www.matematikapas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS
1
Penyusun (Author) : Edi Sutarto, S.Pd. : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. A. Definisi (Definition) Istilah limit diartikan pendekatan. Dalam penulisannya dituliskan: x → 2, dibaca x mendekati 2, artinya: nilai x = 1,999….,(2 −) limit kiri atau bisa juga nilai x = 2,000….1,(2 + ) limit kanan. Editor
In the writing is written: x → 2, be read as x approaches 2, it means : value x = 1,999….,(2 −) left or it could also limit the value x = 2,000….1,(2 + ) limit the right. Contoh : 1. Diketahui fungsi f(x) = 2x +3 Untuk x = 2, maka nilai fungsi f(2) = 2(2) + 3 = 7 Untuk x → 2, maka nilai fungsi: F(1,9999) = 2(1,9999) + 3 = 3,9998 + 3 = 6,9998, atau F(2,0001) = 2(2,0001) + 3 = 4,0002 + 3 = 7,0002 Kedua nilai fungsi tersebut mendekati bilangan 7 2 x + 3 = 7 artinya untuk x → 2, Dapat disimpulkan untuk f(x) = 2x + 3, maka lim x →2 nilai f(x) mendekati 7 Examples : 1. Given function f(x) = 2x +3 For x = 2, then the value function f(2) = 2(2) + 3 = 7 For x → 2, then the value function : F(1,9999) = 2(1,9999) + 3 = 3,9998 + 3 = 6,9998, or F(2,0001) = 2(2,0001) + 3 = 4,0002 + 3 = 7,0002 Both the value of the function is approaching numbers 7 2 x + 3 = 7 means for x → 2, value It can be concluded for f(x) = 2x + 3, then lim x →2 f(x) approach 7 x 2 − 2x − 3 .Untuk x = 3, maka nilai fungsi x −3 9 −6 −3 0 0 f(3) = = ( bentuk disebut bentuk tak tentu). 3 −3 0 0 ( x − 3)( x +1) x 2 − 2x − 3 Pada fungsi f(x) = .= ( x − 3) x −3 Untuk x → 3 , maka nilai fungsi: (2,9999 − 3)(2,9999) f(2,9999) = = 3,9999 2,9999 − 3 (3,0001 − 3)(3,0001 +1) f(3,0001) = = 4,0001. 3,0001 − 3
2. Diketahui fungsi f(x) =
Dapat disimpulkan , untuk f(x) =
x 2 − 2x − 3 x 2 − 2x − 3 ., maka : xlim = 4. → 3 x −3 x −3
x 2 − 2x − 3 .for x = 3, then the value function x −3 9 −6 −3 0 0 f(3) = = (form ). called indeterminate forms 3 −3 0 0
2. Given function f(x) =
In the function f(x) =
( x − 3)( x +1) x 2 − 2x − 3 .= ( x − 3) x −3
for x → 3 , then the value function: f(2,9999) =
(2,9999 − 3)(2,9999) = 3,9999 2,9999 − 3
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematikapas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS
f(3,0001) =
2
(3,0001 − 3)(3,0001 +1) = 4,0001. 3,0001 − 3
It can be concluded for f(x) =
x 2 − 2x − 3 x 2 − 2x − 3 ., then xlim : = 4. → 3 x −3 x −3
: This means that for x → 3, value f(x) = 4. Secara umum:
lim f ( x ) = L, artinya jika x →a, f ( x) mendekati L
x →a
In general
lim f ( x) = L, meaning if x → a, f ( x) aproach L x →a
B. Bentuk Tentu, bentuk Tak Tentu dan bentuk yang tidak terdefinisi Forms Sure, Not Sure shape and form that is not defined Dalam hasil pendekatan nilai fungsi, didapat 3 bentuk yaitu: In the approach value function, obtained 3 forms ie.: 1. Bentuk Tentu (Form Of) Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bilangan real tertentu. Bentuk ini merupakan jawaban dari semua soal-soal limit. Results approach that of the value of the function of certain real numbers. This shape represents the answers of all the questions limit. 2. Bentuk Tak Tentu (Forms Not Sure) Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bentuk:
0 , 0
∞ ,0.∞ ,∞ − ∞ ∞
dan
lainnya.Bentuk tak tentu menghasilkan banyak jawaban. Pada penyelesaian limit, bila nilai fungsi menghasilkan bentuk tak tentu maka harus diubah (bentuk fungsi) menjadi bentuk tentu. Results approach the value of function forms are:
0 , 0
∞ ,0.∞ ,∞ − ∞ ∞
and others. Not sure form generates a lot of answers. In the settlement limit, if the value function produces indeterminate form then must be changed (shape functions) into the form of course. 3. Bentuk yang tidak didefinisikan (The form that is not defined) Hasil pendekatan nilai fungsi yang berbentuk
a 0
Results-shaped value function approaches shaped
a 0
C.Teorema Limit (limit Theorem) c =c 1. xlim →a 2. 3. 4. 5.
lim x n = a n
x →a
lim c f ( x) =c lim
x →a
x →a
f ( x)
f ( x ) ± lim g ( x ) a x → lim [ f ( x ).g ( x )] = lim f ( x ) lim g ( x ) x→ a a a x → x → lim
x→ a
[ f ( x) ±g ( x)] = lim
a x →
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
6.
www.matematikapas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS
lim f ( x ) f ( x) = x→a lim g ( x ) x →a g ( x )
3
lim
x →a
7. 8.
lim
x→ a
[ f ( x )]n
n
=lim f ( x ) x→ a
lim n f ( x ) = n lim f ( x )
x→a
x →a
Penggunaan teorema limit (The use of limit theorem) Contoh. Carilah nilai dari: Example. Find the value of a. b.
lim 6 x 2
x→2
x 2 ( x + 3)
lim
x →3
Jawaban (Answer) : a. b.
6 x 2 = 6 lim x 2 =6( 4) 2 =6(16) = 96
lim
x →2
x →2
2 lim x . lim x + lim 3 3 x→ 3 x → x → 3
x 2 ( x + 3) =
lim
x →3
= 9(3+3) = 54
Latihan 1 (Exercise 1) x −6
lim
1.
x2
x→ 4 4
lim
2.
x →2
x 3 +8
lim ( x 3 + 5 x 2 ) 4
3.
x →1
D Penyelesaian Limit (Settlement Limit) I. Penyelesaian limit aljabar di x → a a. Subtitusi langsung (Direct substitution) Contoh:( Example) Tentukan nilai limit fungsi berikut: Determine the limit values of the following functions: lim (3 x − 8) 1. x →3 2.
2x − 6 x →2 x + 5 lim
lim ( x 3 + 4 x − 3)
3.
x →1
4.
lim x →3
3−x
Jawaban: (3 x − 8) 1. xlim = 3(3)-8 = 1 →3 2.
2x − 6 lim x →2 x + 5
2 − 7
b.
2( 2) − 6 = = 2 +5
3. lim ( x 3 + 4 x − 3) =13 + 4.1 − 3 = 2
x →1
4.
lim
x →3
3 − x = 3 −3 = 0
Pemfaktoran dan menyederhanakan (Factoring and simplifying)
Jika dengan cara subtitusi langsung didapat bentuk tak tentu
0 ,maka dapat 0
diselesaikan dengan cara memfaktorkan dan menyederhanakan bentuk:
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematikapas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS If obtained by direct substitution of indeterminate shape
4
0 , then it can be 0
solved by way of factoring and simplifying the forms: u ( x) ( x − a ).u ( x) lim = = x→ a ( x − a ).v( x ) x→a v ( x ) lim
u (a) v(a)
Contoh ( Example ): Tentukan nilai dari limit berikut: Determine the value of the following limit : x 2 − x −2 x +1 x→ −1
1.
lim
2.
1 2 − x →3 1 − x 1 − x 2 lim
3.
x 2 − 25 x −5 x →2 lim
Jawaban:( Answer:) 2 1. Dengan subtitusi langsung: (−1) − (−1) − 2 = 0 (bentuk tak tentu) x 2 − x −2
lim
x +1
x→ −1
−1 +1 ( x + 1)( x − 2) = lim = -3 ( x + 1) x →−1
2.
1 2 − x →1 1 − x 1 − x 2
3.
x 2 − 25 x −5 x →2
lim
lim
= lim
1+ x −2
x →1 1 − x 2
0
x −1
1 = xlim = − →1 (1 − x )(1 + x ) 2
( x − 5)( x + 5) = 10. ( x − 5) x →2
= lim
Pemfaktoran bentuk khusus (Factoring special form) • a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) • a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) • a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) Latihan 2 Exercise 2 Tentukan nilai setiap limit berikut: Determine the value of each of the following limits: 1. 2. 3. 4. 5.
x2 − 4
lim
7.
x→ 2 x 2 − 3x + 2 2
lim
x
− 4x + 4
8.
x→ 2 x 2 + x − 6 x 3 +8
10.
lim
x →1 x 2 −1 2 x →3
− 5 x −12
11.
x2 −9
6. jika f(x) =
x 2 −2x x2 −4
x →a x 3 − a 3
lim
x→3
x− 3 x −3
1
x → −2 x 2 + x − 2 x 3 −1
3x
x 2 − ax
4
9. lim x − 2 − 2 x →2 x −4
lim
lim
lim
, maka nilai dari:
lim
x→2
lim
x 2 − (3 + a ) x + 3a
x →a ax 2 + (1 − 3a ) x − 3
lim
x→3
f ( x)
x 2 + 3 x − 18 x 2 − 3x
=…
c.Mengalikan dengan faktor sekawan (Multiplying by a factor of herd) Jika dalam subtitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu maka cara penyelesaian limit bentuk akar adalah dengan mengalikan faktor sekawan. If the substitution did not necessarily directly obtained form the best solution is to limit root form factor multiplying the herd.
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematikapas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS
5
Bentuk kawan (Forms friend) x - a bentuk kawan dari x + a, dan sebaliknya x - a bentuk kawan dari x + a, dan sebaliknya x + a , dan sebaliknya x - a bentuk kawan dari x +a −b bentuk kawan dari x + a +b , dan sebaliknya x - a a friend of x + a, and vice versa x - a a friend of x + a, and vice versa x + a , and vice versa x - a a friend of x +a −b a friend of x + a + b , and vice versa Contoh soal (Example) Tentukan nilai limit dari: Determine the limit value of: x −1 x −1 x →1
1.
2 − 4x + 4 x x →0
2.
lim
3.
lim
x 2 + 3 − x −1
lim
1 − x2
x →1
Jawaban (Answer ): : 1.
lim
x →2
x −1 x −1
.
x +1 x +1
( x −1)
= lim
x →1 ( x −1)(
x +1)
=
1 1 +1
=
4 − ( 4 x + 4) − 4x (2 − 4 x + 4 ) (2 + 4 x + 4 ) lim lim . .= = x x → 0 x(2 + 4 x + 4 ) x → 0 x(2 + 4 x + 4 ) x →0 (2 + 4 x + 4 ) lim
2.
= 3.
1 2
x 2 + 3 − x −1
lim
1− x2
x →1
=
lim
x 2 + 3 − ( x + 1)
x→ 1
1 − x2
.
−4 = −1 2 +2
x 2 + 3 + ( x +1) x 2 + 3 + ( x +1)
=
x 2 + 3 − x 2 − 2 x −1 x 2 + 3 − ( x +1) 2 = lim lim x → 1 (1 − x 2 )( x 2 + 3 + ( x + 1)) x → 1 (1 − x 2 )( x 2 + 3 + ( x +1))
= − 2( x −1)
lim
x → 1 −1( x −1)( x +1)( x 2 + 3 + ( x +1)
=
2 1 = 2( 4) 4
Latihan 3. (Exercise 3) Tentukan nilai limit berikut! Define the following limit values! lim
1.
x→ 9
lim
2.
5.
x −3 x
x→ 0 2 −
4−x
3 − 4 x +1 x −2 x →2
3.
4.
x −9
lim
lim
h →0
lim
x →1
x +h − x h
3 − x − 3 x −1 5 x −1 −
x +3
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematikapas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS II. Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar di x → Settlement Limit Function Algebra at x → ∞
6
∞
a. Membagi dengan variable pangkat tertinggi (Dividing with the highest rank variable) Membagi dengan variable pangkat tertinggi digunakan saat x → ∞ dan ditemui bentuk ∞ tak tentu ∞ .
x → ∞ and indeterminate forms
Dividing the variables used when the highest rank ∞ encountered ∞ .
Diselesaikan dengan ketentuan (Solved with rules): lim
a
x→ ∞ x n
=0
Contoh soa (Example) Tentukan nilai dari setiap limit berikut: Determine the value of each of the following limits: 3x 3
1.
lim
3x 3
x→ ∞ 6 x 3
5x 2
5 5 + 3 3 3 x x2 3−0 +0 1 − 5x 2 + 5x x x x = lim = lim = = 2 3 2 7 8 x → ∞ 6 +0 −0 2 x→ ∞ 6 + − + 7 x − 8x 6x 7x 8x + − x x2 x3 x3 x3 −
2x3
2.
2 x 3 + 4 x 2 − 10 x lim x→ ∞ 3x 4 + 5 x 2 + x
= lim
x→ ∞ 3 x 4
x4 2x3
3.
2 x 3 − 3x 2 + 1 lim x→ ∞ x 2 − 2 x + 3
= lim
x→ ∞
x3 x2 x3
− −
4x 2
+
x4
x4 5x 2
+
x4
3x 2 x3 2x x3
5x
+
+
+
−
3−
10 x
+
x4 x
=
0 +0 −0 =0 3+0 +0
x4
1 x3 3
=
2 −0 +0 2 = =∞ 0 −0 +0 0
x3
b. Perkalian sekawan (bentuk khusus yang memuat)(Multiplication herd (which includes a special form ) a − b Cara ini digunakan jika dijumpai bentuk tak tentu ∞ − ∞ Cara penyelesaian; kalikan dengan bentuk sekawannya sehingga berubah menjadi ∞ bentuk ∞ dan selesaikan dengan cara seperti cara bagian a. This method is used if found indeterminate form ∞ − ∞ ∞ How to completion, multiply by its companion form so that changes to the form ∞ and finish up with a way such as how to part a. Contoh soal (Example) Tentukan nilai dari setiap limit berikut: Determine the value of each of the following limits: 1. 2. 3.
lim
x 2 +6x + 2 −
lim
2x 2 − x −
lim
x 2 + 2 x −1 − 2 x 2 + 3 x +1
x→∞ x→ ∞ x→ ∞
x 2 −4 x +1
x 2 + 3x
Jawaban (Answer ): :
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematikapas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS 1.
x 2 +6x + 2 −
lim
x→∞
x 2 −4 x +1 .
( x 2 + 6 x + 2) − ( x 2 − 4 x + 1)
lim
x→ ∞
x 2 + 6x + 2 +
( x 2 + 6x + 2 +
x 2 − 4 x + 1)
( x 2 + 6x + 2 +
x 2 − 4 x + 1)
x 2 − 4x +1
=
10 x + 1
lim
=
x→ ∞
x 2 + 6x + 2 +
7
x 2 − 4x + 1
,
karena pangkat tertinggi pembilang = 1 Dan pangkat tertinggi penyebut = 1 karena x 2 = x , maka: becauseThe highest rank numerator = 1, and the highest rank denominator = 1 because x 2 = x , then: 10 +
lim = x→ ∞
2
lim
x→ ∞
1 x
10 =5 6 2 4 1 = 2 1+ + + 1− + x x2 x x2 2x 2 − x −
x 2 + 3x
.
(2 x 2 − x) − ( x 2 + 3 x)
lim
x→ ∞
2x 2 − x +
x 2 + 3x
( 2 x 2 − x + x 2 + 3x ) ( 2 x 2 − x + x 2 + 3x )
=
=
x 2 − 4x
lim
x→ ∞
2x 2 − x +
x 2 + 3x
, karena pangkat tertinggi
pembilang = x 2 , dan pangkat tinggi penyebut1 ( x 2 = x ), maka: because the highest rank numerator = x 2 ,and high rank denominator= 1 ( x 2 = x ), then: 1−
1 3 = 0 =∞ − + + x 2 x3 x2 x3
lim
x→ ∞
3.
4 x
2
lim
x→ ∞
lim
x→ ∞
1
1
x 2 + 2 x −1 − 2 x 2 + 3 x +1
.
( x 2 + 2 x − 1) − ( 2 x 2 + 3 x + 1) x 2 + 2 x −1 + 2 x 2 + 3x + 1
( x 2 + 2 x − 1 + 2 x 2 + 3 x + 1) ( x 2 + 2 x − 1 + 2 x 2 + 3 x + 1)
=
lim
x→ ∞
− x2 − x − 2 x 2 + 2 x − 1 + 2 x 2 + 3x + 1
=
1 2 − x x2 −1 = = -∞ 1 2 1 2 3 1 0 + − + + + x2 x3 x 4 x 2 x3 x 4 −1−
lim
x→ ∞
ax 2 + bx + c − px 2 +qx + r , dengan cara yang sama seperti diatas di 4. xlim →∞
peroleh hasil (3 kemungkinan):
b −q 2 a
•
Jika nilai a = p maka nilai dari limitnya =
• •
Jika nilai a < p maka nilai dari limitnya = − ∞ Jika nilai a > p maka nilai dari limitnya = ∞
Latihan 4.( Exercise 4) Tentukan nilai dari setiap limit berikut: Determine the value of each of the following limits
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematikapas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS 1. 2.
lim
6x 2 − 7x + 5 10 − 4 x + 3 x 2
5. xlim →∞
x 2 + 2x − x 2 − 4x +1
lim
(2 x − 3) 2 (3 x +1)( 4 x − 3)
6. xlim →∞
x 2 + 3x − x + 2
7x + 5 3x + 2 x − 3
(3 x + 1) − 9 x 2 − 2 x + 7 7. xlim →∞
x→ ∞
x→ ∞
3. xlim →∞
2
6x
4. xlim →∞
8. lim
x 2 + 2 x −1 + 4 x
x→ ∞
(2 x + 3) 2 (3x − 4) 3 x5 + 7x
. II. Limit Fungsi Trigonometri (Limit Trigonometry Functions) Teorema (Theorem) : sin x x = lim =1 x x→ 0 x→ 0 sin x tan x x lim = lim =1 x x→ 0 x → 0 tan x
•
lim
•
a. Menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk complete limit of trigonometric functions
0 0
0 0
Contoh soal (. Example) Tentukan nilai dari setiap limit berikut: Determine the value of each of the following limit 1. 5.
sin x x→ 0 3x sin 2 x lim x → 0 sin 3 x
x
lim
2. xlim → 0 sin 3 x 6.
tan 3 x x→ 0 sin 4 x lim
7.
sin 6 x x→ 0 2 x 1 − cos 2 x lim x→ 0 3 x sin x
3.
lim
4. xlim →0 8
tan 4 x 2x
sin x − sin a x −a x→ 0 lim
Jawab (Answer ) : 1. 2.
sin x x→ 0 3x x lim x → 0 sin 3 x lim
= xlim →0 =
5.
sin 2 x x → 0 sin 3 x
7.
1 − cos 2 x x→ 0 3 x sin x
lim
lim
sin x 1 1 1 =1( ) = x 3 3 3 3x
lim
.
1
x → 0 sin 3 x 3
1 1 =1( ) = 3 3
sin 2 x 3 x 2
2
. = lim = xlim → 0 sin 3 x 2 x 3 3 x → 0
=
sin 2 x 3 x 2 2 = (1)(1) = 2 x sin 3 x 3 3
2 sin 2 x 2 sin x sin x 2 2 = lim = (1)(1) = 3 x → 0 x sin x 3 3 x → 0 3 x sin x lim
b. Menyelesaikan limit fungsi trigono bentuk ( ∞ − ∞ ) Solve the form trigono limit function ( ∞ − ∞ ) Limit bentuk ( ∞
− ∞ ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk
Limit shapes ( ∞
− ∞ ) can be solved by turning them into shape
0 0
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
0 0
8
www.matematikapas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS
contoh soal (Example) :
9
Tentukan nilai dari limit berikut (Determine the value of the following limits): lim (sec x − tan x ) π
x→
2
=
1 sin x 1 − sin x lim ( − ) = lim = lim π cos x cos x π cos x π
x→
x→
2
x→
2
2
π 1 π 1 π − sin x 2 cos ( + x ). sin ( − x ) 2 2 2 2 2 = lim π π π sin( − x) sin( − x) x→ 2 2 2
sin
1 π π 1 1 + ). = cos π =0 2 2 2 2 2
=2 cos (
c. Menyelesaikan limit fungsi trigonometri bentuk (0. ∞ ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk
0 . 0
complete limit of trigonometric functions (0. ∞ ) can be solved by turning them into shap
0 . 0
Contoh soal (Example): : 1 1 ( x − 1) sin πx ( x − 1) sin πx 2 2 = lim = 1. 1 1 1 x → 1 cos πx sin( π − πx) 2 2 2 1 1 ( x − 1) sin πx − 1sin π .1 2 2 2 = =− 2. lim 1 π x → 1 sin 1 π (1 − x ) π 2 2 1 lim ( x −1) tan πx = lim 2 x →1 x→ 1
== oOo ==
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematikapas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS LATIHAN SOAL PRACTICE PROBLEMS Pilihlah salah satu jawaban yang paling E. 2 benar! Choose one of the most correct answers 6. Nilai (Value) lim
t→ 4
1. Nilai(Value)
lim
x →2
x2 − 5x + 6 x2 − 4
A. 1 1 B. 4
=…
1 4 1 8
A. – B. – 1 8
C. D. 1 5 E. 4
A. B. C. D. E.
2
x + 3 x −18 x 2 − 3x
0 1 2 3 6
8 t 3 −8 t →2 t 2 + t −6
3. Nilai (Value) Lim =… A. 0 4 B. 3
x →2
A.
3 2 − 2 x − 4 x 2 + 2x − 8
=
7
−12
D. E. 0 5
Jika(if) f (x) = f (x) =… A. 0 Β. ∞ C. –2 1 D. 2
lim
x → 2
3 4
A. 0 B. 5 C. 6,5 D. 8 E. ∞ Nilai (Value) adalah … 1 A. – 7 7
lim
x →3
lim
1 14
x 2 − 2x maka (then) x2 − 4
x →3
9 − x2 4 − x2 + 7
= ...
x + 4 − 2 x +1 x −3
7
Nilai (Value) A. B. C. D. Ε.
lim
x →0
x −x x +x
=…
0 1 2
1 2 ∞
10 Nilai (Value)
1 −12 1 − 24
t −2 =… t −4
1 B. – 14 7 C. 0 1 D. 7 7
9
1 B. − 4
C.
1 2
E.
12 5 5 4
D. Ε. ∞ Nilai (Value)
lim
D.
7. Nilai (Value)
=
4
1 3
E
2. Nilai (Value ) lim x →3
C.
C.
10
lim
x →0
x2 1− 1+ x2
A. 2 B. 0 C. –1 D. –2 E. -3 11 Nilai i (Value) lim x →∞
4 x 2 +3 x − 4 x 2 −5 x
adalah … A. 0 B. 1 C. 2
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
=
www.matematikapas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS D. 4 E. 8 12 Nilai (Value) 9 x2
(3x – 2) –
lim x → ∞
−2 x +5
=…
A. 0 1 B. – 3 C. –1 4 D. – 3 lim
x →∞
(
5 x +1 − 3 x +7
)=
Lim
x →0
sin 5 x sin 3 x
=…
= …
2 1
, maka (then)
5x 3 lim
p →0
A.
C.
3 2
lim
x→2
( x + 6) sin ( x + 2) x 2 − 3 x − 10
4 A. − 3
=..
− −
−
f ( x + p) − f ( x) p
=…
2 4
5x 3 2 2
5x 3 2 2
15 x 3 2
D.
2
15 x 3 2
4 B. − 7
E
2
lim x →0
=…
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2x E. x3
B.
C. − 5 D. 0 E. 1 17 Nilai (Value)
1− x 1 −x 2
f ( x+p ) - f ( x ) p
20 Jika(if)f(x) =
… A. 0 B. 1 C. 3 2 D. 3 16 Nilai (Value)
x →1
A. – 2 B. 0 1 C. 4 D. 1 E. 4 19 Jika (if)f(x) = x2 – 1, maka(then) lim p →0
tan 3t 15 Nilai (Value) Limt → 0 = 2t
E.
lim
1
5 3
E.
0 1 2 3 4
18 Nilai (Value)
5
E. – 3 13. Nilai (Value) … Α. ∞ B. 8 C. 6 D. 2 E. 0 14 Nilai (Value) A. 1 B. 0 C. –1 3 D. 5
A. B. C. D. E.
11
4
15 x 3
sin x + sin 3x = … x cos x
Mengapa Cina Sangat Berprestasi Dalam Olimpiade Matematika Internasional? MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematikapas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
12
Sejak pertama kali mengikuti Olimpiade Matematika Internasional (International Mathematical Olympiad) tahun 1985 di Joutsa, Finlandia sampai dengan IMO tahun 2008 di Madrid, Spanyol, siswasiswa sekolah menengah dari Cina telah berhasil mengumpulkan 101 medali emas, 26 perak dan 5 perunggu. Bandingkan dengan Indonesia yang sampai sekarang baru berhasil mendapat 3 medali perak dan 12 perunggu sejak pertama kali ikut IMO tahun 1988 di Canbera, Australia. Faktor-faktor apa saja yang menyebabkan siswa-siswa Cina menjadi sangat luar biasa dalam IMO? Yang paling utama adalah sistem pendidikan di Cina yang dapat membuat siswa sangat tertarik dengan matematika dan dapat mengidentifikasi siswa-siswa yang potensial dalam bidang tersebut. Dalam hal inilah Cina sangat unggul. Guru-guru matematika di Cina tidak memerlukan banyak pelatihan dalam pengembangan profesinya, tetapi mereka sangat spesialis dan mau bekerja keras dalam mendalami profesinya. Faktor lain yang sangat berpengaruh adalah banyak sekali guru matematika di Cina yang menggemari dan menggeluti kompetisi matematika. Cina mempunyai jaringan pelatih khusus untuk kompetisi matematika di seluruh negeri yang dapat mengidentifikasi dan membimbing siswa-siswa yang berbakat matematika. Setiap tahun lebih dari 10 juta siswa sekolah menengah di Cina yang berpartisipasi dalam kompetisi matematika. Menurut Zuming Feng (team leader tim IMO Amerika Serikat) yang dilahirkan dan dibesarkan di Cina sebelum berimigrasi ke Amerika Serikat, di Cina terdapat banyak sekali guru matematika sekolah menengah di Cina yang mengabdikan profesinya khususnya dalam kompetisi matematika. Kemampuan matematika yang mendalam juga menjadi syarat dalam ujian masuk perguruan tinggi di Cina. Soal ujian tersebut selalu terdiri dari tiga atau lima soal matematika yang berbentuk pembuktian. Sebagai akibatnya siswa-siswa Cina sudah terbiasa menghadapi soal-soal matematika level olimpiade. Faktor terakhir adalah sistem pembinaan yang sangat keras untuk menghadapi IMO. Meskipun tidak melalui model pelatihan jangka panjang, siswa-siswa yang mewakili Cina di IMO paling sedikit harus melewati sepuluh tes yang selevel dengan IMO
Why China Very Good Achievement in International Mathematical Olympiad
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
?
www.matematikapas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
13
Since the first following the International Mathematical Olympiad (International Mathematical Olympiad) 1985 in Joutsa, Finland up to the IMO in 2008 in Madrid, Spain, high school students from China have managed to collect 101 gold medals, 26 silver and 5 bronze. Compare with Indonesia, which until now only managed to get 3 silver and 12 bronze medals since it first joined the IMO in 1988 in Canberra, Australia. What factors are causing Chinese students become extraordinary in the IMO? The main thing is the education system in China that can make students very interested in mathematics and to identify students with potential in the field. In this the Chinese are very superior. Mathematics teachers in China do not require much training in the development of his profession, but they are very specialist and willing to work hard in studying his profession. Another very influential factor is a lot of math teachers in China who enjoyed math and wrestle competition. China has a network of special coaches for math competitions around the country who can identify and guide students who are gifted in mathematics.
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan