Apostila de matemática

Área total de uma Pirâmide A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é: A(total) = A(lateral) + A(base) Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?

Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim: A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162 A(lateral) = 4.162 = 648 A(base) = 18² = 324 Concluímos que: A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970 Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.

A(base) = 2.2 = 4 m² A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³ Logo, a área total da barraca é A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m² Volume de uma Pirâmide O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é: Volume = (1/3) A(base) h Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.

Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção Transversal de uma pirâmide Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da

base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais: 1. Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes.

A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.

2. Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.

3. Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.

V(seção)

Volume da seção até o vértice (volume da pirâmide menor)

V(piram)

Volume da pirâmide (maior)

A(seção)

Área da seção transversal (base da pirâmide menor)

A(base) Área da base da pirâmide (maior) h

Distância do vértice à seção (altura da pirâmide menor)

H

Altura da pirâmide (maior)

Assim: A(seção)

V(seção) = V(base)

A(piram )

A(seção)

h · H

h² =

A(base)

H²

V(seção)

h³

Então: = V(base)

H³

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?

Como V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³ V(pirMenor)/108 = 6³/9³ V(pirMenor) = 32

Introdução às equações de primeiro grau Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Sentença com palavras

Sentença matemática

2 melancias + 2Kg = 14Kg

2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

Equações do primeiro grau em 1 variável Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança: A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como: 2x + 2 = 14 Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos ver que toda equação tem: 

Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;



Um sinal de igualdade, denotado por =.



Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;



Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

No link Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.

2x+2

=

14

1o. membro sinal de igualdade 2o. membro As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

2x + 2 = 14

Equação original

2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros 2x = 12

Dividimos por 2 os dois membros

x=6 Solução Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos: 1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim: c + a = 22 c + (c - 4) = 22 2c - 4 = 22 2c - 4 + 4 = 22 + 4 2c = 26 c = 13

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever: a + b = 100.000 3b + b = 100.000 4b = 100.000 b = 25.000

Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.

3. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.

3x + 140 = 260 3x = 260 -140 3x = 120 x = 40

Resposta: Cada quarto tem 40m2.

Exercícios: Resolver as equações 1.

2.

3.

4.

2x 5k 2y 9h

+ + -

4 = 10 12 = 20 15 - y = 22 2 = 16 + 2h

Desigualdades do primeiro grau em 1 variável Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais: <

menor

>

maior

<

menor ou igual

> maior ou igual Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade: 2x + 2 < 14 Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos: Passo 1

2x + 2 < 14

Escrever a equação original

Passo 2 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtrair o número 2 dos dois membros Passo 3

Dividir pelo número 2 ambos os membros

2x < 12

Passo 4 x<6 Solução Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6: S = {1, 2, 3, 4, 5} Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade 2x + 2 < 14 obteremos o conjunto solução: S = {2, 4} Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma.

Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) desigualdades: 12 < 2x + 2 < 20 poderemos seguir o seguinte processo: 12

<

2x + 2

<

20

Equação original

12 - 2 < 2x + 2 - 2 < 20 - 2 Subtraímos 2 de todos os membros 10

<

2x

<

18

Dividimos por 2 todos os membros

5 O conjunto solução é:

<

x

<

9

Solução

S = {6, 7, 8, 9} Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades 12 < 2x + 2 < 20 obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é: S=Ø={} Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveis Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e

y. Uma forma geral típica, pode ser: ax+by<c onde a, b e c são valores dados.

Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais: 2x + 3y > 0 observamos que o conjunto solução contém os pares: (0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico: (1) Traçamos a reta 2x+3y=0; (2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta; (3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.

(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.

Sistemas linear de equações do primeiro grau Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1.

Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja o sistema de duas equações: 2 x + 3 y = 38 3 x - 2 y = 18 Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações. x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais: S = { (10,6) } Método de substituição para resolver este sistema Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação.

Para entender o método, consideremos o sistema: 2 x + 3 y = 38 3 x - 2 y = 18 Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo: 2x + 3y = 38

Primeira equação

2x + 3y - 3y = 38 - 3y Subtraímos 3y de ambos os membros 2x = 38 - 3y

Dividimos ambos os membros por 2

x = 19 - (3y/2) Este é o valor de x em função de y Substituímos aqora o valor de x na segunda equação 3x-2y=18: 3x - 2y = 18

Segunda equação

3(19 - (3y/2)) - 2y = 18 Após substituir x, eliminamos os parênteses 57 - 9y/2 - 2y = 18

multiplicamos os termos por 2

114 - 9y - 4y = 36

reduzimos os termos semelhantes

114 - 13y = 36

separamos variáveis e números

114 - 36 = 13y

simplificamos a equação

78 = 13y

mudamos a posição dos dois membros

13 y = 78

dividimos ambos os membros por 6

y=6 Valor obtido para y Substituindo y=6 na equação x=19-(3y/2), obtemos: x = 19 - (3×6/2) = 19 - 18/2 = 19-9 = 10 Exercício: Determinar a solução do sistema: x+y=2 x-y=0 Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no plano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.

Relação entre sistemas lineares e retas no plano No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma ax+by=c, representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.

Reta 1: ax + by = c Reta 2: dx + ey = f Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.

Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de: Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas; Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas; Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Exemplos das três situações Tipos de retas Concorrentes Paralelas

Sistema x+y=2 x-y=0 x+y=2

Coincidentes

x+y=4 x+y=2 2x + 2y = 4

Problemas com sistemas de equações: 1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será: C + A = 22 C - A = 4

Resposta: C = 13 e A = 9 2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será: A + B = 100000 A = 3B

Resposta: A = 75000, B= 25000.

3. Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será: 3D + O = 260 O = 140

Resposta: D = 40 Desigualdades com 2 Equações em 2 variáveis Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y.

Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica: ax+by<c dx+ey>f onde as constantes: a, b, c, d, e, f; são conhecidas.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais: 2x + 3y > 6 5x + 2y < 20 Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico: (1) Traçar a reta 2x+3y=6 (em vermelho); (2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz à primeira desigualdade;

(3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde); (4) Traçar a reta 5x+2y=20 (em azul); (5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2) (não é necessário que seja o mesmo) e observamos que ele satisfaz à segunda desigualdade; (6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul) (7) Construir a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.

(8) Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.

Esta situação gráfica é bastante utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia e Processos de otimização. Um dos ramos da Matemática que estuda este assunto é a Pesquisa Operacional.

Grandezas Diretamente Proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que: X =K Y Exemplos: 1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos) 15 minutos 50 cm

30 minutos 100 cm

45 minutos 150 cm

Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência: Tempo (min) Altura (cm) 15 50 30 100 45 150 Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.

Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.

(a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são iguais: 15

50 =

1 =

30 100 2 (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 50/150. Então, notamos que essas razões são iguais: 15

50 =

1 =

45 150 3 Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.

2. Em média, um automóvel percorre 80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3 horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação: Distância (Km) Tempo (h) 80 1 160 2 240 3 Notamos que quando duplica o intervalo de tempo, duplica também a distância percorrida e quando o intervalo de tempo é triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção.

Observações: Usando razões e proporções, podemos descrever essa situação de outro modo. (a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na razão de 1/2 enquanto a distância percorrida varia na razão 80/160. Assim temos que tais razões são iguais, isto é: 1

80 =

1 =

2 160 3 (b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia de 160 Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na razão 2/3 e a distância percorrida na razão 160/240 e observamos que essas razões são iguais, isto é: 2

160 =

1 =

3 240 3 Concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre na mesma razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do automóvel se mantiver constante.

Grandezas Inversamente Proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:

X·Y=K Exemplos: 1. A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno. o melhor aluno receberá 24 livros cada um dos 2 melhores alunos receberá cada um dos 3 melhores alunos receberá cada um dos 4 melhores alunos receberá cada um dos 6 melhores alunos receberá

12 livros 8 livros 6 livros 4 livros

Alunos escolhidos Livros para cada aluno 1 24 2 12 3 8 4 6 6 4 De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma: 1. Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.

2. Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.

3. Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.

4. Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.

Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.

Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.

Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas: 2

1 =

1 =

12 e

1 =

=2

4 12/6 2 6 2/4 Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 4. Observemos que essas razões não são iguais, mas são inversas: 2

1 =

12 e

1 =

6 12/4 4 2/6 Representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a função f(x)=24/x, apresentada no gráfico 2. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 120 Km da primeira. Se o percurso é realizado em:

1 hora, velocidade média de 120 Km/h 2 horas, velocidade média de 60 Km/h 3 horas, velocidade média de 40 Km/h

A unidade é Km/h=quilômetro por hora e uma tabela da situação é: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 120 1 60 2 40 3 De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 120 Km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 40 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica.

Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais.

Elementos históricos sobre a Regra de três Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

Regra de três simples direta Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K. X

W =K e

Y

=K Z

assim X

W =

Y Z Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro).

Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos: Massa do corpo (Kg) Deslocamento da mola (cm) 10 54 15 X As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção: 10 = 54

15 X Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.

Regra de três simples inversa Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.

Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K. A·B=K e C·D=K segue que A·B=C·D logo A

D =

C B Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos: Velocidade (Km/h) Tempo (s) 180 20 200 T Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T. 180

T =

200 20 Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.

Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.

Regra de três composta Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2,

B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

Situação Situação 1

Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grandeza 4 Grandeza 5 Grand... Grandeza ?

A1

B1

C1

D1

E1

…

Z1

Situação 2 A2 B2 C2 D2 E2 …

Z2 Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção: Z1

A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 … =

Z2 A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 …

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2: Z1

A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 … =

Z2 A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 …

As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção: Z1

A1 · B2 · C1 · D2 =

Z2 A2 · B1 · C2 · D1 Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.

Exemplos: 1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?

Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C) 5

6

400

7 9 X A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas.

Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o

Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais.

Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a proporção: 400

5×6 =

x

7×9

400

30

que pode ser posta na forma = x 63 Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças.

2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).

Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela: Quilômetros (A)

Horas por dia (B)

No. de dias (C)

200

4

2

500 5 X A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas.

Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias.

Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia.

Verificar que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número de horas por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para p mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo: 2

200×5 =

X que pode ser posta como

500×4

2

1000 =

X 2000 Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias.

Porcentagem Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.

Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.

Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é: Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8 Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto: Produto = M%.N = M.N / 100 Exemplos: 1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?

Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13 Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar.

2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?

Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma: X% de 4 = 3 Assim: (X/100).4 = 3 4X/100 = 3 4X = 300 X = 75

Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.

3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria?

Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por: 42,5% de X = 255 Assim: 42,5%.X = 255

42,5 / 100.X = 255 42,5.X / 100 = 255 42,5.X = 25500 425.X = 255000 X = 255000/425 = 600

Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.

4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta.

Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?

Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que 92% de X = 690 logo 92%.X = 690 92/100.X = 690 92.X / 100 = 690 92.X = 69000 X = 69000 / 92 = 750

O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.

Juros Simples Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar: 1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.

2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de juros.

3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.

4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado montante.

Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa de i% ao período, basta usar a fórmula: C·i·t j= 100 Exemplos: 1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja?

A diferença entre os preços dados pela loja é: 652,00 - 450,00 = 202,50 A quantia mensal que deve ser paga de juros é: 202,50 / 5 = 40,50

Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma: X% de 450,00 = 40,50 X/100.450,00 = 40,50 450 X / 100 = 40,50 450 X = 4050 X = 4050 / 450 X = 9

A taxa de juros é de 9% ao mês.

2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de juro.

Qual foi o capital aplicado?

O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por: 3% de C = 960,00 3/100 C = 960,00 3 C / 100 = 960,00 3 C = 96000 C = 96000/3 = 32000,00

O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.

A função polinomial Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:R R definida por: p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é o termo constante.

Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.

Uma das funções polinomiais mais importantes é f:R

R definida por:

f(x) = a x² + b x + c O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. Ver o link A função quadrática nesta mesma página para entender a importância da função polinomial quadrática.

O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).

Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por: p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27 Grau de um polinômio Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).

Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:

1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.

2. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.

3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.

4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.

5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.

6. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.

7. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1. É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.

Igualdade de polinômios Os polinomios p e q em P[x], definidos por: p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n: ak=bk Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.

Assim, um polinômio: p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n: ak= 0 O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].

O polinômio unidade (identidade para o produto) p1=1 em P[x], é o polinômio: p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxn tal que ao=1 e ak=0, para todo k=1,2,3,...,n.

Soma de polinômios Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por: p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxn q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxn Definimos a soma de p e q, por:

(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xn A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades: Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p + q) + r = p + (q + r) Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p+q=q+p Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que po + p = p qualquer que seja p em P[x].

Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que p+q=0 Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.

Produto de polinômios Sejam p, q em P[x], dados por: p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]: r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxn tal que: ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbo para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera ck, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.

A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades: Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p · q) · r = p · (q · r) Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p·q=q·p Elemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal que po · p = po qualquer que seja p em P[x].

Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal que p1 · p = p qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p1=1.

Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: p · (q + r) = p · q + p · r Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade.

Espaço vetorial dos polinômios reais Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.

O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulas de números reais , isto é, as sequências da forma: p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.

A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais sequências são denominadas sequências quase-nulas.

Esta forma de notação p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...) funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.

Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma, multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.

Sejam p e q em S, tal que: p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...) q = (bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...) e vamos supor que m < n.

Definimos a soma de p e q, como: p+q = (ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...) a multiplicação de p em S por um escalar k, como: k.p = (kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...) e o produto de p e q em S como: p·q = (co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...) sendo que ck = aobk + a1bk-1 + a2bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1b1+akbo para cada ck (k=1,2,3,...,m+n).

O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.

Características do grau de um polinômio Se gr(p)=m e gr(q)=n então gr(p.q) = gr(p) + gr(q) gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)} Algoritmo da divisão de polinômios Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que p(x) = g(x) q(x) Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe um polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que: p(x) = q(x) g(x) + r(x) Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade: xk-ck = (x-c)( xk-1 + cxk-2 + c²xk-3 +...+ ck-2x+ck-1 ) então para p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn temos que p(c) = ao + a1c + a2c² + a3c³ +...+ ancn e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos: p(x)-p(c) = a1(x-c) + a2(x²-c²) + a3(x³-c³) +...+ an(xn-cn) o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter p(x)- p(c)=(x-c) q(x) onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever: p(x)=(x-c) q(x)+p(c) e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.

Zeros de um polinômio Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. O zero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.

Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que: x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0 o que é equivalente a: c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)

Equações Algébricas e Transcendentes Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.

Exemplos 1. 2x²+3x+7=0 2. 3x²+7x½=2x+3 A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo potências de x: ex = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x4/4! + x5/5! +... assim, a equação x²+7x=ex não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.

Quando a equação é da forma: p(x) = 0 onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.

Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.

Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.

Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equação polinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízes da nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta nova equação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.

Exercício: Apresentar uma equação irracional que tenha raízes estranhas.

Métodos de resolução algébrica Alguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.

Equação do 1o. grau: A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por: x = -b/a Equação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por: x1=(-b+R[b²-4ac] / 2a x2=(-b- R[b²-4ac]/ 2a onde R[z] é a raiz quadrada de z.

Nesta página há dois links que tratam sobre o assunto: Equações do Segundo grau que dá um tratamento mais detalhado sobre o assunto e Cálculo de raízes de uma Equação do 2o.grau que é um formulário onde você entra com os coeficientes e obtém as raízes sem muito esforço.

Equação cúbica: A equação ax³+bx²+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no

conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).

Veja o nosso link O método de Tartaglia (Eq. do 3o.grau) onde você poderá encontrar material mais aprofundado sobre o assunto.

Para obter apenas o cálculo das três raízes de uma equação do 3o. grau, vá ao nosso link Raízes de uma Equação do 3o. grau.

Equação quártica: A equação ax4+bx³+cx²+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.

Equação quíntica: Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obter todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com grande precisão.

Existe uma versão da planilha Kyplot disponível gratuitamente na Internet, que dispõe de um mecanismo capaz de calcular com grande precisão raízes de equações polinomiais de grau n.

Em Português, há um excelente livro que trata sobre Equações Algébricas e a história da Matemática subjacente: "O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999."

Teorema Fundamental da Álgebra Teorema (Gauss): Toda equação algébrica polinomial com coeficientes reais ou complexos, admite no conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.

Teorema equivalente: Toda equação algébrica polinomial de grau n, com coeficientes reais ou complexos, admite exatamente n raízes, no conjunto dos números complexos.

Consequência: Toda equação algébrica polinomial real de grau n, admite no máximo n raízes, no conjunto dos números reais.

Algumas identidades polinomiais Ver o link Produtos Notáveis nesta mesma página onde existem 33 identidades polinomiais, sendo algumas não triviais.

Algumas desigualdades polinomiais Algumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais: 1. a²+b² > 2ab 2. (a+b)/2 > R[a.b] 3. a²+b²+c² > ab+ac+bc onde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo > significa maior ou igual.

Há vários livros de Matemática dedicados somente a desigualdades pois uma grande parte da Matemática é construída através deste conceito. Áreas onde existem muitas aplicações para as desigualdades são a Análise Matemática e a Programação Linear.

Juros compostos

Como calcular Carlos Alberto Campagner* Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação Veja como calcular juros compostos e entenda por que o cartão de crédito pode se tornar um grande inimigo do seu bolso. Isso está ligado ao fato de o cálculo de juros ser feito com juros composto.

Fórmula para calcular juros simples Imagine que peguemos um empréstimo de R$ 1.000,00 para pagar em um mês, com taxa de juros de 15% ao mês. Se o empréstimo for pago em um mês os juros serão simples, logo:

J = juros C = capital = R$ 1000,00 i = taxa de juros = 15% ao mês t = tempo = 1 mês

Logo, se o empréstimo for pago em um mês, devemos pagar R$ 1.000,00 do capital emprestado e mais R$ 150,00 de juros. No total: R$ 1150,00.

Fórmula para calcular juros composto Mas e se não conseguirmos pagar este valor no final do mês? E se conseguirmos pagá-lo somente no final do mês seguinte?

Bem, ao final do primeiro mês, devíamos R$ 1.150,00 e, no final do segundo mês, não deveremos 15% sobre R$ 1000,00, mas sobre R$ 1.150,00.

J = juros C = capital = R$ 1150,00 i = taxa de juros = 15% ao mês t = tempo = mais 1 mês

Note que pagaremos R$ 150,00 pelos juros no primeiro mês e R$ 172,00 de juros no segundo, pois, devemos no segundo mês os juros sobre o capital principal e mais os juros sobre os juros (juros compostos).

Equacionando isso matematicamente, temos:

M = montante C = capital inicial i = taxa de juros t = tempo Obs: Note que M é o montante final (juros mais capital inicial).

Exemplo resolvido 1) Exemplo: Um mutuário comprou um apartamento por R$ 100.000,00 financiado por um banco com taxa de juros de 15% ao ano, financiado em 10 anos. Logo no primeiro mês, ele perde o emprego e não consegue pagar nenhuma prestação. Qual será o valor do montante (tudo que ele deve) ao final de 10 anos?

M = montante C = capital inicial = 100.000,00 i = taxa de juros = 15% ao ano t = tempo = 10 anos

Resposta: Ao final de 10 anos o montante (principal mais juros) será de R$ 404.555,77, ou seja, ele deve mais de 4 apartamentos.

2) Exemplo: Um aplicador colocou R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança que possui uma taxa de juros de remuneração de 0,5% ao mês. Se ele não fizer nenhum depósito nem retirada por 12 meses, qual será o montante final?

M = montante C = capital inicial = R$ 1000,00 i = taxa de juros = 0,5% ao mês t = tempo = 12 meses

Resposta: Ele ganhou a estratosférica quantia de R$ 61,68 para emprestar R$ 1.000,00 para o bando, digo, para o banco, por 1 ano.