Obtener los primeros términos de una susesión dado el TG, monotonía, acotamiento, convergencia o divergencia.
1. Dada la sucesión con término general: an =
n+1 n
Obtener: i) Los 10 primeros términos ii) Monotonía iii) Acotamiento iv) Convergencia o divergencia
Desarrollo: i)
Para obtener los diez primeros términos, se debe dar valores a “n”, utilizando la fórmula general, según el lugar que ocupa el término a obtener, es decir: a1 =
1+1 =2 1
a6 =
6+1 7 = = 1,16̅ 6 6
a2 =
2+1 3 = = 1,5 2 2
a7 =
7+1 8 = ≈ 1,1429 7 7
a3 =
3+1 4 = = 1, 3̅ 3 3
a8 =
8+1 9 = = 1,125 8 8
a4 =
4+1 5 = = 1,25 4 4
a9 =
9 + 1 10 = = 1, 1̅ 9 9
a5 =
5+1 6 = = 1,2 5 5
a10 =
10 + 1 11 = = 1,1 10 10
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ii) MonotonĂa: para establecer la monotonĂa hay que identificar el comportamiento de los valores que va tomando la sucesiĂłn a medida que “nâ€? crece, como lo indican los valores en el punto anterior. Los valores de la sucesiĂłn a medida que “nâ€? crece van disminuyendo, por ende es una sucesiĂłn estrictamente decreciente. Recuerda las fĂłrmulas: Si al efectuar la diferencia: đ??šđ??§+đ?&#x;? − đ??šđ??§ , ∀ đ??§ ∈ đ??? , tenemos que : i)
a n+1 â&#x2C6;&#x2019; a n < 0
Lo que implica que la sucesiĂłn es estrictamente decreciente
ii)
a n+1 â&#x2C6;&#x2019; a n > 0
Lo que implica que la sucesiĂłn es estrictamente creciente
iii) Acotamiento: para especificar si la funciĂłn es acotada hay que analizar el comportamiento de la funciĂłn en sus extremos, es decir, el mĂnimo y el mĂĄximo valor que podrĂa tener la sucesiĂłn. En este caso, como es estrictamente decreciente, tiene un valor mĂĄximo que corresponde a â&#x20AC;&#x153;2â&#x20AC;?, pero no se sabe el valor mĂnimo que podrĂa tomar esta sucesiĂłn. Una forma de verificaciĂłn es la intuitiva, es decir, identificar el comportamiento de la sucesiĂłn a medida que el valor de â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? crece. Otra forma es obtener el lĂmite de la sucesiĂłn cuando â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? tiende a infinito, cualquiera de estos procedimientos es vĂĄlido. En esta ocasiĂłn se utilizarĂĄ la forma intuitiva: Para averiguar quĂŠ es lo que sucede con los valores de la sucesiĂłn cuando â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? toma valores grandes, se va a realizar un procedimiento de intuiciĂłn, es decir, tanteando, como se muestra a continuaciĂłn:
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a10 =
5+1 6 = = 1,2 5 5
a1000 =
1000 + 1 1001 = = 1,001 1000 1000
a10000 =
10000 + 1 10001 = = 1,0001 10000 10000
a100000 =
100000 + 1 100001 = = 1,00001 100000 100000
Como se puede apreciar, mientras más grande sea el valor de “n”, el valor de la sucesión se acerca a 1, que en este caso es la cota inferior. Como existen las dos cotas se dice que la sucesión es acotada.
iv) Convergencia o divergencia: en este caso la sucesión es convergente, ya que la sucesión tiende a número, siendo este el 1.
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