NIVELACIÓN MATEMÁTICA Manual del alumno
INACAP Ciencias Básicas Vicerrectoría de Académica de Pregrado 2014
Nivelación
2
PRESENTACIÓN Estimado alumno: Junto con darte la bienvenida a una nueva instancia formativa, te presentamos el manual de nivelación matemática para el alumno inacapino. Éste será el documento guía del módulo de nivelación correspondiente y te servirá como apoyo paralelo a la asignatura que cursas. En este módulo trabajaremos la resolución de problemas de manera transversal, desarrollaremos habilidades para el cálculo de proporciones y porcentajes y podrás utilizar la calculadora en toda ocasión. En este módulo revisaremos ejercicios resueltos, te propondremos otros para que realices grupalmente, otros de manera individual, y te dejaremos notas al margen para que recuerdes los conceptos y procedimientos más importantes de la unidad. Al finalizar este módulo, esperamos que puedas establecer tu propia estrategia de resolución de problemas utilizando las proporciones y porcentajes y, para lograrlo, trabajaremos mediante la estrategia metodológica de la solución de ejercicios y problemas, donde el docente se transforma en un mediador y monitor de tu aprendizaje.
Nivelación
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PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES Este módulo contribuye a que puedas: Resolver situaciones problemáticas mediante estrategias matemáticas relacionadas con proporcionalidad y porcentajes, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. Materiales: Manual de nivelación para el alumno. Calculadora. Bibliografía. Tiempo: 6 horas pedagógicas.
Clase 1 El objetivo de esta clase es que puedas comprender el concepto de razón, así como también, el concepto de proporcionalidad, para que los puedas aplicar en la resolución de ejercicios y problemas. A continuación, te recordaremos los pasos para resolver problemas, con el objetivo de que los trabajes transversalmente durante todo el módulo y la asignatura. Pasos para resolver un problema:
1° Leer y comprender
• Leer el enunciado del problema. • Identificar datos y pregunta del problema.
• Proponer una estrategia de resolución. 2° Proponer y • Explicar la estrategia y justificarla. fundament ar • Resolver el problema aplicando procedimientos matemáticos.
3° Resolver • Comprobar que el resultado que obtuviste da respuesta al problema y comprobar
4° Comunicar
• Comunicar los resultado de manera acorde a la situación e interlocutores.
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Problema resuelto Una razón es una comparación entre dos cantidades por medio de un cociente.
“4 de cada 9 personas” se escribe 4 : 9 , o bien, como razón. Este enunciado nos da otras opciones de comparación:
En una sala de cine, 4 de cada 9 personas tienen a lo más doce años. Si en total hay 252 personas. ¿Cuántas personas mayores de 12 años hay en la sala de cine? Solución: 1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es la pregunta del problema? Datos:
Pregunta:
¿Qué otras razones se te ocurren plantear?
4 de cada 9 personas tienen a lo más 12 años. En total hay 252 personas.
Determinar la cantidad de personas mayores de 12 años.
2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia? Podemos hacer un esquema que permita saber la cantidad de personas que hay. Por ejemplo, supondremos que las pelotas rojas son personas que a lo más tienen 12 años, y las otras serán representadas por pelotas azules:
En este esquema se aprecian claramente la cantidad de personas que hay en la sala de cine, si vamos aumentando de 9 en 9 el total de personas.
4 de cada 9 personas tienen a lo más doce años.
8 de cada 18 personas tienen a lo más doce años. 12 de cada 27 personas tienen a lo más doce años. 16 de cada 36 personas tienen a lo más doce años.
Cantidad de personas mayores de 12 años Mayores de 12 años
5
10
15
20
Si seguimos con esta estrategia necesitaríamos seguir haciendo puntitos de colores hasta que logremos un total de 252 personas, lo que nos llevaría mucho tiempo, pero –de igual manera– estaría correcto. Por lo tanto, matematizaremos nuestra estrategia.
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5 3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema. Fíjate en lo que tenemos: compararemos la cantidad de personas que tienen a lo más 12 años, con las personas que son mayores de 12 años, de acuerdo a nuestra representación anterior: n° de personas que tienen a lo más 12 años. 9 personas en total
Todas las razones que establecimos son equivalentes. Por lo tanto, debemos determinar el número “x” por el cual hay que multiplicar 4 y 5 para obtener la razón que queremos, tal que la suma de sus componentes sea 252.
n° de personas que tienen más de 12 años.
18 personas en total
27 personas en total
36 personas en total
252 personas en total
Entones, debemos encontrar un número “ ” tal que: Así, resolvemos la ecuación:
Recuerda reemplazar el valor de “x” donde corresponde, para obtener el resultado requerido.
Por lo tanto,
4° Paso: Comunicar. Escribe tu respuesta de acuerdo a la situación e interlocutores. En la sala de cine hay 140 personas que son mayores de 12 años.
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Problema resuelto Para hacer pan es necesario agregar 6 cucharadas de levadura por cada 3kg de harina. ¿Cuántas cucharadas de levadura se necesitan para 7kg de harina? Solución: 1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es la pregunta del problema? Datos:
6 cucharadas de levadura por cada 3kg de harina. x cucharadas de levadura para 7kg de harina.
Pregunta:
Determinar x
2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia? Una proporción es una igualdad entre dos razones equivalentes. La relación de proporcionalidad es directa siempre que: si una variable aumenta en una cierta medida, (al doble, al triple, etc.) la otra variable también lo hace en la misma medida (al doble, al triple, etc.).
Para resolver el problema primero debemos verificar que las variables sean proporcionales. Podemos hacernos una pregunta de este tipo: ¿Si la cantidad de harina aumenta al doble, la levadura también aumentaría al doble? Como la respuesta es afirmativa, entonces, las variables son proporcionales. Como las variables son proporcionales, entonces, nuestra estrategia será aplicar la regla de tres.
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7 3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema Planteamos la regla de tres:
Para plantear la regla de tres debemos identificar las razones con las que trabajaremos. Una de ella debe tener ambas cantidades conocidas, y la otra debe tener la cantidad que queremos conocer.
Razón con ambas cantidades conocidas
Razón con una cantidad a determinar
Simplificamos la notación de la proporción:
Y multiplicamos cruzado: La propiedad fundamental de las proporciones es que “el producto de los medios es igual al producto de los extremos”.
y
se denominan extremos.
y
se denominan medios.
Por eso podemos multiplicar cruzado.
4° Paso: Comunicar. Escribe tu respuesta de acuerdo a la situación e interlocutores. Se necesitan 14 cucharadas de levadura para hacer pan con 7 kilos de harina.
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Problema propuesto grupal
Juan y Pedro aportaron un capital para formar una empresa y decidieron que sus ganancias serían repartidas de manera proporcional a sus edades, que son 25 y 35 años, respectivamente. Si las ganancias, a la fecha, son $3.336.000. ¿Cuánto debería recibir cada uno? Solución: 1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es la pregunta del problema?
2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?
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9 3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema.
4° Paso: Comunicar. Cuéntale a tus compañeros del curso o a tu profesor(a) cuál es la respuesta al problema.
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Problema propuesto grupal Un automóvil recorre 30 kilómetros en 20 minutos. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 42 minutos manteniendo la misma velocidad? ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 55 minutos, manteniendo la misma velocidad? Solución: 1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es la pregunta del problema?
2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?
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11 3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema.
4° Paso: Comunicar. Cuéntale a tus compañeros del curso o a tu profesor(a) cuál es la respuesta al problema.
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Problemas propuestos individuales:
Si no alcanzas a realizar estos ejercicios en la clase, puedes hacerlos en tu casa, como tarea, y aclarar tus dudas la próxima clase.
Para cada uno de estos ejercicios, debes realizar los pasos que ya has aprendido y entrenado en esta clase. Utiliza las técnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que puedas ir anotando los conceptos importantes, fórmulas o dudas que tengas al respecto.
1. En un comercial de televisión, se dice que 4 de cada 5 pediatras encuestados recomiendan usar una cierta marca de jarabe para la tos. Si se encuestaron 120 pediatras, ¿Cuántos recomendaron el jarabe?
2. Un grupo de 14 amigos deciden asistir a una fiesta. Saben que por 3 personas se cancelan $6.450 ¿Cuánto deberían cancelar por 14 amigos, sabiendo que les mantienen el precio por unidad?
3. En dos días, tres personas arman 24 computadores. ¿Cuántos computadores armarán ocho personas en la misma cantidad de días?
4. Se quiere regalar un CD de música a los 40 alumnos de un curso. Si 16 CD tienen un v alor de $77.280. ¿Cuánto dinero es necesario para pagar 40 CD’s?
5. Un 750 cc de leche da, como promedio, 150grs de nata y 250grs de mantequilla. ¿Cuánta nata se obtiene con 40 litros de leche? ¿Cuántos litros de leche se necesitan para tener 3,5 kilos de mantequilla?
6. Para preparar 2 docenas y media de galletas, la receta pide 300 grs de harina. ¿Cuántas galletas se pueden hacer con 470 gramos de harina?
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Clase 2 El objetivo de esta clase es que puedas comprender el concepto de porcentaje, para calcular porcentajes aplicando la regla de tres para resolver situaciones problemáticas, comunicando sus resultados de acuerdo a la situación. Problema resuelto Un comerciante ofrece a un cliente, venderle un producto con un 15% de descuento. Si el precio normal del producto es $23.600 ¿Cuánto debería pagar el cliente si aplicamos el descuento al producto? Solución: 1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es la pregunta del problema? Datos:
Precio normal: 23.600 Descuento del 15%
Pregunta:
Determinar el precio de venta del producto, si aplicamos el descuento.
2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia? Aplicaremos la regla de tres. Esta regla funciona perfecto para calcular porcentajes, puesto que la relación entre las variables es de proporcionalidad.
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14 3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema. Para aplicar la regla de tres para ejercicios de porcentajes, debemos comprender la situación y la pregunta que debemos responder. Para esto, rellenaremos la siguiente tabla:
El 100% es el precio completo El 15% es el descuento, que hay que determinar.
Aplicamos la regla de tres
Cantidades (precio) Porcentajes $23.600 100% x 15% Una vez que tenemos identificados los datos, podemos multiplicar cruzado. Cantidades (precio) $23.600 x
Porcentajes 100% 15%
Resolvemos la ecuación
Restamos para calcular el precio final.
Ahora ya sabemos que el descuento es $3.540. Ahora calculamos el precio final de venta. Precio final de venta = 23.600 – 3.540 = $20.060.
4° Paso: Comunicar. Escribe tu respuesta de acuerdo a la situación e interlocutores. El cliente debería pagar 20.060 por el producto con descuento.
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Problema propuesto grupal
Determine cuál es el precio que un vendedor debe poner a un artículo que a él le cuesta $12.000, para poder ofrecerlo con un descuento del 20% sobre el precio señalado y, todavía, ganar en la operación, un 25% sobre el precio de venta. Solución: 1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es la pregunta del problema?
2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?
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16 3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema.
4° Paso: Comunicar. Cuéntale a tus compañeros del curso o a tu profesor(a) cuál es la respuesta al problema.
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Problema propuesto grupal
Una persona compra un objeto en $80.000 y lo vende con un 10% de ganancia. En seguida, el objeto se vuelve a vender, pero ahora con un 10% de perdida. ¿Qué porcentaje se perdió o se ganó en la transacción? Solución: 1° Paso: Leer y comprender. ¿Cuáles son los datos del problema? ¿Cuál es la pregunta del problema?
2° Paso: Proponer y fundamentar. ¿Cuál será su estrategia para resolver el problema? ¿Por qué funcionará su estrategia?
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18 3° Paso: Resolver y comprobar. Resuelvan el problema aplicando su estrategia. Una vez que lo terminen, verifiquen que el resultado coincide con las indicaciones del enunciado y da respuesta al problema.
4° Paso: Comunicar. Cuéntale a tus compañeros del curso o a tu profesor(a) cuál es la respuesta al problema.
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Problemas propuestos individuales:
Para cada uno de estos ejercicios, debes realizar los pasos que ya has aprendido y entrenado en esta clase. Utiliza las técnicas de subrayado y/o anotaciones al margen para que puedas ir anotando los conceptos importantes, fórmulas o dudas que tengas al respecto. 1. Ximena ganó $453.000 durante este mes y pagó $31.710 a su fondo de salud. ¿Qué porcentaje de su sueldo va al fondo de salud?
Si no alcanzas a realizar estos ejercicios en la clase, puedes hacerlos en tu casa, como tarea, y aclarar tus dudas la próxima clase.
2. En un instituto de educación superior, para fomentar la asistencia a clases, deciden premiar a los alumnos que tenga menos de un 2% de asistencia. Durante el periodo de clases, hubo 88 días y Paulina fue 84 días. ¿Podrá postular al precio Paulina?
3. Camila tiene un seguro de 2.350 UF por su casa. Esa cantidad es el 80% del valor de su casa. ¿Cuánto vale la casa?
4. Jaime aporta con el 30% de su sueldo a los gastos de su casa. Si el aporte de Jaime es $231.000. ¿Cuál es el sueldo de Jaime?
5. En Chile, 3.968.000 hombres tienen trabajo estable, pero esto equivale al 64% de la fuerza laboral del país. ¿Cuál es el total de personas que forman la fuerza laboral del país?
6. En el mes de enero del 2012, el Senado aprobó la ley que aumenta las penas a las personas que manejan un automóvil bajo la influencia del alcohol. De los 38 senadores, 30 votaron a favor y 2 votaron en contra. ¿Qué porcentaje de los senadores no votaron?
7. En el censo 2002, la población de Santiago era 5.928.590 personas, que representan el 35,9% de la población de Chile. La población de Latinoamérica es 577.200.000 habitantes. ¿Qué porcentaje de habitantes de Latinoamérica son chilenos?
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Clase 3 El objetivo de esta clase es que aclares tus últimas dudas y resuelvas el taller de evaluación de manera grupal. Aquí, dejamos un espacio para que puedas escribir tus dudas y preguntárselas a tu profesor.
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