USMP - FIA
Calculo 1 Clase integral para la PC4 1. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.
p a) La función f ( x ) = x − px + k , para x > 0 , con p y k constantes y
p > 1 , alcanza un mínimo relativo en x = 1 .
b) Si f ( x ) > 0 y f ' ' ( x ) > 0 ∀x ∈Domf , entonces g ( x ) = [ f ( x ) ] cóncava hacia arriba.
2.
Dada la función f : R → R , f ( x ) =
f '( x) =
x−2 3
x ( x − 3)
2
y f '' ( x ) =
3
2
es
x 2 ( x − 3) de la cual tenemos que −2
x ( x − 3 ) 3 x ( x − 3)
2
.
Se pide: a) Halle el Dom f y sus puntos de intersección con el eje x. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Máximos y mínimos. d) Intervalos de convexidad y concavidad así como los puntos de inflexión. e) Bosquejar la grafica de f 3. Trace la gráfica de la función f ( x) = x 3 x − 4 . En su proceso de solución debe indicar dominio, asíntotas, números críticos, intervalos de crecimiento o decrecimiento, puntos de extremo local, intervalos de concavidad y puntos de inflexión. Datos: f ′( x ) =
4( x − 3) 4( x − 6 ) f ′′( x) = 2 y 5 3 ( x − 4) 3 9( x − 4 ) 3
4.
Una función
, continua en R, es tal
y ’
-2
-5
que
2
4
x
f
f ( 0 ) = f ( 4 ) = 1, f ( 2) = 0 , f ( − 5 ) = 3 , f ( − 2) = 5
La figura adjunta muestra la gráfica de la función y = f '( x ) .
Determine: a)
Los valores críticos y los valores extremos relativos de f .
b)
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
c)
Los intervalos de concavidades hacia arriba y hacia abajo y los puntos de inflexión de la gráfica de f .
d)
Un bosquejo de una gráfica apropiada para y = f ( x ) .
2 5. Determine c suponiendo que la gráfica de f ( x) = cx +
1 x2
tiene un punto
de inflexión en (1, f (1)) . Además grafique la función f indicando las asíntotas, máximos y mínimos relativos, concavidades y puntos de inflexión 6. Determine a y b para que la grafica de la función f ( x ) = a x + un punto de inflexión en ( 1 , 4 ) . 7. Se considera
f ( x) = ax 4 −
9x 2 +b 2
b tenga x
a) Calcular el valor de los parámetros a y b para que f(x) tenga un mínimo en el punto (3 , -8). b) Para a = 4 y b = 0, calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). 8. 9. Determine dos números cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo 10. Calcule el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo si la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm. 11. Las páginas de un libro deben medir cada una 600 cm 2 de área. Sus márgenes laterales y el inferior miden 2 cm. y el superior mide 3 cm. Determine las dimensiones de la página que permitan obtener la mayor área impresa posible 12. Determine los puntos de la grafica de la función y 2 = 2(1 − x ) situados a menor distancia del punto (0 ,0 ).
que
están
12 cm
13. Calcular el volumen máximo del cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de 12 cm de altura y 4 cm de radio en la base, de manera que los ejes del cilindro y del cono coincidan.
4 cm
14. Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 10 cm 3. El largo de su base es el doble del ancho. Si el material para la base cuesta 10 nuevos soles por metro cuadrado y el material para los costados 6 nuevos soles por metro
cuadrado, ¿cuál es el costo total mínimo para fabricar dicho recipiente? Justificar que tal costo es el mínimo. 15. Un granjero tiene 200 m de tela metálica que va a utilizar para tres lados de un corral rectangular; se va a usar un muro recto que ya existe como cuarto lado del corral. ¿Qué dimensiones maximizaran el ·rea del corral?