MATEMÁTICAS CONTENIDO. 1.0 Aritmética 1.1 Números reales 1.2 Divisibilidad 1.3 Operaciones con números racionales 1.4. Razones y proporciones 1.5 Regla de tres 1.6 Tanto por ciento 2.0 Algebra 2.1 Propiedades y definiciones 2.2 Leyes de los signos 2.3 Signos de agrupación 2.4 Evaluación de expresiones algebraicas 2.5 Lenguaje algebraico 2.6 Leyes de los exponentes 2.7 Operaciones Algebraicas 2.8 Radicales 2.9 Productos notables 2.10 Factorización 3.0 Ecuaciones 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita 3.2 Desigualdades de primer grado con una incógnita 3.3 Sistema de ecuaciones 2 ecuaciones con 2 incógnitas 3.4 Sistema de ecuaciones 3 ecuaciones con 3 incógnitas 3.5 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 4.0 Algebra de Funciones 4.1 Dominio y rango 4.2 Funciones y relaciones 4.3 Funciones logarítmicas y exponenciales 5.0 Geometría Euclidiana 5.1 Ángulos complementarios y suplementarios 5.2 Conversión de grados a radianes y viceversa 6.0 Trigonometría 6.1 Teorema de Pitágoras 6.2 Funciones trigonométricas 6.3 Identidades trigonométricas 7.0 Recta 7.1 Distancia entre dos puntos 7.2 Punto medio del segmento de recta 7.3 Pendiente de la recta 7.4 Ecuación de la recta 7.5 Paralelismo y perpendicularidad 8.0 Circunferencia 8.1 Forma canónica 8.2 Forma general
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9.0 Parábola 9.1 Horizontal y vertical con vértice en el origen 9.2 Horizontal y vertical con vértice fuera del origen 10.0 Elipse 10.1 Horizontal y vertical con vértice en el origen 10.2 Horizontal y vertical con vértice fuera del origen 11.0 Hipérbola 11.1 Horizontal y vertical con centro en el origen 11.2 Horizontal y vertical con centro fuera del origen 12.0
Ecuación general de segundo grado 12.1 Identificación de cónicas
13.0 Cálculo Diferencial 13.1 Funciones y límites 13.2 Derivadas algebraicas 13.3 Derivadas trigonométricas 13.4 Derivadas logarítmicas 13.5 Derivadas exponenciales 13.6 Derivadas implícitas 13.7 Interpretación física y geométrica de la derivada 13.8 Máximos y mínimos 14.0 Cálculo Integral 14.1 Integral inmediata 14.2 Integral definida 14.3 Aplicación de integral definida (área bajo la curva) 14.4 Método de integración por cambio de variable 14.5 Método de integración por partes
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UNIDAD 1. ARITMÉTICA 1.1 Números Reales Pr imos Naturales Compuestos Positivos Enteros Cero Negativos Reales Pr opios Racionales Im propios Mixtos Irracional es
-
-
Naturales: Son los que se utilizan para contar. 1,2, 3, 4, 5,……, 19, 20, 21,……… Primos: Son los números que solo son divisibles entre si mismos y la unidad. Ejem: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,………… Compuestos: Son los que no son primos, es decir que tienen más divisores Ejem: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22,………… Enteros: Son los números positivos, negativos y el cero. Ejem: 1,-2, 0, 4, -5, etc,… Racionales ó Fraccionarios: Son los números compuestos por un numerador y un divisor. o Propios: Números cuyo denominador es mayor que el numerador de una fracción. 8 15 2 1 3 Ejem: , , , , 9 33 3 6 4 o Impropios: Números cuyo denominador es menor que el numerador de una fracción. 9 33 3 6 4 Ejem: , , , , 8 15 2 1 3 o Mixtos: Números compuestos de números enteros y propios. 2 1 3 8 15 Ejem: 2 , 3 , 8 , 5 , 9 3 6 4 9 33 Irracionales: Son los números que en su forma decimal son una serie infinita de dígitos. 3 2 7 Ejem: , 5 , , , , 3 4 2 2 2
Propiedades de los números reales Propiedad Cerradura Conmutativa
Suma ab ab ba
Producto ab
ab ba
Asociativa
a b c a b c
a b c a b c
Distributiva Neutro
a0a
a 1 a
a a 0
1 a 1 a
Inverso
ab c a b a c
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Recta Numérica Todos los números reales se pueden representar en la recta numérica. 1 3 1 6 7 , 1 , , 4 Ejem: Representar en recta numérica: , , 0.75, , 4 2 2 7 3
6 7
1
-3
1 2
-2
1 4
3 2
-1
0
0.75
4
1
7 3
2
3
4
1.2 Divisibilidad Los principales criterios de divisibilidad son: Divisibles entre 2: Todos los números pares. Ejem. 2, 4, 6, 8, 10,….. Divisibles entre 3: Suma de sus dígitos son: 3, 6 ó 9. Ejem. 543 = 5+4+3 = 12 = 1+2 = 3 Divisibles entre 5: Todos los números terminados en 5 ó 0. Ejem. 235, 520, 1425, etc. Mínimo común múltiplo (m.c.m.).- Es el número menor de los múltiplos en común de un grupo de números. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los números hasta que todos sean uno y se multiplican los primos obtenidos. Ejem: Calcular el m.c.m. de 15, 30 y 60 El m.c.m. de 14, 28, 30 y 120 15 15 15 5 1
30 15 15 5 1
60 30 15 5 1
2 2 3 5
m.c.m.= 2(2)(3)(5) = 60
14 7 7 7 7 7 1
28 14 7 7 7 7 1
30 15 15 15 5 1 1
120 60 30 15 5 1 1
2 2 2 3 5 7
m.c.m. = 2(2)(2)(3)(5)(7) = 840
Máximo común divisor (M.C.D.).- Es el número mayor de los múltiplos en común de un grupo de números. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los números hasta que no tengan un divisor primo común y se multiplican los primos obtenidos. Ejem: Calcular el M.C.D. de 15, 30 y 60 El M.C.D. de 14, 28, 30 y 120 18 6 2
27 9 3
36 12 4
3 3
M.C.D.= 3(3) = 9
15 3 1
90 18 6
30 6 2
60 12 4
5 3
M.C.D. = 5(3) = 15
1.3. Operaciones con números racionales: Suma y resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de los diferentes denominadores, y se divide entre cada denominador y multiplicando por cada numerador. Al final los números obtenidos se suman o restan, dependiendo del caso. Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces solo se suman o restan los numeradores.
Ejem:
1 3 1 6 9 4 11 2 4 3 12 12
Ejem:
2
1 3 1 7 33 7 14 33 21 26 13 1 5 3 4 3 6 2 3 6 2 6 6 3 3 Pag. 143
Multiplicación de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador y denominador por denominador. 5 2 10 Ejem: 7 3 21 Ejem:
4 2 2 12 11 132 44 8 2 3 5 3 5 3 15 5 5
División de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundo denominador, colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primer denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en el denominador. 7 2 21 5 1 Ejem: 8 3 16 16 Ejem:
5
2 1 37 7 111 13 2 2 7 3 7 3 49 49
Potencia y Raíz Potencia: Es el número de veces en que debe multiplicarse la base por si misma, según su exponente. Ejem:
4
2 2 2 2 16 2 3 3 3 3 81 3
43 44 4 64
Raíz: Es el valor que al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el índice, se obtiene el valor que esta dentro del radical. Ejem:
3
27 3
Ejem:
5
1024 4
porque porque
33 3 27
44 4 4 4 1024
1.4 Razones y Proporciones Razón: Es el cociente de dos números, es decir una fracción, donde el numerador se llama antecedente y al denominador consecuente. La razón se representa como sigue: 3 Ejem: ó 3:4 4 Proporción: Es la igualdad de dos razones. La razón se representa como sigue: 7 14 ó 7 : 3 :: 14 : 6 Ejem: 3 6 donde los números 7 y 6 son extremos y los números 3 y 14 son medios. 1.5 Regla de Tres Regla de tres directa ó Proporción directa.- Cuando comparamos dos razones del mismo tipo establecemos una equivalencia, obtenemos una proporción, es decir, si una aumenta o disminuye, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. Ejem: Si en una empresa un empleado gana $4400 por 20 días trabajados. ¿Cuanto ganará por 30 días? 4400 20 x 30
x
$4400 30 días $6600 20 días
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Regla de tres inversa ó Proporción inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de los parámetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy claro en casos de producción con respecto al tiempo. Ejem: Si en una empresa 20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 días. ¿Cuantos obreros se requieren para producir la misma cantidad de fusibles en 4 días? 20 obreros 4 días x 5 días
x
20 obreros 5 días 25 obreros 4 días
1.6 Tanto por Ciento Definición: Es una fracción cuyo denominador es 100, es decir la centésima parte de algo. Se expresa con el símbolo %. Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar por una fracción o por un decimal equivalente. 18 9 Ejem: 18% 0.18 100 50 335 67 33.5% 0.335 1000 200 Cálculo del porcentaje: Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en forma decimal. Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 1655 1450(0.32) = 464
1655(0.03) = 49.65
También se puede obtener un número en específico con regla de tres directa. Ejem: Hallar el número del cual 400 es el 8% 400 8% 400 100 % x 5000 x 100 % 8% Ejem:
Hallar el número del cual 4590 es el 60% 4590 60% 4590 100 % x 7650 x 100 % 60%
También se puede aplicar para resolver problemas como los siguientes:. Ejem: Un vendedor recibe de comisión el 12% por venta realizada. Si vende mercancía por un total de $44000. ¿Cuanto recibirá de comisión? $44000(0.12) = $5280 Ejem: Un producto que cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una ganancia del 8.5%. ¿En cuanto debe venderse? $120 100 % $120 108 .5% x $130 .20 100 % x 108 .5%
Reactivos Unidad 1: 1.
¿Cuál de las siguientes expresiones, es un número racional?
a)
3
2. a) 3. a)
b)
5
c)
9
¿Cuál de las siguientes expresiones, es un número irracional? 1 c) b) 5 0.5 2
d) 2
e)
d)
16
e)
d)
48
e)
2
25 5
Simplificando la expresión 15 72 11 se obtiene: 68
b)
48
c)
78
78
Pag. 145
Al simplificar la expresión
204 1 138 2 se obtiene: c) 178
4. a)
22
5. a)
¿Cuál es el resultado desimplificar la expresión, 3 23 1 4 ? b) 5 c) 17 11
6.
¿Entre que letras está la ubicación del número:
b)
a) A y B 7.
8.
ByC
Si a es un número donde a < 0 entonces: 1 1 a) b) 0 0 a a
d) 22
e)
d) 11
e) 17
d) C y D
e) D y E
12
15 ? 13
c) B y D
c)
1 0 a
d) a 0
e)
1 1 a
c)
1 10
d) –10
e) 0
d) – 40
e) – 90
El inverso de – 10 es: a)
9.
b)
178
1 10
b) 10
¿Qué número es mayor que –50? a)
– 60
b) – 80
10. ¿La expresión de desigualdad correcta es? 2 4 2 1 a) b) 3 5 9 6
c) – 70
c)
7 1 4 2
d)
11. ¿Qué números de la siguiente tabla son divisibles entre nueve? A 702 F 954 K 101 B 425 G 271 L 529 C 308 H 81 M 2 700 D 179 I 413 N 3 504 E 873 J 360 O 2 708
9 1 2 8
P Q R S T
e)
5 7 4 9
95 481 85 788 15 203 12 006 24 210
a) A, C, D, G, I, J, L, O, S, T
b) B, C, E, G, H, J, N, O, R, S
c) A, E, F, H, J, M, P, Q, S, T
d) A, B, D, F, H, J, K, L, O, T
e) A, C, F, I, N, P, Q, R, S, T 12. Encuentra el m.c.m. y M.C.D. de los siguientes números a. 120, 60, 30 b. 48, 24, 12, 6 c. 35, 70, 5
d. 15, 30, 45
a) a: 60 y 30,
b: 12 y 6,
c: 35 y 70,
d: 30 y 45,
e: 70 y 25
b) a: 120 y 60,
b: 48 y 24,
c: 5 y 70,
d: 45 y 30,
e: 25 y 70.
c) a: 60 y 120,
b: 24 y 48,
c: 5 y 35,
d: 15 y 30,
e: 70 y 5
d) a: 120 y 30,
b: 48 y 6,
c: 70 y 5,
d: 90 y 15,
e: 1050 y 5
e) a: 30 y 120,
b: 6 y 24,
c: 70 y 35,
d: 15 y 45,
e: 1050 y 25
e. 25, 30, 70
Pag. 146
7 5 2 12 18 9
13. ¿El resultado de la operación 13 18
a)
38 36
b)
c)
14. ¿El resultado de la operación 28 36
a)
b)
28 36
b)
1
16.
b)
b)
a) 3
18. La expresión a)
2 2
12 2 2
19. La expresión a)
12
1 2 1 3 2
3
e)
11 12
d)
15 36
e)
3 4
2 3
d)
1 3
e)
9 10
d)
7 5
e) 1
1 3
d)
es?
es?
1 4 1 4
1 2 1 2
1 6
se obtiene?
c)
se obtiene?
c)
2 3
e) 3
es equivalente a: b) 12 2 12 2
b) x 2
20. Si tenemos 42
2
c) 12
d) 12 212 2
e) 12 2 2
b) 22
81
c) x
1 2
d) x 2
e) x
d) 46
e) 28
en que inciso encontramos una expresión igual.
2
21. La expresión 243 a) 162
3 4
40 36
x es igual a:
1 x2
a) 4
1 3
d)
c)
5 7
17. ¿Al simplificar la expresión
13 12
c)
1 3
¿Al simplificar la expresión
a) 3
7 5 13 12 9 18
22 16 24 44
15. ¿El resultado de la operación a)
es?
c) 48
2 4
es igual a: 9 b) 81
c)
81 9
d)
243 9
e)
27 243
22. Al simplificar la raíz cuadrada de 160 encontramos que es igual a: a) 4 10
b) 2 10
c) 10 2
d) 4 5
23. Si tenemos la raíz cuadrada de x y como resultado exacto da 18 ¿Cuál es el valor de x? a) El doble de 18 b) El cuadrado de 18 c) El tercio de 18 d) La mitad de 18
e) 10 4 e) La potencia cuarta de 18
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a)
24. Un agricultor cosecho en su parcela la producción de naranja, obteniendo un total de 3200 costales con un peso de 40 kg. cada uno ¿Cuál fue el peso total en kg de su producción? a) 1280 b) b) 800 c) 12800 d) 80 e) 128000 25. Si se vende un caballo en $84, ganando $18,¿Cuánto había costado? a) 66 b) 35 c) 69
d) 99
e) 20
26. Dos hombres realizan una obra por $60 y trabajan durante 5 días. Uno recibe un jornal de $4 diarios. ¿Cuál es el jornal del otro? a) $10 b) $12 c) $14 d) $ 8 e) $15 27. De la central camionera parten diariamente 725 autobuses con 42 pasajeros cada uno. Si durante 15 días se mantuvo la misma demanda de pasajeros ¿Cuántas personas salieron de dicha central? a) 456,570 b) 654,750 c) 564,750 d) 456,750 e) 456,057 28. Rosa tiene una tienda de mascotas y vende perritos, hay 15 french que cuestan $380 c/u, 10 rot wailler que cuestan $275 c/u, 5 cocker spanish que cuestan $315 c/u. ¿Cuánto ganaría si vende 3 cocker y 8 french?, y ¿Cuánto ganaría si vendieran todos los perritos? a) $3985, $10,025 b) $3654, $10,00 c) $3645, $10,055 d) $3456, $10,250 e) $3564, $10,052 29. Julio compró 25 pelotas de $14 c/u, 13 camioncitos de $12.50 c/u y 12 muñecas de $10 c/u, pagó con dos billetes de $500 ¿Cuánto fue el total pagado por los juguetes y cuanto le dieron de cambio? a) total $367.50, cambio $632.50 b) total $632.50, cambio $367.50 c) total $512.50, cambio $487.50 d) total $487.50, cambio $512.50 e) total $650.00, cambio $ 350.00 30. Un depósito cilíndrico para almacenar agua, mide 45 m. de altura y de radio de su base es igual a 2 m. ¿Cuántos litros de agua aproximadamente se requieren para llenar a su máxima capacidad el depósito? a) 655,486 b) 565,487 c) 565,684 d) 56,846,767 e) 556,846,767 31. Un atleta camina en la 1ra. hora 8 la longitud total recorrida? 13 24 a) 26 b) 28 24 13
3 2 5 1 km., en la 2da. hora 7 km ,en la 3ra. hora 6 km y en la 4ta. hora. 5 . ¿Cuál es 4 3 8 2
c) 24
13 28
d) 28
13 24
e) 24
28 13
32. Toño compro una caja de galletas que contiene 20 paquetes con 6 galletas c/u , invito a sus amigos Julian, Paco y Judith les dio igual cantidad de paquetes él se quedó con 30 galletas ¿Cuántos paquetes le dio a cada uno? a) 5 paquetes b) 4 paquetes c) 6 paquetes d) 7 paquetes e) 8 paquetes 33. La proporción equivalente a 72:18 es: a) 64:16 b) 65:13
c) 57:45
d) 34:68
e) 30:10
34. 666 minutos es ______________ que 1/14 de semana, 666 horas es____________ que 28 días a) más tiempo – menos tiempo b) menos tiempo – más tiempo c) menos tiempo – menos tiempo d) más tiempo – igual tiempo e) más tiempo – más tiempo. 35. Don Paco compró un motor en $10,483.70, si éste tenía el 18% de descuento, ¿Cuál era el precio original del motor? a) $8,884.50 b) $12,366.66 c) $12,370.00 d) $12,785.00 e) $13,660.00 1 36. Los resultados de un examen de matemáticas de un grupo de segundo de secundaria fueron los siguientes: obtuvieron 10 8 1 1 de calificación, obtuvo 9, sacaron 8 ¿Qué fracción del grupo obtuvo menos de 8 de calificación? 4 3 24 3 7 4 3 a) b) c) d) e) 7 12 24 27 21 Pag. 148
37. Rodolfo acompaña a su mamá al mercado cargo una bolsa con el siguiente mandado: 1
1 3 kg de carne, kg. de queso y 2 4
3 kg de fruta, pero su mamá se ofrece ayudarlo con 1 kg. de fruta ¿Cuánto cargo en total Rodolfo? 4 3 1 a) 3 kg b) 4 kg c) 3 kg d) 5 kg e) 4 kg 4 2 1
38. En una escuela hay 960 alumnos, de los cuales 336 son hombres ¿Cuál es el porcentaje de mujeres? a) 65%
b) 35%
c) 75%
d) 45%
e) 46%
39. Juanito junto dinero para comprar una bicicleta. Su tío le dio $50 con los cuales compró una pelota que le costo $ 10, su tía le dio $100 con los cuáles compro una bolsa de canicas que le costó $6, colores para dibujar, que le costaron $15, un chocolate de $ 7 y una paleta de $ 2. Su mamá le dio $ 200 y su papá $300 ¿Cuánto le falta para poder comprar una bicicleta si ésta cuesta $1,625? a) $1005 b) $1150 c) $1010.50 d) $1015 e) $1105 40. En la ciudad las temperaturas registradas durante una semana fueron las siguiente 1.2º, 2º, 3.1º, 0º , 3.5º y 1.3º . ¿Cuál es el promedio de temperaturas?. a) 5.81º b) 8.15º c) 1.85º d) 18.5º e) 15.8º
Pag. 149
UNIDAD 2.
ALGEBRA
2.1 Propiedades y Definiciones Término Algebraico.- Es la expresión algebraica, que se compone de: signo, coeficiente, base ó literal y exponente.
base o literal signo
exponente
-5x2 coeficiente Término Semejante.- Es la expresión algebraica, que se compone de misma base y mismo exponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes. 4x3 4 a3b2 7
Ejem: Ejem:
5x3 5 3 2 a b 3
es semejante a es semejante a
Clasificación de Términos Algebraicos.- Se clasifican según su número de términos, de la siguiente manera: Monomio
= un solo término
Ejem: 3 x 3
Binomio
= dos términos
Ejem: 7 x 2 3 x
Trinomio
= tres términos
Ejem: 2x 2 3 x 9
Polinomio
= 2 ó más términos
Ejem: 2x 3 4 x 2 5 x 8
2.2 Leyes de los signos Suma y Resta:
Signos iguales, conservan su signo y se suman
Ejem:
4 8 12
Ejem:
3 18 21
Ejem:
3 x 10 x 13 x
Ejem:
8 y 2 12 y 2 20 y 2
Signos diferentes, signo del mayor y se resta el mayor menos el menor
Ejem:
12 22 10
Ejem:
3 18 15
Ejem:
15 x 20 x 5 x
Ejem:
5 y 2 12 y 2 7 y 2
Ejem:
3 5 15
Multiplicación y División:
Ejem: Ejem:
Signos iguales, siempre es Signos diferentes, siempre es
125 60
8 4 32
Ejem:
9 6 54 Pag. 150
2.3 Signos de Agrupación Definición.- Son los signos que nos sirven para agrupar términos u operaciones entre ellos, los principales son: Paréntesis Llave Corchete Cuando se aplican en operaciones, el objetivo es suprimirlos multiplicando por el término ó signo que le antecede. Si en una expresión matemática existen varios signos de agrupación, se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera. Ejem:
4 3 5
Ejem:
4 2
7 45 7
7 20 7
42
7 13 7 13 20
2
Ejem:
7 43 8 7
9 4x 2x x 6 x 3 x 1
9 4x x 13 x 9 4x x 13 x 9 4x 14 x
9 4 x 2x 2 12 x 3 x 2 x
2
2
2
9 4 x 2 56 x
2.4 Evaluación de expresiones algebraicas El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o literales por un valor específico. Ejem:
Si x =2 & y = -1 de la expresión: 3 x 2 5 xy y 2 sustituyendo:
Ejem:
Si a
2 1 & b 2 3
sustituyendo:
322 52 1 12
34 10 1 12 10 1 1
de la expresión: 2a2
3 1 ab 4 4
2
3 1 2 1 1 2 2 4 2 3 4 1 3 1 2 1 2 4 4 2 3 4 2 6 1 4 24 4 1 1 1 2 4 4
Pag. 151
2.5 Lenguaje algebraico Definición.- Es la forma de expresión común o coloquial que se expresa de forma algebraica. Ejem: Un número cualquiera Un número cualquiera aumentado en dos La diferencia de dos números cualquiera El triple de un número disminuido en cuatro
x x2 xy 3x 4 a 4 3 b c 4 x x 1 x 2 2 b 4 24 5
La cuarta parte de un número Las tres cuartas partes de la suma de dos números La suma de tres números naturales consecutivo Las dos quintas partes de un número disminuido en cuatro es igual a 24 La suma de tres números pares consecutivos, es igual al cuádruple del menor más la mitad del mayor
x x 2 x 4 4 x
x4 2
2.6 Leyes de los Exponentes
x a x b x ab
Multiplicación: Ejem:
2 32 2 2 3 2 2 5 xa
División:
Potencia
26
22
x
a b
3 3 3 2
1
Inverso:
x
Ejem:
a
1 2
2
x0 1
Unitario: Ejem:
13
0
1
ab
3 2
36
x a 2
Ejem:
x
2
ó
x7
x2
x7 2 x5
Multiplicar los exponentes Ejem:
1
x a
x 2 x 5 x2 5 x 7
Restar los exponentes
2 6 2 2 4
: Ejem:
Ejem:
x a b
xb
Ejem:
Sumar los exponentes
xa
x x 5 3
5 3
x 15
Cambiar signo de exponente Ejem:
1 x
2
x2
Siempre es igual a uno Ejem:
y 0 1
Pag. 152
2.7 Operaciones algebraicas Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar términos semejantes. Ejem: Sumar 3a 5b & 2a 3b 3a 5b 2a 3b 3a 5b 2a 3b a 2b Ejem:
4a 8b de 6a 7b 6a 7b 4a 8b
Restar
6a 7b 4a 8b 2a b
Multiplicación.- La operación algebraica de multiplicar, básicamente puede efectuarse, como sigue: Monomio por monomio Ejem:
2ab 3a bc 23 a a b b c b c 6 a 2
4
2
1
1 4
4
2
2 1
1
2
2
6a5b3c 2
Monomio por polinomio Ejem:
2x 3x x 2 2x 3 x 2x x 2x 2 23 x x 21 x x 2 2 x 2x 4x 6 x 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2 1
6 x 4 2 x 3 4 x
Ejem:
4a b 3a b 6a b 4a b 3a b 4a b 6a 12a b 24a b 12a b 24a b 2 6
2 1
2 6
2 1
3 2
2 6
2 2 6 1 4 7
3 2
b
2 3 6 2
1 4
12a 4b 7 24a 1b 4
12a 4 b7
24 ab 4
Polinomio por polinomio Ejem:
2x 3 x 2 2x 1 2x x 2 2x 1 3 x 2 2x 1 21 x x 2 2 2 x x 21 x 3 1 x 2 3 2 x 3 1 2x1 2 4 x11 2x 3 x 2 6 x 3 2x 3 4 x 2 2x 3 x 2 6 x 3 2x3 7 x 2 8 x 3
Pag. 153
División.- La operación algebraica de dividir, básicamente puede efectuarse, como sigue: Monomio entre monomio 30a3b2
Ejem:
12a2b 4
30 3 2 2 4 a b 12 5 ab 2 2
2a bc 3ab
3 3
2
Ejem:
2 2
23 a6b3c 9
32 a2b 4 8 a 6 2 b3 4 c 9 9
5a
2b2
8a 4b 1c 9 9
8a 4c 9 9b
Polinomio entre monomio
12 x 3 6 x 2 18 x 6x
Ejem:
12 x 3 6 x 2 18 x 6x 6x 6x
2 x 3 1 1 x 2 1 3 x11 2x 2 x 3
Polinomio entre polinomio Ejem:
x 2 2x 15 x3
x 5 x 2 2x 15
x3
Θ x2 x x
x x 3
x2 3x 5 x 15 Θ
5x 5 x
5x 3
5 x 15 0
2.8 Radicales Propiedades de los radicales: Índice = potencia:
a
x
a
a xa
x
2
Ejem:
42 4 2 4
Ejem:
3
3
23 2 3 2
Pag. 154
b
Índice ≠ potencia: Ejem:
3
a
xa x b
6
46 4 3 42 16
Ejem: a
Multiplicación con mismo índice: Ejem: Ejem:
a
3
3 2 5 4 3
32 23 6 98 6 72
2 4
5 4 32 8 625 9 8 5625 ab
34
30
3 4
2 3 32 3 2 32 3 64 4
192
Ejem:
3
3
16 3
9
5
125
a
x
a
y
a
Ejem:
2 3
643 16
3 9
2
59 125
6
3
2 2
6 3 4 2
27
a
x
b
y
6
59
5
3 3
ab 218 2
8
27
223
2 5
223 10 223
x y
192 64 8 3
5
Ejem:
División con índices diferentes: 64
x ab x
30 12 30
División con índices iguales:
Ejem:
3
x b y ab x b y a
3 2
Raíz de una raíz:
Ejem:
Ejem:
4 28 2 18 42 2818 8 74 92 8 7 22 32 2 823 72 48 14
Ejem:
Ejem:
28 2 4 22 4
x a y a xy
2 8 2 8 16 4
Multiplicación con diferente índice: Ejem:
8
4
3
250 3
2
3
250 3 125 5 2
xb
ya 6
3
3
210 25 2 22 23 4
59 59
27
50 27 1 1
Operaciones con radicales: Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar radicales semejantes, es decir, con el mismo índice y la misma base, según la siguiente regla: r n a sn a tn a r s t n a
Ejem:
Resolver:
8 3 3 3 9 3 8 3 9 3 2 3
Ejem:
Resolver:
5 3 3 6 3 3 9 3 3 5 6 9 3 3 8 3 3 Pag. 155
Ejem:
Resolver:
4 50 5 18 2 98 4 25 2 5 9 2 2 49 2 4 52 2 5 32 2 2 72 2 45 2 53 2 27 2 20 2 15 2 14 2 20 15 14 2
21 2
Ejem:
3
3
2x 3 3 x 3 375 x 4 4 24 x 4
Resolver:
3
3
2x 3 3 x 3 25 15 x 3 x 4 4 6 x 3 x 3
2x 3 3 x 3 x 52 5 3 x 4 x 3
2 x 3 3 x 3 x 53 3 x 4 x
3
3
22 2 3 x
23 3 x
2x 3 3 x 3 5 x 3 3 x 4 2x 3 3 x 2x 3 3 x 15 x 3 3 x 8 x 3 3 x 9x 3 3x
Racionalización.- Es el convertir una fracción con denominador en forma de radical, en otra fracción equivalente, donde su denominador sea un número entero. De un denominador monomio: Forma:
y b
, se multiplica por
xa 3
Ejem:
3
3
3
6
Ejem:
3
6 3
2
3 3 3
2
b
xb a
3
22
3
22
63 4 3
23
, y se simplifica.
32 1 3 , el numerador y el denominador, obteniéndose:
3 3 3 3
, se multiplica por:
2
xb a
, se multiplica por:
3 3
b
3
3
23 1 22 , el numerador y el denominador, obteniéndose:
63 4 33 4 2
De un denominador binomio: Forma:
Ejem:
c a b
, se multiplica por el conjugado del denominador
3 1 3
a b a b
, y se simplifica.
, se multiplica por: 1 3 , el numerador y el denominador, obteniéndose:
3 1 3 33 3 33 3 33 3 1 3 2 1 3 1 3 12 32 Pag. 156
Ejem:
6
, se multiplica por: 2 2 , el numerador y el denominador, obteniéndose:
2 2
6 2 2 12 6 2 12 6 2 12 6 2 63 2 42 2 2 2 2 2 22 22
Números Imaginarios.- Es el expresado como “ i “, significa la raíz cuadrada de “-1”, es decir: i 1 . i2
Entonces también:
3
1
2
1
2
i i i 1i i
i4 i2i2 1 1 1 i5 i2i2i 1 1i i
Ejem:
64 64 1 64 1 8i
Ejem:
36 49
36 1 49
36 1 49
36
Ejem:
36 49
36 1 49
36 1 49
36
49 49
i
6 i 7
i
6 i 7
Operaciones con números imaginarios Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen aplicando: ai bi ci di a b c d i Ejem:
Resolver:
4 36 3 81 9 49 7 25 4 36 1 3 81 1 9 49 1 7 25 1 4 36 1 3 81 1 9 49 1 7 25 1
46 i 39 i 97 i 75 i 24i 27i 63i 35i 24 27 63 35 i 23 i
Ejem:
Resolver:
1 36 12 3 1 2 253 1 4 92 1 36 1 43 1 3 1 2 52 3 i 4 32 2 i 62 i 22 3 i 3 1 25 3 i 43 2 i 6 i 2 3 i 3 2 75 4 18
10 3 i 12 2 i 2 i 2 3 i 10 2 3 i 12 2 i 2 i 12 3 i 12 2 i 2 i
Pag. 157
Ejem:
Resolver:
2 i3 4 i2 8i 9 2 i2i 4 i2 8i 9
2 1 i 4 1 8i 9 2 i 4 8i 9 2 8 i 4 9 10 i 5
2.9 Productos Notables Definición.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemos llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son: Binomio al cuadrado Binomios conjugados Binomios con término común Binomio al cubo Binomio al cuadrado Regla:
Ejem:
a b2 a 2 2ab b 2 a b2 a 2 2ab b 2
x 3 2 x 2 2x3 32
Ejem:
x 22 x 2 2x 2 22
x2 6x 9
x 2 4x 4
Binomios conjugados Regla: Ejem:
a b a b a 2 b 2 x 4 x 4 x 2 16
Ejem:
2x 22x 2 4x2 4
Binomios con término común Regla:
x a x b x 2 a b x ab
x 5x 2 x 2 5 2x 52
Ejem:
x 2 3 x 10
x 7x 5 x 2 7 5x 7 5
Ejem:
x 2 12 x 35
Binomio al cubo
a b3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a b 3 a2 3a2b 3ab2 b3
Regla:
Ejem:
x 4 3
x 3 3 x 2 4 3 x 4 2 4 3 x 3 12 x 2 3 x 16 64
Ejem:
x 2
3
x 3 12 x 2 48 x 64
x 3 3 x 2 2 3 x 22 23 x 3 6 x 2 3 x 4 8 x 3 6 x 2 12 x 8 Pag. 158
2.10 Factorización Definición.- Es la forma más simple de presentar una suma o resta de términos como un producto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son: Factor común Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x 2 bx c
Trinomio de la forma ax 2 bx c
Factor común Regla:
Ejem:
Paso 1: Obtener el máximo común divisor ( MCD ) Paso 2: Menor exponente de las literales comunes Paso 3: Dividir cada término entre el factor común obtenido 4 x 3 6 x 2 12 x
2x 2x 2 3 x 6
Ejem:
6 x 3 y 2 12 x 2 y 2 24 xy 2
6 xy 2 x 2 2x 4
Diferencia de cuadrados Regla: Ejem:
a2 b2 a b (a b) x 2 49
Ejem:
x 7 x 7
9x2 4y2
3 x 2y 3 x 2y
Trinomio cuadrado perfecto Regla:
a 2 2ab b 2 a b 2
Comprobación:
a 2ab b a b 2
Ejem:
2
2
2ab = 2ab
x 2 12 x 36
Ejem:
x 6 2 Comprobación 2x(3) = 6x
4p 2 12pq 9q 2 2p 3q2 Comprobación 22p 3q 12pq
Trinomio de la forma x2+bx+c Regla: Ejem:
x 2 a b x ab x a x b x 2 8 x 15 x 5 x 3
Ejem:
x 2 10 x 24 x 4 x 6
Trinomio de la forma ax2+bx+c Regla: Método de tanteo Ejem:
6 x2 5x 6 2x
3
9x
3x
2
4x 5x
2x 3 3 x 2
Pag. 159
2 x 2 10 x 12
Ejem:
2x
4
4x
x
3
6x 10 x
2x 4 x 3
Simplificación de fracciones algebraicas.- Es la aplicación de los conocimientos de productos notables y factorización, tanto en el numerador como en el denominador, se simplifica a su mínima expresión. Suma y resta con denominadores diferentes Ejem:
5a 7 a2 5a 6 a 2 5a 7 a 2a 3 a 2
Ejem:
x2 3x x3 x4 x 2x 4 3 x x 3 x 3x 4
5a 7a 3 a 2a 3
x2 6x 8 3x 9 x2 3x x 3x 4
5a 7a 21 a 2a 3
x2 6x 8 3x 9 x2 3x x 3 x 4
12a 21 a 2a 3
2x 2 17 x 3x 4
División x2 5x 6
Ejem:
x 2 2x 3
x 2x 3 x 1x 3 x 2 x 1
a2 9
Ejem:
2
a 2a 3
2x 2 2xy
Ejem:
a2 12a 27 2
a 10a 9
4x2y
2x x y 4 x xy
xy 2xy
4a2
Ejem:
6b
a 3a 3 a 9 a 3 a 3 a 1 a 9a 1
a3 a3 a 1 a 1
a 3 a 1 a 3 a 1
2
2a 7b3
4a2 7b3 2a 6b2 28a2b3 12ab 2 7ab 3
1
Pag. 160
Multiplicación a2 9a 18 5a 25 5a 15 a 5
Ejem:
Ejem:
a 6 a 3 5a 5 5a 3 a5 5a 6 a 3 a 5 5a 5 a 3
5 x 25 7 x 7 14 10 x 50 5x 5 7x 1 14 10x 5 35x 5 x 1 140 x 5 x 1 4
a6
Reactivos Unidad 2: 1. Al simplificar x x y x y z x y y se obtiene: a) 2y z c) 2y z b) 2x z
d) 2x z
e)
2x y
2. Al simplificar 6a 2b 3 a b 5a 2 se obtiene: a) 2a b 1 b) c) 2a b 1 b 2a
d) 2b a 1
e)
1 2a
3. Al simplificar 2x 2y 4 3 x 2y 6 x y se obtiene: a) x 3 y 4 b) x 3 y 4 c) x 3 y 4
d) x 3 y 4
e) x 4
4. ¿Cuál es el valor numérico de la expresión: a) 17 b) 11
a 2(3b c ) cuando a 3 , b 1 y c 4 ? b) 11 c) 7
Al evaluar x 1 , y 2 de la expresión: 2y 2 5 xy x 2 , se obtiene: b) c) 19 8 a) 1
d)
17
5.
6. a)
Al evaluar a 2 , b 3 , c 1 y d 2 de la expresión: 15 8
b)
15 8
c)
7 4
d)
18
3ab 2cd , se obtiene: 4ac 7 d) 4
e) 14
e)
13 8
7.
Escoja la opción en que la frase: “La mitad de a aumentada con el producto 25 veces b” está escrita correctamente en notación matemática. a a 1 1 1 a) b) 25b c) a 25b d) a25b e) a 25b 25b 2 2 2 2 2 8.
El perímetro de una habitación rectangular es igual a la suma del doble del largo y del doble del ancho.¿Cual expresión matemática corresponde a esta afirmación? A L A L a) P b) P 2A 2L c) P 2A 2L d) P e) P A L 2 2 2 2 2 9.
El promedio de bateo (b) de un jugador de béisbol es igual al numero de hits (h) dividido entre el número de veces oficiales que batea (ba) h ba bah a) b b) b c) b bah d) b e) b ba b ba h h 10. Si sumamos o restamos expresiones algebraicas, sus exponentes se: a) Se suman b) Se restan c) Pasan igual
d) Se dividen
e) Se multiplican Pag. 161
11. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma algebraica a) 17 x 2 x 7
4 x 2 5 x 6 , 5 x 2 7 x 7 , 8 x 2 2x 8 ?
b) 17 x 2 x 7
d) 17 x 2 7
e) 17 x 2 x 7
6 x 4 10 x 3 12 x 2 6 x 3 con 3 x 4 2x 3 6 x 2 6 x 7 es:
12. El resultado de sumar
a) 9 x 4 12 x 3 18 x 2 4
b) 9 x 4 12 x 3 18 x 2 4
d) 9 x 4 12 x 3 18 x 2 4
e) 6 x 4 12 x 3 18 x 2 4
a) x 2 7 x 10
b) 3 x 2 x 12
d) x 2 x 10
e) x 2 7 x 10
14. Al restar 2x 3 y 6 de 4 x 3 y 10 se obtiene: a) 2x 16 b) 6 x 6 y 4 d) 6 x 6 y 4 e) 2x 16
c) x 2 7 x 10
c) 2x 16
3 x 3 7 x 2 2x 12 de 10 x 3 6 x 2 2x 8 se obtiene:
b) 7 x 3 x 2 4
a) 13 x 3 13 x 2 16 3
2
3
d) 7 x x 4 x 4 16. De
c) 6 x 4 12 x 3 18 x 2 4
3 x 2 3 x 11 con 2x 2 4 x 1 se obtiene:
13. Al sumar
15. Al restar
c) 17 x 2 7
c) 7 x 3 x 2 4 x 4
2
e) 13 x 13 x 20
5 y 2 y 11 restar 6 y 2 y 14 se obtiene:
a) y 2 3
b) y 2 2y 3
d) 11y 2 2y 25
e) y 2 3
c) 11y 2 2y 25
17. De la suma de x 2 5 con 2x 6 restar la suma de x 4 con x 6 se obtiene: a) x 2 2x 3
b) x 2 2x 3
d) x 2 2x 3
e) x 2 2x 3
2 2 18. El producto de x 2 y por xy se obtiene: 5 3 4 3 2 4 x y a) b) x 2 y 15 8 6 6 x y d) e) 10 10
19. El resultado de 2ab3
4 3 2 x y 15
2 5
b) 2ab 2
d) 2ab 2
e) 8a3b8
c)
4a b es:
a) 8a3b8
20. El producto de 3 x 2 y
c) x 2 2x 3
c) 8a2b2
4xy 2x y es: 2
3 4
a) 24 x 6 y 7
b) 12 x 5 y 6
d) 24 x 6 y 8
e) 24 x 6 y 7
c) 12 x 5 y 6
Pag. 162
21. El resultado de multiplicar 3ab 2 por 2ab b2 es: 2
a) 5ab 3ab
4
2 3
b) 6a b 3ab 4
d) 6a2b3 3ab 4
e) 6a2b5
22. El producto de x 2 3 x 9 3
2
3
2
x 3 es: 3
e) x 27
d) x 6 x 18 x 27
23. Al multiplicar 4 x 2 5 xy 7 y 2 2
c) x 3 27
b) x 3 2x 2 9 x 27
a) x 6 x 18 x 27
3
c) 5ab 2 3ab 4
2
4x 6y se obtiene:
3
b) 16 x 3 44 x 2 y 2xy 2 42 y 3
d) 16 x 3 44 x 2 y 2xy 2 42 y 3
e) 16 x 3 44 x 2 y 2xy 2 42 y 3
a) 16 x 44 x y 2xy 42 y
c) 16 x 3 44 x 2 y 2xy 2 42 y 3
24. ¿Cuál es el área de un local rectangular que quieren rentar si el ancho mide x 2 y el largo x 6 ?
x 6 x 6 x 2x 2 x 6 x 2
a) d)
b) e)
x 6 x 6 x 2 x 2 x 6
c)
x 6x 2
25. ¿Cuál es el área de un rectángulo, si su ancho es n m y su largo es 6m 5n ? a)
6m2 11mn 5n2
b) 6m2 11mn 5n2
d)
6m2 mn 5n2
e) 6m2 11mn 5n2
c) 6m2 mn 5n2
26. ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide x 2 2x 1 ? 4
3
2
4
3
2
a) x 4 x 6 x 4 x 1
b) x 4 x 6 x 4 x 1
d) x 4 4 x 3 6 x 2 4 x 1
e) x 4 4 x 3 6 x 2 4 x 1
c) x 4 4 x 3 6 x 2 4 x 1
27. Al dividir 8m9n2 10m7n4 20m5n5 12m3n8 entre 2m2 se obtiene: a) 4m7n2 5m5n4 10m3n5 6mn8
b) 4m7n2 5m5n4 10m3n5 6mn8
c) 4m7n2 5m5n4 10m3n5 6mn8
d) 4m7n2 5m5n4 10m3n5 6mn8
7 2
5 4
3 5
e) 4m n 5m n 10m n 6mn
8
28. El cociente de dividir 5n2 11mn 6m2 entre n m es: a) 6m 5n b) 5n 6m c) 5n 6m 29. Dividir a)
a2 a 1
3a 4
31. Al simplificar a)
e) 6m 5n
d) a2 a 1
e) a2 a 1
a 4 a2 2a 1 entre a2 a 1
b) a2 a 1
30. El resultado de a)
d) 6m 5n
2x y
8a2 22a 21 es: 2a 7 b) 4a 3
c) a2 a 1
c) 4a 11
d) 4a 3
e) 3a 4
c)
d) 2x y
e) 2y x
12 x 2 16 xy 5 y 2 se obtiene: 6x 5y
b) 2x 5 y
2y x
Pag. 163
a5b 4c 1
32. Al simplificar a)
a 3b 6c 3
a2c 2
se obtiene:
b)
b2
a8c 2
a8b2
c)
b10
d)
c4
33. ¿Cuál es el resultado de simplificar a) 11i 1 b) 11i 1
5 2 i 6 3 i se obtiene:
34. ¿Cuál es el resultado de simplificar a) 5 i 2 b) 2 i 1
6 3 i 4 2 i
35. ¿Cuál es el resultado de simplificar a)
4 7 i 5 8
b)
7 5 i 8 4
d)
c) 11 i
a8c 4
e) a8b2c 4
b2
1 i
e) 11 i
se obtiene:
c) 2 5 i
d) 10 i
e) 2 5 i
3 5 1 1 i i se obtiene: 2 8 4 4 5 7 5 7 i i c) d) 4 8 4 8
36. ¿Cuál es el resultado de simplificar 3 2 i 3 2 3 i 4 a) 8 2 i b) 8 i 2 c) 5 3 i
se obtiene:
e)
7 5 i 8 4
d)
8 2i
e) 5 i
37. ¿Cuál es el resultado de simplificar 1 4 i 2 2 5 i 3 se obtiene: 7 5i a) b) 5 i 3 c) 3 5 i d)
1 i
e) 1 i
32 x 4 y 6 z 2
e) 8 x 4 y 2z 2
64 x 8 y 6 z 4 se obtiene:
38. Al simplificar a)
8 x 6 y 4z2
b) 16 x 4 y 2z3
c) 8 x 4 y 3 z 2
d)
39. Al simplificar 5 3 243 a9b6c 4 se obtiene: a) 15 a6b3
3
3 2
b) 5a12b9
9c
3
d) 15a b c 9 c
d)
15a3b2 3
4
m3
b) 5 mn 2
4
m3
e)
2 mn 2 5
9 c2
c) 15a2b3
mn 2
4
4
3
9c
9c
24 625 m7n8 se obtiene: 5
40. Al simplificar a) 2 mn 2
e)
3
m3
c)
1 3 4 m n 2
4
5m3n
m3
41. Al resolver 7 18 2 50 3 72 se obtiene: a) 6 2 42. Al resolver a)
63 2
b) 13 3 3
c) 13 2
d) 12 2
e) 14 2
c) 2 3 2
d)
33 2
e) 4 3 2
c) 6 2
d)
21 10
e)
432 3 250 3 16 se obtiene:
b)
3
2
43. Al resolver 2 7 3 5 se obtiene: a)
6 35
b) 2 2
2
Pag. 164
5 6 8 4
a)
3
3
44. Al resolver 3 3 2 120 3 6
se obtiene:
b) 240 3 6
x 4 2
45. Al desarrollar
c) 240 3 48
a) x 8 x 16
b) x 2 16
d) x 2 16
e) x 2 8 x
2
a) 9 x 6 x 4 y
3x 2y 2
c) x 2 4 x 16
es:
2
b) 9 x 2 12 xy 4 y 2
d) 9 x 2 4 y 2 47. Al resolver
7x
2
2xy
3
2
se obtiene:
2 2
a) 49 x 28 x y 4 x y
b) 49 x 4 4 x 2 y 2
d) 49 x 4 28 x 3 y 4 x 2 y 2
e) 49 x 4 4 x 2 y 2
48. Al desarrollar
25 2 1 x 16 9 25 2 5 1 x x d) 16 6 9
49. El equivalente a
25 2 1 x 16 9 25 2 5 1 x x e) 16 12 9
b)
x 8x 8
b) x 2 16 x 64
a) x 16 2
1 2 1 2 x x se obtiene: 3 2 3 2 4 2 x b) 6 4 2 x e) 9
a) 9 x 16 y
3x 4y 3x 4y
b) 6 x 2 8 y 2
3
3
b) 16 x 9 y 2 25 z 2
d) 8 x 6 y 2 25 z 2
e) 16 x 6 y 2 25 z 2
x 10 x 2
2
4 2 1 x 9 4
c) 16 x 2 9 y 2
se obtiene:
2
a) 8 x y 10 z
c)
e) 9 x 2 16 y 2
4x y 5z4x y 5z
6 2
1 4 1 2
se obtiene:
2
d) 16 x 2 9 y 2
53. Al resolver
c) x 2 64
e) x 64
51. Al desarrollar
52. Al resolver
25 2 5 1 x x 16 6 9
2
d) x 16
2
c)
es:
2
4 2 1 x 9 4 4 2 1 x d) 6 4
c) 14 x 4 14 xy 4 x 2 y 2
1 5 x 2 se obtiene: 3 4
a)
a)
c) 6 x 2 6 xy 4 y 2
e) 9 x 2 12 xy 4 y 2
4
50. Al resolver
e) 120 3 4
se obtiene:
2
46. El equivalente a
d) 120 3 2
c) 16 x 6 y 2 10 z 2
se obtiene:
a) x 12 x 20
b) x 2 8 x 20
d) x 2 8 x 20
e) x 2 20 x 12
c) x 2 12 x 20
Pag. 165
x 3x 4
54. Al resolver
se obtiene:
2
b) x 2 12 x 1
c) x 2 7 x 1
a) x 2x 24
b) x 2 10 x 24
c) x 2 24 x 10
d) x 2 10 x 24
e) x 2 24 x 10
a) x x 12 d) x 2 7 x 1
e) x 2 x 12
x 6 x 4
55. Al resolver
se obtiene:
2
x 6 3
56. Al desarrollar 3
se obtiene:
2
a) x 18 x 108 x 216
b) x 3 216
d) x 3 216
e) x 3 18 x 2 108 x 216
57. El equivalente a 6 3
4 4
x y y 2
2 3
2 5
c) x 3 18 x 2 108 x 216
es:
6
b) x 6 y 3 3 x 4 y 4 3 x 2 y 5 y 6
d) x 6 y 3 3 x 4 y 4 3 x 2 y 5 y 6
e) x 6 y 3 3 x 4 y 4 3 x 2 y 5 y 6
a) x y 3 x y 3 x y y
3 x 2 3
58. Al desarrollar 3
se obtiene:
a) 27 x 54 x 36 x 8
b) 27 x 3 54 x 2 36 x 4
d) 27 x 3 54 x 2 36 x 8
e) 27 x 3 12 x 2 36 x 8
59. Al resolver 3 3
2
ab 3 3
c) x 6 y 3 3 x 4 y 4 3 x 2 y 5 y 6
c) 9 x 3 54 x 2 36 x 8
se obtiene:
2 2
a) a b 9a b 27ab 27
b) a3b3 9a2b2 27ab 27
d) a3b3 9a2b2 27ab 9
e) a3b3 27
x 6
60. Al obtener el área de un cuadrado que mide por lado 2
resulta:
2
a) x 6 x 36
b) x 12 x 36
d) x 2 12 x 36
e) x 2 6 x 36
61. Al obtener el área de un rombo cuya diagonal mayor es 2
x 18 2
b)
x 36 2
d)
x2 36 2
e)
x 2 18 2
x 6 y su diagonal menor es x 6 c)
62. Al obtener el área de un rectángulo cuyo base mide 2
c) x 2 6 x 36
2
a)
b) x 4 x 21
d) x 2 4 x 21
resulta:
2
x 18 2
x 7 y su altura es de x 3 resulta:
2
a) x 4 x 21
c) a3b3 9a2b2 27ab 27
e) x 2 21x 4
c) x 2 4 x 21
63. Al relacionar las siguientes columnas el resultado es: a) 2x 3 y 2
I) x 3 9 x 2 27 x 27
b) x 3 3
II) 4 x 2 20 x 24
c) x 8 x 8
d) 2x 4 2x 6 a) a-IV, b-II, c-III, d-I
b) a-IV,b-I, c-II,d-III
III) x 2 64 IV) 4 x 2 12 xy 9 y 2 c) a-IV,b-I,c-III,d-II
d) a-I,b-IV,c-III,d-II
e) a-III,b-IV,c-I,d-II Pag. 166
64. Al factorizar 18n5m4p3 30n4m3p5 se obtiene: a) 6n5m4p3 3 5p 3
2
3
2 3
d) 6n mp 3n m 5nm p
e)
65. Al factorizar x 2 x 30 se obtiene: a) x 6 x 5 b) d)
x 2x 15
e)
66. Al factorizar x 2 6 x 9 se obtiene: a) x 9 x 1 b) d)
x 3x 3
e)
67. Un equivalente de x 2 x 12 es: a) x 6 x 2 d)
6n m p 3nm 5p
x 3x 4
b) e)
4
3 3
x 15 x 2 x 3 x 10
c)
x 6x 5
x 3x 3 x 3x 3
c)
x 9x 1
x 12 x 1 x 6x 2
c)
x 3x 4
I) x 9 x 4
a) x 2 5 x 36
b) 3 x 5 x 2
III) x 23 x 1
3
c) x 8 d) 4 x 4 9 a) a-I,b-III,c-IV,d-II
a) x 2
70. Al simplificar
a)
x2 x3
71. Al simplificar a)
1 xy
72. Al simplificar a)
1 2
a)
x 6x 8
3 2y
IV) x 2 x 2 2x 4 c) a-III, b-I,c-IV,d-II
b) a-I,b-III,c-II,d-IV
x 2x 2
x2 x 2
d) a-I,b-II,c-IV,d-III
e) a-II,b-I,c-IV,d-III
c)
1 x4
c)
x 1 x3
d)
c) x y
d)
c) 2
d) x y
d)
1 x2
e)
1 x2
se obtiene:
x2 4x 3
x2 x3
b) x 3 y xy3
x2 x 1
e)
x3 x2
se obtiene:
x 2 y xy 2
x2 y x
b)
x2 y x y2
e) x y
8x 8y se obtiene: 16 x 16 y xy x
b)
73. Al simplificar
se obtiene:
2
b)
II) 2x 2 3 2x 2 3
2
x4
c) 6nm2p2 3n4m2 5p
2
68. Al relacionar las siguientes columnas el resultado es:
69. Al simplificar
b) 6n2m4p3 3n3 5n2p2
6 x 2 3 xy
2xy 2 4 x 2 y
b)
2y 3
e) x y
se obtiene: c)
2y 3
d)
3 x 2y
e)
3 2y Pag. 167
2x y 5 x 5 y y x es: 74. El resultado de sumar 2x y 2x y 2x y 1 1 a) b) 3 c) 3 xy
75. Al multiplicar a)
a)
b) x 1
4x 3 3x 4
77. Al multiplicar a)
x5 x3
3 x 1
e)
1 xy
d)
2 x 1
e)
x 1 2
d)
4x 3 3x 4
e)
3x 4 4x 3
d)
x3 x5
e)
x3 x5
9 x 2 1 se obtiene: 3 x 3 6
2 x 1
76. Al multiplicar
d)
c)
x 1 3
8 x 2 10 x 3 6 x 2 x 1 se obtiene: 4x2 4x 1 9x2 9x 4 x3 4x 3 b) c) x4 3x 4 x 2 x 6 x 2 2x 3 se obtiene: x2 5x 6 x2 4x 5 x3 x5 b) c) x5 x3
6x x 78. El resultado de sumar 2 es: x 9 x3 1 x3 a) b) x3 x 3a 2 4a 1 es: 6a 8a 24a 5 b) 24a
c)
x x3
d)
x x3
e)
1 x3
c)
7a 1 48a
d)
24a 5 48a
e)
5 48a
d)
9 x9
e)
x x9
x2 x3
d)
x2 x3
e)
x3 x2
2x 1 2x 5
d)
2x 1 2x 5
e)
2x 1 2x 5
79. El resultado de sumar a)
a 1 24a
80. Al dividir a)
x x9
x 2 9 x 2 6 x 27 se obtiene: x 2 2x 3 x 2 10 x 9 x9 x9 b) c) x9 x9
81. El resultado de a)
x3 x2
82. Al resolver a)
2x 5 2x 1
x 2 7 x 18 2
x 2 11x 24
x 6 x 27 x 2 5 x 24 x2 b) x3
6x2 5x 1 12 x 2 x 1
4x2 8x 5
8x2 6x 1 2x 5 b) 2x 1
es: c)
se obtiene: c)
Pag. 168
UNIDAD 3. ECUACIONES 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita Definición.- Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la incógnita debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su valor, por lo que se deben tener las siguientes consideraciones: 1er. miembro = 2do. miembro Operaciones Opuestas: Suma Multiplicación Potencia Ejem:
Ejem:
Regla:
Cada vez que un término se mueva de un miembro a otro, debe pasar con su operación opuesta.
Resta División Raíz
Comprobación 62 82 152 26 12 16 30 26 44
6 x 8 x 15 x 26 2x 15 x 26 2x 15 x 26 13 x 26 26 x 13 x 2 4x 7x 9 5 8 20 9 4x 7x 40 8 20 5
Comprobación 46 76 9 5 8 20 24 21 9 5 4 20 96 105 9 20 20 9 9 20 20
32 x 35 x 18 3 x 18 18 3 x 6 x
3.2 Desigualdades de primer grado con una incógnita Definición.- Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la variable debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su conjunto solución, se aplican básicamente las mismas reglas que para una ecuación, además de las siguientes consideraciones: Regla: Cada vez que un término se multiplique ó divida entre un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad Signos de Desigualdad y Gráfica < menor que
no incluye a ( )
> mayor que
no incluye a ( )
menor igual que
incluye a
mayor igual que
incluye a
Pag. 169
Ejem:
Comprobación 32 5 7 42 6 5 7 8 1 1
3x 5 7 4x 3x 4x 7 5 x 2 x 2
-2 Ejem:
-1
0
Conjunto Solución:
x / x 2
1
16
17
2,
Comprobación 1315 15 615 715 15 195 15 90 105 15 90 90
13 x 15 6 x 7 x x 7 x 15 6 x 7 x 6 x 15 x 15
15
ó
Conjunto Solución:
x / x 15 ó
18
15,
3.3 Sistema de Ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incógnitas) Definición.- Es el llamado “Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incógnitas”, en que el objetivo es encontrar los valores de éstas 2 variables. Existen varios métodos para su solución, entre los cuales están los llamados “Reducción” (Suma y Resta) y “Determinantes” (Regla de Kramer), que se explican a continuación: Método de Reducción (Suma y Resta) Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una ó las 2 ecuaciones por un factor ó factores que hagan que la suma de una de las variables sea “cero” y despejar la variable restante para obtener su valor, posteriormente sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales y obtener el valor de la segunda variable. Ejem:
x y5 3 x 2y 5
2 x y 5 3 x 2y 5 2x 2y 10 3 x 2y 5
y 53 y 2
Comprobación en 33 22 5
5x
15 15 x 5 x3
Ejem:
94 5 55
5 x 2y 2
4 x 3 y 4
3 5 x 2y 2
2 4 x 3 y 4
15 x 6 y 6 8 x 6 y 8 7 x
14 14 x 7 x2
Sustituyendo x 3 , en 3 y5
Sustituyendo x 2 , en 52 2y 2 10 2y 2 2y 2 10 8 y 2 y 4
Comprobación en 42 34 4 8 12 4 4 4 Pag. 170
Método por Determinantes (Regla de Kramer) a x b1y c1 Dado el sistema de ecuaciones: 1 a2 x b2 y c 1
y sus determinantes son: x
c1
b1
a1
b1
a1
c 2 b2
x
y
a2 b2
donde:
Ejem:
x
y
c2
a1
b1
a2 b2
= determinante del sistema y = determinantes en “x” y “y”
2x 5 y 4 3 x 8 y 25
x
4
5
25
8
2 y
4
2 5
2 25 4 3 50 12 62 2 28 3 5 16 15 31
8
31 x
48 5 25 32 125 93 3 28 3 5 16 15 31
8
3 25 3
4 x 7 y 31 x 3 y 16
2 5 3
Ejem:
y
c1
a2
7
16 3 4
7
31 3 16 7 93 112 19 1 4 3 17 12 7 19
1 3 4 y
31
1 16 4
7
4 16 311 64 31 95 5 4 3 17 12 7 19
1 3
Problemas de Aplicación Dentro del proceso de resolución de problemas, se pueden diferenciar seis etapas: 1. Leer el problema 2. Definir las incógnitas principales de forma precisa 3. Traducción matemática del problema 4. Resolución del problema matemático 5. Interpretar las soluciones 6. Contrastar la adecuación de esas soluciones Ejem: En un zoológico hay aves (de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoológico contiene 60 cabezas y 200 patas, ¿cuántas aves y cuántos tigres viven en él? cabezas a t 60 Traducción matemática : 2a 4 t 200 patas
a 20 aves Solución: t 40 tigres Pag. 171
Ejem: Pedro compró 2 camisas y 3 pantalones por $850, y Francisco compró 3 camisas y 4 pantalones por $1200, ¿cuál es el precio de una camisa y el de un pantalón? Pedro 2c 3p 850 c $200 camisa Traducción matemática : Solución: 3 c 4 p 1200 Francisco p $150 pantalón 3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incógnitas) Definición.- Es el llamado “Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incógnitas”, en que el objetivo es encontrar los valores de éstas 3 variables. Los métodos para su solución, son: “Reducción” (Suma y Resta) y “Determinantes” (Regla de Kramer): Método por Determinantes (Regla de Kramer) a1x b1y c1z d1 Dado el sistema de ecuaciones: a2 x b2 y c 2 z d2 a x b y c z d 3 3 3 3 Realizar los pasos siguientes: 1. Se escribe el determinante de tres por tres. 2. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales. 3. Se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha. 4. Se multiplican entre si los tres números por los que pasa cada diagonal. 5. Los productos de los números que están en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los de derecha a izquierda con el signo cambiado. d1
b1 c1
d3
b3 c 3
d2 b2 c 2 d1 b1 d2 b2 x Determinantes: x a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1
c1 c2 c1 c2 c3
b1 c1
a2 b2 c 2
Donde:
Ejem:
x,
y
a1
a2 a3
d1 c1
d2 c 2 d3 c 3
a1 d1 a2 d2 y y a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1
c1 c2 c1 c2 c3
b1 c1
a2 b2 c 2
a1
b1 d1
a3
b3 d3
a2 b2 d2 a1 b1 a2 b2 z z a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1
d1 d2
c1 c2 c3
b1 c1
a2 b2 c 2
= determinante del sistema y z = determinantes en “x” , “y” y “z”
x y 4 z 4 2x 2y z 11 x y 3z 13
Pag. 172
4 1 4
x
x
11
2
1
13
1
3
4 1 4 11 2 1
1 1 4 2 2 1 1 1 3
24 44 13 104 4 33 60 6 8 1 8 1 6 10
x6
1 1 4 2
2 1
1 4 4 2
y
y
11
1
1 13
3
1 4 4 2 11 1 1 1 4 2 2 1 1 1 3
33 104 4 44 13 24 20 6 8 1 8 1 6 10
y 2
1 1 4 2
2 1
1 1 4 2
2
1
1 13
11
1 1 4 2 2 11 z 26 8 11 8 11 26 30 z 6 8 1 8 1 6 10 1 1 4 2 2 1 1 1 3
z3
1 1 4 2
2 1
3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incógnita Clasificación
Completas : ax 2 bx c 0 Ecuaciones de 2 2do grado Incompleta s Mixtas : ax bx 0 2 Puras : ax c 0
Métodos de solución Completas: forma ax2 + bx + c = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un trinomio, donde existen los valores de “a, b y c” , y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utilizan los métodos siguientes: Factorización: Forma x2+bx+c = 0
ó
ax2+bx+c = 0, obteniendo: x 1 o
y
x2 Pag. 173
Ecuación de 2do. grado:
x
b
b2 4ac 2a
, obteniendo: x1
x 2 x 12 0
Ejem:
x
x 4x 3 0
Ejem:
x1 4
y
ó
x
x 2 3
x
1 1
12 41 12 21
1 48 x 4 1 x 2 3
1 7 2
4
x
2x
1 2x
x
1 2x
40 x 8
ó
x2
2
4x2 4x 1 0
2x
y
4
4 2 44 1 24
16 16 8 1 x1 2 1 x 2 2
4x
2x 12x 1 0
x1
1 2
y
x2
1 2
Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de “a y b, pero no de c”, y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utiliza el método de factorización por término común y se despeja, como sigue: Ejem:
x 2 7x 0 x x 7 0 x1 0
y
x 2 7
2x 2 4 x 0 2x x 2 0
Ejem:
x1 0
y
x2 2
Incompletas puras: forma ax2 + c = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de “a y c, pero no de b”, y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utiliza el método de despeje, como sigue: Ejem:
x2 3 0 x
2
4 x 2 16 0
Ejem:
4 x 2 16 16 x2 4
3
x 3 x1 3
y
x2 3
x1 2
y
x 4 x 2 2
Pag. 174
Reactivos Unidad 3: 1. ¿Cuál es el valor de “x” que satisface la ecuación x 3 x 3 6 8 x 12 ? 1 a) b) 4 c) 4 d) 1 4 2. ¿Cuál es el valor de “x” que satisface la ecuación 8 x 5 6 x 7 ? 1 1 a) 6 b) c) 6 6 3. Al resolver la ecuación a) 2
4. Al resolver la ecuación a) 2 5. Al resolver la ecuación a) 4
2x x 3 10 7 x 4 , se obtiene: 2 3 b) c) 3 2 32x 1 25 x 3 , se obtiene: 1 1 b) c) 3 2 x 3x 1 6 42x 3 , se obtiene: 1 b) c) 2 4
6. El valor de “x” que cumple con la igualdad a)
5 12
b)
5 8
7. El valor de “x” que cumple con la igualdad a) 12
b)
8. Al resolver la ecuación a) x 5
9. Al resolver la ecuación a) x 2
10. Al resolver la ecuación a) x
1 4
11. De la ecuación a)
1 2
3 8
5 1 1 es: x x 3 6 4 3 c) 8 3x x 3 es: 8 2 2 1 c) 12
3 x 5 2x 1 2 se obtiene: 4 3 2 b) x c) x 5 5 x2 x8 3 se obtiene: 9 3 3 1 b) x c) x 2 2 x3 4 x2 se obtiene: 6 3 4 1 b) x c) x 4 6
9 1 el valor de “x” que satisface es: 3x 2 11 3 b) c) 3 11
e)
d) 3
1 4
e) 6
d)
2 3
e)
3 2
d)
1 2
e) 2
d)
1 4
e) 4
d)
5 8
e)
d)
3 8
e) 12
d) x
2 5
e)
5 12
1 12
d) x 2
e)
1 2
d) x 4
e)
1 4
11 3
e)
3 11
d)
Pag. 175
12. De la ecuación a)
3 5
2 4 3 el valor de “x” que satisface es: x 5 x 5 3 b) c) 4 4
13. Al resolver la siguiente ecuación a)
1 5
b)
7 11
d)
3 7 4 5 se obtiene: 2x 5 5 x 2 7 c) 11
5 4
e)
d) 7
3 4
e) 11
14. :La suma de dos números naturales enteros consecutivos es 183, hallar los números: a) 90 y 93 b) 91 y 92 c) 90 y 93 d) 91 y 92
e) 91 y 92
15. El menor de dos números impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en 15. Hallar los números a) 11 y 17 b) 9 y 11 c) 11 y 13 d) 11 y 15 e) 13 y 15 16. El triple de la suma de un número con su mitad igual a las 2/3 partes del mismo número aumentado en 46. x 2 2 x 2x 2 a) 3 b) 3 x x 46 c) x 46 x 3 x 46 2 3 2 3 3 2 x 2 d) 3 x x 46 2 3
2x 2 e) 3 x 46 2 3
17. ¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 261? a) 78 b) 45 c) 87
d) 97
18. La suma de dos números es 450 y su cociente 8. Hallar los números. a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40
e) 89 e) 420 y 30
19. Si a un número añado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo 122. ¿Cuál es el número? a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58 20. La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo, Si éste tiene 30 años ¿Cuál es la edad de Roberto? a) 14 años b) 18 años c) 13 años d) 10 años e) 12 años 21. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. ¿Cuáles son los números? a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54 22. Encontrar los tres números consecutivos cuya suma sea 186. a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69
d) 32,33 y 34
e) 62,62 y 62
23. La suma de las edades de Sonia y Toño es 84 años y Toño tiene 8 años menos que Sonia. Hallar ambas edades. a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y 41 24. Un cateto de un triángulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto .Hallar las longitudes de los lados desconocidos a) 15 y 25 b) 17 y 21 c) 16 y 22 d) 24 y 11 e) 25 y 16 25. ¿Cuáles son las raíces de a) 3 y 4
x 2 x 12 0 ?
b) 3 y 4
c) 3 y
1 4
26. Al resolver la ecuación 6 x 2 x 12 se obtiene: 3 4 3 4 y a) b) 3 y 4 c) y 2 3 2 3
d) 3 y 4
d)
3 2 y 4 3
e) 3 y 4
e)
3 2 y 4 3 Pag. 176
27. Al resolver la ecuación 2x 2 3 x 2 se obtiene: 1 1 1 a) b) 2 y 2 c) y y 2 2 2 2 28. El conjunto solución de 4 x 2 4 x 1 0 es: 3 1 1 1 a) , b) , 2 2 2 2
b)
30. El conjunto solución de 3 3 a) , 2 2 2 2 i, i a) 5 5
5 , 5
3 , 3
a)
3 y0 2
1 1 c) , 2 2
3 1 d) , 2 2
1 1 c) , 5 5
d)
1 1 c) , 3 3
d) 2 , 2
2 2 c) i, i 5 5
2 2 d) , 5 5
1 y 2 2
1 3 e) , 2 2
10 , 10
e)
2.5 , 2.5
2 2 e) , 3 3
5 x 2 4 es: 2 2 b) i, i 5 5
32. Al resolver la ecuación x 2 x 0 se obtiene: 1 y 2 a) b) 1 y 1 2 33. Al resolver la ecuación
e)
3 x 2 2 0 es:
b)
31. El conjunto solución de
1 2
x 2 5 0 es:
29. El conjunto solución de a) 5 , 5
d) 2 y
c) 1 y 0
d) 2 y 0
2 2 e) , 5 5
e) 1 y 0
2x 2 3 x 0 se obtiene:
b)
2 y0 3
c)
3 3 y 2 2
34. Al resolver la ecuación 4 x 2 x 0 se obtiene: 1 1 1 y0 a) b) 4 y 0 c) y 4 4 4 35. Al resolver la ecuación 10 x 2 15 x 0 se obtiene: 3 2 3 3 a) b) y 0 c) y y0 2 3 2 2 36. ¿Cuál de los siguientes valores cumple con: 7 a) b) 7 2
3 y0 2
d)
d) 2 y 0
d)
2 y0 3
x 7
c) 7
d)
1 7
e)
3 y0 2
e)
1 y0 4
e)
3 y0 2
e) 1 0
37. ¿Cuál de los siguientes afirmaciones es verdadera, si 10 x 90 a) x 9 b) x 9 c) x 9 d) x 9
e) x 9
38. El conjunto solución de 3 x 1 2x 3 es: a) x 2 b) x 2
d) x 2
e) x 2
39. El conjunto solución de la desigualdad 32x 5 71 x 44 3 x es: a) x 6 b) x 6 c) x 6 d) x 6
e) x 6
c) x 2
Pag. 177
40. El conjunto solución de la desigualdad a) x 2
b) x 2
41. El conjunto solución de la desigualdad a) x
10 9
b) x
10 9
5x 4 4x 1 9 es: 2 3 c) x 2 3 x x 11 es: 2 2 7 14 9 c) x 10
7x 5 3x 1 es: 8 6 4 4 4 b) , c) , 3 3
d) x 2
d) x
9 10
e) x 2
e) x
10 9
42. El intervalo que satisface a 4 a) , 3
4 d) , 3
4 e) , 3
43. La expresión que representa “a lo más tengo 250” es: a) x 250 b) x 250 c) x 250
d) x 250
e) x 250
44. La expresión que representa “por lo menos tengo 500” es: a) x 500 b) x 500 c) x 500
d) x 500
e) x 500
45. El conjunto solución de x 2 25 0 es: a) 5, 5 b) , 5 5, 46. Los valores de las incógnitas del sistema 47.
a) x 3, y 1 d) x 3, y 1
c)
, 5
d)
, 5 5,
2x y 7 son: 3 x 4 y 5
b) x 3, y 1 e) x 1, y 3
48. Los valores de las incógnitas del sistema a) x 2, y 3 d) x 2, y 3
e) 5, 5
c) x 3, y 1
3 x 2y 12 son: 5x 3y 1
b) x 2, y 3 e) x 2, y 3
c) x 3, y 2
xy 6 49. El valor de “x” del sistema de ecuaciones es: 3 x y 2
a) 4
b) 2
c) 2
d) 4
e) 3
d) 2
e)
4 x 9 y 12 50. El valor de “y” del sistema de ecuaciones es: 2 x 6 y 1
a)
2 3
b)
2 3
c)
3 2
3 2
51. Si x = 2 y y = 3 . La solución del sistema de ecuaciones simultáneas es: x y 5 a) x y 2
2x y 5 b) xy 2
2x y 7 c) xy 3 Pag. 178
x y 1 d) x y 2
xy 5 e) 2x y 1
52. Un perro y su collar han costado $54, y el perro costó 8 veces lo que el collar. ¿Cuánto costó el perro y cuánto el collar? a) Perro $48 y collar $6 d) Perro $46 y collar $8
b) Perro $32 y collar $22 e) Perro $47 y collar $7
c) Perro $50 y collar $4
53. La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 años. Hallar ambas edades. a) Juan 12, Pedro 24 d) Juan 21, Pedro 15
b) Juan 24, Pedro 12 e) Juan 15, pedro 21
c) Juan 12, Pedro 12
xy 2 54. El valor de “x” , por medio de determinantes es: 2x y 1 2
a)
1
1
1 1 1
b)
1
2 1
1
2
2 1 2
1
c)
1
2 1
1 2
d)
1
2 1
e)
1
1 1
1
1 1 1
1
2 1
1
1 1 1
1
1 2
3 x y 1 55. El valor de “y” , por medio de determinantes es: 2y 6 x 2 1 3
a)
d)
2
2
b)
3
1
6
2
3
1
6
2
2 6
1
3
3
1
2
6
6
2
3
1
3
1
6
2
6 6
e)
3
1
3 1
c)
2
2
3
1
2 6
56. La edad de Jorge es el triple de la edad de Sandra y la de Sandra cinco veces la de Pedro. Sandra tiene 12 años más que Pedro ¿Qué edad tiene cada uno? a) Jorge 45,Sandra 15, Pedro 3 b) Jorge 25,Sandra 5, Pedro 3 c) Jorge 35,Sandra 25, Pedro 3 d) Jorge 55, Sandra 15, Pedro 3 e) Jorge 5, Sandra 10, Pedro 3 57. En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $5.12 y también 17 de niño y 15 de adulto $8.31. ¿Cuál es el precio de una entrada de un niño y de un adulto? a) Adulto $35 cts, niño $18cts. b) Adulto $45 cts, niño $18cts. c) Adulto $25 cts, niño $28cts. d) Adulto $15 cts, niño $18cts. e) Adulto $35 cts, niño $28cts.
Pag. 179
58. Un hacendado compro 4 vacas y 7 caballos por $514 y más tarde, a los mismos precios, compro 8 vacas y 9 caballos por $818 ¿Cuál es el costo de una vaca y un caballo. a) Vaca $42 y caballo $ 55 b) Vaca $55 y caballo $ 24 c) Vaca $24 y caballo $ 55 d) Vaca $55 y caballo $ 34 e) Vaca $55 y caballo $ 42 59. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53 ¿Cuáles son los números? a) 7 y 2 b) 9 y 0 c) 5 y 4 d) 7 y 1 e) 2x y 2z 8 60. La solución del sistema x 2y 3z 9 es: 3 x y 4z 3 a) x 2, y 1 , z 2 b) x 1, y 2, z 2 d) x 2, y 1 , z 2 e) x 2, y 2, z 1
6y3
c) x 2, y 2 , z 1
x y 2z 2y x 3z 1 es: z 2 y 2 x 3
61. La solución del sistema
a) x 2, y 1 , z 0 d) x 2, y 1 , z 2
b) x 1, y 2, z 0 e) x 0, y 2, z 1
c) x 2, y 0 , z 1
UNIDAD 4. ALGEBRA DE FUNCIONES Valor de una función Se obtiene, al sustituir el valor de “x” en la función f(x): Ejem:
Ejem:
Si f(x) = x 2 9 , obtener el valor de f(-4) y f(3)
f ( 4) 4 2 9 16 9 25
Si f(x) =
f (3) 3 2 9 9 9 18
x2 9x 2 , obtener el valor de f(-2) y f(4) x4
f ( 2 ) f ( 4)
22 9 2 2 4 18 2 16 8
4
2
24
6
6
94 2 16 36 2 50 44 0 0
3
4.1 Dominio y Rango Dominio, es el conjunto de todos los valores de “x” admisibles para una función. Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de “y” al sustituir cada una de los elementos del dominio en la función. 1 Ejem: El dominio de la función racional f ( x ) 2 x 11x 24
x 2 11x 24 x 3( x 8) 0 , entonces, sus raíces son: x1 3
Do min io x / x 3,8
Ejem:
El dominio de la función racional f ( x )
y
x 2 8
1 x 2 81 Pag. 180
x 2 81 x 9 ( x 9) 0 , entonces, sus raíces son: x1 9
y
Do min io x / x 9,9
Ejem:
x2 9
1 se indetermina: x7 x 7 la función se indetermina
Para que valor de “x” la función f ( x )
x 7 0 , entonces, para: Función cuadrática
Es de la forma ax 2 bx c y representa una parábola, donde su concavidad es hacia arriba cuando “a” es positiva y es hacia abajo cuando “a” es negativa. b 4ac b2 El vértice de la parábola, se obtiene en el punto: V , 2a 4a Los puntos donde la gráfica interseca al eje “x”, son la solución de la ecuación. Dependiendo de su concavidad y la coordenada de su vértice, se puede obtener el dominio y el rango de la función. Ejem:
Sea la función f ( x ) x 2 4 x 3 , obtener su dominio y rango.
4 413 4 2 entonces, V 2,1 y la curva es cóncava hacia arriba , El vértice es: V 21 4 1
ahora, las raíces de: f ( x ) x 2 4 x 3 x 3 x 1 0 sus raíces son: x1 3 entonces: Do min io , y Ejem:
Rango 1,
y
x 2 1
Graficar las siguientes funciones indicando dominio y rango.
f(x) = x Dom (f) = Todos los reales. Do min io , Ran(f) = Todos los reales. Rango ,
f(x) = 1/x Dom(f) = Todos los racionales positivos, menos el número cero. Do min io 0, Ran(f) = Todos los racionales positivos. Rango 0,
y=x x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
4
-5
-4
2.5 x 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y 0.1111 0.125 0.1429 0.1667 0.2 0.25 0.3333 0.5 1
0.5
2
5 Y 4 3 2 1 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5
Y=X
-3
-2
X
1
2
3
4
5
Y
2 Y = 1/ X 1.5 1 0.5 X
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 Pag. 181
4.2 Funciones y relaciones Definición Se le llama relación, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2 conjuntos. Se le llama función, a la relación entre dos conjuntos, de tal manera que para cada “x”, corresponda un solo elemento de “y”. Relación:
y1
x
x
Función:
y2
y
Regla: Para determinar si una gráfica es una función ó relación, basta con trazar una vertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de intersección. Es decir, si sólo toca un punto, se refiere a una función; si toca más de un punto se refiere a una relación. Ejem:
Relación
Función
Función
Relación
Relación
Clasificación de Funciones Cons tan tes : Las que no cambian. Ejem : f x 4 Lineales : Son de 1er grado. Ejem : f x 5 x 2 Funciones Cuadrática s : Son de 2do grado. Ejem : f x x 2 2x 6 x Exponencia les : Donde la var iable está como exp onente. Ejem : f x 5 Logarítmic as : Donde exista log ó ln . Ejem : f x ln x
4.3 Función Logarítmica y exponencial: Es de la forma f ( x ) y loga x , Forma logarítmica: y loga x
donde:
corresponde a:
Ejem:
Al convertir
3 log4 x ,
Ejem:
Al convertir
2 logx 36 ,
Ejem:
Al convertir
3 logx 225 , 2
Ejem:
a base
x arg umento
f ( x ) y exp onente
Forma exponencial: x a y
en forma exponencial, obtenemos:
x 43 64
en forma exponencial, obtenemos:
36 x 2
x6
x6
3
en forma exponencial, obtenemos:
entonces:
x 3 27 x 3 27 2 x 3 729 x 3 729
Al convertir
2 logx 36 ,
en forma exponencial, obtenemos:
27 x 2 x9 36 x 2
Pag. 182
Reactivos Unidad 4: 1. Sean la funciones a) x 2
f ( x ) x 2 4 x 12
y
g( x ) x 6
b) 2x 3
2. Sean la funciones 2
a) 2x 2x 4
la operación
c) x 2
f ( x) x2 5x 6
g( x ) x 2 3 x 10
y
b) 2x 4
f (x) resulta: g( x )
d) x 1
e) x 1
la operación f ( x ) g( x ) resulta:
c) 8 x 16
d) 8 x 4
e) 8 x 16
3. Si f ( x ) x 2 6 , el valor de f(-2) es: a) 10 b) 2
c) 10
d) 4
e) 2
4. Si f ( x ) x 3 4 , el valor de f(-1) es: a) 3 b) 2
c) 2
d) 5
e) 5
5. Para que valor de “x” la función f ( x ) a) 2
6.
b) 2
c) 3
Para que valores de “x” la función f ( x ) a) 4 y 4
7.
2 se indetermina: x3
1 x 64
c) 2 y 2
Una función lineal esta representada por: a) 2x 2 8
b) 2x 5
a) 5 x 2
b) 2x
x 1
2
d)
3 x4
c)
8. ¿Cuál de las siguientes funciones es cuadrática?
2
e)
2 3
e) 3
se indetermina:
2
b) 8 y 8
d)
d)
d) 5 x
5 4x
1 1 y 8 8
2
1 x
e)
1 1 y 4 4
e) ln x
c)
3 2
x 4
x 2x 9
9. ¿Cuál de las siguientes funciones es exponencial? a) f ( x ) x 2 16 d) g(x)= 5
b) y= x 2 9
2
10. El dominio de la función f ( x ) a) Df x / x 2, 3 d) Df x / x 2, 2
11. El dominio de la función f ( x ) a) Df x / x 2, 4 d) Df x / x 2, 2
e) h( x ) 7
c) f(x)= ln 3 x
2x
x3 x2 5x 6 b) Df x / x 1, 3
e) Df x / x 2, 3
c) Df x / x 2,3
x 1 2
x 6x 8 b) Df x / x 2, 4
e) Df x / x 2, 4
c) Df x / x 2, 4
Pag. 183
12. El dominio de la función f ( x ) a) Df x / x 12, 6
x 24 x 2 144
d) Df x / x 12, 12 13. El dominio de la función f ( x )
b) Df x / x 12, 6
c) Df x / x 6, 6
b) Df x / x 5, x 5
c) Df x / x 50, x 50
e) Df x / x 6, 4 4 x 2 25
a) Df x / x 25, x 25 d) Df x / x 5, x 4
e) Df x / x 4, x 5
14. La forma exponencial de log x 25 2 es: b) 225 x
a) x 2 25
15. La forma logarítmica de 23 8 es: a) 3 log 2 8 b) 2 log 8 3
c) x 25 2
d) 25 2 x
e) 25 x 2
c) 8 log 2 3
d) 2 log 3 8
e) 3 log 8 2
c) x 4
d) x 3
e) x 32
c) x 3
d) x 27
e) x 81
c) x 2
d) x 36
e) x 8
c) x 3
d) x 2
e) x 9
3 8
d) x 4
e) x 6
16. El valor de “x” del log 4 64 x es: a) x 8
b) x 16
17. El valor de “x” del log 3 81 x es: a) x 9
b) x 4
18. Si log x 64 6 ¿Cuál es el valor de “x”? a) x 12
b) x 4
19. Si log 3 x 2 ¿Cuál es el valor de “x”? a) x 8
b) x 4
20. Si log 4 x a) x
1 8
UNIDAD 5.
3 ¿Cuál es el valor de “x”? 2
b) x 9
c) x
GEOMETRÍA EUCLIDIANA
5.1 Ángulos Clasificación Básica Agudo : Mayor de 0o , pero menor de 90o. Ejem : 50o Ángulos Re cto : 90o. o o o Obtuso : Mayor de 90 , pero menor de 180 . Ejem : 120
0<α<90o Agudo
α=90o
90o<α<180o
Recto
Obtuso Pag. 184
Se le llama ángulo complementario, son los ángulo cuya suma es igual a 90o . Ejem:
El complemento de 70o es 20o , porque 70 o 20 o 90 o
Ejem:
El complemento de 35o es 55o , porque 35 o 55 o 90 o
Se le llama ángulo suplementario, los ángulo cuya suma es igual a 180o . Ejem:
El suplemento de 40o es 140o , porque 40 o 140 o 180 o
Ejem:
El suplemento de 135o es 45o , porque 135 o 45 o 180 o
5.2 Conversión de grados a radianes y viceversa
y se simplifica. 180 7 70 70o a radianes: 70 18 180 180
De grados a radianes, se multiplican los grados por Ejem: Ejem:
12 6 2 120 120o a radianes: 120 18 9 3 180 180
De radianes a grados, se multiplican los radianes por
180 y se simplifica.
Ejem:
180 180 1 90 o a grados: 2 2 2
Ejem:
3 180 540 3 135 o a grados: 4 4 4
Reactivos Unidad 5: 1. ¿Cuál es el complemento de 80º? a) 20 º b) 10 º
c) 120 º
d) 100 º
e) 60 º
2. ¿Cuál es el complemento de 25º? a) 155 º b) 75 º
c) 125 º
d) 175 º
e) 65 º
3. ¿Cuál es el suplemento de 30º? a) 70 º b) 170 º
c) 150 º
d) 120 º
e) 60 º
4. ¿Cuál es el suplemento de 115º? a) 25 º b) 75 º
c) 65 º
d) 155 º
e) 85 º
5. ¿Cuál es la equivalencia de 150º a radianes? 6 3 a) b) 5 5 6. ¿Cuál es la equivalencia de 72º a radianes? 3 3 a) b) 5 2 7. ¿Cuál es la equivalencia de 330º a radianes? 11 11 a) b) 9 30
c)
3 4
d)
5 6
e)
5 3
c)
5 2
d)
2 5
e)
5 3
c)
11 6
d)
9 11
e)
6 11
Pag. 185
8. Al convertir a) 300 º 9. Al convertir a) 200 º 10. Al convertir a) 150 º
UNIDAD 6.
7 radianes a grados, se obtiene: 4 b) 315 º c) 115 º
d) 330 º
e) 275 º
2 radianes a grados, se obtiene: 3 b) 60 º c) 120 º
d) 130 º
e) 75 º
7 radianes a grados, se obtiene: 8 b) 147 .5º c) 125 .2º
d) 157 .5º
e) 175 º
TRIGONOMETRÍA
6.1 Teorema de Pitágoras Definición.- Aplicado para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ( c ) es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos (a y b ).
A c
b C Ejem:
c 2 a2 b2
a
B
Encontrar la hipotenusa
A
c 2 a2 b2 c 2 82 42
c
4
c 2 64 16 c
C Ejem:
8
B
80
c4
5
Encontrar el cateto faltante
A a2 c 2 b2
10
6
a2 10 2 62 a2 100 36
C
a
B
c
136
c2
34
6.2 Funciones Trigonométricas Definición.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un triángulo rectángulo y son:
A b C
Con respecto al ángulo A Con respecto al ángulo B c = hipotenusa c = hipotenusa a = cateto opuesto a = cateto adyacente b = cateto adyacente b = cateto opuesto
c
a
B
Pag. 186
entonces: Con respecto al ángulo A cat. opuesto a sen A hipotenusa c cat. adyacente b hipotenusa c
sec A
hipotenusa c cat. adyacente b
tan A
cat. opuesto a cat. adyacente b
cot A
cat. adyacente b cat. opuesto a
csc B
hipotenusa c cat. opuesto b
cos B
cat. adyacente a hipotenusa c
sec B
hipotenusa c cat. adyacente a
tan B
cat. opuesto b cat. adyacente a
cot B
cat. adyacente a cat. opuesto b
Encontrar las razones, seno, coseno y tangente con respecto al ángulo B, del siguiente triángulo:
A
sen B 65
C Ejem:
hipotenusa c cat. opuesto a
cos A
Con respecto al ángulo B cat. opuesto b sen B hipotenusa c
Ejem:
csc A
7
cat. opuesto hipotenusa
cat. adyacente cos B hipotenusa
B
4 65 7 65
cat. opuesto 4 tan B cat. adyacente 7
Encontrar las razones, cosecante, secante y cotangente con respecto al ángulo A, del siguiente triángulo:
A
hipotenusa cat. opuesto
sec A
hipotenusa cat. adyacente
cot A
cat. adyacente 3 1 cat. opuesto 9 3
90
3 C
csc A
9
B
90 9 90 3
6.3 Identidades Trigonométricas Definición.- Son las equivalencias existentes entre las razones trigonométricas y son: sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1 Recíprocas: sen cos Cociente: tan cot cos sen Pitagóricas:
sen 2 cos 1
tan 2 1 sec 2
cot 2 1 csc 2
Pag. 187
Reactivos Unidad 6: 1. El valor de “x” del siguiente triángulo es: ¨ x
9
a) b) c) d) e)
20 15 21 16 14
a)
5
12
2. El valor de “x” del siguiente triángulo es: 25
x
b) 9 c) 7 d) 3 2
24
e) 2 3
3. El valor de “x” del siguiente triángulo es:
a) 2 3
8
b) 8 c) 3 d) 4
4 3
e) 3 2 x 4. Una oficina de forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m, ¿Cuánto mide el otro lado? a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2 5. Según la figura, la razón
7 , corresponde a la función: 10 10
7
51
6. Según la figura, la razón :
8
sen cot sec cos tan
a) b) c) d) e)
sec sen tan
17 , corresponde a la función: 8 17
15
a) b) c) d) e)
csc cos Pag. 188
4 6 , corresponde a la función: 10
7. Según la figura, la razón :
a) b) c) d) e)
14
4 6
10 8. El valor de la expresión 1 (cos 60°) es igual a: a) 2 b) 0.5
cot sec sen tan cos
c) 1
d) 1.5
e) 0
9. Según la figura, el valor de “x” corresponde a:
a) 2 3
10
b) 3 2 c) 5 3 d) 8
30 º
x
e) 3 5
10. Según la figura, el valor de “x” corresponde a:
a) 10 b) 12 c) 12 d) 8 e) 13
45 º x
12 11. Según la figura, el valor de “x” corresponde a:
a) 3 3 b) 3 2 c) 2 3 d) 3
x 60 º
3
e) 4 5
12. ¿Cuál de las siguientes opciones recibe el nombre de tangente? a)
cat. adyacente cat. opuesto
hipotenusa cat. opuesto
b)
13. El valor equivalente a sen a)
1 2
b)
c)
cat. opuesto hipotenusa
d)
cat. adyacente hipotenusa
e)
cat. opuesto cat. adyacente
es: 6
2 2
c) 1
d)
3 2
e) 0
14. El valor equivalente a sec 60 º es: a)
2 2
b)
1 2
c)
2
d) 1
e) 2
Pag. 189
1 corresponde a la función: cos
15. La expresión a) sen
b) csc
c) tan
d) sec
e) cot
16. ¿Cuál es el área de la siguiente figura: 45 º
6
a) 6 und2 b) 20 und2 c) 18 und2 d) 36 und2 e) 48 und2
6 2
17. ¿Cuál es el perímetro del paralelogramo siguiente: 30 º
4
a) b) c) d) e)
21 und 14 und 49 und 28 und 30 und
7
Pag. 190
Respuestas a Reactivos de Matemรกticas Unidad 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.
c b c d e a b a d c c d c e b d e b a e c a b e a d d a b b d a a a d c a a d c
Unidad 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41.
a a c e c c a b a c d a c c c c c c e a b e c c d b a b a d d c e e d d c c d a c
Unidad 3 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81.
d a b a e a c e a a e a e d a c d b d a a c e c b d a e a e a a b e c b d b b b e
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
a e c a d d e a e d d b b e c b c b d e a a a a d c e c a e
31. a 32. e 33. a 34. e 35. e 36. e 37. c 38. b 39. d 40. a 41. e 42. d 43. d 44. d 45. d 46. d 47. e 48. b 49. b 50. e 51. a 52. b 53. a 54. e 55. a 56. a 57. e 58. a 59. b 60. e
Unidad 4
Unidad 5
Unidad 6
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
c e a d c b b d e a c d b a a d b c e a
b e c c d d c b c d
b c d b a a a b c c a e a e d d e
Pag. 191