Wiskunde
Fasiliteerdersgids 1/2 – Graad 12
2512-A-MAM-FG01
Aangepas vir KABV
Prof. C Vermeulen, Hoofouteur
E du Plessis R Myburgh H Otto M Sherman E van Heerden
2. Logwette en vereenvoudiging van uitdrukkings .......................
Oefening 1: Die logwette en vereenvoudiging van uitdrukkings ........ 116
3. Oplos van eksponensiële vergelykings met logaritmes .............
Oefening 2: Oplossing van eksponensiële vergelykings met logaritmes ...
2/2
1 (11 weke)
3 1. Patrone, rye en reekse
3 2. Funksies en inverse van ’n funksie
1 3. Logaritmes
2 4. Finansies, groei en verval
2 5. Trigonometrie: saamgestelde en dubbelhoeke
2 6. Trigonometrie: probleme in 2D en 3D
1 7. Res- en faktorstelling (derdegraadse funksies en vergelykings)
3 8. Differensiaalrekene
2 (11 weke)
Toets
Ondersoek/ projek Opdrag
VOORWOORD
Optimi se graad 12-wiskundeproduk bestaan uit twee handleidings en twee fasiliteerdersgidse wat op die konsepte van Optimi se GuidED Learning™leermodel gebaseer is om jou te help om suksesvol te wees in jou studie van wiskunde. Dit dek al die werk vir graad 12-wiskunde en is in ooreenstemming met die KABV-riglyne soos opgestel deur die Departement van Basiese Onderwys vereis word.
Toets
2 9. Analitiese meetkunde
3 Halfjaarlikse eksamen [Oefenvraestelle verskyn in handleiding]
Halfjaarlikse eksamen
2 10. Euklidiese meetkunde
2 11. Statistiek: Regressie en korrelasie
Toets
3 (10 weke)
2 12. Waarskynlikheid
2 Hersiening
2 Proefeksamen
3 Hersiening
4 (9 weke)
Sample
6 Eindeksamen [Oefenvraestelle verskyn in handleiding]
Proefeksamen
Die handleidings word aanlyn deur aanvullende lesstrukture op die Optimi Learning Platform (OLP) ondersteun. Dit bied deurlopende begeleiding om jou leerproses te ondersteun en te verryk. Hierdie begeleiding is gebaseer op die jongste insigte in opvoedkunde, kognitiewe sielkunde en neurowetenskap. Let daarop dat die handleidings wel onafhanklik van die OLP gebruik kan word. Hier onder verduidelik ons hoe die handleiding en fasiliteerdersgids saamgestel is en hoe jy dit kan gebruik om sukses in wiskunde te behaal. Die handleidings en fasiliteerdersgidse is in 12 temas verdeel.
Die temas stem inhoudelik en tydsgewys ooreen met die KABV-riglyne en verteenwoordig die jaarplan. Handleiding 1/2 en fasiliteerdergids 1/2 dek temas 1 tot 5 (kwartaal 1) en tema 6 (kwartaal 2) en handleiding 2/2 en fasiliteerdergids 2/2 dek tema 7 tot 12 (kwartaal 2 en 3).
Tydsindeling
Eindeksamen
* Jy sal die nuutste en volledigste inligting oor assessering in die portefeuljeboek en assesseringsplan vind.
Volgens die KABV-voorskrifte behoort daar minstens 4,5 uur per week aan wiskunde-onderrig bestee te word. Daar sal byvoorbeeld 13,5 uur (drie weke × 4,5 uur per week) aan die onderrig van Tema 1 (Patrone, rye en reekse) bestee word. Temas word nie onderverdeel in lesse nie; dit staan elke leerder en fasiliteerder vry om soveel inhoud per sessie en per week af te handel as wat leerders se vordering toelaat. As leerders stadiger werk, moet die nodige aanpassings gedoen word sodat hulle nog steeds al die werk betyds kan bemeester.
Wenk: Gebruik die voorgestelde tydsindeling saam met jou leerders se vordering om jou lesse te beplan.
Let op dat die onderrigtyd waarna ons hier bo verwys, nie die tyd insluit waartydens leerders die kennis en begrippe wat hulle geleer het, moet toepas en inoefen nie. Vir hierdie doel is daar verskeie oefeninge deur elke tema versprei. Hierdie oefeninge behels verskillende maniere om nuwe kennis toe te pas en in te oefen en dek verskillende moeilikheidsgrade. Leerders moet probeer om al hierdie oefeninge te doen. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgids gegee.
Wenk: Kyk dat leerders soveel moontlik van die oefeninge doen. Volg op en bied ondersteuning wanneer leerders sukkel.
Struktuur van temas
Leer is ’n ingewikkelde proses. Miljoene breinselle en senuweebane in ons brein werk saam om nuwe inligting in die langtermyngeheue te stoor sodat ons dit later kan onthou. Langtermyngeheue is nie ons enigste soort geheue nie en wanneer ons leer, is ons werkgeheue net so belangrik. Werkgeheue is anders as langtermyngeheue en het ’n beperkte kapasiteit. Dit beteken dat ’n mens se werkgeheue net ’n klein bietjie nuwe inligting op ’n slag kan hanteer.
Wanneer ’n mens wiskunde leer, is daar baie nuwe inligting wat jou brein moet verwerk en daarom kan dit maklik jou werkgeheue uitput. Dit hou verband met die kognitiewe ladingsteorie. Hierdie handleidings is só geskryf en saamgestel dat dit nie die werkgeheue ooreis nie en dus die leer van wiskunde vergemaklik. Leerders se kognitiewe kapasiteit word te alle tye in ag geneem.
Dit beteken dat verskeie strategieë gebruik word om seker te maak dat leerders die beste moontlike kans het om elke deel van die werk te bemeester. Uiteindelik kan ’n mens sê dat leer plaasgevind het wanneer leerders nuwe inligting in hulle langtermyngeheue gestoor het en die vermoë het om dit te herroep en te gebruik. Die handleidings se struktuur ondersteun dié proses en help leerders om wiskunde te bemeester.
Wenk: Elke tema het dieselfde struktuur om dit vir leerders makliker te maak om daardeur te werk.
Elke tema het die volgende struktuur:
Inleiding
Dit sê kortliks vir leerders waaroor die tema gaan sonder om detail te gee of “moeilike” of onbekende begrippe te gebruik. ’n Volledige lys van die leeruitkomste wat leerders in ’n bepaalde tema moet bemeester, word as opsomming aan die einde van die tema gegee.
Voorafkennis
Hierdie afdeling sê vir leerders watter bestaande kennis hulle nodig het om die betrokke tema te bemeester.
Hersiening
Dit kan een van die volgende behels:
1. hersiening van die begrippe, definisies en prosedures wat as voorafkennis vereis word, 2. ’n oefening of aktiwiteit met oplossings sodat leerders self hulle voorafkennis kan toets, of 3. ’n kombinasie hiervan.
Moenie hierdie hersiening afskeep nie. Dit is belangrik om deeglik daardeur te werk. Wiskundige konsepte volg dikwels op mekaar en as basiese kennis ontbreek of nie goed genoeg bemeester word nie, sal dit die vorming van nuwe kennis bemoeilik.
Ná die inleidende deel van die tema word nuwe kennis in subtemas behandel.
Elke subtema het die volgende struktuur:
SUBTEMA
Inleiding
Nuwe begrippe en prosedures word verduidelik. Relevante voorafkennis word ook hier behandel indien nodig.
Uitgewerkte voorbeelde
Uitgewerkte voorbeelde wys leerders hoe die nuwe begrippe en prosedures toegepas word en help hulle om die begrippe en prosedures wat behandel is, beter te verstaan en toe te pas.
Oefeninge
Die oefeninge gee leerders die geleentheid om die begrippe en prosedures wat behandel is, in te oefen. Dit is belangrik dat hulle al die oefeninge probeer voltooi. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse verskaf.
Vrae vorder gewoonlik van maklik (om basiese begrippe en prosedures te bemeester en in te oefen) na moeilik (ingewikkelder bewerkings). Gemengde oefeninge kan ook voorkom, waar leerders die geleentheid kry om verskillende begrippe en prosedures in te oefen en met vorige temas te integreer.
Opsomming van tema
Oefening om die tema af te sluit
Sample
Hier sien leerders ’n opsomming van wat hulle in die tema moes bemeester het. Dit word in meer formele wiskundige taal uitgedruk om by die KABV (die kurrikulumverklaring) aan te sluit.
Dit is ’n gemengde oefening oor alle begrippe en prosedures wat in die tema behandel word, waar hierdie werk ook met vorige werk geïntegreer kan word.
Die moeilikheidsgraad van hierdie oefening wissel. Dit is belangrik dat leerders probeer om al die oefeninge te voltooi. Volledige oplossings verskyn in die fasiliteerdersgidse.
Gemengde oefeninge soos dié in hierdie handleiding is ’n baie belangrike komponent daarvan om wiskunde te bemeester. Daar is ’n groot verskil tussen die vermoë om jou werk te herken en om dit te herroep. Wanneer leerders hulle werk kan herken, sê hulle dikwels “O, ja!” maar hulle sukkel om dit te onthou wanneer hulle eksamen skryf. Wanneer hulle hulle werk kan herroep, beteken dit dat hulle daardie kennis in hulle langtermyngeheue vasgelê het en dit kan onthou en gebruik. Gemengde oefeninge stel leerders in staat om nie net die werk te herken nie, maar om dit ook uit hulle langtermyngeheue te herroep. Wanneer leerders dieselfde soort som of probleem oor en oor oefen, raak hulle dikwels lui en dink hulle nie meer na oor die oefening nie. Hulle is oortuig daarvan dat hulle presies weet watter soort som of probleem hulle moet oplos. Maar in ’n toets of eksamen is al hierdie somme deurmekaar, en dan is dit soms moeilik om te weet wat om te doen. Wanneer gemengde oefeninge deel vorm van leerders se leerproses, leer hulle om ’n som of probleem reg te identifiseer én reg te voltooi. Dit beteken dat hulle werklik voorbereid is vir toetse of eksamens, want hulle kan die werk herroep en nie net herken nie.
Selfevaluering
In elke tema, en gewoonlik ná elke subtema, is daar ’n aktiwiteit waar leerders krities moet nadink oor die mate waarin hulle sekere begrippe en prosedures bemeester het. Hierdie aktiwiteit verskyn in die volgende formaat:
Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die tabel wat volg, is:
• Alarm! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig.
• Help! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.
• OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.
• Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp.
• Partytjietyd! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord.
Voltooi nou die volgende tabel.
Fasiliteerders moet hierdie evaluering gebruik om te bepaal of leerders nog hulp in die betrokke tema of subtema nodig het. Indien wel, word dit aanbeveel om dadelik hersiening of nog oefeninge te doen om seker te maak dat leerders die noodsaaklike begrippe en prosedures bemeester. Die selfevaluering kan ook gebruik word om vir verryking te beplan. As leerders die werk in die tema of subtema onder die knie het, kan verrykingsoefeninge gedoen word.
Dit is belangrik om nie na ’n volgende tema of subtema aan te beweeg voordat die betrokke onderwerp volledig behandel en bemeester is nie, selfs al beteken dit dat meer tyd aan ’n sekere tema bestee word as wat die KABV aanbeveel. Pas die tydsindeling voortdurend aan volgens die leerders se behoeftes.
Dit is wel belangrik om die betrokke temas af te handel voordat ’n toets of eksamen afgelê word.
Assesseringsvereistes
Besoek Impaq se aanlyn platform vir die assesseringsplan en volledige inligting oor die samestelling en puntetelling van toetse, take en eksamens. Die hoeveelheid take, puntetelling en relatiewe gewig is onderhewig aan verandering.
Sample
Wenk: Gebruik leerders se selfevaluering om te besluit of hulle hulp nodig het met die betrokke afdeling, wat die aard van die hulp moet wees, en of daar na die volgende afdeling aanbeweeg kan word.
Wenk: Let op die KABV-voorskrifte en beplan die jaar se assessering daarvolgens.
Leerders voltooi sewe formele assesseringstake vir skoolgebaseerde assessering.
Bevorderingspunt
Let op:
• Slegs een projek/ondersoek moet per jaar gedoen word.
• Geen grafiese of programmeerbare sakrekenaars word toegelaat nie (om byvoorbeeld te faktoriseer of die wortels van vergelykings te bepaal). Sak-
rekenaars moet net gebruik word om standaard- numeriese berekeninge te doen en om berekeninge wat met die hand gedoen is, te kontroleer.
• Formuleblaaie word nie tydens toetse voorsien nie.
Wenk: Die vorige tabel dui slegs die formele assessering (d.w.s. wat vir bevordering gebruik word) aan. Informele deurlopende assessering moet ook plaasvind om elke leerder se vordering te monitor sodat leemtes in leerders se kennis betyds raakgesien en reggestel word.
Die twee vraestelle aan die einde van die jaar word soos volg saamgestel:
Vraestel 1: 3 ure
Vraestel 2: 3 ure
Algebraïese uitdrukkings, vergelykings en ongelykhede (Temas 3 en 7) 25 ± 3 Statistiek (Tema 11) 20 ± 3
Patrone en reekse (Tema 1) 25 ± 3
Analitiese meetkunde (Tema 9)
Finansies, groei en verval (Tema 4)
Funksies en grafieke (Temas 2 en 3)
± 3
Euklidiese meetkunde en meting (Tema 10)
Differensiaalrekene (Tema 8) 35 ± 3
Waarskynlikheid (Tema 12) 15 ± 3
Finale punte
± 3
150 Finale punte 150
Wenk: Wees bewus van watter temas in watter vraestel gedek moet word, sowel as die relatiewe gewig van elk. Maak seker dat vraestelle aan hierdie verspreiding voldoen.
Aanvullende boeke
Enige ander boeke kan aanvullend tot hierdie handleidings gebruik word vir bykomende oefeninge en verduidelikings, insluitend:
• Maths 4 Africa, beskikbaar by www.maths4africa.co.za
Sample
Let op: Die samestelling van die eksamens is onderhewig aan verandering. Verwys altyd na die portefeuljeboek en assessseringsplan vir die nuutste inligting oor die samestelling van die eksamens.
• Die Siyavula-handboek, gratis aanlyn beskikbaar by www.siyavula.com
• Pythagoras, beskikbaar by www.fisichem.co.za.
Wenk: Help leerders om aanvullende bronne te kry en dit doeltreffend te gebruik.
Sakrekenaar
Die CASIO fx-82ES (Plus) of CASIO fx-82ZA word aanbeveel. Enige wetenskaplike, nie-programmeerbare en nie-grafiese sakrekenaar is egter geskik.
Wenk: Maak seker dat elke leerder ’n geskikte sakrekenaar het.
x
TEMA 1
PATRONE, RYE EN REEKSE
Leervereistes volgens die KABV
Leerders moet die volgende ken en kan toepas:
1. getalpatrone, insluitend rekenkundige en meetkundige rye en reekse
2. sigma-notasie
3. afleiding en toepassing van die formules vir die som van rekenkundige en meetkundige reekse:
• S n = n 2 [2a + (n 1)d]
• S n = n 2 (a + l)
• S n = a(r n 1)
r 1 ; r ≠ 1
• S ∞ = a 1 r ; 1 < r < 1; r ≠ 1
Kwartaal 1
Duur 3 weke
Vraestel 1
Gewig 25 ± 3% van Vraestel 1
Fasiliteerderswenke
• Leerders verwar dikwels die termnommer met die term self. Gebruik voldoende voorbeelde sodat hulle kan oefen om n sowel as T n te identifiseer. In die ry 1 4 ; 1; 4; 16; … is T 4 byvoorbeeld 16, want die vierde term is 16. Vergelyk dit met T 3 = 4, waar die derde term 4 is.
• Let daarop dat die afleiding van die onderskeie formules geëksamineer kan word:
◦ algemene term van ’n rekenkundige ry
◦ algemene term van ’n meetkundige ry
◦ som van ’n rekenkundige reeks
Sample
◦ som van ’n meetkundige reeks.
Inleiding
In hierdie tema gaan leerders meer leer oor:
• rye
◦ lineêre getalpatrone: neem toe of neem af met ’n konstante hoeveelheid
◦ kwadratiese getalpatrone: verander met ’n hoeveelheid wat elke keer met ’n konstante hoeveelheid toeneem of afneem
◦ meetkundige getalpatrone: neem toe of af met ’n konstante verhouding
• reekse
◦ sigma-notasie: ’n verkorte manier om die som van ’n reeks te skryf
◦ die som van rekenkundige reekse
◦ die som van meetkundige reekse
◦ die som tot oneindig van sekere meetkundige reekse.
Voorafkennis
Om hierdie tema te bemeester, moet leerders reeds vertroud wees met die volgende:
• Getalpatrone
◦ Notasie vir die nde term: T n
◦ Beskou byvoorbeeld die patroon 1 2 ; 1; 2; 4; 8; …
Die derde term (of die term in die derde posisie) is 2.
Ons skryf T 3 = 2.
• Lineêre patrone
◦ Die verskil tussen opeenvolgende terme is konstant.
• Herinner leerders daaraan dat n ’n termnommer verteenwoordig, en dat dit dus net ’n natuurlike getal kan wees. Wanneer jy vir n oplos, verwerp jy alle oplossings wat nie natuurlike getalle is nie.
Voorbeeld: 1; 3; 5; … (die gemene verskil is 2).
Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2
◦ Die algemene term word gegee deur T n = dn + c, waar d = gemene verskil en c = ’n konstante.
◦ Lineêre patrone word in graad 12 as rekenkundige rye behandel.
• Kwadratiese patrone
◦ Die eerste verskil verander met ’n vaste hoeveelheid en die tweede verskil is konstant. Voorbeeld: 1; 3; 7; 13; … (die tweede verskil is 2).
◦ Die algemene term word gegee deur T n = an 2 + bn + c.
• Eksponensiële vergelykings
◦ Hoe om eksponensiële vergelykings van die vorm b n = b p op te los.
Hersiening
Lineêre getalpatrone
In ’n lineêre getalpatroon is die algemene term T n = dn + c, waar d = eerste verskil en c = ’n konstante.
Hersieningsvoorbeeld 1:
Bepaal die algemene term van ’n lineêre getalpatroon
Bepaal die algemene term van die getalpatroon 8; 3; 2; …
Oplossing
Bepaal die eerste verskil tussen opeenvolgende terme:
T 2 T 1 = 3 ( 8) = 5
T 3 T 2 = 2 ( 3) = 5
Die eerste verskil is konstant, dus is die getalpatroon lineêr.
Stel d = 5 in T n = dn + c:
T n = 5n + c
Tema 1: Patrone, rye en reekse
Om c te bepaal gebruik ons een van die terme wat gegee word, byvoorbeeld:
T 2 = − 3, waar n = 2.
T 2 = 5(2) + c
− 3 = 10 + c
c = 13
Die 74ste term is dus 40. Sample
Stel c = 13 in die oorspronklike vergelyking:
T n = 5n − 13
Hersieningsvoorbeeld 2:
Gebruik die algemene term van ’n lineêre getalpatroon
Die algemene term van ’n sekere getalpatroon is T n = 1 2 n + 3.
a) Bepaal die eerste drie terme van die getalpatroon.
b) Watter term van die getalpatroon is 40?
Oplossings
a)
T n = 1 2 n + 3
Stel n = 1, n = 2 en n = 3 in die gegewe formule:
T 1 = 1 2 (1) + 3 = 3 1 2
T 2 = 1 2 (2) + 3 = 4
T 3 = 1 2 (3) + 3 = 4 1 2
Die eerste drie terme is: 3 1 2 ; 4; 4 1 2
b) T n = 1 2 n + 3
Stel T n = 40 en los op vir n: 40 = 1 2 n + 3
1 2 n = 37
n = 2(37)
n = 74
Hersieningsvoorbeeld 3:
Bepaal die getal terme in ’n lineêre getalpatroon
Die lineêre getalpatroon 13; 4; 5; … ; 113 word gegee.
Bepaal die getal terme in die patroon.
Oplossing
Bepaal eers die algemene term.
Die eerste verskil is T 2 T 1 = 4 13.
d = − 9
T n = dn + c
T
n = 9n + c
Stel een van die terme in. Ons gaan die eerste term, T 1 = 13, gebruik.
13 = − 9(1) + c
c = 13 + 9
c = 22
Die algemene term is T n = − 9n+ 22.
Stel T n = 113 in en los op vir n:
113 = 9n+ 22
9n = 22 + 113
9n = 135
n = 135 9 = 15
Die 15de term is 113.
Kwadratiese getalpatrone
In ’n kwadratiese getalpatroon is die algemene term: T n = a n 2 + bn + c
Tweede verskil = 2a
Eerste van die eerste verskille = 3a + b
Eerste term = a + b + c
Hersieningsvoorbeeld 4:
Bepaal die algemene term van ’n kwadratiese getalpatroon
Bepaal die algemene term van die kwadratiese getalpatroon 15; 8; 2; 15; …
Oplossing
Bepaal die eerste en tweede verskil tussen terme van die kwadratiese getalpatroon: –15 7 3 Eerste
Tweede verskil: 2a = 3 ∴ a = 3 2
Eerste van die eerste verskille: 7 = 3a + b 7 = 3( 3 2 ) + b ∴ b = 5 2
Eerste term: 15 = a + b + c
15 = 3 2 + 5 2 + c
∴ c = 19
Stel die waardes van a, b en c in die formule vir die algemene term:
T n = a n 2 + bn + c
Die algemene term van hierdie patroon is T
Hersieningsvoorbeeld 5:
Bepaal die waarde van ’n term as die algemene term van ’n kwadratiese getalpatroon gegee word
Bepaal die waarde van die 40ste term van ’n kwadratiese getalpatroon met algemene term T n = 3n 2 + 3n 12. Sample
– Fasiliteerdersgids 1/2
Oplossing
Stel n = 40 in en bepaal die waarde van T 40:
T 40 = 3 (40) 2 + 3(40) 12 = 4 908
Hersieningsvoorbeeld 6:
Bepaal die termnommer as die algemene term van ’n kwadratiese getalpatroon gegee word
Watter term van die kwadratiese patroon met algemene term
T n = 5 n 2 79n 16 sal gelyk wees aan 404?
Oplossing
Stel T n = 404 in en los op vir n:
5 n 2 79n 16 = 404
5 n 2 79n 16 404 = 0
5 n 2 − 79n − 420 = 0
n = ( 79) ± √ ( 79) 2 4(5)( 420) 2(5) = 79 ±√ 14 641 10 = 20 OF n = –4,2 (n.v.t.) ∴ = 20
Die 20ste term is dus 404.
n kan net ’n natuurlike getal wees, daarom verwerp ons alle ander oplossings.
Hersieningsvoorbeeld 7:
Bepaal die volgende term van ’n kwadratiese getalpatroon
Oplossing
Bepaal die eerste en tweede verskil tussen die terme van die patroon en brei die patroon uit: –16 3 2 Eerste verskil: Tweede verskil:
Sample
Skryf die volgende term van hierdie kwadratiese getalpatroon neer:
− 16; − 13; − 8; − 1; …
Die tweede verskil is 2. Dit help ons om die ontbrekende term te kry, want die patroon van eerste verskille bepaal dat die volgende eerste verskil 7 + 2 = 9 is.
Die volgende term in die patroon is dus 1 + 9 = 8.
Hersieningsvoorbeeld 8:
Bepaal ’n onbekende term van ’n kwadratiese getalpatroon
3; 12; k; 48; … is ’n kwadratiese getalpatroon. Bepaal die waarde van k.
Oplossing
Stel ’n diagram op en dui die verskille aan: 3 9 k – 21 k – 12 60 – 2k 48 – k 12 k 48
Die tweede verskille is gelyk, dus is k − 21 = 60 − 2k.
Los op vir k: 3k = 81 k = 27
Hersieningsoefening
1. Bepaal die algemene term van die volgende getalpatrone:
1.1 33; 55; 77
1.2 30; 50; 130
1.3 7 1 4 ; 1 1 4 ; 4 3 4
2. Die algemene term van ’n getalpatroon is T n = 1 5 n + 2.
2.1 Bepaal die eerste drie terme van die getalpatroon.
2.2 Watter term van die getalpatroon is − 2?
3. Die lineêre getalpatroon 17; 36; 55; … ; 473 word gegee.
Bepaal die getal terme in die patroon.
4. Bestudeer die getalpatrone hier onder en doen die volgende vir elk:
• Bepaal of die ry lineêr of kwadraties is.
• Bepaal die formule vir die algemene term.
• Gebruik die formule vir die algemene term om die volgende drie terme in die ry te bereken.
• Bereken die 100ste term.
4.1 5; 1; 3
4.2 1; 4; 9; 16; 25
4.3 − 2; 5; 16; 31
5. Die kwadratiese getalpatroon 2; 3; 5; 8 word gegee.
5.1 Skryf die volgende term neer.
5.2 Bepaal die algemene term.
7. Gee die eerste drie terme van die kwadratiese getalpatroon met die algemene term T n = 1 4 n 2 5n + 13.
8. Die algemene term van ’n kwadratiese getalpatroon is T n = 13 n 2 5n + 6. Bepaal die tweede verskil van die patroon.
Sample
6. Die kwadratiese getalpatroon 17; 12; 11; 14 word gegee.
6.1 Bepaal die algemene term.
6.2 Bepaal die 30ste term.
6.3 Watter term van die patroon is gelyk aan 182?
9. 1; 4; x; 22; … is ’n kwadratiese getalpatroon. Bepaal die waarde van x.
10. ’n Kwadratiese getalpatroon se algemene term is T n = 3 (n 14) 2 + 8 .
Wat is die waarde van die kleinste term van die patroon en watter term het hierdie waarde?
Oplossings
1.1 55 33 = 22; 77 55 = 22
Lineêre getalpatroon met d = 22
T n = dn + c
T n = 22n + c
T 1 = 33 = 22(1) + c
c = 33 22 = 11
T n = 22n + 11
1.2 50 ( 30) = 80; 130 50 = 80
Lineêre getalpatroon met d = 80
T n = dn + c
T n = 80n + c
T 2 = 50 = 80(2) + c
c = 50 160 = 110
T n = 80n − 110
1.3 1 1 4 ( 7 1 4 ) = 6
4 3 4 ( 1 1 4 ) = 6
Lineêre getalpatroon met d = 6
T n = dn+ c
T n = 6n+ c
T 1 = 7 1 4 = 6(1) + c
c = 13 1 4
T n = 6n − 13 1 4 2. T n = 1 5 n + 2
2.1 T 1 = 1 5 (1) + 2 = 1 4 5 T 2 = 1 5 (2) + 2 = 1 3 5 T 3 = − 1 5 (3) + 2 = 1 2 5 2.2 T n = 1 5 n + 2 = 2
1 5 n = 4
n = 20
Die 20ste term is 2.
3. 36 − 17 = 19; 55 − 36 = 19
Lineêre getalpatroon met d = 19
T n = dn + c
T 1 = 17 = 19(1) + c
c = 2
T n = 19n − 2
473 = 19n 2
19n = 475
n = 475 19 = 25
Daar is 25 terme in die patroon. 4.1 T 2 T 1 = 1 ( 5) = 4 T 3 T 2 = 3 ( 1) = 4
Die eerste verskille is gelyk; dus is die getalpatroon lineêr en d = 4.
Formule vir die algemene term:
Tweede verskille 2 2 2 2 Sample
T n = dn+ c
T n = 4n+ c
Stel n = 1 in vir die eerste term:
T 1 = 4(1) + c = 5 Los op vir c: c = 5 4 c = 9
T n = 4n 9
Stel n = 4; 5; 6 in vir die vierde, vyfde en sesde term:
T 4 = 4(4) − 9 = 7
T 5 = 4(5) 9 = 11
T 6 = 4(6) − 9 = 15
Stel n = 100 in om die 100ste term te bepaal:
T n = 4n 9
T 100 = 4(100) 9 = 391 4.2 T 1 T 2 T 3
4 T 5 T 6 T 7 Term 1 4 9 16 25 36
Eerste verskille 3 5 7 9 11
Die tweede verskille is konstant. Die ry is kwadraties.
T n = a n 2 + bn + c
Gebruik die tweede verskil:
2a = 2
∴ a = 1
Gebruik die eerste van die eerste verskille:
3a + b = 3
∴ 3(1) + b = 3
∴ b = 0
Gebruik die eerste term: T 1 = 1
a + b + c = 1
∴ 1 + 0 + c = 1
∴ c = 0
∴ T n = (1) n 2 + (0)n + 0
∴ T n = n 2
Die volgende drie terme is: T 6; T 7; T 8
= 36; 49; 64
T 100 = 100 2 = 10 000 4.3
Gebruik die tweede verskil:
2a = 4
∴ a = 2
Sample
Die tweede verskille is konstant. Die ry is kwadraties.
T n = a n 2 + bn + c
Gebruik die eerste van die eerste verskille:
3a + b = 7
∴ 3(2) + b = 7
∴ b = 1
Gebruik die eerste term: T 1 = 2
a + b + c = − 2
∴ 2 + 1 + c = 2 ∴ c = 5
∴ T n = 2n 2 + n 5
Die volgende drie terme is: T 5; T 6; T 7 = 50; 73; 100 T 100 = 2 (100) 2 + 100 5 = 20 000 + 100 − 5 = 20 095
5.1 Bepaal die eerste en tweede verskille tussen die terme van die patroon en brei die patroon uit:
verskil: Tweede verskil:
Die tweede verskil is 1. Brei die patroon uit: 3 + 1 = 4; dus is 8 + 4 = 12.
Die volgende term in die patroon is 12.
5.2 Beskou die diagram van verskille: 2 1 1
Eerste verskil: Tweede verskil: 2 1 3 3 5 8
Tweede verskil: 2a = 1 ∴ a = 1 2
Eerste van die eerste verskille: 1 = 3a + b 1 = 3( 1 2 ) + b
1 3 2 = b ∴ b = 1 2
Eerste term: 2 = a + b + c
2 = 1 2 1 2 + c
∴ c = 2
Stel die waardes van a, b en c in die formule vir die algemene term:
T n = a n 2 + bn + c
Die algemene term van hierdie patroon is T n = 1 2 n 2 1 2 n + 2.
6.1 Bepaal die eerste en tweede verskille tussen die terme van die patroon: 17 –5 4
Eerste verskil: Tweede verskil: –1 4 3
Tweede verskil: 2a = 4 ∴ a = 2
Eerste van die eerste verskille: 5 = 3a + b
5 = 3a + b
− 5 = 3(2) + b ∴ b = − 11
Eerste term: 17 = a + b + c
17 = 2 11 + c
T 1 = 1 4 (1) 2 5(1) + 13 = 8 1 4 T 2 = 1 4 (2) 2 − 5(2) + 13 = 4 T 3 = 1 4 (3) 2 5(3) + 13 = 1 4 Sample
∴ c = 26
Stel die waardes van a, b en c in die formule vir die algemene term:
T n = a n 2 + bn + c
Die algemene term van hierdie patroon is T n = 2 n 2 11n + 26.
6.2 Stel n = 30 in en bepaal die waarde van T 30: T 30 = 2 (30) 2 11(30) + 26 = 1 496
6.3 Stel T n = 182 in en los op vir n: 2 n 2 − 11n + 26 = 182 2 n 2 11n + 26 182 = 0 2 n 2 11n 156 = 0
n = ( 11) ± √ ( 11) 2 4(2)( 156) 2(2) n = 11 ± √ 1 369 4 n = 12 of − 6,5 (n.v.t.)
∴ n = 12
Die 12de term is dus 182.
7. Stel n = 1, n = 2 en n = 3 in:
8. a = 13; b = 5; c = 6
Tweede verskil = 2a = 2(13) = 26
9. Stel ’n diagram van verskille op. 1 3 x – 7 x
4 x 22
ONTHOU
Formule vir die algemene term van ’n rekenkundige ry (RR)
Die tweede verskille is gelyk; dus is x − 7 = 26 − 2x.
Los op vir x:
3x = 33 x = 11
10. Die minimum waarde van T n = 3 (n 14) 2 + 8 kom voor wanneer n = 14. (Pas die kwadratiese teorie toe: draaipunt van ’n parabool.)
Minimum waarde = T 14 = 8
1. REKENKUNDIGE
RYE (RR)
’n Ry is ’n ander naam vir ’n getalpatroon. In vroeër grade het leerders met lineêre getalpatrone gewerk, waar daar ’n konstante verskil tussen opeenvolgende terme is. Voorbeelde is:
1; 3; 5; 7; … (die verskil is 2 en die algemene term is T n = 2n 1)
3; 1; 5; 9; … (die verskil is 4 en die algemene term is T n = 4n + 7)
Van nou af gaan ons die naam rekenkundige rye vir lineêre getalpatrone gebruik. Die formule vir die nde term lyk anders, maar is eintlik ekwivalent aan die een wat ons vantevore gebruik het.
Stel a = die eerste term en d = die gemene verskil.
Ons kan dus die ry soos volg skryf:
Sample
a; a + d; (a + d) + d; (a + d + d) + d; …
Dit is duidelik dat elke term in die ry die vorm a + ? d het, met ’n veranderende koëffisiënt van d. Die waarde van die koëffisiënt van d is een minder as die posisie van die term in die ry. Vir die derde term is die koëffisiënt van d byvoorbeeld 2, wat een minder as 3 is.
Vir die nde term sal die koëffisiënt van d dus een minder as n wees, met ander woorde n 1. Ons kan aflei dat die nde term (ook bekend as die algemene term) van ’n rekenkundige ry gegee word deur:
T n = a + (n 1)d, waar a = die eerste term en d = die gemene verskil.
Die toets vir ’n rekenkundige ry is: Die verskil tussen enige twee pare opeenvolgende terme moet dieselfde wees.
∴ T 3 T 2 = T 2 T 1 Uitgewerkte voorbeeld 1: Bepaal of ’n ry rekenkundig is
Bepaal of die volgende ry rekenkundig is: 12; 6; 0; − 6; …
Oplossing
Toets vir ’n rekenkundige ry:
Die ry is dus rekenkundig.
Uitgewerkte voorbeeld 2:
Bepaal ’n term as die termnommer gegee word
Bepaal die 100ste term van ’n ry met die algemene term T n = 6 5n.
Oplossing T 100 = 6 − 5(100)
n = 100 in T 100 = 494
Uitgewerkte voorbeeld 3:
Bepaal die algemene term van ’n rekenkundige ry as die eerste paar terme gegee word
Bepaal die algemene term van die ry 7; 2; 3; 8; … .
Oplossing
Toets vir ’n rekenkundige ry: T 3 T 2 = 3 2 = 5
Die ry is dus rekenkundig met d = 5. T n = a + (n 1)d T n = 7 + (n − 1)(− 5) = 7 5n + 5
∴ T n = 5n + 12
Let op: In vroeër grade het ons die formule T n = dn + c vir die algemene term gebruik. As ons daardie formule hier gebruik, sal ons die volgende kry:
d = 5
∴ T n = − 5n + c
Sample
7 = − 5(1) + c Die eerste term is 7; stel dus T n = 7 en n = 1 in
c = 12
Dus is T n = 5n + 12, wat presies dieselfde is as wanneer die formule
T n = a + (n 1)d gebruik word.
Uitgewerkte voorbeeld 4:
Bepaal ’n termnommer as die term gegee word
Die eerste drie terme van ’n rekenkundige ry is − 1; 6; 13.
Watter term van die ry sal 83 wees?
Oplossing
Bepaal die algemene term.
d = T 2 T 1
d = 6 ( 1) = 7
T n = a + (n 1)d
∴ T n = a + (n − 1)7 83 = 1 + (n 1)7 Stel T n = 83, a = −1 en d = 7 in en los dan vir n op
7(n 1) = 84
n 1 = 12
n = 13
83 is dus die 13de term.
Uitgewerkte voorbeeld 5:
Bepaal ’n termnommer met opeenvolgende terme gegee
Die derde, vierde en vyfde term van ’n ry is 7t; t; 5t.
Watter term van die ry sal 53t wees?
Oplossing
Toets vir ’n rekenkundige ry:
Die ry is dus rekenkundig met d = 6t.
T 3 = 7t
T n = a + (n 1)d
T 3 = a + (3 1)(6t) = 7t Stel die derde term in die formule vir die algemene term a = − 7t − 12t = 19t Los op vir a ∴ T n = 19t + (n 1)6t Skryf die algemene term neer
53t = − 19t + (n − 1)6t Stel 53t in die plek van T n
72t = (n 1)6t Los op vir n
n 1 = 12
n = 13
53t is dus die 13de term.
Uitgewerkte voorbeeld 6:
Oplossing
Toets vir ’n rekenkundige ry: T 2 T 1 = 15 20 = 5 en T 3 T 2 = 10 15 = 5 ∴ T 2 − T 1 = T 3 − T 2
Sample
Bepaal die getal terme in ’n eindige ry
Bepaal die getal terme in die volgende ry: 20; 15; 10; … ; 25
Dit is ’n rekenkundige ry met a = 20, d = 5 en T n = 25.
∴ T n = a + (n 1)d
∴ 25 = 20 + (n 1)( 5)
∴ 25 = 20 5n + 5
∴ 50 = 5n
∴ n = 10
T 10 = − 25
Daar is dus tien terme in die ry.
Uitgewerkte voorbeeld 7: Bepaal x as drie opeenvolgende terme van ’n reken kundige ry in terme van x gegee word
6; 2x + 1; 8x + 4 is ’n rekenkundige ry. Bepaal die waarde van x.
Oplossing
Vir ’n rekenkundige ry is T 3 − T 2 = T 2 − T 1.
(8x + 4) (2x + 1) = (2x + 1) (6)
Los op vir x:
8x + 4 2x 1 = 2x + 1 6
6x + 3 = 2x 5
4x = 8 x = 2
Uitgewerkte voorbeeld 8:
Bepaal die waarde van ’n ander term as drie opeenvolgende terme van ’n rekenkundige ry in terme van x gegee word
4 3x; x 16; 2x 15; … is ’n rekenkundige ry. Bepaal die waarde van die tiende term.
Oplossing
Bepaal eers die waarde van x:
T 3 T 2 = T 2 T 1
(2x 15) (x 16) = (x 16) (4 3x)
2x 15 x + 16 = x 16 4 + 3x 21 = 3x x = 7
Bepaal die algemene term: Stel x = 7 in. Die ry is:
4 − 3(7); (7) − 16; 2(7) − 15 = 17; 9; 1
∴ a = − 17
d = 9 ( 17) = 8
T n = a + (n 1)d
T n = 17 + (n 1)(8)
T n = 25 + 8n
Stel n = 10 in:
T 10 = 25 + 8(10)
T 10 = 55
Uitgewerkte voorbeeld 9:
Bepaal ’n rekenkundige ry as twee terme gegee word
Bereken die eerste drie terme van ’n rekenkundige ry as dit gegee word dat
T 10 = 34 en T 50 = 194.
Sample
Oplossing
T 10 = 34
∴ 34 = a + 9d ①
T 50 = 194
∴ 194 = a + 49d ②
Vanuit ①: 34 = a + 9d
∴ a = 34 9d
Stel in ②:
∴ 194 = (34 − 9d) + 49d
∴ 194 34 = 40d
∴ 160 = 40d
∴ d = 4 Los gelyktydig op
Stel in ①:
∴ 34 = a + 9(4)
∴ a = 2
Eerste drie terme:
T 1 = 2
T 2 = 2
T 3 = 6
Uitgewerkte voorbeeld 10: Ongelykhede in rekenkundige rye
Watter term in die ry 8; 13; 18; … sal die eerste term wees wat groter is as 300?
Oplossing
Toets vir ’n rekenkundige ry:
T 2 T 1 = 13 8 = 5 en T 3 T 2 = 18 13 = 5
∴ T 2 T 1 = T 3 T 2
Dit is ’n rekenkundige ry met a = 8, d = 5 en T n > 300.
∴ T n = a + (n − 1)d
∴ a + (n 1)d > 300
∴ 8 + (n 1)(5) > 300
∴ 8 + 5n 5 > 300
∴ 5n + 3 > 300
∴ 5n > 297
∴ n > 59,4
Maar n is ’n natuurlike getal.
Die 60ste term sal dus groter as 300 wees.
Opsomming
• In ’n rekenkundige ry is daar ’n konstante eerste verskil (d) tussen opeenvolgende terme.
• ’n Ry is ’n rekenkundige ry as T 3 T 2 = T 2 T 1. Oor die algemeen is d = T n T n 1 vir alle n ∈ ℕ.
Oefening 1: Rekenkundige rye
Sample
• Die standaardvorm van ’n rekenkundige ry is:
a; a + d; a + 2d; a + 3d; …
• Die algemene term van ’n rekenkundige ry is:
T n = a + (n − 1)d, waar a = die eerste term en d = die gemene verskil.
1. Bepaal of die volgende rye rekenkundig is of nie. As ’n ry rekenkundig is, bepaal die gemene verskil, d.
1.1 20; 40; 80; 160; …
Die verskil is nie konstant nie, maar toenemend; die ry is nie rekenkundig nie.
Die ry is rekenkundig met d = 1 2 .
√ 2 ; √ 8 ; √ 18 ; √ 32 ; …
Vereenvoudig die terme:
Die ry is rekenkundig met d = √ 2 .
1.4 6p 3; 4p; 2p + 3; 6; …
T 2 T 1 = 4p (6p 3) = 2p + 3
T 3 T 2 = 2p + 3 4p = 2p + 3
Die ry is rekenkundig met d = 3 2p.
2. Bepaal die algemene term van elk van die volgende rekenkundige rye:
2.1 368; 223; 78; …
a = 368
d = T 2 T 1 = 223 368 = 145
T n = a + (n 1)d
= 368 + (n 1)( 145)
= 368 145n + 145
= 513 − 145n
2.2 17; 8; 1; … a = 17
d = T 2 − T 1 = 8 ( 17) = 9
T n = a + (n 1)d
= 17 + (n 1)(9) = 9n − 26
2.3 3π 2 ; 4π 3 ; 7π 6 ; …
= 3π 2
= 4π 3 3π 2 = 8π 9π 6 =
6 T n = a + (n 1)d = 3π 2 + (n 1)( π 6 ) = 3π 2 π 6 n + π 6 = 5π 3 − π 6 n
2.4 7t − 4; 5t − 1; 3t + 2; … a = 7t 4
d = (5t 1) (7t 4)
= 2t + 3
T n = a + (n − 1)d
= 7t 4 + (n 1)( 2t + 3)
= 7t 4 + 2t 3 + n( 2t + 3)
= 9t − 7 + n( − 2t + 3)
3. Bereken die 15de term van die volgende ry: 7; 3; 1; 5; … .
Toets vir ’n rekenkundige ry: T 2 − T 1 = 3 − 7 = − 4 en T 3 − T 2 = − 1 − 3 = − 4
∴ T 2 T 1 = T 3 T 2 Dit is ’n rekenkundige ry met a = 7, d = 14 en n = 15.
T n = a + (n 1)d
∴ T 15 = 7 + (15 − 1)(− 4) = 7 + 14( 4) = 49
4. Bewys dat p = 20 in die volgende ry: p; 10; 0; 10; … .
Toets vir ’n rekenkundige ry:
T 3 T 2 = T 4 T 3
Dit is ’n rekenkundige ry. T 2 T 1 = T 3 T 2 ∴ 10 − p = 0 − 10 ∴ p = 20
∴ p = 20
Die waarde van t is − 2. Sample
5. As t 2; 2t 6; 4t 8 die eerste drie terme van ’n rekenkundige ry is, bereken die waarde van t.
Dit is ’n rekenkundige ry Gegee
T 2 T 1 = T 3 T 2 Gebruik die definisie van ’n rekenkundige ry
∴ (2t 6) (t 2) = (4t 8) (2t 6)
∴ 2t − 6 − t + 2 = 4t − 8 − 2t + 6 ∴ t 4 = 2t 2
∴ 2 = t
6. Die derde term van ’n rekenkundige ry is 4 en die sewende term is 20 . Bereken die eerste drie terme van die ry.
T 3 = − 4 ∴ a + 2d = − 4 ①
T 7 = 20 ∴ a + 6d = 20 ②
Vanuit ①: a = 4 2d
Stel in ②:
∴ (− 4 − 2d) + 6d = − 20
∴ 4d = 16
∴ d = 4
Stel in ①:
∴ a + 2( 4) = 4
∴ a = 4 + 8
∴ a = 4
Die ry is: 4; 0; 4; …
Alternatief: Gebruik eliminasie
4d = 16 d = –4, ens.
8. Die vierde, sesde en agtste term van ’n rekenkundige ry is p 4, 8p + 3 en 10p 5. Watter term sal ’n waarde van 70 hê?
T 6 T 4 = T 8 T 6
Gegee: rekenkundige ry
7. Watter term van die ry − 5a; − 8a; − 11a; … sal − 32a wees?
Toets vir ’n rekenkundige ry:
Dit is ’n rekenkundige ry met a = 5a, d = 3a en T n = 32a.
∴ T n = a + (n 1)d
∴ 32a = 5a + (n 1)( 3a)
∴ − 32a = − 5a − 3an + 3a
∴ 30a = 3an
∴ n = 10
Die tiende term is − 32a.
∴ (8p + 3) (p 4) = (10p 5) (8p + 3)
∴ 7p + 7 = 2p 8
Vanuit ①: T 4 = 7
∴ 5p = 15
∴ p = − 3
Die 13de term is 70. Sample
T 4 = 3 4 = 7 ①
T 6 = 8(− 3) + 3 = − 21 ②
T 8 = 10( 3) 5 = 35
∴ a + 3d = − 7 ③
Vanuit ②:
T 6 = − 21
∴ a + 5d = 21 ④
Vergelyking ④ minus vergelyking ③: Of gebruik substitusie
2d = 14
d = − 7
Stel in ③:
∴ a + 3(− 7) = − 7
a = 14
Formule: T n = 14 + (n − 1)(− 7) = 14 7n + 7
= 21 − 7n
T n = 70
∴ − 70 = 21 − 7n
∴ 91 = 7n
∴ n = 13
9. Bepaal die getal terme in die ry 19; 8; 35; … ; 197.
T 2 T 1 = 8 19 = 27 en T 3 T 2 = 35 ( 8) = 27
Dit is ’n rekenkundige ry met a = 19 en d = 27.
T n = a + (n 1)d
∴ 197 = 19 + (n 1)( 27)
∴ 27(n 1) = 216
∴ n − 1 = 8
∴ n = 9
Daar is dus nege terme in die ry.
10. 5 7x; x 14; 3x 15; … is ’n rekenkundige ry. Bepaal die waarde van die 12de term.
Bepaal eers x:
T 3 T 2 = T 2 T 1
(x − 14) − (5 − 7x) = (3x − 15) − (x − 14)
∴ 8x 19 = 2x 1
∴ 6x = 18
∴ x = 3
Bepaal d:
d = T 3 T 2 = 2x 1
= 2(3) − 1 = 5
Bepaal die eerste term: a = 5 7x
∴ a = 5 7(3) = 16
T n = a + (n − 1)d
T 12 = 16 + (12 1)(5) = 39
11. Bepaal die laaste term in die ry 15; 93; 171; … wat kleiner is as 2 000.
T 2 T 1 = 93 15 = 78
T 3 − T 2 = 171 − 93 = 78
Dit is ’n rekenkundige ry met d = 78.
Bepaal n as T n = 2 000:
T n = a + (n 1)d
∴ 2 000 = 15 + (n − 1)(78)
∴ n 1 = 2 000 15 78
∴ n = 26,45
Die 26ste term is dus kleiner as 2 000, maar die 27ste term is groter as 2 000. Die laaste term wat kleiner is as 2 000 is die 26ste term.
12. Die 100 ste term van ’n rekenkundige ry is 35 meer as die 90 ste term.
Die tiende term is 51,5. Bepaal die eerste term en die gemene verskil.
T 100 = 35 + T 90 ①
∴ a + 99d = 35 + (a + 89d)
∴ 10d = 35
∴ d = 3,5
T 10 = 51,5 ②
∴ a + 9d = 51,5
∴ a + 9(3,5) = 51,5
∴ a = 20
13. Die agtste term van ’n rekenkundige ry is vyf keer die derde term en 16 meer as die tiende term. Bepaal die eerste drie terme van die ry.
T 8 = 5(T 3) ①
T 8 = 16 + T 10 ②
Vanuit ①: a + 7d = 5(a + 2d)
∴ a + 7d = 5a + 10d
∴ 4a + 3d = 0
Vanuit ②: a + 7d = 16 + a + 9d
∴ 2d = 16
∴ d = 8
Stel in ③:
4a + 3( 8) = 0
∴ 4a = 24
∴ a = 6
Die eerste drie terme is dus 6; 2; 10.
2. MEETKUNDIGE RYE (MR)
As elke nuwe term van ’n ry gevorm word deur dit met dieselfde hoeveelheid te vermenigvuldig, noem ons daardie ry ’n meetkundige ry. Die hoeveelheid waarmee elke term vermenigvuldig word, word die gemene verhouding genoem. Daar is dus ’n konstante verhouding (r) tussen opeenvolgende terme.
Voorbeelde:
1; 2; 4; 8; … r = 2
8; 4; 2; 1; … r = 1 2 3; 6; 12; 24; … r = 2
Let op: r, die konstante verhouding, kan bepaal word deur enige term deur die vorige term te deel. Voorbeeld: In 1; 2; 4; 8; … is r = 2 1 = 4 2 = 8 4 , ens.
Formule vir die algemene term van ’n meetkundige ry (MR)
Stel a = die eerste term en r = die gemene verhouding.
Ons kan dus die ry skryf as:
a; a × r; (a × r) × r; (a × r × r) × r; … = a; ar; a r 2; a r 3; …
ONTHOU (VERVOLG)
Elke term in die ry het die vorm a r ?, met ’n veranderende eksponent van r.
Die ry is dus meetkundig. Sample
Die waarde van die eksponent van r is een minder as die posisie van die term in die ry. Vir die derde term is die eksponent van r byvoorbeeld 2, wat een minder is as 3. Vir die nde term sal die eksponent van r dus een minder as n wees, met ander woorde n 1.
Ons kan aflei dat die nde term van ’n meetkundige ry (ook bekend as die algemene term) gegee word deur:
T n = a r n − 1, waar a = die eerste term en r = die gemene verhouding.
Die toets vir ’n meetkundige ry is: Die verhouding tussen enige twee pare opeenvolgende terme moet dieselfde wees.
Uitgewerkte voorbeeld 11: Bepaal of ’n ry meetkundig is
Bepaal of die volgende ry meetkundig is:
Oplossing
ONTHOU
Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2
Uitgewerkte voorbeeld 12:
Bepaal die algemene term van ’n meetkundige ry
Bepaal die algemene term van die volgende meetkundige ry: 3;
Oplossing
Eerste term = a = 3
Gemene verhouding
Stel r = − 1 2 in die formule vir die algemene term: T n = a r n 1 T n = ( 3) ( 1 2 ) n 1
Uitgewerkte voorbeeld 13:
Bepaal ’n term as die termnommer van ’n meetkundige ry gegee word
Bepaal die agtste term van die ry 9; 3; 1; … .
Oplossing
Toets vir ’n meetkundige ry:
Dit is dus ’n meetkundige ry
Uitgewerkte voorbeeld 14:
Bepaal ’n termnommer as die term gegee word
Die eerste drie terme van ’n meetkundige ry is
Sample
Watter term van die ry sal 4 27 wees?
Oplossing
Skryf albei kante met dieselfde grondtal ∴ n 1 = 4 Die grondtalle aan albei kante van die vergelyking is gelyk, dus is die eksponente gelyk n = 5 4 27 is dus die vyfde term.
Uitgewerkte voorbeeld 15:
Bepaal x en die gemene verhouding as opeenvolgende terme van ’n meetkundige ry in terme van x gegee word
Die vierde, vyfde en sesde term van ’n MR word gegee as x + 4; x + 2; 2x + 1. Bereken moontlike waardes vir die eerste term sowel as die gemene verhouding.
Oplossing
Dit is ’n meetkundige ry. Gegee ∴ T 5 T 4 = T 6 T 5
x + 2 x + 4 = 2x + 1 x + 2 ∴ (x + 2) 2 = (2x + 1)(x + 4)
∴ x 2 + 4x + 4 = 2 x 2 + 9x + 4
0 = x 2 + 5x 0 = x(x + 5)
x = 0 of x = 5
As x = 0, is die ry: T 4; T 5; T 6 = x + 4; x + 2; 2x + 1
= 4; 2; 1
Dit is ’n meetkundige ry met T 4 = 4 en r = 2 4 = 1 2 .
Uitgewerkte voorbeeld 16:
Bepaal die getal terme in ’n eindige meetkundige ry
∴ a = 32
As x = 5, is die ry: T 4; T 5; T 6
= x + 4; x + 2; 2x + 1
= 1; 3; 9
Dit is ’n meetkundige ry met T 4 = 1 en r = 3 1 = 3.
Sample
Moontlike waardes vir die eerste term is dus: a = 32 OF a =
Moontlike waardes vir die konstante verhouding is dus: r = 1 2 OF r = 3
Bepaal die getal terme in die volgende meetkundige ry:
Oplossing
n
∴ n 1 = 7
Die grondtalle is gelyk; dus is die eksponente gelyk n = 8
Daar is dus agt terme in die ry.
LET OP
In uitgewerkte voorbeeld 16 was die grondtalle gelyk. As die grondtalle nie gelyk is nie, gebruik ons logaritmes (of logs) om eksponensiële vergelykings op te los. In tema 3 gaan leerders meer oor logs leer.
Logs word in uitgewerkte voorbeeld 17 gebruik om ’n eksponensiële ongelykheid op te los. Ons stel voor dat leerders voorlopig net op die oplossing se werkswyse konsentreer en dan na uitgewerkte voorbeeld 17 terugkeer wanneer tema 3 afgehandel is. Dieselfde raad geld vir ander uitgewerke voorbeelde en oefeninge in tema 1 waar logs gebruik word.
Wiskunde – Fasiliteerdersgids 1/2
Uitgewerkte voorbeeld 17: Ongelykhede in meetkundige rye
Bereken die eerste term wat kleiner is as 0,001 in die ry 10; 5; 2,5; … .
Oplossing
Toets vir ’n meetkundige ry:
Dit is ’n meetkundige ry met a = 10 en
T n < 0,001 T n = a r n 1 ∴ a r n 1 < 0,001 Let op: Moenie 0,001 < a r n 1 skryf nie. ∴ 10 ( 1 2 ) n 1 < 0,001 ∴ 2 n + 1 < 0,0001 ÷10
∴ ( n + 1)log2 < log0,0001 Neem logs aan albei kante – kyk tema 3
∴ n + 1 < 13,287... Deel albei kante deur log 2 en vereenvoudig – kyk tema 3
∴ − n < − 14,287...
∴ n > 14,287... ÷( 1)
Maar n is ’n natuurlike getal.
Die 15de term sal dus kleiner as 0,001 wees.
Uitgewerkte voorbeeld 18: Bepaal twee onbekendes in ’n meetkundige ry as twee feite gegee word
Die vierde term van ’n meetkundige ry is 6 en die sesde term is 3 2 . Bereken die eerste term en die gemene verhouding as die gemene verhouding negatief is.
Oplossing
Deel ② deur ① om a te elimineer:
T n = a r n 1, waar a = die eerste term en r = die gemene verhouding. Sample
Gegee: Die gemene verhouding is negatief
Stel in ①:
= 6( 8) a = 48
Opsomming
• ’n Meetkundige ry het ’n konstante verhouding (r) tussen opeenvolgende terme.
• ’n Ry is ’n meetkundige ry as, en slegs as, T 3 T 2 = T 2 T 1 .
Oor die algemeen is T n T n 1 = r vir alle n ∈ ℕ.
• Die standaardvorm van ’n meetkundige ry is: a; ar; a r 2; a r 3; …
• Die algemene term van ’n meetkundige ry is:
Oefening 2: Meetkundige rye
1. Bepaal of die volgende rye meetkundig is of nie. As ’n ry meetkundig is, bepaal die gemene verhouding, r. 1.1 2;
Dit is dus nie ’n meetkundige ry nie.
Dit is dus ’n meetkundige ry met r = 5 3 .
Bepaal die algemene term van die volgende meetkundige rye:
(2)
48; 24; 12;
3. Bereken die tiende term in die volgende ry: 2; 8; 32; … .
Toets vir ’n meetkundige ry:
4. Watter term in die ry 0,5; 2; 8; … is gelyk aan 512?
Toets vir ’n meetkundige ry:
Daar is agt terme in die ry. Sample
6 =
5. Bepaal die getal terme in die volgende ry: √ 3 ; 3; 3 √ 3 ; … ; 81
Toets vir ’n meetkundige ry:
81 = √ 3 ( √ 3 ) n 1
3 4 = 3 1 2 (3 1 2) n 1
3 4 = 3 1 2 ( 3 1 2 n 1 2 )
6. Die vyfde, sesde en sewende term van ’n meetkundige ry lyk soos volg:
x 3, x + 1 en 4x 2. Bepaal die waarde(s) van x. T 6 T 5 = T 7 T 6
As x = 8: r = 10 4 = 5 2 T 4 = a r 3 = x 4
∴ x + 1 x 3 = 4x 2
x + 1
Kruisvermenigvuldig:
(x + 1) 2 = (4x 2)(x 3)
x 2 + 2x + 1 = 4 x 2 14x + 6
3 x 2 − 16x + 5 = 0
(3x 1)(x 5) = 0
x = 1 3 OF x = 5
7. Die vierde, vyfde en sesde terme van ’n meetkundige ry lyk soos volg:
x 4, x + 2 en 3x + 1. Bereken twee moontlike waardes vir die eerste term.
(3x + 1)(x 4) = (x + 2) 2 3 x 2 11x 4 = x 2 + 4x + 4
2 x 2 15x 8 = 0
(2x + 1)(x 8) = 0 x = − 1 2 OF x = 8
r = x + 2 x 4
As x = 1 2 : r = 1,5 4,5 = 1 3 T 4 = a r 3 = x − 4
∴ 1
8 − 4 = a ( 5 2 ) 3 4 = 125 8 a a = 32 125
Die 11de term is 10 935 Sample
Die twee waardes van a is 243 2 en 32 125 . 8. Die algemene term van ’n meetkundige ry is T n = 5 . 3 n 4 . 8.1 Bereken die eerste drie terme.
Die eerste drie terme is 5 27 ; 5 9 ; 5 3 .
8.2 Watter term het ’n waarde van 10 935?
5 . 3 n 4 = 10 935
3 n 4 = 10 935 5 = 2 187
3 n 4 = 3 7 n 4 = 7 n = 11
9. Watter term in die ry 27; 9; 3; … sal net kleiner as 0,102 wees?
T 2 T 1 = 9 27 = 1 3 T 3 T 2 = 3 9 = 1 3
Die ry is meetkundig met a = 27 en r = 1 3 .
T n = a r n 1
T n < 0,102
a r n 1 < 0,102 27 ( 1 3 ) n 1 < 0,102
( 1 3 ) n 1 < 0,102 27
3 n 1 > 27 0,102
3 n .3 1 > 27 0,102
3 n .3 1 .3 1 > 27 0,102 .3 1
3 n > 81 0,102
3 n > 794,1...
Metode 1 (neem logs aan albei kante – kyk tema 3)
n log3 > log794,1
n > log794,1 log3
n > 6,077...
Metode 2 (gebruik die definisie van logs – kyk tema 3)
n > log 3794,1...
n > 6,077...
Die sewende term is die eerste term wat kleiner is as 0,102.
10. Vir watter waardes van x en y sal 3 5 ; x; y; 25 243 ; … ’n meetkundige ry vorm?
② gelyk aan ③:
• Hersieningsoefeninge om voorafkennis te toets.
• Deeglike verduidelikings van begrippe en tegnieke.
• Uitgewerkte voorbeelde help leerders om nuwe begrippe beter te verstaan.
• Gemengde oefeninge om teorie vas te lê en wiskundige vaardighede te oefen.
• Oefenvraestelle en memorandums vir eksamenvoorbereiding.
• Formuleblaaie en aanvaarde meetkundige redes vir vinnige verwysing.
• Indeks van wiskundige terme.
• Die fasiliteerdersgids bevat stap-vir-stap-bewerkings en antwoorde
• Gebruik in die klaskamer of tuis.
home classroom college workplace
