Gr 10-Wiskunde-Handleiding by Impaq

Í2*È-A-MAM-SG01?Î

WISKUNDE HANDLEIDING Graad 10

A member of the FUTURELEARN group

Wiskunde Handleiding

1810-A-MAM-SG01

Í2*È-A-MAM-SG01?Î

Graad 10

Aangepas vir KABV

DM Oost

Handleiding G10 ~ Wiskunde

INHOUDSOPGAWE

Eenheid 1 Eenheid 2 Eenheid 3 Eenheid 4 Eenheid 5.1 Eenheid 5.2 Eenheid 6 Eenheid 7 Eenheid 8 Eenheid 9 Eenheid 10 Eenheid 11 Eenheid 12 Eenheid 13

ÂŠ Impaq

Getallestelsels Eksponente Algebra Getalpatrone en verwantskappe Meetkunde: meting, ruimte en vorm Meetkunde: Euklidiese meetkunde Transformasie-meetkunde Verhouding en koers Finansies Statistieke Waarskynlikheid Funksies Trigonometrie Analitiese meetkunde

Eksamenvraestel

Bladsy

1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2

2 16 32 54 63 82 111 139 144 178 220 258 297 342

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Eenheid

INHOUDSOPGAWE Oefening 1 2 3 4 5 6 7 8

ÂŠ Impaq

Eenheid 1: Getallestelsels Verskillende soorte getallestelsels Skryfwyses Terme, faktore en veelvoude DeelbaarheidsreĂŤls Soorte breuke Benadering van desimale deur af te rond Wortels, kwadrate en irrasionale getalle Gemengde oefeninge Bibliografie

Bladsy 4 6 7 9 10 11 11 15 15

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Eenheid

Die doel van hierdie eenheid is: • • • • • • • •

•

Herkenning van verskillende tipes getallestelsels en getalle. Meeste van hierdie getallestelsels is reeds in graad 8 en 9 behandel. Verskillende notasies soos keurdernotasie, intervalnotasie, tabellering en grafieke. Die verskil tussen veelvoude, faktore en terme. Deelbaarheidsreëls. Dit is noodsaaklik om vrae te beantwoord waar sakrekenaars verbied word. Verskillende tipe breuke – desimale en gewone breuke, asook die omskakeling van een tipe na ’n ander. Die hantering van die optel, aftrek, vermenigvuldiging en deling van breuke. Benadering van desimale deur af te rond. Aan die einde van hierdie eenheid moet jy in staat wees om enige desimale getal (breukdeel) af te rond tot soveel nommers gevra. Wortels, vierkante en irrasionale getalle. In vorige grade is hierdie vrae nooit volledig bespreek nie. Jy moet in staat wees om hierdie vrae met gemak te kan beantwoord. Die twee vrae hier is altyd: 1. Vereenvoudig 2. Los x op (vergelykings)

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Eenheid

Eenheid 1: Getallestelsels LU1 Hierdie eenheid is ’n opsomming van die werk wat in graad 8 en 9 behandel is. Die idee is om jou met voorbeelde te ondersteun, eerder as oefening wat gedoen moet word. Indien jy sukkel om hierdie afdeling te voltooi, moet jy teruggaan na die werk wat in graad 8 en 9 behandel is. Gebruik die voorsiende skakels.

Oefening 1: Verskillende soorte getallestelsels N = {1; 2; 3; 4; 5 ...} = Natuurlike getalle N0 = {0; 1; 2; 3; 4 ...} = Telgetalle Z = {... -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} = Heelgetalle hee lg etal Q = {getalle wat as } geskryf kan word. nie − zero hee lg etal = Rasionale getalle hee lg etal } geskryf kan word nie. Q’ = {getalle wat nie as nie − zero hee lg etal = Irrasionale getalle (nie-eindigende, nie-repeterende desimale getalle.) R = Reële getalle = {rasionale en irrasionale getalle.} R’ = Nie-reële getalle = {getalle wat nie bestaan nie.} Opsomming van die reële getallestelsel: Reële getalle

Rasionale getalle

Heelgetalle • • •

Breuke

Negatiewe heelgetalle Nul Positiewe heelgetalle (natuurlike getalle )

Onthou: 0 =0 x x is ongedefini eerd 0

Irrasionale getalle

− 3 is Nie − Re el

Telgetalle

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Eenheid

Opsomming: • •

• •

’n Rasionale getal is enige getal wat as

a geskryf kan word, waar a en b b

heelgetalle is. Die volgende is rasionale getalle:  Breukdele waarvan beide die teller en die noemer heeltallig is.  Heelgetalle.  Desimale getalle wat eindig.  Desimale getalle wat repeteer. Irrasionale getalle is nie rasionale getalle nie. Hulle kan nie met ’n heeltallige teller en noemer geskryf word nie. Indien die nde magswortel van ’n getal nie as ’n rasionale getal geskryf word nie, word hierdie nde nommer ’n wortelgetal genoem.

•

Indien a en b positiewe heelgetalle is, met a < b, dan is n a < n b .

• •

’n Binomiaal is ’n wiskunde uitdrukking met twee terme. Die produk van twee identiese binomiale staan as die vierkant/kwadraat van die binomiaal bekend.

Voorbeelde:

4 = 2 Hierdie is ’n heelgetal, ’n rasionele getal en ’n reële getal. − 2 het geen antwoord nie en is dus ’n nie-reële getal.

- 2

bestaan wel, maar is ’n irrasionele getal. − − 64 = + 4 is ook ’n heelgetal, ’n rasionale getal en ’n reële getal. 3

Probeer om altyd eers die getal te vereenvoudig. Indien daar ’n antwoord is, is die getal reël, maar indien daar nie ’n antwoord is nie, is die getal nie-reël. 1.1* 1.2*

Is die getal nul ’n positiewe of ’n negatiewe getal? Watter soort getal is

1.3*

Watter soort getal is

−8 ?

1.4*

Watter soort getal is 3 8 ?

1.5*

Watter soort getal is 3 − 8 ?

Skakel: Ctrl + kliek • Video oefening1.1 tot 1.5

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Eenheid

Oefening 2: Skryfwyses Nie alle getallestelsels kan voorgestel word soos in die voorbeeld hieronder nie. • Rasionale en reële getalle nie getabelleer word nie. • Irrasionale getalle kan nie met een van die skryfwyses weergegee word nie. Ons is dus beperk met die voorstelling van ’n groep irrasionale getalle. • In die onderstaande voorbeelde word heelgetalle gebruik: Voorbeeld: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Afrikaans: Alle heelgetalle groter en gelyk aan -4 en kleiner as 2. Gewone notasie -4 ≤ x < 2 Tabelnotasie = {-4; -3; -2; -1; 0; 1} Keurdernotasie = {x / -4 ≤ x < 2, x ϵ Z} Intervalnotasie = x ϵ [-4; 2] NB: ’n “)” hakie beteken NB: hierdie notasie word net vir x ∈R gebruik. uitgesluit en ’n “]” hakie Grafies (getallelyn) beteken ingesluit. -4 -3 -2 -1 0 1 2 Onthou: Heelgetalle word met kolletjies aangedui.

Gebruik die voorbeelde hierbo en beantwoord die volgende vrae. 2.1** Gee vyf verskillende skryfwyses vir die volgende getalle: “Reële getalle tussen -3 en 6, met -3 ingesluit, en 6 uitgesluit.” • 2.2** 2.3 ***

Indien x ϵ [-1; 10], is 10 ingesluit of uitgesluit? Teken die grafiek van 30 < x ≤ 33 as x ϵ R. Kan jy sien dat 30 uitgesluit, en 33 ingesluit is?

Video oefening2.1

Handleiding G10 ~ Wiskunde

2.4**

Eenheid

Bestudeer die onderstaande skets en gee die antwoord in keurdernotasie.

2.5**

-2

-1

-2

-1

•

Bestudeer die onderstaande skets en gee die antwoord in intervalnotasie

Video oefening2.2 tot 2.5

Oefening 3: Terme, faktore en veelvoude LU1 en LU2 Terme word met ’n “+” of “–” -simbool geskei. Terme 7n Voorbeeld: 2m + 4 – + y bestaan uit vier terme. 8 Faktore (of delers) word deur ’n “x” -simbool geskei. Faktore Voorbeeld: 2 x 23 x 3 bestaan uit drie faktore. Indien 12 = 2.2.3, is 12 gefaktoriseer in sy drie priemfaktore. Indien 12 = 22 .3, is 12 gefaktoriseer in sy priemfaktore en in eksponentformaat geskryf. Veelvoude van enige getal is wanneer daardie getal met 2, dan met 3, dan met 4, ens. vermenigvuldig word. Veelvoude Voorbeeld: Veelvoude van 12 = {12; 24; 36; 48; ...} Veelvoude van 100 = {100; 200; 300; 400; ...} Nog voorbeelde: 2(x + 3) het slegs een term as dit nie vereenvoudig moet word nie, maar twee terme as dit vereenvoudig word. = 2x + 6 Die vraag moet spesifiseer of jy moet vereenvoudig of nie. xy xy is een term met vier faktore. = 4 2 .2

Handleiding G10 ~ Wiskunde

3.1**

Eenheid

Vereenvoudig die volgende sonder die gebruik van ’n sakrekenaar en lewer bewys dat jy die bewerkingsvolgorde ken deur net een bewerking per stap te doen. Video 3 1 4 − 3 x 6 ÷ 9 + 2 4 − (10 − 8 x 3) − van 12 3 Die normale bewerkingsorde is: 1. Mag 2. Hakies 3. Vermenigvuldig en deel 4. Optel en aftrek Voorbeeld: 2 + 3 x 4 = 2 + 12 = 14 en nie 5 x 4 = 20 nie.

3.2**

3.3*

Hoeveel terme het (x – 1)(4x) 3.2.1 voordat dit vereenvoudig is? 3.2.2 nadat dit vereenvoudig is? Skryf die eerste 10 priemgetalle neer.

Video 3.2

Ken jy die definisie van ’n priemgetal? Voorbeeld: 5 is ’n priemgetal want dit is slegs deelbaar deur 1 en 5 sonder ’n res. Die getal 1 is nie ŉ priemgetal nie.

3.4**

Neem die getalle 24 en 36 en: 3.4.1 teken ’n Venn-diagram om die faktore van hierdie twee getalle te illustreer. 3.4.2 Gee uit die Venn-diagram die gemeenskaplike faktore van 24 en 36. 3.4.3 Gee uit hierdie gemeenskaplike faktore die grootste een. Met ander woorde, die GGF (grootste gemene faktor) of GGD (grootste gemene deler) LW: ’n deler en ’n faktor is dieselfde konsep. Onthou jy nog hoe lyk ’n Venn-diagram? Die doel is om die gemeenskaplike faktore te vind wat dan in die snyding in die volgende twee sirkels geplaas moet word.

Video 3.3 en 3.4

Handleiding G10 ~ Wiskunde

3.5***

Eenheid

Neem die getalle 12 en 8 en: 3.5.1 teken ’n Venn-diagram om die eerste 10 veelvoude van hierdie twee getalle te illustreer. 3.5.2 gee uit jou Venn-diagram die gemeenskaplike veelvoude van 12 en 8. 3.5.3 gee nou uit hierdie gemeenskaplike veelvoude die kleinste een. Met ander woorde, die Video 3.5 KGV (kleinste gemene veelvoud)

Oefening 4: Deelbaarheidsreëls LU1 Deelbaar deur 2 Deelbaar deur 3 Deelbaar deur 4 Deelbaar deur 5 Deelbaar deur 6 Deelbaar deur 7

Deelbaar deur 8 Deelbaar deur 9 Deelbaar deur 10 Deelbaar deur 11

Alle getalle wat eindig op 2; 4; 6; 8; of 0. D.w.s., ’n ewe getal. As al die individuele getalle opgetel word en die totaal is ’n veelvoud van 3. Indien die laaste twee getalle ’n veelvoud van 4 is. Alle getalle wat eindig op 5 of 0. Indien die getal deur 2 en 3 deelbaar is. Neem die laaste syfer, vermenigvuldig dit met 2, en trek dit dan van die res van die getal af. Indien die antwoord ’n veelvoud van 7 is, is die getal ’n veelvoud. Herhaal tot jy die hele getal geëvalueer het. bv. 1792 is deelbaar deur 7, want 179 – (2 x 2) = 175 en 175 is 17 – (5 x 2) = 7, wat deelbaar deur 7 is. Indien die laaste drie getalle ’n veelvoud van 8 is. Indien die som van al die getalle ’n veelvoud van 9 is. Indien die getal op ’n 0 eindig. Tel al die alternatiewe syfers bymekaar en trek dit van die som van die ander syfers af. Indien die verskil 0 of 11 is, is die getal deelbaar deur 11.

Video oefening 4 en 4.1

Video oefening 4.2 tot 4.5

Bereken die volgende sonder die gebruik van ’n sakrekenaar. 4.1** Is 72645 deelbaar deur 11? 4.2**

Is 51249 deelbaar deur 11?

4.3**

Is 1926 deelbaar deur 9?

4.4**

Is 4208 deelbaar deur 8?

4.5**

Is 708 deelbaar deur 6?

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Eenheid

Oefening 5: Soorte breuke LU1 ’n Rasionale getal bestaan uit ’n teller en ’n noemer wat heelgetalle is, waarvan die noemer nie aan 0 gelyk is nie. Teller

a b

Desimale breuke

Gewone breuke

Noemer

Voorbeelde

Egte breuk

Teller < noemer

Onegte breuk

Teller > noemer

Gemengde getal Ekwivalente breuk Eindigende breuke

’n Kombinasie van ’n telgetal en ’n egte breuk. Breuke wat dieselfde waardes verteenwoordig, maar verskillende tellers en noemers het. Daar is ’n eindige aantal syfers na die desimale teken.

2 7 9 4 5 2 11 1 2 3 = = ........ 2 4 6

2,3456784356178903 het 16 syfers na die desimale teken.

Daar is ’n oneindige aantal 45,123123123123 ... syfers na die desimaal maar = 45,1 2 3 dit vorm ’n patroon. Nie-repeterende, Daar is ’n oneindige aantal nie-eindigende syfers na die desimaal maar 2,3456784356178903 ... breuke dit vorm nie ’n patroon nie. Bereken die volgende sonder die gebruik van ’n sakrekenaar. Bewys dat jy nie ’n sakrekenaar gebruik het nie deur al die stappe te toon. 5.1* 1 Video oef 5.1 tot 5.4 Verander na ’n desimale getal. 8 Video oef 5.5 5.2* Verander 0,246 na ’n gewone breuk. 5.3* 1 Verander na ’n desimale getal. Video oefening 6 11  4 na ’n gewone breuk. 5.4*** Verander 0 ,1 5.5***

Repeterende breuke

Verander 2 ,3 1 4 na ’n gewone breuk.

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Eenheid

Oefening 6: Benadering van desimale deur af te rond LU1 (Seeliger Grade 10) p. 4

Beduidende syfers

Tot desimale plekke

Tot die naaste tienvoudige getal

Voorbeeld

Antwoord

23456 tot die naaste 10

23460 opwaarts

23456 tot die naaste 100

23500 opwaarts

23456 tot die naaste 1000

23000 afwaarts

2,9864537 tot 3 desimale plekke

2, 986 afwaarts

2,9864537 tot 2 desimale plekke

2,99 opwaarts

2,9864537 tot 1 desimale plekke

3,0 afwaarts

0,07538 tot 3 beduidende syfers

0,0754 opwaarts

0,07538 tot 2 beduidende syfers

0,075 afwaarts

0,07538 tot 1 beduidende syfers

0,08 opwaarts

Die eerste nie-nul syfer, gelees vanaf links na regs, is die eerste beduidende syfer.

6.1*

Benader 1856, 005678 tot die naaste 1000.

6.2*

Benader 1856, 005678 tot 4 desimale plekke.

6.3*

Benader 1856, 005678 tot 1 beduidende syfer.

6.4*

Benader 527, 53 tot 3 beduidende syfers.

6.5***

Benader 2,864537 tot 2 beduidende syfers.

6.6****

Benader 2,000000789 tot 2 beduidende syfers.

Oefening 7: Wortels, kwadrate en irrasionale getalle LU1 ’n Kwadraat is ’n getal vermenigvuldig met dieselfde getal. ’n Vierkantswortel is die inverse bewerking van bogenoemde. M.a.w., watter getal vermenigvuldig met dieselfde getal gee die oorspronklike getal. Die nde mag beteken dat ’n getal n keer met homself vermenigvuldig word. Die wortel van die nde magswortel beteken dat ’n waarde gesoek word wat n keer met homself vermenigvuldig die oorspronklike getal gee.

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Getal

Eenheid

Kwadraat

Voorbeelde VierkantsEksponent wortel

nde mag

nde magswortel 1 n 9 = 9n

9 = 3

(9)2 = 81

9n = 3 2n

9 = 32

1 2 n = (3 ) 2 = 3n 1 n 16 = 16 n

16 = 4

(16)2 = 256

16n = 2 4n

16 = 24

1 4 n = (2 ) 4 n = 2

Vierkantsgetalle

= {12; 22; 32; 42; 52; 62; ...} = {1; 4; 9; 16; 25; 36; ...}

Derdemagsgetalle = {13; 23; 33; 43; 53; 63; ...} = {1; 8; 27; 64; 125; 216; ...}

Irrasionale getalle is soos veranderlikes/onbekendes 3m + m = 4m 3m − m = 2m ∴3 2 + 2 = 4 2 ∴3 2 − 2 = 2 2

−

3m . m = 3m 2 ∴3 2 x

2 = 3.( 2 )2 =3 . 2

3 2 ÷

= 6

3m = 3 m 3 2 2 = =3 2

3m ÷ m =

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Eenheid

Hoe word die wortels van saamgestelde getalle bepaal? Die omgekeerde geld ook: x y= x.y

Voorbeeld: Onthou die volgende: x.y = x y

∴ 12 =

∴ 4 3 = 12 Voorbeelde:

4 3

2 3 =

= 2 3 Kies vierkantsgetalle sodat die vierkantswortel sonder ’n sakrekenaar bepaal kan word.

2 3

Video oef 7

= 4. 3 = 12

Vereenvoudig die volgende sonder om ’n sakrekenaar te gebruik. Gee die antwoorde in die eenvoudigste wortelvorm. 7.1*

4 8 +

7.2*

4 k4

7.3**

4050

7.4**

147 −

7.5** 7.6**

Video 7.1 en 7.2

k2 9

Video 7.3 Video 7.4 en 7.5

Video 7.6

3 18 + 4 2 +

Video 7.7

27 + 36.3. 16

7.7***

− 9m

7.8***

( 19 ) 2 2 − 50 (

7.9***

2 8 + 3 32 −

48m

Video 7.8 en 7.9

− 75 m 2

Video 7.10 en 7.11

8 )2

Video 7.12

200

7.10***

18k 4 −

121 2k 4

7.11****

108a −

121a .

Video 7.13 Video 7.14

Meer voorbeelde: 1

b = b2

16 + 9 = 25 = 5 Moenie die volgende fout maak nie: 16 + 9 = 16 + 9 ... (dit is nie waar nie)

Handleiding G10 ~ Wiskunde

Eenheid

Toon al die stappe en gebruik die korrekte metode sonder die gebruik van ’n sakrekenaar. 7.12**

7 = g2

Bewys dat g

7.13***

Bewys dat

25 − 16 4 9 ≠ ( 25

7.14***

Bewys dat 3 100 − 64 + 144 + 25 =

−

16 ) 4 9

100 +

Doen die linkerkant en regterkant apart.

441

Bepaal tussen watter twee heelgetalle elk van die volgende irrasionale getalle (wortelgetalle) lê. Video Voorbeelde Ons gebruik hier die volgende beginsel: Indien a < b met a en b > 0, dan is n a < n b Byvoorbeeld:

3 < 4 of 12 12345678 < 12 12345679

Voorbeelde:

1. Vraag: Tussen watter twee heelgetalle lê Antwoord: 4 < 7 < 9 ∴ 4< 7< 9 ∴ 2 <

Gebruik vierkantsgetalle.

7 < 3

2. Vraag: Tussen watter twee heelgetalle lê - 7 ? Antwoord: 4 < 7 < 9

∴

4< 7<

∴ − 4> − 7 > − 9

Onthou: wanneer daar met ’n – vermenigvuldig word, word die tekens omruil.

∴ −2 > − 7 > − 3 ∴ − 3 < − 7 < −2 3. Vraag: Tussen watter twee heelgetalle lê

Antwoord: 1 < 7 < 8 ∴31 < 3 7 < 3 8

Gebruik derdemagsgetalle.

∴ 1 < 37 < 2 Tussen watter twee heelgetalle lê die volgende getalle? Gebruik die voorbeelde op die vorige bladsy. 7.15*

7.16**

- 19

7.17**

3 25

7.18***

- 3 25

7.19**

10000

Video oefening 7.15 en 7.16 Video oefening 7.17 en 7.18 Video oefening 7.19 Video oefening 7.20 Video oefening 7.21