Como construir una pirámide como la de keops

COMO CONSTRUIR UNA PIRÁMIDE COMO LA DE KEOPS José Manuel Casteleiro Villalba Llevamos 4.500 años sin saber un método coherente de construcción de las pirámides como el que utilizaron los antiguos egipcios. Por ello, el modesto objeto del presente trabajo es diseñar un procedimiento para construir, con un método sencillo y rápido, basado en rampas de pequeño tamaño y con un ángulo igual a (3º), una gran pirámide como la de Keops, desde la primera hasta la última piedra, con la tecnología de la época y en un tiempo razonable.

Después de estudiar con detenimiento durante mucho tiempo casi todas los posibles métodos de construcción de la pirámide de Keops, y después de equivocarme muchas veces al llegar a un punto en el que no podía continuar con la construcción, he llegado al convencimiento de que la única posibilidad de construir una pirámide tan colosal como la de Keops, son los dos métodos a base de rampas que se describirán más adelante.

Pero antes examinemos los dos métodos más populares y conocidos: el de ) una rampa gigantesca de entre 1.216, 6m y 2.920m de longitud, que sería más grande que la pirámide misma y por tanto absurda, y otro más interesante debido al egiptólogo alemán Mark Lehner. Este investigador propuso hacer una rampa “enroscada” alrededor de la pirámide como se indica en la siguiente figura obtenida de internet:

Fig. 1 A la vista del dibujo de la rampa con la pirámide construida, nada que reprochar, porque es fácil de entender la viabilidad del método propuesto. Pero el problema es que la rampa se construye al mismo tiempo que la pirámide, y mirándolo más de cerca, resulta un sistema a todas luces imposible por las razones de peso que relataré a continuación.

Si dibujamos una pirámide de base rectangular en los puntos (A, B, C y D), con vértice en el punto (O) y altura (H) y con dos rampas genéricas la (AP) y la (PM), situada esta última perpendicularmente a la primera (la figura se halla deformada a propósito para demostrar la imposibilidad de construirla por este método), obtendremos la siguiente figura: Vértice O Rampa P, M M C

H

D

Rampa A, P

Ángulo recto P P (punto desconocido)

Base

 S A Ángulo de (3º)



S

S

B Ángulo de difícil obtención

Fig 2 En principio el ángulo   de la primera rampa es arbitrario y puede ser de 3º, para que los bloques de piedra puedan ser elevados con cierta facilidad. Ya se sabe que a menos ángulo menos fuerza humana para hacer el trabajo. A continuación paso a relatar las tres importantes pegas: La primera tiene que ver con el ángulo    . Este ángulo no se conoce a priori y resulta crucial su detección porque sin saber dónde está el punto (P) es imposible construir una pirámide regular. Veamos; si se traza una vertical desde el hipotético punto final (P) de la primera rampa inclinada (AP) hasta su intersección con la base, se hallara el punto (S), quedando definido el citado ángulo    .

Este ángulo es el que hay que tener presente desde el inicio de la construcción de la rampa (AP) porque define al “retranqueo” constante necesario para llegar al punto (P). Pero como no se conoce este punto, es imposible la construcción de las citadas rampas, por lo que el método queda invalidado.

Por cierto, para calcular el punto (P) se deberá emplear el cálculo trigonométrico o un ordenador, y como es lógico a los egipcios les resultaría imposible hallarlo, al no conocer los rudimentos de esta matemática, con lo que la pirámide saldría torcida.

La segunda pega tiene que ver con la anchura de las rampas utilizadas para elevar los bloques de piedra. Supongamos que se suponen rampas de una anchura

de entre 8 y 10 m, para que los obreros puedan tirar cómodamente de las grandes piedras. Elijamos, para poder explicar con facilidad esta segunda pega, una de 10 metros. Y, como se quiere que la rampa se halle insertada en la pirámide que se está construyendo, como se observa en la figura (1), cada vez que las rampas recorren una vuelta completa a la pirámide se habrán detraído de la superficie de construcción 40 metros. Tan solo con dos vueltas la superficie disminuirá en 80 metros, y en la figura (1) hay 5, luego la superficie final disminuirá en 200 m (40 m por 5 vueltas). Absurdo, pues aunque sean menos anchas las rampas, es fácil ver que no se puede llegar a la altura definida de 146 m. de ninguna manera. Esto se comprende fácilmente si se observan las figuras (22), (23) y (25) del segundo método propuesto, por lo que este sustituye al de Lehner con ventaja.

La tercera pega, es la más grave, pues para tirar de bloques de más de 40 Tm, con un ángulo de rampa   de tan solo 3º se necesitarán 648 hombres situados en varias cuerdas paralelas. Hasta aquí todo bien, pero ¿qué ocurre cuando tantas personas tirando de una piedra tan grande quieren dar un giro perpendicular a la dirección que llevan?, esto es, un giro de 90º (en la figura (2) el punto P), pues que les resulta de todo punto imposible tirar en dirección perpendicular a la dirección del movimiento de la piedra. Además, si lo intentaran matarían a una buena colección de obreros, los más cercanos a la piedra, que morirían aplastados contra la pirámide, a no ser que se hiciera un gran chaflán al final de cada rampa, lo que dificultaría enormemente el control de la rectitud de la pirámide mediante las aristas de las caras.

Este giro solo podría hacerse trazando un arco de gran radio y no parece humanamente posible llevarlo a cabo sobre la pirámide, además de que los egipcios no empleaban giros circulares. Bueno esta pega podría ser evitada si al final de cada rampa se estableciera una zona recta de unos 20 m. para que los obreros pudieran tirar de la piedras antes de girarlas 90º en el citado chafan. Para entender bien este problema se recomienda observar las figuras (21), (22), (23) y (25) citadas anteriormente. En la última figura se ve claramente que este segundo método propuesto sustituye, otra vez, al procedimiento de Lehner al situar todas las rampas para desplazar grandes bloques en una sola cara y con las citadas zonas rectas. De todas formas resulta más fácil la construcción con el primer método propuesto.

GEOMETRÍA DE LA PIRÁMIDE DE KEOPS Empecemos por hablar de la geometría de la pirámide, sin entrar en una descripción detallada por ser muy conocida, lo primero que observamos en la siguiente figura, a nivel constructivo, es que podemos dividirla en las dos grandes fases. La primera se considera desde la base hasta aproximádamente 60 m de altura. Esta es la más complicada debido a que hay que elevar y situar en posición bloques de más de 40 Tm. Estos bloques se utilizarán para contruir las cámaras reales y la gran galería, labor harto complicada debido a que no existían, en aquella época, grandes grúas ni maquinaria pesada como tenemos en la actualidad.

Zona desaparecida PIRAMIDIÓN 10 m Revestimiento

Solo bloques pequeños

76 m Altura máxima a la que suben los bloques grandes

146 m

2ª Fase

60 m 1ª Fase 51º 52º 230 m

Fig 3

La segunda es “más fácil” por cuanto solo hay que elevar bloques de aproximádamente 2,5 Tm hasta la cúspide, cosa que se logra con múltiples rampas pequeñas como se explicará en su momento. En esta fase faltan los diez últimos metros debido a los avatares de la historia.

En la citada fasé, se hallaba el llamado Piramidión. Esta era una pequeña pirámide, hecha de fina caliza blanca de una célebre cantera situada en la localidad de Tura, situada cerca de Menfis, capital de Antiguo Imperio de Egipto (2686 aC.-2181 aC.), y revestida de un material muy valioso llamado en latín: electrum.

Esta es una aleación de una parte de oro por cinco de plata, muy apreciada en el Egipto de aquella época.

Es necesario observar que la construcción de la primera fase se debió realizar de abajo hacia arriba, al contrario de la terminación de la pirámide que es, de arriba hacia abajo.

CÁLCULO DEL NÚMERO DE BLOQUES DE LA PIRÁMIDE Para empezar a encajar el método deberemos calcular el volumen total de la pirámide con la fórmula correspondiente (un tercio de la superficie de la base por la altura), la cual arroja un volumen de 2,574.466 m3. Pero como no se han descontado los volúmenes de las cámaras del rey, de la reina y la gran galería,

además de los pasillos y corredores de ventilación, nos quedaremos, para simplificar el proceso, con un volumen más “cómodo”, para nuestros propósitos matemáticos, esto es: 2,500.000 m3.

Y para saber el número de bloques de piedra utilizados para la construcción, lo tenemos fácil, puesto que al elegir bloques de 1 m3 nos da el mismo valor que el volumen aproximado anteriormente calculado, esto es, un total de 2.500.000 bloques más o menos. Con estos bloques, puestos uno encima de otro, se alcanza la altura de 146 m de la pirámide en 146 superficies o capas de bloques.

TIPOS Y DIMENSIONES DE LOS BLOQUES ELEGIDOS Al observar la pirámide nos damos cuenta de que lo primero que debemos hacer es situar bloques de piedra de más de 40 Tm aproximadamente a 60 metros de altura, que es, aproximadamente, lo que mide un edificio de 20 plantas. Esto es de una dificultad extrema, sobre todo para la tecnología existente en aquella época.

Pero antes de tratar de encontrar un procedimiento sencillo y rápido para poder edificar la pirámide en el tiempo previsto, echemos una mirada a los bloques elegidos.

Aunque la variedad en las dimensiones de los bloques de piedra es grande, se eligen los siguientes tres tipos básicos para facilitar los cálculos: bloques grandes, bloques pequeños y bloques de revestimiento. Veamos cada uno por separado: El bloque de mayor tamaño de los utilizados tendría las siguientes dimensiones: 1m 6m 2m

dm 8m Fig 4

Con estas medidas los bloques tendrían un volumen de 16 m2. Y sabiendo que cada metro cúbico de granito pesa 2.8 Toneladas, el peso total del bloque es de 44,8 Tm (densidad del granito 2,8 Tm/m3), esto es: Peso = (8 m)(2 m)(1 m)(2,8 Tm / m3) = 44,8 Tm Es posible que existan bloques aún mayores, pero eso no supone ningún cambio en la geometría del método propuesto.

Los bloques más comunes de granito utilizados en la construcción de la pirámide se han estimado, para facilitar los cálculos, en la siguiente figura:

1m 1m 1m Fig 5 Con estas dimensiones los bloques tendrán un volumen de 1 m3, lo que hace que el peso aproximado sea de 2,8 Tm, cantidad un poco superior que los que se eligieron, en la realidad, para dicha construcción.

Y nos preguntamos ¿Estarán bien elegidos? En general se habla de un peso menor por bloque (2,5 Tm) lo que redunda en beneficio del método propuesto, al saber que si con bloques más pesados se puede construir una pirámide, en el tiempo previsto, con los reales se realizará más fácilmente.

Por último los bloques del revestimiento de piedra caliza blanca de Tura, tendrán las dimensiones explicitadas en la siguiente figura:

1m

52º 1m 0.78 m Fig 6

Y como la densidad de la piedra caliza es menor que la del granito (de 2,1 a 2,5 Tm/m3), el peso será aproximadamente de una tonelada métrica.

TRANSPORTE DE LOS BLOQUES DE PIEDRA La obtención y transporte de grandes piedras, no suponía para los egipcios ninguna dificultad por la gran experiencia adquirida en las anteriores construciones. Pero nosotros no sabríamos como cortar y fabricar bloques de diverso tonelaje con herramientas tan primitivas como las que se usaron.

Bueno hay que decir que la humanidad en la Edad de Piedra había resuelto en muchos puntos de la Tierra el problema del transporte y manejo de grandes bloques. Piénsese en Stonehenge en el sur de las islas británicas, o en la gran losa de 150 Tm del maravilloso dolmen de Menga situado en Antequera, al sur de España.

Y respecto del pulido de las mismas también lo tenían resuelto puesto que no hay más que fijarse en la increíble paleta del primer faraón de la dinastía cero llamado Aha, Menes o Narmer. Una cultura que es capaz de realizar una obra de

arte tan maravillosa es que dominaba hasta extremos increíble el pulido de las piedras. Es como si hubiesen contado con la ayuda de escultores de la categoría de Miguel Ángel Buonarroti o Gian Lorenzo Bernini. Lo que no dudo es que existieran personas de ese nivel artístico en aquella época en Egipto.

Respecto del transporte de los grandes y de los pequeños bloques, es imprescindible conocer el trabajo realizado por doctor Daniel Bonn y su equipo de la Universidad de Amsterdam, que lo tienen perfectamente estudiado y resuelto.

Por todo esto habrá que tratar de encontrar un método parecido al utilizado por los egipcios de la antigüedad para construir una pirámide. ¿Y a qué recurrimos?

Pues, como es lógico, a lo único que podemos utilizar: grúas primitivas pequeñas o rampas. De estas dos posibilidades nos quedamos con las últimas por ser más fáciles de construir.

El estudio realizado para saber el orden de magnitud de las fuerzas humanas que intervienen en los desplazamientos de los bloques grandes y pequeños, tanto en horizontal como sobre las rampas, se basan en las siguientes hipótesis conservativas: 1) Cada obrero ejercerá una fuerza de tan solo 25 kg. Esta, seguramente, es una fuerza muy inferior que la que podía realizar un operario en aquella época, lo que nos asegura que las piedras se moverán con facilidad tanto en superficies horizontales como en las rampas. Es eviedente que con una fuerza humana de 50 kg, el número de obreros bajaría a la mitad en todos los casos. Ahora sería preciso hacer unos ensayos mecánicos para elegir la mejor opción.

2) El coeficiente de rozamiento estatico entre los bloques y el suelo se estimará en e  0,3 , algo muy normal para este tipo de materiales. El coeficiente de rozamiento dinámico es un poco menor. Los resultados de los cálculos se visualizan en los siguiente cuadros comparativos: 1) Cuadro comparativo de las fuerzas para los bloques grandes en una rampa Ángulo rampa 3º 4º

Componente del peso de los bloques 15.461 kg 16.196 kg

Nº hombres necesarios 619 648

El hecho de cambiar un ángulo por otro mayor implica la utilización de unos 29 hombres más.

2) Cuadro comparativo de las fuerzas para los bloques pequeños en una rampa

Ángulo rampa 4º 6º 7º

Componente del peso de los bloques 1.030 kg 1.126 kg 1.172 kg

Nº hombres necesarios 42 45 47

En este caso el hecho de cambiar un ángulo por otro mayor implica la utilización de tan solo 2 o 3 hombres más. Ahora sería preciso hacer los citados ensayos mecánicos para elegir la mejor opción, que siempre será la de menor angulo posible. Por último, además de los ensayos citados anteriormente, es necesario realizar también una maqueta a escala en un reproductor de 3D. Bueno, ya estamos en condiciones de intentar averiguar cómo puedieron hacerlo. Para que la pirámide se pudiera edificar eficientemente se debió, en primer lugar “atacar” la pirámide por los cuatro costados, aprovisionándose, previamente, de bloques grandes y pequeños situándolos al lado de los cuatro lados de la pirámide como se observa en la figura (7). En dicha figura se observan las cuatro zonas (rojo) de la explanada de Guiza, en la que se hallan situados los bloques.

Bloques preparados 2,75 Tm Pirámide en construcción

Bloques preparados 44 Tm y 2,75 Tm Fig 7 Se observa que en el lado inferiror se situan los bloques grandes para la construción de las cámaras del rey, la reina y la gran galería, además de los pequeños bloques para el resto de la construcción, lo que supondría cortar y transportar una gran cantidad de piedras para que el flujo de estas, en la construción, fuese constante.

Todo esto, seguramente, se podría observar en unos planos, que aunque no han llegado hasta nosotros, es muy posible que se hallasen perfectamente determinados hasta en sus más pequeños detalles, como suponemos que correspondería a una civilización tan desarrollada para la época como la egipcia.

Sin estos planos no podría llevarse a cabo un trabajo de estas dimensiones. Esto nos lleva a pensar que el número de bloques grandes utilizados en las camáras reales y en la gran galería eran conocidos de antemano, por lo que resulta imprescindible situarlos en alguna parte antes de comenzar la construción.

Y por último una idea decisiva a favor del argumento anterior; ¿Cómo se van a cortar unas piedras de unos 8 metros de largo de una forma tediosísima con las herramientas primitivas que usaron, sin saber previamente, cuantas piedras serían necesarias para construir las citadas cámaras del rey y de la reina y la gran galería, cuyas dimensiones debían saber de antemano?

En resumidas cuentas; No se podía imporvisar una construción tan gigantesca sin saber previamente lo que se iva a hacer. Téngase en cuenta que la pirámide de Keops fue el edificio más alto hasta que se construyó la torre Eiffeld (300m) para la Exposición Universal de Paris en 1889.

Todo esto está muy bien, pero el problemas fundamental sigue siendo: ¿Cómo elevar todas las piedras grandes hasta la altura de 60 m? Pues para lograr este objetivo se recurre, a los dos métodos propuestos para diseñar un procedimiento para construir la gran pirámide en menos de 10 años, del primero hasta el último bloque. Empecemos por el procedimiento más coherente que es el que describiremos en el siguiente capítulo.

PRIMER MÉTODO PROPUESTO Los dos métodos propuestos son muy versátiles en el sentido de que se pueden cambiar, dentro de un orden, el peso y la geometría de los bloques de piedra, la inclinación de las rampas o las dimensiones de la propia pirámide sin que se modifique, en ningún sentido, el procedimiento diseñado. Pero hay que ser consciente de que cambiar una sola medida obligaría a replantearse parte de la geometría, lo cual, por otra parte, podría hacerse sin ningún problema como veremos más adelante.

Para este primer método se escogen dos tipos de rampas de manpostería, una desmontable en cada operación para los bloques grandes de la primera fáse, y otras rampas menores para el resto de los bloques pequeños utilizados. Estas últimas también serán desmontables antes de situar los bloques del revestimiento.

Para empezar a describir el método propiamente dicho, describamos cada una de las rampas elegidas por separado, empezando por las que son utilizadas para subir las piedras pequeñas.

RAMPAS PARA BLOQUES PEQUEÑOS Este tipo de rampas se hallan situadas en la parte exterior de las cuatro superficies laterales de la pirámide, y permiten elevar, poco a poco, los bloques

de piedra más pequeños y comunes a una altura de un metro por rampa como se observa en la figura: Última terraza (cúspide) Bloques de revestimiento Bloques pequeños

1m

Rampa de mampostería para bloques pequeños Fig 8 Esta figura representa la pirámide en su última fase de construcción, esto es, en la última terraza. En ella se observa la elevación de los bloques pequeños así como su desplazamiento lateral. Cada vez que se recorre una rampa (rojo) se alcanza 1 metro más de altura. De esta forma se pueden alcanzar todas y cada una de las capas de bloques de la pirámide hasta alcanzar la altura deseada de 146 m. Por otra parte, también se puede “jugar”, de distinta manera, con los ángulos de estas rampas, como veremos más adelante.

Las zonas rectas (azules) situadas delante y detrás de las rampas son utilizadas para que los obreros manejen las piedras y las puedan dejar durante sus descansos. Esta distancia se puede variar en función del ángulo elegido. Unas flechas amarillas indican el recorrido de los bloques hasta su ubicación.

También, en la misma figura, se observa la forma en que se pueden colocar los bloques de revestimiento cuando se haya alcanzado la altura final de la pirámide. Posteriormente, se deberán eliminar una a una todas las rampas pequeñas y sustituirlas por los citados bloques de revestimiento.

Una idea importante: Supongamos que la pirámides es maciza, esto es que no tiene ninguna cámara real ni ningún tipo de galería en su seno. Pues bien, en esta circunstancia se observa claramente que no existe otra forma de construir y revestir de piedra caliza la pirámide, sin no se hace con rampas exteriores y de acuerdo a la figura (8), salvo que se entierre totalmente la pirámide en una montaña de arena, o que se construya una gigantesca rampa de 2.786,25 metros de longitud horizontal en el caso de utilizar un ángulo de (3º), lo que a todas luces parece una obra imposible. Continuemos con la descripción de las rampas. La rampa para bloques pequeños elegida con un ángulo de (4º) tendrá la siguiente geometría: Zona recta

Zona recta

1m 1m 4º 3,25 m

14,49 m

3,25 m

21 m Fig 9 De forma que eligiendo una anchura total de rampa de 21 m, se obtendrá una anchura de la zona recta de 3,25 m. De esta forma situando 10 rampas por cada lado de la pirámide se pondrán en total 40 rampas en los cuatro lados. Y nos preguntamos ¿Cuánto aumentaría la longitud horizontal total con angulos mayores, tales como (5º) o (7º)?. Todos los cálculos pueden ser visualizados en la siguiente tabla: Ángulo 7º 5º 4º

Longitud rampa 8,19 11,49 14,49

Zona recta 3,40 3,25 3,25

Longitud total 15 18 21

Nº rampas por 4 lados 15(4) = 60 12(4) = 48 10(4) = 40

Por otra parte es preciso saber que a medida que vaya adquiriendo altura la pirámide, el número de rampas útiles disminuirá proporcionalmente, hasta llegar a la cúspide con cuatro únicas rampas, una por cada lado.

También es necesario advertir que estas rampas se verán respecto de la pirámide de 230 m de lado y de 146 m de altura muy pequeñas. En los dibujos de este trabajo serán, en planta, de la siguiente forma: Zonas horizontales

Rampas pequeñas Fig 10 Y en alzado tendrán este otro aspecto: Zonas horizontales Rampas pequeñas Fig 11 RAMPAS DESMONTABLES PARA BLOQUES GRANDES El problema principal con el que nos topamos a la hora de edificar la pirámide de Keops, como se indicó anteriormente, es la necesidad de elevar bloques de 44 Tm o más hasta una altura de 60 m. Para ello se elige una rampa de tan solo 14 metros y medio de longitud recta como se muestra en la siguiente figura: 10 m 1m

4º 14,49 m Fig 12

Si se utilizase un ángulo de (3º) la longitud de horizontal de la rampa sería de 20 m, lo que reduciría, considerablemente, el esfuerzo de los obreros. Ya se sabe que a menos ángulo corresponde menos fuerza y por tanto menos hombres tirando de los bloques. En este diseño la longitud de la rampa desmontable no tiene ninguna importancia, puesto que siempre existe un espacio muy amplio (las terrazas) para el manejo de los grandes bloques (ver figura 13). Por otra parte también se podrían instalar varias rampas grandes en paralelo para agilizar la construcción.

Un comentario sobre la anchura de la rampa. Esta se elige arbitrariamente de 10 m que es una anchura considerable como para que muchos hombres puedan arrastrar semejantes bloques. Para hacernos una idea de lo que supone el ancho de la rampa elegida, observemos una autopista. Cada carril tiene por regla general una anchura de 3,50 m. Con esto la anchura total de los dos carriles con sus arcenes rondarán aproximadamente los 10 metros de anchura. Por lo tanto un bloque de un metro de ancho por 2 metros de alto y por 8 de largo, se podrá transportar cómodamente al ser arrastrado por una legión hombres.

Ya podemos entrar en la descripción del primer método propiamente dicho.

Este primer método elegido podría llamarse “el método de las rampas móviles”, y consiste en situar una primera capa de bloques pequeños o primera terraza (azul) sobre la esplanada de Guiza, a partir del bloque central (primera piedra amarilla), de dentro hacia afuera, como se indica en la siguiente figura:

Primera terraza

Bloque central

Zona para situar los grandes bloques

Zona de los grandes bloques

1ª rampa desmontable

Fig 13 A continuación se fabricarían 11, 12, o 15 rampas por cada lado de la pirámide, en función del ángulo elegido, lo que constituye un total de 60, 48 o 44 rampas de manpostería (amarillo en la figura) como vimos anteriormente.

Es importante observar que en el lado inferir de la pirámide se construye la rampa móvil (roja) que permitiría elevar los bloques grandes que se hallan situados en la zona correspondiente, como se observa en la anterior figura (13).

Una vez elevados todos los bloques grandes se dispondrían en una zona determinada de la primera terraza, marcada con líneas blancas. También es importante reseñar que la cantidad de bloques grandes se debía saber de antemano, al ser calculado previamente el numéro de ellos necesarios para contruir las camáras reales y la gran galería, esto es, seguramente, lo que habrían hecho los egipcios.

Ahora es pertinente hacernos la siguiente pregunta: ¿Qué ocurriría si faltase una sola piedra grande? Pues que se habría cometido un gran error que obligaría a deshacer parte de lo construido. Y ¿Cómo se puede evitar esto ? Pues de una forma muy sencilla, al subir más bloques grandes de los necesarios, por ejemplo un 10%.

Y ¿Qué haríamos con los bloques que sobrasen al final de la primera fase de 60 m? Pues nada que nos inquiete, porqué todos los bloques de más , da igual el tamaño, se irían agrupando, al final, en el centro de la pirámide y al rodearlos de los bloques pequeños formarían parte del resto de la edificación. A continuación se procedería a construir, sobre la primera terraza, la segunda rampa desmontable.

Una vez situados los bloques grandes, en la zona de la primera terraza destinada para ellos, se realizaría la construcción de la segunda terraza mediante las 40, 48 o 60 rampas pequeñas (amarillo) construidas anteriormente. También, a continuación, se procedería a construir, sobre la primera terraza, la segunda rampa desmontable, como se muestra en la siguiente figura:

Zona donde se ubican los bloques grandes en la 2ª terraza

Segunda terraza

2ª Rampa desmontable

Primera terraza

Grandes bloques Fig. 14 Seguidamente se elevarían todos los bloques grandes a la citada segunda terraza, situándolos, también en una zona destinada el efecto marcada con una línea blanca, como se observa en la siguiente figura:

Zona donde se ubican los bloques grandes en la 2ª terraza

Segunda terraza

Zona de grandes bloques

2º Rampa desmontable

Fig.15 Seguidamente se procedería a subir todos los bloques pequeños necesarios para construir la tercera terraza, como se indica en la figura (15). A continuación deberemos construir la tercera rampa desmontable que nos permitirá subir los bloques grandes y situarlos en la zona apropiada de la segunda terraza (línea blanca).

Tercera terraza

3ª Rampa desmontable

Zona de los grandes bloques

Zona donde se ubican los grandes bloques en la 3ª terraza Fig.16 De esta forma, metro a metro, y a una velocidad aceptable, lograremos hacer las 60 terrazas correspondientes a la primera etapa de la pirámide, elevando, mediantes las correspondientes 60 rampas desmontables, todos los bloques grandes hasta la altura definida, esto es, la altura a la que se utilizaran para fabricar la cámara de la reina, la del rey y la gran galería.

Esta última terraza (fig. 17) se halla situada aproximadamente a 60 m de altura. En ella se observa que quedan los bloques grandes para terminar el techo de la cámara del rey, además de los que sobren, como se obeserva en la siguiente figura:

Última terraza (136 m  136 m) Cámara del rey

Bloques de piedra para el techo de la cámara del rey

Fig. 30

Fig 17 En esta figura, las zonas en color marrón representan la parte totalmente terminada y revestida de piedra caliza. Esto es importantísimo puesto que permite el control sobre las aristas de la pirámide, operación fundamental si se quiere llegar a la altura prevista de forma correcta.

Seguidamente se iniciará la construcción del resto de la pirámide hasta la altura correspondiente de 164 m, mediante las citadas rampas menores como se observa en la siguiente figura:

Zonas rectas (azules)

Rampas (amarillas)

Fig. 18 En la figura (19), aparece la pirรกmide acabada en color blanco, como se supone que la dejaron los antiguos egipcios.

Fig. 19 Para ello se habrían eliminado todas las rampas para los bloques pequeños y colocado todos los bloque de resvestimiento, de arriba hacia abajo (flechas rojas), como se indicó anteriormente en la figura (8). En el acabado final de la pirámide, los bloques se deberán ajustar y repasar “al montaje”. Esta operación corrige todos los pequeños errores de construcción.

TIEMPO MÍNIMO ESTIMADO EN LA CONSTRUCCIÓN La hipótesis más difundida es que, para construir una pirámide tan grande, habría que colocar un bloque por minuto durante por lo menos 11 años, trabajando a razón de 10 horas diarias durante todos los días del año, esto es: (60 bloques )(10 horas)(365días)(11 años) = 2.409.000 bloques lo que, a priori, parece una cosa imposible. Pero la pirámide que hicieron los egipcios está allí, en la Necrópolis de Guiza, lo que nos quiere decir que, en realidad, existe un procedimiento mecánico que utilizaron los egipcios para edificarla en un tiempo más que aceptable.

Y nos preguntamos ¿Qué ocurriría si se colocasen a razón de 60, 48 o 40 bloques simultáneamente? Y también supongamos que se puedan colocar cuatro bloques por rampa pequeña a la hora, lo cual es bastante aceptable al ser todas las rampas cortas. Y para los bloques grandes hay que pensar en que se pueden colocar varias rampas en paralelo en cada terraza, como se indicó anteriormente.

En estas condiciones se podría escribir el mismo razonamiento imposible anterior de la siguiente manera: 1) Con 60 rampas se pondrían (60x4) 240 bloques por hora simultáneamente (240 bloques)(10 horas)(365 días)(2,8 años) = 2.452.800 bloques 2) Con 48 rampas se pondrían (48x4) 192 bloques por hora simultáneamente (192 bloques)(10 horas)(365 días)( 3,5 años) = 2.409.000 bloques 3) Con 40 rampas se pondrían (40x4) 160 bloques por hora simultáneamente (160 bloques)(10 horas)(365 días)(4,12 años) = 2.409.000 bloques De esta forma la cosa variaría radicalmente, reduciéndose el tiempo de construcción, en cualquier caso, a un tiempo menor de 5 años. Aunque sigue siendo un tiempo mínimo teórico inalcanzable nos sirve de referencia para poder

comparar las distintas opciones. Por lo tanto relajando considerablemente el ritmo de construcción, podría decirse que se puede construir la pirámide de Keops en más o menos 10 años. Esto, por otra parte, nos asegura que en vida de Keops como faraón (23 años) hubo tiempo más que suficiente para construirla.

De todas formas es de esperar que, como los obreros eran asalariados, se produjera un sobrecoste en tiempo y dinero, como ocurre en las grandes obras de ingeniería modernas, lo que seguramente debió ocasionar un empobrecimiento de la sociedad y esta es, a su vez, posiblemente la razón por la que no siguiesen construyendo grandes pirámides después de la de Kefrén (2514-2486).

SEGUNDO MÉTODO PROPUESTO PIRAMIDIÓN Mw Zonas rectas Revestimiento

Rampas pequeñas

76 m Bloques grandes 146 m

2 FASE Rampas grandes

Zonas rectas

60 m 1ª FASE

51º 52º 555 m 230 m

106 m

Fig. 20 Este segundo método de construcción está basado en el primero, y solo cambia en la forma de manipular los grandes bloques, como se observa en la figura 20. En principio nos fijaremos únicamente en la primera fase, en la que, según se aprecia en la figura, se disponen 5 rampas grandes (amarillo) por la que se suben los bloques de 44 Tm (rojo). Concretando esta idea, diremos que en tres de las cuatro caras de la pirámide se dejan las rampas pequeñas definidas en el primer método. En la cuarta, se crean las citadas nuevas rampas, para que se puedan deslizar los grandes bloques.

Empecemos por dividir arbitrariamente la altura aproximada de 60 m, a la que se deberán elevar los grandes bloques, en 5 tramos de 12 m. ¿Por qué se elige

esto? Pues porque en aquella época los antiguos, empezando por los mesopotámicos, tenían debilidad por el sistema métrico basado en esa cifra, que es muy manejable. Por eso tenemos 12 horas en el reloj, los signos del zodíaco son 12, etc. Pues bien, haciendo esta división nos salen cinco alturas de 12 m. Para cada una de ellas se elige una rampa (rojo) como se observa en la siguiente vista frontal: 18,55 m

Zonas horizontales 98,36 m

18,55 m

12 m Ramps 60 m

47, 26 m

135, 47 m 230 m

47, 26 m

Fig 21 Esto también se observa fácilmente en la siguiente figura lateral: 5 Rampas 60 m 60 m 52º 47, 26 m 230 m Fig 22 Para aclarar más como son estas rampas se ha realizado la figura (23), donde se observa la disposición de las rampas para los grandes bloques. En ella se advierten también las flechas amarillas que indican el recorrido de los bloques. Las zonas azules son rectas y sirven para la manipulación de los mismos como en el primer método. Por último, se destaca en rojo una cualquiera de las rampas.

De esta forma, cada vez que un bloque grande llega a la hilada en la que ha de ser utilizado, se deposita en ella y se comienza la realización de la cámara del rey, de la reina o la gran galería.

Superficie de la pirámide runcada a 60 m de altura

Desplazamiento lateral De los grandes bloques

Fig. 23 Es importante observar que cuando un bloque llega a una altura determinada, los trabajadores no tienen más que desplazar el bloque lateralmente, sin tener que girarlo, lo que sería una operación complicada a esa altura, como se observa en la figura (23).

Unas flechas amarillas ilustran el recorrido de los grandes bloques, y las zonas azules representan las zonas horizontales para su manipulación. Esta disposición no es única puesto que se podrían situar el doble de rampas a condición de reducir a la mitad su ángulo y su anchura. Las rampas también se observan fácilmente en la figura (22) elegida a 90º de la anterior.

3.2- Construcción de las rampas grandes de la primera fase Es necesario explicar que las rampas grandes se van haciendo sumando rampas pequeñas como se muestra en la vista lateral de la primera rampa: Hiladas de bloques pequeños Rampas Primera terraza Fig. 24 Con esto se consigue tener acceso a todas y cada una de las terrazas formadas por los bloques pequeños, tengan la altura que tengan. Esto significa que cada vez que se realiza esta operación se consigue un metro más de altura.

Es este sentido cada vez que un bloque grande llega a la hilada en la que ha de ser utilizado, se deposita en ella y se comienza a utilizar en la realización de la cámara del rey, de la reina o la gran galería. Por otra parte, cuando se quiera descansar en medio de la operación de subida de una rampa, no habrá más que introducir unas cuñas en la parte posterior de los bloques.

En una vista en planta (fig 25), las rampas grandes (amarillo) permiten la subida de los grandes bloques (rojo) en un circuito perfectamente explicado, en dicha figura, mediante las flechas blancas. Las zonas azules siguen siendo planas.

Todas las zonas en marrón, representan la pirámide acabada y sirven para el control de las aristas de la pirámide. Las rampas pequeñas siguen siendo iguales a las del primer método y se verían así:

Rampas grandes Fig. 25 Los resultados de los cálculos se hallan en el siguiente gráfico: Ángulo

Longitud horizontal de la rampa (amarillo)

Zona recta (azul)

Componente del peso por bloque en la rampa

7º 6º

98,36 m 114,28m

18,55 m 10,59 m

18.348 kg 17.468 kg

Nº hombres en la rampa arrastrando grandes bloques 734 699

Conclusiónes: 1) No se puede reducir el ángulo de la rampa a menos de (6º) dado que la longitud horizontal máxima de la última terraza, a 60 m de altura, es de 135, 47 m. y con (5º) saldría 137,93 m.

2) La utilización de rampas de (7º) significaría un incremento de tan solo unos 35 hombres más, para un acortamiento sustancial en la longitud horizontal de aproximadamente 16 m y un aumento de la zona recta de unos 8 m.

Probablemente esta sería la mejor opción para este segundo método de construción.

Comparese estos valores con los obtenidos en el otro método y se concluirá que el primero es mejor en todos los sentidos.

El cálculo de la anchura de estas rampas será de aproximadamente 10 m.

Esta anchura es igual a la elegida para la rampa móvil del primer método.

3.3 – Terminación y acabado de la pirámide Una vez construida la pirámide por este segundo método, queda el proceso de colocación de los bloques de caliza blanca del revestimiento, operación que requiere una explicación complementaria. En primer lugar las rampas pequeñas no presentan ningún problema puesto que, con ellas, se tiene acceso fácil a tres de las cuatro caras en las que se han situado, como se hizo en el primer método.

El verdadero problema se halla en la cara de las rampas grandes. Con estas rampas no se tiene acceso a todas las partes de la pirámide, y para lograr acabarla se realizará el siguiente proceso: En primer lugar se eliminarán, una a una, las 5 grandes rampas empezando por la superior. En la siguiente figura 26 se observa cómo se ha eliminado esta primera rampa, esto es:

Zona sin bloques 1ª Rampas pequeñas

Fig. 26 Una vez hecho esto, quedará una zona sin bloques pequeños a las que no se podrá acceder directamente. Para lograr este objetivo se construirán rampas

menores como se indicó en la anterior figura. Con ellas se tiene acceso a todas las hiladas que faltan.

En la figura 27, se puede observar claramente la función que cumplen estas pequeñas rampas parciales. En ella se aprecia una zona de reubicación de bloques pequeños que servirán para formar, junto a nuevos bloques, las hiladas que faltan. Para a continuación situar los bloques de piedra del revestimiento, como se puede observar en la figura (10).

Zona de reubicación de bloques de 2,8 Tm

Fig. 27

A continuación se procede a eliminar la segunda gran rampa y situar en su lugar las pequeñas rampas como se indica en la siguiente figura:

Zona sin bloques 2ª Rampas pequeñas

Fig. 28 Siguiendo el procedimiento de eliminación de las grandes rampa, la tercera quedará:

Zona sin bloques 3ª pequeñas

Rampas

Fig. 29 A continuación se procede a eliminar la penúltima gran rampa como se indica en el dibujo:

Zona sin bloques 4ª Rampas Pequeñas

Fig.30 Y la última rampa, será:

Zona sin bloques 5ª Rampas Pequeñas

Fig. 31 Y así, de esta forma, se ha logrado la eliminación de todas las rampas grandes y la colocación de todos los bloques de revestimiento, como se indica en las anteriores figuras.

COMPARACIÓN DE AMBOS MÉTODOS El primer método presenta, respecto del segundo, las tres ventajas siguientes:

1) Los bloques grandes solo tienen que ser arrastrados por rampas pequeñas de pocos metros de longitud. Estas rampas se van fabricando y desmontando cada vez que se alcanza una nueva terraza de la pirámide, lo que proporciona mucha agilidad y rapidez a la construcción.

2) Otra gran ventaja es que se puede disminuir el ángulo de todas las rampas hasta (3º) de inclinación.

3) El acabado y colocación de los bloques de revestimiento es mucho más fácil y rápido en el primer método que en el segundo.

DATOS DEL AUTOR: Doctor Ingeniero Industrial. Licenciado en Ciencias Físicas. Ingeniero T. Aeronáutico. Excatedrático (EU) de Aeronaves Misiles y Resistencia de Materiales de la Escuela Superior de Aeronáutica y del Espacio (Universidad Politécnica de Madrid). Exprofesor y exdirector del Departamento de Matemáticas de ESIC (Escuela Superior de Gestión Comercial y Marketing). Exdirector técnico de proyectos espaciales del Departamento de Proyectos y Desarrollos de Estructuras del INTA. Dirección postal: Urbanización La Reserva de Marbella, Fase II, Manzana (3), Bloque (7), nº 7237, CP 29604, Marbella (Málaga) Correo electrónico: josemanuelcasteleiro@gmail.com