Grade 10 Fasiliteerdersgids 2/2 Wiskunde by Impaq

VOO-fase Graad 10 • Fasiliteerdersgids 2/2

Wiskunde KABV

Wiskunde Fasiliteerdersgids 2/2 – Graad 10

2210-A-MAM-FG02

9 781990

948459

Aangepas vir KABV

Prof. C Vermeulen, Hoofouteur P de Swardt H Otto M Sherman E van Heerden L Young

INHOUDSOPGAWE

TEMA 11 STATISTIEK........................................................................................................... 100 11.1 Gegroepeerde data...................................................................................104 Oefening 11.1 Gegroepeerde data............................................................. 107 11.2 Maatstawwe van sentrale neiging in gegroepeerde data............111 11.2.1 Beraamde gemiddeld van gegroepeerde data........................................... 111 11.2.2 Beraamde mediaan van gegroepeerde data............................................... 112 11.2.3 Modale klas van gegroepeerde data.............................................................. 112 Oefening 11.2 Maatstawwe van sentrale neiging in gegroepeerde data............................................................................................ 114 11.3 Maatstawwe van verspreiding.............................................................117 11.3.1 Kwartiele................................................................................................................... 117 11.3.2 Interkwartielomvang (IKO)............................................................................... 118 11.3.3 Semi-interkwartielomvang ............................................................................... 118 11.3.4 Persentiele................................................................................................................ 118 11.3.5 Uitskieters................................................................................................................. 118 Oefening 11.3 Maatstawwe van verspreiding...................................... 123 11.4 Die vyfgetalopsomming.........................................................................125 Oefening 11.4 Die vyfgetalopsomming................................................... 127 11.5 Ontleding van statistiese opsommings en grafieke .....................130 Oefening 11.5 Ontleed statistiese opsommings en grafieke.......... 132

Voorwoord...............................................................................................................3 TEMA 9 ANALITIESE MEETKUNDE.............................................................................. 9 9.1 Die afstandsformule................................................................................12 Oefening 9.1 Die afstandsformule............................................................. 14 9.2 Die middelpunt van ’n lynstuk.............................................................20 Oefening 9.2 Die middelpunt van ’n lynstuk......................................... 21 9.3 Die gradiënt (helling) van ’n lyn..........................................................26 Oefening 9.3 Die gradiënt (helling) van ’n lyn...................................... 27 9.4 Punte op ’n reguit lyn (kollineêre of reglynige punte).................33 Oefening 9.4 Punte op ’n reguit lyn (kollineêre of reglynige punte).................................................................................................................... 35 9.5 Die vergelyking van ’n reguit lyn ........................................................36 Oefening 9.5 Die vergelyking van ’n reguit lyn..................................... 37 TEMA 10 FINANSIES EN GROEI...................................................................................... 45 10.1 Rente.............................................................................................................47 Oefening 10.1 Vasvra....................................................................................... 48 10.2 Enkelvoudige rente..................................................................................49 Oefening 10.2...................................................................................................... 51 10.3 Huurkoop....................................................................................................54 Oefening 10.3...................................................................................................... 56 10.4 Saamgestelde rente.................................................................................62 Oefening 10.4...................................................................................................... 64 10.5 Tydlyne........................................................................................................66 Oefening 10.5...................................................................................................... 69 10.6 Vergelyking van finansiële situasies..................................................74 Oefening 10.6...................................................................................................... 76 10.7 Inflasie en bevolkingsgroei...................................................................78 Oefening 10.7...................................................................................................... 82 10.8 Buitelandse wisselkoerse......................................................................86 Oefening 10.8...................................................................................................... 87 ©Optimi

TEMA 12 TRIGONOMETRIE: PROBLEME IN TWEE DIMENSIES......................... 147 12.1 Probleme wat met hoogte- en dieptehoeke verband hou...........149 Oefening 12.1 Probleme wat met hoogte- en dieptehoeke verband hou....................................................................................................... 151 12.2 Probleme wat met peiling (rigting) verband hou..........................155 Oefening 12.2 Probleme wat met peiling (rigting) verband hou.......................................................................................................................... 157 TEMA 13 EUKLIDIESE MEETKUNDE.............................................................................. 164 Oefening 13.1...................................................................................................... 165

TEMA 14 METING.................................................................................................................. 176 14.1 Hersiening: omtrek, oppervlakte, buiteoppervlakte en volume....................................................................................................180 14.1.1 Omtrek en oppervlakte....................................................................................... 180

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 14.1.2 Reëlmatige veelhoeke.......................................................................................... 180 14.1.3 Nette van 3D-vorms.............................................................................................. 180 14.1.4 Buiteoppervlakte en volume............................................................................. 181 Oefening 14.1 Hersiening: Omtrek, oppervlakte, buiteoppervlakte en volume........................................................................ 181 14.2 Buiteoppervlakte en volume van keëls.............................................192 Oefening 14.2 Buiteoppervlakte en volume van keëls..................... 193 14.3 Buiteoppervlakte en volume van piramides...................................196 Oefening 14.3 Buiteoppervlakte en volume van piramides.......... 198 14.4 Buiteoppervlakte en volume van sfere.............................................203 Oefening 14.4 Buiteoppervlakte en volume van sfere...................... 204 14.5 Uitwerking op volume en buiteoppervlakte as enige afmeting met ’n konstante faktor kvermenigvuldig word............................208 Oefening 14.5 Uitwerking op volume en buiteoppervlakte as enige afmeting met ’n konstante faktor kvermenigvuldig word. 209 TEMA 15 WAARSKYNLIKHEID......................................................................................... 217 15.1 Teoretiese waarskynlikheid.................................................................220 15.1.1 Terminologie............................................................................................................ 220 15.1.2 Hoe om waarskynlikheid uit te druk............................................................. 221 15.1.3 Definisie van waarskynlikheid......................................................................... 221 Oefening 15.1 Teoretiese waarskynlikheid........................................... 222 15.2 Relatiewe frekwensie..............................................................................224 15.2.1 Die verskil tussen relatiewe frekwensie en teoretiese waarskynlikheid..................................................................................................... 224 15.2.2 Definisie van relatiewe frekwensie................................................................ 224 Oefening 15.2 Relatiewe frekwensie........................................................ 225 15.3 Venn-diagramme......................................................................................226 15.3.1 Die gebruik van Venn-diagramme om gebeurtenisse voor te stel.... 226 15.3.2 Vereniging en snyding.......................................................................................... 227 15.3.3 Die gebruik van Venn-diagramme om waarskynlikheid te bepaal... 229 Oefening 15.3 Venn-diagramme................................................................. 231 15.4 Waarskynlikheidsidentiteite................................................................235 15.4.1 Die vereniging van twee gebeurtenisse....................................................... 235 15.4.2 Onderling uitsluitende gebeurtenisse.......................................................... 237 15.4.3 Komplementêre gebeurtenisse........................................................................ 238

15.4.4 Onderling uitputtende gebeurtenisse........................................................... 239 Oefening 15.4 Waarskynlikheidsidentiteite, onderling uitsluitende gebeurtenisse en komplementêre gebeurtenisse..... 239

Vraestelle en memorandums.............................................................................251 Formules...................................................................................................................277 Euklidiese meetkunde: aanvaarbare redes..................................................281 Woordelys.................................................................................................................283

VOORWOORD

Kwartaal

In graad 10 is wiskunde vir die eerste keer ’n keusevak (teenoor wiskundige geletterdheid). Leerders kies om verskillende redes wiskunde as vak, onder meer om hulle voor te berei vir ’n studierigting waar graad 12-wiskunde ’n toelatingsvereiste is, of vir ’n beroep waarin ’n agtergrond in wiskunde voordelig is.

(11 weke)

Anders as in die Algemene Onderwys- en Opleidingsfase (AOO-fase) van graad 1 tot 9 behels wiskunde in die Voortgesette Onderwys- en Opleidingsfase (VOO-fase) van graad 10 tot 12 in die algemeen meer abstrakte begrippe en ingewikkelder prosedures. Om wiskunde in die VOO-fase te bemeester, verg meer tyd, toewyding, kritiese denke en besinning van leerders as in die AOOfase, terwyl fasiliteerders meer ondersteuning en leiding behoort te gee.

(11 weke)

Hierdie produk bestaan uit twee handleidings en twee fasiliteerdersgidse wat op die konsepte van Optimi se GuidED Learning™-leermodel gebaseer is om leerders en fasiliteerders te help om suksesvol te wees in hulle studie van wiskunde. Dit dek al die werk vir graad 10-wiskunde en is in ooreenstemming met die KABV-riglyne soos opgestel deur die Departement van Basiese Onderwys vereis word.

(10 weke)

1. Algebraïese uitdrukkings

3. Getalpatrone

2 2 3 4 1 3 3 2 2 2 1 1

Hier onder verduidelik ons hoe die handleidings en fasiliteerdersgidse saamgestel is en hoe leerders en fasiliteerders dit kan gebruik om sukses in wiskunde te behaal. Die handleiding is in 15 temas verdeel. Die temas stem inhoudelik en tydsgewys ooreen met die KABV-riglyne en verteenwoordig die jaarplan. Handleiding 1/2 en fasiliteerdergids 1/2 dek tema 1 tot 8 (kwartaal 1 en 2) en handleiding 2/2 en fasiliteerdergids 2/2 dek tema 9 tot 15 (kwartaal 3 en 4).

(10 weke)

Tema

Die handleidings word aanlyn deur aanvullende lesstrukture op die Optimi Learning Platform (OLP) ondersteun. Dit bied deurlopende begeleiding om die leerders se leerproses te ondersteun en te verryk. Hierdie begeleiding is gebaseer op die jongste insigte in opvoedkunde, kognitiewe sielkunde en neurowetenskap. Let daarop dat die handleidings wel onafhanklik van die OLP gebruik kan word.

©Optimi

Getal weke

2 4 4

2. Eksponente

4. Vergelykings en ongelykhede 5. Trigonometrie 6. Funksies

7. Trigonometriese funksies 8. Euklidiese meetkunde

Assessering*

Ondersoek of projek Toets

Werkopdrag of toets

Oefenvraestelle is in die handleiding ingesluit.

Junie-eksamen

10. Finansies en groei

Toets

9. Analitiese meetkunde 11. Statistiek

12. Probleme in twee dimensies 13. Euklidiese meetkunde 14. Meting

15. Waarskynlikheid Hersiening

Oefenvraestelle is in die handleiding ingesluit.

Toets Toets Eindjaareksamen

* Jy sal die nuutste en volledigste inligting oor assessering in die portefeuljeboek en assesseringsplan vind. Wenk: Die tabel dui die jaarplan aan. Gebruik dit vir die beplanning van onderrig en assessering. 3

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2

Tydsindeling

Dit beteken dat verskeie strategieë gebruik word om seker te maak dat leerders die beste moontlike kans het om elke deel van die werk te bemeester. Uiteindelik kan ’n mens sê dat leer plaasgevind het wanneer leerders nuwe inligting in hulle langtermyngeheue gestoor het en die vermoë het om dit te herroep en te gebruik. Die handleidings se struktuur ondersteun dié proses en help leerders om wiskunde te bemeester.

Volgens die KABV-voorskrifte behoort daar minstens 4,5 uur per week aan wiskunde-onderrig bestee te word. Daar sal byvoorbeeld 13,5 uur (drie weke × 4,5 uur per week) aan die onderrig van Tema 1 (algebraïese uitdrukkings) bestee word. Temas word nie onderverdeel in lesse nie; dit staan elke leerder en fasiliteerder vry om soveel inhoud per sessie en per week af te handel as wat leerders se vordering toelaat. As leerders stadiger werk, moet die nodige aanpassings gedoen word sodat hulle nog steeds al die werk betyds kan bemeester.

Wenk: Elke tema het dieselfde struktuur om dit vir leerders makliker te maak om daardeur te werk.

Wenk: Gebruik die voorgestelde tydsindeling saam met jou leerders se vordering om jou lesse te beplan.

Elke tema het die volgende struktuur:

Let op dat die onderrigtyd waarna ons hier bo verwys, nie die tyd insluit waartydens leerders die kennis en begrippe wat hulle geleer het, moet toepas en inoefen nie. Vir hierdie doel is daar verskeie oefeninge deur elke tema versprei. Hierdie oefeninge behels verskillende maniere om nuwe kennis toe te pas en in te oefen en dek verskillende moeilikheidsgrade. Leerders moet probeer om al hierdie oefeninge te doen. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse gegee.

Inleiding Waaroor die tema gaan Dit sê kortliks vir leerders waaroor die tema gaan sonder om detail te gee of “moeilike” of onbekende begrippe te gebruik. ’n Volledige lys van die leeruitkomste wat leerders in ’n bepaalde tema moet bemeester, word as opsomming aan die einde van die tema gegee.

Wenk: Kyk dat leerders soveel moontlik van die oefeninge doen. Volg op en bied ondersteuning wanneer leerders sukkel.

Struktuur van temas

Voorafkennis

Leer is ’n ingewikkelde proses. Miljoene breinselle en senuweebane in ons brein werk saam om nuwe inligting in die langtermyngeheue te stoor sodat ons dit later kan onthou. Langtermyngeheue is nie ons enigste soort geheue nie en wanneer ons leer, is ons werkgeheue net so belangrik. Werkgeheue is anders as langtermyngeheue en het ’n beperkte kapasiteit. Dit beteken dat ’n mens se werkgeheue net ’n klein bietjie nuwe inligting op ’n slag kan hanteer. Wanneer ’n mens wiskunde leer, is daar baie nuwe inligting wat jou brein moet verwerk en daarom kan dit maklik jou werkgeheue uitput. Dit hou verband met die kognitiewe ladingsteorie. Hierdie handleidings is só geskryf en saamgestel dat dit nie die werkgeheue ooreis nie en dus die leer van wiskunde vergemaklik. Leerders se kognitiewe kapasiteit word te alle tye in ag geneem.

Hierdie afdeling sê vir leerders watter bestaande kennis hulle nodig het om die betrokke tema te bemeester.

Hersiening

Oefeninge

Dit kan een van die volgende behels:

Die oefeninge gee leerders die geleentheid om die begrippe en prosedures wat behandel is, in te oefen. Dit is belangrik dat hulle al die oefeninge probeer voltooi. Volledige oplossings word in die fasiliteerdersgidse verskaf.

1. hersiening van die begrippe, definisies en prosedures wat as voorafkennis vereis word, 2. ’n oefening of aktiwiteit met oplossings sodat leerders self hulle voorafkennis kan toets, of 3. ’n kombinasie hiervan.

Vrae vorder gewoonlik van maklik (om basiese begrippe en prosedures te bemeester en in te oefen) na moeilik (ingewikkelder bewerkings). Gemengde oefeninge kan ook voorkom, waar leerders die geleentheid kry om verskillende begrippe en prosedures in te oefen en met vorige temas te integreer.

Moenie hierdie hersiening afskeep nie. Dit is belangrik om deeglik daardeur te werk. Wiskundige konsepte volg dikwels op mekaar en as basiese kennis ontbreek of nie goed genoeg bemeester word nie, sal dit die vorming van nuwe kennis bemoeilik.

Opsomming van tema

Ná die inleidende deel van die tema word nuwe kennis in subtemas behandel. Elke subtema het die volgende struktuur:

Hier sien leerders ’n opsomming van wat hulle in die tema moes bemeester het. Dit word in meer formele wiskundige taal uitgedruk om by die KABV (die kurrikulumverklaring) aan te sluit.

SUBTEMA

Inleiding

Oefening om die tema af te sluit

Nuwe begrippe en prosedures word verduidelik. Relevante voorafkennis word ook hier behandel indien nodig.

Dit is ’n gemengde oefening oor alle begrippe en prosedures wat in die tema behandel word, waar hierdie werk ook met vorige werk geïntegreer kan word. Die moeilikheidsgraad van hierdie oefening wissel. Dit is belangrik dat leerders probeer om al die oefeninge te voltooi. Volledige oplossings verskyn in die fasiliteerdersgidse.

Uitgewerkte voorbeelde Uitgewerkte voorbeelde wys leerders hoe die nuwe begrippe en prosedures toegepas word en help hulle om die begrippe en prosedures wat behandel is, beter te verstaan en toe te pas.

©Optimi

Gemengde oefeninge soos dié in hierdie handleiding is ’n baie belangrike komponent daarvan om wiskunde te bemeester. Daar is ’n groot verskil tussen die vermoë om jou werk te herken en om dit te herroep. Wanneer leerders hulle werk kan herken, sê hulle dikwels “O, ja!” maar hulle sukkel om dit te onthou wanneer hulle eksamen skryf. Wanneer hulle hulle werk kan herroep,

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 beteken dit dat hulle daardie kennis in hulle langtermyngeheue vasgelê het en dit kan onthou en gebruik. Gemengde oefeninge stel leerders in staat om nie net die werk te herken nie, maar om dit ook uit hulle langtermyngeheue te herroep.

Selfevaluering In elke tema, en gewoonlik ná elke subtema, is daar ’n aktiwiteit waar leerders krities moet nadink oor die mate waarin hulle sekere begrippe en prosedures bemeester het. Hierdie aktiwiteit verskyn in die volgende formaat:

Wanneer leerders dieselfde soort som of probleem oor en oor oefen, raak hulle dikwels lui en dink hulle nie meer na oor die oefening nie. Hulle is oortuig daarvan dat hulle presies weet watter soort som of probleem hulle moet oplos. Maar in ’n toets of eksamen is al hierdie somme deurmekaar, en dan is dit soms moeilik om te weet wat om te doen. Wanneer gemengde oefeninge deel vorm van leerders se leerproses, leer hulle om ’n som of probleem reg te identifiseer én reg te voltooi. Dit beteken dat hulle werklik voorbereid is vir toetse of eksamens, want hulle kan die werk herroep en nie net herken nie.

Gebruik die volgende skaal om te bepaal hoe gemaklik jy met elke onderwerp in die tabel wat volg, is: 1. Help!! Ek is glad nie gemaklik met die onderwerp nie, ek het hulp nodig. 2. Alarm! Ek is nie gemaklik nie, maar ek het net nog tyd nodig om weer deur die onderwerp te gaan. 3. OK! Ek is redelik gemaklik met die onderwerp, maar haak nog soms vas. 4. Sharp! Ek is gemaklik met die onderwerp. 5. Whoohoo, dis partytjietyd!! Ek is heeltemal gemaklik met die onderwerp en kan selfs meer ingewikkelde vrae hieroor beantwoord. Voltooi nou die volgende tabel. Onderwerp

Fasiliteerders moet hierdie evaluering gebruik om te bepaal of leerders nog hulp in die betrokke tema of subtema nodig het. Indien wel, word dit aanbeveel om dadelik hersiening of nog oefeninge te doen om seker te maak dat leerders die noodsaaklike begrippe en prosedures bemeester. Die selfevaluering kan ook gebruik word om vir verryking te beplan. As leerders die werk in die tema of subtema onder die knie het, kan verrykingsoefeninge gedoen word. Dit is belangrik om nie na ’n volgende tema of subtema aan te beweeg voordat die betrokke onderwerp volledig behandel en bemeester is nie, selfs al beteken 6

dit dat meer tyd aan ’n sekere tema bestee word as wat die KABV aanbeveel. Pas die tydsindeling voortdurend aan volgens die leerders se behoeftes.

Leerders voltooi sewe formele assesseringstake vir skoolgebaseerde assessering.

Dit is wel belangrik om die betrokke temas af te handel voordat ’n toets of eksamen afgelê word. Wenk: Gebruik leerders se selfevaluering om te besluit of hulle hulp nodig het met die betrokke afdeling, wat die aard van die hulp moet wees, en of daar na die volgende afdeling aanbeweeg kan word.

Skoolgebaseerde assessering

Kwartaal 1 Kwartaal 2

Assesseringsvereistes

Kwartaal 3

Besoek Impaq se aanlynplatform vir die assesseringsplan en volledige inligting oor die samestelling en puntetelling van toetse, take en eksamens. Die hoeveelheid take, puntetelling en relatiewe gewig is onderhewig aan verandering.

Kwartaal 4

Skoolgebaseerde assesseringspunt

Wenk: Wees bewus van die KABV-voorskrifte en beplan die jaar se assessering daarvolgens.

Skoolgebaseerde assesseringspunt (as % van bevorderingspunt) Eindjaareksamen

Bevorderingspunt

Let op: • •

•

Take

Projek of ondersoek Toets

Werkopdrag of toets Junie-eksamen Toets Toets Toets

Gewig (%) 20 10 10 30 10 10 10

100 25

Twee vraestelle

100

Slegs een projek/ondersoek moet per jaar gedoen word. Geen grafiese of programmeerbare sakrekenaars word toegelaat nie (om byvoorbeeld te faktoriseer of die wortels van vergelykings te bepaal). Sakrekenaars moet net gebruik word om standaard- numeriese berekeninge te doen en om berekeninge wat met die hand gedoen is, te kontroleer. Formuleblaaie word nie in graad 10 tydens toetse en finale eksamens voorsien nie.

Wenk: Hierdie tabel dui slegs die formele assessering (d.w.s. wat vir bevordering gebruik word) aan. Informele deurlopende assessering moet ook plaasvind om elke leerder se vordering te monitor sodat leemtes in leerders se kennis betyds raakgesien en reggestel word. ©Optimi

G10 – Wiskunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 Die twee vraestelle aan die einde van die jaar word soos volg saamgestel: Vraestel 1

Algebraïese uitdrukkings, vergelykings en ongelykhede, eksponente (Tema 1, 2 en 4) Getalpatrone (Tema 3)

Funksies en grafieke (Tema 6) Finansies en groei (Tema 10) Waarskynlikheid (Tema 15)

Vraestel 2

Euklidiese meetkunde en meting (Tema 8, 13 en 14) Analitiese meetkunde (Tema 9) Trigonometrie (Tema 5 en 7) Statistiek (Tema 11)

Wenk: Wees bewus van watter temas in watter vraestel gedek moet word, sowel as die relatiewe gewig van elk. Maak seker dat vraestelle aan hierdie verspreiding voldoen. Let op: Die samestelling van die eksamens is onderhewig aan verandering. Verwys altyd na die portefeuljeboek en assessseringsplan vir die nuutste inligting oor die samestelling van die eksamens.

Aanvullende boeke

Enige ander boeke kan aanvullend tot hierdie handleiding gebruik word vir bykomende oefeninge en verduidelikings, insluitend: • • •

Maths 4 Africa, beskikbaar by www.maths4africa.co.za Die Siyavula-handboek, gratis aanlyn beskikbaar by www.siyavula.com Pythagoras, beskikbaar by www.fisichem.co.za.

Wenk: Help leerders om aanvullende bronne te bekom en dit doeltreffend te gebruik.

Sakrekenaar Die CASIO fx-82ES (Plus) of CASIO fx-82ZA word aanbeveel. Enige wetenskaplike, nie-programmeerbare en nie-grafiese sakrekenaar is egter geskik. Wenk: Maak seker dat elke leerder ’n geskikte sakrekenaar het.

TEMA 9

Inleiding

ANALITIESE MEETKUNDE Waaroor hierdie tema gaan In hierdie tema gaan leerders leer om:

Leervereistes volgens die KABV

• • • • •

Leerders moet: 1. meetkundige figure in ’n Cartesiese koördinaartstelsel kan voorstel 2. formules kan aflei en toepas vir die berekening van die volgende vir enige twee punte (x1; y1) en (x2; y2): • • •

• •

die afstand tussen die twee punte die gradiënt van die lynsegment wat die twee punte verbind (en moet daarvolgens kan bepaal of lyne ewewydig of loodreg is) die koördinate van die middelpunt van die lynsegment wat die twee punte verbind. Kwartaal Duur Vraestel Gewig

Voorafkennis

Om hierdie tema te bemeester, moet leerders reeds: •

•

2 weke 2

15 ± 3 van vraestel 2

• •

©Optimi

die afstand tussen twee punte in die Cartesiese vlak te bepaal die middelpunt van ’n lynsegment te bepaal die gradiënt van ’n lyn te bepaal die vergelyking van ’n lyn te bepaal die vergelykings van ewewydige en loodregte lyne te bepaal en vas te stel of lyne ewewydig of loodreg is met kollineêre punte (punte wat op dieselfde lyn lê) te werk al hierdie kennis in gemengde oefeninge toe te pas.

kennis hê van die Cartesiese vlak en weet dat dit uit vier kwadrante bestaan kennis hê van koördinaatpunte, byvoorbeeld (3; 5), waar die eerste

koördinaat (3) altyd die x -koördinaat is, en die tweede koördinaat (5)

altyd die y -koördinaat weet dat die gradiënt of helling van ’n lyn verwys na die steilheid van die lyn, en dat dit gedefinieer word as: y2 – y1 die verandering in die y-waarde tussen 2 punte op die lyn ___________ = _ die verandering in die x-waardes tussen dieselfde 2 punte op die lyn x2 – x1

die eienskappe van driehoeke en vierhoeke ken.

G10 – Wiskunde

Tema 9: Analitiese meetkunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2

Waaroor gaan analitiese meetkunde?

In die volgende figuur word die punt (0; 0) aangedui, wat die oorsprong is. Die punt P(3; 5) word ook gegee.

Analitiese meetkunde word ook koördinaatmeetkunde genoem en was vroeër bekend as Cartesiese meetkunde.

Dit is die studie van meetkunde deur die beginsels van algebra en die Cartesiese koördinaatstelsel te gebruik. Dit het te doen met die definisie van meetkundige figure op ’n numeriese wyse (met getalle) en die bepaling van numeriese inligting wanneer diagramme in die Cartesiese vlak gegee word.

Die ontwikkeling van analitiese meetkunde word soms as die begin van moderne wiskunde beskou.

–10

–5

Agtergrond

III

As ons die koördinate van die hoekpunte van ’n figuur het, kan ons die figuur in die Cartesiese vlak teken.

In die diagram hier onder is L(− 5; − 2), M (− 1; − 6)en K(5; 4)byvoorbeeld die hoekpunte van ∆ KLMin die Cartesiese vlak.

P(3 ; 5)

I x

–5 –10

(0 ; 0) oorsprong

Die gradiënt (helling) van die lyn vanaf (0; 0)tot by (3; 5) die verandering in die y-waardes tussen 2 punte op die lyn

= ___________________________________________________________________ die verandering in die x-waardes tussen dieselfde 2 punte op die lyn y − y

= _ x2− x 1 2

= _ 53 −− 00 = _ 53

Kom ons bereken die gradiënt van die lyn in die volgende figuur:

Hersieningsoefening Beskou die figuur en beantwoord die vrae wat volg.

die verandering in die y-waardes tussen 2 punte op die lyn Gradiënt = ___________________________________________________________________ die verandering in die x-waardes tussen dieselfde 2 punte op die lyn y − y

= _ x2− x 1 2

= _ −81−−03

1. Skryf die koördinate van A, B, C en D neer.

= − _ 12

4. Watter soort figuur is ABCD? Gee ’n rede vir jou antwoord.

2. Bereken die gradiënte van AD en BC. Wat merk jy op?

= _ −84

3. Bereken die gradiënte van AB en DC. Wat merk jy op?

ONTHOU

Die volgorde van die letters waarmee ons ’n figuur benoem, is belangrik.

©Optimi

Die naam ABCD sê vir ons dat ons van punt A na punt B beweeg, van B na punt C, van C na punt D en dan weer terug na punt A om figuur ABCD te vorm.

G10 – Wiskunde

Tema 9: Analitiese meetkunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 Memorandum 1. A(-1; 3), B(2; -1), C(8; 1), D(5; 5)

5–3 2 _ 2. Gradiënt van AD = _ = _ = 1 5 – ( – 1) 6 3 1 – ( – 1)

2 _ Gradiënt van BC = _ = _ = 1 8–2 6 3

Die gradiënte (hellings) is gelyk.

–1–3 –4 3. Gradiënt van AB = _ = _ 3 2 – ( – 1) 1–5 _ Gradiënt van DC = _ = –4 3 8–5

Die vertikale sy se lengte is (3 –(–1)) = 4 eenhede en die horisontale sy se lengte is (2 – (–3)) = 5 eenhede.

Die gradiënte (hellings) is gelyk.

4. Dit is ’n parallelogram, want albei pare teenoorstaande sye is ewewydig.

(afstand)² = (3 –(–1))² + (2 – (– 3))²

Pythagoras

= 4² + 5² = 16 + 25

9.1 DIE AFSTANDSFORMULE

= 41

In die diagram hier onder word twee punte gegee: (–3; –1) en (2; 3). Ons wil die afstand tussen hulle bepaal.

∴ afstand = √ 41

Ons kan hierdie berekening veralgemeen en by ’n formule uitkom. (Onthou, ’n formule is bloot die veralgemening van ’n spesifieke geval.)

Om die afstand tussen die punte (–3; –1) en (2; 3) te bepaal, gaan ons ’n punt vertikaal onder (2; 3) en horisontaal regs van (–3; –1) invoeg. Hierdie nuwe punt is dus (2; –1). As ons die drie punte verbind, vorm dit ’n reghoekige

ONTHOU

driehoek met die 90°–hoek by die nuwe punt.

Om die afstand tussen (–3; –1) en (2; 3) te bereken, gebruik ons Pythagoras se stelling.

Formule vir die afstand tussen twee punte, A (x1; y1) en B (x2; y2), is: ___________________

d(AB) = √ (   𝑥 2  – 𝑥 1)  2  + (𝑦 2  – 𝑦 1)  2 

Uitgewerkte voorbeeld 1

Uitgewerkte voorbeeld 2 Die afstand tussen A(x; 4)en B(2; 1) is 5 eenhede. Bepaal die waarde van x.

Oplossing

________________________

AB = √ (𝑥2– 𝑥1 )2+ (𝑦2– 𝑦1 )2 ___________________

5 = √ (2 – 𝑥)2 + (1 – 4)2 _________________

5 = √ 4 – 4𝑥 + 𝑥²+ 9 ______________

5 = √ 𝑥²– 4𝑥 + 13

25 = 𝑥²– 4𝑥 + 13 0 = 𝑥2 – 4𝑥 – 12

0 = (𝑥 – 6)(𝑥 + 2) 𝑥 = 6 of 𝑥 = –2

Bepaal die afstand tussen A en B.

Die koördinate van A kan dus (6; 4) of (–2; 4) wees.

Oplossing

Daar is twee antwoorde, want daar is twee moontlike posisies vir A. Dit word in die onderstaande skets aangedui.

Laat A(–5 ; –2) = (𝑥1 ; 𝑦1) en B(3 ; 4) = (𝑥2 ; 𝑦2) __________________________

AB = √ (𝑥2 – 𝑥1 )2 + (𝑦2– 𝑦1 )2 _________________________

= √ (3–(–5))2 + (4–(–2))2 _____________

= √ (8)2 + (6)2 _

= √ 100

= 10 eenhede ©Optimi

G10 – Wiskunde

Tema 9: Analitiese meetkunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2

Belangrik

Voordat jy ’n probleem in analitiese meetkunde begin oplos, teken eers ’n skets waarop jy die gegewe inligting aandui. So ’n skets help jou om die inligting korrek te gebruik en ook om seker te maak dat jou antwoord reg is.

y-as

C(–4 ; 1) = (x1 ; y1)

Oefening 9.1 Die afstandsformule 1.

Teken die punte C(–4 ; 1) en D(3; –4) op ’n assestelsel en bereken die afstand van C na D.

Teken die punte A(–1; 4) en B(7; –2) op ’n assestelsel en bereken die afstand van A na B.

x-as

y-as

A(–1 ; 4) = (x1 ; y1)

_______________________

CD = √ (x2 − x1 )2+ (y2 − y1 )2

D(3 ; –4) = (x2 ; y2)

___________________________

= √ (3 − ( − 4))2+ (− 4 − 1)2 ______________

x-as

= √ ( 7)2+ (− 5)2 _

= √ 74

B(7 ; –2) = (x2 ; y2)

= 8,60232…

_______________________

AB = √ (x2 − x1 )2+ (y2 − y1 )2

___________________________

= √ (7 − ( − 1)) + (− 2 − 4)2 2

______________

= √ (8)2+ (− 6)2

= 8,6 eenhede

Bereken die lengtes van die lynstukke in die volgende skets. Los jou antwoorde in die eenvoudigste wortelvorm. y-as

B(–1 ; 7)

= √ 100

= 10 eenhede

F(–1 ; 1) C(–1 ; –1)

D(–2 ; –3)

E(3 ; 9)

x-as

A(4 ; –2)

_______________________

CD = √ (x2 − x1 )2+ (y2 − y1 )2

√ (𝑥2– 𝑥1)2 + (𝑦2– 𝑦1)2 = 5 ______________________

___________________________________

∴ √ (𝑏– 0)2 + (–3 – 0)2 = 5

= √ ( − 2 − ( − 1)) 2 + ( − 3 − ( − 1)) 2

_______________

∴ √ (𝑏2 + 9) = 5

= √ (− 1)2+ (− 2)2 _

= √ 5 eenhede

∴ 𝑏2 + 9 = 25 ∴ 𝑏2 = 16

_______________________

AB = √ (x2 − x1 ) + (y2 − y1 ) 2

∴ 𝑏 = ±4

___________________________

= √ (4 − ( − 1))2+ (− 2 − 7)2 ______________

= √ ( 5)2+ (− 9)2 _

= √ 106 eenhede

_______________________

EF = √ (x2 − x1 )2+ (y2 − y1 )2

Daar is dus twee moontlike posisies vir B. _

Gegee: A(–7; m), B(–3; 4) en AB = 4√ 5 .

Bereken die waarde van m. Dui jou antwoord op ’n skets aan. y-as

A(–7 ; m) =(x1 ; y1)

______________________

= √ ( − 1 − 3)2+ (1 − 9)2 _______________

= √ (− 4)2+ (− 8)2

4 √5

= √ 80 eenhede

Die punt B(b; –3) is 5 eenhede vanaf die oorsprong. Bepaal die waarde van b.

(0 ; 0)

5 eenhede

_______________________

AB = √ (x2 − x1 )2+ (y2 − y1 )2 _

_______________

∴ 4√ 5 = √ (–3 – (–7))2+ (4 – m)2 ∴ 80 = 16 + 16 – 8m + m2

Let op die verskil tussen B en b. Die hoofletter (B) dui die punt aan, en die kleinletter (b) dui ’n koördinaat aan (in hierdie geval die x-koördinaat).

©Optimi

x-as

4 √5

A’(–7 ; m) =(x2 ; y2)

B(b ; –3)

B(–3 ; 4) =(x2 ; y2)

∴ 48 = m2 – 8m 15

∴ m2 – 8m – 48 = 0

G10 – Wiskunde

Tema 9: Analitiese meetkunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 ∴ ( m – 12)( m + 4) = 0

∴ m = 12 of m = –4

Daar is dus twee moontlike posisies vir A: 6.

’n Sirkel met die oorsprong as middelpunt word gegee. A(3; 4) en B(-4; q ) is punte op die omtrek van die sirkel. Bereken die waarde van q. y-as

A(–7 ; 12) en A'(–7 ; –4)

A(3 ; 4)

B(–4 ; q)

A(–1;–1) is ewe ver van M(0; 2) en P(p; –2).

Bepaal die waarde van peny-as dui jou antwoord ook op ’n skets aan.

x-as

M(0 ; 2) =(x2 ; y2)

x-as

A(–1 ; –1) =(x1 ; y1) –2

P’(p ; –2) = (x2 ; y2) = (–4 ; –2)

AM = AP

______________________________

y-as

P (p ; –2) = (x2 ; y2) = (2 ; –2)

x-as B(–4 ; q) =(–4 ; –3)

Gegee ________________________________

∴ √ (0 − ( − 1))2+ (2 − ( − 1))2 = √ (p − ( − 1))2+ (− 2 − ( − 1))2 ∴

∴ ∴

OA = 0B

_________________

A(3 ; 4)

B(–4 ; q) =(–4 ; 3)

√ 1+ 9 = √ 1+ p2 + 2p + 1

Radiusse is gelyk

______________

_______________

∴ √ ( 0 – 3)2+ (0 –4)2 = √ ( –4 – 0)2+ (q – 0)2

10 = p + 2p + 2 2

_____

∴ = √ 9 + 16 = √ 16 + q 2

p2 + 2p – 8 = 0

∴ 25 = 16 + q2

∴ (p + 4)(p – 2) = 0

∴ q2 = 9

∴ p = –4 of p = 2

∴ q=±3

Daar is dus twee moontlike posisies vir P. (Kyk skets.) 16

Daar is dus twee moontlike posisies vir B. (Kyk skets.)

Gegee: P(2; –3), M(–2; 1) en N(𝑥; –7). N is ewe ver van P en M.

Om te bewys dat ’n driehoek reghoekig is, bewys ons dat een hoek 90° is (met ander woorde dat twee sye loodreg op mekaar is).

Teken ’n skets om die gegewe inligting voor te stel. Bepaal dan die waarde van 𝑥 en dui jou antwoord op die skets aan.

𝑦 – 𝑦 2

q–0

M(–2 ; 1)

= _ p–0

x-as

p–0

= _ –q – 0 p

= _ –q q

_______________

m  AB. m  AC p

_ = _ p . –q = –1 ∴ AB ⊥ AC

Gegee

∴√ (–2 – 𝑥)2+ (1 – (–7))2 = √ (2 – 𝑥)2+ (–3 – ( –7))2

Om te bewys dat ’n driehoek gelykbenig is, bewys ons dat twee sye gelyk is.

∴ 4 + 4𝑥 + 𝑥 2 + 64 = 4 – 4𝑥 + 𝑥 2 + 16 ∴ 8𝑥 = –48 9.

N(x ; –7) = (–6 ; –7)

______________

2 1 m  AC = _____ 𝑥 – 𝑥

= _ p

P(2 ; –3)

NM = NP

𝑦 – 𝑦

2 1 m  AB = _____ 𝑥 – 𝑥

y-as

_______________________

AC = √ (𝑥2– 𝑥1)2 + (𝑦2– 𝑦1)2

∴ 𝑥 = –6

____________________

= √ (𝑝 – 0)2 +(𝑞 – 0)2

A(0 ; 0), B(p ; q) en C( –q ; p)is die hoekpunte van ’n driehoek. Toon deur berekeninge aan dat ∆ABC gelykbenig en reghoekig is.

___________

= √ (𝑝2 + 𝑞2)

A(0 ; 0)

_______________________

AB = √ (𝑥2– 𝑥1)2 + (𝑦2– 𝑦1)2 ______________________

= √ (–𝑞 – 0)2 +(𝑝 – 0)2 _

= √ 𝑝2 + 𝑞2

B(p ; q)

©Optimi

C(–q ; p)

∴ AC = AB 17

∆ABC is dus reghoekig en gelykbenig.

G10 – Wiskunde

Tema 9: Analitiese meetkunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2 10.

___________________

A(0; 0), B(√ 3 ; 1) en C(√ 3 ; –1) is die hoekpunte van ’n driehoek.

BC = √ (𝑥 2– 𝑥 1)2+ (𝑦 2– 𝑦 1)2

Toon deur berekeninge aan dat ΔABC gelyksydig is.

= (√ 3 – √ 3 ) + (–1 – 1)2

√

A(0 ; 0)

= √ 0 + 4

B(√3 ; 1)

= √ 4

= 2 eenhede

___________________

AB = √ (𝑥 2– 𝑥 1) + (𝑦 2– 𝑦 1) 2

_______________ 2 _

= (√ 3 – 0) + (1 – 0)2

√

_____________________ _ _ 2

∴ AB = AC = BC = 2

C(√3 ; –1)

11.

= √ 3 + 1

ΔABC is dus gelyksydig.

’n Parallelogram met hoekpunte A(–2; 2), B(3; 2), C(1; –2) en D(–4; p) word gegee.

Bereken die waarde van p.

= √ 4

y-as

= 2 eenhede

A(–2 ; 2)

___________________

AC = √ (𝑥 2– 𝑥 1)2+ (𝑦 2– 𝑦 1)2

x-as

_______________ 2 _

= ( √ 3 – 0) + (–1 – 0)2

√

B(3 ; 2)

D(–4 ; p)

= √ 3 + 1 _

= √ 4

C(1 ; –2)

ONTHOU

= 2 eenhede

’n Parallelogram se teenoorstaande sye is ewe lank en ewewydig. 18

mAB = mDC

__________________

−2 − p 2−2 ∴ _ = _ 3 − ( − 2) 1 − ( − 4)

∴ − 10 − 5p = 0

12.1

= √ (–2 – 1)2+ (1 – 3)2 _

= √ 9 + 4 _

∴ 5(− 2 − p) = 0

∴ − 5p = 10 12.

___________

BM = √ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Teenoorstaande sye van parallelogram is ewewydig

∴ p = − 2

= √ 13 eenhede _

∴ AM = BM = √ 13 eenhede

’n Sirkel met middelpunt M(–2; 1) en radius √ 13 eenhede word gegee.

12.2

Bewys dat die sirkel deur die punte A(–5; 3) en B(1; 3) gaan. y-as

M(–2 ; 1)

Bereken die omtrek en oppervlakte van hierdie sirkel as die eenhede in sentimeter is. Rond jou antwoorde af tot die naaste heelgetal. Omtrek van sirkel = 2𝜋r _

= 2𝜋 × √ 13

B(1 ; 3)

A(–5 ; 3)

Die sirkel gaan dus deur punte A en B.

= 23 cm tot die naaste heelgetal Oppervlakte van sirkel = 𝜋r2 = 𝜋(√ 13 ) _

x-as

= 40,84070...

Vir die sirkel met middelpunt M en radius 13 eenhede om deur _√ punte A en B te gaan, moet AM = BM = √ 13 =eenhede, sodat radiusse gelyk is.

= 41 cm2tot die naaste heelgetal

___________

AM = √ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

__________________

= √ (–2 – ( –5))2+ (1 – 3)2 _

= √ 9 + 4 _

G10 – Wiskunde

Tema 9: Analitiese meetkunde

G10 – Wiskunde – Fasiliteerdersgids 2/2

9.2 DIE MIDDELPUNT VAN ’N LYNSTUK

Uitgewerkte voorbeeld 3

In die diagram hier onder is C(x; y) die middelpunt van lynstuk AB, met A(x1; y1) en B(x2; y2).

Bepaal die middelpunt van die lynstuk tussen A (2; 5) en B (− 8; − 1) en toon jou antwoord op ’n skets.

Oplossing

1 2 MAB = (______ 1 2 2 ; ______ 2 )

𝑥 + 𝑥 𝑦 + 𝑦

y-as

= (______ 2 ; ______ 2 ) 2 + (–8) 5 + (–1)

M(–3 ; 2)

4 = (______ –6 ; ______ 2 2)

= (–3 ; 2)

Die x -koördinaat van C is presies halfpad tussen x 1 en x2 op die x -as.

As M (− 2; 1)die middelpunt van die lynstuk tussen A(−6; 8) en B(a; b) is,

y1 + y2 Netso is y se waarde _ . 2

bepaal die koördinate van B.

Hieruit volg:

A(–6 ; 8)

Die formule vir die middelpunt, C, van 'n lynstuk tussen twee punte, A(x1; y1) en B(x2; y2), is:

y-as

M(–2 ; 1)

1 2 CAB = (_ 1 2 2 ; _ 2 )

x +x

x-as

Uitgewerkte voorbeeld 4

x +x

1 2 Die waarde van C se x -koördinaat is dus _ . Dit is die gemiddelde waarde 2

van x1 en x2.

B(–8 ; –1)

A(2 ; 5)

y +y

x-as B(a ; b)

Die woord "middelpunt" dui aan dat 'n lynstuk gehalveer word. 20