Πανελλήνιες 2019 (ΕΠΑΛ): Οι απαντήσεις στα Μαθηματικά (Αλγεβρα)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I- ΕΠΑΛ

12:15

Σελίδα 2 από 6

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ:

.08. / .06. / 2019

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I - ΕΠΑΛ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 28 Α2. α) Σχολικό βιβλίο σελ. 59 β) Σχολικό βιβλίο σελ. 59 Α3. 1) Λ,

2) Σ,

3) Λ,

4) Λ,

5) Σ

ΘΕΜΑ Β Β1. Η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι: s2  4  s  2

s 20 2    x  10 x 100 x 11  7    13  11  10 52   Β2. x  10   10   10  6 6 52    10  52    60    8 6 C.V 

Β3. Για την διάμεσο διατάσσουμε τις παρατηρήσεις κατά αύξουσα σειρά: 7,

8,

10,

11,

11,

13



10  11  10, 5 2

Για το εύρος των παρατηρήσεων έχουμε: R  13  7  6 Β4. Από βασική εφαρμογή του σχολικού η νέα μέση τιμή και τυπική απόκλιση είναι:

x΄  x  2  8 s΄  s  2

O συντελεστής μεταβολής του νέου δείγματος είναι: C.V  Επειδή CV>10% το δείγμα δεν είναι ομοιογενές

Σελίδα 3 από 6

s΄ 2   25% x΄ 8

ΘΕΜΑ Γ Γ1. f  x  

x 2  2x  10

x f΄  x  

2



 2x  10 ΄

2 x  2 x  10 2



2x  2 2 x  2 x  10 2



2  x  1 2 x  2x  10 2



x 1 x  2x  10 2

Γ2. f΄  x   0  x  1  0  x  1



x



1

-

f΄

+

f Ε

Η f΄(χ)>0 για κάθε x  1,   άρα η f γνησίως αύξουσα στο 1, 

Η f΄(χ) <0 για κάθε x   ,1 άρα η f γνησίως αύξουσα στο  ,1 f 1  3 12  2  1  10  9  3

Για κάθε x  1  f  x   f 1  f  x   3 Για κάθε x  1  f  x   f 1  f  x   3 ισχύει: f  x   f 1  f  x   3

Συνεπώς για κάθε x  Γ3. f  5   52  2  5  10 

5 1

f΄  5 



25  5

4 5

52  2  5  10 Έστω    : y   x   η εξ. της εφαπτομένης της Cf στο   5, 5  σημείο της.

  f΄  5 

4 4 άρα y  x   5 5

4  4   5,      : 5   5      1 5  5

 : y 

4 x 1 5

Γ4. Για χ=0 έχουμε: y 

4  0  1  1 συνεπώς η εφαπτομένη τέμνει τον y΄y στο B  0,1 5

Σελίδα 4 από 6

y0

4 5  5  x  1  0  x   άρα η εφαπτομένη τέμνει τον x΄x στο σημείο A   , 0  5 4  4 

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Για   3 έχουμε: f  x   x 3  3x 2  3x 2 f   x   x3  3x 2  3x   x 3   3x 2    3x   3x 2  6x  3  3 x 2  2x  1  3  x  1  0



   







x





1

+

f΄

+

f

Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R .

3 5 3 5  f   f  8 6 8 6 Δ2. . lim x 1

fx



lim



x  1 x2  x

3



x 1

  3



 lim x 1



2

x  1 x  x  1

 lim x 1

 x  1  lim 3  x  1  x  1   x  1 x  x  1 x  1 x 3  x  1

x 1

  3 2  6

x 1

1 1

x

1

Δ3. f΄  x   3x  6x  3



3  x  1

2

f΄΄  x   6x  6 f΄΄  x   0  6x  6  0  x  1

x f΄΄



-

+

f΄ Ε

Ο συντελεστής διεύθυνσης ελαχιστοποιείτε για x=1

Σελίδα 5 από 6



1

Δ4. f΄  x   3x 2  6x  

   6   4  3    36  12 2

Αν   0 τότε η f΄  x   0 έχει ρίζες και αλλάζει πρόσημο συνεπώς παρουσιάζει ακρότατα Αν   0 τότε f΄  x   0 για κάθε x 

άρα η f γνησίως αύξουσα και δεν παρουσιάζει

ακρότατα

Αν   0 τότε f΄  x   0 για κάθε x 

άρα η f γνησίως αύξουσα και δεν παρουσιάζει

ακρότατα Συνεπώς θα πρέπει:   0  36  12  0    3

Άρα η μικρότερη τιμή της f για την οποία δεν παρουσιάζει ακρότατα είναι λ=3

Σελίδα 6 από 6