2
ÍNDICE
1. Combinatoria. Factorial de un número natural 6 Ejercicios 1-1 .......................................................... 8 Hoja de respuestas 1-1 ........................................ 10 2. Permutaciones Ejercicios 2-1............................................................ 11 Hoja de respuestas 2-1 ........................................ 14 Ejercicios 2-2. Permutaciones SIN repetición. 16 Hoja de Respuestas 2-2....................................... 18 Ejercicios 2-3. Permutaciones CON repetición. ............................................................. 20 Hoja de Respuestas 2-3....................................... 22 Ejercicios 2-4 ........................................................ 24 Hoja de respuesta 2-4.......................................... 26 3. Variaciones sin repetición o sin reposición ..... 28 Ejercicios 3-1 ........................................................ 32 Hoja de Respuestas 3-1....................................... 34 Ejercicios 3-2 ........................................................ 35 Hoja de repuestas 3-2.......................................... 38 4. Variaciones con repetición................................. 42 Ejercicios 4-1 ........................................................ 46 Hoja de respuestas 4-1 ........................................ 48 Ejercicios 4-2 ........................................................ 50 Hoja de respuestas 4-2 ........................................ 53 4
5. Combinaciones .................................................... 55 Ejercicios 5-1 ........................................................ 61 Hoja de respuestas 5-1 ........................................ 63 Ejercicios 5-1 ........................................................ 64 Hoja de respuestas 5-2 ........................................ 66 6. Número combinatorio – Propiedades ............. 67 Ejercicios 6-1 ........................................................ 70 Hoja de respuestas 6-1 ........................................ 72 Ejercicios 6-2 ........................................................ 73 Hoja de respuestas 6-2 ........................................ 76 7. Binomio de Newton. Ejercicios 7-1........................................................ 78 Hoja de respuestas 7-1 ........................................ 80 8. Combinatoria, factorial de un número. Ejercicios 8-1........................................................ 82 Hoja de respuestas 8-1 ........................................ 85
1. COMBINATORIA. FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
Dado un número n ≥ 1, se llama “factorial de n” al producto de los números naturales desde 1 hasta n. n! = n(n-1) (n – 2) ... 1 n!: se lee “factorial de n” Si n = 0, se define 0! = 1
EJEMPLO: 1! = 1 3! = 3 . 2 . 1 = 6 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3628800
6
PROPIEDAD Para todo n ∈ N
n ≥ 1, se verifica
(n + 1)! = (n + 1).n! pues como (n + 1)! = (n + 1) . n . (n 1) . (n 2) ... 1 144 42444 3 n!
resulta (n + 1)! = (n + 1).n! Por ejemplo: 7!= 7.6!= 7.61 .54 .42 .34 .23 .1 6!
5!= 5.4!
Simplificar
5! 3!
Como 5!= 5.4.3{ .2.1 = 5.4.3! 3!
Entonces
5! 5.4.3/! = = 20 3! 3/!
7
EJERCICIOS 1-1
1) Calculรก: a) 2! = b) 8! = c) 3! . 4 = d) 3 . 4! = 2) Simplificรก las siguientes expresiones: a)
6! = 9!
b)
7! = 5!.3!
c)
30! = 27!
d)
(5 + 2)! = 5!+3!
e)
(n + 3)! = (n + 1)!
8
f)
(n + 1)! = (n − 1)!
9
HOJA DE RESPUESTAS 1-1
1)
a) 2 b) 40320 c) 24 d) 72
2)
a)
1 1 = 7.8.9 504 b) 7 c) 28.29.30 = 24360 d) 40
e) (n + 3) (n + 2) f) (n + 1) n
10
2. PERMUTACIONES. EJERCICIOS 2-1
EJERCICIO 1 María posee 10 libros de diferentes autores y desea acomodarlos en un estante de su habitación todos juntos. !
¿ De cuántas maneras distintas puede acomodarlos?
EJERCICIO 2 Teresa no recuerda bien los cuatro últimos dígitos del teléfono de su amigo Diego. Sin embargo, recuerda que las últimas cuatro cifras no se repiten y todas ellas son menores que 4. !
¿ Cuántos números de teléfono cumplen con estas condiciones?
11
EJERCICIO 3 Mirna, Oscar y Laura se encuentran en el cine y como llegaron tarde, sólo les quedan tres asientos juntos en la última fila. !
¿De cuántas maneras distintas podrán sentarse?
EJERCICIO 4 !
¿Cuántos anagramas podés formar con las letras de la palabra AMIGO?
EJERCICIO 5 En el grado del Profesor Sebastián están eligiendo para el acto del 25 de Mayo, entre tres alumnos propuestos por él (Ariel, Gustavo y María Paz), un abanderado, un primer escolta y un segundo escolta.
12
!
Âż CuĂĄntas maneras diferentes tiene SebastiĂĄn para elegirlos?
13
HOJA DE RESPUESTAS 2-1
EJERCICIO 1 3628800
EJERCICIO 2 24
EJERCICIO 3 6
EJERCICIO 4 120
14
EJERCICIO 5 6
15
EJERCICIOS 2-2. PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN
EJERCICIO 1 Dados estos números: 4, 8 y 9. !
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con ellos?
!
Armá el diagrama de árbol correspondiente.
EJERCICIO 2 !
¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 personas, en 6 sillas?
EJERCICIO 3 Dados números: 1, 2 y 7. a- ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con ellos? 16
b- ¿Cuántos de los anteriores son menores que 40? c- ¿Cuántos son mayores que 11?
EJERCICIO 4 Cuatro nadadores van a iniciar una competencia en una pileta con cuatro andariveles ! ¿De cuántas maneras pueden elegirse las posiciones en que lo harán?
EJERCICIO 5 Un problema famoso... Doce personas son condenadas a muerte. Antes de ser ejecutados se les concede un “último deseo”. Uno de los condenados pide que se prorrogue la ejecución por el tiempo necesario para colocarse, los doce condenados, en una fila en todos los ordenes posibles, realizándose un cambio por minuto. Se le concede el deseo. ! ¿Por cuánto tiempo se prorroga la ejecución?
17
HOJA DE RESPUESTAS 2-2
EJERCICIO 1 a- Se pueden formar 6 nĂşmeros b8
9
9
8
4
9
9
4
8
4
4
8
4
8
9
EJERCICIO 2 Se pueden sentar de 720 maneras diferentes
18
EJERCICIO 3 a-
Se pueden formar 6 n煤meros
b-
Hay 4 que son menores que 40: el 12, el 17, el 21 y el 27
c-
Todos
EJERCICIO 4 Se pueden formar 12 (P6) anagramas diferentes
EJERCICIO 5 La ejecuci贸n se prorrog贸 por 479.001.600 minutos (aproximadamente 900 a帽os)
19
EJERCICIOS 2-3. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN.
EJERCICIO 1 !
¿Cuántos anagramas distintos se pueden formar con OLLA?
EJERCICIO 2 !
Calculá la cantidad de números diferentes que podés formar permutando las cifras del número 9985.
EJERCICIO 3 a- ¿Cuántos números pueden formarse permutando las cifras de 425278? b- ¿Cuántos de ellos son múltiplos de 5?
20
EJERCICIO 4 En un maratón quedan 14 corredores. 4 son españoles, 2 franceses, 3 argentinos, 1 portugués y los 4 restantes japoneses. Estamos interesados en una clasificación por equipos. ! ¿Cuántas clasificaciones son posibles?
EJERCICIO 5 !
¿De cuántas maneras se pueden ordenar 9 bolas (2 rojas, 4 blancas y 3 amarillas) que sólo se diferencian por el color?
21
HOJA DE RESPUESTAS 2-3
EJERCICIO 1 Se pueden formar 12 anagramas diferentes
EJERCICIO 2 Se pueden formar 12 nĂşmeros diferentes
EJERCICIO 3 a- 360 b- 60
EJERCICIO 4 12.612.600
22
EJERCICIO 5 1.260
23
EJERCICIOS 2-4
EJERCICIO 1 El director técnico pide a 5 de sus jugadores que formen la barrera para el tiro libre. !
¿De cuántas maneras distintas pueden hacerlo?
EJERCICIO 2 Un mozo debe servir café a seis ejecutivos. !
¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar los seis pocillos de café sobre los seis platos?
EJERCICIO 3 En el Río de la Plata, se hará una competencia de windsurf. Participarán 4 competidores, debien24
do usar velas de distinto color (azul, rojo, verde y amarillo) para poder distinguirlos. !
¿De cuántas maneras diferentes pueden distribuirse los velas?
EJERCICIO 4 En un campeonato de fútbol, juegan 20 equipos !
¿De cuántas maneras diferentes pueden quedar clasificados? Ejercicio 5
!
¿De cuantas maneras pueden sentarse 6 personas en un banco alargado?
!
¿Y en una mesa redonda?
!
¿Y si una de las personas tiene un lugar fijo?
25
HOJA DE RESPUESTA 2-4
EJERCICIO 1 Pueden formar la barrera de 120 maneras diferentes.
EJERCICIO 2 Hay 720 maneras diferentes de colocar el pocillo de cafĂŠ en los platos
EJERCICIO 3 Los velas pueden distribuirse de 24 maneras diferentes
EJERCICIO 4 P20 = 20! 26
EJERCICIO 5 a- Se pueden sentar de 720 maneras diferentes b- idem anterior. c- 120
27
3. VARIACIONES SIN REPETICIÓN O SIN REPOSICIÓN
Dado un conjunto de n elementos, puede calcularse la cantidad de subconjuntos ordenados de k elementos, elegidos entre los n dados que pueden formarse repitiendo elementos o sin repetirlos. Los subconjuntos ordenados que resultan sin repetir ninguno de los elementos se llaman variaciones sin repetición. En cambio, cuando sí se pueden repetir elementos, se llaman variaciones con repetición.
Resolvamos el siguiente problema: ¿Cuántos números de 3 cifras distintas pueden formarse con 1, 2, 4, 5, 8 y 9? Representamos el número de tres cifras mediante 3 casilleros:
28
y luego ubicamos en cada casillero el número de opciones para cada cifra 6
.
5
.
4
La cantidad de números que pueden formarse es 6.5.4. Esta cantidad representa el número total de variaciones sin repetición de 6 elementos tomados de a 3, que indicamos con el símbolo: V6,3 Luego:
V6,3 = 6.5.4 = 120
En general, la cantidad total de números de k cifras que pueden formarse con n números distintos es: Vn,k = n.(n – 1) (n – 2) ... [n – (k – 1)]
Variaciones sin repetición de n elementos tomados de a k elementos.
29
Vn,k es la cantidad de subconjuntos ordenados de k (k ≤ n) elementos distintos, que pueden formarse con n elementos dados. Pues:
para el 1er elemento
existen
n opciones
para el 2do elemento
existen
n – 1 opciones
para el 3er elemento
existen
n – 2 opciones
para el k-ésimo elemento
existen
n – (k – 1)
...........
n – (k-1)
opciones Luego n 1er elem.
n-1 2do elem.
k-ésimo elem.
Vn,k = n.(n – 1) (n – 2) ... [n – (k – 1)]
30
(1)
En el problema, n = 6 y k = 3, luego el último factor de (1) es n – (k – 1) = 6 – (3 – 1) = 4 y V6,3 = 6.5.4 = 120
31
EJERCICIOS 3-1
EJERCICIO 1 Calcular V8,2 = V5,3 = V6,5 =
EJERCICIO 2 Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden escribir con los números de 1 al 9.
EJERCICIO 3 En un club se seleccionará del total de los 12 miembros de la comisión directiva, 1 presidente, 1 vicepresidente y 1 tesorero, ¿de cuántas formas distintas pueden elegirse?
32
EJERCICIO 4 Obtener n Vn,2 = 5n Vn,2 = 2
EJERCICIO 5 En un curso hay 32 alumnos y se desean formar equipos de 5 por cada uno. ¿cuántas formas posibles existen?
EJERCICIO 6 En una carrera de coches (50 coches) queremos saber el número de formas distintas en que se pueden repartir los premios (1º, 2º y 3º).
EJERCICIO 7 ¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
33
HOJA DE RESPUESTAS 3-1
1) a) 56 b) 60 c) 720 2) V9,5 = 3024 3)
V12,3
4) a) n = 6 b) n = 2 5) V32,5 = 32. 31. 30. 29. 28 6) V50,3 = 117600 7) V9,3 = 504
34
EJERCICIOS 3-2
EJERCICIO 1 Una persona desea hablar con urgencia por teléfono pero no recuerda el número al que debe llamar. !
Respondé:
a- ¿Cuántos números debe marcar
(como
máximo) si sabe que la característica tiene 4 números y comienza con 42, y que todos los números son distintos? b- ¿Cuántos deberá marcar si luego de unos minutos recordó , (además de los datos anteriores), que la característica sólo tenía números pares y el resto de los números eran impares?
35
EJERCICIO 2 En el escritorio de un estudiante hay seis libros: historia, geografía, matemática, inglés, literatura y biología. !
Contestá:
a- ¿De cuántas maneras puede ordenarlos si sólo tiene 4 lugares en su escritorio? b- ¿Cuántas formas distintas existen de acomodarlos si el de historia debe ir junto con el de geografía, pero ahora sí, tiene lugar para todos?
EJERCICIO 3 Se consideran todos los números entre el 3000 y el 4000. Existen 1001 (ya que se incluyen los dos). !
Indicá qué porcentaje de estos 1001 números no contiene dígitos repetidos.
36
EJERCICIO 4 !
¿Cuántas anagramas de 6 letras se pueden formar con las letras: m, u, r, c, i, e, l, a, g, o., sin repetir ninguna?
EJERCICIO 5 Utilizando los números: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 y sin repetir ninguno !
Calculá:
a- ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar que sean múltiplos de 5? b- ¿Cuántos números de 5 cifras van a resultar múltiplos de 2? c- ¿Cuántos de 4 cifras van a ser menores que 5600?
37
HOJA DE REPUESTAS 3-2
EJERCICIO 1 a- V8,6= 8.7.6.5.4.3= 20.160 b- V3,2 .V5,4= (3.2).(5.4.3.2)= 720
EJERCICIO 2 a- V6,4= 6.5.4.3 = 360 b- Como el de historia debe ir junto con el de geografía, entonces se toman como si fuesen un solo libro. Entonces: V5,5 . 2= (5.4.3.2.1). 2 = 240 Se multiplica por 2, ya que puede estar el de geografía 1º y detrás el de historia o viceversa.
38
EJERCICIO 3 La cantidad de números que no contiene dígitos repetidos es: V9,3= 9.8.7= 504, que representa el 50,35 % (aprox.)
EJERCICIO 4 V10,6= 10.9.8.7.6.5= 151.200.
EJERCICIO 5 a- Para que los números sean múltiplos de 5 deben terminar en “5” o en “0”: 1º caso: supongamos que el número termina en “5”: 5 . 5 . 4 . 1= 100 no puede estar el “0”
se encuentra
(porque no sería de 4 cifras)
39
el número 5
2º caso: supongamos que el número termina en “0”: 6 . 5 . 4 . 1 = 120 se encuentra el número 0 Resultado final 100 + 120 = 220 b- Para que los números sean múltiplos de 2 deben terminar en 0,2,4,6: 1º caso: el número termina en “0”: 6 . 5 . 4 . 3 . 1 = 360 2º caso: el número termina en “2”: 5 . 5 . 4 . 3 .1= 300 3º caso: el número termina en “4”: 5 . 5 . 4 . 3 .1= 300 4º caso: el número termina en “6”: 5 . 5 . 4 . 3 .1= 300 Resultado Final: 360 +300+300+300= 1260. c- En este ejercicio también separaremos en casos: 40
Si el número comienza con 1
1 . 6 . 5 . 4 = 120
Si el número comienza con 2
1 . 6 . 5 . 4 = 120
Si el número comienza con 3
1 . 6 . 5 . 4 = 120
Si el número comienza con 4
1 . 6 . 5 . 4 = 120
Si el número comienza con 5
1 . 5 . 5 . 4 = 100
ya que no puede ponerse el “6”
Resultado Final: 120+120+120+120+100= 580.
41
4. VARIACIONES CON REPETICIÓN
Dado un conjunto de n elementos, puede calcularse la cantidad de subconjuntos ordenados de k elementos, elegidos entre los n dados que pueden formarse repitiendo elementos o sin repetirlos. Los subconjuntos ordenados que resultan sin repetir ninguno de los elementos se llaman variaciones sin repetición. En cambio, cuando sí se pueden repetir elementos, se llaman variaciones con repetición.
Resolvamos ahora el siguiente problema: ¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con 1, 2, 4, 5, 8 y 9? Representamos el número de tres cifras mediante 3 casilleros:
42
y luego ubicamos en cada casillero el número de opciones para cada cifra 6
6
6
luego, la cantidad total de números que pueden formarse es: 6.6.6 = 63 Esta cantidad representa el número de variaciones con repetición, de 6 elementos tomados de a 3, que se indican con el símbolo
V’6,3 Luego V’6,3 = 63 En general, la cantidad total de números de k cifras que pueden formarse con n números distintos es V’n,k = nk
Se lee:
Variaciones con repetición de n elementos
tomados de a k.
43
V’n,k = es la cantidad de subconjuntos ordenados de k elementos que pueden formarse con n elementos dados, pues: para el 1er elemento
n opciones
existen
para el 2do elemento existen
n opciones
para el 3er elemento existen
n opciones
para el k-enésimo elemento
existen
n opciones
Luego n
...........
n
1er elem.
n k-enésimo elem.
2do elem.
de donde
k V’n,k = n.n.....n 1 424 3= n k factores
Otro ejemplo: De un bolillero que contiene 9 bolillas numeradas del 1 al 9, se extraen 2 bolillas de la siguiente manera: se extrae la primera y se reintegra al boli44
llero, luego se extrae la segunda. (esta forma de extracción se denomina con reposición). Utilizamos dos casilleros para representar a la primera y a la segunda bolilla y colocamos el número de opciones para cada una 9
.
9
Luego el número de extracciones es V’9,2 = 92 = 81
45
EJERCICIOS 4-1
EJERCICIO 1 Con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 ¿cuántos números menores que 700 se pueden formar?
EJERCICIO 2 Calcular las distintas maneras de colocar las tres tres letras: A, B y C de tal forma que se agrupen de dos en dos.
EJERCICIO 3 a) ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con los dígitos 1, 3, 6, 9? b) ¿Cuántos de ellos son capicúas? c) ¿Cuántos de ellos son pares? d) ¿Cuántos de ellos capicúas menores que 3.000? 46
EJERCICIO 4
En una bolsa hay 20 números. Se sortean tres premios. Luego de sacar el primer numero se repone en la bolsa y se procede a sacar el segundo premio. Para el tercer premio se procede de igual manera. ¿De cuantas maneras distintas se pueden sacar los premios?
EJERCICIO 5 ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?
EJERCICIO 6 ¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?
47
HOJA DE RESPUESTAS 4-1
EJERCICIO1 258
EJERCICIO 2
9
EJERCICIO 3
a) 44 b) 4.4.1.1 c) 4.4.4.1 d) 1.4.1.1
EJERCICIO 4
Los premios se pueden sacar de 203 maneras distintas. 48
EJERCICIO 5 V’9,3 = 729
EJERCICIO 6 V’2,10 = 1024
49
EJERCICIOS 4-2
EJERCICIO 1 Seis personas viajan en un micro que tiene en su recorrido 10 paradas. ! ¿De cuantas maneras pueden bajarse del mismo?
EJERCICIO 2 El juego llamado ‘Prode’ consta de 15 partidos. En cada partido podés apostar local, visitante y empate. ! Determiná el número de pronósticos posibles que existen
50
EJERCICIO 3 !
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas (distintas de cero) del sistema decimal?
EJERCICIO 4 Ángel encontró en el subte un maletín; al llegar a su casa intentó abrirlo pero no lo logró. Se dio cuenta que el maletín estaba asegurado con una clave de cuatro dígitos. !
¿Cuántas combinaciones posibles existen para abrir el maletín si la clave posee cuatro dígitos?
EJERCICIO 5 A Martín le pidieron en el colegio que pintase una bandera de tres franjas, las cuales podrían ser del
51
mismo color o no. Martín tiene 9 colores distintos !
¿Cuántas banderas diferentes podrá realizar?
52
HOJA DE RESPUESTAS 4-2
EJERCICIO 1 1.000.000
EJERCICIO 2 14.348.907
EJERCICIO 3 729
EJERCICIO 4 10.000
53
EJERCICIO 5 729
54
5. COMBINACIONES
Dado un conjunto de n elementos, se puede calcular la cantidad de subconjuntos de k elementos elegidos entre los n dados (k ≤ n) que puedan formarse sin repetir elementos. Cada uno de estos subconjuntos recibe el nombre de combinación simple de n elementos tomados de a k elementos. A diferencia de las variaciones sin repetición, los conjuntos y subconjuntos de elementos, no son ordenados. Resolvamos ahora el siguiente problema: ¿De cuántas maneras distintas pueden seleccionarse 3 representantes en un curso de 25 alumnos? Consideremos 3 casilleros que deben ser llenados con los nombres de 3 posibles alumnos, elegidos entre los 25 del curso.
55
Existen V25,3 formas distintas de llenar los casilleros. Supongamos que una de ellas es: Gast贸n
Alberto
Ramiro
Observemos que se obtiene el mismo grupo de alumnos completando los casilleros en cualquiera de las formas siguientes: G
.
R
.
A
A
.
G
.
R
A
.
R
G
G
.
A
.
R
R
.
A
.
G
R
.
G
.
A
56
#
Como existen P3 = 3! Formas distintas de ordenar los nombres escritos en los casilleros y como todas ellas dan origen al mismo grupo de alumnos, resulta que al calcular V25,3 formas distintas de llenar los casilleros hemos contado 3! Veces el mismo grupo de alumnos.
#
Luego, la cantidad de formas distintas en que pueden seleccionarse 3 representantes en el curso es V25,3 P3
#
Observemos que cada grupo debe formarse sin repetir elementos pues, si un mismo alumno fuera seleccionado mĂĄs de una vez para integrar un mismo grupo, esto no estarĂa compuesto por 3 personas.
#
En general, dado un conjunto de n elementos, la cantidad de subconjuntos dis-
57
tintos de k elementos (k ≤ n) elegidos entre los n dados, sin elementos repetidos es: Vn , k
(1)
Pk Vn , k =
y como
n! (n − k )!
(1) puede escribirse n! k!(n − k )! k,n ∈ N,k ≤ n
este número recibe el nombre de número
n combinatorio n, k y se simboliza k n n! = k k!⋅(n − k )!
luego con k, n є N y k ≤ n Llamamos
n C n ,k = k
Combinaciones simples de n elementos tomados de a k.
58
EJEMPLOS Ejemplo uno ¿Cuántas extracciones distintas se pueden hacer tomando simultáneamente tres cartas de un mazo de 40 cartas?
40 40! 40.39.38.37! C 40,3 = = = = 9.880 37!.3! 3 (40 − 3)!3! es la cantidad de formas distintas en que pueden extraerse simultáneamente tres cartas. Ejemplo dos Adrián y su amigo fueron a un video club a alquilar 4 películas para el fin de semana. Adrián eligió 2 entre las quince de terror que encontró y su amigo 2 comedias entre las 8 que podía elegir. ¿Cuántos conjuntos distintos de películas podrían haber alquilado?
59
pel铆culas:
de terror
C15,2
comedias C8,2 Total de opciones: C15,2 . C8,2 = 2940 N贸tese que en los ejemplos dados no importa el orden de los elementos y no se pueden repetir elementos.
60
EJERCICIOS 5-1
1) Calculá a) C8,3 b) C5,2 c) C4,1 2) Con 30 personas ¿cuántos equipos de 5 personas se pueden formar? 3) ¿Cuántos triángulos determinan 5 puntos del plano tres a tres no alineados? 4) ¿De cuántas formas distintas puede elegir Fernando 2 películas en un video club entre las 10 que desea ver?
61
5) ¿De cuántas maneras se pueden repartir 15 libros distintos entre 3 personas asignándole igual número de libros cada una? 6) En una casa hay cuatro puertas al exterior ¿de cuántas maneras distintas puede quedar la casa abierta? 7) De un grupo de seis chicos y 4 chicas se desea formar un equipo con seis personas, 3 de cada sexo ¿cuántos equipos distintos se pueden formar?
62
HOJA DE RESPUESTAS 5-1
1) a) 56 b) 10 c) 4 2) C30,5 = 142506 3) C5,3 = 10 4) C10,2 = 45 5) C15,5 = 3003 6) C4,1 + C4,2 + C4,3 + C4,4 = 15 7) C6,3 . C4,3 = 80
63
EJERCICIOS 5-1
EJERCICIO 1 !
¿Cuántos equipos de fútbol de 11 jugadores se pueden formar en un curso de 34 alumnos?
EJERCICIO 2 En un grupo de 10 hombres y 10 mujeres ! ¿Cuántas comisiones de 6 personas se pueden formar con exactamente una mujer?
EJERCICIO 3 En una casa hay cuatro puertas al exterior ! ¿De cuántas maneras distintas puede quedar la casa abierta?
64
EJERCICIO 4 ¿De cuántas formas pueden sentarse 5 personas en un colectivo de 20 asientos?
!
EJERCICIO 5 Sabiendo que para confeccionar una boleta de Loto se eligen 6 números del 0 al 44. ! ¿Cuántas boletas de Loto se pueden jugar? Recordá:
n k
Cn,k = =
n! k!(n − k )!
65
HOJA DE RESPUESTAS 5-2
EJERCICIO 1 C34,11=286.097.760
EJERCICIO 2 10. C10,5=2.520
EJERCICIO 3 C4,1+ C4,2+ C4,3+ C4,4=4+6+4+1=15
EJERCICIO 4 C20,5=15.504
EJERCICIO 5 C45,6=8.145.060 66
6. NÚMERO COMBINATORIO – PROPIEDADES
n Se define número combinatorio Cn,k = k como n n! C n,k = = k k!⋅(n − k )!
Se lee
Combinaciones simples de n elementos tomados de a k
PROPIEDADES DEL NÚMERO COMBINATORIO
n
1) = 1 0
pues
n n! n! = = =1 0 (n − 0)!.0! n!
67
0 2) = 1 0
0 0! =1 pues = 0 (0 − 0)!0!
n 3) = 1 n
n n! n! pues = = =1 n (n − n)!n! 0!n!
n n 4) = k n − k Desarrollando el segundo miembro se tiene:
n n n! n! = = = n − k (n − k )![n − (n − k )!]! k!(n − k )! k n n y se llaman números combinatorios k n − k complementarios.
n + 1 n n = + 5) k k k − 1
68
Desarrollando el segundo miembro se tiene:
n n n! n! + = + = k k − 1 k!(n − k )! (k − 1)![n − (k − 1)]! n!(n − k + 1) n!k + = k!( n − k + 1)! k!(n − k + 1)! n1(n − k + 1) + n!k n!(n − k/ + 1 + k/ ) (n + 1) = = = = k!(n − k + 1)! k!(n − k + 1)! k!(n + 1 − k )! =
n + 1 = k
EJEMPLOS:
5 + 1 5 5 = + 3 1 2 9 8 8 = + 3 3 2
69
EJERCICIOS 6-1
EJERCICIO 1 Calculá: a) C7,5 = b) C8,5 = c) C4,1=
d) C1,1 =
EJERCICIO 2 Teniendo en cuenta las propiedades del número combinatorio, indicá si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. En caso de ser falsas, justificá tu decisión. 8 7 7 a) = + 1 1 0
70
4 b) = 1 0 4 4 4 c) = + 2 2 1
3 d) = 3 3
8 8 e) = 3 5
71
HOJA DE RESPUESTAS 6-1
EJERCICIO 1 a) 21 b) 56 c) 4 d) 1
EJERCICIO 2 a) V b) V c) F d) F e) V
72
EJERCICIOS 6-2
EJERCICIO 1 !
Calculá los siguientes números combinatorios
12 a- 2 7 b- 3 18 c- 1
EJERCICIO 2 !
Aplicá las propiedades y luego calculá
15 a- 13
73
20 b- 17
EJERCICIO 3 !
Resolvé
7 4 a- + = 6 3 4 5 5 b- + − = 0 1 4
EJERCICIO 4 !
Verificá la siguiente igualdad
8 8 9 + = 3 4 4
74
EJERCICIO 5 !
Determiná si los siguientes pares de números combinatorios son o no complementarios
5 5 a- y 1 4 10 10 b- y 3 2 5 5 c- y 2 3
75
HOJA DE RESPUESTAS 6-2
EJERCICIO 1 a- 66 b- 35 c- 18
EJERCICIO 2 a- 105 b- 1140
EJERCICIO 3 a- 11 b- 1
76
EJERCICIO 4 La igualdad se cumple.
EJERCICIO 5 a- Si son números complementarios b- No son números complementarios c- Si son números complementarios
77
7. BINOMIO DE NEWTON. EJERCICIOS 7-1
EJERCICIO 1
1 Calculá el sexto término de x + 2
8
EJERCICIO 2 Calculá el cuarto término de (x + 2)
7
EJERCICIO 3 Desarrollá con la formula de Newton la siguiente potencia (x + 3)
6
78
EJERCICIO 4 Calculá el término de grado 19 en el desarrollo
3 1 2 2x − x 2
8
EJERCICIO 5 Hallá la potencia a que fue elevado el binomio n
1 2 3 x − 2 x si su séptimo término es de grado 2 26.
79
HOJA DE RESPUESTAS 7-1
EJERCICIO 1
7 3 x 4
EJERCICIO 2
280x 4
EJERCICIO 3 ( x + 3) 6 = x 6 + 18 x 5 + 135 x 4 + 540 x 3 + 1215 x 2 + 1458 x + 729
EJERCICIO 4 -14x19; k=5
80
EJERCICIO 5 n=10
81
8. COMBINATORIA, FACTORIAL DE UN NÚMERO. EJERCICIOS 8-1
EJERCICIO 1 !
Simplificá las expresiones (utilizando la propiedad del Nº factorial) y calculá: a-
3!.10! = 8!.4!
b-
12!.4! = 14!.2!
EJERCICIO 2 !
Resuelve las siguientes ecuaciones: a-
( x + 1)!.10! = 900 8!.x!
b-
(n − 1)!.5! =2 n!.3!
82
EJERCICIO 3 !
Expresa en lenguaje simbólico y responde de qué número se trata: Si al factorial de un número se lo
a-
multiplica por el factorial de 5 se obtiene como resultado el factorial de 6. b-
Si al doble del factorial de un número se lo divide por el factorial del siguiente de ese número se obtiene como resultado 2/3.
EJERCICIO 4 Respondé V ó F justificando.
n!+(n + 1)! = n+2 n!
83
EJERCICIO 5 !
Descubrí cuál es el error y corrígelo:
4! 4.3.2.1.0! = = 3.1.0 = 0 8 8
84
HOJA DE RESPUESTAS 8-1
EJERCICIO 1 a-
45 2
b-
6 91
EJERCICIO 2 a- x = 9 b- n = 10
EJERCICIO 3 a- n = 3 b- n = 2
85
EJERCICIO 4 Verdadero. Fij谩te que
n!+(n + 1)! n!+(n + 1).n! n!(1 + n + 1) = = = n+2 n! n! n!
EJERCICIO 5 El error que se comete es suponer que 0!=0 cuando, en realidad, 0!=1 (por definici贸n).
86