V  W U

ii)

W  U  { } es evidente por la definición de U.

Por consiguiente existe U subespacio propio de V tal que: V  W U

EJEMPLO 4.16.3.- Sea el espacio vectorial ( R 2 , , R, ·) y W  {( 2t ,  t ) / t  R} . Encontrar U  R 2 tal que R 2  W  U . SOLUCIÓN W  {( 2t ,  t ) / t  R}  { t (2,  1) / t  R}  L{( 2,  1)}  {( 2,  1)} es una base para W  R 2 .

Completamos dicha base para R 2 y sea {( 2,  1), (1, 2)} . Definimos U  L{(1, 2)} y R 2  W  U . EJEMPLO 4.16.4.- Sea el espacio vectorial ( R 3 , , R, ·) y W  {( x, y, z )  R 3 / 3 x  y  z  0 } 1)

Hallar una base para W.

Construir U subespacio de R 3 tal que R 3  W  U .

SOLUCIÓN

W  {( x, y, z )  R 3 / 3 x  y  z  0 }  {( x, 3 x  z , z ) / x, z  R }  {( x, 3 x, 0)  (0, z , z ) / x, z  R }  {x(1, 3, 0)  z (0, 1, 1) / x, z  R }  L{(1, 3, 0), (0, 1, 1)}  {(1, 3, 0), (0, 1, 1)} es una base para el subespacio W.

Completamos dicha base para R 3 y sea {(1, 3, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0)} . Definimos U  L{(1, 0, 0)} y R 3  W  U .

EJEMPLO 4.16.5.- En el espacio vectorial ( R 22 , , R, ·) y W  { A  R 22 / Tr ( A)  0 }

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1) Hallar una base para W. 2) Construir U subespacio de R 22 tal que R 22  W  U . SOLUCIÓN Definición.- Dada A  (ai j )  R nn definimos la traza de A denotada por “ Tr ( A) ” como la suma de los elementos de la diagonal. Es decir: n

Tr ( A)   aii i 1

Hallamos una base para W. W  { A  R 22 / Tr ( A)  0 }  a    11  a 21

 a12  / a11  a 22  0  a 22  

 a    11  a 21

 a12  / a11 , a12 , a 21  R    a11  

 a    11  0

0  0 a12   0    a11  0 0  a 21

 0 / a11 , a12 , a 21  R   0 

 1 0   0 1  0 0    a11   a12   a 21  / a11 , a12 , a 21  R     0 0  1 0   0  1 

 1 0   L  ,  0  1

0 1  0 0    0 0  , 1 0      

 1 0   , 0  1   

0 1  0 0   0 0 , 1 0  es una base para W  dim R W  3 .    

Pero sabemos que dim R R 22  4 . Luego tenemos que completar la base de W con un vector más de R 22 que con los ya hallados sea l.i. Si elegimos 1 0  2 2 0 0   R .  

 1 0   ,  0  1

 0 1   0 0  1 0   2 2 0 0 , 1 0 , 0 0  es una base para R .      

1 0  22 Definimos U  L   y se cumple que R  W  U .   0 0   PROPOSICIÓN 4.17.- Sea V un espacio vectorial sobre un campo K de dimensión finita ( dim VK  n ). Si U, W son subespacios de V, entonces se verifica que: 40

PRUEBA Como V es de dimensión finita sobre K, sea dim K U  p, dim K W  q y

dim K (U  W )  r . Consideremos U W  { } y {v1 , , v r } una base para U  W . Como U  W es un subespacio de U y W, respectivamente, por el teorema de completación de bases, completamos la base {v1 , , v r } a bases para U y W. Sean:

{v1 ,  , v r , u1 ,  , u p  r } base para U

{v1 ,  , v r , w1 ,  , wq  r } base para W Afirmación.- El conjunto {v1 ,  , v r , u1 ,  , u p  r , w1 ,  , wq  r } es una base U  W . Prueba de la afirmación i)

Que sea linealmente independiente. Considérese la combinación lineal r

pr

qr

i 1

 ai vi   bi ui   ci wi   r

pr

qr

i 1

(1)

  ai vi   bi u i   ci wi

(2)

qr

  ci wi  U  W pues la relación (2), por un lado por ser igual a una i 1

combinación lineal de elementos de {v1 ,  , v r , u1 ,  , u p  r } , está en U y de otro

lado

por

ser

una

combinación

lineal

{v1 ,  , v r , w1 ,  , wq  r } , está en W. qr

i 1

  ci wi   d i vi

(3)

 reemplazando (3) en (1), tenemos r

pr

i 1

 ai vi   bi ui   d i vi   r

pr

i 1

  (ai  d i )vi   bi u i  

a  d i  0 , i  1,  , r  i , i  1,  , p  r  bi  0

( 4)

elementos

a v  c w i 1

i i

i 1



a  0 , i  1,  , r  i  ci  0 , i  1,  , q  r

(5) ( 6)

pues {v1 ,  , v r , w1 ,  , wq  r } es una base para W.  de (5), (4) y (6) resulta que

ai  0 , i  1,  , r   bi  0 , i  1,  , p  r  c  0 , i  1,  , q  r  i  {v1 ,  , v r , u1 ,  , u p  r , w1 ,  , wq  r } es l.i.

ii)

Que genere U  W . Sea v  U  W . Por definición de subespacio suma v  u  w donde u  U y w W . r

pr

qr

i 1

Pero u   ai vi   bi u i y w   ci vi   d i wi pr qr  r   r   v    ai vi   bi u i     ci vi   d i wi  i 1 i 1  i 1   i 1  r

pr

qr

i 1

  (ai  ci )vi   bi u i   d i wi  {v1 ,  , v r , u1 ,  , u p  r , w1 ,  , wq  r } genera U  W .

De i) y ii) la afirmación queda probada. Por la afirmación como {v1 ,  , v r , u1 ,  , u p  r , w1 ,  , wq  r } es una base para U  W resulta que

dim K (U  W )  r  ( p  r )  (q  r )  pqr

 dim K U  dim K W  dim K (U  W )

COROLARIO 4.17.1.- Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión finita. Si U y W son subespacios de V tal que V  U  W , entonces dim K V  dim K U  dim K W

( R 4 , , R, ·) . Consideremos

U  {( x, y, z , t )  R 4 / 2 x  y  z  t} y W  {( x, y, z , t )  R 4 / x  y  z  0  x  2t} Hallar dim R (U  W ) SOLUCIÓN Hallemos dim R U , dim R W y dim R (U  W ) . Para U U  {( x, y, z , t )  R 4 / 2 x  y  z  t }  {( x, y, z , 2 x  y  z ) / x, y, z  R }  {( x, 0, 0, 2 x)  (0, y, 0, y )  (0, 0, z ,  z ) / x, y, z  R }  {x(1, 0, 0, 2)  y (0, 1, 0, 1)  z (0, 0, 1,  1) / x, y, z  R }  L{(1, 0, 0, 2), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1,  1)} {(1, 0, 0, 2), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1,  1)}

una

base

para

Entonces

dim R U  3 .

Para W W  {( x, y, z , t )  R 4 / x  y  z  0  x  2t }  {( 2t , z  2t , z , t ) / z , t  R }  {( 2t , 2t , 0, t )  (0, z , z , 0) / z , t  R }  {t (2, 2, 0, 1)  z (0, 1, 1, 0) / z , t  R }  L{( 2, 2, 0, 1), (0, 1, 1, 0)} {( 2, 2, 0, 1), (0, 1, 1, 0)} es una base para W. Entonces dim R W  2 .

Para U  W U  W  {( x, y, z , t )  R 4 / 2 x  y  z  t  x  y  z  0  x  2t }  {( x, y, z , t )  R 4 / x  0, t  0 }  {(0, y, y, 0) / y  R }  { y (0, 1, 1, 0) / y  R }  L{(0, 1, 1, 0)} {(0, 1, 1, 0)} es una base para U  W . Entonces, dim R (U W )  1 . Luego

usando la proposición 4.17. tenemos que:

dim R (U  W )  dim R U  dim R W  dim R (U  W )

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3  2 1 4

EJERCICIOS

Determinar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al subespacio de R 3 generado por (1,  3, 2) y (0, 4, 1) :

(3,  1, 8)

(2,  2, 1)

( 2,  9 / 2, 1)

Determinar cuáles de los siguientes polinomios pertenecen al subespacio generado por: x 3  2 x 2  1, x 2  2 y x 3  x :

x2  x  3

x4 1



Sea

1 3 5 2 x  x  x 1 2 2

espacio

vectorial

C [0, 1]  { f / f : [0, 1]  R}

sobre

f , g  C [0, 1] donde:

si 0  x  1 / 2  0 f ( x)    x  1 / 2 si 1 / 2  x  1 Hallar: 4.

 x  1 / 2 si 0  x  1 / 2 g ( x)   0 si 1 / 2  x  1 

L{ f }, L{ g } y L{ f , g} .

En el espacio vectorial F de las funciones de R en R. Averiguar si f , g , h  F son linealmente independiente donde:

f (t )  e t , g (t )  sen t , h(t )  t 2

f (t )  e t , g (t )  e 2t , h(t )  t

f (t )  e t , g (t )  sen t , h(t )  cos t

Mostrar que: a)

Los vectores (1  i, i ) y (2,  1  i ) en C 2 son linealmente dependientes sobre el campo complejo C, pero son linealmente independientes sobre el campo real R.

Los vectores (3  2 , 1  2 ) y (7, 1  2 2 ) en R 2 son linealmente independientes sobre el campo Q de los racionales. 44

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------6.

Encontrar todos los subconjuntos linealmente independientes de los siguientes conjuntos de vectores en R 3 :

{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1), (6, 4, 7}

{(1, 1, 1), (2, 2, 2), (1, 0, 0), (0, 0, 1}

Sea el espacio vectorial de los polinomios de grado menor que cuatro, con coeficientes en R e indeterminada x. Determine todos los subconjuntos que son linealmente independientes a partir de los conjuntos que se dan a continuación:

{1, x  1, x 2  2 x  1, x 2 }

{2 x, x 2  1, x  1, x 2  1}

{x( x  1), x 3 , 2 x 3  x 2 , x}

{1, x, x 2 , x 3 , x 2  x  1}

Probar que los polinomios: 1, x,

3 2 1 5 3 3 x  , x  x forman una base para el 2 2 2 2

espacio vectorial de los polinomios de grado menor que cuatro. 9.

Sean u , v, w vectores l.i. de un espacio vectorial V sobre el campo Q. Demostrar que u  v, u  w, v  w son también l.i. sobre Q. ¿Esto es verdad para un campo arbitrario K?

10. Averiguar si los subconjuntos A  {(1,  1, 2), (3, 0, 1)} y B  {( 1,  2, 3), (3, 3,  4)} generan el mismo subespacio de R 3 .

11. Sea el espacio vectorial de las funciones continuas definidas en el intervalo [ a, b]

con

valores

A  {sen 2 t , cos 2 t , sen t cos t} y

Demostrar

que

los

subconjuntos

B  {1, sen 2t , cos 2t} generan el mismo

subespacio. 12. Hallar una base para los espacios vectoriales que se dan a continuación: a)

V  {( x, y, z , r )  R 4 / x  y  z  r  0 }, K  R

W  {( x, y, z , r )  R 4 / x  y  z , 2 x  3 y  r }, K  R

U  {( x, y, z , r )  R 4 / x  y  z , x  y  3 z , x  2 y  r  0 }, K  R

13. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Si {v1 ,  , v n } es l.i. y {v, v1 , v 2 ,  , v n } es l.d. para todo v elemento de V. Entonces demostrar que {v1 , v 2 ,  , v n } es una base para V.

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------14. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Si L{v1 ,  , v n }  V y L{v1 ,  , vi 1 , vi 1 ,  , v n }  V para i  1, 2,  , n . Demostrar que {v1 ,  , v n } es una base para V. 15. En (C 2 , , C , ·) se considera el subespacio W  {( z , u )  C 2 / z  2u  0} . Obtener una base de W y decir su dimensión. 16. Verificar que el conjunto {(1, 0,  i ), (1  i, 1  i, 1), (i, i, i )} es una base para el espacio vectorial (C 3 , , C , ·) . 17. Sean: U  {( x, y, z , t )  R 4 / x  y  z  t  0 }

W  {( x, y, z , t )  R 4 / x  y  z  t  0 } subespacios de ( R 4 , , R, ·) . Hallar la dimensión de U  W . 18. En el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales e indeterminada en x, consideremos los siguientes subespacios: U  L{x 3  4 x 2  x  3, x 3  5 x 2  5, 3 x 3  10 x 2  5 x  5 }

W  L{x 3  4 x 2  6, x 3  2 x 2  x  5, 2 x 3  2 x 2  3 x  9 } Hallar la dimensión de U  W . 19. Sea el espacio vectorial ( R 4 , , R, ·) . Si se consideran los subespacios: U  {( x, y, z , t )  R 4 / x  y  z  0  2 x  y  t  0 }

W  {( x, y, z , t )  R 4 / x  2 y  3 z  4t  0 } a)

Hallar la dimensión de U , W , U  W , U  W .

Encontrar subespacios U ' y W ' de R 4 tales que R 4  U  U ' y R 4 W  W ' .

20. Una compañía constructora almacena tres mezclas básicas A, B, y C. Las cantidades se miden en gramos y cada “unidad” de mezcla pesa 60 gramos. Pueden formularse mezclas especiales de argamasa efectuando combinaciones de las tres mezclas básicas. Por ello, las mezclas especiales posibles pertenecen al espacio generado por los tres vectores que representan las tres mezclas básicas. La composición de éstas es:

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cemento

Agua

Arena

Grava

Hormigón

¿Es posible hacer una mezcla que consiste en 1000 gramos de cemento, 200 gramos de agua, 1000 gramos de arena, 500 gramos de grava y 300 gramos de hormigón?. ¿Por qué se puede y por que no?. Si se puede ¿Cuántas unidades de cada mezcla básica A, B, y C se necesitan para formular la mezcla especial?.

Supóngase que se desea hacer 5400 gramos de argamasa de manera que contenga 1350 gramos de cemento, 1675 gramos de arena y 1025 gramos de graba. Si la razón de agua a cemento es de 2 a 3, ¿que cantidad de hormigón debe utilizarse para hacer los 5400 gramos de argamasa?. ¿Se puede formular esta masa como una mezcla especial?. Si es así, ¿cuántas unidades de las mezclas A, B y C se necesitan para formular la mezcla especial.

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

TRANSFORMACIONES LINEALES Y TEMAS AFINES

1. TRANSFORMACIONES LINEALES DEFINICIÓN 1.1.- Sean (V , , K , ·) y (W , , K , ·) dos espacios vectoriales. Una función T : V  W es llamada transformación lineal si satisface las siguientes condiciones: i)

T (u  v)  T (u)  T (v), u, v V .

ii) T (av)  aT (v), a  K y v  V . EJEMPLO 1.1.1.- Dados (V , , K , ·) y (W , , K , ·) espacios vectoriales. Definimos:

T :V  W v  T (v)   W ; v  V T así definida es una transformación lineal pues satisface las condiciones i) y ii) de la definición 1.1. y es llamada transformación lineal nula o cero y se denota por

T  . EJEMPLO 1.1.2.- Dado (V , , K , ·) espacio vectorial. Definimos:

I :V  V v  I (v)  v ; v  V I es transformación lineal y es llamada transformación lineal idéntica de V. EJEMPLO 1.1.3.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial. La aplicación:

T :V  V v  T (v)  av para todo a  K fijo y para todo v  V , es una transformación lineal. EJEMPLO 1.1.4.- Sea ( R 2 , , R, ·) espacio vectorial. Definimos T : R 2  R 2 tal que T ( x, y)  ( x  1, y  2) ; no es una transformación lineal. EJEMPLO 1.1.5.- Sean ( K n , , K , ·) y ( K , , K , ·) . Definimos:

pi : K n  K tal que pi ( x1 , x2 , , xn )  xi . p i es una transformación lineal y es llamada iésima proyección.

D : P [ x]  P [ x ] tal que: n  n  n D   a k x k    kak x k 1 para todo p( x)   a k x k P [ x] k 0  k 0  k 0

D es llamada derivada de p(x) y es una transformación lineal. EJEMPLO 1.1.7.- Sea el espacio vectorial:

V  { f / f : R  R continuas} sobre el campo R. Definimos:

T :V  V f  Tf x

tal que (Tf )( x)   f (t )dt . Afirmamos que T así definida es una transformación 0

lineal. PRUEBA DE LA AFIRMACIÓN i)

Probaremos que T ( f  g )  Tf  Tg ; f , g V . x

(T ( f  g ))( x)   ( f  g )(t )dt 0

  ( f (t )  g (t ))dt 0

  f (t )dt   g (t )dt  (Tf )( x)  (Tg )( x)



T ( f  g )  Tf  Tg .

ii) Ahora probaremos que T (af )  aTf . x

(T (af ))( x)   (af )(t )dt 0

  af (t )dt 0

 a  f (t )dt 0

 a(Tf )( x)



T (af )  aTf .

De i) y ii) T es una transformación lineal. 49

T (au  bv)  aT (u)  bT (v) ; a, b  K y u, v  V PRUEBA

)

Asumamos que T es una transformación lineal.

T (au  bv)  T (au)  T (bv) por def. 1.1. parte i)  aT (u)  bT (v) por def. 1.1. parte ii)

 )

T (au  bv)  aT (u)  bT (v)

Hay que probar que cumpla las condiciones de la definición 1.1. asumiendo que:

T (au  bv)  aT (u)  bT (v) ; , a, b  K y u, v  V i)

T (u  v)  T (1u  1v)  1T (u)  1T (v)  T (u)  T (v), u, v V

ii) T (av)  T (0u  av)

 0T (u)  aT (v)  aT (v), a  K y v  V PROPOSICIÓN 1.3.- Sean (V , , K , ·) y (W , , K , ·) dos espacios vectoriales y

T : V  W una transformación lineal. Se cumplen las siguientes afirmaciones: i)

 n  n T   a i v i    a i T (v i )  i 1  i 1

ii) T ( V )   W iii) T (v)  T (v) PRUEBA i)

Usar inducción.

ii) T ( V )  T ( V   V )

 T ( V )  T ( V ) por ser T transformación lineal. Entonces T ( V )   W iii) T (v)  T (v)  T (v  v)

 T ( V )

por ser una transformación lineal. por ser inversos

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- W

por la parte ii)

Entonces T (v)  T (v) . DEFINICIÓN 1.4.- Sean

V, W espacios vectoriales sobre el campo K y

T : V  W una transformación lineal, diremos que: i)

T es un monomorfismo si y solo si T es inyectiva.

ii) T es un epimorfismo si y solo si T es suryectiva. iii) T es un isomorfismo si y solo si T es biyectiva. OBSERVACIONES 1.4.1. (1) Si V  W , la transformación lineal T recibe el nombre de endomorfismo, y si además T es biyectiva se denomina automorfismo. Es decir, un automorfismo es una transformación lineal biyectiva de un espacio vectorial en sí mismo. (2) Si T : V  W es un isomorfismo, se dice que V es isomorfo a W y se denota como V  W . EJEMPLO 1.4.2.- Sea T : R 2  R 2 definida T ( x, y)  ( x  y, x  y) , donde T es un automorfismo. En efecto, T es una transformación lineal y además: i)

T es un monomorfismo. Probaremos que: T ( x1 , y1 )  T ( x2 , y2 )  ( x1 , y1 )  ( x2 , y2 )

( x1  y1 , x1  y1 )  ( x2  y2 , x2  y2 )  x  y1  x2  y 2   1   x1  x2 , y1  y 2  x1  y1  x2  y 2   ( x1 , y1 )  ( x2 , y 2 )

Luego T es un monomorfismo. ii) T es un epimorfismo. Probaremos que: ( x2 , y 2 )  R 2 , ( x1 , y1 )  R 2 tal que T ( x1 , y1 )  ( x2 , y 2 ) .

T ( x1 , y1 )  ( x1  y1 , x1  y1 )  ( x2 , y2 )  x  y1  x2  x  y2 x2  y 2 y y1  2  1   x1  2 2  x1  y1  y 2 

 ( x  y 2 ) ( x2  y 2 )  Luego ( x2 , y 2 ), ( x1 , y1 )   2 ,  tal que: 2 2   T ( x1 , y1 )  ( x2 , y 2 )

En consecuencia T es epimorfismo. De i) y ii) T es un isomorfismo y por lo tanto un automorfismo. 51

T ( x, y)  ( x  y, 0, x  y) T es una transformación lineal. i)

T no es monomorfismo pues considerando x  y se tiene:

( x, y)  ( y, x)  T ( x, y)  T ( y, x) ii) T no es epimorfismo ya que para (3, 1, 2)  R 3 no existe ( x, y)  R 2 tal que

T ( x, y)  (3, 1, 2) . TEOREMA 1.5.- (Teorema fundamental de las transformaciones lineales). Sean (V , , K , ·) y (W , , K , ·) dos espacios vectoriales. Sea {v1 , v2 , , vn } una base de V y {w1 , w2 , , wn } un subconjunto de vectores de W, entonces existe una única transformación lineal T : V  W

tal que T (vi )  wi para todo

i  1, 2, , n . PRUEBA i)

Existencia Sea v  V , entonces v se puede expresar de una única forma como: n

v   ai vi ; i  1, 2, , n, ai  K i 1

por ser {v1 , v2 , , vn } base de V. Definimos T : V  W como: n

T (v)   ai wi i 1

Afirmación.- T es una transformación lineal. Prueba de la afirmación Sean u, v  V y a, b  K , probaremos que:

T (au  bv)  aT (u)  bT (v) n

i 1

Como u, v  V  u   ai vi y v   bi vi n  n  T (au  bv)  T  a ai vi  b bi vi  i 1  i 1  n  n   T   (aai )vi   (bbi )vi  i 1  i 1 

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 n   T   (aai  bbi )vi   i 1  n

  (aai  bbi ) wi

por definición de T

i 1

  (aai ) wi   (bbi ) wi n

i 1

 a ai wi  b bi wi  aT (u)  bT (v) tomando extremos resulta que:

T (au  bv)  aT (u)  bT (v) con lo cual queda demostrada la afirmación. Además T cumple con la condición de que: T (vi )  wi ; i  1, 2, , n

En efecto ya que vi  0v1    1vi    0vn T (vi )  0w1    1wi    0wn T (vi )  wi ; i  1, 2, , n

ii) Unicidad Sea T  : V  W otra transformación lineal tal que n

T ' (v)   ai wi i 1

Mostraremos que T  T ' . n

Sea v  V , T ' (v)   ai wi por definición de T ' i 1

 T (v)

por definición T

Luego T ' (v)  T (v) ; v  V y en consecuencia T '  T . De i) y ii) el teorema queda completamente demostrado.

2. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DEFINCIÓN 2.1.- Sea T : V  W una transformación lineal. i)

Llamaremos núcleo de la transformación lineal T al conjunto denotado por “Nu(T)” que definiremos como:

Es decir, el núcleo de T es el conjunto formado por todos los elementos de V tales que sus imágenes mediante T es igual al elemento nulo de W.

T V

W

V

Nu (T )

ii) Llamaremos imagen de la transformación lineal T al conjunto denotado por “Im(T)” que definimos como:

Im(T )  {w W / v V  T (v)  w} Es decir, w  W es un elemento de la imagen de T si existe v  V tal T (v)  w .

T V

W

Im(T )

OBSERVACIONES 2.1.1. (1) Nu(T) es un subespacio de V e Im(T) es un subespacio de W. (2) Si V  L{v1 , , vn } entonces Im(T )  L{T (v1 ), , T (vn )} . (3) La dimensión de Im(T) se denomina rango de T y se denota por “r(T)”. Es obvio que r (T )  dim K W . La verificación de las observaciones 2.1.1. se deja al estudiante.

T ( x, y)  ( x  y, x  y) . Hallar Nu(T) e Im(T). SOLUCIÓN i)

Nu(T )  {( x, y)  R 2 / T ( x, y)  (0, 0)}  {( x, y)  R 2 /( x  y, x  y)  (0, 0)}  {( x, y)  R 2 / x  y  0  x  y  0}  {( x, y)  R 2 / x  0  y  0}

 {(0, 0)} Luego Nu(T )  {(0, 0)} y dim R Nu(T )  0 . ii) Im(T )  R 2 (pues ya hemos visto en el ejemplo 1.4.2. que T es un epimorfismo) luego dim R Im(T )  2 . EJEMPLO 2.1.3.- Sea la transformación lineal T : R 2  R 3 definida en el ejemplo 1.4.3. como T ( x, y)  ( x  y, 0, x  y) . Hallar Nu(T) e Im(T). SOLUCIÓN Nu(T )  {( x, y)  R 2 / T ( x, y)  (0, 0, 0)}  {( x, y)  R 2 /( x  y, 0, x  y)  (0, 0, 0)}  {( x, y)  R 2 / x  y  0}

 {( x,  x) / x  R}  {x(1,  1) / x  R}  L{(1,  1)} Luego dim R Nu(T )  1 .

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nu (T )



Im(T )  {T ( x, y) / x, y  R}

 {( x  y, 0, x  y) / x, y  R}  {( x, 0, x)  ( y, 0, y) / x, y  R}  {x(1, 0, 1)  y(1, 0, 1) / x, y  R}

 L{(1, 0, 1), (1, 0, 1)}  L{(1, 0, 1)} Luego dim R Im(T )  1 .

T R

Im(T )

 

EJEMPLO 2.1.4.- Sea T : R 2  R 2 un endomorfismo tal que T (1, 0)  (2, 1) ,

T (0, 1)  (1,  1) . Determinar la imagen del triángulo rectángulo cuyos vértices son (1, 1), (4, 1) y (1, 5) .

SOLUCIÓN

(1, 1)  1(1, 0)  1(0, 1)

(1)

(4, 1)  4(1, 0)  1(0, 1)

(2)

(1, 5)  1(1, 0)  5(0, 1)

(3)

aplicando T a (1), (2) y (3), tenemos:

T (1, 1)  T (1(1, 0)  1(0, 1))  T (1, 0)  T (0, 1)  (2, 1)  (1,  1)  (3, 0)

T (4, 1)  T (4(1, 0)  1(0, 1))  4T (1, 0)  T (0, 1)  4(2, 1)  (1,  1)  (9, 3) T (1, 5)  T (1(1, 0)  5(0, 1))  T (1, 0)  5T (0, 1)  (2, 1)  5(1,  1)  (7,  4) Y

Y 5

T 3

-4

El segmento de recta de extremos (4, 1) y (1, 5) es:

S  {(4, 1)  t ((1, 5)  (4, 1)) / 0  t  1} y T (S )  {T (4, 1)  t (T (1, 5)  T (4, 1)) / 0  t  1}

 {(9, 3)  t ((7,  4)  (9, 3)) / 0  t  1} es precisamente el segmento de recta de extremos

T (4, 1)  (9, 3)

T (1, 5)  (7,  4) . Análogamente se proceden para los otros dos lados que forman el triángulo. EJEMPLO 2.1.5.- Sea T : R 3  R 2 una transformación lineal definida de tal manera que a los elementos de la base {(1, 1, 0), (1, 2, 1), (0, 1, 3)} de R 3 se le hace corresponder los vectores (1, 3), (5, 1) y (0, 1) respectivamente. i)

Hallar la imagen de (3,  1, 5) mediante T.

ii) Hallar la imagen de un vector cualesquiera de R 3 .

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------SOLUCIÓN i)

Expresamos (3,  1, 5) como una combinación lineal de la base dada para R 3 .

(3,  1, 5)  a(1, 1, 0)  b(1, 2, 1)  c(0, 1, 3)

 (a  b, a  2b  c, b  3c) luego tenemos

ab 3 a  2b  c  1 b  3c  5

Resolviendo el sistema, obtenemos a 

(3,  1, 5) 

23  17 9 y c  , entonces: , b 2 2 2

23 17 9 (1, 1, 0)  (1, 2, 1)  (0, 1, 3) 2 2 2

y aplicando T

T (3,  1, 5) 



23 17 9 T (1, 1, 0)  T (1, 2, 1)  T (0, 1, 3) 2 2 2

23 17 9 (1, 3)  (5, 1)  (0, 1) 2 2 2

 (31,

61 ) 2

ii) Sea ( x, y, z )  R 3 un vector arbitrario.

( x, y, z)  a(1, 1, 0)  b(1, 2, 1)  c(0, 1, 3)}  (a  b, a  2b  c, b  3c) Luego

ab  x a  2b  c  y

b  3c  z Resolviendo el sistema obtenemos a 

c

1 1 (7 x  3 y  z ), b  (3x  3 y  z ) y 4 4

1 ( x  y  z ) , entonces: 4

( x, y, z ) 

1 1 1 (7 x  3 y  z )(1, 1, 0)  (3x  3 y  z )(1, 2, 1)  ( x  y  z )(0, 1, 3) 4 4 4

y aplicando T

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

T ( x, y, z ) 

1 1 (7 x  3 y  z )T (1, 1, 0)  (3x  3 y  z )T (1, 2, 1)  4 4

1 ( x  y  z )T (0, 1, 3) 4 T ( x, y, z ) 

1 1 1 (7 x  3 y  z )(1, 3)  (3x  3 y  z )(5, 1)  ( x  y  z )(0, 1) 4 4 4

 (2 x  3 y  z,

1 (17 x  5 y  3z )) 4

1 4

 T ( x, y, z )  (2 x  3 y  z, (17 x  5 y  3z ) ) PROPOSICIÓN 2.2.- Sean (V , , K , ·) y (W , , K , ·) espacios vectoriales y

T : V  W una transformación lineal. Se cumplen: i)

T es un monomorfismo  Nu(T )  { V } .

ii) Sea {v1 , v2 , , vn } un conjunto linealmente dependiente en V, entonces {T (v1 ), T (v2 ), , T (vn )} es linealmente dependiente en W.

iii) Si {v1 , v2 , , vn } es un conjunto linealmente independiente y T es un monomorfismo,

entonces

{T (v1 ), T (v2 ), , T (vn )}

linealmente

independiente. PRUEBA i)

)

Asumiendo que T es monomorfismo probaremos que: Nu(T )  { V }

se cumple siempre que { V }  Nu(T ) por ser Nu(T ) un subespacio de V. Luego solo nos resta probar que Nu(T )  { V } . Sea x  Nu(T )  T ( x)   W  T ( V )  x   V por ser T monomorfismo x  { V } 

Nu(T )  { V } .

 Nu(T )  { V } )

Asumamos ahora que Nu(T )  { V } . Probaremos que T es monomorfismo. T ( x)  T ( y )  T ( x)  T ( y )   W  T ( x  y)   W

por ser T transformación lineal

 x  y  Nu(T )  { V }

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- x  y  V

x y

 T es un monomorfismo. ii) Ejercicio. iii) {v1 , v2 , , vn } es linealmente independiente y T un monomorfismo. Probaremos que {T (v1 ), T (v2 ), , T (vn )} es linealmente independentes. n

i 1

 a i T (v i )   V   T ( a i v i )   W  n   T   a i vi    W  i 1  n

  a i vi   V

por ser un monomorfismo

i 1

 ai  0 ; i  1, 2, , n

por ser {v1 , v2 , , vn } linealmente independiente.  {T (v1 ), T (v2 ), , T (vn )} es linealmente independiente.

EJEMPLO

2.3.-

Sea

V  { p( x)  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3 / a0 , a1 , a2 , a3  R} ,

p( x)  0 . Definimos como el ejemplo 1.1.6. D : V  V / D( p( x))  p' ( x) (la derivada de p(x) ). Averiguar si D es un monomorfismo, haciendo uso de la proposición 2.2. parte i). SOLUCIÓN Sea p( x)  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3

D( p( x))  p' ( x)  a1  2a2 x  3a3 x 2  0  a1  a2  a3  0 Luego Nu( D)  { p( x)  a0 / a0  R}  {a0 / a0 es constante}

 L{1} entonces tenemos que dim R Nu( D)  1 , en consecuencia D no es un monomorfismo. EJEMPLO 2.4.- Sea f : R 2  R 33 una transformación lineal definida por:

 x2 f ( x1 , x 2 )   x1  0 60

x2 x2 x1

0  x1  x 2  x 2  x1 

 x2 f ( x1 , x 2 )   x1  0

x2 x2 x1

0  0 0 0  x1  x 2   0 0 0 x 2  x1  0 0 0

entonces por igualdad de matrices resulta que x1  x2  0 . Luego Nu( f )  {(0, 0)} , por lo tanto f es un monomorfismo.

EJERCICIOS 1. De las siguientes aplicaciones, averiguar cuáles son transformaciones lineales: a)

T : C  C / T ( z)  z (C espacio vectorial sobre R)

G : R 3  R 2 / G( x, y, z)  ( x  z, x  y  z)

E : R  R / E ( x)  e x

 a a12   H : R 22  R 2 / H   11    (a11  a 22 , a 21a12 ) a a 22     21

2. Con relación al ejercicio 1., hallar una base y dimensión del núcleo e imagen de aquellas que sean transformaciones lineales. 3. Hallar la transformación lineal T : R 4  R 3 tal que: T ( xi )  yi , 1  i  4

siendo x1  (1, 0, 0, 0), x2  (1, 1, 0, 0), x3  (1, 1, 1, 0), x4  (1, 1, 1, 1) base de

R 4 y y1  (1, 2, 3), y2  (1,  2, 1), y3  (0, 0, 0), y4  (1, 1, 0) . 4. Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo K,

T :V W una transformación lineal y los vectores v1 , , vr en V (no necesariamente una base). Demostrar que si: T (vi )   W ; i  1, r

entonces T (v)   W ; v  L{v1 , vr } . 5. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y T un endomorfismo. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: i)

Im(T )  Nu(T )  { }

ii)

T (T (v))    T (v)  

E2 (v)  w , donde v  u  w, u  U , w  W . Verificar que:

E1  E1 y E2  E2 , esto es E1 y E 2 son “proyecciones”.

ii)

E1  E2  I , la aplicación idéntica.

iii)

E1 E2  0 y E2 E1  0 .

7. Sea

W  {(ai j )  C 22 / ai j  ai j } un espacio vectorial sobre el campo de

números reales con las operaciones usuales. Demostrar que:

t  y H : R 4  W tal que H ( x, y, z, t )    y  iz

y  iz  t  x 

es un monomorfismo de R 4 en W. 8. Sea V  C un espacio vectorial sobre el campo de los reales, se define una función:

x  7 y T : C  R 22 tal que T ( x  iy )     10 y

5y  x  7 y 

Verificar que T es una transformación lineal inyectiva de C en R 22 .

Verificar que T (uw)  T (u)T (w) , donde u  x1  iy1 y w  x2  iy 2 .

Dar una base de Im(T ) .

9. (Aplicación a la criptografía) Dada la matriz 1 1   1  A    3 2  1   3  3 2 

Se define la transformación lineal T : R 3  R 3 por T ( x)  Ax . Haga uso de la transformación lineal T para: a)

codificar el mensaje VERDE ESPERANZA

decodificar el mensaje 15, -45, 49, 21, 45, -65, 11, 10, -16, 35, -9, -10

Sugerencia.- Usar la correspondencia: a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s t u v w x y z                              1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------3. COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES DEFINICIÓN 3.1.- Sean T : V  U y F : U  W dos transformaciones lineales entre espacios vectoriales sobre un mismo campo K. La función compuesta.

F  T :V W es definida como:

( F  T )(v)  F (T (v)) PROPOSICIÓN 3.2.- La composición de dos transformaciones lineales es una transformación lineal. PRUEBA Sean T y F las transformaciones lineales dadas en la definición 3.1.

( F  T )(au  bv)  F (T (au  bv))

definición de composición 3.1.

 F (aT (u))  bF (T (v))

por ser T transformación lineal

 aF (T (u))  bF (T (v))

por ser F transformación lineal

 a( F  T )(u)  b( F  T )(v)

def. de composición.



F  T es una transformación lineal.

EJEMPLO 3.3.- Sea T : R 3  R / T ( x, y, z )  x  2 y  z y y F : R  R 2 / F ( x)  (2 x, x) . Hallar F  T . SOLUCIÓN

( F  T )( x, y, z)  F (T (( x, y, z))  F ( x  2 y  z)  (2( x  2 y  z), x  2 y  z)

 (2 x  4 y  2 z , x  2 y  z )

4. TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSIBLES DEFINICIÓN 4.1.- Sea T : V  W una transformación lineal. Diremos que T es inversible si existe una función F : W  V tal que T  F  I W y F  T  I V . Notación.- Denotaremos F  T 1 . LEMA 4.2.- Si T : V  W es una transformación lineal inversible, su inversa

T 1 : W  V también es una transformación lineal. PRUEBA.- Ejercicio.

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------TEOREMA 4.3.- Sean V, W espacios vectoriales de dimensión finita y T : V  W una transformación lineal. Entonces T es inversible si y solo si T transforma una base de V en una base de W. DEMOSTRACIÓN

)

Asumiremos que T es inversible y sea {v1 , , vn } una base de V. Consideremos los vectores w1  T (v1 ), , wn  T (vn ) . Afirmación: El conjunto de vectores {w1 , , wn } es una base de W. i)

Los vectores w1 , , wn son l.i. En efecto, sea a1 w1  a2 w2    an vn   W  por ser T 1 una transformación lineal, en virtud del lema 4.2. tenemos:

a1T 1 (w1 )  a2T 1 (w2 )    anT 1 (wn )   V  a1v1  a2 v2    an vn   V

pero ser {v1 , , vn } una base para V, resulta que: a1  a2    an  0

Luego {w1 , , wn } son linealmente independientes. ii) El conjunto de vectores {w1 , w2 , , wn } genera el espacio vectorial W. En efecto, sea w  W  T 1 (w)  V n

 T 1 ( w)   ai vi i 1

i 1

 w  T (T 1 ( w))   ai T (vi )   ai wi luego {w1 , w2 , , wn } genera W. De i) y ii) {w1 , w2 , , wn } es una base para W, verificándose la afirmación.

)

Ahora asumiremos que {w1 , w2 , , wn } es una base para W. Mostraremos que T es inversible. Definamos F : W  V tal que F (wi )  vi , i  1, 2, , n . Lo cual siempre es posible en virtud del teorema fundamental de las transformaciones lineales. n

Entonces, si v  V , donde v   ai vi , tenemos que: i 1

( F  T )(v)  F (T (v))

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

  n   F  T   ai vi      i 1

sustitución de v

 n   F   a i T (v i )   i 1 

por ser T transformación lineal

 n   F   ai wi   i 1 

por def. de T

  ai F ( wi )

por ser F transformación lineal

i 1 n

  a i vi

por def. de F

i 1

v



F  T  IV

(1) n

Por otro lado si w  W donde w   bi wi tenemos: i 1

(T  F )(w)  T ( F (w))

  n   T  F   bi wi      i 1

sustitución de w.

 n   T   bi F ( wi )   i 1 

por ser F transformación lineal

 n   T   bi vi   i 1 

por def. de F

  bi T (vi )

por ser T transformación lineal

i 1 n

  bi wi

por def. de T

i 1

w

 T  F  IW

(2)

De (1) y (2) T es inversible y su inversa es F. COROLARIO 4.3.1.- Si existe una transformación lineal inversible entre dos espacios vectoriales de dimensión finita, entonces sus dimensiones coinciden. TEOREMA 4.4.- Sea T : V  W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales de igual dimensión. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 65

 ii) T (u)  T (v)  T 1 (T (u))  T 1 (T (v))

uv

por ser T inversible.

ii)  iii) Sea {v1 , v2 , , vn }  V una base para V. Como T es inyectiva {T (v1 ), T (v2 ),T (vn ) }, es linealmente independiente en W; pero como

dim K W  n , entonces {T (v1 ), T (v2 ), , T (vn )} es una base para W. n

Luego sea w  W , donde w   ai wi , donde wi  T (vi ) ; i  1,, n i 1

Entonces existe v  V donde v   ai vi tal que: i 1

n  n  n T (v)  T   ai vi    ai T (vi )   ai wi  w i 1  i 1  i 1

en consecuencia T es suryectiva. iii)  iv) Sea {v1 , v2 , , vn } una base de V y T (vi )  wi ; i  1, 2, , n , sus imágenes mediante T. Probaremos que {w1 , w2 , , wn } genera W. n

En efecto, para todo w  W , existe v  V , donde v   ai vi tal que i 1

n  n  n w  T (v)  T   ai vi    ai T (vi )   ai wi i 1  i 1  i 1

por ser T suryectiva. Por otra parte como {w1 , w2 , , wn } es una base para W.

Luego T transforma bases en bases. iv)  i) Ya fue demostrado (ver teorema 4.3.)

dim K W  n , entonces

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROPOSICIÓN 4.5.- Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita sobre un mismo campo K. V  W si y solo si dim K V  dim K W . PRUEBA.- Ejercicio. PROPOSICIÓN 4.5.-.- Sean V, W espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo K y T : V  W una transformación lineal. Entonces:

dim K V  dim K Nu(T )  dim K Im(T ) PRUEBA.- Ejercicio.

5. ESPACIO VECTORIAL DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el campo K. Denotemos el conjunto formado por todas las transformaciones lineales de V en W por:

L(V , W )  {T : V  W / T es una transformación lineal} En L(V , W ) definimos: La adición

L(V , W )  L(V , W )  L(V , W ) (T1 , T2 )  T1  T2 tal que (T1  T2 )(v)  T1 (v)  T2 (v);  v V . La multiplicación por escalar

K  L(V , W )  L(V , W ) (a , T )  aT tal que (aT )(v)  aT (v);  a  K ,  v V . Afirmación 1) T1  T2 y 2) aT son transformaciones lineales de V en W. Prueba de la afirmación 1) (T1  T2 )(au  bv)  T1 (au  bv)  T2 (au  bv) def. de adición

 aT1 (u)  bT1 (v)  aT2 (u)  bT2 (v) por ser T1 , T2 t.l.  a(T1 (u)  T2 (u))  b(T1 (v)  T2 (v))  a(T1  T2 )(u)  b(T1  T2 )(v)

Luego T1  T2 es una transformación lineal de V en W. 2) (aT )(bu  cv)  a(T (bu  cv)

def. de multiplicación. 67

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 a(bT (u)  cT (v)) por ser T t.l.  (ab)T (u)  (ac)T (v)

 b(aT )(u)  c(aT )(v) Luego aT es una transformación lineal de V en W.

PROPOSICIÓN 5.1.- Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo campo K. El conjunto de las transformaciones lineales L(V , W ) con las operaciones definidas anteriormente es un espacio vectorial sobre K. DEMOSTRACIÓN.- Los detalles de la demostración la dejaremos para el lector. Sólo haremos notar las propiedades V2) y V3); es decir, la existencia del elemento nulo para L(V , W ) es la transformación lineal  : V  W tal que  (v)   W , v  V y el hecho de que T  L(V , W ) existe inverso –T que se define como

(T )(v)  T (v) ; v V .

EJERCICIOS 1. Si T1 , T2 , T3  L(V , V ) y a  K . Entonces demuestre que se cumple: a)

T1  (T2  T3 )  T1  T2  T1  T3

(T1  T2 )  T3  T1  T2  T2  T3

a(T1  T2 )  (aT1 )  T2  T1  (aT2 )

2. Si T1 , T2  L(V , W ) son invertibles, entonces demuestre que T1  T2 es también invertible y además se verifica que: 1

(T1  T2 ) 1  T2  T1

1

DEFINICIÓN 5.2.- Un álgebra sobre K es un conjunto que cumple las siguientes condiciones: i)

Que sea un espacio vectorial.

ii) Que esté provisto de una operación “producto” tal que: a)

A( B  C )  AB  AC ; A, B y C elementos del conjunto.

( B  C ) A  BA  CA

a( AB)  (aA) B  A(aB) ; A, B elementos del conjunto y a  K .

TEOREMA 5.3.- Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo campo K tales que dim K V  n y dim K W  m . Entonces: dim K L(V , W )  dim K V dim K W

PRUEBA Sean {v1 , v2 , , vn } y {w1 , w2 , , wm } bases ordenadas de V y W respectivamente. Para cada (i, j ), 1  i  n  1  j  m definimos:

Ti j : V  W como:  W , si k  i Ti j (v K )    w j , si k  i

  ik wj 0 si k  i delta de Kronecker (  ) 1 si k  i

iK  

donde:

Por el teorema fundamental de las transformaciones lineales 1.5. existe una transformación lineal única que satisface las condiciones anteriores. Afirmación.- {Ti j } donde 1  i  n  1  j  m es una base para L(V , W ) . Prueba de la afirmación i) Que son linealmente independientes n, m

Sea

a T

i , j 1

ij i j



Consideremos k fijo donde 1  k  n . n, m

a T

ij i j

i , j 1 n, m

a

i , j 1

a j 1

(v K )   W

 i k w j  W w j  W

pero como {w1 , w2 , , wm } es linealmente independiente.

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 a K j  0, 1  j  m y 1  k  n

 ai j  0, 1  i  m y 1  j  n

 {Ti j } donde 1  i  n y 1  j  m es linealmente independiente sobre K. ii) Que genere el espacio Sea T  L(V , W ) , fijemos k tal que 1  k  n . T (vk ) es un elemento de W. Entonces: m

T (v k )   a k j w j ; a k j  K j 1

Probaremos que T 

n, m

a T

(1)

ij i j

i , j 1

Denotemos por G la transformación del segundo miembro de (1). n, m

G

a T

 G (v k )  

n, m

a T

i , j 1

n, m

a

i , j 1 m

 L(V , W )

ij i j

i , j 1

ij i j

(v k )

 i k w j , definición de Ti j

  aij  ik w j j 1 i 1 m

  ak j w j j 1

 T (v k )  G(vk )  T (vk ), k  1, , n y como {v1 , v2 , , vn } es una base de V.

T G 

n, m

a T

i , j 1

ij i j

De i) y ii) queda probada la afirmación de que {Ti j } donde 1  i  n  1  j  m es una base para L(V , W ) .

 dim K L(V , W )  nm  dim K V dim K W

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------6. ESPACIO DUAL DE UN ESPACIO VECTORIAL DEFINICIÓN 6.1.- Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. Llamaremos espacio dual del espacio vectorial V al espacio vectorial de las transformaciones lineales de V en K. NOTACIÓN.- El espacio dual del espacio vectorial V sobre el campo K denotaremos por V * . Luego V *  L(V , K ) ; los elementos de V * se llaman funcionales lineales o formas lineales. Sean {v1 , , vn } y {1} bases para V y K respectivamente. Definimos:

Ti j : V  K , donde 1  i  n y j  1 En virtud del teorema 6.3., tendremos que dim K V *  n  1  n , y {T11, T21, , Tn1} es una base para V * que denotaremos como: {T11  1 , T21   2 , , Tn1   n }

llamada base dual. OBSERVACIÓN.- También es usual denotar la base de un espacio dual como

B  {1 , ,  n }  { f1 , , f n }  { v1* , , vn* } EJEMPLO 6.1.1.- Sea K un campo y a1 , , an  K . La función  : K n  K definida por

 ( x1 , , xn )  a1 x1    an xn es una funcional lineal sobre K n . EJEMPLO 6.1.2.- Sea V  K nn V el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n sobre K. La función traza T : K nn  K definido como T ( A)  a11  a22    ann

donde A  [aij ]nn es un funcional lineal. Dado V un K-espacio vectorial de dimensión finita y B  { v1 ,, vn } una base ordenada de V; por el teorema fundamental de las transformaciones lineales, existe para cada i, un funcional lineal único  i (v j )   ij . De esta forma, se obtiene a partir de la base B  { v1 ,, vn } un conjunto de n funcionales lineales linealmente independientes 1 , ,  n sobre V que forman una base para V  . En el siguiente teorema se formaliza la afirmación dada anteriormente.

B  { v1 ,, vn }

una base de V sobre K. Sean

1 , ,  n V 

los

funcionales lineales definidos como

1 si i  j 0 si i  j

 i (v j )   ij  

Entonces el conjunto B   {1 , ,  n } es una base de V*. PRUEBA i) El conjunto B  {1 , ,  n } es linealmente independiente. En efecto, suponiendo que a11  a2 2    an n  0

(1)

Evaluando, ambos lados de (1) en v1 se tiene: (a11  a2 2    an n )(v1 )  0(v1 ) (a11  a2 2    an n )(v1 )  0(v1 ) a1 (1)  a2 (0)    an (0)  0  a1  0

De manera análoga para i = 2, ……., n (a11  a2 2    aii    an n )(vi )  0(vi ) a11 (vi )  a2 2 (vi )    aii (vi )    an n (vi )  0 a1 (0)  a2 (0)    ai (1)    an (0)  0

ai = 0 ; Entonces

i = 2, ….., n

a1  0, a2  0, , an  0 .Luego B  {1 , ,  n } es linealmente

independiente. ii) B  {1 , ,  n } genera V* Sea  V  y supongamos que  (v1 )  k1 ,  (v2 )  k 2 , ,  (vn )  k n Tomamos

  k11  k 2 2    k n n . Entonces

 (v1 )  (k11  k 2 2    k n n )(v1 )  k11 (v1 )  k 2 2 (v1 )    k n n (v1 )  k1 (1)  k 2 (0)    k n n (0)

  (v1 )  k1 De manera análoga para; i = 2, …., n 72

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 (vi )  (k11  k 2 2    kii    k n n )(vi )  k11 (vi )  k 2 2 (vi )    kii (vi )    k n n (vi )  k1 (0)  k 2 (0)    ki (1)    k n (0)  ki

Luego  (vi )  k i ;  i = 1, ….., n Como φ y  coinciden sobre los vectores de la base B,     k11    k n n . En consecuencia B   {1 , ,  n } genera V* De (i) y (ii) B  {1 , ,  n } es una base para V*. EJEMPLO 6.2.1.- Hallar la base dual de {(1, 0, 1), (2, 1, 0), (0, 1, 2)} . SOLUCIÓN Hallaremos funcionales f1 , f 2 , f 3  ( R 3 ) * tales que:

f i (vk )  

para i  1, 2, 3 y k  1, 2, 3

donde v1  (1, 0, 1), v2  (2, 1, 0), v3  (0, 1, 2)} y f i : R 3  R . Sea v  ( x, y, z )  R 3 un vector cualesquiera v  a1v1  a2 v2  a3 v3

(1)

( x, y, z)  a1 (1, 0, 1)  a2 (2, 1, 0)  a3 (0, 1, 2)  (a1  2a2 , a2  a3 , a1  2a3 )

de donde:

 2a 2 a2

 a3  2a 3

resolviendo el sistema (2) se tiene que a1 

a3 

 

x  y  z 

(2)

1 1 ( x  2 y  z ), a 2  ( x  2 y  z ) y 2 4

1 ( x  2 y  z ) , y reemplazando estos valores en (1) tenemos: 4

v

1 1 1 ( x  2 y  z )v1  ( x  2 y  z )v2  ( x  2 y  z )v3 2 4 2

aplicando f1 , f 2 y f 3 a (3), se tiene:

(3)

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

1  ( x  2 y  z)  2  1 f 2 ( x, y , z )  ( x  2 y  z )  4  1 f 3 ( x, y , z )  (  x  2 y  z )   4 f 1 ( x, y , z ) 

(se ha hecho uso de que f i (vk )  

(4)

para i  1, 2, 3 y k  1, 2, 3 ).

Por consiguiente la base dual de {(1, 0, 1), (2, 1, 0), (0, 1, 2)} está formada por

{ f1 , f 2 , f 3 } obtenida en (4). EJEMPLO 6.2.2.- Sea { f1 , f 2 } una base dual para (R 2 ) * donde f1 ( x, y)  x  3 y y f 2 ( x, y)  2 x  y . Hallar una base {v1 , v2 } de R 2 tal que { f1 , f 2 } sea dual de

{v1 , v2 } . SOLUCIÓN Sea {v1  ( x1 , y1 ), v2  ( x2 , y 2 )} la base de R 2 . Evaluando f 1 y f 2 en v1 , tenemos:

f1 (v1 )  x1  3 y1  1 f 2 (v1 )  2 x1  y1  0 y resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene que x1  1 / 7 y y1  2 / 7 . Luego

v1  (1 / 7,  2 / 7) . Ahora evaluando f 1 y f 2 en v 2 , tenemos: f1 (v2 )  x2  3 y 2  0

f 2 (v2 )  2 x2  y2  1 y resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene que x2  3 / 7 y y 2  1 / 7 . Luego v2  (3 / 7, 1 / 7) .

por consiguiente la base en R 2 es:

{(1 / 7,  2 / 7), (3 / 7, 1 / 7)}

TEOREMA 6.3.- Sea B  { v1 ,, vn } una base de V y sea B  {1 , ,  n } la base dual de V*. Entonces todo vector u  V , se puede escribir como u  1 (u)v1   2 (u)v2     n (u)vn

(1)

   (v1 )1   (v2 ) 2     (vn ) n

(2)

u  a1v1  a2 v2    an vn

(3)

Prueba Supongamos que

Entonces aplicando 1 a (3) se tiene

1 (u)  1 (a1v1  a2 v2    an vn )  a11 (v1 )  a21 (v2 )    an1 (vn )  a1 (1)  a2 (0)    an (0)

 a1  1 (u) De forma similar se tiene aplicando  i ;  i  2,, n

i (u)  i (a1v1    ai vi    an vn )  a1i (v1 )    ai i (vi )    ani (vn )  a1 (0)    ai (1)    an (0)  ai   i (u) ;  i  1, , n

Luego se tiene que

1 (u)  a1 ,  2 (u)  a2 ,,  n (u)  an y reemplazando los valores anteriores en (3) se tiene u  1 (u)v1   2 (u)v2     n (u)vn

Para demostrar que se verifica la relación (2), aplicamos el funcional lineal  a ambos lados de (1)

 (u)   (1 (u)v1   2 (u)v2     n (u)vn )   1 (u) (v1 )   2 (u) (v2 )     n (u) (vn )   (v1 )1 (u)   (v2 ) 2 (u)     (vn ) n (u)

 (u)  ( (v1 )1   (v2 ) 2     (vn ) n )(u)  Como se cumple  u  V , entonces se tiene que

   (v1 )1   (v2 ) 2     (vn ) n Con lo cual se completa la demostración del teorema.

v   un vector

perteneciente a V. Probar, que existe f  V * tal que f (v)  0 . 2. Hallar una base dual para cada una de las siguientes bases de R 3 : i)

{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}

ii)

{(1,  2, 3), (1,  1, 1), (2, 4,  7)}

3. Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a 2. Si  1, 

y

son funcionales lineales sobre V definidas como: 1

 1( f (t ))   f (t )dt ,  2 ( f (t ))  f ' (1) y  3 ( f (t ))  f (0) 0

donde

f (t )  a  bt  ct 2  V . Hallar { f1 , f 2 , f 3 } de V que es dual a

{ 1,  2 ,  3 } .

4. Sean u, v  V y supongamos que f (u)  0 implica f (v)  0 para todo v  V . Mostrar que v  ku para algún escalar k. 5. Sean f , g  V * y que f (v)  0 implica g (v)  0 , para todo v  V . Mostrar que g  kf para algún escalar k.

7. SEGUNDO ESPACIO DUAL O BIDUAL DE UN ESPACIO VECTORIAL Dado V un espacio vectorial sobre un campo K tiene un espacio dual. V   { : V  K /  es una funcional lineal }

Asimismo, V  tiene su dual que denotamos por V  , llamado segundo dual de V o bidual de V y esta formado por todas las funcionales lineales sobre V  . A cada v  V se le asocia un elemento vˆ  V ** , definiendo

vˆ : V *  K   vˆ( )   (v) La aplicación vˆ es lineal: En efecto,  a, b  K ;  ,   V *

vˆ(a  b )  (a  b )(v)  a (v)  b (v)

Por definición de vˆ Por ser  y  funcionales lineales

 avˆ( )  bvˆ( ) Luego, vˆ es lineal y por consiguiente vˆ  V ** V **  { vˆ : V *  K / vˆ( )   (v)}

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROPOSICIÓN 7.1.- . Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita. Demostrar que si v  V y v   , entonces existe  V * tal que  (v)  0 . PRUEBA. Sea dim V  n , v ≠ 0 es linealmente independiente. Por el teorema de completación de bases existen v2 , , vn  V , tal que {v, v2 , , vn } es una base para V. Luego por el teorema fundamental de las

transformaciones lineales existe una única aplicación lineal  : V  K tal que

 (v)  1 y  (vi )  0 ;  i  2,, n . Luego  tiene las condiciones pedidas. TEOREMA 7.2.- Si V tiene dimensión finita, entonces la aplicación v  vˆ es un isomorfismo de V sobre V ** . Prueba

Luego la aplicación v  vˆ es lineal. Probemos que la aplicación es un isomorfismo. Es suficiente verificar que la aplicación v  vˆ es inyectiva. Por la proposición anterior, dado v  V , v   v є V, existe   V * tal que

 (v)  0 . Luego vˆ( )   (v)  0 y por consiguiente vˆ  0 . Como v    vˆ  0 , la aplicación v  vˆ es inyectiva y por consiguiente es un isomorfismo. Ahora

dim V  dim V *  dim V **

ya que

iene dimensión finita. En

consecuencia la aplicación v  vˆ es un isomorfismo de V sobre V ** .

V * y se escribirá

V  V ** .

Nótese que si { i } es la base de V * dual a una base { vi } de V, entonces { vi } es la base de

V  V **

dual a  i .

8.- ANULADORES Sea V un K-espacio vectorial y W un subconjunto (no necesariamente subespacio) de V. Se dice un funcional lineal   V *

es un anulador de W si

 (w)  0, w  W ; es decir  (W )  {0} . El conjunto formado por todas las funcionales lineales que cumplen la definición anterior se denota por W 0 y es llamado el anulador de W. Es decir, W 0  {  V * /  (w)  0;  w  W }

El conjunto W 0 es un subespacio de V * , pues W 0  V * por definición y además

W 0   , pues el funcional lineal nulo 0(w)  0 está en W 0 . Hay que probar que dados a, b  K ,  ,   W 0 ; a  b  W 0 En efecto, ( a  b )(w)  ( a )(w)  (b )(w)

 a (w)  b (w)  a(0)  b(0)

Por ser  ,   W 0

0

Luego, a  b  W 0 y en consecuencia W 0 es un subespacio de V * .

EJERCICIO 8.1.1.- Sea V un K-espacio vectorial. Demostrar que si   V * anula un subconjunto S  V , entonces  anula al subespacio L(S ) . SOLUCIÓN Si v  L(S ) entonces existen w1 , , wr  S tal que v  a1 w1   ar wr . Luego,  (v)  a1 (w1 )   ar (wr )  0 . Como v es un elemento arbitrario de

L(S ) ,  anula a L(S ) .

EJEMPLO 8.1.2 .- Sea W el subespacio de R 4 , generado por v1  (1, 2,  3, 4) y v2  (0, 1, 4,  1) . Hallar una base para el anulador de W.

 : R 4  R /  ( x, y, z, w)  ax  by  cz  dw

tal que

 (v1 )  0

 (v2 )  0 .  (v )  0   (1, 2,  3, 4)  a  2b  3c  4d  0  1 b  4c  d  0  (v1 )  0   (0, 1, 4,  1) 

1 2  3 4 0  1 0  11 6 0   ~  0 1 4  1  1   0 1 4  1  1

 11c  6d a  b  4c  d 

 0  a  11c  6d   0  b   4c  d

i) Para c  1, d  0, a  11, b  4 , se tiene 1 ( x, y, z, w)  11x  4 y  z ii) Para c  0, d  1, a  6, b  1 , se tiene  2 ( x, y, z, w)  6 x  y  w . Luego, de i) y ii) el conjunto {1 ,  2 } es una base para W 0 anulador de W.

PROPOSICIÓN 8.2.- Demostrar las siguientes proposiciones: i)  S  V , S  S 00 . ii) S1  S 2  S 20  S10 . PRUEBA i) Sea v  S     S 0 , vˆ( )   (v)  0  vˆ  (S 0 ) 0 . Por lo tanto, por medio de la identificación de V y V**, v  S 00 . Por consiguiente S  S 00 . ii) S1  S 2 (Hipótesis) S 20  S10 (Por demostrar)

Sea   S 20   (v)  0 ;  v  S 2

  (v)  0 ;  v  S1 Por hipótesis    S10

Luego, S 20  S10 .

dim W  dim W 0  dim V

ii) W 00  W donde

W 00  { v  V /  (v)  0 ;    W 0 } ,

también

usual

denotar

W 00  (W 0 ) 0 , consideramos W 00 un subespacio de V por la identificación de V

con V*. PRUEBA i) Supongamos que dim V  n y dim W  r  n . Se quiere probar que dim W 0  n  r . Sea { w1 , , wr } una base para W, luego por el teorema de completamiento de bases extendemos a la siguiente base { w1 , , wr , v1 , , vnr } para V . Consideramos la base dual {1 , ,  r ,  1 , ,  nr } . Por definición de la base dual, cada una de las anteriores  anula a cada wi , luego  1 , ,  nr  W 0 . Afirmación.- { j } es una base de W 0 . Prueba de la afirmación a)

Que sea { j } linealmente independiente. Al ser

{1 , ,  r ,  1 , ,  nr }

base, entonces

{ 1 , ,  nr } es

linealmente independiente. b)

Que { j } genere a W 0 . Sea   W 0 , por una proposición anterior se puede expresar

   (w1 )1     (wr ) r   (v1 ) 1    (vnr ) nr  01    0 r   (v1 ) 1    (vnr ) nr 

   (v1 ) 1    (vnr ) nr

Luego { 1 , ,  nr } genera W 0 . De a) y b) el conjunto { 1 , ,  nr } es una base de W 0 y en consecuencia dim W 0  n  r  dim V  dim W  dim V  dim W  dim W 0

i) dim W 00  n  (n  r )  r , por

consiguiente, dim W  dim W 00 y por el ejercicio anterior W  W 00 . En consecuencia W  W 00 . PROPOSICIÓN 8.4.- Sean U y W subespacios de V. Probar que (U  W ) 0  U 0  W 0 .

PRUEBA i) Sea   (U  W ) 0   anula U  W .   anula U y W    U 0    W 0    (U 0  W 0 )

 (U  W ) 0 U 0  W 0 .

ii) Sea   (U 0  W 0 ) , entonces  anula a U y también anula a W. Si v  U  W entonces

v  u  w; u U , w W .

  (v)   (u)   (w)  0  0  0   anula a U  W .    (U  W ) 0 .

Luego, U 0  W 0  (U  W ) 0 . Finalmente de la doble inclusión y definición de igualdad se tiene (U  W ) 0  U 0  W 0

9. DUAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DEFINICIÓN 9.1.- Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el campo K y

T : V  W una transformación lineal arbitraria. La transformación lineal T induce una aplicación lineal llamada dual de T, denotada por T * y que está definida como T * :W *  V * f  T * ( f )  f  T ; f  W *

es decir: T f V  W  K f T

OBSERVACIÓN 9.1.1.- También es usual llamar a T * transpuesta de la aplicación lineal T. En caso de usar esta denominación es natural denotar T *  T T . PROPOSICIÓN 9.2.- El dual de T es decir T * (según la definición 9.1.) es una transformación lineal. 81

por def. 9.1.

 (af )  T  (bg )  T

 a( f  T )  b( g  T )  aT * ( f )  bT * ( g )



T * es una transformación lineal.

EJEMPLO

9.2.1.- sea f la funcional lineal definida sobre

f ( x, y)  2 x  y . Hallar (T * ( f ))( x, y) si: a) T ( x, y)  (3 y,  x) b) T ( x, y)  (2 x  y, x  y) SOLUCIÓN a)

(T * ( f ))( x, y)  ( f  T )( x, y)

 f (T ( x, y))  f (3 y,  x)

 2(3 y)  x  6y  x b) (T * ( f ))( x, y)  ( f  T )( x, y)

 f (T ( x, y))

 f ( 2 x  y, x  y )  2(2 x  y)  ( x  y)  5x  y

por

Coordenadas o componentes de un vector Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y consideremos una base ordenada B  {v1 , v2 ,, vn } . Luego, todo vector v  V se puede expresar de una única forma

como combinación lineal de los elementos de B. Es decir existen ai  K , i  1, 2,, n tal que: n

v  a1v1  a 2 v2    a n vn   ai vi

(1)

i 1

de tal forma que el vector v  V se puede caracterizar únicamente por los escalares

ai  K , i  1, 2,, n correspondientes a la combinación lineal (1); esto es, por la n-upla de elementos de K que expresamos como un vector columna y denotamos por:

 a1  a  [v]B   2     a n 

(2)

DEFINICIÓN.- La relación (2) se denomina vector de coordenadas de v relativo a la base B, a los escalares a i se les llaman coordenadas o componentes del vector v  V respecto a la base B. Nótese que la transformación lineal v  [v]B determinada por la base ordenada B es un isomorfismo de V en K n1 ; es decir a todo vector v  V se le puede asociar de forma única un vector columna cuyas componentes o coordenadas son los escalares ai  K , i  1, 2,, n correspondientes a la combinación (1) con respecto a la base B. Nota.- En lo que se sigue de esta sección supondremos que el K-espacio vectorial es de dimensión finita y la base considerada B es ordenada. Ejemplo.-Sea B  { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } una base ordenada del espacio vectorial

R 3 sobre R. Hallar el vector coordenado de v  (2, 3,  1) relativo a la base B . Solución (2, 3,  1)  a1 (1, 0, 0)  a2 (1,1, 0)  a3 (1, 1, 1)

(2, 3,  1)  1(1, 0, 0)  4(1,1, 0)  1(1, 1, 1)

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 1 [v]B   4   1



Observación.- Si B es la base canónica de ( K n , , K , ) y v  ( x1 , x2 ,  , xn ) cualquier vector de K n .

 x1  x  [v]B   2  y denotaremos [v]B  [v]     xn 

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensiones finitas, con bases ordenadas B  {v1 , v2 ,, vn } y B'  {w1 , w2 ,, wm } ,

respectivamente. Si T : V  W es una

transformación lineal, entonces por el teorema fundamental de las transformaciones lineales, T está unívocamente determinado por los valores que toma T en los vectores de

B . Es decir, como T : V  W , entonces T (v j )  W , donde: m

T (v j )   aij wi , aij  K

(3)

i 1

para j  1, , n ; escribiendo en forma explícita: T (v1 )  a11w1  a21w2    am1 wm T (v2 )  a12 w1  a22 w2    am 2 wm







T (vn )  a1n w1  a2n w2    amn wm

entonces construimos una matriz que tenga como columnas los vectores de coordenadas de T (v1 ), T (v2 ),, T (vn ) la cual denotaremos por:

 a11 a A   21    a m1

a12 a 22  am2

 a1n   a 2 n       a mn 

(4)

Definición.- La matriz A obtenida en la relación (2) es llamada matriz asociada a la transformación lineal T respecto a las bases B y B' de V y W respectivamente y la denotaremos como:

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------' A  [T ]B B

(5)

' Nota.- La matriz A  [T ]B B definida en la relación (5) también es frecuente denotar

como ' A  [T ]B B  [T ]B,B '  BT B '

Ejemplo.- Sea T : R 3  R 4 tal que T ( x1 , x2 , x3 )  ( x1 , x2 , 0, x3 ) . Hallar la matriz asociada a la transformación lineal T. a)

Respecto a la bases canónicas de R 3 y R 4 respectivamente.

Si B  {(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)} es la base para R 3 y

B' {(1, 0, 0, 0), (1,1, 0, 0), (1,1,1, 0), (1,1,1,1)} es la base para R 4

Solución a)

Respecto a las bases canónicas

{(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)} de R 3 {(1, 0, 0, 0), (0,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1)} de R 4 T (1, 0, 0)  (1, 0, 0, 0)  1(1, 0, 0, 0)  0(0,1, 0, 0)  0(0, 0,1, 0)  0(0, 0, 0,1)

T (0,1, 0)  (0,1, 0, 0)  0(1, 0, 0, 0)  1(0,1, 0, 0)  0(0, 0,1, 0)  0(0, 0, 0,1) T (0, 0,1)  (0, 0, 0,1)  0(1, 0, 0, 0)  0(0,1, 0, 0)  0(0, 0,1, 0)  1(0, 0, 0,1)

1 0 [T ]   0  0

luego

0 0 1 0 0 0  0 1 43

Respecto a las bases

B  {(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)} de R 3 B' {(1, 0, 0, 0), (1,1, 0, 0), (1,1,1, 0), (1,1,1,1)} de R 4

T (1, 0, 0)  (1, 0, 0, 0)  1(1, 0, 0, 0)  0(1,1, 0, 0)  0(1,1,1, 0)  0(1,1,1,1) T (1,1, 0)  (1,1, 0, 0)  0(1, 0, 0, 0)  1(1,1, 0, 0)  0(1,1,1, 0)  0(1,1,1,1) T (1,1,1)  (1,1, 0,1)  0(1, 0, 0, 0)  1(1,1, 0, 0) 1(1,1,1, 0)  1(1,1,1,1)

luego

' [T ]B B

1 0  0  0

0 0 1 1  0  1  0 1  43

( R, , R, .) ,

( R 2 , , R, .)

y la

transformación lineal T : R  R 2 definida como

T ( x)  ( x, 2 x) Hallar la matriz asociada a T respecto a las bases B  {1} , B' {(1, 0), (1, 1) } Solución T (1)  (1, 2)  1(1, 0)  2(1,1)

 1 '  [T ]B B     2  21 Ejemplo.- Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n y

F : V  V una

transformación lineal definida como

F (v)  2v Hallar la matriz asociada de F respecto a ala base: B B'  {v1 , v2 ,, vn } Solución F (v1 )  2v1  0v2    0vn F (v2 )  0v1  2v2    0vn







F (vn )  0v1  0v2    2vn

2 0 B  [ F ]B     0

0  0 2  0     0  2 nn

Ejemplo.- Dados los espacios vectoriales W1  {( x, y, z )  R3 / x  y} y W2  {(aij ) 22  R 22 / aij  a ji }

 z x se define la transformación lineal G : W1  W2 como G( x, y, z )     x 0 Hallar la matriz asociada de G respecto a las bases:

B  {(1,1, 0), (0, 0,1)} de W1 y  1 0 0 0 0 1  B'    ,  ,    de W2 .  0 0 0 1 1 0 

Solución 86

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

0 1 1 0 0 0 0 1 G(1,1, 0)    0    0   1  1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 G(0, 0,1)     1   0   0  0 0 0 0 0 1 1 0

 [G ]

B' B

0 1   0 0 1 0 32

Proposición.- Sean T : V  W una transformación lineal, B  {v1 , v2 ,, vn }

B'  {w1 , w2 ,, wm } bases ordenadas de V y W respectivamente. ' Si A  [T ]B B es la matriz asociada a la transformación lineal T respecto a las bases B y

 c1  c  B' , v  V y C  [v]B   2  las coordenadas de v respecto a la base B, entonces    c n  [T (v)]B'  AC son las coordenadas de T(v) en la base de B' .

Prueba ' Si A  [T ]B B es la matriz asociada a la transformación lineal T, entonces:

T (v j )   aij wi ,  j  1, , n

(1)

i 1

 c1  c  como C  [v]B   2  son las coordenadas de v respecto a la base de B, entonces:     cn  n

v  c jv j j 1

 n  ahora T (v)  T   c j v j   j 1  n

  c j T (v j ) j 1

n  m    c j   aij wi  j 1  i 1 

de (1)

(2)

(3)

Escribiendo explícitamente la relación (3) se tiene n

j 1

T (v)   a1 j c j w1   a 2 j c j w2    a nj c j wn

(4)

Luego de (4)

T (v)B '

 n    a1 j c j   jn1   a c  2j j   j 1    n    a mj c j   j 1 

 a11c1 a c   21 1    a n1c1  a11 a   21    a m1

 a12c 2  a 22c 2    an 2 c2

     

a1n c n  a 2 n c n           a mn c n 

a12  a1n   c1  a 22  a 2 n  c 2          a n 2  a mn  c n 

 AC

Finalmente, tomando extremos se obtiene [T (v)]B'  AC . Ejemplo.- Sea T : R 2  R 3 una transformación lineal definida como

T ( x, y)  (2 x, x  y, x  y) . Considererando:

B  {(1, 1), (1, 2)} una base de R 2 y B'  {(1,  1,1), (1, 0,1), (1,1, 0)} una base de R 3

' i) Hallar [T ]B B .

ii) Si v  (2,  3) , hallar las coordenadas de T (v) . Solución T (1,1)  (2, 2, 0)  0(1,  1,1)  0(1, 0,1)  2(1,1, 0) i)

T (1, 2)  (2, 3,  1)  0(1,  1,1)  1(1, 0,1)  3(1,1, 0)

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 [T ]

B' B

0 0   0  1 2 3  23

ii) v  (2,  3)  7(1,1)  5(1, 2)

7 luego [v]B     5

 T (v)

0 0  0 7      0  1     5  5 2 3     1

Ejemplo.- Sea T : R 3  R 2 una transformación lineal, consideremos las bases:

B  {(1,1,1), (0, 0,1), (0,  1, 0)} de R 3 B'  {(1,1), (1,  1)} de R 2 1 1 / 2 3 / 2 B' Sabiendo que T B     2 1 / 2 3 / 2 i) Hallar T (3, 0, 2) ii) Hallar T ( x, y, z ) Solución v  (3, 0, 2)  3(1,1,1)  1(0, 0,1)  3(0,  1, 0) luego i) 3 [v]B   1  3 

hallando las coordenadas de T (3, 0, 2) tenemos:

T (v)B '

3 1 1 / 2 3 / 2     7     1    2 1 / 2 3 / 2  3  10  

 T (3, 0, 2)  7(1,1)  10(1,  1)  (17,  3) ii)

Sea v  ( x, y, z)  x(1,1,1)  ( z  x)(0, 0,1)  ( x  y)(0,  1, 0) luego

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 x  [v]B   z  x   x  y  Hallando las coordenadas de T ( x, y, z ) :

T ( x, y, z )B '

 x  1 1 / 2 3 / 2    z  x     2 1 / 2 3 / 2  x  y     2 x   3 x  

T ( x, y, z )  (2 x 

3 y  2 3 y  2

1  z 2  1  z 2 

3 1 3 1 y  z ) (1,1)  (3 x  y  z ) (1,  1) 2 2 2 2

 T ( x, y, z)  (5x  3 y  z,  x) Proposición.- Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas

B  { v1 , v2 ,  , vn } y B  { w1 , w2 ,  , wm } , respectivamente. Si

T , S :V  W son dos transformaciones lineales y a, b  K , entonces

aT  bS BB  aT BB  bS BB Prueba

 

Sean T B  aij B

 

y S B  bij B

las matrices asociadas de T y S con respecto a las

bases ordenadas B  { v1 , v2 ,  , vn } de V y B  { w1 , w2 ,  , wm } de W. Se tiene

(aT  bS )(v j )  aT (v j )  bS (v j ) ; j  1, , n m

i 1

 a aij wi  b bij wi ; j  1, , n m

i 1

  (aaij ) wi   (bbij ) wi ; j  1, , n m

  (aaij  bbij ) wi ; j  1, , n i 1

De este modo,

aT  bS BB  aaij  bbij ; i  1,, m,

j  1,, n

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

     aa   bb ; i  1,, m, j  1,, n  aaij  bbij ; i  1,, m, j  1,, n ij

 aT B  bS B B

B

Ejercicio.- Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas

B  { w1 , w2 ,  , wm } , respectivamente. La

B  { v1 , v2 ,  , vn } y

transformación lineal T : V W es nula si y solo si T B  0 . B

Prueba

)

Asumiendo que la transformación lineal T : V W es nula. Sean B  { v1 , v2 ,  , vn } y B  { w1 , w2 ,  , wm } las bases ordenadas de V y W respectivamente, entonces m

T (v j )     aij wi ;  j  1, , n i 1

0w1  0w2    0wm  a1 j w1  a2 j w2   amj wm ; j  1, , n  aij  0 ;  i  1, , m , j  1, , n por ser B  { w1 , w2 ,  , wm } una base para W, luego

T 

B B

)

0  0         0 0  0

Ahora asumiendo que T B  0 . B

Sea v  V , por ser B  { v1 , v2 ,  , vn } base de V, se tiene que

 c1  c  [v]B   2  , luego por una proposición demostrada anteriormente se tiene que    c n 

T BB [v]B  [T (v)]B Entonces,

 c1  0 0  0  0      0  c2  0            [T (v)]B           0  0       0  c n   0 

T (v)  0w1  0w2    0wm  0,  v  V .

transformación lineal T es nula.

consecuencia

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Teorema.- Sean V, W dos K-espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente. Para cada par de bases B  {v1 , v2 ,, vn } de V y B'  {w1 , w2 ,, wm } de W se tiene que: L(V , W )  K mn

Prueba Definimos:

 : L(V , W )  K mn T

'   (T )  [T ]B B

Afirmación 1. -  es una transformación lineal. En efecto: Sean T , S  L(V , W ) y a, b  K tal que: '  (T )  [T ]B B  [aij ] mn  A

'  (S )  [S ]B B  [bij ] mn  B

Se tiene '  (aT  bS )  [aT  bS ]B B

Por definición de  .

' B'  a[T ]B B  b[ S ]B

Por la proposición anterior.

 a (T )  b (S )

Sustitución

Con lo cual se verifica la afirmación 1. Afirmación 2.-  es un isomorfismo. En efecto: i)

 es inyectiva Nu( )  {T  L(V , W ) /  (T )  0} '  {T  L(V , W ) / [T ]B B  0}

 {T  L(V , W ) / T  0}

Por el ejercicio anterior.

luego Nu( )  {0}

  es inyectiva ii)

 es sobre

dim L(V , W )  m  n  dim K mn , por la parte (i)  es inyectiva se tiene que  es

sobre. Luego de (i) y (ii)  es un isomorfismo.



L(V , W )  K mn

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Proposición .-Dados V, W, U espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo K y sean T : V  W y S : W  U transformaciones lineales. Si B , B y B son las bases ordenadas de los espacios vectoriales V, W y U respectivamente, entonces:  B B [S  T ]B B  [ S ]B [T ]B

Prueba Consideremos: B  {v1 , v2 ,, vn }, B  {w1 , w2 ,, wm } y B  {u1 , u 2 ,, u r } las bases ordenadas para V, W y U respectivamente. m

 A  (aij ) mn  [T ]B B tal que T (v j )   aij wi ,  j  1, 2, , n

i 1 r

 B  (bkl ) rm  [S ]B B tal que S ( wl )   bkl u k ,  l  1, 2, , m

k 1

(S  T )(v j )  S T (v j ) ; para cualquier j, 1  j  n

 m   S   aij wi   i 1  m

  aij S ( wi ) i 1

m  r    aij   bki u k  i 1  k 1  r  m      bki aij  u k k 1  i 1 

luego: r  m  ( S  T )(v j )     bki aij  u k k 1  i 1  ck j

  ck j u k

1 j  n

k 1

entonces:

 [S  T ]B B  [c k j ] r n

pero c k j es el (k , j ) término del producto de las matrices BA. En consecuencia, finalmente tenemos que:  B B [S  T ]B B  [ S ]B [T ]B

T : R3  R2 ( x, y, z )  ( x  y, z  x) S:

R2  R ( x, y )  2 x  y

y consideremos las bases:

B  {(1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)} de R 3 , B  {(1, 3), (2,1)} de R 2 y B  {1} de R. Hallar:  i) [ S  T ]B B

ii) (S  T )( x, y, z) iii) (S  T )(2,  1, 4) Solución i)

2 6 T (1,1,1)  (2, 0)   (1, 3)  (2,1) 5 5

4 7 T (1,1, 0)  (2,  1)   (1, 3)  (2,1) 5 5 3 4 T (1, 0, 0)  (1,  1)   (1, 3)  (2,1) 5 5

 2 / 5  4 / 5  3 / 5  [T ]B B   7/5 4 / 5  23  6/5

S (1, 3)  5  5(1) S (2,1)  5  5(1)  [S ]B B  5 512

 [S  T ]BB  5

 2 / 5  4 / 5  3 / 5 5  7/5 4 / 5   6/5

 4 3 1 ii)

(S  T )( x, y, z) Hallemos [( x, y, z )]B

( x, y, z)  a(1,1,1)  b(1,1, 0)  c(1, 0, 0) calculando se tiene que a  z, b  y  z, c  x  y . Luego:

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

( x, y, z)  z(1,1,1)  ( y  z)(1,1, 0)  ( x  y)(1, 0, 0)  z  [( x, y, z )]B   y  z   x  y   [(S  T )( x, y, z)]B  [S  T ]B B [( x, y, z )]B

 z   4 3 1  y  z   x  y 

 4 z  3( y  z)  ( x  y)  x  2y  z

(S  T )( x, y, z)  x  2 y  z iii) (S  T )(2,  1, 4)  4

Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales:

T : R 2  W  {( x, y, z )  R 3 / x  2 y} ( x, y)  (2 y, y, 0) y F :W

 R 22

x y  ( x, y , z )     z  x

y las bases:

B  {(1,1), (1, 0)} de R 2 B  {(2,1, 0), (0, 0,1)} de W  1 0 0 1 0 0 0 0  22 B    , , ,  de R .      0 0 0 0 1 0 0 1  Hallar:  B i) [T ]B B y [F ]B  ii) [ F  T ]B B

Solución i)

T (1,1)  (2,1, 0)  1(2,1, 0)  0(0, 0,1) T (1, 0)  (0, 0, 0)  0(2,1, 0)  0(0, 0,1)

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 0  [T ]B B    0 0  2 1  1 0 0 1 0 0 0 0 F (2,1, 0)    2  0 0  10 0  01 0  20 1 0  2         0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 F (0, 0,1)    0    0   1   0  1 0 0 0 0 0 1 0 0 1

 [ F ]B B

2 1  0   2

0 0 1  0

 B B ii) [ F  T ]B B  [ F ]B [T ]B

2 1  0   2

0 0 1 0 1 0 0  0

2 1  0   2

0 0 0  0

Corolario.- Sean V, W espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas

B y B respectivamente y T : V  W una transformación lineal. T es un isomorfismo  si y solo si [T ]B B es inversible.

Prueba.- Ejercicio.

Matriz cambio de base Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, consideramos B  {v1 , v2 ,, vn } y B  {v'1 , v' 2 ,, v' n } dos bases ordenadas para V.

Para hallar la matriz cambio de base de B a B . Se considera el endomorfismo identidad

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

I : V  V tal que I (v j )  v j ,  j  1, 2,, n , luego expresando v j como una combinación lineal de los elementos de B se tiene n

I (v j )  v j   pij vi ,  j  1, 2,, n

(1)

i 1

escribiendo (1) explícitamente se obtiene: I (v1 )  v1  p11v1  p21v2    pn1vn I (v2 )  v2  p12v1  p22v2    pn 2 vn







I (vn )  vn  p1n v1  p2n v2    pnnvn

la matriz asociada al endomorfismo I respecto a las bases B y B que denotamos por:

 P  [ I ]B B

 p11 p   21     p n1

p12  p 22    pn2 

p1n  p 2 n     p nn 

es llamada matriz cambio de base de B a B . ii)

Para hallar la matriz cambio de base de B a B Se considera el endomorfismo identidad I : V  V tal que I (vj )  vj ,  j  1, 2,, n

luego expresando v j como una combinación lineal de los elementos de B se tiene n

I (v j )  v j   qij vi ,  j  1, 2,, n

(2)

i 1

y escribiendo (2) explícitamente se tiene: I (v1 )  v1  q11v1  q21v2    qn1vn I (v2 )  v2  q12v1  q22v2    qn 2 vn





I (vn )  vn  q1n v1  q2n v2    qnnvn



Q  [ I ]B B

 q11 q12 q q 22   21     q n1 q n 2

 q1n   q 2 n       q nn 

es llamada matriz cambio de base de B a B. Observación.-También es usual denotar la matriz P cambio de base de B a B por B' B o BMB' y la matriz Q cambio de base de B a B por M B' o B' MB . MB

Ejercicio.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita n e

I :V V

endomorfismo identidad, entonces [ I ]B B  I n donde I n es la matriz identidad de orden n y B una base cualesquiera de V. Proposición.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, B  {v1 , v2 ,, vn } y B  {v'1 , v' 2 ,, v' n } dos bases ordenadas para V. Entonces las matrices de cambio de

bases P de B a B y Q de B a B son inversas entre sí. Prueba En efecto, ' B PQ  [ I ]B B [ I ]B '

Por definición de P y Q.

'  [ I  I ]B B'

Por propiedad demostrada.

'  [ I ]B B'

Pues I  I  I .

 In

Por el ejercicio anterior.

Análogamente se demuestra que QP  I n . Luego, PQ  I n y QP  I n lo que demuestra que P y Q son inversas entre si. Ejemplo.- Sean B  {(1,1), (1, 0)} y B  {(1, 0), (2,1)} dos bases de R 2 . Hallar la matriz cambio de base: i) P de la base B a la base B . ii) Q la base B a la base B. iii) Verifique que P y Q son inversas entre si

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Solución (1,1)  1(1, 0)  1(2,1) i)

(1, 0)  1(1, 0)  0(2,1)

1  1 P  1 0  ii)

(1, 0)  0(1,1)  1(1, 0)

(2,1)  1(1,1)  1(1, 0)  0 1 Q   1 1  0 1 1  1 1 0 PQ       1 1 1 0  0 1

iii)

Proposición.- (Fórmulas de transformación de coordenadas) Sea

V un

K-espacio vectorial de

dimensión

finita con

bases

ordenadas

B  {v1 , v2 ,, vn } y B  {v'1 , v' 2 ,, v' n } . Si P es la matriz cambio de base de B a

B y Q la matriz cambio de base de B a B, entonces para todo v  V se tiene que P[v]B  [v]B y Q[v]B  [v]B Prueba

 a1   a '1  a  a'  2  Sean: [v]B  y [v]B   2           an  a ' n  las coordenadas del vector v  V con respecto a las bases B y B . Probaremos que P[v]B  [v]B n

Entonces

v  a jv j j 1

n  n    a j   pij vi  j 1  i 1 

(1)

Por otro lado tenemos que: n

v   aivi

(2)

i 1

De (1) y (2) por la unicidad de la combinación lineal, ya que B es una base tenemos n

ai   pij a j ,  i  1, 2,, n

(3)

j 1

es decir, explícitamente: a1  p11a1  p12a2    p1n an a2  p21a1  p22a2    p2n an







an  pn1a1  pn 2 a2    pnn an

 a1   p11 a    p  2    21       a n   p n1



p12  p 22    pn2 

p1n   a1  p 2 n  a 2        p nn  a n 

[v]B  P [v]B

(4)

Ahora como P y Q son inversas entre sí, tenemos que:

Q[v]B  QP[v]B   (QP)[v]B

 [v]B pues QP  I



Q[v]B  [v]B

(5)

Las expresiones (4) y (5) se denominan fórmulas de transformación de coordenadas.

Proposición.- Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas B y C respectivamente. Si

T : V W es una transformación lineal

inversible y siendo T 1 dicha inversa, entonces

T 

1 B C

C 1  ([T ]B )

Prueba

100

 

C [T ]B T 1

B C

 [T  T 1 ]CC  [ I ]CC  I n

Donde I n es la matriz identidad de orden n. Análogamente,

T 

1 B C

C B [T ]B  [T 1  T ]B B  [ I ]B  I n

Por consiguiente,

T 

1 B C

C 1  ([T ]B )

Proposición .- Sean V, W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases B y C respectivamente, entonces la transformación lineal T : V W es un isomorfismo C si y solo si [T ]B posee inversa.

Prueba

)

Asumiendo que T es un isomorfismo.

T : V W posee inversa

T 1 : W V , luego por la proposición anterior

C 1 ([T ]B )  [T 1 ]B C .

)

C Ahora asumiendo que [T ]B posee inversa.

Se tiene que

ran(T )  dim W , luego solo resta probar que T es una

transformación lineal inyectiva. Si T (v)   , entonces C 1 [ v ]B  ([ T ]B ) [ T (v)]C  0

Como todas las coordenadas de v son iguales a cero, se tiene que v   , luego

Nu(T )  { } y en consecuencia T es inyectiva.

Ejemplo.- Sea P 1[ R ] es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno sobre el campo de los reales R y la transformación lineal T : R 2 P 1[ R ] definida como T (a, b)  a  (a  b) x , demuestre que T es un isomorfismo y calcule la inversa de T. Solución

101

T (1, 0)  1  1x T (0, 1)  0  1x 1 0  C Luego, [ T ]B   1  1 C La matriz [T ]B

1 0  C 1 es inversible y ([ T ]B )   ; en consecuencia T es un 1  1

isomorfismo. Para calcular la inversa de T

1 0  a   a  [ T 1 (a  bx)]  [ T 1 ]B C [ a  bx ]C        1  1 b  a  b T 1 (a  bx)  a(1, 0)  (a  b)(0, 1)  T 1 (a  bx)  (a, a  b)

Proposición.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, B y C dos bases ordenadas para V y T :V V un endomorfismo, entonces C [ T ]B B  Q[ T ]C P

donde P es la matriz cambio de base de B a C y Q la matriz cambio de base de C a B. Prueba C Como P  [ I ]B y Q  [ I ]B C se tiene

B C B C B C B B Q[ T ]CC P  [ I ]B C [ T ]B [ I ]B  [ I ]C [ T  I ]B  [ I ]C [ T ]B  [ I  T ]B  [T ]B

Tomando extremos se obtiene, C [T ]B B  Q[ T ]C P

con lo cual queda demostrada la proposición. La proposición anterior se puede interpretar mediante el siguiente gráfico

102

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[T ]CC

V, C

[T ]B B

V, B

Matrices semejantes Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T : V  V un endomorfismo. Se consideran B y

B dos bases ordenadas de V. Si se denotan por

A  T B , B

B  T B , P la matriz cambio de base de B a B y P 1 la matriz cambio de base B

de B

a B por la proposición anterior se tiene que

A  P 1 BP . Las matrices

A, B  K nn que representan al mismo endomorfismo respecto a las bases B y B son llamadas semejantes. Estoes, diremos que A es semejante a B si y solo si existe una matriz P no singular tal que A  P 1 BP . La proposición anterior se extiende para el caso de una transformación lineal

T :V  W

donde V y W son K-espacios vectoriales de dimensiones n y m

respectivamente. Si B y B son bases para V; C y C  bases para W con matrices C C asociadas A  [T ]B , B  [T ]B  y matrices cambio de base P de B a B  y Q de

C y C  se cumple que A  Q 1 BP . Es decir, dada la transformación lineal T : V W donde V y W son dos K-espacios vectoriales de dimensiones n

m respectivamente, diremos que las matrices

A, B  K nn representan a la misma transformación lineal

P  K nn y Q  K mm no singulares tales que A  Q 1 BP . El siguiente gráfico, ilustra la situación antes descrita.

V , B

W, C 

V, B

Q -1

P A

W, C

103

existen matrices

Si B es la base canónica de R 3 y C es la base canónica de R 2 . Hallar la matriz de T respecto a las bases B y C.

ii)

Calcular las matrices de cambio de base de las bases dadas en (i) a las bases:

B  {(1, 0,  1), (1,1,1), (1, 0, 0)} de R 3 y C   {(0,1), (1, 0)} de R 2 iii)

Calcular la matriz de T respecto a las bases dadas en (ii).

Solución i)

C Hallemos [T ]B

T (1, 0, 0)  (1,  1)  1(1, 0)  1(0,1) T (0,1, 0)  (1, 0)  1(1, 0)  0(0,1)

T (0, 0,1)  (0, 2)  0(1, 0)  2(0,1)

 A  [T ]

C B

ii)

 1 1 0     1 0 2

R 3 , B

R2 , C 

P -1

R3 , B

Q A

R2 , C

Calcularemos las matrices de cambio de base de las bases dadas De B  {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)} a B  {(1, 0,  1), (1,1,1), (1, 0, 0)}

(1, 0, 0)  0(1, 0,  1)  0(1,1,1)  1(1, 0, 0) (0,1, 0)  1(1, 0,  1)  1(1,1,1)  2(1, 0, 0)

(0, 0,1)  1(1, 0,  1)  0(1,1,1)  1(1, 0, 0) 0 1  1 P  0 1 0  , 1  2 1 

104

1

 1 1 1   0 1 0  1 1 0

(1, 0)  0(0,1)  1(1, 0)

(0,1)  1(0,1)  0(1, 0) 0 1  Q  1 0 iii) Calcular la matriz de T respecto a las bases dadas (ii). B  QAP 1

 1 1 1 0 1   1 1 0    0 1 0     1 0  1 0 2  1 1 0  

 3 1  1   1 2 1

Ejercicios 1.

Una transformación lineal T : R 3  R 2 está definida por

T ( x, y, z)  ( x  2 z, y  z) a)

Hallar la matriz asociada A de T, respecto a las bases:

{ (1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0) } en R 3 y { (2, 0), (0, 2} en R 2 b)

Mediante A, determinar la imagen de (2, 2,  2)  R 3 .

Determinar la matriz B de T, respecto a las bases canónicas en ambos espacios.

Obtener la matriz C de T, respecto a la base canónica de R 3 y la base dada para R 2 en la parte a).

Hallar la matriz de la transformación lineal S : R 3  R 4 , donde S está definida como:

S ( x, y, z)  (3x  y, x  y, y  z, x  y  z) en las bases que se indican a continuación a)

En las bases canónicas.

{ (3, 2, 4), (5,  1, 4), (1, 4,  3) } base de R 3 y {(0, 0, 2, 4), (3, 0,  1, 1), (0, 4, 5,  1), (1,  1, 1,  1)} base de R 4 .

La base canónica de R 3 y para R 4 la base dada en b) 105

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------3.

Sea la transformación lineal f : R 2  R 3 definida por

f ( x, y)  ( x  y, x  y, x  2 y) a)

Determinar el Nu(f), Im(f), una base para cada uno y sus respectivas dimensiones.

Hallar la matriz asociada de f respecto a las bases:

{ (1, 2), (2, 0) } en R 2 y { (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) } en R 3 4.

La matriz asociada de la transformación lineal f : R 3  R 3 respecto de la base canónica es

1 1   1  A   3  3  3    2 4 2  Determinar el Nu(f), Im(f) y sus dimensiones. 5.

Sea T el operador lineal sobre C 2 definido por T ( z1 , z 2 )  ( z1 , 0) . Sea B la base ordenada canónica de C 2 y sea B  { (1, i) , (i, 2) } . a)

¿Cuál es la matriz asociada de T respecto al par de bases B y B ?.

¿Cuál es la matriz asociada de T respecto al par de bases B y B ?.

¿Cuál es la matriz asociada de T en la base B  { (1, i) , (i, 2) } ?.

6. Si V  { ax 2  bx  c / a, b, c  R } y T : V  R 2 es una transformación lineal definida por T (ax 2  bx  c)  (b  2c, 3c  2a) , determine la matriz asociada a T respecto a las bases B1  { 1, 1  x, 1  x  x 2 } de V y B2  { (3, 2), (2, 3)} de R 2 . 7.

Dada la transformación lineal f : R 22  R 3 definida por  a b   f      (a  b  c, a  b  d , b  c  d ) c d   

a) Obtener la matriz de f respecto de las bases:

 1 1 1 0 0 0 0 1   ,  ,  ,    y { (0, 2, 1), (2, 0, 1), (0, 1, 1) }  1 1 1 0 0 1 1 1 

  1 3 c) Utilizando la matriz hallada, obtener la imagen de  .  2 2

106

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------8.

Determinar la transformación lineal f : R 3  R 2 , tal que respecto de las bases

{ (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) } en R 3 y { (1, 2), (2, 1) } en R 2 su matriz asociada sea

1 0 0   0 1 1  .   9.

Hallar la matriz de la transformación lineal g  f

respecto de las bases

{ (1, 1), (0,  1) } en el dominio, { (2, 0), (2, 2) } en el codominio donde f : R 2  R 3 / f ( x, y)  ( x, x  y, y) g : R 3  R 2 / g ( x, y, z)  ( x  y, z) .

10.

Sea la transformación lineal

cos   sen 

f : R 2  R 2

representada por la matriz

 sen  respecto de la base canónica. cos  

Demostrar que si 

y   son números reales cualesquiera, entonces

f   f  f  y f1  f  .

11.

El endomorfismo T : R 3  R 3 está definido por

T ( x, y, z)  ( x, x  y, x  y  z) En caso de ser posible, halle la matriz asociada a T 1 con respecto a la base B  { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } . 12.

Sea f : R 3  R 2 definida por f ( x, y, z)  ( x  y  z, x  y) a)

Hallar la matriz de f respecto a las bases canónicas de R 3 y R 2 respectivamente.

Obtener las matrices de cambio de base, de las bases anteriores a las bases

{ (0, 1, 1), (1,  1,  2), (1,  1,  1) } , { (1, 3), (0,  2) } . c) 13.

Calcular la matriz B de f, respecto al nuevo par de bases.

Hallar las matrices de cambio de base en cada uno de los siguientes casos: a)

{ (2, 3), (3, 2) } y { (1, 4), (4, 2) } bases de R 2 .

{ x, x  1, x 2  2 x  1} y {1, x 2  2 x  1, x 2 } bases del espacio vectorial V  { a  bx  cx 2 / a, b, c  K }

Dado el espacio U  { ( x, y, z, w)  R 4 / x  y  z  w  0} y dos bases

B  {(1, 1, 1,  3), (1,  1, 1,  1), (1,  1,  1, 1)} y B  {(1, 0,  1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1)}

107

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------14.

Dados el espacio vectorial

B  { (1, 0), (2, 1) } ,

con las bases B  { (1, 1), (3, 2) } y

espacio

vectorial

con

las

bases

C  {(2, 2, 3), (2,  4, 1), (1, 4,  2)} y C   {(1, 1, 0), (1, 2, 1), (2,  1, 2)} . Sea T : R 2  R 3 una transformación lineal que tenga en las bases B y C la

 1 2 matriz asociada  2 1  , se pide  3 1  a)

Hallar la matriz P cambio de base de B a B . Análogamente, hallar la matriz Q cambio de base de C a C  .

Hallar P 1 y Q 1 para las matrices correspondientes a la parte a).

Hallar la matriz asociada de la transformación lineal T, respecto a las bases B y C  .

15.

En el espacio vectorial

R 2 fijando

  R , se considera la base

C  { (cos  , sen ), (sen , cos  )} . a)

Hallar la matriz cambio de base de C a la base canónica de R 2 .

Determine las coordenadas del vector v  (a, b) con respecto a la base C.

16.

Sean B  { v1 , v2 , v3 } y C  { u1 , u 2 , u3 } bases ordenadas de un R-espacio vectorial V relacionados de la siguiente forma

u1  3v1  v3  u1  v1  v 2  v3 u  2v  3v 2 3  3 a)

Hallar la matriz cambio de base de B a C.

 2 Si [v]B  1  , halle [v]C . 3

 1 Si [v]C   3  , halle [v]B .  2 

108

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------17.

Considere el siguiente subespacio de M 2 ( R) ;  x W   z

 y  M ( R ); x  y  z  0  2 t  

 1 1 1 0 0 0   1 0 0  1 0 0  y sean B    ,  , , C       ,  ,    dos  0 0 1 0 0 1   1 0 1 0  0 1  bases de W. a)

Halle las matrices cambio de base de B a C y de C a B.

0 0 1  Encuentre una base D de W, tal que la matriz P  3 0 1 sea la 1 2 0

matriz cambio de base de D a B. 18.

Sea el endomorfismo T  L( R 3 ) , cuya matriz asociada respecto a la base B  { v1 , v2 , v3 } es

2 1   3   2 1 0     4 3 1 

Se pide: a)

Probar que B  { v3 , T ( v3 ), T 2 ( v3 ) } es también base de R 3 .

Hallar la matriz asociada de T con respecto a la base

B  { v3 , T ( v3 ), T 2 ( v3 ) } . 19.

Sean P2 [ x] y P3 [ x] los espacios vectoriales de los polinomios de grado menor igual a dos y menor o igual a tres, respectivamente, y sea T : P2 [ x]  P3 [ x] la transformación lineal definida por T( p(x)) = x p(x). a)

Determinar la matriz asociada a T con respecto a las bases canónicas de P2 [ x] y P3 [ x] , respectivamente.

Obtener la matriz asociada de T con respecto a las bases : B  {1  x 2 , 1  3x  2 x 2 , 5  4 x  4 x 2 } de P2 [ x] y B'  {1, x, x 2 , x 3 } de P3 [ x] .

Haciendo uso de las matrices obtenidas en a) y b) calcular la imagen del vector 1  3x  x 2 .

109

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------DETERMINANTES Sea V un K-espacio vectorial y f : V  V  K una función. Diremos que f es una forma bilineal sobre V si y solo si satisface las siguientes condiciones: i)

f (au1  bu 2 , v)  af (u1 , v)  bf (u 2 , v) ;  u1 , u 2 , v V ;  a, b  K

ii)

f (u, cv1  dv2 )  cf (u, v1 )  df (u, v2 ) ;  v1 , v2 , u V ;  c, d  K

Observación Sea f : V  V  K una forma bilineal. 1)

Para cada v  V definimos

fv : V  K u  f v (u )  f (u, v) 2.

Para cada u  V definimos

f u :V  K v  f u (v)  f (u, v) Es inmediato verificar que f v y f u son K-lineales. Ejemplo 1.- Sea K un campo y consideremos el espacio vectorial K n . Para todo

x  ( x1 , x2 ,  , xn ), y  ( y1 , y2 ,  , y n ) K n definimos la aplicación n

f : K n  K n  K tal que f ( x, y )   xi yi i 1

La aplicación f así definida es una forma bilineal. Ejemplo 2.- Sea A  K nn , definimos f : K n  K n  K tal que

f ( x, y )  xAy T  a11 a12 a a 22  ( x1 , x 2 ,  , x n )  21     a n1 a n 2

 a1n   y1   a 2 n   y 2          a nn   y n 

 y1    n n  n  y 2     xi ai1 ,  xi ai 2 ,  ,  xi ain  i 1 i 1  i 1       yn  n

j 1

i 1

  y j  xi aij

110

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n

  aij xi yi i 1 j 1

La aplicación f así definida es una forma bilineal y la expresión   aij xi yi se i 1 j 1

denomina polinomio bilineal correspondiente a la matriz A. Observación.- Denotemos con L2 (V , K ) el conjunto de las formas bilineales. Es decir,

L2 (V , K )  { f : V  V  K / f es bilineal } En L2 (V , K ) definimos las operaciones

( f  g )(u, v)  f (u, v)  g (u, v) ;  u, v V y

(af )(u, v)  af (u, v) El conjunto L2 (V , K ) con las operaciones antes definidas es un espacio vectorial sobre K. Formas bilineales alternadas Definición.- Sea V un K-espacio vectorial. Diremos que una forma bilineal f sobre V es alternada si i)

f (v, v)  0 , v  V

Nótese que si f es alternada, entonces se cumple ii)

f (u, v)   f (v, u) ;  u, v  V En efecto,

0  f (u  v, u  v)  f (u, u )  f (u, v)  f (v, u )  f (v, v)   0

 0  f (u, v)  f (v, u)  0  f (u, v)   f (v, u) Una forma simétrica que satisface la condición ii) se dice antisimétrica o hemisimétrica. Observación.- Si

11  0

en K, entonces de la condición ii) se tiene

f (u, u)   f (u, u) lo que implica la condición i). Es decir alternadas y antisimétricas son equivalentes cuando 1  1  0 . Ejemplo 1.- Consideremos el R- espacio vectorial R n , A  R nn tal que A   AT . Definimos f : Rn  Rn  R ( x , y )  f ( x, y )  xAy T

111

Luego, tomando extremos f ( x, y)   f ( y, x) . Como en K  R, 1  1  0 , entonces

f ( x, x)  0 y en consecuencia f es alternada. Ejemplo 2.- Sea V un K-espacio vectorial donde dim V  n , K es tal que 1  1  0 y sean f1 , f 2  V * . Definimos

f : V V  K (u, v)  f (u, v)  f1 (u ) f 2 (v)  f 2 (u ) f1 (v) Dejamos como ejercicio la prueba de que la aplicación f es bilineal. Probaremos que f es alternada. En efecto,

f (u, v)  f1 (u ) f 2 (v)  f 2 (u ) f1 (v)  [ f 2 (u ) f1 (v)  f1 (u ) f 2 (v)]  [ f1 (v) f 2 (u )  f 2 (v) f1 (u )]   f ( v, u ) Luego, tomando extremos se cumple que f (u, v)   f (v, u) , en consecuencia queda probado que f es alternada. Ejercicio.- Denotemos el conjunto de todas las formas bilineales alternadas por

A2 (V , K )  { f  L2 (V , K ) / f es alternada } Demuestre que A2 (V , K ) es un subespacio de L2 (V , K ) . Observaciones Sea f  A2 ( K 2 , K ) se cumple: 1.

f (u  v, v)  f (u, v) .

f (0, v)  0  f (u, 0) ;  f  L2 (V , K ) .

f (u, u)  0

Existe f  A2 ( K 21 , K ) tal que

 a   c   f   ,     ad  bc .  b   d  

112

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 1 0   En efecto, sea e1   , e2     la base canónica de K 21 y { e1* , e2* } la 0  1   base del dual de K 21 correspondiente a { e1 , e2 } . Es decir, ei* : K 21  K es lineal verificando ei* (e j )   ij . Entonces f (u, v)  e1* (u)e2* (v)  e2* (u)e1* (v)

(1)

La aplicación f es una forma bilineal alternada.

a  u     u  ae1  be2 b  c  v     v  ce1  de2 d 

f (u, v)  f (ae1  be2 , ce1  de2 )  af (e1 , ce1  de2 )  bf (e2 , ce1  de2 )  acf (e1 , e1 )  adf (e1 , e2 )  bcf (e2 , e1 )  bdf (e2 , e2 ) 

 adf (e1 , e2 )  bcf (e2 , e1 ) 

 adf (e1 , e2 )  bcf (e1 , e2 )  (ad  bc) f (e1 , e2 ) Tomando extremos se tiene f (u, v)  (ad  bc) f (e1 , e2 )

(2)

Pero por la relación (1) se tiene f (e1 , e2 )  e1* (e1 )e2* (e2 )  e2* (e1 )e1* (e2 )  (1)(1)  (0)(0)  1

Finalmente reemplazando el valor de f (e1 , e2 )  1 en la relación (2) se tiene

a  c  f (u, v)  ad  bc , donde u    y v    d  b  5.

Se tiene que dim A2 ( K 21 , K )  1 .

a  c  En efecto, sea D  A2 ( K 21 , K ) , u    y v    y si A  [ u , v] , d  b  entonces

D( A)  D([u, v])  (ad  bc) D(e1 , e2 )  

(1)



Por otro lado, det( A)  ad  bc y reemplazando en la relación (1) se tiene D( A)   det( A),  A  K 22

Luego, dim A2 ( K 21 , K )  1 , pues  D  A2 ( K 21 , K ) se tiene que D   det .

113

V  V f : V n  K , donde V n  V      n veces

tal que f (v1 ,, avi  bvi, , vn )  af (v1 , , vi , , vn )  bf (v1 , , vi, , vn ) vi, v1 , , vn  V , i  1, , n; a, b  K .

Denotemos el conjunto de las formas n-lineales por

Ln (V , K )  { f : V n  K / f es n  lineal }

Ln (V , K ) es un K-espacio vectorial. Definición.- Diremos que f  Ln (V , K ) es alternada si y solo si

f (v1 , , vi , , v j , vn )  0 si vi  v j para i  j Nótese que el conjunto An (V , K )  { f  Ln (V , K ) / f es alternada } es un subespacio de Ln (V , K ) . Observaciones 1.

Suponiendo que 1  1  0 en K se verifica

f  An (V , K )  f (v1 , , vi ,, v j ,, vn )   f (v1 , , v j ,, vi ,, vn ) ,  i  j es decir f es antisimétrica. Asumiendo que f es alternada, definimos

g (u, v)  f (v1 , , u ,, v,, vn ) ; vk  V , k  {i, j} están fijados i

La aplicación g es bilineal. Como f es alternada, g está bien determinada.

g (u, v)   g (v, u)  f (v1 , , vi ,, v j ,, vn )   f (v1 , , v j ,, vi ,, vn ) Recíprocamente, asumiendo que

f (v1 , , vi ,, v j ,, vn )   f (v1 , , v j ,, vi ,, vn ) ,  i  j Se tiene que g (u, u)  0  f (v1 , , u, , u, , vn )

Si v1 , , vn  V son linealmente dependientes, entonces f (v1 , , vn )  0,  f  An (V , K )

114

sin pérdida de generalidad que v n   ci vi i 1

f (v1 , , vn1 , vn )  f (v1 , , vn1 ,  ci vi ) i 1

n 1

  ci f (v1 ,  , v n 1 , vi ) i 1

0

Función determinante Definición.- Sea K un campo tal que 1  1  0 , y si A  K nn que escribimos como A  [ A1 , A2 , , An ] , donde Ai con 1  i  n denota la columna del lugar i de la

matriz cuadrada A. Diremos que D : K nn  K

es una función determinante, si

considerada como función sobre las columnas de una matriz es una forma n-lineal alternada. Es decir, A  K nn , D( A)  D( A1 , A2 , , An ) . Observación. f K nn   K n  K n  K n   K ; f  An ( K n , K )



[ A1 , A2 , , An ]

D  f    D( A)  f   ( A)  f ( A1 , A2 , , An )

Notación.- Si A  [aij ]nn es una matriz cuadrada de orden n,

A(i | j ) denotará la

matriz cuadrada de orden (n  1)  (n  1) obtenida de A, al eliminar la i-ésima fila y jésima columna.

j  a11    a1n           aij    i       a n1     Es decir si A  [ A1 , , A j 1 , A j , A j 1 , , An ] , entonces

A(i | j )  [ A1 , , A j 1 , A j 1 , , An ]  [ A1 , , Aˆ j , , An ] Por convención Aˆ j significará la omisión de la columna j.

115

Demostración La demostración de la existencia dem de D la haremos por inducción sobre n. Para n  1, A  [a]11 , D( A)  a Para n  2 se cumple por la observación parte (4). Hipótesis inductiva Para n  2 , supongamos que el teorema se cumple para matrices cuadradas de orden

n 1. Sea A  [aij ]nn para cada i, 1  i  n . Definimos n

Di ( A)   (1) i  j aij D( A(i | j ))

(1)

j 1

donde D es la función determinante para matrices cuadradas de orden (n  1) por la hipótesis inductiva. Afirmación 1.- Di es n-lineal. Definimos Dij ( A)  aij D( A(i | j )) ; 1  j  n Como A(i | j ) es independiente de la j-ésima columna de A, entonces Dij (A) es lineal en las columnas A1 , , A j 1 , A j 1 , , An .

~ , , A ] , entonces D ( A)  (ca  da~ ) D( A(i | j )) Si A  [ A1 , , cA j  dA j n ij ij ij

~ , , A ]  ca D( A(i | j ))  da~ D( A(i | j ))  Dij [ A1 , , cA j  dA j n ij ij ~ , , A ] )  cDij ( [ A1 ,  , A j , , An ] )  dDij ( [ A1 ,  , A j n Luego, Dij , 1  j  n , es n-lineal. n

j 1

Pero Di ( A)   (1) i  j aij D( A(i | j ))   (1) i  j Dij ( A) Esto es, Di es suma de formas n-lineales, por lo tanto es n-lineal. Afirmación 2.- Di es alternada. Debemos mostrar que si A  [ A1 , , Ak , , Al ,  , An ] con Ak  Al y k  l , entonces Di ( A)  0 .

116

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Sea 1  j  n tal que j  k  j  l , entonces las matrices A(i | j ) tienen dos columnas iguales, entonces D( A(i | j ))  0 . Luego, de la definición (1) se tiene

Di ( A)  (1) i k aik D( A(i | k ))  (1) i l ail D( A(i | l ))

(2)

Por otro lado, tenemos que

Ak  Al  aik  ail , además A(i | k )  [ A1 ,  , Aˆ k ,  , Al ,  , An ] A(i | l )  [ A1 ,  , Ak ,  , Aˆ l ,  , An ]

 D( A(i | k ))  D( [ A1 ,  , Aˆ k ,  , Al ,  , An ] )   l 1

 (1) l 1k D([ A1 ,  , Al ,  , Aˆ k ,  , An ]) como Ak  Al  Ak  Al , luego

D( A(i | k ))  (1) l 1k D( [ A1 ,  , Ak ,  , Aˆ l ,  , An ] ) D( A(i | k ))  (1) l 1k D( A(i | l ))

Por lo tanto, en (2) tendremos

Di ( A)  (1) i k aik (1) l 1k D( A(i | l ))  (1) i l ail D( A(i | l ))  [(1) i l 1  (1) i l ]ail D( A(i | l )) Luego Di ( A)  0 y en consecuencia Di es alternada. Solo resta probar que Di ( I n )  1 . De (1) se tiene que n

Di ( I n )   (1) i  j aij D( I n (i | j )) j 1

 aii D( I n (i | i )  1  D( I n 1 ) 1 Observaciones. 1.

En realidad en el teorema existen n funciones determinantes. Denotemos con det alguna de esas funciones. En particular det  D1 .

La fórmula (1) es conocida como el desarrollo de Lagrange (desarrollo por menores complementarios)

117

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 a11 a12 Para el caso de A  a 21 a 22 a31 a32 det( A)  D1 ( A)  (1)11 a11

a13  a 23  se tiene que a33 

a 22

a 23

a32

a33

 (1)1 2 a12

a 21 a 23 a31

a33

 (1)13

a 21 a 22 a31

a32

Si Ei ( ), Eij ( ),   0 y E ij son los tres tipos de matrices elementales. Se tiene: a)

det(Ei ( ))   det(I n )

det(Eij ( ))  det(I n )

det(Eij )   det(I n )

det((Ei ( ))T )  det(Ei ( ))

det((Eij ( ))T )  det(Eij ( ))

det((Eij ) T )  det(Eij )

Proposición 1.

Sean Ei ( ), Eij ( ),   0 y E ij los tres tipos de matrices elementales. Se tiene:

det(Ei ( ))  

det(Eij ( ))  1

det(Eij )  1

Sean A  K nn E una matriz elemental de cualquier tipo y D una función determinante, entonces D( AE )  D( A) det(E) .

Si E es una matriz elemental de cualesquiera de los tres tipos y D una función determinante, entonces se cumple que D( E T )  D( E ) .

Demostración 1.

Sea

i 1   E i (  )  0   0

 0        0 

118

0   0 i   1

(1)

0      Donde Ei  1  i , es la i-ésima columna de la matriz identidad I n .     0 1   0  Eij ( )    0   0 

 0  0  0    1   0       0  1  0         0  0  1

Expresando la matriz elemental del tercer tipo en términos de sus columnas se tiene

Eij ( )  [ E1 , , Ei ,  , E j  Ei , , En ] Es decir,

0 0   0              1 0 i                       E i  E j 0 1 j  1              0 0   0        y

1   0  Eij    0   0 

 0  0  0    0  1 0       1  0  0         0  0  1

Expresando la matriz elemental del primer tipo en términos sus columnas

119

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Eij  [ E1 , , E j , , Ei , , En ] a)

det(Ei ( ))  det([ E1 , , Ei , , En ] )

(3) por (1)

  det([ E1 , , Ei , , En ] ) por la función det n-lineal.

  det(I n )

  (1)    det(Ei ( ))  

det(Eij ( ))  det([ E1 , , Ei ,  , E j  Ei , , En ] ) por (2)

 det([ E1 , , Ei ,  , E j , , En ] )   det([ E1 , , Ei ,  , Ei , , En ] )    0

 det([ E1 , , Ei ,  , E j , , En ] )

por ser n-lineal alternada

 det( I n )

1

 det(Eij ( ))  1 c)

det(Eij )  det([ E1 , , E j , , Ei , , En ])   det([ E1 , , Ei , , E j , , En ])   det(I n )  1

 det(Eij )  1 2.

Expresando la matriz A en término de sus columnas se tiene

A  [ A1 , , Ai , , A j , , An ] , luego a)

AEi ( )  [ A1 , , Ai , , A j , , An ]

AEij ( )  [ A1 , , Ai , , A j  Ai , , An ]

AEij  [ A1 , , A j , , Ai , , An ] Luego, para a)

D( AEi ( ))  D( [ A1 , , Ai , , A j , , An ] )

 D( [ A1 , , Ai , , A j , , An ] )  D(A )  det(Ei ( )) D( A )  D( AEi ( ))  det(Ei ( )) D( A )

Para b) D( AEij ( ))  D( [ A1 , , Ai , , A j  Ai , , An ] ) 120

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 D( [ A1 , , Ai , , A j , , An ] )   D( [ A1 , , Ai , , Ai , , An ] )  0

 D( A)  1D( A)  det(Eij ( )) D( A)

 D( AEij ( ))  det(Eij ( )) D( A) Para c) D( AEij )  D([ A1 , , Aj , , Ai , , An ] )

  D( [ A1 , , Ai , , A j , , An ] )

  D( A ) por ser n-lineal alternada

 det(Eij ) D( A )  D( AEij )  det(Eij ) D( A) Luego, de a), b) y c) resulta que

D( AE )  D( A) det(E) Nótese que si A  I n , se tiene que D( E )  det(E ) (*) 3.

Probaremos que D( E T )  D( E ) , para cualquier función determinante. Se sabe que a)

( Ei ( ))T  Ei ( )

( Eij ( ))T  E ji ( )

( Eij ) T  Eij

Luego, tenemos De a) D(( Ei ( ))T )  D( Ei ( )) De b) D(( Eij ( ))T )  D( E ji ( ))

 det(Eij ( )) D( I n ) por (*) de 2)

 D( Eij ( ))  D( ( Eij ( ))T )  D( Eij ( ))

De c)

D(( Eij ) T )  D( Eij )  D( E T )  D( E )

Proposición.- Para todo A, B  K nn se tiene que

det( AB)  det( A). det(B)

121

det( AB)  0

(1)

De otra parte se tiene que

det( A)  det(B)  0

(2)

pues det(B)  0 por ser B singular. De (1) y (2) se tiene que det( AB)  det( A) det(B) Caso 2.- Si B es no singular. Si B es no singular, entonces B puede ser expresado como producto de matrices elementales; es decir

B  E p E p 1  E2 E1

 AB  AE p E p 1  E2 E1  det( AB)  det( AE p E p 1  E2 E1 )

(3)

Aplicando una proposición demostrada anteriormente, y eligiendo D  det se tiene

det( AB)  det( AE p E p 1  E2 ) det(E1 )  det( AE p E p 1  E3 ) det(E 2 ) det(E1 )   det( A) det(E p ) det(E p 1 ) det(E 2 ) det(E1 )  det( A) det(E p E p 1  E1 )     B

 det( A) det(B)

 det( AB)  det( A) det(B)

Proposición.- Para todo A  K nn , det( AT )  det( A) . Prueba Caso 1.- Si A es singular Si A es singular, entonces AT también es singular. Luego, 0  det( A)  det( AT )

Caso 2.- Si A es no singular Si A es no singular, entonces A puede ser expresado como un producto de matrices elementales, es decir

122

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

A  E p E p 1  E1  AT  ( E p E p 1  E1 )T  E1T E2T  E Tp1E Tp det( AT )  det(E1T E2T  E Tp1E Tp )

 det(E1T ) det(E2T )det(E Tp1 ) det(E Tp ) , por la proposición anterior Aplicando una propiedad demostrada anteriormente, se tiene que det( AT )  det(E1 ) det(E2 )  det(E p 1 ) det(E p )  det(E p ) det(E p 1 )  det(E2 ) det(E1 )  det(E p E p 1  E1 )  det( A)

En consecuencia se ha demostrado que det( AT )  det( A)

Proposición.-Sea D una función determinante sobre el espacio vectorial K nn . Entonces,

D( A)  D( I n ) det( A),  A  K nn Prueba Caso 1.- Si A es singular. det( A)  0  D( I n ) det( A)  D( A)

Caso 2.- Si A es no singularLa matriz A puede ser expresado como un producto de matrices elementales. Luego,

A  E p E p 1  E2 E1

D( A)  D( E p E p 1  E2 E1 )  D( E p E p 1  E2 ) det(E1 ) por una proposición anterior ( D( AE )  D( A) det(E) )  D( E p ) det(E p 1 )det(E2 ) det(E1 )

 D( I n ) det(E p ) det(E p 1 )det(E2 ) det(E1 )  D( I n ) det(E p E p 1  E2 E1 )  D( I n ) det( A)

En consecuencia, D( A)  D( I n ) det( A)

Proposición.-(Unicidad de la función determinante) Di es la única función determinante sobre K nn que satisface Di ( I n )  1 .

Prueba 123

Entonces, D  Di . Corolario.- Sea D(n, K )  { D : K nn  K / D es función determinante}

D(n, K ) es un espacio vectorial de dimensión 1 sobre K. Prueba Si D  D(n, K ) , entonces D( A)  D( IA)  D( I ) det( A),  A  K nn . Como   D(I ) es una constante, entonces D( A)   det( A) . Luego, D   det y como det  0 , { det } es una base de D(n, K ) . En consecuencia dim( D(n, K ))  1 . Proposición.- Sean A  K ss , B  K rr , C  K rs , demuestre que

A 0 det      det( A)  det(B) C B   Prueba Fijamos A, C y definimos A

 : K rr  K tal que  ( B)  det  

 C

0  B  

La aplicación  así definida resulta ser r-lineal alternada sobre las columnas de B ya que det es una forma n-lineal alternada. Entonces,  es una función determinante y aplicando a B se tiene

 ( B)  det(B) ( I r )

(1)

A 0   A 0    det    Pero,  ( I r )  det      0 I   ; nótese que en el lugar correspondiente a C I r  r   

la matriz C aparece 0; esto se obtiene mediante operaciones elementales. Ahora definimos

 A

 : K ss  K tal que  ( A)  det  

 0

La aplicación 

0   I r  

así definida es s-lineal alternada sobre las columnas de A, luego

utilizando el mismo argumento que para  se tiene

 ( A)  det( A) ( I s )

124

(2)

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Además se tiene que  I s

0    det(I s r )  1 I r  

 ( I s )  det  

 0

Luego,

 A

 ( A)  det( A)  det  

 0

0     (I r ) I r  

(3)

Finalmente, usando en (1) el resultado obtenido en (3) se tiene

 ( B)  det(B)  det( A) Con lo que queda demostrado que

A 0 det      det( A)  det(B) C B   Ejercicio.- Aplicando la proposición anterior demostrar que

a b

b c a d

d c

c d

d c

b a

a b

 (a 2  b 2  c 2  d 2 ) 2

Solución Sumando a la primera fila la tercera multiplicada por i, y a la segunda la cuarta multiplicada por i, se obtiene

a b

b c a d

d c

c d

d c

b a

a b



a  ic b  id

 b  id a  ic

c d

d c

 c  ia  d  ib  d  ib c  ia b a

a b

Ahora, sumando a la tercera columna la primera multiplicada por –i, y a la cuarta la segunda multiplicada por –i, se obtiene

a  ic b  id

 b  id a  ic

c d

d c

 c  ia  d  ib  d  ib c  ia b a

a b



a  ic b  id

 b  id a  ic

0 0

c d

d c

a  ic b  id

 b  id a  ic

Aplicando la proposición anterior se tiene

a  ic b  id

 b  id a  ic

0 0

c d

d c

a  ic b  id

 b  id a  ic



a  ic

 b  id a  ic

 b  id

b  id

a  ic b  id

a  ic

125

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------



a  ic

 b  id

b  id

 b  id a  ic a  ic b  id

a  ic b  id

 b  id a  ic a  ic b  id

 b  id a  ic



a  ic

 b  id

b  id

a  ic

Prop. de conj.

Usando la Prop. z z | z | 2

 ((a  ic )(a  ic )  (b  id )(b  id )) 2  (a 2  b 2  c 2  d 2 ) 2

Finalmente, tomando extremos se tiene

a b

b c a d

d c

c d

d c

b a

a b

 (a 2  b 2  c 2  d 2 ) 2

Ejercicio.- Demostrar que   A  B  2   det( A  iB ) ; A, B  K nn det      B A  

Solución

  A  B    A  iB  B  iA    det    det      B A    B A   

  A  iB  det    B

0   A  iB  

  A  iB  det    B

0   A  iB  

 det( A  iB) det ( A  iB )  det( A  iB )det( A  iB )  det( A  iB )

Adjunta de una matriz Definición.- Sea A  [ aij ]nn  K nn . Llamaremos i-ésimo, j-ésimo cofactor de la matriz A a la expresión Cij  (1) i  j det A(i | j )

126

(1)

det( A)   (1) i  j aij det A(i | j ) j 1

se obtiene n

det( A)   aij Cij

(2)

j 1

La relación (2), que es otra forma de expresar el det(A) y es llamada desarrollo por cofactores de la i-ésima fila de A. Definiciones.- Sea A  [ aij ]nn  K nn . 1.

Llamaremos matriz cofactor de A a la matriz denotada por

Cof ( A)  [ Cij ]nn

(3)

donde los C ij son los cofactores correspondientes a la i-ésima fila y j-esima columna de la matriz A, 1  i, j  n . 2.

Llamaremos matriz adjunta de A a la matriz denotada por Adj ( A)  ( Cof ( A) )T

Esto es, la adjunta de A, es la transpuesta de la matriz cofactor de A. Ejemplo.-Dada la matriz

2  1 A  3 5  Hallar Adj (A) . Solución C11  (1)11 det([5])  5 , C12  (1)12 det([3])  3 , C21  (1) 21 det([1])  1 , C22  (1) 22 det([2])  2

5  3  5 1 Entonces, Cof (A)   y en consecuencia Adj ( A)  (Cof ( A)) T     1 2    3 2 Teorema.-

Sea A  K nn , entonces A  Adj ( A)  (det( A)) I n  Adj ( A)  A

Prueba

127

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

a1 j       Sea A  [ A1 , A2 , , A j , , An ] donde A j   aij        a nj    n

det( A)   (1) i  j aij det( A(i | j )) i 1

(1)

  aij Cij i 1

Sea B  [ A1 , , Ak ,, Ak , , An ] la matriz obtenida a partir de A, donde la j-ésima   j

columna es igual a la k-ésima columna. Haciendo el cálculo del determinante de B a través de la columna j, se tiene n

0  det(B)   bij Cij i 1

pero como bij es una componente de la columna Ak , se tiene que bij  aik ; es decir

b1 j   a1k            bij    aik  j-ésima columna          bnj  a nk      Entonces, n

a i 1

Cij  0, k  j

(2)

Sea Adj ( A)  (d ij )  (Cij )T , donde d ij  C ji , entonces n

r 1

( Adj ( A)  A) jk   d jr a rk   C rj a rk   a rk C rj Si j  k , de (2) se tiene que

( Adj ( A)  A) jk  0 . Si j  k , se tiene n

( Adj ( A)  A) jj   a rj C rj  det( A) r 1

Por consiguiente,

128

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

0 det( A)  0 det( A) Adj ( A)  A      0  0

    det( A).I n      det( A)  

0 0

(3)

Afirmación.- Adj ( AT )  ( Adj ( A))T Dejamos como ejercicio la prueba de la afirmación. Sugerencia ( A(i | j ))T  A( j | i) . Luego, de la afirmación reemplazando A por AT en la relación (3) se obtiene

Adj ( AT )  AT  det( AT )  I n  det( A)  I n

 ( Adj ( AT )  AT )T  det( A)  I n  A  ( Adj ( AT ))T  det( A)  I n Por la afirmación A  ( Adj ( A))  det( A)  I n

Ejercicio.- Dada A  K nn , invertible. Calcular a)

det( Adj ( A))

Adj ( Adj ( A))

Solución a)

A  Adj ( A)  det( A)  I n , por el teorema; luego calculando el determinante se

tiene det( A  Adj ( A))  det(det(A)  I n )

det( A)  det( Adj( A))  (det( A)) n Como A es invertible, det( A)  0 y en consecuencia se tiene det( Adj ( A))  (det( A)) n1

Sea B  Adj (A) , entonces B  Adj ( B)  det(B)  I n Adj ( A)  Adj ( Adj ( A))  det( Adj ( A))  I n

Multiplicando ambos miembros por A se tiene,

A  ( Adj ( A))  Adj ( Adj ( A))  det( Adj ( A))  A Luego, haciendo uso del teorema en el primer miembro y de la parte a) del ejercicio en el segundo miembro de la última relación se tiene

det( A)  I n  Adj ( Adj ( A))  (det( A)) n1  A

129

Proposición.- Sea A  K nn . A es invertible si y solo si det( A)  0 . Prueba

)

A invertible, entonces existe una matriz B  K nn tal que AB  I n  BA  det( AB)  1  det( A) det(B)  1  det( A)  0

)

Asumiendo que det( A)  0 ; por una proposición demostrada tenemos que

A  Adj ( A)  det( A)  I n  A 

1 Adj ( A)  I n det( A)

En consecuencia, A es invertible y

A 1 

1 Adj ( A) det( A)

Corolario Si A es invertible, entonces det( A1 )  (det( A)) 1 . Prueba Como A es invertible por hipótesis, entonces existe A 1 que la inversa de A tal que cumple AA 1  I n . Luego,

det( AA 1 )  det(I n )  det( A)  det( A 1 )  1  det( A 1 ) 

1 det( A)

En consecuencia, det( A1 )  (det( A)) 1 . Ejemplo

1 0 2 Dada la matriz A   1 2 0  . Averiguar si A es invertible; en caso que lo sea hallar  0 1  1 su inversa. Solución Calculando el determinante de A se tiene que det( A)  4 , entonces A es invertible. La matriz cofactor de A es

 2  1  1   2 2  4   Cof ( A)   2  1  1  Adj ( A)    1  1 2   4 2 2    1  1 2  Luego, se tiene que

130

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

  2 2  4 1 1 A 1  Adj ( A)     1  1 2  det( A) 4   1  1 2  Ejemplo Utilizando la adjunta, calcular la inversa de cos  A   0  sen 

0  sen   1 0  0 cos  

Solución det( A)  cos 2   sen 2  1  0 , entonces

 cos  A   0  sen  1

0 1 0

sen   0  cos  

Una de las tantas aplicaciones del uso de los determinantes es la solución de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, cuando la matriz asociada tiene determinante no nulo. Este método es conocido como la Regla de Cramer. Regla de Cramer Sea el sistema

a11 x1 a 21 x1 

 a12 x 2  a 22 x 2

   a1n x n    a2n xn 

 b1  b2 

a n1 x1

 an 2 x2

   a nn x n

 bn

(1)

Que de forma abreviada, escribimos como

AX  B  x1   b1  x  b  2  Donde A  [ aij ]nn , X  y B   2        xn  bn  En (2) multiplicando ambos miembros por la Adj (A) se tiene

Adj ( A)( AX )  Adj ( A) B ( Adj ( A)  A) X  Adj ( A) B det( A)  I n  X  Adj ( A) B

det( A)  X  Adj ( A) B

131

(2)

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n

 det( A) x j   ( Adj ( A)) ji bi i 1 n

  C ij bi i 1 n

  (1) i  j bi det( A(i | j )) i 1

 det[ A1 ,  , A j 1 , B, A j 1 ,  , A n ] Luego, si det( A)  0 , se tiene

xj 

1 det[ A1 , , A j 1 , B, A j 1 , , A n ] ; j  1, 2,, n det( A)

Ejemplo Use la Regla de Cramer para resolver el sistema



2x x

y  5 2y  z   3  2z  1

Solución La matriz asociada al sistema es  2 1 0  A   0 2  1 y det( A)  7  1 0 2 

Luego,

x

1

3

1



1 15 , y 7

 3 1 0 7



6 7

y z

1

3

1

Ejemplo Dado el sistema

x  2y  z  m mx  y  (m  1) z  1 x  my  (m  1) z  0 Describir el conjunto solución para todos los posibles valores reales de m. Solución La matriz asociada al sistema es 1  1 2  A  m 1 m  1  1 m m  1

132



11 7

m m 1

Luego, el sistema tiene solución única para m  0 y m  2 . Ejercicios 1.

A  b1

b3  5

calcule los siguientes determinantes: a)

a1 b1

a1 b1  4c1

a2 b2  4c 2

a1 b1

a2 b2

a3 b3

2c1

2c 2

2c3

a3 b3  4c3 . c3

A1

2 A1

B 1 AB

(2 A) 1

Sea A  3 y B  4 . Calcule a)

a2 b2

Sea A una matriz de orden 4 4 y suponga que A  5 . Calcule a)

a3 b3

ABAT

En los siguientes ejercicios, calcule el determinante, haciendo uso de las propiedades dadas mediante los teoremas.

2 3

0 1 4 2 4 2

2 3 1 11 8  4

0 6

2 0 0 0 5 3 0 0 3 4

2 4 0 2 1 5

133

4 0 1 2

0 0

1 1

2 3 0 5 3 5

4 3

2 3 4 2 1 5

2 0 1 3 8 2 6 4

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 1 1 2 0 1 1 1 1 0 1 1 1

0 1

2 0

1 2 0 1

3 2

1 4

2 1

3 2

2 2

1 0 1 1 1 1

Demostrar que D2 ( K 2 )  { D / D es función determinante de M 22 ( K ) en K }

Es un K - espacio vectorial de dimensión 1. 6.

Demostrar que si A en una matriz singular, entonces det( A)  0 .

Muestre que si det( AB)  0 , entonces det( A)  0 o det(B)  0 .

Demostrar por inducción sobre r: r

j 1

D[ 1 , ,  i( j ) , ,  n ]   D[1 , ,  i( j ) , ,  n ] ,  r n

Si A  [aij ] tal que aij  0 si i  j , entonces det( A)   aii . i 1

10.

Sea n impar y A  M nn ( K ) / A   AT , probar que det( A)  0 .

11.

Demostrarla siguiente proposición. Los vectores

v1 , v2 , , vn  K n

son

linealmente independientes si y solo si det[v1 , , vn ]  0 . Haciendo uso de la proposición, averiguar cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes:

12.

(2, 3, 16, 8), (1, 1, 1,  1), (3, 9, 8, 81, 27), (5, 25,  625, 125) Q 4

(a, a 2 , a 3 ), (b, b 2 , b 3 ), (c, c 2 , c 3 )  R 3 ; a, b, c  0, a  b  c .

Verifique las siguientes identidades:

1 x 1 y 1 z

x2 y 2  ( y  x)( z  x)( z  y ) z2

a b

b c a d

d c

c d

d c

b a

a b

 (a 2  b 2  c 2  d 2 ) 2

134

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 a

1 b

1 c  (a  b)(b  c)(c  a)

bc ac ab

0 1 1 1 1 d)

1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0

13.

14.

x yz 2y

2x yxz

2x 2y

z yx

 ( x  y  z )3

Usando inducción demostrar que:

1 x1

1 x2

 



x1n 1

x2n 1

   xnn 1

1 xn



 (x

 xi )

1 i  n 1 i j

Sea D4 : M nn ( R)  R una función determinante tal que: D4 [e1 , e2 , e3 , e4 ]  5 , siendo e1 , e2 , e3 , e4 vectores canónicos de R 4 .

   Calcular D4    

15.

 1 0  1  3

1 3 2  1 4 2 1  1 3 2 1 2

   .   

Dada la matriz

1 0  2 A  3 1 4  5 2  3 Calcule todos los cofactores 16.

Dada la matriz

1 2 A 3  0

0  1 2 4 0  3 1 0 

0 1

3 4

135

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

17.

Calcule todos los cofactores de los elementos del segundo renglón y todos los cofactores de los elementos de la tercera columna. En los ejercicios, evalúe los determinantes haciendo uso cofactores:

18.

4 4 2 1 1 2 0 3

2 0 3 4 0 3 2 1 3 2

1 0

2 1 3 7

1 3 4 5 0 1 1  5

2 0

2 1

3 1 2 1

3 1 2 3

4 0

0 0

1 3 2 1

0 1

2 2 3 3

5 0

1 0

2 0

Dada la matriz

 2 3 0  A   4 1  3  2 0 1  Calcular a11 A12  a21 A22  a31 A32 . 19.

Dada la matriz 1 3 2  A   1 2 0  3  2 1

Determine adj (A)

Calcule det(A)

Verifique la propiedad A(adjA)  (adjA) A  det( A) I 3 .

20.

Sea

2 8 6  A   3 4 1  4  4 5 a)

Determine adj (A)

Calcule det(A)

Verifique la propiedad A(adjA)  (adjA) A  det( A) I 3 .

21.

En los siguientes ejercicios, calcule las inversas de las matrices dadas, si es que existen, mediante la adjunta. 136

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

22.

 3 2   3 4  

 4 2 2 0 1 2   1 0 3

2 0  2 1   2 1  1 0

1 3 3 4 5 2  0 2

Utilice determinantes para determinar cuales de las siguientes matrices son no singulares.

Sea

1 2 3 4  

1 2 3  0 1 2   2  3 1 

A  M nn (R) , tal que el cofactor

1 3   2  0

Ars

ars

5 7  5 2 0  1 2  7 2 0 4 1

es deferente de cero.

Demostrar que la matriz A(t) obtenida de A, sustituyendo ars por ars  t , tiene determinante: A(t )  A  tArs . 24.

Muestre que si A es simétrica, entonces adj (A) también es simétrica.

25.

Si A  M nn (R) , demostrar que D( Adj ( A))  ( D( A))n1 .

26.

Dada la transformación T (  ,  ,  )  ( x1 , x2 , x3 ) donde: x1   cos  cos  , x2   sen  cos  , x3   sen

Obtener el jacobiano de la transformación; es decir, el determinante de la matriz cuya fila i-ésima son las derivadas parciales de la i-ésima función xi respecto de

,  y  .

27.

Para que valores de x, el siguiente determinante es diferente de cero.

2 x 3 4 1 x 2 28.

1

6 2 2 x

Obtener el jacobiano de la transformación f : U  R 2 , siendo U  R 2  eje X tal que f ( x, y)  (u, v) tal que u  x  y , v 

b) 29.

x y

donde x, y  0 . ¿Cuáles son ( x, y) U , tal que J f ( x, y)  0 ?.

Haga uso de los teoremas o corolarios para determinar si los siguientes sistemas homogéneos tienen soluciones no triviales.

137

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------x  2y  w  0

x  2y  z  0 a)

2x  3y  z  0 3x  y  2 z  0

x  2 y  3z  0 z  2w  0 y  2z  w  0

30.

En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema lineal dado mediante la regla de Cramer, en caso de ser posible x  y  z  2w   4 2x  4 y  6z  2 2 y  z  3w  4 a) b) x  2z  0 2 x  y  z  2w  5 2x  3y  z   5 x  y  w  4

31.

Determine todos los valores de a para los cuales el sistema lineal

2x 

 0

ax  2 y  0 tiene: a) 32.

Una única solución

Una infinidad de soluciones

Determine todos los valores de a para los cuales la matriz

2  a  2  a  2 a  2   es no singular. 33.

Utilice la regla de Cramer para determinar todos los valores de a para los cuales el sistema lineal.

x  2 y  2z  9 2x  y  a 3x  y  z   10 tiene la solución en la cual y  1 .

138

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------PRODUCTO INTERNO Y ORTOGONALIDAD

1. PRODUCTO INTERNO DEFINICIÓN 1.1.- Sea V un espacio vectorial sobre el campo K, donde K  R ó K  C . Llamaremos producto interno sobre V a una aplicación:

 ,  : V V  K si satisface las siguientes condiciones: i)

u  v, w  u, w  v, w ;  u, v, w V .

ii) u, v  v, u ;  u, v V , la barra indica la conjugación compleja. iii) au, v  au, v y u, av  au, v ;  a  K ,  u, v V . iv) v, v  0 y v, v  0  v   . Al par (V ,  ,  ) se le denomina espacio vectorial con producto interno. OBSERVACIONES 1.1.1. (1) De la definición 1.1. se observa que  ,  es una aplicación que hace corresponder a cada par de vectores u, v V un escalar real o complejo. (2) Si K  R las condiciones ii) y segunda parte de iii) resultan: u, v  v, u y

u, av  au, v respectivamente. V  Rn

EJEMPLO 1.1.2.- Sea

x, y  R n

donde

x  ( x1 , , x n )

y  ( y1 , , y n ) .

En este espacio definimos:

 ,  : Rn  Rn  R ( x , y )   x , y n

por  x, y  x1 y1    x n y n   xi y i . i 1

Así definida la aplicación  ,  cumple con las condiciones de producto interno. En efecto: Sean a  R y x  ( x1 , , xn ), y  ( y1 , , y n ), z  ( z1 , , z n )  R n n

 x  z , y   ( xi  z i ) y i i 1

  ( xi y i  z i y i ) i 1

139

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n

i 1

  xi y i   z i y i

  x, y   z, y n

 x, y   xi y i

ii)

i 1 n

  y i xi i 1

  y, x n

 ax, y   (axi ) y i

iii)

i 1 n

  a( xi y i ) i 1

 a xi y i i 1

 a x, y Análogamente, n

 x, ay   xi (ay i ) i 1

  a( xi y i ) i 1

 a xi y i i 1

 a x, y n

 x, x   x i x i

iv)

i 1 n

  xi  0 2

i 1

Así mismo n

 x, x  0   xi  0  xi  0 ; i  1, , n  x   2

i 1

  x, y   xi yi es un producto interno. i 1

EJEMPLO 1.1.3.- Sean V  C n , K  C y x  ( x1 , , x n ) , y  ( y1 , , y n )  C n .

140

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Definimos: n

 x, y   xi yi i 1

La función definida así es un producto interno. Veamos que cumpla las condiciones de la definición: Sean a  C y x  ( x1 , , xn ), y  ( y1 , , y n ), z  ( z1 , , z n )  C n n

 x  z , y    ( xi  z i ) y i

i 1 n

  ( xi y i  z i y i ) i 1

i 1

  xi y i   z i y i   x, y   z, y n

 x, y    x i y i

ii)

i 1

  x i yi i 1 n

  yi x i i 1

  y, x n

 ax, y   (axi ) y i

iii)

i 1

  a ( xi y i ) i 1

 a  xi y i i 1

 a x, y n

 x, ay   xi (ayi ) i 1 n

  x(a y i ) i 1 n

  a ( xi y i ) i 1

141

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n

 a  xi y i i 1

 a x, y n

 x, x   x i x i

iv)

i 1

  xi

0

i 1

 x, x  0   xi

0

i 1

 xi  0 ; i  1, 2, , n  xi  0 ; i  1, 2, , n  x 

EJEMPLO 1.1.4.- En el espacio vectorial V  R 2 se define:  ,  : R2  R2  R

como  x, y  x1 y1  3x2 y2 donde x  ( x1 , x2 ), y  ( y1 , y2 ) . Averiguar si la aplicación así definida es un producto interno. SOLUCIÓN Sean a  R y x  ( x1 , x2 ), y  ( y1 , y 2 ), z  ( z1 , z 2 )  R 2

 x  z, y  ( x1  z1 ) y1  3( x2  z 2 ) y 2

 x1 y1  z1 y1  3x2 y 2  3z 2 y 2  ( x1 y1  3x2 y 2 )  ( z1 y1  3z 2 y 2 )

  x, y   z, y  x, y  x1 y1  3x2 y 2

ii)

 y1 x1  3 y 2 x 2   y, x

ax, y  (ax1 ) y1  3(ax 2 ) y 2

iii)

 a( x1 y1  3x 2 y 2 )

 a x, y Análogamente  x, ay  a x, y iv)  x, x  x1  3x 2 no siempre es mayor que cero. 2

En consecuencia la aplicación  x, y  x1 y1  3x2 y 2 no define un producto interno. 142

 f , g    f (t ) g (t )dt 0

Verificar que la aplicación así definida es un producto interno. SOLUCIÓN Se deja al lector la verificación de las propiedades i), ii) y ii); sólo mostraremos que se verifica iv).

 f , f   0  f  0 (por demostrar) Supongamos que f  0   t 0  [0, 1] tal que f (t 0 )  0 . 1

 f , f    f (t ) f (t )dt 0

  ( f (t )) 2 dt 0

  f (t ) dt 2

Como f es continua en [0, 1]  f (t )

es también continua en [0, 1] . Además

f (t 0 )  0 . 2

Como f (t ) es continua    0 tal que si t  (t 0   , t 0   ) , entonces: 2

f (t 0 )  0 ; 0  t  1 ...(*) 2

Antes de proseguir daremos dos propiedades del cálculo elemental: 1° Sea g : [a, b]  R . Si g ( x)  0 para todo x  [a, b] y [c, d ]  [a, b] , entonces:



g ( x)dx   g ( x)dx a

2° Si g ( x)  0 para todo x  [c, d ] (de 1°), se tiene que:



g ( x)dx  0

Luego, regresando a (*), tenemos que:

0

t0 

t0 

f (t ) dt   f ( x) dt  0 2

lo cual es una contradicción. La contradicción proviene del hecho de haber supuesto que f  0 , luego concluimos que f  0 .

143

a simétrica A   d Definimos:

d . c   ,  : R2  R2  R

Tal que  x, y  [ x1

a x2 ] d

d   y1  , donde x  ( x1 , x2 ), y  ( y1 , y2 ) . c   y 2 

Determinar las condiciones para que la función así definida sea un producto interno. SOLUCIÓN i), ii) y iii) se verifican sin ninguna dificultad (cualquiera sean los valores de a, c y d). Analicemos qué condiciones se debe de cumplir para que se verifique iv).  a d   x1  x2 ]   d c   x 2 

 x, x  [ x1

 ax1  2dx1 x2  cx 2 2

supongamos que a  0 , entonces: 2 2  (ac  d 2 ) x2  d    2 2 ax1  2dx1 x2  cx 2  a  x1  x2    2 a  a    

(*)

Luego de (*)  ,  define un producto interno si y solo si a  0  ac  d 2  0 . DEFINICIÓN 1.2.- Sea V un espacio vectorial sobre K con producto interno (  ,  ). La norma de un vector v  V denotado por v , definimos como:

v  v, v ; v, v  0 EJEMPLO 1.2.1.- En R 2 , v  (1, 3)

v, v  1  9  10

v  v, v  10

EJEMPLO 1.2.2.- Sea V  { f : [0, 1]  R / f es continua}. 1

 f , g    f (t ) g (t )dt ,  f , f    f 2 (t )dt

f  f, f  Caso particular. Sea f ( x)  e x  f 2 ( x)  e 2 x

144



f 2 (t )dt

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------



f 

1 0

e 2 x dx 1



1 2x  (e  2 0



1 2 (e  1) 2

TEOREMA 1.3.- Sea V espacio vectorial sobre K con producto interno. Entonces se cumple: i)

av  a

v ; a  K , v  V .

ii)

v 0 y

v  0  v  .

iii) u, v  u iv)

v ;  u, v  V (desigualdad de Cauchy-Schwartz)

u  v  u  v ;  u, v  V (desigualdad triangular)

PRUEBA

av   av, av

 aav, v 

a v, v 2

 a v, v  a i)

Es consecuencia directa de la definición de producto interno.

ii) Probaremos que u, v  u

v ;  u, v  V .

Caso 1.- Si u  

u, v   , v  0   , v  0   Caso 2.-Si u   Definimos w  v 

 v, u  u

Afirmación.-  w , u  0 . En efecto:  w , u  v 

 v, u  u

145

u, u

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 v, u 

  v, u  

u , u 

 v, u 

  v, u  

0

Luego

0 w

 v, u 

 v

u  v

u, v 

 v, u  u

  v, v 

 v, u  2

u, v  v 

 v, u  u

 v, u 

 u , v 

 v, u  u

v

 v, u 

u, u 2 u  0 (por la afirmación )

 v, u 

  v, v 

 v



 u , v

 v, u  u

tomando los extremos se tiene:

0 v



 v, u  u



 v, u  u

 v

 v, u  ( u 2

v )2

 u, v  u v uv  u  v

iv) Probaremos ahora que:

uv

 u  v , u  v

 u, u  v  v, u  v

 u, u  u, v  v, u  v, v  u

 v

 u, v  u, v

 u

 v

 2 Re (u, v )

(1)

 u

 v

 2 u, v

(2)

146

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 u

 v

 u  v



2 u

(3)

Luego, extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros de la desigualdad se tiene: uv  u  v

NOTA.- En la demostración de iv) se ha hecho uso de: (1)

z  z  2 Re( z), z  C

(2)

Re( z )  z ,  z  C

(3)

La parte iii) del teorema.

EJERCICIOS 1. Sean x  ( x1 , x2 ), y  ( y1 , y 2 )  R 2 . Averiguar si las aplicaciones dadas a continuación definen un producto interno sobre R 2 : a)

f ( x, y)  x1 y1  3x2 y 2

f ( x, y)  x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  5x2 y2

2. Sean x  ( x1 , x2 ), y  ( y1 , y 2 )  R 2 . Hallar los valores de k para que la aplicación f ( x, y)  x1 y1  3x1 y2  3x2 y1  kx2 y2 defina un producto interno sobre R 2 . 3. Dados u  (u1 , u 2 ) y v  (v1 , v2 ) elementos de C 2 . Averiguar si la aplicación f (u, v)  u1 v1  (1  i)u1 v2  (1  i)u 2 v1  3u 2 v2

define un producto interno sobre C 2 . En caso de que resulte ser producto interno, hallar la norma de u  (2  3i , 1  2i)  C 2 .

2. ORTOGONALIDAD

–

CONJUNTO

ORTOGONAL

–

CONJUNTO

ORTONORMAL DEFINICIONES 2.1.- Sea (V , , K , ·) un espacio vectorial con producto interno donde K  R ó K  C . i)

Dados u, v  V , se dice que u y v son ortogonales si y solo si

u, v  0 NOTACIÓN.- El hecho que u y v son ortogonales se denota por “ u  v ”.

147

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------ii)

Sea W  V un subconjunto, se denomina conjunto ortogonal a W al conjunto denotado por W  que se define como W   { v  V / v, w  0, w  W }

iii) Sea W  V un subconjunto, se dice W es un conjunto ortogonal si y solo si

u, v  W tal que u  v implica que u, v  0 . iii) Sea W  V un subconjunto, se dice que W es ortonormal si y solo si W es ortogonal y u  1, u  W . OBSERVACIÓN 2.1.1.- Sea V un espacio vectorial con producto interno. Si W es un subespacio de V, entonces W  es también un subespacio de V. Se deja al lector, a modo de ejercicio, verificar la afirmación de la observación. EJEMPLOS 2.2. (1) Sea ( R 2 , , R, ·) y u, v  R 2 donde u  ( x, y) y v  ( y, x) con el producto interno usual.

u, v   xy  xy  0



uv

(2) Sea ( R 2 , , R, ·), u  ( x1 , x2 ), v  ( y1 , y 2 )  R 2 , se define:

 ,  : R2  R2  R (u , v)  u , v tal que u, v  x1 y1  x2 y1  x1 y2  4 x2 y2 . i)

Verificar que la función así definida es un producto interno en R 2 .

Establecer la condición necesaria y suficiente para que ( x, y) y ( y, x) sean ortogonales según el producto interno definido.

SOLUCIÓN i)

Ejercicio.

ii) ( x, y), ( y, x)  x( y)  ( y)( y)  ( x)( x)  4( y)( x)  0   xy  y 2  x2  4 xy  0

 y 2  3xy  x 2  0 entonces

y



 3x  9 x 2  4( x 2 ) 2

 3x  x 13 2

148

Luego ( x, y)  ( y, x)  y 

1 (3  13 ) x 2

(3) Sea el espacio vectorial: ( R n , , R, ·) y W  {(1, 0, , 0), (0, 1, , 0), , (0, 0, , 1)}

W es un conjunto ortonormal pues ei , e j    i j . (4) Sea el espacio vectorial

V  { f : [0, 1]  R / f es continua} con producto

interno definido como: 1

 f , g    f (t ) g (t )dt 0

Considérese el conjunto:

W  { h(t )  1, f n (t )  2 cos 2 nt, g n (t )  2sen 2 nt / n  N } Probar que W es un conjunto infinito ortonormal. PRUEBA i)

Fijando h(t )  1 . Primero hagamos variar f n (t ) 1

 h, f n    1 f (t )dt 0



2 cos 2 nt dt 1

 2  (sen 2n t  2n 0



2 (sen 2n  sen 0) 2n



2 (0  0) 2n

Luego  h, f n   0, n  N . Ahora hagamos variar g n (t ) 1

 h, g n    1g (t )dt 0



2 sen 2 nt dt

149

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1

  2  (cos 2 nt  2n 0



 2 (cos 2n  cos 0) 2n



 2 (1  1) 2n

0

Luego  h, g n (t )  0, n  N . ii) Sean f m (t ), g n (t ) tal que m  n . 1

 f n , g n    f n (t ) g n (t )dt 0

  2(cos 2n t ) (sen 2 nt) dt 0

  sen 4 nt dt 0

 1  (cos 4 nt  4 n 0



1 (cos 4 n  cos 0) 4 n



1 (1  1) 4 n



1 (0) 4 n

0

Luego

 f n , g n   0, n  N .

iii) Sea f m (t ), g n (t ) tal que m  n . 1

 f m , g n    f m (t ) g n (t )dt 0

  2(cos 2m t ) (sen 2 nt) dt 0

(*)

Haciendo uso de la identidad trigonométrica:

1 sen(2n t)cos(2m t)  [sen 2 (n  m)t  sen 2 (n  m)t ] 2 Reemplazando (**) en (*) se tiene

150

(**)

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1

 f m , g n    [sen 2 (n  m)t  sen 2 (n  m)t ] 0

  sen 2 (n  m)tdt   sen 2 (n  m)tdt 1

  1 1  ( cos 2 (n  m)t   ( cos 2 (n  m)t  2 (n  m) 2 (n  m) 0 0

1 1 (1  1)  (1  1) 2 (n  m) 2 (n  m)



0 Luego  f n , g n   0, n  m . iv) Ahora hay que demostrar que

f n  1 y g n  1, n  N .

fn   fn , fn 

  fn , fn  1

  f n (t )dt 2

 2 cos 2 2 nt dt 0

 2

1 (1  cos 2 4 nt )dt 2

  dt   cos 4 nt dt 0

  1 t  ( sen 4 nt  4 n 0 0

 1 0

1 Luego b)

 1 , en consecuencia

gn  gn , gn 

 gn , gn  1

  g n (t )dt 2

 2 sen 2 2 nt dt 0

151

f n  1, n  N .

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1

  dt   cos 4 nt dt

 1 0

1 Luego g n

 1 , en consecuencia g n  1, n  N .

De i), ii), iii) y iv) se concluye que:

W  {1, f n (t )  2 cos 2 nt , g n (t )  2sen 2 nt / n  N } es un conjunto ortonormal infinito.

TEOREMA 2.3.- Sea V un espacio vectorial con producto interno y

W  {v1 , v2 , , v n }  V

conjunto

ortogonal

donde

vi   , i  1, 2, , n . W es linealmente independiente sobre K.

PRUEBA n

Sea

a v

i i

i 1

 .

Fijando k, donde 1  k  n y considerando v k . Calculando: n

a v , v i 1

i i

  , vk   0   ai vi , vk   0

(1)

i 1

Como W es ortogonal vi , vk   0, i  k , luego de (1) se tiene: n

 a v , v i 1

  a k vk , vk   0

ya que vk   , y vk , vk   vk

 0 . Entonces ak  0, 1  k  n .

 {v1 , v2 , , vn } es linealmente independiente. COROLARIO 2.3.1.- Sea V un espacio vectorial con producto interno, W  {v1 , v2 , , vn }  V un conjunto ortogonal donde vi   , i  1, 2, , n . n

Si v   ai vi entonces a k 

 v, v k  vk

i 1

, 1 k  n.

PRUEBA

v, vk  

a v , v i 1

i i

, 1 k  n

152

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n

  a i  vi , v k  i 1

 a k vk , vk 

 ak vk



ak 

 v, v k  vk

OBSERVACIONES 2.3.2. (1) Si W es ortonormal se tiene que ak  v, vk , 1  k  n . (2) Si v es una combinación lineal de los elementos de W. Entonces: n

v

 v, v i 

i 1

EJEMPLO 2.3.3.- Sea ( R 3 , , R, ·) y W  {(3, 0, 4), (4, 0, 3), (0, 1, 0)} un conjunto ortogonal de R 3 . Expresar (3, 1, 2) como una combinación lineal de los elementos de W. SOLUCIÓN (3, 1, 2)  a1 (3, 0, 4)  a2 (4, 0, 3)  a3 (0, 1, 0)}

donde haciendo uso de la observación 2.3.2. parte (2) tenemos:

a1 

a2  a3 

(3, 1, 2), (3, 0, 4) (3, 0, 4)



(3, 1, 2), (4, 0, 3) (4, 0, 3)

(3, 1, 2), (0, 1, 0)

 (3, 1, 2)  17 (3, 0, 4)  25

(0, 1, 0)

17 25



6 25

1

6 (4, 0, 3)  1(0, 1, 0) 25

TEOREMA 2.4.- (Proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt) Sea V un espacio vectorial con producto interno, de dimensión finita (dim K V  n) . Si v1 , v2 , , vm (m  n) son vectores linealmente independientes de V. Entonces se puede construir vectores ortogonales w1 , w2 , , wm  V tales que para cada

153

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

k  1, 2, , m el conjunto {v1 , v2 , , vk } sea una base del subespacio generado por w1 , w2 , , wk . Además {w1 , w2 , , wk } es base de L{v1 , v2 , , vk } . PRUEBA Se define la base por inducción. Sea

w1  v1 w2  v 2 

v 2 , w1  w1

 w1 , w2   0 , es decir w1  w2 . AFIRMACIÓN 1.- w2   . En efecto, suponiendo que w2   se tiene que v 2 

v 2 , w1  w1

w1 lo cual es

contradictorio con el hecho de que v1  w1 y v 2 son linealmente independientes. Se construye

w3  v3 

v3 , w2  w2

v3 , w1 

w2 

AFIRMACIÓN 2.- w3   . En efecto, pues si se supone que w3   , se tendría v3 

es decir v3 sería

v3 , w2  w2

w2 

v3 , w1  2

una combinación lineal de w1 y w2 , pero w1 y w2 son

combinaciones lineales de v1 y v 2 , entonces v3 sería una combinación lineal de v1 y v 2 que es una contradicción, pues {v1 , v2 , v3 } son linealmente independientes. Con lo que queda probada la afirmación 2. Suponiendo que se han construido w1 , w2 , , wk vectores ortogonales, tales que {w1 , w2 , , wk } es base de L{v1 , v2 , , vk } ; 1  k  m .

Ahora se construye el vector wk 1 del modo siguiente

wk 1  vk 1 

vk 1 , wk  wk

wk   

vk 1 , w1  w1

AFIRMACIÓN 3.- wk 1   . Pues si se supone que wk 1   , de (1) se tendría

154

(1)

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------k

v k 1  

vk 1 , wi  wi

i 1

(2)

pero cada wi es combinación lineal de {v1 , v2 , , vk } , entonces de (2) se concluye que v k 1 es también una combinación lineal de los vectores v1 , v2 , , vk lo que es una contradicción, pues {v1 , v2 , , vk 1} son linealmente independientes.



wk 1  

AFIRMACIÓN 4.-  wk 1 , w j   0, j  1, 2, , k . En efecto, sea 1  j0  k , donde j 0 es fijo. k

 wk 1 , w j0   vk 1  

vk 1 , wi  wi

i 1

 vk 1 , w j0    i 1

wi , w j0

vk 1 , wi  wi

 wi , w j0 

 vk 1 , w j0   vk 1 , w j0  0

pues

  0  wi , w j0      w j0

si i  j0 2

si i  j0 , 1  j0  k

Luego se tiene  wk 1 , w j   0,  1  j  k . Entonces {w1 , w2 , , wk 1} es un conjunto ortogonal y en consecuencia linealmente independiente por el teorema 2.3 y por lo tanto base de L{v1 , v2 , , vk 1} .

Haciendo uso de (1) se puede proseguir hasta obtener {w1 , w2 , , wm } conjunto ortogonal y por consiguiente base de L{v1 , v2 , , vm } . COROLARIO 2.4.1.- Todo espacio vectorial con producto interno de dimensión finita tiene una base ortonormal. PRUEBA Sea V un espacio vectorial tal que dim K V  n . {v1 , v2 , , vn } una base de V, entonces por el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt existen w1 , w2 , , wn vectores ortogonales, y por lo tanto {w1 , w2 , , wn } es una base de

155

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Se construye u i 



wi , luego ui  1 . wi {u1 , u 2 , , u n } es una base ortonormal para V.

EJEMPLO 2.4.2.- Ortogonalizar la base {(1, 3) , (2 , 1)} de R 2 . SOLUCIÓN w1  (1, 3)

w2  (2, 1) 

(2, 1), (1, 3) (1, 3)

(1, 3)

1 1 w2  (2, 1)  (1, 3)  (3,  1) 2 2 Luego {(1, 3),

 1 (1, 3),   10

1 (3,  1)} es una base ortogonal para R 2 y 2

 (3,  1) es una base ortonormal para R 2 . 10 

EJEMPLO 2.4.3.- Hallar una base ortonormal a partir de la base

{(1, 0, 1), (2,  1, 1), (1, 2, 1)} de R 3 . SOLUCIÓN

w1  (1, 0, 1) w2  v2 

v2 , w1  w1

 (2,  1, 1) 

w1 (2,  1, 1), (1, 0, 1) (1, 0, 1)

(1, 0, 1)

3  (2,  1, 1)  (1, 0, 1) 2 w2 

1 (1,  2,  1) 2

w3  v3 

v3 , w2  w2

w2 

v3 , w1  w1

2  (1, 2 , 1)  (1,  2 ,  1)  (1, 0 , 1) 3 w3 

2 (1, 1,  1) 3

156

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 1 (1,  2,  1), (1, 1,  1)} es una base ortogonal de R 3 . 2 3

{(1, 0, 1) ,

 1  1 1 (1, 0, 1), (1,  2, 1), (1, 1,  1) es una base ortonormal de R 3 .  6 3  2 

DEFINICIÓN 2.5.- Sea V un espacio vectorial con producto interno y W cualquier subconjunto de V. Se llama complemento ortogonal de W al conjunto W  definido en 2.1., ii) (que es el conjunto de todos los vectores de V que son ortogonales a todo vector de W). TEOREMA 2.6.- Sea V un espacio vectorial sobre K finito dimensional (dim K V  n) con producto interno  ,  .

Para cualquier subespacio W  V se cumple que:

V  W W  DEMOSTRACIÓN i)

Si W  { } , entonces V  W  y se cumple que V  W  W  .

Si { }  W  V .

Sea {v1 , v2 , , vn } una base de V, tal que {v1 , v2 , , vm } es una base de W donde m  n.

Por

proceso

ortogonalización

Gram

–

Schmitd,

existe

{w1 , w2 , , wm ,, wn } base ortonormal de V, entonces {w1 , w2 ,, wm } es una

base ortonormal de W en virtud del teorema 2.4. AFIRMACIÓN.- W   L{wm1 , wm2 ,, wn } . PRUEBA DE LA AFIRMACIÓN a) Tenemos que  w j , wi   0 para todo j  i , luego wm1 , wm2 ,, wn pertenecen a W .



L{wm1 , wm 2 ,, wn }  W  n

b) Sea u  W   V , entonces u   ai wi

(*)

i 1

(pues {w1 , w2 , , wm , , wn } es una base ortonormal de V)

 ai  u, wi  , pero u  W  u es ortogornal a cualquier elemento de W, en particular lo es con w1 , w2 , , wm  a1  a2    am  0 .

157

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 de (*) u 

 u , w  w

i  m 1

 u  L{wm1 , wm2 ,, wn }



W   L{wm1 , wm 2 ,, wn }

c) De a) y b) se verifica la afirmación:

W   L{wm1 , wm 2 , , wn } De la afirmación concluimos que:

V  W W EJEMPLO 2.6.1.- Hallar el complemento ortogonal de W  { ( x, y, z )  R 3 / 2 x  y  z  0} .

SOLUCIÓN W  {( x, y, z )  R 3 / 2 x  y  z  0}

 {( x, y, 2 x  y) / x, y  R }  {( x, 0, 2 x)  (0, y, y) / x, y  R } W  L{(1, 0, 2), (0, 1, 1)} extendemos la base de W a una base para R 3 . Sea {(1, 0, 2), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} la extensión. Ahora ortogonalizamos mediante el proceso de Gram – Schmitd: w1  (1, 0, 2)

w2  (0, 1, 1) 

(0, 1, 1), (1, 0, 2) (1, 0, 2)

(1, 0, 2)

1 w2  (2, 5, 1) 5 w3  (1, 0, 1) 

w3 

(1, 0, 1), 1 / 5 (2, 5, 1) 1 (1, 0, 1), (1, 0, 2) (2, 5, 1)  (1, 0, 2) 2 2 5 1 (1, 0, 2) (2, 5, 1) 5

1 (2, 1,  1) 6



W   L{(2, 1,  1)}

158

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------EJERCICIOS 1. Mediante el proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt, ortogonalizar la base {(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} de R 3 . 2. Obtener una base de vectores ortogonales para el espacio vectorial

V  L{(1, 2,  1, 0), (1, 0,  2, 1), (0, 1, 0, 1)} . 3. Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes en R e indeterminada en x. Si se considera el producto usual de las funciones: i)

Hallar una base del subespacio W ortogonal a f ( x)  2 x  1 .

ii)

Aplicar el proceso de ortogonalización de Gram – Schmidt a la base {1, x, x 2 } para obtener una base ortogonal de V.

4. Probar el teorema de Pitágoras. Es decir, si u, v  V , entonces:

uv

 u

 v

 u, v  0

5. En el espacio vectorial (C 3 , , C, ·) . Ortonormalizar la base:

{(1, 1, 1), (i, i,  i), (1  i, 0, 2)} 6. Hallar una base ortonormal del subespacio de (C 3 , , C, ·) generado por los vectores u  (1, i, 1)) y v  (1  i, 0, 2) . 7. En el espacio vectorial ( R nn , , R, ·) . a)

Mostrar que la aplicación:  ,  : R nn  R nn  R

donde  A , B  Tr( B T A) define un producto interno en R nn .

Si n  2 , probar que el conjunto:

1 0 0 1 0 0 0 0    , 0 0 , 1 0 , 0 1  0 0          es una base ortonormal de R nn . 8. Para cualquier espacio vectorial V con producto interno, probar: a)

{ }  V

V   { }

9. Sea U  {( x, y, z )  R 3 / 3x  2 y  z} . Hallar el complemento ortogonal de U en R 3 . 159

(U  W )   U   W 

(U  W )   U   W 

11. Sea R n  U  W , donde U y W son subespacios ortogonales. Si para todo

v  R n , v  u  w con u  U y w  W ; llamaremos a u proyección ortogonal de v sobre U y a w proyección ortogonal de v sobre W. Hallar la proyección ortogonal de

v  (1,  2, 3, 0)

sobre el subespacio U  I{(0, 1,  2, 0),

(0, 2, 1, 0)} .

160

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------VALORES Y VECTORES PROPIOS 1. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL DEFINICIÓN 1.1.- Dado V un K-espacio espacio vectorial y un endomorfismo T : V  V , diremos que   K es un valor propio de T si y solo si existe un vector no

nulo v  V tal que

T (v)  v

(1)

El vector no nulo que satisface la relación (1) se denomina vector propio de T asociado al valor propio  . NOTA.- También se utilizan las expresiones de auto valor y valor característico para denominar al valor propio y el de auto vector y vector característico para el vector propio. EJEMPLO 1.1.1.- Sea (V , , K , ) un espacio vectorial, consideremos el endomorfismo identidad

I (v)  v ; v  V 1 es un valor propio de I. EJEMPLO 1.1.2.- En el espacio vectorial R 2 sobre R definimos el endomorfismo T : R 2  R 2 / T ( x, y)  (2 x  y, 3x  4 y)

Hallar los valores y vectores propios de T. SOLUCIÓN Hay que hallar   R tal que T ( x, y)   ( x, y)

(2 x  y, 3x  4 y)   ( x, y)



2 x  y  x   (  2) x  y  0  3x  4 y  y   3x  (  4) y  0

(1)

el sistema homogéneo (1) tendrá soluciones distintas de la trivial (que son las que nos interesan, por ser los vectores propios vectores no nulos) si el determinante de la matriz asociada al sistema es igual a cero; esto es

 2 3

1 0  4 1  2  6  5  0  4

2  6  5  0  (  1)(  5)  0  1  1, 2  5 161

Hallando el vector propio v1 asociado al valor propio 1  1 Reemplazando el valor de 1  1 en la ecuación (1) se tiene

x



 0

 3x  3 y  0 nótese que las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación se tiene

 x  y  0  y  x la variable y depende de x, entonces v1  ( x ,  x)  x(1,  1) , x puede tomar cualquier valor con excepción de cero, para x  1 se tiene v1  (1,  1) y verifica

T (1,  1)  (1,  1)  1(1,  1) ii)

Hallando el vector propio v 2 asociado al valor propio 2  5 Procediendo de manera análoga que en la parte i) reemplazamos el valor de

2  5 en la ecuación (1) se tiene 

y  0

 3x 

y  0

como en la parte i) las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación se tiene

3x  y  0  y  3x la variable y depende de x, entonces , para x  1 se tiene v2  (1, 3) y y verifica

T (1, 3)  (5,15)  5(1, 3) NOTA.- Dados V un K-espacio vectorial, T : V  V un endomorfismo y   K un valor propio de

T. El conjunto  (T )  {   K /  es un valor propio de T } es

llamado espectro de T y E(T ,  )  { v  V / T (v)  v } es un subespacio de V, y se denomina espacio propio o auto espacio de

asociado al valor propio  . En

referencia al ejemplo anterior se tiene

 (T )  {1, 5} E (T , 1)  { v  R 2 / T (v)  v }  L{ (1,  1)} y E (T , 5)  { v  R 2 / T (v)  5v }  L{ (1, 3)}

162

T : C 2  C 2 definida como T ( x, y)  ( x  2 y, x  y) Hallar los valores y vectores propios de T. SOLUCIÓN Hay que hallar   C tal que T ( x, y)   ( x, y)

( x  2 y, x  y)   ( x, y)



x  2 y  x  (1   ) x  2 y  0  x  y  y   x  (1   ) y  0

(1)

el sistema homogéneo (1) tendrá soluciones distintas de la trivial (que son las que nos interesan, por ser los valores propios vectores no nulos) si el determinante de la matriz asociada al sistema es igual a cero; esto es

1  1

2 0  (1   )

1  2  (1   )(1   )  2  2  1  0 1  (1   )

2  1  0     i Luego, los valores propios de T son: 1  i y 2  i . Ahora hallando los vectores propios i)

Hallando el vector propio v1 asociado al valor propio 1  i Reemplazando el valor de 1  i en la ecuación (1) se tiene

(1  i) x  2 y  0 x  (1  i ) y  0 las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación se tiene

(1  i) x  2 y  0  y  la variable y depende de x, entonces v1  ( x ,

1 1 (1  i))  x(1, (1  i)) , para x  2 2 2

se tiene v1  (2 , 1  i) y verifica

T (2 ,1  i)  i(2,1  i)

163

1 (1  i) x 2

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------en efecto

T (2 , 1  i)  (2  2(1  i), 2  (1  i))  (2i , 1  i)  i(2 , 1  i) ii)

Hallando el vector propio v 2 asociado al valor propio 2  i Reemplazando el valor de 2  i en la ecuación (1) se tiene

(1  i ) x  2 y  0 x  (1  i ) y  0 nótese que las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación se tiene

(1  i) x  2 y  0  y  la variable y depende de x, entonces v2  ( x,

1 (1  i) x 2

1 1 (1  i) x)  x(1, (1  i)) , para x  2 2 2

se tiene y  1  i y en consecuencia v 2  (2 , 1  i )

y verifica

T (2 ,1  i)  i(2,1  i) en efecto

T (2 , 1  i)  (2  2(1  i), 2  (1  i))  (2i , 1  i)  i(2 , 1  i) OBSERVACIONES 1.2 (1) La existencia de valores propios de un endomorfismo depende del campo de escalares sobre el cual está definido el espacio vectorial, pues si consideramos el espacio vectorial (C 2 , , R, ) y la transformación lineal T : C 2  C 2 definida en el ejemplo 1.1.3

T ( x, y)  ( x  2 y, x  y) no tiene valores propios en R ya que:

2  1  0 ,   R (2) Sean V un espacio vectorial sobre K de dimensión finita, T : V  V

endomorfismo y   K un valor propio de T. El conjunto

E(T ,  )  { v  V / T (v)  v } es un subespacio de V, llamado subespacio propio o auto espacio asociado al valor propio  .

164

det(T  I )  det( A  I ) donde I debe entenderse como el automorfismo identidad al lado izquierdo y como la matriz identidad al lado derecho. PROPOSICIÓN 1.3.- Sea V un

K-espacio vectorial de dimensión finita y el

endomorfismo T : V  V . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i)   K , es un valor propio de T. ii) T  I es singular (no invertible). iii) det(T  I )  0 . PRUEBA i)  ii) Como   K es valor propio de T, entonces existe un vector no nulo v  V tal que T (v)  v

 T (v)  I (v)   , donde I es el endomorfismo identidad  (T  I )(v)   , por ser T  I un endomorfismo  Nu(T  I )  { } , pues al ser v un vector propio es diferente de 

 T  I

es singular

ii)  iii) es obvio. iii)  i) Tenemos que det(T  I )  0  T  I es singular

 Nu(T  I )  { }    v V tal que (T  I )(v)    T (v)  v

  es un valor propio de T. 2. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ DEFINICIÓN 2.1.- Se dice que el escalar  es un valor propio de una matriz

A  K nn si y solo si existe un vector no nulo v  K n1 tal que Av  v

(1)

el vector no nulo v  K n1 que satisface la relación (1) se denomina vector propio de A asociado al valor propio  .

165

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------NOTA.- De manera análoga que para el caso de las transformaciones lineales, se utilizan las expresiones de auto valor y valor característico para denominar al valor propio y el de auto vector y vector característico para el vector propio de una matriz. EJEMPLO 2.1.1.- Sea A  K nn una matriz diagonal, cualquier vector canónico

ei  K n1 donde i  1, 2,, n es un vector propio de A. Pues para:

d1 0 A   0

0 0      dn 

0  d2   0

se tiene que:

d1 0 Aei     0

0 d2  0

0   0  0        0      1  d   d i ei      i      d n     0  0  

Los valores propios de A son los elementos de la diagonal.

2 1  EJEMPLO 2.1.2.-Hallar los valores y vectores propios para la matriz A   .  3 4 SOLUCIÓN

  R es un valor propio de de A, si existe un vector v  R n1 tal que Av  v .  v  Av    (I  A)v     0  2 1   x  0   2  1   x  0                      3   4  y  0   0   3 4   y  0



 2 3

1  0  2  6  5  0  (  1)(  5)  0  4

 1  1, 2  5 Los vectores propios asociados a los valores propios 1  1 y 2  5 son:

1 v1    ,  1

1 v2    3

166

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------En efecto, verificando se tiene

2 1   1   1   1  2 1 1  5  1 y Av1     1 Av    5 2       3 4 3 15 3 3 4  1  1  1        El espacio propio de A correspondiente al valor propio  lo denotamos por E ( A,  )  { v  K n1 / Av  v}

Nótese que los valores propios de la transformación lineal dado en el ejemplo 1.2.2

2 1  T : R 2  R 2 / T ( x, y)  (2 x  y, 3x  4 y) y la matriz A    dada en el ejemplo  3 4 2.1.2 son los mismos. Este hecho no debe sorprender, puesto que A es la matriz asociada a la transformación lineal T respecto a la base canónica de R 2 . La relación entre el espacio propio de T  L(V )

y el espacio propio de la matriz

asociada a T respecto a una base B está dada por siguiente proposición. PROPOSICIÓN.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, B una base ordenada de V. Si T  L(V ) y   K un autovalor de T, entonces v  E(T ,  ) [ v ]B  E([ T ]B ,  )

PRUEBA

)

Asumiendo que v  E (T ,  ) , hay que demostrar [ v ]B  E ([ T ]B ,  )

v  E(T ,  )  T (v)  v

por definición

 [T (v)]B  [v]B  [v]B  [T (v)]B  [v]B

tomando extremos

 [T ]B [v]B  [v]B  [ v ]B  E ([ T ]B ,  ) )

[ v ]B  E ([ T ]B ,  ) hay que probar que

Recíprocamente, asumiendo que

v  E (T ,  ) .

[ v ]B  E([ T ]B ,  )  [T ]B [ v]B  [v]B  [T ]B [ v]B  [v]B  0  [T (v)]B  [v]B  0

 [T (v)  v]B  0  T (v)  v  0

 T (v)  v  v  E (T ,  ) 167

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------OBSERVACIONES (1)

Existe un solo valor propio asociado a un vector propio v. En efecto, suponiendo que 1 y  2 son los valores propios correspondientes al valor propio v, entonces se tiene que T (v)  1v  2 v

Por definición de valor propio

 1v  2 v    (1  2 )v   Como

por

definición

vector

v  ,

propio

tiene

que

1  2    1  2 . Lo recíproco no es cierto, pues para un valor propio pueden existir infinitos vectores propios. (2)

Si bien es cierto que la relación T (v)  v es válida para v   y cualquier

 , la definición de vector propio excluye al vector cero. Esto se justifica por tener que existir un solo valor propio  asociado al vector propio v.

NOTA.- La proposición 1.3, en términos de matrices, puede ser enunciada como: cualquiera de las afirmaciones siguientes, son equivalentes i)   K , es un valor propio de A  K nn . ii) A  I es singular (no invertible). iii) det( A  I )  0 A continuación veremos más ejemplos sobre valores propios y vectores propios. EJEMPLO.- Sea el endomorfismo T :V V v V

escalar fijo. Nótese, que todo vector

tal que T (v)  av , donde a es un con

v   es un vector propio

correspondiente al valor propio a. EJEMPLO [Reflexión sobre el plano XY] Sea el endomorfismo T : R 3  R 3 tal que T ( x, y, z)  ( x, y,  z) Calculando los valores propios de T

T ( x, y, z)   ( x, y, z)  (x, y, z)  ( x, y,  z)  (x, y, z)  ((  1) x, (  1) y, (  1) z)  (0, 0, 0)

168

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 0 (  1) x   (  1) y  0  (  1) z  0 

 1 0

0  1

0 0

 1

 (  1) 2 (  1)

 (  1) 2 (  1)  0    1,   1

Luego los valores propios de T son

  1 de multiplicidad algebraica igual a 2 y

  1 Para el valor propio   1 los vectores propios están contenidos en el plano XY esto es,

T ( x, y, 0)  1( x, y, 0) . E (T , 1)  { ( x, y, z)  R 3 / T ( x, y, z)  1( x, y, z) }  { ( x, y, z )  R 3 / ( x, y,  z)  1( x, y, z) }  { ( x, y, z )  R 3 / z  0}

 L{ (1, 0, 0), (0, 1, 0) } Para el valor propio   1 los vectores propios están contenidos en el eje Z esto es,

T (0, 0, z)  1(0, 0, z) . E (T ,  1)  { ( x, y, z)  R 3 / T ( x, y, z )  1( x, y, z) }  { ( x, y, z )  R 3 / ( x, y,  z)  ( x,  y,  z ) }  { ( x, y, z )  R 3 / x  y  0}  { ( x, y, z )  R 3 / x  y  0}

 { (0, 0, z) / z  R }  L{ (0, 0, 1) } Nótese que R 3  E (T , 1)  E (T ,  1) EJEMPLO [Rotación en el plano] Consideramos dos situaciones i)

Para V  C con K  C Todo z  C donde z  0 se puede expresar como z  rei  r (cos   i sen )

Definiendo, T : C  C / T ( z )  rei (  )  rei e i  e i z

169

  e i  c o  s  i s e n . El valor

  e i no es un número real salvo el caso en   n , n  Z . ii)

Para V  C con K  R La rotación T ( z )  e i z admite valores propios únicamente si   n , n  Z . En consecuencia para   n , n  Z , T no tiene valores propios reales. Como ya se vio en un ejemplo anterior la existencia de valores propios depende de la elección del campo.

EJEMPLO [El operador derivada] Dado el espacio vectorial D  { f : R  R / f es una función que admite derivada} , se define el endomorfismo T : D  D / T ( f )  f  . Los vectores propios de T son todas las funciones f  D no nulas que satisfacen la ecuación

T ( f )  f   f   f

(1)

para algún   R . La relación (1) es una ecuación diferencial de primer orden

f   f 



f ( x) dx    dx f ( x)

 ln( f ( x))  x  ln C  f ( x)  e (xln C )  e x e ln C  f ( x)  Ce x , donde C es una constante arbitraria.

Luego los vectores propios de T son todas las funciones exponenciales de la forma f ( x)  C e x con C  0 T ( f ( x))  (Ce x )   C e x  f ( x)

El valor propio correspondiente a f ( x)  C e x es  . EJEMPLO [El operador integración] Sea V  { f : [a , b]  R / f es continua } Definiendo

T :V  V x donde g ( x)   f (t )dt , a  x  b a f  g  T( f ) Suponiendo que existieran las funciones propias para T, serian las satisfacen la ecuación

170

f V

que

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------x

F ( x)   f (t )dt  f ( x) a

(1)

para algún   R . Usando el primer teorema fundamental del cálculo, derivamos la relación (1) obteniendo

f ( x)  f ( x) ;   0 

f ( x) 1 dx   dx f ( x) 

 ln( f ( x)) 

 f ( x)  e



x  ln C

x (  ln C )



 e  e ln C

 f ( x)  Ce ;   0, C  0 

Luego, las únicas funciones propias posibles serian aquellas funciones exponenciales de x

f ( x)  e  ;   0, C  0 . Sin embargo, si reemplazamos

la forma

xa

en la

ecuación (1) se tiene



a a

f (t )dt  f (a)  C e  ;   0, C  0 a

0  f (a)  C e   0 a

Como e   0 , se ve que la ecuación T ( f )  f , no puede ser satisfecha por ninguna a

función f  0 . En consecuencia, el operador integración T no tiene funciones propias ni valores propios. OBSERVACIÓN Sean V un K-espacio vectorial de dimensión finita n, T  L(V ) un endomorfismo y A la matriz asociada a T respecto a una base B de V. El det(T  I ) se define como

det(T  I )  det( A  I ) donde el I en el lado izquierdo denota el endomorfismo identidad y el I del lado derecho denota la matriz identidad. La proposición que se enuncia a continuación es el análogo de la proposición 1.3 en términos de la matrices.

171

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------PROPOSICIÓN.-Sea V un K-espacio vectorial y T :V V un endomorfismo y A la matriz asociada a T respecto a una base B de V. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a)

  K es un valor propio de A.

A  I es singular

det( A  I )  0

PRUEBA.- Ejercicio

3. POLINOMIO CARACTERÍSTICO POLINOMIO DE MATRICES Sea K [x] el anillo de polinomios con coeficientes en el campo K. Si p  K[x] , se escribe

p( x)  an x n  an1 x n1    a1 x  a0 Ahora, si A es una matriz cuadrada sobre K, el polinomio

p( A)  an An  an1 An1    a1 A  a0 I donde I es la matriz identidad es llamado polinomio de matrices. En caso que p( A)  0 se dice que A es una raíz del polinomio p(x) . EJEMPLO 3.1

0  1 Sea p  K[x] tal que p( x)  x 2  2 x  4 y A    , entonces: 2 1  0  1 0  1 0  1 1 0 p( A)  A 2  2 A  4 I    2   2 1   40 1 2 1  2 1       2  1 0  2  4 0   6  3       2  1 4 2   0  4  6  3 PROPIEDADES 3.2 Sean p, q  K[ x] y A  K nn , entonces se cumplen las siguientes propiedades: i) ( p  q)( A)  p( A)  q( A) ii) ( pq)( A)  p( A)q( A) iii) (kp)( A)  kp( A), k  K . iv) Puesto que p( x)q( x)  q( x) p( x) para polinomios cualesquiera p(x) y q(x) , entonces, p( A)q( A)  q( A) p( A)

172

DEFINICIÓN 3.3.- Dada una matriz A  K nn , se llama polinomio característico de A al determinante de la matriz I  A ; es decir:

  a11 p( )  det(I  A) 

 a21   an1

 a12    a22    an 2

 a1n  a2 n

     ann

Desarrollando el determinante se tiene

p( )  n  cn1n1    c1  c0 La matriz I  A se denomina matriz característica de A.

EJEMPLO 3.3.1.- Hallar el polinomio característico de la matriz  2 1 0  A   1 1 2   0 3  1

 2 p( )  det(I  A) 

1  1

0 2

3

 1

 3  22  8  13 OBSERVACIÓN 3.3.2.- Del ejemplo anterior, nótese que 2  Tr( A) y  13  det( A) ; luego el polinomio característico de A se puede escribir como p( )  3  Tr( A)2  8  (1) 3 det( A) , si A  K 33

En general para una matriz A  K nn , el polinomio característico de A se puede escribir como p( )  n  Tr( A)n1    (1) n det( A)

173

1 2 A  3 2 SOLUCIÓN p( )  2  Tr( A)  (1) 2 det( A)

 2  3  4 las raíces del polinomio 2  3  4  0 son 1  4 y 2  1 . PROPOSICIÓN 3.4.- Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico; es decir, si B  P 1 AP , entonces PB ( x)  PA ( x) . PRUEBA p B ( x)  det(xI n  B)

definición de polinomio característico

 det(xI n  P 1 AP)

reemplazando B  P 1 AP

 det(xP 1 P  P 1 AP)

propiedad de matriz identidad

 det[P 1 ( xI n  A) P]

propiedad distributiva del prod. de matrices

 det(P 1 ) det(xI n  A) det(P)

propiedad de determinantes

 det(P 1 ) det(P) det(xI n  A)

propiedad de números reales

 det(P 1 P) det(xI n  A)

propiedad de determinantes

 det(I ) det(xI n  A)

propiedad de matrices inversibles

 det( xI n  A)

propiedad de determinantes

 p A (x)

definición de polinomio característico

 p B ( x)  p A ( x) PROPOSICIÓN 3.5.- Dadas una matriz A  K nn y un escalar   K .

 es valor propio de A  p A ( )  0 . PRUEBA Sea el polinomio característico p A ( x)  det(xI n  A)

 es valor propio de A  I n  A es singular  det(I n  A)  0

 p A ( )  0

174

1 2 2 A   1 2  1  1 1 4  SOLUCIÓN p A ( )  I  A

 1  1

2

 2

1

 4

 (  1)(  3) 2

luego p A ( )  (  1)(  3) 2  0 y los valores propios son 1  1 y 2  3 . DEFINICIÓN 3.6.- Sean V un K-espacio vectorial de dimensión finita, T : V  V un endomorfismo y f ( x)  K[ x] donde

f ( x)  a0 x n  a1 x n1    an ; ai  K , i  0,1,, n

f (x) es llamado polinomio anulador de T si y solo si f (T )  0 ; así mismo llamaremos polinomio minimal de T

al polinomio de menor grado y coeficiente

principal igual a 1 que denotado por m(x) tal que m(T )  0 . PROPOSICIÓN 3.7.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita. Si T  L(V ) siempre existe un polinomio anulador para T. PRUEBA.- Sea dim K V  n , entonces

dim K L(V )  nn  m consideremos: I , T , T 2 ,, T m ; m  1 elementos que son linealmente dependientes; es decir, existen a0 , a1 , a2 ,, am  K no todos nulos tal que:

a0 I  a1T  a2T 2    amT m  0 Nos basta elegir:

g ( x)  a0  a1 x    am x m  0 g (T )  0 PROPOSICIÓN 3.8.- Sean V un K-espacio vectorial de dimensión finita, T : V  V un endomorfismo y   K tal que T (v)  v, v  0 . Si f ( x)  K[ x] , entonces:

f (T )v  f ( )v 175

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------PRUEBA

T (v)  v T 2 (v)  T T (v)  T (v)  T (v)  2 v





T 3 (v)  T T 2 (v)  T (2 v)  2T (v)  3 v



T n (v)  n v ; para todo n  0 Si f ( x)  a0 x n  a1 x n1    an

f (T )(v)  (a0T n  a1T n1    an I )(v)  a0T n (v)  a1T n1 (v)    an I (v)

 a0 n v  a1n1v    an v  (a0 n v  a1n1v    an )v

 f ( )v

 f (T )(v)  f ( )v PROPOSICIÓN 3.9.- Sean A, B matrices semejantes, f ( x)  K[ x] . Demostrar que

f (A) y f (B) son también matrices semejantes. PRUEBA Si A y B son matrices semejantes se tiene:

B  P 1 AP B 2  ( P 1 AP)( P 1 AP)  P 1 A2 P

B 3  P 1 A3 P 



B n  P 1 An P Si f ( x)  a0 x n  a1 x n1    an

f ( B)  a0 B n  a1 B n1    an I

 a0 ( P 1 An P)  a1 ( P 1 An1 P)    an P 1 P  P 1 (a0 An  a1 An1v    an ) P  P 1 f ( A) P  f ( B)  P 1 f ( A) P

176

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

EJERCICIOS

Hallar los valores propios, vectores propios y una base para los espacios propios si la transformación lineal T : R 2  R 2 está definida como: a) T ( x, y)  ( y, 4 x)

c) T ( x, y)  (3x  4 y, 2 x  y) . 2.

T ( x, y)  ( x  y, 2 x  y)

T ( x, y)  (4 x  3 y, 3x  4 y)

Hallar los valores propios, vectores propios y una base para los espacios propios si la transformación lineal T : R 3  R 3 está definida como: a) T ( x, y, z)  ( x  y  z, 2 y  z, 2 y  3z) b) T ( x, y, z)  ( x  y, y  x,  2 y  z) c) T ( x, y, z)  ( x  y, 2 x  3 y, x  y  z) d) T ( x, y, z)  (2 y  z, 2 x  z, 2 x  y)

3. Hallar los valores y vectores propios si es que existen para las siguientes matrices en R 22 y R 33 . Para cada valor propio halle el espacio propio correspondiente. a)

 2 0 1 3  

 1  1 0  1 1 0    0 0 2

 1 4   1 3  

 1 0 1  0 3 0    1 0 1

10 0 2  0 6 0    2 0 7 

  2  3 0 4 5 0   5 5 1

4. Hallar los valores y vectores propios para las siguientes matrices en C 33 . Para cada valor propio halle el espacio propio correspondiente. a)

1 0 3   5  1 0    0 0 1

1  1 0 1 0 0   0 0 2

Sea T : R 2  R 2 la aplicación que hace corresponder a cada vector de R 2 su proyección ortogonal sobre el vector u  (2, 1) . La aplicación así definida es una transformación lineal. a)

Hallar la matriz asociada a T con respecto a la base canónica de R 2 .

Hallar los valores y vectores propios de la matriz obtenida en a).

177

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------6.

Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita talque V  U  W . Hallar los valores propios de T  L(V ) , si T es proyección sobre U paralelamente a W; es decir si T (u  w)  u .

7. Sea T  L( K nn ) tal que T ( A)  AT . Determine los valores propios de T, sus correspondientes vectores propios y sus respectivos autoespacios. 8. En el espacio vectorial P3 [t ] sobre R, se considera el endomorfismo f definido como

f ( p(t ))  t[ p(t  1)  p(t ) ];  p(t )  P3 [ t ] . Calcular los valores y vectores

propios de f. 9. Demuestre o dé un contraejemplo a la siguiente afirmación: Si T : V  V es una R-transformación lineal tal que  es un autovalor de de T

   R , entonces V posee una base formada por vectores propios de T. 10. Determine la verdad o falsedad de de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta. a) Toda transformación lineal posee valores propios. b) Si T  L(V ) y W es un subespacio generado por vectores propios de T, entonces W es invariante por T.

A 11. Sea A una matriz por bloques, A   1 0

B donde A1 y A2 son matrices A2 

cuadradas. Probar que, el polinomio característico de A es igual al producto de los polinomios característicos de A1 y A2 . 12. Sea T  L(V ) , donde V es un espacio vectorial sobre K. Si v V , sea

W (v)  { g (T )(v) / g  K[ x] } . Demuestre que W (v) es un subespacio invariante por T. 13. En el R-espacio vectorial R 2 se considera el operador rotación definido como f ( x, y)  ( x cos   y sen , x sen  y cos  ) . ¿Para qué valores de  , f tiene

valores propios?. 14. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, B una base ordenada de V,

T  L(V ) , y   K . Demostrar que v  E (T ,  ) si y solo si vB  E (T B ,  ) . 15. Sea V un K-espacio vectorial y T  L(V ) . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a)

  K es un valor propio de T. 178

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------b)

T  I es singular.

det(I T )  0 .

Nota.- El det(I  T ) se define como det(I  T )  det(I  A) , donde A es la matriz asociada a la transformación lineal T en una base dada e I la matriz identidad. 16. Demostrar que dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. 17. Si n  an1n1    a1  a0 es el polinomio característico de una matriz A, demuestre que a0  (1) n det( A) . 18. Sea A  K nn . Pruebe que: a)

A es inversible si y solo si todos sus valores propios son no nulos.

A es nilpotente si y solo si su único valor propio es cero.

Nota.- Se dice que una matriz A  K nn es nilpotente si existe un entero positivo k tal que Ak  0 . El menor k para el que se cumple la definición anterior es llamado índice de nilpotencia de A. 19. Demostrar que los valores propios de una matriz idempotente son 0 y 1. 20. Sean A, B  K nn , donde A es no singular. Demostrar que las matrices A1B y

BA 1 tienen los mismos valores propios.

TEOREMA.-[Teorema de Cayley-Hamilton] Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T :V V un endomorfismo. Entonces pT (T )  0 . PRUEBA Demostraremos cuando K  C . La prueba se hace por inducción sobre n donde n  dim V . Para n  1 no hay nada que demostrar. Si n  1 suponemos que el teorema se verifica para n  1 (Hip. Inductiva) Por una proposición demostrada anteriormente, existe una base { v1 , , vn } en la cual la matriz asociada a la transformación T es triangular superior. Esto es

T (v1 )  1v1  T (v j )  a1 j v1     j v j ; j  1,  , n

179

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Consideremos

S  { av1 / a  C } Desde que T (S )  S , la aplicación

T:V

V

tal que T (v)  T (v) ;  v  V

Esta bien definida y en la base { v2 , , vn } su matriz asociada es *   2    3   AT       n  0

El polinomio característico de AT es pT ( x)  ( x  2 )( x  3 )( x  n )

Por la hipótesis inductiva se cumple que pT (T )  0 , es decir (T  2 I )(T  3 )(T  n )v  0 , donde 0  V

De la definición de espacio vectorial cociente, se tiene que (T  2 I )(T  3 I )(T  n I )u  cv1

Aplicando (T  1 I ) a la última relación se tiene

(T  1 I )(T  2 I )(T  3 I ) (T  n I )u  (T  1 I )cv1  c(T (v1 )  1 I (v1 ))  c(1v1  1v1 )  0 Con lo que queda demostrado pT (T )  (T  1 I )(T  2 I )(T  n I )  0

Nota.- De las aplicaciones del teorema de Cayley-Hamilton una de ellas es el cálculo de la inversa en términos de la misma matriz. EJEMPLO Dado la matriz

2 1 A  1 1 Hallar A 1 en términos de A.

180

Por el teorema p A ( A)  A2  3 A  I

3 0 2 1  1  1  I  3 A  A 2  A 1  3I  A      0 3 1 1  1 2   1  1 Luego A 1     1 2  EJEMPLO Dada la matriz

0 1 1  A   1  1 0   1  1  1 Hallar A 1 usando el teorema de Cayley-Hamilton. Solución

 1 p A ( )   1 1

1  1

0 0

 1

 3  2  2  2

Aplicando el teorema, p A ( A)  0  A3  A2  2 A  2I  0  2I  A3  A2  2 A  2 A1  A2  A  2I

 1 1 0  1 1 2 A   1  1 0   1  1  1  1  1  1  1 1 0 1 1 1   1 1 2A   1 1 0   A   1 2  2 0  2  2 1

Luego

1 0 1 1 A 1   1  1 0  . 2  2 0  2

181

0 1 1 0  1 0 0   0    1  1 0   20 1 0  1  1  1  1 0 0 1 1 0  1 0  0  2

Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejercicios Utilizando el teorema de Cayley-Hamilton determinar la inversa de matrices: 1  1 4  4  3  2   a)  b) A  2 1  1 b) B  2   1 2   3 2  1 0

182

lãs siguientes

5 2  1  1 4 2