TEMA 7
RES- EN FAKTORSTELLING
Inleiding
In hierdie tema gaan jy meer leer oor:
• die res wat ontstaan wanneer ’n algebraïese uitdrukking (polinoom) deur ’n ander lineêre uitdrukking gedeel word
• die faktorisering van derdegraadse uitdrukkings
• die oplos van derdegraadse vergelykings.
Voorafkennis
Om hierdie tema te bemeester, moet jy reeds vertroud wees met die volgende:
• die begrippe “faktor”, “deler”, “kwosiënt” en “res”
• faktorisering deur verskillende metodes te gebruik:
◦ gemene faktor
◦ verskil van vierkante
◦ groepering
◦ drieterm
◦ som en verskil van derdemagte
• oplossing van kwadratiese vergelykings deur al die terme aan die een kant van die = -teken te kry en nul aan die ander kant (oplossings van ’n vergelyking word ook wortels genoem)
• hoe om die x-afsnitte van ’n grafiek te bereken (stel die y-waarde gelyk aan nul)
• funksienotasie, byvoorbeeld f(x).
Hersiening
Ons hersien eers faktorisering en die oplos van kwadratiese vergelykings, wat reeds in graad 10 en 11 behandel is.
Sample
Faktorisering van veelterme (polinome)
• Drie algemene reëls om te onthou:
◦ Haal altyd eers ’n gemene faktor uit indien moontlik.
◦ Dieselfde uitdrukking kan soms meer as een keer gefaktoriseer word.
◦ Toets altyd jou antwoord deur die faktore uit te maal en seker te maak dat jy weer die oorspronklike uitdrukking kry.
• Riglyne wanneer jy faktoriseer:
◦ Bepaal hoeveel terme gefaktoriseer moet word.
• As twee terme gefaktoriseer moet word (tweeterm of binoom):
◦ Haal eers ’n gemene faktor uit indien moontlik, byvoorbeeld
2 x 2 18 = 2( x 2 9).
◦ Kyk of verdere faktorisering moontlik is:
– Verskil van twee vierkante, byvoorbeeld x 2 9:
* Daar is twee faktore (hakies) met verskillende tekens, byvoorbeeld (x 3)(x + 3).
* Onthou, die som van twee volkome vierkante kan nie gefaktoriseer word nie.
– Verskil van twee derdemagte, byvoorbeeld x 3 27:
* Daar is twee faktore (’n tweeterm en ’n drieterm) met die volgende tekens: ( )(+ + ), byvoorbeeld x 3 27 = (x 3)( x 2 + 3x + 9).
* Die eerste faktor het dieselfde teken as die oorspronklike uitdrukking.
* Die drietermfaktor kan nie verder gefaktoriseer word nie.
Som van twee derdemagte, byvoorbeeld x 3 + 27:
* Daar is twee faktore (’n tweeterm en ’n drieterm) met die volgende tekens: ( + )(− +), byvoorbeeld x 3 + 27 = (x + 3)( x 2 3x + 9).
* Die eerste faktor het dieselfde teken as die oorspronklike uitdrukking.
* Die drietermfaktor kan nie verder gefaktoriseer word nie.
• As drie terme gefaktoriseer moet word (drieterm of trinoom):
◦ Haal eers die gemene faktor uit indien moontlik, byvoorbeeld
2 x 2 − 8x + 6 = 2( x 2 − 4x + 3).
◦ Skryf die uitdrukking in die vorm a x 2 + bx + c indien moontlik.
◦ Kyk of jy verder kan faktoriseer, byvoorbeeld x 2 4x + 3 = (x 1)(x 3).
◦ As c se teken + is, sal albei faktore (hakies) dieselfde teken hê:
– As b ook + is, sal die teken tussen die twee terme in albei faktore + wees: ( + )( + ), byvoorbeeld x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
– As b is, sal die teken tussen die twee terme in albei faktore wees: ( )( ), byvoorbeeld x 2 4x + 3 = (x 1)(x 3).
◦ As c se teken is, sal een faktor (hakie) + wees en die ander een : (+)( ), byvoorbeeld x 2 − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3).
◦ Nie alle drieterme kan gefaktoriseer word nie.
◦ Toets jou antwoord deur die hakies weer uit te maal.
• As vier terme gefaktoriseer moet word (polinoom):
◦ Haal die gemene faktor uit indien moontlik, byvoorbeeld
2xy + 2xb + 2ay + 2ab = 2(xy + xb + ay + ab).
◦ Groepeer in groepe van twee terme elk, byvoorbeeld
xy + xb + ay + ab = (xy + xb) + (ay + ab).
◦ Haal die gemene faktor by elke groep uit indien moontlik, byvoorbeeld
(xy + xb) + (ay + ab) = x(y + b) + a(y + b).
◦ Kyk of daar ’n gemene faktor (hakie) gevorm het, byvoorbeeld
x(y + b) + a(y + b).
◦ As daar nie ’n gemene faktor (hakie) gevorm het nie, hergroepeer en probeer weer.
◦ Die groepe kan soms ook een term en drie terme wees, of drie terme en een term.
◦ As jy suksesvol gegroepeer het, kyk of jy verder kan faktoriseer, byvoorbeeld deur ’n gemene faktor uit te haal:
x(y + b) + a(y + b) = (y + b)(x + a).
◦ Nie alle vierterme kan deur groepering gefaktoriseer word nie.
◦ Toets jou antwoord deur die hakies weer uit te maal.
• As vyf of meer terme gefaktoriseer moet word (polinoom):
◦ Haal die gemene faktor uit indien moontlik.
◦ Vir vyf terme: Groepeer in groepe van twee en drie terme, of drie en twee terme.
◦ Vir ses terme: Groepeer in groepe van drie terme of groepe van twee terme.
◦ Groepeer totdat jy ’n gemene faktor (hakie) kry en faktoriseer verder indien moontlik.
◦ Nie alle vyf- en sesterme kan deur groepering gefaktoriseer word nie.
◦ Toets jou antwoord deur die hakies weer uit te maal.
Oplos van kwadratiese vergelykings
• Skryf die vergelyking in die standaardvorm, d.w.s. a x 2 + bx + c = 0. Kry dus al die terme aan die een kant en stel dit gelyk aan nul. Skryf byvoorbeeld 2 x 2 − 8x = 6 as 2 x 2 − 8x + 6 = 0.
• Vereenvoudig die vergelyking indien moontlik:
◦ Deel met ’n gemene faktor: 2 x 2 − 8x + 6 = 0 word byvoorbeeld x 2 4x + 3 = 0 wanneer jy deur 2 deel.
◦ Verwyder breuke deur met die KGV van die noemers te maal: 1 2 x 2 − x + 2 3 = 0 word byvoorbeeld 3 x 2 − 6x + 4 = 0 wanneer jy met 6 (die KGV van 2 en 3) maal.
• Faktoriseer volledig deur bogenoemde soorte faktorisering te gebruik (meestal drieterm-faktorisering), byvoorbeeld x 2 − 4x + 3 = 0 word (x 1)(x 3) = 0.
• Pas die nulprodukbeginsel toe (as die produk van faktore nul is, is minstens een van die faktore ook nul), byvoorbeeld as (x 1)(x 3) = 0 dan is x 1 = 0 OF x 3 = 0. Sample
• Los verder op, byvoorbeeld as x 1 = 0 OF x 3 = 0 dan is x = 1 x = 3.
• Kwadratiese vergelykings sal meestal twee antwoorde (wortels) hê. Soms is die twee wortels identies, byvoorbeeld:
x 2 − 4x + 4 = 0
(x − 2)(x − 2) = 0
x = 2 OF x = 2
• As die drieterm nie in twee faktore (hakies) gefaktoriseer kan word nie, moet die kwadratiese formule x = b ± √ b 2 4ac 2a gebruik word, byvoorbeeld
x 2 + 3x 5 = 0
x = b ± √ b 2 4ac 2a = 3 ± √ (3) 2 4(1)(− 5) 2(1) = 3 ± √ 29 2 = 1,19 OF − 4,19 (afgerond tot twee desimale plekke)
• Funksienotasie:
◦ Name word soms aan funksies gegee, byvoorbeeld f(x), g(x), k(x).
◦ f(x) = 2x + 1 beteken: Die funksie wat f genoem word, word gedefinieer deur die vergelyking y = 2x + 1.
◦ f(x) verteenwoordig die y-waardes. f(3) is die ooreenstemmende y-waarde as die x-waarde 3 is, byvoorbeeld f(3) = 2(3) + 1 = 7. Voltooi nou die hersieningsoefening hier onder.
Hersieningsoefening
Sample
1. Faktoriseer die volgende uitdrukkings volledig:
9 − x 2 + 10xy − 25 y 2 1.7 x 2(y 3) + 7x(3 y) 10(3 y) 1.8 (x + y) (x y) 2(x + y) 1.9 (x y) 2 + (y x) 1.10 x 3 + 2 x 2 − 2x − 4
2. Los die volgende vergelykings op: 2.1 x 2 4x + 4 = 1 2.2 x 2 2(x + 5) = 3x 4 2.3 8 x 2 22x + 15 = 0 2.4 16 − (x − 2) 2 = 0 2.5 6 x 2 x = 2 2.6 12 x 2 + 20x 8 = 0 2.7 (x 6)(x + 1) = 30 2.8 35 x 2 − 19x + 2 = 0 2.9 2 x 3 + 2 x 2 = 14x 2.10 x 2(3x 2) x(3x 2) 18x = 12 2.11 2 x 3 − 4 x 2 + 9x = 0 2.12 x 3 5 x 2 12x = 0 2.13 2 3 x 2 + 8 3 x + 12 = 0
2.14 4x + 1,5 = x 2 2.15 2 5 x 4 = 6 x 2.16 4 x(x − 2) = 2 x − 2 − 1 1 − x
3. Die funksie g(x) = 2 x 2 4x + 3 word gegee. Bepaal die volgende:
3.1 g( 1)
3.2 g( 1 2 )
3.3 x as g(x) = 19
4. Die funksie g(x) = x 3 + 2 x 2 4x + 3 word gegee. Bepaal die volgende:
4.1 g(2)
4.2 g( 3)
Oplossings
1.1 2 x 16 − 2
= 2( x 16 1)
= 2( x 8 1)( x 8 + 1)
= 2(x 4 1)(x 4 + 1)(x 8 + 1)
= 2( x 2 − 1)( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1)
Gemene faktor
Verskil van vierkante
Verskil van vierkante
Verskil van vierkante
= 2(x 1)(x + 1)(x 2 + 1)( x 4 + 1)( x 8 + 1) Verskil van vierkante
1.2 2 x 2 11x + 12
= (2x 3)(x – 4) Drieterm
1.3 14 x 2 y 4 21x y 3 + 7 x 4 y 2
= 7x y 2(2x y 2 3y + x 3)
1.4 3 x 3 18 x 2 2x + 12
Gemene faktor
1.5 8 x 3 4 x 2 27 y 3 6xy 9 y 2
= (8 x 3 27 y 3) + (−4 x 2 6xy 9 y 2)
Groepering
= (2x − 3y)(4 x 2 + 6xy + 9 y 2) − (4 x 2 + 6xy + 9 y 2) Verskil van derdemagte
= (4 x 2 + 6xy + 9 y 2)(2x 3y 1) Gemene faktor: (4 x 2 + 6xy + 9 y 2)
1.6 9 − x 2 + 10xy − 25 y 2
= 9 + ( x 2 + 10xy 25 y 2)
Sample
= (3 x 3 18 x 2) + (−2x + 12) Groepering
= 3 x 2(x − 6) − 2(x − 6)
= (x 6)(3 x 2 2)
Groepering vir ’n drieterm
= 9 (x 2 10xy + 25 y 2) Verander teken om makliker te faktoriseer
= 9 (x 5y)(x 5y) Faktoriseer drieterm
= 9 (x 5y) 2
= [3 (x 5y)][3 + (x 5y)] Verskil van vierkante
= [3 x + 5y][3 + x 5y] Verwyder binneste hakies
1.7 x 2(y 3) + 7x (3 y) 10(3 y)
= x 2(y 3) 7x(y 3) + 10(y 3) Verander tekens om gemene faktor (y − 3) te kry
= (y − 3)(x 2 − 7x + 10)
Gemene faktor: (y − 3)
= (y 3)(x 2)(x 5) Faktoriseer drieterm
1.8 (x + y) (x y) 2(x + y)
= (x + y)[1 (x y) 2]
Gemene faktor: (x + y)
= (x + y)[1 (x y)][1 + (x y)] Verskil van vierkante
= (x + y)[1 − x + y][1 + x − y] Verwyder binneste hakies
1.9 (x y) 2 + (y x)
= (x − y) 2 − (x − y) Verander teken by tweede term
= (x y)(x y 1)
1.10 x 3 + 2 x 2 2x 4
Gemene faktore
Gemene faktor: (x − 6)
Gemene faktor: (x − y)
= (x 3 + 2 x 2) + ( 2x 4) Groepering
= x 2(x + 2) 2(x + 2)
= (x + 2)(x 2 − 2)
Gemene faktore
Gemene faktor: (x + 2)
2.1 x 2 4x + 4 = 1
x 2 4x + 3 = 0
Standaardvorm van kwadratiese vergelyking
(x 3)(x 1) = 0 Faktoriseer drieterm
x = 3 OF x = 1
2.2 x 2 2(x + 5) = 3x 4
x 2 − 2x − 10 + 3x + 4 = 0
x 2 + x 6 = 0
Verwyder hakies
Standaardvorm van kwadratiese vergelyking
(x + 3)(x 2) = 0 Faktoriseer drieterm
x = − 3 OF x = 2
2.3 8 x 2 22x + 15 = 0
(2x − 3)(4x − 5) = 0 Faktoriseer drieterm
x = 3 2 OF x = 5 4
2.4 16 − (x − 2) 2 = 0
16 (x 2 4x + 4) = 0
16 x 2 + 4x 4 = 0
− x 2 + 4x + 12 = 0
(x 2 4x 12) = 0
x 2 4x 12 = 0
(x 6)(x + 2) = 0
x = 6 OF x = − 2
Alternatiewe metode
16 (x 2) 2 = 0
2.5 6 x 2 x = 2
6 x 2 x 2 = 0 Standaardvorm van kwadratiese vergelyking (3x 2)(2x + 1) = 0 Faktoriseer drieterm x = 2 3 OF x = − 1 2
2.6 12 x 2 + 20x 8 = 0
3 x 2 + 5x − 2 = 0
Sample
[4 (x 2)][4 + (x 2)] = 0 Verskil van vierkante
(4 x + 2)(4 + x 2) = 0
Verwyder binneste hakies
(6 − x)(2 + x) = 0 Vereenvoudig
x = 6 OF x = 2
Deel deur gemene faktor 4
(3x − 1)(x + 2) = 0 Faktoriseer drieterm
x = 1 3 OF x = − 2
2.7 (x − 6)(x + 1) = 30 Kan nie nulproduk hier toepas nie, want regterkant ≠ 0 x 2 − 5x − 6 − 30 = 0
Verwyder hakies
x 2 − 5x − 36 = 0 Standaardvorm van kwadratiese vergelyking
(x 9)(x + 4) = 0
x = 9 OF x = 4
2.8 35 x 2 19x + 2 = 0
(7x 1)(5x 2) = 0
x = 1 7 OF x = 2 5
Faktoriseer drieterm
Faktoriseer drieterm
2.9 2 x 3 + 2 x 2 14x = 0 2x(x 2 + x 7) = 0 2x = 0 OF x = b ± √ b 2 − 4ac 2a Gebruik kwadratiese formule
2x = 0 OF x = 1 + √ (1) 2 − 4(1)( 7) 2(1) OF x = 1 √ (1) 2 − 4(1)(−7) 2(1)
x = 0 OF x = 2,19 OF x = 3,19
2.10 x 2(3x 2) x(3x 2) 18x + 12 = 0 x 2(3x 2) x(3x 2) 6(3x 2) = 0 Gemene faktor: 6
(3x 2)(x 2 x 6) = 0 Gemene faktor: (3x − 2)
(3x 2)(x 3)(x + 2) = 0
x = 2 3 OF x = 3 OF x = 2
Faktoriseer drieterm
2.11 2 x 3 4 x 2 + 9x = 0
x(2 x 2 4x + 9) = 0
Gemene faktor
x = 0 OF 2 x 2 − 4x + 9 = 0 Drieterm kan nie gefaktoriseer word nie
x = 0 OF x = (− 4) ± √ ( 4) 2 − 4 × 2 × 9 2(2)
x = 0 OF x = 4 ± √ 16 − 72 4
x = 0 OF x = 4 ± √ 54 4
Gebruik kwadratiese formule
x = 0 Geen verdere reële oplossing nie
Enigste reële oplossing: x = 0
2.12 x 3 5 x 2 12x = 0
x(x 2 5x 12) = 0
Gemene faktor: x
x = 0 OF x 2 − 5x − 12 = 0 Drieterm kan nie gefaktoriseer word nie
x = 0 OF x = (−5) ± √ ( 5) 2 − 4 × 1 × (−12) 2 × 1 Gebruik kwadratiese formule
x = 0 OF x = 5 ± √ 73 2
x = 0 OF x = 6,77 of x = − 1,77 2.13 2 3 x 2 + 8 3 x + 12 = 0
2 x 2 + 8x + 36 = 0 × KGV van noemers: 3 x 2 + 4x + 18 = 0 ÷ Gemene faktor: 2 x = 4 ± √ 16 − 4 × 1 × 18 2 Drieterm kan nie gefaktoriseer word nie = 4 ± √ 16 − 72 2 = 4 ± √ 56 2
Geen reële oplossing nie (wortels is niereëel). 2.14 4x + 1,5 =
+ 3 2 = x 2 Skryf 1,5 as ’n gewone breuk 8x + 3 = − 2 x 2 × KGV van noemers: 2 2 x 2 + 8x + 3 = 0 Standaardvorm van kwadratiese vergelyking x = 8 ± √ 64 − 4 × 2 × 3 4 Gebruik kwadratiese formule x = 8 ± √ 40 4 x = 0,42 OF x = 3,58
20
= 30 × KGV van noemers: 5x 2 x 2 − 20x − 30 = 0 Standaardvorm van kwadratiese vergelyking x 2 10x 15 = 0 ÷ gemene faktor: 2 x = 10 ± √ 100 − 4 × 1 × −15 2 Gebruik kwadratiese formule x = 11,32 OF x = 1,32 2.16 4 x(x − 2) = 2 x − 2 1 1 − x 4 x(x − 2) = 2 x − 2 + 1 x − 1 Haal uit by laaste term en verander teken 4(x 1) = 2x(x 1) + x(x 2) × KGV van noemers: x(x − 2)(x − 1) 4x 4 = 2 x 2 2x + x 2 2x Maal hakies uit 0 = 3 x 2 − 8x + 4 Standaardvorm van kwadratiese vergelyking
0 = (3x 2)(x 2) Faktoriseer drieterm
x = 2 3 OF x = 2
Toets wortels: x ≠ 2, want dit lei tot deling deur nul
Oplossing: x = 2 3 3.1 g(x) = 2 x 2 − 4x + 3
g( 1) = 2 ( 1) 2 4( 1) + 3 Vervang x met 1 = 2 + 4 + 3 = 9 Sample
3.2 g(x) = 2 x 2 4x + 3
g( 1 2 ) = 2 ( 1 2 ) 2 4( 1 2 ) + 3 Vervang x met 1 2 = 1 2 2 + 3 = 3 2
3.3 2 x 2 − 4x + 3 = 19 Stel g(x) = 19
2 x 2 − 4x − 16 = 0
Standaardvorm van kwadratiese vergelyking x 2 − 2x − 8 = 0 ÷ 2
(x 4)(x + 2) = 0 Faktoriseer x = 4 OF x = 2 4.1 g(x) = x 3 + 2 x 2 4x + 3
g(2) = 8 + 8 8 + 3 Stel x = 2 = 11 4.2 g( 3) = 27 + 18 + 12 + 3 Stel x = 3 = 6
1. DIE RESSTELLING
In hierdie subtema gaan jy meer te wete kom oor die resstelling. Soos die naam aandui, gaan die resstelling oor die res wat oorbly wanneer ’n getal of uitdrukking deur iets gedeel word.
As ons ’n getal soos 21 deur 5 deel, kry ons ’n res, want 5 is nie ’n faktor van 21 nie. Ons kan dit so skryf: 21 5 = 4 res 1, of 21 = 5 × 4 + 1, waar
• 5 die deler is,
• 4 die kwosiënt en
• 1 die res.
∴ 21 = deler × kwosiënt + res
Dieselfde geld wanneer ons ’n algebraïese uitdrukking (polinoom) deur ’n ander algebraïese uitdrukking deel, byvoorbeeld wanneer x 3 + 2 x 2 3x + 6
gedeel word deur x 1. Ons kan dit skryf as:
= 0 + res = res Sample
x 3 + 2 x 2 3x + 6 = (x 1)(x 2 + 3x) + 6, waar x 1 die deler is, x 2 + 3x die kwosiënt en 6 die res.
In die algemeen:
f(x) = deler × kwosiënt + res, waar f(x) ’n algebraïese uitdrukking (polinoom) in terme van x is.
Ons kan die resstelling soos volg formuleer:
As f(x) gedeel word deur x a totdat die res geen x bevat nie, is die res f(a).
As ons die resstelling op ons voorbeeld hierbo toepas:
As f(x) = x 3 + 2 x 2 3x + 6, en f(x) word gedeel deur x 1 totdat die res geen x bevat nie, is die res f(1).
Kom ons toets dit: f(x) = x 3 + 2 x 2 − 3x + 6 ∴ f(1) = (1) 3 + 2 (1) 2 3(1) + 6 = 1 + 2 3 + 6 = 6
Bewys van die resstelling
*Nie vir eksamendoeleindes nie
Enige polinoom f(x) kan geskryf word as f(x) = (x a) × kwosiënt + res
Hieruit volg dat f(a) = (a − a) × kwosiënt + res
= 0 × kwosiënt + res
Opsomming
• As f(x) gedeel word deur x a, is die res f(a).
Hoe kry ons hierdie a? Ons stel x a = 0 en los dan op vir x.
As f(x) = 2 x 3 + 5 x 2 x + 3 byvoorbeeld gedeel word deur x + 3, stel
ons x + 3 = 0 en los op vir x. Dit gee x = − 3. Die res is dus f(− 3).
• Net so, as f(x) gedeel word deur ax b, stel ons ax b = 0 en los op vir
x. Dit gee x = b a . Die res is dan f( b a ).
As f(x) = 2 x 3 + 5 x 2 x + 3 byvoorbeeld gedeel word deur 2x + 3, stel
ons 2x + 3 = 0 en los op vir x. Dit gee x = − 3 2 . Die res is dus f(− 3 2 ).
Uitgewerkte voorbeeld 1
Gebruik die resstelling om die res te bepaal as f(x) = x 2 + x + 2 deur x + 2 gedeel word.
Oplossing
Stel x + 2 = 0
∴ x = 2 f(−2) = (− 2) 2 + (− 2) + 2 = 4 2 + 2 = 4
∴ As f(x) deur x + 2 gedeel word, is die res 4.
Uitgewerkte voorbeeld 2
Sample
As f(x) = x 3 x 2 + 4x + b deur x 1 gedeel word, is die res 5. Bepaal die waarde van b.
Oplossing
Stel x 1 = 0
∴ x = 1
Res = f(1) = (1) 3 − (1) 2 + 4(1) + b = 5 1 1 + 4 + b = 5 4 + b = 5 b = 1 ∴ Die waarde van b = 1.
Uitgewerkte voorbeeld 3
As f(x) = 4 x 3 + a x 2 + bx − 1 deur x − 1 gedeel word, is die res 6, en as f(x) deur x + 2 gedeel word, is die res 27. Bepaal die waardes van a en b.
Oplossing
Res = f(1) = 4 (1) 3 + a (1) 2 + b(1) − 1 = 6 4 + a + b 1 = 6 b = 3 − a ①
Res = f(−2) = 4 ( 2) 3 + a ( 2) 2 + b( 2) 1 = 27 32 + 4a 2b 1 = 27 4a 2b = 6 b = 2a 3 ②
Stel ① = ②: 3 a = 2a 3 6 = 3a a = 2
Stel a = 2 in ①: b = 3 2 b = 1
Oefening 1: Die resstelling
1. Gebruik die resstelling om die res te bepaal as f(x) = 4x 2 + 14x + 18 deur x + 3 gedeel word.
2. Gebruik die resstelling om die res te bepaal as g(x) = 2 x 2 + 13x + 4 deur 2x + 3 gedeel word.
3. Gebruik die resstelling om die res te bepaal as h(x) = 8 x 2 43x + 24 deur x − 5 gedeel word.
4. Wat sal die res wees as f(x) = 2 x 3 x 2 7x 2 deur 2x 3 gedeel word?
5. Gegee: f(x) = 3 x 3 8 x 2 13x 2. Bepaal die res as f(x) deur 3x + 5 gedeel word.
6. Wat sal die res wees as f(x) = 4 x 3 21 x 2 + 32x 8 deur 4x 5 gedeel word?
7. Bepaal die res as g(x) = 6 x 3 31 x 2 10x + 94 deur 3x 5 gedeel word.
8. Watter een van die delers x + 5, x 2 of x + 4 sal ’n res van 25 gee as dit in f(x) = x 2 2x + 1 gedeel word?
9. Bepaal die res as g(x) = 9 x 3 9 x 2 x + 1 deur 2x + 1 gedeel word.
10. Bepaal die res in terme van a as f(x) = a x 3 + 3 a 2 x 2 4ax + 5 deur 2x a gedeel word.
11. As h(x) = 4 x 3 + 3 x 2 + mx + 2 deur 2x + 1 gedeel word, is die res 4. Bepaal die waarde van m.
12. As f(x) = x 2 4x + 5 deur x p gedeel word, is die res 2. Bepaal die waarde(s) van p.
13. Bepaal die waarde van p as f(2) = 0 en f(x) = x 2 + 8p + 12.
14. As f(x) = a x 3 b x 2 + 4x + 5 deur x 1 gedeel word, is die res 11 en as f(x) deur 2x + 1 gedeel word, is die res 2. Bepaal die waardes van a en b.
15. As g(x) = x 3 + ax + b deur x + 3 gedeel word, is die res 44. As g(x) deur x − 2 gedeel word, is die res 6. Bepaal die waardes van a en b.
16. As g(x) = x 3 + p x 2 + 3 deur x + 2 gedeel word, is die res q. Bepaal p in terme van q.
17. Wat is die res as g(x) = 2 x 3 + 7 x 2 m(x + 3) deur x m gedeel word?
18. As 3 x 3 m x 2 6x + m en 5 x 3 m x 2 mx onderskeidelik deur x 1 gedeel word, is die res presies dieselfde. Bepaal die waarde van m.
2. DIE FAKTORSTELLING
Die faktorstelling is baie nuttig om onder andere derdegraadse uitdrukkings (polinome) te faktoriseer. Die faktorstelling is ’n spesiale geval van die resstelling en lui soos volg:
As f(x) deur x − a gedeel word en die res is 0, dan is x − a ’n faktor van f(x).
Anders gestel, as f(a) = 0, dan is x a ’n faktor.
LET OP
Die faktorstelling help ons net om eerstegraadse (lineêre) faktore (d.w.s. van die vorm x a of ax b) te bepaal.
Faktorisering van derdegraadse uitdrukkings
Derdegraadse uitdrukkings kan voorgestel word as a x 3 + b x 2 + cx + d. Sommige derdegraadse uitdrukkings kan met groepering gefaktoriseer word, byvoorbeeld:
x 3 − x 2 − x + 1
= x 2(x 1) (x 1)
= (x 1)( x 2 1)
= (x 1)(x 1)(x + 1)
As groepering nie moontlik is nie, moet ons die faktorstelling gebruik om ’n faktor te bepaal.
• As ons ’n faktor x a soek, moet f(a) = 0. Die res moet dus nul wees.
• Om byvoorbeeld te bepaal of x 1 ’n faktor van f(x)is, stel ons vas of f(1) = 0 . Indien wel, is x 1 ’n faktor van f(x) . Indien nie, hou ons aan om ’n faktor te soek deur x + 1, x 2, x + 2, ens. te toets deur vas te stel of f(−1) = 0 , f(2) = 0 , f(−2) = 0 , ens. Hou dus aan met soek totdat die res nul is.
• Om byvoorbeeld te bepaal of 2x 1 ’n faktor van f(x) is, stel ons vas of f( 1 2 ) = 0. Indien wel, is 2x 1 ’n faktor van f(x).
• As ons ’n faktor gekry het, kan ons begin faktoriseer.
Ons verduidelik die faktorisering van derdegraadse uitdrukkings (polinome) met behulp van die faktorstelling aan die hand van die volgende uitgewerkte voorbeelde. Daar is vier stappe wat onderskei kan word.
Uitgewerkte voorbeeld 4
Faktoriseer f(x) = x 3 + 2 x 2 5x 6 volledig.
Oplossing
Stap 1: Watter moontlike faktore kan ons ondersoek?
• Dit word bepaal deur die faktore van die koëffisiënt van x 3 (d.w.s. die eerste term) en die konstante term (d.w.s. die laaste term).
• In hierdie geval is die koëffisiënt van x 3 slegs 1, d.w.s. die enigste faktor is 1.
• Die konstante term is 6, d.w.s. die faktore is 1, 2, 3 en 6.
• Moontlike faktore is dus (die maklikstes eerste):
◦ x 1 Ons gaan dus toets of f(1) = 0.
◦ x 3 Ons gaan dus toets of f(3) = 0.
◦ x + 3 Ons gaan dus toets of f( 3) = 0.
◦ x 6 Ons gaan dus toets of f(6) = 0.
◦ x + 6 Ons gaan dus toets of f(− 6) = 0.
Sample
◦ x + 1 Ons gaan dus toets of f( 1) = 0.
◦ x − 2 Ons gaan dus toets of f(2) = 0.
◦ x + 2 Ons gaan dus toets of f(− 2) = 0.
Gewoonlik is dit darem nie nodig om deur die hele lys te werk voordat jy ’n faktor kry nie!
Stap 2: Toets vir ’n faktor.
WENK
As ons x met 1 vervang, d.w.s. as ons f(1) bepaal, is die waarde van elke term van f(1) presies dieselfde as die koëffisiënt van elke term van f(x):
f(x) = x 3 + 2 x 2 5x 6 en f(1) = 1 + 2 5 6
• Is x 1 ’n faktor?
Stel x − 1 = 0. Dit gee x = 1.
Bepaal f(1): f(1) = (1) 3 +
(1)
∴ x 1 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x + 1 ’n faktor?
Stel x + 1 = 0. Dit gee x = 1.
Bepaal f(− 1): f(− 1) = ( 1) 3 + 2 ( 1) 2 5( 1) 6 = 1 + 2 + 5 6 = 0
∴ x + 1 is ’n faktor, want die res is nul.
Nou faktoriseer ons verder om die ander faktore te bepaal.
Ons weet reeds dat f(x) = (x + 1)(kwosiënt).
Stap 3: Bepaal die kwosiënt (wat ’n drieterm a x 2 + bx + c is) as f(x) deur x + 1 gedeel word. Daar is verskeie maniere om dit te doen. In hierdie boek gebruik ons die sogenaamde inspeksiemetode. Ons wys dit hier langsaan.
f(x) = (x + 1)(drieterm)
Om die eerste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee x in die eerste hakie gemaal moet word om x 3 te kry:
x 3 + 2 x 2 5x 6 = (x + 1)(x 2 + … + … ) x 3
∴ x × x 2 = x 3
Om die laaste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee + 1 gemaal moet word om 6 te kry:
x 3 + 2 x 2 5x 6 = (x + 1)( x 2 + … 6) − 6
∴ 1 × ) 6( = 6
Om die middelterm van die drieterm te kry:
Bepaal wat nodig is om 2 x 2 te gee (in x 3 + 2 x 2 5x 6) wanneer die hakies uitgemaal en gelyksoortige terme opgetel word.
x 3 + 2 x 2 5x 6 = (x + 1)( x 2 + … 6) x 2
Daar is reeds ’n x 2 wanneer 1 uitgemaal word, maar ons benodig 2 x 2. Ons benodig dus nog ’n x 2. Die ander x 2 wat benodig word, kan verkry word deur ’n x as die middelterm van die drieterm by te voeg : x 2
x 3 + 2 x 2 − 5x − 6 = (x + 1) ( x 2 + x − 6) x 2 x 2 + x 2 = 2 x 2
Ons toets nou of die derde term van f)x( korrek is: Die derde term van f)x( is − 5x. As ons uitmaal: 6x
x 3 + 2 x 2 5x 6 = ( x + 1)( x 2 + x 6) x − 6x + x = − 5x, wat korrek is.
Uitgewerkte voorbeeld 5
Sample
Stap 4: Faktoriseer nou die drieterm indien moontlik:
x 3 + 2 x 2 5x 6 = (x + 1)(x + 3)(x 2)
Faktoriseer die derdegraadse uitdrukking x 3 5x 2 volledig.
Oplossing
Stel f(x) = x 3 − 5x − 2.
Stap 1: Watter moontlike faktore kan ons ondersoek?
Omdat die koëffisiënt van x 3 slegs 1 is en die konstante term 2, is slegs die volgende faktore moontlik:
• Vir x 3 is 1 die enigste faktor, en die faktore van 2 is 1 en 2.
• Dus is moontlike faktore:
◦ x 1 Ons gaan dus toets of f(1) = 0.
◦ x + 1 Ons gaan dus toets of f(− 1) = 0.
◦ x − 2 Ons gaan dus toets of f(2) = 0.
◦ x + 2 Ons gaan dus toets of f( 2) = 0.
Stap 2: Toets vir ’n faktor.
• Is x 1 ’n faktor?
Bepaal f(1): f(1) = 1 5 2 = 6 ≠ 0
∴ x − 1 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x + 1 ’n faktor?
Stel x + 1 = 0. Dit gee x = − 1.
Bepaal f(−1): f(−1) = 2 ≠ 0
∴ x + 1 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x + 2 ’n faktor?
Stel x + 2 = 0. Dit gee x = − 2.
Bepaal f(−2): f(−2) = 0
∴ x + 2 is ’n faktor van f(x).
∴ f(x) = (x + 2)(drieterm)
∴ x 3 5x 2 = (x + 2)(a x 2 + bx + c)
Stap 3: Bepaal die kwosiënt ( ’n drieterm a x 2 + bx + c) as x 3 5x 2 deur x + 2 gedeel word.
Om die eerste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee x gemaal moet word om x 3 te kry.
f(x) = (x + 2)( x 2 + … + … ) x 3
∴ x × x 2 = x 3
Om die laaste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee 2 gemaal moet word om 2 te kry.
f(x) = (x + 2)( x 2 + … 1) 2
∴ 2 × − 1 = − 2
Om die middelterm van die drieterm te kry:
f(x) = (x + 2)( x 2 + … 6)
2 x 2
Daar is reeds 2 x 2 wanneer die hakies uitgemaal sou word, maar daar is geen kwadrate in die vereenvoudigde uitdrukking van f(x) nie. Die 2 x 2 moet dus uitgekanselleer word deur x in die eerste hakie met 2x in die drieterm te maal.
2 x 2 f(x) = (x + 2)(x 2 2x 1)
2 x 2
Die 2 x 2 en − 2 x 2 sal mekaar uitkanselleer. ∴ f(x) = (x + 2)( x 2 − 2x − 1)
Maal uit om te toets of hierdie twee faktore korrek is.
Tema 7: Res- en faktorstelling
Uitgewerkte voorbeeld 6
Faktoriseer 6 x 3 25 x 2 + 3x + 4 volledig.
Sample
Stap 4: Die drieterm kan nie verder gefaktoriseer word nie.
Oplossing
Stel f(x) = 6 x 3 25 x 2 + 3x + 4.
1. Watter moontlike faktore kan ons ondersoek?
Die koëffisiënt van x 3 is 6 en die konstante term is 4. Die volgende faktore is dus moontlik:
• Faktore van 6: 1, 2, 3 en 6; faktore van 4: 1, 2 en 4. Die volgende is dus moontlike faktore van f(x) = 6 x 3 25 x 2 + 3x + 4:
◦ x − 1 2x − 1 3x − 1 6x − 1
◦ x + 1 2x + 1 3x + 1 6x + 1
◦ x 2 2x 2 3x 2 6x 2
◦ x + 2 2x + 2 3x + 2 6x + 2
◦ x 4 2x 4 3x 4 6x 4
◦ x + 4 2x + 4 3x + 4 6x + 4
2. Toets vir faktore:
Begin by die maklikste faktor (d.w.s. die eerste kolom hierbo):
• Is x 1 ’n faktor?
Bepaal f(1): f(1) = 12 ≠ 0
∴ x 1 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x + 1 ’n faktor?
Stel x + 1 = 0. Dit gee x = 1.
Bepaal f(−1): f(−1) = 30 ≠ 0
∴ x + 1 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x + 2 ’n faktor?
Stel x + 2 = 0. Dit gee x = 2.
Bepaal f(−2): f(−2) = − 150 ≠ 0
∴ x + 2 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x 2 ’n faktor?
Stel x 2 = 0. Dit gee x = 2.
Bepaal f(2): f(2) = 42 ≠ 0
∴ x 2 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x 3 ’n faktor?
Stel x 3 = 0. Dit gee x = 3.
Bepaal f(3): f(3) = 50 ≠ 0
∴ x 3 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x + 3 ’n faktor?
Stel x + 3 = 0. Dit gee x = − 3.
Bepaal f(−3): f(−3) = − 392 ≠ 0
∴ x + 3 is nie ’n faktor nie, want die res is nie nul nie.
• Is x 4 ’n faktor?
Stel x 4 = 0. Dit gee x = 4.
Bepaal f(4): f(4) = 0
∴ x 4 is ’n faktor, want die res is nul.
∴ f(x) = (x 4)(drieterm)
∴ 6 x 3 25 x 2 + 3x + 4 = (x 4)(a x 2 + bx + c)
3. Bepaal die kwosiënt ( ’n drieterm a x 2 + bx + c) as 6 x 3 25 x 2 + 3x + 4 deur x − 4 gedeel word.
Om die eerste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee x gemaal moet word om 6 x 3 te kry.
f(x) = (x 4)(6 x 2 + … + … ) 6 x 3
∴ x × 6 x 2 = 6 x 3
Om die middelterm van die drieterm te kry:
f(x) = (x 4)(6 x 2 + … 1) − 24 x 2
Sample
Om die laaste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee 4 gemaal moet word om + 4 te kry.
f(x) = (x 4)(6 x 2 + … 1) 4
∴ 4 × 1 = 4
Daar is reeds 24 x 2 wanneer die hakies uitgemaal sou word, maar ons benodig 25 x 2. Ons kort dus nog ’n x 2 . x 2
f(x) = (x 4 )(6 x 2 x 1) 24 x 2
Die som van x 2 en 24 x 2 sal 25 x 2 gee, wat ons nodig het. Maal uit om te toets of hierdie twee faktore korrek is.
4. Die drieterm kan nie verder gefaktoriseer word nie.
Uitgewerkte voorbeeld 7
Faktoriseer 12 x 3 − 8 x 2 − 3x + 2 volledig as 3x − 2 ’n faktor is.
Oplossing
Stel f(x) = 12 x 3 8 x 2 3x + 2.
Ons weet reeds dat 3x 2 ’n faktor is; dus kan ons dadelik begin met faktorisering sonder om eers ’n faktor te soek. Ons begin dus dadelik by stap 3.
f(x) = 12 x 3 8 x 2 3x + 2 = (3x – 2)(kwosiënt)
Om die eerste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee 3x gemaal moet word om 12 x 3 te kry.
f(x) = (3x 2)(4 x 2 + … + ...) 12 x 3
∴ 3x × 4 x 2 = 12 x 3
Om die laaste term van die drieterm te kry: Bepaal waarmee 2 gemaal moet word om + 2 te kry.
f(x) = (3x 2)(4 x 2 + … 1 ) 2 ∴ − 2 × − 1 = 2
Om die middelterm van die drieterm te kry:
f(x) = (3x − 2)(4 x 2 + … − 1) − 8 x 2
Daar is reeds 8 x 2 wanneer ons die hakies sou uitmaal. Ons benodig net 8 x 2; dus hoef ons niks by die x-gedeelte van die drieterm in te voeg nie.
8 x 2
f(x) = (3x 2)(4x2 – 1)
f(x) = (3x – 2)(2x + 1)(2x – 1)
Maal uit om te toets of hierdie drie faktore korrek is.
Opsomming: Hoe om ’n derdegraadse uitdrukking
f(x) = a x 3 + b x 2 + cx + d met die faktorstelling te faktoriseer
Stap 1: Identifiseer moontlike faktore. Dit sal afhang van die koëffisiënt van die eerste term (a x 3) en die konstante term (d).
Stap 2: Gebruik die faktorstelling om vir ’n faktor te toets.
x − a is byvoorbeeld ’n faktor as f(a) = 0.
Stap 3: Bepaal die terme van die kwosiënt, wat gewoonlik ’n drieterm is.
Stap 4: Faktoriseer die drieterm indien moontlik.
Tema 7: Res- en faktorstelling
Oefening 2: Faktorisering van derdegraadse uitdrukkings met behulp van die faktorstelling
1. Faktoriseer die volgende uitdrukkings volledig. Probeer eers groepering en gebruik dan die faktorstelling indien nodig:
Sample
(x) = 6 x 3 19 x 2 + 18x 5 1.7 f(x) = 4(x 3 − 1) − x(12x + 15)
f(x) = x 3 2 x 2 5x + 6
f(x) = x 3 5x 2 1.10 f(x) = 2 x 3 + 18 − x 2 − 15x
2. Is 4x 5 ’n faktor van f(x) = 4 x 3 21 x 2 + 32x 8? Indien nie, gee ’n rede.
3. Is x + 1, x 1 en/of x + 4 ’n faktor van f(x) = x 3 2x + 1?
4. Wat moet by g(x) = 6 x 3 − 31 x 2 − 10x + 94 getel word sodat 3x − 5 ’n faktor sal wees?
5. Bepaal a as x 1 ’n faktor van a x 3 5x + 4 is.
6. Faktoriseer f(x) = x 2 15x + 2 x 3 7 volledig.
7. Bepaal die waarde van b as f( 1 3 ) = 0 en f(x) = 9 x 3 + 3 x 2 bx + 2.
8. Faktoriseer g(x) = k x 3 11 x 2 7x + 6 volledig as g(6) = 0. (Wenk: Bepaal eers die waarde van k.)
9. As x + 2 ’n faktor van g(x) = 2 x 3 + 3 x 2 5x + p is, bepaal die waarde van p. Faktoriseer dan g(x) volledig.
10. As x + 1 ’n faktor van x 3 3x b is, bepaal die waarde van b. Faktoriseer dan die uitdrukking f(x) = x 3(x 4) 3x(x 4) b(x 4) volledig.
11. As x + 4 ’n gemene faktor van x 2 + ax + b en x 2 + cx + b is, bewys dat a = c.
12. As 2 x 2 13x + 21 ’n faktor van a x 3 9 x 2 bx + 42 is, bepaal die waardes van a en b, asook die derde faktor.
13. As f(x) = x 3 a x 2 + bx + 6 presies deelbaar is deur x 2 5x + 6, bepaal die waardes van a en b en faktoriseer dan f(x) volledig.
14. As x 4 en 3x 2 albei faktore van a x 3 37 x 2 + 58x b is, bepaal die waardes van a en b.
15. As f( 1 5 ) = f(–1 5 ) = 0 en f(x) = 25 x 3 − a x 2 + bx + 3, bepaal die waardes van a en b. 5x 1 en 5x + 1 is albei faktore.
16. As x − 3 ’n faktor van 2 x 3 − a x 2 − bx − a is, bepaal b in terme van a.
17. Gegee: g(x) = 2 x 3 − a x 2 − 16x + b
17.1 As g(x) presies deelbaar is deur x 2 + 2x 3, bepaal die waardes van a en b.
17.2 Faktoriseer g(x) volledig.
18. Bewys dat a b ’n faktor van 2 a 2(a c) + 2 b 2(
3. OPLOS VAN DERDEGRAADSE VERGELYKINGS MET BEHULP VAN DIE FAKTORSTELLING
is.
Stappe om ’n derdegraadse vergelyking op te los:
Stap 1: Skryf die vergelyking in die standaardvorm: a x 3 + b x 2 + cx + d = 0. (Let op die dalende magte van x.)
Inleiding
Sample
In hierdie subtema gaan ons die faktorstelling toepas om derdegraadse vergelykings van die vorm a x 3 + b x 2 + cx + d = 0 op te los. Jy gaan dit nodig kry in tema 8, waar jy gaan leer hoe om sketsgrafieke van derdegraadse funksies van die vorm y = a x 3 + b x 2 + cx + d te teken. Om die x-afsnitte te bepaal, stel ons y = 0, wat dan lei tot ’n derdegraadse vergelyking.
Stap 2: Faktoriseer die linkerkant. Probeer eers groepering.
Stap 3: As groepering nie moontlik is nie, gebruik die faktorstelling en bepaal eers ’n lineêre faktor.
Stap 4: Bepaal die drietermkwosiënt. (Dit is in subtema 2 behandel.)
Stap 5: Faktoriseer die drieterm indien moontlik.
Stap 6: Los die vergelyking op deur die nulprodukbeginsel toe te pas (as a × b = 0, dan is a = 0 of b = 0).
• As die drieterm nie gefaktoriseer kan word nie, gebruik die kwadratiese formule
• Daar sal drie wortels wees; van die wortels kan dieselfde waarde hê.
• Dit is ook moontlik dat die oplossing wat jy met die kwadratiese formule bepaal, niereëel is. Dan is daar net een reële wortel.
Uitgewerkte voorbeeld 8
Los op vir x: 6 x 3 23 x 2 6x + 8 = 0
Oplossing
• Die vergelyking is reeds in standaardvorm.
• Bepaal ’n faktor:
f(4) = 0
∴ x 4 is ’n faktor van 6 x 3 23 x 2 6x + 8
∴ (x 4)(drieterm) = 0
• Bepaal die drietermkwosiënt:
(x 4)(6 x 2 + … 2) = 0
Bepaal die middelterm van die drieterm:
4 × 6 x 2 = 24 2 ∴ 24 x 2 + x 2 = 23 x 2
Die middelterm is dus + x.
∴ (x 4)(6 x 2 + x 2) = 0
• Faktoriseer die drieterm:
∴ (x 4)(2x 1)(3x + 2) = 0
• Los die vergelyking op deur die nulprodukbeginsel toe te pas:
Stel elke faktor gelyk aan nul:
∴ x 4 = 0 OF 2x 1 = 0 OF 3x + 2 = 0
∴ x = 4 OF x = 1 2 OF x = 2 3 Uitgewerkte voorbeeld 9
Los op vir x: 8 x 3 + 4 x 2 + 6x 5 = 0
Oplossing
• Die vergelyking is reeds in standaardvorm.
• Bepaal ’n faktor:
f( 1 2 ) = 0
∴ 2x 1 is ’n faktor van 8 x 3 + 4 x 2 + 6x 5
∴ (2x 1)(drieterm) = 0
Bepaal die drietermkwosiënt:
∴ (2x − 1)(4 x 2 + … + 5 ) = 0
Bepaal die middelterm van die drieterm:
1 × 4 x 2 = 4x 2 ∴ 4 x 2 + 8 x
• Faktoriseer die drieterm: Die drieterm het nie faktore nie; ons moet dus die kwadratiese formule gebruik.
• Los die vergelyking op deur die nulprodukbeginsel toe te pas: Stel elke faktor gelyk aan nul:
Sample
Die middelterm is dus − 4 x 2 + 2x × 4x = 4 x 2
∴ (2x 1)(4 x 2 + 4x + 5) = 0
Geen oplossing nie (die wortels is niereëel) x = 1 2 is dus die enigste reële wortel van 8 x 3 +
Opsomming: Hoe om ’n derdegraadse vergelyking op te los
Stap 1: Skryf die vergelyking in die standaardvorm
(Let op die dalende magte van x.)
Stap 2: Faktoriseer die linkerkant. Probeer eers groepering.
Stap 3: As groepering nie moontlik is nie, gebruik die faktorstelling en bepaal eers ’n lineêre faktor.
Stap 4: Bepaal die drietermkwosiënt.
Stap 5: Faktoriseer die drieterm indien moontlik.
Stap 6: Los die vergelyking op deur die nulprodukbeginsel toe te pas (as a × b = 0, dan is a = 0 of b = 0).
As die drieterm nie gefaktoriseer kan word nie, gebruik die kwadratiese formule x =
Wenk: Bereken eers b 2 4ac om vas te stel of die kwadratiese vergelyking reële wortels sal hê.
Oefening 3: Oplossing van derdegraadse vergelykings
1. Los elk van die volgende vergelykings op (korrek tot twee desimale plekke waar toepaslik). 1.1 4 x 3 − 8 x 2 − x + 2 = 0
8. As f(x) = h x 3 x 2 kx + 4 deur x 3 gedeel word, is die res 25. Verder is x 2 ’n faktor van f(x). Bepaal die waardes van h en k. Los dan op vir x as f(x) = 0.
9. Bewys dat f(x) = x 3 5 x 2 12x 18 = 0 slegs een reële wortel het.
10. Gegee: g(x) = 2 x 3 a x 2 16x + b
10.1 As g(x) presies deelbaar is deur x 2 + 2x 3, bepaal die waardes van a en b.
10.2 Los vervolgens op vir x as g(x) = 0.
x 3 3(x 6) 4 x 2 = 0
2 x 3 5 x 2 x + 2 = 0 1.7 5 x 3 + 4 x 2 31x + 6 = 0 1.8 2 x 3 3 x 2 8x 3 = 0
1.9 6 x 3 5 x 2 17x 6 = 0 1.10 x 3 + 6(x 2 2) 2x = 0
2. Bewys dat x + 3 ’n faktor is van 2 x 3 x 2 18x + 9 = 0 en los dan die vergelyking volledig op.
3. Gegee: f(x) = 0, waar f(x) = 2 x 3 13 x 2 + 22x 8
3.1 Bewys dat x − 2 ’n faktor van f(x) is.
3.2 Los nou op vir x as f(x) = 0.
4. Bepaal die wortels van 2 x 3 + 5 x 2 22x + 15 = 0.
5. Gegee: f(x) = 2 x 3 x 2 13x 6. Los op vir x as f(x) = 0.
Selfevaluering
Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die onderstaande tabel is:
1. Alarm! Jy is nie gemaklik met die onderwerp nie en het hulp nodig.
2. Help! Jy is nie gemaklik nie, maar het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan.
3. OK! Jy is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas.
4. Sharp! Jy is gemaklik met die onderwerp.
5. Partytjietyd! Jy is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs ingewikkelder vrae hieroor beantwoord.Sample
6. As 1 2 en 1 2 wortels is van m x 3 n x 2 9x + 4 = 0, bepaal die waardes van m en n.
7. Gegee: f(x) = x(x 31) + 15(x 3 + 1). Bepaal die x-afsnitte van die grafiek van f.
Voltooi die tabel: Onderwerp 1 2 3 4 5
Jy kan die res bepaal wanneer ’n uitdrukking deur ’n lineêre uitdrukking gedeel word.
Jy kan die waarde van ’n onbekende in ’n uitdrukking bepaal as die res gegee word.
Jy kan ’n faktor van ’n uitdrukking bepaal.
Jy kan ’n derdegraadse uitdrukking volledig faktoriseer.
Jy kan ’n derdegraadse vergelyking oplos. Opsomming van tema
Noudat ons die einde van hierdie tema bereik het, behoort jy:
1. die resstelling te kan gebruik om die res te bepaal wanneer ’n uitdrukking deur ’n lineêre uitdrukking gedeel word
2. die waarde van ’n onbekende te kan bepaal as die res gegee word
3. die faktorstelling te kan gebruik om ’n faktor van ’n uitdrukking te bepaal
4. ’n derdegraadse uitdrukking te kan faktoriseer
5. ’n derdegraadse vergelyking te kan oplos
6. te weet dat wanneer ’n uitdrukking gelyk aan nul gestel word, ons die x-afsnitte van sy grafiek uitwerk.
Oefening om die tema af te sluit
Sample
1. f(x) = − 2 x 3 − 5 x 2 − 1 word deur x + 4 gedeel. Bepaal die res deur die resstelling te gebruik.
2. f(x) = 4x 3 2 x 2 1 word deur 2x 1 gedeel. Bepaal die res deur die resstelling te gebruik.
3. f(x) = 2 x 3 + 5a x 2 + 9 word deur x − a gedeel. Bepaal die res in terme van a deur die resstelling te gebruik.
4. Bepaal die res as 4 x 3 2 x 2 + 3 deur x 4 gedeel word.
5. Wat sal die res wees as 4 x 3 12 x 2 + 4x deur 2x 1 gedeel word?
6. As 8 x 3 a x 2 12 deur 2x 3 gedeel word, is die res 6. Bepaal die waarde van a.
7. As a x 3 + 4x + 2 x 2 + b deur x + 2 gedeel word, is die res 1. Bepaal b in terme van a.
8. Bepaal of x 6 ’n faktor is van f(x) = x 2 36; gebruik die faktorstelling.
9. As a x 3 x b x 2 + 2 = 0 deur x 1 gedeel word, is die res nul. Bepaal a in terme van b.
10. f(x) = x 3 + 2 x 2 5x 6 word gegee. Bepaal of x 1 of x + 3 ’n faktor van f is.
11. Wat moet by x 2 + 6x − 8 getel word sodat dit presies deelbaar deur x − 3 sal wees?
12. Wat is die res as 2 x 3 + 4 deur x + 1 gedeel word? Bepaal ook wat by 2x 3 + 4 getel moet word sodat x + 1 ’n faktor sal wees.
13. Bewys dat x − 1 ’n faktor van x 3 − 1 is deur die faktorstelling te gebruik.
14. As die res 30 is wanneer x 3 px 12 deur x 2 gedeel word, bereken die waarde van p.
15. As 4 x 2 1 ’n faktor is van 4 x 3 + p x 2 + qx 3, bepaal die waardes van p en q, asook die derde faktor.
16. Vir watter waarde van b sal x 3 b x 2 + 54 presies deelbaar deur x + b wees?
17. As x + 1 ’n faktor is van x 6 x 3 + c, bereken die waarde van c.
18. Gegee: f(x) = x 3 5 x 2 8x + 12
18.1 Gebruik die faktorstelling om te bewys dat x − 1 en x + 2 faktore van f(x) is.
18.2 Bepaal die derde faktor deur die uitdrukking te faktoriseer:
f(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 6)
19. Gegee: f(x) = x 3 − x 2 − x + p
19.1 As f(2) = 3, bepaal die waarde van p.
19.2 As dit verder gegee word dat x 3 − x 2 − x + p = q 2(x + 1), bepaal vervolgens die waarde van q in terme van x.
20. As ax + bx + 4 deur x a gedeel word, is die res 2. As dit deur x b gedeel word, is die res nul. Bewys dat a 2 = b 2 + 2.
21. As x + m ’n faktor is van m x 2 + 2 m 2 x + n 3, waar m ≠ n, bewys dat m 2 + mn + n 2 = 0.
22. As p x 3 + kx + 6 deur x + 1 gedeel word, is die res 12, en x 2 is ’n faktor van die uitdrukking. Bewys dat k = 7p.
23. Gegee: f(x) = x 3 + 3x 2 4 x 2
23.1 Bepaal die res as f(x) deur x 1 gedeel word.
23.2 Bepaal vervolgens die waarde van p as f(x) = x(x p)(x 1) 2. Sample
• Hersieningsoefeninge om voorafkennis te toets.
• Deeglike verduidelikings van begrippe en tegnieke.
• Uitgewerkte voorbeelde help leerders om nuwe begrippe beter te verstaan.
• Gemengde oefeninge om teorie vas te lê en wiskundige vaardighede te oefen.
• Oefenvraestelle en memorandums vir eksamenvoorbereiding.
• Formuleblaaie en aanvaarde meetkundige redes vir vinnige verwysing.
• Indeks van wiskundige terme.
• Die fasiliteerdersgids bevat stap-vir-stap-bewerkings en antwoorde
• Gebruik in die klaskamer of tuis.
home classroom college workplace
