International Journal of Advanced Engineering Research and Science (IJAERS) https://dx.doi.org/10.22161/ijaers.4.4.13
[Vol-4, Issue-4, Apr- 2017] ISSN: 2349-6495(P) | 2456-1908(O)
On r-Dynamic Chromatic Number of the Corronation of Path and Several Graphs Arika Indah Kristiana1,2, Dafik1,2, M. Imam Utoyo 4, Ika Hesti Agustin1,3 1 CGANT

 2 Mathematics
University of Jember Indonesia Edu. Depart. University of Jember, Indonesia
3 Mathematics 4 Mathematics
Depart. University of Jember, Indonesia Depart. University of Airlangga, Surabaya, Indonesia
Abstract—This study is a natural extension of k -proper coloring of any simple and connected graph G. By a n rdynamic coloring of a graph G, we mean a proper k coloring of graph G such that the neighbors of any vertex v receive at least min{r, d(v)} different colors. The r-dynamic chromatic number, written as ď Łr (G), is the minimum k such that graph G has an r-dynamic k -coloring. In this paper we will study the r-dynamic chromatic number of the coronation of path and several graph. We denote the corona product of G and H by đ??ş ⨀ đ??ť. We will obtain the rdynamic chromatic number of đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀đ?‘ƒđ?‘š ), đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀đ??śđ?‘š )and đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀đ?‘Šđ?‘š ) for m, n ď‚ł 3. Keyword— r-dynamic chromatic number, path, corona product. I. INTRODUCTION An r-dynamic coloring of a graph G is a proper kcoloring of graph G such that the neighbors of any vertex v receive at least min{r, d(v)} different colors. The r-dynamic chromatic number, introducedby Montgomery [4] written as ď Łr (G), is the minimum k such that graph G has an r-dynamic k-coloring. The 1-dynamic chromatic number of a graph G is ď Ł1 (G) = ď Ł(G), well-known as the ordinary chromatic number of G. The 2-dynamic chromatic number is simply said to be a dynamic chromatic number, denoted byď Ł2 (G)= ď Łd (G),see Montgomery [4]. The r-dynamic chromatic number has been studied by several authors, for instance in[1], [5], [6], [7], [8], [10], [11]. The following observations are useful for our study, proposed by Jahanbekam[11]. Observation 1.[10] Always đ?œ’ (đ??ş ) = đ?œ’ 1 (đ??ş ) ≤ â‹Ż ≤ ( ) ( ) ( ) đ?œ’ ∆(đ??ş) đ??ş . If đ?‘&#x; ≼ ∆ đ??ş , then đ?œ’ đ?‘&#x; đ??ş = đ?œ’ ∆(đ??ş ) (đ??ş ) Observation 2.Let∆(đ??ş ) be the largest degree of graph G. It holdsđ?œ’ đ?‘&#x; (đ??ş ) ≼ min{∆(đ??ş ) , đ?‘&#x;} + 1.
www.ijaers.com
Given two simple graphs G and H, the corona product of G and H, denoted by đ??ş ⨀ đ??ť, is a connected graph obtained by taking a number of vertices |V(G)| copy of H, and making the i th of V(G)adjacent to every vertex of the ith copy of V(H), Furmanczyk[3]. The following example is đ?‘ƒ3 ⨀đ??ś3.
Fig.1: Graph đ?‘ƒ3 ⨀ đ??ś3 There have been many results already found, The first one was showed by Akbari et.al [10].They found that for every two natural number m and n, m, nď‚ł 2, the cartesian product of Pm and Pn is ď Ł2 (Pm ď żPn ) = 4 and if 3|mn, thenď Ł2 (Cm ď żCn ) = 3 and ď Ł2 (Cm ď żCn ) = 4. In [2], they then conjectured χ 2 (G) ≤ χ(G)+2 when G is regular, which remains open. Akbari et.al. [9] alsoproved Montgomery’s conjecture for bipartite regular graphs, as well as Lai, et.al. [5] provedthat χ 2 (G) ≤ ∆(G) + 1 for ∆(G) ď‚ł4 when no component is the 5-cycle. By a greedy coloring algorithm, Jahanbekama [11] proved that χr(G) ≤ r∆(G)+ 1, and equality holds for ∆(G) > 2 if and only if G is r-regular with diameter 2 and girth 5. They improved the bound to χ r(G) ≤ ∆(G) + 2r − 2 when δ(G) 2 >2r ln n and χr(G)≤ ∆(G) + r when δ(G) >r ln n. II. THE RESULTS We are ready to show our main theorems. There are three theorems found in this study. Those deal with corona product of graph Pn with Pm , Cm , and Wm . Theorem 1. Let đ??ş = đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š be a corona graph of P n and Pm . For n, m ≼ 2, the r-dynamic chromatic number is: Page | 96
International Journal of Advanced Engineering Research and Science (IJAERS) https://dx.doi.org/10.22161/ijaers.4.4.13 3 , đ?‘&#x; = 1, 2 đ?œ’ đ?‘&#x; (đ??ş ) = {đ?‘&#x; + 1 , 3 ≤ đ?‘&#x;≤ ∆−1 đ?‘š+3 , đ?‘&#x;â‰Ľâˆ† Proof. The graph đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š is a connected graph with vertex set đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ) = {đ?‘Śđ?‘– , 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›} âˆŞ { đ?‘Ľđ?‘–đ?‘— ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š} and edge setđ??¸ (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ) = { đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ś(đ?‘–+1) ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› − 1} âˆŞ {đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š} âˆŞ {đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— , đ?‘Ľ đ?‘–(đ?‘—+1 ); 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š − 1}. The order of graph đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š is |đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š )| = đ?‘›(đ?‘š + 1) and the size of graph đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š is |đ??¸(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š )| = 2đ?‘šđ?‘› − 1. Thus, ∆(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ) = đ?‘š + 2. By observation 2, đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ) ≼ min{đ?‘&#x;, ∆(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š )} + 1 = min {đ?‘&#x;, đ?‘š + 2} + 1. To find the exact value of r-dynamic chromatic number of đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š , we define two cases, namely for đ?œ’ đ?‘&#x;=1,2 ( đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š )and đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ) . Case 1. For đ?œ’ đ?‘&#x;=1,2 ( đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ) , define c1 :đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, k} where nď‚ł 3, đ?‘š ≼ 3, by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?1 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 1 , đ?‘– even, đ?‘— odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š đ?‘?1 (đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ) = { 2 , đ?‘– odd, đ?‘— odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› , 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š 3 , đ?‘— even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š It easy to see that c1 is mapc1 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š )ďƒ {1, 2, 3}, thus it gives đ?œ’ đ?‘&#x;=1,2 ( đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ) = 3. Case 2. Subcase 2.1 For đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ), 3 ≤ đ?‘&#x; ≤ ∆ − 1, define c2 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š )ďƒ {1, 2,‌, k} where n ď‚ł 3, mď‚ł 3, by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?2 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?2 ( đ?‘Ľ11 , đ?‘Ľ12 , đ?‘Ľ13 ) = 2, 3, 4, for đ?‘š = 3, đ?‘&#x; = 3 ( đ?‘?2 đ?‘Ľ 21 , đ?‘Ľ 22 , đ?‘Ľ 23 ) = 1, 3, 4, for đ?‘š = 3, đ?‘&#x; = 3 đ?‘?2 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 ) = 3, 4, 5, for đ?‘š = 3, đ?‘&#x; = 4 đ?‘?2 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 ) = 2, 3, 4, 5, for đ?‘š = 4, đ?‘&#x; = 4 đ?‘?2 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 ) = 3, 4, 5, 6, for đ?‘š = 4, đ?‘&#x; = 5 It easy to see that c2 is a map c2 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, r+1}, thus it givesđ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ) = đ?‘&#x; + 1, 3 ≤ đ?‘&#x; ≤ ∆ − 1 Subcase 2.2 The last for đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ) , đ?‘&#x; ≼ ∆, define c3 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š )ďƒ {1, 2,‌, k} where n ď‚ł 3, mď‚ł 3, by the following:
www.ijaers.com
[Vol-4, Issue-4, Apr- 2017] ISSN: 2349-6495(P) | 2456-1908(O)
1 , đ?‘– = 3đ?‘Ą + 1, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?3 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– = 3đ?‘Ą + 2, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 3 , đ?‘– = 3đ?‘Ą, đ?‘Ą ≼ 1, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 3
4
5
4
6
5
6
2
1
7
1
4
5
6
3
Fig.2: đ?œ’ 6 (đ?‘ƒ3 ⨀ đ?‘ƒ4 ) = 7 with n= 3, m= 4, r= 6 đ?‘?3 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 ) = 4, 5, 6, for đ?‘š = 3, đ?‘&#x; = 5 đ?‘?3 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 ) = 3, 4, 5, 6, for đ?‘š = 4, đ?‘&#x; = 6 đ?‘?3 (đ?‘Ľ 21 , đ?‘Ľ 22 , đ?‘Ľ 23 , đ?‘Ľ 24 ) = 4, 5, 6, 7 for đ?‘š = 4, đ?‘&#x; = 6 đ?‘?3 (đ?‘Ľ 21 , đ?‘Ľ 22 , đ?‘Ľ 23 , đ?‘Ľ 24 , đ?‘Ľ 25 ) = 4, 5, 6, 7,8 for đ?‘š = 5, đ?‘&#x; = 7 It easy to see that c3 is a map c3 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, m+3}, so it givesđ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ) = đ?‘š + 3, đ?‘&#x; ≼ ∆.It concludes the proof Theorem 2. Let đ??ş = đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š be a corona graph of Pn and Cm . For nď‚ł 3, m ≼ 3, the r-dynamic chromatic number is: 3 , đ?‘š even or đ?‘š = 3đ?‘˜, đ?‘˜ ≼ 1 đ?œ’ đ?‘&#x;=1,2 (đ??ş ) = { 4 , đ?‘š odd or đ?‘š = 5
đ?œ’ đ?‘&#x;=3 (đ??ş ) = {
4 , đ?‘š = 3đ?‘˜, đ?‘˜ ≼ 1 6 , đ?‘š=5 5 , đ?‘š otherwise
đ?‘&#x;+1
,
4 ≤ đ?‘&#x; ≤ ∆ −1
đ?œ’ đ?‘&#x; (đ??ş ) = { đ?‘š+3 , đ?‘&#x; â‰Ľâˆ† Proof. The graph đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š is connected graph with vertex set đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ) = { đ?‘Śđ?‘– ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›} âˆŞ {đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š} and edge set đ??¸( đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ) = { đ?‘Śđ?‘– đ?‘Śđ?‘–+1 ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› − 1} âˆŞ {đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— đ?‘Ľđ?‘–(đ?‘—+1) ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š − 1} âˆŞ {đ?‘Ľ đ?‘–1 đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›} âˆŞ {đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š}. The order of graph đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š is |đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )| = đ?‘›(đ?‘š + 1) and the size of graph đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š is |đ??¸(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )| = 2đ?‘šđ?‘› + đ?‘› − 1, ⨀ thus∆(đ?‘ƒđ?‘› đ??śđ?‘š ) = đ?‘š + 2. By Observation 2, we have đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ) ≼ min{đ?‘&#x;, ∆(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )} + 1 = min{đ?‘&#x;, đ?‘š + 2} + 1. To find the exact value of r-dynamic chromatic
Page | 97
International Journal of Advanced Engineering Research and Science (IJAERS) https://dx.doi.org/10.22161/ijaers.4.4.13 number of đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š , we define three case, namely for đ?œ’ đ?‘&#x;=1,2 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ), đ?œ’ đ?‘&#x;=3 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ) and đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ). Case 1. Subcase 1.1 For đ?œ’ đ?‘&#x;=1,2 ( đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ), define c4 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, k} where nď‚ł 3, đ?‘š even or đ?‘š = 3đ?‘˜, đ?‘˜ ≼ 1, by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?4 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 1 , đ?‘– even, đ?‘— odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š − 1 2 , đ?‘– odd, đ?‘— odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› , 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š đ?‘?4 (đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ) = { 3 , đ?‘— even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š 4 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, đ?‘— = đ?‘š It easy to see that c4 is a map c4 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2, 3}, so it givesđ?œ’ đ?‘&#x;=1,2 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ) = 3, đ?‘š even or đ?‘š = 3đ?‘˜, đ?‘˜ ≼ 1 Subcase 1.2 For đ?œ’ đ?‘&#x;=1,2 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )define c5 : ⨀ đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, k} where nď‚ł 3, , đ?‘š odd or đ?‘š = 5,, by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?5 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 1 , đ?‘– even, đ?‘— odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š − 1 2 , đ?‘– odd, đ?‘— odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› , 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š − 1 đ?‘?5 (đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ) = { 3 , đ?‘— even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š − 1 4 , 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, đ?‘— = đ?‘š It easy to see that c5 is a map c5 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2, 3, 4}, so it givesđ?œ’ đ?‘&#x;=1,2 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ) = 4, đ?‘š odd or đ?‘š = 5 1
2 3 3
4
2
1
2 3
3
3 3
4
1
2
4
2
1
Fig.3: đ?œ’ 2 (đ?‘ƒ3 ⨀ đ??ś5 ) = 4 with n = 3, m = 5, r = 2 Case 2. Subcase 2.1 For đ?œ’ đ?‘&#x;=3 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ), define c6 : ⨀ đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, k} where n ď‚ł 3, đ?‘š = 3đ?‘˜ , đ?‘˜ ≼ 1, by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?6 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?6 (đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ) 1 , đ?‘– even, đ?‘— = 3đ?‘Ą + 1, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š 2 , đ?‘– odd, đ?‘— = 3đ?‘Ą + 1, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š ={ 3 , đ?‘— = 3đ?‘Ą + 2, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š 4 , đ?‘— = 3đ?‘Ą, đ?‘Ą ≼ 1, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š
www.ijaers.com
[Vol-4, Issue-4, Apr- 2017] ISSN: 2349-6495(P) | 2456-1908(O)
It easy to see that c6 is map c6 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2, 3, 4}, so it givesđ?œ’ đ?‘&#x;=3 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ) = 4, đ?‘š = 3đ?‘˜, đ?‘˜ ≼ 1. Subcase 2.2 For đ?œ’ đ?‘&#x;=3 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ), define c7 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, k} where n ď‚ł 3, m = 5, by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?7 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?7 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 ) = 2, 3, 4, 5, 6 đ?‘?7 (đ?‘Ľ 21 , đ?‘Ľ 22 , đ?‘Ľ 23 , đ?‘Ľ 24 , đ?‘Ľ 25 ) = 1, 3, 4, 5,6 It easy to see that c7 is a map c7 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Thus it given đ?œ’ đ?‘&#x;=3 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??ś5 ) = 6 Subcase 2.3 For đ?œ’ đ?‘&#x;=3 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ), define c8 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2,‌, k} where n ď‚ł 3, m otherwise, by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?8 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?8 (đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ) 1 , đ?‘– even, đ?‘— = 4đ?‘Ą + 1, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š 2 , đ?‘– odd, đ?‘— = 4đ?‘Ą + 1, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š 3 , đ?‘— = 4đ?‘Ą + 2, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š = 4 , đ?‘— = 4đ?‘Ą + 3, đ?‘Ą ≼ 1, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š { 5 , đ?‘— = 4đ?‘Ą, đ?‘Ą ≼ 1, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š It easy to see that c8 is map c8 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2, 3, 4, 5}, so it givesđ?œ’ đ?‘&#x;=3 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ) = 5 Case 3. Subcase 3.1 For đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ) , 4 ≤ đ?‘&#x; ≤ ∆ − 1, define c9 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2,‌, k} where n ď‚ł 3, mď‚ł 3, by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?9 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?9 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 , đ?‘Ľ 16 ) = 3, 4, 5, 3, 4, 5, for đ?‘š = 6, đ?‘&#x; = 4 đ?‘?9 (đ?‘Ľ 31 , đ?‘Ľ 32 , đ?‘Ľ 33 , đ?‘Ľ 34 , đ?‘Ľ 35 , đ?‘Ľ 36 ) = 3, 4, 5, 3,4, 5, for đ?‘š = 6, đ?‘&#x; = 4 ( đ?‘?9 đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 , đ?‘Ľ 16 ) = 3, 4, 5, 6, 3, 5, for đ?‘š = 6, đ?‘&#x; = 5 ( đ?‘?9 đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 , đ?‘Ľ 16 ) = 3, 4, 5, 6, 7, 3, for đ?‘š = 6, đ?‘&#x; = 6 đ?‘?9 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 , đ?‘Ľ 16 ) = 3, 4, 5, 6, 7, 8, for đ?‘š = 6, đ?‘&#x; = 7 It easy to see that c9 is a map c9 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, r+1}, so it givesđ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ) = đ?‘&#x; + 1, 4 ≤ đ?‘&#x; ≤ ∆ − 1 Subcase 3.2The last for đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ), đ?‘&#x; ≼ ∆, define c10 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2,‌, k} where n ď‚ł 3, mď‚ł 3, by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?10 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?10 ( đ?‘Ľ11 , đ?‘Ľ12 , đ?‘Ľ13 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 , đ?‘Ľ 16 ) = 4, 5, 6, 7, 8, 9 Page | 98
International Journal of Advanced Engineering Research and Science (IJAERS) https://dx.doi.org/10.22161/ijaers.4.4.13 for đ?‘š = 6, đ?‘&#x; = 8 đ?‘?10 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 , đ?‘Ľ 16 , đ?‘Ľ 17 ) = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 for đ?‘š = 7, đ?‘&#x; = 9 ( đ?‘?10 đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 , đ?‘Ľ 16 , đ?‘Ľ 17 , đ?‘Ľ 18 ) = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 for đ?‘š = 8, đ?‘&#x; = 10 It easy to see that c10 is map c10 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, m+3}, so it given đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??ś5 ) = đ?‘š + 3, đ?‘&#x; ≼ ∆.It concludes the proof. Theorem 3. Let đ??ş = đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š be a corona graph of Pn and Wm . For nď‚ł 3, m ≼ 3, the r-dynamic chromatic number is: 4 , đ?‘š even đ?œ’ đ?‘&#x;=1,2,3 (đ??ş ) = { 5 , đ?‘š odd 5 , đ?‘š = 3đ?‘˜, đ?‘˜ ≼ 1 đ?œ’ đ?‘&#x;=4 (đ??ş ) = { 7 , đ?‘š=5 6 , đ?‘š otherwise đ?‘&#x;+1 , 5 ≤ đ?‘&#x; ≤ ∆−1 đ?œ’ đ?‘&#x; (đ??ş ) = { đ?‘š+4 , đ?‘&#x;≼ ∆ Proof. The graph đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š is a connected graph with vertex set đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) = { đ?‘Śđ?‘– ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›} âˆŞ {đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š} âˆŞ {đ??´đ?‘– ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›} and edge set đ??¸ (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) = { đ?‘Śđ?‘– đ?‘Śđ?‘–+1 ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› − 1} âˆŞ {đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— đ?‘Ľđ?‘–(đ?‘—+1) ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š − 1} âˆŞ {đ?‘Ľ đ?‘–1 đ?‘Ľđ?‘–đ?‘š ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›} âˆŞ { đ?‘Śđ?‘– đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š} âˆŞ {đ??´đ?‘– đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š} âˆŞ {đ??´đ?‘– đ?‘Śđ?‘– ; 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›} . The order of graph đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š is |đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )| = đ?‘šđ?‘› + 2đ?‘› ) and the size of graph đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š is |đ??¸(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )| = 3đ?‘šđ?‘› + 2đ?‘› − 1, thus∆(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) = đ?‘š + 3. By observation 2, we have the following đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) ≼ min {đ?‘&#x;, ∆( đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )} + 1 = min{đ?‘&#x;, đ?‘š + 3} + 1. To find the exact value of r-dynamic chromatic number of đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š , we define three case, namely for đ?œ’ đ?‘&#x;=1,2,3 ( đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) , đ?œ’ đ?‘&#x;=4 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) and đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ). Case 1 Subcase 1.1 For đ?œ’ đ?‘&#x;=1,2,3 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ), define c11 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, k} where nď‚ł 3, đ?‘š even by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?11 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 1 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?11 (đ??´đ?‘– ) = { 2 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 3 , đ?‘— odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› , 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š đ?‘?11 (đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ) = { 4 , đ?‘— even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š It easy to see that c11 is map c11 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, 3, 4}, so it givesđ?œ’ đ?‘&#x;=1,2,3 ( đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) = 4, đ?‘š even . www.ijaers.com
[Vol-4, Issue-4, Apr- 2017] ISSN: 2349-6495(P) | 2456-1908(O)
Subcase 1.2 For đ?œ’ đ?‘&#x;=1,2,3 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ), define c12 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, k} where nď‚ł 3, đ?‘š odd by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?12 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 1 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?12 (đ??´đ?‘– ) = { 2 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 3 , đ?‘— odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š − 1 đ?‘?12 (đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ) = {4 , đ?‘— even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š − 1 5 , đ?‘— = đ?‘š,1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› It easy to see that c12 is a map c12 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, 3, 4, 5}, so it givesđ?œ’ đ?‘&#x;=1,2,3 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) = 5, đ?‘š even. Case 2 Subcase 2.1 For đ?œ’ đ?‘&#x;=4 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ), define c13 : ⨀ đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, k} where n ď‚ł 3, đ?‘š = 3đ?‘˜, đ?‘˜ ≼ 1 by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?13 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 1 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?13 (đ??´đ?‘– ) = { 2 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?13 (đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ) 3 = {4 5
, , ,
� = 3� + 1, � ≼ 0, 1 ≤ � ≤ �, 1 ≤ � ≤ � � = 3� + 2, � ≼ 0, 1 ≤ � ≤ �, 1 ≤ � ≤ � � = 3�, � ≼ 1, 1 ≤ � ≤ � , 1 ≤ � ≤ �
It easy to see that c13 is a map c13 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, 3, 4, 5}, so it given đ?œ’ đ?‘&#x;=4 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) = 5, đ?‘š = 3đ?‘˜, đ?‘˜ ≼ 1. Subcase 2.2 For đ?œ’ đ?‘&#x;=4 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ), define c14 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, k} where n ď‚ł 3, đ?‘š = 5 by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?14 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 1 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?14 (đ??´đ?‘– ) = { 2 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?14 ( đ?‘Ľ11 , đ?‘Ľ12 , đ?‘Ľ13 , đ?‘Ľ14 , đ?‘Ľ15 ) = 3, 4, 5, 6, 7 It easy to see that c14 is a map c14 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, so it gives đ?œ’ đ?‘&#x;=4 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) = 7, đ?‘š = 5. Subcase 2.3 For đ?œ’ đ?‘&#x;=4 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ), define c15 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, k} where n ď‚ł 3, đ?‘š otherwise by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?15 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 1 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?15 (đ??´đ?‘– ) = { 2 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?15 (đ?‘Ľ đ?‘–đ?‘— ) 3 , đ?‘— = 3đ?‘Ą + 1, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š − 1 4 , đ?‘— = 3đ?‘Ą + 2, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘›, 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š − 1 ={ 5 , đ?‘— = 3đ?‘Ą, đ?‘Ą ≼ 1, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› , 1 ≤ đ?‘— ≤ đ?‘š − 1 6 , đ?‘— = đ?‘š, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› Page | 99
International Journal of Advanced Engineering Research and Science (IJAERS) https://dx.doi.org/10.22161/ijaers.4.4.13 5
5
4 2
5
4 1
3
6
1
4 2
3
6
2
3
6
1
Fig.4:.đ?œ’ 4 (đ?‘ƒ3 ⨀ đ?‘Š4 ) = 6withn= 3, m= 4, r= 6 It easy to see that c15 is map c15 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, so it givesđ?œ’ đ?‘&#x;=4 (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) = 6, đ?‘š otherwise. Case 3. Subcase 3.1 For đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) 5 ≤ đ?‘&#x; ≤ ∆ − 1, define c16 :đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, k} where n ď‚ł 3, đ?‘š ≼ 3 by the following: 1 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?16 (đ?‘Śđ?‘– ) = { 2 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 1 , đ?‘– even, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?16 (đ??´đ?‘– ) = { 2 , đ?‘– odd, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?16 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 , đ?‘Ľ 16 , đ?‘Ľ 17 ) = 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, for đ?‘š = 7, đ?‘&#x; = 5 ( đ?‘?16 đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 đ?‘Ľ14 , đ?‘Ľ 15 , đ?‘Ľ 16 , đ?‘Ľ 17 ) = 3, 4, 5, 6, 7, 4, 5, for đ?‘š = 7, đ?‘&#x; = 6 đ?‘?16 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 , đ?‘Ľ 16 , đ?‘Ľ 17 ) = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 5, for đ?‘š = 7, đ?‘&#x; = 7 đ?‘?16 ( đ?‘Ľ11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 , đ?‘Ľ 16 , đ?‘Ľ 17 ) = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, for đ?‘š = 7, đ?‘&#x; = 8 It easy to see that c16 is a map c16 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, r+1}, so it givesđ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) = đ?‘&#x; + 1, 5 ≤ đ?‘&#x; ≤ ∆ − 1 . Subcase 3.2 For đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ), đ?‘&#x; ≼ ∆, define c17 :đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2,‌, k} where n ď‚ł 3, đ?‘š ≼ 3 by the following: 1 , đ?‘– = 3đ?‘Ą + 1, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?17 (đ?‘Śđ?‘– ) = {2 , đ?‘– = 3đ?‘Ą + 2, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 3 , đ?‘– = 3đ?‘Ą, đ?‘Ą ≼ 1, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 1 , đ?‘– = 4đ?‘Ą + 3, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 2 , đ?‘– = 4đ?‘Ą, đ?‘Ą ≼ 1, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?17 (đ??´đ?‘– ) = { 3 , đ?‘– = 4đ?‘Ą + 1, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› 4 , đ?‘– = 4đ?‘Ą + 2, đ?‘Ą ≼ 0, 1 ≤ đ?‘– ≤ đ?‘› đ?‘?17 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 , đ?‘Ľ 16 ) = 4, 5, 6, 7, 8, 9, for đ?‘š = 6, đ?‘&#x; = 9 đ?‘?17 (đ?‘Ľ 21 , đ?‘Ľ 22 , đ?‘Ľ 23 , đ?‘Ľ 24 , đ?‘Ľ 25 , đ?‘Ľ 26 ) = 5, 6, 7, 8, 9, 10, for đ?‘š = 6, đ?‘&#x; = 9 ( đ?‘?17 đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 , đ?‘Ľ 15 ) = 4, 5, 6, 7, 8, for đ?‘š = 5, đ?‘&#x; = 8 đ?‘?17 (đ?‘Ľ 21 , đ?‘Ľ 22 , đ?‘Ľ 23 , đ?‘Ľ 24 , đ?‘Ľ 25 ) = 5, 6, 7, 8, 9, for đ?‘š = 5, đ?‘&#x; = 8 đ?‘?17 (đ?‘Ľ 11 , đ?‘Ľ 12 , đ?‘Ľ 13 , đ?‘Ľ 14 ) = 4, 5, 6, 7, for đ?‘š = 4, đ?‘&#x; = 7 đ?‘?17 (đ?‘Ľ 21 , đ?‘Ľ 22 , đ?‘Ľ 23 , đ?‘Ľ 24 ) = 5, 6, 7, 8, for đ?‘š = 4, đ?‘&#x; = 7 www.ijaers.com
[Vol-4, Issue-4, Apr- 2017] ISSN: 2349-6495(P) | 2456-1908(O)
It easy to see that c17 is map c17 : đ?‘‰(đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š )ďƒ {1, 2, ‌, m+4}, so it givesđ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) = đ?‘š + 4, đ?‘&#x; ≼ ∆ . It concludes the proof. III. CONCLUSION We have found some r-dynamic chromatic number of corona product of graphs, namelyđ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ) = đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ) = đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘Šđ?‘š ) = đ?‘&#x; + 1, for 4 ≤ đ?‘&#x; ≤ ∆ − 1. andđ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ?‘ƒđ?‘š ) = đ?œ’ đ?‘&#x; (đ?‘ƒđ?‘› ⨀ đ??śđ?‘š ) = đ?‘š + 3, for đ?‘&#x; ≼ ∆. All numbers attaina best lower bound. For the characterization of the lower bound of đ?œ’ đ?‘&#x; (đ??ş ⨀ đ??ť ) for any connected graphs G and H, we have not found any result yet, thus we propose the following open problem. Open Problem 1. Given that any connected graphs G and H. Determine the sharp lower bound of đ?œ’ đ?‘&#x; (đ??ş ⨀ đ??ť ). ACKNOWLEDGEMENT We gratefully acknowledge to the support from CGANT – University of Jember of year 2017.
[1]
[2] [3]
[4]
[5]
[6] [7]
REFERENCES Ali Taherkhani. On r-Dynamic Chromatic Number of Graphs. Discrete Applied Mathematics 201 (2016) 222 – 227 B. Montgomery, Dynamic Coloring of Graphs (Ph.D Dissertation), West Virginia University, 2001 Hanna Furmanczyk, Marek Kubale. Equitable Coloring of Corona Products of Cubic Graphs is Harder Than Ordinary Coloring. Ars Mathematica Contemporanea 10 (2016) 333 – 347 H.J. Lai, B. Montgomery. Dynamic Coloring of Graph. Department of Mathematics, West Virginia University, Mongantown WV 26506-6310. 2002 H.J. Lai, B. Montgomery, H. Poon. Upper Bounds of Dynamic Chromatic Number. ArsCombinatoria. 68 (2003) 193 – 201 M. Alishahi, On the dynamic coloring of graphs, Discrete Appl. Math. 159 (2011) 152–156. M. Alishahi, Dynamic chromatic number of regular graphs, Discrete Appl. Math. 160 (2012) 2098–2103.
[8] Ross Kang, Tobias Muller, Douglas B. West. On rDynamic Coloring of Grids. Discrete Applied Mathematics 186 (2015) 286 – 290 [9] S. Akbari, M. Ghanbari, S. Jahanbekam. On The Dynamic Chromatic Number of Graphs, Combinatorics and Graph, in: Contemporary Page | 100
International Journal of Advanced Engineering Research and Science (IJAERS) https://dx.doi.org/10.22161/ijaers.4.4.13
[Vol-4, Issue-4, Apr- 2017] ISSN: 2349-6495(P) | 2456-1908(O)
Mathematics – American Mathematical Society513 (2010) 11 – 18 [10] S. Akbari, M. Ghanbari, S. Jahanbekam. On The Dynamic Coloring of Cartesian Product Graphs, ArsCombinatoria 114 (2014) 161 – 167 [11] SogolJahanbekam, Jaehoon Kim, Suil O, Douglas B. West. On r-Dynamic Coloring of Graph. Discrete Applied Mathematics 206 (2016) 65 – 72
www.ijaers.com
Page | 101